Giuliano Comoglio - Topografia e Cartografia (2008)

r

Pdq=r

ridotta Fi1.2.17- Latitudine ll sistemadi coordinatesull'ellissoide u,À è chiamatoisotermoperchéconsentedi lineareds.2in modoche i coefficienti il quadratodell'elemento di du e dl. siano esprimere +2r2 d fu= v :( duz +aLr ) u g u ai fe c ío è :fl s2- v1 6 fu sarà: Sulpianodellarappresentazione

x = x(u,l") y = y(u, l,)

doveu = u(q)

composta: e quindiconla derivazione A" p AxAu -A : =x- Aq AuAcp Au r Ay =AyAu =Ay p Au r Ag AuAg Dopo I'introduzione della latitudineridottau, la prima equazionedifferenziale delle rappresentazioni conformi[23]diventa: 59

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Capitolo 2 ELEMENTI DICARTOGRAFIA

=;llh)' .(#) .(H))=*lr(#)' .+l#)'l=[;i l#)'

(ar)'

/ )- \2 (4\', =(L\', *(4 \', * l;) \u ) \au) \d,)

laQ\

.t (dr..'l

I

rrrl']

l'

t

(dr\' .l^)

t24l

puòessere scritta come:

l, 1=o l-l4l'l'*t'a'a f+l'l'.!1'1. \il ) \a, ) d" l'

I

lrrl'

I

la,) I

t

psl

l' l

ld^ ) l

La secondaequazione differenziale dellerappresentazioni conformisi ricavaimponendo che le trasformate dei meridianie dei parallelisi incontrinoad angoloretto.Questa condizione si esplicita, ricordando la [7]come:

r=o

126l

##.##='

E introducendo la latitudine ridotta: oAvAv AxAx j -o - -A a -x a -A : : -x n r Au AA r Au A)" che possoscriverecome: Ay A - =) .

-

dx

du A)

AvAv

a-:-n

Au A)"

Ax -A u dy

dA

127)

d,

quadredella[25]sonoquindiuguali: ln baseallal2Tli terminientroIe parentesi

f4Ll' - i 4-l'= o \4, )

\dÀ )

dacui: Ay Ax -:--= du

* dÀ

[28]

ln basealla[28]si dimostra che i denominatori a primoe secondomembrodella[27]sono ugualie quindilo sarannoanchei numeratori:

+=-+ d)" Au

I2el

Le t28] e t29l rappresentano le equazioni differenziali delle rappresentazioni conformi. Poichéle rappresentazioni conformisonodefiniteda un sistemadi equazioni allederivate parziali, le soluzioni il chevuoldireche si si possonotrovarea menodi funzioniarbitrarie, possonoavere infiniterappresentazioni conformi;i vari tipi di carte si ottengonoquindi imponendocondizionial contorno,stabilendocioè come si vuole che si trasformiun meridiano od un'altralinea,o meglioqualivalorideveassumere il modulodi deformazione linearelungola trasformata linea. di una determinata E' possibile ancheverificare chenellerappresentazioni conformiil modulodi deformazione a. lineareè indipendente dall'azimut

60

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Capitolo 2 E L E M E N T ID I C A R T O G R A F I A

2.3.5.LA CARTADI GAUSS le relazioni[28] e [29] rappresentano le equazioni differenziali dellerappresentazioni conformi checoincidono con le condizioni di monogeneità di Cauchychedicono: condizioni necessarie e sufficienti affinchéla variabile y + ix sia funzionedella complessa v a r i a b i l e c o m p l e s s a u + i l , s o n o d e f i n i t e d a l l e rae,l a=z iao"n ie d a a y _ _ a x Au

A.1

dl

Au

Tuttele rappresentazioni conformi avrannoquindiequazioni ricavabili dallarelazione: Y+ix=f(u+i7") dovela funzione f è arbitraria.

[30]

Sviluppandola [30] in serie di TAYLORassumendocome incrementota quantità immaginaria il, conl" espressoin radianti,avremo: +!í"' tt,ttiÀr' *!.y'' {trx,).',0 *! fv ttrt\úts +... I l" ttrttilt' e ricordandoche:

i2= -1

i3= -i

ia=1 l-=l ' ' v + i x =f ' ( u ' )7+' t u t i . l , - 1 ! "dol -! y'@liî +! f u)l +! f'util +... 2" 3t" 4t" 5l'

uguagliandole partirealied i coefficienti dell'immaginario si ha: tl

, ' = f t u ) - - . f " { u t À :+ ; f

' ' ( t t \ 1 -0. . .

aa:

y =f ' t u V " -|] . f " ' @ r. '+ r . . -... ,.Í'tutî

[31]

Tuttele rappresentazioni conformisi possonootteneredefinendoper la [31] la funzione f(u)e le suederivate. Definire la f(u)equivalea stabilire a qualevaloredellay devecorrispondere il valoredella latitudine per ognipuntodel meridiano =0) fondamentale (), o, in altreparolestabilirecome si devetrasformare talemeridiano. fl numerodellerappresentazioni conformiè teoricamente infinitoma, in pratica,il numero di rappresentazioni semplicie che si adattanobene alla rappresent azionecartografica è moltolimitato. La grande intuizionedi GAUSSè stata quella di sviluppareil meridianocentrale (1,=0) in veragrandezza, imponendogliquindi una deformazione nulta. Dalla[31]per]" =0 si avrà. = "f(u)= rdu = ( O arl ,V1;-o) f,' Questacondizioneè sufficiente a definirela rappresentazione perchénota la f(u) si possonodeterminare le derivate checompaiono nelle[31]: ricordando la [32]del capitolo1 dove: r' @ = f, rdu=, = "'u*' = Ncosp * a = semiasse equatoriale
G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA dr

Capitolo2 ELEMENTI DI CARTOGRAFIA

dr drp

-r \ u ) = - = - - j du drp du

dr d9

2etsengcosg ^^^...^t,t - asen(pw + acosg 2W

asenrpW' - ae' sengcoszg

asenrp-ae2sentg - aezsengcosz g

wz

w3

w3

asen(p-ae2seneGen'rp + cos' g)

= - - n(t T - - Pr'\rrr,p sett(P

w3 d(P= r per definizione di latitudineridotta rdu= pds dup

1 Vtl=

dr

dr drp

*=

49 du=-p

r seft(p-=-75eng--Nsenrry,osrp

t "'(u|=ft{-,,"n o)=j6l, *,r)# =i h, -,*"rl=- ;(h*n,*,.o. r) =- |? or" n ' (p+ r co sr) =,{r.n ', -i * r r ) e cosìvia per le derivatesuccessive. Le espressioni finalidelle equazioniche definiscono la rappresentazione conformedi GAUSSsono: . r =f ' r u t t r -

lr ,I"'tulî

= l N c o s t, * ! , î r 6

+ 4 f v r u \ î- . . . I r\ t I' ' c o s .p ( l - r ' + q r ) + ^î

N c o sg s(....F...

I ,, rt = f tul_1f (u\,E+ 4tfn'\utî _... = t rp+

\Àt

N rrnrporg* lio

[32]

N senqrcos' q5 -,' + 9172 + 4r7o ) + ....

dove: /=tan e e q,=ry=4:!rorr rP Limitandol'ampiezzadel fuso a pochi gradi (longitudine ?u= + 3' rispettoal meridiano centrale), la serieconvergerapidamente e si possono trascurare i terminimaggiori di 1,5. E' possibileanchericavarele formuleinversedellarappresentazione che forniscono le coordinate geografiche
x,v) tio=rN

llv=)'{ X,Y )

oz

-b---

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Capitolo2 E L E M E N T ID I C A R T O G R A F I A

VorreirichiamareI'attenzione del lettoresul significatodella longitudineI riportata in molte formuleriguardantila cartografiadi Gauss. Purtroppoè consuetudineindicaresemprecon î, il valoredella longitudineanche quandocambiaI'orientamento dell'ellissoide o il meridianodi riferimento. Questocrea notevoleconfusionenei lettori ancorapoco esperti. In queste dispense indicheremoi riferimentidella longitudinecome "pedice", almenonelleformuleprincipali,nel seguentemodo: longitudineriferitaal meridianocentraledel fuso longitudine riferita al meridiano di Roma Monte Mario ed ellissoide orientatoa RomaMonteMario - longitudineriferitaal meridianodi Greenwiched ellissoideorientatoa ?unaocw RomaMonteMario = longitudineriferitaal meridianodi Greenwiched ellissoideorientatoa ),,eoso Potsdam lwcsea= longitudine riferita al meridiano di Greenwich ed ellissoide WGS84 geocentrico Lnc= = Ànqo

2.3.6.FORMULEDI HIRVONEN Le equazioni[32] che definisconoil calcolodelle coordinatecartografiche nella proiezionedi Gauss, hanno il difetto di essere complicatedal punto di vista perchéformulate computazionale attraverso unosviluppoin serie. Moltigeodetisi sonocimentati neltentativo di daredelleformulepiù sempliciper il calcolo deglistessivalori. La soluzione individuata ad esempioda Marussi(1950)partivadal principio che il calcolo (non rappresentazione della di Gaussdi una superficie sferica ellissoidica) era possibile utilizzando delleformulecompatte.ll passosuccessivo è statoquindiquellodi eseguire unaproiezione conforme dell'ellissoide su unasfera. Si riportanocome esempiole formuledate da HIRVONEN(1970) sia nella loro formulazione direttadi calcolodellecoordinate X,Y a partiredallecoordinate cartografiche geografiche I,q (vediFig.2.18),che nellaloroformulazione inversae cioècalcolodelle geografiche partire l.,g coordinate a X,Y. dallecoordinate cartografiche geografiche Notele coordinate riferitaal meridiano di un punto(longitudine centraleÀ." € la latitudineg) possiamo ricavare le sue coordinatecartografiche(distanzadalla trasformatadel meridianocentrale x e distanzadalla trasformatadell'equatorey) utilizzando le seguentirelazioni: , D - , , , , c o s { Í a'n ) . , , , x = R,' arcsenlt

v

[33]

I = q (AÉ A, sin 2( + Aosin4( - Ausin6()

dove: n2

R, =L

c

= raggiodi curvaturapolare

63

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Capiloto2 ELEMENTI DICARTOdRAFIA

tan(o . C=arctP- . cos(v,2,,,. )

v=0+

"'r"o"r6)'''

v, = (1+ e'rcos,Q)"'

, = o J l + q r -2 a d o ve a è i l sem iassemaggior ee a lo schiacciamento .92 = € cce n tri ci tà se co n da s'2- " l-ez

I coefficienti A; sonofunzione dell'ellissoide considerato e valgono: s2

l L

'464256 =

I

3ea

5eo

- - -

3ez 3eq 45et , - {' _- _ + _ + _

8

32

1024

l5ea 45e6 . A-^ - - + _ 256 1024 35eo ^ ru--

"

3072

Le relazioniinverseforniscono invecei valoridellecoordinate geografich€ (lr. , q), a partiredallecoordinate cartografiche x e yi x

t, senh -

1.,

RP

arctg

"*

É

(p = arctg [ton f cos (v A.-, )f Est- X^ mc

Xo= falsaoriginedel meridiano centrale(vedipar.2.4.) rrc = rilodulodi contrazione paria 0,9996(vedipar.2.4.) y=

Nord mc

6 = ú + Brsen2ú+ Bosen4ú+ Buseníú+ BrsenSú t9= ! aA,

B'.2_3324 _ 2 7 E ? D _2181

Da

-1632 ---

B ^= l 5 l E l "96 El B, _1097 " 512 ^

1 1' , = -

64

a-c

a+c

55ErJ

[34]

-

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Capitolo2 E L E M E N T ID I C A R T O G R A F I A

del trasformata meridiano centrale

meridiano centrale

Fig.2.18- Ellissoide e pianodi Gauss

linearenellacartadi GAUSS 2.3.7.Galcolodel modulodi deformazione Poichéla rappresentazione è conforme,basta ricavareil modulodi deformazione linearemrlungoil parallelo. Abbiamoricavato(vedi[10]): *z' p=- \p r - cos2 o *!

ror or.n a+{r"n'

a

lungoil parallelodovea= nl2 sara:

R r fla')' .ln) la ul'l *i, =7=7lld r) ) finalidellacaratadi Gauss(32): dovex e y sonole espressioni tl x = À Ì ' ! c o s e + ; l N c o s, A r t - r ' + n = )+

p(....)+... ,,rfNcoss

tl

y= ttp+ +V,t ,.1Nsenpcosp

N s e n t p c orsp3t 5 - t ' + 9 q ' + 4 r 7 al + . . . . . . .

le derivate, i terminiin ì"4e superiori calcolando trascurando e i terminiq'e rlosi ottiene: dl'

,:^*

'2Ì

s e n p c o s+p L , ? rr^l /s" e" rnr np"cn o. t sr n' g( s( -s, -2t+' + . . .l -. l.r.u. ). "=nrA "r nnN"gn..or r.(( t + f , c o s ' g ( 5 - t ' + . . . .) .l , , uî

l 2 ' N ' s e ng' r o r ' , p ( t + 0 + 4 . o r ' e ( s -'),)l' * f\ d+1ì )' = 2 ' N ' s e n 'g r u r' [' , p (6t * 4 . ogr(' 5 - t ' * . . ) ' = 3 )

[

= 1'N'sen' gcos' g+ termini trascurabili

e I'analoga derivataper la x: dx

t/"r\ A-

|

lf

^

,l

N c o s p+ f l u c o sr 't ( t- t ' + . . . . 1r=v . o r d [ l+ f c o s ' q ( t- | + . . . . ) n: )

65

Caoitolo2 ELEMENTI DI CARTOGRAFIA

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lar)' = N . . ', , ( , Ì , t- , ,l' c o s ' r [ r + i . o t ' 9 l - t ' + . . . 1 )= N 2 c o s9r l + o + l c o s ' 9 l - " * " ' ) ) = l;i) = N' cos'

( r..c o s ' ( 2 - , 1 c o s 'r 2,.r3*...1= -*r.

\l+

,

= N' cos2,p(t+ I / , \2 IdxI

l;)

/ , \2 la\t)

.l;)

cos'g- I

)

sen'g+...)

= N2 cos29l+ r cos'I - r sen'9) + N'r = N2 cost g$+,t

cos' g - f

sen'e + I

cos' rpsen'9= g) = sen'z

= N2 cos2gfi+ f cos' g)

e quindi:

, ,p(r p)= | +,t2cos, rp +).,.o,, ^l' =+l(+l' .l+l'l= =-r-----N,cos r'l\il,) \il)) N'cos'tp *, =(l+.t

cos'g)t'' =t+lcos'

g+

termini trascurabili

il modulo di deforóazione lineare espresso in f f i L= 7 * h - " o r ' , funzione della longitudinel. e della latitudineg sarà pari a: X (d a l l a1 'd e l l el32la m enoditer miniin ),3)si ottiene: ep ' o n e n d ol = _ _

[35]

Ncos@

^ ,' = l * l

.*' -

2N'cos'to

cos'tp=r*f4 2N'

formula: accumulate si adottala seguente o megliopertenerecontodelleapprossimazioni lx2 il modulo di deformazionelineare espresso in f f i' , = l + ^ [36] funzionedell'ascissax saràpari a: 2pN la distanza centrale o assedellenorde p ed N del puntodal meridiano dovex rappresenta punto principali P. nel di curvatura calcolati sonoi raggi linearedi un segmentodi retta L'espressione approssimata del modulodi deformazione xr yr ed un puntoPzdi un puntoP1di coordinate sullarappresentazione, che congiunge, xzYzvàle: coordinate 2 . .ì';+'r,,f,,+t'; ffi,-.=l+:# l37l 6p-N^ dove con X1 e X2si indicano rispettivamentele distanze dei punti Pr e Pz dal meridiano centraledel fuso e con pm ed N, si indicanoi raggi principalidi curvaturacalcolatinel puntomediodel segmentodi rettacongiungente i due punti. Per le approssimazioniintrodotte,questa espressioneè valida per segmentidi retta non superioria 20 km.

66

Y

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Capitolo2 ELEMENTI DI CARTOGRAFIA

2.3.8.calcolo dellaconvergenza del meridianonellacartadi GAUSS In un puntoP dellaproiezione, la trasformata del meridiano è unalineacurvacheforma un angoloT con la parallelaall'asseY. Questoangoloy è noto come convergenza del meridiano: tangentein P allatrasformata del

parallela all'asseY

passante trasformata del meridiano p e ri l p u n t oP

F i 1 .2 .1 9- Conver genza delmer idiano L'asseY è quellodel sistemadi riferimento cartografico, rappresenta, comegià detto,la trasformata del meridiano centrale delfuso. L'angoloy, definitoprima,è ugualeall'angolo che la tangentein P alla trasformata del parallelo formacon la parallela all'asseX del sistemadi riferimento cartografico, datoche per esserela rappresentazione conforme,le trasformate del meridianoe del parallelo passantiper un puntoformanoun angoloretto. trasformata del parallelo passante per il puntoP

X Fi1.2.20- Convergenza del menotano Considerando il triangolorettangoloinfinitesimo che ha per lati un elementodD di parallelo trasformata per del e catetid" e dusi ha:

Fig.2.21Triangolo infinitesimo

67

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d',

Capitolo2 ELEMENTI DI CARTOGRAFIA

!'

d, d^"^ dÀ . = tan(d , d, d,= ,

qo^

d^

. d,

d,

le espressioni sono già state calcolatenelladeterminazione del modulodi n " O^ deformazione lineare.

#"= dx

^*senpcos [t.**r' ( n ^,

e6-,'* ^

))

,l

cos(l+tcos' e\l-r'*. ..)) d),=N

gli sviluppibinomiali, e quindifacendoil rapporto,sfruttando considerando ), piccolo trascurando i terminiin l,ae superiori ha: si î = '"7 = ct, d)

i i y'se n r.o ,r[, * (" o ,' r(t-,\) Ncos(l+7cos''P\l-r'l)

\r ( r . - 22 - , ' ) )) r a n=y 2 s ernl r + f c o se' $ - i ) i [' rLcos',p(t r y .t 1 , .,1 q ( t t ' )+ c o s,' p ( s -, ' ) t a ny : z s e nr [ r ]rot' f ) ,t 5 r'ì ,t . ( -,' -i+ . , -jcos'

4'

;)=;cos'

p(r+r')

(P\

t a n y- Z s e n r [ r + f c o s 'g f i + t ' ) *

y : 'l,r"rr{t. tan

+.

J"

v i s t oc h et = t a n e

)

sviluppando in seriela funzione arcotangente si ottieneil valoredi y: T = t a n r- \ t u n ' y * ! a r ' y - . . . . . trascurando i terminiin l.ae superiori si ha:

T=).senr*Ir sen(p-!î,"n',t e quindi: ( l^' , lg y = ).,,,sengl t + - 2i, cos'

)

[38]

68

--r

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Capitolo2 E L E M E N T ID I C A R T O G R A F I A

Conmaggiore approssimazione, conlo stessoprocedimento si ottienela relazione: (

t

/

'>

.'

\\

y = 2 . , s e n g [ t * ! l-l . , r o r ' g [ t + f- . r c. o r ' r 3 c' \ /I/I [

[3e]

pianebastaricordare Peraveretany in funzione dellecoordinate che: b:J

N cos@

depuratadellafalsaoriginee dal dove x è l'ascissalettasullacartografia coefficientedi contrazione /t\

xlx'l t a n' Y = - t a n ( i'\, l * | N 3N' cos' rp)

[40]

o conmaggiore approssimazione: ( ( * x' et-c' ìl f a n' v = - t a n t 'o l l * .. c o s" -' r\ al + l 3 . c o s" -' r z l l N t p 3 N ' c o s ' c ' )) \

[41]

2.3.9.TRASFORMATE DELLEGEODETICHE SUL PIANODI GAUSS Aavanri, linoi"r,-o) I'angoloazimutale e misuriamo Se fissiamosul terrenotre punti(Ps1u.ione, IPA= cx, facendostazionein P e collimando in A e poi in l, il valoreche successivamente grazieai teoremidellageodesiaoperativa, all'angolo otteniamo, è del tuttoequivalente formato PA e Pl. dalletangentiallegeodetiche (cartografia Lo stessoangoloc sul pianodella rappresentazione conformedi Gauss) PA e Pl. dovrebbe esseremisuratotra le tangentialletrasformate dellegeodetiche La trasformata rappresentabile, di una geodetica tra due punti,tuttavia,non è facilmente gli punti. mentreè immediata la rappresentazione dellacordatra stessi Un semplicemetodoche consentedi definireI'andamento della trasformatadi una geodetica sul pianodellarappresentazione è la "regoladel vento"che semplicemente dice chela trasformata dellageodetica si ottienepensando a comesi gonfiauna velatesatra gli estremiPA sotto I'effettodel vento che per la parteche sta a destradal meridiano centralesoffiaversoESTe per la parteche sta a sinistrasoffiaversoOVEST:

Fi1.2.22- Trasformata di unageodetica

69

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2 CaPitolo ELEMENTI DI CARTOGRAFIA

Se determiniamoI'angolotra la trasformatadella geodeticae la relativacorda, sarà possibileridurreI'angoloazimutalemisuratosul terreno(tra geodetiche) all'equivalente angolosullacartografia misuratotra le rispettive"corde"ed operarequindisu figurea lati rettilinei anzichésu figurea laticurvilinei. Lo scostamentosuddettovienechiamato"riduzionealla corda". Percomprendere meglioI'operazione di riduzione allacorda,consideriamo una geodetica passante per PA sull'ellissoide P e la tangente come l'angolocompresotra il meridiano allageodetica stessa(vediFig.2.23)

Fig.2.23- Azimutsullasuperficie di riferimento Lo stessoazimutu sarà definitosul pianocartografico comeangolotra la tangentealla passanteper P, e la tangenteallatrasformata trasformata del meridiano, dellageodetica PA:

(Est,Nord)del puntoP e del le coordinate sonofacilmente determinabili Sullacartografia puntoA. In basea questecoordinate l'azimut0'p6cofiìei è possibile calcolare t En -En . U,,^ = OfCtStlNn-Nu

le coordinate Per rendereomogeneoI'azimutO'pA, definitoattraverso cartografiche, con quelloa, individuato le correzioni sull'ellissoide, apportare siadi convergenza è necessario y chedi riduzione del meridiano allacordaepa: 70

Capitolo2 DI CARTOGRAFIA ELEMENTI

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Fig.2.24- Azimutsul pianocartografico y e la riduzione La convergenza allacorda€paSorìovaloridotatidi segnoe del meridiano quindila relazioneche permetteil calcolocorrettodell'azimut a a partiredallecoordinate cartografiche dei puntiP e A saràla seguente: ct,= O'pA+T - 0pn

l42l

ll segnodell'angolo di riduzione allacorda€pnsàfà datodallaseguenteregolaempirica: positivadell'asseY si incontraprimala segno- se ruotandoin sensoorariola direzione cordae poi la trasformata; segno+ il viceversa. y saràpositivaquandoil puntoP si trovaa destradell'asse La convergenza del meridiano quandoil puntoP si trovaa sinistra. Y (Nord)e sarànegativa Dallostudiodellatrasformata dellageodetica si può dedurreche I'angoloepn(riduzione allacorda)è paria: (Y,-y^)(zx,+xo) ^ [43] 6prN, nel puntoC dellacordaPA,che dovep6 e N6 Soroi raggiprincipali di curvatura calcolati PA (vediFig.2.2q. distada P 1/3dellalunghezza L ' a s c i s sde a l p u n toC è fa ci l me n te calcolabile com et Xr = ( 2Xr +XA) /3 e analogam ente l'ordinata del puntoC sarà Y, = (2Y,+Y) /3 C or

-

-

71

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Capitolo 2 E L E M E N T ID I C A R T O G R A F I A

Allalucedi quantodettosopra,un angoloB (tradue geodetiche) misurato sullasuperficie terrestrecon la strumentazione topograficaclassicacorrisponderà all'angoloB' (tra le corde)misurato sullacartografia di Gausssecondola seguente regola: i'-B = angolomisurato con le coordinate F' = angolocalcolato dei puntiP I A lettesullacarta

B'

'*---..---.'''.'-.''...'.

e.r..î.

), --ì

A---_ { Fig.2.25- Riduzione allecordedi un angoloazimutale

0 =0ro-0r;0ro+ero-0r,-rr, -B+eoo-e.

144l

VedíamoI'ordinedi grandezza di questecorrezíoni considerando l, < 3oe p5 = Nc = 6,3 . 103km e unadiffereóza dellecoordinate dei puntiP A e | (vedit43l)di 200 km, 100km 10 km: 200km 100km 1 0k m Ay=[y= g" 100" 25 0,25" Nellecondizioni più sfavorevoli per lati di 15 km il valore(B' - B) è di 0,5"ed è dunque logico,al disottodi questedistanze, cioèentroil campotopografico, non tenerecontodi questecorrezioni. Sarà quindipossibilecompensare una rete geodeticadi estensionemassimapari al campotopografico senzaapplicare le ríduzioni angolari allacorda. Si può dimostrarepoi che fra la lunghezzadellatrasformata e la lunghezzadellacorda valela relazione: /\rr

s, - s. _ rp\rp + sr senA/s; cos' a ,t, 24N4

[45]

s' -5' e p o n e n d o5i 1= 1 0 0 k m , o . = 4 5 o e X p- 2 2 O k m s o i t t i e n eu n e r r o r e d i C i r c a1 0 8 , sr

sensibilmente inferiore aglierroridi misuradelledistanze e quinditrascurabile.

72

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

I

'

, i

Capitolo2 ELEMENTI DICARTOGRAFIA

2.4. LA CARTOGRAFIA UFFICIALE ITALIANA Esistonomolti prowedimentilegislativiin materiadi cartografia, emanatidall'unità n'68 definiscegli organicartografici d'ltaliaad oggi.La legge21211960 delloSfafo: > l.G.M.- lstitutoGeografico Militare > l.l.M. lstitutoldrografico dellaMarina > C.!.G.A.- Centrodi Informazioni Geotopografiche dell'Aeronautica F Catasto - DirezioneCentraledel Catastoe dei serviziGeotopocartografici e della immobiliari conservazione dei registri F ServizioGeologico La cartografiaufficialeè quindicostituitadallecartetopografiche, nautiche,aeronautiche, catastalie geologiche. Nel 1970nasconole Regionia statutoordinario e con essenasconoanchei programmi di cartografia tecnicaa grandescala(C.T.R.)1:10.000e 1:5.000. Anche le 102 Provincieltaliane hanno competenzacartografica.I loro programmi prevedono,normalmente, la costruzione di cartografia tecnica(tradizionale o/e numerica) a l l as c a l a1:5 .0 0 0 . di produzione allescale Gli 8.102Comuniitalianihannoprogrammi di cartografiatecnica 1: 5 0 0- 1: 1.0 0 0- 1:2 .0 0 0 . La realizzazione di cartografia tradizionale disomogenea: si o/e numericaè estremamente va dal nullaallacopertura totale. ici utilizzatiin ltaliasono rrincipali sistemic enti proiezione e 1:1.000.000 conicaconforme di Lambert: IGMcar ta1:500.000 llM carta a scale varie da 1:100.000 a proiezione conformedi Mercatore: 1:1.000.000 proiezione perle calottepolari ica conformestereograf IGMcarta1:1.000.000 oolare: proiezione di Cassini- Soldner cartea scalevariabili da 1:500a CATASTO (afilattica): 1:4.000 - 1:50.000 IGMcar tain scala1:25.000 1: 1 0 0 . 0 0 01 : 2 0 0 . 0 0 01 : 2 5 0 . 0 0 0 rappresentazione di Gauss: CATASTOnuovecartea scalevariabilida conforme 1 : 5 0 0a 1 : 4 . 0 0 0 cartoqrafia tecnicaa variescale

Tutta la cartografiaufficialeitalianaè nella rappresentazione conformedi Gauss così pratica la cartografia mondo. come totalitàdella del (28afogli)è stataultimata La cartaufficiale dell'lGMin scala1:100.000 allaf inedel secolo scorsomentrequellain scala1:25.000lo fu solo neglianni cinquantacon le seguenti caratteristiche: F originedellelongitudini: meridiano di RomaMonteMario F originedellelatitudini: equatore F ellissoide BESSEL di riferimento: F proiezione: naturalepolicentrica si noti(vedifig. 2.26\che le di Sanson- Flamsteed; longitudinisono positivenel verso Est e negativenel verso Ovest a partiredal (MonteMario)e che non si limitanoai valoridi + 3'o -3o meridiano di riferimento i comenelcasodellaproiezione di Gaussperché,in questocaso,nonsi considerano fusima zonemoltopiùlimitate con molteoriginidiverse.

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G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Capitolo2 ELEMENTI DI CARTOGRAFIA

À*oo o'

À*oo

Fig.2.26- La primacartografia italiana ufficiale Nel 1940la Commissione ltalianadecisedi adottareI'ellissoide internazionale Geodetica (Hayford)comesuperficiedi riferimento. L'ellissoideè stato "orientatoa Roma - Monte Mario" cioè è stato reso tangente al geoide in questo punto, annullando la deviazionedella verticale. fu ricalcolata Nel 1941la rete geodeticanazionale sul pianodi Gaussdal Prof.Boaga (comericonoscimento di ciò,la proiezione di Gauss- Boaga). è statachiamataproiezione Nel 1948 fu stabilitodi adottarela proiezione La di Gaussanche per la cartografia. (disegno), trasformazione è avvenutaconseryando tutto il vecchiomaterialecartografico gaussiano(cioèle nuovecoordinate). sovrastampandovi soltantoil nuovoreticolato questacartografiaè il meridianodi Greenwicha L'originedei fusi che caratterizzano paria 6'. partiredalqualesonostatitracciati tuttii fusidi ampiezza

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Capitolo2 E L E M E N T ID I C A R T O G R A F I A

Tra I'estremo oveste l'estremo est del territorio nazionale contiamocirca12",quinditutta l'ltaliaè contenibile per questi in due fusi e, fortuna, due fusi,a lorovolta,sono multipli interidellasuddivisione chepartedal meridiano di Greenwich. ll primofusova da 6oa 12"di longitudine riferitaa Greenwich con meridiano centralepari a 9 ' ; i l s e co n d ofu sova d a 1 2 'a 18' di longitudine r ifer itaa Gr eenwich con m er idi ano paria 15'. centrale Per ragioniche vedremomeglioin seguito,il primofuso si estendead orientesino al meridianodi Roma MonteMario,per cui si crea una zona di sovrapposizione con il secondofuso, utile per eliminarele difficoltàdi collegamento tra punti vicini ma appartenenti ai duefusicontigui. Ancheil secondofusosi estendea orientepercirca30' percoprireunapiccolapartedella penisolasalentina che altrimenti andrebberappresentata utilizzando un terzofuso (vedi Fig.2.27). Àn+ocw12'27'08',40EG 18'30' ^ -

rfl

, 4 1 e5 5 ' ? 5 " 5

\y

,4(

q"] \ I '/

w /

f-

t\

ruso^ou.tt_{-I E: 1.500 km

I

FUsoEsr E:'z's2okm

Fi1.2.27- La nuovacartografia italiana ufficiale Tuttoil territorionazionaleracchiusoin un fuso non può essererappresentato su di un unicofogliodi carta,bisognerà, per ragionidi comoditàdi consultazione, suddividerlo in tanteporzioni. prendeil nomedi tagliodeifogli. operazione Questa Tuttii foglidellacartografia italianasono "tagliati", secondointervalliregolari,lungole trasformatedei meridianie dei paralleli che definisconola porzione di territorio rappresentata.

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I

I

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Capitolo2 ELEMENTI DI CARTOGRAFIA

I marginisinistroe destrodi una cartasonole trasformate dei meridiani, e i marginibasso e altosonole trasformate questilimiti,sono I valorinumerici dei paralleli. che definiscono sempreriportatia marginedellacarta. Questo modo di tagliare la cartografiaviene comunementeindicato come "taglio geografico". La figuraseguenteillustrail taglioufficiale dellacartografia italiana, con I'indicazione della denominazione dei foglialle variescalee la porzionedi territoriorappresentato, inteso comedifferenza tra la longitudine del marginedestrocon il sinistroe la differenzalrala latitudine del marginein altoconquelloin basso.

nome

NoiNE SUDDIVISIONE DELLE

FOGLIO QUADRANTE TAVOLETTA

scala

Al,

ACI

1: 100.000 30' 20' l: 50.000 1 5 ' l0' l:25.000 ,7,30,, 5'

"'---'-tit'-"-" ravolelrs AL ll0@

soise

Fig.2.28- Tagliodeifoglidellanuovacartografia italiana ufficiale Come abbiamogià detto,gli assi ortogonali cartesiani dellarappresentazione di Gauss sono definitirispettivamente dallatrasformatadel meridianocentraledel fuso (asseY o (asseX o Est): Nord)e dallatrasformata dell'equatore

o

-

o c

.(ú '= o E

perchétutti i fusi sono identicitra loro e Non facciamoriferimento ad un fuso particolare quindiquantoillustrato per uno,valepertutti. Restanoda risolveredue problemi,il primo,che interessain particolare il territorio quello nazionale, è di darecontinuità cartografica ancheai territori di confinetra i duefusi, chiamatifusoOveste fusoEst. La soluzionea questo primo problemaè stata trovata producendouna zona di sovrapposizione di circa30' che fungeda "sutura"(vediFig.2.27),nellaqualesi ha una doppia rappresentazione del territorio,prima come appartenente ad un fuso e poi al successivo e viceversa.

7

Capitolo2 DI CARTOGRAFIA ELEMENTI

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Est di tuttii puntiche si ll secondoproblema(validoper tuttii fusi)è che le coordinate non ci centralesononegative.Dal puntodi vistaaritmetico trovanoa sinistradel meridiano fontedi ma dal puntodi vistapratico,si intuisceuna possibile sarebbenullada eccepire, delsegno. erroriperla dimenticanza dando una traslazionefittizia Questosecondoproblemaè stato risoltosemplicemente all'asseNord. immediatamente al lettoredellacartain qualefuso (Est o Ovest)si Per far comprendere del una caratteristica trovail puntoin esame,sonostatedefinitedue diversetraslazioni, fusoEst(1.500km)e I'altradelfusoOvest(2.520km). In questomodo,la prima cifra della coordinataEst di un qualunquepunto riporta per il fuso Oveste 2 per il delfusodi appartenenza'.1 implicitamente anchel'indicazione fuso Est. Tuttoil territorionazionalesi trova,per fortuna,in un soloemisfero(quelloNord)e quindi Nordnegative. nonsi poneil problema di eventuali coordinate

lnrocw,= 6"

larocw = 6"

9" + 1500km

ln+ocw= I 2o

15. + 2.520knr

Fig.2.29- FusinelsistemaGauss- Boaga di un punto (Est,Nord)che, Per rendereagevoleall'utentela letturadellecoordinate ricordiamo,rappresentano, a parte la falsa origine,la distanzadel punto rispettoalla su ogni carta è sempresovrapposta trasformatadel meridianocentralee dell'equatore, (Est,Nord)e con maglia agliassidel sistemadi riferimento una grigliacon i latiparalleli regolare. reficolatochilometrico anchese non semprela Questagrigliasi chiama,impropriamente, pari ad un chilometro. dimensione dellamagliaè

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Nellacartografia a grandescalasi adottauna magliadi 10 cm di lato,indipendente dalla ricordareè che le coordinate scala.Quelloche è importante dei lati della magliadel reticolato chilometrico sonosempredeivaloriinterie sonoriportatia marginedellacarta. Nord

reticolato chilometrico taglio geografico della carta

Fig.2.30- Cartacon reticolato chilometrico tracciato lineare(vedi ln un fusodi 6"di ampiezza, comenelnostrocaso,il modulodi deformazione [35] e [36])è semprecrescentee varia da un valoreminimopari a 1 (sul meridiano estremidel fuso centraledovel.r. = 0o)a un valoremassimoparia 1,0008(suimeridiani = = dovel,r. + 3oo l,r. 31. prossimoal meridianocentraledel fuso, è quindi"privilegiato" ll territoriocartografato, perchésubiràunadeformazione lineareminorerispetto a quellopostoagliestremi. perché fatto impossibile la costruzione non ci stupisce sappiamo essere di una Questo (vedipar.2.1.3.) cartografia equidistante e la cartadi Gaussnonfa eccezione. questoeffettodi "distorsione" Possiamo imponendo dei limitialladeformazione contenere in un lineare.Naturalmente nonpossiamo fareriferimento rappresentato a tuttoil territorio porzione fusoma ad una bendefinita. dell'lGMin scala1:25.000postonel puntopiù è quellodi una tavoletta Questoterritorio delfuso(À.. = + 3oo - 3') : sfavorevole cioèall'estremità

lunghezza massimamisurabile= 14 km

Fig.2.31- Tavoletta IGMin scala1:25.000 pariad a circa14 km. La distanzamassimamisurabile su unatavoletta è la suadiagonale in scala su una carta ideale (senzadeformazioni) Questa lunghezzacorrisponde, mm. 1 : 2 5 . 0 0 0a,d u n se g me n to di 560 delfuso,saràparia: Sullacartadi Gauss,postaall'estremità ad un segmentodi 14.000m * 1,0008= 14.011m corrispondente, alla scala1:25.000, 5 6 0 , 4 5m m. linearesubitaè quindiparia 0,45mm. La deformazione cartografica

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--

Capitolo2 DI CARTOGRAFIA ELEMENTI

G. COMOGLIO E CARTOGRAFIA TOPOGRAFIA

fosse contenutaentro lo spessoredella linea che tracciail Se questadeformazione e risolverecosì disegnodella carta,potremmoaccettarlacon maggiorerassegnazione cioèquellodi poterdisegnareuna carta l'assilloche perseguita da sempreil cartografo praticamente In questomodola cartadiventerebbe equidistante. equidistante. per ragionistoriche,pari a Lo spessoreminimo di una linea disegnataè assunto, 0,2 mm e prende il nome di errore di grafÍcismo. la deformazione lineareprimacalcolatae Ritornando al nostroesempio,per dimezzare graficismo, quindi nei limitidell'erroredi rientrare dovremodimezzareancheil modulodi lineare. deformazione un a tutto il pianodellarappresentazione Questoobiettivosarà raggiuntose applichiamo paria 0.9996. di contrazione coefficiente linearesul meridiano centralenonsarà il modulodi deformazione Dopoquesta"forzatura", piùpariall'unità ma varrà0,9996e alleestremità delfusosaràparia: ( vedifig.2.31) ,possi am o 1 , 0 0 0 8* 0,9 9 9 6= 1 ,0 0 0 4e , ri to rnando alla nostr atavoletta ricalcolare la lunghezza delladiagonale di 14 km: D all'estremità sullacartaa un del fuso 14.000m * 1,0004= 14.006m corrispondente di 560,22mm segmento D sul meridiano sullacartaa un centrale14.000m * 0,9996= 13.994m corrispondente di 559,78mm segmento Entrambi i valori calcolati soddisfano, praticamente,la condizione che la massimasia inferioreall'erroredi graficismo. deformazione I nostripadricartografihannoadottatoquestoartificiodi imporreuna contrazione di 4 parti prodottasecondola proiezione di Gaussper su 10.000paria 0,9996a tuttala cartografia lo sviluppoin limitarele deformazioni lineari.Con buonapacedi Gaussche prevedeva veragrandezzadelmeridiano centrale(vedi2.3.5.). viste prima, Alla luce di questo"piccoloaggiustamento" tutte le espressioni analitiche, principali: dovranno tenerneconto.Vediamole ll modulodi deformazione lineare(vedi[35]e [36])saràcalcolato con le nuoverelazioni:

nt,=o,eee{t.!** ,t)

ffi1€Spr€ssoin funzionedella longitudine 1," € dellalatitudineq

r\ (t (fst - falsa ori gine ) I m t = 0 , 9 9 9 611+ -

pN0,99962

)

[46]

ntl espr€SSoin funzione della punto distanza del dal meridianocentraledel fuso

l47l

ll modulo di deformazionelineare di un segmentodi retta che congiunge,sul l a Er Nr ed un puntoP2 di coordinateEz Nz rappresentazione, un puntoP1 di coordinate (vedi[37])saràdatodallanuovarelazione: (/ n? +' F E. + r.'JI n t 1 _=,0 . 9 9 9 6r1+ 1 t . 7 t 7 t = = - i . I' , t+al 6 p ^ N^ 0 ,9 9 9 6') | le distanzedei puntiPr e Pz dal meridiano dovecon Er e Ez si indicanorispettivamente pm N, di curvaturacalcolatinel centraledel fuso e con ed si indicanoi raggiprincipali puntomediodelsegmento i duepunti. di rettacongiungente 79

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Capitolo2 ELEMENTI DICARTOGRAFIA

Anche la relazionerelativaalla riduzionealla cordadovrà esseremodificataper tenere (vedi[43]): contodel coefficiente di contrazione -No)(2Ep+Eo) ^ = (N" t,, rA 6prN ro.99g6'z

[49j

L'applicazione del coefficiente di contrazione 0,9996equivalea sostituire idealmente il cilindrotangenteal meridiano centrale conun cilindrosecante.

cilindro u r r r r r u rssecante ue u a r r t e

CilindrO tangente

Fig.2.32-Schemageometrico dellaproiezione di Gauss- Boaga Per megliocomprendere lo schemageometrico dellarappresentazione di Gauss- Boaga immaginiamo I'ellissoide di sezionare secondoil pianoY-2. Allanostralatitudine risultache il cilindrosecante(pianodi Gauss)intersecherà I'ellissoide a circa180km dal meridiano centrale delfusosecondoil seguente schema: f u s od i 6 ' d i a m p i e z z a

mr= 0,9996

superficieterrestre

mr= 1,0004 piano di Gauss

ellissoidedi Havford

meridiano cehtrale

Fig.2.33- Sezionedi un fusodi 6' di ampiezza il modulodi deformazione Se rappresentiamo linearemr in funzionedellaEst avremou n graficoad andamento parabolico: meridiano centraledel fuso

1,0004

Fig.2.34- Variazione lineare del modulodi deformazione

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Y

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Capitolo2 ELEMENTI DI CARTOGRAFIA

2.4.1,IL SISTEMAUNIVERSALE UTM Durantee dopo la secondaguerramondialemolte nazioni,per ragionidi uniformità, adottaronola rappresentazione di Gauss come propriacartografianazionale.L'idea originaleera quelladi dar vita ad un sistemauniversaleche fosse la base per la cartografia di tuttoil mondo.Talesistemaè statochiamatoUniversal TransverseMercator (UTM). Projection L a t e r r a f u s u d d i v i s a i n 6 0 fdui 6 s i' d i a m p i e z z a , n u m edr a tl i a 6 0 p r o c e d e n d o d a O v e s t partire Est dall'antimeridiano di Greenwich (ilfuso1 si trovaquindiin pienooceano Yerso a Pacifico). L'ltalia,in questosistema,è contenuta nei fusi 32 e 33 e grazieallefelicisceltefattein fasedi costruzione dellapropriacartografia (Gauss- BoagaJ,si trovavagià perfettamente allineata conla definizione e il posizionamento dei nuovifusiurM. l m e r i d i a nce i n tra d l i e id u e fu sih a nnosem pr elongitudine, r ispettivam ente, di 9"e 15"Es t di Greenwich (vediFig.2.30). Naturalmente, trattandosi di un sistemauniversale, non hannopiù sensole specificità dellacartografiaitalianacome il nome dei fusi (Est e Ovest)e le traslazioniparticolari dell'origine. Anchein questocasosi è decisodi applicare un coefficiente di contrazione di 0,9996e si è adottatoun tagliodei fogliugualeper tuttele nazioni(diversoda quelloitalianoGaussBoaga). Perevitarepossibilierrori(dimenticanza del segno)utílizzando le coordinate dei puntia sinistra del meridiano centrale,anchein questocaso I'origine del sistemadi riferimento caftografico è statatraslatadi una costante.Questatraslazione è ugualeper tuttii fusi ed è paria 500km. Àuoro

9"1 + 500 km

= 12o Àsoso

Fig.2.36- FusinelsistemaUTM

15" + 500 km

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Caoitolo2 ELEMENTI DI CARTOGRAFIA

2.4.2.tL STSTEMA Dr RTFERTMENTO (ED50) EUROPEO UNtF|CATO paragrafo, Comegià dettonel precedente nel 1940la Commissione Geodetica ltaliana decisedi adottarel'ellissoide internazionale di Hayfordcomesuperficie di riferimento e di nell'osservatorio orientarlo astronomico di RomaMonteMariocioèdi renderlo tangenteal geoidein questopunto,annullandone la deviazione dellaverticale. Analogamente all'ltalia,tutte le altre nazionieuropeeadottaronoun propriosistemadi perforzadi cose,noncongruente riferimento, conquelloitaliano. Dopo la secondaguerramondialefu decisodi unificarei diversisistemidi riferimento nell'ambito dell'AlG(Associazione Internazionale di Geodesia)medianteun calcolodi generaledi tutte le reti geodeticheeuropee(eseguitodal Coast and compensazione GeodeticSurveye ArmyMapServicestatunitensi) con i seguenticriteri: F superficie (Hayford) internazionale di riferimento: ellissoide ts originedellalongitudine: meridiano di Greenwich Naturalmente non sarebbestatocorrettomantenere I'orientamento dell'ellisoide a Roma MonteMario,cioèil puntodi tangenzadell'ellissoide con il geoide,e quindisi è sceltoun nuovoosservatorio ubicatoin una localitàpiù baricentrica rispettoallatotalità astronomico del territorioda cartografare. Questopuntodi tangenzao "centrodi emanazione" della in una localitànei pressidi BonnchiamataPostdam. cartaè statoindividuato Nel centrodi emanazionenon è stata annullatacompletamente la deviazionedella verticale ma è statolasciatoun piccoloresiduoin mododa minimizzarele nelle deviazioni periferiche. più altreretinazionali Si è definitoin questo modo I'orientamentomedio europeo o European Datum 1950 (ED50). Anche questo nuovo "datum"(ED50),come il precedenteRoma 40, si definiscead "orientamento locale",cioè non è adottabileper la rappresentazione dell'interasuperficie terrestre,ma vale solo in un intornodel centrodi emanazione o puntodi tangenzatra ellissoide e geoide(nelnostrocasotuttoil territorio europeo). ll nuovoorientamento dell'ellissoide di riferimento comportalavariazione dellecoordinate geografiche Ad esempiole coordinate di tutti i puntirappresentati. di un puntoparticolare cheè il verticetrigonometrico di RomaM. Marioneiduesistemidi riferimento saranno:

orientamento ellissOide RomaMonteMario ED50(Potsdam)

longitudine À R + o= 0 o

),orn^w= 12" 27' 08".40 Iew = 12" 27' 10",93

latitudineo 41'55',25",51 4 1' 5 5 ' 3 1 " , 4 9

generaledelle reti, le coordinatedei punti Dopo le operazionidi compensazione italianihanno ovviamenteassuntovalori diversida quelli del sistema trigonometrici nazionale. Tra le coordinate di uno stessopunto,nei due sistemi,non vi è alcunapossibilità di analitiche di trasformazione. definiredellerelazioni (espresse La figuraseguentemostrale differenze in latitudine e in longitudine in secondi) riscontratetra i due sistemi(ellissoidedi Hayfordorientatoa Roma Monte Mario ed ellissoide di Hayfordorientatoa Postdam)

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Y

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Capitolo2 ELEMENTI DI CARTOGRAFIA

*.._,J.

ì i I I ! I

Fig.2.37- Curveisotransitive di conversione da Gauss-Boaga a UTM ll sistemaeuropeoè statoadottatoin parteancheda alcunenazioniafricaneed asiatiche:

I N

ED50 Pulkovo42 del Capo

r:-::-l t|-. ' l

indipendenti

Fig.2.38 -Nazioni che hannoadottato il sistemaED50 Ancheil sistemaUTM prevedeun tagliogeograficodei fogli (secondole trasformatedi meridiani e di paralleli) cosìcomeera previsto dallacartografia nazionale italiana. Naturalmente il taglioè diversoda quelloadottatodallanuovacartografia ufficialeitaliana. La cartografia IGM che vieneprodottaoggi,seguequestonuovotaglio(UTM)che ha comeriferimento il foglioin scala1:50.000 e tuttii relativisottomultipli comeindicatoin Fig. 2.57. 83

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Caoitolo2 ELEMENTI DI CARTOGRAFIA

geografica La dimensione dellacartografia ufficiale è la seguente:

tiPo

A}Às FOGLIO 1 :5 0 . 0 0 0 20' 12', S E Z ION E 1 :2 5 . 0 0 0 10' 6', S E Z ION E 1: 1 0 . 0 0 0 5' 3', E L E ME N T O 1 : 5 . 0 0 0 2 ' , 3 0 " 1' 30" , .1' MAPPA 1 :2 . 0 0 0 36" MAPPA 1 :1 . 0 0 0 18" 30"

scala

Attualmente accantoal sistemanazionaleGauss-Boaga e internazionale UTM, si è affiancatoe viene semprepiù utilizzatoil sistemaUTM-WGS84, che ulilizzal'ellissoide WGS84conle convenzioni internazionali UTM. La caratteristica fondamentale di questo nuovo sistema cartografico è che I'ellissoide (WGS84)perde la caratteristicadi superficie di riferimento orientata localmenteper assumerequelladi superficiedi riferimentovalidaper tutto il mondo e quindi geocentrica. Questo sistema risulta particolarmente comodo per utilizzaredirettamenteil sistema satellitare GPSnelleapplicazioni cartografiche. Riportiamo sinteticamente le convenzioni nei sistemigeodeticie cartografici nazionale (Gauss-Boaga) (UTM): e internazionale

ellissoide datum orioinedellalonqitudine amoiezzadelfuso coordinate iche caftooraf denominazione dei fusi relativiall'ltalia longitudine del meridiano centrale falsa orioine

coefficiente di contrazione m.

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Sistemageodetico cartografico

Sistemageodetico cartografico

nazionale

internazionale

Havford l*emfs orientamento Roma1940

RomaMonteMario

Hayford {**ele orientamento ED5O

0,9996

Greenwich

60

60

UTM_ WGSB4

UTM

Ovest EST óz -3" 27' 08",4 2'32' 51",6 9o Estdi RMM Estdi RMM E s td i G W 1 . 5 0 0k m 2.520km 500km 0,9996

gwmcw*tri*a orientamento WGS84

Greenwich

o-

Gauss- Boaqa

geodetico Sistema ico cartograf UTM.WGS84 WGS84

0,9996

32

JJ

150

9o

150

Estdi GW 500km

Estdi GW 500km

Estdi GW 500km

0,9996

0,9996

0,9996

Y

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Capitolo2 E L E M E N T ID I C A R T O G R A F I A

Eserciziosvolto di calcolo del modulo di deformazionelineare(m1)in un punto individuatosu una cartadisegnatanellaproiezionedi GAUSS. Consideriamo rappresentato nellatavoletta un puntoparticolare 67 ll S.E.e precisamente il verticetrigonometrico M. BRACCO(2'ordine). Le coordinate di questopuntosonomisurabili direttamente sullacartografia o, trattandosi di un verticetrigonometrico, sononotedallamonografia del punto:

5'ru 7':g tt

coordinatecartografiche coordinategeograf iche di M. Bracco di M. Bracco Nord= 4.948.869,84m

Q = 44" 40' 49",072

E s t= 1 . 3 68 .3 6 5 ,5 m5

= - 5" 06' 47",543 ÀR+o

longitudineriferitaal meridianodi RomaM. Mario

H = 1 . 3 0 6 . 5m 6 depurola coordinata Estdellafalsaorigine: per il fusoovest = - 131.634.45 X = E st- 1.500.000 m = per il fusoest X Est 2.520.000 m la X rappresenta la distanzadal meridiano centraledel fuso. p, N, e R: calcolodei parametri a = 6.378.388m c = a(l-a) Q t ? - 2- = -

= 6 . 3 5 6 . 9 1, 9 5 m

2 2- C

a

o,ooazzza7o022 = 0.99833676

- o\t :') o rw3

= 6 . 3 6 7 . 2 2 7 , im 2

N = 3 = 6 ' 3 8 9 . 0 1 4 , 8m 1 W p=,[pW =6.378.111,66m

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Capitolo2 ELEMENTI DI CARTOGRAFIA

calcolodel modulodi deformazione linearem,

m,=o,sss{r. u#r*)

=o,eeea12

fl modulodi deformazione linearepuò esserecalcolatoancheutilizzando le coordinate geografiche (latitudine g e longitudine i.): la longitudine l" deveessereriferitaal meridiano centrale delfusoe deveessereespressa in radianti: per il fusoovest Àrc = ÀR+o + 12" 27' 08",4- 9" per il fusoest Àrc = ÀB+o + 12"27' 08",4- 15" nell'esempio sarà: I m c= - 5 ' 0 6 ' 4 7 " , 5 4 3 + 1 2 "2 7 ' 0 8 " , 4- - - ' 1 o 3 9 ' 3 9 " , 1 4 3 90

e quindi: Àmc=-1o39'

39",143

e quindi:

lr"tud=- 1',66087g0561 I

0,028987703

(t\

-,tr;, cos'g = 0,999gt m,- 0.999011+ e l \4/

Viste le approssimazioni introdotteper ricavarela formulaindicatasopra,si considera validoil modulodi deformazione linearericavato in un intornononsuperiore a 10 km. Eserciziosvoltodi calcolodel modulodi deformazione linearemldi un segmentodi retta. Consideriamg un particolare segmentodi rettadefinitoda due verticitrigonometrici: M. Braccoe M. Pagliano. Le coordinate di questipuntisonomisurabili direttamente sullacartografia o, trattandosi di 'ici,sononotedallemonografie punti verttci dei t: M. BRACCO coordinate M. PAGLIANO coordinate ( 2 ' o r d in e ) ( 1' or dine) Nord= 4.948.869.84m Nord= 4.933.038,81 m = Est 1 .3 6 8 .3 6 5,55 m Est -1.376.791.92 m H= 1 .3 0 6 ,56 m H= 988,77m (P= 44" 40' 49".072 (!= 44" 32',21".594 50 06' 41",543 l,nao = ì,non = 5" 00' 11",276 calcolodei parametrip e N nel puntomediodel segmentoM. Bracco- M. Pagliano: -9snncco*9peclrexo

,^ ,

It(ut(l

w = ^ll - e2sinzg_"0'o

pN^ R_

òb

a \ t - e t) w3 u

w N "tp

= 44" 36' 35",333 = 0,99834084 = 6.367.147,88m = 6 . 3 8 8 . 9 8 8 , 3m 1 = 6.378.058,75 m

--

Capitolo2 DI CARTOGRAFIA ELEMENTI

G.COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Estdellafalsaorigine: depurole coordinate X = E s t - 1 . 5 0 0 . 0 0m0 = - 1 3 1 . 6 3 4 , 4m5 MonteBracco X = E s t - 1 . 5 0 0 . 0 0m0 = - 1 2 3 . 2 0 8 . 0m8 MontePagliano laX rappresenta la distanza centrale delfuso. dal meridiano M. Bracco- M. Pagliano: linearemrdelsegmento del modulodi deformazione calcolo (

v2+Y

Y +v2

I

nr' =0.99961 t+# I t 6p^ N^ 09996')

= 0,9997997

Eserciziosvolto di calcolodi un azimuto in un verticedi coordinatenote. 2.3.9.,ricaviamo il valoredell'azimut o Conriferimento a quantoespostonelparagrafo (puntoA). misurabile tra M. Bracco(puntoP) e M. Pagliano e Lecoordinate dei verticisononote(inquestocaso)o misurabili sullacartografia l'angolodi direzione 0 p4 riferitoal Norddel reticolato chilometrico consentono di calcolare o asseY: parallela all'asseY

tangenteallatrasformata del meridiano

trasformata del meridiano

P (monteBracco corda dellageodeticaPA trasformata tangenteallatrasformata dellageodetica PA

J

y''... '\..

A (montePagliano)

Le coordinate di M. Bracco(chiamatoP) e M. Pagliano(chiamatoA) sono le stesse precedente. dell'esercizio E s t o- E s t t - + 8 ' 4 2 6 ' 3 7 m= 1 5 1 o , 9 7 5 0 0 1 4 = 1 5 1 o 5 8 ' 3 0 " 0 ' , o= a r c t"p , Nordo Nordo -15.831,03m

y nelverticeP saràdeterminata La convergenza la [39]: del meridiano utilizzando (

a

t

I

y = ) . , , , . s e n f r * ') n , . o . t' /+ 3 a r c c o" sl ì -IgI 3 c' \

\

))

À m c= - 5 ' 0 6 ' 4 7 " , 5 4 3+ 1 2 " 2 7 ' 0 8 " , 4- 9 o = - 1 " 3 9 ' 3 9 " , 1 4 3 = - 0,028987703 À'.'"0 = - 1 o,660873056 # 9 = 44" 40' 49",072 a = 6 . 3 7 8 . 3 8 8m c = 6 . 3 5 6 . 9 1 1 , 9m5 (r/1'\l

y=)",,,sen{plt*lrll^,.ortpf 1a3o--lcos'gl l= -o,ozo384184rad--1"10'04",54 \.

3

[

c'

))

87

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Capitoto 2 ELEMENTI DICARTOGRAFIA

ll calcolodellariduzione allacordaepnSafàeseguito utilizzando la [49]: (yo-y)(zx^+x) j ._ o ove: € , , ,.0.9996' p^N 6 ^ Xp =Es t e ' .u-.co 1 .5 0 0 .0 0m 0= Xn =Es t p " g l i a1n.5 o -0 0 .0 0m 0=

- 1.500.000 = - 131.634,45 1 .368.365,55 m =- 123.208,08 1 .376.791,92- 1.500.000 m

= Yp = Nordaracco 4.948.869,84m = Yn = Nordpastiano 4.933.038,81m = p, già calcolato 6.367.147,88m N6 = già calcolato 6.388.988,31 m - 0 , 0 0 0 0 2 5 0 8 7 '=^ d- 0 o 0 ' 0 5 " , 1 7 tpn= e quindiI'azimutcr,secondola relazione[42] sarà pari a: c L= O ' p A+ T ' € p n = 1 5 1o 5 8 ' 3 0 "- 1 o1 0 ' 0 4 " , 5 4+ 0 o 0 ' 0 5 " , 1 7= 1 5 0 o 4 8 ' 3 0 " , 6 3

88

-7

Capitolo2 DI CARTOGRAFIA ELEMENTI

G.COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Esercizipropostiall'allievoda risolveremediantel'uso di un foglio elettronico:

linearelungo un parallelo €SER*EZI*st'S calcolodel modulodi deformazione

en 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48

1'30' 2"00' 2o30' 3"00' 0o00' 0'30' ' 1o00' i'fl 0,0349066 0,0436332 0,0523599 0,0174533 0,0261799 0,0000000 0,0087266 ?,[rad] 9 [rad] 0,6457718 0,99960 0,99962 0,99970 0,99982 0,99999 1,00021 1,00047 0,6632251 0,6806784 0,6981317 0,7155850 0,7330383 0,7504916 0,7679449 0,99990 1,00008 1,00029 0,7853982 0,99960 0,99962 0,99968 0,99977 0,8028515 0,8203047 0,8377580

1,0004 1,0003 1,0002 't,0001 1,0000 o qqqq

0,9998 n oooT n ooo^ AàAAAA ooooooo

ooc!Ne)

longitudine dal neridiano centrale

89

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Caoitolo2 ELEMENTI DI CARTOGRAFIA

*$ffiffiffifitrtCI n" l0 - calcolodel modulodi deformazione linearein un punto

mr = o , e e e u [t

I (Est - falsa origine )' )

t@)

Est

Nord

da NETOGE latitudine o tradl lml 1.500.000.00 4.760.900,54 0.75049157841

Im]

riqa di calcolo

a=[m] C(= g'=

R*ma 40 6.378.388 0,003367003 0,0067226700

calcoli falsaorigine 1.500.000 W = 0,998435346 p= 6.365.340,14 N = 6.388.383,61

risultati {},99960

lfÙ =

HSffi$E*lZlO n' 11 - calcolodel modulodi deformazione linearedi un segmento E |+ E^E ' ,,+ El,\ t , t ,. = 0 .9 9 9 6,(* 6p,,N^0,9996' ) \

riqa di calcolo

a=[ml cI,-

e'= calcoli falsaorigine Xa=

Xo= 9medio = W m e d i o= = P medio N r"oio --

trt*s:s r{* 6.378.388,000 0,003367003 0,006722670 1.500.000 41.410,76 84.105,96 0,72431163969 0,99852306366 6.363.662,75 6.387.822,41

risultati !Îl

90

=

PUNTOA Nord

PUNTOB da NETOGE Est Nord da NETOGE latitudineo fradl latitudineo fradl Iml lml Im] Im] 1.541.410.76 4 .649.979,51 0,73303828587't.584.105.96 4.539.317.71 0,71558499353 Est

0,99965

Capitolo2 ELEMENTI DI CARTOGRAFIA

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

HSEHCIZI0 n"'l? - calcolodellariduzioneallacorda

'pa -

(+ -lr^X2Er+Eo) 6pcNcq9996'

Norddei PuntiP e A Npe Nnsonole coordinate Epe Ensonole coordinate Est(depurate dellafalsaorigine) dei puntiP e A pce Nc sonoi raggiprincipali di curvatura del puntoC PUNTOP

PUNTOA Nord fml lml lmI 1.541.410.764.649_979.511.584_r05,96 4 .539.317.71

Est lmI

riqa di calcolo

a=[m] c[: e'=

Nord

Est

ffi*r:'rs4S 6.378.388,00 0,003367003 0,006722670

calcoli falsaorigine= [m] 1.500.000 1.555.642,49 E S T 6= [ m ] NORD6= [m] 4.613.092,24 = 0,72722484862 96 [rad] ESTp[m] 41.410,76 E S T a[ m ] 84.105,96 W= 0,998513327 pc = [m] 6.363.848,92 N6= [m] 6.387.884,70 epa= [rad] 0,0000757958

risultati

segno epo= [gradiJ epa : [primi] epa = [secondiJ

+ 0 0 15,634

91

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Capitolo 2 E L E M E N T ID I C A R T O G R A F I A

ESERCIUICI n'13 - calcolodellaconvergenza del meridiano lr\ T = ).sengl I + = l"' costp' ) I 3 \ longitudine ), riferitaal meridiano centrale latitudine
0.00' 0.30' 1.00' 1" 3 0 ' 2"00' 2"30' 3'00' , l["] 0,000000 0,008726 0,017453 0,026179 0,034906 0,043633 0,052359. ?r,[rad] 9 [rad] 0,6457718 0,0000 0,3343 0,6687 1,0032 1,3377 1,6724 2.0072' 0,6632251 0,6806784 0,6981317 0,7155850 0,733m84 0,7504916 0,7679449 0,7853982 0,0000 0,3929 0]857 1,1786 1,5717 1,9648 2,3581 0,8028515 0,8203047 0,8377580

v*ríe n i *n ***9 1***ni,' *r genzs d*l n:*r idi*n*l*ng* il p*r all*loS$' ' ' 2,5000 tr 2 , 0 0 0 0 o B

n ru

tr o ùr {$

c e rJ

1,50[D 1,0000 8,5[00 0,0000 longitudine dal meridiaRocÈntrrle

92

Caoitolo2 ELEMENTI DI CARTOGRAFIA

G.COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

ESEMPIDI CARTOGRAFIA NAZIONALEAL TRATTO La cartaè in corsodi Tuttoil territorio nazionale in S3Sfoglii* scala1:50.CI00. è suddiviso nelsistemaUTM ED50. allestimento ed è inquadrata (persfoltimento Deriva e riduzione) è stampata a 6 o 3 colori dai rilieviin scala1:25.000 conl'orografia a sfumoo curvedi livello reticolato Gauss- Boaga(non disegnato)

reticolato UTM (tracciato)

5 0 G L tN 09157-TRlN0 S l f r l t M 7 9 ? . r Q ú L! 'l101 1 2 - $ - [a] li : l t t l I i - r t v i

PROIEZIÓNE CONFORr4E UNIVgRSAL€ TRASVgRSA D I H É R C A T O R E( U , f . M . ) .;atoitiî41!

rr:ìilJ

CÉ CCiaarctsÉ

rir caiùRDrB ^ Îa r\rtt\ IìaNÀlr

4rrt.rlnn irFlirfa

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l,x] 6.Í:ì iLrlsl:r;al '-.r-,.

--"-':.'Ì :] t"11.

:

I

Fig.2.39- Estratto di un foglioin scala1:50.000

93

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Capitoto 2 ELEMENTI DICARTOGRAFIA

Tuttoil territorio nazionale è suddiviso in fi.?98ssr;oniin s*ala1:25.000 la cartaè in corso di allestimento. È inquadrata nelsistemaUTM- ED50. Derivada restituzione fotogrammetrica. E stampataa 4 coloricon ltrografiaa sfumoo curvedi livello.

ISTITUTO GEOGRAFICO M Carta ulficiale dello Stato (Legge n"68 Tutti i dirilti di rioroduzione o di l

ARE "2-1960)@ Copyrighl- lGMl Fironze" lotale o parziale solto qualunquo

- Edizione1 risèrvati"

reticolatoUTM

Fig.2.40- Estratto di unasezionein scala1:25.000

94

rriícoìalogeografico

Caoitolo2 E L E M E N T ID I C A R T O G R A F I A

G.COMOGLIO E CARTOGRAFIA TOPOGRAFIA

1:?5.*S*(serieV) ln scaNa in 3.545tavoìe{t* nazionale è suddiviso Tuttoil territorio Lacartaè tuttapubblicata. UTM. chilometrico nelsistemaGauss- Boagae reticolato E inquadrata parte fotogrammetrica. restituzione da Derivain in diverseversionida 1 a 5 colori. È stampata lo 0o

70 60 5o 1o 30 20

l.t891

stilt

'lll r0GU0ilcllltTo'sE Ì0 .rGMl

t0flt0il3 t onrr M. Mrrio de Grocawich = saoaj'at",p

5"-ca'ro'

RETICOLATO C}trLOMETRICO NELLA PROIEZIONE CONFORME UNIVER5ALE TRASVERSA DI MERCATORE

SistemaU. T. M. SOVRAPPOSIZIONE DEI DUE FUStr : 30' (d. * o' !o' I Romr M. M ORIGINE DELLE COORDINATE.; Coordimtc Ert : il mcridbno entnlc dcl fw on vatorc vmzionelc + 5m m ,, Nord : I'cqutorc prcnt

Lr

orte

topognfige

rpprdiac

rlb

ZONA327 cd ri qurdnti

di roo lm di hto

in scala1:25.000 di unatavoletta Fi1.2.41- Estratto

stilI ll t?l ro6rn IRII0 5l I t0 cm.dinar.

g.osdfi

IntcrD.zimal€

.h.

oli.nt.ro

line di Roma M,

i5

6ono

.iferiìe

a Rom.

Merio

(bl-

all'ElI*roide Mario)

da Greenwich

046

r*27'o8",4o

o47

4'orn"

RETICOLÀTO CHILOMETRICO PROIEZIONE CONFORò{E

T{ÉLLA

UNIVERSALE

DI

TR,{,SVERSA

MERANTORE

S;o*-uU. T. M. eurcp€i r95o)

lDati

3

IT

LINTÉ COÈTÀA55!GNAIE DA

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NUHERI NIRI

12, ftLtssorDÉ

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in scala1:25.000 di unatavoletta Fi1.2.42- Estratto vc

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Capitolo2 ELEMENTI DI CARTOGRAFIA lLtSî,]1

tmm]

REGION E PIEMONTE SEHVIZIOÒARTOGBAFICO

CTR CARTATECNICAREGIONALE

sEz,oNE N.115010

BIELLA

CARTA AL TRATTO

i-

f:

ESECUZ]ONt COMPAGNIA G E N E R A L ER I P R E S E A E R E E C O M P A G N I AR L E V A M E N I IS P E C I A LS I RL

,Fi Flis. .

COOROINAIE OEI V€RIICI OELU SSIONE GEOGPAFICHE

'ìi.

unT

.i,,i

í i'

4s'3600"

8'0000'

1421953

5050008

422004

5050187

NE

45c3600"

8"0500"

1 424452

5049930

428501

5 0 5 0 1r 0

SO

45'33m

8'00'm"

1 421981

5044453

421939

5044632

SE

45'3300

a'0500"

1428349

5044375

428144

5044555

-

9w5

A

t

À

N-179

irv

CQTJV€FG€IiZA.DÉCL NAZIONEMACN€f CA Z NÉL NÉANE E M Q O U L OD I O E É O R M A O úlerl ar cento dclras..rone

4

I

"

ffii 96

E

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ìra\!o'ra/oreùcoo'drnarec"Lss-aododa(íèma

' si'; €'.'^,;'j ;

U f,M

a

le(úc'enódcfn'ù'ncúfdrmleq69.alche€O1950 llretcohbGauss-B@FèileriloatFusóOvesl n f.i cobro u f M è rlèrlo aì Fù$ 32 d ind orÒ a sarorne col s4no @nvenzonale <

_-f :

rìi'.' ':.,),

GAUSS.gOAGA

LONGIÎ

Fig.2.43- Estratto di unasezionein scala1:10.000

Y

G. COMOGLIO E CARTOGRAFIA TOPOGRAFIA

Capitolo2 E L E M E N T ID I C A R T O G R A F I A

+l|

F* q..t

PROVINCIA DI TOFINO

CARÍA fECNìCA Ebrenlo n' l55O€2

Hltra

-*{

-!%

in scala1:5.000 F i 1 .2 .4 4- Elemento

07

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Capitolo2 ELEMENTI DI CARTOGRAFIA

.^_îr,.î$:,,T^r":#*.^ F O G L TNO" 1 9 K 6 1

?0

Scala 1:2.000 30

10

o

160

2m

RÀPPRESENIAZIONÉ CONFORMTDI GAUSS BOAGA

Ahim6Ùta

tlért3

at hvelto

Equtdtstanza MOD!LO

madio

det

tta le cutva

OI D€FORMAZIONE

ú

tvatjo:

útena

logro

mèt1

LIN€ARE

R TIRMENII DEL REI1COLAIO - a1 mary)De -

(hareog.dlo

tuaG

dt Genova)

2

].OOOOO'6

CAIASIALE

+

:1

u1_cinrJ .s., f:--:i::

="_r Fig.2.45- Estratto di mappain scala1:2.000

98

4:)

G.COMOGLIO E CARTOGRAFIA TOPOGRAFIA

CaPitolo2 E L E M E N T ID I C A R T O G R A F I A

REGIOf\E PIEMON.IE PROVNqADIÍORINO

ffi cwrc tx

tìIVOLI CA,ìTA ÍECNICANUMERICA

MAPPA 155112F Sc{A 1: Í0ú

ll/@Èu{&@!* ftMrl{tuEttÉ2$È ruuú0ú'flure

3lMÉ[6@

Wf,!fi rHEWr@12

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O'UNIONE QUADRO

tl

i'--! ll

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I "nr..*t..f\..,-l H#-IU:

s

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t-l

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'.r1.+-l -"'l I

lffiii

t+lb-

t--

W-

+

i *

M

til

di mappain scala1:1'000 Fig.2.a6- Estratto

99

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Capitolo2 E L E M E N T ID I C A R T O G R A F I A

Gaussin metrida aggiungere allecoordinate dei puntinellarappresentazione Correzioni Boaga(Roma1940),perottenerele coordinate deglistessipuntinelsistemaUTMED50. Foglio Coordinata NORD no

1

1A 2 J

4 4A 48

fuso32

fuso33

4C

5 5A

10

179 179 178 177 176 175 175

11

174

12 13 14 144 3269 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 264 27 28 29 30

174

6 8 o

.tl

32 33 34 35 EA

37 38 39 40

100

fuso32

fuso33

-999948

+171

171 175 174 173 173 172

+167

168 168

945 94e

169 169

941 948 948

944 944 944

179 179 178

177 t/o

945 946 946

175

947

177

170 170 170

948 948

169 168

945 945 945 945 945 945 945

181 181

180 179 179 178 178 177

946 946

177

176 176 176

947 171 171 170

no

948 948

iuso32

fuso33

404

949 -2019936 408 41 945 42 946 43 947 44 948 936 45 949 936 46 47 944 48 944 49 945 945 50

169 168 167

175 175

Foglio Soordinata NORD

CoordinataEST

51 52 53 534 o a À 538 53C 934 54 934 55 oae 56 58 59 60 61 62 63 64 935 65 934 654 934 658 933 b b 933 O T 68 69 71 72 '7e

74 75 7^

77 774 935 778 oe6 78 '70 934

Ooordinata EST fuso32

fuso33

169 169

934 -999946

+ 18 1

180 179 179 178 178

178 177 177 177 176

934

+172

946 945 945 945 945 946 947 947 948 948 -2019935

935 935

171 171 17C 170 170

oaR

935 935

82

947

81

946 946

80 80 80

945 945 945

7A

946 946

tv IV

947 947

tó

78 78 77

173 172

948 949

171

YJO

182 182 181 181

947 94€

181 18C 18C 18C 180

945

94e 945

94e 94€ 94€

947 947

IJ

179 179

183 82

936 936

175 174 173

948 948

936 YJO

oaA

947

947

Y

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Foglio CoordinataNORD no

80 81 82 83 84 85

fuso32 fuso33 181 181 181 181 + 18 1 't81

86

181

87 88 89 90 91 92 93 94 95 96

181 180 180 182 182 181

o7

98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116

fuso32

947 177

948 949

177

82 81

82 óz

183 184 183 183 183

177 178 177

184 184

184 184

142 143 144 145 't46 147 148 149 936 1 5 0 936 1 5 1 152 153 154 155 156 157 936 1 5 8 936 1 5 9 937 161

948

162

94€

163 164 165 166

94€ 178 178 178 178

179 179 180 180

948

948 949 948 949

93€ 93€ 937 93€

936 vób

938

939 948 948 948 948

fuso33 fuso32 fuso33 185 180 949 93€ 181 93€

167

168 169

170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180

oat

181 181 182 185 185 185

93€ 94C 948 948

181 + 18 1

949

182 182 183

14'l

94S

184 184 184

184

947 947 947 948 948 948 949

CoordinataEST

fuso32

946 946

947 946 946 946 946 946 946

181 181 181

82 82 82

fuso33

Foglio Coordinata NORD no

130 131 946 132 946 133 -999946 134 946 135 947 136 948 137 948 138 +17e 949 -201993€ 1 3 9 947 140

181

117

118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129

CoordinataEST

181 181

181 81

Capitolo2 E L E M E N T ID I C A R T O G R A F I A

+ 18 6 186

937

938 940 -999948

182 182 183 183

949

184 183 183 184

936

937 938 938 940

184 187

93€ -2019936

940 949

936

937 938 938 939

184 185

185 185 185 185 184

94n 941 940 940 937 938 939

185

r85

940

185 185 185 186

941

941 941 n.d. n.d. n.d. n.d.

n.d. n.d. n.d. n.d.

186

938 938 939

186 186 186 186

940 940

186

941 941 942

186

186 187

942

n.d.

n.d.

n.d.

n.d.

101

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Foglio Coordinata NORD no

CoordinataEST

fuso32 fuso 33 fuso32 fuso33 181 n.d. n.o. 182 n.o. 183 187 938 184 186 939 185 186 940 186 186 941 187 186 941 188 186 941 189 187 942 190 187 942 191 188 941 192 n.d. n.d. 193 n.d. n.d. 194 n.d. n.d. 195 n.d. n.d. 196 187 939 197 187 940 198 187 942 199 186 942 200 186 942 241 186 942 242 187 941 203 188 941 -201994C 204 +189 205 n.d. n.o. 206 n.d, n.o. 207 n.o. n.d. 208 n.o. n.d. 249 187 942 210 187 943 211 186 942 212 186 943 213 188 94C 214 189 94C 215 190 939 216 n.d. n.o. 217 n.d. n.o. 218 n.d. n.o. 219 n.o. n.o. 220 186 943 221 186 943 222 186 943 223 186 943 224 n.d. n.d. 225 n.d. n.d. 226 n.d. n.d. 227 n.d. n.d. 228 186 943 229 186 943 230 186 944

102

Capitolo2 E L E M E N T ID I C A R T O G R A F I A

Foglio Coordinata NORD no

231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264

265 266 267 268 269

270 271 272 273 274 275 276 277

EST Coordinata

fuso32

fuso33 fuso32 fuso33 185 944 n.d. n.d. n.d. n.d.

n.d.

n.d. n.d.

n.d. 187

944

186

945

186 n.d. n.d.

945 n.d. n.d.

187

945 945

186 190 189 188 188

946 942 945 946 946

195

oaq

188

195 + 19 5

194 191 19C 19C 197 197 196

937

-2019938 940 942 944 946 946 934 oaE

937 939

IY:

194 193 191 191 198

197 196 195 195

941 942 944 946 946 936 938 940 941

195

942 942

19€ 195

940 942

195 194 195 195 194

943 943 943 943 943

v G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Capitolo3 C E N ND I ISTATISTICA

Capitolo 3 CENNIDI STATISTICA

3.

PROBABILITA E DEFINIZIONI La teoriadelle probabilitàè una scienzamatematicache studiala regolaritànegli eventicasualio aleatori.Si diceche un eventoè aleatoriose, duranteun esperimento ripetutopiù volte,l'eventosi verificaogni voltain manieraleggermente diversadalla precedente. il lanciodi un dadoe comeevento,il Se ad esempioconsideriamo comeesperimento risultato del lancio,noteremoche ripetendopiù volteil lancio,il risultatovarieràin modo aleatorio. sonodovuteall'azione di tantifattori,a voltapocoimportanti Questevariazioni o ancheimpercettibili, che intervengono ad ogni lancio,come ad esempiol'impulso iniziale, il movimento la rugosità dell'aria, del pianodovecade,ecc.. La conclusione è che, pur ripetendosempregli stessigesti (quindisenzabarare),i "lanciodel dado"sarannosemprediversitra loro. risultati dell'esperimento Questevariazionisono dovutealla presenzadi fattorisecondari,che influenzanoil risultato delI'esperimento. Risultaquindievidenteche tuttii problemisperimentali non potrannoessererisoltiin modo "deterministico" mediantei metodiclassicidelle scienzeesatte,ma bisognerà introdurrenuovi concettiche possiamodefiniregenericamente come "teoria delle probabilità". 103

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Capitolo3 C E N N ID I S T A T I S T I C A

3.1. PROBABILITA CLASSICA La definizione classicadi probabilità risaleal XVll secoloed è dovutaa Laplace;è poistataripresanel 1910da Piercee si puòenunciare in questomodo: la probabilitàP(A) di un eventoA è il rapportotra il numeroN di casi "favorevoli"(cioè il manifestarsidi A) e il numeroM deicasi "possibili"e mutuamenteescludentesi. NI

p ( n ) =ì

t1l

M "a priori" Questaprobabilità è anche dettaprobabilitàa priori.ll motivodell'appellativo deriva dal fatto che è possibilestimarela probabilitàdi un evento a partiredalla simmetria del problema. Ad esempio,nel casodel dadoavremoche la probabilità di ottenereda un lancioil 3 saràparia: h,^\ casifavorevoli1 c asi p o ssi b i l i 6 Analogamente, nel caso di una puntatasul colorerossoalla roulettela probabilità di . 1 8= vincereè paria 0,486, cioècircail 49% (infattii numerirossisono18 su un totale U di 37,essendoci oltreai 18 numerineri,anchelo zerocheè verde). r

tv,

-

Per chiarireancorail concettodi probabilità, applicatoai giochi d'azzardo,vediamo comeesempioil SuperEnalotto. Bastagiocaresei numericompresitra 1 e 90 e confrontarli con la combinazione vincente, compostada 6 + 1 numeriestratti.Si vinceindovinando 6, S+jolly,5, 4 o 3 numeriestratti. Per regolamento si possonoeffettuaregiocatesingole(minimo2) di sei numerio sistemicheprevedano da un minimoOiZ,a.Oun massimodi 20 numericorrispondenti a: '.)=, persettenumericombinati giocate; a sei a sei= | \o/

/ rn\ perventinumeri giocate. combinati a seia sei= Sa.Z00 [ f J= ll numero n deicasi possibili,se noninteìesia l'ordine di estrazione deinumeri, è parial presiseia sei: numero dellecombinazioni di 90 elementi 9 0. 8 9. 8 8. 8 7 . 8 6. 8 5= possibili 622.614.630 combinazioni 1 . 2 - 3 . 45 . 6 ll numerodei casifavorevoliènaturalmente la vincitastessae quindi1. La probabilità di vincereconun 6 è quindidi ^=+ ^ (auguril). 622.614.630 Peraverela certezzadi vincerecon 5 numeripiù il jollydobbiamoconsiderare che il numerodeicasifavorevoli aumentada unoa seipoichési possonosbagliare unoalla voltai sei numerima sonosostituibili coniljolly;la probabilità di centrareil 5+jollyè quindi: (sempre tantiauguril). ' 6^=: 2 2 .6--=--)1 4 .6 3r0 0 3 .7 6 9 .1 0 s Perle altrevinciteci vuolesempretantafortunapiùche unavalutazione statistica. L'estensioneal caso di eventi con risultati continui si attua attraverso una geometrica rappresentazione in cui la probabilità dell'evento casualeè datadal rapporto tra I'areafavorevole all'evento e I'areatotaledeglieventipossibili. 104

b-.

Y

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Capitolo3 CENNIDI STATISTICA

Ad esempio,supponiamo che un bambinolancidei sassicontrouna pareteforata prendere la mira senza e che i fori sullaparetesianodistribuiti a caso.Per semplicità supponiamo ancheche i sassisianomoltopiccolirispetto ai fori. P che un sassopassidall'altraparte? Qualesaràla probabilità Se "A" è I'areadellaparetee "a" I'areadi ciascunodei "k" fori,la probabilità che un sassopassisaràdatadall'areafavorevole I'area divisa totale: o-ka A Si noti bene che questa definizioneoggettivadi probabilitàdiventa di difficile nelle numerosesituazioniin cui la densitàdi probabilità applicazione non può più essereconsiderata uniforme, ovveroquandovengonomenole condizioni di simmetria. Ad esempio,nelcasodel bambinoche lanciai sassicontroil muro,puòverificarsi che le dimensioni dei forivarinodal centroversoi bordidel muroe che il bambinocerchidi mirareal centro. 3.2, PROBABILITA EMPIRICA La definizione di probabilità empiricaè dovutalargamente a R. Von Misesed è la definizionesperimentaledi probabilitàcome limite della frequenzamisurabilein una seriedi esperimenti. però un'importante Essa ricalca la definizioneclassica,introducendo variazione, "numero "numero sostituendo al rapporto casifavorevoli" su di casi possibili"il rapporto "numerodi esperimenti effettuaticon esito favorevole" su 'humerocomplessivo di esperimenti effettuati". ll vantaggio di questamodifica è chequestadefinizione si applicasenzadifficoltà anche non sia uniforme,owero, per quantoriguarda ai casi in cui la densitàdi probabilità esperimenti con risultatidiscreti,non è necessario specificare che i risultatidebbano possibili essereugualmente e mutuamente escludentesi. La probabilità empiricao "probabilità a posteriori" di un eventoè definitacomeil limite cuitendela frequenza relativa di successo all'aumentare del numerodi prove. "m" volteed un certorisultato"A"si presenta In pratica,se ripetiamoun esperimento "n" volte,la probabilità di "A" è datadal limitedellafrequenza n/m quando"m" tende all'infinito: n

P(A)=lim-

l2l

m+_ lî

Gli m tentativipossonoessereeffettuatisia ripetendoin sequenzam volte lo stesso esperimento sia misurando simultaneamente m esperimenti identici. prende gruppo. L'insieme degli m tentativi il nomedi Esistono riguardoI'esistenza alcunedelicatequestioni e il significato del limitepresente nelladefinizione di probabilità empirica: F la probabilità cosìdefinitanon è una proprietà ma è anche solodell'esperimento, grupposu cui vienecalcolata. probabilità funzionedel particolare Ad esempiola di soprawivenzaad una certaetà,calcolatasu diversicampionidi popolazione a cui una stessa persona appartiene(maschi,femmine,fumatori,non fumatori, deltaplanisti, ecc.),risulteràdiversa; F la probabilitàempiricasi può rigorosamente applicaresoltantoagli esperimenti per i qualiil limite,per m tendenteall'infinito, ripetibili, ha significato. Si deduce quindiche moltesituazionidellavita quotidiana, non sono soggetteall'usodi questadefinizionedi probabilità, ad esempioil risultatodi una paftitadi calcio, quellodi unarouletterussao iltempoatmosferico di domani. 105

-

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Capitolo3 CENNIDI STATISTICA

Inoltre,per venireincontroad una necessitàoperativa,quasitutti sono concordinel definirela probabilità comeil valoredellafrequenza relativadi successo su un numero di prove non necessariamente tendenteall'infinito, ma giudicatosufficientemente grande. Ad esempio, se si lanciauna monetanontruccata, la frequenza di crocidoponumerosi lancisi assesteràin generalesul 50%.Tuttavia,anchese estremamente improbabile, esistela possibilità che per un certonumerodi lanciconsecutivi si presentisemprela stessafaccia.E questoil difettologicodelladefinizione frequentista. 3.3. PROBABILITA ASSIOMATICA La definizione matematica dellaprobabilità è dovutaa Kolmogorov. Sia S un insieme d i p o s s i b i lrii su l ta tiA i d i u n e sp er imento S = { Ar , Az, As,....} .Setali eventisono mutuamenteescludentesialloraper ognunodi essi esisteràuna probabilità p(Ai), rappresentata numero da un reale,chesoddisfa i seguenti assiomi: l. p(Ai)> 0; ll. se, comeipotizzato, Ar e Az sonoeventimutuamente escludentesi, alloradeve valereche: p(41 oppureAz) = p(Ar) + p(A2)dove p(Ar) è la probabilità di ottenereAr e p(Az)è la probabilità di ottenereAz; lll. Xp(Ai) = 1, dove la sommatoriaè estesa a tutti gli eventi mutuamente escludentesi. Le conseguenze deitre assiomisono: F la probabilità di non ottenereI'eventoA; è ugualeall'unitàmenola probabilità di ottenerlo; > p(Ai)< 1 cioèla probabilità è un numerorealeappartenente all'intervallo [0,1];in pratica:0 < p(Ai) < '1 dove 1 rappresentala cerlezzadi ottenereI'eventoft e 0 quelladi nonottenerlo. Di seguitoalcuneosservazioni: F la definizione può essereestesasenzaproblemialle di probabilità matematica variabili continue; D gli assiomiillustrati e le loroconseguenze sonosufficienti a fare qualsiasi conto, anche complicato,di probabilitàe ad ottenereun risultatonumericocorretto. D'altraparteessi non dicononientesu cosasia la probabilità e qualesia la sua per questo natura: si vedanole definizioni di probabilità classica,probabilità empiricae probabilità soggettiva; F tutte le definizionidi probabilità soddisfanole condizioniespresseda questi assiomi. 3.4. PROBABILITA SOGGETTIVA portaad una definizione La concezione soggettivista dellaprobabilità che si potrebbe formulare nelmodoseguente: la probabilitàdi un evento A è la misuradel grado di fiduciache un individuocoerente attribuisce,secondole sue informazionie opinioni,all'awerarsidi A. ll campodi applicabilità di questadefinizione è moltovasto;occorreaggiungere che la "coerenza" significala correttaapplicazione dellenormedi calcoloe che la misuradel grado di fiducia,cioè la valutazionedi probabilità, (0,1) viene fatta sull'intervallo 106

Capitolo3 C E N N ID I S T A T I S T I C A

G.COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

la probabilità 0 all'eventoimpossibile e 1 a quellocerto.Circail fattoche la attribuendo moltosi potrebbedire; interessaosservareche valutazione sia qui un atto soggettivo, soggettivonon significaarbitrario.Di fatto, appenavi siano premessesufficienti,le problema. perquantisianointeressati valutazioni individuali al medesimo concordano 20 fatto 1 contro sul che nel Facciamoun esempio:Pippoè dispostoa scommettere pomeriggio arrivi finalmenteI'idraulicoa riparareil rubinettoche perde da una pariad 1121(menodel 5%). cioèa taleeventouna probabilità settimana; attribuisce E' come se ci trovassimoad effettuareun sorteggioda un'urnacon 1 pallinarossa (eventopositivo= arrivodell'idraulico) e 20 pallinenere (eventinegativi= ?sserìZ? dell'idraulico). al Ricapitolando: Pippo sta implicitamente dando una valutazionedi positivo= arrivodell'idraulico. verificarsi dell'evento Perquantoil dominiodella probabilitàsoggettivaappaiaincertoe arbitrario,vale la penadi osservare a cui più spesso che proprioquestaè la definizione di probabilità quotidiane("domanipioverà,"questavolta ricorriamo nelle nostre considerazioni passerò I'esame", ecc.). TOTALE DELLAPROBABILITA 3.5. TEOREMA questoteorema,e ancheil seguente, nell'ipotesi Dimostriamo semplificativa che gli di un eventonon alteri la eventisianotra loro indipendenti, cioè che il verificarsi probabilità può essereestesaa un La nozionedi indipendenza dell'altro. di verificarsi quando indipendenti numeroqualsiasidi eventi.Più eventisi diconomutuamente questoteoremacon un esempio nessuno di essidipendeda tuttigli altri.Dimostriamo pratico. N pallinedi variocolore(adesempio:4 gialle, Supponiamo di avereun'urnacontenente 4 bianche, 2 verdi,3 rosse,5 nere)e di estrarne una. L'evento(E) estrazione di una pallinadall'urnapuò presentarsi sottovarie modalità (verde), (nero). (giallo), (bianca), (rosso), indipendenti: E1 E2 Es E4 Es Nell'esempio:

no

b!anca nera gialla rOSSA

verdé tóiaté

4

5 4 3 2

probabitità pi , P b= 4 / 1 9 l Pr = 5/18 l Ps = 4!18 P' = 3/18 Pu= 2118 i

i8

possiamodeterminare In base a quantoenunciatoin precedenza la probabilità dei singolieventiEr, E2,....E, conla relazione: n op a l l eg i a l l e Pn=

Po=

n ' p a l l eb i a n c h e

n"palletotali n'palletotali Se consideriamo come eventofavorevole(E) I'estrazione di una palla bianca o nera grado indifferentemente,saremo in anche di associarela probabilitàdi uscita di questoeventosempreapplicando le regolegià viste: ro7

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA Pe=

Capitolo3 C E N N ID I S T A T I S T I C A

nocasifavorevoli n' pallebianche+ n' pallenere= _D rb rD t rn nocasipossibili

n. palletotati

quest'ultimocaso deriveremoimmediatamente Generalizzando il teorema della probabilitàtotale:quando un evento E si può presentaresotto modalità diverse, indipendentifra loro, Er di probabilitàPl, Ez di probabilitàPz,En di probabilitàPn, la probabilitàdell'eventoE è dato dallasommadelleprobabilitàcorrispondenti. P E= P r + P 2+ . . . . . . .P. n t3I 3.6. TEOREMADELLAPROBABILITA COMPOSTA SecondoI'ipotesifattanel paragrafoprecedente, dimostriamo anchequestoteorema possa con un esempio.Supponiamo che un eventoE risultare dal concorsosimultaneo o successivo di dueo piùeventiE1,E2,.....E, p2,....p,. di probabilitàpr, Ad esempio,avendoa disposizione palline due urnedi composizione nota,contenenti di vario colore,consideriamo palline eventofavorevolel'uscitacontemporanea di due biancheda unasingolaestrazione dalledue urne. urna n"1

no

bianche nere gialle rosse verdi totale

4 5 4 3 2 18

probabilità Pn= 4118 P n= 5 /1 8 Ps= 4118 P ' = 3 /1 8 P' = 2118

urnan"2

no

bianche nere gialle rosse verdi totale

6 4 '1 2 2 15

probabilità Ro= 6/15 Rn= 4/15 R s= 1 / 1 5 R, = 2115 Ru= 2115

La probabilità favorevoleE (estrazione associataall'evento di due pallebianche,una da in basealla[1]: ciascuna urna)puòesserecalcolata n"casi favorevoli= noassociazioni di una pallabiancadellaprimaurna(4) con una pallabiancadellasecondaurna(6)= 4 x 6. n " casi possibili= n oassociazioni di unapalladellaprimaurna(18) conunapalladella se co n d u a rn a(15)= 18x 15. La probabilità E saràquindi:P. = dell'evento

nocasi favorevoli

4xG

4

6

P o' R o

n oc a spi o s s i b i l i 1 8 x 1 5 1 8 1 5 Generalizzando, derivaimmediatamente il teoremadellaprobabilità composta: quando un evento E risultadal concorsosimultaneoo successivodi due o più eventi E1di probabilitàPr Ez di probabilitàP2,En di probabilitàPn,indipendenti lra loro, la probabilità dell'evento E è data dal prodotto delle probabilità corrispondenti: P e= P r P z . . . . . . .P. n t4l 108

b,-.

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Capitolo3 C E N ND I ISTATISTICA

Un secondoesempiopuòchiarireancorameglioquestoteorema: se l'eventoA consistenell'estrazione di una reginada un mazzodi 40 cartee I'eventoB nell'estrazione del "seme"di quadri,avremoche I'evento"estrazione di una reginadi quadri"da un mazzodi 40 carteavràprobabilità: 4' r e g l n e 41 1 D -- 1 . " r " D P =I regina I cuadri ' reginadiquadri ll ' seml 40"r_ 4 0 4 40 E la confermadi quantosapevamogià a priorie cioèche la probabilità di estrarreuna 'l determinata cartada un mazzodi40 carteè pari '40 a questoimportante Applicheremo teorematutte le volte che gli eventisarannotra loro (esempio: indipendenti misuraripetutadi un angolo),e che conteràanchel'ordinecon cui si presenteranno i risultati(nellostessoesempio:la sequenzadei risultatidelle misure). 3.7. VARIABILISTATISTICHE E CASUALISEMPLICI Dopo le definizionielementaridi "probabilità", vediamo adesso le principali "statistica". nel campodella applicazioni La terminologia comunemente adottataè la seguente: D popolazione: è un insieme ben definito di individuiognuno dei quali è caralterizzatoda un attributoX (ad esempiol'allezza)che può assumerevalori diversi; F individui:sonoi soggetti dell'indagine statistica; F attributo:è unacaratteristica degliindividuichevieneanalizzala statisticamente; F valoreargomentale: è la misuradell'attributo. Studiareuna popolazione dal punto di vista statisticosignificaesaminarecome si gli individuial propriointerno.Per poter raggiungere questoscopoè distribuiscono necessario le seguenti chesi verifichino condizioni: D ciascunindividuo devepossedere un solovaloreargomentale dell'attributo; possonoaverelo stessovaloreargomentale > piùindividui dell'attributo; F I'attributo deveesserepresente, con diversivaloriargomentali, in tuttigli individui popolazione; della D devonoesisterealmenodue individuinella popolazione in possessodi valori argomentali diversi. possonoessereclassificati, L'insiemedegli individuidi una popolazione secondo questo l'attributo X, in modo:

l'x.x"x^......x-

x{t.orl

LF,F, F. .....F.

,l

Ii =t't

t5l

Dove Fi è la frequenzaassolutadell'eventoX;, cioè il numerodi individuidella popolazionecarallerizzalidal valore Xi ed n è il numero delle forme diverse In pratica,unavariabile dell'attributo. statistica è il risultato di una classificazione o, più in generale, di un esperimento conclusoin se stesso,cioèoperatosu una popolazione nota. totalmente L'argomento X può assumere o un numerofinitodi forme,in tal casoè dettodiscreto, può presentarsi oppure con un numeroinfinitodi forme,tutte però contenutecon in un intervallo continuità limitato(a-b)edalloraè dettoditipocontinuo. 109

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Capitolo3 CENNIDISTATISTICA

Nellapraticaperò,avremosemprea che fare con argomentidi tipo discreto,giacché tuttii risultatidellemisure,per sensibile che sia lo strumento utilizzato, è sempreuna seriediscreta, anchese numerosa, di valorinumerici chedifferiscono fra lorodi quantità finite.Per ora prendiamo in considerazione solola successione dei valoriargomentali discretidi X. Nellaprimarigadella[5] sonoindicatii valoriargomentali, mentrenellasecondasono riportatii valoridellenumerosità F; degliindividui popolazione della che possiedono il rispettivo valoreargomentale. Le quantitàF1si chiamano frequenze assolute dellapopolazione. ConN si indicail numerototaledegliindividui dellapopolazione. Un altrotipo di rappresentazione analiticasi ottienedalla[5] sostituendo allefrequenze assolutei valorifi = FilN deltefrequenzerelative.

xfx,

x, Xr......Xn

lf, f2 f........fn

If, =t

t6l

Le sommatorie riportate nella[5] e nella[6] non sonoinutiliaggiunte, ma esprimono la garanziache la popolazione per sia stata analizzata interoe che tutti i suoi individui sianosinteticamente rappresentati in X. La X rappresentata dalla [5] o dalla [6] prendeil nome di variabilestatistica a una dimensione. In alcunicasi,per comodità,I'analisi può esserefattausandonon di una popolazione più i singolivaloriargomentali ma delleclassi di opportunaampiezza. dell'attributo, Ad esempiosi può determinare il numerodi individuiil cui valoreargomentale sia compresofra Xi e Xj estremiinclusi,e associare allaclasseX;l---lX; tale numero,che verràquindichiamatofrequenzaassolutadellaclasse. Ogniclassesaràinoltrecontraddistinta da un valoremedioo puntomediodellaclassee da due limitidi classechegeneralmente noncoincidono con i datiosservati. La variabilestatisticaX si può rappresentare in svariateforme grafichechiamate istogrammi,utilizzandosemplicemente le funzionidi un foglio elettronico. Queste rappresentazioni sonoanchemoltopiù efficacirispettoalladoppiaseriedi numerivista prima. L'esempiodella Fig. 3.1 riportala variabilestatisticadi una popolazione esaminatasecondoI'attributo allezzae suddivisain classidi ampiezzadi 4 cm.

llr ,al

Clasd in %

1 6 4 - 16 8 6%

20 o o

È 15 o I li

164-'f68

168-172 Ateze

172-176

176-180

180-184

suddivise in classi di 4 cm

Fig.3.1- Possibili rappresentazioni di unavariabile statistica Se invecedellefrequenzeassolute, costruiamo I'istogramma utilizzando le frequenze relative,I'arearacchiusadall'istogramma stessosarà pari all'unitàe in questocaso parleremo di istogramma normalizzalo. Si definisce funzione cumulativa di frequenza o funzione di distribuzionedella variabile statistica C la seguente doppiasuccessione in corrispondenza biunivoca: 110

Capitolo3 CENNIDISTATISTICA

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I x, I

Ct\^

\ IN'N"N

x2

x,

n+F2

17l

\+F2+...+Fn

cioè una variabilestatisticaavente i medesimivalori argomentalidella variabile statisticain esamee frequenzerelativepariallasommadellefrequenzerelativedi tuttii valoriargomentali minorio ugualia quelloin esame. Si dice diagrammacumulativo delle frequenzeo diagrammadi distribuzione I'istogramma dellafunzione cumulativa di frequenza. 1,00 0,90 0,80 o,70 0,60 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 0,00 17G180

18G184

Fig.3.2- Diagramma cumulativo di frequenza per la importanza Nellaseriedi valoriargomentali ve ne sono alcunidi particolare descrizione dellavariabile statistica a cui essisi riferiscono. nella forma [5] si possonodefinirele Quandola variabilestatisticaè rappresentata seguenti caratteristiche: uguali.

Eserciziosvolto sulla variabilestatistica: "allezza"(espressain l'attributo la variabilestatistica X che rappresenta consideriamo cm)degliindividui di unapopolazione: v J l 5 5 -t 5 i 1 5 7- r 5 9 1 5 9 - 1 6 1r 6 l - 1 6 3 1 6 3 - t 6 5 1 6 5 - 1 6 71 6 7 - t 6 9 1 6 9 - t ' n t ' 7 1 - t ' 7 31 7 3 - 1 7 5 1272213443632132110

(in cm) che descrivono la popolazione X nellaprimarigatroviamoi valoriargomentali mentrenellasecondatroviamole frequenze Fi. assolute F La sommatoria dellefrequenze il numerototaledi individui che assoluterappresenta e: c o m p o n g o nl aop o p o l a zi o nr=ìo F le frequenzerelativeda associarea ciascunaclassesi otterrannocomerapportotra frequenza la popolazione: assolutae il numerototaledi individui che compongono t: =r

F l'ampiezzaLxidegliintervalli comedifferenza tra il valorelimitesuperioree quello (in questocasoI'ampiezza inferiore di ciascunaclasse è ugualepertuttigli intervalli e p a r ia 2 c m ) ; F le densitàdi frequenza, owero le ordinate degliistogrammi n,= ' jt; À{,

D i valoridellafunzione cumulativa di frequenzaci=Zf r . fr=l

lll

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Capitolo3 CENNIDI STATISTICA

classe limite limite Xi f requenzefrequenzeallezzabarra f requenze inferioresuperioremedio assolute relative istogramma cumulate Fi

1 2 3 4 5 6 7 I 9 10

155 157 159 161 163 165 167 169 1 71 173

157 159 161 163 165 167 169 171 173 175

156 158 160 162 164 166 168 170 172 174

2 7 22 13 44 36 32 13 21 10 N=200

fi

0,01 0,03 0,11 0,06 0,22 0,18 0,16 0,07 0,11 0,05 1,00

hi

0,005 0,018 0,055 0,033 0,110 0,090 0,090 0,033 0,053 0,025

Gi

0,01 0,05 0,16 O,22 0,44 0,62 0,78 0,85 0,95 1

ISTOGRAf'llìlA

0,120 0,100 0,t180 hi0,06[

0,040 0,020

0,tuu t 5 E 1 5 8 1 6 0 1 6 2 1 6 4 1 6 6 1 E E1 7 [ 1 7 2 1 - t 4 valoriargomentali

diagramma cumulativo di frequenza

o

t,oo È o :t

il o,so L

1 5 6 1 5 8 1 6 0 1 6 21 6 4 1 6 61 6 8 1 7 01 7 2 1 7 4 valoriargornentali

112

E--

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Capitolo3 C E N N ID I S T A T I S T I C A

Per introdurreil concettodi variabile casuale ad una dimensioneoccorredefinire a l c u ntiermi n i : F evento aleatorio:si definiscealeatorioun eventodi cui non si può prevederela (es. l'uscitadi un numeronel giocodella modalitàcon la qualesi presenterà roulette) estrazionea caso: I'estrazione è un a casodi un individuo da una popolazione eventoaleatoriofacilmenterealizzabile. Perchési abbiauna effettivaestrazionea caso occorreche all'attodell'estrazione tutti gli individuisiano perfettamente identicie che la modalità I'estrazione sia imprevedibile. dell'atto chedetermina leggeempiricadel caso: quandosi effettuaun numeroN (grandea piacere)di estrazionida una popolazione e ogni volta si rimetteI'individuo estrattonella popolazione, dellapopolazione si constatache tuttii valoriargomentali sono stati le frequenze relative variabile a estrattie della statistica tendono stabilizzarsi. Nel caso di fenomenialeatorinon è mai prevedibile la modalitàdi uscitadi un singolo evento,mentresi può quasi sempreottenereuna buona previsionedi come si i risultatidi un grandenumerodi estrazioni. distribuiranno Si può affermareche un quando fenomeno aleatorio saràconosciuto sarànotala suadistribuzione. Ad esempio:nelgiocodellaroulette si può affermare che nonsi ha alcunapossibilità di previsione di uscitadel singolonumeroe che, dopo un grandenumerodi estrazioni, (numeroda 0 a 36) avràunafrequenza relativapari a1137 ciascunvaloreargomentale (se il tavolonon è truccato).ll gestoredi un Casinòpotràcontarequindisul guadagno statisticamente certopari a 1/37dellegiocatecorrispondente alla frequenzarelativadi uscitadel numerozero.ll giocatorepotràcontareinvecesolo ed esclusivamente sulla a rtu n a!. . . . . .p r o p ri fo i fenomenialeatorisono definitiquandoè nota la Scientificamente e tecnicamente che permettedi prevederei risultatidi numeroseprove.La distribuzione distribuzione che definisceun fenomenoaleatorioviene chiamatavariabilecasuale.La variabile identicaad unavariabilestatistica: casualeè formalmente

fx, x. x,......x I

Z

J

'

X]

fP' Pz Pt"""

P,

fo,=,

t8l

Ognidefinizione datae ogniproprietàvistaper le variabilistatistíche devevalereanche perle variabili casuali.La sostanziale differenza è di contenuto: sullavariabile casualei numeripi associatiai valori r; misuranoun grado di possibilità(probabilità) che il pi. risultato valore dell'esperimento abbia Nelcasodellavariabile il numerof registrava invece,a posteriori, statistica solamente il fattoche su N ripetizioni legata si eranoottenutiF; risultatidi valorex;. La probabilità, alla variabilecasuale,è un ente aprioristico mentrela frequenza,legata assiomatico, i risultatidi una indagine allavariabilestatistica, è un indiceche misuraa posteriori statistica. Direche un eventoha probabilità 0.3 ed il suocontrario 0.7 significa che effettuando un grandenumerodi estrazioni si constaterà che la frequenza del primotenderàa 0.3 e quelladel secondoa 0.7.All'attodi ogni estrazionei due eventi sono ugualmente possibili.L'intuizione portaa concludere probabilità legatoallamaggiore cheI'individuo possaessereestrattopiùfacilmente. vero è solo su numerose Questo estrazionimentre non ha alcunfondamento sullasingolaestrazione. Si può pertantoaffermareche la probabilità è il limitedellefrequenze relativedi una variabilecasualecon il numerodi estrazioni a casochetendeall'infinito: p, = lifll f , .

I t3

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Capitolo3 CENNIDI STATISTICA

La definizione di una variabilecasualeè semplicese I'eventoaleatorioè effettivamente un'estrazione a caso da una popolazione di distribuzione nota; in questocaso la variabile statistica, ottenuta facendo il censimento della popolazione, può semplicemente convertirsi in variabile casualedi previsione. E' questoil casodei giochi d'azzardo(roulette, dadi,testao croceed altri). In moltialtricasi la determinazione possibilenon è cosìfacilmente dellapopolazione fattibilecomead esempioil casodellemisureripetutedi una grandezzatopografica. In questicasio si sfruttano i risultati empiricidell'esperienza oppure,facendodelleipotesi, si costruisceun modellomatematicoche dovràesseresuccessivamente verificatodai risultatidellemisureeseguite.ln questocasosi può direche la variabilecasualeè il modellomatematico di previsione di un fenomeno aleatorio. Le variabilicasualiche si incontrano nei problemistatistici possonoesserediscreteo continue.Nel casodi variabilicasualidiscrete, qualiquellefinorautilizzate, essesono completamente descrittedicendoche per ogni i la probabilità di ottenerex = xi è pi, il chevieneindicatonel seguentemodo:p(x = x) = pi.Perognivariabile casualediscreta si definisce unafunzione di distribuzione i cuivalorisono: F ( x ,) = p (x 3 x ,) = Z p i

i =1,2,...,n

t9]

dovela sommatoria è estesaa tuttii valoridiltali chex1s xi. La funzionedi distribuzione è unafunzionea gradini,costantein ogniintervallo che non contienevaloriargomentali-r e che in ogni,r,ha unoscattodi allezzapi. Per consentireuna descrizione più "matematica" e più "sintetica" di una variabile statistica, si possonodefiniree calcolarei momenti. Si definiscemomentok-esimorispettoal polo d di una variabilestatisticaa una dimensione la seguente espressione: -11- ,

ffik.e:/,1x,-A)" f,

t10]

í='l

I momentidi una variabilestatistica, calcolatirispettoad un particolare valoredel polo (adesempiolo 0) sonosufficienti perdescrivere principali. tuttele suecaratteristiche I m o m e n tpi i ùsi g n i fi ca tiso vi n oi se g uenti: sr ftt,n= > x,f, momentodi '1" gradoo media [11] 2 n

n

momentodi 2"gradoo valorequadraticomedio

mnn=

\ l ) ^

4

>

x,

f,

Í121

Dalla variabilestatisticaX sarà possibileanchederivareuna nuova variabitestatistica scarto V avente la stessa distribuzionedella X e valori argomentalidefinitidalla s e g u e n treel a zi o n evi: = xi -tn j .o QuestavariabilescartoV avràlo stessoistogramma dellavariabileX ma I'originedelle ascissecoinciderà (medianulla). con il valoredellamediam1,e Un parametrocaratteristicoe fondamentaledi questa nuova distribuzioney è il momentodi secondogradoo varianzao2: ^ -r-, ffi2,n="î=I(", --,')" f,

t13]

r=1

La radice quadratadella varianzaprende il nome di scarto quadratico medio o deviazionestandard: tr4

LÈ.-

-v

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Capitolo3 C E N ND I ISTATISTICA

[14]

o=GT

proprietà: Dalledefinizioni le seguenti datederivano 1. La media m è il valoredel polo per cui è minimoil valorequadraticomedio; proponiamocidi voler trovareil valore di 0 per il quale è minima la funzione -!_

.

ffi2.0:)(x, - Q)'f ,deriviamola funzionerispettoalla variabile0 e cerchiamoil valore i.=1

per cui tale derivata si annulla:-zi!,-I)f,=0da

cui ,=f*,f,

i=1

valoreche

i=1

coincide conla mediadellapopolazione. 2. La mediam dellapopolazione dagliscartiè nulla;infattiper la definizione data di : r,,=fG, -*)f, =f*,f, - m=o m e d iari su l taffi 3. Trai tre indiciprimadefiniti valela relazione: ol = mr.o(x)-*?.r(t)

[15]

infattisviluppando il quadrato contenuto nelladefinizione di varianzasi ottiene: ^

-f-

,

\^

tl

o? = I(", -*,,r)' f , =lxl 1,+*'lf

t1

n

-zml.o: m^o- mî,0 + ml.o , -2mlx,f , = ffi2,0

Mediae varianzadescrivonosinteticamente la popolazione. La media può essereconsiderata il valore a cui tendonotutti gli individuidella popolazione ma ha un significato moltolimitatoin quantodicequasinullasullastruttura interna dellavariabile statistica in esame. particolare più da vicino,alla media In molticasi,e in in quelliche ci riguarderanno vieneperòattribuitoun significato chetrascendeil suo sensodescrittivo. possedutounivocamente La mediavieneutilizzalacomese fosseil valoreargomentale datuttigli individui dellapopolazione. relativodi mediaè di uso moltofrequentenel parlarecomune.Per Questosignificato esempio,ognivoltache si parladi consumomedioper abitantedi un certoprodotto, talevaloremedionon vienecalcolatoin vistadel consumatore che non si senteper nullarappresentato numero, né in da tale tanto meno vista di una indaginesulla distribuzione dei consumi,ma solamente statistica dal puntodi vistadellenecessítà di approwigionamento del prodotto. In questocontestonon interessa vienesuddiviso comeil prodotto fra i diversiindividui, ma soloil consumomedioperogniindividuo. volta che Ogni si senteparlaredi mediaè importante averepresentiquestisignificati e saperliapplicarecorrettamente. La varianzaindicainvecela maggioreo minoredispersione degli individuiattornoal valoredellamedia. Confrontando due distribuzioni che hannola stessamediae varianzadiverse,si può notare che gli individuisono più dispersi,rispettoal valore della media, nella distribuzion e a varianzamaggiore.

115

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Capítolo3 CENNIDI STATISTICA

Per comprendere meglioil significato di mediae di varianzapensiamoad un'analogia meccanica. Se le frequenzedi una variabilestatisticavengonoviste come masse dispostelungo un asse X e il valoreargomentale come dístanzadelle massestesse la media,così come è statadefinita,coincidecon il baricentro dall'origine, di questo sistemadi masse(vediFig.3.3).

i Fig.3.3- Analogiameccanica dellamedia Analogamente la varianzarappresenterà il momento d'inerzia di un sistemanelqualesi interpretinole frequenzerelativecome masse e i valori argomentalidella variabile scarto associatacome distanzedal baricentrodi tale sistema.Come noto dalla meccanica razionale il momento d'inerzia aumentaall'aumentare delladispersione delle (la media)e quindilavarianzaè propriamente masseattornoal lorobaricentro un indice di dispersionedei valori argomentali attornoal valore della media della variabile statistica.Inoltrericordandoche la sommadellefrequenzerelativeè pari all'unità,la varianzarappresentail rotore,cioè quella distanzadall'assedi rotazionein cui si potrebbeconcentrare tuttala massaper mantenere invariatoil momentod'inerzia. Per le variabilicasualisi definiscono, in analogiadi formulazione e di significato con quantoappenadettoa propositodellevariabilistatistiche, i momenti. Nellatabellaseguentesonoriportate le formulazioni analitiche di tali quantitànel caso di variabili casualidiscrete e variabili casualicontinue: variabilicasualidiscrete variabili casualicontinue sr

m

m:

flì2

m L. = 2 ) x tl' D , r

62

O-=>(x,

tn=

) x,D,

4 I I I

\-a

)

)

ffi.=

il

s--

L/'I

-m) r2

Pi

) o'=

lx.î(x)dx

tl

lx-.Í\x)dx

| ) ^, l(x-m)-f(x)dx I

3.8. LA DISUGUAGLIANZA DI TCHEBYCHEFF Vogliamodimostrare che la maggiorpartedegli individuidi una distribuzione, sono contenutinell'intervallo m + 3o e m - 3o qualunquesia la distribuzionein esame. Partiamo dalladefinizione di varianza: o i2 = sL- \l x , - * , . 0\ )2 '. f,

corrispondente a o1 =

rÎ f ,

avremo:

o1:uÎf,+vîf,+vtfr+""' rlf, ll6

b-_

v

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Capitolo3 C E N N ID I S T A T I S T I C A

fissiamoun valoredelloscartoyn compresotra vr e vne poniamoazero tutti ivalori degliscartiinferiori o ugualiavn e uguali? v_tuttigli scàrtisuperiori: otr= + v ' ^ f . + v t ^ * r . f ^+* , v , ^ * r f . * , + . . . . . . v : f , , ^r?fr*r3f, îl l l r t l o

î

î o

o

î vl,

î v,.

î'" ,,,t,

Alla luce di questaipotesi,sarà quindi: î

1I

... f,,) o; >ví\J ^u *.f,,,*z+.... î

^

\

La sommadei terminitra parentesi, definiscela frequenzarelativadeqli - -- scartiche hannoun valoreassoluto superiore a v,,,;indichíamola conilterminef . Poichéla sommadi tuttele frequenzerelativeè ugualea 1, la frequenzarelativadegli scartiinferiorio ugualia v, (cheindichiamo con f.) saràpari a f. =1- f . e quindila varianzasarà pari a:

- f, ) o1>r?"(t aa

O- > v;,-v;J. - o1 'Î,f. > "^6 ' f.>l-+

v;

aucuipossiamo ricavare [afrequenza relativa degliscarti < a v,:.

e se poniamo vm= l.o*avremo

f. >r-+ n-

[16]

Ladisuguaglianza è sígnifícativa pervaloridi ," > I per)"= 2

v*=2 O,

f..t*;> o,7s

per)"= 3

Vrr=3O,

f.>1_1-o,sq

Abbiamodimostratoquindi che in una distribuzione qualsiasi,gli individuidella popolazionesi distribuiranno attornoal valore della media secondole seguenti percentuali: D il75/" degli individuisarannocontenutinell'intervailo m + 2o ) l'89"/odegli individuisarannocontenutinell'intervallom + 3o

117

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Capitolo3 CENNIDI STATISTICA

3.9. LA VARIABILECASUALECONTINUA Unavariabilecasualesi dirà continuase la sua tunzionedi distribuzioneF(x) sarèt ovunquecontinuae se la sua derivalaF'(x)= f (x) esisterà, saràpureessacontinua nell'intervallo dí definizione dellax e ovunquemaggiore o ugualea zero. La funzioney= f( X ) è notacomedensitàdi probabilitàdi X. La Fig.3.4 riportaun esempiodi densitàdi probabilità e di funzione di distribuzione. v=f(x) +1

X

F i g .3 .4- D e n si tà d i probabilità e funzione di distribuzione La funzione"densitàdi probabilità" non è definitada singolivaloriargomentali e quindi la probabilità valorex è nullapertuttele -r. di estrarreun particolare La probabilitàinfinitesimadp= f ( x )dx rappresenta, invece,laprobabilità di estrarreun individuonell'intervalloinfinitesimofx,x+dx). La probabilità finito[A,.rp]dell'esempio di estrarlonell'intervallo di Fig.3.4,saràinvece:

117l

P(A<.r I xo1= 7{ x )ctx f,"

La "funzionedi distribuzione" si può generaredalla"densitàdi probabilità" facendo variarel'individuo x lungotuttoil campodi definizione dellafunzione(nell'esempio di Fig.3.4 da A a + -) e calcolando tuttigli infinitiintegrali la densitàdi che esprimono probabilità con la [17]. lnoltre,poichéla densitàdi probabilità dellaf(x), su tuttoil campodi definizione, deve esserepari all'unità[ ff -)dx=1, avremoche la funzionedi distribuzione sarà una curvaasintotica al valore1. In questomodo sarà moltosemplicecalcolarela probabilità che un individuo -r sia (o in un intervallo finito infinito) compreso [a,b]: b

P (a < x 3 b ) =

F( F(a ) lf(, )dx= b)-

v=f(x)

[18]

'I Fr

1t8

=F(x)

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Caoitolo3 CENNIDISTATISTICA

3.10. VARIABILESTATISTICA E CASUALEA DUEDIMENSIONI Supponiamo che gli individuidi una popolazione sianocarallerizzati da due attributi per possono (ad che assumereforme diverse esempio ogni abitantedi una città si possonoconsiderare il pesoe I'allezza). altezza

peso

nell'ambito I valoriargomentali il significato di coordinate dell'individuo assumono della popolazione. Analogamente a quantovistoperla variabile statistica ad unadimensione, in classi,ognunadellequaliè caratterizzata tuttigli individui devonoessereraggruppati xi e yx . ln ciascunaclassesarannoraggruppati da due valoriargomentali tuttigli individui in un intervallo A* nell'intorno che hannovaloriargomentali compresi di x ed in A, nell'intorno un intervallo di ya. altezza -t--T- i t- l- T -

nrî

-î--1--l r t l- 1 .- r

J; - TI - - -lT' --..|--1.-l I .l :t--r-J -L-I_ tl

-t--+tl

I

ttl -r--l--l rtl

peso

ll risultatodi un censimento considerando due attributipuÒessere dellapopolazione quella qui raccoltoin unatabellaa doppiaentratadeltipodi sottorappresentata. condizionata della distribuzione Yper x = x2

vAlx=

'Yt

rl

Fzt

^-t

xr

Ftz Fts

Ft't

Y3

Fzs

Fst Fsz Fss

,/s

Ft,

Fz,

Fs,

F,,

ms

nl

n2

n3

nr

N r-

jt yl

distribuzione marginale dellaX

distribuzione marginale dellaY Ftt

F,t

l7l 1

F,r

-t1T-

Frs

m3

Fig.3.5 - Tabelfaa doppiaentrata

distribuzione dellaX condizionata Per) = )2

numerosità della popolazione

la frequenzaassolutadegliindividuicaratterizzati dai Ogni{r dellatabellarappresenta y1,. vaforiargomentali x1, ll risultatodi tale classificazione a due si chiamadistribuzione Nell'ultima colonnadellatabellavi sonole sommedellefrequenze di ogni dimensioni. riga;questidati rappresentano la distribuzione marginaledella I cioè una variabile I senzatenere statistica a una dimensione che definiscela distribuzione dell'attributo X. Analogamentei valori riportati conto dei valori argomentaliassuntidall'attributo riga definiscono X, cioè la variabile nell'ultima la distribuzione marginale dell'attributo nei soli statisticamonodimensionale che si sarebbeottenutacensendola popolazione u9

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Capitolo3 CENNIDI STATISTICA

riguardidell'attributo X. Owiamente,la sommadei valoridell'ultima riga o dell'ultima N, è parial numerototaledi individui. colonna, Una genericariga della tabella è una distribuzione condizionata della X, cioè rappresenta il modoin cui si distribuisce I'attributo X tra gli individui dellapopolazione Y. Analogamente caralterizzati da un unicovaloredell'attributo una genericacolonna rappresenta la distribuzione condizionata Y. dell'attributo possonoesseresostituite Ai valoridellefrequenze Nelle assolute, le frequenze relative. caselledella tabellaa doppiaentratapossonoesserescrittele frequenzerelalivefil, ottenutedividendole frequenzeassoluteFp per il numerototaleN di individuidella popolazione. vA/x=

Xl

Yr

X3

lt

.ftt

fzt

Jtt

.Ir l

ilt

Y)

.ftz

fi:

.fzz .fzs

.fsz .fss

.f,z .f,s

Fz

!s _/s

fr

fz,

ft,

V2

Vj

Vt

t

ilt

Pt

vr

I

Perottenerele frequenze relative marginali, i numeridell'ultima lte v delledistribuzioni rigavannodivisianch'essiper il numeroN e si ottienein colonnae quellidell'ultima particolare che: sì^ U,.= ) 1.,.

v,=Ií

[20]

Inoltrerisultaevidente che: -r ' _

S-f-t

L/rJiA

; ;

l21l

a duedimensioni x, y vatgonote seguentirelazioni: distribuzione

il momentodi primogradoo mediadellaX: mt\x)=

\L

\L

r -=\ - - , x i J i r -=\ - . . \ ' r /,ri /_J ir LX,v, i=l

l22l

i=l

À=l

momento di 2" gradoo valorequadraticomediodellaX: r,t

rsr

,r=L"?r,

=t I x?fn =lxilf m,(x) i=l

t=l

[23]

i=l

lavarianza dellaX: r,trst , (x,-m,(x)):lf,*=ftr,-m,(x)t:v, o , = F F { * ,- m , ( x ) ) 2 .=f L .\

a

i=l

L

t=l

r

tK

a\

i=t

t

À=1

l24l

i=l

Analogherelazionisi possonoricavareper la variabileY. Come si può notare,le tre statistiche di una dellevariabili di unadistribuzione a due dimensioni coincidono con le in basealledistribuzioni analoghe statistiche calcolate marginali.

t20

r

v

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Caoitolo3 C E N N ID I S T A T I S T I C A

il momentomisto: Si puòinoltrecalcolare

+è

m, = LLxiirJ*

[25]

i=l t=l

e il momentomistorispettoallemediechiamatocovarianza:

+è o, = LL(xi

- m t ( x ) X y -r m , ( y ) ) f ,t

[26]

Sviluppando la [26]e ricordando la [15]e I'analoga espressione dellamediaper y si può dimostrare l'attributo che sussistela seguenterelazione: o \, = mn-m,(x)mr(t)

l27l

Nellatabellaseguentesonoriporlatele formulazioni analitiche di tali quantitànel caso di variabili casualidiscretee variabili casualicontinue: varíabilicasualidiscrete

variabilicasualicontinue F

n s-

f

m.rJ (x ) = l x f ( x , y ) d x d y

m .r I(L xl t l) = ) , T , v , i-1

flì r' m

; f^

mlv)=)&F*

mJ y )= ly f ( x.y)dxdy t-

"

( =l

m ^ ( x )' L=/ l

b

+.) ) -rlv,

I

c ^.

ntr( x .)= J lx' .f ( x,1')d.rdy ; | 2 ^. m,( y )= ly'.f'( x.y )dxdy J-

m sa2

tT12 m2(! )= LYklIk

*--

rJ

sr sa tn,, = LLxiltPi*

m^=

lljJ(x.1.)dxdy

i=1 t=1 f

o f ,= l ( x , - m , (. r) ) ' p i = m z (x ) - n t l (x ) i=1

= "î

ìf

^t

o í = l ( x - m , ( . \) f f ( x . y ) d x d y tr

li

-mt(

t - D 2p , = m z ( ! ) - * Î (

y)

+-\ 6 , = L L 1 x , - m . ( x ) ) (y * - n t l y ) ) p , t= i=1 t=1

= rn^_- tT\( x )ml y )

t.

; c f . ..t ^ oi. ' = Jfl" y-mJ y )f .f ( x.y )dxdy ;

I

o ^ , = l ( , - * . , ( x ) ) (y - m t ( y ) ) f ( x , l ' ) d x d y J'

possonoessere I momentidi secondogradodi unavariabile statistica a duedimensioni quali quadrata considerati elementidi una matrice simmetrica chiamatamatricedi varianza- covarianza:

o"l ld ^.1 | loo 4l

[29]

121

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Capitolo3 CENNIDI STATISTICA

In unavariabilestatistica ad n dimensioni matricedi varianza- covarianza(es.n=3) sara:

d,

orz

qrl I

oz, 4

6r^l -;l

ott

ql

ozz

3 . 1 1 . L A COR R E L A Z IONLEIN E ARE La correlazionefra le due variabilidi una distribuzione a due dimensioni è una speciedi dipendenza, diversaperòda quellafunzionale in quantoad un valoredi una più valori della secondavariabile,nell'esempio variabilepossonocorrispondere di variabile casualea duedimensioni chedescrive unapopolazione secondoi due attributi di "peso"e di "altezza",possonoesistereindividuicon lo stessopeso e con allezza diversa. y

Fig.3.6- Concetto di correlazione può essereforteo debole;una correlazione La correlazione deboleè caratterizzata dal fattoche le distribuzioni varianopocoal variaredell'altra condizionate variabile; in una correlazione forte i valoridelle due variabilisono quasi legateda una dipendenza funzionale.

Correlazione lineare debole

lineare Correlazione forte

Fig.3.7- Correlazione lineare La misuradella correlazione deve essereindipendente dal valoreche assumonole variabiliconsiderate e questoavvieneconsiderando le variabiliscartostandardizzate: r,t-x-ffir(r)

o,

[2e]

,-!-ffi\.-)

o,

Si definiscecoefficientedicorrelazionelinearela quantità: s/ V L\xt-mt'",4!,-ffit,,,)

r=

t22

No,o,-

\

[30]

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Capitolo3 C E N ND I ISTATISTICA

ll termineal numeratore per cui il della[30]è ugualeal momentomistoo covarianza, coefficiente lineareassumela forma: di correlazione o*, o*6,

[31]

ll valoredi r è semprecompreso tra 1 e -1; il valorezeroindicache tra le due variabili non esistedipendenza linearema non dice nullasul fattoche possaesistereun altro (parabolica, tipodi correlazione iperbolica, ecc.). Se il coefficiente lineareè nulloallorarisulta6,,-= 0 e quindi,ricordando di correlazione tal27l: m x , -= m t ( x ) . m \ , - )

[32]

I z)

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3.12. COMBINAZIONE DI VARIABILICASUALIINDIPENDENTI In particolari ripetitivi esperimenti si possonopresentare contemporaneamente due o piùvariabili casualichevannoa costruire unavariabile casualemultidimensionale che tienecontodelcomportamento dellen variabili casualimonodimensionali concorrenti. generaleper la trattazione Rimandando a testidi statistica teoricadellevariabilicasuali multidimensionali, in questocontestoci interessaanalizzare quellevariabilicasuali per prodotto costruite sommae di n variabili casualimonodimensionali. I dueo più possonoessereassoggettati valoriargomentali ad unaoperazione che dia luogoad un (adesempiola sommadei numeriuscitinelcasodel lanciodeidadi); unicorisultato l'eventoaleatorio risultante dallacombinazione deidueo piùvaloriargomentali è definitoda unavariabile casualead unadimensione. L'ipotesidi base è che i fenomenialeatoriche compongonoI'eventoaleatorio combinatosiano indipendenfi. ll problemaè di determinarela variabilecasualeche definisce l'eventoaleatorio combinato, notele variabili gli eventi casualichedefiniscono aleatoricomponenti. Nelcasodel lanciodi 2 dadioccorredeterminare comesi distribuiscono i risultati dal 2 al12,supposto chesi eseguala sommadeivaloriargomentali. Per calcolarela probabilità da associarea ciascunindividuodella nuovavariabile casuale,ottenutacome "somma"del lanciodi due dadi,ricordando la [1], bisognerà determinare il numerodei casi possibilie il numerodei casi favorevoli. La probabilità cercatasarà data dal loro rapporto.ll numerodei casi possibilisi otterràconsiderando che ciascunafacciadel primo dado può combinarsicon una qualsiasifacciadel secondodadoe quindisaràparia 6 x 6 = 36: sommadei duedadi 2 3 4 5 6 7

8 9

10 11 12

1+1 1+2 2+1 1 + 3 2+2 1 + 4 2+3 1 + 5 2+4 1 + 6 2+5 2+6 3+5

3+1 3+2 4 + 1 3+3 4+2 5 + 1 3+4 4+3 5+2 6 + 1 4+4 5+3 6+2 3+6 4+5 5+4 6+3 4+6 5+5 6+4 5+6 6+5 6+6

probabilità casl favorevoli di uscita 1 1/36 2 3

2t36

5

3/36 4t36 5/36

6

si Js

5

5/36 4t36 3/36 2t36 1/36

4

4

3 2 1

ln generaledobbiamo definireil valoredellamedia,delvalorequadratico medioe della varianzadi una variabilecasualeottenutacome somma (differenza)o prodottodi variabilicasuali,noteche sianole medie,i valoriquadratici medi e le varianzedelle variabili casualicomponenti. Le principali regolesonole seguenti: 1. ll valore medio della somma (differenza) di due variabilicasualiè la somma (differenza) deivalorimedidellevariabili casualicomponenti: m , ( s ) =m J x ) + m r ( y ) m , ( c t )= m , ( * ) - ^ , ( y ) [33] 2. ll valoremediodel prodottodi duevariabili casualiè il prodotto deivalorimedidelle variabili : casualicomponenti ' t , ( = ^,\q) m,(x) Y) [34] 124

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3.13. ALCUNIESEMPIDI DISTRIBUZIONI Fra le variabilicasualive ne sono alcunele cui funzionidi distribuzione vengono calcolatecon algoritmimatematici,partendoda alcuneipotesiteoriche.Tre di esse notevoliper il loro interessepratico.In ordinecronologico sono particolarmente di studio,esse sono: la binomiale(J. Bernoulli,- 1700),la normale(De Moivre,più frequentemente associata ai nomidi Laplacee Gaussche se ne occuparono allafine poissoniana (S.D. Poisson,1837).Alcune altre funzionidi del XVll secolo)e la distribuzione furonostudiatenel secoloscorso,ma solo versola fine di essofurono introdotte altrenumerosissime distribuzioni derivantiperòtuttedalletre sopracitatee in particolare mododallanormale. Le distribuzioni devonoessereconsiderate comeun modellomatematico che permette ripetitivi di indagareil comportamento di esperimenti che presentano delleregolarità statistiche.Molti fenomenifisici, biologici,economicie socialiche si presentano labilee indefinito all'indagine con l'aspetto apparentemente di una variabile casuale,si propria rivelano,a lungo andare,dotati di una rigiditàdi comportamento solo di fenomeniil cui rapportodi casualitàè ben definito.Questatendenzadi una certa fenomenica(attributo) caratteristica a variare,sempreperòcon le medesimemodalità, in modocioèchesi abbiaunafondamentale naturale, viene stabilità dellasuavariabilità nel sensoche la variabilità rappresenta chiamatavariabilità strutturale, del fenomeno, (inquestosenso,strutturale) intimae profonda delfenomeno stesso. unacaratteristica per i fondamentale in questicasi è perciòquellodi determinare, ll problemastatistico il tipo di distribuzione dellalorovariabilità, stabilendo che diversifenomeni,la struttura meglio la rappresenta.Una volta stabilitatale corrispondenza, occorreràricavarei mezzi logici e analiticiper determinarecon poche prove i valori dei parametri funzione di distribuzione associabile al fenomeno. caratteristici dellaparticolare Limitandocial caso di nostrointeresse(la misuradelle grandezzafisiche)dovremo dunqueper prima cosa stabilireil modellomatematicoche descriveal meglio il queglistrumentiche ci consentiranno di ricavarei fenomenoe in seguitoprocurarci parametri fondamentali delladistribuzione da un numerolimitatodi misure.Nel seguito le binomialee normaleche costituiscono descriveremo brevementele distribuzioni funzioni di distribuzione utilial nostroscopo. DE I B E R NOULLI O BINOMIALE 3 . 1 3 . 1 .D I S T R IB U Z ION La distribuzionedi probabilitàbinomialeconsente di prevederecome si distribuisconoi risultatidi prove aleatorieripetuteeseguitesu una popolazione da due da due soli valori argomentali.Un eventoaleatoriocarallerizzato caralterizzata variabile casualedeltipo: modalitàè rappresentato da una

(x, x.

X4 gp

p*q=l

Ad esempiose in un'urnasono state poste 30 pallinebianchee 70 pallinenere, possiamo la variabile casuale: costruirci ibianca nera X] I 0,3 0,7

p+q=l

Per semplicitànella conduzionedei calcoli, conviene assumere valori argomentali X1= Q Xz = I numericiad esempiQt

126

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t'o 1

X1 gp

Caoitolo3 C E N N ID I S T A T I S T I C A

p*q=l

I parametridi questaparticolare variabilecasualesaranno: m r l x ) = 0 . q + 1p. = media valorequadratico medio mr(x)=02'q+1''p= varianza o ' ( x ) = * r ( x ) - , r i ( x ) = p - p 2= p ( t - p ) =

p p

p' q

Cosìfacendo,con un semplicenumerocompresotra 0 e n sarà possibileriportareil risultatodi una prova consistentenel ripeteren volte I'esperimento aleatorio.Se ad nel lancio esempio di una monetaassociamo al valoreargomentale 0 l'uscitadi "testa" e al valoreargomentale 1 I'uscitadi "croce"e combiniamon volte la stessavariabile casuale,in altriterminieffettuiamo n lancidi una monetae registriamo i risultatiin una nuovavariabile casuale. avremo: testa testa a T

lacrocelacroce

trtr t0 1

x]

gpgp

+

,t0

x|

1

2 lancidi unamoneta

il risultato deidue lancidi unamonetapotràdarecomerisultato: TT TC CC i valoriargomentali: a cui possiamo associare 012 la nuovavariabile casualerisultato deiduelancidi unamonetasaràquindi: l'0 12 Yt,

t"'

ll risultato di tre lancidi unamonetapotràdarecomerisultato: TTT TTC TCC ccc a cui possiamo i valoriargomentali: associare 0123 la nuovavariabile casualerisultato deitre lancidi unamonetasaràquindi:

fo1z3

Y1 t"'

il risultatodei quattrolanci di una monetapotrà dare come risultato:

TTTT

TTTC

TTCC

TCCC

a cui possiamo i valoriargomentali: associare 0123

CCCC 4

la nuovavariabile casuale risultato lancidi unamoneta deiquattro saràquindi: lot234 Y1 t"'

127

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Capitolo3 CENNIDI STATISTICA

Le probabilità da associareai valoriargomentali dellavariabilecasualef costruitaconn lancidi unamonetasaranno: F si presentacroce i voltee quindi,per il teoremadelleprobabilità composte,la probabilità saràparia p'p'p'p....=p' F si presentatesta (n-r)voltee quindi,per il teoremadelleprobabilità la composte, probabilità saràparia q'Q'Q'Q....=g' La probabilitàassociataagli eventi i volte croce e (n dall'applicazione delteoremadelleprobabilità composte. La probabilità associataall'evento: n lancidellamoneta i voltesi presentacroce (n - i) voltesi presentatesta sarà:p' . {-'

i) volte testa è ottenuta

, \ ma la modalitàsopradescritta(i voltecrocee (n i)volte testa)si potràverificareir I i I \1,/

manierediverse.Ad esempiose su 4 lancidi una monetasi presentaunavoltaTestae 3 volteCroce, le modalitàdi presentazione saranno: TCCC crcc CCTC CCCT L'applicazione del teoremadelle probabilità totali consentequindi di calcolarela probabi litàassociataall'evento : n lancidellamoneta i voltesi presentacroce (n - i) voltesi presentatesta (n\

,

._,

nl

P(i) =l . lP'q"-' = -:l:-----=P'q"-' i

k_i

rtln-r)l

\r /

e quindiper la variabile casualeY (ricordando che0! = 1 e 1 ! = 1 ) : j=0 volte P(i)=q' volte croce n 0 testa ' i=1 1 voltacroce(n - 1) voltetesta P(i)= npqn ('\

^

i=2

2 voltecroce(n - 2) voltetesta

P(i7=lrP'n'-'

i=O

n voltecroce0 voltetesta

P(i)= p"

12 0 3 volte 1 volta 2 volta volta 0 croce 3 n -2 volte crocen croce croce voltetesta n -1 volte testa n -3 volte testa testa q"

,-l

n?q

lnì

I'^lr'q" \t)

128

'

lnl , ,, l-lP(l

n n voltecroce 0 voltetesta

pn

r^ t38l

I

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Capitolo 3 C E N N ID I S T A T I S T I C A

possiamo Applicandole regoledella combinazione di variabilicasualiindipendenti la mediae la varianza determinare di Y notela mediae la varianza di X: m 1 ( Y ) =+ pp +p *....-..=np d g l = p q+ p q+ . . " . . ' = n p q

[39] t40l

ln Fig. 3.8 sono riportatii graficidi una distribuzione aventep = 0,1 a q = 0,9 (per esempioun'urnacontenente100 pallinedi cui 10 bianchee 90 nere)e numerodi e s t r a z io nni p a ri a 4 , 1 0 , 5 0 e 100;igr afici sonocostr uiti congiungendo ipunti di probabilitàP(i) calcolaticon le [38]. La distribuzione dipendedai due parametri n e p. Se p=Q.$la distribuzione binomiale è indipendentemente simmetrica dal valoredi r. Se p è moltopiccolorispettoa n la distribuzione è fortementeasimmetrica. Tale asimmetriatende però a diminuire all'aumentare di n. Nell'esempio dell'urnacontenente10 pallinebianchee 90 nere, eseguendoper esempio4 estrazioni(n = 4) potremocalcolarela probabilità che si presentii volte la pallinabianca: bianco I variabile *["'o casualeoriqinale xf0 o meotio p lq [0,e0.1 la variabilecasualerisultatodellequattroestrazioni sarà: 01 2 3 4 0 volte 1 volta 2 volta 4 volte 3 volta bianco4 bianco bianco bianco bianco voltenero 3 voltenero 2 voltenero 1 voltanero 0 voltenero Q' =0.6s npq"-'=0.29 ,,r. r =0004 P' = 0.0001 ,,r. , =005 [l) [l)

P(i)

Fig.3.8- Distribuzioni di Bernoulli

r29

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3.13.2.DISTRIBUZIONE NORMALEO DI GAUSS Questadistribuzione si puòconsiderare unarappresentazione approssimata di quelladi Bernoulli. Pern tendenteall'infinito, la distribuzione di Gausscoincide quella con di Bernoulli. La necessità di ricorrere ad unarappresentazione approssimata della distribuzione binomialederivadalladifficoltà di calcolarei fattorialiquandoi valoridi n sonomoltograndi: (r\

ì --: n! i n-i P ( i ) = l . l p ' q ' - '= : : . . . .. . p . 'Q"-' \t i

t:(n-tJ!

Partendo dalladistribuzione binomiale: 01 234n q

n

npq

nl

(r\

2 n-2

lr)P

q

p

tl

ci costruiamo la distribuzione degliscartitogliendo il valoredellamediaa ciascunvalore argomentale: 7-np Io- n p 2-up 3-rp 4- np n-np

ut

Tralasciando la dimostrazione, la densitàdi probabilità associataa ciascunoscartoy;è datadallarelazione:

P(r,)=-+e

J

zo-

42no' Per n moltograndesi può considerare la variabilecasualedegliscarti(V) continuae quindila probabilità nonsaràpiùassociata ad un singolovaloreargomentale ma saràla probabilità infinitesima dnassociata ad unoscartocompreso tra v e v + d,..lndefinítiva la densitàdi probabilità di una variabilecasualenormaleo gaussiana-r di median e varianzaé è: '1

f(r)= -+e 4 2no'

-(ri-m)2

2o'

l41l

Fig.3.9 - Distribuzioni normali Le principali caratteristiche di questadistribuzione sono: r30

Y

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F è simmetrica rispettoalla rellax = m: F h a d u e f l e s si ni c o r r i s p o n d e n z apdueni t i -=r m r o e x = m - o , F al cresceredi o2 la curvasi appiattisce e viceversa al diminuire di d diventapiù aguzza; È è d e fi n i ta d a -- à *a e q u i ndi:| |Q) a* = t

ln

m=0

Fig.3.10- Distribuzione normalee standardizzala comegli individui della Un problemamoltoimportante da risolvere è quellodi verificare popolazione ln X si distribuiscono valore media m. altri termini calcolare attornoal della qual'èla probabilità A-B (vediFig.3.10). x sia compresonell'intervallo che un individuo Perquantogiàvistoin precedenza e secondola [30],la probabilità cercatasaràparia: -,

B

-('-')2

P (A < x < B ) = F ( B ) - F ( A ) = [ f { , ) a , d o v e l a / ( . t ) = # e ..l2xo'

2o2

in quanto il calcolodell'integrale deve essereeseguitoper ciascunadistribuzione sarannosemprediversisia i valoridi mediam chedi varianzad . Per risolvereuna volta per tutte il problemadel calcolodi questo integrale,è necessariocostruirsi,partendodalla X, una nuova variabilecasuale Z chiamata "standardizzafa" da questidue parametri.Ciascunindividuodi che sia indipendente questanuovavariabilecasualeZ sarà.generatoa partireda quellidellax depurandolo deivaloridi m e o: -d=z-1 dxo

x-m o

dx=o dz

La distribuzione equivalead unavariabilenormaleaventemedianullae standardizzala varianza= 1 (vedi Fig.3.10). La probabilitàche un individuox sia compreso nell'intervallo A-B della distribuzionenormale sarà uguale a quella calcolata nell'intervalloa-b delladistribuzionestandardizzata: u-'

d o v el a f ( r ) = l r - ; 42n la simmetriadelladistribuzione normale,I'integrale Sfruttando da calcolaretra i limilia-b sarà pari al doppiodello stessointegralecalcolatotra I'origine0 e I'estremob ed essendoancheindipendente dai parametridi mediam e varianzaé sarà da calcolare unavoltapertutte(veditabella1). P ( a
l3t

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il valoredi questaprobabilità Cerchiamo tra limitisignificativi: m-o-m =-l =+l - 1 2< * t o - ^ m- osx sm + o 6 o F(A)m+ 2 o il 99,7"/"è compresonell'intervallom - 3o e>m + 3o infatti di Tchebycheff; Questivalorisono superioria quellifornitidalladisuguaglianza quest'ultima fornisce analoghi valori per una distribuzione qualsiasi, non specificatamente di unavariabile casualedi tiponormale.

Eserciziosvoltosulla distribuzionenormalestandardizzata: Un campionedi 74 tondinidi ferro sottopostia una provadi snervamentoha dato i (caricodi snervamento in kg/mm2 il seguentirisultati espresso e le frequenze esprimono numerodellerotturedeitondini): lzs 36 37 38 39 40 4t 42 43 44 46 47 48 49 55 ^ 13 | 4 ll 15 6 9 5 7 4 3 3 1 I 1 il caricomediodi snervamento delcampione: Calcolare e la varianza n

1-j-

dove ru=IFi=74

m=|ls,F, AIH

t\

i=1

-2 -2 1 + ) - -m o =-) s ,1 ' , .t4

1v ,=1

m=40,8 kg/mmz

t..1

o 2 = 1 . 6 7 6 , 8 - 1 . 6 6 4=, 61 2 , 2 k g z/ m m a

|

o = {o'

= +3.4g kg / mmz

Ammessal'ipotesidi normalitàdella distribuzione, si calcolila probabilità che un qualsiasi tondino,presoa caso,si snerviad un caricosuperiore a 48 kg/mm'o inferiore a37 kglmm': 132

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che z (della di 48 kg/mm2saràidenticaallaprobabilità ches sia maggiore la probabilità 48-m =2.06 quindi di effettiva nell'ipotesi e di z= sia maggiore variabilenormalizzata) 6

normalità dellaz si avrà(veditabellasottostante): 2,06

P(z>2.06)= lf k)ar=lf 2.06

(r)ar-

= 0 . 0 1 9=72 / o lf @dz=0.5-0.4803

0

0

che s sia minoredi 37 kg/mm2è identicaalla probabilità la probabilità Analogamente c h ez s i ami n o red i ,=3 1 :" '=-r.09da cui: -1.09

p ( z < L0 9 ) =

0

0

=13.8/" [fQ)ar= lf Q)az- !f@rtz=0.5-0.3621=0.137e q è

13,8f -1,09 0

(z)

x

Z

2,06

r33

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Caoitolo3 CENNIDI STATISTICA

1 2 4 7 0 3 5 6 I 9 0.0000 0.0040 0.0080 0 . 0 1 2 00 . 0 1 6 0 0 . 0 1 9 9 0.0239 0.0279 0 . 0 3 1 90.0359 0.0398 0.0438 0.0478 0 . 0 5 1 70.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0 . 0 7 1 40.0754 0.0793 0.0832 0.0871 0 . 0 9 1 00.0948 0.0987 0 . 1 0 2 60 . 1 0 6 40 . 11 0 3 0 . 11 4 1 0 . 11 7 9 0.1217 0 . 1 2 5 50 . 1 2 9 30 . 1 3 3 10 . 1 3 6 80 . 1 4 0 60.1443 0 . 1 4 8 00 . 1 5 1 7 0 . 1 5 5 40 . 1 5 9 10 . 1 6 2 8 0 . 1 6 6 4 0.1700 0 . 1 7 3 60 . 1 7 7 2 0 . 1 8 0 8 0 . 1 8 4 4 0 . 1 8 7 9 0 . 1 9 1 50 . 1 9 5 0 0 . 1 9 8 5 0 . 2 0 1 90.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0 . 2 1 9 00.2224 o.2258 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0 . 2 5 1 80.2549 o.7 0.2580 0.2612 o.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852 0.8 0.2881 0 . 2 9 1 00.2939 0.2967 0.2996 0.3023 0.3051 0.3078 0 . 3 1 0 60 . 3 1 3 3 0.9 0 . 3 1 5 9 0 . 3 1 8 6 o.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0 . 3 3 1 50.3340 0.3365 0.3389 1 . 0 0.3413 0.3438 0 . 3 4 6 1 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621 1 . 1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0 . 3 8 1 00.3830 1 . 2 0.3849 0 . 3 8 6 9 0 . 3 8 8 8 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0 . 3 9 9 7 0 . 4 0 1 5 1 . 3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0 . 4 1 5 0 . 4 1 3 1 0 . 4 1 4 7 0.4162 0 . 4 1 7 7 1 . 4 0.4192 0.4207 o.42220.4236 o.4251 o.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0 . 4 3 1 9 1 . 5 0.4332 o.4345o.4357 0.4370 0.4382 0.4394 o.4406 0 . 4 4 1 8 0.4429 0 . 4 4 4 1 1 . 6 0.4452 0.4463 0.4474 o.4484 0.4495 0.4505 0 . 4 5 1 50.4525 0.4535 0.4545 1 . 7 0.4554 0.4564 4573 0.4582 0 . 4 5 9 1 0.4599 0.4608 0 . 4 6 1 6 0.4625 0.4633 1 . 8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0 . 4 6 9 9 0.4706 1 . 9 0 . 4 7 1 3 0 . 4 7 1 9 0.4726 0.4732 o.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767 2.O 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 o.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0 . 4 8 1 2 0.4817 2.1 o.4821 o.4826 0.4830 0.4834 0.4838 o.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.4857 2.2 0 . 4 8 6 1 o.48640.4868 o.4871 0.4875 0.4878 0 . 4 8 8 1 0.4884 0.4887 0.4890 2.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0 . 4 9 1 1 0 . 4 9 1 3 0 . 4 9 1 6 2.4 0 . 4 9 1 8 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0 . 4 9 3 1 0.4932 0.4934 0.4936 2.5 0.4938 0.4940 o.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952 2.6 0.4953 0.4955 0.4956 o.4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964 2.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974 2.8 o.49740.4975 0.4976 0.4977 0 . 4 9 7 7 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.4981 2-9 0.4981 o.4982 0.4982 0 . 4 9 8 3 0 . 4 9 8 4 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.4986 3.0 0.4987 0.4987 o.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990 3.1 0.4990 0.4991 0.4991 0 . 4 9 9 1 0.4992 0.4992 0.4992 0.4992 0 . 4 9 9 3 0.4993 3.2 0.4993 0.4993 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0 . 4 9 9 5 0.4995 0.4995 3.3 0.4995 0 . 4 9 9 5 0 . 4 9 9 5 0 . 4 9 9 6 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4997 3.4 0.4997 0.4997 0.4997 o.4997 o.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0 . 4 9 9 8 3.5 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0 . 4 9 9 8 3.6 0.4998 0.4998 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 3.7 0.4999 0.4999 0 . 4 9 9 9 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 3.8 0.4999 0.4999 0.4999 0 . 4 9 9 9 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0 . 4 9 9 9 0.4999 3.9 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 b

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

Tabella1 - areesottesedallacurvanormalestandardizzata

134

L

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DI GAUSS LA DISTRIBUZIONE 3.13.3.TEOREMIINERENTI Accenniamoora ad alcuniteoremifondamentali utili per spiegarecome mai la gaussianasia di gran lungala funzionedi distribuzione più importantenellastatistica applicata. indipendenti tra loroe si consideri la variabile Sianodaten variabilicasualigaussiane, gaussiana che la X è unadistribuzione con media casualesommaX. Si puòdimostrare e varianzacalcolabilisecondole [30] e [32] e che viceversase la somma X di n variabili casuali indipendenti è una normale, ciascuna variabile casuale componenteè anch'essauna normale. Questoenunciatoaffermanon solo che la distribuzionenormalesi riproduceper addizione,ma anche che ogni distribuzionenormale non può mai provenire esattamente dallasommadi componentiche non sianoanch'essenormali. In generale,se la distribuzione di una variabilecasualeX dipendeda un parametron e dellavariabilescarto se si possonotrovaredue quantitàm e otali che la distribuzione tendaad esserenormalequandon tendeall'infinito, si dirà che X è standardizzata (in questo normale sensola distribuzione binomialeè asintoticamente asintoticamente normale). atfermazione, servea chiarireI'enunciato del teoremacentrale Quest'ultima della statisticanotoanchecometeoremafondamentale dellaconvergenza stocastica Liapounoff. o teoremadi Laplace-TchebycheffQuesto teorema afferma: qualunque siano le distribuzioni delle variabili indipendentisoggettead alcunecondizionimolto generali,la variabilesomma è generali normale.Sinteticamente, le condizioni cui devonosoddisfare asintoticamente le variabilicasualicomponenti, nel fattoche nessunadi esse si possonoriassumere di X. deveprevaleresullealtrenelladeterminazione ll teoremacentraledellastatistica dà unaspiegazione del perché,in un grannumerodi normali che sono almenoapprossimativamente applicazioni, si trovinodistribuzioni grandezza fisica e in tanti come,ad esempio,nel caso degli erroridi misuradi una Limitandoci campi della biologiae dell'economia. ora al caso di nostrointeresse, (Hagene Bessel)I'erroretotalecommessoin secondola teoriadeglierrorielementari una misurasi può pensarecome sommadi un gran numerodi errorielementari, indipendenti tra di loro.Se i contributi di ciascunodi essihannotuttilo stessoordinedi grandezza,allora la variabile casuale somma dei singoli effetti si comporterà approssimativamente comeunavariabiledi tipo normale. In generale si puòsupporre siaveranelcasodellamisuradi chequestaconsiderazione una grandezzalisica,perchése qualcunadellecausedi errorefosse preponderante rispettoalle altre,ciò non potrebbenon essereavvertitodall'operatore il quale,in tale situazione, dovrebbeprowedereapportando alcunecorrezionio isolandole operazioni di misuradal fenomenodi disturbo.Gli errori accidentalidi misura,entro i limiti previstidal teoremacentraledella statistica,possono perciò essereconsideratie trattati come una variabilecasuale di tipo normale.Questoassunto,anche se vienecorrettamente in oggigiorno è rimessoin discussione da moltistudiosi, applicato quantoconsentedi risalirecon pochemisurazioni alla stimadei parametri di mediae varianzanecessaria definireil modellomatematicorappresentato dalla distribuzione normale.

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Capitolo3 CENNIDI STATISTICA

possiamodire che I'operazionedi misura di una grandezza ln definitiva fisica,una volta depurata dall'inf luenza degli errori grossolanie sistematici,corrisponde all'estrazione casualeda una distribuzionedi probabilitànormale. non da un numero,ma dell'operazione di misurasaràrappresentato Quindiil risultato da una densità di probabilitàdi cui si devono determinaremedia e varianza. Analiticamente il risultato L saràindicatonellaseguente dellamisuradi una grandezza forma: L:rflttOt

dove con mr si intendeil valoremediodelladistribuzione e con or=Jd medio. scartoquadratico

136

1421 il relativo

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NORMALEA DUEDIMENSIONI 3.14. DISTRIBUZIONE la due variabilicasualidi tipo normale(X e y) fra loro indipendenti; Consideriamo y è data dal x dai valori argomentali e caratterizzalo probabilitàlegataall'individuo prodottodellesingoleprobabilità: r | { ' . . ) '( , - ' ' ) ' I \t--."Y -rl-;--ia.1-] 1 1 [43] Z=f(.r,t')=+rV *,-P

',l2noi

2'tÍo,o u

ltTEo;

normalea due delladensitàdi probabilita l'espressione determinare E piùcomplesso con legge e distribuite y correlate e siano variabili;r le che due nell'ipotesi dimensioni senzadimostrazione: Diamoquestaespressione normale. ,,.!-,,, , ,*fn .r,",1'l _ , =flr-.,,,,\'-2rr-,\, o\ r' Z=

jt.r,.l

, f= - - _ - - .

2 11 - p ' t(l 6 ,

1

)

o,

o,

144l

\

Z n o ,o ,l 1 -P '

è espressodal seguente ll parametrop che intervienea definirela distribuzione rapporto: o," [45] P=- .o. o.

x

normalea duedimensioni graficadi unadistribuzione F i g .3 . 1 1 Rappresentazione Si può dimostrareche la t44l è in accordocon tutte le definizionie proprietàdelle Inoltreè evidenteche la [44] è I'equazione continuea duè dimensioni. disiribuzioni graficarispettoa tre assi coordinati di una superficiela cui rappresentazione z=f(x,.y) x,y,zè riportatain Fig.3.11. di pór le applicazioni àlla teoriadellemisureè utilestudiarele curvedi intersezione delle sono esse può facilmente dimostrare con ipiani z= K. Comesi questasuperficie K. varianoal variaredellacostante ellissile cuidimensioni t3'l

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Capitolo3 C E N N ID I S T A T I S T I C A

L'ellisseche corrisponde al valoreK = I si chiamaellissestandard(Fig.3.12)i cui relazioni: maggiore e minore(ae b) sonofornitidalleseguenti semiassi

"'=)(o:+oi)+ +M-4 *q

[46]

- o:f + ao'z* formacon I'assedelle.r si può dell'ellisse fnoltrel'angolog cheil semiassemaggiore relazione: determinare con la seguente 2 o - --::'tan2rp l47l o;-o; Si può dimostrareinfine che se un ellissestandard ha gli assi paralleli agli assi coordinati,non vi è correlazionefra le due variabili.Da un punto di vista statistico l'areaall'interno di dellaqualesi ha il 39"/odi probabilità l'ellissestandardrappresenta In un'ellisse doppie di dimensioni trovareun individuo estrattoa casodallapopolazione. pari a 3 volte mentrein un'ellisse di dimensioni sale a circal'80o/o, tale probabilità l'ellisse superail 99%. standardla probabilità

Fig.3.12 - Parametri dell'ellisse standard

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Capitolo4 IL TRATTAMENTOSTATISTICODELLE MISURE

Capitolo 4 IL TRATTAMENTOSTATISTICODELLE MISURE

4. CONCETTO DI MISURA Misurareuna grandezzasignificaparagonarla con un'altradellastessaspecieed esprimereil rapportotra le due medianteun numeroche costituisce il risultatodella misura.L'associazione è del tutto arbitraria,infattiuna stessagrandezzapuò essere associataa numeridiversisenzacreareambiguità.Una stessalunghezzapuò essere espressa,ad esempio,in metrio in pollici,un angolorettopuò essereespressoin (90")o quellocentesimale (100son). radianti(nl2'^o), nelsistemasessagesimale ll numeroè funzionedel sistemadi misura.Definitoil sistemadi misura,vienemeno I'arbitrarietà dellasceltadel numeroche la rappresenta. Nellateoriadellemisuresi definiscono essenzialmente tre tipidi operazioni di misura:la misuradiretta,la misuradirettacondizionatae la misuraindiretta. 139

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Capitolo4 IL TRATTAMENTO STATISTICO DELLEMISURE

4.1. LE MISUREDIRETTE La misuradirettadi una grandezza è definitalogicamente nelseguentemodo: F si costruisceuna grandezza dellastessaspeciedi quellada misurarecostituitada un numero intero di quantitàuguali (unitàdi misura)definendodelle unità campione; F si sommanoopportunamente le unitàcampione(unitàcostruita) in mododa avere una quantitàugualea quellada misurareutilizzando uno strumento che permetta quantitàda misuraree quantitàcostruita; il confrontodi uguaglianzalra F si conta il numerodi unità campionecontenutenella quantitàcostruita:tale numerosi chiamamisuradirettadellagrandezza.

Fig.4.1 - Misuradirettadi una grandezza: la pesatadi un oggetto geometriche (ad Spessole misurediretteche si eseguonosonosoggettea condizioni esempiola sommadegli angoliinternidi un triangolodeve esserepari a rc,ecc.). che a volteassumono formeanchemoltocomplesse, Questecondizioni, sonoutiliper verificare la presenza di eventuali erroridi misuragrossolani. La misuradirettaassoceràun numeroalla grandezzain esame.A prioriè impossibile predirein mododeterministico il risultatodellamisura. in un momentosuccessivo Se ripetiamoI'operazione e se lo strumentodi misuraè precisotroveremoun secondonumero,diversodal precedente,da sufficientemente associareallastessagrandezza. Nell'esempio dellapesatanotiamoche se vogliamostimareil pesodell'oggetto al mg, più ripetendo la misura volte,otterremo numeridiversitra loro,mentre,se limitiamo la precisione al g, il risultato dellevariemisureforniràsemprelo stessovalore. Questo fatto non è spiegabilerazionalmente:ripetendopiu volte la misura di una grandezzasi dovrebbeotteneresempre/o sfessovalore.Nellapraticaoperativaciò non si verifica mai. Dobbiamo concludere che esiste una misura vera. mai raggiungibile, ed infinitestimedi tale misurache I'approssimano. Per chiarireulteriormente la discrasiaesistentetra la praticaoperativadella misurae

grossolani Fig.4.2- Errorisistematici, e accidentali

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Se ipotizziamo di sparare,in un tiro a segno,un certonumerodi piombinicon una il bersaglio, noteremo carabina e successivamente esaminiamo che: F la maggiorpartedei fori si addensain una certazona (R) abbastanzapiccoladi centroC; il centroC di questazonaè spostatorispettoil centrodel bersaglio; gli scostamenti di tuttii fori rispettoal centroC sonodistribuiti in modoabbastanza uniforme; F i grossiscostamenti, rispettoal centroC, sonorari(A e B). Possiamo concludere che: F esistonoerrori che comportanouno spostamentodella rosa di tiro in modo (owero che agiscesu ogni tiro). Ad esempiose si utilizzauna sistematico carabinacon la canna storta, I'operatoremira nel modo correttoma i colpi risultano tuttispostati. Talierroriprendono il nomedi sistematici; F i piccolierrorisonoinevitabili ed hannounadistribuzione deltuttocasualeattorno al centrodellarosa.Possonoesserecausati,ad esempio,dal tremoliodel tiratore. Talierrorisi definiscono accidentali; gli grossa ) erroridi entitàovverosono rari.Possonodipendere, ad esempio,da effettivi erroridi mirao da unoscorretto Essiprendono il nome usodellacarabina. di errorigrossolani. Glierrorisistematici sonocausatiessenzialmente da srettifiche strumentali. La naturadi questierrorifa sì che possanoinfluiresulle misuresemprecon una determinata legge,ma presentarsi convalorie segnidiversia secondadellecondizioni operativenellequalivieneeseguitala misura.Durantelo studiodeglistrumentie dei (ad esempio: metodioperatividi misurasarannoevidenziati varitipi di errorisistematici errori residuidi inclinazione nel teodolite,ecc.) e gli opportuni e di collimazione perla loroeliminazione. accorgimenti operativi possonoessere ln particolare le stradeseguiteper l'eliminazione deglierrorisistematici cosìsintetizzale: F si eseguela taraturae la rettificadeglistrumentidi misuracon una precisione decisamente superiore a quellaoperativa; D si adottano delleprocedure operative cheli eliminino automaticamente; F si rendonovariabili in valoree segnoin modoche mediando i risultati dellemisure, si "autocompensino". Ad esempio,nella misura degli angoli azimutali,per I'erroreresiduodiverticalità eliminare si rimettepiùvoltein stazioneil teodolite.

Fig.4.3- Eliminazione deglierrorisistematici

t4l

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Gli errorigrossolani sonoi più banalianchese spessosonoi più difficilida individuare. la lorocausarisiedeessenzialmente in distrazioni Si parladi errorigrossolaniquando dell'operatore oppurein usononcorrettodellostrumento di misura. Solitamentequesti errori sono di entità notevoleper cui è sufficientesottoporrea periodiche verifiche i risultati di misuraperpoterlievidenziare e dunqueeliminare. generalmente In topografia e in fotogrammetria si adottanoschemidi misuratali da consentire un sistematico controllodellemisureeseguite(ad esempiodi un triangolo, invecedi misuraresolo due angolie determinare il terzocome supplementare della sommadei due misurati,si misuranotutti e tre gli angolie si controllache la loro geometrica la condizione notaa priori). sommarispetti, a menodi erroriaccidentali,

s+B*1=n

Fig.4.4- Individuazione deglierrorigrossolani Quandonon è possibileadottareuno schemadi controllo,si ricorrealla ripetizione indipendenfe dellemisure(es.:poligonale apertadi tracciamento di unagalleria). Sia gli errori grossolaniche quelli sistematici devonocomunqueessereeliminati primadi unaqualsiasi elaborazione deirisultati dellemisure. dall'operatore una grandezza,eliminandocioè gli eventualierrori Quandosi misuracorrettamente grossolani i seguenti fenomeni: la ripetizione dellastessaevidenzia e sistematici, F i risultati in modocasuale; dellamisuracambiano È le differenzesonopiccolerispettoallaprecisione e lo scartomassimo strumentale è tantopiù piccoloquantopiù è accuratala metodologia di misuraadottata; F se le ripetizioni sonoin numeromoltoelevato,si notache il rapporto tra il numero di volte in cui ogni valoresi è presentatoe il numerototaledi misure(frequenza relativa)tendea stabilizzarsi. intendendo In questocasosi diceche la misuraè affettada un erroreaccidentale, con di unaserienondefinitadi causeche provocano errorisullemisure taletermineI'effetto nonprevedibili a priorie di limitata entità. punto problema qualesarà,tra tuttii valoriottenuti, questo il A consisteneldeterminare quelloda utilizzarein fase di calcolo.La scienzache studiaquestifenomeniè la statisticamatematica. Possiamodefinirela statisticacome la scienzache tenta di descriverecon certezza l'incertezza. ma si possonocontrollare soloin modostatistico. Questierrorinonsonoeliminabili Le misure dirette condizionatesono misuredirettelegatefra loro da un legame funzionale;ad esempiola misuradirettadi tre angolidi un triangolopiano deve verificare la legge:a+ B + y = v

142

Y

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4.2. LE MISUREINDIRETTE La misuraindiretta di unagrandezza è definitada un legamefunzionale che legatale grandezzaad altre grandezzemisurabilidirettamente. In questocontestoil legame funzionale lo strumento costituisce di misuradellagrandezza in oggetto. L'equazione misuratedirettamente che legagrandezzeincognitea grandezze si chiama equazione allemisure. Ad esempio,nel triangoloABC se misuriamo il lato a e gli angolicr e B, direttamente possiamoricavarela misuraindirettadel latob tramitela relazione:

6=-J-rinB sma

Fig.4.5- misurare indirettamente b La misuraindirettasimultaneadi più grandezze è realizzabile attraversoun sistemadi equazioniche leganole grandezzemisurabili direttamente alle grandezzeincogniteda poligonali, ricavareindirettamente. Ad esempionelleretitopografiche di triangolazione, intersezioni si misuranodirettamente angolie distanzee si ricavanoindirettamente le coordinate deiverticidellarete. 4.3. IL PROBLEMADELLASTIMA Abbiamodettoche ognioperazione di misuradi unagrandezza fisica,purchéaffetta da soli erroriaccidentali lo stessoordinedi grandezza, aventimediamente equivale all'estrazione casualeda unadensitàdi probabilità normaleo gaussiana. Inoltreabbiamovisto che per definirein modo completouna qualsiasidistribuzione normaleoccorredeterminare il valoredei due parametridi mediae di varianza.È evidenteI'impossibilità di definireivaloriteoricidelleduestatistiche in quantosarebbero richiesteinfinitemisurazioni. L'unicastradapercorribile è quelladi definiredei metodi prossimia quelliteoricicon il che consentano di giungerea dei valoriil più possibile minorsforzopossibile. D'orain avantidefiniremo: F stima il valorenumerico cheassoceremo a m e 6, F stimatorela relazioneanalitica, funzionedi un campionelimitatodi estrazioni casuali, checonsente di definirela stima. Partiamodall'assunto che per ogni grandezza esistaun uniconumeroche ne esprime la misuravera,e che le fluttuazioni risultati dei sianodovutiad erroriaccidentalipresenti in manieraimprevedibile in ognioperazione di misura.Tecnichedi misurapiù raffinate ridurregli errorientrolimitisemprepiù strettiondeawicinarsisempredi più dovrebbero idealedi biunivocità allasituazione fra grandezza e misura.Nellapraticaoperativaad ogni grandezzacorrisponde sempreuna molteplicità di valorileggermente diversitra loro. Occorrerisolvereil problemadi comecombinarequestirisultatiin mododa ricavareun unicovaloreche sia il piùvicinoallamisuraverae la suaattendibilità. ll risultato di una singolaoperazione di misuraè un eventoaleatorio, che si può configurare come una estrazione a casodallapopolazione di misurepossibili.

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Capitolo4 IL TRATTAMENTO STATISTICO DELLEMISURE

Misurareuna grandezzaequivalea definirei parametri(media e varianza)della distribuzione delle misurepossibilisulla base di un certo numero,moltolimitato,di misureripetute.Si stabiliscecosì una relazionebiunivocafra la grandezzae la distribuzione dellemisurepossibili. Misurare direttamenteuna grandezzasignifica quindi individuareil modello matematico (la distribuzione) che la rappresentaadeguatamentee stimare i parametridella popolazione(mediae varianza). 4.4. PROPRIETA DEGLISTIMATORI per stimarei parametri moltiprocedimenti Si possonoinventare di una distribuzione peri dueparametri In particolare m e é chedefiniscono di probabilità. unadistribuzione gaussiana, qualunquefunzionedel campioneestrattoXl, X2,..., Xnpuò forniredelle il procedimento stime.Genericamente di stima dei parametridi una distribuzione normalesaràindicatonelseguente modo: m = h ( x r , x r , . . . , x),

-

o - = g ( 4 , x 2 , . . . , x ,)

t1l

i genericistimatori. dovele funzionih e g rappresentano occorrescegliere Owiamentetra tuttele possibilistimedei parametridellapopolazione i valorida ulilizzare seguendoalcunicriterilogici. quindidelleproprietà Si stabiliscono cui le stimegeneratedaglistimatorih e g devono soddisfare. Unabuonastimadeveessere: D consistente D non affettada erroresistematico Y efficiente del numeron di elementi Una stima si dice consistentese al tendereall'infinito parametro il campioneutilizzato costituenti tendeal valoreteoricodel stimato. le [1] si può notareche ogni stimaè una quantitàaleatoriain quanto Osservando dipendeda un campionealeatorio(ossiaogni campionedi n elementiconsentedi deglin valori ottenereun diversovaloredellastimadelparametro). Quindiognifunzione popolazione n delle stime da campionidi elementi,ovvero una estrattidefinisceuna variabile casuale. Perle distribuzioni dellestimesi potranno definire, analogamente a quantoawieneper variabile la mediae la varianza. unaqualsiasi casuale, Una stima si dice non affetta da errore sistematicose la mediadella popolazione da cuisonoestrattii campioni. dellestimecoincideconla mediadellapopolazione Una stima si dice efficiente se, rispettoa tutte le possibilistime del parametro,la popolazione ha la varianzaminima. cui appartiene DI MASSIMAVEROSIMIGLIANZA 4.5. IL PRINCIPIO La ricerca del modello matematico che rappresentaadeguatamenteuna partireda risultati devenecessariamente sperimentali. distribuzione di misurepossibili Questaindagineportaad affermareche la distribuzionegaussianasi prestabene a Ad una leggedi distribuzione rappresentare di tipo una popolazione di misurepossibili. prodursi gaussiano teoricabasatasullaipotesiche il delle conduceancheunaindagine fluttuazioni accidentali di misurasia dovutoal sommarsidi numerosipiccolieffetti qualsiasi. ognunodeiqualiha unadistribuzione aleatori, 144

Y

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Capitolo4 IL TRATTAMENTO DELLEMISURE STATISTICO

La stimadei parametri in funzionedeivaloridi un campione delladistribuzione, estratto principi quali quello a caso,awieneattraverso I'applicazione di assiomatici, unodei è di massima verosi mig Iianza. Consideriamo unadistribuzione teoricaf(x/dipendente 0, da rparametri& , 02,'...... Consideriamo una ennuplaxt , x2,'......Xndi individui estrattia casodalladistribuzione teorica.La densitàdi probabilità di questadistribuzione sarà: P ( x . , , x 2 ; . . . . . x n / e 1 , e 2 , -f. .(.*..e, ,)f )(=* r )

f (",)

t21

Per una determinata seriedi valoriXl , X2,"..."Xnla densitàdi probabilità Passumerà vaforidiversia secondadei valoridei parametri& , 02,.......d,'considerati. Maggiore verosimiglianza hannoquellestimedei parametriù , 02 ,'......0, che o plausibilità rendonomassimala P. gaussiana. Applichiamo il principio di massima verosimiglianza ad unadistribuzione gaussianasono la mediam e la varianza I parametrida stimareper una distribuzione o'.

gaussiana Fig.a.6- Distribuzione La probabilità di estrazione legataal singoloindividuo xrdellaennupladi valoriestrattia casoXr, X2,.'.....x, dalladistribuzione teoricasarà:dp,= 7lx,)clx La probabilità di uscitadell'interocampioneX1,X2,.."..-xn si ottieneapplicandoil teoremadelleprobabilità composte: .. ap = f (x.,). f (*,) 7Q^lrax") Le /(x,) dipendono incogniti dai parametri di mediae di varianza.Alvariaredi questi parametri, varierannoanchele /(x,) e quindila dP. L'applicazione del principiodi massimaverosimiglianza ci faràassumere comemigliorestima(stimapiù plausibile) di m e o'quellacherenderàmassimala dP. Se la /(x,) ,comeipotizzato, è unagaussiana avremo: '1

.f(..,)

-k'-^)2

e

'o'

42no'

la probabilitàdi uscitadell'interocampioneXl,X2,..'.".x,sarà: 1

-

'^-I

(r,-. 2 c 2 ' / L t"^')i't

x n/ m , o ' ) = / ( r , ) . f ( r r ) . . . . f ( * , ) = , - - l - , '\2no' ) che diventamassimaquandoè minimoI'esponente dell'esponenziale e owero quandor PG,,r,

(x,- ml' = min -1t 2o'A' ' 145

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che per /

Capitolo4 IL TRATTAMENTO DELLEMISURE STATISTICO

= costdntediventa'i{r, -*)'=min

che rappresentan PHNC|P\O DEt

l=l

MINIMIQUADRATI. Se la f(x) è una distribuzionegaussiana,il principio di massima verosimiglianza conduceal principiodei minimi quadratie la diretta applicazionedi questo principio portaalladeterminazione dellastimapiùplausibile delparametro media: _!_

.

)(",

- mf = min

t3l

4.6. MISUREDIRETTEDI UGUALEPRECISIONE Per trovare uno stimatoredella media applichiamoil principiodi massima perqualevaloredi z (mediastimata) verosimiglianza la [3]determiniamo e, ricordando taleequazione assumeilvaloreminimo. _lt- .

rispetto m ed uguagliando all'incognita a zerola derivata: l(^,- ^)' = mine derivando )nn

-21(x,-m)=o (x, ' ,n)'= ' , - , +I dm -,o'

ún

Ir,- mL=o

I " , n m= O da cui la stimapiù plausibile del parametromedia(la stimadel parametromediaè soprasegnataperdistinguerla dalvaloreteorico): l=l

I=l

\-

L ^,

m=>

t4]

i =1

n

Dobbiamoverificarese la stima della media ottenutaattraversol'applicazione del principio dei minimiquadrati è unabuonastimao meno. Estrarredallavariabile casualeXl'ennupladi valoriX1, X2,.......Xn e poi farnela media variabile equivalea calcolareun individuodi una nuova casualechiamata aritmetica dellemedie(vediFig4.7): xl

+

,t2 f

.. . . f ,

Fig.a"7- Calcolodellamediaaritmetica di unaennupla Ripetendoinfinitevolte questa operazione,generiamoinfinitivalori , e quindi, la distribuzione implicitamente, costruiamo dellemediechesarànormalecomequelladi partenza:

t46

LÉ

T G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Capitolo4 IL TRATTAMENTOSTATISTICODELLE MISURE

distribuzione dellemedie

x,

xt x3i X, X2 m

Fig.4.8 - Costruzione delladistribuzione dellemedie Perverificare la bontào menodellastimadellamedia,ottenutaattraverso I'applicazione del principio dei minimiquadrati, il valoredellamediateoricadella dobbiamo calcolare distribuzione dellemedie(popolazione dellestime). questa Ciascunvaloredi distribuzione è stato ricavatocome mediaaritmeticadi una (xr,xz,..'xn) campione di individui dalladistribuzione X(vedi[a]): estratti originale il

sr )r "i L ì=1

x1+ x2*....x,

ITI

n

=

xl

----l-!

x 'z

r....-j-

tsl

x

nnn

possiamoipotizzaredi ripetereinfinitevolte questaoperazionedi estrazionedi un il valoremediorr;a primoe a secondomembro campioneX1,X2,--'.X, e di calcolarne quindi della[5]costruiremo dellevariabili casuali. La relazione tra m è X1,X2,...x, saràquindiunarelazione tra variabili casualiindipendenti le regolevisteprima(vedi[33]e [37]del Cap.3), di tipo normalee quindi,applicando il valoredellamediateoricadelladistribuzione saràpossibile calcolare dellemedieche staa primomembro. I'operatoreM[a] con il significatodi "calcoloil valoredella mediateorica Utilizzando delladistribuzione a": lll

M[rn]=t M[x,]+- M[x2]+--.-....M[x,] nnn Osservando che: per primi"dalladistribuzione F la distribuzione xr è costituita da infinitivalori"estratti = quindi X e avrà mediateorica tn a varianzao2 ) la distribuzionexz è costituitada infiniti valori "estrattiper secondi"dalla distribuzion e X e avràquindimediateorica= tn è varianzao' F la distribuzione x, è costituita da infinitivalori"estrattiper ultimi"dalladistribuzione = quindi X e avrà mediateorica tn e varianzao2 Si ottiene: lll

M[m1=tnxm=!m+-m+ rn=tn t6] nnn La media teorica della distribuzione delle medie coincide con la media teorica della distribuzioneorigine e quindi la stima non è affetta da errore sistematico.

147

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Capitolo4 ILTRATTAMENTO STATISTICO DELLEMISURE

Per quantoriguardala determinazione della varianzaoi della distribuzione delle medie,partendodalla[5] e applicando semprele regoledellacombinazione di variabili casualiindipendenti di tiponormale( vedi[33]e [37]delCap.3),avremo:

o" ''n= -' nIt not 'n* 1 o ' + . . . .... \ o ' = o '

t7l

In base alle definizioni date prima,possiamodire quindiche la stima rn è anche efficiente.In altre paroleI'effettuare n osservazioni di una stessagrandezza, owero I'effettuare n estrazionida una distribuzione di varianzaé, e costruirela media aritmetica del campio ne m = à

t' equivale ad eseguireun'unicaosservazione da una

(distribuzione distribuzione OeltLmeOie)che ha la stessamediateorica(m) e una a

varianzanvoltepiù piccolalal. n

ll significato pratico di quanto dimostratoè che per misurarecorrettamenteuna grandezza(es: distanza,angolo,ecc...)è necessarioripeterepiù volte la misura e assumere come valore della grandezzaquello espresso dalla media aritmetica dellemisureeseguite. La stimadellavarianzadelladistribuzione originale, sempree solamentein base al campioneestrattoX1,X2,...-Xn, è inveceaffettada erroresistematico. Infatti,secondola definizione datala varianzavale: s2= Ik, - ^)' f , = lf(r, -;Y -' nA' ' e sommandoe sottraendo il valoreteoricoOettameOía:

,' =li ki - ffi* * -;)' =l i {,,- *)' +1I (,,-;)' * ?tG, - ù(s- *) nf, nfi nfi n?,

- *)'*(*- *)'*?f{r,- *\* - *) ,' =li{", rtl nl atl

:i(", -*)0"-^) vate: il termine na

-*)=|{*-;)lf ,,- r m l = a \ ^ - ^ ) . V * - n m ) = i6-^E(x, \

)

=-2(*-*)'e

,' =

];{",

'l

,

-\

/ -

\

n'

quindi:

- *)' *(* - ^)' - 2Qn - m)'=

IZt", a n c hceo m e : ,=' 1 i { r , - * ) ' - ! > ( ^ - ; ) ' nfi

- *)' -(^-;)' chepuòessere scritta

fi t|

I terminia secondomembrodella precedente espressione sono pari, secondole definizioni date,rispettivamente allavarianzadelladistribuzione originaleot e a quella -1 n delladistribuzione dellamediao,] e quindi:sz= o' -o' - oz La distribuzione dellevarianzeé non coinciOe quilOicon fiuettadelladistribuzione originaleé e pertantola stimaè affettada erroresistematico. Per ottenereuna stima non affettada tale erroresaràsufficiente moltiplicare tuttigli individuidel campioneper

148

Y

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il terminecorrettivoJ

n-l

Capitolo4 IL TRATTAMENTOSTATISTICODELLE MISURE

originalesarà , La stimadellavarianzadelladistribuzione

quindi:

iC _;Y n 1ilr, -^Y =/L\ i-r,l o'= ' n-1 nA'

t8]

n-1

La stimadellavarianzadelladistribuzione dellemedie,a partiredal campioneestratto X1,X2,....X s anf,à q u i n d i : -2

-2 fG -;Y o =,' --

n

tel

nln -1)

Misuraredirettamente una grandezza significaquindi: F eseguiren osservazioni x1,x2,....x, i calcolarela mediaaritmeticarr F calcolare la varianzadelladistribuzione dellemedieói, La misuradellagrandezzasí esprímerà come: m +6-

[10]

ll segno+ non ha alcunparticolare sta soload indicareche il numeroche significato, quadratico lo segueè scarto mediodelladistribuzione da cui è statoestrattorn. Perquantovistoin precedenza la probabilità totaledeivaloricompresitra: ii-6,,, e fr +6. è del 68% -26_ n e m +2o_^ è del 95% -36,,, m e -n+36,, è praticamentedel lOOo/" L'intervallot3o. rappresentaquindi la massim a variazionepossibiledei valori * ottenutifacendola mediaaritmeticadi n misure.La massimavariazionedi una sola misurax; è invece pari a t3o ; si può quindi assumerecome affetta da errore grossolano quellamisurachedifferisce dallamedia^ perpiùdi t 3-. fl vantaggiodi eseguiren misuree di calcolarela mediaaritmetica7 si concretizza nelladiminuzione di J; voltedell'intervallo dellemisure;questoaumentodi di variabilità precisionenon può però esseremoltospintoperchéil beneficiocrescecon la radice quadratadel numerodi ripetizione delle misure.Per ridurrealla metà il campo di variabilità bastano4 misure,mentreper ridurlodi 1/3 ne occorrono9 e cosìvia. Se si è eseguitaun'unícamisuradi una grandezzaè dísponibileun solo valoreche rappresenta la stimadellamedia;non si ha alcunmododi verificare se tale valoreè affettoda erroregrossolano. Comevaloreo delladistribuzione da cui è statoestrattala misura,convieneassumere quellodellaprecisionestrumentale caratteristico dellostrumentodi misura. Anche quando si eseguonomisurecon strumentidi bassa precisioneconviene associareal valorerappresentativo dellamisuraun 7 pari alla precisionestrumentale perché,probabilmente, la ripetizione dellamisuradarebbeun valoreugualea quello precedente e sarebbeerratoattribuire allamisuraunoscartoquadratico medionullo. 149

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Caoitolo4 IL TRATTAMENTO STATISTICO DELLEMISURE

Esempiosvolto di misurae di calcolodi una grandezzatopografica. Un angoloazimutaleè statomisurato5 voltee si sonoottenutii seguentivalori: g

54s,6542 54r,6592 54s,6539

54s,6547 54c.6544 misure 54,6542 54,6592 54,6539: 54,6547 54,6544 E= m-3o= trl = m + 3o= o= om=

scarti scarti2 -0,0011 0,00000117 0,0039 0,00001537 -010014 . 0,00000190 -0.0006 0,00000034 -O,0OOg0,00000077 0,0000 0,00001955

54,6486 54,6553 54,6619 0,00221' 0,00099

ll topografo"pocoesperto"che guardai risultatidel calcolosenzaspiritocriticoe si le formule,direbbeche il valoredell'angolo misurato limitaesclusivamente ad applicare è paria 54s,6553t 0,00099cioè a : m! o.. gli scartidellemisurerispettoalla media,notiamoche almenouno di Se esaminiamo essiè anomalorispettoa tuttigli altri(scarto= 0,0039). il nuovo Proviamo la misurache provocaquelloscartoe calcoliamo alloraad eliminare v a l o r ed e l lame d i ae d e l l os.q .m. misure scarti scarti2 54,6542 -0,0001 0,00000001

X,= m-30= lll = m+3o= oom=

54,6s3e -0,000; 0,0000001; 54,6547 0,0004 0,00000016 54,6544 0,0001 0,00000001 0,0000 0,00000034 54,6533 54,6543 54,6553 0,00034 0,00017

nonrientranell'intervallo m-3o ...m+3o , ed Verifichiamo cosìche il valore54,son6592, quindi grossolano giustamente da considerare affettoda errore e eliminabile. è ll valore angolarecorretto,risultantedalle misure effettuate,sarà quindi pari a: f 0,00017 S ,oonUUOt ll metododi calcoloe di verificadei risultatiappenaproposto,non risolvein maniera la ricercadeglierrorigrossolani in una seriedi misure,vuolesoltantoattirare esaustiva i risultati. I'attenzione di verificare criticamente del lettoresullanecessità questoproblemain modorigoroso,ma Esistonodiversiteststatistici che affrontano di questocorso. esulanodagliargomenti r50

Y

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Capitolo4 IL TRATTAMENTOSTATISTICODELLE MISURE

4.7. MISUREDIRETTEDI DIVERSAPRECISIONE (peresempioun angoloazimutale) Se una grandezza vienemisuratapiù voltecon strumenti aventidiversaprecisione di misurao in condizioni operative differenti, non è possibilericavareil valorepiù rappresentativo dellagrandezzafacendo semplicemente (vediFigura4.9) avranno la mediaaritmetica dellemisureeseguite. Le n distribuzioni la stessa grandezza,ma tutte la stessa media teorica m in quanto rappresentano avrannovarianzaof diversaperchédi precisione diversa.

{Jr m

*(}, m (,-. J]

(},'

m

Fig.4.9-Misuradi una grandezzafatta con strumentidi diversaprecisione Da ciascunadistribuzione vieneestrattoun individuoO (misura)e quindi,avremoa il disposizionecampione01, 02,.....Or. Ciascunvalore Oi può essere consideratocome singolo individuoestrattodalla distribuzione di misurepossibili o, a sua volta,comevaloremediodi un certonumero misureeseguitecon la stessadistribuzione. CiascunvaloreQ rappresenta una stima dellamediateoricam, comunea tuttele distribuzioni, ma è evidenteche se la stima della media teorica m viene fatta sulla base di tutti gli Oi si otterràun valore più attendibile. La probabilità di estrazione del singoloindividuo Oidallarelativa distribuzione è datada: (o,, ^)' . J

[ 11 ]

zoi-

CiascunindividuoO si può anchepensarecome risultatodella mediadi pi individui estratti da unadistribuzione aventela stessamediateoricam dellesingoledistribuzioni e varianzapari a of a cuisi dà il nomedi varianzadell'unitàdi peso;essa rappresenta lavarianzadi unadistribuzione a cui è statoarbitrariamente attribuitoun pesounitario. oo2

4 P'-e

tî

ot2

t\, * Fig.4.10- Estrazione dalladistribuzione originale e dalladistribuzione dellemedie Estrarreun individuo(Or)dalladistribuzione che ha varianzaoy2equivale ad estrarrep1 individui dalladistribuzione di varianzaos2efarnepoila media. Mediantei pesi, tutte le distribuzioni vengonoriferitealla distribuzioneoe2di peso I pesidellesingolemisureOi sarannoi seguenti, o2oin mododel unitario. assumendo tuttoarbitrario. l5l

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Capitolo4 IL TRATTAMENTOSTATISTICODELLE MISURE

o:

o: o: . o: P r= -- . P t: ----; P t= ___1.. P i= _i ol'6;'' o; o:

112j

La probabílità di estrazionedel singoloindividuo che ha varianza O dalladistribuzione oo2è dataquindida:

( ' l -t ' ' t 2 r- {",:

f (o ) = -+

.JZlfOo-

La probabilitàdi uscitadell'interocampioneOt,O2,......O, sarà dato, applicandoil teoremadefleprobabilitàcomposte,dal prodottodefleprobabilitàdi uscitadei singoli i n d i v i d u i:

V(O,O,,....On,m,ot) = @ffi):,

[13]

Qualunque sia il valoredi os2il massimo di Vsi avràquandoI'esponente di e sarà .tminimo:\ n,(o,- ,n)'= min. ll minimodellafunzione x si ottienederivando la funzione i=t

stessae uguagliando a zero:

ain,(o,-*)'

-rEp,(o,-*,,):o

-0

ln,o,-*nLp,=o i=l

j=l

dnt

| ,,o,

m o =,-1t"-'= F Zo'

p , O , rp z o z + . . . . . p n o ,

[14J

P t +P z + " " ' P "

ll valorecosìottenutosi chiamamediaponderatadellen osservazioni 01, Oz,.....Ordi diversaprecisione. Se i pesi vengonomoltiplícati tutti per una stessa costante,il valore della media ponderatanoncambia.Si giustifica così^ilfattoche,se sononotele varianzeof si potrà assumerearbitrariamente il valoredi of per la definizione dei pesio, analogamente, se sononoti i pesi,questipotrannoesseremoltiplicati tuttiper unacostantearbitraria. Dobbiamoadessoverificarese la stima della media ponderataottenutaattraverso I'applicazione del principio di massima verosimiglianza è unabuonastima. I parametridi giudiziosulla bontà della stima che abbiamodefinitosono: la consistenza,I'efficienzae la verificache non sia affettada errore sistematico. Per fare questo dobbiamo costruire la distribuzionedelle medie ponderate immaginando di ripetereinfinitevolteI'estrazione del campioneo1, or,.....òndallen distribuzioni e costruendoogni volta un individuodella distribuiionéOettemedie ponderate. lndicandotra parentesiquadretuttigli individuidi unadistribuzione (infiniti)e stabilitoche la media (indicatacon la lettera/vf)degli infinitivalori estrattida una distribuzione è parial valoreteoricosi avrà:

ulo,]=Mlo,]=.... u[o,l=*

e quindila mediadelladistribuzione dellemedieponderate sarà: - ILp/ - t t .)+...'.p ,u [o,,] _+_=m - p ,Mfo ,f+p "tufo n o * [ ] "' Y" J 'r

Pr-tpz*""'pn

Tp /-)'i

152

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Capitolo4 IL TRATTAMENTOSTATISTICODELLE MISURE

Si dimostracosìche la stimadi moè consistente e nonè affettada erroresistematico. Perquantoriguardalavarianzadelladistribuzione dellemedieponderate, applicando le regole[35]e [37]delCap.3 sullacombinazione di variabili casuali: Pi"i

(,lt

(-

( ^ \'

\LP,)

\Lr, /

l$;lo:=;:--' \ LP,)

\' o;=l+:1";*lí;lo;+

r15l

| , I O ,l

Questostimatore,che si dimostraessere,.o ìiil"óre corretto,esaurisceil problema che ci siamopostinel casoin cui sianonotele varianzedellesingoleosservazioni che hannocontribuito allastimadellamediaponderata. Nelcasoin cui si conoscano soloi pesi,la relazioneche consentedi stimarelavarianzadellamediaponderatasi ricava dalla [15] sostituendoalle quantitàd I'equivalente espressionericavabiledalla relazione [12]percuisi ottiene:

I p,-63 " =úó or= r ,

t"

\ir

t

ff"l | .LYi

I

Zp, -

V

\Í

)

=*

o?

[16]

fir, l Lp, i=1

questanuovaespressione, Per poter utilizzare occorrestimarela quantitàoo2.Questo può esserefatto utilizzando il campionedi misureutilizzate per la stimadellamedia ponderata. Si notiche al variaredel campione varieràla stimadellavarianzadell'unità di peso, per cui quest'ultimaquantitàrisulta anch'essauna variabilealeatoria caratlerizzalada una determinatadistribuzione.Per trovare uno stimatoredella varianza dell'unitàdi peso utilizziamonuovamenteil principio di massima verosimiglianza. Conviene,in questo caso, utilizzareil logaritmodella funzionedi verosimiglianza definitadalla[13].Otteniamo:

l n v= f r n"(' pt . p z . ' . .p. , )- ! n z , - l n o l - l f , 0 , .\( or -, r ) ' " 2o;,1'' 2 2 2 Questafunzionerisultamassimaper quel valoredi o62che soddisfaalla seguente condizione: AhVnl'1 =-:---i* il do, 2o,

- rI p,(o,-rl)t =g 2oo ,=r

percuisostituendo allamediateorica,la mediaponderata stimataconla [1a]si ottiene:

+)

Lpt'vi

117l

6l = ,=r

n

La relazionesopra ricavataè uno stimatorenon correttoin quantoaffettoda errore sistematico. Si può dimostrareche, analogamente a quantoabbiamovisto nel caso dellastimadellavarianzadi una seriedi misuredirettedi ugualeprecisione, la media defla distribuzíone espressadalla[17] non coincídecon il valoreteoricodel parametro chevogliamo Applicando stimare. I'operatore Msi ottieneinfatti: r ^ r n"- 7 'o ( Ml6;l= n

Quindila migliorstimadellaquanlitàr oo2è ricavabile con la seguenteespressione: -r-

-,

L p ,' ' í

[18]

o"-- " " n-1 :-1

r53

4 CaPitolo IL TRATTAMENTO STATISTICO DELLEMISURE

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Esempiosvolto di calcolodi una mediaponderata: geometriche, il dislivello tra i puntiA e B è statomisurato con due lineedi livellazione quali per percorso unadelle Anaparia si è snodata un di 4 km ed ha fornitoil dislivello 18,3712m; l'alLra, eseguitalungoun percorsodiversocon sviluppopari a 9 km, ha f o r n i t ou n d i sl i ve l lpoa ria 1 8 ,3 6 3 m. 3

La precisionedelle due misureè diversain quantolo s.q.m.del dislivellocresce proporzionalmente alla radicequadratadella lunghezzadella livellazione(vedi par. 7.7.1)e quindiil dislivello Anarìonsaràparisemplicemente allamediaaritmetica delle d u em i s u re . quantodettosullemisuredirettedi diversaprecisione, Applicando avremo:

o,.,= kJ4 o,, = kJg

e quindi e quindi

o?= , k' '4 o?,= k' '9

Le varianzenonsononote,ma possonoesserecalcolati i pesi:

ol oÎ oZ 2o =l avremo: h= ,rzj e Pz=F S ePonend 11

e Pz= =0,1111 P',= 4=0,2500 n la mediaponderata saràquindi: .p,

m^-1 8 , 3 7 1 2p-t + 1 8 , 3 6 3 3

= 18,3688 m

Pt+ Pz

L'allievoverifichiche il risultatodel calcolodellamediaponderatanon cambiase si .'ì29-g

p o n " : * = 9 e q u i n dsi i u t i l i z z a ni poe s ip a r ia : , r = í = 2 , 2 5

e Pz=ó=1

"

sichieda

perché. ll calcolodellos.q.m.delladistribuzione dellemedieponderate le si calcolaapplicando r e l a z i o n[1i 6 ]e [1 8 ]: dislivello O;

sviluppol;

lml

[km]

pesip,

p.*Oi

v. =(O1- mp)

lr =

18,3712

4

2,2500 41,3352

l z= 2,-

18!3633

9

1,0000 18,3633 3,2500 59,6985

pi(Oi - mp)2

0,002 0,0000133 -0,005 0,0000299 -0,003 0,0000432

n

\- Lvi

oÍ =-L vi

n-l

.r,2

,

=0,0000432varianzadell'unità di peso(calcolata in baseagliscarti).

154

^b--

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA ^ <'ri

6;--

Capitolo4 IL TRATTAMENTO DELLEMISURE STATISTICO

= 0,0000133varianza dellamediaponderata.

Zp o p = 0 , 00 3 6 4 6 2s.q .m.d e l lme a diaponder ata. + 0,0036m ll dislivello saràdunqueparia: 18,3688 Altro esempiosvoltodi calcolodi una mediaponderata: vogliamointerpolare la quotadi un puntoS, utilizzando le quotedei punticircostanti A, B, C e D, disposti punto comein figurae distantidal S rispettivamente dr, dz,dse d+. Fra i tanticriteridi calcolopossibili,apparelogicodare maggiorpesoai puntiche sono più vicinia S e minorpesoper quellipiù lontani.Quelloche certamente è sbagliato è fareunasemplice mediaaritmetica dellequattroquotenote. Questoconcetto,tradottoin una relazioneanaliticasarà: p, =4= ol

A= B= c = D= r-

. quora

distanza da s

tml

tml

120,15 123,20 121,18 122,35

18,5 8,5 12,0 11,0

p€sof,r

Qi Pi

(Qi- mp)

0 , 0 5 4 0 5 46,494595 0,11764714,49412 0,0833331 0 , 0 9 8 3 3 0 , 0 9 0 9 0 91 1 , 1 2 2 7 3 0.34594442,20977

1 di

pi(Qi-mp)2

-1,86 1,19 -0,83 0,34

0,1877 0,1656 0,0579 0,0103 0,4215

La mediaponderatacheci forniràla quotacercatadel puntoS sarà: k

2Q,p, m, =Qs =-d-

=122,01nt

ZP, I o , @ -, * r ) ' o0=

n-1

^d:

6i. =*

=0,140506varianzadell'unità di peso(calcolata in baseagliscarti).

=0,406154varianza dellamediaponderata.

\Z' Pi

60.=0,6373s.q.m.dellamediaponderata. La quotadi S saràquindiparia: 122,01+0,64m

155

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Capitolo4 IL TRATTAMENTO STATISTICO DELLEMISURE

4.8. MISURAINDIRETTA DI UNAGRANDEZZA Consideriamo una grandezzaXe n grandezzeXr, X2,..., Xn tra le quali esistaun legamefunzionale deltipo:

Y = 7(x.,,xr,...x,)

ttgl

Le grandezzeXi possonoessere misuratedirettamentee quindi essere tra loro indipendenti; stocasticamente in questocaso ognunadi loro è rappresentata da una stimadellamediae dellavarianzache ha carallerizzato l'operazione dellaloromisura. Se invecele grandezzeXisonomisurateindirettamente esse risultanogeneralmente stocasticamente correlatee quindisono rappresentate dai valoristimatidellerispettive mediee da una matricedi varianza-covarianza delladistribuzione Xr, Xz, a n dimensioni "',Xr" otz

oln

oi

oz,

[20]

La relazione X comeuna variabilecasualei cui parametri [19]definiscela grandezza dipendonodai parametri delle distribuzionidi probabilitàdelle Xi. Misurare indirettamente la grandezza X significadunquedefinirela distribuzione delle misure possibili dellaX a partiredallevariabili casualiindipendenti le n misure che definiscono n diretteoppurela variabile dimensioni n variabili casualea dipendente dalle Xr, Xz,..., Xrchedefinisceglobalmente le misureindirettedi questegrandezze. ll problemaè facilmenterisolvibile con le nozionifino ad ora apprese,se il legame funzionalef è una combinazionelinearedelleXi. Infattiin questocaso la grandezzaX risultaespressa relazione: dallaseguente X = arX, -f arX, * ...* anXn

l21l

e ricordandoquantodetto a propositodei sistemidi variabilicasuali,la stima della mediadi X nel caso in cui le grandezzeX sianostocastimente indipendenti, risulta relazione: essereespressa dallaseguente X . = a r X r - * a r X r ^ ! . . . * a , , X, , ^

l22l

e lavarianza: o" = o?ol+ alol +...+a,',ol

[23]

la stimadellamediacoincidecon quelladeterminata Se le variabiliX sonocorrelate, dalla1221,mentrela stima della varianzaviene calcolatacon la seguenterelazione (omettiamo la dimostrazione) : o t *= a ? o ?+ a l o l + . . . + a l o l + Z a r a r o r r + 2 a r a r o r r + . . . + 2 a r a n o r n + 2 a 2 a 3 o 2 3 + . . . + ?41 + 2ara,,or,,+ ...+ 2ar,,_rra,6 (,_r),

Generalizzandosenza fare nessuna ipotesi sulla forma del legame funzionalef, proviamo a ragionare nelmodoseguente.

156

b---.

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Capitolo4 IL TRATTAMENTO STATISTICO DELLEMISURE

Sia Or, Oz,..,On un campione estratto da ciascuna delledistribuzioni di misurepossibili di X1,X2,...,Xr. Ognivaloreolè il risultato di un'estrazione casualedalledistribuzioni di medialeoricaXi*.

Xr.

il1

Xnt

F i g .4 .11-Estr azione delcampione le Oi nelseguente esprimere modo: Quindiè possibile Or=Xr.+v,

Or=Xr^+v,

[25]

On=X,,^+vn

piccolida poter consideraretrascurabilii loro Se gli scarti v; sorìo sufficientemente quadrati,possiamolinearizzare la [19]in uno sviluppoin seriedi Taylorattornoal punto definito dallemedieteoricheXi,. Risulta: f ( o , o r , . . . , o , , )f=( x r ^r v , , x r . * v 2 , . . . , x ,+, ^v , , ) = [26]

=f (x,,,x2.,...,x,,)*(#)^yr *....(*)_r,,

Ripetendo infinitevolteI'estrazione del campioneOr, 02,..,O,insiemecon le operazioni primadescritte,costruiamo le distribuzioni a primoe a secondomembrodella[26]. quindi Applichiamo I'operatore Malledistribuzioni cosìcostr?,": .

u lf (o,.o2..... o,,)- -[(X,^. x 2n,..... x,,^)l=l ...+| 4- | mlr,,l ' \ i l ,+ ) ^ I Mlr,l+ \dX,,).

La mediadelladistribuzione al primomembroè nullain quantoil secondomembroè una combinazione di variabiliscartoche per definizione sono distribuzioni a media teoricanullae quindi: M[f(Or,Oz,...,Or)]: f(Xr^,Xzr,...,Xrr) perchégli infinitivaloriteoricif(X1p,X2,n,....Xrr) sonotuttiugualitra loro Ogni ennuplaOt, O2,..,O, estrattaè una stima di X=f(Or,Oz,.....Or). Le infinite generano ennuplette la distribuzione dellaXche avràmediateoricaX,n:

x ^ = f ( x , . .x r . . . . . . x , ^ )

l27l

nell'ipotesi Concludendo, chegli scartiyisianopiccoliin modotaleda poterconsiderare ininfluenti i terminidi ordinesuperiore al primo(questoè verose i valoriOiderivanoda una operazione di stima correttadelle mediedelle distribuzioni X), la mediadella grandezzaX può esserestimataintroducendo nellal27l le stimedelle mediedelle distribuzioni X. t_\

X - = f lXm,Xz^,...,X ,^)

[28] t57

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

ILrRArrAM ENrosrArstco or,_rffiîJiifiÉ

Perla stimadellavarianzadellaXricordandoche:

o'r=u[{f(o,,o.r,..., ou)- f (xr,,x 2,,,..., =lf +l x,^)}r]

l \ d x ,, r ml

u[,,]+ .(#).rb.+

otteniamo, nel caso.incui le grandezzeXlsianoincorrelate, la seguenteespressione per la stimadellavarianzadellà grandezza X

af\'_,_ ( o- ,í _=(l - ! - | . o - ri -r l d a r ,f) \^' '_o2; + " ' * l.*( , )a.\' '" , il,).

,

[29]

Nel caso in cui le grandezzeXisianocorrelate,la [29] assumela formufazíone più generale:

g-)' .o,+ 2r(!-\ ( ar) ^ =(*l' "' -.(+)' -o; -, + .( "" "o lx,). oi ( ù,)^ l*,).'o;+ràlrr_)14)",

[30]

tzsl e [30]sonoespressioni dellacosiddettaleggedi propagazionedelle varianze. l-epratica In anchein questocasosarannodisponibN.iàro úellest'íme. non-;" grandezze teoríche.

158

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Capitolo4 IL TRATTAMENTO STATISTICO DELLEMISURE

Esempiosvolto di calcolodi una misura indirettadi una grandezza. Di un triangolosonostatimisuratii latia, b e I'angolotra essicompresoT.

Le misureeseguite hannofornitoi seguenti risultati: + = a 1 5 0 0 0 . 0 3m b = 1 6 00+ 0 .0 7m + 0s,001 y = 54s,796 118 (o anche+ 0'ud,000018535) la superficie Calcolare deltriangolo e il relativo medio: scartoquadratico j = l a Ur" n -y= g g 9 .9 8 5 ,1m2 5 2 -2

lòf l'-,

os=l_

\Òa

larl'

lo,+l;-l

).

\Òb ),,

l6/l'

Tl:-l

\Òf i_

- (fb, ,s " r

Tl'-,

, ( a s e nT l ' - - r ( a o

,"'-(.

2 )"'[

c o s7 \ '

2

J

= 3 3 1, 12+ 1 .5 8 4 ,9+8 2 1 0 ,2 2= 2.126,44 m ae quindi: = + = +46.1 6, 1m2 ^[2:l 26,44 la superficie deltriangolo + 46,11m2 saràdataquindida: S = 909.985,15 Calcolare il valoredel lato"C'e il relativo scartoquadratico medio: e = , , { i \-o '-z-o o ,^ 7 = 1 .2 9 6 ,52 m

-,(au'"'1)'-, (u -al:ost\' =(a-6:n'tl'6,' ;: =lgl' ': .(Yl' oî* lgl' G?, * ' "\. a

a \òal. \òbl. \òyi_ \ ) [ ,/ = 0,0001 = 1181+ 0,001128409+ 0,0006769480,001917m2 6 . = 1 J 0 0 0 1 9 1 7= + 0 , 0 4 3 m il terzolatoc incognito saràquindiparia: c = 1296.52+ 0.043m

c

)

r59

Capitolo4 DELLEMISURE STATISTICO IL TRATTAMENTO

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Altro esempiosvolto di misuradirettae indirettadi grandezze: Abbiamomisuratouna resistenzaR1 sei volteottenendoi valoriespressiin ohm (A) sottoriportati.Calcolareil valoreche esprimela Rr. le stessegrandezze. Rze calcoliamo Facciamoaltrettanto con unasecondaresistenza principi misure di ugualeprecisione: i illustrati in sulle dirette 3.4.3 Si devonoapplicare sr)

L"'

Y.

E' =

n

resistenza scarti (xi-m) Rl 50,12 50,23 50,09 50,14 50,21 50,17 n " individui media L oRr OmRt

-0,04 0,o7 -0,o7 -0,02 0,05 0,01

2 scarti (x-m)'

50,16 0,00

o,o22

n

-z

0,0144

^

-\r

\-'

,t lx,-mf

Lt'

o "* __ì__;G_r)

n-1

2 resistenza scarti scarti (x,-m) , (x-m)t R2

0,0016 0,0049 0,0049 0,0004 0,0025 0,0001

o

0,054

-rF ik, t=t

n " individui media t onz OmR2

75,12 75,08 75,05 75,15 75,20 75,18 6 75,13

-0,01 0,0001 -0,05 0,0025 -0,08: 0,0064 0,02 0,0004 0,07 0,0049 0,05 0,0025 . 0,00

0,0168

0,058 0,024

I valoricercatisarannoquindi: R1= 50.16t 0.022O

R2= 75.13t 0.024O

possiamo il valoredellaresistenza calcolare in seriele due resistenze Se colleghiamo quantovistoin 3.1.7sullacombinazione di variabilicasuali risultante Rtotur" applicando i n d i p e n d e n ti : R , o , o=t R " t + R , = 5 0 ' 1 6 + 7 5 ' 1 3= 1 2 5 ' 2 9O : o?, + 6tr, = 0'0222+ 0'0242: 0,00106 6?,uur" la Rr e la Rzin seriesaràquindidatada: La resistenza ottenutamettendo Rtot"l"= 125.29t 0.032O

160

L-..

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Caoitolo4 IL TRATTAMENTO DELLEMISURE STATISTICO

potremocalcolare le dueresistenze in parallelo Se colleghiamo il valoredellaresistenza risultante Rtot"t" con la relazione: n,o,o,"=t#. La relazione tra le variabilicasualiche rappresentano la R1 e la R2 non è più linearee quindibisogneràapplicarequanto illustratoin 4.8 sulla misuraindirettadi una grandezza,nell'ipotesi che le grandezze sianotra di loroincorrelate:

x. =fF,^,Vr^,...,V,,) R,,,"=ft? =3o,o8o R1+R2

(òr\'

(Ì'" = .lft \l\d^r/.l#").";. )."î

/lar)' , ox =.ll ;:; | 'oi-+ Ir

,

,

r2

"

/

,

,

r2

R r ( R r+R r)-=R rR , R ,(Rr +Rr ) - - R' R, = 0.00g7o -'nRz ", ./f I o r-" ,*f I otlf.

(R,+R.)t

(R,+Rr)'

)

La resistenza ottenutamettendola Rr e la Rzin parallelosaràquindidatada: = 30.08f 0.0087Ct Rtot"r"

t6l

r G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Caoitolo4 IL TRATTAMENTO STATISTICO DELLEMISURE

4.9. MISURAINDIRETTA DI PIUGRANDEZZE ESUBERANTI CONEQUAZIONI ll problemache affronteremo in questoparagraforappresenta il casodi gran lungapiù in le utilizzato tutte applicazioni topografiche e fotogrammetriche. Questoproblemapuò essereformulato nelseguente modo: vogliamostimarela mediae la matricedi varianza-covarianza rdi una distribuzione funzionedi rgrandezzeindirelle dimensionale Xr, X2,...,X, a partireda un campione di n misurediretterappresentate incorrelate, da n distribuzioni di mediaevarianzanote,L1, L2,...,Lr.(conn > ). ll risultatoche stiamocercandodovràdipendereda tutto il campionedisponibilee si può direche essosaràil fruttodi unacompensazione Le dellemisurediretteeseguite. grandezze.Xr'sono legatealle grandezzeLida legamifunzionaligenerici,dipendenti geometriche solitamente da condizioni e/ofisiche. Percapirci,consideriamo un semplice esempio: planimetriche vogliamo le coordinate X,Ydi un puntoP visibileda duepunti determinare (problema Ae B di coordinate note di intersezione semplicein avanti);la soluzione del problemaawienetramitela misuradegliangoliazimutali in A e in B. In questomodo però,qualsiasi provocherà errorenellamisuradei due angoliazimutali, un errorenella determinazione dellecoordinate di accorgersene. del puntoP senzaalcunapossibilità lnfattiqualunque sia il valoredi q e B,le due retteAP e BP si incontreranno semprein un punto.

Fig.a.8- Determinazione dellecoordinate del puntoP di Se invece,ad esempio,si esegueanchela misuradel latoAP, avremola possibilità individuare eventualierrorinellamisuredegliangolie viceversa. Ogni misuradiretta effettuatasarà caratterizzala da una certaprecisionee, come già visto nel caso delle misuredirettedi diversaprecisione,ognunadi esse dovrà partecipare con il proprio pesoallasoluzione Chiaramente le misurechevengonofattein esubero del problema. geometrico rispettoa quelleminimenecessarie allasoluzione del problema nondevono misure: non dipenderedallealtre nell'esempio sopracitato avrebbesensointrodurre unanuovamisuradeglistessiangolio dellamedesima distanza. Al solitoaffronteremo il problemaper gradiiniziandodal caso più semplicein cui il legame funzionaletra le grandezzeindirettee le grandezzedirette sia una linearedi questeultime. combinazione

162

L-.

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Capitolo4 IL TRATTAMENTO STATISTICO DELLEMISURE

4.9.1.IL CASOCONEQUAZIONI LINEARI Consideriamo un sistemadi n equazionilinearíche lega r grandezzeincogniteXy, X2,...,X, misurabili allen grandezze L1,L2,...,Lr, con n > r nell'ipotesi direttamenle che ogni equazione contenga come termine noto una sola grandezza misurabile direttamente. [arX,

+ b,X, + ...+ tt.,X,= \

+ b"X,* ...* urX,= I.

lor*,

[31]

conn>r

1",.:;,;;.;"++,.x,=L. noti. doveai,bi,.......1tisonocoefficienti Nel sistematutte le grandezze,direttee indirette,sono indicatecon i rispettivivalori teoricidi media(L). In questocaso,del tuttoteorico,una qualsiasi seriedi r equazioni, grado le n fornire tra disponibili, in di scelte è una soluzioneche soddisfaanchele restantin-r equazioni(che risultanoessereuna combinazione linearedelleprecedenti secondoil teoremadi Rouchè-Capelli). In formamatriciale il sistemadi equazionilinearipuò esserescrittocome: A.X=T dove:

a -l

4ut lo' l a ^ b2 '

"-l I

la,

b,,

Lt2

Lln

X_

[32]

"'l lI" *'1, =l' ;,1l:i"

A viene chiamatamatricedisegno,X vettoredelle incognite,T Convenzionalmente vettoredei termininoti. Nellarealtàsappiamoche non disporremomai dei valori teorici Li delle grandezze misurate ma al massimodellelorostimel,. La relazione direttamente tra i valoriteorici e quellistimati,saràespressa da: L,=1, + v, dovev;rappresenta lo scartotra la misura stimatae la misurateorica. Più correttamente(o realisticamente) il sistema[31] andrà riscrittonella seguente forma: b .,X r+...* u rX, =l ', +r., larxt+ * brX + ...*urX,= Lz* vz [33] " 7or*,

*tr* . nu,x,=îu+r,, 1",,1,.u gli scartiteoricidi ogni equazionee sarannoanch'essi Le quantitàvr rappresentano incogniti. Ci troviamodunquedi frontea un sistemadi n equazioniin r+n incognite,cioè un quindisaràimpossibile, sistemaindeterminato; da un puntodi vistamatematico, trovare

r63

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Capitolo 4 IL TRATTAMENTO STATISTICO DELLEMISURE

i valori X1 che soddisfinocontemporaneamente tutte le n equazioni.Possiamoperò affrontareil problemada un puntodi vistastatistico. Proponiamoci cioè di stimarele mediedellemisureindiretteX-, a partiredallestime formadefinitiva: dellemisuredirette2,. ll sistema[33]assumedunquela seguente f o , V , + b , V, + . . . +u t V, = 1 , r v , in for mamatr iciale: . ' , *u2rV 1 1r, -=lDzz i' vz vz l o r V , + b rV , +' ....+ A.X = T+V

lI* 2 - - ,

[34]

t""""""""" = l a , , Xr + b , X z t . . . * u , , X , L n + v , ,

Lo stimatore dellemedielo ricaveremo applicando, anchein questocaso,il principio di massimaverosimiglianza e quindiil principio dei minimiquadrati, cioèla stimamigliore fa sì che la sommatoriadel quadratodegli delle grandezzemisurateindirettamente s c a r tsi a r àmi n i m"(i ri

= mi n).

Vediamoattraverso i calcoli. ll semplice comesi sviluppano "r"rpio grandezze Xr, Xz legatea tre misure Supponiamodi dover stimarela mediadi due linearisecondoil sistema: diretteLr, Lz,L3da combinazioni lI a . , X . , + b , X\r = lorXr+brXr=\ l a r X r + b e X r =I j

[35]

Per quanto abbiamoappenavisto il sistemadeve essere riscrittonellaforma -f l a r X , + b , Xr .= L t v , in formamatriciale: I A.X= T+V lorF,+brFr=Lzrv, ttl "a r x , + b r Í r = L t * v ,

[36]

ll sistemaespressoin funzionedegliscartiincogniti vsarà: l a , X|, + b" r, 'X- r. - L r = v ,' r i n f o r m am a t r i c i a l e : l*r'__ - Lz =vz + b r x , AX-T=V lor*, l t =vt + brî, forX, la sommatoriadel quadratodegli scarti v;sarà:

ìri

[37]

= a i x i + u i x i + l i + Z a , b , X , x , - 2 a , x-,21b, , x , l t+ + aix i +ojx j + ri + 2arbrX,F,-2a rX,l,-2brTrlz + + a i x i + u ' r x ]+ l i + 2 a . b r X , X r - 2 a r X ,-l2, b r X r l t

La ricercadel minimodi questaf unzionetiri

= min) a duevariabili avvienerisolvendo

il sistemadelledue equazioni l'annullamento che esprimono delledue derivateparziali incognite1 la seguen te calcolaterispettoalledue grandezze a n. ll sistem assume " forma: 164

L-_

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Capitolo4 IL TRATTAMENTOSTATISTICODELLE MISURE

Questoè un sistemalinearedi due equazioninelledue incogniteÍr.Ìr, nelseguentemodo: essereriscrittousandola notazionematriciale N.X= Tn dove: a l + a l + a ' , a , b , + a r b r + a r b-=l r_1l " - , 1 -= l l r"Y -= r' ,', ,l l o , L , + o r i r +_ o r | Lrl " l o , b , + a , b , + a r bu, i + $ + a^! |l ' " l & l| lu,l,+u,1,+brLrl

che può [38]

La soluzione del problema si otterràcome: X = N-1.Tn

Come si può subito notarela matricedei coefficientidel sistemanormaleN (detta proposto,è matricenormale)è una matricequadratadi ordine 2, nell'esempio simmetrica e i suoiterminidipendono Anche solodai coefficienti del sistemaoriginario. il vettoredei termini noti normalizzali, Tn, dipendesolo dai coefficientidel sistema originario e dallastimadellemisuredirette. Per le proprietàdelle matrici,la matricenormaleinversaN'1, risulteràanch'essa simmetrica. Si può subito osservare che con questo approccio, direttamentederivato dall'applicazione del principiodei minimiquadrati,ogni volta che si presentaun problema di stimaoccorredapprima scriverel'equazione dellasommatoria del quadrato quindi questo punto possibile risulta degli scarti, derivarlae solo a applicareun procedimento di calcolo automaticoper l'inversionedella matrice normalee il conseguente calcolodellasoluzione. Se si pensache nellamaggiorpartedelleapplicazioni topografiche e fotogrammetriche possonoanche essere in numero le grandezzeda stimarecontemporaneamente (> 100) si intuiscesubitola praticaimpossibílità considerevole di applicazione di tale metodo. giungereallascritturadel sistemanormalein modomolto Fortunatamente è possibile più agevole,tenendocontodellaosservazione che abbiamoappenafatto,e che cioèla matricenormalee il terminenotonormalizzalo dipendonosolo dallamatricedisegnoe dal vettoredei termininoti del sistemaoriginale.lnfattitra le matriciA, T, N e Tn le seguentirelazioni: sussistono N = Ar.A [3e] Tn = Ar'T questeaffermazioni Dimostriamo nelcasodell'esempio che stiamoanalizzando:

, ,lo. b.l , ^ a z o t llo'^ ai+ai+ai e=lo' A, . o=lu, b"l=l

arbr+arbr+a"b,

t bz;,ll:',7,1=V0.,*o"i,*o,u, ul+bl+b!|=

,

, lZtl a2 +o,L,* o,!'l=, "'ll;,1=1o,7, A' .r =lo, " W, b2 nl

lt.l

lb,Lt+b,Lz+b"Ltl

Grazieallerelazioniche abbiamoappenadimostrato nel casosemplicepresoin esame (ma valideper sistemicon qualsiasinumerodi equazioni)è possibileaffrontareil 165

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Capitolo4 ILTRATTAMENTO STATISTICO DELLEMISURE

problemadella stima di r misureindirettein funzionedi n misuredirettein modo completamente automatico. iciente Sarà suff infatti conoscerei valori degli elementi della matrice disegno (coefficienti dellecombinazioni lineariche leganole r misureindirette a unasolamisura diretta)e del vettoredei termininoti (valoridellemisuredirette),per determinare in modoautomaticola matricenormaleN e il vettoredei termininoti normalizzati Tn che, come abbiamodimostrato, esprimonoil sistemache risolveil problemadella stima secondoil principio di massima verosimiglianza. Anche in questocaso occorretenereconto che le n misuredirettesono in genere caralterizzate da precisioni diverse,per cui il lorocontributo allastimadellemediedelle misureindirette,deve esserepesato.Questo,come noto,significache ogni misura per il suo peso e quindinel sistema[31] occorrerà direttadeve esseremoltiplicata peril pesodellamisuradirettainteressata. moltiplicare ciascuna equazione questaoperazione In notazione matriciale di pesatura modo: awienenelseguente P.A X= P'T [40] dove la matriceP è una matricediagonale(elementi tutti nulliad eccezione di quelli principale) delladiagonale di ordinen cosìstrutturata:

P-

h 0 0 Pz

0l ol

[41]

;;

Le relazioniper il calcolodella matricenormalee del termine noto normalizzato assumono dunquela formadefinitiva: N = A''P.A 1421 Tn = Ar'P'T precedenti, qui;accanto Comeabbiamovistonei paragrafi il problema nonsi esaurisce allastimadellamediadelleincognite occorregiungereancheallastimadellavarianza. In questocaso,dovele r misureindirette sonole variabili di unadistribuzione normalea rdimensioni,occorredunquedeterminare la matricedi varianza- covarianza. Essasarà una matricequadratadi ordiner nellaqualegli elementidella diagonaleprincipale sarannole varianzedelle r misureindirettee gli altri elementiesprimeranno le covarianze. Si descrivonosolamentesolo le formuleper il calcolodella matricedi varianzacovarianzee di altre matriciche sarannoutili nelle praticheapplicazioni di questo metododi stima,rimandando lo studentea dei testispecialistici di trattamento delle per osservazioni la lorodimostrazione. Avendointrodottoi pesi, per primacosa occorredeterminare il valoredella varianza dell'unità di pesoin funzione dellemediestimatedellemisureindirette. Risulta: -2

o;=

VI .P.V

[43]

doveil vettoredegliscartiV si calcolanel seguentemodo: v=A.X-T Í441 La matricedi varianza-covarianza saràottenutadal prodottodellavarianzadell'unitàdi pesoper la matriceinversadelsistemanormale: 166

>__

Caoitolo4 IL TRATTAMENTO STATISTICO DELLEMISURE

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

| "?'

-l

-ol Cr* = ' lr-' - lot,t,

o.. 2

6|,

1o","," : .

^r^2

6.. 6 *r",

[45]

:' 6'r.

di ordiner, in quantoabbiamovistoche anche Questamatriceè una matricesimmetrica la matricenormale(e di conseguenza la sua inversa)è una matricesimmetrica di ordiner. Un'altraquantitàimportanteda calcolareè la matricedi varianza- covarianzadegli scarti(siccomela matricesoluzioneX contienedellestimedellemediedelle misure indirette,ancheil vettoredegli scartirappresenterà la stimadi una variabilescartordimesionale caratterizzata anch'essada una matricedi varianza- covarianza). Questa relazione: si puòdeterminare conla seguente c , "= d i . ( p - t - a . x r . t r ) t46l 4.9.2.IL CASODI EQUAZIONI NONLINEARI Nelcasoin cui le equazioni che leganole r incognite allen misuredirettenon siano lineari,si può arrivarealla soluzionedel sistemamediantela loro linearizzazione nell'intorno in seriedi Taylorarrestato ai terminidi 1" grado). di un puntonoto(sviluppo Lastimadelleincognite, iterazioni. comevedremo, awerràpersuccessive ll sistemadi equazioni nonlineariè genericamente: f , ( x , X r , . . . . . . .x. ,. / L , )= g

l47l

Nell'ipotesi che x,o,x:,'.....xf sianodei valorisufficientemente approssimatidelle incognite in modotale che i quadratidegliscartie le potenzesuperioripossanoessere trascurati, avremo: Xr=XÎ+xt

X, =X2+xz

t4gl

X,=Xl+xr+

' " [f"ar'l f,(x,,x,,......x,.1,)=r,k:.x:.......x?.1,)-[,+l -,*l*' ) q " \dx,/o

\dx;,JrxzÍ"

J.*'*

x;conpotenzamaggiore + terminitrascurabili o ugualea due= 0 Se indichiamo ciascuna equazione, con:

-f,(x?.x', . ..xo.L,)=v, =r, l9l =r, l+l '| ': (dX, in \dx, /n

=r, f+l òx, \ ),

Otterremo un sistemadi equazionilinearizzate del tuttoanalogoal sistemadi equazioni [31]:

167

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Capitolo4 IL TRATTAMENTO STATISTICO DELLEMISURE

a.,x.,+ b.,x"I ...1 u,x, = Ia a2\ + brx, + ...I ttrx, = I-

[4e]

an\ + bnx, + ...* Lt,x, = Lu

L'unicadifferenza xi da sommare è che,in questocaso,le incognite sonole correzioni ai valoriapprossimati X: per ottenerele grandezze incognite. ll sistema[a9]si chiama "sistemadi equazionialle correzionÌ'. In questocaso itermini noti L, non sono misuredirettecome nel sistema[31], ma misureindirette. La matricedi varianza- covarianza x1,X2,.......Xr delladistribuzione dellecorrezioni coincidecon la matrice di varianza- covarianzadella distribuzionedelle stime V r ^ , V r *......V ,^p e rch éi va l o ria ppr ossim ati Xr o,Xl,- .- ...Xfsonodellecostanti. Se ivalori approssimati fatta,non siano delleincogniteX,9,contrariamente all'ipotesi per limitarelo sviluppoin seriedelleequazioniai soli sufficientemente approssimati terminilineari,bisognerà innescare iterativo un procedimento di soluzione del sistema = Xf c h ec o n si d e iriva l o rid e l l ei n co g n ite X, +x, ottenuti in unasoluzione comeinuov i per la soluzione valoriapprossimati successiva. La convergenzadel procedimentoiterativoviene accertatamediantel'analisidelle correzionixi apportateda ogni singola iterazionee il procedimentopotrà essere interrottoquandole ultimecorrezionideterminate sono di un ordinedi grandezza inferiore raggiungibile. allaprecisione Un altro criterioper testarela convergenzadel metodoiterativoe quindi decidere l'interruzione del procedimento di calcolosi basasullostudiodel comportamento del parametroof . Si può dimostrare questo parametro infattiche raggiunge il suo valore minimoin corrispondenza dellamigliorsoluzione raggiungibile. Vedremonel capitoloriguardantele reti topografiche, come questiconcettipotranno perunacorrettagestione essereutilizzati e interpretazione dei risultati.

t68

E-_

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CaP.5 L AM I S U R A DEGLIANGOLI

Capitolo 5 LA MISURADEGLI ANGOLI

DISTANZA E DISLIVELLO ZENITALE, DI ANGOLOAzIMUTALE, 5.1. DEFINIZIONE Si definisceangolo azimutalea l'angolodiedroformatodai due piani nr e nn la verticalepassanteper il punto appartenenti al fasciodi pianiche ha per generatrice passanti per punto (puntoindietro) il | e per il puntoA rispettivamente di stazioneS e (puntoavanti),(vediFig.5.1).

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Cao. 5 L A M I S U R AD E G L I A N G O L I

Za appartenente al pianonn definito Si definisce angolozenitaledel puntoA, I'angolo il puntoS con il puntoA (vedi tra la verticalepassanteper S e la rettacongiungente Fis.5.1). Definiamo inoltreil dislivelloAsncornela differenza di quotatra il puntoA (Qn)ed il quota quota punto S (as) intendendocome o ortometrica,I'allezza del punto sul geoide. Definiamoinfinela distanza misurata ,SAcome la lunghezzadel segmentodi retta i due puntiS ed A. congiungente

verticale

zenitalee dislivello. Figura5.1 - angoloazimutale, distanza 5,2. IL TEODOLITE in gradodi misurare sia gli angoliazimutali che ll teodolite topografico è lo strumento le distanzezenitali.E' costituitoda tre parti principali:basamento,alidada e cannocchiale. ll basamentoè una strutturadi supportoche racchiudeal propriointernoil cerchio azimutale cheserveperla misuradegliangoliazimutali. di bloccarelo Nellaparteinferioredel basamento troviamotre perniche consentono forzato. o al dispositivo di centramento strumentoallabasettatopografica, L'alidadaè una strutturameccanica(a forma di U) che ruota attornoa un asse perpendicolare si trovanogli indicidi letturadel cerchio al basamento.Sull'alidada e anchegli indicidi letturadi un secondocerchio azimutale(solidalicon I'alidada) cerchiozenitale. chiamato collegatorigidamenteal ll cerchio zenitaleè incorporatoall'internodell'alidada, all'asseattornoal qualeruotail e dispostoin un pianoperpendicolare cannocchiale Sull'alidada si trovaancheuna livellatoricache servea cannocchiale dellostrumento. rotazione rendereverticale I'assedi dell'alidada stessa. da due viti: una attornoal proprioasse, sono controllate Le rotazionidell'alidada prepostaa impedireo menola rotazione e la manualedellastessa(vitedi bloccaggio) (vite piccoli piccole grado dei rotazioni ad alidada bloccata in di effettuare seconda spostamenti). il cerchioazimutalenon è solitamente Neglistrumentiottico-meccanici di precisione fisso, ma può ruotare medianteuna vite ad accesso protetto(vite reitereatrice), indipendentemente dalla posizionedel basamentoo dall'alidada. Questiteodolitisi chiamanoreiteratori. 170

L

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Cao.5 LA MISURADEGLIANGOLI

puòesserefissatoo al Esistono ripetitorineiquali,il cerchioazimutale anchei teodoliti I'azione mediante di un bottonedi bloccaggio esterno. basamento o all'alidada

Figura5.2 -teodoliteottico-meccanico ed elettronico ll cannocchialeè montatosull'alidada in mododa poterruotareliberamente attornoa Tali rotazionisono un asse ortogonaleallo stessoasse di rotazionedell'alidada. per I'alidada (vitedi bloccaggio e controllate da due vitidel tuttosimilia quelleutilizzate vitedei piccolispostamenti). La rotazionecontemporanea dell'alidadae del cannocchialepermettequindi la qualsiasi punto di un dellospaziocircostante. collimazione I moderni teodoliti elettronici(vedi Fig. 5.2) hanno conservatola struttura del riguardano la i miglioramenti essenzialmente tradizionale teodoliteottico-meccanico; i lettura. dei materiali e sistemidi tecnologia 171

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ìlru*i$r r\\ù\ìi

Cap.5 L AM I S U R A DEGLIANGOLI

r : .\r i :ì \*: ì

r

Figura5.3- stazione totale L'awentodell'elettronica non ha di per sé aumentato la precisione nellamisuradelle grandezzetopografiche ma ha reso possibilel'automazione dellefasi operativepiù pesanti. permettela letturaautomatica ll teodoliteelettronico delledirezioniangolari,la loro visualizzazione su un piccoloschermoe la registrazione su un supportomagnetico. I primitentatividi costruzione dei teodolitielettronici risalgono aglianni '50, anchese '80 pervederele primerealizzazioni occorrearrivarefinoaglianni commerciali. Per stazione totale si intende invece un teodoliteelettronicointegratocon un in gradoquindidi misurare distanziometro, direttamente sia le direzioni angolariche la (vedi Fig.5.3). distanza

172

L

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Cap.5 L AM I S U R A DEGLIANGOLI

5.3. CANNOCCHIALE A LUNGHEZZA COSTANTE I cannocchiali sonodeglistrumenti otticiche permettono di osservare oggettilontani (cannocchiale e di essipossonofornireimmagini capovolte astronomico) oppurediritte (cannocchiale quelli terrestre o di Galileo) come neglistrumenti utilizzati topografici. Un cannocchiale è costituito essenzialmente da un obiettivo, un ocularee un reticolo. per semplicità, Consideriamo, sia l'obiettivo che l'ocularecostituiti da due lentisottili (vedi Fig. 5.a). Se l'oggettoè posto davantiall'obiettivoa una distanzad, molto maggioredel doppiodelladistanzafocale{ l'immagine reale,capovolta e rimpicciolita si formeràad unadistanzaq chevale,secondoI'equazione dellelenti: 1+1_1 dq f Se l'immaginefornitadall'obiettivo si formeràtra il primo fuoco e il centro ottico quest'ultimo dell'oculare, darà luogoa una secondaimmagineche risulteràvirtuale, diritta(e quindiancoracapovoltarispettoall'oggetto) e ingrandita. Variandola distanzatra obiettivoe ocularevarianosia la posizionedell'immagine dell'oculare sia il suoingrandimento. Nei moderni cannocchiali,l'obiettivoè un sistema ottico complessoottenuto dall'accoppiamento di più lentiche dannocome risultante una lenteconvergente, in modo da eliminare, gli effettidelle aberrazioni. o ridurreil più possibile, In genere, piuttostolimitato,è sufficiente essendoil campovisivodel cannocchiale correggere il cromatismo accoppiando una lentebiconvessa di vetrocrowncon una lentemeniscodivergente di vetroflint.

_l_d

_______1

0 __1*_[

Figura5.4 - Schemaottico-geometrico di un cannocchiale AncheI'oculareè compostoda più lentiche formanoun sistemaotticocomplesso convergente, le aberrazioni al finedi correggere di cromatismo e di sfericità dovutealla notevoleinclinazione giungono raggi luminosi dei che dall'obiettivo e al fattoche per ottenereforti ingrandimenti è necessario averedistanzefocalicortee quindicurvature dellesuperfici rifrangenti rilevanti. Le due o più lentiche formanoil sistemasonoposte a piccoladistanzafra loroe la lenterivoltaversoI'obiettivo è dettacollettiva. ll reticolorisultaindispensabile nei cannocchiali topografici in quantonei metodidi rilievoterrestre è necessario definiredelledirezioni nellospazio. ll reticolo, nellasua formapiù semplice, è costituito da un vetrinosul qualesonoincisi duesottilissimi trattia formadi croce(vediFig.5.5). 173

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Cap.5 LA MISURADEGLIANGOLI

ll puntodi intersezione deiduefilimedianiindividua il centroC del reticolo. Una direzionegenericanello spazioè definitadalla rettache unisceil centrodel reticolo con il centro ottico dell'obiettivo:tale retta prende il nome di asse di collimazionedel cannocchiale. Collimare un puntosignifica far passareper il puntostessoI'assedi collimazione.

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/-l\

F@ffi \L/ \T-l

r{l \ ll-l

---r-- \ ,/,--T-\ -f

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flì t'.-]-7

t\

fl-frrTl -r t/ \r \_E--'

Figura5.5- Esempidi reticoli di cannocchiali topografici Neicannocchiali a lunghezza costanteutilizzati neglistrumentitopografici, I'obiettivo e il (vedi reticolo fig.5.6)sonomontatia unadistanza fissasu un unicotubo. Tra I'obiettivo e il reticoloè montatauna lentedivergentemobile,dettalentecollettiva, montatain un tubo coassialeal precedente ed entroil qualepuò esserefattoscorrere mediante dall'esterno un dispositivo a cremagliera.

*À

Figura5.6- Schemadi montaggio di un cannocchiale a lunghezza costante Un terzo tubo coassialeporta I'oculare;questotubo può scorrerea vite o per attrito all'interno del tubo principaleper consentire lievispostamenti dell'oculare rispettoal reticolo. ll reticolonon è fissatoin modorigidosul tuboprincipale, ma I'armatura che lo portaè collegataad esso mediantequattro viti a contrastodiametralmente opposte che permettonospostamentimicromelriciorizzontalie verticali,più una quinta vite che consentedi porrei fili del reticoloperfettamente orizzontale e verticale(vedifig.5.7). ll reticolodeveesseremontatovicinoal fuocodel sistemaoculare.ll pianodel reticolo deve coinciderecon il piano sul quale si forma I'immaginereale generatadal sistemaobiettivo.

Figura5.7- Schemadi montaggio del reticolo t74

L--

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CaP.5 L AM I S U R A DEGLIANGOLI

piccoli può essereverificata collimando un oggettoed effettuando Questacondizione spostamentidell'occhiodavantiall'oculareosservandocon attenzioneun filo del D se il filorimanefermorispetto la condizione all'immagine, è soddisfatta; F se il filosembraspostarsi rispettoall'immagine nonsi ha perfettacoincidenzafrai pianidel reticoloe quellodell'immagine e la collimazione a un erroredi è soggetta parallasseai fili. ln questocaso occorremigliorareI'adattamento alla distanza dellalentecollettiva. agendosuglispostamenti dell'oggetto, ll sistemaobiettivo, in un cannocchiale costante,può essereconsiderato a lunghezza (12). (11) proprio veroe e dallalentecollettiva Se indichiamo comecostituito dall'obiettivo focaledel sistemaottico11,corì/zla distanza focaledellalente12,coh con /r la distanza f la distanzafocaledel sistemaotticocomplessivo formatoda lr e 12€ con A la distanza possono variabile farealcuneconsiderazioni circale relazioni che tra i sistemilr e lz,si intercorrono tra questielementi: F la distanza focalef puòesserecalcolata conla relazione f.f

D

) F F

t2l "f =-.!Y f't+ fr-L variabile; essendoA variabile, anchef risulterà il sistemadelledue lentilr e lz deveessereconvergente in quantosul reticolosi f > 0. reale,percuideverisultare devesempreformareun'immagine fz< 0 (12è divergente), il numeratore Essendofr > 0 (11è convergente)e della[2] positivo verificare la si dovrà sempre seguente sarà negativo;dovendoesseref d i su g u a g l i a n za : f.,+.f"-A<0 > f,-Vrl-AA t3l l'immagine realedatadal sistemalr e lzdeverisultare esternaal sistemastessoin mododa poterposizionare il reticolo; reale f1 devesemprerisultare maggiore di A perchéin casocontrariol'immagine prima produrrebbe fornitadallalr si formerebbe dellalz che,essendodivergente, virtualee nonla necessaria immagine realesul reticolo; un'immagine tenendocontoche fr è positivae fz è negativa,la[2]può ancheesserescrittanella forma:

_ f, lfrl /, = ^:GTfl

t4l

dalla quale si deduceche la distanzafocale f varia in modo inversamente proporzionale alladistanzaA, e più precisamente che assumeil valoremassimo quandoil cannocchiale (1+2m), vieneadattatoalladistanzaminimadi focamento mentreassumeil valoremassimoquandoviene collimatoun punto all'infinito tenendo presenteche per oggetti a distanzesuperioria 20+25 m (distanza iperfocale), il valoredi A si può ritenerepraticamente costante. L'adattamento alla distanzasi ottienefacendovariarela distanzaA spostandola lente coilettiva tramiteun bottoneesternoo un anellozigrinatocoassialecon il tuboche porta I'obiettivo e il reticolo. Nelloschemafino ad ora descritto,I'immagine risultantedall'azione combinatadel sistemaobiettivoe del sistemaoculare è capovoltarispettoall'oggettocollimato, mentre,perpraticità d'uso,è necessario chel'immagine siadiritta. questoscopo,fra la lentecollettiva Per raggiungere e il reticolosi disponeun prismaa sezionepentagonale con le facce AE e CD parallelee perpendicolari all'assedi mentrela facciaDE è normalealle primedue. Le facceAB, BC e DE collimazione, t75

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Cap.5 LA MISURADEGLIANGOLI

sono lavoratea specchio.ll funzionamento di tale prisma è facilmenteintuibile la fig.5.8. osservando

Figura5.8- Schemageometrico di un cannocchiale a lunghezza costante

5.3.1.

C A R A T T E R IS T IC H E DELCANNOCCHIALE

L'ingrandimento vienedefinitocomeil rapportofra le angolaredi un cannocchiale vede l'immaginedell'oggetto tangentidell'angolo collimatocon sottoil qualeI'operatore il cannocchiale il medesimo e l'angolosottoil qualevedrebbe oggettosenzal'ausilio del cannocchiale. L'ingrandimento normaledi un cannocchiale è il valoreche assumeI'ingrandimento angolarequandoI'oggettoosservatoè posto a una distanzasuperiorealla distanza (> 20 + 25 m). Essorisultapari al rapportotra le distanze iperfocaledel cannocchiale i cannocchiali focali rispettivamente dei sistemiobiettivoe oculare.Abitualmente normaliche varianoda 20x utilizzalinegli strumentitopograficihanno ingrandimenti (strumenti finoa 40x. di bassaprecisione) La chiarezzadi un cannocchiale è definitacomeil rapportofra la chiarezzadell'oggetto visto attraversoil cannocchiale visto a occhionudo.Tale e la chiarezzadell'oggetto rapporto minoredell'unità. dell'obiettivo, b il diametro è generalmente Se D è il diametro visibiledel reticoloe / I'ingrandimento normaledel cannocchiale, la chiarezzarisulta essereespressa dallarelazione: D2 C = K' ----:-------;-

b' .I' La chiarezzadunque è direttamenteproporzionaleal quadratodel diametroutile proporzionale dell'ingrandimento. dell'obiettivo al quadrato e inversamente ll campo di un cannocchiale è rappresentato dall'ampiezza angolaredel cono che ha per verticeil centrootticodel sistemaobiettivoe per base il foro dell'anello che portail dando la distanza reticolo.Le case costruttrici definisconoil campodel cannocchiale il cannocchiale. Tantopiù è piccoloil campo trasversale che è visibilea 1 km attraverso tantomaggiore è l'ingrandimento. dalladistanzamassimaalla quale un La portata di un cannocchiale è rappresentata Per un singolocannocchiale non può il cannocchiale. oggettorisultavisibileattraverso dallachiarezzae dalle esseredefinitain quantola portatadipendedall'ingrandimento, Negli strumentitopografici(livelli),con il cannocchiale si dimensionidell'oggetto. devonocollimarestrumentimetricicome le stadie(astelungheda 1.5 m a 4 m con in metri,decimetrie centimetri o con codicia barre)sui qualisi devono suddivisioni letturedirettefinoal centimetro o ripresedi immagini effettuare con stimadel millimetro 176

tsl

-

I l I

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Cap.5 L A M I S U R AD E G L I A N G O L I

per operazionidi autocorrelazione dei codici a barre: nei normalicannocchiali la portataè di circa100m + 120m. topografici ln alcunistrumentitopografici (teodoliti) occorrecollimaresegnaliche materializzano un puntomedianteuna seriedi lineedel tipodi quelleutilizzate per la malerializzazione del centrodel reticolo(vedifig. 5.5).In questicasi la portatadi un cannocchiale assume scarsa importanzarispetto a un'altra caratteristica,detta potere risolutivo o separatore,per la quale due punti oggettodistintifornisconodue punti immagine anch'essidistintie perfettamente distinguibili solo quandola distanzalra i due punti immagine risultamaggiore di un certovalored. ll potererisolutivo è fornitodall'inverso di tale distanzad ed è un valorefinitoche costituisce una dellecaratteristiche di ognistrumentoottico.ll potererisolutivo è limitato (fenomenoper il quale a un da diversecause,ma principalmente dalladiffrazione puntiforme, oggettopuntiforme noncorrisponde un'immagine bensìuna seriedi corone circolariconcentriche chiaree scurealternate, dettafiguradi diffrazione). La sensibilitàdi un cannocchiale è rappresentata dall'angolo minimoformatoda due visualipassantiper due punti distinti,al di sotto del quale all'occhio,attraversoil piùseparati. cannocchiale, sembrache i duepuntinon risultino Considerando che il potereseparatore dell'occhio nudoè di circa60",la sensibilità di un cannocchiale risulta: = -60" = - _0.000291rad J^,,_ II

iój

dove / rappresenta l'ingrandimento complessivo del cannocchiale. In base al valoredellasensibilità, è possibiledeterminare la dimensioneminimadel segnalevisibileattraverso il cannocchiale in funzione Nel delladistanzadi collimazione. casodell'occhio umanonelquales" = 0.000291 rad,si ha pertanto: d " = 0 .0 0 0 2 9 1 .D , l 7l Quindiè possibile osservare a occhionudooggettidi dimensioni maggiorio ugualia circa3 cm a distanzenonsuperiori a 100m.

n7

Cap.5 DEGLIANGOLI L AM I S U R A

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5.4. LAMINAPIANOPARALLELA nei teodolitiè la lamina pianotticoche trova applicazione Un altro dispositivo parallela. circostante, Questaè costituitada un mezzodi densitàdiversarispettoall'ambiente (vediFig.5.9). pianee parallele da due superfici separato alla direzionedi la laminaed emergeparallelamente Un raggioluminosoattraversa i: di incidenza all'angolo di unaquantitàd proporzionale incideÀza spostato

I I I I I

Fig.5.9 laminapian-Parallela ABC: ilteoremadei senialtriangolo dallafig.5.9 risultaapplicando ,s COS T I.

\

sen\t-r)

*

,rn!

2

d,t -=sen(t- r)

cos r

semplificazioni: le seguenti Se i e r sonoangolipiccoli,si possonoeffettuare seni=i senr=r cos r =1 cos i=l s e n ( i - r ) = s e n i ' c o s r - c o s i ' s e n r = s e ni - s e n r

e quindi: d = s (seni- senr)= s sen{,-yo+) \

s e n i)

sen I

dove

sen r

= n = indice di rifrazione

a = , r ( l - 1 1 =s i n - | = k i \

n)

n

t8l

di incidenzai' all'angolo d risultadunqueproporzionale La traslazione pian-parallele sono ulilizzate(comesi vedrà in le lamine topografici Negli strumenti graduazione dei cerchi. di seguito)perla misuradellefrazioni

178

^E

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Cap.5 L AM I S U R A DEGLIANGOLI

5.5. LE LIVELLE Le livellesono strumentisempliciche in topografiasono utilizzateper rendere orizzontale un asse o un piano,oppureper rendereverticaleun asse. Esse sono presentiin tuttigli strumenti topografici e dal lorocorrettoutilizzodipendein massima partela precisione del rilievo. Le livellepossonoesserecontrollate (livellesferichee livelle a vista dall'operatore (livellea coincidenza toriche)oppuremedianteopportuni dispositivi ottico-meccanici di i m m a g i n i ). 5.5.1.

LA LIVELLASFERICA

E' costituitada una fiala cilindricadi vetro, delimitatasuperiormente da una (v. fig.5.10)il cui superficie a calottasferica,che riportauno o più cerchiconcentrici il centrodellacalotta(centrodellalivella). centrorappresenta La fialaè riempitaparzialmente (alcool, da un liquidocon bassopuntodi congelamento benzina,eteresolforico, ecc.).Lo spaziodellafialache non vieneriempitodal liquido vienesaturatodai suoi vaporiche formanouna bollache, per effettodella gravitàsi disponesempre nella parte più alta della fiala. La fiala di vetro è contenutain metallica un'armatura che può presentare una basepianaquandola livellaè impiegata per rendere orizzonlaleun piano (come nel caso di tutti gli strumentitopografici), oppurepresentalateralmente un pianoo un angolareche consentono di fissarela livellaad aste che devonoesseredispostelungola verticale(palineda segnalazione, geometriche, stadieper livellazioni ecc.). Facendoriferimento allafig.5.10,l'assea-atangente allacalottasfericanel suocentro C rappresenta l'assedellalivella;il pianotangenteallacalottasfericanel suo verticeC è detto piano tangentecentrale;il raggior della calottasfericasi chiama raggiodi curvatura dellalivella. -r-'I --l

.....

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iìil,},.1_" ":r r';'ll.j. +"'' .

i

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i

'ìi 1r ..iL.

Figura5.10- Schemageometrico dellalivellasferica dellalivellal'ampiezza Si definiscesensibilità dell'angolo di cui ruotaI'assedellalivella perlo spostamento dellabolladi 1 mm lungoI'arcodellacalottasferica. Le livellesfericheutilizzate in topografia hannovaloridi sensibilità superiori a 1'. quando piano perpendicolare livella rettificata Una sfericasi dice il tangentecentraleè all'asseb-b,cioèparallelo al pianodi appoggio dellafialadi vetronell'armatura. quandola bollarisultacentrataossiaquandosi inscrive In una livellasfericarettificata, perfettamente al centrodellafiala,il pianotangentecentralerisultaorizzontale. Se la r19

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Cap.5 L A M I S U R AD E G L I A N G O L I

quandola bollaè centrata,il pianotangentecentralesarà livellanon è rettificata, ancoraorizzontale, ma talecondizione nonvarràper il pianodi appoggio dell'armatura. Nei teodolitie nei livelli,la livellasfericavienemontatain aggiuntaa una o più livelle toricheaffidandoalla prima I'operazione di disporrein modo approssimato il piano (o orizzonlale I'asseverticale)agendosuccessivamente con la livellatoricaper affinare I'operazione. 5.5.2.

LA LIVELLATORICA

Una livellatoricaè costituita da unafialadi vetroquasicompletamente riempitacon alcool,etereo benzina, la cui superficie internaha la formadi unasuperficie torica. La parteinternanonoccupatadal liquidoè riempitadai vaporidel liquidoche formano una bollala quale,per effettodellagravità,si disponesemprenellapartepiù altadella fiala. ll puntodi intersezione C (vedifig. 5.11)dell'assedi rotazionea-a cen il piano 4 perpendicolare all'assestessoe passanteper il centrog del cerchiogeneratoredel toroidecui appartiene la fiala,rappresenta il centrodi curvatura dellalivella.ll pianoa passanteper il puntoC intersecala livellasecondol'arcoA8, dettoarcodirettore,con raggioc = CMcherappresenta il raggiodi curvatura dellalivella. -i1-{.t-t1."-,=-*.-*':

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F i g u ra5 .1 1- Schemadi unalivella tor ica La zonasuperiore dellafialaporlaincisaunagraduazione contrattia distanza costante (generalmenle 2 mm):ogni spaziocompresotra due trattisuccessivi vienedettoparfe. Le pafti sono dispostesimmetricamente rispettoal puntoM che rappresenta il punto centraledell'arcodirettore. La tangentef all'arcodirettorenel puntoM è dettatangentecentraledellalivellatorica. La fiala di vetro è racchiusain un'armaturametallicache presentauna base di appoggiopiana.L'armatura è fissataalla basedi appoggiomedianteuna cernieraa una estremità, ed è munitadi un dispositivo a doppiavite (Vr, Ve- vedifig. 5.11)di rettificache permettepiccolispostamentiorizzontalie verticalidella livellaall'interno dell'armatura. Le caratteristiche di unalivellatoricasonoquellegiàdefiniteper la livellasfericae cioè lapronlezzae la sensibilità. Se s rappresenta la dimensione dellaparte(2 mm)il valoredell'angolo corrispondente al trattodi arcodirettorecompresotra due trattisuccessivi graduazion della e varras/r e si chiamavaloreangolaredella parte. La sensibilitàdi una livellatorica è convenzionalmente espressacome il valore angolarecorrispondente a un trattodell'arcodirettoredi 1 mm. Essavieneespressa con la notazionea/b dovea indicail valoreangolaredellapartee b il valoredellaparte r80

L-

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Cap.5 LA MISURADEGLIANGOLI

in millimetri. Ad esempiouna livellatorica,indicatacomeda 30"/2,avràuna sensibilità paria 15".Le livelletoricheapplicateneglistrumenti hannouna sensibilità topografici variabili da /'fino a pochisecondisessagesimali. Una livella torica è rettificataquando la tangentecentraleè parallelaalla retta d'appoggio. quandola mezzeria La bolladi una livellatoricasi dicecentrata dellabollacoincidecon il centroM dellagraduazione. Quandola bolla è centratala tangentecentralerisulta orizzontale. Poichérisultapiù facileindividuare i menischilateralidellabolla,ossia le sue parti estreme,la centratura dellabollaawienefacendoin modoche i due menischisiano equidistanti dal trattocentraledellagraduazione. La valutazione di questaequidistanza presenza graduazione è semplificata dalla della comesi può notareosservando la fig. 5.11. Descriviamoadesso le operazioninecessarieper rettificareuna livella torica e rendereorizzontaleun asse. Consideriamo una livellatoricanon rettificata(cioècon i piedinid'appoggio di allezzadiversa); la livellasull'asse m-m(vedifig.5.13) disponiamo lo stessoasseattornoal puntoO, centriamo e, ruotando la bolla. c)

F i g .5 . 1 3

-zè-te--

La tangentecentraledellalivella(f) saraorizzontale e formeràun angoloq conl'asse m-m che, a sua volta sarà inclinatodello stesso angolo a rispettoall'orizzontale. lnvertiamo ruotandola adessola livellasugliappoggi, di un angoloparia x. La bolla si sposta di una quantitàpari a n.s (vedi fig. 5.14) cui corrisponde un'inclinazione dellatangentecentrale di unaquantitàparia 2adovulaper metàal fatto per livella la non rettificata che è e la restantemetà al fatto che I'assem-m non è orizzontale. Dovremoquindiagiresullavite di rettifica dellalivellafacendoin modoche la bollasi punto quantitàpari verso il M,diuna sposti, a /zn.se ancora,per la restantemetà,sul segmento di appoggiom-mcentrando definitivamente la bolla.

F i g .5 . 1 4

_\\l-

-

$t \i! I

T

ln questomodootterremosial'orizzontalità del segmentodi appoggiom-m chela livella rettificata. r8l

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Cap.5 L AM I S U R A DEGLIANGOLI

Le operazionida compierecon una livellatorica per rendereorizzontaleun piano sono invecele seguenti: un pianopuò essereindividuato da tre puntioppureda due rettegiacentisu di esso.Di presentano normagli strumentitopografici un supportodi base fornitodi tre razze dispostea 120",alle estremitàdellequalisi trovanotre viti calantiCt, Cz,Q (vedifig. 5.15). Le due rettea e b indicatein fig.5.15definiscono il pianodi appoggio dellostrumento. Affinchéquestopianosia orizzontale verificareche le due rettea e b, sarà sufficiente chegli appartengono, lo siano. I

Figura5.15- Livellatoricaper rendereorizzonlale un piano quantodettosoprasi procedenelseguentemodo: Ricordando F si disponela livellasecondodue viti del basamento(ad esempioCr e Cz)e si centrala bollacon motosimultaneo e contrario delledueviti; F si ruota la livelladi un angolopari a n nellaposizionee, come visto nel caso precedente, se la bollarimanecentratavuoldireche essaè rettificata, cioèche la suatangentecentraleè parallela al pianoda rendereorizzontale; per metàcon la vitedi rettificaVr F se la bollasi sposta,si correggelo spostamento e per metàagendonuovamente con motosimultaneo e contrario sulledue vitiCr e Cz.In questomodola rettaa risultacertamente orizzontale; F infinesi ruotala livelladi un angoloparia tr/2disponendola versolalerza vite del (Cs)e I'eventuale basamento spostamento dellabollasi correggeoperandosulla vite V3.A questopuntoanchela rettab è orizzontale e di conseguenza il piano checontienele rettea e b risulterà anch'esso orizzontale. Le operazioni appena descritte, servono anche per rendere verticale un asse (asse principaledi uno strumento)che è sempre perpendicolareal piano del basamento.

182

G .C O M O G L I O TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Cap.5 LA MISURADEGLIANGOLI

5.5.3.

LA LIVELLATORICAA COINCIDENZA DI IMMAGINI Purnonessendopiùpresenteneimodernistrumentitopografici, descriviamo il principio di funzionamento di questa particolarelivella,in quantotrova applicazione negli strumenti otticomeccanici di altaprecisione che in alcunicasipossonoancoraessere utilizzati. Questo particolaredispositivopermetteuna maggiorecomoditàe una maggiore precisione in quantoil centramento mediantela coincidenza dellabollavienegiudicato di particolari trattiosservatimedianteun microscopio semplice.

Figura5.16- Livellatoricaa coincidenza di immagini Sullafiala,che nonriportaalcunagraduazione, è montatoun sistemadi prismi(vedifig. quale il risultavisibileall'operatore, la bolladivisaa metà in senso 5.16)attraverso longitudinale. La livellarisultacentrataquandole due metàdellabollacoincidono formandouna sola i m m a gi n e . L'erroredi centramento vale per una normalelivellatoricaagraduazionee=0.Ir/v"€ per la livellaa coincidenzadiimmaginee=0.06# in cui V = s€rìsibilità espressain secondisessagesimali. 5.6. LA BASETTATOPOGRAFICA Abbiamogiàaccennato a come,la basettatopografica, sia un dispositivo cheserveper collegarelo strumentotopografico al treppiede. Essaè compostada un basamentoe da una piastrabasculante il cui assettorispettoal basamentoè controllatoda tre viti calantidisposteai verticidi un triangoloequilatero inscrittonel basamento. ll basamentoviene rigidamentecollegatoalla piastra di appoggiodel treppiede mediante la vitedi fissaggio. La piastrabasculante serveda supportofisicoper lo strumento.Essaè dotataditre fori posti in corrispondenza delle viti calanti(oppuredi un unicoforo centrale)i quali perni (o I'unicopernocentrale) ospitanoi tre di cui sonodotatii basamenti di tuttigli ll centrodellabasettaè il centrodel cerchiopassanteper i centri strumentitopografici. dei tre fori (o del forocentrale). per rendereorizzontale La piastrabasculante è dotatadi una livellasferica,utilizzata la piastrabasculante piombino per stessa,e di un ottico consentire di disporreil centro dellabasettalungoIa verticalepassanteper un puntoa terra.Per gli strumentidotatidi piombinolaserla basettaè sprowistadi dispositivi per il centramento. L'operazionedi messa in stazione della basetta consiste nel raggiungere, sia la condizione di centramento contemporaneamente, dellalivellasia la collimazione 183

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Cap.5 L AM I S U R A DEGLIANGOLI

attraversoil cannocchialedel piombinoottico del punto a terra su cui si vuole posizionare lo strumento.

Figura5.17- basettadi un teodolite 5.7. CONDIZIONI DI RETTIFICA DELTEODOLITE Nelteodolite (vediFig.5.18): i seguentitre si possonoindividuare assifondamentali (at) F asseprincipale o di rotazione dell'alidada F assesecondario (az) o di rotazione delcannocchiale D asseterziario (a3) o di collimazione delcannocchiale

Figura5.18- assifondamentali di un teodolite (basamento, Le tre partiche compongono un teodolite alidadae cannocchiale) devono in modotale che si realizzino geometriche, essereassemblate le seguenticondizioni dettecondizionidi rettificadel teodolite: 1. i tre assi fondamentalidevono avere come unico punto d'intersezioneil centrostrumentale; 2. I'asseazdeve essereperpendicolareall'assea1; 3. I'asseasdeve essereperpendicolareall'asseaz.

184

br--

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Cap.5 L AM I S U R A DEGLIANGOLI

5.7.1.

CONDIZIONE DELTEODOLITE OPERATIVA possamisurare gli angoliazimutali Perfar si che il teodolite correttamente e zenitali, In questasituazione, è necessario che I'assedr sia verticale. infatti,se lo strumento è rettificato, le seguenticondizioni: si realizzano giacein un pianoorizzontale D il cerchioazimutale giacein un pianoverticale D il cerchiozenitale F l'asse a2è orizzonlale F I'asseasdescrivepianiverticalipassantiper il centrostrumentale. 5.8. MESSAIN STAZIONEDELTEODOLITE Da quantovistofinora,sappiamoche il teodoliteè in grado,una voltaverificate le condizionidi rettificae realizzatala condizioneoperativa,di misurareun angolo azimutale cosìcomeè statodefinitoin 5.1. principale (ar)oltreal rispettodellacondizione L'asse o assedi rotazione dell'alidada di verticalità,dovrà anche passare per il punto di stazioneindividuatosul terreno. L'insiemedi queste operazionisi dice di messa in stazione del teodolite. La procedurache descriveremo in seguitoè consigliabile agli utenti "poco esperti" nell'uso delteodolite: malerializzato il puntodi stazionea terra,si procededapprimacon la messain stazione di un treppiedee di una basettatopografica dotatadi livellasfericae di piombinoottico; questaoperazioneconsistenel far si che il centrodella basettasia posto all'incirca sulla verticaledel punto a terra e che il piano d'appoggiodella basettastessasia Agendosulletre viti calantidellabasettasi collimapoi con il all'incirca orizzontale. piombino otticoil puntoalerra. A questopunto la livellasfericadella basettasarà certamentescentratae quindi,si procederà variandoopportunamente al suo centramento la lunghezza delletre gambe per scrupolo,che il piombinootticocontinuia collimare del treppiede. Si controlla, il puntodi stazionea terra.Se la collimazione è tropposcadente,si ripetedaccapola proceduraprimadescritta. quindiil teodolitenellabasetta:in questacondizione Si inserisce I'asseprincipale del teodolitesi troveràsullaverticaledel puntodi stazionea terracon la precisionetipica dellalivellasfericadellabasetta. Successivamente, si perfezionala verticalità dell'asseprincipalemediantela livella procedure già viste nel paragrafo5.5.2. torica montatasull'alidadaseguendole le tre viticalantidellabasettacheoraforma,conil teodolite, utilizzando un corporigido. Al terminedi questeoperazioni, il centrostrumentale del teodolitesi troveràsulla verticaledel punto di stazionea terra con la precisionepropriadella livellatorica ulilizzala.

r85

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Cap.5 LA MISURADEGLIANGOLI

5.9. MEZZIDI LETTURAAI CERCHINEGLISTRUMENTI OTTICO.MECCANICI Abbiamogià dettoche il cerchioorizzontale mentrei relativi è solidaleallabasamento, indicidi letturasonosolidaliall'alidada; il cerchioverticale è solidaleal cannocchiale, ei relativiindicidi letturasono interniall'alidada. I cerchigraduatisono di vetroottico;la graduazione, finissima(lo spessoredei trattiè dell'ordine di 1/10o 1/100pm),è incisa ll direttamentesul vetro, o riprodottafotograficamente. raggiodi talicerchivariada 4 ad 8 cm. L'osservazioneai cerchi si esegue con microscopi composti,il cui percorsoè notevolmentecomplesso; all'interno del teodolitesi trovanodei prismiche portano le immaginidei cerchinel cannocchialetto di lettura,e la specchiche illuminanoi cerchistessi,convogliando luceesterna(vedifig.5.19). i gradi e le frazionidi grado Si leggonodirettamente incisesul cerchioe si valutanole frazionidi intervallo secondodue modalità: F mediante conteggio o stima(strumenti a stima) > mediantemisuradella frazionestessa (strumenti micrometrici). F i g .5.1 9i l l u mi n a zi o en el e ttur a delcer chio LETTURAA STIMA

5.9.1.

il portoghese Nunesed il francese ll nonio (o verniero,dai nomidei suoiinventori, più per graduazione. Vernier)è il anticosistema stimareun intervallo di (vediFig.5.20)applicato ll noniocircolare è costituito da un settoredi coronacircolare a questo,sul quale è riportatauna al lembo del cerchiograduatoe concentrico graduazione con originein 0 e crescentenel sensoconcordecon quelladel cerchio. Indicandocon n il numerodegli intervalli dellagraduazione del nonio,ognunocon (nvalore1 la sua ampiezzatotaleè n /e abbracciaun arcodel cerchiocomprendente 1) parti,ognunacon valoreL > l, di ampiezzaquindipari a (n - 1) L; poichéle due ampiezzesono ugualisi avrà: n.t=(n-t) r

tel

F igur a5.20- nonio la (9)si avrà: Sviluppando L-l=a

T

n

L -lrappresenta I'approssimazione La differenza del nonio. 186

[10]

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Cap. 5 L A M I S U R AD E G L I A N G O L I

L'indicedi letturaè la taccastessache individua lo zerodellagraduazione del nonio;si leggonodirettamente le partiinteresul cerchiograduatoe la porzioneresiduasaràpari per il numerodi parti che portanoalla all'approssimazione del nonio,moltiplicata principale. coincidenza di un trattodellascaladel nonioconunodellagraduazione

fettura = 289on,72

Figura5.21- letturacon il nonio ll noniocosìdescrittonon è più utilizzatonei teodolitiottico- meccanici, ma se ne è parlato in quanto negli strumenti elettroniciattuali viene spesso ulilizzatoun meccanismo principale di stimadellapartefrazionaria dellagraduazione che è simile. Un sistemache permettedi aumentare la precisione di letturaè quelloche utilizzaun per ingrandire microscopio l'intervallo tra due tratticonsecutivi dellagraduazione del parti cerchio.La letturavienefatta leggendole interedi angoloche precedonoI'indice di letturae stimando, solitamente, comepercentuale cheviene tradotta mentalmentein termini di frazioni di angolo, la porzione residua(vediFig.a fianco). Dato,per esempio,un cerchiograduatodi 10 cm di diametro, suddivisoal decimodi grado centesimale, esso avrà 4000 tra ttiu n ifor memente distr ibuiti sui 100"3.14=314 mm dellas ua circonferenza, con un intervallo tra trattoe trattodi 314/4000= 0 .0 7 8 mm . lettura= 21,son64 Con I'osservazione ad occhio nudo non sarebbepossibile alcun apprezzamento dellafrazionedi grado. inveceun microscopio Utilizzando compostoa 30 ingrandimenti, I'intervallo apparente =2.4 risultadell'ordine di 0.078.30 mm, il cui decimopuò esserefacilmentestimato; l'approssim azionedellaletturadel valoredi 0.01son risultacosìgarantita.

letturazenitale: 94,065 letturaazimutale:214,965

ll microscopioa scala (vedi Fig. a fianco)è una variante del metodo precedente.ll microscopioè dotato di un reticoloformato non solo da un tratto bensì da una scala graduataa tratti equidistanti. La lunghezza dellascaladel reticoloè pariall'intervallo tra due tratticonsecutivi del cerchiograduato. Solitamente l'intervallo dellagraduazione è di leone la scalaè divisain 100 parti,per cui un solotrattopuò caderenell'intervallo dellascala. L'indicedi letturaè rappresentato dallo stessotratto della graduazione.La lettura è pertantopari alla sommadel valoredellascalaprincipale e quelloletto sullascaladel reticolo. Conquestosistemaè possibile la letturasinoal centesimo di gon. 187

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5.9.2.

Cap.5 LA MISURADEGLIANGOLI

MICROMETRICI STRUMENTI

Nei sistemidi letturain cui si ricorreai micrometri viene sfruttatala sensibilità dell'occhio umanonel realizzare un puntamento o la coincidenza di due tratti.L'occhio umano ha la proprietàdi aumentareil potere separatore di circaquattrovoltequandodebbastimare la coincidenza di due trattio la bisezionedi un tratto all'interno di altridue. Le letturepossonoawenireper bisezioneo per coincidenzadi immagini. Questi sistemi sfruttanole proprietàottiche di una lamina piano parallela(vedi par. 5.4.), posizionata lungo il camminoottico di letturadei cerchi che, mediantela sua rotazione,sposta I'immaginedel cerchio fino ad ottenere una coincidenzao una bisezione. NellaFig.a fiancosi illustraun esempiodi lettura(con l e î l u r a o r i z z o n l a l e :1 3 4 , 3 1 8g o n micrometroottico) per bisezione dei tratti della graduazione del cerchio.ll reticoloè costituito da due fissiche normalmente trattiparalleli intermedia internaad un cadonoin una posizione principale trattodi graduazione del cerchio. Manovrando opportunamente la laminapiano- parallela,si spostaI'immagine del cerchiofino ad ottenerela bisezionedei due trattifissidel reticolocon un trattodella graduazione principale. La rotazione, corrispondente a questospostamento, si leggerà gon. micrometro in frazioni direttamente sul di ll sistemadi letturaa coincidenza d'immagine è statoideatoda Wild e oggiè impiegato sullatotalitàdei teodolitiottico- meccanici di altaprecisione. Nel campo di lettura del microscopiovengono riportate,attraversoun opportuno percorsoottico,le immaginidellegraduazioni del cerchiodi misuracorrispondenti a posizioni visibilie diametralmente opposte,in modoche risultino contemporaneamente (vediFig.5.25). In generele due immagini confrontabili. sonosovrapposte e capovolte I

l'u *l rr€

't40

0rt i

141

lettura140.son4235

prima della coincidenza

dopola coincidenza

Figura5.25- microscopio a coincidenza d'immagine è inseritauna laminapiano- parallela, che Sul percorsodi ognunadelledue immagini regolain modoche la rotazionedi una sia un semplicemeccanismo ad ingranaggi ugualee di versooppostoa quelladell'altra. noncombaciano. Normalmente le due scalechesonoaccostate specularmene,

r88

.ì--.--

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CaP.5 L A M I S U R AD E G L I A N G O L I

Se ad esempiosu quellache si leggedirittavediamola taccadi un angolointerosu più quellasuperiorecapovoltaI'angoloche si dovrebbeleggere(cioèil precedente I'angolopiatto)non è perfettamente in coincidenza; ciò in quantoè rarofare una lettura infattiil doppio esattaall'angolointero.La distanzafra questedue taccherappresenta parte frazionariadella lettura da stimare che, sommata alla parte intera, della la letturaangolarecorretta. costituisce Permisurare(e non stimaread occhio)questapartepossiamodeviareil percorsoottico la rotazionedi di entrambele semi- immaginisinoa portarlea coincidenza, atlraverso - parallele. piano unavitechecomandala rotazione contemporanea delledue lastre ll risultatoè che ad un apparente in un sensodell'immagine spostamento orizzontale in senso oppostodi quellasuperiore inferiorecorrisponde un egualespostamento capovolta.Lo spostamentoche realizzala coincidenza,corrispondente a metà del più piccola va lettura intera trattoancorada stimare, sommatoalla della suddivisione principale che si leggedirettamente sul cerchioanchesenzaI'aiutodi un indicedi lettura.Questo indice di lettura potrebbeinfatti anche essere omesso, perché è evidentequaleincisione dellagraduazione dirittacoincidacon quellasuperiore su un più angolo grandedin. Anchequi, come nel caso precedente, la rotazionedellelaminepiano- paralleleè in un valoreangolarelettosu una secondascalamicrometrica visualizzata trasformata accantoallascalaprincipale.

rrttlttttlttt

lettura 105,son8224

lettura 147,son2536

Fig.5.26- esempidi letturaa coincidenza di immagini Altrecase costruttrici anzichéulilizzarequestometodoinseriscono sul percorsoottico, che provienedai lembioppostidel cerchio,dellecoppiedi cuneiotticiemisimmetrici traslabiliin altezza. Lo spostamentolineare tra le facce prospicientiquesti cunei si traduce in uno spostamento angolareugualee contrariotra le porzionidi cerchiovisualizzate dirittae capovolta. La sensibilità dellamisuraè intesacome la più piccolafrazionedi gon leggibileallo può essereparia una frazionedi 0.0001gon neiteodoliti strumento; di altaprecisione (s < 0,1 mgon). La precisione, intesacomesensibilità rapportata al fondoscalastrumentale, nel caso, qg = 2.5.10I . ad esempio,in cui s siaparia 0,1 mgonsarà di 'p = 400 nonè ancorastataraggiunta con i moderniteodoliti digitalia cerchio Questasensibilità codificato. E da metteretuttaviain evidenzacomela precisione di misuraangolarenon coincida con quelladi letturaper la presenzacongiunta di numerose altrecausedi errore,che vedremoin seguito. 189

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Cap.5 LA MISURADEGLIANGOLI

DI LETTURAAI CERCHINEGLISTRUMENTI ELETTRONICI s.1O.MEZZI I metodidi misuraelettronica degliangoli,vengonospessoclassificati secondola dallemodalitàcon cui vengono tecnicacon cui vengonolettii cerchie di conseguenza incisi. Vi sonoteodolitielettronici cerchicodificatiche permettono di conoscere che utilizzano posizione goniometro, lettura la di all'interno del e automaticamente assoluta dell'indice quindidellaletturazerodellostesso,ed altriche eseguonola letturaa cerchigraduati, di misurareuna posizione angolarerelativarispettoad una che in genereconsentono precedente. Nel primocasoawiene una misuraassolutadelladirezione angolaree nel secondo una misuraincrementale. è basatasullemodalitàdi misuraangolare:questapuò Una secondaclassificazione Nelprimocasoil cerchiorimane,comein un awenirestaticamenteo dinamicamente. caso il cerchiosubisceuna teodolitetradizionale, solidalealla base,mentrenell'altro ma è prodotta rotazione da dei micromotori continuamente che nonè quelladell'alidada attividurantela misura. codificatao graduata(si può Parliamoprimadi alcuniconcettisullaletturaelettronica, tipi di teodoliti chiamarein sintesiletturadigitale)per poi entrarein meritoa particolari elettronici o stazionitotalied ai relativisistemidi lettura. siamoin ogni caso in presenzadi strumentidel tuttosimilia quelli Come anticipato, codificatao numerataè cerchi di cristallosui quali la graduazione, tradizionali, con processidi fotoincisione. ottenutaancoraattraverso 5.10.1. LA LETTURAASSOLUTA I'intera circonferenza sullaquale ora di distendere su un trattorettilineo Supponiamo (Fig. particolare graduazione il Definiamo 5.27). su un'origine dell'incisione incisa una è = dellacirconferenza) c Znr. valorezeroe sullafine la lettura(sviluppo la letturadigitaledel cerchio. Cerchiamo di capireconqualimezzi,comesaràpossibile

c :2nr

Figura5.27 Principio dellaletturaassoluta di dividerequestotrattolungoc in due parti.Una partesia anneritain Supponiamo Cosìsi è operatauna mododa renderlaopacaalla luce e I'altrametàsia trasparente. queste per due del cerchio.Lo spessoredi primasuddivisione righeopachesia di qualchedecimodi mm,cosìche in pochimm se ne possanodisegnare ad esempio16 o 32. Nellariga successivasi dividalo stessointervalloc in quattropartie si anneriscano di fare la stessaoperazione due di questequattroparti.Supponiamo alternativamente in 8 partied ancorain unaquartarigaove le suddivisioni in unaterzariga,dividendola s a r a n n o1 6. parallele, qualsiasi vi supponiamo In una posizione del cerchio,su questesuddivisioni questi, sull'altrafacciadel cerchiodi cristallo,una sianoquattrofotodiodie di frontea di doverfare una letturaquandoquestifotodiodisi sorgenteluminosa.lmmaginiamo trovanoad esempionellasezioneA-A. 190

L.

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Cap.5 DEGLIANGOLI L AM I S U R A

Leggendoi segnalidi luce e di buio provenienti dai fotodiodipossiamo,in modo assoluto,anchese con una precisioneabbaslanzascarsain questoesempio,sapere dove si trovanoi fotodiodirispettoal cerchio,cioè all'internodi questa banda che abbiamodisteso. Nelcasoesaminato in figurai fotodiodi il passaggio che permettono dellaluce,ognuno a secondadellapresenzadi una zona trasparente od opaca,segnalanoil primola presenza di unazonascura(0),il secondola presenza di unazonachiara(1),il terzola presenza quarto quella (1). zona di una il scura(O) di unazonatrasparente è, in linguaggio Questorisultato binario,il numeroequivalente allaletturaangolare. Possiamoinfattirendercicontoche attraversoil primofotodiodosiamoin gradodi dire cheeseguiamo unaletturaminoredi clZ. Con il secondofotodiodopossiamodire che la letturaè maggioredi cl4 ma sempre minoredi cl2.Conil terzosi puòdirecheè maggiore di 2cl8ma è ancheminoredi 3cl8 e con il quartofotodiodo si puòdireche è maggiore di 5cl16maancheminoredi 6cl16, quindinell'esempio la letturaangolarefinale,essendoc = 400 gon, sarà un numero g o n m a g g io re di 125 e mi n o red i 150gon. In manieraapprossimata siamo ora grado di fare questelettureangolari;I'errore massimoin questoesempiopoco realistico, è la metàdellapiù piccolasuddivisione, cioè+12,5gon:è chiarocheunaletturaangolare conerrorecosìaltoè insufficiente. Occorreora scendere dalprincipio di funzionamento allapraticaapplicazione. Non è possibileaumentaredi molto,per problemifisici di spazio,il numerodei fotodiodi,come pure non si può suddividereall'infinitola larghezzadella corona circolare del cristallo. Questosistemadi misuraassoluta,come pure quello incrementale avrà bisogno necessariamente di un secondosistemadi letturafine, che permettacioè la letturadi frazionidelle più piccoleparti interenellequaliè suddivisoil cerchio,in analogiaa quantoawenivaneiteodolititradizionali colsistemamicrometrico. Dei sistemimicrometrici più avanti,un cennose ne fece di letturadigitaleparleremo parlando del nonio,peroraci bastisaperechesononecessari. Abbiamoparlatodi letturadigitaleassoluta del cerchio,in questocasoinfattiè possibile sapere esattamentedove si trova I'ipoteticalettura di zero rispetto all'asse di c o l l i m a zi o n e . 5.10.2. LETTURAINCREMENTALE. Supponiamo di suddividere il cerchioin un certonumerodi partiche possonoessere spintesinoad una suddivisione minima(comuneanchenei cerchigraduatitradizionali analogici), ad esempioad 1/10di gon e supponiamo che non esistauna numerazione ma che esista una piccolasorgentedi luce sopra una zona dei cerchi (la zona dell'indice di letturadigitale). Sottoquestae sottoil cerchioun fotodiodo,sensibileal passaggiodellaluce,trasmette ad un circuitoelettronico i segnalidi chiaro-scuro di conteggio che,durantela rotazione passati dell'alidada, sono a causadei trattitrasparenti allalucee dei trattiopachi. Questoindicedi letturaper conteggio è solidaleall'alidada e misuracosìla rotazione tra il sensoreed una posizioneconvenzionale del cerchioche è solidalecon il basamento. (perchéassumead Si è in gradocioè,a partireda questozerodel tuttoconvenzionale, esempiola letturazeroall'accensione il numero strumentale) di sommareo di sottrarre di volteche il sensore"vede"unodi questipassaggitra il chiaroe lo scuro. qual'èla direzione Unodei problemi è capireautomaticamente di sommae qualequella questi di sottrazionedi conteggi,ad esempio I'orariadi somma e I'antiorariadi l9l

G. COMOGLIO E CARTOGRAFIA TOPOGRAFIA

Cap.5 LA MISURADEGLIANGOLI

sottrazione,in altri terminioccorrecioè capire qual'è la direzionedi rotazionedel cerchio. più sensoria fotodiodo,sfasatiangolarmente di quantitànote, Ciò si risolveutilizzando cioè postiin partidiversedel cerchio.Avendocollocatoattornoal cerchiopiù fotodiodi dell'alidada, con un certosfasamentonoto,a secondadellarotazioneorariao antioraria primao dopoI'arrivo dell'analogo segnale un segnalearrivasul trattoopacoo luminoso provenienteda altri fotodiodia secondache si ruoti I'alidadain senso orario od La sequenzadi trattitrasparenti ed opachiha cioèun certoordinese si ruota antiorario. in sensoorarioe I'ordine inversose si ruotain sensoantiorario. In generetutti i metodidi letturadigitaleusanopiù seriedi fotodiodidispostiin parti diversedel cerchio. quellodi deicerchigraduati: Vi è poi il problemaidenticoa quellodellaletturaanalogica dellamisuraangolarepiù spintadellaminima saperarrivaread una approssimazione servecioèun interpolatore. suddivisione; incisasu un da una secondagraduazione ll sistemainterpolatore è in generecostituito per le misure piccolovetrinodi cristallosolidalecon I'alidada(o con il cannocchiale principale in prossimità del sensoreottico,in modo zenitali)interposto allagraduazione tale che la luce,passanteper il cerchioe questasecondascalaproducadellefrangedi interferenza. Questevengonolette a loro volta con altri sensoridigitali(CCD) che i livellidi grigiodellefrangecosìprodotte. ricevono e misurano A secondadella serie di livellidi grigiodella figura di interferenzache è un tratto "rn",(ad esempiodi 16m,32m),o abbastanza ampiorispettoalle minimesuddivisioni per megliodire,a secondadellaposizione dei livellidi dei livellidi grigioe dell'intensità grigio,si ha la possibilità sullaquale all'interno dellaminimasuddivisione di interpolare cadeI'indice di lettura. in formadigitalee viene Questoawiene in quantoil segnaleotticovieneconvertito cosìosservatacon una sensibilità misuratolo sfasamentoA
U

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parteinternadel cerchioe la seconda(S) fissaal basamento ed esaminante la parte esternadellostessocerchio.

Q=n.9Lr+^l

T = n.Tr+AT

Figura5.28Sistemaassoluto dinamico LeicaWild Durantela rotazione del cerchioil segnaleluminosoad ondaquadra,trasformato dai fotodiodiin segnaleelettrico,permettead ogni istantet (la completarotazionedel cerchioawienein 338 ms),di misurarelo sfasamento fra i due segnaliS e R mediare tutte le numerosissime misuredi sfasamento eseguitein questobreveintervallo di tempo. La misuradi questosfasamento costituisce la misura"fine"dell'angolo. Similmente ai distanziometri ad onde,l'angolo
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Cap.5 LA MISURADEGLIANGOLI

giro del cerchioun contatoreconta il numerodi graduazioni dopo il passaggiodel riferimento da Lq sinoal comparire dellostessoin Lg. La misurafinedellaparteAq awienedopoaverconvertito il segnalecompleto(di 338 ms di durata)in formadigitale.ll segnaleviene analizzato attraversoun contatorecon frequenza di campionamento di 1,72MHz. Dunque338 ms osservati a 1,72MHzcorrispondono ad un numerodi campioni"C'in 4 0 0g o n : = 5 9 1 *1 0 3 c = 3 3 g*1 0 -3* 1,7 2 " 1 0 6 l 12l "visibile" La quantitàminima dal sistemadigitaleè alloradi 1= ( 4 0 0 . 1 63 ;l S A .* 1 1 0 3 =0 ,6 8mg o n t13l ll periododi chiaroscuroè di T= 338 ms/1024=339Ur. In realtànon si deve considerare la tolleranza limite"t" dellaletturama il suo scarto quadraticomedio o. lpotizzandoragionevolmente la funzionedensitàdi probabilità abbia la forma della distribuzione rettangolare e che il supportodi variazionesia appuntodi 0.68mgon,il valoredi o si ottieneda: . 0 , 6 8 mp o=t},2mgon n o = +::ff: Í41 "1 12 in quantosi hanno6 sensoridiametralmente opposti. Dobbiamoconsiderare ancorache le misuredi faseconteggiate sonoben 1024e, nel valutarela misura,si tienecontodi tuttiquesticonteggi; perquestola precisione teorica limiteaumentadi un fattore-!3^11024 La radicedi due al numeratore è dovutaal fattoche la letturaangolareè ottenutaper differenza dellefasiprovenienti dai segnaliR e S. In tal modosi ottienepero il valorelimiteminimo: d = + ( O , z m g o/n2 3 ) = 1 0 , 0 1m g o n [15] Lo scartoquadratico mediominimoottenutoin laboratorio, quindiin condizioni idealima non teorichedi misura,è statotuttaviadi 0,05 mgon.La casacostruttrice fornisceuna deviazione standarddi 0,15 mgonper entrambele lettureai cerchisecondole norme DIN 1872111).La risoluzione di letturaè tuttaviaspintaa 0,01mgon. ll compensatore a liquidosiliconico gli assidi rotazione agiscesu entrambi delteodolite: principale e secondario, ed ha una precisione di rettificadi 0,03 mgon,diminuendo I'influenza dell'errore di verticalità anchesullelettureazimutali. Di seguitoè illustratoil sistemadi misuracontinua,staticae con codificatore assoluto adottatoneiteodolitiTl000 T1600 (Fig.5.29). e delladittaLeica-Wild lcerchi azimutale e zenitaledi 78 mm di diametrosonosuddivisi in 1152graduazioni, raggruppabili in manieradistinguibile in 128settori(da0 a 127). = 9 informazioni ln ciascunsettorecioè vi sono 11521128 elementari(o divisionia secondadi comele si intendono) mm di 0,27 di interasse. In manierabinariaqueste9 suddivisioni contengono: un "marker", cioèun codiceche segnaI'inizio del settore,7 bit il numerodi settoreed un bitdi paritàper il controllo contenenti delleletture. I cerchi,fissirispettoal basamento od all'assesecondario del teodolite, sonoilluminati in prossimità dell'indice di letturaelettronico con un led a lucerossache illuminauna piccolapartedel cerchio:circa4 gon,di pocosuperiore alladimensione di un settore = 3.125gon,proiettando cheè 4001128 la luceal di là delcerchio. rchesonodivenutelo standardper valutarele precisionidi teodolititradizionalied elettronici. 194

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CaP.5 L AM I S U R A DEGLIANGOLI

La luce, dopo il passaggioattraversouna lente ingrandente,cade su un sensore formatoda unaseriedi 128fotodiodi. sonogovernati Questifotodiodi da un processore che converteil segnaleanalogicoluminosoin forma digitalecosicchéun numero perognunodeifotodiodi. binariotraducelo statoluce/buio Su 4 gon di ampiezza del segnaleluminoso sonoposti128fotodiodi, owero vi sonosu gon, questo un settoredi 3.125 100fotodiodi: esattamente è il sistemamicrometrico di letturaall'interno di ciascunsettore. 2.45 mm 4g=-ll

tacche

vertoredi 128 fotodiodi

3.2mm (A =0.025rnm)

Figura5.29ll sistemadi letturadelteodolite LeicaWildTi1600 ll diodo led illuminadunquesemprealmenoun markerdi settoree permetteal processoredi capiresotto quale dei due o tre settorisi trova il centrodel led ed il per la letturamicrometrica. markernecessario perla Chiamiamo dunquecon "N"il numerodi settorericonosciuto in manieraassoluta, partedi letturamicrometrica il processore traducein mododigitaleil numerodi frazione di settoref dazero a 100 corrispondente al numerodi pixelal di fuoridellamarcadi riconoscimento del settore.La letturaangolarecorrettasaràallora: ( N f ) . 4 0 0 T_ 128 Nell'esempio difigurala letturasaràN= 0 =128;f = 0.55cioèè il 55-esimo fotodiodo su 1 0 0u t i l i .

, - [l zs o'ss.+ool= 398.2815e-

\128) Ci domandiamoora qualesarà la precisionedi lettura.Notiamodapprimache le nove proiettatesu 100 fotodiodiconsentonodi stimarela partefrazionariadel suddivisioni settorecon una approssimazione superioreal pixel,cioè con scartoquadraticomedio di circa+0,15pixel.Perogniletturasi avràquindi: 5/1 oo. 4oo = +4.7n8on o,'1 o=* 128 Ogni 3 ms awiene una lettura.La misurasi ricavadalla media di 133 letture corrispondenti ad un intervallo di di 400 ms;il valoreteoricodi o si riducequindia: o-,..1-:

47

=*Q,4'e"n

.,/133

195

--

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Cap.5 L AM I S U R A DEGLIANGOLI

La casafornisceper il T1600uno sqm standard(a normeDIN 18723)di +0,5mgon, mentrela risoluzione arrivaa 0.1 mgon.Lo strumentoè dotatodi un compensatore a pendoloper I'indice zenitale. Vengonodi seguitocitatibrevemente alcuniulteriori sistemidi lettura. Nel sistemaassolutostaticoTOPCONi cerchi,sia I'orizzontale che il verticale, di 71 mm di diametro, sonoin realtàformatidall'accoppiamento flint di due dischidi cristallo di 4 mm di spessoreconcentrici e rispettivamente solidalialla partefissaed alla parte rotante(nelcasodel cerchioorizzontale I cerchisuddivisi all'alidada ed al basamento). proiettando in 1 gon il primoed in 2 gon il secondosonoosservati con un led le tracce in manierasimilea quanto di entrambisu un fotodiodoCCDche fungeda micrometro descrittoper lo strumento T1600.Le letturein realtàsonodoppiein quantodiametrali. Lo sqmdi letturadei cerchi(a normeDIN18723) è per lo strumento GTS6o GTSGAdi +0,6 mgon e la misuraavvienein 0,3 s. Questistrumentisono dotati di doppio compensatore. Lo strumento SOKKIASET2C è di caratteristiche e precisioni simili. Anchegli strumenti AGAsfruttano due cerchiconcentrici fissisolidaliallapartefissaed allaparteruotante. ll sistemadi letturaè incrementale. ll principiodi letturamicrometrica è induttivo essendole suddivisioni dei cerchiconduttrici e percorseda corrente.È possibile misurarela differenzadi potenzialeAV fra i due cerchi, massimanel caso di ricoprimento Perla misuraangolare e minimaa metàgraduazione. si contanoil numero la porzionedi lunghezza di lunghezze d'ondainteree si interpola d'ondaper mezzodi A/Danalogici convertitori digitali. ln questomodo, pur raggiungendo uno sqm (a normeDIN 18723)di +0,6 mgon, in comunead altristrumenti, si tiene realtàcontodi tuttala suddivisione del cerchio,in modoche questeletturesianoteoricamente esentidall'errore di suddivisione. Anche questistrumenti sonodotatidi doppiocompensatore. Infinecitiamoil sistemadinamicoincrementale dellaNIKONsullostrumentoDTMA6 ulilizzaun sistemache è simileal sistemadinamicoLeica-Wild. In questocaso la ditta +0,2 fornisceunosqmdi letturadi mgon.

r96

^b

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Cao.5 L A M I S U R AD E G L I A N G O L I

DEGLIANGOLIAZIMUTALI 5.12.MISURA In base alla definizione di angoloazimutale(vedipar. 5.1.) e a quantodetto in possiamoottenereil valoredi un angoloazimutalecome la precedenza sui teodoliti, tra due letturefattesul cerchioazimutalecollimandoil puntoavanti semplicedifferenza poi punto indietro. il e In generalenellemisuredi grandezze si possonocommettere erroridi topografiche lettura,di trascrizione e di individuazione del punto. Questi errori grossolanisi presentano più raramente quandosi utilizzano munitidi sistemadi teodolitielettronici registrazione dellemisure. rettificatoe perfettamente in Tuttaviasolo se il teodolitefosseperfettamente prima. nelmododescritto la misuradell'angolo azimutale si otterrebbe In generale, invece,in un teodolitemessoin stazione, sonoancorapresentii seguenti precisamente: erroriresiduie F i = €rforedi inclinazione, I'angolo chel'asseazformaconla normaleall'assear; ) c = errore d collimazione,l'angoloche I'asseas formacon il piano normale all'asseaz F y = erroredi verticalità,l'angoloche I'assear formacon la verticale nel puntodi stazione; Primadi esaminare le letture,è necessario ricordare comegli erroriresiduiinfluenzino che I'alidadae il cannocchialedei teodoliti sono costruiti in modo tale che la collimazionead un genericopunto P sia eseguibilein due posizionidiversedello strumento(posizioniconiugate),una con il cerchio zenitalea sinistra rispetto sono indicatecome all'osservatore, uno con il cerchio a destra. Comunemente "letturaa cerchioa sinistra"e "letturaa cerchioa destra"o "lettureconiugate''. cerchiozenitale a destra

cerchiozenitale a sinistra

Figura5.30collimazione a cerchioa sinistrae a cerchioa destra Lo studio degli erroriè molto complessa,tuttavia,qualoranon si intendacalcolare globaledegli errori,ma semplicemente, l'influenza ipotizzando che gli errorisiano piccoli poterne quadrati potenze i le da trascurare e superiori,studiarliin abbastanza primaapprossimazione, I'influenza si determina ditalierroriin modoseparato.

197

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Cap.5 L AM I S U R A DEGLIANGOLI

A E GL IE R RORIRESIDUI 5 . 1 2 . 1 . IN F L U E N ZD Nel caso in cui I'assesecondarioa2 (o asse di rotazionedel cannocchiale) non sia ortogonaleall'asseprincipalea4 e quindi, a strumento in stazione, nonsiaorizzontale, si dimostra .-__ che I'erroreresiduodi inclinazionei (vedipar. precedente) porta ad un errore sistematicor; nella lettura azimutale secondola seguente relazione: ,. E,=+ictgz [16] = dove con z si indicala misuradell'angolo zenitalesul punto - collimato. Ít L'erroreei ha valoree segnocontrarionel caso si effettuila letturasul cerchioazimutalenellaposizione"cerchioa sinistra" 1f ^ o"cerchioadestra". Da questarelazione si deduceche il suo valoreè massimoquandosi collimanopunti molto elevatio molto depressied è invece è nullo quando si collimanopunti all'orizzonte. Sempredalla relazione,si deduceche questoerroreresiduosi elimina facendola mediadelle"/effureconiugafe" sul cerchioazimutale. Quandol'assedi collimazione as non è ortogonaleall'asse secondarioaz siamo in presenzadi un errore residuo di collimazionec. Si dimostrache questoerroreresiduoc, cioè il valoreche mancao che eccedeI'angolorettoformatotra gli assi az € ?3, port? ad un erroresistematicoe" nella lettura azimutale secondola seguente relazione: €. = t-jsenz

[18] dove con z si indicala misuradell'angolo zenitalesul punto collimato. Comenel casoprecedente, I'erroree" ha valoree segnocontrarionel casosi effettuila letturasul cerchioazimutalenellaposizione"cerchioa sinistra" o "cerchioa destra". Dallarelazione si deduceche I'errore residuodi collimazione è massimoperpuntimolto elevatio moltodepressirispettoI'orizzonte. Anchein questocaso,la mediadelleletture coniugatepermettedi eliminareI'influenza di questoerroreresiduo.

collima

Anche dopo la migliormessain stazionedi questomondo, I'asseprincipale a1 (o assedi rotazione dell'alidada) non sarà mai perfettamente verticale,ma si scosteràda quest'ultima di un angolochiamato erroreresiduodi verticalitàparia v. Si dimostra che l'errore residuo v, ha come diretta conseguenzaun erroresistematicoeu nella letturaazimutale secondola seguente relazione: €y= v sen6 cotgz [20] dove con z si indicala misuradell'angolo zenitalesul punto collimato,con ò si indica l'angoloformato tra il piano la verlicale contenente e il puntocollimato e il pianocontenente la verticale e I'assedi rotazione dell'alidada ar. Da questarelazione si deduceche I'erroreeuè nulloquandosi puntosull'orizzontale (z = 100son) e anchequandoò = 0 ma, in quest'ultimo

198

^LÉ-

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Cap.5 L AM I S U R A DEGLIANGOLI

caso, non possiamotrarredelle conclusionioperativeperchéò, in pratica,resta un in quantononè facilmente individuabile il pianocontenente la verticale angoloincognito e I'asseprincipale ar. quest'ultimo Deitre erroriresiduiche abbiamodescritto, il è certamente perchénoneliminabile consemplicimetodioperativi di misura. imponedi misurareangolitra puntimoltoelevatio molto Quandoil rilievotopografico l'unicapossibilitàper limitareeu,è quelladi rimetterein depressirispettoall'orizzonle, stazionelo strumentoad ogni misuradi angoloazimutale.In questomodo si può ipotizzare che I'erroreresiduodi verticalità cambiin moduloe segnoad ogni messain stazione e quindiI'errore sullamisuraazimutale diventiaccidentale. 5.13.ERROREDI ECCENTRICITA L'erroredi eccentricitàdell'alidada è dovutoal fattoche I'assed1 îor'rpassaper il geometrico centro O del cerchioazimutalema in un puntoQ di eccentricità e. (vediFig. 5.31) centrogeometrico del cerchio

tracciadell'assea1

lo

o

eccentricità e

Figura5.31erroredi eccentricità Persemplicità l'origine coincidente con consideriamo dellagraduazione del cerchio(16) la rettacongiungente il puntoO con il puntoQ. per collimare In questasituazione un puntoP dovremoruotareI'alidada di un angoloo. principale punto La rotazionenaturalmente ar sul awerrà nel Q, tracciadell'asse cerchioazimutale: P c = angolodi cui ruotal'alidada 0 = angololettosulcerchioazimutale

Figura5.32erroredi eccentricità La letturasul cerchioazimutale,corrispondente alla rotazionedell'alidadadi u, sarà riferitainveceal propriocentrogeometrico O. Ne consegueche ad una rotazione a dell'alidada corrisponde una misuraangolare diversada o. Questoerroreè dovutoall'eccentricità e del cerchioazimutale. L a r e l azi o ntra e a e B sa rà :s=B +e 199

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Cap.5 L AM I S U R A DEGLIANGOLI

Se effettuiamo la letturasul cerchioazimutalediametralmente oppostaotterremoun p'valoreB' chesaràparia: B + n +2e

Figura5.33erroredi eccentricità F'-[-n chesostituita nellaprimaforniràil valorecorrettodi o: F'=F+ n+2e da cui , = 2 * = B, 2 +2 F'-F-ir-F+F'-ir

1211

quindi,per Per eliminareI'erroresistematico di eccentricità dell'alidada saràsufficiente ognidirezione le due letturediametralmente collimata, effettuare oppostee poifarnela mediaaritmetica. DII GR A D U A Z IONDEI 5 . 1 4 . E R R OR E CERCHI Altra fonte, non trascurabile, di erroridi misuraangolareè quelladegli erroridi tracciamento dellagraduazione delcerchiosiaclassico cheelettronico. puressendomoltoprecisa, puòesserenonuniforme. Questasuddivisione, La sommadeglierroridi tracciamento dellagraduazione del cerchio,valutatisu tutto l'angologiro è nulla,infattise in una zona del cerchiola distanzahradue tratti successiviè minoredi quantodovrebbeessere,in un'altrazona sarà owiamente maggiore. quandosi misuraun angoloazimutale, Per attenuarne l'effetto, bisognafarlopiù volte zonediversedel cerchioe comevaloreangolarepiù plausibile utilizzando si prenderà poiilvaloremediodellaseriedi misurefatte. perlimitare questotipodi errore,sono I metodidi misuradegliangoliazimutali, utilizzati duee fannoriferimento a duetipologie diversedi teodoliti: ) ripetitori F reiteratori I teodoliti ripetitori,normalmente meno precisidegli altri, hanno la possibilità di (mediante bloccarerigidamente un comandomeccanico) il cerchioazimutale allabase (comenellenormalicondizioni di lavoro)o alternativamente in modoche all'alidada, cerchioe alidadarestinosolidali. Dopoaverdecisoil numerodi ripetizioni dellamisurada eseguire(n),si procedenel modoseguente(vedifig.5.34): in prossimità a. portiamo lo Oson dellagraduazione delpuntoindietro; b. collimiamoil punto indietrocon il cerchioazimutalebloccatoal basamento, e facciamola lettural1: 200

b-_

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Cao.5 L AM I S U R A DEGLIANGOLI

c. collimiamo il puntoavantie facciamola letturaA1.La differenza tra le due letture forniràil primovaloredell'angolo
Figura5.34metododellaripetizione "ripetuto" Allafinedelleoperazioni, I'angolo n volte,saràparia: azimutale, 9=

A" -I, +k400e""

l22l

n

il ove k è il numerodi volteche, nellarotazione del cerchioazimutale, si è superato valore40Oson. Con questometododi misura,sarà quindisufficiente eseguiresolo due letturesul cerchioazimutale, la primae I'ultima. i notevolema, per le misuredi precisione, si utilizzano Questaè una semplificazione garanzie precisione. perché reiteratori teodoliti dannomaggiori di I teodolitireiteratoridispongono invecedi una vite (normalmente ben protettada un coperchioper evitarerotazionidel cerchionon volute)che fa ruotare,afrizione,il cerchioazimutale o sul basamento e nel microscopio di letturadei teodolititradizionali suldisplaydeglistrumentielettronici, e 400son. compariràuna letturacompresatra 0son (normalmente Unavoltadecisoil numerodi reiterazioni da due a quattro), da effettuare dettianchestrati,occorrecollimareil puntoindietroe imporreuna lettura(11)prossimaa E consigliabile Osonagendoopportunamente sulla vite di reiterazione. cominciare "cerchio (vedifig.5.30). I'operazione di misuranellaposizione a sinistra" Si farà poi la collimazione al puntoavantie la letturaAr. La differenzatra le due letture q1. forniràil primovaloredell'angolo

Figura5.35metododellareiterazione

20r

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Cap.5 LA MISURADEGLIANGOLI

La secondamisuradell'angoloazimutale,si farà ricollimando il punto indietroe 200e"" imponendo una lettura12ruotandoil cerchioazimutale di circa agendosullavite n

di reiterazione. Si farà poi la collimazione al puntoavantie la letturaAz.Ladifferenza tra le due lettureforniràil secondovaloredell'angolo
202

^brr.

-

G .C O M O G L I O TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Cap.S LA MISURADEGLIANGOLI

La sequenza delleletturesulcerchioazimutale saràla seguente:

1" strato 2 ostrato n" strato

collimazione con collimazione con cerchioa sinistrasu: cerchioa destrasu: BCDE EDCB BCDE EDCB BCDE

EDCB

procedere E opportuno comeindicatonelloschemae cioèeseguirele lettureconiugate partendo puntodellostrato(E)e concludere dall'ultimo sul primo(B). ln questomodosi avràla confermadellastabilitàdellostrumentodurantelo stratoo la d e n u n cidai a n o ma l i e . rettificarela Solo fra uno strato e I'altrosi potrà intervenireper, eventualmente, principale. verticalità MAIdurantele letturedi un singolostrato. dell'asse DEGLIANGOLIZENITALI 5.16.MISURA l'angolozenitale(owerola distanzazenitale) Si è definitoin precedenza del puntoP rispettoal punto O (centrodello strumento)come I'angolocompresotra la direzione in O e l'assedel cannocchiale dellaverticale checollimaP. grandezza Possiamodefinireoperativamente tale come la differenzatra le direzioni zenitalimisuratecollimandoil punto in oggettoe il punto posto sulla verticale.La le letturesul cerchiozenitaleeffettuate distanzazenitaleZpsarà,parialladifferenzatra in corrispondenza Z, = lr-lo delladirezionecollimatae dellaverticale: Per misuraretali angolii teodolitisono prowistidi un cerchioverticale(zenitale) a graduazione generalmente e quindimobilecon oraria,solidalecon il cannocchiale, (unacoppiadi indicidiametralmente essoe indicidi letturafissatisull'alidada opposti gli effettidell'errore consente di eliminare di eccentricità delcerchio).

Figura5.36- definizione di angolozenitale In realtànei teodolitiil cerchiozenitalevieneposizionato in modo da far coincidere graduazione (zero gon)con la direzione (ar),per cui l'originedella dell'asseprincipale in assenzadi erroriavremo:Ze = lp. ll cerchiozenitaleè posizionato in modotaleche,collimando la direzione dellozenith,si legga un valoreugualea zero gon; I'eventualediffe(enzadi letturasi chiama"zenit (vediFig.5.37): strumentale" o "errored'indice"

203

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Cap.5 LA MISURADEGLIANGOLI

zenitstrumentale e

Figura5.37- zenitstrumentale del cerchiozenitaleè crescentein senso Come abbiamogià detto la graduazione possono orarioe le letture essereeffettuatenelledue posizioniconiugatedi "cerchioa (CS)e "cerchio a destra"(CD). sinistra" al = verticale

CS al = verticale

Figura5.38- misuradi un angolozenitale indicando con la verticale, con S la lettura Nell'ipotesi ar coincida che I'asseprincipale "cerchio quella fattanella fattasul cerchiozenitalenellaposizione a sinistra" e con D posizione"cerchioa destra"avremo: D=400s-(Z-e) S=Z+e Facendola differenza delledue letturea cerchioa sinistra(S)e cerchioa destra(D) il valoredi Z depurato dellozenitstrumentale: otterremo S=Z+e D=400s-Z+t

e q u i n d iZ:

S-D =22-400s = S+4008-D

[23]

204

^>.-

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Cao.5 LA MISURADEGLIANGOLI

Facendola sommadelledue letturea cerchioa sinistra(S) e cerchioa destra(D) il valoredellozenitstrumentale: otterremo S=Z+e D=400s-Z+e S+D=2e+400s e q u i n d ie: =

s+o-400s

124l

Esempio di calcolo: posizione letturain cerchioa sinistraS = 83s,4326 e letturain posizione cerchioa destraD = 316s,5814 Z e dellozenitstrumentale e: Si calcoliilvaloredelladistanzazenitale D 3 1 6 , 5 8 1 4 +4008 _ 83s,4326+4008 =g3s.4256 ,_S 22 t-

S+D-4008

8 3 8 , 4 3 2 6 + 3 1 6 s , 5 8 1 4 - 4 0=0 8 08,007

22 per le misurespeditive(di bassa Lo zenit strumentale va preso in considerazione precisione) delledistanzezenitali:se infattiè nullo,avremoche: D = 400s- S e quindi il punto Z=S.La misuraspeditiva si esegueallorafacendouna solaletturacollimando conil cerchioa sinistra. Pereliminare lo zenitstrumentale, la distanzazenitalecorretta, si ricollima si determina vitefinoad il puntonellaposizione C.S.e si spostanogli indicidi letturacon I'apposita imporrela letturacorretta. 5.16.1. ERRORICHEINFLUENZANO LE LETTUREZENITALI La misuradi un angolozenitaleè affettada erroriderivatida difettidi montaggio, del cerchiozenitale, dalla non perfettarettificadel teodolite,da erroridi graduazione dall'influenza dellarifrazione atmosferica. posizionedell'origine Si è già parlatodell'eccentricità e dell'errata dellagraduazione (zenitstrumentale). Perquantoriguardala rifrazione, che I'angolodi si può dimostrare rifrazione mediante la seguente dipendedalcoefficiente di rifrazione espressione:

,= x*

esl 2R in cui K dipendedalla pressioneatmosferica, dalla temperatura e dall'escursione variada luogoa luogo,e duranteil corsodella termica.ll coefficiente di rifrazione giornata.Per distanzesuperioria 0.5 km, I'effettodella riÍrazionenon è trascurabile in misuredi altaprecisione. La misuradella distanzazenilalenon può esserereiterataper ragionicostruttive(il in modorigido),del restol'effettoineliminabile cerchioè collegato al cannocchiale della rifrazione rendele misurezenitalimenoprecisedi quelleazimutali e perciò atmosferica gli erroridi graduazione inutilel'ideadi correggere del cerchio.(La ripetizione delle perridurreI'influenza misureviceversa è consigliabile, di erroridi collimazione). Perquantoriguardagli erroridi rettifica, si può dimostrare agevolmente che I'influenza zenitale deglierroriresiduidi collimazionece di inclinazionei sullamisuradell'angolo dipendedai quadratie dai prodottidi i e c, si trattaquindidi un fattorepiù piccolodegli quandoil teodoliteè soddisfacentemente rettificato. erroristessie quinditrascurabile, 205

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Cap.5 LA MISURADEGLIANGOLI

L'erroreresiduov di verticalità,provocainveceun errorein Z dello stessoordinedi grandezza, per cui non è trascurabile: Persemplicità consideriamo un teodolite nelqualelo zerodellagraduazione del cerchio zenítale coincidacon I'asseprincipale a1 fiìaQU€st'ultimo non cóincidacon la verticale, esistacíoèun erroreresiduodi verticalità v.

residuodi verticalità Se applichiamo semplicemente la relazioneche calcolaZ ulilizzando le letturefatte al cerchiozenitalenelleposizioniconiugateS e D otterremoun valore della distanza zenitaleerratadellaquantitàv (erroreésiduo):

Figura5.40- erroreresiduodi verticalità S=Z+v

D = 400s- (z +v) S=Z+v D=400s-Z-v S-D=22-400s+2v S + 4 0 0 8- D

e quindi:

=Z+v

Se l'asse principalea1 è inclinatoin una direzionequalsiasicon v si intende la componente dell'errore di verticalità nelpianodi collimazione. 206

126l

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CaP.5 LA MISURADEGLIANGOLI

L'erroredi verticalità, che influisce direttamente sullamisura,è dell'ordine di grandezza della sensibilitàdella livellatorica servitaper la messa in stazionedel teodolite. (10"+30"), per cui è necessario predisporre una procedura che riducaI'effettodi v. Nei teodolitiotticomeccanicisi ricorread una livella zenitaleo all'indicezenitale automatico.Infattirisultaininfluente la giacituradell'asseprincipale, se gli indicidi possono lettura intorno ruotare verticale anche alla se I'alidada z principale, ruota intorno all'asse inclinatodi v rispettoalla I verticalestessa. Nel primo caso si dispone una livella torica di adeguata sensibilitàposta sulla traversadell'alidada, la cui rotazione spostaanchegli indicidi letturazenitali(latangentecentraledella livellaè parallelaal pianodel cerchio).Le lettureCS e CD al goniometro verticalesi eseguonosolo a bollacentrata.ln questo modo i due indici di letturasarannocomandatidalla livella, qualoraessa sia centratadopo ogni collimazione, e le letture saranno riferite all'orizzontale individuatadalla livella torica stessa,e quindiI'influenza verràeliminata. dell'errore di verticalità Figura5.41- livellazenitale L'operatore che utilizzaun teodolite con livellazenitaledevecentrarela livellazenitale primadi eseguirela lettura. Infattidetta S la letturanellaposizioneC.S. dopo il centramento della livella,che ha dunque la tangentecentrale orizzonlale,ruotandodi 200sonl'alidadala tangente centraledellalivellazenitalesi inclinadi 2v, se si ricentrala livellaprimadi effettuare la letturaD, I'indicedi letturasi sposteràin modo da far aumentarela letturadi 2v, indicandocon D' la nuovaletturasi avrà: S=Z+v D ' = 4 0 0 s- Z - v + 2 v S-D'=22-400s -D' ,S+4008 _Z

e quindi:

L'indice zenitale automatico, invece, realizza automaticamente I'eliminazione dell'erroreresiduodi verticalitàv attraversoun meccanismo a pendoloo una superficie liquida. otticio meccanici,ed altrevariazionipiù complesseche eliminano Questimeccanismi I'influenzadell'erroreresiduodi verticalità,fanno parte cosiddetticompensatori (utilizzati conaltrifiniancheneilivelli). L'operatore può eseguire che utilizzaun teodolite dotatodi indicezenitaleautomatico, preventivo. le misuresenzaalcunaccorgimento Neiteodolitielettronici si sfruttainvecela presenzadei rilevatori di verticalità: dell'errore il valoredellaletturafornitodallostrumentoè correttoin base allarilevazione dell'errore di verticalità.

207

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Cap.5 LA MISURADEGLIANGOLI

5.l7,ACCESSORI PERGLI STRUMENTT TOPOGRAFICI 5 . 1 7 . 1 . IL T R E P P IE D E L'impiegodi uno strumento topografico, nellosviluppodelledifferenti operazioni di misura,non può esseredisgiunto dalladisponibilità di un idoneosupportodi sostegno che, situandolo strumentoa una opportunaallezzada terra, possa consenlire all'operatore I'esecuzione dellediverseoperazioni. Questa funzione viene svolta dal treppiede: esso è costituitoda tre gambe a lunghezzaregolabile o fissa. I treppiedi a gamberigidesono utilizzatisolocon strumentidi elevata precisionenelle operazionidove la stabilitàdel sostegnogiocaun ruolo determinantenell'affidabilitàdelle misure(es.livellazione geometrica di precisione). altissima Le gambe del treppiede sono incernierate alla piastra di appoggio.La piastradi appoggioha la formadi un triangoloequilatero a spigoliarrotondatied è prowista di un foro centraleattraversoil quale passala vite di fissaggio che serve a vincofarerigídamenteal treppiede uno strumento (la basetta topografica) checollegail treppiede allostrumento. La vite di fissaggiopuò scorrereall'internodi un collare incernierato al di sottodella piastradi appoggio.Ruotandoil collaree traslandola vite di fissaggioall'interno del portarela vitedi fissaggio collare,è possibile in un qualsiasi puntodelJorodellapiastra di appoggio. L'operazione di messain stazionedel treppiedeconsistenelfar sì che il centrodella piastrasia all'incirca sullaverticale del puntoa terra(verticedegliangolida misurareo estremodella distanza)e che la piastradi appoggiosia orizzontale.Per far ciò, si sfruttal'azionecombinatadi un filo a piombocollegatoalla vite di fissaggioe, ove possibile, la possibilità di variarein modoindipendente le lunghezze delletre gambedel treppiede. Se i punti di stazionesono materializzati su manufatti,o pilastriniin muratura,il sostegnodellostrumentodi misurapuò essereassicurato dall'impiego di opportune piastreo basi per pilastrinoche, una voltacentratesul puntodi stazione,offiono un duraturo e stabilesostegno allostrumento durantetuttoI'arcodelleoperazioni di misura programmate. L'impiego di piastreo basiper pilastrino è particolarmente consigliabile nello sviluppodi misure di grande precisioneper lo studíodi piccolimovimentio deformazioni in strutturenonchéper lo sviluppodi reti di inquadramento di particolare interesse.

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L

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Cao.5 L AM I S U R A DEGLIANGOLI

5.17.2. IL FILOA PIOMBOE I PIOMBINI SPECIALI ll filo a piomboè costituito da un filoflessibile al qualeè legataa una estremità una massametallica con pesovariabileda 150g a 300 g aventela formadi un solidodi rivoluzione e cheterminaa punta,il cui assecoincide conla direzione delfilo. Tenendoil filo sospesoper l'estremosuperiore, libera,il dopo una breveoscillazione filo a piomboassumeuna posizionedi equilibrio disponendosi secondola direzionedel campo di gravità terrestre(verticale)passanteper la punta dellamassametallica. ll filo a piombo consentedi rendereverticaliaste (qualiad esempiole paline)e a riportarepiù punti verticale. sullamedesima Questaultimaapplicazione è in quasi tutti i casi ulilizzala quando vengono impiegatigli strumentitopograficiinferiormente ai qualivieneagganciato un filoa piombocheconsente di porre sulla medesimaverticaleil centro dello (vertice strumento degliangolida misurare o estrema di una distanzada misurare)con il punto a terra (puntodi stazione). Si sospendeil filo a piombocollegandolo al centro strumentale e si regolala lunghezza del filo,fino a quandola puntadel piombino sfiorail terreno. La precisione del filo a piomboè piuttostolimitataa causa dei disturbicausatidall'ariain movimento.Si può ritenereche l'erroredi gli strumenti verticalità residuosia paria circa /0'. Considerando di posizionare a circa 1.5m da terraquestoerroreresiduodi verticalità comportaerroridi individuazione del puntoa terradi circa4 mm. ll piombinoottico è costituito da un piccolocannocchiale, montatosul basamento di quasituttigli strumentitopografici, il cui asse di collimazione r vienedeviatoad angolorettoda un prismaa riflessione totale prolungamento e facendoin modoche esso sia sul dell'asse principale dellostrumento. Gli erroriresiduidi centramento del piombinootticosonosimili quelli piombini riscontrati l'uso a con dei a bastone. Recentementeil piombino ottico è stato sostituito dal piombinolaser.Nellostrumento vienemontatoun diodoche emetteun raggiolaserlungola direzionedell'asseprincipale dellostrumento. Lo schemadi funzionamento e gli erroriresiduisonoidenticia q u e l l id e l p i o mb i n oottico,ma I'operazione di centramento risultapiù agevoleper I'operatore.

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Cap.5 LA MISURADEGLIANGOLI

5 . 1 8 . S E GN A L I ll rilievomediante i metoditopografici terrestri awienemediante la determinazione delle coordinatedi un numerodiscretodi punti sufficiente a descriverne la forma e le in funzionedei futuriusi del rilievostesso.PerI'esecuzione dimensioni delleoperazioni di misuraè quindinecessario che i puntioggettodel rilievosianoben visibili;inoltre, (puntidi inquadramento) come vedremoesistonodei punti caratteristici usati come centridi emanazione del rilievodi dettaglioche devonoessererintracciati con sicurezza per tutta la duratadel rilievoe in molticasi anchein epochesuccessiveper eventuali integrazioni e aggiornamenti delleoperazioni di rilievoeseguitein periodiprecedenti. Per poter soddisfarequeste due esigenzeoccorre prowedere a una opportuna malerializzazione dei punti a meno che i punti scelti non siano già definiticon la precisione preesistenti. necessaria da particolari naturalie/o artificiali In entrambii casi i manufatti appositamente costruiti o già esistenti che definiscono in modoprowisorioe/o permanente un puntovengonodenominati segnali. I segnali possonoessere di vario tipo; alcune tipologiestandardsi trovano in commercioo possonovenirerealizzalisul posto,ma in molticasi occorreprogettarei segnalipiù adattiall'oggetto da rilevare, tenendopresentele seguenticonsiderazioni di caratteregenerale: F caratteristichedell'ambientenel qualesi trovanoi puntida rilevare(in zona apertao chiusa,illuminati naturalmente o da illuminare con dispositivi artificiali, in (nei nostri zoneseccheo umide,ecc.)e dellostrumento che li deve individuare munitodi reticolo casisolitamente un cannocchiale di collimazione); > caratteristichefisiche e naturali dell'oggetto(terrenofriabile,stradaasfaltata, paretein mattoni,paretepregiata,ecc.); F distanzaeffettivadi collimazione. ln funzionedel loro uso, i segnalipossonoessereclassificati in segnaliprowisorie permanenti. I segnaliprowisorip i ù utilizzatisono essenzialmente costituitida chiodi,picchetti, paline,stadiee miretopografiche. I chiodi sono particolarmente impiegatiin terreni molto compattio rocciosi,su stradeasfaltateo lastricatein pietrao anche in terreniincoerentiannegandoli in un massettoin genere hannoin calcestruzzo; una testagrossaper essere facilmente individuabili e su di essavieneincisoun bollinoo una crocettache individuaspazialmente il punto in modo esatto. I picchetti sonoi segnalipiùcomunemente in terreni utilizzati incoerentie sono costituitida paletti di legno, tondinio tubi in acciaiolunghicirca60 cm + 80 d cffi, appuntiti a una estremità,che vengono piantatinelterrenoin modoche ne sporgasolola I picchettiin legno hanno una sezione testa. til quadratacon latodi circa5 cm, oppurecircolaree per individuare esattamente il puntomaterializzato vienepiantatoun chiodosullatesta del picchetto stesso,oppurevieneincisaunacroce.

^-t-F-

Itt Y

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b.--*

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Cap.5 LA MISURADEGLIANGOLI

Allo scopo di facilitarela loro individuazione, la parte del picchettoche emergedal terrenovieneverniciata contintein contrasto conquelledell'ambiente circostante. Le palinesono aste a sezionesolitamente circolare,con dimensione di trasversale circa3 cm e di lunghezza variabileda 1 m a 5 m, verniciate, nellamaggiorpartedei casi,a striscebianchee rossealte20 cm per renderlepiùvisibili. Solitamente vengono realizzale in alluminio o in leghemetalliche leggeree sono munitea una estremità di in una punta metallicaper facilitarnela penetrazione terreniincoerenti. Le paline,per poter essere utilizzatedevono essere rese verticalie per questo scopo solitamenteviene usatauna livellasfericache controllal'orizzontalità di un piano perpendicolare alla palina stessa.In assenza della livellasferica,la verticalitàpuò essereraggiunta mediantel'uso di un filo a piombo controllando la verticalità lungoduedirezioni ortogonali. All'estremità superioredelle palinevengonofissatele miretopografiche che individuano un filo verticale e un per facilitarele misureangolarimediante filo orizzontale ico. Per la misura delle un cannocchialetopograf distanze,al centro di tali segnaliviene montatoun prismaretrorif lettente. Le dimensionidelle mire topografiche devonoessere sceltein modo da garantirnela visibilitàalla relativa distanza di collimazione. mire topografiche Le reperibili in commercio quadrate sono solitamente lati variabili con da 10 cm a 15 cm ed eventualmente munite di piastre di in modo da allargamento consentire una prima localizzazionedel segnale a occhio nudo da parte dell'operatore.

I

211

r

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Cap.5 LA MISURADEGLIANGOLI

per le operazioni I segnalipermanenti di rilievotopografico terrestredevonopresentare le seguenticaratteristiche : F esseredispostiin posizione in mododa risultare dominante visibilida qualunque latoanchea distanzenotevoli; F essereduraturineltempo,protettidagliagentiatmosferici, dal trafficoe da azioni, ancheinvolontarie, degliuomini. Se possibile, è opportuno disporrequestisegnaliin modochecoincidano con gli assidi torri, campanilio manufattidi acquedotti,spigolidi fabbricati,spallettedi ponti, ciminiere, su paretidi muridi sostegno o di dighe. Quando la zona è montagnosai segnalivengonodispostianche sulle cime di montagnee realizzalicon pali, capredi legnoo grossipilastriin modo da poteressere facilmente individuati e collimati. quandosi rendononecessarie, Le materializzazioni, vengonorealizzale con pilastriniin muratura, in acciaioo piùcomunemente in calcestruzzo, allicirca1,2m, oppureda *'f

fr

î1

fraiì \\l/

-,+

+ t:-

-E-

+-

|

Tl li +I F 3 "'t

Figura5.49- Esempiodi pilastrino e centrinidi supedicie e di profondità blocchiin calcestruzzo sullasommitàdei qualivienefissatoil centrinodi superficie che riportaI'esattaposizione del punto. possaesseremanomesso Nell'eventualità che il segnalepermanente o danneggiato, a vienerealizzala circa80 cm di profondità una secondastruttura,indipendente da quella postosulla di superficie, sullaqualevienefissatoun altrocentrino(dettodi profondità) medesima verticale di quellosuperiore. Abbiamogià accennato ad un'altraprecauzione che consentedi ripristinare il puntoin caso di manomissione: si posano nelle sue vicinanze,con materializzazioni simili,due o tre segnalisecondaricon centrinidi spia dispostiin modoche,con una seriedi triangoli di latinoti,sia possibile ripristinare il verticeprincipale.

Figura5.50- Disposizione deicentrini di spiaattornoal verticeprincipale

212

L

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Capitolo6 L A M I S U R AD E L L E D I S T A N Z E

Capitolo 6 LA MISURADELLE DISTANZE

DI DISTANZA 6.1. DEFINIZIONE La distanzatopografica tra due puntipostisullasuperficie terrestre(A e B) è definita dallalunghezzadell'arcodi geodeticache congiungele proiezioni Aoe Bodei due punti (vedi Fig.6.1). sull'ellissoide di riferimento I teoremi della geodesia operativaaffermanoche I'arco di geodeticaAoBo è praticamente coincidente con le due sezioninormalidefinitetra gli stessipunti per per la misura distanzeanchedi 1.000km. Tuttala strumentazione topografica utilizzata 213

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Capitolo 6 L A M I S U R AD E L L E D I S T A N Z E

delledistanze, operapersezioninormalie quindiin modocompatibile con la definizione di distanza.

As

Bo

Fig.6.1- Definizione di distanza tra due punti Nell'ambitodel campo geodeticola superficiedi riferimento(ellissoide)può essere approssimata con quelladi una sfera(sferatocale) di raggioR="[pl'{ tangentein un puntointermedio tra A e B. In questomodo,la riduzione delledistanzeallasuperficie di potràavveniresemplicemente riferimento come calcolodell'arcodi cerchiomassimo (AoBo) sullasferalocale. i n F ig . 6 . 2 . Lo schemaoperativo dellamisuradi unadistanza è indicato

Fig.6.2 - La riduzione di unadistanza Dove: CB AB Ao Bo AAo BBo OAo OBo

=

distanzaridottaalI'orizzonte(do) inclinata misurata(d) distanza distanzaridottaalla superficiedi riferimento(d.) quotadelpuntoA quotadel puntoB raggiodellasferalocaleR = N "[p raggiodellasfera localeR = ,[ p N

(d). Se vienemisurata, La distanza tra i puntiA e B, che normalmente è quellainclinata allaverticalepassanteper il puntoA si dal puntoB si conduceuna rettaortogonale ottieneuna distanzadodettadistanzaridottaall'orizzonte. Per effettuarela riduzioneall'orizzonte(do) e alla superficiedi riferimento(dn) è misurarela distanzazenitaleZ"e calcolare: necessario 2t4

h.--

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Capitolo6 L A M I S U R AD E L L ED I S T A N Z E

do = d, sinZo La riduzionedella diallasuperfície di riferimento si effettuanel seguentemodo: la distanzadn è pari alla lunghezzadell'arcodi cerchio d, massimo,appartenente alla sfera localein Ao di raggioB, sottesodall'angolo d sinò= +==

R+ Q^

, "

ò rperchéò è un angotopiccolo

Rd^ R+Qn

( dn n. , = : î - ro It.;. . o, \-' \ 'l\') t*;

considerando che la massimaquotaterrestrepossibile è di ci rca6 km ,il ter m ineOB/Rèdell;or dine di 103. 'n Trascurando i termini (eB/fl2,cioètrascurando i termini dell'ordine di 10-o, valela seguente ulteriore semplificazione: ,

[t.? .)

-

-l

= r - 92+ r er m ini tr ascur abiti

Quindila formulaper la riduzione delladistanzaallasuperficie di riferimento nelcampo geodetico assumela seguente formadefinitiva: d\ r = d vo| '[ r - ? ì

R

?]

/

n tabella tabellasonoriportati i valoridi Qo

60m 600 m 6.000m

al variaredellaquotadelpuntoB.

Ab/R

'10

10 1 0 -"

Si può osservareche la riduzionedella distanzaalla sfera localedeve esserefatta solamentequandoil terminecorrettivoOolF assumevalorisuperioriallo s.q.m.di misuradelladistanza.Per quoteinferioriai 6 m, il terminecorrettivoO/R è inferiorea 10-6e quindisempretrascurabile. Questariduzionealla superficiedi riferimento delledistanzedovràessereeseguitaper tutti i rilievi a scopo cartografico,mentre in ambito locale (rilievodi reii per il tracciamento di gallerie,funivieecc..)tale riduzionenon dovràessereapplicataper rendereimmediatamente confrontabili i risultatidel calcolodi compensazione con le misureridotteall'orizzonle sul pianolocale.

215

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Capitolo6 LA MISURADELLEDISTANZE

PER LA MISURADELLEDISTANZE 6,2, STRUMENTI La misuradirettadelle distanzein topografiaha semprecostituitoun problema praticamente irrisoltofino alla comparsadei distanziometri a onde elettromagnetiche (EDMo EODM)awenutaagli inizideglianni '60. Primadi tale data la misuradiretta delle distanzeveniva realizzalacon apparatimolto complessi(ad es. I'apparatodi la misuramediante il riportodi grandezze Jàderin)che consentivano campionelungola distanzaincognita,materializzate con fili in invarlunghi24 m circae opportunamente (unasquadradi tre operatoriimpiegava tesati.Questimetodieranomoltodispendiosi mediamente 1 giornoper misurareuna distanzadi circa1 km) e moltolimitatinell'uso, in quantosi potevano utilizzare solosu terrenimoltopianeggianti. Finoa pochidecennifa eranocomunquegli unicimetodiin gradodi supportare le precisioni di inquadramento ove si richiedono relativedell'ordine operazioni di 10-'.Nel per il qualesonorichieste precisioni rilievodi dettaglio, inferiori, solitamente sonostati (le metodidi misuraindiretta utilizzati delledistanze che impiegavano astecentimetrate particolari (teodoliti stadie)e teodolitimodificaticon I'aggiuntadi reticoli ad angolo parallattico peròla costantee tacheometri autoriduttori). Questimetodinon consentono misuradi distanzesuperioria 20Qm e comunquele precisionisono al massimo d e l l ' o r d i ne di 1 0 -3 . Già nel 1933 il sovieticoBalaicovbrevettòun distanziometro ad onde ed il connazionaleLebedevnel 1938 ne costruì un prototipo.Nel 1943 lo svedese Bergstrand il "Geodimeter", costruìil primostrumento commerciale: con portatafino a il sudafricano 10 km. Nel dopoguerra, Wadleiinventòinfineil primodistanziometro a portata precisione microonde(MDM) (chiamatoTellurometer) 150 km con sino a e poco precisie il metododi 2*10o. Questistrumentieranoancoramoltoingombranti, lento,ma un passoin avantiformidabile. misuraera relativamente (EDM = Elettromagnetic La misuraelettromagnetica delladistanzacon distanziometri DistanceMeter) awenne inizialmentecon strumentiche impiegavanocome onde portantile onde luminoseEODM (ElettroOpticalDistanceMeter)o che impiegavano (MDM= MicrowaveDistanceMeter). ondecentimetriche A partiredaglianni'70,sonostatipostiin commercio, a prezziaccessibili anchealla piccolautenza,i distanziometri a ondeche hannodefinitivamente decretato la finedei garantendo metodidi misuraindiretta delledistanze, un piùampioraggiodi azione,una piùelevataprecisione e unapiù rapidaesecuzione dellemisurestesse.La possibilità di misuraredistanzecon estremafacilitàha portatocome logicaconseguenzaa una rivoluzione dei metodidi rilievoe di calcoloconsentendo di svincolarsi aglioperatori dai vecchischemidi rilievoche privilegiavano ovviamente le misureangolaririspettoa quelledi distanza. Nei paragraf i seguenti ci soffermeremobrevementesui principi generali di rimandando funzionamento dei distanziometri a ondeelettromagnetiche, a testiclassici modernipossonoessere di topografiaper gli altri metodisopracitati.I distanziometri in strumenti la misuradellosfasamentotra I'ondaemessae cheprevedono classificati quellaricevuta prevedono la misuradi tempitrascorsitra e strumentiche due impulsio più semplicema, sinoa tra due trenid'onda.Questosecondometodoè teoricamente qualchetempofa, difficile da attuareper la scarsaprecisione con la qualeera possibile questiintervalli misurare di tempo.

216

L-_

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Capitolo6 LA MISURADELLEDISTANZE

A MISURADI FASE 6.3. I DISTANZIOMETRI sonooggi i più diffusi.ll funzionamento si basasull'emissione Questidistanziometri di una radiazioneotticacon lunghezzad'ondacorrispondente vicino(2 = all'infrarosso pm) prisma quest'ultimo che vienemodulata versoun retroriflettore; 0,78 e trasmessa rifletteuna partedell'ondaversoI'apparecchio riceventedell'EODMche interpreta la differenza di fasetra I'ondaemessae quellaricevuta. dipendedalla Questosfasamento distanza esistente tra il distanziometro e il prisma. presenti Nell'EODMsono dunque due parti, una trasmittente ed una ricevente. L'esigenza I'energia di mantenere concentrata dell'ondaemessa,e quindidi poterne riceverne di ritornouna buonaparte,fa sì che si debbanoulilizzare ondecon lunghezza vicino).Inveceper poter discriminare la fase con d'ondamolto piccola(infrarosso precisioneè necessarioulilizzareuna lunghezzad'onda metricae quindi bisognerà modulareopportu namenteI'ondaelettromag netica. 6 . 3 . 1 .L A MIS U R AD E L L AF A S E vieneemessada un estremoA delladistanzaD da misurare, Un'ondasinusoidale chesi supponeinferiore allametàdellalunghezza d'onda)",si riflettesull'altro estremo B e ritornanelpuntoA (vediFigura6.3).Lo sfasamento misurabile tra I'ondatrasmessa e I'ondaricevuta saràfunzione di D. 3a 6^

E oi :q

,onda uscente da A a l l ' i s t a n t e!

"t,

/

ú li onda rien{ranteín n / ! a i l , i s t a n t eI d o p o ./ ;r la rillessione in I i

Fig.6.3 - Principio dellamisuradelladistanza congli EODM(casoD
dove: S = ampiezza dell'onda = Znf 4r= pulsazione gs= Îaseiniziale c = velocitàdi propagazione

t3l A = ampiezza massima = f frequenza 2 = lunghezzad'onda= clf

217

Capitolo6 LA MISURADELLEDISTANZE

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

valoredell'oscillazione si propaga Per l'ondariflessa, tenutocontoche un determinato riproducei valoridell'onda con la velocitàdellaluce c e che quindil'ondarientrante 2D ^ur"^o'. uscentecon un ritardodi a, c

S,=Asen(@(t-L,)+go) S, = Asen(rrl/-ro4, +qo ) S,=Asen(o/-q+qo)

dovecon e = o At si indicalo sfasamentotra I'ondauscentee l'ondarientrante. ll doppiodelladistanzaAB (in andatae ritorno)saràpariallavelocitàdi propagazione p e ri l te mp oi mp i e g a to: 2D=cLt- .- 9 - ,+ =$i' d e ls e g n a l e (ù 2nf 2n e quindila distanzaD:

o =9\

t4l

2n2
(il rapporto$ variatra 0 e 1). d'ondaimpiegata 2n o Lo strumentoche misura lo sfasamentofra due onde si chiama discriminatore comparatoredifase. B di un numero intero di mezzelunghezze Se ora si spostail puntodi riflessione d'onda(A' si spostadi un numerointerodi lunghezzed'onda)è evidenteche lo non cambiaperchélungoil percorso2D si vienead inserireun numero sfasamento interodi lunghezze d'ondae si potràquindiscrivere: L D= I *nL 2n2 2

D=L+rL 2

t5l

fondamentale ad onde. dei distanziometri La [5] rappresental'equazione ll numerointeron si chiamaambiguità. ad ondeoccorrequindimisurarelo Per misurareuna distanzacon un distanziometro d'onda.
218

-E----

I Capitolo6 LA MISURADELLEDISTANZE

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

I discriminatori di fase utilizzatinei distanziometri topograficihannouna precisione 1r" -1di 2r, owero la misuradellosfasamentoè eseguitacon compresa + ' 1000 " 2000 frata l il i m iti:o,= u n os . q .m.o qco mp re so * t*

+ I+ 1000 2000 senzaerrore. llterminen, comegià detto,deveessereinteroe determinato lo s.q.m.delladistanzaD, ottenutacon la [5], dobbiamoricordarela Per determinare

lessedipropagazione dellevarianze [vedicap.4]:"; = f *l'oî \dql

1l

.

* l*l'"1 \d^/

.l*'l'"; \dn)

(oÎ),per L e v a r i a n z e d teei r m i nrie l a t i vail l a l u n g h e z z a d ' o n d a ) " (eoai )l l ' a m b i g u int à quantodettoprimasi possonoconsiderare trascurabili e quindilo s.q.m.delladistanza l . 2 r l . a D . =;ffi- = =*f

Dsarào,

o,

*

,o*-

dacui:

t6l 6 , .= + 1 1 g - t "2 Possiamoora calcolarela lunghezzad'onda). che dobbiamogenerareper mantenere nellamisuradelladistanzaD parià op= + 1 cm;dalla[6]ricaviamo: unaprecisione )" = 2.1d cffi = 20 rfi.

vedremoin seguito,sono Le onde elettromagnetiche utilizzatedai distanziometri, generatecon una )" di circa1 pm e quindiper poteressereutilizzatenellamisura primaesseremodulate in ampiezza d'onda sinoad assumereuna lunghezza dovranno d i2 0 m . n 6 . 3 . 2 .MIS U R AD E L L 'A MB IGUITA Se ipotizziamodi misurarela distanzamodulandoI'onda infrarossacon due in modotaleche I'ambiguità n sia egualeper ).r e 22prossime, frequenze di lunghezza la distanzaD attraverso: nelladistanzaD, si potràesprimere entrambe

t7l

D = L ,' 2* r' 2 \=1,^apLz ai I ( t, - ( P ' 4 dove L, e L, sonole partifrazionarie 4iT

t,=*) .

Si r icavaalto r a:

Lr-L, ll=-# At

l8l

42

22 L'ipotesisu cui si basa la [7] e cioè che si abbia un ugualenumeron di mezze )," L lunghezze d'onda----i- o ----:- è validafino ad una distanzalimite(Dtw) nellaqualeil 22 )"" numerodi mezzelunghezze d'onda ' e 2

superiore di una unitàal numerodi mezze

lunghezze d'onda4 (vediFig.6.4). 2

219

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Capitolo6 L A M I S U R AD E L L E D I S T A N Z E

Fig.6.4- Distanza limite Nell'ipotesi che).2sia minoredi )q e di misurareunadistanzamultipladi 2r (quindicon sfasamento nulloe Lr =6;' 1 l,^ D , , ^= n * ! ! = ( n - + 1 ')2' " 2 2 dacui: *

tel

)\,

[10]

ht-Lz

nella[9]fornisce: chesostituita n

L.L, 2(?,\ -),,2 )

[ 11 ]

Entrola distanzalimite,I'ambiguità n può esserecalcolatacorrettamente utilizzando solole due lunghezzed'ondah e ).2.Oltrela Dy11a ,si otterràla misuradelladistanzaD a menodi un numerointerodi Duu. ll risultatoottenutoelaborando la [8], non è un numerointero,mentrel'ambiguità altrononpuòessereche un numerointero. Occorreallorache la [8] forniscaun.valorerealecon uno s.q.m.tale da consentire di fissareI'ambiguità senzaincertezze. E necessario il che valorefornitodalla[8]differisca dall'intero di unaquantitàmassimaparia 0.2. Traducendo in termini statisticiquest'ultima affermazione abbiamo: 3o,<+0.2 112l

P,,l
Propagando la varianzanella[8] e supponendo notecon cerlezza).1 e ).2 otteniamo dunque:or1 = o 12= or = t1 cm e quindi6 4_,"=+1Jdcm la tolleranza del numeratore della[8]sarà 3or-, =3Jî

||l

{2- l=10.2 -o"-l l=l^1 l"zl l"rl lÀr

z-Tl lT-Tl

3

i .,-L r> 4 2 cm e quindL

^

a

L ' r_ h z

nlÀ

uo,'tz =21t.m

220,2

[13]

Se ad esempiosi assume2l= 20 m, dalla[13]si ottiene12= 19.58m e dalla [11], Duu = 466 m. Quindiutilizzando due sole lunghezzed'onda non sarà possibile misurare distanze superiori a 466m.

220

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Caoitolo6 LA MISURADELLEDISTANZE

6.3.3.MISURADELL'AMBIGUITA N CONIL METODODELLEDECADI d'ondamultipledi un fattore10. di più lunghezze Questamisuraconsistenell'utilizzo ).=20 m e suoimultipli di 10. Comeesempioassumiamo tra 0 e 10 m la [5]forniràun valorecompreso sia la distanzaD da misurare Qualunque perchéil terminedi ambiguità n non è noto.ll valoredelladistanzacosìottenutoavrà unaprecisione datadalla[6]paria 6p = * 1 cm :

1.=20m

la distanzaD sarànotaa menodi 10 m e relativi 0
)"=200m

0-
D s a r à n o t a a m e n od i 1 0 0 m e la distanza quindi resole esatte

jlYX'Xl'ajff"nno ou=!*rc',=*r0cm:?,.11: L

la distanzaD sarà nota a meno di 1.000m e relativimultipli;sarannoquindi esatte le sole o o = = 4 r c - 3= * 1 m relativeaglihm cifre 2 la distanzaD sarà notaa menodi 10.000m e 2=20000m 0
D'ONDA 6.3.4.MISURADELL'AMBIGUITA CONTRE LUNGHEZZE d'ondadi cui due pocodiversein mododa fornireuna Si impiegano tre lunghezze grande,e una terzasensibilmente Durvsufficientemente diversadalle altredue che permettedi eliminare n. Un esempionumericopuò chiarire le incertezze sull'ambiguità meglioil metodo. 2s = 9,52 m Ir = 10,00m 2z= 9,97m La Dtw corrispondente allelunghezze d'ondafu e )"2è secondola [11] di circa2.000m con cui si mentrequellacorrispondente a )q e As è di circa 100 m. La precisione (vedi[8]): relazione I'ambiguità n è datadallaseguente determina

'J1o,

* 0.9 ipotizzando comeal solitooL= f 1 cm e fu e 22 -hz generati oenerati sr abili senza erroriapprezz Z-Z di n pari a 3o, potremosbagliare Se assumiamola tolleranzanelladeterminazione I'ambiguità di una quantitàmassimaparia tre unità,in altreparolela distanzacalcolata puòdifferireda quellacorrettadi massimo30 m. )4 e ).savremoinvece: Utilizzando on '' =*z= ht

' J-zo,= + 0'06 o' = tffi

fatteper).t e )"2 conle stesseipotesi

2-T ln questocasoil valoredi n è calcolatosenzaerroredatoche 30, = 0.18e la tolleranza di misuradelladistanzaD saràparia che avevamoimpostoè paria 0.2.La precisione ,

4

(vedi[6]) o,, =*?lo-3= 0.005m z

221

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Capitolo6 LA MISURADELLEDISTANZE

ln sintesicon21 e ).2si ottieneladistanzaDcorrettanei km (finoal limitedi 2) e nelle centinaiadi m, con )"1e ).9 si determinano con cerlezzale cifrerelativeai dam,dei m, d e id m e d eicm. 6.4. PRECISIONE DEGLIEODM La precisionedella distanzamisuratacon un distanziometro ad onde, si valuta attraversodue costantica e cr. L3 prima,indipendente dalla distanzamisurataD e dovutaal discriminatore di fase, la seconda,dipendentedalla distanzaD, dovuta all'incertezza dellalunghezza d'onda2. Si è solitiscrivere: o , = *( c o+ c.,.D ) t14l I valoridellecostanticoe c7praticamente raggiungibili sono: c o= l + l 0 m m

c r= l = 5 . 1 0 - 6 ( p p m )

I valoriinferioridellacostaflt€ca,si possonoraggiungere nei distanziometri che usanoil metododi misuradellafase, mentrei valoriinferioridi cr si possonoottenerecon i distanziometri chesfruttano il metododi misuraad impulsi. q è indipendente L'erroredi misuradellosfasamento dalladistanzamisurataD e come dettoin [6],influenzasolamentela costanteco. La frequenza delleondedi modulazione, forniteda oscillatori a quarzotermostatizzati, ha una precisione relativacompresa fra 10-6e 10-7.ll valoredellalunghezzad'onda )" puòquindiesseredeterminato piùche sufficiente con unaprecisione datoche lo s.q.m. relativo di )"è ugualeallos.q.m.relativo dellafrequenza. L'incerlezzamaggioresi ha nelladeterminazione dell'effettivavelocitàdi propagazione il valoredi 2. delleondenell'aria che,a suavolta,influenza L'effetto )"è paria: dell'indice di rifrazione dell'aria sullalunghezzad'onda

ì"=L

t15l

nf dovecè lavelocitàdipropagazione dellalucenelvuoto,nè I'indice di rifrazione e f è la frequenza L'indicedi rifrazione n dipendein genere: di modulazione. (chesi ipotizza F dallacomposizione perdislivelli atmosferica modesti) costante D dallatemperatura: paria 1 grado(t) fa un errorenellamisuradellatemperatura v a r i a re2 d i 1 p .p .m paria 1 torrÍavariare)"di D dallapressione: un errorenellamisuradellapressione 0 , 4p . p . m . F dall'umidità relativa: un errorenellamisuradellatensionedi vaporegiocaun forte ruolo nell'erroredella determinazione dell'indicedi ritrazionesolo quando si (circa 100 volte superiore)ed è praticamente utilizzanoonde centimetriche questaè una delleragioniper nei distanziometri trascurabile ad onde luminose; cuisi sonoimpostigli strumenti la modulazione cheimpiegano dellaluce. ln definitiva si assume I'errore massimo quale errore dovuto al fatto che la propagazione (luminosao infrarossa)non avviene nel vuoto ma elettro-magnetica pressionee tensionedi nell'atmosfera. Non potendoconoscerei valoridi temperatura, vaporelungotuttoI'arcos che definisce la distanzada misurare, si usanovalorimedi quelli misuratiagli estremio i valorimisuratinellasolastazioneper correggere tra la distanzaD.

222

b.---

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6.5. L'ONDAPORTANTE E L'ONDAMODULANTE L'energiaprodottada un fenomenooscillatorio si propagain tutte le direzionie si distribuisce su una superficie che crescecon il quadratodelladistanzadallasorgente. L'energia inoltresi dissipalungoil percorsodatoche,in generale, non si può supporre che il comportamento del mezzoin cui I'ondasi propagasia perfettamente elastico(in un mezzoperfettamente elastico,l'energiaricevutada ogni puntooscillante verrebbe totalmente trasmessaal puntocontiguo). per cui piccole Un'altracausadi dissipazione è dovutaal fenomenodelladiffusione particelle prossimealla lunghezzad'onda contenutenel mezzoed aventidimensioni diventano sededi riflessioni e rifrazioni disordinate I'energia che disperdono contenuta nelflussoprincipale delleonde. Da quantoabbiamovisto,è necessario che una partedell'energia ritornialla parte riceventein quantitàsufficiente a misurarela faseo i tempidi ritorno. Questo si ottienevantaggiosamente usandoonde ottiche). = 0.3 + 1 pm e, più vantaggiosamente I'uso ancora, con di luce coerente (laser). Spesso la scelta vicino(r=0.85pm),migliorail segnaledi ritornoin condizioni dell'infrarosso di visibilità (delcampodell'occhio (debolifoschiead es.).Conl'usodel laser umano)noneccellenti si puòancheconcentrare unadiscretapotenzain piccoliangolisolididiminuendo cosìil consumoenergetico dell'apparato. Abbiamoperògià dimostrato che per discriminare fasi o misuraretempidi ritornodel segnalecon precisionesufficiente, occorronolunghezzed'onda metrichee non micrometriche. Per superarequestacontraddizione, la soluzione adottataconsistenel portante modularela otticacon lunghezzed'ondametricheo decametriche. La modulazionedel segnale ottico può awenire in ampiezza(negli EODM), in frequenza(perle microonde degliMDM),od in polarizzazione. più semplice,o modulazione La modulazione diretta,utilizzai fotodiodiall'arseniuro di gallio(GaAs)che hannola proprietàdi emettereuna luceinfrarossa(,?=0.85pm) con energiaproporzionale alla correnteche li attraversa:E = K /. Questacorrentepuò essere variata alla frequenzacorrispondente alle lunghezzed'onda metrichee necessariealla misura delle distanze,ottenendocosì un segnale decametriche (vediFigura6.5). luminoso modulato in ampiezza

Fig.6.5- Ondamodulata in ampiezza Nei distanziometri a laserElio-Neon la modulazione avvienein modoindirettoa valle del segnaleottico prodottoattraversoun oscillatoree l'utilizzodel fenomenodella birifrangenza.

223

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6.6. I DISTANZIOMETRI AD IMPULSI ll principio su cui si basa questo metodo di misura della distanza risulta concettualmente semplice,si trattadi misurareil tempoAt impiegatoda un impulso luminosoper andaredal distanziometro al riflettore e viceversa(Figura6.6).Nota la velocitàdi propagazione dell'impulso, la distanzapercorsasaràdatada: 2D: cLt [16] Le primeapplicazioni di questometodosono state realizzatein campomilitaree nei sistemidi misurasatellitariS.L.R.(SatelliteLaserRanging).L'impulsoemesso,di tipo laser, possedevatuttavia potenzetali da non essere applicabilein campo civile costituendoun pericoloper la vista.Ma se la potenzaemessapuò esserefacilmente resacompatibile con le esigenzedegliimpieghicivili,di maggiorerilievoè il problema richiestaper le applicazioni dellaprecisione di tipogeodetico_topografico. Affinchéla distanzaD abbiauna precisione minimadi 10-",occorreche sia v sia /f Nell'ipotesi sianomisurabili con tali precisioni. m/s,costantenota che c = 2.9979.108 5, con estremaprecisione, si ha che Atdeveessereprecisocirca10- cioèla sensibilità deveessere: 6 A r= 1 0 - 5 = ò A l =1 g -u 4 r t17l Lt

P e ru n a d i sta n za D = 3 msi h a ch ei l segnale r itor nadopo: At=2D/c:6/ 3.108s = 20 5 .20 = : ns e la sensibilità ns 0.2ps cioèdi circa2.10- 13 essere6At 10[17]dovrebbe s ottenibile soloconorologiatomici. Prismariflettente Trasmettitore Ricevitore Figura6.6- Misuraad impulsi Nel distanziometro moltostabiledi precisio ne p =3.10- I s a esisteun oscillatore per un frequenza f = 14.985MHz paria )"=20 m. Un diodoGa As vieneattraversato 12 ns, da una fortecorrentedi 20 + 30 A ed emetteun fasciodi temporistrettissimo, Dopoun lucelaser.La correnteè costantee stabilizzata in questobrevissimo intervallo. intervallodi tempoAt arrivaal ricevitoreil segnaledi ritorno.Questointervallo di tempo permette il calcolodi un valoreapprossimato cons.q.m.paria: delladistanza Y = *9 m o n = p ' c = 1 3 .l 0 -8s. 3 -rc8

[18]

J

Per distanzesuperioriI'orologio in modoesattosoloil numero di riferimento determina nell'intervallo di lunghezze d'ondacontenute di tempoAt tra il segnaleemessoe quello ricevuto. fondamentale f (il periodoT sarà con T il periododellafrequenza Chiamando paria 1/f),I'intervallo At tra lo Start(partenzadel segnale)e lo Stop(arrivodel segnale) sarà(vediFigura6.7): Lt =nT +to-tb

[1e]

aa^

L-

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Oscillatore di riferimento a circa15 Mhz

Start Stop

At

Fig.6.7- Misuradeltempotrascorso Pe rd i s ta n ze mi n o rid i 1 0 m i l va lor edi n è ugualeazer o.llvalor edi n è notoin quanto (vedi[18]). la distanza approssimata è notaconprecisione migliore deldecametro procedere E' necessario ad un affinamento dellamisuradel tempoentroun periododi (T); il tempo impiegatodall'impulso oscillazione è pari al numerodi periodiinteri trascorsi(nT) e dai tempi residuicompresitra lo start (fr) e lo stop (to)e la prima immediatamente oscillazione di riferimento successiva. Ciò è dovutoal fatto che I'oscillatore viene attivatoall'accensione di riferimento dello strumentoe non al comandodi startdell'impulso, con il quale,quindi,non risultain generesincronizzato. Per misurarecon precisione ta e tb si usa un convertitore tempotensione;essoè costituitoda un condensatore che si carica,per i tempi in oggetto,da una corrente per un tempodi caricacorrispondente costante; essendonotala tensioneraggiunta a (T),è facile,con una sempliceproporzione, ricavarei tempi un periododi oscillazione residuirichiesti in funzionedellatensionein essiraggiunte dalcondensatore. start

Oscillatore di riferimento

Convertitore - tensione tempo I I

F i g .6 . 8 - Misuradeltempot"

Indicando neltempof e con Q la tensione con q la tensioneraggiunta dal condensatore raggiuntanel periodocompletoT si avrà:

225

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IT

qO

[20]

Con f si indicanosuccessivamente L e poi t6. Dopoognimisuradi tensioneed entroun intervallo cheal massimo devedurareun ciclo,il condensatore vienescaricato. vienecioèapertodal Questocondensatore (vediFigura6.8). segnaledi starte chiusodallaprimarampadelsegnaledell'oscillatore Perla misuradi t' essendoil segnalericevutomoltodebole,si preferisce farela misura dopoavermodulatoquestosegnalecon la frequenzadatadallostessocircuitodi oscillazione. rivelatore Un "circuito di zero"misuraràcomeil primozerodellasinusoide smorzatache si ottienecomerisultatodi dettaoperazione. Perpotereffettuaremisuredi tempocosìprecise,nonsi può prescindere dai ritardidi fasedell'orologio internodovutiai ritardiparassitidell'elettronica dei circuitiinternio di qui nonpiùtrascurabili. altrisistematismi Perquestomotivo,oltreallamisura"esterna" deltempo,cioèdelsegnaledi ritorno,avvieneancheunamisurainternadi calibrazione, primadell'uscita, catturando unapartedel segnaleemessoe misurandone il tempodi percorrenza neicircuiti, cioèa distanzanulla.Questitempiassumono valoririlevanti in relazione in gioco;ad esempiosi possonoavereritardidi 100ps ai tempinormalmente cuicorrisponderebbe di circa15 km. Poichéentrambi i segnali unadistanzamisurata percorrono quello lo stessocircuitointerno, sottraendo altempomisurato di calibrazione è possibilericavareil tempodel solopercorsoesterno. La misuradelladistanza avvienetenendocontodeitempidi inviodi migliaia di impulsi (o in modalità emessia 2000Hz di frequenza centinaia e ciò consente tracciamento) di ricavare e fornireancheil numerodi misurefattee lo s.q.m.dellestesse.Unosolodi questiimpulsipermette in teoriadi determinare la distanza e ciòconsente di seguire agevolmente ancheoggettiin movimento. Attualmente sul mercatogli strumenti di questotiposonoad esempioil Dl 3000DIOR dellaLeica,I'ELDI10 dellaZeissed il modello101dellaFennel.I vantaggi di questi strumentisonouna maggiorportataa paritàdi potenza,si possonoraggiungere i 6 km perpiccoledistanze conun prisma,in genereunamaggiorprecisione e la possibilità di prismi. essereusatisenza E' sufficiente sinoa200 + 250m di solitoI'energia di ritornodellasuperficie colpita anchese lo s.q.m.in questicasidecresce a t(5+10)mm. Sonomoltele applicazioni chepossonobeneficiare dell'assenza del prisma(vediFigura va postanellacomprensione 5.9)anchese grandeattenzione di qualeparticolare dell'oggetto collimato si misurail segnaledi ritorno. La misurarisultapiùrapidadel metododellafasee la distanza limitead esempionel Dl 3000è di 75 Km anchese la portatamassimaè di 14 Km.Essendoin generela piùpiccolache neidistanziometri secondacostantedi precisione a misuradi fasesi può direchegli EODMad impulsisianopiùprecisiper lunghedistanze. Nellasecondametàdel 1998sonostatecommercializzaÍe le primestazionitotalidotate di distanziometri a impulsi.LEICA,NIKONE TOPCONcommercializzano stazionitotali reflector-le,ss in un con possibilità di misuraredistanzesenzaprismaretroriflettente raggiovariabileda 100m a 150m attornoal puntodi stazione.ll loroambitoapplicativo piùvantaggioso nelrilievodi dettaglio saràsenz'altro di edificie di interni(miniere, le stazíonitotali cave,condotteforzale,gallerie,ecc.)e prevedibilmente sostituiranno dotatedi distanziometri a differenza di fase. 226

L-_

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Capitolo6 L A M I S U R AD E L L E D I S T A N Z E

Fig.6.9- Misuradelladistanzasenzaprisma

227

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Caoitolo6 LA MISURADELLEDISTANZE

6.7. RIFLETTORE PASSIVO L'estremodella distanzada misurarenon occupatodallo strumento,deve essere individuabile opportunamente. Inoltre,se vengonoutilizzatigli e quindisegnalizzato in gradodi inviare EODMè necessarioporresu questoestremoun sistemariflettente questo verso il distanziometro la maggiorpartepossibiledell'energia da emessa;la riflettente superficie dell'onda elettromagnetica è costituita da unoo piùprismi. Nel caso di strumentiad impulsisi possonousareanchespecialicatarifrangenti o segnaliriflettenti od ancoranullase nonla superficie stessadell'oggetto. ll motivodell'usodei prismiè semplice:ridirigere la maggiorpartedel segnaleverso I'EODM;ciò awerrebbesolo in piccolaparte utilizzando specchio altri mezzi.La quantitàdi energiache ritornaal distanziometro deveesseredi potenzalaleda eccitare il circuitoche ordinaal discriminatore di fase la misuradello sfasamentorispetto all'ondaemessa.

Fig.6.10 - prismaretro-riflettente e schemadi funzionamento in Fig.6.10)permette, infatti,di ll principio di funzionamento del prisma(schematizzato ridirigereun fasciodi luce parallelamente alla direzionedi incidenza.ll prismapiù semplicesi ottienetagliandouno spigolodi un cubodi cristallocon un pianodi taglio normalealladiagonale delcubo. prismi ll numerodi necessario ad assicurare una buonarispostadipendedal tipo di distanziometro e dalladistanzadamisurare.

228

L-_

-

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Capitolo7 L A M I S U R AD E I D I S L I V E L L I

Capitolo 7 LA MISURADEI DISLIVELLI

7.1. STRUMENTI PERLA MISURADEIDISLIVELLI per la misuradeidislivelli. ll livelloè lo strumento chevienemaggiormente utilizzato La primaconsiderazione da fareè che il livellonon può essereconsiderato un veroe proprio"strumento di misura"(anchese così continueremo a chiamarlo)poichéè necessario disporreanchedi un'unitàcampionecostituitada una scalagraduatao stadia. In questocapitolodescriveremo le caratteristiche costruttivee di funzionamento dei più livellie le diffusetipologie di stadie. 229

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Capitolo7 L A M I S U R AD E I D I S L I V E L L I

7,2. LA STADIA graduata,a sezionerettangolare La stadiaè un'asta(di legnoo metallica), e con lunghezza variabiledi 2, 3 o 4 m. Comeabbiamosopraaccennato vengonoutilizzate nelle operazionidi livellazionegeometricaassolvendoalla duplice funzionedi provvisoria segnalizzazione di un puntoe di vero e propriostrumentodi misura.Per facilitareil trasportovengonosolitamente costruitein più pezzi resi solidalida una cerniera.

Sulla faccia anterioredella stadiaviene riportatauna graduazione mediantetratti alternatidi colorebiancoe nero (o biancoe rosso),dellospessoredi un centimetro. vengonoriportatele cifreche rappresentano Sullagraduazione i metrie i decimetri. nell'intervallo di graduazione Questeultimecifre sono posizionate successivaal tratto il valoreeffettivo. che ne rappresenta In ogni puntodellastadia,si può eseguireuna letturacomprensiva di metrie decimetri(lettidirettamente dallecifre impressesulla (contati grazie stadia),centimetri all'alternarsi dei tratti a colori diversi)e millimetri (stimati solitamente all'interno di un intervallo dellagraduazione). La stadia deve essere posizionatasulla verticaledel punto con lo zero della graduazione in basso.ll controllodellaverticalità avvienemedianteuna livellasferica particolari. montatasulcorpodellastadiae, quandonecessario, utilizzando sostegni Da alcuniannila graduazione è statasostituita da una codificaa barreper consentire I'utilizzo nelseguitodi questocapitolo. deilivellidigitali, di cui parleremo

230

^L.--

--v

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Capitolo7 LA MISURADEIDISLIVELLI

7.3. IL LIVELLO ll livelloè uno strumento topografico che consentedi disporreI'assedi collimazione in assettoorizzontale. di un cannocchiale geometrica,uno dei Questostrumentoviene utilizzalonelleoperazionidi livellazione per misurareil dislivello metodiche analizzeremo tra due punti. parti: Un livelloè costituito dalleseguenti F basamento:è una strutturarealizzalacon una piastrarecanteal centroun foro filettato il bloccaggio checonsente dellostrumento sultreppiede e da unaseconda piastra,munita di livella sferica,il cui assetto rispettoalla prima piastra del basamento, mediante è controllabile tre viticalanti; F traversa: è una strutturameccanicasimile all'alidadadi un teodolite,ma notevolmentesemplificatarispetto a quest'ultima.Infatti la traversa deve consentiresolamente la rotazione del cannocchialeattorno ad un asse perpendicolare al basamento; F cannocchiale: è dellostessotipodi quelliutilizzati neiteodoliti. F livelle:per poterrendereorizzontale I'assedi collimazione i livellidevonoessere precisione dotatio di una livellatoricadi alta solidalecon il cannocchiale o di dispositivi automatici. L'operazione di messain stazione di un livelloè piùsemplice dellamessain stazionedi quanto, parlando geometrica, un teodolitein come vedremo di livellazione occorre solamente centrarela livellasfericadel basamento. ll primolivellodi concezione modernarisaleallafinedel 1660(Chézy): è dotatodi livella Agli torica. inizidel 1800compareil livellodotatodi cannocchiale e livellarigidamente fissataad unatraversa(Egault). In seguitovenneprogettato il modellodi Wild,cui si sono ispiratiun gran numerodi modellifino a metàdel 1900,dotatodi cannocchiale fissatoalla traversa,e di livella (tipo fissata torica al cannocchaile inglese). A partiredagli anni '50 compaionoi livelliad orizzontamento automatico, detti anche Entrambiquestilivellidevonoessereutilizzaticon stadiea graduazione, autolivelli. mentrei recentilivellidigitalidevonoessereutilizzati con stadiecodificate. - MECCAN|CI 7.3.1.L|VELL|OTTTCO I livelliottico- meccanici si distinguono in: F fivellia orizzonlamento dell'assedi collimazione mediantelivellatorica ) livellia orizzonlamento automatico dell'assedi collimazione Questiultimihannoassuntosempremaggioreimportanza e diffusione, sostituendo quasitotalmente i precedenti. Di seguitosi accennerà dapprimaai livelliche hannobisognodi una livellatorica(livelli a vite di elevazione) di precisione, considerando due variantiimportantitra le diverse soluzioni. La gammadellesoluzioni strumentali è infattiassaiampia:questilivellisi differenziano in baseallecaratteristiche delladisposizione del cannocchiale, che è fissoo mobile,o alladislocazione dellalivella.

23r

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Capitolo7 LA MISURADEIDISLIVELLI

fattaper tipologiacostruttiva è la seguente: La classificazione, comegià accennato, (dettilivelliinglesi); livellia cannocchiale fissocono senzavitedi elevazione livellia cannocchiale mobilee livellafissaallatraversa; (dettilivelliChézy); livellia cannocchiale mobilee livellafissaal cannocchiale (detti livelliLenoir); livellia cannocchiale mobilee livellamobile ruotabileattornoal proprio livellicon livellea doppiacurvaturae cannocchiale assea manicotto.

ennocchú m {e

p:cso spss

convitedi elevazione Figura7.2- schemadi livelloottico-meccanico fattapertipologiacostruttiva è la seguente: La classificazione, comegià accennato, (dettilivelliinglesi); F livellia cannocchiale fissocono senzavitedi elevazione ) livellia cannocchiale mobilee livellafissaallatraversa; (dettilivelliChézy); F livellia cannocchiale mobilee livellafissaal cannocchiale F livellia cannocchiale mobilee livellamobile(dettilivelliLenoir); ruotabileattornoal proprio ) livellicon livellea doppiacurvaturae cannocchiale assea manicotto. un livellotradizionale convitedi elevazione. Lo schemadi figura7.3 riguarda su una ll livelloè costituito da unatraversagirevoleattornoad un asseZ e imperniata di rendereverticaletaleasse. basecon viti calanticheconsentono da un pernoe da una ll cannocchiale è collegato allatraversacon un sistemacostituito possa piccole rotazioni intorno ai suoiappoggi. in modoche subire vitedi elevazione, ica, Al cannocchialeè rigidamentecollegatauna livella,munita di viti di rettif generalmente d'immagine. si trattadi unalivellaa coincidenza 232

L--

Capitolo7 L A M I S U R AD E I D I S L I V E L L I

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Un livello si dice rettificatoquandoI'assedi collimazionee la tangentecentrale dellalivellasono tra loro paralleli(vediFig.7.3). centrarela livellatoricaequivalequindia rendereorizzontale Per un livellorettificato, I'assedi collimazione.

lraversa

---\-rrl!f1d!.

jigr

basamento

Figura7.3- Schemadel livelloa

hialeconvitedi elevazione

La "messa in stazione"consiste dunque solamentenel centrarela livella sferica dellalineadi mira si ottieneprimadi ogni sofidalecon il basamento,I'orizzontalità letturaalla stadia centrando la livella torica attraversola vite di elevazioneo al autolivellante. dispositivo collegato alla il cannocchiale saràrigidamente Se al livellomancala vitedi elevazione, se I'assedi collimazione traversa(vediFig.7.4);inquestocasoil livellosi diràrettificato dellatraversa. sarànormaleall'assedi rotazione e di la verticalità dell'asse, di realizzare La livellatoricae le tre viti calanticonsentono costruttivo lo schema è di collimazione. Questo dell'asse conseguenzal'orizzontalità caratteristico dei livellidi minorprecisione. i

senzavitedi elevazione Figura7.4 - schemadi livelloa cannocchiale questostrumento dal teodolite: chiedersiin cosadifferisce È immediato sono scomparsii cerchi e I'alidada,esiste ancora un'asseprimario(Z), ma il cannocchialeè incernieratosulla traversae la vite di elevazionepermettela sua rotazionedi pochigon rispettoai puntidi appoggio. L'erroredi rettificadi un livello,è I'angoloe che I'assedi collimazioneforma con la tangentecentraledellalivellatorica(vediFig.7.3).

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Ancheeseguendocon estremaaccuratezzalarettificadi un livelloun erroreresiduo rettificapermanesempre,e può essereconsideratonullosolo neglistrumenti di meno precisi,mentrenei livellidi precisione, di afta e altissimaprecisiorieoccorreoperare tenendopresenteche I'influenza dell'errore di rettificanonpuò esseretrascurata. ll metodopiù semplicee sicuroper eliminare l'influenzadell'errore di rettificaconsiste nel porrelo strumento ad egualedistanzadalledue stadie(vediFig.7.5).In tal caso l'erroredi letturach_e si commette,paria d tange, è ugualesulledue stadiein valoree segno,per cui la differenza dellelettureeseguiteIn- l, è ugualealladifferenza1,4- l,g dellelettureteoricheche si sarebberoeseguitein assenzadi erroredi srettifica.

Figura7.5-influenzadell'errore di rettifica ln g,enerepoichée è piccolouna differenzadiqualchemetrotra le distanzedelle due stadie non comportaun sensibileerrorenel dislivello,ma è opportuno,ipecie nelle I liv_ellazioni di altaprecisione, verificaree correggere I'erioredi sretiifica. I livellisi rettificano medianteI'esecuzione di due battutedi livellazione che permettono il calcolodell'errore di rettifica e nelseguente modo: ) datidue puntiA." B, sui qualisoìo postedue stadie,ad unadistanzadi 60-70 m, si effettuauna battutadi livellazionedal mezzoper determinare,con il livello srettificato, il dislivellocorrettoAae(vediFig.7.5). D si spostapoi il livelloin una posizioneprossimaal puntoA e si effettua una livellazione tra gli stessipunti,calcolando questosecondodislivelloL,ou=(to_tu) che è differentedal primo,perchéin B è concentrato tutto I'erroredi srettificadel livello(vedi Fig. 7.6).

a

A

Figura7.6- rettifica di un livello Datala modestaentitàdelladistanzaîrastrumento e stadie,sí può trascurarel,erroredi curvaturae di sfericitàin entrambii puntie rimanesoltantoI'effettodell'errore residuodi srettifica nelpuntopiùdistante. 234

--

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Capitolo7 LA MISURADEIDISLIVELLI

Dallafigura7.6si puòverificare semplicemente che: L a u= I o - l o = ( l A + t d ) - ( t ' u+ e D ) Loo=lo-lo-e( D-d ) L o u = A o u- € ( D - d )

da cui L ^,,- L',^,, D-d

t1l

L'angolo e, naturalmente, in radianti. di srettifica è espresso Se il livellofosse statorettificato, sullastadiain B si sarebbedovutafare una lettura: l'n= ln -ED '

la lettura su B, per CalcolatopertantoI'erroreeD che si commettenell'effettuare rettificare il livello,si procedeall'imposizione dellaletturaesattain B, agendosullevitidi rettificadel reticolostrumentale. 7.3.2. AUTOLIVELLI I'orizzonlalità Gli autolivelli realizzanoautomaticamente dell'assedi collimazione non appena attraversoun meccanismoottico- meccanicochiamatocompensatore, prossimoalla I'assedi rotazionedella traversasia stato posto sufficientemente verticale. Gli schemicostruttivi adottatisonoi più disparatie vengonochiamatiotticio meccanici a secondache il reticolosia solidalecon il cannocchiale oppuremobileall'interno dello ll compensatore strumento. è dotatodi componenti sia otticheche meccaniche. Lo schemasemplificato in Fig.7.7 di funzionamento di un autolivello è riportato (in realtà Sia OR I'assedi collimazione orizzontale, e O sia il centrodell'obiettivo per il momento, I'esistenza secondopuntonodale); trascurando, dallalentedi messaa fuoco e ipotizzandoun oggettopuntiformeP posto praticamente a distanzainfinita, punto l'immagine del si formeràin R. (al massimodi 0.5son), o dell'asse I'immagine Se vi è una rotazione di collimazione del puntoP si formeràin R'. Perriportare l'immagine in R possiamo seguireduestrade: ) utilizzare in C e aventeall'altroestremoil reticoloR che un'astarigidaincernierata crdell'asse realizziautomaticamente allarotazione di collimazione una rotazione B in questocasoè il reticoloche si spostain dell'astastessa(sistemameccanico); R'; F fare in modoche la radiazione luminosasia sempreinviatada C a R anchein presenza (sistema a dell'asse di unarotazione di collimazione ottico).

Figura7.7-schemadi un autolivello

235

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Capitolo7 LA MISURADEIDISLIVELLI

La relazione_tra le grandezze in giocoè assaisemplice: RR'=.f cr= s0 f

F=La,=na" J

In realtà la situazioneè più complessa,soprattuttoa causa della presenzadel dispositivo di messaa fuoco. Infatti alla condizíonemeccanícaoccorreràaggiungereanche condizíonidi natura ottica,impostedal fatto che si usa una lenteJóhe quindila distanzatra il reticoloe I'obiettivo non è costante,ma dipendedalladistanzadell'oggetto dall'obbiettivo. Si.consideri poéi tormaalladistanza il puntoP sull'orizzontale perO; I'immagine q data dallaprimaformulafondamentale dellelenti: 1 1- 1 + d q -f

dove:

d=distanzaoggettolente immagine lente Q= distanza f = distanzafocaledellalente

Tenendopresentela predetta formulaed il seguente sviluppo: 111 _=_ dcosu 11f qcls(J

qcosa" f l1

=-

f

dcoss"'

E con riferimento allaFig.7.6: qcosa,=m+lcos\ I sin$ tana= m+lcos$ s i n' p - ' s \ f I

f n t + l c o s $ ) = t o ! ! qr r- o r, - -r-a- = t o " a f r 1 " ' I I dcosa.'

{t:

'B = ! - s ( 1 + l t I d' si ottienecosìche I'angoloB di cui deveruotareil braccioè funzionesia di crche di d I disposítiví pendolarisonotalida imporreal braccio/ la rotazioneB,correttdper d = oo. dell'angolo B. = ío ,cheè funzionesolamente di rotazione a. ,

Figura7.8- Condizioni ottichein un livelloautolivellante Ne deriva dunque un errore di orizzontalità dipendentedalla distanzadal punto collimato, in quantola rotazione totalenecessaria è: B = p"* {o Id 236

-

Capitolo 7 L A M I S U R AD E I D I S L I V E L L I

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La rotazioneaggiuntivapuò essere evitata, senza peraltro introdurreun errore anallattico, e ponendoil fuoco centralmente impiegando sistematico, un cannocchiale (Si ricordache a dellostrumento. risultante di rotazione sull'asse anteriore dell'obiettivo anallatticoè fornitodi una lenteconvergenteche realizzauna lente un cannocchiale in un puntoprefissato delcannocchiale). risultante obiettiva aventeil fuocoanteriore da tre elementi: è comunque definito Un compensatore F un elemento fisso(prismaottico) F un elementomobile (pendolo),che forniscela direzionedella verticaleo dell'orizzontale per lo smorzamento che può delleoscillazioni del compensatore, F un dispositivo esseread ariao magnetico. adottatoe a a secondadel tipo di compensatore Pertantogli autolivellisi distinguono molteplici luminoseutilizzato, secondadel sistemaotticodi trasportodelleradiazioni sonole soluzioniadottatedallecasecostruttrici. meccaniciod ottico - meccanicia pendolo,e Si possonodistinguerecompensatori a liquido:i primi fornisconola direzionedella verticale,poi legata compensatori quest'ultima. direttamente da schemiottici,gli altriforniscono all'orizzontale a pendolocosìconcepito: ll livelloNa dellaAskaniamontaun compensatore proveniente da uno specchiodispostoa 45";al è intercettata l'immagine dall'obbiettivo che formacon lo specchioun sistemaa doppia di sopravi è un prismarettangolare le faccedel prismae dellospecchiosono riflessione; se l'assedel livelloè orizzontale, parallele ed emergente. e paralleli sarannoanchei raggiincidente un piccoloangoloo allorail del livelloformacon I'orizzontale Se I'assedi collimazione rinvieràI'immagine allafacciadel prisma, formatoda pendoloe specchio compensatore saràdeviatodi nonpiù a essoparallelo, deviatadi cr(vediFig.7.9).ll raggioemergente qui è pneumatico, cioè dovutoall'aria 2cre ricadràsul reticoloin R. Lo smorzamento contenutanelpozzettoin cui è contenutoil pendolo.

Figura7.9- Schemadi livelloAskania Altre case costruttriciutilizzanoun compensatoreanalogo ma con smorzamento magnetico(Autom della ditta Breihtaupt).lnoltre è possibileutilizzareun pendolo inveceche dritto(BNAdelladittaErtel). rovescio(astatico) L'angoloB, dato dalla rotazionedella strutturaelastica,secondo le equazionidi elasticitàè data da B=a

l-lcos(N/EJ)2 l- cos(N / EJ )2

in cui | è la lunghezzadell'asta,avente

E, ed N è il caricodi punta.(vediFig.7.8). momento d'inerzia J e modulodi elasticità

z)t

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Capitolo7 L AM I S U R A D E ID I S L I V E L L I

Figura7.10- Schemadi livelloconpendoloastatico La Kern (ora Leica)ha costruitoilivelli GKO-A,GK1-Ae GK2-A,basatisu sistemi diversi. ll principio che schematicamente è il piùsemplice è quelloadottatonell'autolivello GK1A d e l l a K e rn ,ch e u ti l i zzau n o sp ecchio( S in Fig.7.11)incer nier ato al cor podel cannocchiale che rimanesempreverticale,e che è postoa metàdellalunghezzafocale del sistemaobiettivo. L'immagine vienedeviatadi un angolougualee contrarioall'inclinazione dell'assedi collimazione del cannocchiale, e, messaa fuocosul reticoloR, vieneda qui portata namenteall'oculare. opportu ll cannocchiale è a lunghezzacostante,così che è presentenel precorsootticouna lentedivergente che servea metterea fuocoI'immagine, cioèa portarlasul pianodel reticolo. Ogni meccanismocompensatore deve essereestremamente sensibileper essere preciso; altrettanto ne derivache le oscillazioni potrebbero del sistemacompensatore durareancheparecchisecondi;per owiarea ciò questisistemisonodotatidi organidi smorzamentoche sfruttanole proprietàdi un liquidoviscoso,un gas od un attrito magnetico.

Figura7.11- Principio di f unzionamento dell'autolivello KernGKl -A ll dispositivocompensatore entra normalmente in azione per piccoleinclinazioni dell'assedi collimazione del cannocchiale. Sarà quindisemprenecessariorendere orizzontale la traversagraziead una livellasfericaad essasolidale(in questistrumenti è owiamenteassentela livellatorica). Di solitoè possibilefar oscillarevolutamenteil sistemacompensatore attraversoun bottoncinoesternoopportunamente situatosullostrumento.Questaoperazioneviene perverificarel'efficienza fattasaltuariamente del compensatore. Vi sono infinedei compensatori graziead un otticiche devianoI'assedi collimazione pendolodirittocostituito da una piccolaastaflessibile, sullaqualeè postacomemassa (vediFig.7.12) un prismariflettente. Tuttiquesticompensatori impongono I'orizzontalità dell'asse di collimazione con s.q.m. che varia da +0.1" a r2"; più avantifaremouna distinzione di questistrumentiin globaledellaprocedura funzione geometrica. dellaprecisione di livellazione 238

T

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Caoitolo7 LAMISURA D E ID I S L I V E L L I

Figura7.12- Compensatore otticoa pendolodiritto

7.3.3.LIVELLIELETTRONICI Nello sviluppodell'automazione dei livelli,si è giuntianche alla realizzazionedi in cui cioè la misuraè realizzatasenza strumenti con letturaa scansione elettronica, cheI'operatore debbaleggeresullastadia.

Figura7.13- livelloelettronico ll principiogenerale consiste nell'utilizzodi appositi rilevatorisensorialiche sostituiscono I'occhiodell'osservatore nell'apprezzamento della graduazionedella possibile stadia:si trattadi un dispositivo rilevatore, rende che la misuraautomatica del 239

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Capitolo7 LA MISURADEIDISLIVELLI

dislivello e delladistanzatra il puntodi stazionedellostrumentoe la posizione della mira. Dal puntodi vistaottico- meccanico, i livellidigitalisi basanosu principianaloghiagli precedente. autolivelli, di cui si è discussonel paragrafo Mancacioèla livellatoricadi precisione, ilivelliclassici, che caratlerizza mentreè invecepresenteun compensatore giàdescritti. il cuifunzionamento è basatosu diversiprincipi Ci si occuperàalloradellecaratteristiche ottico elettroniche del sistemalivello- stadia. Occorreinfattichiarireche di digitaleed elettronico vi è solola letturaallastadia. I meccanismi su cui è fondatala letturadellestadienei livellielettronici sonosvariati, per quanto così come la relativainterpolazione, come del resto awiene riguardai teodoliti elettronici. Nonessendopossibile esaurirela trattazione, si farannosoloalcuniesempi. generale principio In il di letturadella stadiaè simileal principiodi letturadi una sequenzadi codicia barre,perciòle stadieabbinateallostrumento sonostadiesulle qualiè incisauna particolare Lo strumentopuò tuttaviaessere sequenzacodificata. abbinatoanchea tradizionali stadiegraduate. percorso per ll la digitalizzazione dellemisuredei dislivelliè statopiù lungodi quelloper la misuradelle distanzee degli angoli,forse perchélo strumento automatizzare preposto a questotipodi misuraè composto da organiseparatiqualila stadiae il livello. ll primo progettodi livellodigitalerisaleagli anni '60, ma per le prime realizzazioni pratichebisognaarrivaresinoaglianni'80,quandola Zeisscostruìun sistemain grado le partifini, mentrequellepiù grossevenivanomisurate di leggereautomaticamente per via ottica:la tecnologiadei CCD e l'introduzione dall'operatore delle stadie i commerciali. codificateportarono alle prime realizzazion I livellidigitaliLeicaWild N42000e N43000sono oggi moltodiffusi:essi hannole medesimecaratteristiche in questo ottichee meccaniche di un normaleautolivello; modopossonoessereutilizzati ancheabbinatialletradizionali stadiegraduate. Le stadiein dotazionesono di legnocentimetrate od in fibre ottiche;su questesono inciseda un latole graduazioni in formatobinario(a barre)e dall'altro le graduazioni in formatotradizionale. ln Fig.7.14è raffigurato lo schemadel livellodigitaleLeicaWildN42000. L'apertura angolaredel sistemaotticodel livelloè di 2o,dunquela massimalunghezza dellastadiadi 3,5 m è visibilea circa100 m ed il minimocampoalla distanzafocale minimadi 1,8m, corrisponde a circa70 cm sullastadia. 1 obietri\o 2 Encoderdi messa afuoco 3 Lenteanallattica 4 Spia di controllocompensato 5 Acquisitoredigitale 6 Oculare 7 Sistemammoensatore 8 Divisoredi immagine

Figura7.14- Schemadellivelloelettronico LeicaWildNa2000

240

^b.-_

-

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Capitolo7 LA MISURADEIDISLIVELLI

I'occhiodell'osservatore) Una matricedi diodi (che,comegià osservato, sostituiscono ricevel'immagine del codicea barredellastadia,(vediFig.7.15)dopo che è stata luminosa che provvedea separarela componente deviatada un prismasemiriflettente infrarossa dallacomponente e riescea derivareun segnalecaratteristico. ll rilevatore infattitrasformaI'immagine del codicea barrein un segnalevideo;tale segnaleviene poi amplificatoe digitalizzato con un convertitore analiticodigitaleper produrreun segnaledi misuraconsistente in 256 pixelscon dinamicada I bit, corrispondente a 256valoridi grigio.

Figura7.15- stadiacodificata di correlazione la formadi questosegnale Unaprocedura all'interno del livellointerpreta riuscendo a stimarela distanza la lettura tra il livelloe la stadiae contemporaneamente allastadia. Viene calcolatauna distanzaapprossimata attraversola letturadi un encoderche misuralo spostamento dellelentidi messaa fuocodell'immagine. Questadistanzad serve a stabilireapprossimativamente una scala dell'immagine digitalericevuta:,1=L in cui k è una costantestrumentale, mentres é la posizione ,s

dellalentedi messaa fuoco. 241

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L'immagine del codicea barregiungeattraversole lentiad un vettoredi diodiricevitori che deviauna partedi luminosità(la dopoesserepassatada un prismasemiriflettente sensibilea questa su un sensoredigitaleparticolarmente componenteinfrarossa) parte passare visibile umano. la all'occhio componente e lasciando al e digitalizzato ottenendo allafine un segnaledisponibile ll segnalevieneamplificato processore che dovràcalcolarela letturaallastadia. ll sensoreè costituitoda un vettoredi 256 fotodiodispaziatifra di lorodi 25 pm per una lunghezza totaledi 6,5 mm. il segnaleimmagine del trattodi stadiacon un La correlazione consistenel comparare ridottoallastessascala. residentenel livelloe preventivamente codicedi riferimento e dellascala. La tecnicapermetteil calcolodell'altezza della all'immagine Di fatto il processore calcoladi quantoil segnale,corrispondente (cuicorrisponde la lettura0,0000 porzionedi stadia,vada traslatoa partiredall'origine di riferimento esistente. con il campione m sullastadia)per poterlofar coincidere proporzionale La alla distanzalivello+stadia. è La scalada dare al codicememorizzato f unzionedi correlazione chelegaquestiduevalorid ed h è datada: 1N

r\d,h)= _LQ(y)-P(d.y+/zd ) ove: N ?-" P è il segnaledi riferimento Q è il segnalemisurato da massimizzare. r è la funzionedi correlazione il segnalebinario(256). N è la lunghezzacon la qualesi è discretizzato

ht\

..<:r::lill -,':-::r:^:,

..1,; . .,:;ì,:,i,.,,'.,,

''..i.ì..i',,, '.,1,,1, .. -- .,. :, , , . , .,;., :

di correlazione dellafunzione Figura7.16- Massimizzazione le bidim ensionale; L a F i g . 7 . 1 6 mo strai l ti p i cop i ccodellafunzionedi cor r elazione la distanzad e la letturah allastadia. del piccofornisconorispettivamente coordinate di usareun numerodiscretodi valoridi Percercareil valoremassimodi rconsiderando (d,h),occorrein teoriaeseguirequestiprodotticirca50.000volte con tempi di attesa inaccettabili. fattaa due livelli,grossae fine. Si ovviaa ciòcon unacorrelazione riduce internocui si è giàaccennato, derivata dall'encoder Già la distanzaapprossimata limitando la dinamica drasticamente si riducono dell'80%I'areadi ricerca,le operazioni del segnaleda 8 bit ad 1 bit in quantoil prodottoP O consistein una velocissima binariaexnol checonsistenelporread 1 il risultatodel prodottoper Pi+Qi. operazione tla funzionexnor è estremamente (è xnor ù) = f' Si ha infatti in terminibinari: rapida:ad esempioI'operazione = ASCII 138 è= 10001010 carattere ASCII 151 l1= carattere ù= 100101 = carattere ASCII226 f= I 1100010 puòessereestesoai numeridi Il valoremassimodi (x xnor y) si avràsemprequando* = y. h stessoragionamento lunghezzasuperioread I byte=8bit. 242

L--_

--

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r ( 4 , É ) = î ( i ,j ) = Q (j ) e x n o r P (ji), Di seguitoè fornito un esempiodi operazionexnor. P = 0 0 1110 0 0 11 . . . . 0 0010 Q = 11 0 0 11 0 0 1 0 . . .1. 1 0 0 r = 0 0 0 0011110 . . . . . . 0 011 .

ll segnaledi riferimento P nellaespressione di sopraè ovviamente scalatoe traslatoin funzionedi d e di h. Ricavatii valoristimatidi d ed h, la correlazione fineutilizzatuttigli 8 bit del segnalema soloall'interno di unalimitata areadi ricerca. Siccomel'ampiezzamassimae minimadel segnalericevutoe quelladel segnaledi riferimento sono diversea secondadellaluminosità, la funzionedi correlazione viene normalizzataall'internodell'intervallo [0-1]. Ciò permetteanche di capire se si è raggiuntastatisticamente una buonacorrelazione. Viene utilizzal.a come funzionedi ot correlazione I'espressione del coefficiente di correlazione linear e:.p = da cui s i orol

ottiene: rrn( d,h ) =

-1 --LO,P, -O P N

l,

-o'lr , -F' )zr; ltrn:

La proceduradi valutazione tieneconto,oltreche delladistanzae del conseguente fattoredi scala, anche del fatto che i pixel individualidel rilevatoremostranouna sensibilità trapezoidale alla luminosità: il segnaledi riferimento allora,primadi essere correlatocon il segnalefornitodal sensorelineare,è modificato da una convoluzione dellafunzionedi codiceconla funzione di sensibilità del rilevatore. ll calcoloconsidera la possibilità di possibili oscuramenti di partedellastadiaa causadi possono percircan 20%dell'immagine. ostacoliche esseretollerati senzaproblemi Se si desideracompierele operazioni di rilievoin condizioni di luminosità artificiale occorreche lo spettrodellalucecomprenda anchele componenti infrarosse. ll software interno permette di riconoscereanche dove sono localizzalezone dell'immagine coperteo contrastate da fortiombre. E beneperòche per I'affidabilità dellamisuraquestezonenon sianosuperiorial 20'/" dell'immagine. Perdiscriminare in modoinequivocabile la zonaoscurata sononecessari solo70 mm di codice,perciòal di sottodi 5 m di distanzanonè possibile che la stadia sia copertada alcunostacolo. ll livelloNA3000differisce dal livelloNA2000per la densitàdi ricercanell'area fineche è maggiore di circatl40%. ll codice inciso sulle stadie abbinateai livellidigitaliconsistein una sequenzadi intervallibianco/neroed è un unico numerobinariopseudostocastico(senzasotto r i p e t i z i o ndii)2 0 0 0 e l e me n ti ,ciascuno possaus ar e di2,025pm :lastadiapiùaltachesi è d u n q u ed i 4 ,0 5m. La precisionedel risultatodipendedal segnalericevuto,o meglio dal rapporto segnale/rumore e dalladiscrelizzazione, anchese la qualitàdell'ottica, la precisione del compensatore, hannoowiamentela loroimportanza. Per livellazioni di bassa precisionesi possonousare le stadie in fibra di vetro componibili in tre pezzidellalunghezza totaledi 4,05 m e di 50 mm di larghezzasinoa 100m di distanza dallastazione.

z+J

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ad Nei livelli DLl01 e 1O2Topcon, la stadiaha un triplicecodiceche corrisponde La prima parte è a tratti,distantisempre3 cm: i segnali altrettanteinformazioni. di spessore di talistrisce. corrispondono a variazioni poi parte laterale a segnali Vi sono altre due informazioni, corrispondenti sulla di non avereambiguità di dellastadia,per permettere sinusoidali, sfasatidi +n all'inizio fase per la lunghezzadella stadia.Dalla frequenzadalla fase dei tre segnalisi si ottienedallafrequenzadel ottengonola distanzae la scala:la primainformazione primocodice,che aumentacon I'aumentare delladistanza. è sempreparia 30 cm Nei livelliDiNi 10/20di Zeiss,la porzionedi stadiainquadrata indipendentemente dalladistanzaîra stadiae livello.La stadiaha trattiin codicedi 2 I'unitàdi misurada interpolare. L'operazione di misuraprevedela cm, checostituiscono stima della distanzalra stadia e livellomediantela valutazionedel fattoredi scala fissadi stadiaproiettata dall'ottica sulsensoreCCD. dellaporzione dell'immagine la quota viene determinata Quindi medianteun semplicecalcolodi interpolazione possono 1.5 m 100m di stadie da a collimare dell'asse di collimazione. Questistrumenti distanza. di una battutadi In generaleI'impiego dei livellidigitaliabbassail tempodi esecuzione possibile registrando i il del dislivello, inoltre direttamente calcolo livellazione; è eseguire ad allromezzoinformatico. datiautomaticamente e trasferendoli delle che permettela memorizzazione Gli strumentisono infattidotatidi un registratore lettureeseguiteallestadie. caratteristiche tecnichedei tre Nellatabellaseguente,vengonoriassuntele principali precisi presenti livellidigitalipiù oggi sul mercato: Caratteristica Precisione constadiain invar(mm/km) misuradelladistanza(mm) Precisione Precisione del compensatore Campodel compensatore Tempodi misura(s) Campodi misuraconstadiain invar(m) Peso(kq)

Leica N43003 0.4 10 0.3" + 15'

Zeiss DiNil0 0.3 10 0.2"

4

4

+ 1s',

1 . 8+ 6 0 1 . 5 + 1 0 0 2.5 3

Topcon DL101 Q.4

10 0.3" + 15' , 4

2+60 2.8

244

^L--

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7.4. QUOTAE DISLIVELLO Primadi affrontare per la misuradei dislivelli, la descrizione dei metodiutilizzati è necessario approfondire il concetlodi quotadi un punto(vedipar.'1.3). Abbiamogiàvistoche per le quote,è necessario riferirsi al camporealedellagravità,e quindial geoide,inveceche a superficiteorichenote solo matematicamente, quali (vediFig.7.17). l'ellissoide

superficie terrestre

geoide ellissoide

Fig.7.17- Quotaortometrica, allezzaellissoidica e ondulazione del geoide In termininon rigorosipossiamodefinireil geoidecome quellaparticolare superficie equipotenziale che passaper il livellomediomarino;è evidenteche il puntodi quota zeropuòesseredeterminato in corrispondenza del mare. L'operazione si eseguecon I'aiutodi opportunistrumentidetti mareografiin gradodi calcolaree anche rappresentaregraficamenteI'andamentoaltimetricodel mare depuratodal motoondosoe mediatodai suoimotiperiodici. Conriferimento allaFi1.7.17,definiamo: F quotaortometricao semplicemente quota (H = PPo)di un puntoP (indicata normalmente conQp)la suadistanza dalgeoidemisurata lungola lineadi forza cheè ancheortogonale al geoide; F altezzaellissoidicadellostessopuntoP (h = PP')la suadistanza dall'ellissoide, misurata lungola normaleall'ellissoide stesso; F ondulazionedel geoidela differenza tra le duequote(N = PoP"). Definiamo dislivellotra duepuntiA e B la differenza di quotaortometrica tra due punti: superficieterrestre

Fi1.7.18- Dislivello Lt, = Qu-Qo

l2l

Comesi vede il dislivello è positivoo negativoa secondache la quotadel secondo puntosia maggiore o minoredi quelladel primo.Questaè unasceltadeltuttoarbitraria che si adottaper convenzione.

1A<

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7.5. METODIDI MISURADEIDISLIVELLI Con il terminedi livellazionesi intendeI'insieme delleoperazioni di misuraeseguite perdeterminare il dislivello fra duepunti. Le metodologie impiegateper la livellazione si differenziano dal puntodi vistadelle procedureseguitee deglistrumentiutilizzati, e in base alla naturadellegrandezze osservatee rilevate. I metodidi misuracon cui si eseguono le livellazioni sonodirettio indiretti,intendendo con questo termine quei metodi di livellazioneche richiedonola preventiva determinazione o conoscenza delladistanzatra i punti,dei qualisi vuolecalcolareil dislivello. (livellazioni Tra le livellazioni indipendenti ricordiamo: dalladistanza dirette), geometrica:si utilizzaunostrumento ) la livellazione chiamatolivello,corredato da micrometro duestadie,un eventuale a laminapiano- parallela e variaccessori; F la livellazione idrostatica:si utilizzaun sistemadi vasicomunicanti e si sfruttail principiofisicoche in questivasi il pelo liberosi disponelungo una superficie equipotenziale; D la livellazione fra due punti, barometrica:è basatasul principioche il dislivello relativamente vicini,è funzionedelladifferenza di pressione atmosferica esistente tra di essi,misurata conun barometro. Tra le livellazioni la conoscenzao la misuradella distanza che presuppongono (livellazioni indirette), ricordiamo: F la livellazionecelerimetrica o distanziometrica,che utilizzail teodoliteed un distanziometro ad onde; È la livellazione trigonometrica,che utilizzail teodolitee un distanziometro di grandeportata,ma più spessosfruttala misuraindirettadelladistanzao la sua conoscenza a priorie prevedela stimadellarifrazione. 7.6. INFLUENZA DELLACURVATURA TERRESTRE E DELLARIFRAZIONE ATMOSFERICA Nellelivellazioni che operanotra puntila cui distanzaè superiore a 100m nonè più possibileipolizzareuna superficie piana. di riferimento i dislivelli In questicasii metodidi livellazione determinano a menodi errorisistematici L'errore localedellasuperficie di riferimento. dovutoallacurvatura dovutiallacurvatura (vediFig.7.19a)è datoda: terrestre -r-

(t \ R -1! " -R=R.l cos(ù \ cas ro )

in serieil cosenoe arrestandosi sviluppando al primoterminesi ha: -1' -1

'

_ 'l-ír*

o ) ' a- ' 'l - *

Rr@'22

2 da cui xd2dz ..._=---------=, ^=-

R

246

2R-

2R

t3l

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Fig.7.19a- Erroredi curvatura Fig.7.19b- Erroredi rifrazione terrestre Per distanzed superioria 500 m bisognaconsiderare ancheun effettodi rifrazione (vediFig.8.19b)dovutoal fattochela radiazione atmosferica il luminosanonattraversa quale vuotoma si propagain un fluidorifrangente, I'atmosfera, che ha un coefficiente di rifrazione variabile e decrescente dai livellipiùprossimi al suoloai livellipiùaltiin quota. Volendosuddividere l'atmosfera in unaseriedi sfereconcentriche con coefficiente di rifrazionecostantee decrescente con la quota,si vede dalla figurache il raggio luminosoche parte secondouna direzionetangenteal geoide in un punto (cioè orizzontale) vienedeviatoversola terra. Si è ricavatosperimentalmente che I'angolodi deviazione e è proporzionale, attraverso pari unacostantek, all'angoloal centroche sottendeun arco alladistanzad, cioè: G-r, c-^-

.(ù

-I-

22R

d

!=ed=k*

( 0 , 1< k < 0 , 2 )

per cui l'erroredi Questoerroreha segnocontrarioa quellodellacurvatura terrestre, curvaturacomplessivo e di rifrazione terrestresarà: perd = 100m avremoX-y= 0,7 mm d2 - t r - y = ( 1 - k ')2 R l4l per d = 200 m avremox-y= 2,7 mm

7.7. LA LIVELLAZIONE GEOMETRICA La livellazionegeometricaè una procedurache operaper visualiorizzontali, è qualsiasi planimetrico indipendenteda operazionedi rilevamento e utilizza uno strumentochiamatolivellocon le relativestadie. geometricaè intuitivo: ll principio scaturisce su cui si basala livellazione dall'ipotesi di parallelismo fra le diversesuperfici di livelloe la superficie di riferimento. Nell'ambito dellaportatastrumentale, tale ipotesiportaa ritenerepressochéorizzontali può esserefacilmente e fra loro paralleletali superfici. ll dislivello determinato come differenza fra le letturefatteallestadietenuteverticalisui puntidi dislivelloincognito. geometrica ll metododellalivellazione si dividein: F livellazionegeometricasemplice,che permettedi determinare il dislivello con quandola distanzalra i punti un unicostazionamento del livello,ed è impiegata risultaminoreo ugualea 100m, in mododa considerare il pianotopografico come riferimento; superficie di

141

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F livellazionegeometricacomposta,che permettedi determinareil dislivello semplicitra loro collegate,ed è impiegata medianteuna serie di livellazioni a 100m. quandola distanza tra i puntirisultasuperiore A secondadella posizioneassuntadal livellorispettoalle stadiesi possonoancora in: geometriche semplici le livellazioni distinguere prossimità di un estremo geometrica in F livellazione geometrica reciproca D livellazione F livellazionegeometricadal mezzo dunqueda quantosopra ll livello,sia di tipo classicoche digitale,non costituisce di stadiesi può disponendo misura; solo proprio di strumento un vero e osservato, di misura. il vero strumento quindi le stadiesono e ottenerela misuradeldislivello Per livellazionitecnicheo da cantiere,si utilizzanodelle stadie in legno, aste di dueo tre metri. generalmente dellalunghezza centimetrate precisione sonoformateda unacustodiain legnoo di le stadie di Nelcasodi livellazioni costruito o mezzocentimetrato alluminio,contenenteun nastrodi acciaiocentimetrato a termicainferiore t 0-6). di dilatazione in invar(legadi Ferroe Nichelconcoefficiente ad ognidecimetro. sononumerate i casi,le graduazioni In entrambi lungola per la lorocorrettaposizione livella sferica di una anche Le stadiedispongono verticale.

*%i

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120 :. 18

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ltr

llq :,},2

:10 -U :6

e tradizionale Fig.7.20- stadiein invarcodificata 248

L-

-

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Capitolo7 LA MISURADEIDISLIVELLI

Le stadiedi precisionesono dotatedi due graduazioni posteai bordidel nastroin invar (vedi Fig- 7'20) sfalsatefra loro e con lò scalegraduatenumeratecon diverse origini. Eseguendola doppialetturaalle due graduazioni, si evitanocosì errorigrossolani di letturae si medianoquelliaccidentali. Questestadievengonoutilizzateabbinatea strumentidotatidi un reticoloa cuneo, come quelloillustratoin Fig. 7.21, e un micrometro a laminapiano parallela,che permettedi spostareI'immagine del reticolosínoalla collimazion" come si vedenellastessafigura. "r"grit" ,/

-f<=-

WINA

MICROMIITRICA

l

Posizionedel reticolo a collimazione avvenuta S] AI)IA CI:NI METRATA

Fig.7.21- Collimazione di unastadiainvar

=l

FI [1

ti

ll tamburoè generalmente divisoin 100 parti,per cui le letturecorrispondenti alle massimedevíazioni sonodi+ 0.05mm. L'operatorelegge direttamenteuna di queste parti e si stima una frazione corrispondente ad un centesimo di mm. ll più delle volte il tamburodel micrometroè una piccolacoronadi crístallograduato che,illuminata esternamente, è osservata conun cannocchiale; I'oculare è òoloiatoper comodità a fiancodell'oculare delcannocchiale principale del livello. Le livellazioni di precisione avvengono utilizzando questiaccessori, nonchéle modalità in parteaccennate.

Fi1.7.22- Tripoded'appoggio dellastadia

249

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Capitolo7 L AM I S U R A D E ID I S L I V E L L I

Lungola lineadi livellazione la stadiavieneappoggiata su capisaldiopportunamente predisposti in acciaioinossidabile, Nelcasociò non sul percorso, a calottasemisferica fosse possibileo conveniente, si utilizzanodei pesantisupportidi ghisa,dotatidi tre punteche si conficcanoal suolo,su questiè postoun grossochiodod'acciaioa testa semisferica. lungo sollevatiper una maniglia,si trasportano Questisupporti(tripodi), (vediFig.7,22). tuttala lineadi livellazione Neilivellielettronici, tuttequesteoperazioni di lettura, comegiàdetto,sono automatizzate. possa FacciamoI'ipotesiche nelladistanzastazione- stadiala superficiedi riferimento piano essereschematizzata da un orizzontale e che sianoesentialtrierrorisistematici chevedremoin seguito.

geometrica Fig.7.23- Schemadellalivellazione dal mezzo ll dislivello sarà: tra i puntiA e B (vediFig.7.23) Qo+lo=Qullo

Lou=Qo-Qo=lo-lo

t5l

per livellazioni La distanzafra le stadiedipendedallaprecisione che si vuoleottenere; tecnichenon supera i 200 m, mentreper livellazionidi precisione o di alta precisionenon superamai i40 m. "puntoindietro"ed il puntoB "puntoavanti". ll puntoA vienechiamato visibilio distantipiù di Perdeterminare il dislivello tra due punîiC e D nondirettamente 100 m, occorreeseguireuna serie di battutelungo un percorsodetto linea di livellazione. parziali ll dislivello esistente allorafra i puntiC e D saràdatodallasommadei dislivelli dellesingolebattutedi livellazione. Nelloschemadi misuradellalivellazione dalmezzo(vedifig.7.24),gli erroridovuti rifrazione curvatura terrestre alla atmosferica, alla e quelloresiduodi rettifica,nel caso in cui il livellosia postoequidistante dallestadie,sarannodellostessosegnoe della (vedi[5]). Anesi annulleranno stessaentitàe quindi,nelcalcolodeldislivello

250

L-

_-

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Fig.7.24- Schemadi misuradi un dislivello conletturadal mezzo

7.7.1.PRECISIONE DELLALIVELLAZIONE GEOMETRICA principali Le caratteristiche dellivelloe dellestadiesono: F I'ingrandimento delcannocchiale; )> il diametrodell'obiettivodelcannocchiale; F la sensibilitàdellalivellatorica; per la precisione Tuttiquestitre elementi sonodeterminanti dellalivellazione. I tre parametrivarianoin intervalliampi, in quantole esigenzedi precisionedelle livellazioni sonodiverse. fngrandimento e diametrodell'obiettívo devonoesseresceltiarmonicamente, in quanto graduazione la possibilità apprezzare o misurare le di frazionidi dipendono sia dalla grandezza apparente dell'immagine dellastadia(funzione dell'ingrandimento), sia dal (cheè funzionedel diametro). potererisolutivo per esempiosi Nei livellidi precisione hannoingrandimenti da 40xa 60xe diametri di 50 mm. geometrica grandezze Nellalivellazione le uniche misuratesono le lunghezzefra il puntod'appoggio della stadiasul caposaldoe il puntoin cui I'assedi collimazione incontrala stadia,quindila precisione del dislivello misuratodipendeessenzialmente dallaprecisione concuitalilunghezze vengonodeterminate. Se ol è lo s.q.m.dellaletturasullastadia,lo s.q.m.obatruta deldislivello sarà: ob"ttrru=+J2 o,

datocheil dislivello risultadalladifferenza di duelunghezze. geometricaè ottenuto ll dislivellofra due caposaldicollegaticon n battutedi livellazione quindicomesommadi n dislivelli e saràparia: ol,n"u=o| +ol +oi + ol = noî drin"u= Ji ou

lo sviluppolinearedellalineadi livellazione Se con L indichiamo avremoche il numero = ^7* or. ndi battutesaràdato da:n=:e quindidrin"u l00m \l100 Si puòdedurrequindichelo s.q.m.deldislivello fra duecaposaldi alla è proporzionale geometrica radicequadratadellosviluppoL dellalineadi livellazione cheli collega. Lo s.q.m.di letturasullastadiasi puòconsiderare risultante da duefattorichesono: D precisione di lettura; F precisione di centramento dellalivellatoricao di funzionamento del compensatore pergli autolivelli. 251

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La primacausadi erroreha valoridiversia secondoche la letturasia eseguitaa stimao con un micrometroe comunquedipendeanche dalla distanzalra livelloe stadia, dall'ingrandimento del cannocchiale e dal potereseparatore dell'obbiettivo. Quandola letturasi effettuaa stimae la distanzatra livelloe stadiaè inferioreai 50 m si può ritener€or - + 1 mm.Se si usaun micrometro, nellestessecondizioni operative, o1 saràparia * 0,1 mm Per valutareI'erroredi letturaalla stadiadovutoal centramento dellalivellatoricao del compensatorenegli autolivelli,si deve partiredalla precisionedi centramentodella livellastessa.Si usadi solitouna livellatoricaa coincidenza, il cui s.q.mdi centramento è datoda: o"= *0.06Jv dovevè la sensibilità espressa in secondisessagesimali. Nei livellidi alta precisionela sensibilità vale5"+10",per cui o" =O.2"che corrisponde ad unos.q.m.di letturasullastadiaparia: 6t =t0,2"'arc1"'D

DoveD è la distanza tra livelloe stadia.Assumendo D = 50 m avremo: . or= 10,00000096950 m = + 0,048mm Lo s.q.m.or di letturasullastadiadovutoall'errore di centramento dellalivellasi può per i livellidi bassae mediaprecisione; ritenerequinditrascurabile ciò non vale per i per i qualiil centramento livellidi altae altissimaprecisione dotatidi micrometro della livellatoricava curatoin manieraparticolare. La livellatorica deve esser ben protettada bruschisbalzi di temperatura,che ne potrebbero far variarelo statodi rettifica. L'erroredi verticalitàdellastadiasi traducein un erroredi letturasistematico sulla stadiae si puòfacilmente valutareosservandolaFig.T.25

Fi1.7.25- Erroredi verticalità dellastadia Indicandocon / la letturaeseguitasulla stadiainclinatadi corispettoalla posizione verticalee con /'la letturache si sarebbefattasullastadiaverticale.avremo: //

) \

2

i rro re l , = I c o s ( ù =fl f -9 I e q u i n dI'e di lettur a: l,- 1= 1! 2) | 2 (erroredi verticalitàmedioottenutorendendoverticalela Considerando /=2 m e {D;1son stadiasenzaalcunostrumentoausiliario) tale errorerisultapari a 0.25 mm, che nel casodi livellazione nonè accettabile. di altaprecisione Normalmente tale erroreè contenutoattornoa 0.1 + 0.2son, utilizzando una livella la sfericasolidalecon stadia.

252

-

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geometrica La classificazione vienefattain relazione dei livellie dellalivellazione alla precisione quadratico dellostrumento: è basatasull'errore mediodi una livellazione in (s.q.m.chilometrico andatae ritornosu un trattodi un chilometro od. S i h a n no : livellidi bassaprecisione o da cantiere: o1> 5 mm l i v e l ldi a i n g e g n e ri a 2 mm
It

tA

òz

t^\

rù1 t\ r +

I t\-

k-

___q___ )+--------------=

f

-

l-

253

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Fig.7.26- Schemadi unalivellazione reciproca DallastazioneSr si ha: L o o = ( / o- E , ) - ( l ' u - 6 r )

e da Szsi ottiene: Lou=(t'o-6r)-(i;-6r) sommandomembroa membrosi ricava: ^ _(lo-ln)+1lo-t,,) AtB 2

t6l

La mediadei due dislivellimisuratinei due punti di stazionefornisceil valoredel residuodi rettifica. dislivellocorretto,privocioèdeglieffettidell'errore La livellazione da reciprocaequivaleallalivellazione dal mezzo,tuttaviaè caratterizzata in quantole distanzealle qualisi collimanole stadiesono una precisioneinferiore, generalmente piùgrandi. il valoredell'angolo e, La livellazione di srettifica reciproca consenteinoltredi calcolare qualorasiano note, ancheapprossimativamente, le distanzed e D di un puntodi stazione dai puntiin cui sonopostele stadie: ^ _l'o-l'o1l"

A - 1 "B )

2 (D - d )

171

7.9. LA LIVELLAZIONE TRIGONOMETRICA Le operazionidi inquadramentoplanimetricodell'lstitutoGeograficoMilitare, cominciatepiù di un secolo or sono, furono condottecon teodolitidi precisione adeguataall'importanza del verticedi rete. Apparvesubitoche, mentresi conducevanomisureazimutali,i verticitrigonometrici potevanoessere inquadratianche altimetricamente mediantela misuradegli angoli zenitali. quellodi potereusufruiredi un Per far ciò occorrevarisolverealmenodue problemi: qualcheriferimento su verticiche spessosonocampanili, altimetrico ben materializzalo il dislivello tenendoin debitocontosia la traliccio ciminieree quellodi potercalcolare curvaturaterrestreche la rifrazioneatmosferica,come necessarionelle distanze abitualmente coinvoltenellaretetrigonometrica. È soprattutto l'incertezzasu quest'ultimavariabile che, come dimostreremo, questometodoa precisi,di non estendere consiglierebbe, se non si hannoriferimenti rii 1 0+ 1 5km. d i s t a n z ma e g g i od 254

_-...-r

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Capitolo7 LA MISURADEIDISLIVELLI

ln questo ambito possiamofare altre importantiipotesi:le operazionidi misuradi dislivelli fannoriferimento al geoideche, per soli scopiplanimetrici, è approssimabile all'ellissoide primaed allasferalocalepoi nell'intorno delcampogeodetico.' lpotizziamo che nell'intorno di 15 km le superficiequipotenziàli sianosfericheed il geoidesia una sferadi raggiop=^[p.u conp e Npari ai valorimedidei due raggi principali di curvatura dell'ellissoide di riferimento. lpotizziamo che le quotedei puntiA e B (vedifig.7.27)sianole distanzedi A e B dalla sferalocale;le deviazioni dellaverticalesaranno,in questaipotesi,trascurabili. Poniamoinfineche i puntiA e B, tra i qualisi devecalcolaieil dislivello, appartengano alla rete trigonometrica (da cui il nomedel metodo)e quindila distanzab sia nòta o ricavabile. Peril momentotrascuriamo I'effettodellarifrazione atmosferíca.

geoide= sferalocale

Fig.7.27- Livellazione trigonometrica reciproca se è possibile misurare sia
I t t a n^ ( a + F ) L

BO-AO=AAB BO + AO = R + ee + R + eR = 2R + ee + eR = ,[ o*Qu+Qo)= \2)

zn(+9-) \

R/

avendoposton^ =t

pariallaquotamediadeiduepuntiA e B

- - r * r,1 = tun|(e ,u")1" - f) = an o eo) :QT eo 1 ^ .ò ., n un , t! f u,*V B_ ) =,nun,(, !1-2s- là- r^O , 2\e t )= ,=;e sviluppando in seriela tangente si ha:

,rI=:.*-

ma E=2 percui *=#=10-e 255

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t r a s c u r a n dqou i n diil te rmi n e cu b i cos i puòappr ossim ar etglr =*e

quindi:

nn!fu+B)=4

2' D il dislivelloAnasaràparia: Lou=z(n+g^\run|@r-ù

* ( o I r L o o =D l l +=! l n n ;l rp n -g e ) t8l ( R) 2"" In questa formulaappare evidenteche non occorreconoscereQ, con eccessiva precisione. Infattise Q, fossenotoapprossimativamente il termine con+10 m di indeterminazione, co n t9 .to- ' . Q / n s a r e b be g i à'p6re ci so Anchese Q, fossemenoprecisasi potrebbe, dallaformula[8],ricavareil dislivello Ane iterazioni ll così inteso centro con due di calcolo. dislivello calcolato è da a centrodello strumento. Se si cerca il dislivellotra i due punti a terra, occorresommarel'allezzadi uno può essere strumentoe toglierequella dell'altroo della mira che eventualmente punto: collocata sull'altro ( o \ r A , o= D l l + J l ' t a n 7 \ g r - e o ) + h o - h o teI R ) \ 2"" In realtàspessoi puntisonotalmentedistantida nonriuscire nemmenoil ad intravedere più grandie visibilicome gugliedi treppiede,e la collimazione è fattasu particolari montagne,parapettidi finestronio gronde. nonvi è segnaleo strumento Se la livellazione è fattada un estremoe sull'altro è owio = c h eh s Q . qB,osservando la [8] nell'ipotesi la fi1.7.27si Riprendendo di nonpoteremisurare ottiene: Qo=&t6=n-Qo+6

nella[8] abbiamo: e sostituendo

(n

-(. o ò)l f ' ' 'l 4,, = Dl1+ l . t a n:l - l < p -^- | | R) \ \2 \'." 2))

sl A,^.= o(.*9-)-, r I R )'slq^-z) (. ol

I

rl

L o , =D l 1 + l l ' c "t s\ 'el . - | ( R,/ 2R)

[10]

Abbiamogia ricordatoche per distanzesuperioria 500 m non è possibiletrascurare nellamisuradelledirezionizenitali. l'effettodellarifrazione atmosferica La densitàdell'ariadiminuisce diminuisce all'aumentare dellaquotae di conseguenza propagandosi in un mezzoaventeun indicedi l'indicedi rifrazione; i raggiluminosi

2s6

L--

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Capitolo7 LAMISURA D E ID I S L I V E L L I

rifrazione variabilesubiscono dellerifrazioni e le traiettoriesi incurvanoverso il basso (vediFig.7.28).

Fig.7.28- |nfluenzadellariîrazione atmosferica Gli angolizenitalimisuratiZ (apparenti) sarannopiù piccolidi quellireali
u=*l doveK vienechiamatocoefficiente di rifrazione e dipendedallecondizioni atmosferiche. Neidue puntiA e B avremoquindi:

e^, = K^^2!

g

t ^" = K , , ! "2

Se la misuradegliangolizenitali
6= [aJéa

2 Vediamoora l'influenza dellarifrazione nellalivellazione trigonometrica reciproca. Sostituiamo nella[8] agliangolizenitaliveri,gli angolizenitaliapparenti e i relativierrori di rifrazione. Con le soliteipotesisullaconoscenza di R, D, Ze,Za e le ulterioriipotesi sullarifrazione la [8]diventa: ( o \ 1 A ^ , = D l 1 + " l . t a n - 1 2 , , -A Z'^, l [11] R) z'," \

Figura7.29- Livellazione trigonometrica reciprocain presenzadi rifrazione

251

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Capitolo7 LA MISURADEIDISLIVELLI

reciprocanon è trigonometrica Quindi il calcolodel dislivellocon la livellazione può influenzato dall'effetto rifrazione le della atmosferica e esserecalcolatoutilizzando direzionizenitaliapparentimisuratedirettamente con il teodolite. Vediamoora comesi modificala formulaper il calcolodel dislivello con la livellazione trigonometrica da un estremo.
\

Possiamo ancoraintrodurre alcunesemplificazioni. ) limitata ll termine:o(:{ esprimeun angolodi ampiezza a pochisecondi 2R centesimali. la seguente In questaipotesiè ammissibile accettare semplificazione: ú g (a - rEI = ctg u-, -Jr-+ t' .... sen-A

percuilal12lsi semplifica: , , n (r , - D 1 - K ì = c t s z *, - l "\^

2R)

doveil termine-+-

"^

sen- L A

1 -* ,

sen'Z^ 2R

= 1perchéZa è prossimoall'angoloretto.

La relazione l12l diventaquindi:

Kì L ^ , =o ( t * 9 - ) l , , n r ^ * o 1 , \

Ri\

2R)

il prodottoe trascurando finaledella ancorail termine% ,"formulazione Sviluppando R

[12]sarà: L o n = " [ t . % ì - c"r^y Z o * ' ^ !o '

I13l I Rl 2R La deteràinaziónesperimentale del coefficiente di rifrazioneK, può essereutile per oltrea quellisu cui necessariamente di altriverticitrigonometrici calcolareil dislivello reciproche. Nella1i9.7.29,dal triangoloABO si ricava: sonostatefatteosservazioni Z o+ e o+ Z o+ € u= B l 6 + c t , + ò= n + ò Z o + Z r + ( K e +K , ')2l = r u * ò Ko+ Ku _n+6-Zo-Zo

2ò Ko + K , = = 1 - ( z, +2,-n).L K 2"D Se la distanzatra i puntinon è eccessivae le misuresono pressochécontemporanee, questocoefficiente per altriverticicollimati. si può ritenereKA = KB = K e riutilizzare

258

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Capitolo7 LA MISURADEIDISLIVELLI

ll coefficiente di rifrazioneK variada luogoa luogoe per uno stessoluogovariacon il tempo;in particolare variazioni si hannodellesensibili diurnedovuteal fattoche il sole scaldaI'ariain manieradiversaa secondadelleore del giornoe quindivariaanchela densitàdell'atmosfera. L'esperienza mostrache il coefficiente di rifrazione è massimoal mattino(K = 0,19), (K = 0,14),durantele qualisi decrescepresentando un minimonelleore pomeridiane mantiene finoal tramontodelsole(K = 0,16). all'incirca costante, e tornaad aumentare ll valorepiù bassodel coefficiente K si riscontra nelleregioniequatoriali, di rifrazione e si ha un progressivoaumentoprocedendoverso i poli. Alla latitudinedell'ltalia può esseremediamente settentrionale assuntoparia 0,17. 7.9.1.PRECISIONE DELLALIVELLAZIONE TRIGONOMETRICA Applicando la formuladi propagazione deglierrorialla[13]avremo: ( o \ r nú' A , , = o l l + u ' l . c-t e^,z+ ' D' R/ 2R \ qualesaràI'errore quadratico valutiamo mediodeldislivello. Le variabiliindipendenti nellaformulasopraindicata sonol F la distanzaD

, l a l l ' , e quindilo s.q.m. 6'o^,= [;J "í

=9o, =(,*$)r,gz^ou =*oo oa.. 6AB " " òD

R)

\

D

5oo o a^A Bo3=1.scm

ipotizzando {?:;i#=0'3tn

10.000

l.o,

F il coefficiente di rifrazione K:

=l9l'* 6'n d , a^ drK,

aA

e quindi tos.q.m.

\

ipotizzando ox = 10.01

=

O^ =:--O. "^B òK

D= 6^ot

=

1km 0.1 cm

D2

2Ro*

5km 2cm

1 0k m 20 km 30 km 8 c m 32 cm 72 cm

F l'angolo zenilale Zp,:

, =l( a A l ' e oÍ.Q'"/ R) J I o',. e quinditrascurando "AB \òZ

o )

6to

sen'zo

o7.

D=

0.5km 1 k m 1 0k m 20 km 5km 0.5cm 1 c m 5.4cm 1 2 . 9c m 37.9cm 0.8cm 1 . 6c m 8.2cm 1 6 . 5c m ozA = oson,oo15 Olnn = 5.5cm 1 1c m 55 cm oZA = oson,ol Olac = quindiche per distanzefino a 10 km I'influenza Si può constatare di o6 per quanto proporzionale a D', è bassae si può ritenere cheentrotalelimite,lo s.q.m.del dislivello siaproporzionale alladistanza e si puòassumere mediamente: ozr = oson,oooG O,roo =

o oo"= +1,2D

[14]

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Capitolo7 LA MISURADEIDISLIVELLI

doveoa è espressoin cm e D in km. Si può constatareinoltreche I'apportodel termineoo è inferiorea quellodel termineo7, owero che lo s.q.m.delladistanzainfluenze,66 moltomenodi quantofaccialo s.q.m. zenitale. dell'angolo L'influenza del terminein ox diventapredominante dopoi 10 km, e dopotale limitesi può ritenereche lo s.q.m.deldislivello crescacon il quadrato Perquesto delladistanza. punti motivoè sconsigliabile misure effettuare di dislivellotra con distanzaeccedente talevalore. 7.1O.LA LIVELLAZIONE CELERIMETRICA vieneutilizzata nelleoperazioni Questometododi livellazione di rilievodi dettaglio e richiedel'uso di una stazionetotale (o di uno strumentointegrato)per la misura zenitalee delladistanza. contemporanea dell'angolo per le quote,avendo In questocasosi considera un pianocomesuperficie di riferimento l'accorlezza di correggerel'angolozenitaledalleinfluenzesistematiche dellarifrazione e dellacurvaturaterrestrecosìcomediscussoin precedenza. atmosferica lndicando con: F s: distanzainclinatamisuratacol distanziometro; F p; angolozenitalemisurato in A; Y h:altezzastrumentale cioèla distanzatra il centrostrumentale e il puntoA; posto Y l: altezzadel segnale in B; F d; distanzaridottaall'orizzonte.

Fig.7.30- Livellazione celerimetrica geometrica il dislivello Anaè paria: dallafig.7.30appareevidente chepercostruzione Loo=h+scosg-l

[15]

la distanzaridottaall'orizzonte davremo: Oppureconsiderando A o u= h + d c t g g - l

260

[16]

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Capitolo8 METODIDI RILEVAMENTO

Capitolo I METODIDI RILEVAMENTO

8.1. METODIDI RILEVAMENTO I metodidi rilevamento terrestresi basanosulla misuradirettadi direzioniangolari azimutalie zenitali,di distanzee di dislivelli. Questemisure,opportunamente elaborate, consentonola determinazione dellecoordinate dei puntidel rilievoin un opportuno Generalmente, il rilievoterrestre sistemadi riferimento. si separain due fasi,il rilievodi inquadramento e raffittimento e il rilievodi dettaglio. 1Al

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8 CaPitolo METODIDI RILEVAMENTO

per finalità,precisionirichieste,schemidi essenzialmente Tali fasi si differenziano di calcolo' di misura, tecniche di misura,tecniche rilievo,strumenti e raffittimentocostituisceI'ossaturaportantedel rilievo ll rilievo d'inquadramento generalmente formatada un numerolimitatodi puntida rilevarecon elevataprecisione è definireun sistemadi riferimento (spessomillimetrica). La finalitàfondamentale del rilievo stesso. A causa di queste univocodisponibilesu tutta I'estensione (reti con misureesuberanti schemidi misuracontrollabili si preferiscono caratteristiche del rilievo) miste angoli e distanze,reti di poligonaliin funzionedell'estensione riducono che misurazione precisione di mediante tecniche di strumenti utilizzando geometrica livellazione (regola metodo a strati, di Bessel, I'influenza di erroristrumentali dal mezzo). dellequotesi separail rilievo nelladefinizione richieste A causadelleelevateprecisioni (misurazione e la retealtimetrica di angolie distanze) in due parti:la reteplanimetrica (100+200 m di raggio)e precisioni (livellazione geometrica). Per ambitidi rilievolimitati centimetricheè possibilecomunqueevitare questa separazionee ricorrerea livellazione trigonometrica. dei minimi tecnicherigorosesecondoil principio ll calcolodel rilievosi attuamediante quadrati. 8.2 LE RETIPLANIMETRICHE dei verticidi una rete di delle coordinateplanimetriche Per la determinazione azimutali grandezze necessarie sonole direzioni topografiche le uniche inquadramento faremo Nel riferimento. seguito di ridotteallasuperficie opportunamente e le distanze, per piane.Questaipotesiè valida tutte le reti di riferimento a superficidi riferimento limitataa 10 km (campotopografico). estensione La stima delle coordinatedei verticiviene eseguitain un'unicaoperazionedi compensazioneutilizzandoil metodo dei minimi quadrati nel caso più generale analizzatonel cap. 4. Si utilizzeràcioè il metododi stima di più grandezzeindirette che la soluzione di misuredirette;ricordiamo da un numeroesuberante dipendenti a suo tempoprevedeche ogni equazionedel sistemarisolutivodipendada analizzala unasolamisuradiretta. occorresempredefinire di rilievoe compensazione, delleoperazioni Primadell'inizio all'internodel quale si intendericavarela con precisioneil sistemadi riferimento in un piano,occorrefissare cartesiano Perdefinireun sistemadi riferimento soluzione. (parallele assi) e una rotazione(attorno agli gradi traslazioni di libertà:due tre le coordinate all'origine). Questivincolipossonoesserefornitifissandoarbitrariamente X, Y di un puntodellarete e una direzione(ad esempiola direzionedellozero della graduazione del cerchioazimutaledel teodolitemessoin stazionesu uno dei vertici dellarete). inserendo tra i verticidella definireil sistemadi riferimento è possibile In alternativa che si intende note nel sistemadi riferimento rete,almenodue verticidi coordinate nel casodellereti di ordine ovviamente utilizzare(questasecondaipotesiè percorribile le reti in compensare inferiore al primo).Tuttavia,anchein questicasi,è consigliabile prima modo (cioè nel dall'operatore locali definitiarbitrariamente sistemidi riferimento roto-traslarela rete compensatanel sistema di descritto)e, successivamente, i sistemi. notein entrambi i puntidi coordinate finale,utilizzando riferimento

262

,

Caoitolo8 METODIDIRILEVAMENTO

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8.2.1.CALCOLIDI COMPENSAZIONE i valoriapprossimati Definitoil sistemadi riferimento, delle determinare è necessario le (per quanto prima vertici rete incognite n i della coordinateincognite se sono detto saranno2n-3).Questaoperazione alcunedellemisureeseguitein utilizzando è fattibile mododa poterimpostareun trasportodi coordinate è anche cartesiane.ln alternativa, possibileeffettuareun semplicecalcolograficoo leggerele coordinate dei verticida una cartograf ia esistente. Xe Y Bisogneràpoi definirele equazioni che leganole quantitàincognite(coordinale dei vertici)alle misuredirette(angolie distanze) che sarannoi termininoti delle Xt, Yr e X2,Y2. equazioni.Consideriamo duepuntiPr e Pzdi coordinate rettaparallelaall'asseY

(PPz)

Fig.8.1- Angolodi direzione e distanza L'angolodi direzione(PrPù sarà espressodalla seguenterelazione(indicando n e l l ' e qu a zi oco n en1 e 2 i p u n tiP 1e P2) : X' ( P , R) - o r r t o n X " t1l Y,-Y, mentrela distanza tra i due puntiè datada:

d,r=ffi

l2l

Quandosi fa stazionecon il teodolitesul puntoP1,I'originedel cerchioazimutalesi disporràsecondouna direzionequalunqueche ceftamentenon coincideràcon la direzionedell'assedelle Y del sistemadi riferimento scelto.ln altriterminil'angolodi (PrPz) non misurabile è direttamente. direzione Sia lz (vediFigura8.2.)la letturaazimutalemisuratadal teodolite(in stazionesu P1) quandosi collimail puntoP2;questaletturaLzdifferirà di direzione(PrPz) dall'angolo per una quantitàpari a 4 chiamatacorrezione azimutale di stazione, anch'essa incognita: L , = 6 +(p ,p r)

t3l

La correzioneazimutaledi stazione(dettaanche orientamentodella stazione) in stazionesul punto saràugualepertuttele direzioni azimutali misurate con il teodolite la posizione P1purché,duranteI'esecuzione dellemisure,non si modifichi dell'origine della graduazionedel cerchioazimutale.Se per un qualsiasimotivoquestodovesse questofatto può verificarsinel caso di uso accadere(nei teodofitiottíco-meccanici puòawenire reiterazione, mentrein alcuniteodoliti scorretto del metododella elettronici anche in caso di spegnimentodello strumento),occorreràintrodurreun nuovo misuratedopolo incognito, oppurericondurre azimutali, orientamento tuttele direzioni

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Capitolo8 METODIDI RILEVAMENTO

spostamentodell'originedella graduazione,alla posizione della prima origine (operazione fattibilese tra le due seriedi misureazimutalifattecon diversaoriginàne esistono due riferiteal medesimo puntocollimato). P2

0gon

Lz

Figura8.2- Angolodi direzione e distanza Considerando la [1] e la [2], per ogni direzioneazimutalemisuratasarà possibile scriverela seguente equazione: o rr.o n lt- !:- +E- r . =g l4l Yr-Y', dovele incognite sonole coordinate (X e Y) deipuntiPr e Pze óangolodi orientamento defla stazione,mentreil terminenotosaràla direzioneazimutalemiÀurata Lz. (P.,P")+ò-Lr=g

Perognidistanzamisurata si puòscriverela seguente equazione: ,_

dove le incognite sono le coordinate (X e Y dei puntiPr o Pz mentreil terminenoto dell'equazione saràla distanzamisuratadrz. Infine,nel casoin cui considerino gli angoliazimutali (vediFigura8.3)tra i verticidella rete,ogniangoloa misurato generaun'equazione deltipo:

(PPz)

Figura8.3- Angoloazimutale ( P.tP")-( P,P,)-a=0

X' X,-CI' orrtonX'=0 orrlorrX, Yr-Y, Yr-Y.,

t6l

Le relazioni[4], [5] e [6] definisconole equazioniÍra le coordinateplanimetriche dei verticidi una rete e le grandezzecaratteristiche dellarete stessa,angolodi direzione, distanzae angoloazimutale, che possonoesseremisuratedirettamentó. ll problemadel calcoloe dellacompensazione di una rete di n verticiconsistequindinellamisura indirettadelle 2n coordinateeffettuatasulla base delle misure direttedi angoli di direzione,distanzee angoliazimutaliin numerostrettamente sufficíente o ín numero esuberante. 264

I

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Caoitolo8 METODI DI RILEVAMENTO

Come abbiamogià dettoi problemirelativial calcoloe allacompensazione di una rete sono così ricondottia quellitrattatinel cap. 4. Per la determinazione delle 2n coordinatesi deve definiree risolvereun sistemadi 2r (con r > n) equazioni,e si devonoquindimisuraredirettamenle 2r grandezzecaralteristiche dellarete che siano indipendenti. Nel caso in cui si utilizzino comemisurediretteangolarile direzioniazimutalioccorre tenere conto che per ogni stazioneeseguita,si introduceuna nuova incognitadi orientamento. Occorreinoltrenotarecheognipuntodellarete,per poteresseredeterminato, deve essereinteressato almenoda due dírezioni (o un angoloazimutale) azimutali e da una distanza,oppureda tre direzioni (o due angoliazimutali). azimutali Infine,poichéin tutti i tipi di equazioneesaminaticompaionole differenzedelle coordinateincognite,è necessarioche esistaalmenouna misuradi distanza(quest'ultima condizionepuò essereomessanelcasoin cui nellareteesistanoalmenodue puntidi coordinate note nel sistemadi riferimento per i calcoli). utilizzato Riprendiamo il procedimento brevemente di calcoloa suotempodimostrato (cap.4). Poichéle equazioníutilizzatenon sono lineari,sarà necessarioprocederead una loro linearizzazione calcolandoi terminidel primo ordinedello sviluppoin serie di Taylor nell'intornodei valori approssimati delle incognite.L'ipotesiche facciamoè che Xl , X : , ...-..X : si a n od e i va l o ridelleincognite sufficientemente appr ossimati in modo taleche sianotrascurabili i quadrati degliscartie le potenzesuperiori: X, = Xl + x, dove& = incognita, X! =valoreapprossimato e xr= Scarto Consideriamo I'equazione all'angolo di direzione: a2 rcmn *+ò- L, f ( X . , , Y ,,X 2 ,Y 2 ,6 )=,L Y,-Y,

=g

l 7l

SianoXto, Yio,Xzo,Yzo,óo ivaloriapprossimati delleincognite. Lo sviluppoin seriedi Tayfor,fermatoaiterminilineari, della[7]saràparia: f ( x 1 " Y 1 ox, r o , Y r o , ò o , L r ;+

.,.[#). 6.=0 ,,*[#), ,,*[*), [#),",.[#.).

dove: Y f (Xi',Yr",Xr",y,",6",1.)rappresenta il terminenoto dell'equazione linearizzalae sarà pari alla differenzatrail valoreche la funzioneassumeintroducendo ivalori approssimati delleincognitee la quantitànotatz; Y xt, yt, xz, !2, & sono le correzionida apportareai valori approssimatidelle incognite; F i coefficienti tra parentesitonde sono i valoridellederivatecalcolatecon i valori approssimati delleincognite. Con le coordinateapprossimate di P1 e P2 (nell'esempio di Fig. 8.4) si potrà determinare l'angolo di direzione approssimato(Pf)" riferito alla direzíone approssimata f di f. L'angolodefinitotra gli assi f e / rappresenterà la correzione 6" al valoreapprossimato d dell'angolo di orientamento dellastazione in p1. Questacorrezione saràugualepertuttele direzioni azimutali misurate in Pr.

265

-t

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Capitolo 8 M E T O D ID I R I L E V A M E N T O

PPz)o

Figura8.4 - Angoro e coordinate approssimate "j'rrrule Si può facilmente verificareche i coefficienti dellecorrezioni assumonoi seguentivalori:

,.l. I ar I _l

1

(.ax'J. l;g'."l: t,' A;;-

-1

ì|

y,"_yi

ar

yj-y:

I I y-y, | =- d5u-='' [*,J,=-ft;p='' )"

arì Ir -l-lr

[#).=ìfifl=',

x;-x:

=--;---;-=-,

(di, ).

\ dY, /o

(*),='

L'equazione saràquindiparia: [7] linearizzata a r x , + b . , y r * c r x r t d , y " + 6 ,4+p(r ) o+ ò 0- L z = 0 Quandouno dei due verticidellarete (Pr o Pz)è un verticedi coordinatenote (vertice fisso),I'equazione perchéle corrispondenti [8]si semplificherà correzioni sarannonulle. Analogamente per l'"q,u".ionu ulludit risulterà: X 2,Y2, d12 ) = tl 8, - X,)' + (y,- y,)2- d..,, =g f ( X.,,Y,,

tel

chesviluppata in seriediJaylor,limitatamente ai terminilineari,saràparia:

r(X,o.y,o,X,o.y,o,dî,).f '+ì ^,*f :fl [dX,/o

-"*ljlì ,,.ljll (axrJo .

I E Y , / o"

vo=0

[Ayr)0"

dove il primoaddendo(terminenotodell'equazione linearerisultante) rappresenta la differenzatra il valoredelladistanzacalcolatacon i valoriapprossimuii Odtieincognite (di) e la distanzamisurata(d,r). lnoltrèXr,fr, X2,y2,sonole correzioni da apportareai valoriapprossimati delleincognite. I coefficienti dellosviluppoin seriesono espressi dalleseguentirelazioni : /^

t

f

rdf ì I l.dX')o lz (&-x,)'*(% I

_

I

I ar I

- t

[aY,r,

266

y""-yi

___=u1

dfu

t8l

rdfì

t:-t

_XÎ - X ;=c.

IdX, Jo

dil,

Y"'Yi [a",.]. di,

Ioeì

-

=cl.

CapitoloI METODIDI RILEVAMENTO

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L'equazione saràquindiparia: [9] linearizzala a.,x,+ b.y.,+ c$z* dùz + dl, d." =g

[10]

Quandouno dei due verticidellarete (Pr o Pz)è un verticedi coordinatenote (vertice perchéle corrispondenti correzionisaranno fisso),I'equazione [10] si semplificherà nulle. risulta: Infine,l'equazione dell'angolo azimutale - ur "r' -un*,:- ltt- d=o t11] J ' ( X , Y ,X 2 ,Y 2 ,X 3 ,Y 3 ,a )=u r.1un4LJ( Yr-Y, Yr-Y, in seriedi Taylor,limitatamente ai terminilineari,saràparia: chesviluppata f ( x j o , x 2 o , Y 1 o ,Y r o , c [ o ; +

larl larl lar) larl lar) larl "' 1,"^ |.x,+l ,"^ |.x"+l "^ l.v.+l=:-1.v"+l =:]-l.x"*l |.Vo=0 ( a x , J o ' \ . a X r . J 'o \ . a Y , r"o ( . a Y r J"o' ( a x r J o " ( a % ) o ' "

la linearerisultante) rappresenta dove il primoaddendo(terminenoto dell'equazione delle tra il valoredell'angolo azimutale(d) calcolato con i valoriapprossimati differenza (a) misuratodirettamente in campagna.InoltreXt,ft, X2, incognitee il valoredell'angolo y2,Xa,y3 rappresentano le correzioni da apportareai valoriapprossimati delleincognite. I coefficienti dellosviluppoin seriesonoespressi dalleseguentirelazioni:

latl I ax,Jo

Yf-Y," Y""-Yf (di3)2 (dL)'

larl _xl-xi x;-xi_* =o' ro;f {.1"y [a",J.

larì

Y^"_Y:

larl

-_

Ia&r, larl I ao., ,,

_

|

a

-î

(dL)'

Y."-Yi v

'

_ è

(dL),

l:-

|

larl

I

( dY, ,/. t=-

\ dY' /o

linearizzala L'equazione saràquindiparia: a . , x . , + b . , y , + c é z * d y z + ef ú y s3 + c x o- o = 0

1121

In questocasoè possibile cheunoo ancheduedeiverticidellaretetra cui si è misurato I'angoloazimutalea siano fissi, cioè con coordinatenote da non compensare; I'equazionesi semplificheràperché i corrispondenti termini di correzionesi annulleranno. Le coordinatedei vertici della rete saranno ricavate attraversoun calcolo di compensazione che utilizzail criteriodei minimiquadrati,applicatoalla matriceA (matricedisegno)dei coefficienti delleincognite(vedicap.4). Per ogni misuradi distanza,di angoloo di direzione, eseguitatra i verticidellarete, vienescrittala corrispondente come riportatoin precedenzae i equazionelinearizzala coefficientidelle incognitesarannoopportunamente memorizzatinella matriceA. ll sistemaA presenteràsempreun numerodi equazionimaggioredel numerodelle incognitee raggrupperà equazionilinearizzale di tipologiadiversaperchéottenuteda misuredi grandezze topografiche diversequaliunadistanzaun angoloo una direzione La direttaconseguenza di ciò è che i pesidi ciascungruppodi equazioni azimutale. che di misure(angolari o di distanza), si riferiscono allediversetipologie sonogeneralmente costantima sonodiversiperi duegruppi. 267

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Capitoto 8 METODIDI RILEVAMENTO

proporzionali I pesisarannoinversamente ai quadratideglierrorimedidei termininoti delleequazioni:

(4)"=+

@),=*

Indicando con A la matricedeicoefficienti delleincognite, con P la matricedei pesi,con X la matricecolonnadelleincognite e con T la matricecolonnadei termininotidelle equazioni, avremo(vedicap.4): AX--T Ar.P.A.x= Ar.P.T Indicandocon N la matricenormaleottenutadal prodottodi Ar.P.Ae con Tn la matrice colonnadeitermininotidelsistemanormaleottenuta dal prodotto di Ar P T avremo: N.X Tn e q u i n dlia so l u zi o n e : X = N-I.T' ll vettoresoluzioneX conterràle correzionixi, yiche, sommateai valoriapprossimati delleincogniteXf, Yf darannoil valoredelleincognileXi ,Yi: X,=X! +x, Y,=Y,o+ Y, Poichétutte le equazionisono state linearizzate in serie di Taylor, sviluppandole nell'intorno dei valori approssimati delle incognite,ma limitatamente ai soli termini lineari,la soluzione mediante andràricercata unaseriedi iterazioni di calcolo. Anche il metodopoco rigorosoper la determinazione dei valori approssimati delle incognite(ad esempiola letturadellecoordinate dei verticidellaretesu una cartografia) imponedi ricercarela soluzionedel problemasempreattraverso un calcoloiterativo.Ad ogni iterazione,il sistema risolventeverrà riscrittoutilizzandocome nuovi valori quellicalcolati approssimati nell'iterazione appenaeseguita. Questasequenzadi cicli di calcolosarà interrottaquandole correzionix,; yi saranno praticamente nulleo comunque inferiore di un ordinedi grandezza allaprecisione delle incognite. coordinate puòancheesserepresanel momentoin cui la La decisione di interrompere le iterazioni stimadellavarianzadell'unità il suovaloreminimo. di pesoraggiunge La soluzione del problema saràdataquindida: X ! "= x ! + x ! " Yl" =Y,o+y|" x!" = xl" +x!" Y,'"=Y,t"+ y?" X' , "' = x ! "- tt" +r!"

Y,'"=Y," tl' + yi"

Normalmente la convergenza verso la soluzionefinaledel sistemasi ottienecon poche iterazionidi calcolo (4+10). In presenzadi errori grossolaninei valori (20 o più approssimati delle incognitesi avrà un rallentamento della convergenza iterazioni) moltorapidadellasoluzione. o unadivergenza

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Capitolo 8 M E T O D ID I R I L E V A M E N T O

8.2.2.PRECISIONE DEIVERTICIDI UNARETE La posizionedi un verticeè definitada due coordinatericavatetramitemisuredi angolie distanzee da un procedimento di calcolo;per stabilirela precisione di un vertice potrebbesembrarenaturaledefinireun errore di posizionecome differenza vettorialefra la posizioneeffettivamente trovata e quella che si sarebbeottenuta qualorale misurefosserostateeseguitein manieraesatta,e cercaredi darein qualche modoun'ideadell'entità di questoerrore.Sullabaseperòdi quantogià affermato sulla definizionedi misuradirettadi una grandezza, che è rappresentata dalladistribuzione possibili, dellemisurepossibili, occorreriferirsi alladistribuzione definite delleposizioni da unavariabile casualea duedimensioni. Per comprendere benetaleposizione si consideri una retedi n verticidefinitaquindi da 2n misure,si suppongadi aver eseguitole 2n misuree di aver effettuatoil calcolo dellecoordinate dei vertici.Unasecondaseriedi misuree di calcoliforniràowiamente delle coordinatediverse dato che il risultatodi ogni misura diretta equivalead un'estrazione a caso dalla distribuzione delle misurepossibili.Ripetendomisuree calcoliun numerodi volte grandeoltre ogni limite si otterràper ogni verticela distribuzione delle posizionipossibili,definitacome schema matematicoda una variabile casualea duedimensioni. Se la distribuzione la variabile è di tipogaussiano, casualeè definitada due medie mr(x),mr(y),due varianzeé1x1,éM da una covarianzaorr. ln effettisecondotale " posizionela rete di n verticiè definitada una variabilecasualea 2n dimensioni, conosciutaquandosono note le 2n medie e la matricedi varianza-covarianza; ad esempioper una rete di tre verticiPt, Pz, P3, le sei medie m(Xn), m(Yn), m(Xpz), m(Ypz),m(Xps),m(Ype),definisconole posizionidei verticie la matricedi varianzae covarianzadefiniscele caratteristiche della distribuzione a 6 dimensioniowero la precisione dellarete. La matricedi varianza-covarianza Cx, sarà ottenutadal prodottodella varianza dell'unitàdi pesoper la matriceinversadel sistemanormale(vediCap.4 ).

C*. = o--t'N-t =

[13]

In praticaè peròpiù conveniente riferirsialledistribuzioni a due dimensioni definite ognunada due medie,che dannola posizionedel vertice,e dallasottomatrice 2x2 che dà la varianzae la covarianza delledue coordinate e che nella[13]sonostate individuate condeicontornitratteggiati. Gli altritermíni checompaiono, in maniera nellamatrice, simmetrica sonopocosignificativi I terminicontenuti e quinditrascurabili. nellesottomatrici evidenziate sonoinvecenecessariper il calcolodei parametri dell'e//rsse standardrelativoa ciascunvertice.

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Capitolo8 M E T O D I DRI I L E V A M E N T O

8.2.3.CONSIDERAZIONI PERLA CONDOTTA OPERATIVE DEICALCOLI ll calcolodi una reteplanimetrica vieneeseguitocon opportuniprogrammiautomatici che al terminedelle operazioniconsentonoall'operatore di analizzaretutti i risultati intermedi e finalial finedi valutarela bontàdellasoluzione ottenuta. ll primocontrolloda fare si basasull'osservazione del valoreassuntodallavarianza dell'unitàdi peso stimataal terminedellacompensazione: se oe2è inferioreo poco superiore al valorefissatoall'inizio dellacompensazione la soluzione trovatapuòessere considerataaccettabilenei limitidi precisionerisultanti.Se invecetale valoreè molto superiorea quellofissatoinizialmente significache all'interno del sistemaci sono problemiche possonoesserelegatia errorigrossolaninella determinazione delle coordinateapprossimate dei puntioppure,più frequentemente, alla presenzadi errori grossolani in alcunedellemisurediretteutilizzate. La ricercadellemisureche disturbano la soluzione del sistemapuò esserefacilitata popolazioni dall'analisi dellemediee deglis.q.m.delle degliscarti. modo: Comecriteriogeneralesi operanelseguente ) le equazioni che presentano scartiresiduisuperiori di 2+3volteallos.q.m.relativo proporzionale vengonointrodottenel sistemacon un peso inversamente all'entità delloscartoresiduo; pur essendostata sottopesata, F quandoun'equazione, continuaa fornirescarti residuisuperioridi 2+3 volte allo s.q.m.relativo,questaviene definitivamente eliminata. Owiamentein questaoperazione occorreràfare attenzionea che sianorispettatele geometriche minimeper la determinazione condizioni di ogni singolovertice.E quindi opportunoiniziare la compensazionedi una rete con un numero consistentedi equazioniesuberanti(e quindi di misure eseguite),in modo da poter ottenere comunque unasoluzione accettabile senzadoverripetereI'intera campagna di misure.

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Capitolo8 METODIDIRILEVAMENTO

8.3. LE RETIALTIMETRICHE geometriche con la L'impiegoprincipale è quellodi determinare dellelivellazioni possibile territorio massimaprecisione che le quotedi puntidistribuiti su un determinato i riferimenti fondamentali a costituiscono, in analogia altimetrici alleretitrigonometriche, cui si possonocollegare le successive operazioni di rilievoaltimetrico. Le livellazionigeometriche colleganocaposaldidispostilungo linee (vedifig. 8.5), le lineeintersecandosi chiusi,aventisviluppipiùo menolunghia dei poligoni determinano secondadei casi. DI PRECISIONE E TECNICHE 8.3.1.LIVELLAZIONI GEOMETRICHE geometriche in Le livellazioni si eseguono con gli stessicriteriutilizzati di precisione può esseredi minorprecisione quelledi alta precisione, solo la strumentazione e le più lunghe.Questotipo di livellazione vienein genereeseguito battutedi livellazíone quindi le quote di determinare con uno scopotecnicoben precisoe non vi è bisogno assolutedei caposaldi,non è necessariocioè collegareuno dei caposaldidella rete locale con un caposaldodi quota assoluta nota, in quanto per le informazioni richieste i dislivelli. altimetriche sonosufficienti In questicasi si assegnauna quotaconvenzionale dellarete ad uno dei caposaldi locale e si derivanoda questa tutte le altre quote. E opportunodare una quota moltodiversada un valoreplausibile, convenzionale onde evitareequivociin future che implichinocollegamenti operazionidi livellazione con caposaldidi quotaassoluta nota. DI UNARETEDI LIVELLAZIONE 8.3.2.COMPENSAZIONE La compensazione di una rete di livellazionesi eseguecon le stesse modalità, qualunquesia il tipo di misura dei dislivelliadottato(livellazione geometrica, dellos.q.m.dellemisureche,nelcasodi trigonometrica ecc.).Quellochevariaè I'entità geometricacresceproporzionalmente livellazione alla radicequadratadello sviluppo (vedicap.7), mentrenellalivellazione linearedellalineadi livellazione trigonometrica si può assumere,per distanzeinferioria 10 km, che crescaproporzionalmente alla distanzastessa. puòesserecollegata Unaretedi livellazione a unoo piùpuntidi quotanota,o essere a se stante;in quest'ultimo casoper eseguirela compensazione si dovràassegnare un valorearbitrarioalla quota di un punto.L'equazione alle misureche lega le quote Ai1è la seguente: incognite Qie Qidi due puntiPi e P1allamisuradi dislivello Q1-Q,-4,=0 [14] necessarie, Se le misuresono quellestrettamente il calcolodellequotedei punti dellareteè banale,riducendosi allasommadi dislivelli a partiredal puntoo dai puntidi quota nota. ln pratica,però, si eseguesempreun numerodi misuredi dislivello superiorea quellominimonecessario e quindiil calcolodellarete sarà quellodella misuraindirettadi n grandezzeconun numeroesuberante di equazioni. ll procedimento di calcoloe di compensazione dellemisuresaràdel tuttoanalogoa quantogià vistoper le retiplanimetriche, con la semplificazione di avereun solotipodi equazione che legale incognite allemisureeseguite e pergiuntagià lineare(vedi[1a]). ll dislivelloAqdella[1a]può essereil risultato di un'unicamisura,o di una sommadi parziali. dislivelli

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Caoitolo8 M E T O D I D IR I L E V A M E N T O

Se la quotadi uno dei due puntitra cui si è misuratoil dislivello è nota,l'equazione quelladelpuntodi quotaincognita. conterrà owiamentecomeunicaincognita Se n sono i dislivellimisuratinella rete, potremoscrivereun sistemadi n equazioni lineari. ll sistema non richiederàalcun tipo di linearizzazione e non sarà quindi necessario conoscerei valoriapprossimati dellequotedei puntidellaretee la soluzione saràottenutamedianteunasolaiterazione di calcolo. partirecomunque A voltepuòessereconveniente daivaloriapprossimati delleincognite e risolvere il sistemadi equazioni, cosìcomesi erafattonelcasodellacompensazione d e l l er e t i p l a n i me tri chpeo, n e n d oQt=Qi+.r ,.In questom odo,quandola livellazione vieneeseguitaper il controllodeglispostamenti altimetrici di un determinato territorioe si considerano comevaloriapprossimati delleincognite le quoteottenutenellaseriedi misureprecedente,si otterrannodirettamentegli spostamentiverticalidei vertici di controllo. Per megliocomprendere la sequenzadei calcolidi compensazione aiutiamoci con uno schemasemplicedi rete di livellazione che collegaquattrocaposaldifra cui uno di quotanota: Lzt

geometrica Fig.8.5- Schemadi unaretedi livellazione per esempiola quotadel punto1, per il calcolodella Notao stabilitaarbitrariamente quota dei restantitre caposaldisarebberonecessariesolamentealtre tre misuredi dislivello.Le misuresovrabbondanti ci cautelanodalla presenzadi eventualierrori grossolani nellemisurema fannonascereil problema dellacompensazione. generaunaequazione Ognimisuradi dislivello di tipo[14]e pertuttala retemisurata si potràscrivereil seguentesistema: Qt-Qr-4,, =0 Q - ^ - Q r - A z := 0 Qo-Qr-Ar+ =0 Qt-Qo-aor =o

[15]

Q o - Q r - L z += 0 Qt-Qt-Ar: =0

ll sistema[15] è incompatibile, ovveronon si possonotrovarevalori particolaridelle incogniteQi che soddisfinocompletamente le sei equazioniin quantoi termininoli Ail non sono quantitàteoriche ma sono dei campionialeatoried è estremamente 212

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Capíroto I METODIDI RILEVAMENTO

improbabile che, ad esempio,le soluzioniche soddisfano un qualsiasigruppodi tre dellesei equazioni soddisfino anchele rimanenti. Bisognerà ammettere chetuttele equazioni sianosoddisfatte a menodi unoscartoyi. O"-O.-A,- =v. tz

I

Qt-Q,-Lzz=vz Qo*Qr-A:+ =v:

[16]

o ,- o ^ - a . , = v . Qo-Qr-Lz+=vs Qr-Qt -Ar: =vo

ll sistema[16]è indeterminato in quantogli scartivisorìoincogniti e quindiil problema è quello della soluzionedi un sistemadi sei equazionilineari in nove incognite ( Q a , Q g , Q + ,V1 , V 2 , V 3 , V a5,,VV6 ) .

Bisognerà quindirisolvere il problema mediante I'applicazione di qualchecriterio. In basea quantogiàvisto,la soluzione più plausibile è quellaottenutadall'applicazione del principio di massimaverosimiglianza. Primadellasoluzionebisognaanchericordare che ciascunaequazionedeve entrare nellasoluzione del sistemasecondola propriacredibilità, secondoil propriopesopi : varianza dell'unità di peso perdefinizione il pesoè paria: ,,' =4o!

varianzadellamisura (terminenoto)

ln base a quantovisto nel cap.7. e cioè che lo s.q.m.di una lineadi livellazione geometrica sia proporzionale allaradicequadratadellosviluppolineareL;: ofr

p, =l*

k L,

.: r^r- r'-.,r-:a ! r! " ) per cui ,0 ù data l t c l Il'arbitrarietà clrul[ldllvl'cl u dil (oo2 sil Ppuò assumere lssulllgrlv uu a P,

=-

1

Nellaconduzione di calcoli,lo sviluppolinearedellelineedi livellazione (t) si esprime solitamente in km perfacilitareil calcolodel peso. La soluzionedel sistema[16] può essereagevolmente affrontato con le tecnichedel calcoloautomatico e quindimediante I'utilizzo dellematrici. ln basea quantovistonel cap.4avremo: 100 -1 t0

matricedisegnoA =

0-1 0

1 0-1

lo.l t-' I

vettoredelleincognite X = lo.l tl

lQ^l

010 -1 01 Q,+ A'r, L,,

vettoreterminenotoT =

aro Q,* L', Lro

Q,+ A',,

q

pr0000 }pz

matricedei pesiP =

00pt00 000p+0 0000p: 00000

0

0

0

0l 0l

q 1

Pal

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Capitolo8 METODIDI RILEVAMENTO

La sequenzadei calcoliche prevedonol'applicazione del principiodi massima verosimiglianza e quindidelcriteriodei minimiquadrati saràal solito: sistemainiziale appficazione dei pesie normalizzazione sistemanormalizzalo soluzione delsistema

A.X= T Ar.p.A.X= Ar.p.T N.X = Tn X = N'l.Tn

Essendole equazionidi partenzagià lineari,si otterràla soluzionedel sistema medianteuna sola iterazione di calcolo.ll vettoresoluzione X conterràdirettamente il valore delle quote dei vertici incognitiQi o le correzionix; che, sommateai valori approssimati delle incogniteOf, darannoil valoredelle incogniteQ a secondadel criteriodi calcoloadottato: Qi=xi

Q,=Q!+x,

Si passeràpoi al calcolodellamatricedi varianza- covarianza: calcolodegliscarti V = A.X - T Vt 'p'v calcolodellavarianzadell'unità di peso ;l = n-r il numerodi equazioni doven rappresenta il sistemaA ed r checompongono quindi rappresenta il numerodi incognite. ll denominatore esprime il gradodi "esuberanza" per I'esempio del sistema.La matricedi varianza covarianza che stiamo sviluppando saràparia:

'1 loó. C r r= 4 . t l - t = | . . . o ' n . I trt

| "'

^l

oó"1

principale Lo s.q.m.delleincognite i terminidalladiagonale si ricaveràutilizzando della matriceCr, ; nelcasogeneraleavremo: t. oo,= "Joé

on,=^H

on,=^1o3, perché Tuttigli altriterminidellamatricedi varianza- covarianzanon sono significativi quote le dei verticiincognitinonsonotra di lorocorrelate.

2'14

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Capitolo8 METODIDI RILEVAMENTO

DELLERETITOPOGRAFICHE 8.4. LA SIMULAZIONE possono Gli stessiprogrammiutilizzatiper la compensazione dellereti topografiche essere utilizzaliper la simulazionedelle compensazioni stesse. Con il termine di simulazione di una retedellaqualesi conoscono si intendela compensazione solo le (planimetriche coordinate approssimate vertici i dei o altimetriche) e tipidi misurachesi (noni valoridellemisure).La simulazione intendonorealizzare dellarete è un passo fondamentaledella fase di progettazione delle reti topografiche, durantela quale si possonoprevederei miglioririsultatiraggiungibili al variaredel tipo di misureda per eseguire, dellaposizione relativa deiverticie deltipodi strumentazione da utilizzare I'esecuzione dellemisure. per deciderela necessità Moltoimportante in fase di simulazione, o menodi eseguire una certa misura,è la conoscenza della ridondanzalocale di ogni singolamisura processodi compensazione. all'interno dell'intero Con il terminedi ridondanza di una globaledel misurasi intendeI'apporto che la misurastessaconferisce allaridondanza sistemache,comenoto,espressodalledifferenze tra il numerodi misureeseguitee il numerodi incognitecomplessive del problema. Si puòdimostrare che la matrice: R=I-P-1AN-1Ar

è una matricedi dimensionem.mdetta di ridondanza, contenentedei numeripuri ed indipendente dalsistemadi riferimento scelto. La proprietàdi questamatriceé di indicareil contributo che ognisingolamisuraapporta globaler = m-n. allaridondanza infattiche: Si può dimostrare m

t r ( n ) = | , r , , = ( m - n 1= y I

localedell'osservazione dove 1, è la ridondanza i. le relazioniscrittesi notache è possibilericavareB senzaavereseguito Osservando le misure;questodimostracome sia possibiledeterminare i valoridelle ridondanze localidurantele fasidi progettazione dellarete. Ricordandole espressioniche consentonoil calcolo della matrice di varianzacovarianzadelle incognitee della matricedi varianza-covarianza degli scarti,si nota nonrichiedono la conoscenza cheanch'esse dellemisureeseguite. Riassumendo, nel caso in cui il problemasia la compensazione di una rete possono priori precisioni parametri, precisione ricavarea le la topografica, si dei delle il contributo misuredopola compensazione, dellestesseallarigidità dellarete. E cioè possibile,già in fasedi progettodellarete,prevederele precisioni finali,togliere le misurepoco significative, o che potrebberonascondereerroriche più facilmente sfuggonoai testdi controllo,migliorare infineI'affidabilità dellarete.

275

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Capitolo8 METODIDI RILEVAMENTO

8.5. ESEMPIDI COMPENSAZIONE DI RETITOPOGRAFICHE Compensazione mistadi distanze di unaintersezione e direzioni azimutali. (x,y) punti: Sononotele coordinate dei 2 (690,60; 300,50)m 3 ( 2 0 0 , 1 01;6 0 ,2 0m ) Dallastazione1 versoquestipuntisonostatemisuratele distanze: dtz= 519,15m +1 cm dts= 650,20m +1 cm; Inoltresi sonomisurate le seguenti direzioni azimutali:

toon' tra = 55,7956 sont 0,7 gon+ t9on; trz= 0 0,7 meon e quindi I'angolo azimutale 213 = 55,7956 eon+ 9,7

Date le coordinateapprossimatedel punto 1 ricavateper via grafica (Figura 8.6): 1(450,0;760,6)m, vogliamoricavarela stima delle coordinatedel punto 1 e la loro precisione. ln questocaso,essendoI'angolo213 I'unicoangolomisuratodal punto1, è equivalente risolvereil problemacon I'equazione dell'angoloazimutale,senzacorrelazioni oppure con le due equazionialledirezioni.Si notiancheche nel primocasosi devescrivereun sistemadi tre equazioni(duedistanzeed un angolo)nelledue coordinateincognite(x1, y1).Nel secondocaso un sistemadi quattroequazioni(due distanzee due direzioni azimutali) nelletre incognite:le coordinate del punto1 e I'orientamento E. In entrambii casi la ridondanzaglobalevale r=rn-n=1,così che il metododei minimi quadratiè applicabilecon profitto.I programmidi calcoloe compensazione più evoluti il metododelledirezioni. scelgonoin queslocaso,per generalità,

t.,,

,

\l'"

t\ 62

A3

vo=ioo

Àssct

x0= 100

Fig.8.6- Schemadellarete

276

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Capitolo8 METODIDI RILEVAMENTO

Le equazioni angolarinellaforma[4]si scrivono: /\

-

|

Xo-X.

.

(

xo-x.

I

Ò + f 1 3- l a t t t + ft l= Yl -.Yr )g \ )

I

Ò + f 1 2- l a l t t - + . Í t )z-)r \

l=v2

)

Le equazioni nelledistanze sono * d , , - ^ l ( x g- x r ) ' + ( y s - ! 1 ) 2 = v ,

d.,r-,1( xz - xt )' +( y, - lt )2 = vo

Si noti che essendole direzioniverso 2 e 3 nel secondoe terzo quadrantesi è il valorer. Percalcolare i termininotici mancaun sommatoad entrambele equazioni valoreapprossimato dellacorrezioneò. Essendoil cerchioazimutaleorientatoa zero sul punto 2, la correzione è il valoredell'angolo di direzione(12),che è possibile non = graficamente. (= misurare 2,670354'"o). Si ha:ò 17Q I termininotilr, 12,13ed 14valgono:

. I z+g.g I - 2.670354= -0.010784(rad) l.' = atnl:==:^ l+ lr - 0.876435 \ 6 0 0 .3/ ( 240.éI . l,' = atnl-l+ n - 0.0-2.670354= -0.010584(rad) \.-460.0 ) + 600.32- 650.20= 0.1308m ts = 1249.92 t o= ^ [ 2 4 0 .6 \ 4 6 0 '-5 1 9 .1 5= o .o613m Formiamo ora la matricedisegnoA. quattro righe (m=4)e di tre colonne(n=3),quantesono le incogniteche, Sarà di ricordiamo, sonole correzioni da dareai valoriapprossimati delleincognite. La primariga esprimele derivaterispettoalla primamisura,la secondale derivate rispettoallasecondaecc. Primariga: ^r-òf',-)'s-)'r"' 4", dî"

-600'3 . ' n 2-- ò f . - - x r - x t 650,238'z "' a)r dî"

per la secondariga (e misura)si ha: -460.0 - . ,_ ò f , _ ) ' z - ! t _ - , -_ ò f , _ -

"'- ò\--7T-

5 1 9 1 2 3 ' z"

perla terzamisura: -249.9 ^ ' , -- ò f " - x g - x t -t a*, dr" 650.238

2 4 9 , 9 ^ " --A f r --1 -t ' aò 650,238'?

x z - x . r_

òy.,---ú-r-

- - 5 1 29 4j r05. 6 t

-)r -600.3 ^, -òf" - )'s "t - Ay, d," 650.238

per la quartaed ultimamisura: 240.6 ^ , ,_ ^, _ - A f o_ l z - t t - ò . f o_ x z - x . r _ "o òrr- d51g123 "o òy.,- d.,

_ -

-460.0 51g123

- '. 1 u- 32_

n 3- n

3_ - v6 u^ 4

277

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Capiroto 8 METODIDI RILEVAMENTO

in definitiva: ( - 1 . + 19 7*91o -3 0 .5 9 1 0*51o -3 1l t .- _1 _. 7_0^6l 9 4 * 1 0 - 3- 0 . 8 9 2 8 0 * 1 0 - 3 1 A=l I - 0.38432 _0.e2320 0 | | _ 0 .8 8 6 1 1 0 J ( 0 .4 6 s4 7 Occorreora pesareciascunaequazionein proporzione inversaalla varianzadiogni misura.Assumendo ol = 1 1 n =-' f

"o; t

2,

oî= o',= [#*il',

(0.01,,)' aZ= oZ=

pt=p2.=$,Q7*1As;

pj= pa=1*10am2

[63.6620/ e si ottienecosì:

Cafcofiamoora la matricenormale N = A'IpA-

(c.+zst*too s.10s2*103-2.s6lz*t0'ì N=l 2 . 5 8 5 7 * 1 0_4z . 4 g s g * t o u l \ Simmetrica

1.6542*t OtoJ

e la sua inversa/Vl ( z . s s a o * 1 0 - 4- 1 . 2 0 8 0 * 1 0 - 5 3 . 9 8 0 9 * 1 0 'I

N1=l

I Simmetrica

s . 9 8 1 6 * 1 0 --51 . z g 7 l * r o - ' I 6.8086* t 0-toJ

llterminenotonormalevale

( z.taes*t o' ì

b=Atpt=l z.6zz3*to4 |

*ro'J [- t.zooe ed infine,la soluzione è: -o.o8o7m l,E",l I -0.0113'?x I òî=lòr,l=n.a=1 I (è/ò/l

[-o.oro\3rad )

I valoricompensati dellecoordinate del punto'1e dellacorrezione d'orientamento sonol 1= (449,919; 760,489)m; son E = ( 1 7 0- 0 , 010 8 3 .6 3 ,6 6 2 0 1=1 0 o6 n9 ,3105

278

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Capitolo 8 M E T O D ID I R I L E V A M E N T O

Ricaviamo orail vettoredegliscartii dopola compensazione: (- +.sotext o-6radì 4'5013*10-" rad î = A6î-t=l - 0.0046m I I I

t

- o.oo15,,r)

Lo? j

4'i' Ed ora calcoliamo la stima6fr:Ofr- i=1

m-n

pî, - îv, r' v =0.5677(è adimensionale)

m-n

Si notiche 6l < ofrfissato a priori=1. la matricedivarianza-covarianza Oraricaviamo dellecoordinate: c;; =63N-t;

(

C,,=l

"?

o,.,"*ìl of o, l=|

lsimmetric, e, in definitiva: o,=-rQ.Qll1*'

.4464* 10-{ - 6.8301* 10-6 -2.2509 * 10-7I

"3 J I

2 . 2 5 1 3 *1 0 - 5 Simmetrica

o" =+0.0048m

7 . 2 9 1 3* 1 0 - s I 3 . 9 4 9 7 * 1 0 t 0J

oa =112.52*10-ogon

la precisione Si può infinevalutarea posteriori dellemisuredopola compensazione, o precisione meglio,la stimadella degliscartidopola compensazione ossiala matricedi varianza covarianza scarti'. Cro=63[P-' alr-ta'] degli ( z . o e q * 1 0 - 1-12 . 0 2 6 * 1 0 - 1 12 . 0 s 4 * 1 0 - B 6 . 6 5 5 6 * 1 0 4I 2 .0 3 4 {<1 0- r r- 2.0s4*10- 8 - 6.6556*10* I | C."^.. - vv=l I 2.0838* 1o-s 6.7496- t o-l | I 2.1862*10-'J \ Simmerrica ricavandocosì: O"1= O"2= +2.86 *10-a gon 6,s=!4.56mm;

O , += * 1 . 4 8 m m ;

Si notichegli s.q.m.angolari sonomigliori(piùpiccoli)deglis.q.m.dellemisureangolari ipotizzate a prioridi t7.10-agon ed anchegli s.q.m.degliscartidelledue distanzesono diversifra loroe più piccolideglis.q.m.aprioridelledistanzeipotizzati di 110mm.Infine ricaviamo la matricedi ridondanza: R = I- P A N-tAr Evitandoi complessicontimatriciali, le ridondanzelocalipossonoesserecalcolatenel modo: seguente - P,6?, ri-, - ---7ioò

,l =rr' =0.2965 rî =0'040 t3 = 0.367 globaler (r=1in questoesempio). Si verificache 4' + r] + rl + rl = 1, che è la ridondanza indicano valori il misura Questi contributo di ogni alla rigiditàcomplessiva dellarete. 279

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CapitoloI METODIDI RILEVAMENTO

Comesi nota questivaloripossonoesserecalcolatisenzabisognodellemisure/. Nel nostrocaso possiamoaffermareche la quartamisuraha pochissima influenzasulla primadi eseguirele misure.ln questo rigiditàdellarete.Ciò era prevedibile in anticipo, caso d'altrapafte non possiamopermetterci il lussodi progettarereti con ridondanza nulla e quindisenza controllointernoalcuno.ln altre circostanze, da un progetto preliminare di una rete,se una misurarisultaaverebassaridondanza locale,si decide di solitodi noneseguirla. 8.6. RETILOCALIE RETIGEODETICHE NAZIONALI Le reti localipossonoavere una estensionemoltovariabile.Si passadalla rete di per la costruzione inquadramento necessaria di unacartografia di un comunedi alcune migliaiadi ettari,a quelledi estensione assairidotta,per esempioper il rilevamento di per la costruzione una lottizzazione, di un brevetroncostradale,o per il rilevamento quindipotràvariareda una semplice architettonico e così via. La loro configurazione poligonale a una retedi poligonali o allaclassicastruttura di punti,connessicon forme triangolari. ico, e non va localizzala Quando la rete è contenuta nel campo topograf possono sull'ellissoide, si ulilizzaredelle coordinatepiane ortogonaliassumendoun verticecome originedellecoordinate(a questoverticesi possonoattribuirecoordinate qualsiasi) nulle,o coordinate convenzionali e un lato può essereassuntocome asse delleascisse.I calcolie la compensazione dellarete,eseguiticon le formuledella piana trigonometria sullabasedellemisuredegliangolie delledistanze, forniranno le coordinate di tuttii vertici. cartesiane Capitaspessoinveceche venga rilevatauna rete localeper l'inquadramento di grande media rete cartografia o scala.Questa localedovrànecessariamente a essere inseritanel sistemacarlografico nazionale. ll modopiù owio di procederesembrerebbe quellodi considerare nellarete localeda rilevareanchealcuniverticitrigonometrici nazionali(se sono due, il sistemadi riferimento verrà fissatocon un grado di poi esuberanza), I'esecuzione continuare con delle misuretopografichedi angoli e distanzee poi eseguirei calcolidi compensazione. Le coordinate dei verticidellarete locale,dopoi calcolidi compensazione, sarannoautomaticamente definitenel sistema perchéle finalitàcon nazionale. di riferimento risultaimproponibile Questaprocedura cui sonostatecostruitele reti e le sottoretinazionali, sonototalmentediversesia come precisione che densitàe ubicazione dei verticie non possonoquindiadattarsialle esigenze di unaretelocale. Nei paragrafiseguentisi daràuna indicazione sullaprecisione intrinseca dei vertici dellereti nazionalie appariràchiaroche in molticasi è da ritenersiinsufficiente se paragonata ottenibile nelleretilocali.L'operazione con la precisione di compensazione globaleche prevedaI'inserimento nella rete localeanche di alcuniverticidella rete nazionaledi minorprecisione, il risultatocomplessivo finaledi tutti i degraderebbe vertici,e sarebbevanificatolo sforzodi operarecon strumentazioni topografiche di alta precisione. D'altraparteI'opportunità di riferirela cadografia, anchedi zonelimitate,al sistemadi riferimento nazionale appareevidente. nel rilevareuna retedi Pertanto è consuetudine, inquadramento e di appoggioper cartografia operarenel modoseguente:

280

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Capitolo8 M E T O D ID I R I L E V A M E N T O

F si rilevala retelocalecon strumenti e metodimoderni,in mododa definireuno schema geometricorigido ed auto controllato(in altri termini con misure rispetto esuberanti al minimoindispensabile); )> nel rilevarela rete locale si avrà cura di determinarela posizionedei vertici trigonometrici della rete nazionalepresentiin zona,di solitocon operazionidi intersezione multipla in avanti; quindicalcolare F si potranno le coordinate nelsistemalocaleanchedi questivertici, già notiin coordinate nazionali; F se questaoperazioneè eseguitaper almenodue punti,sarà possibiledefinire I'orientamento dellatrasformazione dellarete locale,ossiacalcolarei parametri le di scala)che consentedi trasformare conforme(roto{raslazione con variazione coordinatelocali nelle coordinatenazionalidei due punti utilizzati.Con tali parametrisarà possibilepoi trasformare tutti i restantipuntidella rete localenel sistemanazionale; (localee nazionale) ) Se i puntinotinei due sistemidi riferimento sonopiù di due, l'orientamento vieneeseguito conil criterio dei minimiquadrati. 8.7. RETIGEODETICHE FONDAMENTALI L'ideadi una retedi triangoli, introdotta da Snelliusnel 1600,e ripresapoi da altri geodetiper stenderesul territoriouna magliadi puntistabilie ben determinati, ha guidatoper secoli le operazionidi inquadramento e di appoggiodel rilevamento ico. Ci si è scostatida tale schema, semplice,sicuro, e bisognoso, topograf praticamente, delle sole misureangolari,solo quandoè stato risolto,in maniera il problema construmentazioni efficiente, dellamisuradelledistanze elettroniche. nel modificandosi e radicalmente Questoconcettodi retegeodeticasta ulteriormente più momentoin cui si sonoaffermate le nuovetecnichedi rilievoGPS che illustreremo avanti. Con."do

R.gla^.

CdnL,.

Torfno

Pt4n.!.ro

Nrllttè

-

Îorlno

DereLo

O@o il PP lB= PP:

Nord-Ov.st

Base

727 ,35

I

ìante.na

S U P E F C A( B a s l l r c a )

Fig.8.7- Monografia di un verticetrigonometrico Le grandi reti geodetichedi punti trigonometricidistribuitisu tutto il territorio In Figura 8.8 è riportatolo nazionalesono state rilevatemediantetriangolazione. italianadel primoordine.La triangolazione è a magliaed i schemadellaretegeodetica più del latihannolunghezze variabilida 30 a 50 km, con lati cortidovela conformazione delleisole. terrenolo richiedeva e piùlunghi(100+ 200km)peri collegamenti Nell'ubicare i verticidi una retedel 1oordineinfattisi tendea disporlia distanzapiù grandepossibile, ondelimitarneil numero,ma occorretenerepresenteche adottando 281

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Capitolo 8 M E T O D ID I R I L E V A M E N T O

Fig.8.8 - Retegeodetica nazionale del 1'ordine le collimazioni e quindila superiori dei segnali, distanze a 30+40km si rendonoprecarie misuradegliangolirisultameno precisa;si può notareche la formadei triangolisi awicinail piùpossibile a quellaequilatera. circa 1.000verticigeodeticidel 1' Su tutto il territorionazionalesono stati indivíduati che riportai dall'lGMuna monografia ordine;di ciascunodi essi è statapredisposta principali daticomeindicatonellaFigura8.7. Al centrodei triangolicostituitidai verticidi 1" ordinesono stati rilevatii verticidi 2' prividi errorequellidel 1o ordine(Figura8.9);con lo considerando ordine,compensati i verticidel3'e 4oordine.I verticidi 1'e stessocriteriosonostatirilevatie compensati

Fig.8.9- Retegeodetica del2'ordine 282

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Capitolo8 M E T O D ID I R I L E V A M E N T O

2o ordine sono stati segnalizzati con molta cura costruendoun pilastrinoper le osservazionie ponendoun centrinodi riferimenfosulla sommitàdel pilastroed un centrinoin profondità sullastessaverticale del primo.I segnaliper iverticidel 3'ordine per le osservazioni, dato sonocostruiticon le stessemodalitàma non hannopilastrino per precisione richiesta. angolare cheil treppiede è sufficientemente stabile la Molti vertici di 4" ordine sono costituitida campaniliil cui asse individua planimetricamente il punto,e su cui è individualoil piano di paragoneper definirela quota. Nel 1991l'l.G.M.ha predisposto il progettolGM95che disegnavauna nuovarete geodetica fondamentale di altaprecisione basatasulsistemaGPS. Questanuovarete è stataconcepitaper fornireall'utenzaun supportoaffidabilea basatesullemodernetecnichesatellitari. tutte le operazionigeodetichee topografiche Nel 1995tuttele operazioni di rilievosonostateconclusecome previsto(vediFigura 8.10).

lGM95 Fig.8.10- Sequenza di rilievodellaretegeodetica in coincidenza I puntidellanuovaretelGM95sonostatiscelti,quandopossibile, con i nazionale, verticitrigonometrici aventi di 1", 2" e 3" ordinedellaretedi triangolazione caratteristichedi facile accessibilitàcon automezzo;in mancanza di queste caratteristiche, è statomaterializzato un nuovopunto.La dist3nzareciprocatra i vertici della nuovarete è di circa 20 km ( un verticeogni 250 km'). La rete lGM95è stata 283

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Capitolo8 METODIDI RILEVAMENTO

inoltrecollegataaltimetricamente alla retedi livellazione fondamentale. Ad ogni punto della nuovarete è statoassociatoun puntosecondario, postoin prossimitàdi quello, conlo scopodi sostituire il puntoprincipale in casodi suadistruzione. La sceltadi istituirequestivertici"associati", prossimial verticeprincipale,è motivata anchedal fattoche un utenteche impieghimetodidi rilievotradizionali può utilizzarela nuovarete lGM95disponendo di un orientamento iniziale,oltre che di un puntodi partenza,per le propriereti locali.Oltre alle reti geodetichedell'lstitutoGeografico Militaresono distribuitesu tutto il territorioitalianole reti di triangolazione del Catasto collegateai verticipiù vicinidellereti dell'l.G.M.; anchele reti catastali, che dovendo servireper la produzionedi carte a grandescalasono costituiteda numerosivertici, sonoorganizzale in ordinidiversi(retiprincipali, secondarie, ausiliarie). La retedi livellazionedell'lGM: un esempiodi rete di lineedi livellazione è quellodi Figura8.11 relativoal territorio nazionale rilevata dall'lGMpercirca18.000km di sviluppo. L'|.G.M.ha pubblicatoper ciascunalineaun fascicoloin cui sono state riportatele monografie di tuttii capisaldi con le indicazioni utiliper il lororitrovamento sul terrenoe le relativequote.Gli accorgimenti usati nel rilievodelle grandilinee di livellazione nazionalivengonoadottatianche nel rilievodelle linee di livellazione di altissima precisione, ma di minoreestensione, che vengonodi solitoattuateper studiarei movimenti delsuoloo percontrollare i cedimenti di grandistrutture.

Fig.8.11- Retedi livellazione IGMdi altaprecisione

284

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Capitolo8 M E T O D ID I R I L E V A M E N T O

8.8. PRECISIONE DELLERETINAZIONALI Attualmente la cartografia italianafa riferimento a quattrosistemigeodeticidiversi: ) il sistemanazionale (M.Mario1940"Gauss- Boaga"): è il sistemain cui sono state calcolatele coordinatedei vertici della rete fondamentale lGM. italiana, neicataloghi trigonometrica a disposizione dell'utenza adottatoanchedal Catastoche, allo stato Questosistemaè stato ufficialmente attuale,lo utilizzasolo per zone limitate.L'ellissoidedi riferimentoè quello (Hayford) internazionale orientatoa Roma(osservatorio astronomico di M. Mario, 1940). rete nel facendo ll della 1908 1919 definizione calcolo è statoeseguito (Besselorientatoa Genova)e solo nel 1940è riferimento ad un altroellissoide stato adottatoI'ellissoide e l'orientamento attuale.A seguitodelle numerose nel tempo,numerosiblocchi campagnedi triangolazione dell'lGMsusseguitesi in basealle nuovemisuree ai nuovicalcolidi dellaretesonostatirideterminati locali"nella rete; le coordinate compensazione, con conseguenti"distorsioni in catalogo, attualmente sonoquindispessodiverseancheda quelledel 1940. La rete geodeticafondamentale o del 1" ordineè stata compensatain blocco dall'lGMnel1983(ledimensione dellamatricenormaleottenutadalcalcoloè stata ha permesso di 1050x 1050).Questoricalcolo di stabilire le precisioni dei vertici iterminidellamatricedi varianza-covarianza. dellareteattraverso Con riferimento alla Figura8.12, nella tabellaseguentesono riportati,come esempio,i valoridei parametricaratteristici dell'ellisse d'erroredi alcunivertici dellarete

Íì = omax

Fig.8.12- Ellissed'errorereteIGM(calcolo del 1983) n 'p u n to nome 057049 056206 056134 055107

ON

OE

? = Omax

b = omin

lml 0,54 0,59 0,63

Iml 0,60 0,63 0,65

tml

tml 0,42 0,47 0,51

47

0,56

45

MonteCrea Superga Monte Musinè Rocciamelone 0,69

0,69

0,68

0,72 0,75 0,80

I lol

52 49

il sistemaeuropeo(ED50- UTM): è il sistemausatoper il "taglio"dellamaggiorpartedellacartografiaattualmente prodotta. Nonè impiegato invececomesistemadi inquadramento, anchese sono le coordinate disponibili deiverticidellaretetrigonometrica fondamentale in questo (Hayford)con sistema. L'ellissoidedi riferimentoè quello internazionale medioeuropeodel 1950(ED50).ll calcolodi compensazione orientamento delle

285

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Capitolo8 METODIDI RILEVAMENTO

principali reteeuropeedel 1oordineè statoeseguitodal U.S.Coastand Geodetic Surveynel 1950 Un puntoha coordinateche differiscono di decineo centinaiadi metririspettoallo stessopunto rappresentato nel sistemanazionale.Tali differenzesono dovute principalmente (diverso"Datum"),ma in al diversoorientamento dell'ellissoide parteancheai differenticalcolidi compensazione che hannodatoorigineai valori finalidelle coordinate. ll passaggiodalle coordinateUTM alle Gauss-Boaga o quindicon procedimenti viceversa non è eseguibile ma solocon analiticirigorosi, formuleempiriche validein generein zonedi estensione limitata. F il sistemacatastale: "M. Mario1940 ll Catastoitalianoha ufficialmente adottatoil sistemanazionale Gauss -Boaga da vari anni ma, in pratica,solo in poche zone si è passati effettivamente a talesistema. Per la maggiorpartedel territorionazionalela cartografia catastaleed i relativiatti di aggiornamento sono ancora riferitial sistemacatastaleadottatoin fase di formazionedella cartografia(dal 1866 in poi), caratterizzatodall'uso della rappresentazione di Cassini- Soldnerper zonelimitateciascunacon una diversa originecoincidente spessocon un verticelGM. L'estensione di ogni sistemaè limitatain generead un massimodi 70 km dall'origine in direzioneEst Oveste a 100 km in direzioneNord Sud. La maggiorpartedelleprovinceè compresain (31 origini)e il rimanente sistemidi grandeestensione territorioè suddivisoin sistemipiù piccoli(oltre800complessivamente). ll sistema di riferimentogeodeticocatastalecoincidentecon quello adottato globaledel 1908-1919) dall'lGM(nellaprimacompensazione nonè statoutilizzato per I'interoterritorionazionaleperchéi lavoridi rilievodel catastosi sonosvoltiin molticasiprimadel completamento dei lavoridi triangolazione dell'lGM.Semprea causadel ritardodelleoperazioniIGM rispettoalle esigenzecatastalisono state spessoassuntivaloriprowisoridellecoordinate dei verticidi 1o,2o e 3o ordine, fornitivolta per volta dallo stessoIGM ma spessodiversidai definitivi.La rete catastale nonè quindideltuttocongruente conquellanazionale. (WGS8a): ) il sistemamondiale è il sistemadi riferimentoattualmenteadottatonel posizionamento mediante satellitiGPS (GlobalPositioning System).E costituitoda una terna cartesiana OXYZcon originenel centrodi massaconvenzionale dellaterraed asseZ diretto secondoI'assedi rotazioneterrestre.Alla terna è associatoun ellissoidecon parametridiversi da quello internazionale con centro nell'origineed assi geocentrico). coincidenti conquellidellaternastessa(ellissoide Al sistemaWGS84 non è associatoufficialmente alcun sistemacartografico, anchese è semprepiù frequenteI'adozione della rappresentazíone UTM con questanuova inquadramento WGSSa(in analogiaall'UTMED50).Utilizzando più avanti)l'lGM ha realizzalola nuovaretegeodetica tecnicadi misura(illustrata del 1'ordine chiamatalGM95costituita da 1236puntimaterializzali stabilmente sulterritorio nazionale conun erroremediotridimensionale inferiore a 5 cm.

286

-l

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Capitolo 9 R I L I E V OD I D E T T A G L I O

Capitolo 9 RILIEVODI DETTAGLIO

9.1. RILIEVOE CALCOLODELLERETIDIDETTAGLIO Comeè statogià dettonell'introduzione del cap.8, le retidi dettagliohannolo scopo di creare una serie di punti di coordinatenote, che dovrannoessere i centri di emanazione del rilievodi dettaglio.Nelcasodi utilizzodi tecnicheterrestri,i verticidelle reti di dettagliodovrannoessereposizionatiin modo tale che da essi siano visibili direttamente tutti i puntinecessarialla descrizione completadell'oggetto. Gli schemidi rilievo che vengono utilizzatiin questi casi vengono classif icati in metodi di poligonazione e metodidi intersezione.

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Caoitolo9 R I L I E V OD I D E T T A G L I O

9.2. RICHIAMI DI GEOMETRIA ANALITICADEL PIANO Per potertradurrei problemigeometriciin problemidi calcolo,occorrerappresentare i diversientigeometrici mediante numerio equazioni. La Questa possibilitàsi realizzafacilmentedefinendoun sistemadi riferimento. rappresentazione analiticadi un ente geometrico dipendedallasceltadel sistemadi riferimento. In topografiae cartografiasi utilizzano, il riferimento essenzialmente, ortonormale e il polare. riferimento p I'

',|

Fig.9.1- Riferimento ortonormale e polare ll riferimento ortonormale è definitoda unacoppiadi rettetra loroortogonali, sullequali si fissaun riferimento il puntoO, comunealle due rette,come cartesiano, scegliendo origine. R[O.XY]. Indicheremo, d'orain poi,taleriferimento con la notazione Fissatoun riferimento ortonormale, si può identificare ogni puntoP mediantele sue Xp,Yp. coordinate polareè definitoda un puntoO, dettopolo,da una semirettadi origine, ll riferimento detta asse polare, e da un verso positivo per le rotazioni (in topografia tradizionalmentesi considerapositivo il senso orario). OgnipuntoP del piano(ad eccezione del polo),può essereindividuato da un raggio vettore op coincidentecon la lunghezzadel segmentoOP e dall'anomalia 0p polare I'asse coincidente con la rotazioneorariache sovrappone allasemirettaOP. polaridel puntoP. Le quantitàop,0prappresentano le coordinate Per convenzione in topografiaI'anomaliaè un angolosemprepositivocon valori c o m p r e sl ri a0 e 2 n . ora un sistemadi riferimentopolare e un sistemadi riferimento Consideriamo in verso cartesianoR[O.XY]con le origini[O] coincidenti e con l'assepolarecoincidente e direzione conI'asseY del sistemacartesiano.

Fig.9.2- Sistemadi riferimento cartesiano e polare

288

q

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Capitolo9 R I L I E V OD I D E T T A G L I O

polaridi un puntoP le coordinate Le relazioni analitiche checonsentono di trasformare nellerelativecoordinate e viceversasonole seguenti: cartesiane X,=6rsenÙ,

t1l

Yp=6pcosgp 0 ^' - a r c t a n X P

Y,

l2l

X ?+Y ,? la relazione Per quantoriguarda il calcolodell'anomalia 0p occorrecompletare appena ricavata. Abbiamovisto,infatti,che I'anomalia una quantitàpositiva,mentreil è per definizione risultato numerico dellafunzionearcotangente è rappresentata da un numerocompreso I r a - n l 2e +n 1 2 . Per risolverein modocorrettoil problemasi operanelseguentemodo. t\/l

PoniamoK = arctanfl

in modulo) lcatcolato '

lY'l

il valoredell'anomalia 0psi determina tenendocontodeiseguenti casiparticolari: seXp>0eYp>0sarà0p=K se Xp > 0 e Yp< 0 sarà0p= n - K se Xp < 0 e Yp< 0 sarà0p= 7r+ K s e X p< 0 e Y p> 0 s a r à0 p= 2 n - K S€Xp= 0 e Yp> 0 sarà0p= 0 S€Xp=0eYp<0sarà0p=fi S€Xp> 0 e Yp= 0 saràQe=nl2 SeXp < 0 e Yp = 0 sarà0e= 3nl2

rtvr at

OwiamenteSe Xp e Yp soho entrambenulle,non sarà possibiledefinirealcuna in quantoil puntoP coincide soluzione conI'origine delsistemapolare. L'angofodi direzionedi una semirettaorientataè una grandezza di grandeutilitànello sviluppo deicalcoliin topografia e in cartografia. Si definisceangolo di direzionedella semirettaorientataPA, la rotazioneoraria che la parallelaall'asse Y del sistema cartesianopassanteper il punto P deve compiereper sovrapporsialla semirettaPA. Esso viene indicatocon la notazione(PA). Osservandola fig. 9.3 è facilenotareche l'angolodi direzione(PA) coincidecon polarecheabbiaoriginein P e asse l'anomalia del puntoA, in un sistemadi riferimento polareparallelo all'asseY delsistemacartesiano. quantodefinitodallerelazioni[3], I'angolodi direzionesarà dunqueuna Ricordando quantitàsemprepositivae convalorecompresotra0 e 2n. L'angolodi direzionedellasemirettaPA può esseredeterminato se si conosconole coordinate cartesiane dei due puntiP e A.

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Capitolo9 RILIEVODI DETTAGLIO

Fig.9.3 - Angolodi direzionedi una semirettaorientata Risultaa questopunto immediatoricavarela formulaper il calcolodell'angolodi direzione(PA)e delladistanzaPA noteche sianole coordinate cartesianetotaladip e di A. ( PA ) = orrron* o * '

Yo-Y,

l4l

AB=m

l5l

OwiamentepoichéI'angolodi direzioneè una anomaliaoccorreconsiderare in quale degli otto casi elencatinella [3] si sta operandoper poter determinareil valore dell'angolo di direzione secondola definizione dataprima. Se si ulilizzaExcelper il calcolodell'angolo di direzione, è sconsigliabile I'usodella funzioneARCTANperchèfornisceil valoredell'arcotangente -n/2,+n/2e nell'intervallo bisogneràpoi "sistemarlo" secondole regole[3]. E invececonsigliabile la funzione ARCTAN.2 conquestasequenza di operazioni: D calcolodi Ax = Xn- Xp D calcolodi Ay = Ye- Yp F calcolodi (PA)= ARCTAN.2(A';Ax) (ATTENZIONE:I| primoterminedellafunzioneè ay e ir secondoè ax) la funzione ARCTAN.2 restituisceun valore angolareespresso in radianti compresolra -n e +7rcon esclusionedi -r e supponiamoche questovaloresia caricatonellacasellaB2Sdelfoglioelettronico. ll valoredell'angolo (PA),che rispettaautomaticamente di direzione la definizione data,si otterrà{tivqndo la seguentefunzione(neflacasellaB2Gad esempio): =SE(825>0;825;2.Pl.GRECO0+825). Naturalmentequesto valore è sempre espresso in radianti. Esercizio: calcolare I'angolo (PA)neiseguenti di direzione casi: = X p= 1 2 3 .4 9m X n 1 0 3 ,4 1m ( PA)= 369s,1695 Y , = 1 4 4 .3 5 m Y i = I 8 2 ',5 2m

=32s'0578 (PA) x:--33?'12n Xn = 62,62m Ya=37,24m

(PA)= 232s'8992

=1.5s,es86 íl =iliS',.'1 (PA) 290

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RrLrEVo DrD?T+î31îo ( PA)=AICÍANXN-X' Yo -Y,

pe = ^l( X o - x, )' + (Yo-Y, )'

(PA

X l Ya

lml calcoli.,',' , -20,08 aX = [m] 38,17 aY = [m] (PA)= [rad] -0,484284 5,7989018

ì..1 iìiì i:ììiìiì \ì:ììi.ì i.ìi:li"r Àlìi.l ìr:,,1Jlii:ìii.ì .-i,l ' iì il I r:ììiì:ì:'t.lì:ìlìì.;ì i-rl

*s.ùLiti (PA)= 369,1696 PA= 43,13

9.3. ANGOLOPIANO la rotazioneoraria che una Si definisceangolopianotra due semiretteorientate, con la secondasemirettaper semirettadeve compiereattornoal puntodi intersezione sovrapporsi a quest'ultima. questeultime La fig. 9.4 rappresenta due semiretteorientateAB e AC non parallele; individuano nelpianodueangoliesplementari. in topografia Per indicarein modounivocoa qualedei due angolisi fa riferimento, si la regola individua I'angolo rotazione definita dal usa che come oraria dellasemiretta "punto di stazione"(A) e dal "punto indietrd' (B o C) fino alla sovrapposizionealla semirettadefinitadal"puntodi stazione"(A) e dal"puntoavanti"(C o B).

Fig.9.4- Angolopiano 291

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Capitolo9 RILIEVO DI DETTAGLIO

Nel caso della fig. 9.4, se il punto B è consíderato"pLtntoindietro'éil punto C è "puntoavanti",l'angolo considerato definitosecondola regolaprimaespostasarà dato indietro""punto dallasequenza"punto di stazione""puntoavanti"e quindisarà I'angolo acutoBAC. Se il punto B è consideralo"punto avanti'éil punto C è consideralo"punto indietro", I'angolodefinitosecondola regolaprima espostasarà dato sempredalla sequenza "puntoindietro""puntodi stazione""puntoavanti"equindisarà I'angoloGAB. Per meglio comprendereil significatodi "stazione","indietro"e "avantl' attribuitoai vertici,si adottala regolache vede un operatore(topografo)posizionatosul "verticedi stazione"(punto A) che guarda secondola bisettricedell'angolopiano che vuole misurare;il verticeche sta alla sua sinistraè definitocome"puntoindietrd'eil vertice che sta sullasuadestraè definitocome"puntoavantl'.Regolainfallibile. L'angotoazimutale(ad esempioBAC) si può pensareanchecome differenzadi due angolididirezione:

Fig.9.5- Angolopianoe angolidi direzione

=( AC)-(AB)= orrronlt-Io -or6onffi BAC

9.4. TRASPORTODEGLIANGOLIDI DIREZIONE per il calcolodellepoligonali, Premessafondamentale è la comprensione di comesi propagano gli angolidí direzionelungouna spezzata. la spezzatadi fig.9.5 costituita Consideriamo da n verticiP1,P2,...Pn

Figura9.5- Trasporto lungounaspezzata degliangolidi direzione Si deve pensarela spezzatadotatadi un versodi percorrenza, ad esempioda Pr a Pn,in modoche, gli angoliazimutalimisuratiin tuttii vertici,sianosemprequelliche 292

t6l

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Capitolo9 RILIEVO DI DETTAGLIO

permettono di sovrapporre un latoal successivo medianteuna rotazioneoraria(in figura C[2, C[3... Cln).

noto il primoangolodi direzione(PrPz),potremoverificare, Se consideriamo anche graficamente, che I'angolo di direzionein un vertice qualunque(P;) si ottiene sommandoall'angolodi direzionedel verticeprecedente(Pi-r)I'angoloazimutale misuratonel vertice(qi);se la sommadei due terminiè maggioredi rubisognerà sottrarre& se la somma dei due terminiè minoredi n bisogneràsommareft. Nelcasodellafigura9.5 avremo: ( P z 4) = ( 4 P z) + u r - n ( 4 P 4 ) = ( P z P)s+ u t - n

9.5. TRASPORTO DELLECOORDINATE LUNGOUNASPEZZATA la spezzata Consideriamo difig.9.6costituita sianonoti: da n verliciPr, Pz,...Pn, } gli angolidi direzionedi tuttii latidellaspezzala; F l e lu n g h e zze d i tu ttii l a ti1 112, , ...,In; F le coordinate cartesiane Xr, Yr delprimovertice. Vogliamo determinare le coordinate cartesiane di tuttii rimanentivertici. Come prima cosa si determinanole coordinateparzialidi ciascunverticerispettoal precedente usandole [1]. Xr = rìoto Yr = noto = Xz lr Sen(P1P2) 12= 11cos(PrPz) 17l Xs = lz sen(PzPs) Ys= lzcos(PzPe) Quindisi procedeal calcolodellecoordinate totalidi ogni verticeche, come risulta facilmente verificabile la fig. 9.6, risultanoesserepari alla sommadella osservando parziali coordinate totalidelverticeprecedente e dellecoordinate delverticein esame: Yr = noto Xr = Doto Xz=Xt+Xe Y z = Y t+ Y z t8l Xs=Xz+Xs Ys=Yz+Ye

Figura9.6 - Trasportodellecoordinate lungounaspezzata cartesiane

293

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Capitolo9 R I L I E V OD I D E T T A G L I O

9.6. LE POLIGONALI La poligonale le è una operazione topografica classicache permettedi determinare tra loromedianteuna coordinateplanimetriche(X,Y)di una seriedi vertici,collegati quellachiusae quellaaperta. Descriveremo spezzala. duetipidi poligonale, possonoancheessereutilizzale Comeavremomododi chiarirein seguito,le poligonali perle operazioni di inquadramento di un rilievotopografico. 9.6.1.POLIGONALE CHIUSA La poligonalesi dice chiusase la spezzalache collegatutti i verticisi richiudesul puntodi partenza. il casopiù generale di unapoligonale chiusadi 6 vertici(vediFigura9.7) Consideriamo tutti di coordinateincognite.La primacosa che occorrefare è fissareun sistemadi riferimentolocale.Come abbiamogià visto a propositodelle reti di inquadramento questaoperazionerichiededi fissarele coordinatedi un punto della planimetrico, poligonale e I'angolo di un suolato.Solitamente si fissal'origine delsistema di direzione in un verticee si disponeun suo latolungoI'assedelleX del sistemadi di riferimento riferimento. Nel casorappresentato in Figura9.7, abbiamopostoI'originenel vertícePr, e abbiamo impostoche il latoPrP2siacoincidente conl'assedelleascisse. il puntoPr àssufit€ràle coordinateXpr = 0, Ypr = 0 e il vertice ln terminidi coordinate, PzavràcoordinataYpz= 0. Yî

P3

locale Fig.9.7 - Poligonale chiusae sistemadi riferimento ll rilievodi una poligonale richiedela misuradi tuttigli angoliazimutali e di tuttii lati quindi a1,o'2,...q6 ilati lr, lz,...lo Nel nostro misurare e dellaspezzata. esempiodovremo p e ru n t o t a l ed i 1 2 mi su re . planimetriche Le incognite del nostroproblemasonole coordinate di tuttii verticidella e sonoquindi9 in totale spezzalamenoquellegià fissatecon il sistemadi riferimento (Xz,Xs,X+,Xs,Xo,Yg,Y+,Ys,Yo). che,indipendentemente dal numerodeiverticidellaspezzata e daltipo Si puòverificare (chiusao aperta),il numerodi misureeseguiteè sempremaggiore di tre di poligonale paria tre. rispettoalleincognite. Si dice"esuberanza" quindidi compensare le misuree di ricavarei valoripiù plausibili Questofattopermette delleincognite. 294

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Capitolo9 DI DETTAGLIO RILIEVO

Le poligonalipossonodunqueesseretrattatenellostessomododescrittonel capitolo4 di questedispense. (sempree solo La modestaesuberanza dellemisurerispettoal numerodelleincognite pari a tre) e la particolaregeometriadel rilievo, rendono lecito un calcolo di ne "semplificato"detto"compensazioneempirica". compensazio Le coordinatedei verticidella poligonale,ottenutein questo modo, sono del tutto equivalenti a quelleottenibili conunacompensazione rigorosa ai minimiquadrati. non permetteperòla stimadellaprecisionedei risultati,né Questocalcolosemplificato la possibilità di individuare misureaffetteda errorigrossolani. Vediamolo nel eventuali dettaglio. Cominciamo conle misuredegliangoliazimutali. È notodallageometria che la sommadegliangoliinternidi un poligono di n latiè paria (n-2).re questovalorenoncoinciderà(a causadeglierroriaccidentali di misura)con la sommatoriadegli angolimisurati,indicataconIa. La differenzalra questidue valori viene detta erroredi chiusuraangolare. ò o= E c r- ( n - z ) - n tgl per la misura Se o, è lo scartoquadratico mediostrumentale del teodoliteutilizzato generica degliangoli,è notoche si ha il 99%di probabilità L che la direzione azimutale sia compresain un intervalloL t 3o". Ciascunangoloazimutaleè ottenutocome differenza di due direzioni misurate(a= L6 - lsvedi Fig.9.a)e quindi,come azimutali noto,ol =oÎ + o? =2o? e lo s.q.m.dell'angolo misurato saràparia oo = J2o, Se n sonogli angolimisurati, tutticon le stessemodalità, avremoche la varianzadella s o m m ad i tu ttig l ia n g o lsa i rà :o ! = o3+o3+ ...=noî.e lo s.q.mo, = ooJn La probabilità che la sommatoria degliangolimisuratisia compresain un intervallo La!3J2n.o. saràdel 99%cioèla praticacerlezza. La quantità3J2n o" è chiamatatolleranzaangolare. Se il valoreassolutodell'erroredi chiusuraangolare(8"), è minoreo ugualealla tolleranza angolare, si avrannobuoneragioniper pensareche tuttele misureeseguite sianoaffetteda solierroriaccidentali. Sappiamo inoltreche I'erroreaccidentale di misuradi un angoloazimutale nondipende dall'ampiezza dell'angolo I'erroredi chiusuraangolare stessoe quindipotremoripartire in parti uguali tra tuttigli angolimisurati. Nel casoinveceche,I'erroredi chiusuraangolaresuperila tolleranza, non resteràche ripeteretuttele misure. gli angolidi direzione Dopola correzione in tuttii di tuttigli angoliazimutali, calcoleremo verticidellapoligonale le regolegià illustrate utilizzando sul trasportodegliangolidi parzialidi tuttii vertici. direzionee potremocosìcalcolarecon le [8] le coordinate La poligonale è chiusa,e quindile coordinate del primoe dell'ultimo verticedovrebbero quindi parziali y la x coincideree sommatoriadelle coordinate e dovrebberoessere nulle. nonawienein quantoanchele misuredei latidellapoligonale Questosolitamente sono affetteda inevitabili erroriaccidentali. lndicandocon Ex e Ly le sommatoriedelle coordinateparzialidi tutti i verticidella poligonale;la quantità4 = J(r")' + (xy)' rappresent erà,1'erroredi chiusuralineare. 295

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Capitolo9 R I L I E V OD I D E T T A G L I O

Le distanze, oggi,si misuranomediante un distanziometro ad ondee tuttii latisono,di norma,inferiori 1 km. È notocheI'errore di misuradi unadistanza, ad eseguita contale (vedi6.4),è costituitoda una partefissa (0,5+ 1 cm) e da una parte strumentazione proporzionale direttamente alla distanza(nel nostrocaso < 1 mm). Si può supporre quindiche gli erroriaccidentali di misuranondipendano delladistanza daffalunghezza stessa ma siano una costantepari a oo : t0,5+1cm in f unzionedel tipo di distanziometro utilizzato. Analogamente a quantodettoprimaper gli angoli,se la poligonale è costituita da n lati .o potremoquindiipotizzare unatolleranzalateraleparia 3Ji o. Se il valoreassolutodell'errore di chiusuralineare(ò1)è minoreo ugualeallatolleranza laterale,si potràprocedereallacompensazione, altrimentinon restache rifare,anchein questocaso,tuttele misure. ll criteriodi compensazione da adottaresaràdel tuttoanalogoa quelloangolaree cioè sarà ripartitoin parti uguali su tutti i lati misurati.L'unicaawertenzaè che I'erroredi chiusuraXy sarà da distribuiresu tutti i lati menoil primoche DEVErestaresull'asse delleascissee quindinonè compensabile secondola direzioneY. parzialisarannoquindi: Le correzioni da apportareallecoordinate I.x ax-_ n

Lr a'v - _ n-1

Al terminedi queste due semplicioperazioni,si sono così ripristinatele condizioni geometriche le coordinate determinando dellapoligonale di tuttii suoivertici. Di seguitoriportiamo I'esempio empiricadi una poligonale dellacompensazione chiusa con Excel: ,.. ,: .

verricef[3::t '.'-..

Xlffo: i

[gonl

angoli di direzione

[gon]

P1

[gon] 100,0000

coordinate parziali

lati

lsen0

lcos0

tmt

t;i

tml

coordinate parzialicomp.

xy [ml

Coordinate totali comp. XY

lml

[m] nnnl

494,85 199,5644 199,5641 99,5641

[m] nnn

. ..:] 494,85

0,0!

494,86

0,00

494,86

0,00

695,03

4,76

695,04

4,76 1.189,90

4,76

6S5,05 62,0037

62,0034 361,5676 : :'r'

=.

131,7645 13'1,7642 293,3318 ....: .'

-261,06 378,58 -261,05 378,59

234,7485 234,7482 328,0800

-522,06 568,44

60,1070

60,1067

t-

n o vertici = tc= toller.= Acr =

800,0016 800,0000

-0,058

Ex= EY=

-0,058

€t = toller.=

0'064

^x = Ay= 296

-0,027

r =

o

o,oo16 0,0021 ' 0,0002667

328.48

,..

107,22 -571 ,16

1 1 1 . 8 1 3 5 1 1 . t . 8 1 3 21 0 0 . 0 0 0 0

406.80

::,'-:: -514,O4 242,68-514,03 2 4 2 , 6 8 - 1 0 7 , 2 3 5 7 1, 1 6

581,14 P1

-54,88 -522,05

928,85 383,35

-0,027

:

01073

-0,01 -0,01

107,23 - 5 7 1 , 1 6 0,00

0,00

0,00

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Capitolo9 RILIEVODI DETTAGLIO

9.6.2.POLIGONALE APERTAVINCOLATA AGLIESTREMI ll secondoschemadi rilievoper poligonale, moltoutilizzato netlapraticaoperativa, è rappresentato dallapoligonale apertavincolataagliestremi.E necessario che si possa farestazioneconlo strumento su duepuntidi coordinate note,daiqualisianovisibili (ma non necessariamente stazionabili) altridue puntianch'essidi coordinate note(vedi F i g u r a9 .8 ). Nellapoligonale apertavincolataagliestremi,il sistemadi riferimento è già definitodalla presenzadi dueverticidi coordinate noteall'interno dellapoligonale steJsa. Così come nel casodellapoligonalechiusa,lo schemadi rilievoprevedela misuradi tuttii latie di tuttigli angolidellapoligonale. Anchein questocasosi può verificare che il gradodi esuberanza dellemisurerispetto al numerodelleincognite è sempretre (indipendentemente dal numerodei vertici)e quindidiventalecitaunacompensazione empirica. Con riferimento allaFigurag.8,l'angolodi direzione (A pr) è noto,in quantosononote le coordinatedi entrambii punti. Mediantei valori degli angoli misuratisi trasportaI'angolodi direzionelungo la spezzata, finoa calcolare l'angolodi direzione (PoB).Di queèt'ultimo angolodi dire2ione si conosceperòancheil valorederivantedallecoordinate notedei due óunti. La differenzatraquestedue angolidi direzione(P6B)esprimeràI'erroredi chiusura angolare.Se talevaloreè inferioreallatolleranza angolare(calcolata comeabbiamogià visto nel paragrafoprecedente)si potrà effettuareuna compensazioneangolàre ripartendo taleerrorein partiugualisu tuttigli angolimisuratí. YA

iP3X

--------------)

Fig.9.8 - Poligonale apertavincolataagliestremi Dopola compensazione angolare,si procederàal trasportodellecoordinatecartesiane dalverticeP1(comedettoin 9.5)finoal verticep6. puntosonoperògià notele coordinate Di quest'ultimo e quindila differenza tre quelle calcolatee quellenote (Axe Ay) permetteràdi determinarel'erroredi chiusuralineare:

ò,={^# * (^yf .

297

Capitolo9 R I L I E V OD I D E T T A G L I O

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(calcolata comeabbiamo ammissibile allatolleranza Se talequantitàrisultainferiore linearecon gli già vistonel paragrafoprecedente) una compensazione si può effettuare chiusa. stessicriterigiàdettiperla poligonale empiricadella poligonale Di seguitoviene riportatol'esempiodella compensazione agliestremidi Fig.9.8,svoltocon Excel: apertavincolata Xn= Xpr : Ypr = xPl-xA= Y P 1- Y A = (A P1) =

vertice

Xpo= Ypo= Xe= Ye= xB-xP6= YB-YP6= (P6B) =

518,14 2.8t61?7 845,61 2.110,37 327,47 -750,90 173,8198

3.590,32 2.010,96 4.795,94 4.480,85 1205,62 2.469,89 28,9092

angolodi angolodi direzione angolo angolo direzione compensato compensato misurato calcolato

latl

e

lgonl

tgonl

lgonl

lgonl-

173,8198

173,8198 P2

245,5256 :: :::::'-:::: 134,1526

P3

130,2161

P1

245,5255 : 134,1525

219,3454 153,4980

P5

237,6515

:'

.,,

153,4979

848,93

160,3724

,,:.ji

44,0866

: .

j

44,0864

843,21

81,7378

795,29

237,6514 81,7381

.l

.

::::::.,.

1

147,1713

147,1714

P6

651,34

83,7139 1108,15

83,7141

t'

160,3725

219,3453

130,2160

.-

P4

.-a

28,9092

28,9095 B .::,: n overtici= tc=

tolleranza Acr -

298

6 0,0003 0,0021 0,0001

[m]

n o d i s t a n z e= tu=

0,0000

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coordinateparziali lsen0 lml ,.,, -194,89 -:i 566'41 1.072,09

lcos0 [m]

Capitolo 9 R I L I E V OD I D E T T A G L I O

coordinatetotali XY

tml

tml

845,61 2.110,37 :r:, - 6 2 1, 5 0 :::,,=.,:.-..,.., 650t72 1.488,87 -632'34 :,::::::',,:= 1 . 2 1 7 , 1 g 856,53 280t41 :::.:= c Dao D1

538,36

648,97

762,79

225,02

coordinateparziali compensate lsen0 lcos0

lml

-194,90

-621,49 ,::,

566,40 .

1. 1 3 6 , 9 3

a qon e7

€x =

0,049

€v= t t= toller.= AX= ^Y=

0'058 0,073 -0,010

1.785,91 -'',....=,. 2.010,93

:.::i::

::l:l:

-632,34

2.861,27

845,6f,

2.11A37

..,,,,-,,a,,,::a.aa=: ]

650,71

280,41

'j,:,:..,::::.:r::::l::-

762,78

225,03

1.488,88 856,54 :::i'

2.289,18

648,98

::-.1

tml

518,14

1.217,11

-::::=::j:rl

1.072,08 538,35

c aD7 RA

lml

lml

,,

coordinatetotali compensate X,Y

1.136,95 ..-, 1.785,93

2.827,54 .::: : 3.590,32

2:010,96

4.795,94

4.480,85

-0,030

0,006

9.7. LE INTERSEZIONI Gli schemidi rilievoper intersezione ebberoun grande ulilizzoquando non era agevolela misuradelledistanze.Nellamaggiorpartedei casi,si trattadi schemidi rilievoche non consentono un controllodellemisureeseguite,in quantoprevedono I'esecuzione di un numerodi misurestrettamente sufficiente alladeterminazione delle punti incogniti. L'awentodei distanziometri coordinate dei a ondee dellestazionitotali ha resoper lo più obsoletitali metodi,ma una loroconoscenza consenteall'operatore di quando,per motividi accessibilità, risolverelocalmenteproblemiparticolari, non è possibilemisuraredistanzeo più semplicemente quandooccorreindividuare in modo possibilità rapidoI'effettiva del rilievoin basea unodeglischemidi intersezione. puòsempreessereintegrato schemadi intersezione da misuredi distanze Qualsiasi riconducendo liberache, in così il calcoloallacompensazione di una retetopografica quandoil gradodi esuberanza analogiaalle poligonali, delle misureè limitato,può esseresoggettaa compensazioni empiriche. vengonodenominate Le intersezioni intersezioni in avantiquandosi prevededi fare note,mentrevengonodenominate intersezioni inverse, stazionesui puntidi coordinate quandosi prevededifarestazione incognite. suipuntidi coordinate

299

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Capitolo9 R I L I E V OD I D E T T A G L I O

9.7.1.INTERSEZIONE SEMPLICE IN AVANTI planimetriche Perdeterminare le coordinate in due punti di un puntoP, si fa stazione di coordinatenoteA (Xa,Ya)e B (Xs,Ys)e si misuranoi due angoliazimutalicr,B (vedi

Fig.e.e).

Figura9.9- intersezione semplicein avanti (AB). A partiredallecoordinate notedei puntiA e B, si calcolal'angolodi direzione ( AB)- orrrorX-u:J o Yu-Yo

L'angolodi direzione(AP) si può ricavaredalla seguenterelazione,facilmente verificabile la Figura9.9: osservando ( A P) = ( A B) - u " Deltriangolo PABsononotiun lato(il latoAB) e i dueangoliadiacenti. Applicando latoAP: ilteoremadei senisi puòdeterminare la lunghezzadel AR

AP = -!!"- t;,rB smy E quindile coordinatedel punto P sarannodate da: Xr=Xo+APsin(AP) Yr=Yo+AProt(AP) Le coordinatedel punto P possonoessere calcolateanche partendodal punto B: c a l c o l od e l f ' a n g o ldoi d i r e z i oen ( B A )

( B A ) = o r r r o r l - t : J - z = ( A B) + n Yo-Y,,

calcolodelladistanzaBA calcolodell'angolo di direzione(BP)

sA = Jf X u - X o )' +(yo -yo )2

( BP) = ( BA) +B

calcolodelladistanzaw

B P=

D

A'

M ,ira siny

E quindile coordinate del puntoP sarannodateda: Xr=Xu+BPsin(BP) Yr=Yu+BPcos(BP) In questocaso (intersezione semplicein avanti)non esistonomisureesuberantie quindiil doppiocalcolo(partendodal verticeA e dal verticeB) può serviresolamente per controllare I'esattezza deicalcoli. 300

-a

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Capitolo9 R I L I E V OD I D E T T A G L I O

ll metodo dell'intersezione semplicein avanti può essere utilizzatoper la planimetriche determinazione dellecoordinate di un puntoda utilizzare comecentrodi emanazionedel rilievo di dettaglio,ma viene anche spesso impiegatoper la determinazione di puntinonaccessibili. Questoschemadi misuraconsentedi ottenere precisioni purché prossima elevate I'angolo in P abbiaun'ampiezza a nl2.Comesi può facilmente notarel'intersezione semplicein avantinon consentenessuncontrollo sulla bontàdellemisureeseguite(si eseguonodue misuree si determinano due incognite) perciò,in molticasi,si determina il puntomediante unaseriedi collimazioni eseguite da tre o più punti di coordinatenote,passandoquindiad uno schemadi intersezione multipla in avanti(vediFig.9.10). ln questi casi le coordinatedel punto P possonoessere ricavatemedianteuna compensazione empirica,semplicemente mediandoi risultatidellevarie intersezioni sempliciriconoscibili. Owiamenteè semprepossibilesottoporre le misureeseguitea una compensazione gli s.q.m.dellecoordinate rigorosain mododa poterstimareanchecorrettamente del puntoincognito. y P zî'-

Figura9.10- intersezione multipla in avanti Partendodal puntoC avremo: calcolodell'angolo di direzione(BC)

(BC)-orrrorX'-Xo Y, -Yu

calcolodi e calcolodell'angolo di direzione(CB) calcolodell'angolo di direzione1Cf;

e = 4 0 0 e "-"( B P) + ( B C ) (Ca1=(BC)+n ( C P) = ( C B ) + 6

calcolodelladistanzaCP

RP (P - -::sing sirzò

E quindile coordinate del puntoP sarannodateda: Xr=Xc+CPsin(CP) Yr=Yr+CPcos(CP)

301

Capitolo 9 R I L I E V OD I D E T T A G L I O

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Esempionumerico svoltoconfoglioExcel: dal punto A (AB)=orrror*u-"o Y n- Y n

( BA)=( AB)+n

( AP)=( AB)-a.

(BP)=(BA)+p

4p =

d^rpt^t"C ; X r - X- u- o 1 , ^ ^ , l(BC)=arctan""

dal puntoB

Y'-Y" I = +oon" -( BP)+( BC) le ) = ( B C) + r . 't 1( C { cBr 1 = ( C B) + 6

Ap

'A, R" sinp smy

BP- "" sina siny

l 6 p= ! , i , e

i

Xr=Xo+AP sin(AP)

Xr=Xu+BP sin(BP

Y , = Y o + A P c o s( A P)

Yr=Yu+BPcos(BP)

iì

xb

't8.15'1,21

|'R 82,1264

(l

72,4118

.ì ..i.î

302

45,4618 0,714112284 1,137441895 1,290038475 '1.313284689 12.938,78 -10.188,02 2,237808157 2,237808157 142,4633 16.468,39 70,0515 1,100366263 2 4 .16 0 , 10 26.748,10 27.402,20 342,4633 424.5897 6,669439285 22.820,31 26.748,10 27.402,20 18.078,91 5.161,13 1.292715189 1,292715189 82,2968 57,7071 211 0,906461 18.801,18 282,2968 365,9031 5.747592532 18.579,67 26.747,97 27.402,16 26.748,05 27.402,19

sin(cP) lx,=xr+cP IYP=Yc+CPcos(cP).

:

Xa Ya 5.212143 16.451 '16

calcoli , ,' Y = [gon] 1= [rad] s = [rad] B = [rad] ò = [rad] Xb-Xa=[m] Yb-Ya=[m] (AB)= [rad] (AB)= [rad] (AB)= [son] AB = [m] (AP)= [gon] (AP)= [rad] AP = [m] XP = [m] YP = [m] (BA)= [son] (BP)= [son] (BP)= [rad] BP = [m] XP = [m] YP = [m] Xc-Xb=[m] yc-yb=[m] (BC)= [rad] (Bc) = [rad] (BC)= [gon] 6 = [gon] s = [rad] Bc = [m] (CB)= [son] (CP)= [son] (cP) = [rad] cP = [m] XP = [m] YP = [m] risultati XP = [m] YP = [m]

slnÒ

Xc Yc Yb 6.263,14 36.230,12 11.424,27 ò 83,6063

i::]rrli:: l:.r.r\i.ì ' 'r'i .

i '' ,:' 'r. : : j, :Ì:i: , I

iì :

,.i1.ìi:.: i, ''.'l)

t.::l ìi.ì " -" ) $ li'.:ì"ìi: ,::,.r.1.i,ìì,ìi-ìl:ìiii:iì{ì.: }ì:.i\iììi.ì fi\l\."i i::ì,i:, ì:: lì' r' rr ì.i'ì l:ìi: i'.'ri :'l iì i:: I i ì ì I : .:,, ::ì,-i i i:i :':: : ;.i:iriiL' lìili.l'f' l. {ì i:rì:::: ìii iiì:ii:ì: ll.\ iì r ì:\ì ì ,"- ": lì ii ir .:..:.,::,.r:,,,1i.:il.:t.

ì ì:ii:::iìl : : : :ri' : ì \ . : ,)1' li . i : i ì r j : ì : , i i:-\.,l::i i: :. S,::rlì r:rji:r!lì..::.,:. ì:: :ìì' i lll-ì ,:'l' :.:: I i ilìil.:>ij.i:ì!]i,..i: i:" i.,i iiì \ lìiriir ì i::i..ìì,\ilìì:ìiì.iìì,ìi: r:: ì i:::i -:l,ri *.1 i.lI ii.r í:,.:

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Esempidi intersezione multipla in avanti: XR= 5 . 1 4 1 , 1m 5 Yn3.521,47m Xa= 1 2 . 5 6,12 4m Yg= 2 .5 3 4 ,5m 6 Xc= 18.354,27 m Yc= 8 .5 3 1 ,2 9m 97s,1579 fl,= p= 6 7 s,2 1 4 7 87s3242 EXp= 7.300,26m Yp= 1 5 .6 0,2 1 5m

Capitolo 9 RILIEVO DIDETTAGLIO

XR= Ye= Xe= Yg= Xc= Yc= ([, =

B= ò= Xp= Yp=

3 . 2 1 5 , 1m 4 1 0 . 2 3 4 , 5m1 8 . 5 6 1 , 2m 5 m 16.538,57 m 16.328,52 15.537,62 m 92s,5432 72s,4327 102s,6087 m 15.170,37 2.295,38m

9.8. IL RILIEVODI DETTAGLIO ll metodoseguitoper il rilievodi dettagliocon metoditerrestriè tradizionalmente chiamatocelerimensurae vieneeseguitocon stazionitotalidi precisione adeguataa garantireil raggiungimento precisioni richieste delle dallascala nominaledel rilievo. mediantele sue coordinate Ognipuntodi dettagliovienedeterminato sfericherispettoa un puntodi coordinate noteS e a una direzionenota,in generela congiungente di S note.In altreparoleper il puntodi dettaglio P si misura con un altropuntodi coordinate la distanzainclinata(d), la direzioneazimutale0 che la rettaSP formacon I'origine g. zenitale dellagraduazione delcerchioazimutale e I'angolo di tempodallostrumento Questemisurevengonoeseguitein un periodobrevissimo e memorizzateinsiemead altre informazioniutili quali, ad esempio,l'allezza del (hs)e il nomedel puntocollimato(vedi segnale(ho) sul puntoP,l'allezzastrumentale schema diFigura 9.11.

Fig.9.11- schemadi unamisuracelerimetrica ll rilievodi dettagliopresuppone, comesi è detto,una retedi inquadramento costituita dai verticidi una rete rilevatacon i metodiespostinei paragrafiprecedenti, e costituita in generenell'ultimo Naturalmente, ordineda retidi poligonali. se lazonada rilevareha piccoledimensioni,la rete di inquadramento può essere molto ridottaed essere in qualchecasoè sufficiente costituita soloda poligonali; una solapoligonale chiusa,e neicasipiùsemplici duesoliverticila cuidistanza sia nota. Le posizioni dei verticidellepoligonali devonoesseresceltein mododa poterrilevare dell'oggetto del tutti i puntinecessarialla descrizione dellaformae delledimensioni

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-1

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Capitolo9 RILIEVO DI DETTAGLIO

rilievo;la sceltava fattain sededi progettodell'intera operazione di misura,in maniera in mododa ridurreal minimoil numerodellestazioni. oculata, Se durantele operazionidi rilievosi rendessenecessarioqualchealtro punto di stazioneè semprepossibile,ad esempiomediantele intersezioni o mediantebattute le coordinate rispetto celerimetriche, determinarne aiverticidellepoligonali. va mantenuta La distanzatra i verticidi inquadramento non superiore al doppiodella distanzamassimachesi intendemisurare. DI UNASTAZIONE 9.8.1.ESECUZIONE CELERIMETRICA Perprimacosasi esegueuno schizzo, chiamato eidotipo,dellaporzione di territorio dallastazione S. da rilevare i punticaratteristici; Sull'eidotipo si riportanotuttii particolari da rilevare,definendone ad punto progressivo). (solitamente vieneattribuitoun codice ogni un numero note (vediFig.9.11)e si Si pone in stazionelo strumentonel puntoS di coordinate misuraI'allezzastrumentalehs. Poichétutti gli angoli sarannomisuratisolo in una posizione(senzaI'applicazione della regoladi Bessel),è necessariodeterminarelo zenitstrumentale automatica. e imporreallostrumentola suacorrezione Negli strumentiprowisti di doppio compensatoreoccorre attivarela funzione di correzione deglierroridi inclinazione, collimazione e verticalità. inoltrei Si impostano valoridellatemperatura e dellapressioneatmosferica in mododa correggereI'erroredi nellamisuradelledistanze.Ormaituttigli strumentisonodotatidi rifrazione atmosferica particolari programmi per il rilievocelerimetrico nei qualisi prevedela creazionedi un recordper ogni stazione;all'interno di questovengonodefinitiil nomedellastazione, l'allezzastrumentalee le sue coordinate. Primadi iniziareil rilievooccorredefinirela direzionedi orientamento dellastazione. può esserefattain due modi. Questaoperazione di un secondoverticeT di coordinatenote Quellopiù utilizzatoprevedela collimazione (solitamenteun vertice di inquadramento) e I'imposizione del valore dell'angolodi (ST) quale (vedi valoredi letturadel cerchioazimutale Fig.9.12). direzione Dopo I'orientamento della stazioneS sul punto noto T (vedi Fig. 9.12),lo strumento I'angolodi direzione(SP). misureràdirettamente

Fig.9.12- orientamento dellastazione

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Capitolo9 RILIEVO DI DETTAGLIO

Un secondomododi procedere consistenel registrare il valoredella semplicemente punto quindi poi in ufficio note direzioneazimutale T di correggere del di coordinate e tutti i valoridelle direzioniazimutaliin modo da ricondurliagli angolidi direzione (ricordiamo formatotra I'origine cheI'angolo dellagraduazione azimutale e la direzione dell'assedelleY del sistemadi riferimento, detta correzioneazimutaledi stazione, questacorrezione rappresenta e si mantienecostantepertuttala duratadel rilievodalla stazioneS). Se il puntosu cui si vuolefarestazionenonè notoe se da essosonovisibilialmeno due punti di coordinatenote, è possibiledeterminarnele coordinatemediante inversa(Cassinio Hansen)oppure,sfruttandola possibilità un'intersezione di misurare mediante senzafaticale distanze, inversamista. un'intersezione Supponiamo di far stazionesul punto S di coordinateincognite;da esso si sono gli angoli le direzioniazimutali, collimatii puntiT e Q di coordinate note misurando (vedi zenitalie le distanze Figura9.13).

Fig.9.13- schemadi unaintersezione inversa planimetriche Perdeterminare le coordinate del puntoS si procedenelseguentemodo. Del triangoloTQS sono noti i tre lati (il lato TQ è noto in quantosi conosconole coordinatedei puntiT e Q, mentregli altri due lati si sono misurati)e I'angoloo, misurato. anch'esso il valoredel latoTQ derivante Con il teoremadi Carnotsi determina dalleoperazioni di -2-TS .QS .cosa misura:TQ=,lTS2+ QS' alla Questovaloredovràrisultareuguale(a menodeglierroridi misuraammissibili) distanzaderivantedallecoordinate notedi T e Q. / \ 't'' o I'anooloB: 'B= arcsirlOs . Conil teoremadei senicalcoliamo ì rQ) l.(TS)= (Ta) + I e quindiil valoredell'angolo di direzione Infinecalcoliamo le coordinate del puntoS: cartesiane X, = X, +T S 'si n (T)S Y, =Y, + 7S'cos(?'S)

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-1

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Capitolo9 RILIEVODI DETTAGLIO

Owiamentesi può operaremisurando una soladelledue distanze(ST o SQ), ma la presenzadi una misurain più rispettoal minimonecessario consentedi controllare l'operazione dicollegamento allaretedi inquadramento. La quotadel puntoS si determinapartendodallaformularísolutrice della livellazione Zr.- Z, + hs- hp+TS.cotgcp e quindila quotaincognitadi S: celerimetrica: Z, = Zr'- hs + hP -TS 'cot gq

dove hs è l'altezzastrumentale,hp l'altezzadel segnaleposto in T, TS la distanza ridotta all'orizzonlale tra la stazionee il punto T e q I'angolozenitaleletto da S il segnalepostoin T. collimando La quota può esseredeterminatain doppiomodo consentendo un ulteriorecontrollo dellabontàdelcollegamento eseguito. Alcune stazionitotali sono munite di programmiche guidano l'operatoredurante I'esecuzione di questotipo di collegamento; il processoreinternodello strumento le coordinatedel punto di stazionenel eseguei calcoli,impostaautomaticamente record di registrazione della stazionee prowede alla correzioneautomaticadelle direzioniazimutaliin modo da consentirela registrazione direttadegli angoli di direzione. Collegata,in uno di questimodi,la stazioneS alla retedi inquadramento, si procede al rilievo celerimetricovero e proprio battendotutti i punti segnati sull'eidotipoe registrandole misure eseguitecon i programmipredispostisulla stazionetotale. Particolareattenzicnedeve essereposta nella registrazione dell'altezza del segnale utilizzatoper la visualizzazione dei punti (solitamentela palina munita di prisma retroriflettente). Nel casoin cui si utilizzino stazionitotalimunitedi distanziometri a impulsi,le distanze (solitamente non superioria 100+ 150 m) vengonomisuratesenzabisognodi alcuna per cui l'allezzahpcorrispondente risultanulla. segnalizzazione, A partiredallemisureregistrate, la condottadei calcoliè moltosemplice. Per ogní puntodi dettagliosi hannoa disposizione la distanzainclinatadr, l'angolodi direzione(SP),I'angolozenitaleg,l'allezzadel segnalehp e I'allezzastrumentale hs e quidisi potrannodeterminare le coordinate: X, = X, + di. senrg.sen(SP ) Y, =Y, + di'senq'cos(SP ) Zr=Zr+hs-hp+di'cosq

In alcuni strumenti,il processoreinternoeseguein tempo reale queste semplici perciònel file di registrazione, trasformazioni, oltrealle misureprimacitate,si trovano giàdisponibili punti. le coordinate finalidei ln questicasi è possibileprodurredirettamente, dal file scaricatodallo strumentoal terminedelleoperazioni di misura,un file idoneoad essereimportato nelprogramma di per la produzione disegnoautomatico da ulilizzare del disegnofinaledel rilievo.

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