UNGHIURI ADIACENTE
A
C
O
- au v¼rful comun - au o latur¬ comun¬ - celelalte dou¬ laturi sunt situate de o parte §i de alta fa@¬ de latura comun¬
B
m(ˆAOB) = m(ˆAOC) / m(ˆCOB)
BISECTOAREA UNUI UNGHI A
Este semidreapta cu urm¬toarele propriet¬@i: - are originea ”n v¼rful unghiului - este situat¬ ”n interiorul unghiului - formeaz¬ unghiuri congruente cu laturile unghiului
C
O
B
ˆAOC Á ˆ COB
A N M
O
C
Un punct din interiorul unui unghi propriu apar@ine bisectoarei unghiului « distan@ele de la punct la laturile unghiului sunt egale
ˆAOC Á ˆ COB « [MN] Á [MP] P
B
UNGHIURI SUPLEMENTARE Sunt dou¬ unghiuri proprii pentru care suma m¬surilor este egal¬ cu 180o
B
m(ˆAOB) / m(ˆMNP) = 180o
M
Unghiul MNP este suplementul unghiului AOB. Unghiul AOB este suplementul unghiului MNP. P Dac¬ laturile necomune a dou¬ unghiuri adiacente sunt semidrepte opuse, atunci unghiurile sunt suplementare.
O
A
N
m(ˆAOB) / m(ˆBOC) = 180o
B
Dac¬ dou¬ unghiuri sunt congruente, atunci §i suplementele lor sunt congruente.
A
O
C
UNGHI DREPT Este unghiul congruent cu suplementul s¬u. A
m(ˆAOB) = 90o Orice dou¬ unghiuri drepte sunt congruente. C
O
B
DREPTE PERPENDICULARE b a O
Dreptele a §i b sunt perpendiculare dac¬ formeaz¬ un unghi drept.
a ^ b « m(ˆO) = 90o
UNGHIURI OPUSE LA VŠRF D
Dou¬ unghiuri proprii se numesc opuse la v¼rf dac¬ au laturile ”n prelungire.
O
A
Unghiurile opuse la v¼rf sunt congruente.
C B
ˆAOB Á ˆ COD ˆBOC Á ˆAOD Dac¬ punctele A, O, C sunt coliniare §i ˆ AOB Á ˆ COD, atunci §i punctele B, O, D sunt coliniare.
A,O,B ¤ C,O,D . ∠ AOB ≡ ∠ COD
UNGHIURI COMPLEMENTARE Sunt dou¬ unghiuri proprii pentru care suma m¬surilor este egal¬ cu 90o.
M
B
P O A
N
B
A
C
O
Unghiul MNP este complementul unghiului AOB. Unghiul AOB este complementul unghiului MNP. Dac¬ laturile necomune a dou¬ unghiuri adiacente sunt perpendiculare, atunci unghiurile sunt complementare.
m(ˆAOB) / m(ˆBOC) = 90o Dac¬ dou¬ unghiuri sunt congruente, atunci §i suplementele lor sunt congruente.
M
A
M¬sura unghiului format de bisectoarele a dou¬ unghiuri adiacente este egal¬ cu semisuma m¬surilor accestora.
B N
O
m(∠ AOB)+m(∠ BOC) . m(∠ MON)= 2
C
Bisectoarele a dou¬ unghiuri adiacente §i suplementare sunt perpendiculare.
N
C
Perpendiculara dus¬ pe bisectoarea unui unghi este bisectoarea unghiului adiacent §i suplementar acestuia.
M
A
O
B
UNGHIURI ™N JURUL UNUI PUNCT
B
C
- au v¼rful comun - nu au puncte interioare comune - reuniunea lor §i a interioarelor acoper¬ ”ntreg planul
D A
A' Suma m¬surilor unghiurilor ”n jurul unui punct este egal¬ cu 360o.
F E m(ˆAOB) / m(ˆBOC) / m(ˆCOD) / / m(ˆDOE) / m(ˆEOF) / m(ˆFOA) = 360o
OPERA`II CU UNGHIURI A
C
Dac¬ unghiurile AOC §i BOC sunt adiacente, atunci:
m(ˆAOB) = m(ˆAOC) /m(ˆBOC). B
O
M
N
O
P
Dac¬ unghiurile MON §i MOP: - au v¼rful comun; - o latur¬ comun¬ - laturile necomune se afl¬ de aceea§i parte a laturii comune atunci: m(ˆNOP) =
= m(ˆMOP) – m(ˆMON)
TRIUNGHIURI CONGRUENTE M
A
B
C
N
[AB] ≡ [MN] [BC] ≡ [NP] [CA] ≡ [PM] ∠A≡∠M ∠B≡∠N ∠C≡∠P
P
† ABC Á † MNP «
CAZURILE DE CONGRUEN`® M
A
I. L.U.L.
C
B
N
M
A
C
B
P
N
[AB] ≡ [MN] † ABC Á † MNP « [BC] ≡ [NP] ∠B≡∠N II. U.L.U.
P
[BC] ≡ [NP] † ABC Á † MNP « ∠ B ≡ ∠ N ∠C≡∠P III. L.L.L.
M
A
B
C
N
[AB] ≡ [MN] † ABC Á † MNP « [BC] ≡ [NP] [CA] ≡ [PM] P
CAZURILE DE CONGRUEN`® ALE TRIUNGHIURILOR DREPTUNGHICE B
N
C
B
M
N
P
C
A
C.C. ≡ [MN] † ABC Á † MNP « [AB] [AC] ≡ [MP]
A
≡ [MP] † ABC Á † MNP « [AC] ∠C≡∠P
B
N
C
M
P
I.U. † ABC Á † MNP «
P
C.U
B
M
[BC] ≡ [NP] ∠C≡∠P
A
N
C
M
I.C. [BC] ≡ [NP] † ABC Á † MNP « [AC] ≡ [MP]
P
MEDIATOAREA UNUI SEGMENT
d
Este dreapta perpendicular¬ pe segment ”n mijlocul s¬u. A
M
B
N
A
M
Un punct apar@ine mediatoarei unui segment « este egal dep¬rtat de extremit¬@ile segmentului. B
CLASIFICAREA TRIUNGHIURILOR C
A
M
D
BN
P
E
M
C
A
Dup¬ unghiuri -ascu@itunghice (toate unghiurile ascu@ite) -dreptunghice (un unghi drept) -obtuzunghice (un unghi obtuz)
BN
F
Dup¬ laturi - oarecare (scalene) - isoscele (dou¬ laturi congruente) - echilaterale (toate laturile congruente)
D
P
E
F
LINII IMPORTANTE ™N TRIUNGHI -™n¬l@imea AD ^ BC ( perpendiculara din v¼rf pe latura opus¬ - Bisectoarea ˆ BAA' Á ˆ AA'C (intersec@ia dintre bisectoarea unghiului §i interiorul triunghiului) - Mediana [BM] Á [MC]
A
d
B
D A' M
C
(segmentul ce une§te v¼rful cu mijlocul laturii opuse) - Mediatoarea [BM] Á [MC], d ^ BC (perpendiculara dus¬ prin mijlocul laturii)
BISECTOARELE UNUI TRIUNGHI A
P
™ntr-un triunghi cele trei bisectoare sunt concurente.
S
I
F
B
∠ BAQ ≡ ∠ QAC ∠ BCP ≡ ∠ PCA ∠ ABS ≡ ∠ SBC
G Q
E
C
¤ AQ ÇBS ÇCQ = {I}
Punctul de intersec@ie al bisectoarelor este centrul cercului ”nscris ”n triunghi.
[IE] Á [IE] Á [IG], IE ^ AC, IF ^ AB, IG ^ BC
Punctul de intersec@ie al bisectoarelor exterioare a dou¬ unghiuri din triunghi se afl¬ pe bisectoarea interioar¬ a celui de-al treilea unghi.
A
B
F
C
E D
I
Punctul lor de intersec@ie este centrul cercului ex”nscris.
MEDIATOARELE UNUI TRIUNGHI A
Mediatoarele laturilor unui triunghi sunt concurente. Punctul de intersec@ie al mediatorelor laturilor unui triunghi este centrul cercului circumscris triunghiului.
N
P
B
C
M
A
Centrul cercului circumscris unui triunghi dreptunghic este mijlocul ipotenuzei. B
O
C
MEDIANELE UNUI TRIUNGHI A
P
M
Medianele unui triunghi sunt concurente.
G
B
N
C
Punctul de concuren@¬ al medianelor se nume§te centrul de greutate al triunghiului.
Centrul de greutate al triunghiului se afl¬ pe fiecare median¬, la o treime de baz¬ §i dou¬ treimi de v¼rf Triunghiul MNP se nume§te triunghi median sau complementar.
™N®L`IMILE UNUI TRIUNGHI A
™n¬l@imile unui triunghi sunt concurente. Punctul de concuren@¬ al ”n¬l@imilor se nume§te ortocentru.
E F H
B
D
C
-Triunghiul format din ortocentru §i dou¬ v¼rfuri are drept ortocentru cel de-al treilea v¼rf al s¬u. - A este ortocentru ”n † HBC - B este ortocentru ”n † HAC - C este ortocentru ”n † HAB
C
- Ortocentrul unui triunghi obtuzunghic se afl¬ ”n exteriorul triunghiului.
A
D
B'
A'
B
A
B
C
C' H
- Ortocentrul unui triunghi dreptunghic se afl¬ ”n v¼rful s¬u drept. A
Triunghiul av¼nd drept v¼rfuri picioarele ”n¬l@imilor se nume§te triunghi ortic.
E F
™n¬l@imile triunghiului sunt bisectoarele triunghiului ortic.
H
B
D
C
DREPTE PARALELE
A ×
a
b
Dou¬ drepte sunt paralele dac¬: - sunt coplanare; - nu au nici un punct comun.
a ½½ b
Axioma paralelelor (postulatul lui Euclid) Printr-un punct exterior unei drepte date, trece o singur¬ paralel¬ la dreapta dat¬. a b
Dou¬ drepte distincte paralele cu a treia dreapt¬ sunt paralele ”ntre ele.
a ½½b, b ½½ c ¤ a ½½ c c
DREPTE PARALELE T®IATE DE O SECANT® (ˆ3, ˆ5); (ˆ4, ˆ6) - unghiuri alterne interne (ˆ1, ˆ7); (ˆ2, ˆ8) - unghiuri alterne externe 8 7 a (ˆ1, ˆ5); (ˆ4, ˆ8) - unghiuri corespondente 5 6 (ˆ2, ˆ6); (ˆ3, ˆ7) - unghiuri corespondente 4 3 (ˆ4, ˆ5); (ˆ3, ˆ6) - unghiuri interne b 1 2 (de aceea§i parte a secantei) (ˆ1, ˆ8); (ˆ2, ˆ7) - unghiuri externe (de aceea§i parte a secantei) Dreptele a §i b sunt paralele « a) unghiurile alterne interne sunt congruente b) unghiurile alterne exerne sunt congruente c) unghiurile corespondente sunt congruente d) unghiurile interne sunt suplementare e) unghiurile exerne sunt suplementare a ½½ b « a) ˆ3 Á ˆ 5 (a.i.), ˆ 4 Á ˆ 6 (a.i.); b) ˆ1 Á ˆ 7 (a.i.), ˆ 2 Á ˆ 8 (a.e.) c) ˆ2 Á ˆ 6 (coresp), ˆ 3 Á ˆ 7 (coresp.); d) m(ˆ4) / m(ˆ5) = 180o(i.), m(ˆ3) / m(ˆ6) = 180o(i.), e) m(ˆ1) / m(ˆ8) = 180o(e.), m(ˆ2) / m(ˆ7) = 180o(e.).
PERPENDICULARITATE ¦I PARALELISM a
b
Dou¬ perpendiculare pe aceea§i dreapt¬ sunt paralele
a ⊥ c ¤ a ½½ b b ⊥ c
c
c
a
b
O perpendicular¬ pe o dreapt¬ este perpendicular¬ pe orice paralel¬ la dreapt¬.
c ^ a, a ½½ b ¤ c ^ b
PARALELE INTERSECTATE DE PARALELE Dou¬ drepte paralele sunt t¬iate de alte dou¬ drepte paralele dup¬ segmente congruente. a
C
D
a ½½b, c ½½d ¤ [AB] Á [CD], [AD] Á [BC] b
B
A c
d
LINIA MIJLOCIE ™NTR-UN TRIUNGHI A
M
B
Este segmentul care une§te mijloacele a dou¬ laturi din triunghi.
N
C
Linia mijlocie este paralel¬ cu a treia latur¬ §i are lungimea egal¬ cu jum¬tate din lungimea acesteia.
Paralela dus¬ prin mijlocul unei laturi a unui triunghi la alt¬ latur¬ a triunghiului trece prin mijlocul celei de-a treia laturi a triunghiului. [AM] Á [MB], [AN] Á [NC] ¤ MN ½½ BC, MN = 12 · BC [AM] Á [MB], MN ½½ BC ¤[AN] Á [NC]
SUMA M®SURILOR UNGHIURILOR UNUI TRIUNGHI A 1
Suma m¬surilor unghiurilor unui triunghi este egal¬ cu 180o.
3
† ABC ¤ m(ˆA) / m(ˆB) / m(ˆC) = 180o B
C
Un triunghi are cel mult un unghi de m¬sur¬ mai mare sau egal¬ cu 90o. Unghiurile ascu@ite ale unui triunghi dreptunghic sunt complementare.. Unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt ascu@ite. Unghiurile de la baza unui triunghi dreptunghic isoscel au m¬sura de 45o. Unghiurile unui triunghi echilateral au m¬sura de 60o.
UNGHI EXTERIOR UNUI TRIUNGHI A
Este unghiul format de o latur¬ a triunghiului cu prelungirea altei laturi a triunghiului.
B
C
B'
M¬sura unghiului exterior unui triunghi este egal¬ cu suma m¬surilor celor dou¬ unghiuri ale triunghiului neadiacente cu el .
m(ˆACB') = m(ˆA) / m(ˆB)
TRIUNGHIUL ISOSCEL Este triunghiul cu dou¬ laturi conguente.
A
† ABC iso. « [AB] Á [AC]
C
B A
1 2
M
B
C
A
N C'
P G
E
I
B
H M
B' D
C
Propriet¬@i Un triunghi este isoscel « - are dou¬ unghiuri congruente; - liniile importante corespunz¬toare bazei coincid; - liniile importante corespunz¬toare laturilor congruente sunt congruente. † ABC iso. ([AB] Á [AC]) « -ˆB Á ˆ C ; - AM ^ BC, [BM] Á [MC], ˆA1Á A2; - [BB'] Á [CC'] , [BD] Á [CE], [BP] Á [CN].
TRIUNGHIUL ECHILATERAL Este triunghiul cu toate laturile conguente.
A
† ABC echi. « [AB] Á [BC] Á [CA]
C
B A
B
C
A
N
P O
B
M
C
Propriet¬@i Un triunghi este echilateral « - are toate unghiurile congruente; - liniile importante corespunz¬toare fiec¬rei laturi coincid; - liniile importante corespunz¬toare fiec¬rei laturi sunt congruente. † ABC echi. ([AB] Á [BC] Á [CA]) « -ˆ A Á ˆB Á ˆ C; - AM ^ BC, [BM] Á [MC], ˆA1Á ˆA2; BN ^ AC, [AN] Á [NC], ˆB1Á ˆ B2; CP ^ AB, [AP] Á [PB], ˆC1Á ˆ C2 - [AM] Á [BN] Á [CP].
UNGHIURI CU LATURILE PARALELE A
C O"
O
B
O'
Unghiurile cu laturile paralele sunt congruente sau suplementare.
D
A' B'
OA ½½O'A' , OB ½½O'B' ¤ ˆAOB Á ˆ A'O'B' sau m(ˆAOB) / m(ˆA'O'B') = 180o
A C O" O
B
D O'
A'
B'
UNGHIURI CU LATURILE PERPENDICULARE A'
A
A
Unghiurile cu laturile perpendiculare sunt congruente sau suplementare.
B
O
O
B
A' B'
OA ^O'A' , OB ^ O'B' ¤ ˆAOB Á ˆ A'O'B' sau m(ˆAOB) / m(ˆA'O'B') = 180o
B' A
B
A
B O
O
B
O' A' B'
O'
A'
Dou¬ unghiuri congruente cu dou¬ laturi perpendiculare au §i celalte dou¬ laturi perpendiculare.
