Fungsi Dan Operasi Fungsi

BAB III KEGIATAN BELAJAR 2

A. Standar Kompetensi & Kompetensi Dasar Standar Kompetensi

Menggunakan konsep Fungsi dan Limit dalam soal dan permasalahan yang relevan. Kompetensi Dasar

Memahami matematika pada materi fungsi dan limit

B. Indikator Perkuliahan

Mahasiswa mampu menyelesaikan permasalahan tentang Fungsi Mahasiswa mampu menyelesaikan permasalahan tentang Limit

C. Uraian Materi FUNGSI DAN OPERASI OPERASI PADA FUNGSI

Dalam matematika, yang dimaksud dengan fungsi dengan fungsi adalah aturan yang memetakan setiap objek x di suatuhimpunan D (daerah (daerah asal ) ke sebuah objek tunggal y di himpunan E (daerah (daerah hasil ). ).

Fungsi biasanya dilambangkan dengan huruf kecil seperti f seperti f atau g atau g . Lambang f : D → E berarti f adalah fungsi dari D ke E.

Fungsi yang akan dibahas di sini adalah fungsi dengan daerah asal D R dan daerah hasil E

R ,

yang sering dinyatakan dalam bentuk persamaan seperti 2

2

y = x atau f atau f (x) (x) = x , x є R . Contoh 1. 2

2

Fungsi f Fungsi f (x) (x) = x memetakan setiap bilangan real x ke kuadratnya, yakni x . Daerah asalnya adalah R dan daerah hasilnya adalah [0,∞).

Contoh 2. Fungsi g (x) (x) = 1/x memetakan setiap bilangan

real x ≠ 0 ke kebalikannya, yakni 1/x. Daerah

asalnya sama dengan daerah hasilnya, yaitu {x є R | x ≠ 0 }.

Tim Matdas | http://matematika.unnes.ac.id

28

Operasi pada Fungsi

Seperti halnya pada bilangan, kita definisikan operasi penjumlahan operasi penjumlahan,, pengurangan, pengurangan, perkalian, perkalian, dan pembagian pada pembagian pada fungsi, sebagai berikut: (f + g )(x) )(x) = f (x) (x) + g (x) (x) (f – g )(x) )(x) = f (x) (x) – g (x) (x) (f .g )(x) )(x) = f (x). (x).g (x) (x) (f /g )(x) )(x) = f (x)/ (x)/g (x) (x)

asalkan bentuk di ruas kanan terdefinisi. Daerah asal f asal f + g adalah irisan dari daerah asal f asal f dan daerah asal g asal g , yakni {x є R | x ≠ 0 }.

Contoh jika f jika f (x) (x) = x2 dan g dan g (x) (x) = 1/x, maka f maka f + g adalah fungsi yang memetakan x ke x2 + 1/x, yakni f (f + g )(x) )(x) = x2 + 1/x. Selain keempat operasi tadi, kita dapat pula mendefinisikan pangkat mendefinisikan pangkat p p dari fungsi f fungsi f , yakni p

p

(x)] , asalkan bentuk di ruas kanan terdefinisi. f (x) = [f (x)]

KOMPOSISI FUNGSI Aturan fungsi komposisi

Fungsi g : A

B dan h : B

C dua fungsi dengan Dh = R f . Pada gambar berikut

mengilustrasikan fungsi g fungsi g bekerja bekerja lebih dulu baru dilanjutkan fungsi h. Fungsi g memetakan x memetakan x ke y ke y dan h memetakan y memetakan y ke z ke z . Fungsi f memetakan x memetakan x langsung ke z. ke z. Fungsi f Fungsi f : A komposisi dari fungsi g fungsi g dan dan h, yakni f yakni f = = h A

g.

B

g

C adalah

C

h

x

y

z

f


29

Perhatikan ilustrasi di atas, y atas, y = = g g ( x) x) dan z dan z = = h( y). y). Fungsi f : A

C ditentukan oleh rumus

f ( x) x) = h( g g ( x)) x)) untuk semua x semua x anggota anggota A. adalah fungsi komposisi g komposisi g dan dan h, dan dinotasikan dengan f dengan f = h f ( x) x) = (h (h

g )( )( x) x) = h( h( g g ( x)) x)) untuk semua x semua x anggota anggota A.

Perhatikan bahwa h (h h

g.

g

g

g )( )( x) x) = h( h( g g ( x)) x))

h. h. g (h( x)) x)) ( g g

h)( x). x).

g merupakan fungsi komposisi dengan g dengan g bekerja bekerja lebih dulu baru kemudian h, tetapi g tetapi g

h merupakan fungsi komposisi dengan h bekerja lebih dulu baru g. baru g.

Contoh : Misalkan dua fungsi g fungsi g :: R

R dan h : R

R, keduany keduanyaa bertu berturut rut-tu -turut rut ditent ditentukan ukan oleh oleh rumu rumus: s:

g ( x) x) = 2 x + 1 dan h( x) x) = x = x 2 a. Carilah (i) (h (h b. Carilah x Carilah x

g )(3); )(3); (ii) (h

g )(-5); )(-5); dan (iii) daerah hasil f hasil f = h

R, sehingga f sehingga f ( x) x) = 100, jika f jika f = h

g.

g.

Jawab: a.

(i) (h

g )(3) )(3) = h( h( g g (3)) (3)) = h(2.3 + 1) = h(7) = 7 2 = 49.

(ii) (h (h

g )(-5) )(-5) = h( h( g g (-5)) (-5)) = h(2(-5) + 1) = h(-9) = (-9) 2 = 81.

(iii) Misalkan f Misalkan f = = h f ( x) x) = (h (h

g )( )( x) x) = h( h( g g ( x)) x)) = h(2 x + x + 1) = (2 x + x + 1) 2 untuk semua x semua x

Jadi R f = { x b.

g . R.

R/ x R/ x 1}.

f ( x) x) = 100, jika f jika f = h

g. Berarti f Berarti f ( x) x) = (h (h

g )( )( x) x) = 100.

Berdarkan a(iii); (2 x + x + 1) 2 = 100 2 x + x + 1 = 10 atau 2 x + x + 1 = -10 x = 4 12 atau x atau x = - 5 12 .


30

FUNGSI TRIGONOMETRI Rumus Jumlah dan Selisish Dua Sudut 1. Menentukan Rumus untuk cos ( α ± β)

Titik A dan B pada lingkaran. OA = OB = 1 satuan. OA dengan sumbu x positif membentuk sudut α . OB dengan sumbu x positif positif membentuk sudut sudut β. AOC = α dan

BOC = β.

Dengan demikian koordiant titik A (cos α , sin α) dan (cos β, sin β).

Y

A

B α

β

O

X

C

Dengan rumus jarak antara dua titik, maka jarak AB adalah: 2

2

AB = (xA – x xB ) + (yA – y yB )

2

2

2

= (cos α – cos cos β ) + (sin α – sin sin β) 2

2 2 2 α – 2cos 2cosα cos β + cos β + sin α – 2sin 2sinα sinβ + sin β

= cos

2

α + sin2 α + cos2 β + sin2 β – 2cos 2cos α cos β – 2sin 2sin α sin β

=

1

+

1

=

2

–

2 (cos α cos β + sin α sin β ) ........................ ( 1 )

= cos

Perhatikan 2

– β dengan aturan cosinus, diperoleh AOB = α – β

AOB, 2

– 2 2 (cos α cos β + sin α sin β )

2

AB = OA + OB

– 2. 2.OA.OB cos AOB

=

1

– β) + 1 – 2.1.1.cos (α – β

=

2

– 2 cos (α – β – β) ................................................. ........... ( 2 )

Dari ( 1 ) dan ( 2 ) diperoleh:

– β) = 2 – 2 2 – 2 2 cos (α – β 2 (cos α cos β + sin α sin β ) – β) -2 cos (α – β

= – 2

(cos α cos β + sin α sin β )


31

– β) cos (α – β

(cos α cos β + sin α sin β )

=

Jadi : cos (α

– β)

= cos α cos β + sin α sin

Dengan mengubah α + β menjadi

β

α – ( – β) diperoleh : ( – β

– β)) cos (α + β) = cos (α – ( ( – β

Ingat !

sin (-α (-α ) = = - sin α

= cos α cos (-β) + sin α sin (-β)

cos (-α) (-α) =

cos α

= cos α cos β – sin sin α sin β

Jadi:

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β Contoh: Tuliskan rumus cosinus sudut jumlah atau selisih berikut ini! a. cos (2a – b) b) b. cos (2p + 3q) Jawab: a. cos (2a – b) b) = cos 2a cos b + sin 2a sin b b. cos (2p + 3q) = cos 2p cos 3q - sin 2p sin 3q Buktikan bahwa: a. cos( b. cos c. cos d. cos

2

- A) = sin A

5

1

cos

8 2

- sin

8

p cos

A cos

6

5 8

sin

1 8

p + sin

A - sin

1

=

2

2

2

p sin

A sin

6

p =

1 2

A = cos 2

Bukti: a. cos(

2

- A) = cos

2

. cos A + sin

2

. sin A

= 0. cos A + 1 . sin A = sin A

(terbukti)


32

b. cos

5

cos

8

1

- sin

8

5

sin

8

1

= cos

8

= cos =

c. cos

2

p cos

p + sin

6

1

8

8

3 4

1

2 (terbukti)

2

p sin

2

5

6

= cos

p

= cos = d. cos

A cos

A - sin

A sin

A = cos { = cos 2

1 2

2

p

6

p

3

(terbukti)

A +

A}

(terbukti)

2. Menentukan rumus sin

Rumus sinus jumlah dua sudut dapat ditentukan sebagai berikut ini. sin

= cos 90 0 = cos 90 0 = cos 90 0 = sin

cos

cos + cos

+ sin 90 0

sin

Ingat !! sin 90 0

= cos

cos 90 0

= sin

sin

Jadi:

Sin

= si n

cos

+ cos

si n

Setelah kita memperoleh sinus jumlah, yaitu sin

kita dapat menentukan rumus selisih dua

sudut sebagi berikut: sin

= sin = sin

cos

+ cos

sin


33

= sin

cos

+ cos

= sin

cos

- cos

sin sin sin

Jadi:

sin

= sin

cos

- cos

si n

3. Menentukan rumus untuk tan

Dari rumus sinus dan cosinus jumlah dua sudut dapat digunakan untuk menentukan rumus tan (α+β) sebagai berikut : tan (α+β)

=

=

=

sin(

)

cos(

)

sin sin

cos

sin sin

cos

cos

cos

sin sin

sin sin

sin sin

cos

cos

sin sin

cos cos

cos cos

cos sin sin

cos sin sin

cos

cos

cos

cos

=

1

=

=>ingat! tan α =

sin

sin

cos sin

cos sin . cos

cos

tan

sin sin cos

Ingat: Pembilang dan penyebut dibagi dengan cos α cos β

tan

1 tan

tan

Jadi: ) ) = tan (α+β

tan 1 tan

tan tan


34

Rumus Trigonometri Sudut Rangkap 1. Menentukan Sudut Rangkap a. Menentukan rumus sin 2 α

Dengan rumus sin (α +β) = sinα cosβ + cosα sinβ dan dengan mengubah 2α =

α+α

sin 2α = sin(α + α)

didapat

= sinα cosα + cosα sinα = 2 sinα cosα Jadi:

sin 2α = 2 sinα cosα

b. Menentukan rumus cos 2 α

Dengan rumus cos (α +β) = cosα cosβ – sinα sinβ dan dengan mengubah 2α =

α+α

cos 2α = cos(α + α)

didapat

= cosα cosα – sin sinα sinα 2

= cos

2 α – sin sin α

Jadi: 2

2

cos 2α = cos α – sin α

2

Rumus cos 2α = cos

2 α – sin sin α

dapat dinyatakan dalam bentuk lain 2 cos 2α = cos2α – sin sin α 2

2 α – (1 (1 – cos cos α)

2

2 α – 1 1 + cos α

= cos = cos

2

= 2 cos

Ingat !! 2 2 cos α + sin α = 1 2 2 sin α = 1 – cos cos α 2

2

cos α = 1 – sin sin

α

α – 1 1

Jadi:

cos 2α = 2cos2α – 1 1


35

2

cos 2α = cos

2 α – sin sin α 2

2

– sin = (1 – sin sin α ) – sin 2

= 1 – sin sin α - sin

2

α

α

2 = 1 – 2 2 sin α

Jadi: 2 cos 2α = 1 – 2 2 sin α

2. Identitas Trigonometri

Rumus – rumus rumus penjumlahan dan pengurangan sinus dan cosinus bersama-sama dengan rumus- rumus yang terdahulu dapat digunakan untuk menunjukkan kebenaran dari suatu identitas trigonometri Contoh: Buktikan identitas berikut! 2

a. (sin α + cos α) = 1 + sin 2α b. c.

3 sin 3α = 3 sinα – 4 4 sin α

cos 4 1

sin sin 4 tan

cos 4

4

Bukti: a. (sin α + cos α)

2

= sin

2

α + 2 sin α cos α + cos2 α

= sin

2

α + cos2 α + 2sin αcos α

= 1 + sin2 α (terbukti) b.

3 α dapat dinyatakan 2 α + α, sehingga : sin 3 α

= sin (2 α + α) = sin 2 α cos α + cos 2 α sin α 2

= (2 sin α cos α)cos α + (1 – 2 2 sin 2

= 2 sin α cos

α)sin α

3 α + sin α – 2 2 sin α 2

= 2 sin α (1 – sin sin 3

= 2sin α – 2 2 sin

3

= 3 sin α – 4 4 sin

3 α) + sin α – 2 2 sin α

3 α + sin α – 2sin 2sin α

α

(terbukti)


36

c.

cos 4 1

sin 4 tan 4

=

(cos 2 (1

sin sin 2

)(cos 2

tan 2

)(1

1.(cos 2

=

1

(

cos 2

cos

1

(

cos 2

1 cos

4

)

)

sin sin

)

sin sin 2

cos 2

sin sin 2

)

cos 2

cos 2

=

)

2

cos 2

cos 2

=

tan 2

sin sin 2 2

sin sin 2

sin sin 2

(cos 2

sin sin 2

)

1 1

=

cos 4 4

= cos

α

(terbukti) Latihan

a.

Jika sin x cos x = a untuk 0

b.

Nilai maksimum dari

c.

x

4

, tentukan tan 2x.

m 15 sin x

8 cos x

25

adalah 25. Tentukan nilai m

, , dan adalah sudut-sudut sebuah segitiga. Tentukan nilai tan .tan

jika tan .+ tan =2 tan

d.

Dalam segitiga lancip ABC, sin C =

e.

Jika

2 13

, tan A tan B = 13, tentukan tan A + tan B. 2

sudut lancip yang memenuhi 2 cos

= 1 + 2 sin 2 , tentuka tentukan n nilai nilai tan .


37

LIMIT FUNGSI Konsep Limit

Misalkan I = (a,b) suatu interval buka di R dan c

I. Fungsi f(x) dikatakan terdefinisi di I kecuali

mungkin di c, artinya f(x) terdefinisi di semua titik pada I/{c} dan di c boleh terdefinisi boleh juga tidak Limit fungsi di satu titik

Jika nilai x cukup x cukup dekat dengan nilai tetap a, menghasilkan nilai f (x) (x) cukup dekat ke nilai tetap L, dan juga jika nilai f (x) (x) dapat dibuat sekecil mungkin dekat dengan L dengan cara memilih nilai x nilai x yang yang cukup dekat dengan a, dan ini benar untuk semua nilai nilai x dalam daerah asal x dalam fungsi f kecuali mungkin untuk x untuk x = a, maka kita katakan bahwa limit fungsi f (x) (x)

untuk x

mendekati a sama dengan L, ditulis lim lim f (x) (x) = L.

x

a

Dengan ungkapan lain: lim lim f (x) (x) = L jika dan hanya jika

x

> 0,

a

Nilai

bergantung pada

– – a | < > 0, 0 < |x

maka | f (x) - L| <

.

pada sebarang x sebarang x sehingga f sehingga f (x) (x) terdefinisi. Namun pada nilai

x = x = a tidak dipersoalkan.

Misalnya pada fungsi f fungsi f ( x) x) = 3 x – 4,

= 0,1 untuk

= 0,3; dan

Karena |(3 x – 4) – 5| = |3 x – 9| = 3| x x – 3|, maka relasi antara =

3

dan

= 0,001 untuk

= 0,003.

pada kasus ini adalah

untuk nilai fungsi di sekitar x sekitar x = = 3.

lim f (x) Jika tidak ada nilai L yang memenuhi definisi limit, maka kita katakan lim (x) = L tidak x

a

ada.


38


39

LIMIT SEPIHAK

Dari gambar di atas dapat terlihat bahwa fungsi f(x) mengalami loncatan pada x = 1 Sekarang coba lengkapi implikasi berikut:


40

Hasil terakhir menunjukkan bahwa limit kiri dari f(x) untuk x menuju 1 dari kiri bukan 1,5

Definisi Limit Kanan Misalkan f(x) terdefinisi pada I = (a,b), kecuali mungkin di c untuk c dari kanan limf x x mendekati L x cdisebut f L,x dinotasikan L ε ε 0, δ 0 δ x

c

Definisi Limit Kiri Misalkan f(x) terdefinisi pada I = (a,b), kecuali mungkin mungkin di c limf x L 0, 0 c x f x L ε δ δ ε untuk x mendekati c dari kiridisebut L, dinotasikan x

I. Limit dari f(x)

I. Limit Limit dari f(x)

c


41

KEKONTINUAN FUNGSI

Kekontinuan Sepihak

Fungsi f dikatakan kontinu kiri di x = c bila Fungsi f dikatakan kontinu kanan di x = c bila

Kekontinuan Pada Interval

Fungsi f dikatakan kontinu pada interval buka (a,b) jika f kontinu pada p ada setiap titik di (a,b) Fungsi f dikatakan kontinu pada selang tutp [a,b] jika f kontinu pada (a,b) kontinu kanan di a dan kontinu kiri di b


42

2. Periksa kekontinuan fungsi f yang diberikan oleh

f x

sin x x x , 1 x

0 0

3. Misalkan fungsi f diberikan oleh f x Tunjukkan lim f x x

4. Hitunglah

lim x

0

0, lim f x

1

x 2x

x

x

2x 1

16

5

sin x tan x


43

BAB IV KEGIATAN BELAJAR 3

A.

Standar Kompetensi & Kompetensi Dasar Standar Kompetensi

Menggunakan konsep turunan fungsi dalam pemecahan masalah Kompetensi Dasar

1. Menggunakan konsep dan aturan turunan dalam perhitungan turunan fungsi 2. Menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi dan memecahkan masalah 3. Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi 4. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi dan penafsirannya

B.

Indikator Pembelajaran

Mahasiswa mampu menyelesaikan permasalahan tentang turunan fungsi

C.

Uraian Materi

Laju Perubahan Nilai Fungsi; Ide Turunan pada x = a.

Jika sebuah benda bergerak maka benda itu memiliki kecepatan. Pada bagian B, telah diuraikan makna kecepatan rata-rata gerak benda. Yaitu:

kecepatan rata-rata =

jarak yang ditempuh waktu yang diperlukan

=

perubahan perubahan jarak perubahan perubahan waktu

.

Jika benda tersebut bergerak sepanjang lintasan y lintasan y = = f f ( x), x), maka perbandingan di atas menunjukkan perubahan nilai rata-rata:

perubahan nilai rata-rata = rata-rata =

perubahan perubahan nilai fungsi fungsi perubahan perubahan var iabel x

.


44

Misalkan fungsi f fungsi f :: R

R ditentukan oleh rumus f rumus f : x

Y f (a+h)

f ( x). x).

y = f ( x) x)

Gambar di samping adalah

B

sketsa suatu kurva y = y = f f ( x). x). Titik A(a A(a f , f (a)) dan B(a+h,f B(a+h,f (a+h))

f (a)

A

adalah dua titik yang terletak pada kurva. Apa yang terjadi jika h mendekati

O

a

a+h

X

nilai nol?

Perhatikan perubahan dari A ke B. Untuk daerah asal dalam interval a

x

a + h, h, nilai

fungsi berubah dari f dari f (a) pada x pada x = a sampai a sampai f (a + h) pada x pada x = a + h. Perbandingan selisih selisih nilai fungsi dan selisih selisih nilai variabel merupakan perubahan rata-rata rata-rata nilai fungsi dalam interval a

x

a + h untuk h untuk h

Perubahan rata-rata =

=

=

0, yakni:

perubahan perubahan nilai fungsi perubahan perubahan nilai var iabel f (a

(a f (a

h) f (a) h) a

h) f (a)

. h Untuk nilai h mendekati nol, perubahan rata-rata nilai fungsi itu di sebut laju perubahan nilai fungsi pada x = x = a. Laju perubahan nilai fungsi ( pada pada x = a) a) = lim h

0

f (a

h) f (a) h

.

Lambang turunan fungsi yang rumusnya f rumusnya f (x) (x) di titik x titik x = = a, adalah f adalah f ((a) (dibaca: f (dibaca: f aksen aksen a). f ( f (a) = lim lim h

lim Jika lim h

0

f (a

h) f (a) h

0

f (a

h) f (a) h

.

ada, maka dikatakan f dikatakan f terturunkan terturunkan (terdiferensialkan) di a.

f ( f (a) adalah turunan fungsi f fungsi f di x di x = = a.


45

Contoh : Misalkan f Misalkan f ( x) x) = 18 x 2 + 19. Carilah turunan fungsi f fungsi f di di x = x = 4. Jawab: Turunan fungsi f fungsi f ( x) x) = 18 x 2 + 19 x di x di x = x = 4 adalah f adalah f (4). (4). f (4

f (4) f (4) = lim lim h

h) f (4) h

0

= lim lim h

h) 2 19(4

(18(4

h)) (18.4 2 19.4) h

0

(18.4 2 18.2.4h 18h 2 19.4 19h) (18.4 2 19.4)

= lim

h

0

h

163h 18h 2

= lim h

h

0

= lim (163 + 18h) 0

h

= 163.

Turunan dari fungsi f

Misalkan f Misalkan f :: A

R dengan A

R suatu fungsi dan untuk setiap anggota an ggota A fungsi f fungsi f

memiliki turunan. Misalnya untuk a, b, … lim f ( f (a) = lim h

f (a

h) f (a) h

0

A,

, f ( f (b) = lim h

0

f (b

h) f (b) h

, … ada nilainya;

maka dikatakan f dikatakan f terturunkan (diferensiable) diferensiable) pada A.

Perhatikan untuk setiap anggota A kita memperoleh m emperoleh nilai baru di bawah f bawah f .. Jadi kita memperoleh fungsi baru yang diturunkan dari f dari f , yaitu. f : A

R dengan A

R.

Fungsi f Fungsi f ini disebut turunan f turunan f pada pada A, dan ditentukan oleh rumus: lim f ( f ( x) x) = lim h

0

f ( x

h) f ( x) h

.


46

Contoh: Carilah turunan fungsi f fungsi f yang ditentukan oleh rumus f rumus f ( x) x) = 3 x 3 . Jawab: Turunan fungsi f fungsi f yang ditentukan oleh rumus f rumus f ( x) x) = 3 x 3 adalah f ( x

lim f ( f ( x) x) = lim

h) f ( x) h

0

h

lim = lim

h) 3 3 x 3

3( x

h

0

h

= lim lim h

3( x 3

3 x 2 h 3 xh 2 h

0

lim = lim

3 x 3

9 x 2 h 9 xh 2

= lim lim h

3h 3 3 x 3

h

0

h

h 3 ) 3 x 3

9 x 2 h 9 xh 2

3h 3

h

0

= lim 3h 2 ) lim (9 x 2 + 9 xh + xh + 3h h

0

= 9 x 2 .

Turunan Beberapa Fungsi Khusus

(1) Turunan fungsi konstan, yaitu f ( x) x) = a, a konstanta. lim f ( f ( x) x) = lim h

0

h) f ( x) h

0

= lim h

f ( x a

a h

= 0. (Lihat latihan 7 nomor 1)

Jika f ( x) x) = a, a konstanta; maka f maka f (( x) x) = 0. (2) Turunan fungsi pangkat positif dari x dari x,, yaitu f yaitu f ( x) x) = x = x n . Contoh pada Latihan 7, nomor 2 sampai 6. Hasilnya masukkan tabel:


47

f ( x) x)

x

x 2

x3

x4

…

xn

f ( f ( x) x)

1

2 x

3 x 2

4 x 3

…

……

Perhatikan baik-baik tabel di atas, apakah kamu menemukan pola sehingga kamu dapat mengisi

…… di bawah x bawah x n ?

Jika f Jika f ( x) x) = x = x n , maka f ( f ( x) x) = n x n 1 . (3) Turunan f Turunan f ( x) x) = ax n dengan a konstanta; n bilangan positif atau rasional. Dengan cara serupa dengan (2); ternyata berlaku:

Jika f Jika f ( x) x) = ax n , maka f ( f ( x) x) = an x n

1

(4) Turunan pangkat negatif dari x dari x,, yaitu f yaitu f ( x) x) =

1 x n

Jika kita lihat kembali Latihan 7, nomor 7 dan dimasukkan ke table, akan terlihat polanya turunannya, yaitu:

Jika f Jika f ( x) x) = 1

Karena

x

n

= x

1 x n n

, maka f maka f (( x) x) = -

n x n

1

.

, maka pernyataan di atas setara dengan:

Jika f Jika f ( x) x) = x n , maka f maka f (( x) x) = -n x

( n 1)

.

Turunan f(x) yaitu f (x) f (x) dalam proses pencariannya menggunakan konsep limit, yakni

f ( f ( x ) = lim lim h

0

f ( x

h) f ( x) h

.


48

Sifat-sifat turunan berikut penting dalam mencari turunan: 1. Jika fungsi f fungsi f dan g dan g keduanya keduanya fungsi yang terdefinisi pada selang I, maka turunan (jika ada) dari f dari f dan g dan g juga juga merupakan fungsi yang terdefinisi pada selang I. Demikian juga fungsi-fungsi f fungsi-fungsi f + g, f - g, cf , f g, g, dan f/g dan f/g (khusus untuk f/g untuk f/g perlu perlu tambahan syarat syarat g g 0) adalah juga fungsi-fungsi juga memiliki turunan yang terdefinisi di I. 2. Rumus turunan f turunan f + g, f - g, cf , f g, g, dan f/g dan f/g berturut-turut berturut-turut adalah: a. ( f f + g ) ( x) x) = f ( f ( x) x) + g ( g ( x). x). b. ( f f - g ) ( x) x) = f ( f ( x) x) - g ( g ( x). x). c. (cf ) ( x) x) = cf ( cf ( x), x), c konstanta. d. ( f f g g ) ( x) x) = f ( x)g x)g ( x) x) + g + g ( x) x) f ( f ( x) x) e. (f/g) (f/g) (x) =

g ( x) f ' ( x) f ( x) g ' ( x)

[ g ( x)]2

, g ( x) x)

0.

Notasi yang juga sering digunakan adalah: a. Jika y Jika y = = u + v, v, maka y maka y = u + v . b. Jika y Jika y = = u - v, v, maka y maka y = u - v . c. Jika y Jika y = = cu, maka y maka y = c u , c konstanta. c konstanta. d. Jika y Jika y = = uv, uv, maka y maka y = uv + vu .

Latihan 3

3

1.

Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal kurva x – y y =2xy di titik (-1,1)

2.

Akan dibuat persegi panjang ABCD dengan titik sudut A(0,0), B di sumbu X, D di sumbu 2

Y dan C pada kurva y = a

– x2. Tentukan ukuran-ukuran persegi panjang tersebut agar

luasnya maksimum 3

2

1

3.

Tentukan titik-titik ekstrim dari fungsi f(x) = -2x + 3x pada [-

4.

Kawat sepanjang 16 cm dipotong menjadi 2 bagian. Salah satu potongan dibentuk jadi

2

,2]

bujur sangkar dan potongan poton gan lainnya dibuat jad i lingkaran. Berapa ukuran potongan tersebut agar : - jumlah seluruh luasnya minimum - jumlah seluruh luasnya maksimum 5.

Carilah dua buah bilangan tak negatif yang jumlahnya 10 dan hasil kalinya maksimum


49

BAB V KEGIATAN BELAJAR 4

A.


Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah Kompetensi Dasar

1. Memahami konsep integral tak tentu dan integral integral tentu 2. Menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi aljabar dan fungsi trigonometri yang sederhana B.


1. Mahasiswa mampu menyelesaikan permasalahan tentang integral tak tentu 2. Mahasiswa mampu menyelesaikan permasalahan tentang integral tentu

B.

Uraian Materi

Pengertian Integral Untuk memahami pengertian operasi tentang pengintegralan, perhatikan suatu fungsi

turunan F (x) = f(x) = 2x yang dihasilkan dari berbagai dari bentuk F(x) yang mungkin. Hal ini akan diperlihatkan pada tabel berikut.

F(x)

Pendiferensialan

F (x) = f(x) f(x)

Pengintegr alan

x3 x3 - 1 x3 + 2 3 x + 3

..…….………………..……………… 3x

2

………………..………………………. 3x

2

………………..………………………. 3x ………………..………………………. 3x

2

2

x + c ………………..………………………. 3x 2 3

2

Melalui Melalui contoh di atas atas jika F (x) = f(x) = 3x , maka rumus untuk F(x) mempunyai banyak 3.

kemungkinan, yaitu berbeda pada konstantanya, sedangkan bagian variabel x selalu berbentuk x


50

2

Oleh karena itu himpunan semua fungsi fungsi pengintegralan dari F (x) = f(x) = 3x dapat disajikan dalam bentuk: 3

F (x) = x + c dengan c adalah sebuah konstanta, di mana c

R.

Integral Tak Tentu Definisi:

Misalkan F(x) adalah suatu fungsi umum yang bersifat F´(x) = f(x) atau F(x) dapat

didiferensialkan sehingga F′(x) = f(x). Dalam hal demikian, maka F(x) dinamakan sebagai himpunan anti-pendiferensialan (anti turunan) atau himpunan pengintegralan dari fungsi

F΄(x) = f(x). Operasi pengintegralan ditulis dengan notasi integral

∫. Misalkan ∫ f(x) dx adalah

pengintegralan dari fungsi f(x) terhadap variabel x. x . Hasil dari pengintegralan di atas adalah F(x) + C, di mana F(x) adalah fungsi adalah fungsi integral umum dan umum dan F(x) bersifat F´(x) = f(x), f(x) disebut fungsi disebut fungsi integran, integran, dan c konstanta real real sembarang dan sering sering disebut konstanta pengintegralan. Untuk lebih jelasnya kalian lihat contoh berikut! 2

2

1)

4x dx = 2x + c, jelas bahwa F(x) = 2x +c, sebab sebab F (x) = 4x 4x = f(x)

2)

x dx =

3)

3x dx =

2

1 3

2

x3 3 4

c , jelas bahwa F(x) =

x4

1 3 2 x + c, sebab F (x) = x = f(x) 3

c , jelas bahwa F(x) =

3 4

3

x 4 +c, sebab F (x)=3x = f(x)

Teorema:

Jika n sembarang bilangan rasional rasional

keciali keciali -1,

maka n

x dx

x

n 1

n 1

c


51

Sifat-sifat umum integral tak tentu di bawah ini! 1.

2.

(i)

dx

(ii)

a dx

ax

(i)

f(x)

g(x) dx

f(x) dx

(ii)

f(x)

g(x) dx

f(x) dx - g(x) dx

n

a

3.

x

ax dx

c

n 1

c

x

n 1

c

g(x) dx

, n bil bilangan angan rasional dan n - 1

Integral Tentu

Misalkan kurva y = f(x) kontinu dalam interval a < x < b. Luas yang di batasi oleh kurva y = f(x) sumbu x dan garis-garis x = a dan x = b, atau dalam interval tertutup [a, b] dapat d apat ditentukan dengan proses limit seperti berikut. Perhatikan gambar di bawah ini!

y = f(x)

L1 = f(x 1) . x1 L2 = f(x 2) . x2 L3 = f(x 3) . x3 f(x1) x1 0

a=

0

x1

f(x2) x2

0

x2

f(xn) xn

f(x3) x3

0

x3

Ln = f(xn) . xn

xn

Pada gambar di atas, luas daerah L didekati dengan jumlah semua luas persegi panjang. Jadi L = f(x1) . x1 + f(x2) . x2 + f(x3) . x3 + … + f(xn) . xn Dengan menggunakan notasi sigma (

) bagian ruas ruas kanan dari dari bentuk di atas dapat ditulis

menjadi: n

L

f ( xi ) .

xi

i 1

Andaikan luas daerah dibawah kurva y = f(x), di atas sumbu x, antara garis x = a dan x = b n

adalah L, maka

n

f ( xi ) . i 1

xi akan mendekati L, sehingga bisa dituliskan L

f ( xi ) .

xi .

i 1


52

Untuk menekankan bahwa pengambilan jumlah tersebut meliputi daerah interval [a, b] maka x b

ditulis L

f ( x) . x x

a n

Bentuk penjumlahan

f ( xi ) .

xi disebut sebagai Jumlah Riemann.

i 1

Contoh: 3

( x 3)dx!

Hitung 2

Penyelesaian: Partisikan inteval [-2, 3] menjadi n interval bagian yang sama. Masing-masing panjangnya adalah

x =

5 n

.

Dalam tiap bagian interval [xi-1, xi]. Gunakan xi = xi sebagai sampel. Diperoleh: x0 = -2 x1 = -2 + x = -2 +

5 n

x2 = -2 + 2 x = -2 +2

xi = -2 + i. x

2

i

5 n 5 n

. .. xn = -2 + n . x

2

n

5 n

= 3


53

Jadi f(xi) = xi + 3 = 1 + i( n i

f ( x i ) 1

n

xi =

i 1

n

=

i 1

5 =n

=

5 n

i

=5+

f ( xi )

Ingat: f(x) = x + 3

x

i

5 5 1 i( ) n n n

n

5 ), sehingga n

1 1

25

n

n2

i 1

i

25 n(n 1) n2 25 2

2

1

1 n

Karena partisinya tetap, maka untuk x 0 setara dengan n Kita simpulkan bahwa 3

y = x+3

( x 3)dx!

= Lim x

2

3

=

= -2

3

0

f ( x i )

lim lim 5 + n

25 2

1

x

i

1 n

35 2


54

Sifat-sifat Integral tertentu

Jika f(x) dan g(x) kontinu pada interval tertutup [a, b] maka integral tertentu memenuhi sifat-sifat sebagai berikut ini. a

f ( x )dx

(1)

0

a b

a

f ( x)dx

(2)

f ( x)dx

a

b

b

b

k f ( x) dx

(3)

k f ( x )dx , k konstanta riil sembarang

a

a

b

b

f ( x) g ( x) dx

(4) a

c

f ( x)dx

g ( x)dx a

c

f ( x)dx

a

(6)

f ( x)d a

b

(5)

b

b

f ( x)dx,

a

b

c

a

a) Jika f(x) > 0 dalam interval a < x < b b

f ( x)dx

maka

0

a

b)

Jika f(x) < 0 dalam interval a < x < b b

f ( x) dx

maka

0

a

Latihan

1.

Tentukan

2.

Tentukan

3.

Tentukan

4.

Tentukan

x 3 3

x

Tentukan

4

cos

4 x

3

2

dx

x sin sin x x

dx

sin 7 xdx

dx

9 5.

2 x

x2 dx

2

sin sin x


55

BAB VI KEGIATAN BELAJAR 5

A.


Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah Kompetensi Dasar

Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah di bawah kurva dan volum benda putar B.


1. Mahasiswa mampu menyelesaikan permasalahan tentang luas daerah di bawah kurva dan 2. Mahasiswa mampu menyelesaikan permasalahan tentang volum benda putar.

B.

Uraian Materi

Luas Daerah yang Di Batasi Oleh Kurva Dengan Sumbu X

Pembahasan luas daerah dibawah kurva yang telah dipelajari dalam bagian terdahulu. Pada sub bab ini akan diawali dengan membahas luas daerah untuk kurva yang sederhana. Perhatikan gambar berikut!

y

y

x=a

x=b x

y = f(x)

D2

D1 y = f(x) 0

x=b

x=a (a)

x

0 (b)


56

Pada gambar 1-6 (a) diperlihatkan kurva y = f(x), dengan f merupakan fungsi kontinu dan tak negatif (f(x) > 0) dalam interval a < x < b. Misalkan D 1 daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu x dan garis x = a dan x = b.

Luas D1 ditentukan dengan rumus b

f ( x) dx

L (D1) = a

Pada gambar (b) diperlihatkan kurva y = f(x), dengan f merupakan fungsi kontinu dan tak positif (f(x) < 0) dalam interval a < x < b. Misalkan Misalkan D2 daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu x dan garis x = a dan x = b. Luas D2 ditentukan dengan rumus b

a

f ( x )dx

L (D2) = a

f ( x) dx b

atau b

f ( x )dx

L (D2) = a

Contoh: Nyatakan dengan Integral luas daerah yang diarsir berikut: y y

y = f(x) y = f(x) a

c c

b

(a)

x

d

a

b

x

(b)


57

Penyelesaian: c

(a)

(b)

b

f ( x) dx

L

f ( x ) dx

a

c

c

d

f ( x)dx

L a

b

f ( x)dx

f ( x)dx

c

d

Luas Daerah Antara Dua Kurva

Misalkan dua kurva masing-masing dengan persamaan y = f(x) dan y = g(x) merupakan kurva-kurva yang kontinu dan f(x) > g(x) dalam interval a < x < b. Daerah yang di batasi oleh kurva y = f(x), kurva y = g(x), garis x = a dan x = b diperlihatkan pada gambar berikut : c D

y

y = f(x)

y = g(x)

0

Luas daerah ABCD

A

B

E

F

x=a

x

x=b

= L daerah EFCD - L daerah EFBA b

b

f ( x)dx

= a

g ( x)dx a

b

f ( x) g ( x ) dx

= a

Jadi luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x) dan y = g(x), garis x = a dan x = b ditentukan dengan rumus :

b

f ( x) g ( x) dx

L = a

dengan f(x) > g(x) dalam interval a < x < b


58

Contoh: 2

Hitunglah luas daerah yang di batasi oleh kurva y = 3 + x - 2x dan kurva y = -2x + 3! Penyelesaian: Sketsa grafik : 2

y

* Dicari titik titik potong kurva kurva y = 3 + x - 2x dan y = -2x + 3 2

3 + x - 2x = -2x + 3 2

2x - 3x = 0 x (2x - 3) = 0

1

x

2

2

3 x = 0 atau x = 2 **

0

-1

y = 3+x-2x

Dari sketsa grafik tampak bahwa untuk 0,

3 2

y = -2x+3

2

kurva y = 3 + x - 2x berada diatas kurva y =

2

-2x + 3, ini berarti 3 + x - 2x > -2x + 3

3

Jadi luas L

2

3 x

=

2 x 2

( 2 x

3) dx

0 3

2

2 x 2

=

3 x dx

0

=

3x 2

3

2

2 3 3 2

=

=

2 x 3

1

1 8

3

3

2

0

3( 32 ) 2 2

0

satuan luas.

Pengintegralan Dengan Substitusi Teorema:

Misalkan dengan substitusi u = g(x), g merupakan fungsi yang mempunyai turunan,

f g ( x) g ' ( x)dx dapat diubah menjadi

f (u )du jika F(u) adalah anti

pendiferensialan dari f(u), maka:

∫ f [g(x)]g (x) dx = ∫ f(u) du = F(u) + c = F[g(x)] F[g(x)] + c Tim Matdas | http://matematika.unnes.ac.id

59

Untuk menyelesaikan menyelesaikan pengintegralan pengintegralan dengan substitusi

ini diperlukan dua langkah langkah

sebagai berikut: (1)

Memilih fungsi u = g(x) sehingga ∫ f [g(x)]g (x) dx dapat diubah menjadi ∫ f(u) du

(2)

Mencari fungsi integral umum F(u) yang bersifat F (u) = f(u)

Contoh: 3

Hitunglah: ∫ (4x – 3) 3) dx Penyelesaian: Pilih

u

= 4x – 3 3

du

= 4 dx

1 4 Jadi

4 x

du = dx 3

=

3 dx

=

1 u 3 . du 4 1 u4 4 4

c

1 4 u4

16

u 3 du

c

(4 x 3) 4 16

c

Latihan

1.

Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi y = x2 di kuadran I, garis x + y = 2, dan garis y = 4.

2.

Hitunglah

luas

daerah

yang

dibatasi

oleh

grafik

fungsi

f

yang

didefinisikan

2

f(x) = x + 2x – 3, 3, x = -3, x = 1 3.

2

Tentukan volum benda putar bila daerah yang dibatasi kurva y = -x + 4 dan y = -2x + 4 diputar mengelilingi sumbu Y

4.

2

Tentukan volum benda putar yang terjadi bila daerah diantara kurva y = x + 1 dan y = x + 3 diputar mengelilingi sumbu X.

5.

Tentukan volum benda putar daerah yang dibatasi grafik y =

x , x = 4, dan sumbu

X koordinat putar terhadap garis x = -1


60

TES KOMPETENSI AKHIR SEMESTER

1. Draw the curve r = 8 sin 2

2

2. Prove that (1 – cos cos x)(1 + cot x) = 1 3. Find Lim x

t

x 2

t 2

x

t

4. Find X1, X2 and X3 from 3X1 + 2X2 + X3 = 10 X1 + X2 + X3 = 6 2X1 + X2 + X3 = 7 5. Find

dy dx

2

2 2

if y = (3x – 2) 2) (3 – x x )

6. If f(x) = 2x – 5 5 and g(x) =

x 2

9

3

a. Find (f 0 g)(x) b. Find (f 0 g)(5)


61

Daftar Pustaka

GCE A Level. 2002. Mathematics (Yearly). 1991/2002. Redspot Publising. Singapore th

Howard Anton, 1994, Elementary Linear Algebra 7 edition, edition, New York: John Wiley & Sons, Inc. M. Asikin H, Nuriana RDN. 2009. Telaah Kurikulum Matematika 3. Bahan Ajar Perkuliahan. Semarang: Jurusan Matematika FMIPA UNNES Marten Kanginan. 2005. Matemátika Untuk SMA Kelas 2. Grafindo Media Pratama. Bandung Marten Kanginan. 2005. Matemátika Untuk SMA Kelas 3. Grafindo Media Pratama. Bandung Michael Evans dkk. 1999. Essential Mathematics Methods. Cambridge University Press Purcell, dkk. 2004. Kalkulus 2004. Kalkulus.. Jakarta: Penerbit Erlangga Rochmad, Mulyono. 2005. Matematika Untuk Kelas XI Program Ilmu Alam (Kelas 2 SMA/MA). Semarang: PT Bengawan Ilmu Sartono W. 2003. Matematika Untuk SMA Kelas XI Semester 1. Jakarta: Erlangga Sartono W. 2003. Matematika Untuk SMA Kelas XI Semester 2. Jakarta: Erlangga Sartono W. 2002. Matematika Untuk SMA Kelas XII Semester 1.Jakarta: Erlangga. Sartono W. 2002. Matematika Untuk SMA Kelas XII Semester 2.Jakarta: Erlangga. Scottish Mathematics Group. 1992. Modern Mathematics fos Schools. Nelson Blackie Ltd London Subanji. 2005. Matematika Untuk Kelas XII Program Ilmu Alam (Kelas 3 SMA/MA). Semarang: PT. Bengawan Ilmu


62

Fungsi Dan Operasi Fungsi

Recommend Documents