MATEMATIČKI PODSETNIK
EKSPONENTI
EKSPONENTI
1)
x
10 :
0
10 = 1 1
10 = 10 2
10 = 10 ⋅ 10 = 100
...
2)
10
1 x 10
x
:
10
−1
10
−2
1 = 10
1
1 1 = 2 = = ... 10 ⋅ 10 100 10
3)
10 2
x
10 3
y
10 ⋅ 10 = 10
10 5
x y
4)
x y
x y
10
(10 )
2 3
= 10
10 6
5)
x
10 y 10 10
5
10
3
= 10
x y
10 2
6)
1 x
10
10 1
10 = 10
2
x
GEOMETRIJA
Kvadarat: − stranica dužine a O = 4a − obim P = a2 − površina − dijagonala d = a 2
•
d a
Obe dijagonale su iste i seku se pod pravim uglom.
Pravougaonik: - stranice dužina a i b O = 2a + 2b − obim P = ab − površina − dijagonala d = a 2 + b 2 d
α
a
β
Obe dijagonale su iste i seku se pod proizvoljnim uglom (koji nije prav, a zavisi od a i b).
Jednakostranični trougao: − sve tri stranice dužine -
sva tri ugla jednaka
a
a
3
a h
π
obim O = 3a ah P= − površina 2 a 3 - visina h = 2 -
α
α
a
− preseci visina i težišnih linija, centar
α
upisane i centar opisane kružnice su u istoj tački; ta tačka deli visinu u razmeri 2:1
Pravougli trougao - katete dužina a i b − hipotenuza dužine c β
- važi Pitagorina teorema : a 2 + b 2 = c 2
− obim O = a + b + c
ab - površina P = 2
c
a
α
•
b
a sin α = c
b cos α = c
sin α a tgα = = cos α b
Ravanski ugao
l α = r
r
α
r
l
Krug
− poluprečnik r
- obim O =
2r π
- površina P =
r 2
r π
Lopta
−poluprečnik r
- površina sfere P = 4π r 2 4 3 π r - zapremina V = 3
r
FUNKCIJE
Šta je funkcija? Preslikavanje jednog skupa u drugi. Svakom elementu prvog skupa (koji se najčešće obeležava sa x) odgovara tačno jedan element drugog skupa (koji se najčešće obeležava sa y).
Primer: y = f (x ) = sin x y
x
Šta je linearna funkcija? Funkcija oblika
y = f (x ) = kx + n
gde su k i n realni brojevi. k > 0 n > 0
y
n
0
y
0
k > 0 n < 0
x
y
0
k < 0 n > 0
x
k < 0 n < 0
y
0
x
Šta znači direktno srazmerno , a šta obrnuto srazmerno ? ˝
˝
˝
˝
Kod linearne funkcije y
= f (x ) = kx
promenljiva y je direktno srazmerna promenljivoj x, a konstanta srazmernosti je k.
Ako je k = 1 tada je y = x (y i x su jednaki). Grafik ove funkcije je prava koja je nagnuta pod uglom od 45° (ili
π / 4 ) u odnosu na x osu.
za x = 1 , y = 1 y
za x = 2 , y = 2... 3 2 1
0
1
2
3
x
Ako je na primer k = 2
tada je
y = 2 y
za x = 1 , y = 2
4
za x = 2 , y = 4...
2
k=2
3
1
0
1
2
x
Ako je na primer k = 0,5
tada je
y = 0,5 x y 4
za x = 1 , y = 0.5
3
k=0,5
2
za x = 2 , y = 1...
1
0
1
2
3
4
x
k 1 x Posmatrajmo funkciju dve promenljive y = k 2 z promenljive su x i z y je direktno srazmerno x, a to znači da koliko puta poraste promenljiva x toliko puta poraste promenljiva y. y je obrnuto srazmerno z, a to znači da koliko puta poraste promenljiva z toliko puta se smanji promenljiva y.
Šta znači direktno srazmerno , a šta obrnuto srazmerno sa nekim stepenom (na primer sa kvadratom)? ˝
˝
˝
˝
2
Na primer, u funkciji
y =
k 1 x
3
k 2 z
y je direktno srazmerno x2, a obrnuto srazmerno z3.
SKALARI I VEKTORI
Skalari su brojne vrednosti. Vektori su usmerene duži. intenzitetom, pravcem i smerom.
Definišu
Intenzitet vektora (ili moduo vektora) je dužina vektora. y
a y
| a |= r
| a x | + | a y | r
2
r
2
a α
se
Pravac vektora je definisan uglom u odnosu na jednu od osa koordinatnog sistema (x ili y).
Svaki pravac može imati dva smera, na primer: udesno ili ulevo, nagore ili nadole, ka ili od. Svaki vektor ima i sebi suprotan vektor. To je vektor istog intenziteta, istog pravca, a suprotnog smera.
a
-a
Jedinični vektor (ili ort) je vektor koji ima intenzitet jednak jedinici, a pravac i smer su zadati. Svaki vektor se može prikazati proizvodom svog algebarskog intenziteta i jediničnog vektora. Algebarski intenzitet je intenzitet koji može biti pozitivan i negativan, za razliku od intenziteta koji je isključivo pozitivan.
Primer:
r 0
jedinični vektor
a = 3r 0 r
a
r
intenzitet je 3 algebarski intenzitet je 3
r
b = −3r 0 r
b
intenzitet je 3 algebarski intenzitet je - 3 r
r
Vektori
a
i
b
su istog pravca, a suprotnog smera; istog intenziteta, algebarski intenziteti su im suprotnog znaka.
RAZLAGANJE VEKTORA NA OSE
Svaki vektor se može razložiti u Dekartovom koordinatnom sistemu na svoju x i y komponentu y j
a y
a i
α
0
a x
a = a x + a y r
r
r
x
r
r
a x =| a x | ⋅i =| a | cos α ⋅ i r
r
r
r
r
a y =| a y | ⋅ j =| a | sin α ⋅ j r
r
r
r
gde je: i
jedinični vektor x-ose (ima intenzitet jednak 1, pravac i smer x-ose)
r
j
jedinični vektor y-ose (ima intenzitet jednak 1, pravac i smer y-ose)
r
a
r
intenzitet vektora
a
Za ove veličine važi da je:
| a x | + | a y | =| a | r
2
r
2
r
α = arctg
| a y | r
| a x |
r
2
SISTEMI LINEARNIH JEDNAČINA
SISTEM JEDNAČINA I DETERMINANTA DRUGOG REDA Sistem linearnih nezavisnih jednačina drugog reda je:
a 11 x
a 12 y
c 1
a 21 x
a 22 y
c 2
Glavna determinanta ovog sistema je:
a 11
a 12
a 21
a 22
a 11a 22
a 12a 21
Pojedinačne determinante promenljivih su:
x
y
c 1
a 12
c 2
a 22
a 11
c 1
a 21 c 2
c 1a 22
a 11c 2
a 12c 2
c 1a 21
Nepoznate u jednačinama Kramerovim pravilima:
x
x
se
y
izračunavaju
y
SISTEM JEDNAČINA TREĆEG REDA
I
DETERMINANTA
Sistem linearnih nezavisnih jednačina trećeg reda je:
a 11 x
a 12 y
a 13 z
c 1
a 21 x
a 22 y
a 23 z
c 2
a 31 x
a 32 y
a 33 z
c 3
Glavna determinanta ovog sistema je:
a 11
a 12
a 13
a 21
a 22
a 23
a 31
a 32
a 33
a 11a 22 a 33
a 12a 23a 31
a 13a 21a 32
a 13a 22a 31
a 11a 23a 32
a 12a 21a 33
Pojedinačne determinante promenljivih su:
x
y
c 1
a 12
a 13
c 2
a 22
a 23
c 3
a 32
a 33
a 11
c 1
a 13
a 21
c 2
a 23
a 31
c 3
a 33
z
a 11
a 12
c 1
a 21
a 22
c 2
a 31
a 32
c 3
Nepoznate u jednačinama se izračunavaju Kramerovim pravilima:
x
x
y
y
z
z
KOMPLEKSNI BROJEVI
Šta je kompleksni broj? Broj koji ima svoj realan i svoj imaginaran deo u kompleksnoj ravni.
Koliko kompleksni broj ima oblika?
Tri
Im
A
Im [ A ] A α
0
Re [ A ]
Re
analitički
trigonometrijski
eksponencijalni
A x A A cos
jy jA sin
A A e
j
Šta je j ?
j
1
Analitički i trigonometrijski oblik mogu se direktno prevoditi jedan u drugi. Eksponencijalni i trigonometrijski oblik se mogu direktno prevoditi jedan u drugi. Veze između ta dva oblika su moduo A i argument kompleksnog broja.
A
2
Re A
2
Im A
x
2
moduo je isključivo pozitivan
y
2
Im A arctg Re A
y arctg x
argument može biti i pozitivan i negativan
Ovo proističe iz Ojlerove formule:
e
j
cos
j sin
Šta je konjugovani broj kompleksnom broju? To je broj koji ima isti znak realnog dela a suprotan znak imaginarnog dela datog kompleksnog broja, odnosno broj koji ima isti moduo, a suprotan znak argumenta datog kompleksnog broja.
*
A
x jy A e
- j
Za kompleksne brojeve važi još: *
A A
2
A
2
1
3
j
j
j
4
j
1 j
1 j
RAČUNSKE OPERACIJE SA KOMPLEKSNIM BROJEVIMA
Sabiranje Zbir dva kompleksna broja je takođe kompleksni broj. Sabiraju se realan deo sa realnim i imaginaran sa imaginarnim. A x 1
jy 1
B x 2
jy 2
C A B x 1 jy 1 x 2 jy 2 x 1 x 2 j y 1 y 2 x 3 j 3
Oduzimanje Razlika dva kompleksna broja je takođe kompleksni broj. Oduzimaju se realan deo od realnog i imaginaran od imaginarnog. A x 1
jy 1
B x 2
jy 2
C A B x 1 jy 1
x 2 jy 2
x 1 x 2 j y 1 y 2 x 3 jy 3
Množenje Množenje dva kompleksna broja je takođe kompleksni broj. Množe se realni i imaginarni delovi kompleksnih brojeva, svaki član sa svakim. A x 1
jy 1
B x 2
jy 2
C A B x 1 jy 1 x 2 jy 2
x 1 x 2 jx 1y 2 jx 2y 1 j 2y 1y 2
x 1 x 2 y 1y 2 j x 1y 2 x 2y 1 x 3 jy 3
Ili ako su kompleksni eksponencijalnom obliku:
brojevi
dati
u
A A e j B
B e j
C A B
A e
j
B e
j
AB e
j
C e
j
Deljenje Količnik dva kompleksna broja je takođe kompleksni broj. Brojilac i imenilac količnika pomnožimo sa konjugovano kompleksnim brojem imenioca. A x 1
jy 1
B x 2
jy 2
A x 1 jy 1 x 2 jy 2 C B x 2 jy 2 x 2 jy 2
x 1 x 2 jx 1y 2 jx 2y 1 j 2y 1y 2 x 22 jx 2y 2 jx 2y 2 j 2y 22
x 1 x 2 y 1y 2 j x 2y 1 x 1y 2
x 1 x 2 y 1y 2
x 22 y 22
x 22 y 22
x 2y 1 x 1y 2 j 2 2 x 3 jy 3 x 2 y 2
Ili ako su kompleksni eksponencijalnom obliku:
A A e
B
C
dati
j
B e
A B
brojevi
j
j
A e j B e
A j e B
C e
j
u
Za proračun sa kompleksnim brojevima korisno je znati 0
π
π
π
6 1 2
4
3
2
π −
−
2 2
3 2
1
0
0
-1
0
2 2
1 2
0
-1
-1
0
1
3 +∞
0
0
−
0
j
-1
-1
− j
1
π
sin
0
cos
1
3 2
tg
0
1
e j
1
3 3 1 + j 2 2
1
2 1 3 + j (1 + j ) 2 2 2
π
2
2π
Trigonometrijski krug je krug čiji je poluprečnik jednak 1, a centar se nalazi u koordinatnom početku. Za dati ugao α kosinus očitavamo na x osi, a sinus na y osi. 1 sinα -1
1 α 0 - α cosα sin(-α ) -1
sin – neparna funkcija
sin(− α ) = − sin α cos – parna funkcija cos (− α ) = cos α
tg – neparna funkcija
tg(− α ) = − tgα
INTEGRALI
Šta je integral? Može se shvatiti kao suma beskonačno mnogo beskonačno malih veličina. Oznaka integrala je
∫.
Kakvi integrali postoje? Određeni i neodređeni
Šta je rešenje neodređenog integrala? Funkcija.
Primer:
∫
dx = x = f (x )
rešenje ovog integrala je linearna funkcija.
Šta je rešenje određenog integrala? Brojna vrednost.
B
∫
B
dx = x | = B − A = C
A
A
Za integrale važi:
B
∫
A
A
=−
∫
B
B
∫
A
C
+
∫
B
C
=
∫
A
U matematici postoji nekoliko osnovnih integrala čija se rešenja uče tablično. Mi ćemo koristiti:
∫
∫
−1
dx = x
x dx =
∫
1 dx = ln x x
Pojam određenog integrala se može razumeti na primeru linijskog i površinskog integrala. Linijski integral Posmatrajmo liniju čiju dužinu želimo da odredimo. Δl
Δl Δl
. .
l
.
Δl
Podelimo liniju na male (elementarne) delove dužine Δl (neka ih ima n).
Dužina linije jednaka je zbiru dužina svih malih delova Δl
n
l =
∑ Δl
i
i =1
Ako podelimo liniju na jako veliki broj ovih delova
n → ∞ dužina ovih delova postaje jako mala
Δl → 0 i pišemo je kao dl, a sumu pišemo kao linijski integral (čija je podintegralna funkcija jednaka 1):
l =
∑ Δl = ∫ dl
Δl →0 n →∞
l
Ako je linija zatvorena obično je obeležavamo sa C (zatvorena kontura), a oznaka linijskog integrala je
∫
,
i označava integraljenje (sabiranje) po zatvorenoj konturi.
∫
l = dl C
Primer: Ako je zatvorena kontura C krug poluprečnika r tada je linijski integral po konturi C jednak obimu kruga
∫
l = dl = 2π r C
Δl
C
Δl Δl
r
Površinski integral Posmatrajmo površ čiju površinu želimo da odredimo. Podelimo površ na male delove (elementarne) površine ΔS (neka ih ima n). Ukupna površina S jednaka je zbiru površina svih malih delova ΔS
n
S =
∑ i =1
ΔS i
ΔS
S
Ako podelimo površ na jako veliki broj ovih delova
n → ∞ površina ovih delova postaje jako mala
ΔS → 0 i pišemo je kao dS, a sumu pišemo kao površinski integral (čija je podintegralna funkcija jednaka 1):
S =
∑ ΔS = ∫ dS
ΔS →0 n →
S
Ako je površ zatvorena oznaka površinskog integrala je ,
∫
i označava integraljenje (sabiranje) po zatvorenoj površini.
∫
S = dS S
Primer: Ako je zatvorena površ S sfera poluprečnika R tada je površinski integral po sferi S jednak površini sfere:
∫
2
S = dS = 4π r
ΔS
S
R
Linijski i površinski integral mogu biti vektorski. Svakom elementarnom delu dl dodeljuje se pravac koji se poklapa sa pravcem tangente na liniju l u posmatranoj tački, a smer po liniji se usvaja. Integral tada predstavlja vektorski zbir vektora
r
∫
r
l = d l l
l Δl Δl Δl Δl
. .
.
Svakom elementarnom delu dS dodeljuje se pravac koji se poklapa sa pravcem normale na površinu S u posmatranoj tački, a smer se usvaja. Može se napisati da je r
d S = n ⋅ dS r
