La Historia de las Matemáticas Matemáticas Las Matemáticas, una de las ciencias más extensas y antiguas del universo. Sus conocimientos conocimientos fueron adquiridos por el ser humano en sus primeras etapas de desarrollo bajo una influencia, influencia, incluso de la más imperfecta imperfecta actividad educativa. educativa. Esta actividad actividad cambió y creció en número de factores del desarrollo matemático, siendo un desarrollo observ observabl ablee a lo largo largo de tod todaa su histo historia ria,, la cual, cual, está está plaga plagada da de ejemp ejemplos los que demuestran cómo las matemáticas surgieron de la actividad productiva de los hombres. Las matemáticas matemáticas son un estudio de patrones en una conjunción de números y resultado r esultadoss que suponen una deducción de la operación dada.
1- El nacimiento de las Matemáticas El nacimiento de esta ciencia no natural ocurrió entre los siglos VI-V a.C. donde cualquier método servia para contar, desde los dedos hasta las piedras. Hasta entonces los números conocidos hasta ahora no existían, puesto que su creación fue parte de los árabes. El avance de las matemáticas para aquel tiempo se hacia en el descubrimiento de nuevos símbolos y sistemas de numeración, todos diferentes en cada civilización. En la historia de las mate matemá máti tica cass pued pueden en dist distin ingu guir irse se peri period odos os aisl aislad ados os,, diferenciados diferenciados uno del otro por una serie de características características y peculiaridades; periodicidad periodicidad que, por otro lado, resulta imprescindible imprescindible para realizar su estudio. En esencia esta historia podría dividirse en cuatro grandes bloques según la periodicidad establecida por A.N. Kolmogorov:
1-1 La Antigua civilización Egipcia Los conocimientos matemáticos de la antigua civilización egipcia eran limitados pero lo suficientemente eficaces para esa época. Se basaban en un sistema de numeración jeroglífico que consistía en denominar cada uno de los números clave con un símbolo. Un sistema de mayor semblante era el de los romanos que lo hacían con fracciones pero solo como divisores de la unidad. Alge Algebr brai aica came ment ntee se resu resuel elve venn dete determ rmin inad adas as ecuaciones de la forma x+ax=b donde la incógnita x se denominaba "montón". En geometría los avances en el cálculo de áreas y volúmenes, encontraron, por ejemplo, para el área del círculo un valor aproximado del número pi de 3'1605. Sin embargo el desa desarr rrol ollo lo geom geomét étri rico co adol adolec ecee de falt faltaa de teore teorema mass y demost demostrac racion iones es formal formales. es. Tambié Tambiénn enco encont ntra ramo moss rudi rudim mento entoss de trig trigon onom omet etrí ríaa y nociones básicas de semejanza de triángulos.
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1-2 Mesopotamia o Antigua Babilonia Actualmente la información sobre esta civilización es mucho mayor que la existente sobre la civilización egipcia, debido a que en lugar de papiros, utilizaban escritura cuneiforme sobre tablillas tablillas de arcilla, mucho más resistentes al paso del tiempo. De las más de 100.000 tablillas conservadas, sólo 250 tienen contenidos matemáticos y de ellas apenas 50 tienen texto. Al igual que los Egipcios la escritura de los textos eran de problemas de dificultosa solución. Utilizaron Utilizaron el sistema de numeración posicional posicional sexagesimal, sexagesimal, carente de cero y en el que un mi mism smoo símb símbol oloo podí podíaa repr repres esen enta tarr indi indist stin inta tame ment ntee vari varios os núme número ross que que se difere diferenc nciab iaban an por el enunci enunciad adoo del probl problema ema.. Desarr Desarrol olla laron ron un efica eficazz siste sistema ma de nota notaci ción ón frac fracci cion onar ario io,, que que perm permit itió ió esta establ blec ecer er apro aproxi xima maci cion ones es deci decima male less verdaderamente verdaderamente sorprendentes. Esta evolución evolución y simplificación del método fraccionario fraccionario permitió el desarrollo de nuevos algoritmos que se atribuyeron a matemáticos de épocas posteriores, posteriores, baste como ejemplo el algoritmo de Newton para la aproximación aproximación de raíces cuadradas. Desarr Desarroll ollaro aronn el concep concepto to de número número inver inverso, so, lo que simpl simplifi ificó có not notabl ableme ement ntee la operación de la división. Encontramos también en esta época los primeros sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas; incógnitas; pero sin duda la gran aportación algebraica algebraica babilónica se centra en el campo de la potenciación y en la resolución de ecuaciones cuadráticas, tanto es así que llegaron a la solución para ecuaciones de la forma x2+px=q, p>0, q>0 y también ax2+bx=c mediante el cambia de variable t=ax. El dominio en esta materia era tal, que incluso desarrollaron algoritmos para el cálculo de sumas de progresiones, tanto aritméticas como geométricas.
1-3 China Antigua La primera obra matemática es "probablemente" el Chou Pei (horas solares) y junto a ella la más importante es "La matemática de los nueve libros" o de los nueve capítulos. Esta obra, de carácter totalmente heterogéneo, tiene la forma de pergaminos independientes independientes y están dedicados a diferentes temas de carácter eminentemente práctico formulados en 246 problemas concretos. El sistema de numeración es el decimal jeroglífico. jeroglífico. Las reglas de las operaciones son las habituales, aunque destaca como singularidad, que en la división de fracciones se exige la previa reducción de éstas a común denominador. La contribución algebraica más importante es, sin duda, el perfeccionamiento alcanzado en la regla de resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Para todos los sistemas se establece un método genérico de resolución muy similar al que hoy conocemos como método de Gauss, expresando incluso los coeficientes en forma matricial, trasformándolos en ceros de manera escalonada. Inventaron el "tablero de cálculo", artilugio consistente en una colección de palillos de bambú de dos colores. Con el desarrollo del "método del elemento celeste" se culminó el desarrollo del álgebra en China en la edad media. Este método, desarrollado por Chou Shi Hié, permitía encontrar raíces no sólo enteras, sino también racionales, e incluso aproximaciones decimales para ecuaciones de la forma Pn(x)=a4x4+a3x3+a2x2+a1x Pn(x)=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+ao +ao . El método del elemento celeste es equivalente al que en Occidente denominamos "método de Horner", matemático que vivió medio siglo más tarde. Otro gran logro de la época medieval fue la suma de progresiones desarrollado por Chon Huo (s. XI) y Yang Hui (s.XIII). 3
1-4 India Antigua Los primeros indicios matemáticos se calculan hacia los siglos VIII-VII a.C, centrándose en aplicaciones geométricas para la construcción de edificios religiosos y tamb tambié iénn pare parece ce evid eviden ente te que que desd desdee ti tiem empo poss remo remoto toss util utiliz izar aron on un sist sistem emaa de numeración posicional y decimal. Entre los siglos V-XII d.C la contribución a la evolución de las matemáticas se hizo especialmente interesante, destacando cuatro nombres propios: Aryabhata (s.VI), Brahmagupta (s.VI), Mahavira (s. IX) y Bhaskara Akaria (s.XII). La característica principal del desarrollo matemático en esta cultura, es el predominio de las reglas aritméticas de cálculo, destacando la correcta utilización de los números negativos y la introducción del cero. Profundizaron en la obtención de reglas de resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas, en las cuales las raíces negati negativa vass eran eran int interp erpret retada adass como como deudas deudas.. Desar Desarrol rolla laron ron tamb también ién,, sin sin duda duda para para resolver problemas astronómicos, métodos de resolución de ecuaciones diofánticas, ll llega egando ndo inclu incluso so a plant plantea earr y resolv resolver er (s.XII) (s.XII) la ecuaci ecuación ón x 2=1+ay2, denomina denominada da ecuación de Pelt. Matem Matemáti áticam cament entee se consid considera era indis indiscut cutibl iblee la proced procedenc encia ia hindú hindú del sist sistema ema de numeración decimal y las reglas de cálculo.
1-5 Grecia Clásica La cultura helénica fue la principal abanderada en el terreno cultural. Tanto es así, que las civilizaciones anteriores a la Antigua Grecia se conocen como culturas prehelénicas. El helenismo nunca logró la unidad, ni en su época de máximo apogeo ni cuando fue amenazado con la destrucción. Ahora bien, en menos de cuatro siglos, de Tales de Mileto a Euclides de Alejandría, y lo hayan querido o no los pensadores griegos, rivales de ciudades o de escuelas, construyeron un imperio invisible y único cuya grandeza perdura hasta nuestros días. Este logro insólito se llama matemáticas. Salv Salvoo exce excepc pcio ione nes, s, los los prod produc ucto tore ress se agru agrupa paba bann en escu escuel elas as.. En los los matemáticos de esta época los problemas prácticos relacionados con las necesidades de cálculos aritméticos, mediciones y construcciones geométricas continuaron jugando un gran gran papel papel.. Sin embargo embargo,, lo noved novedoso oso era, era, que estos estos probl problem emas as poco poco a poco poco se desp despre rend ndie iero ronn en una una rama rama inde indepe pend ndie ient ntee de las las mate matemá máti tica cass que que obtu obtuvo vo la denominación de "logística". Al mismo tiempo ya en la escuela de Pitágoras se advierte un proceso de recopilación de hechos matemáticos abstractos y la unión de ellos en sistemas teóricos. En esta época ya resultaban conocidos los métodos de sumación de progresiones aritméticas simples. Se estudiaban cuestiones sobre la divisibilidad de los números; fueron introducidas las proporciones aritméticas, geométricas y armónicas y diferentes medias: la aritmética, la geométrica y la armónica. Junto a la demostración geométrica del teorema de Pitágoras fue encontrado el método de hallazgo de la serie ilimitada de las ternas de números "pitagóricos", esto es, ternas de números que satisfacen la ecuación a2+b2=c2.
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En este este ti tiem empo po tran transc scur urri rier eron on la abst abstra racc cció iónn y sist sistem emat atiz izac ació iónn de las las info inform rmac acio ione ness geom geomét étri rica cas. s. En los los trab trabaj ajos os geom geomét étri rico coss se intr introd oduj ujer eron on y perfeccionaron perfeccionaron los métodos de demostración geométrica. Se consideraron, consideraron, en particular: particular: el teorema de Pitágoras, los problemas sobre la cuadratura del círculo, la trisección de un ángulo, la duplicación del cubo y la cuadratura de una serie de áreas. Se descu descubri brióó de maner maneraa tajan tajante te la irrac irracion ionali alidad dad,, demos demostra trando ndo,, por ejemp ejemplo, lo, la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 por la vía de reducción al absurdo. Este descubrimiento de la irracionalidad condujo inevitablemente a la elaboración de la teoría de la divisibilidad. La etapa siguiente se caracteriza por la necesidad necesidad de crear una teoría matemática matemática general tanto para los números racionales como para los irracionales. Paralelamente, al ampliarse el número de magnitudes medibles, debido a los números irracionales, se originó una reformulación de la geometría, dando lugar al álgebra geométrica. Esta nueva rama incluía entre otros conceptos el método de anexión de áreas, el conjunto de proposiciones geométricas que interpretaban las cantidades algebraicas, división áurea, expresión de la arista de un poliedro regular a través del diámetro de la circunferencia circunscrita. circunscrita. Sin embargo, el álgebra geométrica estaba limitada a objetos de dimensión dimensión no mayor que dos, siendo inaccesibles los problemas que conducían a ecuaciones de tercer grado o superiores, es dec decir, se hac hacían imposi posibbles los problem problemas as que no admitiera admitierann solución solución mediante regla y compás. Asimismo, el surgimiento de la irra rracionalidad condicionó la necesidad de creación de una una teor teoría ía gene genera rall de las las rela relaci cion ones es,, teorí eoríaa cuyo uyo fundam ndameento nto inic nicial lo constituyó el algoritmo de Euclides. Construcción axiomática de las Matemáticas. Las primeras teorías matemáticas que se abstrajeron de los problemas concretos o de un conjunto de problemas de un mismo tipo, crearon las condiciones necesarias y suficientes para el reconocimiento de la autonomía y especificidad de las matemáticas. El cará caráct cter er abst abstra ract ctoo del del obje objeto to de las las matem atemát átic icas as y los los méto método doss de demostra demostración ción matemát matemática ica establec establecidos idos,, fueron fueron las principal principales es causas causas para que esta ciencia se comenzara a exponer como una ciencia deductiva, que a partir de unos axiomas, presenta una sucesión lógica de teoremas. Las obras en las cuales, en aquella época se exponían los primeros sistemas matemáticos de denominaban "Elementos". Se encuentran elementos pertenecientes a muchos autores, sin embargo todos ellos han qued quedad adoo rele relega gado doss a un segu segund ndoo plan planoo tras tras una una de las las obra obrass mate matemá máti tica cass más más impre im presio sionan nante te de la histo historia ria:: Los Eleme Elemento ntoss de Eucli Euclides des.. "Los "Los Eleme Elemento ntos", s", están están constituidos por trece libros. A veces se añaden otros dos, los libros 14 y 15 que pertenecen a otros autores pero por su contenido, están próximos al último libro de Euclides. En la constr construcc ucción ión de las las teorí teorías as matemá matemátic ticas as en la Greci Greciaa Antig Antigua, ua, muy temprano se específico una clase específica de problemas para la solución de los cuales, era necesario investigar los pasos al límite, los procesos infinitos, la continuidad...
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Los métodos infinitesimales en la Antigua Grecia, sirvieron de punto de partida par paraa mucha uchass inve invest stig igac acio ione ness de los los matem atemát átic icos os de los los sigl siglos os XVI XVI y XVII XVII.. Parti Particu cula larme rmente nte se estudi estudiab aban an los los método métodoss de Arquím Arquímede edes, s, en especi especial al aquel aquellos los referidos al cálculo de volúmenes. El propio Leibniz escribió que "estudiando los trabajos de Arquímedes cesas de admirar los éxitos de los matemáticos actuales". Duran Durante te la época época de Eucli Euclide dess y Arquím Arquímede edes, s, las matem matemáti ática cass cambi cambiaro aronn fuertemente, fuertemente, tanto en su forma como en su contenido, contenido, haciendo el proceso de formación de nuevas teorías más pausado, hasta llegar a interrumpirse. Entre las nuevas teorías desarrolladas ocupa el primer lugar la teoría de las secciones cónicas, que surgió de las limitaciones del álgebra geométrica. El interés hacia las secciones cónicas creció a medida que aumentaban la cantidad de problemas resueltos con su ayuda. Sin duda, la obra más completa, general y sistemática de las secciones cónicas se debe a Apolonio de Perga. Estos tres últimos matemáticos citados sobresalieron por encima de todos los de su tiempo y sus obras son las que han hecho que se denomine como "Edad de Oro" de la matemática al periodo comprendido entre los años 300 y 200 a.C. En la época del dominio romano destaca la evolución en problemas de cálculo, siendo nece necesa sari rioo seña señala larr la "Mét "Métri rica ca"" de Heró Herónn de Alejandría, formulada en forma de recetario de reglas: regla de extracción de raíces cuadradas y cúbicas; cálculo de áreas y volúmenes; y en espec especia iall la conoci conocida da fórmu fórmula la de Herón Herón para para calcular el área del triángulo conocido los tres lados. Igualmente son destacables los métodos de Diofanto que encontró soluciones a más de 50 clases diferentes de ecuaciones, generalmente de segundo grado, denominadas ecu ecuacio ciones nes dio diofán fánticas cas. La fase final nal se caracteriza por la aparición de "comentaristas" que comentaban las obras clásicas, signo evidente del descenso de creatividad. Y así se afirma que las matemáticas de la Antigua Grecia eran consideradas como una ciencia universal hasta el punto limite.
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2- Grandes Matemáticos El estudio de los matemáticos Euclides i Pitágoras llevo en sus tiempos a un gran avance a las matemáticas. A continuación veremos sus hazañas.
2-1 Euclides Floreció hacia el 300 a.C en Alejandría, y es uno de los tres mayores matemáticos de la Antigüedad y también uno de los mayores de todos los tiempos. El nombre de Euclides está indisolublemente ligado a la geometría, al escribir su famosa obra "Los Elementos", prototipo en esta rama rama de las las mate matemá máti tica cas. s. Si Sinn emba embarg rgoo poco pocoss de los los teoremas que aparecen en sus textos son propios. Lo que Euclides hizo fue, en realidad, reunir en una sola obra todos los conocimientos acumulados desde la época de Tales. El único teorema que la tradición asigna definitivamente a Eucli Euclides des es el teorem teoremaa de Pit Pitág ágora oras. s. La geome geometrí tríaa de Eucl Euclid ides es,, adem además ás de ser ser un pode podero roso so inst instru rume ment ntoo de razonamiento deductivo, ha sido extremadamente útil en muchos campos del conocimiento; por ejemplo, en la física, la astronom astronomía, ía, la química química y diversas diversas ingenier ingenierías. ías. Desde Desde luego, es muy útil en las matemáticas. Inspirados por la armonía de la presentación de Euclides, en el siglo II se formuló la teoría ptolemaica del Universo, según la cual la Tierra es el centro del Universo, y los planetas, la Luna y el Sol dan vueltas a su alrededor en líneas perfectas, o sea círculos y combinaciones de círculos. Sin embargo, las ideas de Euclides constituyen una considerable abstracción de la realidad. supone que un punto no tiene tamaño; que una línea es un conjunto de puntos que no tienen ni ancho ni grueso, solamente longitud; que una superficie no tiene grosor, etcétera. En vista de que el punto, de acuerdo con Euclides, no tiene tamaño, se le asigna una dimensión nula o de cero. Una línea tiene solamente longitud, por lo que adquiere una dimensión igual a uno. Una superficie no tiene espesor, no tiene altura, por lo que tiene dimensión dos: ancho y largo. Finalmente, un cuerpo sólido, como un cubo, tiene dimensión tres: largo, ancho y alto. Euclides intentó resumir todo el saber matemático en su libro Los elementos. La geometría de Euclides fue una obra que perduró sin variaciones hasta el siglo XIX.
2-2 Pitágoras Filó Filóso sofo fo grie griego go naci nacido do en Samo Samoss y mu muer erto to en Metaponto. Es considerado como uno de los Siete Grandes sabios de Grecia y su vida estuvo siempre envuelta por la leyenda. Pitágoras viajó a Egipto y Babilonia, donde asimiló conocimi conocimient entos os tanto tanto matemát matemáticos icos como astronóm astronómicos icos,, así como un gran bagaje religioso. Fundó una secta caracterizada por el retiro, ascetismo y misticismo. A él se le atribuye la invención de la palabra "filósofo".
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El mayor mayor éxito éxito cient científi ífico co atrib atribui uido do a Pit Pitág ágora orass fue su estud estudio io del del sonid sonido, o, descubriendo que las cuerdas de instrumentos musicales producían sonidos de tonos más agudos cuando se las acortaba. Gracias a sus observaciones, el estudio del sonido ha permanecido inalterable hasta nuestros días. Pitágoras pensaba que todo el universo se apoyaba en los números y sus relaciones, procediendo a revestir a los números de ciertas propiedades mágicas, lo que llevó de una manera indirecta a la investigación sobre las propiedades matemáticas de aquellos. Poco se sabe de la niñez de Pitágoras. Todas las pistas de su aspecto físico probablemente sean ficticias excepto la descripción de una marca de nacimiento llamativa que Pitágoras tenía en su muslo. Era ciertamente instruido, aprendiendo aprendiendo a tocar la lira, poesía y a recitar a Homero.
3- Las mujeres también son matemáticas Se ha valorado poco la presencia de mujeres en la historia de las matemáticas. En este espació se hablara de algunas de las mas destacadas.
3-1 Teano El marco histórico en el que nos situamos para estudiar la vida de Teano es el de la antigua Grecia. Durante el periodo de la Grecia clásica se edificó una matemática original y brillante y se toma tomaro ronn algu alguno noss elem elemen ento toss de civi civili liza zaci cion ones es veci vecina nass que que construyeron construyeron quienes les precedieron tanto en Babilonia Babilonia como en Egipto. Por lo que sabemos hoy el tipo de conocimientos conocimientos que nos revel revelan an los papiro papiross egipc egipcio ioss es de carác carácte terr emine eminente nteme mente nte prác práctic tico, o, y tratan tratan sobre sobre cuest cuestion iones es de cálcu cálculo lo aritm aritmét ético ico y mediciones mediciones geométricas. Tales, Pitágoras y Teano aparecen en el siglo VI antes de nuestra era. Son figuras indefinidas históricamente, ya que no ha quedado ninguna obra matemática suya y ni siquiera existe constancia de que las escribieran. A Tales se le considera el primer matemático, a Pitágoras el padre de la matemática y a Teano la primera mujer matemática. Teano nació en Crotona, fue discípula de Pitágoras y se casó con él. Enseñó en la escuela pitagórica. Se conservan fragmentos de cartas y escritos que prueban que fue una mujer que escribió mucho, y eso mismo le atribuye la tradición, que considera como suyos varios tratados de matemáticas, física y medicina. El tratado Sobre la Piedad del que se conserva un fragmento con una reflexión sobre el número se piensa que es de Teano. “He oído decir que los griegos pensaban que Pitágoras había dicho que todo había sido engendrado por el Número. Pero esta afirmación nos perturba: ¿cómo nos podemos imaginar cosas que no existen y que pueden engendrar? Él dijo no que todas las cosas nacían del número, sino que todo estaba formado de acuerdo con el Número, ya que en el número reside el orden esencial, y las mismas cosas pueden ser nombradas primeras, segundas, y así sucesivamente, sólo cuando participan de este orden.”
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Se le atribuyen otros tratados sobre los poliedros regulares y sobre la teoría de la proporción, en particular sobre la proporción áurea. Después de la rebelión contra el gobierno de Crotona, a la muerte de Pitágoras, Teano pasó a dirigir la comunidad, con la escuela destruida y sus miembros exiliados y dispersos, sin embargo con la ayuda de dos de sus hijas difundieron los conocimientos matemáticos y filosóficos por Grecia y por Egipto.
3-2 Hipatia Hipatia nació en Alejandría a mediados del siglo IV, algunas referencias dicen que en el 370 y otras en el 355. 355. Su padr padree Teón Teón de Ale Alejand jandrí ríaa era era un céle célebr bree matemático y astrónomo, muy querido y apreciado por sus contemporáneos, que seguramente trabajaba y daba clas clases es en la bibl biblio iote teca ca del del mo mome ment nto, o, es deci decirr en la biblioteca que en algún momento sustituyó a aquella otra legendaria que desapareció en el incendio del año 48 adC. Teón fue un sabio que no se contentó con guardar los conocimientos de la ciencia para sí y sus discípulos sino que hizo partícipe de ellos a su propia hija. Hipatia por su parte era una mujer abierta a todo el saber que su padre quisiera volcar sobre ella y así fue cómo se educó en un ambiente académico y culto. Teón le transmitió su conocimiento sobre las matemáticas y la astronomía astronomía además de la pasión por la búsqueda de lo desconocido. La casa de Hipatia se convirtió en un lugar de enseñanza donde acudían estudiantes de todas partes del mundo conocido, atraídos por su fama. Uno de sus alumnos fue Sinesio de Cirene, obispo de Ptolemaida (en Fenicia), rico y con mucho poder. Este personaje dejó escrita mucha información sobre Hipatia, su maestra. Otro alumno llamado Hesiquio el Hebreo escribió unas obras que se conservan, en las que también hace una descripción sobre las actividades de Hipatia y asegura que los magistrados acudían a ella para consultarle sobre asuntos de la administración. Dice también que fue una persona muy influyente influyente en el aspecto político. político. Se sabe que inventó un aparato para destilar el agua, un hidrómetro graduado para medir la densidad de los líquidos y un artefacto para medir el nivel del agua. Pero Hipatia era pagana y le tocó vivir en tiempos duros para el paganismo. Su situación llegó a ser muy peligrosa en aquella ciudad que se iba haciendo cada vez más crist cristian iana. a. Los Los filós filósofo ofoss neopla neoplató tónic nicos os como como Hipat Hipatia ia pront prontoo se vieron vieron cruelm cruelmen ente te perseguidos. Algunos se convirtieron al cristianismo, cristianismo, pero Hipatia no consintió en ello a pesar del miedo y de los consejos de sus amigos como el caso de Orestes, prefecto romano y alumno suyo, que no consiguió nada a pesar de sus ruegos. Hipatia resultó ser para sus enemigos, no una mujer científica sino una bruja peligrosa.
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En el año 412 el obispo Cirilo de Alejandría fue nombrado patriarca, un título de dignidad eclesiástica que sólo se usaba en Alejandría, Constantinopla y Jerusalén, que equivalía casi al del papa de Roma. Cirilo era un católico que no consentía ninguna clase de paganismo ni de herejía y que luchó toda su vida defendiendo la ortodoxia de la Iglesia católica y combatiendo el nestorianismo. Los historiadores creen que Cirilo fue el principal responsable de la muerte de Hipatia, aunque no exista documentación directa que lo acredite. Se dice que Cirilo era enemigo de esta mujer, a la que temía y admiraba a la vez. Pero siguiendo la tónica general de la época, no le era posible comprender ni tampoco consentir que una mujer se dedicase a la ciencia y menos aún a esa clase de ciencia que difícilmente podían comprender las personas que no eran eruditas en el tema. Por lo tanto creó un clima y un ambiente de odio y fanatismo hacia ella, tachándola de hechicera y bruja pagana. En el mes de marzo del año 415, Hipatia fue asesinada de la manera más cruel por un grupo de monjes de la iglesia de San Cirilo de Jerusalén. Los hechos están recogidos por un obispo de Egipto del siglo VII llamado Juan de Nikio. En sus escritos justifica la masacre que se hizo en aquel año contra los judíos de Alejandría y también la muerte de Hipatia. Cuenta cómo un grupo de cristianos impetuosos y violentos, seguidores de un lector llamado Pedro fueron en su busca para torturarla y matarla para así liquidar del mundo su herejeria.
3-3 Émile de Breteuil Gabr Gabrie iell llee Émil Émilee Le Tonn Tonnel elie ierr de Bret Breteu euil il,, marquesa de Châtelet, fue una matemática francesa n acida en París el 17 de diciembre de 1706 y fallecida en Lunéville el 10 de septiembre de 1749. Hija de Louis Nicolas Le Tonnelier, barón de Breteuil, introductor de Embajadores de Luis XIV, Émilie tuvo la suerte de vivir en un medio culto: sus padres recibían a los poetas Jean-Baptiste Rousseau y Fontenelle en su salón parisino, a los que ella conoció desde su niñez. Su padre le proporcionó una educación que muy raramente se daba a las mujeres en esa época. Le enseñó latín y, estudi estudió, ó, asimi asimismo smo,, griego griego y alem alemán. án. Dotada Dotada para para la música, aprendió a tocar el clavecín; amante de la danza y del teatro práctico, como amateur, ambas artes, e incluso llegó a experimentar con la ópera. Presentada por su padre en la Corte a los dieciséis años, quedó seducida por los placeres que esta vida le ofrecía. A los 19 años se casó, el 12 de junio de 1725, con el marqués Florent Claude de Châtelet, que tenía 30 años. Con su marido, gobernador de Semur-en-Auxois, vivió durante un tiempo en esta ciudad, donde conoció al matemático matemático de Mezieres. Tuvo la fortuna de tener un marido que no le puso cortapisas, asumiendo sus propias limitaciones y tomando en consideración la capacidad intelectual de su mujer. El matrimonio fue más una cuestión de interés que de amor. Tuvieron tres hijos, el mayor fue Louis Marie Florent de Châtelet. Châtelet. Ëmilie fue amante del marqués de Guébriant y del mariscal Richelieu. El interés y el gusto por el estudio, que demostró precozmente, no le impidieron disfrutar de las veleidades de la Regencia.
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De entre sus diferentes amantes, Voltaire fue el que más influyó en ella, animándola a estudiar física y matemáticas, para las que demostró tener gran aptitud, hasta el punto de que Voltaire la llegó a considerar superior a sí mismo por sus conocimientos. El adjetivo "científica" no existía en ese tiempo, pero lo cierto es que Émilie de Châtelet fue una de las primeras mujeres a las que se pudo calificar con este término. Voltaire tenía 39 años y ella 27. Su relación amorosa duró quince años. Por indicación indicación de Voltaire, Émilie empezó a traducir a Newton, que fue el que la hizo tomar conciencia de que podía pensar por sí misma. Habiendo tenido la suerte, rara para esa época, de haber tenido un padre que no la consideró sólo como "una hija a casar" necesaria únicamente para continuar la descendencia de una línea tuvo, asimismo, la suerte de encontrar a unos compañeros que la consideraron su igual. Voltaire la admiró siem siempr pre, e, alab alaban ando do su inte inteli lige genc ncia ia y sus sus cual cualid idad ades es,, de las las que que ella ella jamá jamáss hizo hizo ostentación. Émilie fue criticada, igual que Voltaire, por las damas de la Corte. Su posición social la ponía a resguardo de los comentarios más ácidos. Conoció, en 1746 al marqués Jean-François de Saint-Lambert, poeta, del que se enamoró, dejó a Voltaire, con el que conservó, no obstante, una amistad que duró hasta su fallecimiento, que le sobrevino tres años más tarde, tras un embarazo, a los 43 años, del que nació una hija que no la sobrevivió. Fue Voltaire el que se encargó de publicar la famosa traducción que su amiga había hecho de Newton y que había enviado a la biblioteca real, como si hubiera presentido su próximo final.
3-4 Carolina Herschel Nació en Hanover en una familia numerosa de músicos, pero no recibió una educación formal, ya que su madre pensaba que solo debía recibir la formación suficiente para ser una buena ama de casa y cuidar de sus hermanos y hermanas. Dos de sus hermanos, William y Alexander, eran músicos en Inglaterra y cuando Carolina tenía 22 años se fue con ellos para estudiar canto. Aunque tuvo éxito como soprano, la educación que había recibido la había hecho tan dependiente que sólo cantaba cuando la dirigía su hermano William. Cuando éste dejó la música para dedicarse a la astronomía, (fue nombrado astrónomo del rey) ella también dejó de cantar, y así comenzó su carrera científica como ayudante de su hermano, a partir de las lecciones que éste le daba, hasta que poco a poco se fue formando a sí misma. Trabajaba duramente, por la noche observaba estrellas y de día realizaba realizaba los cálculos cálculos matemáticos y escribía los trabajos científicos. También ayudó a su hermano a construir telescopios más grandes y más potentes que permitieran estudiar astros más lejanos que la luna y los planetas. Cuando Carolina tenía 32 años su hermano le regaló un pequeño telescopio, "el barredor de cometas" que le permitió realizar un trabajo independiente cuando él no estaba. En el verano de 1786, Carolina tenía ya un pequeño observatorio propio.
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Cuando Carolina tenía treinta y siete años el rey Jorge III le asignó un salario como asistente de su hermano, lo que le proporcionó cierta independencia económica. Un año más tarde su hermano se casó y dejaron de vivir en la misma casa. Fueron Fueron sus años más productiv productivos os porque, lib liberad eradaa de las tareas doméstica domésticas, s, pudo dedicarse plenamente a la astronomía y se convirtió en una celebridad científica. Colaboró con su hermano en el descubrimiento de mil estrellas dobles, demostrando que muchas eran sistemas binarios, lo que suponía la primera prueba de la existencia de la gravedad fuera del sistema solar. A los 58 años tuvo que cuidar de su hermano Dietrich durante cuatro años. Por primera vez empezó a tener conflicto entre su educación, que le imponía un cuidado abnegado hacia sus hermanos, y sus estudios de astronomía que ocupaban parte del tiempo que tenía que dedicar a dormir. Cuando murió su hermano William, Carolina dejó Inglaterra y volvió a Hannover. Recibió la Medalla de Oro de la Real Sociedad de Astronomía y la nombraron miembro honorario de la sociedad. La nombraron miembro de la Real Academia Irlandesa y el rey de Prusia le concedió la Medalla de Oro de las Ciencias. Sólo al final de su vida fue reconocido su trabajo, ha sido sin duda la mujer que más ha contribuido al avance de la astronomía de todos los tiempos.
3-5 Grace Chisholm Young Naci Nacióó en Ingla Inglater terra, ra, duran durante te la época época victo victoria riana. na. Su familia gozaba de una privilegiada situación y de una elevada educación. Su padre había tenido un prestigioso cargo en el Departamento de Pesas y Medidas del gobierno británico y la madre era una consumada pianista que, junto a su padre, daba recitales de violín y de piano. Era la más pequeña de cuatro hermanos, todos eran hombres menos ella. Solo le enseñaban lo que quería aprender que era cálculo mental y música, que le enseñaba su madre hasta los diez años. A los 17 pasó los exámenes de Cambridge, pero no le dejaron seguir estudiando por ser mujer. Más tarde a los 21 años decidió continuar continuar estudiando. Escribió Primer libro de Geometría en el que opinaba sobre el interés que tenía enseñar geometría utilizando cuerpos geométricos en tres dimensiones. Quería estudiar medicina pero su madre no aprobó esa elección, por lo que con el apoyo de su padre come comenz nzóó a estu estudi diar ar mate matemá máti tica cas. s. Entr Entróó en la univ univer ersi sida dadd de Camb Cambri ridg dge. e. Tuvo Tuvo dificultades dificultades para asistir a clases de Arthur Cayley pero obtuvo allí allí su licenciatura. Para proseguir su carrera como matemática debió abandonar su país, pues en él aún no era posible que una mujer se doctorase, e ir a Göttingen. Grace consiguió doctorarse, la podemos considerar como la primera mujer que consiguió doctorarse en matemáticas de una forma "normal". Volvió a Inglaterra, y su tesis fue reproducida y enviada a aquellas aquellas personas que le pudieran interesar. Una de estas personas fue William Young que le pidió su colaboración para escribir un libro de astronomía. Willian la solicitó en matrimonio y ella lo rechazó, pero la insistencia de Willian no cesó hasta que se casaron. Durante el primer año de matrimonio vivieron en Cambridge a final de ese año nació su primer hijo y además Willian decidió trasladarse a Alemania, pasaron gran parte de su vida viajando por: Alemania, Inglaterra, Suiza e Italia. Tuvo seis hijos y una familia tan numerosa no 12
permitía desarrollar muchas actividades fuera del hogar. Ella elaboró una serie de textos, e hizo unas aportaciones aportaciones a la Integral de Lebesque y estudio de las Derivadas de las Funciones Reales.
4- Etimología Matemática El significado de algunas palabras matemáticas son desconocidas para muchas personas. Partiendo todas de la base numérica de 10 cifras (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). En este apartado se citara citarann algun algunas as de los térmi términos nos matem matemáti áticos cos más más utilizados y conocidos.
4-1 Cálculo Conocido como la acción de calcular, el cálculo es usado como razonamiento lógico-matemático para realizar operaciones tan simples como las de las potencias. Su Historia se remonta a los tiempos de los Griegos.
De la Grecia Clásica a la Edad media. El término "cálculo" procede del latín calculum, piedrecita que se mete en el calzado y que produce molestia. Precisamente tales piedrecitas ensartadas en tiras constituían el ábaco romano que, junto con el suwanpan chino, constituyen las primeras máquinas de calcular en el sentido de contar. Los antecedentes de procedimiento de cálculo se encuentran en los que utilizaron los geómetras griegos, Eudoxo en particular, en el sentido de llegar por aproximación de restos cada vez más pequeños, a una medida de figuras curvas; así como Diofanto precursor del álgebra. La consi conside derac ració iónn del cálcu cálculo lo como como una forma forma de razona razonamie mient ntoo abstra abstract ctoo aplicado en todos los ámbitos del conocimiento se debe a Aristóteles, quien en su Lógi Lógica ca fue fue el prim primer eroo en form formal aliz izar ar y simb simbol oliz izar ar los los ti tipo poss de razo razona nami mien ento toss categóricos. El algoritmo actual de cálculo aritmético como universal es fruto de un largo proceso histórico a partir de las aportaciones de al-Juwarizmi en el siglo IX. Se introdujo el 0 introducido en Europa por los árabes. La escritura antigua de núme número ross en Babi Babilo loni nia, a, en Egip Egipto to,, en Grec Grecia ia o en Roma Roma,, hací hacíaa mu muyy difí difíci cill un procedimiento mecánico de cálculo. El sistema decimal fue muy importante para el desarrollo de la contabilidad de los comerciantes de la Baja Edad Media, en los inicios del capitalismo. A finales de la Edad Media la discusión entre los partidarios del ábaco y los partidarios del algoritmo se decantó claramente por estos últimos. El concepto de función por tablas ya era practicado de antiguo pero adquirió especial importancia en la Universidad de Oxford en el siglo XIV. La idea de un lenguaje o algoritmo capaz de determinar todas las verdades, incluidas las de la fe, aparecen en el intento de Raimundo Lulio en su Ars Magna
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A fin de lograr una operatividad mecánica se confeccionaban confeccionaban unas tablas a partir de las cuales se podía generar un algoritmo prácticamente mecánico.
Renacimiento El sistema que usamos actualmente fue introducido por Luca Pacioli en 1494, y fue creado y desarrollado para responder a la necesidad de la contabilidad en los negocios de la burguesía renacentista. El desarrollo del álgebra (con la introducción de un sistema de símbolos por un lado, y la resolución de problemas por medio de las ecuaciones) vino de la mano de los grandes grandes matemát matemáticos icos renacentist renacentistas as como como Tartagli Tartaglia, a, Stévin, Stévin, Cardano Cardano o Vieta Vieta y fue esencial para el planteamiento y solución de los más diversos problemas que surgieron en la época como consecuencia de los grandes descubrimientos que hicieron posible el progreso científico científico que surgirá en el siglo XVII.
Siglos XVII y XVIII En el siglo XVII el cálculo conoció un enorme desa desarr rrol ollo lo sien siendo do los los auto autore ress más más dest destac acad ados os Descartes, Pascal y, finalmente, Leibniz y Newton con el cálculo infinitesimal que en muchas ocasiones ha recibido simplemente, por absorción, el nombre de cálculo. El concepto de cálculo formal en el sentido de algorit ritmo reglado para el desarrollo de un razonamiento y su aplicación al mundo de lo real adqu adquie iere re una una im impo port rtan anci ciaa y desa desarr rrol ollo lo enor enorme me respondiendo a una necesidad de establecer relaciones matemáticas entre diversas medidas, esencial para el progreso de la ciencia física que, debido a esto, es tomada como nuevo modelo de Ciencia frente a la espec especula ulaci ción ón tradi tradicio cional nal filos filosóf ófica ica,, por el rigor rigor y seguridad que ofrece el cálculo matemático. Cambia así el sentido tradicional de la Física como Ciencia de la Naturaleza y toma el sentido de ciencia que estudia los cuerpos materiales, en cuanto materiales. A partir de entonces el propio sistema de cálculo permite establecer modelos sobre la realidad física, cuya comprobación experimental supone la confirmación de la teoría como sistema. Es el momento de la consolidación del llamado método científico cuyo mejor exponente es en aquel momento la Teoría de la Gravitación Universal y las leyes de la Mecánica de Newton.
Siglos XIX y XX Si bien la Lógica de Aristóteles fue desarrollada, como hemos visto, a lo largo de los siglos a finales del siglo XVIII, opinaba que la Lógica aristotélica no había sufrido modificaciones sustanciales por tratarse de una ciencia formal, a priori y analítica. 14
Durante el siglo XIX y XX el desarrollo científico y la creación de modelos teóric teóricos os fundad fundados os en siste sistemas mas de cálc cálculo ulo aplic aplicabl ables es tanto tanto en mecáni mecánica ca como como en electromagnetismo y radioactividad, etc. así como en astronomía fue impresionante. Los sistemas de cálculo matemático amplían horizontes nuevos geometrías no euclidianas que encuentran aplicación en modelos teóricos de astronomía y física. El mundo deja de ser un conjunto de infinitas partículas que se mueven en un espacio-tiempo absoluto y se convierte en un espacio de configuración o espacio de fases de n dimensiones que físicamente se hacen consistentes en la teoría de la relatividad, la mecánica cuántica, la teoría de cuerdas etc. que cambia por completo la imagen del mundo físico. La lóg lógic icaa asimi asimismo smo sufrió sufrió una transf transform ormaci ación ón radica radical.l. La formal formaliz izaci ación ón simbólica fue capaz de integrar las leyes lógicas en un cálculo matemático, hasta el punto que la distinción entre razonamiento lógico-formal y cálculo suele considerarse como meramente utilitaria. En la segunda mitad del siglo XIX y primer tercio del XX, a partir del intento de formalización de todo el sistema matemático, Frege, y de matematización de la lógica, (Bolzano, Boole, Whitehead, Russell) fue posible la generalización del concepto como cálculo lógico. Se lograron métodos muy potentes de cálculo, sobre todo a partir de la posibilidad de tratar como “objeto” conjuntos de infinitos elementos, dando lugar a los números transfinitos de Cantor. Los intentos de axiomatizar el cálculo como cálculo perfecto por parte de Hilbert y Poincaré, llevaron, como consecuencia de diversas paradojas (Cantor, Russell etc.) a nuevos intentos de axiomatización, Axiomas de Zermelo-Fraenkel y a la demostración de Gödel de la imposibilidad imposibilidad de un sistema de cálculo perfecto: consistente, decidible y completo Teorema de Gödel en 1931, de grandes implicaciones lógicas, matemáticas y científicas.
Actualidad En la actualidad, el cálculo en su sentido más general, en tanto que cálculo lógicoo inter lógic interpre preta tado do matem matemáti ática camen mente te como como siste sistema ma binar binario io,, y física físicame mente nte hecho hecho material mediante la lógica de circuitos electrónicos, ha adquirido una dimensión y desarrollo impresionante por la potencia de cálculo conseguida po por los orde ordennador adorees, pro propiam piameente máq máquin uinas computadoras. La capacidad y velocidad de cálculo de estas máquinas hace lo que humanamente sería imposible: millones de operaciones/seg. El cálculo así utilizado se convierte en un inst instru rume ment ntoo fund fundam amen enta tall de la inve invest stig igac ació iónn científica por las posibilidades que ofrece para la modelaci modelación ón de las teorías teorías científ científica icas, s, adquirie adquiriendo ndo especial relevancia en ello el cálculo numérico.
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El Cálculo Aritmético Aritmética es la rama de las matemáticas que estudia ciertas operaciones de los números y sus propiedades elementales. Proviene del griego arithmos y techne que quieren decir respectivamente números y habilidad. El número en aritmética elemental tiene la consideración de número natural referido, en el campo de la experiencia, a la unidad, entendida bien como cantidad bien como medida. De hecho el cálculo más natural y primitivo surge de la necesidad de contar y medir. Pero las formas y modos para realizar el cálculo han surgido según las diversas formas de sistemas de numeración, así como su trascripción gráfica. “La aritmética no es, como tampoco, la geometría, una promoción natural de una razón inmutable. La Aritmética no está fundada en la razón. Es la doctrina de la razón la que está fundada en la aritmética elemental. Antes de saber contar apenas sabíamos qué era la razón. En general, el espíritu debe plegarse a las condiciones del saber”. Bachelard.
El Cálculo Algebraico El álgebra es la rama de la matemática que estudia estructuras, relaciones y cantidades. Junto a la geometría, el análisis matemático, la combinatoria y la teoría de números, el álgebra es una de las principales ramas de la matemática. matemática. La palabra «álgebra» deriva del tratado escrito por el matemático persa Muhammad ibn Musa al-Jwariz al-Jwarizmi, mi, titulad tituladoo Al-Kitab Al-Kitab al-Jabr al-Jabr wa-l-Muqa wa-l-Muqabal balaa el cual proporci proporcionab onabaa oper operac acio ione ness simb simból ólic icas as para para la solu soluci ción ón sist sistem emát átic icaa de ecua ecuaci cion ones es li line neal ales es y cuadráticas.
El Cálculo infinitesimal o integral Dem Demócrit rito calcul culó el volu olumen de pirám rámides des y cono conos, s, se cree ree que considerándolos formados por un número infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequeño), y Eudoxo y Arquímedes utilizaron el "método de agotamiento" para encontrar el área de un círculo con la exactitud requerida mediante el uso de polígonos inscritos. inscritos. Sin embargo, las dificultades para trabajar con números irracionales y las paradojas de Zenón de Elea impidieron formular una teoría sistemática del cálculo. En el siglo XVII, Cavalieri y Torricelli ampliaron el uso de los infinitesimales, y Descartes y Fermat utilizaron el álgebra para encontrar el área y las tangentes. Fermat y Barrow tenían la certeza de que ambos cálculos estaban relacionados, aunque fueron Newton (hacia 1660) y Leibniz (hacia 1670) quienes demostraron que son inversos, lo que se conoce como teorema fundamental del cálculo. El descubrimiento descubrimiento de Newton, a partir de su teoría de la gravedad, fue anterior al de Leibniz, pero el retraso en su publicación aún provoca disputas sobre quién fue el primero. Sin embargo, terminó por adoptarse la notación de Leibniz.
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En el siglo XVIII aumentó considerablemente el número de aplicaciones del cálculo, pero el uso impreciso de las cantidades infinitas e infinitesimales, así como la intuición intuición geométrica, geométrica, causaban todavía confusión y controversia sobre sus fundamentos. fundamentos. Uno de sus críticos más notables fue el filósofo George Berkeley. En el siglo XIX los analistas matemáticos sustituyeron esas vaguedades por fundamentos sólidos basados en canti cantidad dades es finit finitas as:: Bolza Bolzano no y Cauchy Cauchy defini definiero eronn con preci precisió siónn los los lím límite itess y las las derivadas, Cauchy y Riemann hicieron lo propio con las integrales, y Dedekind y Weie Weiers rstr tras asss con con los los núme número ross real reales es.. Po Porr ejem ejempl plo, o, se supo supo que que las las func funcio ione ness diferenciables son continuas y que las funciones continuas son integrables, aunque los recíprocos son falsos. En el siglo XX, el análisis no convencional, legitimó legitimó el uso de los infinitesimales. Al mismo tiempo, la aparición de los ordenadores ha incrementado las aplicaciones del cálculo.
4-2 El Algebra El álgebra dio lugar con el tiempo a desarrollos más complejos, de tal manera que es común dividir hoy en día toda el álgebra en las siguientes categorías:
·Álgebra elemental, que se restringe al uso de símbolos abstractos para cantidades numéricas y a la resolución de problemas matemáticos elementales eminentemente prácticos por medio de signos.
·Álgebra abstracta, que se ocupa del estudio en sí misma de las estructuras algebraicas y sus propiedades. Dentro de ésta se distingue: -Álgebra lineal, estudia las propiedades específicas de los espacios vectoriales. -Álgebra universal, estudia las ideas comunes a todas las estructuras algebraicas. -Teoría de números algebraicos, una rama de la teoría de los números en la cual el concepto de número se expande a los números algebraicos los cuales son raíces de los polinomios con coeficientes racionales. -Geometría algebraica, combina el Álgebra abstracta, especialmente el Álgebra conmutativa, con la geometría.
Algebra Elemental El Álgebra elemental es la forma más básica del álgebra. A diferencia de la aritmética, en donde solo se usan los números y sus operaciones aritméticas (como +, ), en álgebra los números son representados por símbolos (usualmente a, b, x, y ). −, ×, ÷ ), Esto es útil porque: Permite la formulación general de leyes de aritmética (como a + b = b + a), y esto es el primer paso para una exploración sistemática sistemática de las propiedades de los números reales. Permite referirse a números "desconocidos", formular ecuaciones y el estudio de como resolverlas. Permite la formulación de relaciones funcionales. •
•
•
El Algebra Abstracta El álgebra abstracta es el campo de la matemática que estudia las estructuras algebraicas como las de grupo, anillo, cuerpo o espacio vectorial. Muchas de estas 17
estructuras fueron definidas formalmente en el siglo XIX, y, de hecho, el estudio del álgebra abstracta fue motivado por la necesidad de más exactitud en las definiciones matemáticas. El estudio del álgebra abstracta ha permitido observar con claridad lo intrínseco de las afirmaciones lógicas en las que se basan todas las matemáticas y las cien cienci cias as natu natura rale les, s, y se usa usa hoy hoy en día día prác prácti tica came ment ntee en toda todass las las rama ramass de la matem matemáti ática ca.. Además Además,, a lo largo largo de la histo historia ria,, los los algeb algebris rista tass descub descubrie rieron ron que estructuras lógicas aparentemente diferentes muy a menudo pueden caracterizarse de la misma forma con un pequeño conjunto de axiomas. El término álgebra abstracta se usa para distinguir este campo del álgebra elemental o del álgebra de la escuela secundaria que muestra las reglas correctas para manipular fórmulas y expresiones algebraicas que conciernen a los números reales y números complejos. El álgebra abstracta fue conocida durante la primera mitad del siglo XX como álgebra moderna. Históricamente, Históricamente, las estructuras algebraicas surgen en algún otro campo distinto a la propia álgebra. Posteriormente, han sido axiomatizadas y luego estudiadas de propio derecho en dicho marco. Por eso, esta materia tiene numerosas y fructíferas conexiones con todas las demás ramas de la matemática. Algunos ejemplos de estructuras algebraicas con una sola operación binaria son los: • • •
•
•
Magmas: es un tipo de estructura algebraica especialmente elemental. Casigrupos Semigrupos: es una estructura algebraica de la forma (A,+) donde + es una operación binaria y asociativa. Monoides: es un semigrupo con elemento neutro. Un monoide abeliano es un monoide conmutativo. Grupos: es un magma (un conjunto, con una operación binaria), que satisface ciertos axiomas.
Otros ejemplos más complejos son: • • • •
Anillos y cuerpos Módulos y Espacios vectoriales Álgebras asociativas y Álgebras de Lie Retículos y álgebras de Boole
Estructura Algebraica En la matemática, una estructura algebraica es un conjunto de elementos con unas propiedades operacionales determinadas, es decir, lo que define a la estructura del conjun conjunto to son las operac operacio iones nes que se pueden pueden reali realiza zarr con los los eleme elemento ntoss de dicho dicho conjunto y las propiedades matemáticas que dichas operaciones poseen. Un objet objetoo matemá matemáti tico co const constit itui uido do por un conjun conjunto to no vacío vacío y algun algunas as leyes leyes de composición interna definida en él es una estructura algebraica.
Signos y Símbolos del Algebra En el álgebra se utilizan signos y símbolos -en general utilizados en la teoría de conjuntos- que constituyen ecuaciones, matrices, series, etc. 18
Aquí algunos ejemplos: Signos y Símbolos
Expresión
Uso
+
A demás de expresar adición, también es usada para expresar operaciones binarias Expresan Términos constantes
cók
Prim Primer eras as letr letras as Se utiliza para expresar cantidades conocidas del alfabeto a, b, c,... Ult Ultimas letras ras Se utiliza para expresar incógnitas del alfabeto ...,x, y, z n Expresa cualquier número (1,2,3,4,...,n) Exponentes subíndices
y Expre Expresar sar canti cantidad dades es de la mism mismaa especi especiee de difere diferente nte magnitud
a', a'', a''', - a 1 , a 2 ,a3
4-3 El Algoritmo Un algoritmo, es una lista bien definida, ordenada y finita de operaciones que permite hallar la solución a un problema. Dado un estado inicial y una entrada, a través de pasos sucesivos y bien definidos se llega a un estado final obteniendo una solución. Los algoritmos son objeto de estudio de la algoritmia y su definición definición queda formalizada por el modelo computacional computacional de la Máquina de Turing. Su importancia radica en mostrar la manera de ll llev evar ar a cabo cabo proc proces esos os y reso resolv lver er mecá mecáni nica came ment ntee problemas matemáticos o de otro tipo. Al igual que las funci funcione oness matem matemáti áticas cas,, los los algor algoritm itmos os recibe recibenn una entrada y la transforman en una salida, comportándose com omoo una caja negra egra.. Sin embarg bargoo, para que que un algor algorit itmo mo pueda pueda ser consi consider derado ado como como tal, tal, debe debe ser ser dete determ rmin inis ista ta,, efic eficie ient nte, e, tene tenerr un núme número ro fini finito to de instrucciones instrucciones y debe acabar. Por determinista determinista se entiende que si se sigue el mismo proceso más de una vez se llega siempre al mismo resultado. En la vida cotidiana se emplean algoritmos en multitud de ocasiones para resolver diversos problemas. Existen ejemplos de índole matemática, matemática, como el algoritmo de la división para calcular el cociente de dos números, el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor de dos enteros positivos, o el método de Gauss para resolver un Sistema lineal de ecuaciones.
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Características de los algoritmos El cien cientí tífi fico co de comp comput utac ació iónn Dona Donald ld Knut Knuthh ofre ofreci cióó una una li list staa de cinc cincoo propiedades, que son ampliamente aceptadas como requisitos para un algoritmo: 1. Carácter finito. finito. "Un algoritmo siempre debe terminar después de un número finito de pasos ". 2. Precisión. Precisión. "Cada paso de un algoritmo debe estar precisamente definido; las 3. 4. 5.
operaciones a llevar a cabo deben ser especificadas de manera rigurosa y no ambigua para cada caso ". Entrada. Entrada. "Un algoritmo tiene cero o más entradas: cantidades que le son dadas antes de que el algoritmo comience, o dinámicamente mientras el algoritmo corre. Estas entradas son tomadas de conjuntos específicos de objetos ". Salida. Salida. "Un algori algoritmo tmo tiene tiene una o más salid salidas: as: canti cantidad dades es que tiene tienen n una relación específica con las entradas ". Eficacia. Eficacia. " También se espera que un algoritmo sea eficaz, en el sentido de que todas las operaciones a realizar en un algoritmo deben ser suficientemente básicas como para que en principio puedan ser hechas de manera exacta y en un tiempo finito por un hombre usando lápiz y papel ".
Knuth admite que, aunque su descripción pueda ser intuitivamente clara, carece de rigor formal, puesto que no está exactamente claro qué significa "precisamente definido", "de manera rigurosa y no ambigua", o "suficientemente básicas", y así sucesivamente. A partir del carácter finito y de la salida se deduce que ante una misma situación inicial (o valores de entrada) un algoritmo debe proporcionar siempre el mismo resultado (o salida), con excepción de los algoritmos probabilistas.
Medios de Expresión de un Algoritmo Los Los algor algoritm itmos os pueden pueden ser expres expresado adoss de mu much chas as maner maneras, as, incluy incluyend endoo al lenguaje natural, pseudocódigo, diagramas de flujo y lenguajes de programación entre otros. Las descripciones en lenguaje natural tienden a ser ambiguas y extensas. El usar pseudocódigo y diagramas de flujo evita muchas ambigüedades del lenguaje natural. Dichas Dichas expresion expresiones es son formas formas más estructu estructuradas radas para represent representar ar algoritm algoritmos; os; no obstante, se mantienen independientes de un lenguaje de programación específico. La descripción de un algoritmo usualmente se hace en tres niveles: 1. Descripción de alto nivel. nivel . Se establece el problema, se selecciona un modelo matemático y se explica el algoritmo de manera verbal, posiblemente con ilustraciones y omitiendo detalles. 2. Descripción formal. formal. Se usa pseudocódigo para describir la secuencia de pasos que encuentran la solución. 3. Implementación. Implementación. Se mu mues estr traa el algo algori ritm tmoo expr expres esad adoo en un leng lengua uaje je de programación específico o algún objeto capaz de llevar a cabo instrucciones. También es posible incluir un teorema que demuestre que el algoritmo es correcto, un análisis de complejidad o ambos.
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Diagrama de flujo Los diagramas de flujo son descripciones gráficas de algoritmos; usan símbolos conectados con flechas para indicar la secuencia de instrucciones y están regidos por ISO. Los diagramas de flujo son usados para representar algoritmos pequeños, ya que abarcan mucho espacio y su construcción es laboriosa. Por su facilidad de lectura son usados como introducción a los algoritmos, descripción descripción de un lenguaje y descripción descripción de procesos a personas ajenas a la computación.
Pseudocódigo Pseudocódigo es la descripción de un algoritmo que asemeja a un lenguaje de programación pero con algunas convenciones convenciones del lenguaje natural. Tiene varias ventajas con respecto a los diagramas de flujo, entre las que se destaca el poco espacio que se requiere para representar instrucciones complejas. El pseudocódigo no está regido por ningún estándar.
Máquina de Turing La máquina de Turing es un modelo matemático, matemático, diseñado por Alan Turing, que formaliza el concepto de algoritmo. A este modelo se le refiere comúnmente como la «descripción de más bajo nivel» por el hecho de que no utiliza ninguna expresión coloquial.
Implementación Much Muchos os algo algori ritm tmos os son son idea ideado doss para para im impl plem emen enta tars rsee en un prog progra rama ma de computadora. Sin embargo, los algoritmos pueden ser implementados en otros medios, como una red neuronal, un circuito eléctrico o un aparato mecánico. Algunos algoritmos inclu inclusiv sivee se diseña diseñann especi especialm alment entee para para imp implem lement entars arsee usando usando lápiz lápiz y papel. papel. El algo algori ritm tmoo de mu mult ltip ipli lica caci ción ón trad tradic icio iona nal, l, el algo algori ritm tmoo de Eucl Euclid ides es,, la Crib Cribaa de Eratóstenes Eratóstenes y muchas formas de resolver la raíz cuadrada son sólo algunos ejemplos.
Análisis de Algoritmos Como medida de la eficiencia de un algoritmo, se suelen estudiar los recursos (memor (memoria ia y tiempo tiempo)) que consu consume me el algor algorit itmo. mo. El análi análisis sis de algori algoritm tmos os se ha desarrollado para obtener valores que de alguna forma indiquen (o especifiquen) la evolución del gasto de tiempo y memoria en función del tamaño de los valores de entrada. El análisis y estudio de los algoritmos es una disciplina de las ciencias de la computación y, en la mayoría de los casos, su estudio es completamente abstracto sin usar ningún tipo de lenguaje de programación ni cualquier otra implementación; por eso, en ese sentido, comparte las características de las disciplinas matemáticas. Así, el análisis de los algoritmos se centra en los principios básicos del algoritmo, no en los de la implementación particular. Una forma de plasmar (o algunas veces "codificar") un algoritmo es escribirlo en pseudocódigo o utilizar un lenguaje muy simple tal como Léxico, cuyos códigos pueden estar en el idioma del programador. 21
Algunos escritores restringen la definición de algoritmo a procedimientos que deben acabar en algún momento, mientras que otros consideran procedimientos que podrían ejecutarse eternamente eternamente sin pararse, suponiendo el caso en el que existiera existiera algún dispositivo físico que fuera capaz de funcionar eternamente. En este último caso, la finalización con éxito del algoritmo no se podría definir como la terminación de éste con una salid salidaa satisf satisfac actor toria ia,, sino sino que el éxito éxito esta estaría ría defini definido do en funci función ón de las las secuencias de salidas dadas durante un periodo de vida de la ejecución del algoritmo.
4-4 Los Números amigos Dos números amigos son dos enteros positivos tales que la suma de los divisores propios de uno de ellos es igual al otro. Un ejemplo es el par (220, 284), ya que: •
•
Los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110, que suman 284 Los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142, que suman 220
Alrededor del año 850, Tabit Ibn Qurra (826-901) descubrió una fórmula general para la cual se podían hallar números amigos: p = 3 × 2n-1 - 1, q = 3 × 2n - 1, r = 9 × 22n-1 - 1, donde n > 1 es entero y p, q, y r son números primos, entonces 2n pq y 2nr son un par de números amigos. Los números amigos han sido estudiados por Al Madshritti, Abu Mansur Tahir al-Baghdadi, Pierre de Fermat, René Descartes, a quien se atribuye a veces la fórmula de Tabit, C. Rudolphus y otros. La fórmula de Tabit fue generalizada por Euler. Si un número es amigo de sí mismo (es igual a la suma de sus divisores propios), recibe el nombre de número perfecto.
4-5 Los Números primos El conjunto de los números primos es un subconjunto de los números naturales que engloba a todos los elementos de este conjunto mayores que 1 que son divisibles únicamente únicamente por sí mismos y por la unidad. Los números primos menores que cien, son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97. El teorema fundamental de la Aritmética establece establece que cualquier cualquier número natural mayor que 1 siempre puede representarse como un producto de números primos, y esta representación representación (factorización) es única.
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4-6 El Número de Oro Representado por la letra griega Φ (fi) (en honor al escultor griego Fidias), es el número irracional:
Se trata de un número que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en las partes de un cuerpo, y en la naturaleza como relación entre cuerpos, en la morfología de diversos elementos elementos tales como caracolas, nervaduras de las hojas de algunos árboles, el grosor de las ramas, proporciones humanas, etc.
La Historia del Número de Oro El número áureo o la proporción áurea se estudiaron desde la antigüedad, antigüedad, ya que aparece regularmente en geometría. Se conoce ya de su existencia en los pentágonos regulares y pentáculos de las tabletas sumerias de alrededor del 3200 a. C. En la antigua Grecia se utilizó para establecer las proporciones de los templos, tanto en su planta como en sus fachadas. Por aquel entonces no recibía ningún nombre especial, ya que era algo tan familiar entre los antiguos griegos que "la división de un segmento en media extrema y razón" era conocida generalmente como "la sección". En el Part Parten enón ón,, Fidi Fidias as tamb tambié iénn lo apli aplicó có en la comp compos osic ició iónn de las las escu escult ltur uras as.. (la (la deno denomi mina naci ción ón Fi, Fi, por por ser ser la prim primer eraa letr letraa de su nomb nombre re,, la efec efectu tuóó en 1900 1900 el matemático matemático Mark Barr en su honor). El Partenón, mostrando los rectángulos rectángulos áureos usados posiblemente en su construc construcción ción.. Plat Platón, ón, consider consideróó la sección sección áurea como la mejor de todas las relaciones matemáticas y la llave a la física del cosmos. La sección áurea se usó mucho en el Renacimi Renacimiento ento,, particu particularm larmente ente en las artes artes plásticas y la arquitectura. Se consideraba la propo proporci rción ón perfe perfect ctaa entre entre los lados lados de un rectángu rectángulo. lo. Da Vinci Vinci hizo las ilu ilustra stracion ciones es para una disertación publicada por Luca Pacioli en 1509 titulada De Divina Proportione, quiz quizás ás la refe refere renc ncia ia más más temp tempran ranaa en la literatura a otro de sus nombres, el de
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"Divina Proporción". Este libro contiene los dibujos hechos por Leonardo da Vinci de los cinco sólidos platónicos. Es probable que fuera Leonardo quien diera por primera vez el nombre de sectio áurea. En 1525, Alberto Durero publica Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas donde describe cómo trazar con regla y compás la espiral basada en la sección áurea, que se conoce como “espiral de Durero”. El rostro de la Gioconda proporcionado con rectángulos áureos. Los artistas de Renacimi Renacimiento ento util utiliza izaron ron la sección sección áurea áurea en múlt múltiple ipless ocasione ocasioness tanto tanto en pint pintura, ura, escultura como arquitectura para lograr el equilibrio y la belleza. Leonardo da Vinci, por ejemplo, la utilizó para definir todas las proporciones fundamentales en su pintura La última cena, desde las dimensiones de la mesa, hasta la disposición de Cristo y los discípulos sentados, así como las proporciones de las paredes y ventanas al fondo. Leon Leonar ardo do da Vinc Vinci, i, en su cuad cuadro ro de la Gioc Giocon onda da (o Mona Mona Lisa Lisa)) util utiliz izóó rectángulos áureos para plasmar el rostro de Mona Lisa. Se pueden localizar muchos detalles de su rostro, empezando porque el mismo rostro se encuadra en un rectángulo áureo. El astrónomo Johannes Kepler, descubridor de la naturaleza elíptica de las órbitas de los planetas alrededor del Sol, mencionó también la divina proporción: “La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras; el otro, la división de una línea entre el extremo y su proporcional. El primero lo podemos comparar a una medida de oro; el segundo lo debemos denominar una joya preciosa”. Y, creyente como era dijo: "no cabe duda de que Dios es un gran matemático".
FIN
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