UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO-UEMA PROG-CECEN-DEMATI CURSO DE MATEMÁTICA
INTRODUÇÃO À ANÁLISE PROFESSOR: FRANCISCO F. GRANGEIRO
2°SEM/2010
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DISCIPLINA: INTRODUÇÃO Á ANALISE CÓD: NC014 CH: 60HORAS 2° SEMESTRE 2010. PROF. FRANCISCO F. GRANGEIRO SALA: 03 CALENDÁRIO DE PROVA 1ª PROVA
2ª PROVA
3ª PROVA
2ª CHAMADA
FINAL
PROGRAMA DA DISCIPLINA CAPÍTULO I: NÚMEROS REAIS
O conjunto dos números naturais- N O conjunto dos números inteiros- Z O corpo ordenado dos números racionais- Q Representação geométrica de Q- A reta numérica- (supremo e ínfimo de um conjunto). Deficiência analítica do conjunto dos números racionais-números reais- R. Conjunto limitado: Supremo e ínfimo. Enumerabilidade de Q e não enumerabilidade - de R- infinito e infinitude . Representação decimal dos números racionais-Dízima periódica. Representação decimal dos números reais- conjunto incomensuráveis e números irrcionais.
CAPÍTULO II: SEQUÊNCIAS DE NÚMEROS REAIS.
Limite de sequência- propriedades e operações com limites. Sequências- Limitadas e subsequências-O teorema de Bolzano-Weierstrass. Sequência monótonas. O número e. Limites infinitos Sequência de Cauchy e critério de Cauchy.
CAPÍTULO III: SÉRIE INFINITA
Soma com infinitas parcelas Soma convergente Série de termos positivos-critérios de convergência. A irracionalidade do número e. Convergência condicional e convergência absoluta. Série alternada.
CAPÍTULO IV: LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÃO REAL DE VARIÁVEL REAL.
Noções Topológicas da reta (R). Limites e limites laterais. Função contínua 2
Função monótona- Limite e continuidade Caracterização de descontinuidade. Conjunto Compacto. Função contínua em conjunto compacto- o teorema de Heine. O teorema do valor intermediário.
CAPÍTULO V: DIFERENCIABILIDADE DE FUNÇÃO REAL DE VARÁVEL REAL;
Derivada e diferencial Derivada da função inversa. Estudo de máximo e de mínimo local. O teorema do valor médio.
BIBLIOGRAFIA
Ávila, Geraldo,S.S- Introdução à Análise Matemática-Ed.Edgard Blucher. Lages, Elon Lima-Um curso de Análise-vol I- Projeto Euclides-Ed.L.T.C. Ávila, G.S.S- Análise para a licenciatura-Ed.Blucher.
LEITURA RECOMENDADAS Courant,Richard- Robbins, Herbet- O que é matemática? Editora. Ciência Moderna. Boyer, Carl B.- História do cálculo. Boyer, Carl B.- Tópicos da História e matemática.
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PROBLEMAS PROPOSTOS CAPÍTULO I: NÚMEROS REAIS 1- Considere o conjunto B= { x ∈Q; x > 0 e x 2 < 2} . Mostre que não existe o supremo do conjunto B no corpo dos números racionais. 2- Prove que não existe um número racional r tal que 3- Prove que se 4- Prove que se
a
> 1 , então
n a > a para
todo inteiro
0 < a < 1 , então a n < a para
2
r
n
= p , onde p é um número primo ( ∗ ).
> 1.
todo inteiro n > 1.
5- Sejam A e B subconjuntos do conjunto dos números reais (não vazios).Prove que se A ⊂ B então: inf( A) ≥ inf( B) e que sup( A) ≤ sup( B ) . 6- Sejam A e B dois subconjuntos do conjunto dos números reais tais que, a ≤ b para todo a ∈ A e todo b ∈ B .Prove que: sup( A) ≤ inf( B). Prove ainda que sup( A) =inf( B) ⇔ para todo ε > 0 , existem a ∈ A e b ∈ B tais que b − a < ε . 7- Dados dois subconjuntos A e B do conjunto dos números reais, limitados. Definimos o conjunto A + B por: A+B= {a + b; a ∈ A e B ∈b} .
sup( A + B) = sup( A) + sup( B) Prove que: inf( A + B) = inf( A) + inf( B). 8- Sabe-se que a soma dos n- primeiros termos da progressão aritmética dos números naturais é n.(n +1) n.( n +1) , isto é, 1 + 2 + ..... + n = . Prove este resultado por indução. 2
2
9- Prove por indução que: (a + b)
n n− j j .a .b , onde n ∈ = ∑ j j =0 n
n
N
(∗) .
10- Dê uma interpretação geométrica para a desigualdade de Bernoulli, construindo os gráficos das funções: g ( x ) = (1 + x ) n e h( x) =1 +n. x . Mostre que a desigualdade vale estritamente se x ≠ 0 e n > 1 .
CAPÍTULO II: SEQUÊNCIAS DE NÚMEROS REAIS.
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11-Se
a > 0 , mostre que a
12- Demonstre que Lim → n
n
sequência
n
1
a n = n a é convergente e converge para (1) um.
= 1.
13- Prove, direto da definição, que Lim n →0
( 14- Prove que Lim → 15- Seja
n+a
0
n
( a n ) uma
n
−
1 1+ n
2
= 0.
= 0 , para todo a
> 0.
an = L e seja b sequência tal que Lim n n→∞
bn = L . Mostre que Lim n →∞ an 16- Prove que se Lim n →∞
=
( a1 + a2 + ...... + an ) n
.
(∗)
= L
⇒ Lim
n →∞
an = L
. Dê um exemplo onde a recíproca nem sempre vale.
17- Seja ( a n ) uma sequência que converge para zero e seja ( bn ) uma sequência limitada. Prove que Lim[ a n bn ] = 0 . n →∞
18- Seja ( a n ) e ( bn ) sequências convergentes, com
an
a n ≤ Lim bn . ≤ bn para todo n. Prove que Lim n→∞ n →∞
(a /b ) = 0 . 19- Diz-se que a sequência ( a n ) cresce mais lentamente que a sequência ( bn ) se Lim →∞ Demonstre que a sequência a n = n k , onde k é um inteiro positivo cresce mais lentamente que a sequência bn = a n , com a > 1. n
20- Demonstre que
n!
cresce mais lentamente que
n
n
n n.
21- Sejam N 1 e N 2 subconjuntos infinitos do conjunto N dos números naturais, cuja união é o conjunto N . Seja ( a n ) uma sequência cujas “restrições” aos conjuntos N 1 e N 2 convergem an = L . para o mesmo limite L . Prove que existe Lim n →∞ 22- Seja
an
>0 e
a n +1 / a n → c , onde c < 1 . Demonstre que Lim a n = 0 . n→∞
23- Mostre que Lim →∞
n
2
+1 −
n+a
n
24- Mostre que Lim n→∞
n
n!
= +∞ para todo a
= +∞ .
CAPÍTULO III: SÉRIE INFINITA
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> 0.
∞
25- Demonstre que a série geométrica ∑ q n
2
= 1 + q + q + ...... converge
para o número real
n =0
1 / ( q −1)
se
0 < q <1 . ∞
26- Demonstre que a série harmônica
1
∑n
=1+
n =1
∞
1
∑n.(n +1)
27- Obtenha a “reduzida” da série
1 2
+
1 3
+ ...... é
divergente.
e conclua que esta série converge para o número
n =1
real 1 (um). ∞
28- Verifique se a série
∑og (1 +1 / n) é convergente. Justifique a sua conclusão. n =1
29- Demonstre que se a série ∑a n for convergente, também será convergente a série ∑a n .
∑(nn−!1) e mostre que esta série converge para o número real ∞
30- Obtenha a reduzida da série
1.
n =2
31- Demonstre a irracionalidade do número e. ∞
n =1
(
n +1
n.
32- Demonstre que a série ∑
2
n −3
)
é divergente.
IV- FUNÇÃO CONTÍNUA E NOÇÕES TOPOLÓGICAS DE R. 33- Considere a função, conhecida como função de Dirichlet, se x é irracional. Descreva a unção g ( x ) = f ( x ) . ( )
f ( x) =1
se x é racional e
f ( x ) = 0
∗
34- Prove que toda função crescente (estritamente) é inversível e que a sua inversa é também crescente. 35- Prove que toda função com domínio simétrico em relação a origem decompõe-se de maneira única na soma de uma função par com uma função ímpar. 36- Seja f : IR → IR uma função contínua que se anula nos números racionais. Prove que a função f é identicamente nula. 37- Seja f uma função com domínio D = A ∪ B , e seja xo um ponto de acumulação do conjunto A e do conjunto B . Suponha que existam e sejam iguais os limites da função f em relação ao conjunto A e em relação ao conjunto B . Demonstre que existe o limite de f em relação o conjunto D .
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e g funções com o mesmo domínio, ambas possuindo limite no ponto xo . Se f ( x) ≤ g ( x) em todo ponto x; prove que Lim f ( x) ≤ Lim g ( x) .Dê um exemplo onde x → x x→ x f ( x) < g ( x) e ocorre a igualdade dos dois limites.
38- Sejam
f
o
o
39- Sejam f , g e h três funções com o mesmo domínio D , sendo que f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ h( x ) . Prove que se existirem iguais os limites das funções f e h no ponto xo , então também existirá o limite da função g no ponto x o . 40- Seja
f : IR
→ IR a função definida por:
Demonstre xo
=
1 2
f ( x ) = x
é o único ponto onde a função
f é
se x ∈
Q
e
f ( x ) = 1 − x
se x
∉
Q.
contínua.
41- Seja f : [ a, b] → IR uma função monótona cuja imagem é o intervalo [c, d ] . Prove que necessariamente contínua.
f é
42- Prove que todo polinômio real de grau ímpar tem um número ímpar de raízes reais. 43- Prove que todo número real
a > 0 possui duas raízes quadradas, uma positiva e a outra negativa.
44- Seja f : I ⊂ IR → IR , onde I é um intervalo. Se f for contínua e mostre que f ( x ) > 0 para todo x ∈ I ou f ( x) < 0 para todo x ∈ I .
f ( x ) ≠ 0
e g funções contínuas definidas no intervalo [a, b ] , tais que f (b ) > g (b ) . Prove que existe xo ∈[ a, b] onde f ( x o ) = g ( x o ).
45- Sejam
f
para todo
x ∈ I ,
f ( a ) < g (a )
e
∉
1
se x ∈ Q e f ( x) = se x Q. x Faça o gráfico da função f e mostre que f é uma bijeção descontínua em todos os pontos. (∗)
46- Considere a função
f : IR
→ IR definida por:
f ( x) = − x
CAPÍTULO V: CÁLCULO DIFERENCIAL 47- Seja
f : D ⊂ IR → IR , xo
para toda sequência
∈i ∪ t ( D) . Prove que
( x n ) em D
com x n
→ xo
f é
derivável no ponto
implicar que
x o
f ( x n ) − f ( x o ) x n − x o
se e somente se,
→ f ' ( x o ) .
48- Seja f : I ⊂ IR → IR , onde I é um intervalo e f é uma função monótona. Seja interior, estude as derivadas laterais de f no ponto xo .
xo
1 49- Seja f : IR → IR a função definida por: f ( x) = x. sen se x ≠ 0 e f (0) = 0 . x a) Mostre que f é contínua no ponto x = 0. b) Mostre que a derivada da função f no ponto x = 0. não existe. c) Esboce o gráfico da função f nas proximidades do ponto x = 0.
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∈ I um ponto
50- Seja g : IR → IR a função definida por:
1 se x ≠ 0 e g (0) = 0 . x
g ( x) = x 2 . sen
a) Mostre que g é contínua no ponto x = 0. b) Mostre que existe g ´( x ) em todo ponto x ∈ IR . c) Mostre que g ´( x ) é descontínua no ponto x = 0.
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