ˇ SIMBOLI I TERMINI MATEMATICKI dr Ljiljana Petkovi´c, red. prof. Maˇsinski fakultet, Niˇs web: http://www.ljiljanapetkovic.com Decimalni brojni sistem je rezultat anatomske sluˇcajnosti da je ve´cina nas rod¯ena sa po deset prstiju na rukama i nogama. Aristotel Koriˇs´cenje matematiˇckih simbola u bilo kom vidu (poˇcev od cifara pa do sloˇzenih matematiˇckih oznaka) predstavlja rutinsku stvar koja ne zahteva razmiˇsljanje o njenom nastanku. Uglavnom se odnosimo prema matematiˇckom aparatu kao da je oduvek postojao i to u obliku koji danas koristimo. Ova iluzija podstaknuta je i ˇcinjenicom da mi svoje prvo matematiˇcko ˇ znanje stiˇcemo tako rano da se toga i ne se´camo. Staviˇ se, skloni smo verovanju da su neki od apstraktnih pojmova (kao pojam broja ili decimalni sistem) intuitivni. Med¯utim, ne sme se zaboraviti da je sadaˇsnjem stanju u ovoj oblasti prethodio dug period od oko 6000 godina postepenog razvoja matematike u kome je matematiˇcka apstrakcija dala neke od najbriljantnijih doprinosa ljudskoj misli. Tako fascinantan tok pronalazaka u matematici ne postoji ni u jednoj drugoj nauci. Uporedo s njim doˇslo je do razvoja matematiˇcke simbolike i terminologije. Nezgrapna i nejasna u poˇcetku, ona se razvila do danaˇsnjeg elegantnog i mnogo razumljivijeg oblika u procesu koji joˇs uvek traje i predstavlja rastu´ce polje stalno promenljivih oblika apstraktnih pojmova.
1. Brojevi 1 • Numeriˇcki termini izraˇzavaju neke od najapstraktnijih pojmova koje je stvorio ljudski um. Med¯utim, poces njihovog kreiranja bio je spor i dugotrajan. Koncept apstraktnog broja je proizvod duge i lagane kulturne evolucije koja zadire duboko u vreme pre pisane istorije. Kao ˇsto je rekao Bertrand Rasel (Russell, 1872–1970), britanski matematiˇcar i filozof, bile su potrebne hiljade godina dok je shva´ceno da par fazana i dva dana imaju zajedniˇcku karakteristiku – broj 2. 2 • Dugo se smatralo da je najstariji postoje´ci matematiˇcki artefakt od znaˇcaja egipatsko vladarsko ˇzezlo, za koje se veruje da datira pribliˇzno iz 3100. godine pre nove ere. Na ˇzezlu je napisano nekoliko brojeva reda miliona i stotina hiljada, napisanih egipatskim hijeroglifima, kojima su zabeleˇzeni preuveliˇcani rezultati uspeˇsnog vojnog pohoda. Med¯utim, nedavno je pronad¯en znatno stariji artefakt koji se takod¯e odnosi na brojanje. Na ruˇcnom alatu od kosti nalaze se zarezi aranˇzirani prema odred¯enim numeriˇckim obrascima zajedno sa komadom kvarca koji je priˇcvrˇs´cen za glavu ruˇcice. Artefakt je poznat kao kost iz Iˇsanga, a pronad¯en je na obali Edvardovog jezera u Republici Kongo. Smatra se da datira iz perioda izmed¯u 9000 i 6500 godina pre nove ere. Dakle, sasvim je mogu´ce da se zaˇceci matematike nisu desili ni u Egiptu ni u Mesopotamiji, ve´c u afriˇckim predelima juˇzno od Sahare. 3 • Prvi zapis o prelasku sa konkretnog brojanja na apstraktno datira iz 3100. godine Na jednoj sumerskoj glinenoj tablici prikazan je broj 33 pomo´cu tri zareza i tri kruˇzi´ca, pri ˇcemu zarezi oznaˇcavaju jedinice a kruˇzi´ci desetice. Zajedno sa znakom za ´cup za ulje koji se nalazi pored, ceo natpis bi se mogao proˇcitati kao 33 ´cupa ulja. Ovaj ekonomiˇcan naˇcin pisanja, kako u raˇcunu tako i u ljudskoj komunikaciji, brzo je postao rasprostranjen. 1 P. N. E.
2
4 • Uprkos postojanju podataka da su 2, 3 i 4 sluˇzili kao osnove nekih primitivnih brojnih sistema, ipak su prvi znaˇcajni brojni sistemi bili petiˇcni (osnova 5), zatim desetiˇcni i dvadesetiˇcni (osnova 20). Danas je decimalni sistem najrasprostranjeniji. Svi ovi sistemi povezani su s ˇcinjenicom da ˇcovek ima po pet prstiju na svakoj ruci pomo´cu kojih su vrˇsena prva izraˇcunavanja. Neka plemena u Juˇznoj Americi ˇcak i danas broje pomo´cu ˇsake: ,,Jedan, dva, tri, ˇcetiri, ˇsaka, ˇsaka-i-jedan”, itd. Seoski kalendari u Nemaˇckoj koristili su petiˇcni sistem sve do kraja osamnaestog veka. Maje, Asteci i Kelti imali su dvadesetiˇcni sistem, ˇsto je odgovaralo ukupnom broju prstiju na rukama i nogama, istovremeno daju´ci svedoˇcanstvo o bosonogom periodu ˇcoveˇcanstva. Istog porekla su u jeziku Grenland¯ana izrazi jedan ˇcovek sa znaˇcenjem 20, dva ˇcoveka za 40, itd. U engleskom jeziku reˇc digit znaˇci cifra ali i prst, ˇsto ima poreklo u starolatinskoj reˇci digiti – prsti. 5 • ,,Brojanje pomo´cu tela” je definisanje brojeva pomo´cu odred¯enih delova ljudskog tela, kao ˇsto su glava, oˇci, uˇsi, ruke, itd. Ovakvo brojanje koriste neki primitivni narodi. Na primer, jedno pleme Papuanaca na jugoistoku Nove Gvineje broji na slede´ci naˇcin: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
desni mali prst desni prst ,,prstenjak” desni srednji prst desni kaˇziprst desni palac desni ruˇcni zglob desna obrva desno rame desno uvo desno oko levo oko
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
nos usta levo uvo levo rame leva obrva levi ruˇcni zglob levi palac levi kaˇziprst levi srednji prst levi prstenjak levi mali prst
6 • Kod primitivnih naroda, pa ˇcak i nekih naprednijih, uobiˇcajeno je da verbalno brojanje prate odred¯eni gestovi. Na primer, u nekim plemenima reˇc ,,deset” ˇcesto je propra´cena udarcem dlana o dlan a reˇc ,,ˇsest” ponekad je propra´cena brzim zamahom jedne ruke pored druge. Karl Meninger tvrdi da se neka afriˇcka plemena mogu razlikovati i etniˇcki klasifikovati na osnovu toga da li brojanje poˇcinju levom ili desnom rukom, da li savijaju prste i da li okre´cu dlanove ka telu ili od tela. Englez R. Mejson navodi jednu ˇsarmantnu anegdotu iz perioda II svetskog rata. U to vreme devojka iz Japana boravila je u Indiji, koja je tada bila u ratu s Japanom. Da bi se izbegle mogu´ce neprijatne situacije, njena prijateljica predstavila je druˇstvu kao Kineskinju. Jedan od prisutnih Engleza bio je sumnjiˇcav pa ju je zamolio da broji do pet na prstima, ˇsto je ona i uˇcinila posle malo oklevanja. Na to je on uzviknuo uzbud¯eno: ,,Da li ste videli ovo? Da li ste videli kako je ona to uradila? Poˇcela je sa otvorenom ˇsakom i savijala prste jedan za drugim. Da li ste ikada videli Kineza da to radi? Nikada! Kinezi broje kao i Englezi. Poˇcinju sa zatvorenom ˇsakom. Ona je Japanka!” - zakljuˇcio je trijumfalno. 7 • Najneobiˇcniji brojni sistem svakako su imali Vavilonci. Oni su razvili raˇcunanje sa brojnom bazom 60 u kombinaciji sa desetiˇcnim sistemom. Razlog za uvod¯enje ˇsezdesetiˇcne brojne baze leˇzi, pored ostalog, i u ˇcinjenici da broj 60 ima mnogo delilaca (2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 i 30), ˇsto je omogu´cavalo veoma jednostavno raˇcunanje sa razlomcima. 8 • Vavilonci su prvi uveli pozicioni brojni sistem u kome je vrednost svake cifre odred¯ena njenim poloˇzajem: na primer, dve uzastopne jedinice oznaˇcavale su 61. Ipak u njihovom naˇcinu pisanja bilo je i neodred¯enosti jer simbol za nulu nije postojao (koristili su znak za odsustvo cifre). On je uveden tek mnogo kasnije, u devetom veku u indijskoj matematici.
3
Trajan uticaj vavilonske matematike i ˇsezdesetiˇcnog brojnog sistema zadrˇzao se do danaˇsnjih dana preko podele sata na 60 minuta i 3600 sekundi kao i podele kruga na 360 stepeni, koje se i sada koriste. 9 • Maje iz Centralne Amerike i Juˇznog Meksika su razvili dvadesetiˇcni sistem sa simbolom za nulu (verovatno oko 1000. godine nove ere) i sasvim dobro razvili pozicionu notaciju, ali je njihova kultura nestala pre ˇspanske invazije. Najve´ci broj pronad¯en u kodu Maja je 12 489 781 (zapisan u naˇsoj decimalnoj notaciji). 10 • Brojni sistem koji se danas koristi je pozicioni sistem sa brojnom osnovom deset. U ovom sistemu svaka cifra ima vrednost u zavisnosti od mesta na kome se nalazi. Na primer, u broju 53 cifra 5 oznaˇcava desetice pa joj je vrednost 5 × 10 = 50 dok 3 oznaˇcava jedinice tako da ima vrednost 3 × 1 = 3. Desetiˇcni ili decimalni pozicioni sistem duguje svoje poreklo indijskoj matematici. Prva poznata primena ovog sistema datira iz 595. godine. 11 • Grˇcki matematiˇcari su koristili decimalni sistem sa 27 simbola: 24 slova grˇckog alfabeta oznaˇcava jedinice, desetice i stotine a tome su dodata tri stara simbola: digama (6), kopa (90), i sampi (900). Pregled koriˇs´cenih simbola je pokazan u slede´coj tabeli:
A B G D E E Z H Q
Jedinice
1
Desetice
2
3
4
5
6
7
8
9
I K L M N X O P R 10
20
30
40
50
60
70
80
90
R S T U F C Y W L
Stotine
100 200 300 400 500 600 700 800 900
Sl. 2 Grˇ cki sistem brojeva (Jonski alfabet + tri simbola)
Da bi se u tekstu razlikovala slova od brojeva, pisane su crte iznad svakog broja (na primer, ¯ U sluˇcaju malih slova, ˇsto pripada kasnijem periodu, upotrebljavani su akcenti umesto crta A). (α0 , β 0 , . . . ). 12 • Grˇcki filozof i matematiˇcar Heliodor koji je ˇziveo u 4. veku, izneo je miˇsljenje da je reka Nil isto ˇsto i godina. Naime, slova reˇci NEIΛOΣ (Nil) u grˇckom brojnom sistemu predstavljaju brojeve: N=50, E=5, I=10, Λ=30, O=70, Σ=200, a ovo kada se sabere iznosi 365, odnosno broj dana u godini. 13 • Rimski brojevi se i danas koriste za neke specifiˇcne namene. Njihov se oblik menjao tokom vremena do oblika koji nam je danas poznat: 1 I
5 V
10 X
50 L
100 C
500 D
1000 M
Princip oduzimanja koji se primenjuje pri pisanju brojeva, gde simbol za manju jedinicu koji prethodi ve´coj jedinici oznaˇcava razliku dve jedinice, Rimljani su preuzeli od Vavilonaca. Na primer, ˇcetiri se piˇse kao IV umesto IIII ili 1999 kao MCMXCIX. Ostaci ovog principa zadrˇzali su se danas u naˇsoj sklonosti da kaˇzemo pet minuta do dvanaest umesto jedanest i pedeset pet minuta.
4
14 • Decimalni pozicioni brojni sistem duguje svoje poreklo indijskoj matematici. Prva poznata primena ovog sistema datira iz 595. godine nove ere, kada je datum 346 zapisan u decimalnom pozicionom sistemu. Nula se oznaˇcava prazninom, taˇckom ili malim kruˇzi´cem. Med¯utim, joˇs pre toga, Indusi su izraˇzavali ve´ce brojeve reˇcima po principu pozicione vrednosti. 15 • Danas je poznato da je pozicioni princip koriˇs´cen u sistemu sa osnovom ˇsezdeset nad¯enom na Vavilonskim ploˇcama starim 3600 do 4000 godina, mada bez simbola za nulu. Na primer, Stari Vavilonci su pisali 18363 = 5×602 +6×60+3 (= (563)60 ). Postoje dokazi da su i astronomi u staroj Indiji koristili podelu na ˇsezdeset. Ovo otkri´ce, kao i ˇcinjenica da su Arapi izabrali Hindu brojeve, ukazuje na to da je mnogo adekvatnije koristiti termin ,,vavilonska-hindu” notacija nego ,,arapska” ili ,,hindu-arapska.” 16 • Opˇste je miˇsljenje da cifre koje danas koristimo, takozvane arapske cifre, kao i simbol za nulu potiˇcu iz Indije. Dva najstarija zapisa brojeva data su na slici 3. Prvi od njih se pojavio u Brahmi sistemu pisanja sredinom tre´ceg veka pre nove ere.
Sl. 3 Najstariji (Brahmi i Gvalior) brojevi, poreklom iz Indije
17 • Suˇstinska odlika Hindu matematike bilo je uvod¯enje simbola za nulu. Bez nule pozicioni sistem zapravo ne bi mogao da postoji. Ovaj pronalazak omogu´cio je razvoj od indo-arapskih cifara do danaˇsnjeg brojnog sistema sa pozicionom vrednoˇs´cu. U poˇcetku se za nulu upotrebljavala reˇc sunja (sunia) – praznina, da bi kasnije bila zamenjena taˇckom. Simbol za nulu ,,0” pojavio se u Indiji u 9. veku. U zapisu iz 876. na Gvalioru brojevi 50 i 270 su napisani sa nulama.1 Poreklo samog znaka je neizvesno. Mogu´ce je da je nastao kao asocijacija na prazan krug, ali je verovatnije da potiˇce od upotrebe slova omikron ,,O”, koje predstavlja inicijal grˇcke reˇci o´ υ δ´ ν (ouden), ˇsto znaˇci niˇsta. ˇ 18 • Sezdesetih godina 20. veka gospod¯a Abdelkri Budˇzibar, direktor Muzeja u Maroku, izloˇzila je javnosti svoju interesantnu i priliˇcno ubedljivu studiju o tome kako je nepoznati arapski matematiˇcar mogao pre nekih hiljadu godina da oblikuje takozvane arapske brojeve, odnosno cifre od 0 do 9. Ona smatra da su cifre formirane prema kriterijumu da svaka sadrˇzi odgovaraju´ci broj uglova, kao ˇsto je prikazano na slici 4. Dakle, cifra broja ,,jedan” sadrˇzi jedan ugao, cifra broja ,,dva” ima dva ugla, broja ,,tri” ima tri ugla, i tako dalje. Nula je, naravno oblikovana tako da nema uglova.
Sl. 4 Cifre i broj uglova 1 D.
E. Smith, L. C. Kaplanski, Hindu-Arabic Numerals, Boston and London, 1911, str. 52.
5
Ovakvo jedno racionalno obrazloˇzenje nastanka cifara bilo bi interesantno ukoliko je taˇcno. Danaˇsnji izgled cifara 1, 2, 3 mogao je nastati usled kurzivnog pisanja jedne, dve ili tri crte. Med¯utim, oblikovanje ostalih cifara manje je jasno. 19 • Arapski astrolog Aben Ragel, iz desetog ili jedanaestog veka, sugerisao je atraktivan mada istorijski nedokazan prikaz cifara dat na slici 5. Ovakva maˇstovita obrazloˇzenja proistiˇcu iz ˇzelje amatera da proniknu u kljuˇc misterije, nedostupan i ekspertima.
Sl. 5 Cifre na kvadrantima
20 • Hindu cifre su prenete u arapske zemlje u 7. veku. Najstarija referenca za Hindu pozicioni brojni sistem van Indije nad¯ena je u radu iz 662. koji je napisao Sever Sebohta, sirijski biskup, i u Kambodˇzi 683. 21 • Iz arapskih zemalja hindu cifre su prenete u Evropu uglavnom posredstvom trgovaca sa obala Mediterana koji su odrˇzavali trgovaˇcke veze sa Istokom. Drugi znaˇcajan naˇcin prenoˇsenja ˇ arapskih cifara u Evropu bio je direktno preko Arapa, koji su osvojili Spaniju 711. godine i u ˇ periodu svoje vladavine doneli i znanje matematike u Spaniju. 22 • Najstariji evropski rukopis koji sadrˇzi arapsko-indijske cifre, tzv. ,,Vigilanski kodeks” ˇ (Codex Vigilanis), napisao je Albelda Kloister u Spaniji 976. godine. Ove cifre su prikazane na slici 6.
Sl. 6 Najstariji evropski rukopis sa Hindu ciframa
23 • U Evropi su u 10. veku joˇs bile u upotrebi kurzivne rimske cifre. Gerbert Dorijak ˇ (oko 950–1003), koji je rod¯en u Francuskoj, obrazovao se u Spaniji i Italiji, i kasnije sluˇzio kao arhibiskup u Remsu i Raveni (i 999. godine postao Papa pod imenom Silvester II), bio je verovatno prvi u Evropi koji je upotrebio hindu-arapske brojeve. Hindu-arapski sistem je definitivno postao poznat u Evropu u 13. veku zahvaljuju´ci radu nekoliko nauˇcnika, 2 najviˇse od svih Leonardu iz Pize, poznatijem kao Fibonaˇci (Fibonacci, 1180–1250). Njegova knjiga Liber abbaci (Knjiga o abaku, 1202) sluˇzila je kao veoma vaˇzan izvor hindu-arapske numeracije u Evropi. Izmed¯u ostalih, engleski matematiˇcar Vilijam Otred (William Oughtred, 1574–1660) opisao je hindu-arapsku notaciju i decimalne razlomke u svom najvaˇznijem delu Clavis Mathematicae (1631). 24 • Upotreba arapskih cifara u Evropi bila je u prvo vreme ˇcak zabranjena. Med¯utim, kada su u 14. veku italijanski trgovci (iz porodice Mediˇci) poˇceli da upotrebljavaju arapske cifre pri vod¯enju trgovaˇckih knjiga, a posebno posle 1482. godine, dolazi do potiskivanja rimskih cifara. 2 Videti
G. F. Hill, The Development of Arabic Numerals in Europe, Clarendon, Oxford 1915, i D. E. Smith, L. C. Karpinski, Hindu-Arabic Numerals, Ginn, Boston and London, 1911.
6
25 • Najraniji novˇci´ci na kojima su utisnute arapske cifre pojavili su se u slede´cem redosledu: ˇ ˇ Svajcarska (1424), Austrija (1484), Francuska (1485), Nemaˇcka (1489), Skotska (1539), Engleska (1551). 26 • Egip´cani su izvrˇsavali deljenje na poseban naˇcin baziran na procesu udvostruˇcavanja i deljenja. Na primer, pri deljenju 21 sa 8 primenjivan je slede´ci postupak: 2∗ × 8 = 16,
1∗ 1 1∗ × 8 = 4, × 8 = 2, × 8 = 1. 2 4 8
Zatim su birani oni ˇcinioci (oznaˇceni zvezdicama) ˇciji odgovaraju´ci proizvodi na desnoj strani daju zbir 21, dakle 16 + 4 + 1. Koliˇcnik je, prema tome, 2 + 12 + 18 . Ovaj postupak se smatra najstarijim oblikom deljenja. 27 • Prvo tvrd¯enje da deljenje nulom daje beskonaˇcnu veliˇcinu iskazao je indijski matematiˇcar Baskara (1114-oko 1185) u svom radu Vija-Ganita. Med¯utim, Baskara ipak nije sasvim razumeo ovu operaciju; naime, u slede´cem koraku on tvrdi da je a/0 · 0 = a. 28 • Narod Inka, koji je na teritoriji sadaˇsnjeg Perua imao mo´cnu civilizaciju pre vremena evropske invazije u 16. veku, posedovao je logiˇcko-numeriˇcki sistem zapisivanja brojeva pomo´cu skupa konopaca sa specijalno grupisanim ˇcvorovima, nazvanim kipu (quipu). Specifiˇcan raspored konopaca i ˇcvorova (ukljuˇcuju´ci razmak) predstavljali su brojeve u dekadnom pozicionom brojnom sistemu. Najve´ci broj otkriven na kipu je 97 357. U modernoj terminologiji, kipu je sliˇcan jednom posebnom tipu grafa, poznatom kao stablo. 29 • Zanimljiva je priˇca o nazivu cifre nula. Hindu simbol za nulu, nazvan sunja (prazan), preveden je na arapski kao as-sifr ili sifr. Fibonaˇci u svojoj knjizi Liber abbaci naziva ovaj ˙ simbol zephirum a Maximus Planudes (oko 1340.) ga zove tziphra (od grˇckog oblika τ ζiφρα, koji je otprilike u isto vreme koristio Neofitos). Ova reˇc je zatim preneta u italijanski kao zeuro, odakle je nastala engleska reˇc za nulu zero. Primetimo da su iz istog izvora nastale naˇse reˇci cifra i ˇsifra, a u engleskom cipher. Med¯utim, nula je takod¯e poznata i pod drugim imenima kao ˇsto su rota, circulus, galgal, omicron, theca, null, i figura nihili i do danas ovaj termin joˇs nije ured¯en. 30 • Jedinica takod¯e zasluˇzuje posebnu paˇznju. Sve do 16. veka jedinica nije ni smatrana cifrom, ˇsto je ideja koja potiˇce od starih Grka. Euklid je definisao broj kao veliˇcinu sastavljenu od jedinica. Takod¯e se smatralo da jedinicu, kao i taˇcku, nije mogu´ce deliti. Srednjovekovni pisci kao ˇsto su al-Horezmi (oko 825), Pselus (oko 1075), Savasorda (oko 1100), Hispalensis (oko 1140) i autori ranih ˇstampanih knjiga Paˇcoli (1494), Kebel (1514), Cvifel (1505), Bejker (1568) i mnogi drugi, iskljuˇcili su jedinicu iz polja brojeva. 31 • Ideja da jedinica nije broj, ve´c samo generator brojeva (isto kao ˇsto je taˇcka generator linije) bila je predmet mnogih diskusija do 1585. kada je holandski matematiˇcar i inˇzenjer Simon Stevin (1548–1620) promenio ovaj koncept u svojoj l’Arithm´etique i uverio svoje savremenike i sledbenike da je jedinica i sama broj, baˇs kao i drugi brojevi. 32 • Pojam negativnih brojeva javlja se po prvi put u kineskoj matematici. Naime, u starokineskoj knjizi K’iu-ˇcang suan-ˇsu 3 (Devet knjiga matematiˇckih veˇstina, oko 200. godine P. N. E. ali moˇ zda i mnogo ranije) iz perioda dinastije Han (202 P. N. E. – 211 N. E. ) negativni brojevi su zapisivani crnom bojom dok su pozitivni brojevi pisani crvenom bojom. 33 • Prvi trag kvadratnog korena negativnog broja je nad¯en u Stereometriji Herona iz Aleksandrije (oko 50. godine). Indijski matematiˇcar Mahavira (oko 850.) bio je prvi koji je suˇstinski 3 Postoje
i druge fonetske transkripcije, zavisno od dijalekta, npr. Czju ˇ cˇ zan suan ˇsu ili Jui zang suanˇsu.
7
shvatio ovaj problem. U svom razmatranju negativnih brojeva on kaˇze da ,,kako u prirodi stvari negativna koliˇcina ne moˇze biti kvadrat(na koliˇcina), to ne postoji kvadratni koren negativnog broja.” 34 • Prvi napredak u razmatranju negativnih brojeva naˇcinio je Fibonaˇci koji je interpretirao negativno reˇsenje u finansijskim problemima kao gubitak umesto zarade. Med¯utim, prvi koji - irolamo Kardano je tretirao negativne brojeve na pravi naˇcin bio je italijanski matematiˇcar D (1501–1576). On je definisao jednostavne zakone sa negativnim brojevima u svojoj knjizi Ars Magna (Velika veˇstina, 1545); formulisao je pravilo ‘minus puta minus daje plus’ kao nezavisno pravilo i nazvao negativne brojeve ‘fiktivni.’ Usvojio je simbol za negativan broj ,,m :” (m je od latinskog meno – minus) tako da je pisao ,,m : 5” za −5, dok je njegov savremenik Rafael Bombeli (Raphael Bombelli, 1526–1573?) koristio oznaku ,,m.”. 35 • Zvuˇci paradoksalno, ali prvi suˇstinski korak ka pravilnom shvatanju i konaˇcnom usvajanju negativnih brojeva nastupio je tek kada su kompleksni brojevi stekli svoj matematiˇcki legitimitet i dostigli ,,matematiˇcku zrelost.” U svojoj knjizi Veliki matematiˇcari, E. T. Bell je istakao: ,,U istoriji matematike nema ve´ceg iznenad¯enja od ˇcinjenice da su kompleksni brojevi shva´ceni, i sintetiˇcki i analitiˇcki, pre negativnih brojeva.” 36 • Rafael Bombeli je prvi definisao sabiranje i mnoˇ √ zenje kompleksnih brojeva. U svojoj knjizi Algebra (1572) on razmatra veliˇcine kao ˇsto je −9, ˇsto zapisuje u obliku R[0 m. 9], gde R oznaˇcava kvadratni koren (od radix – koren) a m je minus (od meno). Ovaj pristup mu je omogu´cio da reˇsi nesvodljiv sluˇcaj u reˇsavanju kubnih jednaˇcina pokazuju´ci, na primer, da je q √ √ 3 52 + 0 − 2209 = 4 + 0 − 1. Bombelijeva Algebra je bila naˇsiroko ˇcitana mnogo decenija; ˇcuveni matematiˇcari Gotfrid Lajbnic (1646–1716) i Leonard Ojler (1707–1783) su je koristili za prouˇcavanje kubnih i bikvadratnih jednaˇcina. - irolamo Kardano je bio prvi koji je koristio kvadratni koren negativnog broja u 37 • D izraˇcunavanju. Godine 1545. on je usvojio koncept √ √ ,,minus koren” da podeli 10 na dva dela ˇciji je proizvod 40, i naˇsao reˇsenja 5 + −15 i 5 − −15. 38 • Jako podozrenje i prema kompleksnim i prema negativnim brojevima zadrˇzalo se sve do 19. veka. S druge strane, Hajgens i Lajbnic, koji su ˇziveli u 17. veku, bili su impresionirani imaginarnim brojevima. Na primer, Lajbnic je izvrˇsio faktorizaciju izraza x 4 + a4 u q q q q √ √ √ √ −1 x − a −1 x + a − −1 x − a − −1 x+a p p √ √ √ i pokazao4 da je 6 = 1 + −3 + 1 − −3. Poslednja reprezentacija je navela Hajgensa da napiˇse pismo Lajbnicu: 5 ,,Primedba koju ste napravili u pogledu korena iz negativnih brojeva sa imaginarnim vrednostima, koje, med¯utim, kada saberupdaju realnu vrednost, je iznenad¯uju´ca i potpuno nova. Teˇsko je poverovati da p se √ √ √ 1 + −3 + 1 − −3 ˇcini 6 i u tome postoji neˇsto skriveno ˇsto je meni neshvatljivo.” 39 • Aritmetiku kompleksnih brojeva u pravom smislu razvio je 1831. ˇcuveni nemaˇcki matematiˇcar Karl Fridrih Gaus (1777–1855). On je predstavio kompleksne brojeve kao taˇcke u √ ravni, naˇsao za korisno da razlikuje pojam imaginarnog broja za a −1 i kompleksnog broja za 4 Publikovano 5 The
u Lajbnicovim sabranim delima Werke, Gerhardt ed., Berlin 1850. Mathematical Intelligencer, Vol. 11, No. 2 (1989), str. 3.
8
√ √ a + b −1, pri ˇcemu je uveo drugi termin. Ojler je 1748. uveo oznaku i = −1, a francuski matematiˇcar Ogisten √ Koˇsi (1789–1857) uvodi 1821. nazive konjugovan par za a + ib i a − ib i moduo za veliˇcinu a2 + b2 , koju je Vajerˇstras zvao apsolutna vrednost i oznaˇcavao sa |a + ib|. 6 Nezavisno od Gausa, ˇcuveni irski matematiˇcar Vilijam Roven Hamilton (1805–1865) je 1843. uveo aritmetiku kompleksnih brojeva zasnovanu na prikazu kompleksnog broja kao ured¯enog para realnih brojeva x + iy = (x, y). 40 • Za broj koji nije koren nekog algebarskog polinoma sa celobrojnim koeficijentima kaˇze se ˇ da je transcendentan. Ovu reˇc je smislio Lajbnic. Transcendentne brojeve je 1884. otkrio Zozef Liuvil (1809–1882) koji je pronaˇsao celu klasu tih brojeva. On je predstavio transcendentan broj kao 1 1 1 1 + 2! + 3! + · · · + n! + · · · = 0.11000100000000000000000100 . . . 10 10 10 10
41 • Najvaˇzniji i najpoznatiji transcendentni brojevi su e = 2.71828 . . . i π = 3.14159 . . . Broj e definiˇse se kao graniˇcna vrednost e = lim (1 + 1/n)n . n→∞
ˇ Simbol e uveo je 1736. Leonard Ojler, a Sarl Ermit (1822–1901) je dokazao njegovu transcendentnost 1873. godine. 42 • Simbol π prvi je uveo engleski matematiˇcar Vilijam Dˇzons (William Jones, 1675–1749) u svojoj knjizi Synopsis Palmariorum Matheseos (1706), a Ojler usvojio 1737. Otada je opˇste prihva´ceno da π predstavlja koliˇcnik obima i preˇcnika kruga. Transcendentnost broja π dokazao je 1882. godine nemaˇcki matematiˇcar Ferdinand Lindeman (1852–1939) i time implicitno dokazao nemogu´cnost kvadrature kruga (jedan od tri ˇcuvena problema antiˇcke Grˇcke) upotrebom samo lenjira i ˇsestara. Takod¯e je dokazano da je broj eπ transcendentan, ali se ne zna, na primer, da li su π e , ee ili π π transcendentni; ˇcak se ne zna da li su proizvod πe i suma π + e transcendentni ili ne. 43 • Najranija zabeleˇzena aproksimativna vrednost za π je Ahmesova vrednost π = 256/81 = 3.16049... sa Rajndovih papirusa (oko 1650. P. N. E. ).7 Ova vrednost proizilazi iz egipatske formule (d − d/9)2 za povrˇsinu kruga preˇcnika d.
44 • Oko 1436. godine arapski matematiˇcar Dˇzemˇsid ibn Masud al-Kaˇsi izraˇcunao je 2π i naˇsao vrednost 6.2831853071795865. Svih 16 decimalnih cifara je taˇcno, ˇsto je bila najbolja aproksimacija za π tog vremena. Al-Kaˇsi je dobio ovaj broj konverzijom devetocifrenog broja (koji je on izraˇcunao) iz brojnog sistema sa osnovom 16. Ovo je verovatno bila prva konverzija razlomka iz jednog brojnog sistema u neki drugi.
45 • Jedan od najlakˇsih naˇcina da se zapamti broj π koristi niz dvostrukih brojeva 1, 3 i 5, i glasi: Pod¯imo od niza cifara 113355; podelimo ga na dva dela 113|355; zatim uzmimo ove delove u obrnutom poretku 355|113; podelimo 355/113 i dobijamo π ≈ 3.14159292, ˇsto je taˇcno ˇ na ˇsest decimalnih mesta. Ovaj metod je bio poznat Kinezu Tsu Cung-ˇ cihu (oko 480). Valentin Oto (1573) i Adrijan Antoniˇsin (1585) su ponovo otkrili ovu prastaru kinesku vrednost za π. Antoniˇsin je zapravo pokazao lanac nejednakosti 333 377 >π> 120 106 ˇ ˇ Kejdˇ zoriju, Zan Rober Argan (Jean Robert Argand, 1768-1822) iz Zeneve u svojoj raspravi Essay iz 1806. uveo je reˇ c ,,moduo” pre Koˇsija da predstavi duˇ zinu vektora a + ib. 7 Ove papiruse je pronaˇ sao engleski egiptolog A. Henri Rajnd (Rhind) i prvi put su publikovani 1927. godine. 6 Prema
9
a odavde je uzimanjem srednje vrednosti brojioca i imenioca dobio kinesku procenu. 46 • Postoje razliˇcite tehnike za pam´cenje cifara broja π na razliˇcitim jezicima a sastoje se uglavnom od duhovitih reˇcenica. Jedna od najpoznatijih na engleskom jeziku je slede´ca: How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics (Kako ˇzelim pi´ce, alkoholno naravno, posle teˇskih predavanja koja obuhvataju kvantnu mehaniku). Broj slova svake engleske reˇci u ovoj reˇcenici predstavlja vrednost cifre u aproksimaciji 3.14159265358979 - 14 taˇcnih cifara. ,,Pamtilica” May I have a large container of coffee? (Mogu li dobiti veliku ˇsolju kafe?) je kra´ca ali efektna, dok je slede´ca data u obliku stihova (Literary Digest, 1906): Now I, even I, would celebrate In rhymes inapt, the great Immortal Syracusan, rivaled nevermore, Who in his wondrous lore, Passed on before, Left men his guidance how to circles mensurate. Evo jedne i na srpskom jeziku: Joˇs i krug u ˇskoli upoznajeˇs (3.14159). 47 • Koriste´ci Euklidova orud¯a (ˇsestar i lenjir), de Gelder (1849) je konstruisao duˇz koja predstavlja veoma dobru aproksimaciju broja π. Neka je |AB| = 1 preˇcnik datog kruga (sl. 9). Nacrtajmo normalu BC na preˇcnik tako da je |BC| = 87 . Zatim konstruˇsimo duˇz AD = AC na AB i u taˇcki D podignimo normalu DE takvu da je |DE| = 21 . Neka je F podnoˇzje normale DF povuˇcene iz taˇcke D normalno na AE. Nacrtajmo duˇz EG paralelnu sa F B. Uzimaju´ci u obzir da je tan α = |DE|/|AD|, izraˇcunavamo |EF | |DE| sin α |DE|2 |DE|2 |GB| = = = = , |AB| |F A| |AD| cos α |AD|2 |BA|2 + |BC|2 odakle je |GB| = 42 /(72 + 82 ) = 16/133 = 355/116 − 3 = 0.1415929... decimalni deo broja π sa taˇcnoˇs´cu do ˇseste decimale. Dakle, 3 + |GB| se razlikuje od π za manje od milionitog dela. C
E F
a A
a B
G
D
10 Sl. 9 Geometrijska konstrukcija broja π na 6 taˇ cnih decimala
48 • Interesantno je da se pojam razlomka pojavljuje nezavisno i mnogo kasnije od koncepta celog broja. Na primer, termini za 1/2 u razliˇcitim jezicima su: jedna-polovina, semis, moiti´e ˇsto nije direktno povezano sa reˇcima: dva, duo, deux. 49 • Da bi raˇcunanja sa razlomcima uˇcinili jednostavnijim i lakˇsim, Egip´cani su predstavili sve razlomke, izuzev 2/3, kao zbir takozvanih jediniˇcnih razlomaka, tj. razlomaka sa jediniˇcnim brojiocima. Jedan od problema iz Rajndovih papirusa izraˇzava 2/97 kao zbir 1/56 + 1/679 + 1/776 (naravno, u egipatskim hijeroglifima). Napomenimo da se upotreba jediniˇcnih razlomaka zadrˇzala u izvesnoj meri ˇcak i danas, na primer, u izraˇzavanju kvaliteta dragocenih metala u jedinici karat; jedan karat oznaˇcava 1/24-ti deo ˇcistog zlata sadrˇzanog u leguri (dakle, 24 karata oznaˇcava ˇcisto zlato). 50 • Lako je izraziti 1 kao sumu razliˇcitih jediniˇcnih razlomaka (tzv. egipatski razlomci); minimalno reˇsenje je razvoj 1 = 1/2 + 1/3 + 1/6. Med¯utim, razvoj 1 po razliˇcitim jediniˇcnim razlomcima sa svim neparnim imeniocima predstavlja teˇzak problem koji je uz pomo´c raˇcunara reˇsio 1971. japanski programer S. Jamaˇsita. Postoji pet reˇsenja ovog problema, pokazanih dole, svako sa devet sabiraka: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1= + + + + + + + + 3 5 7 9 11 15 35 45 231 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = + + + + + + + + 3 5 7 9 11 15 33 45 385 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = + + + + + + + + 3 5 7 9 11 15 21 231 315 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = + + + + + + + + 3 5 7 9 11 15 21 165 693 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + . = + + + + 3 5 7 9 11 15 21 135 10395 51 • Holanski matematiˇcar i inˇzenjer Simon Stevin je prvi uveo terminologiju i notaciju za decimalne razlomke (1585). On daje primere: 3 1 7 2 5 3 9 4 ˇ sto znaˇci 3 prima (deseti deo jedinice), 7 sekundi (deseti deo prima), 5 tre´cih, i 9 ˇcetvrtih, ili 3/10, 7/100, 5/1000, 9/10000, ˇsto daje 3759/10000. Brojeve napisane na ovaj naˇcin Stevin zove decimalni brojevi. U svojoj doktorskoj disertaciji On the Concept of One as a Number (O konceptu jedinice kao broja, ˇ Univerzitet u Torontu, 1978), Carls Dˇzons (Charles Jones) naziva Stevinovu ideju decimala ,,krahom grˇckog koncepta broja.” 52 • Moderna teorija veriˇznih razlomaka poˇcela je sa italijanskim matematiˇcarem Rafaelom Bombelijem, koji je pokazao 1572. godine8 da je √
4
13 = 3 + 6+
6+ U suˇstini, on je koristio razvoj p a2 + b = a +
4 6 + ... b b
2a + 2a +
8 Modo
.
4
.
b 2a + · · ·
di formare il rotto nella estrattione delle Radici quadrate, u Bombelijevoj Algebri, Bologna 1572.
11
Ovaj opˇsti algoritam uveo je 1613. drugi italijanski matematiˇcar P. A. Kataldi (1548–1626). Naziv ,,veriˇzni razlomak” smislio je engleski matematiˇcar i teolog Dˇzon Valis (1616–1703), ˇclan i jedan od osnivaˇca Kraljevskog nauˇcnog druˇstva u Londonu. ˇ 53 • Cuveni indijski matematiˇcar-amater Srinivasa Ramanudˇzan (1887–1920) primetio je u Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics (Vol. 45, 1913–14, str. 350) da je broj √ π 163 verovatno ceo. Naime, on je naˇsao da je njegova vrednost osamnaestocifreni broj kod e koga iza decimalne taˇcke sledi devet devetki: eπ
√
163
= 262 537 412 640 768 743.999 999 999 999... .
Da se ispostavilo da je ovaj broj zaista ceo, to bi bilo jedno od najuzbudljivijih i najspektakularnijih otkri´ca u Teoriji brojeva. Razvoj modernih raˇcunara omogu´cio je raˇcunanje u aritmetici viˇsestruke preciznosti daju´ci eπ
√
163
= 262 537 412 640 768 743.999 999 999 999 250 072... .
Prema tome, razmatrani izraz ipak nije ceo broj mada je veoma blizu celog broja. Postavlja se prirodno pitanje: kako √ je mogu´ce da izraˇcunavanje, koje ukljuˇcuje dva transcedentna broja e i π i iracionalan broj 163 (pritom je 163 prost broj) daje tako neverovatnu bliskost celom broju? Prema M. Somosu, objaˇsnjenje ovog ˇcudnog sluˇcaja moglo bi se na´ci u slede´cem razvoju: eπ
√
163
= 6403203 + 744 − 7.499274 · · · × 10−13 .
54 • Indijski matematiˇcar D. R. Kaprekar je najpoznatiji van Indije po svom otkri´cu Kaprekarove konstante ˇsezdesetih godina 20-tog veka. Ova konstanta dobija se na slede´ci naˇcin. Polaze´ci od proizvoljnog ˇcetvorocifrenog broja, kome nisu sve cifre jednake, formiramo dva nova broja: jedan sa ciframa pored¯anim u opadaju´cem redosledu, a drugi sa ciframa u rastu´cem redosledu. Zatim od prvog (ve´ceg) broja oduzmemo drugi (manji) broj i na taj naˇcin dobijamo novi broj. Ako ovaj proces sa razlikama nastavimo da ponavljamo, posle najviˇse 8 koraka sti´ci ´cemo do Kaprekarove konstante 6174, koja tada generiˇse samu sebe i predstavlja kraj opisanog procesa. Primer: Neka je 8273 polazni ˇcetvorocifreni broj. U prvom koraku dobijamo 1) 8732−2378 = 6354. Tada nalazimo 2) 6543 − 3456 = 3087; 3) 8730 − 0378 = 8352; 4) 8532 − 2358 = 6174. Ovde se proces generisanja zavrˇsava jer broj 6174 generiˇse sam sebe, naime, 7641 − 1467 = 6174 i dolazi do ponavljanja. 55 • Dobro je poznato da se broj 13 smatra baksuznim brojem; mnogi hoteli (naroˇcito u SAD) nemaju sobu sa tim brojem. Fenomen ,,baksuznih brojeva” bio je izgleda oduvek prisutan. Tako u jezicima nekih afriˇckih plemena ne postoji reˇc za broj sedam ve´c se zamenjuje sloˇzenicom 6+1. Neki afriˇcki narodi smatraju da brojanje ljudi, ku´ca, stoke moˇze biti baksuzno. Postoji strah da bi brojanje ljudi ili vrednosti moglo prizvati nesre´cu. Da bi to izbegli, pripadnici naroda Kpele iz Liberije raˇcunaju pomo´cu gomila kamenja. U tome su toliko veˇsti da su u jednom eksperimentu prikazali daleko bolju sposobnost procene broja kamenˇci´ca na gomilama razliˇcitih veliˇcina nego studenti sa Univerziteta Jejl. S druge strane, davali su veoma pogreˇsne procene broja ku´ca u selu ili broja ljudi koji u njemu ˇzive, jer na ovakvo brojanje nisu navikli. 56 • Broj pet javlja se u nekoliko interesantnih situacija u raznim oblastima matematike. Evo nekih primera: 1. Pet nekomplanarnih taˇcaka na jedinstven naˇcin definiˇse konus.
12
2. Postoji taˇcno pet pravilnih poliedara. 3. Sve grupe reda jednakog pet su proste. 4. Opˇsta algebarska jednaˇcina stepena ve´ceg ili jednakog pet ne moˇze biti reˇsena pomo´cu radikala. 5. Broj deljenja potrebnih da se nad¯e najve´ci zajedniˇcki delilac dva broja nije ve´ci od pet × broj cifara manjeg broja (Lameova teorema). 6. Svaki pozitivan ceo broj moˇze se izraziti kao suma najviˇse pet razliˇcitih pozitivnih ili negativnih celobrojnih kubova. (Postoji pretpostavka da je i ˇcetiri dovoljno.) 57 • Pretpostavimo da je veliki komad papira, debljine hiljaditog dela centimetra, presavijen taˇcno na pola, a zatim da je dobijeni komad ponovo presavijen. Ako bi se ovaj proces presavijanja papira izvrˇsio 50 puta, kolika bi bila visina dobijene gomile papira? Mnogi ´ce na ovo pitanje odgovoriti metar ili dva, oni oprezniji rekli bi moˇzda 1 kilometar a najlud¯i odgovor mogao bi da bude, na primer, 100 kilometara. Med¯utim, taˇcan odgovor na ovo pitanje je krajnje zaprepaˇs´cuju´ci: debljina papira iznosila bi preko 11 miliona kilometara! 58 • Gugol i gugolpleks. Profesor Edvard Kasner sa Univerziteta Kolumbija u Njujorku sakupio je tokom godina neke interesantne podatke koji se tiˇcu velikih brojeva: 1. Temperatura u centru eksplozije atomske bombe iznosi 2 × 108 stepeni Farenhajta; 2. Procenjuje se da je ukupan broj reˇci izgovorenih od poˇcetka sveta pribliˇzno 10 18 ; 3. Ukupan broj ˇstampanih reˇci poˇcev od pojave Gutenbergove Biblije je neˇsto ve´ci od 10 17 ; 4. Starost Zemlje procenjuje se na oko 10 milijardi godina ili oko 1018 sekundi; 5. Poluvreme raspada uranijuma 238 iznosi 1.42 × 1017 sekundi; 6. Broj zrna peska na obali Koni Ajlenda kraj Njujorka je oko 1020 ; 7. Ukupno vreme ˇsirenja svemira je verovatno manje od 2000 miliona miliona godina, ili oko 1022 sekundi; 8. Masa Zemlje je oko 5.4 × 1024 kilograma; 9. Broj atoma kiseonika u jednom naprstku proseˇcne veliˇcine iznosi oko 10 27 ; 10. Prema teoriji relativiteta, preˇcnik univerzuma iznosi oko 1029 santimetara; 11. Broj sneˇznih kristala potrebnih da se formira ledeno doba bio bi oko 10 30 ; 12. Ukupan broj naˇcina da se 52 karte pored¯aju u niz je reda 8 × 10 67 ; 13. Ukupan broj elektrona u svemiru prema jednoj proceni iznosi oko 1079 ; Barataju´ci s velikim brojevima, profesor Kasner je smatrao potrebnim da smisli naziv broja 10100 , koji je znatno ve´ci od bilo kog od prethodno navedenih brojeva. Konaˇcno je usvojio naziv gugol koji mu je predloˇzio njegov devetogodiˇsnji ne´cak. Kasnije, kada se pokazalo da ni ovaj broj nije dovoljno veliki, uveden je naziv gugolpleks za broj 10gugol . 59 • Ubedljivi gigant med¯u giganskim brojevima je Skjuesov broj. U odnosu na njega ˇcak i gugolpleks je patuljak. Ovaj broj nazvan je prema engleskom matematiˇcaru Skjuesu (Skewes), a pojavio se u vezi sa izuˇcavanjem distribucije prostih brojeva i iznosi 1010
1034
60 • Ukupan broj svih mogu´cih poteza u jednoj ˇsahovskoj partiji je reda 1010
50
ˇ Cuveni matematiˇcar Godfri H. Hardi (1877–1947), dugogodiˇsnji profesor Univerziteta u Kembridˇzu, jednom je izneo slede´cu zanimljivu teoriju. Ako bismo pretpostavili da je ceo univerzum jedna trodimenzionalna ˇsahovska tabla na kojoj su figure protoni i ako pod potezom u ovoj
13
kosmiˇckoj igri smatramo zamenu mesta bilo koja dva protona, tada bi ukupan broj mogu´cih poteza bio upravo Skjuesov broj. 61 • Najve´ci broj ikad koriˇs´cen u matematiˇckom dokazu je graniˇcna vrednost publikovana 1977. u radu Ronalda Grahama, matematiˇcara i istaknutog nauˇcnika u oblasti kompjuterskih nauka zapoˇsljenog u kompaniji AT&T Bell Labs (Murej Hil, SAD). Taj broj se odnosi na bihromatske hiperkocke koje se pojavljuju u Ramzejevoj teoriji, i nemogu´ce ga je iskazati bez posebne notacije sa ,,strelicama” (videti taˇcku 113 u ovom delu).9 Notaciju je smislio 1976. ˇcuveni Donald Knut, profesor Univerziteta u Stenfordu. Ovaj broj prikazan je pomo´cu 64 sloja. On je tako neshvatljivo veliki da nema fiziˇcki analogon ˇcak ni u odnosu na broj atoma u vasioni. 62 • Joˇs su stari Grci znali da postoji beskonaˇcno mnogo prostih brojeva. Jedan od dokaza moˇze se na´ci u Euklidovim Elementima (Knjiga IX, Propozicija 20). Nemaˇcki matematiˇcar Peter Leˇzen Dirihle (1805–1859) dokazao je da svaka aritmetiˇcka progresija a, a + d, a + 2d, . . . , gde su a i d relativno prosti projevi (tj. njihov najve´ci zajedniˇcki delilac je 1) sadrˇzi beskonaˇcno mnogo prostih brojeva. Dokaz nije jednostavan. 63 • Jedna od najvaˇznijih teorema (asimptotski zakon raspodele prostih brojeva) u Teoriji brojeva glasi: Ako je π(n) broj prostih brojeva ne ve´cih od n, tada je lim
n→∞
π(n) log n = 1. n
ˇ Adamar (1865– Dokaz su 1896. skoro istovremeno i nezavisno dali francuski matematiˇcar Zak ˇ ˇ 1963) i belgijski matematiˇcar Sarl Zan de la Vale Pusen (Charles Jean de la Vall´ee Poussin, 1866–1962). 64 • Broj 357 686 312 646 216 567 629 137 je najve´ci (do sada) pronad¯eni prost broj koji uvek ostaje prost ako mu izbriˇsete proizvoljan broj cifara polaze´ci od prve. Evo ˇcudne liste prostih brojeva: 357686312646216567629137 57686312646216567629137 7686312646216567629137 ............................. 137 37 7 65 • Najve´ci poznati prost broj (u ovom momentu) je 41. Mersenov prost broj (broj oblika 2n − 1) 224036583 − 1
koji ima 7 235 732 cifara, a pronad¯en je juna 2004.
2. Terminologija 66 • Apstraktno prikazivanje brojeva pomo´cu kamenˇci´ca i raˇcunanje na taj naˇcin, donelo nam je latinsku reˇc kalkulacija, ˇsto znaˇci rukovanje kamenˇci´cima. Ovaj termin vodi poreklo od latinske reˇci calculus, ˇsto znaˇci ˇsljunak, koja je prevedena u srednjovekovno-latinsku reˇc calculare - raˇcunati. 9 Citirano
u Guinness Book of Records, Redwood Burn Ltd, Trowbridge, Wiltshire, 1983.
14
67 • Karl Meninger je u svojoj knjizi Number Words and Number Symbols, a Cultural History of Numbers (The M.I.T. Press, 1969) sistematizovao poreklo glagola ,,raˇcunati” u razliˇcitim jezicima. Istraˇzivanje korena porekla ove reˇci dovelo je do najstarijih instrumenata za raˇcunanje – prstiju, raboˇsa, raˇcunaljke. Jezik Grˇcki
Reˇ c pempazein ps´ephizein Latinski computare calculos ponere Srednjovekovni calculare latinski Francuski jeter compter calculer Engleski to cast to count
Znaˇ cenje ,,pljesnuti rukama” ,,pomerati kamenˇci´ce” ,,zase´ci” ,,namestiti kamenje” ,,pomerati kamenˇci´ce”
Izvodna reˇ c brojanje na prste raˇcunaljka raboˇs raˇcunaljka raˇcunaljka
,,baciti”
raˇcunaljka
< Lat. computare ,,baciti” < Lat. computare
raˇcunaljka
68 • Kada su Amerikanci okupirali Japan 1945. godine, zapazili su da japanski trgovci i deca u ˇskolama koriste jedan ˇcudan instrument za izvrˇsavanje aritmetiˇckih operacija. Ovaj instrument, koji se zove japanski abakus ili soroban, delovao je primitivno i koˇstao je u to vreme 25 centi. Amerikanci su raspolagali savremenim elektriˇcnim maˇsinama za raˇcunanje po ceni od $700. U ˇzelji da demonstriraju svoju superiornost nad pokorenim ratnim protivnikom, Amerikanci su organizovali javno takmiˇcenje u brzini raˇcunanja. Japance je predstavljao 22godiˇsnji Kijoˇsi Macuzuki sa obiˇcnim abakusom a Amerikance, takod¯e 22-godiˇsnak, poruˇcnik Tomas Jan Vud sa elektriˇcnom maˇsinom. Pred oko 3000 gledalaca Macuzuki je demonstrirao takvu brzinu baratanja abakusom da je dobio nadimak ,,ruke” i ubedljivo porazio Vuda u kategorijama sabiranja, oduzimanja, deljenja i kombinovanih zadataka. Vud je uspeo da bude bolji samo u mnoˇzenju, ˇsto nije mnogo popravilo utisak neoˇcekivanog teˇskog poraza. 69 • Glavna pokretaˇcka snaga razvoja matematike u najranijem periodu, ali i vekovima kasnije (od Vavilona pa sve do Ojlera i Laplasa), bile su praktiˇcne potrebe merenja zemlje i astronomije, ˇsto je bilo izuzetno vaˇzno u agrarnim druˇstvima (potrebe irigacije i poljoprivrede) a takod¯e i u moreplovstvu. Mnogi termini koje danas koristimo potiˇcu od tih praktiˇcnih potreba. Na primer, geometrija znaˇci ,,merenje zemlje” na grˇckom, ˇsto je nastalo od reˇci Γˆ η (ge) - zemlja i µτ ρˆιν (metrein) - meriti. 70 • Mnoge stare mere za duˇzinu proistekle su sasvim prirodno od razliˇcitih delova ljudskog tela. Na primer, u drevnom Egiptu i Sumeru kao manja jedinica za duˇzinu koristio se kubit - rastojanje od lakta do vrha srednjeg prsta. Naravno, ova jedinica je varirala od ˇcoveka do ˇcoveka, kao ˇsto je sluˇcaj i sa merama stopa, ruka, ˇsaka, prst (ˇsirina kaˇziprsta), jard (rastojanje od vrha nosa do kraja ispruˇzene ruke). Da bi se dobila jednoznaˇcna mera, jard je u Engleskoj standardizovan kao rastojanje od vrha nosa do kraja ispruˇzene ruke kralja Henrija I. Sama reˇc ,,jard”, na engleskom ,,yard”, potiˇce od anglo-saksonske reˇci ,,yerde” koja znaˇci ˇstap, a danas se ˇcesto koristi u znaˇcenju ˇstap dugaˇcak jedan jard (91.4 cm). Rimljani su koristili duodecimalni sistem (sa osnovom 12) pa su shodno tome delili stopu na dvanaest jednakih delova koje su zvali ,,unciae” (dvanaestina). Odatle je dobijena reˇc unca a takod¯e i engleska reˇc inˇc. 1324. godine kralj Edvard II standardizovao je inˇc kao duˇzinu ,,tri jeˇcmena zrna, okrugla i suva poloˇzena uzduˇz”.
15
Reˇc milja potiˇce od latinskog ,,mille passuum”, ˇsto je znaˇcilo hiljadu duplih koraka. Smatra se da je jedan korak u rimskoj vojsci bio trideset inˇca, a rimska milja je bila pet hiljada stopa. Med¯utim, milja se znatno razlikovala od zemlje do zemlje. Sliˇcno je sa jedinicom mere liga, koja se takod¯e vrlo razlikuje u razliˇcitim delovima sveta. 71 • Stari Grci su osnovali aritmetiku kao vrstu teorije brojeva. Naziv Aριθµητ ικ´ η (arithmetike’) potiˇce od grˇcke reˇci αριθµ´ ` os (arithmos’), ˇsto znaˇci broj. Ovaj termin je preveden na latinski kao aritmetika, a preko latinskog jezika univerzalno prihva´cen u svim jezicima. 72 • Nazive elipsa (znaˇci nedostatak), parabola (stavljanje pored ili pored¯enje) i hiperbola (bacanje dalje) je uveo Apolonije, koji je ˇziveo u tre´cem veku pre nove ere. 73 • Poreklo engleske reˇci sine (sinus) je priliˇcno neobiˇcno i potiˇce od niza pogreˇsnih prevod¯enja sanskritske reˇci ardha-jua (polu-akord). Indijski matematiˇcar Arijabata (oko 474– oko 550) skratio je ovaj termin na jua (akord) ili njen sinonim jiva. Zatim su Arapi fonetiˇcki prepisali ovu reˇc u (reˇc bez znaˇcenja) jiba, ali napisanu kao jb jer je arapski izostavljao samoglasnike. Kasniji arapski pisci su zamenili jb sa jaib, ˇsto je arapska reˇc koja znaˇci ,,pe´cina” ili ,,zaliv”. Gerardo iz Kremone (12. vek), kada je prevodio arapski rad iz trigonometrije na latinski, zamenio je arapski jaib ekvivalentnom latinskom reˇci sinus, odakle je nastala engleska reˇc sine. ˇ 74 • Svajcarski matematiˇcar Johan Lambert je prvi (1768) koristio imena hiperboliˇcki sinus (sinh x) i hyperboliˇcki kosinus (cosh x) za funkcije (ex − e−x )/2 i (ex + e−x )/2, respektivno. On je takod¯e uspostavio analogiju izmed¯u ovih funkcija i obiˇcnih trigonometrijskih funkcija sinus i cosinus. Med¯utim, Lambert nije bio prvi koji je uveo ove funkcije u trigonometriju. Prema M. Kantoru (Encyclop´edie des sciences math´ematiques, Vol. IV, 1908, str. 411), ta ˇcast pripada Vinˇcencu Rikatiju (Vincenzo Riccati, 1707–1775), sinu mnogo poznatijeg Jakopa Rikatija (Jacopo Riccati, 1676–1754). 75 • Veliki uticaj Arapa na savremenu matematiku vidi se i kroz reˇci arapskog porekla algebra i algoritam. Hindu brojevi su bili poznati u Bagdadu joˇs u 8. veku. Oko 825. godine veliki arapski matematiˇcar Abu Dˇzafer Muhamed ibn Musa al-Horezmi10 upoznao je Hindu sistem prouˇcavaju´ci knjigu iz astronomije Sidhanta ˇcuvenog indijskog matematiˇcara i astronoma Brahmagupte. Odmah je shvatio njihovu vrednost i napisao knjigu objaˇsnjavaju´ci naˇcin upotrebe. Ovu knjigu je preveo na latinski Adelard iz Bata (oko 1120) pod naslovom Liber Algorismi de numero Indorum (O indijskom broju – delo Algoritma). Otuda, termin algoritam, koji danas oznaˇcava postupak izraˇcunavanja koriˇs´cenjem viˇse specifiˇcnih metoda, predstavlja latinski prevod imena al-Horezmi. 76 • Termin algebra vodi poreklo od naziva knjige velikog arapskog matematiˇcara al-Horezmija (9. vek) koji u originalu glasi Hisab al-jabr w’al-mukabalah (oko 825). Sadrˇzaj knjige obrad¯uje ve´cinom procedure za reˇsavanje jednaˇcina tako da reˇc al-jabr poˇcinje da se upotrebljava za celokupnu algebru, koja je i inaˇce sve do sredine 19. veka bila samo nauka o jednaˇcinama. Reˇci al-jabr (jabr je od jabara ˇsto znaˇci ponovo sastaviti i uˇcvrstiti) i mukabalah, su tehniˇcki termini koji se odnose na prebacivanje negativnih ˇclanova na drugu stranu jednaˇcine i skra´civanje sliˇcnih ˇclanova sa obe strane jednaˇcine, respektivno.11 77 • Reˇc fraction dolazi iz latinskog frangere (prelomiti). Veoma dugo razlomci su pisani bez crte, ˇcesto da bi se izbegle tipografske poteˇsko´ce. Na primer, razlomak 13 je pisan na naˇcin 13 10 Puno
ime al-Horezmija znaˇ ci ,,Muhamed, otac Dˇ zaferov, sin Muse, iz Horezmija”, provincije u Persiji. srednjovekovnoj Evropi reˇ c algebra je imala pseudo-medicinsko znaˇ cenje ,,nameˇstanje kostiju”, ˇsto je ˇ doˇslo iz Spanije. Dugo vremena algebrista je oznaˇ cavao berbera koji se, pored ostalog, bavio i nameˇstanjem polomljenih kostiju. 11 U
16
(Baskara, oko 1150), zatim 1/3 (Friko, 1857), i ˇcak kao nastao od 1 f 3, gde f znaˇci fratto (razlomak).
* ω
radi boljeg centriranja. Oblik 1/3 je
78 • Reˇc milion nije bila poznata pre 13. veka. Maximus Planudes (oko 1340) je verovatno bio jedan od prvih matematiˇcara koji je upotrebio tu reˇc. U ˇstampanom obliku reˇc ,,milion” se prvo pojavila u Treviso aritmetici iz 1478. Ova reˇc jednostavno znaˇci ,,ve´ca hiljada” (od mille+on), kao ˇsto ballon znaˇci ,,velika lopta” (od ball+on). 79 • Svi dokazi teorema u Euklidovim Elementima zavrˇsavaju se reˇcenicom Quod erat demonˇ je i trebalo dokazati. Iz poˇcasti prema Euklidu strandum, ˇsto prevedeno sa latinskog znaˇci: Sto bilo je uobiˇcajeno da se kraj dokaza oznaˇci slovima Q.E.D, kao skra´cenica od Quod Erat Demonstrandum, i ova tradicija je dugo poˇstovana, posebno u udˇzbenicima iz geometrije. Simbol , koji se danas ˇcesto koristi kao oznaka za kraj dokaza, predloˇzio je Pol Halmoˇs, ameriˇcki matematiˇcar mad¯arskog porekla. Osim ove, koriste se i druge oznake. U engleskom jeziku posebno je dovitljiva oznaka w5 , ˇsto je skraˇcenica od ,,which was what was wanted” (,,ˇsto je ono ˇsto se traˇzilo”). 80 • Moderne termine tangenta (tangent) i tetiva (secant) je prvi uveo Tomas Fink (1561– 1656) u svom radu Geometria rotundi libra XIV iz 1583. 81 • Uobiˇcajen naziv ˇcetiri osnovne operacije pojavio se u modernim vremenima. Najˇceˇs´ce ˇ koriˇs´ceni izrazi u proˇslosti bili su ,,species” (vrste), posebno u Nemaˇckoj i Spaniji, ,,radnje”, ,,pasije” (u Italiji) i ,,delovi”. Nemaˇcki matematiˇcar Kristof Klavijus (Christoph Clavius, 1537– 1612) u svojoj algebri (1608) po prvi put je upotrebio reˇc operacije a kasnije je ovaj termin preˇsao iz algebre u aritmetiku. 82 • Uvod¯enje naziva loksodroma za krivu na sferi koja gradi konstantan ugao sa meridijanima pripisuje se holandskom matematiˇcaru, astronomu i fiziˇcaru Vilebrordu Snelu (Willebrord Snell, oko 1580–1626). 83 • U matematici ima mnogo krivih koje su dobile svoja imena prema pronalazaˇcu ili nekom potonjem istraˇzivaˇcu. Med¯u njima su: Arhimedova spirala, Bernulijeva lemniskata, Bertranove krive, Bolcmanova kriva, Koutsova spirala, Dekartov list, Ojlerova spirala, Fermaove parabole, ˇ Fermaove hiperbole, Fermaove spirale, Gausova kriva, Zerononova leminiskata, Hilbertova kriva, Lopitalova kubna kriva, kieroid (nazvan po P. J. Kiernanu), Kohova kriva, Lameove krive, Peanova kriva, veˇstica Anjezi, Vivijanieva kriva. 84 • U matematici se ˇcesto sre´cu nazivi kao ˇsto su Bernulijeva raspodela, Bernulijeva teorema (u verovatno´ci i statistici), Bernulijeva diferencijalna jednaˇcina, Bernulijevi brojevi, Bernulijevi polinomi, Bernulijeva lemniskata. Pitanje je u ˇciju ˇcast su dati ovi nazivi jer je porodica Bernuli bila mnogobrojna i veoma produktivna u matematici. Odgovor: svi ovi pojmovi i nazivi su dati u ˇcast samo jednog od njih - Jakoba Bernulija. 85 • Reˇc logaritam znaˇci racionalan broj od grˇckog λ´ oγos (logos - koliˇcnik) i αριθµ´ ` os (arithmos)-broj i konstruisao ju je Dˇzon Neper (1550–1617), ˇskotski matematiˇcar. Neper je najpre upotrebio izraz veˇstaˇcki broj za svoje otkri´ce, ali ga je kasnije zamenio reˇcju logaritam. Henri Brigs (Henry Briggs, 1561–1631), profesor geometrije na Greˇsem koledˇzu u Londonu, koji je sugerisao Naperu da uvede bazu 10 u svoj sistem, predloˇzio je u svojoj Arithmetica logarithmica (1624) reˇc karakteristika, kao ˇsto se koristi u logaritmima. Brigs je takod¯e uveo reˇc mantisa (od kasno-latinskog termina etrurskog porekla sa znaˇcenjem ,,dodavanje” ili ,,dodatak”), koja se pojavila u Valisovoj knjizi Algebra (latinsko izdanje, 1685) i Ojlerovom delu Introductio in analysis infinitorum (Uvod u analizu beskonaˇcnih veliˇcina, 1748). 86 • Najranija upotreba skra´cenica sin, tan, sec za sinus, tangens i sekans pojavila se 1626. ˇ godine u radu Albera Zirara (Albert Girard, 1595–1632) o trigonometriji.
17
87 • Iako je ˇcuveni francuski matematiˇcar i filozof Rene Dekart (1596–1650) u svojoj knjizi La G´eom´etrie (1637) dao prvu studiju o analitiˇckoj geometriji i upotrebio pravougli (Dekartov) koordinatni sistem za reˇsavanje mnogih problema, termine koordinate, apscisa i ordinata je uveo Lajbnic 1692. godine. 88 • U svom pismu Lajbnicu (1715), Johan Bernuli je uveo koordinatni sistem u prostoru (Oxyz), kakav danas koristimo. 89 • Termin diferencijalna geometrija prvi je koristio Luid¯i Bjanki (Luigi Bianchi, 1856–1928) godine 1894. 90 • Konvergencija beskonaˇcnih redova je veoma malo prouˇcavana sve do prvih radova Maklorena, Ojlera, Gausa, Koˇsija, Dalambera, Abela i njihovih savremenika. Termin konvergentni redovi uveo je Dˇzejms Gregori (James Gregory, 1638–1708) u svom radu Vera circuli et hyperbolæ quadratura (1667), dok termin divergentni redovi dugujemo Nikolasu II Bernuliju (Nicolas Bernoulli, 1687–1759) iz 1713.12 91 • Rade´ci sa kvaternionima Hamilton je podelio kvaternion Q = a + bi + cj + dk na dva dela, realni deo a i imaginarni deo bi + cj + dk. Prvi deo je nazvao skalarni deo, a drugi je nazvao vektorski deo, jer se moˇze geometrijski konstruisati u trodimenzionalnom prostoru kao ,,prava linija ili radijus vektor”. Prema tome, Hamilton je bio prvi koji je upotrebio reˇc ,,vektor” u danaˇsnjem opˇstijem smislu. 92 • Naziv determinanta se po prvi put pojavio 1815. u Koˇsijevom radu o teoriji determinanata. Ovaj rad takod¯e sadrˇzi skra´cenicu (aij ) i postupak za izraˇcunavanje determinante pomo´cu razvoja po bilo kojoj vrsti ili koloni. Eduard Firstenau (F¨ urstenau) je uveo pojam determinante beskonaˇcnog reda 1860. rade´ci na metodu aproksimacije korena algebarskih jednaˇcina. 93 • Termin matrica uveo je 1850. Dˇzejms Dˇzozef Silvester (1814–1897) da oznaˇci pravougaonu ˇsemu brojeva. Ovaj termin je ˇcesto koristio njegov prijatelj Artur Kejli (1821– 1895) u radovima iz 1855. i 1858. Med¯utim, treba napomenuti da su takve ˇseme brojeva koristili kineski matematiˇcari joˇs u trinaestom veku u vezi reˇsavanja sistema linearnih jednaˇcina. 94 • Lajbnic, koji je bio veliki inovator matematiˇckih simbola i oznaka, uveo je 1694. termin funkcija (ˇsto na latinskom znaˇci ekvivalentno) za oznaˇcavanje zavisnosti promenljive y od promenljive x. Godine 1734. Ojler je upotrebio notaciju f (x) da oznaˇci ,,funkciju od x.” Oznake f 0 (x), f 00 (x), . . . za izvode funkcije, uveo je Lagranˇz (1736–1813) u svom radu Th´eorie des fonctiones analytique... iz 1772. On je f 0 (x) nazvao fonction d´eriv´ee (izvod funkcije) s obzirom da je f 0 ,,izvedena” iz originalne funkcije f. 95 • Termine divergencija (ili konvergencija) (∇~a) i rotor (∇ ×~a) iz vektorske analize, uveo je ˇskotski fiziˇcar Klerk Dˇzejms Maksvel (Clerk James Maxwell, 1831–1879) u svom radu Treatise on Electricity and Magnetism (Studija o elektricitetu i magnetizmu), u saglasnosti sa njihovim fiziˇckim znaˇcenjem. 96 • Termin trigonometrija je uveo Bartolomeo Pitisk (Bartholomew Pitisc, 1561–1613) u svojoj knjizi Trigonometriae sive, de dimensione triagulis, Liber (Knjiga o trigonometriji, ili merenje trouglova) (1595). Georg Simon Kligel (1739–1812) iz Halea (Nemaˇcka) je bio prvi koji je predloˇzio termin trigonometrijska funkcija (1770).
3. Simboli 12 Neki
autori tvrde da je Dˇ zejms Gregori takod¯e koristio termin divergentni redovi.
18
97 • Francuski pravnik i matematiˇcar Fransoa Vijet (1540–1603) dao je znaˇcajan doprinos pojavi i razvoju univerzalne simbolike. On je prvi upotrebio slova za izraˇzavanje brojnih koeficijenata pri reˇsavanju jednaˇcina, mada je joˇs uvek pisao razliˇcite stepene promenljivih pomo´cu slova (na multiplikativnom principu). Na primer, Vijet je pisao (oko 1590.) 1QC − 15QQ + 85C − 225Q + 274N aequatur 120 za izraz x6 − 15x4 + 85x3 − 225x2 + 274x = 120. Odavde se vidi da je x6 izraˇzeno pomo´cu slova QC, dakle, kao proizvod kvadrata Q i kuba C nepoznate N. 98 • Rene Dekart je primenom algebre u geometriji mnogo doprineo usavrˇsavanju Vijetove simbolike. U svom delu La G`eometrie (1637) izvrˇsio je sintezu algebre i geometrije stvorivˇsi tako analitiˇcku geometriju. Uveo je tzv. dekartove koordinate, a algebarske jednaˇcine postale su relacije med¯u brojevima, ˇsto je bio dalji napredak u matematiˇckoj apstrakciji. 99 • Dekartov simbolizam je bio sasvim moderan. On je pisao (1634) yy ∝ cy −
cx y + ay − ac b
za
y 2 = cy −
cx y + ay − ac b
ˇsto se razlikuje od sadaˇsnje notacije samo po primeni aa umesto a2 (ˇsto nije bilo sasvim usvojeno pre Gausa),13 mada je pisao a3 i a4 umesto aaa i aaaa. On je takod¯e koristio simbol ∝ za jednakost ˇsto je postalo od ae, skra´cena verzija Vijetovog aequatur. 100 • Poˇcetkom 6. veka indijski matematiˇcar Arijabata skratio je nepoznate na ya (prva nepoznata, ˇsto vodi poreklo od javatavat, ,,mnogo kao”), a zatim dolazi ka, ni, pi, ˇsto su skra´cenice imena boja crna, plava, ˇzuta. Stepeni su nazvani va (drugi stepen), slede gha, va va, va gha, i tako dalje. Operacije su pokazane posle operanda reˇcima ghata i bha, ˇsto oznaˇcava sabiranje i mnoˇzenje, respektivno. Na primer, xy je ya ka bha, gde su x i y nepoznate. 101 • Nepoznate promenljive u evropskoj matematici petnaestog i ˇsesnaestog veka nosile su razliˇcita imena kao ˇsto su res (na latinskom), cos (na nemaˇckom), cosa (na italijanskom) i chose (na francuskom). 102 • Fransoa Vijet je koristio slova da izrazi kako poznate tako i nepoznate veliˇcine. Pravilo je bilo da samoglasnici oznaˇcavaju nepoznate, a suglasnici koeficijente pri reˇsavanju jednaˇcina. Dekart je uveo konvenciju koja se koristi i danas da se poznate veliˇcine oznaˇcavaju poˇcetnim slovima abecede: a, b, c, . . . a nepoznate poslednjim slovima: . . . , x, y, z. 103 • Danaˇsnji simboli + i – pojavili su se u ˇstampi po prvi put u aritmetici Johana Vidmana, publikovanoj u Lajpcigu 1489. Vidman nije upotrebio ove znake kao simbole operacija ve´c samo da ukaˇze na viˇsak i manjak. Upotreba ovih znakova kao simbola algebarskih operacija poˇcela je ˇ u radovima holandskog matematiˇcara Vandera Hekea 1514. i Nemaca Mihaela Stifela i Adama 14 Rajza, mada su verovatno koriˇs´ceni i ranije. Znak plus vodi poreklo najverovatnije od latinske reˇci et, koja je ˇcesto koriˇs´cena da oznaˇci sabiranje, dok je znak minus redukcija skra´cenice m za minus. 13 Godine
1656. Dˇ zon Valis govori o negativnim i razlomljenim ,,indeksima”, ali stvarno ne piˇse a −1 za 1/a, ili √ 3 2 za a . Isak Njutn je bio prvi koji je koristio negativne i razlomljene eksponente (u pismu H. Oldenburgu od 13. juna 1676). 14 Vidi J. W. L. Glaisher, On the early history of the signs + and – and on the early German arithmeticians, Messenger of Mathematics, LI (1921–1922), str. 1-148.
a2/3
19
104 • Kvadratni koren je najpre bio predstavljen slovom R kao inicijalom latinske reˇci Radix (koren). Italijanski matematiˇcar Luka Paˇcoli (oko 1444-oko 1509) koristio je R ili R2 za oznaˇcavanje kvadratnog korena, R3 za tre´ci koren, a za ˇcetvrti koren R4 ili RR (od RadixRadix). Na primer, on je pisao q √ 40 − 320. RV 40mR320 ˜ za Slovo V u gornjoj formuli √ oznaˇcava koren preko celog izraza i dolazi od V = U (niversalis). razvio se postepeno od malog slova Simbol za kvadratni koren √ r (od radix – koren), ˇsto je prvi koristio u svojim radovima Rafael Bombeli, preko simbola , koji je prvi upotrebio Kristof Rudolf (Christoff Rudolff, 1499–1545) godine 1525. Danaˇsnji oblik (sa gornjom crtom) uveo je Dekart 1637. godine. 105 • Znak jednakosti ,,=” uveo je 1557. engleski matematiˇcar Robert Rikord (oko 1510–1558) u svojoj knjizi The Whetstone of Whitte, prvoj engleskoj algebri. ,,Njemu se ˇcinilo da nijedne dve stvari ne mogu biti ‘more equalle’ (viˇse jednake) od ‘para paralelnih crta’– ˇsto podse´ca na izreku da su ‘Vilijam i Dˇzon,’ blizanci, veoma sliˇcni, naroˇcito Vilijam.” Lajbnic i Njutn su imali veliki udeo u tome da znak = zameni Dekartov simbol ∝. 106 • Prva upotreba decimalne taˇcke se pripisuje G. A. Maginiju (1555–1617) (De planis triangulanis (1592) i Kristofu Klavijusu (tablica sinusa, 1593). Interesantno je da su obojica bili Keplerovi prijatelji. Med¯utim, koriˇs´cenje decimalne taˇcke uˇslo je u matematiku dvadeset godina kasnije kada ju je usvojio Neper. ˇ 107 • Alber Zirar (rod¯en u Francuskoj, proveo ve´ci deo svog ˇzivota u Holandiji) uveo je u svom radu Invention nouvelle en l’alg`ebre (Novo otkri´ce u algebri) iz 1629. godine notaciju za razlomljeni eksponent (kao am/n ) i viˇse korene (npr. a1/3 za kubni koren kao alternativu za √ 3 a). 108 • Logaritamska funkcija po prvi put se pojavila u obliku ,,Log.” 1624. godine u radu Johana Keplera (1571–1630). Bonaventura Kavaljeri (Cavalieri, 1598–1647) je uveo oznaku ,,log.” (1632), dok je Vilijam Otred dao njen konaˇcan oblik ,,log” 1647. godine. 109 • Simbol ∼, koji je uveo Lajbnic, potiˇce od slova ,,s” koje je poloˇzeno, kao inicijal latinske reˇci similis – sliˇcan. 110 • Dˇzon Valis je prvi matematiˇcar koji je poˇceo da izuˇcava beskonaˇcne procese i na taj naˇcin preˇsao sa algebre na analizu. On je 1655. godine uveo simbol ∞ za beskonaˇcno. Ovaj simbol koristili su Rimljani da bi oznaˇcili hiljadu, ali je kod Grka on oznaˇcavao deset hiljada. Za stare Kineze 10 000 je takod¯e znaˇcilo ,,beskonaˇcno” i car je nazivan ,,10 000 godina”, ˇsto je bio naˇcin da mu podanici poˇzele beskonaˇcno dug ˇzivot. 111 • Do otkri´ca diferencijalnog i integralnog raˇcuna doˇsli su, nezavisno jedan od drugog, Isak Njutn i Gotfrid Lajbnic. Med¯utim, notacija koju je uveo Lajbnic bila je mnogo jednostavnija R i modernija pa je iz tih razloga bila ˇsiroko prihva´cena. On je uveo simbol (stari oblik slova s) kao inicijal reˇci suma umesto Kavaljerijeve oznake omnia da bi predstavio inverznu operaciju za d (diferenciranje). Lajbnic je 1686. objavio u Acta Eruditorum rad o integralnom raˇcunu u R kome se po prvi put pojavljuje simbol u ˇstampanom obliku. Svoj metod nazvao je calculus summatorius, ali je 1696. usvojio termin calculus integralis koji mu je predloˇzio joˇs 1690. Jakob Bernuli (1654–1705). 112 • Simbol e (= 2.71828 . . . ), koji oznaˇcava graniˇcnu vrednost numeriˇckog niza lim n→∞ (1+ 1/n)n , bio je uveden (u ˇstampanom obliku) od strane Leonarda Ojlera 1736. u njegovom delu Mechanica. On najverovatnije predstavlja prvo slovo reˇci ,,eksponencijalan”, mada neki istoriˇcari misle da je to upravo inicijal njegovog imena (Euler).
20
113 • U cilju predstavljanja veoma velikih brojeva, profesor Donald Knut sa Stenforda uveo je 1976. specijalnu ,,strelica” (↑) notaciju. U njegovoj notaciji x ↑ n znaˇci x x · · · x} . Na | · x ·{z n puta
primer,
10 ↑ 10 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 10 000 000 000 = 10 10 je 10 milijardi. Slede´ci korak koristi dve strelice x ↑↑ n = x ↑ (x ↑ (· · · ↑ x) · · · )), gde su stepeni uzeti n puta. Na primer,
10 ↑↑ 10 = 1010
10 1010
1010
1010
10
= 1 ispred 1010
1010
1010
1010
10
nula.
Ovo je tako veliki broj da je van ljudskog poimanja. Donald Knut daje slede´ce veoma ilustrativne primere. Prvi od njih glasi: ,,Ako majmun sedi za pisa´com maˇsinom i kuca nasumice, proseˇcan broj pokuˇsaja pre nego ˇsto otkuca perfektno ceo ˇ tekst Sekspirovog Hamleta bi´ce mnogo, mnogo manji od 10 ↑↑ 10; to je broj koji poˇcinje jedinicom a sledi je oko 40 000 nula.” Drugi primer: ,,Zamislimo kocku sa stranicom duˇzine 40 milijardi svetlosnih godina (dimenzija poznatog univerzuma), i napunimo je majuˇsnim kockama koje su manje od protona i neutrona, recimo 10−13 cm na svakoj strani. Ukupan broj malih kocki nije ve´ci od 10125 . Moˇzemo re´ci da je ovo ,,astronomsko veliki” broj, ali u stvari on ima samo 125 cifara.” 114 • Georg Kantor (1845–1918) je definisao naˇcin ured¯enja beskonaˇcnih skupova i uveo najmanji kardinalni broj ℵ0 (alef-nula, ℵ - prvo slovo hebrejskog pisma). 115 • Simbol O, koji oznaˇcava veliˇcinu istog reda, upotrebio je po prvi put Bahman 1894. godine, a kasnije ga je popularisao nemaˇcki matematiˇcar Edmund Landau (1877–1938). Zato je i poznat kao Landauov simbol. LITERATURA: ˇ Miodrag Petkovi´c, Ljiljana Petkovi´c: MATEMATICKI VREMEPLOV, prilozi za istoriju matematike, ZMAJ, Novi Sad 2006.
