Funzione di corrente e potenziale cinetico
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Definiamo una linea di flusso (istantanea): linea che ha la propriet´a di avere in ogni punto tangente parallela al vettore velocit´a istantanea. − →
→ −
Cerchiam Cerchiamoo l’equazi l’equazione one matematica matematica di una linea di flusso: flusso: siano ds = dx i + → − − → → − dy j + dz k , un tratto infinitesimo orientato della linea di flusso stessa e V = → − → − → − a. u i + v j + w k , il vettore velocit´a. Per la definizione di prodotto vettoriale, una linea di flusso deve rispettare la seguente condizione: → − → − ds × V = 0 (1)
→ −
→ −
ds × V
=
→ −
i dx u
− →
j dy v
− →
k dz w
=
→ −
→ −
→ −
i ( wdy − vdz ) + j ( udz − wdx) + k ( vdx − udy) = 0
Affinch´ e il vettore ottenuto sia nullo, devono essere identicamente identicamente nulle tutte le sue componenti: wdy − vdz = 0 udz − wdx = 0 (2) vdx − udy = 0
Queste ultime rappresentano le equazioni differenziali per una linea di flusso nello spazio. Conoscendo u , v e w in funzione di x, y e z le equazioni (2) possono essere integrate per ottenere l’equazione per la linea di flusso: f (x , y , z) = 0. Consideriamo ora il caso bidimensionale; l’equazione di una linea di flusso sar del tipo y = f (x). Il precedente sistema si riduce alla terza equazione poich´e il vettore velocit´a in 2D V (u, v): vdx − udy = 0 dy v = dx u
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(3)
Questa equazione ha il significato di pendenza di una linea di corrente:
Figura 1: Pendenza di una funzione La (3), note u e v in funzione di x e y , si pu´o integrare per ottenere l’equazione algebrica per una linea di flusso: f (x, y ) = c , dove c `e una costante arbitraria di integrazione, con valori differenti per differenti linee di flusso. Denotiamo questa funzione con il termine funzione di corrente e la indichiamo con il simbolo Ψ: Ψ(x, y ) = c
(4)
Figura 2: Flusso di massa tra due linee di flusso Riferendoci alla figura 3, definiamo il valore numerico di Ψ cos che la differenza ∆Ψ tra Ψ = c2 e Ψ = c1 sia uguale al flusso di massa (per unit di profondit) tra le due linee di flusso. ∆ n `e da intendere come una sezione per unit´a di profondit´ a, quindi la distanza tra le due linee di flusso. Il flusso di massa sar´a dato da: ∆Ψ = c 2 − c1 (5) Quest’ultima operazione ci ha consentito di definire pi´u rigorosamente il significato fisico delle costanti c. Per esempio, scelta arbitrariamente nel piano una 2
linea di flusso Ψ = c1 , la successiva non sar´a pi´ u arbitraria, ma dovr´a essere rispettata l’equazione (5). Cerchiamo ora di scoprire la propriet´a pi´ u importante della funzione di corrente: le derivate parziali di Ψ permettono di conoscere il campo di velocit´a. Il flusso di massa attraverso un nastro di flusso `e: ∆Ψ = ρV ∆n ∆Ψ ∆n
= ρV
(6)
ρV = lim∆n
∆Ψ 0 ∆n
→
=
∂ Ψ ∂n
L’ultima delle (6) afferma che se conosciamo Ψ possiamo ottenere il prodotto ρV differenziando Ψ in direzione normale a V.
Figura 3: Flusso di massa tra due linee di flusso Il flusso di massa attraverso ∆ n `e uguale alla somma del flusso di massa attraverso ∆y e del flusso di massa attraverso −∆x (conservazione della massa). Flusso di massa: ∆Ψ = ρV ∆n = ρu ∆y + ρv (−∆x) ⇒ dΨ = ρudy − ρvdx dΨ =
∂ Ψ ∂ Ψ dx + dy ∂x ∂y
ρu = ∂ ∂yΨ Ψ ρv = − ∂ ∂x
(7)
u = ∂ ∂yΨ Ψ v = − ∂ ∂x
(8)
per un fluido incomprimibile:
3
Il campo esterno di moto `e irrotazionale e solenoidale (incomprimibile): ∇·
→ −
3D
2D
→ −
V = 0 =⇒ V =
∇×
V x =
∂ Ψy ∂ Ψz − ∂z ∂y
V y =
∂ Ψx ∂ Ψ − ∂xz ∂z
V z =
∂ Ψy ∂ Ψ − ∂yx ∂x
V x =
∂ Ψz ∂y
V y =
∂ Ψ − ∂xz
=
→ −
Ψ
(9)
(10)
∂ Ψ ∂y
=
(11)
∂ Ψ − ∂x
Se Ψ(x, y ) `e nota per un determinato campo di moto, u e v si possono ottenere in ogni punto differenziando Ψ in direzione normale a u e v rispettivamente.
∇× → −
→ −
V = 0 → −
→ −
=⇒ ∇ × ∇ × Ψ = 0
→ − ⇒ ∇∇ Ψ −
→ −
∆Ψ = 0
⇒
∆Ψ =
∇
2
Ψ= 0
V = ∇ × Ψ
2
∇
Ψ=0
`e l’equazione di Laplace per la funzione di corrente.
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(12)
2
Potenziale cinetico (velocity potential )
Le condizioni puramente cinematiche di solenoidalit´a e irrotazionalit´a: → −
→ −
div ( V ) = ∇ · V = 0 → −
rot( V ) =
∇×
(13)
→ −
V = 0
(14)
in un dominio semplicemente connesso, sono sufficienti anche per derivare l’equazione di Laplace per il potenziale cinetico Φ, a partire dall’equazione di continuit´a. Tali condizioni implicano l’esistenza di un potenziale di velocit´a Φ, ovvero di una funzione scalare dello spazio, tale che: → −
V = grad(Φ) = ∇Φ
(15)
che, sostituita nell’equazione di continuit´a fornisce appunto l’equazione di Laplace per il potenziale cinetico: ∆Φ = ∇2 Φ = 0 (16)
→ −
→ −
→ −
→ −
V = u i + v j + w k =
u =
∂ Φ , ∂x
v =
∂ Φ ∂ Φ ∂ Φ dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z
∂ Φ , ∂y
w =
∂ Φ . ∂z
(17)
Il potenziale cinetico `e analogo alla funzione di corrente nel senso che le derivate di Φ rivelano il campo di velocit´a.
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3
Confronto tra
Ψ
e
Φ
1. Il campo di velocit´a `e ottenibile differenziando Φ nella direzione del moto, mentre Ψ `e differenziato in direzione normale alla direzione del moto; 2. il potenziale cinetico `e definito solo in un campo di moto irrotazionale, mentre la funzione di corrente pu´o essere utilizzata in flussi sia rotazionali che irrotazionali; 3. il potenziale cinetico pu´o essere applicato a flussi tridimensionali, mentre la funzione di corrente `e definita solamente in flussi bidimensionali. Quando un campo di moto `e irrotazionale, ed `e quindi possibile definire un potenziale, si ottiene una grande semplificazione: invece di avere a che fare con tre incognite, le componenti u, v e w della velocit´a (che richiederebbero tre equazioni), possiamo operare con il potenziale cinetico che rappresenta l’unica incognita; ci´o richiede la soluzione di una sola equazione per il campo di moto. Poich´e i flussi irrotazionali possono essere descritti dal potenziale cinetico Φ, vengono chiamati flussi a potenziale. Per una linea equipotenziale vale la relazione: Φ( x, y) = c dΦ =
⇒
dΦ = 0
∂ Φ ∂ Φ dx + dy ∂x ∂y
In base alle (17) si pu´o scrivere: dΦ = udx + vdy = 0
dy u =− dx v
(18)
Questa equazione dimostra che linee di flusso e linee equipotenziali sono ortogonali tra loro.
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