Los Números Egipcios: Los números egipcios fueron un apartado importante dentro de la historia del antiguo reinado faraónico.
Lejo Lejoss de pare parece cers rse e a los los gráf gráfic icos os que que repr repres esen enta tan n los núme número ross que que nosotros nosotros conocemos, conocemos, los números números egipcios egipcios eran representados representados con diversos diversos ideogramas ideogramas.. El sistema sistema de numeració numeración n egipcio egipcio representa representaba ba números números que abarcaban desde el uno hasta millones, apareciendo en los inicios de la escritura escritura jeroglífica. jeroglífica. Tres milenios antes de la era de Cristo, Cristo, los egipcios egipcios ya contaban con el primer sistema desarrollado de numeración con base 10 . Este permitía el uso de grandes números, describiendo también pequeñas cantidades en forma de fracciones unitarias, llamadas las fracciones del Ojo de Horus.
Pero a pesar de este gran desarrollo dentro de la escritura numérica, la misma apenas fue empleada en la vida diaria de los egipcios. Esto se debe a que la mayor mayor parte de los textos administrativos administrativos se encontrab encontraban an escritos en papiro papiro o en ostraca en lugar de tallarse en piedra, y la gran mayoría de los textos que empleaban el sistema numeral egipcio utilizaban la notación hierática
.
Para la notación hierática era utilizado un sistema numérico diferente, en el cual se utilizaban signos para los números del 1 al 9, repitiéndose según las 1
decenas, centenas y millares.La orientación para su escritura era indistinta: se podían escribir de izquierda a derecha, al revés o de arriba abajo, modificando la orientación de las figuras según el caso. Muchas veces esta disposición numérica variaba para lograr una mayor armonía estética, y solían ir acompañados de los jeroglíficos correspondientes al tipo de objeto cuyo número indicaban. Estos signos fueron utilizados hasta la incorporación de Egipto al Imperio Romano y su uso quedó reservado a las inscripciones monumentales, otorgándole un respiro a los escribas que comenzaron a utilizar la escritura hierática y demótica, métodos más simples y cómodos.
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Los números babilónicos: Los babilonios empleaban un sistema sexagesimal posicional adaptado tras tomar el de los sumerios y también de la civilización de Acadia. Los números babilónicos se escribían en cuneiforme, usando una aguja de lámina inclinada para acuñar marcas en unas tablas de arcilla suave que luego se exponían al sol para endurecerlas y que quedasen permanentemente.
Este sistema apareció por primera vez alrededor de 1800-1900 a. C. También se acredita como el primer sistema de numeración posicional, es decir, en el cual el valor de un dígito particular depende tanto de su valor como de su posición en el número que se quiere representar. Esto era un avance extremadamente importante, porque, antes del sistema lugar-valor los técnicos 3
estaban obligados a utilizar símbolos únicos para representar cada potencia de una base (diez, cien, mil, y así sucesivamente), llegando a ser incluso los cálculos más básicos poco manejables. Aunque su sistema tenía claramente un sistema decimal interno prefirieron utilizar 60 como la segunda unidad más pequeña en vez de 100 como lo hacemos hoy, más apropiadamente se considera un sistema mixto de las bases 10 y 60. Un valor grande al tener como base sesenta es el número da como resultado un guarismo más pequeño y que además se puede dividir sin resto por dos, tres, cuatro, cinco, y seis, por lo tanto también diez, quince, veinte, y treinta. Solamente dos símbolos usados en una variedad de combinaciones eran utilizados para denotar los 59 números. Un espacio fue dejado para indicar un cero (siglo III a. C.), aunque idearon más adelante una muestra de representar un lugar vacío.
Los Números Romanos: El sistema de numeración romana se desarrolló en la antigua Roma y se utilizó en todo su imperio. Es un sistema de numeración no posicional, en el que se usan algunas letras mayúsculas como símbolos para representar los números.
Romano
Decim al
Nota
I
1
Unus
V
5
Quinque. V es la mitad superior de X; en etrusco Λ.
X
10
Decem
4
L
50
Quinquaginta
C
100
Letra inicial de Centum.
D
500
Quingenti. D, es la mitad de la Digamma Φ (como phi).
M
1.000
Mille Originalmente era la letra Digamma.
Los romanos desconocían el cero, introducido posteriormente por los árabes, así que no existe ningún símbolo en el sistema de numeración romano que represente el valor cero. Los múltiples símbolos pueden ser combinados para producir cantidades entre estos valores, siguiendo ciertas reglas en la repetición. En los casos en que sea más pequeño, se permite a veces colocar un valor menor (sustrayendo), el símbolo con un valor menor colocado antes que un valor más alto, de manera que, por ejemplo, se puede escribir IV o iv para cuatro, en lugar de IIII. Así, tenemos que los números no asignados a un símbolo se crean haciendo combinaciones.
Romano mayúsculas
Romano minúsculas
Nominación
II
ii
dos
III
iii
tres
IV
iv
cuatro
5
VI
vi
seis
VII
vii
siete
VIII
viii
ocho
IX
ix
nueve
XXXII
xxxii
treinta y dos
XLV
xlv
cuarenta y cinco
Para números con valores iguales o superiores a 4.000, se coloca una línea horizontal por encima del número, para indicar que la base de la multiplicación es por 1.000:
Romano (miles)
Decima l
Nominación
V
5.000
cinco mil
X
10.000
diez mil
L
50.000
cincuenta mil
6
C 100.000
cien mil
D 500.000
quinientos mil
1.000.0 00
un millón
M
No existe formato para números con un valor de mayor envergadura, por lo que a veces se utiliza una doble barra o una barra de subrayado para indicar que la multiplicación se realiza por un millón. Como ejemplo, para mostrar un valor de diez millones se haría lo siguiente: (X) Como sistema de numeración
, el inventario de signos es
y el conjunto de reglas podría especificarse como: •
Como regla general, los símbolos se escriben y leen de izquierda a derecha, de mayor a menor valor.
•
El valor de un número se obtiene sumando los valores de los símbolos que lo componen, salvo en la siguiente excepción.
•
Si un símbolo de tipo 1 está a la izquierda inmediata de otro de mayor valor, se resta al valor del segundo el valor del primero. Ej. IV=4, IX=9.
•
Los símbolos de tipo 5 siempre suman y no pueden estar a la izquierda de uno de mayor valor.
•
Se permiten a lo sumo tres repeticiones consecutivas del mismo símbolo de tipo 1.
•
No se permite la repetición de una misma letra de tipo 5, su duplicado es una letra de tipo 10.
•
Si un símbolo de tipo 1 aparece restando, sólo puede aparecer a su derecha un sólo símbolo de mayor valor.
•
Si un símbolo de tipo 1 que aparece restando se repite, sólo se permite que su repetición esté colocada a su derecha y que no sea adyacente al símbolo que resta.
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•
Sólo se admite la resta de un símbolo de tipo 1 sobre el inmediato mayor de tipo 1 o de tipo 5. Ejemplos: - el símbolo I sólo puede restar a V y a X. - el símbolo X sólo resta a L y a C. - el símbolo C sólo resta a D y a M.
•
Se permite que dos símbolos distintos aparezcan restando si no son adyacentes.
No siempre se respetan estas reglas. En algunas inscripciones, o en relojes, aparece IIII en lugar de IV para indicar el valor 4. . Algunos ejemplos de números no-válidos en el sistema de numeración romano, y la regla que incumplen
Errónea
Correct a
Val or
VL
XLV
45
Letra de tipo 5 restando
IIII
IV
4
Más de tres repeticiones de letra tipo 1
VIV
IX
9
Repetición de letra de tipo 5
CMM
MCM
1.90 0
Letra tipo 1 a la izquierda de dos de mayor valor
IXVI
XV
15
Letra tipo 1 a la izquierda de dos de mayor valor
IVI
V
5
Motivo
Letra restando y su repetición adyacente al símbolo que
8
resta
XXL
XXX
30
Letra tipo 1 restando y repetida a su izquierda
IC
XCIX
99
Letra I restando a C
IM
CMXCI X
999
Letra I restando a M
IXL
XLI
41
Letras I y X adyacentes y restando
XIL XXXIX
39
Letras I y X adyacentes y restando
Los Números Mayas: Al igual que otras civilizaciones mesoamericanas, los mayas utilizaban un sistema de numeración de raíz mixta de base 20 (vigesimal). También los mayas preclásicos desarrollaron independientemente el concepto de cero alrededor del año 36 a. C. Este es el primer uso documentado del cero en América, aunque con algunas peculiaridades que le privaron de posibilidad operatoria
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Los mayas idearon un sistema de numeración como un instrumento para medir el tiempo y no para hacer cálculos matemáticos. Por eso, los números mayas tienen que ver con los días, meses y años, y con la manera en que organizaban el calendario. Los mayas tenía tres modalidades para representar gráficamente los números, del 1 al 19, así como del cero: un sistema numérico de puntos y rayas; una numeración céfalo morfa «variantes de cabeza»; y una numeración antropomorfa, mediante figuras completas.
El sistema numérico de puntos y rayas
En el sistema de numeración maya las cantidades son agrupadas de 20 en 20; por esa razón en cada nivel puede ponerse cualquier número del 0 al 19. Al llegar al veinte hay que poner un punto en el siguiente nivel; de este modo, en el primer nivel se escriben las unidades, en el segundo nivel se tienen los grupos de 20 (veintenas), en el tercer nivel se tiene los grupos de 20×20 y en el cuarto nivel se tienen los grupos de 20×20×20.
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Numeración maya Los tres símbolos básicos son el punto, cuyo valor es 1; la raya, cuyo valor es 5; y el caracol (algunos autores lo describen como concha o semilla), cuyo valor es 0. El sistema de numeración maya, aun siendo vigesimal, tiene el 5 como base auxiliar. La unidad se representa por un punto. Dos, tres, y cuatro puntos sirven para 2, 3 y 4. El 5 era una raya horizontal, a la que se añaden los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 se usaban dos rayas, y de la misma forma se continúa hasta el 19 (con tres rayas y cuatro puntos) que es el máximo valor que se puede representar en cada nivel del sistema vigesinal. Este sistema de numeración es aditivo, porque se suman los valores de los símbolos para conocer un número. El punto no se repite más de 4 veces. Si se necesitan 5 puntos, entonces se sustituyen por una raya. La raya no aparece más de 3 veces. Si se necesitan 4 rayas, entonces quiere decir que se quiere escribir un número igual o mayor que 20 necesitándose así emplear otro nivel de mayor orden. Para escribir un número más grande que veinte se usan los mismos símbolos, pero cambian su valor dependiendo de la posición en la que se pongan. Los números mayas se escriben de abajo hacia arriba. En el primer orden (el de abajo) se escriben las unidades (del 0 al 19), en el segundo se representan
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grupos de 20 elementos. Por esto se dice que el sistema de numeración maya es vigesimal. Multiplicad Nivel or 3º
Ejemplo A
Ejemplo B
Ejemplo C
En el segundo orden cada punto vale 20 unidades y cada
× 400
raya
vale
100
unidades. Por lo tanto, el 9 del segundo orden vale
2º
× 20
9×20=180.
Esas
180
unidades se suman con 1º
×1
las 6 del primer orden y se obtiene el número 186. 32
429
5125
El tercer orden tendría que estar formado por grupos de 20 unidades (20×20×1); o sea, cada punto tendría que valer 400 unidades. Sin embargo, el sistema de numeración maya tiene una irregularidad: los símbolos que se escriben en este orden valen 18×20×1 para el sistema calendárico. Esto quiere decir que cada punto vale 360 unidades. Esta irregularidad tiene que ver con que los años mayas (tunes) están formados por 360 días, el múltiplo de 20 más cercano a 365. Por lo que el punto en el tercer nivel vale 360 únicamente en el cómputo de fechas y 400 en los demás casos. Los mayas vinculaban los números del primer orden con los días (kines, en maya k'ino'ob), los del segundo orden con los meses (uinales, en maya uinalo'ob) y los del tercer orden con los años (tunes, en maya tuno'ob). En el
primer número, el valor de la raya del tercer orden es 1800 (5×360), el valor del 9 del segundo orden es 180 (9×20) y el valor del 8 del primer orden es 8 (8×1); por lo tanto, el número es 1.988. El sistema de numeración maya tiene 4 niveles, que se utilizaban para escribir grandes cantidades.
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Cero
(Símbolo maya para el cero, año 36 a. C. Es el primer uso documentado del cero en América). La civilización maya fue la primera de América en idear el cero. Este era necesario para su numeración porque los mayas tenían un sistema posicional, es decir, un sistema de numeración en el que cada símbolo tiene un valor diferente según la posición que ocupa. El símbolo del cero es representado por un caracol (concha o semilla), una media cruz de Malta, una mano bajo una espiral o una cara cubierta por una mano. Por ejemplo, para saber qué número es éste hay que obtener el valor de los símbolos. El cero indica que no hay unidades. Los dos puntos del segundo orden representan 2 grupos de 20 unidades; o sea, 40. El número del tercer orden es un 8, pero su valor real se obtiene al multiplicarlo por 360. Por lo tanto, el número es 2880+40+0= 2920. Es más fácil leer un número cuando se representa con puntos, rayas y conchas, porque es una representación sencilla que no deja lugar a dudas del valor de cada símbolo, de acuerdo con la posición en la que se escribe. En las representaciones antropomorfas, es más complejo entender el número escrito.
Los Números Árabes: El sistema de numeración arábiga se considera uno de los avances más significativo de las matemáticas. La mayoría de los historiadores coinciden en afirmar que tuvo su origen en la india (Los árabes se refieren a este sistema de
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numeración como “números indios”, هندية أرقامarqam hindiyyah), Y se expandió por el mundo islámico y de ahí, vía al-andalus, al resto de Europa. Se espeluca que el origen del sistema posiciónal base 10 utilizado en la india tuviera sus orígenes en china. El sistema chino hua ma (ver numeración china) es también posicional y base 10 y pudo haber servido de inspiración para el sistema que surgió en la india. Esta hipótesis cobra fuerza por el hecho de que entre los siglos V y VIII (periodo en el cual se desarrollo el sistema numérico indio) coincidió con una gran afluencia de peregrinos budistas entre china y la india. Lo que es cierto es que en la época de bhaskara I (siglo VII) en la india se utilizaba un sistema numeral posicional base 10 con 9 glifos, y se conocía el concepto del cero, representado por un punto.
Este sistema de numeración llego a oriente medio hacia el año 670. Matemáticos musulmanes del actual Irak, como al-Jwarizmi, ya estaban familiarizados con la numeración babilónica, que utilizaba el cero entre dígitos distintos de cero (aunque no tras dígitos distintos de cero), así que el nuevo sistema no tuvo un buen recibimiento. En el siglo X los matemáticos árabes incluyeron en su sistema de numeración las fracciones. al-Jwarizmi escribió el libro "Acerca de los cálculos con los números de la India" cerca de el año 825 y Al-Kindi escribió "El uso de los números de la India" en cuatro volúmenes. Su trabajo fue muy importante en la difusión del sistema de la India en el Oriente Medio y en el occidente.
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Las primeras menciones de estos numerales en la literatura occidental se encuentran el Codex Virgilianus del año 976. A partir de 980 Gerberto de Aurillac (más tarde papa con el nombre de Silvestre II, hizo uso de su oficio papal para difundir el conocimiento del sistema en Europa. Silvestre II estudió en Barcelona durante su juventud. Fibonacci, un matemático italiano que había estudiado en Bejaia (en la actual Argelia), contribuyó a la difusión por Europa del sistema arábigo con su libro Liber Abaci , publicado en 1202. Entre los primeros países se hallaba Gran Bretaña, teniéndose escritos como una en lino de la iglesia de Braye de 1448 en Berkshire y una en Escocia de 1470 en la tumba de Eral de Huntly, en. En Europa central, el rey de Hungría Ladislao el Póstumo, comenzó a utilizar los números arábigos, teniéndose registro de un documento real de 1456. Sin embargo, no fue sino hasta la invención de la imprenta cuando este sistema de numeración comenzó a utilizarse de forma generalizada en Europa; para el Siglo XV son ya utilizados ampliamente; por su parte, los números arábigos reemplazaron a los cirílicos en Rusia cerca de 1700, cuando fueron introducidos por el zar Pedro I de Rusia.
Los números arábigos
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Los Números Chinos:
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Los chinos tenían un sistema de numeración muy semejante al nuestro, lo que los hizo muy buenos y rápidos en los cálculos. Perfeccionaron una herramienta que se cree egipcia (aunque también se le atribuye su invento a los propios chinos) para calcular. Hoy en día la seguimos utilizando: el ábaco. Era un sistema de carácter decimal. Disponía de nueve signos distintos para los nueve primeros números, careciendo durante todo el período estudiado de un signo específico para el cero. Utilizaba el criterio posicional (cada cifra tiene un valor dado por su posición en el número) pero de forma híbrida: En la dinastía Shang intercalando un signo especial para dicho valor y, posteriormente, cambiando la orientación de las cifras alternativamente.
Los Números Mapuches:
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El pueblo mapuche desarrolló una cultura de rica tradición oral, por lo que su sistema de numeración se representa mediante palabras. El nombre del idioma mapuche es el mapudungun el cual proviene de la palabra " mapu" que significa "tierra" y "dungun " que significa "habla", lo cual quiere decir habla o lengua de la tierra.
Las palabras que utilizaban para expresar sus números son: 1 kiñe
4 meli
7 regle
10 mari
2 epu
5 kechu
8 pura
100 pataka
3 kula
6 kayu
9 aylla
1000 warangka
Los principios que utilizaron los mapuches fueron:
a) Aditivo: un número ubicado a la derecha de 10, 100 o 1.000 suma a estos su valor. Por ejemplo mari regle es 10 + 7 = 17. b) Multiplicativo: un número ubicado a la izquierda de 10, 100 o 1.000 multiplica a estos su valor. Por ejemplo kula warangka es 3 * 1.000 = 3.000.
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