Cap´ıtulo 1
Intr ntroducci´ on 1.1. 1.1.
Intr Introdu oducc cci´ i´ on on hist´ orica orica
Los experimentos y escritos de Leonardo da Vinci (1452–1519) (1452–1519) sobre la ley de la palanca, la descomposici´on o n de fuerzas y la resistencia de cables y vigas constituyen la primera investigaci´on documentada acerca de la mec´ anica anica de s´olidos. olidos.
Figura 1.1: Atl. 322r.b. Estudios de Leonardo sobre la flexi´on on de una viga biapoyada Galileo Galilei escribe Dimostrazioni Matematiche intorno a due nuove cient´ıfica scienze (1638), el primer tratado en el que se aborda de forma cient´ la resistencia de vigas y columnas frente a la fractura. Robert Robert Hooke Hooke
responsa responsable ble de la realiz realizaci aci´´on on de experimentos de la instituci´on on cient´ cie nt´ıfica ıfi ca 1-1
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ingles denominada Royal Society , sienta otro de los pilares de la mec´anica de s´olidos al establecer en De potentia restitutiva (1678) la proporcionalidad entre fuerzas y alargamientos en los cuerpos el´asticos (ley de Hooke).
Figura 1.2: De Potentia Restitutiva , Robert Hooke, 1678 Dos problemas fundamentales ocupan a los cient´ıficos en la primera edad de esta disciplina: El problema de la obtenci´on de una expresi´on para la resistencia a rotura de una viga en m´ ensula sometida a una carga en su extremo, en funci´on de la resistencia de esa misma viga sometida ´unicamente a tracci´on, as´ı como la determinaci´on del eje de rotaci´on de la pieza en la rotura (problema de Galileo). El problema de la determinaci´on de la forma de la viga cuando est´a sometida a las acciones exteriores, tambi´ en llamado problema de la el´ astica. Galileo abord´ o el primer problema admitiendo que la resistencia de la m´ensula es igual que la de la pieza sometida exclusivamente a tracci´on y se distribuye sobre su secci´on transversal, y que el eje de rotaci´on de la pieza en el instante de la rotura se sit´ua en la arista inferior de la secci´on empotrada (este eje fue denominado posteriormente fibra neutra . Mariotte(1620-1684) ´ C. LAZARO
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Figura 1.3: Di´ alogo sobre dos Nuevas Ciencias de Galileo Galilei lleg´o a la conclusi´on de que la resistencia de la m´ ensula es la mitad de la resistencia de la pieza traccionada (variando desde 0 en el eje de rotaci´on hasta un m´aximo en la arista opuesta), y mantuvo inicialmente la hip´otesis de Galileo referente al eje de rotaci´on. En 1713 Parent corrigi´o el error de Mariotte y situ´o la fibra neutra en el centro de la secci´on en m´ensulas de secci´on sim´etrica. El trabajo de Parent supuso la introducci´on de la idea de una distribuci´on de fuerzas interiores actuando sobre las fibras que forman la secci´on. El problema de Galileo fue resuelto finalmente por Coulomb, incluso para leyes de comportamiento no lineales, por medio de las ecuaciones de equilibrio est´atico en Sur une Application des R´ egles de maxims et minims ` a quelques probl` emes de statique relatifs a ` l’architecture (1773). La proporcionalidad entre el momento flector que act´ua sobre cada secci´ o n de la viga y el radio de curvatura que une los ejes de rotaci´o n de las secciones fue establecida por Jakob Bernoulli (1654–1705). Posteriormente Leonhard Euler resolvi´o el problema de la el´astica minimizando el funcional que representa la energ´ıa potencial de flexi´on (que hab´ıa deducido a partir de la relaci´on momento – curvatura propuesta por Bernoulli) en su Methodus inveniendi lineas curvas... (1744) [1]. Euler dedujo la ecuaci´on diferencial de la el´astica por medio del c´alculo de variaciones, y estudi´o las soluciones de la ecuaci´on, entre las que se encuentra la de la inestabilidad de una columna comprimida (pandeo de Euler). Love (1927) [2, ep´ıgrafe 262] recoge el an´alisis de Euler en su famoso tratado sobre elasticidad. Los fundamentos de la teor´ıa de la elasticidad fueron establecidos en 1822 ´ C. LAZARO
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Figura 1.4: Investigaciones de Jakob Bernoulli acerca de la posici´on de la fibra neutra por Auguste Cauchy (1789–1857), que introdujo de forma axiom´atica el concepto de tensi´on actuando sobre un plano y dedujo la expresi´ on de esa tensi´ on en funci´on de la orientaci´on del plano. Desarroll´o las ecuaciones de equilibrio en la forma en la que hoy las conocemos y expres´o el cambio de forma en el entorno de un punto en funci´on de seis componentes de la deformaci´ on. La teor´ıa de la elasticidad tuvo un desarrollo muy r´apido durante el s. XIX principalmente por las investigaciones llevadas a cabo en Francia por Saint–Venant , Lam´ e y Clapeyron, en Alemania con Kirchhoff , Clebsna por Maxwell, Green y Love entre otros ch y Mohr), y en Gran Breta˜ muchos. Este avance se frena a principios del s. XX por la dificultad que supon´ıa el no disponer de herramientas de c´alculo que permitiesen obtener resultados pr´acticos. Sin embargo, despu´es de la Segunda Guerra Mundial la investigaci´on puntera en este campo se traslada hacia Estados Unidos y Gran Breta˜ na, que marcar´an la pauta durante la segunda mitad del s. XX. El impulso necesario procede de la industria aeron´autica y la necesidad de resolver los complicados problemas que plantea la construcci´on de aeronaves, as´ı como del desarrollo del ordenador. En este contexto surge el M´ etodo de los Elementos Finitos que permite la aplicaci´on de los resultados te´oricos de la mec´anica de s´olidos a la resoluci´on de problemas aplicados, ideado pr´acticamente al mismo tiempo por dos grupos de investigaci´on liderados por Argyris (1955), y por Clough (1956). Para concluir esta breve ´ C. LAZARO
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Figura 1.5: Las ecuaciones de equilibrio interno en Exercises de Math´ematiques, tomo 4, de Auguste Cauchy, 1829 revisi´on, es necesario citar a C. Truesdell como el investigador que durante la d´ecada de 1960 revis´o y formul´o los fundamentos de la Mec´anica del Continuo a partir de todo el material generado hasta el momento. El libro de S.P. Timoshenko (1953) [4] es una referencia clave en lo referente a la historia de la mec´anica de s´olidos, y ha servido de base para redactar este cap´ıtulo.
1.2.
Medio continuo
El medio es la sustancia s´olida o fluida en la que se desarrolla un fen´omeno f´ısico. La continuidad hace referencia a la hip´otesis de que el medio no presenta vac´ıos en su interior, en oposici´on a la realidad discreta de la materia, que est´a constituida por ´atomos y mol´eculas. El medio continuo es, por lo tanto, un modelo o idealizaci´on de la realidad que s´olo ser´a v´ alido para el an´alisis a escala macrosc´opica. La continuidad permite adem´as el empleo ´ C. LAZARO
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de las herramientas del c´alculo diferencial para el desarrollo de la teor´ıa. La caracter´ıstica fundamental del medio es su deformabilidad. Esto es lo que diferencia la mec´anica del medio continuo de la mec´anica cl´asica, y en particular de la mec´anica del s´olido r´ıgido. De forma adicional se pueden introducir otras hip´otesis que no son imprescindibles para el an´alisis pero lo simplifican en determinados casos: Homogeneidad Isotrop´ıa. Clasificaci´o n de la mec´a nica del medio continuo en el ´a mbito de la mec´ anica racional.
1.3.
Descripci´ on lagrangiana y euleriana del movimiento
Hay dos planteamientos globales en el an´alisis del continuo, en funci´on de la elecci´on de variables independientes que se lleve a cabo. La descripci´ en denominada deson lagrangiana del movimiento, tambi´ cripci´on material, considera que existe una configuraci´on inicial del medio (configuraci´on de referencia). A cada punto material se le asocia un identificador, que es el vector posici´on X en la configuraci´on inicial. Las coordenadas del punto en la configuraci´on inicial son, por lo tanto, las variables independientes del problema. Durante el proceso de deformaci´on el s´olido cambia de forma y posici´on. En la configuraci´on correspondiente al instante t, la posici´on del punto se expresa como funci´on del tiempo y de su posici´on inicial. x = x(X , t). Este tipo de descripci´on es la usual en los problemas de mec´anica de s´olidos, y es la que adoptamos en lo que sigue. La descripci´ on euleriana o espacial adopta como variables independientes las posiciones x del espacio en las que se desarrolla el fen´omeno. Un punto del espacio es recorrido por una infinidad de puntos materiales durante un intervalo de tiempo. Las variables que describen el movimiento, por ejemplo la velocidad, se expresan as´ı v
= v (x, t).
Cuando se emplea la descripci´on espacial resulta necesario definir un nuevo concepto de derivada para evaluar la medida en la que cambia una funci´on asociada a un punto material del medio. Esta operaci´on se denomina dea mediante el operador D/dt. La descripci´on rivada material y se denotar´ euleriana y la derivada material se usan habitualmente en la mec´anica de fluidos. La referencia Malvern (1969) [3, secci´on 4.3] incluye m´as informaci´ on. ´ C. LAZARO
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1.4.
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Fuerzas
Las fuerzas de origen externo que act´uan sobre el s´olido se pueden clasificar en dos categor´ıas Fuerzas de volumen. La fuerza sobre un diferencial de volumen en la configuraci´on actual es b dV . El vector b es la fuerza de volumen, que tiene unidades [F L−3 ]. Fuerzas de superficie. La fuerza sobre un diferencial de superficie en la configuraci´on actual es t¯dV . El vector t¯ es la fuerza de superficie, que tiene unidades [F L−2 ]. La barra hace referencia a que el vector act´ua sobre el contorno del s´olido.
1.5.
Ecuaciones de conservaci´ on
Las ecuaciones de conservaci´on se enuncian de forma natural en su forma espacial o euleriana. 1. Conservaci´on de la masa d D M = dt dt
ρ(x, t) dV = 0.
2. Conservaci´on del momento lineal D dt
ρ v dV =
V
b dV
+
V
3. Conservaci´on del momento angular D dt
V
(x × ρ v ) dV =
(x × b) dV +
V
(1.1)
V
¯ dA t
(1.2)
(x × t¯) dA.
(1.3)
∂V
∂V
Estas ecuaciones se cumplen tanto para el conjunto del s´olido, como para un volumen arbitrario V limitado por una superficie ∂V . Adem´as de las ecuaciones de conservaci´o n se admite que el principio de acci´ on y reacci´ on se cumple tanto a nivel del conjunto del s´olido, como punto a punto, a nivel de la interacci´on entre dos partes cualesquiera del s´olido.
Bibliograf´ ıa [1] L. Euler, Additamentum I de Curvis Elasticis, Methodus Inveniendi Lineas Curvas Maximi Minimivi Proprietate Gaudentes, Opera Omnia, vol. 24, F¨ ussli, Z¨urich, 1960, reedici´ on del original publicado en 1744. ´ C. LAZARO
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[2] A. E. H. Love, A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity , Dover, New York, 1944, reimpresi´on del original publicado en 1927 por Cambridge University Press. [3] L. E. Malvern, Introduction to the Mechanics of a Continuous Medium , Engineering of the Physical Sciences, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, 1969. [4] S. P. Timoshenko, History of Strength of Materials , Dover, 1983, (reimpresi´on del original publicado en 1953 por McGraw–Hill).
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