Mecánica de Sólidos I CONCEPTO DE FLEXIÓN EN VIGAS
Flexión Pura •
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Se han analizado hasta el momento las cargas externas e internas de elementos estructurales, tales como cargas axiales, cortantes y de torsión, así como los esfuerzos y las deformaciones que estos producen. Ahora se estudiarán los elementos prismáticos sometidos a pares iguales y opuestos M y M` que actúan en el mismo plano longitudi longitudinal. nal. Esto se conoce como flexión pura.
Elementos prismáticos sometidos a flexión pura •
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Si un elemento está sometido a pares iguales y opuestos que actúan en el mismo plano longitudinal, se dice que está a flexión pura. Si se hace un corte en el elemento AB, las condiciones de equilibrio de la porción AC del elemento requieren que las fuerzas elementales ejercidas sobre AC sobre AC por la otra porción sean equivalentes equivalentes al par M.
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Las fuerzas internas en cualquier sección transversal de un elemento sometido a flexión pura son equivalentes a un par. El momento M de ese par se conoce como momento flector de la sección. Se dará signo positivo a M cuando el elemento se flexiona como:
En la siguiente figura, la porción BC de la viga AD está sometida a flexión f lexión pura.
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Haciendo un corte en un punto arbitrario E localizado entre B y C, y dibujando los diagramas de cuerpo libre de AD y AE, se verifica que las fuerzas internas que actúan en cualquier sección transversal entre B y C deben ser equivalentes a un par de 36 KN*m. (ƩM = 30*4 – 30*2.8 = 36 KN*m)
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Considerando una viga AB, que soporta una carga P en uno de sus extremos libres. Si se hace un corte en C, se tienen una carga P axial y un momento flexor:
Estudio preliminar de los esfuerzos en flexión pura •
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Para deducir las relaciones que deben satisfacer los esfuerzos en cualquier sección transversal de un elemento prismático sometido a flexión pura, se usarán los métodos de estática. Designando por σx el esfuerzo normal en un punto de la sección transversal y por τx y τy las componentes del esfuerzo cortante, se expresará que el sistema de fuerzas internas elementales ejercido sobre la sección equivale al par M:
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Las equivalencias entre las fuerzas internas elementales y el par M es:
Deformaciones en un elemento simétrico sometido a flexión pura •
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Las deformaciones de un elemento prismático que posee un plano de simetría y está sometido en sus extremos a pares iguales y opuestos M y M` que actúan en el plano de simetría. El elemento se deformará pero permanecerá simétrico con respecto al dicho plano. Como el momento flector es el mismo en cualquier sección, el elemento se flexionará uniformemente. Así, la línea de intersección AB entre la cara superior del elemento y las secciones en donde se aplican los pares tendrá una curvatura constante. Es decir, la línea AB, que era originalmente recta, se transformará en un círculo de centro C y lo mismo ocurrirá en la línea A`B`.
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Cualquier sección transversal perpendicular al eje del elemento permanece plana, y que el plano de la sección pasa por C.
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Como la línea AB decrece y A`B` se alarga, cuando M>0, se nota que la deformación ϵx y el esfuerzo σx son negativos en la parte superior del elemento (compresión) y positivos abajo (tensión). Se deduce que debe existir una superficie paralela a las caras superior e inferior, donde ϵx y σx se anulan. Esta es la superficie neutra. Esta superficie neutra se muestra como el arco DE y forma un eje neutro en la sección transversal.
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Llamando ρ el radio del círculo DE, θ el ángulo central que corresponde a DE y notando que la longitud de DE es igual a la longitud L del elemento no deformado, se tiene
Considerando ahora el arco JK localizado a una distancia y sobre la superficie neutra, se observa que su longitud L` es:
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Como la longitud original del arco JK era igual a L, la deformación de JK es:
Sustituyendo las ecuaciones de L y L`, la def del arco JK es:
La deformación longitudinal ϵx de los elementos JK se obtienen dividiendo δ por la longitud original L de JK:
El signo negativo se debe a que se ha supuesto un Momento positivo, haciendo la deformada cóncava hacia arriba y generando compresión al arco JK sobre el eje neutro.
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El máximo valor absoluto de la deformación es ϵm:
La deformación en cualquier punto en términos de la deformación máxima sería:
Esfuerzo y deformación en el rango elástico •
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Se estudiará el caso en que el momento flector M es tal que los esfuerzos normales en el elemento permanecen por debajo del esfuerzo de fluencia σy. Esto implica que los esfuerzos en el elemento permanecerán por debajo del límite de proporcionalidad. No habrán deformaciones permanentes y se podrá aplicar la Ley de Hooke para el esfuerzo uniaxial.
De la ecuación de la deformación (con m como máx en extremo superior a compresión):
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Donde σm es el máximo valor absoluto del esfuerzo. Este resultado muestra que, en el rango elástico, el esfuerzo normal varía linealmente con la distancia al plano neutro.
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Todavía no se tiene la localización de la superficie neutra ni el máximo valor σm del esfuerzo. Para esto usamos las ecuaciones:
Esto muestra que el primer momento de la sección transversal con respecto al eje neutro debe ser cero. En otras palabras, si un elemento está sometido a flexión pura y los esfuerzos permanecen en el rango elástico, el eje neutro pasa por el centroide de la sección.
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Ahora, si el eje z debe coincidir con el eje neutro de la sección, reemplazando σx se tiene:
Como en el caso de la flexión pura el eje neutro pasa por el centroide de la sección, se observa que I es el momento de Inercia, o segundo momento, de la sección transversal con respecto al eje centroidal perpendicular al plano del par M.
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Para obtener el esfuerzo normal σx a cualquier distancia y del eje neutro:
Estas ecuaciones se conocen como flexión elástica y el esfuerzo como esfuerzo de flexión. El signo negativo es porque los momentos son positivos y los esfuerzos sobre el eje neutro son a compresión, si los momentos son negativos, los esfuerzos sobre el eje neutro serían a tensión. La relación I/c depende sólo de la geometría de la sección transversal. Esta relación se denomina Módulo Elastico de la sección y se representa por S.
El esfuerzo máximo sería:
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Como el esfuerzo máximo σm es inversamente proporcional al módulo elástico S, las vigas se deben diseñar con un S tan grande como sea práctico. Por ejemplo, una viga de madera de sección rectangular de ancho b y altura h, se tiene:
A es igual para ambas vigas, pero la que tiene un h mayor, tiene una mayor resistencia a las cargas a flexión.
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En el caso de vigas de acero, las vigas H o W son preferibles a otros perfiles, ya que una gran porción de su sección transversal están alejadas del eje neutro, por lo que sus diseños proveen mayores valores de I, así como de S.
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La deformación del elemento causado por el momento flector M se mide por la curvatura de la superficie neutra. La curvatura se define como el inverso del radio de curvatura ρ y puede obtenerse como:
En el rango elástico, se tiene ϵm = σm/E.
Ejemplo 1 •
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Una barra de acero de 0.8 x 2.5 in está sometida a dos pares iguales y opuestos que actúan en el plano vertical de simetría de la barra. Halle el valor del momento flector M que hace fluir la barra. Suponga σy = 36 ksi.
Puesto que el eje neutro debe pasar por el centroide C de la sección, c = 1.25 pulg.
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El momento de Inercia centroidal de la sección rectangular es:
Resolviendo la ecuación para M, y sustituyendo los datos anteriores:
Ejemplo 2 •
Se flexiona una barra semicircular de aluminio, con radio r = 12 mm, hasta darle forma de un arco circular de radio medio ρ = 2.5 m. Sabiendo que la cara plana de la barra está dirigida hacia el centro de la curvatura del arco, halle los máximos esfuerzos de tensión y compresión de la barra. Use E = 70 Gpa.
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La ordenada y del centroide C de la sección semicircular es:
El eje neutro pasa por C y la distancia c al punto más alejado de la sección del eje neutro, es:
Usando la ecuación de def. máx.
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Aplicando la ley de Hooke:
Como este lado de la cara no da al centro de curvatura, es esfuerzo obtenido es de tensión. El esfuerzo máximo de compresión se presenta en la cara plana de la barra. Puesto que el esfuerzo es proporcional a la distancia al eje neutro:
Otra forma era calculando el momento M y luego calcular el esf. máx. σm con las siguientes ecuaciones:
Ejemplo 3 •
El tubo rectangular que se muestra se obtiene de una aleación de aluminio con σy = 40 ksi, σu = 60 ksi y E = 10.6 x 10 psi. Despreciando el efecto de la soldadura de filete, halle el momento flector M para el cual el factor de seguridad será 3.00 y el radio de curvatura correspondiente al tubo.
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Momento de Inercia: Considerando la sección transversal del tubo como la diferencia de los dos rectángulos mostrados y usando el momento de inercia de un rectángulo, se tiene
Esfuerzo Admisible: Con un F.S. de 3.00 y con un esfuerzo último de 60 ksi:
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Puesto que σadm < σy, el tubo permanece en el rango elástico, entonces se puede aplicar la teoría: Momento flector: Si c = ½ (5 in) = 2.5 in, entonces
Radio de curvatura: Como E = 10.6 x 10^6 psi, se sustituye este valor y los obtenidos de I y M en:
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Otra Solución para el radio de curvatura: Como se conoce el esfuerzo máximo, σadm = 20 ksi, se determina la deformación máxima ϵm y se utiliza la ecuación:
Ejemplo 4 •
Una sección de una máquina de hierro colado está sometida a un par de 3 KN*m, tal como se muestra. Si E = 165 GPa y se desprecia el efecto de la soldadura de filete, halle los máximos esfuerzos de tensión y compresión en el elemento fundido y su radio de curvatura.
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Centroide: Se divide la sección T en dos rectángulos:
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Momento Centroidal de Inercia: Se utiliza el teorema de los ejes paralelos para hallar el momento de Inercia de cada rectángulo, con respecto al eje x` que pasa por el centroide de la sección compuesta. Sumando esos momentos de inercia:
Máximo Esfuerzo de tensión: Como los momentos aplicados flexionan la fundación hacia abajo, el centro de curvatura está situado debajo de la sección. Su máxima tensión ocurre en el punto A, que es el más alejado del centro de curvatura. •
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Máximo esfuerzo de compresión: Ocurre en el punto B.
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Radio de curvatura:
Flexión de Elementos Hechos de Varios Materiales •
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Para todos los casos anteriores, se supuso un elemento hecho de un material homogéneo, con un módulo de elasticidad E. Si el elemento sometido a flexión pura está hecho de dos o más materiales, con distintos módulos de elasticidad, la aproximación para la determinación de esfuerzos debe cambiar. Para el caso de una barra con dos porciones de diferentes materiales, unidos como se muestra en la figura.
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La deformación normal ϵx varía linealmente con la distancia y al eje neutro de la sección.
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Sin embargo no puede suponerse que el eje neutro pasa por el centroide de la sección compuesta. Nos interesa determinar la posición de dicho eje. Como los módulos de elasticidad de los materiales E1 y E2 son diferentes, las expresiones obtenidas para los esfuerzos normales en cada material serán también diferentes.
Se deduce lo siguiente para cada sección de material diferente:
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Si se llama n la relación E2/E1 de los dos módulos de elasticidad, se puede expresar lo siguiente:
Comparando las ecuaciones se nota que se ejercerá la misma fuerza dF2 sobre el elemento de área ndA del primer material. Al multiplicar n por dA se obtiene una sección transformada del elemento:
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Esta sección transformada representa la sección transversal de un elemento hecho de un material homogéneo con módulo elástico E1. El eje neutro será trazado por el centroide de la sección transformada. El esfuerzo σx en cualquier punto del elemento homogéneo ficticio, se obtendrá:
En donde y es la distancia a la superficie neutra e I el momento de Inercia de la sección transformada con respecto a su eje centroidal.
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Para obtener σ1 en un punto situado en la sección superior, se calcula σx en cualquier punto de la sección transformada. Para obtener σ2 en un punto de la parte inferior de la sección transformada, se multiplicará por n el esfuerzo σx de la sección transformada. (La misma fuerza dF2 se aplica sobre un área ndA y el esfuerzo σ2 en un punto de la sección original es n veces más grande que el esfuerzo en el punto correspondiente de la sección transformada. Las deformaciones de un elemento compuesto también pueden hallarse usando la sección transformada, recordando que la sección transformada representa la sección transversal de un elemento hecho con un material homogéneo de módulo E1, que se deforma de la misma manera que el elemento compuesto. Por tanto, la curvatura del elemento compuesto es:
Ejemplo 5 •
Una barra obtenida uniendo piezas de acero (Es = 29 x 10^6 psi) y latón (Eb = 15 x 10^6 psi) tiene la sección mostrada en la figura. Halle los esfuerzos máximos en el acero y el latón cuando la barra está sometida a flexión pura con un momento M = 40 kips*in.
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La sección transformada correspondiente a una barra equivalente hecha de latón se muestra en la figura:
El ancho de la porción central de latón que reemplaza el acero original se obtiene multiplicando por 1.933 el ancho original
Se observa que este cambio en las dimensiones ocurre en dirección paralela al eje neutro.
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El momento de Inercia de la sección transformada con respecto al eje centroidal es:
La distancia máxima al eje neutro es c = 1.5 in. Usando la ecuación:
El valor obtenido representa también el esfuerzo máximo en la parte de latón. El esfuerzo máximo en el acero, será mayor que el valor obtenido para la sección transformada, ya que el área debe ser reducida por n.
Materiales Compuestos:
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Un ejemplo importante de elementos estructurales hechos de dos materiales diferentes son las vigas de concreto reforzado. Como el concreto es muy débil sometido a tensión, el acero se coloca en el extremo a tensión y el concreto en el sentido a compresión.
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Para obtener la sección transformada de una viga de concreto reforzado, se reemplaza el área As de las barras de acero por un área equivalente nAs, donde n es la razón Es/Ec de los módulos de elasticidad del acero a cero y del concre concreto. to. Posteriormente, como el concreto actúa efectivamente sólo a compresión, únicamente la sección localizada por encima del eje neutro debe consider considerarse arse en la sección transformada. transformada. La posición del eje neutro se obtiene calculando la distancia x de la cara superior de la viga al centroide C de la sección transformada. Llamando b al ancho de la viga, y d a la distancia desde la cara superior al centroide de las barras de acero, se tiene que el primer momento de la sección transformada transfo rmada con respecto al eje neutro es cero. Este primer momento para cada sección se obtiene de multiplicar el área respectiva por su distancia del centroide al eje neutro.
Primer Momento:
Resolviendo esta ecuación cuadrática para x, se obtiene la posición del eje neutro y la porción de la viga de concreto que se usa efectivamente. En la figura se muestra también la distribución de esfuerzos de compresión compresión del concreto y la resultante Fs de la fuerza a tensión en las barras.
Concentración de Esfuerzos •
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La ecuación σm = Mc / I se dedujo para el caso de un elemento con un plano de simetría y sección uniforme. uniforme. Esfuerzos más altos ocurrirán si la sección transversal del elemento experimenta cambios súbitos. Se estudiarán dos casos en particular. Estos son el caso de una barra plana con un cambio súbito de sección (ancho) y el caso de una barra plana con ranur ranuras. as. Para estos casos, el valor del esfuerzo máximo es como sigue, donde K es el factor de concentración de esfuerzos y donde c e I se refiere a la sección crítica (la (la sección de ancho d):
Ejemplo 6 •
Se van a maquinar ranuras de 10 mm de profundidad en una barra de acero de 60 mm de ancho y 9 mm de espesor. Halle el ancho mínimo admisible si el esfuerzo en la barra no debe pasar de 150 MPa cuando el momento flector es de 180 N*m.
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En la figura se observa que:
El momento de inercia de la sección crítica con respecto al eje neutro es:
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El valor del esfuerzo M c / I es:
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Sustituyendo los valores obtenemos que:
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De la relación siguiente y sustituyendo en la tabla:
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Sustituyendo en la tabla se obtiene el valor de la relación r/d:
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El mínimo ancho admisible de las ranuras es:
Ejemplo 7 •
Una viga de acero en T ha sido reforzada poniéndole los dos pedazos de madera que se muestran. El módulo de elasticidad de la madera es Ew = 12.5 GPa y del acero es Es = 200 GPa. Sabiendo que se aplica un momento flector M = 50 KN*m a la viga compuesta, halle el esfuerzo máximo en la madera y el esfuerzo en el acero a lo largo de la fibra externa.
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Sección transformada: Se calcula la razón n:
Multiplicando las dimensiones horizontales de la porción del acero por n = 16, se obtiene una sección transformada enteramente de madera.
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Eje neutro: Pasa por el centroide de la sección transformada.
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Momento centroidal de inercia:
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Máximo esfuerzo de la madera. La madera más alejada del eje neutro está localizada a lo largo del borde de la base, donde c2 = 0.200 m.
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Esfuerzo en el acero: A lo largo del borde superior c1 = 0.120 m. De la sección transformada se obtiene un esfuerzo equivalente en la madera, que debe multiplicarse por n para obtener el esfuerzo en el acero.
Ejemplo 8 •
Una placa para piso está reforzada con varillas de 5/8 de in de diámetro, ubicadas cada 6 in entre centros, colocadas 1 in por encima de la cara inferior. Los módulos de elasticidad del concreto Ec es 3 x 10^6 psi y del acero Es = 30 x 10^6 psi. Sabiendo que se aplica un momento de 35 kips * in por cada pie de ancho de placa, halle el esfuerzo máximo del concreto y del acero.
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Sección transformada: Se estudiará una porción de placa de 12 in en la cual hay 2 varillas de 5/8 in con área total de acero:
Relación n:
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Eje neutro: El eje neutro de la placa pasa por el centroide de la sección transformada. Sumando los momentos de la sección transformada con respecto al eje neutro:
Momento de Inercia: El momento de Inercia de la sección transformada.
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Esfuerzo máximo en el concreto: En la parte superior de la losa se tiene c1 = 1.575 in.
Esfuerzo en el acero. Para el acero, c2 = 2.425 in y n = 10.
Deformaciones Plásticas •
Para un material elastoplástico sujeto a flexión, se analiza el caso de un elemento de ancho b y altura 2c. La curva de esfuerzo deformación se muestra a continuación:
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El esfuerzo máximo se había definido como:
Cuando el momento flector aumenta, σm alcanza eventualmente el valor de fluencia σY. De aquí se obtiene que el máximo momento elástico es:
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Para una sección rectangular, se tiene que:
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Se escribe:
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Si el momento sigue aumentando, se desarrollarán zonas plásticas en el elemento. Entre las zonas plásticas, subsiste un núcleo elástico en el cual σx varía linealmente con y.
Donde Yy representa la mitad des espesor del núcleo elástico. Cuando M aumenta, la zona plástica se expande hasta que la deformación es completamente plástica. Entonces el Momento Flector M que corresponde a un espesor Yy del núcleo elástico está dado por:
Donde My es el máximo momento elástico. Cuando Yy tiende a cero, el momento flector es el de una deformación completamente plástica y es el momento plástico que tiende a:
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Para relacionar el radio de curvatura ρ con el espesor de la parte elástica Yy, se tiene la siguiente ecuación:
Donde ϵy es la deformación de fluencia y ρ es el radio de curvatura correspondiente a un momento M > My. Cuando el momento flector es igual a My, se tiene Yy = c:
Donde ρy es el radio de curvatura correspondiente al máximo momento elástico My. De aquí se obtienen las siguientes relaciones:
El momento flector M como función de radio de curvatura ρ de la superficie neutra:
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Analizando la distribución de esfuerzos en una sección rectangular, tanto para el caso de un momento elástico como para el caso de un momento plástico:
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Se concluye que para el caso de secciones rectangulares se da: Para vigas de sección no rectangular, la relación de Mp/My no es igual a 3/2, si no que varían dependiendo de la figua de la sección y se conoce como el factor de forma (k) = Mp/My:
La relación Mp/σy, se conoce como el módulo plástico de la sección y se representa por Z y se obtiene la siguiente relación: Recordando que My = Sσy, se puede expresar:
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Analizando el caso particular de una sección rectangular de ancho b y altura h, se tiene que:
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Y el módulo elástico de la viga es:
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Sustituyendo en la ecuación de k:
Ejemplo 9 •
Un elemento de sección uniforme rectangular de 50 x 120 mm se somete a un momento flector M = 36.8 KN*m. Suponiendo que el elemento está hecho de un material elastoplásltico con un punto de fluencia 240 Mpa y un módulo de elasticidad de 200 GPa, halle el espesor del núcleo elástico y el radio de curvatura de la superficie neutra.
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Espesor del núcleo elástico. Primero se determina el máximo momento elástico My. Sustituyendo en la ecuación:
Llevando este valor, junto con σy = 240 MPa:
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Radio de curvatura: Nótese que la deformación de fluencia es:
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Resolviendo la ecuación Yy = ϵyρ para ρ:
Ejemplo 10 •
La viga AB está hecha de acero dulce que se supone elastoplástico, E = 29 x 10^6 psi y σy = 36 ksi. Halle el momento flector M y el radio de curvatura correspondiente al iniciarse la fluencia y cuando las aletas se han plastificado completamente. Halle además, los esfuerzos residuales y el radio permanente de curvatura después de retirar el par M de 7360 kips*pulg.
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Iniciación de la fluencia: El momento centroidal de Inercia de la sección es:
Momento flector: Para σmax = σy = 36 ksi y c = 8 in.
Radio de curvatura: Para c = 8 in, la def ϵy = σy/E = (36 ksi) / (29 x 10^6 psi) = 0.001241.
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Aletas completamente plásticas: Cuando las aletas se han plastificado, las deformaciones y esfuerzos son como se muestra.
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Momento Flector: Sumando los momentos de R1, R2, R3 y R4 con respecto al aje Z, se escribe:
Radio de curvatura: Como Yy = 7 in:
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Descarga elástica. La viga se descarga mediante la aplicación de un par M = -7360 kips*pulg pero de manera elástica.
Esfuerzos residuales. Se superponen los esfuerzos debidos a la carga y descarga y se obtienen los esfuerzos residuales de la viga.
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Radio de curvatura permanente. Para y = 7 in, el esfuerzo residual es σ = -2.9 ksi. Como en este punto no ha ocurrido deformación plástica, puede usarse la ley de Hooke y se tiene ϵx = σ / E.
Ejemplo 11 •
Halle el momento plástico de un elemento cuya sección se muestra, suponiendo que el material es elastoplástico y tiene un límite de fluencia de 240 MPa.
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Eje Neutro: Cuando la deformación es totalmente plástica, el eje neutro divide la sección en dos partes cuyas áreas son iguales, puesto que el área total es:
El área sobre el eje neutro será de 2400 mm2. Se escribe:
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Momento Plástico: La resultante R1 de las fuerzas elementales sobre A1 es como sigue y pasa por el centroide de esa área:
