MATEMATICA-FINANCIERA 2v1

FACUL FA CULTA TAD D DE CIENCIAS CONT CONTABLESY ABLESY ADMINISTRA ADMINISTRATIV TIVAS AS

MATEMÁTICA FINANCIERA

CPC. Oscar Oscar Suzu Suzuki ki Muroy Muroy

HUANCAYO - PERÚ

TABLA DE CONVERSIONES

UNIVERSIDAD PERUANA LOS ANDES Educación a Distancia. Huancayo. Impresión Digital SOLUCIONES GRAFICAS SAC Jr. Puno 564 - Hyo. Telf. 214433

Excelencia Académica

Matemática Financiera

Al iniciar el proceso de formación en el campo de la contabilidad y/o administración debemos sentar las bases necesarias que permitan a los estudiantes un conocimiento sobre sob re los con concep ceptos tos fin financ ancier ieros os para la tom toma a de dec decisi isione ones. s. A través de este curso, se analizarán los temas relacionados a las matemáticas financieras que servirán de soporte para que puedan entender el cálculo del valor del dinero en el tiempo para contabilizar operaciones financieras y, en las diferentes ramas de la administración para que tengan presente en las operaciones de inversión de activos, en la elabor ela borac ación ión de pre presu supue puesto stoss pa para ra su suste stenta ntarr el financiamiento de nuevos proyectos para mejorar el ciclo de vida de los productos y poder planear los desembolsos e ingres ing resos os a las lasemp empres resas. as.

INDICE UNIDAD TEMÁTICA 1 Conceptos básicos Matemática Financiera Principal Tasa de interés Tasa nominal Tasa proporcional Tasa efectiva Interés Capitalización simple Capitalización compuesta Monto Horizonte temporal Resumen Bibliografía recomendada Auto evaluación formativa

UNIDAD TEMÁTICA 2

Interés simple Interés simple Interés simple exacto y ordinario Numerales Descuento Descuento racional o matemático Descuento comercial o bancario Resumen Bibliografía recomendada Auto evaluación formativa

7 7 7 7 8 8 8 8 8 9 9 9 11 11 11

13 13 16 17 18 19 20 22 22 22

UNIDAD TEMÁTICA 3 Interés comp Interés compuesto uesto Interés Compuesto Tasas equivalentes de tazas Descuento Compuesto Descuento Bancario compuesto Resumen Bibliografía recomendada Auto evaluación formativa

25 25 31 31 33 34 35 35

UNIDAD TEMÁTICA 4 ANUALIDADES CLASIFICACIÓN DE DE LA LAS ANUALIDADES Anualidad cierta Anualidad vencida Anualidad anticipada Anualidad diferida Anualidad contingente * Fórmulas para calcular el monto y valor actual de anualidades simples, ciertas, vencidas. * Fórmulas para calcular el monto y valor actual de anualidades anticipadas o adelantadas. * Fórmulas para calcular el monto y valor actual de anualidades perpetuas. Resumen Bibliografía recomendada Autoevaluación formativa

UNIDADTEMÁTICA5

AMORTIZACIÓN Tabla de amortización Sistema de amortización Sistema de amortización francés Sistema de amortización alemán Sistema de de pa pago en cu cuotas de decrecientes Sistema de amortización americano Sistema de amortización flat Resumen Bibliografía recomendada Auto evaluación formativa

37 37 37 38 38 39 39 39 45 46 47 47 48 51 52 52 52 56 56 57 60 61 61 62

UNIDAD TEMÁTICA 6 DEPRECIACIÓN Objetivos de la depreciación Métodos de depreciación Método de línea recta Método de las unidades producidas Método de de la la su suma de de lo los dí dígitos de de lo los añ años Método del doble saldo decreciente Resumen Bibliografía recomendada Auto evaluación formativa

63 64 64 65 65 66 68 69 69 70

UNIDAD TEMÁTICA 7 FACTORES FINANCIEROS Factor simple de capitalización (FSC) Factor simple de actualización (FSA) Factor de actualización de series (FAS) Factor de de recuperación de capital (F (FRC) Factor de de ca capitalización de la la se serie (F (FCS) Factor de d e de d epósito de d e fo f ondo de de am amortización (F ( FDFA) Resumen Bibliografía recomendada Auto evaluación formativa

71 72 73 74 75 75 77 78 78 79

UNIDAD TEMÁTICA 8 Introducción al cálculo actuarial Terminología de seguros Tabla de mortalidad Tablas de generaciones Tablas de contemporáneos Tablas completas Tablas abreviadas Principales fu funciones de la la ta tabla de de mo mortalidad Probabilidad de vida y muerte para períodos mayores a un año Probabilidad abreviada de vida Probabilidad completa de vida Contrato de seguros Seguro de vida entera Seguro de vida dotal Resumen Bibliografía recomendada Auto evaluación formativa

81 81 83 85 85 85 85 85 86 88 88 89 89 90 92 92 93



CONCEPTOS BÁSICOS El presente fascículo tiene como propósito explicar los conceptos básicos para mejor entender enten der del texto

Indicadores de Logro Al terminar el estudio del presente fascículo, el estudiante estará en capacidad de: * Com Compre prende nderr los loscon concep ceptos tosde de mat matemá emátic tica a fin finan ancie ciera, ra,pri princi ncipal pal,, int interé eréss y mon monto. to. *Definirelhorizontetemporaldeunflujodeefectivo * Conc Conceptu eptualiz alizar ar y anal analizar izar las dife diferente rentess tasa tasass de inte interés. rés. * Exp Explic licar ar y ana analiz lizar ar las lasdis distin tintas tas cap capita italiz lizaci acione oness de int interé eréss

1.- MA MATEMÁT TEMÁTICA ICAFINAN FINANCIERA CIERA.. Se denomina Matemática Financiera, a la rama de la matemática aplicada que estu es tudi dia a el va valo lorr de dell di dine nero ro en el titiem empo po,, co comb mbin inan ando do el ca capi pita tal,l, la ta tasa sa y el tie tiemp mpo o pa para ra obtene obt enerr un int interé eréss que per permit miten en tom tomar ar dec decisi isione oness de inv invers ersión ión.. Si Ud. posee 1000 000 um y decide depositar depositar en una institución financiera. ¿Qué ¿Qué opción opció n eleg elegiría?: iría?: 1.-- El qu 1. que e le re redi ditú túa a 5% an anua uall co con n ca capi pita taliliza zaci ción ón me mens nsua uall 2.- al 60. 60.5% 5% con concap capita italiz lizaci ación ón anu anual. al.

2.- PRI PRINCI NCIP PAL (P). La Re RealAcad alAcadem emia ia de la Le Leng ngua ua Es Espa paño ñola la lo de defin fine e co como mo:”V :”Val alor or de lo qu que, e, de ma mane nera ra periód per iódica ica o acc accide identa ntal,l, rin rinde de u oca ocasio siona na ren rentas tas,, int intere ereses ses o fru frutos tos”. ”. Sedicealacantidaddedineroapartirdelcualsepagaintereses.

3.-TASADEINTERÉS(i). Es la me medi dida da de lo loss in inte tere rese sess pa paga gado doss po porr el us uso o de dell ca capi pita tall aj ajen eno, o, re repr pres esen enta tado do po por r un porce porcentaje ntaje.. Éstesemideporelcocientequeresultadedividirelinterésconelprincipal.

I i P Universidad Peruana Los Andes

7


 




Tasa nominal.- Es una tasa referencial que no incorpora capitalizaciones. Tasa proporcional.- Es la expresión de la tasa nominal expresada en diferentes period per iodos os de tie tiempo mpo.. Tasa efect efectiva iva.- Es la ex expr pres esió ión n de ca capi pita taliliza zarr un una a ta tasa sa no nomi mina nall va vari rias as ve vece cess en la Hori Ho rizo zont nte e de tie tiemp mpo. o. Se di dice ce qu que e es la ta tasa sa de in inte teré réss pa paga gado do re real alme ment nte. e.

4.-INTERÉS(I) . Es el precio que se paga por el uso del capital ajeno durante un determinado espacio de tie tiempo mpo.. En co cons nsec ecue uenc ncia ia,, el in inte teré réss vi vien ene e a se serr la di dife fere renc ncia ia en entr tre e el ca capi pita tall re reci cibi bido do y el mo mont nto o devuel dev uelto to en una fec fecha ha det determ ermina inada. da. El mo mont nto o de dell in inte teré réss de depe pend nde e de de:: magnit nitud ud del pri princi ncipal pal  La mag  Latasadeinterés horizo izonte nte de tie tiempo mpo  El hor  Elriesgodelainversión Otrass var variab iables les de ord orden en eco económ nómico ico,, pol polític ítico, o, soc social ial,, etc etc..  Otra Ejemplo Una Un a cu cuen enta ta ba banc ncar aria ia qu que e titien ene e un pl plaz azo o de 18 180 0 dí días as se ab abri rió ó co con n un pr prin inci cipa pall de 5 00 000 0 um.. Po um Porr es ese e pe peri riod odo o de titiem empo po el ba banc nco o le of ofre rece ce un una a ta tasa sa de in inte teré réss de 8% 8%.. ¿Acu ¿Acuan anto to ascend asc enderá erá el int interé eréss al tér términ mino o del sem semest estre? re? I = 5 000 * (8/100) ( 8/100) I = 5 000 *0.08 I = 400 um Elinterésenunpréstamoeselcostodelanodisponibilidadeneltiempodeesedinero.

VP

8

Monto

Interés

Capital

Tiempo

VF

Universidad Peruana Los Andes



C= Capital M= Monto I = Interés

VP = Valor Presente VF = Valor Futuro

En el tr tran ansc scur urso so de la in inve vers rsió ión, n, lo loss in inte tere rese sess pu pued eden en se serr su susc scep eptitibl bles es a increm inc rement entars arse e al pri princi ncipal pal,, a est este e pro proces ceso o se de lla llama ma cap capita italiz lizaci ación ón y pod podemo emoss cit citar: ar:

1. Capita Capitalizaci lización ón simple.- Se re real aliz iza a al ve venc ncim imie ient nto o de la op oper erac ació ión. n. 2. Capitalización compuesta.- Se realizan en el horizonte de la inversión y los intere int ereses ses se com comput putan an sob sobre re el nue nuevo vo mon monto to cap capita italiz lizado ado.. 5.-MONTO(S). Es la cantidad total a pagar por el uso del capital ajeno. Resulta de la sumatoria del prin pr inci cipa pall y lo loss in inte tere rese sess de deve veng ngad ados os qu que e se or orig igin inó ó a un una a ta tasa sa de in inte teré réss fifija jada da en entre tre la lass partess cont parte contratant ratantes. es.

S=P+I Ejemplo Al vencimiento de la deuda, se abona la cantidad de 10 000 um luego de haber pactado inic in icia iallme men nte un pré résstamo de 8 500 um por un espacio de 12 meses. S=P+I 10 000 = 8 500 + I I = 10 000 000 8 500 I = 1 500 Elprincipalestaconstituidoporlos8500um Elinterésporladiferenciade10000menos8500,valedecir, por1500um Elmontopor10000um

6.- HORIZ HORIZONTE ONTE TEMPO TEMPORAL(S RAL(S). ). Es la línea horizontal en la que se representa el intervalo de tiempo de los flujos de efectivo desde que se se origina hasta que se liquide. El tiempo tiempo cero aparece en el el lado izquie izq uierdo rdo y los per period iodos os fut futuro uross hac hacia ia la izq izquie uierda rda..


9



H=90días h2=63días

h1=13días 2/7

15/7

h3=14días 16/9

30/9

Observación Hay un aspecto que es importante tener en cuenta: el tipo de interés y el plazo deben

referirse a la misma medida temporal (si el tipo es anual, el plazo debe de ir en año, si el tipo es mensual, el plazo irá en meses, etc).

¿Co ¿Como mo se cal calcul cula a el tip tipo o de int interé eréss equ equiva ivalen lente, te, seg según ún dis distin tinta ta uni unida dad d de tie tiemp mpo? o? Muy Muyfác fácil, il,

lo va vamo moss a ve verr co con n un ej ejem empl plo: o: titipo poss eq equi uiva vale lent ntes es a un una a ta tasa sa an anua uall de dell 15 15%. %.

x Base temporal x Año Semestre Cuatrimestre Trimestre

Calculo

Tipo resultante

15 / 1 15 / 2 15 / 3 15 / 4

15 % 7,5 % 5% 3,75 %

Mes Día

15 / 12 15 / 365

1,25 % 0,041 %

Fuente: http://www.aulafacil.com/CursoMatematicasFinancieras/Finanza2.htm

Actividad

1. Ingrese a la siguiente página web y realice la clasificación de las tasas de interés y su respectiva utilización: http://www.sbs.gob.pe/PortalSBs/Publicaciones/informes/200209T http://www.sbs.gob.pe/PortalSBs/Publicaciones/informes/20020 9TasasInte asasInte res.pdf

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Resumen A través del autoaprendizaje ha adquirido los conocimientos sobre los conceptos básicos de la matemática financiera como rama de la matemática aplicada que ayudaalatomadedecisionesenlasinversiones. El principal, capital que es exigible al término de un cierto tiempo llamado horizonte de tie tiemp mpo o pr prod oduc uce e po porr su us uso o un una a ut utililid idad ad qu que e se le de deno nomi mina na in inte tere rese ses, s, qu que e su suma mado do al cap capita itall gen genera era el monto monto.. El interés se puede capitalizar al término de la inversión, al cual se le llama capitalización simple o en varias oportunidades durante la línea del tiempo y estos intere int ereses sesse se cal calcul culan an sob sobre re el nue nuevo vo mon monto to gen genera erando ndo la cap capita italiz lizaci ación ón com compue puesta sta Las tasas de intereses, son la representación porcentual de los intereses y estos se clasifican clasi fican en nomin nominales, ales, propo proporciona rcionales les y efect efectivas. ivas. Bibliografía recomendada

práctico. prácti co. Col Colomb ombia: ia: Pea Pearso rson n Edu Educac cación iónde de Col Colomb ombia ia Ltd Ltda., a., 1a ed, 200 2002. 2. Ayres Jr Frank, Matemáticas Financieras. Mexico: Mc Graw Hill, 1998.

Autoevaluación formativa

Conceptosbásicos-UNIDADNo.1 Nombre______________________________________ Nombre________________________ ____________________________ ___________________ _____ Apellidos_______________________ Apellidos_________ _____________________Fecha _______Fecha _____________ ____________________ _______ Ciudad ______________ ____________________________ _________________Semestre_______ ___Semestre__________________ ___________ 1. ¿Cree Ud. que es importante las Matemáticas Financieras para el Contador Público /Administrador de empresa emp resas? s? Hag Haga a un brev breve e com coment entari ario o 2. ¿Qué ¿Quédif difere erenci ncias as enc encuen uentra tra en cap capita italiz lizaci ación ón sim simple ple y comp compues uesta? ta? 3. ¿C ¿Cuáles uáles la ta tasa sa de in inter terés és qu que e no noss in indi dica ca lo ef efec ectitiva vame ment nte e pag pagad ado? o? Ej Ejemp emplo lo 4. ¿Que ent entien iende de por mont monto? o? Eje Ejempl mplo o 5. DeterminarelhorizontetemporaldeundepósitorealizadoenelBanco“Lamejortasa”eldía2deenerode 2006ysecancelael01defebrerodelmismoaño. 6. Se ha recibido del Banco “El Buen Pagador” la suma de 1 300um por concepto de la redención de un depósitoaunaño,cuyo principales1000um.¿Cuáleslatasadeinterésdelaoperación? 7. ¿Cuá ¿Cuáll es el mo mont nto o ac actu tual al de la cu cuen enta ta de ah ahor orro ross qu que e se ab abri rió ó en el Ba Banc nco o “B “Bue uena na ge gent nte” e” co con n un pr prin inci cipa pall de1 50 500u 0um m y qu que e de deve veng ngó ó ha hast sta a ho hoyy un una a ta tasade sade 4% 4%? ? 8. La Administración Tributaria tiene fijado como tasa de interés moratorio el 1,50% mensual. ¿Cuál es la tasa proporc proporcional ional diaria diaria? ? Universidad Peruana Los Andes

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INTERES SIMPLE Indicadores de Logro Al finalizar el estudio de este segundo fascículo, el estudiante estará en capacidad de: * Defin Definir ir el int interé eréss sim simple ple * Ca Calcu lcular larel el int interé eréss sim simple ple * Entender Entender y apli aplicar car la ley de interés interés simple a una operación operación de capitaliza capitalización ción y descuento

1.- INTERÉS SIMPLE Se denomina interés simple a la operación financiera donde interviene un capital, un tiempo predeterminado de pago y una tasa o razón, para obtener un cierto beneficio económico econó mico llamad llamado o interé interés. s. El interés simple, es pagado sobre el capital primitivo que permanece invariable. Vale decir, el interés obtenido en cada intervalo unitario de tiempo es el mismo. La retribución económica causada y pagada no es reinvertida, por cuanto, el monto del interé int eréss es cal calcul culado ado sob sobre re la mis misma ma bas base. e. El in inte teré réss si simp mple le es un una a fu func nció ión n di dire rect cta a en entr tre e el titiem empo po (t) (t),, la ta tasa sa de in inte teré réss en ta tant nto o po por r uno(i)yelcapitalinicial(c),esteserepresentaporlafórmula:

I  c  t i

C 0


1

I

I I

C

C 2

13



Momento 1

n=1

I01 = VP* i

I01 = Interés del período 0 – 1

VF1 = VP + (VP. i)

Momento 2

n=2

I02 = VP + VP* i VF2 = VP + (VP* i) + (VP* i) = VP (1 + 2i)

Momento n

n=n

VFn  VP 1  n  i  ……(1) Despejando de (1) obtenemos el tipo de interés y el plazo: VF 1 I V P , i , i n VP  n

VF 1 I , VP n n i VP  i

I  VP  ni , I  VP  in

Ejemplo 1: Calcular el interés simple producido por 30 000um. durante 90 días a una tasa de interés anual de 5%. Como: 90 días 

90 años 360

Por tanto: I  30 000  0, 05 

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90  375 360




También: VP = 30 30 00 000

Interés an anual = 5% 5 % n= 3 me m eses VF = ? I = ?

Ejempl Eje mplo o 2: ¿Cuá ¿C uáll es esla la ta tasa sa de in inte teré réss an anua uall si in invi vier erto to ho hoyy 50 500 0 y re reci cibo bo en enun unañ año o 80 800? 0? 800

0 500

1

Tiempo en años

I=800 500=300 i=(300/500)=0,6anual La ta tasa sa de in inte teré réss es de dell 60 60% % an anua uall

Ejempl Eje mplo o 3: Sí hoy invertimos 2 000um. al 8% para el primer año, con incrementos del 1% para los próx pr óxim imos os tre tress añ años os.. ¿C ¿Cuá uáll es el mo mont nto o qu que e re retir tirar aría íamo moss de dent ntro ro de 4 añ años os? ? En estos casos no aplicamos directamente la fórmula general del interés simple, por cuanto el tipo de interés en cada período es diferente. Debemos sumar al principal los inte in tere rese sess de ca cada da pe perío ríodo do,, ca calc lcul ulad ado o si siem empr pre e so sobr bre e el ca capi pita tall in inic icia iall pe pero ro a la ta tasa sa vi vige gent nte e en cad cada a mom moment ento. o. VP=2000;n=4;i(1...4)=0,08;0,09;0,10y0.11;VF=? Al ejercicio corresponde la relación siguiente: VF=VP+(VP*i1 )+(VP*i2 )+(VP*i3 )+(VP*i4 ) VF=2000+(2000*0,08)+(2000*0,09)+(2000*0,10)+(2000*0,11)=2760um. Elmontoaretirardentrodecuatroaños es2760um

Ejempl Eje mplo o 4: En la fe fech cha a ob obte tene nemo moss un pr prés ésta tamo mo po porr 5 00 000u 0um m pa para ra se serr pa paga gado do de desp spué uéss de 3 añ años os a 9 800u 80 0um. m. De Dese seam amos os sa sabe ber: r: 1º El in inte teré réss y 2º la ta tasa sa de in inte teré réss pe peri riód ódic ica a VP=5000;VF=9800;n=3;I=?;i=? 1º Enc Encont ontram ramos os el int interé eréss con conla la fór fórmul mula: a: I=9800 5000=4800um. Universidad Peruana Los Andes

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El interés es 4 800um. 2º Co Con n la fó fórm rmul ula a de desp spej ejad adas as de 1, ob obte tene nemo mos s la ta tasa sa pe perió riódi dica ca an anua uall de dell pr prés ésta tamo mo:

9 800 1 5 000  100  0, 32 i 3 La tasa periódica anual es 32%

Ejemplo 5: Un Banco obtiene fondos al costo de 12% y presta a los microempresarios al 58,6% anual, ganándose así el 46,6% bruto. Si los l os ingresos anuales que obtuvo de esta forma fueronde500000um.,¿Cuántodineroprestó? I = 500 000; n = 1; i = 0,466; VP = ? 500 000 = VP*1*0,466 despejamos VP: VP = 500,000/0.466 = 1 072 961,37 um.+

Observación El ti tip po de in inte teré réss (i) y el pl pla azo (n) deb eben en re refe feri rirs rse e a la mi mism sma a un unid idad ad de ti tiem empo po (s (sii el ti tip po de in inte teré réss es an anua ual,l, el pl plaz azo o de debe be se serr an anua ual,l, si el titipo po de in inte teré réss es me mens nsua ual,l, el pl plaz azo o ir irá á en mes meses, es,etc etc.). .). Siendo ind Siendo indife iferen rente te ade adecua cuarr la tas tasa a al tie tiempo mpo o vic viceve eversa rsa.. Al utilizar tasas de interés mensual, el resultado de n estará expresado en meses

2.- INTERES SIMPLE EXACTO Y ORDINARIO El in inte teré réss si simp mple le ex exac acto to,, es aq aqué uéll titipo po de in inte teré réss cu cuyo yo cá cálc lcul ulo o se ef efec ectú túa a to toma mand ndo o co como mo base que el año tiene 365 días (366 en años bisiestos). El interés simple ordinario se calcula, en cambio tomando como base que el año tiene 360 días. Debemos resaltar que al usar un año de 360 días, los cálculos a efectuar se abrevian y además se increm inc rement enta a lo que queel el acr acreed eedor or cob cobra ra por con concep cepto to de int interé erés. s.

Ejemplo: Calcul Calc ular ar el in inte teré réss si simp mple le ex exac acto to y or ordi dina nario rio de un ca capi pita tall de 10 00 000, 0,00 00um um qu que e ge gene nera ra un interésdel12,7%enunplazode240días.

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C=10 000,00

I = c*i*t

i=12.7%

I = 10 000*0.127*240/365 = 835.07

t= 240 días

I = 10 000*0 *0.1 .12 27*2 *24 40/3 /36 60 = 846.67

3.- NUMERALES: El numeral, es el producto de cada nuevo saldo de una cuenta y el número de días de perman per manenc encia ia de ese sal saldo do sin mov movimi imient ento. o. En una fec fecha ha det determ ermina inada da pod podemo emoss obt obtene ener r el in inte teré réss mu multi ltipl plic ican ando do la su suma mato tori ria a de lo loss nu nume mera rale less po porr la ta tasa sa di diar aria ia de in inte teré rés. s. En la práctica financiera, para el cálculo de los intereses, los numerales o números mercantiles constituyen el producto del saldo deudor o acreedor por el número de días quepermanecedichosaldoaldebeohaber.

Ejemplo: Una persona en el transcurso del mes de julio 2006 ha realizado en su cuenta de ahorros el siguiente movimiento: Día

Operación

Imp Im porte

01

Depósito

1 000

05

Retiro

10

Depósito

3 000

15

Depósito

1 000

-200

¿Qué interés habrá acumulado al 01 de agosto del 2006 si la tasa de interés simple fue de 1%? D í as

Saldo

Numerales

04

1 000

4 000

05

800

4 000

05

3 800

19 000

16

4 800

76 800 103 800

30

Ento En tonc nces es,, la ac acum umul ulac ació ión n de in inte tere rese sess al 01 de ag agos osto to es es:: Multip Mul tiplic licado adorr fijo fijo:: 0,0 0,01/3 1/30 0 = 0,0 0,0003 003333 333 0,0003333 * 103 800= 34,60um NUMERALES n

Iic*t  Universidad Peruana Los Andes

k

k

17



4.- DESCU DESCUENT ENTO O Es el proceso de deducir la tasa t asa de interés a un capital determinado para encontrar el valor presente de ese capital cuando el mismo es pagable a futuro. Del mismo modo, aplicamos la palabra descuento a la cantidad sustraída del valor nominal de la l etra de cambio u otra promesa de pago, cuando cobramos la misma antes de su vencimiento. La pr prop opor orci ción ón de dedu duci cida da,, o ta tasa sa de in inte teré réss ap aplilica cada da,, es la ta tasa sa de de desc scue uent nto. o. En un tipo de financiamiento f inanciamiento respaldado en título-valores: letras de cambio, y pagaré y cuya operatividad está regulada por dispositivos legales. Los bancos pueden financiar a su suss cu cuen enta tass co corr rren entí tíst stas as si le less ot otor orga ga un una a lílíne nea a de de desc scue uent nto o de le letr tras as y pa paga garé réss y en mérito a esta operación anticipa el importe del valor nominal del título-valor que vence en el futuro, y deducen el interés de forma anticipada, por el tiempo que falta para el vencim ven cimien iento to de la obl obliga igació ción. n. Así el cliente del banco que tiene en su poder un paquete de letras por cobrar que todavía no se han vencido, puede convertirlo en dinero en efectivo a través del descuento al obtener un importe menor a la suma de sus respectivos valores nominales; del mismo modo puede conseguir efectivo si acepta un pagaré de determinado importe que vence en el futuro, lo descuenta y recibe su respectivo valor presen pre sente te o val valor or líq líquid uido. o.

5.- DESCU DESCUENT ENTO O SIMPL SIMPLE E Es la op oper erac ació ión n fin finan anci cier era a qu que e titien ene e po porr ob obje jeto to la re repr pres esen enta taci ción ón de un ca capi pita tall fu futu turo ro po por r otro equivalente con vencimiento presente, a través de la aplicación de la fórmula del descue des cuento nto sim simple ple.. Es un pro proced cedimi imient ento o inv invers erso o al de cap capita italiz lizaci ación. ón. VF = Valor futuro D = Descuento D = VF – VP

VP = Valor actual

0

18

1

2 ….

n-1 n




D = VF – VP D = VF – VF (1 – n*d) = VF * n * d

VP  VF 1  n  d Ejemplo: VF=10000 Plazo = 6 meses n=6 Tasa = 5% 5% me mensual d = 0, 0,05 VP=10.000(1-6*0,05)=7000

Descuento racio Descuento racional nal o matem matemático ático:: Es el in inte teré réss de dedu duci cido do po porr an antic ticip ipad ado o de dell va valo lorr no nomi mina nall de un tí títu tulo lo va valo lorr y qu que e se ca calc lcul ula a con una tasa vencida por el plazo que media la fecha entre la fecha que se anticipa su pagoylafechadesuvencimiento. Se ca calc lcul ula a so sobr bre e el va valo lorr ac actu tual al o pr pres esen ente te,, co coin inci cide de co con n el in inte teré rés. s.

Sjn D 1  jn Donde: Descuento Descu ento racio racional nal simpl simple e Valo alorr nom nomina inall del títu títulolo-val valor or,, val valor or futu futuro ro Tasa asade de int interé eréss nom nomina inall ven vencid cida a Núme Nú mero ro de pe perí ríod odos os de titiem empo po co comp mpre rend ndid ido o en entr tre e la fe fech cha a de de desc scue uent nto o y la fe fech cha a de vencimien venc imiento to del título título-valo -valorr.

Ejemplo: Una letra de de cambio, cambio, con valor valor nominal nominal de 20 000um, 000um, fue girada girada el 01 de abril y descontad desc ontada a el 7 de abril por el Banco Banco ABC, con una una TNA de 18%, tiene tiene como fecha fecha de vencimiento el 6 de julio del mismo año. Calcule el importe del descuento racional simple.


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S=20000 j=0,18 n=90/360 D=?

D

90 360  861, 24 90 1  0,1 ,18 8 360

20 000  0,1 ,18 8

Ejemplo: Un pa paga garé ré cu cuyo yo va valo lorr no nomi mina nall es 3 80 800u 0um m y qu que e titien ene e co como mo fe fech cha a de ve venc ncim imie ient nto o el 26 de Febr Fe brer ero o en el Ba Banc nco o el 18 de En Ener ero o de dell mi mism smo o añ año o a un una a TN TNA A de 24 24%. %. Se re requ quie iere re ca calc lcul ular ar el importe del descuento racional simple que se efectuó al valor nominal de la letra de cambio. Datos: S=3 800 800um, um, j=0 j=0,24 ,24 y n=3 n=39/3 9/360 60

D

3 800*0,24*39/3 800*0,24*39/360 60  96, 30um 1  0,2 ,24 4 * 36 / 360

Descuento Desc uento banca bancario: rio: Es el producto del valor nominal del del título-valor por la tasa anticipada nominal y por el número núm ero de per period iodos os que fal faltan tan par para a el ven vencim cimien iento to del des descue cuento nto..

Donde:

D  Sdn * n

Descuento Desc uento banc bancario ario simpl simple e Valo alorr nom nomina inall del títu título-v lo-valo alorr, val valor or futu futuro ro Tasa asaant antici icipad pada a nom nomina inall apl aplica icable ble sob sobre re S Número de períodos de tiempo comprendido entre la fecha de descuento y la fecha de vencimien venc imiento to del título título-valo -valor. r.

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Ejemplo: Una letra de cambio tiene un valor nominal de 5 000um que fue descontada en el Banco ABC cuando faltaban 90 días para su vencimiento. Se requiere conocer el importe del descuento bancario simple que efectuó el Banco, que aplicó una tasa de descuento antici ant icipad pada a nom nomina inall del 1,5 1,5% % men mensua suall Datos: S=5 S= 5 00 000u 0um, m, dn=0, =0,01 015 5 y n= 90 90/3 /30 0 Solución:

D  5 000  0, 015 

90  225 um 30

Ejemplo: Una le Una letra tra de ca camb mbio io cu cuyo yo va valo lorr no nomi mina nall es 3 80 800u 0um m y qu que e tie tiene ne co como mo fe fech cha a de ve venc ncim imie ient nto o el 26 de Febrero, se descuenta en el banco el 18 de enero del mismo año, con una tasa t asa anticipada nominal de 24% anual. Se requiere calcular el importe del descuento bancario simplequeseefectuóalvalornominaldelaletra. Datos: S=3 S= 3 80 800u 0um, m, dn=0, =0,24 24 y n= 39 39/3 /360 60

D  3 8 0 0 * 0, 2 4 *

39 = 9 8, 8 0 u m 360

Observación El descuento sobre el valor nominal y el interés sobre el valor presente del titulo-valor genera gen eran n el mis mismo mo res result ultado ado

Actividad 2.1 partic ticipa ipante nte des desarr arroll ollará ará el tem tema: a: Des Descue cuento nto com comerc ercial ial.. 1. El par Resolver lver los sigui siguientes entes probl problemas: emas: 2. Reso Calcule el descuento comercial por efectuar sobre el precio de venta de un artículo, si ésteesde1000umyseconcedeunarebajade5% Calcule el importe de los descuentos comerciales que se efectuarán en una venta a plazos, amortizable con pagos mensuales de 100um que vencen el 1 de cada mes, que otorga los siguientes descuentos. a) 5% por adelantarse al vencimiento y b) 2% si los pagosseefectúanhastael7decadames. La em empr pres esa a el Bu Buen en ve vest stir ir S. S.A. A. ad adic icio iona nall a la ve vent nta a de su suss ar artí tícu culo loss un ma marg rgen en de ut utililid idad ad de 20% sobre el costo de la mercadería. Por cambio de temporada piensa rematar el stoc st ockk de ch chom ompa pass cu cuyo yo co cost sto o un unita itario rio es 50 50um um,, lo qu que e si sign gnifific ica a re reba baja ja su ma marg rgen en de 20 20% % a5%sobreelcosto.¿Cuáleselnuevoimportedelautilidadbruta? Universidad Peruana Los Andes

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Resumen Hemoss ob Hemo obse serv rvad ado o qu que e un una a cu cuen enta ta es esta ta en el ré régi gime men n de in inte teré réss si simp mple le cu cuan ando do se pr prod oduc uce e una sol sola a cap capita italiz lizaci ación ón de int interé erés. s. Al utilizar como base el año calendario, se produce el interés simple exacto y la utilización del año com comerc ercial ial con conlle lleva va al int interé eréss sim simple ple ord ordina inario rio.. Los numerales mercantiles constituyen el producto del saldo deudor o acreedor por el núme nú mero ro de dí días as qu que e pe perm rman anec ece e di dich cho o sa sald ldo o al de debe be o ha habe berr, lo loss qu que e si sirv rven en pa para ra el cá cálc lcul ulo o de los int intere ereses ses.. Se di dice ce de desc scue uent nto o a la an antitici cipa paci ción ón de dell pa pago go de lo loss tí títu tulo loss va valo lore ress al de dedu duci cirr po porr an antitici cipa pado do loss in lo inte tere rese sess po porr el tie tiemp mpo o qu que e fa falta ltapa para ra su ve venc ncim imie ient nto o de la ob obliliga gaci ción ón.. Bibliografía recomendada

Aliaga Valdez Carlos, Carlos Aliaga Calderón Matemáticas Financieras Un enfoque práctico. prácti co. Colom Colombia: bia: Prent Prentice ice Hall, primera primera edición, edición, 2002. Ayres Jr Frank, Matemáticas Financieras. Mexico: Mc Graw Hill, 1998. Montoya Williams Héctor. Héctor. Matemáticas financieras y Actuariales por computadora, Perú: Pacífico Pacífi co edito editores, res, 2005.


Interés simple - UNIDAD No. 2 Nombre______________________________________ Nombre________________________ ____________________________ ___________________ _____ Apellidos_______________________ Apellidos_________ _____________________Fecha _______Fecha _____________ ____________________ _______ Ciudad ______________ ____________________________ _________________Semestre_______ ___Semestre__________________ ___________ 







Con tus propias palabras efectúa un análisis comparativo entre capitalización y descuento. Un es estu tudi dian ante te pr prom omet etió ió pa paga garl rle e la lass cl clas ases es a su pr prof ofes esor or pa part rtic icul ular ar lu lueg ego o de 5 me mese ses. s. El importe pactado fue de 350um. Dicho importe y incluía un recargo por concepto de intereses, habiéndose pactado una tasa de interés del 35% simple anual. ¿Cuáles hubier hub ieran an sid sido o los hon honora orario rioss del pro profes fesor or sin con consid sidera erarr int intere ereses ses? ? Hallar el valor presente de un documento de 5 000um pagaderos en 10 meses, suponi sup oniend endo o un ren rendim dimien iento to anu anual al del 18% Si te ten nem emo os 10 00 000u 0um m y lo in inve vert rtim imos os por un año con el 28% de in inte teré réss anu nua al. ¿C ¿Cu uán ánto to dinero din ero ten tendre dremos mos al fin finali alizar zar el año año? ? 22




Se colocó una cuenta abierta con un principal de 5 000um, a una tasa de interés simple de 30% anual. Calcule el plazo en el que el interés ascendió a 15% del principal. Hallllar ar el va valo lorr lílíqu quid ido o de un pa paga garé ré de 60 600 0 00 000u 0um m que ven ence ce a lo loss tr tre es me mese ses, s, si el ti tipo po  Ha dedescuentoesdel6%mensual obtitien ene e de dell ba banc nco o AB ABC C un de desc scue uent nto o de pa paga garé ré a 90 dí días as po porr 15 150 0 00 000u 0um. m. El Ba Banc nco o  Se ob deduce los intereses que es el 8% anual al momento de depositar el préstamo. ¿Cuántoeselabonoensucuentacorrientedelcliente? Dese seam amos os an antitici cipa parr al dí día a de ho hoyy un ca capi pita tall de UM 5, 5,00 000 0 co con n ve venc ncim imie ient nto o de dent ntro ro de 2  De años a una tasa anual del 15%. Determinar el valor actual y el descuento de la operación opera ción finan financiera ciera  Debemos descontar una letra de UM 10,000 faltando 60 días para su vencimiento, la tasa ta sa de dede desc scue uent nto o an anua uall es de dell 48 48%, %, la co comi misi sión ón de co cobr bran anza za es el 3. 3.8% 8% y ot otro ross ga gast stos os UM 4.0 4.00. 0. Det Determ ermina inarr el imp import orte e efe efecti ctivo vo rec recibi ibido do por el cli client ente. e.  Un pagaré de UM 2,800, no devenga interés con vencimiento a los 5 meses, descontado en el Banco. El valor líquido ascendía a UM 2,680. Calcular el tipo de descuento desc uento utiliz utilizado. ado. 


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INTERÉS COMPUESTO

Cuando una operación financiera involucra más de un periodo, se debe especificar si el capi ca pita tall se en encu cuen entr tra a en el ré régi gime men n de in inte teré réss si simp mple le o en el de in inte teré réss co comp mpue uest sto, o, pu pues esto to que qu e si tr trat ata a de un unso solo lo pe peri riod odo, o, el mo mont nto o es esel el mi mism smo o en enam ambo boss ca caso sos. s. Indicadores de Logro

Al terminar el estudio del presente fascículo, el estudiante podrá: * Def Defini inirr los con concep ceptos tos fun fundam dament entale aless del int interé eréss com compue puesto sto.. *Calcularelinteréscompuesto * En Ente tend nder er y ap aplilica carr la le leyy de in inte teré réss com compu pues esto to a un una a oper operac ació ión n de capitaliza capi talización ción y descu descuento ento

1.- INTER INTERÉS ÉS COMPU COMPUEST ESTO O Aliaga Carlos en su libro “Matemáticas Financieras Un enfoque práctico”, al referirse a este est e tem tema a dic dice: e: “El interés compuesto puede verse como una sucesión de operaciones a interés simple,enlaqueelmontofinaldeunadeellasconstituyeelprincipaldelasiguiente. Una cue cuenta nta est está á baj bajo o un rég régime imen n de int interé eréss com compue puesto stocua cuando ndo:: El capital devenga interés generado por una tasa de interés efectiva, la que a su vez puede estar en función de una tasa de interés nominal que capitaliza cada cierto períod per íodo o de tie tiempo mpo.. Se produce más de una capitalización de interés durante el horizonte temporal pactado, aun cuando este plazo sea diferente del plazo de la tasa de interés. Por ejem ej empl plo o la ta tasa sa pu pued ede e se serr me mens nsua uall y el ho horiz rizon onte te se seme mest stra rall pa para ra la op oper erac ació ión” n” El interés compuesto es un régimen en el cual un interés generado por un capital, en unidad de tiempo, se capitaliza; es decir decir,, se incorpora al capital, el mismo que genera el mismo interés en la siguiente unidad de tiempo y así sucesivamente durante el horizonte horiz onte temporal. temporal. El capital capital al final de cada unidad unidad de tiempo tiempo crece de manera manera geométrica si el principal, la tasa de interés y el plazo de ésta última se mantiene constantes. 1.1.1.1 .- Mon Monto to Con ConPri Princi ncipal palyy Tasa asaEfe Efectiv ctivaa Con Consta stante nte Calcula en monto final o valor futuro en una cuenta a interés compuesto cuando el principal y la tasa de interés efectiva no varía, no se producen incrementos ni reducciones del principal, ni se producen retiros de interés durante el horizonte temporal. Consideramos a i y n, con períodos de tiempo de la misma duración; significa que si i es anual, n es número de años, si i es mensual, n es número de meses mes es y así suc sucesi esivam vament ente e par para a otr otros os per períod íodos os de tie tiempo mpo.. Universidad Peruana Los Andes

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VF  VP(1  i)n 1.2.1.2 .- Fac Factor torSim Simple ple de Cap Capita italiz lizaci ación ón (1+ (1+i) i)n Al término (1+i) n se le denomina factor simple de capitalización (FSC) a interés compue com puesto sto;; por tan tanto to la fór fórmul mula a se rep repres resent enta a así así::

VF  VP * FSCi;n La fu func nció ión n de FS FSC, C, es llllev evar ar al fu futu turo ro cu cual alqu quie ierr im impo port rte e de dell pr pres esen ente te o tr trae aerr al pr pres esen ente te cualqu cua lquier ier imp import orte e del pas pasado ado.. Las fó Las fórm rmul ulas as de dell mo mont nto o co comp mpue uest sto, o, pr prin inci cipa pal,l, ta tasa sa de in inte teré réss y nú núme mero ro de pe perío ríodo dos, s, se presen pre sentan tan en la sig siguie uiente nte fig figura ura:: 1

n

VP  VF(1  i)

 VF  n  1 i   VP 

n

Log(VF Log (VF// VP VP)) Log Lo g(1  i)

El valor de la variable n puede obtenerse al dividir la duración del horizonte temporal porladuracióndelperíododelatasa.

Valo alorr Pre Presen sente te a Int Interé eréss Com Compue puesto sto

VF=VP(1+i)n

VF

I VP

VP

0

VP=VF(1+i)-n

n

Fuente:AliagaCarlos Fuen te:AliagaCarlos “Mate “Matemátic máticas as Fina Financie ncieras ras Un enfoq enfoque ue práct práctico” ico”

Delafórmulasedespeja:

VP  VF(1  i)n 26




La fórmula calcula el valor presente cuando el principal y la tasa efectiva no varían durant dur ante e el hor horizo izonte nte tem tempor poral. al.

1.3.1.3 .- El Fac Factor torSim Simple ple de deAct Actual ualiza izació ción n (1+ (1+i) i)-n Al término (1+i)-n se le denomina factor simple de actualización (FSA) a interés compue com puesto sto;; por tan tanto, to, la fór fórmul mula a pue puede de rep repres resent entare are com como: o:

VP  VF * FSAi;i;nn Se le lee: e: el FS FSA A a un una a ta tasa sa de i, du dura rant nte e n pe perí ríod odos os,, tr tran ansf sfor orma ma un va valo lorr fu futu turo ro VF en en un valo va lorr pr pres esen ente te VP VP.. el FS FSA A es el va valo lorr pr pres esen ente te co comp mpue uest sto, o, a un una a ta tasa sa pe peri riód ódic ica a i de un capital de 1 um, ubicado temporalmente n períodos en el futuro. Su función es traer al presen pre sente te cua cualqu lquier ier imp import orte e del fut futuro uro o lle llevar var al pas pasado ado cua cualqu lquier ier imp import orte e del pre presen sente. te. Ejempl Eje mplo o 1: Calcular el monto acumulado al cabo de 4 años, a partir de un capital inicial de 10 000um,aunaTEAde18%

VF  10 000 00((1  0,18 18)) 4  19 38 387 7,7 ,78 8

Ejemplo Ejempl o 2: Calcular el monto que produjo un capital inicial de 10 000um, colocado en un banco durante15días,aunTETde4% VP=10000;i=0,04;n=15/90

VF  10 000(1  0,0 ,04 4)15/90  10 065,58

Ejemplo Ejempl o 3: ¿En cuánto tiempo un capital de 10 000um se habrá convertido en un monto de 10 300um,sidichocapitaloriginalsecolocóenunBancoypercibeunaTEAde8%? S=10300;P=10000;i=0,08;n=?

10 300  Log  10 000    0, 3840748748 n Log((1  0,08) Log


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El va valo lorr in indi dica ca la ca cant ntid idad ad de añ años os de debi bido do a qu que e la ta tasa sa pr prop opor orci cion onad ada a co como mo da dato to es un una a TEA. TE A. La ca cant ntid idad ad de dí días as se ob obtitien ene e al mu multltip iplilica carr n po porr 36 360 0 (q (que uees es el nú núme mero ro de dí días as en un año) y se obtiene como resultado 138 aproximadamente. La cantidad de meses se obtiene al multiplicar n por 12 (número de meses en un año), la cantidad de quincenas se ob obtitien enen en al mu multltip iplilica carr n po porr 24 (n (núm úmer ero o de qu quin ince cena nass en un añ año) o),, y as asíí sucesivamente.

1.4.- Mon 1.4.Monto to con conPri Princi ncipal palCon Consta stante nteyy Tasa asaEfe Efecti ctiva va Vari ariabl ablee Cuando Cua ndo en una ope operac ración ión fin financ ancier iera: a: - El principal permanece invariable durante durante el plazo de la operación; es decir, decir, no no se producen adiciones o deducciones al principal después del depósito o colocación inicial. -La magnitud o los plazos de la tasa de interés efectiva son variables dentro del horizonte temporal. Se produce una variación en la magnitud de la tasa de interés cuando ésta está está sujeta a variaciones; variaciones; por ejemplo, ejemplo, cuando un TEA de 18% cambia a una TEA de19%. Se produce una variación en el el plazo de la tas de de interés cuando las tasas de interés dentro del horizonte temporal se expresan en diferentes unidades de tiemp tie mpo; o; po porr ej ejem empl plo, o, ca camb mbio ioss de deTE TEA A a TE TET T a TE TEM, M, et etcé céte tera ra.. - Elhorizontetemporalsedivideenzsubhorizonteencadaunodeloscualesla tasa tas a de int interé eréss efe efecti ctiva va así com como o su pla plazo, zo,se se man mantien tienen en con consta stante ntes. s. Si: -ik la tas tasa a de int interé eréss vig vigent ente e dur durant ante e el k-é k-ésim simo o sub subhor horizo izonte nte.. -nk elnúmerodeperíodosdelatasenelk-ésimosubhorizonte. Entonces:

VF  VP  (1 (1 i1 )n1 (1 (1  i2 )n2 (1  i3 )n3 ...(1  iz )nz  La expresión es el producto de factores del tipo , donde k toma valores enteros en el interva inte rvalo lo (1;z (1;z), ), y pue puede de rep repres resent entars arse e de la sig siguie uiente nte man manera era :. Po Porr ta tant nto, o, la ex expr pres esió ión n se pu pued ede e re repr pres esen enta tarr as así: í:  z  VF  VP  (1  ik )nk   k 1 

z

 (1  i)

nk

k 1

Ejemplo: Se requiere el monto compuesto que originó un depósito de ahorro de 5 000um, colocado a plazo fijo en el Banco ABC el 2 de julio al 30 de septiembre del mismo año, con co n un una a TE TEA A de 24 24%. %. En es ese e pl plaz azo o la TE TEA A qu que e or orig igin inal alme ment nte e er era a 24 24%, %, ba bajó jó a 22 22% % el 15 dejulioya20%el16deseptiembre 28




H=90días h1=13días 2/7

F1=360días

h2=63días 15/7

TEA1=24%

F2=360días

h3=14días 16/9

TEA2=22%

F3=360días

30/9

TEA3=20%

VF  5 000 (1  0, 0, 24)13 / 360 (1  0, 0, 22)63 / 360 (1 0, 0, 2)14 / 360 

VF  5 000(1 000(1,05091 ,05091067)= 067)=5 5 254,55 2.- EQUIV EQUIVALEN ALENCIA CIADE DE TASAS Generalmente, las tasas de interés vienen expresadas en términos anuales; en la realidad no siempre se presentan así, en la mayoría de veces, la acumulación de los intere int ereses ses al cap capita itall ini inicia ciales les en per períod íodos os más peq pequeñ ueños os (me (meses ses,, trim trimest estres res,, sem semest estres res,, etc.).Es así como surge el concepto de tasas equivalentes, que significa: dos tasas expresadas en distintas unidades de tiempo, son equivalentes cuando aplicadas a un capita cap itall ini inicia ciall dur durant ante e un per períod íodo o pro produc ducen en el mis mismo mo int interé eréss o cap capital ital fin final. al. El pro proced cedimi imient ento o uti utiliz lizado ado es el sig siguie uiente nte::

c(1  i)n  c(1  iequiv)n1 Como se co Como comp mpar aran an do doss mo mont ntos os (S (S)) cu cuyo yo ca capi pita tall es el mi mism smo, o, la ec ecua uaci ción ón se si simp mplilific fica aa lo sigui siguiente: ente:

(1  i)n  (1  iequiv)n1

Donde: Tasa asaefe efecti ctiva va dad dadaa o con conoci ocida da

Número Núme ro de pe perí ríod odos os o ca capi pita taliz lizac acio ione ness en un añ año o co corr rres espo pond ndie ient ntee a la ta tasa sa ef efec ectiv tivaa dada. Tasa efectiva equivalente que se desea conocer Número de períodos o capitalizaciones enunañocorrespondientealatasadeinterésquesedeseaconocer. El nú núme mero ro de pe perio riodo doss (n (n)) se ca calc lcul ula a mu multltip iplilica cand ndo o el titiem empo po en añ años os (N (N)) pa para ra la fr frec ecue uenc ncia ia decapitalizacióndelosinteresesenunaño(m),esdecir:

n=N*m Porloanteriorsededucequecuandoelnúmerodeañosesiguala1,¨n¨esiguala¨m¨


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Ejemplo Ejempl o 1: El Ba Banc nco o AB ABC C co cobr bra a en lo loss pr prés ésta tamo moss pe pers rson onal ales es un una a ta tasa sa ef efec ectitiva va me mens nsua uall de 1. 1.5% 5%.. Se desea calcular la tasa efectiva trimestral que tendría que cobrar el Banco para no afecta afe ctarr a su ren rentab tabili ilidad dad.. i = 1. 1.5% n = N * m =1 =1 * 12 12 = 12 12 iequiv = ? n1 = N * m =1 =1 * 4 = 4 Entonces: (1+0.015)12 = (1+ iequiv)4 iequiv = (1 (1+0 +0.0 .015 15))3 -1 4,5678 678% % trim trimest estral ral iequiv = 4,5 A partir de la fórmula planteada para hallar tasa equivalentes, equivalentes, vemos que también es posi po sibl ble e ha hallllar ar cu cual alqu quie ierr ta tasa sa no nomi mina nall qu que e se de dese see e to toda da ve vezz qu que e i se pu pued ede e re reem empl plaz azar ar porj/m;Osea:

Donde:

 jequiv  n (1  i)   1   m  

m

jequiv = Tasa asanom nomina inall equ equiva ivalen lente te que quese se des desea ea con conoce ocer r m

= Nú Núme mero ro de deca capi pita taliliza zaci cion ones esen en un unañ año, o, y en enes este te ca caso so co coin inci cide de co con nn1

Ejemplo Ejempl o 2: ¿A que tasa nominal capitalizable capitalizable mensualmente equivale equivale una tasa efectiva mensual mensual de 1.5%? j=?, i=1.5% mensual m=12 i=j/m j=i*m=0.015*12=18% O ta tamb mbié ién n se pu pued ede e ca calc lcul ular ar de la si sigu guie ient nte e ma mane nera ra::

(1  0, 015)12  (1 

j 12 ) 12

j=18% capitalizable mensualmente. El concepto de tasa equivalente es sumamente utilizado, sobre todo cuando se trata de encontrarlaTEA 30




Ejemplo3: Si la tasa equivalente mensual (TEM) a partir de una tasa equivalente para créditos hast ha sta a 36 360 0 dí días ases es de de2, 2,5% 5% ¿C ¿Cuá uáll se será rá la ta tasa saef efec ectitiva va qu que e la em empr pres esa a de debe bepa paga garr po porr un sobreg sob regiro iro de 15 día días? s?

i4 d  (1  TEM)f / H  1 i4d  (1  0, 025)15/30  1 i4d  (1, 025)0,50  1 i4d  1,0 ,01 124228  1*10 1*100 i4d  1,2 ,24 4228% Por el sobregiro de 15 días la empresa deberá pagar una tasa de 1,24228%

3.- DESCUENTO COMPUESTO Las operaciones en descuento compuesto se caracterizan porque los intereses, a diferencia de lo que ocurre en descuento simple, a medida que se van generando pasan a formar parte del capital de partida, se van acumulando, y producen a su vez inte in tere rese sess en pe perí ríod odos os si sigu guie ient ntes es.. En de defifini nititiva va,, lo qu que e tie tiene ne lu luga garr es un una a ca capi pita taliliza zaci ción ón periódica de los intereses. De esta forma los intereses generados en cada período se calculan sobre capitales distintos (cada vez mayores ya que incorporan los intereses de perío períodos dos anter anteriores iores). ).

Fuente: http://www. http://www.matematicas-financ matematicas-financieras.com/Capital ieras.com/Capitalizacion-Compuesta izacion-Compuesta-P4.htm -P4.htm

Descuento Racional Compuesto


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El valor nominal de un título-valor está sometido a descuento racional compuesto cuando:  Se ge gene nera ra el de desc scue uent nto o po porr un una a ta tasa sa ve venc ncid ida a de in inte teré réss ef efec ectitivo vo,, o un una a ta tasa sa no nomi mina nall que cap capita italiz liza a cad cada a cie cierto rto per períod íodo o de tie tiempo mpo.. prod oduc uce e má máss de un de desc scue uent nto o du dura rant nte e el pl plaz azo o de dell de desc scue uent nto, o, au aun n cu cuan ando do es este te  Se pr plazo sea diferente al plazo de la tasa de interés. Por ejemplo, la tasa de interés puede pue de ser men mensua suall y el pla plazo zo del des descue cuento nto sem semest estral ral..

Descue Des cuento ntocon contas tasaa ¨i¨ con consta stante nte Si se su supo pone ne qu que e du dura rant nte e el pl plaz azo o de dell de desc scue uent nto o co comp mpue uest sto: o:

 1  D  VF  1  n   (1  i)   La tas tasa a de int interé eréss efe efecti ctiva va del des descue cuento nto no suf sufre re var variac iacion iones es  El pl plaz azo o de dela la va vari riab able le n es está tá ex expr pres esad ado o en el mi mism smo o pl plaz azo o de la lava vari riab able le i  Como en una operación de descuento generalmente los datos conocidos son el

valor nominal del título-valor, la tasa de descuento y los períodos de tiempo que faltan fal tan par para a el ven vencim cimien iento to del títu título-v lo-valo alorr, mie mientra ntrass que se des descon conoce oce su res respec pectiv tivo o valor val or pre presen sente; te; pue puede de der deriva ivarse rse una fór fórmul mula a del des descue cuento nto rac racion ional al com compue puesto sto:: Ejempl Eje mplo o 1: Determ Det ermina inarr el des descue cuento nto com compue puesto sto rac racion ional al al 7% de int interé eréss anu anual, al, cap capita italiz lizabl able e trimest trim estral ralmen mente, te, sob sobre re 5,0 5,000u 00um m a pag pagar ar den dentro tro de 5.5 año años. s. VF=5,000;n=(5.5*4)=22;m=4;d=(0.07/4)=0.0175;DR=?

  1 D  5 000  1 1 586,40um 22  (1+0,0175)   El des descue cuento ntorac racion ional al com compue puesto stoes es de 1,5 1,586. 86.40u 40um m Ejemplo Ejempl o 2: Una Un a le letr tra a de ca camb mbio io qu que e titien ene e un va valo lorr no nomi mina nall de 5 00 000 0 um se de desc scon ontó tó en el Ba Banc nco o AB ABC, C, cuando faltaban 90 días para su vencimiento. Se requiere conocer el importe del descuento racional compuesto que efectuó el Banco que aplicó como tasa de descuento unaTEMde1,5% VF= VF = 5 00 000; 0; i =0 =0,0 ,015 15 y n = 90 90/3 /30, 0, pu pued ede e ob obte tene ners rse e el de desc scue uent nto o ra raci cion onal al co comp mpue uest sto: o: 32




D  5 000 1  (1  0, 015)90/30   218, 415 Observación A partir partir del valor nominal de un título-valor o monto VF, VF, puede llegar a un valor presente VP y viceversa

4.- DESCU DESCUENT ENTO O BANCA BANCARIO RIO COMPU COMPUEST ESTO O Descuento Descue nto con contas tasaa ¨d¨ efe efecti ctiva va con consta stante nte El valor nominal de un título-valor está sometido a descuento bancario compuesto cuando: Se ge gene nera ra el de desc scue uent nto o po porr un una a ta tasa sa an antic ticip ipad ada a ef efec ectitiva va d e o un una a ta tasa sa an antic ticip ipad ad nomina nom inall dn que cap capital italiza izacad cada a cie cierto rto per períod íodo o de tie tiempo mpo..

Se pr prod oduc uce e má máss de un de desc scue uent nto o du dura rant nte e el pl plaz azo o de dell de desc scue uent nto o au aun n cu cuan ando do es esta ta se sea a

una tasa diferente diferente al de la tasa anticipada. Por ejemplo, la tasa tasa anticipada efectiva pued pu ede e se serr me mens nsua uall y el pl plaz azo o de de desc scue uent nto o se seme mest stra ral.l.

D  VF 1  (1  de )n  Fórmulas Fórmu las aplic aplicables ablesal al descu descuento ento banca bancario rio compu compuesto esto

D VF  1  (1  de )n 1/ n

D   de  1   1   VF  

D   Log1   VF   n Log 1  de  Universidad Peruana Los Andes

33



Ejemplo: Una letra que tiene un valor nominal de 5 000um fue descontada en el Banco ABC cuando faltaban 90 días para su vencimiento. Se requiere conocer el importe del descuento bancario compuesto que efectuó el Banco ABC, al aplicar como tasa de descue des cuento nto una tas tasa a ant antici icipad pada a efe efecti ctiva va de 1,5 1,5% % men mensua suall

D  5 000 1  (1  0, 0, 015)90/30   221, 64 Actividad 3.1 1. El par partic ticipa ipante nte des desarr arroll ollará ará el tem tema: a: Des Descue cuento nto com comerc ercial ial suc sucesi esivo. vo. 2.

Resolver Reso lver los sigui siguientes entes probl problemas: emas: ¿Cuáleslatasadedescuentocomercialtotalsiunatiendaconcedesobreel prec pr ecio io de ve vent nta a de su me merc rcad ader ería ía un una a re reba baja ja de 10 10%+ %+8% 8%+5 +5%? %? Por ani aniver versar sario, io, los art artícu ículos los tien tienen en un des descue cuento nto de 20% 20%+15 +15%+5 %+5% % sob sobre re los prec pr ecio ioss de ve vent nta a de su suss pr prod oduc ucto tos. s. Si Ud Ud.. re real aliz iza a un una a co comp mpra ra de 32 320u 0um. m. a.- ¿C a.¿Cuá uáll se será rá el de desc scue uent nto o to tota tall en um um? ? b.-- ¿C b. ¿Cuá uáll es la ta tasa sa de de desc scue uent nto o ac acum umul ulad ada? a?

Resumen Mediante el interés compuesto, el interés generado de un capital se adiciona al mismo, mis mo, par para a gen genera erarr un nue nuevo vo int interé eréss dur durant ante e el hor horizo izonte nte de tie tiempo mpo.. Se pu pued ede e in indi dica carr qu que e el in inte teré réss co comp mpue uest sto o es la su suce cesi sión ón de op oper erac acio ione ness de in inte teré réss simple,enlaqueelmontoeselnuevocapitalparaelsiguientecapital. En los casos de capitalización compuesta se debe tener presente la tasa utilizada, la que puede ser nominal o efectiva. Al ser efectiva, el plazo de capitalización, la tasa tas a y los per period iodos os cap capita italiz lizado adoss deb deben en exp expres resars arse e en la mis misma ma uni unidad dad de tie tiempo mpo.. Las ope operac racion iones es de des descue cuento nto con consis siste te en ant antici icipar par los int intere ereses ses por el tie tiempo mpo que falta fal ta has hasta ta el ven vencim cimien iento to de la obl obliga igació ción. n. El descuento racional y el bancario producen resultados distintos, sin embargo el interé int eréss y el des descue cuento nto rac racion ional al pro produc ducen en res result ultado adoss idé idénti nticos cos..

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Bibliografía recomendada

Aliaga Valdez Valdez Carlos, Carlos Aliaga Calderón Calderón Matemáticas Financieras Un enfoque práctico. práct ico. Colom Colombia: bia: Prent Prentice ice Hall, primera primera edición, edición, 2002. Ayres Jr Frank, Matemáticas Financieras. Mexico: Mc Graw Hill, 1998. Montoya Williams Héctor. Héctor. Matemáticas financieras y Actuariales por computadora, computadora, Perú: Pacíf Pacífico ico editor editores, es, 2005. 2005.


Interéscompuesto-UNIDADNo.3 Nombre______________________________________ Nombre________________________ ____________________________ ___________________ _____ Apellidos_______________________ Apellidos_________ _____________________Fecha _______Fecha _____________ ____________________ _______ Ciudad ______________ ____________________________ _________________Semestre_______ ___Semestre__________________ ___________ 1.-Calcular

el monto a pagar dentro de dieciocho meses por un préstamo bancario de 30,000 30, 000um, um, si dev deveng enga a el 22% nom nomina inall con concap capita italiz lizaci ación ón trim trimest estral ral..

2.-D -Dan anie iell de dese sea a vi viaj ajar ar al ex extra tranj njer ero o de dent ntro ro de 18 me mese sess en un to tour ur cu cuyo yo co cost sto o es 10 10,0 ,000 00um um..

Quiere saber cuánto debe depositar hoy para acumular esa cantidad, si el dinero depositadoaplazofijoenelBancoganael12%efectivoanual. 3.-Si recibo 80,000um dentro de 5 meses y otro capital de

45,000um dentro de 8 meses. Ambos lo invierto al 15% anual. ¿Qué monto tendré dentro de 1 año, aplicando capitalización compuesta? 4.-Tenemos una obligación por 12,000um, a ser liquidado dentro de 10 años. ¿Cuánto invertiremoshoyal9%anual,conelobjetodepodercumplirconelpagodeladeuda? 5.-Una empresa en proceso de liquidación, tiene en activos obligaciones a 4 años por 42,000um, devengan el 12% capitalizando anualmente. Calcular el valor actual al 15%, con capit capitaliza alización ción anua anual.l. 6.-L -La a em empr pres esa a AB ABC, C, de debe be pa paga garr al Ba Banc nco o do doss de deud udas as de 6 00 000u 0um m y 8 00 000u 0um m respectivamente, la primera con vencimiento a 30 días y la segunda con vencimiento a 60 dí días as.. La em empr pres esa, a, an anal aliz izan ando do su flfluj ujo o de ca caja ja pr proy oyec ecta tado do,, co cono noce ce de la fu futu tura ra fa falta lta de efec ef ectitivo vo pa para ra es esas as fe fech chas as,, po porr lo qu que e ne nego goci cian ando do co con n el Ba Banc nco o se di dififier eren en am ambo boss pa pago goss para el día 120, a una tasa efectiva mensual del 4% ¿Qué importe deberá pagar la empresaeldía120? Universidad Peruana Los Andes

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7.-Hoy día Juan decide pagar su deuda de 10 000um que se venció hace cinco meses y otra de 8 000um que vencerá dentro de tres meses. Las deudas vencidas generan una tasa tas a efe efecti ctiva va men mensua suall del 1,5 1,5% % ¿Qu ¿Qué é imp import orte e deb deberá erá can cancel celar ar Juan? Juan? 8.-S -Sii so soliliccitita amo moss un pag agar aré é al Ba Banc nco o po porr 20, 0,00 000u 0um m a pag aga ar lu lue ego de 90 día ías. s. Si la ta tasa sa de interés vigente en el mercado es del 18% anual y los intereses son cobrados por adelantado adela ntado.. ¿Cuánto le descontarán descontarán por concepto concepto de intereses intereses?, ?, Cuánt Cuánto o recibirá realmente?y¿Cuántopagaráluegodelos90días? 9 .-¿ -¿Cu Cuán ánto to de debe bería ríamo moss ha habe berr so solilici cita tado do pa para ra qu que e de desp spué uéss de dell de desc scue uent nto o correspon corre spondiente dienteobtuv obtuviéram iéramos os los 20,00 20,000um 0um reque requeridos ridos? ? 10.-El Sr. Gastón pide un pagaré al Banco por 100 000um a pagar luego de 90 días. Si la tasa de interés vigente en el mercado es del 14% anual y los intereses se cobran por adelantado. ¿Cuánto le descontarán por concepto de intereses? ¿Cuánto recibirá realmente?

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ANUALIDADES Indicadores de Logro Al terminar el estudio del presente fascículo, el estudiante estará en condición de: * Exp Explic licar ar el sig signif nifica icado do anu anuali alidad dades es * Dis Distin tingui guirr ent entre re las dif difere erente ntess cla clases ses de anu anuali alidad dades. es. * Ca Calc lcul ular ar el mo mont nto o y va valo lorr ac actu tual al de un una a an anua ualilida dad. d. En general se denomina anualidad a un conjunto de pagos iguales realizados a intervalos iguales de tiempo. Se conserva el nombre de anualidad por estar ya muy arraigado en el tema, aunque no siempre se refieran a periodos anuales de pago. Algunos ejemplos de anualidades son: 1. Pag Pagos os men mensua suales les por ren renta ta

Cobro ro qui quince ncenal nal o sem semana anall por sue sueldo ldo 2. Cob 3. Abonos quincenales o mensuales a una cuenta de crédito 4. Pagosanualesdeprimasdepólizasdesegurodevida.

Intervalo o periodo de pago.-Se conoce como intervalo o periodo de pago al tiempo quetranscurreentreunpagoyotro. Plazo de una anu Plazo anualid alidad. ad.-- es el titiem empo po qu que e tr tran ansc scur urre re en entr tre e el in inic icio io de dell pr prim imer er pa pago go y el final fin al o ult ultimo imo.. Renta.- eselnombrequesedaalpagoperiódicoquesehace. Tam ambi bién én ha hayy oc ocas asio ione ness en qu que e se ha habl bla a de an anua ualid lidad ades es qu que e no titien enen en pa pago goss ig igua uale les, s, o no se realizan todos los pagos a intervalos iguales. Estos casos se manejan de forma especial

1.- CLA CLASIF SIFICA ICACIÓ CIÓN N DE LASANUAL LASANUALIDA IDADES DES:: Anualid Anu alidad ad cie cierta rta..- Sus Susfec fechas hasson sonfija fijass y se est estipu ipulan lan de ant antema emano. no. Ejemplo: Al realizar una compra a crédito se fija tanto la fecha en que se debe hacer el primer pago, como la fecha para efectuar el último. De acuerdo a su duración pueden ser clasificadas en temporales y perpetuas. Temporales son aquellas cuyo horizonte de tiempo es un plazo determinado, mientras que en las perpetuas no están definidas y tiende tie nden n al inf infini inito. to. Universidad Peruana Los Andes

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Anualidad conti Anualidad contingent ngente.e.- La fe fech cha a de dell pr prim imer er pa pago go,, la fe fech cha a de dell úl últitimo mo pa pago go,, o am amba bas, s, no se fifija jan n de an ante tema mano no;; de depe pend nden en de al algú gún n he hech cho o qu que e se sa sabe be qu que e oc ocur urri rirá rá,, pe pero ro no se sa sabe be cuan cu ando do.. Un ca caso so co comú mún n de es este te tip tipo o de an anua ualid lidad ad so son n la lass re rent ntas as vi vita talilici cias as qu que e se ot otor orga gan na un cón ónyyug uge e tr tras as la mue uert rte e de dell otr tro o. El in inic icio io de la re rent nta a se da al mo mori rirr el có cóny nyug uge e y se sab abe e que qu e es este te mo mori rirá rá,, pe pero ro no se sa sabe be cu cuan ando do.. Pu Pued eden en di divi vidi dirs rse e en vi vita talilici cias as y te temp mpor oral ales es.. La Lass vitalicias son aquellas aquellas cuyo horizonte de tiempo tiempo depende de la vida del rentista. En los temporales, el horizonte de tiempo se termina luego de haberse realizado una cierta cantidaddeflujos,aúnqueelrentistasigaenvida. Finalm Fina lmen ente te,, ca cabe be me menc ncio iona narr qu que, e, en ge gene nera ral,l, la lass an anua ualid lidad ades es pu pued eden en se serr, a su ve vezz de tr tres es tipos: Anua Anualidad lidad simpl simple.e.- Cua Cuando ndo el per period iodo o de pag pago o coi coinci ncide de con conel el de cap capita italiz lizaci ación ón

de los int intere ereses ses.. Anualidades generales.- Cuandoelperiododelarentanocoincideconel

periodo period o de capit capitaliza alización. ción. Anualidades impropias.- Son Sonanu anuali alidad dades es cuy cuyas as ren rentas tas no son sonigu iguale ales. s.

Anualidad vencida.- También se le conoce como anualidad ordinaria y, como su primer nombre lo indica, se trata de casos en los que los pagos se efectúan a su vencimiento, es deci de cirr, al fifina nall de ca cada da pe perio riodo do.. Se re repr pres esen enta ta as así: í: R

R

R

esta ta lo loss pa pago goss se ha hace cen n al pr prin inci cipi pio o de dell pe peri riod odo, o, po porr ej ejem empl plo o el Anualidad antic Anualidad anticipada ipada..- En es pago mensual del arriendo de una casa, ya que primero se paga y l uego se habita en el inmueble. R

38

R

R




Anualidad difer Anualidad diferida.ida.- Cu Cuan ando do ac acre reed edor or y de deud udor or,, de desp spué uéss de ha habe berr fij fijad ado o lo loss pe peri riod odos os en los que se efectuará el pago de la anualidad, acuerdan la exoneración del pago de las rentas ren tas dur durant ante e un det determ ermina inado do núm número ero de ven vencim cimien ientos tos

VP

1

2

R

R

R

4

5

6

3

R

…………

n

Anualidades Perpetuas Una anualidad que tiene infinito número de pagos, se denomina Anualidad infinita o perpetua, en realidad, las anualidades infinitas no existen, porque en este mundo todo tienefin,pero,sesuponequeesinfinitacuandoelnúmerodepagosesmuygrande. Este titipo Este po de an anua ualilida dade dess se pr pres esen enta ta,, cu cuan ando do se co colo loca ca un ca capi pita tall y ún únic icam amen ente te se re retir tiran an los intere intereses. ses. La anu anuali alidad dad per perpet petua ua se rep repres resent enta: a: R

R

R

?

VP

Obviamente, solo existe valor presente que viene a ser finito, porque el valor final será infinito VP = Lim n-- R (1- (1+i)-n)/i) VP = R Lim n-- 

Fórmulas para calcular el monto y valor actual de anualidades simples, ciertas, vencidas: Monto o Valor Futuro

Valor Presente

 1  i n  1   VF  R    i  

 1  1  i  n   VP  R    i  


39



Ejempl Eje mplo o 1: Que ca Que cant ntid idad ad se ac acum umul ular aría ía en un se seme mest stre re si se de depo posi sita tara ran n 10 100 0 00 000 0 um um.. al fifina naliliza zarr ca cada da mes en una cue cuenta nta de inv invers ersion iones es que rin rinde de 36% anu anual al con conver vertib tible le men mensua sualme lmente nte.. En un di diag agra rama ma de ho hori rizo zont nte e de tie tiemp mpo o lo an ante terio riorr qu qued edar aría ía de la si sigu guie ient nte e ma mane nera ra::

100 000

100 10 0 00 000 0

100 000

100 10 0 00 000 0

100 10 0 00 000 0

100 10 0 00 000 0

Al ser una tasa anual convertible mensualmente tenemos: =0,03i=0,03 n=6 Comoloquesetrataesdeconocerloqueseacumulaenunlapsodetiempo (enestecaso 6 me mese sess y en lo qu que e ex exis iste te un una a ca cant ntid idad ad co cons nsta tant nte e “a “anu nual alid idad ad”” a ab abon onar arse se a la op oper erac ació ión) n) por lo tanto estamos hablando de conocer un monto y en consecuencia la fórmula que utiliz uti lizare aremos mos es :

 1  in  1  VF  R    i   6  1  0, 03   1    V F   100 000   0,03  

VF  646 841 Lo an ante terio riorr, ta tamb mbié ién n se pu pudo do ha habe berr re resu suel elto to po porr me medi dio o de la fó fórm rmul ula a de in inte teré réss co comp mpue uest sto o donde dond e tenem tenemos: os:

M  c(1  i)

n

40




Observando, el diagrama de tiempo y valor de la parte superior podemos deducir que los primeros 100 000um ganan interés por 5 meses, los siguientes por 4,3,2,1 y los últimos 100000um nogananinteréssinoquesólosesumanalmontoporlocualpodemosdecir: Una manera más de realizar lo anterior, seria mediante la fórmula del interés compuesto llllev evan ando do el in inte teré réss ac acum umul ulad ado o en ca cada da se seme mest stre re má máss el de depó pósi sito to (1 (100 00 00 000) 0) qu que e se ha hace cen n al final fin al de cad cada a sem semest estre: re:

Tiempo

Cantidad

Final 1er mes

Monto

100 000,00

100 000

Final 2do mes

100 000 000,00 ,00(1+ (1+0,0 0,03) 3)1  100 000

203 000

Final 3er mes

203 000, 000,00( 00(1+0 1+0,03) ,03)1  100 000

309 090

Final 4to mes

309 090 090,00 ,00(1 (1+0, +0,03 03))1  100 000

418 362,70

Final 5to mes

418 362, 362,70(1 70(1+0, +0,03) 03)1  100 000

530 913,58

Final 6to mes

530 913, 913,58(1 58(1+0, +0,03) 03)1  100 000

646 840,98

Ejempl Eje mplo o 2: Cual es el valor actual de una renta de 450um depositados al final de cada uno de 7 trime tri mest stre ress si la ta tasa sa de in inte teré réss es de dell 9% tri trime mest stra ral.l. Debemos de entender como valor actual la cantidad de dinero que a una tasa del 9% trime tri mest stra rall no noss pe perm rmititie iera ra ob obte tene nerr 45 450u 0um m ca cada da tr trim imes estre tre.. O se sea a qu que e si su suma mamo moss lo loss 45 450 0 de cada trimestre obtenemos 3 150 y lo que estamos buscando es una cantidad menor que mas los inte interes reses es nos per permit mita a obt obtene enerr est estos os 450 por trim trimest estre. re.

0

1

2

3

4

5

0

450

450

450

450

450


6

7

450

450

41



Si observamos la grafica lo que estamos buscando es la cantidad que en el tiempo cero a una un a ta tasa sa de dell 9% tri trime mest stra rall no noss pe perm rmita ita ob obte tene nerr 45 450 0 po porr tr trim imes estre tre.. Visto Vi sto lo ant anteri erior or,, uti utiliz lizamo amoss la fór fórmul mula a del val valor or act actual ual de una anu anuali alidad dad y ten tenemo emos: s: Datos: VP=?,R=450,i=0.09,n=7 Lo cu cual al no noss da da45 450 0 (5 (5.0 .032 3295 9528 284) 4) = 2 26 264, 4,82 82 qu que e es el va valo lorr qu que e es esta tamo moss bu busc scan ando do o se sea a la respue res puesta sta a est este e eje ejerci rcicio cio.. Utiliz Uti lizand ando o la for formul mula a del int interé eréss com compue puesto sto par para a cal calcul cular ar un cap capita itall o val valor or act actual ual ten tenemo emos: s:

M C (1  i)n y sus sustitu tituyen yendo do par para a cad cada a trim trimest estre re ten tenemo emoss :

Fórmula

VP 

450 (1  0,09)1

412.84

VP 

450 (1  0,09)2

378.76

VP 

450 (1  0,09)3

347.48

VP 

450 (1  0,09)4

318.79

VP 

450 (1  0,09)5

292.47

VP 

450 (1  0,09)6

268.32

VP 

450 (1  0,09)7

246.16

Total

42

Capital

2 264.82




Ejemplo3: Juan Pé Juan Pére rezz de depo posi sita ta 10 100 0 um um.. Al me mess de ha habe berr na naci cido do su hi hijo jo.. Co Cont ntin inua ua ha haci cien endo do de depó pósi sito toss mensuales por esa cantidad hasta que el hijo cumple 18 años de edad para, en ese día, entregarle lo acumulado como un apoyo para sus estudios. Si durante los primeros seis años de vida del hijo la cuenta pagó 36% anual convertible mensualmente, y durante los doce do ce añ años os re rest stan ante tess pa pagó gó 2% me mens nsua ual.l. ¿C ¿Cuá uánt nto o re reci cibi bió ó el hi hijo jo a lo loss 18 añ años os? ? Para resolverlo, podemos dividirlo en tres partes dado que tenemos que durante los primeros seis años se pago una tasa del 36% anual y una vez determinado el monto correspondiente a este tiempo podemos calcular los intereses ganados por este monto durante los siguientes 12 años, después calculamos el monto correspondiente a 12 años conunatasadel2%mensual. Datos: R=100;n=6(12)=72;i=36/100/12=0.03 72  1  0, 03   1   VF   100   0,03  

VF  100 100(246 (246,667242 ,6672422) 2) VF  24 66 666, 6,72 72 Que es el mo Que mont nto o co corr rres espo pond ndie ient nte e a 10 100u 0um m de depo posi sita tado doss me mens nsua ualm lmen ente te a un una a ta tasa sa de dell 36 36% % anual convertible mensualmente mensualmente durante 6 años. A continuación calculamos calculamos los intereses ganadosporestecapitaldurante12añosaunatasadel2%mensualytenemos:

VF  C(1  i)n M  24 666 66,7 ,72( 2(1+ 1+0, 0,02 02))72  42 427 7 10 106, 6,5 52


43



Por ul Por ultitimo mo ca calc lcul ulam amos os el mo mont nto o ac acum umul ulad ado o de un una a an anua ualilida dad d de 10 100u 0um m a un una a ta tasa sa de dell 2% mensualdurante12años(12*12=144=n)ytenemos:

 1  0, 02 144  1   VF  R    0,02   VF  100 (815 (815,75444 ,754444) 4) VF  8157 81575 5,4 ,44 4 Sumandoloacumuladoporlaprimerapartetenemos427106,52+81575,44=508681,96 queserialacantidadquerecibiráelhijoalcumplirlos18años.

Ejempl Eje mplo o 4: ¿Qué es mas conveniente para comprar un automóvil? a) Pagar 26 000um de contado o, b) 13 000um 000um de cuota cuota inicial y 1 300um al final de cada uno de los 12 meses siguientes, si el interés se calcula a razón del 42% convertible mensualmente. Para re Para reso solv lver er es este te pr prob oble lema ma de debe bemo moss ve verr el va valo lorr ac actu tual al de la cu cuot ota a in inic icia iall y lo loss 12 ab abon onos os mensualesaesatasadeinterésycompararloscontraelpagodecontado. Datos: R=1300;n=12;i=42/100/12=0.035 Utiliz Uti lizand ando o la fór fórmul mula a del val valor or act actual ual en anu anuali alidad dades es ten tenemo emos: s:

 1  1  in   VP  R    i   Lo cual nos da 12 562,34um, si a esto sumamos la cuota inicial 13 000um tenemos 25 562,34 que es menor que el pago de contado y por lo tanto es mas conveniente esta opción.

44




Fórmulas para calcular el monto y valor actual de anualidades anticipadas o adelantadas: Valor Futuro o Monto

Valor Presente

 (1  i)(n 1)  (1  i)  VF  R   i  

 (1  i)  (1  i)(n1)  VP  R   i  

Ejemplo1: Una em Una empr pres esa a titien ene e en su ca cart rter era a de ac actitivo voss 10 le letr tras as de ca camb mbio io de 20 200u 0um m ca cada da un uno o y co con n vencimientos mensuales consecutivos. La primera de ellas vence dentro de un mes. La empresa necesita liquidez y planea venderlas a un banco, el cual ha aceptado la trans tra nsac acci ción ón co cons nsid ider eran ando do un una a ta tasa sa de in inte teré réss de re refe fere renc ncia ia de dell 24 24% % an anua uall (2 (2% % me mens nsua ual). l). ¿Que cantidad recibirá la empresa si se realiza la operación? En otras palabras, ¿cuál es el val valor or pre presen sente te de est estos os títu títulos los-va -valor lores? es? Datos: R=200,i=0.02,n=10

R

0,01*1000 000  94 635,72 11 (1, 01 01))  (1,0 ,01 1)

Ejemplo2: Una empresa tiene una deuda deuda de 1 000 000um a pagar pagar en un única exhibición dentro dentro de 10mesesydeseapagaren10pagosmensualesigualesafindemes.¿Cuáleselvalordel pagomensualsilatasadeinterésmensualesdel1%(12%anual)? Datos: Valorfuturo=1000000;i=0.01,n=10

  0,008     1,008      39 781,39 R  1 25 0 0 00    1-(1,008)-36      Universidad Peruana Los Andes

45



Fórmul Fór mulas as par paraa cal calcul cular ar el mon monto to y val valor or act actual ual de anu anuali alidad dades es per perpet petuas uas:: Valor Presente Constante

VP 

R i

VP 

R ig

Con Crecimiento

Constante adelantada

VP  R 

R i

Ejempl Eje mplo o 1: UnapersonaseganaelpremiomayordelaTinka(50millonesdeum),abrehoyunacuenta de Ah Ahor orro ro en un una a en entitida dad d fifina nanc ncie iera ra y de deci cide de re retitira rarr so sola lame ment nte e lo loss in inte tere rese sess mens me nsua ualm lmen ente te du dura rant nte e to todo do el titiem empo po qu que e vi viva va.. Si el en ente te fifina nanc ncie iero ro pa paga ga al 12 12% % an anua uall en este es te tip tipo o de op oper erac acio ione nes, s, se de dese sea a sa sabe berr ¿C ¿Cuá uánt nto o re retir tira a al fifina nall de ca cada da me mes? s? Datos:

VP= VP = 50 00 000 0 00 000, 0,00 00;; i= 0. 0.12 12/1 /12 2 =0 =0.0 .01; 1; R= R=? ? Como

:

Entonces: Sustitu Sus tituyen yendo do los dat datos, os,se se obt obtien iene: e:

La persona retira mensualmente quinientos mil um por concepto de interés, dejando el capitaldepositadomesamesdurantetodoeltiempoqueviva.

Demuestre Demue stre : * Investigue sobre anualidades generales. Concepto, Monto y valor presente, rentas y anua an ualilida dade dess cu cuyo yoss im impo port rtes es de re rent ntas as,, pl plaz azos os de re rent nta a y de ta tasa sa so son n variables.Ejemplos. 46




Actividad 4.1

 1  in1  1   1  in  1    1  1  i  1) Demuestre :      i i     2) Investigue sobre anualidades generales. Concepto, Monto y valor presente, rentas y anualidades cuyos importes de rentas, plazos de renta y de tasa son variables.Ejemplos.

Resumen Se denomina anualidad anualidad a un conjunto de pago pagoss igual iguales es realiz realizados ados a interv intervalos alos igua ig uale less de tie tiemp mpo. o. Se co cons nser erva va el no nomb mbre re de an anua ualilida dad d po porr es esta tarr ya mu muyy ar arra raig igad ado o en el te tema ma,, au aunq nque ue no si siem empr pre e se re refie fiera ran n a pe peri riod odos os an anua uale less de pa pago go.. En ge gene nera ral,l, la lass an anua ualilida dade dess pu pued eden en se serr, a su ve vezz de tr tres es tip tipos os::  Anual Anualidad idad simpl simple.e.- Cuandoelperiododepagocoincideconelde

capitaliza capit alización ción de los intere intereses. ses.  Anualidades generales.- Cuando el periodo de la renta no coincide con el

periodo perio do de capit capitaliza alización. ción.  Anualidades impropias.- Son Sonanu anuali alidad dades es cuy cuyas as ren rentas tas no son sonigu iguale aless


Aliaga Valdez Valdez Carlos, Carlos Aliaga Calderón Matemáticas Financieras Financieras Un enfoque enfoque práctico. práct ico. Colom Colombia: bia: Prent Prentice ice Hall, primera primera edición, edición, 2002. Ayres Jr Frank, Matemáticas Financieras. Mexico: Mc Graw Hill, 1998. Montoya Williams Héctor. Héctor. Matemáticas financieras y Actuariales por computadora, computadora, Perú: Pacíf Pacífico ico edito editores, res, 2005. 2005.


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Anualidades - UNIDAD No. 4 Nombre____________________________________ Nombre______________________ ____________________________ _____________________ _______ Apellidos________________________ Apellidos__________ ____________________Fecha ______Fecha _____________ ____________________ _______ Ciudad ____________ __________________________ ___________________Semestre____ _____Semestre__________________ ______________ 1. ¿Qué cantidad de dinero tendré que depositar hoy día en un banco para poder disponer de 500um al final de cada mes durante tres años, si el Banco paga un 6% anuall capit anua capitaliza alizable ble mens mensualme ualmente nte en mone moneda da naci nacional? onal? 2. Una empresa textil reserva 15 000um al final de cada mes durante tres años en un fondo que gana 12% de interés compuesto mensualmente. ¿Cuál será el valor del fondo del tercer año, y cuánto será el monto 2,5 años después de hacer el último depósito? 3. ¿Q ¿Qué ué ca cant ntid idad ad de di dine nero ro te tend ndré ré qu que e in inve verti rtirr en un una a fin finan anci cier era, a, pa para ra ob obte tene nerr un pa pago go de 3 500um al final de cada año durante cuatro años, si la financiera paga el 9% anuall capit anua capitaliza alizable ble mens mensualme ualmente? nte? 4. El señor Perales reserva 15 000um al principio de cada año, durante cinco años, para crear un fondo en caso de futura expansión. Si el fondo gana el 8% efectivo anualm anu alment ente. e. ¿Cu ¿Cuál ál ser será á el mon monto to acu acumul mulado ado al tér términ mino o del qui quinto nto año año? ? 5. Un padre decide construir su casa cuando su hijo cumpla 25 años. Para ello decide ahor ah orra rarr en un una a Ca Caja ja deAhor deAhorro ros, s, ha haci cien endo do el pr prim imer er de depó pósi sito to el dí día a de su na naci cimi mien ento to y el úl últi timo mo de depó póssitito o lo har ará á cu cuan ando do su hijijo o te teng nga a 20 añ años os y me medi dio o. El ah aho orr rro o ser erá á de 350um cada seis seis meses y será depositado en una una cuenta que le paga una TEA del 10%. 10 %. ¿C ¿Cuá uánt nto o te tend ndrá rá di disp spon onib ible le su hi hijo jo a lo loss 25 añ años os? ? 6. Pedro tiene que pagar cinco letras, al comienzo de cada mes, por un importe de 500um cada una, pactándose una tasa del 3% mensual. También posee en otro Banco siete letras con vencimiento cada 30 días de 200um cada una a una tasa de interés del 2.5% mensual las cuales se empezarán a pagar al final de este mes. Si Pedro quisiera pagar todas sus deudas al final del quinto mes ¿Cuánto tendría que desembolsar? 7. Ho Hoyy se pr prop opon one e ca canc ncel elar ar un una a de deud uda a de 4 00 000u 0um m qu que e ve venc nce e de dent ntro ro de 45 dí días as po porr un pago de 3 800um 800um ¿es conveniente conveniente para el acreedor acreedor esta propuesta si si su costo de oportu opo rtunid nidad ad es de 5% efe efecti ctivo vo men mensua sual? l? 48




8. Tiendas Efe, por campaña navideña ofrece a la venta televisores, en las siguientes condiciones: Modelo

Contado

4 Cuotas

6 Cuotas

SR14

460um

135um

92um

¿Cuál es la tasa de interés de las dos opciones de crédito, dado que la compra va a efectuarse a plazos y que las cuotas son mensuales, y la primera corresponde a la cuota inicia inicial? l? 9. Qu Que e es má máss co conv nven enie ient nte e pa para ra co comp mpra rarr un au auto tomó móvi vil:l: a) Pa Paga garr 26 26,0 ,000 00um um de co cont ntad ado oo b) 13 13,0 ,000 00um um de cu cuot ota a in inic icia iall y 13 1300 00um um al fifina nall de ca cada da un uno o de lo loss 12 me mese sess si sigu guie ient ntes es,, si el int interé eréss se cal calcul cula a a raz razón ón del 42% con conver vertib tible le men mensua sualme lmente nte.. 10.. En 10 Encu cuén éntr tres ese e el im impo port rte e pa paga gado do,, en va valo lorr ac actu tual al po porr un eq equi uipo po de có cómp mput uto o po porr el cu cual al se en entr treg ego o un una a cu cuot ota a in inic icia iall de 1 40 400u 0um, m, se hi hici cier eron on 7 pa pago goss me mens nsua uale less ve venc ncid idos os po por r 160um y un último último pago pago al final final del octavo octavo mes por 230um, 230um, si si se cons considera idera un un interés interés del 27% anu anual al con concap capita italiz lizaci ación ón men mensua sual.l.


49



AMORTIZACIONES Indicadores de Logro Al terminar el estudio del presente fascículo, el estudiante estará en condiciones de: * Def Defini inirr fin financ anciera ieramen mente te la amo amortiz rtizaci ación. ón. * Ide Identi ntific ficar ar los ele elemen mentos tos que queinte intervi rviene enen n en una tab tabla la de amo amorti rtizac zación ión * En Ente tend nder er la lass di dive vers rsas as fo form rmas as o si sist stem emas as de am amor ortitiza zaci ción ón de un pr prés ésta tamo mo * For Formul mular ar tab tablas las de ree reembo mbolso lso de pré présta stamos mos con conlos los dis distint tintos os mét método odos. s.

1.- AMORTIZACIÓN.Según Carlos Aliaga en su libro Matemáticas Financieras Un enfoque Práctico lo define: “ Proceso financiero mediante el cual una deuda u obligación y el interés que gene ge nera ra,, se ex extin tingu guen en de ma mane nera ra pr prog ogre resi siva va po porr me medi dio o de pa pago goss pe peri riód ódic icos os o se serv rvic icio ioss parciales, que pueden iniciarse conjuntamente con la percepción de stock de efectivo recibi rec ibido do (flu (flujos jos ant antici icipad pados) os),, al ven vencim cimien iento to de cad cada a per period iodo o de pag pago(f o(fluj lujos os ven vencid cidos) os),, o despué des puéss de cie cierto rto pla plazo zo pac pactad tado o ori origin ginalm alment ente e (flu (flujos jos dif diferi eridos dos)) Gráfic Grá ficame amente nte,, la ope operac ración ión de amo amortiz rtizaci ación ón se pue puede de rep repres resent entar ar med median iante te el siguiente sigui ente diagra diagrama: ma:

R 1 R n-1 n-1

R 2 R n

R 3

R 4

R 5

0 1 2 3 4 …………………………………………

R 6

…………… ….. 5 6 n-1 n

D


51



2.- TABLA ABLADE DEAMORT AMORTIZACIÓ IZACIÓN.N.Conocido como calendario de pagos, en la cual se detalla en forma pormenorizada las fech fe chas as de pa pago go,, va valo lorr de la cu cuot ota a a pa paga garr. En Entre tresu suss el elem emen ento toss se de deta talla llan: n:  Número Número de cuo cuotas tas  Fechadedesembolsoypagodecadacuota  Pl Plaz azo o en dí días as en entre trecu cuot otas as  Cuotaoserviciodeladeuda  Cuota inter interés és  Amortización del principal Saldoinsol insoluto uto  Saldo  Deud Deuda a extin extinguida guida

3.- SISTE SISTEMA MADE DE AMOR AMORTIZAC TIZACIÓN.IÓN.Sistema de amortización

Modalidad

Cuotas uniformes (Francés)

Vencidas en períodos uniformes Anticipadas en periodos uniformes uniformes Vencidas en períodos variables Diferidas

Cuota principal uniforme (Alemán) Cuota interés uniforme (Inglés) Cuotas variables

Ari rittméti ticcamente Geométricamente Suma de dígitos

Valor de actualización constante Flat Per erso sona naliliza zad dos Equ quiv ival alen enci cia a fi fina nanc ncie iera ra

4.- SISTE SISTEMA MADE DE AMOR AMORTIZAC TIZACIÓN IÓN FRANC FRANCÉS.ÉS.Caract Cara cter eriz izad ado o po porr cu cuot otas as de pa pago go co cons nsta tant nte e a lo la larg rgo o de la vi vida da de dell pr prés ésta tamo mo.. Tam ambi bién én cons co nsid ider era a qu que e el titipo po de in inte teré réss es ún únic ico o du dura rant nte e to toda da la op oper erac ació ión. n. El pa pago go de la de deud uda a es en cu cuot otas as co cons nsta tant ntes es o un unififor orme mes. s. La cu cuot ota a a pa paga garr du dura rant nte e

52




los plazos establecidos es constante hasta su liquidación. El interés es al rebatir, es decir, aplicado sobre los saldos existentes de la deuda en un período. Es muy utilizado por los bancos ban cos y tie tienda ndass que venden venden al cré crédit dito o . Son ejemplo ejemploss de este sistema sistema de pag pago o los préstamos personales del sistema bancario, las ventas a crédito de los supermercados, etc. En el sistema francés o de amortización progresiva, la cuota periódica se calcula como una renta constante vencida. De esa cuota se descuentan los los intereses causados causados por la deud de uda a en enes ese e pe peri riod odo o y el elre rest sto, o, es eslo lo qu que e se seam amor ortitiza zade de ca capi pita tal.l. Losmontosdepagoseobtienendelasiguientemanera: Calcul cular ar el int interé eréss nom nomina inall del per period iodo o que hay hayque que amo amortiz rtizar ar.. 1.Cal

TINn 

TIN n

Dete term rmin inar ar el mo mont nto o fij fijo o a am amor ortitiza zarr me medi dian ante te la fó fórm rmul ula a de dell Fa Fact ctor or de Re Recu cupe pera raci ción ón de 2.De Capital

 i 1  i n  FRC  P   n  1  i  1 

Calcul cular ar los sal saldos dos en cad cada a per period iodo, o, res restan tando do la amo amortiz rtizaci ación ón cor corres respon pondie diente nte al cap capita itall 3.Cal meno me noss el sa sald ldo o re real al de dell pr prés ésta tamo mo de ca cada da pe peri riod odo. o.

EJEMPLO: Un préstamo de 100 000um debe ser cancelado por el método de amortización progresiva en 5 cuotas anuales anuales vencidas vencidas al 60% de interés anual. anual. Elabore el cuadro de amort amortizaci ización ón corre correspon spondient diente e. CUADRO DE AMORTIZACION Periodo

Deuda al inicio del periodo

Cuota Periódica Rk

Intereses Ik

Cuota de amortización Ck

Deuda al final del periodo

1

1 0 0 0 0 0 ,0 0

6 6 3 2 5 ,2 7

6 0 0 0 0 ,0 0

6 3 2 5 ,2 7

8 9 1 9 6 ,2 0

2

9 3 6 7 4 ,9 3

6 6 3 2 5 ,2 7

5 6 2 0 4 ,8 4

1 0 1 2 0 ,4 3

8 3 5 5 4 ,2 9

3

8 3 5 5 4 ,2 9

6 6 3 2 5 ,2 7

5 0 1 3 2 ,5 8

1 6 1 9 2 ,6 9

6 7 3 6 1 ,6 0

4

6 7 3 6 1 ,6 0

6 6 3 2 5 ,2 7

3 8 0 1 6 ,9 6

2 5 9 0 8 ,3 1

4 1 4 5 3 ,2 9

5

4 1 4 5 3 ,2 9

6 6 3 2 5 ,2 7

2 4 8 7 1 ,9 8

4 1 4 5 3 ,2 9

0

3 3 1 6 2 6 ,3 5

2 3 1 6 2 6 ,3 1

1 0 0 0 0 0 ,0 0

TOTALES


53



En el cua cuadro dro de amo amortiz rtizaci ación ón se obs observ ervan an las car caract acterí erísti sticas casde de est este e sis sistem tema: a: Cuota perió periódica dica cons constante tante Cuota de amort amortizaci ización ón progre progresiva siva 10 120 120,43 ,43 = 6 325 325,27 ,27*(1 *(1+0, +0,6), 6), ver verifi ifique que las res restan tantes tes.. Intereses decre Intereses decrecient cientes es FÓRMULAS: D = Canti Cantida dad d to toma mada da en pr prés ésta tamo mo o de deud uda a in inic icia ial.l. R = Cuota Cuota pe peri riód ódic ica. a. Se ca calc lcul ula a co como mo un una a re rent nta a ve venc ncid ida a i = Tas asa a de dein inte teré réss de dell pe peri riod odo o

 (1  i)i)n  1 D R  n i ( 1 i )    Ck = cu cuot ota a de am amor ortiz tizac ació ión n de ca capi pita tall de dell pe perí ríod odo o k. Re Rent nta a en pr prog ogre resi sión ón geomét geo métric rica a de raz razón ón (1+ (1+i) i)

Ck  C1(1 i)k 1 Ik = In Inte tere rese sess de dell pe perí ríod odo: o:

Ik  R  Ck Sk = Su Suma ma am amor ortitiza zada da de desp spué uéss de ca canc ncel elar ar k cu cuot otas as S k  C 1  C 2  ...  C k

(1i)1  k    C1   i  

IAk = In Inte tere rese sess pa paga gado doss ha hast sta a el pe perío ríodo do k = = cuotaspagad cuotas pagadas as suma amorti amortizada zada

IA k  K * R  Sk Dk = De Deud uda a pe pend ndie ient nte e de desp spué uéss de deca canc ncel elar ar la cu cuot ota ak =Saldodeladeuda = Valo alorr act actual ual de las n-k cuo cuotas tas pen pendie diente ntess

 (1  i)   1  R     (1  i) i  n k

Dk

54

 D  S

k

n k




EJEMPLO: Elaborar el cronograma de pagos de un préstamo de 100 000 um a una tasa de interés nomina nom inall del 12% anu anual, al, med median iante te 4 pag pagos os trim trimest estral rales es ven vencid cidos os

 Cá Cálc lcul ulo o de la ta tasa sa no nomi mina nall de dell pe peri riod odo o 12%/4=3%=0.03

 Cá Cálc lcul ulo o de dell mo mont nto o fifijo jo de pa pago go tr trim imes estra trall o re rent nta a fij fija: a:  0,03 1  0,03 4   =26902,70 R  100 00 000 0 4  1  0, 03   1   Cál Cálcul culo o de int intere ereses ses,, amo amortiz rtizaci acione ones, s, cap capita itall y sal saldo: do:

Periodo1: Intereses Amortización del capital Saldo Pr Préstamo

: : :

100 000 * 0.03 = 3 000 26 902,70 3 000 = 23 902,70 100 00 000 23 90 902,70 = 76 76 09 097,30

Periodo2: Intereses Amortización del capital Saldo Pr Préstamo

: : :

76 09 097,30 * 0.03 = 2 28 282,92 26 902,70 2 282,92 = 24 619,78 76 09 097,30 24 24 61 619,78= 51 51 47 477,52

Periodo Period o 3: Intereses Amortización del capital Saldo Pr Préstamo

: : :

51 47 477,52 * 0.03 = 1 54 544,33 26 902,70 1 544,33 = 25 358,37 51 47 477,52 25 35 358,37 = 26 2 6 11 119,15

Periodo Period o 4: Intereses Amortización del capital Saldo Pr Préstamo

: : :

26 11 119,15 * 0. 0.03 = 78 783,57 26 902,72 783,57 = 26 119,4 26 11 119,14 26 11 119,14 = 0

TRIMESTRE

0 1 2 3 4 TOT TO TAL

CUOTA

26,902.70 26,902.70 26,902.70 26,902.72 107, 10 7,61 610. 0.82 82


INTERÉS

AMORTIZACIÓN CAPITAL

3,000.00 2,282.92 1,544.33 783.57 7,61 7, 6100.8 .822

23,902.70 24,619.78 25,358.37 26,119.14 100 00,0 ,000 00.0 .000

SALDO DEUDA

100,000.00 76,097.30 51,477.52 26,119.14 0.00

55



SISTEMADEAMORTIZACIÓNALEMÁN.Sistem Sis temaa de pag pago o en cuo cuotas tas dec decrec recien ientes tes En el sistema alemán o de amortización constante, la cuota cuota de de amortización amortización se calcula dividiendo la deuda entre el el número de cuotas. A esa esa cuota se le añaden los intereses intereses causados por la deuda en ese periodo y la suma de los dos es la cuota periódica. Las cuot cu otas as di dism smin inuy uyen en pe perío ríodo do a pe perío ríodo do,, la am amor ortitiza zaci ción ón es co cons nsta tant nte e ha hast sta a la ex extitinc nció ión n de la deud de uda. a. El in inte teré réss co comp mpue uest sto o y un una a pa part rte e de dell pr prin inci cipa pall so son n ab abon onad ados os pe peri riód ódic icam amen ente te.. Pa Para ra la so solu luci ción ón de ca caso soss co con n es este te si sist stem ema a de pa pago gos, s, co cono noci cida da la am amor ortitiza zaci ción ón,, necesariamente operamos con las tablas de amortización. No hay fórmulas para dete de term rmin inar ar la lass cu cuot otas as.. El in inte teré réss ap aplilica cado do a lo loss sa sald ldos os es al re reba batitirr. Lospasosaseguirson: 1. Ha Hallllar ar la cu cuot ota a de am amor ortitiza zaci ción ón de ca capi pita tall ésta és tamo mo Cuota  "n"Prperiódos 2.

Hallllar Ha ar lo loss in inte tere rese sess me medi dian ante te lo loss sa sald ldos os de ca capi pita tall po porr el in inte teré réss de dell pe peri riod odo o INTERÉS A PAGAR= SALDO*FACTOR SALDO*FACTOR DE INTERÉS

Ejemplo Ejempl o 1: Un pr prés ésta tamo mo de 10 100. 0.00 000 0 de debe be se serr ca canc ncel elad ado o po porr el mé méto todo do de am amor ortitiza zaci ción ón co cons nsta tant nte e en 5 cu cuot otas as anual anuales es venci vencida dass al 60 60% % de interé interéss an anua ual.l. El Elab abor ore e el cuadro cuadro de amortización correspondiente.

Periodo

Deuda al inicio del periodo

Intereses Ik

Cuota de amortización C

Deuda al final del periodo

1

100 000,00

80 000,00

60 000,00

20 000,00

80 000,00

2

80 000,00

68 000,00

48 000,00

20 000,00

60 000,00

3

60 000,00

56 000,00

36 000,00

20 000,00

40 000,00

4

40 000,00

44 000,00

24 000,00

20 000,00

20 000,00

5

20 000,00

32 000,00

12 000,00

20 000,00

0

280 000,00

180 000,00

1 0 0 0 0 0 ,0 0

TOTALES 56

Cuota Periódica Rk




En el cua cuadro dro de amo amortiz rtizaci ación ón se obs observ ervan an las car caract acterí erísti sticas casde de est este e sis sistem tema: a: Cuota per Cuota periód iódica ica es var variab iable le y dec decrec recien iente te Cuota de amort amortizaci ización ón cons constante tante 20000=100000/5 El pago de intereses del periodo (I k) está calculado sobre el saldo del préstamo, y es decreciente.

Ejempl Eje mplo o 2: Elaborar el cronograma de pagos de un préstamo de 100 000 um a una tasa de interés nominal nomin al del 12% anu anual, al, med median iante te 4 pag pagos os tri trimes mestra trales les ven vencid cidos os  Hal Hallar lar la cuo cuota ta de amo amorti rtizac zación ión del cap capita ital:l:

100000/4=25000  Cál Cálcul culo o de int interé eréss por per period iodo: o: 100000*0.03=3000 75000*0.03=2250 50000*0.03=1150 25000*0.03=750 TRIMESTRE

0 1 2 3 4 TOTA TO TAL L

CUOTA INTERÉS CAPITAL

100,000.00 25,000.00 25,000.00 25,000.00 25,000.00 100, 10 0,00 000. 0.00 00

3,000.00 2,250.00 1,500.00 750.00 75 7,50 7, 500. 0.00 00

SALDO DEUDA

75,000.00 50,000.00 25,000.00 0.00

SISTEMADEAMORTIZACIÓNAMERICANO.Se cancela sólo intereses en cada periodo pactado, considerando la amortización de la deuda total en el último periodo de pago. Esto implica un periodo de gracia del mismo número de cuotas fijadas menos una que es la última cuota, donde se cancela el capital total tot al del pré présta stamo. mo. En el sistema Americano se crea un fondo de amortización y el préstamo se cancela tota to talm lmen ente te en la fe fech cha a de ve venc ncim imie ient nto, o, co con n lo re reun unid ido o en el fo fond ndo. o. Universidad Peruana Los Andes

57



Como no se amortiza la deuda sino al final, el pago de intereses I es constante, se hace periód per iódica icamen mente te y se cal calcul culan an sob sobre re el tot total al del pré présta stamo. mo. En ca cada da pe perio riodo do se ap apor orta ta un ca cant ntid idad ad co cons nsta tant nte e (la cu cuot ota a pe perió riódi dica ca)) di divi vidi dida da en un una a pa parte rte para pa ra de depo posi sita tarr en el fo fond ndo o y ot otra ra pa para ra ca canc ncel elar ar lo loss in inte tere rese ses. s.

EJEMPLO: Un pr prés ésta tamo mo de 10 100. 0.00 000 0 de debe be se serr ca canc ncel elad ado o en 5 añ años os po porr el si sist stem ema a am amer eric ican ano, o, es de deci cirr, con co n pa pago go de in inte tere rese sess al 60 60% % ef efec ectitivo vo an anua uall y co con n la cr crea eaci ción ón de un fo fond ndo o de am amor ortitiza zaci ción ón para cancelar la deuda a su vencimiento que paga intereses a razón de 30% efectivo anual. anu al. Ela Elabor bore e el cua cuadro dro de amo amortiz rtizaci ación ón cor corres respon pondie diente nte.. Observ Obse rve e qu que e te tene nemo moss do doss ta tasa sas, s, un una a la de dell pr prés ésta tamo mo (t (tas asa a ac actitiva va)) y ot otra ra la de dell fo fond ndo o (t (tas asa a pasiva) En el cuadro de amortización no aparece aparece el saldo de la deuda porque porque se cancela al final. Además, como se cancelan los intereses intereses del del préstamo en cada cada periodo periodo la deuda siempre esconstante,ennuestrocaso100000um. En este caso nos interesa estudiar en detalle el comportamiento del fondo cada periodo. La cu cuot ota a de dell fo fond ndo o (r (r)) se ca calc lcul ula a co como mo un una a re rent nta a ve venc ncid ida a cu cuyo yo va valo lorr fifina nall de debe be se serr la de deud uda a (100 000um 000um))

COMPORTAMIENTO COMPORT AMIENTO DEL FONDO

Intereses (I) Periodo del préstamo

58

Cuota Periódica (R)

Cuota (r) del Fondo

Intereses del Fondo IFk

Saldo en el Fondo

1

60 000,00

71 058,16

11 058,16

0

11 058,16

2

60 000,00

71 058,16

11 058,16

3 317,45

25 433,77

3

60 000,00

71 058,16

11 058,16

7 630,13

44 122,06

4

60 000,00

71 058,16

11 058,16

13 236,62

68 416,84

5

60 000,00

71 058,16

11 058,16

20 525,05

100 000.00

TOTAL: 300 300 00 000, 0,00 00

355 35 5 29 290, 0,75 75

44 709,25




Tot otal al In Inte tere rese sess = 30 3000 00 000, 0,00 00 44 70 709, 9,25 25 = 25 2555 29 290, 0,75 75 (= Int Intere ereses ses pag pagado adoss de la deu deuda da Int Intere ereses sesgan ganado adoss en el fon fondo) do)

Tota otall pag pagado ado= = 71. 71.058 058,16 ,16*5 *5 = 355 355.29 .290,7 0,755 (= Pré Présta stamo mo + Int Intere ereses ses)) FÓRMULAS: D r i n

= Canti Cantida dad d to toma mada da en pr prés ésta tamo mo o de deud uda a in inic icia ial.l. = Cuo Cuota ta de depo posi sita tada daen enel el Fo Fond ndo. o. = Tasade in inte teré réss delFon elFondo do;; = nº de perí río odos

(1  i)i)n  1  D  r   i  R = Cuo Cuota ta pe peri riód ódic ica a de dell pe perí ríod odo o k. I = Inte Intere rese sess de dell pe perí ríod odo; o; i' = tas tasa a de dein inte teré réss de dell pr prés ésta tamo mo

I  D  i´

R  r I

Sk =S =Sum uma a ac acum umul ulad ada a en el Fo Fond ndo o de desp spué uéss de de depo posi sita tarr k cu cuot otas as..

 (1  i)  1  r   i   k

S k

Dk =SumapordepositarenelFondodespuésdecancelarlacuotak = Valo alorr act actual ual de los n-k dep depósi ósitos tos pen pendie diente ntes. s.

 (1  i)   1 D  r     (1  i) i  IFk = In Inte tere rese sess de dell Fo Fond ndo o de dell pe perí ríod odo ok n k

k

n k

 (1  i) 1  1  r   * i  r (1  i) i  



k

IF k

1

k



1

IAk= In Inte tere rese sess ac acum umul ulad ados os en el Fo Fond ndo o ha hast sta a el pe perío ríodo do k.

 (1  i )  1  r    rk i   k

IAk


59



i''=Tasadeinterésalaquerealmentesecancelaelpréstamo.

 (1  i' ' )  1  R    (1  i' ' ) i' '  n

Do

n

Ejemplo: Elaborar el cronograma de pagos de un préstamo de 100 000 um a una tasa de interés nomina nom inall del 12% anu anual, al, med median iante te 4 pag pagos os tri trimes mestra trales les ven vencid cidos os TRIMESTRE

INTERÉS IN

0 1 2 3 4 TOTA TO TAL L

3,000.00 3,000.00 3,000.00 3,000.00 12,0 12 ,000 00.0 .000

CUOTA

3,000.00 3,000.00 3,000.00 103,000.00 112, 11 2,00 000. 0.00 00

SISTEMA SISTE MADE DEAMORT AMORTIZACI IZACIÓN ÓN FLA FLAT T El in inte teré réss ge gene nera rado do en es este te si sist stem ema a de pa pago goss es ca calc lcul ulad ado o ún únic icam amen ente te so sobr bre e el pr prin inci cipa pal,l, el va valo lorr de lo loss in inte tere rese sess es co cons nsta tant nte. e. SiladeudaesPelmontoapagares: S=P+Pin Ylacuotaapagarsedetermina:

P  Pin P 1  in   R n n Ejemplo: Se desea vender al crédito una camioneta cuyo cuyo precio al contado es 20 000 000 um, bajo las sigu si guie ient ntes es co cond ndic icio ione nes: s: Cu Cuot ota a in inic icia iall de 5 00 000 0 um y el sa sald ldo o a pa paga garr en 24 me mens nsua ualilida dade dess igua ig uale less co con n un in inte teré réss de 2% ¿Acuá ¿Acuánt nto o as asce cend nder erá á la lass cu cuot otas as me mens nsua uale less a pa paga gar? r?

R

60

15 00 000 0  15 000 * 0. 0.0 02 * 24  925 24




TRIMESTRE

Principal al inicio

Pago del principal

Pago de interés

1 2 3

15,000.00 14,375.00 13,750.00

625.00 625.00 625.00

300.00 300.00 300.00

925.00 925.00 925.00

14,375.00 13,750.00 13,125.00

23 24 TOTAL

1,250.00 625.00 30,000.00

625.00 625.00 2,500.00

300.00 300.00 1,200.00

925.00 925.00 3,700.00

625.00 0.00 27,500.00

Pago total

Principal al final

Actividad * Investigar Investigar los sistemas de amortización amortización a cuota cuotass variables, variables, valo valorr de actualización actualización constante cons tante y perso personaliz nalizada. ada. Ejemp Ejemplos los * En nue nuestr stro o med medio, io, ¿Que tip tipo o de amo amortiz rtizaci ación ón uti utiliz lizan an las tiendas tiendas com comerc ercial iales es de electrodomésticos? Ejemplo * Las entidades financieras dedicadas dedicadas a las Mypes, ¿Qué tipo de amortización utilizan? Ejemplo

Resumen Amortizar es el proceso por el cual una deuda que devenga intereses, se extingue a través de pag pagos os par parcia ciales les en dif difere erente ntess mom moment entos os del hor horizo izonte nte tem tempor poral al del pré présta stamo. mo. Existe Exi sten n dif difere erente ntess sis sistem temas as de amo amortiz rtizaci ación ón de pré présta stamos mos,, tal tales es com como o el fran francés cés,, ale alemán mán,, americano, flat entre otros. El francés es caracterizado por cuotas de pago constante a lo largo de la vida del préstamo, en el sistema alemán las cuotas disminuyen período a período, la amortización es constante hasta la extinción de la deuda. En el sistema americ ame ricano ano,, se can cancel cela a sól sólo o int intere ereses ses en cad cada a per period iodo o pac pactad tado, o, con consid sidera erando ndo la amortización de la deuda total en el último periodo de pago pago y en el flat el interés generado en est este e sis sistem tema a de pag pagos os es cal calcul culado ado úni únicam cament ente e sob sobre re el pri princi ncipal pal Bibliografía recomendada

Aliaga Valdez Carlos, Carlos Aliaga Calderón Matemáticas Financieras Un enfoque práctico. práct ico. Colom Colombia: bia: Prentice Hall, primera edición, edición, 2002 2002.. Montoya Williams Héctor Héctor.. Matemáticas financieras y Actuariales por por computadora, computadora, Perú: Pacífico Pacíf ico edito editores, res, 2005 2005..


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Amortización - UNIDAD No. 5 Nombre_____________________________________ Nombre_______________________ ____________________________ ____________________ ______ Apellidos______________________ Apellidos________ ______________________Fecha ________Fecha ______________ ____________________ ______ Ciudad ______________ ____________________________ _________________Semestre_______ ___Semestre__________________ ___________ 1) Con tus tusprop propias ias pal palabr abras as des descri cribe be en qué con consis siste te la amor amortiz tizaci ación. ón. 2) Se so solilici cita ta un pr prés ésta tamo mo po porr 50 00 000 0 um a pa paga garr en el tr tran ansc scur urso so de do doss añ años os y me medi dio, o, a tr trav avés és de cu cuot otas as trimestrales. La tasa efectiva trimestral pactada es del 10%. Suponiendo que las cuotas se pagan al vencimiento determinado, se pide elaborar la tabla de amortización correspondiente de acuerdo a lo siguiente: a. Plan Plan de cuot cuotas as decr decreci ecient ente. e. b. Pl Plan an de cu cuot otas as co cons nsta tant ntes es.. 3) Se de dese sea a ad adqu quir irir ir un una a la lava vado dora ra de la ma marc rca a LG LG,, pa para ra lo cu cual al se pi pide den n pr prof ofor orma mass de ve vent nta a de tr tres es ca casa sass comerci come rciale ales. s. Se pid pide e eva evalua luarr que tas tasa a de fin financ anciam iamien iento to es más bar barata ata a.CASACOMERCIAL “EFE” Prec Pr eciode iode co cont ntad ado o co come merc rcia iall : 71 710 0 um Precio cash : 639 um Fin Fi nanciamiento : Cuo uotta ini niccial 220um. 6 cuotas mensual alesde esde 89umc/ umc/u u b. CASACOMERCIA CASACOMERCIAL L “CARS “CARSA” A” Precio cash : 570 um Financiamiento : 2 opciones: Primeraopción Primera opción Cuota Cuo ta ini inicia cial,l, 160 160um um 6cuotasmensualesde94c/u Segunda opción Segundaopción Cuota Cuo ta ini inicia cial,l, 160 160um um 10cuotasmensualesde62c/u c. CASACOMERCIA CASACOMERCIAL L “ELEC “ELECTROLUX TROLUX”” Prec Pr eciode iode co cont ntad ado o co come merc rcia iall : 73 734 4 um Precio cash : 651 um Fin Fi nanciamiento : Cuot ota a inicial 95um. 9 cuotas mensuales de 95um c/u 4) Se otorga un préstamo de 1 000 00 0 000 um para ser cancelado por el e l sistema de amortización progresiva, medi me dian ante te el pa pago go de un una a cu cuot ota a me mens nsua uall du dura rant nte e 12 120 0 me mese ses. s. Si la ta tasa sa de in inte teré réss an anua uall es de 24 24% % an anua uall capitalizable mensualmente, determine: a) b) c) d) e) f) g)

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Cuota peri Cuota periódi ódica. ca. Amortiz Amo rtizaci ación ón cont conteni enida da en la pri primera meracuo cuota. ta. Suma Su ma amo amort rtiz izad ada a al pag pagar ar la cu cuot ota a nú núme mero ro 33. Saldo cu Saldo cuan ando do se ha pa pagad gado o la cu cuotanúme otanúmero ro 57 57.. Inte In tere rese sess de la cu cuot ota a 10 100. 0. Inte In tere rese sess pa pagad gados os has hasta ta la cu cuot ota a 90. Tota otall paga pagado do en int intere ereses ses..




DEPRECIACIÓN En realidad cuando se compra un bien (edificio, máquina, auto, etc.) su uso rinde un servicio, servi cio, servicio servicio éste que que debe ser pagado. pagado. Como Como el bien es de la empresa empresa y no de terc te rcer eras as pe pers rson onas as,, la de depr prec ecia iaci ción ón ha hace ce el pa pape pell de al alqu quililer er qu que e la em empr pres esa a a si mi mism sma. a. El dinero así obtenido se va acumulando para tener medios económicos, a fin de restituir el bien bie n cua cuando ndo que quede de ins inserv ervibl ible. e. No debe confundirse la depreciación con los gastos que se hacen para mantenimiento, pues pu es es esto toss tie tiene nen n po porr fifin n ma mant nten ener er en bu buen en es esta tado do de co cons nser erva vaci ción ón y/ y/o o fu func ncio iona nami mien ento to un bien bie n cap capita ital.l. (Jo (Jorge rge Dia Diass Mos Mosto) to)

Indicadores de Logro Al terminar el estudio del presente fascículo, el estudiante podrá. * Def Defini inirr el con concep cepto to de dep deprec reciac iación ión * Ca Calc lcul ular ar la de depr prec ecia iaci ción ón de lo loss ac actitivo voss en lo loss di dist stin into toss mé méto todo doss * Dif Difere erenci nciar ar la dep deprec reciac iación ióncon contab table le y fis fiscal cal

1.- DEPRE DEPRECIACI CIACIÓN.ÓN.Es la pérdida de valor que sufre un activo físico como consecuencia del uso o del transcurso del tiempo. La mayoría de dichos activos, a excepción los terrenos, t ienen una vida útil durante un periodo finito de tiempo. En el transcurso tr anscurso de tal periodo estos bienes bie nes van vandis dismin minuye uyendo ndo su val valor or.. Es un reconocimiento racional y sistemático del costo de los bienes, distribuido durante su vida útil estimada, con el fin de obtener los recursos necesarios para la reposición de los bienes, de manera que se conserve la capacidad operativa o prod pr oduc uctitiva va de dell bi bien en de ca capi pita tal.l. Su di dist stri ribu buci ción ón de debe be ha hace cers rse e em empl plea eand ndo o lo loss cr crite iterio rioss de titiem empo po y pr prod oduc uctitivi vida dad, d, me medi dian ante te un uno o de lo loss si sigu guie ient ntes es mé méto todo dos: s: lín línea ea re rect cta, a, su suma ma de los dígitos de los años, saldos decrecientes, número de unidades producidas o núme nú mero ro de ho hora rass de fu func ncio iona nami mien ento to,, o cu cual alqu quie ierr ot otro ro de re reco cono noci cido do va valo lorr té técn cnic ico, o, qu que e debe de be re reve vela lars rse e en la lass no nota tass a lo loss es esta tado doss co cont ntab able les. s.


63



2.- OBJ OBJETI ETIVOS VOSDE DE LA LADEP DEPREC RECIAC IACIÓN IÓN.. Re Reflflej ejar ar en lo loss re resu sultltad ados os la pé pérd rdid ida a de va valo lorr de dell ac activ tivo o  Cr Crea earr un fo fond ndo o in inte tern rno o pa para ra fin finan anci ciar ar la ad adqu quis isic ició ión n de un nu nuev evo o ac activ tivo o al fifina naliz lizar ar la

vida vi da út útilil de dell an antig tiguo uo

3.- MÉT MÉTODO ODOS S DE DEP DEPREC RECIAC IACIÓN IÓN..MÉTODO

CARGO DE DEPRECIACIÓN

Línea recta

Igual todos los años de vida útil

Unidades producidas

De acuerdo a la producción

Suma de los dígitos de los años

Mayor los primeros años

Doble saldo decreciente

Mayor los primeros años

Para Par a cal calcul cular ar la dep deprec reciac iación ión imp imputa utable blea a cad cada a per períod íodo, o, deb debe e con conoce ocerse rse::  

 

Costo del bie Costo bien, n, inc incluy luyend endo o los cos costos tos nec necesa esario rioss par para a su adq adquis uisici ición. ón. Vida útil del activo que deberá ser estimada técnicamente en función de las cara ca ract cter erís ístitica cass de dell bi bien en,, el us uso o qu que e le da dará rá,, la po polílítitica ca de ma mant nten enim imie ient nto o de dell en ente te,, la existe exi stenci ncia a de mer mercad cados os tec tecnol nológi ógicos cos que pro provoq voquen uen su obs obsole olesce scenci ncia, a, etc etc.. Valor resid residual ual final. Método de depreciación a utilizar para distribuir su costo a través de los períodos contables.

Existe Exis ten n di dife fere rent ntes es mé méto todo doss pa para ra de dete term rmin inar ar el ca carg rgo o an anua uall po porr de depr prec ecia iaci ción ón.. Ca Cada da un uno o de ellos ell os pre presen senta ta ven ventaj tajas as y des desven ventaj tajas. as. Acontinuación A continuación se utilizará la siguiente anotación:  C: cos costo to ori origin ginal al del act activo ivo  S: val valor or del sal salvam vament ento o  N: vi vida da út útilil ca calc lcul ulad ada a en añ años os

64




 B:C-S:Basededepreciacióndelactivo  D: Ca Carg rgo o po porr de depr prec ecia iaci ción ón po porr el añ año o  A: depreciación acumulada al final del año 4.-MÉTODODELINEARECTA En el método de depreciación en línea recta se supone que el activo se desgasta por igual durante cada periodo contable. Este método se usa con frecuencia por ser senc se ncilillo lo y fá fáci cill de ca calc lcul ular ar.. El mé méto todo do de la lílíne nea a re rect cta a se ba basa sa en el nú núme mero ro de añ años os de vida vi da út útilil de dell ac actitivo vo,, de ac acue uerd rdo o co con n la fó fórm rmul ula: a:

Costo – valor de desecho =

Años de vida útil

monto de la depreciación para cada año de vida del activo

La de depr prec ecia iaci ción ón an anua uall pa para ra un ca cami mión ón al co cost sto o de 10 00 000u 0um m co con n un una a vi vida da út útilil es estitima mada da de cinco años y un valor de recuperación de 3 000um, utilizando el método de la línea recta rec ta es: 10 000 - 3 000 =

5 años

Mont Mo nto o de de dep pre reci ciac ació ión n an anua uall de 1 40 400 0 um

5.-MÉTODODELASUNIDADESPRODUCIDAS El método de las unidades producidas para depreciar un activo se basa en el número total de unidades que se usarán, o las unidades que puede producir el activo, o el número de horas que trabajará el activo, o el número de kilómetros que recorrerá de acuerd acu erdo o con conla la fór fórmul mula. a.

Costo – valor de desecho Unidades de uso, horas o kilómetros

Costo de depreciación = de una unidad hora o kilómetro

=


x

Número de unidades horas o kilómetros usados durante el periodo

Gasto por depreciación del periodo

65



EJEMPLO: Suponga que el camión utilizado en el ejemplo anterior recorrerá 70 000 kilómetros aproxi apr oximad madame amente nte.. El cos costo to por kil kilóme ómetro tro es:

10 000 - 3 000 =

70 000 kilómetros

0,10 um de gasto por depreciación por kilómetro

Para determinar el gasto anual de depreciación, se multiplica el costo por kilómetro (0,09 um) por el número de kilómetros que recorrerá en ese periodo. La depreciación anua an uall de dell ca cami mión ón du dura rant nte e ci cinc nco o añ años os se ca calc lcul ula a se segú gún n se mu mues estr tra a en la ta tabl bla a si sigu guie ient nte e: Año

Costo por kilómetro kilómetro

1

X

Kilómetros

Depreciación Depreciació n anual

0,10um

20 000

2 000um

2

0,10

20 000

2 000um

3

0,10

10 000

1 000um

4

0,10

15 000

1 500um

5

0,10

5 000

500um

70 000

7 000um

6.-MÉTODODELASUMADELOSDÍGITOSDELOSAÑOS En el mé méto todo do de de depr prec ecia iaci ción ón de la su suma ma de lo loss dí dígi gito toss de lo loss añ años os se re reba baja ja el va valo lorr de desecho del costo del activo. El resultado se multiplica por una fracción, con cuyo numerador representa el número de los años de vida útil que aún tiene el activo y el denominador que es el total de los dígitos para el número de años de vida del activo. Utili Ut iliza zand ndo o el ca cami mión ón co como mo ej ejem empl plo o el cá cálc lcul ulo o de la de depr prec ecia iaci ción ón,, me medi dian ante te el mé méto todo do de lasumadelosdígitosdelosaños,serealizaenlaformasiguiente: Año 1 + año 2 + año 3 + año 4 + año 5 = 15 (denominador) Puede Pue de usa usarse rse una fór fórmul mula a sen sencil cilla la par para a obt obtene enerr el den denomi ominad nador or..

66




Año + (año x año) 2 5 + (5 x 5) 2

=

= 30 2

=

denominador den

15 (d (den enom omiina nado dor) r)

La depreciación para el año 1 puede ser calculada mediante las siguientes cifras: Costo

-

Valor de desecho

=

Suma a depreciar

10 000 um

-

3 000um

=

7 000 um

Suma a depreciar

7 000

x

Años de vida pendientes Suma de los años

=

x

5/15

=

Depreciación del año 1 2 333

En el si sigu guie ient nte e cu cuad adro ro se mu mues estra tra el cá cálc lcul ulo o de dell ga gast sto o an anua uall po porr de depr prec ecia iaci ción ón,, de acue ac uerd rdo o co con n el mé méto todo do de la su suma ma de lo loss dí dígi gito toss de lo loss añ años os,, pa para ra lo loss ci cinc nco o añ años os de vi vida da út útilil de dell ca cami mión ón de lo loss ej ejem empl plos os an ante teri rior ores es..

MÈTODO: SUMA DE LOS DÍGITOS DE LOS AÑOS Año Añ o

Frac Fr accció ión n

Suma a depreciar

Depreciación anual

1

5/15

7 000um

2 333um

2

4/15

7 000

1 867

3

3/15

7 000

1 400

4

2/15 2/

7 000

933

1/15

7 000

467

5

15/15


X

7 000um

67



El método de la suma de los dígitos de los años da como resultado un importe de depreciación mayor en el primer año y una cantidad cada vez menor en los demás años de vida útil que le quedan al activo. Este método se basa en la teoría de que los activossedeprecianmásensusprimerosañosdevida.

7.- MÉT MÉTODO ODODEL DELDOB DOBLE LE SAL SALDO DO DEC DECREC RECIEN IENTE TE En este método no se deduce el valor de desecho o de recuperación, del costo del actitivo ac vo pa para ra ob obte tene nerr la ca cant ntid idad ad a de depr prec ecia iarr. En el pr prim imer er añ año, o, el co cost sto o to tota tall de ac actitivo vo se multiplica por un porcentaje equivalente al doble porcentaje de la depreciación anual porr el mé po méto todo do de la lílíne nea a re rect cta. a. En el se segu gund ndo o añ año, o, lo mi mism smo o qu que e en lo loss su subs bsig igui uien ente tes, s, el porcentaje se aplica al valor en libros del activo. El valor en libros significa el costo del act activo ivo men menos os la dep deprec reciac iación ión acu acumul mulada ada..

Ejemplo: La empresa “VIVA MI PERU S.A” compró una máquina de soldar por un valor de 80 000um con una estimación de vida útil de 10 años, con un valor de desecho de 10 000um. 000 um. Cal Calcul cular ar la dep deprec reciac iación ióncon conel el mét método odo de dob doble le sal saldo do dec decrec recien iente. te. 100% Vida útil de 10 años

= 10 10% x 2 = 20% anual

20% x val valor or en lib libros ros (co (costo sto dep deprec reciac iación ión acu acumul mulada ada)) = dep deprec reciac iación iónanu anual al El siguiente cuadro muestra el gasto anual por depreciación durante los diez años de vida vi da út útilil de la má máqu quin ina a de so sold ldar ar,, me medi dian ante te el mé méto todo do de dell do dobl ble e sa sald ldo o de decr crec ecie ient nte: e: Peri Pe riod odos os 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 68

%

Valo Va lorr an anua uall

20 20 20 20 20 20 20 20 20 20

16 000 12 800 10 240 8 192 6 554 5 243 4 194 3 355 2 684 737

Valo Va lorr De Depr prec ec.. 80 000 64 000 51 200 40 960 32 768 26 214 20 972 16 777 13 422 10 737 10 000

Depr De prec ec.. Ac Acum um 0 16 000 28 800 39 040 47 232 53 786 59 028 63 223 66 578 69 263 70 000 Universidad Peruana Los Andes



Observe que en el último año el 20% de 10 737 um sería igual a 2 147 um en lugar de los 737um que se presentan en el cuadro. Es necesario mantener el valor de desecho de 10 000um, debido a que no puede depreciarse el activo por debajo de su valor de recuperación. Por tanto, se tiene que ajustar la depreciación del último año de la vida útil del activo, en forma tal que el importe total de la depreciación acumulada llegará a 70 000um, es decir, la parte del costo que debe ser depreciada a lo largo del periodo de diez años.

Actividad 1. Analice los artículos 38, 39, 40 y 41 del TUO de la Ley del Impuesto a la Renta (DS

Nº179-2004 Nº179 -2004-EF).H -EF).Haga aga un breve resum resumen en y desa desarrolle rrolle casos casospráct prácticos. icos.

Resumen La depreciación tiene la finalidad de obtener los recursos necesarios para la reposición de los bienes, de manera que se conserve la capacidad operativa o productiva del activo fijo. Asimismo se trato de los diferentes métodos tales como como línea lín ea re rect cta, a, su suma ma de dí dígi gito tos, s, en entre tre ot otro ross para para ca calc lcul ular ar la de depr prec ecia iaci ción ón,, lo loss mi mism smos os que tie tienen nen car caract acterí erísti sticas casdif difere erente ntess en cad cada a cas caso o


Aliaga Valdez Carlos, Carlos Aliaga Calderón Matemáticas Financieras Un enfoque enfoque práctico. práct ico. Colom Colombia: bia: Prentice Hall, primera edición, edición, 2002. Montoya Williams Héctor. Héctor. Matemáticas financieras y Actuariales por por computadora, computadora, Perú: Pacíficoedito Pacífico editores, res, 2005.


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Depreciación-UNIDADNo.6 Nombre___________________________________ Nombre_____________________ ____________________________ ______________________ ________ Apellidos_______________________ Apellidos_________ _____________________Fecha _______Fecha ____________ ____________________ ________ Ciudad _____________ ___________________________ __________________Semestre_____ ____Semestre__________________ _____________ 1.

2. 3. 4. 5.

6.

7.

Explica Explic a con contus tus pro propia piass pal palabr abras as lo que ent entien iende de por dep deprec reciac iación ión Expl Ex plic ica a br brev evem emen ente te a qu qué é se le de deno nomi mina na va valo lorr re resi sidu dual al o de dese sech cho o Asu A su criterio, quién debe fijar la vida útil del activo fijo a depreciar depreciar.. Sustente. ¿Unact ¿Un activo ivo int intang angibl ible e est esta a suj sujeto eto a dep deprec reciac iación ión? ? Sus Susten tente te ¿Cuá ¿C uáll se será rá el va valo lorr en lilibr bros os de un una a má máqu quin ina a de desp spué uéss de tr tran ansc scur urri rido doss 4 añ años os 7 me mese sess si se ha es estip tipul ulad ado o un la laps pso o de de depr prec ecia iaci ción ón de di diez ez añ años os? ? Su pr prec ecio io de ad adqu quis isic ició ión n fu fue e de 146 000um y tiene un valor residual de 14 600um. Efectuar el cálculo mediante el método mét odo de lín línea ea rec recta. ta. Una Un a má máqu quin ina a ti tie ene un cos osto to in inic icia iall de 12 120 0 00 000 0um um,, una vid ida a úti till de 6 añ años os y un val alor or de desecho de 30 000um. Realice un cuadro de depreciaciones aplicando: a) El método delínearectab)Métododelasumadedígitosdelosaños. ¿Cuá ¿C uáll se será rá el va valo lorr en lilibr bros os de un una a má máqu quin ina a de desp spué uéss de tr tran ansc scur urri rido doss 4 añ años os 9 me mese sess si se ha estipulado una depreciación de 10 años? Su precio de adquisición es de 146 000u 00 0um m y ti tien ene e un val alor or de de dese sech cho o de 14 60 600 0 um um.. Efe fect ctua uarr el cá cálc lcu ulo co con n el mét étod odo o de la lín línea ea rec recta. ta.

70




FACTORES FINANCIEROS El dinero tiene un costo por unidad de tiempo tanto desde el punto de vista de las pers pe rson onas as,, qu que e po post ster erga gan n el co cons nsum umo, o, co como mo de la lass fir firma mas, s, qu que e po post ster erga gan n un una a in inve vers rsió ión, n, y su consecuente producción. Los que ahorran piden que se les pague un precio por postergar su consumo, y los que demandan el dinero ahorrado para hacer una inversión están dispuestos a pagar un precio por ese dinero con tal de no perder la oportunidad de invert inv ertir ir y sac sacar ar un may mayor or res result ultado ado..

Indicadores de Logro

Al terminar el estudio del presente fascículo, el estudiante. * Cal Calcul cular ar los val valore oress fut futuro uros, s, pre presen sentes tes de una anu anuali alidad dad y pag pago o per periód iódico ico.. El uso de factores permite calcular con rapidez las variables del monto (VF), del valor actual (VP) y del pago periódico o renta (R). Para determinar estos factores debemos conocer con anticipación las variables “i” y “n”. En todo caso, asumimos que “R”, “VF” o “VP”tomanelvalorde1.Estosfactoressonseis:

1.

Factor Fac tor sim simple ple de cap capita italiz lizaci ación ón (FS (FSC) C)

2.

Factor Fac tor sim simple plede de act actual ualiza izació ción n (FS (FSA) A)

3.

Factor Fac tor de act actual ualiza izació ción n de ser series ies (F (FAS) AS)

4.

Factor Fac tor de rec recupe uperac ración ión de cap capita itall (FR (FRC) C)

5.

Fact Fa ctor or de ca capi pita taliz lizac ació ión n de la se serie rie(F (FCS CS)) y

6.

Factor Fac tor de dep depósi ósito to de fon fondo do de amo amortiz rtizaci ación ón (FD (FDF FA).

Estos Est os sei seiss fac factor tores es fin financ ancier ieros os der deriva ivan n de la fór fórmul mula a gen genera erall del int interé eréss com compue puesto sto..


71



CIRCUITO MATEMÁTICO FINANCIERO

Factor Fac tor sim simple ple de cap capit itali alizac zación ión (FS (FSC) C) Tra rans nsfo form rma a el va valo lorr pr pres esen ente te (V (VP) P) en va valo lorr fu futu turo ro (V (VF) F).. Co Con n la fó fórm rmul ula a ge gene nera rall de dell interé int eréss com compue puesto sto,, se tie tiene: ne:

FSC  (1  i)n VF  VP * FS F SCni

VF  VP(1  i)n

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Ejemplo Ejempl o 1: Dese De seam amos os ob obte tene nerr el fa fact ctor or de ac acum umul ulac ació ión n de lo loss in inte tere rese sess y el im impo port rte e ac acum umul ulad ado o de un depósito de 8 000um colocado durante 11 meses al 2.8% de tasa mensual a plazo pla zo fijo fijo.. Datos: VP = 8,0 ,000 00;; n = 11 me mese ses; s; i = 0.02 0.028; FSC FSC = ?; VF = ? 1ºApl 1º Aplica icando ndo el fac factor tor sim simple ple de cap capita italiz lizaci ación: ón: 2º Ha Hallllam amos os el va valo lorr fu futu turo ro

Factor Fac tor sim simple ple de act actual ualiza izació ción n (FS (FSA) A) Permite Per mitetra transf nsform ormar ar val valore oress fut futuro uross en val valore oress act actual uales. es.

FSA 

1 (1  i)n

VP  VF *F *FS SAni

VP 

VF (1  i)n

Gráficamente

0

FSA 

1 (1i)

2

3

1


VF n

……

n-1

n

73



Ejemplo: Se de dese sea a ob obte tene nerr el fa fact ctor or de ac actu tual aliz izac ació ión n de lo loss in inte tere rese ses, s, as asíí co como mo el va valo lorr ac actu tual al de la deud de uda a de 25 00 000 0 um um,, co con n ve venc ncim imie ient nto o en 15 me mese ses, s, pa pact ctad ada a al 1. 1.98 98% % de in inte teré réss me mens nsua ual.l. Datos: VF= 25, 5,00 000;n 0;n = 15 me mese ses:i s:i = 0. 0.01 0198 98;; FSA= ?;VP = ? 1ºApl 1º Aplica icando ndo el fac factor tor sim simple plede de act actual ualiza izació ción: n: 1 = 0,7 0,7452 4520 0 (1  0,0198)15 2º Hal Hallam lamos os el val valor or pre presen sente te FSA 

VA  25 000 000*0,7 *0,74520 4520=1 =18 8 630 um

FACT ACTOR OR DE DEACT ACTUAL UALIZA IZACIÓ CIÓN N DE SER SERIES IES (F (FAS) AS) Permite pasar de series uniformes a valor actual. Transforma series de pagos uniformes equiva equ ivalen lentes tes a val valor or act actual ual o val valor or act actual ual net neto o (V (VAN) AN).. En es este te ca caso so tr trat atam amos os de ac actu tual aliz izar ar el va valo lorr de ca cada da R de desd sde e el fifina nall de ca cada da pe perí ríod odo. o. Un Una a vezz qu ve que e lo loss va valo lore ress de R es está tán n co con n va valo lore ress ac actu tual ales es pr proc oced edem emos os a to tota taliliza zarr la su suma ma..

 (1  i)i)n  1  FASV   n   i ( 1 i)   n i

VP  R * F AS ASVin Ejemplo: Calc Ca lcul ule e el va valo lorr pr pres esen ente te de 5 flfluj ujos os de 40 400u 0um m ca cada da un uno. o. La ta tasa sa de de desc scue uent nto o es un una a TE TEA A de10%  (1  0,1)5  1  5  400 * 3, 790786769 VP  R * FASV0.1  400  5  0,1(1 0,1 (1 0,1) 0,1 )    5  1 5 16 VP  R * FA FASV0.1 16,31

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Fact Fa ctor or de re recu cupe pera raci ción ón de ca capi pita tall (F (FRC RC)) Transforma un stock inicial VP en un flujo constante o serie uniforme R. Conocido en el mundo de las finanzas como FRC, definido como el factor que transforma un valor presen pre sente te a ser serie ie de pag pagos os uni unifor formes mes n   i ( 1  i ) n FRCi    n ( 1 i i) ) 1    

 i(1  i)n  R  VP   n  (1  i)i)  1  R  VP * FRCni Ejemplo Cuál será la cuota constante por pagar un préstamo bancario de 8 000um, que debe amortizarse durante un año con con cuotas mensuales vencidas? El préstamo genera genera una TNAde TNA de 36% capi capitaliza talizable ble mensu mensualmen almente. te.

Datos: P=8000um;i=3%;n=12

 0,03(1+0,03)12  R  8 000    8 000*0,1004620855  ( 1 0 ,03)   R  803,7 ,70 0

Factordecapitalizacióndelaserie(FCS) Factor para pasar de series uniformes a valor futuro (Capitalización de una serie uniforme). Transforma los pagos e ingresos uniformes a valor futuro único equivalente al final del período n. Este factor convierte pagos periódicos iguales de fin de período R, en valor futuro VF VF..

 (1  i)i)n  1  FCS    i   n i


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 (1  i)i)n  1  VP  R   i   V P  R * FCS ni Gráficamente

FCSni

0

1

2

(1i)1  n    i  

3

VF

4 ……

n-1

n

Ejemplo: Si un trabajador efectúa aportes de 400um, a una administradora de fondos de pensiones (AFP) durante sus últimos cinco años de actividad laboral ¿Qué monto habr ha brá á ac acum umul ulad ado o en es ese e pe perío ríodo do si el fo fond ndo o pe perc rcib ibió ió un una a TE TEA A de 10 10%? %? Con los dat datos: os: R=400u R=4 00um; m; i=1 i=10%; 0%; n=5 5 10%

VP  R * FC FCS

 (1  0,1)5  1   400   0,1  

5  400 * 6,1051 VP  R * FC F CS10%

5 VP  R * FC FCS10%  2 442,04

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Fact Fa ctor or de de depó pósi sito to de fo fond ndo o de am amor orti tiza zaci ción ón (F (FDF DFA) A) Factor Fact or ut utili iliza zado do pa para ra tra trans nsfo form rmar ar st stoc ocks ks fin final ales es VF en flu flujo joss o se seri ries es (d (dep epós ósito itos) s) un unififor orme mess R. o también, transforma valores futuros del final del período n en valores uniformes equivalentes periódicos.

  i FDFA    n ( 1 i i) ) 1     n i

  i R  VF   n  (1  i)i)  1  R  VF * FDFAni Ejemplo: Calcule el importe del depósito uniforme anual vencido necesario para acumular un valor futuro de 2 442,04um, en el plazo de 5 años. Estos depósitos que se efectuarán en un banco ban co per percib cibirá irán n una unaTEAde TEAde 10% Datos: S=2444,02;i=10%;n=5

  0,1 0, 1 R  2 444,02   4  (1  0,1)  1  R  2 444 444,02 ,02*0, *0,1637 16379748 974808 08 R=400

Actividad Ten enie iend ndo o en cu cuen enta ta qu que e lo loss fa fact ctor ores es fin finan anci cier eros os ut utili iliza zan n la mi mism sma a ta tasa sa ef efec ectiv tiva a y tie tiene nen n el mismo horizonte temporal, establezca las diferentes relaciones entre los factores financiero finan cieros. s. Ejemp Ejemplos los Universidad Peruana Los Andes

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Resumen El us uso o de fa fact ctor ores es pe perm rmite iteca calc lcul ular ar co con n ra rapi pide dezz la lass va varia riabl bles es de dell mo mont nto o (V (VF) F),, de dell va valo lor r actual(VP)ydelpagoperiódicoorenta(R) En las anu anuali alidad dades es e int interé eréss com compue puesto sto se apl aplica ican n los sig siguie uiente ntess fac factor tores es financieros: Factor simple de capitalización (FSC) y Factor de capitalización de la serie (FCS) cuyas funciones llevan al futuro un stock de efectivo y un conjunto de flujos de efectivo, respectivamente. Factor Fact or si simp mple le de ac actu tual aliz izac ació ión n (F (FSA SA)) y Fa Fact ctor or de ac actu tual aliz izac ació ión n de se seri ries es (F (FAS AS)) tr trae aen n al presente un stock stock futuro de efectivo y un conjunto de flujos de efectivo o rentas, respectivamente. Factor de recuperación de capital (FRC) y Factor de depósito de fondo de amortización (FDFA) (FDFA) convierten un stock presente o futuro de efectivo en flujos de efecti efe ctivos voso o ren rentas tas..


Aliaga Valdez Valdez Carlos, Carlos Aliaga Calderón Matemáticas Financieras Financieras Un enfoque práctico. práct ico. Colom Colombia: bia: Prentice Hall, primera edición, edición, 2002 2002.. Montoya Williams Héctor. Héctor. Matemáticas financieras y Actuariales por computadora, computadora, Perú: Pacífico edito editores, res, 2005.

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Factoresfinancieros-UNIDADNo.7 Nombre_____________________________________ Nombre_______________________ ____________________________ __________________ ____ Apellidos________________________ Apellidos__________ ____________________Fecha___ ______Fecha_________________ _________________ ___ Ciudad________________________ Ciudad__________ _____________________Semestre_ _______Semestre_______________ ________________ __ 1 La empresa empresa XYZ, XYZ, dec decide ide cancel cancelar ar las cuatro cuatro cuotas cuotas fijas insolut insolutas as de un préstamo contraído con una entidad financiera. El importe de cada cuota es 500um; las cuales vencerán dentro de 30, 60, 90 y 120días, respectivamente. ¿Qué ¿Q ué im impo porte rte de debe be ca canc ncel elar arse se ho hoyy si el ba banc nco o ac acre reed edor or de desc scue uent nta a la lass cu cuot otas as consuTEMde2%? 2 Un inver inversioni sionista sta compr compró ó bonos bonos y al cabo de 5 años cobra por ellos 8 000um. 000um. Se sabe que por dichos bonos pagaron un interés del 7,12% convertible seme se mest stra ralm lmen ente te.. Se de dese sea a sa sabe berr cu cuál ál fu fue e el va valo lorr qu que e pa pago go in inic icia ialm lmen ente te di dich cho o invers inv ersion ionist ista a por a com compra pra de los bon bonos. os. 3 La señora Morales, deposita deposita mensualmente 100um durante tres años a una tasa de interés del 10% capitalizable mensualmente, se desea saber cuánto acumul acu mulará ará al fin final al de dic dicho ho per períod íodo. o. 4 Un emplead empleado o de la empresa empresa ABC, ABC, gana gana mensualm mensualment ente e 1,200 um, dicho dicho empleado está contratado a plazo fijo por dos años, se desea saber cuál es el valor presente de sus ingresos durante esos dos años, si l a tasa de interés de mercad mer cado o es el 11% men mensua sual.l. 5 Un Una a em empr pres esa a ob obtitien ene e un pr prés ésta tamo mo de 10 1000 000 0 a 10 añ años os a un una a ta tasa sade de in inte teré réss de 22% convertible mensualmente. El gerente desea saber cuál es la cuota mens me nsua uall a pa paga garr po porr di dich cho o cr créd éditito o 6 Me he tr traz azad ado o la me meta ta de com ompr prar arme me un aut uto o us usad ado o cuy uyo o pr prec ecio io es 4 50 500u 0um my me he pr prop opue uest sto o ef efec ectu tuar ar de depó pósi sito toss en mi cu cuen enta ta de ah ahor orro ross qu que e me pe permi rmita tan n lllleg egar ar a es esa a ca cant ntid idad ad en un pl plaz azo o de 12 me mese ses. s. ¿C ¿Cuá uánt nto o te tend ndré ré qu que e de depo posi sita tar r mensualmente? 7 ¿Cuál es la cuota mensual que deberé pagar si en lugar de efectuar los depó de pósi sito toss en mi cu cuen enta ta de ah ahor orro ross de deci cido do so solilici cita tarr un cr créd éditito o a 12 me mese sess a un una a tasa ta sa ef efec ectiv tiva a an anua uall de 22 22% % y co con n pa pago goss y ca capi pita taliliza zaci ción ón me mens nsua ual? l?


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INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO ACTUARIAL

En este fascículo estudiaremos los conceptos introductorios de las matemáticas actuariales. Enunciaremos los conceptos básicos de los seguros de vida, la tabla de mortalidad, herramienta para los seguros de vida en la que muestra los estudios estadísticos de los nacimi nac imient entos, os,mue muerte rtess y eda edades desal al mor morir ir de las per person sonas. as.

Indicadores de Logro Al terminar el estudio del presente fascículo, el estudiante: * Fam Familia iliariz rizars arse e con conlos los tér términ minos os usa usados dos en seg seguro uros. s. *Defineelconceptodetablademortalidadysuuso. * Ide Identi ntific fica a la cla clasif sifica icació ción n de la tab tabla la de mor mortali talidad dad

1.- TER TERMIN MINOLO OLOGIADE GIADE SEG SEGURO UROS S Accidente.- Evento o hecho no previsto ni intencional, derivado de una causa violenta externaqueproducedañosalaspersonasolascosas. Asegurado.- Usuario del seguro. Persona (s) protegida por un contrato de seguros y expues exp uesta ta al rie riesgo sgo.. Asegurador.- Persona jurídica que mediante la formalización de un contrato asume riesgos y administra los fondos derivados de la percepción de primas. Sinónimo de empres emp resa a de seg seguro uros. s. Beneficiario.- Persona o personas nominadas en la póliza por el asegurado para recibi rec ibirr los ben benefi eficio cioss pro provis vistos tos en el seg seguro uro en cas caso o de sin sinies iestro tro.. Sinóni ónimo mo de seg seguro uro o pro protec tecció ción. n. Cobertura.- Sin Monto to de la com compen pensac sación ión o par partic ticipa ipació ción n de los cor corred redore oress de seg seguro uros. s. Comisión.- Mon

Contrato Contra to de seg seguro uro dot dotal. al.-- Co Cont ntra rato to qu que e pr prov ovee ee el pa pago go de mo mont ntos os es esta tabl blec ecid idos os a lo loss beneficiarios, si el asegurado muere antes de la fecha de finalización del contrato, o desp de spué uéss de la fe fech cha a de fin final aliz izac ació ión n de dell co cont ntra rato to si el as aseg egur urad ado o co cont ntin inúa úa co con n vi vida da.. Es Este te contrato generalmente finaliza a una edad específica del asegurado o al término del períod per íodo o est establ ableci ecido do en el con contra trato. to. Universidad Peruana Los Andes

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Contrato de seguros.- Convenio por el cual el asegurado transfiere riesgos especí esp ecífic ficos os dur durant ante e det determ ermina inados dos per períod íodos os y mon montos tos,, a una com compañ pañía ía aseguradora, a cambio de una prima. Los requisitos principales para la form fo rmal aliz izac ació ión n de un co cont ntra rato to so son n (1 (1)) la lass pa part rtes es de debe ben n te tene nerr ca capa paci cida dad d le lega gall pa para ra contra con tratar tar,, (2) con consen sentim timien iento to mut mutuo uo de las par partes tes,, (3) pre precio cio con consid sidera erado do por las partes (4) ausencia de cualquier restricción estatutaria que invalide el contrato, y (5 (5)) au ause senc ncia ia de fr frau aude de o fa fals lsa a re repr pres esen enta taci ción ón de cu cual alqu quie ierr pa part rte. e. Corredor de seguros.- Persona natural o jurídica independiente que provee seguros y asesoramiento imparcial a sus clientes, a través de una o varias compañías aseguradoras. Sus ingresos representan las comisiones recibidas de las com compañ pañías ías ase asegur gurado adoras ras.. Costos y gastos gastos de adquisición adquisición de primas.primas.- Constituyen los costos y gastos incurridos en la adquisición de nuevos contratos o la renovación de los existentes. Morbilidad.- Relativo a la incidencia de impedimentos físicos o mentales debido a enfermedad o deterioro físico. Calidad de mórbido, blando y delicado, que qu e pa pade dece ce de en enfe ferm rmed edad ad o la oc ocas asio iona na.. Mortalidad.- Re Rela latitivo vo a la in inci cide denc ncia ia de mu muer erte te en un titiem empo po y lu luga gar r determinado. La mortalidad es establecida mediante tablas estadísticas que muestran cuántas personas de un grupo predeterminado, comenzando a una cierta cie rta eda edad, d, sob sobrev revivi ivirán rán a otr otra a eda edad d pre preest establ ableci ecida. da. Póliza de seguros.- Documento expedido por una compañía aseguradora, incluyendo los términos del contrato de seguros, que de forma general, particular o especial regulan las relaciones convenidas entre el asegurador y asegurado. Prima neta de seguros.- Porción de la prima bruta que cubre todos los benefi ben eficio cioss y cos costos tos,, exc except epto o la uti utilid lidad ad par para a la com compañ pañía ía ase asegur gurado adora. ra. Primass directa Prima directas.s.- Toda odass las pri primas mas res result ultant antes es de las pól póliza izass emi emitid tidas as direct dir ectame amente nte por una com compañ pañía ía ase asegur gurado adora ra en par partic ticula ularr. Reaseguro.- Tra rans nsac acci ción ón po porr la cu cual al un una a co comp mpañ añía ía as aseg egur urad ador ora a (reaseguradora) asume todo o parte del riesgo asumido por otra compañía aseg as egur urad ador ora, a, a ca camb mbio io de un una a pa part rtic icip ipac ació ión n en el co cont ntra rato to de se segu guro ros. s. Sin embargo, los derechos legales del asegurado no son afectados por una transacción de reaseguro. La compañía aseguradora que emite la póliza es respon res ponsab sable le fre frente nte al ase asegur gurado ado por los ben benefi eficio cioss est establ ableci ecidos dos en la pól póliza iza.. Renovación.- Em Emisi isión ón par para a ren renova ovarr una pól póliza iza que exp expira ira.. 82




Riesgo.- Todo eve evento nto sus suscep ceptib tible le de ser ase asegur gurado ado.. Cua Cualqu lquier ier pos posibi ibilid lidad ad de pér pérdid dida. a. El asegurado o la propiedad asegurada. asegurada. Acontecimiento que produce una necesidad necesidad econ ec onóm ómic ica a y cu cuya ya ap apar aric ició ión n re real al o ex exis iste tenc ncia ia se pr prev evie iene ne y ga gara rant ntiz iza a en la pó póliz liza. a. Siniestro.- Demanda de pago de los beneficios de una póliza debido a la ocurrencia de pérdida por un riesgo asegurado. Acontecimiento que obliga a la compañía aseguradora a satisfacer total o parcialmente, a los beneficiarios de una póliza de seguros. Subrogación.- El de dere rech cho o de un una a co comp mpañ añía ía as aseg egur urad ador ora a pa para ra to toma marr cu cual alqu quie ierr cu curs rso o de acción a nombre de un asegurado, contra terceras partes responsables, por las pérdid pér didas as rel relati ativas vasa a un eve evento nto que han sid sido o pag pagada adass por la com compañ pañía ía ase asegur gurado adora. ra. Val alor or de re resc scat atee de un unaa pó póliz liza. a.-- Val alor or ac acum umul ulad ado o a be bene nefic ficio io de dell as aseg egur urad ado o po porr un una a póliz pó liza a de se segu guro ross de vi vida da.. 2.- TABLA ABLADE DE MORT MORTALIDA ALIDAD D La ta tabl bla a de mo mort rtal alid idad ad o ta tamb mbié ién n llllam amad ada a ta tabl bla a de vi vida da,, es un mo mode delo lo o es esqu quem ema a te teór óric ico o que permite medir las probabilidades de vida y de muerte de una población en función de la ed edad ad.. Da Dado do qu que e la me medi dici ción ón de la mo mort rtal alid idad ad es está tá in invo volu lucr crad ada a en la ma mayo yorí ría a de lo loss estudi est udios os dem demogr ográfi áficos cos,, la tab tabla la de mor mortal talida idad d per permit mite e efe efectu ctuar ar diversas aplicaciones en una gran variedad de temas, entre los cuales destacan: la estimación del nivel y tendencia de la mortalidad, evaluación de programas de salud, estudi est udios os de fec fecund undida idad, d, mig migrac ración iónyy cre crecim cimien iento, to, así com como o en los sis sistem temas as previs pre vision ionale aless y de seg seguro uros. s. En Pe Perú rú (a (all ig igua uall qu que e en va vario rioss pa país íses es de la re regi gión ón), ), un una a ap aplic licac ació ión n im impo porta rtant nte e de la ta tabl bla a de vida se da en los sistemas de pensiones (tanto públicos como privados) y en el sistem sis tema a ase asegur gurado adorr. Por eje ejempl mplo, o, las tab tablas las de mor mortal talida idad d son uti utiliz lizada adass par para: a: i) est estima imar r las reservas actuariales que garantizan el pago de las obligaciones previsionales del Sist Si stem ema a Pú Públ blic ico o de Pe Pens nsio ione ness (D (DL L N° 19 1999 990 0 y DL N° 20 2053 530) 0),, iiii)) ef efec ectu tuar ar lo loss cá cálc lcul ulos os de dell otorgamiento de pensiones y del capital asegurado que administran los seguros de rentas vitalicias y los seguros de invalidez y sobrevivencia en el caso del Sistema Privado de Pensiones (SPP) y, iii) determinar las primas de seguros de vida y la consti con stituc tución iónde de las res reserv ervas as téc técnic nicas as en el cas caso o del sis sistem tema a ase asegur gurado adorr.


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Actualmente, sin embargo no existen tablas de mortalidad mortalidad que que reflejen el verdadero verdadero comportamiento demográfico de la población peruana que pertenece al sistema previsional ni de los asegurados de vida. Debido a ello, la regulación contempla, en todos tod os los cas casos, os, la uti utiliz lizaci ación ón de tab tablas las alt altern ernati ativas vasde de otr otros os paí países ses1. 1. En el caso del SPP, la Superintendencia de Banca Seguros y Administradoras Privadas de Fondos de Pensiones (SBS), desde 1993, exige la utilización de las mismas tablas de mortalidad que son utilizadas para el sistema previsional chileno como co mo re resp spue uest sta a a la fa faltlta a de in info form rmac ació ión n pr prop opia ia2. 2. En el ca caso so de dell Si Sist stem ema a Pú Públ blic ico o de Pensiones, la Oficina de Normalización Previsional (ONP) también ha venido trabajando en base a dichas tablas para desarrollar y actualizar las valuaciones actuariales de los compromisos que tiene el Estado con los pensionistas y personal activo activ o del Sistema Sistema Nacio Nacional nal de Pens Pensiones iones SNP (DL N° 19990) 19990) y del del DL N° 205303. 205303. Por su parte, en el caso del mercado asegurador, la regulación posibilita a las compañías de seguros de vida determinar sus tarifas y reservas técnicas sobre la base de tablas de mortalidad de otros países elegidas discrecionalmente por ellas, realizando -en algunos casos- ajustes a dichas tablas de acuerdo a lo que ellas consid con sidera eran n se ade adecua cuamej mejor or a la exp experi erienc encia ia de su car carter tera a ase asegur gurada ada.. 1 En Argentina se utiliza la GAM71 desarrollada sobre la base de experiencia de rentistas de Estados Unidos; en Colombia se utiliza la ISS90 preparada usando la inform inf ormaci ación ón acu acumul mulada ada por el sis sistem tema a púb públic lico o de pen pensio siones nes;; fin finalm alment ente e en Méx México ico se utiliza la EMSSA-97 con información del Instituto Mexicano de Seguridad Social. 2 Tablas de Mortalidad Chilenas RV-85, MI-85 y B-85 de 1985 aprobadas por la Superintendencia de Banca y Seguros Seguros y Administradoras Privadas de Fondos de Pensiones mediante Resolución SBS N° 309-93-SBS del 18 de junio de 1993. Recientemente, mediante Resolución SBS Nº 354-2006-SBS del 21 de marzo de 2006, se ha aprobado el uso obligatorio de tablas de mortalidad actualizadas al 2004 20 04 de re rent ntis ista tass vi vita talic licio ioss ob obte teni nida dass co con n ba base se a la lass ta tabl blas as de mo mort rtal alid idad ad ch chililen enas as RV-2004. Las tablas de mortalidad se clasifican de acuerdo al periodo de tiempo que comprendenysegúnelintervalodeedadesenlapresentacióndelosdatos.Segúnel primer prim er cri criter terio, io, se ten tendría dría::

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Tablas ablasde de gene generacio raciones nes. Se observa a una generación a través del tiempo hasta la desaparición de su último miembro, con lo cual se sabe el número exacto de defunciones que ocurre a cada edad y así la probabilidad de muerte. Así, los miembros de la generación están expuestos a las condiciones de mortalidad que hay en cada año de sus vidas. Si bien este tipo de tabla señala señ ala los ver verdad dadero eross val valore oress de la mor mortal talida idad d de una gen genera eració ción, n, su uti utiliz lizaci ación ón es esc escasa asa dado que demanda el seguimiento de toda una generación a través del tiempo, un hecho poco prácti práctico. co. Tablas ablasde de conte contempor mporáneo áneos. s. Estas tablas son las más populares. Se construyen sobre la base de la experiencia de mortalidad observada para toda la población real durante un año o un periodo corto de años añ os,, ge gene nera ralm lmen ente te de do doss o tr tres es añ años os.. En es este te se sent ntid ido, o, se cr crea ea un una a ge gene nera raci ción ón hi hipo poté tétitica ca asumiéndose que ésta vive en las condiciones de mortalidad de la población del periodo de estudio. En una tabla de contemporáneos se castiga con una mayor mortalidad a los miem mi embr bros os de la ge gene nera raci ción ón en vi vist sta a qu que e la ta tabl bla a se co cons nstru truyó yó al alre rede dedo dorr de dell añ año o de in inic icio io de la generación y no se pueden incorporar las mejoras en la mortalidad de los individuos a través tra vés del tiem tiempo po (Du (Dublí blín n y Spi Spiege egelma lman, n, 197 1970). 0). De ac acue uerd rdo o al in inte terv rval alo o de ed edad ades es,, la lass ta tabl blas as se cl clas asifific ican an en en:: Tablas completas. Son So n ta tabl blas as co con n in info form rmac ació ión n pa para ra ca cada da un una a de la lass ed edad ades es pu punt ntua uale les. s. Tablas abreviadas. Muestran los datos sólo para ciertas edades, por lo general quinquenales aunque distinguiendo por edades simples durante los primeros 5 años de vida de las personas, dado dad o que queen en est este e per period iodo o se pro produc ducen en cam cambio bioss imp import ortant antes es en la mor mortal talida idad. d. 3.- PRINC PRINCIP IPALES ALES FUNCI FUNCIONES ONES DE LA LAT TABLA ABLADE DE MORT MORTALIDA ALIDAD D ColumnaxEdadx Esta columna contiene las edades desde 1 hasta 99 años. La edad x se refiere a las per ersson ona as na naccid ida as hac ace e x año ñoss. Al dec ecir ir que un una a per erso sona na es está tá viv iva a en su x-é -ési simo mo aniversario, esto significa que está viva en el período de 12 meses, al principio de los cuales cua les ten tenía ía x-1 año años. s. Colu Co lumn mnaa lx Nú Núme mero ro de vi vivo voss lx En es esta ta co colu lumn mna a ap apar arec ece e el nú núme mero ro de pe pers rson onas as qu que e están viva, al comienzo del años en que cumplan la edad señalada en la columna. El subí su bínd ndic ice e de dell sí símb mbol olo o es espe peci cififica ca la ed edad ad.. As Asíí l 27=9 =933 33 69 692, 2, si sign gnifific ica a qu que e a la ed edad ad de 27 años añ os es está tán n vi viva vass 93 933 3 69 692 2 pe pers rson onas as de dell 10 1000 00 00 000 0 qu que e in inic icia iaro ron n la ta tabl bla. a.


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Columna dx Número de muertos dx En esta columna se indica el número de personas que han puerto, entre la edad x y la edad x+1. Así Así d 15=2 069, indica que 2 069 personas muer mu eren en en entr tre e 15 15yy 16 16añ años os.. Ob Obsé sérv rves ese e qu que e d x= l x- l x+1 esta ta co colu lumn mna a se in indi dica can n lo loss va valo lore ress de q x Columnaa qx “Prob Column “Probabi abilid lidad ad anu anual al de mor morir” ir” En es que qu e es la pr prob obab abililid idad ad de qu que e un una a pe pers rson ona a de ed edad ad x mu muer era a an ante tess de cu cump mplilirr la ed edad ad x+ x+1. 1. así q30=0,00356, indica la probabilidad que tiene una persona de 30 años, de morir antes antes decumplir31añosdeedad.

Columna px “Probabilidad anual de vivir” En esta columna se indican los valores de p x que es la probabilidad de que una persona de edad x viva hasta la edad x+1. Así, p30=0 =0.9 .996 9644 44 in indi dica ca la pr prob obab abili ilida dad d qu que e tie tiene ne un una a pe pers rson ona a de 30 añ años os de vi vivi virr ha hast sta a cu cump mplir lir 31años.Deacuerdoconlodichoen15.2,p +q x x=1. Así, p30+q30=0,99644+0,00356=1. De acu acuerd erdo o con conla la def defini inició ción n de pro probab babilid ilidad, ad, se tie tiene: ne:

qx 

dx lx ...lx 1  lx lx

l x 1 px  lx EJEMPLO ¿Cuántaspersonasentre1000000quetienen1añollegaránvivasalaedadde50años? Para Par a eva evalua luarr

la respuest respuesta a uti utiliz lizare aremos mos la tab tabla la de mor mortal talida idad d des descri crita ta en el anexo I

ubic ub icán ándo dono nos s en la co colu lumn mna a nú núme mero ro de vi vivo vos s I x , in inte terc rcep eptá tánd ndol olo o co con n la co colu lumn mna a ed edad ad (5 (50) 0) solicitada:

l50  810 900 PROBABILI PROBAB ILIDAD DAD DE VID VIDA A Y MUE MUERTE RTEP PARAPERÍO ARAPERÍODOS DOSMA MAYOR YORES ESA A UN UNAÑO AÑO Para Par a exp expres resar ar est estos os val valore oress se uti utiliz lizan an los sig siguie uiente ntess sím símbol bolos: os:

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p = Probabilidad de que una persona persona de edad x viva por lo menos n años; años; o sea, o que estévivaalaedadx+n Prob obab abililid idad ad de qu que e un una a pe pers rson ona a de ed edad ad x mu muer era, a, an ante tess de cu cump mplir lirx+ x+n n añ años os.. nqx = Pr Prob obab abililid idad ad de qu que e un una a pe pers rson ona a de ed edad ad x mu muer era, a, en entre trela lass ed edad ades es (x (x+n +n)) y (x (x+n +n+k +k)) n/1qx = Pr Deahíporlafórmuladeprobabilidadsetiene: n x

lx n npx  lx EJEMPLO: Hallarlaprobabilidaddequeunhombrede50añosviva,porlomenos,53años:

3 p50 

778 981  0, 9060637 810 900

Probabilidad de que una persona de edad x muera entre las edades x+n y x+n+k, por la defini def inició ción n de pro probab babilid ilidad ad se tie tiene: ne:

qx+n n/1 qx = lx

EJEMPLO: ¿Cuá ¿C uáll es esla la pr prob obab abililid idad ad de dequ que e un una a pe pers rson ona a de de40 40 añ años osmu muer era, a, en entr tre e lo loss 50 50yy lo loss 55 añ años os? ?

l50 l55 10/ 0/5 50q40  l40 810 900  1 754 191  0, 064198 10 / 50 q40  883 342 Universidad Peruana Los Andes

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6.- CON CONTRA TRATO TODE DE SEG SEGURO UROS S SEGURO El Seguro es una actividad económico-financiera que transforma los riesgos de diversa naturaleza a que están sometidos los patrimonios, en un gasto periódico determinado, que puede ser soportado con relativa facilidad por los tomadores del seguro.

CONTRA CONT RATO TO DE SEGUR SEGURO O Es el acuerdo escrito a través del cual, una persona transfiere a una empresa de seguros un riesgo que la afecta (riesgo de incendio sobre una propiedad, robo, accide acc idente ntes, s, enf enferm ermeda edades des,, etc etc.), .), a cam cambio bio del pag pago o de una con contrap trapres restac tación ión en din dinero ero,, llamada llamad a “prima “prima””

6.-SEGURODEVIDAENTERA Es un ti tip po de seguro de vida qu que e ofr frec ece e co cobe bert rtur ura a de po porr vi vid da. En gen ener eral al,, la lass pó pólilizzas de vida entera ofrecen primas niveladas, montos de cobertura estables y valor en efectivo que se construye con el tiempo. También se hace referencia a ellas como seguro seg uro de vid vida a "permanente".

Prima Net Prima Netaa Úni Única ca Es aquella mediante cuyo pago, el tomador se libera totalmente de la obligación de satisfacer nuevas cantidades, por este concepto durante toda la duración del seguro. Es de deci cirr an antic ticip ipa a en su to tota talilida dad d la lass pr prim imas as qu que e de debe bería ría ha hace cerr ef efec ectiv tivas as en lo loss su suce ceso soss períod per íodos os de ven vencim cimien iento to de la vig vigenc encia ia del con contra trato. to.

Mx A x = Dx Donde: Ax = Prima neta única de una póliza de seguro de vida entera de l x(años), emitida para unpersonadeedadx. Ejemplo: Hallar la prima neta anual de una póliza de seguro de vida de 1 000um para una personade22añosdeedad. Universidad Peruana Los Andes

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1 000P22 =1 000

M 22 =352,57 D22

Es muy poco frecuente las pólizas de seguro a prima única; por lo general, el seguro se paga pag a med median iante te pri primas mas igu iguale aless can cancel celada adass a prin princip cipio io de cad cada a año año.. Estos Est os seg seguro uross de vid vida a tot total al pag pagado adoss con conpri primas mas anu anuale aless ant antici icipad padas as rec recibe iben n el nom nombre bre de seguro seg uross ord ordina inario rioss de vid vida. a.

El símbolo Px Se utiliza para expresar el valor de la prima neta anual de una póliza de segu se guro ro or ordi dina nario riode de vi vida da,, de un una a un unid idad ad mo mone neta tari ria, a, pa para ra un una a pe pers rson ona a de ed edad ad x. Las primas primas Px for forman man una anu anuali alidad dad vitalicia vitalicia anticipa anticipada; da; formando formando la ecu ecuaci ación ón de equiva equ ivalen lencia cia ent entre re los val valore oress act actual uales, es,se se tie tiene: ne:

Mx Px = Nx Ejemplo: H a lll l ar a r l a p ri r i ma m a n et e t a a nu n u a l d e u na n a p ó lil i za z a d e s e g ur u r o d e v i da da pagoslimitadosa10añosde1000umparaunapersonade22añosdeedad.

1 00010P22 =1 000

M 22 =39,79 N22 -N32

7.-SEGURODEVIDADOTAL Proveeunbeneficiobajounapólizaquese pagayaseacuandomuereelaseguradoo en una fecha determinada, en caso que el asegurado permanezca vivo hasta esa fecha. Cada póliza dotal especifica una una fecha de vencimiento, que que es la fecha en la cual el monto monto de la póliza póliza se pagará pagará al propi propietario etario si si aún vive. vive. El seguro dotal dotal tiene algunas características del seguro de vida ordinario y del seguro seguro de vida de término. Proporcion Propo rciona a cubierta cubierta de seguro seguro de vida por por un período período determin determinado ado de tiempo tiempo,, y tambié tam bién n pro propor porcio ciona na un ele elemen mento to de aho ahorro rro

M x M x+n D x+n A x:n = Dx 90




El símbolo símbolo A , Se utiliza utiliza para expres expresar ar la prima prima neta única única de un seguro seguro de vida vida dotal dotal de una un a un unid idad ad mo mone neta tari ria, a, vi vige gent nte e du dura rant nte e n añ años os,, pa para ra un una a pe pers rson ona a de ed edad ad x.

Ejemplo: Halllla Ha ar el va valo lorr de la pr prim ima a net eta a úni nica ca de un seg egur uro o dot otal al de 50 00 000u 0um m a 20 añ años os,, par ara a una personade40años.Tasade2 ½% M 40 M 60 D 60 D40 165 359,9-108 543,5+154 046 prima neta única = 50 000 328 984 prima neta única = 32 047,52um 50 000A 40:20

= 50 000

El sí símb mbol olo o P, Se ut utililiz iza a pa para ra ex expr pres esar ar la pr prim ima a ne neta ta an anua uall de un se segu guro ro de vi vida da do dota tall de un una a cant ca ntid idad ad mo mone neta taria ria,, vi vige gent nte e du dura rant nte e n añ años os,, pa para ra un una a pe pers rson ona a de ed edad ad x. Las primas anuales forman una anualidad contingente inmediata, temporal. Formando la ecuaci ecu ación ón de equ equiva ivalen lencia cia ent entre re los val valore oress act actual uales es se tie tiene: ne:

Mx Nx+n D x+n Px:n = Nx  Nx+n Ejemplo: Con la información del ejemplo anterior, hallar la prima neta anual, para x = 40; n=20 y multip mul tiplic licand ando o por 50 000 000um, um, se tie tiene: ne:

50 00 000P 0P40:20 = 50 00 000 0

P40:20 =50 000

M 40 N 60 D 60 N40  N60

165 16 5 359 359,9 ,9  10 10854 8543 3,5  15 154 4 04 046 6 6 70 708 8 57 572, 2,7 7  1 86 865 5 613 613,6

P40:20 = 2 17 177 7,00u 0um m

Laprimanetaanuales2177um Tabla de Mortal Mortalidad idad con colum columna na de conmu conmutación tación al 2 Universidad Peruana Los Andes

1/2

% 91



Resumen En est este e fas fascíc cículo uloana analiz lizamo amoss los con concep ceptos tos de bás básico icoss del cál cálcul culo o act actuar uarial ial.. Empeza Emp ezando ndo por las def defini inicio ciones nes uti utiliz lizada adass en seg seguro uross ext extraí raídos dos de la pág página ina http://www.sbs.gob.pe/normas/cat_se http://www .sbs.gob.pe/normas/cat_seguros/MarcoContSeg_20 guros/MarcoContSeg_2006.pdf. 06.pdf. La ta tabl bla a de mo mort rtal alid idad ad y su re resp spec ectitiva va de desc scri ripc pció ión n de la mi mism sma, a, en el qu que e se de deta talllla a la lass caract car acterís erístic ticas as de cad cada a col column umna, a, con consus susres respec pectiv tivos os eje ejerci rcicio cios. s. Luego, Lue go, hem hemos os tra tratad tado o en for forma ma bre breve ve alg alguno unoss cál cálcul culos os rel relaci aciona onados dos a seg seguro uross


Montoya Williams Héctor. Héctor. Matemáticas financieras financieras y Actuariales por computadora, computadora, Perú: Pacífico Pacífico edito editores, res, 2005.

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IntroducciónalCálculoActuarial-UNIDADNo.8 Nombre____________________________________ Nombre______________________ ____________________________ ____________________ ______ Apellidos________________________ Apellidos__________ ____________________Fecha___ ______Fecha_________________ _________________ ___ Ciudad_______________________ Ciudad_________ ______________________Semestre_ ________Semestre_______________ ________________ __ 1. 2. 3. a.

5. 6. 7.

8.

¿Cuáleslaprobabilidaddequeunapersonade50añosdeedad,logreestar vivaalos65años? Halllla Ha ar la pro roba babi bililid dad de qu que e un una a pe pers rson ona a de 35 añ años os de ed edad ad mu muer era a a lo loss 65 añ años os deedad. Utilizando la tabla de mortalidad, hallar la probabilidad que Martín, que ahora tiene 30años, Alcance los 45 años de edad. b. Noalcancelos65añosdeedad. c. Alcance los 45 pero no los 65 años de edad. d. Mueraalos75añosdeedad. Hallllar ar la pr prim ima a ne neta ta an anua uall de un una a pó póliliza za de se segu guro ro de vi vida da pa pago goss lilimi mita tado doss a 21 4. Ha añosde3500umparaunapersonade41añosdeedad. Hallar el valor de la póliza de seguro de vida total que puede comprar una persona con1000,sitiene25añosdeedad.Utilizandolatablade2½%. Hallar la prima anual de una póliza de seguro ordinario de vida por 50 000um, para unapersonade35añosdeedad.Tasa2½%. Hallarunaprimanetaanualdeunapólizadeseguroordinariodevidapor40000um, con co n pa pago goss lilimi mita tado doss a 25 añ años os,, pa para ra un una a pe pers rson ona a de 30 añ años os de ed edad ad.. Ut Utililiz izan ando do la tablade2½%. Halllla Ha ar la pri rima ma ne neta ta de un seg egur uro o de vid ida a do dota tall po porr 30 añ años os pa para ra un una a per erso sona na de 25 añoss de eda año edad, d, con conlas las sig siguie uiente ntess clá cláusu usulas las:: a)devidapor20000um,b)dotalpor10000um.Utilizandolatabla2½%.


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MATEMATICA-FINANCIERA 2v1

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