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3B-2 GUÍA DE PRÁCTICAS Unidad Académica de Estudios Generales
Matemática Mat emática Básica
Autores:
Dra. Mary Luz Meneses Román Dr. Sebastián Sánchez Díaz Mg. Hugo Roberto Chirinos Maldonado Lic. Mercedes Carmen Morales Ibarra Lic. Freddy Anthony Ñaupas Bendezú
Lima –Perú
2017
F-CV3-3B-2
2 Guía de Prácticas
Matemática Básica
Unidad Académica de Estudios Generales
Mg. Jorge Antonio Gonzales Miranda
Coordinadora
Dra. Mary Luz Meneses Román
Autores:
Dra. Mary Luz Meneses Román Dr. Sebastián Sánchez Díaz Mg. Hugo Roberto Chirinos Maldonado Lic. Mercedes Carmen Morales Ibarra Lic. Freddy Anthony Ñaupas Bendezú
F-CV3-3B-2
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INTRODUCCIÓN La guía de prácticas de la asignatura de Matemática Básica, es un material de trabajo interactivo para el estudiante de la Unidad Académica de Estudios Generales de la Universidad Norbert Wiener que inicia sus estudios universitarios. El objetivo de esta guía es consolidar y complementar el aprendizaje a fin de ser competentes en la solución de problemas ya sea del contexto profesional, así como en la vida cotidiana de los estudiantes del primer ciclo. La guía de prácticas ha sido elaborada para los estudiantes de todas las carreras profesionales de la Universidad Norbert Wiener, como son: Farmacia y Bioquímica, Ingeniería, Administración y Negocios Internacionales, Derecho y Ciencias Políticas y Ciencias de la Salud. Contiene una batería de ejercicios y problemas por cada unidad de aprendizaje, que serán resueltos y presentados en el portafolio para su evaluación respectiva. La presente guía se organiza en 4 unidades alineadas al sílabo; Primera unidad: Lógica Matemática ; Segunda unidad: Teoría de Conjuntos y Sistemas numéricos; Tercera unidad: El conjunto de los Números Reales y Funciones; Cuarta unidad: Funciones de variable real.
Finalmente, esperamos que este material de estudio cumpla con los objetivos propuestos entre ellos de reforzar y consolidar los aprendizajes del estudiante en la asignatura de MATEMÁTICA BÁSICA.
Los Autor es
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ÍNDICE GENERAL Introducción ………………………………………………………….
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Unidad I I. Práctica N.° 1: Introducción a la Lógica Proposicional……………....
4
II. Práctica N.° 2: Equivalencias e Implicaciones Lógicas. Cuantificadores 10 III. Práctica N.° 3: Inferencias Lógicas y Falacias………….............. ….
16
Unidad II IV. Práctica N.° 4: Teoría de Conjuntos....................................................
24
V. Práctica N.° 5: Aplicación de Conjuntos...............................................
30
Unidad III VI. Práctica N.° 6: Sistema de los Números Reales.…................. ...........
35
VII. Práctica N.° 7: Planteo de Ecuaciones………........................ ...........
39
VIII. Práctica N.° 8: Desigualdades e Intervalos......................................
44
IX. Práctica N.° 9: Inecuaciones de Primer y Segundo Grado................
51
Unidad IV X. Práctica N.° 10: Producto cartesiano...………..…………………... ..... 56 XI. Práctica N.° 11: Funciones definidas en
...………………………… 59
XII. Práctica N.° 12: Funciones lineal y cuadrática………..……............... 69 XIII. Práctica N.° 13: Función exponencial………………………............. 78 XIV. Práctica N.° 14: Función logarítmica………………………………. 85 F-CV3-3B-2
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I.
1.1.
Práctica N.º 1: Introducción a la Lógica Proposicional
Marco Teórico
La Lógica Proposicional es una rama de la Lógica que trata del carácter verdadero o falso de los enunciados. Mediante el uso de las propiedades permite analizar y determinar si un argumento es válido o no. La lógica proposicional estudia la validez de las relaciones entre argumentos o enunciados. Enunciado Se llama enunciado a toda frase u oración de nuestro lenguaje. ( V. Eyzaguirre ,2008) Ejemplos:
1. ¿Resolviste los problemas? 2. 3 es un número impar Proposición Se llama proposición a todo enunciado que se puede determinar su veracidad (V) ó falsedad (F). (V. Eyzaguirre, 2008) Ejemplos 1. p: Lima es la capital del Perú 2. q: 6 + 8 = 10 3. r: Miriam estudia en la universidad Conectivos lógicos Se llaman también operadores lógicos, son palabras que enlazan dos o más proposiciones, o cambian el valor de verdad de una proposición. (A. Bustamante, 2009) Los conectivos lógicos de mayor uso son:
La conjunción: cuyo símbolo es , se lee“y”.
La disyunción inclusiva: representada por , se lee “o ” La disyunción exclusiva: representada por , se lee O … o …
La Condicional: cuya expresión simbólica , se lee “si... entonces”.
La Bicondicional: denotada por , se lee “si y solo si”.
La negación: denotada por – ó ~ , se lee “no es cierto”.
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Proposición Simple y Compuesta Una proposición simple o atómica es aquella que no posee conectivos lógicos. Una proposición compuesta o molecular es aquella que presenta uno o más conectivos lógicos. Ejemplos: 1. Mi nombre es Marcos. (P. Simple) 2. La música clásica es bella.(P. Simple) 3. Si trae el anuncio entonces tendrá el 25% de descuento. (P. Compuesta) 4. Te compraré una laptop sí y sólo sí tienes buenas calificaciones.(P. Compuesta) En el siguiente cuadro se presenta el tipo de proposición, los símbolos que las representan y sus respectivos valores de verdad. CONECTIVO LÓGICO
SÍMBOLO
LECTURA
VALOR DE VERDAD
1
Conjunción
p q
p y q , pero, sin embargo
Es V, si ambas proposiciones son V.
2
Disyunción inclusiva
p q
póq
Es V, si por lo menos una proposición es V.
3
Disyunción exclusiva
p q
Opóq
Es V, solo cuando una proposición es V
p entonces q 4
Condicional
p implica q
p q
Es F, solo si p es V y q es F.
q si p p si solo si q 5
Bicondicional
p es condición necesaria
p q
Es V, solo si p y q tienen el mismo valor.
y suficiente para q Fuente: Elaboración propia
TABLA DE VERDAD DE LAS PROPOSICIONES COMPUESTAS p
q
p q
p q
p q
V
V
V
V
F
V
V
V
F
F
V
V
F
F
F
V
F
V
V
V
F
F
F
F
F
F
V
V
Fuente: Elaboración propia F-CV3-3B-2
p
q
p
q
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Observación Si n es el número de proposiciones simples de una proposición compuesta, entonces el número total de arreglos posibles de los valores de verdad es 2n. Ejemplos: 1. Si existen 3 proposiciones simples entonces el número de arreglos posibles es: 23=8 2. Si hay 4 proposiciones simples entonces el número de arreglos posibles es: 24=16 Agrupamiento de Proposiciones Para obtener la tabla de verdad, se inicia con el conectivo lógico de menor jerarquía y se concluye con el de mayor jerarquía. La jerarquía de los conectivos lógicos cuando no hay signos de colección, de mayor a menor es: ;
; ( ; ; ) y ~
Tautología, Contradicción y Contingencia Una proposición compuesta se dice que es una tautología si el resultado global de la tabla es verdadero. A las tautologías se les llama también leyes o principios lógicos. Una proposición se dice que es una contradicción , si el resultado global es falso. Una proposición compuesta se dice que es una contingencia si en el resultado final hay valores verdaderos y falsos. Ejemplos: 1. Determine el valor de verdad de la proposición [(p q) p] q . p q
[ ( p q)
p] q
V V
V
V
V
V V
V F
F
F
V
V F
F V
V
F
F
V V
F F
V
F
F
V F
La proposición [(p q) p] q es una tautología
2. Si pV ; q F y rV, determine el valor de verdad de la proposición q ( p t ) ( r t ) . q ( p t ) ( r t ) [ (F) ( (V) v t ) ( (V) t ) } { [ (V) (V) ( (F) t ) } { [ V ( V ) } V La proposición q ( p t ) ( r F-CV3-3B-2
t ) es verdadera.
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3. Si las siguientes proposiciones ( p q ) V y ( r q ) F, determine el valor de verdad de la siguiente proposición ( p r ) ( q r ) . Como r q F entonces r V y q V. Como p q V entonces p F. ( p r ) ( q r ) ( (F) (V) ) ( (V) (V) ) ( (V) (V) ) ( (V) (F) ) (V) (V) V
1.2.
La proposición ( p r ) ( q r ) es verdadera.
Competencias Identifica y aplica las propiedades del lenguaje lógico, elaborando un esquema básico de demostración que facilite la expresión del propio pensamiento para justificar y presentar resultados y conclusiones de forma clara y coherente, mostrando tolerancia y respeto a los demás.
1.3.
Materiales y Equipos Se utilizarán libros de la bibliografía del sílabo, hojas cuadriculadas o cuaderno, lapiceros a colores, lápiz, corrector. Todo el trabajo se consolidará en un portafolio.
1.4.
Procedimiento El profesor resolverá algunos de los ejercicios planteados, orientará la solución de otros y el resto lo desarrollarán los alumnos en trabajo individual o grupal. Estos ejercicios resueltos se deben presentar periódicamente, son considerados parte de la evaluación permanente y permiten medir el logro de las competencias de la unidad.
1.5.
Resultados Se aplicará los instrumentos de evaluación a través de ejercicios y problemas planteados en el cuestionario Nº1 para evidenciar el logro de competencias en esta práctica.
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9 1.6.
CUESTIONARIO N.º 1
1. Determine cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones: 1.1. Ricardo Flores es estudiante de Obstetricia. 1.2. Carmen tiene x amigos que estudian Derecho. 1.3. Deberías haber dosificado a aquel paciente que tiene su receta. 1.4. No es cierto que los pacientes se mueren con la gripe AH1N1. 1.5. La honestidad es el valor de decir la verdad, ser decente, recatado, razonable, justo, honrado y honesto. 1.6. No conversen en clase, por favor. 1.7. La bomba atómica explotó en Hiroshima en 1945. 1.8. Ojalá obtenga una buena nota en el examen. 1.9. Quisiera hacer un doctorado en Salud Pública. 1.10. El nuevo ministro de salud es el Dr. Aníbal Velásquez. 1.11. El alumno x desaprobó el curso de Matemática Básica por segunda vez. 1.12. El lunes reviso los resúmenes de sus trabajos. 1.13. Según términos legales la Biodiversidad: es la variabilidad de organismos vivos de cualquier fuente, incluidos, entre otros, los ecosistemas terrestres, marinos y otros ecosistemas acuáticos y los complejos ecológicos de los que forman parte. 1.14. El presente año la Universidad Wiener firmará alianzas estratégicas con más de 5 instituciones extranjeras. 1.15. La Universidad Wiener renovó su certificación ISO 9001. 1.16. ¿Formamos grupo para el trabajo de investigación formativa? 2. Sean las proposiciones: p: Miriam estudia q: Miriam aprueba el curso Exprese verbalmente las siguientes proposiciones: 2.1. p q 2.2. q ~ p 2.3. p q 2.4. p q 2.5. ( p) 2.6. ( p q )
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3. Simbolice las siguientes proposiciones: 3.1. Juan se sentirá mejor, si toma sus medicinas. 3.2. No es verdad que, el abogado y el cliente se presentaron en la corte. 3.3. O William Shakespeare es autor de Hamlet o es autor de la Odisea. 3.4.Micaela aprobará el examen de Matemática básica si y solo si estudia toda la semana. 3.5. Si desapruebo el curso, el próximo ciclo solo podré llevar doce créditos. 3.6.El segundo ciclo llevaré el curso de Desarrollo Personal a menos que lleve Deporte. 3.7. Estaré en el tercio superior si apruebo este curso con más de quince. 3.8.El próximo año cursaré el tercer ciclo pero llevaré cursos en verano. 3.9.Apruebo el curso siempre que aproveche mi tiempo para estudiar. 4. Si p : 4 > 2, q : – 5 + 1 = 6 y r : 6×2 = 8, halle el valor de verdad de las siguientes proposiciones: 4.1 4.2
( p q ) r p ( r p )
4.3 ~ ( q r ) ( p r ) 5. Si la proposición ( p q ) ( r s) es falsa, determine el valor de verdad de la proposición ( p q ) ( r s ) 6. Si la proposición [ t ( q s ) ] ( r p ) es falsa y el valor de verdad de p es falso, determine el valor de la proposición [ ( p q ) ( r s ) ] [ ( r t ) ( t p ) ]. 7. Si la proposición ( r q) ( p s ) es falsa, determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: 7.1. ( p q) q 7.2. [ ( r q ) q ] [ ( q r ) s ) ] 7.3. ( p r ) [ ( p q ) q ] 8. Dadas las proposiciones q : Matemática Básica es un curso de primer ciclo, p y r cualesquiera tal que la proposición [ ( r q ) ( r p ) ] es verdadera. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: 8.1. r ( p q ) 8.2. [ r (p q ) ] (q p) 8.3. ( r p) (q p) 8.4.
FUENTES DE INFORMACIÓN
1. Arnaz, J. (2007). Iniciación a la lógica simbólica. (3a ed.) México: Trillas. 2. Bustamante, A. (2009). Lógica y argumentación. México: Pearson Educación de México S.A. de
C.V.
3. Eyzaguirre, V. (2008). Matemática Básica I. (5ª ed.) Perú: San Marcos. 4. Rosales, D. (2000). Lógica. (3a ed.) Perú: San Marcos. F-CV3-3B-2
