Microeconomia Douglas Bernheim, Michael Whinston Copyright © 2009 – The McGraw-Hill McGraw-Hill Companies srl
COME MASSIMIZZARE MASSIMIZZARE UNA FUNZIONE FUNZIONE DI UTILITÀ Supponiamo che il reddito mensile di Elena sia pari a Y e sia interamente speso nell’acquisto di pane e di minestra. Come si è visto nella Sezione 4.1, è possibile scrivere il vincolo di bilancio di Elena in forma matematica:
P M Q M + P P Q P ≤ Y
(1)
In questo caso, Q M indica i decilitri di minestra mentre Q P indica invece gli etti di pane; P M è il prezzo del singolo decilitro di minestra e P P è il prezzo del pane per ettogrammo. Una funzione di utilità assegna un certo indice di utilità ad ogni possibile paniere di consumo. Supponiamo che la funzione di utilità U (Q M ,Q P ) rappresenti il sistema di preferenze di Elena; per lei, effettuare la miglior scelta significa individuare, fra i panieri acquistabili, acquistabili, quello associato all’indice di utilità più elevato. In altre parole, il problema di scelta di Elena può essere rappresentato, in termini matematici, come segue:
scegliere QM e QP in modo da massimizzare U (Q M ,Q P ) soggetto al vincolo (1)
(2)
Tale problema consiste in pratica in una massimizzazione vincolata — ovvero, nella massimizzazione di una funzione (nota come funzione obiettivo) soggetta ad un determinato vincolo. Questo Approfondimento descrive due metodi comunemente utilizzati utilizzati per la risoluzione di questo tipo di problemi. Per rendere la spiegazione più semplice, ci focalizzeremo sulle sole soluzioni interne, utilizzando la stessa funzione di utilità per illustrare entrambi i metodi:
U (Q M ,Q P ) = 2 log (Q M ) + 3 log (Q P )
(3)
Il metodo compu computaz tazionale ionale Anche se non si conosce la metodologia di calcolo, si può comunque risolvere il problema di Elena attraverso l’utilizzo di un foglio elettronico, come Excel. Per mostrare come fare, supponiamo che Y = 100, P 100, P M = 3, 3, e P e P P = 2. Ipotizziamo 2. Ipotizziamo inoltre che le preferenze di Elena siano rappresentabili attraverso la funzione di utilità (3). Il foglio elettronico riportato nella pagina successiva mostra un confronto fra alcune delle scelte possibili di Elena. La colonna A riporta la spesa complessiva nell’acquisto di minestra: la spesa minima, in questo caso, ammonta a €10; ogni volta aggiungiamo un’ulteriore spesa di €10, fino a raggiungere la somma complessiva di €90. La colonna B mostra invece la spesa complessiva complessiva sostenuta per l’acquisto l’acquisto di pane: tale somma rappresenta rappresenta la differenza fra i €100 di dotazione e la cifra riportata nella colonna A. Nella colonna C sono indicati i decilitri di minestra acquistati, uguali al numero riportato nella colonna A diviso per il prezzo unitario del singolo decilitro di minestra (€3). La colonna D mostra, analogamente, la quantità di pane consumata: essa è pari al numero nella colonna B diviso per il prezzo prezzo del pane all’etto (€2). Le colonne E ed F riportano il logaritmo dei numeri collocati, rispettivamente, rispettivamente, nelle colonne C e D. La colonna G, per concludere, mostra il livello di utilità associato a ciascun paniere, calcolato secondo la formula (3): tale livello è quindi pari a due volte il numero nella colonna E più tre volte il numero nella colonna F.
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Guardando alla tabella, possiamo notare come la migliore fra le scelte disponibili sia rappresentata dalla combinazione che prevede € 40 di spesa per minestra (corrispondenti a 13,33 decilitri) e € 60 di spesa per il pane (ovvero 30 etti). Questo paniere è associato ad un indice di utilità pari a 6,68, il valore più alto fra quelli all’interno della colonna G. Possiamo quindi affermare che il paniere numero 5 è il miglior paniere acquistabile? Verifichiamo se Elena può fare meglio trasferendo un euro di spesa dall’acquisto di minestra a quello di pane, o viceversa. Per farlo, aggiungiamo ulteriori panieri alternativi a quelli mostrati nella tabella. Aumentiamo inoltre il numero di cifre oltre la virgola per i valori dell’indice di utilità mostrati nella colonna G, al fine di rendere più accurata la nostra misurazione del benessere. Anche con tali aggiunte, la miglior scelta rimane quella di spendere € 40 in minestra e € 60 in pane. Se Elena trasferisse anche solo un euro di spesa fra due beni, il suo indice di utilità si ridurrebbe in ogni caso. Nel modo reale, i problemi di questo tipo sono generalmente più molto complessi e spesso risulta difficile o del tutto impossibile risolverli con l’ausilio del foglio elettronico (o anche attraverso il calcolo matematico). Fortunatamente, oggigiorno sono disponibili alcuni sofisticati strumenti computazionali. Sfruttando la potenza dei calcolatori, i decisori pubblici e gli economisti sono quindi in grado di risolvere una vasta gamma di problemi pratici.
Risolvere il problema attraverso il calcolo. Il metodo di base per massimizzare le funzioni obiettivo comunemente utilizzate nell’ambito dell’economia politica consiste nel prendere le derivate prime di tali funzioni e porle uguali a zero (le cosiddette condizioni del 1 prim’ordine per la massimizzazione) . Il problema descritto nell’espressione (2) è in realtà un poco più complicato, dal momento che si richiede di massimizzare una funzione rispettando però un dato vincolo. Come procedere, allora? In questa sezione, vedremo due diversi approcci. Il primo è più semplice, mentre il secondo è più generale e consente di risolvere un maggior numero di casi.
Il metodo di sostituzione.
Talvolta, quando ci viene chiesto di massimizzare una funzione a più variabili soggetta ad un vincolo, possiamo riscrivere il vincolo stesso rispetto ad una di queste variabili ed esprimendola quindi come funzione di tutte le altre. Questo accorgimento ci consente allora di sostituire tale variabile all’interno della funzione obiettivo, riducendo il numero di variabili rispetto alle quali si massimizza. Tale procedura è nota come “metodo di sostituzione”.
1
Il procedimento che considereremo si applica in caso di funzioni-obiettivo concave; una funzione è detta concava se la sua derivata seconda è negativa.
Microeconomia Douglas Bernheim, Michael Whinston Copyright © 2009 – The McGraw-Hill Companies srl Proviamo ora ad applicare tale metodo al problema descritto nell’espressione (2). Sulla base dell’assunzione di “non sazietà”, sappiamo che la miglior scelta per Elena giace necessariamente sulla linea di bilancio. Ciò significa che il simbolo ≤ che compare nell’espressione (1) può essere sostituito dal simbolo di uguaglianza. Utilizziamo allora questa formula per esprimere Q P , la quantità di pane, in termini di Q M , la quantità di minestra:
B =
Y P P
−
P M P P
S
(4)
La formula (4) determina quanto pane può comprare Elena una volta acquistata una quantità Q M di minestra. Sostituendo la formula (4) all’interno della funzione di utilità, otteniamo la seguente espressione:
⎛ ⎞ Y P U ⎜⎜ Q M , − M Q M ⎟⎟ P P P P ⎝ ⎠
(5)
Quando Elena acquista Q M decilitri di minestra e spende il rimanente denaro per il pane, il suo paniere di consumo raggiunge il livello di utilità determinato dalla formula (5). Consideriamo ora il seguente problema:
⎛
Y
⎝
P P
Scegliere QM in modo da massimizzare U ⎜ Q M , ⎜
−
P M P P
⎞
Q M ⎟⎟
⎠
(6)
Questo è un modo alternativo di rappresentare il problema contenuto nell’espressione (2). A differenza di questo, nell’espressione (6) non compaiono però vincoli: il vincolo è stato infatti eliminato riscrivendolo in funzione di una delle variabili (in questo caso Q P ). Una volta sostituita l’espressione ottenuta al posto della variabile Q P , è possibile procedere ora alla massimizzazione dell’utilità rispetto ad un’unica variabile ( Q M ), invece che rispetto a due (Q M e Q P ). Per risolvere il problema descritto nell’espressione (6), occorre quindi calcolare la derivata prima della funzione rispetto alla variabile Q M ed imporre che sia pari a zero:
∂U ∂U P M − = 0 ∂Q M ∂Q P P P
(7)
∂U/ ∂Q M e ∂U/ ∂Q P rappresentano, rispettivamente, le derivate parziali della funzione U rispetto a Q M e Q P . Dal momento che ∂U/ ∂Q M misura il tasso al quale l’utilità complessiva U varia a fronte di incrementi di Q M , questa derivata rappresenta l’utilità marginale della minestra , MU M . Allo stesso modo, ∂U/ ∂Q P rappresenta l’utilità
marginale del pane, MU B. Possiamo allora riscrivere la formula (7) in questi termini:
MU M P M
=
MU P P P
(8)
Questa espressione equivale, ovviamente, all’espressione (6) contenuta nella Sezione 5.3.
Esempio 5A.1 Massimizzazione dell’utilità con il m etodo di sostituzione. Utilizziamo ora il metodo di sostituzione per massimizzare la funzione di utilità (3) rispettando il vincolo di bilancio del consumatore. Sostituendo la (4) nella (3) otteniamo:
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⎛ Y P ⎞ U (Q M , Q P ) = 2 log(Q M ) + 3 log⎜⎜ − M Q M ⎟⎟ ⎝ P M P P ⎠
(9)
Differenziamo tale espressione rispetto a QM e imponiamo la derivata uguale a zero:
2 Q M
−
Y
−
P P
3 P M P P
⎛ P M ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = 0 P Q M ⎝ P ⎠
(10)
Possiamo allora riscrivere il tutto come segue:
⎛ Y P ⎞ P 2⎜⎜ − M Q M ⎟⎟ = 3Q M M P P ⎝ P P P P ⎠
(11)
Dopo aver moltiplicato per PP ed una volta riarrangiati i termini, otteniamo:
P M Q M =
2 5
Y
(12)
In altre parole, Elena spenderà sempre due quinti del suo reddito per l’acquisto di minestra, e i rimanenti tre quinti per il pane:
P P Q P =
3 5
Y
(13)
(La formula (13) può essere ottenuta sostituendo la formula (12) nella (4)). Questo è lo stesso risultato che avevamo calcolato in precedenza, assumendo M = 100 and PP = 2. Per determinare la quantità di minestra acquistata, dividiamo ambo i membri della formula (12) per PM; analogamente, per calcolare la quantità acquistata di pane divideremo i due membri della formula (13) per PP.
Abbiamo usato il metodo di sostituzione per risolvere un problema relativo alla scelta fra soli due beni, ma lo stesso approccio può ovviamente essere utilizzato anche in casi con un numero maggiore di beni. Tutto ciò che va fatto è considerare due soli beni alla volta, tenendo fissa la spesa relativa a tutti gli altri.
Il metodo dei mol tiplicatori di Lagrange Passiamo ora ad un metodo di soluzione dei problemi di massimizzazione vincolata più potente e soprattutto più generale: il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Ogni qualvolta sia richiesto di massimizzare una funzione di N variabili soggetta ad un insieme di K restrizioni, questo metodo consente di trasformare il problema originario in un problema di massimizzazione non vincolata di una funzione di N + K variabili. Nel nuovo problema di massimizzazione, la funzione obiettivo sarà uguale alla funzione obiettivo originaria più un nuovo termine per ognuno dei vincoli. Ciascuno di questi nuovi termini consiste in una nuova variabile, detta per l’appunto moltiplicatore di Lagrange, che moltiplica un’espressione ottenuta riarrangiando il vincolo originario. Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange si può applicare anche in quei casi in cui è impossibile riscrivere un vincolo rispetto ad una variabile (e dunque in funzione delle altre), come richiesto invece dal metodo di sostituzione. Assumendo che le preferenze di Elena soddisfino il principio di “non sazietà”, già sappiamo che la soluzione del problema di ottimo si collocherà sulla retta di bilancio. A questo punto, creiamo un moltiplicatore di
Microeconomia Douglas Bernheim, Michael Whinston Copyright © 2009 – The McGraw-Hill Companies srl Lagrange (nell’esempio successivo, denotato con la lettera greca lambda λ) per ogni vincolo dato e consideriamo come nuova funzione obiettivo:
U (Q M , Q P ) + λ (Y – P M Q M – P P Q P )
(14)
La prima parte della nuova funzione obiettivo, U(Q M ,Q P ), è in realtà la funzione obiettivo originaria; la seconda parte, invece, è composta dal prodotto tra il moltiplicatore di Lagrange λ e l’espressione Y – P M Q M – P P Q P , che è sempre uguale a zero quando il vincolo di bilancio è soddisfatto. Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange ci porta a massimizzare la funzione dell’espressione (14) rispetto alle variabili Q M , Q P e λ, senza l’imposizione di alcun vincolo. Un noto ed importante teorema matematico ci garantisce che la soluzione individuata per il problema di massimizzazione libera rappresenta la soluzione anche del problema originario di massimizzazione vincolata rappresentato nell’espressione (2). Dal momento che il nuovo problema di ottimizzazione associato al metodo Lagrangiano non contiene alcuna restrizione, possiamo risolverlo prendendo semplicemente le derivate della nuova funzione obiettivo rispetto a ciascuna delle variabili in gioco ed imporle uguali a zero. Per Q M , la condizione di prim’ordine sarà:
∂U − λ P M = 0 ∂Q M
(15)
Ricordando che ∂U/ ∂Q M = MU M , è possibile riscrivere la formula (15) come segue:
MU M P M
= λ
(16)
Allo stesso modo, la condizione di prim’ordine per Q P sarà:
MU P P P
= λ
(17)
Combinando le formule (16) e (17), possiamo quindi concludere che
MU M P M
=
MU P P P
(18)
Tale uguaglianza equivale, ovviamente, a quella dell’espressione (8) ed anche a quella dell’espressione (6) della Sezione 5.3 (a pagina 141). Per concludere, resta da calcolare la condizione di prim’ordine per λ:
Y – P M Q M – P P Q P = 0
(19)
Quest’ultima condizione è quella che ci assicura che la soluzione deve necessariamente collocarsi sulla retta di bilancio: in altre parole, la scelta migliore di Elena è rappresentata dal paniere sulla retta di bilancio che soddisfa l’equazione (18).
5A.2 La massimizzazione dell’utilità con il metodo dei moltipli catori di Lagrange Utilizziamo il metodo dei Moltiplicatori di Lagrange per massimizzare la funzione di utilità (3) rispettando il vincolo di bilancio del consumatore. Una volta applicato il metodo Lagrangiano, il problema è quindi quello di scegliere QM, QP e λ in modo da massimizzare:
2 log (Q M ) + 3 log (Q P ) + λ (Y – P M Q M – P P Q P )
(20)
Microeconomia Douglas Bernheim, Michael Whinston Copyright © 2009 – The McGraw-Hill Companies srl La condizione di prim’ordine per QM è:
2 Q M
− λ P M = 0
(21)
Tale condizione può essere riscritta come segue:
P M Q M 2
=
1 λ
(22)
In modo speculare, la condizione di prim’ordine per QP è data da:
P P Q P 3
=
1 λ
(23)
Combinando le espressioni (22) e (23), otteniamo:
2 P P Q P = P M Q M 3
(24)
In altre parole, Elena dovrebbe spendere due terzi del suo reddito per la minestra e il restante terzo per il pane. La condizione di prim’ordine per λ è ancora data dall’espressione (19), che dà la formula per la retta di bilancio. Non resta quindi che cercare quei valori di QM e QP che soddisfano sia la (19) che la (24). Sostituendo all’interno della (19) il termine PM QM con l’espressione ricavata dalla (24) si ottiene:
2 P P Q P + P M Q M − Y = 0 3
(25)
Risolvendo per PP QP si giunge all’equazione (13), esattamente come prima. Combinando la (13) con il vincolo di bilancio si ottiene invece l’equazione (12) come soluzione per PM QM.
