La historia del número más famoso de las matemáticas

«Hizo fundir asimismo un mar de diez codos de un lado al otro, perfectamente redondo. Tenía cinco codos de altura y a su alrededor un cordón de treinta codos.» I Reyes 7:23

Por: A. M. Jara Grados Escuela Profesional de Matemáticas, Universidad Nacional de Trujillo Trujillo - Perú, Diciembre del 2010

Este trabajo busca dar a conocer que es el número π, cómo se

calcula, y también toda su historia desde las épocas más antiguas hasta los últimos años. También se presentan algunas construcciones geométricas para su cálculo y algunas curiosidades sobre este número. Cuadratura del círculo, longitud de la circunferencia, polígono, número irracional.

Este artículo está dedicado a un misterioso número al que le llamamos π (se pronuncia pi). Lo que la mayoría de la gente varias veces en la recuerda acerca de π es que fue mencionado varias escuela, además una de las primeras cosas que nos viene a la mente cuando se nos pregunta lo que aprendimos en nuestros años de escuela es acerca de π. Usualmente recordamos las fórmulas

2 LA HISTORIA DEL NÚMERO MÁS FAMOSO DE LAS MATEMÁTICAS

relacionadas a π como 2πr o πr². ¿Pero nosotros sabemos lo que estas fórmulas representan lo que es π de verdad?

Podríamos recordar también que en nuestros años de estudiantes el valor que π solía tomar 3.14 o 3 . Para los propósitos de un estudiante este valor fue más que adecuado. Incluso podría haber sido más fácil simplificarlo y usar el valor de 3. Es cuando surge la pregunta otra vez, ¿Qué es π? , ¿Cuál es el valor real de π?, ¿Cómo determinamos el valor real de π? , ¿Cómo se calculó en la antigüedad? , ¿Cómo se puede encontrar dicho valor en la actualidad usando la más moderna tecnología?, ¿Cómo podría usarse π? Estas son algunas de las interrogantes a las que se tratará de dar respuesta a lo largo de este artículo. Sin embargo nuestro propósito no será el de desarrollar numerosas y complicadas ecuaciones para resolver problemas difíciles o tratar de explicar lo inexplicable. Más que eso será explorar la belleza y utilidad de este famoso número y mostrar porqué ha inspirado a cientos de matemáticos a investigar sobre este número. Veremos como π toma roles inesperados, aparece en los lugares más inesperados y proporciona el desafío casi interminable a los especialistas en informática de encontrar aproximaciones más precisas para calcularlo. Los intentos de conseguir la mayor precisión del valor de π al principio pueden parecer sin sentido. Pero dejan abiertos los desafíos que han intrigado a generaciones de aficionados. Y como se dijo el tema de este libro es entender a π y alguno de sus más importantes aspectos. Así que empecemos nuestra exploración y discusión de π.

Cualquier esfuerzo práctico por dividir el diámetro de un círculo en su propia circunferencia solo puede resultar en fracaso. Tal procedimiento sólo puede ser teórico en su naturaleza, e intentar obtener su valor "racional" solo conllevará a frustración. La frustración que se retrata a lo largo de la historia en el esfuerzo de la humanidad por medir lo inconmensurable. Intentar inscribir una línea recta (el diámetro de un círculo) en otra línea curva (el perímetro del mismo) es intentar una alteración a la naturaleza, una alteración imposible que ni siquiera los ordenadores modernos están en condiciones de realizar.


Ya en la antigüedad, los calculistas advirtieron que todos los círculos conservaban una estrecha relación entre su perímetro y su radio pero... ¿Puede este vínculo ser considerado como un número "racional"? Es decir: ¿Puede conocerse con exactitud esta relación, o debemos limitarnos a dar aproximaciones? Sólo desde el siglo XVII la relación se convirtió en un número y fue identificado con el nombre "Pi" (de " εριφέρεια”, periferia y " ερίμετρον ", ", perímetro), pero largo fue el camino hasta aceptar que Pi era un irracional, como infinita es la posibilidad de encontrarle un nuevo decimal. La notación de π fue utilizada primero por William Oughtred (1574-1660), y propuesto su uso por el matemático galés William Jones,(1675-1749), aunque fue el matemático Leonhard Euler, con su obra «Introducción al cálculo infinitesimal» de 1748, quien la popularizó. Fue conocida anteriormente como constante de Ludolph (en honor al matemático Ludolph van Ceulen, quien calculó el valor de π con 35 cifras decimales que las hizo grabar en su tumba) o como constante de Arquímedes (que no se debe confundir con el número de Arquímedes ). ). La búsqueda del mayor número de decimales del númer o π ha supuesto un esfuerzo constante de numerosos científicos a lo largo de la historia. Algunas aproximaciones históricas de π son las siguientes: El valor aproximado de π en las antiguas culturas se remonta a la época del escriba egipcio Ahmes en el año 1800 a. C., descrito en el papiro Rhind, donde se emplea un valo r aproximado de π afirmando que el área de un círculo es similar a la de un cuadrado, cuyo lado es igual al diámetro del círculo disminuido en 1/9, es decir, igual a 8/9 del diámetro. Hasta este punto, se puede ver que no había razón para encontrar la razón de la circunferencia con el diámetro. Más bien, el tema fue la construcción de una cuadrado, utilizando las herramientas clásicas (una regla sin marcas y un par de compases), con la misma área que la de un círculo dado. Esto se convirtió en uno de los tres famosos problemas en la antigüedad. Aunque hoy sabemos que esta es una construcción imposible, sin embargo, esto fascinó a los matemáticos durante siglos. Fue el esfuerzo de construir construir un cuadrado con un área igual a la de un círculo dado que producen las primeras aproximaciones de π . En notación moderna:


S = πr² ≈ ( d)² = π ≈

d² = (4r²)

= 3.160493827…

La que es una razonablemente cercana aproximación de lo que nosotros conocemos como el valor de π usando métodos modernos Entre los ocho documentos matemáticos hallados de la antigua cultura egipcia, en dos se habla de círculos. Uno es el papiro Rhind y el otro es el papiro de Moscú. Sólo en el primero se habla del valor aproximado del número π. El investigador Otto Neugebauer, en un anexo de su libro The Exact Sciences in Antiquity, describe un método inspirado en los problemas del papiro de Ahmes para averiguar el valor de π, mediante la aproximación del área de un cuadrado de lado 8, a la de un círculo de diámetro 9.

DETALLE DEL PAPIRO DE RHIND Demos ahora un salto en el tiempo a los babilónicos. En 1936 unas tablas matemáticas fueron desenterradas en Susa (cerca de Babilonia). Una de estas compara el perímetro de un hexágono regular con la


circunferencia de su círculo círculo circunscrito. circunscrito. La manera que que los babilónicos hicieron esto condujo a los matemáticos de hoy a deducir deducir que ellos usaron 3 = 3.125 3.125 como una aproximación aproximación a π. ¿Cómo se compara con la aproximación egipcia para ? Es sólo un poco más cercano.

El matemático griego Arquímedes (siglo III a. C.) fue capaz de determinar el valor de π, entre el intervalo comprendido por 3 10/71, como valor mínimo, y 3 1/7, como valor máximo. Con esta aproximación de Arquímedes se obtiene un valor con un error que oscila entre 0,024% y 0,040% sobre el valor real. El método usado por Arquímedes era muy simple y consistía en circunscribir e inscribir polígonos regulares de n-lados en circunferencias y calcular el perímetro de dichos polígonos. Arquímedes empezó con hexágonos circunscritos e inscritos, y fue doblando el número de lados hasta llegar a polígonos de 96 lados. Sin lugar a dudas Arquímedes fue uno de los que más contribuyo a la historia de la matemática, nacido en Siracusa (Sicilia) alrededor del 287 a.C., hijo del astrónomo Fidias, sus contribuciones a la matemática y a la física son legendarias. Se tratará sólo sobre una pequeña parte de su trabajo que trata sobre el círculo y π. Desde la época de Arquímedes hubo una rigurosa conexión entre la circunferencia de un círculo y su área. Esta puede encontrarse en de Arquímedes. En este importante libro hay tres proposiciones relacionadas al círculo que han tenido un rol en el desarrollo histórico del valor de π. Esas tres proposiciones son presentadas a continuación con una pequeña explicación: 1. El área de un círculo es igual a la de un triángulo recto donde los catetos son respectivamente iguales al radio y circunferencia del círculo. El área del círculo es la familiar πr², y el área del triángulo recto es (r)(2πr²) = πr², aunque Arquímedes estableció esto de una manera un poco complicada, es sorprendente que él sugiera la fórmula que nosotros aceptamos como correcta en la actualidad.


2. La razón del área de un círculo a la de un cuadrado de lado igual al diámetro del círculo es cercana a 11:14. Para investigar esta proposición, vamos a establecer la relación, ya que se nos da. El área del círculo es πr², y el área del cuadrado (cuyo (cuyo lado es 2r) es 4r². La razón entre estas es:

= =

Como fue establecido en simplificamos nos queda π = aproximación familiar de π.

,

la proposición. Cuando , el cual nos recuerda otra

3. La circunferencia de un círculo es menor que 3

veces su

diámet diámetro ro pero pero más de 3 veces veces su su diám diámetro etro.. Lo que Arquímedes hizo fue inscribir hexágonos regulares en un círculo dado y circunscribir otro hexágono regular alrededor del mismo. El pudo encontrar las áreas de dos hexágonos y se dio cuenta que el área del círculo círculo tenía que que estar entre estas dos áreas.

Hexágono inscrito y circunscrito

El repitió esto con dodecágonos regulares y calculó de nuevo el área de ellos, dándose cuenta que el área del círculo tenía que estar entre estos dos valores, esto fue echo para


polígonos regulares de 24 lados, de 48 lados y de 96 lados, acercándose más y más al área del círculo. Arquímedes finalmente concluyó que el valor de π es menor que 3 pero mayor mayor que que 3 . ¿Cómo ¿Cómo se compar comparaa a nuestr nuestroo conoci conocido do valor valor de π? Si pasamos las fracciones a su forma decimal podemos hacer una comparación de sus valores con el verdadero valor de π. Entonces se tiene: 3 = 3.140845 07042253521126760563380281690… y 3 = 3.142857…

Por ahora podemos dejar esto con la idea que Arquímedes vio un círculo como el límite de un polígono de perímetro fijo cuyos lados van incrementándose. Dos aproximaciones más cercanas han sido encontradas, de acuerdo a Herón de Alejandría:

< π< el cual coloca a π en el intervalo 3.14159… < π< 3.14160… En los años posteriores, la aproximación se volvió más cercana al valor de π, así que en el año 200 a. C. Apolonio, un competidor de Arquímedes, pareció haber encontrado una mejor aproximación para π que la de Arquímedes: π=3

=

= 3.1416

Sin tener en cuenta este detalle consideraremos a Arquímedes el que más contribuyó a la historia de la matemática. Uno de los más grandes grandes retos a los que que hicieron frente los antiguos matemáticos fue el de ser capaces de medir una figura circular (o partes de círculos) en términos de líneas rectas. El problema esencial fue la cuadratura del círculo de la que ya se ha mencionado antes. Los arcos circulares y


líneas rectas no podían encontrar una medida en común. Había siempre “algo más” cuando trataban de comparar estos dos tipos de medidas. Hipócrates of Chios, otro matemático griego fue el primero en probar que las áreas de lunas (e.d. áreas acotadas por arcos circulares) pueden ser iguales a las áreas de figuras rectilíneas por ejemplo a la de un triángulo. Aunque los trabajos de Hipócrates están perdidos se puede mostrar un ejemplo que podría ser similar a lo que hizo. En otras palabras se puede mostrar un ejemplo donde una región acotada por arcos circulares puede ser exactamente igual a una región acotada por líneas rectas. Para hacer frente a esto, hablemos del famoso teorema de Pitágoras, que establece que la suma de los cuadrados de los catetos de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa , pero puede enunciarse de una manera un poco diferente con el mismo efecto: “ La suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos de un triángulo rectángulo es igual al área del cuadrado construido sobre la hipotenusa”. Geométricamente esto puede verse como en la figura de abajo.

Esto último nos permite dar una generalización que nos permite reemplazar los cuadrados con polígonos similares siempre y cuando estén colocados en la correspondiente orientación. Esto significa que los lados correspondientes de estos polígonos similares tienen que coincidir con los lados del triángulo rectángulo sobre el cual se han colocado. Podemos hacer entonces la siguiente generalización:


Para nuestros propósitos usaremos semicírculos para representar nuestros polígonos similares debido a que todos los semicírculos tienen la misma forma y de aquí se tiene que son similares, entonces el teorema se leerá así:

Entonces observando la figura siguiente podemos decir que las áreas de los semicírculos se relacionan como sigue: Área A1 + Área A3 = Área A2

Supongamos ahora que completamos el semicírculo A 2 sobre el resto de la figura usando a la hipotenusa como diámetro, entonces se llegaría a una figura como la de abajo, notemos que ahora se forman cuatro nuevas regiones X A B y Z.


Cuando extendimos el Teorema de Pitágoras a semicírculos en lugar de cuadrados establecimos que: Área A1 + Área A3 = Área A2 En la última figura, si mantenemos en la mente la nueva posición del círculo más grande que ha sido extendido sobre el triángulo, la misma relación puede ser escrita como sigue: Área A + Área B + Área Y = Área X + Área A +Área B + Área Z

Simplificando Área A + Área B de ambos lados se llega al asombroso resultado: Área Y = Área X + Área Z Esto significa que tenemos el área de una figura rectilínea igual a la suma de las áreas de figuras no rectilíneas. Este es un resultado muy profundo, dado que es el quid de uno de los asuntos más molestos en matemáticas, el de encontrar igualdad entre medidas de círculos y figuras rectilíneas. Como se dijo antes, este fue uno de los retos a los que se enfrentaron los matemáticos antiguos que intentaron la cuadratura del círculo. Los Elementos de Euclides (300 a.C.) es también sin lugar a dudas el libro de geometría más importante escrito, también hizo una contribución a la historia de π. En el Libro XII, proposición 2, Euclides establece y prueba que “las áreas de dos círculos son entre sí como el cuadrado de los respectivos diámetros”. Esta afirmación es muy importante pues establece que existe una constante tal como π que relaciona la circunferencia con el diámetro de un círculo. Simbólicamente:


= Lo que nos lleva a:

= constante

=

Realmente, este trabajo de Euclides sólo sugiere la posible existencia de una constante que conocemos hoy día como la correcta representación de π. Acerquémonos ahora un poco más al verdadero valor de π con el gran astrónomo, geógrafo y matemático Claudio Tolomeo (83 -161) quien en el año 150 escribió un tratado, . El usó el sistema sexagesimal y consiguió: π = 3 +

=3

= 3.141666…

Este es el resultado más exacto después de Arquímedes. El asunto de establecer la irracionalidad de no fue resuelto hasta el siglo XVIII. Sin embargo, esto fue anticipado por el gran filósofo judío Maimónides (1135 – 1204) en su comentario sobre La Biblia en la que establece:


El cálculo de pi fue una atracción para los matemáticos expertos de todas las culturas. Hacia 120, el astrólogo chino Chang Hong (78-139) fue uno de los prime rimero ross en usar usar la aapr prox oxim imac ació ión n , que que ded dedu ujo de la razón entre el volumen de un cubo y la respectiva esfera inscrita. Un siglo después, el astrónomo Wang Fang lo estimó en 142/45 (3,155555), aunque se desconoce el método empleado. Pocos años después, hacia 263, el matemático Liu Hui fue el primero en sugerir que 3,14 era una buena aproximación, usando un polígono de 96 o 192 lados. Posteriormente estimó π como 3,14159 empleando un polígono de 3072 lados. A finales del siglo V, el matemático y astrónomo chino Zu Chongzhi calculó el valor de π en 3,1415926 al que llamó «valor por defecto» y 3,1415927 «valor por exceso», y dio dos aproximaciones racionales de π: 22/7 y 355/113 muy conocidas ambas, siendo la última última aproximación tan buena y precisa que no fue igualada hasta más de nueve siglos después, en el siglo XV. Usando un polígono regular inscrito de 384 lados, a finales del siglo V el matemático indio Aryabhata estimó el valor en 3,1416. A mediados del siglo VII, estimando incorrecta la aproximación de Aryabhata, Brahmagupta calcula π como , cálculo mucho menos preciso que el de su predecesor. Hacia 1400 Madhava obtiene una aproximación exacta hasta 11 dígitos (3,14159265359), siendo el primero en emplear series para realizar la estimación.

En el siglo IX Al-Jwarizmi en su "Álgebra" (Hisab ( Hisab al yabr ua al muqabala ) hace notar que el hombre práctico usa 22/7 como valor de π, el geómetra usa 3, y el astrónomo 3,1416. En el siglo XV, el matemático persa Ghiyath al-Kashi fue capaz de calcular el valor aproximado de π con nueve dígitos, empleando una base numérica sexagesimal, lo que equivale a una aproximación de 16 dígitos decimales: 2π = 6,2831853071795865.


Nuestro siguiente paso en la historia de π tiene que ser con Leonardo Pisano (1170 – 1250) mejor conocido como Fibonacci. Aunque fue un ciudadano de la ciudad de Pisa, viajó bastante a través de Oriente Medio y trajo de regreso a Italia nuevos conocimientos en matemáticas. En su famosos libro, publicado en 1202 introdujo el sistema numérico hindú que es el usado en la actualidad. Fue la primera mención pública de este sistema en Europa Occidental, también contiene el famoso problema de los conejos que produjo los conocidos números de Fibonacci. En 1223 escribió , donde haciendo uso de polígonos regulares de 96 lados calculó el valor de π como:

= 3.1418181818… el que obtuvo tomando el promedio entre

= 3.142732431252728066 3.1427324312527280663465… 3465… y,

= 3.1410567135239941832203… 3.1410567135239941832203… Aunque para su tiempo esta aproximación no fue tan cercana como otras las contribuciones de Fibonacci al desarrollo de las matemáticas de Europa Occidental son legendarias especialmente para el tiempo que sigue a la Época del Oscurantismo. A través de los siglos muchos intentaron calcular el valor de π. Por ejemplo el matemático y pintor alemán Albretch Dürer (1471 -1528) usó una aproximación para π de 3 muy lejana de otras anteriores a su tiempo. Un pequeño cambio en el cálculo de π vino en 1579 cuando el matemático francés François Viète (1540 – 1603) usando el método desarrollado por los griegos consideró un polígono regular de 6 .216 = 393 216 y calculó π correctamente a nueve lugares decimales, también descubrió el primer uso de un producto infinito para determinar el valor de π.


=

.

Viète calculó el valor de π entre 3.1415926535 y 3.1415926537 otra vez nuevo hito en la historia de π fue alcanzado. El proceso de usar polígonos regulares con una gran cantidad de lados para aproximarse a las dimensiones de un círculo continuó. El siguiente paso de conseguir valores más aproximados de π es en 1593 cuando el físico Antwerp y el matemático Adriaen van Roomen, usando un polígono regular de 2 30 lados (de 1 073 741 824 lados), calculó π a 70 lugares decimales (del cual los primeros 50 fueron correctos). El matemático alemán Ludolph van Ceulen (1540 – 1610), quien intentó calcular el verdadero valor de π encontró su valor exacto a 20 lugares decimales en 1596, su resultado fue calculado del perímetro de polígonos regulares inscritos y circunscritos de 60. 233 = 515 396 075 520 lados. Para llevar a cabo esto el había descubierto algunos nuevos teoremas para sus cálculos. El primer paso para el cálculo de π vino en 1610 cuando Ludolph van Ceulen calculó el valor de π hasta 35 lugares decimales usando un polígono regular de 262 = 4 611 686 018 427 387 387 904 904 lados. Él estaba dedicado (o tal vez obses ionado) en calcular el valor de π, en su honor como ya dijimos antes, algunas veces se le llama a π numero Ludolphiano además después de su muerte, su esposa hizo grabar el número en su tumba en St. Pieter’s Kerk en Leiden, Holanda. También tenemos que mencionar el trabajo de John Wallis (1616 – 1703). El fue profesor de matemáticas en las universidades de Cambridge y Oxford y publicó un libro, Arithmetica infitorum (1655) donde presentó la fórmula para π:


.

.

.

…

…

Antes que nada se debe considerar que las raíces de sin(x)/x son ± nπ, donde n = 1, 2, 3,... Entonces, podemos expresar el seno como un producto infinito de factores lineales de sus raíces:

donde k es una constante. Para encontrar la constante k, se toma el límite en ambos lados:

= k Sabiendo que:

Hacemos k=1. Obtenemos la fórmula de Euler-Wallis para el seno:

Haciendo x=π/2, se obtiene:


El resultado de Wallis fue luego transformado en una fracción continua por William Brouncker (1620 – 1684) por métodos que no son conocidos él obtuvo:

Nuestro conocimiento aumenta en 1668 cuando el matemático escocés James Gregory anticipándose al alemán más grande del siglo XVII, Gottfried Wilhem, Leibniz por cinco años da la siguiente fórmula para π:

+ Esta es una fórmula un poco tosca pues converge muy lentamente, nos tomaría 100 000 lugares para conseguir un quinto lugar correcto para π . Ahora estamos en el momento en que ocurre otro acontecimiento notable en la historia de π. En 1706 el matemático Inglés William Jones (1675 – 1749) en su libro, Synopsis palmaroirum matheseos usó el símbolo π por primera vez para representar la razón de la circunferencia de un círculo con su diámetro. Sin embargo la verdadera popularidad de este símbolo para representar esta razón vino en 1748, cuando como se dijo antes, uno de los más prolíficos matemáticos, el suizo Leonhard Euler (1703 – 1783) usó el símbolo π en su libro Introductio in analysin infinitorum para representar la razón de la circunferencia de un círculo con su diámetro. Un brillante matemático con una misteriosa memoria y habilidad para hacer cálculos complejos, Euler desarrolló numerosos métodos para calcular π algunos de los cuales se aproximaban al verdadero valor más rápidamente que los procedimientos desarrollados por sus predecesores.


Aquí el calculó π a 126 lugares correctos. Una fórmula que el grupo de series series que usó para calcular π fue la primera en un grupo dan potencias sucesivas de π. La siguiente es de particular importancia, ya que es una serie creada tomando los cuadrados de los términos de una serie harmónica.

Hay muchos teoremas que son obra de Euler, dado que él escribió en casi todas las áreas de la matemática, inclusive la fórmula más famosa que lleva su nombre es la relación que enlaza varios conceptos que parecen no relacionados. Es , donde e es la base de los logaritmos naturales e i es la unidad imaginaria de los número complejos. En esta fórmula se tiene los cinco más importantes números: 0, 1, e , i y π. Esta fórmula motivó al más importante matemático alemán Felix Klein (1849 – 1925) a decir “¡Todos los análisis yacen aquí!”. El matemático japonés Takebe empezó a calcular el número π en el año 1722, con el mismo método expuesto por Arquímedes, y fue ampliando el número de lados para polígonos circunscritos e inscritos hasta llegar a 1 024 lados. Este ingente trabajo consiguió que se determinara π con 41 decimales. En 1789 el matemático de origen esloveno Jurij Vega, mediante la fórmula de John Machin, descubierta en 1706, fue el primero en averiguar los primeros 140 decimales de π, de los cuales 126 eran correctos; este récord se mantuvo durante 52 años, hasta que en 1841 William Rutherford calculó 208 decimales, de los cuales 152 eran correctos. John Machin, (1680 - 9 de junio de 1751), fue un profesor de astronomía en el Gresham College, Londres, es conocido por haber desarrollado una de las mejores formas conocidas para desarrollar una serie convergente para el cálculo de π en con 1706 y que posteriormente empleó para expandir π cerca de 100 posiciones decimales. La fórmula de Machin es:


el beneficio de esta nueva fórmula es que es una variación de las series de Leibniz (π/4 = arctan 1), con el objeto de aumentar el radio de su convergencia, y de esta forma se puede hacer cálculos que con un menor número de pasos lleguen al valor de π. Para calcular π hasta 100 cifras decimales, Machin combinó su fórmula con el desarrollo en serie de Taylor de la función arco-tangente. (Brook Taylor era contemporáneo de Machin en la Universidad de Cambridge.) La fórmula de Machin mantuvo su hegemonía para calcular decimales de π durante siglos, incluso hasta el inicio de la era informática.

El matemático aficionado de origen inglés William Shanks dedicó cerca de 20 años a c alcular π y llegó a obtener 707 decimales en 1873. En el año 1944, D. F. Ferguson encontró un error en la posición decimal 528 de la serie de Shanks, a partir del cual todos los dígitos posteriores eran erróneos. En 1947, Ferguson recalculó π con 808 decim ales con la ayuda de una calculadora mecánica. La pregunta acerca del tipo de número que era π empezaba a consumir a los matemáticos. Con cada intento por conseguir lugares decimales para π, había la esperanza que un patrón emergiera y que habría un periodo de dígitos que se repitan lo que haría que π sea un número racional. Sin embargo esto no ocurría. En 1794 el matemático francés Adrien Marie Legendre (1752 – 1883) escribió un libro titulado Élements de Géométrie en Géométrie en la cual probó que π2 es irracional: Este fue el primer uso del símbolo π en un libro francés. En 1806 él también probó que π es irracional. Sabemos que Aristóteles (384 – 322 a.C.) sospechaba que π era un número irracional . Pero su especulación duró más de dos milenios antes de ser probada correctamente. Aunque el gran matemático alemán Carl Friedrich Gauss (1777-1855) también se dedicó a los cálculos de π, él empleó a Zacharias Dahse (1824 – 1861), un calculista de mente muy rápida y brillante para que lo ayude en sus investigaciones. Dahse usó la fórmula


Encontró π correcto a 200 lugares decimales. Se cree que hizo estos cálculos mentales. Se sabe que era capaz de multiplicar en su cabeza dos números de 28 dígitos en 45 segundos. Para multiplicar dos números de 40 dígitos requería 40 minutos de cálculo mental, y era capaz de multiplicar mentalmente dos número de 100 dígitos en 8 horas y 45 minutos. En equidad a Gauss tiene que decirse que él también fue un maravilloso calculista. Se cree que el talento de calcular de Gauss le permitió ver patrones y hacer muchas conjeturas matemáticas que probaría después estableciéndolos como teoremas.

Conforme vamos avanzando avanzando en la historia de π, tenemos que tomar nota del trabajo de Carl Louis Ferdinand Lindemann (1852 – 1939), un matemático alemán que probó que π no era solo un número irracional, irracional, sino también un número trascendente, Lindemann puso fin al antiguo problema de encontrar la longitud del lado del cuadrado cuya área sea igual a la de un círculo dado. En 1904 R. Chartres mostró que la probabilidad que dos números enteros positivos aleatoriamente seleccionados sean primos relativos es Esta fórmula realmente es sorprendente pues no es nadad geométrico sino pura teoría de números. En 1914, el genio matemático indio Srinivasa Ramanujan (1882 – 1920), estableció muchas fórmulas para calcular el valor de π. Algunas fueron muy complicadas y se tuvo que esperar la llegada de las calculadoras para que sean correctamente usadas. Una de ellas es:

Una fórmula incluso más simple que Ramanujan produjo para calcular el valor de π fue: = 3.1415926 la cual es correcta a sólo ocho lugares decimales, pero es muy fácil de calcular. En 1946 D.F Ferguson descubrió un error como comentamos antes en el valor de William Shanks para π en el decimal 528. En enero de 1947 él produjo un valor de π correcto a 710


lugares decimales. decimales. Meses más más tarde, John W. Wrench Wrench Jr. un americano calculó el valor de π a 808 lugares decimales pero Ferguson encontró un error en el decimal 723. En enero de 1948 calcularon el correcto valor a 808 lugares decimales con ayuda de una calculadora de escritorio. Usando todavía una calculadora de escritorio, el siguiente año John W Wrench Jr. y Levi B. Smith, matemáticos americanos extendieron este valor a 1120 lugares decimales. Desde el diseño de la primera computadora se empezaron a desarrollar programas para el cálculo del número π con la mayor cantidad de cifras posible. De esta forma, en 1949 un ENIAC fue capaz de romper todos los récords, obteniendo 2.037 cifras decimales en 70 horas. Poco a poco fueron surgiendo ordenadores que batían récords y, de esta forma, pocos años después (1954) un NORAC llegó a 3.092 cifras. Durante casi toda la década de los años 1960 los IBM fueron batiendo récords, hasta que un IBM 7030 pudo llegar en 1966 a 250.000 cifras decimales (en 8 h y 23 min). Durante esta época se probaban las nuevas computadoras con algoritmos para la generación de series de números procedentes de π. En la década de 2000, los ordenadores son capaces de obtener números que poseen una inmensa cantidad de decimales. En 2009 se hallaron más de dos billones y medio de decimales de pi mediante el uso de una supercomputadora T2K Tsukuba System, compuesta por 640 computadoras de alto rendimiento, que juntas consiguen velocidades de procesamiento de 95 teraflops. Lo obtuvieron en 73 horas y 36 minutos. Algunas aproximaciones al valor de π vienen en la siguiente tabla:

1949 1954 1959 1967 1973 1981

G.W. Reitwiesner otros

y ENIAC NORAC IBM 704 CDC 6600

3 092 16 167 500 000

CDC 7600

1 001 250

y FACOM M-200

2 000 036

Guilloud Guillord Bouyer Miyoshi

2 037

y


1982 1986 1986 1987 1988 1989 1989 1991 1994 1995 1997 1999 1999 2002

Kanada Guilloud Bailey Kanada y Tamura Kanada, Tamura, Kobo y otros Kanada y Tamura Hermanos Chudnovsky Hermanos Chudnovsky Hermanos Chudnovsky Hermanos Chudnovsky Kanada y Takahashi Kanada y Takahashi Kanada y Takahashi Kanada y Takahashi Kanada y otros

2004 2009

Daisuke Takahashi

2009

Fabrice Bellard

2010

Shigeru Kondo

CRAY-2 HITAC 810/20

2 000 050 29 360 111 S-

67 108 839

NEC SX-2

134 217 700

Hitachi S-820

201 326 000

CRAY-2 y IBM480 000 000 3090/VF IBM 3090

1 011 196 691 2 260 000 000 4 044 000 000

HITAC 3800/480

S-

6 442 450 000

Hitachi SR2201

51 539.600 000

Hitachi SR8000

68 719 470 000

206 158 000 Hitachi 1 241 100 SR8000/MP 000 1 351 100 Hitachi 000 T2K Tsukuba 2 576 980 System 000 Core i7 CPU, 2 699 999 2.93 GHz; RAM: 000 6GiB 2 x Intel Xeon 5 000 000 X5680, 3.33 000 GHz

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En la época computacional del cálculo de π las cifras se han disparado, no sólo debido a la potencia de cálculo que estas máquinas son capaces de generar, sino también por el prestigio que conlleva para el constructor de la máquina cuando su marca aparece en la lista de los récords.

Aunque la constante matemática conocida como π (pi) ha sido estudiada desde la antigüedad, y también el concepto de número


irracional, no fue sino hasta el siglo XVIII que se probó la irracionalidad de π. En el siglo XX, se encontraron demostraciones que no requerían un conocimiento más allá del cálculo integral. Una de éstas es muy conocida, encontrada por Ivan Niven. Se puede demostrar que π es irracional fácilmen te si éste es expresable mediante una fracción continua infinita. Dado que cada fracción continua finita se puede expresar mediante un número racional y viceversa, si π fuera racional, debería existir tal fracción continua. Veamos que tal fracción continua es infinita:

La función arco tangente se puede representar en forma de fracción continua de Gauss, de la siguiente manera:

Tomando z =1, =1, obtenemos que arctan(1) = y por tanto:

Si π = , entonces y la fracción continua tendría un número finito n de términos. Puesto que esta fracción continua tiene una estructura ordenada, es fácil comprobar que ésta contiene infinitos términos, probando la irracionalidad de π.


La demostración se basa en el método de reducción al absurdo. Supongamos que π = a/b, con a, b enteros y b ≠ 0 , los cuales, sin pérdida de generalidad diremos que son positivos. Entonces la demostración consiste en los siguientes pasos: Dado cualquier número natural n , se define la siguiente función polinómica:

Y denotaremos como

a la suma alternada de f (x ) y sus primeras n derivadas n derivadas pares. (π). F (0) (0) = F (π).

Puesto que

y dado que suponemos π = a/b, la regla de la cadena y el principio de inducción implican que

para todas las derivadas, en particular

para todo j todo j = = 1, 2, ...,n ...,n . F (0) (0) es un entero. Usando el binomio de Newton para expandir (a ( a – bx )n y haciendo un cambio de índice j índice j = = k + k + n , obtenemos las representación


Dado que los coeficientes x 0, x 1,..., x n − 1 son cero y el grado del polinomio f es es a lo sumo 2n 2n , nosotros tenemos que f ( j )(0) = 0 para j < j < n y n y j > j > 2n 2n . Más aún,

Puesto que j que j ≥ n , la fracción de estos dos factoriales es un entero. Lo mismo se cumple para el coeficiente binomial, que puede ser visto como una interpretación combinacional del triángulo de Pascal. Y así f y f y cualquier derivada de f en f en 0 es un entero, con lo cual F (0) (0) también lo será.

(2n + + 2) es el polinomio cero, tenemos que Dado que f (2n

La derivadas de la función seno y coseno están dados por (sin(x (sin( x ))' ))' ))' = −sin(x ), = cos(x cos(x ) y (cos(x (cos(x ))' ), y así la regla del producto implica

Por el teorema fundamental del cálculo

Ahora bien, sin(0) = sin(π) = 0 y cos(0) = –cos(π) = 1, y aplicando el principio 1 se obtiene el resultado deseado.

Puesto que f (x ) > 0 y sin(x sin( x ) > 0 para 0 < x < π (porque π es el más pequeño número pequeño número positivo que anula la función seno), el principio 2 y 3 muestran que F (0) (0) es un entero positivo . Luego

y 0 ≤ sin( x ) ≤ 1 para 0 ≤ x ≤ π, obtenemos q ue


que es más pequeño que 1 para un entero n grande, y también F (0) (0) < 1 por el principio 3 para ese n , lo cual es imposible para el entero positivo F (0). (0).

Es posible obtener una aproximación al valor de π de forma geométrica. De hecho, ya los griegos intentaron obtener sin éxito una solución exacta al problema del valor de π mediante el empleo de regla y compás. El problema griego conocido como cuadratura del círculo o, lo que es lo mismo, obtener un cuadrado de área igual al área de un círculo cualquiera, lleva implícito el cálculo del valor exacto de π. Una vez demostrado que era imposible la obtención de π mediante el uso de regla y compás, se desarrollaron varios métodos aproximados. Dos de las soluciones aproximadas más elegantes son las debidas a Kochanski (usando regla y compás) y la de Mascheroni (empleando únicamente un compás).

Método de Kochanski.

Se dibuja una circunferencia de radio R. Se inscribe el triángulo equilátero OEG. Se traza una recta paralela al segmento EG que pase por A, prolongándola hasta que corte al segmento OE, obteniendo D. Desde el punto D y sobre ese segmento se transporta 3 veces el radio de la circunferencia y se obtiene el punto C. El segmento BC es aproximadamente la mitad de la longitud de la circunferencia. (suponiendo R = 1)


Sustituyendo en la primera fórmula:

Método de Mascheroni.

Se dibuja una circunferencia de radio R y se inscribe un hexágono regular. El punto D es la intersección de dos arcos de circunferencia: BD con centro en A', y CD con centro en A. Obtenemos el punto E como intersección del arco DE, con centro en B, y la circunferencia. El segmento AE es un cuarto de la longitud de la circunferencia, aproximadamente. (suponiendo R = 1)


Por el teorema de Ptolomeo, en el cuadrilátero ABEB'

El extraordinario y brillante matemático indio Srinivasa Ramanujan (1887-1920) hizo muchas contribuciones para calcular el valor de π pero dejo poca evidencia de cómo llego a sus resultados. Nacido en 1887 en un pequeño pueblo del sur de India llamado Erode, paso su juventud fascinado con la matemática en detrimento de otras materias. En 1911 él planteó problemas basados en sus trabajos iniciales y no encontró quien los solucione entre sus lectores. Uno de ellos fue por ejemplo calcular el valor de

el cual parce inofensivo y simple, pero igual no encontró quien lo solucione . El truco fue encontrado en sus cuadernos de teoremas que el estableció. Aquí él aplicó el siguiente teorema, que dice que si se puede representar un número como (x ( x + n + a), la expresión anterior puede representarse como x+n+a= Así que si 3 = x + n + a, donde digamos, x=2, n=1, y a=0, entonces el valor de estos radicales encajados es simplemente 3. Esto es imposible de hacer sin el conocimiento de los teoremas de Ramanujan. Con esta nueva exposición el escribió a tres de los mejores matemáticos de Inglaterra, E. W. Hobson, H. F. Baker y G.


H. Hardy. Hardy. De estos tres profesores de de Cambridge, sólo Godfrey Harold Hardy (1877 – 1947) respondió e invitó a Ramanujan a Inglaterra. Hardy pensaba que las afirmaciones que la carta contenía tenían que ser correctas, pues si fuesen incorrectas nadie hubiese tenido tal imaginación para hacerlas. A pesar de la diferencia de culturas, los dos consiguieron llevarse muy bien y ayudarse mutuamente. Esto fue el inicio de la popularidad de Ramanujan fuera de la India. Tiene que recordarse además. Volviendo al tema Ramanujan hizo sorprendentes cálculos para el valor de π. Empíricamente (sus palabras) obtuvo el valor aproximado de π con la siguiente aproximación: =3.1415926525826461252060371 =3.141592652582646125206037179644022371 79644022371 … Además estableció estableció que el valor que el usó para π para propósitos de cálculo fue:

el cual, él decía “ es mayor que π por 10 -15 ” y es obtenida simplemente tomando el recíproco de :

Srinivasa Ramanujan nos dio otras misteriosas aproximaciones de π. En la actualidad puede sorprender como llegó a estos resultados. Aunque estamos comprendiendo un poco más sus derivaciones todavía no podemos apreciar completamente la complejidad con la que su mente funcionó. Las siguientes son algunas de sus resultados sobre el valor de π. Ya se ha dado la fórmula:

Otra fórmula es:


Las siguientes son algunas aproximaciones a π debidas a Ramanujan: originalmente descubierto por Adrien Métius (1571 -1635), y más tarde Ramanujan dio una construcción geométricamente de este término.

Siguen algunas series descubiertas por Ramanujan. Sin embargo el

punto importante es que al evaluar tales series para un número enorme de dígitos se requiere desarrollar algoritmos específicos.

Aquí tenemos algunas más de las maravillosas fórmulas descubiertas por el genio Ramanujan que el lector podría reflexionarlas:


En la última fórmula: A = 1 657 145 277 365 + 212 175 710 912 B = 107 578 229 802 750 C = 5 280(236 674 + 30 303) en cada término adicional en las series se suman s uman casi 32 dígitos. Se han visto numerosas maneras en las que el valor de π ha sido calculado. Unas fueron muy primitivas, mientras otras muy sofisticadas. Las más notables son las que han aparecido por haber surgido de conjeturas espectaculares. Todos los métodos de hoy involucran a las computadoras con lo que el correcto valor de π va a ser limitado por la creatividad del hombre y la habilidad de la computadora.

π es uno de los más fascinantes fascinantes y más populares populares números en matemáticas por una variedad de razones. Primero, el sólo hecho de entender lo que es y lo que representa y como puede ser usado ha intrigado a los matemáticos por años. Su historia desde hace más de cuatro mil años abarca el globo entero y proporciona diversión así como un desafío desafío permanente. Construcciones sobre los continuos intentos de conseguir valores más exactos para π se basan en cuantos lugares decimales pueden generar las computadoras y cuan rápido lo pueden hacer, se ha vuelto el reto de hoy para las computadoras más que para los matemáticos, quienes todavía buscan algoritmos más eficientes y elegantes para realizar esta tarea. Ahora que estamos en el trillón de lugares decimales ¿quién sabe que tan rápido vamos a obligar a las


capacidades de una computadora? Esto parce ser el último examen para una computadora. Hay una curiosidad donde el entusiasmo por π es demostrado para que todos lo vean. En 1937, en Hall 31 de el Palais of the Decouverte, hoy un museo de ciencias de París, el valor de π fue reproducido con números grandes de madera en la cúpula en la forma de un espiral. Esta inspiración fue basada en la aproximación generada en 1874 por William Shanks, la que tenía un error en el decimal 528. Este fue detectado en 1946 y corregido en el techo del museo en 1949. En los Estados Unidos los amantes de π celebran el 14 de Marzo como el día de π, dado que como se nota es 3 -14.Y a la 1.59 ellos celebran (recordar que π = 3.14159). Lo que es una coincidencia coincidencia es que Albert Einstein nació el 14 de Marzo de 1879, y se pude ver que este número 3.141879 es una buena aproximación de π. Inclusive hay una página de internet sobre e l día de π y donde además se celebra el cumpleaños de la persona más famosa nacida en esta fecha.

Algunas otras curiosidades son: Los usuarios del buscador A9.com que eligen su tienda virtual como amazon.com ofrecen descuentos de (π/2 ) % en sus compras. John Squire (de la banda The Stone Roses) menciona π en una canción escrita para su segunda banda The Seahorses denominada "Something Tells Me". La canción acaba con una letra como: "What's the secret of life? It's 3.14159265, yeah yeah!!". La numeración de las versiones del programa de tratamiento de texto TeX de Donald Knuth se realiza según los dígitos de π. La versión del año 2002 se etiquetó con 3.141592 Se emplea este número en la serie de señales enviadas por la tierra con el objeto de ser identificados por una civilización inteligente extraterrestre. La probabilidad de que dos enteros positivos escogidos al azar sean primos entre si es 6 / π2 Existen programas en internet que buscan tu número de teléfono en las 50.000.000 primeras cifras de π En algunos lenguajes de programación se pueden averiguar tantos dígitos como se desee con simplemente emplear expresiones como: RealDigits[ N[ Pi, 105]] en «Mathematica».


En el año 2002 el japonés Akira Haraguchi rompió el record mundial recitando durante 13 horas 83.431 dígitos del número pi sin parar, doblando el anterior record en posesión del también japonés Hiroyuki Goto. El 4 de octubre de 2006, a la 1:30 de la madrugada, y tras 16 horas y media, Haraguchi volvió a romper su propio record recitando 100.000 dígitos del número pi, realizando una parada cada dos horas de 10 minutos para tomar aire. El máximo número de dígitos de π necesario para buscar cualquier secuencia de día-mes-año con cuatro dígitos en la expansión decimal de pi es 60.872. Existe una canción de Kate Bush llamada "Pi" en la cual se recitan más de veinte dígitos decimales del número. En Argentina, el número telefónico móvil para emergencias en estaciones de trenes y subterráneos es ∗31416. Existe un vehículo Mazda 3 modificado, al que se le añadieron 27 cifras de π, después del 3. En el año 1998 aparece una película del director Darren Aronofsky denominada Pi sobre un matemático que cree que el mundo se representa por números. Alfred Hitchcock en su film Cortina Rasgada hace aparecer el símbolo π como una organización de espionaje. En La Película The Net, aparece en la parte inferior derecho de una pagina de conciertos y música, de un programa llamado The Mozart Ghost, aparentemente es solo un adorno, pero cuando se presiona CRTL+ALT+Click en π, se Accede a la interface de datos de el Guardián de la Puerta, un Programa de los Pretorianos, que pedía un usuario y un password. En la serie de dibujos The Simpsons, en el episodio "Bye Bye Nerdie", el Professor Frink grita, a voz en cuello, que "¡π es igual a tres!", para atraer la atención de un auditorio compuesto por científicos. Cuando todos se dan vuelta para mirarlo, pide disculpas por haberse visto obligado a semejante sacrilegio. En la serie Futurama aparecen diferentes referencias a π, tales como 'aceite π en 1', y 'compre en πkea'. La novela Contacto de Contacto de Carl Sagan —sobre la que luego se filmó la película homónima— toma a π (aunque no en base decimal) como un número que esconde la esencia misma del universo. Algunas preguntan que todavía se hacen acerca de π son:


Cada uno de los dígitos decimales 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, ¿tiene una aparición infinita en los decimales de π? La denominada cuestión de Brouwer : en la expansión decimal de π, ¿existe alguna posición donde exista una s ucesión de mil ceros consecutivos? ¿Es π simplemente normal en base 10? Es decir, ¿tiene cada uno de los diez dígitos del sistema decimal la misma probabilidad de aparición en una expansión decimal? No se sabe si π+e, π/e, ln(π) son irracionales. Se sabe que no son raíces de polinomios de grado inferior a ocho y con coeficientes enteros del orden 109 .

Sea y =

Si y’= 0

Lo que completa la prueba.

Para x > 0,


Finalmente:

Lo que completa la prueba.

[1]

William Jones, New Introduction to Mathematics, London, 1706.

[2]

Gay Robins, Charles Shute: The Rhind Mathematical Papyrus: an ancient Egyptian text , British Museum Publications, London, 1987.

[3]

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[4]

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[10] Ramanujan, Srinivasa, «Squaring the circle». Journal of the Indian Mathematical Society . 1913.


[11] Posamentier, Alfred, ”A Biography of the World’s Most Mysterious Number, Prometheus Books, Estados Unidos, 2004.

La historia del número más famoso de las matemáticas

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