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Mantenimiento de Maquinaria de Planta

Guía de aplicaciones básicas de Cálculo y Matemática Aplicada en Matlab Guía de Práctica 02 CODIGO DE CURSO: Matlab Semestre

DURACION DE LA TAREA

TOLERANCIA

3

01 SESIONES – 100 min

5 min

1. OBJETIVOS: 

Reconocer el entorno y las principales prestaciones de la herramienta de software matemático Matlab.



Desarrollar las aplicaciones básicas del software Matlab de acuerdo a los requerimientos de los cursos de Cálculo y Matemática Aplicada, como solución de ecuaciones múltiples, derivadas e integrales, entre otras.



Obtener curvas de ecuaciones básicas que serán analizadas e interpretadas en los cursos respectivos.

2. HERRAMIENTAS: 

Computadora personal (PC de escritorio o Laptop).



Guía de aplicaciones básicas.



Software Matlab instalado en la PC (versión R2014a, 64bits – recomendada).



Hojas y lapiceros para realizar apuntes.

3. TAREAS A DESARROLLAR: Descripción del software, historia y prestaciones.  Entorno de Matlab.  Principales aplicaciones del programa.  Programación básica en Matlab. 


4. DESCRIPCIÓN DEL SOFTWARE: MATLAB (abreviatura de MATrix LABoratory, "laboratorio de matrices") es una herramienta de software matemático que ofrece un entorno de desarrollo integrado (IDE) con un lenguaje de programación propio (lenguaje M) y servicio de especie. Fue creado por el matemático y programador de computadoras Cleve Moler en 1984, surgiendo la primera versión con la idea de emplear paquetes de subrutinas escritas en Fortran en los cursos de álgebra lineal y análisis numérico, sin necesidad de escribir programas en dicho lenguaje. El lenguaje de programación M fue creado en 1970 para proporcionar un sencillo acceso al software de matrices LINPACK y EISPACK sin tener que usar Fortran.

¿Cómo funciona el Matlab? El lenguaje de programación de Matlab es bastante más flexible que el de los lenguajes tradicionales. No se precisa la declaración inicial de variables, estas se pueden introducir en el momento que se necesiten, y por ejemplo, vectores y matrices pueden declarar sin especificar sus dimensiones e incluso cambiar sus tamaños sobre la marcha. Ello permite una programación algo más desordenada, aunque debe tenerse bien claro que una programación clásica sumada al uso y práctica, suele generar un código más eficiente.

5. ENTORNO DE MATLAB: Barra de menús

Current Folder Ventana de Comandos

Workspace



Current Folder: Permite un acceso rápido a tus archivos y datos guardados previamente.



Barra de menús: Muestra herramientas, accesos a librerías y aplicaciones especiales.



Command Window: Es donde se ingresan los comandos y se muestran los resultados. La línea de comandos está indicada por el símbolo: >>



Workspace: Mantiene datos calculados en la ventana de comandos, es una especie de memoria temporal, aunque podemos guardar permanentemente esos datos.


6. PRINCIPALES APLICACIONES DE MATLAB: 6.1. COMANDOS BÁSICOS: 

vpa(x,p): es una variable de precisión aritmética, con ella podemos configurar cuantos dígitos o decimales de precisión queremos(p). No es un redondeo. Ejemplo: >>vpa(4.3333589,4) = 4.333



help x: brinda ayuda sobre cualquier funci ón que deseemos. Ejemplo:>>help log



round(x): redondea al entero más cercano.



ceil(x): redondea al entero más grande o igual.



floor(x): redondea al entero más pequeño o igual.



fix(x): redondea al entero más cercano a cero.



mod(x,y): devuelve el residuo de la división x/y.



rem(x,y): devuelve el residuo de la divisi ón entera x/y.



clc: limpia la ventana de comandos, pero mantiene los valores en workspace.

6.2. TRABAJO CON MATRICES: Comandos para Matrices:      

size(x): devuelve el tamaño de una matriz “x”. eye(n): devuelve una matriz identidad de tamaño nxn. eye(n,m): devuelve una matriz nxm donde los elementos de la diagonal principal son 1. ones(n,m): devuelve una matriz nxm donde todos sus elementos son 1. zeros(n,m): devuelve una matriz nxm donde todos sus elementos son 0. rand(n,m): devuelve una matriz nxm de números uniformemente distribuidos entre 0 y 1.

Submatrices: Las matrices pueden descomponerse en submatrices que pueden representar vectores o subvectores, esto significa que de una matriz grande podemos obtener otras más pequeñas. El comando sería: >>a([n 1 n 2 ],[m 1 m 2 ]) donde las “n” son las filas y las “m” las columnas. >>A=[1 2 -2;0 -1 7;-3 0 5] sea la matriz A de orden 3x3 y queremos obtener submatrices.

>>a=A([1 2],[1 3]) → se obtiene: La forma de leer el comando sería: la matriz “a” está formada por la submatriz de “A”.

Componer matrices: Así como las matrices pueden descomponerse, también pueden componerse tal como se muestra a continuación. El comando a usar es: >>C=[A B] donde A y B son matrices con mismo número de filas.


>>A=[1 2 -2;0 -1 7;-3 0 5], B=[1 2;-3 -4;5 6] las matrices a componer deben tener coincidencias (n,m). >>C=[A B]

Obtenemos:

Ejercicio: Trabajo con matrices. 2

Calcular la matriz M = P – 3P – I siendo: I= matriz identidad 2x2 y Se obtiene:

   =

1 2

3 1

Escriba el comando o los comandos necesarios para construir una matriz aleatoria de números entre -100 y 100 de tamaño 4x6. _______________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________

     �

Sean las matrices:

1 = 0

1 1

1 , 0

=

3 1 0

2 0 0

1 1 , 2

2 = 1 5

 �

→ obtener:

1 = 1 2

 �

2 1 5

1 1 1



Los códigos usados son: _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________

SISTEMAS DE ECUACIONES: Cuando tenemos varias ecuaciones y/o funciones se forman sistemas para poder obtener el valor de cada una de las variables, siempre se considera que para tener éstas soluciones el número de ecuaciones debe ser igual o mayor al número de incógnitas. La forma de evaluar Sistemas de ecuaciones en Matlab es mediante matrices, esto es representar el sistema de ecuaciones en una matriz. Por lo que tiene un procedimiento específico.

Ax = b Donde “A” es la matriz de coeficientes, “ x” independientes.

es la matriz de variables y “b” la matriz de términos

Paso 1: Para saber si el sistema es compatible (tiene soluciones explícitas) utilizamos el teorema de Rouché-Frobenius, que nos dice lo siguiente, “un sistema de ecuaciones es compatible si el rango de la matriz de coeficientes (A) es igual al rango de la matriz ampliada (A│b)”. Sea el sistema de ecuaciones siguiente:


     

3 +2 5 + +

=4 3 = 6 7 =1

�

Lo expresamos de forma matricial

La matriz ampliada: >>MA=[A│b] sería:

�

3 5 1

2 1 0

3

2

5

1

1

0

   1 3 7

A

−−  ∙  �−   1

4

=

3

7

6

1

x

b

4 6 1

Comando: >>[rank(A), rank(MA)] Se obtiene: 3 = 3, por lo tanto el sistema es compatible.

  →  −1

Paso 2: Resolver el sistema determinado. Comando: >>A\b Se obtiene la solución a las incógnitas:

=

=

Ejercicio: Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones . o Sea el sistema siguiente, encuentre el valor de las incógnitas si las hubiera. 5 + =6 3 2 = 14

  

Comando: ______________________________________________________________________________ Se obtiene: _________________________________________________________________________

o Sea el sistema siguiente, encuentre el valor de las incógnitas si las hubiera. 2 1 + = 5 3 15 15 15 = 2

   


o

Una empresa aceitera ha envasado 3 000 litros de aceite en 1 200 botellas de dos y de cinco litros. ¿Cuántas botellas de cada clase se han u tilizado? Planteamiento: _______________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ Se obtiene: _________________________________________________________________________

o

Un fabricante de bombillas obtiene un beneficio de 0.3 € por cada pieza que sale del taller para la venta, pero sufre una pérdida de 0.4 € por cada pieza defectuosa que debe retirar. En una jornada ha fabricado 2 100 bombillas, obteniendo unos beneficios de 484.4 €. ¿Cuántas bombillas válidas y cuántas defectuosas se han fabricado en ese día? Planteamiento: _______________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ Se obtiene: _________________________________________________________________________


7. DERIVADAS E INTEGRALES: Derivadas: Se aconseja declarar siempre las variables, por ejemplo “x”, “y”, “z”, etc. También es necesario recordar que las derivadas siempre estarán relacionadas con los límites, por lo que haremos uso de los siguientes comandos. 

diff(f): devuelve la derivada de la función “f” con respecto a una única variable.



diff(f,y): devuelve la derivada implícita de la función “f” con respecto a la variable que se indi que.



diff(f,n): devuelve la enésima derivada de la función “f”.



diff(f,y,n): devuelve la derivada enésima con respecto a la variable indicada.



limit(expr,x,a): devuelve el límite de una expresión cuando la variable “x” tiende a “a”.

  2 

(2 ) Ejemplo: Sea la función ( ) = >>syms x >>f=(x^2)*sin(2*x) >>diff(f) Se obtiene: 2*x*sin(2*x) + 2*x^2*cos(2*x)

   3 3    3 3

Ejemplo: Sea la función ( ) = + + >>diff(g,y) Se obtiene: 3*y^2 + x, siendo ésta una derivada parcial. Ejemplo: Sea la función ( ) = + + , ahora hallamos la segunda derivada. >>diff(g,y,2) Se obtiene: 6*y, siendo ésta una derivada parcial.

−7 →∞ 34+1

Ejemplo: Sea la expresión lim >>limit((3*x-7)/(4*x+1),x,inf) Se obtiene: ¾

Ejercicio: Obtener las derivadas siguientes. o

Sea la función siguiente, obtenga la tercera derivada. =4 10 + 5 + 16 Comando: ______________________________________________________________________________ Se obtiene: _________________________________________________________________________

 6  2  o 4

siguiente, obtenga la segunda derivada con respecto a “x”. 2 Seala3función 3 =  1

Comando: ______________________________________________________________________________ Se obtiene: _____________________________________________________________________________

o

La posición de una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta está definida por la relación: 3 2 x = t - 6t - 15t + 40, Determine el tiempo cuando la velocidad es cero, posición y distancia recorrida para ese tiempo. Planteamiento: _______________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________


Se obtiene: _____________________________________________________________________________

o

Un modelo para la velocidad del transbordador Hubble durante la mi sión, desde el lanzamiento en t = 0 hasta que los cohetes auxiliares de combustible sól ido se desprenden en t = 126 s, está dado por: ( ) = 0.001302 0.09029 + 23.61 3.083 Determine los valores máximos y mínimos de la aceleración durante el despegue.



3 

2



Planteamiento: _______________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ Se obtiene: _____________________________________________________________________________

Integrales:  

int(exp,var): devuelve la integral primitiva de una expresión con respecto a la variable indicada. int(exp,var,a,b): devuelve la integral definida por los límites “a” y “b”.

∫  

(2 ), para calcular la integral: Sea la expresión: >>int(exp(x)*cos(2*x),x) Se obtiene: (exp(x)*(cos(2*x) + 2*sin(2*x)))/5 Sea la expresión:

∫2349   .

(2 ) para calcular la integral: >>int(exp(x)*cos(2*x),x,2.4,3.9) Se obtiene: (exp(39/10)*(cos(39/5) + 2*sin(39/5)))/5 - (exp(12/5)*(cos(24/5) + 2*sin(24/5)))/5 >> double(int(exp(x)*cos(2*x),x,2.4,3.9)) Se obtiene: 24.4648 .

Ejercicio: Obtener las integrales siguientes. o

Sea la función siguiente, obtenga la integral definida.

10 2 2  ∫ ̅ ∫01  2  4

=

4

+1

+1


o

Sea la función siguiente, obtenga la primitiva.

     (3 )

3+

(3 )


Series: 

symsum(exp,var,a,b): devuelve la integral primitiva de una expresión con respecto a la variable indicada.


Ejemplo:

∑∞=1 1

>>syms k >>symsum((1/k^2),k,1,inf) Se obtiene: pi^2/6

8. ECUACIONES DIFERENCIALES Y TRANSFORMADAS DE LAPLACE: Las ecuaciones diferenciales muestran expresiones variables en el tiempo.  

dsolve(expr): devuelve la función solución para la expresión diferencial. dsolve(expr,c(i)): devuelve función solución con las condiciones iniciales.

Ejemplo: la función de decaimiento radioactivo es

>>syms x(t) k

 =  = 

→Se declaran las variables, indicando que “x” depende de “t”.

>>Dx=diff(x) >>dsolve(Dx==-k*x) Se obtiene: C1*exp(-k*t) Ejemplo: la función de decaimiento radioactivo es

 + 8 = 2 

→Se declaran las variables, indicando que “q” depende de “t”. >>syms q(t) >>Dq=diff(q) >>dsolve(Dq==2-8*q,q(o)==10) →Se colocan los valores iniciales: Se obtiene: (39*exp(-8*t))/4 + 1/4

Ejercicio: Obtener las funciones que cumplan con las siguientes expresiones. o

Sea la ecuación siguiente: 100 =3 1

    


o

2 Sea laecuación siguiente: 2 + 6  = 12


o

Investigar sobre otros métodos de cálculo para ecuaciones di ferenciales.


LAPLACE: Al igual que en el caso de las ecuaciones diferenciales, es necesario declarar las variables. 

laplace(f,v,e): devuelve la transformada de Laplace de la función ”f”, en cuanto a la variable “v” y si se tiene puntos de evaluación “e” obtiene una variable compleja.

Ejemplo: para la función >>syms a t y >>f=exp(-a*t) >>laplace(f,t)

  − ( )=

Se obtiene: 1/(a + t)_________________Comprobar con lo obtenido en tablas.

Ejemplo: para la función >>syms f(t) s >>Df=diff(f) >>laplace(DF,t,s) Se obtiene:



=

 

s*laplace(f(t), t, s) - f(0) ______ Comprobar con lo obtenido en tablas.

Ejercicio: Obtener las transformadas de Laplace. o Sea la función siguiente: ( ) = 4 +16+9

   2


o

2 Sea la función siguiente:  2 = 9


o

Investigar sobre otras transformadas de Laplace.

9. PROGRAMACIÓN: Para usar el componente programable de MATLAB debe abrir una ventana de edición presionando el botón New M-File en la barra de opciones de MATLAB . También se pueden almacenar como documentos de texto genéricos.

9.1. Estructuras de control de flujo en MATLAB 9.1.1 Instrucciones de Entrada y Salida Ingreso de un dato desde el teclado: variable=input(‘mensaje’); Ej.

x = input('ingrese un dato '); Salida de un resultado a la pantalla: disp(valor) Ej. x=exp(2); disp(x);


Salida de mas de un resultado a pantalla: disp([valor, valor, …]); Ej. x=2^7; y=sqrt(pi); disp([x, y]); Salida de resultados formateados a pantalla: f printf(‘formatos’,variables) Ej. x=2^7; y=sqrt(pi); fprintf('%d %f’',x,y); Puede especificar cantidad de columnas y deci males: Ej. x=2^7; y=sqrt(pi); fprintf('%5d %8.3f’',x,y); Otras especificaciones de formato puede verlas con help fprintf

9.1.2 Instrucciones de Condiciones:

Ej. Escribir y almacenar el siguiente programa para mostrar el mayor entre dos datos: a=input('ingrese el primer dato '); b=input('ingrese el segundo dato '); if a>b m=a; else m=b; end disp(m);

9.1.3 Decisiones múltiples (instrucción switch) Ej. Escribir un siguiente programa para instrumentar la definición:

9.1.4 Repetición condicionada al inicio (instrucción while)

Ej. Sumar los n primeros términos de la serie armónica:


9.1.5 Repetición condicionada a una secuencia (instrucción for)

Ej. Sumar los n primeros términos de la serie armónica:

9.1.6 Puede interrumpir una repetición (instrucción break) Ej. Leer n datos. Calcular y mostrar la raíz cuadrada. Pero si entra un valor negativo, mostrar un mensaje y terminar:

Para ver la descripción de las estructuras del lenguaje de MATLAB, escriba

>> help lang EJEMPLO: Escribir y probar un programa en MATLAB para obtener la suma de los dos valores más altos de tres números ingresados como datos.

a=i nput ( ' Pri mer dat o ' ) b=i nput ( ' Segundo dat o ' ) c=i nput ( ' Ter cer dat o ' ) i f a>=b & c>=b t =a+c; el s e i f a>=c & b>=c t =a+b; el s e t =b+c; end end di sp( ' t =' ) ; di sp( t ) ;


Escribir el programa en la ventana de edición y almacenarlo con algún nombre. Finalmente, activar el programa escribiendo el nombre en la ventana de comandos. Ingresar los datos y obtener l os resultados.

EJEMPLO UTILIZANDO LA PLANTILLA DE FUNCIONES: Escribir y almacenar una función para obtener el polinomio de interpolación en forma analítica con la fórmula de Lagrange:

En la línea de comandos digitar:


(9019 t2)/3600 - (4157 t)/600 -...+ 49/5

6.5

6

5.5

5

4.5

4

3.5 3

4

5

6 t

7

8

9

10. SIMBOLOGÍA COMPLEMENTARIA EN MATLAB

TAREA: 

Realizar un programa que permita pasar d e grados Farentheit a Celsius.

Escriba el código: 1___ 2___ 3___ 4___ 5___ …  Leer las 5 componentes de un vector v y escribirlo luego al derecho y al rev´es. Escriba el código: 1___ 2___ 3___ …


11. CONCLUSIONES: 

_



_



_

12. FUENTES: o

Stewart, J. (2012). Cálculo de una variable (7ª. ed.). México D.F.: Cengage Learning.

o

Purcell, E. & Varberg, D. & Rigdon, S. (2007). Cálculo diferencial e Integral (9ª. ed.). México D.F.: Prentice Hall.

o

Soto, J. (2014). Aplicaciones básicas de Matlab (2da. ed.). Universidad Católica de Murcia.

o

Pérez, C. (2002). Matlab y sus aplicaciones en ciencias e ingeniería. Madrid: Pearson Educación.

o

Mathworks – Página web de asistencia al usuario.

13. TRABAJO: 

Presentar un informe sobre el desarrollo del t ema. En equipos de tres integrantes.



Investigar más sobre el trabajo con funciones en Matlab.



Dicho informe debe contener los ejercicios propuestos, conclusiones y las investigaciones pedidas, en especial los métodos para trabajar con gráficos, otras formas para resolver ecuaciones diferenciales y transformadas de Laplace aplicadas al control.



Pueden añadir anexos referidos al tema.

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