Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Geometría Descriptiva
POLIEDROS poliedro es un cuerpo geométrico cuyas caras son planas y encierran un volumen finito. La palabra poliedro viene del griego clásico πολύεδρον (polyedron), de la raíz πολύς (polys), "muchas" y de έδρα (edra), "base", "asiento", "cara
No esperes que los demás te animen a hacer algo. Tu futuro es tuyo y de nadie mas ❀
POLIEDROS REGULARES
Tetraedro
Cubo
o Hexaedro
Octaedro
Dodecaedro
Icosaedro
PRISMAS
Triangular
Cuadrangular
Pentagonal
Hexagonal
PIRÁMIDES Triangular
Cuadrangular
Pentagonal
Hexagonal
CUERPOS REDONDOS
Cilindro
Cono
Esfera
SUPERFICIE PRISMÁTICA: •
Se llama superficie prismática a aquella que genera una recta(generatriz), al deslizarse paralelamente a su posición inicial, a lo largo de una poligonal o polígono (directriz).
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Si la directriz es una poligonal, la superficie prismática es abierta. Si es un polígono, la superficie es cerrada.
PRISMA •
Un prisma, es el poliedro determinado al interceptar una superficie prismática cerrada, mediante dos planos paralelos entre sí.
CLASIFICACIÓN DE LOS PRISMAS •
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PRISMA RECTO: Es aquel cuyas aristas laterales son perpendiculares a las bases. Las caras laterales son regiones rectangulares, y las aristas laterales son congruentes a la altura. PRISMA OBLÍCUO: Tiene sus aristas laterales oblicuas a las bases. PRISMA REGULAR: Aquel prisma recto, cuyas bases corresponden a polígonos regulares. (En cualquier otro caso, el prisma no es regular)
Según sus bases sean regiones triangulares, cuadrangulares, pentagonales, etc., los prismas se llaman triangulares, cuadrangulares, pentagonales etc.
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Una ―sección‖ de n prisma, es la región determinada por la intersección del prisma con un plano. Una ―sección transversal‖ de un prisma, es la sección del prisma con una plano paralelo a la base. Una ―sección recta‖ de un prisma, es la sección del prisma con un plano perpendicular a las aristas laterales.
CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDROS
INTERSECCIÒN DE VOLUMEN CON LÍNEA
No esperes que los demás te animen a hacer algo. Tu futuro es tuyo y de nadie mas ❀
INTERSECCIÓN SÓLIDO PLANO –
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VOLUMEN, de una figura tridimensional, es el número que indica la porción de espacio que ocupa. Se expresa en unidades cúbicas. La manera más rápida de encontrar la intersección entre un plano y un sólido , es localizando la vista de filo del plano, construyendo luego líneas rectas auxiliares de acuerdo a las características del volumen, de forma que corte la vista de filo del plano produciendo rectas en el mismo que al visualizarlas en la vista opuesta e interrelacionándolas con las líneas rectas que la generaron, nos permitirán encontrar los respectivos puntos de intersección. Debemos señalar que la línea de intersección entre un volumen de superficie curva será curva plana y de superficie plana, la intersección será una línea recta quebrada.
INTERSECCIÒN DE VOLUMEN Y LÌNEA GENERALIDADES •
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La intersección de un volumen y una recta esta determinada, por puntos comunes a le recta y a la superficie exterior del volumen llamados puntos de penetración. La intersección de un volumen y una recta se determina dibujando la sección plana originadas por las intersecciones, reales o aparentes de la recta y las aristas del cuerpo en una de las proyecciones dadas. La intersección entre la recta y el contorno de la sección plana definen los puntos de penetración
INTERSECCIÓN DE VOLUMEN CON LÍNEA METODO DEL PLANO CORTANTE
SE LLEVAN LOS PUNTOS 1-2-3 AL PLANO FRONTAL OBTENIENDOSE LA SECCIÓN PLANA CORTANTE 1-2-3 EN LA VISTA FRONYTAL
COORDENADAS DE LA LÍNEA M – N M= 105-55-55 N= 28-15-20 COORDENADAS DE LA PIRAMIDE A-B-C-D A=60-10-30
LA SECCIÓN PLANA CORTA LA LÍNEA EN LOS PUNTOS DE PENETRACIÓN X-Y ESTOS SE PROYECTAN A LA VISTA DE PLANTA
B=100-45-40 C=45-32-10 D= 5-60-60 HALLAR LA INTERSECCIÓN ENTRE EL VOLUMEN Y LA LÍNEA
LA VISIBILIDAD VA DE ACUERDO CON LA VISIBILIDAD DE LAS CARAS DE LA PIRAMIDE
SE COLOCA UN PLANO CORTANTE VERTICAL SOBRE LA LÍNEA M-N EN LA PROYECCIÓN HORIZONTAL ESTE CORTA LA PIRAMIDE EN LOS PUNTOS 1-2-3
PULSE AQUI
INTERSECCIÓN DE VOLUMEN CON LÍNEA METODO DEL PLANO CORTANTE
Los puntos X-Y comunes a la recta y a la curva son los puntos de penetración en la vista superior y se proyectan a la vista frontal hasta la recta 1-2
Dadas las vistas frontal y superior de un cono oblicuo y una recta que se intersectan determinar los puntos de penetración.
Coordenadas: Cono O=(5-12-60) B=(44-62-35) 62)
A=(98-62-35) D=(71-62-
Recta 1=(30-54-83)
2=(60-37-6)
Análisis: La vista frontal solo muestra dos generatrices del cono, cuyas intersecciones aparentes con la recta no son suficientes para trazar en la vista superior la forma de la sección plana por consiguiente se requiere del trazado de otras generatrices
La visibilidad en la vista frontal y superior se determina aplicando las reglas correspondientes
Las tangente O-C y O-D se toman como generatrices auxiliares y se proyectan a la vista frontal para determinar las intersecciones C- D con la recta 1-2 PULSE AQUI
INTERSECCIÒN DE VOLUMEN CON PLANO
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Las cosas buenas pasan a quienes las esperan, las mejores a quienes luchan y van por ellas.
INTERSECCIÓN VOLUMEN CON PLANO METODO DEL PLANO VISTO COMO UN FILO PLANO: A= 40-71-15 A= 5-10-50 C= 70-10-75 D= 105-71-40
PRISMA: 1= 100-45-302= 75-31-10 3= 80-10-35 4= 30-80-83 5= 10-65-60 6= 15-45-85
solución: una vista que muestre el plano como un filo mostrara los puntos en que el plano visto como un filo corta al prisma. estos puntos forman la intersección
los puntos x-y-z se proyectan a la vista de planta y frontal al unirlos muestran la sección plana x-y-z- la visibilidad
INTERSECCIÓN VOLUMEN CON PLANO METODO DE LOS PLANOS CORTANTES
SOLUCIÓN: Se han trazado planos cortantes por las aristas del prisma (1-4 ) ( 3-6 ) ( 2-5 ) en la vista de planta
El cortante P-C1 intersecta al plano ABCD en los puntos O-Q se proyectan estos puntos a la vista frontal sobre su respectiva arista
En la vista frontal O-Q al unirlos intersectan la arista 1-4 del prisma, en la cual se trazo el cortante P-C1 en el punto llamado Z. Este es el primer vértice de la sección buscada, este vértice se traslada a la vista de planta
De igual manera con los planos cortantes P-C2 – P-C3 y las aristas 3-6 y 2-5 se obtienen las intersecciones que producen los vértices X-Y, uniendo estos puntos se dibuja las línea que componen la sección plana cortante
INTERSECCIÓN VOLUMEN CON PLANO METODO DEL PLANO VISTO COMO UN FILO Coordenadas: Pirámide recta. 0=(41-15-48) 4=(16-74 — 55) 6=(51-74-21) 3=(36-74-75) 1=(72-74-41) 2=(63-74-68) 5=(24-74-68)
Dado: La vista de planta y frontal de una pirámide recta y un plano oblicuo, determinar la forma de la intersección.
Plano oblicuo: C=(10-28-50) D=(22-70-8) B=(68-28-67) E=(80-70-12) Los puntos de intersección se trasladan a la vista de planta y a la vista frontal para mostrar la intersección
Trazar una vista auxiliar que muestre al plano visto como un filo, en esta vista se observan los puntos donde el plano corta las aristas de la pirámide los cuales representan la intersección Para hallar la visibilidad se aplican las reglas de la visibilidad
INTERSECCIÒN DE VOLUMEN CON VOLUMEN
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si ayer no fue un buen día, has borrón y sonrisa nueva.
INTERSECCIÓN ENTRE VOLÚMENES Cuando dos superficies cualesquiera se cortan entre sí, se produce una línea de intersección, común a ambas. Esta línea de intersección será una recta cuando las superficies que se corten sean planas, por tanto para hallar dicha recta bastará determinar la posición de dos puntos de la misma y unirlos después con un trazo recto. Cuando una de las superficies sea curva y la otra plana, la línea de intersección será una curva plana: circunferencia, elipse, parábola etc. Si las dos superficies que se cortan son curvas, la línea de intersección será una curva alabeada en la mayoría de los casos y por tanto, no podrá ser contenida en un plano.
INTERSECCIÒN DE VOLUMEN CON VOLUMEN •
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Las intersecciones más comunes entre volúmenes se dan entre prismas, cilindros conos y pirámides. Para localizar la intersección entre volúmenes: Es necesario descomponer la superficie de uno de ellos en un numero suficiente de generatrices que permitan a su vez. Por medio de proyecciones, originar en el otro una serie de generatrices que determinen puntos comunes y nos muestren la intersección. GENERATRIZ. Es una línea recta cuyo movimiento continuo genera o forma una superficie. ELEMENTO. Es una línea recta perteneciente a la superficie que indica una posición especifica de la generatriz.
VISUALIZACIÓN DE INTERSECCIÓN •
Intersección prisma pirámide. –
VISUALIZACIÓN DE INTERSECCIONES •
Otras intersecciones:
INTERSECCIÒN VOLUMEN CON VOLUMEN METODO DEL PLANO CORTANTE INTERSECCIÒN DE UN CONO Y UN PRISMA A.) Planos cortantes verticales. Análisis: Una serie de planos verticales que pasen por el eje del cono y corten al prisma, contendrán a los elementos sobre los cuales estarán los puntos de intersección, comunes al cono y al prisma Solución: Dada las vistas superior y frontal, pasar una serie de planos cortantes por el eje del cono, que corten la vista de perfil del prisma. Designe los puntos del 0 – al – 6 en la base del cono y de a – hasta – e en al prisma Muestre los puntos en la vista frontal , proyecte los puntos de a – hasta – e hasta que corten los elementos 1-2-3-4-5 respectivamente. El punto C estará a la misma elevación que los puntos mas altos de intersección entre el cono y el prisma que se observan en los elementos extremos del cono En la vista frontal una los puntos de a – hasta – e para mostrar la correcta visibilidad de la línea de intersección .
INTERSECCIÒN VOLUMEN CON VOLUMEN METODO DEL PLANO CORTANTE INTERSECCIÒN DE UN CONO Y UN PRISMA A.) Planos cortantes horizontales Análisis: Una serie de planos horizontales que sean perpendiculares al eje vertical del cono determinaran los puntos de intersección comunes al cono y al prisma. Solución : Dada la vista superior y frontal, en la vista de planta dibuje los círculos 1 – 2 – 3 asegurándose que toquen los elementos extremos de la vista de perfil del prisma. Dibuje los planos cortantes en la vista frontal. En la vista de planta designe los puntos de intersección del plano cortante con el prisma de a – hasta – e proyecte estos puntos a la vista frontal hasta que encuentren su correspondiente plano cortante. Estos puntos se unen para mostrar la correcta visibilidad de la línea de intersección
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Nunca pierdas la alegría de vivir, de compartir, de ser feliz, levanta tu mirada y confía en Dios. Intenta olvidar todo mal rato que la vida es corta y debes vivirla al máximo. Se feliz y olvida lo demás, no existe problema tan grande que no puedas soportar. Sonríele al mundo Por mucha oscuridad que haya siempre vuelve la luz.
