Grafuri 1. Grafuri neorientate – terminologie (nod/vârf, muchie, adiacentă, incidentă, grad, lant, lant elementar, ciclu, ciclu elementar, lungime, subgraf, graf partial) – proprietăti (conex, componentă conexă, graf complet, hamiltonian, eulerian) – metode de reprezentare (matrice de adiacentă, liste de adiacentă) 2. Grafuri orientate – terminologie (nod/vârf, arc, adiacentă, incidentă, grad intern si extern, drum, drum elementar, circuit, circuit elementar, lungime, subgraf, graf partial) – proprietăti (tare conexitate, componentă tare conexă) – metode de reprezentare (matrice de adiacentă, liste de adiacentă) 3. Arbori – terminologie (nod, muchie, rădăcină, descendent, descendent direct/fiu, ascendent, ascendent direct/părinte, frati, nod terminal, frunză) – metode de reprezentare în memorie (matrice de adiacentă, liste ”de descendenti”, vector ”de tati”)
1. Grafuri neorientate Definitie: Se numeste graf neorientat, o pereche ordonata de multimi notata G=(X,U), unde X={x1,x2,…,xn} este o multime finita si nevida de elemente numite noduri sau varfuri, iar U={u1,u2,…,un} este o multime de perechi neordonate de elemente din X numite muchii. Exemplu: G=(X,U) X={1,2,3,4,5} U={(1,2);(1,3);(2,3);(4,5)} -
Daca exista muchia u=(x,y) vom spune ca nodurile x si y sunt adiacente si ca muchia nodul x (sau y) si muchia u sunt incidente muchia (x,y) este totuna cu muchia (y,x) pentru ca nu exista o orientare a muchiei notam gradul varfului x cu d(x)=numarul muchiilor carer trec prin x (incidente cu x) daca d(x)=0 atunci x se numeste nod izolat daca d(x)=1 atunci x se numeste nod terminal
Proprietate: Intr-un garf G=(X,U) cu n noduri si m muchii suma gradelor tuturor nodurilor este egal cu 2*m.
Definitii: Se numeste lant in graful G o multime de noduri L={z1,z2,z3,…zk} cu proprietatea ca oricare 2 noduri consecutive sunt adiacente. (exista muchiile (z1,z2), (z2,z3) etc) Lant elementar = un lant in care varfurile sunt distincte doua cate doua. Se numeste ciclu in graful G un lant L={z1,z2,z3,…zk} cu proprietatea ca z1=zk si muchiile care intra in componenta sa sunt distincte doua cate doua.
Ciclu elementar = un ciclu in care toate varfurile cu exceptia primului si a ultimului sunt distincte doua cate doua. Lungimea unui lant sau ciclu = numarul de muchii care intra in componenta sa. Se numeste graf partial al unui graf G=(X,U) un graf obtinut din G pastrand toate varfurile dar suprimand niste muchii. Se numeste subgraf al unui graf G un graf obtinut din G eliminand niste noduri si toate muchiile incidente acelor noduri. Un graf G=(X,U) se numeste conex daca oricare arfi doua varfuri diferite ale sale x si y exista un lant care le leaga. Se numeste componenta conexa a grafului G=(X,U) un subgraf G1=(X1,U1) conex cu proprietatea ca nu exista nici un lant care sa lege un varf din X1 cu unul din X-X1. Se numeste graf complet cu n noduri, notat Kn un graf G=(X,U) cu proprietatea ca oricare doua varfuri sunt adiacente. Numarul muchiilor unui graf complet cu n varfuri este n*(n-1)/2 Grafuri hamiltoniene si euleriene. Se numeste ciclu hamiltonian intr-un graf, un ciclu elementar care contine toate varfurile grafului. Un graf care contine un ciclu hamiltonian se numeste graf hamiltonian. Graful complet cu n varfuri este un graf hamiltonian. Teorema: Fie G=(X,U), cu n>=3 varfuri, daca oricare ar fi x un nod al grafului si d(x)>=n/2, atunci graful este hamiltonian. Se numeste ciclu eulerian intr-un graf, un ciclu care contine toate muchiile grafului. Un graf care contine un ciclu eulerian se numeste graf eulerian. Teorema: Un graf fara varfuri izolate este eulerian, daca si numai daca este conex si gradele tuturor varfurilor sunt numere pare. Reprezentarea grafurilor neorientate - Matricea de adiacenta: este o matrice patratica cu n linii si n coloane, in care elementele a[i,j] se definesc astfel: a[i,j]=1 daca exista (i,j) in U, cu x diferit de y si 0 daca nu exista (i,j) in U. - Lista de adiacenta: pentru fiecare nod din graf se retin nodurile adiacente cu el.
-
2. Grafuri orientate Definitie: Se numeste graf orientat, o pereche ordonata de multimi notata G=(X,U), unde X={x1,x2,…,xn} este o multime finita si nevida de elemente numite noduri sau varfuri, iar U={u1,u2,…,un} este o multime de perechi ordonate de elemente din X numite arce. Exemplu: X={1,2,3,4,5} U={(1,2); (1,3); (3,1); (1,5); (4,2)} Grad intern al unui nod= numarul de muchii care intra in acel nod. Grad extern al unui nod= numarul de muchii care ies din acel nod. Se numeste drum intr-un graf orientat G=(X,U) un sir de noduri D={x1,x2,..xk} cu proprietatea ca oricare doua noduri consecutie sunt adiacente.( exista arcele (x1,x2); (x2,x3) etc) Un drum intr-un graf orientat se numeste elementar daca varfurile sunt distincte doua cate doua. Se numeste circuit intr-un graf orientat G=(X,U) un drum in care primul si ultimul nod coincid iar arcele care il compun sunt distincte doua cate doua. Un circuit intr-un graf orientat se numeste elementar daca toate nodurile cu exceptia primului si a ultimului sunt distincte doua cate doua. Lungimea unui drum sau circuit intr-un graf orientat reprezinta numarul de arce pe care le parcurge. Se numeste graf partial al unui graf orientat G=(X,U) un graf obtinut din G pastrand toate varfurile dar suprimand niste arce. Se numeste subgraf al unui graf G=(X,U) un graf obtinut din G eliminand niste noduri si toate arcele incidente acelor noduri.
Un graf orientat G=(X,U) se numeste tare-conex daca pentru oricare doua noduri x si y exista un drum de la x la y precum si unul de la y la x. Se numeste componenta tare conexa a unui graf orientat G = (X,U), un subgraf G'=(X',U') cu proprietatea ca este tare conex si maximal in raport cu aceasta proprietate, adica ∀z∈X\X' subgraful lui G generat de X'Υ{z} nu mai este tare conex. Reprezentarea grafurilor orientate: -
Matricea de adiacenta: este o matrice patratica cu n linii si n coloane, in care elementele a[i,j] se definesc astfel: a[i,j]=1 daca exista arcul (i,j) in U, cu x diferit de y si 0 daca nu exista arcul (i,j) in U.
-
Liste de adiacenta: pentru fiecare nod din graf se retin multimea succesorilor si a predecesorilor
-
3. Arbori
Un graf conex si fara cicluri se numeste arbore. Fie G=(X,U). Urmatoarele afirmatii sunt echivalente: 1. G este un arbore 2. G este conex, minimal in raport cu aceasta proprietate (eliminand o muchie graful nu mai este conex) 3. G nu are cicluri si este maximal in raport cu aceasta proprietate ( adaugand o muchie oarecare se obtine un graf care are cel putin un ciclu) Un arore cu n varfuri are n-1 muchii. Nodul 1= radacina arborelui 2,5,6 sunt descendentii directi(fii) pentru nodul 1- si se numesc frati Nodul 2 este ascendent direct (parinte) pentru nodurile 3 si 4 Nodurile care nu mai au descendenti se numesc noduri terminale sau frunze Numim arbore binar un arbore în care fiecare nod are zero, unul sau cel mult doi fii (descendenti). Un arbore binar cu proprietatea ca fiecare nod cu exceptia frunzelor (nodurilor terminale) are exact doi descendenti se numeste arbore binar complet. Metode de reprezentare in memorie: - Matricea de adiacenta: este o matrice patratica cu n linii si n coloane, in care elementele a[i,j] se definesc astfel: a[i,j]=1 daca exista (i,j) in U, cu x diferit de y si 0 daca nu exista (i,j) in U. - Listele de “descendenti”: Se specifica radacina si pentru fiecare nod se precizeaza descendentul stâng si descendentul drept, în cazul în care acestia exista. Acesti descendenti se retin cu ajutorul unor vectori numiti chiar ST si DR - Vector de “tati” T: se precizeaza pentru fiecare nod i, nodul parintelui sau iar in alt vector D se pot retine valorile –1 sau 1 în functie de nodul i care este fie descendent stâng, fie descendent drept.
Matricea de adiacenta este: 0 1
1 0
1 0
0 0
0 0
0 0
0 0
1 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 1 1 0 0
1 0 0 0 0
1 0 0 1 1
0 0 1 0 0
0 0 1 0 0
Liste de descendenti sunt: ST[i]={2,0,5,0,6,0,0} si DR[i]={3,0,4,0,7,0,0} si radacina=1 Vectorul de tati este:
T[i]={0,1,1,3,3,5,5} si D[i]={0,-1,1,1,-1,-1,1}
