$erivando! ∂ D 1 ( P ) ∂ D2 ( P ) ∂ D i ( P ) ∂ Dn ( P ) + P2 + … + Di ( P + … + Pn P1 P ) + P i ∂ Pi ∂ Pi ∂ Pi ∂ Pi
INDICE DE LERNER AMPLIADO (Demostración)
Índice de Lerner ampliado (Precios de Ramsey) Como ya sabemos el Índice de Lerner nos permite obtener el grado de poder de mercado que tiene la empresa monopolista, y cómo es que gracias a este poder de mercado, puede fjar un precio por encima de su costo marginal. Para este caso vamos a ampliar el índice de Lerner para el caso del monopolista que produce más de un bien, para lo cual defnimos las siguientes unciones! Q=( q1 , q2 ,…,q n )
"ector de cantidades
!
"ector de precios
P1 , P2 , … , Pn ) ! P=( P
#unción de $emanda
!
qi = Di ( P )
%#un %#unció ción n
eordenando!
(
D Di + Pi
∂ Di ∂ Pi
)∑ +
P j
∂ D j
j ≠i
$eriva $erivamos mos respect respecto o al precio precio del bien
! P= D
−1
C [ D D1 ( P P ) , D2 ( P P ) , … , Dn ( P ) ]
de
dema demand nda a
$erivando! *plicamos la regla de la cadena para una unción compuesta de n variables ∂ D1
( Q )= P ( Q )
∂ P1
#unción de Costos ! CT =C ( Q )=C ( q1 , q2 ,…,q n )=C [ D D1 ( P ) , D2 ( P ) , … , D n ( P ) ]
⋮
D 1 'n base a estas unciones, si deseamos anali(ar el índice de Lerner para un bien determinado i el monopolista buscará ma)imi(ar la siguiente
D ( P ) , D ( P ) , … , D n ( P ) ] ∑ Pi D i ( P ) −C [ D
*plicando condiciones de primer orden %derivamos respecto al precio del bien i & para ma)imi(ar la unción de benefcios tenemos que $erivamos respecto al precio del bien
∑ Pi D i ( P ) i= 1
∂ Pi
∂ Pn
2
i= 1
n
∂ D1
∂ D1
n
∂C ∂ D1 ⋮
i , derivamos el primer t+rmino! ⋮
P1 ⋮
⋮
unción de benefcios! 1
i , deriva derivamos mos el segund segundo o
t+rmino
interdependiente& #unción de de $e $emanda in inversa
∂ Pi
Pi ⋮
Pn
⋮
∂ Di ∂ P1 ⋮
P1 ⋮
C
∂C ∂ Di
Di
∂ Di ∂ Pi
Pi
⋮
⋮
⋮
⋮
∂ Di ∂ Pn
∂C ∂ Dn
Pn
⋮
∂ Dn
P1
∂ P1 ⋮
⋮
∂ Dn
Dn
Pi
∂ Pi ⋮
⋮
∂ Dn
Pn
∂ Pn
Como se -a derivado respecto al bien ∂C ( D 1 ( P ) , D2 ( P ) , … , D n ( P ) ) ∂ Pi
=
i tenemos
∂ C ∂ D1 ∂ C ∂ D2 ∂C ∂ Di ∂ C ∂ D n + + …+ +…+ ∂ q1 ∂ Pi ∂ q 2 ∂ Pi ∂ qi ∂ Pi ∂ q n ∂ Pi
∂C ( D1 ( P ) , D2 ( P ) , … , D n ( P ) )
'ntonces!
∂ Pi
=∑ j
∂ C ∂ D j ∂ q j ∂ Pi
niendo ambas derivadas y despejando tenemos
(
Di + Pi
∂ Di ∂ Pi
)
+ ∑ P j j≠ i
∂ D j ∂ Pi
=∑ j
∂C ∂ D j ∂ q j ∂ Pi
*sumiendo costos separables Costos separables
/upondremos por simplicidad que la unción de costos, de los
n
bienes, es separable, lo que signifca que el costo de producir cada bien, depende 0nicamente de la producción de dic-o bien, por lo tanto nuestra unción de costos será
n
2ultiplicando por
C ( q 1 , q 2 , … , q n )=∑ C i ( qi )
( Di / Di )
i=1
Por lo tanto aplicando esta condición a nuestra ecuación anterior tenemos que
(
D i + Pi
∂ Di ∂ Pi
)∑ +
P j
∂ D j ∂ Pi
j≠ i
=
∂ C ∂ D i ∂ C ∂ D j +∑ ∂ qi ∂ Pi j≠ i ∂ q j ∂ Pi ∂ Di / ∂ Pi entonces
$ividimos la ecuación entre
( ) ∂ Di ∂ Pi
∂ D j ∂ Pi
∂ Di ∂ C ∂ Pi
∂ D j Di ∂C ∂ Pi + Pi + ∑ P = +∑ ∂ Di ∂ D i j≠ i j ∂ Di ∂ q i ∂ D i j ≠i ∂ q j ∂ D i ∂ Pi ∂ Pi ∂ Pi ∂ Pi ∂ Pi
Pi −CMgi Pi Pi −CMgi Pi
=
=
1
ε ii 1
ε ii
−∑
( P j−CMg j ) ∂ D j Di Pi
j≠ i
−∑ j≠ i
∂ Di Di
( P j−CMg j ) ∂ D j Pi Di
∂ Pi ∂Di
Di
2ultiplicamos en el numerador y denominador respecto a la sumatoria para poder obtener las elasticidades cru(adas de demanda y elasticidades de demanda, por lo cual tenemos ∂ D j Pi Di
( P j−CMg j ) ∂ Pi D j Di Pi −CMgi 1 = −∑ Pi ε ii j≠ i Pi Di ∂ Di P i 1 ∂ Pi Di D j
1perando
(
∂ Di
∂ D j Pi Di
)
Di+ P i + ∑ P j
∂ D j ∂ Pi ∂ Pi ∂ D i
j≠ i
=CMgi +∑ CMg j j≠ i
∂ D j ∂ Pi ∂ Pi ∂ D i
( P j−CMg j ) ∂ Pi D j Di Pi −CMgi 1 = −∑ Pi ε ii j≠ i Pi Di ∂ Di P i 1 ∂ Pi Di D j
$espejando Pi− CMgi =
− ∂ Pi
∂ Di
Di− ∑ P j j≠ i
∂ D j ∂ Pi ∂ P i ∂ Di
+ ∑ CMg j j≠ i
Pi Pi −CMgi Pi
=
=
− ∂ Pi Di
∂ Di P i 1
ε ii
−∑ j≠ i
∂ Pi ∂ D i
Por lo tanto se demuestra que Pi −CMgi Pi
$ividimos entre Pi Pi −CMgi
∂ D j ∂ Pi
−∑
( P j−CMg j ) ∂ D j
j≠ i
Pi
( P j−CMg j ) ∂ D j Pi
∂ Di
∂ Pi
∂ Pi ∂ Di
$onde
=
1
ε ii
−∑
( P j−CMg j ) D j εij
j≠ i
R i ε ii
ε ii =−( ∂ Di / ∂ Pi )( P i / Di ) es la elasticidad de la demanda %que
asumimos es positiva&,
ε ij =−( ∂ D j / ∂ Pi ) ( Pi / D j )
cru(ada de demanda del bien
es la elasticidad
j respecto al precio del bien
Ri= Pi Di es ingreso asociado al bien
i .
i , y
