Livro Series Temporais

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Análise de Séries Temporais em R: um curso introdutório Book · May 2016 DOI: 10.13140/RG.2.1.17 10.13140/RG.2.1.1787.2246 87.2246

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Pedro Ferreira Getulio Vargas Foundation, Rio de Janeiro, Brazil 13 PUBLICATIONS 54 CITATIONS

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An´ alise de S´ eries Temporais em

R

Um curso introdut´ orio orio

Autor e Organizador Pedro Costa Ferreira Autores Daiane Marcolino de Mattos Diego Camillo Vilela de Almeida Ingrid Christyne Luquett de Oliveira Rafael Jorge Pereira

2

An´ alise alis e de Séries erie s Tempora emp orais is em Um curso introdutório orio

R

2

Conte´ udo udo

I

Intr Introd odu¸ u¸ c˜ c˜ ao ao ao R, Estat Est at´ ´ıstica ıst ica Descr Des criti itiva va + Gráficos afi cos

1 Intr Introd odu¸ u¸ c˜ c˜ ao ao ao R

9 11

1.1 O que e´ o R e RStudio? RStudio? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2 1.2

1.1.1

O que é o RStudio RStudio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.1.2 1.1.2

Como Como bai baixa xarr o R e o RStu RStudi dioo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Inic Inician iando do o R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.1 1.2 .1

Primei Primeiros ros Passo Passoss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.2 1.2.2

Como Como criar criar um dire diret´ t´ orio orio de trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.2.3 1.2.3

Como Como criar criar um scri script pt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.2.4 1.2 .4

Como Como instal instalar ar e carr carrega egarr pacot pacotes es (packages (packages )) . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.2.5 1.2.5

Leit Leitur uraa de dado dadoss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.2.6 1.2.6

Salv Salvar ar dado dadoss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.3 Descob Descobrin rindo do Inform Informa¸ a¸c˜ coes o˜es sobre o Objeto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.4 1.4

Mane Ma neir iras as f´ aceis aceis de aprender o R

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2 Estat´ Estat´ıstica Descritiva e Gr´ aficos aficos

43

2.1

Estat´ Estat´ıstica Descritiva Descritiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4

2.2

2.3

II 3

´ CONTE UDO

2.1.1

Popula¸ cão e amostra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.1.2

Vari´ aveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.1.3

Tabela de Frequˆ encias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.1.4

Medidas de Posi¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.1.5

Medidas de Dispers˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.1.6

Covariˆ ancia e Correla¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.1.7

Medidas calculadas por grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Criando Gr´ aficos com o R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.2.1

Histograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.2.2

Boxplot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.2.3

Gr´ afico de Pontos ou Gr´ afico de Dispersão . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.2.4

Gr´ afico de Setores ou de Pizza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.2.5

Gr´ afico de Barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.2.6

Outros gr´ aficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

2.2.7

Adicionando elementos ao gr´ afico

2.2.8

M´ ultiplos Gr´ aficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Exerc´ıcios: Introdu¸ cão ao R e Estat´ıstica Descritiva . . . . . . . . . . . . . . . 95

An´ alise de Séries Temporais: Modelos Univariados

101

NAIVE, M´ edias M´ oveis e Modelo de Amortecimento Exponencial

103

3.1

Modelo NAIVE

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3.2

M´ edia M´ ovel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

3.3 Modelos de suaviza¸ caõ exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 3.3.1

Modelos para séries localmente constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

3.3.2

Modelos para s´ eries com tendência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

3.3.3

Modelos para séries sazonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

3.4

Carga de Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

3.5

Considera¸ cões finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

´ CONTE UDO

5

4 Processos N˜ ao-estacion´ arios

141

4.1

Introdu¸cão

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

4.2

Tipos de n˜ ao-estacionariedade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

4.3 Diferencia¸cão e Remo¸cão de Tendência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 4.4 Testes Formais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 4.4.1

Augmented Dickey-Fuller (ADF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

4.4.2

KPSS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

4.4.3

Phillips-Perron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

4.4.4

Dickey Fuller-GLS (ERS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

4.4.5

Zivot-Andrews . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

4.5 Quebras Estruturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

5

4.5.1

Principais Testes para Quebras Estruturais . . . . . . . . . . . . . . . . 160

4.5.2

Decomposi¸caõ de Hodrick-Prescott (Filtro HP) . . . . . . . . . . . . . . 165

Modelos SARIMA ( p, d , q)(P, D, Q)12

5.1

Introdu¸cão

169

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

5.2 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

5.3

5.2.1

Defini¸ cão do diret´ orio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

5.2.2

Instala¸cão dos pacotes necessários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

An´ alise Explorat´ oria da ST AirPassengers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 5.3.1

Leitura da ST no R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

5.3.2

Uma an´ alise um pouco mais profunda da sazonalidade . . . . . . . . . . 173

5.3.3

Decomposi¸caõ da ST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

5.4 Conhecendo a ST antes de iniciar a modelagem BJ . . . . . . . . . . . . . . . . 176

5.5

5.4.1

Testando a estacionariedade da parte n˜ ao sazonal . . . . . . . . . . . . . 176

5.4.2

Avaliando a estacionariedade da parte sazonal . . . . . . . . . . . . . . 183

Modelando a ST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 5.5.1

Identifica¸ caõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

5.5.2

Estima¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

6

´ CONTE UDO

5.5.3

Diagn´ ostico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

5.5.4

Previs˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

5.6 Extraindo as Previs˜ oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 5.7


6 Ajuste Sazonal utilizando modelos X-13 ARIMA-SEATS

199

6.1

Introdu¸cão

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

6.2

Breve resumo sobre o X-13ARIMA-SEATS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

6.3

Pr´ e-algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

6.4 Algoritmo de ajuste sazonal usando o R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 6.5 Ajuste sazonal no Índice de Produ¸cão Industrial . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 6.6

III

Considera¸ cões Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

An´ alise de S´ eries Temporais: Modelos Multivariados

7 Modelo de Box & Jenkins com fun¸ c˜ ao de transferˆ encia

221 223

7.1

Introdu¸cão

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

7.2

Defini¸ cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

7.3 Dados e pacotes necess´ arios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 7.4

7.5

Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 7.4.1

Calcular a fun¸ cão de correla¸cão cruzada entre Y e X . . . . . . . . . . . 227

7.4.2

Identificar r, s e b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

7.4.3

Estimar o modelo BJ com FT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

7.4.4

Verificar se o modelo é adequado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234


8 Regressão Dinˆ amica

237

8.1

Introdu¸cão

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

8.2

Modelo Cl´ assico de Regress˜ ao Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

8.3

Correla¸ cão Serial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

´ CONTE UDO

7

8.3.1

Testando a Correla¸ cão Serial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

8.3.2

Corrigindo a correla¸ cão serial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

8.3.3

Exemplo com dados artificiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

8.4

Modelos Autoregressivos com Defasagens Distribu´ıdas . . . . . . . . . . . . . . 250

8.5

Modelo de Corre¸cão de Erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

8.6

Aplica¸cão a` Expectativa de Infla¸cão dos Consumidores . . . . . . . . . . . . . . 256

8.7 Resumo dos modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 9 Vetor Auto-Regressivo (VAR)

265

9.1

Introdu¸cão

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

9.2

VAR(p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

9.3 VAR Estrutural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 9.3.1

Impulso Resposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

9.3.2

Previs˜ ao dos Erros de Decomposi¸caõ da Variˆ ancia . . . . . . . . . . . . 272

9.4 Modelo Vetorial de Corre¸ c˜ ao de Erros (VECM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 9.4.1

Teste de Cointegra¸ cão de Johansen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

9.5

Modelo Threshold Autoregressive (TAR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

9.6

Estima¸caõ do VAR( p) usando R para o Canadá . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

9.7 Causalidade de Granger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 Referˆ encias Bibliogr´ aficas

290

8

´ CONTE UDO

Apresenta¸ ca õ Como atividade complementar ao livro recomenda-se visitar o aplicativo de s´ eries temporais desenvolvido pelos autores que está dispon´ıvel na URL: “https://pedroferreira.shinyapps.io/SeriesTemporais”

[Em constru¸caõ]

Parte I

Introdu¸c˜ ao ao

R,

Estat´ıstica

Descritiva + Gr´ aficos

9

Introdu¸c˜ ao ao Daiane Marcolino de Mattos Pedro Costa Ferreira Diego Camillo Vilela de Almeida

R

˜ AO R CAP ÍTULO 1. INTRODU¸ C AO

12

Introdu¸c˜ ao: O que ´ eo

R

e RStudio?

Nesse primeiro cap´ıtulo vamos introduzir o software R e RStudio. Esses softwares serão utilizados durante todo o livro e ir˜ ao proporcionar uma formar muito agrad´ avel e prática de aprender Estat´ıstica. O R é uma linguagem e um ambiente de desenvolvimento integrado, para c´ alculos estat´ısticos e gr´ aficos. Foi criado originalmente por Ross Ihaka e por Robert Gentleman no departamento de Estat´ıstica da universidade de Auckland, Nova Zelˆ andia, e foi desenvolvido por um esfor¸co colaborativo de pessoas em v´ arios locais do mundo. A linguagem R é largamente usada entre estat´ısticos e data miners para desenvolver software de estat´ıstica e an´ alise de dados. O R é bastante utilizado por profissionais que usam ferramentas estat´ısticas no seu dia-a-dia. O programa permite realizar opera¸ c˜ oes matem´ aticas simples e fun¸cões mais complexas como, por exemplo, análises e manipula¸cões de dados, an´ alises de séries temporais, modelagens lineares e não lineares, testes estat´ısticos, técnicas de amostragem, elabora¸ cão de gráficos, simula¸co˜es de redes neurais, entre outras coisas. Funciona nas vers˜ oes de sistemas operacionais: Unix, Windows e Macintosh. ´ um software gratuito livre sob uma licen¸ca referida no Cran e está dispon´ıvel em E http://cran.r-project.org/. Nesse site também é poss´ıvel encontrar dicas para a utiliza¸ c˜ ao do programa e um f´ orum onde você pode tirar suas d´ uvidas fazendo perguntas ou analisando dúvidas de outros usuários j´ a respondidas.

O que ´ e o RStudio O RStudio é um ambiente de desenvolvimento integrado (IDE, sigla em inglês) para R, que funciona com a vers˜ ao padr˜ a o do R. O RStudio inclui uma ampla gama de recursos, o que permite aumentar a produtividade e é executado em todas as principais plataformas. Sua interface facilita o uso do R. A fim de executar RStudio é preciso já ter instalado o R de versão 2.11.1 ou superior.

1.2. INICIANDO O R

Como baixar o

R

13

e o RStudio

Ap´ os acessar o site http://cran.r-project.org/, escolha o sistema operacional de seu computador: Linux, (Mac) OS X ou Windows e clique na op¸cão “base ” ou “install R for first time ”. Em seguida, baixe o arquivo em sua vers˜ ao mais atualizada. Ap´ os a instala¸cã o do programa, inicie o R em seu computador. Assim que você visualizar o s´ımbolo “>” em vermelho no console indica que o programa est´ a pronto para o uso e já pode receber suas linhas de comando. A fim de aprimorar a produtividade e facilitar o uso do R, indicamos que você baixe o RStudio. Para isso, acesse o site http://www.rstudio.com/ e clique na op¸ c˜ ao “Download Now ”.

Importante: você pode assistir os v´ıdeos produzidos pelo N´ ucleo de Métodos Estat´ısticos e Computacionais (E.g como baixar e instalar R e RStudio acessando o canal da FGV no YouTube).

Iniciando o

R

Primeiros Passos 1.2.1.1 Opera¸ co ˜es Aritm´ eticas O R pode ser utilizado como uma calculadora de grande capacidade para realizar diferentes opera¸cões com n´ umeros, vetores ou matrizes. Veja a tabela a seguir com alguns dos principais operadores e fun¸co˜es.


14 Opera¸cão Soma Subtra¸cão Multiplica¸cão Divis˜ ao Quociente da divis˜ ao Resto da divisão Potencia¸cão Potencia¸cão Raiz quadrada Logaritmo Exponencial Fatorial Combina¸ cão

> > > > > > > > > > >

Comando no R + * / %/% %%

∧ ** sqrt() log(x,base) exp() factorial(x) choose(n,x)

5+2 # soma: + 5-2 # subtra¸ c~ ao: 5*2 # multiplica¸cao: ~ * 5/2 # divis~ ao: / 5^2 # pot^ encia: ^ 5**2 # pot^ encia: ** sqrt(5) # raiz quadrada exp(5) # exponencial log(5,base = 2) # logaritmo factorial(5) # fatorial choose(5,2) # combina¸ ca ~ o d e 5 , 2 a 2

Dica: O s´ımbolo “#” é usado para fazer coment´ arios no R. N˜ ao influencia na execu¸cão dos comandos.

1.2.1.2 Criando objetos Um objeto pode ser criado com a opera¸cão de atribui¸cão: <- ou =. Assim, um resultado pode ser “guardado” para poder ser utilizado novamente. Exemplo:

1.2. INICIANDO O R > x <- 5 > x

15

# objeto x recebe valor 5

[1] 5

Importante: o R diferencia letras mai´ usculas de min´ usculas. Nomes de objetos precisam iniciar com letras. Você pode criar um objeto e, ao mesmo tempo, observar o resultado sem ter que digitar o nome do objeto novamente. Para isso coloque parênteses no in´ıcio e no final da linha de comando. Exemplo:

> (a <- 5 + 27^2)

# cria o objeto a e o mostra em seguida

[1] 734 • Listando

objetos

A fun¸caõ ls() mostra os objetos criados por você e que est˜ ao, por enquanto, armazenados na mem´ oria do R. > ls()

# lista os objetos criados

[1] "a" "x" • Removendo

objetos

Caso vocˆ e queira excluir objetos, use a fun¸ cão remove() ou rm(). Exemplo: > a <- 1; b <- 6; c <- 9 # cria os objetos a,b,c > ls() # lista os objetos existentes [1] "a" "b" "c" > rm(b) # remove o objeto b > ls() # lista os objetos existentes


16 [1] "a" "c"

Dica: use ; (ponto e v´ırgula) para digitar v´ arios comandos em uma s´ o linha.

1.2.1.3 Criando vetores Vetores são objetos que armazenam mais de um valor. O R usa a fun¸cão c() para criar vetores.

> vetor1 <- c(1,2,5,6,7,25,0,-3) # vetor com números > vetor2 <- c("verde","amarelo") # vetor com textos > vetor1; vetor2

[1]

1

2

5

[1] "verde"

• Gerando

6

7 25

0 -3

"amarelo"

sequˆ encias e n´ umeros aleat´ orios

Com o R é poss´ıvel gerar sequências e números aleat´ orios. Abaixo seguem exemplos de como gerar diversas sequências. > # sequ^ e ncia de 1 a 30 > (a <- 1:30) [1] 1 2 3 4 5 [26] 26 27 28 29 30

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

> # sequ^ e ncia de 1 a 35 de 2 em 2 > (b <- seq(from = 1, to = 35, by = 2)) [1]

1

3

5

7

9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35

> # sequ^ encia de tamanho 9 > (c <- seq(length = 9, from = 1, to = 5))

17

1.2. INICIANDO O R [1] 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 > rep(1,15)

# repete o n º1 15 vezes

[1] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 > sequence(3)

# gera a sequência 123

[1] 1 2 3 > sequence(c(3,5)) # executa duas sequências ao mesmo tempo, neste caso, 123 e 12345 [1] 1 2 3 1 2 3 4 5 > sequence(1:5) # executa cinco sequências ao mesmo tempo, neste caso, 1, 12, 123, 1234 e 12345 [1] 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5

1.2.1.4 Criando matrizes Para criar matrizes utilize a fun¸cão matrix(). Veja os exemplos a seguir: o primeiro refere-se a uma matriz quadrada de ordem trˆ es composta apenas por zeros. Em seguida, vemos a matriz sendo preenchida de duas maneiras: por linha e por coluna. E por ultimo ´ é criada uma matriz 2x3 que é preenchida automaticamente por linhas utilizando o argumento l´ ogico byrow .

Exemplo: uma matriz quadrada de ordem três composta s´ o por zeros. > # criando uma matriz de zeros 3x3 > A <- matrix(0, nrow = 3, ncol = 3) > A [,1] [,2] [,3] [1,] 0 0 0 [2,] 0 0 0 [3,] 0 0 0


18 Exemplo: preenchendo a matriz A por linhas.

> > > > >

# preenchendo a matriz por linha A[1,] <- c(1,2,3) A[2,] <- c(7,8,9) A[3,] <- c(-10,-4,-6) A

[,1] [,2] [,3] [1,] 1 2 3 [2,] 7 8 9 [3,] -10 -4 -6

Exemplo: preenchendo a matriz A por colunas.

> > > > >

# preenchendo a matriz por coluna A[,1] <- c(1,2,3) A[,2] <- c(7,8,9) A[,3] <- c(-10,-4,-6) A

[,1] [,2] [,3] [1,] 1 7 -10 [2,] 2 8 -4 [3,] 3 9 -6

Exemplo: criando uma matriz B 2x3 preenchida.

> # criando uma matriz preenchida > B <- matrix(c(1,2,3,8,9,10), nrow = 2, ncol=3, byrow = T) > B

[,1] [,2] [,3] [1,] 1 2 3 [2,] 8 9 10

Caso o argumento l´ ogico byrow = F, a matriz seria composta por coluna e ficaria da seguinte forma:

1.2. INICIANDO O R

19

> # criando uma matriz preenchida > (B <- matrix(c(1,2,3,8,9,10), nrow = 2, ncol=3, byrow = F)) [,1] [,2] [,3] [1,] 1 3 9 [2,] 2 8 10

1.2.1.5 Criando data frame ´ a classe de objeto Data frames são objetos usados para guardar tabelas de dados. E mais utilizada, principalmente por ser esse o formato que o R lê para as tabelas importadas de outros softwares . Para criar um data frame no R, utilize a fun¸cão data.frame().

Exemplo: Vamos criar um data frame com duas colunas (Nome e Idade) e com trˆ es elementos em cada uma delas. > # criando um data frame > tabela <- data.frame(Nome = c("André","Jo~ ao","Tiago"), + Idade = c(20,58,22)) > tabela Nome Idade 1 Andr´ e 20 2 Jo~ ao 58 3 Tiago 22

Caso você queira criar uma nova coluna, basta apenas digitar o nome do objeto seguido de $ e o nome da sua nova coluna. Exemplo: Vamos criar uma coluna chamada Sal´ ario. > # adicionando uma nova coluna ao data frame > tabela$Sal´ ario <- c(1200,5700,800) > tabela Nome Idade Sal´ ario 1 Andr´ e 20 1200 2 Jo~ ao 58 5700 3 Tiago 22 800


20

Veja, abaixo, outra op¸cão de como adicionar mais valores ao data frame usando as fun¸cões cbind e rbind que agregam por coluna e linha, respectivamente.

> tabela <- data.frame(Nome = c("André","Jo~ ao","Tiago"), Idade = c(20,58,22)) > tabela

Nome Idade 1 Andr´ e 20 2 Jo~ ao 58 3 Tiago 22

> tabela <- cbind(tabela, data.frame(Salario=c(1200,5700,800))) > tabela

Nome Idade Salario 1 Andr´ e 20 1200 2 Jo~ ao 58 5700 3 Tiago 22 800

> tabela <- rbind(tabela, data.frame(Nome="Joana", Idade=30, Salario=3100)) > tabela

1 2 3 4

Nome Idade Salario Andr´ e 20 1200 Jo~ ao 58 5700 Tiago 22 800 Joana 30 3100

Como usar a fun¸ c˜ ao reshape() Os dados costumam vir em dois tipos de formatos amplo ou longo. No formato amplo, há uma linha para cada observa¸caõ e em cada coluna uma vari´ a vel. J´ a no formato longo, tem mais de uma linha para cada observa¸caõ e uma coluna para v´ arias vari´ aveis. A fun¸ caõ e tem os dados no formato longo reshape() muda o formato dos dados, por exemplo, se vocˆ (long ) e quer eles no formato amplo (wide ), ou vice-versa. Os principais argumentos da fun¸cão reshape() são:

1.2. INICIANDO O R • data -

um data frame ;

• direction • idvar -

21

formato da base de dados que podem ser “wide” (amplo) ou “long” (longo);

nomes da variável ou das variáveis que identificam o individuo;

• timevar -

variável ou variáveis que diferencia vários registro do mesmo individuo;

• v.names -

nome da vari´ avel no formato longo que corresponde as várias vari´ aveis do

formato amplo; • varying -

nomes dos conjuntos de variáveis no formato amplo que corresponde a ti-

mevar do formato longo; • time -

valores do récem criado timevar.

Exemplo: Vamos utilizar os dados de Indometh que é um a data frame que tem 66 linhas e 3 colunas de dados sobre a farmacocinética de indometacina que j´ a est˜ ao no R. As seis primeiras linhas de Indometh são:

1 2 3 4 5 6

Subject 1 1 1 1 1 1

time 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 2.00

conc 1.50 0.94 0.78 0.48 0.37 0.19

Como nossos dados j´ a se encontram no formato longo, vamos supor que ele estaria melhor no formato amplo. Ent˜ ao ter´ıamos que escolher Subject como a variável de identifica¸co˜es (“idvar”) , uma ou mais vari´ aveis de medi¸cão que diferencia vários registros do mesmo idavel que deseja mudar do formato longo para o amplo (“v.names”) var(“timevar”), uma vari´ e o formato que queremos os dados(“direction”) que nesse caso e wide (amplo).

> wide <- reshape(Indometh, + timevar = "time", + idvar = "Subject", + direction = "wide") > wide

22


1 12 23 34 45 56

Subject conc.0.25 conc.0.5 conc.0.75 conc.1 conc.1.25 conc.2 conc.3 conc.4 1 1.50 0.94 0.78 0.48 0.37 0.19 0.12 0.11 2 2.03 1.63 0.71 0.70 0.64 0.36 0.32 0.20 3 2.72 1.49 1.16 0.80 0.80 0.39 0.22 0.12 4 1.85 1.39 1.02 0.89 0.59 0.40 0.16 0.11 5 2.05 1.04 0.81 0.39 0.30 0.23 0.13 0.11 6 2.31 1.44 1.03 0.84 0.64 0.42 0.24 0.17

1 12 23 34 45 56

conc.5 conc.6 conc.8 0.08 0.07 0.05 0.25 0.12 0.08 0.11 0.08 0.08 0.10 0.07 0.07 0.08 0.10 0.06 0.13 0.10 0.09

Agora temos apenas uma linha para cada indiv´ıduo e uma coluna dos Subject e mais uma coluna para cada tempo. Mas se fosse ao contr´ ario, se já tivessemos os dados no formato amplo e quissesemos no formato longo. Seria basicamente a mesma coisa s´ o mudaria o formato. Para exemplo utilizamos os dados anteriores que ficaram no formato amplo e voltaremos para o formato longo. > long <- reshape(wide, + varying = names(wide[2:12]), + idvar = "Subject", + timevar = "time", + time = c("0.25", "0.5", "0.75","1", "1.25", "2", "3", "4", "5", "6", "8"), + v.names = "conc", + new.row.names = 1:66, + direction = "long") > head(long)

1 2 3 4 5 6

Subject 1 2 3 4 5 6

time 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25

conc 1.50 2.03 2.72 1.85 2.05 2.31

1.2. INICIANDO O R

23

1.2.1.6 Estruturas de condi¸ ca õ As estruturas de condi¸cão tem por objetivo executar uma a¸cão se determinada condi¸caõ for satisfeita. A seguir são listadas três estruturas de repeti¸co˜es bastante u ´teis. 1. if : Executa diversos comandos se a condi¸cão inicial for verdadeira.

Sintaxe: if(condi¸cão){ comando 1 comando 2 ... comando n

} 2. if ... else: Executa diversos comandos se a condi¸cão inicial for verdadeira, caso contrário executa outros comandos.

Sintaxe:if(condi¸caõ){ comando 1 comando 2 ... comando n

}else{ comando 1 comando 2 ... comando n

} 3. ifelse: Bem parecida com a anterior, porém executa apenas uma linha de comando se a condi¸caõ inicial for verdadeira, caso contr´ ario executa outro comando.


24

Sintaxe:ifelse(condi¸cão, se verdadeira, se falsa)

Exemplo: Suponha dois n´ umeros a e b e informe o maior dentre os dois.

> > > > > + + + +

# Dois objetos a <- 2 b <- 5 # Estrutura de if(a > b){ cat("O maior }else{ cat("O maior }

O maior e ´:

num´ ericos

condi¸cao ~ ´ e: ",a) ´ e: ",b)

5

Importante: A fun¸cão cat() é u ´ til para informar frases e objetos.

1.2.1.7 Estruturas de repeti¸ c˜ ao As estruturas de repeti¸cão s˜ ao u ´teis para repetir uma série de opera¸co˜es. Podem ser opera¸cões com vetores, matrizes e tabelas, por exemplo. Tamb´ em s˜ ao u ´ teis para repetir um mesmo processamento até que uma condi¸cão seja conclu´ıda. Como exemplo para executar essas estruturas de repeti¸caõ, vamos criar um data frame que possui informa¸co˜es sobre o sal´ ario de 10 pessoas.

> # data frame de sal´ arios de 10 indiv´ıduos de uma empresa > dados <- data.frame( individuo = c("A", "B", "C", "D", "E", "F", "G", "H", + "I", "J"), + salario = c( 1250, 800, 8500, 900, 2010, 2200, 3600, 7580, 5100, 9400))

> dados

1.2. INICIANDO O R

25

individuo salario 1 A 1250 2 B 800 3 C 8500 4 D 900 5 E 2010 6 F 2200 7 G 3600 8 H 7580 9 I 5100 10 J 9400

• Estrutura

de repeti¸cão: for().

A fun¸cão for() percorre todos os elementos de um objeto (por exemplo: vetor, matriz ou data frame ) e executa os comandos escolhidos.

Sintaxe: for(i in a:b){ comando 1 comando 2 ... comando n

} Para ficar claro o uso da fun¸cão for(), suponha que se deseja saber quantas pessoas da empresa recebem menos de R$ 3000,00. Vamos criar um objeto que conte o n´ umero de pessoas que satisfazem essa condi¸caõ. Primeiro é necessário inicializar o objeto.

> > > > + + >

# criando um contador contador <- 0 # estrutura FOR for (i in 1:10){ if(dados[i,2] < 3000){contador <- contador + 1} } contador #N´ umero de funcionário que recebem menos de R$ 3000,00

[1] 5


26

Inicialmente, o contador come¸ca recebendo o valor zero. Se a condi¸ cão de sal´ ario for satisfeita (menor do que 3000), o contador recebe +1. E isso ser´ a feito para todas as i linhas do data frame . Por fim, ser´ a retornado o valor final do contador. Veja a seguir mais um exemplo.

Exemplo: Suponha também que seja necess´ ario criar a soma acumulada dos sal´ arios dos indiv´ıduos da empresa e armazen´ a-la numa nova coluna do data frame . Ent˜ ao, ser´ a criada uma nova coluna no data frame e a primeira linha da nova coluna será o pr´ oprio sal´ ario do indiv´ıduo A; a segunda linha ser´ a a soma do sal´ ario do indiv´ıduo A e do indiv´ıduo B; a terceira linha ser´ a a soma dos sal´ arios dos indiv´ıduos A, B e C. Assim, seguindo o racioc´ınio, a ultima ´ linha é a soma de to dos os sal´ arios. Veja como fazer isso a seguir.

> # nova coluna para preencher com a soma acumulada > dados$salario_acum <- 0 > dados

individuo salario salario_acum 1 A 1250 0 2 B 800 0 3 C 8500 0 4 D 900 0 5 E 2010 0 6 F 2200 0 7 G 3600 0 8 H 7580 0 9 I 5100 0 10 J 9400 0

> # o sal´ ario acumulado 1 é o primeiro sal´ ario > dados[1,3] <- dados[1,2] > dados

1 2 3

individuo salario salario_acum A 1250 1250 B 800 0 C 8500 0

27

1.2. INICIANDO O R 4 5 6 7 8 9 10

> > + + >

D E F G H I J

900 2010 2200 3600 7580 5100 9400

0 0 0 0 0 0 0

# estrutura de repeti¸ cao ~ para as somas acumuladas for (i in 2:10){ dados[i,3] <- dados[i-1,3] + dados[i,2] } dados

individuo salario salario_acum 1 A 1250 1250 2 B 800 2050 3 C 8500 10550 4 D 900 11450 5 E 2010 13460 6 F 2200 15660 7 G 3600 19260 8 H 7580 26840 9 I 5100 31940 10 J 9400 41340

1.2.1.8 Como criar fun¸ co ˜es O R permite que você crie fun¸cões que atendam as diferentes demandas. Para criar uma fun¸cão utiliza-se a fun¸cão function().

Sintaxe: nomefuncao <- function(argumento1, ..., argumento n){ comando1 comando2 ... comandoN

}

˜ AO R CAP ÍTULO ITULO 1. INTRO INTRODU DU¸ C ¸ AO

28

Exemplo: Exemplo: Suponha que se queira queira calcular a área area de um triˆ angulo angulo dado sua base e altura, altura, como na figura 1 figura 1.1 .1.. E sabe-se que a área area é dada por: po r: (base ×altura)/2. altura) /2.

´ Figura 1.1: Area do triângulo angulo

Vamos criar uma fun¸c˜ cao ão que calcule a área area de um triângulo. angulo. Nesse caso, precisa-se precisa-se de dois argumentos para calcular a area: a´rea: a base e a altura.

> > + + + > >

# Cria Criand ndo o uma uma fun¸ fun¸ c~ cao ~ que calc calcul ula a a ´ area a rea de um tri^ tri^ angulo angulo area <- functio function(b, n(b,h){ h){ A <- (b * h)/2 return( return(A) A) } ´rea de um tri^ # Area A tri^ angu a ngulo lo de base base 5 e altu altura ra 3 area(5, area(5,3) 3)

[1] [1] 7.5 7.5

> area(h = 3, b = 5)

[1] [1] 7.5 7.5

1.2.1.9 Outras fun¸c˜ coes o ˜es interessantes Segue uma lista de algumas fun¸c˜ coes ões que podem ser úteis utei s para você. e.

1.2. INICIA INICIANDO NDO O R

29

A¸ c˜ ao Comando sair do programa q() arredonda o n´ umero para o inteiro mais pr´ umero oximo oximo round(x) arredonda o n´ umero para n casas decimais umero round(x,n) arredonda o n´ umero umero para cima ceiling(x) trunca o n´ umero umero trunc(x) arredonda o n´ umero para n casas decimais umero signif(x,n) produtório orio prod(x)

Como criar um diret´ orio orio de trabalho O local padr˜ ao ao onde são ao salvos os arquivos ou os comandos digitados no console do R (caso você queira salvá-los) a-los) é na pasta Documentos. Docum entos. Você pode po de vê-lo e-lo digitando digita ndo o comando comand o abaixo.

> getwd() getwd() #visual #visualizar izar diret´ diretório orio de trabal trabalho ho

Para alterar o local padr˜ ao, que chamamos de diretório, ao, orio, para um de sua preferˆ p referência encia use a fun¸c˜ cãaoo setwd(). Exemplo:

> setwd(" setwd("F:/m F:/meu_ eu_dir" dir") ) #altera #altera o diret´ diretório orio para "meu_di "meu_dir" r"

Esse comando altera o diret´ orio para a pasta meu dir que se encontra na unidade F. orio Sugerimos que mude seu diretório orio para o local onde est˜ ao os arquivos que iremos utilizar ao durante todo o livro. Você também em pode po de altera alt erarr o diret´ dire t´ orio utilizando as teclas de atalho Ctrl+Shift+H. orio

Obs: Quando for colocar o caminho do diret´ orio, deve-se usar ou uma barra simples orio, “/” ou duas contra-barra contra-barrass “\\”.

Salvando o hist´ orico orico Os comandos digitados anteriormente no console podem ser salvos em um novo arquivo de texto caso você queira us´ a-los a-los posteriormente.


30

Use as fun¸c˜ cões oes savehistory() e loadhistory() para salvar e carregar o histórico, orico, respectivamente. respectivamente. Esse arquivo é salvo automaticamente automat icamente no diret´ orio orio de trabalho do R do R..

> > > >

#salvar #salvar savehistory(fi savehistory(file le = "nomedoarquiv "nomedoarquivo.txt") o.txt") #carreg #carregar ar loadhistory(fi loadhistory(file le = "nomedoarquiv "nomedoarquivo.txt") o.txt")

Caso vocˆ e queira salvar o hist´ orico em outro local, especifique o caminho do arquivo, orico por exemplo: exemplo:

> #salv #salvar ar hist´ hist´ oric orico o em outro outro loca local l > savehistory(fi savehistory(file le = "V:/novo_dir/ "V:/novo_dir/nomedoa nomedoarquivo. rquivo.txt") txt")

Como criar um script ´ bastante prático O script no RStudio no RStudio funciona funciona como um editor de texto. E atico e facilita a altera¸c˜ cao ão de sua programa¸c˜ cao. aõ. Veja a figura 1. figura 1.22 e descubra como criar um script um script .

Figura 1.2: Como criar um script um script

31

1.2. INICIA INICIANDO NDO O R Veja um exemplo de script na figura 1.3. figura 1.3.

Figura 1.3: Exemplo de script de script Para enviar as linhas de comando digitadas no script no script para para o console, selecione as linhas desejadas e clique em Run ou apenas use o atalho Ctrl+Enter.

Como instalar e carregar pacotes ( packages ) Todas as fun¸c˜ coes ões do R perten pertencem cem a algum algum pacote pacote.. As fun¸ c˜ cões oes que apresentamos apresentam os até agora pertencem aos pacotes que foram instalados e carregados quando instalamos o R no computador. computador. Para Para utilizar utilizar outras fun¸ c˜ oes oes e tornar sua experiência encia mais mai s rica no R no R ´ é nece ne cess ss´ ario a´rio instal instalar ar e carreg carregar ar pacotes pacotes.. H´ a duas formas principais principais de instalar pacotes. A primeira primeira é utilizando a fun¸c˜ caao õ install.packages():

Sintaxe: install.packages(“nome do pacote”) A segunda é utilizando a op¸c˜ cãaoo Install Packages Packages que está na aba Packages Packages no canto direito inferior na tela do RStudio do RStudio.. Ap´ os os clicar nesta op¸c˜ cão, ao, digite o nome do pacote.


32

Figura 1.4: Como istalar pacotes

Depois de instalar o pacote, é necess´ ario ario carreg´ a-lo a-lo para que vocˆ e consiga utilizar as fun¸c˜ coes ões que este disponibiliza. disponibiliza. Para carreg´ carreg´ a-lo, a-lo, vocˆ e pode selecionar o pacote instalado anteriormente na aba Packages do RStudio do RStudio (atr (a trav´ avés es do “checklist ” checklist ”) ou, tamb´ em em pode usar as fun¸c˜ cões oes require() e library().

Sintaxe: require(nome do pacote) library(nome do pacote) Exemplo: Vamos instalar um pacote que permite que arquivos de extens˜ ao ao .xlsx sejam importados para o R. O nome do pacote é xlsx(Dragulescu et al. (2012 2012)). )).

> # O paco pacote te xlsx xlsx perm permit ite e a impo import rta¸ a¸c~ ao de arqui arquivo vos s .xls .xlsx x > install install.pac .packag kages(" es("xls xlsx") x") # instala instalar r pacote pacote > require(xlsx) # carregar pacote

Ap´ os os a instala¸ instala¸c˜ cão ao e o carregamento do pacote, as fun¸c˜ coes ões disponibilizadas disponibilizadas por ele podem ser usadas.

Dica: digite library() e search() para ver, respectivamente, os pacotes que já est˜ aaoo instalados e os pacotes carregados no momento.

1.2. INICIA INICIANDO NDO O R

33

Leitura de dados Ler dados nos formatos de texto, tais como .txt e .csv dentre outros, é uma fun¸c˜ caao õ indispensável avel para qualquer qualquer software software de estat esta t´ıstica. ıstica . A fun¸c˜ caao õ read.table() lê arquivos arqu ivos no formato tabela de texto em um data.frame. Cada coluna tem uma classe pr´ opria opria automaticamente determinada pela fun¸c˜ caao õ read.table(). Os principais argumentos são: ao: •

file – file – nome do arquivo / caminho e nome do arquivo;

• header –

determina se o arquivo tem cabe¸calho c alho ou n˜ ao, default ao, default TRUE; no caso de

FALSE a fun¸c˜ cão ao cria nomes para as colunas •

sep – sep – separador da coluna (default (default tab);

•

dec – dec – separador decimal (default (default ponto); Embora a fun¸c˜ cãaoo read.table() seja provavelmente a fun¸c˜ cao aõ mais utilizada para ler

dados, existem outras versões oes dessa com pequenas varia¸c˜ coes ões nos defaults nos defaults que que podem ser uteis. u ´ teis. Veja: read.csv(), read.csv2(), read.delim() e read.delim2(). Exemplo: Exemplo: Vamos ler um arquivo arquivo de extens˜ aaoo .txt, chamado meu arquivo que se encontra no diret´ orio orio de trabalho.

> dados dados <- read read.t .tabl able( e("m "meu eu_ar _arqu quiv ivo.t o.txt xt", ", heade header r = T,sep T,sep = "\t", "\t", dec dec = ".") ".")

Para visualizar o arquivo anterior no R, digite dados digite dados.. A seguir seguir algumas algumas fun¸ c˜ coes o˜es interessantes que a judam a visualizar como é composto comp osto seu arquivo de dados. head(dados)) • head(dados

– mostra as 6 primeiras linhas de um data um data frame ou ou as 6 primeiras posi¸c˜ coes o˜es

de um vetor. tail(dados)) • tail(dados

- mostra as 6 ultimas u ´ ltimas linhas de um data um data frame ou ou as 6 ultimas u ´ ltimas posi¸ c˜ coes ões de

um vetor. View(dados)) • View(dados edit(dados)) • edit(dados

– Mostra os dados no formato de uma tabela.

– Além em de visualizar, visuali zar, é poss´ıvel ıvel editar de uma maneira mais simples seu

arquivo arquivo de dados.


34 Importando arquivos de extens˜ ao .xlsx

Para importar planilhas do Excel no formato .xlsx é necessário instalar um novo pacote uma vez que read.table() e sua fam´ılia n˜ ao est˜ ao aptos para realizar tal fun¸cão. O pacote xlsx(Dragulescu et al. (2012)) permite importar e exportar arquivos de exten´ importante saber que esse são .xlsx. Para essa finalidade utilize a fun¸cão read.xlsx(). E pacote n˜ ao importa arquivos de formato .xls tampouco exporta. Os principais argumentos da fun¸cão read.xlsx() s˜ ao: •

file – nome do arquivo / caminho e nome do arquivo;

• header –

determina se o arquivo tem cabe¸c alho ou n˜ ao, default TRUE; no caso de

FALSE a fun¸cão cria nomes para as colunas; • sheetIndex –

´ındice da aba que deve ser lida;

• sheetName –

nome da aba que dever ser lida (default NULL);

• rowIndex – • colIndex –

´ındices das linhas que devem ser lidas (default NULL);

´ındices das colunas que devem ser lidas (default NULL).

Exemplo: Importando a primeira planilha de um arquivo de extensão .xlsx.

> tabela1 <- read.xlsx("arquivo.xlsx", sheetName="Plan1")

Salvar dados Escrever dados nos formatos de texto .txt, .csv, entre outros, é outra fun¸cão indispensável para um software de estat´ıstica. A fun¸cão write.table() salva arquivos de formatos formatos .txt e .csv no diretório padr˜ ao ou especificado. Os principais argumentos dessa fun¸cão s˜ ao: •

x – matriz ou data frame que será salva;

•

file – nome do arquivo / caminho e nome do arquivo;

• append –

se TRUE, a sa´ıda ser´ a anexada a um arquivo já existente. Se FALSE, se

houver algum arquivo com o mesmo nome, este será substitu´ıdo pelo novo. • quote –

é um valor numérico ou l´ ogico;

˜ SOBRE O OBJETO 1.3. DESCOBRINDO INFORMA¸ C OES •

sep – separador da coluna (default espa¸co);

•

dec – separador decimal (default ponto);

• row.names – • col.names –

35

nome das linhas;

nome das colunas.

Embora a fun¸cão write.table() seja provavelmente a fun¸cão mais utilizada para salvar dados, existem outras versões dessa com pequenas varia¸cões nos defaults que podem ser úteis.. Veja: write.csv() e write.csv2(). Exemplo: Vamos criar um objeto data frame e salvá-lo como um arquivo de formato .txt.

> > + + >

# criando um data frame de idades idades <- data.frame(Nome = c("Tabi", "Gabi", "Andressa", "Vanessa", "Nat´ alia", "Natasha"), Idades = c(36, 25, 33, 48, 21, 24)) idades

1 2 3 4 5 6

Nome Idades Tabi 36 Gabi 25 Andressa 33 Vanessa 48 Nat´ alia 21 Natasha 24

> # salvando o objeto idades em formato .txt > write.table(idades, "idades.txt", quote = F, sep = "\t", row.names = F, + col.names = T)

Descobrindo Informa¸co ˜es sobre o Objeto Neste livro utilizaremos como base de dados a Pesquisa de Or¸camentos Familiares do IBGE, a POF(IBGE (2015a)). O propósito da POF é tra¸car um perfil dos hábitos das fam´ılias brasileiras. Para isso, são coletados dados gerais sobre os domic´ılios e sobre as fam´ılias e pessoas contidas nele. S˜ ao


36

informa¸cões referentes a gastos, consumos e rendimentos. Por exemplo, condi¸ cões do entorno e acesso a` coleta de lixo em rela¸cão aos domic´ılios; idade, religi˜ ao e posi¸caõ de ocupa¸caõ em rela¸caõ a`s pessoas e, despesas com sa´ ude e viagens em rela¸cão a` fam´ılia. A pesquisa abrange as zonas urbanas e rurais de todo o território brasileiro e tem dura¸caõ de 12 meses, assim recolhe informa¸cões durante todas as épocas do ano para um estudo mais eficaz. E atrav´ es dela é poss´ıvel conhecer os bens consumidos e servi¸ cos utilizados pelas fam´ılias. O que pode ser útil para cria¸cão de pol´ıticas p´ ublicas que auxiliam no combate a` pobreza e na melhoria da sa´ ude. Nosso arquivo n˜ ao contém todos os dados da pesquisa. Somente est˜ ao inclu´ıdas nele 6 unidades de federa¸cão (UF) que são representadas, apenas, por suas respectivas capitais. S˜ ao elas: C´ o digo da UF UF 29 BA 31 MG 33 RJ 35 SP 43 RS 53 DF

Capital Salvador Belo Horizonte Rio de Janeiro Sao Paulo Porto Alegre Bras´ılia

˜ SOBRE O OBJETO 1.3. DESCOBRINDO INFORMA¸ C OES

37

Vamos ler a tabela da POF no R, que está em formato .csv, e guardá-la num objeto chamado dados.

> # Ler a base de dados da POF > dados <- read.csv2("POF_capitais.csv")

Algumas fun¸cões s˜ ao utilizadas para descobrir mais informa¸cões acerca do objeto de dados. Exemplo: tipo (texto, numérico, l´ ogico...), tamanho (n´ umero de linhas ou colunas), entre outras coisas. Apresentaremos algumas fun¸ co˜es a seguir. Fun¸ ca õ str() A fun¸cão str() mostra um resumo estrutural de um objeto: classe, número de linhas e colunas, nome das colunas e o tipo (inteiro, numérico, etc). Exemplo: Vamos ver um resumo estrutural para a base de dados da POF.

> # resumo estrutural para a base de dados da POF > str(dados)

data.frame : 3504 obs. of 31 variables: $ TIPO.DE.REGISTRO : ´ $ CODIGO.DA.UF : $ N´ UMERO.SEQUENCIAL : $ DV.DO.SEQUENCIAL : $ N´ UMERO.DO.DOMIC´ ILIO : $ ESTRATO.GEOGR´ AFICO : ~ $ FATOR.DE.EXPANSAO.2..AJUSTADO.P..ESTIMATIVAS.: $ PER´ IODO.REAL.DA.COLETA : $ QUANTIDADE.DE.MORADORES : $ QUANTIDADE.DE.UC : $ QUANTIDADE.DE.FAM´ ILIAS : $ TIPO.DE.DOMICILIO : $ MATERIAL.QUE.PREDOMINA.NAS.PAREDES.EXTERNAS : $ MATERIAL.QUE.PREDOMINA.NA.COBERTURA : $ MATERIAL.QUE.PREDOMINA.NO.PISO : $ QUANTIDADE.DE.C^ OMODOS : $ C^ OMODOS.SERVINDO.DE.DORMIT´ ORIO : $ EXIST^ ENCIA.DE.´ AGUA.CANALIZADA : $ PROVENI^ ENCIA.DA.´ AGUA :

'

'

int int int int int int num int int int int int int int int int int int int

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 ... 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 ... 1 10 11 12 13 3 5 6 7 8 ... 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1887 1887 1887 1887 1887 ... 1 10 11 12 14 4 5 6 7 9 ... 4 5 3 4 3 2 1 3 3 4 ... 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 ... 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 ... 2 2 2 6 4 2 4 2 2 3 ... 8 7 8 6 8 8 5 8 8 8 ... 3 2 3 3 3 2 1 3 2 3 ... 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...


38 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $

QUANTIDADE.DE.BANHEIROS ESCOADOURO.SANIT´ ARIO ~ CONDI¸ CAO.DE.OCUPA¸ C~ AO TEMPO.DE.ALUGUEL TIPO.DE.CONTRATO.DE.ALUGUEL EXIST^ ENCIA.DE.PAVIMENTA¸ C~ AO.NA.RUA IMPUTA¸ C~ AO...QUANTIDADE.DE.C^ OMODOS IMPUTA¸ C~ AO...QUANTIDADE.DE.BANHEIROS IMPUTA¸ C~ AO...ESCOADOURO.SANIT´ ARIO ´ RENDA.MONETARIA.MENSAL.DO.DOMIC´ ILIO ~ ´ RENDA.NAO.MONETARIA.MENSAL.DO.DOMIC´ ILIO ´ RENDA.TOTAL.MENSAL.DO.DOMICILIO

: : : : : : : : : : : :

int int int int int int int int int num num num

2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 6 1 1 6 0 2 0 0 2 0 3 0 0 2 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2496 2112 848 0 587 3344 2112

2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8400 4046 416 0 ... 8987 4462

... ... ... ... ... ... ... ... ... 1142 ... 1142 ...

A imagem anterior mostra que o objeto dados é um data.frame com 3504 linhas (ob´ poss´ıvel ver o nome e o tipo de dado que cada coluna serva¸cões) e 31 colunas (variáveis). E recebe. Para mostrar na tela apenas uma coluna do objeto dados, você pode utilizar os comandos abaixo.

> > > >

# As duas formas abaixo mostram a segunda coluna do # objeto dados ´DIGO.DA.UF dados$C O dados[ ,2]

Fun¸ co ˜es dim() e names() Outras fun¸cões u ´ teis s˜ ao as fun¸co˜es dim() e names(). A fun¸caõ dim() mostra a dimens˜ ao do objeto. O objeto de dados é um data frame , então esta fun¸cão retornar´ a o n´ umero de linhas e colunas. ´ bem u A fun¸caõ names() mostra o nome de cada coluna do objeto. E ´ til para localizar o n´ umero de alguma coluna desejada. Exemplo:

> #dimens~ ao: n´ umero de linhas e colunas > dim(dados)

[1] 3504

31

´ 1.4. MANEIRAS F ACEIS DE APRENDER O R

39

O arquivo dados possui 3504 linhas e 31 colunas. > #nome de cada coluna > names(dados) [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31]

"TIPO.DE.REGISTRO" "C´ ODIGO.DA.UF" "N´ UMERO.SEQUENCIAL" "DV.DO.SEQUENCIAL" "N´ UMERO.DO.DOMIC´ ILIO" ´ "ESTRATO.GEOGRAFICO" "FATOR.DE.EXPANS~ AO.2..AJUSTADO.P..ESTIMATIVAS." ´ "PERIODO.REAL.DA.COLETA" "QUANTIDADE.DE.MORADORES" "QUANTIDADE.DE.UC" "QUANTIDADE.DE.FAM´ ILIAS" "TIPO.DE.DOMICILIO" "MATERIAL.QUE.PREDOMINA.NAS.PAREDES.EXTERNAS" "MATERIAL.QUE.PREDOMINA.NA.COBERTURA" "MATERIAL.QUE.PREDOMINA.NO.PISO" "QUANTIDADE.DE.C^ OMODOS" "C^ OMODOS.SERVINDO.DE.DORMIT´ ORIO" "EXIST^ ENCIA.DE.´ AGUA.CANALIZADA" "PROVENI^ ENCIA.DA.´ AGUA" "QUANTIDADE.DE.BANHEIROS" "ESCOADOURO.SANIT´ ARIO" ~ "CONDI¸ CAO.DE.OCUPA¸ C~ AO" "TEMPO.DE.ALUGUEL" "TIPO.DE.CONTRATO.DE.ALUGUEL" "EXIST^ ENCIA.DE.PAVIMENTA¸ C~ AO.NA.RUA" ~ "IMPUTA¸ CAO...QUANTIDADE.DE.C^ OMODOS" ~ "IMPUTA¸ CAO...QUANTIDADE.DE.BANHEIROS" "IMPUTA¸ C~ AO...ESCOADOURO.SANIT´ ARIO" "RENDA.MONET´ ARIA.MENSAL.DO.DOMIC´ ILIO" "RENDA.N~ AO.MONET´ ARIA.MENSAL.DO.DOMIC´ ILIO" "RENDA.TOTAL.MENSAL.DO.DOMIC´ ILIO"

Maneiras f´ aceis de aprender o

R

Como sempre nos deparamos com algo novo no R, logo é fundamental saber como aprender a usar novas fun¸cões, para isso iremos apresentar algumas formas de enfrentar o desconhecido.


40

Fun¸ca õ apropos() Quando queremos procurar um objeto e não lembramos o nome completo dele, podemos usar a fun¸caõ apropos(), ela funciona como um filtro que possibilita encontrar os objetos que tenha o peda¸co do nome que você lembra. Por exemplo :

> apropos("air")

[1] [4] [7] [10] [13]

"airmiles" "as.pairlist" "HairEyeColor" "pairs" "pairwise.t.test"

"AirPassengers" "cairo_pdf" "is.pairlist" "pairs.default" "pairwise.table"

"airquality" "cairo_ps" "pairlist" "pairwise.prop.test" "pairwise.wilcox.test"

Mostra uma lista de 15 nomes de ob jetos que cont´ em o texto “air” no nome.

Fun¸ca õ help() ou ? Quando queremos saber de mais detalhes do objeto, vocˆ e po de pedir ajuda ao R com o help(nome_do_objeto) ou ?nome do objeto.

Por exemplo :

> help(AirPassengers) > ?AirPassengers

#ou

Uma janela abrir´ a no help com a descri¸cão dos dados da série temporal AirPassengers .

Fun¸ca õ example() Essa fun¸cão é muito u´til para mostrar algumas possibilidade.

> example(plot)

Dar alguns exemplos de gráficos usando a fun¸caõ plot().

´ 1.4. MANEIRAS F ACEIS DE APRENDER O R

41

Suponha que devemos criar um gráfico de barras, mas nunca vimos alguma fun¸cão que fa¸ca isso. Primeiro vamos buscar nomes de objetos que tenha “bar ” (barra em inglês) no nome. Para isso utilizamos a fun¸caõ apropos().

> apropos("bar")

[1] [4] [7] [10]

"barplot" "barplot.default" "bartlett.test" "getTxtProgressBar" "getWinProgressBar" "setStatusBar" "setTxtProgressBar" "setWinProgressBar" "txtProgressBar" "winProgressBar"

O R retornou 10 nomes de objetos, dentre ele apareceu o barplot que é uma candidata a fun¸cão para criar gráfico de barra. Agora vamos pedir ajuda para o R sobre barplot() para ter mais detalhes da fun¸cão.

> help(barplot) > ?barplot

# ou

E ainda podemos pedir alguns exemplos de barplot() com a fun¸caõ example().

> example(barplot)

Ele mostra alguns gr´ aficos de barras.

42


Estat´ıstica Descritiva e Gr´ aficos Daiane Marcolino de Mattos Pedro Costa Ferreira Diego Camillo Vilela de Almeida

´ CAP ÍTULO 2. ESTAT ÍSTICA DESCRITIVA E GR AFICOS

44

Estat´ıstica Descritiva Estat´ıstica descritiva é a a´rea da estat´ıstica que descreve e resume informa¸cões sobre os dados. O R disponibiliza uma variedade de fun¸cões que permitem fazer isso. Por´ em, antes de come¸car a programar, vamos entender alguns conceitos fundamentais.

Popula¸ca õ e amostra Os dados que trabalhamos em estat´ıstica descritiva s˜ ao provenientes de uma amostra ou popula¸cão. Popula¸cão é um conjunto de todas as unidades que tem uma caracter´ıstica em comum na qual estamos interessados. Por exemplo, todos os funcion´ arios da Funda¸caõ Get´ ulio Vargas no estado do RJ. Como, geralmente, fazer uma pesquisa que envolva o conjunto inteiro da popula¸ cão requer bastante tempo, dinheiro e, em alguns casos, o experimento pode ser destrutivo, utiliza-se uma amostra. Ou seja, uma parte da popula¸ c˜ ao. Para selecionar uma amostra que represente de fato a popula¸caõ, h´ a diversas metodologias poss´ıveis.

Vari´ aveis Além da quantidade de unidades na amostra existem as vari´ aveis que são as caracter´ısticas nas quais estamos interessados em descobrir e podem mudar de acordo com cada unidade amostral. Por exemplo, a idade, o sexo, o grau de escolaridade e o sal´ ario de cada funcionário. As variáveis podem ser classificadas em qualitativas e quantitativas. As variáveis qualitativas, tamb´ em conhecidas como categ´ oricas, s˜ ao aquelas que assumem atributos ou qualidades. S˜ ao divididas em ordinais e nominais. As ordinais s˜ ao aquelas que podem ser ordenadas de alguma forma, por exemplo, o grau de escolaridade de um funcion´ ario (fundamental, médio e superior). As nominais s˜ ao aquelas em que não faz sentido alguma ordena¸cão, por exemplo, o sexo do funcionário (masculino ou feminino). As variáveis quantitativas s˜ ao aquelas que podem ser medidas j´ a que apresentam valores numéricos. S˜ ao classificadas em discretas e cont´ınuas. As vari´ aveis quantitativas discretas podem assumir apenas um n´ umero finito ou infinito cont´ avel de valores e, assim, somente

2.1. ESTAT ÍSTICA DESCRITIVA

45

fazem sentido valores inteiros. Geralmente s˜ ao resultados de contagens. Por exemplo: n´ umero de filhos do funcionário. As variáveis quantitativas cont´ınuas s˜ ao aquelas que assumem valores numéricos (toda a reta real) e em geral resultantes de mensura¸cões. Por exemplo: a idade, a altura, o peso e o sal´ ario do funcion´ ario. Ap´ os a coleta dos dados, utilizamos ferramentas da estat´ıstica descritiva para analisar e resumir informa¸co˜es sobre eles.

Tabela de Frequˆ encias Quando se tem uma grande quantidade de dados uma boa forma de resumi-los é criando uma tabela de frequências. A tabela de frequências mostra os tipos de valores que uma vari´ avel assume e a quantidade de vezes que os mesmos ocorrem. Para criá-la utilize a fun¸ cão table(). Exemplo: Vamos criar uma tabela de frequˆ encia sobre o material que predomina na cobertura (telhado) dos domic´ılios (coluna 14 do arquivo da POF (IBGE (2015a))). > # Ler a base de dados da POF > dados <- read.csv2("POF_capitais.csv") > # Criando um tabela de frequências > table(dados[ ,14])

1 2 1678 1789

3 14

4 3

5 2

7 18

A primeira linha indica os n´ umeros observados na pesquisa. Cada n´ umero representa um tipo de material diferente: 1. Telha qualquer; 2. Laje de concreto; 3. Madeira para constru¸caõ; 4. Chapa met´ alica; 5. Madeira aproveitada; 6. Palha;


46 7. Outro material.

A segunda linha representa a frequˆ encia com que os n´ umeros ocorrem, ou seja, quantas vezes cada tipo se repete. Pelo resultado acima, vemos que a maioria dos domic´ılios possui cobertura de telha qualquer (1) ou laje de concreto (2). O n´ umero 6 (cobertura de palha) foi omitido já que não apresenta frequência.

Medidas de Posi¸ca õ Além da cria¸caõ de tabelas, é poss´ıvel resumir dados a partir de simples valores numéricos. Medidas de posi¸cão s˜ ao assim chamadas, pois retornam um ponto (ou valor) no qual est˜ ao concentrados os outros valores observados. M´ edia A média é a medida de posi¸cão mais conhecida para resumir dados. n

∑ yi y =

i=1

n

(2.1)

Para calcul´ a-la precisamos da soma da vari´ avel e do n´ umero de unidades que a variável possui. Para calcular a soma de uma vari´ avel quantitativa podemos usar a fun¸cão sum() e para saber o n´ umero de elementos que a variável possui podemos usar a fun¸caõ length().

Exemplo: Vamos calcular a média de moradores por domic´ılio (coluna 9). > > > > > > >

# somat´ o rio da coluna 9 soma <- sum(dados[,9]) # n´ umero de unidades na coluna 9 n <- length(dados[,9]) # c´ alculo da m´ edia de moradores media <- soma/n media

[1] 3.134989


47

Podemos calcular a média, também, utilizando a fun¸ caõ mean() do R.

Sintaxe: mean(x, ...) Exemplo: Para o exemplo anterior, vamos calcular a média utilizando a fun¸ cão mean().

> # calcula a média da coluna 9 > mean(dados[,9])

[1] 3.134989

Mediana A mediana é a medida que divide os dados ordenados exatamente ao meio, ou seja, o valor que separa os 50% menores dos 50% maiores valores.

  ( )= 

md X

,se n é ´ımpar

x( n+1 ) 2

x( n ) + x( n +1) 2

2

2

,se n é par

Exemplo: Vamos encontrar a mediana para a quantidade de moradores no domic´ılio (coluna 9). Antes de usar a f´ ormula acima, precisamos ordenar os dados. Para isso utilizamos a fun¸cão sort().

> > > > > + + + >

# ordenando os dados ordem <- sort(dados[,9]) n <- length(ordem) # calculando a mediana if(n%%2 == 0){ med <- ( ordem[n/2] + ordem[n/2 + 1] )/2 }else{ med <- ordem[(n+1)/2] } med

[1] 3


48

Podemos calcular a mediana, tamb´ em, utilizando a fun¸ cão median() do R:

Sintaxe: median(x, ...)

> # calcula a mediana da quantidade de moradores > median(dados[,9])

[1] 3

Importante: Para calcular a mediana com a fun¸cão median() não é necessário ordenar os dados, o R faz isso automaticamente.

M´ aximo e M´ ınimo O R possui duas fun¸cões que retornam o maior e o menor valor observado no conjunto de dados: min() e max(). Exemplo: Vamos encontrar o menor e o maior valor observado para a quantidade de moradores no domic´ılio.

> #retorna o menor valor > min(dados[, 9])

[1] 1

> #retorna o maior valor > max(dados[, 9])

[1] 15

Caso quiséssemos identificar quais domic´ılios possuem uma ou quinze pessoas, poder´ıamos usar a fun¸cão which().


49

Sintaxe: which(condi¸caõ) A fun¸cão which() retornará quais as linhas que satisfazem determinada condi¸cão. Exemplo: Retornar quais domic´ılios na base de dados possui a quantidade de moradores igual a 1.

> # Fun¸ cao ~ which > which(dados[,9]==1)

Quantis Quantil é uma medida de posi¸cão que corresponde a uma propor¸cão. O quantil de a% (0 < a < 1) representa o valor que separa os a% menores valores dos (1-a)% maiores valores no conjunto de dados ordenados. Para entender melhor, veja os exemplos a seguir. A mediana é o quantil de 50%; O quantil de 20% representa o valor que separa os 20% menores dos 80% maiores. O quantil de 35% representa o valor que separa os 35% dos 65% maiores no conjunto de dados ordenados. E assim sucessivamente. Para calcular os quantis, assim como a mediana, é necessário que os dados estejam ordenados, porém, o R já faz isso automaticamente usando a fun¸cão quantile().

Sintaxe: quantile(x, probs = vetor de quantis) Exemplo: Vamos encontrar os quantis de 10%, 25%, 50%, 75%, 90% para a vari´ avel Renda Total Mensal do Domic´ılio (coluna 31).

> # Encontrando os quantis > quantile( dados[,31], probs = c(0.10, 0.25, 0.50, 0.75, 0.90))


50

10% 25% 50% 75% 90% 756.9295 1217.9387 2218.8527 4481.7586 9186.2312

Podemos interpretar esses n´ umeros da seguinte forma: 10% dos domic´ılios possuem renda inferior a R$ 756,93. 75% dos domic´ılios possuem renda inferior a $4481,76. Moda Podemos descobrir qual é o n´ umero mais comum de moradores em um domic´ılio. Uma maneira de fazê-lo é criar uma tabela de frequências (subse¸cão 2.1.3) e descobrir o n´ umero que mais se repete. Em estat´ıstica descritiva, chamamos isso de moda. Para criar uma tabela de frequências use a fun¸cão table(). Exemplo: Vamos encontrar a quantidade mais comum de moradores em um domic´ılio.

> #cria uma tabela de frequências > table(dados[,9])

1 2 3 4 5 6 488 839 873 746 316 145

7 52

8 23

9 11

10 6

11 4

15 1

A primeira linha, na tabela acima, representa o n´ umero de moradores em um domic´ılio observados na pesquisa. A segunda linha corresponde à frequˆ encia dele. Ou seja, h´ a apenas um domic´ılio com 15 moradores enquanto h´ a quatro domic´ılios com 11. A maior frequência observada é 873, que corresponde ao n´ umero de três moradores. Portanto, três é a moda de moradores na pesquisa. Fun¸ ca õ summary A fun¸cão summary() retorna várias medidas de posi¸cõ es de uma só vez: a média, a mediana, o primeiro e o terceiro quartis, e o menor e o maior valor da variável em estudo.

Sintaxe: summary(x)


51

onde x é a vari´ avel ou o conjunto de vari´ aveis em estudo. Caso a vari´ avel seja categ´ orica, essa fun¸cão retornar´ a apenas a frequˆ encia de cada categoria. Exemplo: Vamos obter, ent˜ ao, um resumo de informa¸co˜es sobre a Quantidade de Moradores (coluna 9) e para Renda Total Mensal do Domic´ılio (coluna 31). > # estat´ ısticas para a quantidade de moradores > summary(dados[,9]) Min. 1st Qu. 1.000 2.000

Median 3.000

Mean 3rd Qu. 3.135 4.000

Max. 15.000

Conclu´ımos que o menor n´ umero de moradores em um domic´ılio, nessa pesquisa, é um e o maior é quinze. E que, em média, h´ a 3,135 moradores em um domic´ılio. > # estat´ ısticas para a renda > summary(dados[,31]) Min. 50.78

1st Qu. 1218.00

Median 2219.00

Mean 4082.00

3rd Qu. Max. 4482.00 117200.00

Observe a má distribui¸cã o de renda do Brasil. H´ a domic´ılios que recebem R$50,78 e outros que recebem R$117200,00. E a média da renda é de R$4082,00. A média é uma medida que é influenciada por outliers (valores at´ıpicos). Assim, dependendo do comportamento dos dados (muito dispersos ou n˜ ao), esta pode n˜ ao ser uma boa medida para representar os dados.

Medidas de Dispers˜ ao Medidas de dispersão s˜ ao u ´ teis para verificar se os dados são homogêneos ou heterogêneos. A seguir ser˜ ao apresentadas as fun¸co˜es mais utilizadas para quantificar a variabilidade dos dados. Variˆ ancia Amostral: n

n

2

∑ ( yi − y) s2 =

i=1

n−1

2

2

∑ yi − ny =

i=1

n−1


52

Exemplo: Vamos calcular a variˆ ancia amostral para os dados da coluna 9 (quantidade de moradores). Usaremos a fun¸cão var().

> var(dados[,9])

[1] 2.437668

Desvio - Padr˜ ao A variância por ser uma medida quadrática, diferente da ordem de grandeza dos dados observados, po de, a`s vezes, dificultar a interpreta¸caõ. Como alternativa, utilizamos a raiz da variˆ ancia, o desvio padr˜ ao, para compreender melhor. Quanto maior o desvio padr˜ ao mais dispersos est˜ ao os dados.

  ( ∑  = n

s

yi − y)2

i=1

n−1

Podemos calcul´ a-lo apenas tirando raiz da variˆ ancia ou usando a fun¸caõ sd(). Exemplo: Vamos calcular o desvio padr˜ ao para o exemplo anterior.

> # raiz da vari^ ancia > sqrt( var(dados[,9]) )

[1] 1.561303

> # desvio - padr~ ao > sd(dados[, 9])

[1] 1.561303

Percebe-se que o desvio padrão n˜ ao é grande em rela¸caõ a` média. E isso significa que não h´ a uma dispersão t˜ ao forte entre o n´ umero de pessoas que moram em cada domic´ılio. Isso pode ser visualizado de forma melhor com a elabora¸caõ de gráficos (se¸cão 2.2).


53

Amplitude Total e Amplitude Interquartil Amplitude total é a diferen¸ ca entre o maior (máximo) e o menor (m´ınimo) valor observado. Por´ em, se por acaso no conjunto de dados houver valores at´ıpicos/outliers (valores extremamente pequenos ou grandes), essa medida pode não representar bem o conjunto de dados. Portanto, n˜ ao é uma boa medida de dispers˜ ao.

´ prefer´ıvel Amplitude interquartil´ıca é a diferen¸ca entre o terceiro e o primeiro quartis. E em rela¸caõ a` amplitude total por n˜ ao ser afetada por valores extremos. O R utiliza a fun¸caõ IQR() para essa finalidade.

Vamos calcular as amplitudes total e interquartil´ıca para a coluna 31 do arquivo de dados (renda total mensal do domic´ılio). > # calculando a amplitude total > ampt <- max(dados[,31])-min(dados[,31]) > ampt [1] 117168.4 > # calculando a amplitude interquartil > IQR(dados[,31]) [1] 3263.82

Coeficiente de Varia¸ ca õ O coeficiente de varia¸caõ é uma medida de dispers˜ ao u ´ til para comparar dois ou mais conjuntos de dados quando estes est˜ ao em unidades de medidas diferentes, caso contrário ´ uma medida relativa resultante da divis˜ poderiam ser comparados pelo desvio padr˜ ao. E ao do desvio padrão pela média.

CV =

s x

× 100


54

Quanto menor for o coeficiente de varia¸caõ menor será a dispers˜ ao dos dados em torno da média, ou seja, os dados s˜ ao homogêneos. Um CV maior do que 30% sugere que os dados s˜ ao heterogêneos, ou seja, estão dispersos em torno da média. H´ a quem diga isso para CV maior do que 25% ou 50%, tornando mais dif´ıcil haver um valor padr˜ ao de compara¸cão. Porém, ao comparar diversos conjuntos de dados, aquele que possuir o menor CV é o mais homogêneo. Abaixo o CV da Renda Monetária Mensal do Domic´ılio (coluna 29).

> # calculando o coef. de varia¸c~ ao > sd(dados[,31])/mean(dados[,31])*100

[1] 147.3442

Como se observa, o CV é igual a 147,34%, indicando que os dados s˜ ao muito heterogêneos, ou seja, dispersos em rela¸ cão a` média. Assim, a média n˜ ao é uma medida que representa t˜ ao bem esse conjunto de dados, principalmente por ela ser afetada pelas rendas muito altas que representam uma minoria de observa¸co˜es.

Covariˆ ancia e Correla¸c˜ ao Covariˆ ancia e correla¸cão medem a dependência linear de duas vari´ aveis quantitativas. Porém, a covariância n˜ ao é uma medida padronizada. Sendo assim, a correla¸cão mais f´ acil de interpretar. A correla¸cão varia entre -1 e 1. Quanto mais perto de -1 ou 1 significa que as variáveis possuem uma forte associa¸cão linear. Quanto mais pr´ oximo de zero significa que as variáveis possuem fraca associa¸cão linear. Sinal positivo indica que quando uma vari´ avel cresce (diminui) a outra vari´ avel tamb´ em cresce (diminui). J´ a o sinal negativo indica que quando uma vari´ avel cresce, a outra diminui e vice-versa. A seguir est˜ a o as fórmulas de como calcular a covariˆ ancia e a correla¸caõ. n

cov( x, y) =

n

∑ ( xi − x)( yi − y)

∑ ( xi yi − nxy)

i=1

i=1

n−1

=

n−1


55

ρ ( x, y) =

cov( x, y) s x s y

Como exemplo, vamos calcular essas medidas para quantificar a associa¸ c˜ ao linear entre a Quantidade de Banheiros (coluna 20) e a Renda Total Mensal do Domic´ılio (coluna 31). A covariância e a correla¸cão podem ser calculadas diretamente pelas fun¸cões cov() e cor(), respectivamente.

> cov(dados[, 20], dados[, 31])

[1] 3221.584

> #correla¸ c~ ao > cor(dados[, 20], dados[, 31])

[1] 0.5807561

A correla¸cão entre as variáveis resultou em 0,5807 indicando que h´ a uma associa¸caõ linear positiva entre elas, ou seja, quanto maior o n´ umero de banheiros, maior é a renda do domic´ılio. Mas como o n´ umero n˜ ao est´ a tão pr´ oximo de um, provavelmente, há outra vari´ avel que influencie na renda do domic´ılio. Lembrando que nem sempre h´ a rela¸cão de causa e efeito, portanto ter um grande n´ umero de banheiros n˜ ao significa maior renda.

Medidas calculadas por grupos Muitas vezes estamos interessados em calcular a m´ edia, ou outras medidas, de uma vari´ avel de acordo com os grupos de outra vari´ avel. A fun¸cão tapply() é simples e u ´til para essa finalidade.

Sintaxe: tapply(x, INDEX, FUN)


56

onde x é a variável principal, INDEX é o grupo ( a outra vari´ avel) e FUN é a medida a ser calculada: média, variˆ ancia, etc.

Exemplo: imagine que queremos descobrir a renda média de domic´ılio por Unidade de Federa¸caõ.

> # Calculando a renda m´ edia do domic´ ı lio por UF > tapply(dados[,31], dados[,2], mean)

29 31 33 35 43 53 2659.425 4799.979 4485.673 4188.369 3862.561 4081.720

Assim, temos a renda média de acordo com a UF. Verifica-se que a maior renda média é a de Minas Gerais enquanto a menor é a da Bahia.

Exemplo: Podemos descobrir também a dispers˜ ao da renda por UF.

> # Calculando a dispers~ ao da renda do domic´ ı lio por UF > tapply(dados[, 31], dados[, 2], sd)

29 31 33 35 43 53 4125.793 8319.749 6352.097 4710.368 5296.013 5546.274

Minas Gerais tamb´ em apresentou a maior dispers˜ ao de renda, porém, o coeficiente de varia¸cão seria mais eficaz para comparar a dispers˜ ao entre as UF’s.

Para facilitar a visualiza¸caõ é poss´ıvel combinar esses dois resultados.

> > > > >

media <- tapply(dados[, 31], dados[, 2], mean) desvio <- tapply(dados[, 31], dados[, 2], sd) # visualizar em data frame UF <- data.frame(media,desvio) UF


29 31 33 35 43 53

media 2659.425 4799.979 4485.673 4188.369 3862.561 4081.720

57

desvio 4125.793 8319.749 6352.097 4710.368 5296.013 5546.274

Vamos calcular o coeficiente de varia¸cão para esses dados também.

> # coeficiente de varia¸ cao ~ > UF$CV <- UF$desvio/UF$media*100 > UF

29 31 33 35 43 53

media 2659.425 4799.979 4485.673 4188.369 3862.561 4081.720

desvio 4125.793 8319.749 6352.097 4710.368 5296.013 5546.274

CV 155.1385 173.3289 141.6086 112.4631 137.1114 135.8808

Em todas as Unidades de Federa¸cão, o coeficiente de varia¸cão é extenso, ou seja, h´ a uma dispers˜ ao grande na renda nos estados.

Caso você queira descobrir alguma medida para mais de uma vari´ avel de uma só vez, utilize a fun¸caõ agregate().

Sintaxe: aggregate(vari´ aveis, list(grupo), medida) Exemplo: Descobrir, de acordo com a UF, as médias da renda e do n´ umero de moradores ao mesmo tempo.

> # vari´ aveis: renda e n´ umero de moradores > variaveis <- data.frame(dados[,9],dados[,31]) > # m´ edia das vari´ aveis por UF


58 > > > >

medias <- aggregate(variaveis, list(dados[,2]), mean) # editando o nome das colunas colnames(medias) <- c("UF", "Moradores", "Renda") medias

1 2 3 4 5 6

UF Moradores Renda 29 3.316699 2659.425 31 2.994056 4799.979 33 3.015050 4485.673 35 3.196629 4188.369 43 2.753731 3862.561 53 3.312842 4081.720

Assim obtivemos a média das vari´ aveis de renda e de quantidade de moradores ao mesmo tempo.

Criando Gr´ aficos com o

R

Muitas vezes um gráfico bem feito torna mais f´ acil de entender o comportamento de um conjunto de dados. Nesta se¸caõ ser˜ ao vistos os principais gráficos utilizados para descrever dados, s˜ ao eles: histograma, boxplot, gr´ afico de dispersão ou de pontos, gr´ afico de pizza e gráfico de barras. Abaixo, podem ser vistos alguns exemplos dos gráficos anteriores.

Figura 2.1

´ 2.2. CRIANDO GR AFICOS COM O R

59

Figura 2.2

Figura 2.3 No R, existem alguns pacotes que permitem a cria¸cão de gr´ aficos bem elaborados com diversas op¸cões de edi¸cão. Aqui, utilizaremos o pacote graphics(R Core Team (2015a)) que foi instalado junto com o pr´ oprio R, ou seja, não é necessário nenhum outro pacote para executar a cria¸cão dos gr´ aficos nessa se¸cão.

Cada gr´ afico que faremos possui sua própria fun¸cão no R. Porém, há alguns argumentos que são comuns em cada uma das fun¸cões. S˜ ao eles:

• main –

t´ıtulo do gráfico;

• xlab –

texto do eixo x;

• ylab –

texto do eixo y;

•

col – cor do gráfico;


60

Com esses quatro argumentos você cria um gr´ afico com o m´ınimo de informa¸ cões necess´ arias para o entendimento do mesmo. A seguir, veremos detalhadamente as fun¸co˜es que criam os tipos de gráficos apresentados anteriormente.

Histograma ´ u O histograma é a representa¸cão gr´ afica de uma distribui¸cão de frequências. E ´ til para visualizar como os dados se comportam, os valores mais e menos frequentes. O histograma pode mostrar a propor¸cão dos dados ao invés da frequência absoluta em cada classe. No R, utilizamos a fun¸cão hist() para esbo¸car um histograma.

Sintaxe: hist(x, ...) Os argumentos mais utilizados nesta fun¸cão s˜ ao: •

x – vetor de dados (necessário);

• main –


• xlab –

texto do eixo x;

• ylab –

texto do eixo y;

• xlim –

limite do eixo x;

• ylim –

limite do eixo y;

•

col – cor do preenchimento do histograma;

• border –

cor da linha/borda do histograma.

Exemplo: Vamos utilizar uma base de dados chamada galton, para fazer o histograma. Esta base contém 928 medidas de altura de pais e de seus respectivos filhos. A altura dos pais foi calculada como uma média entre as alturas da m˜ ae e do pai. H´ a, na base, pais que possuem mais de um filho, portanto existem alturas de pais repetidas. A unidade de medida é dada em polegadas, portanto, para um melhor entendimento, vamos converter para cent´ımetros.


61

Para ler a base é necessário instalar o pacote UsingR(Verzani et al. (2015)).

> > > >

# lendo a base install.packages("UsingR") require(UsingR) head(galton)

1 2 3 4 5 6

child parent 61.7 70.5 61.7 68.5 61.7 65.5 61.7 64.5 61.7 64.0 62.2 67.5

> # Convertendo de polegadas para cent´ımetros (1 polegada é aproximadamente 2,54 cm) > galton <- 2.54 * galton > head(galton)

1 2 3 4 5 6

child 156.718 156.718 156.718 156.718 156.718 157.988

parent 179.07 173.99 166.37 163.83 162.56 171.45

Vamos esbo¸car um histograma para a altura dos filhos.

> # esbo¸ cando o histograma > hist(galton$child, main = "Distribui¸c~ ao das alturas dos filhos", + xlab = "Altura (cm)")

Podemos ver através do gráfico que as maiores frequências estão por volta de 170 cm e 175 cm de altura. Caso queira acrescentar alguma cor ao gr´ afico, utilize os argumentos col e border. Nas referências desse documento é poss´ıvel encontrar uma lista de cores que podem ser usadas.


62

Distribuição das alturas dos filhos

0 5 1

y c n e u q e r F

0 0 1

0 5

0

155

160

165

170

175

180

185

Altura (cm)

Figura 2.4 > # esbo¸ cando o histograma > hist(galton$child, main = "Distribui¸c~ ao das alturas dos filhos", + xlab = "Alturas (cm)", col = "darkgray", + border = "black")


63

Distribuição das alturas dos filhos

0 5 1

y c n e u q e r F

0 0 1

0 5

0

155

160

165

170

175

180

185

Alturas (cm)

Figura 2.5 Agora, vamos a outro exemplo: Vamos esbo¸car um histograma para a Renda Total Mensal do Domic´ılio (coluna 31) da POF.

> # criando o gr´ afico > hist(dados[, 31], main = "Distribui¸c~ ao da Renda nos Domic´ ılios", + xlab = "Renda Total Mensal do Domic´ılio", col = "lightsteelblue3")


64

Distribuição da Renda nos Domicílios

0 0 0 3

0 0 5 2

y c n e u q e r F

0 0 0 2

0 0 5 1

0 0 0 1

0 0 5

0

0

20000

40000

60000

80000

100000

120000

Renda Total Mensal do Domicílio

Figura 2.6

Pelo histograma, conclu´ımos que um pouco mais do que 3000 domic´ılios possuem renda entre 0 e 10 mil reais, lembrando que temos 3504 domic´ılios na amostra. E uma minoria (menos de 500 domic´ılios) possui renda superior a 10 mil reais. Para ver uma melhor distribui¸caõ daqueles que possuem renda inferior a 10 mil reais, podemos filtrar os dados e fazer outro histograma s´ o para eles. Para isso, usamos a fun¸caõ subset().

Sintaxe: subset(x, condi¸cão de x) A condi¸caõ, nesse caso, será os x menor do que dez mil reais:


65

> # filtrando os dados > menorq10 <- subset(dados[,31], dados[,31]< 10000)

Ap´ os guardar os dados na condi¸caõ que escolhemos, podemos fazer o histograma.

> > + +

# criando o gr´ afico hist(menorq10, main = "Distribui¸c~ ao dos domic´ ılios com renda inferior a R$10.000,00", xlab = "Renda Total Mensal do Domic´ılio", col = "lightskyblue")

Distribuição dos domicílios com renda inferior a R$10.000,00 0 0 0 1

0 0 8

y c n e u q e r F

0 0 6

0 0 4

0 0 2

0

0

2000

4000

6000

8000

10000


Figura 2.7 Agora, est´ a mais f´ acil visualizar o comportamento da maioria dos domic´ılios. Percebe-se que há uma grande concentra¸cão entre zero e três mil reais, que representam aproximadamente 2200 domic´ılios (600+1000+600). E, a partir de 2 mil reais, o n´ umero de domic´ılios come¸ca a decrescer.


66

´ assim que vemos que a distribui¸cão dos dados é assimétrica, pois h´ E a uma concentra¸caõ maior em um lado e a cauda do gráfico se encontra em outro. Podemos calcular o coeficiente de assimetria para essa distribui¸cão, para quantificar o quão assimétrica é a distribui¸cão dos dados. Classifica¸caõ do coeficiente de assimetria: Sim´ etrica

0,15 |

Assim´ etrica moderada

1 |

Assimétrica Forte

´ necessária a instala¸cão do pacote moments(Komsta e Novomestky (2015)) para calcuE lar o coeficiente.

> > > > >

# instalando e carregando o pacote moments install.packages("moments") require(moments) # calcular assimetria com a fórmula skewness(menorq10)

[1] 1.355681

O coeficiente de assimetria igual 1,355 diz que a distribui¸caõ é assimétrica forte. Essa distribui¸cão é assimétrica a` direita, j´ a que a cauda está a direita. Gr´ aficos de renda ´ poss´ıvel ver assimetrias através de boxplots, também. geralmente s˜ ao classificados assim. E

Boxplot O boxplot é um gráfico constru´ıdo com base no resumo de cinco n´ umeros: limite inferior, 1º quartil, mediana, 3º quartil e limite superior. O gráfico tem um formato de caixa cuja sua largura é representada pelos 1º e 3º quartis. Portanto, 50% das observa¸ cões est˜ ao concentradas dentro da caixa. Os limites inferior e superior são representados por linhas fora da caixa. O boxplot é muito u´til para descobrir se há outliers no conjunto de dados, ou seja, valores afastados da maioria das observa¸cões. Esses valores aparecem, no gr´ afico, fora dos


67

limites inferior e superior.

Figura 2.8: Exemplo de boxplot

Para esbo¸car um boxplot, utilizamos a fun¸cão boxplot().

Sintaxe: boxplot(x, ...) Os argumentos mais utilizados nesta fun¸cão s˜ ao: •

x – vetor de dados (necessário);

• main –


• xlab –

texto do eixo x;

• ylab –

texto do eixo y;

•

col – cor do preenchimento da caixa;

• border –

cor da linha/borda da caixa;

• horizontal

– se TRUE, a caixa aparece no formato horizontal, se FALSE (default),

aparece no formato vertical. Exemplo: Ainda com a base galton, fa¸camos um boxplot para a altura dos pais (coluna


68 2).

> boxplot(galton$parent, main = "Boxplot para a altura dos pais", + ylab = "Altura (cm)", col = "seagreen3")

Boxplot para a altura dos pais 5 8 1

0 8 1

) m 5 c 7 ( 1 a r u t l A 0 7 1

5 6 1

Figura 2.9 O gráfico indicou dois valores outliers e os dados se distribuem de forma sim´ etrica.

Exemplo: Vamos criar um boxplot para a renda dos domic´ılios que possuem renda inferior a dez mil reais (objeto criado anteriormente).

> #criando o boxplot > boxplot(menorq10, horizontal = T, col = "gold", + xlab="Renda Total Mensal do Domic´ılio", main = "Boxplot da Renda dos Domic´ılios")


69

Boxplot da Renda dos Domicílios

0

2000

4000

6000

8000

10000


Figura 2.10 Repare que existem muitos dados acima do limite superior. Esses s˜ ao considerados outliers ou valores at´ıpicos, valores distantes da maioria dos dados. Atrav´ es do boxplot também é poss´ıvel ver a assimetria da distribui¸cão dos dados, assim como foi visto no histograma.

Gr´ afico de Pontos ou Gr´ afico de Dispers˜ ao Gráfico de pontos é u ´til quando se tem dados pareados (x,y) e se quer descobrir se há alguma rela¸cão entre eles. No R, utilizamos a fun¸cão plot() para esbo¸car esse tipo de gr´ afico.

Sintaxe: plot(x,y, ...)


70

Os principais argumentos desta fun¸caõ est˜ ao a seguir. •

x – vetor de dados;

•

y – vetor de dados;

• main –


• xlab –

texto do eixo x;

• ylab –

texto do eixo y;

•

col – cor dos pontos;

•

pch – formato dos pontos;

• xlim –

limites do eixo x;

• ylim –

limites do eixo y;

• type –

tipo de linha que liga os pontos (default: sem linha);

•

lty – formato da linha que liga os pontos;

•

lwd – espessura dos pontos. Exemplo: Vamos utilizar outra base de dados do pacote UsingR: kid.weights. Essa

base representa uma amostra sobre 250 crian¸cas. Contém a idade, o peso, a altura e o sexo da crian¸ca. Fa¸camos um gr´ afico de pontos para verificar se h´ a rela¸cão entre o peso (coluna 2) e a altura (coluna 3) das crian¸cas.

> # base a ser utilizada > head(kid.weights)

1 2 3 4 5 6

age weight height gender 58 38 38 M 103 87 43 M 87 50 48 M 138 98 61 M 82 47 47 F 52 30 24 F

> > + +

# criando o gr´ afico plot(kid.weights$weight, kid.weights$height, main = "Rela¸ cao ~ entre o peso e altura das crian¸cas", xlab = "Peso", ylab = "Altura")


71

Relação entre o peso e altura das crianças

0 6

0 5

a r u t l A

0 4

0 3

0 2

0 1

20

40

60

80

100

120

140

Peso

Figura 2.11 Podemos observar que há uma rela¸caõ positiva entre o peso e a altura das crian¸cas (quanto maior uma, maior a outra). Veja outro exemplo a seguir.

Exemplo: Vamos utilizar os dados da POF para esbo¸ car um gráfico de pontos que mostra se há alguma rela¸cão entre a quantidade de banheiros (coluna 20) e cˆ omodos (coluna 16) em um domic´ılio.

> > + +

# criando o gr´ afico plot(dados[,16], dados[,20], main = "Banheiros x Cômodos", pch = 19, col = "dodgerblue3", xlab = "Quantidade de C^ omodos no Domic´ ılio", ylab = "Quantidade de Banheiros no Domic´ılio")


72

Banheiros x Cômodos

8

o i l í c 6 i m o D o n s o r i e h 4 n a B e d e d a d i t n a 2 u Q

0

5

10

15

20

25

Quantidade de Cômodos no Domicílio

Figura 2.12

Parece haver alguma rela¸caõ positiva entre a quantidade de cˆ omodos e de banheiros no domic´ılio: a` medida que o n´ umero de cômodos cresce, o n´ umero de banheiros aumenta. Testes estat´ısticos podem confirmar essa rela¸caõ.

Gr´ afico de Setores ou de Pizza O gráfico de setores, mais conhecido como gr´ afico de pizza é bastante usado para representar categorias de uma variável de acordo com suas propor¸cões. N˜ ao é indicado quando se tem muitas categorias, nesse caso, é prefer´ıvel utilizar um gr´ afico de barras. No R, utiliza-se a fun¸cão pie() para criar um gráfico de pizza.


73

Sintaxe: pie(x, ...) Os principais argumentos da fun¸cão s˜ ao: •

x – vetor com as frequências ou propor¸cões de cada fatia;

• main –


• labels – •

vetor de texto para cada fatia;

col – vetor de cores para cada fatia. Um gr´ afico com diversas categorias necessita de uma legenda para o entendimento do

leitor. Para criar uma legenda no R, utiliza-se a fun¸cão legend().

Sintaxe: legend(x, ...) Os principais argumentos dessa fun¸cão s˜ ao mostrados a seguir. • legend – •

vetor de texto para cada fatia;

x – posi¸cão da legenda: “bottomright”, “bottom”, “bottomleft”, “left”, “topleft”, “top”, “topright”, “right”e “center”.

•

fill – vetor de cores de cada fatia;

•

cex – tamanho da legenda. Exemplo: Ainda utilizando a base kid.weights vamos criar um gráfico de pizza que

mostre a propor¸caõ de meninos e meninas na amostra (coluna 4). > # tabela de frequ^ encia das categorias > prop <- table(kid.weights[,4]) > prop

F M 129 121

> # esbo¸ c ando o gr´ afico > pie(prop, main = "Composi¸ cao ~ por sexo", + labels = c("51.6%", "48.4%"),


74

+ col = c("palevioletred2", "dodgerblue3")) > # adicionando a legenda > legend(x = "topright", + legend = c("Feminino", "Masculino"), + fill = c("palevioletred2", "dodgerblue3"), cex = 0.8)

Composição por sexo Feminino Masculino

51.6%

48.4%

Figura 2.13 Vemos que a amostra é composta de um pouco mais meninas do que meninos. Veja a seguir outro exemplo. Exemplo: Agora, utilizando a POF, vamos esbo¸ car um gráfico de pizza para que representa as propor¸co˜es dos tipos de domic´ılios da amostra: casa, apartamento ou cˆ omodo (corti¸co). > # tabela de frequ^ encia das categorias > setores <- table(dados[,12])

´ 2.2. CRIANDO GR AFICOS COM O R > > > > + + + > > > +

75

# c´ alculo da porcentagem de cada categoria valores <- signif(setores/sum(setores)*100, 3) # constru¸ cao ~ do gr´ afico pie(setores, labels = paste(valores,"%",sep=""), col = c("steelblue1","olivedrab3","orange"), main = "Tipo de Domic´ ılio") # criando a legenda texto <- c("Casa", "Apartamento", "Cômodo") legend(x = "topright", legend = texto, fill = c("steelblue1","olivedrab3","orange"), cex = 0.65)

Tipo de Domicílio Casa Apartamento Cômodo

72.6%

1.4%

26%

Figura 2.14

Podemos ver que a maioria dos domic´ılios s˜ ao do tipo casa e apenas 1,4% dos domic´ılios são do tipo cˆ omodo ou corti¸co.


76

Gráfico de Barras ´ bastante Um gr´ afico de barras mostra as frequências de diversas categorias de dados. E u ´ til para observar as diferen¸cas entre as categorias. No R, utiliza-se a fun¸cão barplot() para esbo¸car um gráfico de barras.

Sintaxe: barplot(x,...) Os principais argumentos estão apresentados a seguir. •

x – vetor de dados com a frequˆ encia de cada categoria;

• names • main – •

vetor de texto para o nome de cada categoria / barra;


col – um vetor de cores para cada categoria; Exemplo: Vamos utilizar outra base de dados do pacote UsingR: grades. Essa base

representa uma amostra sobre notas de 122 alunos na classe atual e anterior na escala A-F. Fa¸camos um gr´ afico de barras para as notas atuais (coluna 2) para verificar a frequˆ encia de cada nota nessa amostra.

> > > > > > + + > + +

# dados a serem utilizados grades tabela1 <- table(grades[,1]) tabela2 <- table(grades[,2]) # criando o gr´ afico barplot(tabela1, main = "Frequ^ encias de Notas anteriores", col = topo.colors(9)) barplot(tabela2, main = "Frequ^ encias de Notas atuais", col = topo.colors(9))


77

Frequências de Notas anteriores

5 2

0 2

5 1

0 1

5

0

A

A−

B+

B

B−

C+

C

D

F

D

F

Figura 2.15

Frequências de Notas atuais

0 2

5 1

0 1

5

0

A

A−

B+

B

B−

C+

Figura 2.16

Veja outro exemplo a seguir:

C


78

Exemplo: Vamos esbo¸car um gr´ afico de barras para os dados da POF para a renda média por Unidade de Federa¸cão. Precisamos calcular a renda m´ edia por UF antes de esbo¸ c ar o gráfico. > > > > + + + +

# calculando a renda m´ e dia por UF renda <- tapply(dados[,31], dados[,2], mean) #criando o gr´ afico barplot(renda, names = c("BA","MG","RJ","SP","RS","DF"), ylim = c(0,5000), main = "Renda Média por UF", col = gray.colors(6))

Renda Média por UF 0 0 0 5

0 0 0 4

0 0 0 3

0 0 0 2

0 0 0 1

0

BA

MG

RJ

SP

RS

DF

Figura 2.17 Por esse gráfico po demos comparar a renda média em cada estado contido na amostra. Na Bahia, por exemplo, a renda média domiciliar n˜ ao ultrapassa R$3.000,00. Enquanto em


79

Minas Gerais, a renda média se aproxima dos 5 mil reais. ´ o´timo para comparar diversas Pode ser feito também um gr´ afico de barras m´ ultiplas. E vari´ aveis diferentes. Veja o exemplo a seguir. Exemplo: Fa¸camos um gr´ afico de barras que mostre os tipos de domic´ılios de acordo com as unidades de federa¸caõ. Nesse caso, foram inseridos os seguintes argumentos na fun¸ c˜ ao barplot: • beside

– TRUE para colocar as barras lado a lado ou FALSE para colocar as barras

uma em cima da outra; • legend.text –

> > > > + + + + +

para adicionar a legenda ao gr´ afico;

#tabela de dados que mescla UF com os tipos de domic´ılios tabela <- table(dados[,2],dados[,12]) #criando o gr´ afico barplot(tabela, names = c("Casa","Apartamento","Cômodo"), main = "Tipos de Domic´ ılios por UF", beside = T, col = terrain.colors(6), legend.text = c("BA ", "MG", "RJ", "SP", "RS", "DF"))

No gr´ afico 2.18, comparamos trˆ es categorias de tipo de domic´ılio de acordo com cada UF. Observando Rio de Janeiro (cor amarela) e São Paulo (cor laranja), percebe-se que SP é superior em número de casas em rela¸cã o ao Rio. Mas em rela¸ cão a apartamentos, SP é inferior.


80

Tipos de Domicílios por UF

BA MG RJ SP RS DF

0 0 5

0 0 4

0 0 3

0 0 2

0 0 1

0

Casa

Apartamento

Cômodo

Figura 2.18

Outros gráficos H´ a ainda, outros gr´ aficos que permitem descrever os dados. Abaixo ser´ a mostrado um breve resumo sobre eles. • Ramo

– e – folhas

O diagrama de ramo-e-folhas é uma boa maneira de organizar os dados a fim de obter uma apresenta¸caõ que facilite a visualiza¸cão de informa¸cões. Recomenda-se que seja utilizado para quantidades pequenas de dados, pois em grandes quantidades é poss´ıvel a perda de informa¸cões. No R, utiliza-se a fun¸cão stem() para fazê-lo.


81

Exemplo: Vamos fazer o diagrama para a vari´ avel Renda Total Mensal do Domic´ılio (coluna 31). > stem(dados[,31]) The decimal point is 4 digit(s) to the right of the | 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

| | | | | | | | | | | |

00000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000+3096 00000000000000000000000000000000000000000011 111111111111111111111111+165 000001111111222223333334444444555555555556888899 01223333334455566678888 345567 3 29 6 8

7

` esquerda de | est´ A a o ramo e à direita est˜ ao as folhas. O R nos informa que o ponto decimal est´ a quatro d´ıgitos a` direita de |. Isso significa que os algarismos a` direita de | representam a casa dos mil´ esimos em um n´ umero. Porém, como os valores da renda s˜ ao altos e a quantidade de dados é grande, perdem-se informa¸cõ es. Assim, o R trunca os n´ umeros. Por exemplo, a maior observa¸caõ que é 117219.2, é representada por 11|7 que é 117000, j´ a que a folha 7 representa a casa dos milésimos.

c˜ ao • Distribui¸

Emp´ırica

Um gr´ afico de distribui¸caõ emp´ırica é u´til para determinar a propor¸caõ de valores que est˜ ao abaixo de um n´ umero particular. Para construir esse gr´ afico, é necessário ordenar os dados. Utilizaremos a fun¸caõ plot() já vista anteriormente. Exemplo: Vamos esbo¸car este gráfico para a variável Renda Total Mensal do Domic´ılio (coluna 31). > # n´ umero de observa¸coes ~


82 > > > > > > > + + + +

n <- length(dados[,31]) #vetor de propor¸c~ oes y <- (1:n)/n #ordenando a renda renda <- sort(dados[,31]) #esbo¸ c ando o gr´ afico plot(renda, y, type ="S", xlab ="Renda Total Mensal do Domic´ılio", ylab ="Probabilidade", main ="Distrib. Emp´ırica da Renda dos Domic´ ılios")

Distrib. Empírica da Renda dos Domicílios 0 . 1

8 . 0

e d a d i l i b a b o r

P

6 . 0

4 . 0

2 . 0

0 . 0

0

20000

40000

60000

80000

100000

120000


Figura 2.19 Se fosse tra¸cada uma reta para a renda R$10.000,00, atrav´ es desse gr´ afico ver´ıamos que aproximadamente 90% dos dados estariam abaixo dele. Essa é a ideia de um gr´ afico de distribui¸cão emp´ırica.


83

Vamos adicionar essas linhas ao gr´ afico para uma melhor visualiza¸cão.

Adicionando elementos ao gr´ afico Podemos adicionar pontos, linhas, curvas, textos e etc. ao gr´ afico para facilitar a visualiza¸caõ de algumas informa¸co˜es. Veremos a seguir como adicionar esses elementos. 1. Adicionando linhas ao gr´ afico: No R, para adicionar linhas a um gr´ afico pronto, utiliza-se a fun¸caõ abline(). Os principais argumentos dessa fun¸cão s˜ ao: •

v – adiciona linhas verticais;

•

h – adiciona linhas horizontais;

•

col – vetor de cores para as linhas;

•

lty – tipo de linha;

•

lwd – espessura da linha.

Exemplo: Vamos adicionar linhas horizontais e verticais ao gráfico anterior que facilitem a visualiza¸ caõ da propor¸caõ de domic´ılios com renda inferior a cinco e dez mil reais. > > > + > >

# ap´ os ter esbo¸ c ado o gr´ afico anterior # adicionando 2 linhas verticais e tracejadas abline(v = c(5000, 10000), col = c("tomato","blue"), lty = 2) # adicionando 2 linhas horizontais e pontilhadas abline(h = c(0.8, 0.9), col = "gray", lty = 3)


84


8 . 0

e d a d i l i b a b o r P

6 . 0

4 . 0

2 . 0

0 . 0

0

20000

40000

60000

80000

100000

120000


Figura 2.20 As linhas tracejadas representam, respectivamente, renda igual a cinco e dez mil reais. Repare que a propor¸caõ de domic´ılios com renda inferior a cinco mil reais é 80%. 2. Adicionando pontos ao gr´ afico: No R, para adicionar pontos a um gr´ afico pronto, utiliza-se a fun¸cão points(). Os principais argumentos dessa fun¸cão s˜ ao: •

x,y – coordenadas (x,y) para posi¸cão do ponto;

•

col – cor do ponto;

•

pch – tipo do ponto.

Sintaxe: points(x,y,...)


85

Exemplo: Vamos adicionar os pontos 5 e 10 mil ao gr´ afico de distribui¸caõ emp´ırica. > > > >

# ap´ os ter esbo¸ c ado o gr´ afico na se¸ cao ~ 5.6 # adicionando 2 pontos ao gráfico points(5000,0.8, col = "blue", pch = 19) points(10000,0.9, col = "red", pch = 19)


8 . 0


6 . 0

4 . 0

2 . 0

0 . 0

0

20000

40000

60000

80000

100000

120000


Figura 2.21

3. Adicionando textos ao gr´ afico: No R, para adicionar textos a um gr´ afico pronto, utiliza-se a fun¸cão text(). Os principais argumentos dessa fun¸cão s˜ ao: •

x,y – coordenadas (x,y) para posi¸cão do texto;

• labels – •

texto a ser escrito;

pos – posi¸cã o do texto: 1 (abaixo), 2 (` a esquerda), 3 (acima) e 4 (` a direita).


86 (default: centro); •

cex – tamanho do texto;

•

col – cor do texto.

Sintaxe: text(x,y, labels = , ...) Exemplo: Vamos adicionar ao gr´ afico anterior, ao lado direito de cada ponto, os textos 5 mil e 10 mil. > > > >

# ap´ os ter esbo¸ c ado o gr´ afico anterior # adicionando 2 textos ao gráfico text(5000,0.8, labels = "5 mil", col = "blue", pos = 4) text(10000,0.9, labels = "10 mil", col = "red", pos = 4)


10 mil 8 . 0


5 mil

6 . 0

4 . 0

2 . 0

0 . 0

0

20000

40000

60000

80000


Figura 2.22

100000

120000


87

4. Adicionando t´ıtulos ao gr´ afico: H´ a uma fun¸cão no R que permite adicionar t´ıtulos a um gr´ afico de outra maneira. Esta fun¸cão permite alterar o tipo e a cor da fonte tanto dos eixos quanto do t´ıtulo principal. Assim, você pode criar um gr´ afico sem t´ıtulos e adicion´ a-los depois. Utilizamos a fun¸caõ title().

Sintaxe: title(main = , xlab = , ylab = , ...) Os principais argumentos da fun¸cão title() s˜ ao: • main –

t´ıtulo principal;

• font.main –

tipo de fonte do t´ıtulo principal;

• col.main –

cor da fonte do t´ıtulo principal;

• cex.main –

tamanho do t´ıtulo principal;

• xlab –

texto do eixo x;

• ylab –

texto do eixo y;

• font.lab – • col.lab – • cex.lab –

tipo de fonte do texto dos eixos x e y.

cor da fonte do texto dos eixos x e y; tamanho do texto dos eixos x e y.

Exemplo: Suponha o gráfico 2.23 sem t´ıtulo e sem texto nos eixos. > # Gr´ afico > plot(1:10, 1:10, xlab = "", ylab = "", pch = 19)


88

0 1

8

6

4

2

2

4

6

8

10

Figura 2.23 Vamos adicionar ao gr´ afico o t´ıtulo principal e textos nos eixos x e y. > # Adicionando t´ ıtulo ao gr´ afico > title(main = "T´ıtulo do gr´ afico", + font.main = 8, + col.main = "blue", + xlab = "eixo x", ylab = "eixo y", + font.lab = 10, + col.lab = "red")


89

Título do gráfico 0 1

8

y

6

o x i e

4

2

2

4

6

8

10

eixo x

Figura 2.24

5. Esbo¸cando retas A fun¸cão lines() permite adicionar retas a um gr´ afico pronto. Parecida com a fun¸caõ ao lines() tra¸ca retas entre os pontos informados. points() vista anteriormente, a fun¸c˜

Sintaxe: lines(x, y, ...) Os principais argumentos da fun¸cão lines() s˜ ao: •

x,y – coordenadas (x,y) para os pontos;

• type –

tipo de linha que liga os pontos. (default = ”l”);

Exemplo: Utilizando um gr´ afico j´ a esbo¸cado, vamos adicionar uma reta nele.


90

> # Gr´ afico > plot(0:10, 0:10, pch = 19, main = "Gráfico")

Gráfico

0 1

8

6

0 1 : 0

4

2

0

0

2

4

6

8

0:10

Figura 2.25

> # Adicionando 6 pontos que ser~ ao ligados por uma linha > lines(c(0,2,4,6,8,10), c(1,4,2,8,9,4), type = "o")

10


91

Gráfico

0 1

8

6

0 1 : 0

4

2

0

0

2

4

6

8

10

0:10

Figura 2.26 6. Esbo¸cando curvas ou expressões O R permite o esbo¸co de expressões através da fun¸cão curve().

Sintaxe: curve(expr, from = , to = , add =, ...) Os principais argumentos da fun¸cão curve() s˜ ao: • expr –

expressão a ser desenhada;

• from –

valor inicial;

•

to – valor final;

•

add – lógico: se TRUE esbo¸ca em um gráfico j´ a existente;

Exemplo: Utilizando um gr´ afico j´ a esbo¸cado, vamos adicionar nele uma express˜ a o de


92 uma fun¸cão quadr´ atica. > > > >

# Gr´ afico plot(0:10, 0:10, pch = 19, main = "Gráfico") # Adicionando a express~ ao x^2 ao gr´ afico curve(x^2, from = 0 , to = 10 , add = T, col = "blue")

Gráfico

0 1

8

6

0 1 : 0

4

2

0

0

2

4

6

8

10

0:10

Figura 2.27

M´ ultiplos Gráficos No R, é poss´ıvel esbo¸car diversos gráficos em uma janela ao mesmo tempo. Para isso, use a fun¸caõ par().


93

Sintaxe: par(mfrow = c(n´ umero de linhas, n´ umero de colunas) Exemplo: Vamos esbo¸car quatro gráficos (j´ a feitos anteriormente nas se¸cões anteriores) em uma só janela.

> # Exibe 4 grá ficos na tela: 2 linhas e 2 colunas > par(mfrow=c(2,2)) > #Gr´ afico 1 - Histograma > hist(galton$child, main = "Distribui¸c~ ao da altura dos filhos", xlab = "Altura (cm)", col = "skyblue1", + border = "skyblue4") > #Gr´ afico 2 - Boxplot > boxplot(galton$parent, main = "Boxplot para a altura dos pais", ylab = "Altura (cm)", col = "seagreen3") > #Gr´ a fico 3 - Pizza > prop <- table(kid.weights[,4]) > pie(prop, main = "Composi¸ cao ~ por sexo", + labels = c("51.6%", "48.4%"), + col = c("palevioletred2", "dodgerblue3")) > #Gr´ a fico 4 - Barras > renda <- tapply(dados[,31], dados[,2], mean) > barplot(renda, + names = c("BA","MG","RJ","SP","RS","DF"), + ylim = c(0,5000), + main = "Renda M´ edia por UF", + col = gray.colors(6))


94

Distribuição da altura dos filhos

Boxplot para a altura dos pais 5 8 1

0 5 1 y c n e u q e r F

) m c ( a r u t l A

0 0 1

0 5

0 8 1 5 7 1 0 7 1 5 6 1

0

155 160 165 170 175 180 185 Altura (cm)

Composição por sexo

Renda Média por UF 0 0 0 5

51.6%

0 0 0 3

48.4%

0 0 0 1 0

BA

MG

RJ

SP

RS

DF

Figura 2.28 O preenchimento dos gr´ aficos na tela é por linha. Observe que quanto maior o n´ umero de gr´ aficos, pior pode ficar a visualiza¸cã o dos mesmos.

˜ AO R E ESTAT ÍSTICA DESCRITIVA 2.3. EXERC ÍCIOS: INTRODU¸ C AO

95

Exerc´ıcios: Introdu¸c˜ ao ao R e Estat´ıstica Descritiva 1. Sobre a base de dados que será utilizada no exerc´ıcio: base_ipea.csv

Durante os meses de maio e junho de 2013, o Instituto de Pesquisa Econˆ omica Aplicada(IPEA (2015)) realizou a pesquisa intitulada de“Tolerˆ ancia social a` violência contra a mulher”. A pesquisa foi feita por amostragem, ou seja, foi selecionada uma parte da popula¸cão do Brasil. A amostra é composta por 3810 indiv´ıduos de ambos os sexos. E abrange os munic´ıpios metropolitanos e n˜ ao-metropolitanos das cinco regi˜ oes (Norte, Nordeste, Centro- Oeste, Sudeste e Sul). Na pesquisa, frases foram lidas para os entrevistados, que em seguida deveriam dizer se concordavam total ou parcialmente, ou se discordavam total ou parcialmente ou se nem concordavam nem discordavam (neutralidade).

Importante: a base de dados base_ipea.csv possui observa¸co˜es faltantes (NA). Assim, em algumas fun¸cões para calcular estat´ısticas descritivas ser´ a necessá rio a inclus˜ ao do argumento na.rm = T para desconsiderar esses valores. Utilizando as fun¸ co ˜es vistas em sala:

(a) Defina o seu diret´ orio de trabalho para o local onde se encontra a base de dados.

(b) Importe a base de dados base_ipea.csv para o R (que se encontra nesse endere¸co: “https://github.com/pedrocostaferreira/TSinR”).

(c) A base é composta por quantas linhas e colunas?

(d) Calcule a frequˆ encia de pessoas em cada regi˜ ao do Brasil.

96

´ CAP ÍTULO 2. ESTAT ÍSTICA DESCRITIVA E GR AFICOS (e) Qual é a região mais frequente (moda)?

(f) Qual é a idade da pessoa mais nova nessa amostra? E da mais velha?

(g) Calcule a m´ edia, a mediana e a moda para a vari´ avel idade. A partir disso, o que você pode dizer sobre a distribui¸cão dessa vari´ avel (assimétrica positiva, assimétrica negativa ou simétrica)?

(h) Classifique as idades de acordo com as faixas et´ arias a seguir. (Crie uma nova coluna no data frame para essa classifica¸cão). A amostra é composta de mais Jovens, Adultos ou Idosos? Idade (x) x ≤ 29 30 ≤ x ≤ 59 x ≥ 60

Faixa Et´ aria Jovens Adultos Idosos

(i) Calcule a m´ edia, a mediana, o primeiro quartil, o terceiro quartil e os valores m´ aximo e m´ınimo para a vari´ avel “renda total de todos os moradores, parentes e agregados no u ´ltimo mês”. Comente os resultados.

(j) Interprete o primeiro e o terceiro quartis encontrados no item anterior.

(k) Crie uma fun¸caõ que calcule o coeficiente de varia¸cão.

(l) Calcule o coeficiente de varia¸ cão para a vari´ avel idade e renda. Compare os dois coeficientes de varia¸cão.

(m) Calcule o desvio-padr˜ ao para a renda de acordo com cada região do Brasil. Qual é


97

a regi˜ ao que possui um comportamento mais homogêneo em rela¸ cão a` renda?

2. Crie um histograma para a vari´ avel “renda total de todos os moradores, parentes e agregados no u ´ltimo mês”. Defina o t´ıtulo do gr´ afico como “Histograma para a renda total do domic´ılio” e o texto do eixo x como “Renda total do domic´ılio”. Baseado no gráfico, vocˆ e conclui que a distribui¸cão da vari´ avel é assimétrica positiva, assimétrica negativa ou simétrica?

3. Crie um boxplot para a vari´ avel “n´ umero de moradores no domic´ılio, parentes e agregados”. (N˜ ao se esque¸ca do t´ıtulo do gr´ afico). Baseado no gr´ afico, qual é o n´ umero mediano de moradores no domic´ılio? H´ a outliers (valores extremos)? Se sim, a partir de qual valor um domic´ılio é considerado com n´ umero de moradores extremos?

4. Crie um gráfico de dispersão (gr´ afico de pontos) para as variáveis “renda total de todos os moradores, parentes e agregados no u´ltimo mês” e “renda total do chefe da fam´ılia no ´ poss´ıvel u ´ltimo mês”. (Não esque¸ca de colocar o t´ıtulo principal e o texto nos eixos). E notar alguma rela¸cão entre essas variáveis?

5. Crie uma tabela de frequˆ encias para a vari´ avel “sexo”. Fa¸ca o mesmo para a variável “religi˜ ao”.

6. Utilizando a tabela de frequências para a vari´ avel “sexo”, crie um gr´ afico de pizza para essa variável. (N˜ ao se esque¸ca do t´ıtulo do gráfico). Visualizando o gr´ afico, esta amostra é composta por mais homens ou mulheres?

7. Utilizando a tabela de frequências para a vari´ avel “religi˜ ao”, crie um gr´ afico de barras para essa vari´ avel. (N˜ ao se esque¸ca do t´ıtulo do gr´ afico). Visualizando o gr´ afico, qual é a religi˜ ao mais frequente na amostra?


98

8. Utilizando a fun¸cão par(), esboce os dois u ´ ltimos gr´ aficos na mesma janela.

9. Utilizando a fun¸ cão “rolldie( )”, que lan¸ca um dado de lados espec´ıficos quantas vezes o usu´ ario quiser (instalar o pacote“prob”(Kerns e Kerns (2013))). Selecionamos um dado de 6 lados que será rodado 2 vezes. Responda: (a) Qual a probabilidade do primeiro lan¸ camento ser um n´ umero par? (b) Qual a probabilidade de se tirar um n´ umero maior que quatro no primeiro lan¸camento e outro menor do que trˆ es no segundo? (c) Qual a probabilidade da soma dos dois valores que se tirou ser maior do que 10?

10. Utilizando a fun¸cão “cards( )”, que cria um baralho de 52 cartas (instalar o pacote “prob”): ´ qual a probabilidade dele ser de espadas? (a) Sabendo que se tirou um As, (b) Sabendo que a carta é de copas, qual a probabilidade de ser um valete?

11. Para os itens abaixo, utilize a base de dados“ex con.txt” (que se encontra nesse endere¸ co: “https://github.com/pedrocostaferreira/TSinR”): (a) Qual a probabilidade do entrevistado ser do sexo feminino e n˜ ao ser fumante? (b) Qual a probabilidade do entrevistado ser fumante?

12. Considere que o evento seja lan¸c ado uma moeda n˜ a o viciada, 1.000 vezes. Qual a probabilidade de se tirar Cara?

13. Uma urna cont´ em cinco bolas brancas (B) e sete vermelhas (V). Suponha que s˜ ao sorteadas 1.000 bolas ao acaso, com reposi¸cao. ˜ Qual a probabilidade de se tirar uma bola branca?


99

14. Suponha que você est´ a em um game show, e é dada a op¸ caõ de três portas: Atr´ as de uma das portas existe um carro; atr´ as dos outros, cabras. Você escolhe uma porta e o anfitri˜ ao abre uma outra porta que tem uma cabra. Ele, ent˜ ao, lhe diz: “Vocˆ e quer ´ vantajoso realizar a troca? (Suponha que escolher outra porta ou manter a sua?”. E esse game show j´ a ocorreu 1.000 vezes no passado)

100


Parte II

An´ alise de S´ eries Temporais: Modelos Univariados

101

NAIVE, M´ edias M´ oveis e Modelo de Amortecimento Exponencial Diego Camillo Vilela de Almeida Pedro Costa Ferreira

[Em constru¸caõ]

104CAP ÍTULO 3.

´ ´ NAIVE, M EDIAS M OVEIS E MODELO DE AMORTECIMENTO EXPONENCIAL

Introdu¸c˜ ao Este cap´ıtulo tem como objetivo apresentar algumas formas de suaviza¸ cões e previsões utilizando o software R. Em cada se¸cão abordaremos um modelo e explicaremos o que ele faz e quando deve ser usado. Veremos os modelos NAIVE (Ingênuo), Média M´ ovel e também alguns modelos de Amortecimento Exponencial. Ao final do cap´ıtulo, usaremos como exemplo os dados de carga da ONS (2015) para avaliar, dentre todos os modelos apresentados, qual seria o mais indicado para a série temporal. Para constru¸cão desse cap´ıtulo foi utilizado como base o livro de Morettin e Toloi (2006), e os pacotes forecast (Hyndman et al. (2012)), TTR (Ulrich et al. (2013)) e ggplot2 (Wickham et al. (2013)).

Modelo NAIVE O modelo NAIVE, também conhecido como modelo ingênuo, é o modelo mais simples de previs˜ oes para uma série temporal. A previsão dele é igual ao valor da u´ltima observa¸cão ou, quando h´ a sazonalidade, a previs˜ ao de um mês futuro é igual ao valor da ultima ´ observa¸caõ do mesmo mês. Este modelo é o modelo de referência para previs˜ oes pelo fato de não ter praticamente “nenhum custo”, ser r´ apido e fácil de preparar, embora n˜ ao tenha muita precis˜ ao. Em outras palavras, partimos normalmente do modelo NAIVE e só trocamos para outro se for mais vantajoso (custo-benef´ıcio).

As equa¸co˜es utilizadas para estimar o valor futuro s˜ ao essas:

E [Y t +1 | Y t ] = Y t

(sem sazonalidade)

E [Y t +12 | Y t ] = Y t

(com sazonalidade)

105

3.1. MODELO NAIVE

Como exemplo de aplica¸cão no R, utilizaremos as fun¸cões naive() e snaive() do pacote forecast (Hyndman et al. (2012)). Estimaremos o valor futuro das séries temporais gold e

wineind . A série temporal gold refere-se aos pre¸cos di´ arios do ouro em dólares americanos no per´ıodo de 1 o de janeiro de 1985 a 31 de mar¸co de 1989 e a série temporal wineind refere-se às vendas totais australianas de vinho por fabricantes de vinho em garrafas de 1 litro ou menos no per´ıodo de jan/1980 a ago/1994. Os principais argumentos das fun¸co˜es naive() e snaive() s˜ ao: •

erie temporal que queremos prever (argumento obrigatório) ; x: s´

•

umero de per´ıodos de previsão (default = 10); h: n´

• level:

n´ıvel de confian¸ca para o intervalo de previsão (default = c(80,95)).

Este modelo é um caso particular de média m´ ovel, onde o tamanho da “janela” é igual a um. Para saber se ele é um bom modelo, verifica-se a acuracidade. Neste caso, o MAPE e o RMSE deram 0,7737 e 6,0712 respectivamente. Aparentemente, é um bom modelo, uma vez que as medidas de erro são pequenas. No entando, é importante verificar se existem modelos melhores. Em rela¸ cão a previsão, o valor previsto para os pr´ oximos dias foi 382,3 (o u´ltimo valor observado). O modelo NAIVE é igual ao ARIMA(0,1,0) passeio aleat´ orio.

> install.packages("forecast") > library("forecast") > summary(naive(gold,h=12))

Forecast method: Naive method Model Information: Series: x ARIMA(0,1,0) sigma^2 estimated as 36.86: AIC=6938.46 AICc=6938.46

log likelihood=-3468.23 BIC=6943.47

Error measures: ME

RMSE

MAE

MPE

MAPE

106CAP ÍTULO 3.


Training set 0.06703449 6.071223 3.080662 0.01051411 0.7736669 MASE ACF1 Training set 1.001702 -0.306562 Forecasts: Point Forecast Lo 80 Hi 80 Lo 95 Hi 95 1109 382.3 374.5194 390.0806 370.4006 394.1994 1110 382.3 371.2966 393.3034 365.4717 399.1283 1111 382.3 368.8236 395.7764 361.6897 402.9103 1112 382.3 366.7388 397.8612 358.5012 406.0988 1113 382.3 364.9021 399.6979 355.6922 408.9078 1114 382.3 363.2415 401.3585 353.1526 411.4474 1115 382.3 361.7145 402.8855 350.8172 413.7828 1116 382.3 360.2932 404.3068 348.6435 415.9565 1117 382.3 358.9582 405.6418 346.6019 417.9981 1118 382.3 357.6956 406.9044 344.6709 419.9291 1119 382.3 356.4947 408.1053 342.8342 421.7658 1120 382.3 355.3473 409.2527 341.0793 423.5207

Na figura 3.1, vemos a série temporal gold e suas previsões. Ao utilizar a fun¸cão plot() para esbo¸car a figura, repare que foi utilizado o argumentgo include para dar um zoom nas u ´ ltimas observa¸cões.

> plot(naive(gold,h=12),include=200)

107

3.1. MODELO NAIVE

Forecasts from Naive method 0 4 4

0 2 4

0 0 4

0 8 3

0 6 3

0 4 3

950

1000

1050

1100

Figura 3.1 A figura 3.1 mostra que a previs˜ ao para qualquer tempo futuro é igual ao u´ltimo valor observado e o intervalo de confian¸ca vai aumentando com o tempo. Esse modelo desperdi¸ ca muita informa¸cão, ignorando todas as observa¸cões anteriores à u ´ ltima. Por outro lado, ele se adapta mais r´ apido a mudan¸ca de comportamento da série.

J´ a com rela¸cão a` s´ erie temporal de venda de vinho (wineind ) , a fun¸cão snaive() é melhor do que a naive(), pois quando comparado a acurácia dos dois modelos, percebe-se que o MAPE e RMSE do modelo snaive é menor. O modelo SNAIVE é igual ao SARIMA (0, 0, 0)(0, 1, 0)12 .

> summary(naive(wineind,h=12))

Forecast method: Naive method Model Information: Series: x ARIMA(0,1,0)

108CAP ÍTULO 3.


sigma^2 estimated as 45850198: log likelihood=-1791.89 AIC=3585.78 AICc=3585.81 BIC=3588.95 Error measures: ME RMSE MAE MPE MAPE MASE ACF1 Training set 46.97143 6771.277 4833.726 -3.913764 21.32904 2.456938 -0.3002302 Forecasts: Point Forecast Lo 80 Hi 80 Lo 95 Hi 95 Sep 1994 23356 14678.2588 32033.74 10084.5401 36627.46 Oct 1994 23356 11083.8207 35628.18 4587.3214 42124.68 Nov 1994 23356 8325.7113 38386.29 369.1571 46342.84 Dec 1994 23356 6000.5176 40711.48 -3186.9199 49898.92 Jan 1995 23356 3951.9807 42760.02 -6319.8866 53031.89 Feb 1995 23356 2099.9619 44612.04 -9152.3050 55864.30 Mar 1995 23356 396.8548 46315.15 -11756.9825 58468.98 Apr 1995 23356 -1188.3587 47900.36 -14181.3573 60893.36 May 1995 23356 -2677.2237 49389.22 -16458.3798 63170.38 Jun 1995 23356 -4085.4272 50797.43 -18612.0413 65324.04 Jul 1995 23356 -5424.8117 52136.81 -20660.4530 67372.45 Aug 1995 23356 -6704.5774 53416.58 -22617.6858 69329.69

> summary(snaive(wineind,h=12))

Forecast method: Seasonal naive method Model Information: Series: x ARIMA(0,0,0)(0,1,0)[12] sigma^2 estimated as 7259042: log likelihood=-1528.12 AIC=3058.24 AICc=3058.27 BIC=3061.34 Error measures: ME RMSE MAE MPE MAPE MASE ACF1 Training set 355.0122 2694.261 1967.378 0.8684261 7.887751 1 0.08275386 Forecasts: Point Forecast Lo 80 Hi 80 Lo 95 Hi 95 Sep 1994 22724 19271.17 26176.83 17443.346 28004.65 Oct 1994 28496 25043.17 31948.83 23215.346 33776.65

109

3.1. MODELO MODELO NAI NAIVE VE Nov Dec Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug

1994 1994 1995 1995 1995 1995 1995 1995 1995 1995

328 32857 371 37198 13652 227 22784 235 23565 263 26323 237 23779 275 27549 296 29660 233 23356

29404 404.17 33745 745.17 10199.17 19331 331.17 20112 112.17 22870 870.17 20326 326.17 24096 096.17 26207 207.17 19903 903.17

3630 6309.83 4065 0650.83 17104.83 2623 6236.83 2701 7017.83 2977 9775.83 2723 7231.83 3100 1001.83 3311 3112.83 2680 6808.83

275 27576.346 319 31917.346 8371.346 175 17503.346 182 18284.346 210 21042.346 184 18498.346 222 22268.346 243 24379.346 180 18075.346

38137.65 42478.65 18932.6 5 28064.65 28845.65 31603.65 29059.65 32829.65 34940.65 28636.65

> plot(snaive(wi plot(snaive(wineind)) neind))

Forecasts from Seasonal naive method

0 0 0 0 4

0 0 0 0 3

0 0 0 0 2

0 0 0 0 1

1980

1985

1990

1995

Figura 3.2

A figura 3.2 3.2 mostra mostra que a previsão ao para qualquer tempo futuro é igual ao ultimo u´ltimo ano, por exemplo, para qualquer janeiro futuro vai ser igual ao ultimo u ´ltimo valor de janeiro observado, e o intervalo de confian¸ca c a vai vai aume aumen ntand tandoo com com os anos. anos. Esse Esse modelo modelo n˜ ao ao é influenciado influenc iado por qualquer valor mais próximo, oximo, mas sim pelo valor do mesmo mês es mais mai s pr´ oximo. oximo. Mesmo aproveitando a informa¸c˜ cao ão de um ano, o modelo mo delo ainda tem disperd disp erd´´ıcio de informa¸ cões. oes.

110CAP 110 CAP ÍTULO 3.

´ ´ NAIVE, NAIVE, M EDIAS M OVEIS E MODELO DE AMORTECIMENTO EXPONENCIAL

Média M´ ovel ovel Como o pr´ oprio oprio nome já diz, média edia m´ ovel ovel é uma média edia que se movimenta, movimenta, ou seja, todas toda s as médias edias m´ oveis oveis têm em como padr˜ ao ao um intervalo intervalo de per´ per´ıodo fixo (“janela”) “janela”) onde para cada nova informa¸c˜ cao ão que entrar, retira-se a mais antiga e recalcula-se a média. edia. Esse tipo de modelo possui o objetivo objetivo de suavizar suavizar a ST, obtendo obtendo uma medida medida de tendˆ tendência. encia. As m´ edias edias m´ oveis mais conhecidas são: oveis ao: Simples, Ponderada e Centrada.

Médi ed ia Móvel ovel Centrada Existem duas formas de calculá-la a-la ao considerar considerar o tamanho tamanho da “janela” “janela”:: i. Quando n é impar, imp ar, faz-se faz -se a média edia de n observa¸c˜ cões oes consecutivas, colocando o resultado exatamente na posi¸c˜ cao ão central:

Z t t = (Y t t −m + Y t −(m−1) + .... + Y t +( +(m−1) + Y t t +m )/n

Onde m = (n − 1)/2.

ii. Quando n é par, faz-se uma soma ponderada das n + 1 observa¸c˜ coes ões consecutivas, sendo que a primeira e a ultima u ´ ltima observa¸c˜ cão ao têm em peso pe so 1/(2n), as demais observa¸c˜ coes o˜e s têm em peso pe so 1/(n).

O resultado res ultado também em é coloca co locado do exatamente exatame nte na posi¸ posic˜ ¸ao ao central.

Z t t = (Y t t −m /2 + (Y t −(m−1) + .... + Y t +( +(m−1) ) + Y t t +m /2)/n

Onde m = n/2.

Para calcul cal cular ar a média edi a móvel ovel centrada no R no R,, usaremo usar emoss a fun¸c˜ cãaoo ma() do pacote forecast. Suavizaremos Suavizarem os a série erie temporal temp oral wineind wineind .

´ ´ 3.2. .2. M EDIA M OVEL

111

Os principais argumentos da fun¸c˜ cãaoo ma() são: ao: •

erie erie temporal temp oral que queremos suavizar (argumento obrigat´ orio) orio) ; x: s´

• order:

tamanho tamanho da “janela” “janela” (argument (argumento o obrigat´ orio).

Lembre-se que o pacote forecast precisa estar instalado e carregado para usarmos a fun¸c˜ cão. ao. Vejamos a série erie temporal temp oral wineind wineind suavi suavizada zada utilizando utili zando média edia m´ ovel ovel centrada.

> mm_centrada_6 mm_centrada_6 <- ma(wineind,or ma(wineind,order=6) der=6) > mm_centrada_12 mm_centrada_12 <- ma(wineind,or ma(wineind,order=12) der=12) > summary(mm_cen summary(mm_centrada_6 trada_6) )

Min. 1st Qu. Median 18450 24010 25740

Mean 3rd Qu. 25530 26980

Max. 30730

Mean 3rd Qu. 25620 26620

Max. 27810

NA s '

6

> summary(mm_cen summary(mm_centrada_1 trada_12) 2)

Min. 1st Qu. Median 21140 25010 25860

NA s '

12

Na figura 3.3 3.3 ´ é poss´ıvel ıvel notar que quanto maior é a “janela” “janela ”, mais suavizado ficar´ a a série, erie, e quanto menor é a “janela”, “janela”, mais pr´ oximo oximo da s´ erie erie original fica o ajuste. Observe Observe também em que a amplitude amplit ude é maior quando a “janela” é menor.

> > > >

plot(wineind) plot(wineind) lines(mm_centr lines(mm_centrada_6,c ada_6,col="red ol="red",lty=5 ",lty=5,lwd ,lwd =2) lines(mm_centr lines(mm_centrada_12, ada_12,col="bl col="blue",lty ue",lty=1,lwd =1,lwd =3) legend( legend( 'topleft ', legend=c("win legend=c("wineind", eind", "mm_centrada_6 "mm_centrada_6","mm_c ","mm_centrad entrada_12"), a_12"), bty = "n",col=c("bla "n",col=c("black","re ck","red", d", "blue"), "blue"), lty=c(1,5,1), lty=c(1,5,1), cex=0.8, lwd =c(1,2,3)) =c(1,2,3))



wineind mm_centrada_6 mm_centrada_12 0 0 0 5 3

d n i e 0 n 0 i w 0 5 2

0 0 0 5 1

1980

1985

1990

1995

Time

Figura 3.3 Para obter uma s´ erie erie suavizada sem influˆ enica enica da sazonalidade, foi utilizada uma “janela” nela” de tamanh tamanho o 12. A figura figura 3.4 3.4 mostra mostra uma forte tendˆ encia encia de crescimento entre os anos 1980 e 1987.

> plot(wineind) plot(wineind) > mm_centrada_12 mm_centrada_12 <- ma(wineind,or ma(wineind,order=12) der=12) > lines(mm_centr lines(mm_centrada_12, ada_12,col="re col="red") d")

´ ´ 3.2. .2. M EDIA M OVEL

113

0 0 0 5 3 d n i e 0 n 0 i w 0 5 2

0 0 0 5 1

1980

1985

1990

1995

Time

Figura 3.4

Médi ed ia Móvel ovel Simples Para calcular calcul ar a média edia m´ ovel ovel simples, só é preciso prec iso fazer faz er a média edi a aritm´ ari tmética eti ca das r obserobs erva¸ c˜ cões oes mais recentes, ou seja:

M t t =

Z t t + Z t t −1 + · · · + Z t t −r +1 r

ou

M t t = M t t −1 +

Z t t − Z t t −r r

A utima u ´ti ma média edi a m´ ovel ovel é a previs˜ prev isão ao para todos os valores futuros, isto é:

ˆt t (h) = M t t Z

∀h > 0

ou

ˆt t (h) = Z ˆt t −1 (h + 1) + Z

Z t t − Z t t −r r

∀h > 0



Para calcular calcula r a média edia m´ ovel ovel simples no R, usaremos a fun¸c˜ cão ao a SMA() do pacote TTR. Vamos suavizar e prever pr ever a série erie temporal temp oral wineind wineind , mas antes devemos instalar e carregar os pacotes que iremos utilizar:

> install.packag install.packages("TTR es("TTR") ") > install.packag install.packages("for es("forecast") ecast") > install.packag install.packages("ggp es("ggplot2") lot2")

> library("TTR") library("TTR") > library("forec library("forecast") ast")

Para n˜ ao ao ter influˆ i nfluência encia da sazonalidade sazonal idade da série, erie, vamos utilizar utiliz ar uma “janela” “janela ” de tamanho taman ho 12.

> > > > > > >

# z = S´ erie erie temporal temporal # r = Tama Tamanh nho o da "jan "janel ela" a" # l = N´ umero umero de passo passos s a fren frente te z <- winei wineind nd l <- 12 r <- 12

A fun¸c˜ cãaoo IC_MMS() retorna a previsão ao do modelo com o intervalo de confian¸ca. ca.

> IC_MM IC_MMS S <- functio function( n(z, z,r, r,l){ l){ + smadf <<- SM SMA(z,r) ,r) + IC_I IC_I <<- rep( rep(sma smadf df[l [len ength gth(z (z)] )],l) ,l) - 1.9 1.96*s 6*sd( d(z) z)/sq /sqrt rt(r (r) ) + IC_S IC_S <<- rep( rep(sma smadf df[l [len ength gth(z (z)] )],l) ,l) + 1.9 1.96*s 6*sd( d(z) z)/sq /sqrt rt(r (r) ) + Prev Previs isao ao <- rep(s rep(sma madf df[le [leng ngth th(z) (z)], ],l) l) + cbind( cbind(IC_I IC_I,Pr ,Previs evisao, ao,IC_S IC_S) ) + }

> IC_MMS(z,r,l) IC_MMS(z,r,l)

IC_I C_I [1,] 22973.4 22973.4 [2,] 22973.4 22973.4 [3,] 22973.4 22973.4

Previsa isao IC_ IC_S 25995.2 25995.25 5 29017.1 29017.1 25995.2 25995.25 5 29017.1 29017.1 25995.2 25995.25 5 29017.1 29017.1

´ ´ 3.2. M EDIA M OVEL [4,] [5,] [6,] [7,] [8,] [9,] [10,] [11,] [12,]

22973.4 22973.4 22973.4 22973.4 22973.4 22973.4 22973.4 22973.4 22973.4

25995.25 25995.25 25995.25 25995.25 25995.25 25995.25 25995.25 25995.25 25995.25

115 29017.1 29017.1 29017.1 29017.1 29017.1 29017.1 29017.1 29017.1 29017.1

Vamos criar o gr´ afico da série temporal com sua suaviza¸ cão, previs˜ ao e intervalo de confian¸cão de 95%.

> > > > > + + + + + + + +

library(ggplot2) a <- IC_MMS(z,r,l) b <- c(z,a[,2]) smadf <- SMA(z,r) grafico <- ggplot(data=data.frame(b))+ geom_line(aes(c(1:length(b)),b))+ geom_smooth(data=data.frame(a), aes(ymin = IC_I, ymax = IC_S,x = c((length(b)-l+1):length(b)), y = Previsao), stat="identity")+ geom_line(data=data.frame(a),aes(c((length(b)-l+1):length(b)),IC_S))+ geom_line(data=data.frame(a),aes(c((length(b)-l+1):length(b)),IC_I))+ geom_line(data = data.frame(smadf),aes(c(1:(length(b)-l)),smadf), na.rm = T,col="red")+ labs(title =" Previs~ ao", x = "Tempo", y = "Dados")

> grafico

A figura 3.5 mostra a série suavizada que come¸ca no 12º mes. A previsão para os meses futuros é 25995.25 (´ ultima média m´ ovel de um per´ıodo de 12 meses).

116CAP ÍTULO 3.

´ ´ NAIVE, M EDIAS M OVEIS E MODELO DE AMORTECIMENTO EXPONENCIAL Previsão

40000

30000 s o d a D

20000

0

50

100

150

Tempo

Figura 3.5

Modelos de suaviza¸c˜ ao exponencial Quando temos uma série que n˜ ao apresenta tendência e nem sazonalidade, podemos utilizar a Suaviza¸ caõ Exponencial Simples (SES) para fazer previs˜ oes. J´ a quando temos uma série que apresenta tendência, mas sem sazonalidade, podemos utilizar a Suaviza¸ c˜ ao Exponencial de Holt (SEH) para fazer previsões. E quando temos uma série que apresenta sazonalidade, podemos utilizar a Suaviza¸caõ Exponencial de Holt-Winters (HW) para fazer previs˜ oes.

Modelos para s´ eries localmente constantes Suaviza¸ c˜ ao Exponencial Simples (SES) A SES dá pesos maiores a`s observa¸cões mais recentes captando melhor as mudan¸cas de comportamento. A previs˜ ao desse mo delo é igual ao u´ltimo valor exponencial suavizado obtido. O estimador de SES é obtido através da seguinte equa¸caõ:

3.3. MODELOS DE SUAVIZA¸ CAO ˜ EXPONENCIAL

ˆt = α Z t + (1 − α ) Z ˆt −1 Z

0 ≤ α ≤ 1

117

t = 1 , 2, · · · , N

Onde: Z t é o valor observado da s´ erie temporal Z no tempo t ; ˆt é o valor exponencialmente suavizado no tempo t ; Z

α é a constante de suaviza¸c˜ ao.

Para inicializar, assume-se:

ˆ 0 = Z 1 Z

A previsão é dada por:

ˆ N +h = Z ˆ N Z

∀h > 0

A constante α minimiza a soma de quadrados de ajustamento. No R, podemos utilizar a fun¸cão HoltWinters() do pacote forecast para fazer um SES. Lembre-se de instalar e carregar o pacote forecast para utilizar a fun¸cão. Para exemplo vamos criar uma série sem tendência e sem sazonalidade.

> serie = ts(runif(100,10,15),start = c(1915,1),frequency = 1)

Usando a fun¸cão HoltWinters() e definindo os parâmetros β e γ como FALSE, descobrimos que o melhor valor para a constante α é 0,09225788, note que pelo fato de α estar mais pr´ oximo de 0 do que de 1 indica que a estimativa do n´ıvel tem pouca influˆ encia dos valores mais pr´ oximos.

118CAP ÍTULO 3.


> ajuste<-HoltWinters(serie, beta=FALSE, gamma=FALSE) > ajuste

Holt-Winters exponential smoothing without trend and without seasonal component. Call: HoltWinters(x = serie, beta = FALSE, gamma = FALSE) Smoothing parameters: alpha: 0.09225788 beta : FALSE gamma: FALSE Coefficients: [,1] a 12.70608

O modelo encontrado foi:

ˆt = 0 , 09 Z t + 0, 91 Z ˆt −1 Z

t = 1 , 2, · · · , N

Agora vamos dar uma olhada no gr´ afico com a série original e a série prevista utilizando o modelo SES.

> plot(ajuste)


119

Holt−Winters filtering 5 1

4 1 d e t t i 3 F 1 / d e v r 2 e 1 s b O 1 1

0 1 1920

1940

1960

1980

2000

Time

Figura 3.6 Pela figura 3.6, podemos ver que a média é mais ou menos constante em torno de 12,5. Com a fun¸cão forecast.HoltWinters() podemos obter as previsões do modelo SES com os seus respectivos intervalos de confian¸ca. Vamos plotar a série original com a previs˜ ao para o próximo ano (figura 3.7).

> previsao<-forecast.HoltWinters(ajuste,h = 1) > plot(previsao)

120CAP ÍTULO 3.


Forecasts from HoltWinters

5 1

4 1

3 1

2 1

1 1

0 1

1920

1940

1960

1980

2000

Figura 3.7 A previsão é 12,70608 para qualquer tempo futuro, com o intervalo de confian¸ ca aumentando. Caso a s´ erie tenha tendˆ encia ou sazonalidade, devemos usar outro modelo que suavize melhor. Continuaremos o estudo para uma série com tendˆ encia, mas sem sazonalidade.

Modelos para s´ eries com tendˆ encia Suaviza¸ c˜ ao Exponencial de Holt (SEH) A SEH ajuda a evitar erros sistemáticos em que as previsõ es s˜ ao subestimadas ou superestimadas. A previs˜ ao desse modelo é feita com o u´ltimo valor exponencial suavizado obtido adicionado de h vezes o u ´ ltimo valor da tendência obtido.

Os estimadores de SEH são obtidos atrav´ es das seguintes equa¸cões:

ˆt = α Z t + (1 − α )( Z ˆt −1 + T ˆt −1 ) Z ˆt = β ( Z ˆ t − Z ˆt −1 ) + (1 − β )(T ˆt −1 ) T

Onde:

0 ≤ α ≤ 1 0 ≤ β ≤ 1

t = 3 , 4, · · · , N t = 3, 4, · · · , N


121

Z t é o valor observado da s´ erie temporal Z no tempo t ; ˆt ´ e o valor estimado do n´ıvel no tempo t ; Z ˆt ´ T e o valor estimado da tendência no tempo t ;

ao as constantes de suaviza¸cão. α e β s˜

Para inicializar, partimos que:

ˆ 2 = Z 2 ; Z

ˆ2 = Z 2 − Z 1 T

A previsão é dada por:

ˆ N +h = Z ˆ N + hT ˆ N Z

∀h > 0

As constantes α e β são as que juntas minimizam a soma de quadrados de ajustamento. No R, podemos utilizar a fun¸cão HoltWinters() do pacote forecast para fazer uma SEH. Lembre-se de instalar e carregar o pacote forecast para utilizar a fun¸cão. Vamos utilizar como exemplo a série airmiles que se refere à s milhas dos vˆ oos dos passageiros pelas companhias aéreas comerciais nos Estados Unidos. Os dados s˜ ao anuais de 1937 a 1960, logo n˜ ao tem sazonalidade, mas h´ a tendência. > airmiles

Time Series: Start = 1937 End = 1960 Frequency = 1 [1] 412 480 683 1052 1385 1418 1634 2178 3362 5948 6109 5981 [13] 6753 8003 10566 12528 14760 16769 19819 22362 25340 25343 29269 30514

122CAP ÍTULO 3.


Usando a fun¸caõ HoltWinters() e definindo o parˆ ametro γ como FALSE, descobrimos que os melhores valores para as constantes α e β são, respectivamente, 0,8072 e 0,3895. Note que o fato de α estar mais pr´ oximo de 1 do que de 0 indica que a estimativa do n´ıvel tem mais influˆ encia dos valores mais pr´ oximos, e β estar mais próximo de 0 do que de 1 indica que a estimativa da tendência tem pouca influência dos valores mais pr´ oximos.

> ajuste_com_tendencia<-HoltWinters(airmiles, gamma=FALSE) > ajuste_com_tendencia

Holt-Winters exponential smoothing with trend and without seasonal component. Call: HoltWinters(x = airmiles, gamma = FALSE) Smoothing parameters: alpha: 0.8072924 beta : 0.3895832 gamma: FALSE Coefficients: [,1] a 30668.871 b 2100.563

O modelo encontrado foi:

ˆt = 0 , 81 Z t + 0, 19( Z ˆt −1 + T ˆt −1 ) Z ˆt = 0 , 39( Z ˆt − Z ˆt −1 ) + 0, 61(T ˆt −1 ) T

t = 3 , 4, · · · , N t = 3 , 4, · · · , N

Agora vamos dar uma olhada no gr´ afico com a s´ erie original e a SEH juntas.

> plot(airmiles) > lines(fitted(ajuste_com_tendencia)[,1],col="red",lty=2,lwd =3) > legend( 'topleft ', legend=c("airmiles", "ajuste_com_tendencia"),bty = "n", col=c("black","red"), lty=c(1,2), cex=0.8,lwd =c(1,3))


123

airmiles ajuste_com_tendencia 0 0 0 5 2

s e l i m r i a

0 0 0 5 1

0 0 0 5 0

1940

1945

1950

1955

1960

Time

Figura 3.8 Pela figura 3.8 podemos ver que a suaviza¸cão acompanha a tendˆ encia de crescimento da série original.

Com a fun¸cão forecast.HoltWinters() podemos obter as previsões do modelo SEH com os seus respectivos intervalos de confian¸ca. Vamos plotar a série original com as previs˜ oes ´ poss´ıvel ver a tendência de crescimento nas previsões (figura para os próximos dez anos. E 3.9).

> previsao_com_tendencia<-forecast.HoltWinters(ajuste_com_tendencia) > plot(previsao_com_tendencia)

124CAP ÍTULO 3.



0 0 0 0 5

0 0 0 0 3

0 0 0 0 1 0

1940

1945

1950

1955

1960

1965

1970

Figura 3.9 Caso a série tenha sazonalidade, devemos utilizar um outro modelo que leve em conta essa componente. Veremos como fazer isso a seguir.

Modelos para s´ eries sazonais Suaviza¸ c˜ ao Exponencial de Holt-Winters (HW) O HW ajuda a descobrir padrão de comportamento mais complexos. A previs˜ ao desse modelo é feita de acordo com a s´ erie que pode ser Sazonal Aditiva ou Sazonal Multiplicativa. O método de Holt-Winters é baseado em três equa¸co˜es alisadoras diferentes para o n´ıvel, tendˆ encia e sazonalidade. O melhor modelo é o que tiver a menor soma de erros ao quadrado. Os estimadores de HW vão depender do tipo do modelo (Aditivo ou Multiplicativo) e ser˜ ao obtidos por meio das seguintes equa¸cões:

Modelo Aditivo

ˆt = α ( Z t − F ˆt −s ) + (1 − α )( Z ˆt −1 + T ˆt −1 ) Z

0 ≤ α ≤ 1

t = s + 1, · · · , N

3.3. MODELOS DE SUAVIZA¸ CAO ˜ EXPONENCIAL ˆt = β ( Z ˆt − Z ˆt −1 ) + (1 − β )(T ˆt −1 ) T ˆt = γ ( Z t − Z ˆt ) + (1 − γ )(F ˆt −s ) F

125

0 ≤ β ≤ 1 0 ≤ γ ≤ 1

t = s + 1, · · · , N t = s + 1, · · · , N

Modelo Multiplicativo

ˆt = α Z

  Z t

ˆt −s F

ˆt −1 + T ˆt −1 ) 0 ≤ α ≤ 1 t = s + 1, · · · , N + (1 − α )( Z

ˆt = β ( Z ˆt − Z ˆt −1 ) + (1 − β )(T ˆt −1 ) T

 

ˆt = γ F

Z t ˆ t Z

0 ≤ β ≤ 1

t = s + 1, · · · , N

ˆt −s ) 0 ≤ γ ≤ 1 t = s + 1, · · · , N + (1 − γ )(F

Onde: Z t é o valor observado da s´ erie temporal Z no tempo t ; ˆt ´ e o valor estimado do n´ıvel no tempo t ; Z ˆt ´ T e o valor estimado da tendência no tempo t ; ˆt ´ F e o valor estimado da sazonalidade no tempo t ;

ao as constantes de suaviza¸cão. α , β e γ s˜

Para inicializar, assume-se:

ˆ s = Z

1

s

∑ Z k ;

s k =1

ˆs = 0; T

ˆ j = F

Z j ˆs Z

;

j = 1 , 2, · · · , s

A equa¸cão de previsão também ser´ a diferente para cada tipo de modelo:

Previs˜ ao para Modelo Aditivo

ˆ N +h = Z ˆ N + hT ˆ N + F ˆ N +h−s Z ˆ N +h = Z ˆ N + hT ˆ N + F ˆ N +h−2s Z

h = 1 , 2, · · · , s; h = s + 1, · · · , 2s;

126CAP ÍTULO 3.


etc .

Previs˜ ao para Modelo Multiplicativo

ˆ N +h = ( Z ˆ N + hT ˆ N )F ˆ N +h−s Z ˆ N +h = ( Z ˆ N + hT ˆ N )F ˆ N +h−2s Z

h = 1, 2, · · · , s; h = s + 1, · · · , 2s;

etc .

As constantes α , β e γ s˜ ao as que juntas minimizam a soma de quadrados de ajustamento. No R, podemos utilizar a fun¸cão HoltWinters() do pacote forecast. Lembre-se de instalar e carregar o pacote forecast para utilizar a fun¸cão. Vamos utilizar a série temporal sazonal AirPassengers que registra mensalmente o total de passageiros internacionais (em milhares) da linha aérea (Pan Am) no per´ıodo de janeiro de 1949 a dezembro 1960, nos EUA, que tem sazonalidade. > AirPassengers

1949 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960

Jan 112 115 145 171 196 204 242 284 315 340 360 417

Feb 118 126 150 180 196 188 233 277 301 318 342 391

Mar 132 141 178 193 236 235 267 317 356 362 406 419

Apr 129 135 163 181 235 227 269 313 348 348 396 461

May 121 125 172 183 229 234 270 318 355 363 420 472

Jun 135 149 178 218 243 264 315 374 422 435 472 535

Jul 148 170 199 230 264 302 364 413 465 491 548 622

Aug 148 170 199 242 272 293 347 405 467 505 559 606

Sep 136 158 184 209 237 259 312 355 404 404 463 508

Oct 119 133 162 191 211 229 274 306 347 359 407 461

Nov 104 114 146 172 180 203 237 271 305 310 362 390

Dec 118 140 166 194 201 229 278 306 336 337 405 432


127

Usando a fun¸cão HoltWinters(), descobrimos que os melhores valores para as constantes α , β e γ são, respectivamente, 0,2479; 0,0345 e 1. Note que o fato de α estar mais pr´ oximo de 0 do que de 1 indica que a estimativa do n´ıvel tem pouca influˆ encia dos valores mais pr´ oximos, e β estar mais próximo de 0 do que de 1 indica que a estimativa da tendência tem pouca influˆ encia dos valores mais pr´ oximos, e γ ser igual a 1 indica que a estimativa da sazonalidade tem muita influˆ encia do valor mais pr´ oximo.

> ajuste_com_sazonalidade<-HoltWinters(AirPassengers) > ajuste_com_sazonalidade

Holt-Winters exponential smoothing with trend and additive seasonal component. Call: HoltWinters(x = AirPassengers) Smoothing parameters: alpha: 0.2479595 beta : 0.03453373 gamma: 1 Coefficients: [,1] a 477.827781 b 3.127627 s1 -27.457685 s2 -54.692464 s3 -20.174608 s4 12.919120 s5 18.873607 s6 75.294426 s7 152.888368 s8 134.613464 s9 33.778349 s10 -18.379060 s11 -87.772408 s12 -45.827781

Agora vamos dar uma olhada no gráfico com a série original e a HW juntas (figura 3.10).

128CAP ÍTULO 3.


> plot(AirPassengers) > lines(fitted(ajuste_com_sazonalidade)[,1],col="red",lty=2,lwd =3) > legend( 'topleft ', legend=c("AirPassengers", "ajuste_com_sazonalidade"), bty = "n",col=c("black","red"), lty=c(1,2), cex=0.8,lwd =c(1,3))

0 0 6

AirPassengers ajuste_com_sazonalidade

0 0 5 s r e g n e s s a P r i A

0 0 4 0 0 3 0 0 2 0 0 1

1950

1952

1954

1956

1958

1960

Time

Figura 3.10 Pela figura 3.10 podemos ver que a suaviza¸cão acompanha bem a s´ erie original.

Com a fun¸cão forecast.HoltWinters() podemos obter a previsões do modelo HW com os seus respectivos intervalos de confian¸ca. Vamos plotar a série original com as previs˜ oes para os próximos dois anos.

> previsao_com_sazonalidade<-forecast.HoltWinters(ajuste_com_sazonalidade) > plot(previsao_com_sazonalidade)

Podemos ver pelas previsões a tendência de crescimento somado ao efeito sazonal (figura 3.11).

129

3.4. CARGA DE ENERGIA


0 0 7 0 0 6 0 0 5 0 0 4 0 0 3 0 0 2 0 0 1

1950

1952

1954

1956

1958

1960

1962

Figura 3.11

Carga de Energia Nessa se¸cão, utilizaremos a base de dados de Cargas de Energia para verificar e avaliar as previsões de cada um dos modelos vistos nas se¸cões anteriores. A base de dados se refere a carga de energia da regi˜ ao sudeste medida em Megawatt médio (energia média no intervalo de tempo considerado), de janeiro de 2005 a novembro de 2015, que é divulgada pelo Operador Nacional do Sistema Elétrico (ONS (2015)) e pode ser baixada em http://www.ons.org.br/ em da base de dados, é preciso instalar e carregar os pacotes forecast ,TTR. historico/. Al´

Modelos NAIVE Usaremos o modelo NAIVE como ponto de partida por este ser o modelo mais simples de previsão. Vamos obter previs˜ oes considerando tamb´ em a sazonalidade (SNAIVE).

130CAP ÍTULO 3.


> plot(naive(carga,h=12),include=200)

Forecasts from Naive method 0 0 0 5 4

0 0 0 0 4

0 0 0 5 3

0 0 0 0 3

2006

2008

2010

2012

2014

2016

2014

2016

Figura 3.12

> plot(snaive(carga,h=12),include=200)

Forecasts from Seasonal naive method

0 0 0 0 4

0 0 0 5 3

0 0 0 0 3

2006

2008

2010

Figura 3.13

2012

3.4. CARGA DE ENERGIA

131

A figura 3.12 mostra as previs˜ oes do modelo NAIVE, onde o valores das previsões s˜ ao iguais ao u ´ltimo valor observado. E a figura 3.13 mostra as previs˜ oes do modelo SNAIVE que é igual aos valores do u´ltimo ano observado. Para comparar as previs˜ oes dos dois modelos, utilizaremos as medidas de erros retornadas pela fun¸caõ accuracy(). > accuracy(naive(carga,h=12)) ME RMSE MAE MPE MAPE MASE ACF1 Training set 65.51746 1242.097 955.5496 0.1404334 2.839706 0.7681534 0.09983513 > accuracy(snaive(carga,h=12)) ME RMSE MAE MPE MAPE MASE ACF1 Training set 766.8765 1525.65 1243.957 2.267856 3.746737 1 0.6246151

Considerando qualquer medida de erro acima, nota-se que o modelo NAIVE tem desempenho superior ao SNAIVE.

Modelos M´ edia M´ ovel Simples A fun¸cão MAPE_MMS() calcula o MAPE (Média Percentual Absoluta do Erro) da série segundo o tamanho da “janela” escolhido. J´ a a fun¸cão menor_MAPE_MMS() cria um vetor de MAPE para cada “janela” e retorna o tamanho da “janela” do menor MAPE e o seu respectivo valor. > MAPE_MMS <- function(z,r){ + library(TTR) + if(r==1){ + accuracy(naive(z))[5] + }else{ + smadf <- NULL + smadf1 <- 0 + smadf <- SMA(z,r) # lag is 4 + smadf <- c(NA,smadf[-length(z)]) + smadf1 <- ((sum(abs((z-(smadf))/z),na.rm = T))/(length(z)-r))*100 + smadf1 + } + }

132CAP ÍTULO 3. > + + + + + + >


menor_MAPE_MMS <- function(z){ a <- NULL for(i in 1:(length(z)-1)){ a[i] <- MAPE_MMS(z,i) } paste0("r = ", which(a==min(a)) ,"; MAPE = ",min(a)) } menor_MAPE_MMS(carga)

[1] "r = 1; MAPE = 2.83970570043666"

Através das fun¸cões utilizadas foi poss´ıvel ver que a “janela” que retorna o menor MAPE é igual 1, logo este modelo ficou igual ao do NAIVE.

Modelo de suaviza¸ca õ exponencial simples Usando a fun¸cão HoltWinters() e definindo os parâmetros β e γ como FALSE, vamos estimar o valor de α do modelo de suaviza¸caõ exponencial simples.

> ajuste<-HoltWinters(carga, beta=FALSE, gamma=FALSE) > ajuste

Holt-Winters exponential smoothing without trend and without seasonal component. Call: HoltWinters(x = carga, beta = FALSE, gamma = FALSE) Smoothing parameters: alpha: 0.9999339 beta : FALSE gamma: FALSE Coefficients: [,1] a 36346.67

O modelo de suaviza¸cão exponencial simples estimou que o melhor valor da constante a mais pr´ oxima de 1, significa que a estimativa do n´ıvel tem muita α é 0,9999339. Como α est´ influência dos valores mais pr´ oximos. Se α fosse igual a 1 o resultado seria igual ao do NAIVE.

133

3.4. CARGA CARGA DE DE ENERG ENERGIA IA

A figura 3.14 figura 3.14 mostra mostra que o ajuste é muito parecido com a série erie temporal temp oral original, mas deslocada a` direit direita. a. E na figur figuraa 3.15 apresenta 3.15 apresenta os valores das previsões oes próximo oximo do ultimo u ´ltimo valor observado, isto se deve ao fato do valor de α ser quase 1.

> plot(carga) plot(carga) > lines(fitted(a lines(fitted(ajuste)[ juste)[,1],col ,1],col="red", ="red",lty=2,l lty=2,lwd wd =3) > legend( legend( 'topleft ', legend legend=c(" =c("car carga", ga", "ajuste "ajuste"), "),bty bty = "n", "n", col=c("black", col=c("black","red"), "red"), lty=c(1,2), lty=c(1,2), cex=0.8,lwd cex=0.8,lwd =c(1,3)) =c(1,3))

0 0 0 0 4

carga ajuste

0 0 0 6 a 3 g r a c 0 0 0 2 3

0 0 0 8 2

2006

2008

2010 Time

Figura 3.14

> previsao<-fore previsao<-forecast.Ho cast.HoltWinte ltWinters(ajus rs(ajuste,h te,h = 12) > plot(previsao) plot(previsao)

2012

2014

2016



Forecasts from HoltWinters 0 0 0 5 4

0 0 0 0 4

0 0 0 5 3

0 0 0 0 3

2006

2008

2010

2012

2014

2016

Figura 3.15 As medidas de erro para o modelo de suaviza¸c˜ cao aõ exponencial simples podem ser vistas a seguir. O leitor pode ver que não ao diferem tanto das medidas de erro do modelo NAIVE, no entanto entanto o NAIV NAIVE E ainda se mostra mostra superior ao considerar considerar algumas algumas casas decimais. Por isso, vamos rejeitar o modelo de suaviza¸c˜ cao ão exponencial simples. > accuracy(previ accuracy(previsao) sao)

ME RMSE MAE MPE MAPE MAS E ACF1 Trainin Training g set 65.5219 65.52197 7 1242.10 1242.106 6 955.562 955.5625 5 0.27075 0.2707527 27 2.84899 2.848998 8 0.7635 0.7635401 401 0.09989 0.09989436 436

Modelo de suaviza¸c˜ cao a õ exponencial de Holt Usando a fun¸c˜ caao õ HoltWinters() e definindo o parâmetro ametro γ como como FALSE, vamos estimar os valores de α e β do modelo de suaviza¸c˜ cao ão exponencial de Holt. > ajuste_com_ten ajuste_com_tendencia< dencia<-HoltWi -HoltWinters(c nters(carga, arga, gamma=FALSE) gamma=FALSE) > ajuste_com_ten ajuste_com_tendencia dencia

Holt-Wi Holt-Winte nters rs exponen exponentia tial l smoothi smoothing ng with with trend trend and without without seasona seasonal l compon component. ent.


135

Call: HoltWin HoltWinter ters(x s(x = carga, carga, gamma gamma = FALSE) FALSE) Smoothing Smoothing parameters: parameters: alpha alpha: : 1 beta : 0.02170 0.0217007 07 gamma: gamma: FALSE FALSE Coefficients: [,1] a 36346.65000 36346.65000 b 71.012 39

O modelo de suaviza¸c˜ cão ao exponencial de Holt obteve que o melhores valores das constantes α e β s˜ ao respectivamente 1 e 0,0217007. Como α é 1, ao 1 , signific sig nificaa que a esti e stimat mativa iva do d o n´ıvel tem muita influência encia dos valores mais ma is pr´ p r´ oximos, oximos, e como β est´ a mais pr´ oximo oximo de 0 do que de 1, significa que a estimativa da tendˆ encia encia tem pouca influˆ encia encia dos valores mais pr´ oximos A figura 3.16 tamb´ 3.16 também em apresenta um ajuste semelhante a s´ erie erie temporal original, mas deslocada a` direita direita e com uma leve leve tendˆ tendência encia de crescimen crescimento. to. A figura figura 3.17 confirma 3.17 confirma essa tendˆ encia encia mostrando um crescimento nos valores valores das previs˜ oes. oes.

> plot(carga) plot(carga) > lines(fitted(a lines(fitted(ajuste_c juste_com_tend om_tendencia)[ encia)[,1],col ,1],col="red" ="red",lty=2, ,lty=2,lwd lwd =3) > legend( legend( 'topleft ', legend=c("car legend=c("carga", ga", "ajuste_com_t "ajuste_com_tendenci endencia"),bty a"),bty = "n", col=c("black", col=c("black","red"), "red"), lty=c(1,2), lty=c(1,2), cex=0.8,lwd cex=0.8,lwd =c(1,3)) =c(1,3))

> previsao_com_tendencia<-forecast.HoltWint previsao_com_tendencia<-forecast.HoltWinters(ajuste_com_tendencia) ers(ajuste_com_tendencia)

> plot(previsao_ plot(previsao_com_ten com_tendencia) dencia)


0 0 0 0 4


carga ajuste_com_tendencia

0 0 0 6 a 3 g r a c 0 0 0 2 3

0 0 0 8 2

2006

2008

2010

2012

2014

2016

Time

Figura 3.16


0 0 0 0 5 0 0 0 5 4 0 0 0 0 4 0 0 0 5 3 0 0 0 0 3 0 0 0 5 2

2006

2008

2010

2012

2014

2016

2018

Figura 3.17 As medidas de erro para o modelo podem ser vistas a seguir e, em fun¸c˜ cao aõ disso, podemos concluir conclui r que o NAIVE NA IVE tamb´ t ambém em é superior sup erior ao modelo mode lo de suaviza¸ s uaviza¸c˜ cao ão exponencial de Holt.

> accuracy(previ accuracy(previsao_com sao_com_tenden _tendencia) cia)


137

ME RMSE MAE MPE MAP E M ASE Trainin Training g set -151.51 -151.5178 78 1270.64 1270.648 8 973.525 973.5254 4 -0.4070 -0.4070975 975 2.8988 2.898872 72 0.77170 0.7717007 07 ACF1 Trainin Training g set 0.10417 0.1041723 23

Modelo de suavizamento exponencial de Holt-Winters Usando a fun¸c˜ caao õ HoltWinters() para estimar os valores de α , β e γ do modelo de suaviza¸c˜ cão ao exponencial de Holt-Winters. > ajuste_com_sazonalidade<-HoltWinters(carg ajuste_com_sazonalidade<-HoltWinters(carga) a) > ajuste_com_saz ajuste_com_sazonalida onalidade de

Holt-Wi Holt-Winte nters rs exponen exponentia tial l smoothi smoothing ng with with trend trend and additiv additive e season seasonal al compon component. ent. Call: HoltWin HoltWinter ters(x s(x = carga) carga) Smoothing Smoothing parameters: parameters: alpha: 0.7017808 0.7017808 beta : 0 gamma: 0.3810199 0.3810199 Coefficients: [,1] a 3638 36389. 9.88 8801 010 0 b 70.3 9175 s1 -333 -333.6 .687 8766 66 s2 906.1 5186 s3 1557 1557.4 .468 6867 67 s4 1154 1154.2 .222 2282 82 s5 -185 -185.8 .829 2945 45 s6 -136 -1361. 1.518 51817 17 s7 -139 -1391. 1.828 82830 30 s8 -108 -1081. 1.707 70732 32 s9 -116 -116.9 .931 3141 41 s10 s10 377. 377.06 0614 148 8 s11 s11 569. 569.82 8280 801 1 s12 s12 -155 -155.79 .7977 775 5

O modelo de suavizamento exponencial de Holt-Winters obteve que o melhores valores das constantes α , β e γ s˜ ao ao respectivamen respectivamente te 0,7017808; 0 e 0,3810199. 0,3810199. Como α est´ a mais



pr´ oximo oximo de 1 do que de 0, 0 , significa que a estimativa do n´ıvel tem muita influência encia dos valores mais pr´ oximos, oximos, e β é 0, significa signifi ca que a estimativa estima tiva da tendência encia tem nenhuma influência encia dos valores mais pr´ oximos, oximos, e γ est´ a mais próximo oximo de 0 do que de 1, significa que a estimativa da sazonalidade tem pouca influˆ encia encia dos valores valores mais pr´ oximos. oximos. A figura 3.18 acompan 3.18 acompanha ha bem a s´ erie erie temporal original original e a figura figura 3.19 mostra 3.19 mostra que a previs˜ ao ao teve influência encia da parte sazonal, mas n˜ ao ao teve nenhuma nenhu ma influência enci a da tendˆ ten dência. enci a.

> plot(carga) plot(carga) > lines(fitted(a lines(fitted(ajuste_c juste_com_sazo om_sazonalidad nalidade)[,1], e)[,1],col="r col="red",lty ed",lty=2,lwd =2,lwd =3) > legend( legend( 'topleft ', legend=c("car legend=c("carga", ga", "ajuste_com_s "ajuste_com_sazonali azonalidade"), dade"),bty bty = "n", col=c("black", col=c("black","red"), "red"), lty=c(1,2), lty=c(1,2), cex=0.8,lwd cex=0.8,lwd =c(1,3)) =c(1,3))

0 0 0 0 4

carga ajuste_com_sazonalidade

0 0 0 6 a 3 g r a c 0 0 0 2 3

0 0 0 8 2

2006

2008

2010

2012

2014

2016

Time

Figura 3.18

> previsao_com_sazonalidade<-forecast.HoltW previsao_com_sazonalidade<-forecast.HoltWinters(ajuste_com_sazonalidade) inters(ajuste_com_sazonalidade)

> plot(previsao_ plot(previsao_com_saz com_sazonalida onalidade) de)

˜ FINAIS 3.5. CONSIDERA¸ C OES

139

Forecasts from HoltWinters 0 0 0 5 4

0 0 0 0 4

0 0 0 5 3

0 0 0 0 3

2006

2008

2010

2012

2014

2016

2018

Figura 3.19 As medidas de erro para o modelo de suaviza¸caõ exponencial de Holt-Winters podem ser vistas a seguir. Ao compar´ a-las com as medidas de erro do modelo NAIVE, podemos concluir que o modelo de suaviza¸caõ exponencial de Holt-Winters tem desempenho superior. E, portanto, este é o modelo final escolhido.

> accuracy(previsao_com_sazonalidade)

ME RMSE MAE MPE MAPE MASE Training set -4.627181 989.136 735.557 -0.01617662 2.197516 0.5680164 ACF1 Training set 0.01496606

Considera¸ co ˜es finais Neste cap´ıtulo foram vistos diversos modelos de suaviza¸ c˜ ao e previsã o. Cada um com suas vantagens e desvantagens. Vimos que o modelo NAIVE é o modelo mais simples, mas muito utilizado como “ponto de partida”, onde s´ o trocamos de modelo se a previs˜ ao do outro modelo for melhor do que a dele. Foi apresentado o modelo de média m´ ovel centrada e simples

140CAP ÍTULO 3.


que suaviza a s´ erie de acordo com o tamanho da “janela”. Por u´ltimo foram apresentadas diferentes formas de amortecimento exponencial, onde levam em considera¸cão se a série temporal tem tendência e/ou sazonalidade. Esse u´ltimo modelo é mais sofisticado por dar mais peso para os dados mais pr´ oximos que em geral s˜ ao informa¸cões relevantes.

Processos N˜ ao-estacion´ arios Pedro Costa Ferreira Lucas Farias Lima

˜ ´ CAP ÍTULO ITULO 4. 4. PROCE PROCESSO SSOS S N AO-ESTACION ARIOS

142

Introdu¸c˜ ao

No contexto deste livro, um processo estoc´ astico ast ico é estaci est acion´ on´ ario ario se sua média edia e variˆ ancia ancia são ao constantes no tempo e sua autocovariˆ ancia depende apenas da ordem de defasagem 1 . ancia

Posto formalmente, um processo { yt } é estac est acio ion´ nário ario se:

E ( yt ) = E ( yt −s ) E [( [( yt )2 ] = E [( yt −s )2 ]

[( yt − µ )( )( yt −s − µ )] )] = E [( yt − j − µ )( )( yt − j−s − µ )] )] E [(

para todo s e j e µ = = E ( yt )

Na prática, atica, isso significa que o processo n˜ ao ao apresenta tendˆ t endˆ encia encia aparente, e que tanto a varia¸c˜ cao ão quanto o padr˜ ao ao desta vari¸c˜ cão a o s˜ ao ao constan constantes tes ao longo do tempo. tempo. Isso Isso sugere sugere,, portanto, port anto, que é poss´ıvel ıvel dizer, a partir da visualia¸ visual ia¸c˜ cao ão de seu gráfico afico no tempo, se uma série erie aparenta se comportar de maneira estacionária. aria.

Uma ferramenta que auxilia nessa etapa visual é o gr´ afico afico da fun¸c˜ cao ão de autocorrela¸c˜ caao õ (FAC) (FAC) da série. erie. Um proces p rocesso so n˜ n ao aõ estacion´ ario apresenta um lento decaimento de sua fun¸c˜ ario caao õ de autocorrela¸ autocorrela¸c˜ caao õ2 (Fig. 4.1 4.1). ).

1 2

Para maiores detalhes ver Hamilton ver Hamilton ( (1994a 1994a)) e Enders ( Enders (2015 2015). ). A prova é apresentada em Enders em Enders ( (2015 2015)) (p´ ag. ag. 60).

˜ 4.1.. INTR 4.1 INTROD ODU UC ¸ AO

143

0 . 1

6 . 0 F C A

2 . 0

2 . 0 −

5

10

15

20

Lag

Figura 4.1: ACF de um processo n˜ ao-estacion´ ao-estacion´ ario ario Tal caracter´ caracter´ıstica pode ser observada, observada, por exemplo, na ´serie serie do Índice de Atividade Econˆ omica do Banco Central do Brasil, o IBC-BR, disponibilizado no pr´ omica oprio site do BC.

0 . 1 0 4 1 6 . 0 0 2 1

2 . 0

0 0 1

2 . 0 −

2004

2006

2008

2010

2012

2014

0.5

1.0

1.5

Figura 4.2: IBC-Br (esq.) e sua FAC (dir.)

A análise alise visual da FAC (Fig. 4.2 4.2)) sugere suge re que a série erie é não ao estacion´ estacion´ aria. ari a. Porém, em, com comoo inferimos a origem da n˜ ao ao estacionariedade? Tal pergunta torna pertinente a observa¸c˜ cao aõ de que tão ao importante quanto definir a existência enci a de n˜ ao estacionari ao estacionariedade edade,, é sermos sermos capazes capazes de determinar determinar sua causa. causa. Nesse Nesse sentido, sentido, apresentaremos apresentar emos os testes estat´ısticos ıstico s mais comuns dispon disp on´´ıveis no R, que em geral implementam testes de hipóteses ote ses acerca ace rca da existˆ exi stência enci a de d e ra´ızes ıze s unit u nit´ a´rias, propriedade que, grosso modo, arias, faz com que uma série erie acumule choques aleat´ orios orios indefinidamente.


144

N˜ ao obstante, vale ressaltar que quase em totalidade, os testes existentes assumem hiao póteses oteses e apresentam limita¸c˜ coes ões que tornam a análise alise de estaconariedade, em alguns casos, uma tarefa menos sistem´ atica atica e mais investiga investigativ tiva. a. Uma instˆ ancia importante dos casos que apresentam complica¸c˜ coes ões são ao aqueles onde a s´ erie erie apresenta quebras estruturais, o que impede imp ede a utiliza¸c˜ cao aõ de testes tradicionais.

Vale lembrar que toda a teoria de séries eries temporais temp orais est´ a amparada sobre a de equa¸c˜ coes o˜es em diferen¸ca ca estoc´ asticas, asticas, que é de fato de onde vem as condi¸ condic˜ çoes ões necessárias arias e suficientes que nos permitem, a partir do resultado de uma estat´ estat´ıstica, inferir se a s´ erie erie em quest˜ ao é estacion´ aria aria ou n˜ ao. ao. Ao leitor interessador sugerimos a leitura do cap´ cap´ıtulo 1 de Enders de Enders ( (2015 2015). ).

Além em disso di sso,, tod t odos os os o s códigos R odigos R e e dados utilizados para produ¸c˜ cao aõ deste dest e cap ca p´ıtulo ıtu lo est˜ e stão ao dispon´ıveis ıve is em .

Assim, Assi m, este e ste cap´ c ap´ıtulo ıtu lo est´ es t´ a organizado da seguinte maneira: na se¸ c˜ cao aõ 2 abordamos abordamos os motivos mai maiss comun c omunss pelo p elo qual uma série eri e é n˜ nao-estacion´ aõ-estacion´ aria. aria. Na se¸c˜ cão ao 3 apresentamos alternativas para tratar tratar desses problema problemas. s. J´ a na se¸c˜ cão ao 4 apresentamos testes formais para identificar a estacionariedade estoc´ astica. astica. Na se¸c˜ cão ao 5 abordamos o problema das quebras estruturais, baseado principalmente em Zeileis em Zeileis et al. (2001 2001). ). E, finalme finalment nte, e, na se¸ sec˜ çao ão 6 apresentamos um pequeno exemplo empregando algumas das técnicas ecnicas apresentadas.

Tipos Tip os de n˜ ao-estac ao-e staciona ionaried riedade ade Ainda que estacionariedade seja uma propriedade bem definida de uma série erie temporal, tempo ral, o motivo m otivo pelo qual uma série erie n˜ ao ao é est e staci acion on´ aria a´ria é um problema problem a mais delicado, delica do, e sua inferência encia incorreta leva a sérios erios erros de modelagem e previs˜ ao. ao.

Como visto em Enders em Enders ( (2015 2015), ), (p´ ag. ag. 156), a presen¸ca ca de uma tendˆ ten dência enci a (determi (det ermin n´ıstica ıst ica

˜ 4.2.. TIPO 4.2 TIPOS S DE DE N AO-ESTACIONARIEDADE

145

ou estoc´ astica) astica ) é o motivo mais comum pelo qual uma série erie temporal tempo ral é n˜ ao-estacion´ aria. aria.

Todavia, odavia , antes a ntes de abordar abor dar esses ess es dois do is casos, ca sos, é interessante intere ssante apresentar a presentar o processo pro cesso de ru´ıdo ıdo branco, que é formado por uma sequˆ encia encia de vari´ aveis aleat´ orias orias que apresentam média edia e covariˆ ancias ancias nulas e variˆ ancia ancia constante. constante. Ou seja, se a sequˆ sequência encia {ε t t } é um ru´ıdo ıdo branco bra nco,, então: ao:

E (ε t t ) = 0 E [( [(ε t t )2 ] = σ 2

[(ε t t − E (ε t t ))(ε t t −s − E (ε t t ))] = E [(ε t t ε t t −s )] = 0 E [(

Nesta se¸c˜ cao, ão, a parte estoc´ astica dos modelos estacion´ astica arios arios ser´ a representada por um ru´ ru´ıdo branco, mas nada impede, que utilizemos um outro processo da forma A ( L)ε t t , onde A ( L) é uma um a fun¸ fu n¸c˜ cão ao polinomial do operador de defasagem L (i.e. Lyt = yt −1 ).

Chamamos Chamam os de tendência-estacio encia-e stacion´ n´ ario um processo da seguinte forma: ario

+ β t t + + ε t t yt = α + onde ε t t é um ru´ıdo ıd o bran br anco co..

Um processo desse tipo é n˜ ao-estacion´ ao-estacion´ ario ari o devido devi do a presen¸ pres en¸ca ca da tendência enci a determi dete rmin n´ıstica gerado pelo termo β t t . Como Como veremos veremos na se¸ c˜ cão ao seguinte, para tornar um processo desse ˆ t tipo estacion´ estacion´ ario basta estimar o valor de β e subt ario s ubtrai rairr a sequência enci a β erie eri e orig o rigina inal. l. t da s´

Em contrapar contrapartida, tida, um passeio passeio aleat´ orio é um processo composto comp osto pela p ela soma de choques


146

aleat´ orios. orios. que pode p ode ser representada pela soma cumulativa de ru´ ru´ıdos brancos:

t

+ ∑ ε i yt = α + i=1

Esse tipo tip o de processo é o elemento básico asico de séries eries temporais temp orais que apresentam apresenta m tendênencias estoc´ asticas, asticas, e pode se apresent apresentar ar tamb´ também em com um termo de drift, drift, que se traduz traduz numa numa tendência encia determin determi n´ıstica, ıstica , mas que na realidade realid ade surge como se vê em em Enders Enders (2015 2015), ), (p´ ag. ag. 159), da solu¸c˜ cao aõ de uma equa¸c˜ cao aõ em diferen¸cas cas estoc´ asticas asticas composta por um ru´ ru´ıdo branco e uma constante:

t

+ γ t t + + ∑ ε i yt = α + i=1

Um passeio aleat´ orio orio pode po de ainda ai nda apresentar um ru´ıdo: ıdo:

t

+ ∑ ε t t + ζ t t yt = α + i=1

Juntos Juntos os processos processos represen representados tados pelas quatro quatro equa¸ c˜ cões oes acima norteiam as an´ alises alises de estacionariedade, pois, como de acordo com Cowpertwait com Cowpertwait e Metcalfe (2009 2009), ), (p´ aag. g. 22 221) 1),, o comportamen comportamento to essencial essencial de boa parte das s´ eries eries temporais pode p ode ser mimetizado por p or suas simples estruturas.

Na Figuras Figuras 4.3 4.3 e e 4.4 4.4 , , vemos seus gráficos aficos e respectivas FAC’s. 5 1

2

1

0 0 1

0 0 1

0 8

0 8

0 1

0 6

0 6

0

0 4

0 4

5 1 −

0 2

0 2 2 −

0

0

20

40

60

80

100

0

0

0

20

40

60

80

100

0

20

40

60

80

100

0

20

40

60

Figura 4.3: Ru´ Ru´ıdo braco, passeio aleat´ orio orio sem e com drift e tendˆ encia-estacion´ encia-estacion´ ario. ario.

80

100

˜ E REMO¸ ˜ DE TEND ENCIA ˆ 4.3. DIFERE DIFERENCI NCIA AC ¸ AO C AO

147

0 . 1

0 . 1

8 . 0

8 . 0

8 . 0

6 . 0

6 . 0

6 . 0

4 . 0

4 . 0

4 . 0

2 . 0

2 . 0

2 . 0

−

0 . 0

0 . 0

0 . 0

2 . 0 −

2 . 0 −

2 . 0 −

2 . 0 −

2 . 0

1 . 0

0 . 0

1 . 0

5

10

15

20

5

10

15

20

5

10

15

20

5

10

15

20

Figura Figura 4.4: FAC’s AC’s dos processos da figura 2, respectiv respectivamen amente. te.

Os gráficos aficos acima cont´ em em algumas informa¸ c˜ coes o˜es interessantes. De in´ in´ıcio, dada a estacionariedade do processo de ru´ ru´ıdo branco, j´ a conhecemos (em contrapartida com a primera figura deste cap´ cap´ıtulo) ao que se assemelha a FA FAC C de um processo pro cesso estacion´ ario. ario. Obviamente, Obviamente, estamos olhando para um resultado ideal, mas geralmente buscamos encontrar, para processos estacion´ arios, FAC’s com quedas muito r´ arios, apidas, apidas, sem padr˜ oes oes sistem´ aticos, ou sem nenhuma aticos, autucorrela¸c˜ cao aõ significativa.

Em seguida, verificamos que a presen¸ca ca de uma estacionariedade estoc´ astica astica ou determin´ıstica ıst ica tornam tor nam séries eri es tempora temp orais is com ta´ıs ıs caract car acter er´´ıstica ıst icass indist ind isting ingu u´ıveis a` luz de sua visualiza¸c˜ cão ao gr´ afica afica e fun¸c˜ cao ão de autocorrel¸c˜ cao; ão; os dois processo s˜ ao muito semelhantes, e ainda que ao estejamos trabalhando com dados simulados, tal complica¸ c˜ cão ao é comum em estudos est udos emp´ıricos ıri cos.. Vemos na se¸c˜ cão ao a seguir algumas de suas implica¸c˜ coes. o˜es.

Resumindo: Um process pro cessoo é não ao estacion´ estacion´ ario ario se apresenta tendência encia (determin (determi n´ıstica ou estocástica) astica) ou quebras estruturais.

Diferencia¸ c˜ c˜ ao ao e Remo Re mo¸¸c˜ ao de Tendˆ Ten dência Na se¸c˜ cão ao anterior, verificamos que a presen¸ca ca de tendˆ t endências enci as determi dete rmin n´ıstica ıst icass oou u esto es toc´ c´ astiasticas geram processos bastante semelhantes. Todavia a maneira de tratar a n˜ a estacionariedade em ambos os casos é diferente, e aplica a plicarr o método etod o incorreto incorret o causa sérios erios danos a` informa¸c˜ caao õ contida contida na s´ erie erie temporal, pois muda muda muito muito o processo processo resultant resultante. e. Em particular, particular, como se

˜ ´ CAP ÍTULO 4. PROCESSOS N AO-ESTACION ARIOS

148

vê em Cowpertwait e Metcalfe (2009), (p´ ag. 221), a diferencia¸ caõ remove tanto tendências estocásticas quanto determin´ısticas.

Se diferenciamos um processo tendˆ encia estacion´ ario yt = α + β t + ε t , obtemos ∆ yt = β + ε t − ε t −1 . Que é um processo de média m´ ovel MA(1) somado a` uma constante, que é

estacion´ ario.

Todavia, a abordagem sugeridade na literatura é a de regredirmos os dados numa sequˆ encia representando o tempo e tomarmos o res´ıduo como nossa nova s´ erie temporal: ˆ )t + ζ . Tal processo ´ e igualmente estacion´ ario, porém preserva mais da estru yt = α + (β − β T

tura original removendo apenas uma componente determin´ıstica.

Na Figura 4.5 vemos a simula¸cão do processo tendˆ encia estacion´ aria original e depois da remo¸cão da tendência:

0 0 1

2

0 8

1

0 6

0

0 4

1 −

0 2

2 −

0 0

20

40

60

80

100

0

20

40

60

80

100

Figura 4.5

Todavia, para uma série que apresenta n˜ ao estacionariedade devido a presen¸ ca de uma raiz unit´ aria, a remo¸cão de tendência n˜ ao a torna estacion´ aria. Por exemplo, se tomarmos um passeio aleat´ orio puro: yt = α + ∑t i=1 ε i , ou com drift (i.e. uma contante somada t vezes): yt = α + γ t + ∑t i=1 ε i , e remover a tendˆ encia, obtemos:

˜ E REMO¸ ˜ DE TEND ENCIA ˆ 4.3. DIFERENCIAC ¸ AO C AO

149

t

∑ ε i − β ˆ t

∆ yt =

i=1

∆ yt =

ˆ )t + (γ − β

t

∑ ε i i=1

que não s˜ ao estacion´ arios dado que continuamos com o passeio aleat´ orio.

3

0 0 1

2

0 8 1 0 6 0 0 4

1 −

0 2

2 −

0 0

20

40

60

80

100

0

20

40

60

80

100

Figura 4.6

Na figura 4.6 est´ a simulado um passeio aleat´ orio com drift original e ap´ os remo¸cão de tendˆ encia. Visualmente corroboramos o resultado das equa¸ cões anteriores, dado que o processo resultante não parece ser t˜ ao claramente estacion´ ario quanto no caso da presen¸ca de tendência determin´ıstica.

De fato, quando analisamos a FAC dos dois processos resultantes acima (Fig. 4.7), vemos que no caso do passeio aleat´ orio com drift, por mais que a queda seja muito mais rápida que no caso do processo original, as correla¸cões iniciais (até 5ª defasasgem) continuam significativas, e existe um aparente comportamento sistem´ atico. Por outro lado, vemos que a remo¸caõ de tendência de um processo tendência-estacion´ ario é exatamente o que buscamos em termos da FAC.


150 2 . 0

8 . 0

1 . 0

4 . 0

0 . 0 0 . 0

1 . 0 − 2 . 0 −

4 . 0 −

5

10

15

5

10

15

20

Figura 4.7

Exatamente por tais ambiguidades, faz-se necess´ ario uma metodologia formal para a an´ alise de estacionariedade. Na literatura, os testes de hip´ otese baseados na existˆ encia de ra´ızes unitária s˜ ao a abordagem padr˜ ao.

Analisando os resultados dos mesmos procedimentos para a s´ erie do IBC-Br da se¸ c˜ ao anterior, temos: 6

2

4

1

2

0

2 −

2 −

6 −

4 −

0

20

40

60

80

100

120

2004

2006

2008

2010

2012

2014

2 . 0

8 . 0

1 . 0

4 . 0

0 . 0

0 . 0

1 . 0 −

4 . 0 −

5

10

15

20

0.5

1.0

1.5

Figura 4.8

De imediato verificamos que a remo¸cão de tendência n˜ ao torna a série estacion´ aria.

4.4. TESTES FORMAIS

151

Todavia, mesmo diferenciada a série apresenta truncagens incˆ omodas, o que se deve provavelmente a` forte sazonalidade da série, pois ainda que a série esteja dessazonalizda, parte desse comportamento pode continuar presente. A idéia natural seria prosseguirmos a um teste de raiz unit´ aria, mas n˜ ao h´ a como ignorar a forte queda ocorrido ao redor do ano de 2008 na série.

Dizemos que um processo possui raiz unitária quando os choques aleatórios que ocorrem são carregados indefinidamente. No caso do passeio aleat´ orio, vemos que o termo ∑t i=1 ε i representa exatamente esse ac´ umulo de choques aleatórios.

Dessa maneira, descontanto tendências determin´ısticas e quebras estruturais, assumimos que a não estacionariedade é gerada pela presen¸ca de processos que possuem ra´ızes unit´ arias.

Resumindo: Para processos de tendˆ encia determin´ıstica, a remo¸cão da tendência é suficiente para obtermos um processo estacion´ ario, enquanto que para processos com tendência estoc´ astica, necessitamos recorrer a` diferencia¸cão.

Testes Formais O exemplo anterior ilustrou como a remo¸cão da tendência aplicada a um processo que possui raiz unit´ aria n˜ ao é o suficiente para obtermos uma série estacion´ aria. Todavia, a diferencia¸cão da série é uma transforma¸caõ forte do processo que se feito sem necessidade, induz a an´ alises e modelagens equicovadas.

Todavia, a maior motiva¸ cão na detecçcaõ formal de ra´ızes unit´ arias é a de utilizar os métodos adequados de modelagem; consequentemente determinando tamb´ em a ordem de integra¸caõ do processo (informa¸cão muito importante, por exemplo, para an´ alises de cointegra¸cão). Em particular, o trabalho de Granger e Newbold (1974) mostrou como o uso de séries não estacion´ arias pode resultar em regressões lineares aparentemente muito bem ajustadas,


152

mas que, para mencionar um dos problemas, possuem res´ıduos altamente correlacionados, o que viola as hip´ oteses de testes de hip´ oteses cl´ assicos (e.g. testes t , F ou R2 ).

Como mencionamos, a maior parte dos testes de ra´ız unit´ aria s˜ ao testes de hip´ otese, de maneira que em muitos dos casos estaremos comparando estat´ısticas que obtemos com valores cr´ıticos. Tais valores, em sua grande maioria, s˜ ao obtidos pelo método de Monte Carlo, que, grosso modo, se resume na gera¸cão de cenários aleat´ orios em grande n´ umero afim de gerar intervalos de confian¸ca ou estimativas pontuais 3 .

Augmented Dickey-Fuller (ADF) O Dickey-Fuller aumentado é provavelmente o teste de hip´ oteses para ra´ızes unitárias mais utilizado. Grosso modo, se tomarmos um processo da forma yt = α + β yt −1 + ε t , o objetivo do teste ent˜ ao é inferir se β = 1.

O problema é que estimar o modelo linear acima sob a hip´ otese de n˜ ao-estacionariedade nos faz incorrer no problema de regressão esp´ uria, e portanto ficamos impedidos de inferir o valor de β utilizando as estat´ısticas de testes usuais.

Dessa maneira, em Dickey e Fuller (1979a), os autores realizam o teste sob a série diferenciada em três configura¸cões que possibilitam obter as estat´ısticas de testes adequadas, dado que em suas simula¸co˜es de Monte Carlo, notaram que a presen¸ca destes elementos alteram os valores cr´ıticos obtidos.

Além disso, ainda que a série seja diferenciada, sob a hip´ otese nula de existência de raiz unit´ aria, ainda é poss´ıvel que os res´ıduos das regressões estejam correlacionados. Assim, adiciona-se o termo de média m´ ovel ∑ pi=2 β i ∆ yt +1 , o que gera o problema de determinar a quantidade de defasagens a incluir na regressão, o que geralmente se decide, como se vê em 3

Para mais detalhes ver Enders (2015), (p´ ag. 175).

153

4.4. TESTES FORMAIS Enders (2015), (p´ ag. 193), a partir de critérios de informa¸ caõ do tipo AIC e BIC/SBC4 .

Portanto, as equa¸cões do teste (geralmente referenciadas como ADF versã o 1, 2 e 3, respectivamente), s˜ ao:

p

∆ yt = γ yt −1 + ∑ β i ∆ yt +1 + ε t

(4.1)

(4.2)

(4.3)

i=2 p

∆ yt = α + γ yt −1 + ∑ β i ∆ yt +1 + ε t i=2 p

∆ yt = α + γ yt −1 + β t + ∑ β i ∆ yt +1 + ε t i=2

Assim, escolhida a estrutura e quantidade p de defasagens adequadas à série de interesse, realiza-se o teste e confronta-se as estat´ısticas de testes obtidas com os valores cr´ıticos tabelados por Dickey e Fuller. Em particular, dado que o teste inclui a presen¸ ca de componentes determin´ısticos, os autores fornecem também as estat´ısticas de testes conjuntas para avaliarmos se sob, a hip´ otese de ra´ız unitária, a estrutura que acreditamos seguir a série é adequada, o que é u ´til para o procedimento descrito no pr´ oximo par´ agrafo.

Uma utiliza¸caõ direta da flexibilidade do teste ADF é a de permitir um estudo quase que exaustivo de um processo quando n˜ ao conhecemos nada sob sua estrutura te´ orica. Tal fato é traduzido no procedimento elaborado por Dolado, Jenkinson, e Sosvilla-Riveiro Doldado e Sosvilla-Rivero (1979).

Basicamente, o procedimento sugere iniciar os testes a partir do modelo irrestrito, contendo todas as componentes determin´ısticas, parando caso se conclua a n˜ ao existência de raiz unit´ a ria, e a cada etapa em que não se rejeite a hipótese nula, avalia-se a significˆ ancia do parˆ ametro do componente determin´ıstico sob a hip´ otese de raiz unitária, removendo se n˜ ao for significante, passando-se ent˜ ao ao teste mais restrito. 4

Akaike information criterion e Bayesian information criterion/Schwarz criterion , respectivamente).


154

´ de igual importˆ Dica: E ancia verificar as estat´ısticas F geradas pelo teste ADF. A correta especifica¸cão do processo a ser testado é crucial para a inferˆ encia com base no teste de hip´ oteses.

Assim como todos os testes apresentados a seguir, o ADF que utilizaremos é parte do pacote Pfaff et al. (2016), e sua sintaxe é:

Sintaxe: ur.df(y, type = c(“none”, “drift”, “trend”), lags = 1, selectlags = c(“Fixed”, “AIC”, “BIC”)) O parâmetro type se refere à componente determin´ıstica a ser incorporada da regress˜ ao do teste, lags é a quantidade m´ axima de defasagens a se incluir na regresssão, e selectlags é o critério de informa¸cão a ser utilizado para escolha da defasagem o´tima, baseada na entrada anterior.

Nos testes seguintes, a parametriza¸cão segue a mesma estrutura, salvo os casos onde forem feitas observa¸cões.

KPSS Um problema do teste ADF é seu pequeno poder estat´ıstico, que posto de maneira simples torna o teste praticamente incapaz de diferenciar uma série com raiz unit´ aria de uma com raiz ”quase” unit´ aria, ou seja, criando um vi´ es para conclus˜ ao existência de raiz unit´ aria. Isso é um problema bastante sério dado que corre¸cão para uma série n˜ ao estacion´ aria é sua diferencia¸cão, o que implica que se o teste falha, nos leva a diferenciar uma série estacion´ aria, nos levando a perder muita informa¸cão a respeito do processo estudado.

Dentre os testes alternativos, o mais conhecido é KPSS elaborado por Kwiatkowski et al. (1992), que inverte a hipótese nula do teste ADF (o que, rigorosamente, o torna um teste de

155

4.4. TESTES FORMAIS

estacionariedade). Altera¸caõ aparentemente simples mas que impacta fortemente a qualidade da inferˆ encia. O teste toma a forma:

yt = d t + r t + ε t

onde:

d t ´ e uma tendência determin´ıstica r t um passeio aleat´ orio, e

ario. ε t um processo de erro estacion´

Onde a hip´ otese nula é que o termo r t é nulo. Assim como o ADF, o teste todavia necessita da defini¸cão da existˆ encia de componentes determin´ısticos, assim como a defini¸ c˜ ao da quantidade de defasagens.

Sintaxe: ur.kpss(y, type = c(“mu”, “tau”), lags = c(“short”, “long”, “nil”), use.lag = NULL) Na sint´ axe acima, o argumento type se define ”mu” para o teste com termo constante e ”tau” para o com tendˆ encia. Quanto ao parˆ ametro lags (n sendo o tamanho da amostra), ”short” adiciona defasagem.

 × ( / 4

4

n 100) defasagens, ”long” adiciona

 × ( / 4

12

n 100) e ”nil” nenhuma

Phillips-Perron O teste de Phillips-Perron Phillips e Perron (1988) utiliza a mesma estrutura do teste DF (ADF sem o termo de média m´ ovel), todavia trata do problema de correla¸cão serial corrigindo a estat´ıstica de teste. Tais corre¸ cões usam uma corre¸cão do tipo HAC, que em linhas gerais, normalizam a matriz de variˆ ancia e covariˆ ancia com base nos clusters de concentra¸caõ dessas medidas, alegadamente espurgando seus efeitos.


156

Todavia, tal corre¸caõ tem suporte nas hip´ oteses assint´ oticas da série, o que limita o uso adequado do teste para grandes amostras.

Sintaxe: r.pp(x, type = c(“Z-alpha”, “Z-tau”), model = c(“constant”, “trend”), lags = c(“short”, “long”), use.lag = NULL)

Aqui, o argumento type se as estat´ısticas de teste a serem computadas, ”Z-alpha” sendo para o modelo com constante e ”Z-tau” para o com tendência. enquanto que o parˆ ametro model seleciona o modelo a ser testado, assim como no teste ADF, e lags seleciona a quantidade de defasagens de acordo com o tamanho da amostra, como no teste KPSS.

Resumindo: O teste de Phillips-Perron é mais indicado quando a amostra é muito grande ou se pode assumir que suas caracter´ısticas estruturais n˜ ao se alteram ao longo de tempo.

Dickey Fuller-GLS (ERS) : Como observamos na se¸cão sobre o teste ADF, seus dois problemas principais s˜ ao o baixo poder estat´ıstico, e sua sensibilidade a presen¸ ca de termos determin´ısticos. Um problema de igual tamanho é a maneira adequada de tratar a presen¸ ca destes termos nos testes.

O teste DF-GLS Elliott et al. (1992), assim como o ADF, solicita a especifica¸cã o da quantidade m´ axima de lags. E possui também duas formas, que em linhas gerais também adequam o este para a presen¸ca de uma tendência ou drift determin´ıstico. A diferen¸ca é que a s´ erie passa por uma transforma¸caõ via MQG (M´ınimos Quadrados Generalizados), que, demonstram os autores, aumenta significativamente o poder estat´ıstico do teste.

4.4. TESTES FORMAIS

157

Na prática, os termos de drift e tendˆ encia s˜ ao estimados pelo método MQG e depois removidos da s´ erie. Dado que o método MQG ajusta a matriz de variˆ ancia e covariˆ ancia dos res´ıduos para a presen¸ca de correla¸cão e heterocedasticidade, a transforma¸cão proposta pelos autores faz uma pequena altera¸cão na série original, de maneira que a remo¸ cão dos componentes determin´ısticos ocorre de forma local . Assim, ap´ os a tranforma¸cão, um teste padr˜ ao do tipo ADF é realizado na série resultante.

De acordo com os autores, esse procedimento aumenta siginificativamente o poder estat´ıstico do teste ADF

Sintaxe: ur.ers(y, type = c(“DF-GLS”, “P-test”), model = c(“constant”, “trend”), lag.max = 4)

Na sint´ axe, o argumento type é definido ”DF-GLS”para realiza¸cão do teste DF-GLS como descrito (i.e. série removida de tendência e sem intercepto), enquanto que ”P-test”corrige as estat´ısticas para presen¸ca de correla¸cão serial na regresse˜ ao do teste, definida em um n´ umero m´ aximo pelo argumento lag.max.

Dica: Todos os testes apresentados possuem default para todos os parâmetros exceto quanto ao tipo de componente determin´ıstica.

Zivot-Andrews : O teste de Zivot-Andrews, proposto em Zivot e Andrews (1999), busca testar a hip´ otese nula de raiz unit´ aria na presen¸ca de uma quebra estrutral nos parâmetros de n´ıvel, inclina¸caõ ou ambos. De acordo com os autores, a principal diferen¸ ca do teste para a abordagem de Phillips e Perron (1988) é endogeneizar a quebra sob a hip´ otese nula, o que permite a correta


158

inferência da mudan¸ca de parˆ ametro sob a presen¸ca de raiz unitária; o exato motivo pelos quais os outros testes s˜ ao inadequados.

O teste se baseia no menor valor da estat´ıstica t do teste ADF, de maneira que uma quebra existiria onde h´ a menos evidência da hipótese nula de raiz unitária.

Vale observar portanto que, diferente dos outros testes, o parâmetro model se refere onde se acredita ocorrer a quebra:

Sintaxe: ur.za(y, model = c(“intercept”, “trend”, “both”), lag=NULL) Como veremos na próxima se¸cão, h´ a motivos para acreditarmos que a série do IBC-Br que apresentamos no in´ıcio do cap´ıtulo apresente uma quebra estrutural, e sob essa hip´ otese, dentre os testes de raiz unitária que apresentamos, o Zivot-Andrews é o uńico adequado. Assim, analisemos os resultados do teste:

> ibcts_za<- ur.za(ibcts) > summary(ibcts_za)

################################ # Zivot-Andrews Unit Root Test # ################################

Call: lm(formula = testmat) Residuals: Min 1Q -4.2817 -0.5174

Median 0.0977

3Q 0.6311

Max 2.2671

Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 11.02833 3.62846 3.039 0.00287 ** y.l1 0.89103 0.03681 24.208 < 2e-16 *** trend 0.05088 0.01644 3.094 0.00242 ** du -0.87398 0.37080 -2.357 0.01994 *

4.5. QUEBRAS ESTRUTURAIS --Signif. codes:

159

0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 0.9766 on 128 degrees of freedom (1 observation deleted due to missingness) Multiple R-squared: 0.9958, Adjusted R-squared: 0.9957 F-statistic: 1.009e+04 on 3 and 128 DF, p-value: < 2.2e-16

Teststatistic: -2.9606 Critical values: 0.01= -5.34 0.05= -4.8 0.1= -4.58 Potential break point at position: 69

O alto valor da estat´ıstica de teste (em valor absoluto) sugere n˜ ao-rejei¸cão da hip´ otese nula; de que o processo é um passeio aleatório e o comportamento at´ıpico observado é apenas um choque aleat´ orio, de natureza end´ ogena.

Quebras Estruturais O problema de quebras estruturais é importante por si pr´ opio; muitas vezes a determina¸cão de uma quebra corrobora a hipótese de que um determinado fato ou acontecimento tenha mudado a estrutura de alguma vari´ avel econˆ omica, por exemplo.

Todavia, no aˆmbito da an´ alise de estaconariedade, a presen¸ca de uma quebra estrutural viola hip´ oteses na maioria dos testes de raiz unit´ aria. Todavia, antes de pensar em corrigir tal problema, enfrentamos outro t˜ ao dif´ıcil quanto: definir se de fato h´ a uma quebra estrutural.

Neste processo, o conhecimento do pesquisador acerca da série em quest˜ ao e dos contextos relevantes a ela são important´ıssimos, pois mais interessante do que inferir que a hip´ otese de quebra se justifica estatisticamente é poder suport´ a-la sob uma justificativa que trate do processo gerador.


160

Principais Testes para Quebras Estruturais Na literatura, um dos primeiros esfor¸ cos na deteçcaõ de quebras estruturais se encontra em Chow (1960), que em linhas gerais propˆ os a compara¸caõ dos res´ıduos de um modelo onde se calcula duas regressões, separadas pelo momento em que acredita ter ocorrido a quebra (equivalente a um modelo irrestrito) com os res´ıduos de um modelo de apenas uma regress˜ ao para todo o per´ıodo (modelo restrito). A estatistica de teste é portanto da forma de uma F :

F =

uˆT uˆ − uˆ RT ˆ u R uˆ RT ˆ u R /(n − 2k )

(4.4)

Assim, na Eq. 4.5.1 uˆ são os res´ıduos do modelo irrestrito, uˆ R os do modelo restrito, n ´ e o tamanho da amostra e k o n´ umero de parâmetros estimados. A limita¸ cão do teste é

a necessidade de se conhecer o momento da quebra. Todavia, existem testes baseados nesta mesma estat´ıstica que contornam essa limita¸ca˜ o. Uma das possibilidades é o c´ alculo de (4) para vários per´ıodos dentro de uma janela, como sugere e implementa Zeileis et al. (2001) no pacote strucchange (assim como o restante dos testes da se¸cão):

Fstats(formula, from = 0.15, to = NULL, data = list())

O teste naturalmente necessita da especifica¸cão de um modelo (parâmetro formula), que pode ser definido, por exemplo, com uma nálise do tipo Box-Jenkins. Pode-se informar o intervalo de cálculo (parˆ ametro from) da estat´ıstica. O valor padr˜ ao é de 15% da amostra5 . J´ a o parâmetro data permite apontar a base de dados a ser utililizada, caso não se queira carreg´ a-la fora da fun¸caõ.

5

caso se queira definir um intervalo especifico, pode-se utilizar em conjunto o parˆ ametro to, nesse caso informa-se a data inicial e final

161

4.5. QUEBRAS ESTRUTURAIS

Outra ferramenta s˜ ao os testes de flutua¸cão emp´ırica (em inglês empirical fluctuation process (efp)) que se baseiam no método apresentado originalmente em R. L. Brown J. Durbin (1975). A proposta é inferir sobre a estabilidade dos parˆ ametros a partir do comportamento da soma cumulativa (Eq. 4.5) dos res´ıduos recursivos normalizados6 de um modelo que descreva o processo adequadamente.

e f p (s) =

1



|ns|

∑ ε ˆt

ˆ (n) t =1 σ

(4.5)

De acordo com Zeileis et al. (2001), sob a hipótese nula de estabilidade do processo de soma cumulativa (i.e. ausˆ encia de quebra estrutural), o teorema do limite central implica que sua média não deve divergir de zero. Assim, com base no processo de flutua¸cão escolhido, s˜ ao estabelecidos limites superiores e inferiores para a oscila¸cão do processo, de maneira que h´ a evidˆ encias de quebra estrutural caso a flutua¸caõ emp´ırica extrapole tais limites.

Sua sintaxe, assim como a da fun¸caõ breakpoints, necessita da especifica¸cão da estrutura do processo seguido pela s´ erie atrav´ es do argumento formula (e.g. ARMA(1,1)) e da janela para as somas sucessivas, pelo parˆ ametro h.

Sintaxe: efp(formula, data, type = ”Rec-CUSUM”, h = 0.15, dynamic = FALSE, rescale = TRUE) No restante da sint´ a xe, o parâmetro dynamic permite a inclus˜ ao de defasagens na regress˜ ao, enquanto que rescale permite a normaliza¸caõ dos res´ıduos de acordo com a subamostra da regress˜ ao (default TRUE ) ou com toda a amostra (FALSE ).

Voltando a s´ erie do IBC-Br, dado contexto em que a economia mundial foi inserida a partir de 2008, temos motivos pra acreditar a queda ocorrida naquele ano tenha sido uma que6



ˆ (n), onde n ´ res´ıduos da estimativa da observa¸ ca õ k feita com base na amostra até k − 1 dividios por σ e o tamanho da amostra.


162

bra estrutural, o que significaria dizer que, ap´ os a crise financeira de 2008, o processo gerador do PIB (dado que o IBC-Br é utilizado como sua proxy), e consequentemente a estrutura da economia brasileira, foram afetadas por aquele evento. Todavia, visualmente nada é conclusivo, dado que apesar da queda o processo parece voltar ao seu trajeto original a partir de 2011.

N˜ ao obstante, na Fig. 4.9 realizamos o teste de flutua¸cão emp´ırica para a série diferenciada7 , tomando como parˆ ametro um modelo AR(1). O gr´ afico mostra que a fun¸cão n˜ ao extrapola os limites estabelecidos para o processo definido como referência8 . Assim, dado que a hip´ otese nula é a de estabilidade do processo de flutua¸cão emp´ırico e o p-valor é bastante alto, conclui-se que a série n˜ ao apresenta quebra estrutural com base nesse teste.

Recursive CUSUM test s s e c o r p n o i t a u t c u l f l a c i r i p m E

3 2 1 0 1 −

3 − 2004

2006

2008

2010

2012

2014

Time

Figura 4.9

Recursive CUSUM test S = 0.89088, p-value = 0.07555

Outra abordagem , baseada em Bai e Perron (2003), busca datar as quebras estruturais existentes num processo através de um algor´ıtmo de programa¸ cão dinˆ amica que minimiza a soma dos res´ıduos quadráticos. 7

Como o teste é realizados sob res´ıduos de uma regress˜ ao linear, o ideal é buscar garantir que os dados utilizados s˜ ao estacion´ arios 8 Soma cumulativa dos res´ıduos recursicos (Rec-CUSUM)

163


A fun¸caõ necessita que seja definida a estrutura que se acredita o processo seguir, assim como uma janela de intervalos de busca (argumento h), geralmente estipulada entre 10% e 15% do tamanho da amostra. Al´ em disso, caso o n´ umero de quebras não seja desconhecido, pode-se utilizar um critério de informa¸caõ (sendo o default BIC), para definir um n´ umero ótimo de quebras a partir de um máximo, através do argumento breaks:

Sintaxe: breakpoints(formula, h = 0.15, breaks = NULL, data = list(), ...) Para deixar a explica¸caõ mais clara, simulemos um passeio aleat´ orio com drift ao qual dobramos a média temporal a partir da metade da série (Fig. 4.10):

0 5 1

0 0 1

0 5

0

0

20

40

60

80

100

Figura 4.10

Agora, plotemos sua fun¸ cão de flutua¸caõ CUSUM, e o gráfico resultante da fun¸cão breakpoints; ambos gerados tomando como argumento de formula um processo AR(1) de raiz unit´ aria, em primera diferen¸ca (Fig 4.11):


164

Recursive CUSUM test

BIC and Residual Sum of Squares

0 5 8 6 −

3

BIC RSS

2

1 0 5 9 6 −

0 1 − 2 −

0 5 0 7 −

3 −

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0

1

2

3

4

5

6

Figura 4.11

Como esper´ avamos, exatamente no ponto onde onde a média do processo dobra, h´ ao rompimento da banda superior para o processo de flutua¸cão escolhido. Todavia, observamos que o processo segue fora do limite superior, muito provavelmente devido sua natureza não estacion´ aria, que tende fazer com que seus momentos estat´ısticos cres¸ cam ao longo do tempo; logo, alterando consistentemente os parˆ ametros do processo.

O gráfico da fun¸cão breakpoints mostra no eixo das coordenadas a soma dos res´ıduos quadrados (RSS, do inglês residual sum of squares ) e o critério de informa¸caõ bayesiano (BIC) contra o n´ umero de quabras no eixo das ordenadas. Em teoria, ambos os valores apresentam seu m´ınimo para o n´ umero de quebras ótimo contidos na série. Os dois valores n˜ ao v˜ ao sempre coincidir, mas como mostraram Bai e Perron (2003), o critério BIC n˜ ao é tão confi´ avel para modelos autoregressivos, sendo nesses casos o aconselh´ avel se basear na soma dos res´ıduos quadrados em conjunto com as evidências de quebras de outros testes; uma vez que esse sempre é realizado sob a hip´ otese de existência.

Para a série simulada, o critério BIC tem seu m´ınimo para uma quebra, enquanto que para a RSS este está entre 1 e 5 9 . Todavia, dado que a série é n˜ ao estacion´ aria, e sabemos 9

para melhor visualiza¸ca õ, omitimos os valores do gr´ afico para 6 quebras, que aumentam acima dos valores de 0 quebras.

165


que inserimos uma quebra, as outras 4 se devem às oscila¸co˜es abruptas, comuns a passeios aleat´ orios.

Outras implementa¸co˜es e varia¸cões dos testes acima podem ser encontrados no mesmo pacote. Todavia, como alerta Kleiber e Zeileis (2008), (p´ ag. 173), tal variedade de testes pode se tornar um problema ao inv´ es de uma solu¸ cão, e o conhecimento a priori da natureza do processo e sua história s˜ ao de grande aux´ılio na sele¸cão da metodologia adequada.

Decomposi¸ ca õ de Hodrick-Prescott (Filtro HP) Uma ferramenta muito utilizada na inferˆ encia de componentes estruturais baseada na decomposi¸cão de uma série temporal é o filtro de Hodrick-Prescott, apresentado no artigo Hodrick e Prescott (1997). A proposta da decomposi¸ cão é a remo¸cão das flutua¸cões c´ıclicas de uma série temporal, tal suaviza¸cão resultaria numa série temporal que representa as flutua¸cões de longo prazo mais evidentemente que as de curto.

Como visto em Enders (2015), nesta metologia se assume que a s´ erie temporal observada é composta por uma tendência {µ t } e um elemento estacion´ aria yt − µ t . A partir da´ı, aplicamos a minimiza¸cão de erros quadráticos para obter os parˆ ametros do seguinte modelo:

1

λ T −1 2 ∑ ( yt − µ t ) + ∑ [(µ t +1 − µ t ) − (µ t − µ t −1 )] T

T i=1

2

T i=2

Para fins did´ aticos, consideremos a série temporal do Indicador de Atividade Econˆ omica do IBC-Br do Banco Central do Brasil (Fig 4.2), que é tido como uma proxy para o PIB do pa´ıs.

Como a proposta do filtro HP é expurgar oscila¸ cões de curto prazo, deixando restar apenas a tendência de longo prazo da s´ erie original, pode-se argumentar que aplicado a` série


166

do IBC-Br, o filtro sugere qual comportamento segue do produto potencial da economia. De fato, quando observamos a Figura 4.12, observamos que a tendência de longo prazo da série (linha vermelha), sugere que, tudo mais contasntante, o PIB do pa´ıs tende a crescer.

Além disso, observamos as oscila¸cões ocorridas na série no per´ıodo apresentado, com maior destaque para a grande queda observado em 2008, per´ıodo em se sentiram os choques da crise financeira internacional. Hodrick−Prescott Filter of log(ibcts) 0 . 5

l og (i bc ts )

t re nd

8 . 4

6 . 4

2004

2006

2008

2010

2012

2014

Cyclical component (deviations from trend)

0 0 . 0

4 0 . 0 −

2004

2006

2008

2010

2012

2014

Figura 4.12 Todavia, como alerta Enders (2015), é necess´ ario precau¸cão na aplica¸caõ do filtro, dado que, por suavizar a tendˆ encia da s´ erie, o filtro pode apresentar flutua¸cões na parte irregular do processo que de fato não existem. Além disso, French (2001) afirma que o filtro possui resultados mais confi´ aveis quando aplicado a processos com ordem de integra¸caõ 2 e os ru´ıdos no processo tem distribui¸cão aproximadamente normal. Resulta que os testes ADF e KPSS nos sugerem que a série é não-estacion´ aria, enquanto que o teste de Phillips-Perron e DF-GLS sugerem estacionariedade. Todavia, se de fato h´ a uma quebra estrutural, não podemos inferir nada utilizando os testes apresentados, dados que isso viola suas hip´ oteses.

Todavia, sobra ainda a evidˆ encia de que a FAC da série removida de tendˆ encia n˜ ao se assemelha ao de um processo estacion´ ario. Ao final, vemos que, como dito no in´ıcio do cap´ıtulo, a an´ alise de estacionariedade neste caso se torna uma tarefa mais investigativa, n˜ ao


167

sendo poss´ıvel chegar a uma conclus˜ ao de maneira sistem´ atica, analisando os resultados dos testes de hipóteses.

168


Modelos SARIMA ( p, d , q)(P, D, Q)12 Pedro Costa Ferreira Daiane Marcolino de Mattos

CAP ÍTULO 5.

170

MODELOS SARIMA ( P, D, Q)(P, D, Q)12

Introdu¸c˜ ao Este cap´ıtulo é dedicado a apresenta¸cão do modelo SARIMA. Para tal, fez-se uso da série temporal (ST) de vendas de passagens aéreas, mais conhecida como Air Passengers . Trata-se de uma série temporal mensal que registra o total de passageiros internacionais (em milhares) da linha aérea (Pan Am) no per´ıodo de janeiro de 1949 a dezembro 1960, nos EUA (Box e Jenkins (1976)).

A ST de vendas de passagens aéreas é um exemplo cl´ assico de representa¸cão da modelagem de Box e Jenkins (1970) e a estrutura que “melhor” representa essa ST é um modelo SARIMA(0,1,1)(0,1,1)12 . Dado a fama obtida por esse modelo, é equivalente dizer que uma ST segue um SARIMA(0,1,1)(0,1,1)12 ou um modelo Airline .

Ao longo desse cap´ıtulo discutiremos as caracter´ısticas dessa ST e os passos para model´ ala utilizando o software R, discutindo quais s˜ ao os poss´ıveis pacotes disponibilizados pelo programa. Conforme observaremos, essa é uma série temporal n˜ ao estacion´ aria nas partes sazonal e n˜ ao sazonal e na variˆ ancia. Aprenderemos a identificar essas caracter´ısticas e qual é a maneira adequada de corrig´ı-las para fazermos uso da metodologia proposta por Box & Jenkins.

Ao ler esse cap´ıtulo, pretende-se que o leitor esteja apto a modelar uma ST “n˜ ao complexa”, seguindo a proposta de Box & Jenkins, utilizando o software R. Para atingir tal objetivo, além dessa introdu¸caõ, esse cap´ıtulo est´ a organizado da seguinte forma: na se¸caõ 2, entitulada Preliminares, vamos definir o nosso diret´ orio de trabalho e comentar sobre os pacotes que precisamos instalar para estimarmos e analisarmos de maneira correta o modelo SARIMA. Na se¸caõ 3, vamos explorar a ST de vendas de passagens a´ ereas observando sua tendência, variˆ ancia e padr˜ ao sazonal. Na se¸ cão 4, vamos aprofundar o nosso conhecimento sobre a ST que estamos trabalhando e discutir quais s˜ ao os procedimentos que devemos adotar

5.2. PRELIMINARES

171

para model´ a-la. Na se¸cão 5, baseando-se no ciclo iterativo proposto por Box e Jenkins (1970), iremos modelar a nossa ST e prevê-la 12 passos a` frente. Na se¸cão 6, mostraremos como exportar as previsões para arquivos .xlsx e .csv e por fim, na se¸cão 7, faremos as considera¸cões finais.

Preliminares Defini¸ c˜ ao do diret´ orio Primeiramente, é preciso definir no R o diret´ orio de trabalho. Isso é feito com a fun¸ caõ setwd() como se segue.

> setwd("digitar o endere¸co neste espa¸ co")

Instala¸ ca õ dos pacotes necessários O próximo passo é instalar alguns pacotes do R utilizando a fun¸caõ install.packages(). Entre parênteses vem o nome do pacote entre aspas. O leitor deve digitar o seguinte no console :

– install.packages(”urca”) - Unit root and cointegration tests for time series data (Pfaff (2005)). – install.packages(”TSA”) - Time Series Analysis (Chan e Ripley (2012a)). – install.packages(”forecast”) - Forecasting Functions for Time Series and Linear Models (Hyndman et al. (2012)). – install.packages(”lmtest”) - Testing Linear Regression Models ((Hothorn et al., 2014)). – install.packages(”normtest”) - Tests for Normality (Gavrilov et al. (2014)). – install.packages(”FinTS”) - Companion to Tsay (2005) Analysis of Financial Time Series (Graves (2012)). – install.packages(”xlsx”) - Read, write, format Excel 2007 and Excel 97/2000/XP/2003 files (Dragulescu et al. (2012)).

CAP ÍTULO 5.

172


Ap´ os a instala¸cão, é preciso usar a fun¸cão require() para carregar os pacotes, mas faremos isso ao longo do texto para que fique claro para o leitor em quais pontos estamos usando os pacotes.

An´ alise Explorat´ oria da ST AirPassengers Leitura da ST no R Leitura da ST no R Por ser uma ST conhecida, o R já a disponibiliza na sua base de dados, tornando-se muito f´ acil a sua leitura. Basta executar o seguinte comando:

> data(AirPassengers)

Ap´ os ler a ST, vamos plot´ a-la.

> ts.plot(AirPassengers)

s r e g n e s s a P r i A

0 0 5

0 0 3

0 0 1

1950

1952

1954

1956

1958

1960

Time

Observando o gráfico da ST de vendas de passagens aéreas podemos perceber que há uma tendência crescente do n´ umero de passageiros. As oscila¸cões de picos e vales podem ser relacionadas a`s esta¸cões do ano, nas quais, mais especificamente, temos per´ıodos de férias, feriados, etc. Essas oscila¸cões, como observadas, acontecem anualmente, o que nos faz acreditar

´ ´ 5.3. AN ALISE EXPLORAT ORIA DA ST AIRPASSENGERS

173

que há presen¸ca de sazonalidade. Do come¸co do ano a outubro percebemos um comportamento crescente, seguido de um comportamento decrescente da série. Isso se repete todo ano.

Nesse sentido, apenas observando o gr´ afico podemos “levantar” as seguintes hip´ oteses sobre essa ST: encia: parece • Tendˆ

haver aumento do n´ umero de passageiros transportados ao longo

dos anos pela Pam Am. Coerente com a teoria econˆ omica pois espera-se que ao longo do tempo a empresa cres¸ ca e, consequentemente aumente as vendas de passagens aéreas.

ancia: • Variˆ

observa-se que, al´ em do aumento do n´ umero de passagens vendidas, a

distˆ ancia entre os meses com maiores e menores vendas tamb´ em est´ a aumentando, indicando aumento da variˆ ancia. Fato este tamb´ em coerente com a teoria econˆ omica pois ao aumentar o volume de vendas, espera-se maiores oscila¸cões em rela¸caõ ao valor médio.

• Sazonalidade:

verifica-se um comportamento sazonal das vendas de passagens aéreas.

Isto é, nos meses de mar¸co (feriado de P´ ascoa) e julho (Dia da Independência e férias escolares) h´ a um aumento nas vendas quando comparado com os meses anteriores. Al´ em disso, parece que a é crescente ao longo do tempo.

Observe que a análise gr´ afica nos permitiu conhecer a nossa ST e é uma fase muito importante para esse tipo de modelagem. Obviamente, como bom econometricistas que somos, iremos testar estatisticamente todas os pontos levantados anteriormente. Antes disso, vamos tentar entender um pouco mais o comportamento sazonal da nossa ST.

Uma an´ alise um pouco mais profunda da sazonalidade O gráfico monthplot ajuda a detectar visualmente a presen¸ca de sazonalidade na ST. Como se pode verificar, esta ST apresenta a média e a variˆ ancia n˜ ao constantes, ind´ıcios de

CAP ÍTULO 5.

174


não estacionariedade na parte sazonal da ST.

Observando o gráfico, podemos ver que o n´ umero médio de passageiros (tra¸cos horizontais) aumenta nos meses de férias (ind´ıcio de sazonalidade). Analisando os tra¸ cos verticais, verifica-se um aumento cont´ınuo na venda de passagens aéreas ano a ano, ind´ıcio de n˜ ao estacionariedade na parte sazonal da S´ erie Temporal.

> monthplot(AirPassengers)

s r e g n e s s a P r i A

0 0 5

0 0 3

0 0 1

J

F

M

A

M

J

J

A

S

O

N

D

Decomposi¸ ca õ da ST Por fim, seguindo a decomposi¸cão cl´ assica, decomp˜ oe-se a ST utilizando filtros de médias m´ oveis em três componentes principais:

- tendência + ciclo - sazonalidade - res´ıduo (componente irregular, inova¸ cão)

> plot(decompose(AirPassengers))

´ ´ 5.3. AN ALISE EXPLORAT ORIA DA ST AIRPASSENGERS

175

Decomposition of additive time series d e v r e s b o

0 0 5 0 0 3 0 0 1 0 5 4

d n e r t

0 5 3 0 5 2 0 5 1

l a n o s a e s

m o d n a r

0 4

0 0 4 − 0 6

0 2 0

0 4 − 1950

1952

1954

1956

1958

1960

Time

Conforme observado no gráfico da ST, verifica-se que o número m´ınimo de passagens vendidas foi de 104 (Nov-1949) e o máximo de 622 (Jul-1960). Ao observar o componente de tendˆ encia, observa-se que a ST é fortemente afetada por esse componente (em torno de 85%). Com rela¸cão ao componente sazonal, verifica-se que o mesmo tamb´ em est´ a presente nessa ST e gira em torno de 10%. Sobrando uma pequena parte de componente irregular, o qual é levemente “contaminado” pela parte sazonal, mostrando que método de decomposi¸ c˜ ao utilizado n˜ ao é muito eficiente.

Essa an´ alise é interessante pois mostra que, basicamente, precisamos modelar as componentes de tendência e sazonalidade (em torno de 95% da ST), componentes “bem” modelados pelos modelos SARIMA(p,d,q)(P,D,Q). Este fato mostra porque essa ST é t˜ ao utilizada para exemplificar o uso dessa metodologia.

CAP ÍTULO 5.

176


Prosseguindo, nosso pr´ oximo passo ser´ a testar estatisticamente as percep¸cões levantadas anteriomente. Isto é, a ST de vendas de passagens aéreas é realmente n˜ ao estacion´ aria na parte n˜ ao sazonal? A ST de vendas de passagens aéreas é realmente n˜ ao estacion´ aria na parte sazonal? Como faremos para “corrigir” esses “problemas”?

Conhecendo a ST antes de iniciar a modelagem BJ Para responder aos questionamentos feitos na se¸cão anterior, iremos abordar os dois t´ opicos: 1. Testar a estacionariedade da parte n˜ ao sazonal 2. Testar a estacionariedade da parte sazonal

Testando a estacionariedade da parte n˜ ao sazonal H´ a, basicamente, quatro maneiras de observar se a ST em estudo é ou n˜ ao estacion´ aria: •

An´ alise gr´ afica;

•

Comparar a média e a variˆ ancia em diferentes per´ıodos de tempo da ST;

• Observar • Testes

a FAC (Fun¸cão de Autocorrela¸cão);

de Raiz Unitária.

J´ a vimos que a an´ alise gr´ afica nos mostrou ind´ıcios de não estacionariedade. Fica claro também que, se “fati´ assemos” a ST e calcul´ assemos as médias de cada ano, observar´ıamos uma tendência de alta nas médias, indicando n˜ ao estacionariedade das mesmas.

Outra maneira de ver a não estacionariedade da ST é visualizando o gr´ afico da FAC. A figura a seguir mostra que as autocorrela¸co˜es plotadas pela FAC n˜ ao decrescem exponencialmente ou de forma senoidal conforme descrito pela teoria de Box e Jenkins (1970). Esse é mais um indicativo de que a ST é não estacion´ aria 1 .

1

O pacote TSA permite excluir o lag zero da FAC.

5.4. CONHECENDO A ST ANTES DE INICIAR A MODELAGEM BJ

177

> require(TSA) > acf(AirPassengers, lag.max = 36, drop.lag.0 = T)

Series AirPassengers

6 . 0 F C A 2 . 0

2 . 0 −

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Lag

Nesse momento, o leitor atento pode estar se fazendo a seguinte pergunta: Para que tantas maneiras de se observar a estacion´ ariedade, se ao observar o gr´ a fico da ST já est´ a claro que a mesma é n˜ ao estacion´ aria? A resposta a esse questionamento é que nenhuma das maneiras, vistas até o momento, de se verificar se a ST é ou n˜ ao estacion´ aria nos d´ a uma resposta “clara” (com significˆ ancia estat´ıstica) se a ST é ou n˜ ao estacion´ aria. Mais ainda, tais métodos, n˜ ao nos dizem quantas diferencia¸cões precisaremos fazer na ST em estudo para torn´ a-la estacion´ aria e qual é o tipo de n˜ ao estacionariedade (determin´ıstica ou estoc´ astica). Para obter essas respostas precisamos testar a estacionariedade atrav´ es dos testes de Raiz Unit´ aria.

Os testes de Ra´ız Unitária2 (RU) foram uma grande revolu¸ cão na Econometria na década de 1980. Existe uma grande quantidade de testes e, basicamente, todos têm a mesma ideia, isto é, a hip´ otese nula é que a série temporal possui uma raiz unit´ aria (a ST é n˜ ao-estacion´ aria) e a hipótese alternativa a que a série é estacion´ aria, com exce¸caõ do teste KPSS que tem as hip´ oteses alternadas. Abaixo podemos ver alguns exemplos de testes de Raiz Unitária: • Augmented

Dickey Fuller (ADF) (Dickey e Fuller (1979b))

• Phillips-Perron 2

(PP)(Phillips e Perron (1988))

Para maiores detalhes ver: Hamilton (1994b).

CAP ÍTULO 5.

178 • Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin • Dickey


(KPSS)(Kwiatkowski et al. (1992))

Fuller GLS (DF-GLS)(Eliott et al. (1996))

• Elliott–Rothenberg-Stock

point optimal (ERS)(Elliott et al. (1992))

Apesar de haver uma grande quantidade de testes, nesse livro abordaremos apenas o teste de Dickey Fuller Aumentado (ADF), que tem as seguintes hipóteses: H0 : a ST possui uma RU ⇔ a série é n˜ ao estacion´ aria Ha : a ST n˜ ao possui RU ⇔ a série é estacion´ aria A regra de rejei¸caõ da hip´ otese nula funciona da seguinte forma: se o valor observado para a estat´ıstica de teste for inferior ao valor cr´ıtico, rejeitamos a hip´ otese nula e, portanto, conclu´ımos que a ST é estacion´ aria de acordo com o n´ıvel de confian¸ ca adotado previamente. Caso contr´ ario, a ST ser´ a n˜ ao estacion´ aria3 . A estat´ıstica de teste do teste ADF segue distribui¸caõ Tau e seus valores foram tabulados por MacKinnon (1996).

Como existem v´ arias especifica¸cões consistentes com a n˜ ao-estacionariedade, ir˜ ao existir várias formas de test´ a -la. Na pr´ atica, a quest˜ ao importante é escolher a forma do teste de RU adequada para a ST em questão. As seguintes formas para o teste ADF se apresentam:

• Raiz

unit´ aria + constante + tendência determin´ıstica (R: trend )

• Raiz

unit´ aria + constante (R: drift )

• Raiz

unit´ aria (R: none )

Para executar o teste no R, usaremos a fun¸cão ur.df() do pacote urca (Pfaff (2005)). Os principais argumentos dessa fun¸cão s˜ ao:

> ur.df(y, type = c("none", "drift", "trend"), lags = 1, + selectlags = c("Fixed", "AIC", "BIC"))

- y : ST em que será testada a raiz unit´ aria; - type : tipo da especifica¸caõ do teste que o usu´ ario deseja realizar; 3

Para maiores detalhes sobre processos n˜ ao estacion´ arios e os testes de Ra´ız Unit´ aria de Dickey Fuller e Phillips Perron, recomenda-se consultar Hamilton, 1994 (cap´ıtulos 15, 16 e 17)


179

- lags : n´ umero de defasagens a serem usadas para captar o comportamento da ST e, consequentemente, corrigir o problema da autocorrela¸cão residual; - selectlags : a fun¸cão pode definir automaticamente, baseada em um critério de informa¸cã o, o n´ umero de lags a serem inclusos dado um valor máximo no argumento lags . Antes de iniciar o teste é importante observar que o n´ umero de lags que serão inclu´ıdos na equa¸cão do teste ADF será definido com base na análise dos res´ıduos da regressã o e n˜ ao somente nos critérios de informa¸cão.

Dando in´ıcio aos testes, vamos testar a estacionariedade da ST considerando equa¸ c˜ ao ´ importante você saber que testamos a equa¸cão com tendênsem tendência e com constante. E cia antes, porém o parˆ ametro dessa vari´ avel n˜ ao foi significativo. Nessa fase o parˆ ametro mais dif´ıcil e importante de definir é o lag, isto é, você precisa encontrar um n´ umero de lags que corrija a autocorrela¸cão dos res´ıduos e ser parcimonioso com rela¸cão ao n´ umero de parˆ ametros da equa¸caõ do modelo.

Estipulamos, inicialmente, o lag m´ aximo como 24 e o critério de informa¸cão a minimizar sendo o AIC. A seguir observamos o resultado do teste ADF e a FAC do res´ıduos, a qual mostra que não h´ a presen¸ca de autocorrela¸caõ.

> require(urca) > adf.drift <- ur.df(y = AirPassengers, type = c("drift"), + lags = 24, selectlags = "AIC") > acf(adf.drift@res, lag.max = 36, drop.lag.0 = T) Series adf.drift@res

0 1 . 0 F C A

0 0 . 0

5 1 . 0 −

0

5

10

15

20 Lag

25

30

35

CAP ÍTULO 5.

180


Ao analisar a estat´ıstica de teste (1,8582) notamos que seu valor é superior ao valor cr´ıtico associado ao n´ıvel de confian¸ca de 95% (-2,88). Dessa forma, conclui-se que a ST n˜ ao é estacionária (n˜ ao rejei¸caõ da hip´ otese nula).

> adf.drift@teststat #estat´ ıstica de teste

tau2 phi1 statistic 1.85818 7.914366

> adf.drift@cval #valores tabulados por MacKinnon (1996)

1pct 5pct 10pct tau2 -3.46 -2.88 -2.57 phi1 6.52 4.63 3.81

O leitor pode visualizar mais informa¸ cões sobre o teste de RU, como a equa¸cão ajustada por exemplo, usando a fun¸caõ summary().

> summary(adf.drift)

Ao concluir que a ST tem raiz unit´ aria, precisamos descobrir o n´ umero de diferencia¸co˜es ´ importante observar que esse é apenas um exerc´ıcio necess´ arias para torn´ a-la estacion´ aria. E para que o leitor observe o comportamento da ST e da FAC antes e após a diferencia¸caõ, pois, como veremos nas próximas se¸cões, faremos as “corre¸cões” de n˜ ao estacionariedade da ST na pr´ opria fun¸cão que estimar´ a o modelo SARIMA.

Dado que a nossa ST é n˜ ao estacion´ aria, vamos tentar torn´ a-la estacion´ aria fazendo uma diferencia¸caõ e vamos observar o gráfico e a FAC novamente.

> ts.plot(diff(AirPassengers, lag = 1, differences = 1))


) 1 = s e c n e r e f f i d , 1 = g a l , s r e g n e s s a P r i A ( f f i d

181

0 5

0

0 5 − 0 0 1 −

1950

1952

1954

1956

1958

1960

Time

> acf(diff(AirPassengers, lag = 1, differences = 1), + lag.max = 36, drop.lag.0 = T)

Series diff(AirPassengers, lag = 1, differences = 1)

6 . 0 F C A

2 . 0

2 . 0 −

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Lag

Observe que ao aplicar a diferencia¸caõ, a ST aparenta estar estacion´ aria na média, mas a variˆ ancia é crescente ao longo do tempo. Como sabemos, um dos pressupostos da teoria Box & Jenkins é que a ST seja também estacion´ aria na variˆ ancia, para tal, iremos passar o log na ST em quest˜ ao.

CAP ÍTULO 5.

182


> ts.plot(diff(log(AirPassengers),lag = 1,differences = 1)) ) 1 = s e c n e r e f f i d , 1 = g a l , ) s r e g n e s s a P r i A ( g o l ( f f i d

2 . 0 1 . 0 0 . 0

2 . 0 −

1950

1952

1954

1956

1958

1960

Time

> acf(diff(log(AirPassengers), lag = 1, differences = 1), + lag.max=48, drop.lag.0=T)

Series diff(log(AirPassengers), lag = 1, differences = 1)

6 . 0 F C A

2 . 0

2 . 0 −

0

1

2

3

4

Lag

Note agora que temos uma série temporal estacion´ aria tanto na média quanto na variância. Ao analisarmos a FAC, a pergunta que fica é: essa FAC é adequada para idenficarmos


183

a estrutura do nosso modelo SARIMA?!

Avaliando a estacionariedade da parte sazonal Com rela¸caõ a pergunta feita na se¸cão anterior, o leitor atento j´ a observou que nos lags sazonais4 a fun¸caõ de autocorrela¸cão tamb´ em apresenta um decrescimento lento, indicando que a ST é não estacion´ aria na parte sazonal5 .

Para corrigir esse problema precisamos diferenciar a parte sazonal, para isso diferenciaremos a ST j´ a diferenciada na parte não sazonal. Tal procedimento é feito mudando o parˆ ametro lag da fun¸caõ diff() para 12, conforme pode ser observado abaixo:

> acf(diff(diff(log(AirPassengers), lag = 1, differences = 1), + lag = 12, differences = 1), lag.max = 48, drop.lag.0 = T)

Series diff(diff(log(AirPassengers), lag = 1, differences = 1), lag = Series differences = 1) 2 . 0

F C A

0 . 0

2 . 0 − 4 . 0 −

0

1

2

3

4

Lag

4

Observe que na FAC gerada pelo R os lags sazonais s˜ ao 1(=12), 2(=24), 3 (=36), etc. Existem testes estat´ısticos para avaliar a presen¸ca de n˜ ao estacionariedade sazonal, um dos mais conhecidos é o teste de HEGY (Hylleberg et al., 1990) 5

CAP ÍTULO 5.

184


Observe que agora a FAC apresenta cortes bruscos nos lags 1 e 12. E n˜ ao apresenta mais decrescimento lento tanto na parte sazonal quanto na não sazonal. Vamos refazer o teste de RU para confirmar a estacionariedade da ST após aplicar as transforma¸co˜es anteriores. O valor da estat´ıstica de teste (-4,0398) é inferior ao valor cr´ıtico (-2,88). Assim, podemos concluir que a série é estacion´ aria.

> # Teste de RU na ST com diferen¸c as sazonal e n~ ao sazonal > adf.drift2 <- ur.df(y = diff(diff(log(AirPassengers), lag = 1), lag = 12), + type = "drift", lags = 24, selectlags = "AIC") > adf.drift2@teststat #estat´ ıstica de teste

tau2 phi1 statistic -4.039891 8.160779

> adf.drift2@cval #valores tabulados por MacKinnon (1996)

1pct 5pct 10pct tau2 -3.46 -2.88 -2.57 phi1 6.52 4.63 3.81

> acf(adf.drift2@res, lag.max = 36, drop.lag.0 = T)

Series adf.drift2@res 2 . 0 1 . 0 F C A

0 . 0

2 . 0 −

0

5

10

15

20 Lag

25

30

35

5.5. MODELANDO A ST

185

Ao analisar a FAC para os res´ıduos do teste ADF, o leitor pode notar que alguns lags aparecem significativos, porém n˜ ao s˜ ao relevantes (apresentam correla¸cão muito baixa). Dessa forma, confirmamos a validade do teste e podemos come¸car a nossa modelagem.

Modelando a ST Séries temporais podem ser estacionárias ou não estacion´ arias; estoc´ asticas ou determin´ısticas. Um processo estocástico Gaussiano é considerado fracamente estacion´ ario se a média e a autocovariˆ ancia n˜ ao dependem do tempo; a u ´ltima dependendo somente da distˆ ancia temporal entre as observa¸cõ es (Hamilton (1994b)). Os modelos de Box & Jenkins s˜ ao usados para séries originalmente estacion´ arias ou tornadas estacion´ arias por meio de diferencia¸cão. Geralmente, as séries econômicas s˜ a o n˜ ao estacion´ arias, devendo ser diferenciadas até que fiquem estacion´ arias.

A metodologia Box e Jenkins para séries temporais estacion´ arias e constru¸cão dos modelos ARIMA segue um ciclo iterativo composto por cinco partes (Granger e Newbold (1976)):

1. Especifica¸ c˜ ao: classe geral de estruturas SARIMA(p,d,q)(P,D,Q) é analisada. 2. Identifica¸ c˜ ao: com base na FAC e FACP amostrais e outros critérios. 3. Estima¸ c˜ ao: os parˆ ametros do modelo identificado s˜ ao estimados e testados estatisticamente sobre sua significˆ ancia. 4. Diagn´ ostico: faz-se uma an´ alise dos res´ıduos (devem ser ru´ıdo branco) e testes de verifica¸cão (Ljung-Box) para ver se é adequado o modelo sugerido. Em seguida, verificar os modelos que apresentam menores valores para os critérios AIC e BIC. Caso haja problemas no diagn´ ostico, volta-se a` identifica¸cão. 5. Modelo definitivo: para previsão ou controle. Verificar quais modelos têm as melhores medidas RMSE e MAPE (este não vale para dados próximos de zero, sendo prefer´ıvel a utiliza¸caõ de outro método para a an´ alise dos erros). Um processo ARIMA(p,d,q) é um ARMA diferenciado d vezes até estar estacion´ ario. Os

CAP ÍTULO 5.

186


modelos SARIMA s˜ ao usados para s´ eries temporais que apresentam comportamento peri´ odico em s espa¸cos de tempo, isto é, quando ocorrem desempenhos semelhantes a cada intervalo de tempo (Box e Jenkins, 1970). Este é o caso da série a ser trabalhada neste cap´ıtulo.

Identifica¸ c˜ ao Como sabemos, o primeiro passo para identificar o nosso modelo SARIMA é observando a FAC e a FACP. Como os modelos propostos por Box e Jenkins (1970) s˜ ao da década de 1970, o esfor¸co computacional para estimar o modelo era muito grande, portanto essa fase era fundamental para se ter um modelo adequado à ST em an´ alise. Atualmente, gra¸cas aos avan¸cos computacionais, observar a FAC e a FACP é u´til, principalmente, para se ter uma ideia inicial do modelo a ser testado, pois, como veremos mais adiante, o ideal é escolher um modelo que minimize os crit´ erios de informa¸ caõ.

Assim, vamos observar a FAC e a FACP da ST de vendas de passangens aéreas diferenciada na parte sazonal e n˜ ao sazonal e com transforma¸cão logar´ıtmica.

Observando os gráficos e com um pouco de boa vontade podemos pensar nos seguintes modelos:

- SARIMA(1,1,1)(1,1,1) - corte brusco na FAC e na FACP nas partes sazonais e não sazonais; - SARIMA(0,1,1)(0,1,1) - corte brusco na FAC e decrescimento das partes sazonais e não sazonais.

> layout(1:2) > acf(diff(diff(log(AirPassengers), lag = 1, differences = 1), + lag = 12, differences = 1), lag.max = 48, drop.lag.0 = T) > pacf(diff(diff(log(AirPassengers), lag = 1, differences = 1), + lag = 12, differences = 1), lag.max = 48)

187

5.5. MODELANDO A ST

Series diff(diff(log(AirPassengers), lag = 1, differences = 1), lag = Series differences = 1) 2 . 0

F C A

0 . 0

2 . 0 − 4 . 0 −

0

1

2

3

4

Lag

Series diff(diff(log(AirPassengers), lag = 1, differences = 1), lag =

F C A l a i t r a P

1 . 0

1 . 0 −

3 . 0 −

0

1

2

3

4

Lag

Uma vez identificado os poss´ıveis modelos, passa-se para o pr´ oximo passo: a estima¸cão.

Estima¸ c˜ ao Para estimar o modelo, deve-se testar as possibilidades dos SARIMAs que idealizamos a partir da visualiza¸caõ da FAC e da FACP. Para tanto, utilizaremos a fun¸cão Arima() do

CAP ÍTULO 5.

188


pacote forecast . Com rela¸cão ao método de estima¸ cão dos parˆ ametros neste trabalho, usaremos o default do R, que utiliza o método de M´ axima Verossimilhan¸ca, denotado como ML (Maximum Likelihood).

Dessa forma, o primeiro modelo a ser estimado ser´ a uma SARIMA(1,1,1)(1,1,1)12 6 .

> library("forecast") > fit.air <- Arima(AirPassengers, order = c(1,1,1), seasonal = c(1,1,1), + method = "ML", lambda = 0) > summary(fit.air)

Series: AirPassengers ARIMA(1,1,1)(1,1,1)[12] Box Cox transformation: lambda= 0 Coefficients: ar1 ma1 0.1668 -0.5616 s.e. 0.2458 0.2114

sar1 -0.0994 0.1540

sma1 -0.497 0.136

sigma^2 estimated as 0.001336: log likelihood=245.16 AIC=-480.31 AICc=-479.83 BIC=-465.93 Training set error measures: ME RMSE MAE MPE MAPE MASE Training set 0.07101092 10.13761 7.278006 0.001547943 2.593424 0.2272225 ACF1 Training set 0.03907144

Para verificar, de forma rápida, se os parâmetros do modelo s˜ ao significativos, desenvolvemos uma fun¸cão no R chamada t.test(), o c´ odigo da fun¸cão est´ a disponibilizado a seguir. Consideramos nessa fun¸cão o n´ıvel de confian¸ca de 95%.

6

Observe que na fun¸ca õ Arima() a vari´ avel de entrada ´ e a ST original, mas a justar o argumento lambda em zero permite que seja feita a tranforma¸ca õ log na série. Também n˜ ao é necess´ ario diferenciar a ST antecipadamente pois o pr´ opria fun¸ca õ faz isso.

189

5.5. MODELANDO A ST > # fun¸ cao ~ de teste de signific^ ancia dos par^ ametros > t.test <- function(modelo_arima){ + # estat´ ıstica t + coef <- modelo_arima$coef + se <- sqrt(diag(modelo_arima$var.coef)) + t <- abs(coef/se) + # Teste t + ok <- t > qt(0.975, length(modelo_arima$x) + sum(modelo_arima$arma[c(1,2,3,4,6,7)])) + resul <- data.frame(Coef = coef, sd = se, t = t, rej_H0 = ok) + return(resul) + }

Como podemos observar, os parˆ ametros da parte AR não sazonal e sazonal s˜ a o n˜ ao significativos, logo, tais parˆ ametros n˜ ao devem permanecer no modelo. Ent˜ ao, estes foram retirados e o modelo foi reestimado.

> # teste de signific^ ancia para o modelo SARIMA(1,1,1)(1,1,1)12 > t.test(fit.air)

Coef ar1 0.16679124 ma1 -0.56163441 sar1 -0.09938487 sma1 -0.49700743

sd 0.2457980 0.2114211 0.1539918 0.1360485

t rej_H0 0.6785705 FALSE 2.6564723 TRUE 0.6453907 FALSE 3.6531644 TRUE

Conforme pode ser observado, temos um modelo SARIMA(0,1,1)(0,1,1)12 onde todos os parˆ ametros s˜ ao significativos e que minimiza os critérios de informa¸ cão (BIC , AIC e AICc ) 7 .

> fit.air <- Arima(AirPassengers, order = c(0,1,1), seasonal = c(0,1,1), + method = "ML", lambda = 0)

> summary(fit.air)

Series: AirPassengers ARIMA(0,1,1)(0,1,1)[12] 7

Para maiores detalhes sobre os crit´ erios de informa¸ c˜ ao ver: Akaike (1973); Schwarz (1978)

CAP ÍTULO 5.

190


Box Cox transformation: lambda= 0 Coefficients: ma1 -0.4018 s.e. 0.0896

sma1 -0.5569 0.0731

sigma^2 estimated as 0.001348: log likelihood=244.7 AIC=-483.4 AICc=-483.21 BIC=-474.77 Training set error measures: ME RMSE MAE MPE MAPE MASE Training set 0.05140376 10.15504 7.357555 -0.004079321 2.623637 0.2297061 ACF1 Training set -0.005917981

> t.test(fit.air)

Coef sd t rej_H0 ma1 -0.4018268 0.08964405 4.482470 TRUE sma1 -0.5569466 0.07309948 7.619023 TRUE

Diagn´ ostico Ap´ os definir a “melhor”estrutura e estimar os parˆ ametros do modelo, outra etapa fundamental é a fase de diagnóstico do modelo. Nesta fase as seguintes caracter´ısticas dos res´ıduos precisam ser analisadas e confirmadas:

•

Ausência de autocorrela¸cão linear;

• Ausˆ encia

de heterocedasticidade condicional;

• Normalidade.

5.5. MODELANDO A ST

191

Para uma vis˜ ao geral dos res´ıduos, utiliza-se a fun¸ cão tsdiag(). Esta disponibiliza a distribui¸cão dos res´ıduos padronizados, a fun¸cão de autocorrela¸ cão dos res´ıduos e os p-valores da estat´ıstica Ljung-Box. Conforme podemos observar no primeiro gr´ afico a seguir, os dados aparentam estar distribu´ıdos simetricamente em torno da média zero, indica¸ cão de distribui¸cão normal. Observe tamb´ em que não temos nenhuma informa¸cão discrepante (muito fora do intervalo [-3,3]). A uńica exce¸caõ é o res´ıduo de janeiro de 1954, neste caso, poder´ıamos testar se a venda de passagens aéreas nesse mês é um outlier ou n˜ ao 8 .

O segundo gráfico disponibilizado pela fun¸caõ tsdiag() é a FAC dos res´ıduos. Este gráfico é extremamente u´til para observar se h´ a a presen¸ca de autocorrela¸ cão linear nos res´ıduos. Conforme verificamos, n˜ a o h´ a nenhum lag significante, logo, toda a parte linear da ST de vendas de passagens aéreas foi modelada pelo modelo SARIMA(0,1,1)(0,1,1)12 .

O terceiro gráfico mostra o p-valor da estat´ıstica Ljung-Box para diferentes defasagens ap´ o s a defasagem 14. De acordo com o gr´ afico, verificamos que não rejeitamos a hip´ otese nula da n˜ ao existˆ encia de dependência serial para todas as defasagens. Tal resultado est´ a em consoˆ ancia com a an´ alise feita anteriormente, isto é, n˜ ao h´ a dependência linear nos res´ıduos. Contudo, este gr´ afico n˜ ao é confi´ avel uma vez que os graus de liberdade usados para calcular os p-valores s˜ ao baseados nos lags e n˜ ao (lags - (p+q)). Isto é, o processo usado para calcular os p-valores n˜ ao leva em conta o fato de os res´ıduos terem sido gerados a partir de um modelo ajustado. Portanto, precisamos tomar cuidado ao observar esse gr´ afico.

> diag <- tsdiag(fit.air, gof.lag = 20)

8

Existem testes espec´ıficos para a deteçca õ de outliers. Para maiores detalhes ver: Chang et al. (1988);Tsay (1988)

CAP ÍTULO 5.

192


3

2 s l a u d i s e R d e z i d r a d n a t S

1

0

1 − 2 − 3 −

1950

1952

1954

1956

1958

1960

5 1 . 0 0 1 . 0 s l a u d i s e R f o F C A

5 0 . 0

5 0 . 0 −

5 1 . 0 −

5

10

15

20

5

10

15

20

0 . 1

8 . 0

s e u l a v − P

6 . 0

4 . 0

2 . 0

0 . 0

Bem, conforme observamos a fun¸cão tsdiag() já nos deu bastante informa¸caõ sobre os

5.5. MODELANDO A ST

193

nossos res´ıduos. Mas, dado o problema da estat´ıstica Ljung-Box e a necessidade de testarmos estatisticamente a normalidade e a homocedasticidade dos res´ıduos, vamos realizar alguns testes estat´ısticos espec´ıficos para cada uma das caracter´ısticas.

Primeiramente, vamos testar a autocorrela¸cão linear dos res´ıduos através do teste de Ljung e Box (1978a). Como sabemos o teste de Ljung Box nos d´ a a presen¸c a ou nã o de autocorrela¸cão serial dos res´ıduos para o “L” primeiros lags . Outro teste de autocorrela¸caõ residual muito conhecido é o teste de Durbin & Watson 9 , que testa a autocorrela¸caõ dos res´ıduos apenas para o primeiro lag. No entanto, é aplic´ avel apenas para os res´ıduos de um modelo de regress˜ ao linear.

Conforme podemos observar, o resultado do teste de Ljung Box mostra que a 95% de confian¸ca n˜ ao rejeitamos a hip´ otese nula de não existência de autocorrela¸ cão serial até o lag ´ importante observar o argumento fitdf , neste caso igual a 2 (p+q ), pois o teste é feito 2410. E nos res´ıduos de um modelo SARIMA com dois parˆ ametros. > Box.test(x = fit.air$residuals, lag = 24, + type = "Ljung-Box", fitdf = 2)

Box-Ljung test data: fit.air$residuals X-squared = 26.446, df = 22, p-value = 0.233

Confirmada a ausência de autocorrela¸caõ linear nos res´ıduos, vamos testar a estacionariedade da variˆ ancia. Para tal, faremos o teste Multiplicador de Lagrange para heterocedasticidade condicional autorregressiva (ARCH LM) (Engle, 1984) dispon´ıvel no pacote FinTS .

> require(FinTS) > ArchTest(fit.air$residuals,lags = 12) 9 10

Durbin e Watson (1950); Durbin e Watson (1951) definido pelo pr´ oprio usu´ ario.

CAP ÍTULO 5.

194


ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects data: fit.air$residuals Chi-squared = 14.859, df = 12, p-value = 0.2493

Conforme mostrado pelo teste, a hip´ otese nula é que não h´ a presen¸ca de efeitos ARCH. Dessa forma, dado o valor do p-valor, não rejeitamos a hip´ otese nula a 95% de confian¸ca, logo, a variˆ ancia é estacionária.

Por fim, precisamos testar a normalidade do nosso res´ıduo. Para tal, faremos o teste de Jarque e Bera (1980) baseando-se no pacote normtest .

> require(normtest) > jb.norm.test(fit.air$residuals, nrepl=2000)

Jarque-Bera test for normality data: fit.air$residuals JB = 5.2265, p-value = 0.0555

Os resultados mostram que a 95% não rejeitamos a hip´ otese nula de normalidade. Feito o diagn´ ostico dos res´ıduos, o nosso pr´ oximo passo ser´ a fazer as previsões.

Previs˜ ao Ap´ os fazermos o diagn´ ostico dos res´ıduos e concluirmos que estamos modelando toda a parte linear da ST de vendas de passagens aéreas, o nosso pr´ oximo passo é fazer a previsão. Afinal de contas, esse é nosso objetivo final. Nessa etapa, basicamente, queremos conhecer a nossa previsão, saber qual é o intervalo de confian¸ ca (neste caso, 95%) e analisar as métricas de desempenho do modelo.

195

5.5. MODELANDO A ST

Para a previsão utilizaremos o pacote forecast e a fun¸caõ com o mesmo nome. Observe que, ao usar esta fun¸caõ, precisamos definir os seguintes parâmetros: (a) object : é o output do modelo SARIMA estimado; (b) h : horizonte de previs˜ ao (quantos passos a` frente queremos prever); (c) level : é o n´ıvel de confian¸ca que desejamos para o nosso intervalo de confian¸ca.

> require(forecast) > prev <- forecast(object = fit.air, h=12, level = 0.95) > plot(prev)

Forecasts from ARIMA(0,1,1)(0,1,1)[12] 0 0 7

0 0 5

0 0 3

0 0 1

1950

1952

1954

1956

1958

1960

1962

Observando o gráfico, parece que fizemos uma “boa” previs˜ ao. Por´ em, uma maneira mais adequada de certificar isso é analisando as métricas de previs˜ ao. Conforme podemos observar, as métricas confirmam a an´ alise gr´ afica. Analisando o MAPE, por exemplo, que é uma medida percentual do m´ odulo dos erros e que não é contaminada pela escala da ST, observamos que o erro de previsão est´ a apenas em 2,62%, o que é muito bom!11

> accuracy(fit.air) 11

Dois pontos que gostaria de destacar aqui: primeiro, que uma an´ alise da previs˜ ao fora da amostra seria importante para corroborar a performance do nosso modelo. Segundo, essa ideia de bom ou ruim é muito relativa, isto é, é sempre bom termos um modelo benchmark para compararmos nossas previs˜ oes.

CAP ÍTULO 5.

196


ME RMSE MAE MPE MAPE MASE Training set 0.05140376 10.15504 7.357555 -0.004079321 2.623637 0.2297061 ACF1 Training set -0.005917981

Extraindo as Previs˜ oes Imagine o seguinte: você trabalha em uma empresa na a´rea financeira e seu chefe lhe pede a previsão das vendas de um determinado produto para os próximos 12 meses. Ainda, imagine também que ninguém na sua empresa conhe¸ca o R (não é t˜ ao dific´ıl de imaginar isso, certo?!).

A solu¸cão para o primeiro problema vocˆ e j´ a tem e j´ a aprendeu ao longo desse cap´ıtulo. A solu¸cão para o segundo problema pode ser treinar toda a equipe da área financeira para trabalhar com o R ou então extrair as previsões e os intervalos de confian¸ca estimados para um programa mais conhecido como o Excel através de um arquivo .csv ou .xlsx .

Como veremos, essa tarefa é muito fácil de fazer no R e pode ser executada com apenas uma linha de comando.

• Em

formato .csv :

> write.csv2(data.frame(prev),"previsao.csv") • Em

formato .xlsx :

> require(xlsx) > write.xlsx(data.frame(prev),"previsao.xlsx")

Considera¸ co ˜es finais Neste cap´ıtulo aprendemos empiricamente como modelar uma série temporal mensal com base na metodologia proposta por Box & Jenkins e utilizando o software R. Aprendemos


197

como fazer uma an´ alise explorat´ oria de uma ST, quais s˜ ao os poss´ıveis “problemas” que ela pode ter para ser modelada utilizando o arcabou¸co proposto por Box & Jenkins e como “consertar” esses problemas, atrav´ es, por exemplo, da diferencia¸ cão da ST.

Foram abordados também alguns “pacotes” u´teis para esse tipo de modelagem, discutimos algumas fun¸co˜es e chamamos a aten¸caõ para algumas limita¸cões das mesmas. Apesar de ter sido uma experiência interessante, sabemos que ainda ficaram faltando alguns pontos a serem aboradados, como por exemplo, n˜ ao tratamos da identifica¸caõ e “corre¸cão” de poss´ıveis outliers , n˜ ao mostramos como “corrigir” a presen¸ca de heterocedasticidade condicional nos res´ıduos, quando ela existir, etc.

Nesse sentido, é importante que o leitor que estiver usando esse manual para construir o seu modelo SARIMA, tenha ciência de suas limita¸ cões e busque, sempre que poss´ıvel, aprofundar o seu conhecimento sobre o assunto.

198

CAP ÍTULO 5.


Ajuste Sazonal utilizando modelos X13 ARIMA-SEATS Daiane Marcolino de Mattos Pedro Costa Ferreira

200 CAP ÍTULO 6. AJUSTE SAZONAL UTILIZANDO MODELOS X-13 ARIMA-SEATS

Introdu¸c˜ ao Vamos iniciar esse cap´ıtulo com uma breve descri¸caõ da composi¸caõ de uma série temporal. Segundo a decomposi¸cão cl´ assica, uma série temporal pode ser decomposta em quatro componentes n˜ ao observ´ aveis: tendˆ encia, sazonalidade, ciclo e erro. A sazonalidade, que é o objeto de estudo desse cap´ıtulo, é causada por movimentos oscilat´ orios de mesma periodicidade que ocorrem em per´ıodo intra-anual, como varia¸ cões clim´ aticas, férias, feriados, entre outros. A ocorrˆ encia desses eventos pode levar a conclus˜ oes inadequadas a respeito da série temporal em estudo. Por exemplo, a oferta de emprego costuma aumentar no final do ano devido a`s festas natalinas, isto é, h´ a uma demanda maior por bens e servi¸cos, elevando o n´ıvel de contrata¸cões de pessoas. Porém, como a maioria das vagas é tempor´ aria, geralmente, há diminui¸cão no n´ıvel de pessoal ocupado no per´ıodo seguinte. Para a an´ alise econˆ omica, o importante é detectar a diferen¸ca entre o que ocorre periodicamente e o que de fato ocorre de diferente naquele per´ıodo espec´ıfico, possibilitando observar a tendência e o ciclo da vari´ avel.

Dessa forma, precisamos de uma ferramenta adequada que consiga remover a componente sazonal. A remo¸caõ da sazonalidade de uma série temporal é chamada de ajuste sazonal ou dessazonaliza¸cão. E, nesse cap´ıtulo, nos dedicaremos a aprender como removê-la utilizando o programa ajuste sazonal X-13ARIMA-SEATS desenvolvido e mantido por US Census Bureau. O programa é mundialmente utilizado por o´rg˜ aos de estat´ıstica e em alguns lugares ainda em sua versão anterior. Iremos implement´ a-lo no software R e o aplicaremos na série temporal do ´ındice de produ¸cão industrial geral do Brasil, estimado pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estat´ıstica (IBGE).

Embora nos dediquemos a apresentar o X-13, é importante que o leitor saiba que existem outras metodologias para remover a sazonalidade de uma série temporal, como, por exemplo: a. Seasonal Dummies (Zellner, 1979); b. Holt-Winters (Rasmussen, 2004);

6.2. BREVE RESUMO SOBRE O X-13ARIMA-SEATS

201

c. Structural Models (Harvey e Shepard, 1993; Plosser, 1979; Koopman et al., 2009); d. Dainties (Fok et al., 2005); e. TRAMO-SEATS (G´ omez e Maravall, 1997; Hungarian Central Statistical Office, 2007); f. X-11, X-11ARIMA, X-12ARIMA (Shiskin et al., 1967; Findley et al., 1998); g. X-13ARIMA-SEATS (U.S. Census Bureau, 2015); Ao ler esse cap´ıtulo, espera-se que o leitor saiba como dessazonalizar s´ eries temporais econˆ omicas mensais sem grandes dificuldades. Assim, para que vocˆ e objetivo do cap´ıtulo seja satisfeito, n´ os o dividimos em mais outras quatro se¸cões: Na se¸caõ 6.2, apresentamos um breve resumo sobre o X-13; nas se¸cões 6.3 e 6.4, você ver´ a o passo-a-passo que deve ser seguido para dessazonalizar uma série temporal no R; na se¸cão 6.5, aplicaremos os passos apresentados na série temporal do ´ındice de produ¸caõ industrial geral do Brasil; e na se¸caõ 5, vamos relatar algumas considera¸cões finais.

Breve resumo sobre o X-13ARIMA-SEATS O X13-ARIMA-SEATS, criado em julho de 2012, é um programa de ajuste sazonal desenvolvido por U.S Census Bureau com o apoio do Bank of Spain. O programa é a jun¸ c˜ ao dos softwares X12-ARIMA e TRAMO/SEATS com melhorias. As melhorias incluem uma variedade de novos diagnósticos que ajudam o usuário a detectar e corrigir inadequa¸cões no ajuste, além de incluir diversas ferramentas que superaram problemas de a juste e permitiram um aumento na quantidade de s´ eries temporais econˆ omicas que podem ser ajustadas de maneira adequada (U.S. Census Bureau, 2015).

Um procedimento contido no X-13ARIMA-SEATS que merece destaque é o pré-ajuste da série temporal, isto é, uma corre¸caõ antes de ser feito, de fato, o ajuste sazonal. Alguns eventos at´ıpicos e/ou n˜ ao sazonais como, por exemplo, efeitos do calend´ ario (trading days, working day, moving holidays, etc), greves, cat´ astrofes, entre outros, podem afetar o padr˜ ao sazonal da s´ erie temporal e, consequentemente, gerar um ajuste de qualidade inferior. O tratamento desses eventos (pré-ajuste) deve ser feito, se necess´ ario. Um exemplo da aplica¸caõ

202 CAP ÍTULO 6. AJUSTE SAZONAL UTILIZANDO MODELOS X-13 ARIMA-SEATS de ajuste sazonal a partir do X-13ARIMA-SEATS com a utiliza¸caõ de trading days pode ser encontrado em Livsey et al. (2014).

Caso o leitor queira se aprofundar sobre o programa, recomendamos, além da literatura oficial, uma nota técnica produzida por n´ os sobre o mesmo tema aplicado nas séries temporais da Sondagem da Ind´ ustria da Transforma¸cão (FGV|IBRE) (Ferreira et al., 2015).

Pr´ e-algoritmo Para ser poss´ıvel executar um ajuste sazonal no R com o X-13, precisaremos executar alguns procedimentos: 1. Definir diret´ orio de trabalho; 2. Baixar X-13ARIMA-SEATS; 3. Informar o local do arquivo execut´ avel baixado em (2); 4. Instalar e carregar pacote seasonal; 5. Verificar se todas as etapas foram executadas corretamente. Vamos desenvolver cada passo a seguir: ´ nesse local onde ficarão os arquivos necessários para 1. Definir diret´ orio de trabalho: E realizar o ajuste sazonal. O comando a seguir, direciona o diret´ orio para a pasta work contida na unidade C . > setwd("C:/work")

2. Baixar X-13-ARIMA-SEATS : O software pode ser encontrado no site do US Census Bureau. Deve ser baixado1 e colocado na pasta de diretório de trabalho. Mas, para facilitar, seguindo os comandos2 abaixo, o usu´ ario pode obter o arquivo sem precisar sair do R. O arquivo será armazenado no diret´ orio de trabalho especificado anteriormente 1

Vale lembrar que n˜ ao é preciso fazer o download do arquivo sempre que precisar fazer um ajuste sazonal. Apenas deixe-o em seu diretório de trabalho para futuras utiliza¸co ˜es e passe para etapa seguinte, ignorando esta. 2 Ocasionalmente, novas vers˜ oes do programa podem ser criadas causando mundan¸ cas no link de download e, consequentemente, o n˜ ao funcionamento da linha de comando.

´ 6.3. PR E-ALGORITMO

203

com o nome de x13.zip, e em seguida será descompactado. > download.file("https://www.census.gov/ts/x13as/pc/x13as_V1.1_B19.zip", + destfile = "./x13.zip") > unzip("x13.zip")

3. Informar o local do arquivo execut´ avel baixado em (2): O arquivo x13 as.exe, desenvol´ necessário informar vido pelo US Census Bureau, é que de fato faz o ajuste sazonal. E o seu caminho ao R. > local <- paste(getwd(),"/x13as", sep = "") > Sys.setenv(X13_PATH = local)

4. Instalar e carregar pacote seasonal: Christoph Sax (2015a) desenvolveu o pacote seasonal que executa o X-13ARIMA-SEATS no R. As fun¸cões do pacote permitem ao usuário, além do ajuste sazonal, obter diagn´ osticos, que ser˜ ao citados na se¸cão 6.4. > install.packages("seasonal") > library(seasonal)

5. Verificar se todas as etapas foram executadas corretamente : A fun¸caõ checkX13() do pacote seasonal permite verificar se será poss´ıvel a realiza¸cão do ajuste sazonal. Se os 4 procedimentos anteriores foram executados de maneira correta, a fun¸ cão retorna uma mensagem, vista a seguir, de confirma¸cão e é poss´ıvel dessazonalizar uma série temporal com o X-13ARIMA-SEATS no R. > checkX13() X-13 installation test: - X13_PATH correctly specified - binary executable file found - command line test run successful - seasonal test run successful Congratulations! seasonal should work fine! '

'

seasonal now supports the HTML version of X13, which offers a more accessible output via the out() function. For best user experience, download the HTML version from: http://www.census.gov/srd/www/x13as/x13down_pc.html

204 CAP ÍTULO 6. AJUSTE SAZONAL UTILIZANDO MODELOS X-13 ARIMA-SEATS and copy x13ashtml.exe to: C:/work/x13as

Algoritmo de ajuste sazonal usando o

R

Depois que o leitor executou os passos da se¸cão 6.3, podemos come¸car o ajuste sazonal de fato. A literatura sugere os seguintes passos: 1. An´ alise Gr´ afica; 2. Execu¸cão o X-13ARIMA-SEATS no modo autom´ atico; 3. Avalia¸ cão do ajuste sazonal em (2); 4. Corre¸cão do ajuste sazonal em (2) (se necess´ ario). A an´ alise gr´ afica de uma série temporal permite visualizar suas caracter´ısticas para uma boa modelagem, por exemplo: seu padr˜ ao sazonal, quebras estruturais, poss´ıveis outliers, se há necessidade (e possibilidade) de usar transforma¸cão logar´ıtmica nos dados.

O X13, basicamente, funciona em duas etapas: pr´ e-ajuste e a juste sazonal. Na primeira, ´ nesta etapa que o usuário pode o software pode corrigir a série de efeitos determin´ısticos. E especificar, por exemplo, outliers e efeitos do calendários (P´ ascoa, Carnaval, etc). Na segunda etapa, é feito o ajuste sazonal de fato. A execu¸ cão do programa no modo autom´ atico pode trazer um ajuste sazonal de boa qualidade.

O programa no modo autom´ atico verifica, entre outras coisas, se h´ a necessidade de transforma¸caõ log nos dados; se existem outliers (additive, level shift e temporary change); a ordem do modelo ARIMA; se h´ a efeitos de calend´ ario). Essas verifica¸co˜es autom´ aticas podem poupar o tempo do usu´ ario e ajudá-lo na escolha de um bom modelo, principalmente na etapa do pré-ajuste. No entanto, este modelo precisa ser avaliado e o X-13ARIMA-SEATS fornece algumas ferramentas3 para essa finalidade: 3

H´ a uma gama de recursos oferecidos pelo X-13ARIMA-SEATS que n˜ ao ainda n˜ ao foram explorados nesse cap´ıtulo. Mais informa¸co ˜es ver X13-ARIMA-SEATS Reference Manual Acessible HTML Output Version (U.S. Census Bureau, 2015).

6.4. ALGORITMO DE AJUSTE SAZONAL USANDO O R • QS

205

statistic: Verifica a existência de sazonalidade em uma série temporal.

A tabela 6.1, a seguir, resume em quais séries temporais o programa calcula o teste de sazonalidade. Em um bom a juste sazonal, o diagn´ ostico dado pela estat´ıstica QS, permitiria concluir ind´ıcios de sazonalidade somente na série original e n˜ ao nas restantes. ´ importante saber que se a s´ E erie possui menos de 8 anos de dados mensais (96 observa¸cões), o teste de sazonalidade é executado apenas em toda a série temporal; caso contrário, é executado na série temporal inteira e também nos ultimos ´ oito anos. Codifica¸c˜ ao

Significado

qsori qsorievadj qsrsd qssadj qssadjevadj qsirr qsirrevadj

série original s´ erie original corrigida por outliers res´ıduos do modelo SARIMA sé rie com ajuste sazonal s´ erie com ajuste sazonal corrigida por outliers componente irregular componente irregular corrigida por outliers

Tabela 6.1: Séries temporais dispon´ıveis para o diagn´ ostico dado pela estat´ıstica QS

206 CAP ÍTULO 6. AJUSTE SAZONAL UTILIZANDO MODELOS X-13 ARIMA-SEATS • Ljung-Box

statistic: O teste de Ljung e Box (1978b) verifica a existência de autocorrela-

¸cão em uma s´ erie temporal. O X-13 mostra o resultado desse teste aplicado aos res´ıduos do modelo SARIMA estimado na defasagem 24. Espera-se que os res´ıduos n˜ ao sejam autocorrelacionados (hip´ otese nula). • Shapiro-Wilk

statistic: O teste de Shapiro e Wilk (1965) verifica se a distribui¸cã o de

um conjunto de dados é normal. O X-13 mostra o resultado desse teste aplicado aos res´ıduos do modelo SARIMA estimado. Espera-se que os res´ıduos sigam distribui¸ caõ normal (hip´ otese nula). •

´ para verificar se a decomposi¸cão das componentes da série temGr´ afico SI ratio: Util poral foi feita adequadamente. Espera-se que os fatores sazonais acompanhem o SI (componentes sazonal e irregular agregadas4 , indicando que o SI não é dominado pela componente irregular.

•

Gr´ afico Spectral5 : é outra ferramenta que alerta se a série temporal possui influência de efeitos sazonais e de trading days. O gr´ afico é feito para a série original, para a série com ajuste sazonal (se de fato o ajuste sazonal foi executado), para a s´ erie da componente irregular e para os res´ıduos do modelo SARIMA. Se o objetivo realizar um a juste sazonal na série temporal, ent˜ ao é esperado a identifica¸cão de efeitos sazonais no gr´ afico spectral da série original. E se o ajuste sazonal foi feito adequadamente, espera-se que tais efeitos não sejam encontrados nas séries dispon´ıveis restantes. Ap´ o s a an´ alise de todas as ferramentasde diagn´ ostico, caso alguma n˜ ao conformidade

seja detectada no modelo autom´ atico, o usu´ ario deve reajustar o modelo e diagnostic´ a-lo novamente. Algumas altera¸co˜es que podem ajudar a melhorar o ajuste s˜ ao: rever a necessidade de transforma¸cão nos dados, isso pode estabilizar a variˆ ancia; modificar a ordem do modelo SARIMA; inserir ou retirar outliers e/ou variáveis de regressão, etc.

4

Se for utilizada a decomposi¸ca õ aditiva (sem transforma¸ca õ log) ent˜ ao SI é a soma da componente sazonal e da componente irregular S+I. Caso contrário, usa-se a multiplica¸ca ˜ o: S×I 5 Veja mais detalhes sobre o gr´ afico spectral em (U.S. Census Bureau, 2015, chapter 6).

˜ INDUSTRIAL 6.5. AJUSTE SAZONAL NO ÍNDICE DE PRODU¸ C AO

207

Ajuste sazonal no Índice de Produ¸c˜ ao Industrial Nessa se¸cão, vamos dessazonalizar a série temporal do Índice de Produ¸caõ Industrial. Escolhemos essa vari´ avel pois a produ¸cão industrial de uma regi˜ ao, geralmente é afetada pelas épocas do ano. Por volta de outubro, por exemplo, é esperado um aumento no n´ıvel de produ¸cão devido a`s comemora¸co˜es natalinas em dezembro. Nos meses seguintes, no entanto, é esperado uma queda nesse n´ıvel. Com ajuste sazonal, a série de produ¸ cão industrial poder´ a ser interpretada sem os efeitos do calend´ ario, permitindo realizar compara¸cões entre os meses de forma adequada.

O ´ındice de produ¸cão industrial geral do Brasil é estimado mensalmente pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estat´ıstica (IBGE, 2015b) pela Pesquisa Industrial Mensal - Produ¸cão F´ısica (PIM-PF) desde a d´ ecada de 1970. Os dados podem ser descritos como um ´ındice sem a juste sazonal com base fixa em 2012 (média de 2012 = 100), e compreendem o espa¸ co de tempo de janeiro de 2002 a dezembro de 2014, totalizando 156 observa¸ cões.

Você pode extrair os dados do sistema SIDRA do IBGE e também em https://github. os o download em formato .csv , leia o arquivo no R com a com/pedrocostaferreira. Ap´ fun¸cão read.csv2() e, em seguida, transforme-o em um objeto de séries temporais utilizando a fun¸cão ts() como é feito nos pr´ oximos comandos:

> pim <- read.csv2("pimpf.csv") > pim.ts <- ts(pim, start = c(2002,1), freq = 12)

Agora podemos executar os quatro passos do algoritmo da se¸cão 6.4. 1. An´ alise Gr´ afica : Para esbo¸car, de forma simples, o gráfico de uma s´ erie temporal, utiliza-se a fun¸ c˜ ao afico que pode ajudar a entender o comportamento de séries temporais plot(). Outro gr´ é dado pela fun¸caõ monthplot(). Nele, é poss´ıvel comparar a série hist´ orica de cada mês do ano. A an´ alise gr´ afica da série temporal (figura 6.1) permite supor que o ´ındice

208 CAP ÍTULO 6. AJUSTE SAZONAL UTILIZANDO MODELOS X-13 ARIMA-SEATS de produ¸cão industrial a. tem caracter´ıstica sazonal, uma vez que de janeiro a outubro o ´ındice tem comportamento crescente e, nos outros dois meses, decrescente. Esse comportamento se repete em todos os anos; b. tinha uma tendˆ encia crescente antes da crise econˆ omica (final de 2008) e parece estar est´ avel (sem crescimento ou quedas expressivas) após tal acontecimento; c. parece ter varia¸cão constante, n˜ ao necessitando que os dados sejam transformados para estabiliz´ a-la; d. foi extremamente afetado pela crise econˆ omica no final de 2008. Notamos que o ´ındice atingiu um valor discrepante em rela¸ caõ ao comportamento habitual. Para criar a figura 6.1, você pode executar os comandos abaixo. > plot(pim.ts) > monthplot(pim.ts, col.base = 2, lty.base = 2, labels = month.abb) > legend("topleft", legend = c("pim.ts", "average"), + cex = 0.6, lty = c(1,2), col = c(1,2))

s t . m i p

0 1 1

0 1 1

0 0 1

0 0 1

s t . m i p

0 9

0 8

0 7

0 7 2004

2006

2008

2010

2012

2014

(a) Série histórica (plot)

pim.ts average

0 9

0 8

2002

Jan

Mar

May

Jul

Sep

Nov

(b) Série histórica por mês ( monthplot)

Figura 6.1: An´ alise gr´ afica do ´ındice de produ¸cão industrial (IBGE,2015). 2. Execu¸cao ˜ do X-13ARIMA-SEATS no modo autom´ atico: A fun¸cão seas() do pacote seasonal6 desempenhar´ a o papel de efetuar o ajuste sazonal no modo autom´ atico. 6

Mais detalhes sobre o pacote ver Sax (2015b).


209

Os principais argumentos da fun¸cão seas() s˜ ao: – x: série temporal de interesse; – arima.model: permite especificar do modelo SARIMA para a série de interesse; – outlier: permite definir se o programa deve ou n˜ ao detectar automaticamente outliers; – regression.variables: permite especificar outliers e variáveis de calend´ ario como Páscoa, trading days, ano bissexto, entre outras vari´ aveis7 ; – regression.aictest: permite definir se o programa deve ou n˜ ao detectar automaticamente vari´ aveis de regressão. – transform.function: permite especificar a transforma¸ caõ que deve ser aplicada na série de interesse. As op¸co˜es dispon´ıveis s˜ ao log (transforma¸cão logar´ıtmica), a o) ou auto (o programa define se deve ser ou n˜ ao none (nenhuma transforma¸c˜ aplicada a transforma¸cão log); A fun¸caõ seas(), no entanto, requer apenas a série temporal em que se pretende fazer o ajuste sazonal para o seu funcionamento. Os outros argumentos, nem todos exemplificados anteriormente, funcionar˜ ao no modo autom´ atico. Logo, para executar o ajuste sazonal em uma s´ erie temporal no modo autom´ atico, o usu´ ario pode utilizar seas(x). > (ajuste <- seas(pim.ts)) Call: seas(x = pim.ts) Coefficients: Mon 0.0055494 Fri 0.0004402 AO2011.Feb 0.0612578

Tue 0.0053673 Sat -0.0002930 AO2014.Feb 0.0629949

Wed 0.0022694 Easter[1] -0.0242646 MA-Seasonal-12 0.6797172

Thu 0.0052843 LS2008.Dec -0.1334385

No modelo ajustado automaticamente foram detectados efeitos da P´ ascoa, de dias da 7

Outras vari´ aveis pré-definidas podem ser encontradas em X13-ARIMA-SEATS Reference Manual Acessible HTML Output Version (U.S. Census Bureau, 2015, chapter 7, pp. 144-147)

210 CAP ÍTULO 6. AJUSTE SAZONAL UTILIZANDO MODELOS X-13 ARIMA-SEATS semana e tamb´ em de outliers. Foi detectado um outlier level shift no mês de dezembro de 2008 (LS2008.Dec), mês extremamente afetado pela crise econˆ omica. Outros dois outliers, n˜ ao esperados visualmente pela an´ alise da figura 6.1, foram detectados em fevereiro de 2011 (AO2011.Feb) e 2014 (AO2014.Feb). Esses s˜ a o do tipo aditivo. O pr´ oximo passo é avaliar esse ajuste. 3. Avalia¸cao ˜ do ajuste sazonal : Para avaliar o ajuste sazonal feito no modo autom´ atico, vamos precisar dos resultados do t´ opico 3 apresentados na se¸caõ 6.4. Um breve resumo desses resultados s˜ ao obtidos pela fun¸caõ summary(). > summary(ajuste) Call: seas(x = pim.ts) Coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(>|z|) Mon 0.0055494 0.0023373 2.374 0.0176 * Tue 0.0053673 0.0023757 2.259 0.0239 * Wed 0.0022694 0.0022926 0.990 0.3222 Thu 0.0052843 0.0023300 2.268 0.0233 * Fri 0.0004402 0.0023069 0.191 0.8487 Sat -0.0002930 0.0023159 -0.127 0.8993 Easter[1] -0.0242646 0.0043734 -5.548 2.89e-08 *** LS2008.Dec -0.1334385 0.0182778 -7.301 2.87e-13 *** AO2011.Feb 0.0612578 0.0129029 4.748 2.06e-06 *** AO2014.Feb 0.0629949 0.0140520 4.483 7.36e-06 *** MA-Seasonal-12 0.6797172 0.0694161 9.792 < 2e-16 *** --Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 SEATS adj. ARIMA: (0 1 0)(0 1 1) Obs.: 156 Transform: log AICc: 613.8, BIC: 646.9 QS (no seasonality in final): 0 Box-Ljung (no autocorr.): 23.4 Shapiro (normality): 0.9817 *

Você pode ver que foi a justado um modelo SARIMA(0 1 0)(0 1 1). O parˆ ametro MAancia de 5%. O mesmo pode Seasonal-12 foi significativo ao considerar n´ıvel de significˆ ser dito para o efeito dos três outliers e da vari´ avel que refleta a Páscoa (Easter[1]). Embora nem todos os dias da semana sejam significativos considerando n´ıvel de 5% de significˆ ancia, três dias foram (Mon, Tue e Thu), e isso é suficiente para mantê-los no


211

modelo e concluir que há ind´ıcios de que a produ¸caõ industrial seja afetada pelos dias da semana.

O leitor também pode observar que a hip´ otese de normalidade dos res´ıduos foi rejeitada com 95% de confian¸ca e a transforma¸cão log foi aplicada na s´ erie original, embora no in´ıcio tenhamos acreditado que isso n˜ ao fosse necessário ao verificar a análise gr´ afica. E o teste de Ljung & Box, sugere não haver evidências de autocorrela¸cão residual até o lag 24.

Além desses resultados, vamos criar um gr´ afico spectral para analisar se h´ a efeitos da sazonalidade e de trading days. O gr´ afico pode ser feito no R ap´ os extrair o spectral output utilizando a fun¸cão series() do pacote seasonal e transform´ a-lo em um objeto da classe data.frame. Você pode usar o c´ odigo, a seguir, para extrair o spectral output para a série original8 (sp0). > spec.orig <- data.frame(series(ajuste, "sp0"))

O gráfico pode ser feito utilizanto o pacote ggplot2 com as configura¸cões abaixo. > library(ggplot2) > ggplot(aes(x=0:60,y = X10.Log.Spectrum_AdjOri.), + data = spec.orig, colour = "black") + + geom_line() + + geom_vline(colour = "red", xintercept = c(10, 20, 30, 40, 50), + linetype = 5) + + geom_vline(colour = "blue", xintercept = c(42, 52), linetype = 3) + + ylab(" ") + xlab(" ") + theme_bw() + + ggtitle("Spectral plot of the first-differenced original series") + + theme(plot.title = element_text(lineheight=2, face="bold",size = 16))

O gráfico spectral (figura 7.2), mostra ind´ıcios de efeitos de sazonalidade na série original (7.2a), visto que nas frequˆ encias sazonais (10, 20, 30, 40, 50) a série temporal toma forma de picos bem definidos. J´ a nas frequˆ encias de trading days (linha pontilhada em 8

Para ver a codifica¸ca õ para as outras séries além da série original ver (U.S. Census Bureau, 2015, chapter 7, pp. 194)

212 CAP ÍTULO 6. AJUSTE SAZONAL UTILIZANDO MODELOS X-13 ARIMA-SEATS Spectrum of the differenced final SEATS seasonal adjustment

Spectral plot of the first−differenced original series −10 −32.5

−20

−35.0

−37.5 −30 −40.0

−42.5

−40 0

20

40

60

0

(a) Original Series

20

40

60

(b) Adjusted Series

Spectrum of the final SEATS irregular

Spectral plot of the regARIMA model residuals −30.0

0

−32.5

−10 −35.0

−37.5

−20

−40.0 0

20

40

60

(c) Irregular Series

0

20

40

60

(d) RegARIMA Model Residuals

Figura 6.2: An´ alise spectral do ajuste sazonal. azul, aproximadamente 42 e 52), n˜ ao se pode concluir o mesmo pois não h´ a forma de picos. Para as outras três séries n˜ ao foi detectado picos de sazonalidade, porém, h´ a leves ind´ıcios de efeitos de trading days, o que é estranho pois foi inclu´ıdo o efeito de trading days no modelo do ajuste.

As suposi¸co˜es de sazonalidade na s´ erie original n˜ a o s˜ ao rejeitadas com a an´ alise da estat´ıstica QS. Os testes de sazonalidade nas demais séries apresentadas na tabela 6.1 da se¸cão 6.4, podem ser vistos utilizando a fun¸cão qs() do pacote seasonal: > qs(ajuste)

qsori qsorievadj qsrsd qssadj qssadjevadj qsirr qsirrevadj qssori qssorievadj qssrsd

qs 162.66893 236.53944 0.02387 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 81.40339 136.59753 0.00000

p-val 0.00000 0.00000 0.98814 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.00000 0.00000 1.00000

˜ INDUSTRIAL 6.5. AJUSTE SAZONAL NO ÍNDICE DE PRODU¸ C AO qsssadj qsssadjevadj qssirr qssirrevadj

0.00000 0.00000 0.00000 0.00000

213

1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

Uma vez que a série pim.ts apresenta mais de 96 observa¸cões, o teste de sazonalidade foi calculado para a série completa e para os 8 anos mais recentes. Nota-se que o p-valor é pequeno tanto para série original (qsori) como para a s´ erie original corrigida por outliers (qsorievadj), isto é, n˜ a o h´ a evidências de que a série do ´ındice de produ¸caõ industrial n˜ ao seja sazonal. Nas demais séries, pelo p-value ser pr´ oximo de 1, conclui-se o contr´ ario: h´ a evidências de n˜ ao sazonalidade nas séries temporais. Assim, se tratando de sazonalidade, o X-13ARIMA-SEATS cumpriu bem o seu dever de removê-la.

Mais uma ferramenta para avaliar a qualidade do a juste sazonal é dado pelo gr´ afico SI ratio. Para esbo¸cá-lo, utiliza-se a fun¸cão monthplot(). > monthplot(ajuste, col.base = 1, lty.base = 2, + labels = month.abb, lwd.base = 2) > legend("topleft", legend = c("SI", "FS", "Mean FS"), + cex = 0.7, lty = c(1,1,2), col = c(4,2,1), lwd = c(1,2,2))

Seasonal Component, SI Ratio 0 1 . 1

SI FS Mean FS

0 0 . 1

0 9 . 0

Jan

Feb

Mar

Apr

May

Jun

Jul

Aug

Sep

Oct

Nov

Dec

Figura 6.3: SI Ratio and Seasonal Factors. Na figura 6.3, as linhas azuis (verticais) referem-se a componente SI ratio (componentes sazonal e irregular agregadas). As linhas vermelhas (real¸cadas) representam os fatores

214 CAP ÍTULO 6. AJUSTE SAZONAL UTILIZANDO MODELOS X-13 ARIMA-SEATS sazonais. E a linha tracejada é a m´ edia dos fatores sazonais naquele mˆ es. Pode-se observar que os fatores sazonais tendem a acompanhar os SI ratio. Isso significa que a componente SI ratio não é dominada pela componente irregular, isto é, os erros tem um comportamento est´ avel em torno de zero e a decomposi¸cão das componentes n˜ ao observ´ aveis da s´ erie temporal foi feita adequadamente. No entanto, note que para o mês de fevereiro (em que dois outliers foram encontrados), o SI ratio é dominado pela componente irregular.

Pode-se concluir ent˜ ao que o ajuste sazonal autom´ atico j´ a forneceu bons resultados, porém, como alguns pressupostos necess´ arios (normalidade dos res´ıduos) n˜ ao foram confirmados estatisticamente, o modelo precisa ser especificado com mais detalhes. 4. Corre¸cao ˜ do ajuste sazonal : Ap´ os a an´ alise do ajuste sazonal autom´ atico no t´ opico 3, verificamos que o modelo precisava ser corrigido. O IBGE, utilizando o m´ etodo X-12-ARIMA, adiciona ao modelo de a juste sazonal, além de efeitos de trading days e P´ ascoa, o efeito do Carnaval IBGE (2015c). Esse efeito também ser´ a acrescentado e esperamos que as altera¸co˜es corrijam a normalidade dos res´ıduos e o novo modelo tenha um critério de informa¸ cão inferior ao do modelo autom´ atico.

Para criar a variável de Carnaval, vamos utilizar a fun¸cão genhol() do seasonal: genhol(x, start, end, frequency)

– x: um vetor da classe "Date", contendo as datas de ocorrência do feriado. Pode ser criado pela fun¸cão as.Date; – start: inteiro, desloca o ponto inicial do feriado. Use valores negativos se o efeito come¸ca antes da data espec´ıfica; – end: inteiro, desloca o ponto final do feriado. Use valore negativos se o efeito termina antes da data espec´ıfica; – frequency: inteiro, frequência da série temporal resultante.


215

Para os argumentos start e end escolhemos colocar uma janela de 3 dias antes e um dia depois do feriado, uma vez que no Brasil o feriado dura quase uma semana, mas o leitor pode se sentir livre para alterar esses argumentos. Ao argumento frequency foi atribu´ıdo 12 pois os dados s˜ ao mensais. > dates <- c("02/12/2002","03/04/2003","02/24/2004","02/08/2005", + "02/28/2006","02/20/2007","02/05/2008","02/24/2009", + "02/16/2010","03/08/2011","02/21/2012","02/12/2013", + "03/04/2014","02/17/2015","02/09/2016","02/28/2017") > carnaval.date <- as.Date(dates, "%m/%d/%Y") > carnaval <- genhol(carnaval.date, start = -3, end = 1, frequency = 12)

Para acrescentar a vari´ avel carnaval ao ajuste sazonal, precisamos especificar o argumento xreg = carnaval.

Os trading days poderiam ser espec´ıficos para cada dia da semana como foi feito no ajuste autom´ atico, ou apenas uma vari´ avel que combinassem essas informa¸cões espec´ıficas (ver nota de rodapé 7). Ambos os tipos foram testados com e sem o efeito do ano bissexto. E a op¸cão que melhor9 caracterizou o modelo foi apenas uma vari´ avel que indicasse efeitos do dia da semana mais o efeito de anos bissextos e esta é indicada por td1coef. > ajuste_novo <- seas(pim.ts, transform.function = "none", + xreg = carnaval, regression.variables = "td1coef") > summary(ajuste_novo) Call: seas(x = pim.ts, xreg = carnaval, transform.function = "none", regression.variables = "td1coef") Coefficients: carnaval Leap Year Weekday Easter[1] AO2008.Nov LS2008.Dec 9

Estimate Std. Error z value Pr(>|z|) -2.99294 0.48858 -6.126 9.02e-10 *** 2.41881 0.72837 3.321 0.000897 *** 0.35307 0.03042 11.605 < 2e-16 *** -2.98161 0.41291 -7.221 5.16e-13 *** -6.80666 1.49598 -4.550 5.37e-06 *** -17.09895 1.79260 -9.539 < 2e-16 ***

Como melhor, consideramos os parˆ ametros significativos e a redu¸ca õ do critério de informa¸ca õ BIC.

216 CAP ÍTULO 6. AJUSTE SAZONAL UTILIZANDO MODELOS X-13 ARIMA-SEATS AO2011.Dec AR-Nonseasonal-01 MA-Seasonal-12 --Signif. codes: 0

5.05730 -0.28065 0.52321 *** 0.001

'

'

1.18157 0.07945 0.07747 ** 0.01

'

'

4.280 1.87e-05 *** -3.533 0.000411 *** 6.754 1.44e-11 *** * 0.05

'

'

.

'

'

0.1

'

'

1

SEATS adj. ARIMA: (1 1 0)(0 1 1) Obs.: 156 Transform: none AICc: 581.9, BIC: 609.8 QS (no seasonality in final):0.3735 Box-Ljung (no autocorr.): 20.46 Shapiro (normality): 0.9908

Com as mudan¸cas inseridas na fun¸cão seas(), o modelo SARIMA também foi modificado de (0 1 0)(0 1 1) para (1 1 0)(0 1 1) com todos os parˆ amentros significativos com 95% de confian¸ca. As vari´ aveis de regressão também foram significativas considerando o mesmo n´ıvel de confian¸ca e, assim, podemos concluir que a quantidade de dias da semana e o ano bissexto influenciam na produ¸cão industrial brasileira.

O leitor também deve ter reparado que as altera¸co˜es nos permitiram concluir que os res´ıduos seguem distribui¸cão normal, que os crit´ erios de informa¸ cã o AICc e BIC s˜ ao consideravelmente inferiores ao do ajuste automático, e que o programa encontrou mais um outlier além dos relacionados a crise econˆ omica de 2008 (AO2011.Dec). O teste de Ljung & Box não mostrou autocorrela¸ caõ residual nos lags de 1 a 24.

˜ INDUSTRIAL 6.5. AJUSTE SAZONAL NO ÍNDICE DE PRODU¸ C AO Spectrum of the differenced final SEATS seasonal adjustment

Spectral plot of the first−differenced original series

30

217

10

5

20

0 10

−5 0

0

20

40

60

0

20

(a) Original Series

40

60

(b) Adjusted Series

Spectrum of the final SEATS irregular

Spectral plot of the regARIMA model residuals −30.0

0

−32.5

−10 −35.0

−37.5

−20

−40.0 0

20

40

60

0

(c) Irregular Series

20

40

60

(d) RegARIMA Model Residuals

Figura 6.4: An´ alise spectral do ajuste sazonal corrigido.

A análise do gr´ afico spectral (figura 6.4), de forma diferente da análise feita no t´ opico 3, n˜ ao mostra ind´ıcios de efeitos de trading days na série com ajuste sazonal. Os fatores sazonais (figura 6.5) aparentam ter um comportamento mais suave do que o do ajuste autom´ atico. Repare que o mês de fevereiro foi melhor captado depois da corre¸caõ. Note tamb´ em o impacto dos outliers nos fatores sazonal de novembro de 2008 e de dezembro de 2011: a componente SI assume um valor discrepante comparado aos outros valores do mesmo mês.

Seasonal Component, SI Ratio 0 1

5

SI FS Mean FS

0

5 −

0 1 −

Jan

Feb

Mar

Apr

May

Jun

Jul

Aug

Sep

Oct

Nov

Figura 6.5: SI Ratio and Seasonal Factors para o modelo corrigido.

Dec

218 CAP ÍTULO 6. AJUSTE SAZONAL UTILIZANDO MODELOS X-13 ARIMA-SEATS A conclusão do teste de sazonalidade é semelhante a` conclus˜ ao do teste de sazonalidade para o ajuste autom´ atico, tamb´ em qualificando este ajuste em adequado. > qs(ajuste_novo) qs qsori 162.66893 qsorievadj 230.29764 qsrsd 0.00000 qssadj 0.37351 qssadjevadj 0.00000 qsirr 0.00000 qsirrevadj 0.00000 qssori 81.40339 qssorievadj 131.02081 qssrsd 0.00000 qsssadj 0.00186 qsssadjevadj 0.00000 qssirr 0.00000 qssirrevadj 0.00000

p-val 0.00000 0.00000 1.00000 0.82965 1.00000 1.00000 1.00000 0.00000 0.00000 1.00000 0.99907 1.00000 1.00000 1.00000

Por fim, temos o gr´ afico do ´ındice de produ¸cão industrial com ajuste sazonal pelo X13ARIMA-SEATS em que o leitor pode notar o comportamento decrescente do ´ındice nos u ´ltimos meses. > plot(ajuste_novo) > legend("topleft", legend = c("Observada", "Com ajuste sazonal"), + cex = 0.7, lty = 1, col = c(1,2), lwd = c(1,2))

Considera¸ co ˜es Finais Neste cap´ıtulo aprendemos o que é o ajuste sazonal e a sua finalidade. Vimos que n˜ ao há apenas uma maneira de se dessazonalizar uma s´ erie temporal, embora tenhamos focado em apenas uma: o programa de ajuste sazonal do US Census Bureau, o X-13ARIMA-SEATS. Aprendemos os passos necessários de como executar o X-13 no R e métodos de avaliar a qualidade do ajuste sazonal a partir de diversos diagnósticos. Al´ em disso, vimos a utilidade da etapa de pré-ajuste no X-13, que permitiu a inser¸cão de outras vari´ aveis, aprimorando as


219

Original and Adjusted Series 0 1 1

Observada Com ajuste sazonal

AO

0 0 1

AO

0 9

LS

0 8

0 7

2002

2004

2006

2008

2010

2012

2014

Time

Figura 6.6: Índice de produ¸cão industrial geral do Brasil com ajuste sazonal. avalia¸cões do diagn´ ostico.

Apesar de ter sido uma experiência interessante, sabemos que ainda ficaram faltando alguns pontos a serem abordados, como por exemplo, o ajuste de diversas séries temporais simultaneamente, pois sabemos que h´ a interesse em fazer isso para outras séries temporais além do ´ındice de produ¸cão industrial como, por exemplo, a infla¸caõ, o PIB, etc. E tamb´ em não abordamos a previsões da série com ajuste sazonal.

Nesse sentido, é importante que o leitor que estiver usando esse manual para dessazonalizar séries temporais, tenha ciência de suas limita¸ cões e busque, sempre que poss´ıvel, aprofundar o seu conhecimento sobre o assunto.

220 CAP ÍTULO 6. AJUSTE SAZONAL UTILIZANDO MODELOS X-13 ARIMA-SEATS

Parte III

An´ alise de S´ eries Temporais: Modelos Multivariados

221

Modelo de Box & Jenkins com fun¸c˜ ao de transferência Daiane Marcolino de Mattos Pedro Costa Ferreira

˜ DE TRANSFER ENCIA ˆ 224CAP ÍTULO 7. MODELO DE BOX & JENKINS COM FUNC ¸ AO

Introdu¸c˜ ao Este cap´ıtulo é dedicado a apresenta¸ cão dos modelos de Box e Jenkins (1970) com variáveis auxiliares. A utiliza¸cão de vari´ aveis auxiliares nesses modelos por meio de fun¸cões de transferências pode aperfei¸coar a modelagem e previs˜ ao de séries temporais (ST).

O tema ser´ a exposto utilizando um exemplo cl´ assico de Box & Jenkins (BJ) em que a produ¸cão de CO2 (di´ oxido de carbono) é influenciada pela Taxa de Alimenta¸ cão de Metano. O exemplo é aplicado de forma simples e objetiva no software R, n˜ ao necessitando que o leitor entenda profundamente sobre as vari´ aveis. No entanto, saiba que esse tipo de modelagem é baseada na rela¸caõ causal entre as STs, ent˜ ao o leitor precisa ter conhecimento sobre o tema de interesse ao generalizar esse estudo para outras STs.

Para que vocˆ e acompanhe o objetivo desse cap´ıtulo, este foi dividido em mais outras quatro se¸co˜es: Na se¸cão 7.2, apresentamos a defini¸cão de Fun¸cão de Transferˆ encia (FT); na se¸caõ 7.3, informamos os pacotes necessários para a modelagem no R e também as variáveis que utilizaremos; na se¸cão 7.4, você aprenderá sobre a metodologia; e na se¸cão 7.5, vamos discutir algumas considera¸cões finais.

Defini¸ca õ Os modelos de Box e Jenkins (1970) podem incorporar outras vari´ aveis auxiliares. A forma como essas vari´ aveis auxiliares X t influenciam a vari´ avel resposta Y t , isto é, como os movimentos dessas vari´ aveis afetam o percurso da variável resposta, é dada por uma fun¸caõ de transferência f ( X t ):

Y t = f ( X t ) + ε t

onde ε t pode ser um ru´ıdo branco ou um modelo ARIMA completo.

(7.1)

´ 7.3. DADOS E PACOTES NECESS ARIOS

225

A fun¸cão f ( X t ) pode agrupar valores passados e/ou presentes de uma ou mais s´ eries temporais, que podem ser do tipo quantitativo ou binário (dummy ) e essa distin¸cão implica na forma de identifica¸cão de f ( X t ). No caso de uma ST quantitativa, a forma genérica de uma õ seguinte: f ( X t ) pode ser denotada pela equa¸ca

f ( X t ) =

( w0 + w1 L + w2 L2 + ... + ws Ls ) X t −b r (1 − δ 1 L − δ 2 L2 − ... − δ r L )

(7.2)

Certamente o leitor notou que para identificar f ( X t ), é necessário descobrir os valores de r , s e b e estimar os parˆ ametros w i , i = 0,..., s e δ j , j = 1,..., r . Vamos esclarecer como isso pode ser feito aplicando a metodologia a um exemplo cl´ assico extra´ıdo de Box e Jenkins (1970) na se¸caõ seguinte.

Dados e pacotes necess´ arios Para a modelagem de Box & Jenkins com fun¸cão de transferência (BJFT), os seguintes pacotes devem ser instalados: • devtools (usado

na extra¸caõ dos dados);

• forecast (usado

na estima¸caõ e previsão de modelos ARIMA);

•

cão de modelos ARIMA com fun¸cão de transferência); TSA (usado na estima¸

• tseries (usado • FinTS (usado

para executar teste de normalidade em séries temporais);

para executar testes de heterocedasticidade em séries temporais).

´ importante o leitor saber que outros pacotes tamb´ E em ser˜ ao utilizados na modelagem BJFT. No entanto, n˜ ao h´ a necessidade de instal´ a-los pois j´ a est˜ ao inclu´ıdos na versão base do R, como exemplo podemos citar o pacote stats que é utilizado para calcular fun¸ cões de autocorrela¸caõ e extrair res´ıduos de modelos, e o pacote graphics usado para visualizar gráficos.

Para identificar e estimar a fun¸cão de transferência f ( X t ), ser´ a utilizado um exemplo cl´ assico extra´ıdo de Box e Jenkins (1970). Tal exemplo investiga a otimiza¸ c˜ ao adaptativa

˜ DE TRANSFER ENCIA ˆ 226CAP ÍTULO 7. MODELO DE BOX & JENKINS COM FUNC ¸ AO de um aquecedor a g´ as, isto é, foi utilizado uma combina¸ c˜ a o de ar e metano para formar uma mistura de gases contendo CO2 (di´ oxido de carbono). A alimenta¸ cão de ar foi mantida constante, mas a taxa de alimenta¸ cão de metano poderia ser variada de qualquer maneira desejada. Ap´ os a combina¸caõ, a concentra¸cã o de CO2 resultante nos gases de exaustão foi medida. A finalidade do exemplo é encontrar a forma como a vari´ avel Taxa de Alimenta¸cão de Metano ( X t ) se relaciona com Concentra¸cão de CO2 (Y t ). Cada vari´ avel representa uma série temporal de 296 observa¸cões e os dados podem ser baixados diretamente pelo R executando as linhas de comando a seguir.

> devtools::source_url("http://git.io/vCXJC") > gas

As colunas do objeto gas referem-se à vari´ avel independente X t e a` vari´ avel dependente eries em an´ alise. Y t , nessa ordem. Observamos na figura7.1 o comportamento de ambas as s´ Como visto no cap´ıtulo sobre a modelagem BJ, as séries n˜ ao apresentam um comportamento estacion´ ario em todo o espa¸co de tempo, com varia¸cões n˜ ao constantes e uma leve tendência1 de queda para X t e crescimento para Y t .

> plot(gas, main = "Input Gas Rate (X) e CO2 (Y)")

1

Lembre-se que para confirmar essa afirma¸c˜ ao o mais correto é fazer um teste de raiz unit´ aria.

227

7.4. METODOLOGIA

e t a R s a G t u p n I

2 O C

2 0 2 − 0 6 5 5 0 5

0

50

100

150

200

250

300

Time

Figura 7.1: Input Gas Rate (X) e CO2 (Y)

Metodologia Agora que você já foi apresentado a`s STs, apresentamos os passos de identifica¸cã o da ao: f ( X t ), que segundo a metodologia de BJ s˜ 1. Calcular a fun¸cão de correla¸cão cruzada entre Y t e X t ; 2. Identificar r , s e b; 3. Estimar o modelo BJFT; 4. Verificar se o modelo é adequado. Vamos discutir cada etapa nas se¸co˜es seguintes.

Calcular a fun¸ c˜ ao de correla¸ca õ cruzada entre Y e X Como vimos na defini¸caõ de FT, para identific´ a-las, inicialmente, basta estipularmos valores para r , s e b (lembre-se que estamos trabalhando apenas com séries quantitativas). A identifica¸cão desses valores é feita calculando a fun¸ cão de correla¸cão cruzada (CCF) entre Y t e as vari´ aveis auxiliares (apenas uma neste exemplo). A CCF entre as s´ eries temporais Y t e

˜ DE TRANSFER ENCIA ˆ 228CAP ÍTULO 7. MODELO DE BOX & JENKINS COM FUNC ¸ AO X t mostra as correla¸ cões entre elas para diferentes defasagens no tempo, sendo definida como:

cc f (k ) =

c xy (k ) s x s y

,

k = 0 , ±1, ±2,...

(7.3)

onde: s x e s y representam, respectivamente, os desvios-padr˜ ao de X t e Y t . c xy (k ) representa a covariˆ ancia entre as duas variáveis no lag k :

  ( )= 

c xy k

1 n−k

∑ ( xt − x ¯)( yt +k − y ¯),

n t =1

1 n+k

∑ ( yt − y ¯)( xt −k − x ¯),

n t =1

k = 0, 1, 2,... k = 0, −1, −2,...

Para k > 0 , a CCF mostra o relacionamento entre X no tempo t e Y no tempo futuro t + k . Em contrapartida, para valores negativos de k , tem-se o relacionamento entre X no

tempo t e Y no tempo passado t − k .

´ importante saber que a CCF é afetada pela autocorrela¸ E cão de X t e Y t , e se as STs n˜ ao forem estacion´ arias, o resultado da CCF n˜ ao refletir´ a realmente o grau de associa¸cão entre elas (Hamilton, 1994c; Phillips e Perron, 1988). Para corrigir esse problema, BJ sugeriram o método de pré-branqueamento2 .

O pré-branqueamento permite eliminar a estrutura de tendência (determin´ıstica ou estoc´ astica) presente numa série temporal. O método consiste nas seguintes etapas: (a) Ajustar um modelo ARIMA para a série independente X t ; (b) Filtrar Y t pelo modelo encontrado em (a), isto é, o modelo de Y t é o mesmo modelo de ametros estimados); X t (com os mesmos parˆ (c) Salvar os res´ıduos dos dois modelos; (d) Calcular a CCF entre os res´ıduos obtidos em (c). 2

Existe tamb´ em o pr´ e-branquamento duplo, em que é ajustado para cada vari´ avel seu pr´ oprio modelo ARIMA. No entanto, por tornar as duas s´ eries um ru´ıdo branco, a correla¸ c˜ ao entre elas pode ser puramente devida ao acaso.

229

7.4. METODOLOGIA

A seguir discute-se cada etapa separadamente aplicando-as a`s ST dispon´ıveis por BJ. (a) Ajustar um modelo ARIMA para a s´ erie independente X t : J´ a aprendemos a identificar as ordens de um modelo ARIMA para X t usando a fun¸caõ de autocorrela¸caõ (ACF) e a fun¸cão de autocorrela¸caõ parcial (PACF)3 . > acf(gas[,"InputGasRate"], lag.max = 36) > pacf(gas[,"InputGasRate"], lag.max = 36)

0 . 1 8 . 0

F C A

F C A l a i t r a P

4 . 0

5 . 0 0 . 0 5 . 0 −

0 . 0

0

5

10

15

20

25

30

35

Lag

0

5

10

15

20

25

30

35

Lag

Figura 7.2: ACF and PACF: Input Gas Rate (X) A queda exponencial da ACF e o corte brusco da PACF no lag 3 (figura 7.2) sugerem um modelo ARIMA(3,0,0). Ao a justar o modelo ARIMA (fun¸ cão Arima() do pacote ao foi significativa, sendo esta exclu´ıda do modelo. Veja os forecast), a constante n˜ códigos a seguir para a estima¸caõ do modelo. > library("forecast") > (modelo_x <- Arima(gas[,"InputGasRate"], + order = c(3,0,0), include.mean = F))

3

Um m´ etodo que auxilia na identifica¸ ca õ de modelos ARIMA s˜ ao os crit´ erios de informa¸ ca õ, como por exemplo AIC (Akaike, 1973) e BIC (Schwarz, 1978).

˜ DE TRANSFER ENCIA ˆ 230CAP ÍTULO 7. MODELO DE BOX & JENKINS COM FUNC ¸ AO Series: gas[, "InputGasRate"] ARIMA(3,0,0) with zero mean Coefficients: ar1 ar2 1.9696 -1.3659 s.e. 0.0544 0.0985

ar3 0.3399 0.0543

sigma^2 estimated as 0.03531: log likelihood=72.52 AIC=-137.04 AICc=-136.9 BIC=-122.27

(b) Filtrar Y t pelo modelo encontrado em (a): Para filtrar Y t por meio do modelo de X t , tamb´ em vamos usar a fun¸ cão Arima(), no entanto, agora acrescentaremos o argumento model indicando o modelo já estimado anteriormente. > (modelo_y <- Arima(gas[,"CO2"], model = modelo_x)) Series: gas[, "CO2"] ARIMA(3,0,0) with zero mean Coefficients: ar1 ar2 1.9696 -1.3659 s.e. 0.0000 0.0000

ar3 0.3399 0.0000

sigma^2 estimated as 9.56: AIC=1514.94 AICc=1514.96

log likelihood=-756.47 BIC=1518.63

(c) Salvar os res´ıduos dos dois modelos: Os res´ıduos podem ser obtidos pela fun¸cão resid() e serão salvos em novos objetos: alpha e beta para os modelos de X e Y , respectivamente. > alpha <- resid(modelo_x) > beta <- resid(modelo_y)

(d) Calcular a CCF entre os res´ıduos obtidos em (c): Agora que as vari´ aveis foram filtradas, podemos calcular a CCF (figura 7.3) entre os

231

7.4. METODOLOGIA

res´ıduos utilizando a fun¸caõ ccf() do pacote stats. A CCF nesse gr´ afico mostra o relacionamento entre Y t e os lags defasados de X t a partir dos coeficientes de correla¸cão. Veja que nã o h´ a correla¸caõ significativa entre Y t e X t no tempo presente (t = 0) e a primeira correla¸caõ significativa é dada para t = 3, ou seja, entre Y no tempo presente e X defasada em 3 lags. > ccf(beta, alpha, xlim = c(0,20))

1 . 0 F C A

1 . 0 − 3 . 0 −

0

5

10

15

20

Lag

Figura 7.3: CCF: Input Gas Rate (X) and CO2 (Y)

Identificar r, s e b Com a CCF estimada, pode-se descobrir as ordens r , s e b : •

b: refere-se ao primeiro lag significativo. Representa a primeira defasagem de X que

entrar´ a no modelo. Neste caso, b = 3. •

umero de lags crescentes depois de b. Representa as próximas defasagens de X que s: n´ entrar˜ ao no modelo. Logo, s = 2.

•

r : por haver queda exponencial 4 ap´ os os lags crescentes, r = 1.

Portanto, o modelo contém X t −3 , X t −4 e X t −5 e a f ( X t ) é definida como f ( X t ) = 4

( w0 + w1 L + w2 L2 ) X t −3 (1 − δ 1 L)

Queda exponencial na CCF indica parˆ ametros no denominador (r ), enquanto picos indicam parˆ ametros no numerador (s). Veja um exemplo em (Box e Jenkins, 1970, fig. 10.6).


Estimar o modelo BJ com FT Uma vez que identificamos a forma de f ( X t ), passaremos para a etapa de estima¸cão. Inicialmente, é preciso identificar a ordem do modelo ARIMA para a s´ erie Y t , assim como foi feito para X t .

> acf(gas[,"CO2"], lag.max = 36, main = "ACF: CO2 (Y)") > pacf(gas[,"CO2"], lag.max = 36, main = "PACF: CO2 (Y)")

0 . 1 8 . 0

F C A

F C A l a i t r a P

4 . 0

5 . 0 0 . 0 5 . 0 −

0 . 0

0

5

10

15

20

25

30

35

0

5

10

15

Lag

20

25

30

35

Lag

Figura 7.4: ACF and PACF: CO2 (Y) A queda exponencial da ACF e o corte brusco da PACF no lag 2 (figura 7.4) sugerem um modelo ARIMA(2,0,0).

Finalmente, vamos estimar o modelo com fun¸ cão de transferˆ encia utilizando a fun¸ caõ cão s˜ ao: arimax() do pacote TSA. Os argumentos utilizados na fun¸ •

erie dependente (Y t ); x: s´

• order:

ordem do modelo ARIMA para Y t ;

• xtransf:

série independente ( X t ) j´ a defasada no lag b;

• transfer:

valores de r e s na forma list(c(r,s)).

Para defasar a variável X t em trˆ es lags, o leitor pode usar a fun¸ cão lag() do pacote stats.

233

7.4. METODOLOGIA > x_novo <- lag(gas[,"InputGasRate"], k = -3)

Como três valores de X t foram “perdidos” para estimar o modelo, é preciso cortar os três primeiros valores de Y t para os dois conjuntos de dados terem o mesmo tamanho. > gas_novo <- na.omit(cbind(x_novo, gas[,"CO2"])) > colnames(gas_novo) <- c("InputGasRate", "CO2") > head(gas_novo)

InputGasRate -0.109 0.000 0.178 0.339 0.373 0.441

CO2 53.5 53.4 53.1 52.7 52.4 52.2

Com os dados na forma correta, estima-se um modelo para a variável dependente CO2 .

> (modelo_ft <- arimax(x = gas_novo[,"CO2"], order = c(2,0,0), + xtransf = gas_novo[,"InputGasRate"], + transfer = list(c(1,2))) )

Call: arimax(x = gas_novo[, "CO2"], order = c(2, 0, 0), xtransf = gas_novo[, "InputGasRate"], transfer = list(c(1, 2))) Coefficients: ar1 ar2 1.5272 -0.6288 s.e. 0.0467 0.0495

intercept 53.3618 0.1375

sigma^2 estimated as 0.0571:

T 1-AR1 0.5490 0.0392

T1-MA0 -0.5310 0.0738

T1-MA1 -0.3801 0.1017

log likelihood = 2.08,

T1-MA2 -0.5180 0.1086

aic = 9.83

O modelo apresentado na sa´ıda do R pode ser representado pela seguinte equa¸cão:

Y t = 53.4 +

(−0.5310 − 0.3801 L − 0.5180 L2 ) 1 X t −3 + et (1 − 0.5490 L) 1 − 1.5272 L + 0.6288 L2

˜ DE TRANSFER ENCIA ˆ 234CAP ÍTULO 7. MODELO DE BOX & JENKINS COM FUNC ¸ AO Uma vez estimado, o modelo sempre precisa ser avaliado. Se ao final verificarmos que o modelo n˜ ao é adequado, ent˜ ao o modelo foi identificado incorretamente, e precisaremos corrigir essa etapa. Vamos ver na se¸cão seguinte como avaliar a adequa¸cão do modelo BJFT.

Verificar se o modelo ´ e adequado Para avaliar se o modelo ajustado é adequado, vamos executar as seguintes an´ alises: • Calcular • CCF

autocorrela¸cão dos res´ıduos;

entre os res´ıduos e a vari´ avel auxiliar X t pré-branqueada.

Pretendemos não encontrar padrões de correla¸cão, pois isso sugere que o modelo n˜ ao esteja bem especificado, e consequentemente deve ser modificado. A seguir temos a ACF dos res´ıduos e o teste de autocorrela¸cão de Ljung e Box (1978a) utilizando a fun¸cão Box.test() do pacote stats. > residuos <- resid(modelo_ft) > acf(residuos, na.action = na.omit, lag.max = 36) > ccf(residuos, alpha, na.action = na.omit)

0 1 . 0 s l a u d i s e R : F C A

a h p l a . s v s l a u d i s e R : F C C

0 0 . 0

0 1 . 0 −

0

5

10

15

20

25

30

35

5 0 . 0

5 0 . 0 −

5 1 . 0 −

−20

Lag

−10

0 Lag

Figura 7.5: ACF: Res´ıduos

> Box.test(residuos, type = "Ljung-Box", lag = 24) Box-Ljung test data: residuos X-squared = 27.969, df = 24, p-value = 0.2613

10

20

235

7.4. METODOLOGIA

A partir da análise das fun¸cões de correla¸cão (figura 7.5) e do teste de autocorrela¸caõ residual de Ljung-Box, podemos concluir que esse modelo BJFT está adequado. O gr´ afico dos valores observados versus ajustados pelos modelos com e sem fun¸cão de transferência é exposto na figura 7.6.

> > > > + > + + >

modelo_y <- Arima(gas[,"CO2"], order = c(2,0,0), include.mean = T) ajustados <- fitted(modelo_y) ajustados_ft <- fitted(modelo_ft) ts.plot(gas[,"CO2"], ajustados, ajustados_ft, lty = c(1,3,2), lwd = c(1,3,2), col = c(1, "orangered","dodgerblue")) legend("bottomright", col = c(1,"dodgerblue", "orangered"), legend = c("Observados", "Ajustados c/ FT", "Ajustados s/ FT"), lty = c(1,2,3), lwd = c(1,2,2), cex = 0.7)

0 6

5 5

0 5

Observados Ajustados c/ FT Ajustados s/ FT

5 4

0

50

100

150

200

250

300

Time

Figura 7.6: TS observada (CO2 ) e valores ajustados com e sem FT

A partir da an´ alise dos modelos com e sem FT, vemos que ambos são adequados para a modelagem de CO2 dentro da amostra. Se você aplicar a fun¸caõ summary() para os dois modelos, ver´ a que o MAPE (Mean Absolute Percent Error ) para o modelo com fun¸cã o de transferência é de 0,3% e para o outro modelo é de 0.5%, confirmando o melhor desempenho do modelo BJFT dentro da amostra. Outra forma de verificar qual dos dois modelos é mais eficiente é analisar suas respectivas previs˜ oes para fora da amostra. No entanto, a fun¸ caõ oes até o momento de edi¸cão desse livro. arimax() não suportava previs˜


Considera¸ co ˜es finais Neste cap´ıtulo aprendemos empiricamente como modelar uma série temporal utilizando outra vari´ avel que possui um relacionamento causal com a vari´ avel de interesse com base na metodologia proposta por Box & Jenkins. Aprendemos os passos para aplicar a metodologia, bem como filtrar as STs utilizadas para que os passos possam ser aplicados corretamente.

Foram abordados os pacotes u ´teis para esse tipo de modelagem, discutimos algumas fun¸cões e chamamos a aten¸cão para algumas limita¸ cões das mesmas. Apesar de ter sido uma experiência interessante, sabemos que ainda ficaram faltando alguns pontos a serem abordados, como por exemplo, a previs˜ ao das s´ eries para fora da amostra e a identifica¸ cã o de vari´ aveis do tipo binário na fun¸cão de transferência.

Nesse sentido, é importante que o leitor que estiver usando esse manual para construir o seu modelo ARIMA com fun¸caõ de transferência, tenha ciência de suas limita¸ cões e busque, sempre que poss´ıvel, aprofundar o seu conhecimento sobre o assunto.

Regress˜ ao Dinˆ amica Ingrid Christyne Luquett de Oliveira Pedro Costa Ferreira

˜ DIN AMICA ˆ CAP ÍTULO 8. REGRESS AO

238

Introdu¸c˜ ao Modelos Dinˆ amicos estudam a rela¸caõ entre vari´ aveis observadas em instantes de tempo diferentes. Podemos, por exemplo, investigar se o Índice de Pre¸cos ao Consumidor Amplo (IPCA)

1

em um determinado mês influencia a maneira como os consumidores brasileiros

formam suas expectativas de infla¸cão em meses subsequentes. Sob esta o´tica, pretendemos neste cap´ıtulo explorar as implica¸cões do emprego do modelo cl´ assico de regressão linear em vari´ aveis observadas ao longo do tempo e apresentar a metodologia de regressão dinˆ amica como alternativa ao uso dos modelos usuais. As se¸cões que seguem dividem-se da seguinte forma: iniciaremos o cap´ıtulo com a descri¸caõ do modelo cl´ assico de regressão linear, seus pressupostos e as consequˆ encias em viola-los na Se¸cão 8.2. Posteriormente, a Se¸ cão 8.3 aborda especificamente a presen¸c a de correla¸cão serial nos erros do modelo clássico de regressão e expõe maneiras para contornar o problema. Sob outra perspectiva, na Se¸ cão 8.4 tratamos as viola¸co˜es dos pressupostos como uma especifica¸cão inadequada do modelo e apresentamos os modelos autoregressivos de defasagens distribu´ıdas . Explorando o contexto de vari´ aveis não estacion´ arias, a Se¸cão 8.5 discute o modelo de corre¸cao ˜ de erro. A Se¸cão 8.6 apresenta uma aplica¸cão dos modelos na an´ alise da forma¸cão da expectativa de infla¸caõ por parte dos consumidores brasileiros baseada no IPCA. Por fim, a Se¸caõ 8.7 resume todos os modelos apresentados.

Modelo Clássico de Regress˜ ao Linear Em diferentes contextos estamos interessados em estudar se o comportamento de uma determinada vari´ avel (dependente) é influenciado por uma ou mais vari´ aveis (explicativas). A estrutura desta rela¸cão pode assumir diferentes formas e, em alguns casos, apresenta comportamento linear. Os modelos que assumem estrutura linear entre vari´ avel dependente e vari´ aveis explicativas são chamados modelos de regress˜ ao linear ou modelos lineares . Considere a vari´ avel dependente Y t , observada ao longo do tempo, e k variáveis explica1

Divulgado p elo Instituto Brasileiro de Geografia e Estat´ıstica (IBGE)

´ ˜ LINEAR 8.2. MODELO CLASSICO DE REGRESS AO

239

tivas { X 1,t , X 2,t , . . . X k ,t }. O modelo linear usualmente encontrado na literatura pode ser escrito como

Y t = β 0 + β 1 X 1,t + β 2 X 2,t + · · · + β k X k ,t + ε t ,

(8.1)

onde β 0 é um n´ıvel globla, os β k ’s, k ∈ {1, 3, . . . , k }, s˜ a o os parˆ ametros correspondentes aos respectivos efeitos isolados de cada X k ,t sobre Y t e ε t é o erro do modelo no tempo t . Ao longo do cap´ıtulo a equa¸cão (8.1) será evetualmente referida como modelo est´ atico. A constru¸cão dos modelos de regress˜ ao linear é fundamentada na aceita¸cão dos seguintes pressupostos sobre o erro ε t : 1. Exogeneidade estrita: As variáveis explicativas X k são estritamente ex´ ogenas com respeito ao termo de erro ε t de maneira que

E (ε t | X ) = 0, t = 1 , 2, . . . , T

onde X inclui todos as k variáveis explicativas e todos os instantes de tempo T :

   =  .  ..

X

   . ..  .  

X 1,1

X 2,1

···

X k −1,1

X k ,1

X 1,2

X 2,2

··· .. .

X k −1,2

X k ,2

X 1,T

... X 2,T

...

· · · X k −1,T X k ,T

2. Ausˆ encia de colinearidade perfeita: Nenhuma variável explicativa X k ,t é constante ou pode ser expressa como uma fun¸caõ linear de outras regressoras. Em outras palavras, não existe conjunto de constantes ak tal que todos seus elementos são n˜ ao nulos e

a0 + a1 X 1,t + · · · + ak X k ,t = 0, ∀t = 1 , 2, . . . , T .

3. Homocedasticidade: A variância do erro é a mesma para todas as observa¸ co˜es, ou seja, Var (ε t | X ) = σ 2 , t = 1, 2, . . . , T .

240


4. Ausˆ encia de correla¸c˜ ao serial: Os termos de erro são independentes (condicionalmente a X ), ou seja, Cov(ε t , ε t −s | X ) = 0, s = 1, 2, . . . , T − 1. 5. Normalidade: Os ε t ’s s˜ ao identicamente distribu´ıdos como ε t ∼ N (0, σ 2 ). Se as três primeiras condi¸cões forem satisfeitas, o estimador de m´ınimos quadrados ordin´ arios (MQO) será n˜ ao viesado. Ainda, caso vigorem as suposi¸ cões 4 e 5 podemos empregar as técnicas usuais de inferência dos parâmetros e o estimador de MQO ser´ a também eficiente, no sentido de possuir a menor variˆ ancia se comparado a outros estimadores n˜ ao viesados. Por fim, se o pressuposto 6 for observado tem-se que os β k ’s seguem distribui¸caõ gaussiana e a razão entre cada coeficiente e seu erro padrão segue distribui¸cão t-Student. Os pressupostos expostos acima s˜ ao razo´ aveis em contextos onde as observa¸cões s˜ ao independentes. Na an´ alise de s´ eries temporais, entretanto, algumas suposi¸ cões frequentemente não s˜ ao satisfeitas. Em particular, a suposi¸ caõ de que as variáveis explicativas s˜ ao independentes de toda a hist´ oria de Y (exogeneidade estrita) e que choques em Y no per´ıodo t n˜ ao persistem em t + 1 (correla¸cão serial) s˜ ao usualmente violadas. O emprego de modelos est´ aticos em s´ eries temporais requer, portanto, que sejamos capazes de lidar com a viola¸cão dos pressupostos 1 e 4. A suposi¸cão de exogeneidade estrita pode ser relaxada em situa¸cões onde as variáveis em análise s˜ ao estacion´ arias e erg´ odicas, sendo necess´ ario somente independência contemporˆ anea entre os erros e X (exogeneidade fraca), ou seja, E (ε t | X 1,t , X 2,t , . . . , X k ,t ) = 0. Se, além disso, a amostra for grande o suficiente, o estimador de m´ınimos quadrados ter´ a as propriedades assint´ oticas desejadas. Caso as suposi¸cões 1-3 sejam satisfeitas, mesmo na presen¸ca de correla¸cão serial no vetor de erros ε = {ε 1 , ε 2 , . . . , ε T }, os estimadores de MQO ser˜ ao consistentes. Entretanto, o mesmo não ocorre com respeito à eficiˆ encia, ou seja, existe algum estimador cuja variˆ ancia é menor do que a variância do estimador de MQO (Pindyck e Rubinfeld, 1998). Como consequência, a inferˆ encia acerca dos coeficientes do modelo n˜ ao fornecerá conclus˜ oes corretas.

˜ SERIAL 8.3. CORRELAC ¸ AO

241

Correla¸ cão Serial Vimos que a presen¸ca de correla¸cão serial nos erros afeta a inferˆ encia do modelo, impossibilitando a realiza¸cão dos testes usuais sobre os parâmetros. Devemos, portanto, verificar se os pressupostos do modelo est´ atico s˜ ao satisfeitos antes de tirar qualquer conclusã o. A Subse¸caõ 8.3.1 aborda metodologias para diagnosticar a presen¸ ca de correla¸caõ serial enquanto a Subse¸cão 8.3.2 apresenta caminhos para a corre¸caõ do problema.

Testando a Correla¸ca õ Serial A viola¸cão do pressuposto de correla¸caõ serial ocorre quando Cov(ε t , ε t −s )  = 0 para algum otese nula de ausˆ encia de correla¸cão serial de ordem s nos erros ( H 0 : s. Para testar a hip´ Cov(ε t , ε t −s ) = 0) é necess´ ario que os estimadores de ε t sejam consistentes. A escolha natural é ˆt do modelo (8.1), estimado via MQO, de forma que os testes envolver˜ utilizar os res´ıduos ε ao ˆt e ε ˆt −s para s positivo at´ a an´ alise da correla¸cão entre ε e algum valor m´ aximo arbitrado p. A

literatura disp˜ oe de uma gama de testes de correla¸caõ serial, todavia nos concentraremos na descri¸caõ de dois deles: (i) Durbin-Watson 2 e (ii) Breusch-Godfrey 3 .

Teste de Durbin-Watson A estat´ıstica de Durbin-Watson é dada por T

2

∑ (ε ˆt − ε ˆt −1 ) d =

t =2 T

,

(8.2)

2

∑ ε ˆt t =1

ˆt , t = 1 , . . . , T s˜ onde ε ao os res´ıduos da estima¸cã o de (8.1) por m´ınimos quadrados ordin´ arios. ˆt ´ ˆt −1 h´ Intuitivamente, quando ε e pr´ oximo a ε a ind´ıcios de que os erros s˜ ao correlacionados.

Ap´ os algumas aproxima¸cões, tem-se que d ≈ 2(1 − ˆρ ), onde ρˆ é a correla¸cão de primeira ˆ = {ε ˆ1 , . . . , ˆε T }. Como − 1 ≤ ρˆ ≤ 1, a estat´ ordem de ε ıstica d pertence ao intervalo entre 0 e 4, 2 3

Durbin e Watson (1950, 1951, 1971) Breusch (1978), Godfrey (1978)


242

sendo a ausência de correla¸cão serial correspondente a d pr´ oximo a 2. Dados os limites inferior e superior da região de rejei¸caõ, d L e d U respectivamente, podemos concluir sobre a correla¸cão serial segundo a Figura 8.1.

Figura 8.1: Regi˜ oes do teste de Durbin-Watson A aplica¸cão do teste de Durbin-Watson apresenta, entretanto, algumas limita¸ co˜es: (i) os valores cr´ıticos d L e d U dependem das regressoras do modelo e n˜ ao podem ser obtidos para o caso geral; (ii) o teste é inv´ alido na presen¸ca da variável dependente defasada no lado direito da equa¸cão (8.1) 4; e (iii) o teste somente aborda correla¸cão de primeira ordem, n˜ ao sendo aplic´ avel a` correla¸cões de maior ordem. Existem no R diferentes maneiras de obter a estat´ıstica do teste de Durbin-Watson, entre as quais podemos citar: dwtest() no pacote lmtest((Hothorn et al., 2014)), durbinWatsonTest() no pacote car((Fox et al., 2015)), test.DW() no pacote dcv((Li)), dw.test() no pacote bstats((Wang, 2014)), etc.

Teste de Breusch-Godfrey ou Teste LM O segundo teste de correla¸caõ serial é o teste de Breusch-Godfrey, que permite a inclusão 4

Durbin (1970) prop˜ oe uma modifica¸ca õ do teste de Durbin-Watson que permite a inclusão de vari´ aveis dependentes defasadas no modelo.


243

de variáveis dependentes defasadas modelo al´ em de poder ser usado para testar correla¸ c˜ oes de ordem p, p ≥ 1. A hipóteste nula do teste é de que os erros são ru´ıdo branco. Se de fato essa hip´ otese ˆt obtidos da estima¸ for verdadeira, ent˜ ao os res´ıduos ε cã o da equa¸cão (8.1) via MQO s˜ ao ˆt −1 , . . ., ε ˆt − p . Deste modo, para avaliar a presen¸ independentes dos res´ıduos defasados ε ca de

correla¸cão serial de ordem p o teste baseia-se no modelo

ˆt = γ 1 ε ˆt −1 + · · · + γ p ε ˆt − p + β 0 + β 1 X 1,t + β 2 X 2,t + · · · + β k X ε k ,t + ν t ,

(8.3)

ˆ = {ε ˆ1 , . . . , ˆεT } s˜ onde ε ao os res´ıduos da equa¸caõ (8.1).

A estat´ıstica de teste é calculada como BG( p) = ( T − p) R2 ,

onde R2 é o coeficiente de determina¸caõ do modelo (8.3). A ausência de correla¸cão serial e ˆ pelas vari´ o baixo poder explicativo de ε aveis independentes implica em valores pequenos do

coeficiente R2 e, consequentemente, da estat´ıstica BG( p), levando a` n˜ ao rejei¸caõ da hip´ otese nula de que os res´ıduos s˜ ao ru´ıdo branco. Computacionalmente, a estat´ıstica do teste de Breusch-Godfrey pode ser obtido no R pela fun¸caõ bgtest() do pacote lmtest((Hothorn et al., 2014)).

Corrigindo a correla¸cão serial Identificada a presen¸ca de correla¸cão serial nos erros através dos métodos apresentados na se¸caõ anterior, precisamos encontrar alternativas ao modelo est´ atico para lidar com tal problema. Nos limitaremos, nesta se¸ cã o, a` descri¸cão de duas abordagens: (i) inclus˜ a o de estrutura para os termos de erro no modelo (8.1); e (ii) aplica¸caõ do método de Newey-West para corre¸cão dos erros padr˜ ao das estimativas de MQO. Assuma que as suposi¸cões do modelo de regress˜ ao linear s˜ ao satisfeitas, porém os erros não s˜ ao independentes ao longo do tempo. Supondo um processo autoregressivo de primeira


244

ordem, denotado por AR(1), para descrever o comportamento dos erros de regressão temos o modelo

Y t = β 0 + β 1 X 1,t + β 2 X 2,t + · · · + β k X k ,t + ε t

ε t = ρε t −1 + ν t ,

0 ≤| ρ | < 1 ,

(8.4)

(8.5)

onde ν t tem distribui¸cão N (0, σ ν 2 ) e é independente de ν j , para j  = t bem como é independente de ε t , ∀t . De modo similar, ε t ∼ N (0, σ ε 2 ) porém os termos de erro s˜ ao correlacionados ao longo do tempo. O termo ρ reflete a correla¸caõ entre ε t e ε t −1 de modo que ρ = 0 implica ausência de autocorrela¸caõ nos erros e ρ pr´ oximo a um resulta em correla¸cão serial de primeira ordem. Cabe destacar que, pela constru¸cão do modelo em (8.4)-(8.5), o efeito de ε t será sentido em todos os per´ıodos posteriores, com magnitude descrescente ao longo do tempo. Podemos reescrever as equa¸co˜es (8.4)-(8.5) em uma u ńica equa¸cão. Para tal, multiplicamos o termo (1 − ρ L) em todos os termos da equa¸cão (8.4), obtendo-se ∗ Y t ∗ =β 1 (1 − ρ ) + β 1 X 1∗,t + β 2 X 2∗,t + · · · + β k X k ,t + ν t ,

(8.6)

onde L é o operador de defasagem tal que LY t = Y t −1 e Y t ∗ = Y t − ρY t −1 ,

X j∗,t = X j,t − ρ X j,t −1

e

ν t = ε t − ρε t −1 .

Por constru¸cã o, o modelo em (8.6) possui erros independentes e identicamente distribu´ıdos com média 0 e variˆ ancia constante. Deste modo, se ρ for conhecido podemos aplicar o método de m´ınimos quadrados ordin´ arios para obter estimativas eficientes de todos os parâmetros do modelo. Cabe a ressalva de que o intercepto é estimado como β 1∗ = β 1 (1 − ρ ), de onde obtemos β 1 simplesmente por β 1 =

β 1∗ . 1−ρ

´ usual, entretanto, n˜ E ao conhecermos o valor

de ρ , sendo necessária a ado¸caõ de procedimentos para estima¸caõ desse parˆ ametro. Um primeiro método atribui-se a Cochrane and Orcutt (1949) e consiste na estima¸caõ


245

iterativa de ρ considerando o conceito de correla¸caõ entre termos adjacentes normalmente atribu´ıdo a esse parˆ ametro. O procedimento é descrito pelos seguintes passos: 1 Estimar os parâmetros do modelo (8.1) via m´ınimos quadrados ordinários; 2 Obter os res´ıduos ε ˆt , t = 1, . . . , T , a partir do passo 1; ˆt = ρ ε ˆt −1 + ν t ; 3 Estimar ρ via MQO na equa¸cão ε

4 Transformar as variáveis do modelo usando X j∗,t = X j,t − ρˆ X j,t −1 , j ∈ 1, . . . , k , e Y t ∗ = Y t − ρˆ Y t −1 ;

5 Estimar os coeficientes do passo 4 via MQO; 6 Obter os res´ıduos do modelo ajustado em 5; 7 Estimar ρ no modelo (8.5) via MQO; 8 Repetir os passos 4 - 6 até que a diferen¸ca entre as estimativas de ρ para duas itera¸co˜es consecutivas seja inferior a algum critério de convergência. Note que o procedimento de Cochrane-Orcutt elimina a primeira observa¸cão ao transformar as vari´ aveis (passo 4), o que n˜ ao implica em perda significativa de informa¸cão à medida que a amostra cresce. Computacionalmente, podemos obter as estimativas dos coeficientes por meio da fun¸caõ cochrane.orcutt() no pacote orcutt((Spada, 2012)). Outro método de estima¸caõ do modelo (8.4) - (8.5) foi introduzido por Prais e Winsten (1954) como uma modifica¸cão do procedimento de Cochrane-Orcutt no sentido de que não é necess´ aria a exclus˜ ao da primeira observa¸cão. O algoritmo de estima¸caõ assemelha-se ao anteriormente apresentado, com a excessão de que no passo 4 as variáveis no primeiro instante de tempo s˜ ao constru´ıdas como Y 1∗ =

 − ρ 1

2Y 1

e X j∗,1 =

 − ρ 1

2 X

j ,1 ,

j ∈ {1, . . . , k }. Este método

se mostra mais eficiente em amostras pequenas, visto que n˜ ao elimina nenhuma observa¸caõ da amostra. No R encontra-se dispon´ıvel a fun¸ caõ prais.winsten() do pacote prais((Mohr e Mohr, 2015)) que realiza tal procedimento de estima¸cão iterativamente. Os procedimentos tratados acima dependem da suposi¸cão de que os res´ıduos s˜ ao estimadores consistentes do termo de erro, o que requer estimativas consistentes dos coeficientes usados no cálculo dos res´ıduos. Um caso importante onde os res´ıduos n˜ a o s˜ ao estimados consistentemente aparece em contextos onde a variável dependente defasada é usada como


246

regressora no modelo e os erros são autocorrelacionados. Para situa¸ cões dessa natureza, os res´ıduos obtidos via MQO n˜ ao podem ser usados para estimar ρ . Uma alternativa aos métodos anteriores aparece em Hildreth e Lu (1960), cujo estimador procura na região − 1 ≤ ρ ≤ 1 o valor de ρ que minimiza a soma dos quadrados dos res´ıduos no modelo (8.6). Todas as metodologias descritas exigem cautela em sua realiza¸cã o, uma vez que os algoritmos podem resultar em m´ınimos locais ao invés de globais. A segunda abordagem para lidar com a correla¸caõ serial dos erros segue em dire¸caõ oposta ao apresentado anteriormente, tornando a inferˆ encia v´ alida através da corre¸caõ dos erros padrão dos estimadores de MQO pelo método descrito em Newey e West (1987) ao invés de introduzir uma estrutura para o erro. A implementa¸ cão do m´ etodo pode ser realizada através do pacote sandwich((Lumley et al., 2015)) do R, todavia maior detalhamento do método encontra-se fora escopo do presente cap´ıtulo.

Exemplo com dados artificiais Apresentaremos agora um breve exemplo com dados criados artificialmente para ilustrar a situa¸caõ em que o modelo de regressã o cl´ assico n˜ ao satisfaz a suposi¸caõ de ausência de correla¸cão serial dos erros. A seguir temos o in´ıcio da nossa base de dados, que cont´ em 4 vari´ aveis coletadas ao longo do tempo num total de 30 observa¸cões (cons, price, income, temp).

> head(dados)

1 2 3 4 5 6

cons price income temp 0.39 0.27 78 41 0.37 0.28 79 56 0.39 0.28 81 63 0.42 0.28 80 68 0.41 0.27 76 69 0.34 0.26 78 65


247

Iniciamos o exemplo estimando a regress˜ ao

Const = β 0 + β 1 Pricet + β 2 Incomet + β 3 Tempt + ε t

(8.7)

através da fun¸cão lm(). Como o modelo n˜ ao considera defasagens da vari´ avel dependente no lado direito de (8.7), podemos estimar ε = {ε 1 , . . . , ε T } consistentemente através dos res´ıduos da estima¸caõ via MQO de (8.7).

> # Estimando a Regress~ ao Linear Cl´ assica > reg<-lm(cons ~ price + income + temp, data = dados)

Lembrando que tanto o teste de Durbin-Watson quanto o de Breusch-Godfrey tem como hip´ otese nula a ausência de correla¸caõ serial dos erros, conduzimos no R ambos os testes considerando autocorrela¸caõ de primeira ordem e os res´ıduos da regress˜ ao acima. Assumindo n´ıvel de significˆ ancia igual a 5%, os dois testes concluem pela rejei¸caõ da hip´ otese nula uma vez que os p-valores de ambos são inferiores a 0.05 (p-valor DW = 0.04% e p-valor BG = 4.7).

> # Testando correla¸cao ~ serial de primeira ordem > require(lmtest) > # Durbin-Watson > dw_reg = dwtest(cons ~ price + income + temp, data = dados) > dw_reg

Durbin-Watson test data: cons ~ price + income + temp DW = 1.0384, p-value = 0.0003768 alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0

> > >

# Breusch-Godfrey bg_reg = bgtest(cons ~ price + income + temp, data = dados) bg_reg


248

Breusch-Godfrey test for serial correlation of order up to 1 data: cons ~ price + income + temp LM test = 3.928, df = 1, p-value = 0.04749

Devido à presen¸ca de correla¸cão serial de primeira ordem nos erros do modelo (8.7), surge a necessidade de incluirmos uma estrutura em ε t que reflita tal comportamento. Assumimos, então, o modelo

Const = β 0 + β 1 Pricet + β 2 Incomet + β 3 Tempt + ε t ε t = ρε t −1 + ν t .

(8.8)

Explicitamos na Se¸cão 8.3.2 dois procedimentos de estima¸cão do modelo 8.8: CochraneOrcutt e Prais-Winsten . Ambos foram implementados no R e os resultados são apresentados a seguir. > # Estima¸ c~ ao do modelo com estrutura no erro > # Cochrane-Orcutt > require(orcutt) > co_reg = cochrane.orcutt(reg) > co_reg

$Cochrane.Orcutt Call: lm(formula = YB ~ XB - 1) Residuals: Min 1Q -0.072610 -0.012760

Median 0.000906

3Q 0.015209

Max 0.077841

Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) XB(Intercept) 0.2424113 0.2531469 0.958 0.3474 XBprice -1.1927018 0.6873988 -1.735 0.0950 . XBincome 0.0031820 0.0014969 2.126 0.0436 * XBtemp 0.0035572 0 .0005339 6.662 5.56e-07 *** ---

˜ SERIAL 8.3. CORRELAC ¸ AO Signif. codes:

0

*** 0.001

'

'

249 ** 0.01

'

'

* 0.05

'

'

.

'

'

0.1

'

'

1

Residual standard error: 0.0317 on 25 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.9837, Adjusted R-squared: 0.9811 F-statistic: 378.3 on 4 and 25 DF, p-value: < 2.2e-16

$rho [1] 0.3788941 $number.interaction [1] 12

> > > >

# Prais-Winsten require(prais) pw_reg = prais.winsten(cons ~ price + income + temp, data = dados) pw_reg

[[1]] Call: lm(formula = fo) Residuals: Min 1Q Median -0.079171 -0.017838 -0.000846

3Q 0.010029

Coefficients: Estimate Std. Error t value Intercept 5.709e-01 2.594e-01 2.201 price -1.297e+00 6.756e-01 -1.920 income 6.857e-05 1.928e-03 0.036 temp 3.076e-03 6.847e-04 4.492 --Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 '

'

'

'

Max 0.080424

Pr(>|t|) 0.036834 * 0.065873 . 0.971899 0.000128 *** * 0.05

'

'

.

'

'

0.1

'

'

1

Residual standard error: 0.03255 on 26 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.9435, Adjusted R-squared: 0.9348 F-statistic: 108.5 on 4 and 26 DF, p-value: 7.947e-16

[[2]] Rho Rho.t.statistic Iterations 0.7018387 4.481754 49


250

Na Tabela 8.1 resumimos os valores estimados dos parˆ ametros pelos trˆ es diferentes m´ etodos abordados. Note que os coeficientes para o modelo cl´ assico de regressã o e para o método de Cochrane-Orcutt s˜ ao bastante similares para todo β k , k = 0 , 1, 2, 3, mesmo que ρ seja estimado diferente de zero. J´ a o procedimento de Prais-Winsten apresenta resultados ligeiramente diferentes. Como o n´ umero de observa¸cões é pequeno, o segundo procedimento parece mais eficiente ao incluir a primeira observa¸caõ.

Parâmetro β 0 β 1 β 2 β 3 ρ

Prais-Winsten 0.5709 -1.2973 0.0001 0.0031 0.7018

Cochrane-Orcutt 0.2424 -1.1927 0.0032 0.0036 0.3790

Regress˜ ao Cl´ assica 0.2672 -1.2528 0.0032 0.0034 -

Tabela 8.1: Estimativas Nesse exemplo tentamos ilustrar a implementa¸cão dos teste de correla¸cão serial e dos procedimentos de estima¸cão do modelo de regressão linear com estrutura autoregressiva de primeira ordem para os erros. Ainda que os dados tenham sido gerados artificialmente e pouca, ou nenhuma, interpreta¸caõ possa ser dada a eles, nosso intuito principal foi expor a sintaxe das fun¸co˜es no R e prover base para maior aprofundamento do leitor.

Modelos Autoregressivos com Defasagens Distribu´ıdas At´ e o momento tratamos a correla¸caõ serial de ε = {ε 1 , . . . , ε T } simplesmente como uma viola¸cão das suposi¸cões do modelo cl´ assico de regressão linear. Podemos, em contrapartida, enxergar tal comportamento dos erros como um ´ındicio de incorre¸ cão na especifica¸ca˜ o do modelo. O impacto de um choque em determinada variável explicativa X sobre Y pode n˜ ao ocorrer imediatamente, sendo Y afetado somente ap´ os alguns instantes de tempo, ou mesmo oprio valor em tempos posteriores. A omiss˜ ao dessa dinˆ amica pode induzir Y pode afetar seu pr´ correla¸cão serial nos erros, sendo interessante nessas circunstâncias optar pelo uso de modelos

8.4. MODELOS AUTOREGRESSIVOS COM DEFASAGENS DISTRIBU ÍDAS

251

dinˆ amicos . Quando a dinâmica do modelo é ditada pelo comportamento das vari´ aveis independentes defasadas nos referimos a modelos de defasagens distribu´ıdas , sendo as defasagens respons´ aveis por dar conta do ajustamento ao longo do tempo. Se somente os valores passados de Y determinam seu processo em t , a dinˆ amica de Y pode ser descrita segundo modelos auto-

regressivos . Ainda, é poss´ıvel combinar os dois modelos anteriores em uma unica ´ equa¸cão, originando os chamados modelos autoregressivos de defasagens distribu´ıdas (do inglês, ADL Autoregressive Distributed Lag)5 . A forma geral do modelo ADL, denotada por ADL(p,q), é dada por

φ ( L)Y t = α + θ ( L) X t + ν t ,

(8.9)

onde φ ( L) = 1 − φ 1 L − φ 2 L2 − · · · − φ p L p cujas ra´ızes não pertencem ao c´ırculo unit´ ario, θ ( L) = θ 0 − θ 1 L + θ 2 L2 + · · · + θ q Lq e L é um operador de defasagem tal que Lk Y t = Y t −k . Podemos

reescrever (8.9) como

Y t = α + φ 1Y t −1 + · · · + φ pY t − p + θ 0 X t + θ 1 X t −1 + · · · + θ q X t −q + ν t .

(8.10)

Supondo que os erros ν = {ν 1 , . . . , ν T } são ru´ıdo branco, o modelo (8.10) pode ser estimado via m´ınimos quadrados ordinários. A fun¸caõ dynlm()((Zeileis e Zeileis, 2014)) do pacote de mesmo nome permite a inclus˜ ao de defasagens e diferen¸cas das vari´ aveis inseridas no modelo, retornando as estimativas de MQO dos parâmetros.

Escolhendo as defasagens p e q: O emprego do modelo ADL requer a especifica¸cão a priori do n´ umero de defasagens de X e Y a serem inclu´ıdos na estima¸ cão. Entretanto s˜ ao raras as situa¸cões onde a teoria nos informa sobre os valores exatos de p e q, sendo necessário determina-los empiricamente. Diferentes 5

O cap´ıtulo se restringe a` descri¸c˜ ao do modelo ADL, sendo os outros dois modelos casos particulares deste. Mais detalhes sobre os modelos podem ser vistos em Greene (2003)


252

métodos est˜ ao dispon´ıveis para avaliar o n´ umero apropriado de defasagens no modelo, n˜ ao existindo um “m´ etodo correto”. A escolha é, portanto, usualmente feita pela combina¸ cão de métodos. Um primeiro método trata da especifica¸ cão da defasagem atrav´ es de testes de significância dos parˆ ametros. Podemos come¸car com um n´ umero elevado de defasagens e avaliar a significˆ ancia do coeficiente de maior defasagem. Caso esse coeficiente seja estatisticamente significativo optamos por esse modelo, em contrapartida, se o coeficiente n˜ ao for significativo estimamos o modelo com uma defasagem a menos e continuamos o processo at´ e que a maior defasagem seja significativa. O caminho contr´ ario tamb´ em pode ser empregado, ou seja, come¸camos pelo modelo com menor defasagem e inserimos novas defasagens até que o coeficiente para a variável de maior defasagem n˜ ao seja mais significativo. Outro método de determina¸caõ de p e q envolve o cálculo de crit´ erios de informa¸cão. Tais critérios mensuram a quantidade de informa¸ cão sobre a vari´ avel dependente contida no conjunto de vari´ aveis independentes, considerando o erro padr˜ ao das estimativas dos coeficientes e penalizando pelo n´ umero de parâmetros do modelo. A literatura disp˜ oe de uma gama de critérios de informa¸cão, figurando entre os mais utilizados o critério de informa¸cao ˜ de Akaike (AIC) e o critério de informa¸cao ˜ bayesiano (BIC). Por meio dessa metodologia, escolhemos o número de defasagens com base no modelo que retorna o menor valor desses critérios. Cabe a ressalva que o cálculo dessas medidas deve considerar o mesmo intervalo de tempo para todos os modelos a fim de torn´ a-los compar´ aveis. Os procedimentos apresentados acima podem ser aplicados tanto na escolha de p, de´ fasagens da variável dependente, quanto de q, defasagens das vari´ aveis independentes. E importante enfatizar, ainda, que usualmente nenhuma defasagem até p e q é omitida. No R, a fun¸cão glmulti() do pacote glmulti((Calcagno et al., 2013)) recebe as variáveis dependentes e independentes do modelo e seleciona automaticamente o melhor modelo segundo o crit´ erio de informa¸cão escolhido.

˜ DE ERROS 8.5. MODELO DE CORREC ¸ AO

253

Modelo de Corre¸c˜ ao de Erros

Por todo este cap´ıtulo descrevemos diferentes metodologias para lidar com vari´ aveis observadas ao longo do tempo. Os modelos apresentados sup˜ oem que tais variáveis são estaci´ comum, entretanto, encontrarmos situa¸cões onde esse pressuposto não é satisfeito on´ arias. E como, por exemplo, contextos onde há uma quebra estrutural em determinado instante de tempo ou mesmo quando a vari´ avel apresenta um comportamento explosivo. Supor estacionariedade das vari´ aveis em modelos de regressão linear quando de fato esse pressuposto é violado pode conduzir a conclus˜ oes inapropriadas. Mesmo que duas vari´ aveis não sejam relacionadas, ocasionalmente a estima¸caõ via m´ınimos quadrados ordin´ arios resulta em coeficiente de determina¸cão ( R2 ) elevado, significando que as covari´ aveis conseguiram explicar bem a variável dependente, e estat´ısticas de teste que levam a` conclus˜ ao de significˆ ancia dos parˆ ametros. Esse é um exemplo de regress˜ ao esp´ uria , introduzido por Granger e Newbold (1974). Existem diferentes padrões de não estacionariedade, porém nos concentraremos nessa se¸caõ somente em explorar modelos para vari´ aveis integradas. Lembre-se que uma vari´ avel esima diferen¸ca é estacionária, ou seja, Z t ∼ I (k ) se Z é dita integrada de ordem k se sua k -´ ao ∆k Z t ∼ I (0). ∆k Z t = Z t − Z t −k e ent˜ Considere um modelo de regressão com apenas duas vari´ aveis integradas de primeira ordem, Y t ∼ I (1) e X t ∼ I (1), dado por Y t = φ X t + ν t . Uma alternativa para contornar os problemas induzidos pela não estacionariedade consiste em realizar a regress˜ ao tomando a primeira diferen¸ca das variáveis, isto é, ∆Y t = β ∆ X t + ηt , onde ∆Y t e ∆ X t são estacion´ arias. Um aspecto negativo dessa metodologia decorre da perda de eventual informa¸ cão de longo prazo entre as variáveis. Um caso de especial interesse em econometria surge quando a combina¸cão linear de duas vari´ aveis integradas de primeira ordem resulta em um termo de erro estacionário. Retornando ao exemplo do parágrafo anterior, ter´ıamos Y t , X t ∼ I (1) mas ν t ∼ I (0). Este caso define o con-


254

ceito de cointegra¸cao, ˜ que em economia usualmente está relacionado ao conceito de equil´ıbrio de longo prazo. A presen¸ca de cointegra¸cão entre X e Y permite que os modelos clássicos de regress˜ ao sejam estimados corretamente pelo método de m´ınimos quadrados ordin´ arios. Quando duas séries s˜ ao cointegradas existe entre elas uma rela¸caõ de equil´ıbrio e qualquer perturba¸cão em X provocará um desequil´ıbrio. Modelos que estimam diretamente a taxa à qual mudan¸cas em Y retornam ao equil´ıbrio ap´ os perturba¸co˜es em X são chamados modelos de corre¸cao ˜ de erro (ECM)

6

e s˜ ao escritos como

∆Y t = β ∆ X t + γ (Y t − φ X t ) + ηt ,

(8.11)

onde a taxa de retorno ao equil´ıbrio é tal que γ < 0 e β nos informa sobre os efeitos de curto prazo de X t sobre Y t . Note que o modelo de corre¸ cão de erro é “balanceado” no sentido que todas as vari´ aveis no lado direito de (8.11) s˜ ao estacion´ arias e, portanto, o método de m´ınimos quadrados é aplicável.

Equivalˆ encia entre ADL(1,1) e ECM: Considere o modelo ADL(1,1) dado pela equa¸caõ

Y t = β 0 X t + β 1 X t −1 + ρ Y t −1 + ν t .

(8.12)

Subtraindo Y t −1 em ambos os lados e substituindo X t por ∆ X t + X t −1 temos

∆Y t = β 0 ∆ X t + (β 0 + β 1 ) X t −1 + (ρ − 1)Y t −1 + ν t .

6

(8.13)

Os modelos de corre¸c˜ ao de erro n˜ ao s˜ ao aplicados, necessariamente, a vari´ aveis n˜ ao estacion´ arias (Keele e De Boef, 2004)

˜ DE ERROS 8.5. MODELO DE CORREC ¸ AO

255

Rearrumando a equa¸ caõ (8.13) encontramos



∆Y t = β 0 ∆ X t + (ρ − 1) Y t −1 +

 β + β   0

1

ρ −1

X t −1 + ν t .

(8.14)

  Assumindo γ = (ρ − ), φ = e β = β em (8.15) chegamos ao modelo de corre¸caõ β 0 +β 1 ρ −1

1

0

de erro

∆Y t = β ∆ X t + γ (Y t −1 + φ X t −1 ) + ν t .

(8.15)

Note que a equivalência n˜ ao é exata, visto as restri¸ co˜es que devemos impor a alguns parˆ ametros.

Estima¸ c˜ ao do modelo: O modelo de corre¸caõ de erro apresentado em (8.11) pode ser estimado de duas maneiras diferentes. O primeiro método consiste no procedimento de Engle-Granger e segue as seguintes etapas: 1 Estimar o modelo Y t = φ X t + ε t ; ˆ X t ; ˆt = Y t − φ 2 A partir dessas estimativas obter os res´ıduos ε ˆt −1 + ν t . 3 Estimar o modelo ∆Y t = β 0 + β 1 ∆ X t + γ ε

Na segunda metodologia nos valeremos da equivalˆ encia entre o modelo ADL(1,1) e o ECM e obteremos as estimativas dos coeficientes do modelo de equa¸cão u ńica

∆Y t = β ∆ X t + γ (Y t −1 − φ X t −1 )

= β ∆ X t + γ Yt −1 − γφ X t −1 .

(8.16)

O coeficiente ρ em (8.16) corresponde ao coeficiente de corre¸cã o de erro e β 1 consiste


256 no efeito de curto prazo de X t sobre Y t .

Aplica¸ ca õ ` a Expectativa de Infla¸c˜ ao dos Consumidores Apresentados os conceitos relacionados a` regressão dinˆ amica, trataremos nessa se¸caõ da implementa¸cão desses modelos a` expectativa de infla¸cão dos consumidores brasileiros bem como da aplica¸caõ dos testes de estacionariedade e correla¸cão cab´ıveis. Desde 2005, o Instituto Brasileiro de Economia (IBRE/FGV) inclui na Sondagem do Consumidor uma pergunta quantitativa sobre a expectativa de infla¸cão individual para os pr´ oximos 12 meses. Pretendemos estimar um modelo de corre¸caõ de erro baseado nos dois procedimentos da Se¸caõ 8.5, com a expectativa de infla¸cão sendo explicada pelo Índice de Pre¸cos ao Consumidor Amplo (IPCA - IBGE). Os dados aplicados no exemplo pertencem ao per´ıodo entre setembro de 2005 e dezembro de 2013 e s˜ ao parcialmente ilustrados na Tabela 8.2.

Set/05 Out/05 Nov/05 .. .

Expectativa de Infla¸cão do Consumidor 9.44 9.50 9.13 ...

Nov/2013 Dez/2013

9.01 9.25

Data

IPCA 6.04 6.36 6.22 ... 5.77 5.91

Tabela 8.2: Resumo dos dados O primeiro passo de nossa análise contempla o teste de estacionariedade das variáveis em questão. A literatura disp˜ oe de diversos testes, entretanto somente realizaremos o teste de Dickey-Fuller Aumentado (ADL) 7 . Esse teste tem como hip´ otese nula a presen¸c a de raiz unit´ aria e pode ser implementado no R através da fun¸caõ ur.df() do pacote urca(Pfaff (2005)). Iniciaremos os testes de estacionariedade com a expectativa de infla¸cão. A seguir temos 7

Para mais detalhes sobre testes de estacionariedade consultar Enders (2008).

˜ A ` EXPECTATIVA DE INFLA¸ 8.6. APLICA¸ C AO CAO ˜ DOS CONSUMIDORES

257

os resultados do teste ADF aplicado a essa variável, assumindo defasagem m´ axima igual a 12 e adotando o valor do AIC como crit´ erio de escolha da defasagem. O teste retornou defasagem igual a 1 e estat´ıstica 0.5713. Como a estat´ıstica de teste é maior que o valor cr´ıtico ao n´ıvel de 5% de confian¸ca, a saber -1.95, aceitamos a hip´ otese nula e, portanto, a variável em questão não é estacionária.

> # Expectativa de Infla¸ cao ~ > adf_expinf = ur.df(expinf_cons, type = "none", lags = 13, selectlags = "AIC") > summary(adf_expinf)

############################################### # Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test # ############################################### Test regression none

Call: lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 - 1 + z.diff.lag) Residuals: Min 1Q -1.00779 -0.27690

Median 0.02725

3Q 0.25452

Max 1.07022

Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) z.lag.1 0.003152 0.005518 0.571 0.5694 z.diff.lag -0.190529 0.104648 -1.821 0.0722 . --Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . '

'

'

'

'

'

'

'

0.1

'

'

1

Residual standard error: 0.4045 on 84 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.04016, Adjusted R-squared: 0.01731 F-statistic: 1.757 on 2 and 84 DF, p-value: 0.1788

Value of test-statistic is: 0.5713 Critical values for test statistics: 1pct 5pct 10pct tau1 -2.6 -1.95 -1.61


258

Para avaliar se o teste ADF foi conduzido corretamente, a figura a seguir analisa a presen¸ca de autocorrela¸caõ nos res´ıduos do modelo utilizado pelo teste e consequente necessidade de inclusão de mais defasagens no modelo. Como podemos observar, n˜ ao existe autocorrela¸caõ significativa de nenhuma ordem e o teste parece correto.

> acf(adf_expinf@res, main = "")

0 . 1

6 . 0 F C A

2 . 0

2 . 0 −

0

5

10

15

Lag

Passaremos a` an´ alise do IPCA. A seguir apresentamos os resultados do teste ADF e a correspondente fun¸cão de correla¸cão dos res´ıduos do teste. Novamente assumimos defasagem m´ axima igual a 12 e sele¸cão do modelo via AIC. O teste retornou o modelo com apenas uma defasagem como o de menor AIC e estat´ıstica de teste que nos leva a` conclus˜ ao de n˜ ao rejei¸caõ da hip´ otese nula, ou seja, a variável IPCA n˜ ao é estacionária. Corroborando com os resultados encontrados, a fun¸cão de correla¸cão dos res´ıduos n˜ ao fornece ind´ıcios de incorre¸caõ do teste visto que a aucorrela¸caõ de nenhuma ordem é significativa.

> # IPCA > adf_ipca = ur.df(ipca, type = "none", lags = 12, selectlags = "AIC") > summary(adf_ipca)

˜ A ` EXPECTATIVA DE INFLA¸ 8.6. APLICA¸ C AO CAO ˜ DOS CONSUMIDORES ############################################### # Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test # ############################################### Test regression none


Median 0.04011

3Q 0.15284

Coefficients: Estimate Std. Error t z.lag.1 0.0004985 0.0042074 z.diff.lag 0.5559689 0.0905489 --Signif. codes: 0 *** 0.001 ** '

'

'

'

Max 0.41034

value Pr(>|t|) 0.118 0.906 6.140 2.55e-08 *** 0.01

* 0.05

'

'

.

'

'

0.1

'

'

1


Value of test-statistic is: 0.1185 Critical values for test statistics: 1pct 5pct 10pct tau1 -2.6 -1.95 -1.61

259


260 > acf(adf_ipca@res, main = "")

0 . 1

6 . 0 F C A

2 . 0

2 . 0 −

0

5

10

15

Lag

Tendo conclu´ıdo pela n˜ ao estacionaridade das vari´ aveis em estudo, os modelos cl´ assicos de regressão linear n˜ a o podem ser empregados. O pr´ oximo passo é, ent˜ ao, verificar se as vari´ aveis são cointegradas. Esse teste avaliar´ a se os res´ıduos da regress˜ ao ExpInf t = α + ao estacion´ arios via teste ADF. Nos baseamos, portanto, em um teste de duas β IPCAt + ε t s˜ etapas.

> # Expectativa de Infla¸ cao ~ x IPCA > ajuste_coin1 = lm(expinf_cons ~ ipca - 1); summary(ajuste_coin1)

Call: lm(formula = expinf_cons ~ ipca - 1) Residuals: Min 1Q -2.8746 -0.4482

Median 0.0905

3Q 0.8496

Max 2.1819

Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) ipca 1.47992 0.01979 74.78 <2e-16 ***

˜ A ` EXPECTATIVA DE INFLA¸ 8.6. APLICA¸ C AO CAO ˜ DOS CONSUMIDORES --Signif. codes:

0

*** 0.001

'

'

** 0.01

'

'

* 0.05

'

'

.

'

'

0.1

Residual standard error: 1.06 on 99 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.9826, Adjusted R-squared: F-statistic: 5593 on 1 and 99 DF, p-value: < 2.2e-16

'

'

261

1

0.9824

> adf_coin1 = ur.df(ajuste_coin1$residuals, "none", lags = 12, selectlags = "AIC") > summary(adf_coin1)

############################################### # Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test # ############################################### Test regression none


Median 0.07097

3Q 0.36439

Max 0.84176

Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) z.lag.1 -0.14800 0.05163 -2.867 0.00523 ** z.diff.lag 0.07835 0.10577 0.741 0.46092 --Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . '

'

'

'

'

'

'

'

0.1

'

'

1


Value of test-statistic is: -2.8666 Critical values for test statistics: 1pct 5pct 10pct tau1 -2.6 -1.95 -1.61


262 > acf(adf_coin1@res, main = "")

0 . 1

6 . 0 F C A

2 . 0

2 . 0 −

0

5

10

15

Lag

A análise da estat´ıstica do teste ADF nos leva a` rejei¸cão da hip´ otese nula e, portanto, conclu´ımos que as vari´ aveis são cointegradas. Assim, podemos estimar o modelo de corre¸caõ de erro para encontrar as rela¸co˜es de longo e curto prazo entre elas. A Tabela 8.3 apresenta os valores estimados dos parâmetros usando as duas metodologias descritas na Se¸cão 8.5. Como esperado, ambos os procedimentos resultam em estimativas similares. ´ Parâmetro Unica Equa¸cã o 0.2862 β -0.0933 γ 1.4830 φ

Duas Equa¸cões 0.2860 -0.0933 1.4800

Tabela 8.3: Estimativas do Modelo de Corre¸caõ de Erros Para finalizar, apresentamos o c´ odigo em R que gerou as estimativas da tabela acima.

> # Estima¸ c~ ao do modelo > require(dynlm) > # Procedimento em duas etapas > reg1 = lm(expinf_mensal$x ~ IPCA$x - 1) > res = ts(reg1$residuals, start = c(2005,09), freq = 12)

263

8.7. RESUMO DOS MODELOS > > >

reg2 = dynlm(d(expinf_cons, 1) ~ d(ipca, 1) + L(res, 1) -1 ) # Procedimento em ´ unica etapa reg = dynlm(d(expinf_cons, 1) ~ d(ipca, 1) + L(expinf_cons, 1) + L(ipca, 1) -1)

Resumo dos modelos Finalizando este cap´ıtulo, apresentamos na Tabela 8.4 um resumo dos modelos cab´ıveis a diferentes situa¸cões de estacionariedade e n˜ ao estacionariedade. Variável Independente I(0)

Vari´ avel Dependente I(0)

I(1)

Erro

M´ etodo de Estima¸cão

I(0)

ADL

I(0)

I(1)

Modelo mal especificado

I(1)

I(1)

I(1)

Primeira diferen¸ca em todas as vari´ aveis. Modelo ADL

I(1)

I(1)

I(0)

Vari´ aveis Cointegradas. ECM

Tabela 8.4: Resumo dos modelos

264


Vetor Auto-Regressivo (VAR) Rafael Jorge Pereira Pedro Costa Ferreira

[Em constru¸caõ]

CAP ÍTULO 9. VETOR AUTO-REGRESSIVO (VAR)

266

Introdu¸c˜ ao Um dos principais modelos utilizados na an´ alise de séries temporias é o modelo Vetorial Autorregressivo (VAR). O VAR se tornou relevante ao tratar de modelos de diversas variáveis pois permite a completa especifica¸cão do modelo. Os modelos econˆ omicos, em geral, s˜ a o os principais objetos de an´ alise no estudo do modelo VAR. Este cap´ıtulo discute os principais aspectos do VAR desde sua metodologia até sua implementa¸ cão em R.

O modelo Vetorial Autorregressivo (VAR) é um dos modelos mais f´ aceis, flex´ıveis e bem sucedidos na an´ alise de séries de tempo multivariada sendo uma extens˜ ao natural dos modelos autorregressivos univariados para séries temporais multivariada (Zivot e Wangl (2003)). O VAR mostrou ser muito u ´til na realiza¸caõ de previsão e an´ alise estrutural de séries financeiras ´ muito utilizado na an´ e econômicas. E alise de variáveis macroeconˆ omicas, previs˜ oes realizadas pelo relat´ orio de infla¸cão do banco central e em outras a´reas. Um aspecto fundamental que se deve ressaltar é o fato de que por tr´ as de cada modelo existe uma teoria econˆ omica que estrutura o modelo. As principais referˆ encias no assunto s˜ ao Hamilton (1994a), Lu ¨ tkepohl (2005) e Enders (2015).

Este cap´ıtulo foi dividido da seguinte forma: Na segunda se¸ cão ser´ a introduzido o modelo VAR( p) e as condi¸cões necessárias para valida¸cão do modelo; na terceira se¸cão ser˜ ao exploradas as caracter´ısticas estruturais do modelo tais como decomposi¸ c˜ ao de Cholesky, fun¸cão de resposta ao impulso e previs˜ ao dos erros de decomposi¸ caõ da variˆ ancia; na quarta se¸caõ é introduzido o conceito de cointegra¸cão e o modelo Vetorial de Corre¸caõ de Erros (VECM). A quinta se¸cão faz uma breve introdu¸caõ a uma classe especial de modelos n˜ ao lineares muito utilizados em séries financeiras conhecido como Self-Exciting Threshold Autoregressive models (SETAR) (TSAY (2002)); a sexta se¸cão replica um estudo de caso na economia do Canad´ a (BREITUNG et al. (2004)) explorando os conceitos discutidos nas se¸cões anteriores. A u ´ltima se¸caõ faz uma breve introdu¸cão sobre o conceito de causalidade de Granger.

267

9.2. VAR(P)

VAR(p)

Seja Y t = ( y1t , y2t , . . . , ynt ) um vetor (n × 1) de vari´ aveis de séries temporais. Um modelo básico de vetores autorregressivos com defasagem p (VAR( p)) é dado pela equa¸cão

Y t = c + Π1Y t −1 + Π2Y t −2 + . . . + Π pY t − p + ε t ,

t = 1, . . . , T ,

(9.1)

onde Πi são as matrizes de coeficientes (n × n) e ε t é um ru´ıdo branco (n × 1) com E (ε t ) = 0 e 

matriz de covariˆ ancia E (ε t ε t ) = Σ.

Uma caracter´ıstica fundamental do processo VAR( p) é sua estacionariedade. Dizemos que um processo VAR( p) é estacion´ ario ou est´ avel se as séries geradas pelo processo s˜ ao estacion´ arias, ou seja, sob as condi¸cões iniciais necess´ arias possui média estacion´ aria e matriz de covariˆ ancia positiva definida.

A condi¸caõ de estabilidade é verificada através do c´ alculo do polinˆ omio caracter´ıstico

det( I n − Π1 z − . . . − Π p z p )  = 0 para

| z| ≤ 1.

(9.2)

Se a solu¸cão da equa¸caõ acima tiver raiz para z = 1, uma ou mais séries do processo é integrado de ordem I (1). Na pr´ atica a estabilidade de um processo Vetorial Autorregressivo VAR( p) pode ser verificada através do c´ alculo dos autovalores da matriz de coeficientes.


268

O VAR( p) pode ser escrito como um processo VAR( 1) da seguinte forma

ξt = Πξt −1 + υ t ,

(9.3)

onde,

  ξ =   t

yt

.. . yt − p+1

   ,

Π

   =  

      ε .  , υ =  ..  .    ε  ...  

Π1

Π2

. . . Π p−1 Π p

I

0

...

0

0

0

I . . .

0

0

.. .

... . . .

...

0

0

...

I

1t

t

nt

0

O processo VAR( p) é estável se o modulo dos autovalores de Π são menores que 1.

Para uma dada amostra de vari´ aveis endógenas y1 , y2 , . . . , yt e uma pr´ e - amostragem suficientemente grande de valores y − p+1 , . . . , y0 , os coeficientes do processo VAR( p) podem ser estimados eficientemente por m´ınimos quadrados, o método é aplicado separadamente para cada equa¸caõ.

Uma vez que o modelo VAR( p) foi estimado uma gama de an´ alises podem ser realizadas a posteriori. O pesquisador pode estar interessado em testes de diagn´ osticos, tais como, testar a ausência de correla¸cão, heterocedasticidade ou n˜ ao normalidade do processo de forma¸caõ dos erros. Ele pode além disso estar interessado na inferência causal, na realiza¸ caõ de previsão e em diagnosticar o comportamento dinˆ amico do modelo emp´ırico, i.e, fun¸ cões de resposta ao impulso e previsão dos erros de decomposi¸cão da variˆ a ncia. Os dois u´ltimos resultados são baseados na decomposi¸cão em médias m´ oveis de Wold para um processo VAR( p) est´ avel difinido como:

Y t = Φ0 ε t + Φ1 ε t −1 + Φ2 ε t −2 + . . . ,

(9.4)

269

9.3. VAR ESTRUTURAL com Φ0 = I n e Φs pode ser calculado recursivamente da seguinte forma

s

Φs =

∑ Φs− j Π j

, s = 1, . . . , p

(9.5)

j =1

e Π j = 0 para j > p .

Finalmente, previs˜ oes para um horizonte h ≥ 1 passos à frente de um processo emp´ırico VAR( p) podem ser geradas recursivamente de acordo com

Y T +h|T = c + Π1Y T +h−1|T + . . . + Π pY T +h− p|T ,

onde Y T + j|T = Y T + j para

(9.6)

ancia dos erros de previsã o s˜ ao dadas j ≤ 0 . A matriz de covariˆ

como

Cov

  

Y T +1

Y T +h

− Y T +1|T .. . − Y T +h|T

     =  

I

0

... 0

Φ1

I

0

.. . Φh−1

.. Φh−2

. 0

...

I

   ( 

Σε ⊗ I h

   ) 

T

I

0

... 0

Φ1

I

0

.. . Φh−1

.. Φh−2

. 0

...

I

   , 

e Φi são as matrizes de coeficientes na representa¸caõ de Wold do processo VAR( p). O operador

⊗ representa o produto de Kronecker (Hamilton (1994a) apêndice A4, página 732).

VAR Estrutural Os modelos VAR( p) possuem muitos parâmetros e entender a rela¸caõ entre esses parâmetros é fundamental na interpreta¸cão do modelo, pois esclarece a rela¸cão existente entre as vari´ aveis facilitando o entendimento do modelo. Quanto mais complexo for o processo de intera¸cão entre as variáveis mais dif´ıcil se torna a interpreta¸ cão dos parˆ ametros. Portanto, a


270

an´ alise das propriedades dinâmicas s˜ ao frequentemente resumidas usando v´ arios tipos de análises estruturais. Os principais tipos de an´ alises estruturais são (1) fun¸caõ impulso resposta; (2) previsão dos erros de decomposi¸cão da variˆ ancia.

Impulso Resposta

Todo processo VAR( p) de covariância estacion´ aria pode ser representado na forma de Wold

Y t = µ + ε t + Φ1 ε t −1 + Φ2 ε t −2 + . . .

(9.7)

´ tentador interpretar onde as matrizes Φs são determinadas recursivamente pela equa¸cão ( 5). E o (i, j ) - ésimo elemento, φ isj da matriz Φs , como um multiplicador dinˆ amico ou resposta ao impulso

∂ yi,t +s ∂ yi,t = = φ isj , ∂ ε j,t ∂ ε j,t −s

i, j = 1, . . . , n

(9.8)

entretanto essa interpreta¸cão somente é poss´ıvel se var (ε t ) = Σ for uma matriz diagonal, tal que os elementos de ε t sejam n˜ ao correlatos. Uma forma de tornar os erros n˜ ao correlatos é estimar o modelo VAR estrutural triangular proposto por Sims (1980).





y1t =

c1 + γ 11Y t −1 + . . . + γ 1 pY t − p + ε 1t

y2t =

c1 + β 21 y1t + γ 21Y t −1 + . . . + γ 2 pY t − p + ε 2t

y3t =

c1 + β 31 y1t + β 32 y2t + γ 31Y t −1 + . . . + γ 3 pY t − p + ε 3t









.. . ynt =





c1 + β n1 y1t + . . . + β n,n−1 yn−1,t + γ n1Y t −1 + . . . + γ np Y t − p + ε nt

(9.9)

271

9.3. VAR ESTRUTURAL Na forma matricial o VAR( p) estrutural triangular é dado por

BY t = c + Π1Y t −1 + Π2Y t −2 + . . . + Π pY t − p + υ t

onde

B

   −β . =   ..

1

0

21

1

(9.10)

    ...  

... 0 0

... . . .

−β n1 −β n2

0

... 1

é uma matriz triangular inferior com 1 s ao longo da diagonal. A a´lgebra de m´ınimos quadrados garante que a estimativa da matriz de covariˆ ancia do vetor de erro υ t é diagonal. Os erros ortogonais ou n˜ ao correlacionados υ t são referidos como erros estruturais.

O modelo estrutural triangular acima imp˜ oe uma ordena¸cão causal recursiva

y1 → y2 → . . . → yn

(9.11)

Uma vez que uma ordena¸cão recursiva tenha sido estabelecida a representa¸cão de Wold de Y t com base nos erros ortogonais υ t é dada por

Y t = µ + Θ0 υ t + Θ1 υ t −1 + Θ2 υ t −2 + . . .

∂ yi,t +s ∂ yi,t = = θ isj , ∂ ε j,t ∂ ε j,t −s

i, j = 1 , . . . , n,

s > 0 .

(9.12)

(9.13)

O gráfico de θ is, j , (i, j )-ésimo elemento de Θs , contra s é chamado de fun¸cão de resposta ao impulso de yi com respeito a ε j .

Na prática, a fun¸cão de resposta ao impulso 9.13 baseada no VAR( p) triangular 9.9


272

pode ser calculada diretamente a partir dos parâmetros de um VAR( p) n˜ ao triangular 9.7 da seguinte forma.

Em primeiro lugar, observe que a matriz Σ é simétrica e possui uma decomposi¸cão de Cholesky da seguinte forma



Σ = ADA ,

onde A é uma matriz triangular inferior invert´ıvel com 1’s ao longo da diagonal e D é uma matriz diagonal com elementos diagonais positivos. Em seguida, defina os erros estruturais como υ t = A−1 ε t .

(9.14)







Esses erros estruturais são ortogonais por constru¸cão desde var (υ t ) = A−1 Σ A −1 = A−1 ADA A −1 = D. Usando o fato de A−1 A = I na equa¸ca õ 9.12, a equa¸cão 9.7 pode ser reescrita como

Y t =

µ + AA−1 ε t + Π1 AA−1 ε t −1 + Π2 AA−1 ε t −2 + . . .

(9.15)

= µ + Θ0 υ t + Θ1 υ t −1 + Θ2 υ t −2 + . . . onde Θ j = Π j A. Note que a matriz estrutural B em 9.10 é igual a A−1 .

Previs˜ ao dos Erros de Decomposi¸ca õ da Variˆ ancia A decomposi¸cão da variˆ ancia dos erros de previsão informa que parte da variância dos erros de previsão de Y t +s é devido ao choque estrutural υ t .

273

9.3. VAR ESTRUTURAL A decomposi¸cão de Wold representada na equa¸cão 9.7 permite concluir que ˆt +s|t = ε t +s + Φ1 ε t +s−1 + Φ2 ε t +s−2 + . . . + Φs−1 ε t +1 , Y t +s − Y

(9.16)

portanto, o erro quadrático médio de previsão “s” per´ıodos a` frente é 







ˆt +s|t ) = E [(Y t +s − ˆ ˆt +s|t ) ] = Σ + Φ1 ΣΦ + Φ2 ΣΦ + . . . + Φs−1 ΣΦ . (9.17) EQM (Y Y t +s|t )(Y t +s − Y 1 2 s−1

Para entender como cada componente dos erros ortogonais (υ 1t , . . . , υ nt ) contribui na forma¸cão MSE observe que a equa¸caõ 9.14 da se¸cão anterior permite escrever

ε t = Aυ = a1 υ 1t + a2 υ 2t + . . . an υ nt ,

(9.18)

onde, a j denota a j−ésima coluna da matriz A. Lembrando que os υ jt sã o n˜ ao correlatos, 

pode - se multiplicar a equa¸cão 9.18 por ε t e tomar seu valor esperado









Σ = E (ε t ε t ) = a 1 a1 .Var (υ 1t ) + a2 a2 .Var (υ 2t ) + . . . + an an .Var (υ nt ),

(9.19)

onde, υ jt é o elemento diagonal ( j, j ) da matriz diagonal D.

Substituindo a equa¸ cão 9.19 na 9.17, o EQM de previsão “s” per´ıodos a` frente é representado em fun¸cão da variˆ ancia dos erros de decomposi¸caõ















ˆt +s|t ) = Σn {Var (υ jt ).[a j a + Φ1 a j a Φ + Φ2 a j a Φ + . . . + Φs−1 a j a Φ EQM (Y j =1 j j 1 j 2 j s−1 ]}. (9.20)

Essa expressão permite calcular a contribui¸cão da j−ésima pertuba¸caõ ortogonalizada na previsão “s” passos à frente do EQM.


274

Modelo Vetorial de Corre¸c˜ ao de Erros (VECM) As condi¸cões de estacionariedade e os mecanismos de diferencia¸cão impostos até o momento foram essenciais na especifica¸caõ do Modelo Vetorial Autorregressivo VAR( p). No entanto, as informa¸cões perdidas ao se diferenciar estas séries podem comprometer as previsões do modelo e para se obter o modelo mais adequado poss´ıvel esta se¸cão introduz o conceito 

de cointegra¸cão. As componentes de um vetor Y t = ( y1 , . . . , yn ) é dita ser cointegrada de ordem d , b, denotado por Y t ∼ CI (d , b) se

1. Todas as componentes de Y t s˜ ao integradas de ordem d . 2. Se existe um vetor β = (β 1 , . . . , β n ) tal que a combina¸caõ linear de β Y t = β 1 y1t +. . .+ β n ynt é integrada de ordem (d − b), onde b > 0. O vetor β é chamado de vetor de cointegra¸cão. De forma mais clara, o vetor integrado Y t de ordem d é cointegrado se existe uma combina¸cão linear β Y t = β 1 y1t + . . . + β n ynt de ordem (d − b).

Considere o modelo univariado a seguir

mt = β 0 + β 1 pt + β 2 yt + β 3 r t + et

(9.21)

onde, mt , pt , yt e r t s˜ ao vari´ aveis econˆ omicas integradas de ordem I (1) e β t um vetor de parâmetros.

Um pressuposto fundamental diz que a sequência et é estacionária, reescrevendo a equa¸cão 9.21 na forma

et = mt − β 0 − β 1 pt − β 2 yt − β 3 r t

(9.22)

como et é estacion´ ario, pela equa¸caõ 9.22 conclui - se que existe uma combina¸caõ linear de mt , pt , yt e r t estacion´ aria.

˜ DE ERROS (VECM) 9.4. MODELO VETORIAL DE CORREC ¸ AO

275

Um pressuposto do modelo é que as vari´ aveis econˆ omicas do sistema possuem equil´ıbrio de longo prazo dado por

β 1 y1t + β 2 y2t + . . . + β n ynt = 0

(9.23)

os desvios do equil´ıbrio de longo prazo s˜ ao chamados de erros de equil´ıbrio et .

Neste exemplo e ao longo de toda se¸caõ as vari´ aveis consideradas s˜ ao cointegradas de ordem CI ∼ (1, 1). Todavia, existem casos em que as variáveis em quest˜ ao possuem diferentes ordem de integra¸caõ podendo ocorrer a multicointegra¸cão e os casos em que tem-se dois ou mais vetores de cointegra¸cão linearmente independentes denominado m´ ultipla cointegra¸caõ (Enders (2015)).

A seguir será apresentado um caso simples bivariado do modelo vetorial de corre¸caõ de erros e a ideia por trás de sua constru¸cão.

Considere o seguinte sistema de equa¸cões:

∆r St =

α S (r Lt −1 − β r St −1 ) + ε St ,

∆r Lt =

−α L (r Lt −1 − β r St −1 ) + ε Lt ,

α S > 0,

(9.24)

α L > 0,

onde ε st e ε Lt são ru´ıdos aleatórios que podem ser correlatos.

Note a rela¸caõ entre o modelo de corre¸cão de erros e as variáveis cointegradas. Partindo da hip´ otese que as vari´ aveis são cointegradas de ordem (1, 1), tanto ∆r st quanto ∆r Lt são estaci-


276

on´ arios, portanto, o lado esquerdo da equa¸cão 9.24 é I (1). No lado direito da mesma equa¸cão, tanto ε st quanto ε Lt s˜ ao estacion´ arios, logo, r Lt −1 − β r st −1 também deve ser estacionário, nada impede que se acrescente os valores defasados de ∆r st e ∆r Lt na equa¸cão 9.24 obtendo - se o seguinte modelo:

∆r St =

α S (r Lt −1 − β r St −1 ) + Σa11 (i)∆r St −i + Σa12 (i)∆r Lt −i + ε St ,

∆r Lt =

−α L (r Lt −1 − β r St −1 ) + Σa21 (i)∆r St −i + Σa22 (i)∆r Lt −i + ε Lt ,

α S > 0

(9.25)

α L > 0

a menos do termo de corre¸caõ de erros, note a semelhan¸ca deste modelo com com o modelo VAR bivariado, sendo um caso bivariado do modelo de corre¸cão de erros VECM.

Esse resultado pode ser facilmente generalizado para o caso n−dimensional. Formal

mente assuma que o vetor ( y1t , . . . , ynt ) seja integrado de ordem I (1) possui uma representa¸caõ de corre¸caõ de erros que pode ser expresso na forma:



∆Y t = Π0 + αβ Y t −1 + Π1 ∆Y t −1 + Π2 ∆Y t −2 + . . . + Πn ∆Y t −n

onde,

•

Π0 é o intercepto.

•

ao de erros. β é o vetor de corre¸c˜

•

α é o termo que determina a velocidade do ajuste.

•

ao matrizes de coeficientes (n × n) com elementos π jk (i). Πn s˜

(9.26)

˜ DE ERROS (VECM) 9.4. MODELO VETORIAL DE CORREC ¸ AO

277

Teste de Cointegra¸c˜ ao de Johansen Os principais testes de cointegra¸caõ assumem que todas as vari´ aveis sejam integradas de mesma ordem e na maior parte dos casos que as variáveis sejam integradas de ordem I (1). Engle e Granger (1987) propusseram um procedimento em quatro etapas para determinar se duas vari´ aveis integradas de ordem I (1) s˜ ao cointegradas de ordem CI (1, 1) (Enders (2015), se¸caõ 6.4). A seguir ser´ a apresentado o teste de cointegra¸cão de Johansen assim como cada etapa da constru¸cão do teste.

Os passos b´ asicos para constru¸caõ do teste de Johansen s˜ ao: • Especificar • Construir

e estimar o modelo VAR( p) para Y t .

testes de raz˜ ao de verossimilhan¸ca para o posto de Π e determinar o n´ umero

de vetores de cointegra¸cão. • Se

necessário, normalizar o vetor de cointegra¸caõ do modelo de acordo com as restri¸co˜es

estruturais necessárias. • Estimar

o modelo VECM por máxima verossimilhan¸ca.

Seja r o posto da matriz Π de coeficientes do modelo VAR( p).

As hipóteses do teste de Johansen s˜ ao estabelecidas da maneira a seguir: 1. H 0 (r = 0) × H 1 (r > 0). Se a hipótese nula não é rejeitada então se conclui que não existe cointegra¸cão entre as n variáveis Y t , caso contr´ ario, seguir para o segundo passo. 2. Se a hipótese nula não for rejeitada, ent˜ ao, existe pelo menos um vetor de cointegra¸cão e as hip´ oteses neste caso são: H 0 (r = 1) × H 1 (r > 1). Se a hip´ otese nula não é rejeitada ent˜ ao se conclui que existe um vetor de cointegra¸cão entre as n variáveis Y t , caso contr´ ario, seguir para o terceiro passo. 3. A sequência continua até que a hip´ otese nula não seja rejeitada. O teste pode ser expresso de modo mais compacto a seguir


278 •

H 0 (r 0 ) :

r = r 0 vs. H 1 (r 0 ) :

r 0 = r 0 + 1

Modelo Threshold Autoregressive (TAR) O comportamento a longo prazo de séries temporais n˜ ao lineares variam de acordo com estado do sistema, para captar tais varia¸co˜es estruturais em 1983 Tong propôs um modelo autorregressivo com parâmetro de threshold (TAR Model). Neste modelo a cada mudan¸ ca de cen´ ario o parˆ ametro de threshold ajusta automaticamente os coeficientes do modelo autorregressivo.

O modelo autorregressivo com parˆ ametro de threshold é uma combina¸ cão de modelos AR( p). Uma poss´ıvel representa¸ cão do modelo AR(1) em um regime de dois parˆ ametros é dada por:

 − . =  .

yt

1 5 yt −1 + ε t ,

se yt −1 < 0,

0 5 yt −1 + ε t ,

se yt −1 ≥ 0.

onde os ε t  s s˜ ao iid N (0, 1). Nesse exemplo a defasagem é 1 e o threshold é ponto 0.

Observe que o modelo descrito é uma combina¸ caõ de modelos lineares por partes para obter uma melhor aproxima¸caõ da equa¸caõ da média condicional. A ideia central é otimizar a previs˜ ao ajustando os parˆ ametros de um modelo autorregressivo linear de acordo com a regi˜ ao em que se encontrarem os valores de uma determinada variável.

Uma série de tempo yt é dita seguir um modelo TAR auto excitado de k regimes (SETAR) com parâmetro de limiar yt −d se satisfaz

( j )

( j )

( j )

( j )

yt = φ 0 + φ 1 yt −1 + . . . + φ p yt − p + ε t , se

γ j−1 ≤ yt −d ≤ γ j ,

(9.27)

˜ DO VAR (P) USANDO R PARA O CANAD A ´ 9.6. ESTIMA¸ C AO

279

Estima¸ c˜ ao do VAR( p) usando R para o Canad´ a Esta se¸caõ replica o estudo de caso realizado por (BREITUNG et al. (2004)) para um conjunto de dados macroeconômicos do Canad´ a discutindo os principais métodos, fun¸ co˜es e a interpreta¸cão dos resultados. As séries utilizadas foram: produtividade no trabalho, taxa de emprego, taxa de desemprego e sal´ arios reais. Os dados foram coletados na base de dados da OECD do primeiro trimestre de 1980 até o u´ltimo trimestre de 2004.

> library("vars") > data("Canada") > plot(Canada, nc = 2, xlab = "")

Um dos pressupostos do modelo VAR é que as séries s˜ ao estacion´ arias e para testar a estacionariedade destas séries será utilizado o teste de Dickey and Fuller, de modo an´ alogo ao realizado na se¸cão 1.6 do cap´ıtulo anterior. A estat´ıstica de teste observada foi de (−1.9875), isto é, maior que o valor cr´ıtico de (−3.45) ao n´ıvel de significˆ ancia de 5%. Portanto, se aceita a hip´ otese nula na qual a vari´ avel em quest˜ ao é n˜ ao estacion´ aria.

> adf1 <- summary(ur.df(Canada[, "prod"], type = "trend", lags = 2)) > adf1

############################################### # Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test # ############################################### Test regression trend

Call: lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 + 1 + tt + z.diff.lag) Residuals: Min 1Q -2.19924 -0.38994

Median 0.04294

3Q 0.41914

Max 1.71660


280

Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 30.415228 15.309403 1.987 0.0506 . z.lag.1 -0.075791 0.038134 -1.988 0.0505 . tt 0.013896 0.006422 2.164 0.0336 * z.diff.lag1 0.284866 0.114359 2.491 0.0149 * z.diff.lag2 0.080019 0.116090 0.689 0.4927 --Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1 '

'

'

'

'

'

'

'

'

'

1


Value of test-statistic is: -1.9875 2.3 2.3817 Critical values for test statistics: 1pct 5pct 10pct tau3 -4.04 -3.45 -3.15 phi2 6.50 4.88 4.16 phi3 8.73 6.49 5.47

Em seguida, se aplica o mesmo teste na s´ erie diferenciada (primeira diferen¸ ca) e neste caso, a estat´ıstica de teste observada ao n´ıvel de significˆ ancia de 5% foi igual a (−5.1604), ou seja, menor que o valor cr´ıtico de (−2.89), portanto, rejeita - se a hip´ otese nula concluindo que a vari´ avel produtividade é integrada de primeira ordem.

O mesmo procedimento é realizado para as demais vari´ aveis e os resultados obtidos mostram que todas as vari´ aveis são integradas de primeira ordem, sendo necess´ ario aplicar a primeira diferen¸ca em cada uma delas.

> adf2 <- summary(ur.df(diff(Canada[, "prod"]), type = "drift", lags = 1)) > adf2

############################################### # Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test # ###############################################


281

Test regression drift

Call: lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 + 1 + z.diff.lag) Residuals: Min 1Q -2.05124 -0.39530

Median 0.07819

3Q 0.41109

Max 1.75129

Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 0.11534 0.08029 1.437 0.155 z.lag.1 -0.68893 0.13350 -5.160 1.83e-06 *** z.diff.lag -0.04274 0.11275 -0.379 0.706 --Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . 0.1 '

'

'

'

'

'

'

'

'

'

1


Value of test-statistic is: -5.1604 13.3184 Critical values for test statistics: 1pct 5pct 10pct tau2 -3.51 -2.89 -2.58 phi1 6.70 4.71 3.86

Ap´ os a an´ alise das condi¸cões necessárias para aplica¸caõ do modelo ser´ a feita a escolha do lag “ p” com aux´ılio da fun¸cão VARselect cujas sa´ıdas s˜ ao os testes AIC, HQ, SC ou FPE.

> VARselect(Canada, lag.max = 8, type = "both")

$selection AIC(n) HQ(n) 3 2

SC(n) FPE(n) 1 3

$criteria 1

2

3

4

5


282

AIC(n) -6.272579064 -6.636669705 -6.771176872 -6.634609210 -6.398132246 HQ(n) -5.978429449 -6.146420347 -6.084827770 -5.752160366 -5.319583658 SC(n) -5.536558009 -5.409967947 -5.053794411 -4.426546046 -3.699388378 FPE(n) 0.001889842 0.001319462 0.001166019 0.001363175 0.001782055 6 7 8 AIC(n) -6.307704843 -6.070727259 -6.06159685 HQ(n) -5.033056512 -4.599979185 -4.39474903 SC(n) -3.118280272 -2.390621985 -1.89081087 FPE(n) 0.002044202 0.002768551 0.00306012

Em seguida, será realizada a estima¸caõ dos coeficientes do modelo utilizando a fun¸caõ VAR(p), sendo “ p” selecionado a partir da escolha de um dos testes acima.

> Canada <- Canada[, c("prod", "e", "U", "rw")] > p1ct <- VAR(Canada, p = 1, type = "both") > p1ct

VAR Estimation Results: ======================= Estimated coefficients for equation prod: ========================================= Call: prod = prod.l1 + e.l1 + U.l1 + rw.l1 + const + trend prod.l1 0.96313671

e.l1 0.01291155

U.l1 rw.l1 const 0.21108918 -0.03909399 16.24340747

trend 0.04613085

Estimated coefficients for equation e: ====================================== Call: e = prod.l1 + e.l1 + U.l1 + rw.l1 + const + trend prod.l1 0.19465028 trend -0.04066045

e.l1 1.23892283

U.l1 0.62301475

Estimated coefficients for equation U: ======================================

rw.l1 const -0.06776277 -278.76121138


283

Call: U = prod.l1 + e.l1 + U.l1 + rw.l1 + const + trend prod.l1 -0.12319201

e.l1 -0.24844234

U.l1 0.39158002

rw.l1 const 0.06580819 259.98200967

trend 0.03451663

Estimated coefficients for equation rw: ======================================= Call: rw = prod.l1 + e.l1 + U.l1 + rw.l1 + const + trend prod.l1 -0.22308744

e.l1 -0.05104397

U.l1 -0.36863956

rw.l1 const 0.94890946 163.02453066

> summary(p1ct, equation = "e")

VAR Estimation Results: ========================= Endogenous variables: prod, e, U, rw Deterministic variables: both Sample size: 83 Log Likelihood: -207.525 Roots of the characteristic polynomial: 0.9504 0.9504 0.9045 0.7513 Call: VAR(y = Canada, p = 1, type = "both")

Estimation results for equation e: ================================== e = prod.l1 + e.l1 + U.l1 + rw.l1 + const + trend Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) prod.l1 0.19465 0.03612 5.389 7.49e-07 *** e.l1 1.23892 0.08632 14.353 < 2e-16 *** U.l1 0.62301 0.16927 3.681 0.000430 *** rw.l1 -0.06776 0.02828 -2.396 0.018991 * const -278.76121 75.18295 -3.708 0.000392 *** trend -0.04066 0.01970 -2.064 0.042378 * --Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05 . '

'

'

'

'

'

'

'

0.1

'

'

1

trend 0.07142229


284

Residual standard error: 0.4701 on 77 degrees of freedom Multiple R-Squared: 0.9975, Adjusted R-squared: 0.9973 F-statistic: 6088 on 5 and 77 DF, p-value: < 2.2e-16

Covariance matrix of residuals: prod e U rw prod 0.469517 0.06767 -0.04128 0.002141 e 0.067667 0.22096 -0.13200 -0.082793 U -0.041280 -0.13200 0.12161 0.063738 rw 0.002141 -0.08279 0.06374 0.593174 Correlation matrix of residuals: prod e U rw prod 1.000000 0.2101 -0.1728 0.004057 e 0.210085 1.0000 -0.8052 -0.228688 U -0.172753 -0.8052 1.0000 0.237307 rw 0.004057 -0.2287 0.2373 1.000000

> plot(p1ct, names = "e")

Para testar a adequa¸cão do modelo alguns testes são realizados. O primeiro foi o “serial.teste”testa a correla¸ cão dos erros no caso multivariado. O segundo foi o teste de assimetria e curtose multivariados para os res´ıduos do VAR(p) “normality.test”. O terceiro e ultimo ´ é o teste do efeito ARCH utilizando a fun¸cão “arch.test”tanto para o caso multivariado quanto para o univariado.

> ser11 <- serial.test(p1ct, lags.pt = 16, type = "PT.asymptotic") > ser11$serial

Portmanteau Test (asymptotic) data: Residuals of VAR object p1ct Chi-squared = 233.5, df = 240, p-value = 0.606

> norm1 <- normality.test(p1ct) > norm1$jb.mul


285

$JB JB-Test (multivariate) data: Residuals of VAR object p1ct Chi-squared = 9.9189, df = 8, p-value = 0.2708

$Skewness Skewness only (multivariate) data: Residuals of VAR object p1ct Chi-squared = 6.356, df = 4, p-value = 0.1741

$Kurtosis Kurtosis only (multivariate) data: Residuals of VAR object p1ct Chi-squared = 3.5629, df = 4, p-value = 0.4684

> arch1 <- arch.test(p1ct, lags.multi = 5) > arch1$arch.mul

ARCH (multivariate) data: Residuals of VAR object p1ct Chi-squared = 570.14, df = 500, p-value = 0.01606

> plot(arch1, names = "e") > plot(stability(p1ct), nc = 2)

Em seguida é feita a an´ alise de cointegra¸cão através da fun¸cão “ca.jo”e a estima¸caõ dos parˆ ametros do modelo de corre¸cão de erros VECM. Pode - se verificar que tanto para o lag k = 2 e k = 3 ao n´ıvel de 5% de significˆ ancia se aceita a hip´ otese nula de r = 1.

> summary(ca.jo(Canada, type = "trace", ecdet = "trend", K = 3, spec = "transitory"))


286 ###################### # Johansen-Procedure # ######################

Test type: trace statistic , with linear trend in cointegration Eigenvalues (lambda): [1] 4.505013e-01 1.962777e-01 1.676668e-01 4.647108e-02 2.632104e-17 Values of teststatistic and critical values of test:

r r r r

<= 3 <= 2 <= 1 = 0

| | | |

test 3.85 18.72 36.42 84.92

10pct 10.49 22.76 39.06 59.14

5pct 12.25 25.32 42.44 62.99

1pct 16.26 30.45 48.45 70.05

Eigenvectors, normalised to first column: (These are the cointegration relations) prod.l1 e.l1 U.l1 rw.l1 trend.l1 prod.l1 1.00000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 e.l1 -0.02385143 1.2946681 -2.8831559 4.2418087 -8.2903941 U.l1 3.16874549 3.4036732 -7.4261514 6.8413561 -12.5578436 rw.l1 1.83528156 -0.3330945 1.3978789 -0.1393999 2.4466500 trend.l1 -1.30156097 -0.2302803 -0.5093218 -1.5925918 0.2831079 Weights W: (This is the loading matrix) prod.l1 e.l1 U.l1 rw.l1 trend.l1 prod.d -0.006535281 -0.02763446 -0.070975296 -0.014754352 1.077469e-11 e.d -0.008503348 0.11414011 -0.008156659 0.003988051 7.400296e-12 U.d -0.004718574 -0.06154306 0.020719431 -0.006557248 -4.663893e-12 rw.d -0.046213350 -0.14579644 -0.016945105 0.011896044 6.952035e-12

> summary(ca.jo(Canada, type = "trace", ecdet = "trend", K = 2, spec = "transitory"))

###################### # Johansen-Procedure # ###################### Test type: trace statistic , with linear trend in cointegration


287

Eigenvalues (lambda): [1] 4.483918e-01 2.323995e-01 1.313250e-01 4.877895e-02 9.508809e-17 Values of teststatistic and critical values of test:

r r r r

<= 3 <= 2 <= 1 = 0

| | | |

test 4.10 15.65 37.33 86.12

10pct 10.49 22.76 39.06 59.14

5pct 12.25 25.32 42.44 62.99

1pct 16.26 30.45 48.45 70.05

Eigenvectors, normalised to first column: (These are the cointegration relations) prod.l1 e.l1 U.l1 rw.l1 trend.l1 prod.l1 1.0000000 1.0000000 1.00000000 1.000000 1.000000 e.l1 2.7132129 -6.3190324 0.49616472 16.333916 -10.368563 U.l1 8.8369211 -15.2682881 1.48062661 25.774259 -16.048489 rw.l1 -0.3716323 3.1817254 -0.04085215 -2.546391 4.927457 trend.l1 -0.4177976 -0.9335588 -0.26592659 -3.413555 -1.753060 Weights W: (This is the loading matrix) prod.l1 e.l1 U.l1 rw.l1 trend.l1 prod.d 0.023155644 -0.02832697 -0.10914770 -0.006295988 -4.784701e-13 e.d 0.005602438 -0.01739149 0.08679396 -0.001019323 -4.385546e-13 U.d -0.019277135 0.01381763 -0.03696147 -0.002276871 4.919886e-13 rw.d -0.084618968 -0.02739056 -0.07798404 0.003985020 -1.032315e-13

> > > + > > > > > > + >

vecm <- ca.jo(Canada[, c("rw", "prod", "e", "U")], type = "trace", ecdet = "trend", K = 3, vecm.r1 <- cajorls(vecm, r = 1) vecm <- ca.jo(Canada[, c("prod", "e", "U", "rw")], type = "trace", ecdet = "trend", K = 3, spec = "transitory") SR <- matrix(NA, nrow = 4, ncol = 4) SR[4, 2] <- 0 LR <- matrix(NA, nrow = 4, ncol = 4) LR[1, 2:4] <- 0 LR[2:4, 4] <- 0 svec <- SVEC(vecm, LR = LR, SR = SR, r = 1, lrtest = FALSE, boot = TRUE, runs = 100) summary(svec)

SVEC Estimation Results:


288 ========================

Call: SVEC(x = vecm, LR = LR, SR = SR, r = 1, lrtest = FALSE, boot = TRUE, runs = 100) Type: B-model Sample size: 81 Log Likelihood: -161.838 Number of iterations: 11 Estimated contemporaneous impact prod e U prod 0.58402 0.07434 -0.152578 e -0.12029 0.26144 -0.155096 U 0.02526 -0.26720 0.005488 rw 0.11170 0.00000 0.483771

matrix: rw 0.06900 0.08978 0.04982 0.48791

Estimated standard errors for impact matrix: prod e U rw prod 0.11004 0.12979 0.23632 0.08065 e 0.06727 0.06172 0.18378 0.03843 U 0.05338 0.05068 0.05606 0.02948 rw 0.14439 0.00000 0.67174 0.07648 Estimated long run impact matrix: prod e U rw prod 0.7910 0.0000 0.0000 0 e 0.2024 0.5769 -0.4923 0 U -0.1592 -0.3409 0.1408 0 rw -0.1535 0.5961 -0.2495 0 Estimated standard prod e prod 0.1477 0.0000 e 0.2574 0.1794 U 0.1206 0.0909 rw 0.1865 0.1591

errors for long-run matrix: U rw 0.0000 0 0.5969 0 0.1531 0 0.2718 0

Covariance matrix of reduced form residuals (*100): prod e U rw prod 37.4642 -2.096 -0.2512 2.509 e -2.0960 11.494 -6.9273 -4.467 U -0.2512 -6.927 7.4544 2.978 rw 2.5087 -4.467 2.9783 48.457

289

9.7. CAUSALIDADE DE GRANGER > LR[3, 3] <- 0 > svec.oi <- update(svec, LR = LR, lrtest = TRUE, boot = FALSE) > svec.oi$LRover

LR overidentification data: vecm Chi^2 = 6.0745, df = 1, p-value = 0.01371

> svec.irf <- irf(svec, response = "U", n.ahead = 48, boot = TRUE) > plot(svec.irf) > fevd.U <- fevd(svec, n.ahead = 48)$U

Causalidade de Granger Um dos principais usos do VAR( p) é a realiza¸cão de previsão, a estrutura do modelo VAR( p) utiliza informa¸co˜es sobre uma variável ou um grupo de variáveis capacitando a previs˜ ao das demais vari´ aveis do modelo. Neste sentido, uma das caracter´ısticas estruturais mais importante é a estrutura de correla¸cão entre as variáveis. No intuito de entender melhor como a estrutura de correla¸cão afeta o modelo, Granger (1969) desenvolveu a no¸cão de causalidade de Granger. Se uma vari´ avel ou grupo de variáveis y 1 é u ´til para prever outra vari´ avel ou grupo de variáveis y 2 ent˜ ao, y 1 é dito Granger-causa y2 , caso contr´ ario, y 1 é dito não Granger-causa y 2 .

Formalmente, y1 não Granger-causa y2 se para todo s > 0 o EQM da previsã o de y2,t +s com base em ( y2,t , y2,t −1 , . . .) ´ e o mesmo que o EQM da previs˜ a o de y2,t +s com base

em ( y2,t , y2,t −1 , . . .) e ( y1,t , y1,t −1 , . . .). A no¸ cão de causalidade de Granger não implica uma rela¸caõ de causa e efeito e sim na capacidade de previs˜ ao.



Um exemplo do modelo no caso bivariado VAR(2) com Y t = ( y1t , y2t ) , y2 n˜ ao Grangercausa y1 se as matrizes de coeficientes ( Π1 , . . . , Π p ) s˜ ao triangulares inferiores para todo “ p”, neste caso, o modelo VAR(2) possui a seguinte forma


290

       =   +  π π y1

c1

1 11

0

y2

c2

1 21

1 π 22

  

y1t −1 y2t −1

   + . . . +  π π

p 11

p 21

0

π p 22

  

y1t − p y2t − p

    +  ε  , ε 1t 2t

de modo que todos os coeficientes em valores defasados de y2 são iguais a zero na equa¸caõ para y1 .

Da mesma forma, y1 n˜ ao Granger-causa y2 se todos os coeficientes de valores defasados de y1 s˜ ao zero na equa¸cão para y2

       =   +  π y1

c1

1 11

1 π 12

y2

c2

0

1 π 22

  

y1t −1 y2t −1

   + . . . +  π

p 11

π p 12

0

π p 22

  

y1t − p y2t − p

    +  ε  . ε 1t 2t

No exemplo bivariado acima se y2 não Granger-causa y1 e se y1 n˜ ao Granger-causa y2 , as matrizes de coeficientes Π1 , . . . , Π p s˜ ao diagonais. Se as vari´ aveis do modelo VAR são estacion´ arias, uma forma direta de testar as hipóteses a causalidade de Granger é através da estat´ıstica de teste F n, p

•

H 0 : π 11 = π 12 = π 21 = π 22 = 0,

•

= 0, H 1 : π i j 

para algum i, j = 1, 2.

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