denarius
LA TEORÍA
ALRASIANO: EQUILIBRIO GENERAL INTRODUCTORIO
José D. L i q u i t a y a Briceño Gerardo G u t i é r r e z J i m é n e z
Resumen primera lectura ofre ofrece ce Teoría Equieconomía intercambio librio General Walrasiano (TEGW) para puro, intentando soslayar l a d if i f ic i c u lt lt ad a d e s q u e nt n t ra ra ñ árido desacosto rrollo lógicojormal. Este empeño tiene t ér é r mi m i no n o s d e precieste trabajo
sión
obliga
restringir
pero también libera liaridades
esta teoría.
mínimo necesario planteamiento formal; necesidad pecuexaminar in extensu
u a tr tr o secc El artículo se divide e n c ua seccio ione nes. s.
en
supuestos
consideraciones
l a s ig i g ui u i en en te te s
esta establ blee-
punto
partida
soluciones
ofrece
constituyen explican
existencia, unicidad de equilibrio, respectivamente. lo p ro r o bl b l em em a
primera
estabilidad dinámica
Introducción
La Teoría
Equilibrio General Walrasiano (TEGW) constituye, elabor ela borada ada frente frente al problema central contribución la Economía Política; esto es, explicar cómo, la interacción mantiene la divers rsos os intereses dive distintos individuos movidos la asignación cohesión social se resuelve el problema recursos mercado. economía
La influencia la ésta és ta tien tien es evidente todos os campos desarroll ollada ada desde el punto teoría ortodoxa- la más desarr vista la precíProfesores Iztapalapa.
el Departamento
Economía
Universidad Autónoma Autónoma Metropol Metropolita itana na Unidad
La Teoría
Equilibrio G e n e r a l Walrasiano:
José D. L i q u it a y a B r i ce ñ o
G e ra r d
G u ti ér r e J i m é n e z
proposiciones-
sión
análisis i n t r o d u c t o r i o
enfoques macroeconómicos dominan
reconocen como la t eo rí a m á general misma s u m od el os . apoyo
satisfactori
invocan
la
Infelizmente, su presentación ta teoría está ig matemáticas ta avanzadas resulta incomprensible para estu diante licenciatura Economía. Asimismo tenemos la sensación de conocemos -sosla que, exposiciones yando las extremadamente elementales, como aquellas of ecen microeconomía básicatextos son, el mejor casos, mente asimiladas; sobre todo, terminología or li ción matemá (ineludible explicació prensible alguna hipótesi proposiciones. Es justamente esta situación la
elaborar el pre anima n t d o u m n to , p u proponemos allanar, hasta donde po primera l ec tu r d e la dificultades mencionadas, ofrecer sible, economía intercambio TEGW para el caso sencillo: el puro. Este e m p e ñ o tendrá términos precisión costo obligará restringir al mínimo necesario el planteamiento formal; pero
la necesidad d e
t am b n o liberará las peculiaridades
se ocuparon
propuestas
mayor detalle mi ar diversos autores
desarrollo.
Tenemos la esperanza de que, luego advertido pueda abordar el lector mentos
juicio
fundidad
rigor analítico'.
presentaciones
esta primera aproximación,
li
tienen
algunos ele
mayor grado
pro
m an er a m u sencilla: tr bajo está organizado la primera sec supuestos establecen alguna consideracione constituyen tres siguiente punto de partida o cu pa n d e explicar
Esto
denominación
síntesis neoclásica-keyncsian
Tobin (1980).
la escuela monetarísta marcas
esta última· m a r c a ! l -
c on oc e t am bi é
siguiendo la c om o la escuela de 11
las expectativas racionales]. Ludlow presentación análisis recomendamos la obra ' Pa r u n siguiente nivel m á e xt en s se encuenrra en Quirk Saposnik (1968). Para análisis la 'integración moneda la Teoría de Equilibrio General, se sugiere H ar r i ( 19 85 ) y, sobre t od o B en et t (1990).
denarius r w i < t u d e l ( o ~ o , D d l l l i n i l l m i O O
soluciones l id a
d in ám ic a
ofrecen
problemas
existencia unicidad
estabi
equilibrio walrasiano, respectivamente.
LEI Equilibrio Walrasiano: agentes, bienes
planes
la introducción el objetivo H em o s eñ al ad o En t ér mi no s á s c on cr et o puede definirse como consistente
"expli se asignan los bienes entre os distinto agente eco ca la forma modo nómicos, se mantenga la coherencia existente entre las torno decisione individuales aparentemente separadas la compra el venta asienta b i n es " principios comportamiento optimizador los agentes individuales ante precios t om a do s c om o d a d o s tal m o la oferta precios demanda todos cada los mercados. Trataremos explicar sistemáticamente propuesto par cipios cómo ar ib intercambi puro. A. Supuestos acerca
os agentes
lo
consisten esos prin economía
bienes.
sistema económico donde st agentes bienes. nd vidu JS la cantidad del bien poseída inicialmente puede para (cantidad bienes), dota ción in cial d e a ge nt e - q u e ll gó como el maná cielo-.Lo agentes este sist ma los proponen comerciar entre sí, pero el contexto siguientes supuestos: Consideremos
a ge nt e e co nó mi c consumidor éste se 1. El único tipo utilidad, función encuentra definido completamente sus preferencias, h) (o su dotación inicial bienes, CD
2. Todos lo consumidores se conducen competitivamente; es de ec c om o dados independientemente cir, toman lo decir acciones. Esto equivale cada agente, para la formula planes ción compraventa, i) debe tomar c ad a v ec to r precios le suministra el S u b a s t a d o r como si fuera equili brio; es decir, debe a c u a c om o si careciera memoria; se
La Teoría
Equilibrio General Walrasiano:
José D. Liquitaya B r i c e ñ o
Gerardo Gutiérrez J i m é n e z
evita la posibilidad agentes para intluir sobre lo precios.
encuentra aislado colusión entre grupos
3. Todos
análisis i n t r o d u c t o r i o
c on su mi do re s t ie ne n c om o objetivo maximizar
preferencias.
4. Cada
bienes existentes convertirse
mercancía
fecha, localización
estado
la economía es suscepti-
se diferencia
os demás
mundo.
mercado para cada mercancía, donde se determina precio.
Existe para las PO'
mercancías
vector inicial
precios
P2,''''
respectivamente.
En este contexto, lo
agentes se presentan
precios dados inicialmente, cada
s u o nj un t consumo, XI" cada consumidor actúa como
el mercado combinación
maximiza su preferencias uv resolver el problema si
guiente:
[1] sujeto
La solución ción
d em an d
[2]
Pco"
este problema constituye
hiper p u n t o
d e c on su mi do r X,,(P).
El subastador walrasiano. Pero,
deben estar informados
compraventa, planes formulen lo precios rigen lo mercados. ¿Cómo
a ge nt e
se enteran agentes? Para garantizar tal hecho imbric estos el sistema entidad abstracta, denominada Subastador. Es pues esta entidad la encargada centralizar la información el va
denarius comunicar lo precios perti consumidores demandas nentes c ad a a ge nt e separado. Sus funciones se pueden resumir los siguientes puntos:
1. El Subastador comunica, mediante 'boletas', os precios iniciale
lo 2.
agentes. esos precios, lo
ofrecidas
su función
e fe ct úa n s u cálculos
a ge nt e
m e di an t el proceso utilidad, sujeta su restricción
d e ma n da d a
maximización
presupuesto.
agentes manifiestan al Subastador, también
letas',
planes
las cantidades
m ed i
'bo
compraventa.
Subastador agrega
las cantidades que
a ge nt e a ce pt a comprar
p re ci o
d ad os , cada
vender.
Subastador o bs er v
q ue ,
algunos mercados- la demanda
oferta planeada, precios deseada acusan acuerdo la siguiente regla: incrementa el exceso d e d em an d disminuye el aquellos donde se presenta oferta. exceso
n u e v o vector precios reanuda el proceso cálculo las agentes . y formulación cantidades ofrecidas demandadas, recepción agregación Subastador. parte Subastador comunica
La d in ám ic a d es cr it a continuará hasta el m o m e n t o el Subastador encuentre el vector precios vacíe todos merca decir, todos ellos la demanda oferta. Mien comunicas uc ed a c ad a agente -carente memoria tras esto Que, c om o m ín im o h ab rá n
mercados,
encuentran
Walras; puesto que, si exceso de demanda, exactamente el mismo valor exceso oferta adelante expresamos f o r ma l me n t e st a ley.
a r se congruente co mercado -l acusa equilibrio
se do
e né s im o d e be r haber, necesariamente, del exceso d e d em an d d e m er ca d
La T e o r í a José
D.
análisis introductorio
Equilibrio G e n e r a l W a l r a s i a n o :
L i q u i t a y a Briceno
Gerardo
Gnttérrex
fintenex
d e m á s - e fe ct ua r s u cálculos c ad a v ec to r precios el Subastador le suministre, elaborará s u p la ne s comos bienes demandados praventa, verificándos para el conjunto ofrecidos que:
ción
[3] d o n d e Zh(P)
demanda neta
exceso
función
consu
midor h. ofertas las definimos c om o d em an da s negativas entonces, para la iésima mercancía el exceso
demanda neta agregada, Z¡(P), se os agentes indiviobtiene sumando l o e xc es o d e d em an da s netas l o p re ci os . función duales como lo indicamos,
existencia d e e qu il ib ri o
Los aspectos considerados la sección anterior plantean la idea si interrelación entre l o a ge nt es , existe interde pendencia entre ellos, porque el Subastador cambia lo p re ci o d e bi d planes individuales siguiente interrogante: écxiste
vector
lo
otro modo,
compatibles. Esto
planes individuales; dicho
demanda
todos lo
siempre
se
1.
mp
el equilibrio
precios
mercados? La respuesta
co
lo
compatibilice
iguale la oferta
la
la afirmativa
siguientes requisitos:
puede
positivo
exceso
ningún bien.
el exceso ele elemanda
bien es libre
precio
cero.
Formalmente estos puntos pueden e xp re sa rs e d e modo siguiere:
Un conjunto ele precios equilibrio si:
negativos p¡*, p / ' , .,
() para to
constituyen
4]
denarius fftinakelOllOmioyadmini_ióII
[5 Pero la demanda
p u e d e superar
esto, habría demandas insatisfechas
in
d ua le s
la oferta
ocurrir se compatibilizarían lo planes
puede pensar abunbienes se tornan gratuitos se cobra nada
segundo
dantes, como uso.
siguientes hipótesis
as definiciones
tes para la existencia
equilibrio:
H. (Homogeneidad): Las funciones Z¡(pp P2'"'' Pn) grado cero; esto es, Z;(APl> AP2"'" Ap,) O. todo p ar a t o Pr-
w.
suficien-
(Ley
Walras): precios; es decir, la suma
pa
lo
valor
homogéneas para
o do s excesos
conjuntos demanda
cero.
C. (Continuidad): Las funciones A. (Acotamiento): Las funciones abajo>.
continuas.
'·'·
están acotadas hacia
El supuesto homogeneidad constituye elemento típico la teoría la demanda restricconsumidor, la cual establece presupuesto ción varía si multiplican consumidores constante positiva. Esto significa todos os precios ción d em an d preconsumidor es homogénea grado cero cios. Como la funciones homogéneas es t am bi é h om og én ea , la función grademanda Z / P l ' homogénea exceso cero
precios.
Walras señala simplemente que, si cada agente cumple restricción presupuestaria, el valor exceso Como lo indica Benett (1990), ha ue afiad hípótesis S: La d o t a c i ó n inicial de los agentes abarca una canasta de bienes qu le permite sobrevivir sin intercambiar. Esta es técnicamente útil para posible de discontinuidad. na
193
La T eo rí a d e
E q u il ib r i
G e n er a
José D. L i q u i t a y a B r i c e ñ o
Walrasiano:
Geranio Gutiérrez Jiménez
cero, el valor
demanda
o bv ia me nt e n ul o gue: "si, para
mercados
análisis introductorio
la suma
d em a
excesos
será
puede definirse como silo c on ju nt o d e precios estrictamente positivos, también". entonces el m e rc ad o e né si m implicación
esta
La hipótesis d e c on ti nu id a
implica, este caso, convexidad las preferencias. Intuitivamente esto significa (por e je mp lo ) q ue , si indiferente elegir entre
consumidor
tequila, le será igualmente indiferente elegir
ga
mezcla
brandy
botella
botella
otra
conten
ambas bebidas.
Formalmente la convexidad se puede expresar como sigue:
X,
C on ju nt o d e posibilidades
c on su m
abiertas
sumidor h. representan las cantidades
Vectores
bienes
puede demandar el consumidor h. Entonces, como:
último, la hipótesis
se excluye la oferta ilimitada bienes, lo cual es patente desde el dotaciones iniciales define cantidad finita
posibilidad
momento bienes para
acotamiento significa
agentes.
Normalmente las pruebas que, definen la existencia
Punto Fijo
base
las hipótesis señaladas,
equilibrio competitivo, h ac e
Brouwer. Este podemos expresarlo
so
Teore
modo si-
guiente: Supongamos
conjunto A, convexo
compacto,
u nc ió n c on t n u quef(x) misma), entonces existe u n p un t A. Si
es
194
R".
conjunto x.
denarius ....irtlldeeo:DJlOmín adminirnlldÓfl
La
demostración
e or em a para
es
caso general
es
ardua
ilustrarlo g e om é tr ic a m en t e p a r
limitaremos
compleja. Aquí
el
el
caso
sencillo:
función continua f: [0,1]
Supongamos existe probar
[0,1] tal
sea,
confinada
gonal
al
menos
el
como indica
se
deseamos
el
Teorema
p u e d e constatar alguna curva contermina la línea la línea (o producto cartesiano debe intersectar
Brouwer. Geométricamente tinua, cuyo origen
[0,1]
vez.
GRÁFIC 1.
f(x)
La
Gráfica
[0,1]
muestra
tres puntos
diagonal
la
función
ésta puede identificarse como
la
función
la
función continua
ejemplo
el
c. f(x)
punto
diagonal.
195
Esto
x;
evidente, p ue s tanto,
intersección
[0,1] qu
fijo gráfica
un
la
La T eo r
de
E qu i b r
análisis introductorio
G e ne ra l W a l r a s i a n o :
José D. L í q u it a y a B r ic e ñ
G e ra r d
G u ti ér r e J i m é n e z
el punto fijo. Esto significa
al enuncia la existencia , . . , hasta infinipuede haber la igualdad tales puntos (para lo cual basta número infinito pequeñísimo intervalo) decir,
Nótese
menos
número
f(x)
equilibrio. Como se verá enseguida, la posibilidad
precios
vector
tencia
d o p ro b e m
esencial al
unicidad
se enfrenta la TEGW.
equilibrio
En esencia, la unicidad precios
vector
d es pe j
tante
equilibrio constituye el segun-
precios
equilibrio significa
equilibrio relaciones
la economía resul-
estado
sólo
d e os mercados. Sin embargo,
único, tanto
existe sólo
equilibrio p u e d e
demanda
oferta
funciones
correspondencias. En otros términos, existe la posibilidad haya la maximización indivivector p re c io s c o ns is te nt e
el despeje
dual
lo
presente
mercados
la economía asociado al conjunto Para evitar
La demostración ye
p o e ye r
puntos angula-
precios serían
equilibrio).
asegura la u ni ci da d d e equilibrio p a
todos
hipótesis
Z¡{P) es
términos matemáticos,
todos lo
bienes
de-
función monótona decre-
continuamente diferenciable (si
res, habría intervalos
el exceso
on
esta dificultad
precio relativo o,
equilibrio".
precios
manda agregada para cada mercancía es ciente
estado
la
sustitutos brutos, lo cual constitu-
puede expresar como sigue:
restricción sobre
El bien
si
Pp c o ns ta nt es , incrementa Z¡{P).
sustituto bruto será manteniéndose todos os demás p re ci o
bien
incremento
u pu e t o d e homogeneidad se sigue que, si todos os bienes
la matri jacobiana positivos. términos d ia go na l p ri nc ip a
s us ti tu to s b ru to s t od o
pertenecen
os términos
formales:
e x pl ic a ci ó n m á s exhaustiva sobre este p un t
p ue d
verse
Arrow
I1ahn (1977).
denarius r ~ i < l u d t f l ( o l l O m í a Y D d m í n i l l J 1 K i Ó I I
OZ¡(P)/OPi (Véase
para todo
2:
cF
Varian, 1992, pág. 464)
demostración
equilibrio la demostración unicidad pendiente la cuestión estabilidad. Este
Suponiendo
tisfactoria, q ue d
aú tercer problema esencial
estabilidad
En
equilibrio
contexto general, el problema
brio p u e d e plantearse Ante despeje
la e st ab il id a
equili-
de
siguientes términos:
situación en
los precios prevalecientes
permi-
los mercados, eexistiranfuerzas inductoras de
precios,
cambios necesarios
logre compa-
manera
tibilizar lo intereses individuales?
Los teóricos
abordan este p ro b e m
perspectivas. Aquí simplemente se describirá
la estabilidad dinámica- formalizada E n r ea li da d la 'explicación literal' equilibrio ya s e d es ar ro l l funciones
la sección
Subastador;
d es d
las
distintas
vigentes
Samuelson (1947). ajuste hacia el
proceso
cuando se hizo la e se ñ
d e las
tanto, sólo se añadiran algunas precisio
nes: a).
tanto equilibrio,
u po n cualquiera
precios calculados
el Subastador
se permite el comercio entre lo qu
todos lo
bienes
ellos es nulo, tendrá
sean
agentes.
deseables
precio
exceso d e d em an da .
Estas condiciones adicionales permiten garantizar la econo O; o d i] todos lo m er ca do s s e vacíen [Z¡(P*) ía logre partir precios cualquier vector inicial desequilibrio.
La Teoría
Equilibrio General Walrasiano:
análisis i n t r o d u c t o r i o
G e r a rd o G u t ié r r e J i m é n e z
José D. L i qu í ta y a B r ic e ñ o
mencionó, se s up on e q u
os precios se ajustan bajo la demanda; específicamente, se incrementan lo excesos bajan demanda cuando el exceso el caso opuesto. De Samuelson, se presenta formalmente acuerdo al sistema propuesto el s ig ui en t p ro ce so : Como influencia
donde para
funció crecient denota el tiempo.
,. .,
exceso
demanda, Z¡(P),
Como se puede apreciar, este sistema se plantea ecuaciones diferenciales soluciones trayectorias el tiempo p ar ti en d
caracterizada
de
vector
situación inicial -estado precios cualquiera,
términos de
lo
precios
la economía asignaciones co-
cualquier vector las dotaciones, Precisando, partir precios anunciado el Subastador, el límite (cuando tiende infinito lo precios se aproximan al vector equilibrio, p*7. rrientes
A rr ow , B lo c
l I ur w ic z ( 19 59 ) demostraron que, si todas las mercancías
el sistema es globalmente estable.
sustitutas brutas,
denarius ,nill.
,,,,.oo,,,¡.,
~ d m i n i m u ¡ ¡ ó n
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199
