I Sadržaj Spisak tabela........................................................................................................................................ XXXV 1.
Aritmetika............................................................................................................................................. 1 1.1. Elementarna matematika............................................................................................................... 1 1.1.1. Brojevi................................................................................................................................... 1 1.1.1.1. Prirodni, celi i racionalni brojevi................................................................................... 1 1.1.1.2. Iracionalni i transcendentni brojevi.............................................................................. 1 1.1.1.3. Realni brojevi............................................................................................................... 2 1.1.2. Metode dokazivanja.............................................................................................................. 5 1.1.2.1. Neposredan dokaz....................................................................................................... 5 1.1.2.2. Posredan dokaz ili dokaz pomoću suprotnog................................................................5 1.1.2.3. Potpuna indukcija......................................................................................................... 5 1.1.2.4. Konstruktivan dokaz..................................................................................................... 6 1.1.3. Zbirovi i proizvodi.................................................................................................................. 6 1.1.3.1. Zbirovi......................................................................................................................... 6 1.1.3.2. Proizvodi...................................................................................................................... 7 1.1.4. Stepeni, koreni, logaritmi...................................................................................................... 8 1.1.4.1. Stepeni........................................................................................................................ 8 1.1.4.2. Koreni.......................................................................................................................... 8 1.1.4.3. Logaritmi...................................................................................................................... 9 1.1.4.4. Specijalni logaritmi....................................................................................................... 9 1.1.5. Algebarski izrazi.................................................................................................................. 10 1.1.5.1. Definicije.................................................................................................................... 10 1.1.5.2. Raščlanjivanje algebarskih izraza............................................................................... 11 1.1.6. Celi racionalni izrazi............................................................................................................ 11 1.1.6.1. Predstavljanje u obliku polinoma................................................................................ 11 1.1.6.2. Rastavljanje polinoma na faktore............................................................................... 11 1.1.6.3. Specijalne formule..................................................................................................... 12 1.1.6.4. Binomna teorema...................................................................................................... 12 1.1.6.5. Određivanje najvećeg zajedničkog faktora dva polinoma...........................................14 1.1.7. Razlomljeni racionalni izrazi................................................................................................ 14 1.1.7.1. Svođenje na najjednostavniji oblik............................................................................. 14 1.1.7.2. Određivanje celog racionalnog dela........................................................................... 15 1.1.7.3. Razlaganje na parcijalne razlomke............................................................................. 15 1.1.7.4. Preoblikovanje srazmera............................................................................................ 17 1.1.8. Iracionalni izrazi.................................................................................................................. 17 1.2. Konačni nizovi.............................................................................................................................. 18 1.2.1. Definicija konačnog niza...................................................................................................... 18 1.2.2. Aritmetički nizovi................................................................................................................. 18 1.2.3. Geometrijski nizovi.............................................................................................................. 19 1.2.4. Specijalni konačni nizovi..................................................................................................... 19 1.2.5. Srednje vrednosti................................................................................................................ 19 1.2.5.1. Aritmetička sredina.................................................................................................... 19 1.2.5.2. Geometrijska sredina................................................................................................. 20 1.2.5.3. Harmonijska sredina.................................................................................................. 20 1.2.5.4. Kvadratna sredina...................................................................................................... 20 1.2.5.5. Poređenje srednjih vrednosti dveju pozitivnih veličina a i b........................................20 1.3. Finansijska matematika................................................................................................................ 21 1.3.1. Procentni račun................................................................................................................... 21 1.3.2. Kamatni račun..................................................................................................................... 22 1.3.3. Račun otplata...................................................................................................................... 23 1.3.3.1. Otplata....................................................................................................................... 23 1.3.3.2. Jednake otplate glavnice............................................................................................ 23 1.3.3.3. Jednaki anuiteti.......................................................................................................... 24 1.3.4. Penzijski račun.................................................................................................................... 24 1.3.4.1. Renta (penzija)........................................................................................................... 24 1.3.4.2. Renta jednakih uplata................................................................................................ 25 1.3.4.3. Stanje na računu posle n isplata rente....................................................................... 25 1.3.5. Otpisi................................................................................................................................... 26 1.4. Nejednakosti................................................................................................................................ 28 1.4.1. Prave nejednakosti.............................................................................................................. 28 1.4.1.1. Definicije.................................................................................................................... 28 1.4.1.2. Svojstva nejednakosti tipa I i II................................................................................... 29 1.4.2. Specijalne nejednakosti....................................................................................................... 30 1.4.2.1. Nejednačinatrougla.................................................................................................... 30
II
2.
1.4.2.2. Nejednakosti apsolutnog iznosa razlike dva broja......................................................30 1.4.2.3. Nejednačina za aritmetičku i geometrijsku sredinu....................................................30 1.4.2.4. Nejednačina za aritmetičku i kvadratnu sredinu.........................................................30 1.4.2.5. Nejednakosti za srednje vrednosti dva realna broja...................................................30 1.4.2.6. Bernulijeva nejednakost............................................................................................. 31 1.4.2.7. Binomna nejednakost................................................................................................. 31 1.4.2.8. Koši-Švarcova nejednakost........................................................................................ 31 1.4.2.9. Čebiševljeva nejednakost........................................................................................... 31 1.4.2.10. Poopštena Čebiševljeva nejednakost....................................................................... 32 1.4.2.11. Helderova nejednakost............................................................................................ 32 1.4.2.12. Nejednačina Minkovskog.......................................................................................... 33 1.4.3. Rešavanje nejednakosti 1. i 2. stepena............................................................................... 33 1.4.3.1. Opšte......................................................................................................................... 33 1.4.3.2. Nejednakosti 1. stepena............................................................................................. 33 1.4.3.3. Nejednakosti 2. stepena............................................................................................. 33 1.4.3.4. Opšti slučaj nejednakosti 2. stepena.......................................................................... 34 1.5. Kompleksni brojevi....................................................................................................................... 34 1.5.1. Imaginarni i kompleksni brojevi........................................................................................... 34 1.5.1.1. Imaginarna jedinica.................................................................................................... 34 1.5.1.2. Kompleksni brojevi..................................................................................................... 34 1.5.2. Geometrijski prikaz............................................................................................................. 35 1.5.2.1. Vektorski prikaz......................................................................................................... 35 1.5.2.2. Jednakost kompleksnih brojeva.................................................................................. 35 1.5.2.3. Trigonometrijski oblik kompleksnih brojeva...............................................................35 1.5.2.4. Eksponencijalni oblik kompleksnih brojeva.................................................................36 1.5.2.5. Konjugirano kompleksni brojevi................................................................................. 36 1.5.3. Računanje s kompleksnim brojevima.................................................................................. 36 1.5.3.1. Sabiranje i oduzimanje............................................................................................... 36 1.5.3.2. Množenje................................................................................................................... 37 1.5.3.3. Deljenje...................................................................................................................... 38 1.5.3.4. Opšta pravila za četiri osnovne računske operacije....................................................38 1.5.3.5. Stepenovanje kompleksnog broja.............................................................................. 38 1.5.3.6. Izračunavanje n-tog korena kompleksnog broja.........................................................38 1.6. Algebarske i transcedentne jednačine.......................................................................................... 38 1.6.1. Svođenje algebarskih jednačina na normalni oblik..............................................................38 1.6.1.1. Definicije.................................................................................................................... 38 1.6.1.2. Sistemi od n algebarskih jednačina............................................................................ 39 1.6.1.3. Prividna rešenja......................................................................................................... 39 1.6.2. Jednačine 1. do 4. stepena.................................................................................................. 39 1.6.2.1. Jednačine 1. stepena (linearne).................................................................................. 39 1.6.2.2. Jednačine 2. stepena (kvadratne)............................................................................... 40 1.6.2.3. Jednačine 3. stepena (kubne)..................................................................................... 40 1.6.2.4. Jednačine 4. stepena.................................................................................................. 42 1.6.2.5. Jednačine 5. i većih stepena....................................................................................... 43 1.6.3. Jednačine n-tog stepena...................................................................................................... 43 1.6.3.1. Zajednička svojstva algebarskih jednačina................................................................43 1.6.3.2. Jednačine s realnim koeficijentima............................................................................. 44 1.6.4. Svođenje transcendentnih jednačina na algebarske............................................................45 1.6.4.1. Definicija.................................................................................................................... 45 1.6.4.2. Eksponencijalne jednačine......................................................................................... 46 1.6.4.3. Logaritamske jednačine............................................................................................. 46 1.6.4.4. Trigonometrijske jednačine........................................................................................ 46 1.6.4.5. Jednačine sa hiperbolnim funkcijama......................................................................... 47 Funkcije i njihovo zadavanje................................................................................................................ 48 2.1. Pojam funkcije.............................................................................................................................. 48 2.1.1. Definicija funkcije................................................................................................................ 48 2.1.1.1. Funkcija..................................................................................................................... 48 2.1.1.2. Realna funkcija.......................................................................................................... 48 2.1.1.3. Funkcija više promenljivih.......................................................................................... 48 2.1.1.4. Kompleksna funkcija.................................................................................................. 48 2.1.1.5. Ostale funkcije........................................................................................................... 48 2.1.1.6. Funkcionali................................................................................................................. 48 2.1.1.7. Funkcija i preslikavanje.............................................................................................. 49 2.1.2. Načini definisanja realne funkcije........................................................................................ 49 2.1.2.1. Zadavanje funkcije..................................................................................................... 49 2.1.2.2. Analitičko zadavanje realnih funkcija......................................................................... 49
III 2.1.3. Neki tipovi funkcija.............................................................................................................. 50 2.1.3.1. Monotone funkcije...................................................................................................... 50 2.1.3.2. Ograničene funkcije................................................................................................... 51 2.1.3.3. Ekstremne vrednosti funkcija..................................................................................... 51 2.1.3.4. Parne funkcije............................................................................................................ 51 2.1.3.5. Neparne funkcije........................................................................................................ 51 2.1.3.6. Rastavljanje na parne i neparne funkcije....................................................................52 2.1.3.7. Periodičke funkcije..................................................................................................... 52 2.1.3.8. Inverzne ili obratne funkcije....................................................................................... 52 2.1.4. Granična vrednost funkcije.................................................................................................. 53 2.1.4.1. Definicija granične vrednosti funkcije......................................................................... 53 2.1.4.2. Svođenje na graničnu vrednost reda (v. s. 420).........................................................53 2.1.4.3. Košijev kriterijum konvergencije................................................................................ 53 2.1.4.4. Beskonačna granična vrednost funkcije..................................................................... 54 2.1.4.5. Leva i desna granična vrednost funkcije.................................................................... 54 2.1.4.6. Granična vrednost funkcije kada x teži beskonačnosti...............................................54 2.1.4.7. Teoreme o graničnim vrednostima funkcija...............................................................55 2.1.4.8. Izračunavanje graničnih vrednosti.............................................................................. 55 2.1.4.9. Red veličine funkcija i simboli Landaua...................................................................... 57 2.1.5. Neprekidnost funkcije.......................................................................................................... 58 2.1.5.1. Neprekidnost i mesto prekida.................................................................................... 58 2.1.5.2. Definicija neprekidnosti.............................................................................................. 59 2.1.5.3. Česti oblici prekida..................................................................................................... 59 2.1.5.4. Neprekidnost i mesta prekida elementarnih funkcija..................................................60 2.1.5.5. Svojstva neprekidnih funkcija..................................................................................... 61 2.2. Elementarne funkcije.................................................................................................................... 62 2.2.1. Algebarske funkcije............................................................................................................. 62 2.2.1.1. Cele racionalne funkcije (polinomi)............................................................................ 62 2.2.1.2. Razlomljene racionalne funkcije................................................................................. 62 2.2.1.3. Iracionalne funkcije.................................................................................................... 63 2.2.2. Transcendentne funkcije..................................................................................................... 63 2.2.2.1. Eksponencijalne funkcije............................................................................................ 63 2.2.2.2. Logaritamske funkcije................................................................................................ 63 2.2.2.3. Trigonometrijske funkcije........................................................................................... 63 2.2.2.4. Inverzne trigonometrijske (arkus) funkcije.................................................................63 2.2.2.5. Hiperbolne funkcije.................................................................................................... 63 2.2.2.6. Inverzne hiperbolne (area) funkcije............................................................................ 63 2.2.3. Složene funkcije.................................................................................................................. 63 2.3. Polinomi....................................................................................................................................... 64 2.3.1. Linearne funkcije................................................................................................................. 64 2.3.2. Kvadratni polinom............................................................................................................... 64 2.3.3. Polinom 3. stepena.............................................................................................................. 64 2.3.4. Polinom n-tog stepena........................................................................................................ 65 2.3.5. Parabola n-tog reda............................................................................................................. 66 2.4. Razlomljene racionalne funkcije................................................................................................... 66 2.4.1. Obrnuta srazmera............................................................................................................... 66 2.4.2. Kriva 3. reda, tip I................................................................................................................ 67 2.4.3. Kriva 3. reda, tip II............................................................................................................... 67 2.4.4. Kriva 3. reda, tip III.............................................................................................................. 69 2.4.5. Recipročna stepena funkcija............................................................................................... 70 2.5. Iracionalne funkcije...................................................................................................................... 71 2.5.1. Kvadratni koren linearnog binoma...................................................................................... 71 2.5.2. Kvadratni koren kvadratnog polinoma................................................................................. 71 2.5.3. Stepena funkcija................................................................................................................. 71 2.6. Eksponencijalne i logaritamske funkcije....................................................................................... 72 2.6.1. Eksponencijalna funkcija..................................................................................................... 72 2.6.2. Logaritamske funkcije......................................................................................................... 73 2.6.3. Gausova zvonolika kriva...................................................................................................... 73 2.6.4. Zbir eksponencijala............................................................................................................. 73 2.6.5. Poopštena Gausova zvonolika kriva.................................................................................... 74 2.6.6. Proizvod stepene i eksponencijalne funkcije........................................................................ 75 2.7. Trigonometrijske funkcije (ugla)................................................................................................... 76 2.7.1. Osnove................................................................................................................................ 76 2.7.1.1. Definicija i grafovi...................................................................................................... 76 2.7.1.2. Opsezi vrednosti i tokovi funkcija............................................................................... 78 2.7.2. Važne formule za trigonometrijske funkcije......................................................................... 80
IV 2.7.2.1. Odnosi trigonometrijskih funkcija............................................................................... 80 2.7.2.2. Trigonometrijske funkcije zbira i razlike dva ugla (teorema o zbiru)80 2.7.2.3. Trigonometrijske funkcije višestrukih uglova..............................................................81 2.7.2.4. Trigonometrijske funkcije poluugla............................................................................. 82 2.7.2.5. Zbirovi i razlike dve trigonometrijske funkcije............................................................82 2.7.2.6. Proizvod trigonometrijskih funkcija............................................................................ 82 2.7.2.7. Stepeni trigonometrijskih funkcija.............................................................................. 83 2.7.3. Opis oscilacija..................................................................................................................... 83 2.7.3.1. Postavljanje problema................................................................................................ 83 2.7.3.2. Superpozicija oscilacija.............................................................................................. 83 2.7.3.3. Vektorski dijagram oscilacija...................................................................................... 84 2.7.3.4. Prigušenje oscilacija................................................................................................... 84 2.8. Ciklometrijske (arkus) funkcije..................................................................................................... 85 2.8.1. Definicija ciklometrijskih funkcija........................................................................................ 85 2.8.2. Svođenje na glavne vrednosti............................................................................................. 85 2.8.3. Odnosi glavnih vrednosti..................................................................................................... 86 2.8.4. Formule za negativne argumente........................................................................................ 87 2.8.5. Zbir i razlika arcsin x i arcsin y............................................................................................ 87 2.8.6. Zbir i razlika arccos x i arccos y.......................................................................................... 87 2.8.7. Zbir i razlika arctan x i arctan y........................................................................................... 87 2.8.8. Specijalne relacije za arcsin x, arccos x i arctan x...............................................................88 2.9. Hiperbolne funkcije....................................................................................................................... 88 2.9.1. Definicija hiperbolnih funkcija............................................................................................. 88 2.9.2. Grafičko predstavljanje hiperbolnih funkcija........................................................................ 89 2.9.2.1. Hiperbolni sinus......................................................................................................... 89 2.9.2.2. Hiperbolni kosinus...................................................................................................... 89 2.9.2.3. Hiperbolni tangens..................................................................................................... 90 2.9.2.4. Hiperbolni kotangens................................................................................................. 90 2.9.3. Važne formule za hiperbolne funkcije.................................................................................. 90 2.9.3.1. Hiperbolne funkcije jedne promenljive....................................................................... 90 2.9.3.2. Predstavljanje jedne hiperbolne funkcije drugom uz isti argument.............................90 2.9.3.3. Formule za negativne argumente.............................................................................. 90 2.9.3.4. Hiperbolne funkcije zbira i razlike dva argumenta......................................................91 2.9.3.5. Hiperbolne funkcije dvostrukog argumenta................................................................91 2.9.3.6. Moavreove formule hiperbolnih funkcija.................................................................... 91 2.9.3.7. Hiperbolne funkcije poluargumenta........................................................................... 91 2.9.3.8. Zbirovi i razlike hiperbolnih funkcija........................................................................... 91 2.9.3.9. Veza hiperbolnih i trigonometrijskih funkcija izražena pomoću kompleksnih argumenata 2.10. Area funkcije.............................................................................................................................. 92 2.10.1. Definicije........................................................................................................................... 92 2.10.1.1. Area sinus................................................................................................................ 92 2.10.1.2. Area kosinus............................................................................................................ 92 2.10.1.3. Area tangens............................................................................................................ 93 2.10.1.4. Area kotangens........................................................................................................ 93 2.10.2. Predstavljanje Area funkcija pomoću prirodnog logaritma.................................................93 2.10.3. Veze Area funkcija............................................................................................................. 94 2.10.4. Zbirovi i razlike area funkcija............................................................................................ 94 2.10.5. Formule za negativne argumente...................................................................................... 94 2.11. Krive trećeg reda........................................................................................................................ 95 2.11.1. Polukubna parabola........................................................................................................... 95 2.11.2. Agnezijeva versijera.......................................................................................................... 95 2.11.3. Kartezijusov list................................................................................................................. 96 2.11.4. Cisoida.............................................................................................................................. 96 2.11.5. Strofoida........................................................................................................................... 96 2.12. Krive četvrtog reda..................................................................................................................... 97 2.12.1. Nikomedova konhoida....................................................................................................... 97 2.12.2. Opšta konhoida................................................................................................................. 98 2.12.3. Paskalov puž..................................................................................................................... 98 2.12.4. Kardioida........................................................................................................................... 99 2.12.5. Kasinijeve krive............................................................................................................... 100 2.12.6. Lemniskata...................................................................................................................... 101 2.13. Cikloide.................................................................................................................................... 101 2.13.1. Obična cikloida................................................................................................................ 101 2.13.2. Produžene i skraćene cikloide ili trohoide........................................................................ 102 2.13.3. Epicikloide....................................................................................................................... 103 2.13.4. Hipocikloida i astroida..................................................................................................... 104
92
V
3.
2.13.5. Produžena i skraćena epicikloida i hipocikloida...............................................................105 2.14. Spirale...................................................................................................................................... 105 2.14.1. Arhimedova spirala......................................................................................................... 105 2.14.2. Hiperbolna spirala........................................................................................................... 106 2.14.3. Logaritamska spirala....................................................................................................... 106 2.14.4. Evolventa kružnice.......................................................................................................... 107 2.14.5. Klotoida........................................................................................................................... 107 2.15. Različite druge krive................................................................................................................. 108 2.15.1. Lančanica ili katenoida.................................................................................................... 108 2.15.2. Kriva vučenja ili traktrisa................................................................................................. 108 2.16. Pronalaženje funkcijske zavisnosti empirijskih krivih................................................................109 2.16.1. Postupak......................................................................................................................... 109 2.16.1.1. Poređenje grafova funkcija..................................................................................... 109 2.16.1.2. Rektifikacija........................................................................................................... 109 2.16.1.3. Određivanje parametara........................................................................................ 109 2.16.2. Najčešće upotrebljavane empirijske formule...................................................................110 2.16.2.1. Stepene funkcije.................................................................................................... 110 2.16.2.2. Eksponencijalne funkcije........................................................................................ 110 2.16.2.3. Kvadratni polinom.................................................................................................. 111 2.16.2.4. Razlomljena linearna funkcija................................................................................. 112 2.16.2.5. Kvadratni koren iz kvadratnog polinoma................................................................112 2.16.2.6. Poopštena Gausova zvonolika kriva.......................................................................112 2.16.2.7. Kriva 3. reda, tip II.................................................................................................. 113 2.16.2.8. Kriva 3. reda, tip III................................................................................................. 113 2.16.2.9. Kriva 3. reda, tip I................................................................................................... 113 2.16.2.10. Proizvod stepene i eksponencijalne funkcije.........................................................114 2.16.2.11. Zbir eksponencijala.............................................................................................. 114 2.16.2.12. Potpuno izračunat primer..................................................................................... 114 2.17. Skale i funkcijski papir.............................................................................................................. 116 2.17.1. Skale............................................................................................................................... 116 2.17.2. Funkcijski papir............................................................................................................... 117 2.17.2.1. Lin-log papir........................................................................................................... 118 2.17.2.2. Log-log papir.......................................................................................................... 118 2.17.2.3. Funkcijski papir sa recipročnom skalom.................................................................118 2.17.2.4. Napomena............................................................................................................. 119 2.18. Funkcije više promenljivih........................................................................................................ 120 2.18.1. Definicija i grafičko predstavljanje................................................................................... 120 2.18.1.1. Definicija funkcija više promenljivih....................................................................... 120 2.18.1.2. Grafičko predstavljanje funkcija više promenljivih..................................................120 2.18.2. Različita područja definicije u ravni................................................................................. 121 2.18.2.1. Područje definicije funkcije zadate skupom tačaka.................................................121 2.18.2.2. Dvodimenzionalna područja................................................................................... 121 2.18.2.3. Tro- i višedimenzionalna područja..........................................................................121 2.18.2.4. Načini definisanja funkcije...................................................................................... 121 2.18.2.5. Oblici analitičkog zadavanja funkcije...................................................................... 123 2.18.2.6. Zavisnost funkcija.................................................................................................. 124 2.18.3. Granične vrednosti.......................................................................................................... 125 2.18.3.1. Definicija................................................................................................................ 125 2.18.3.2. Tačna formulacija................................................................................................... 125 2.18.3.3. Poopštenje na više promenljivih............................................................................. 125 2.18.3.4. Iterirane granične vrednosti................................................................................... 126 2.18.4. Neprekidnost................................................................................................................... 126 2.18.5. Svojstva neprekidnih funkcija.......................................................................................... 126 2.18.5.1. Bolcanov teorema o nul-tačkama........................................................................... 126 2.18.5.2. Teorema o međuvrednosti..................................................................................... 126 2.18.5.3. Teorema o ograničenosti funkcije..........................................................................126 2.18.5.4. Vajerštrasov teorema o egzistenciji najveće i najmanje vrednosti funkcije.............127 2.19. Nomografija.............................................................................................................................. 127 2.19.1. Nomogrami..................................................................................................................... 127 2.19.2. Mrežne tabele................................................................................................................. 127 2.19.3. Nomogrami tačaka na pravim......................................................................................... 128 2.19.3.1. Nomogram sa tri prave koje prolaze kroz istu tačku...............................................128 2.19.3.2. Nomogram sa dve paralelne prave i trećom koja ih seče.......................................129 2.19.3.3. Nomogram sa dve paralelne prave i jednom krivom..............................................130 2.19.4. Mrežne tabele za više od tri promenljive......................................................................... 131 Geometrija........................................................................................................................................ 132
VI 3.1. Geometrija u ravni (planimetrija)................................................................................................ 132 3.1.1. Osnovni pojmovi................................................................................................................ 132 3.1.1.1. Tačka, prava, poluprava, odsečak............................................................................ 132 3.1.1.2. Ugao........................................................................................................................ 132 3.1.1.3. Uglovi dve prave koje se seku.................................................................................. 133 3.1.1.4. Parovi uglova paralelnih pravih koje seče treča prava..............................................133 3.1.1.5. Uglovi izraženi u stepenima i u radijanima...............................................................134 3.1.2. Geometrijska definicija cirkularnih i hiperbolnih funkcija...................................................134 3.1.2.1. Definicija cirkularnih ili trigonometrijskih funkcija....................................................134 3.1.2.2. Geometrijska definicija hiperbolnih funkcija.............................................................135 3.1.3. Trougao u ravni................................................................................................................. 136 3.1.3.1. Svojstva trouglova u davni....................................................................................... 136 3.1.3.2. Simetrija.................................................................................................................. 137 3.1.4. Četvorougao u ravni.......................................................................................................... 139 3.1.4.1. Paralelogram............................................................................................................ 139 3.1.4.2. Pravougaonik i kvadrat............................................................................................ 139 3.1.4.3. Romb....................................................................................................................... 139 3.1.4.4. Trapez...................................................................................................................... 139 3.1.4.5. Poopšteni četvorougao............................................................................................. 140 3.1.4.6. Tetivni četvorougao................................................................................................. 140 3.1.4.7. Tangentni četvorougao............................................................................................ 141 3.1.5. Mnogouglovi (poligoni) u ravni.......................................................................................... 141 3.1.5.1. Poopšteni mnogougao.............................................................................................. 141 3.1.5.2. Pravilni konveksni mnogouglovi............................................................................... 141 3.1.5.3. Neki pravilni konveksni mnogouglovi.......................................................................142 3.1.6. Kružni likovi u ravni........................................................................................................... 143 3.1.6.1. Krug......................................................................................................................... 143 3.1.6.2. Otsečak (segment) i isečak (sektor) kruga...............................................................145 3.1.6.3. Kružni prsten............................................................................................................ 145 3.2. Ravanska trigonometrija............................................................................................................ 146 3.2.1. Izračunavanje trouglova.................................................................................................... 146 3.2.1.1. Izračunavanje trouglova u pravolinijskim koordinatama...........................................146 3.2.1.2. Izračunavanje trouglova u krivolinijskim koordinatama............................................146 3.2.2. Geodetske primene........................................................................................................... 149 3.2.2.1. Geodetske koordinate.............................................................................................. 149 3.2.2.2. Uglovi u geodeziji..................................................................................................... 150 3.2.2.3. Primene u premeru zemljišta................................................................................... 152 3.3. Geometrija u prostoru (stereometrija)........................................................................................ 155 3.3.1. Prave i ravni u prostoru..................................................................................................... 155 3.3.2. Rubovi, ivice, prostorni uglovi........................................................................................... 156 3.3.3. Uglasta tela (poliedri)........................................................................................................ 157 3.3.4. Obla tela........................................................................................................................... 160 3.4. Sferna trigonometrija................................................................................................................. 164 3.4.1. Osnovni pojmovi geometrije na kugli................................................................................ 164 3.4.1.1. Krive, lukovi i uglovi na kugli.................................................................................... 164 3.4.1.2. Specijalni koordinatni sistemi................................................................................... 166 3.4.1.3. Sferni ugao............................................................................................................... 167 3.4.1.4. Sferni trougao.......................................................................................................... 167 3.4.1.5. Polarni trougao......................................................................................................... 168 3.4.1.6. Ojlerovi i ne-Ojlerovi trouglovi.................................................................................. 169 3.4.1.7. Triedar..................................................................................................................... 169 3.4.2. Osnovna svojstva sfernih trouglova................................................................................... 169 3.4.2.1. Opšte teoreme......................................................................................................... 169 3.4.2.2. Osnovne formule i primene...................................................................................... 170 3.4.2.3. Ostale formule......................................................................................................... 173 3.4.3. Izračunavanje sfernih trouglova........................................................................................ 174 3.4.3.1. Osnovni zadaci, ocena tačnosti................................................................................ 174 3.4.3.2. Pravougaoni sferni trougao...................................................................................... 174 3.4.3.3. Kosougaoni sferni trougao....................................................................................... 176 3.4.3.4. Sferne krive.............................................................................................................. 180 3.5. Vektorska algebra i analitička geometrija................................................................................... 186 3.5.1. Vektorska algebra............................................................................................................. 186 3.5.1.1. Definicija vektora, pravila računanja........................................................................ 186 3.5.1.2. Skalarni i vektorski proizvod.................................................................................... 189 3.5.1.3. Višestruki proizvodi.................................................................................................. 191 3.5.1.4. Vektorske jednačine................................................................................................. 194
VII
4.
3.5.1.5. Kovarijantne i kontravarijantne koordinate vektora..................................................194 3.5.1.6. Geometrijske primene vektorske algebre.................................................................195 3.5.2. Analitička geometrija u ravni............................................................................................. 195 3.5.2.1. Ravanski koordinatni sistemi i njihove transformacije..............................................195 3.5.2.2. Istaknute tačke ravni............................................................................................... 198 3.5.2.3. Prava........................................................................................................................ 201 3.5.2.4. Krug......................................................................................................................... 204 3.5.2.5. Elipsa....................................................................................................................... 205 3.5.2.6. Hiperbola................................................................................................................. 207 3.5.2.7. Parabola................................................................................................................... 210 3.5.2.8. Krive 2. reda............................................................................................................ 212 3.5.3. Analitička geometrija u prostoru....................................................................................... 214 3.5.3.1. Osnove, prostorni koordinatni sistemi...................................................................... 214 3.5.3.2. Prava i ravan u prostoru........................................................................................... 221 3.5.3.3. Površi 2. reda, jednačine u normalnom obliku..........................................................227 3.5.3.4. Površi 2. reda, opšta teorija..................................................................................... 231 3.6. Diferencijalna geometrija........................................................................................................... 233 3.6.1. Krive u ravni...................................................................................................................... 233 3.6.1.1. Načini definisanja ravanske krive.............................................................................233 3.6.1.2. Lokalni elementi krive.............................................................................................. 234 3.6.1.3. Istaknute tačke krive i asimptote............................................................................. 239 3.6.1.4. Opšte ispitivanje krive preko njene jednačine..........................................................244 3.6.1.5. Evolute i evolvente.................................................................................................. 245 3.6.1.6. Obvojnica (anvelopa) porodice krivih.......................................................................246 3.6.2. Krive u prostoru................................................................................................................. 247 3.6.2.1. Načini definisanja prostorne krive............................................................................247 3.6.2.2. Prateći triedar.......................................................................................................... 247 3.6.2.3. Zakrivljenost i izvijanje............................................................................................. 250 3.6.3. Površi............................................................................................................................... 252 3.6.3.1. Načini definisanja površi.......................................................................................... 252 3.6.3.2. Tangencijalna ravan i normala na površ...................................................................253 3.6.3.3. Linijski element na površi......................................................................................... 254 3.6.3.4. Zakrivljenost površi.................................................................................................. 256 3.6.3.5. Pravčaste površi i površi koje se mogu razmotati.....................................................259 3.6.3.6. Geodetske linije na površi........................................................................................ 259 Linearna algebra............................................................................................................................... 261 4.1. Matrice....................................................................................................................................... 261 4.1.1. Definicija matrice.............................................................................................................. 261 4.1.2. Kvadratne matrice............................................................................................................. 262 4.1.3. Vektori.............................................................................................................................. 263 4.1.4. Računske operacije s matricama....................................................................................... 264 4.1.5. Pravila računanja s matricama.......................................................................................... 267 4.1.6. Norma vektora i matrice.................................................................................................... 268 4.1.6.1. Norme vektora......................................................................................................... 268 4.1.6.2. Norme matrica......................................................................................................... 269 4.2. Determinante............................................................................................................................. 269 4.2.1. Definicije........................................................................................................................... 269 4.2.1.1. Determinante........................................................................................................... 269 4.2.1.2. Poddeterminante..................................................................................................... 269 4.2.2. Pravila računanja s determinantama................................................................................. 270 4.2.3. Izračunavanje determinanata............................................................................................ 271 4.3. Tenzori....................................................................................................................................... 272 4.3.1. Transformacije koordinatnih sistema................................................................................. 272 4.3.2. Tenzori u pravouglim koordinatama.................................................................................. 272 4.3.3. Tenzori specijalnih svojstava............................................................................................. 274 4.3.3.1. Tenzori 2. reda......................................................................................................... 274 4.3.3.2. Invarijantni tenzori................................................................................................... 275 4.3.4. Tenzori u krivolinijskim koordinatnim sistemima...............................................................276 4.3.4.1. Kovarijantni i kontravarijantni bazni vektori.............................................................276 4.3.4.2. Kovarijantne i kontravarijantne koordinate tenzora 1. reda......................................276 4.3.4.3. Kovarijantne, kontravarijantne i mešovite koordinate tenzora 2. reda 277 4.3.4.4. Pravila računanja..................................................................................................... 278 4.3.5. Psudotenzori..................................................................................................................... 279 4.3.5.1. Ogledanje tačke u odnosu na koordinatni početak...................................................279 4.3.5.2. Uvođenje pojma pseudotenzora............................................................................... 280 4.4. Sistemi linearnih jednačina......................................................................................................... 281
VIII
5.
4.4.1. Linearni sistemi, postupak zamene................................................................................... 281 4.4.1.1. Linearni sistemi........................................................................................................ 281 4.4.1.2. Postupak zamene..................................................................................................... 281 4.4.1.3. Linearna zavisnost................................................................................................... 282 4.4.1.4. Invertiranje matrice.................................................................................................. 282 4.4.2. Rešavanje sistema linearnih jednačina..............................................................................281 4.4.2.1. Definicija i rešivost................................................................................................... 282 4.4.2.2. Primena postupka zamene....................................................................................... 284 4.4.2.3. Kramerovo pravilo.................................................................................................... 285 4.4.2.4. Gausov algoritam..................................................................................................... 286 4.4.3. Preodređeni sistemi linearnih jednačina............................................................................287 4.4.3.1. Preodređeni sistemi linearnih jednačina i linearni srednjekvadratni problemi..........287 4.4.3.2. Uputstva za numeričko rešavanje linearnih srednjekvadratnih problema.................288 4.5. Zadaci sa sopstvenim vrednostima matrica............................................................................... 288 4.5.1. Opšte o problemu sopstvenih vrednosti............................................................................288 4.5.2. Specijalni problem sopstvenih vrednosti...........................................................................288 4.5.2.1. Karakteristični polinom............................................................................................ 288 4.5.2.2. Realne simetrične matrice, identičke transformacije................................................290 4.5.2.3. Transformacija glavnih osa kvadratnih formi............................................................291 4.5.2.4. Uputstva za numeričko određivanje sopstvenih vrednosti........................................293 4.5.3. Rastavljanje na singularne vrednosti................................................................................. 295 Algebra i diskretna matematika........................................................................................................ 297 5.1. Logika........................................................................................................................................ 297 5.1.1. Logika iskaza..................................................................................................................... 297 5.1.2. Izrazi logike predikata....................................................................................................... 300 5.2. Teorija skupova.......................................................................................................................... 302 5.2.1. Pojam skupa, specijalni skupovi........................................................................................ 302 5.2.2. Operacije sa skupovima.................................................................................................... 303 5.2.3. Odnosi i grafičko predstavljanje........................................................................................ 306 5.2.4. Odnosi ekvivalentnosti i uređenosti................................................................................... 308 5.2.5. Obim skupova................................................................................................................... 309 5.3. Klasične alebarske strukture...................................................................................................... 310 5.3.1. Operacije........................................................................................................................... 310 5.3.2. Polugrupe.......................................................................................................................... 310 5.3.3. Grupe................................................................................................................................ 311 5.3.3.1. Definicija i osnovna svojstva.................................................................................... 311 5.3.3.2. Podgrupe i direktni proizvodi.................................................................................... 312 5.3.3.3. Preslikavanja grupa.................................................................................................. 314 5.3.4. Prikazivanje grupa............................................................................................................. 315 5.3.4.1. Definicije.................................................................................................................. 315 5.3.4.2. Specijalni prikazi...................................................................................................... 315 5.3.4.3. Direktni zbirovi prikaza............................................................................................ 316 5.3.4.4. Direktni proizvodi prikaza......................................................................................... 317 5.3.4.5. Reducibilni i nereducibilni prikazi.............................................................................317 5.3.4.6. Prva Šuršova lema................................................................................................... 318 5.3.4.7. Klebš-Gordanov niz.................................................................................................. 318 5.3.4.8. Nereducibilni prikazi simetrične grupe SM.................................................................318 5.3.5. Primene grupa................................................................................................................... 319 5.3.5.1. Simetrične operacije, simetrični elementi................................................................319 5.3.5.2. Simetrične grupe...................................................................................................... 319 5.3.5.3. Simetrične operacije nad molekulama..................................................................... 320 5.3.5.4. Simetrične grupe u kristalografiji............................................................................. 322 5.3.5.5. Simetrične grupe u kvantnoj mehanici..................................................................... 324 5.3.5.6. Ostali primeri primene iz fizike................................................................................. 324 5.3.6. Prsteni i tela...................................................................................................................... 325 5.3.6.1. Definicije.................................................................................................................. 325 5.3.6.2. Potprstenovi, ideali.................................................................................................. 326 5.3.6.3. Homomorfizmi, izomorfizmi, teorema o homomorfiji................................................326 5.3.7. Vektorski prostori.............................................................................................................. 326 5.3.7.1. Definicija.................................................................................................................. 326 5.3.7.2. Linearna zavisnost................................................................................................... 327 5.3.7.3. Linearna preslikavanja............................................................................................. 327 5.3.7.4. Potprostori, formula za dimenziju.............................................................................327 5.3.7.5. Euklidovi vektorski prostori, Euklidova norma..........................................................328 5.3.7.6. Linearni operatori u vektorskim prostorima..............................................................329 5.4. Elementarna teorija brojeva....................................................................................................... 330
IX 5.4.1. Deljivost............................................................................................................................ 330 5.4.1.1. Deljivost i elementarna pravila deljenja...................................................................330 5.4.1.2. Prim brojevi.............................................................................................................. 330 5.4.1.3. Kriterijumi deljivosti................................................................................................. 332 5.4.1.4. Najveći zajednički delilac i najmanji zajednički faktor...............................................333 5.4.1.5. Fibonačijevi brojevi.................................................................................................. 334 5.4.2. Linearne Diofantove jednačine.......................................................................................... 335 5.4.3. Kongruencija i klase ostatka.............................................................................................. 337 5.4.4. Teoreme Fermaa, Ojlera i Vilsona...................................................................................... 341 5.4.5. Kodovi.............................................................................................................................. 341 5.5. Kriptologija................................................................................................................................. 344 5.5.1. Zadatak kriptologije.......................................................................................................... 344 5.5.2. Kriptosistemi..................................................................................................................... 344 5.5.3. Matematičko preciziranje.................................................................................................. 344 5.5.4. Bezbednost kriptosistema................................................................................................. 345 5.5.4.1. Metode klasične kriptologije..................................................................................... 345 5.5.4.2. Zamenske šifre........................................................................................................ 346 5.5.4.3. Vigenerove šifre....................................................................................................... 346 5.5.4.4. Matrične zamene..................................................................................................... 346 5.5.5. Metode klasične kriptoanalize........................................................................................... 347 5.5.5.1. Statistička analiza.................................................................................................... 347 5.5.5.2. Test Kasiki-Fridmana................................................................................................ 347 5.5.6. Traka za jednokratnu upotrebu......................................................................................... 348 5.5.7. Metoda javnog ključa........................................................................................................ 348 5.5.7.1. Koncept Difija i Helmana.......................................................................................... 348 5.5.7.2. Jednosmerne funkcije............................................................................................... 349 5.5.7.3. Postupak RSA........................................................................................................... 349 5.5.8. Algoritam DES (Data Encryption Standard).......................................................................350 5.5.9. Algoritam IDEA (International Data Encryption Algorithm)................................................350 5.6. Univerzalna algebra................................................................................................................... 351 5.6.1. Definicija........................................................................................................................... 351 5.6.2. Odnosi kongruentnosti, faktorske algebre......................................................................... 351 5.6.3. Homomorfizmi................................................................................................................... 351 5.6.4. Teorema o homomorfiji..................................................................................................... 352 5.6.5. Varijeteti........................................................................................................................... 352 5.6.6. Konačne algebre, slobodne algebre.................................................................................. 352 5.7. Bulove algebre i prebacivačka algebra....................................................................................... 353 5.7.1. Definicija........................................................................................................................... 353 5.7.2. Princip dvojnosti................................................................................................................ 353 5.7.3. Konačne Bulove algebre.................................................................................................... 354 5.7.4. Bulove algebre kao redosledi............................................................................................ 354 5.7.5. Bulove funkcije, Bulovi izrazi............................................................................................. 354 5.7.6. Normalni oblici.................................................................................................................. 356 5.7.7. Prebacivačka algebra........................................................................................................ 356 5.8. Algoritmi teorije grafova............................................................................................................. 359 5.8.1. Osnovni pojmovi i oznake.................................................................................................. 359 5.8.2. Tok neusmerenih grafova.................................................................................................. 362 5.8.2.1. Nizovi stranica......................................................................................................... 362 5.8.2.2. Ojlerove linije........................................................................................................... 363 5.8.2.3. Hamiltonovi krugovi................................................................................................. 364 5.8.3. Stabla i grane.................................................................................................................... 365 5.8.3.1. Stabla...................................................................................................................... 365 5.8.3.2. Grane....................................................................................................................... 366 5.8.4. Odgovaranja...................................................................................................................... 367 5.8.5. Ravanski grafovi................................................................................................................ 368 5.8.6. Putanje usmerenih grafova............................................................................................... 369 5.8.7. Transportne mreže............................................................................................................ 370 5.9. Fazi logika.................................................................................................................................. 372 5.9.1. Osnove fazi logike............................................................................................................. 372 5.9.1.1. Interpretacija fazi (neisključivih) skupova................................................................372 5.9.1.2. Funkcije pripadnosti................................................................................................. 373 5.9.1.3. Fazi (neisključivi) skupovi......................................................................................... 375 5.9.2. Pripadnost neisključivim skupovima.................................................................................. 376 5.9.2.1. Koncept pripadnosti neisključivim skupovima..........................................................376 5.9.2.2. Praktična pripadnost neisključivim skupovima.........................................................377 5.9.2.3. Kompenzatorni operatori.......................................................................................... 380
X
6.
7.
5.9.2.4. Princip proširenja..................................................................................................... 380 5.9.2.5. Neisključiva funkcija komplementa.......................................................................... 380 5.9.3. Odnosi fazi vrednosti......................................................................................................... 381 5.9.3.1. Fazi odnosi............................................................................................................... 381 5.9.3.2. Proizvod fazi relacija R○S......................................................................................... 383 5.9.4. Fazi zaključivanje.............................................................................................................. 384 5.9.5. Metode defazifikacije......................................................................................................... 386 5.9.6. Baze znanja s fazi zaključivanjem...................................................................................... 387 5.9.6.1. Metoda Mamdanija................................................................................................... 387 5.9.6.2. Metoda Šugenoa...................................................................................................... 387 5.9.6.3. Kognitivni sistemi..................................................................................................... 388 5.9.6.4. Interpolaciona baza znanja...................................................................................... 390 Diferencijalni račun........................................................................................................................... 393 6.1. Diferenciranje funkcija jedne promenljive................................................................................... 393 6.1.1. Diferencijalni količnik........................................................................................................ 393 6.1.2. Pravila diferenciranja funkcija jedne promenljive..............................................................394 6.1.2.1. Izvodi elementarnih funkcija.................................................................................... 394 6.1.2.2. Osnovna pravila diferenciranja................................................................................. 394 6.1.3. Izvodi višeg reda............................................................................................................... 400 6.1.3.1. Definicija izvoda višeg reda...................................................................................... 400 6.1.3.2. Izvodi višeg reda najjednostavnijih funkcija.............................................................400 6.1.3.3. Lajbnicovo pravilo.................................................................................................... 400 6.1.3.4. Izvodi višeg reda parametarski predstavljenih funkcija............................................401 6.1.3.5. Izvodi višeg reda inverznih funkcija.......................................................................... 401 6.1.4. Glavne teoreme diferencijalnog računa.............................................................................402 6.1.4.1. Uslovi monotonosti................................................................................................... 402 6.1.4.2. Fermaova teorema................................................................................................... 402 6.1.4.3. Roleova teorema...................................................................................................... 403 6.1.4.4. Teorema o srednjoj vrednosti u diferencijalnom računu...........................................403 6.1.4.5. Tejlorov teorema o funkcijama jedne promenljive....................................................404 6.1.4.6. Poopšteni teorema o srednjoj vrednosti u diferencijalnom računu...........................404 6.1.5. Određivanje tačaka ekstrema i prevoja.............................................................................404 6.1.5.1. Maksimumi i minimumi............................................................................................ 404 6.1.5.2. Nužni uslovi za egzistenciju relativnog ekstrema funkcije........................................405 6.1.5.3. Relativni ekstremi diferencijabilne, eksplicitno zadate funkcije y = f(x)...................405 6.1.5.4. Određivanje tačaka globalnih ekstrema...................................................................406 6.1.5.5. Određivanje ekstrema implicitno zadate funkcije.....................................................406 6.2. Diferenciranje funkcija više promenljivih.................................................................................... 407 6.2.1. Parcijalni izvodi................................................................................................................. 407 6.2.1.1. Parcijalni izvod funkcije............................................................................................ 407 6.2.1.2. Geometrijsko značenje kod funkcija dve promenljive...............................................407 6.2.1.3. Pojam diferencijala................................................................................................... 407 6.2.1.4. Osnovna svojstva diferencijala................................................................................. 408 6.2.1.5. Parcijalni diferencijal................................................................................................ 409 6.2.2. Potpuni diferencijal i diferencijali višeg reda..................................................................... 409 6.2.2.1. Pojam potpunog diferencijala funkcije više promenljivih (totalni diferencijal)...........409 6.2.2.2. Izvodi i diferencijali viših redova.............................................................................. 410 6.2.2.3. Tejlorov teorema za funkcije više promenljivih.........................................................411 6.2.3. Pravila diferenciranja funkcija više promenljivih................................................................412 6.2.3.1. Diferenciranje složenih funkcija................................................................................ 412 6.2.3.2. Diferenciranje implicitnih funkcija............................................................................ 412 6.2.4. Zamena promenljivih u diferencijalnim izrazima i transformacija koordinata....................414 6.2.4.1. Funkcija jedne promenljive....................................................................................... 414 6.2.4.2. Funkcija dve promenljive......................................................................................... 415 6.2.5. Ekstremi funkcija više promenljivih................................................................................... 416 6.2.5.1. Definicija.................................................................................................................. 416 6.2.5.2. Geometrijsko značenje............................................................................................. 416 6.2.5.3. Određivanje ekstrema funkcije dve promenljive.......................................................417 6.2.5.4. Određivanje ekstrema funkcije n promenljivih.........................................................417 6.2.5.5. Približno rešavanje zadataka.................................................................................... 417 6.2.5.6. Određivanje ekstrema kada su zadati dopunski uslovi.............................................418 Beskonačni redovi............................................................................................................................. 419 7.1. Nizovi brojeva............................................................................................................................. 419 7.1.1. Svojstva brojevnih nizova.................................................................................................. 419 7.1.1.1. Definicija brojevnog niza.......................................................................................... 419 7.1.1.2. Monotoni brojevni nizovi.......................................................................................... 419
XI
8.
7.1.1.3. Ograničeni brojevni nizovi........................................................................................ 419 7.1.2. Granične vrednosti brojevnih nizova................................................................................. 420 7.2. Redovi konstantnih članova........................................................................................................ 421 7.2.1. Opšte teoreme o konvergenciji.......................................................................................... 421 7.2.1.1. Konvergencija i divergencija beskonačnih redova....................................................421 7.2.1.2. Opšte teoreme o konvergenciji redova.....................................................................421 7.2.2. Kriterijumi konvergencije za redove pozitivnih članova.....................................................422 7.2.2.1. Kriterijum porešenja................................................................................................. 422 7.2.2.2. Dalemberov kriterijum količnika............................................................................... 422 7.2.2.3. Košijev kriterijum korena.......................................................................................... 423 7.2.2.4. Košijev integralni kriterijum..................................................................................... 424 7.2.3. Apsolutna i uslovna konvergencija.................................................................................... 424 7.2.3.1. Definicija.................................................................................................................. 424 7.2.3.2. Svojstva apsolutno konvergentnih redova................................................................424 7.2.3.3. Alternirajući redovi................................................................................................... 425 7.2.4. Neki specijalni redovi........................................................................................................ 425 7.2.4.1. Zbirovi nekih redova konstantnih članova................................................................425 7.2.4.2. Bernulijevi i Ojlerovi brojevi..................................................................................... 427 7.2.5. Ocena ostatka reda........................................................................................................... 428 7.2.5.1. Ocena pomoću majorante........................................................................................ 428 7.2.5.2. Alternirajući konvergentni redovi............................................................................. 429 7.2.5.3. Specijalni redovi....................................................................................................... 429 7.3. Redovi funkcija........................................................................................................................... 429 7.3.1. Definicije........................................................................................................................... 429 7.3.2. Jednolika konvergencija..................................................................................................... 429 7.3.2.1. Definicija, Vajerštrasova teorema............................................................................ 429 7.3.2.2. Svojstva jednoliko konvergentnih redova.................................................................430 7.3.3. Redovi potencija................................................................................................................ 431 7.3.3.1. Definicija, konvergencija.......................................................................................... 431 7.3.3.2. Računanje s redovima potencija.............................................................................. 431 7.3.3.3. Razvoj u Tejlorov i u Meklorenov red........................................................................433 7.3.4. Formule za približno računanje.......................................................................................... 434 7.3.5. Asimptotski konvergentni redovi potencija........................................................................434 7.3.5.1. Asimptotska jednakost............................................................................................. 434 7.3.5.2. Asimptotski redovi potencija.................................................................................... 434 7.4. Furijeovi redovi........................................................................................................................... 436 7.4.1. Trigonometrijski zbir i Furijeovi redovi............................................................................... 437 7.4.1.1. Osnovni pojmovi...................................................................................................... 436 7.4.1.2. Najvažnija svojstva Furijeovih redova....................................................................... 437 7.4.2. Određivanje koeficijenata simetričnih funkcija..................................................................438 7.4.2.1. Različite simetrije..................................................................................................... 438 7.4.2.2. Oblici razvoja u Furijeov red..................................................................................... 439 7.4.3. Određivanje koeficijenata numeričkim metodama.............................................................440 7.4.4. Furijeov red i integral........................................................................................................ 440 7.4.5. Uputstva za primenu tabele nekih Furijeovih redova.........................................................441 Integralni račun................................................................................................................................. 443 8.1. Neodređeni integral.................................................................................................................... 443 8.1.1. Primitivna funkcija ili integral............................................................................................ 443 8.1.1.1. Neodređeni integrali................................................................................................. 444 8.1.1.2. Integrali elementarnih funkcija................................................................................. 444 8.1.2. Pravila integracije.............................................................................................................. 444 8.1.3. Integracija racionalnih funkcija.......................................................................................... 447 8.1.3.1. Integrali celih racionalnih funkcija (polinoma)..........................................................447 8.1.3.2. Integrali razlomljenih racionalnih funkcija................................................................448 8.1.3.3. Četiri sučaja prilikom rastavljanja na parcijalne razlomke........................................448 8.1.4. Integracija iracionalnih funkcija......................................................................................... 450 8.1.4.1. Zamena radi svođenja na integrale racionalnih funkcija...........................................450 8.1.4.2. Integracija binomnih argumenata............................................................................ 451 8.1.4.3. Eliptički integrali...................................................................................................... 452 8.1.5. Integracija trigonometrijskih funkcija................................................................................ 453 8.1.5.1. Zamena................................................................................................................... 453 8.1.5.2. Pojednostavljene metode......................................................................................... 454 8.1.6. Integracija ostalih transcendentnih funkcija...................................................................... 455 8.1.6.1. Integrali sa eksponencijalnim funkcijama.................................................................455 8.1.6.2. Integrali sa hiperbolnim funkcijama......................................................................... 455 8.1.6.3. Primena parcijalne integracije.................................................................................. 455
XII
9.
8.1.6.4. Integrali transcendentnih funkcija............................................................................ 456 8.2. Određeni integrali....................................................................................................................... 456 8.2.1. Osnovni pojmovi, pravila i teoreme................................................................................... 456 8.2.1.1. Definicija i egzistencija određenih integrala.............................................................456 8.2.1.2. Svojstva određenih integrala.................................................................................... 457 8.2.1.3. Ostale teoreme o granicama integracije..................................................................459 8.2.1.4. Izračunavanje određenih integrala........................................................................... 460 8.2.2. Primene određenih integrala............................................................................................. 463 8.2.2.1. Opšti princip za primenu određenih integrala...........................................................463 8.2.2.2. Primene u geometriji................................................................................................ 464 8.2.2.3. Primene u mehanici i fizici........................................................................................ 467 8.2.3. Nepravi integrali, Stiltjesovi i Lebegovi integrali................................................................469 8.2.3.1. Popštenje pojma integrala........................................................................................ 469 8.2.3.2. Integrali sa beskonačnim granicama integracije......................................................470 8.2.3.3. Integrali sa neograničenim integrandima.................................................................473 8.2.4. Parametarski integrali....................................................................................................... 475 8.2.4.1. Definicija parametarskog integrala.......................................................................... 475 8.2.4.2. Diferenciranje pod znakom integrala........................................................................ 475 8.2.4.3. Integraljenje pod znakom integrala..........................................................................476 8.2.5. Integracija razvojem u red, istaknute neelementarne funkcije..........................................476 8.3. Krivolinijski integrali................................................................................................................... 479 8.3.1. Krivolinijski integrali 1. vrste............................................................................................. 479 8.3.1.1. Definicije.................................................................................................................. 479 8.3.1.2. Teorema o egzistenciji integrala.............................................................................. 480 8.3.1.3. Izračunavanje krivolinijskih integrala 1. vrste...........................................................480 8.3.1.4. Primene krivolinijskih integrala 1. vrste....................................................................481 8.3.1.5. Krivolinijski integrali 1. vrste.................................................................................... 481 8.3.1.6. Krivolinijski integrali opšte vrste.............................................................................. 483 8.3.2. Krivolinijski integrali 2. vrste............................................................................................. 481 8.3.3. Opšti krivolinijski integrali................................................................................................. 483 8.3.4. Nezavisnost krivolinijskog integrala od puta integracije....................................................485 8.4. Višestruki integrali...................................................................................................................... 488 8.4.1. Dvostruki integral.............................................................................................................. 488 8.4.1.1. Pojam dvostrukog integrala..................................................................................... 488 8.4.1.2. Izračunavanje dvostrukog integrala.........................................................................489 8.4.1.3. Primene dvostrukog integrala.................................................................................. 491 8.4.2. Trostruki integral............................................................................................................... 491 8.4.2.1. Pojam trostrukog integrala....................................................................................... 491 8.4.2.2. Izračunavanje trostrukog integrala...........................................................................492 8.4.2.3. Primene trostrukog integrala.................................................................................... 496 8.5. Površinski integrali..................................................................................................................... 496 8.5.1.1. Površinski integrali 1. vrste...................................................................................... 496 8.5.1.2. Izračunavanje površinskih integrala 1. vrste............................................................498 8.5.1.3. Primene površinskih integrala 1. vrste..................................................................... 499 8.5.2. Površinski integrali 2. vrste............................................................................................... 500 8.5.2.1. Površinski integrali 2. vrste...................................................................................... 500 8.5.2.2. Izračunavanje površinskih integrala 1. vrste............................................................501 8.5.2.3. Jedna primena površinskog integrala....................................................................... 503 Diferencijalne jednačine.................................................................................................................... 504 9.1. Obične diferencijalne jednačine.................................................................................................. 504 9.1.1. Diferencijalne jednačine 1. reda........................................................................................ 505 9.1.1.1. Teorema o egzistenciji, polje smerova.....................................................................505 9.1.1.2. Važne metode integracije........................................................................................ 506 9.1.1.3. Implicitne diferencijalne jednačine...........................................................................509 9.1.1.4. Singularni integrali i singularne tačke...................................................................... 510 9.1.1.5. Približne metode integracije diferencijalnih jednačina 1. reda..................................513 9.1.2. Diferencijalne jednačine višeg reda i sistemi diferencijalnih jednačina..............................515 9.1.2.1. Osnovna razmatranja............................................................................................... 515 9.1.2.2. Snižavanje reda jednačine....................................................................................... 516 9.1.2.3. Linearne diferencijalne jednačine n-tog reda............................................................518 9.1.2.4. Rešavanje linearnih diferencijalnih jednačina s konstantnim koeficijentima.............520 9.1.2.5. Sistemi linearnih diferencijalnih jednačina s konstantnim koeficijentima.................522 9.1.2.6. Linearne diferencijalne jednačine 2. reda.................................................................525 9.1.3. Problemi rubnih uslova...................................................................................................... 532 9.1.3.1. Postavka problema.................................................................................................. 532 9.1.3.2. Osnovna svojstva sopstvenih funkcija i sopstvenih vrednosti...................................533
XIII 9.1.3.3. Razlaganje na sopstvene funkcije............................................................................534 9.1.3.4. Singularni slučajevi.................................................................................................. 534 9.2. Parcijalne diferencijalne jednačine............................................................................................. 535 9.2.1. Parcijalne diferencijalne jednačine 1. reda........................................................................535 9.2.1.1. Linearne parcijalne diferencijalne jednačine 1. reda................................................535 9.2.1.2. Nelinearne parcijalne diferencijalne jednačine 1. reda.............................................537 9.2.2. Linearne parcijalne diferencijalne jednačine 2. reda..........................................................540 9.2.2.1. Klasifikacija i svojstva diferencijalnih jednačina 2. reda sa dve nezavisne promenljive540 9.2.2.2. Klasifikacija i svojstva diferencijalnih jednačina 2. reda sa više od dve nezavisne promenljive .................................................................................................................................. 542 9.2.2.3. Metode integracije linearnih parcijalnih diferencijalnih jednačina 2. reda.................543 9.2.3. Parcijalne diferencijalne jednačine u prirodnim naukama i tehnici....................................554 9.2.3.1. Postavka problema i rubni uslovi..............................................................................554 9.2.3.2. Talasna jednačina.................................................................................................... 555 9.2.3.3. Jednačina provođenja i difuzije toplote u homogenom medijumu.............................556 9.2.3.4. Jednačina potencijala............................................................................................... 557 9.2.3.5. Šredingerova jednačina............................................................................................ 557 9.2.4. Nelinearne parcijalne diferencijalne jednačine, solitoni.....................................................566 9.2.4.1. Fizičko-matematička postavka problema.................................................................566 9.2.4.2. Kortveg-Devrisova jednačina................................................................................... 567 9.2.4.3. Nelinearna Šredingerova jednačina..........................................................................569 9.2.4.4. Sinus-Gordonova jednačina...................................................................................... 569 9.2.4.5. Ostale nelinearne evolucione jednačine sa solitonskim rešenjima............................571 10. Varijacioni račun................................................................................................................................ 572 10.1. Postavka zadatka..................................................................................................................... 572 10.2. Istorijski zadaci......................................................................................................................... 573 10.2.1. Izoperimetarski problem.................................................................................................. 573 10.2.2. Problem brahistohrone.................................................................................................... 573 10.3. Varijacioni zadaci sa funkcijama jedne promenljive..................................................................574 10.3.1. Jednostavan varijacioni zadatak i ekstremala..................................................................574 10.3.2. Ojlerova diferencijalna jednačina varijacionog računa.....................................................574 10.3.3. Varijacioni zadaci sa rubnim uslovima.............................................................................576 10.3.4. Varijacioni zadaci sa višim izvodima................................................................................ 577 10.3.5. Varijacioni zadaci sa više traženih funkcija...................................................................... 577 10.3.6. Parametarski zadati varijacioni zadaci.............................................................................578 10.4. Varijacioni zadaci sa funkcijama više promenljivih...................................................................579 10.4.1. Jednostavni varijacioni zadaci.......................................................................................... 579 10.4.2. Opšti varijacioni zadaci.................................................................................................... 580 10.5. Numeričko rešavanje varijacionih zadataka.............................................................................. 580 10.6. Dopune..................................................................................................................................... 582 10.6.1. Prva i druga varijacija...................................................................................................... 582 10.6.2. Primene u fizici................................................................................................................ 582 11. Linearne integralne jednačine 583 11.1. Uvod i klasifikacija.................................................................................................................... 583 11.2. Fredholmove diferencijalne jednačine 2. vrste......................................................................... 584 11.2.1. Integrale jednačine sa izrođenim jezgrima...................................................................... 584 11.2.2. Metoda uzastopnih približenja, Nojmanov red.................................................................587 11.2.3. Fredholmova metoda rešavanja, Fredholmova teorema..................................................589 11.2.3.1. Fredholmova metoda rešavanja............................................................................. 589 11.2.3.2. Fredholmove teoreme............................................................................................ 591 11.2.4. Numerički postupak za Fredholmove integralne jednačine 2 vrste..................................592 11.2.4.1. Približno rešavanje integrala.................................................................................. 592 11.2.4.2. Aproksimacija jezgra.............................................................................................. 594 11.2.4.3. Metoda kolokacije.................................................................................................. 596 11.3. Fredholmove diferencijalne jednačine 1. vrste......................................................................... 598 11.3.1. Integralne jednačine sa izrođenim jezgrima....................................................................598 11.3.2. Pojmovi, analitičke osnove.............................................................................................. 599 11.3.3. Svođenje integralne jednačine na sistem linearnih jednačina..........................................600 11.3.4. Rešenje homogene integralne jednačine 1. vrste............................................................602 11.3.5. Konstrukcija dva specijalna ortonormalna sistema za zadato jezgro...............................603 11.3.6. Iterativni postupak.......................................................................................................... 604 11.4. Volterine integralne jednačine.................................................................................................. 605 11.4.1. Teorijske osnove............................................................................................................. 605 11.4.2. Rešenje putem diferenciranja.......................................................................................... 606 11.4.3. Nojmanov red kao rešenje Volterine integralne jednačine 2. vrste..................................607 11.4.4. Volterine integralne jednačine pregibnog tipa.................................................................608
XIV 11.4.5. Numeričko rešavanje Volterinih integralnih jednačina 2. vrste........................................609 11.5. Singularne integralne jednačine............................................................................................... 611 11.5.1. Abelova integralna jednačina.......................................................................................... 611 11.5.2. Singularne integralne jednačine sa Košijevim jezgrima...................................................612 11.5.2.1. Formulacija zadatka............................................................................................... 612 11.5.2.2. Egzistencija rešenja............................................................................................... 613 11.5.2.3. Svojstva Košijevog integrala.................................................................................. 613 11.5.2.4. Hilbertov problem rubnih uslova............................................................................613 11.5.2.5. Rešenje Hilbertovog problema rubnih uslova.........................................................614 11.5.2.6. Rešenje karakteristične jednačine.......................................................................... 614 12. Funkcionalna analiza 616 12.1. Vektorski prostori..................................................................................................................... 616 12.1.1. Pojam vektorskog prostora.............................................................................................. 616 12.1.2. Linearni i afino-linearni skupovi komponenata................................................................617 12.1.3. Linearno nezavisni elementi............................................................................................ 619 12.1.4. Konveksni skupovi komponenata i konveksni omotači....................................................619 12.1.4.1. Konveksni skupovi.................................................................................................. 619 12.1.4.2. Kupe...................................................................................................................... 620 12.1.5. Linearni operatori i funkcionali........................................................................................ 620 12.1.5.1. Preslikavanja.......................................................................................................... 620 12.1.5.2. Homomorfizam i endomorfizam............................................................................. 621 12.1.5.3. Izomorfni vektorski prostori.................................................................................... 621 12.1.6. Pretvaranje realnih vektorskih prostora u kompleksne....................................................621 12.1.7. Uređeni vektorski prostori............................................................................................... 621 12.1.7.1. Kupe i poluuređenost............................................................................................. 621 12.1.7.2. Skupovi ograničeni uređenjem............................................................................... 622 12.1.7.3. Pozitivni operatori.................................................................................................. 623 12.1.7.4. Vektorski prostori................................................................................................... 623 12.2. Metrički prostori....................................................................................................................... 624 12.2.1. Pojam metričkog prostora............................................................................................... 624 12.2.1.1. Kugle i okoline........................................................................................................ 625 12.2.1.2. Konvergencija nizova u metričkom prostoru..........................................................626 12.2.1.3. Zatvoreni skupovi i zatvaranje............................................................................... 626 12.2.1.4. Gusti skupovi i separabilni metrički prostori...........................................................627 12.2.2. Potpuni metrički prostori................................................................................................. 627 12.2.2.1. Košijev niz.............................................................................................................. 627 12.2.2.2. Potpun metrički prostor.......................................................................................... 628 12.2.2.3. Nekoliko osnovnih teorema o potpunim metričkim prostorima...............................628 12.2.2.4. Nekoliko primena principa kontrakcije...................................................................629 12.2.2.5. Upotpunjenje metričkog prostora........................................................................... 630 12.2.3. Neprekidni operatori....................................................................................................... 631 12.3. Normirani prostori.................................................................................................................... 631 12.3.1. Pojam normiranog prostora............................................................................................. 631 12.3.1.1. Aksiomi normiranog prostora................................................................................. 631 12.3.1.2. Nekoliko svojstava normiranih prostora.................................................................632 12.3.2. Banahovi prostori............................................................................................................ 632 12.3.2.1. Redovi u normiranim prostorima............................................................................ 632 12.3.2.2. Primeri Banahovih prostora.................................................................................... 632 12.3.2.3. Soboljevljevi prostori.............................................................................................. 633 12.3.3. Uređeni normirani prostori.............................................................................................. 633 12.3.4. Normirane algebre.......................................................................................................... 634 12.4. Hilbertovi prostori..................................................................................................................... 635 12.4.1. Pojam Hilbertovog prostora............................................................................................. 635 12.4.1.1. Skalarni proizvod................................................................................................... 635 12.4.1.2. Unitarni prostori i nekoliko njihovih svojstava........................................................635 12.4.1.3. Hilbertov prostor.................................................................................................... 636 12.4.2. Ortogonalnost................................................................................................................. 636 12.4.2.1. Svojstvo ortogonalnosti.......................................................................................... 636 12.4.2.2. Ortogonalni sistemi................................................................................................ 637 12.4.3. Furijeovi redovi u Hilbertovom prostoru.......................................................................... 637 12.4.3.1. Najbolja aproksimacija........................................................................................... 637 12.4.3.2. Parsevalova jednačina, Ris-Fišerova teorema.........................................................638 12.4.4. Egzistencija baze. Izomorfni Hilbertovi prostori...............................................................638 12.5. Neprekidni linearni operatori i funkcionali................................................................................ 639 12.5.1. Ograničenost, norma i neprekidnost linearnih operatora.................................................639 12.5.1.1. Ograničenost i norma linearnih operatora..............................................................639
XV 12.5.1.2. Prostor linearnih neprekidnih operatora.................................................................639 12.5.1.3. Konvergencija opertorskih nizova..........................................................................640 12.5.2. Linearni neprekidni operatori u Banahovim prostorima...................................................640 12.5.3. Elementi spektralne teorije linearnih operatora...............................................................642 12.5.3.1. Skup rezovenata i rezolvente jednog operatora.....................................................642 12.5.3.2. Spektar operatora.................................................................................................. 642 12.5.4. Neprekidni linearni funkcionali........................................................................................ 643 12.5.4.1. Definicija................................................................................................................ 643 12.5.4.2. Neprekidni linearni funkcionali u Hilbertovom prostoru, Risova teorema................644 12.5.4.3. Neprekidni linearni funkcionali u Lp........................................................................644 12.5.5. Produženje linearnih funkcionala..................................................................................... 644 12.5.6. Razdvajanje konveksnih skupova.................................................................................... 645 12.5.7. Bidualni prostor i refleksivni prostori............................................................................... 646 12.6. Adjungirani operatori u normiranim prostorima........................................................................ 646 12.6.1. Adjungirani operator ograničenog operatora...................................................................646 12.6.2. Adjungirani operator neograničenog operator.................................................................647 12.6.3. Samoadjungirani operatori.............................................................................................. 647 12.6.3.1. Pozitivno definitni operatori................................................................................... 647 12.6.3.2. Projektori u Hilbertovom prostoru..........................................................................648 12.7. Kompaktni skupovi i kompaktni operatori................................................................................. 648 12.7.1. Kompaktni skupovi u normiranim prostorima..................................................................648 12.7.2. Kompaktni operatori........................................................................................................ 648 12.7.2.1. Pojam kompaktnog operatora................................................................................ 648 12.7.2.2. Svojstava linearnih kompaktnih operatora.............................................................648 12.7.2.3. Slaba konvergencija elemenata............................................................................. 649 12.7.3. Fredholmova alternativa................................................................................................. 649 12.7.4. Kompaktni operatori u Hilbertovom prostoru...................................................................650 12.7.5. Kompaktni samoadjungirani operatori.............................................................................650 12.8. Nelinearni operatori.................................................................................................................. 650 12.8.1. Primeri nelinearnih operatora.......................................................................................... 650 12.8.2. Diferencijabilnost nelinearnih operatora..........................................................................651 12.8.3. Njutnov postupak............................................................................................................ 652 12.8.4. Šauderov princip fiksne tačke......................................................................................... 652 12.8.5. Leraj-Šauderova teorija................................................................................................... 652 12.8.6. Pozitivni nelinearni operatori........................................................................................... 653 12.8.7. Monotoni operatori u Banahovim prostorima...................................................................654 12.9. Mera i Lebegov integral............................................................................................................ 654 12.9.1. Sigma-algebre i mere...................................................................................................... 654 12.9.2. Merljive funkcije.............................................................................................................. 656 12.9.2.1. Merljive funkcije..................................................................................................... 656 12.9.2.2. Svojstva klase merljivih funkcija.............................................................................656 12.9.3. Integracija....................................................................................................................... 656 12.9.3.1. Definicija integrala................................................................................................. 656 12.9.3.2. Nekoliko svojstava integrala.................................................................................. 657 12.9.3.3. Teoreme o konvergenciji........................................................................................ 657 12.9.4. Lp prostori....................................................................................................................... 658 12.9.5. Distribucije...................................................................................................................... 659 12.9.5.1. Formule za parcijalnu integraciju...........................................................................659 12.9.5.2. Poopšteni izvod (derivacija)................................................................................... 659 12.9.5.3. Distribucija............................................................................................................. 659 12.9.5.4. Izvod distribucije.................................................................................................... 660 13. Vektorska analiza i teorija polja 661 13.1. Osnovni pojmovi teorije polja................................................................................................... 661 13.1.1. Vektorska funkcija jedne skalarne promenljive................................................................661 13.1.1.1. Definicije................................................................................................................ 661 13.1.1.2. Izvod (derivacija) vektorske funkcije......................................................................661 13.1.1.3. Pravila diferenciranja vektora................................................................................. 661 13.1.1.4. Razvoj vektorske funkcije u Tejlorov red................................................................662 13.1.2. Skalarna polja................................................................................................................. 662 13.1.2.1. Skalarno polje ili skalarna funkcija tačke................................................................662 13.1.2.2. Važni slučajevi skalarnih polja................................................................................ 662 13.1.2.3. Izražavanje skalarnih polja pomoću koordinata......................................................663 13.1.2.4. Nivo-površi i nivo-linije........................................................................................... 663 13.1.3. Vektorska polja............................................................................................................... 663 13.1.3.1. Vektorsko polje ili vektorska funkcija tačke............................................................663 13.1.3.2. Važni slučajevi vektorskih polja.............................................................................. 664
XVI 13.1.3.3. Izražavanje vektorskih polja pomoću koordinata....................................................665 13.1.3.4. Prelaz sa jednog koordinatnog sistema na drugi....................................................666 13.1.3.5. Linije polja.............................................................................................................. 667 13.2. Prostorne operacije diferenciranja............................................................................................ 668 13.2.1. Strujnice i izvod po obimu............................................................................................... 668 13.2.1.1. Strujnice skalarnog polja........................................................................................ 668 13.2.1.2. Strujnice vektorskog polja...................................................................................... 668 13.2.1.3. Prostorni izvod ili izvod po obimu........................................................................... 669 13.2.2. Gradijent skalarnog polja................................................................................................ 669 13.2.2.1. Definicija gradijenta............................................................................................... 669 13.2.2.2. Gradijent i strujnice................................................................................................ 670 13.2.2.3. Gradijent i izvod po obimu..................................................................................... 670 13.2.2.4. Ostala svojstva gradijenta...................................................................................... 670 13.2.2.5. Gradijent skalarnog polja u različitim koordinatama...............................................670 13.2.2.6. Pravila računanja................................................................................................... 671 13.2.3. Vektorski gradijent.......................................................................................................... 671 13.2.4. Divergencija vektorskog polja......................................................................................... 671 13.2.4.1. Definicija divergencije............................................................................................ 671 13.2.4.2. Divergencija u različitim koordinatama..................................................................672 13.2.4.3. Pravila za izračunavanje divergencije.....................................................................672 13.2.4.4. Divergencija centralnog polja................................................................................. 672 13.2.5. Rotacija vektorskog polja................................................................................................ 673 13.2.5.1. Definicija rotacije................................................................................................... 673 13.2.5.2. Rotacija u različitim koordinatama......................................................................... 674 13.2.5.3. Pravila za izračunavanje rotacije............................................................................ 674 13.2.5.4. Rotacija potencijalnog polja................................................................................... 675 13.2.6. Operator nabla, Laplasov operator.................................................................................. 675 13.2.6.1. Operator nabla....................................................................................................... 675 13.2.6.2. Pravila računanja za operator nabla....................................................................... 675 13.2.6.3. Vektorski gradijent................................................................................................. 676 13.2.6.4. Dvostruka primena operatora nabla.......................................................................676 13.2.6.5. Laplasov operator.................................................................................................. 676 13.2.7. Pregled prostornih operacija diferenciranja.....................................................................677 13.2.7.1. Principijelne veze i rezultati diferencijalnih operatora............................................677 13.2.7.2. Pravila računanja za diferencijalne operatore.........................................................677 13.2.7.3. Izrazi vektorske analize u pravougaonim, cilindričnim i sfernim koordinatama......678 13.3. Integracija u vektorskim poljima............................................................................................... 679 13.3.1. Krivolinijski integral i potencijal u vektorskom polju........................................................679 13.3.1.1. Krivolinijski integral u vektorskom polju.................................................................679 13.3.1.2. Značenje krivolinijskih integrala u mehanici...........................................................680 13.3.1.3. Svojstva krivolinijskih integrala.............................................................................. 680 13.3.1.4. Poopšteni krivolinijski integral................................................................................ 681 13.3.1.5. Integral cirkulacije vektorskog polja....................................................................... 681 13.3.1.6. Konzervativno ili potencijalno polje ....................................................................... 681 13.3.2. Površinski integrali.......................................................................................................... 682 13.3.2.1. Vektor elementarne ravne površi...........................................................................682 13.3.2.2. Izračunavanje površinskih integrala....................................................................... 683 13.3.2.3. Površinski integrali i tok polja................................................................................. 683 13.3.2.4. Površinski integrali u pravougaonim koordinatama kao površinski integrali 2. vrste684 13.3.3. Teoreme o integraciji...................................................................................................... 685 13.3.3.1. Gausov teorema i formula za integraciju................................................................685 13.3.3.2. Stoksov teorema o integraciji................................................................................. 685 13.3.3.3. Grinove teoreme o integraciji................................................................................. 686 13.4. Izračunavanje polja.................................................................................................................. 687 13.4.1. Čisto polje izvora............................................................................................................. 687 13.4.2. Čisto vrtložno polje ili bezizvorno vrtložno polje..............................................................687 13.4.3. Vektorska polja sa tačkastim izvorima............................................................................ 688 13.4.3.1. Kulonovo polje tačkastog naelektrisanja................................................................688 13.4.3.2. Gravitaciono polje tačkaste mase.......................................................................... 688 13.4.4. Superpozicija polja.......................................................................................................... 688 13.4.4.1. Diskretni izvori....................................................................................................... 688 13.4.4.2. Kontinualni izvori................................................................................................... 689 13.4.4.3. Sabiranje................................................................................................................ 689 13.5. Diferencijalne jednačine teorije polja........................................................................................ 689 13.5.1. Laplasova diferencijalna jednačina.................................................................................. 689 13.5.2. Poasonova diferencijalna jednačina................................................................................. 689
XVII 14. Teorija funkcija 691 14.1. Funkcije jedne kompleksne promenljive................................................................................... 691 14.1.1. Neprekidnost, diferencijabilnost...................................................................................... 691 14.1.1.1. Definicija kompleksne funkcije............................................................................... 691 14.1.1.2. Granična vrednost kompleksne funkcije.................................................................691 14.1.1.3. Neprekidnost kompleksne funkcije......................................................................... 691 14.1.1.4. Diferencijabilnost kompleksne funkcije..................................................................692 14.1.2. Analitičke funkcije........................................................................................................... 692 14.1.2.1. Definicija analitičke funkcije................................................................................... 692 14.1.2.2. Primeri analitičkih funkcija..................................................................................... 692 14.1.2.3. Svojstva analitičkih funkcija................................................................................... 693 14.1.2.4. Singularne tačke................................................................................................... 693 14.1.3. Konformno preslikavanje................................................................................................. 694 14.1.3.1. Pojam i svojstva konformnog preslikavanja............................................................694 14.1.3.2. Najjednostavnija konformna preslikavanja.............................................................695 14.1.3.3. Švarcov princip ogledanja...................................................................................... 702 14.1.3.4. Kompleksni potencijali........................................................................................... 702 14.1.3.5. Princip superpozicije.............................................................................................. 704 14.1.3.6. Proizvoljno preslikavanje kompleksne brojevne ravni.............................................705 14.2. Integracija u kompleksnoj ravni................................................................................................ 706 14.2.1. Određen i neodređen integral......................................................................................... 706 14.2.1.1. Definicija integrala u kompleksnoj ravni.................................................................706 14.2.1.2. Svojstva i izračunavanje kompleksnih integrala.....................................................707 14.2.2. Košijev teorema o integraciji, osnovni teorema teorije funkcija.......................................708 14.2.2.1. Košijev teorema o integraciji za jednostruko povezana područja............................708 14.2.2.2. Košijev teorema o integraciji za višestruko povezana područja..............................709 14.2.3. Košijeve formule za integraciju........................................................................................ 709 14.2.3.1. Analitička funkcija unutar područja........................................................................709 14.2.3.2. Analitička funkcija izvan područja.......................................................................... 709 14.3. Razvoj analitičkih funkcija u red potencija................................................................................ 710 14.3.1. Konvergencija redova s kompleksnim članovima............................................................710 14.3.1.1. Konvergencija niza brojeva s kompleksnim članovima...........................................710 14.3.1.2. Konvergencija beskonačnog reda s kompleksnim članovima.................................710 14.3.1.3. Redovi potencija u kompleksnoj ravni....................................................................711 14.3.2. Tejlorov red..................................................................................................................... 712 14.3.3. Princip analitičkog produženja......................................................................................... 712 14.3.4. Loranov razvoj funkcije................................................................................................... 713 14.3.5. Izolovane singularne tačke i teorema o reziduumu.........................................................713 14.3.5.1. Izolovane singularne tačke..................................................................................... 713 14.3.5.2. Metamorfne funkcije.............................................................................................. 714 14.3.5.3. Eliptičke funkcije.................................................................................................... 714 14.3.5.4. Reziduum............................................................................................................... 714 14.3.5.5. Teorema o reziduumu............................................................................................ 715 14.4. Izračunavanje realnih integrala integracijom u kompleksnoj ravni............................................715 14.4.1. Primena Košijevih formula za integraciju......................................................................... 715 14.4.2. Primena teoreme o reziduumu........................................................................................ 715 14.4.3. Primene Žordanove leme................................................................................................ 716 14.4.3.1. Žordanova lema..................................................................................................... 716 14.4.3.2. Primeri za Žordanovu lemu.................................................................................... 717 14.5. Algebarske i elementarne transcendentne funkcije..................................................................719 14.5.1. Algebarske funkcije......................................................................................................... 719 14.5.2. Elementarne transcendentne funkcije.............................................................................719 14.5.3. Opis krivih u kompleksnom obliku................................................................................... 722 14.6. Eliptičke funkcije...................................................................................................................... 723 14.6.1. Veza sa eliptičkim integralima......................................................................................... 723 14.6.2. Jakobijeve funkcije.......................................................................................................... 725 14.6.3. Theta funkcije................................................................................................................. 726 14.6.4. Vajerštrasove funkcije..................................................................................................... 727 15. Integralne transformacije 728 15.1. Pojam integralne transformacije............................................................................................... 728 15.1.1. Opšta definicija integralnih transformacija...................................................................... 728 15.1.2. Specijalne integralne transformacije............................................................................... 728 15.1.3. Inverzne (obratne) transformacije................................................................................... 728 15.1.4. Linearnost integralnih transformacija.............................................................................. 730 15.1.5. Integralne transformacije funkcija više promenljivih.......................................................730 15.1.6. Primene integralnih transformacija................................................................................. 730
XVIII 15.2. Laplasova transformacija.......................................................................................................... 731 15.2.1. Svojstva Laplasove transformacije.................................................................................. 731 15.2.1.1. Laplas-transformirano, originalno i preslikano područje.........................................731 15.2.1.2. Pravila računanja za Laplasovu transformaciju.......................................................732 15.2.1.3. Slike specijalnih funkcija........................................................................................ 735 15.2.1.4. Dirakova delta funkcija i distribucije....................................................................... 738 15.2.2. Obratna transformacija u originalno područje.................................................................739 15.2.2.1. Obratna transformacija pomoću tabela..................................................................739 15.2.2.2. Rastavljanje na parcijalne razlomke.......................................................................739 15.2.2.3. Razvoj u red........................................................................................................... 740 15.2.2.4. Obratni integral...................................................................................................... 741 15.2.3. Rešavanje diferencijalnih jednačina pomoću Laplasove transformacije...........................742 15.2.3.1. Obične diferencijalne jednačine s konstantnim koeficijentima................................742 15.2.3.2. Obične diferencijalne jednačine s promenljivim koeficijentima...............................743 15.2.3.3. Parcijalne diferencijalne jednačine.........................................................................744 15.3. Furijeova transformacija........................................................................................................... 745 15.3.1. Svojstva Furijeove transformacije.................................................................................... 745 15.3.1.1. Furijeov integral..................................................................................................... 745 15.3.1.2. Furijeova transformacija i obratna transformacija..................................................746 15.3.1.3. Pravila računanja za Furijeovu transformaciju........................................................748 15.3.1.4. Preslikavanje specijalnih funkcija........................................................................... 751 15.3.2. Rešavanje diferencijalnih jednačina pomoću Furijeove transformacije............................752 15.3.2.1. Obične linearne diferencijalne jednačine................................................................752 15.3.2.2. Parcijalne diferencijalne jednačine.........................................................................753 15.4. Z transformacija....................................................................................................................... 755 15.4.1. Svojstva Z transformacije................................................................................................ 755 15.4.1.1. Diskretne funkcije.................................................................................................. 755 15.4.1.2. Definicija Z transformacije..................................................................................... 755 15.4.1.3. Pravila računanja................................................................................................... 756 15.4.1.4. Veza sa Laplasovom transformacijom....................................................................757 15.4.1.5. Obrnuta Z transformacija....................................................................................... 758 15.4.2. Primene Z transformacije................................................................................................ 759 15.4.2.1. Opšte rešenje linearnih diferencijalnih jednačina...................................................759 15.4.2.2. Diferencijalne jednačine 2. reda (zadata početna vrednost)...................................760 15.4.2.3. Diferencijalne jednačine 2. reda (zadat rubni uslov)...............................................760 15.5. Vejvlet transformacija.............................................................................................................. 761 15.5.1. Signali............................................................................................................................. 761 15.5.2. Vejvleti............................................................................................................................ 762 15.5.3. Vejvlet transformacija..................................................................................................... 763 15.5.4. Diskretna Vejvlet transformacija..................................................................................... 764 15.5.4.1. Brza Vejvlet transformacija.................................................................................... 764 15.5.4.2. Diskretna Har-Vejvlet transformacija......................................................................764 15.5.5. Gaborova transformacija................................................................................................. 764 15.6. Volšove funkcije....................................................................................................................... 765 15.6.1. Stepenaste funkcije......................................................................................................... 765 15.6.2. Volšovi sistemi................................................................................................................ 765 16. Teorija verovatnoće i matematička statistika 766 16.1. Kombinatorika.......................................................................................................................... 766 16.1.1. Permutacije..................................................................................................................... 766 16.1.2. Kombinacije..................................................................................................................... 766 16.1.3. Varijacije......................................................................................................................... 767 16.1.4. Pregled formula kombinatorike....................................................................................... 768 16.2. Teorija verovatnoće.................................................................................................................. 768 16.2.1. Događaji. Učestanosti i verovatnoće............................................................................... 768 16.2.1.1. Događaji................................................................................................................. 768 16.2.1.2. Učestanosti i verovatnoće...................................................................................... 769 16.2.1.3. Uslovne verovatnoće. Bajesov zakon..................................................................... 771 16.2.2. Slučajne veličine. Funkcija distribucije.............................................................................772 16.2.2.1. Slučajne promenljive.............................................................................................. 772 16.2.2.2. Funkcija distribucije............................................................................................... 772 16.2.2.3. Očekivana vrednost i rasipanje događaja, Čebiševljeva nejednakost.....................773 16.2.2.4. Višedimenzionalne slučajne promenljive................................................................775 16.2.3. Diskretne distribucije...................................................................................................... 775 16.2.3.1. Binomna distribucija............................................................................................... 775 16.2.3.2. Hipergeometrijska distribucija................................................................................ 776 16.2.3.3. Poasonova distribucija............................................................................................ 777
XIX 16.2.4. Neprekidne distribucije.................................................................................................... 778 16.2.4.1. Normalna distribucija............................................................................................. 778 16.2.4.2. Normirana normalna distribucija, Gausov integral verovatnoće.............................779 16.2.4.3. Logaritamska normalna distribucija....................................................................... 780 16.2.4.4. Eksponencijalna distribucija................................................................................... 781 16.2.4.5. Vajbulova distribucija............................................................................................. 781 16.2.4.6. χ2 distribucija.......................................................................................................... 782 16.2.4.7. Fišerova distribucija............................................................................................... 783 16.2.4.8. Studentova distribucija.......................................................................................... 784 16.2.5. Zakoni velikih brojeva. Teoreme graničnih vrednosti......................................................785 16.2.6. Stohastički procesi i stohastički lanci.............................................................................. 786 16.2.6.1. Osnovni pojmovi, Markovljevi lanci........................................................................ 786 16.2.6.2. Poasonovi procesi.................................................................................................. 788 16.3. Matematička statistika............................................................................................................. 791 16.3.1. Funkcije merenja............................................................................................................. 791 16.3.1.1. Temeljna celovitost, merenje, slučajni vektor.........................................................791 16.3.1.2. Funkcije merenja.................................................................................................... 792 16.3.2. Opisna statistika.............................................................................................................. 793 16.3.2.1. Statističko opisivanje rezultata merenja.................................................................793 16.3.2.2. Statistički parametri............................................................................................... 794 16.3.3. Važni postupci merenja................................................................................................... 795 16.3.3.1. Merenje i normalna distribucija.............................................................................. 795 16.3.3.2. Distribucija srednjih vrednosti merenja..................................................................797 16.3.3.3. Granice pouzdanosti srednje vrednosti..................................................................798 16.3.3.4. Granice pouzdanosti rasipanja............................................................................... 799 16.3.3.5. Princip mernog postupka....................................................................................... 800 16.3.4. Korelacija i regresija........................................................................................................ 800 16.3.4.1. Linearna korelacija kod dve merljive osobine.........................................................800 16.3.4.2. Linearna regresija kod dve merljive osobine..........................................................801 16.3.4.3. Višedimenzionalna regresija................................................................................... 802 16.3.5. Metoda Monte Karlo........................................................................................................ 804 16.3.5.1. Simulacija.............................................................................................................. 804 16.3.5.2. Slučajni brojevi....................................................................................................... 804 16.3.5.3. Primer Monte Karlo simulacije................................................................................ 806 16.3.5.4. Primene metode Monte Karlo u numeričkoj matematici.........................................806 16.3.5.5. Ostale primene metode Monte Karlo......................................................................808 16.4. Teorija grešaka pri merenju...................................................................................................... 809 16.4.1. Greške merenja i njihova distribucija............................................................................... 809 16.4.1.1. Distribucija grešaka merenja prema kvalitativnim osobinama...............................809 16.4.1.2. Gustina distribucije grešaka merenja.....................................................................809 16.4.1.3. Distribucija grešaka merenja prema kvantitativnim osobinama.............................811 16.4.1.4. Prikaz rezultata merenja sa granicama pogrešaka.................................................814 16.4.1.5. Proračun grešaka neposrednih merenja jednake tačnosti......................................814 16.4.1.6. Proračun grešaka neposrednih merenja nejednake tačnosti..................................815 16.4.2. Umnožavanje i analiza grešaka....................................................................................... 816 16.4.2.1. Gausov zakon umnožavanja grešaka..................................................................... 816 16.4.2.2. Analiza grešaka...................................................................................................... 817 17. Dinamički sistemi i haos 819 17.1. Obične diferencijalne jednačine i preslikavanja........................................................................ 819 17.1.1. Dinamički sistemi............................................................................................................ 819 17.1.1.1. Osnovni pojmovi.................................................................................................... 819 17.1.1.2. Invarijantni skupovi................................................................................................ 821 17.1.2. Kvalitativna teorija običnih diferencijalnih jednačina.......................................................822 17.1.2.1. Egzistencija toka i struktura faznog prostora..........................................................822 17.1.2.2. Linearne diferencijalne jednačine...........................................................................824 17.1.2.3. Teorija stabilnosti................................................................................................... 825 17.1.2.4. Invarijantne mnogostrukosti................................................................................... 829 17.1.2.5. Poenkareovo preslikavanje..................................................................................... 832 17.1.2.6. Topološka ekvivalentnost diferencijalnih jednačina................................................832 17.1.3. Diskretni dinamički sistemi.............................................................................................. 834 17.1.3.1. Stabilne tačke, periodičke orbite i granični skupovi................................................834 17.1.3.2. Invarijantne mnogostrukosti................................................................................... 835 17.1.3.3. Topološka konjugiranost diskretnih sistema...........................................................836 17.1.4. Strukturna stabilnost (robusnost).................................................................................... 836 17.1.4.1. Strukturno stabilne diferencijalne jednačine..........................................................836 17.1.4.2. Strukturno stabilni diskretni sistemi....................................................................... 837
XX 17.1.4.3. Generička svojstva................................................................................................. 837 17.2. Kvantitativni opis atraktora...................................................................................................... 838 17.2.1. Mere verovatnoće atraktora............................................................................................ 838 17.2.1.1. Invarijantna mera................................................................................................... 838 17.2.1.2. Elementi ergodičke teorije..................................................................................... 839 17.2.2. Entropije.......................................................................................................................... 842 17.2.2.1. Topološka entropija................................................................................................ 842 17.2.2.2. Metrička entropija.................................................................................................. 842 17.2.3. Ljapunovljevi eksponenti................................................................................................. 842 17.2.4. Dimenzije........................................................................................................................ 844 17.2.4.1. Metričke dimenzije................................................................................................. 844 17.2.4.2. Dimenzije koje se svode na invarijantne mere.......................................................846 17.2.4.3. Lokalna Hausdorfova dimenzija prema Duadi-Esterleu...........................................849 17.2.4.4. Primeri atraktora.................................................................................................... 849 17.2.5. Usamljeni atraktori i haos................................................................................................ 851 17.2.6. Haos u jednodimenzionalnom preslikavanju....................................................................852 17.3. Teorija bifurkacija i putevi u haos............................................................................................. 852 17.3.1. Bifurkacije u Morze-Smaleovim sistemima ..................................................................... 852 17.3.1.1. Lokalne bifurkacije blizu stabilnih tačaka...............................................................853 17.3.1.2. Lokalne bifurkacije blizu periodičke orbite..............................................................858 17.3.1.3. Globalne bifurkacije............................................................................................... 861 17.3.2. Prelazi u haos.................................................................................................................. 862 17.3.2.1. Kaskade udvostručenja perioda............................................................................. 862 17.3.2.2. Naizmeničnost (intermitencija)............................................................................... 863 17.3.2.3. Globalne homokline bifurkacije.............................................................................. 863 17.3.2.4. Raspad torusa........................................................................................................ 865 18. Optimizovanje (matematičko programiranje) 870 18.1. Linearno programiranje (optimizovanje)................................................................................... 870 18.1.1. Postavka problema i grafičko predstavljanje...................................................................870 18.1.1.1. Oblici linearnog programiranja............................................................................... 870 18.1.1.2. Primeri i grafička rešenja........................................................................................ 871 18.1.2. Osnovni pojmovi linearnog programiranja, normalni oblik...............................................872 18.1.2.1. Stranica i baza....................................................................................................... 872 18.1.2.2. Normalni oblik zadatka linearnog programiranja....................................................874 18.1.3. Postupak Simpleks.......................................................................................................... 875 18.1.3.1. Simpleks tabela...................................................................................................... 875 18.1.3.2. Prelaz u novu Simlpeks tabelu............................................................................... 875 18.1.3.3. Određivanje prve Simpleks tabele..........................................................................877 18.1.3.4. Revidirani postupak Simpleks................................................................................ 878 18.1.3.5. Dvojnost linearnog programiranja..........................................................................880 18.1.4. Specijalni problemi linearnog programiranja...................................................................881 18.1.4.1. Problem transporta................................................................................................ 881 18.1.4.2. Problem dodeljivanja.............................................................................................. 883 18.1.4.3. Problem raspodele................................................................................................. 884 18.1.4.4. Problem zatvorene putanje ................................................................................... 884 18.1.4.5. Problem redosleda................................................................................................. 884 18.2. Nelinearno programiranje (optimizovanje)............................................................................... 885 18.2.1. Postavka problema i teorijske osnove............................................................................. 885 18.2.1.1. Postavka problema................................................................................................. 885 18.2.1.2. Uslovi optimalnosti................................................................................................. 885 18.2.1.3. Dvojnost optimizovanja.......................................................................................... 886 18.2.2. Specijalni zadaci nelinearnog programiranja...................................................................887 18.2.2.1. Konveksno programiranje...................................................................................... 887 18.2.2.2. Kvadratno programiranje 18.2.3. Rešavanje zadataka kvadratnog programiranja..............................................................888 18.2.3.1. Volfov postupak..................................................................................................... 888 18.2.3.2. Hildret-Dezopov postupak...................................................................................... 890 18.2.4. Numeričko traženje ekstrema......................................................................................... 891 18.2.4.1. Jednodimenzionalno pretraživanje.........................................................................891 18.2.4.2. Traženje minimuma u n-dimenzionalnom Euklidovom vektorskom prostoru..........891 18.2.5. Metode kod neograničenog područja............................................................................... 892 18.2.5.1. Postupak najstrmijeg uspona (gradijentni postupak)..............................................892 18.2.5.2. Primena Njutnovog postupka................................................................................. 893 18.2.5.3. Postupak konjugiranog gradijenta.......................................................................... 893 18.2.5.4. Postupak Davidona, Flečera i Pauela (DFP)............................................................894 18.2.6. Gradijentni postupak za probleme sa ograničenjima u vidu nejednakosti........................894
XXI 18.2.6.1. Postupak dopu{tenih smerova............................................................................... 894 18.2.6.2. Postupak projektovanog gradijenta........................................................................ 896 18.2.7. Postupci s funkcijom kazne i sa barijerom.......................................................................898 18.2.7.1. Postupak s funkcijom kazne................................................................................... 898 18.2.7.2. Postupak sa barijerom............................................................................................ 899 18.2.8. Postupak sa odsečnim ravnima....................................................................................... 900 18.3. Diskretno dinamičko programiranje (optimizovanje)................................................................901 18.3.1. Diskretni dinamički modeli odlučivanja........................................................................... 901 18.3.1.1. n-stepeni procesi odlučivanja................................................................................. 901 18.3.1.2. Problemi dinamičkog programiranja....................................................................... 901 18.3.2. Primeri diskretnih modela odlučivanja............................................................................. 902 18.3.2.1. Problem kupovine.................................................................................................. 902 18.3.2.2. Problem punjenja ranca......................................................................................... 902 18.3.3. Belmanove funkcionalne jednačine................................................................................. 902 18.3.3.1. Svojstva funkcije troškova...................................................................................... 902 18.3.3.2. Formulisanje funkcionalnih jednačina.....................................................................903 18.3.4. Belmanov princip optimalnosti........................................................................................ 904 18.3.5. Belmanova metoda funkcionalnih jednačina...................................................................904 18.3.5.1. Određivanje minimalnih troškova...........................................................................904 18.3.5.2. Određivanje optimalne politike.............................................................................. 904 18.3.6. Primeri primene metode funkcionalnih jednačina............................................................905 18.3.6.1. Optimalna politika kupovine................................................................................... 905 18.3.6.2. Problem punjenja ranca......................................................................................... 906 19. Numerička matematika..................................................................................................................... 907 19.1. Numeričko rešavanje nelinearnih jednačina s jednom promenljivom........................................907 19.1.1. Iteracioni postupak.......................................................................................................... 907 19.1.1.1. Uobičajen postupak iteriranja................................................................................. 907 19.1.1.2. Njutnov postupak................................................................................................... 907 19.1.1.3. Metoda smanjivanja pogreške (regula falsi)...........................................................909 19.1.2. Rešavanje jednačina s polinomima.................................................................................. 910 19.1.2.1. Hornerova šema..................................................................................................... 910 19.1.2.2. Položaj nultačaka................................................................................................... 911 19.1.2.3. Numerički postupak............................................................................................... 911 19.2. Numeričko rešavanje sistema jednačina................................................................................... 913 19.2.1. Sistemi linearnih jednačina............................................................................................. 913 19.2.1.1. Rastavljanje matrice na trouglaste matrice (UDUt).................................................914 19.2.1.2. Postupak Holeskog kod simetričnih matrica koeficijenata......................................916 19.2.1.3. Postupak ortogonalizovanja................................................................................... 916 19.2.1.4. Iteriranje celog postupka i pojedinačnih koraka.....................................................918 19.2.2. Sistemi nelinearnih jednačina.......................................................................................... 919 19.2.2.1. Uobičajen postupak iteriranja................................................................................. 919 19.2.2.2. Njutnov postupak................................................................................................... 920 19.2.2.3. Gaus-Njutnov postupak bez izračunavanja izvoda..................................................920 19.3. Numerička integracija.............................................................................................................. 921 19.3.1. Opšta formula za kvadraturu (numeričko izračunavanje površine ispod krive)................921 19.3.2. Interpolacione kvadrature............................................................................................... 922 19.3.2.1. Formula za pravougaonike..................................................................................... 922 19.3.2.2. Formula za trapeze................................................................................................ 922 19.3.2.3. Ermitova formula za trapeze.................................................................................. 923 19.3.2.4. Simpsonova formula za trapeze.............................................................................923 19.3.3. Formule za kvadraturu Gausovog tipa............................................................................. 923 19.3.3.1. Gausove formule za kvadraturu............................................................................. 923 19.3.3.2. Lobatove formule za kvadraturu............................................................................924 19.3.4. Rombergov postupak...................................................................................................... 924 19.3.4.1. Algoritam Rombergovog postupka......................................................................... 924 19.3.4.2. Princip ekstrapolacije............................................................................................. 925 19.4. Približna integracija običnih diferencijalnih jednačina...............................................................927 19.4.1. Zadaci s početnim vrednostima...................................................................................... 927 19.4.1.1. Ojlerov postupak sa vučenjem poligona.................................................................927 19.4.1.2. Postupak Runge-Kuta............................................................................................. 928 19.4.1.3. Višestepeni postupak............................................................................................. 928 19.4.1.4. Postupak prediktor-korektor................................................................................... 929 19.4.1.5. Konvergencija, konzistencija, stabilnost.................................................................930 19.4.2. Zadaci s rubnim uslovima............................................................................................... 931 19.4.2.1. Metoda diferencija................................................................................................. 931 19.4.2.2. Metoda prislanjanja................................................................................................ 932
XXII 19.4.2.3. Metoda gađanja..................................................................................................... 933 19.5. Približna integracija parcijalnih diferencijalnih jednačina..........................................................934 19.5.1. Metoda diferencija........................................................................................................... 934 19.5.2. Metoda prislanjanja......................................................................................................... 935 19.5.3. Metoda konačnih elemenata (FEM)................................................................................. 936 19.6. Aproksimacija, račun izravnanja, harmonska analiza................................................................941 19.6.1. Interpolacija polinomima................................................................................................. 941 19.6.1.1. Njutnova formula za interpolaciju...........................................................................941 19.6.1.2. Interpolaciona formula prema Lagranžu.................................................................941 19.6.1.3. Interpolacija prema Ejtken-Nevilu..........................................................................942 19.6.2. Aproksimacija u srednjoj vrednosti.................................................................................. 943 19.6.2.1. Kontinualni slučaj, normalne jednačine..................................................................943 19.6.2.2. Diskretni slučaj, normalne jednačine, Hasusholderov postupak.............................944 19.6.2.3. Višedimenzionalni zadaci....................................................................................... 945 19.6.2.4. Nelinearni srednjekvadratni zadaci ....................................................................... 946 19.6.3. Čebiševljeva aproksimacija............................................................................................. 947 19.6.3.1. Postavka zadatka i teorema o alternantama..........................................................947 19.6.3.2. Svojstva Čebiševljevih polinoma............................................................................947 19.6.3.3. Remov algoritam.................................................................................................... 949 19.6.3.4. Diskretna Čebiševljeva aproksimacija i optimizovanje............................................949 19.6.4. Harmonska analiza.......................................................................................................... 950 19.6.4.1. Formule za trigonometrijsku interpolaciju..............................................................950 19.6.4.2. Brza Furijeova transformacija (FFT)........................................................................951 19.7. Prikazivanje krivih i površi pomoću splajnova........................................................................... 955 19.7.1. Kubni splajnovi................................................................................................................ 955 19.7.1.1. Interpolacioni splajnovi.......................................................................................... 955 19.7.1.2. Splajnovi izravnanja............................................................................................... 956 19.7.2. Bikubni splajnovi............................................................................................................. 957 19.7.2.1. Svojstva bikubnih splajnova................................................................................... 957 19.7.2.2. Bikubni interpolacioni splajnovi.............................................................................. 957 19.7.2.3. Bikubni splajnovi izravnanja................................................................................... 958 19.7.3. Bernštajn-Bezjeovo prikazivanje krivih i površi................................................................958 19.7.3.1. Princip B-B prikazivanja krivih................................................................................ 959 19.7.3.2. B-B prikazivanje površi........................................................................................... 960 19.8. Korišćenje računara.................................................................................................................. 961 19.8.1. Interno predstavljanje brojeva......................................................................................... 961 19.8.1.1. Brojevni sistemi...................................................................................................... 961 19.8.1.2. Interno predstavljanje brojeva................................................................................ 962 19.8.2. Numerički problemi prilikom izračunavanja u računarima...............................................964 19.8.2.1. Uvod, vrste grešaka............................................................................................... 964 19.8.2.2. Normalizovani decimalni brojevi i zaokruživanje....................................................964 19.8.2.3. Tačnost numeričkih proračuna............................................................................... 966 19.8.3. Biblioteke numeričkih metoda......................................................................................... 969 19.8.3.1. Biblioteka NAG....................................................................................................... 970 19.8.3.2. Biblioteka IMSL....................................................................................................... 970 19.8.3.3. Ahenska biblioteka................................................................................................. 971 19.8.4. Primena sistema računarskih algebri............................................................................... 971 19.8.4.1. Mathematica.......................................................................................................... 971 19.8.4.2. Maple..................................................................................................................... 975 20. Sistemi računarskih algebri............................................................................................................... 978 20.1. Uvod......................................................................................................................................... 978 20.1.1. Karakteristike računarskih algebarskih sistema ukratko..................................................978 20.1.2. Uvodni primeri za glavna područja primene....................................................................979 20.1.2.1. Rad sa formulama.................................................................................................. 979 20.1.2.2. Numerički proračuni............................................................................................... 979 20.1.2.3. Grafičko predstavljanje.......................................................................................... 980 20.1.2.4. Programiranje u računarskim algebarskim sistemima............................................980 20.1.3. Građa računarskih algebarskih sistema i rad sa njima.....................................................980 20.1.3.1. Osnovni elementi strukture.................................................................................... 980 20.2. Mathematica............................................................................................................................ 982 20.2.1. Osnovni elementi strukture............................................................................................. 982 20.2.2. Vrste brojeva u programu Mathematica.......................................................................... 983 20.2.2.1. Osnovni tipovi brojeva........................................................................................... 983 20.2.2.2. Specijalni brojevi.................................................................................................... 983 20.2.2.3. Predstavljanje i pretvaranje brojeva....................................................................... 984 20.2.3. Važni operatori................................................................................................................ 984
XXIII 20.2.4. Liste................................................................................................................................ 985 20.2.4.1. Pojam i značenje.................................................................................................... 985 20.2.4.2. Strukturirane liste.................................................................................................. 986 20.2.4.3. Operacije s listama................................................................................................. 986 20.2.4.4. Specijalne liste....................................................................................................... 986 20.2.5. Vektori i matrice kao liste................................................................................................ 987 20.2.5.1. Pravljenje namenskih lista...................................................................................... 987 20.2.5.2. Operacije s matricama i vektorima.........................................................................987 20.2.6. Funkcije........................................................................................................................... 989 20.2.6.1. Standardne funkcije............................................................................................... 989 20.2.6.2. Specijalne funkcije................................................................................................. 989 20.2.6.3. Čiste funkcije......................................................................................................... 989 20.2.7. Modeli............................................................................................................................. 989 20.2.8. Operacije s funkcionalima............................................................................................... 990 20.2.9. Programiranje.................................................................................................................. 991 20.2.10. Dopune u vezi sa sintaksom, podacima, porukama.......................................................992 20.2.10.1. Konteksti, atributi................................................................................................. 992 20.2.10.2. Podaci.................................................................................................................. 992 20.2.10.3. Poruke.................................................................................................................. 993 20.3. Maple....................................................................................................................................... 994 20.3.1. Osnovni elementi strukture............................................................................................. 994 20.3.1.1. Tipovi i objekti........................................................................................................ 994 20.3.1.2. Ulaz i izlaz.............................................................................................................. 995 20.3.2. Vrste brojeva u programu Maple..................................................................................... 995 20.3.2.1. Osnovni tipovi brojeva u programu Maple..............................................................995 20.3.2.2. Specijalni brojevi.................................................................................................... 996 20.3.2.3. Predstavljanje i pretvaranje brojeva....................................................................... 996 20.3.3. Važni operatori u programu Maple.................................................................................. 997 20.3.4. Algebarski izrazi.............................................................................................................. 997 20.3.5. Nizovi i liste..................................................................................................................... 998 20.3.6. Tabelarne strukture i strukture polja, vektori i matrice....................................................999 20.3.6.1. Tabelarne strukture i strukture polja......................................................................999 20.3.6.2. Jednodimenzionalna polja..................................................................................... 1000 20.3.6.3. Dvodimenzionalna polja....................................................................................... 1000 20.3.6.4. Specijalna uputstva u vezi sa vektorima i matricama...........................................1001 20.3.7. Funkcije i operatori........................................................................................................ 1001 20.3.7.1. Funkcije................................................................................................................ 1001 20.3.7.2. Operatori.............................................................................................................. 1002 20.3.7.3. Diferencijalni operatori......................................................................................... 1003 20.3.7.4. "Map", operator funkcionala................................................................................. 1003 20.3.8. Programiranje u Mapleu................................................................................................ 1003 20.3.9. Dopune u vezi sa sintaksom, podacima, porukama.......................................................1004 20.3.9.1. Kori{ćenje Mapleove biblioteke............................................................................1004 20.3.9.2. Promenljive okruženja.......................................................................................... 1004 20.3.9.3. Podaci i poruke..................................................................................................... 1005 20.4. Primene sistema računarskih algebri...................................................................................... 1005 20.4.1. Rad sa algebarskim izrazima......................................................................................... 1005 20.4.1.1. Mathematica........................................................................................................ 1005 20.4.1.2. Maple................................................................................................................... 1007 20.4.2. Rešavanje jednačina i sistema jednačina......................................................................1010 20.4.2.1. Mathematica........................................................................................................ 1011 20.4.2.2. Maple................................................................................................................... 1012 20.4.3. Elementi linearne algebre............................................................................................. 1014 20.4.3.1. Mathematica........................................................................................................ 1014 20.4.3.2. Maple................................................................................................................... 1016 20.4.4. Diferencijalni i integralni račun...................................................................................... 1019 20.4.4.1. Mathematica........................................................................................................ 1019 20.4.4.2. Maple................................................................................................................... 1022 20.5. Grafika u sistemima računarskih algebri................................................................................. 1025 20.5.1. Grafika u programu Mathematica.................................................................................. 1025 20.5.1.1. Osnove grafičke građe......................................................................................... 1025 20.5.1.2. Grafički primitivi................................................................................................... 1026 20.5.1.3. Grafičke opcije..................................................................................................... 1027 20.5.1.4. Sintaksa grafičkog predstavljanja......................................................................... 1027 20.5.1.5. Dvodimenzionalne krive....................................................................................... 1029 20.5.1.6. Parametarsko zadavanje krivih............................................................................1030
XXIV 20.5.1.7. Prikazivanje površi i prostornih krivih...................................................................1031 20.5.2. Grafika u programu Maple............................................................................................. 1033 20.5.2.1. Dvodimenzionalna grafika.................................................................................... 1033 20.5.2.2. Trodimenzionalna grafika..................................................................................... 1036 21. Tabele 1039 21.1. Često kori{ćene konstante..................................................................................................... 1039 21.2. Prirodne konstante................................................................................................................. 1039 21.3. Važni redovi........................................................................................................................... 1041 21.4. Furijeovi redovi....................................................................................................................... 1046 21.5. Neodređeni integrali............................................................................................................... 1049 21.5.1. Integrali racionalnih funkcija......................................................................................... 1049 21.5.1.1. Integrali sa X = ax + b......................................................................................... 1049 21.5.1.2. Integrali sa X = ax2 + bx +c................................................................................. 1051 21.5.1.3. Integrali sa X = a2 ± x2........................................................................................ 1052 21.5.1.4. Integrali sa X = a3 ± x3........................................................................................ 1054 21.5.1.5. Integrali sa X = a4 + x4........................................................................................ 1055 21.5.1.6. Integrali sa X = a4 - x4.......................................................................................... 1055 21.5.1.7. Neki slučajevi rastavljanja na parcijalne razlomke................................................1055 21.5.2. Integrali iracionalnih funkcija........................................................................................ 1056 21.5.2.1. Integrali sa √x i a2 ± b2x....................................................................................... 1056 21.5.2.2. Ostali integrali sa √x............................................................................................ 1056 21.5.2.3. Integrali sa √(ax+b)............................................................................................. 1057 21.5.2.4. Integrali sa √(ax+b) i √(fx+g)............................................................................... 1058 21.5.2.5. Integrali sa √(a2 - x2)............................................................................................. 1059 21.5.2.6. Integrali sa √(x2 + a2)........................................................................................... 1060 21.5.2.7. Integrali sa √(x2 - a2)............................................................................................. 1062 21.5.2.8. Integrali sa √(ax2 + bx + c).................................................................................. 1064 21.5.2.9. Integrali sa ostalim iracionalnim izrazima............................................................1066 21.5.2.10. Rekurzione formule za integral sa binomnim diferencijalom..............................1066 21.5.3. Integrali trigonometrijskih funkcija................................................................................ 1067 21.5.3.1. Integrali sa funkcijom sinus.................................................................................. 1067 21.5.3.2. Integrali sa funkcijom kosinus.............................................................................. 1069 21.5.3.3. Integrali sa funkcijama sinus i kosinus.................................................................1072 21.5.3.4. Integrali sa funkcijom tangens............................................................................. 1075 21.5.3.5. Integrali sa funkcijom kotangens..........................................................................1075 21.5.4. Integrali ostalih transcendentnih funkcija...................................................................... 1076 21.5.4.1. Integrali sa hiperbolnim funkcijama..................................................................... 1076 21.5.4.2. Integrali sa eksponencijalnim funkcijama.............................................................1077 21.5.4.3. Integrali sa logaritamskim funkcijama..................................................................1079 21.5.4.4. Integrali sa inverznim trigonometrijskim funkcijama............................................1080 21.5.4.5. Integrali sa inverznim hiperbolnim funkcijama.....................................................1081 21.6. Određeni integrali................................................................................................................... 1082 21.6.1. Određeni integrali trigonometrijskih funkcija.................................................................1082 21.6.2. Određeni integrali eksponencijalnih funkcija.................................................................1083 21.6.3. Određeni integrali logaritamskih funkcija...................................................................... 1084 21.6.4. Određeni integrali algebarskih funkcija.........................................................................1085 21.7. Eliptički integrali..................................................................................................................... 1087 21.7.1. Eliptički integrali 1. vrste............................................................................................... 1087 21.7.2. Eliptički integrali 2. vrste............................................................................................... 1087 21.7.3. Potpuni eliptički integrali K i E....................................................................................... 1088 21.8. Gama funkcija........................................................................................................................ 1089 21.9. Beselove funkcije (cilindrične funkcije)................................................................................... 1090 21.10. Ležandrovi polinomi 1. vrste (sferne funkcije)...................................................................... 1092 21.11. Laplasove transformacije...................................................................................................... 1093 21.12. Furijeove transformacije....................................................................................................... 1099 21.12.1. Furijeove kosinus transformacije................................................................................. 1099 21.12.2. Furijeove sinus transformacije..................................................................................... 1105 21.12.3. Furijeove transformacije.............................................................................................. 1110 21.12.4. Eksponencijalne Furijeove transformacije....................................................................1112 21.13. Z transformacije................................................................................................................... 1113 21.14. Poasonova distribucija.......................................................................................................... 1116 21.15. Normirana normalna distribucija.......................................................................................... 1118 21.16. χ2 distribucija........................................................................................................................ 1120 21.17. Fišerova F distribucija........................................................................................................... 1121 21.18. Studentova t distribucija....................................................................................................... 1123 21.19. Slučajni brojevi..................................................................................................................... 1124
XXV Literatura
1125
Indeks Matematičke oznake
1141 1188
