Geometria Analitica J Rey Pastor L Santalo y M Balanzat Kapelusz 1965 OCR

DEF. 2. Las t r e s funciones circulares m á s i m p o r t a n t e s se definen así: m

sen

ordenada . . — = —y radio r

eos cp = ^

abscisa x —.— = — radio r

[2] [ 3 ]

tgcp =

ordenada

- abscisa

~

x

seccp = Y

1

eos

V

cp

1

[5]

cosec cp = — — = ^ sen

[6J

ctgcp = -

1

— = tgcp

T

X

.

,

,

de

<,)

de cp)

que sólo mencionaremos r a r a vez. en lugar secundario. Funciones pares e impares. — De la definición resulta que al c a m b i a r cp por — cp no v a r í a coscp (y por t a n t o seccp); son funciones pares el coseno y su recíproca la secante. P o r el contrario, al cambiar cp por — cp cambia de signo la ordenada y, luego también sen cp (y su recíproca cosec cp), así como también t g cp y ctg cp. E s decir, son f u n c i o n e s impares el seno (con su recíproca la cosecante), la tangente (v su reciproca la cotangente). Resultan así estas f ó r m u l a s i m p o r t a n t e s : Pares:

eos (—cp) = eos cp.

Impares:

sen (—cp) = — sen cp, t g (—cp) = — t g cp.

Representación por segmentos. Si se a d o p t a r como u n i d a d a e long i t u d , las r a z o n e s c i r c u l a r e s e s t á n r e p r e s e n t a d a s p o r los s e g m e n t o s sig u i e n t e s d e d u c i d o s de c a d a p u n t o de la c i r c u n f e r e n c i a r = l :

sen cp -

CS;

coscp = OC;

OS

tgcp = -QQ~ =

OT

-?®-

=

-gg- =

0<¡

=

=

ob

de donde

AT

= Al

=

BQ

cos2cp + sen2

..

(cotangente

y

OT -0A- =

[7]

(cosecante de cp)

y

=

o c

abreviando así la e s c r i t u r a c o r r e c t a :

(secante de w)

x

OS

, , . (coseno de cp) (tangente

= —

e r o

x- + y- = r-

Aunque de menor interés, se u s a n a veces estas o t r a s : [41

=

-

-

3. Relaciones fundamentales entre las funciones circulares. — Del teorema de P i t á g o r a s resulta

, , cp), (seno de

y

47

(coscp) 2 H- (sencp) 2 = 1. Dada una de las funciones, se deduce la o t r a :

[8]

sencp = ± V I — cos'-'cpf

eos cp = ± V i - — sen2cp

quedando indeterminado el signo; pues una sola de las funciones no d e t e r m i n a el á n g u l o ; y según sea el c u a d r a n t e donde está el vector, así s e r á el signo. De las definiciones resulta i n m e d i a t a m e n t e : mi [9]

, cp tgqp = -sen---eos cp

, ctgcp = -eos cp ^ sen cp

Inversamente, dada tg cp, se deducen sen'-'cp, cos^cp, poniendo denominador sen2

o S 0 n fp

[11]

2

cos cp =

sen2cp cos'-'cp + sen2cp

tg=cp 1 -j- tg2cp

cos2cp cos2cp + sen-cp

1 1 + tg-'cp

E x t r a y e n d o la raíz c u a d r a d a queda indeterminado el signo =E. Ángulos complementarios. P e r m u t a n d o los ejes X, Y, se p e r m u t a n abscisa y o r d e n a d a ; por o t r a p a r t e el ángulo Y O P es complementario del X O P ; luego, refiriéndonos por a h o r a a los ángulos del p r i m e r cuadrante, llegamos a esta conclusión, que m a s adelante será generalizada p a r a todos los ángulos de todos los c u a d r a n t e s : El seno de un ángulo es el coseno del complementario. tangente de un ángulo es la cotangente del complementario.

La

§ 0

G E O M E T R I A DEL P L A N O . P U N T O S , R E C T A S Y VECTORES

-O

4. Funciones circulares de ángulos notables. — Los valores de las funciones circulares p a r a cada ángulo (de grado en grado o de m i n u t o en m i n u t o ) h a n sido calculados y tabulados. Se e n c u e n t r a n en la mayoría de las genéricamente llamadas " t a b l a s de logaritmos". E n g e n e r a l los valores de estas f u n ciones son n ú m e r o s irracionales que carecen de expresión simple. P a r a ciertos ángulos, sin embargo, su valor puede expresarse en f o r m a racional o mediante un n ú m e r o reducido de raíces cuadradas. P o r ejemplo, p a r a los ángulos de la tabla siguiente de f r e c u e n t e uso:

Seno

Ángulo 0o

!

o

Coseno

Tangente

1

0

1 V 10 — 2 V 5

V 1 — 2 V 5/5

,V10 =

18°

.1/6 =

30°

1/2

VT/2

V 3/3

.I/5 =

36°

l V 10 — 2 V 5

i ( — 1 + V 5)

V 5—2 V 5

,n/4 =

45°

V2/2

V 2/2

1

.V3 =

G0°

V 3/2

1/2

v T

2,I/5 =

72$

1 V 10 — 2 V 5

5( _ 1 + Vi)

V 5 + 2 V' 5

l(—i

+ Y 5)

•

.1/2 =

90°

1

0

co

, 1

5. Funciones circulares inversas. — A cada semirrecta corresponden infinitos ángulos que tienen este extremo y como origen + X ; pero todos tienen el mismo seno, el mismo coseno, etc.; es decir: las funciones circulares son funciones uniformes de la semirrecta adoptada como extremo. E n cambio, dado el seno de cp, no solamente h a y infinitos ángulos cp, sino dos s e m i r r e c t a s ; y lo mismo sucede si se da eos cp, o bien tg

§ 9 - 0

COORDENADAS ORTOGONALES Y POLARES

49

E n las f i g u r a s s a l t a a la v i s t a la c o n s t r u c c i ó n de los dos r a y o s q u e d e j a i n d e t e r m i n a d o s c a d a f u n c i ó n c i r c u l a r , y los i n f i n i t o s á n g u l o s que les corresponden. ángulos

rayos

(F¡ + 2nx wt — cfi +

2nx

cf! + 2nx — ((i 4- 2ííjt cp:

2nx

<£i + ;t + 2)1.1

OPI OP* OPx OPJ OPi OP3

Ejercicios: Expresar los infinitos ángulos y los dos raijos q u e c o r r e s ponden a c a d a c o t a n g e n te, s e c a n t e o c o s e c a n t e ( s a l e el m i s m o c u a d r o invertido). Los i n f i n i t o s á n g u los q u e c o r r e s p o n d e n a un seno son los v a l o r e s de l a f u n c i ó n i n v e r s a de la y = sen cp, f u n c i ó n inv e r s a que s i g n i f i c a : arco cuyo seno es y\ en abreviatura se e s c r i b e (p = a r e sen y. A n á l o g a m e n t e , cp = = a r e eos x se l e e : arco cuyo coseno es x; y p a r a c a d a v a l o r de x no super i o r a 1 en v a l o r a b s o luto, t i e n e infinitos valores, d a d o s en la t a b l a anterior. Lo m i s m o acontece con la f u n c i ó n arco tangente t (brevemente are t g t) d e f i n i d a p a r a t o d o v a l o r de t y a n á l o g a m e n t e con t o d a s l a s d e m á s . I n s i s t a m o s : en todo caso h a y infinitos á n g u l o s , p e r o s o l a m e n t e dos r a y o s que c o r r e s p o n d e n al v a l o r dado. Ejercicios: Simplificar las funciones: 1) t g ( a r c t g — 1 ) ; 2)

sen ( a r e eos 1 / 2 )

3)

eos ( * — a r e sen — 1 / 2 )

4)

.-T — a r e t g ( c t g - tf)

5) E x p r e s a r las f u n c i o n e s i n v e r s a s de los senos, cosenos y t a n g e n t e s d a d o s en l a t a b l a ( 4 ) .

6. Coordenadas polares. — Las coordenadas c a r t e s i a n a s (x,y) del p u n t o P d e t e r m i n a n el vector OP, y por t a n t o el radio r y la inclinación cp (fig. 23) ; pero también cabe determinar el vector OP dando r y cp, n ú m e r o s que se llaman coordenadas polares y permiten deducir x, y.

G E O M E T R Í A D E L P L A N O . P U N T O S , R E C T A S Y VECTORES

50

§ 9 -6

DEF. 3. Coordenadas polares del punto P , o del vector OP, son las medidas de la inclinación cp y del radio r. El n ú m e r o r puede ser cualquiera, no negativo, y el cp cualquier n ú m e r o real, según el convenio (§ 9-1) de medición de ángulos; pero s u e l e n adopt a r s e como f u n d a m e n t a l e s el ángulo s i t u a d o en el i n t e r v a l o 0 < (P < 2TT ; o bien en el — < < cp < JI. La i n d e t e r m i n a c i ó n del ángulo p a r a cada rayo ext r e m o admite una sucesión de m e d i d a s cp =fc 2wjt p a r a c a d a Fie. 23. vector O P ; pero al vector nulo 0 0 , caracterizado por el radio r — O, se le puede a t r i b u i r como a r g u m e n t o cp cualquier valor real. Escribiremos las coordenadas polares a s í : (cp, r ) , expresando cp en grados o en medida radial (número a b s t r a c t o ) , y r en u n a medida de longitud cualquiera. E s t a medida esencial suele llamarse radio polar, y el ángulo cp se llama argumento o anomalía, o más sencillamente, ángulo. B a s t a n e j e m p l o s m u y sencillos p a r a v e r q u e la r e s t r i c c i ó n r > O m u t i l a l a r e p r e s e n t a c i ó n de i m p o r t a n t e s c u r v a s (como s u c e d e r í a si i m p u s i é r a m o s en el s i s t e m a c a r t e s i a n o la condición y 0 ) . Al f i n a l d a m o s u n e j e m p l o e x p r e s i v o , que b a s t a p a r a j u s t i f i c a r la s i g u i e n t e a m p l i a c i ó n de D e f . 3, p a r a a d o p t a r en lo s u c e s i v o la s i g u i e n t e :

DEF. 4. E n las coordenadas polares a d m i t i r e m o s radios negativos, entendiendo que el p a r (cp, — r ) r e p r e s e n t a el mismo punto que el p a r (cp ± k, r). Son equivalentes los p a r e s (cp, r ) , (cp', r') si e s : r' — r, cp' — cp = 2nx, o bien r

=

r,

cp' —

cp =

(2n-fl)~

Ejemplos: D i v i d i e n d o la c i r c u n f e r e n c i a de c e n t r o O y r a d i o 1 por los d i á m e t r o s de inclinación ( f i g . 24) cp =

4 ' las c o o r d e n a d a s de los c u a t r o p u n t o s de división A, B, C, D, s o n :

A)

( - f . o » (

B)

;•

<)-{-

3

; • ; •

- o - O

C)

F i g . 24.

( - 3

I

,

-

»> ( - : •

• •

1

51

)

--•>

Ejercicio: D i v i d i d a la c i r c u n s f e r e n c i a en 6 p a r t e s i g u a l e s a p a r t i r del p u n t o 1, e x p r e s a r de d i v e r s o s modos, con el r a d i o 4-1 y —1, l a s coo r d e n a d a s p o l a r e s de los seis p u n t o s de división. L a c o r r e s p o n d e n c i a b i u n i v o c a e x i s t e n t e e n t r e los p u n t o s del p l a n o y l a s c o o r d e n a d a s c a r t e s i a n a s , s e g ú n v i m o s en § 6, c o r r e s p o n d e n cia que a d e m á s es b i c o n t i n u a , d e j a de v e r i f i c a r s e en las c o o r d e n a d a s p o l a r e s ; p u e s si bien c a d a p a r d e t e r m i n a u n p u n t o sin a m b i g ü e d a d , en cambio, c a d a p u n t o t i e n e d i v e r s o s p a r e s de c o o r d e n a d a s . A c o o r d e n a d a s p r ó x i m a s c o r r e s p o n d e n p u n t o s p r ó x i m o s , p e r o dos p u n t o s t a n p r ó x i m o s como se q u i e r a p u e d e n t e n e r c o o r d e n a d a s m u y d i s t a n t e s . E s d e c i r : la c o r r e s p o n d e n c i a punto zz función de las coordenadas, es u n i f o r m e y continua; p e r o no la c o r r e s p o n d e n c i a : coordenadas = funciones del punto. NOTA:

Ejemplos: A d o p t a d o el i n t e r v a l o ( 0 o , 360°) p a r a los á n g u l o s , son m u y p r ó x i m o s los p u n t o s ( I o , r ) (359°, r), a p e s a r de t e n e r a r g u m e n t o s m u y d i s t i n t o s ; p e r o se l o g r a la c o n t i n u i d a d , a d o p t a n d o el i n t e r v a l o (—180°, + 1 8 0 ° ) , p u e s los dos p u n t o s t i e n e n e n t o n c e s las c o o r d e n a d a s ( ± 1 ° , r ) . O bien, c o n s e r v a n d o el i n t e r v a l o ( 0 ° , 3 G 0 5 ) cabe a d o p t a r l a s c o o r d e n a d a s (181°, — r ) , ( 1 7 9 ' , — r ) y se r e c u p e r a la c o n t i n u i d a d .

7. Cambio a coordenadas cartesianas y viceversa. — Si se toma positivo el radio, es decir, r > 0. la definición del seno y coseno de la inclinación cp expresa [12]

x = r . e o s cp

v = r . s e n cp

fórmulas que permiten calcular las coordenadas c a r t e s i a n a s ortogonales (x,y) de un punto dado por las polares (cp, r). Recíprocamente, dadas las coordenadas ortogonales (xy y) se deducen las p o l a r e s : [13]

2

COORDENADAS O R T O G O N A L E S Y P O L A R E S

§ 9 - 7

t g cp = y/x

,

sen cp = - y - ,

r =

+ V'1

pero no queda determinado por su t a n g e n t e , ni tampoco el rayo, pues h a y dos con la m i s m a tangente. P a r a z a n j a r la duda deberá atenderse a una de las f ó r m u l a s [1] ó [2], pues sabido el signo del seno o del coseno se ve cuál de las dos semirrectas corresponde al vector (xy y). P o r esta razón, hemos puesto en [13] dos funciones circulares p a r a d e t e r m i n a r el rayo, y lo mismo se podría cambiar una de ellas por el coseno. Ejercicios: I n d i c a r los p a r e s de f u n c i o n e s c i r c u l a r e s , que pueden u s a r s e p a r a d e t e r m i n a r el r a y o , e n t r e l a s seis q u e h a n sido d e f i n i d a s ( f ó r m u l a s [1], . . . , [ 6 ] ) .

52

GEOMETRÍA DEL P L A N O . P U N T O S . RECTAS Y VECTORES

S 9 -8

8. Rotación de ejes rectangulares y rotación del plano. — Si el p a r básico U, V de vectores unitarios r e c t a n g u l a r e s se hace g i r a r el ángulo a (fig. 2 5 ) , los nuevos vectores son L ' (eos a V (—sen a

sen a) eos a)

y las f ó r m u l a s § 7, [10], teniendo en cuenta que los coeficientes a, (3, y, i) valen ahora, r e s p e c t i v a m e n t e , eos a, sen a, —sen a, eos a, se reducen a éstas [14]

x = x'cos a — y'sen a y = a'sen a + y'eos a

de las que se d e s p e j a n las F i g . 25. nuevas coordenadas fx' = x eos a -j- y sen a [15] iV' — — x sen a 4- y eos a Además del problema de cambios de ejes, estas f ó r m u l a s f u n d a m e n t a l e s resuelven o t r a s cuestiones i m p o r t a n t e s , como son las siguientes: t e o r e m a s de adición y sustracción de ángulos; cálculo del ángulo de dos r e c t a s ; rotación del plano sobre sí mismo, etc.

§ 9 -10

COORDENADAS ORTOGONALES Y POLARES

53

y poniendo — (3 en lugar de |3, teniendo en cuenta las reía ciones (§ 9-2) de paridad, resulta [17]

feos (« —13) = eos a . eos |3 -f- s e n a . sen (3 Lsen(a — ¡3) = s e n a . eos ¡3 — c o s a . sen (3

Por división resulta t g ( a ± (3) =

sen a . eos (3 ± eos a . sen |3 eos a . eos (3 — sen a . sen (3

y dividiendo n u m e r a d o r y denominador por eos a, eos (3

[18]

. , Q, tg (a ± (3) =

1

tg a t g (3 =p t g a . t g p

üjjercicto: D e d ú z c a n s e a n á l o g a m e n t e por mulas menos i m p o r t a n t e s [19]

división i n v e r s a , las

c t g ( o =6 fl) = - S í i « • c t g P ^ cot [i ± c t g a

fór-

1

10. Fórmulas de los senos y del coseno. — Sea la altura h, exterior o interior al ángulo B, sus expresiones en los dos triángulos rectángulos en que es cateto, s o n : h - a sen C = c sen A fórmula e n t r e n ú m e r o s positivos, válida en todos los casos, que expresa la proporcionalidad entre dos lados y los senos de los

Sin a p l i c a r la f ó r m u l a g e n e r a l § 7, [ 1 0 ] , si s u p o n e m o s conocidas l a s f ó r m u l a s e l e m e n t a l e s de adición y s u s t r a c c i ó n de f u n c i o n e s g o n i o m é t r i c a s q u e v e r e m o s en el n ú m e r o que sigue, l a s f ó r m u l a s f u n d a m e n t a l e s [14], [ 1 5 ] del c a m b i o de e j e s se p u e d e n o b t e n e r d i r e c t a m e n t e de l a m a n e r a siguiente: E n el n u e v o p a r U ' , V ' las c o o r d e n a d a s del p u n t o V(x',y') son x — rcos(cp — a) , y' = r s e n ( c p — a ) d o n d e cp es el á n g u l o q u e f o r m a O P con el eje X . Desarrollando y teniendo en cuenta [12] resulta x' = x eos a -f y sen a , y' = — x sen a ~¡- y eos a que son l a s e c u a c i o n e s [ 1 5 ] del c a m b i o de e j e s . De ellas se p u e d e n desp e j a r x, y o b t e n i e n d o l a s [ 1 4 ] .

9. F ó r m u l a s goniométricas de adición y sustracción. — Si en el plano x'y' que ha girado el ángulo a respecto del xy es O P un vector de a r g u m e n t o ¡3 respecto del eje X', y su módulo es 1, las coordenadas de P son por definición x' = eos (3 y' = sen (3 x = cos(a-f|3) y — sen (ct '3"* luego las f ó r m u l a s [14] expresan j c o s (a -j- ¡3) = eos a . eos [3 - sen a . sen [3 [ 1 6 ] ¡,sen(a-|-(3) = sen ex . eos ¡3 eos tx . sen |3 \

'

/

ángulos opuestos. Luego aplicada a los t r e s vértices y sus ángulos opuestos resulta la f u n d a m e n t a l Fórmula

[20]

de los senos: r

_ a

sen A

sen B

sen C

Dibújese la circunferencia circunscrita al triángulo ABC y se v e r á que esas t r e s razones son iguales a 2R, diámetro de dicha circunferencia circunscrita.

§ 54

G E O M E T R Í A DEL P L A N O . P U N T O S , R E C T A S Y VECTORES

§ 9

pero teniendo en cuenta que la suma de cuadrados extremos es c2, resulta la f u n d a m e n t a l [21]

del coseno: a 2 = 6 2 + c2

2bc eos A

11. N o t a s y c o m p l e m e n t o s . — 1. Otras aplicaciones de la fórmula coseno. — D a d o s en c o o r d e n a d a s p o l a r e s los v e c t o r e s O P i ( eos (cpj— cp2)

del

2. Abscisas tangentes en los haces de rectas. — Sea O el c e n t r o de un h a z de r e c t a s y o la r e c t a o r i g e n ( f i g . 2 7 ) . T o m e m o s s o b r e o u n segm e n t o O U i g u a l a la u n i d a d y c o r t e m o s el h a z por u n a r e c t a p e r p e n d i c u l a r a o p o r el p u n t o U . C a d a r e c t a a c o r t a r á a e s t a p e r p e n d i c u l a r en u n p u n t o A tal que U A = t g ( o a ) . E s t a d i s t a n c i a U A = x A se l l a m a abscisa tangente de la r e c t a a. R e c í p r o c a m e n t e , a c a d a valor de x c o m p r e n d i d o e n t r e + so y — oo c o r r e s p o n d e r á l a r e c t a q u e f o r m a con o u n á n g u l o c u y a t a n g e n t e t r i g o n o m é t r i c a es i g u a l a x. L a c o r r e s p o n d e n c i a es b i u n i v o c a si se conviene en q u e a las a b s c i s a s t a n g e n t e s ~ ce c o r r e s p o n d e l a m i s m a recF i g . 27. t a , a la cual, por d e f i n i c i ó n , es la r e c t a paralela a la U A p o r el c e n t r o O. V e a m o s cómo se e x p r e s a el á n g u l o de dos r e c t a s m e d i a n t e s u s a b s c i s a s t a n g e n t e s . S e a n a, b dos r e c t a s y X\, Xd sus a b s c i s a s t a n g e n t e s . A p l i q u e m o s la f ó r m u l a t r i g o n o m é t r i c a [18] al caso de ser a, P l a s abscis a s a n g u l a r e s de las r e c t a s a, 6, r e s p e c t i v a m e n t e , y por t a n t o p — a + k't el á n g u l o e n t r e l a s m i s m a s . S e r á [23]

t g (a&) =

t g (P — a )

=

—

Xa

—

-1

P R O B L E M A S M É T R I C O S . D I S T A N C I A S , Á N G U L O S , ÁREAS

55

-11

Además de esta " f ó r m u l a de los senos" resulta como según da f ó r m u l a f u n d a m e n t a l la que expresa un lado en función de los otros dos y del ángulo que f o r m a n . Basta, en efecto, aplicar el teorema de P i t á g o r a s al triángulo BPC, cualquiera que sea el ángulo A ; y teniendo en cuenta que A P = c eos A, resulta (em-- c eos A)'- = h 2 + 6 2 — 2be eos A + (c eos A ) 2 a 2 = }t2 +

Fórmula

10

b r a i c a , ni s i q u i e r a a n a l í t i c a , es decir, n o es ecuación en c o o r d e n a d a s (x,y). L a ecuación s u s t i t u c i ó n [ 1 2 ] con elevación al c u a d r a d o , y 2 2 4 ( a r + y — x) = x2 E s t a c u r v a de 4° g r a d o , l l a m a d a caracol m á s del a r c o p r e c i t a d o , todo u n lazo i n t e r i o r ( d i b u j a d o en t r a z o s ) , q u e llega h a s t a el p u n t o ( 1 / 2 , 0 ) , lazo q u e q u e d a r í a s u p r i m i d o adopt a n d o la D e f . 3, p e r o con la Def. 4 obtenemos la c u r v a c o m p l e t a . EJERCICIOS:

1. — S i m p l i f i c a r l a s e x p r e s i o nes g o n i o m é t r i e a s : a) eos ( a r e sen 1 / 2 ) ; b) sen(arctg5); c) t g ( a r c sen 1 / 4 ) ; d) sen a r e t g a — a r e t g 6 ) ; e) t g ( a r c s e n a — a r e sen b). 2. — D e d u c i r los d e s a r r o l l o s de l a s f u n c i o n e s sen 3a, sen 4a, . . . . Fi*. 28. sen vía. 3. — S i m p l i f i c a r l a s e x p r e s i o n e s : c o s a + eos 2 a + eos 3 a + . . . + eos Na sen a + sen 2 a + sen 3 a + . . . + sen ma ( M u l t i p l i q ú e n s e t é r m i n o a t é r m i n o p o r ( s e n l / 2 a ) t r a n s f o r m a n d o cada p r o d u c t o en s u m a o d i f e r e n c i a ) . 4. — D i b u j a r l a s c u r v a s d a d a s por l a s s i g u i e n t e s ecuaciones p o l a r e s : 0

=

3 eos cp

,

o =

sen 3 cp ,

q =

V eos cp

,

o =

3 cp.

o. — O b t e n e r l a ecuación p o l a r de c u a l q u i e r r e c t a . í d e m , de u n a circ u n f e r e n c i a a d o p t a n d o sobre ella el polo de c o o r d e n a d a s ; ídem, u n p u n t o interior. § 10.

P R O B L E M A S MÉTRICOS.

DISTANCIAS,

ÁNGULOS, ÁREAS

1. Distancia entre dos p u n t o s . — El segmento de ext r e m o s Pi (xi, Vi) y

P2 (x-2,y2) (fig. 29),

Xa

1 +

E s t a f ó r m u l a es m u y i m p o r t a n t e . De ella se deduce, por e j e m p l o , q u e la condición n e c e s a r i a y s u f i c i e n t e p a r a que dos r e c t a s de un h a z sean p e r p e n d i c u l a r e s , es que e n t r e s u s a b s c i s a s t a n g e n t e s e x i s t a la relación Xa«b + 1 = ü. 3 ; Sobre la definición de las coordenadas polares. — Si se c o n s t r u y e la g r á f i c a de la c u r v a d e f i n i d a p o r la ecuación 0 = 1 / 2 + coscp ( c a r a c o l de P a s c a l ) a d o p t a n d o la Def. 3, r e s u l t a u n a c u r v a c e r r a d a con p u n t o anguloso, dib u j a d a en l a f i g u r a 28 en t r a z o g r u e s o lleno, que no es u n a c u r v a a l g e -

representable por ninguna c a r t e s i a n a r e s u l t a por la es: + y* de Pascal, contiene, ade-

Fig. 29.

f o r m a un t r i á n g u l o rectángulo de hipotenusa P i P 2 con las paralelas a los ejes t r a z a d a s por los dos puntos. Más p r e c i samente, el v e c t o r PTPO t i e n e componentes de m e d i d a s

56

G E O M E T R Í A DEI. P L A N O . P U N T O S . R E C T A S Y VECTORES

«

10 -2

x2 X:, y-2 — ¡/i; luego, llamando a a su a r g u m e n t o y r a la distancia P1P2, es [1] '-2 — ;t 'i — r • C(JS a y 2/2 — !h — i' • sen a de donde se despeja [2] r = Vjx¡ — x, j2 + (y» — ¡/l)2 M i e n t r a s en [1] las componentes son dirigidas, es decir, tienen signo ±?, esta raíz es siempre positiva, cualquiera que sea la dirección del vector. 2. Pendientes y ángulos de rectas. — En coordenadas rect a n g u l a r e s tienen significado goniométrico el coeficiente ang u l a r ?)i y los coeficientes directores A y B de la recta A \ Ax + B y = 0, o sea, y = mx (m = — I üiii efecto, el coeficiente a n g u l a r ni = y/x es, según la definición (§ 9, [ 1 3 ] ) , la tangente de la inclinación sobre el eje X. El nombre pendiente dado al coeficiente a n g u l a r vi, está justificado. Cuando se dice que un camino tiene la pendiente 5 c/c, expresamos que por cada 100 unidades horizontales asciende 5 unidades, es decir, el cociente de las ordenadas por las abscisas c o r r e s p o n d e n t e s es 5/100. El significado goniométrico de los coeficientes A y B es, por tanto, — A / B = t g cp; pero es preferible r e f e r i r n o s a la r e c t a perpendicular y no a la recta misma, como veremos en el p á r r a f o siguiente. Tanto si p a s a n o no por el origen las rectas de coeficientes a n g u l a r e s m y m', llamando cp y cp' sus a r g u m e n t o s o inclinaciones respecto del semieje -j-X, son vi y vi' sus pendientes, es d e c i r : m = tgcp , vi' = tgcp.' de donde, según § 9 [18], r e s u l t a : ron , , ,, m — vi' [3] t g Cp - «P') -= T + j g i r La condición de paralelismo, ya sabida, es m ~ m' y la condición de perpendicularidad es m m' — —1. Si las r e c t a s e s t á n dadas por las ecuaciones generales Are -i- By -f- C = 0, A'x - f B ' y + C' = 0, es vi = — A./'B, vi' = — A ' / B ' y por t a n t o la condición de paralelismo se puede escribir, como ya vimos en § 8-2, A = _5_ o bien AB' — BA' = 0 A B' y la condición de perpendicularidad se escribe A A ' 4- BB' = 0

*

10

a

PROBLEMAS M É T R I C O S . D I S T A N C I A S , Á N G U L O S , Á R E A S

-3

EJEMPLOS

Y EJERCICIOS:

57

1. C o m p r o b a r q u e son p a r a l e l a s los p a i e s

'.cetas s i g u i e n t e s : 3a- — y — 1 = 0 , 0>x — 2y + 5 = 0 ; 2a- — lOy — 5 = 0 , ,r — 5y + 4 = 0; y = 3* , y — 3x + 4 = 0 . 2. P r o b a r q u e son p e r p e n d i c u l a r e s los p a r e s de r e c t a s : x — 2/4-1 = 0 , x + y — 3 = 0; Sx — y + 1 = 0 , a: 4- 3y 4 - 4 = 0; y — 2x — 1 , 2y = — x + 3.

3. T r a z a r l a r e c t a q u e p a s a p o r el p u n t o (1, — 2 ) y es p e r p e n d i c u l a r a la r e c t a 2x — y + 1 = 0 . Solución: toda recta perpendicular a e s t a ú l t i m a t i e n e el c o e f i c i e n t e a n g u l a r m ' = • — 1 / 2 y p o r t a n t o s u e c u a ción es de la f o r m a y = ( — l / 2 ) . c + n ; p a r a h a l l a r n b a s t a e s c r i b i r q u e e s t a ecuación se s a t i s f a c e p a r a (1, — 2 ) , ó sea, — 2 = — 1 / 2 + J!, de donde n = — 3 / 2 y la r e c t a pedida e s y = (—1/2).>; — 3 / 2 , o sea, 2y -f x + + 3 = 0.

3. Ecuación normal de la recta. — Si p es la distancia del origen a una recta y a la inclinación de OP sobre el eje -¡-X (fig. 30), la ecuación segment a r i a (§ 8, [ 8 ] ) y - = i,

x a

sustituyendo a =

v eos a

b =

= — — — , se t r a n s f o r m a en la sen a ecuación siguiente, que suele llamarse n o r m a l : [4]

X

.

eos

a

a

y . sen a = p.

A

F i g . 30.

La dirección de la recta está determinada por la de su vector normal de origen O y longitud p, cuyos ángulos con los semiejes tienen como cosenos los coeficientes A y B de x e y. que hemos llamado (§ 8-2) coeficientes directores de la recta, y que a h o r a se l l a m a r á n cosenos directores. Dada la ecuación Ax -f- By = C, s e r á : A eos a

B sen a •

•

O *

p

Como por la proporcionalidad o igualdad de razones, el valor común de las t r e s es V A- -+ B-, basta dividir los coeficientes A, B y C por y A 2 + B 3 p a r a obtener la ecuación normal A'x -f- B'y = C', cuyos coeficientes tienen los siguientes «significados goniométricos A ' = eos a, B' = sen u, C — p

§ 10

G E O M E T R Í A DEL P L A N O . P U N T O S , R E C T A S Y VECTORES

58

En resumen: Dada la ecuación general de mía su ecuación normal es Ax + B y + C V'A

2

T B

recta =

Ax + By + C = 0,

0

2

y en ella el término independiente es igual, en valor a la distancia de la recta al origen de coordenadas. Ejemplos-.

-4

absoluto,

D a d a s l a s ecuaciones 3x — 4 y =. 1, Ax — y' + 3 = 0

10

-5

P R O B L E M A S M É T R I C O S . D I S T A N C I A S . Á N G U L O S , ÁREAS

f)9

2. L a d i s t a n c i a del p u n t o P ( 0 , — 1 ) a la r e c t a 3a; — 4¡/ -f 4 = 0 vale 8 / 5 . 3. P a r a h a l l a r la d i s t a n c i a del p u n t o P ( — 1 , 3) a la r e c t a y = =:3x — 1, h a y que e s c r i b i r é s t a en la f o r m a 3* — y — 1 = 0, r e s u l t a n d o en v a l o r absoluto d = 7 / V 10.

D a d a s dos r e c t a s p a r a l e l a s ( f i g . 3 1 ) , si n o r m a l i z a m o s sus ecuaciones s e g ú n se ha explicado en el p á r r a f o a n t e r i o r , es decir, con signo positivo de p, sean las dos ecuaciones así n o r malizadas : x . eos (x + y . sen a = p , x . eos a + y . sen a = p'

se n o r m a l i z a n dividiéndolas p o r 5 y p o r V 17, r e s p e c t i v a m e n t e , r e s u l t a n do así l a s ecuaciones n o r m a l e s : 3 4 1 4 , 1 3 5

x

5

y

~

5 '

v'Tf

x

V~n

P a r a la p r i m e r a r e c t a r e s u l t a n los v a l o r e s c o s a = que d e t e r m i n a n la inclinación

v

vTT

3 4 g - , sen a = — -g-

a = 53°8' y la d i s t a n c i a desde el origen

es p = 4 1 P a r a la s e g u n d a r e c t a r e s u l t a c o s a = — — = r — , s e n a = -•. , que V 17 V 17 d a n la inclinación ( m á s b r e v e m e n t e deducida de la p e n d i e n t e m — 4) a = 75°58', l a d i s t a n c i a r e s u l t a v = 0,73.

4. Distancia de punto a recta y distancia entre paralelas. — P u e s t o que en la ecuación n o r m a l el t é r m i n o c o n s t a n t e es la d i s t a n c i a desde el origen a la r e c t a , p a r a calcular la d i s t a n cia a ella desde un p u n t o c u a l q u i e r a P 0 ( £ o , y0) b a s t a t r a s l a d a r a éste el origen de coordenadas. S e g ú n § 7, [ 7 ] , si la ecuación de la r e c t a es Ax - f B y -f+ C = 0, en el nuevo s i s t e m a de origen (x 0 , y0) su ecuación s e r á A ( x ' + x 0 ) + B {y' + y0) + C = 0, cuyo t é r m i n o independ i e n t e es Axn + B ¡/o + C. E l t é r m i n o i n d e p e n d i e n t e de la ecuación n o r m a l i z a d a s e r á e s t e m i s m o n ú m e r o dividido por V A?2 + B 2 . P o r t a n t o , c o n s i d e r a n d o sólo valores absolutos por simplicidad, se t i e n e : Dada una recta por su ecuación general Ax + By + C = 0 y un punto P ( Í C 0 , Vo), el valor absoluto de la distancia del punto a la recta está dado por a

=

| Axo + By 0 + C ! r

V A 2 + B2

.

1. P a r a h a l l a r l a d i s t a n c i a e n t r e l a s r e c t a s p a r a l e l a s 2x — y + 1 = 0, Ax — 2y -¡-3 = 0, se deben p r i m e r o n o r m a l i z a r , dividiendo la p r i m e r a por V 5 y la s e g u n d a p o r V 20~. La d i s t a n c i a s e r á entonces i g u a l a la d i f e r e n c i a e n t r e los t é r m i n o s independientes, o sea, l/V~o — — 3 / V"20~. EJEMPLOS:

siendo los m i s m o s los coeficientes d i r e c t o r e s de las rectas, la d i s t a n c i a e n t r e ellas s e r á p' — p. Si, por el c o n t r a r i o , son opuestos los vectores p y p', r e s u l t a r á n positivos los s e g u n d o s m i e m b r o s , p e r o opuestos los cosenos d i r e c t o r e s ; u n i f i c a n d o éstos, c a m b i a n d o los signos de a m b o s m i e m b r o s de u n a de las ecuaciones, r e s u l t a r á p' < 0 y la d i s t a n c i a s e g u i r á e x p r e s a d a p o r la f ó r m u l a p' — p, que en este caso es la suma de v a l o r e s absolutos de las d i s t a n c i a s desde O a las dos r e c t a s . R e s u m e n : Dadas dos rectas paralelas, y normalizadas sus ecuaciones de modo que sus primeros miembros sean iguales, la distancia entre ambas rectas es la diferencia de términos constantes. P o r no ser n e c e s a r i o p a r a u l t e r i o r e s capítulos, d e j a m o s de lado el estudio del s i g n o de la d i s t a n c i a , en relación con la o r d e n a c i ó n a d o p t a d a s o b r e la r e c t a , t e m a que e s t á m i n u c i o s a m e n t e t r a t a d o en la Geom e t r í a A n a l í t i c a de F a n o y T e r r a c i n i . NOTA.

5. Bisectrices de un ángulo. — D a d a s dos r e c t a s por sus ecuaciones n o r m a l e s P = 0 y Q = 0, las ecuaciones P = Q, P = — Q r e p r e s e n t a n el l u g a r de todos los p u n t o s equidistantes de a m b a s , es decir, las dos bisectrices del ángulo que f o r m a n . E s t a s f ó r m u l a s son aplicables al caso de dos r e c t a s p a -

60

G E O M E T R Í A DEL P L A N O . P U N T O S , R E C T A S Y VECTORES

§ 10

-G

ralelas p -b C = 0. p -f D = 0 {p expresión lineal y C, D const a n t e s ) , pues la recta p + C = — y , p - f U ) , es uecir, t 4- D = 0 es la mediatriz. La o t r a ecuación, obtenida igualando a m b a s , es la r e c t a i m p r o p i a . Ejemplos:

1. D a d a s las r e c t a s 3>:— 4 ? / = 10, 4.? 4 - 3 ? / = 1 5 , s u s ecuaciones n o r m a l i z a d a s son -f~ 0

x

10 ~ V — 2;

0

x -I- 04 - y — o.

S u m a n d o y r e s t a n d o r e s u l t a n l a s ecuaciones de las dos b i s e c t r i c e s : 7x — y = 25;

x + 7?/ = 5

b'í l a s dos r e c t a s son 3x — Ay = 10,

x + y = 0. s u s n o r m a l i z a d a s

son 3

4

r ' ~

¡r

a

=

2o :

X

J.

V 2

V

-

f|

§

10 -7

]PIP

(3 V 2 ± 5) x — (4 V~2 + 5) y = 10 V2~ 3. Obérvese que en el e j e m p l o 1, h a b r í a b a s t a d o s u m a r y r e s t a r las dos ecuaciones d a d a s , p a r a o b t e n e r d i r e c t a m e n t e las bisectrices, sin necesidad de n o r m a l i z a r las e c u a c i o n e s ; pero e s t a s i m p l i f i c a c i ó n se p r e s e n t a p o r t e n e r l a s dos ecuaciones el mismo v a l o r A 2 4- B 2 . I g u a l simplificación se p r e s e n t a si u n a de l a s ecuaciones del E j . 1 se s u s t i t u y e por y = C.

—

( $ , — 3O)-' -F-

C o m p r u é b e s e que esa re-

V 2 V2 pía de s u m a r y r e s t a r l a s dos ecuaciones p r o p u e s t a s , p a r a o b t e n e r l a s bisectrices, conduce a r e s u l t a d o s f a l s o s en los e j e m p l o s que no p r e s e n t a n esa coincidencia de v a l o r e s de A 2 + B 2 . E n t r e los casos que no e x i g e n n o r m a l i z a c i ó n , p o r c u m p l i r e s t a condición e s t á el de r e c t a s p a r a l e l a s P = C, P = D, siendo C y D constantes cualesquiera. 4. Si l a s r e c t a s p a r a l e l a s son 5x — ly = 8, 5x — ly = 10, la bisect r i z , es decir, la p a r a l e l a m e d i a , t i e n e la ecuación ox— ly = 9, sin necesidad de n o r m a l i z a c i ó n .

[5]

A (x0,2/0)__

h

" i Px

P i ( « i , i / i ) , P 2 (x2,

' Xo 2/0 Área = -s x i 2/1 I x2 2/2

1

=

1

Area =

1 — 2

tfi ¡ | x-

Vi 1I =s » •1- Xi x (/- y-i 2

9

2/2

i

2

\

x*

Fie. 32.

1 2

i

x->

X„ •r..

2/1 — y> —

2/0 2/0

XiVs

fh }\ = - 1- Xi x (,w — m ).v n 2 2 a

Xi >

2

Si l l a m a m o s Po al vértice de abscisa m í n i m a , son xi > 0 , x« > 0, y si es m z > ?Hi, es decir, positivo, el sentido de circulación Po Pi P2, result a A > 0, siendo en cambio n e g a t i v o el v a l o r obtenido p a r a el á r e a si el sentido de circulación Po Pi P= es n e g a t i v o . Así como la f ó r m u l a d=b—a a t r i b u y e al s e g m e n t o A B de u n a recta un s i g n o ± que es como ya vimos (§ 1) a c o r d e con el sentido del segmento, así la f ó r m u l a [Gj del á r e a da é s t a con signo ± s e g ú n sea el orden c i r c u l a r en que se considera el contorno. E s t a a s i g n a c i ó n al v a lor de cada á r e a de un s i g n o ± es debida a Móbius 1827. 7. Á r e a del p o l í g o n o . — G r a c i a s a l a i n t r o d u c c i ó n del s e n t i d o en el

á r e a , la descomposición de un polígono en s u m a de t r i á n g u l o s , a p a r t i r de un p u n t o O, a l c a n z a validez g e n e r a l . Si O es i n t e r i o r al polígono Ai Aa . . . A , ( f i g . 3 3 ) , el á r e a de éste es [7] S = OAi A 2 + O A ; A3 -4- . . . -f- OAn-l A n + OAn Ai Y* A

y 2)

(fig. 32), la ecuación de la rect a PiPo, según se d e m o s t r ó en (§ 8, [ 1 3 ] ) p a r a coordenadas c a r t e s i a n a s generales, es x y 1 A (x, y) = Xi 2/1 1 = 0 x2 y2 1 ó sea ( ? / i — y 2 ) x — — (x2 — Xi)y =• x2y 1

1

luego el n ú m e r o A(#o>2/o)» es decir, el d e t e r m i n a n t e de los t r e s vértices, vale |Pi P 2 j . h, es decir, el duplo del á r e a del triángulo. E n d e f i n i t i v a : E l á r e a del t r i á n g u l o de vértices (x0,yo), (XuVi), (x2,y2) es

6. Área del t r i á n g u l o . — Si sus vértices son los p u n t o s P o ( # o » y o),

(2/X — ?/J)~

Signo del úrea. — E s t a s e g u n d a f ó r m u l a es m u y ú t i l ; e x p r e s a el á r e a m e d i a n t e los dos vectores que f o r m a n dos lados del t r i á n g u l o . Si e s t a s c o m p o n e n t e s son (tfj,2/i) (xíf y¿), lo que equivale a t r a s l a d a r los ejes, a d o p t a n d o P 0 como o r i g e n , es

( '!- ± — Í = ) x — í 0í - :+: - 4 — ) 2/ = 2 ; \ 5 V2 ' \ V2 '

x

!

2

base del t r i á n g u l o ; y entonces la a l t u r a o distancia desde el vértice P 0 , según hemos visto en el n° 4, es

y l a s bisectrices

x — 2 V 6 y — C o por

fil

A h o r a , en coordenadas r e c t a n g u l a r e s , conviene n o r m a l i z a r la ecuación, dividiéndola por

[6]

V 2

PROBLEMAS MÉTRICOS. DISTANCIAS, ÁNGULOS, ÁREAS

f-'ic 33.

62

G E O M E T R Í A DEL P L A N O . P U N T O S , R E C T A S Y VECTORES

§ 10 - 8 § 1 0

como se ve, si no h a y superposición de t r i á n g u l o s . Todos ellos son positivos, si lo es el contorno, y el á r e a de la s u m a es la s u m a de l a s á r e a s parciales. Siendo el o r i g e n O i n t e r i o r , cabe que h a y a t r i á n g u l o s r a m p a n t e s ( d i b ú j e s e un caso) y f o r z o s a m e n t e s u c e d e r á ésto si O es e x t e r i o r . La f i g u r a d e m u e s t r a la validez de la f ó r m u l a [ 7 ] p a r a el caso del t r i á n g u l o A I A 2 A S , y s e r á ejercicio i n s t r u c t i v o la demostración de [ 7 ] p a r a todo caso, r e s u l t a n d o en d e f i n i t i v a p a r a el duplo del á r e a la f ó r m u l a [8] 2 S = (#i 2/s — Vi) + (x2y* — Xsy») + . . . + (xny0 — x0ytt) B a s t a , en efecto, descomponer el polígono en s u m a de t r i á n g u l o s no r a m p a n t e s p o r s e g m e n t o s i n t e r i o r e s (por e j e m p l o d i a g o n a l e s ) , cada uno de los cuales M N p e r t e n e c e a dos t r i á n g u l o s contiguos M N P + N M Q . Al e x p r e s a r cada uno de éstos p o r la descomposición [7], r e s u l t a : ( O M N + O N P + O P M ) + (ONM" + OMQ + O Q N ) d e s a p a r e c i e n d o el s e g m e n t o M N y a n á l o g a m e n t e todos los i n t e r i o r e s , qued a n p u e s , los del c o n t o r n o A I A 2 , A 2 A 3 , A« AI, es decir, la e x p r e sión [ 8 ] .

8. Método de los trapecios y método de los ángulos. — E n l u g a r de f o r m a r t r i á n g u l o s con el origen, es p r e f e r i b l e cons i d e r a r los t r a p e c i o s de los lados A r A , u con sus proyecciones s o b r e el e j e X A4 (fig. 34), y bast a m u l t i p l i c a r la a l t u r a xr — %r*i p o r la s u m a Vr + Vr*i p a r a t e n e r el d u p l o del á r e a . Suponiendo todas l a s o r d e n a d a s positivas, c o m o siempre 6 4 J " " " se l o g r a r á sufíe. 34. mándolesuna constante, es decir, t r a s l a d a n d o el e j e X, si es xr < z„i el t r a p e c i o correspondiente debe ser n e g a t i v o ; y positivo en caso c o n t r a r i o , l u e g o : [9] 2S = (a?! — x2) (yt +y2) + (x2 — x3) (ys + 2/3) + + . . . + (xn — x0) (y„ + y0) cuyo desarrollo coincide con [8] ; pero es p r e f e r i b l e calcular d i r e c t a m e n t e [9] que sólo exige n productos, m i e n t r a s [8] exige 2 n ; sin e m b a r g o , ni una ni o t r a son a d e c u a d a s p a r a los cálculos de a g r i m e n s u r a , p o r q u e los elementos que se miden sobre el t e r r e n o son longitudes de los lados de cada poligonal y ángulos de cada dos lados consecutivos. Calculadas, los v e c t o r e s A r Ar.i se deducen d i f e r e n c i a s que

p o r d i f e r e n c i a s sucesivas, los r u m b o s o inclinaciones de A r 4 i ( f i g . 35) sobre el e j e a d o p t a d o , l a s c o o r d e n a d a s de de l a s A r s u m á n d o l e s arcosar y a, sen a r , luego las componen [8] se reducen a s í :

-Ej. Xr

2/r.l

P R O B L E M A S M É T R I C O S . D I S T A N C I A S , Á N G U L O S , ÁREAS Xr-i

yr

=

=

Xr(yr+

fl,

Sen

Or)

(*r

ar ( a r s e n a , — yT c o s a , ) % %

+

C!r

63

cosa,)j/r =

N

\

Fifr. 35.

Los p r o d u c t o s y s u m a s n e c e s a r i o s p a r a c a l c u l a r el á r e a S se disponen en p l a n i l l a s especiales p a r a s i m p l i f i c a r el cálculo. EJERCICIOS

1. E n c o n t r a r la ecuación de la r e c t a que p a s a p o r el p u n t o (1, ¿>), y c u y a p e n d i e n t e es 2. 2. E n c o n t r a r la ecuación de la r e c t a que p a s a p o r el p u n t o ( 5 , — 1 ) , y cuya p e n d i e n t e sea la m i s m a que la de l a r e c t a d e t e r m i n a d a p o r los puntos (0,3) y (2,0). 3. E n c o n t r a r al ecuación de l a r e c t a que p a s a n d o por el p u n t o ( 1 / 3 , 2/3), tenga pendiente infinita. 4. U n p u n t o e s t á s i t u a d o a 8 u n i d a d e s del origen y el coeficiente a n g u l a r de la r e c t a que lo u n e al o r i g e n es — 1 / 4 . ¿ C u á l e s son l a s coord e n a d a s de este p u n t o ? 5. E n c o n t r a r la ecuación de la r e c t a que p a s a n d o p o r el p u n t o de intersección de Qx— 2y + 8 = 0, y de 4.x — 6y + 3 = 0, sea p e r p e n d i c u l a r a 5z + 2?/ + 6 = 0 . 6. ¿ C u á l es la ecuación de la r e c t a p e r p e n d i c u l a r a la r e c t a de e c u a ción: 2x — 3y + 7 = 0 en el p u n t o medio del s e g m e n t o c o m p r e n d i d o ent r e los e j e s c o o r d e n a d o s ? 7. E n c o n t r a r el á n g u l o a g u d o que f o r m a n l a s dos r e c t a s de ecuacion e s 2x — y + 8 = 0; 2x + 5y — 4 = 0. 8. E n c o n t r a r el á n g u l o a g u d o que f o r m a n l a s r e c t a s t r a z a d a s desde el o r i g e n a los p u n t o s de trisección de la p a r t e de la r e c t a de ecuación 2x + 3y — 1 2 = 0, c o m p r e n d i d a e n t r e los e j e s coordenados. 9. E n c o n t r a r la ecuación de las r e c t a s que p a s a n p o r el p u n t o ( 4 , — 3 ) , y f o r m a n u n á n g u l o de 45° con la r e c t a de ecuación 3o: -f- 4y = 0. 10. La b a s e de un t r i á n g u l o e s t á f o r m a d a p o r la r e c t a que u n e los p u n t o s ( — 3 , 1 ) , ( 5 , — 1 ) . ¿ C u á l es la d i s t a n c i a del t e r c e r v é r t i c e ( 6 , 5 ) a la base? 11 P o r el p u n t o de intersección de dos r e c t a s Li, L 2 se desea t r a z a r u n a r e c t a que f o r m e con los ejes un t r i á n g u l o de á r e a p r e f i j a d a . E j e m p l o : La = 2x — y + 2 = 0 ; L 2 = x — y + 1 = 0, á r e a = 3 / 2 .

(¿F.OMKTKÍA PKI. I-LA NO. TINTOS. KKlTAS \ VKfTORES

ÍU

§ 11 -C. 11

12. E n un t r i á n g u l o A B C , r e c t á n g u l o en A. se t r a z a u n a fie bisectrices B D . que e n c u e n t r a en D al lado AC y en E a la a l t u r a A H . Se t r a z a p o r K u n a p a r a l e l a F G a BC, l i m i t a d a en F sobre A B , y en G sobre AC. D e m u é s t r e s e que A D = GC, y que el á n g u l o D H F , es recto. 13. E n c o n t r a r la d i s t a n c i a e n t r e l a s dos p a r a l e l a s : 2.v -f 3 y — — 8 = 0 ; 2x + 3i/ — 10 = 0. 14. H á l l e s e la ecuación de u n a r e c t a que pase p o r el p u n t o común a las Li y L?. y diste del p u n t o P ( 0 , 1 ) , u n a l o n g i t u d i g u a l a 1 / V 5. Li = tf + 2 y - - l = 0 ; U = 2x — y + 3 = 0. 15. D a d o s dos e j e s p e r p e n d i c u l a r e s OX, O Y, y u n a r e c t a que los enc u e n t r a en A y B, se p r o y e c t a el p u n t o O en C, sobre A B , y luego se t r a z a n l a s p a r a l e l a s CD y A D , C E y B E a los ejes y se p r o y e c t a el p u n t o C, en P y Q sobre los e j e s . Demostrar: 1?) E l coeficiente a n g u l a r de D E , es el cubo del de A B 2V)

L a s r e c t a s PQ, A B , D E , son c o n c u r r e n t e s .

o

IP DA o -) Si l l a m a m o s I al p u n t o c o m ú n , t e n d r e m o s "yn" = ~ .7 OB~ 16. E n c o n t r a r la ecuación de la r e c t a d e t e r m i n a d a p o r los p u n t o s ( 1 , 1 ) 5 ( — 2 , — 3 ) y sobre ella los p u n t o s que e s t á n a 15 u n i d a d e s de los p u n t o s dados. 17. Desde el p u n t o ( 9 , 5 ) se b a j a n p e r p e n d i c u l a r e s a los lacios del t r i á n g u l o cuyos v é r t i c e s son ( 8 , 8 ) , ( 0 , 8 ) , ( 4 , 0 ) . P r o b a r aue los pies de e s t a s t r e s p e r p e n d i c u l a r e s e s t á n s o b r e u n a m i s m a r e c t a . (

11.

C O M P L E M E N T O S AL CAPÍTULO I I

L a s c o o r d e n a d a s c a r t e s i a n a s g e n e r a l e s , e s t u d i a d a s en §§ 6, 7, 8, son el i n s t r u m e n t o a d e c u a d o p a r a el e s t u d i o de la? p r o p i e d a d e s l i n e a l e s o a f i n e s , intersecciones, proyecciones, p a r a l e l i s m o , . . . , m i e n t r a s que p a r a el e s t u d i o de los p r o b l e m a s métricos (distancias, á n g u l o s , perpendicularidad, á r e a s , . . . ) , hemos a d o p t a d o el s i s t e m a ortogonal. P e r o e s t a s e p a r a ción no puede m a n t e n e r s e a b s o l u t a m e n t e , p u e s a d o p t a d o s e j e s oblicuos —*P s u r g e n a veces c i e r t a s cuestiones mét r i c a s que es p r e c i s o r e s o l v e r d e n t r o de este s i s t e m a . V e a m o s la complicación que a c a r r e a este uso de s i s t e m a no a d e c u a d o al p r o b l e m a . 1. Cambio de eje Y por el ortogonal al X. Si el e j e Y oblicuo al X se c a m b i a p o r el Y' o r t o g o n a l ( f i g . 3 6 ) , c o n s e r v a n d o la m i s m a u n i d a d V el t r á n s i t o de las c o o r d e n a d a s oblicuas (x,y) a las o r t o g o n a l e s (.>;'.?/') es inFiar. S6. mediato:

[1] x = :c +

[2]

.

r x == y . eos 8 inversamente y' = y . sen 8 1 v = f ó r m u l a s de f r e c u e n t e uso c u a n d o se p r e s e n t e a l g ú n Veamos algunos.

x' .r' —y' c t g 5 y\ / s e n 6 problema métrico.

§ 11 -C. II

05

COMPLEMENTOS AL CAPITULO II

3 Perpendicularidad. La recta y = tnx t i e n e como n u e v a ecuación, en el s i s t e m a o r t o g o n a l (x\y'). , , , , vi . sen 6 y =m x s i e n d o m = r , — 1 1 -h ni eos o Como la p e r p e n d i c u l a r i d a d en c o o r d e n a d a s o r t o g o n a l e s e s t á expres a d a p o r la condición m\ . ?u'2 = — 1 su e x p r e s i ó n en oblicuas, s e r á : mi . W2Sen20 + ( l + M i c o s * ) ( l + viscoso) = 0 que s i m p l i f i c a d a se reduce a é s t a : [3] v h . vio + (mi -f m 2 ) c o s 0 = — 1 Si h u b i é r a m o s p a r t i d o de ella, se deduciría como caso p a r t i c u l a r p a r a 0 = 90° la f ó r m u l a mi . ?;?2 = — 1 . b) Coeficiente angular. P o r división de l a s expresiones y s i m p l i f i cación en el s i s t e m a o r t o g o n a l se llega a la f ó r m u l a s i g u i e n t e , que m á s b r e v e m e n t e r e s u l t a como i n m e d i a t o corolario del t e o r e m a de los s e n o s :

m =

-

V

~

=

sen a

x sen(0 — a) y en p a r t i c u l a r , p a r a 0 = 90°, es m = t g a , como ya s a b í a m o s . 2. Distancia entre dos puntos. t r i á n g u l o que f o r m a el r a d i o v e c t o r p r e s a el r a d i o v e c t o r en c o o r d e n a d a s [4] = x- + y2

La f ó r m u l a del coseno, a p l i c a d a al con los s e g m e n t o s coordenados, exoblicuas: + 2xy eos 0

f ó r m u l a de uso f r e c u e n t e , v á l i d a en todos los c u a d r a n t e s ( f i g . 3 7 ) . E n efecto, el t e r c e r t é r m i n o del t r i n o m i o , t i e n e el v a l o r s i g u i e n t e : cuadrante I — 2 x y cos(180° — 0) II — 2 ( — x ) y c o $ 0 tf I I I — 2 ( — x ) (—2/)cos(180° — 0) 1y

19

IV

—2x(—y¡cos 0

es decir, en todos los casos r e s u l t a la e x p r e s i ó n [ 4 j .

Fig.

37.

Fip. 38.

M á s g e n e r a l : dados los p u n t o s P i ( . r , f / / 0 y Pa(a?2, ys), el m i s m o teor e m a del coseno da la e x p r e s i ó n s i g u i e n t e p a r a la d i s t a n c i a e n t r e los dos puntos:

[5]

d- — (xx — x«)2 + (¡/i —y.,)2 + 2(arx — Xs) (2/1 — 2/s)cos 0

f ó r m u l a que es consecuencia i n m e d i a t a de la [ 4 ] . Obsérvese que los c u a t r o casos allí considerados se reducen a dos s e g ú n que la recta de unión de los dos p u n t o s t e n g a su dirección en los c u a d r a n t e s I - I I o bien II-IV, como s a l t a a la v i s t a en la f i c u r a 38.

(36

G E O M E T R Í A DEL P L A N O . P U N T O S , R E C T A S Y V E C T O R E S

§

11

-C. II

3. Cosenos directores en coordenadas oblicuas. P r o y e c t a n d o el vect o r O P = OA + A P sobre los e j e s OP, X é Y , r e s u l t a r e s p e c t i v a m e n t e : q = x . eos X P + y . c o s Y P q . eos P X = x + y eos Y X o . eos P Y = x . eos Y X + y relaciones lineales h o m o g é n e a s cuya c o m p a t i b i l i d a d exige la a n u l a c i ó n del determinante. j 1 cosXP eos Y P eos P X 1 eos Y X = 0 I eos P Y eos Y X 1 l u e g o r e s u l t a la e c u a c i ó n c o s 2 X P + c o s 2 Y P = sen 2 0 + 2 eos X P . c o s Y P . eos 0 que es la relación f u n d a m e n t a l que liga los cosenos d i r e c t o r e s en coord e n a d a s oblicuas.

EJERCICIOS

1. D a d a la r e c t a Sx — 2y + 1 = 0, h a l l a r las r e c t a s p a r a l e l a s a ella que d i s t a n del o r i g e n dos u n i d a d e s . 2. E c u a c i ó n de u n a r e c t a que p a s e p o r P ( 4 , 3) y corte a los e j e s coord e n a d o s en los p u n t o s A , B t a l e s que O A . O B = 54. 3. Dados los p u n t o s A ( 0 , 0 ) , B ( 0 , — 3 ) , C ( 5 , 4) h a l l a r las ecuaciones de l a s t r e s a l t u r a s y c o m p r o b a r que p a s a n p o r u n m i s m o p u n t o . Lo m i s m o con las t r e s m e d i a n a s .

CAPÍTULO I I I

CIRCUNFERENCIA Y FAMILIAS DE CIRCUNFERENCIAS §

12.

C I R C U N F E R E N C I A Y CÍRCULO

1. Definición y ecuación de la circunferencia.— DEF. 1. Se d e f i n e la c i r c u n f e r e n c i a como el l u g a r geométrico de los puntos de un plano que equidistan de un p u n t o f i j o del mismo, denominado centro. A la distancia c o n s t a n t e de jy los p u n t o s de la circunf e r e n c i a al centro se den o m i n a radio. Vamos a estudiar a n a l í t i c a m e n t e la c i r c u n f e r e n c i a en un sistema de e j e s o r t o g o n a les 1 (fig. 3 9 ) . De la expresión a n a l í t i c a d e la d i s t a n c i a 10-1) se deduce que si p) son las c o o r d e n a del c e n t r o y r es el radio, la condición neceFie. 39. saria y s u f i c i e n t e para que la d i s t a n c i a de un p u n t o M(X, y) al centro sea igual a r, es [1]

(tf — a ) 2 +

( y — (3)2 = r2

luego ésta es la ecuación de la circunferencia. Recíprocamente, a t o d a ecuación de este tipo corresponde u n a c i r c u n f e r e n c i a de centro (a, (3) y r a d i o r. D e s a r r o l l a n d o [1] y poniendo 5 = a 2 -f (32 — r2 t e n d r e m o s la ecuación de la c i r c u n f e r e n c i a b a j o la f o r m a [2]

xz + y- — 2ax — 2(5?/ - ¡ - 5 = 0

y es claro que s i e m p r e que se cumpla la condición (ct2 + |32 — — 5 > 0 ) , t o d a ecuación del t i p o [2] r e p r e s e n t a r á una circunf e r e n c i a de c e n t r o (a, (3) y radio r , tal que r- = a 2 + |32 — 6. A

E l e s t u d i o e n c o o r d e n a d a s r e c t a n g u l a r e s s e j u s t i f i c a p o r i n t e r v e n i r en la d e f i n i c i ó n de la c i r c u n f e r e n c i a e n f o r m a e s e n c i a l eí c o n c e p t o m é t r i c o de d i s t a n c i a .

68

C I R C U N F E R E N C I A Y F A M I L I A S DE C I R C U N F E R E N C I A S EJEMPLOS:

§ 12

1. La ecuación de la c i r c u n f e r e n c i a de c e n t r o

y radio 4 es + ( ? / _ i ) 2 — 16.

o sea,

x2 + y* + 6x — 2y

-3

(—3, 1)

— 6 =

0.

2. L a ecuación de la c i r c u n f e r e n c i a de centro el origen y r a d i o r es a"«5J +I y-« = O 3. La ecuación de la c i r c u n f e r e n c i a de centro (—1, 0) y radio 1 es (.x + l ) 2 + y- = 1, o sea, íc2 + \f + 2x = 0.

La ecuación m á s g e n e r a l posible de segundo g r a d o es de ia f o r m a ax2 + by2 + 2 hxy -f 2 cjx + 2 f y + c = 0

[3]

P a r a que ella r e p r e s e n t e una c i r c u n f e r e n c i a es necesario que exista u n a ecuación del tipo [2] que t e n g a sus coeficientes proporcionales a los de la [3]. E s decir, que se tiene que cumplir a = b = — L

=

— a

„ — P

_£_

;

5

h

= o.

P o r consiguiente se h a n de c u m p l i r las condiciones siguient e s : a = b =£ 0 ( p a r a que la ecuación sea de segundo g r a d o ) , y además 9

a

'2

' '

f

~ a-

° a

a 2 +13 2 — 5 > 0

=

ó

g2 -1- /2 — cic> 0

E n r e s u m e n : Las condiciones necesarias y suficientes para que una ecuación cLe segundo grado [3] represente una circunferencia son: [4]

a = b ^

0,

h = 0,

g2 + f2 — ac > 0

Cuando a = & = 1 se dice que la ecuación es normal. S u p o n i e n d o la ecuación normal, o sea a = b = 1, l a s coordenadas del centro y el r a d í o de la c i r c u n f e r e n c i a [3] ( s u p u e s t o y a h = 0 ) , e s t á n dados por a = — g,

|3 =

— /,

r£ =

+ f

— c.

Si es g- 4 - f — e < 0, se dice que se t r a t a de u n a c i r c u n f e r e n c i a de radio imaginario. Si g" -f f- — c — 0, la ecuación de la c i r c u n f e r e n c i a se puede e s c r i b i r (x- -f g)s + {y + f ) - = 0, que sólo se s a t i s f a c e p a r a el punto real x = — g, y = — / , pero puede decirse que r e p r e s e n t a dos r e c t a s i m a g i n a r i a s , a s a b e r : y -}- / -f i (x -f g) = 0, y + f — i(x + g) =. 0, p u e s t o que el p r o d u c t o de e s t a s dos ecuaciones es la ecuación de la c i r c u n f e rencia. 1. E l c e n t r o y el radio de la c i r c u n f e r e n c i a ar + y' — y = = 0 son a = 0, (3 = 1 / 2 , r = 1 / 2 . EJEMPLOS:

2. E l c e n t r o y el r a d i o de la c i r c u n f e r e n c i a x2 + y- — 2x -f y — 1 = 0 son a = 1, 3 = — 1/2, r = 3 / 2 .

§ 12 -2

09

C I R C U N F E R E N C I A Y CÍRCULO

2. Intersección de una recta con una circunferencia. — El problema geométrico de d e t e r m i n a r la intersección de u n a recta con una c i r c u n f e r e n c i a es a n a l í t i c a m e n t e el de resolver el sistema [5]

(x — a)-+

(y — p ) 2 = r-

mx

ny + p — 0

f o r m a d o por las ecuaciones de la r e c t a y de la c i r c u n f e r e n c i a . El sistema, estando f o r m a d o por una ecuación de p r i m e r g r a do y una de segundo, se reduce a la resolución de una ecuación de segundo g r a d o ; luego puede t e n e r dos soluciones reales distintas, una solución real doble, o dos soluciones i m a g i n a r i a s c o n j u g a d a s . E n el p r i m e r caso la r e c t a es secante a la circunf e r e n c i a y h a y dos p u n t o s comunes. E n el segundo caso se dice que la recta es tangente a la circunferencia. La recta y la circunferencia tienen entonces comunes un sólo punto. E n el t e r c e r caso no h a y p u n t o s comunes a la recta y a la circunferencia. Dados en el plano una c i r c u n f e r e n c i a y una recta, t o m e m o s como origen de c o o r d e n a d a s el centro de la c i r c u n f e r e n c i a y como e j e OX la p e r p e n d i c u l a r a la recta. L a s ecuaciones de la c i r c u n f e r e n c i a y de la recta son x'- + y2 = rx — a y eliminado x llegamos a la ecuación ?/-' = r— a 2 que t i e n e dos soluciones, una o n i n g u n a , según que se t e n g a r > a, r — a ó r < a, luego (como a es la distancia del centro a la r e c t a ) , deducimos q u e : La recta tiene con la circunferencia dos puntos comunes, uno o ninguno, según que su distancia al centro sea menor, igual o mayor que el radio. 3. Ecuación de la tangente a la circunferencia en un punto. — Sea la circunf e r e n c i a de ecuación (x — a)2 + (y — P) 2 = = r 2 y M(x 0 ,2/o) un punto de l a m i s m a (fig. 40). C o n s i d e r e mos la e c u a c i ó n de la f a m i l i a de r e c t a s y — y o = m( x — x0), que pasan por el punto (xo, 2/o), con excepción de la x = x0.

P>. 40.

C I R C U N F E R E N C I A Y F A M I L I A S DE C I R C U N F E R E N C I A S

70

§ 12

-3 §

P a r a d e t e r m i n a r la t a n g e n t e a la c i r c u n f e r e n c i a en dicho p u n t o h a y que d e t e r m i n a r el valor de ra tal que el s i s t e m a de las ecuaciones de la c i r c u n f e r e n c i a y de la recta, t e n g a una sola solución doble. P a r a ello la ecuación en x

[6]

(x — a)2

+ [y0 + m(x — z0) —p]2

= r2

2(x — a) + 2[y0 - | - ra(x — x „ ) — P ] m = 0 x0 — a + (y o — (3) ra = 0

luego la ecuación de la t a n g e n t e es

[7j

(a: —

x0)

-0~ (x — xa)

yo — p

(x0 — a) + (y — y0)

o sea:

(2/o — P )

=

0.

Queda a h o r a el caso en que y0 = P; entonces debe ser Xi) = a + r y la recta x = x0 es a h o r a t a n g e n t e a la c i r c u n f e rencia. B a s t a ver, en efecto, que poniendo x = x0 en la ecuación [6] se reduce dicha ecuación a la (y — (3)2 = 0, que tiene la solución doble y = ¡3. Si en [7] hacemos y0 = |3, g 0 = a ± r la ecuación t o m a la f o r m a x = x{). Podemos, pues, e n u n c i a r el t e o r e m a s i g u i e n t e : La ecuación [7] es la ecuación general de la tangente a la circunferencia de centro (a, P) y radio r en el punto (x0, y o) de la misma. Cuando la c i r c u n f e r e n c i a tiene su centro en el origen, la ecuación toma la f o r m a xx(t — x
xx0 + 2/2/0 = r".

L a r e c t a que u n e el centro (a. P) con el p u n t o (x Q , y0) ne como ecuación [9]

P a r a h a l l a r la t a n g e n t e en el origen ( . t o = 0 . y<,= 0 ) a la c i r c u n f e r e n c i a ar + y- — x + 2y = 0, b a s t a o b s e r v a r que el c e n t r o es a = 1 / 2 , |3 = — 1 ( v e r n1? a n t e r i o r ) y por t a n t o , s e g ú n [ 7 ] , la t a n g e n t e b u s c a d a es —• ( 1 / 2 ) » + y = 0, o sea, x — 2y = 0. 2. L a t a n g e n t e a l a c i r c u n f e r e n c i a — 8 = 0 en el p u n t o (2, — 2 ) de la m i s m a , según [ 8 ] , es 2x — 2y — 8 = 0.

tie-

PASTOR,

Pf

CALLEJA.

TREJO:

Análisis

Matemático.

- x'2 - r y2 — a* -j-

2ax

— 2py

+ 8 = 0

if — 2a'x — 2 p ' y + 5' = 0

siendo d la d i s t a n c i a de los centros y r y r' los radios. Rest a n d o las ecuaciones se obtiene 2

2 dx — d

2

= r

2

— r'

x =

C 72

_L

R

y r e e m p l a z a n d o en la p r i m e r a (d 2 + r 2 r'2)2 ( 2 dy-

J

(x — x0) (2/o — P ) — (2/ — 2/o) (Zo — a ) = 0

Ver. po rejemplo: REY p á f f . 532.

1.

el p r o b l e m a de b u s c a r los p u n t o s comunes a las dos c i r c u n f e r e n c i a s es el de b u s c a r las soluciones de este s i s t e m a de ecuaciones, que es equivalente al [ 1 0 ] : x- - j - y2 — 2ax — 2 P y + 5 = 0 Í 2 ( a ' — a ) x + 2 ( p ' — fi)y + 5 — 5 ' = 0 obtenido r e s t a n d o la s e g u n d a ecuación de la p r i m e r a , s i s t e m a de dos ecuaciones, una de segundo g r a d o y o t r a de p r i m e r o , que puede t e n e r dos soluciones reales distintas, u n a solución real doble o dos i m a g i n a r i a s ; las dos c i r c u n f e r e n c i a s t e n d r á n entonces r e s p e c t i v a m e n t e , dos p u n t o s comunes, uno solo, o ninguno. D a d a s dos c i r c u n f e r e n c i a s cualesquiera tomemos como eje OX, la línea de los centros, y el origen en uno de éstos, de f o r m a que el otro quede en la p a r t e positiva de OX. L a s ecuaciones de las c i r c u n f e r e n c i a s son entonces X" + y2 = r2 ; (x — d)2 + y2 = r' 2

E s t a ecuación tiene raíces reales si es

y se p r u e b a i n m e d i a t a m e n t e que las r e c t a s de ecuaciones [7] 1

71

y [9] son p e r p e n d i c u l a r e s . Obtenemos así a n a l í t i c a m e n t e el conocido t e o r e m a de la geometría clásica: La tangente a una circunferencia en un punto es perpendicular al radio que pasa por el punto de contacto.

[10]

y si ?/o # P es p a r a ello necesario y s u f i c i e n t e que se t e n g a

V — Uo = —

CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

4. Intersección de dos circunferencias. — Si las circunferencias t i e n e n como ecuaciones

t e n g a t a m b i é n x0 como raíz. E s decir, que se t e n g a

a

-4

EJEMPLOS:

tiene que a d m i t i r la raíz doble z 0 . Como se puede ver en cualquier curso de Á l g e b r a 1 es p a r a ello necesario y suficiente, puesto que x n es raíz de la ecuación, que la ecuación obtenida d e r i v a n d o [6] respecto de x,

x0

12

Vol.

I»

r > o sea:

d- + r2 — r12 2d

2dr < d2 + r - — r / -' < 2 d r

2

^

R/-¿

no

CIRCUNFERENCIA

Y FAMILIAS

DE C I R C U N F E R E N C I A S

§

12

-5

correspondiendo el signo igual al caso en que la raíz es doble. La p r i m e r a desigualdad puede escribirse en la f o r m a y la s e g u n d a :

0 < (d + r) - — r'2 (d — r)- — r'- < 0

r'- < (d + r)2 (d — r) - < r'-

y como d, r y r' son positivos, e s t a s desigualdades se reducen a r' < d + r , . . , — r' < d7 — r < iJ

o bien

d > r' — r , , d > r — r'

, „ , , a < r -+- r

que son la condición necesaria y suficiente p a r a que las circ u n f e r e n c i a s t e n g a n p u n to s comunes, correspondiendo el signo igual al caso en que t e n g a n un solo p u n t o común. P o r consiguiente : l9 Si la distancio, de los centros es mayor que la suma de los radios o menor que la diferencia, las dos circunferencias no tienen puntos comunes. 29 Si la distancia de los centros es menor que la suma de los radios y mayor que la diferencia, las dos circunferencias tienen dos puntos comunes, que (como se deduce fácilmente de los cálculos anteriores) son simétricos ortogonalmente respecto de la línea de los centros. 3 9 Si la distancia de los centros es igual a la suma o a la diferencia de los radios, las circunferencias tienen un solo punto común en la línea de los centros. La abscisa de ese p u n t o es _

(r ± r')2 4- r2 — r ' 3 2r- ± 2 rr' 2 {r~± r') ~ "" ~2(r±iJ)

r

y por t a n t o la r e c t a x — r = d — r' es t a n g e n t e en el punto c o m ú n a a m b a s c i r c u n f e r e n c i a s ; se dice entonces que las circunferencias son tangentes en dicho punto. Los resultados a n t e r i o r e s suponen que d =•= 0, es decir, que las c i r c u n f e r e n c i a s no son c o n c é n t r i c a s ; si lo f u e s e n y tuviesen distinto radio, no t e n d r í a n p u n t o s comunes y si el radio f u e s e el mismo, coincidirían. 5. Tangentes desde un punto a la circunferencia. — Dada una c i r c u n f e r e n c i a de ecuación (a? — a ) 2 + (!/ — p)2 = 7-2 y un p u n t o (x¡, ?/,) del plano, el problema de d e t e r m i n a n las t a n g e n t e s a la c i r c u n f e r e n c i a que p a s a n por el p u n t o se resuelve si podemos d e t e r m i n a r las coordenadas de los p u n t o s de contacto. Si x(, é y o son las coordenadas de dicho p u n t o deDen s a t i s f a c e r al sistema de dos ecuaciones ( r x — x„) (Xr, — a) - r (y, — y») O/o— P) = 0 (x0 — a) - -+- C2/u — (3>- = r-

.§ 1 2

-6

T¿

C I R C U N F E R E N C I A V CÍRCULO

que e x p r e s a n , la p r i m e r a , según U ] , que la t a n g e n t e a la circ u n f e r e n c i a en (a'o, 2/0) pasa por el p u n t o { X \ , ü i ) , y la segunda que el p u n t o e s t á en la c i r c u n f e r e n c i a . S u m a n d o estas dos ecuaciones queda una ecuación de p r i m e r g r a d o en ,r0 é 2/0 y p o r consiguiente el sistema puede t e n e r dos soluciones reales, una o n i n g u n a . Dados en el plano una c i r c u n f e r e n c i a y un punto, tomemos un sistema de c o o r d e n a d a s con origen en el centro de la circ u n f e r e n c i a y cuyo e j e OX pasa por el punto, estando éste además situado en la p a r t e positiva. Siendo en este sistema de coordenadas a = 0, p = 0, 2/1 = 0 y poniendo xx = d, las ecuaciones del sistema a n t e r i o r se reducen a dx o = r-

,

Xo2 + 2/02 =

;

donde r es el radio de la c i r c u n f e r e n c i a y d la distancia del centro al p u n t o . E l i m i n a n d o x0 en el sistema, obtenemos la ecuación 2 r' ?/o2 = r 2 1 2 •»« •

«

d

que tiene dos soluciones reales, una o n i n g u n a , según que sea r < d, r = d ó r > d. Luego según que la distancia del p u n t o al centro sea m a y o r , igual o m e n o r que el radio, se pueden t r a z a r desde él dos t a n g e n t e s , una o n i n g u n a a la circunferencia. Si r e s t a m o s las dos ecuaciones del sistema que d e t e r m i n a x0 é 2/0 obtenemos Xa- + 2/0- — dx o = 0,

o sea:

2 / \ d * d' | x0 — l — + i/o2 = - £

lo que nos p r u e b a que los p u n t o s de contacto e s t á n en u n a circ u n f e r e n c i a que p a s a por el centro de la c i r c u n f e r e n c i a dada y por el p u n t o dado, y cuyo centro e s t á en el p u n t o medio del segmento que dichos punt os d e t e r m i n a n . Obtenemos así la propiedad que s i r v e de base p a r a el t r a z a d o clásico de las t a n g e n tes a una c i r c u n f e r e n c i a desde un p u n t o e x t e r i o r . 6. Determinación de las tangentes, paralelas a una recta. — S u p o n g a m o s la c i r c u n f e r e n c i a con centro en el o r i g e n ; vamos a d e t e r m i n a r las t a n g e n t e s p a r a l e l a s a u n a r e c t a de coeficiente a n g u l a r m. Sea ?/ = >n'x la recta p e r p e n d i c u l a r a la dada y que pasa por el centro, su coeficiente a n g u l a r es m'= — 1/m. P a r a hallar la intersección de esta recta con la c i r c u n f e r e n c i a dada, h a y que resolver el s i s t e m a : 2/ = m'x , x'2 + y- = rcuyas soluciones son

CIRCUNFERENCIA Y F A M I L I A S DE CIRCUNFERENCIAS

74

„

-!- r V ' T >

± m'r

^y — m'-

'

V I

+

W

8

12

-7

, 2

L a s t a n g e n t e s que p a s a n por dichos p u n t o s son p e r p e n d i culares a los r a d i o s que p a s a n por el p u n t o de c o n t a c t o ; por consiguiente son p a r a l e l a s a la r e c t a d a d a y son las soluciones del p r o b l e m a . Sus ecuaciones resultan, después de s u s t i t u i r n u e v a m e n t e ni' = — 1 / m y q u i t a r d e n o m i n a d o r e s y = mx ± r \ / " l + trique son las ecuaciones de las cia p a r a l e l a s a u n a dirección E n el caso general cuando ción 2 — a) + ( x

dos t a n g e n t e s a la c i r c u n f e r e n dada. la c i r c u n f e r e n c i a t i e n e por ecua(y — P)

2

y = mx — ma -4- (3 ± r V 1 +

m

'~

L a s t a n g e n t e s p a r a l e l a s a. eje OY t i e n e n como ecuaciones, como se deduce i m e d i a t a m e n t e , x = a ± r. 7. Determinación de circunferencias. — L a ecuación de u n a c i r c u n f e r e n c i a contiene t r e s p a r á m e t r o s a r b i t r a r i o s , luego p a r a d e t e r m i n a r una c i r c u n f e r e n c i a s u j e t a a c u m p l i r c i e r t a s condiciones h a b r á que e x p r e s a r estas condiciones en f o r m a a n a lítica, m e d i a n t e relaciones e n t r e los p a r á m e t r o s , lo que nos c o n d u c i r á a un sistema de ecuaciones e n t r e los p a r á m e t r o s , que h a b r á que r e s o l v e r ; r e e m p l a z a n d o las soluciones obtenidas en la ecuación general de la c i r c u n f e r e n c i a se o b t e n d r á la ecuación de la c i r c u n f e r e n c i a del problema pedido. El uso de p r o p i e d a d e s g e o m é t r i c a s conocidas puede f a c i l i t a r mucho la solución del problema, como i g u a l m e n t e la elección o el cambio del sistema de ejes. Tomemos, como ejemplo, el problema de d e t e r m i n a r la ecuación de la c i r c u n f e r e n c i a que p a s a por t r e s puntos, M¡(.?i,?/i), M 2 ( x 2 , y 2 ) y M 3 (XZ, y*). Sabemos d e t e r m i n a r la ecuación de la r e c t a que es p e r p e n d i c u l a r al segmento MI, M 2 en su p u n t o medio, la de la r e c t a que es p e r p e n d i c u l a r al segmento MI M 3 en su p u n t o medio. L a s c o o r d e n a d a s del p u n t o de intersección de e s t a s dos r e c t a s son las coordenadas del centro de la circ u n f e r e n c i a y dicho p u n t o existe s i e m p r e que las r e c t a s no sean paralelas, es decir, s i e m p r e que los t r e s p u n t o s M I , M 2 y M 3 no estén alineados. E l r a d i o es la distancia del centro a uno de los p u n t o s dados. O t r a f o r m a de resolver este problema sería escribir l a s condiciones

75

C I R C U N F E R E N C I A Y CÍRCULO

p a r a que la ecuación g e n e r a l de la c i r c u n f e r e n c i a pase por los t r e s puntos, es decir l a s ecuaciones ( X l

_ a )

a

3

+

(Vl — p)2 = 2

r*

(x2— a) + (l/2—P) = (xz — a)'J + (2/3— | ) ) - = r 3 y h a y que r e s o l v e r este s i s t e m a t o m a n d o como i n c ó g n i t a s a, p y r. Rest a n d o las dos ú l t i m a s de la p r i m e r a quedan dos ecuaciones de p r i m e r g r a d o en a y |5; resolviéndolas y r e e m p l a z a n d o los valores en una de las ecuaciones se t e n d r í a el valor de r.

Se logra una solución directa del problema escribiendo la ecuación en la f o r m a de un d e t e r m i n a n t e . Dicha ecuación es la s i g u i e n t e : x-

[12]

= r-

u n a simple t r a s l a c i ó n de e j e s nos p r o b a r í a que las t a n g e n t e s solución del p r o b l e m a t i e n e n como ecuaciones [11]

§ 12 -8

-1- y-

a1,- + yr + V-S ¿Y- H- 2/3-

a:

y

1

xL

yx

1

x-2

Vi

1

*3

2/3

1

= 0

E n e f e c t o : desarrollando el d e t e r m i n a n t e por los elementos de la p r i m e r a f i l a se tiene A ( z 2 + 2/2) + B.r + Cy + D = 0 en donde A, B , C y D son los m e n o r e s c o m p l e m e n t a r i o s de los elementos de la p r i m e r a fila. Si los elementos no e s t á n alineados es A t¡=0 (§ 8 - 3 ) , luego la ecuación a n t e r i o r es la de u n a c i r c u n f e r e n c i a que pasa por los t r e s p u n t o s ya que al r e e m p l a z a r las variables x é y por uno cualquiera de esos valores se obtiene un d e t e r m i n a n t e igual a cero por t e n e r dos f i las iguales. L a ecuación de la c i r c u n f e r e n c i a que p a s a por los t r e s p u n t o s (0, 0 ) , (0, 1 ) , (1, — 2 ) es l ar + y 2 x y 1 ¡ EJEMPLO:

0 1 5

o 0

o i

1

—2

i i l

= 0

que d e s a r r o l l a n d o , da ar + + y- — 1x — y — U.

8. Ecuaciones p a r a m é t r i c a s de la circunferencia. — C o n s i d e r e mos la c i r c u n f e r e n c i a con centro en el origen, su ecuación es entonces x- - f y2 = r-. Sea M un p u n t o cualquiera y t el ángulo que f o r m a el sem i e j e positivo OX con la s e m i r r e c t a OM. Se tiene (fig. 41)

Fie. 41,

7li

r l l « l'XKKKKNVIA

V

OP = x

PM — y

,

FAMILIAS

x = r eos t

[13]

,

DE

,

§

C H U T N'FEREXl I AS

12 -9

y por tanto

Recíprocamente, dado un valor de t cualquiera e n t r e 0 y 2-x, los p u n t o s de coordenadas r eos t, r sen t e s t á n en la circunf e r e n c i a , luego las ecuaciones [13] son las ecuaciones p a r a m é t r i c a s de la c i r c u n f e r e n c i a . El p a r á m e t r o t puede t a m b i é n v a r i a r e n t r e — a y n: p a r a obtener todos los p u n t o s de la c i r c u n f e r e n c i a . Si t o m a m o s a h o r a u = t g t/2 y r e c o r d a n d o las f ó r m u l a s i -- w

sen t =

;

eos t =

l+tg=-2-

1

u — x = r — ;' 1 + u-

'

y — r "

x = a -f r eos t

;

2u

1 + ii-

y = b + r sen t

9. Ecuación de la circunferencia en coordenadas polares. — D a d a u n a c i r c u n f e r e n c i a por su ecuación general [2], si tom a m o s un sistema de c o o r d e n a d a s polares con el polo en el origen y el e j e OX como eje polar, y aplicamos las f ó r m u l a s (§ 9 - [ 1 2 ] ) de cambio de coordenadas, la ecuación [2] t o m a la f o r m a , llamando a h o r a co al ángulo polar, [16]

o- — 2o (a eos co ~\- ¡3 sen co) + f) = O

que es la ecuación general de la circunferencia en coordenadas polares. Si Q0 y coo son las coordenadas polares del centro de la circ u n f e r e n c i a y r su radio, se tiene o n - = ex- -¡- (5- ; 5 = Qo2 — r2 ; a = o„ eos co0 ; ¡3 = o„ sen co0 y la ecuación [16] t o m a la f o r m a [17]

Q-

—2o o 0 eos (co — coo) +

QO2

e = 2-7'senco. Ecuación de la c i r c u n f e r e n c i a t a n g e n t e en el polo a la perpendicular al e j e polar (o 0 = ?', con = 0 ) , q = 2 r eos co. Ecuación de la c i r c u n f e r e n c i a cuyo centro es el polo (yo = 0), q

— l + V - g -

que nos dan las coordenadas de los puntos de la circunferencia como funciones racionales de un parámetro u. E s claro que a u h a y que darle todos los valores reales p a r a obtener todos los p u n t o s de la c i r c u n f e r e n c i a . El caso en que el centro es un p u n t o cualquiera, se reduce al a n t e r i o r m e d i a n t e una t r a s l a c i ó n de e j e s y se t i e n e n las ecuaciones [15]

— r- = O

Como casos p a r t i c u l a r e s i m p o r t a n t e s se t i e n e :

77

Ecuación de la c i r c u n f e r e n c i a t a n g e n t e en el polo al eje p o l a r (o 0 = r , co0 = ;rc/2),

|

se tiene, r e e m p l a z a n d o sen t y eos t en f u n c i ó n de u, las sig u i e n t e s ecuaciones p a r a m é t r i c a s r-tAi [14]

E J E S R A D I C A L E S . H A C E S DE C I R C U N F E R E N C I A S

Ecuación de la c i r c u n f e r e n c i a que pasa por el polo (o„ = r), q — a cosco + (5 sen co, o bien, o = 2 r eos (co — co„) .

y — v sen t

ate-*-

§ 13 - l

§ 13.

E J E S RADICALES.

— r. H A C E S DE CIRCUNFERENCIAS

1. Potencia de un punto respecto a una circunferencia. — T E O R E M A 1. El producto de los segmentos MA y MB, que tienen como origen un punto fijo M del plano y ¡ íxr como extremos los puntos A y B de intersección de una circunferencia fija con una secante variable que pasa por M, es constante. Sea la ecuación de la c i r c u n f e r e n c i a (x — — o ) 2 + (y —13)- - r- y x0 e y o las c o o r d e n a d a s del p u n t o M. L a s r e c t a s que p a s a n por M (fig. 42) tienen c o m o ecuaciones p a r a Fig. *2. métricas x = x0 + e eos t , y = yo + q sen t en donde t es el ángulo que f o r m a el s e m i e j e positivo OX con la recta MA, y el p a r á m e t r o o es la distancia de un p u n t o cualq u i e r a de la r e c t a a M. Los valores de o c o r r e s p o n d i e n t e s a los p u n t o s A y B de intersección de la recta con la c i r c u n f e r e n cia, es decir, las longitudes MA y MB son las raíces de la ecuación [1]

(®0-re cosí — a)2 +

(2/0 -h Q sen t — (3)2 = r-

que puede p o n e r s e en la f o r m a q- - f 2 [ ( a r „ — a ) e o s t +

+

(;/„ — ( 3 ) s e n í ] o

(i/o — (i) 2 — ?'2] - 0 .

[ (xu

— ex) 2 - f

i C I R C U N F E R E N C I A Y F A M I L I A S DE C I R C U N F E R E N C I A S

78

§

DEF. 1. E s t e producto c o n s t a n t e se llama la potencia del punto respecto de la circunferencia. Dicho producto es, según a c a b a m o s de ver, igual a (%o — « ) 2 +

(lio — P ) 2 — r 2

es d e c i r : se obtiene la potencia circunferencia reemplazando las primer miembro de la ecuación La distancia de M al centro

de un punto respecto a una coordenadas del punto en el normal de la circunferencia. de la c i r c u n f e r e n c i a es

d- = (Xo— a ) 2 + (2/„ —13) 2 luego se t i e n e : potencia del punto respecto de la circunferencia ts igual al cuadrado de su distancia al centro menos el cuadrado del radio. De aquí se deduce que la potencia es positiva, nula o n e g a t i v a , según que el p u n t o sea e x t e r i o r , esté en la c i r c u n f e r e n c i a , o sea i n t e r i o r a la m i s m a . Como los resultados a n t e r i o r e s valen cuando la ecuación [1] tiene una r a í z doble se d e d u c e : La potencia de un punto respecto de una circunferencia es igual al cuadrado de la longitud del segmento de la tangente trazada por el punto a la circunferencia y limitada por dicho punto y el de contacto. 2. Ejes y centros radicales. — TEOREMA 2 . El lugar geométrico de los puntos que tienen igual potencia con respecto a dos circunferencias no concéntricas es una línea recta. S e a n en efecto las ecuaciones de las dos c i r c u n f e r e n c i a s (.T — a ) 2 + (a; — a ' ) 2 +

(y — (3 ) 2 = r(2/ — P ' ) 2 = r * .

P a r a que un p u n t o M (x,y) t e n g a igual potencia respecto de a m b a s c i r c u n f e r e n c i a s es condición necesaria y s u f i c i e n t e que sus coordenadas s a t i s f a g a n a la relación (x — a)n-+

(y — P ) 2 — r2 =

(a;_a')2 +

(2/ — P') 2 — r"-

o a la equivalente [3]

2 (a' — a)x + 2 ( p ' — $)y + - f a- — a' 2 + P2 — p' 2 — r- + r''1 = 0

y como h e m o s supuesto que las c i r c u n f e r e n c i a s no son concént r i c a s no pueden a n u l a r s e a la vez a' — a ; P' — p y por t a n t o la ecuación a n t e r i o r es la de una r e c t a . DEF. 2. E s t a línea r e c t a es el efe radical

y su ecuación

-2

E J E S R A D I C A L E S . H A C E S DE C I R C U N F E R E N C I A S

79

13-2

El producto de las dos raíces de la ecuación a n t e r i o r , es decir, el p r o d u c t o de las longitudes de MA y MB es independiente de t, lo que p r u e b a el t e o r e m a .

[2]

13

se

obtiene restando miembro a miembro las ecuaciones normales de ambas circunferencias. Si es a = a'; P = p'; r =¡= r'> es decir, si las c i r c u n f e r e n c i a s son concéntricas y distintas, la ecuación [3] no se s a t i s f a c e p a r a n i n g ú n s i s t e m a de valores, es decir, no h a y n i n g ú n p u n t a que t e n g a la m i s m a potencia con respecto a a m b a s c i r c u n f e rencias. L a r e c t a que une los centros de las c i r c u n f e r e n c i a s y la del e j e radical, tienen como coeficientes a n g u l a r e s p — p' a — a'

a

"

a' — a p — ¡V

luego r e s u l t a : a ) El eje radical es perpendicular a la línea de los centros, puesto que el producto de los coeficientes a n g u l a r e s de dichas r e c t a s es igual a —1. Si las dos c i r c u n f e r e n c i a s tienen p u n t o s comunes, estos puntos, por t e n e r potencia nula respecto de las dos circunferencias, pertenecen al e j e radical, luego t e n e m o s : b ) El eje radical de dos circunferencias secantes es la recta de su cuerda común. Si las c i r c u n f e r e n c i a s son t a n g e n t e s el eje radical pasa por el p u n t o de t a n g e n c i a y es p e r p e n d i c u l a r a línea de los centros, luego se t i e n e : c) Si dos circunferencias son tangentes, su eje radical es la recta tangente común. S u p o n g a m o s a h o r a t r e s c i r c u n f e r e n c i a s Ci, C j y C 3 y sean : R l f R 2 y Ra los e j e s radicales de C 2 y C 3 , C 3 y Ci, y Ci y C 2 , r e s p e c t i v a m e n t e . Si dos de estas r e c t a s se c o n f u n d e n los puntos de a m b a s tienen la misma potencia respecto de las t r e s circ u n f e r e n c i a s que tienen, por consiguiente, el mismo e j e radical. Si dos de los e j e s radicales son paralelos no existe n i n g ú n p u n t o que t e n g a la m i s m a potencia respecto de las t r e s circunf e r e n c i a s y entonces los t r e s e j e s son paralelos y como son perpendiculares a las líneas de los centros, las t r e s c i r c u n f e r e n cias tienen sus t r e s centros en línea r e c t a . F i n a l m e n t e , si dos de los e j e s se cortan en un punto, sin c o n f u n d i r s e , dicho p u n t o es el único que tiene la m i s m a potencia respecto de las t r e s c i r c u n f e r e n c i a s , p o r él p a s a n los t r e s e j e s radicales. DEF. 3. Dicho p u n t o se llama el centro circunferencias.

radical

de las tres

SO

C I R C U N F E R E N C I A Y F A M I L I A S DE C I R C U N F E R E N C I A S

§ 1 3 - 3

3. H a c e s lineales de c i r c u n f e r e n c i a s . — Consideremos dos c i r c u n f e r e n c i a s Ci y C* de ecuaciones n o r m a l e s f , (x, y) ==' x- + y- — 2a a- — 2p y + 5 = 0 = •»" + !/" — 2u'.r — 2(3'// + b' = 0 DEF. 4. Se denomina haz lineal de circunferencias junto de las circunferencias de ecuaciones [4] y) - f uf-Ax.y) = o

al con-

en donde ). y ¡.i toman todos los valores reales posibles. E s evidente que la ecuación [4] r e p r e s e n t a una circunfer e n c i a p a r a todos los valores de /. y u salvo en el caso /. = — u e n que r e p r e s e n t a el e j e radical, al que c o n s i d e r a r e m o s como un caso limite de los círculos del haz. Se tiene el t e o r e m a siguiente : Todas las circunferencias de un mismo haz lineal tienen el mismo eje radical. Sea en efecto C una circunf e r e n c i a del haz de ecuación f ( x , y ) £2 l f i ( x , y ) + \if.¿(x,y). TEOREMA 3.

E l e j e r a d i c a l de C y C, t i e n e como ecuación J j í » L _

f,(*,„>

= o

A -f H

(en donde hemos dividido por ). + [.i en la ecuación de C p a r a que la ecuación tomase la f o r m a n o r m a l ) . E s t a ecuación puede t a m b i é n e s c r i b i r s e e n la f o r m a f (x,y) — ( ? > + n ) f i O » M / ) = 0 Ifi(x,y) + y) — (?. + n ) f \ ( x , y ) = 0 ó f i (x,y) — fo{x, y) = 0 que no es o t r a que la ecuación del eje r a d i c a l de Ci y C 2 lo que d e m u e s t r a el t e o r e m a . R e c í p r o c a m e n t e : si H es la familia de las circunferencias que tiene el mismo eje radical, H es un haz lineal de circunferencias. P a r a d e m o s t r a r este t e o r e m a b a s t a r á p r o b a r que cualquier c i r c u n f e r e n c i a C de H tiene como ecuación >.fi (a-, y) -i- uf»(ar, y) = 0 en donde •£x(x,y) = 0 y U(x,y)=0 son las ecuaciones de dos c i r c u n f e r e n c i a s f i j a s cualesquiera C j y C 2 de H . E n e f e c t o : la ecuación del e j e r a d i c a l de Ci y C 2 es, sup u e s t a s las e c u a c i o n e s e s c r i t a s en f o r m a n o r m a l , e{x,vSiT~ — U(x, y) — f , (x,y) = 0, p e r o como C y Ci t i e n e n t a m b i é n el m i s m o e j e radical, si ponemos g ( x , y) — f (.r, y)— f i (x, y) siendo f (x,y) la ecuación n o r m a l de C, se h a de cumplir, puesto que e(x. y) = 0 y g ( x , y ) = 0 son ecuaciones de la m i s m a r e c t a

§

13

-4

E J E S R A D I C A L E S . HACICS DE C I R C U N F E R E N C I A S

f i ( * , y) — f s ( x , y) = e ( x , y) = yg(x, siendo y 4= 0, es decir

81

y) = yf (x, y) — y f i U \ y)

f (x, y) = ( ~ + 1 ) f , ( x , y) \ y / como q u e r í a m o s d e m o s t r a r .

—f-Ax, y) y

4. Clasificación de los haces lineales. — Los h a c e s lineales se clasifican en t i p o s distintos que vamos a e s t u d i a r . E l i j a mos como e j e de o r d e n a d a s el e j e radical de las c i r c u n f e r e n cias del haz y como e j e de abscisas la p e r p e n d i c u l a r b a j a d a desde el centro de una de las c i r c u n f e r e n c i a s del haz al e j e r a dical. Los c e n t r o s de las c i r c u n f e r e n c i a s del haz e s t á n todos en el e j e OX, luego las c i r c u n f e r e n c i a s del haz tienen t o d a s ecuaciones del tipo ÍC2 + y- — 2ax + d = 0 La potencia del origen con respecto a cualquier c i r c u n f e rencia del haz es igual a d, luego este t é r m i n o independiente h a de ser el mismo p a r a todas las c i r c u n f e r e n c i a s del haz, est a s tienen, pues, t o d a s como ecuación [o] x- -f y- — 2Xx + d = 0 y r e c í p r o c a m e n t e t o d a s las ecuaciones del tipo a n t e r i o r , p a r a los valores de }. que h a g a n que dicha ecuación sea la cíe u n a c i r c u n f e r e n c i a , es decir, p a r a los valores de l tales que l2 > d r e p r e s e n t a n u n a c i r c u n f e r e n c i a del haz. L a ecuación [5] es pues, la ecuación general de t o d a s las c i r c u n f e r e n c i a s del haz. C o n s i d e r a r e m o s a h o r a t r e s casos distintos que nos d a n t r e s tipos distintos de haces lineales. d < 0. Todas las c i r c u n f e r e n c i a s c o r t a n al e j e OY en ios dos p u n t o s P y Q de o r d e n a d a ± y/— d y toda c i r c u n f e r e n c i a que p a s e por esos dos p u n t o s pertenece al haz. El haz e s t á f o r m a d o por t o d a s las c i r c u n f e r e n c i a s que p a s a n p o r dos p u n t o s f i j o s (fig. 4 3 ) .

82

CIRCUNFERENCIA Y F A M I L I A S DE CIRCUNFERENCIAS

§ 13 -5

2 0. L a s c i r c u n f e r e n c i a s no tienen n i n g ú n punto común con el e j e O Y, y como este e j e es su eje radical, las circ u n f e r e n c i a s del haz no t i e ne n p u n t o s comunes e n t r e sí. La ecuación [o] puede ponerse en la f o r m a (x—xy + if- = i- — d luego los centros de las c i r c u n f e r e n c i a s están en el exterior del s e g m e n t o (—y/T, yfd) del e j e OX. Los puntos F ' ( — \ / d , 0) y F ( V íi, 0) se llaman p u n t o s límites del haz y pueden consider a r s e como dos c i r c u n f e r e n c i a s de r a d i o nulo pertenecientes al haz (fig. 4 4 ) . & d = 0. La ecuación del haz t o m a entonces la f o r m a x- + y- — 2lx = 0 y se compone de todas las c i r c u n f e r e n c i a s t a n g e n t e s a u n a rect a en un punto al e j e OY en el origen en la ( f i g . 4 5 ) . E s t e caso puede consider a r s e como límite de los dos p r i m e r o s cuando los dos puntos comunes a las circunferencias del haz o los dos puntos límites tienden a confunX dirse. E n todos los casos hemos supuesto que e x i s t í a el e j e radical de dos c i r c u n f e r e n cias del h a z ; si no existe, es decir, si dos c i r c u n f e r e n c i a s Fie. 45. del haz son concéntricas, entonces el haz está f o r m a d o como se ve i n m e d i a t a m e n t e , por todas las c i r c u n f e r e n c i a s que tienen el mismo centro. 5. Circunferencias ortogonales. Haces o r t o g o n a l e s . — DEF. 5. Dos c i r c u n f e r e n c i a s se dice que son ortogonales cuando las tangentes en sus puntos comunes son perpendiculares. E s p a r a ello necesario y s u f i c i e n t e que el t r i á n g u l o que tiene como vértices los centros y un p u n t o común sea rectángulo en el último punto. E s decir que se t e n g a d- = r- + r'- siendo r y r' los r a d i o s de las dos c i r c u n f e r e n c i a s y d la distancia de los centros. E s t a condición es evidentemente idéntica a la s i g u i e n t e : la potencia del centro de una de las circunferencias con respecto a la otra es igual al cuadrado del radio de la primera circunferencia. Son consecuencias i n m e d i a t a s de esta p r o p i e d a d :

§

13 -5

E J E S R A D I C A L E S . H A C E S DE C I R C U N F E R E N C I A S

83

Si dos circunferencias son concéntricas y distintas no hay ninguna circunferencia ortogonal a ambas. Los centros de las circunferencias ortogonales a dos dadas están en el eje radical. Si las c i r c u n f e r e n c i a s vienen d a d a s por sus ecuaciones xy- — 2ax — 2(3?/ + 8 = 0 x2 + y2 — 2a'x — 2|3'y + 5' = 0 la condición de ortogonalidad se e x p r e s a en la f o r m a -f (3- — 2aa' — 2(3)3' -¡- 5' = a 2 +

|32 — 5

que se t r a n s f o r m a en la [6]

2 (ota' + (313') — (5 + 5') = 0

Consideremos a h o r a dos c i r c u n f e r e n c i a s no concéntricas del plano, y un sistema de ejes cartesianos que t e n g a por eies OX y O Y a la línea de los centros y al e j e radical de las dos circunferencias. L a s ecuaciones de a m b a s c i r c u n f e r e n c i a s t o m a n entonces la f o r m a [5] z- + y- — 2 hx + d = 0

& + y2 — 2Ux + d = 0

Cualquier c i r c u n f e r e n c i a ortogonal a estas dos tiene su centro en OY, su ecuación es del tipo x2 + y- — 2uy -\- h = 0 y la condición de ortogonalidad de esta c i r c u n f e r e n c i a a las dos d a d a s es h + d = 0, es decir h = — d. Luego la ecuación de cualquier c i r c u n f e r e n c i a ortogonal a las dos d a d a s es la x~ + y2 — 2 ( i y — d = 0 es decir que dichas c i r c u n f e r e n c i a s f o r m a n un haz lineal que tiene como e j e radical la línea de los centros de las c i r c u n f e rencias dadas. Como la condición de ortogonalidad es independiente de l i y Xo se d e d u c e : Todas las circunferencias ortogonales o, dos dadas Ci y Co son ortogonales a todas las del haz lineal determinado por C'i y C<>. TEOR. 4 .

DEF. 6. Ambos sus ecuaciones son [7]

+

haces

se denominan

y2 — 2lx + d = 0

z* +

haces

ortogonales

y

y2 — 2 u y — d = 0

Los dos haces son del t e r c e r tipo, cuando d = 0 y están f o r mados ^por las c i r c u n f e r e n c i a s t a n g e n t e s en el origen a OX y a OY ( f i g . 4 6 ) , o son uno del p r i m e r tipo y otro del según-

84

CIRCUNFERENCIA Y FAMILIAS

DE C I R C U N F E R E N C I A S

§

13

-6

do, siendo los p u n t o s límites de uno de ellos los p u n t o s comunes a las c i r c u n f e r e n c i a s del otro (fig. 4 7 ) .

F i e . 46.

F i g . 47.

6. C i r c u n f e r e n c i a o r t o g o n a l a t r e s c i r c u n f e r e n c i a s . — V e a m o s a h o r a cómo se p u e d e d e t e r m i n a r la circunferencia ortogonal a tres circunferencias dadas, CI, C? y C», cuyos c e n t r o s no estén alineados. E l c e n t r o de dicha c i r c u n f e r e n c i a h a de e s t a r en el c e n t r o r a d i c a l de las t r e s dadasT o m e m o s dicho centro como origen de coordenadas. L a s ecuaciones de las t r e s c i r c u n f e r e n c i a s son entonces de la f o r m a x' + y- — 2 «i x — 2 p, y + 8 = 0 x* + y" — 2 a a x — 2 fls y + 5 = 0 x3 -f y3 — 2 a-tx — 2 p3 y + & = 0 siendo el t é r m i n o c o n s t a n t e común 5, la potencia del origen respecto de los t r e s círculos. U n a c i r c u n f e r e n c i a o r t o g o n a l a l a s t r e s d a d a s tiene como ecuación r ' + rf = r* y l a s t r e s condiciones de o r t o g o n a l i d a d nos conducen a la m i s m a r e l a ción 8 — } - = 0, luego la c i r c u n f e r e n c i a o r t o g o n a l a l a s t r e s d a d a s es la de ecuación + y* = 6 'uego r e s u l t a : La circunferencia ortogonal a tres circunferencias dadas tiene su centro en el centro radical de las tres circunferencias y su radio es igual a la raíz cuadrada de la potencia de dicho centro con respecto a las tres circunferencias. P o r consecuencia, p a r a que e x i s t a dicha c i r c u n f e r e n c i a , debe ser el centro radical exterior a las tres circunferencias. Si los c e n t r o s de l a s t r e s c i r c u n f e r e n c i a s están alineados y l a s t r e s c i r c u n f e r e n c i a s no pertenecen a! mismo haz no existe n i n g u n a c i r c u n f e r e n c i a o r t o g o n a l a l a s t r e s d a d a s . P u e d e entonces c o n s i d e r a r s e la línea de los centros, que es o r t o g o n a l a l a s t r e s c i r c u n f e r e n c i a s , como una solución l i m i t e de este p r o b l e m a . TEOREMA

5.

§

14 -1

ELEMENTOS IMAGINARIOS

§ 14.

85

E L E M E N T O S IMAGINARIOS

1. Introducción de los elementos imaginarios en geometría analítica. — L a introducción de los n ú m e r o s complejos se j u s tifica por la necesidad de d a r a los resultados del á l g e b r a y del análisis u n a a r m o n í a y una g e n e r a l i d a d que no se pueden alcanzar con el sólo empleo de los n ú m e r o s reales L a geometría analítica se basa en el principio de correspondencia e n t r e los n ú m e r o s reales y los p u n t o s de una recta, y por t a n t o su desarrollo en el campo real t i e n e que e s t a r suj e t o a la m i s m a f a l t a de g e n e r a l i d a d y a r m o n í a que t i e n e el dominio de los reales. Si se quiere obtener, en g e o m e t r í a a n a lítica, a r m o n í a y generalidad en los resultados, es necesario la introducción en ella de los elementos i m a g i n a r i o s . P e r o esta introducción lleva consigo la f a l t a de r e p r e s e n t a ción en la g e o m e t r í a euclídea, en la que no existen elementos i m a g i n a r i o s ; éstos son entonces, en geometría, m e r a s creaciones analíticas sin base en los elementos de la g e o m e t r í a euclídea. DEF. 1. Dado en un plano un sistema de ejes cartesianos, llamaremos punto del plano al conjunto de dos números complejos (a -\-bi, c + di) cualesquiera. Consideremos a h o r a una ecuación lineal con coeficientes reales o complejos mx + ny + P — 0 la r e c t a s e r á a h o r a por definición, el c o n j u n t o de los punt os reales o i m a g i n a r i o s cuyas coordenadas s a t i s f a c e n a dicha ecuación y lo m i s m o se d e f i n e la c i r c u n f e r e n c i a o cualquier c u r v a d e f i n i d a por u n a relación que u n a las dos coordenadas x é v. Debemos h a c e r r e s a l t a r la d i f e r e n c i a que h a y e n t r e las ecuaciones tal como las d e f i n i m o s a h o r a y t a l como lo hicimos cuando sólo c o n s i d e r á b a m o s elementos r e a l e s ; en este último caso s u p o n í a m o s un espacio p r e e x i s t e n t e (en él se i n t r o d u c í a n las coordenadas, y las ecuaciones de una f i g u r a g e o m é t r i c a e r a n la t r a d u c c i ó n analítica de p r o p i e d a d e s g e o m é t r i c a s y a e x i s t e n t e s ) . E n la g e o m e t r í a con elementos i m a g i n a r i o s o geom e t r í a compleja, las ecuaciones de u n a f i g u r a constituyen su p r o p i a d e f i n i c i ó n 2 , que ha de coincidir con la de la g e o m e t r í a analítica real cuando sólo se consideren elementos reales. L a extensión de los resultados y p r o p i e d a d e s de la geome* L a r e s o l u c i ó n de e c u a c i o n e s en á'.pebra y la d e t e r m i n a c i ó n del i n t e r v a l o de v a l i d e z del d e s a r r o l l o en s e r i e de u n a f u n c i ó n s o n e j e m p l o s t í p i c o s de e s t a d i f e r e n c i a e n t r e los r e s u l t a d o s q u e s e o b t i e n e n e n el c a m p o r e a l y los q u e s e o b t i e n e n en el c a m p o c o m p l e j o . L a c r e a c i ó n d e la g e o m e t r í a a n a l í t i c a d e u n e s p a c i o de c u a l q u i e r n ú m e r o de dim e n s i o n e s s e a p o y a en c o n s i d e r a c i o n e s a n á l o g a s a l a s q u e a c a b a m o s de e s t a b l e c e r .

gfi

CIRCUNFERENCIA Y F A M I L I A S DE C I R C U N F E R E N C I A S

§

14 - 2

t r i a real a la geometría compleja puede hacerse s i e m p r e que se c u m p l a la siguiente condición: el resultado o la propiedad puede deducirse p o r vía m e r a m e n t e analítica y los r a z o n a m i e n tos analíticos utilizados son válidos igualmente en el campo real y en el campo complejo. Así, p o r ejemplo, la d e t e r m i n a c i ó n de la recta p o r dos puntos, las condiciones de p a r a l e l i s m o y en general aquellos prob l e m a s que se apoyen ú n i c a m e n t e en la t e o r í a de ecuaciones lineales se extienden a la g e o m e t r í a compleja. T a m b i é n se ext i e n d e n los p r o b l e m a s relativos a la intersección de curvas, que se r e d u c e n a la resolución de s i s t e m a s de ecuaciones. L a s propiedades en que i n t e r v i e n e la d i s t a n c i a no s i e m p r e se pueden e x t e n d e r al campo complejo, en el que, por ejemplo, la d i s t a n cia de dos p u n t o s no c o n f u n d i d o s puede ser cero ( b a s t a t o m a r los p u n t o s (1,¿) y ( — 1 , — i ) , su distancia q viene d a d a por la f ó r m u l a q2 = ( í + l ) 2 + (¿ + O 2 = 0 ) . E s t o es, n a t u r a l m e n t e , consecuencia de que no se cumple en el campo complejo la propiedad del campo real de que u n a s u m a de c u a d r a d o s sólo puede s e r nula cuando lo sean todos los sumandos. 2. Los elementos imaginarios en el estudio de la circunferencia. — V a m o s a ver cómo los resultados que h e m o s obtenido en el estudio de la c i r c u n f e r e n c i a t o m a n una f o r m a completam e n t e g e n e r a l cuando se utilizan los elementos i m a g i n a r i o s . E l p r o b l e m a de la intersección de una r e c t a con una circ u n f e r e n c i a , que se reduce a la resolución de un s i s t e m a de dos ecuaciones, u n a de p r i m e r g r a d o y una de segundo, que tiene s i e m p r e solución en el c a m p o complejo, se puede e n u n c i a r a s í : u n a r e c t a y una c i r c u n f e r e n c i a t i e n e n s i e m p r e dos p u n t o s de intersección que puede r e d u c i r s e a uno solo doble cuando la r e c t a es t a n g e n t e a la c i r c u n f e r e n c i a . Así, por ejemplo, la circ u n f e r e n c i a x- + y- = 9 y la r e c t a x = 5, tienen comunes los dos p u n t o s ( 5 , 4 0 y ( 5 , — 4 0 - Si los coeficientes de las ecuaciones son reales, las c o o r d e n a d a s de los dos p u n t o s ele intersección, si son imaginarios, son n ú m e r o s i m a g i n a r i o s c o n j u g a dos, puesto que las soluciones i m a g i n a r i a s de una ecuación de segundo g r a d o con coeficientes reales, son s i e m p r e n ú m e r o s i m a g i n a r i o s conjugados. A n á l o g a m e n t e , dos c i r c u n f e r e n c i a s tienen s i e m p r e comunes dos p u n t o s de intersección que pueden c o n f u n d i r s e cuando las c i r c u n f e r e n c i a s son t a n g e n t e s . Así, p o r ejemplo, las c i r c u n f e r e n c i a s de ecuaciones x2 + y2 — £ + 1 = 0 y x2 -\- y'1 -\- x + 1 = 0 t i e n e n comunes los p u n t o s ( 0 , 0 y ( 0 , — O • P a s e m o s a h o r a al eje r a d i c a l . La ecuación [1] del § 13 nos da los p u n t o s de intersección, reales o complejos de la secante con la c u r v a , el p r o d u c t o de sus raíces es igual al té.-mino in-

§

14 - 3

ELEMENTOS IMAGINARIOS

87

dependiente, sean o no reales las raíces, y de las ecuaciones p a r a m é t r i c a s de la c u r v a se deduce que dichas raíces siguen r e p r e s e n t a n d o las longitudes de los segmentos con origen en M y e x t r e m o s en los p u n t o s de intersección, luego la definición de potencia se extiende al caso en que los p u n t o s de intersección d e j a n de ser reales. Así, p o r ejemplo, sea la c i r c u n f e rencia de ecuación ( x — 3 ) 2 J r ( y — 5 ) 2 = 16, la potencia del origen respecto de la m i s m a es d- — r2 — 18. Si c o r t a m o s dicha c i r c u n f e r e n c i a por el e j e OX obtenemos como punt os de intersección los (3 + 32,0) y (3 — 3¿, 0 ) , y el producto de las distancias de esos dos p u n t o s al o r i g e n es (3 + 3 0 (3 — 3 0 = 18. Los p u n t o s de intersección de dos c i r c u n f e r e n c i a s , reales o i m a g i n a r i o s , son de potencia nula respecto de a m b a s circunferencias, luego pertenecen al e j e radical, es decir, que el e j e radical de dos c i r c u n f e r e n c i a s e s t á d e t e r m i n a d o por sus dos punt os comunes a ú n cuando éstos sean i m a g i n a r i o s . Así, por ejemplo, t o m e m o s las c i r c u n f e r e n c i a s de ecuaciones (x 1 ) " + (y — l ) 2 = 1 ( a + l ) 2 + (?/ + D 2 = 1 que tienen como punt os de intersección (basta resolver el sistema Ii V 2 \

2

i V~2 \ '

2 "I

j

i V 2

\

2

i \f 2 \ '

2

I

La r e c t a que une estos dos p u n t o s tiene como ecuación x + y = 0 que como se ve f á c i l m e n t e (es p e r p e n d i c u l a r a la línea de los c e n t r o s y la potencia del origen es la m i s m a respecto de las dos c i r c u n f e r e n c i a s ) es el e j e r a d i c a l de las dos c i r c u n f e r e n c i a s . De aquí se deduce que todo h a z lineal de c i r c u n f e r e n c i a s es el c o n j u n t o de las c i r c u n f e r e n c i a s que p a s a n por dos p u n t o s f i j o s reales o i m a g i n a r i o s ( c o n j u g a d o s si las c i r c u n f e r e n c i a s tienen ecuaciones con coeficientes r e a l e s ) . Si se c o n f u n d e n , el haz está compuesto por las c i r c u n f e r e n c i a s t a n g e n t e s a una recta en un p u n t o f i j o . 3. K e c t a s i s ó t r o p a s y p u n t o s cíclicos. — En la g e o m e t r í a real u n a ecuación del t i p o (x-aY + (y — b)1 = 0 r e p r e s e n t a un solo p u n t o r e a l : el ( a , b ) . E n la g e o m e t r í a compleja dicha ecuación p u e d e e s c r i b i r s e en la f o r m a ly — b + i(x — a ) ] [y— b — i(x — a ) ] = 0 y r e p r e s e n t a por consiguiente a dos r e c t a s i m a g i n a r i a s de coeficientes a n g u l a r e s i y — i que p a s a n por el punto.

gg

C I R C U N F E R E N C I A Y F A M I L I A S DF. C I R C U N F E R E N C I A S

§ 1 4 - 3

D a d a u n a recta cualquiera de coeficiente a n g u l a r i y = ix -f a + bi

DEF. 1. A e s t a s rectas se las denomina recias isótropas salidas del p u n t o real que tienen común. V a m o s a dar a l g u n a s propiedades un t a n t o s i n g u l a r e s de las r e c t a s isótropas. La distancia entre dos puntos cualesquiera de una recta isótropa es nula. E n efecto, sea la r e c t a de ecuación y = ix + a + bi. Si ( x : t y i ) , (xi,y¿) son dos p u n t o s de la recta, se ha de cumplir yx = ix i + a + bi 2/s = ix a + a + bi R e s t a n d o a m b a s ecuaciones se tiene t/i— y~ = i(xi — x*), y por t a n to si a es la distancia e n t r e esos dos puntos, se tiene d 3 = {xi — xo)* + 0/i — y*)* = — — (ÍCi — XnV = 0

2) D e t e r m i n a r la ecuación de la c i r c u n f e r e n c i a de radio 1, t a n g e n t e a la recta 3x — 4 7 / 4 - 1 = 0 en el punto de o r d e n a d a 1.

3) D e t e r m i n a r la ecuación de la c i r c u n f e r e n c i a de centro (—2, 3) y t a n g e n t e a la recta 2x + y— 1 = 0 .

la f o r m a - j j -

si hacemos

ni = m'=±i;

es

= 0

claro t a m b i é n

R.:

(J/-3)3 =

(x + 2)~- +

5

4) D e t e r m i n a r la ecuación de la c i r c u n f e r e n c i a que p a s a por los p u3 n t o s (0, 0) y (2, 0) y es t a n g e n t e a la c i r c u n f e r e n c i a de ecuación

* + r — 10* — 6y + 18 = 0.

ar1 + y" — 2x = 0;

R.:

x* + y- — 2x +

y = y.

5) D e t e r m i n a r la ecuación de la c i r c u n f e r e n c i a que p a s a por los puntos (—1, 1 ) , (3, 5) y (5, - 3 ) .

se deduce que dos p u n t o s d i s t i n t o s cuya distancia sea nula se e n c u e n t r a n s i e m p r e sobre u n a recta i s o t r o p a . T E O R E M A 2 . Toda recta isótropa forma con ella misma un ángulo indeterminado. B a s t a ver que la f ó r m u l a (§ 10, [ 3 ] ) que da el á n g u l o de dos rectas m' — m tea = —- —, r 1 + mm toma

1) D e t e r m i n a r la ecuación de la c i r c u n f e r e n c i a que p a s a por el origen y d e t e r m i n a en los e j e s OX y OY segmentos de extremo, el origen y longitudes 2a y 26. . R.: (x±a)* + (y ± by = a» + b\

1.

Como la relación a n t e r i o r se puede poner en la f o r m a [(¿/i — y-i) + i(xi — »*)] [(l/i — y*) — ¿(a?i —««)]

89

ELEMENTOS IMAGINARIOS

E J E R C I C I O S SOBRE L A C I R C U N F E R E N C I A :

p a s a siempre por un punto rea!, el punto ( — b , a ) , que es por o t r a p a r t e el único punto real que tiene, pues si t u v i e r a otro, la ecuación de la r e c t a que p a s a por esos dos p u n t o s t e n d r í a sus coeficientes r e a l e s y no podría ser la d a d a . P o r dicho p u n t o p a s a también la recta de ecuación y =—ix + a— bi cuyo coeficiente a n g u l a r es —i. Vemos, pues, que por todo p u n t o real del plano p a s a n dos r e c t a s i m a g i n a r i a s de coeficient e s a n g u l a r e s i y — i , y r e c í p r o c a m e n t e d a d a una recta c u a l q u i e r a de coeficiente a n g u l a r i, existe o t r a de coeficiente a n g u l a r —i que sólo tiene común con la p r i m e r a un p u n t o real.

TEOREMA

§ 14 - E j .

y si la c o r t a m o s por la recta i m p r o p i a , es decir, si hacemos t r - 0. se tiene la relación x2 + y2 = 0 ó (x + iy) (x — iy) = 0 DEF. 2. P o r t a n t o , deducimos que la recta i m p r o p i a corta a cualquier c i r c u n f e r e n c i a en dos puntos f i j o s impropios, los O", 1, 0) y (—i, 1, 0 ) , q u e se denominan los puntos cíclicos y que son los p u n t o s impropios de las r e c t a s i s ó t r o p a s salidas del origen. De a c u e r d o con este r e s u l t a d o : T E O R E M A 3 . Dos circunferencias del plano tienen siempre cuatro puntos comunes, de los cuales dos pueden ser reales, distintos o confundidos, o bien imaginarios, y los otros dos son imaginarios e impropios siendo además fijos, cualesquiera que sean las circunferencias.

442.

6) D e t e r m i n a r la ecuación de la c i r c u n f e r e n c i a que tiene un díametro cuyos e x t r e m o s son los p u n t o s (2, 3) y (—4, 5 ) . R . : x° -f- y- -f 2x — 8y + 7 = 0. 7) D e t e r m i n a r la ecuación de la c i r c u n f e r e n c i a que tiene su centro en la recta de ecuación ¡B — y 2 = 0 y que p a s a por la intei*sección de las c i r c u n f e r e n c i a s de ecuaciones ¡e2 -I- y"-— 10a: 4- Iy + 31 = ü y ar + y' —

— Gx — y + 3 — 0.

que

r e c í p r o c a m e n t e sólo cuando el coeficiente a n g u l a r sea ± i es indeterminado el á n g u l o que f o r m a u n a r e c t a consigo misma. E n todos los otros casos es siempre cero. Los elementos i m a g i n a r i o s son t a m b i é n m u y útiles cuando se consid e r a n coordenadas homogéneas. La ecuación de u n a c i r c u n f e r e n c i a en coordenadas homogéneas es (x — aty + (y — bt)2 = rH2

(5a; — 1 6 ) a -f (5y — 4 ) s -

R.:

a;3 + y* — 3a; — ly — 18 =

R.:

0.

8) D e t e r m i n a r la ecuación de la c i r c u n f e r e n c i a cuyo centro está en la r e c t a de ecuación 6a;-j-7y — 1 6 = 0 y que es t a n g e n t e a las r e c t a s de ecuaciones 8a: -f 15y -f 7 = 0 y 3a; — 4y — 18 = 0.

(x

R.:

5)3

-F

( ? / + 2)3

=

1;

(x -

3)5

+

(

y

+

Y ) * =

I

2

I

9) D e t e r m i n a r la ecuación de la c i r c u n f e r e n c i a de centro (3, 1) y t a n g e n t e a la c i r c u n f e r e n c i a de ecuación ar + y" -f 2a; + 6y = 0 .

(x — 3)= + (y — 1)= = 42 ± 16 V i " .

R.:

10) D e t e r m i n a r la ecuación de la f a m i l i a de c i r c u n f e r e n c i a s que p a s a por el origen y p o r el p u n t o (0, 1 ) . ar + y- — y + "/.x — ü.

R.:

11) D e t e r m i n a r la ecuación de la c i r c u n f e r e n c i a c i r c u n s c r i t a al t r i á n gulo cuyos lados tienen como ecuaciones a; = 3 ; í¡ + 1 = 0; x — y + 1 = 0. 2 R . : x" + y — 6a; — 7 = 0. ecuaciones de las t a n g e n t e s a la c i r c u n f e r e n c i a de ecuación x- + y- -¡- 2x— 10y -1- 18 = 0 que son p a r a l e l a s a la recta de ecuación y = o . 1

t

/

R.:

| f

,V

x — y + 2 = 0;

a; — y +

10 =

U.

90

C I R C U N F E R E N C I A Y F A M I L I A S DE C I R C U N F E R E N C I A S

§

14 - E j .

13) P r o b a r que l a s c i r c u n f e r e n c i a s de ecuaciones x + ys— 4 x + 4- 2y = 0 y x1 + y" + 2x 4- 4y = 0, son ortogonales. 14) D e t e r m i n a r la ecuación de la c i r c u n f e r e n c i a t a n g e n t e al e j e OX y a la bisectriz del p r i m e r c u a d r a n t e y t a l que el origen t i e n e potencia 4 r e s p e c t o de ella. R.: + 1/ — 4x — 4 ( V T — 1 )y + 4 = 0. S e a n l a s c i r c u n f e r e n c i a s d e e c u a c i o n e s x" -f y-—16 = 0 y 2a-s — 8 y — 3a; — 10 = 0. D e t e r m i n a r l a s c o o r d e n a d a s de un p u n t o que m i s m a potencia r e s p e c t o de l a s dos c i r c u n f e r e n c i a s y que equilos e j e s . R.: (2, 2 ) . 16) D e t e r m i n a r l a ecuación de l a c i r c u n f e r e n c i a o r t o g o n a l a l a s t r e s c i r c u n f e r e n c i a s de e c u a c i o n e s Xa + y"—4 = 0 ; x° -f y3—10;/ -i- 20 = 0 ; 2x* + 2y* + 2 * — 1 = 0 .

CAPÍTULO I V

15) — 2y3— t e n g a la diste de

-

( • +

\ - ) \

(

.

-

"

-

Y

-

»

»

.

17) P r o b a r que son c i r c u n f e r e n c i a s los s i g u i e n t e s l u g a r e s g e o m é t r i cos:

a ) L u g a r de los p u n t o s cuya r a z ó n de d i s t a n c i a s a dos p u n t o s f i j o s es c o n s t a n t e y d i s t i n t a de la u n i d a d . ¿Qué o c u r r e si es igual a la u n i d a d ? b) L u g a r de los p u n t o s t a l e s uue es c o n s t a n t e la s u m a de los cuad r a d o s de s u s d i s t a n c i a s a dos p u n t o s f i j o s , m u l t i p l i c a d o c a d a uno de los c u a d r a d o s p o r un coeficiente c o n s t a n t e , siendo la s u m a de a m b o s coeficientes d i s t i n t a d e cero. ¿Qué o c u r r e si e s t a s u m a es i g u a l a cero? 18) ¿ C u á l es el l u g a r g e o m é t r i c o de los p u n t o s medios de las cuerd a s de u n a c i r c u n f e r e n c i a que pasar, ñ o r un p u n t o f i j o O de la m i s m a ? R . : U n a c i r c u n f e r e n c i a que iene como d i á m e t r o el s e g m e n t o d e t e r m i n a d o por O y el c e n t r o de l a c i r c u n f e r e n c i a d a d a . 19) D o s t a n g e n t e s a u n a c i r c u n f e r e n c i a p a r a l e l a s e n t r e sí, son c o r t a d a s p o r u n a t e r c e r t a n g e n t e en los p u n t o s A y B. P r o b a r que l a s r e c t a s que u n e n A y B con el c e n t r o d e l a c i r c u n f e r e n c i a son s i e m p r e p e r p e n diculares.

L A S

§

C Ó N I C A S

15.

L A ELIPSE

1. Preliminar. Cónicas reducibles. — DEF. 1. Se l l a m a n cónicas, las c u r v a s cuya ecuación en un s i s t e m a de coordenadas c a r t e s i a n a s es un polinomio de s e g u n d o g r a d o en las dos variables x é y, igualado a cero. Como la p r o p i e d a d de s e r un polinomio de segundo g r a d o se conserva en cualquier t r a n s f o r m a c i ó n de c o o r d e n a d a s cartesianas, p o r ser lineales las f ó r m u l a s de t r a n s f o r m a c i ó n , la definición que hemos dado es i n d e p e n d i e n t e del s i s t e m a de c o o r d e n a d a s elegido. T o m e m o s un sistema cualquiera de coordenadas c a r t e s i a n a s (oblicuas u o r t o g o n a l e s ) . Los tipos m á s simples de ecuac i ó n ^ de segundo g r a d o son los que t i e n e n un solo t é r m i n o , es decir las ecuaciones [1]

V2 = 0

;

x- = 0

;

xy = 0.

L a s dos p r i m e r a s son idénticas sin m á s que p e r m u t a r la x p o r la y. L a ecuación y- = 0 sólo se s a t i s f a c e p a r a los p u n t o s del e j e OX. Como a d e m á s la o r d e n a d a y — 0 es raíz doble de la ecuación, se considera cada p u n t o como doble y se dice que la ecuación r e p r e s e n t a u n a r e c t a doble. L a ecuación xy = 0 se s a t i s f a c e sea p a r a x — 0 sea p a r a y = 0 ; los p u n t o s que s a t i s f a c e n a dicha ecuación son los del e j e OX, y los del e j e OY, y sólo ellos, la ecuación representa, •pues, dos rectas que se cortan. Si t o m a m o s t o d a s las ecuaciones de segundo g r a d o con dos t é r m i n o s , los casos posibles son

[2]

y- + ax- = 0 ; y2 -f axy = 0 yax = 0 ; y2 + a — 0 ; xy + a = 0

;

y- + ay = 0 ; xy + ax = ü ;

y los que se obtienen p e r m u t a n d o en estos tipos la v a r i a b l e x con la y. La p r i m e r a , si a > 0 sólo se s a t i s f a c e p a r a x = 0, y -• 0, r e p r e s e n t a pues un solo p u n t o real, pero se descompone en dos f a c t o r e s lineales i m a g i n a r i o s (§ 14-2) y diremos que r e p r e -

z - Ql §

LAS C Ó N I C A S

92

s e n t a dos rectas imaginarias conjugadas. Si a < O, se descompone en la f o r m a ( y — bx) (y + bx) = 0, siendo b- — — a; los punt os que s a t i s f a c e n a e s t a ecuación son pues, o los de la r e c t a y -\-bx = 0 ó los de la recta y — bx = 0. R e p r e s e n t a entonces dos rectas que se cortan en el origen. La segunda se puede poner en la f o r m a y(y-\-ax) = 0. Rep r e s e n t a pues, dos rectas que se cortan, el e j e OX y la de ecuación y + ax — 0. L a t e r c e r a se puede poner en la f o r m a y(y-\-a)= 0. Rep r e s e n t a p o r consiguiente las dos rectas paralelas y — 0, y = L a c u a r t a ecuación r e p r e s e n t a una n u e v a c u r v a que vamos a e s t u d i a r enseguida, que se denomina p a r á b o l a , y cuya ecuación se a c o s t u m b r a a poner en la f o r m a [3]

y- — 2vx

= 0.

La q u i n t a ecuación si a > 0, carece de p u n t o s reales, y si a < 0, p o r descomponerse en la f o r m a (y-{-b)(y — b)= 0, siendo b2 « — a, r e p r e s e n t a dos rectas paralelas. La s e x t a se descompone en la f o r m a x(y-\-a) = 0, y rep r e s e n t a dos rectas que se cortan. Con respecto a la s é p t i m a ecuación, veremos m á s adelante que r e p r e s e n t a la c u r v a que e s t u d i a r e m o s p r e v i a m e n t e bajo o t r a f o r m a d e n o m i n a d a hipérbola. 2. Elipse, hipérbola y parábola. — E n t r e las ecuaciones aue tienen t r e s t é r m i n o s , la de m a y o r i n t e r é s es, como veremos en la t e o r í a que sigue, la que contiene ú n i c a m e n t e los t é r m i n o s en x2, y-, y el constante, es decir, dividiendo por el t é r m i n o constante, las del tipo mx- + ny2 = 1. Si m y n son los dos negativos, la ecuación carece de raíces reales. Si ambos son positivos, poniendo a2 = 1 /vi, b2 = 1/n, la ecuación toma la f o r m a [ 4 ]

a-

+

| R

b-

=

£aby la c u r v a se denomina hipérbola. J

O

«

« i

15 -3

93

3. Elipse. Tangente en un punto. — De la simple consideración de la ecuación [4] de la elipse, se deduce que el origen es un centro de s i m e t r í a , que se denomina centro de la elipse, y a que si el punto (x, y) está en la elipse, t a m b i é n lo e s t á el p u n t o ( — x , — y ) , y de una f o r m a análoga se p r u e b a que los e j e s OX y O Y son e j e s de s i m e t r í a oblicua. La elipse está sólo d e f i n i d a p a r a | x | < a é ' y 1 < b, luego está c o m p r e n d i d a dentro del p a r a l e l o g r a m o de lados x ~ = -Í: a, y = m u. DEF. 3. Sea M (x0,y0) un p u n t o de la elipse. "Una r e c t a que pase por él se dice que es tangente a la elipse, cuando el sistema de ecuaciones de la elipse y de la r e c t a a d m i t a u n a solución doble. E s decir, cuando reemplazando, en la ecuación de la elipse, una de las coordenadas por su valor deducido de la ecuación de la recta, la ecuación de segundo g r a d o que resulta en la o t r a coordenada t e n g a u n a raíz doble. L a s ecuaciones de la elipse y de la recta s o n : [6] b-x'2 + a2y2 = a~b2; y = y(, m (x — x„) ó x = xn. D e j e m o s por el momento la recta x = x0] se tiene, reemplazando b2x2 H- a2[yo + m(x — a*,,)]2 = a2b>.

[7]

P a r a que esta ecuación a d m i t a xt) como raíz doble, es necesario y s u f i c i e n t e que la ecuación d e r i v a d a 2 b 2 x -f 2 a 2 l y 0 + m(x

— x0)]m

= 0

t e n g a x0 como raíz, es decir, que se h a de t e n e r 2b2x0 + 2 a2y0m

= 0,

y por consiguiente, si y0 == ü, tiene que ser [8]

m

=

—

a-a/o

La ecuación de la t a n g e n t e es pues

= 1

Vamos a h o r a a o c u p a r n o s del estudio de e s t a s curvas, es decir, de la elipse, hipérbola y parábola, que h a n quedado def i n i d a s en la f o r m a s i g u i e n t e :

LA E L I P S E

DEF. 2. Se denominan elipse, hipérbola y parábola, a las curvas cuyas ecuaciones en un sistema de coordenadas cartesianas (oblicuas u ortogonales) tienen respectivamente la forma [4], [5] y [3].

1

y la c u r v a se denomina elipse, que cuando a = b, es una circunferencia. Si m y n son de signo contrario, la ecuación puede p o n e r s e ( p e r m u t a n d o , si f u e s e necesario, la x por la y) en la f o r m a [5 J

§

V = ?Vo o bien

b2x(l ,— (¿ — X'0)

«-.'/o

a-y„y = a-y,,2 — b2x„x + b-x,?

y como a2y,r -[- b2x„2 = a-b-, por ser (x„, y„) un p u n t o de la elipse, se tiene b'-x0x + a2y0y = aJb2, dividiendo por a-'o-

I.AS C Ó N I C A S

94

;• 1 3

xx* , 2/2/o a- + * "

I«

-4

y o- _ b2

. '

x0xi á2

1

. +

LA E L I P S E

15 -4

tangente, o no t e n d r á n i n g ú n punto común según que h 2 sea menor, igual o m a y o r que b2 -f a-m2. E s decir, según se t e n g a

que es la ecuación de la t a n g e n t e a la elipse. Cuando sea y0 = O entonces debe ser x0 = ± a y la tangente a la elipse es entonces la r e c t a x — ± x0, que a n t e s habíamos d e j a d o de lado. Basta, en efecto, ver que poniendo x = x0 = — a en la p r i m e r a de las ecuaciones [ 6 ] , se obtiene la ecuación a-y- = O que tiene la r a í z doble y = 0. Si en [9] ponemos x0 = ± a, y — 0, la ecuación t o m a la f o r m a x = ± a, luego: la [9] es la ecuación general de la tangente a la enpse en el punto (x0,y0). Si queremos a h o r a d e t e r m i n a r las t a n g e n t e s que se pueden t r a z a r a una elipse desde un punto cualquiera (aá, y-i) del plano, el problema e s t a r á resuelto si sabemos d e t e r m i n a r las coordenadas (x0, yo) del o de los p u n t o s de contacto; éstos h a n de s a t i s f a c e r a las condiciones xo2 , CL¿ +

§

y0yi 6-'

— y' a?m-

+ b2 < h < + b2

;

h < — y ' a2m2 + b2

ó

h = ±

Va'm~

V c^m" h >

+ b2

;

y a2m2 + b2

P o r consiguiente cuando se d e j a m f i j o y se hace v a r i a r h, es decir c u a n d o s e d e s p l a z a la r e c t a A ( f i g . 48) paralelamente a sí misma, corta a la elipse cuando está comprendida

.

es decir que el punto de contacto ha de e s t a r en la elipse y en la r e c t a t a n g e n t e a la elipse en (x 0 , yo) y que p a s a por (¡»t, V i ) '

El p r o b l e m a se reduce por t a n t o al de la determinación de los p u n t o s de intersección de la elipse con u n a r e c t a de ecuación (x!/a-)x-\-(yi/b-)y = 1, que vamos a e s t u d i a r de inmediato. 4. Intersección de una recta con una elipse. — E l problema se reduce a resolver el sistema f o r m a d o por las ecuaciones de la r e c t a y de la elipse. P o n g a m o s la ecuación de la elipse en la f o r m a b'-x- -j- a-y2 = a2b2, y la de la recta, que s u p o n d r e m o s por el momento, no paralela a OY en la f o r m a y = mx + h. Reemplazando el valor de y de la segunda ecuación en la p r i m e r a se tiene o bien [10]

b2x- -f a-m-x2 (62-\-a-m-)x- +

+ CL2h2 + 2a2mhx 2a-mhx

+ a-(h--b-)

= a-b-, -

0.

Según que esta ecuación t e n g a s u s raíces reales y distintas, real doble o i m a g i n a r i a s , la r e c t a t e n d r á dos p u n t o s comunes, s e r á t a n g e n t e , o no t e n d r á n i n g ú n p u n t o común con la recta. E l d i s c r i m i n a n t e de la ecuación [10] es a*mn-h- — aHh* — b*) (6 2 + a 2 m 2 ) = a 2 ( a ? m - h - — h2b* — — a?h-m--f b* + a262m2) = a2b-(b- + a-m- — h2) luego la r e c t a t e n d r á dos p u n t o s comunes con la elipse, será

F i g . 48.

e n t r e dos posiciones e x t r e m a s T y T ' s i m é t r i c a s con respecto al c e n t r o ; estas dos r e c t a s T y T ' son las t a n g e n t e s a la elipse, paralelas a una recta de coeficiente a n g u l a r m y sus ecuaciones son y = mx + \/' a2m2 + b2 y = mx — y a2b2 + b2 E s inmediato que estos resultados siguen siendo válidos si tomamos A p a r a l e l a a O Y ; sus p u n t o s de intersección cón la elipse son entonces los de o r d e n a d a s ± b/a \/a2 — h2 y las t a n gentes son las r e c t a s de ecuaciones x = ± a. Cuando se consideran elementos i m a g i n a r i o s una r e c t a tie-

9(5

LAS C Ó N I C A S

§ 15 -5

ne s i e m p r e pun to s comunes con la elipse. Así, por ejemplo, la elipse y la r e c t a de ecuaciones 2xs 4 y- = 3 , y = — x 4 3 t i e n e n como p u n t a s comunes, que se obtienen resolviendo el s i s t e m a , los p u n t o s de coordenadas ( 1 - K 2 — i)

o sea [11]

= a-m- + b2

wr(x, 3 — a-) •— 2xlym

+ ye — b~ = 0

Si e s t a ecuación tiene dos raíces reales mi y wi», se tienen como ecuaciones de las dos t a n g e n t e s que p a s a n por el punto y — yi = mi(x — ai) y —

2/1 =

m A x — a;,)

Si la ecuación tiene una r a í z doble sólo p a s a por el p u n t o u n a t a n gente. E n t o n c e s se ha de tener

» i V = (2/i2— b2) (xi — a')

ó

Xib* + 2/,V — a'b1 = 0

y por consiguiente el p u n t o (x¡, y,) e s t á en la elipse. Si la ecuación no tiene raíces reales no p a s a n i n g u n a t a n g e n t e por el p u n t o . C u a n d o es x¡ — ± a las dos Langentes son u n a , la x = ± a, y la o t r a la que se obtiene de la ecuación [11], q u e en este caso es u n a ecuación de p r i m e r g r a d o —2xi ym + y* — b- = 0

5. Diámetros en la elipse. — DEF. 4. Se d e n o m i n a n diámetros de la elipse las r e c t a s que p a s a n por el centro. L a propiedad f u n d a m e n t a l de los d i á m e t r o s es la s i g u i e n t e : Los puntos medios de las cuerdas paralelas a una recta dada están situados sobre un diámetro. Se entiende, n a t u r a l m e n t e , por cuerda, el segmento que det e r m i n a n sobre una recta sus p u n t o s de intersección con la elipse. La p r o p i e d a d es i n m e d i a t a , por la s i m e t r í a oblicua de la c u r v a , si las r e c t a s son p a r a l e l a s a uno de los ejes, los p u n t o s medios de las c u e r d a s p a r a l e l a s al eje OX e s t á n en OY y recíprocamente. Sea a h o r a la r e c t a de ecuación y = mx, ( m ¿ 0 ) . Toda recta p a r a l e l a a ella tiene como ecuación y = mx 4 h. Las abscisas de los punt o s de intersección de la r e c t a con la elipse son TEOR. 1.

15 -6

LA E L I P S E

97

las raíces de la ecuación [10] y las coordenadas del p u n t o medio de la c u e r d a son " h m a *2 a-m- + b — hm-a. , b-h Vin — ...... . 4 ti — a-m- 4 b- ' o - m - 4 62

[12]

=

( 1 — i, 2 + i ) .

L a solución que hemos dado al problema de d e t e r m i n a r las ecuaciones de las t a n g e n t e s a !a elipse, p a r a l e l a s a u n a dirección dada puede s e r v i r t a m b i é n p a r a d e t e r m i n a r las t a n g e n t e s a la elipse, que p a s a n por un punto dado del p l a n o : sean x¡, y, las coordenadas del punto. Si ± a, las t a n g e n t e s que p a s a n por (x,, y¡) no pueden ser par a l e l a s al e j e OY, y según a c a b a m o s de ver, sus coeficientes a n g u l a r e s son los q u e cumplen la condición ü/i — mxO"

§

y se tiene por consiguiente h a-m'2 4 b-

- x,„ ma-

ym b2

, o

ym um

=

es decir, cualquiera que sea h, el p u n t o (xm, ym) de la r e c t a de ecuación 7)2

LW

v -

~¿r a2m

b'-r— x m a-m es un punto

x

lo que p r u e b a la p r o p i e d a d . 6. Diámetros conjugados. — Si f o r m a m o s a h o r a la ecuación del d i á m e t r o que contiene los punt os medios de las cuerdas p a r a l e l a s a la recta de ecuación [13], dicha ecuación será — 62 V = o , x a-m' siendo m' el coeficiente a n g u l a r de la recta [13], y por tanto, resulta la r e c t a y = mx, de p a r t i d a . DEF. 5. Los dos d i á m e t r o s de ecuaciones y — mx, y = m'x que tienen cada uno la propiedad de contener los puntos medios de las cuerdas paralelas al otro, se denominan conjugados. Cada d i á m e t r o t i e n e s i e m p r e un d i á m e t r o c o n j u g a d o que se d e t e r m i n a por la relación que liga los coeficientes a n g u l a r e s mm' — — b-/a2. E n p a r t i c u l a r los e j e s OX y OY son diámetros conjugados. Cualquiera que sea h, las relaciones [12] nos dan las coord e n a d a s del segmento cuyos e x t r e m o s son los punt os de intersección de la recta y — mx 4 h, con la elipse. Cuando dichos p u n t o s son reales y distintos, nos d a n el p u n t o medio de la c u e r d a ; cuando e s t á n confundidos, la recta es t a n g e n t e a la elipse, es decir, se tiene la propiedad siguiente : TEOR. 2.

Un diámetro pasa por los puntos de contacto de las tangentes paralelas a su diámetro conjugado. Si los p u n t o s son i m a g i n a r i o s siguen valiendo las relaciones [12]. Como a cada valor de h le corresponde un valor de xm y otro de ym, y como a cada p a r de valores de xm, ym que s a t i s f a g a n a la ecuación f l 3] le corresponde un valor de h, se

§

LAS C Ó N I C A S

98

15 -6

ve que un diámetro es el lugar de los puntos medios de los segmentos definidos por los puntos de intersección (reales o imaginarios) de la elipse con las rectas paralelas a su diámetro conjugado. Dichos p u n t o s medios son s i e m p r e reales. Consideremos la elipse de ecuación 2x" if = 3 y la r e c t a de ecuación y =— a + 3 ; como vimos a n t e r i o r m e n t e , tienen como p u n t o s c o m u n e s los ( 1 + ?', 2 — i) y (1 — i, 2 + i), el p u n t o medio del s e g m e n t o d e t e r m i n a d o por esos dos p u n t o s tiene c o o r d e n a d a s (1, 2 ) . Los coeficientes a y b t i e n e n a q u í los v a l o r e s a" = 3/2, b: = 3 ; luego el diám e t r o c o n j u g a d o del y = — ce es el y = 2* que e f e c t i v a m e n t e p a s a p o r p u n t o (1, 2 ) . EJEMPLO:

_ V a m o s a e s t u d i a r a h o r a la posición de los d i á m e t r o s conj u g a d o s D y D ' (fig. 48); sus coeficientes a n g u l a r e s m y m', com o s a t i s f a c e n a la relación m . m' = — b2/ar, tienen que ser de signo contrario, luego uno de los d i á m e t r o s e s t á en el ángulo A O B de los e j e s de c o o r d e n a d a s y el otro en el ángulo BOA'. Siendo ra. ra' constante en valor absoluto, cuando m crece, ra' decrece, es decir, cuando u n d i á m e t r o se a l e j a del e j e OX el o t r o se acerca. S e a n {xlf y¡) y (x2) y2) las coordenadas de los e x t r e m o s de dos d i á m e t r o s c o n j u g a d o s . T e n e m o s las siguientes relaciones: b2xx2

+ a2yi2

= a2?'2 V2U1

; _

__

b2x22 + a-y22 = a2b2

;

2

b

las dos p r i m e r a s p o r ser (xlfyi); (x2,y2) p u n t o s de la elipse y la t e r c e r a es la relación que liga los coeficientes a n g u l a r e s de dos d i á m e t r o s c o n j u g a d o s ; p o n g a m o s esta relación en ia forma ay2 _ — bx2 bxi ay1 y llamando c al valor común de estas dos f r a c c i o n e s se tiene =

a2y22 + b-x+

=

.

M* bxt

~ -

'

b¿7 ay1

en el que las combinaciones posibles de signos c o r r e s p o n d e n a las combinaciones posibles de los p a r e s de e x t r e m o s de diám e t r o s c o n j u g a d o s . Tenemos, pues, las f ó r m u l a s r1 a [14]

a y, x2 = ± —z— o

y2 = ^

b x-i —— a

que nos d a n las coordenadas de los extremos de un diámetro en función de las de los extremos de su diámetro conjugado. Se a c o s t u m b r a d e s i g n a r a e s t a s f ó r m u l a s con el n o m b r e de fórmulas de Chasles.

99

LA E L I P S E

7. Ecuación de la elipse respecto de dos diámetros conjugados cualesquiera. — D a d a una elipse, v a m o s a e s t u d i a r su ecuación cuando se t o m a como nuevo s i s t e m a de e j e s el f o r m a d o por dos d i á m e t r o s c o n j u g a d o s . Como las f ó r m u l a s de cambio de e j e s son lineales, la ecuación de la elipse en el nuevo sistema s e g u i r á siendo de segundo grado. P o r la propiedad de los d i á m e t r o s c o n j u g a d o s , las c u e r d a s p a r a l e l a s a uno de los e j e s tienen sus p u n t o s medios en el o t r o ; luego si M ( # , y ) e s t á en la curva, t a m b i é n lo e s t á n M ' ( — x , y ) y W(x,—y), luego la ecuación sólo puede c o n t e n e r potencias p a r e s de x é y, y como no p a s a por el origen, tiene que t e n e r un t é r m i n o independiente. Dividiendo por él la ecuación tend r á la f o r m a mx- -|- ny- = 1. Sean A y B e x t r e m o s hemos t o m a d o como e j e s t u d e s de las cuerdas que d e n o m i n a n semilongitudes tienen como coordenadas

de los dos d i á m e t r o s c o n j u g a d o s que (fig. 48) y sean a y b las semilongid e t e r m i n a n dichos diámetros, que se de los diámetros. Los punt os A y B (a, 0) y (0, b), luego se h a de cumplir ma2 = 1 ; nb2 = 1 y la ecuación de la elipse t o m a la f o r m a a3

[15]

a¿

x2x\

§ 15 -7

2

a'

,

y*

b

2

=

1

que es la ecuación general de la elipse referida a dos diámetros conjugados cualesquiera, siendo a y b las longitudes de los semidiámetros. §

16.

L A HIPÉRBOLA Y LA PARÁBOLA

1. H i p é r b o l a . Tangentes. — Al igual que en la elipse, de la simple consideración de la ecuación [ 5 ] d e l a h i pérbola, se d e d u c e que é s t a t i e n e el origen como centro de s i m e t r í a y los e j e s de c o o r d e n a d a s como e j e s de s i m e t r í a oblicuos ( f i g . 4 9 ) . E s t á d e f i n i d a ú n i c a m e n t e par a | x | > a y no t i e n e ningún p u n t o r e a l de intersección c o n el e j e

r¡«. 40.

§

LAS C Ó N I C A S

16 -2

O Y. La c u r v a tiene, por consiguiente, dos r a m a s d i s t i n t a s en los semiplanos x > 0 y x < 0. El estudio de los p r o b l e m a s de t a n g e n t e s se hace como en el caso de la elipse y se llega a los siguientes r e s u l t a d o s La ecuación de la tangente a una hipérbola de ecuación

r_ - .•»

a- fren un punto

cualquiera

M(z ( ) , y0) xxn

ri1 L1J

=

yyL

a-

b°-

es

nes r[2J on

y = —

ct

x

;

y

Y LA

PARÁEOLA

101

Las o r d e n a d a s ?/i é y 2 de la a s í n t o t a y la hipérbola están ligadas por la relación i

Vi

b2

/)-'

l

— V¿ = -%r* -—rW--a*)= Cv

V

tí/

:

b2

=

0 <

Vi — ?/3 <

b-

ab

71. Vi

Xr.

»

luego p a r a x s u f i c i e n t e m e n t e g r a n d e yx — y2 llega a ser t a n pequeño como se q u i e r a . Si consideramos c o o r d e n a d a s homogéneas, l a s ecuaciones de la hipérbola y de la a s í n t o t a son

¿>v — a"y- = a-b-t ; y = ~ —r los puntos

de contacto

2. Asíntotas. — Consideremos a h o r a las r e c t a s de ecuaciob

HIPÉRBOLA

n

=

siendo los puntos de esta intersección de las tangentes pedidas.

LA

y i + 2/2 y si suponemos y2 > 0 é Vi > ys (el r e s u l t a d o vale, por simet r í a , p a r a los ot r os c a s e s ) , se tiene

El problema de determinar las tangentes a la hipérbola, que pasan por un punto M ( a l f y{) del plano, se reduce a determinar los puntos de intersección de la curva con la rectt: de ecuación XX\

16 - 3

yi —

de la misma

yy<> „ b-

a-

,

^

b

— x a

y sea M(&, y) un p u n t o de la hipérbola situado en el ángulo XOY. El coeficiente a n g u l a r de la r e c t a OM es .. . a- J L . 1/ I x a \- * luego p a r a x s u f i c i e n t e m e n t e g r a n d e , es decir, p a r a x tendiendo a + o o , el coeficiente a n g u l a r de la recta OM t i e n d e hacia b/a. Lo m i s m o sucede si M e s t á en el ángulo X'OY', y si M está en los otros dos ángulos de los e j e s de coordenadas, el coeficiente a n g u l a r de OM t i e n d e hacia — b / a . DEF. 1. Las rectas C C y C i C / , d e f i n i d a s m e d i a n t e las ecuaciones [2], se denominan las asíntotas de la hipérbola. El n o m b r e ele a s í n t o t a s i g n i f i c a que la recta y la c u r v a no tienen n i n g ú n p u n t o común, pero que se a p r o x i m a n t a n t o com o se q u i e r a ; veamos que esto se cumple en el caso de la hipérbola. Si en la ecuación de la hipérbola r e e m p l a z a m o s la y p o r ±(b/a)x, la ecuación r e s u l t a n t e t o m a la f o r m a 0 = 1, es decir, las ecuaciones de la hipérbola y de las a s í n t o t a s son incompatibles. y por t a n t o la hipérbola y las a s í n t o t a s no tienen n i n g ú n p u n t o común.

r e e m p l a z a n d o y en la ecuación de l a hipérbola se tiene 6-V — b'-x- - a-bH2 ; t = ü es decir que í — 0 es r a í z doble y la asíntota puede considerarse tangente a la hipérbola en nn punió ivwromo.

como

Si consideramos los p u n t o s C, C', Cj, C / , de intersección de las a s í n t o t a s con las rectas x = ±a, se obtienen ( a , b ) , (—a,—b), {a, — b), (—a,b), lo que nos da una i n t e r p r e t a ción geométrica del coeficiente b de la hipérbola. 3. Intersección de una hipérbola con una recta. — Sea la hipérbola de ecuación x

a

'

2

_

J/L &3

-

i

Si buscamos su intersección con u n a recta paralela al e j e OY de ecuación x = h se ve que la corta en dos p u n t o s si es | h | > a, es t a n g e n t e si h = ± a y no tiene punt os comunes con la hipérbola si es ¡ h \ < a. Consideremos a h o r a el caso de una r e c t a de ecuación y = mx + h. El p r o b l e m a de d e t e r m i n a r la intersección equivale a n a l í t i c a m e n t e al de d e t e r m i n a r las soluciones del sistem a de dos ecuaciones y = mx + h , b-x- — a-y- = a-b2 de ia recta y de la hipérbola. E l i m i n a n d o y se obtiene [3J

x2(b- — a-m-) — '¿a-mhx

— a?(h2 + bs) = 0 .

E s t a ecuación es siempre de segundo grado, salvo en e)

LAS CÓNICAS

102

§

1G - 3

caso en que es b- — a-m- = 0, es decir p a r a ra = ± b/a. P a r a que las r a í c e s de la ecuación [3] s e a n reales, debe ser el disc r i m i n a n t e > 0, es decir, debe s e r 0 < a¡m2h2 -f a2(h2-\- b2) (b2— a2m2) = = aAm2h2 4- a2h2b2 — alh2m2 -F- a2b* — alb2m2 = a2b2(h2-\-b2 — a2m2)

=

es decir, debe ser h2 > a-m2 — b'-. C o n s i d e r e m o s los t r e s casos s i g u i e n t e s : 1?

a'-vi-

b- < 0, es decir

T2

A2

Y

P / f

/

/

A.

C

' V

— b/a < m < b/a; sea Ai la r e c t a c o n s i d e r a d a ( f i g . 50) ; la p a r a l e l a por el origen a A, e s t á e n este caso d e n t r o del á n g u l o de las a s í n t o t a s que contiene el e j e OX, y p o r lo t a n t o a la hipérbola, la ecuación [3] tiene s i e m p r e en este caso dos r a í c e s reales dist i n t a s , es decir, la r e c t a y la h i p é r b o l a t i e n e n s i e m p r e dos p u n t o s comunes. 9

2

2

2

2 a m — b > 0, es deC cir | ra I > b/a; sea A2 la recD t a considerada, su p a r a l e l a p o r el origen e s t á e n el ánC, gulo de las a s í n t o t a s que no contiene a la h i p é r b o l a ; la A2 ecuación [3] es s i e m p r e de F i g . 50. s e g u n d o g r a d o , y t i e n e dos soluciones r e a l e s , u n a r e a l doble o dos i m a g i n a r i a s s e g ú n que sea h >

V l w + 6-

h = ±

ó

V a2m2 -f b2

— V a2m2 + b2 < h <

h < — V a2m-

;

; + y ' ^-m°- + b2\

P o r lo t a n t o , al d e s p l a z a r A2, la r e c t a c o r t a a la h i p é r b o l a en dos p u n t o s reales y d i s t i n t o s cuando e s t á colocada f u e r a de la b a n d a del plano que d e t e r m i n a n dos posiciones e x t r e m a s y T'o, s i m é t r i c a s con relación al c e n t r o y que son t a n g e n t e s a la h i p é r b o l a ; p a r a posiciones de la r e c t a c o m p r e n d i d a s dent r o de la b a n d a de plano, la r e c t a y la h i p é r b o l a no t i e n e n n i n g ú n p u n t o real común. E n este caso las s e c a n t e s c o r t a n a la h i p é r b o l a en dos p u n t o s de la m i s m a r a m a , m i e n t r a s que en el caso a n t e r i o r los p u n t o s de intersección e s t á n s i e m p r e en distintas ramas.

§

1G - 4

LA

HIPÉRBOLA

103

Y LA PARÁBOLA

39 a-m2 — b2 = 0, es decir ra = ± b/a, la r e c t a s e c a n t e es entonces p a r a l e l a a u n a a s í n t o t a ; la ecuación [3] es s i e m p r e de p r i m e r g r a d o , a d m i t e u n a solución si h ^ = 0 y n i n g u n a si h = 0 ; es decir que, salvo en el caso de que coincida con u n a .asíntota, la r e c t a t i e n e u n solo p u n t o c o m ú n con la h i p é r b o l a ( r e c t a A3 de la f i g . 5 0 ) . Si c o n s i d e r a m o s en este c a s o c o o r d e n a d a s h o m o g é n e a s l a s ecuaciones d e l a h i p é r b o l a y de l a r e c t a son

&V — aV

= crb"-ta

y -

±

*

x + ht

q u e a d m i t e n la solución c o m ú n (a, b, 0 ) , es decir que s i e m p r e l a r e c t a y l a h i p é r b o l a t i e n e n u n p u n t o c o m ú n i m p r o p i o ; por eso l a r e c t a , a pes a r de t e n e r un solo p u n t o común con l a h i p é r b o l a , n o es t a n g e n t e a la m i s m a , salvo en el caso de la a s í n t o t a en que l a solución (a, b, 0) es doble y la a s í n t o t a es, como y a lo d i j i m o s , t a n g e n t e a la h i p é r b o l a en un p u n t o i m p r o p i o .

Si q u i s i é r a m o s a h o r a , t e n i e n d o en c u e n t a la discusión que a c a b a m o s de r e a l i z a r , e s t u d i a r el p r o b l e m a de las t a n g e n t e s p a r a l e l a s a u n a r e c t a d a d a , v e m o s que sólo es posible el p r o blema c u a n d o el coeficiente a n g u l a r ra c u m p l a la condición | ra | > b/a y las t a n g e n t e s t i e n e n entonces como ecuaciones [4]

y = mx + y ' a2m2 — b2

y = mx — y a-m¿ — b2

L a s consideraciones que h i c i m o s sobre los elementos i m a g i n a r i o s al t r a t a r este m i s m o p r o b l e m a en el caso de la elipse son aplicables t a m b i é n a la h i p é r b o l a . P a r a d e t e r m i n a r las t a n g e n t e s que p a s a n p o r un p u n t o del plano p u e d e u s a r s e el m é t o d o e m p l e a d o en el caso de la elipse, de t o m a r como i n c ó g n i t a el coeficiente a n g u l a r de la t a n g e n t e que se b u s c a . Los r a z o n a m i e n t o s y cálculos hechos p a r a la elipse se a p l i c a n e n f o r m a t o t a l m e n t e a n á l o g a en el caso de la h i p é r b o l a , y la ecuación [11] del § 15 t o m a en este caso la forma [5] m2(x12 — a2) — 2mx1y1 + y? + b2 = 0 . 4. Diámetros de la hipérbola. — Como en el caso de la elipse, se d e n o m i n a n diámetros de la h i p é r b o l a a las r e c t a s que p a s a n p o r el c e n t r o , y se t i e n e aquí la m i s m a p r o p i e d a d fundamental Los puntos medios de las cuerdas paralelas a una recta dada están situados sobre un diámetro. E s t a p r o p i e d a d se d e m u e s t r a e x a c t a m e n t e igual que en el caso de la elipse, p a r t i e n d o de la ecuación [3] en l u g a r de p a r t i r de la [10] del § 15, con la d i f e r e n c i a de q u e la [3] puede r e d u c i r s e a u n a ecuación de p r i m e r g r a d o cuando las r e c t a s son p a r a l e l a s a u n a a s í n t o t a , en cuyo caso y a vimos que no h a y c u e r d a s .

§ 16 LAS CÓNICAS

104

§

Como el coeficiente a n g u l a r de una a s í n t o t a s a t i s f a c e a la relación ni- = b-/a-, se consideran las a s í n t o t a s como diámetros singulares autoconjugados De la ecuación [3] se deduce que el p u n t o medio de la cuerda que d e t e r m i n a una secante de ecuación y = mx -f h con la hipérbola t i e n e como c o o r d e n a d a s Xm = -TT-—..o...o 3

b

a-'m-

,

Vm = mxm

,

+

h.

Los p u n t o s de intersección de la secante con las asíntot a s se obtienen resolviendo los s i s t e m a s y = mx -|- h y = b X

a

í

y = mx + h b V

=

—

a

x

cuyas soluciones son ha x0 = —jb — am y0 = mx o + h: ha í ®l = -j b -¡- am y i = mx i + h y las c o o r d e n a d a s del p u n t o medio del segmento d e t e r m i n a d o p o r esos dos p u n t o s de intersección son X

_ ~

, /

2

luego dicho punto ducimos :

ha am es el punto

ha \ b 4- am medio

hma3 ba-m-

de la cuerda.

De aquí de-

TEOR. 1. a)

entre

LA

H I P É R B O L A Y LA PARÁBOLA

105

16 -4

T a m b i é n se d e m u e s t r a , como en el caso de la elipse, la existencia de los diámetros conjugados y las p r o p i e d a d e s de los mismos, y se establece la siguiente relación e n t r e sus coef i c i e n t e a n g u l a r e s m y m' b2 mm = — — . [6] a-

hma-

-5

Los segmentos interceptados por una secante la hipérbola y las asíntotas tienen la misma longitud.

b) El segmento determinado por una tangente a la hipérbola entre las asíntotas, tiene SIL punto medio en el punto de contacto de la tangente con la hipérbola. V a m o s a e s t u d i a r a h o r a la posición relativa de dos diámet r o s c o n j u g a d o s D y D ' ( f i g . 5 0 ) . De la relación m. m' = b2/a2

se deduce que uno de los coeficientes a n g u l a r e s es de módulo m a y o r que b/a y el otro m e n o r y que ambos son del m i s m o signo, luego los dos d i á m e t r o s e s t á n s i e m p r e d e n t r o del m i s m o ángulo de los e j e s de coordenadas, pero uno está d e n t r o del ángulo de las a s í n t o t a s que contiene la h i p é r b o l a y el o t r o en el s u p l e m e n t a r i o ; cuando un d i á m e t r o se a l e j a del OX, el o t r o se acerca, y a que si m a u m e n t a , m' disminuye. El d i á m e t r o que está d e n t r o del ángulo de las asíntotas, corta a la hipérbola y se d e n o m i n a diámetro real; el c o n j u g a d o de éste no corta a la hipérbola y se d e n o m i n a diámetro imaginario. Del estudio hecho del p r o b l e m a de la intersección de u n a hipérbola con una recta se deduce que los punt os del d i á m e t r o i m a g i n a r i o son siempre punt os medios de c u e r d a s p a r a l e l a s al d i á m e t r o conjugado, m i e n t r a s que en el d i á m e t r o r e a l esta propiedad sólo es cierta p a r a los p u n t o s e x t e r i o r e s al s e g m e n t o limitado por los punt os de intersección de la hipérbola con el d i á m e t r o . Cuando se c o n s i d e r a n elementos i m a g i n a r i o s , entonces, como en el caso de la elipse: un diámetro es el lugar de los puntos medios del segmento definido por los puntos de intersección (reales o imaginarios) de la hipérbola, con las rectas paralelas a un diámetro conjugado. 5. La hipérbola referida a dos diámetros conjugados. — Consideremos u n a hipérbola ( f i g . 51) y un p a r de d i á m e t r o s conjugados, q u e t o maremos c o m o nueY' vos ejes de coordenadas O X ' y OY', siendo OX' el d i á m e t r o real. Por las m i s m a s consideraciones de simetría q u e h i c i m o s en el caso de la elipse, la ecuación de la hipérbola r e f e r i d a a estos nuevos e j e s debe ser de la f o r m a mx- — ny- = 1. Si d e s i g n a m o s por 2a' l a l o n g i t u d d e l s e g m e n t o AA', las F i g . 51. coordenadas del punió A h a n de ser («', 0) y por t a n t o se debe t e n e r a = 1 /m. Como la h i p é r b o l a no tiene n i n g ú n p u n t o real común con el e j e OY', se debe t e n e r

s

LAS CÓNICAS

íoe.

n < 0. P o n i e n d o b'- = — 1 fn, m a f i n a l m e n t e la f o r m a

la ecuación de la h i p é r b o l a toy' 2

[7]

16 -6

a,z

_

.

b,2

T e n i e n d o esta ecuación la m i s m a f o r m a que con respecto a OX y OY se deduce que las ecuaciones de las a s í n t o t a s en el nuevo s i s t e m a s e r á n -

y

-

b

'

I T

x'

V -

x

V

~

-

a'

x' x

luego, de acuerdo con lo dicho en el § 16-3, las t a n g e n t e s en A y Á ' a la hipérbola c o r t a n a la a s í n t o t a en los p u n t o s C(a',6');

Ci(a', — b ' ) ;

CM—a',6');

C ' ( — a ' , — b')

L a s r e c t a s C C \ y C¡C' c o r t a n al e j e OY' en los p u n t o s B y B ' de coordenadas (0, b') y ( 0 , — b ' ) . Los p u n t o s B y B' se l l a m a n extremos del diámetro imaginario y la longitud de BB', es decir, 26' se denomina la longitud del diámetro imaginario. Los pu n to s A y A ' y la longitud 2a' se dice que son los extremos y longitud del diámetro real. De lo dicho r e s u l t a que los c u a t r o e x t r e m o s de los dos diám e t r o s son los vértices ele un p a r a l e l o g r a m o que tiene los lados paralelos a las asín to tas. Las fórmulas de Chasles que nos dan las coordenadas de los e x t r e m o s de un d i á m e t r o en f u n c i ó n de las de los e x t r e m o s de su c o n j u g a d o son, p a r a el caso de la hipérbola, a a i = - T - 2/i /)

b Vi = — a

;

y su demostración se hace como p a r a el caso de la elipse. 6. H i p é r b o l a s c o n j u g a d a s . — Los e x t r e m o s de los d i á m e t r o s i m a g i n a rios s a t i s f a c e n a la relación 1

(

a

> \*

1

/

b

» Y

i

9o

f2

ar

= i

obtenida poniendo en la ecuación de l a hipérbola en l u g a r de las coorden a d a s de un punto, su valor en f u n c i ó n de l a s del d i á m e t r o c o n j u g a d o al que p a s a por dicho p u n t o . Se ve p u e s que todos ellos e s t á n s i t u a d o s sobre una hipérbola de ecuación

18] y es evidente que, r e c í p r o c a m e n t e , los e x t r e m o s de los d i á m e t r o s imaginarios de la n u e v a hipérbola e s t á n en la hipérbola dada. A m b a s hipérbolas se d e n o m i n a n conjugadas, y es i n m e d i a t o que tienen l a s m i s m a s asínto'as.

i 10 -7

LA HIPÉRBOLA

Y LA PARÁBOLA

107

7. La hipérbola r e f e r i d a a s u s a s í n t o t a s . — Tomemos a h o r a como e j e s coordenados las a s í n t o t a s de la hipérbola ( f i g . 52). P o r la linealidad de las f ó r m u l a s de cambio de c o o r d e n a d a s ha de ser la ecuación de la c u r v a , de sey, . gundo grado, y í por ser el o r i g e n I 1 un centro de simeI \ t r i a , no se h a de ' \ a l t e r a r la ecuación I V al c a m b i a r x en j —x é y e n — y , r l u e g o no h a de —Tq "x contener términos ——^ de p r i m e r g r a d o "N. ni en x ni en y, \ y como no p a s a \ por el o r i g e n h a \ de contener t é r m i j / no i n d e p e n d i e n t e . j j La e c u a c i ó n s e r á „ r l¡?. r52. pues del tipo mx- -|- pxy

ny- +

= 0

L a s r e c t a s y = h son secantes que sólo c o r t a n a la hipérbola en un punto, luego la ecuación en x mx2 + phx + nh2 + q — 0 a d m i t e una r a í z simple p a r a cualquier valor de h, y p a r a que eso sea posible h a de ser m = 0. A n á l o g a m e n t e se p r u e b a que se debe t e n e r n = 0 y por lo t a n t o la ecuación t o m a la f o r m a pxy = — q y como podemos s u p o n e r — q/p > 0 (pues en caso c o n t r a r i o b a s t a r í a c a m b i a r el sentido del e j e OX) la ecuación t o m a f i n a l m e n t e la f o r m a [9] xy = k2 que nos da la ecuación de una hipérbola totas.

referida

a sus asín-

Sea la hipérbola 4ar — y-= 1. Sus a s í n t o t a s son y — 2x = 0 , y + 2x = U. Si t o m a m o s e s t a s r e c t a s como nuevos e j e s x', y', o sea, como r e c t a s y' = 0, x' = 0, r e s p e c t i v a m e n t e , d e b e r á s e r x' = y + 2x , y' = y — 2x de donde EJEMPLO:

z = h(x'-y')

, y = l(x' + y').

De aquí, s u s t i t u y e n d o estos v a l o r e s en la ecuación d a d a de la hipérbola, r e s u l t a que la ecuación de la m i s m a en el sistema x\ y' de las a s í n t o t a s es x'y'= — 1, que c a m b i a n d o el sentido del e j e x' (o sea, poniendo — x' en vez de x')t queda de la f o r m a [ 9 ] .

§

LAS C Ó N I C A S

IOS

16

-8

8. La parábola. Tangentes. — Definimos la parábola como ia c u r v a cuya ecuación en un sistema de coordenadas cartesian a s (oblicuas o r e c t a n g u l a r e s ) es y- = 2px. La p a r á b o l a está definida, pues, p a r a los y Y valores de x > 0 si es / p > 0 y p a r a los valo/ res x < 0 si es p < 0. /¿r C o n s i d e r a r e m o s el priAS mer caso (fig. 5 3 ) . -\ f D a d o un p u n t o V T, M„(z 0 ,2/o), c o m o e n el \ / caso d e l a e l i p s e y en \ // el de la hipérbola, p a r a Y ¡ d e t e r m i n a r la t a n g e n t e / \\ en M 0 a l a p a r á b o l a , / \\ h a y que c o n s i d e r a r el y \ s i s t e m a f o r m a d o por las / vv,o ecuaciones de la p a r á ^ bola y de las r e c t a s que \ \ p a s a n p o r el p u n t o y \ buscar la condición paFitr. 53. r a que d i c h o s i s t e m a a d m i t a u n a r a í z doble. Las ecuaciones son y- =• '¿vx

y = y o + m(x—

x0)

ó

x = x0.

P a r a que la r e c t a sea t a n g e n t e esta ecuación ha de admitir xn como r a í z doble y p a r a ello, como en los casos de la elipse y de la hipérbola h a de ser av, raíz de la ecuación derivada 2[y0 + m(x — x0)]m — 2p — 0 luego h a de ser my<> = p y como y0 =}= 0 h a de s e r m ~ phy0. L a ecuación de la t a n g e n t e es pues = 2/0 + —

Vo

(x

— x0)

ó

2/2/0 = 2/o- 4-

PX

LA

16 -9

[101

H I P É R B O L A Y LA PARÁBOLA

2/2/0 = px +

100

,

que es la ecuación general de la tangente a la parábola en un punto de la misma, Si queremos obtener a h o r a la ecuación de la t a n g e n t e que p a s a por un p u n t o (Xi, 2/1) del plano basta o b s e r v a r que las o r d e n a d a s de los p u n t o s de contacto deben cumplir con la condición n n 1.11]

. yo 2 p x i -t- - 2 ~

?/i 2/0 =

luego el p r o b l e m a se reduce a resolver e s t a ecuación de segundo g r a d o en y0. 9. Intersección de la parábola con una recta. — Sea la par á b o l a de ecuación y2 = 2px; si consideramos las rectas paralelas a OY, de ecuación x = h, es inmediato que cortan a la p a r á b o l a en dos p u n t o s reales, en uno doble o ninguno, según que sea h > 0, h = 0, h < 0, siendo t a n g e n t e , como y a lo vimos en el segundo caso. Consideremos a h o r a u n a recta de ecuación y = mx + h; r e e m p l a z a n d o en la ecuación de la p a r á b o i a se t i e n e m2x2 + 2(mh — p)x

[12]

-i- h2 = 0

Consideremos aos casos:

Consideremos el caso x = x0; reemplazando en la ecuación de la p a r á b o l a queda y- = 2px0 y p a r a que esta ecuación t e n g a u n a raíz doble h a de ser x0 = 0, es decir que el único p u n t o en que la p a r á b o l a a d m i t e una t a n g e n t e paralela al e j e O Y es el origen. P a s e m o s a h o r a al caso de la ecuación y = y0 + + m ( x — s:,,). Reemplazando y en la ecuación de la p a r á b o l a se tiene [ 2 / o + m(x — x„) — 2px = 0 .

y

§

— pxn

y como p o r ser (x 0 ,2/ 0 ) p u n t o ele la p a r á b o l a es y02 = 2-px0 la ecuación t o m a f i n a l m e n t e la f o r m a

1? m-p 0 ; la ecuación es de segundo g r a d o y tiene dos raíces reales, una real doble, o dos i m a g i n a r i a s según que sea (mh — p)2 — m2h2 = p(2mh — p) m a y o r , igual o m e n o r que cero, es decir, según que se t e n g a h

>

2m

h

=

-¿m

h

<

-

/

?.m

luego cuando la recta se desplaza p a r a l e l a m e n t e a sí misma existe una sola posición de la recta, ia ue ecuación [ i 3]

y = mx + -2£-

que es t a n g e n t e a la p a r á b o l a ; se obtiene una secante con dos p u n t o s de intersección, cuando la paralela está s i t u a d a en el semiplano de la t a n g e n t e que contiene el semieje positivo de las abscisas y sin punt os comunes cuando está en el otro semiplano. 2° m = 0. L a ecuación [12] t o m a la f o r m a — 2 p x - f h2 = 0, que tiene una sola solución, la x = h2/2p, y la recta tiene por consiguiente un solo punto común con la parábola.

LAS CÓNICAS

110

§ 16 -10

Si u t i l i z a m o s c o o r d e n a d a s h o m o g é n e a s , l a s ecuaciones de la p a r á b o l a y de u n a p a r a l e l a al e j e OX son y"— 2pxt=0, y = ht, y se ve que a m b a s t i e n e n a d e m á s del p u n t o p r o p i o común que hemos dado, un p u n t o i m p r o p i o c o m ú n , el (1, 0, 0 ) , lo que explica por que la r e c t a no es t a n g e n t e a la p a r á b o l a , a ú n c u a n d o t e n g a sólo un p u n t o común ( p r o p i o ) con ella.

Si se e m p l e a n los elementos i m a g i n a r i o s , la r e c t a tiene s i e m p r e dos p u n t o s comunes con la p a r á b o l a , r e a l e s y distintos, r e a l y doble o i m a g i n a r i o s c o n j u g a d o s . E l p r o b l e m a de e n c o n t r a r las t a n g e n t e s p a r a l e l a s a u n a r e c t a d a d a a d m i t e , s e g ú n lo que a c a b a m o s de decir, solución s i e m p r e que la r e c t a no sea p a r a l e l a al e j e OX, e s t a solución es única y su ecuación es la [ 1 3 ] . Aplicando este r e s u l t a d o al p r o b l e m a de d e t e r m i n a r las t a n g e n t e s que p a s a n por u n p u n t o del plano, b u s c a n d o los coeficientes a n g u l a r e s de las m i s m a s , se ve que éstos deben satisf a c e r a la ecuación [14]

2 x j m - — 2my1

-f p = 0

que nos da la solución del p r o b l e m a (por el cambio de variable m = p/y
p —• mh ——„— ni-

;

ym -

mxm

. . + h =

p — mh m

, 7 p f- h = m

c u a n d o m es f i j o y h v a r í a , se e n c u e n t r a n sobre la r e c t a paralela a OX de ecuación my = p y r e c í p r o c a m e n t e d a d a una r e c t a de ecuación my = p, p a r a l e l a a OX dicha r e c t a contiene los p u n t o s medios de las c u e r d a s d e t e r m i n a d a s por las r e c t a s p a r a l e l a s a la r e c t a de ecuación y = mx, y pasa por el p u n t o de contacto de la t a n g e n t e p a r a l e l a a dicha r e c t a . DEF. 4. P o r cumplirse esta propiedad d e f i n i r e m o s los diámetros de la p a r á b o l a como las r e c t a s p a r a l e l a s al eje OX, es decir, como las s e c a n t e s a la p a r á b o l a que la c o r t a n en u n solo p u n t o ( p r o p i o ) . E l e j e OX es el d i á m e t r o l u g a r de las p a r a l e l a s al e j e OY. Los d i á m e t r o s no d e t e r m i n a n c u e r d a s en la p a r á b o l a y por consiguiente en la parábola no existen diámetros conjugados. Como en el caso de la elipse y la h i p é r b o l a , un diámetro es el lugar de los puntos medios de los segmentos definidos por los puntos de intersección (reales o imaginarios) de la parábola con las rectas paralelas a la tangente a la parábola, en el

§ 17

P R O P I E D A D E S M É T R I C A S DE LA E L I P S E

-i

pnnto de intersección d e n o m i n a el extremo D a d a una parábola de ecuación y- = 2px ( f i g . 54) hemos visto que el e j e O Y es t a n g e n t e en el o r i g e n a la p a r á b o l a , consider e m o s a h o r a un d i á m e t r o y la t a n g e n t e en su e x t r e mo que t o m a r e m o s como n u e v o s e j e s de c o o r d e n a d a s O X ' y OY'. L a s f ó r m u l a s de t r a n s f o r m a c i ó n de e j e s son en este caso

de ésta con el diámetro. del diámetro.

111

E s t e p u n t o se

x =

x' - f V py é ?/0 las c o o r d e n a d a s de O ' ) . &o 4 = Vo +

(siendo x0

La ecuación de la p a r á b o l a en el nuevo sistema es Vo2 + 2 y 0 p V ' + P 2 !/' 2 =-" 2px0 + 2 p x ' + 2po.'y' Como y02 = 2px0 la ecuación no t i e n e t é r m i n o independ i e n t e ; por o t r a p a r t e por la p r o p i e d a d del d i á m e t r o de cont e n e r los p u n t o s medios de las c u e r d a s p a r a l e l a s a OY' no h a de a l t e r a r al c a m b i a r y' en — y ' luego se debe a n u l a r el t é r mino en y'. P o r todo ello la ecuación t o m a la f o r m a P2Y'2 = = 2 p x ' , y si l l a m a m o s p' = p/P2, la ecuación t o m a f i n a l m e n t e la f o r m a [15] y'- = 2 p'x' que es la ecuación general de la parábola metro y la tangente en su extremo.

§ 17.

respecto

de un diá-

PROPIEDADES MÉTRICAS DE LA ELIPSE

1. La elipse en coordenadas ortogonales. — Sea una elipse de ecuación a

2

+ ^

-

f

~

6

2

-

=

1

c.n un sistema de c o o r d e n a d a s c a r t e s i a n a s oblicuas cualesquiera.

I

° 1T .. 1 /

LAS C Ó N I C A S

112

1

§ 1 7 - 2

Sí y = ra#; ?/ = ra';e son las ecuaciones de dos r e c t a s que p a s a n por el centro, el ángulo u de las m i s m a s viene dado por

piz

a- eos 0 ra- +

ra

\—\ eos 0 a-m

a-

a-

b- e o s - 6 >

0

O

x2 , y a 2 "1" ' b2

=

a2 =

í

\

a

— x \ . a

do el valor positivo al e x t r a e r la r a í z c u a d r a d a se t i e n e

4

c x a

0i = a

Análogamente, si Ql> es la distancia de M al foco F ' , se tiene: . <•" = a +

2

1.

Se a c o s t u m b r a a t o m a r como e j e de abscisas el que tiene m a y o r longitud de diámetro, es decir que, salvo especificación contraria, supondremos s i e m p r e a > b. Si f u e se a = b t e n d r í a m o s evid e n t e m e n t e una circunf e r e n c i a de radio a, es d e c i r , q u e l a circunferencia es un caso particular de la elipse.

F ' (—c, 0) (fig. 55)

- ~r(a- — x2) =

Qf

luego la ecuación t i e n e siempre dos raíces reales, es decir, en toda elipse, siempre existe un par de diámetros conjugados perpendiculares. De aquí, t e n i e n d o en cuenta [15] del § 15, se t i e n e : Toda elipse puede referirse a un sistema de ejes cartesianos rectangulares, de modo que su ecuación sea:

Fiar. 55.

x2 — 2 ex +

(a 2 — b-) ra — b- eos 0 = 0

4a-

y- = x2 — 2cj - f c- +

Como x < a es s i e m p r e a —- — x > a — c > 0, luego t o m a n -

— 0

Í si fi ¿

-

(a2 — b-) — 2ex + c 2 + 6 2 = C

es

[1]

(.r — c ) 2

=

El d i s c r i m i n a n t e de esta ecuación de segundo g r a d o en ra (a»— b-)- +

=

CX

siendo G el ángulo de los e j e s coordenados, luego p a r a que dichas r e c t a s sean p e r p e n d i c u l a r e s debe a n u l a r s e el denominador. Si suponemos a h o r a que y = ra'x es la ecuación del diámet r o c o n j u g a d o de y = mx se tiene (§ 15-5) rara' = — b-/a-, luego p a r a que los d i á m e t r o s sean p e r p e n d i c u l a r e s se debe t e n e r 1 -f- í

U 3

Sea M (x, y) un punto cualquiera de la elipse y oí su distancia al foco (c, 0 ) . Se t i e n e :

(ra* — ra) sen 0 (ra. -f- ra') eos 0 + rara'

tg a =

P R O P I E D A D E S M É T R I C A S DE LA E L I P S E

2. Focos de la elipse. DEF. 1. Si ponemos c- — a- — b-, s e d e n o minan focos de la elipse a los p u n t o s F (c, 0) ;

| |

c — x a

Los focos tienen pues la notable p r o p i e d a d de que sus dist a n d a s a cualquier p u n t o de la elipse se e x p r e s a n en f u n c i ó n racional de la abscisa del punto.

i e

DEF. 2. Se denomina excentricidad de la elipse al n ú m e r o c = —» que es siempre m e n o r que 1; las distancias de un \S

Cl

p u n t o a los focos vienen dadas por las f ó r m u l a s

[2]

pi = a — ex

;

Q2

= a + ex

y s u m a n d o se tiene [3]

Qi + Q2 = 2a

L a i m p o r t a n t e propiedad e x p r e s a d a por la f ó r m u l a a n t e r i o r suele a d o p t a r s e como definición g e o m é t r i c a de la elipse y sirve p a r a c o n s t r u i r la elipse p o r p u n t o s t r a z a n d o desde los focos c i r c u n f e r e n c i a s de r a d i o s Oj y q2 tales que Oí + o2 = 2a. P a r a que la propiedad e x p r e s a d a p o r [3] pueda ser t o m a d a como definición de la elipse h a b r á que p r o b a r que los p u n t o s de esta c u r v a son los únicos que la cumplen. E n e f e c t o : tomemos un p u n t o cualquiera del plano y unámoslo con un foco. Si está e n t r e el foco y el p u n t o M de intersección de la r e c t a con la elipse ( p u n t o M 2 de la f i g u r a 55) se t i e n e : FMo + M 2 F ' < F ' M 2 + M 2 M + M F = 2a .

n

LAS C Ó N I C A S

4

§

17 "3

Si es M el aue está e n t r e el p u n t o y el foco ( p u n t o M: de la f i g u r a 55) se t i e n e : 2A.

=

F ' M -F M F <

F'M +

MM, +

MXF =

F'MA +

TEOR. 1. La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. E s t a definición de la elipse es una definición meramente geométrica, con independencia de todo sistema de ejes coordenados. H e m o s d e m o s t r a d o en f o r m a geométrica una p a r t e de esta propiedad, pero vamos a v e r que puede hacerse toda la demost r a c i ó n en f o r m a t o t a l m e n t e analítica. P a r a ello p r o b a r e m o s a n a l í t i c a m e n t e que todo p u n t o M (x,y), cuya s u m a de distancias a los focos sea igual a 2a, s a t i s f a c e a la ecuación [1] de la elipse. Sean Oj y p2 las distancias de M a los f o c o s ; se t i e n e : ;

Q22 = i* + cy- + y°-

er — Q22 = — 4crc

;

oí + Q« = 2a

Oj-—o-2

ÜI

= a

;

P R O P I E D A D E S M É T R I C A S DE I,A E L I P S E

115

De la ecuación de la elipse se deduce b2x2 + a2 y2 = a-b2 b2(x- + y2) = a-b2 — a-y2 + b2y2 = a-b- — c-ifa2(x2 + y-) = a-b- — b-x2 + a2x2 = a-b- 4- c-a:De la segunda de estas f ó r m u l a s deducimos que la d i s t a n cia de un p u n t o de la elipse al origen es m á x i m a p a r a y = 0 y de la t e r c e r a que es m í n i m a p a r a x = 0, es decir que los vértices A y A' son los puntos de la elipse más alejados del centro y los B y B' los más próximos. 4. Ecuaciones paramétricas de la elipse. — Consideremos ( f i g . 56) una elipse cuya ecuación sea [1] y dos c i r c u n f e r e n cias con c e n t r o s en el origen y r a d i o s a y b.

;

;

_ —2 ex

iTFe, ex a

17 -4

M,F.

Obtenemos así la propiedad s i g u i e n t e :

— (x——c)~ -J~ y2

§

'5

»

, ex oo = a -\a

Reemplazando este valor en la expresión g r se t i e n e : a'- — 2ca: + X2

a2

ar2

0—

a~

r2h~ 2~ a

= x 2 — 2cx + c2 + V2 + y2 = a 2 + V2 -

a-

Xr ' b-

+

;

;

í>2 : -

1

Iuego M pertenece a la elipse. 3. Vértices de la elipse. — DEF. 3. Los p u n t o s en que la elipse c o r t a a los e j e s de c o o r d e n a d a s , es decir A (a, 0) ; A ' ( — a , 0) ; B{b, 0) ; B ' ( — b , 0 ) , se d e n o m i n a n vértices de la c u r v a ; los segmentos A A ' y B B ' se d e n o m i n a n r e s p e c t i v a m e n te e j e m a y o r y e j e m e n o r . Los e j e s OX y OY son e j e s de sim e t r í a ortogonal de la c u r v a (fig. 5 6 ) .

E s inmediato que estas c i r c u n f e r e n c i a s son t a n g e n t e s (o sea, tienen la m i s m a recta t a n g e n t e ) a la elipse en los puntos A y A ' y B y B ' r e s p e c t i v a m e n t e . DEF. 4. A la p r i m e r a c i r c u n f e r e n c i a se la designa con el n o m b r e de circunferencia principal y a la segunda con el nombre de circunferencia menor principal. L a s ecuaciones p a r a m é t r i c a s de cada c i r c u n f e r e n c i a , en f u n c i ó n del ángulo t, son

I AS CÓNICAS

l l a

5 17-4

x = b eos t y = b sen t

r x — a eos t i y — a sen t

Consideremos dos p u n t o s M " y M' de la p r i m e r a y s e g u n d a c i r c u n f e r e n c i a s c o r r e s p o n d i e n t e s al mismo valor del p a r á m e t r o t\ el p u n t o M cuya abscisa es la de M " y la o r d e n a d a la de M ' es un punto de la elipse puesto que se tiene a- eos 2 1 a2

b- s e n 2 1 b2

+

_

son las ecuaciones paramétricas de la elipse. T o m a n d o como nuevo p a r á m e t r o u = t g t/2, como se hizo p a r a la c i r c u n f e r e n c i a (§ 12-8), se tienen t a m b i é n como ecuaciones p a r a m é t r i c a s de la elipse las siguientes f u n c i o n e s racionales del p a r á m e t r o 1 — u2 . 2u »

-

en donde u t o m a todos los valores reales. De e s t a s ecuaciones p a r a m é t r i c a s se deduce u n a r e g l a p a r a c o n s t r u i r por p u n t o s l a elipse: se t r a z a n l a s dos c i r c u n f e r e n c i a s p r i n c i p a l e s y un r a d i o c u a l q u i e r a O M " ( f i g . 56) que c o r t a a a m b a s c i r c u n f e r e n c i a s en M' v M " ; se t r a z a desde M " u n a p a r a l e l a a OY y desde M ' u n a p a r a l e l a a O X ; el p u n t o M de intersección de a m b a s p a r a l e l a s p e r t e n e c e a la elipse. De la comparación de l a s ecuaciones p a r a m é t r i c a s de la elipse y de la c i r c u n f e r e n c i a p r i n c i p a l se deduce que los p u n t o s de l a elipse se obtienen a p a r t i r de los de la c i r c u n f e r e n c i a d e j a n d o i n v a r i a b l e la abscisa y m u l t i p l i c a n d o la o r d e n a d a por - y - ; esta alteración p r o p o r c i o n a l de l a s o r d e n a d a s sin v a r i a r la abscisa se denomina u n a afinidad esto que la elipse es afine de la c i r c u n f e r e n c i a p r i n c i p a l . Consideremos los p u n t o s .

yo)

y

aro,

/

y se dice por

y> a

de la elipse y de la c i r c u n f e r e n c i a p r i n c i p a l . L a s t a n g e n t e s en esos p u n tos a d i c h a s c u r v a s tienen como ecuaciones r e s p e c t i v a m e n t e ( [ 9 ] del § 15)

xx<, , j/2/o t

xx«

Mo _

17

-5

P R O P I E D A D E S M É T R I C A S DE LA E L I P S E

1

a* " " b* ~ ' a~~ ah que, como se deduce i n m e d i a t a m e n t e , se c o r t a n s i e m p r e en u n p u n t o del e j e OX. De a q u í se deduce la r e g l a p a r a t r a z a r la t a n g e n t e a l a elipse en un p u n t o M : Se t r a z a la p e r p e n d i c u l a r por M a OX h a s t a que e n c u e n t r e en M " a la c i r c u n f e r e n c i a p r i n c i p a l ; se t r a z a la t a n g e n t e a e s t a circunf e r e n c i a en M " h a s ' a que corte en T al e j e O X ; la r e c t a M T es la t a n g e n t e pedida. Consideraciones y construcciones a n á l o g a s p u e d e n n a c e r s e «obre la c i r c u n f e r e n c i a m e n o r p r i n c i p a l .

117

5. Proyecciones ortogonales de la elipse. — Consideremos a h o r a un plano x que pase por el e j e m a y o r de la elipse y f o r me con el nlano de é s t a un ángulo a tal que c o s a = b/a. E n el plano x describamos una c i r c u n f e r e n c i a cuyo diámet r o sea el e j e m a y o r de la elipse. L a s c o o r d e n a d a s de un p u n t o M de la c i r c u n f e r e n c i a s e r á n xx = a eos t; yx — a sen t; las coordenadas de la proyección ortogonal de M sobre el plano de la elipse s e r á n x — Xi = a eos t

-

Como este resultado puede obtenerse cualquiera que sea el p u n t o M de la elipse, deducimos que las ecuaciones [4] x = a eos t y = b sen t (0 < t < 2x)

M

§

;

y = yx eos a = b sen t

;

es decir las coordenadas de un p u n t o de la elipse. Recíprocamente cada p u n t o M de la elipse es la proyección de un p u n t o de la c i r c u n f e r e n c i a . Se tiene, pues, el siguiente r e s u l t a d o : La elipse es la proyección ortogonal de tina circunferencia que tiene como diámetro su eje mayor. Si t o m a m o s a h o r a un plano que pase por el eje m e n o r de la elipse y f o r m e con el de la elipse un ángulo u tal que eos a = b/a y p r o y e c t a m o s la elipse o r t o g o n a l m e n t e sobre dicho plano, un r a z o n a m i e n t o análogo al que a c a b a m o s de h a c e r nos p r o b a r í a : Se puede elegir un plano tal que la proyección de la elipse sobre dicho plano sea una circunferencia que tiene como diámetro su eje menor. Consideremos a h o r a el caso g e n e r a l de la proyección ortogonal de una elipse sobre un plano. Desplacemos el plano p a r a l e l a m e n t e a sí mismo, lo que no a l t e r a la proyección, h a s t a que pase por el centro de la elipse; la c o r t a r á según un d i á m e t r o A. Tomemos en el plano de la elipse un s i s t e m a de e j e s c a r t e s i a n o s cuyos e j e s sean A y su d i á m e t r o c o n j u g a d o A' y en el plano de proyección el sistema que tiene como e j e s A y la proyección ortogonal At de A'. L a ecuación de la elipse respecto de los e j e s A y A' es la [15] del § 15

Si Xi é 2/1 son las coordenadas con respecto al sistema de ejes A y Ai de un p u n t o (x, y) de la elipse, se tiene x, = x y¡ = y eos a 'uego zr_

,

Vi 2

^

±

a2 b2 eos- a aue es la ecuación de una elipse. R e c í p r o c a m e n t e dado un p u n t o cualquiera (xi y¡) que sat i s f a g a a la relación a n t e r i o r , es la proyección de un p u n t o cuyas coordenadas s a t i s f a c e n a la ecuación [5]. Se tiene, p u e s :

LAS CÓNICAS

118

§

17

-6

La proyección ortogonal de una elipse es siempre otra elipse. ( E n p a r t i c u l a r puede ser una c i r c u n f e r e n c i a ) . Rec í p r o c a m e n t e , con un r a z o n a m i e n t o análogo al a n t e r i o r , se p r u e b a q u e : Si la proyección ortogonal de una curva plana es una elipse, dicha curva es también una elipse. ( E n p a r t i c u l a r puede ser u n a c i r c u n f e r e n c i a ) .

§

17 -6

P R O P I E D A D E S M É T R I C A S DE LA E L I P S E

TEOR. 2.

6. P r o p i e d a d e s m é t r i c a s de los d i á m e t r o s . — Dada la elipse de ecuación [1], r e f e r i d a a un sistema de e j e s c a r t e s i a n o s rect a n g u l a r e s , el á n g u l o a que f o r m a n dos d i á m e t r o s c o n j u g a d o s viene dado por (§ 10-2) am m — m' b-m tga ~ m m , abH a g a m o s v a r i a r m d e n t r o del p r i m e r c u a d r a n t e . E n el num e r a d o r tenemos la suma de dos n ú m e r o s v a r i a b l e s cuyo producto es c o n s t a n t e . E s sabido en a r i t m é tica que d i c h a s u m a es m í n i m a cuando los sumandos son i g u a les, es d e c i r, p a r a m = b/a; por consig u i e n t e el á n g u l o de dos d i á m e t r o s c o n j u gados t i e n e u n m í n i mo c u a n d o dichos d i á m e t r o s son las diagonales del paraleloFiíí- 57. g r a m o CC', CxC'j (fig. 5 7 ) . El m á x i m o cor r e s p o n d e n a t u r a l m e n t e a los e j e s de coordenadas. Los e x t r e m o s de dichos d i á m e t r o s c o n j u g a d o s t i e n e n como coordenadas, las que se obtienen resolviendo el sistema de ecuaciones .T"

y = ±

ax-

a

a

V 2 V 2 / W 2 ' V 2 L a s s e m i l o n g i t u d e s de estos d i á m e t r o s son a-/2 ¿ ¿ a + b' y por consiguiente poniendo c2 -

y b2/2

z

la ecuación de la elipse r e f e r i d a a dichos d i á m e t r o s es x- + y- = c 2 .

[6]

( P r i m e r teorema de las semilongitudes

TEOR. 3 .

de Apolonio) : La suma de los de dos diámetros conjugados

cuadrados es constante. E n e f e c t o : sean a' y b' las s e m i l o n g i t u d e s de dos d i á m e t r o s c o n j u g a d o s y (xuyx), (x-.,y2) las c o o r d e n a d a s de sus extremos. Se t i e n e 2/i2 = a' 2

xr +

x22 + y¿- = 6' 2

y en v i r t u d de las f ó r m u l a s de Chasles, § 1 5 - 6 - [ 1 4 ] «* + v=

+ *i

2

1 +

=

a-

Vl*

bab°-

+ i L xf aVi*

+

*1- • \ a- "r

+ ~

Vi*

2

b

a2

1

bVi' b2

P e r o como (xlt y¡) es un p u n t o de la elipse, se tiene a'2 + b'2 = a2 + b2 lo que p r u e b a el t e o r e m a . TEOR. 4 .

(Segundo construido

teorema de Apolonio) : El área del pasobre dos semidiámetros conjugados es

ralelogramo constante. E n e f e c t o : si M, (xlt yx) ; M 2 ( x 2 , y 2 ) ( f i g . 57) son los ext r e m o s de dos s e m i d i á m e t r o s c o n j u g a d o s , el á r e a del paralelog r a m o O M I P M O es el doble del á r e a del t r i á n g u l o O M I M 2 , es decir (§ 10-6) el v a l o r absoluto del d e t e r m i n a n t e 1 0

X

0

1 x¡ y!

= ¡ x¿y2 — yxx2 \

1 x» y»

y por t a n t o , en v i r t u d de las f ó r m u l a s de Chasles, se t i e n e : a

V 2

es decir s o n :

a

=

a-

o: =

119

V 2

a

b xr a '

a

b

V\

= a . b

xr

íh'

a-

b-

y como (xi, y^) es un p u n t o de la elipse, se tiene f i n a l m e n t e A. — a . b lo que p r u e b a el t e o r e m a .

§

LAS CÓNICAS

120

17

17 -7

-7

U n a consecuencia del p r i m e r t e o r e m a de Apolonio es la existencia de un único p a r de d i á m e t r o s c o n j u g a d o s de la m i s m a longitud (los que ya e n c o n t r a m o s en 6 ) . E n e f e c t o : por el p r i m e r t e o r e m a de Apolonio si dos d i á m e t r o s c o n j u g a d o s t i e n e n la m i s m a semilongitud
PROPIEDADES MÉTRICAS

ir +i r

=1

;

* +

=

a y se t i e n e

*

T

F

x

M

F

'

[7]

b Xo(y — yi>)=a-yo(x

— Xo)

ó

(X — Xo) . La tangente y la normal en un punto de la elipse son bisectrices del ángulo formado por las rectas que unen el punto con los focos. E n e f e c t o : sea (fig. 58) M(x0,y0) un p u n t o de la elipse. La p r o p i e d a d q u e d a r á demost r a d a si p r o b a mos que la t a n g e n t e M T es bis e c t r i z d e l áng-ulo e x t e r n o en M del t r i á n g u l o MFF', y para ello, s e g ú n u n conocido t e o r e ma de g e o m e t r í a , b a s t a prob a r que se cumF,R ' °8" pie la relación 1 Ivn e f e c t o , si M T es la b i s e c t r i z e x t e r i o r , t r a z a n d o p o r F u n a p a r a l e l a a ella h a s t a c o r t a r a M F ' e n u n p u n t o M', p o r s e r e s t a r e c t a n o r m a l a la b i s e c t r i z i n t e r i o r , es MM' -- M F , y por segmentos comprendidos e n t r e paralelas se tiene T F / T F ' ~ M M ' / M F ' , q u e e q u i v a l e a la r e l a c i ó n del t e x t o . R e c i p r o c a m e n t e , si e s t a r e l a c i ó n s e c u m p l e , M T debe s e r la b i s e c t r i z e x t e r i o r , p u e s t o q u e sólo h a y un p u n t o f u e r a del s e g m e n t o F F ' t a l q u e la r a z ó n T F / T F ' t e n g a u n v a l o r d a d o .

;

-

«

)

(

•

+

- «

*

)

-

X[)Ci T

F

'

x

M

F

(-£

-

c

+

)

(

c - -• XQ a

a

(a 2 + ex o) (a- — ex o) XM

=

como q u e r í a m o s d e m o s t r a r . P a r a d e t e r m i n a r las normales que son p a r a l e l a s a una dirección d a d a buscaremos los pies de dicha n o r m a l ; sean (x0, y0) sus c o o r d e n a d a s ; p o r e s t a r sobre la elipse y ser las n o r m a l e s de coeficiente a n g u l a r dado, se ha de c u m p l i r

TEOR. 5.

1

í

c a i- x,) a

(a- — exN) (CÍ- + cxu)

que son los e x t r e m o s de los d i á m e t r o s e n c o n t r a d o s en n ? 6 y que f o r m a b a n á n g u l o s i g u a l e s con los ejes.

2

x0

(

-

l— a — -h \ \ vT' vT/

7. Normales a la elipse. — Dado un p u n t o (Xo,y„) de la elipse, la n o r m a l en dicho p u n t o es la p e r p e n d i c u l a r a la t a n g e n t e en (x 0 , y o) . Su ecuación s e r á por consiguiente (teniendo en cuenta § 15-3) :

x MF.

MF' = TF'

o a

y este s i s t e m a tiene c u a t r o p a r e s de soluciones: h a b \ l . . a \ I a _ -b \ vT ' va/ ' \ v~2 ' v~2) ' l v~2 ' vT/

12.1

L a abscisa .Ti de T se obtiene haciendo y = o en :a ecuación (§ 15, [ 9 ] ) de la t a n g e n t e , es decir es xx = a-/xn. Las distancias de M a los focos son (§ 17, [ 2 ] )

m¡

y por lo t a n t o sus e x t r e m o s e s t á n en u n a c i r c u n f e r e n c i a de c e n t r o el origen y r a d i o c. Sus c o o r d e n a d a s s e r á n pues las soluciones del s i s t e m a de ecuaciones

x

TF

DE LA E L I P S E

*o2 a-

yo, o o-

_

a2 y0 ~7.; b- xn

.

— 1

-

—

7)1

y resolviendo este s i s t e m a en x„ é y,„ t e n d r e m o s a;,,2 ,

m'-frx„2

Xo —

„/ 1

1

,

r

± a-

-

~ '

b- m

= \ / a - + b- m¿ o en la f o r m a m á s usual

2/o

roí

y =

LoJ

= VI

i \

,

± b- m \ / a - + b2 ni-

V a - + by las ecuaciones de las normales s e r á n V

, m2b-\

X

± a\/ a ' + &- m-

— b~ )

mx

n —— V a- + b- m-

E1 p r o b l e m a de d e t e r m i n a r las n o r m a l e s a la elipse que p a s a n p o r un p u n t o del plano M ( # , , \ji) > puede resolverse buscando los nies de dichas n o r m a l e s ; h a b r á , entonces, que resolver el s i s t e m a de ecuaciones

Xu* . H a'

v? TT =

1

:

b'x^(y — ?/i) =

—

LAS CÓNICAS

1 2 2

§ 17 -7

la p r i m e r a de l a s cuales e x p r e s a que el pie (£„, y 0 ) está en la elipse, y la s e g u n d a que el p u n t o e s t á en la n o r m a l que p a s a p o r (xo,y*). E s t e s i s t e m a no es, en g e n e r a l , de f á c i l solución, salvo en casos p a r t i c u l a r e s . Así, por ejemplo, si q u e r e m o s d e t e r m i n a r l a s n o r m a l e s a la elipse de ecuación *2

.

?/"

6

'

3

__

j

que p a s a p o r el p u n t o (1, 0 ) , se nos p l a n t e a el s i g u i e n t e s i s t e m a de ecuaciones: . • - i*-.* 2 2 + -2£- = 1 ; — 3xoyo = GyAl — Xo) b ó la s e g u n d a de l a s cuales se descompone en d o s : la 2/0 = 0, y la — Xo = — 2 ( 1 — #0), c u y a solución es x0 = 2, r e e m p l a z a n d o en la ecuación de la h i p é r b o l a obtenemos los c u a t r o p a r e s de soluciones del s i s t e m a :

(VT, 0)

,

(— \ T , 0)

,

(2, 1)

,

(2, —1).

Los dos p r i m e r o s nos dan como solución el eje OX ( r e s u l t a d o evid e n t e m e n t e p r e v i s i b l e de a n t e m a n o ) y los otros dos nos dan como n o r m a les las r e c t a s de ecuaciones 3. 2(2/ — 1) =

6(re — 2)

;

3. 2(y + l )

-

— 6(x — 2 ) ,

es decir que las t r e s n o r m a l e s que p a s a n p o r el p u n t o son l a s de ecuaciones y = 0 ; y z=i x — 1 ; y = — x + 1 la p r i m e r a siendo n o r m a l en dos p u n t o s a la elipse, puede c o n s i d e r a r s e como doble. E l p r o b l e m a puede r e s o l v e r s e t a m b i é n , buscando los coeficientes a n g u l a r e s de l a s n o r m a l e s que p a s e n por el p u n t o d a d o ; en v i r t u d de [8] ello nos conduce a r e s o l v e r l a ecuación en vi yl — mx-i ± (a? — b2)

m

§

18

-1

PKOP. M É T R I C A S DE LA H I P É R B O L A Y DK L A PARÁBOLA

§

18.

PROPIEDADES MÉTRICAS DE LA HIPÉRBOLA Y DE LA PARÁBOLA

1. La hipérbola en coordenadas ortogonales. — Un razon a m i e n t o análogo al hecho en el caso de la elipse nos conducir í a a que la condición p a r a que dos d i á m e t r o s c o n j u g a d o s sean p e r p e n d i c u l a r e s es que sus coeficientes a n g u l a r e s sean las r a í ces de la ecuación a 2 eos 0 m- -1- (a 2 - f b-) m -i- b* eos 8 = ü cuyo d i s c r i m i n a n t e es (a 2 + & 2 ) 2 — 4a 2 b* eos 2 0 > (a 2 + b2)2 — 4a2b- = (a2 — b2)2 > 0 luego la ecuación t i e n e s i e m p r e dos raíces reales y por t a n t o Siempre existen un par de diámetros conjugados perpendiculares en la hipérbola. P u e d e llegarse a este resultado en f o r m a m á s directa obs e r v a n d o que, cuando se t o m a como e j e de las abscisas la bisectriz del ángulo de las asíntotas, que c o r t a a la hipérbola, las p e r p e n d i c u l a r e s a este e j e d e t e r m i n a n , en el ángulo de las asíntotas, s e g m e n t o s cuyos p u n t o s medios e s t á n en el eje, y como estos p u n t o s medios son t a m b i é n p u n t o s medios de l a s c u e r d a s de la hipérbola (§ 16-4), se deduce que la perpendicular por el centro al e j e de las abscisas es el d i á m e t r o conj u g a d o de dicho e j e . Toda hipérbola puede, por consiguiente, r e f e r i r s e a un sist e m a de e j e s c a r t e s i a n o s ortogonales de f o r m a que su ecuación sea del tipo TEOREMA 1 .

V a a -f 6* m2

que puede ponerse, en l a f o r m a [9]

(ar + b*m2)

(1/1 — mxiV

— (a3—

=

0

E s t a ecuación, si a*i=)=0 es u n a ecuación de c u a r t o g r a d o , siendo el c o e f i c i e n t e de m\ x\b*, l u e g o p a r a v a l o r e s de vi s u f i c i e n t e m e n t e g r a n d e s el polinomio en vx es positivo, p a r a m = yi¡X\ es n e g a t i v o si es 1/14=0» luego s i e m p r e a d m i t e p o r lo menos dos r a í c e s si es 2/1 =1=0 é £i=t=0. P a r a ?; — () ó t / i = 0 el p r o b l e m a a d m i t e s i e m p r e la solución doble del e j e OY ó del e j e OX r e s p e c t i v a m e n t e . E n r e s u m e n : por un punto pueden trazarse siempre por lo menos dos normales a una elipse, y a lo más cuatro. Si a p l i c a m o s este método al e j e m p l o a n t e r i o r obtenemos la ecuación a

2

w (6 + 3 m )

— 9 m* = 0

que a d m i t e la solución doble m = 0 y l a s m = 1, m ——1, l a s n o r m a l e s que h a b í a m o s e n c o n t r a d o .

que nos dan

123

2. F o c o s y v é r t i ces. — D E F . 1. Si ponemos c- — a2 -j- b-, los punt os F y F ' (fig. 59) de c o o r d e n a d a s (c, 0 ) , (—c, 0) se d e n o m i n a n focos. Un r a z o n a m i e n to análogo al que hicimos p a r a el caso de la elipse, n o s p r o b a r í a que las d i s t a n c i a s de de un p u n t o a los focos son

íY N

C, \

\

^r_4_

F'

A'

C

B

/

tí S \

/

c

B' Fig-. 59.

V

\ \

A

c

§ 18 -2

I.AS C Ó N I C A S

124

a a

LJ

=

e x

—

a

'

9 2

x -Y a

=

e x

a

Qi = ex + a ; g2 — ex — a

p a r a

x

>

P R O " . M É T R I C A S DE LA H I P É R B O L A Y DE LA P A R Á B O L A

^ — y2

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos cuyas diferencias de distancias a dos puntos fijos es constante. Se s u p o n e que la c o n s t a n t e 2a es distinta de cero y de 2c. E n el p r i m e r caso el l u g a r geométrico es el OY, en el segundo e s t á f o r m a d o por los p u n t o s del e j e OX no i n t e r i o r e s al segmento F F ' . Como en el caso de la elipse, p u e d e utilizarse esta propied a d p a r a c o n s t r u i r la h i p é r b o l a por puntos, t r a z a n d o circunf e r e n c i a s con c e n t r o s en F y F ' , cuya d i f e r e n c i a de radios sea 2a. Los p u n t o s A y A' de c o o r d e n a d a s (a, 0) y ( — a , 0) en que la h i p é r b o l a c o r t a al e j e OX se d e n o m i n a n los vértices de la hipérbola. Como el e j e O Y no c o r t a a la h i p é r b o l a no exist e n vértices reales en é l ; a los p u n t o s B ( 0 , 6 ) y B ' ( 0 , — b ) e x t r e m o s del d i á m e t r o i m a g i n a r i o se les a c o s t u m b r a l l a m a r vértices imaginarios. P u e s t a la ecuación de la h i p é r b o l a en la f o r m a + a2 b2

se ve que el m í n i m o de la d i s t a n c i a de un p u n t o de la hipérbola al c e n t r o se p r e s e n t a c u a n d o es y = 0, es^ decir que los vértices de la hipérbola son los puntos de ésta más próximos al origen. DEF. 3. U n a hipérbola se dice que es equilátera cuando sus a s í n t o t a s son p e r p e n d i c u l a r e s . Entonces, puesto que los coeficientes a n g u l a r e s de las a s í n t o t a s son m = b/a, m' = = — b/a y la condición de p e r p e n d i c u l a r i d a d es mm' + 1 = 0, resulta a2 = b e s decir que los dos ejes, el real y el i m a g i n a rio, t i e n e n longitudes iguales y las a s í n t o t a s son las bisectrices

a2

y2 = b2 | - ^ r — 1 ) = & 2 (sec 2 1 — 1) = b2ig2t

para x < 0 .

TEOR. 2 .

= l/2(a2+&2)

125

3. Ecuaciones paramétricas de la hipérbola. — D a d a una hipérbola de ecuación [1] está s o l a m e n t e d e f i n i d a p a r a \x\ > a. p o r consiguiente, c u a l q u i e r a que sea la abscisa x de un p u n t o de la hipérbola, s i e m p r e existe u n á n g u l o í tal que eos t = a/x, o lo que es lo mismo x = a . sec t. Se tiene, r e e m p l a z a n d o en la ecuación de la h i p é r b o l a

®'

E n cualquier caso, la d i f e r e n c i a de d i s t a n c i a s cte u« ^ i n t o de la h i p é r b o l a a los focos es igual a 2a. Se d e m u e s t r a la r e c í p r o c a en f o r m a t o t a l m e n t e a n á l o g a a la e m p l e a d a en el caso de la elipse, y se llega así al r e s u l t a d o siguiente, que constituye u n a definición g e o m é t r i c a de la hipérbola, i n d e p e n d i e n t e de los s i s t e m a s de c o o r d e n a d a s :

bHx"- + y2)

-3

[3]

DEF. 2. Se d e n o m i n a excentricidad de la hipérbola al número e = c/a, que es s i e m p r e m a y o r que 1. Con e s t a notación se t i e n e ; siendo o, y q2 las d i s t a n c i a s de un p u n t o M(a-, y) a F y F' °1

18

del ángulo de los e j e s ; la ecuación de u n a hipérbola equilátera es por t a n t o

ii

X

§

luego las ecuaciones [4]

x = a sec t

y = b t g t.

son las ecuaciones paramétricas de la hipérbola. Como en el caso de la elipse, t o m a n d o como nuevo p a r á m e t r o u — t g t/2 se obtienen las ecuaciones paramétricas de la hipérbola rrn

1

[5]

x = a —

+

u-

7- ; ti-

.

2

u

y = b " 1— u'-

en funciones racionales de un parámetro u. O t r a s ecuaciones p a r a m é t r i c a s m á s útiles e i n t e r e s a n t e s y que t a m b i é n p r e s e n t a n m u c h a analogía con las que dimos p a r a el caso de la elipse, se obtienen m e d i a n t e la utilización de las funciones hiperbólicas \ 4. Propiedades métricas de los diámetros y asíntotas. — Se t i e n e n p a r a la h i p é r b o l a los t e o r e m a s de Apolonio. que se d e m u e s t r a n de la m i s m a f o r m a que en el caso de la elipse. ( P r i m e r teorema de Apolonio) : La diferencia de los cuadrados de las semilongitudes de dos diámetros conjugados es constante. (Segundo teorema de Apolonio) : El área del paralelogramo construido sobre dos semidiámetros conjugados es constante. E l p r i m e r t e o r e m a de Apolonio, s i r v e como en el caso de la elipse p a r a d e t e r m i n a r los d i á m e t r o s c o n j u g a d o s de la m i s m a longitud. Siendo a'- — b'2 = a2 — b2, dos diámetros conjugados de una hipérbola no pueden ser iguales, salvo en el caso en que la^ hipérbola sea equilátera y entonces son iguales todos. U n a h i p é r b o l a e q u i l á t e r a tiene entonces s i e m p r e como ecuación respecto de un p a r de d i á m e t r o s c o n j u g a d o s [6] x2 — y2 = a'2 TEOR. 3 .

1

P-n e f e c t o , de la r e l a c i ó n c h — s h - < p — 1. s e d e d u c e q u e las e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s «le Ja h i p é r b o l a s o n t a m b i é n x = o ch y, y — l) sh
I A S

126

CÓNICAS

§ 1 8 - 5

Consideremos a h o r a una hipérbola r e f e r i d a a sus asíntot a s (fig. 6 0 ) . Su ecuación es (§ 16, [ 9 ] ) entonces xy = k-. V a m o s a d a r aho1 1 r a el valor de k en f u n \i I ción de las longitudes /\ I a y b del e j e real y del / c \l imaginario. y i \ \ j / Sean A A ' y B B ' los / ejes, l a e c u a c i ó n d e R / / / /KL es 2/ = x ; la de la 2 , h i p é r b o l a es xy = k , c M ^ ¡\ \ > luego l a s c o o r d e n a d a s / 6 Í \ f V ^ ' X de A s o n x = y = k; / / \ ¡ / Pero a; = OM, 7/ = MA, / /8' puesto que como diji./ \ \ l / nios (§ 16-5), el rec\ JQ> tángulo C C ' Í C ' C I tiene { / como d i a g o n a l e s las I a s í n t o t a s . El r e c t á n g u Ij lo OACiB' t i e n e su dia' ! gonal A B ' p a r a l e l a a Fie. r,o. O Y, luego se t i e n e K = # =

OM =

=

I \ / O A - -F OB-' =

I Y «" + />'-

y obtenemos como ecuación de la hipérbola r e f e r i d a a sus asíntotas la 4 xy

[7]

= os + fe-

V a m o s a d e m o s t r a r a h o r a la propiedad s i g u i e n t e : El triángulo formado por la tangente a la hipérbola en un pinito y las asíntotas, tiene área constante. Sea en efecto (véase f i g u r a 60) T 0 OTx el t r i á n g u l o f o r m a do por la t a n g e n t e en T a la hipérbola y las a s í n t o t a s . Como (Teor. 1 del § 16-4) T es el p u n t o medio de T 0 T, si (x, y) son las coordenadas de T, las de T 0 son (0, 2y) y las de T x son (2a.', 0) ; el á r e a del t r i á n g u l o es A — l- OT„ X OT, X sen a = 2.x . y sen a = 21c- sen a siendo a el ángulo de las a s í n t o t a s es, por t a n t o , constante. Si t o m a m o s como t r i á n g u l o COCi, se ve en seguida que su á r e a es a . b, luego el á r e a de cualquier t r i á n g u l o f o r m a d o por una t a n g e n t e y las a s í n t o t a s , t i e n e por á r e a el producto de las semilongitudes de los ejes. TEOR. 4.

5. Normales a la hipérbola. — El estudio de las normales a la h i p é r b o l a se hace en f o r m a completamente análoga al des-

§

18 -6

127

P R O P . M É T R I C A S DE L A H I P É R B O L A Y DE LA PARÁBOLA

a r r o l l a d o en el caso de la elipse. Nos l i m i t a r e m o s a d a r los resultados e i n d i c a r a l g u n a s p a r t i c u l a r i d a d e s . La ecuación de la n o r m a l a la hipérbola en un p u n t o dado M(a; 0 ,2/o) de la h i p é r b o l a es [8] b-Xo(y — y,)) = — a2y0(x — x „) La tangente y la normal a la hipérbola en un punto son bisectrices del ángulo formado por las rectas que unen el punto a los focos (propiedad que sirve p a r a t r a z a r la t a n g e n t e a la hipérbola en un p u n t o ) . L a s ecuaciones de las n o r m a l e s p a r a l e l a s a una recta dada de coeficiente a n g u l a r m s o n : TEOR. 5 .

r m

.

M ( a

2

- f ¿ > - )

y = mx ± — = 2 V a — b- mluego p a r a que e x i s t a n n o r m a l e s p a r a l e l a s a una recta dada debe ser ' m ¡ < a/b, lo cual es lógico que suceda ya que sólo existen en la hipérbola t a n g e n t e s de coeficiente a n g u l a r m, tal que ¡ m j > b/a. [9]

Las normales que pasan por un punto del plano se obtienen: sea por la determinación de las coordenadas (a*o, i/o) cíel pié de la normal, que son las soluciones del sistema [10]

~

2

2

— —r• = ab~

1 ,

b'x0

(y, —ya)

+ cr y<,(x, — ¡s») = 0

sea m e d i a n t e la determinación de los coeficientes a n g u l a r e s n o r m a l e s , los cuales deben s a t i s f a c e r a Ja ecuación en m

ril]

de dichas

(y — mxi)' (a8 — b2mr) — (a2 + 6 2 ) 3 m 3 = 0

y se obtiene que, por un pinito pueden trazarse normales a uva elipse y a lo más cuatro.

siempre

por lo menos dos

6. L a parábola en coordenadas ortogonales. — Sea una par á b o l a de ecuación y-= 2px; la t a n g e n t e en un p u n t o (¡r0, l/o) t i e n e como coeficiente a n g u l a r m = p/yn; el ángulo a que f o r m a el eje OX con la t a n g e n t e viene dado por ^ °

m• sen 9 1 + ra eos 0

siendo 0 el ángulo que f o r m a n los e j e s coordenados. Luego, p a r a que la t a n g e n t e sea p e r p e n d i c u l a r al e j e OX, debe ser 0 = 1 —f- m eos 0 = 1 —r*

eos 0

;

y0 = — P eos 0

VJ

por consiguiente, si r e f e r i m o s la p a r á b o l a al d i á m e t r o y a la t a n g e n t e que p a s a n por el p u n t o de o r d e n a d a — p eos 0, tendremos la parábola referida a un sistema cartesiano ortogonal, de forma que su ecuación sea del tipo [12] y- = 2 px

LAS C Ó N I C A S

123

II

-7

§

18 -7

PROF. M É T R I C A S DE LA H I P É R B O L A Y DE LA PARÁBOLA

129

DEF. 4. El punto de c o o r d e n a d a s {p/¿, 0) se denomina el foco de la p a r á b o l a y la r e c t a de ecuación x = — p/2 la directriz.

f o r m a la t a n g e n t e con el radio vector y con el e j e de la c u r v a Luego t e n e m o s :

DEF. 5. La parábola tiene el e j e OX como eje de s i m e t r í a ortogonal. El origen O se denomina el vértice de la parábola. Si o es la distancia de un p u n t o M ( Í C 0 , y») de la parábola, a un foco se tiene

bisectriz al eje. Resulta de esta propiedad que un r a y o i n t e r i o r paralelo al eje, incidente en M, debe r e f l e j a r s e según el radio vector MF, pues uno y otro f o r m a n ángulos iguales con la t a n g e n t e , y t a m b i é n son iguales, por t a n t o , los ángulos que f o r m a n con la normal. E n esta propiedad física se f u n d a el n o m b r e de foco, dado al p u n t o F, donde convergen los r a y o s r e f l e j a d o s , y por ella se a d o p t a p a r a los r e f l e c t o r e s un p e r f i l parabólico. Vimos en (§ 1 6 - [ 1 4 ] ) que la ecuación que nos da los coeficientes a n g u l a r e s de las t a n g e n t e s que p a s a n por un punto M(xlfyx) era 2xt m2 — 2t/i m + p — 0

O2 = j

x

|-J + y- = x- — px -+-

+ 2px = | a +

es decir Q = x + p/2, que es la distancia de M a la directriz. P o r c o n s i g u i e n t e : los p u n t o s de la p a r á b o l a e q u i d i s t a n del foco y de la directriz. R e c í p r o c a m e n t e : si un p u n t o M ( x , y ) equidista del foco y de la directriz, se t i e n e : ^ +

= (x

+ y2

ó

px = — px + y2;

luego, M pertenece a la p a r á b o l a . enunciar:

y- = 2 p x

Podemos por consiguiente

La parábola es el lugar que equidistan de una recta llamada denominado foco.

geométrico de los puntos directriz y de un punto

TEOR. 6.

La tangente en un punto a una parábola es la del ángulo que forma el radio vector con la paralela

TEOR. 7 .

p a r a que las dos t a n g e n t e s sean p e r p e n d i c u l a r e s , es necesaric y s u f i c i e n t e que su p r o d u c t o sea —1, es decir, que v &¡r

=

, ~ i

;

*

=

P ~

t

luego: El lugar de los puntos desde los que se puede trazar dos tangentes a la parábola, perpendiculares entre sí, es la directriz. El d i á m e t r o que p a s a p o r M c o r t a (véase f i g u r a 61) a la directriz en un p u n t o N y se tiene M N = x + p/2 = M F , luego el t r i á n g u l o M F N es isósceles, la t a n g e n t e MT, que acabamos de ver es la bisectriz del ángulo en M, es por consig u i e n t e t a m b i é n a l t u r a y mediana, luego los punt os F y N son simétricos respecto de la t a n g e n t e . Se tiene así la p r o p i e d a d : El lugar geométrico de los puntos simétricos del foco respecto de las tangentes a Ja parábola es la directriz. T E O R . 8.

7. Propiedades métricas en la parábola. — Consideremos un p u n t o M(.v,,,?/„) (fig. 61) de la p a r á b o l a d e e c u a c i ó n y2 = 2 p x . La t a n g e n t e que pasa por M tiene como ecuación (§ 16, [ 1 0 ] ) , yy0 = px -f + y
= px +I —

= px +I px0

luego x = — a'o. L a s c o o r d e n a d a s del punto T de intersección de la t a n g e n t e con OX son (—.r 0 , 0 ) . E l segmento F T tiene c o m o longitud x 0 H — p/2 q u e e s i g u a l a la i o n g i t u d de F M . S i e n d o isósceles el t r i á n g u l o M F T , son iguales los ángulos que

8. Normales a la parábola, — D a d a u n a p a r á b o l a de ecuación y = 2nx la n o r m a l en un p u n t o M (.r.,, y.) de la p a r á b o l a t e n d r á coro' ecuación, deducida de la ecuación de la t a n g e n t e en M, 3

[13]

y— y„

— (x— Xo)

ó

JÍ

y—¿"o

-¡

— p

( x \

^—) = 0 % ¿p /

P a r a d e t e r m i n a r las n o r m a l e s p a r a l e l a s a u n a r e c t a d a d a , observemos p r i m e r o que la r e c t a no puede ser p a r a l e l a a OY, ya que no h a y t a n g e n t e s p a r a l e l a s a O X ; sea a h o r a m el coeficiente a n g u l a r d e . l a r e c t a d a d a ; v a m o s a d e t e r m i n a r las c o o r d e n a d a s (x<>,y,) del pié de la n o r m a l , las cuales deben s a t i s f a c e r al s i s t e m a y»' = 2 pxo

;

m =

—

V

en el aue la p r i m e r a ecuación e x p r e s a que (x„, 7/n) e s t á en la p a r á b o l a .

130

LAS CÓNICAS

§ 19-9

la s e g u n d a que la n o r m a l en él tiene como coeficiente a n g u l a r m. solviendo el sistema se t i e n e :

Re-

2 X

y la ecuación de la única [14]

-

°

ü ¿M

n o r m a l p a r a l e l a a la dirección d a d a es

y + mp = m ( # —

Vamos la p a r á b o l a coordenadas Expresemos [15]

ó

y = mx — pm ( 1 +

a h o r a a resolver el p r o b l e m a de d e t e r m i n a r las n o r m a l e s a que p a s a n por un p u n t o (#1,2/1) del plano. Sean (xo, 2/0) l a s de los piés de una de l a s n o r m a l e s que p a s a n por el punto. que la n o r m a l en (x,h t/o) p a s a por (£1,2/1) -

l/i — V» +

¡J^ ) =

0

ó

3

2/o +

2p(p — xl)ya

— 2p'yl

— 0

y l a s raíces de esta ecuación de t e r c e r g r a d o en yo nos d a n las ordenadas de los pies de las n o r m a l e s que p a s a n por (#12/1). P u e d e t a m b i é n resolverse este problema buscando los coeficientes ang u l a r e s de l a s n o r m a l e s que p a s a n por el p u n t o . P a r a que u n a n o r m a l de coeficiente a n g u l a r m p a s e por (#1, 3/1) se h a de cumplir g [16] 1/1 = mx 1 — pm y 1 + ó pm3 + 2(p — #1) m + 2yi = 0

§

18 -9

PROF. M É T R I C A S DE LA H I P É R B O L A Y DE LA PARÁBOLA

siendo s i e m p r e p m a y o r que cero y q, m a y o r , igual o menor que cero, según que la c u r v a sea hipérbola, p a r á b o l a o elipse. El caso de la p a r á b o l a es la f o r m a que a c a b a m o s de estudiar. D a d a una elipse por su ecuación *

a-

Consideremos la c i r c u n f e r e n c i a de c e n t r o

£C 1

— f 79

í/i

^— , -j-

que p a s a

por el o r i g e n ; su ecuación es x2 + y3 —

(#1 + p) x—

-y-

y = 0.

L a s o r d e n a d a s de los p u n t o s de intersección de esta c i r c u n f e r e n c i a con la p a r á b o l a son las r a í c e s de la ecuación - $ r + • - < » S u p r i m i e n d o la forma

raíz

+ *> 1 T - T - *

y — 0 y

=

s i m p l i f i c a n d o , la

y3 + 2p (.p — .v,) y — 2p"y1

=

0

-

ecuación

toma

la

0

que no es otra que la ecuación [15] luego, los p u n t o s de intersección de la c i r c u n f e r e n c i a con la p a r á b o l a son los pies de l a s n o r m a l e s que b u s cábamos. De a q u í se deduce t a m b i é n la p r o p i e d a d s i g u i e n t e : T e o r e m a 9 : La circunferencia que pasa por los pies de las normales, trazada desde un punto a la parábola pasa también por el vértice de la parábola.

9. Forma trinomia común a las ecuaciones de las tres cónicas. — V a m o s a ver que m e d i a n t e una traslación del origen a un vértice de la cónica, las t r e s c u r v a s tienen una ecuación de la f o r m a [17] y- = 2 p x -f qx'1

b-

=

1

si llevamos el origen al vértice ( — a , 0 ) , su ecuación toma la forma V

2b"b'- 1 = x — —r x a a-

A n á l o g a m e n t e si llevamos el origen al vértice (n, 0) de la hipérbola de ecuación ¡r8 a-

o

y l a s r a í c e s de esta ecuación de t e r c e r g r a d o en m nos d a n los coeficient e s a n g u l a r e s de l a s n o r m a l e s que p a s a n por el p u n t o (#1,2/1). Observemos aue se p a s a de la ecuación [15] a la ecuación [16] por el cambio de v a r i a b l e y0 = —pm. Se puede d a r u n a solución g e o m é t r i c a a este p r o b l e m a d e t e r m i n a n d o las intersecciones de la p a r á b o l a con una c i r c u n f e r e n c i a .

+ 4 r

v-

b-

= 1

obtenemos la ecuación. 2b•* = — •

b+ - i r

„ «*

R e c i p r o c a m e n t e dada u n a ecuación de la f o r m a [17], si llevamos ei origen al p u n t o ( p / q , 0 ) , obtenemos la ecuación de u n a elipse de s e m i e j e s a — —p/q; b = p/\¡— q, si es q < 0, y si q > 0, obtenemos la ecuación de una hipérbola de semiejes a = p/q; p = p/yfq. Consideremos las cónicas de ecuación y- = 2 p x + qx-; supongamos q variable, pero s i e m p r e q =4= 0 ; la ecuación r e p r e s e n t a entonces u n a hipérbola o una elipse en las que p e r m a necen f i j o s el e j e y un v é r t i c e ; si hacemos t e n d e r q hacia cero el segundo vértice cuya abscisa es — 2 p / q , se d e j a i n d e f i n i d a m e n t e sobre el e j e OX y la ecuación tiene como límite la de una p a r á b o l a ; puede pues c o n s i d e r a r s e la p a r á b o l a como la c u r v a límite de una elipse o de una hipérbola variables en las que un eje y un vértice p e r m a n e c e n constantes, m i e n t r a s el o t r o vértice se a l e j a i n d e f i n i d a m e n t e . Si consideramos p y q variables, existen i n f i n i t a s m a n e r a s de hacer t e n d e r u n a elipse o una hipérbola variables hacia una p a r á b o l a d e t e r m i n a d a , b a s t a c o n s i d e r a r p y q como f u n c i o n e s de un cierto p a r á m e tro, tales que se t e n g a p a r a un m i s m o valor de el p a r á m e t r o limp = p,„ (siendo p0 el coeficiente de la ecuación de la p a r á bola d a d a ) y lim q = 0. H a y , pues, i n f i n i t a s posibilidades de h a c e r t e n d e r la hipérbola o la elipse hacia la p a r á b o l a y se puede i m p o n e r a l g u n a condición s u p l e m e n t a r i a como la de c a s a r por un punto, etc.

SVDINQO S V I

132

§

19.

§

19

-1

FOCOS Y DIRECTRICES DE LAS CÓNICAS

1. Definición común a las tres cónicas. — L a s definiciones que hemos dado de las cónicas, sea m e d i a n t e sus ecuaciones, sea como l u g a r e s geométricos, no p r e s e n t a n g r a n analogía, por lo m e n o s a p r i m e r a vista. V a m o s a ver que puede d a r s e una definición geométrica común a las t r e s cónicas y p a r a ello v a m o s a d e m o s t r a r p r e v i a m e n t e el siguiente t e o r e m a : El lugar geométrico de los puntos tales que la razón de distancias a un plinto fijo y a una recta fija es constante, es una elipse, una hipérbola o una parábola, según que la razón sea menor, igual o mayor que la unidad. T E O R E M A 1.

DEF. 1. Al valor constante de dicha r a z ó n de d i s t a n c i a s se denomina la excentricidad de la cónica. El p u n t o fi.io se den o m i n a foco de la cónica y la r e c t a f i j a directriz de ia cónica ( m á s adelante veremos que estas definiciones coinciden con las d a d a s a n t e r i o r m e n t e ) . Consideremos un sistema de coordenadas c a r t e s i a n a s ortogonales tal que el eje OX sea la p e r p e n d i c u l a r t r a z a d a por el foco a la directriz y el origen sea el p u n t o O de OX, situado e n t r e el foco y el p u n t o de intersección de OX con la directriz y tal que la r a z ó n de distancias de O al foco y a la directriz sea igual a la excentricidad. Sabemos (§§ 17-2; 18-2) que dicho p u n t o existe siempre. T o m e m o s como semieje positivo de abscisas, el que contiene al foco. B a j o e s t a s hipótesis las coord e n a d a s del foco y la ecuación de la directriz son ke 1 +

0 e

\ I

:

k

x =

1 + e

(en donde k es la distancia del foco a la d i r e c t r i z ) . L a ecuación del l u g a r geométrico se o b t e n d r á e x p r e s a n d o que la r a z ó n de d i s t a n c i a s de un p u n t o M ( z , y) del l u g a r al foco y a la directriz es igual a la excentricidad, o lo que es lo mismo, como todos los elementos son positivos, t o m a n d o los cuadrados ke X

R + R J

\2 , +

o F

, I -

E

" (*

, +

k

\2

T + T /

D e s a r r o l l a n d o y s i m p l i f i c a n d o esta ecuación se obtiene* [1]

y- = 2kex +

(e- — l)®2

que es (§ 18-9) 1P. ecuación t r i n o m i a de una c ó n i c a ; elipse si es e < 1 ; p a r á b o l a si es e = 1 ; hipérbola si es e > 1. Queda, pues p r o b a d o el t e o r e m a .

§ 19 - l

FOCOS Y D I R E C T R I C E S DE L A S C Ó N I C A S

133

Si el foco e s t á s i t u a d o en la d i r e c t r i z , se t i e n e k = 0, la ecuación a n t e r i o r t o m a la f o r m a y-= (e"—1) x* que r e p r e s e n t a , si e = 1, el e j e OX como r e c t a doble; si e > 1 las dos r e c t a s y — bx = 0; y -f- 6a; = 0, siendo b~ — e' — 1; f i n a l m e n t e , si e < l no existe n i n g ú n p u n t o r e a l que s a t i s f a g a a la ecuación.

Cuando es e < 1, la ecuación [1] r e p r e s e n t a una elipse cuyos s e m i e j e s vienen dados por las relaciones ( c o m p a r a n d o con § 18-9) (e- — 1)J

'

1—e-

y se tiene como e < 1 c

a-'

.

~

/

a-

E s decir que la definición de excentricidad que dimos (§ 17, Def. 2) p a r a la elipse coincide con la n u e v a que a c a b a m o s de d a r . De la m i s m a f o r m a se p r u e b a p a r a el caso de la hipérbola. Consideremos a h o r a una elipse de ecuación [ 1 ] ; un foco de coordenadas (c, 0) y la r e c t a de ecuación x = a/e. Teniendo en cuenta la r a z ó n de distancias de un p u n t o M ( x , y) de la elipse al p u n t o y a la r e c t a es a — ex a/e — x

= e

luego el p u n t o y dicha recta son foco y directriz de la elipse. A n á l o g a m e n t e se p r o b a r í a p a r a el p u n t o (—c, 0) y p a r a la r e c t a de ecuación x = — a/e. El mismo r a z o n a m i e n t o aplicado a la hipérbola nos probar í a que el p u n t o (c, 0) y la r e c t a de ecuación x = aje son foco y directriz de la p a r á b o l a , y lo m i s m o el p u n t o (—c, 0) y la recta de ecuación x = — a/e. DEF. 2. Podemos, por consiguiente, e n u n c i a r a h o r a la definición común a las t r e s cónicas: Cónica es una curva lugar geométrico de los plintos cuya razón de distancias a un punto y a una recta es contante. El r a z o n a m i e n t o a n t e r i o r no es aplicable al caso de la circ u n f e r e n c i a , en que la excentricidad es cero. E n s e g u i d a v a m o s a p r o b a r que los únicos focos y directrices de la hipérbola y la elipse son los que hemos encontrado, así como que la p a r á bola sólo t i e n e un foco y una d i r e c t r i z ; y veremos i g u a l m e n t e que la c i r c u n f e r e n c i a carece de focos y directrices, es decir, q u e : la definición de cónica que acabamos de dar no es aplicable a la circunferencia.

LAS C Ó N I C A S

134

§

19 -2

2. Ecuación focal de las cónicas. — Consideremos un sist e m a c a r t e s i a n o r e c t a n g u l a r , un p u n t o F de coordenadas a y (3 y u n a r e c t a el de ecuación ix + ,uy + ,• = 0. U n a cónica que t e n g a a F como foco y a d como bisectriz, t e n d r á como ecuación, si su excentricidad es e,

(* — « ) » + (2/ — P ) 2 = (Ix + my + nV-

[2] en donde l, =

. ek V

A2 +

m = |X-

, eu' Y + r

ev n = ———— V Á2 +

DEF. 3. L a ecuación [2] se denomina ecuación focal de. la cónica y t o d a ecuación de esa f o r m a r e p r e s e n t a una cónica. E n e f e c t o : s u p o n g a m o s una ecuación del tipo [2] siendo a, (3, l, ra y n n ú m e r o s a r b i t r a r i o s . Si es l = ra = 0, se obtiene a ecuación de una c i r c u n f e r e n c i a ; en caso c o n t r a r i o sea F el p u n t o (a, (3) y d la r e c t a de ecuación lx-\-my-\-n = 0. Si M (x,y) es un p u n t o cuyas coordenadas s a t i s f a c e n a la ecuación, t e n d r e m o s que los c u a d r a d o s de las distancias de M a F y a d son, r e s p e c t i v a m e n t e , y

v ~i~ 171

y el c u a d r a d o de la r a z ó n de distancias es ( x - a ) 2 + (?/ — ( 3 ) 2 (Ix 4- my -\-n)2 pero como .r e y s a t i s f a c e n a la ecuación [2], el p r i m e r f a c t o r es igual a la unidad, luego la r a z ó n de distancias es y l- + ra2, que es constante cualquiera que sea M, luego la c u r v a ele ecuación [2] es una cónica de foco F ( a , (3), cuya directriz es la recta Ix -)- my -j- n = 0 y cuya excentricidad es y l- + ra-'. P u e d e d a r s e o t r a f o r m a a la ecuación focal de las cónicas utilizando la ecuación n o r m a l de la directriz x eos cp +

y sen cp — d = 0

en este caso los coeficientes l, m y n valen i = e eos

cp

m = e sen

cp

n = — ed

y la ecuación t o m a la f o r m a [31

(x — a)2 +

FOCOS Y D I R E C T R I C E S DE L A S C Ó N I C A S

( y — (3)2 •— e-(x eos cp -f- y sen 9 — d) - — 0

que tiene la v e n t a j a de poner de m a n i f i e s t o la excentricidad.

135

3. Determinacón de los focos y directrices de las cónicas. — V a m o s a h o r a a d e t e r m i n a r los focos y directrices de la elipse, hipérbola y parábola, p r o b a n d o que sólo existen los que encont r a m o s a n t e r i o r m e n t e , es decir dos focos y dos directrices en la hipérbola y elipse y un solo foco y u n a sola directriz en el caso de la p a r á b o l a . P a r a que un p u n t o F ( u , (3) y una recta de ecuación lx-\ + my -\-n — 0, sean foco y directriz de la elipse de ecuación

[I2

y que se obtiene e x p r e s a n d o que la razón de distancias de un p u n t o cualquiera de la cónica a F y d es e.

( * _ „ ) ' + ( » —p)«

§ 19 - 3

a-

b-

se tiene que poder p o n e r esta ecuación en la f o r m a (x — a ) 2 H- (y — (3)'- — (Ix + my + n)2

= 0

y p a r a ello t i e n e n que ser proporcionales los coeficientes de a m b a s ecuaciones, es decir se h a ele t e n e r

[4]

1 — l2 = - K aIm = 0

.

,

1 — ra2 =

k

b-

'

In 4- a = 0 , mn -+-(3 = 0 — n2 = — k.

,

El problema de d e t e r m i n a r los focos y directrices de la elipse se r e duc e por t a n t o a la solución del sistema [4] de seis ecuaciones con seis incógnitas, a, |3, l, m, n y el coeficiente k de proporcionalidad. De la t e r c e r a ecuación se deduce que ó l — 0, ó m — 0. Tomemos la s e g u n d a solución, ra = 0 ; reemplazándola en la segunda y q u i n t a se o b t i e n e : k = b2; (3 = 0 ; reemplazando en la p r i m e r a , t e n e m o s a-

a~

a

y reemplazando a h o r a en c u a r t a y sexta, ± — n + a = 0 a -ü2 a-

;

a 2 = Ar n'J a-

= — b2

;

;

(Ar — 1 ) n 2 = — b2 \ a/

n2 = a2

;

n = =í= a

;

;

como la ecuación de la directriz se puede multiplicar por una constante, en p a r t i c u l a r por —1, podemos t o m a r n = a, y entonces se t i e n e : a =

c — a

a =

=p c.

L A S

13G

CÓNICAS

§ ly

-3

E n r e s u m e n la solución del sistema, cuando se p a r t e de m — 0, es a — qz c

;

(3 — 0

l = ±

;

— (i

;

M = 0

:

n — a.

Consideremos a h o r a la solución l = 0 ; r e e m p l a z a n d o en la p r i m e r a y c u a r t a se obtiene a = 0, k — a2, y r e e m p l a z a n d o en la s e g u n d a se obtiene

y como a > b, no existe solución real del sistema. P o r consiguiente a) Los únicos focos reales de ta eupse son los ya conocidos F ( c , 0) y F ' ( — c , 0) que tienen como directrices correspondientes las rectas de ecuaciones x = a-ft y x — —a-/c. E n el desarrollo a n t e r i o r hemos supuesto s i e m p r e a -*= b. Si es a = b, es decir c = 0, el sistema [4] de ecuaciones adm i t e como único sistema de soluciones a = 0 , [3 = 0 , 1 = 0 , m = 0 , n = y k TEOR. 2.

y como los valores de l, m y n no d e f i n e n una r e c t a propia del plano, obtenemos el r e s u l t a d o que e n u n c i a m o s a n t e r i o r mente : La circunferencia no está comprendida dentro de la definición de las cónicas como lugar geométrico de los puntos cuya razón de distancias a un punto y una recta, ambos fijos, es constante. Si se c o n s i d e r a n elementos i m a g i n a r i o s , el s i s t e m a [ 4 ] a d m i t e como soluciones, a d e m á s de l a s d a d a s , l a s s i g u i e n t e s (que c o r r e s p o n d e n al caso 1=0) : a = 0

,

P =

±

ic

,

m = + i -~

O

,

n = b

,

l = 0

es d e c i r : q u e a d e m á s de los dos focos reales, la elipse a d m i t e o t r o s dos i m a g i n a r i o s s i t u a d o s sobre el e j e OY de c o o r d e n a d a s (0, ic), ÍÜ, — i c ) y dos d i r e c t r i c e s i m a g i n a r i a s de ecuaciones y = — ib2/c, yz=ib'/c,

Un r a z o n a m i e n t o y un cálculo c o m p l e t a m e n t e análogos a los que a c a b a m o s de d e s a r r o l l a r (se reduce la d i f p r e n d a a c a m b i a r b- en — b - ) nos p r o b a r í a q u e : b) los únicos focos reales de la hipérbola son los F C c , 0 ) V F ' ( — c , 0 ) , y las únicas directrices son las de ecuaciones x = a-Je, x = — a- /c. T a m b i é n como en el caso de l a elipse, la h i p é r b o l a t i e n e dos focos i m a g i n a r i o s de c o o r d e n a d a s (0, ic) y (0, — i c ) y dos d i r e c t r i c e s imagin a r i a s de ecuaciones y = — ib-/c; y = ib2/c.

i ) a d a a h o r a una p a r á b o l a de ecuación y- = 2 p x , el m i s n u

§ 19

-4

137

FOCOS Y D I R E C T R I C E S DE L A S C Ó N I C A S

r a z o n a m i e n t o empleado p a r a la elipse nos llevaría a la conclusión de que p a r a que un p u n t o (ex, (3) y una recta de ecuación Ix + my + n = 0 sean foco y directriz de una p a r á b o l a se h a n de cumplir las siguientes condiciones: r 1 — l- = 0

2

1 — m

;

1. In + a = kp

;

k

=

;

mn -{-(3 = 0

hn = 0 ; a- -f (3- — n- — 0 .

Vamos a resolver este sistema que reemplaza al [4], en el caso de la elipse. L a p r i m e r a ecuación nos da l = ± 1, tomemos l = + 1 , y a que se puede multiplicar por la c o n s t a n t e —1 la ecuación de la d i r e c t r i z ; la t e r c e r a ecuación nos da m = 0, la segunda k = 1 y la q u i n t a (3 = 0. Reemplazando en la c u a r t a y la s e x t a se tiene p = n + a ; a2 — n- = 0 ; a = ± n ; como =¡= 0 ; a = n = p/2. Las únicas soluciones del sistema [5] son, pues, ix = 4 r "

.

[3 = 0

,

1= 1

,

m —0

,

n =

d

2

se t i e n e : c) La parábola rectriz de ecuación

tiene un solo foco x = — p/2.

(p/2, 0) y una sola di-

4. Ecuaciones de las cónicas en coordenadas polares, — S u p o n g a m o s un s i s t e m a de c o o r d e n a d a s c a r t e s i a n a s r e c t a n g u lares y u n a cónica que t e n g a un foco en el origen y la directriz paralela al eje OY. L a ecuación [3] de la cónica t o m a entonces la f o r m a x2-\-y2 — e2(x — d)2 = 0. Si consideramos a h o r a un sistema de coordenadas polares con el origen en el foco y con el e j e OX como e j e polar, la ecuación a n t e r i o r t o m a la f o r m a g2 — e 2 ( o cosco — d)2-- 0 que se descompone en las dos ecuaciones y

=

i

— ed e eos

. OJ

Q

=

ed l -f- e eos to

pero como se pasa de una ecuación a o t r a por la t r a n s f o r m a ción de o en —o y ele to en co + x, a m b a s ecuaciones representan la m i s m a c u r v a . Si ponemos p = — ed, la ecuación t o m a la í o r m a p , l i e r [6] o = o — cosa) 1 — e eos co o p p que es la ecuación general de las cónicas que tienen un foco en el polo y el eje focal como eje polar. Como la directriz tenía en el sistema c a r t e s i a n o como ecua-

138

LAS C Ó N I C A S

§

19

-5

5

i'J

ción la x = d, su ecuación en polares es q eos to = — p / e ó 1 e [71 eos co. Q P Si a h o r a tomamos un sistema de coordenadas polares con el mismo polo pero con distinto eje polar, la ecuación [6] tom a la f o r m a l i e , COS(O)— a). Q V V Poniendo C 0 1 [8] a eos a ; o = — — sen a ; c = — V P V la ecuación toma la f o r m a [9]

— = a eos (o-l- b sen o> 4- c Q que es la ecuación general de las cónicas que tienen un foco en el polo, que depende de t r e s p a r á m e t r o s . Recíprocamente toda ecuación de este tipo r e p r e s e n t a en coordenadas polares u n a cónica, pues de las f ó r m u l a s [8] se pueden deducir los valores de a, p y e en f u n c i ó n de a, b y c mediante las fórmulas t g a = —b ; p = —1 ; , = VaH by los valores de a, p, e d e t e r m i n a n la cónica (a determina el eje focal, p la directriz y e es la excentricidad). La ecuación de la directriz de una cónica d e f i n i d a por la ecuación [9] se deduce de [7] y es — = 1

Q

e

p

t eos (co— a)\

o'

1

Q

es decir, que la ecuación de la directriz en la ecuación de la cónica el término

= a cosco +1 7 o sen co se obtiene constante.

suprimiendo

5. C ó n i c a s h o m o f o c a l e s con c e n t r o . — DEF. 4. Se l l a m a n cónicas homofocales con centro a las elipses o h i p é r b o l a s que t i e n e n los m i s m o s focos. C o n s i d e r e m o s u n s i s t e m a c a r t e s i a n o o r t o g o n a l y dos p u n t o s de coord e n a d a s (c, 0) y (—c, 0 ) . U n a elipse o u n a h i p é r b o l a q u e t e n g a n e s t o s f o c o s t i e n e n r e s p e c t i v a m e n t e como e c u a c i o n e s r3 x a c + b" + b " ~ ' c* — b2 q u e p u e d e n p o n e r s e en la f o r m a g e n e r a ]

[10]

r r - ^ - mr + - f " = 1

l 4- c X en donde }. t o m a los v a l o r e s s i g u i e n t e s :

¡r b"

~

a) b)

139

FOCOS Y DIRECTRICES DE LAS C Ó N I C A S

5

). > 0 y la ecuación r e p r e s e n t a u n a el i pac. — c 2 < ). < 0 y la ecuación r e p r e s e n t a u n a

hipérbola.

,..a ecuación [10] es la ecuación de la serle de cónicas homofocales. Sea M y<>) un p u n t o del p l a n o ; la condición n e c e s a r i a y s u f i c i e n te p a r a que u n a cónica de la serie p a s e por él es Xu /.

-r-

C'

+

V»

1

—

/.

o bien

(ca—

V +

[11]

y
— i/o2c2 = 0.

Si p a r a /. ^ ü el t r i n o m i o es n e g a t i v o , luego la ecuación t i e n e dos r a í c e s r e a l e s , /.i y /.« de signos opuestos por s e r — — y
L

-I-

1

C

es d e c i r X = x
F\g.

Si Xo = ± c es /. = 0, serie. Si x c es ?. > 0 y P a s e m o s a h o r a al caso q u e p o r el p u n t o p a s e u n a solución ú n i c a y p o s i t i v a . Todos e s t o s r e s u l t a d o s

62.

que no c o r r e s p o n d e a n i n g u n a

cónica de la

que tampoco c o r r e s p o n d e a n i n g u n a cónica de si 0 < 'xJ < c es — c < ?. < 0 . en q u e sea $o = 0, 2/o4=0; la condición p a r a cónica de la s e r i e e s y * = /. que nos d a u n a se r e s u m e n en el t e o r e m a s i g u i e n t e :

Por todo punto del plano no situado en los ejes, pasan una elipse y una hipérbola de la serie. Por los puntos del eje\ OY distintos del centro pasa una elipse. Por los puntos del eje OX interiores al segmento focal y distintos del origen, pasa una hipérbola y por los exteriores una elipse. Por el centro y ¡os focos no pasa ninguna cónica. Sea M(a?o, y») el p u n t o de i n t e r s e c c i ó n de dos cónicas h o m o f o c a l e s ; d i c h a s cónicas t i e n e n como e c u a c i o n e s : TEOREMA 3.

x'1 AI

+

C

+

yi /vi

_ 1 =

V

X2 /V2

+

C

2

»

= 1

en donde h y son l a s r a í c e s de la ecuación [ 1 1 ] . L a s t a n g e n t e s en M a l a s dos cónicas t i e n e n como c o e f i c i e n t e s a n g u l a r e s

140

LAS CÓNICAS

).i Xn : (/.i + c~) yo

7711 = y se t i e n e Wl,

m2 =

-5

—'.. .r. (/o +
X, X2 av

=

Reemplazando ahora ción [ 1 1 ] , se t i e n e :

'

§ ID

2/u" (c* -f- (/-i —f- /.») c -j- ).\ /.«)

h l 2 y h + ^ por sus v a l o r e s d a d o s por la e c u a -

— x* v ? c2 Vil 771-2 = 7 — — : , — 3 Uo (c — c' + c- Xq- +
=

—

1

Dos cónicas ho77iofocales se cortan ortogonalmenfe. T o m e m o s a h o r a u n a r e c t a del p l a n o d e f i n i d a por su coeficiente ang u l a r vio y u n p u n t o (x0, y»), es decir, la r e c t a de ecuación TEOREMA

4.

[12]

y = 2/0 -f m«x — 7710X0.

L a t a n g e n t e o a s í n t o t a a u n a cónica del s i s t e m a h o m o f o c a l p a r a l e l a a e s t a r e c t a t i e n e como ecuación [§ 15 n^ 4] y [§ 16 n 9 3] y = m0x

±

V

(
+ /.)

y p a r a q u e e s t a r e c t a p a s e p o r el p u n t o condición (y
(Va

y

-j- /.

ms

(x0t y.,) /.)

se h a de c u m p l i r la

?>ÍÜ2 +

?.

141

Observación: c u a n d o ). t i e n d e h a c i a cero con v a l o r e s positivos, la cónica e s u n a elipse c u y o e j e m a y o r t i e n d e h a c i a el s e g m e n t o F F ' y el e j e m e n o r h a c i a cero, la posición límite de d i c h a s elipses es pues, el segmento F F ' . Cuando t i e n d e h a c i a cero con v a l o r e s n e g a t i v o s , la cónica e s u n a h i p é r b o l a cuyo e j e r e a l t i e n d e h a c i a F F ' , la posición l í m i t e de dic h a s h i p é r b o l a s es la p a r t e del e j e OX e x t e r i o r al s e g m e n t o F F ' . F i n a l m e n t e c u a n d o l tiende h a c i a —c 2 p e r o c o n s e r v á n d o s e s u p e r i o r a e s t e valor, la c u r v a es u n a h i p é r b o l a cuyo e j e r e a l t i e n d e h a c i a cero y las a s í n t o t a s h a c i a O Y , l u e g o la posición l í m i t e de d i c h a s h i p é r b o l a s es el eje O Y . P u e d e n c o n s i d e r a r s e e s t a s t r e s f i g u r a s como casos l í m i t e s de las cón i c a s de la serie y p e r t e n e c i e n t e s a é s t a , con lo que se consigue d a r u n a m a y o r g e n e r a l i d a d a los t e o r e m a s e n u n c i a d o s en e s t a t e o r í a , p u e s b a j o e s t a s h i p ó t e s i s se ve, p o r e j e m p l o , f á c i l m e n t e , q u e p o r u n p u n t o del plano p a s a n dos cónicas de la s e r i e de l a s que u n a es u n a h i p é r b o l a y la o t r a u n a elipse. 6. P a r á b o l a s h o m o f o c a l e s . — DEF. 5. Se d e n o m i n a n parábolas liomofocales a l a s que t i e n e n el m i s m o foco y el m i s m o e j e . T o m e m o s u n s i s t e m a c a r t e s i a n o o r t o g o n a l , con el e j e común de l a s p a r á b o l a s como e j e OX y el foco como o r i g e n . C a d a p a r á b o l a q u e d a r á d e t e r m i n a d a p o r la d i r e c t r i z c u y a ecuación es x + )* = 0. D a n d o a \ todos los v a l o r e s r e a l e s , s a l v o el /. = 0, o b t e n e m o s t o d a s las p a r á b o l a s de foco O y e j e OX. L a ecuación de la s e r i e de p a r á b o l a s h o m o f o c a l e s s e r á p u e s [ 2 ] ( x + l)2

=

0

que t a m b i é n p u e d e p o n e r s e en ia i o r m a

'Vn — m-> Í>*o ) 1-4- ín.i*

X=

2

2

+ r

7JU Xn

>

^ ^ 0

;

^ ^ > —c •

fio

Vio

L a s condiciones *v«x»—?/c

J?io

. < c

,

, {y0 — vía»)-

. o , < c W .

son e q u i v a l e n t e s y la ú l t i m a e q u i v a l e a que el v a l o r de /. s e a m e n o r que cero, o lo que es lo m i s m o , q u e la cónica sea u n a h i p é r b o l a . N o s q u e d a a h o r a el caso de la r e c t a x = Xo] como e s p a r a l e l a al eje O Y sólo puede ser t a n g e n t e a u n a cónica en los p u n t o s de i n t e r s e c c i ó n de la r e c t a con el e j e O X , luego, s a l v o en el caso en que la r e c t a p a s e p o r los locos o por el o r i g e n , es t a n g e n t e a u n a cónica de la serie, que s e r á u n a h i p é r b o l a si el p u n t o de i n t e r s e c c i ó n e s i n t e r i o r al e j e f o c a l y u n a elipse en caso c o n t r a r i o . R e s u m i e n d o t o d a s e s t a s conclusiones se llega al s i g u i e n t e t e o r e m a : Toda recta, focos, es tanye7üe o asbitota cha cónica es una hipérbola elipse en caso co7\trario. 5.

FOCOS Y DIRECTRICES DE L A S C Ó N I C A S

VloXo)' — 7vr('

L u e g o , con excepción del caso en q u e se o b t e n g a X — 0, s i e m p r e h a y u n a cónica de la s e r i e q u e t i e n e como t a n g e n t e o a s í n t o t a la r e c t a d a d a . El caso de excepción se p r e s e n t a c u a n d o /. = 0, es decir, y0 — ??ioXo — vi;C=0 o lo q u e e s lo m i s m o c u a n d o la r e c t a [12] p a s a p o r el p u n t o (c, 0) o por el (—c, 0 ) . El p u n t o de intersección de la r e c t a de ecuación [ 1 2 ] con el eje O X t i e n e como a b s c i s a

TEOREMA

-6

x* + y* —

y e s t e v a l o r ?. c u m p l e la condición

3

19

a

x

. ,

§

distÍ7ita del eje O Y , q7
y> = 2\

[131

(x + - | )

Si l > 0, l a s p a r á b o las tienen su concavidad h a c i a la p a r t e p o s i t i v a del e j e O X , y si K 0 h a c i a la p a r t e n e g a t i v a (fig. 63). S e a a h o r a (xi,y«) u n p u n t o del p l a n o . P a r a que u n a p a r á b o l a de la s e r i e p a s e p o r él, debe c u m p l i s e la condición [14]

V

+

=

2xc\ — 2/o2 = 0.

E s t a e c u a c i ó n en ). tiene c o m o discriminante x * + yo q u e es s i e m p r e p o s i t i v o , si 2/0 = £ 0 ; luego l a e c u a c i ó n t i e n e dos r a í c e s r e a l e s de signos c o n t r a r i o s p o r ser h, h = — y*. Si yo=0 la ecuación FÍ¿. 63. t o m a l a f o r m a >.(>.+ 4 - 2 x o ) = 0 , que d e j a n d o de lado la solución /. = 0, que no c o r r e s p o n d e a n i n g u n a p a r á b o l a de la serie, a d m i t e u n a solución si e s . r o = ^ 0 y n i n g u n a si es x0 = 0. T e n e m o s asi el t e o r e m a s i g u i e n t e :

r A S

142

CÓNICAS

§

19

-6

Por cada punto del plano no situado en el eje O X , pasan dos parábolas homofocales de concavidades contrarias. Por los puntos del eje OX pasa una sola con excepción del foco por el que no pasa ninguna. C o n s i d e r e m o s a h o r a dos p a r á b o l a s h o m o f o c a l e s que se c o r t a n en u n p u n t o M(a©, y>)} s u s e c u a c i o n e s son

§

20

TEOREMA 6.

-1

CÓNICAS EN

5 20.

GENERAL

143

C Ó N I C A S E N GENERAL

TEOREMA 7.

1. Curvas representables por una ecuación de segundo grado con dos variables. — Ya vimos, al hacer el estudio de la línea recta, que toda ecuación de p r i m e r g r a d o r e p r e s e n t a b a una r e c t a y que recíprocamente toda r e c t a tenía como ecuación u n a de p r i m e r grado. Después hemos dado (§ 15-1) como definición g e n e r a l de cónicas, las c u r v a s cuya ecuación en un sistema de coordenadas c a r t e s i a n a s es u n polinomio de segundo g r a d o en las dos variables x é y, igualado a cero. E n t r e las cónicas vimos que f i g u r a b a n la elipse (de la cual la c i r c u n f e r e n c i a es un caso p a r t i c u l a r ) , la hipérbola y la parábola. A d e m á s vimos que una ecuación de segundo g r a d o podía igualmente d a r n o s uno de los casos s i g u i e n t e s :

+ nhx — m
a) No existe n i n g ú n punto real cuyas coordenadas s a t i s f a g a n a la ecuación de la curva, tal es el caso de la ecuación

r=2), ( í + 7 - )

; y' — 2U ( * +

en donde /.i y /.2 son l a s r a í c e s de la ecuación [ 1 4 ] . L a s t a n g e n t e s en M a a m b a s p a r á b o l a s tienen como c o e f i c i e n t e s a n g i ^ a r e s mi

=

?n2 =

y*

v«

cuyo p r o d u c t o , r e e m p l a z a n d o /.«/..• por su v a l o r — y f —1, luego se d e d u c e la p r o p i e d a d s i g u i e n t e :

s a c a d o de

[14] es

Dos parábolas homofocales son siempre ortogonales. T o m e m o s a h o r a u n a r e c t a del p l a n o d e f i n i d a p o r su coeficiente a n g u l a r nio y un p u n t o (or0, i/>), es decir la r e c t a de ecuación y = y* + L a t a n g e n t e a u n a p a r á b o l a de la serie, p a r a l e l a a esta r e c t a , tiene como e c u a c i ó n :

siendo a, b y c m a y o r e s que 0.

» = < » ( * + - f ) + - ¿

2m

b) E x i s t e un solo punto real cuyas coordenadas satisfacen a la ecuación de la curva, tal es el caso de la ecuación

y p a r a que p a s e pov (x, y*) se na de c u m p l i r la c o n d i c i ó n : Vo

= '»• ( +

x )

4

ax-

¿ r

2

— rih.x.,) a l a que es t a n g e n t e la r e c t a

P a r a q u e sea '/. = 0 tiene que s e r ó m 0 = 0, ó y0 = m<¡Xo, es decir, o la r e c t a es p a r a l e l a al e j e OX, o, por s a t i s f a c e r a l a relación yo = rru x„, p a s a p o r el o r i g e n . ( S u ecuación es y = vux). N o s q u e d a a h o r a el caso de l a s ser t a n g e n t e s a u n a p a r á b o l a de la con el e j e OX, luego, salvo el caso u n a p a r á b o l a de la s e r i e . Se t i e n e origen

by'- =

0

c) L a c u r v a r e p r e s e n t a dos r e c t a s d i s t i n t a s o c o n f u n d i d a s , tal es el caso de las ecuaciones

1 4- wioa

luego si /. =}= 0 se obtiene u n a p a r á b o l a dada.

r e c t a s p a i ' a l e l a s a OY, sólo p u e d e n serie en los p u n t o s de intersección del e j e OY, la r e c t a es t a n g e n t e a p o r c o n s i g u i e n t e el t e o r e m a :

Toda recta no paralela a O X y cine no pase es tangente a una y sólo a una parábola de la serie.

TEOREMA 8.

-f-

siendo a y b m a y o r e s que 0.

de donde se deduce el v a l o r de 7. X =

ax2 - f by2 -f c = 0

por

el

Observación: C u a n d o /. t i e n d e h a c i a cero con v a l o r e s positivos !as p a r á b o l a s t i e n d e n h a c i a el s e m i e j e positivo de las a b s c i s a s y si es con v a l o r e s n e g a t i v o s h a c i a el s e m i e j e n e g a t i v o de las abscisas. Como en el c a s o de l a s cónicas h o m o f o c a l e s con c e n t r o , p u e d e n c o n s i d e r a r s e l a s sem i r r e c t a s como casos l í m i t e s de l a s p a r á b o l a s de l a serie y p e r t e n e c i e n t e s a ésta, con lo q u e t a m b i é n se c o n s i g u e u n a m a y o r g e n e r a l i d a d en los e n u n c i a d o s de los t e o r e m a s ; se t i e n e p o r e j e m p l o que por todo ü u n t e del p l a n o p a s a n dos p a r á b o l a s h o m o f o c a l e s .

(ax + by + c) (mx + ny-\-p)

= ü

;

{ax + by + c)2

= 0.

Vamos a d e m o s t r a r a h o r a que toda cónica, o es u n a elipse, una hipérbola o u n a parábola o nos da uno de los t r e s casos a ) , b ; y c) a n t e s mencionados. Al mismo tiempo que d e m o s t r a m o s esta propiedad, daremos un método muy r á p i d o y práctico p a r a d e t e r m i n a r , dada una ecuación de segundo grado, cuál es la curva que r e p r e s e n t a . E s t e método es el denominado de la formación de cuadrados. 2. E s t u d i o de las cónicas por el método de formación de cuadrados. — Sea la ecuación más general posible de segundo g r a d o en dos variables [1]

ax2 + 2hxy + by2 + 2
y vamos a e s t u d i a r la curva que r e p r e s e n t a en un sistema dado cualquiera de coordenadas cartesianas, r e c t a n g u l a r e s o no. S u p o n g a m o s a =}= 0, multiplicando por a, reuniendo los t é r minos en a; y completando el cuadrado de ax + hy + g, la ecuación [1] t o m a la f o r m a

LAS C Ó N I C A S

144

§ 20

-2

(ax 4 hy -f Q) ~ — h-y- — g- — 2ghy + aby- + 2afy -f ac = 0. poniendo [2] ó = ab — h; X = af— gh ; ¡.i = ac — ges decir [3]

(ax -{-hy + g ) - + by2 -f- 2 X y + n = 0 .

Supongamos ahora 6 =j= 0, multiplicando por 8, reuniendo los términos en y y completando el cuadrado, la ecuación [2] toma la f o r m a [4] b(ax + hy + g)* + (by + \)2 — X2 + ft(l = 0. Calculemos el t é r m i n o independiente de esta ecuación: — X- + 5u = — a'-f- — g'-h- - f 2 a f g h + a-bc — ach- — — abg- -f g-h- = a (abe + 2 fgh — bg- — ch2 — af-) = aA siendo A el d e t e r m i n a n t e

[51

A =

a h g

h b f

+ X = 0, son concurrentes la segunda ecuación y no tomémoslas como nuevos by + X = k-jy'

luego la ecuación [4] t o m a la f o r m a [6] bkfx'2 + k-ry'2 = — aA. Consideraremos a h o r a dos casos distintos según que 6 sea mayor o menor que cero. a) 5 > 0. La curva r e p r e s e n t a entonces (§ 15-2) : Una elipse, si es a. A < 0. U n solo p u n t o real (el o r i g e n ) si es A = 0 . E n este último caso, cuando se consideran elementos imaginarios representa las dos rectas i m a g i n a r i a s \'bkiX' + ik2y' = 0 y \/b/CjX- — ifc¿y' = 0. Una ces que b) Una

curva sin puntos reales, si es «A > O. Se dice entonse tiene una elipse imaginaria. 5 < o. La c u r v a r e p r e s e n t a entonces (§ 15-2) : hipérbola si es A=j=0.

Dos rectas que pasan y — \ f ^ b k i X ' + k«y' = 0) E s t o s resultados h a n y a 4 = 0 ; subsisten si es

20

-2

CÓNICAS EN GENERAL

por el origen (las V-bk\%' + k»y' — 0 si es A = 0. sido obtenidos en las hipótesis 6 O 5 = £ 0 y 6 ^ 0 (haciendo un razona-

145

miento idéntico, o p e r m u t a n d o la x con la y. Observaremos por o t r a p a r t e que el caso a = 0 sólo cabe si es 5 < 0. Pasemos ahora al caso en que suponiendo todavía 5 ^ 0 , sean a = b = 0. Entonces, p a r a que la ecuación sea de segundo g r a d o se debe tener h = j = 0. La ecuación [1] toma ahora la forma 2 hxy = 2 gx + 2 f y + c = 0 [7]

2(fci; = / ) { ' „ + - £ - ) — M i

+

c „ 0.

Como se ve desarrollando esta última y haciendo la traslación f —

x = x'

;

y = y'

q j-

toma la f o r m a [8]

g f c

Las rectas ax + hy + g = 0 y hy por ser nulo el coeficiente de x en serlo, por hipótesis, en la p r i m e r a ; ejes de coordenadas y se t e n d r á : ax + hy + g = k,x' ;

§

2

x V

-

M=S>L.

vSi observamos que, en la hipótesis a =- & = 0, el determin a n t e A vale 2 f g h — ch2, la ecuación [8] t o m a la f o r m a

[9]

x'iy =

A

2/i ¿i

que representa una hipérbola referida a sus asíntotas (§ 16-7) si es A =j= 0, y dos rectas (los e j e s coordenados) si es A = 0, luego subsisten los resultados establecidos. Pasemos ahora al caso en que es 5 = 0. toma la f o r m a

[10]

La ecuación [2]

(ax + hy + g)2 + 2ky + \i = 0.

Supongamos a 4= 0. entonces si es X 4= 0, tomando como nuevos ejes coordenados las rectas concurrentes ax -{- hy + g = 0 y 2 l y -fi-i = 0, la ecuación [10] toma la f o r m a [11] ki>x'2 + IMJ' = O que representa (§ 15-1) una parábola. Si f u e s e X = 0, la ecuación [10] t o m a la f o r m a (ax + hy + g+

V — u) (ax + hy + g — V — n) = 0

que r e p r e s e n t a dos rectas paralelas, reales y distintas si es u < 0, una recta doble si es ii = 0 y dos rectas imaginarias paralelas si es u > 0. Si f u e s e a = 0, t e n d r í a que ser b =|= 0, pues si no, t e n d r í a mos también, por la hipótesis 5 = 0, h = 0 y la ecuación no sería de segundo grado. Entonces subsisten los resultados obtenidos; b a s t a hacer un razonamiento idéntico, o p e r m u t a r la x por la y.

§ 20

I.AS C Ó N I C A S

146

-3

§ 20

-4

Queda así probado el teorema siguiente: Una ecuación de segundo grado sólo puede representar en un sistema de coordenadas cartesianas (ortogonales u oblicuas) las siguientes curvas: T E O R E M A 1.

a) Una hipérbola, una parábola o una elipse (real o imaginaria) . b) Dos rectas reales que se cortan, dos rectas paralelas (reales y distintas, reales y confundidas o imaginarias y distintas) o dos rectas imaginarias con un punto real común.

1 5< 0

5 = 0.

5> 0

1. E n el caso b ) , cuando la cónica se reduce a dos rectas, se dice que es una cónica degenerada.

A' =

b h f

h a 9

f

g c

8' = ba — h2

y es inmediato que se t i e n e A' = A y 5 = 5', luego los resultados obtenidos son totalmente válidos en el caso en que es 5 < 0. P a s e m o s al caso 5 = 0 . Si es a =)= 0, se tiene, desarrollando por los elementos de la t e r c e r a columna, el d e t e r m i n a n t e A A = — bg2 + 2fgh — af2 — ctA = abg2 -f a 2 / 2 — 2 a f g h = g-li2 + a2f2 — 2afgh = l2 luego, i y ), son s i m u l t á n e a m e n t e o nulos o distintos de cero. Si es a = 0, obtenemos al p e r m u t a r la x por la y en lugar de /. = af — gh la f u n c i ó n V = bg — fh, m i e n t r a s que A, como acabamos de ver, permanece i n v a r i a n t e ; además se tiene h = 0, luego los valores de A y son —bg 2 y bg, es decir — 6 a = l'2, luego también en este caso A y V sólo pueden a n u l a r s e simultáneamente. Podemos r e s u m i r entonces los resultados obtenidos en el cuadro siguiente que nos da la clasificación general de las cónicas.

A =j= 0

i l

GENERAL

|

147

A= 0

Hipérbola.

I ^ 0 8 r e c t a s r e a l e s que se |cortan.

Parábola,

Dos rectas paralelas (reales y distintas, reales y confundidas o imaginarias y 1 distintas).

1

DEFINICIÓN

3. Clasificación de las cónicas. — P a r a clasificar u n a cónica dada p o r su ecuación, pueden utilizarse las funciones A y 8 de los coeficientes que hemos considerado. La clasificación s u r g e d.e las consideraciones que acabamos de hacer, con la única restricción, en los casos 5 < 0 y 5 = 0, de ver lo qué ocur r e cuando, por ser a = 0, hemos tenido que p e r m u t a r la vaviable x por la y en la ecuación [1]. Al p e r m u t a r x por y, las f u n c i o n e s A y 5 t o m a n la f o r m a :

CÓNICAS EN

Elipse (real si aA < 0 é Dos rectas i m a g i n a r i a s con i m a g i n a r i a si aA > 0 ) . un punto real común.

E n el caso de la parábola degenerada (5 = 0 y A = 0), si es a 4= 0, t e n d r e m o s dos rectas reales d i s t i n t a s si u = ac — g 2 es < 0, u n a recta real doble si es LI = 0 y dos rectas imaginarias distintas si es j.i > 0. Cuando sea a = 0, hay que reemplazar en los resultados anteriores [i por \i'= be — f 2 . Puede comprobarse fácilmente que si son a 4= 0 y 6 ={= 0, en el caso de la parábola degenerada se tiene que fi y u' son s i m u l t á n e a m e n t e positivos, nulos o negativos (basta ver que se tiene a2\i' = h 2 ¡x). E n cambio si es a = 0 ó b = 0, esta propiedad no se cumple (basta considerar la ecuación y 2 A y - \ + 3 = 0). Si c o n s i d e r a m o s c o o r d e n a d a s h o m o g é n e a s , la ecuación forma [12]

ax* + 2hxy

-f by3 + 2gxt

-f 2fyt

[1] toma

la

-\- ct° = 0

que p u e d e c o n s i d e r a r s e como de s e g u n d o g r a d o , a ú n c u a n d o se t e n g a : a = h = b = 0. E n e s t e caso la ecuación t o m a la f o r m a [13] t(2gx + 2 f y + ct) = Ü q u e r e p r e s e n t a u n a r e c t a p r o p i a y la i m p r o p i a si es # 4 = 0 ó / 4 = 0 y la r e c t a i m p r o p i a doble si es g = f = 0 . L a i n t r o d u c c i ó n de l a s c o o r d e n a d a s h o m o g é n e a s n o s d a t a m b i é n u n a i n t e r p r e t a c i ó n c l a r a de la clasificación de l a s cónicas. Si d e t e r m i n a m o s l a i n t e r s e c c i ó n de la cónica con la r e c t a i m p r o p i a í = 0, o b t e n e m o s la ecuación ax' -f- 2 h x y -f by" — 0, y se obtienen dos p u n t o s r e a l e s de i n t e r sección si es Ir — ab = — 8 m a y o r q u e cero (es decir si la c u r v a es del g é n e r o h i p é r b o l a ) , u n solo p u n t o real si h- — ab = 0 (es decir si la c u r v a es del g é n e r o p a r á b o l a ) y n i n g u n o si h" — ab < 0 (es decir si la c u r v a es del g é n e r o e l i p s e ) .

4. Aplicación práctica del método de formación de cuadrados. — E n la práctica, resulta m á s cómodo p a r a clasificar las cónicas, aplicar directamente la formación de los cuadrados, en lugar de buscar los valores de 5 y A y aplicar la clasificación üel c u a d r o del p a r á g r a f o a n t e r i o r . Daremos algunos ejemplos p a r a m o s t r a r la f o r m a de aplicarlo. I 9 Sea la curva de ecuación:

148

I-AS C Ó N I C A S

§ 20

-4

x- — 2xy + 2y- — 2ax — 2ay + 4a- = O (x — y — a)- + y- — 4ay + 3a 2 = O (re — y — a ) - + (V — 2 a ) 2 = a 2 . La c u r v a e s u n a e l i p s e , las rectas x — y — a = 0 é y — 2a son diámetros c o n j u g a d o s y el centro es el punto (3a, 2 a ) . 2Q Sea la curva de ecuación: 2 x y + 3a; — ?/ + 1 = 0 (2x — 1) (2x -

y

+ -I-) +

1)(„

+

~

1

=

+ -|")

=

0

T"

La curva es una h i p é r b o l a ; sus a s í n t o t a s tienen como ecuaciones 1 3 x = -ÍT ; y =

2

2

y el centro es el p u n t o 1 2 S9

3 2

'

Sea la curva de ecuación x2 4 x y + 4y2 + 2a; — 2y + 1 = 0 ( « 4 - 2 2 / - } - 1 ) 2 — 6í/ = 0 .

La curva es una parábola. 4 9 Sea la curva de ecuación 2x- + 5 xy + 2y2 + 3a; + Zy + 1 = 0 4x2 + lOxy + 4 y2 + 6a + 62/ + 2 = 0

(

2

,

+

+

,

+

+

r

-

(

+

,

+

^

o

La curva se compone de las dos rectas 2;r + 42/ + 2 = 0 ; 2x + y + 1 = *. 5? Sea la curva de ecuación a 2 + Axy + 4 y- — 2x — Ay + 2 = 0 (« + 22/ — l ) 2 + 1 = 0. La curva se compone de las dos rectas i m a g i n a r i a s p a r a IGI R S

x + 2y — l + i = 0

;

x + 2y — 1 — i = 0 .

§ 20

-5

CÓNICAS EN

GENERAL

149

6"? Sea la curva de ecuación 5 re2 + 2xy + 10 y2 — 12z — 22y + 17 = 0 25a;2 + 10 xy + 50 y2 — 60rc — Í10 y + 85 = 0 (5x + y — 6 ) 2 + 49 y2 — 98 y + 49 = 0 (5íc + 2/ — 6 ) 2 + (7y — 7 ) 2 = 0. La curva se compone de las dos rectas i m a g i n a r i a s 5x + (1 + 7 i) y — 6 — li = 0 ; 5x + ( 1 — 702/ — 6 + 7i = 0 que tienen común el punto real ( 1 , 1 ) , único punto real cuyas coordenadas satisfacen a la ecuación de la curva. 7 9 Sea la c u r v a de ecuación 4x2 — 20xy + 252/2 + 4x — lOy + 1 = 0 (2x — 5y + l)3 = 0. La ecuación r e p r e s e n t a una recta doble. 5. Centro de las cónicas. — Vamos a ocuparnos ahora del problema de determinar los centros de una cónica, es decir, sus centros de simetría. El método de formación de los cuadrados nos determina, p a r a las elipses, reales o imaginarias, o p a r a las hipérbolas, las ecuaciones de un p a r de diámetros conjugados, y el p u n t o de intersección de dichos diámetros conjugados es el único centro de simetría de la cónica. Cuando la cónica se reduce a dos rectas que se cortan, el mismo método de la f o r m a c i ó n de los cuadrados nos da las ecuaciones de las dos r e c t a s y su punto de intersección es el único centro de la cónica. Cuando la cónica es una parábola no degenerada, ya sabemos que carece de centro de s i m e t r í a ; si es degenerada todos los puntos de la r e c t a cuyos puntos equidistan de las dos rectas paralelas que constituyen la cónica son centros de la cónica. En particular, si la cónica se reduce a u n a recta doble, todos los puntos de ella son centros. El problema de d e t e r m i n a r los centros puede igualmente hacerse en f o r m a directa. Supongamos que la cónica t e n g a su ecuación r e f e r i d a a un sistema de coordenadas c a r t e s i a n a s cuyo origen sea un centro de la cónica; su ecuación no h a de cambiar cuando se cambie a: por —x, ó y por —y, y por consiguiente, como se ve inmediatamente, h a n de ser nulos los coeficientes de los términos de p r i m e r g r a d o ; recíprocamente, si dichos coeficientes son nulos, el origen es un centro de sim e t r í a . P o r consiguiente, el problema de d e t e r m i n a r los cent r o s se reduce al de hacer una traslación de ejes que conduzca a la anulación de los t é r m i n o s de p r i m e r grado. Sea pues, la cónica de ecuación [14] f (x, y) = ax- + 2hxy + by2 + 2 g x + 2fy + c = 0

§ 20

LAS C Ó N I C A S

150

-5

y h a g a m o s el cambio de coordenadas a; = x' + x0; y — y' + y Se tiene, a p n c a n a o la l ó r m u l a de Taylor (o reemplazando y desarrollando) [15] f ( £ ' + a!0, y' + yo) = f(x0, y0) + x'f'xix», yo) + -+• V'í'v(Xo, yo) + Hx^P'Axo, Vo) + 2x'y'f"xy(x0, y0) + + y'-f"v(xo, y o) = f (x0, y0) + 2 ( a % + hy0-\-g)x' + + 2(hx0 + by0 + f)y' + ax'- + 2hx'y' + by'2 y como h a n de ser nulos los coeficientes de los t é r m i n o s de prim e r grado, se ha de cumplir f azo + hy0 + g = 0 n f i l \ hxo + by0 + / = 0. El problema de d e t e r m i n a r los centros de la cónica se reduce por consiguiente a la resolución del sistema a n t e r i o r , e? decir a e n c o n t r a r el p u n t o de intersección de las rectas de ecuaciones [16]. El d e t e r m i n a n t e de los coeficientes es el 8 del n 9 2, luego las r e c t a s s e r á n concurrentes, si, y sólo si, es b + 0 (género elipse o h i p é r b o l a ) . Si es 5 = 0 y X = af — gh-1=0, las rect a s son paralelas y no existe n i n g ú n centro de simetría (parábola no degenerada) ; en cambio si es l = 0 (parábola degen e r a d a ) , las dos rectas se reducen a una sola, cuyos puntos son todos centros de la cónica. Ejemplos: Apliquemos los resultados anteriores a los ejem9 plos del n 4. E n el p r i m e r o obtenemos las ecuaciones x — y — a = 0 y — x + 2y — a = 0, que admiten como solución x = 3a é y = 2a, coordenadas del centro de la elipse. E n el segundo obtenemos las eceuaciones 2/ H

|— =

0

;

x

^-

=

y +

= 0

que t i e n e n como solución x = —

:

- -

x + 2y + - | -

-5

CÓNICAS E N GENERAI.

E n el quinto se obtienen las ecuaciones x + 2y — 1 = 0 ; 2x -f- Ay — 2 = 0, que r e p r e s e n t a n a m b a s la m i s m a recta paralela a las dos i m a g i n a r i a s que componen la cónica. E n el sexto se obtienen las ecuaciones 5 x -\-y — 6 = 0 y x + 10¿/ — 11 = 0 cuya solución x = 1, y — 1, nos da el único punto real de la cónica. E n el séptimo se obtienen las ecuaciones Ax —10?/ + 2 = 0 ; — 1 0 # + 25y — 5 = 0, que r e p r e s e n t a n a m b a s la recta que, considerada como doble, f o r m a la cónica. E n lo expuesto hemos considerado los elementos imaginarios; se sobreentiende que el concepto de simetría que sólo es aplicable en su p r i m e r a definición a los elementos reales, se extiende a los imaginarios, generalizando el significado analítico de la simetría, es decir que se considerará como simétrico del p u n t o (x, y), de coordenadas reales o complejas, respecto del origen al punto de coordenadas (—x, — y ) y en general el simétrico de (x, y) con respecto al punto (x 0 , yo) es (— x + 2x0, — y + 2y0). E n el caso de la p a r á b o l a n o d e g e n e r a d a , como las r e c t a s [ 1 6 ] son p a r a l e l a s p u e d e c o n s i d e r a r s e el p u n t o i m p r o p i o que e l l a s t i e n e n común como u n c e n t r o i m p r o p i o de la p a r á b o l a .

Cuando se h a t r a s l a d a d o el origen al centro de u n a cónica del tipo hipérbola o elipse, la ecuación [14] toma la f o r m a ax'2 + 2 hx'y' + by'- + i(x0, y o) = 0. Vamos a calcular el valor del t é r m i n o independiente: 2o = f(x0) yo) = ax2o + 2hx0y0 + by-o + 2gx0 + 2fy0 + c = = x0 (a%o + hy0 + g) + yo(hx0 + by 0 + / ) + gx0 + y0 + c = = gx o + fy0 + c. ax + hy hx + by gx f y —z

= 0

>

v

=

1 §"

é s t a s son las coordenadas del p u n t o de intersección de las dos rectas que componen la cónica.

= — g = — / = — c

tiene como soluciones x0, yo, %o = 0. La solución z0 se puede obtener aplicando la regla de los d e t e r m i n a n t e s de C r a m e r , es d e c i r :

„ í i r

151

Pero entonces el sistema de ecuaciones lineales

°

que a d m i t e n como solución las coordenadas del centro de la hipérbola. E n el tercero se obtiene el sistema de ecuaciones x + 2y - j - 1 = 0 ; 2x 4y — 1 = 0 que carece de solución. E n el cuarto las ecuaciones son 2» 4-

§ 20

a h g a h 9

y por t a n t o la ecuación

h — b — r — h b f —

g f c 0 0 1

en el centro

b

de la cónica (es decir la

152

§ 20

LAS CÓNICAS

-6 § 20

ecuación de la cónica en un sistema de ejes paralelos a los dados y con origen en el centro de la cónica) es ax'- + 2hx'y'

-f by'- -f -4~ O

= 0.

6. Diámetros en las cónicas. — La teoría de los diámetros que hemos desarrollado p a r a la elipse, hipérbola y parábola, puede hacerse en f o r m a general que a b a r c a los resultados obtenidos en los casos p a r t i c u l a r e s mencionados y se aplica t a m bién a las cónicas i m a g i n a r i a s o degeneradas. Consideremos la cónica de ecuación [14] y tomemos una r e c t a cuyas ecuaciones p a r a m é t r i c a s sean [17]

x = x0 + pl

;

y = y0 + ql.

Los puntos de intersección de la recta con la cónica están dados por las raíces de la ecuación en }, cp (>.) = f ( z 0 + pX, 2/o -rQÁ) = 0. Desarrollando tp(X) por la f ó r m u l a de Mac-Laurin, se tiene, por ser un polinomio de segundo grado [18]

cpU) =
Xcp'(O) + - y -
P a r a calcular cp'(/.) apliquemos la de función dx , „ i ' a ) - i - n r ' r t ' ~ = 2 (ax + hy + g)p + 2(hx y volviendo a d e r i v a r se tiene cp"(A) = 2(ap-\- qh)p + 2(hp

-J-

bq)q

f ó r m u l a de la derivada dy d r " + by + f ) q = 2(ap- + 2hpq

-6

bq2).

La ecuación que nos da los puntos de intersección de la cónica con la recta es por consiguiente [19] f (x0, y0) + 2\[p(ax0 + hy0 g) + q(hx0 + by0 + /)] + + Á-'a (p,q) = 0 en donde a(p,q) es el c o n j u n t o de los términos de segundo g r a d o en la ecuación de la cónica. A la f ó r m u l a [19] puede llegarse, sin u s a r la teoría de la derivación, reemplazando en la ecuación de la cónica x é y por x0 + pl, yo -|- ql, y ordenando el desarrollo con respecto a k. Si a(p, (z)H=0. la ecuación s e r á de segundo grado y la recta c o r t a r á a la cónica en dos puntos reales, en dos imaginarios conjugados o en un p u n t o real doble. Las rectas paralelas a la d a d a d e t e r m i n a n cuerdas en la cónica. Si a(p,q) = 0, y el coeficiente de l es ={=0, la recta cortará a la cónica en un solo p u n t o ; si dicho coeficiente es cero,

GENERAL

153

entonces, según que ¡ f(íc 0 , ?/,.,) sea distinto o igual a cero, la recta no t i e n e n i n g ú n punto común (real o imaginario) con la cónica o f o r m a p a r t e de la cónica. P a r a que se t e n g a n valores de p y q que h a g a n nula a(V, (?) = CLP2 + 2hpq + bq2 debe ser h2 — ab > 0, es decir, la curva h a de ser del género hipérbola o p a r á b o l a ; en el p r i m e r caso hay dos direcciones que no definen cuerdas en la cónica (las rectas paralelas a las asíntotas si se t r a t a de una hipérbola no degenerada, o las paralelas a las rectas que la componen, si la cónica se compone de un par de rectas c o n c u r r e n t e s ) . Si la cónica es del género parábola h a y u n a sola dirección que no define cuerdas (las rectas paralelas al eje si la curva es una parábola no degenerada o las paralelas a las rectas que la f o r m a n si la p a r á b o l a es d e g e n e r a d a ) . Vamos a h o r a a introducir la siguiente definición: DEF. 2. Diámetro de una cónica es el lugar geométrico de ios puntos medios de las cuerdas paralelas a una recta dada. Cuando los puntos de intersección sean i m a g i n a r i o s conjugados, se e n t e n d e r á n a t u r a l m e n t e por p u n t o medio el punto real cuyas coordenadas son la semisuma de las coordenadas de los puntos de intersección, y cuanao el punto sea doble, el punto medio coincide con el mismo punto (punto de contacto de la r e c t a t a n g e n t e a la cónica). Se tiene a h o r a el siguiente teorema f u n d a m e n t a l : Los diámetros de una cónica son líneas rectas. E n efecto, sea la cónica de ecuación [14] y tomemos u n a recta de ecuaciones p a r a m é t r i c a s x = x n + p l ; y — yo + iK t a l que a(p,q)=j= 0. Dejando constante p y q y haciendo v a r i a r Xn é 7/o se obtienen las rectas paralelas a la dada. P o r o t r a parte, p a r a cada u n a de estas rectas pueden t o m a r s e como valores de Xo é y o las coordenadas de un p u n t o cualquiera de la recta. Tomemos entonces las coordenadas del p u n t o medio de la cuerda que cada recta d e t e r m i n a con la cónica (que siempre existe por ser o. (p, ) sea el punto medio de la cuerda es que los valores de '/. correspondientes a los dos puntos de intersección sean iguales y de signo contrario, es decir que sea nulo el coeficiente de ). en la ecuación [19]. P o r consiguiente dichos puntos deben satisfacer a ^ ecuación [20] pf'x + qi'y = 2p(ax + hy -f- g) + 2q (hx + by + f ) = 0 que ordenándola toma la f o r m a [21] (ap + hq)x + (hp + bq) y + pg -|- qf = 0 ue es la ecuación de una recta, !o que p r u e b a el teorema. TEOR. 2 .

-F-

CÓNICAS EN

§ 20

I.AS C Ó N I C A S

154

De n a n el centro, r a que

-C

la ecuación [20] y de las ecuaciones [16] que determicentro de la cónica se deduce que las coordenadas del cuando éste existe, s a t i s f a c e n a la ecuación, cualesquiesea p y q. P o r consiguiente se deduce el siguiente

Los diámetros de una cónica con centro pasan todos por el centro. Si la cónica es del género parábola, las r e c t a s de ecuación [20] son, cualesquiera que sean p y q, paralelas a las rectas de ecuaciones [16], que sabemos son paralelas entre sí, luego podemos enunciar el siguiente TEOR. 3.

En las cónicas del género parábola son rectas paralelas entre sí. TEOR. 4.

los diámetros

DEF. 3. Dos diámetros se dice que son conjugados, cuando cada uno de ellos el lugar de los puntos medios de las cuerdas paralelas al otro. E s claro que p a r a que existan diámetros conjugados la cónica no puede ser del género p a r á b o l a ya que en este caso todos los diámetros son paralelos entre sí. Vamos a ver que en las curvas del género elipse o hipérbola todo diámetro tiene siempre un diámetro conjugado. El d i á m e t r o lugar de los p u n t o s medios de las cuerdas de coeficientes directores p y q tiene a su vez como coeficientes directores, según [21] [22]

q' = ap 4 Hq

;

p' = — hp — bq

y el d i á m e t r o lugar de los puntos medios de las cuerdas de coeficientes directores p' y q' tiene como coeficientes directores Pi = — hp' — bq' = h-p + hbq — abp — hbq = p(h- — ab) <7i = ap' -|- hq' ~ — ahp — abq -j- ahp + h2q = q (h- — ab) es decir proporcionales a p y q; por consiguiente queda así p r o b a d o que todo d i á m e t r o t i e n e siempre un d i á m e t r o conjugado. Si consideramos a h o r a el coeficiente a n g u l a r del diámetro m = q/p en l u g a r de los coeficientes directores p y q, de [22] se deduce que el coeficiente a n g u l a r del diámetro conjugado es , _

ap 4 - hq _ hp -\-bq

a + hm h-r bm

de donde se deduce [23]

bmm' 4- h(m~\-m')

que nos d a la ecuación metros conjugados.

-F A- = 0

de los coeficientes

angulares

de dos diá-

§ 20

-7

CÓNICAS EN

GENERAL

155

Consideremos u n a cónica con centro. Tomemos el centro como origen de coordenadas, su ecuación es del tipo ax- 4- 2hxy + by2 4- c = 0. Si suponemos que los ejes son diámetros conjugados, se debe tener p a r a el e j e O X : p 4= 0 y <7 = 0; p a r a el eje O Y : P' — 0 y q' # 0; teniendo en cuenta las relaciones [22] se ve que tiene que ser h = 0, y por consiguiente la ecuación t o m a la f o r m a [24]

ax2 4- by2 -j- c = 0

que es la ecuación de una cónica referida a dos diámetros conjugados. Si la c u r v a es del género p a r á b o l a d e j e m o s invariable el e j e O Y y tomemos como eje OX el diámetro l u g a r de los puntos medios de las cuerdas paralelas al eje O Y. La ecuación del e j e OX viene dada por [21] siendo p = 0 y
— bg2, luego como b 0 A y g Si g =£ 0, es decir si la p a r á b o l a corta al eje OX en u n p u n t o de origen a este punto, desaparece la ecuación de la parábola t o m a

by2 4- Igx

= 0

que es la ecuación de la parábola r e f e r i d a a un d i á m e t r o y la t a n g e n t e en su extremo. Si es g = 0, es decir si la parábola es degenerada, la ecuación t o m a la f o r m a by2 4- c = 0. E n este caso es i n d i f e r e n t e la posición del eje O Y. 7. E j e s de las cónicas. — Consideraremos aquí ú n i c a m e n t e sistemas de coordenadas c a r t e s i a n a s rectangulares, y nos ocup a r e m o s del p r o b l e m a de la determinación de los ejes de las cónicas, es decir de sus ejes de simetría ortogonal. Un eje de simetría ortogonal de u n a cónica c o r t a en su punto medio a las cuerdas que le son perpendiculares, luego, el problema de la determinación de los ejes de u n a cónica con centro se reduce a la determinación de los d i á m e t r o s c o n j u gados que son perpendiculares e n t r e sí. Si p y q son los coeficientes directores de un d i á m e t r o y p' y q' los de su conjugado, la condición de perpendicularidad

156

es

§ 20

LAS C Ó N I C A S

-7

qq' = — pp', y teniendo en cuenta [22] se h a de cumplir apq + hq2 = hp- + bpq h(q2 — p-) + pq(a — b ) = 0.

.Si h H= 0, esta condición no puede ser satisfecha ni por p = 0, q 4= 0- ni por p =}= 0, <7 = 0, es decir que los e j e s no pueden ser paralelos a los ejes de coordenadas. Dividiendo por p- y poniendo ra = q/p se tiene la relación 2

[26]

hm

+

(a — 6) ra — h = 0

,

ecuación ele los coeficientes angulares de los ejes, la cual puede también deducirse directamente de [23]. E s t a ecuación tiene dos raíces reales y de signo contrario que son los coeficientes a n g u l a r e s de los ejes. P a r a determinarlos b a s t a d e t e r m i n a r el centro o también aplicar directam e n t e la ecuación [21]. Cuando sea h = 0, se tiene la condición pq(a— b) = 0, que si a 4= b, admite como soluciones p = 0 ó q = 0, es decir que en este caso los ejes son paralelos a los ejes coordenados. Si a d e m á s f u e r a a=b, la condición se satisface cualesquiera que sean p y q, es decir que todos los diámetros c o n j u g a d o s son perpendiculares, lo que se podría preveer de a n t e m a n o por ser en ese caso la cónica u n a circunferencia. Ejemplo:

Sea la cónica de ecuación x2 — 8 xy 4- 7 y - — Ax — 2 y — 1 = 0.

Se ve inmediatamente que es u n a cónica con centro del género hipérbola. L a ecuación de los coeficientes a n g u l a r e s de los e j e s es — 4 r a 2 — 6ra + 4 = 0 cuyas raíces son £ y —2. Podemos d e t e r m i n a r a h o r a el centro de la cónica resolviendo el sistema de ecuaciones [16] x — Ay — 2 = 0 ; — Ax + ly — 1 = 0 cuya solución es x —— 2, y = — 1; las ecuaciones de los eies son por lo t a n t o 2x -i- y 4" 5 = 0 ; x — 2y = 0. E s t a s ecuaciones pueden obtenerse aplicando directamente [21]. Se tiene p a r a ra = — 2: q = — 2, p = 1 9 a; — 18 y = 0 y p a r a ra = i : q = 1, p = 2

ó

x — 2y = 0

— 2x — y — 5 = 0

ó

2a: 4 - y — 5 = 0 .

E n c o o r d e n a d a s oblicuas los c o e f i c i e n t e s a n g u l a r e s de los e j e s se obt i e n e n r e s o l v i e n d o el s i s t e m a de e c u a c i o n e s bmm' + 4- a = 0 1 + mm -f- (m + m') eos 9 = 0

§ 20

-7

CÓNICAS EN GENERAL

157

q u e i n d i c a n la p r i m e r a que los e j e s son d i á m e t r o s c o n j u g a d o s y l a seg u n d a que son p e r p e n d i c u l a r e s , siendo B el á n g u l o de los e j e s de coordenadas.

Conocidos los ejes se pueden d e t e r m i n a r los vértices, intersecciones de los e j e s con la cónica. Basta p a r a ello resolver el sistema de ecuaciones f o r m a d o por la ecuación de la cónica y la de uno de los ejes. Ejemplo: E n el ejemplo a n t e r i o r p a r a e n c o n t r a r ios vértices de la cónica, h a y que resolver p r i m e r o el sistema f o r mado por las ecuaciones x2 — 8 x y 4- ly2 — Ax — 2y — 1 = 0

;

x — 2y = 0

que nos conduce a la ecuación 5y 2 4 - 10y + 1 = 0 con dos raíces reales que nos dan las abscisas de dos vértices de la cónica. Luego buscamos la solución del sistema a:2 — 8 xy + ly2 — 4a; — 2y — 1 = 0 ; 2a; + y + 5 = 0 que nos conduce a la ecuación 45a;2 + 180a; + 184 = 0 que no tiene raíces reales. La cónica tiene por consiguiente un solo p a r de vértices reales. Consideremos a h o r a el caso de u n a cónica del género p a r á bola; p a r a d e t e r m i n a r su eje b a s t a r á d e t e r m i n a r la dirección de sus diámetros (Teorema 4) que viene dada por u n a de las ecuaciones [16], después d e t e r m i n a r la dirección perpendicular a la de os diámetros y el d i á m e t r o correspondiente a esta dirección es el eje de la parábola. D a d a la cónica por su ecuación [14], los d i á m e t r o s tienen como ecuación ax 4- hy 4- (.i = 0, u n a recta perpendicular a ellos es la de ecuación hx — ay = 0, cuyos coeficientes directores son p = a ; q = a, luego según [20] la ecuación del eje es [27]

aí'x +

hí'y

=

0.

P a r a d e t e r m i n a r el vértice b a s t a d e t e r m i n a r la intersección del eje con la parábola. Si en lugar de p a r t i r de la ecuación ax 4- hy -f- \.i =- 0, hubiéramos p a r t i d o de la hx -|- by ~{- ¡.c = 0, hubiéramos obtenido como ecuación del eje [27'] hVx H- bí'u = 0 . Es además inmediato comprobar que a m b a s ecuaciones representan la m i s m a recta, pero puede suceder que por ser nulos a y ri, ó b y h, una de estas ecuaciones no t e n g a sentido y entonces h a y que aplicar la otra.

LAS CÓNICAS

158

Ejemplo:

§ 20

-8

Sea la cónica de ecuación x- -j- 6x + 4y + 1 = 0.

El eje tiene como ecuación x = — 3, y el vértice es el punto (—3, 2 ) .

§

L a r e c t a p e r p e n d i c u l a r p o r el o r i g e n a la dirección d a d a t i e n e como ecuación px + qy = 0. La condición n e c e s a r i a y s u f i c i e n t e p a r a que la dirección d a d a sea p r i n c i p a l es q u e a m b a s ecuaciones r e p r e s e n t e n u n a m i s m a r e c t a y p a r a ello t i e n e q u e e x i s t i r un f a c t o r S de p r o p o r c i o n a l i d a d e n t r e s u s coeficient e s , es decir que se h a de c u m p l i r p a r a a l g ú n v a l o r de S roo"!

ap + hq = S p hp + bq = Sq

o lo q u e es lo mismo, que el s i s t e m a de ecuaciones en p y q , , (a— S)p + hq = 0 V¿Ji hp+(b—S)q = 0 a d m i t a u n a solución d i s t i n t a de la p = 0 y q = 0. P a r a ello s a b e m o s q u e es n e c e s a r i o y s u f i c i e n t e q u e se a n u l e el d e t e r m i n a n t e de los coeficientes, es decir q u e se c u m p l a [30] (a— S) (b — S) — h2 = ü que es l a d e n o m i n a d a ecuación en S de la cónica, que sólo d e p e n d e de los t é r m i n o s de s e g u n d o g r a d o de la ecuación de l a c ó n i c a ; e s t a ecuación p u e d e p o n e r s e t a m b i é n en la f o r m a [30'] S 2 — (a + b)S + ab — h2 = 0 . Vamos a estudiar sus propiedades. Las raíces de la ecuación en S son siempre reales y son iguales, sí y sólo si la cónica es una circunferencia. B a s t a , en e f e c t o , v e r que el d i s c r i m i n a n t e de la ecuación es (a — b)* + 4h\ TEOR. 5.

Si la raíz de la ecuación en S, es doble, todas las direcciones son principales. Si las dos raíces son simples y no nulas, a cada raíz corresponde una dirección principal y ambas direcciones son perpendiculares entre sí, siendo por consiguiente, las direcciones de los ejes de la cónica. E n e f e c t o , si la r a í z es doble se t i e n e h = 0, y l a r a í z es So = a = b, luego l a s ecuaciones [29] se s a t i s f a c e n c u a l e s q u i e r a q u e s e a n p y q* Si l a s r a í c e s son s i m p l e s y es h 4= 0, las r a í c e s son d i s t i n t a s de a y d e b; l a s dirección p r i n c i p a l c o r r e s p o n d i e n t e a u n a r a í z Si q u e d a determ i n a d a p o r la relación ( a — S i ) p +/i<7 = 0, q u e d e t e r m i n a p y q, salvo un f a c t o r de p r o p o r c i o n a l i d a d ; a d e m á s se t i e n e p=t=0 y q 4 = 0 . Si es TEOR. 6 .

-8

CÓNICAS EN GENERAL

h = 0, l a s dos r a í c e s son a y 6, que t i e n e n que s e r d i s t i n t a s ; a la r a í z a le c o r r e s p o n d e s e g ú n [29] q = 0, y a la raíz b le c o r r e s p o n d e p •= 0, es decir que las dos direcciones p r i n c i p a l e s son l a s de los e j e s de coorden a d a s . E n e s t e caso es i n m e d i a t a la p e r p e n d i c u l a r i d a d de l a s dos direcciones p r i n c i p a l e s , en el caso h =t= 0, sean pi y qi los coeficientes directores de la dirección p r i n c i p a l c o r r e s p o n d i e n t e s a l a r a í z Si y p* y q2 los c o r r e s p o n d i e n t e s a la r a í z S 2 ; se t i e n e [ 2 8 ] :

8. E c u a c i ó n en S. — V a m o s a d a r o t r o método p a r a d e t e r m i n a r los e j e s de u n a cónica q u e t i e n e a d e m á s u t i l i d a d p o r su g e n e r a l i z a c i ó n a t e o r í a s de g r a n i n t e r é s del dominio de la m a t e m á t i c a s u p e r i o r . DEF. 4. Diremos que una dirección es "principal" si es perpendicular al diámetro lugar de los puntos medios de las cuerdas paralelas a dicha dirección. D a d a u n a dirección p o r s u s coeficientes d i r e c t o r e s p y q. L a ecuación de la p a r a l e l a p o r el o r i g e n al l u g a r de los p u n t o s medios de las c u e r d a s p a r a l e l a s a l a dirección es, s e g ú n [21] (ap + hq)x + (hp + bq)y = 0.

20

api 4- hqi = hpx + bqx =

SiPi Sitfi

a p 3 + hq2 = S¿p% hp* + bq2 = SÍQH

m u l t i p l i q u e m o s la p r i m e r a i g u a l d a d del p r i m e r s i s t e m a por p3, l a s e g u n d a por q2 y s u m e m o s ; m u l t i p l i q u e m o s la p r i m e r a i g u a l d a d del s e g u n d o s i s t e m a p o r jh, l a s e g u n d a p o r qi y s u m e m o s ; se t i e n e aPiPs + hqiPa + hpiq 2 + b q ^ = S i ( p i p 3 + g,g 2 ) apijh + hpiq* + hqypi + bqxq2 = Sn(pxp2 + q-.q:,) y restando miembro a miembro 0 =

( S i — S 2 ) (pjp 2 + q^qt)

pero como l a s r a í c e s son d i s t i n t a s se tiene p x p 2 + q^q2 = 0, q u e p r u e b a la p e r p e n d i c u l a r i d a d de l a s dos direcciones p r i n c i p a l e s . Los coeficientes del d i á m e t r o p e r p e n d i c u l a r a la dirección p r i n c i p a l son, s e g ú n [21] y [ 2 8 ] , S p y Sq f l u e g o p a r a q u e dicho d i á m e t r o sea u n a r e c t a p r o p i a es n e c e s a r i o q u e el v a l o r de S no sea nulo. La condición n e c e s a r i a y s u f i c i e n t e p a r a que u n a raíz de la ecuación en S sea n u l a es q u e ab — h2 = 0, es decir que l a c u r v a sea del g é n e r o p a r á b o l a . P o r c o n s i g u i e n t e el t e o r e m a 6 nos s i r v e p a r a d e t e r m i n a r los e j e s de las cónicas con c e n t r o ; en el caso de la cónica de g é n e r o p a r á bola. la r a í z de l a ecuación en S, d i s t i n t a de cero, nos da la ú n i c a dirección p r i n c i p a l y el d i á m e t r o c o r r e s p o n d i e n t e es el e j e de la p a r á b o l a . EJEMPLOS:

R e t o m e m o s los e j e m p l o s del n ú m e r o a n t e r i o r .

La ecuación en S c o r r e s p o n d i e n t e a la cónica de ecuación x2 — Sxy es

+ ly2 — 4x — 2y — 1 = S 2 — 8S — 9 = 0

0

c u y a s r a í c e s son S: = 9, S-_. = — 1 . R e e m p l a z a n d o en u n a ecuación de [29] se t i e n e

— 8 Pi — Aq\ = 0

; 2 p2 — 4g2 = 0

q u e nos d a los coeficientes a n g u l a r e s de l a s direcciones p r i n c i p a l e s , es decir de los e j e s : wu== — 2 ; M-9 = 5. La d e t e r m i n a c i ó n de las ecuaciones de los e j e s se hace, bien d e t e r m i n a n d o el centro, bien a p l i c a n d o d i r e c t a m e n t e [ 2 1 ] , como en el n ú m e r o a n t e r i o r . C o n s i d e r e m o s a h o r a la cónica de ecuación x* 4- 6.r +

+ 1 =

0.

La ecuación en S e s : S 3 — S = 0, q u e t i e n e la r a í z no n u l a S = l . R e e m p l a z a n d o en l a s e g u n d a ecuación de [29] se t i e n e q = 0 . La dirección p r i n c i p a l es p o r c o n s i g u i e n t e la del e j e de o r d e n a d a s . El d i á m e t r o c o r r e s p o n d i e n t e a e s t a dirección t i e n e como ecuación, a p l i c a n d o [21], x 4- 3 = 0 .

LAS C Ó N I C A S

160

§ 21.

§ 21

-1

POLARIDAD E N LAS CÓNICAS

1. Polar de un punto con respecto de una cónica. — Consideremos una cónica de ecuación [1]

f (x, y) = ax2 + 2hxy + by- + 2gx + 2fy + c = 0

en un sistema cualquiera cartesiano, y la recta de ecuaciones p a r a m é t r i c a s x = pl; y = ql, en donde el p a r á m e t r o X es la distancia o r i e n t a d a de un p u n t o de la recta al origen. ( B a s t a p a r a obtener estas ecuaciones t o m a r p y q iguales a las coord e n a d a s del p u n t o de la r e c t a situado a la distancia + 1 del origen). Vamos a d e t e r m i n a r las coordenadas del c o n j u g a d o armónico P del origen con respecto a los dos p u n t o s de intersección Mi y Mo de la recta con la cónica, que s u p o n d r e m o s existen y son reales. Sean X0, h y X2 los valores del p a r á m e t r o correspondientes r e s p e c t i v a m e n t e a los puntos P, M x y M 2 . P a r a que P sea c o n j u g a d o armónico de O respecto de M t y M 2 se debe t e n e r OMJ

P M ,

O M

P M

2

21

Xa

__

°

Xi -f- X2

pero Xi y X2 son las raíces de la ecuación en X,

(ap- + 2hpq + bq-)K f

2(gp + fq)l

+ c = 0

luego se tiene, si gp -{- f q 4= 0, aplicando las f ó r m u l a s de la s u m a y del producto d e las raíces de una ecuación de segundo grado ~-

c ~ i—7

fJP H- fq

161

y la ecuación de la cónica en el nuevo sistema de ejes es, según vimos en (§ 20-5), ax'* + 2 h x ' y ' + by'2 + 2 ( a z n + hy0 -f- g)x' -1- 2(hxc, + by0 + / ) ? / + f (x»y0) = 0.

+

La r e c t a de ecuación [3] t o m a a h o r a la f o r m a (axo + hy0 -f g)x'

+ (hx0 + by0 + /)?/

+ f(x0y0)

= 0

y en el p r i m e r sistema de coordenadas tiene como ecuación hy„ + g) (x — . r 0 ) + + (hxo + by0 + f ) (y — y0) + f (xny0)

[4]

(a.r„ +

(crav, +

= 0

*

Si gp —f<7 = 0, la ecuación en X tiene dos raíces iguales y de signo contrario, es decir que el origen es el p u n t o medio del s e g m e n t o MiM«; su c o n j u g a d o armónico es impropio, lo que corresponde al valor i n f i n i t o que t o m a entonces el p a r á m e t r o Xo. L a s coordenadas de P son __ - cp — cq x v ~ op + fq : ' i + F que s a t i s f a c e n a la relación [3] gx + f y + c = 0 que es independiente de p y de q, es decir que las coordena-

hy0

+

g) x +

(hxn

+

by0

+

f ) y -f-

-t" .<7^0 -I- fyo + C = 0

2X1X2

X2 — Xo '

LAS C Ó N I C A S

2

Ái — An

?'*(>

POLARIDAD E N

das del conjugado armónico del origen respecto de los dos puntos de intersección, pertenecen a la r e c t a de ecuación [3], cualquiera que sea la secante escogida que pase por O. Consideremos a h o r a en l u g a r del origen un punto cualquier a de coordenadas (a' n , y0). T r a s l a d e m o s los ejes de f o r m a que el origen sea dicho p u n t o ; las f ó r m u l a s de cambio de coordenadas son: x = x' -f xo ; y = y' + ?/o

[4']

Xt

-1

y desarrollando y simplificando

es decir

[2]

§

que puede ponerse t a m b i é n en la f o r m a [4"]

(ax + hy + g)x0 + (hx + by + + gx + f y + c = 0.

/ ) 2/0 +

L a r e c t a de ecuación [ 4 ] se denomina la polar del punto (xn, yfí) con respecto a la cónica de ecuación [1]. P a r a que exista la polar es necesario y suficiente que los coeficientes de x é y en la ecuación no sean a m b o s nulos, o lo que es lo mismo (§ 20-5), que (xa, ?/0) no sea un centro ele la cónica. A c a b a m o s de ver que la polar de un punto contiene a todos los conjugados armónicos del p u n t o con respecto a los puntos de intersección de la cónica con u n a secante cualquiera que p a s e por el punto, lo que p r u e b a la independencia de la definición respecto del sistema de coordenadas. Si el p u n t o (xo,yr,) está sobre la cónica, se tiene f(ao»2/o) = = 0, y la ecuación T41 t o m a la f o r m a D E F I N I C I Ó N 1.

f'x(xo»2/0)

—

xo)

+

í'u(x0ty0)

( y —yo)

=

0

que es la f o r m a de la ecuación de la t a n g e n t e a una curva de ecuación i(x, y)= 0 en un punto (x0, ?/0) de la misma, luego: si el punto está sobre la cónica su polar se confunde con la tangente a la cónica en dicho punto.

§ 21

LAS C Ó N I C A S

i 62

-2

Si c o n s i d e r a m o s c o o r d e n a d a s h o m o g é n e a s , la ecuación de la p o l a r de a n p u n t o (xo, ¡/o, U) con r e s p e c t o a la c ó n i c a de ecuación [5] f ( x , y , t ) = ax3 + 2/ta: y + by2 + 2 g * t + 2f¡/¿ +
xí'r(xo,yo,

to) + yf'Axo,yo,

to) + Ut't(x,y,t)

Xoi x (x, y y t)

y oí u(xt y, t)

-f-

t»! t (xo>

-2

[6]

=

LAS CÓNICAS

163

tiene como ecua-

ax0x 4- bijoV + c = 0. Dada a h o r a u n a r e c t a cualquiera de ecuación mx + ny

[7] ?/o> io)

POLARIDAD E N

La polar de un p u n t o cualquiera (xo,yo) ción [4']

= 0

ó [5"]

§ 21

0

como se v e i n m e d i a t a m e n t e . C u a n d o el p u n t o es p r o p i o y c e n t r o de l a cónica, la e c u a c i ó n [ 5 ' ] rep r e s e n t a , si f ' ( x o , t / o , 0 , la r e c t a i m p r o p i a . C o n s i d e r e m o s el s i s t e m a de e c u a c i o n e s h o m o g é n e a s f'x = ax + hy + gt = 0_ í \ = hx -f by + ít = U f't = gx + f y + ct =

o

cuyo d e t e r m i n a n t e es el A de l a cónica (§ 2 0 - 2 ) . Si es decir, si la c ó n i c a n o es d e g e n e r a d a , n o p u e d e h a b e r u n s i s t e m a d e soluciones no t o d a s n u l a s del s i s t e m a , p o r lo t a n t o , si f ' r (xo, y<¡y Zo) y f'y (x*, yo, to) son n u l a s n o p u e d e s e r n u l a f , (x*, tQ), es decir que la polar del centro es la recta impropia. S i la cónica e s d e g e n e r a d a , t o d a solución d e l a s dos p r i m e r a s e c u a ciones e s solución de la t e r c e r a , l u e g o la polar del centro es indeterminada. P o d e m o s a h o r a c o n s i d e r a r el c a s o en que e¡ p u n t o sea i m p r o p i o (ar 0 ,2/0,0). L a e c u a c i ó n [ 5 " ] t o m a la f o r m a XÓÍ'*(X, y, t ) + vd'y(x9y% t) = 0. S i la cónica n o e s del t i p o p a r á b o l a , e s t a e c u a c i ó n r e p r e s e n t a u n a r e c t a q u e p a s a p o r el c e n t r o d e la c ó n i c a , p u e s t o que si (xhyi,ti) es el c e n t r o se t i e n e í'x(x„ y>, t>) = 0; í\(xl9 yly U)= 0 ; es f á c i l v e r q u e e s t a p o l a r e s el d i á m e t r o c o n j u g a d o del q u e p a s a p o r el p u n t o i m p r o p i o dado, p u e s t o q u e el c o n j u g a d o a r m ó n i c o del p u n t o i m p r o p i o d e u n a r e c t a con r e s p e c t o a dos p u n t o s de la m i s m a e s el p u n t o m e d i o del s e g m e n t o q u e d e t e r m i n a n dichos dos p u n t o s . E s t e r a z o n a m i e n t o e s t a m b i é n v á l i d o en el caso de l a p a r á b o l a ; la p o l a r d e u n p u n t o i m p r o p i o , d i s t i n t o del de los d i á m e t r o s , es el d i á m e t r o c o r r e s p o n d i e n t e a l a s r e c t a s q u e p a s a n p o r el p u n t o i m p r o p i o . L a p o l a r del p u n t o i m p r o p i o de los d i á m e t r o s e s l a r e c t a i m p r o p i a , como se ve, de la f o r m a de la ecuación [ 5 ' ] do la p o l a r , que s e r e d u c e en e s t e caso a £ = 0. Si la p a r á b o l a es d e g e n e r a d a en dos r e c t a s , la p o l a r d e u n p u n t o i m p r o p i o es la p a r a l e l a m e d i a .

2. Polo de una recta con respecto de una cónica. — DEF. 2. Se dice que un punto es polo de una recta con respecto de una cónica si la recta es la polar del punto con respecto a la cónica. V a m o s a h o r a a estudiar el problema de la determinación del polo de u n a recta. Consideraremos dos casos d i s t i n t o s : a) La cónica es del tipo elipse o hipérbola. R e f e r i d a a dos diámetros conjugados su ecuación es (§ 2 0 - [ 2 4 ] ) : ax2 + by- 4 - c = 0 siendo a 4= 0, b 4= 0 y, según que la cónica sea o no degenerada, es c = 0 ó c 4 = 0. Supondremos p r i m e r a m e n t e c =4= 0.

4-

P

=

0

p a r a que (x0, yo) sea su polo, es necesario y suficiente que sean proporcionales los coeficientes de [6] y [7], es decir que exista k 4= 0, t a l que axn = mk ; by0 = nk ; c = pk. Si p = 0, quedan determinados unívocamente le, x0 é y0, y por consiguiente la recta tiene un polo y uno solo. Si es p = 0, tiene que ser f o r z o s a m e n t e k = 0, y por lo t a n t o no existe ningún punto que sea polo de la recta. Tenemos por consiguiente el teorema s i g u i e n t e : Con respecto a una cónica con centro, no degenerada, toda recta que no pase por el centro de la cónica tiene un polo y uno solo. E s t e teorema se complementa utilizando coordenadas homogéneas. TEOREMA 1.

E n c o o r d e n a d a s h o m o g é n e a s l a e c u a c i ó n de l a c ó n i c a e s ax2 + by' -f ct2 = 0 y la d e la p o l a r de u n p u n t o (&•<,, ya, t0) ax0x

es

+ by<,y + cUt — 0 .

D a d a a h o r a u n a r e c t a q u e p a s e p o r el c e n t r o , d e e c u a c i ó n mx -f ny = 0 p a r a q u e u n p u n t o (xo,y<,,to) sea polo de l a r e c t a se debe t e n e r ax0 = m , bya = n , ct0 = 0 , y como e s t e s i s t e m a t i e n e s i e m p r e solución, s i e n d o p o r lo m e n o s u n o de los dos v a l o r e s de a;o ó yo n o n u l o s , se d e d u c e q u e : toda, recta que pasa por el centro tiene un polo impropio y uno solo. Si c o n s i d e r a m o s a h o r a l a r e c t a i m p r o p i a í = 0, p a r a que u n p u n t o (xcVo.to) s e a polo de la r e c t a es n e c e s a r i o y s u f i c i e n t e q u e s e a . T o = : 0 ; 1/0 = 0 ; ¿o4= 0 ; e s d e c i r q u e : la recta impropia tiene como polo el centro de la cónica.

Supongamos a h o r a que sea c = 0, es decir que la cónica sea d e g e n e r a d a ; la ecuación de la polar de u n punto (xo, y0) es ax0x + by0y = 0 que pasa siempre por el centro, luego, para que una recta tenga polo, ha de pasar por el centro. Consideremos entonces u n a recta de ecuación mx -f ny = 0 que pase por el centro.

224

LAS C Ó N I C A S

§ 21

-2

P a r a que un punto (xfí, y0) sea polo de esta recta es condición necesaria y suficiente que se tenga, con fc^O: ra = akxo ; n •-= bky0 y eliminando k se tiene como condición necesaria y suficiente anxo = bmy0 luego: todos los puntos de la recta anx — bmy = 0 son polos de la recta mx 4- ny = 0. b) La cónica es del tipo parábola. Si no es degenerada, su ecuación puede ponerse en un sistema conveniente de coorden a d a s en la f o r m a (§ 2 0 - [ 2 5 ] ) by2 + 2 gx = 0 siendo b 4= 0 y g 4= 0. La ecuación de la polar del punto (x0, y0) es [4'] gx + by0y + gx 0 = 0. Dada a h o r a u n a recta de ecuación mx -f- ny + p = 0 su polo se obtiene resolviendo el sistema de ecuaciones en k, Xo é yo kg = m ; kby0 = n ; kgx 0 = p debiendo ser además k 4= 0. E n estas condiciones el sistema admite u n a solución y u n a sola si es ra 4= 0. Si ra = 0. la recta es un diámetro y el sistema no tiene solución; luego: Con respecto a una parábola no degenerada, cualquier recta que no sea un diámetro tiene un polo y uno solo. TEOR. 2.

C o n s i d e r e m o s a h o r a c o o r d e n a d a s h o m o g é n e a s ; l a ecuación de ia p a r á b o l a es by2 + 2 gtx — 0 y la de la p o l a r de u n p u n t o gtvx +

es by*y +

gx0t

=

0.

C o n s i d e r e m o s u n d i á m e t r o de ecuación ny + pi = 0 p a r a que (x*, yoU)

sea polo de e s t e d i á m e t r o se debe t e n e r g£0 = 0 ; by0 = n ; gx<> = p

s i s t e m a que a d m i t e s i e m p r e u n a solución siendo £ o = 0 y p o r lo m e n o s uno de los dos v a l o r e s xQ ó y0 no nulos, luego, con respecto a una parábola no degenerada, los diámetros tienen un polo impropio. C o n s i d e r e m o s a h o r a l a r e c t a i m p r o p i a t = 0; p a r a q u e (.TO, ¿/O, ¿O) sea polo de la r e c t a se debe de c u m p l i r gt0 = 0 ; by0 — 0 ; gx 0 = 1 s i s t e m a que a d m i t e solución, siendo nulos y0 y ¿o y x0 =}= 0, l u e g o : el polo de la recta impropia es el punto impropio de los diámetros.

§ 2J

-2

POLARIDAD E N

LAS C Ó N I C A S

165

R e s u m i e n d o a h o r a los r e s u l t a d o s obtenidos en el caso de cónicas no d e g e n e r a d a s o b t e n e m o s el TEOREMA F U N D A M E N T A L s i g u i e n t e : Con respecto a una cónica no degenerada, todo punto propio o impropio del plano tiene una polar y una sola, propia o impropia, y toda recta propia o impropia del plano tiene un polo, y uno solo, propio o impropio. TEOR. 3 .

Si la parábola se reduce a dos rectas paralelas distintas su ecuación puede ponerse en la f o r m a (§ 20-6) by"- + c = 0 siendo los dos coeficientes distintos de cero. La ecuación de la polar de un p u n t o (x 0 , yo) es by0y 4- c = 0 es decir, paralela a las dos rectas que componen la cónica, luego sólo las rectas paralelas a las que componen la cónica pueden tener polo. Sea |/ + m = 0 una de estas r e c t a s ; p a r a que (x0,yo) sea polo de esta recta se debe cumplir by0 = k; c = mk, y elimin a n d o k, bmy o = c; luego, si ra r\- 0, todos los puntos de la recta de ecuación y = c / b m son polos de la recta y 4- ni = 0. Si ra = 0, el sistema no tiene solución, es decir, la línea de los centros no tiene polo. T o m a n d o c o o r d e n a d a s h o m o g é n e a s la ecuación es by- + ct3 = 0 y l a de la p o l a r de u n p u n t o (a:0, yo, U) es by0y + cUt = 0. De aquí se ve que la línea de los c e n t r o s c u y a ecuación es y = 0, tiene como polos los p u n t o s de la r e c t a i m p r o p i a y q u e la r e c t a i m p r o p i a t i e n e como polos los p u n t o s de la línea de los c e n t r o s .

Finalmente, si la cónica se reduce a u n a recta doble, esta recta es la polar de cualquier p u n t o del plano, y por consiguiente es la única recta que tiene polos, siéndolo cualquier punto del plano. E n la práctica p a r a d e t e r m i n a r el polo de u n a recta no hay necesidad de realizar el cambio de coordenadas. Si la ecuación de la recta es mx -f ^2/ + P — 0 la condición p a r a que un punto (x0, yo) sea el polo de la recta es que los coeficientes de la ecuación de ésta, sean proporcionales a los de la recta [4'], es decir que basta resolver el sistema ax0 4- hijo 4- 9 = km hx o -f byo + f = kn gx o + fy« 4- c = kp cuyas incógnitas son k, x„ e y0, con la condición de ser k 4= 0.

16(3

I-AS C Ó N I C A S

Ejemplo:

§ 21

í

Sea la cónica de ecuación 2 xy + 3a; — y -f 1 = O 5 a; + 2 / 4 - 4 = 0.

P a r a ello planteamos el sistema ú yo + = 5k 2

~

x0 - - L Y

- | - Xo

= Te

+ 1 = 4k

Vo

y resolviéndolo se ve que tiene las soluciones xn = 1; y0 — 1; k = i; luego el polo de la recta es el punto (1, 1 ) . Consideremos a h o r a la recta de ecuación x — y — 2 = 0 el sistema a resolver es el

=

Xo

2

"

. 2/o +

k

-

1 =

—

07

2k

del que eliminando k se deduce

Xo + 2/o + 1 — 0 x0 +

2

"

'

2

2/o + 4 = 0

sistema que evidentemente no tiene solución. Ello es debido a que la r e c t a pasa por el centro de Id cónica, que es (§ 20-[4], E j . 2 Q ) el punto '

1

3

Si t o m a m o s c o o r d e n a d a s h o m o g é n e a s t e n e m o s el s i s t e m a

3 yo + ~£~ u = i aro — - y -

U=

— 1

3 Xv — ~~r~ 1 y o + U = —2 2

LAS C Ó N I C A S

167

Propiedades de los polos y polares. — T E O R . 4 . Si la polar de un punto M 0 pasa por el punto M x , la polar del M j pasa por el punto M 0 . DEF. 3. Los puntos M 0 y Mi tales que cada uno de ellos e s t á en la polar del otro, se dice que son conjugados respecto de la cónica. Vamos a d e m o s t r a r el t e o r e m a : La ecuación de la polar de M 0 es [4']. Como por hipótesis el p u n t o Mi está en la polar, se tiene (ax0 + hijo + g)x i + (hx o + by0 + / ) 2/i + (gx o + ÍVo + c) = 0 pero esta relación indica, teniendo en cuenta la f o r m a [4"] de la ecuación de la polar, que M 0 pertenece a la polar d e Mi, como queríamos p r o b a r . De aquí se deduce que cuando un punto P recorre u n a recta p, su polar describe el haz de r e c t a s de vértice el polo de p, y recíprocamente cuando una recta recorre un haz, su polo describe la polar del vértice del haz. O t r a consecuencia inmediata del teorema 4 es La polar de un punto P respecto de una cónica, pasa por los puntos de contacto de las tangentes a la cónica que pasan por P . E n efecto, b a s t a ver que si T es el p u n t o de contacto de la t a n g e n t e , la polar de T es la m i s m a t a n g e n t e que pasa por P , luego la polar de P p a s a por T.

2/o 4—2~~ ~

1 =2

POLARIDAD E N

TEOR. 5.

3

3

-3

3.

y vamos a d e t e r m i n a r el polo de la recta de ecuación

~

§ 21

2

q u e a d m i t e como solución ar0 = — 1 , 2 / o = l , r e c t a es el p u n t o i m p r o p i o ( — 1 , 1, 0 ) .

¿o = 0, luego el polo de !a

DEF. 4. Un triángulo ABC se dice autopolar respecto ele u n a cónica no degenerada si cada lado es la polar del vértice opuesto. E s claro que la condición de que la cónica no sea degener a d a es necesaria, puesto que las polares respecto de una cónica d e g e n e r a d a pasan t o d a s por un mismo p u n t o (el centro) o son paralelas (si la cónica es u n a p a r á b o l a ) . P a r a c o n s t r u i r u n t r i á n g u l o autopolar b a s t a t o m a r un punto a r b i t r a r i o A y otro p u n t o B cualquiera, pero sobre la polar de A. E l t e r c e r vértice C está sobre la intersección de las polares de A y de B. DEF. 5. Dos rectas se dicen conjugadas respecto de una cónica citando cada una, de ellas contiene el polo de la otra. D a d a s dos r e c t a s p a r a ver si son c o n j u g a d a s se determina el polo de u n a de ellas y se ve si sus coordenadas satisfacen a la ecuación de la otra recta. U t i l i z a n d o cooi'denadas h o m o g é n e a s p u e d e d a r s e u n a f o r m a e l e g a n t e a la condición p a r a q u e dos r e c t a s s e a n c o n j u g a d a s . S e a n mx -f ny + pt = 0 ; qx + ry -f st = 0 las ecuaciones de las dos r e c t a s ; p a r a q u e el polo de la p r i m e r a e s t é so-

$ 22 - i

168

§ 2 1 -4

LAS C Ó N I C A S

b r e la s e g u n d a es condición n e c e s a r i a y s u f i c i e n t e que sea c o m p a t i b l e el s i s t e m a de ecuaciones h o m o g é n e a s en x0, j/u, ío y k ax¡ hxn gx„ qxo

+ -{+ +

POLARIDAD E N

hyo + gU 4 - vik = 0 hyo -j- ft-a vik — 0 fy« + cí„ + pk = 0 ry0 stu = u

pasan por P. Tenemos gentes desde un punto regla.

§ 22.

LAS CÓNICAS

169

así un método para construir las tana una cónica con el sólo empleo de la

D E T E R M I N A C I Ó N Y CONSTRUCCIÓN DE CÓNICAS

es decir que se t e n g a

a h

h

b f ÍJ <1 r Si u n a r e c t a es t a n g e n t e a la c a n d o la condición a n t e r i o r p a r a mos como condición de tangencia cónica. a h i

a

m

9 i c s

VI n V 0

cónica, es c o n j u g a d a de sí m i s m a . Aplique dos r e c t a s s e a n c o n j u g a d a s obtenede la recta m x + n y + p t = 0 a la h b f n

9 f c

P

m n

V

0

4. Construcción de la polar de un punto. — Supuesta dibuj a d a u n a cónica, vamos a ver cómo se puede c o n s t r u i r con el sólo uso de la regla, la polar de un punto cualquiera P (fig. 64). Tracemos por P las secantes a r b i t r a r i a s P A , A y P B : B que cortan a la cónica en los puntos A, y A, y B t y v \ B r e s p e c t i v a m e n t e . Sea s. \ • Q el p u n t o de intersecc i ó n de las r e c t a s A B y S / \ \ / ( AiBi, y R el de las rectas / / \ / \ Á i B y A B L La po( \ \ R / J\ lar de P es la recta QR. I / \ / \ / E n e f e c t o : sean Pi y l / \ ^ P'i ' o s c o n j u g a d o s armóV / ^ nicos de P r e s p e c t o de los \ Puntos A, y A y a los —_______ \ \ Bi y B respectivamente. 1 / / y s ^rr:r^rj> La polar de P , r e s p e c t o / / / • d e la c ó n i c a d a d a , e s / P i P ' i , pero dicha recta es J/ t a m b i é n la p o l a r de P / "7 ^ respecto de la cónica forFig. 64. m a d a por las dos rectas R A y RAi y también respecto de la cónica f o r m a d a por las rectas QA y Q A i ; como la polar de un punto respecto de u n a cónica f o r m a d a por dos r e c t a s pasa por el p u n t o de intersección, se ve que la polar pasa por los puntos Q y R, como queríamos p r o b a r . Determinada la polar, si se unen los puntos en que corta a la cónica con P, se obtienen las t a n g e n t e s a la cónica que

1. Condiciones que determinan una cónica. — La ecuación general de las cónicas f (x, y) = ax- + 2 h x y + by- + 2gx + 2fy -f c = 0 tiene seis coeficientes; como se pueden dividir todos ellos por una constante distinta de cero, no contiene m á s que cinco par á m e t r o s a r b i t r a r i o s . P o r lo tanto, p a r a d e t e r m i n a r una cónica será necesario dar relaciones que liguen los cinco p a r á m e tros, de f o r m a que éstos queden determinados. H a b r á que dar cinco ecuaciones con las seis incógnitas a, h, b, f , g, c, de las cuales u n a de ellas puede t o m a r un valor a r b i t r a r i o distinto de cero Cuando las cinco ecuaciones sean de p r i m e r grado, el sistema a d m i t i r á , en general, u n a sola solución (o ninguna si es incompatible, o i n f i n i t a s si es i n d e t e r m i n a d o ) , pero cuando algunas de las ecuaciones sean de un grado superior al primero, el sistema puede a d m i t i r un n ú m e r o finito de soluciones distintas. Las ecuaciones se obtienen, n a t u r a l m e n t e , expresando en f o r m a analítica las condiciones geométricas impuestas a la cónica. Así, por e j e m p l o : la condición de que la cónica pase por el punto (x-o, yo) se expresa mediante la ecuación

ax2o + 2hx0y0 -f by20 + 2

+ 2 f y 0 + c = 0.

La condición de que u n a recta sea t a n g e n t e a una cónica se obtiene reemplazando en la ecuación de la cónica una de las variables por su valor en función de la otra, deducido de la ecuación de la recta y expresando que la ecuación así obtenida tiene u n a raíz doble La condición de que un punto (x0, y o) sea centro de la cónica se expresa (§ 2 0 - [ 1 6 ] ) , mediante dos ecuaciones ax o -|- hy0 — g = 0 hx o -j- byo +

/

=

0.

La condición de que una recta de ecuación mx + ny + p = 0, sea t a n g e n t e a la cónica en u n p u n t o (x0, yo) de la recta, se expresa poniendo que los coeficientes de x é y en la ecuación E s t e v a l o r a r b i t r a r i o n o s e p u e d e d a r sin e M a r s e g u r o de q u e e s e c o e f i c i e n t e n o va a t o m a r el v a l o r de c e r o . E n g e n e r a l s e p u e d e h a c e r al i r e l i m i n a n d o i n c ó g n i t a s , c o m o s e v e r a en les e j e m p l o s .

170

LAS C Ó N I C A S

§ 22

-2

de la recta dada y en la ecuación general de la t a n g e n t e a II cónica en (x0, 2 / o ) sean proporcionales, es decir m _ n ax0 + hy0 + g ~ hx0-\- by0-\- f 9 y a d e m á s expresando que el p u n t o (x 0 ,yo) está en la cónica. L a condición de ser u n a parábola se t r a d u c e por la ecua ción h- — ab = 0, y la de ser circunferencia por las condicio. nes a = b =£0 y h = 0 (en coordenadas r e c t a n g u l a r e s ) . Vemos así que u n a condición geométrica puede equivaler a una o a v a r i a s condiciones analíticas. Se dice que una condición geométrica equivale a p condiciones analíticas si ella sfe t r a d u c e p o r un sistema de p ecuaciones e n t r e los coeficientes de la cónica. E n t r e las condiciones p a r a d e t e r m i n a r una cónica, la má*. corriente es la de dar lo que se denominan elementos notables de la cónica, es decir, un elemento que está determinado, cuando lo está la cónica; por ejemplo el centro, los focos, los vért i c e s . . . , e n t r e los p u n t o s ; las asíntotas, los ejes, las directric e s . . . , e n t r e las rectas, los círculos principales, etc. Un elemento notable equivale al n ú m e r o de condiciones analíticas necesarias y suficientes que sirven p a r a determinarlo, dos p a r a un p u n t o o una recta, t r ^ s p a r a un círculo, etc. Cuando nos dan dos o m á s elemento» notables, el n ú m e r o de condiciones que ello implique, s e r á igual o menor que la suma de condiciones de los elementos; es claro que no puede ser mayor, pero puede m u y bien ser menor, ya que la determinación de un elemento notable puede disminuir la indeterminación del otro. Así por ejemplo, d a r u n e j e y el centro equivale a t r e s condiciones (dos p a r a d e t e r m i n a r el eje y u n a p a r a d e t e r m i n a r el centro sobre el eje) ; d a r los dos ejes equivale a t r e s condiciones por estar obligados a ser p e r p e n d i c u l a r e s ; los dos focos equivalen a cuatro condiciones, pero si nos dan los dos focos y el centro seguimos con cuatro condiciones, ya que los dos focos d e t e r m i n a n el centro. 2. Determinación de cónicas en casos concretos. — Para a c l a r a r las ideas que acabamos de expresar vamos a dar una serie de casos concretos de determinación de cónicas. I 9 D e t e r m i n a r la ecuación de la cónica que pasa por los puntos ( 0 , 0 ) ; ( 0 , 1 ) ; ( 1 , 0 ) ; ( 1 , 1 ) y ( - 1 , - 2 ) . !La condición de p a s a r por el origen nos indica que debe ser c = 0. Las o t r a s cuatro condiciones se expresan m e d i a n t e las ecuaciones

§

22

-2

D E T E R M I N A C I Ó N Y C O N S T R U C C I Ó N DE C Ó N I C A S

b a ci a

+ -j4~ +

2/ 2g 2h Ah

171

= ü

= 0

4~ b -}- 2 / -f- 2 g = 0 + 46 — 2 g — 4 / = 0

reemplazando en las dos últimas / y g por los valores obtenidos en las dos p r i m e r a s se obtiene h = 0 y la ecuación 2a + 66 = 0 . Demos a a un valor a r b i t r a r i o , por ejemplo a = 3, y ia solución del sistema es la siguiente a = 3; b = — 1 ; h = 0 ; 2f = l ; 2g = — 3; c = 0 luego la cónica buscada tiene como ecuación Sx* — yn- — Sx + y = 0 . P u e d e comprobarse fácilmente que ésta es la solución, reemplazando en la ecuación x é y por las coordenadas de los puntos que nos h a n dado. 2 9 D e t e r m i n a r la ecuación de la cónica que pasa por los puntos ( 0 , 1 ) ; ( 0 , 2 ) ; ( 0 , 3 ) ; ( 0 , 4 ) y ( 1 , 1 ) . Las cinco ecuaciones que obtenemos s o n : b -f- 2 / + c = 0 46 -j- Af -j- c = O 96 -f- 6/ + c = 0 166 + 8/ 4- c = 0 a> -l - 2 h 4" 6 -f- 2 g 4" 2 / 4" c =: 0 las cuatro p r i m e r a s nos dan las soluciones 6 = 0; f = 0; c = 0, y la última t o m a la f o r m a A

-i- 2h

4~

2g —

0

lo que nos indica que hay indeterminación, pues se puede d a r valores a r b i t r a r i o s a dos coeficientes en vez de a uno solo. Poniendo a, — — 2(h-\-g), la ecuación de la cónica que buscamos es — 2(h + g)x2 + 2hxy 4- 2gx = 0 o lo que es lo mismo, x[h(y — x) + g( 1 —»)] es decir, que la cónica se compone de la recta x = 0 y de la h(y — a:)-|-gr(l — x) = 0 que r e p r e s e n t a u n a recta cualquiera que pasa por el p u n t o ( 1 , 1 ) . E s t e r e s u l t a d o podía preverse desde un principio, ya que la cónica pedida teniendo m á s de dos puntos comunes con el ?je OX, t e n í a que contenerlo, y como la única condición que f a l t a b a e r a la de p a s a r por el p u n t o ( 1 , 1 ) , era claro que la cónica debía de componerse de una recta cualquiera que pase vor ese punto y del eje OX.

LAS C Ó N I C A S

172

§ 22

-¿

Si en el enunciado del problema cambiamos el p u n t o ( 1 , 1 ) p o r otro p u n t o del eje OX, por ejemplo el ( 0 , — 1 ) , las cinco ecuaciones nos dan únicamente los valores 6 = f = c = 0, quedando los otros indeterminados. La ecuación de la cónica es por lo t a n t o ax2 + 2 h x y -f g = 0 ó x (ax -f 2 h y + g) = 0 es decir que la cónica se compone del eje OX y de una recta cualquiera del plano, resultado que, como en el caso anterior, podía preverse desde un principio. 3Q D e t e r m i n a r la parábola t a n g e n t e a la recta £ + 4y -f + 1 = 0, en el p u n t o ( — 1 , 0 ) , y a la recta x — 3?/ + 2 = 0, en el p u n t o ( — 2 , 0 ) . Las ecuaciones s o n :

— a +

<7

—

1 2a -1- g

h- — ab = 0 a — 2g -f- c = 0 h-\-f 4a + 40 + h — f = 0 4

— 2h + /

1

ó

— ü

,

eliminando c y f se obtiene el sistema h2 — ab = 0 3a — 2g — 0 10a — Ig + h 0. Demos ahora a g el valor 3, la solución del sistema es (7 = 3 ; a = 2; h — 1; 6 = i ; c = 4; / = 5 y por lo t a n t o la ecuación de la parábola es 1

4 9 D e t e r m i n a r una hipérbola sabiendo que sus asíntotas son las rectas de ecuaciones 1 3 *

=

- j -

;

v

=

2~

y que pasa por el p u n t o ( 1 , — 4 ) . Si tomamos como ejes las asíntotas, es decir, hacemos el cambio de coordenadas x' = x

2

—

:

y

-2

DETERMINACIÓN Y CONSTRUCCIÓN

= y

, -i-rr3

:

DE C Ó N I C A S

173

la ecuación de la hipérbola es del tipo x'y' = k, y como ella pasa por el p u n t o x'0 = 1

— = —

;

3

y' o = — 4 +

se tiene

s -

- -

6

4

-

es decir aue la ecuación de la hipérbola es x'y'

—5 .

= -

Volviendo a h o r a al sistema dado de coordenadas se tiene como ecuación * -

4-)(

v+

4-

4

o X

y

,

3

~2~

1

X

2~ 2/ i

1

2~

=

A

0

que es la solución del problema. E l método empleado en este caso de buscar un sistema distinto de coordenadas p a r a dar una f o r m a más simple a las relaciones que debe cumplir la cónica, es de g r a n aplicación. Vamos a ver, a título de aclaración, cómo se podría resolver este problema sin utilizar el cambio de coordenadas. La condición de la recta x = í de ser asíntota, indica que no tiene n i n g ú n p u n t o real o imaginario propio común con la cónica, luego reemplazando x por i en la ecuación de la cónica, tenemos que la ecuación en y a

b 6a? + lOy 4 - 4 = 0 .

LA

22

6a — 3 g -f- 2 h — / = 0

4a — 4g + c = 0

2o:2 + 2 x y H

§

4

+ hy + by2 -f g + 2 f y + c = 0,

no debe tener n i n g u n a raíz real ni i m a g i n a r i a , es decir que deben ser nulos los coeficientes de y2 y de y, se tienen pues, las ecuaciones 6 = 0 ; 2/ + h = 0. Un razonamiento análogo p a r a la o t r a asíntota nos daría las ecuaciones a = 0 ; 2 g — 3/i = 0 y expresando que pasa por el p u n t o ( 1 , — 4 ) a — 8 h + 166 + 2 g — 8/ + c = 0. Dando a h el valor 1 se obtiene como solución del sistema

LAS CÓNICAS

1 7 4

a = 0;

b — 0)

h = 1;

2/ = — 1;

§

2(7 = 3 ;

22

-2

c = 1

y por lo t a n t o como ecuación de la cónica 2 xy + 3a; — y + 1 = 0. 51? D e t e r m i n a r una cónica sabiendo que su centro es el p u n t o ( 3 , 2 ) y que pasa por los puntos ( 4 , 2 ) y ( 2 , 1 ) admitiendo como t a n g e n t e en este p u n t o la r e c t a de ecuación y = 1. Llevemos el origen al c e n t r o ; se tienen las f ó r m u l a s de cambio de coordenadas x' = x — 3 ; y' = y — 2 .

§ 22

-3

DETERMINACIÓN Y CONSTRUCCIÓN

l + V 5 | -

el punto

ax'- + 2 hx'xy' + by'2 + c' = 0 : las relaciones de p a s a r por esos dos puntos y de tangencia a la recta nos dan las t r e s ecuaciones a + c' — 0 a -1- 2h + b + c' = 0 a — h = 0. Dando a a el valor 1 se obtiene como solución del sistema a — 1', h = — 1; c « — 1: b = 2 la ecuación de la cónica es por consiguiente: a'2 __ 2x'y' -(- 2y2 — l = o y volviendo al sistema dado de coordenadas (a; — 3 ) 2 — 2(x — 3) (y —2) + 2(y — 2)2 — 1 = u O

x- — 2xy + 2 y2 — 2x — 2y + 4 = 0,

que es la solución del problema. S u p o n g a m o s que en vez de d a r n o s el p u n t o (4, 2) nos h u b i e r a n d a d o el (4, 3 ) , es decir en el n u e v o de s i s t e m a de c o o r d e n a d a s el (1, 1 ) . E l s i s t e m a t o m a r í a la f o r m a a + 2 h + b + c' = 0 a 4- 2/i + b + c' = 0 — a — h — 0 NOTA:

de dos ecuaciones con c u a t r o i n c ó g n i t a s , lo que p e r m i t e d a r v a l o r e s a r b i t r a r i o s a dos c o e f i c i e n t e s en vez de a uno. H a y pues, i n d e t e r m i n a c i ó n ; v e a m o s la c a u s a . E l p u n t o (4, 3) es s i m é t r i c o del (2, 1) r e s p e c t o del c e n t r o (3, 2 ) , luego el d a t o del p u n t o (4, 3) no nos a ñ a d e n i n g u n a condición, p u e s v a incluida en las de p a s a r p o r el p u n t o (2, 1) y en la de ser (3, 2) c e n t r o de la cónica. L a s cinco condiciones se reducen en r e a lidad a c u a t r o y p o r eso h a y i n d e t e r m i n a c i ó n .

6? D e t e r m i n a r una cónica que tiene como foco el origen, la directriz es la r e c t a de ecuación £ + 2?/-r 2 = 0 y pasa por

175

, oj

Sabemos que la ecuación general de las cónicas que tienen ese foco y esa directriz es x2 + y2 = l(x + 2y + 2)2 y expresando que pasa por el punto dado, se tiene I +

V

T

2

^

/

I

1

+

Y

\

R

+

2

R

2

=

?

x

ó

2

+

y

2

=

a

—

_1_

( 3 +

-

, /

I

' —

22, +

5

+

\

6+ 2 VT . 30 + 10 \f~b 4 4 ' la ecuación de la cónica es por lo t a n t o - • =

La ecuación de la cónica en el nuevo sistema es (§ 20-5) :

DE C Ó N I C A S

.

:

2 )

A

V T

2 =

1 5

2

4a;2 — Axy + y2 — 4a; — 8 y — 4 = 0

que es la solución del problema. 7° Si quisiéramos d e t e r m i n a r una cónica conocidos los dos focos y un punto, t o m a r í a m o s u n sistema de e j e s rectangulares que t u v i e r a como eje OX la línea de los focos y como origen el n u n t o medio del segmento focal. E l problema se reduce entonces al de d e t e r m i n a r en un sistema de cónicas homofocales con centro (§ 19-5) la que pasa por un punto, problema que vimos (teorema 3 del § 19) tiene, en general, dos soluciones. 3. Intersección de cónicas. — El teorema f u n d a m e n t a l de la intersección de cónicas es el siguiente: Dos cónicas distintas tienen a lo mas cuatro puntos comunes, con excepción del caso en que ambas sean degeneradas y tengan una recta común. Sean Ci y C 2 las dos cónicas. P a r a p r o b a r el teorema consideraremos p r i m e r o el caso de que u n a de ellas sea degenerada, por ejemplo que la Cx se componga de dos rectas D x y Do. La r e c t a Di corta a la cónica C 2 a lo m á s en dos puntos, pues si t u v i e r a m á s de dos puntos p e r t e n e c e r í a a la cónica (§ 20-6), y lo mismo sucede con la D 2 , lo que p r u e b a el teor e m a en este caso particular. P a s e m o s al caso general. Siempre podemos suponer que las dos cónicas C x y C 2 no son degeneradas. Sean sus ecuaciones [1] fi (x,y) = ax2 + 2 hxy + by2 + 20a; + 2fy + c = 0 [2] f 2 (a;, y) = a'x2 + 2h'xy + b'y2 + 2g'x + 2 f y + c' = 0 TEOREMA 1.

y consideremos la cónica Cx de ecuación

§ 22

LAS C O N I C A S

176

-3

f i + Áf- = (a + ía')x* + 2{h + lh')xy + (6 + '•&') í/2 -f + 2(g + lg')x + 2 ( / 4- \f')V + c -f Ác' = 0 siendo ?. un p a r á m e t r o variable no nulo. E s inmediato que los p u n t o s comunes a Ci y C 2 son los mismos que los comunes a Ci y C p o r lo t a n t o si consiguiésemos d e t e r m i n a r k de f o r m a que C), f u e s e una cónica degenerada, el t e o r e m a e s t a r í a demostrado. L a condición p a r a que C-, sea degenerada es que su determ i n a n t e A sea igual a cero, es decir que se t e n g a ["31

[4]

a + leí' h + W

h + b +- X&'

9 + W / 4- Á/'

í/ 4 - '•£/'

/

c

4 - >•/'

=0.

4 - XC

C u a n d o se c o n s i d e r a n e l e m e n t o s i m p r o p i o s , el t e o r e m a t o m a u n a f o r m a m á s p r e c i s a . Como u n a í-ecta c o r t a s i e m p r e a u n a cónica en dos p u n t o s d i s t i n t o s o c o n f u n d i d o s , r e a l e s o i m a g i n a r i o s , p r o p i o s o i m p r o p i o s , de la d e m o s t r a c i ó n a n t e r i o r s u r g e : dos cónicas que no tengan una, recta común se cortan siempre en cuatros puntos, distintos o confundidos, reales o imaginarios, propios o impropios. Así por ejemplo, consideremos las cónicas de ecuaciones y* 1 = 0 é y 2 — af — 1 = 0. L a e c u a c i ó n en l e s x" —

o 0

l

0 — i -I0

I

0 o — 1 —

-4

D E T E R M I N A C I Ó N Y C O N S T R U C C I Ó N DE C Ó N I C A S

= 0

q u e se ve, a d m i t e la r a í z ). = — 1. L a cónica Cy t i e n e como e c u a c i ó n X a — y ' - = 0, y p o r lo t a n t o se c o m p o n e d e l a s dos r e c t a s x -f- y = 0, x — y = 0 que n o t i e n e n , n i n g u n a , p u n t o s c o m u n e s con l a s c ó n i c a s d a d a s ; en c a m b i o , si c o n s i d e r a m o s c o o r d e n a d a s h o m o g é n e a s la r e c t a x + V — t i e n e c o m ú n con la cónica x"— y~—t- — 0 el p u n t o i m p r o p i o (1, — 1 , 0 ) . y l a r e c t a x — y = 0 t i e n e c o m ú n con la c ó n i c a el p u n t o (1, 1, 0 ) ; en ambos c a s o s los p u n t o s son dobles, l u e g o l a s dos c ó n i c a s t i e n e n c o m u n e s d a s p u n t o s dobles, los (1, — 1 , 0) y (1, 1 , 0 ) .

Consideremos ahora dos cónicas Ci y C 2 que t e n g a n cuat r o p u n t o s comunes únicamente. Consideremos las cónicas de ecuación [5] Á f i ( x , y ) 4- iif2(x,y) = 0 siendo f i (x, y) = 0 la ecuación de Ci y Í2(x,y)~ 0 la de C 2 , y u n ú m e r o s reales cualesquiera. Vamos a ver, la ecuación [5] r e p r e s e n t a todas las cónicas que pasan por los puntos comunes a las cónicas Ci y C 2 .

177

E s inmediato que toda cónica de la f a m i l i a [5] p a s a por la intersección de Ci y C 2 . Recíprocamente supongamos u n a cónica C que pase p o r la intersección y sea (x0,y0) un punto de C que no pertenezca a la intersección. S i e m p r e se pueden d e t e r m i n a r dos valores Xo Y !-lo de "A y u tales que [6]

/ . 0 f i ( a r 0 , 2 / o ) 4 - Hof 2 (íCo,2/o) =

0.

Llamemos C' a la cónica de ecuación Áofi

É s t a es una ecuación de t e r c e r grado, que se denomina la ecuación en % de la cónica; de las propiedades de los determin a n t e s se deduce que el coeficiente de l z en la ecuación es el A de la cónica C 2 , y el t é r m i n o independiente es el A de Cr, luego, como por hipótesis C, y C 2 no son degeneradas, la ecuación en l tiene s i e m p r e una raíz real y d i s t i n t a de cero. L a s cónicas Cj y C>_ tienen a lo m á s cuatro p u n t o s comunes, puesto que la cónica Ci no es degenerada. Queda así probado el teorema.

l

§ 22

(x,y)

4- Hofi(.x,y)

= 0.

L a s dos cónicas C y C' tienen cinco p u n t o s comunes, los c u a t r o de intersección de Ci y C 2 y el (x0, y0). P o r consiguiente, o coinciden o tienen una r e c t a común R. Veamos que la s e g u n d a hipótesis es imposible: en efecto, teniendo común una r e c t a R y no siendo la m i s m a cónica, C y C' sólo tie n e n c o m u n e s los p u n t o s de R y el de intersección de las o t r a s dos r e c t a s que las c o m p o n e n ; luego, de los c u a t r o puntos comunes a Ci y C 2 , t r e s p o r lo m e n o s tienen que e s t a r en R ; entonces Ci y C 2 tienen que t e n e r común R c o n t r a la hipótesis. Consideremos a h o r a u n c u a d r i l á t e r o A B C D y sean ri(3,2/) = 0;

r 2 ( z , 2/) = 0 ;

c^(x, y) = 0 ;

r4(x, í / ) = 0

ías ecuaciones de los lados AB, BC, CD y DA, respectivamente. L a s cónicas C y C' de ecuaciones r i ( x , y ) . r3(x,y)

= 0

;

r 2 ( x , y ) . r4(x,y)

= 0

tienen ú n i c a m e n t e comunes los c u a t r o puntos A, B, C y D ; luego, en v i r t u d de lo que acabamos de decir, la ecuación d.e las cónicas que p a s a n p o r esos c u a t r o puntos, es decir la ecuación de las cónicas circunscritas al cuadrilátero, es [7]

X r ^ s 4 - Lir2r, =

0.

4. Cónica que pasa por cinco puntos. — V a m o s a hacer un estudio del problema de la determinación de una cónica por cinco puntos. El t e o r e m a f u n d a m e n t a l es el s i g u i e n t e : Por cinco puntos, de los cuales cuatro no están en linea recta, pasa siempre una cónica y una sola. E n efecto, sean A, B, C, D, E los cinco p u n t o s ; no habiendo c u a t r o en línea recta, s i e m p r e se pueden d e t e r m i n a r c u a t r o de ellos que f o r m e n un c u a d r i l á t e r o ; s u p o n g a m o s que sean los A, B, C y D. L a ecuación g e n e r a l de las cónicas circ u n s c r i t a s al c u a d r i l á t e r o es [7] y s i e m p r e se pueden d e t e r m i n a r l y [x de modo que la cónica p a s e por E . Tenemos así una cónica que p a s a p o r los cinco p u n t o s y esta cónica es única, pues si hubiese otra, a m b a s t e n d r í a n una recta común y TEOR. 2.

178

I.AS C Ó N I C A S

s

22

entonces sólo podrían t e n e r común f u e r a de esa recta, punto, el de intersección de las o t r a s dos r e c t a s que las man, lo que está en contradicción con la hipótesis. E n la práctica, en l u g a r de utilizar la f o r m a [7] que d e t e r m i n a X y u, salvo un f a c t o r de proporcionalidad, es f e r i b l e utilizar la f o r m a [8]

•

-5

otro forsólo pre-

T o m e m o s la cónica del caso 1 ° de 2. Los cinco puntos son A ( 0 , 0 ) , B ( 0 , 1 ) , C ( l , 0 ) , D ( 1 n , E ( — 1 . — 2 ) . L a s ecuacion e s de A B , CD, A C y B D son r e s p e c t i v a m e n t e x = 0 ; x = 1 ; y = 0 ; y = 1. 1.

La ecuación de l a s cónicas c i r c u n s c r i t a s al c u a d r i l á t e r o A B C D es x(x — 1) -f Hy — l)y Determinando

p a r a que p a s e p o r 2 + 61 = 0

= 0.

O

x — x — - J - + -?r = o

0

(—1, — 2 ) , t e n e m o s ; l = — 1/3 6

3a;!!

o

— y1 —3*

+ y = o-

2. C o n s i d e r e m o s a h o r a un caso de t i p o m á s g e n e r a l q u e el a n t e r i o r , en el q u e l a e x i s t e n c i a de c o o r d e n a d a s n u l a s s i m p l i f i c a b a los cálculos. S e a n los cinco p u n t o s A ( 1 , 2 ) ; B(—3, 1 ) ; C(—2, — 1 ) ; D(4, - 3 ) ; E(5, —6). L a s e c u a c i o n e s de l a s r e c t a s A B , CD, A C y B D son, r e s p e c t i v a m e n t e . X — 1 4

= y --

x + 2 — 6 x — 1 3 x -{- 3

2

V + 1 2 y — 2 3 V — 1 '

o *

X

4y +

7 =

2x

y n

X

y

+

1

0 o

4x

4- 7 y

+

5

/ \

0

+ 6y + 10 z= C

0

+

-5

D E T E R M I N A C I Ó N Y C O N S T R U C C I Ó N DE C Ó N I C A S

o 7=

U.

179

La ecuación de l a s cónicas c i r c u n s c r i t a s al c u a d r i l á t e r o A B C D es {x — 4ij + 7) ( 2 x + 6 y + 10) + }.(x — y - j - 1 ) (4a; + 7 y -f 5) = 0 y h a c i e n d o x = 5, y = ~ 6 , se t i e n e — 576 — 204?. =

0

;

\ =

—

y l a e c u a c i ó n de l a cónica e s ó

576

48

204

17

— 4y + 7) (2x + 6y + 10) — 4 8 ( x — y + 1 ) (Ax + ly + 5) = 79ar + 89 xy + 36 y2 + 12x + 31 y — 475 = 0 .

0

O t r a f o r m a d e la ecuación de la cónica q u e p a s a p o r los cinco p u n tos Mx(s„|/,); M»(*»yt); M * ( x i f y s ) ; M « ( x i f y 4 ) ; M , ( x h y > ) es la siguiente: a" xy y2 X y 1 xiyi 2Ti Xi y 1 x¿y2 y-2 Xt V" 1 = 0. X*n 332/3 iA x3 2/3 1 2 XAy* y i X, y* 1 2 2*2/5 y s Xt, y> 1 •

Se ve, en e f e c t o , q u e e s t a ecuación es l a de u n a cónica; al p o n e r en vez de x, y l a s c o r d e n a d a s de u n o c u a l q u i e r a de los p u n t o s se s a t i s f a c e la ecuación p o r t e n e r , el d e t e r m i n a n t e , dos f i l a s i g u a l e s , luego la cónica p a s a p o r los cinco p u n t o s . P a r a c o m p l e t a r e s t e r a z o n a m i e n t o s e r í a n e c e s a r i o p r o b a r que si c u a t r o de los p u n t o s no e s t á n en u n a línea r e c t a , n o se a n u l a n los coeficient e s de los t é r m i n o s de s e g u n d o g r a d o , p e r o n o h a r e m o s e s t e e s t u d i o q u e no p r e s e n t a i n t e r é s especial, dado el poco v a l o r p r á c t i c o de e s t a f o r m a de la ecuación, q u e exige el d e s a r r o l l o de seis d e t e r m i n a n t e s n u m é r i c o s de o r d e n cinco.

5. Construcción de cónicas. — Nos limitaremos a d a r las que se a p o y a n en los t e o r e m a s de P a s c a l y Brianchon. TEOR. 3. (Teor. de P a s c a l ) : Sea

y la ecuación de la cónica es 2

22

17(X

r i . r 3 + *r 2 r 4 = 0

que d e t e r m i n a unívocamente />; el único caso en que /. no queda d e t e r m i n a d o , es c u a n d o las coordenadas del quinto p u n t o a n u l a n a r 2 . r 4 , pero entonces, es claro que r 2 ( z , y). . r4(x, y) = 0, es la ecuación de la cónica que p a s a por los cinco puntos. Si c u a t r o de los cinco p u n t o s estuviesen en línea recta, la cónica se compone, como ya lo indicamos en el ejemplo 2 9 de 2, de dicha recta y de o t r a cualquiera que p a s e por el quinto punto, y si los cinco puntos están alineados la cónica se compone de dicha recta y de o t r a cualquiera del plano. E n la práctica, el método de f o r m a r la ecuación g e n e r a l de las cónicas i n s c r i p t a s en el c u a d r i l á t e r o y d e t e r m i n a r después la que p a s a por el quinto p u n t o es, en general, el que conduce m á s f á c i l m e n t e a la ecuación. EJEMPLOS:

§

un exágono inscripto en una cónica y sean P , Q y R los puntos de intersección de los lados MjMo y M4M:„ M 2 M 3 y M 3 M 0 , M 3 M, y M C M „ respectivamente. Los tres puntos P , Q y R se encuentran en una misma recta. Esta recta se denomina la recta de Pascal. E n e f e c t o , la cónica, s i e n d o circunsc r i t a al c u a d r i l á t e r o M]M 2 M 3 M 4 , tiene u n a ecuación de la f o r m a

( f i g . 65) M 1 M 2 M 3 M 4 M 5 M 6

Fie. 65.

180 [10]

§ 22 - E j .

LAS CÓNICAS

*0rjr3

=

—

Horro

siendo r1(x,y)=0; r.(x,y) = 0 y r3(x,y)=0 las ecuaciones de las rectas MJM.J, M 2 M 3 y M 3 M 4 respectivamente, y r (x,y) = = 0 la ecuación de la recta MiM 4 . L a cónica es i g u a l m e n t e c i r c u n s c r i t a al cuadrilátero M Í M Í M ^ M G , y por lo t a n t o su ecuación tiene también la f o r m a [11] Hirr 5 = — ?.jr4r« siendo r 4 (s,2/) = 0 ; r»(x, y) = 0 ; r„ (»,!/) = 0 las ecuaciones de las rectas M,M,, M : ,M e y M 0 Mi, respectivamente. Multiplicando miembro a miembro [10] y [11] ÁoUirrir3r5 =

—

j.ioXirror 4 r G

que se satisface p a r a todos los puntos de la cónica; también se seguirá satisfaciendo si dividimos por el f a c t o r común r ; es decir que la cúbica (curva de t e r c e r grado) de ecuación XoHirir3r5 - f n o t a r a

=

0

contiene a la cónica. E n consecuencia (ver por ejemplo § 26, n 9 2 ) , la cúbica se descompone en la cónica y en una r e c t a ; ahora bien, los puntos P (que está en las rectas r x y r 4 ) , Q (que está en las rectas r 2 y r.-,) y R (que está en las rectas r 3 y r 0 ) están en la cúbica, y como no están en la cónica, tienen que e s t a r en la r e c t a ; esta recta es, pues, la recta de Pascal y el teorema está demostrado. E s t e teorema se aplica p a r a la construcción de una cónica

§

22

-Ej.

DETERMINACIÓN Y CONSTRUCCIÓN

DE CÓNICAS

181

por puntos cuando se conocen cinco puntos de la cónica, con el solo empleo de la recta. Veamos cómo se procede: Sean Mi, M 2 , M 3 , M 4 y Mr, los cinco puntos dados de la cónica (fig. 66), y vamos a d e t e r m i n a r puntos de ésta en las rectas que pasan por M t . Sea M,S una recta cualquiera que pasa por M j ; P el punto de intersección de MXM2 y M 4 M 5 y R el punto de intersección de M 3 M 4 con M,S. La recta de Pascal del exágono cuyos vértices son M x , M 2 , M 3 , M 4 , M 5 y el punto (desconocido) de la cónica situado sobre M j S es la recta P R ; sea Q el punto en que P R corta a MoM 3 ; Q debe e s t a r en la recta que une M 5 con el punto desconocido de la cónica; luego, t r a z a n d o la recta Mr,Q, el punto C en que corta a la M,S será un punto de la cónica. V a r i a n d o la secante MjS obtendremos nuevos puntos de la cónica C', C", . . . Vamos a d a r a h o r a un teorema dual del de P a s c a l : (Teorema de Brianchon) : Sea gono circunscrito a la cónica u,

(fig.

MiMoMaM.Mr.Mo.

T6

TEOR. 4 .

V

67)

el exá-

Las rectas M,M 4 , M 2 M 5 y M 3 M 0 se cortan en un mismo punto B. Este p u n t o se denomina punto de Brianchon. Consideremos el e x á g o n o T1ToT3T4T5T6 i n s c r i p t o en la cónica cuyos ver" ¿ 13 M3 tices son los punFÍS. 67. tos ele c o n t a c t o con la cónica de los lados del exágono circunscrito. Sea P ( x ) el p u n t o de intersección de T I T 2 con T 4 T 5 ; como T a T> es la polar de Mj (§ 21, t e o r e m a 5) y T 4 T 3 es la polar de M 4 , entonces (§ 21, teorema 4) P es el polo de M X M 4 . De una m a n e r a análoga se ve que los puntos Q, intersección de T 2 T 3 con T 5 T G , y R, intersección de T 3 T 4 con T c T j , son los polos de M 2 M 3 y de M 3 M C , respectivamente. P o r el t e o r e m a de Pascal los t r e s puntos P, Q y R están en una recta, sea B el polo de esta r e c t a ; por él pasan las pe lares de P, Q y R, es decir las rectas M a M 4 , M 2 M 5 y M 3 M 6 ; luego, el t e o r e m a está probado. Como en el caso del teorema de Pascal, el teorema de Brian1

I . o s p u n t e s P , Q y R n o e s t á n s e ñ a l a d o s e n la f i g u r a .

22 - E j .

LAS C Ó N I C A S

182

chon se usa p a r a d e t e r m i n a r t a n g e n t e s a una cónica cuando se conocen cinco t a n g e n t e s a la misma. Sean, en efecto (fig. 68), tu t2> U, U y h las cinco t a n g e n t e s ; M 2 , M s , M 4 y M 5 los p u n t o s de intersección de £, y U, U y t3, ts y t., y y fs; vamos a d e t e r m i n a r M2 t a n g e n t e s que p a s e n >^7\ por p u n t o s de tx. i, / \ ¿ Sea Mi un p u n t o / \ de t i ; e l p u n t o d e í , \ / \ Brianchon del exágono / \ / ^ f o r m a d o por las W \ / ^ ^ / / cinco t a n g e n t e s daq u e / / ^as y kusca/C

\ c

/

t¿\

o

/£3

/

m o s

e s

P

u n

fo

ü

t e r s e c c i ó n de

n

^2^•"*'

l u e g o .

y' / / /

uniendo M 3 con B y M¿ i d e t e r m i n a n d o la in5 4 t e r s e c c i ó n de e s t a 6 M5 recta con t 5 o b t e n eF¡e. es. mos el p u n t o M 6 ; la recta MiM e es la t a n gente buscada. V a r i a n d o el p u n t o M se obtienen nuevas tangentes a la cónica M'jM'c, . . . EJERCICIOS SOBRE CÓNICAS E n los e j e r c i c i o s con u n a s t e r i s c o los d a t o s se dan cartesiano rectangular.

en u n s i s t e m a

* l 9 E n c o n t r a r la ecuación de u n a elipse s a b i e n d o que u n o de s u s v é r t i c e s es el p u n t o (0, — 7 ) , q u e su c e n t r o e s t á en el o r i g e n y que p a s a por el p u n t o (1, 1 4 / 3 ) . R . : s 7 9 + T/749 = 1. * 29Una con el e j e OX S a b i e n d o que s u ecuación. •R.:

elipse t i e n e su c e n t r o en el o r i g e n , su e j e m e n o r coincide y la l o n g i t u d de su e j e m a y o r es el doble de la del m e n o r . la elipse p a s a a d e m á s p o r el p u n t o ( V 7 / 2 , 3 ) d e t e r m i n a r ar/4 +

y-/16 = 1 .

* 3 9 L u g a r g e o m é t r i c o de los p u n t o s t a l e s que su d i s t a n c i a a la r e c t a de ecuación y + 8 = 0 es el doble de la d i s t a n c i a al p u n t o (0, — 2 ) . 2 2 R . : Ax + 3 y = 4 8 . 4 9 E l p u n t o medio de la c u e r d a de u n a elipse de ecuación x~ + 4y* — Gx — 8y — 3 = 0 es (5, 2 ) . D e t e r m i n a r la e c u a c i ó n de la c u e r d a . R . : x + 2y — 9 = 0. *. 5 9 D e t e r m i n a r la ecuación del l u g a r g e o m é t r i c o de los c e n t r o s de l a s c i r2 c u n f e r e n c i a s t a n g e n2t e s 2 a las dos c i r c u n f e r e n c i a s de e c u a c i o n e s x* + y —Ay — 12 = 0 y x + y = 1. R . : 100a ,J + 84 r — 168* — 441 = u ; 36ar + 20 y2 — 40*/ — 25 = 0 .

§

22

-Ej.

DETERMINACIÓN Y CONSTRUCCIÓN

DE C Ó N I C A S

183

* 6 9 D e t e r m i n a r la ecuación de u n a h i p é r b o l a s a b i e n d o que s u s focos son los p u n t o s (3, 4) y (3, — 2 ) y su e x c e n t r i c i d a d es i g u a l a 2. * . ( v - i y _ - i 9

"

27

'

'

"

* 7 9 U n a h i p é r b o l a t i e n e su c e n t r o en el o r i g e n y su e j e f o c a l es el O X . S a b i e n d o q u e p a s a por el p u n t o (3, — 1 ) y que u n a de s u s a s í n t o t a s es l a l í n e a r e c t a de ecuación 2y — 6 V2x, d e t e r m i n a r su ecuación. R . : 2x2 — 9y* = 9. 8 9 D e t e r m i n a r l a s t a n g e n t e s a l a h i p é r b o l a de ecuación x2— 2¡f + + Ax — 8 y — 6 = 0, que son p a r a l e l a s a la r e c t a de ecuación Ax — Ay

+ 11 = 0.

R

x

— y — 1)

x =

y + 1.

9? D e t e r m i n a r l a s t a n g e n t e s a la h i p é r b o l a de ecuación Ax 2 —9?/ 2 = = 36, que p a s a n p o r el p u n t o (0, — 1 ) . ; R.:

y =

±

VT/Zx

— 1.

.

* 10 9 D e t e r m i n a r la l o n g i t u d del s e g m e n t o d e t e r m i n a d o por la par á b o l a de e c u a c i ó n y2 = Ax en la r e c t a de ecuación x = 2y — 3 . T R.:

4 V5".

* ll9 Los p u n t o s ( — 4 , 3) y ( — 1 , 3) son el v é r t i c e y el- foco resp e c t i v a m e n t e de u n a p a r á b o l a . D e t e r m i n a r la ecuación de la p a r á b o l a , la de su d i r e c t r i z y la de s u e j e . R.: (y — 3 ) 2 = 1 2 ( * + 4 ) ; x = — 7 ; y = 3 . * 12 9 E n c o n t r a r la ecuación de u n a p a r á b o l a c u y o e j e es p a r a l e l o a l e j e OX y que p a s a p o r los p u n t o s (0, 0 ) , (8, — 4 ) y (3, 1 ) . . R y 2 — x + 2y = 0 . . * 13 9 E n c o n t r a r l a ecuación de l a p a r á b o l a c u y o v é r t i c e es el p u n t o (4, — 1 ) , cuyo e j e es l a r e c t a de ecuación y + 1 = 0 y que p a s a por el p u n t o (3, — 3 ) . ; R . : y2 + Ax + 2y — 1 5 = 0 . * 1 4 9 D e m o s t r a r que las p a r á b o l a s de e c u a c i o n e s x2 — Ax + %y— — 20 = 0 y xJ—4# — Ay + 4 = 0, se c o r t a n o r t o g o n a l m e n t e en s u s p u n t o s de i n t e r s e c c i ó n . * 15 9 D e d u c i r la f ó r m u l a del á r e a e n c e r r a d a p o r u n a elipse de ecuación

A = JE . ab, b a s á n d o s e en la p r o p i e d a d de la elipse de ser proyección ort o g o n a l de u n a c i r c u n f e r e n c i a . «

16 9 D e m o s t r a r que en u n a elipse o h i p é r b o l a la d i s t a n c i a de u n a t a n g e n t e al c e n t r o es i n v e r s a m e n t e p r o p o r c i o n a l a la l o n g i t u d del d i á m e t r o p a r a l e l o a la t a n g e n t e . IT 9 D e m o s t r a r q u e en u n a e l i p s e o h i p é r b o l a el p r o d u c t o de l a s dist a n c i a s de u n p u n t o v a r i a b l e a los dos f o c o s es c o n s t a n t e e i g u a l al c u a d r a d o de l a l o n g i t u d del s e m i e j e no f o c a l . 18 9 D e m o s t r a r que el l u g a r de los pies de l a s p e r p e n d i c u l a r e s t r a z a d a s desde u n f o c o de u n a elipse o h i p é r b o l a a l a s t a n g e n t e s a l a c u r v a , e s la c i r c u n f e r e n c i a q u e t i e n e como d i á m e t r o el s e g m e n t o del e j e f o c a l c o m p r e n d i d o e n t r e los v é r t i c e s .

184

I AS CÓNICAS

§

22

-Ej.

19*? D e m o s t r a r q u e en u n a elipse o h i p é r b o l a el l u g a r de los p u n t o s s i m é t r i c o s del f o c o r e s p e c t o de las t a n g e n t e s a l a c u r v a e s la c i r c u n f e r e n cia q u e t i e n e p o r c e n t r o el o t r o foco y p o r r a d i o la l o n g i t u d del s e g m e n t o del e j e f o c a l c o m p r e n d i d o e n t r e los v é r t i c e s . 20^ D e m o s t r a r q u e el l u g a r g e o m é t r i c o de los p u n t o s desde los c u a les se p u e d e t r a z a r u n p a r de t a n g e n t e s p e r p e n d i c u l a r e s a u n a elipse es u n a c i r c u n f e r e n c i a de c e n t r o el de la cónica y r a d i o V a2 + b'J. E x t e n d e r e s t e r e s u l t a d o a la h i p é r b o l a . 2 1 p Sea u n t r i á n g u l o en q u e la b a s e B C es f i j a y el v é r t i c e A v a r i a de f o r m a q u e la d i f e r e n c i a de los á n g u l o s B y C es c o n s t a n t e . D e m o s t r a r q u e el p u n t o A d e s c r i b e u n a h i p é r b o l a e q u i l á t e r a . 22 Q D a r b a j o f o r m a de d e t e r m i n a n t e la ecuación de la cónica q u e p a s a p o r cinco p u n t o s ( a n á l o g a a la d a d a p a r a la c i r c u n f e r e n c i a ) . 23^

§

22

-Ej.

4 x ' — 24 xy + 11 y2 + R . : Hipérbola.

b)

16ar — 2 4 x y + °y2 — 19* — \ly R.: Parábola.

c)

3x 2 — 4 xy — 4 y2 + 1 6 * + 1 6y — 12 = R . : D o s r e c t a s que se c o r t a n .

d)

Ax2 + 2 x y + 2/2 — 2x + 2/ + R.: Elipse imaginaria.

e)

5x* + 2 xy + 10 y~ — 1 2 * — 227/ + 17 = 0 . R . : D o s r e c t a s i m a g i n a r i a s q u e se c o r t a n .

f)

s* — Axy + y2 — 3 * + R.: U n a hipérbola.

g)

x f + 8 x y -1- 16y 2 — 4x — 16?/ + R.: Elipse imaginaria.

56x — 5 8 y +

2

lx

27" D i s c u¿ t i r , s e g ú n los d i s t i n t o s v a l o r e s de l , la cónica de ecuación — 2xy + ).y — 2x + 2y + 3 = 0 . R.:

Sy +

3 =

2 =

11/4 -

R.:

ü.

0.

30* D e t e r m i n a r el Jiurai g e o m é t r i c o de los c e n t r o s de l a s c ó n i c a s q u e p a s a n p o r los p u n t o s (2, 0 ) , (—1, 0 ) , (0, 3) y (0, 1 ) . R . : L a cónica de ecuación Crx: + 4//" — 3;v — 3y = 0 .

0.

2x2 — 12xy + 18 y2 + x — Zy — 6 = R . : Dos rectas paralelas.

i)

Gx2 — Axy + 9 y2 — Ax — 32 y — ti = U. R . : U n a elipse r e a l .

32c> E n c o n t r a r la e c u a c i ó n de la (2, — 1 ) y p o r los p u n t o s de intersección + 2x + 2/ + 1 = 0 y 2x2 + xy + y2— 5x + R . : 7 s 2 + 11x2/ — 9 y2 + 5x +

0.

j)

Sx' — 2 x y + 3y" + 2 v T s — G N'Ty + R . : U n a elipse r e a l .

k)

Ax9 — 20xy + 25?/a + R . : U n a r e c t a doble.

4x — 10?/ + 1

31° D e t e r m i n a r u n a cónica s a b i e n d o q u e e s t a n g e n t e a los e j e s OX y O Y e n l o s p u n t o s ( 0 , 1 ) y ( 1 , 0 ) y q u e p a s a p o r el p u n t o (1, 2 ) . 2 2 R . : x + y — 2x — 22/ + 1 = 0 .

0.

h)

Se llega a l a c o n s i d e r a c i ó n de dos c i r c u n f e r e n c i a s de ecuaciones C\:x2 y2 — 2x = 0 ; C*:x 2 + y2 — 2x — y — 1 = 0 t a n g e n t e s e n u n p u n t o M y se t i e n e : P i n t e r i o r a C 2 , elips e i m a g i n a r i a ; P e n C?, p e r o no en M, dos r e c t a s i m a g i n a r i a s q u e se c o r t a n ; P coincide con M , dos r e c t a s i m a g i n a r i a s p a r a l e l a s ; P e x t e r i o r a C 2 p e r o i n t e r i o r a Ci, elipse r e a l ; P en Ci p e r o no en M, p a r á b o l a ; P e x t e r i o r a C, h i p é r b o l a .

29^ D e t e r m i n a r l a ecuación del l u g a r g e o m é t r i c o de los p u n t o s de c o n t a c t o de l a s t a n g e n t e s a las cónicas de ecuación x * — 2 I x y — y2 — — 2?.x + 1 = 0 q u e son p a r a l e l a s al e j e O Y . R . : x- + y2 — 2v 4 - 1 = 0 .

0.

7 =

). < — 1, elipse r e a l ; ?. = — 1. p a r á b o l a ; — 1 < \ < — 1 / 3 , h i p é r b o l a ; 31 = — 1 / 3 , dos r e c t a s r e a l e s ; — 1 / 3 < ?, < 1, hip é r b o l a ; >. = 1, dos r e c t a s i m a g i n a r i a s p a r a l e l a s ; \ > 1, elipse i m a g i n a r i a .

2 8 9 D i s c u t i r l a n a t u r a l e z a de la cónica de e c u a c i ó n ax 2 + 2$xy + + l/* + ( c t — 2)y2 + 2x + 2 t / - + 2 = 0, en d o n d e a y p son las c o o r d e n a d a s de un p u n t o P del p l a n o .

95 = 0 .

+

185

2 6 9 D a d a la cónica de ecuación 4x 2 — 4x// + y2 — 8x — 8 y -f- 4 = 0, p r o b a r q u e e s u n a p a r á b o l a y d e t e r m i n a r su v ó r t i c e y su e j e . R.: (23/50, 3 / 2 ) ; 10* — 5// — 4 = 0 .

C l a s i f i c a r cónicas c u y a s e c u a c i o n e s s o n :

a)

D E T E R M I N A C I Ó N Y C O N S T R U C C I Ó N DE C Ó N I C A S

2 =

33^ E n c o n t r a r la ecuación de la cónica que p a s a por los cinco p u n t o s ( — 1 , 6 ) , (2, 5 ) , (3, 4 ) , (4, 1) y (—5, 4 ) . R . : x 2 + if + 2x — 2y — 23 = 0 .

0.

= 0.

24° D a d a la cónica de ecuación 2x2 — 2*2/ + y2—Ax c l a s i f i c a r l a y d e t e r m i n a r su c e n t r o y s u s e j e s . R . : E l i p s e : (4, 6 ) ; e c u a c i ó n del e j e f o c a l

cónica q u e p a s a por el p u n t o de l a s c ó n i c a s x" + 2 x y — 2?/"' + 3y — 4 = 0. Sy + 1 = 0 .

— Ay + 16 = 0,

259 D a d a l a cónica de ecuación 7x* — 8 x y + y2 + 2x + Ay — 1 = 0 , c l a s i f i c a r l a y d e t e r m i n a r su c e n t r o y s u s e j e s . R . : H i p é r b o l a : (1, 2 ) ; e j e s : y = 2x, x + 2 y — 5 = 0 .

31(> E n c o n t r a r l a e c u a c i ó n de la p a r á b o l a q u e p a s a p o r los c u a t r o p u n t o s (1, 0 ) , ( — 1 / 4 , — 5 / 4 ) , ( 4 / 9 , — 1 0 / 9 ) y (—4, 1 0 ) . R . : Dos s o l u c i o n e s : x 3 + 2xy + y2 + 3x — 2 y — 4 = 0 ; 169X s + 26X2/ + 2/M- 2 7 x — 1 4 6 ? / — 1 9 6 = 0 .

35°

E n c o n t r a r l a s c ó n i c a s del s i s t e m a de cónicas h o m o f o c a l e s

*9 4. — V i 1 r A *. + 9 X + 5 ~ que p a s a n p o r el p u n t o (2, 3 ) . R . : 3x* + Ay2 = 4 8 ; 3x 5 — y2 = 3 . 36^

H a l l a r l a ecuación de la p a r á b o l a q u e p a s a p o r el o r i g e n , t i e n e

l g

g

LAS CÓNICAS

§

22

-Ej.

en él la t a n g e n t e y — 2x = 0, p a s a p o r A (5,0) y t i e n e el e j e p a r a l e l o a la r e c t a y — 6a: = 0. R . : 90 (y — 2x)-\-(y—

'

2

6a;) = 0.

371? D e u n a h i p é r b o l a se s a b e q u e : a ) p a s a p o r el o r i g e n y l a t a n g e n t e en él es y — a; = 0; b) p a s a p o r A ( 4 , 0 ) ; c) t i e n e p o r a s í n t o t a la r e c t a 6 = 0. S e pide l a ecuación d e l a h i p é r b o l a y l a e c u a c i ó n de l a o t r a x asíntota.

R . : 3x' — 2xy + 12y—

12a: = 0 ;

CAPÍTULO V

3a; — 2 y + 6 = 0 .

CURVAS P L A N A S

389 H a l l a r l a s ecuaciones d e l a s c ó n i c a s que c u m p l e n : a) p a s a n p o r A ( 0 , 1 ) y e n e s t e p u n t o son t a n g e n t e s al eje y; b) p a s a n p o r B ( 1 , 0 ) , C ( 2 , 0 ) ; c) son t a n g e n t e s a l a r e c t a a; = 3. H a l l a r t a m b i é n los p u n t o s d e c o n t a c t o con e s t a ú l t i m a t a n g e n t e . R . : a) 3a:' + Sxy + 6y s — 9x — 12y + G = 0 ; 6) x' + 2y- — 3a; — Ay + 2 = 0 ;

c)

$ 23.

CURVAS NOTABLES DE TERCERO Y CUARTO GRADO

1. Definición de curva algebraica. — Hemos visto que la ecuación general de las rectas es de la f o r m a ax + &?/ + c = 0, es decir, se obtiene igualando a cero un polinomio de p r i m e r g r a d o en las variables x, y. Análogamente, la ecuación general de las cónicas es de la f o r m a f (x,y) = 0, donde f ( x , y) es a h o r a un polinomio de segundo g r a d o en las variables x, y-. La generalización a otros tipos de c u r v a s se presenta de m a n e r a n a t u r a l e inmediata. B a s t a r á considerar ecuaciones de la f o r m a í(x, y) = 0, donde f ( x , y) sea un polinomio en x, y de tercero, cuarto, quinto, . . . , grado. Se llega así al concepto de curva algebraica.

P,(3,l), Ps(3,—1).

1. Se llama curva algebraica al c o n j u n t o de puntos del plano cuyas coordenadas c a r t e s i a n a s (rectangulares u oblicuas) x, y satisfacen a u n a ecuación de la f o r m a DEFINICIÓN

f ( £ . y)

=

0

donde i(x,y) es un polinomio en las dos variables x, y. El g r a d o del polinomio í(x, y) se llama grado u orden de la curva. Las curvas de p r i m e r g r a d o son las r e c t a s ; las de segundo g r a d o las cónicas; las de tercer g r a d o se llaman cúbicas, las de c u a r t o grado, cuárticas, etc. No t o d a s las curvas son algebraicas. P o r ejemplo, la curva y — sen x = 0, llamada sinusoide, no es algebraica, puesto que el p r i m e r miembro y — sen x no es n i n g ü n polinomio en x, y. Tampoco son algebraicas las curvas. y — ax = 0 , y — log x 0 , yx — x = 0. Las c u r v a s que no son algebraicas se llaman trascendentes. D e j a m o s p a r a m á s adelante (§ 26 y sig.) el estudio general de las c u r v a s algebraicas. P o r el momento, como introducción, vamos a estudiar algunas curvas notables de tercero y c u a r t o grado.

J

§ 2 3 -A 188

CURVAS P L A N A S

§ 23

-2

2. La parábola cúbica y = ax3. — Es una curva que pasa por el origen de coordenadas. Las intersecciones con u n a recta y — X x, t e n d r á n por abscisas las soluciones de la ecuación [1]

Xx — ax3 = 0

o sea, Xj = 0, x2 = + V X/a, x3 = — V X/a. P o r lo tanto, si X t i e n e el mismo signo que a, la recta corta a la curva en dos puntos, a d e m á s del origen, s i m é t r i c a m e n t e colocados respecto del mismo. Si X es de signo opuesto a a, la recta c o r t a a la curva en el origen como único p u n t o real, más otros dos puntos imaginarios. P a r a X = 0, caso del eje x, la ecuación [1] se reduce a ax3 = 0, la cual tiene x — 0 como raíz triple. Esto nos dice que el e j e x tiene con la c u r v a t r e s p u n t o s de intersección confundidos en el origen. Se dice que es una tangente de inflexión. Si a > 0, y es positivo y creciente p a r a x > 0 y negativo y creciente p a r a x < 0, caso de la f i g . 69. S i a < 0 la c u r v a tiene la f o r m a simétrica de la a n t e r i o r respecto al eje y. Veamos una propiedad curiosa de la t a n g e n t e a la p a r á bola cúbica. Sea P(rr n , ?/o) un punto de la misma, o sea un punto tal que y0 = ax03. U n a r e c t a general por P será [2]

y — ?/„ = X(x — x0)

y las abscisas de los puntos de intersección de esta recta con la c u r v a serán las soluciones de la ecuación yn + X(x — o:») = = ax3, o sea,

[3]

ax* — X(x — x 0 ) — 2/o = 0.

P a r a que x = xn sea raíz doble de esta ecuación, ella debe serlo también de la derivada Sax- — X = 0 o sea, debe ser X = Sax,,2. La r e c t a con este coeficiente angular s e r á la t a n g e n t e en el p u n t o P . Su ecuación será la [2] p a r a X = 3ax0-, o sea, 2/ — 2/o = 3ax 0 2 (x — xn) . E s t a t a n g e n t e corta al e j e y en el punto y = y0 — 3a« 0 3 = = —2ax,>3 = —2y0. E s decir, p a r a t r a z a r la t a n g e n t e a la parábola cúbica en u n p u n t o P (x0,y0) b a s t a u n i r este p u n t o con el E (0, —2]/ 0 ). E s t a p r o p i e d a d g e n e r a l i z a l a de l a p a r á b o l a o r d i n a r i a y = ax" seg ú n l a c u a l p a r a t r a z a r la t a n g e n t e a e s t a c u r v a en el p u n t o P ( a ; o , yo) b a s t a u n i r l o con el p u n t o E ( 0 , — y „ ) . E n g e n e r a l , p a r a la c u r v a y = ax" ( m = e n t e r o p o s i t i v o ) , l l a m a d a parábola, de orden m, l a t a n g e n t e en el p u n t o P ( c í o , y I) se obtiene u n i e n d o e s t e p u n t o con el E ( 0 , — ( m — l ) j / o ) .

CURVAD N O T A B L E S DE TERCERO Y CUARTO GRA1XJ

189

3. La parábola cúbica completa y = ax3 -f bx- -\-cx-\-d. — La curva corta al eje y en el único punto x = 0, y = d. Las intersecciones con el eje x son las raíces de la ecuación ax 3 + + bx- + ex + d = 0, la cual, si los coeficientes son reales, siempre t e n d r á por lo menos una raíz real. Los m á x i m o s y míni-

mos de la curva corresponden a los valores de x p a r a los cuales es y' = Sax2 - f 2 b x + c = 0 ; por lo t a n t o h a y dos de ellos, que pueden ser reales o imaginarios. P a r a x - + — c o el término p r e d o m i n a n t e en el segundo miembro de la ecuación de la curva es el ax3 y por t a n t o también y ->—co si a > 0, o bien y -|- co si a < 0. P a r a x + ce, resulta ?/ -» 4- co si a > 0, y — co si a < 0 . La f i g . 70 r e p r e s e n t a el caso y = x3 — 3z'- — x + 3 en que el segundo miembro tiene las t r e s raíces reales x = —1, x = 1, x = 3. U n a p a r á b o l a cúbica completa queda d e t e r m i n a d a p o r 4 puntos. E n efecto, si estos son los A ¡ ( x ¡ , y ¡ ) (i = 1, 2, 3, 4 ) , b a s t a r á hallar los coeficientes a, b, c, d, de m a n e r a que se s a t i s f a g a n las cuatro ecuaciones y¡ — ax¡3 — bxr — cx¡ — d¡ = 0

(i — 1, 2, 3, 4)

que son c u a t r o ecuaciones lineales respecto de las incógnitas a, b, e, d. Resolviendo el sistema por la regla de C r á m e r o cualquier otro método de resolución de ecuaciones lineales, se tend r á n los coeficientes de la curva buscada. P o r ejemplo, la parábola cúbica completa que pasa por los p u n t o s A i í O . l ) , A 2 ( l , 4 ) , A 3 ( — 1 , 4 ) , A 4 ( 2 , 7 ) resulta ser y = — x3 + 3a:2 -f x + ] .

190

CURVAS P L A N A S

§ 23

-4

4. La parábola semicúbica y- = ax3. — Consideremos, par a f i j a r las ideas, el caso a > 0 ( f i g . 7 1 ) . Si f u e r a a < 0 la c u r v a p r e s e n t a r í a una f o r m a análoga, pero sobre la p a r t e neg a t i v a del e j e x. Siendo a > 0, la curva sólo es real p a r a x > 0 . Ella es s i m é t r i c a respecto del e j e x, puesto que si (x, y) es un punto de la curva, t a m b i é n lo es el (x,—y). Cualquier r e c t a y = lx p o r el origen, corta a la cúbica en los p u n t o s cuyas abscisas son soluciones de la ecuación l2x2 — ax3 = 0, la cual tiene x = 0 como raíz doble y x = l2/a como raíz simple. E s t o nos

§ 23 -6

CURVAS N O T A B L E S DE TERCERO Y CUARTO GRADO

191

está s i e m p r e s i t u a d a por encima clel e j e x (por ser ? / > 0 ) . U n a r e c t a g e n e r a l y = lx, p o r el origen, corta a la curva en los puntos cuyas abscisas son raíces de la ecuación lx = axJ, o sea, x(ax3 — ? . ) = 0 . Si ?v#=0 e s t a ecuación tiene x = 0 como raíz s i m p l e ; las o t r a s raíces son las raíces cúbicas de l/a, de las cuales s i e m p r e una es real y las o t r a s dos son i m a g i n a r i a s ; es decir, la recta corta a la curva, a d e m á s del origen, en un solo punto real. Si l = 0, la ecuación a n t e r i o r se reduce a ax* = 0, y por t a n t o tiene x = 0 como r a í z cuád r u p l e ; por esta razón se dice que la r e c t a y = 0 (eje x) tiene c u a t r o p u n t o s de intersección con la curva, confundidos en el origen o bien que se t r a t a de una t a n g e n t e con contacto " cuadripunto". Con esto, y siendo la o r d e n a d a y siempre creciente con | x [, la f o r m a de la curva resulta la indicada en la f i g . 72. Como y a o b s e r v a m o s al f i n a l del e s t u d i o de la p a r á b o l a cúbica, t a m bién p a r a la p a r á b o l a c u á r t i c a e x i s t e u n a f á c i l c o n s t r u c c i ó n de la t a n g e n t e e n u n p u n t o Pía;,,, ya) de l a m i s m a . E n efecto, p r o c e d i e n d o como en el caso de la p a r á b o l a cúbica, r e s u l t a q u e la ecuación de la t a n g e n t e e n P es

y — ya = 4 axus(x— x0)

la cual c o r t a al e j e y en el p u n t o de o r d e n a d a y = y*— 4aa;04 = = — Saxo* = — '¿yo. P o r t a n t o , d a d o P (®0, yo) se d e t e r m i n a i n m e d i a t a m e n t e E ( 0 , —3?/ 0 ) y la r-ecta E P es la t a n g e n t e b u s c a d a .

dice que todas las r e c t a s que p a s a n por el origen t i e n e n dos p u n t o s de intersección con la c u r v a confundidos en el mismo. U n punto de esta clase se llama un punto doble de la curva. E n el caso 1 = 0 (eje a;) la r e c t a tiene t r e s p u n t o s de intersección c o n f u n d i d o s en el origen y dicho valor de X es el único p a r a el cual esto o c u r r e ; esto quiere decir que el e j e x es la única r e c t a que tiene t r e s p u n t o s de intersección confundidos con la c u r v a en el origen, es decir, un punto m á s que todas las o t r a s r e c t a s ; por esto se dice que el eje x es la tangente en el punto doble. Como al crecer x crece ax3 y por t a n t o y, la r a m a posit i v a y = 4- y ' ax'¿ s e r á creciente y la negativa y = — V a x 3 decreciente. B a s t a esto p a r a poder t r a z a r la c u r v a cuando se conocen algunos de sus p u n t o s calculados d i r e c t a m e n t e . 5. La parábola cuártica y = ax*. — Se llama t a m b i é n parábola bicuadrática. El coeficiente a es u n a constante y p a r a el estudio de la c u r v a se puede suponer a > 0, pues si es a < 0 la c u r v a se sustituye por su s i m e t r í a respecto del e j e x. L a c u r v a p a s a por el origen, es simétrica respecto del e j e y (puesto que si (x, y) es un punto, t a m b i é n lo es ( — x , y)) y

6. Cuárticas polizonales. — DEF. 2. Reciben este n o m b r e las curvas de c u a r t o g r a d o cuya ecuación puede ponerse en la forma [4] y = ± V f (x) ± V g ( » ) donde f ( a ; ) , g(x) son polinomios de p r i m e r o o segundo g r a do en x. P a r a ver que estas curvas son e f e c t i v a m e n t e de c u a r t o grado, hay que t r a n s f o r m a r [4] en un polinomio en x, y, ó sea, hay que racionalizar la ecuación, haciendo d e s a p a r e c e r las raíces c u a d r a d a s . P a r a ello, elevando al c u a d r a d o r e s u l t a y de aquí [5]

y- = f + g ± 2 V ü ( , / _ f _

g

) s _

4fg = 0

que es la ecuación racionalizada de la curva, la cual, siendo f , g de p r i m e r o o segundo grado, es de c u a r t o grado. L a s c u r v a s parciales yx = ± \/'f ( x ) , y2 = ± V g ( s ) son cónicas, pues sus ecuaciones racionalizadas son y x 2 — f (a;) = 0, yí1 — g(x) = 0 , que son de segundo grado. L a construcción de la curva [4] se hace fácilmente p o r p u n t o s a p a r t i r de est a s cónicas. E n efecto, y s e r á real ú n i c a m e n t e p a r a los valores de x en que sea f ( x ) > 0, g(x) > 0 , es decir, en la p a r t e co-

§ 23

CURVAS P L A N A S

192

-6

m ú n a las dos f r a n j a s paralelas al eje y que contienen a las cónicas parciales. B a s t a r á entonces llevar a un lado y a otro de las ordenadas y x de la p r i m e r a cónica, el valor y» de las ordenadas de la segunda cónica. C o n s i d e r e m o s dos e j e m p l o s aclaratorios. a ) S e a la c u á r t i c a

Fig- 73.

y — — V 2 a - — X' ± Xa" — x~ o sea (y* + 2 : r — 3 a 2 ) 2 — ¿ a — 4 (2a 2 — x ) (a 2 — X ) = 0 ? es d e c i r i/4 — 6 a - y + 4ary 2 + «' = 0 L a s c u r v a s y\ = — \'2ar — 2 ^ V ci — x son dos c i r c u n f e r e n c i a s d e c e n t r o , el origen y radios V2a, y a respectivamente. P a r a construir la c u r v a b a s t a r á l l e v a r a p a r t i r del p u n t o M de l a c i r c u n f e r e n c i a ih s e g m e n t o s M P i MPs iguales a l a s s e m i c u e r d a s l I E i = IIE2 d e l a c i r c u n f e r e n cia 2/2. L a c u r v a e s t á f o r m a d a p o r dos óvalos s e p a r a d o s como i n d i c a la f i g u r a 73, b) Consideremos la cuártica. 2

y* — 2(4 + 3x)y + +

P o r t r a t a r s e de u n a e c u a c i ó n b i c u a d r á t i c a en dando y Z= ± ylx ± V 4 — X. . P a r a r e p r e s e n t a r esta curv a b a s t a r á t r a z a r l a s dos p a r á b o l a s ?/,2 = 4.t, yr = 4 — x ( f i g . 74) y t o m a r s o b r e c a d a AL los s e g m e n t o s B P = B P ' = A H . Los . P , P ' son los p u n t o s de l a p a r t e c o r r e s p o n d i e n t e a yi > 0 de l a c u r v a . H a c i e n d o lo m i s m o con la p a r t e n e g a t i v a de la p a r á b o l a 1/1, s e t i e n e l a c u r v a total. A v e c e s n o se p u e d e desp e j a r y en l a f o r m a [ 4 ] , p e r o se p u e d e d e s p e j a r la x en f o r m a a n á l o g a ; se t r a t a e n t o n c e s t a m b i é n d e u n a c u á r t i c a poliz o n a l , con los p a p e l e s de x, y invertidos. P o r e j e m p l o , p a ra e s t u d i a r la c u á r t i c a

( 5 s _ 4)2 =

0.

se p u e d e r e s o l v e r ,

§ 23

-7

CURVAS N O T A B L E S DE TERCERO Y CUARTO GRADO

193

(ar — x-)x*=: by*, se

p u e d e o bien d e s p o j a r y, o bien d e s p e j a r x, en c u y o caso q u e d a u n a e c u a c i ó n d e la f o r m a x = ± Vi (y) — V g ( y ) con f (?/) = = a 2 / 4 -f (by/2)t g(y)=a*/4—(by/2), l a c u a l se e s t u d i a f á c i l m e n t e ñ o r el m é t o d o a n t e r i o r .

7. Cuárticas bicirculares. Curvas de Cassini. Lemniscata. — DEF. 3. Se llaman cuárticas bicirculares aquellas cuya ecuación en coordenadas c a r t e s i a n a s r e c t a n g u l a r e s pueden reducirse a la f o r m a [6]

(x- - f y-)

2

4- «i x2 + a-.xy + a3y2 4- a4x + a-jy + ar, = 0

carente de t é r m i n o s de tercer grado y los de cuarto g r a d o reducidos a la f o r m a (x2 + y2)2; los coeficientes au a2, ..., a<¡, constantes. Un ejemplo i m p o r t a n t e de cuárticas bicirculares son las llamadas curvas ele Cassini. Ellas pueden definirse como el lug a r geométrico de los puntos cuyo producto de distancias a dos puntos f i j o s es constante, por ejemplo, igual a k'-. P o r analogía con el caso de la elipse, cuya definición era análoga, con la sola sustitución de la " s u m a " de distancias por el " p r o d u c t o " de las mismas, llamemos F, F ' , a los dos puntos fijos, tomemos el p u n t o medio del segmento F F ' como origen de coordenadas, la recta F F ' como el eje x y pongamos OF = O F ' = c. Si x, y son las coordenadas de un p u n t o de la curva de Cassini deberá ser l(x —

o sea [7]

c)

(x2 + y2)2

2

4-?/]

.

[ ( z

+ c

)

2

- f

?/

2

]

=

k*

4- 2c-(y2 — x-) + c» — k* = o .

Según los valores de c y de k se tiene toda una f a m i l i a de curvas de Cassini con f o r m a s diferentes. Todas ellas, sin embargo, son simétricas respecto del origen, puesto que si (x, y) es un punto de la curva también lo es el punto ( — x , —y). P a r a ver la f o r m a de la curva [7], resolvamos la ecuación respecto de y 2 . Se tiene y2 = — (x24- c2) ± V 4c-x¿ + k*. El radical que aquí f i g u r a es siempre real, pero p a r a que y también lo sea deberá ser + c2 <

\/4c- x2 + k-

lo cual obliga a que sea k2 > c 2 — x%

o sea

( x 2 — c2)2

< k*,

s i m u l t á n e a m e n t e k2 > x2 — c2.

o sea c2 — k2 < x- < c- 4- kz. L a segunda desigualdad nos dice que la curva está comprendida e n t r e las paralelas x = ± V c¡¿ 4- k2. La p r i m e r a desigualdad no dice nada, puesto que se cumple siempre, si c2 < k2;

§ 23

CURVAS P L A N A S

194

-7

pero si c- > k- ella nos dice que la curva es exterior a la f r a n j a limitada por las paralelas x = ±: V c- — k-. E n este caso, la curva consta de dos p a r t e s separadas, estando la correspondiente a valores positivos de x comprendida en la f r a n j a y ' c- — k- < x < V c~ "I" &"• E n el p r i m e r caso, en cambio, la curva consta de un solo arco continuo.

§

24

-1

CURVAS P L A N A S E N G E N E R A L

195

[8] (z-H-7/ 2 ) 2 = 2c2 w — y * ) y se llama lemniscata. El estudio de la m i s m a se hace fácilmente pasando a coordenadas polares, o sea poniendo x = o eos cp, y = Q sen cp, con lo cual resulta Q2 — 2c 2 (eos 2