Hallar las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta que pasa por los puntos A = (-1, 2, 3) y B= (2, 2, 5) Recordemos Ecuaciones Paramétricas tienen la forma:
x x1 at
y y1 bt z z1 ct Ecuaciones Simétricas tienen la forma:
x
x1
a AB 2 1 i
ˆ
AB 3i
ˆ
0j
ˆ
y
ˆ
ˆ
2k ˆ
a = 3; b = 0; c = 2 Parametricas:
x 1 3t y
b
y1
z
c
2 2 j 5 3 k
2k
AB 3i
2
z 3 2t Simetricas:
A = (-1, 2, 3) y B= (2, 2, 5)
ˆ
ˆ
z 1
x 1
3 x 1
3
y
2
0 z
z 3
2
3
2
Dos rectas cualesquiera L1 y L2 son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente. Determinar la ecuación de la recta paralela a la recta 6x – 3y = 12 sabiendo que pasa por el punto A: (-3, 2) Debemos pasar la ecuación a esta forma:
y mx b 6 x
3y
12
6 x 12 3 y; y
6 x 12 3
;y
2x 4
y
2x
4
Donde: m = 2 Para que dos rectas sean paralelas las pendientes deben ser iguales m
1
m
2
2
Ahora usamos la formula cuando se conoce un punto y una recta: y
y1
m x
x1
Donde: m = 2; X1 = -3; Y1 = 2
y
2
2
x 3
y 2 2 x 6 ; y 2 x 6 2 ; y
2x 8
Dos rectas cualesquiera L1 y L2 son perpendiculares si y sólo si el producto de sus pendientes es igual a -1. Hallar la ecuación de la recta perpendicular a: 5x + 4y = 9 que pasa por el punto P: (3, -1) y mx b 4 y
5 x
9 ; y
5 x 9
4
;
5 y
4
9 x
4
m = -5/4, Para que dos rectas sean perpendiculares el producto de sus pendientes es -1 5 m1
; m2
4
5
4
m
2
m1 m2
1
1
5
?;
1
m2
4
5
4
4 m
2
5
Ahora tenemos el punto: (3 , -1)
y y1 m x x1 y
1
y 1
y
4 5
4
4 5
x
5
x 17 5
x 12 5
;
3
Hallar el plano que contiene los puntos (2, 8, -3), (-1, -7, -11) y (9, -5, 1) y el plano (-9, 3, -3), (2, -2, 2) y (5, 6, 4). Luego determine si los planos son ortogonales, sabiendo que dos planos son ortogonales si sus vectores normales son ortogonales. Primer Plano: A: (2, 8, -3); B:(-1, -7, -11); C:(9, -5, 1)
AB 1 2 i
ˆ
AB 3 i
ˆ
AC 9 2 i
7 8 j 11 3 k ˆ
ˆ
15 j 8 k
ˆ
ˆ
ˆ
5 8 j 1 3 k ˆ
ˆ
AC 7 i
ˆ
13 j 4 k ˆ
ˆ
i j k AB AC 3 15 8 7 13 4 ˆ
ˆ
ˆ
AB AC 15 4 8 13 i
ˆ
AB AC 60 104 i
ˆ
AB AC
i
164
n 164i
ˆ
44 j
ˆ
ˆ
44 j
ˆ
k
144
ˆ
3 4 8 7 j 3 13 15 7 k
ˆ
12 56 j 39 105 k ˆ
ˆ
k
144
ˆ
T:(X,Y,Z)
AT
T x, y, z A 2, 8, 3
AT
x 2, y 8, z 3
AT A T n
0
AT n x 2, y 8, z 3
164, 44,144
x 2 164 y 8 44 z 3 144 0 -164x + 328 – 44y +352 + 144z + 432 = 0 -164x – 44y + 144z + 1112 = 0 (Simplificamos por 4) -41x – 11y + 36z + 278 = 0, Ecuación del primer Plano
D:(-9, 3, -3) E:(2, -2, 2) F:(5, F:(5, 6, 4)
DE 2 9 i
ˆ
2 3 j 2 3 k ˆ
ˆ
DE 11 i
ˆ
5 j 5 k ˆ
ˆ
DF
5 9 i 6
DF
14 i 3 j 7 k
ˆ
ˆ
3
j 4 3 k ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
i j k DE DF 11 5 5 14 3 7 ˆ
ˆ
ˆ
DE DF
DE DF
50 i 7 j 103 k
DE DF
50
m 50i
ˆ
5 7
ˆ
ˆ
i
5 3 i 11 7 14 5 j 11 3 14 5 k
7j
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
7
j 103k ˆ
ˆ
k
103
ˆ
ˆ
U:(X, Y, Z)
DU
U x, y, z D 9, 3, 3
DU
x 9, y 3, z 3
DU DU m 0 DU m x 9, y 3, z 3
50, 7,103
50 y 3 7 z 3 103 0 x 9 50 -50x – 450 – 7y + 21 + 103z + 309 = 0 -50x – 7y + 103z – 120 = 0 Ecuación del Segundo Plano.
ˆ
Son ortogonales cuando. nm
0
n m
164, 44 44,14 ,144
50, 7, 7,103
n m 164 50 44 7 144 103 n m
n m
8200 308 14832 23340
No son ortogonales
Encontrar la ecuación general del plano que pasa por los puntos: P (1,2,-3), Q (2,3,1) y R (0,-2,-1)
PQ 2 1 i
ˆ
PQ 1 i
ˆ
PQ i
ˆ
ˆ
ˆ
j 4k ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
1 j 4 k
PR 0 1 i
PR i
3 2 j 1 3 k
2 2 j 1 3 k ˆ
ˆ
4 j 2k ˆ
ˆ
i j k PQ PR 1 1 4 1 4 2 PQ PR 1 2 4 4 i 1 2 4 1 j 1 4 1 1 k ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
PQ PR 18 i 6 j 3k ˆ
n 18i
ˆ
T:(X,Y,Z)
6j
ˆ
ˆ
3k
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
PT
T x, y , z P 1, 2, 3
PT
x 1, y 2, z 3
PT PT n 0 PT n x 1, y 2, z 3
18, 6, 3
x 1 18 y 2 6 z 3 3 0 18x – 18 – 6y + 12 -3z - 9 = 0 18x – 6y - 3z - 15 = 0 -6x + 2y + z + 5 = 0 Ecuación del plano
(1,2,3)
Obtener la ecuación del plano que contiene el punto y cuyas coordenadas del vector normal son: . Compruebe gráficamente con la ayuda de Geogebra, Scilab, Octave o Matlab.
⃗ (1,−1,1)
a x x1 b y y1 c z z1 0
(1,2,3) ⃗ (1,−1,1) ;
x1 a
1; y1
1; b
2; z1
1; c
3
1
1 y 2 1 z 3 0
1 x 1
x 1 y 2 z 3 0 x y z 2 0
Ecuacion del plano: x – y + z – 2 = 0
(1,2,1)
Determine la ecuación de plano que contiene los puntos , , . Realice la gráfica correspondiente con la ayuda de Geogebra, Scilab, Octave o Matlab.
(1,0,1) (0,1,−1) (1,2,1) (1,0,1) (0,1,−1) ,
,
AB 1 1 i
ˆ
AB
2
j
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
AC 0 1 i AC i
0 2 j 1 1 k
1 2 j 1 1 k ˆ
ˆ
j 2k ˆ
ˆ
i j k AB AC 0 2 0 1 1 2 ˆ
ˆ
ˆ
AB AC 2 2 0 1 i
ˆ
0
2
0 1 j 0 1 2 1 ˆ
AB AC 4i
ˆ
n
4i
ˆ
k
2
ˆ
2k ˆ
T:(X,Y,Z)
AT
T x, y, z
AT
x
2, z 1
1, y
A 1, 2,1
AT AT n 0 AT n
x 1, y
2, z 1
4, 0, 2
x 1 4 y 2 0 z 1 2 0 4x – 4 -2z + 2 = 0 4x – 2z – 2 = 0 2x – z – 1 = 0 Ecuacion del plano
Dados los siguientes planos:
{ 2 –+442+– 633 –+15 == 00
Determinar el valor de a) Paralelos. b) Perpendiculares.
para que sean:
a)
P 2 : 2, 4, 6 P1 : k , 2, 3
k
2
2 k
4
6
1
2
3
2
;k
2
2
; k
1
Para que sean paralelas k = -1 Nos quedarían:
−2–+442+– 63 +– 15 == 00
b) k , 2, 3
2, 4, 6
0
2k 8 18 0 2k – 8 – 18 = 0 2k -26 = 0 2k = 26 K = 13
123– +442+–63 +– 15 == 00
) = 3
Recta constante
= 0 ) == 3
Punto en el espacio
= 0 ) == 03
Punto en el espacio
) == 00 = ) == 0
Punto en el origen
Punto en el espacio
) = =
Linea en el espacio
