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Temas Selectos de Física I

COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE SONORA Director General Mtro. Jorge Luis Ibarra Mendívil Director Académico Profr. Julio Alfonso Martínez Romero Director de Administración y Finanzas C.P. Jesús Urbano Limón Tapia Director de Planeación Mtro. Pedro Hernández Peña TEMAS SELECTOS DE FÍSICA I Módulo de Aprendizaje. Copyright ©, 2008 por Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora Todos los derechos reservados. Tercera edición 2010. Impreso en México. DIRECCIÓN ACADÉMICA Departamento de Desarrollo Curricular Blvd. Agustín de Vildósola, Sector Sur Hermosillo, Sonora. México. C.P. 83280 Registro ISBN, en trámite. COMISIÓN ELABORADORA: Elaboración: José Alejandro Álvarez Yáñez José Puga Tovar Revisión Disciplinaria: Jose Manuel Fierros Quijada Corrección de Estilo: Antonia Sánchez Primero Supervisión Académica: Diana Irene Valenzuela López Diseño de Portada: María Jesús Jiménez Duarte Edición: Cynthia Deyanira Meneses Avalos Coordinación Técnica: Claudia Yolanda Lugo Peñúñuri Coordinación General: Profr. Julio Alfonso Martínez Romero Esta publicación se terminó de imprimir durante el mes de junio de 2010. Diseñada en Dirección Académica del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora Blvd. Agustín de Vildósola; Sector Sur. Hermosillo, Sonora, México La edición consta de 1,413 ejemplares.

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COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE SONORA Director General Mtro. Jorge Luis Ibarra Mendívil Director Académico Profr. Julio Alfonso Martínez Romero Director de Administración y Finanzas C.P. Jesús Urbano Limón Tapia Director de Planeación Mtro. Pedro Hernández Peña TEMAS SELECTOS DE FÍSICA I Módulo de Aprendizaje. Copyright ©, 2008 por Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora Todos los derechos reservados. Tercera edición 2010. Impreso en México. DIRECCIÓN ACADÉMICA Departamento de Desarrollo Curricular Blvd. Agustín de Vildósola, Sector Sur Hermosillo, Sonora. México. C.P. 83280 Registro ISBN, en trámite. COMISIÓN ELABORADORA: Elaboración: José Alejandro Álvarez Yáñez José Puga Tovar Revisión Disciplinaria: Jose Manuel Fierros Quijada Corrección de Estilo: Antonia Sánchez Primero Supervisión Académica: Diana Irene Valenzuela López Diseño de Portada: María Jesús Jiménez Duarte Edición: Cynthia Deyanira Meneses Avalos Coordinación Técnica: Claudia Yolanda Lugo Peñúñuri Coordinación General: Profr. Julio Alfonso Martínez Romero Esta publicación se terminó de imprimir durante el mes de junio de 2010. Diseñada en Dirección Académica del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora Blvd. Agustín de Vildósola; Sector Sur. Hermosillo, Sonora, México La edición consta de 1,413 ejemplares.

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Ubicación Curricular COMPONENTE: FORMACIÓN PROPEDÉUTICA

GRUPO: FÍSICO-MATEMÁTICO

Esta asignatura se imparte en el V Semestre; tiene como antecedente Física II, la asignatura consecuente es Temas Selectos de Física II, y se relaciona con Cálculo Diferencial e Integral I, Dibujo I y Economía.

HORAS SEMANALES: 03

CRÉDITOS: 06

Nombre: ________________________________________ ______________________________________________________ ______________ Plantel: ________________________ _________________________________________________ _________________________________ ________ Grupo: ____________ Turno: _____________ Teléfono:_______________ Domicilio: _______________________________________ _____________________________________________________ ______________ ______________________________________________________________

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Mapa Conceptual de la Asignatura

DINÁMICA DEL SÓLIDO

ESTÁTICA

MÁQUINAS SIMPLES

IDEALES

REALES

DESCOMPOSICIÓ N DE FUERZAS FORMA VECTORIAL

SÓLIDO RÍGIDO

EQUILIBRIO EN DOS DIMENSIONES

VECTORIAL

CINÉTICA

2ª LEY DE NEWTON

CINEMÁTICA

MOVIMIENTOS DE TRASLACIÓN

TRABAJO

VELOCIDAD CONSTANTE

ENERGÍA MECÁNICA

ACELERACIÓN CONSTANTE

MOVIMIENTOS DE ROTACIÓN

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Índice Recomendaciones para el alumno.............................................................. 7 Presentación .... ........................................................................................... 8 RIEMS ............................................................................................................. 9 UNIDAD 1. ESTÁTICA. ...................................................................... 11

1.1. Introducción y generalidades ............................................................... 13 1.2. Vectores .... ........................................................................................... 14 1.2.1. Diferencia entre vectores y escalares ......................................... 14 1.2.2. Suma de vectores por el método analítico ................................. 16 1.3. Equilibrio del sólido rígido en dos dimensiones ........................... 20 1.3.1. Definición de conceptos ............................................................. 20 1.3.2. Condiciones generales de equilibrio .......................................... 21 1.3.3. Fuerzas coplanarias no paralelas ............................................... 22 1.3.4. Fuerzas coplanarias paralelas. ................................................... 24 1.4. Máquinas simples ................................................................................. 27 1.4.1. Definición de conceptos ............................................................. 27 1.4.2. Máquinas simples tradicionales ................................................. 32 Sección de tareas ........................................................................................ 45 Autoevaluación . ........................................................................................... 59 Ejercicio de reforzamiento ............................................................................ 63

UNIDAD 2. CINEMÁTICA DEL CUERPO RÍGIDO. ........................... 67

2.1. Traslación y rotación pura .................................................................... 68 2.1.1. Posición angular ........................................................................ 69 2.1.2. Desplazamiento angular ............................................................ 69 2.1.3. Velocidad angular ..................................................................... 71 2.1.4. Aceleración angular .................................................................. 72 2.2. Traslación y rotación uniformes y uniformemente aceleradas. ........... 74 Sección de tareas ........................................................................................ 81 Autoevaluación . ........................................................................................... 87 Ejercicio de reforzamiento ............................................................................ 91

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Índice (continuación) UNIDAD 3. CINÉTICA DEL CUERPO RÍGIDO. .................................. 93

3.1. Leyes de Newton o leyes del movimiento ........................................... 94 3.1.1. Aplicaciones de las leyes de Newton..................................... 97 3.2. Fricción ...... .......................................................................................... 100 3.2.1. Coeficiente de fricción o de rozamiento ................................ 101 3.2.2. Diagrama de cuerpo libre ....................................................... 104 3.2.3. Fuerza de fricción estática ..................................................... 105 3.2.4. Fuerza de fricción cinética...................................................... 109 3.2.5. Principio fundamental de la dinámica de traslación ............. 111 3.3. Energía cinética de rotación ................................................................ 112 3.3.1. Trabajo de un peso................................................................. 112 3.3.2. Ley de la conservación de la energía..................................... 113 3.4.Ímpetu e impulso angular. .................................................................... 116 3.4.1. Momento de inercia de figuras regulares .............................. 116 Sección de tareas ....................................................................................... 121 Autoevaluación . .......................................................................................... 125 Ejercicio de reforzamiento ........................................................................... 127

Bibliografía General ..................................................................................... 129

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Recomendaciones para el alumno El presente Módulo de Aprendizaje constituye un importante apoyo para ti; en él se manejan los contenidos mínimos de la asignatura No debes perder de vista que el Modelo Académico del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora propone un aprendizaje activo, mediante la investigación, el análisis y la discusión, así como el aprovechamiento de materiales de lectura complementarios; de ahí la importancia de atender las siguientes recomendaciones: 

Maneja el Módulo de Aprendizaje como texto orientador de los contenidos temáticos a revisar en clase.



Utiliza el Módulo de Aprendizaje como lectura previa a cada sesión de clase.



Al término de cada unidad, resuelve la autoevaluación, consulta la escala de medición del aprendizaje y realiza las actividades que en ésta se indican.



Realiza los ejercicios de reforzamiento del aprendizaje para estimular y/o reafirmar los conocimientos sobre los temas ahí tratados.



Utiliza la bibliografía recomendada para apoyar los temas desarrollados en cada unidad.



Para comprender algunos términos o conceptos nuevos, consulta el glosario que aparece al final del módulo.



Para el Colegio de Bachilleres es importante tu opinión sobre los módulos de aprendizaje. Si quieres hacer llegar tus comentarios, utiliza el portal del Colegio: www.cobachsonora.edu.mx

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Presentación El presente Módulo de Aprendizaje tiene un enfoque estratégico basado en la resolución de problemas de carácter formativo, ya que relaciona la teoría con la práctica y la actividad científico-investigadora. Trata los siguientes temas: Estática, el cual proporciona los conceptos que serán empleados en los temas subsecuentes; Cinemática del sólido rígido, en el que se analizan los movimientos de los cuerpos sin considerar las causas que lo ocasionan; Cinética del sólido rígido, en el que se analizan problemas en los cuales se consideran las causas que provocan el movimiento, así como la energía cinética y potencial, el ímpetu y el momento. Estos temas pretenden que el estudiante acceda a los contenidos científicos que le posibiliten alcanzar una cultura científica, de tal manera que valore la relación de la física con el desarrollo científico-tecnológico, en su vida cotidiana.

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RIEMS Introducción El Colegio de Bachilleres del estado de Sonora, en atención a los programas de estudio emitidos por la Dirección General de Bachillerato (DGB), ha venido realizando la elaboración del material didáctico de apoyo para nuestros estudiantes, con el fin de establecer en ellos los contenidos académicos a desarrollar día a día en aula, así como el enfoque educativo de nuestra Institución. Es por ello, que actualmente, se cuenta con los módulos y guías de aprendizaje para todos los semestres, basados en los contenidos establecidos en la Reforma Curricular 2005. Sin embargo, de acuerdo a la reciente Reforma Integral de Educación Media Superior, la cual establece un enfoque educativo basado en competencias, es necesario conocer los fines de esta reforma, la cual se dirige a la totalidad del sistema educativo, pero orienta sus esfuerzos a los perfiles del alumno y profesor, siendo entonces el camino a seguir el desarrollo de las competencias listadas a continuación y aunque éstas deberán promoverse en todos los semestres, de manera más precisa entrará a partir de Agosto 2009, en el primer semestre.

Competencias Genéricas Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros. Elige y practica estilos de vida saludables. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables.

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Competencias Disciplinares Básicas Ciencias experimentales 1. Establece la interrelación entre la ciencia, la tecnología, la sociedad y el ambiente en contextos históricos y sociales específicos. 2. Fundamenta opiniones sobre los impactos de la ciencia y la tecnología en su vida cotidiana, asumiendo consideraciones éticas. 3. Identifica problemas, formula preguntas de carácter científico y plantea las hipótesis necesarias para responderlas. 4. Obtiene, registra y sistematiza la información para responder a preguntas de carácter científico, consultando fuentes relevantes y realizando experimentos pertinentes. 5. Contrasta los resultados obtenidos en una investigación o experimento con hipótesis previas y comunica sus conclusiones. 6. Valora las preconcepciones personales o comunes sobre diversos fenómenos naturales a partir de evidencias científicas. 7. Explicita las nociones científicas que sustentan los procesos para la solución de problemas cotidianos. 8. Explica el funcionamiento de maquinas de uso común a partir de nociones científicas. 9. Diseña modelos o prototipos para resolver problemas, satisfacer necesidades o demostrar principios científicos. 10. Relaciona las expresiones simbólicas de un fenómeno de la naturaleza y los rasgos observables a simple vista o mediante instrumentos o modelos científicos. 11. Analiza las leyes generales que rigen el funcionamiento del medio físico y valora las acciones humanas de riesgo e impacto ambiental. 12. Decide sobre el cuidado de su salud a partir del conocimiento de su cuerpo, sus procesos vitales y el entorno al que pertenece. 13. Relaciona los niveles de organización química, biológica, física y ecológica de los sistemas vivos. 14. Aplica normas de seguridad en el manejo de sustancias, instrumentos y equipo en la realización de actividades de su vida cotidiana.

Competencias docentes: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

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Organiza su formación continua a lo largo de su trayectoria profesional. Domina y estructura los saberes para facilitar experiencias de aprendizaje significativo. Planifica los procesos de enseñanza y de aprendizaje atendiendo al enfoque por competencias, y los ubica en contextos disciplinares, curriculares y sociales amplios. Lleva a la práctica procesos de enseñanza y de aprendizaje de manera efectiva, creativa e innovadora a su contexto institucional. Evalúa los procesos de enseñanza y de aprendizaje con un enfoque formativo. Construye ambientes para el aprendizaje autónomo y colaborativo. Contribuye a la generación de un ambiente que facilite el desarrollo sano e integral de los estudiantes. Participa en los proyectos de mejora continua de su escuela y apoya la gestión institucional.

Unidad 1 1

“Denme un punto de apoyo y moveré al mundo”.

Por escrito da respuesta a los siguientes cuestionamientos y entrégalos a tu profesor.

¿Cómo es que un esquiador equilibra su vuelo? ¿Por qué vuelan los aviones? ¿Por qué no se cae la Torre Pisa? Las fuerzas y principios físicos que intervienen en la caída de un gato. El equilibrio en el vuelo de un Bumerang. El equilibrio en el baile. El equilibrio de una plataforma sostenida por una columna, etcétera. En general, tus curiosidades e incertidumbres acerca de los anteriores aspectos, los podrás comprender si estudias los principios de la Física. Al final quedarás convencido que la Física no es solamente abstracta, sino que es también práctica y ocurre en la vida diaria.

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INTRODUCCIÓN Y GENERALIDADES De entrada, entenderemos la leyes del equilibrio.

como parte de la mecánica que estudia las

Muchas veces nos confundimos entre lo que es y lo que es , por eso antes de empezar con de cuerpos es necesario estudia el diferenciar entre dichas ramas de la Mecánica. ; es decir, aquellos cuerpos que se encuentran tanto en como en movimiento con ; mientras que la estudia el comportamiento de los cuerpos con . En ambos casos es necesario que dos o más cuerpos entre sí. En equipo de máximo cuatro integrantes, resuelve los cuestionamientos que se te hacen a continuación, comenta con los demás compañeros y con tu profesor.

EJERCICIO 1

1. ¿Qué entiendes por interacción? ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 2. Observa las interacciones de las imágenes e indica, en cada situación: cuáles son los cuerpos que interactúan y en qué consiste la interacción.

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En efecto; la

EJERCICIO 2

es una magnitud Física que

las cuales pueden darse por contacto o a distancia.

De forma individual resuelve el siguiente ejercicio, compara tus resultados con los de tus compañeros y enseguida preséntalos a tu profesor. Dentro del paréntesis que aparece a la derecha de cada cuestionamiento que se te hace escribe una si el fenómeno físico que se te presenta es producto de la acción de una fuerza que actúa por contacto, o una si la fuerza actúa a distancia. 1.- La caída de un cuerpo. 2.- El encendido de un foco cuando oprimes el interruptor. 3.- La sensación que siente tu mano cuando cierras en refrigerador. 4.- El derrape de un auto con un frenado brusco. 5.- El que una brújula te indique la ubicación del norte y el sur. 6.- El por qué se te erizan los vellos del brazo cuando pasas por la tele.

( ( ( ( ( (

) ) ) ) ) )

Los de las interacciones entre los cuerpos ; sin embargo, nosotros nos vamos a centrar en la capacidad que tienen las fuerzas para producir Como las son magnitudes y su medición nos da como resultado una cantidad también vectorial, es necesario recordar cómo se operan matemáticamente este tipo de cantidades.

VECTORES

es el nombre de un concepto fundamental de algunas de las ciencias exactas o naturales. En el caso específico de la Física son ejemplos de magnitudes escalares el tiempo, la masa, el volumen, la distancia, la rapidez, etcétera. Se le llama al resultado de medir una magnitud escalar. Dicho resultado estará completo si se le representa a través de un número acompañado de la unidad que se utilizó para efectuar la medición. Ejemplos: a) b) c) d) e)

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25 hr. 53 Kg. 18 lt. 122 m. 250 Km/hr

Para la Física son aquellos conceptos que además de contar con un módulo, al ser medidos nos encontramos que al actuar sobre su medio lo hacen con cierta dirección y sentido. Las principales magnitudes vectoriales son el desplazamiento, la velocidad y la fuerza. también son al resultado de la medición de una magnitud física, pero en este caso para que dicho resultado quede bien definido además de expresar su módulo hay que indicar la dirección y sentido que tiene la magnitud física medida. Ejemplos: 1)

: Un borrego que camina 18 metros

corral.

de su

2)

: Un alumno del COBACH que vive y cerca de su plantel, corre a una velocidad de 3 metros sobre segundo para no llegar tarde a su primera clase; y es de Educación Física.

3)

: Para sacar un carro que cayó a una zanja, la grúa que se contrate para sacarlo debe de jalar de él con una fuerza de 450 Newton .

Si relacionamos y sobreponemos los puntos cardinales con los ejes cartesianos de la siguiente forma:

O

E S

N0 90

900

N 1800

00

O 1800

2700

00 E 2700 S

Los ejemplos anteriores se pueden expresar simbólicamente como: 1) d =18 m 270° 2) v = 3 m /s 180° 3) f = 450 n 90° Como recordarás en el curso de Física 1, aprendiste a sumar cantidades vectoriales gráficamente y analíticamente; a le sirven particularmente para la solución de algunos problemas los procedimientos empleados para sumar cantidades vectoriales por el método analítico y específicamente en lo que se refiere a ejerce sobre un cuerpo si queremos que este se encuentre en

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Por lo tanto, deberemos refrescar nuestra memoria, recordando los pasos a seguir si queremos sumar fuerzas analíticamente.

Si utilizamos como sistema de referencia los ejes cartesianos, podemos obtener sobre ellos los componentes ortogonales y de una fuerza como se ilustra en la figura. Y

F F Y X FX Cuyo módulo se obtiene mediante las funciones siguiente forma. Cos θ=

= F Cos. Θ Sen θ=

= F Sen. θ

Para sumar las Fuerzas A, B y C tendríamos:

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y

del ángulo θ, de la

A continuación se suman por separado los componentes or togonales en “X” y Y “Y” de los vectores.

Cy Ry

By Ay X Ax

Bx

Cx

RX

Obteniéndose de esta forma dos nuevos vectores perpendiculares entre sí, llamados vector resultante en

y vector resultante

En Con estos vectores se puede formar un triángulo rectángulo. Y

R θ

y son los catetos del triángulo y ; llamado es la hipotenusa.

Ry X

Rx

es el o valor numérico de la suma de los vectores A, B y C. Su magnitud se obtiene mediante el teorema de Pitágoras.

Por último se calcula la abertura del ángulo θ con respecto al lado positivo del eje “x”. Lo anterior se obtiene mediante el inverso de la función tangente; de la

siguiente forma:

Tan θ =

entonces ,

θ = tan

-1

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Como la abertura del ángulo θ con respecto al lado positivo del eje “ ” nos informa la dirección y sentido del vector resultante . Hay que tomar en cuenta que se presentan cuatro casos para determinar el valor real de dicho ángulo θ. Para facilitar su comprensión se ilustran con figuras cada uno de esto casos. En dichas figuras los significados de los símbolos θ θ serán: = El valor del ángulo obtenido con el uso de la calculadora al sustituir los valores correspondientes en la formula del inverso de la función tangente. θ

= al valor real del ángulo que indica la dirección y sentido del vector resultante y el cual es el que debe expresarse al escribir el resultado final. θ

Es muy importante dibujar un croquis como los siguientes al momento de determinar el valor real del ángulo θr Las figuras se obtienen mediante los signos resultantes

Tanto

o

de los vectores

y

como

son de signo

En este caso el ángulo real y el obtenido con la calculadora son iguales. θ

Ry θ

18

θ

θ

Es de signo

y

de signo

Para obtener el valor real del ángulo a 180° se le resta el valor obtenido con la calculadora.

90o

θ

θ

180o

θ

0o

θ

360o

Tanto

como

son de signo El valor real del ángulo se obtiene sumándole a 180 ° el valor obtenido con la calculadora. θ

θ

θ θ

360o

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es de signo p

y

Para obtener el valor real del ángulo, a 360° se le resta el valor que proporciona la calculadora.

de signo

θ

θ

θ

θ

EQUILIBRIO DEL SÓLIDO RÍGIDO EN DOS DIMENSIONES

: Los modelos o idealizaciones se utilizan en el estudio del equilibrio con la finalidad de simplificar la aplicación de la teoría, para ello se definirán algunas de las idealizaciones más importantes. Una partícula posee masa pero de tamaño poco significativo. Por ejemplo, el tamaño de la Tierra es insignificante comparado con el tamaño de su órbita, y por lo tanto la Tierra se puede tomar como una partícula cuando se estudia su movimiento orbital en un modelo. Cuando un cuerpo se idealiza como una partícula, los principios de la Mecánica se simplifican de manera importante, debido a que la geometría del cuerpo no se tomará en cuenta en el análisis del problema. : Un cuerpo rígido puede ser considerado como un conjunto formado por un gran número de partículas que permanecen separadas entre sí por una distancia fija antes y después de aplicar la carga. Como resultado, las propiedades del material de que está hecho cualquier cuerpo que se suponga rígido no se tendrá que considerar cuando se analicen las fuerzas que actúan sobre éste. En la mayoría de los casos, las deformaciones reales que se presentan en estructuras, máquinas, mecanismos, etcétera, son relativamente pequeñas, y la suposición de cuerpo rígido es apropiada para efectos de análisis.

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: Una fuerza concentrada representa el efecto de una carga la cual se supone que actúa en algún punto de un cuerpo. Podemos representar este efecto por medio de una fuerza concentrada, siempre y cuando el área sobre la cual se aplica la carga sea relativamente pequeña comparada con el tamaño del cuerpo. Al punto de concurrencia del sistema de fuerzas no paralelas se le da el nombre de . Debido a que teóricamente se considera que todo el peso del cuerpo sobre el que actúa el sistema se concentra en dicho punto. Se dice que un cuerpo es de peso uniforme cuando cada unidad de su volumen tiene el mismo peso. En este caso se considera teóricamente que todo el peso del cuerpo se encuentra concentrado en el centro geométrico del mismo. Es la propiedad de los cuerpos de no modificar su estado de reposo o movimiento si no es por la acción de una fuerza no equilibrada. Se dice que un cuerpo se encuentra en cuando se encuentra en estado de reposo o con movimiento rectilíneo uniforme. Para lo cual es indispensable que la suma algebraica de todas las fuerzas que actúan sobre él sea igual a cero. En este caso se dice que la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo es una Un cuerpo en equilibrio estático, si no está sujeto a la acción de una , no tendrá aceleración de traslación o de rotación, porque la suma de todas las fuerzas o la suma de todos los momentos que actúan sobre él . Sin embargo, si el cuerpo se desplaza ligeramente, son posibles tres resultados: El objeto regresa a su posición original, en cuyo caso se dice que está en . El objeto se aparta más de su posición, en cuyo caso se dice que está en . O bien, el objeto permanece en su nueva posición, en cuyo caso se dice que está en

La suma algebraica de las componentes rectangulares ∑ fuerzas que actúen sobre un cuerpo debe ser igual a c ero.

y

de todas las

La suma algebraica de los momentos de todas las fuerzas coplanarias que se ejercen sobre un cuerpo debe de ser en cualquier punto del plano. Existen tres clases de sistemas de fuerzas que actúan en el mismo plano. En equipos de tres, deduce cómo se aplican estas condiciones generales de equilibrio en cada caso.

EJERCICIO 3

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Cuando un sistema de fuerza no paralelas actúan sobre un cuerpo en el mismo plano, éstas concurren en un punto, por lo que también se les llama fuerzas coplanarias concurrentes. Otras herramientas matemáticas pera el estudio del equilibrio de sistemas de fuerzas coplanarias concurrentes son: Las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente, el teorema de Pitágoras, las leyes de los senos y de los cósenos y la semejanza de triángulos. La solución de problemas donde intervengan tres fuerzas concurrentes se puede efectuar de dos formas, las cuales se ilustran con el siguiente ejemplo. Un cuerpo que tiene un peso W=100N se mantiene en equilibrio suspendido por dos cuerdas como se muestra en la figura. Una de las cuerdas tira del cuerpo en forma horizontal; la otra, amarrada de un gancho anclado en un techo, formando un ángulo de 30° con la vertical. Calcular las fuerzas de tensión que experimentan las cuerdas. . Para la solución de problemas por este método es indispensable tomar en cuenta lo que se le conoce como:

La suma algebraica de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo debe ser igual a cero. Es decir:

Esto equivale a decir que la suma algebraica de las componentes de la fuerza que actúan sobre un cuerpo en cualquier dirección, debe cumplir con: a) La suma algebraica de las componentes horizontales es cero; esto es:

b) La suma algebraica de las componentes verticales también es cero.

Las componentes horizontales de las fuerzas que se dirijan hacia la derecha serán positivas y hacia la izquierda negativas. Las componentes verticales de las fuerzas que se dirijan hacia arriba serán positivas, y hacia abajo, negativas.

Para la resolución del presente tendremos: Sean 22

y

las fuerzas de tención buscadas y

= 100 N el peso.

El punto

se encuentra en equilibrio bajo la acción de las tres fuerzas:

1) Las fuerzas que actúan horizontalmente (ver figura) son

Entonces:

ó sea 2) Las fuerzas que actúan verticalmente (ver figura) son

ó sea

. Entonces:

por lo tanto tenemos que: y Despejando y sustituyendo obtenemos:

En la figura el punto se encuentra en equilibrio bajo la acción de las tres fuerzas por lo tanto, se puede dibujar un triángulo rectángulo cuyos catetos son , . Siendo la hipotenusa del mismo. De esta forma los valores de

y se obtienen como sigue: y

Te habrás dado cuenta que este método es mucho más sencillo, pero debes tener presente que

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EJERCICIO 4

En equipo de máximo tres miembros, o de forma individual, resuelve el siguiente problema y preséntale a tu profesor la solución encontrada. 1. La figura representa la forma en que se saca un automóvil de una zanja.El extremo A de la cuerda AOB se amarra al tronco de un árbol y el B al carro. En el punto medio O de la cuerda, con un tractor, se ejerce una fuerza F = 100 N perpendicular a la distancia AB. Calcular la tensión T en la cuerda. Sabiendo que el ángulo AOB mide 170 0. F=100N

T1 A

170o

T2 B

Si sobre un cuerpo rígido actúan dos o más fuerzas cuyas líneas de acción sean paralelas, la Fuerza resultante F R tendrá un valor igual a la suma algebraica de ellas con su línea de acción también paralela a las de las fuerzas. El punto de aplicación de F R debe ser determinado con exactitud para que produzca el mismo efecto que las fuerzas originales. En este caso el punto de aplicación y la magnitud o módulo de la fuerza resultante F R y de la fuerza equilibrante F E son los mismos pero tienen sentidos contrarios. Por lo que: y entonces

y habrá

Las fuerzas paralelas tienden a producir un movimiento de rotación o giro alrededor de un eje del cuerpo rígido sobre el cual actúan. Las fuerzas paralelas son aquellas que actúan sobre un cuerpo rígido con sus líneas de acción en forma paralela, com o se ve en las figuras siguientes.

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Cuando dos fuerzas paralelas que actúan sobre un cuerpo; son de la misma magnitud, de sentido contrario y no son colineales, se produce el llamado en el que la resultante del sistema es igual a cero y su punto de aplicación está en el centro de la línea que une a los puntos de aplicación de las fuerzas componentes. No obstante que su resultante es cero, de fuerzas produce siempre un movimiento de rotación, tal como sucede con el volante de un automóvil, o como en las figuras anteriores. El momento de una fuerza se define como la medida de la efectividad de una fuerza para producir el giro o rotación de un cuerpo alrededor de un Su magnitud es el producto del módulo de la fuerza por la distancia que hay del eje de rotación, de forma perpendicular a la línea de acción de la fuerza. A dicha distancia se le da el nombre de

En la figura, y respectivamente.

son los brazos de palanca de las fuerzas

y

El momento de una fuerza se considera positivo cuando el giro que produce tiene sentido contrario al del movimiento de las manecillas de un reloj y negativo si tiene el mismo sentido.

F

o

F

Los momentos para las fuerzas y con respecto al eje de rotación de la figura de abajo son: y

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EJERCICIO 5

De forma individual deduce las unidades utilizadas para medir el momento de una fuerza en los sistemas Internacional, C.G.S. e Inglés. Comenta con tus compañeros tus conclusiones y reporta al profesor tu resultado final.

Vigas

Se les da el nombre genérico de a los elementos estructurales que se utilizan para soportar cargas y fuerzas en dirección perpendicular a su eje longitudinal. Siempre la longitud de una viga es mucho mayor que las dimensiones de su sección transversal. En la figura se representan las vigas de uso más común. Viga en Cantilever

Viga en Voladizo

Viga Simplemente Apoyada

Supongamos que la viga analizada en un ejemplo anterior es de peso despreciable y que está sujeta a una bisagra por su extremo , el cual es el de rotación. Si colocamos un peso a una distancia del eje y en el otro extremo se ejerce la fuerza . Para que esta se encuentre en equilibrio, debe de cumplirse que:

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La suma algebraica de todas las fuerzas que intervienen, incluida la fuerza equilibrante , debe ser igual a cero. Esto es: La suma algebraica de los momentos de dichas fuerzas también debe ser cero. Esto es: Ahora consideremos el caso en el que la fuerza utilizada para soportar el peso no tenga la misma dirección de éste y que su brazo de palanca sea , como se ilustra en la siguiente figura.

Entonces las condiciones de equilibrio se expresarían de la si guiente forma: O sea: O sea:

θ

θ

MÁQUINAS SIMPLES

: Es una máquina simple, el trabajo de entrada se realiza mediante la aplicación de una sola fuerza, y la máquina realiza el trabajo de salida a través de otra fuerza única. Durante una operación de este tipo (Fig. 12-1), ocurren tres procesos: 1. Se suministra trabajo a la maquina. 2. El trabajo se realiza contra la fricción. 3. La maquina realiza trabajo útil o de salida. De acuerdo con el principio de la conservación de la energía, estos procesos se relacionan en la siguiente forma:

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Trabajo de entrada = trabajo contra la fricción + trabajo de salida

Figura 12-1. Durante el funcionamiento de una máquina ocurren tres procesos: (1) la entrada de cierta cantidad de trabajo, (2) la pérdida de energía al realizar trabajo contra la fricción, (3) la salida de trabajo útil. La cantidad de trabajo útil producido por una máquina nunca puede ser mayor que el trabajo que se le ha suministrado. Siempre habrá alguna pérdida debido a la fricción o la acción de otras fuerzas disipativas. Por ejemplo, cuando se introduce aire en un neumático de bicicleta por medio de una pequeña bomba manual, se ejerce una fuerza descendente sobre el émbolo, forzando el aire hacia el neumático. Parte de este trabajo de entrada se pierde a causa de la fricción y esto puede verificarse fácilmente sintiendo como se calienta el cilindro de la bomba manual. Cuanto mas se reduzca la perdida por fricción en una maquina, tanto mas provecho se obtendrá del esfuerzo realizado. Dicho de otro modo, la eficiencia de una maquina se puede medir comparando su trabajo de salida con el trabajo que se le suministro. La eficiencia E de una maquina se define como la relación del trabajo de salida entre el trabajo de entrada.

La eficiencia, tal como se define en la ecuación (12-1), siempre será un número entre 0 y 1. Por costumbre se expresa este número decimal como un porcentaje que se obtienen multiplicando por 100 la cantidad obtenida. Por ejemplo, una

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maquina que realiza un trabajo de 40 j cuando se le suministran 80 j, tiene una eficiencia del 50 por ciento. Otra expresión útil para la eficiencia puede obtenerse a partir de la definición de potencia como trabajo por unidad de tiempo. Podemos escribir:

La eficiencia en términos de potencia de entrada P i y potencia de salida Po esta dada por

O bien

Ejemplo: Un motor de 60 hp enrolla un cable alrededor de un tambor. (a) si el cable eleva una carga de 3 ton. De ladrillos hasta una altura de 12 ft en 3 s, calcule la eficiencia del motor. (b) ¿A que velocidad se realízale trabajo contra la fricción? Solución (a): Primero calculamos la potencia de salida.

Ahora se encuentra la eficiencia a partir de la ecuación (12-2):

29

Solución (b): La velocidad de la cual se realiza el trabajo contra la fricción es la diferencia entre la potencia de entrada y la potencia de salida, o sea 16.4 hp.

Las maquinas simples como la palanca, el polipasto, el malacate, los engranes, el plano inclinado, y el gato de tornillo desempeñan un papel importante en la industria moderna. Podemos ilustrar la operación de cualquiera de estas maquinas con la siguiente figura.

Durante el funcionamiento de cualquier maquina simple, una fuerza de entrada actúa a través de una distancia si mientras que una fuerza de salida actúa a través de una distancia Una fuerza de entrada actúa a través de una distancia realizando un trabajo Al mismo tiempo una fuerza de salida actúa a lo largo de una distancia realizando el trabajo útil La ventaja mecánica real de una maquina se define como relación de la fuerza de salida entre la fuerza de entrada

30

Una ventaja mecánica real mayor que uno indica que la fuerza de salida en mayor que la fuerza de entrada. Aun cuando las mayorías de las maquinas tienen valores mayores que uno, esto no siempre es así. Cuando se manejas objetos pequeños y frágiles a veces es deseables lograr que la fuerza de salida se a mas pequeña que la fuerza de entrada. La eficiencia de una maquina aumenta en la medida en que los efectos de la fricción se vuelven mas pequeños. Aplicando el principio de la conservación de la energía a la maquina simple anterior nos queda:

La maquina más eficiente que pudiera existir no tendría perdidas debido a la fricción. Podemos representar este caso ideal estableciendo (trabajo) = 0 en la ecuación anterior. Por lo tanto:

Podemos representar este caso ideal estableciendo

. Por lo tanto:

La ventaja mecánica ideal de una maquina simple es igual a la relación de la distancia que ocurre la fuerza de entrada entre la distancia que recorre la fuerza de salida. La eficiencia de una maquina simple es la relación del trabajo de salida entre el trabajo de entrada. Por consiguiente, para la maquina general de la siguiente figura:

Por último, utilizando las ecuaciones:

Obtenemos:

31

Todos los conceptos anteriores se han enfocado para aplicarlos a una maquina en general. En las siguientes secciones, los aplicaremos a maquinas especificas.

Tal vez la maquina más antigua y la más comúnmente usada es la palanca simple. Una palanca consiste en cualquier barra rígida apoyada en uno de sus puntos al que se le llama fulcro. En la siguiente figura se ejemplifica el uso de una barra larga para levantar el peso . Podemos calcular la ventaja mecánica ideal de ese tipo de dispositivos en dos formas. El primer método incluye el principio del equilibrio, y el segundo utiliza el principió del trabajo, tal como se analizo en la sección previa. Puesto que el método del equilibrio es más fácil para el caso de la palanca, lo aplicaremos primero. Debido a que no se incluye ningún trabajo traslacional durante la aplicación de una palanca, la condición de equilibrio es que el momento de torsión de entrada es igual al momento de torsión de salida:

La ventaja mecánica ideal se puede determinar a partir de

La relación de fricción.

se considera el caso ideal porque no se considera ninguna fuerza

Se obtiene el mismo resultado a partir de consideraciones sobre el trabajo. Observe en la siguiente figura que la fuerza se desplaza a través de un arco cuya distancia es si mientras que la fuerza se mueve a través del arco cuya distancia es . Sin embargo, los dos arcos son subtendidos por el mismo ángulo 0, por lo que podemos escribir la siguiente proporción.

Al sustituirla en la ecuación, se puede verificar el resultado obtenido partiendo de las consideraciones sobre el equilibrio, es decir,

32

Ejemplo: Una barra de hierro de 3 m de largo se usa para levantar un bloque de 60 kg.la barra se utiliza como palanca, tal como muestra la figura anterior. El fulcro está colocado a 80 cm del bloque. ¿Cuál es la ventaja mecánica ideal del sistema, y que fuerza de entrada se requiere? Solución: La distancia ideal es

, y la distancia

.por la ventaja mecánica

La fuerza de salida en este caso es igual al peso del bloque de 60 kg (W=mg).por consiguiente, la fuerza de entrada requerida está dada por:

Antes de dar por terminado el tema de la palanca, donde hacerse la observación de que cierta cantidad muy pequeña de trabajo de entrada se pierde debido a las fuerzas de fricción. Para propósitos prácticos, la ventaja mecánica real para una palanca simple es igual a la ventaja mecánica ideal. Otros ejemplos de la palanca se ilustran en la figura siguiente.

33

Una limitación seria de la palanca elemental es que funciona a través de un ángulo pequeño. Hay muchas formas c1e contrarrestar esta restricción permitiendo que el brazo de palanca gire continuamente. Por ejemplo, la rueda y eje (o cabria), (figura l2-5) permite la acción continua de la fuerza de entrada. Aplicando el razonamiento descrito en la sección 12-2 para una máquina en general, se puede demostrar que

Por lo tanto, la ventaja mecánica ideal de una cabria es el cociente del radio de la rueda entre el radio del eje. Otra aplicación del concepto de palanca se tiene mediante el uso de poleas. Una polea simple, como se muestra en la figura 12-6, es tan sólo una palanca cuyo brazo de palanca de entrada es igual a su brazo de palanca de salida. A partir del principio de equilibrio, la fuerza de entrada igualará la fuerza de salida, y la ventaja mecánica ideal será

La única ventaja de este tipo de dispositivo es que ofrece la posibilidad de cambiar dirección de la fuerza de entrada. Por otra parte, una polea móvil simple (fig. 12-7), tiene una ventaja mecánica ideal ce 2. Observe que las dos cuerdas de soporte deben reducirse en 1 ft para elevar la carga una distancia de 1 ft. Por lo tanto, la fuerza de entrada se mueve una distancia de 2 ft mientras que la fuerza de salida se mueve tan sólo una distancia de 1 ft. Al aplicar el principio del trabajo, tenemos:

De donde la ventaja mecánica ideal es:

34

Una polea simple móvil. (a) La fuerza de entrada se mueve sobre una distancia igual al doble de la distancia que recorre la fuerza de salida. (b) El diagrama de cuerpo libre nos muestra que 2F ¡ = F 0 El mismo resultado se obtiene construyendo un diagrama de cuerpo libre, como en la figura 12-7b. En esta figura es evidente que:

O bien:

El último método se aplica generalmente a problemas que incluyen poleas móviles, ya que esto permite asociar a M I con el número de cordones soportan la polea móvil.

35

Ejemplo 12-3: Calcule la ventaja mecánica ideal del polipasto que aparece en la figura 12-8.

Primero construimos un diagrama de cuerpo libre como se muestra en la figura. 12-8b. En la figura observamos que:

De donde:

Observe que la polea más alta sirve únicamente para cambiar la dirección de la fuerza de entrada. La misma resultaría si se aplicara hacia arriba en el punto .

El polipasto. Este dispositivo tiene una ventaja mecánica ideal de 4, ya que cuatro cables o “cordeles" soportan el bloque móvil.

Las máquinas que hemos estudiado hasta ahora se relacionan con la aplicación del principio de la palanca. Una segunda máquina fundamental es el plano inclinado. Suponga que tiene que mover una pesada carga desde el piso hasta la plataforma de un camión sin ayuda de una grúa. Probablemente usted seleccionaría unas cuantas tablas largas y formaría una rampa desde el piso hasta la plataforma del camión. La experiencia le ha enseñado que se requiere menos esfuerzo si se empuja la carga hacia arriba por una pequeña elevación, que si se sube dicha carga directamente. Debido a que con una fuerza de entrada menor se produjo la misma fuerza de salida, se ha obtenido una ventaja mecánica. Sin embargo, la fuerza de entrada menor se ha logrado a expensas de recorrer una mayor distancia. Considere el movimiento de un peso Whacia arriba del plano inclinado de la figura 12-12. El ángulo de inclinación () es tal, que el peso debe moverse a lo largo de una distancia s para llegar a la altura h en el punto más alto del plano inclinado. Si des preciamos la fricción, el trabajo necesario para empujar el peso hacia arriba del plano es el mismo que el trabajo requerido para levantado verticalmente. 36

Podemos expresar esta igualdad como: Trabajo de entrada = trabajo de salida Fis = Wh

Cuatro tipos comunes de engranes: (a) helicoidal, (b) planetario, (c) cónico, (d) sin fin. (El engrane recto es el que se usa con más frecuencia y se muestra en la figura 12-10.)

La fuerza de entrada representa el esfuerzo que se requiere para el bloque hacia arriba, deslizándose por el plano; la fuerza de salida es igual al peso del bloque. Donde es la fuerza de entrada y es la fuerza de salida. La ventaja mecánica ideal será la relación del peso entre la fuerza de entrada. Enunciando esto simbólicamente, tenemos:

37

Ejemplo 12-5: La caja de madera de 200 lb, que muestra la figura 12-13, debe ser levantada a una plataforma de carga de 6 ft de altura. Se utiliza una rampa de 12 ft de largo para deslizar la caja desde el piso hasta la plataforma. Suponga que el coeficiente de fricción es 0.3. (a) ¿Cuál es la ventaja mecánica ideal de usar la rampa? (b) ¿Cuál es la ventaja mecánica real?

La ventaja mecánica ideal, partiendo de la ecuación (12-14), es:

Este valor representa la ventaja mecánica de la rampa si no hubiera fricción.

La ventaja mecánica real es el cociente del peso que se levanta entre la fuerza de entrada requerida, tomando en cuenta la fricción. Aplicando la primera condición para el 'equilibrio al diagrama del cuerpo libre (figura 12-13b), encontramos que la fuerza normal está dada por:

Por lo que la fuerza de fricción debe ser:

Sumando las fuerzas a lo largo del plano obtenemos:

Pero Wx = (200 lb)(sen 30°) = 100 lb, por lo tanto nos queda:

38

Ahora podemos calcular la ventaja mecánica real:

Queda como ejercicio para usted demostrar que la eficiencia de la rampa es de 66 por ciento.

La rueda es un disco con un orificio central por el que penetra un eje que le guía en el movimiento y le sirve de sustento.

La parte operativa de la rueda es la periferia del disco, que se recubre con materiales o terminaciones de diversos tipos con el fin de adaptarla a la utilidad correspondiente. Algunas de las ruedas más empleadas son la que se ilustran en la figura de la izquierda.

La rueda es un operador dependiente. puede usarse sola y siempre ha de ir acompañada de un que le guía y sirve de sustento y de un o que es el operador que controla la posición del eje y sirve de sostén a todo el conjunto. El es una barra, normalmente cilíndrica, que guía el movimiento giratorio de la rueda. El es un operador cuya misión es mantener al eje solidario con la máquina. En muchas aplicaciones suele tener forma de horquilla (patinetes, bicicletas, carros, etcétera). Aun cuando todas las aplicaciones que el hombre le ha encontrado a para facilitar su trabajo son de suma importancia, en este curso le prestaremos atención sólo a cuando se le utiliza como . La polea. La polea simple (llamada también garrucha) consiste simplemente en una rueda fija (Fig. 19.2) por la que pasa una cuera, de uno de cuyos extremos cuelga un peso, el cual se puede hacer subir [alarido con la mano del otro extremo. 39

La distancia que recorre la mano al bajar es la misma que la peso al subir, de modo que, según (19.4):

que recorre el

Y, por lo tanto, según (19.3) la fuerza obtenida: Será igual a la fuerza invertida.

En la polea fija no se obtiene, pues, más beneficio que la inversión del movimiento, ya que es más cómodo jalar de arriba hacia abajo que de abajo hacia arriba. Otra cosa diferente ocurre en cambio en la llamada polea móvil (Fig. 19.3) en la cual una cuerda que está sujeta por un extremo a un soporte fijo puede hacer subir a una polea de la cual cuelga el cuerpo que se quiere manejar. El otro extremo de la cuerda se suele hacer pasar por una polea fija con el fin de realizar el es fuerzo más cómodamente. Observando la figura da que recorre la mano al bajar vemos que la distancia se tiene que repartir por igual entre las dos porciones de la cuerda que hacen subir la polea, por lo tanto: De donde:

40

Y con esta polea se podrá hacer subir con la mitad del esfuerzo que se haría polea fija. En la práctica, para aumentar más la ventaja mecánica de la polea, se suelen emplear grupos de éstas, llamadas en general aparejos, de los cuales vamos a presentar aquí el cuadernal y la trocla. El cuadernal, motón, pasteca o polipasto consiste en un sistema de poleas tal como se indica, por ejemplo, en la Fíg, 19. 4

En ella se ve que la distancia da recorrida por la mano al jalar la cuerda de la izquierda se reparte por igual entre las tres partes de la cuerda que jalan el peso de la derecha. Tendremos entonces que:

Y, por lo tanto: Y este mecanismo triplicará el esfuerzo que sobre el se hace. Si en general llamamos n al número de partes de la que jalan del cuerpo que se hace subir por medio de un polipasto, la ventaja mecánica de este será:

Y el esfuerzo se reducirá tanto más cuanto más poleas tenga el polipasto.

41

Las troclas, en cambio, están dispuestas como se indica en la Fig. 19.5, en la cual se ve que la distancia jalada d a se reparte por igual entre las dos partes de la cuerda que hacen subir a la polea móvil A con lo cual ésta subirá la mitad de aquella distancia. A su vez, lo que sube la polea A se reparte por igual entre las dos ramas de la cuerda que hacen subir a la segunda polea B y ésta subirá la mitad de la polea A. Finalmente, por la misma razón, la polea e subirá la mitad de lo que ha subido la B y, por lo tanto, el cuerpo sube una distancia do tal que:

y, por lo tanto, la ventaja mecánica será:

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En general, si un sistema de troclas está compuesto por n poleas móviles. Su ventaja mecánica será:

Con lo que se ve que este aparato aumenta enormemente el esfuerzo empleado. EJERCICIO 7

. F es la fuerza necesaria con la que hay que jalar a la cuerda de un polipasto compuesto por dos poleas móviles y dos fijas para levantar un peso de 120 N. Calcular la fuerza con que se debe tirar de la cuerda para elevar al peso representado en la siguiente figura.

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Nombre _________________________________ ____________________________________________________________ ___________________________ Núm. de de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________ Núm. de Expediente _____________________ _____________________ Fecha _____________________ _____________________

1. Dos, vectores y forman entre si un ángulo de 45°. El módulo de vale 3 N. Calcular cuál debe ser el módulo de para que sea perpendicular a .

2. Sobre la cubierta de un barco, y en dirección normal al movimiento del barco, se mueve un pasajero con velocidad de 3 m/s. Calcular la velocidad total del pasajero si la del barco es de 6 m/s.

45

3. Un pasajero recorre un tren con movimiento uniforme de velocidad V = 1,2 m/s en la dirección de movimiento del tren. El tren recorre un tramo rectilíneo con velocidad de 6 m/s. Calcular: a) La velocidad total del pasajero. b) Dicha velocidad si el pasajero se moviera en sentido contrario al movimiento del tren.

c) Suma los siguientes vectores por el método analítico. A = 75 N 1300. B = 69 N 38 0. C = 270 N 286 0.

Revisión: ________________________________________ _____________________________________________________ _____________ Observaciones:________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________

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Nombre ____________________________________________________________ Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ____________ Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________

1. Ilustra con imágenes y comentarios, dando dos ejemplos en cada caso, los sistemas de Fuerzas: a) Colineales. b) Coplanarias concurrentes. c) Coplanarias paralelas. ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ d) Explica brevemente en qué consisten: e) as funciones seno, coseno y tangente f) El teorema de Pitágoras. g) La Ley de los senos. h) La Ley de los cósenos. i) La semejanza de triángulos. ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________

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j) Investiga y explica en qué consisten, el equilibrio: k) Estable. l) Inestable. m) Neutro. ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________

Revisión: _____________________________________________________ Observaciones:________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________

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1. De dos ganchos empotrados en un techo horizontal se amarran los extremos de una cuerda de 11 m de longitud. Los ganchos se encuentran separados por una distancia de 9 m. A los 4 m del extremo izquierdo de la cuerda se cuelga un peso de w = 100 N. Calcular las fuerzas de tensión T 1 y T 2 en los extremos de la cuerda. 9 α

7

4 α

0

θ

w=100N

2. Una estructura metálica construida en forma de triángulo isósceles, esta formada por la barras AC y BC, el tirante AB las mantiene en la posición indicada en la figura. El ángulo formado por las barras es de 70 0. Los pies de las barras descansan sobre dos soportes en un plano horizontal. En el punto de unión de las barras C se cuelga un peso de w = 120 N. Calcular la fuerza de tensión T a que está sometido el tirante y las de compresión P1 y P2 que soportan las barras. C α

120 N A

B

49

3. Se suspende un peso w = 600 N del poste BC representada en la figura utilizando para ello la barra OA de 4 m de longitud, articulada en el punto A y sostenida por la cuerda OB amarrada al poste en el punto B situado a 3m por arriba del punto A. Calcular la fuerza de tensión T en la cuerda y la de compresión P en la barra. B 3m θ

O

w= 600N

4m

A

C

4. Con los datos de la figura determina el peso del cuerpo suspendido si la tensión de la cuerda diagonal es de 20 N.


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1. Acompañado de dibujos propios, imágenes o fotografías, por lo menos con tres ejemplos para cada caso, explica qué son y qué utilidad tienen : a) En Cantilever. b) En voladizo. c) Simplemente apoyada.

2. Determina la intensidad de la fuerza

según los datos de la figura.

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3. Con los datos de la figura, determina a qué distancia del fulcro debe colocarse la fuerza

.

4. La barra AB tiene un peso uniforme de 50 N y una longitud de 10 m. El bloque D pesa 30 N y dista 8 m de A. La distancia entre los puntos de apoyo de la barra es de AC = 7 m .Calcule la reacción en el extremo A.


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Nombre ____________________________________________________________ Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________ Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________

1. Da por lo menos cuatro ejemplos de cómo utilizamos en la vida diaria la Ley de la Palanca explicado la ventaja de su uso. ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ 2. Describe las características y principales usos que se le dan a: a) La rueda dentada. b) La rueda de transporte. c) La rueda de palas. ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ 3. En la figura está representada una barra rígida apoyada en P. En el extremo está colgado un cuerpo de 1[Kg] de masa. ¿Cuál debe ser la masa X del otro cuerpo, que está colgado en el otro extremo, para que el sistema quede en equilibrio en la posición indicada en la figura? (Consideren despreciables la masa de la barra y los rozamientos y adopte g = 10[m/s 2] )

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4. Una barra homogénea AB tiene 10[m] de longitud y 200 N de peso .A 2m del extremo A se coloca un cuerpo Q de 100N. Suspendida por el punto O, la barra queda en equilibrio en la posición horizontal. La distancia en metros del punto O al extremo A de la barra vale:

5. En un taller mecánico, se levanta el motor de un automóvil, cuyo peso es de 350 N, por medio de un aparejo diferencial. Si los radios de las poleas son R = 15 cm y r = 12 cm respectivamente, ¿cuál es la magnitud de la fuerza que equilibra ese peso?

6. El sistema de la figura está en equilibrio y los pesos de la barra y de las poleas pueden ser ignorados .La razón entre las masas M/m es :


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1. Se levanta un cuerpo de 200 N mediante un plano inclinado de 2,8 m de largo y 1,5 m de altura. El extremo de la cuerda que sube el cuerpo, se adapta a un torno, cuya manivela es de 0,8 m y el radio del torno es de 0,2 m. Calcular la potencia aplicada al torno, para mantener el sistema en equilibrio.

2. En un taller mecánico, se levanta el motor de un automóvil, cuyo peso es de 350 N, por medio de un aparejo diferencial. Si los radios de las poleas son R = 15 cm y r = 12 cm, ¿cuál es la fuerza que equilibra ese peso?

3. Los radios de un aparejo diferencial son R = 20 cm y r = 15 cm. Si se aplica una fuerza de 80 N, Calcular el peso del cuerpo que la equilibra.

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4. En un aparejo potencial de 4 poleas móviles, se aplica una fuerza de 30 N para mantener el sistema en equilibrio, se desea saber cuál es el valor de la resistencia.

5. Un cuerpo es sostenido mediante un aparejo potencial de 5 poleas. Si la potencia aplicada es de 60 N, ¿cuál es el peso del cuerpo?

6. Mediante un torno cuyo radio es de 12 cm y su manivela es de 60 cm, se levanta un balde que pesa 3.5 N, cargado con 12 litros de agua. Calcular la fuerza de potencia aplicada.


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57


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Nombre _________________________________________________________ Núm. de lista ____________ Grupo ________________ Turno ___________ Núm. de Expediente ___________________ Fecha ____________________

1. Es la fuerza que experimentamos durante toda nuestra vida y en todo momento. Masa. Trabajo. Peso. Presión. 2. ¿En cuál de las siguientes propuestas existe alguna magnitud que no es vectorial? Área de una superficie, Campo eléctrico. Momento de inercia, Campo magnético Momento angular, Fuerza Momento de una fuerza, Campo gravitatorio. 3. Dos bloques en posición vertical están unidos por una cuerda. Otra cuerda es amarrada al bloque superior. La fuerza F necesaria para mantener el sistema en equilibrio vale. 8 Kgf. 12 Kgf. 6Kgf. 2Kgf.

4. Elige la respuesta que indique correctamente las componentes y el módulo de la fuerza representada en el siguiente diagrama: Componentes 3,4; módulo 5N. Componentes 3,-4; módulo 5N. Componentes -4,3; módulo 5N. Componentes -4,3; módulo 25 N.

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5. Tres de los siguientes diagramas representan dos fuerzas actuando sobre un objeto. Los otros tres representan sus correspondientes fuerzas resultantes. La relación por parejas correcta es: 1

2

3

4

5

6

1-4, 3-5, 2-6. 1-3, 4-5, 6-2. 6-1, 2-3, 4-5. 1-2, 3-4- 5-6. 6. Para la fuerza F de la figura se cumple que el módulo de su momento es: F d. Fy d. Fx d. Cero.

7. Para la siguiente figura podemos afirmar que: El momento de las dos fuerzas con respecto al punto O es el mismo. El módulo del momento de la fuerza F2 con respecto al punto O es F2 El módulo del momento de la fuerza F2 con respecto al punto O es igual al módulo del momento de la fuerza F1 con respecto al punto O e igual a F1 d Cos. a = F2 d Cos. b. El módulo del momento de las dos fuerzas con respecto al punto O es el mismo por tener el mismo punto. 8. Si fueras un náufrago en una isla solitaria y necesitaras derribar un árbol ¿Qué máquina simple utilizarías? Una rueda. Una biela. Una cuña. Una motosierra. 9. La fuerza que es necesario aplicar a una polea fija, para levantar un peso de 80 N, es de: 160 N. 30 N. 20 N. 80 N.

60

10. La potencia que se necesita aplicar para equilibrar una resistencia de 90 N, mediante una polea móvil, es de: 45 N. 90 N. 30 N. 180 N. 11. Un señor emplea una caña de pescar de 2 m de longitud. Si la pieza lograda tiene un peso de 50 N. La fuerza que tiene que aplicar para mantener en equilibrio al pescado, tomando en cuenta que el pescador toma la caña a 1.20 m del apoyo, es de: 83.33 N. 125 N. 50.5 N. No es posible mantener el equilibrio. 12. El valor de la potencia aplicada a una palanca, cuyos brazos de potencia y resistencia, son respectivamente, 120 m y 30 cm, siendo la resistencia de 80 N, es de: 120 N. 40 N. 20 N. 30 N. 13. En una palanca interfija, una fuerza de potencia de 2 N equilibra una resistencia de 50 N. Si el brazo de la potencia mide 2.5 m; la longitud del brazo de la resistencia es: 1 m. 5 m. 0.1m. 125 m. 14. Un cuerpo de 200 N se levanta mediante un aparejo potencial de 3 poleas móviles. El valor de la fuerza de potencia es: 100 N. 25 N. 66.66 N. 50 N. 15. En el esqueleto humano aparecen multitud de palancas ¿de qué grado son? Primer grado. Segundo grado. Tercer grado. Cuarto grado.

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16. De los siguientes inventos humanos ¿cuál puede ser considerado como "máquina"? Puente Sacacorchos Silla Árbol 17. Los tres bloques esquematizados en la figura tienen el mismo peso y están inicialmente en reposo unidos por cuerdas ligeras e inelásticas. El bloque 2 se halla sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Al dejar el sistema en libertad: Este permanece como está. El bloque 1 desciende. El bloque 3 desciende. Lo que suceda depende de la longitud de las cuerdas.

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Nombre _________________________________________________________ Núm. de lista ____________ Grupo ________________ Turno ___________ Núm. de Expediente ___________________ Fecha ____________________

.

1. ¿Puede estar un cuerpo en equilibrio cuando sobre él actúa una fuerza? ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ 2. Un globo se mantiene en el sin ascender ni descender. ¿Está en equilibrio? ¿qué fuerzas actúan sobre él? ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ 3. Si se tira de los extremos de una cuerda en equilibrio con dos fuerzas iguales y de dirección opuesta, ¿por qué la tensión total en la cuerda es cero? ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ 4. Un caballo está enganchado a un carro. Como el carro tira del caballo hacia atrás con la misma fuerza que éste tira del carro, ¿por qué no permanece el carro en equilibrio, independientemente de lo que jale el caballo? ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ 5. ¿Cómo se puede empujar hacia abajo el pedal de una bicicleta y lograr que la bicicleta se mueva hacia adelante? ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________

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6. Para empujar una caja hacia arriba por una rampa, ¿es mejor empujarla horizontal o paralelamente a la rampa? ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ 7. ¿De qué depende el coeficiente de rozamiento entre dos superficies? ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ 8. ¿Puede el coeficiente de rozamiento ser mayor que la unidad? En caso afirmativo dé un ejemplo; de lo contrario, explica por qué no puede serlo. ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________

1. Un peso de 5 N cuelga de una cuerda de 1 m de longitud que se encuentra sujeta al techo. Calcular la fuerza horizontal que se debe aplicar al peso para que éste se desvíe 30 cm de la vertical y se mantenga en esa posición.

2. Un peso w = 5 N se encuentra suspendida como se muestra en la figura. Si el sistema está en equilibrio, Calcular los valores para las tensiones T 1 y T2 de las cuerdas. = 40º.

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3. Determinar las tensiones T 1 y T2 de las cuerdas del sistema mostrado en la figura si el peso suspendido es w = 5.5 N. El sistema está en equilibrio.

4. En la figura se representa a La Tierra apoyada sobre la palanca en el punto Suponiendo que el punto de apoyo fuera la luna. Y si hipotéticamente Arquímedes aplicara una fuerza de potencia de en el punto de la palanca, calcular cuanto tendría que medir el brazo de la potencia para poder mover a la tierra.

Fuerza aplicada por Arquímedes.

5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 65

21.Investiga los nombres de las partes de la locomotora que están señalados con números en la figura y escríbelos sobre la línea correspondiente. 1.__________________ 2.__________________ 3.__________________ 4.__________________ 5.__________________ 6.__________________ 7.__________________ 8.__________________

22.En la siguiente figura se representa un mecanismo construido para soportar un peso de 900 N. Con los datos que ésta te presenta, calcula la magnitud de la fuerza de tención en el cable y la de la fuerza de compresión en la barra

23.El sistema de la figura está en equilibrio y los pesos de la barra y de las poleas pueden ser ignorados. Calcular la razón entre las masas M/m.

66

Unidad 2 2

La Luna es el cuerpo celeste (astro) más cercano a la Tierra. Gira alrededor de ella a una velocidad de 3664 km/hr. Tarda 27 días con 7.716 horas en dar una vuelta alrededor de la Tierra (traslación) y es exactamente el mismo tiempo que tarda en girar sobre su propio eje (rotación).

2.1. Traslación y rotación pura. 2.2. Traslación y rotación uniforme y uniformemente acelerado.

Anotar en el siguiente espacio lo que se entiende por cuerpo rígido, traslación y rotación de un cuerpo. ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ _____________________________________________________________________

TRASLACIÓN Y R ROTACIÓN P PURA. No hay cuerpo que sea completamente rígido, pero podemos considerar como ejemplo las moléculas, las viguetas de acero y los planetas, como lo suficientemente rígidos para pensar que se tuercen, se doblan o vibran. Un cuerpo rígido se mueve en una traslación pura, si cada partícula del cuerpo experimenta el mismo desplazamiento que todas las demás partículas en un intervalo de tiempo dado. Algunos consideramos que los cuerpos tienen únicamente un movimiento traslacional, pero hay casos como las ruedas, ejes, poleas, giroscopio y muchos otros dispositivos mecánicos, que giran sobre su eje sin que haya movimiento traslacional.

El movimiento de la rueda es un ejemplo de rotación pura de un cuerpo rígido, que se define así: Un cuerpo rígido se mueve en rotación pura si todos sus puntos (como en la siguiente figura) lo hacen en una trayectoria circular. El centro de estos círculos ha de estar en una línea recta común denominada eje de rotación.

Fig. 2.1 Bicicleta estacionaria donde la rueda gira sobre el eje (rotación).

68

En este tema abordaremos el movimiento rotacional puro. Nos ocuparemos sólo de objetos rígidos en los cuales no se observa movimiento relativo de las partes a medida que el objeto gira; se excluye, por ejemplo, un líquido dentro de un contenedor que gira.

Si hemos acordado llamar movimiento al cambio de la posición con el tiempo, será necesario establecer un criterio para determinar qué posición ocupa un cuerpo en un instante. En el instante t el móvil se encuentra en el punto P. Su posición angular viene dada por el ángulo θ, que hace el punto P, el centro de la circunferencia C y el origen de ángulo O. En el instante t´ el móvil se encontrará en la posición P´ dada por el ángulo θ´. El móvil se habrá desplazado Δθ = θ´- θ en el intervalo de tiempo Δt = t´- t comprendido entre t y t´.

El desplazamiento angular de un cuerpo describe la cantidad de rotación. Si un punto en el disco giratorio de la figura anterior gira sobre su eje de O a P, el desplazamiento angular se denota por el ángulo θ. 1 rev = 360 0 Ninguna de estas unidades es útil para describir la rotación de los cuerpos rígidos. Una medida mas fácil de aplicar al desplazamiento angular es el (rad). Un ángulo de 1 rad es un ángulo central cuyo arco s es igual a la longitud del radio R. Es más común que el radián se defina por la siguiente ecuación:

s R

ecuación 2.1

Donde s es el arco de un círculo descrito por el ángulo θ . Puesto que el cociente s entre R es la razón de dos distancias, el radián es una cantidad sin unidades. El factor de conversión que permite relacionar radianes con grados se encuentra considerando un arco de longitud s igual a la circunferencia de un círculo 2 πR. Dicho ángulo en radianes se obtiene de la ecuación.

2 R R

Para saber más y enriquecer el tema, visita el sitio http://lefmvespertino.usach.cl /flash/radianes_ene2006.swf y encontrarás una explicación sobre la definición de radián

2 rad

69

Así tenemos, 1 rev = 360 0 = 2π rad de donde observamos que

360

1rad



57.3

2



Ejemplo 2.11 Si la longitud del arco s es de 2 m y el radio es de 3 m, calcular el desplazamiento θ en radianes, grados y revoluciones. Solución 1.- Datos s = 2 m θ =

2.- Fórmula

3.- Sustituyendo

s

2m

R

3m

0.66 rad

3m

4.- Convirtiendo a grados nos queda: Fig. 2.4 Ana Gabriela Guevara, como cualquier atleta, debe tomar la salida en la prueba corta de 400 m por su propio carril, las corredoras salen desde posiciones escalonadas. La ecuación 2.1 nos dice que los corredores más alejados del centro tendrían que recorrer una distancia mayor en las curvas de la pista que los carriles interiores.

(0.66rad )

57.3 1rad

37.8



5.- Como 1 rev = 360 0

(37.8 ) 

1rev 360

0.10505 rad



Ejemplo 2.12 Un punto situado en el borde de un disco giratorio cuyo radio es de 6 m se mueve a través de un ángulo de 40 0. Calcular la longitud del arco descrito por el punto. Solución: Como el ángulo debe estar en radianes, primero debemos convertir los 40 radianes

(40 ) 

1rad 57.3



0.698 rad

La longitud del arco está dada por

s R

70

6m(0.698rad )

4.19rad

0

en

La unidad radián desaparece porque representa una relación de longitud a longitud (m/m = 1). EJERCICIO 1

1.- Convertir: a) 65 rev a radianes b) 50π rad a revoluciones c) 900 rps a rad/seg 2.- Un punto localizado en el borde de una rueda cuyo radio es de 0.5 m se mueve en un ángulo de 37 0. Calcular la longitud del arco descrito por ese punto.

A la razón de cambio del desplazamiento angular con respecto al tiempo se le llama Por lo tanto, si un objeto gira a través de un ángulo θ en un tiempo t , su velocidad angular media está dada por:

t

ecuación 2.2

El símbolo ω, (letra griega omega), se usa para denotar la velocidad rotacional. Aun cuando la velocidad angular puede expresarse en revoluciones por minuto o revoluciones por segundo, en la mayoría de los problemas físicos en necesario utilizar radianes por segundo para adaptarse a fórmulas más convenientes. Puesto que la velocidad de rotación en gran número de problemas técnicos se expresa en términos de frecuencia de revoluciones, la siguiente relación será de utilidad:

2 f ecuación 2.3 Donde ω se mide en radianes por segundo y f se mide en revoluciones por segundo o ciclos por segundos. Ejemplo 2.13 La rueda de una bicicleta tiene un diámetro de 66 cm y da 40 revoluciones en 1 min. a) ¿cuál es su velocidad? b) ¿qué distancia lineal se desplazará? Solución: a) Como 1 rev = 2π radianes, entonces

f

40rev

1min

min

60 seg

0.667rev / seg

sustituyendo la frecuencia en la fórmula de la velocidad angular ω =

2πf = (2 π rad)(0.667 rev/seg) = 4.188 rad/seg

b) El desplazamiento lineal s se puede calcular a partir del desplazamiento angular θ en radianes.

2 rad 1rev

40rev

251 .3rad

71

s de la ecuación

R despejamos s, quedando: s R (251.3rad )(33m)

82.93m

Es importante observar que la velocidad angular representa una velocidad media.

EJERCICIO 2

1.- Un motor eléctrico gira a 900 rpm. ¿Cuál es su velocidad angular? y ¿cuál es el desplazamiento angular después de 6 s? 2.- Encontrar la velocidad angular de un disco de 45 rpm, así como su desplazamiento angular, si su movimiento duró 2.5 minutos.

El movimiento rotacional puede ser uniforme o acelerado. La rapidez de la rotación puede aumentar o disminuir bajo la influencia de un momento de torsión resultante. Por ejemplo, si la velocidad angular cambia constantemente de un valor inicial 0 a un valor final f en un tiempo t, la aceleración angular es constante y: 0

f

t La letra griega (alfa) denota la aceleración angular y las unidades típicas son rad/seg2, rev/min2, etcétera. Las ecuaciones empleadas para el movimiento circular acelerado son las mismas que se utilizan para el rectilíneo uniformemente acelerado con las siguientes variantes: 1.- En lugar de desplazamiento en metros hablaremos de desplazamiento angular en radianes ( θ en lugar de d). 2.- La velocidad en m/seg se dará como velocidad angular en rad/seg ( ω en lugar de v). 3.- La aceleración en m/seg 2 se cambiará a aceleración angular en rad/seg 2 (α en lugar de a).

72

Tabla 2.1. Comparación de la aceleración lineal y la aceleración angular. Aceleración lineal constante Aceleración angular constante

d v

vo

v 2

vo

o

t

at

t

o

d vo t 1 at 2 2 2 2 v vo 2ad d

t

2

o 2

v prom t

t 1 at 2 2 2 2 o

prom

t

Ejemplo 2.14 Una rueda que gira a 4 rev/seg aumenta su frecuencia a 20 rev/seg en 2 segundos. Determinar el valor de su aceleración angular. Datos Fórmulas 2 f fo = 4 rev/seg o

2 f

f = 20 rev/seg

o

t = 2 seg α =

t

¿? Sustitución y resultado ωo = 2π(4) = 25.12 rad/seg ω = 2π(20) = 125.6 rad/seg

125 .6rad / seg 25 .12 rad / seg 2 seg

50.24 rad / seg 2

Ejemplo 2.15 Una rueda de la fortuna gira inicialmente con una velocidad angular de 2 rad/seg, si recibe una aceleración angular de 1.5 rad/seg 2 durante 5 segundos, calcular: a) Su velocidad angular a los 5 seg. b) Su desplazamiento angular. c) El número de revoluciones al término de los 5 seg. Solución a) Datos: ωo = 2 rad/seg α =

Fórmula: o 2

1.5 rad/seg t = 5 seg

t

Sustitución: 2 rad/seg + (1.5rad/seg 2)(5seg) ω= 9.5 rad/seg ω =

Fig. 2.5 Rueda de la fortuna

Solución b) El desplazamiento angular está dado por: o

1

t

2

t 2

Sustitución:

(2rad / seg )(5 seg )

1 2

(1.5rad / seg 2 )(5seg ) 2

73

10 rad 0.75 rad / seg 2 (25 seg 2 ) 28 .75 rad Solución c) Puesto que 1 rev = 2 π rad, obtenemos

(28.75rad )

1rev 2 rad

4.5757rev EJERCICIO 3

1.- Un engrane adquirió una velocidad angular de 2512 rad/s en 1.5 s. ¿Cuál fue su aceleración angular? 2.- Un carrete circular de 50 cm de radio gira a 450 rev/min. Luego se detiene por completo después de 60 revoluciones. Calcular: a) La aceleración angular. b) El tiempo en detenerse.

TRASLACIÓN Y R ROTACIÓN UNIFORME Y U UNIFORMEMENTE ACELERADAS. Con frecuencia se encuentran dos casos especiales de rotación: 1.- Rotación uniforme. Este caso se caracteriza por el hecho de que la aceleración angular es cero ( α = 0). La velocidad angular es por lo tanto constante y la coordenada angular está dada por la fórmula t . 2.- Rotación uniformemente acelerada. En este caso la aceleración angular es constante. Las fórmulas que se utilizan para este tipo me movimiento se mostraron en el tema anterior (tabla 2.1), haciendo hincapié que se utilizan estas fórmulas cuando α = constante. En el caso de la traslación, se presenta la traslación rectilínea y traslación curvilínea, en los dos puede suceder que sea uniforme su velocidad (a = 0, α = 0), entonces v = d/t, o bien ω = θ /t respectivamente; sí el movimiento uniformemente acelerado, en este ultimo se utilizará, las fórmulas del cuadro 2.1 de aceleración lineal constante. Relación entre los movimientos rotacional y lineal Cuando más lejos se encuentre una partícula del eje de rotación, mayor es su velocidad lineal según la siguiente fórmula.

v

74

2 fR

donde f es la frecuencia de rotación y R el radio de curvatura. Como s= θR entonces

v

s

R

t

t

Puesto que θ /t = ω, la velocidad lineal se puede expresar como una función de la velocidad angular.

v

R

La aceleración tangencial en términos de de un cambio en la velocidad angular quedaría:

R

aT

R

o

t aT

o

t

R

R

representa la aceleración angular. No hay que confundir la aceleración tangencial (cambio de velocidad lineal) con la aceleración centrípeta (cambio en la dirección del movimiento)

ac

v2 R

Ejemplo 2.16 Una rueda de 80 cm de radio gira sobre un eje estacionario. Si la velocidad aumenta uniformemente desde el reposo hasta alcanzar 1900 rpm en un tiempo de 30 s, calcular: a) La aceleración angular de la rueda. b) La aceleración tangencial de la rueda Datos:

Fórmula

1900rpm o

R

o

0 80cm

0.8m

t 30 s

t a

R

a)

a

1920rev

0rev

60 s

s 30

32 rev s 30

1.07 rev 2 s

b)

a

R 1.07

rev 2 rad s

2

1rev

0.8m

recordemos que α debe estar en rad

6.72

rad s

2

0.8m

5.37 m 2 s Para saber más y enriquecer el tema, visita el sitio http://newton.cnice.mec.es/ 4eso/mcu/mcu421.htm

75

. Para abordar este tema es necesario definir algunos conceptos como: Trayectoria: Es la línea formada por las sucesivas posiciones por las que pasa el móvil. Distancia: Es la longitud de la trayectoria y se trata d una magnitud escalar. Desplazamiento: Es una magnitud vectorial cuyo módulo es la línea recta entre la posición final y la inicial. El vector que representa al desplazamiento tiene su origen en la posición inicial y su extremo en la posición final. En el lenguaje ordinario los términos distancia y desplazamiento se utilizan como sinónimos aunque en realidad tienen un significado diferentes. Lo mismo ocurre con las definiciones de rapidez y velocidad en la cual se suele confundir con frecuencia ya que rapidez es una magnitud escalar que relaciona la distancia recorrida con el tiempo ( r d / t ) y la velocidad es una magnitud vectorial que relaciona un cambio de posición (desplazamiento) con el tiempo ( v

d t

).

Para una traslación rectilínea uniforme, tenemos el siguiente ejemplo: Ejemplo 2.17 Determinar el desplazamiento en m que realizará un ciclista al viajar hacia el sur a una velocidad de 35 km/hr durante 1.5 minutos. Datos

Fórmula

v

v = 35 km/hr al sur

d

d

t

vt

t = 1.5 min d = ¿? m Conversión de unidades

35

km 1000 m 1hr x x hr 1km 3600 seg

1.5 min x

60 seg 1min

9.7

m seg

90 seg

Sustitución y resultado

d 9.7

m

x90 seg 873 m al Sur seg

EJERCICIO 4

1.- Determinar el desplazamiento en metros de un automóvil que va a una velocidad de 80 km/hr al Este, durante 3.5 min. 2.- Calcular el tiempo en segundos que tardará un tren en desplaza rse 3 km en línea recta hacia el Norte con una velocidad de 90 km/hr.

76

Como la aceleración es un cambio de velocidad en un intervalo de tiempo

v vo

(a

t

), entonces podemos utilizar las fórmulas de la tabla 2.1 para realizar

los siguientes ejercicios:

Fig. 2.6 Camión de carga

Ejemplo 2.18 Un camión de carga viaja con una velocidad de 70 km/h, aplica bruscamente los frenos y se detiene en 15 segundos pues se le atravesó una vaca a 150 m. Calcular: a) b) c)

La aceleración. La distancia total recorrida desde que aplicó los frenos para detenerse. ¿Atropelló a la vaca?

a) Vo = 70 km/h = 70

km 1000 m 1km

h

1h 3600 s

19.44 m / s

t = 15 s v=0

a

v vo

0 19.44m / s

a

t

15 s

a = -1.29 m/s

b)

d

v

vo 2

t

0 19 .44 m / s

d

2

15 s

d = 145.8 m

c) No, pero que susto se llevó. Sí se trata de un proyectil que se lanza verticalmente o se deja caer su aceleración será la gravedad que es de 9.8 m/s 2 y su desplazamiento será vertical (altura = h). Ejemplo 2.19 Una piedra se deja caer desde la azotea de un edificio y tarda en llegar al suelo 4 segundos. Calcular: a) La altura del edificio. b) La velocidad con que choca con el suelo. a)

v=0

h

vo t

gt 2 2

Como vo = 0; la ecuación queda:

t=4s g = - 9.8 m/s 2

h

gt 2 2 77

h=?

h

9.8m / s 2 (4 s) 2

9.8m / s 2 (16 s 2 )

2

156 .8m

2

2

78 .4m

El signo menos de la altura es porque se mide desde la azotea hasta el suelo.

EJERCICIO 5

1.- Un camión de pasajeros arranca desde el reposo manteniendo una aceleración constante de 0.6 m/s 2. Calcular: a) El tiempo recorrido en 0.3 Km. b) La rapidez en ese tiempo. 2.- Un niño deja caer una pelota desde una ventana que está a 60 m de altura sobre el suelo. Calcular: a) El tiempo que tarda en caer b) La velocidad con que chocará con el suelo.

En el caso de movimientos de proyectiles cuya trayectoria es parabólica como por ejemplo el movimiento de la pelota cuando Lorena Ochoa la golpea lanzándola al aire, cuando Guillermo Ochoa despeja el balón de fútbol desde la portería, cuando se lanza un proyectil de un avión, etcétera, la velocidad se tendrá que descomponer y tratarse horizontal y verticalm ente con: v0 x vo cos velocidad horizontal

voy

vo sen

velocidad vertical

donde α es el ángulo que forma la v o con la horizontal. Fig. 2.6 Lorena Ochoa al golpear la pelota, ésta sale disparada con una trayectoria parabólica

Ejemplo 2.21: Un jugador de fútbol golpea un balón con un ángulo de 37 o con respecto a la horizontal, comunicándole una velocidad inicial de 20 m/s. Calcular: a) El tiempo que dura la pelota en el aire. b) La altura máxima alcanzada. c) El alcance horizontal.

a)

Fig. 2.7 Guillermo Ochoa al despejar la pelota, el balón sigue una trayectoria parabólica

α =

vox

370

t

vo cos

vox

vo = 20m/s

v

vo sen vo

t

78

voy

t

g

vox

20 m / s cos 37 15 .9m / s ( 20m / s ) sen37 12m / s

12m / s 12m / s

24m / s 9.8m / s 2

9.8m / s 2 2.45 s

b)

h

v

2

2

vo 2 g

h

0 (12 m / s ) 2

144 m 2 / s 2

2( 9.8m / s 2 )

19 .6m / s 2

h = 7.34 m c)

S x

v x t

S x

(15 .9m / s)(2.45 s)

38 .95 m

EJERCICIO 6

1.- Una pelota es lanzada horizontalmente desde una ventana con una velocidad inicial de 10 m/s y cae al suelo después de 4 segundos. Calcular: a) La altura en que se encuentra la ventana b) La distancia horizontal desde la base del edificio 2.- Un proyectil es lanzado con una velocidad inicial de 400 m/s y un ángulo de elevación de 30 0. Calcular: a) El tiempo que dura en el aire. b) La altura máxima alcanzada por el proyectil. c) El alcance máximo.

79

80


Resuelve los siguientes problemas y entrega la tarea a tu profesor

1.- Encontrar la velocidad angular y lineal de un cuerpo que tiene un radio de giro de 0.2m y un periodo de 0.5 s.

2.- Un móvil con trayectoria circular recorrió 820 o ¿Cuántos radianes fueron?

3.- Determinar el valor de la velocidad angular y la frecuencia de una piedra atada a un hilo si gira con un periodo de 0.5 s.

4.- Hallar la velocidad angular y el periodo de una rueda que gira con una frecuencia de 500 rpm.

81

5.- Un motor eléctrico gira a 900 rpm. Calcular: a) La velocidad angular, b) El desplazamiento angular después de 5 s y c) Si en el eje del motor se encuentra una polea de 7 cm de radio, ¿cuál es la velocidad lineal en la periferia de la polea?

6.- Cuál es la rapidez angular de: a) En el segundero, b) En el minutero y c) El horario de un reloj.

7.- Un clavadista efectúa dos vueltas y media de la plataforma de 10 m al agua de la alberca. Suponiendo que la velocidad inicial sea cero, calcular la velocidad angular promedio de su clavado.


82


: Resuelve los siguientes problemas y entrega la tarea a tu profesor.

1.- Una cuerda gira inicialmente a 6 rev/s y después se somete a una aceleración angular constante de 4 rad/s2. a) ¿Cuál es su velocidad angular después de 5 s? b) ¿Cuántas revoluciones completará la rueda?

2.- Un mezclador eléctrico incrementó su velocidad angular de 20 rad/s a 120 rad/s en 0.5 s. Calcular el valor de su: a) Aceleración media b) Desplazamiento angular en ese tiempo

3.- Una rueda que gira a 4 rev/s aumenta su frecuencia a 20 rev/s en 2 s. Determinar el valor de su aceleración angular.

4.- Una banda gira con una velocidad angular inicial cuyo valor es de 15 rad/s y recibe una aceleración angular de 5 rad/s 2 durante 12 s. Calcular: a) La velocidad angular en 12 segundos. b) Su desplazamiento angular.

83

5.- Una rueda gira a razón de 1200 r.p.m. y mediante la acción de un freno se logra detenerla después de dar 50 vueltas. Deducir la aceleración angular de frenado y el tiempo empleado en el fenómeno.

6.- Un volante necesita 3 segundos para conseguir un giro de 234 radianes. Si su velocidad angular al cabo de ese tiempo es de 108 rad/s, ¿cuál fue su aceleración angular, supuesta constante? ¿Y su velocidad angular inicial?

7.- Un volante gira a razón de 60 rpm y al cabo de 5 segundos posee una velocidad angular de 37,7 rad/s. ¿Cuántas vueltas dio en ese tiempo?


84


Resuelve los siguientes problemas y entrega la tarea a tu profesor

1.- ¿Cuál es el valor de la aceleración lineal de una partícula cuya aceleración angular es de 3 rad/s 2 y su radio de giro es de 20 cm?

2.- Un automóvil adquiere una velocidad de 6 Km/h al norte en 6 s. ¿Cuál es su aceleración en m/s 2?

3.- Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad de 30 m/s. Calcular: a) La máxima altura. b) La velocidad a los 2 s. c) El tiempo cuando alcance 40 m de altura.

85

4.- Un avión vuela horizontalmente con una velocidad de 800 km/h y deja caer un proyectil desde una altura de 600 m respecto al suelo. Calcular: a) El tiempo que tarda en caer. b) La distancia horizontal del proyectil después de iniciar su caída.

5.- Un jugador batea una pelota con una velocidad inicial de 25 m/s y con un ángulo de 40 o sobre la horizontal. Calcular: a) La altura máxima alcanzada por la pelota. b) El alcance horizontal de la pelota.


86

Nombre _________________________________________________________ Núm. de lista ____________ Grupo ________________ Turno __________ Núm. de Expediente ___________________ Fecha ____________________

Lee cuidadosamente y responde los siguientes cuestionamientos, rellenando el círculo de la opción que consideres correcta.

1. La Tierra da una revolución completa sobre su eje en 24 h. Si el radio medio de la Tierra es de 6373 km, la velocidad lineal de un punto sobre la superficie de la Tierra es: 265.54 m/s 266.37 m/s 463.45 m/s 4425.6 m/s 2. Se caracteriza por el hecho de que la aceleración angular es cero: Rotación Uniforme Rotación Uniformemente acelerado Traslación Uniforme Traslación Uniformemente acelerado 3. Una llanta lleva una velocidad angular de 3 rad/seg y se detiene 10 seg después. Su aceleración angular es: -300 rad/seg2 -3.3 rad/seg2 -0.3 rad/seg2 +0.3 rad/seg2 4. Un cuerpo que parte del reposo comienza a girar con aceleración uniforme dando 3600 revoluciones durante dos minutos. ¿La aceleración angular es? 0.3

rad/seg2

1 rad/seg2

rad/seg2 2 rad/seg2

5. Un ventilador gira a 1200 rpm. La rapidez angular en un punto del aspa del ventilador es: 7539.8 rad/seg 125.6 rad/seg 40 rad/seg 20 rad/seg

87

6. Un disco de acetato con 30 cm de radio da 400 rev en 8 seg. Su aceleración centrípeta en el extremo es: 50 rev/seg2 29578.8 m/seg2 94.2 m/seg2 1500 m/seg2 7. Una rueda de 80 cm de radio gira sobre un eje estacionario. Si parte del reposo hasta 1800 rpm en un tiempo de 30 seg su aceleración tangencial es: 1 rev/seg2 1 m/seg2 5.024 m/seg2 5.024 rev/seg2 8. La celeración normal de un punto de la periferia de un volante de 1.5 m de radio es constante e igual a 15 m/seg2. Su velocidad lineal es: 150 rad/seg 75 rad/seg 3.16 rad/seg 4.74 rad/seg 9. Las revoluciones que dará una rueda que parte del reposo hasta alcanzar su velocidad de 2000 rpm en 20 seg es: 2030 rev 333 rev 33.3 rev 3.33 rev 10. Un automóvil parte del reposo y alcanza 95 km/h en 28 seg. Su desplazamiento durante ese tiempo fue de: 369.4 m 738.8 m 9576 m 2660 m 11. Un globo se está elevando con una velocidad de 2 m/s cuando se le cae una pelota. Si su altura en ese instante es de 100 m. El tiempo en llegar al suelo es: 4.73 seg 9.46 seg 20.4 seg 30.4 seg

88

12. Un balón sale con una velocidad de 20 m/seg y una dirección de 30 0 con la horizontal. Su alcance es de: 17.32 m 8.49 m 25.34 m 35.34 m 13. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? Para mover un cuerpo hay que aplicarle una fuerza Si un cuerpo se mueve en línea recta, no hay fuerzas actuando sobre él Si un cuerpo se mueve en línea recta con velocidad constante, no interactúa ningún otro Cualquier cuerpo en trayectoria curvilínea está sujeto a una fuerza neta 14. Un disco que gira a = constante, con una frecuencia de 6 Hz. ¿Cuántas revoluciones realiza y que longitud de arco recorre un punto localizado a 10 cm del centro en 10 segundos? 15 rev y 37.7 m 60 rev y 37.7 m 37.7 rev y 15 m 37.7 rev y 60 m

89

90


Resuelve los siguientes problemas, compáralos con tus compañeros y entrégaselos a tu profesor.

1. a) b) c) d)

Convertir: 60 revoluciones en radianes 20 radianes en revoluciones 1520 rpm a rad/seg 4 rad/seg en rpm.

2. Una rueda de 90 cm de radio gira a 500 rpm. Calcular: a) La velocidad angular en un punto cualquiera de la misma b) La velocidad lineal de un punto situado en su periferia.

3.

Una rueda que gira a razón de 120 rpm incrementa uniformemente su velocidad hasta 660 rpm en 6 segundos. Calcular: a) La aceleración angular en rev/seg2 y en rad/seg2 b) La aceleración lineal en un punto situado a 90 cm del eje c) Su desplazamiento angular durante ese tiempo

91

4.

Una pelota de masa m está amarrada a un extremo de un cordel de 30 cm de longitud, y el otro extremo se encuentra sujeto a un punto fijo P. La pelota se mueve en un círculo horizontal como se muestra en la figura. Encontrar la rapidez de la pelota en su trayectoria circular si el cordel forma un ángulo de 30 o con la vertical.

Figura del problema 4

5. Una manguera de bomberos descarga agua con una velocidad de 25 m/seg. Sabiendo que la boquilla se localiza a 30 m de un edificio, determínese: a) La altura a la que puede llegar el agua b) El ángulo correspondiente

6.

92

Una partícula de polvo cae de un ascensor que se está elevando a una velocidad de 2.5 m/seg. Si la partícula llega al piso en 2 seg. ¿A qué altura del piso estaba el ascensor cuando la partícula empezó a caer?

Unidad 3 3

3.1 Aplicación de las Leyes de Newton, movimiento de traslación. 3.2 Fricción. 3.3 Energía cinética de rotación. 3.4 Ímpetu e impulso angular.

LE YES DE NEWTON O LE YES DEL M MOVIMIENTO

Se le llama a cualquier acción o influencia capaz de modificar el estado de movimiento o de reposo de un cuerpo, es decir, de imprimirle una modificando la , la y/o el de su movimiento.

EJERCICIO 1

Las siguientes figuras ilustran las dos formas más comunes en las que utilizamos fuerzas para mover cuerpos, desplazándolos sobre superficies planas.

Todo cuerpo permanecerá en estado de reposo o con movimiento rectilíneo uniforme a menos que una fuerza no equilibrada actúe sobre él. El que la fuerza ejercida sobre un objeto sea no significa necesariamente que su velocidad sea cero. Si no está sometido a ninguna fuerza , incluido el , en este caso un objeto en movimiento seguirá desplazándose a velocidad constante.

94

La aceleración que adquiere un cuerpo cuando esta sujeto a la acción de un sistema de fuerzas , es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza resultante e inversamente proporcional a su masa .

Para entender cómo y por qué se aceleran los objetos, hay que definir la fuerza y la masa. La fuerza es la acción que al serle aplicada a un cuerpo permite que éste permanezca en reposo o con movimiento. Una fuerza neta cuyo valor sea diferente de cero ejercida sobre un objeto, lo acelerará ; es decir, el cuerpo cambiará su velocidad. La aceleración será proporcional a la magnitud de la fuerza resultante y tendrá la misma dirección y sentido que ésta. La constante de proporcionalidad es la masa m del objeto. La masa es la medida de la cantidad de sustancia o materia de un cuerpo y es universal. Ejemplo: Una masa de 3 kg se somete a una aceleración cuyas componentes ortogonales son ax = 6 m/seg 2 y ay = 15 m/seg 2. Calar la magnitud de la fuerza FR que produce dicha aceleración y la dirección de la misma. Datos: M = 3 Kg. ax = 6 m/seg2 . ay = 15 m/seg2. FR = ?. F=ma F = 3 * (2 i + 5 j) F = (6 i + 15 j) Newton

De acuerdo a las indicaciones de tu profesor, resuelve el siguiente problema:

EJERCICIO 2

Un lanzador tira horizontalmente hacia el frente una pelota de béisbol de 1.4 N de peso a una velocidad de 32 m/seg acelerando uniformemente a la pelota con su brazo durante 0.09 seg. Si la bola parte del reposo, calcular: a) La distancia se desplaza la pelota antes de acelerarse. b) La fuerza ejerce el lanzador sobre la pelota.

95

Si un cuerpo actúa sobre otro con una fuerza de acción , éste reaccionara contra el primer cuerpo con otra fuerza de igual valor y dirección, pero de sentido contrario. Es decir:

–

(acción o reacción), (reacción o acción). Por ejemplo, en una pista de patinaje sobre hielo, si un adulto empuja suavemente a un niño, no sólo existe la fuerza que el adulto ejerce sobre el niño, sino que el niño ejerce una fuerza igual pero de sentido opuesto sobre el adulto. Sin embargo, como la masa del adulto es m ayor, su aceleración será menor. La tercera ley de Newton también implica la conservación del momento lineal, el producto de la masa por la velocidad. En un sistema aislado, sobre el que no actúan fuerzas externas, el momento debe ser constante. En el ejemplo del adulto y el niño en la pista de patinaje, sus velocidades iniciales son cero, por lo que el momento inicial del sistema es cero. Durante la interacción operan fuerzas internas entre el adulto y el niño, pero la suma de las fuerzas externas es cero. Por tanto, el momento del sistema tiene que seguir siendo nulo. Después de que el adulto empuje al niño, el producto de la masa grande y la velocidad pequeña del adulto debe ser igual al de la masa pequeña y la velocidad grande del niño. Los momentos respectivos son iguales en magnitud pero de sentido opuesto, por lo que su suma es cero. Otra magnitud que se conserva es el momento angular o cinético. El momento angular de un objeto en rotación depende de su velocidad angular, su masa y su distancia al eje. Cuando un patinador da vueltas cada vez más rápido sobre el hielo, prácticamente sin rozamiento, el momento angular se conserva a pesar de que la velocidad aumenta. Al principio del giro, el patinador tiene los brazos extendidos. Parte de la masa del patinador tiene por tanto un radio de giro grande. Cuando el patinador baja los brazos, reduciendo su distancia del eje de rotación, la velocidad angular debe aumentar para mantener constante el momento angular. Un libro colocado sobre una mesa es atraído hacia abajo por la atracción gravitacional de la Tierra y es empujado hacia arriba por la repulsión molecular de la mesa. Como se ve, se cumplen todas las leyes de Newton.

96

Aplicación de la 2a. Ley de Newton en la solución de problemas que implican movimiento de traslación y movimiento de rotación pura. Cuando se aplican las leyes de Newton, sólo debe de interesar el estudio de las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo.

Ejemplo, si un cuerpo está en reposo sobre una mesa, las fuerzas que actúan sobre él son: La fuerza normal y el peso del cuerpo , como se ilustran. La reacción a la fuerza normal es la fuerza ejercida por el cuerpo sobre la mesa . La reacción al peso es la fuerza ejercida por el cuerpo sobre la Tierra . En otro ejemplo se tiene una caja que se jala hacia la derecha sobre una superficie sin fricción, como se muestra en la figura de la izquierda.

En la figura de la derecha se tiene el diagrama de cuerpo libre que representa a las fuerzas externas que actúan sobre la caja . Cuando un objeto empuja hacia abajo sobre otro objeto con una fuerza , la fuerza normal es mayor que el peso del objeto . Esto es, n = w + F.

97

En un tercer ejemplo se tiene un cuerpo de peso w suspendido del techo por una cuerda de masa despreciable. Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo son el peso y la fuerza ejercida por la cuerda . Las fuerzas que actúan sobre la cuerda son la fuerza ejercida por el peso y la fuerza ejercida por el techo .

A continuación, se hace una serie de sugerencias que te serán útiles para la solución de problemas en los cuales intervienen las leyes de Newton. 1. Dibuja un diagrama sencillo y claro del sistema. 2. Aísla el objeto cuyo movimiento se analiza y dibuja un diagrama de cuerpo libre para el sistema de fuerzas; es decir, un diagrama que muestre todas las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo. Para sistemas que contienen más de un objeto, dibuja diagramas de cuerpo libre independientes para cada uno de ellos. 3. Establece ejes de coordenadas convenientes para cada objeto y determina las componentes de las fuerzas sobre estos ejes. Aplica la segunda ley de Newton, en la forma de componentes. Verifica sus dimensiones, para asegurarte que todos los términos tengan unidades de fuerza. 4. Resuelve las ecuaciones planteadas recordando que estas debe se tantas como incógnitas debas de resolver. 5. Verifica los resultados ya que es posible que hayas cometido errores de cálculo. Ejemplo. Un bloque se desliza hacia abajo por un sin fricción que tiene una inclinación de 0 θ = 15 . Si el bloque parte del reposo en la parte superior y la longitud de la pendiente es 2 metros. Calcular: a) La magnitud de la aceleración del bloque. b) Su velocidad cuando alcanza el pie de la pendiente.

98

Datos: θ = 15° d = m. g = 9.8 m/s 2 Σ F Y =

0

W Y – N = 0 W Y = N

como:

W Y = W cos

W cos θ = N Σ FX =

ma

WX = m a Pero:

WX = W sen

a = 9.8 sen 15 = 9.8 ( 0.258)

99

FRICCIÓN. Antes abordar el estudio de la fuerzas de rozamiento, es indispensable tener presentes los siguientes conceptos.

Cada partícula de un cuerpo es atraída por la Tierra con una fuerza igual al peso de esa partícula. El sentido de cada una de esas fuerzas está dirigido hacia el centro de la Tierra y se las considera paralelas entre sí. De tal manera, se considera a la fuerza Peso del cuerpo como la resultante de todas esas fuerzas paralelas.

. El vector Peso de un cuerpo sigue la dirección de la vertical, y su punto de aplicación se denomina teóricamente . En los cuerpos de forma regular y con peso uniforme su baricentro coincide con su centro geométrico.

Supongamos que un bloque de masa está en reposo sobre una superficie horizontal como se muestra en la figura, las únicas fuerzas que actúan sobre él son su peso y la fuerza de contacto de la superficie. La fuerza ejercida por la superficie soporta el bloque, manteniéndolo en reposo. Ya que la aceleración del bloque es cero, y esto significa que la fuerza de contacto es la porque tiene dirección perpendicular, o normal, a la superficie, así en la figura a fuerza normal, normal, reacción del plano o fuerza que ejerce el plano sobre el bloque depende del peso del bloque, la inclinación del plano y de otras fuerzas que se ejerzan sobre el bloque. Si ahora, el plano está inclinado un ángulo θ, el bloque está en equilibrio en sentido perpendicular al plano inclinado por lo que la es igual a θ la componente del peso perpendicular al plano,

Por lo que en este caso el valor del siguiente forma:

fuerza normal

se obtiene de la

θ

Es también muy importante tomar en cuenta que: que se pretende que un cuerpo en estado de reposo se empiece a mover o si este se mueve través de una superficie o a través de un medio viscoso, como el aire o el agua debido a que el cuerpo interactúa con sus alrededores. Dicha resistencia recibe el nombre de fuerza de 100

se define como fuerza de entre dos superficies en contacto, y es la fuerza que se opone al movimiento de una superficie sobre la otra, , o a la fuerza que se opone al inicio del movimiento, . Se genera debido a las imperfecciones, especialmente microscópicas, entre las superficies en contacto. Estas imperfecciones hacen que la fuerza entre ambas superficies no sea perfectamente perpendicular a éstas, sino que forma un ángulo, que simbolizaremos con la letra griega φ , con la normal; llamado . Por tanto, esta fuerza resultante se compone de la , la cual es perpendicular a las superficies en contacto y de la , paralela a las superficies en contacto. Como se mencionó anteriormente existen dos tipos de fuerzas de rozamiento o fricción, la y la . La primera es una resistencia que se debe superar para poner movimiento a un cuerpo con respecto a otro cuando se encuentran en contacto. La segunda es una fuerza de magnitud constante que se opone al movimiento una vez que éste ya comenzó. En resumen, lo que diferencia a un roce con el otro es que el estático actúa cuando el cuerpo está en reposo y el cinético cuando está en movimiento. No se tiene una idea perfectamente clara de la diferencia entre el rozamiento cinético y el estático, pero se tiende a pensar que el estático es mayor que el cinético, porque al permanecer en reposo ambas superficies, pueden aparecer enlaces iónicos, o incluso micro soldaduras entre las superficies. Este fenómeno es tanto mayor cuanto más perfectas son las superficies. Un caso más o menos común es el del interior del motor que por estar mucho tiempo parado diferentes factores como la temperatura, la humedad y el polvo provocan que al permanecer las superficies del pistón y los cilindros durante largo tiempo en contacto y en reposo, se pueden llegar a soldar entre sí. Y un ejemplo bastante simple de fricción cinética es la ocurrida con las llantas de un auto al frenar.

La mayoría de las superficies, aún las que se consideran pulidas, son extremadamente rugosas a escala microscópica.

Rozamiento por deslizamiento. (a) El cuerpo de arriba va deslizando hacia la derecha sobre el cuerpo de abajo en este diagrama amplificado. (b) Un diagrama más amplificado mostrando dos sitios en donde ha ocurrido adherencia superficial. Se requiere una fuerza para separar estas soldaduras y conservar el movimiento. 101

Cuando dos superficies son puestas están en contacto, el movimiento de una respecto a la otra, genera fuerzas tangenciales que definimos anteriormente como fuerzas de fricción, las cuales tienen sentido contrario a la fuerza aplicada. La naturaleza de este tipo de fuerza esta ligada a las interacciones de las partículas microscópicas de las dos superficies que se encuentran en contacto. El es una que expresa la oposición que ofrecen dichas al movimiento relativo de una con respecto a la otra. Usualmente se representa con la letra griega μ. El valor del coeficiente de rozamiento es característico de cada par de materiales, y no una propiedad intrínseca de un material en especial. Depende además de muchos factores como la temperatura, el acabado o rugosidad de las superficies en contacto, la velocidad relativa entre las superficies, el tiempo que las superficies duran en contacto, etcétera, por lo que su valor se determina experimentalmente. Sin embargo, existen manuales especializados en los que se pueden consultar un gran número de coeficientes de fricción de los materiales mas utilizados. Ejemplo Coeficiente de rozamiento de algunas sustancias: Coeficientes de rozamiento de algunas sustancias Hielo // Hielo

0,1

0,03

Vidrio // Vidrio

0,9

0,4

Vidrio // Madera

0,2

0,25

Madera // Cuero

0,4

0,3

Madera // Piedra

0,7

0,3

Madera // Madera

0,4

0,3

Acero // Acero

0,74

0,57

Acero // Hielo

0,03

0,02

Acero // Latón

0,5

0,4

Acero // Teflón

0,04

0,04

Teflón // Teflón

0,04

0,04

Caucho // Cemento (seco)

1,0

0,8

Caucho // Cemento (húmedo)

0,3

0,25

Cobre // Hierro (fundido)

1,1

0,3

Esquí (encerado) // Nieve (0ºC) 0,1

0,05

Articulaciones humanas

0,003

0,02

Usualmente se distinguen dos valores. Como se ilustra en la tabla anterior. Coeficiente de rozamiento estático μe: se mide cuando ambas superficies en contacto están en .

102

Coeficiente de rozamiento dinámico μd: se mide cuando ambas superficies están en el uno respecto del otro , puede moverse una sola superficie o ambas. El coeficiente de rozamiento dinámico es, para la mayoría de los pares de materiales, menor que el estático, cosa que puede comprobarse fácilmente. Cuando intentamos empujar un objeto pesado comprobamos que la fuerza que tenemos que realizar para que se comience a mover es mayor que la fuerza necesaria para mantenerlo movimiento. Parece como si el bloque estuviera inicialmente pegado al suelo de modo que una vez que lo despegamos se desliza con cierta facilidad.

Conocido el valor del coeficiente de rozamiento aplicable a nuestro caso, la fuerza de rozamiento máxima que puede ejercer una superficie sobre la otra se expresa como el producto del coeficiente de rozamiento por la fuerza normal perpendicular, a ambas superficies.

La fuerza de rozamiento es paralela a la dirección de la superficie de apoyo. El coeficiente de rozamiento es prácticamente independiente del área de la superficie de contacto. El coeficiente de rozamiento depende de la naturaleza de los cuerpos en contacto, así como del estado en que se encuentren sus superficies. La fuerza máxima de rozamiento es directamente proporcional a la fuerza normal que actúa entre las superficies de contacto. Para un mismo par de cuerpos, el rozamiento es mayor un instante antes del movimiento que cuando se está en movimiento. En el primer caso el fenómeno recibe el nombre de fricción estática o fricción seca, en el segundo el de fricción cinética o fricción viscosa. Para comprender mejor la forma que actúan las fuerzas de fricción se tienen las siguientes La dirección de la fuerza de fricción estática entre cualesquiera dos superficies en contacto se opone a la dirección de cualquier fuerza aplicada y su valor se puede obtener mediante:

En donde la constante adimensional recibe el nombre de coeficiente de fricción estática, y es la magnitud de la fuerza normal. La dirección de la fuerza de fricción cinética que actúa sobre un objeto es opuesta a la dirección de su movimiento y está dada por:

En donde

es el coeficiente de fricción cinética.

103

Los valores de y dependen de la naturaleza y rugosidad de las superficies y se obtienen experimentalmente, aunque es, por lo general, menor que . Los valores característicos de varían de casi siempre de 0.05 hasta 1.5. Antes de resolver problemas de aplicación de las leyes de Newton es muy importante aprender a dibujar

Con el fin de tener buenos resultados al aplicar la segunda ley de Newton a un sistema mecánico, se debe ser capaz, primero, de saber y reconocer todas fuerzas que actúan sobre el sistema. Es decir, debemos poder construir el diagrama de cuerpo libre correcto. Cuando se hace un diagrama de cuerpo libre se deben de tomar en cuenta cada uno de los elementos que interactúan en el sistema. A continuación, se muestran algunos ejemplos de diagramas de cuerpo libre, para eso se debe saber que: F denota cierta fuerza aplicada, w = mg es el peso o fuerza que la gravedad ejerce sobre los cuerpos, n es la fuerza normal, f es la fuerza de fricción y T es la fuerza de tensión en la cuerda que jala al objeto. A la izquierda se ilustran varios sistemas mecánicos y a la derecha los diagramas de cuerpo libre correspondientes. El término rugoso significará únicamente que la superficie tiene fricción.

104

Existe una fuerza de fricción entre dos objetos que no están en movimiento relativo. Tal fuerza se llama fuerza de fricción estática. En la siguiente figura aplicamos una fuerza que aumenta gradualmente, pero el bloque permanece en reposo. Como en todos estos casos la aceleración es cero, la fuerza F aplicada es igual y opuesta a la fuerza de fricción estática ejercida por la superficie.

La máxima fuerza de fricción estática corresponde al instante en que el bloque está a punto de deslizar. Los experimentos demuestran que:

Donde la constante de proporcionalidad se denomina coeficiente de fricción estática. Por tanto, la fuerza de fricción estática varía, hasta un cierto límite para impedir que una superficie se deslice sobre otra:

Ejemplo. El objetivo de este ejemplo, es analizar el movimiento de los tres cuerpos que forman el sistema que aparece en la figura. Un cuerpo A cuelga de una cuerda que pasa a través de una polea de masa despreciable y que está unida a un bloque B que puede deslizar a lo largo de un plano horizontal. Sobre el bloque B se coloca un cuerpo C. Se supone que el rozamiento entre el cuerpo B y el plano horizontal es despreciable. Mientras que existe un rozamiento entre el cuerpo C y el cuerpo B.

105

Este ejemplo puede servir como experiencia simulada para medir el coeficiente de rozamiento estático. Se va variando la masa del cuerpo A; es decir, la aceleración del sistema, hasta observar que el cuerpo C comienza a deslizar sobre el cuerpo B. Con los datos de las masas de los tres cuerpos calculamos la aceleración del sistema y a partir de este dato determinamos el coeficiente de rozamiento estático. De la siguiente forma: En la figura, vemos el diagrama de fuerzas, a partir del cual obtenemos las ecuaciones del movimiento de cada uno de los cuerpos en las distintas situaciones .  Ambos tienen la misma aceleración a que la del cuerpo A

m A g-T=m A·a T-F r =mB·a F r =mC·a

Movimiento del cuerpo A Movimiento del cuerpo B Movimiento del cuerpo C

La fuerza de rozamiento F r es la que hace que el cuerpo C esté ese mueva con el cuerpo B: el cuerpo B ejerce una fuerza F r sobre el cuerpo C dirigida hacia la derecha. Por el Principio de Acción y Reacción el cuerpo C ejerce una fuerza igual y de sentido contrario sobre el cuerpo B. De estas ecuaciones obtenemos la aceleración a y la fuerza F r de rozamiento entre los cuerpos B y C.



Cuando F r =mC·a alcance el valor máximo empezar a deslizar sobre el cuerpo B. estático. 106

N o bien, s mC g, el cuerpo C va a s es el coeficiente de rozamiento

s

Incrementando la masa de A, incrementamos la aceleración, en el momento en el que el cuerpo C va a empezar a deslizar se cumple que a= s g Calculamos la aceleración crítica a crítica a,, a partir de los valores de las masas m masas m A, mB y mC en la fórmula anterior y a continuación, obtenemos el valor del coeficiente de rozamiento estático.



Cuando se incrementa aún más la masa de A, se incrementa la aceleración a, a, el cuerpo C desliza sobre el cuerpo B, el valor de la fuerza de rozamiento disminuye y vale ahora F r = k mC·g Donde

k

es el coeficiente de rozamiento por deslizamiento.

Las aceleraciones a aceleraciones a del del cuerpo B y la aceleración a' aceleración a' del del cuerpo C ya no son las mismas m A g-T=m A·a Movimiento del cuerpo A T-F r =mB·a Movimiento del cuerpo B F r =mC·a’ Movimiento del cuerpo C F r = k mC·g

Fuerza de rozamiento

Como la aceleración a aceleración a de de B, es mayor que la aceleración a’ de C, la aceleración relativa de C respecto de B, es a’-a. -a. Desde el punto de vista de un observador situado en B, el cuerpo C se mueve hacia atrás con una aceleración | a’-a|. -a|.

107

El cuerpo C tarda en llegar al final del cuerpo B un tiempo t , dado por

donde x donde x es es la distancia recorrida del cuerpo C sobre el cuerpo B.

La velocidad con respecto al Laboratorio del cuerpo C cuando abandona el cuerpo B será donde t es es el tiempo que C está deslizando sobre B. En el momento en el que el cuerpo C abandona el bloque B, la aceleración del sistema formado por los bloques A y B cambia, Movimiento del cuerpo m A g-T=m A·a A Movimiento del cuerpo T=mB·a B



Ahora el cuerpo C que tiene una velocidad inicial v C dirigida hacia la derecha, se mueve bajo la sola influencia de su peso. Describe, por tanto, un movimiento curvilíneo bajo la aceleración constante de la gravedad, gravedad , o un tiro parabólico. El tiempo que tarda en llegar al plano horizontal es

donde h donde h es es la altura del bloque B. La distancia que recorre horizontalmente es x=v Ct

108



Una vez que el cuerpo C entra en contacto con el plano horizontal, sobre el cuerpo C actúa una fuerza de rozamiento que rozamiento que hace que se pare al cabo de un cierto tiempo. Suponemos que la fuerza de rozamiento entre el plano horizontal y el bloque C, es la misma que entre el bloque C y el bloque B. El cuerpo C, con una velocidad inicial horizontal v C, se parará después de haber recorrido una distancia x, x, dada por

En la siguiente figura mostramos un bloque de masa m que m que se desliza por una superficie horizontal con velocidad constante. Sobre el bloque actúan tres fuerzas: el peso , la fuerza normal , y la fuerza de fricción entre el bloque y la superficie. Si el bloque se desliza con velocidad constante, la fuerza aplicada será igual a la fuerza de fricción

Podemos ver que si duplicamos la masa m, m, se duplica la fuerza normal la fuerza con que tiramos del bloque se duplica y por tanto se duplica. Por tanto la fuerza de fricción cinética es proporcional a la fuerza normal

La constante de proporcionalidad es un número sin dimensiones que se denomina coeficiente de fricción cinético.

Ejemplo: Una mujer en el aeropuerto jala su maleta de 20 kg con una rapidez constante. La correa de la maleta forma un ángulo θ con respecto a la horizontal. La mujer jala la correa con una fuerza de 35N. La fuerza de fricción que hay entre la maleta y el piso es de es 20 N. Dibuja un diagrama de cuerpo libre para la maleta y calcula: 109

a) El ángulo que forma la correa con la horizontal. b) La fuerza normal que ejerce el piso sobre la maleta.

m = 20 Kg. F = 35 N. FR = 20N. a)

θ =?

b)

N =?

FX – FR = 0 FX = FR Como: FX = F cos θ

Tenemos que:

F cos θ = FR 35 cos θ = 20N

θ =

cos-1 0.5714

θ

N + F Y – W = 0 N = W - F Y Como: F Y = F sen

θ

F Y = 35 N sen 55.150 F Y = 28.7227 N N = W - F Y N N = m g – F Y N = 20 Kg. ( 9.8 m/s 2) – 28.7227 N N = 196 N

110

28.7227 N

EJERCICIO 3

Un bloque de 3 kg parte del reposo en la parte superior de un plano inclinado que tiene una pendiente de 30 0. Y se desliza 2 metros hacia abajo en 1.5 seg. Dibuja una figura que ilustre el enunciado del problema y el diagrama de cuerpo libre correspondiente que te ayuden a calcular lo siguiente: a) La magnitud de la aceleración del bloque. b) El coeficiente de fricción cinética entre el bloque y el plano. c) La fuerza de fricción que actúa sobre el bloque. d) La rapidez del bloque después de que se ha deslizado 2 metros.

El cambio de movimiento, llamado cantidad de movimiento p, que experimenta un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza que se ejerce sobre él. Tiene la misma dirección y sentido que la fuerza aplicada. Actualmente a la cantidad de movimiento también se le da el nombre de momento lineal. La cantidad de movimiento o momento lineal se define como el producto de la masa de un cuerpo en movimiento por su velocidad .

Al ser la masa una magnitud escalar y la velocidad una magnitud vectorial, la cantidad de movimiento ha de ser necesariamente vectorial de dirección y sentido iguales las del vector velocidad. Si se modifica la velocidad de un cuerpo por la acción de una fuerza externa, ya sea en valor, dirección y/o sentido, se modifica, y en consecuencia, su cantidad de movimiento. Este cambio no es inmediato, sino que lleva instantes de tiempo. Así pues podemos relacionar la variación de momento lineal con el tiempo y la fuerza de la siguiente forma: F = p/ t Por lo tanto. F = p-po /t-to Tomando en cuenta que. a = v/ t De esta manera reobtiene otra forma de representar matemáticamente la 2 a Ley de Newton, que es la expresión conocida como , como se estudia en cinemática. F = ma De esta forma podemos redefinir esta ley como:

Los sistemas de fuerzas en los que esta ley no se verifica se llaman

111

ENERGÍA CINÉTICA DE ROTACIÓN. Las leyes de Newton facilitan la comprensión y el análisis de muchos problemas de mecánica. Ahora vamos a examinar otro método basado en uno de los conceptos verdaderamente fundamentales y universales de la Fís ica: la Hay muchas clases de energía, por ahora abordaremos principalmente la energía cinética rotacional, que se relaciona con un cuerpo rígido en movimiento.

t=0

s θ

F

r

t=t

F

En el curso de Física I (tema 3.2) se definió el trabajo como el producto de un desplazamiento por la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento. T F d Cos . El trabajo del peso de un cuerpo, es decir, el que la gravedad ejerce sobre ese cuerpo, se obtiene al sustituir peso (P) por fuerza, por lo tanto el trabajo será:

Trabajo

P h

Donde h es la altura que se desplazará el cuerpo. Ahora consideremos el trabajo realizado en el desplazamiento rotacional bajo la influencia de un momento de torsión resultante. Considerando la fuerza F que actúan al borde de una polea de radio r, como se muestra en la figura 3.4. El efecto de dicha fuerza es hacer girar la polea a través de un ángulo

mientras el punto en el que se aplica la fuerza se mueve una

distancia “s”. La distancia del arco “s” se relaciona con un

s

mediante.

r

Así, el trabajo de la fuerza F es por definición

Trabajo Fs Fr pero Fr es el momento de torsión debido a la fuerza, por lo tanto El ángulo debe expresarse en radianes en cualquier sistema de unidades de modo que el trabajo pueda expresarse en Joule, Ergios o libras-pie.

Trabajo La energía mecánica generalmente se transmite en forma de trabajo rotacional. Cuando hablamos de la potencia de salida que desarrollan las máquinas, lo que nos interesa es la rapidez con que se realiza el trabajo rotacional. Por lo tanto, la potencia rotacional puede determinarse dividiendo ambos lados de la ecuación por el tiempo t requerido para que el momento de torsión lleve a cabo un desplazamiento

Potencia Puesto que 112

.

Trabajo t t

t

representa la velocidad media angular

, escribimos

Potencia Observe la similitud entre esta relación y su análoga P

F .

Ejemplo 3.x Calcular el trabajo para levantar verticalmente una escalera de 2.5 m de longitud cuya masa es de 20 kg, si ésta tiene su centro de gravedad a 1.6 m del nivel inferior y se encuentra horizontalmente

El trabajo que se realiza contra la gravedad para poner verticalmente la escalera es igual al peso de la escalera por la distancia al centro de gravedad.

T PhCos Como el ángulo es cero y P=mg, entonces: Cos0 1 y P=(20kg)(9.8m/seg2) = 196 Nw

T (196 Nw)(1.6m)

313.6 Joules

1.

Una gata decide trasladar su camada de 6 gatitos, cada una de 200 gr de tal manera que los lleva (uno por uno) 10 m por el piso horizontal con rapidez constante y luego los sube a una caja situada a 3 m sobre el piso, por una escalera. Calcular el trabajo realizado por la gata.

2.

Una lámpara de 2 kg se desprende del techo y cae sobre el piso, desde una altura de 2.5 m. Calcular la Energía potencial y cinética antes de soltarse. Obtener el trabajo que realiza la lámpara al caer.

EJERCICIO 4

m5 m

m4 m3 m2

θ

m1

Una partícula que se mueve en un círculo de radio R tiene una velocidad lineal

R Si la partícula tiene una masa m tendrá una energía cinética igual a 113

1 k

2

1

2

m

2

m

2

R 2

Un cuerpo rígido se puede considerar formado por muchas partículas de diferentes masas localizadas a diversas distancias del eje de rotación 0. La energía de cinética total de un cuerpo será entonces la suma de las energías cinéticas de cada partícula que forma el cuerpo.

1 k

2

m

2

2

r

Puesto que la constante ½ y la velocidad angular w son las mismas para todas las partículas, se puede reorganizar la ecuación anterior y obtener:

1 k

mr 2

2

2

La cantidad entre paréntesis,

mr 2 tiene el mismo valor para un cuerpo dado

independientemente de su estado de movimiento. Se define esta cantidad como “el momento de inercia” y se representa por I:

m1 r 1

m2 r 2

m3 r 3

...

O bien

mr 2 La unidad del SI para la I es el kilogramo- metro al cuadrado. Utilizando esta definición, podemos expresar la energía cinética rotacional de un cuerpo en términos de su momento de inercia y de su velocidad angular.

Nota la similitud entre los términos m para el movimiento lineal e I para el movimiento rotacional. La energía se define como la capacidad para realizar un trabajo. Se mide en Joule que corresponde a 1 Nw m. Energía cinética: el trabajo realizado por una fuerza sobre un cuerpo es igual a una variación de su energía cinética: c

1 c

2

2

m

Energía potencial: el trabajo realizado por una fuerza conservativa sobre un cuerpo es igual a la disminución de la energía potencial: p

mgh

p

Si es la fuerza conservativa la única fuerza que actúa sobre el cuerpo podemos decir que: c

p

c

p

0

Si sobre un cuerpo sólo actúan fuerzas conservativas, la energía mecánica se conserva en todos los puntos de su trayectoria. 114

Una fuerza es conservativa si el trabajo que realiza para trasladar una partícula material de un punto A a otro B o depende del camino seguido sino tan sólo de los puntos inicial y final. El trabajo total realizado sobre un cuerpo es igual a la suma del trabajo realizado por las fuerzas conservativas más el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas.

t

c

nc

nc

c

c

p

nc

Ejemplo3.2x En un esfuerzo por ser estrelle del espectáculo durante el intermedio, una bastonera hace girar un bastón hecho con 4 esferas sujetas a los extremos de varillas ligeras, a una altura inusual (fig. 3.2x). Cada varilla mide 1.0 m de largo. Determine el momento de inercia del sistema alrededor de un eje perpendicular a la página y que pase por el punto donde se cruzan las varillas. Solución:

mr 2 obtenemos m2 r 22 m3 r 32 m4 r 42

Al aplicar la ecuación I

I

mr 2

m1r 12

2 I (0.2kg )(0.5m)

I

(0.3kg )(0.5m) 2

(0.2kg )(0.5m) 2

(0.3kg )(0.5m) 2

0.25kg m 2

Calcular el momento de inercia del sistema que se muestra en la figura 3.2. Considerando que el peso de las barras que sostienen las masas es despreciable y el sistema gira con una velocidad angular de 5 rad/seg. Calcular la Energía Cinética rotacional (Considerar que las masas están concentradas en un punto).

EJERCICIO 5

115

ÍMPETU E E IIMPULSO A ANGULAR. Como decíamos la cantidad de movimiento angular es un vector cuya magnitud es L I y que está dirigido a lo largo del eje de rotación. Si la torca resultante sobre el cuerpo es cero, la cantidad de movimiento angular permanece constante tanto en magnitud como en dirección. A esta ley se le conoce como Ley de conservación de momento angular. De acuerdo con la ecuación fundamental del movimiento angular, f

o

t I

f

I y

por lo tanto la segunda ley de Newton quedaría: o

t

Multiplicando por t, obtenemos:

t I

f

I

o

Impulso angular = cambio en cantidad de movimiento angular

El momento de inercia es una magnitud cuyo valor depende de la distribución de la masa respecto del eje considerado, por lo tanto un mismo cuerpo puede tener infinitos momentos de inercia. Si los elementos de masa de un objeto se distribuyen paralelos al eje de rotación, el momento de inercia del objeto no cambia. Por lo tanto, la expresión I = MR 2 se puede usar con igual eficiencia para calcular el momento de inercia axial de un anillo de bordado o de un largo tubo de drenaje. De igual modo, una puerta que gira en sus bisagras se describe con la misma expresión de momento de inercia que la tabulada para una varilla larga y delgada que gira alrededor de su extremo. A continuación tenemos algunas figuras regulares con su momento de inercia

(deducción)

116

(deducción)

(deducción)

(deducción)

(deducción)

(deducción)

(deducción)

117

(deducción)

(deducción)

(deducción)

(deducción)

(deducción)

118

(deducción) (deducción)

Ejemplo Una esfera uniforme de 600 g y de 8 cm de radio gira a 40 rev/seg a través del eje que pasa por el centro. Calcular su: a) Energía cinética rotacional b) Cantidad de movimiento angular, y c) Radio de giro Solución El momento de inercia de una esfera uniforme alrededor de un eje que pasa por su centro se calcula con:

I

2 5

2

Mr

Sustituyendo

I

2 5

(0.6kg )(0.08m) 2

40rev / seg = 251.3 rad/seg, entonces

a) Como

Ecr

1 2

0.001536kg m

I

2

1 2

(0.001536kg m 2 )(251.3rad / seg ) 2

48.5 Joules

b) La cantidad de movimiento angular se obtiene con:

L I

(0.001536 kg m 2 )(251 .3rad / seg )

0.3859 kg m 2 / seg

119

2

c) Para cualquier objeto, I Mk , donde k es el radio de giro o bien es la distancia a la cual se debe colocar una masa puntual M, si la masa va a tener la misma I que tiene el cuerpo real. Por lo tanto: I

k

M

=

0.001536kg m 0.6kg

k 0.05m = 5 cm Ejemplo Un disco sólido rueda sobre una pista; en la parte alta de una colina su rapidez es de 0.9 m/seg. Eliminando las fuerzas disipativas, ¿Cuál será la rapidez cuando se encuentre a 20 cm por debajo de la cima? En la cima, el disco posee Ec t y Ecr además de la Ep g relativa al punto 20 cm abajo. En el punto final, se elimina la Ep g quedando la Ect más la Ec r; por lo tanto, con h=20cm

( Ect Ecr ) inicial

1 2

1

mvi2

2

I

2 i

mgh

mgh

( Ect

1 2

mv f 2

Ecr ) final

1 2

Como se trata de un disco sólido, I

I

2 f

1 2

2 mr . También

v / r . Al sustituirse

se obtiene

1 2

vi2

1 4

vi2 gh

1 2

v f 2

1 4

v f 2

Si sustituimos la v0 = 0.9 m/seg y la h = 0.2 m en la fórmula anterior para despejar vf nos quedaría:

v f

EJERCICIO 5

120

1.85m / seg

1. Un disco sólido de 15 kg rueda sobre una superficie horizontal a razón de 5 m/s. Calcular su Energía cinética. 2. Un anillo de 5 cm de radio parte del reposo y rueda hacia debajo de una colina hasta un punto que se encuentra 2.0 m por debajo del punto inicial. Calcular la rapidez en ese punto. 3. Una rueda de 5.0 kg que tiene 30 cm de radio de giro, está rodando a 420rpm. La torca debida a la fuerza de fricción es de 0.2Nw·m. Calcular el tiempo necesario para llevar la rueda hasta el reposo.


1.

Una saco de cemento de 50 kg se eleva hasta una altura de 30 m en 1.0 min, calcular la potencia necesaria en Hp.

2.

Un motor de 50 Hp hace funcionar un ascensor de masa igual a 1000 kg. Calcular el tiempo requerido para que el ascensor suba 35 m.

121

3.

Calcular el trabajo realizado al elevar un cuerpo de 10 kg hasta una altura de 5 m en 2 seg. Expresarla en Joules y en Ergios.


122


1. Una cuerda enrollada en un disco de 4 kg y 20 cm de diámetro recibe una fuerza de tracción de 50 N que la desplaza una distancia lineal de 4 m. Calcular el trabajo lineal realizado por la fuerza de 50 N y el trabajo rotacional realizado sobre el disco.

2. Una barra delgada de 90 cm de largo tiene una masa de 5 kg. Si la barra se apoya sobre su centro y gira con una velocidad de 20 rad/seg., calcular su cantidad de movimiento

123

3. Una varilla de 400 gr y 40 cm de longitud oscila sobre su centro y gira a 200rpm. Calcular el momento angular.

4. Un motor de 1500 W impulsa en 6 seg una rueda cuyo momento de inercia es 3 kg·m 2. Si la rueda parte del reposo, ¿qué rapidez angular media llegó a adquirir?


124


1. Selecciona la afirmación verdadera. Las columnas que sostienen el aula realizan mucho trabajo al sostener carga. Un alumno que carga su mochila en el trayecto de su casa realiza trabajo. Juan, que empuja su carro hasta el taller, realiza trabajo. Todas las anteriores. 2. Una pelota de softbol, un balón de voleibol y uno de basketball se suelta al mismo tiempo desde la cima de un plano inclinado. ¿Quién llega primero? La pelota de softbol El balón de voleibol El balón de basketball Llegan todos iguales 3. Una patinadora disminuye su velocidad angular al extender los brazos por: Perder la mayor parte de su energía al hacer actuar fuerzas no conservativas. Aumentar el rozamiento de sus patines. Aumentar su momento de inercia. Aumentar el rozamiento de sus brazos con el aire. 4. Un volante de masa 20 kg gira a 600 rpm alrededor de su eje. Si el radio de giro del volante es de 0.5 m, su energía cinética de rotación es: 9869.6 J 10000 J 9354.6 J 8754.5 J 5. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones dimensionales es falsa? Momento de una fuerza: m·l2 ·t-2 Momento angular: m·l2 ·t-1 Impulso angular: m·l·t-2 Cantidad de movimiento: m·l·t-1

125

6. Es el caso de traslación, rotación y de ambos al mismo tiempo. Un carro desplazándose, nuestro planeta y un disco, tocando en el estéreo Un carro desplazándose, un disco, tocando en el estéreo y nuestro planeta Nuestro planeta, un carro desplazándose y un disco, tocando en el estéreo Un disco, tocando en el estéreo, un carro desplazándose y nuestro planeta 7. Si el calentamiento global continúa, es probable que parte del hielo de los casquetes polares de nuestro planeta se derrita y el agua se distribuya más cerca del ecuador. Si esto sucede, la duración del día (una revolución): Aumentaría. Disminuiría. Seguiría igual. Aumentaría en verano solamente. 8. Dos esferas, una hueca y otra sólida, giran con la misma rapidez angular alrededor de sus centros. Ambas esferas tienen la misma masa y radio. La esfera hueca tiene mayor energía. La esfera sólida tiene mayor energía. Ambas esferas tienen la misma energía. Falta mas información. 9. Las unidades en que se expresan la energía son: Newton y Dinas Ergios y Dinas Joule y Newton Ergios y Joules

126



Si todas tus respuestas fueron correctas: invitamos a continuar con esa dedicación.

por lo que te



Si tienes de 8 a 9 aciertos, tu aprendizaje es necesario que nuevamente repases los temas.



Si contestaste correctamente 7 o menos reactivos, tu aprendizaje es , por lo que te recomendamos solicitar asesoría a tu profesor.

, pero es


1. Un motor de 1600 W impulsa durante 6 seg una rueda que parte del reposo y cuyo momento de inercia es 2 kg·m2. ¿Cuál será su rapidez angular final?

2. Un disco rectificador de 8 kg tiene 50 cm de diámetro y gira a 800 rev/min. ¿Qué fuerza de frenado se deberá aplicar tangencialmente al disco para detener su movimiento de rotación en 6 seg?

127

128

manuel excelente de temas selectos de física 1.pdf

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