Mecanica de Solidos 1

CAPÍTULO I ESTADO UNIAXIAL DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES 1.1) 1. 1) Intr In trod oduc ucci cin n.. !i" !i"t t#$ #$i$ i$ #n M#c% M#c%ni nic& c& d# S'i S'ido do$ $ D#(or&*'#$ 1.1. 1.1.1) 1) D#+n D#+nic icio ion# n#$ $ (Resiste stenci ncia a de Materia Materiales les,, Mecánic Mecánica a de Sólido Sólidoss Mecáni Mecánica ca de Sólido Sólidos s (Resi Defor Deformab mables les o Mecá Mecáni nica ca de Mate Materia riale les) s) es la disci discipl plin ina a que que estu estudia dia,, básicamente, las relaciones entre acciones aplicadas y sus efectos en el interior de los sólidos o elementos estructurales.

∆ T

Sólido estructural

Acciones (enerali!adas)

∆ T " T#nal $ Tinicial

%uer!as concentradas %uer!as %uer!as distribuidas Momentos &ectores Momentos Torsores 'ambios de temperatura erturbaciones tc...

n respuesta a las acciones aplicadas, el sólido se deforma* 'on#+uración 'on#+uración %inal %inal (Deformada) E(#cto$ ,Co"ort&i#nto)

Tra Transm nsmisió isión n de ca car+a r+as ,ESFUERZOS) 'ambios de +eometra ,DEFORMACIONES ,DEFORMACI ONES)

'on#+uración -nicial (o Deformada)

3

X→ Y- Z

/e /e para momento momento torsor /es /es para momentos momentos flectores flectores My 0 %le1ión en el plano 230 M! 0 %le1ión en el plano 420

2 /e ormal 4

∆ → erturbación (5undimiento de apoyos)

Mecánica de Sólidos

Mg. Ingº Carlos Esparza Díaz

ara ara estu estudi diar ar el co compo mport rtami amien ento to de un sólid sólido o estr estruc uctu tura rall es prec precis iso o distin+uir entre 'on#+uración -nicial y 'on#+uración Deformada.

Con+ur&cin inici&' → eometra y restricciones antes de aplicar las acciones eomet etr ra a y rest restri ricc ccion iones es lue+o lue+o de se serr Con+ur&cin Con+ur&cin D#(or&d& → eom aplicadas las acciones. Mecánica de Sólidos o Resistencia de Materiales es tambi6n una disciplina t6cnica relacionada con los M6todos de la -n+eniera que tienen especial inte inter6 r6ss en los los co conc ncep epto toss de RSRS-ST ST ''-A, A, R-R--D D3 3 y ST STA7-8 A7-8-D -DAD AD de elementos o sistemas estructurales. 'ap pacidad de un elem lemento o de un con/unto de RESISTENCIA → 'a elementos para contrarrestar acciones sin quebrarse o descomponerse. → 'ap 'a pacidad de un elem lemento o de un con/unto de RI/IDEZ elementos para oponerse a las deformaciones que le inducen las acciones aplicadas. 'ap pacidad de un elem lemento o de un con/unto de ESTA0ILIDAD → 'a elementos elementos para conser9ar una forma :nica +aranti!ada +aranti!ada por las condiciones condiciones del equilibrio. n Mecánica de Sólidos (Resistencia de Materiales) se complementará el estudio de fuer!as iniciado en stática. Sin embar+o, e1iste una diferencia fundamental. RS-ST'-A

ST;T-'A 

 

Sólido r+ido (indeformable)

Sólido deformable (de la conf. -nicial a la conf. %inal)

roblema de stática 9.s. roblema de Mecánica de Sólidos Sólido s

ESTTICA2
%7D



c

θ A

a

7 '

A

θ

 7 '

b =A

2



quilibrio → ΣMA " > (a ? b) @ % 7Dsenθ a " > (a + b) (a + b) = %7D = c a senθ a a + c (a + b) a + c %7D = ac

'aractersticas de la solución* • 8a so solu luci ción ón depe depend nde e :nic :nicam amen ente te de las las ec ecua uaci cion ones es del del equilibrio. • 8a solución es -DD-T del material del cable. necesario rio conoce conocerr las dimens dimension iones es trans9 trans9ers ersale aless del • o es necesa cable.

MECNICA DE S3LIDOS2 'alcular el despla!amiento 9ertical del punto '. D  7

'

A

∆c9 = ?

'B

'aractersticas (esperadas)*

• Debe CconocerseC el material del cable • Debe conocerse la sección trans9ersal del cable • Además de las ecuaciones de equilibrio, se usarán otras que relac elacio ione nen n %R %R3A 3AS, S, DS8 S8A3 A3A AM- M-TE TES S (cuaciones 'onstituti9as).

4

MAT MATR R-A8 -A8

1is 1isten ten dos dos +ran +randes des 9erti 9ertien ente tess (enf (enfoq oque ues) s) de estu estudio dio en Mecán Mecánica ica de Sólidos*

An&'4tic& → Análisis y 'álculo de sfuer!os y Deformaciones studi dio o de las rop ropied iedad ades es Mecán Mecánic icas as de los los E5"#ri#nt&' → stu Materiales y Sistemas structurales. l conocimiento y dominio de ambos enfoques, en -n+eniera permite el elemen ento toss o sist sistem emas as es estr truc uctu tura rale les, s, co con n SE/U DISE6O de elem SE/URI RIDA DAD D y FUNCIONALIDAD. Transmisión adecuada de las car+as (relacionada con la SE/URIDAD → Transmisión Resistencia)

3



 

Respeto a las condiciones del uso para el que 5an sido concebidos (relacionada con las Deformaciones).

FUNCIONALIDAD

1.1.7) !i"t#$i$ #n M#c%nic& d# S'ido$ D#(or&*'#$ 'on la #nalidad de simpli#car el tratamiento y las ecuaciones que describen el comportamiento de sólidos o sistemas estructurales, es con9eniente usar !IP3TESIS SIMPLIFICATORIAS SIMPLIFICATORIAS. sta stass 5an 5an sido sido 9ali 9alida dada dass anal analt tic ica a y e1perimentalmente.

•

So*r# '& E$tructur& Int#rn& I nt#rn& 8 Pro"i#d&d#$ d# 'o$ )&t#ri&'#$ − 'ontinuidad −
•

So*r# #' C&r%ct#r d# '&$ D#(or)&cion#$ − Deformaciones pequeFas (-%--TS-MA8S)

!i"t#$i$ Si)"'i+c&tori&$

CONTINUIDAD l ma mate teri rial al llen llena a tota totalm lmen ente te el 9olu 9olume men n que que oc ocup upa. a. Se ac acep epta ta una una distribución 'ET-A de materia, en lu+ar de considerar a los sólidos como un con/unto de partculas discretas (MD-E 'ET-E). Medio continuo → apropiado para estudiar fenómenos de presión, densidad, etc.

Medio discreto → Apropiado para estudiar propiedades electroqumicas, ma+n6ticas probabilsticas, etc

!OMO/ENEIDAD 8as propiedades del material son i+uales en todos los puntos del sólido

4





G

ropiedades i+uales para puntos diferentes Material 5omo+6neo → Acero Material no 5omo+6neo → 'oncreto Armado

ISOTROPÍA 8as propiedades del material son i+uales en todas las direcciones

ropiedades i+uales para elementos de distinta orientación

1isten materiales que no son compatibles con esta 5ipótesis (la madera).

DEFORMACIONES INFINITESIMALES 8as deformaciones admisibles son pequeFas (in#nitesimales) comparadas con las dimensiones iniciales del sólido.   8 ∆8 →> 8

8 ? ∆8

sta sta 5ipó 5ipóte tesi siss tiene tiene un +ran +ran 9alo 9alorr opera operati ti9o 9o** o oss perm permit ite e refe referi rirr las las ecuaciones del equilibrio a la 'E%-RA'-H 'E%-RA'-H --'-A8 del sólido.

5


I




I



Σ%= " > Σ%< " > ΣME " > I

IB

=



B

'omo se 5an +enerado cambios en la +eometra, es complicado plantear las ecuaciones de equilibrio en la con#+uración #nal.

cuaciones de equilibrio en la 'on#+uración -nicial → ANLISIS DE 19 ORDEN cuaciones de equilibrio en la 'on#+uración Deformada → ANLISIS DE 79 ORDEN

Not&) 1isten otras 5ipótesis, como* lasticidad del material, 8inealidad entre fuer!as y despla!amientos, secciones planas, ..., etc. (Serán tratadas en su oportunidad)

1.7)

Fu#r:&$ Int#rn&$. M;todo d# S#ccion#$

'onsideremos un sólido en equilibrio.

% Si cortamos al sólido mediante PLANOS IDEALES, se e9idencian SISTEMAS DE FUERZAS INTERNAS (para cada plano de corte).

Sólido en equilibrio %I

%K %J

8as %uer!as -nternas se mani#estan como FUERZAS DE INTERACCI3N entre las partculas del material que constituyen el sólido. 'ada plano de referencia, separa al sólido en dos porciones.

6



Sección de inter6s % (-)

(--)

%K %J

%I

lano de corte (ima+inario) %uer!as -nternas

% (-)

%

(--)

%J %I aranti!an el aranti!an el equilibrio de (-) equilibrio de (--) Ambas porciones en equilibrio 8as fuer!as internas representan la interacción de una parte del sólido con la parte que 5a sido (idealmente suprimida). n +eneral, estas fuer!as tienen diferentes ma+nitudes y sentidos, y cambian al cambiar el plano de referencia. n cada caso, las fuer!as internas deben satisfacer las condiciones del equilibrio de la porción que se considere.

ACCIONES INTERNAS 8as fuer!as internas en una porción del sólido pueden representarse = M mediante un =ector %uer!a y un =ector Momento M % L = (-) (-) %I = M 8os 9ectores y sobre cada super#cie de corte pueden descomponerse en sus componentes rectan+ulares. 8as ma+nitudes de estas componentes se denominan Accion#$ Int#rn&$ .

7



y %

(o* 'entroide de la sección trans9ersal)

M1y =1y (-) %I

o

=11

M11

1 (ormal al plano de corte)

=1! !

M1!

= " (=11, =1y, =1!) M " (M11, M1y, M1!)

Not&)

rimer subndice → dirección normal al plano de corte Se+undo subndice → dirección particular de la componente

Si no e1isten confusiones, puede usarse un solo subndice M = " (=1, =y, =!)N " (M1, My, M!) Si consideramos la porción (--) del sólido, las fuer!as internas son de la misma intensidad pero de sentido contrario. 'ada una de las acciones internas mani#esta un EFECTO ESPECIAL en el comportamiento del sólido. =11 → FUERZA NORMAL (⊥ al plano de corte) =1y, =1! → FUERZAS CORTANTES (paralelas al plano de corte) M11 → MOMENTO TORSOR (con respecto al e/e +eom6trico del sólido) M1y, M1! → MOMENTOS FLECTORES (con respecto a e/es en el plano de la sección)

Not&$) I) 8as acciones internas ocasionadas por un Sistema de Acciones (car+as aplicadas ? reacciones) dependen de la orientación del lano de 'orte. %K %K % %   (--) (--) (-) (-) %J %J () (I) %I %I A cada plano de corte le corresponde un S-STMA D A''-ES -TRAS ) Si las A''-ES 2TRAS act:an en un plano, las fuer!as internas se reducen a tres (Sistemas lanos de %uer!as).

8



%K

I

I

%

=

%



M %J

I %I  → %uer!a ormal = → %uer!a cortante M → Momento %lector

I %I (Sistema plano de fuer!as)

K) 8as fuer!as internas 9ariarán en intensidad y dirección, se+:n se consideren distintos planos que pasen por un punto . n problema de inter6s será determinar las =A8ERS 2TRMES de las Acciones -nternas. J) 'ada acción interna representa un %'TE distinto sobre el sólido. • 8a Fu#r:& Nor&' representa una acción de e1tensión (tracción) o una acción de acortamiento (compresión) del sólido 















TRA''-H (?) (Alar+amiento)

'EMRS-H (@) (Acortamiento)

• 8as Fu#r:&$ Cort&nt#$ son componentes de la resistencia total al desli!amiento de una porción del sólido respecto de otra.

7 A '





7 %uer!as cortantes

A



'

• l Mo#nto Tor$or medirá la resistencia del sólido al -RE relati9o de una sección respecto de otra.

9



unto #/o eneratri! de referencia

A

1 ('on#+uración inicial)

Sección #/a

T

A

θ AB

Aplicando el torsor T, la sección libre +ira θO 1 respecto a la sección #/a.

• 8os Mo#nto$ F'#ctor#$ medirán la resistencia del sólido a

cur9arse (&e1ionarse) respecto a un e/e de su sección trans9ersal.

M



= Se +enera &e1ión (cur9atura en un plano coordenado)

E lbs en su e1tremo inferior.
7

b a

• Reacciones

c b

J pies

A a J pies K>lb

R P* peso total

R " P ? K> R " (Q) ? K> R " J lbs

7

A

Σ%9 " >

P K> lbs

%R3AS -TRAS 'onsideremos una porción de barra de lon+itud 1.

10



J

1

G → peso de la barra de lon+itud 1 Σ%9 " > → % ? G " J % ? 1 " J % " J @ 1N con > ≤ 1 ≤ Q pies

7 G

%a$a " J @ (Q) " K> lbs %b$b " J @ (J) " KQ lbs %c$c " J @ (>) " J lbs

%

s posible representar la 9ariación de %R3A A2-A8 (ERMA8) mediante un Dia+rama denominado D-ARAMA D %R3A A2-A8.

1

J lbs

%

Tracción % " J @ 1 1

K> lbs

) ra#car el dia+rama de %R3A A2-A8 para el sistema representado. K ton

ncontramos q(1)

q"> Km K ton Im

(de 9ariación lineal)

J

I q( 1) 1 → q(1) " = J 1 J

1 q(1)

q " I ton0m

I

%R3A -TRA* rimer tramo > ≤ 1 L K RI es la resultante de q(1) en el tramo de lon+itud 1

K

K ? RI " I 1

∫  " K ?∫ 1 d1 J

I " K ? q(1)d1 > 1

RI 1

I

> 

I " K ? 1 Q I

11



Se+undo tramo K L 1 ≤ J

K

K ? R " K ?   " R 1  " q(1)d1

R 1

K

∫  " ∫ 1 d1 J > 1



>

  " 1 Q

 %unción de %uer!a A1ial K ton

 1 K + Q N > ≤ 1 < K "   1 N K < 1 ≤ J  Q

K ton Km



(@)

K

KK0Q ton 0Q ton

Im

 ton 1 ('EMRS-H) (otar la discontinuidad en la sección correspondiente a la car+a concentrada K ton) K)
a

I> U

JO

a

m

quilibrio*

=

Σ%< " > →   − =  = >

  Σ%= " > →   + =  = I>   ΣM> " > → M ? (I>)() " >

 ,= )

M

I> U

JO

E m

12



Resol9iendo el sistema (V) tenemos*

 "   U = "   U M " @ > U @ m

(-ndica que el momento M act:a en sentido contrario al supuesto)   U I> U   U

> U$m J) Determinar las fuer!as internas en la sección I$I del sistema representado.

y 

I0J de circunferencia

I

I θ

a 1

a

! y

tan+ente en c r

dI

Mr =1

normal en c

c



d a

θ s

Ms

1

! quilibrio*

Σ%1 " > →  ? =1 " > . . . . (i) 13



ΣMrc " > → Mr @ d " > . . . . (ii) ΣMsc " > → Ms ? dI " > . . . . (iii) d " a sen θN dI " a @ a cos θ " a(I @ cos θ) →  ? =1 " > (i) Mr @  a sen θ " > . . . . (ii) Ms ?  a(I @ cos θ) " > . . . . (iii) De (i) → =1 " @  (%uer!a cortante) De (ii) → Mr "  a senθ (Momento &ector) De (iii) → Ms " @  a(I @ cos θ) (Momento torsor) ) 'onsiderando que la car+a distribuida 9ara linealmente desde q " K ton0m, 5asta q " >, +ra#car el dia+rama de fuer!a a1ial en el sistema representado.

q " K ton0m m Im

R

Reacción

G → Resultante de la distribución q

G

quilibrio* R " G ?  . . . . (I)



 ton q " >

q " K ton0m 1

K q(1) → q(1) " K @ 1 = K K− 1

q(1)

K K@1 q"> G=

∫ 

8

qd1

d1

q dG " qd1 K

∫

G = (K − 1)d1 >

G " J. ton Reempla!ando en (I) → R " J. ?  → R " . ton

14



%R3A A2-A8

. ton

Tramo > ≤ 1 ≤  GI ? %I " . %I " . @ GI 1

∫ % " . @ ∫ (K − 1)d1

1

%I " . @ q(1)d1 > 1

I

GI q(1)

>

1

→

I  %I " . ?  (K − 1)    > %I " . ? I (K @ 1) @ %I "  ? I (K @ 1)

Tramo  ≤ 1 ≤ K

%I

I 

(K)

. " G ?  ? % → % " . @  @ G

.

1

∫ % " J. @ ∫ (K − 1)d1 % " J. @ q(1)d1 > 1



1

>

% " (K @ 1) I 

G  %

. Ton

%unción %uer!a A1ial  + I (K − 1)  N > ≤ 1 <  %(1) =  I   (K − 1)  N  < 1 ≤ K

%

%I "  ? I (K @ 1)



 Ton . Ton >. Ton % " I (K @ 1) 1

(otar la discontinuidad de la +rá#ca en 1 " ) ) n la palanca % se aplica la fuer!a P, se+:n se indica en el esquema. ntre el cable '7AD y la super#cie de contacto se +enera una fuer!a de fricción cuyo coe#ciente es ƒ " >.J. Si la porción 7' resiste una fuer!a de tracción de J,I>> U+, 5allar la fuer!a de tracción en el cable en el punto A.

15



'able de espesor despreciable

a A

7 P

D '



%

Dia+rama de cuerpo libre del cable Si no 5ubiese fricción TA"JI>>

dθ0 T?dT

f r

dθ0 T

dθ

θ

Si

dθ 

dθ A

θ

%uer!as de fricción

TA

7

T7"J,I>> U+

f r " fd Σ%ERMA8S " > d @ Tsen dθ @ (T ? dT)sen dθ " >  

→ >, con su#ciente apro1imación, tenemos* dθ dθ d @ T





@ (T ? dT) " > dθ dθ I dTdθ    d @ T @ T ? " > 'onsiderando :nicamente diferenciales de I er orden* d = T dθ . . . . (i) Σ%tan+ " > dθ dθ   (T ? dT)cos @ ƒr @ Tcos " >

Si

dθ 

→ >

cos

dθ 

→ I, lue+o 16



T ? dT @ T @ ƒ d " > dT =ƒ d . . . . (ii) De (i) y (ii) obtenemos* dT Tdθ =

ƒ

Separando las 9ariables* dT = ƒdθ T -nte+rando ambos lados* 8nT " ƒθ ? U T " eƒθ ? U T " eƒθ eU T " W eƒθ . . . . (iii) (Denominada ecuación de las poleas) Determinamos W* para θ " π es T " T 7 " J,I>> U+ J,I>> " W e>.Jπ → W " I,I. → Reempla!ando en (iii) T " I,I. e>.Jθ ara el punto A* θ " > → TA " I,I. e>.J(>) TA " I,I. U+ X) 8a barra 5omo+6nea representada pesa P, y descansa sobre un plano 5ori!ontal liso. Determinar las fuer!as internas en una sección +en6rica de#nida por el ∠θ.

Semicircunferencia

P



r 

Reacciones



θ

RI

 R

RI ? R " P Pr @ Rr " > → RI " R " P0 q= eso unitario →

P πr

17


=


 π0@θ

M

θ '

r 

 A

 → peso de la porción A'  " qrθ  " P rθ →  = P θ π πr

Σ%9ert " >

θ r sen θ

θ

P0 (• → centroide del arco A')

π  P P =senθ ? sen   − θ  ? − θ " >     π = senθ ? cosθ " @ P + P θ . . . (i)  π

Σ%5ori! " >  π − θ      

=cosθ @ cos @  "> =cosθ @ sen θ "  . . . . (ii)

ΣMc " > M ?  r sen θ @

P 

r senθ

θ

(r @ r cos θ) ? ( @ r cos θ) " > P P  π M " @  r sen θ ? r(I @ cosθ) @ r(senθ @ θcosθ) . . . (iii) Resol9iendo simultáneamente (i) y (ii) obtenemos = y * P P π   " ( θ @ ) cosθ @  senθ P P π  = " ( θ @ ) senθ ?  cosθ De (iii) P P π  M " @  r sen θ ? r(I @ cosθ) @ r(senθ @ θcosθ) Q) n pilote es enterrado por acción de una fuer!a e1terna % " I>> Ulb. na fuer!a de fricción ƒ(Ulb0pie) se opone a la fuer!a %, siendo su intensidad proporcional al cuadrado de la distancia medida desde la super#cie superior, y es nula en ella. Determinar las fuer!as internas en 3 " I pies y en 3 " K> pies.

18



quilibrio %"I>> Ulb

ƒ " U3

I>> Ulb

∫ ƒd3 I>>= ∫ U3 d3 I>>=

3



8 K>



>

K>

 3K  I I>>= U  → U = >  K >

K> pies

ƒ

Resultante de la fricción

8ue+o* ƒ " I 3 >

%uer!as -nternas I>>

 ? G " I>> →  " I>> @  " I>> @

3

G* Resultante de la fricción (en la altura 3)

3

∫ >

I  3 d3 >

∫ ƒd3 

3

K 3  " I>> @ X>

 I X> 3"I " I>> @ (I)K " Q. Ulb I X> 3"K> " I>> @ (K>)K " > Ulb

I>> Ulb

>

 'EMRS-H

K 3  " I>> @ X>

3 ) Determinar las acciones internas que act:an en la sección 7 del tubo representado. l tubo tiene una masa de  U+0m y está su/eto a una

19



fuer!a 9ertical de >  y a un momento de torsión de X> $m en su e1tremo libre A.

'

masa "  U+

>.X m

>. m

7

D >  I. m X> $m

A ! M!

quilibrio

y

Σ%1 " > → 1 " > Σ%y " > → y " > Σ%! " > →

!

()(>.)(.QI)".QI 

>. m

M1

! @ > @ J. @ .QI " > ! " QJ.KK 

1 7

> 

>. m

>. m

X> $m

My

y

>. m

A

(I.)(.QI)"J. 

1

ΣM17 " > →

M1 @ >(>.) @ J.(>.) @ .QI(>.) ? X> " > M1 " @ K>. $m (%8'TER)

ΣMy7 " > →

My ? J.(>.) ? >(I.) " > My " @ XX. $m (TERSER)

ΣM!7 " > →

M! " >

I>) ara el sistema representado dibu/ar dia+ramas de cuerpo libre para cada miembro y calcular las acciones internas sobre los e1tremos de cada uno de ellos.

20



> U0m Jm

7

'

> U m

D

Jm A

lemento 'D

>Y"I> U$m

> U0m > U

>YYI" J> U$m

> U

' D >Y" J>U0m

lemento '7

I> U$m

J> U

J> U

I> U$m > U

J> U$m

J> U$m

' 7

> U

lemento 7A I> U$m J> U J> U$

> U 7

A

II) Determinar las acciones internas en una sección +en6rica del arco representado. 8a fuer!a p act:a normal al arco y está repartida sobre el mismo.

21





= M

p

θ

>

A  

r >

M

$θ

π

θ

>

7

θ

7

=

θ

c d

θ0 θ0

c p

r

r

prθ 7

r

Σ%5ori! " > → =cosθ ? prθcos θ @ cos( π @ θ) " >   =cosθ @ senθ " @ prθcos θ . . . . (V)  θ

Σ%9ert " > →



= senθ ?  sen( π0 @ θ) ? prθ sen " >

θ 

Z = senθ ?  cos( θ) " @ pr θ sen . . . . (VV)

θ 

ΣMc " > →

M ? prθd " > → M " @ prθr sen . . . . (VVV) Resol9iendo el sistema (V), (VV), (VVV) obtenemos*

θ = " @ prθ cos



θ  " pr θ sen



θ M " @ pr θ sen 



I) l sistema representado se encuentra en equilibrio. Determinar e1presiones para las fuer!as internas en cualquier sección de la 9i+a sumer+ida.

22



 Ton

 Ton0m

I. m

K.> m

I. m

K.> m

Reacciones  Ton

 Ton0 A

'

7

D

Σ%9ert " > 

r "  ? (K) → r " J ton0m K

r Tramo A7 =

1

M

A

   > ≤ 1 ≤ I. J  ==− 1  K  (desdeA) J 1   M = 1 = 1  K  K  = >

 r Tramo 7' =

 Ton0m

M

A

7



J Ton0m K

I. m

1

= > J = + (I. + 1) − 1 = > K 1 J (1 + I.) => M + 1 − (1 + I.)  K 

  = >  >≤ 1≤ K J  = = 1 − (I. + 1)  K  (desde7)   M = − 1 + ( 1 + I.)   K 

23



Tramo 'D

= > J = + (J. + 1) −  = > K J (J. + 1) => M + (I. + 1) − (J. + 1)  K 

=

 Ton0m

M

A

7

'

   > ≤ 1 ≤ I. J  = =  − (J. + 1)  K  (desde')   M = (J. + 1) − (I. + 1) K 

J K

= >

I. m K.> m

1

Tramo D

= > J =+ 1 = > K J 1 M− 1 = > K 

= M 



 = >   J >≤ 1≤ K = = − 1 K  (desde)   M = 1  K 

1

IK) ncontrar ecuaciones para las fuer!as internas en cualquier sección de la 9i+a representada.

y Reacciones y"U1 >

1 8

> RI

R

8

∫ yd1 >

Σ%9ert " > →

RI ? R " U K 8 K RI ? R " . . . . (i)

∫ 1d 

8

ΣME " > →

R8 @

"> 24


Mg. Ingº Carlos Esparza Díaz 8

∫

8

1 yd1

>

R8 @

∫ 1 U 1 d1 

>

">

→

R8 @

">

U J

R8 @ 8J " > . . . . (ii) De (i) y (ii)* RI " U 8K0I R " U 8K0J

%uer!as -nternas M  1 U K 8 I

=

= > U I = + 8K − 1U1 = > I K U I I M − 8K1 + 1U1 1 = > I K J

  = >  U K U K  = = 1 − 8 > ≤ 1 ≤ 8 K I  U K U J M= 8 1− 1  I I 

arábola de do +rado

;rea " '

b

1 =

I ab K

K 8 J

a 1 IJ) na 9i+a de J> pies de lon+itud se encuentra simplemente apoyada y car+ada sobre dos planos coordenados, se+:n se indica. Determinar las acciones internas en cualquier sección normal como funciones de 1.

y I> lb0pie KJ> lb0pie

1

!

25



8AE 24 y I> lb0pie A RA I> lb0pie

M1! =11

A 1

1

R7

RA " R7 " >> lb

=11 " > =1y ? >> @ I>1 " > 1 M1! + I>1 − >>1 = >  =11 " > → (ormal) =1y " I>1 @ >> → ('ortante) M1! " >>1 @ 1 → (%lector)

=1y

>> lb

7

8AE 32 RBA

RB7

A

I 1 RBA ? RB7 "  (KJ>)(J>) RBA (J>) − I (KJ>)(J>)( K )(J>) = >

7

KJ> lb

Resol9iendo el sistema, tenemos*

pie

RBA " J,KK.KK lb RB7 " ,.X lb ! J,KK.KK lb A

1

M1y

1 t

=B11

J> @ 1 t

KJ>

KJ>

KJ> = t J> J> − 1

=1! t=

IX (J> − 1) (lb0pie) 

=1! ? J,KK.KK @ >.(KJ> ? t)1 " > IX  =1! " >.1[KJ> ? (J> @ 1)\ @ J,KK.KK ('ERTAT)

26


1 

M1y ? t 1 ?


I 

 K

1 (KJ> @ t) 1 @ J,KK.KK 1 " > 1 IX 1 IX     M1y " J,KK.KK 1 @ ( )(J> @ 1) @ [KJ> @ (J> @ 1)\ (%8'TER) y

M1y I> lb0pie

=1! 1 11">

KJ> lb0pie =1y

M1!

!

I) 8a 9i+a cur9ada que se representa está sometida a la acción de una fuer!a distribuida p, cuya intensidad por metro de lon+itud del arco 9ara linealmente con el án+ulo θ, desde cero en la base de la 9i+a 5asta E en el e1tremo superior. Determinar las acciones internas en la base de la 9i+a.

A I circunferencia J

> p

θ 7

Determinamos la función de car+a p"ƒ(θ)* p " Uθ (nunciado) > " U π → U " > π  p " >

π

θ

r

27



quilibrio* i) = "

π0

∫ >

pds =

= " > r

ds " rdθ

π0

∫

π 0  >

∫ >

π

θrdθ π0

  θ  θdθ = > r  π   >

π > = " >πr (fuer!a cortante)

r rsenθ

J

θ M

r @ rcosθ

= T

π0

∫ >

ii) T ?

−

(r − r cosθ)rdθ

"> π 0  

∫

>

π

>

T "

−

>r

π

T "

θ r(I − cosθ)rdθ

π0

∫ >

θ(I − cosθ)dθ

Desarrollando la inte+ral (por partes* u " θN d9 " (I @ cosθ)dθ) π0

  r   − >  θ − θ senθ − cosθ π  > T " T "

>r π π ( − + I) − π Q 

(Momento Torsor) supuesto) ]0 

∫ >

iii)M ?

− →M"

T"

 π − >r ( − I + ) J π

(sentido

contrario

al

r senθrd^

"> ]0   > >

∫

π

θrsenθdθ

28


−

>

−

>

M" M"

π π

r

Mg. Ingº Carlos Esparza Díaz ]0 

∫ >

θsenθdθ

r [ senθ − θ cosθ] >π 0 

− (Momento &ector)

>

M"

π

r (sentido contrario al supuesto)

I) Dos barras i+uales, r+idas, de peso  cada una y de lon+itud 8, están articuladas en su punto medio. Sus e1tremos inferiores descansan sobre un plano liso 5ori!ontal, y sus e1tremos superiores están unidos por intermedio de un cable. n las barras se apoya un cilindro de radio r y peso G, se+:n se indica en el esquema.
i) 8

quilibrio (total)

8

Σ%= " >

G

G ?  " S G → S =  + . . . . (i)  (S* reacciones 9erticales porque el piso no tiene fricción).

o

α 8

8  S

S

ii) 'alculamos la presión que el cilindro e/erce sobre las barras. Σ%= " > → Rsenα " G → R = G . . . . (ii) senα Sea 1 la distancia (sobre las barras) desde el G R R punto E 5asta el punto de contacto* α α α → tanα = r → 1 = r . . . . (iii) 1 tanα o 1

iii) quilibrio (de cada barra).

29



T

T R Ay o

R Ay A1



A1

o

α

α  8

S

S

1

8

T* tracción en el cable R* presión del cilindro A1, Ay* reacciones en la articulación en E * peso de la barra S* reacción del piso.

ΣMo " > → T8cosα @ R1 @ S8sen α " > (i9) Reempla!ando (i), (ii) y (iii) en (i9) y despe/ando T, obtenemos* Gr G + ( + ) tanα T =   8sen α

1.?)

E$(u#r:o Nor&' Uni&5i&'

1.?.1) D#+nicion#$ a) n elemento se encuentra en ESTADO UNIAXIAL de car+a ( CAR/A AXIAL SIMPLE) cuando en cualquiera de sus secciones trans9ersales, todas las fuer!as internas (acciones internas) son nulas, sal9o la componente de dirección normal.  I  /e  1 (normal)

Sección trans9ersal (normal) de área A.

I 

Sistemas de fuer!as internas, distribuidas en la sección I$I y cuy resultante es .

b) Se denomina ESFUERZO NORMAL UNIAXIAL a la intensidad de las fuer!as distribuidas sobre el área de la sección trans9ersal.  σ= A . . . . (I) 'on9enio* σ  > ↔ S%R3E D TRA''-H σ L > ↔ S%R3E D 'EMRS-H nidades* S-STMA -DADS D -DADS D -DADS D 30



P -nternaciona e_ton l -n+l6s 8ibra M6trico Wilo+ramo

A m

0m (ascal)

pul+ cm

lb0pul+ U+0cm

De uso obli+atorio es el S-STMA -TRA'-EA8 I Uilo ascal " I> K ascales I Me+a ascal " I>  ascales I i+a ascal " I>  ascales

Not&$)

σ=

 A

I) Mediante la ecuación (I) se 5a de#nido el E$(u#r:o Nor&' Uni&5i&' en @ALOR PROMEDIO, aceptándose que la car+a a1ial  se reparte -%ERMMT en el área trans9ersal A. R-SMA D S%R3ES 

Sección trans9ersal de área A

σ=

A

1

1





=E8M D8 R-SMA D S%R3ES " -TS-DAD D 8A 'ARA A2-A8 (Aσ " )

) Se denomina S%R3E ERMA8 en un punto del área trans9ersal, al d σ= dA 9alor* . () (ormal) d dA

→



=

∫ σdAN siendo A el área trans9ersal ( A)

del sólido. eneralmente, el 9alor promedio (ecuación I) E 'E-'-D con el 9alor en un punto (ecuación ) 

K) 8a ecuación (I) supone una distribución uniforme del esfuer!o normal, mientras que la ecuación () E presupone tal distribución. A partir de la ecuación (I) → PRISMA DE ESFUERZOS A partir de la ecuación () S3LIDO DE ESFUERZOS (l =olumen del Sólido de sfuer!os es i+ual a la intensidad de la car+a ) 31


1.?.7)


Pro"i#d&d#$ d#' E$(u#r:o Nor&' , ) =

∫ σ dA ( A)

a) 8a ecuac ecuación ión de equil equilibr ibrio io estát estátic ico o se e1pre e1presa sa . s la :nica info inforrma macción ión sobr obre la dis distrib tribuc ució ión n del del es esfu fuer er!o !o nor norma mal. l. 8a REAL esfuer!o !o normal normal es un probl problema ema estáti estáticam cament ente e DISTRI0UCI3N del esfuer indeterminado. b) 8a dist distrib ribuc ución ión unifo uniform rme e del del esfu esfuer! er!o o norm normal al unia unia1ia 1iall SH8 SH8E D D  2-ST-R S- 8A RS8TAT D 8AS %R3AS A8-'ADAS pasa por el 'TRE-D de la S''-H TRAS=RSA8. TRAS=RSA8. y dp"σdA

1 y

Sección trans9ersal de área A

dA c

1

!

'(a, b, >) es la proyección orto+onal de  sobre el área trans9ersal trans9ersal de inter6s.  → resultante de las fuer!as aplicadas.



Debe Debemo moss demo demosstrar trar que que ' es el CENTROIDE del del área área tran trans9 s9er ersa sall A, siempre que σ sea uniforme. n un elemento de área dA, la fuer!a normal asociada es d " σ dA. cuaciones del equilibrio* =

∫ σ dA ( A)

Σ%! " > →

. . . . (V) a =

∫ 1(σ dA) ( A)

ΣMy " > →

. . . . (VV) b =

∫ y(σ dA) ( A)

ΣM1 " > →

. . . . (VVV) Si la distri distribuc bución ión de esfuer esfuer!os !os es unifor uniforme, me, σ es de 9alor constante. 8as ecuaciones (V), (VV), (VVV) pueden escribirse*  " σ A

∫

a = σ 1 dA ( A)

b = σ

∫ y dA ( A)

32



∫

σAa = σ 1 dA ( A)

De donde, eliminando , obtenemos*

σAb = σ 1 dA ∫ a= ( A)

A

∫

( A)

y dA

y dA ∫ b= ( A)

A

y #nalmente* y 8os 9alores encontrados para las coordenadas a, b de#nen al punto ' como el 'TRE-D del área de la sección trans9ersal.

Not&$) I) Sólo puede puede presuponers presuponerse e una distribució distribución n uniforme uniforme del esfuer!o esfuer!o normal, normal, cuando la resultante de las car+as aplicadas () pase por el CENTROIDE del área trans9ersal ( ESTADO DE CAR/A AXIAL CENTRADA). ) Si un element elemento o está someti sometido do a car+a a1ial, a1ial, pero pero e1ist e1isten en SECCIONES TRANS@ERSALES EXCNTRICAS EXCNTRICAS, los esfuer!os normales en 6stas, E pueden suponerse uniformemente distribuidas. Sección e1c6ntrica respecto a la recta de acción de .



 M " e  e



e1centri$ cidad

n esta sección trans9ersal el esfuer!o normal E puede suponerse -%ERM. l momento de e1centricidad M " e distorsiona la posible distribución uniforme del esfuer!o debido a la car+a .

E
33



J alambres sim6tricos, de diámetro >. cm cada uno. q "  U+0cm

A

α Im

q

Im %uer!a total 5acia aba/o* G " π(>)() " >> π W %uer!a en cada alambre* quilibrio del nudo A R">>π U+ U+

%

%

%

% (Simetra)

Σ%9ert " > >>π " J%cosα → >

alambre %

α 9ertical

>> > >π I>> I> > J I>> I> > + > % =  π U+ (TRA''-H)

%=

sfuer!o en cada alambre* %  π U+ σ= = A π (>.)  cm J

σ " QJ.JK U+0cm  (TRA''-H) ) na barra barra r+ida A7, A7, de masa I>>> U+ está está suspendida suspendida de de dos cables cables A' y 7D, cada uno de los cuales tiene sección trans9ersal de J>> mm . Determinar la ma+nitud de la fuer!a , as como la ubicación 1, para que los esfuer!os normales en los cables A' y 7D ten+an como 9alor lmite I>>YI> a y >YI>  a, respecti9amente.

34



'

D 

1 A

7 .> m

Fu#r:&$ &5i&'#$ * 1

%A'

 %7D

I@1

o

Im

Im P " m+ " (I>>> U+$m)(.Q) P " ,Q>> e_tons

Σ%9ert " > → %A' ? %7D "  ? ,Q>> . . . . (i) ΣM> " > → %A'(I) @ (I @ 1) @ % 7D(I) " > . . . . (ii)  

De (i) y (ii) obtenemos*

 

%A' " J,>> ? ? (I @ 1)     %7D " J,>> ? @ (I @ 1) (%uer!as → e_tonsN 8on+itudes → metros)

E$(u#r:o$ nor&'#$

σ A' =

σ7D =

  + (I − 1)   J>> J> >× I>− 

%A' = AA'

J,>>+

%7D = A7D

J,>>+

  − (I − 1)   J>> J> >× I>− 

@&'or#$ '4it#

σA' ≤ I>>YI> a σ7D ≤ >YI> a   + (I − 1)   I> >× I> = I>> − J>> J> >× I>

J,>>+ 8ue+o

. . . . (V)

35



  − (I − 1)   = >× I> − J>> J> >× I>

J,>> > >+

. . . . (VV)

De (V) y (VV) obtenemos*  " >,>> e_tons 1 " >.> metros K)

Determina inar la for forma del del só sólido ido, tal tal que que el esf esfuer!o nor normal σ sea el mismo en todas las secciones trans9ersales (sólidos de i+ual Resistencia).   A> 1 eso d1 espec#co

γ Aislamos la porción de sólido de altura d1*

σ ;rea trans9ersal A A?dA

d1

σ Apro1imación al peso del elemento diferencial* γ (

A + A + dA

γ ( Σ%9ert " > → σ(A ? dA) @ σA @ γ

2

)dx

A + dA )d1 

" >

dAd1 

Simpli#cando* σdA @ A γ d1 d1 @ " > er 'onsiderando diferenciales de I orden* σdA @ A γ d1 d1 " >

De donde 8nA =

γ 1+U σ

dA γ = d1 A σ

γ dA d1 = σ A

∫ → inte+rando

∫

ara 1 " > es A " A> (dato) → 8n A> " U 36



γ 1 + 8nA> σ

8nA = or tanto

8n

A γ = 1 A> σ

→ γ

1 A = eσ A>

asando a la forma e1ponencial* γ 1 σ e

A = A>

→

8ey de 9ariación de secciones trans9ersales

las

J)
>.X m A

7

>.X m 

D a

a

a

a

a

a

a">. m

→ %uer!as a1iales en las barras %' y '7 %' " Q.X Ton (tracción) (`=eri#car) '7 " K.I Ton (tracción)  Q.X Ton = .I cm A%' = %' =  σperm I.J Ton0cm Secciones Requeridas*  K.I Ton = X.Kcm A'7 = '7 =  σperm I.J Ton0cm Not&). 'onociendo el área de establecerse la forma de la misma. Si %' → de sección circular

π J

la

sección

trans9ersal,

puede

 = .I d%'

→ d%' " .Q cm

(realmente d%' " K cm)

Si %' → de sección cuadran+ular l%' " .I → l%' " .J cm (realmente l%' " . cm)

37



Similar para la barra '7. ) 8a estructura articulada que se representa, debe soportar la car+a . l esfuer!o normal debe ser el mismo en los dos miembros. Si los miembros A7 y 7' son de sección trans9ersal constante, determinar el án+ulo α necesario para alcan!ar el peso mnimo de la estructura. 

'

8 7

α

%uer!as ormales en las barras* 

7arras 5omo+6neas del mismo material

%'7

α A

(%'7 → tracción %A7 → compresión)

%A7

%'7 "  cotanα  %A7 = − senα

sfuer!os ormales (9alor absoluto)*  cotanα  cotanα σ= = A '7 A'7 σ → barra '7 →  0 senα  σ= = A A7 AA7 σ senα → → barra A7 eso de la estructura 8 P = γ (A'78 + AA7 ) cosα (γ * peso espec#co) 8   P = γ  cotanα 8 + σ senα cosα  σ  P = γ 8(cotanα +

σ

eso Mnimo →

dP => dα

I ) senα cosα

senα − cos α − cosec α + => senα cos α 

→

Resol9iendo la ecuación anterior (para > L α L π0) se obtiene  tanα " → α ≅ O ) 'alcular el má1imo esfuer!o normal que se +enera cuando el cono circular recto, +ira con 9elocidad an+ular constante alrededor de un e/e perpendicular a su e/e lon+itudinal. 'onsiderar γ el peso espec#co del material del cono.

38



ω

r o

eso espec#co γ

8

8

r

ω

t

o

y

8@y

u r

t

o

du

ω

! 8@u

8@y

y

Fu#r:& A5i&'* Determinamos la fuer!a a1ial +enerada por la rotación de una porción del cono. De#nimos un disco diferencial a la distancia u del e/e de +iro. r t r ! r r = = ! = (8 − u) t = y 8 y 8 8−u 8 8 → → N

39



'uando +ira el disco diferencial se +enera una fuer!a diferencial disco de masa dm

!

o

d% " (dm)a . . . . (i) ero ρ = dmN y a " ωu d=

d%

→ d% " (ρd=)ωu d% " ρ(π!du)ωu πγ  r d% = ω  (8 − u)  udu +

8

8a fuer!a +enerada por la rotación del cono de altura y, es* πγωr 8 %= (8 − u) u du  +8 8 − y

∫

Desarrollando la inte+ral y simpli#cando, obtenemos* πγωr 8 K I J = % ( y − y ) J +8 K

sfuer!o ormal* % σ= A

y área trans9ersal A t

%

A " πt

πγωr  8 K I J   y − y  J  +8  K σ=  r π  y 8

σ= Simpli#cando

I  ωγ  8  y − y  +  K J 

'ondición para sfuer!o ormal Má1imo* dσ 8 I  => − y=> y = 8 dy K K 

→

→

ωγ  8  8 I (  8)  σmá1 = −   +  K K J K 

40


σmá1 =


ωγ 8 +

dσ <> dy (σmá1 →

1.?. 1.?.?) ?)

)

Prin Princi ci"i "io o d# d# S&i S&int nt B @#n @#n&n &ntt 

 'oncentraciones del sf. ormal

(Distribución no uniforme)

Si se prescind inde de un CORTO barra, ra, los los CORTO SE/MEN SE/MENTO TO INICIA INICIAL L de la bar esfuer!os esfuer!os internos (y las deformaciones) deformaciones) NO CAM0IAN si se sustituye un sistema de fuer!as e1ternas por otro que ten+a los mismos parámetros.  G G  GI GI 

* resultante de GI y G

σ 

σ

8a misma distribución del sfuer!o ormal

CSi CSi se ca camb mbia ia la dist distri ribu buci ción ón de las las fuer fuer!a !ass apli aplica cada dass en uno uno de los los e1tr e1tremo emos, s, sin sin que que ca camb mbien ien la resu result ltan ante te,, los esfu esfuer! er!os os inter internos nos sólo sólo camb ca mbia ian n en se se+m +men ento toss inic inicia iale less de lon+ lon+it itud ud apr apro1ima 1imada da a la ma mayo yorr dimensión de la sección trans9ersalC.  

σI

σ σI ≠ σ

 l principio de Saint $ =enant puede interpretarse de la manera si+uiente* C n elem elemen ento toss somet sometid idos os a 'a 'ar+ r+a a A1ia A1ial, l, la difer diferenc encia ia entr entre e el 9alor 9alor promedio del esfuer!o normal y el 9alor del esfuer!o normal en un 41



punto, punto, es despr despreci eciabl able e en sec seccio ciones nes trans9 trans9ersa ersales les su#cie su#ciente ntement mente e ale/adas de los puntos de aplicación de las car+as, pero es importante en la 9ecindad de tales puntoC.

1.) E$(u#r:o E$(u#r:o Nor&' Nor&' d# A"'&$t&i#n A"'&$t&i#nto to ,E$(u#r:o ,E$(u#r:o d# A"o8o) A"o8o) n el análisis de sistemas estructurales, frecuentemente se presentan casos en los que un cuerpo es soportado o sostenido por otro. or e/emplo, en el sistema poste$!apata$suelo, que se representa* Si la resultante de las car+as aplicadas pasa por el  centroide del ;RA D 'ETA'TE entre los cuerpos, se +enera un caso particular de esfuer!o normal, denominado denominado S%R3E D A8ASTAM-TE A8ASTAM- TE E  S%R3E D AE4E (σap). E  S σap = Aap T  Siendo Aap el área de contacto entre los cuerpos. 3AATA S8E n esta super#cie se desarrolla σap entre poste y !apata

n esta super#cie se desarrolla σap entre !apata y suelo



Sección de área AI

deterrmina minan n Not&* Se dete los esfuer!os +enerados por la car+a a1ial . o se incluye el peso propio de los σ apI =

 AI

Sección de área A σ ap =

'EMRS-ES

 A

E#"'o) n poste de madera de IYI cm  de sección trans9ersal transmite una car+a de .o Ton, a una !apata de concreto, se+:n se indica. i)


ii) ii) Si la pres presió ión n admis dmisib ible le en el terr erreno eno es I U+0c U+0cm m, dete determ rmina inarr las las dimensiones de la planta de una !apata cuadrada. o incluir los pesos propios. IYI cm  Ton

1 1

σ apI = i)

ii)

 Ton Ton I× I cm

σ apI =

→

 Ton

σ ap =

>>> U+ I× I cm

σ apI = . U+0cm

→

>>> = I → 1 " X>.XI cm  1

σpermisible " I U+0cm Not&). sfuer!os de apoyo o de aplastamiento se presentan frecuentemente entre elementos cuya super#cie de contacto E ST;   8AE. or e/em e/empl plo* o* Se pres presen enta ta es esfu fuer er!o !o de apla aplast stam amie ient nto o entr entre e el cone co necctor tor (pasa pasado dor) r) y las las plac placas as que que sopo oporta rta en el siste istema ma representado.

'E'TER (ASADER) de diámetro diámetro efecti9o d

8a super#cie de contacto entre el pasador y la placa A es una super#cie cilndrica de diámetro d y altura *.

b A

A 



l pasador e/erce sobre la placa una fuer!a i+ual y opuesta a la e/ercida por la placa sobre el pasador. pasador. 43



 

J K

I 

d A

8a real distribución del esfuer!o en el área de contacto es muy complicada. ara #nes prácticos se usará un =A8ER REMD-E REMD-E EM-A8 EM- A8 del esfuer!o de aplastamiento, obtenido di9idiendo la car+a  entre el ;RA D 8A RE4''-H D8 ASADER  8A S''-H D 8A 8A'A (rectán+ulo IKJ).  σ ap = bd bd → área nominal de aplastamiento

b  Not&). n todos los casos, el %r#& noin&' d# &"'&$t&i#nto &"'&$t&i#nto (apoyo) es el área de la proyección de la $u"#r+ci# r#&' d# cont&cto entre los cuerpos, en un plano perpendicular a la dirección de la fuer!a.

lano ⊥ a la recta de acción de la fuer!a   A&"

RA EM-A8 D A8ASTAM-TE SR%-'SR%-'-  RA8 RA8 D 'ETA'TE

E#"'o$ I) 8a car+a car+a aplica aplicada da a una una 9aril 9arilla la de acero, acero, se dist distrib ribuy uye e a una una 9i+a 9i+a de madera mediante una placa de apoyo cuyo diámetro interior es IC. Si el esfuer!o normal en el acero es  Ulb0pul+  y el esfuer!o de apoyo entre la placa de acero acero y la madera no debe e1ceder de X> lb0pul+, 5allar el diámetro e1terior de la placa de apoyo.

44



d" laca de apoyo

=i+a de madera

IB

d

=arilla de acero d=

XC Q



σ=



σ=

 Ulb Ulb (dato pul+

Aacero N i) sfuer!o sfuer!o normal normal en la 9arilla de acero* acero* ,>>> >> >lb π X  ( ) pul+  →  " σ Aacero " pul+ J Q →  " K,>>. lb ii) sfuer!o de apoyo (contacto (contacto entre placa de acero y 9i+a de madera)   K,>>.lb σ ap = = Aap = σ ap X> Aap X >lb0pul+ →

Aap " J pul+

Aap → corona circular. 8ue+o

π J

(d − I ) = J

→ d ≅ .JX pul+ (n la prática d ≅ . pul+)

) n el sistema sistema repres representado entado,, determin determinar ar i) l esfuer!o de apoyo en '. ii) 8os esfuer!os de apoyo en cada soporte (dos soportes sim6tricos). X m K>> mm A

7 I mm  mm

asador de . mm de diámetro

' Soportes

Soportes X> U

 mm

45



i) %R3A  8 AE4E '* 7 %A7

Resultante

'1 " %A7 'y " X> U X> U %A7(I) @ X>(K>>) " > %A7 " IQYI> 

'

'1 R'

'y

→ '1 " IQYI> N 'y " X>YI>K  R' = '1 + 'y " I,>YI>K 

σap  8 AE4E '*

 mm

σap = 

Aap

R'

. mm

( mmY. mm)

I,>× I>K  " QK.KKYI> 0m σap =  −K −K  × I> × . × I> m σap " QK.KKYI> a

σap  8ES SEERTS*  σap =

(en los soportes)

Aap

'ada soporte recibe  " Rc0, lue+o I,> × I>K   σ ap = −K  × I> × . × I>− K m σap " XYI> a K) 'alcular el diámetro del perno y el área requerida por las placas de apoyo en el sistema representado. 8os esfuer!os no deben e1ceder de ,>> U+0cm en tracción del perno y X U+0cm de aplastamiento entre las placas de apoyo (cuadradas) y las 9i+as de madera.

I RE (8ARE) 8A'AS D AE4E =-AS J Ton > cm

IQ> cm

> cm

IQ> cm

%uer!a en el perno*

46



'

7

A

D J Ton

> cm

IQ> cm

% R7

%

tracción en el perno

R'

D J,>>> U+

RA

quilibrio

IQ> cm '

7 R7 A

> cm

R7 + R ' = %   − + = IQ> R ( IQ> > ) R > 7 '  → =-A 7' R A + % = R7 + J,>>>   >R7 + (> + > + IQ>)(J,>>>) = (> + IQ>)% =-A AD

Resol9iendo los sistemas de ecuaciones, 5allamos % " ,.X U+ sfuer!os % A i) Tracción en el perno ,.X ,.X ,>>= = π d A J 8ue+o de donde obtenemos d " I.QJ cm (mnimo, porque σ fue el má1imo)

σ=

ii) Aplastamiento

Aap % Aap ,.X Aapσap = = QQ.Q cm X

σap =

% l −

π

(I.QJ) = QQ.Q

J lacas cuadradas de lado l → → l " . cm (lado de la placa)

47



1.) E$(u#r:o Nor&' P#ri$i*'#. F&ctor d# S#urid&d nsayos del comportamiento de materiales (en laboratorios) proporcionan información relati9a a la resistencia del material al esfuer!o normal. Se preparan probetas de un material, de dimensiones estandari!adas, y se las somete a %R3AS A2-A8S de -TS-DAD 'R'-T, 5asta lo+rar la ruptura del esp6cimen.  u

8

8?∆8 .... u* 'ARA 8T-MA ('ARA D RTRA) * mnimo 9alor de  que ocasiona la ruptura del esp6cimen.

Ao 

AI AILAo u

D#+nicin. Resistencia ltima o sfuer!o ormal ltimo*  'ar+a:ltima σu = u = σu A> ;reatrans9ersa l inicial → 'ada material tiene un 9alor caracterstico de σu. (Acero estructural → σu ≅ J,>>> U+0cm) n diseFo estructural, el 9alor del esfuer!o denominado S%R3E RM-S-78 se #/a considerablemente más ba/o que el 9alor del S%R3E 8T-ME (determinados en el SSA4E -A2-A8 D TRA''-H). sta reducción es con9eniente por* i) 8a ma+nitud 2A'TA de las fuer!as que pueden actuar en una estructura, es desconocida. ii) 8os materiales no son enteramente uniformesN (material ensayado ≠ material a usar) iii)'on el transcurso del tiempo y condiciones ambientales, al+unos materiales se 'ERRE E DRADA, pudiendo facilitar +randes deformaciones frente a pequeFas 9ariaciones en las car+as.

D#+nicin. Denominamos %A'TER D SR-DAD al cociente entre 'ARA 8T-MA y 'ARA RM-S-78.  %S = u > I perm %S =

Alternati9amente, puede de#nirse como

σu >I σperm

D#+nicin. Se denomina MAR D SR-DAD a la diferencia* 'ARA8T-MA − I = MS 'ARARM-S-78 ó 48



S%R3E8T-ME − I = MS S%R3E RM-S-78 8as fracciones que de#nen MS (ó %S) E SE RA8MT i+uales entre s, puesto que los esfuer!os no 9aran necesariamente en forma lineal con las car+as. Not&). El diseFo de elementos sencillos sometidos a car+a a1ial de  A= σperm . tracción, depende de la fórmula n el caso de 7ARRAS 'ERTAS sometidas a compresión, puede usarse la ecuación anterior. Sin embar+o, cuando se consideran 8MTES 8ARES de sección trans9ersal reducida sometidos a  A= σperm E se aplica directamente. 'EMRS-H, la fórmula (ueden presentarse problemas de p6rdida de estabilidad)

'AM7-ES D EMTRA D %ERMA S7-TA (=-E8TA)

E#"'o$ I) 8as barras A' y AD de la armadura representada son del mismo material. 8a barra A' tiene IC de diámetro y su car+a :ltima es X Ulb. 'alcular* i) l %actor de Se+uridad en la barra A' ii) l diámetro de la barra AD, si deseamos que ambas barras ten+an id6nticos %S y esfuer!os :ltimos. A B D 7

' I> Ulb I>B

I> Ulb I>B

%A' = .KUlb  = % JI . K Ulb AD  tracción %uer!as A1iales →  XUlb %S = u = = K.K (adimensional) % .K Ulb A' 7arra A'* 7arra AD* u " (%S)(%AD) " (K.K)(JI.K Ulb) u " IKQ.I Ulb Tambi6n (σu)A' " (σu)AD

49


X

π → J

(I)


=

IKQ.I

π J

(dAD)

→ dAD " I.K pul+

) na car+a de ,>>> lb puede despla!arse a lo lar+o de la 9i+a 7D a cualquier posición entre  y %. Sabiendo que el esfuer!o permisible en el material de las barras A7 y 'D es  Ulb0pul+ , determinar en donde deben colocarse los topes si el recorrido de la car+a debe ser tan +rande como sea posible. > pul+ Dia+rama de cuerpo libr de la 9i+a 7D A ' 1% %'D %A7 1 d"0QC d"C

7



% D 1

7

D 1

>> lb

>> lb >>>

Σ%9ert " > → %A7 ? %'D " ,>>> ΣM7 " > → ,>>>2 @ >%'D " > De donde obtenemos %'D " KK.KK2 y % A7 " ,>>> @ KK.KK2 

π  I  % σ = A7   J A A7 → (%A7)má1 " ,>>>    " I,IXQ lb =arilla A7 A partir de este 9alor, podemos encontrar 2 . %A7 ≤ (%A7)má1 → ,>>> @ KK.KK2 ≤ I,IXQ → 2 ≥ J.X pul+ 2 " J.X pul+ π     %'D σ=   A J 'D =arilla 'D → (% ) " ,>>>  Q  " I,QJI lb 'D má1

A partir de este 9alor, podemos encontrar 2 %. %'D ≤ (%'D)má1 → KK.KK2 ≤ I,QJI → 2 ≤ . pul+ 2% " . pul+

K) l cuc5arón para concreto representado en el esquema peso  U. Si el esfuer!o permisible en el cable es de K Ma y el coe#ciente de fricción entre el cuc5arón y la resbaladera es  " >.K, encontrar el diámetro mnimo del cable. =eri#car los dos funcionamientos del cuc5arón, tanto cuando ba/a como cuando sube.

50



i) Mo9imiento de subida del cuc5arón Dia+rama de cuerpo libre %' * fuer!a en el cable

θ"K.JO P

P * fuer!a normal

θ %'



θ θ

f r

θ P

f r* fuer!a de fricción quilibrio* senθ ? f rcosθ " %'cosθ cosθ ? %'senθ " f rsenθ ? P 8a fuer!a de fricción, es f r "  senθ + cosθ = %' cosθ  (V)  cosθ − senθ = P − %'senθ

Resol9iendo el sistema (V) para % ', obtenemos %' " P(sen θ ? cosθ) Reempla!ando datos → %' " (senK.JO ? >.KcosK.JO) %' " .XIK U % σ= ' A .'ondición σperm " K Ma sfuer!o en el cable* .XIK K × I> = K× I> A → → A " X.K cm

π Sección circular de diámetro d → J d " X.K De donde obtenemos d " K.> cm

Not&). l caso de Mo9imiento de ba/ada del cuc5arón, es similar (sólo cambia el sentido de la fuer!a de fricción f r). J) n puntal 'D, de lon+itud 80 debe soportar una 9i+a A7 uniforme de lon+itud 8 y peso P " ,K> lbs. l puntal se coloca en una posición tal que queda sometido a la menor fuer!a de compresión posible. Determinar la sección trans9ersal requerida para el puntal, si su material admite X>> lb0pul+ como esfuer!o admisible. (o considerar el peso propio y articulaciones en los puntos A, ' y D).

51



Sea β el ∠D'A

7

%uer!a en el puntal ('ompresión)

8 D

80

7

P D %

α

80 d

A JO

'

β

1

JO

A

' 8 ΣMA " > → P  cosJ " %d . . . . (i)

80 1 = 8ey de senos ( ∆'AD)* senJ senα →

8

1 = senα  1=

 

8 senα  . . . . (ii)

d " 1 senβ 8 senβ senα  → d" . . . . (iii) 8 8 senβ senα   Reempla!amos (iii) en (i) → P cosJ " % P %= sen(IK− β)senβ . . . . (i9) De donde obtenemos

Tambi6n*

ara que % sea mnimo, basta que y " sen(IK @ β) senβ sea má1imo. dy → dβ " sen(IK @ β) cosβ @ senβ cos(IK @ β)

dy dβ " sen(IK @  β) " > (condición) De donde obtenemos β " X.O Reempla!ando en la ecuación (i9)* %mn " I,K. lbs

'ondición para

σ ad =

%mn =

,K>lb  sen X.

I,K. I,K. A A → X>> " → A "  pul+

1.) E$(u#r:o Cort&nt#. E$(u#r:o Cort&nt# P#ri$i*'# 8as fuer!as internas cortantes, +eneran S%R3ES 'ERTATS en la sección de inter6s. 52



y =1y

1 =1! ! .1) E$(u#r:o Cort&nt# Pro#dio , ) 1isten estados particulares de car+a, en los cuales la :nica acción interna es una fuer!a cortante. or e/emplo, en un sistema formado por dos placas del+adas conectadas por un pasador, se+:n se indica. 

lacas del+adas (t → >) Despreciando posibles fuer!as de ro!amiento y el momento en desequilibrio (t), sobre la sección del pasador (en la super#cie de contacto entre las placas) actuará solamente una %R3A 'ERTAT.

 t t !

=1y "  n la sección del pasador se +enera un S%R3E 'ERTAT τ1y

=1y

=1y =



y

(ormal)

1

∫ τ ( A)

1ydA

Siendo A el área trans9ersal del pasador

τ1y =1y "  D#+nicin. Se denomina =A8ER REMD-E del S%R3E 'ETAT, al  τ 1y = A. cociente

53



 A de#ne el =alor romedio del sfuer!o 'ortante, De manera +eneral +enerado por una fuer!a  en una super#cie paralela de área A. 8a distribución de τ1y no puede suponerse uniforme. n problemas de diseFo de elementos sencillos, es :til considerar 9alores promedio.

τ=

D#+nicin. Se denomina sfuer!o 'ortante en un punto, al 9alor d%

τ = d%

dA

dA

(% =

∫ τdA) ( A)

.7) E$t&do$ d# E$(u#r:o Cort&nt#. 8os esfuer!os cortantes se presentan, de manera natural, en el estudio de pernos, remac5es, pasadores y otros elementos 'E'TERS. Asimismo, se +eneran en elementos sometidos a %82-H y a TERS-H. 'onsideremos dos placas del+adas conectadas por un remac5e. (espesor t → >) '  8as placas se encuentran sometidas a  I TRA''-H. n el conector se I A desarrolla S%R3E 'ERTAT en 7 D la sección que pasa por la super#cie   de contacto entre las placas (I$I). (g TA A TRAS8A)



 I

I



%' %'

%R3AS 'ERTATS 

%' " 

Sobre la sección I$I del remac5e se +enera el esfuer!o cortante τ =  N siendo A el área efecti9a A de la sección trans9ersal (n 9alor promedio) del remac5e. D#+nicin. 'uando e1iste A SH8A S''-H TRAS=RSA8 resistente al S%R3E 'ERTAT, decimos que el elemento traba/a o se encuentra en STADE S-M8 D 'ERTAT.



54



Supon+amos a5ora que e1isten K placas del+adas conectadas por un pasador y sometidas a tracción se+:n se indica. 0 A I I 7  '   0





n el pasador se +eneran esfuer!os cortantes en las secciones que pasan por los planos I$I y $ (super#cies de contacto entre las placas).

0 

I

I

0

%'

%'

 

 0

%'

%'

0

 A . n cada sección del conector, el τ promedio es D#+nicin. 'uando e1isten DES S''-ES TRAS=RSA8S resistentes al S%R3E 'ERTAT, decimos que el elemento se encuentra o traba/a en STADE DE78 D 'ERTAT.

τ=

D#+nicin. l mnimo 9alor del sfuer!o 'ortante que +enera una falla por desli!amiento en el elemento, se denomina S%R3E 'ERTAT 8T-ME ( τu). τu es un 9alor caracterstico para cada material. Su determinación es e1perimental. Aluminio → τu " I,X> U+0cm Acero → τu " I,>> U+0cm > U+0cm D#+nicin. Se denomina %A'TER D SR-DAD al S%R3E 'ERTAT, %S =

al cociente

τu τperm

>I

E#"'o$. I) l conector representado será usado para soportar una car+a de I>>> U+. 'alcular los esfuer!os que pueden ocasionar la falla del conector.

55



Sección cuadrada de  cm de lado >. cm

d " I cm MEDES D %A88A* i) TRA''-H ('RE D8 'E'TER) ii) A8ASTAM-TE ('A73A RE$MADRA) iii) 'ERTAT (3EAM-TE)

 " I>>> U+ i)

σ =  = I>>>U+ → I,XK.J U+0cm A π   J

(I) cm

 ii) A8ASTAM-TE

Aap  cm

I cm

 cm

 I>>>U+ = = KII.II U+0cm Aap  − π (I) J σap " KII.II U+0cm (8a madera resistirá cuando menos KII.II U+0cm de aplastamiento)

σap =

iii) 'ERTAT (3EAM-TE)

d " I cm >. cm ;rea de corte (3EAM-TE)

τ=

%

A'ERT I,>>> U+ τ= π(>.)(>.) τ " K. U+0cm

 ) 8os elementos prismáticos A y 7 están unidos por dos láminas pe+adas a ellos. > Ua.

56



J U

(%uer!as → N lon+itudes → m J U

7 8

Qm

7

A %'

J U (b " I>> mm ⊥ al papel)

(8 @ QYI>$K) " 80 @ JYI>$K %'

%' " J,>>>  %' " I,>>> 

τ=

%' I,>>> → τ= 8 Acorte I>>× I>−K ( − J × I>−K ) 

Dato → τ " Q>>YI>K a I,>>> 8 I>>× I>− K( − J × I>− K)  8ue+o Q>>YI>K " De donde obtenemos 8 " >.K>Q metros. K) Dos placas de I>> mm de anc5o y I> mm de espesor están unidas por una /unta traslapada, la cual contiene K remac5es de > mm de diámetro cada uno. 8a fuer!a que act:a en cada placa es de J> U. U Dia+rama de cuerpo J> U t"I> libre de una placa t %'

I>> mm

%'

%'

J> U

K%' " J> → %' " J>0K U (stado simple de cortante) i) τ en los remac5es J> × I>K  K %' π (> I>− K)  m × τ " Acorte " J " J.JJYI> a  ii) σ en las placas σ " A N (σmá1 → Amn si  es constante) 8a mnima sección trans9ersal de las placas, es aquella que pasa por la #la de  remac5es.

57



J> U

d"> mm

σmá1 I> mm J>× I>K  σmá1 = I>× I>−K × I>>× I>−K − [I>× I>−K × >× I>−K\ m

σmá1 " .XYI> a J) l miembro A' de la estructura representada es una barra de o/o, cuyo I I cuerpo tiene por dimensiones   Y  pul+. 8a barra está unida en A y en XC ' por medio de pasadores de Q de diámetro. Determinar la car+a admisible , limitada por barra de o/o y sus cone1iones. 8os esfuer!os admisibles son

σ " ,>>> lb0pul+ σap " K,>> lb0pul+ τ " I>,>>> lb0pul+

A

B

' 7



θ BB

BB

%R3A  8A 7ARRA A' %A' 7

ΣMo " >

θ B

B

 (Q) @ %A'senθ " > → %A' = J I>  K

S%R3E ERMA8 ( 8 'RE D 8A 7ARRA) J I>  %A' K σ " AA' → ,>>> " . × >. →  " ,. lbs 58



S%R3E D A8ASTAM-TE (7ARRA $ 'E'TER) J I>  %A' K σap " Aap → K,>> " . × (X 0 Q) →  " I,QI.J lbs S%R3E 'ERTAT (ASADER) %' %A' 0  τ " Acorte " Acorte (STADE DE78 D 'ERTAT) J I>  K  X  π     → I>,>>> " J  Q  →  " ,Q. lbs 8a má1ima car+a admisible será la MER de las K calculadas. má1 " ,Q. lbs ) 8a #+ura representa una 9i+a compuesta por dos canales, soportada en el KC e1tremo i!quierdo por una barra de o/o de J de diámetro, que usa un KC pasador de J en cada e1tremo. 8a 9i+a está soportada en ' por medio de una placa de apoyo de acero que mide JCYC y que se apoya a su 9e! sobre un muro de concreto. Determinar la car+a má1ima P que puede aplicarse. 8os esfuer!os admisibles son* τ en el pasador → I>,>>> lb0pul+ σap en el concreto → >> lb0pul+ σ en la barra → IQ,>>> lb0pul+ σap en el acero → J,>>> lb0pul+ P >.C

canales A =-A '

ASADER

8A'A MRE D 'E'RTE

7 B

QB

%R3A  8A 7ARRA A7.

59


A


P

'

RA

ΣMA " > → I>P @ R' " >

R' " P ΣM' " > → RA @ QP " > RA " JP

R' B

QB

(V)

S%R3ES i) TRA''-H  8A 7ARRA A7*  σ " Acorte →  " Aσ 

K  π     " (IQ,>>>) J  J   " X,.I lbs

o/o)

(%uer!a má1ima en la barra de

ii) 'ERTAT  8 ASADER A (STADE DE78)  τ " Acorte →  " τA corte



K  π     " (I>,>>>) J  J 

 " Q,QK.XK lbs (%uer!a cortante má1ima en el

pasador)

iii) AE4E TR ASADER 4 'AA8S  " Aap " A

σap

→

σap

ap

K  " (J,>>>)(>.)( J )()  " IJ,Q> lbs (%uer!a má1ima de aplastamiento en los canales)

i9) AE4E 8A'A @ MRE D 'E'RTE.  σap " Aap →  " σapAap  " (>>)(JY)  " I,>>> lbs (%uer!a má1ima de aplastamiento sobre el muro de concreto) 8as condiciones (i), (ii) y (iii) se aplican a la reacción en A* RAmá1 → " X,.I lb (8imitada por el esfuer!o de tracción en la barra de o/o) 8a condición (i9) se aplica en '*

60


→

R'má1


" I,>>> lb

(%uer!a de aplastamiento sobre el muro de

concreto) Teniendo presente las condiciones de equilibrio (V)* X,.I R Amá1 J " JPmá1 → Pmá1 " lbs Pmá1 " I,QQ.>J lbs

R'má1

" Pmá1 →

I,>>>  lbs Pmá1 " Pmá1 " ,J>> lbs

n de#niti9a P má1 " I,QQ.>J lbs ('ualquier car+a menor incrementa el esfuer!o permisible en la barra de o/o) ) l bloque (I) representado es de un material cuyo peso espec#co es γ I "  U+0dmK y descansa sobre otro bloque () de otro material cuyo peso espec#co es γ  " J U+0dmK. Si la presión admisible en el terreno es p " I. U+0cm, determinar* i) 8a má1ima altura 5I, admisible. ii) l esfuer!o cortante en el bloque (). Im

Im

AI

(I) I

5I

() 

;rea  m

5" cm

(A)

61



i) 5I má1ima I) 5Imá1

PI ) P

quilibrio* PI ? P " pA → AI5Iγ I ? A5γ  " pA pA − A5γ  5I =  AIγ I

(%uer!as → U+N 8on+ → cm) Reempla!ando 9alores num6ricos, se tiene*  cm 5 " I,J>> cm I 5Imá1 " IJ m

p " I. U+0cm ii) sfuer!o cortante en el bloque (). I) I

PI ) 

P

l

AI

l

peso PI ( I) peso P ( )

5I

5

τ p I) )

PI ? P " pA I ? Jl5τ γ I5IAI ? γ 5AI " pAI ? Jl5τ A (γ 5 + γ 5 ) − pAI τ = I I I   Jl5 → Reempla!ando 9alores, obtenemos τ " I.J U+0cm  (esfuer!o cortante de pun!onamiento). X) Determinar la má1ima car+a  que puede aplicarse en la /unta estructural KC representada. 8os remac5es son de J de diámetro cada uno. 'onsiderar como esfuer!os admisibles σ "  Ulb0pul+N σap " QX Ulb0pul+ N τ " I KC Ulb0pul+. (Datos* a " I.CN b " .CN e " Q ).

62



i) TRA''-H (laca A) 8a sección trans9ersal de área mnima es la que pasa por los centros de los remac5es

7 a b b b ba

A

e

A e Remac5es de diámetro d 





 σ " At →  " σAt →  " σ(a ? Jb @ d)e K K Reempla!ando datos*  " ((I.) ? J(.) @ ( J )) Q  " X.KI Ulb ii) AE4E  σap " Aap →  " σapAap →  " σap(de) K K Reempla!ando datos*  " QX()( J )( Q )  " I.KJKX Ulb iii) 'ERTAT (STADE S-M8)  π τ " Ac →  " τAc →  " τ( J d)() π K Reempla!ando datos*  " (I)( J )( J )()  " KK.IKJ Ulb

Má1ima car+a aceptable → 8a menor de las K calculadas má1 " KK.IKJ Ulb IC Q) Determinar el esfuer!o cortante que act:a en cada perno (d "  ) de un acoplamiento, si el par aplicado es de ,>>> lb$pie. 8os pernos están IC distribuidos de tal forma que seis quedan sobre una circunferencia de   de diámetro, y cuatro quedan sobre una circunferencia de C de diámetro.

T

T 'onsiderando una sección entre los discos de unión (bridas), reconocemos que el par actuante T se le opone el momento de las 63



fuer!as cortantes desarrolladas en los pernos. S- TEDES 8ES RES G-D-STA D8 'TRE → 8AS %R3AS  8ES RES SE -A8S. %I ara el caso* se desarrollan fuer!as %I sobre cada %I perno ubicado a la distancia I  I C del centroN y %I % fuer!as % sobre cada perno ubicado a la distancia T 0C del centro. or consi+uiente* % •o % ΣMo " > → ,>>>YI " %I( K.) ? J(  )% .>  %I

%

%I

%I

(T en lb$pul+)

radio

radio

Simpli#cando tenemos* X>>>"I.%I?I>% . . .(V)

8a relación entre %I y %  se la encuentra considerando que las fuer!as son proporcionales a la distancia del perno al centro. ntonces* % . = %I K. (VV) Resol9iendo las ecuaciones (V) y (VV), se obtienen %I " ,> lbN % " >K> lb >lb  n cada perno del anillo e1terior → τ " >.Ipul+ " IK,>.J lb0pul+  >K>lb  n cada perno del anillo interior → τ " >.Ipul+ " I>,KX.I lb0pul+

1.G) E$(u#r:o$ #n P'&no$ d# Ori#nt&cin Ar*itr&ri& 7ásicamente, 5emos considerado el E$(u#r:o Nor&' y el E$(u#r:o Cort&nt#. A  l área A es perpendicular a la σ=   A recta de acción de las car+as .



τ=

 l área A es paralela a la recta A de acción de las car+as .

A Si el plano de corte se tra!a ba/o án+ulos diferentes a los anteriores, se presentan H#$(u#r:o$ co*in&do$H (simultáneamente σ y τ). 'onsideraremos el caso particular de elementos sometidos a car+a a1ial centrada y un plano que forma un án+ulo α con el e/e +eom6trico del elemento.

64



lano ⊥ al plano 2E4

y

yB

 A

θ

o

!

AB

θ





y

1

1B

1B1B

θ

 1

1ByB

n la sección -'8-ADA act:an 1B1B " cosθ (%R3A ERMA8) 1ByB " senθ (%R3A 'ERTAT) 8ue+o, 1B1B → +enera sfuer!o ormal sobre la sección inclinada. 1ByB → +enera sfuer!o 'ortante sobre la sección inclinada. 1ByB 1B1B σ1B1B " AB N τ1ByB " AB como AB " A0cosθ, tenemos  cosθ  senθ   σ1B1B " A 0 cosθ " A cosθN τ1ByB " A 0 cosθ " A senθ cosθ  Recordando que A es el esfuer!o normal, en una sección ⊥ al e/e 2 (e/e de transmisión de las car+as ), las ecuaciones anteriores se escriben* σ1B1B " σ11 cosθN τ1ByB " σ11 senθ cosθ  (donde σ11 " A )

σ1B1B

θ

σ11

τ1ByB 8as ecuaciones anteriores, pueden re$escribirse*

σ 11 σ1B1B " 

(I + cosθ)

. . . . (i)

σ 11

senθ  . . . . (ii) τ1ByB " 8as ecuaciones (i) y (ii) son las 'A'-ES D#+nicin). ARAMhTR-'AS de un 8AR EMhTR-'E en el 8AE D S%R3ES S%. 'ERTATS

S%. ERMA8S liminando θ ente (i) y (ii), obtenemos*

65







 σ − σ 11  + (τ ) =  σ 11   1B1B    1B yB       . . . . (iii) 8a ecuación (iii) representa una '-R'%R'-A, denominada '-R'%R'-A D ME
τ1ByB

r

σ1B1B

'

c → ( σ 11 , >)  r " σ 11 

Todo punto de la circunferencia de esfuer!os representa el STADE D S%R3ES en una S''-H -'8-ADA, y recprocamente. τ1ByB u → representa un esfuer!o normal

u " σ 11 ? σ 11 cosθ  

G(u, 9) r

θ

σ1B1B

'

u " σ 11 (I ? cosθ) . . . . (i)  9 → representa un esfuer!o cortante

9 " σ 11 senθ . . . . (ii)  8as coordenadas del punto G representan el stado de sfuer!os en una sección inclinada*

σ11

θ

σ1B1B

τ1ByB PRO0LEMAS I) 8as porciones M y  están pe+adas a lo lar+o de un plano inclinado que forma θO con la 5ori!ontal. Sabiendo que los esfuer!os #nales en la /unta, son σu " IX Ma y τu "  Ma, 5allar el inter9alo de 9alores del án+ulo θ entre los cuales el factor de se+uridad es por lo menos i+ual a K.

66



I> U

M

;rea ormal Ao " >YK> mm ;rea de la Sección -nclinada AB AB " Ao cosθ −K −K × × × > I> K> I> AB " m cosθ I> U

θ 

M

K> mm

=

> mm

 " I> cosθ () = " I>J senθ ()

%R3AS SE7R 8A SR%-'- -'8-ADA



θ

I>YI>  S%R3ES  8A S''-H -'8-ADA* I>J cosθ  I>Q >× K>× I>−  cos θ cosθ a → σ " I a σ " AB " I>J senθ = I>Q >× K>× I>−  senθ cosθ cosθ a → τ " I a τ " AB " S%R3ES 8T-MES → σu " IXYI> a y τu " YI> a

σu τu %A'TERS D SR-DAD → %S " σ . . . . (V) y %S " τ . . . . (VV) 'ED-'-H %S ≥ K. 8ue+o IX × I>  × I> ≥K ≥K I>Q I>Q  cos θ senθ cosθ I I . . . . (a) y . . . . (b) Resol9iendo simultáneamente las desi+ualdades (a) y (b), obtenemos* OJXB ≤ θ ≤ KOJB

) n marco de dos barras está su/eto a la car+a indicada. Determinar el esfuer!o normal y el esfuer!o cortante promedios que act:an en las secciones a$a y b$b. 8a barra '7 tiene una sección trans9ersal cuadrada de  pul+. por lado.

67



b a

Determinamos las fuer!as internas en la barra 7'. quilibrio Rc

b

Q> lb A

K>O '

'

a

K>> lb$pie

>O

>O 7 J pies

J pies A

A1

K>> lb$pie

7 >O

Ay

Σ%5 " > → A1 ? R'cos> " > Σ%9 " > → Ay ? R'sen> @ Q> " > ΣMA " > → K>> ? Q>(J) @ R'(Qsen>) " >

>O d " Qsen> pies

d

Q> lb

Resol9iendo el sistema de ecuaciones, obtenemos A1" @ X.QJ lbN Ay " @ KX.> lbN Rc " IK.Q lb sfuer!os en la sección a$a. IK.Q lb

IK.Q lb  = KK .  lb0pul+  ×  pul+ τa$a " >

σ a−a =

a a IK.Q lb sfuer!os en la sección b$b. IK.Q lb

b BB  >O K>O

b

 " IK.QsenK> " X.QJ lb = " IK.QcosK> " IIX.> lb BB 1 K>O

 senK>° 1 " J pul+

1"

;rea de la sección inclinada AB " (J)() AB " Q pul+ X.QJ lb σ b−b = Q pul+ σb$b " Q.JQ lb0pul+ IIX.> lb τ b−b = Q pul+ τb$b " IJ. lb0pul+

IK.Q = K) n tubo de acero de K>> mm de diámetro e1terior está construido con una placa de Q mm de espesor de pared, soldada en espiral que forma >O con un plano perpendicular al e/e del tubo. Se aplica una fuer!a a1ial  " > U. Determinar el esfuer!o normal y el esfuer!o cortante

68



en dir direc ecci cion ones es res espe pect cti9 i9am amen ente te norm normal al y tan+ tan+en ente te a la lne lnea a de soldadura.  " > U n una sección ⊥ al e/e del tubo* Ao " π(I>YI>$K) @ π(IJYI>$K) Ao " X.KKYI>$K m (S''-H D8 T7E) sfuer!o ormal (paralelo al e/e del tubo)  >  >× I>K " " σ> → σ> A> X.KK KK × I>−K σ> " KJ.>XYI> a ('EMRS-H)

>O

8A D SE8DADRA

σ>(∆A>) τ(∆A)

>O quilibrio* Σ%9ert " > → (V) . . . . Σ%5ori! " > → (VV) . . . .

σ(∆A)

σo(∆Ao) @ σ(∆A)cos> @ τ(∆A)sen> " > σ(∆A)sen> @ τ(∆A)cos> " >

Reempla!ando ∆Ao en (V) y (VV)* σo∆Acos> @ σ∆Acos> @ τ∆Asen> " > → σocos> @ σcos> @ τsen> " > . . . . (I) σsen> @ τcos> " > . . . . () Reempla! eempla!and ando o σo por su 9al 9alor σo " KJ.>XY KJ.>XYI> I> a y reso resol9i l9iend endo o el sistema de ecuaciones (I) y (), obtenemos* σ " K>.>QYI> a('ompresión) τ " I>.YI> a J) na barra barra de ICde diámetro diámetro se comprime comprime por por aplicación aplicación de la fuer!a fuer!a  "  lb, se+:n se indica en el esquema. Determinar los esfuer!os normal y cortante sobra la sección que forma f orma θ " JO con el e/e de la barra.

69


E


C

Determinamos la fuer!a % sobre la barra a ensayar. " lb

 "  lb

IC

E

θ

7arra a ensayar R+idos

R

%

ΣM> " > → % @ > " > → % " J

% " I>> lb ('EMRS-H)

7arra a ensayar* % " I>> lb

I>>

θ

=

I>>

JO =

JO =cosJ @ cosJ " > =senJ ? senJ @ I>> " >



% " I>> lb



De donde obtenemos*  " >  lb (compresión) compresión) = " >  lb

sfuer!os sobre la sección inclinada*

A

A>

A> " Jπ (I) (I) A> = cosJ A A> A= cosJ A=

π

J



 = N τ= A A (siendo A el área de la sección inclinada) 8ue+o* >  " K. lb0pul+ (compresión)

σ=

σ=

π

 J >  " K. lb0pul+ τ= π  J

) l esfuer!o esfuer!o normal normal sobre sobre el plano pq de una barra barra prismática prismática en tracción tracción  es de Q,> lb0pul+ . Sobre el plano rs, el esfuer!o normal es de K,> lb0pul+. Determinar el esfuer!o normal má1imo y el esfuer!o cortante má1imo en la barra.

70



p

r 

K>O s q 



θ =

8os esfuer!os sobre una sección que forma θO con la 9ertical, son*  σ " σ>cosθ . . . . (i) τ " σ> sen θ . . . . (ii)  donde σ> "  , siendo A> el área A> de la sección trans9ersal

θ

σ>

σ

τ Sección de área A> Sección de área A " A> cosθ Q,> " σ>cos θ . . . . (iii) K,> " σ>cos(θ ? K>) . . . . (i9)

Datos*

σ>

p

σ"Q,> θ

σ>

σ"K,> θ?K>

q Resol9iendo simultáneamente el sistema (iii) y (i9), obtenemos* θ " J.JON σo " I>,>>> lb0pul+. samos las ecuaciones (i) y (ii) σ " I>,>>> cos θ → σmá1 " I>,>>> lb0pul+ (θ " >O) τ " ,>>> senθ → τmá1 " ,>>> lb0pul+ (θ " JO)

1.) D#(or&c D#(or&cion#$ ion#$.. C&"o C&"o d# D#$" D#$"'&:& '&:&i#nto i#nto$. $. 1..1) 1..1) Introd Introduc ucci cin. n. 8as acciones aplicadas causan DEFORMACI3N DEL S3LIDO sobre el cual act:an, dependiendo, entre otros factores, de sus intensidades, forma de aplicación y de las caractersticas mecánicas del material que las soporta. n esta sección estableceremos descripciones cualitati9as y cuantitati9as de la D%ERMA'-H.

71



n t6rm t6rmino inoss +ene +enerale rales* s* D%ERM D%ERMA' A'--  → 'AM7-ES  8A EMTRA D8 SH8-DE E S-STMA STR'TRA8 ('EME RSSTA A 8AS A''-ES A8-'ADAS) 'E%-RA'-H --'-A8 (E D%ERMADA) 'E%- 'E%RA' RA'-- H %-A8 %- A8 (D%ERMADA)

1isten 9arias ra!ones para el análisis y cálculo de las D%ERMA'-ES* $ Ase+urar la FUNCIONALIDAD de elementos o sistemas estructurales. $ Determinar ESTADOS DE ESFUERZO en SISTEMAS !IPERESTTICOS. $ Des Describ cribir ir cuant uantit itat ati9 i9am amen ente te el co comp mpor orta tami mie ento nto e1per 1perim imen enta tall de materiales y sólidos estructurales. Todos Todos los cuerpos y materiales estructurales se deforman en una u otra medida al ser e1citados por acciones e1ternas. 8a deformación de cualquier elemento o componente estructural, respeta las condiciones de 9nculo.   -mpide +iros y despla!amientos

o +iro ni despla!amientos

1..7) 1..7) D#+nic D#+nicion ion#$. #$. V) 8as accio acciones nes aplica aplicadas das +ener +eneran an 'AM7-ES 'AM7-ES de ES-' ES-'-H -H de las las partcu partculas las materiales del sólido sobre el cual act:an. stos cambios de posición se denominan DS8A3AM-TES.

--'-A8

A

7

D%ERMADA AB

7B

AAB = dA * =ector despla!amiento del unto A 77B = d7 * =ector despla!amiento del unto 7 etc.....

A cada punto material le asociamos un =ector =ector Despla!amientos.

72



VV) Si los despla!amientos despla!amientos son tales que E A8TR A8TRA A la distancia entre entre dos punt puntos os,, deci decimo moss que que el cuerp cuerpo o 5a sufr sufrid ido o un DS DS8A3 8A3AM AM- -T TE E D S3LIDO RÍ/IDO.

d

A

7 d7

AB7B = d

osición inicial dA

d 7B osición #nal Despla!amientos de SH8-DE R-DE* TRAS8A'-ES 4 RETA'-ES. RETA'-ES. VVV) Si los despla!amientos son tales que alteran la distancia entre dos puntos materiales del sólido, el sólido es un S3LIDO DEFORMA0LE.

7B

d7

7 d

dB

d ≠ dB dB

dA

A

AB

-nicial

%inal

1..?) 1..?) C&"o C&"o d# d# D#$"' D#$"'&:& &:&i#nt i#nto$. o$. na idea 'A8-TAT-=A de la Deformación de un elemento por acción de una car+a e1terna, se obtiene obser9ando el RE'SE D D%ERMA'-H de una placa del+ada, empotrada por uno de sus e1tremos, y sometida a una car+a a1ial centrada de tracción actuando en su e1tremo libre. y 8

A(1A, yA) 'uadrcula de referencia 1 7(17, y7)

-mpide despla!amientos de sólido r+ido

'on#+uración 'on#+uración inicial

or acción de la fuer!a a1ial , la placa sufre una deformación. (Se obser9a una distorsión de la cuadrcula de referencia). n t6rminos muy +enerales, la deformación si+ue el esquema si+uiente* 73



y dA

A AB



1

7B 8

7

d7

A

u

9 r oblema dA = (u, 9) → AB 7idimensional dA = ui + 9 j n la mayora de situaciones reales, las deformaciones son tan pequeFas que difcilmente pueden ser obser9adas a simple 9ista. or lo +eneral las D%ERMA'-ES (in#nitesimales) de inter6s para la -n+eniera 'i9il son medidas usando D-SES-T-=ES 8h'TR-'ES (TRASD'TERS). TESD  DS8A3AM TESMATR-A8S  8a deformació n de la placacomprendeD-STERS-ES D8ES 8MTES%ERMADE  ER8A 'ADR'8A 8os 9alores (u, 9) 9aran de punto a punto en la placa, es decir son %'-ES de las 'EERDADAS (1, y) de 8ES TES --'-A8S (TES j ( 1, y)  ( u, 9) -'E D 8A 8A'A ATS D 8A D%ERMA'-H)* u " u(1, y)N 9 " 9(1, y) D#+nicin) 8as funciones u " u(1, y)N 9 " 9(1, y) que caracteri!an los despla!amientos de puntos materiales durante la deformación de un elemento, de#nen un 'AME D DS8A3AM-TES, (en este caso, un campo 7idimensional). De manera similar, en problemas tridimensionales, un campo de despla!amientos, se de#nirá por* u " u(1, y, !) → despla!amiento en dirección 1 9 " 9(1, y, !) → despla!amiento en dirección y _ " _(1, y, !) → despla!amiento en dirección ! n cualquier caso, las %'-ES ADM-S-78S para un campo de Despla!amientos son %'-ES de ES-'-H, y deben cumplir requisitos de continuidad y de deri9abilidad.

Not&) Todo 'ampo de Despla!amientos de#ne una %unción =ectorial.

74



rI = r + u

!

 R=E ='TER ='TER     ='TER= ES-'-H + DS8A3A    -'-A8 M-TES ES-'-H  

B rI

u

r



1

y

/emplo* l 9ector u " I>$[1 i ? (1 ? K!) / ? I> U \ pies representa un 'ampo de Despla!amientos.
!

1

E

l 9ector u depende de las coordenadas iniciales del punto (>, I, I). B u " I>$[> i ? (> ? K) j ? I> k \ u I K rI (>,I,I) u " I> > j ? I> k → =ector Despla!amiento   r u 9 y

unto #nal* rI = r + u rI = (> i + I / + IU) + (> i + rI = > i +

K I / + U) I>> I>

I>K II / + U I>> I> → (EB )

'ampo de Despla!amientos* u "I>$1N 9 " I>$(1 ? K!)N _ " I> $(I>)

1.J) D#(or&cion#$ Unit&ri&$ ,Nor&' 8 Cort&nt#) 'onsideremos en un SH8-DE 7-D-MS-EA8 D%ERMA78, un punto material A, y dos se+mentos in#nitesimales inicialmente orto+onales.

75



8ue+o de la deformación, el punto A ocupa la posición AB. 8os se+mentos 'AM7-A de lon+itud y y Dg A de ser perpendiculares.

yB 1B

∆yB ∆y

∆1B

AB

A ∆1

1

yB

β ∆yB y

1B

∆1B α

STADE E D%ERMADE

AB STADE D%ERMADE

∆y A

T D%ERMA'-H* (1, y)  ( 1B , yB ) → 

∆1

1

'uando el sólido se deforma, el punto A se despla!a 5asta ABN los se+mentos se alar+an o contraen y rotan los án+ulos α y β.

1.J.1) D#+nicion#$ ∆1B−∆1 lm V) Al 9alor ∆1→ > ∆1 cuando e1iste, se le denomina D%ERMA'-H -TAR-A  D-R''-H 1* ∆1B−∆1 lm ε1 " ∆1→ > ∆1 . . . . (I) De manera similar se de#ne la D%ERMA'-H -TAR-A  D-R''-H y* ∆yB−∆y lm εy " ∆y→ > ∆y . . . . () 8as ecuaciones (I) y () pueden escribirse* dyB−dy d1B−d1 ε1 " d1 N εy " dy De manera +eneral*  D%ERMA'-H  'AM7-ESD8E-TD   =    -TAR-A  8  8E-TD--'-A8  8 76



8* cualquier dirección

Not&$) I) 8as deformaciones unitarias están asociadas con el 'AM7-E D 8E-TD de un SMTE D R'TA con R8A'-H a su 8E-TD --'-A8. ) 8as deformaciones unitarias, e9aluadas en un punto y en una dirección, nos indican el 'AM7-E D 8E-TD por -DAD D 8E-TD de un se+mento de recta. K) 8as deformaciones unitarias son AD-MS-EA8S. J) Si ε1  > → A8ARAM-TE (en la dirección 1) Si ε1 L > → A'ERTAM-TE (en la dirección 1) VV) Se denomina D%ERMA'-H -TAR-A 'ERTAT (D-STERS-H) al cambio del án+ulo recto entre dos se+mentos que inicialmente eran orto+onales. sta deformación es una medida de la p6rdida de perpendicularidad entre dos se+mentos. yB

y

β π0

α

A

1B

1

n +eneral γ 1y " α ? β (radianes) 'on9enio* Si γ 1y  > → 8 ;8E R'TE --'-A8 D-SM-4 β

γ 1y  > α

Si γ 1y L > → 8 ;8E R'TE --'-A8 AMTA β

γ 1y L > α

Not&$) I) n un punto de un sólido e1isten in#nitas deformaciones cortantes, cada una de ellas está asociada con un par de se+mentos inicialmente orto+onales.

77





s y

1

r

γ 1y N

γ rs N etc.

) 8as deformaciones unitarias de#nidas tienen analo+as para el caso tridimensional. yB

y

dyB d!

dA

dy A

AB d!B

d1

!B

d1B

! 1

1B

 d1B−d1 ε1 = Denominada s D%ERMA'-E S  d1 D%ERMA'-E S -TAR-AS D --RA. dyB−dy  -TAR-AS ε y = dy ('ambiode lon+itudrespecto ERMA8S   ε = d!B−d! a la lon+itudinicial).  ! d! D%ERMA'-ESγ 1y * 'AM7-ED ∠ R'TETR8ES 8ADESd1,dy  γ * 'AM7-ED ∠ R'TETR8ES 8ADESd1,d! D  1! 'ERTAT  γ y! * 'AM7-ED ∠ R'TETR8ES 8ADESdy,d! 1.J.7) Pro"i#d&d#$ d# 5- 8- 58 i) 8os 9alores ε1, εy, γ 1y (que +eneralmente 9aran de un punto a otro del sólido) son una medida de la deformación del sólido. 8as deformaciones unitarias normales ( ε1, εy), e9aluadas en un punto, y multiplicadas por las lon+itudes iniciales, nos dan el cambio de lon+itud en una dirección espec#ca (sal9o in#nit6simos de orden superior)

∆1B−∆1 n efecto* ε1 " ∆1→ > ∆1 (de#nición) ∆1B−∆1 → ε1 ? δ " ∆1 (propiedad de un lmite δ → >) (δ)( ∆1) lm

de orden superior

ε1 ∆1 ? 8ue+o " ∆1B @ ∆1 'on apro1imación su#ciente* ε1 ∆1 ≈ ∆1B @ ∆1

78



 D%ERMA'-H  8E-TD  'AM7-ED      -TAR-A    --'-A8   = 8E-TD     D-R''-H 1 D-R''-H 1  D-R''-H 1   De manera similar* εy ∆y " ∆yB @ ∆y → cambio en dirección y ε! ∆! " ∆!B @ ∆! → cambio en dirección ! ii) 8a deformación cortante γ representa la D-STERS-H A8AR del elemento, con respecto a direcciones inicialmente orto+onales.

Not&) n la +ran mayora de 'ASES, deberá establecerse una R8A'-H D-R'TA entre ε1, εy, γ 1y y las componentes del =ector Despla!amientos. As, por e/emplo* consideremos una 9arilla en la cual la deformación unitaria a1ial es constante en todos sus puntos. 8 1

'on#+uración inicial

puntos con la misma deformación unitaria (ε1) u y 'on#+uración deformada 8 ? ∆8

u* despla!amiento del e1tremo libre.

8on+itud#nal− lon+itudinicial lon+itudinicial ε1 " ∆8  8 + ∆8 − 8  =alorromediode ε 1 8  8 ε1 " "→ ε1 " (ε1 " u 0 8) (-mplica deformaciones unitarias normales constantes en dirección 1). Si las deformaciones unitarias ε1 no son constantes, deberán e9aluarse se+:n la de#nición* ∆1B−∆1 1 ∆1 ε 1 = 8m ∆1 → > ∆1 Deformación nitaria A1ial, en un punto del e/e de la 9arilla.

∆1B 8

∆8

Not&$) i) ara ambas posibilidades (ε1 9ariable o constante) el 9alor ∆8 es la suma de los cambios de lon+itud de todos los se+mentos indi9iduales que puedan ser considerados.

79



∆8 ii) 8a e1presión ε1 " 8 puede representarse d1

(d1) ε1 = ∆

inicial

(d1)

#nal d1?∆(d1)

8ue+o ∆(d1) " ε1 d1 l cambio total de lon+itud podrá e9aluarse por una inte+ral de#nida*

∆8 =

∫ ε d1 (V) 

8

1

E#"'o$. I) na barra de sección cuadrada (ICYIC) se alar+a en consecuencia de aplicar una fuer!a a1ial . l alar+amiento total es C. Si el 9olumen de la barra no cambia, encontrar las deformaciones unitarias promedio, aceptando que las deformaciones trans9ersales son i+uales. y

IC

8 " I>C

 IC

 !

3 ε! = ∆ 83

1

ε ! = C = >.>IX (ó I.Xk) I>C

ara encontrar εy, ε1 usamos la condición de 9olumen constante. =%-A8 " =--'-A8

Sección trans9ersal #nal → (I> ? )(I ? ∆1)(I ? ∆y) " (I)(I)(I> 'ondición ∆1 " ∆y " ∆ → (I)(I ? ∆) " I> I ? ∆y 9alor admisible ∆ " @ Q.K>YI>$K pul+ A'ERTAM-TE TRAS=RSA8

I ? ∆1

'on este 9alor podemos 5allar ε1, εy* ∆1 − Q.K>× I>−K pul+ I pul+ " @ Q.K>YI>$K ε1 " 8inicial"

∆y

εy " 8inicial"

− Q.K>× I>−K pul+ I pul+

" @ Q.K>YI>$K

80



--'-A8

'ETRA''-H TRAS=RSA8

D%ERMADA

) 8a barra r+ida de lon+itud 8 que se representa, está sostenida por dos alambres 9erticales deformables. Tal barra r+ida +ira alrededor del e/e 9ertical a$a un ∠θ (in#nitesimal), medido en el plano 5ori!ontal, pero se 5alla restrin+ida de manera que su ele9ación no cambia.
b

b 80

a

80

b

bB

80

a

θ

Rotación -n#nitesimal

80

R+ido

α

De#nición

8 bB = b + senθ J 

εb =

bB

8 

bB − b . . . . (V) b

b

senθ

Reempla!ando en (V) 8 b + senθ − b J b 

εb "

8 I +  senθ − I Jb Simpli#cando εb " . . . . (VV) samos la fórmula de apro1imación (I?) ≈ I ? , si  → > 'on su#ciente apro1imación (VV) puede escribirse* I 8senθ I+ −I  Jb εb ≈ 8 senθ  εb ≈ Qb Si θ → > (in#nitesimal) → senθ → θ 8 θ   'on lo cual εb ≈ Qb (θ en radianes)

K) Demostrar que si el prisma rectan+ular representado sufre una deformación in#nitesimal sin distorsiones an+ulares, entonces la suma ε1

81



? εy ? ε! representa el cambio unitario de 9olumen (sal9o in#nit6simos de orden superior). ! b

a

c

1 y

- .-'- A8

=olumen inicial → =o " abc uesto que no 5ay distorsiones an+ulares, lue+o de la deformación el sólido si+ue siendo un prisma rectan+ular (sólo cambian las lon+itudes de las aristas). !

aI

=olumen %inal → =I " aIbIcI Deformaciones nitarias romedio

bI

bI − b b " b(I ? ) → I ε1 b a a ε y = I − → aI " a(I ? εy) a c c ε! = I − → cI " c(I ? ε!) c

ε1 =

cI 1 y

'ambio nitario de =olumen ∆= =%-A8 − =--'-A8 = = =--'-A8 Reempla!ando ∆= abc(I + ε 1 )(I + ε y )(I + ε ! ) − abc = = abc ∆= abc(I + ε 1 + ε y + ε ! + ε 1ε y + ε yε ! + ε 1ε ! + ε 1ε yε ! ) − abc = = abc Simpli#cando ∆= = ε 1 + ε y + ε ! + ε 1ε y + ε yε ! + ε 1 ε ! + ε 1 ε yε !             = inf initesimosde orden superior

'on su#ciente apro1imación ∆= ≈ ε1 + εy + ε! =

Not&) 8a deformación de un sólido sin distorsiones an+ulares se denomina D-8ATA'-H. 8a suma ε1 ? εy ? ε! se denomina Deformación ':bica (Deformación =olum6trica nitaria). 1presa el cambio de =olumen por nidad de =olumen. 82



PRO0LEMAS I) 8a placa A7' sufre la deformación representa. 'alcular* i) 8a deformación unitaria promedio en dirección E7. ii) 8a deformación unitaria promedio en dirección A7. iii) 8a deformación cortante entre los borde A7 y 7' y 7B >.K mm

7

A

o I> mm

'

I> mm

E7B− E7 (de#nición de ) → ε E7 I>+ >.K − I> " .YI>$K = I> A7B− A7 = A7

i)

ε E7 =

→

ε E7

ii)

ε A7

1

(I>) + (I>+ >.K) − I> + I> I> + I> εA7 " εA7 " I.YI>$K

π

− ∠A7B E

  

iii) γ A707' "

  

(De#nición de γ )

6rdida de perpendicu laridad del ∠recto (inicial)

π

− ∠A7B ' =

π

I> I>+ >.K

−  arctan

 γ A707' "  γ A707' " >.>>JX Radianes.

(=alor positi9o que indica una disminución del án+ulo recto). ) 'alcular las deformaciones unitarias promedio en los elementos 7' y A'. Se conoce que los puntos 7 y ' tienen los despla!amientos si+uientes* u = >.C  u = >.IC 7  '   9=> 9 = −>.>QC u">.C QB

7

7

'

7B

u">.IC ' 9"@>.>QC 'B

QB

C

1 A

D

A

y C

ε7' =

7B 'B−7' 7' 83



( − >. + >.I) + (>.>Q) −  ε7' =  " @ Q.KKYI> $J   A'B− A' ε = ( + >.I) + ( − >.>Q) −   ε A' = 7'   A' " εA' " .>YI>$J (A8ARAM-TE)

K) l nudo A de la armadura representada desciende ∆ unidades (in#nitesimal). 'alcular la deformación unitaria a1ial promedio en cada barra. eometr 7arrasi+uales Material

ara deformaciones in#nitesimales, puede apro1imarse la rotación de un elemento

8

8

α α %-gE

A

barra α→>

→ arco de circunferencia

 %-gE

barra α→>

→ perpendicular a la barra (en posición inicial)

n la armadura dada* debido a la S-MTRA TETA8, el punto A se despla!a 9erticalmente.

I)

DS'SE D8 TE A (E A8ARAM-TE D 7ARRA)

)

α α

I)

)

α α A

A

∆

∆ ∆ → alar+amiento de

AB 

la barra () ∆I → alar+amiento de la barra (I)

α α ∆I

∆

AB

→ ∆I " ∆cosαN ∆ " ∆cosα 8 + ∆I − 8 8 + ∆ cosα − 8 ∆ εI = = = cosα

8 8 8 (Deformación unitaria a1ial en la barra I)

Similar para la barra .

ε =

∆ 8

cosα

84



J) 8a barra r+ida A', en posición 5ori!ontal, está soportada por tres barras del+adas deformables, se+:n se indica en el esquema. na fuer!a  y un momento M ocasionan que la barra r+ida descienda I pul+. y que +ire O alrededor del punto 7. Determinar las deformaciones unitarias promedio que se inducen en las barras. (8as distancias están e1presadas en pies).

I> M

A

7

' barra r+ida



I>





8a barra r+ida E S D%ERMA, sólo se despla!a y rota.

I)

( 7

A

∆

IC

∆I AB

(K

∆K

' 'B

7B

O

∆I @ I

∆I @ ∆

∆I @ ∆K

→ ∆I @ I " I>tanO ∆ @ ∆I " IQ>tanO ∆I @ ∆K " J>tanO

ota) 8a barra r+ida A' +ira en el mismo sentido que el momento M. R'ERDAR* tanβ ≈ β si β → > (β en radianes) π ∆I " I ? I>  K> 'on apro1imación su#ciente → π ∆ " ∆I @ IQ>  K> π ∆K " ∆I @ J>  K> Jπ Jπ π ∆I " I ? K ∆ " I @ K ∆K " I @ K

85



8ue+o*

εI =

∆I " >.>JK (9eri#car operaciones)

I>

∆

 = −>.>>I (A'ERTAM- TES) I>  ∆K εK = = −>.> I>  ε =

7 7B

) n cilindro de pared del+ada está sometido a torsión, en tal forma que su e1tremo libre 7, +ira un án+ulo ∆φ " IO, con relación al e1tremo #/o A. Determinar la deformación cortante inducida en un punto  sobre la super#cie e1terna del cilindro. 8 " I>C espesor t → > r "IC

 A

r 7

n el plano tan+ente al cilindro que pasa por  consideramos un elemento in#nitesimal (antes de la deformación). y 8ue+o de aplicado el torsor, la +eneratri! de referencia se distorsiona y tambi6n se distorsiona el elemento rectan+ular seFalado dy  d1

A

1

7

!

86



l án+ulo θ indica el cambio de án+ulo recto

T r

dyB

y yB

A

B

θ

B d1B

dθ

1 1B

'on su#ciente apro1imación*

7 δ " r∆φ

∆φ

tanθ ≈ δ 8

→

δ θ " arc tan( ) 8

r∆φ ) 8 ó (∆φ en radianes) π   I × I× K>   θ ≈ arctan  I>   ≈ >.> rad 8ue+o γ 1y " @ >.> rad

θ ≈ arctan(

l si+no ne+ati9o indica el incremento del ∠recto inicial (en ). ) n un sólido deformable, el campo de despla!amientos está de#nido por las ecuaciones* u"a1 N 9"ayN _"$a!, donde a"I>$. Determinar la deformación normal unitaria en el punto  (>, , $I) medida en la dirección del 9ector N " (Qi @  ? JK )0. cuaciones del 'ampo de despla!amientos* u"a1 9"ay _"$a!, donde a"I>$  .

E(Q0, $I0, J0) )

N

'oordenadas del punto > (Q0, $I0, J0) G (1,y,!)

N

(>, , $I)

Se determinan las coordenadas del punto G* 1 @ > " Q0N y @  " $ I0 Ebtenemos* 1 " Q0 y " IX0

! ? I " J0 ! " $0

'omo son conocidas las ecuaciones del campo de despla!amientos y las coordenadas de los puntos e1tremos del 9ector G, determinamos los puntos  y G. 87



G

'oordenadas del punto * 

G

1 " > ? a (>) " > y "  ? a ()  "  ? Qa ! " $I @ a ($I)  " $I @ a  (>, .>>>>Q, $ I.>>>>")

 'oordenadas del punto G*

1 " Q0 ? a (Q0)  1 " >.QQQ>  y " IX0 ? a (IX0) y " I.QQQ>  ! " $ 0 $ a ($ 0) ! " $>. G (>.QQQ>, I.QQQ>, $>.) 8a distancia entre los puntos  y G es* G " I.>>>>I 8a distancia entre los puntos  y G es G " I

(  )  "

B GB  G " >.>>>> .I G

or tanto la deformación unitaria es

Not&) n al+unos problemas es con9eniente usar apro1imaciones num6ricas, cuando las deformaciones son de carácter in#nitesimal. •) (I ? )n ≈ I ? n, si  → > (Apro1imación 7inomial) (n es cualquier numero real).

••) (I ? )(I ? =) ≈ I ?  ? =, si , = → > •••)senα ≈ αN tanα ≈ αN cosα ≈ I

n particular* (I ? ) " I ? 

si α → >

I

(I ? )I0 " I ?   (I ? )@I " I @ N etc. stas apro1imaciones simpli#can el cálculo deformaciones unitarias normales y cortantes.

num6rico

de

las

E.>> rad. Determinar la deformación unitaria normal promedio en el alambre 7'.

88



l án+ulo θ indica el cambio de án+ulo recto  '

'

7

7 7B

8

8

θ

θ " >.>> rad

A

A

u = 8 senθ 7  9 = 8 − 8 cosθ Despla!amientos del punto   → '7B = (8 + 8senθ) + (8 − 8 cosθ) = 8  + Jsenθ −  cosθ 'omo θ → > → '7B ≈ 8  + Jθ −  → '7B ≈ 8 J + Jθ '7B ≈ 8(I ? θ)I0 Apro1imación binomial '7B ≈ 8(I ?

I 

θ) ≈ 8 ? 8 θ

'7B−'7 8 + 8θ − 8 θ = = '7  8  Deformación unitaria → ε'7 " >.>> ε'7 "  " >.>>I (Deformación promedio)

Not&) l estiramiento del alambre es ≈ 8 senθ ≈ 8θ → ∆8 8θ θ ε= = 8 ). ε'7 " 8  " >.>>I (Recordar ) na #bra A7 tiene lon+itud 8 y orientación θ. Sus e1tremos A y 7 e1perimentan despla!amientos in#nitesimales uA y 97, respecti9amente. Demostrar que, cuando la #bra adopte la posición AB7B, se +enera una deformación unitaria normal. 7B y εA7 ≈ I8 [97senθ @ uAcosθ\ 97 7 ('on su#ciente apro1imación) 8 Deformación unitaria → εA7 " 8B − 8 . . . (V) 8B 8 θ A 1 AB uA 'oordenadas de AB → (uA, >) 'oordenadas de 7B → (8 cos θ, 8 sen θ ? 97)   = θ − + θ + 8 B ( 8 cos u ) ( 8 sen 9 ) A 7 (Distancia entre dos puntos) →

89



8B = 8 cos θ + uA − 8uA cosθ + 8senθ + 97 + 897senθ 8B = 8 + 8(97senθ − uA cosθ) + (uA + 97 ) 'omo uA y 97 son in#nitesimales, la suma u A ? 97 → >. 8ue+o, con apro1imación su#ciente, tenemos*  8B ≈ 8 + 8( 97senθ − uA cosθ) ≈ 8 I + (97senθ − uA cosθ) 8 or la apro1imación binomial I 8B ≈ 8[I ?  8 (97senθ $ uAcosθ)\ I 8B ≈ 8[I ? 8 (97senθ $ uAcosθ)\

8[I + I8 (97senθ − uA cosθ)\ − 8 ε A7 ≈ 8 Reempla!ando en (V)* I Simpli#cando ε A7 ≈ 8 ( 97senθ − uA cosθ) K) Dos barras A y 7 están articuladas se+:n se indica en el esquema. 'uál es la deformación a1ial promedio en cada barra, si el punto  se despla!a 1 unidades 5acia la derec5a 'uáles serán los 9alores apro1imados de las deformaciones si 1 fuese muy pequeFo comparado con 8 K8 8

A

K>O

>O

7

7

A

5



εA "

5=8 K

 1 B

(8 K) + (K8 + 1)  − (8 K) + (K8)  AB− A = A (8 K) + (K8)

Simpli#cando tenemos* K8 + 8 + 18 + 1 − 8 K 8 K εA "

  

8 I +

εA "

 1 1 +  −  K   8 8  8 K

=

  I   I + 1 + 1 −  K   8 8  K  

Apro1imación* Si 1 es pequeFo comparado con 8 → 8ue+o*

1 →> 8 .

90



ε A ≈

 I   I I + 1 −  K   I8  K  

ε A ≈

  I 1 − I  K I +  I8  K  

ε A ≈ I +

1 −I I8

I 1  ε A ≈ I +    − I  I 8   Apro1imación 7inomial →

ε A ≈

= ε7

1 J8

(8 − 1)  + (8 K)  − 8 + (8 K)  8 + 1 − 81 + K8 − 8 = 8 8 + (8 K) 

 I I  1 1    J8 − 81 + 1 − 8 = J− = + −   8   8 8  ε7 1 Apro1imación de Ier orden ( 8 → >)

(

)

 I  1 1 ≈  J I − −  ≈ − −I I    J8 J 8  ε7 Apro1imación 7inomial* I 1 1 ≈ I− ( ) −I ≈ −  J8 J8 ε7 J) na placa del+ada, en forma de ∆ rectán+ulo isósceles, está sometida a una deformación, de manera que sus catetos e1perimentan la deformación unitaria εI y la 5ipotenusa, la deformación unitaria @ ε. i) Demostrar que, con apro1imación su#ciente, la deformación unitaria de la altura del ∆, es ε5 ≈ εI ? ε. ii) Demostrar que, con apro1imación su#ciente, la distorsión del án+ulo recto, es γ ≈ (εI ? ε), radianes. 5=

a

5

a

a 

a

a

5 aB

5B

aB

!= a 

!B i) Deformación unitaria de los catetos*

91


εI =


aB−a a → aB " a εI ? a " a(I ? εI)

Deformación unitaria de la 5ipotenusa* !B−! − ε = ! → !B " ! @ ε! " !(I @ ε) !B " a  (I @ ε) Deformación unitaria de la altura 5 →

ε5 =

5B−5 5 . . . . (V)



a   5B = a (I + εI) −  (I − ε  )    5B = a I + εI + εI − I − I ε  + ε = a 

5B =



I 

+ εI + ε  + (εI − I ε  )

a I + JεI + ε  + (εI − I ε  ) 

Ira apro1imación → se desprecian los in#nit6simos de orden superior* a (I + JεI + ε  ) I 0  5B ≈  da  apro1imación → apro1imación binomial a 5B ≈ [I + I (JεI + ε )] ≈ a (I + εI + ε  )   Reempla!ando en (V)* a a (I + εI + ε  ) −  ε5 ≈  a  N ε5 ≈ εI ? ε

simpli#cando obtenemos

ii)

γ → p6rdida de perpendicularidad γ ? θ " π → θ " π @ γ

θ



γ 0

θ0

γ 0

a (I − ε  ) 



J



sen θ " sen π cos γ @ cos π sen γ   J J a(I ? εI) a  (I − ε  ) γ γ  =  (cos − sen ) a(I + ε I )   

I − ε γ γ = cos − sen   Simpli#cando obtenemos* I + εI

92



cos

γ

γ

γ

sen  → I y  →  rimera apro1imación (γ → >) → I − ε I − ε γ γ ≈ I− ≈ I−  , de donde  I + εI 8ue+o* I + εI

εI + ε  I + εI Se+unda apro1imación (I ? εI)@I ≈ I @ εI (7inomial) γ ≈ (εI + ε )(I − εI) ≈ (εI − εI + ε − εIε ) → γ ≈ 

Apro1imación #nal (-n#nit6simos de orden superior se desprecian) γ ≈ (εI + ε  ) ) 8os catetos a y b y la 5ipotenusa c de un ∆ rectán+ulo, e1perimentan las deformaciones unitarias εa, εb y εc, respecti9amente.
γ =

π

−θ

 → senγ " cosθ . . . . (V) Determinamos cosθ usando 8ey de 'osenos (en el ∆ deformado). cB = aB +bB −aB bB cosθ →

c (I + ε c ) = a (I + ε a ) + b (I + εb ) − a(I + ε a )(I + ε b )b cosθ Apro1imación → Sólo t6rminos de primer orden c ? cεc " a ? aεa ? b ? bεb @ ab(I ? εa ? εb)cosθ pero c " a ? b (∆ antes de la deformación). De donde obtenemos → aε a + bε b − cε c abcosθ ≈ I + ε a + εb I = (I + ε a + ε b ) −I = I − ε a − εb I + ε a + εb Apro1imación 7inomial 8ue+o*

abcosθ ≈ (aε a + bεb − cε c )(I − ε a − εb )

Apro1imación → T6rminos de primer orden. Ebtenemos abcosθ ≈ aε a + bεb − cε c aε a + bεb − cε c a b c ≈ εa + εb − εc cosθ ≈ ab b a ab or tanto*

93



a b

b a

cosθ ≈ ε a + ε b −

a + b ε ab c

pero c " a ? b → a b a b cosθ ≈ ε a + εb − ε c − ε c b a b a , e1presión que puede escribirse* b a cosθ ≈ (εb − ε c ) + (ε a − ε c ) a b senγ ≈ or (V)

b a (εb − ε c ) + (ε a − ε c ) ≈ γ  a b Distorsió an+ular

(in#nitesimal)

1.1)R#'&cion#$ Di(#r#nci&'#$ #ntr# D#$"'&:&i#nto$ 8 D#(or&cion#$ Unit&ri&$. o siempre es posible relacionar directamente las deformaciones unitarias normales y cortantes con los despla!amientos de los sólidos en estudio. De manera +eneral, es con9eniente relacionar analticamente las deformaciones unitarias ε1, εy, γ 1y con las componentes u, 9 del 9ector despla!amiento. Anali!aremos el caso bidimensional, para deformaciones in#nitesimales ( ε1, εy, γ 1y → >) n un cuerpo bidimensional no deformado, consideremos dos se+mentos orto+onales e in#nitesimales (A7 y A'), orientados en las direcciones 1, y respecti9amente. Durante la deformación, los se+mentos A7 y A' se alar+an o contraen y rotan. 8os puntos A, 7 y ' se despla!an 5asta AB, 7B, 'B. ∂u  cambioenu dy ∂y  debidoal cambioen y

dy +

∂9 dy ∂y

u

dA y

'

'B

β

7B AB

α

cambiode =

∂9  d1 debidoal ∂1 

cambioen 1

∂u d1 + d1 9 ∂1

dy 1 A

d1

7

y 1

or la 5ipótesis de las deformaciones in#nitesimales* α, β → > → cosα, cosβ → I N tanα ≈ αN senα ≈ α tanβ ≈ βN senβ ≈ β Apro1imaciones de la función coseno* 94


∂9 dy ∂ y AB'B ≈ dy ? N


AB7B ≈ d1 ?

u d1 1





Sin incluir in#nit6simos de orden superior, las deformaciones unitarias se e1presan por* ∂u d1 − d1 + d1 AB7B− A7 ∂1 ε1 = = A7 d1 ∂u ε1 = ∂1 . . . . (I) de donde* De manera similar* ∂9 dy + dy − dy AB 'B− A' ∂y εy = = A' dy ∂9 εy = ∂y . . . . () 8a deformación cortante, se e1presa por γ 1y " α ? β (rad) Apro1imación de la función tan+ente* ∂u dy ∂u ∂9 ∂9 d1 γ 1y = ∂1 + ∂y = ∂1 + ∂y ∂u ∂9 ∂u I ∂9 d1 + d1 dy + dy I + + ∂1 ∂y ∂1 ∂y Teniendo en cuenta las ecuaciones (I) y () ∂u ∂9 γ 1y = ∂1 + ∂y I + ε1 I + εy . . . . (K) n el caso de deformaciones pequeFas → ε1 y εy → >. 8ue+o con su#ciente apro1imación* ∂9 ∂u γ 1y ≈ + ∂1 ∂y . . . . (K.I)

D#+nicion#$) 8as ecuaciones (I), (), (K.I) de#nen R8A'-ES D-%R'-A8S entre ε1, εy, γ 1y y las 'EMETS u, 9 del ='TER DS8A3AM-TES. Son 9álidas para problemas bidimensionales que in9olucran deformaciones in#nitesimales. 8as ecuaciones (I), () y (K.I) se denominan 'A'-ES D 'A'<4. uede demostrarse que E SE TETA8MT -DD-TS.

Not&$) i) 8as ecuaciones (I), (), (K.I) son 9álidas -DD-TMT D8 MATR-A8 D8 SH8-DE. (-'A RSTR-''-H → ε1, εy, α, β → >) 95



ii) 'onocido el campo de despla!amientos. u " u(1, y)N 9 " 9(1, y), por deri9ación parcial se determina ε1, εy, γ 1y. Recprocamente, conocidos ε1, εy, γ 1y por inte+ración pueden encontrarse las ecuaciones del campo de despla!amientos. K ∂ ε 1 u ∂ ∂u = ε1 =  ∂y∂1 . . . . (i) ∂1 obtenemos ∂y iii)De ∂ ε y ∂ K9 ∂9 = εy = ∂y obtenemos ∂1 ∂1∂y . . . . (ii) De ∂ γ 1y ∂ Ku ∂ K9 ∂u ∂9 = + γ 1y = + ∂y ∂1 obtenemos ∂y∂1 ∂1∂y ∂y∂1 . . . . (iii) De

Reempla!ando (i) y (ii) en (iii)*

∂ γ 1y ∂ ε 1 ∂ ε y = + ∂y∂1 ∂y ∂1 . . . . (9i) Denominada 'A'-H D 'EMAT-7-8-DAD D 8AS D%ERMA'-ES -TAR-AS ERMA8S 4 'ERTAT (cuación de Saint$=enant). n consecuencia, un campo de despla!amientos E D de#nirse por funciones u, 9 totalmente arbitrarias. 8as funciones u, 9 son funciones condicionadas.

D#+nicion#$) 8as funciones u, 9 consistentes con las ecuaciones (I), (), (K.I) se denominan %'-ES ADM-S-78S para un 'ampo de Despla!amientos 7idimensional. i9)8as e1presiones deducidas para el caso bidimensional pueden ser e1tendidas para roblemas Tridimensionales. u* despla!amiento se+:n

 u = u( 1, y, !) e/e 1 'ampode   9 = 9(1, y, !) Despla!ami entos 9* despla!amiento se+:n _ = _(1, y, !) e/e y  ∂u ε 1 = → en dirección 1 ∂1 D%ERMA'-E S ∂9 en dirección y -TAR-AS ε y = → ∂ y ERMA8S  ε = ∂_ → en dirección!  ! ∂!  γ = ∂u + ∂9 → en el plano 1y  1y ∂y ∂1 D%ERMA'-E S ∂_ ∂u γ 1! = ∂1 + ∂! → en el plano 1! 'ERTATS  γ y! = ∂_ + ∂9 → en el plano y!  ∂y ∂! E
96



u " Jay i ? a1 j ? a! k . ncontrar las deformaciones normales y cortantes en un punto +en6rico G(1, y, !).

u = Jay 'ampode  9 = a1 Despla!ami entos   _ = a! Deformaciones ormales*

∂9 ∂_ ∂u = > ε y = ∂y = > ε! = = a! ∂1 ∂ ! N N ∂ ∂ γ 1y = u + 9 = Qay + Ja1 ∂y ∂1 ∂_ ∂u γ 1! = + = >+ > = > ∂1 ∂! ∂_ ∂9 γ y! = + = >+ > = > ∂y ∂!

ε1 =

Deformaciones 'ortantes*

) na 9arilla del+ada de lon+itud 8 tiene un e1tremo #/o E. u=

1 J>>8 , 5allar la

i) Si sus puntos se despla!an en dirección 1 mediante má1ima deformación unitaria normal. π1 ε 1 = I>− J cos 8 , 5allar el cambio ii) Si la deformación unitaria normal es total de lon+itud. 8 o

1

 ∂u 1 1 i) De u = obtenemos ε 1 = = ∂1 >>8 J>>8

ε1 (8, ε1 má1)

8

1

 1  = I   >> 8   1 =8 >> (ε1)má1 "

se presenta en el e1tremo libre (1 " 8).

 =er ecuación(V)     secciónI..   ∆8 = ε 1d1  al #nali!ar  8 ii) Alar+amiento total* samos 8 π1 ∆8 = I>− J cos d1 > 8 → π1  8 − J  8 ∆8 = I>  sen  8  > π 8  ∆8 = I>− J     π  (en unidades de 8)

∫ 

∫

97



K) na placa de espesor uniforme IC y forma parabólica, es de un material cuyo peso espec#co es J>> lb0pieK. Si la deformación unitaria en I ε y = σy  , siendo  una constante ( " YI> X dirección 9ertical es lb0pul+), 5allar la D%82-H que e1perimenta el 96rtice A por efectos del peso propio. y

A

De&e1ión ∆A= 9erticaldel punto A 

A AB

I>B

γ

1 KB e"IC

y

I> @ y

$1 1

I> @ y P

y 1

σy =

e " I0IB

1

I )(J>> ( K)(1)(I> − y)( I ) I) (1)( I

Simpli#cando

σy =

σy

(en lb0pie)

Q>> (I> − y) K

(compresión) I  Q>> ε y =    (I> − y)  K   8ue+o, la deformación unitaria es* l 'ambio Total de lon+itud, es* I> Q>> ∆ =  ε ydy = I    (I> − y)dy 8 >   K 

∫

∫

∆ " J.KYI>$ pies → descenso del punto A. ∆A= " J.KYI>$ pies (ota* 8a constante  debe ser e1presada en lb0pie ) J) n campo de despla!amientos está dado por u " UyN 9 " > (U>). i) ra#car la deformación del cuadrado unitario EA7'. ii) 'alcular la deformación cortante en el punto '(>, I).

98



y

i) =ectores despla!amiento d> " (>,>) dA " (>,>) d7 " (U,o) d' " (U,o)

7 (I,I)

(>,I) '

>

1

A (I,>)

y (9)

'

U 'B

7 U 7B arábolas (u " Uy)

(u,y) > >B

A AB

1 (u)

ii) γ 1y en el punto '(>, I). θ '

θI

tan+ente por 'B

'B

γ 1y " θ (p6rdida de ⊥) dy tanθI =  du 'B

I  = I  Uy  y=I U I tanθI = U tanθI =

π 8ue+o como θ ? θI "  → tanθI " cotanθ I  I θ = arccotan    U  rad cotanθ " U →

 I    γ 1y " arc cotan  U  (e9aluada en 'B) ) n prisma rectan+ular tiene la deformación representada. 8os despla!amientos están dados por u " ' I1y!N 9 " '1y!N _ " ' K1y!. i) Determinar las deformaciones unitarias normales y cortantes en el punto , si las coordenadas de B son (I.>K, I.>>I, I.X) (en metros) ii) 'alcular la deformación normal en dirección A.

99



!  B %B %

D  B

1

A AB

=ector despla!amiento en el punto  ( I ) d " (>.>>K,>.>>I,@>.>>K) → >.>>K " 'I(I)(I.)() → 'I " >.>>I

.> m 'B '

I.> m

y

I. m 7 7B

Tambi6n* >.>>I " '(I)(I.)() → ' " >.>>I0K @ >.>>K " 'K(I)(I.)() → 'K " $>.>>I 'ampo de despla!amientos* u " >.>>I1y!N 9 "

>.>>I K 1y!N

_ " @ >.>>I1y!

Deformaciones unitarias normales* ∂u ε 1 = = >.>>Iy! ∂1 → (ε1) " (>.>>I)(I)() " >.>> ∂ ε y = u = >.>>I1! >.>>I K ∂y → (εy) " ( K )(I.)() " >.>>I ∂_ ε! = = −>.>>I1y ∂! → (ε!) "(@ >.>>I)(I.)(I) " @ >.>>I Deformaciones cortantes* ∂ ∂ γ 1y = u + 9 = >.>>I1!+ >.>>Iy! K ∂y ∂1 (γ 1y) " >.>>I(I.)() ?

>.>>I K (I)()

" >.>>KX rad

De manera similar se calculan γ !1N γ y! ∂_ ∂u γ !1 = + = −>.>>Iy! + >.>>I1 ∂1 ∂! >.>>I ∂_ ∂9 γ y! = + = −>.>>I1!+ 1y K ∂y ∂! Reempla!ando las coordenadas (iniciales) del punto , obtenemos* (γ !1) " $>.>>> rad (γ y!) " $>.>> rad (=eri#car operaciones) Deformación unitaria en dirección A* 100


(ε A) = (ε A) =


AB− A A N A(I., >, >)N B(I.>K, I.>>I, I.X)N (I., I, ) (I.>K− I.) + (I.>>I− >)  + (I.X− >) − I + 

(εA) " @ >.>>

I +  (Acortamiento de la dia+onal A)

1.11)Pro"i#d&d#$ M#c%nic&$ d# 'o$ M&t#ri&'#$. En$&8o Uni&5i&' d# Tr&ccin. Di&r&&$ E$(u#r:o Nor&'  D#(or&cin Unit&ri&. 1.11.1) Introduccin. D#+nicion#$. l comportamiento de un sólido o de sistema estructural ba/o acción de las car+as aplicadas, está si+ni#cati9amente determinado por las caractersticas (propiedades) mecánicas del material empleado. 8os esfuer!os y las deformaciones unitarias descritas en las secciones anteriores, no son totalmente independientes entre s. Se presentan simultáneamente en los sólidos car+ados y están relacionados entre s.

1 u

∆

ε1 σ1

Se +eneran simultáneamente

 8as relaciones e1istentes entre esfuer!os y deformaciones unitarias se denominan 'A'-ES 'EST-TT-=AS* φ(σ, τ, ε, γ ) " >. 8as constantes que inter9ienen en tales relaciones, +eneralmente son determinadas e1perimentalmente (en laboratorios). 8os resultados que se obtienen se aceptan como =A8ERS R%R'-A8S para solucionar problemas de DiseFo (dimensionamiento) y de =eri#cación (cálculos comparati9os de esfuer!os y deformaciones).

• MATR-A8 %R -8* %alla s:bitamente cuando es car+ado en tracción con muy poca ad9ertencia si es car+ada en compresión (rocas, 9idrios, cO com:n, yeso, etc.)

•

MATR-A8





 de ba/a intensidad

MATR-A8 D'T-8* ermite deformaciones unitarias considerables antes de fallar (aceros, bronce, aluminio, ..., etc) 'E'RTE ARMADE → material semi $ d:ctil . A'RE → material con9encional más usado (/unto al concreto) en estructuras de -n+eniera 'i9il. • ropiedades esencialmente i+uales en tracción y en compresión. • le9ada R--D3 (resistencia a la deformación)

101



• Alta D'T-8-DAD (absorbe +randes deformaciones antes de

fallar). • Adecuado tiempo de ser9icio, si es prote+ido contra la corrosión y las +randes temperaturas.

1.11.7) En$&8o Uni&5i&' d# Tr&ccin. Di&r&& B . 8as principales propiedades mecánicas del acero, y en +eneral las de todo material, que interesan en Mecánica de Sólidos, suelen determinarse e1perimentalmente en 8aboratorios, mediante ensayos estandari!ados. n ensayo muy importante es el nsayo o rueba de Tracción nia1ial. sualmente, las probetas del material, se ensayan en máquinas mecánicas, 5idráulicas o electro5idráulicas, que permiten la aplicación +radual de dos fuer!as i+uales y opuestas diri+idas a lo lar+o del e/e +eom6trico lon+itudinal de la probeta. 8a car+a a1ial que se aplica produce alar+amientos en una lon+itud de referencia. qui9alentemente, los esfuer!os normales que son inducidos +eneran deformaciones unitarias a1iales en la probeta ensayada. A>  

8>

Dispositi9os que permiten aplicar +radualmente la car+a a1ial

robeta inicial 8a aplicación +radual (por incrementos) de la car+a a1ial, es necesaria para no +enerar %'TES D-;M-'ES (aceleraciones o 9ibraciones) en el material que se está ensayando (Aplicación stática de la 'ar+a A1ial). Durante el ensayo se re+istran 9alores de la car+a y del alar+amiento producido (o se re+istran 9alores del esfuer!o normal y de la deformación unitaria correspondiente). Se re+istran IN ∆I Se re+istran (o calculan) ∆  I I σI = I y εI = I A> 8> 8> ? ∆I 8a car+a comien!a desde un 9alor > y se 9a incrementando, a 9elocidad especi#cada, 5asta ocasionar la ruptura (falla) de la probeta. > ≤  ≤ u

u

u +ar+anta (estricción)

ar+anta →!ona de +randes deformaciones unitarias y brusca reducción de la sección trans9ersal (disipación de ener+a $ calor).

Not&) s usual referir los S%R3ES ERMA8S inducidos al (A >) ;rea Trans9ersal -nicial de la robeta. 8as D%ERMA'-ES -TAR-AS se re#eren a 8a 8on+itud -nicial (8 >). (sfuer!os y Deformaciones de -n+eniera).

102



8os resultados de 9arias obser9aciones durante el ensayo se +ra#can en un dia+rama 'ARA @ A8ARAM-TE (o en un D-ARAMA S%R3E ERMA8 @ D%ERMA'-H -TAR-A).  σ

rotura I

cambio de escalas

∆I

 σI = I A>

σI

∆

Dia+rama $∆

rotura

εI = ∆I 8>

εI

ε

Dia+rama σ$ε

( ) 8as +rá#cas obtenidas describen el comportamiento del material ante car+as de Tracción nia1ial. ara el acero estructural, una 'R=A T-'A, presenta las caractersticas si+uientes* c σ 3ona #nal b r aB rotura a 3ona de endurecimiento scalón de &uencia 3ona de incertidumbre arte -nicial (endiente muy fuerte) >

acero

ε

σ= 

A>

ε=

∆ 8>

arte -nicial → (> @ a) → 8os esfuer!os son proporcionales a las deformaciones unitarias. l punto CaC, no es fácil de precisar. arte a @ aB → 3ona de -'RT-DM7R, por el cambio de un Rh-M 8-A8 a un Rh-M E 8-A8. arte aB @ b → 3ona lana o scalón de %luencia. Ecupa una posición sensiblemente 5ori!ontal. -ndica que las deformaciones unitarias se incrementan rápidamente, sin que 9are notoriamente el correspondiente 9alor del esfuer!o normal. n la !ona de endurecimiento (b @ c) se 5ace necesario incrementar el esfuer!o para lo+rar aumentar las deformaciones unitarias, 5asta un punto donde se alcan!a el σmá1. osteriormente, la probeta se deforma rápidamente y el esfuer!o decrece. n el punto r se produce la ruptura de la probeta.

103



(ε, σmá1)

lmite de elasticidad

σy σp

(εr, σr) inicio de la &uencia 8mite de proporcionalidad

eneralmente*

σ p ≈ σy εp ≈ εy

εp εy Acerostructura l σmá1 = Q Ulb0pul+ σ y → sfuer!ode &uencia  n nitariade &uenci (9aloresreferenciales) σ y = K Ulb0pul+ ε y → Deformació Not&$) • n la parte inicial del dia+rama los sfuer!os ormales son proporcionales con las Deformaciones nitarias (8ey de ). • 8as deformaciones unitarias están referidas a la lon+itud inicial de referencia (8>). • 'ada material tiene un Dia+rama σ $ ε caracterstico. ara diferentes tipos de un material, e1isten 9ariaciones en los dia+ramas caractersticos. σ (Ulb0pul+ ) σ Alta resistencia 'E'RTE S-M8 . Resistencia intermedia MADRA J.Q (ino) 7a/a resistencia

>.> >.>K (

• •

ε )

(A'RE) (

ε )

n la mayora de materiales tradicionales usados en -n+eniera 'i9il, el escalón de &uencia E tiene inicio en un punto perfectamente de#nido. %undamentalmente, el Dia+rama σ $ ε presenta DES 3EAS diferenciadas.

σ

3EA 8;ST-'A 8-A8

ε 3EA 8;ST-'A

3EA -8;ST-'A 104



3EA 8;ST-'A → 'aracteri!ada re9ersibles (recuperables).

por

deformaciones

unitarias

l CmaterialC recupera su con#+uración inicial, al cesar el esfuer!o que lo deformó. 3EA -8;ST-'A → caracteri!ada por deformaciones unitarias no recuperables (irre9ersibles). σ A> --'-A8  'ARA 8>

DS'ARA

ε

σ

σ AIN 8I

AB ≠ A> %-A8 8B ≠ 8>

ε

Deformación unitaria permanente (-rre9ersible) Cl sólido (o el material) no recupera totalmente su con#+uración inicial al cesar la causa que lo deformóC. or de#nición (nominalmente) se considera que la trayectoria de car+a y la trayectoria de descar+a son paralelas. RA8-3AR SA4ES  8 σ 8A7ERATER-E ('oordinar)

ε

ε

1.17)M&t#ri&'#$ E'%$tico > Lin#&'#$. L#8 d# !OOE Al+unos elementos estructurales se dimensionan de manera que los esfuer!os normales producidos por las car+as actuantes, permane!can en la 3EA --'-A8 del Dia+rama σ $ ε del respecti9o material (DiseFo lástico).

σ σp≈σy

8mite de proporcionalidad (o inicio de la &uencia)

 → M D8E D 8AST-'-DAD 8-A8 D8 MATR-A8 (Módulo de 4oun+)  arte recta del Dia+rama → σ " ε l módulo de elasticidad  tiene dimensiones I ε de sfuer!o, y representa la pendiente de la εp≈εy porción recta inicial del dia+rama σ $ ε 3ona de diseFo elástico D#+nicin) 8a ecuación  E se denomina 84 D
105



MATR-A8

=A8ERS T-'ES () . . . . X @  a

•

Aluminio . . . . . . . . . . . . . . • 8atón . . . . . . . . . . . . . . . . •
. . . . I>> a . . . . IX> a . . . . I a . . . . > a . . . . I a

Not&$) 'uanto se alar+ara la barra si aplicásemos un esfuer!o normal cuyo 9alor sea el mismo que el 9alor del módulo de elasticidad lineal. i)

A>N 8>

MATR-A8 8 ST-'E$8-A8

--'-A8

σ"

8ey de
σ" 8"

∆8 = ε ∆8 → I= → ∆8 " 8> σ" ero

σ"

8>

8>

8"8> %sicamente, el módulo lineal de elasticidad representara un 9alor del sfuer!o ormal necesario para producir en el elemento una deformación unitaria i+ual a la unidad (o duplicar su lon+itud inicial). ii) s posible escribir 8a 8ey de


 8 ? ∆8

↓

∆8  =  de donde obtenemos A 8 8 (%órmula del alar+amiento ∆8 = A elástico lineal) 



A  =    ∆8 8  

I

A 8

∆8 106



A D#+nicin) l factor 8 se denomina R--D3 A2-A8 D 8A 7ARRA. A W " 8 (combinación de +eometra ? material) → " W(∆8) %sicamente, el 'oe#ciente de Ri+ide! A1ial W, representa un 9alor de la fuer!a a1ial  necesario para producir un Alar+amiento nitario. (Si ∆8 " I →  " W). I l factor R'RE'E W de denomina %82-7-8-DAD A2-A8 D 8A 7ARRA. iii)8a constante W tambi6n suele denominarse 'ESTAT D RSERT G-=A8T*

∆

W



 " U∆

W tiene unidades de %uer!a 0 nidades de 8on+itud [W\ " [%\0[8\ na barra de material elástico lineal se comporta básicamente como un RSERT 8-A8 8;ST-'E → De modo similar al resorte, la barra almacenará RA. 8 A puede usarse para el caso i9) 8a fórmula del Alar+amiento lástico se sólidos (de material elástico lineal) con secciones trans9ersales 9ariables y0o con car+a a1ial 9ariable. A " A(1) (%unción de área* A'ETADA)

∆8 =

(1)

∆8 "  d1

1 8

('ar+a (1) a1ial)

1 l alar+amiento del elemento diferencial, es* (1) d1 ∆(d1) = A( 1) n consecuencia, el alar+amiento total del sólido se e9aluará mediante una inte+ral de#nida*

107


∆8 =


(1)

∫ A(1) d1 ó 

8

alternati9amente

∆8 =

∫ 

8

σ(1) 

d1

or 8a 8ey de
∆8 =

∫ ε(1)d1 

8

1presión coincidente con la deducida por ra!onamientos +eom6tricos (9er sección I..).

Not&) l producto A se denomina R--D3 D 8A S''-H. E
1

8  A

(1)

γ → peso espec#co →

∆8 =

( 1) d1 = 8 A( 1)

∫ 

(8 − 1)Aγ d1 d1 > A 8

∫

8 ∆8 = γ

 9aluando la inte+ral, obtenemos γ A88 ∆8 = A , con lo cual tenemos Not&) uede escribirse P8 ∆8 =     A  Alar+amien to producid P porunafuer!aa1ial  ,

8  A

siendo P " γ A8 el peso total de la barra.

8  A

γ ∆8

γ

i+uales

∆8 P0

Si la barra soporta la acción de una car+a a1ial centrada, , aplicada en su e1tremo libre, de manera que el material permane!ca en la !ona elástica @ lineal, el alar+amiento total sera* γ 8 8 ∆8 = +  A 108



'aso particular del rincipio de Superposición* 8  A

8  A

" γ

8  A

? γ

%'TE = 'EMSTE

%'TES ∑ -D-=-DA8 S

=álido para 'omportamiento 8ineal lástico

 %'TE D8 %'TE 'EMSTE SE RE-E

 %'TE D 8A 'ARA A2-A8 ) 'alcular el despla!amiento del punto ' en el sistema representado. 8as barras deformables son de material lineal elástico, con módulo  " YI>J U0cm. 8I =  m 7arraI)  AI =  cm I) " U 8 = J m % 7arra)  D  A =  cm " U

) '

A

7

Ja

a

7arras r+idas Ja

%R3AS A2-A8S  (I) 4 ()* %I

%

D %

'

∆' " ∆I ? ∆ . . . . (V) or equilibrio* %I "  UN % " K> U (ambas barras en tracción)

 R%

% A

(%uer!as → UN 8on+ → cm) l despla!amiento del punto ' debe ser i+ual a la suma de los cambios de lon+itud de las barras deformables (I) y ()

7

 U A8ARAM-TES D 8AS 7ARRAS (I) 4 ()* 8   8  ∆I =    N ∆  =    A  I  A  

R7  U Reempla!ando 9alores num6ricos, tenemos* ()(>>) (K>)(J>>) ∆I = =  × I>−  ∆ = = K × I>−I J J ()(I> )() ()(I> )() cm N cm Reempla!ando en (V) ∆' " >.> ? >.K " >.K cm ↓

Not&) Ebser9ar la ma+nitud de los alar+amientos* Resultan ser despreciables comparados con las lon+itudes iniciales de las barras. Resultados que están de acuerdo con la 5ipótesis de Deformaciones -n#nitesimales.

109



K) n el sistema representado, determinar la R--D3 en el punto 7. 8as barras deformables son de material lineal elástico, cuyo módulo de 4oun+ es I.  7arra r+ida

8I I I) AI

(I) y () → barras deformables

8I ( I AI

7

a

a

R--D3 en el punto 7 → C=A8ER D 8A %R3A  G E'AS-E  DS8A3AM-TE -TAR-E D8 TE 7,  D-R''-H D 8A %R3A C. i) %R3AS  %I "   K % " I  7 K %I % ii) DS8A3AM-TES  " b (R--D3)

8 8 ∆ I =     ; ∆  =      A  I  A  

→ ∆I = → ∆I =

 (8I ) K

I AI J8I ; KI AI

;

∆ =

∆ =

I (8I ) K

∆I

I AI 8I KI AI

I 7

(

I)

I

∆I iii) 'EMAT-7-8-DAD EMhTR-'A I− ∆ = Ka a Reempla!ando ∆I y ∆

∆

a

∆I − ∆ 

∆I @ ∆

∆

7 a

I @ ∆ a

a

 I  8I  I  A  J8I − 8I    = − I  = I I    Ka  KIAI KIAI  a  KIAI  8I , de donde obtenemos A W 7 = I I 8I 8a R--D3 en el punto 7 es 110



J) n el sistema representado, determinar la sección trans9ersal de la 9arilla 9ertical, si el esfuer!o admisible en ella es σ " I. Ton0cm  y si el despla!amiento 9ertical del punto ' es I. mm. 'onsiderar  " YI> K Ton0cm. ' _ " I.XK Ton0m

a

 "  Ton 

7 _

barra r+ida K>O

A

a "Im a i) %R3A  8A 7ARRA D%ERMA78 (quilibrio) A=

Q Ton = I. Ton0cm  cm

% _ " I.XK Ton0m

K>O RA ii) D%ERMA'-  (Materiales)

 Ton % " Q Ton (tracción) l esfuer!o normal es* % % σ= → A= σ A '

%

∆=

%8 (Q)(I>>) → ∆= A ()(I>K )A

'B

∆'= " I.

∆ >.J de donde obtenemos A " ∆ . . . . (V) iii)'EMAT-7-8-DAD (eometra). (Seme/an!a de ∆s) ∆'= ∆'= >.I cm ∆ = ∆= = = >.>X cm I>> >> →   . >.J Reempla!ando en (V) → A " >.>X " .KK cm  De los dos 9alores calculados para área trans9ersal A, seleccionamos el mayor A " .KK cm , puesto que cumple las dos condiciones* σ ≤ ' I. Ton0cmN ∆ = " I. cm.

111



) Determinar el despla!amiento del punto de aplicación de la car+a  en el sistema representado. 'onsiderar que todas las barras tienen la misma R--D3 A2-A8 A (R--D3 D S''-H).

a



K)

(I JO JO (I a

(



K)

Eui'i*rio* o e1isten fuer!as de Reacción. 8as fuer!as en las barras se determinan por el m6todo de los nudos. %I " %K "  (compresión) → %I JO JO %K   %K %

JO JO %K

→ % "  (tracción)

M&t#ri&'* 'alculamos los cambios de lon+itud de las K barras tpicas*  a %8  a   ∆I =   = = A (acortamiento)  A  I A  a %8  a   ∆ K =   = =  A  K A A (acortamiento) %8  a  ∆  =    = A (alar+amiento)  A  

Co"&ti*i'id&d * (+eometra) 8as barras (I) y (K) se acortan la misma cantidad. 8a proyección 5ori!ontal de esos acortamientos (en 9alor absoluto) deberá ser i+ual al corrimiento del rodillo (a su 9e!, i+ual al alar+amiento de la barra ()).

112



δ< → despla!amiento 5ori!ontal (total) δ= → despla!amiento 9ertical (total)

δ<

∆I δ= ∆ → alar+amiento

de la barra ()

∆I

JO

δ=

δ= "

∆

a   A   a  a  → δ= "   +   A  A δ= " a + a A A

δ< ? δ< " ∆ → δ< " ∆I + δ <

cosJ

JO

=

δ< ) Determinar los despla!amientos 5ori!ontal y 9ertical del punto 7. Ambas barras tienen material elástico lineal.

'

D

8 " JC K>O

JO

A " >. pul+  " K>YI> lb0pul+  " ,>>> lb

8 " .JC

7  %uer!as A1iales (quilibrio)

%7' >O

%7D JO

%7' " I,JJ lb %7D " I,>K lb

,>>> lb Alar+amientos (Material) %8  (I,JJ)(J) ∆7' =    =  A  7' (>.)(K>)(I> ) " .QYI>$K pul+. %8  (I,>K)(.J) ∆7D =    =  A  7D (>.)(K>)(I> ) " .>XYI>$K pul+.

'ompatibilidad (eometra)

113



'

7

D K>O

JO

7 JO

JO

∆7D

∆7=

∆7' K>O

∆7=

7B

7B

∆7= =

7 <

∆

∆ 7D cosJ

−t=

∆7< JO

t " ∆7<

∆ 7D

− ∆7< . . . . (i)

cosJ

7

∆7'

∆7'

∆7= =

K>O

∆7=

cosK>

De las ecuaciones (i) y (ii) →

∆7'

7B

+ ∆7< tanK> . . . . (ii)

cosK>

K>O

+ ∆7< tanK> =

∆7D

cosJ

− ∆7<

∆7< 7

Reempla!ando 9alores y despe/ando ∆< , obtenemos*

∆7< " >.YI>$J pul+. Sustituyendo este 9alor en (i) ó (ii), obtenemos*

∆7= " .IYI>$K pul+. PRO0LEMAS I) Determinar dónde debe ubicarse un bloque de > U+ de masa, sobre la 9i+a r+ida A'7, para que los puntos 7 y % se pon+an en contacto. Suponer comportamiento elástico @ lineal de la barra 'D. ( " >> a)

D

8 " >. m d "  mm (diámetro)

A' " >.>Q m '7 " >.K m

masa > U+ '

A 7arra r+ida

supuesto el CcontactoC

7 y R+ido

%

I. mm >.>Q

>.K I. mm

∆' I. ∆ ' = > . J >.>Q Seme/an!a* → ∆' " >.K mm 114



8a %uer!a A1ial necesaria en la barra 'D se calcula a partir de la 8ey de .) 8  ∆ ' =    −K    A  'D → >.KYI>$K " >>× I> × Jπ ( × I> )

(%uer!as →  8on+ → m) quilibrio* A

de donde se obtiene* %c " XK.Q 

%'D"XK.Q  .QY> " I  ΣMA " > XK.Q(>.>Q) @ I(>.J @ y) " > obtenemos y " .YI>$K m y y " . mm

>.>Q >.J @ y

) Determinar el despla!amiento del punto '. 'onsiderar comportamiento elástico lineal en ambas barras. studiar el caso α " >. A 7 i) %uer!as A1iales* α α

8, , A

8, , A

%'A

%'7 → %'7 = %'A =

α

α

(tracción)

 senα

' 

 ii) Alar+amientos de las barras*   senα  8      =  8 ∆ 'A = A senα A Similar para

∆ '7 =

 8 senα A

iii)'ompatibilidad. A

α

7

α

'

∆'7

ó

or tanto

∆'A α α

∆ 'A senα ∆'= = ∆ '7 senα ∆'= =

∆'=

∆'= =

I  8 senα senα A

'B

∆'= =

8 (senα)(A)

115



o puede aplicarse esta e1presión para el caso α " >, pues se tendra ' =

∆ →∞ Resol9emos el problema con α "

A

' 8A

quilibrio*

%'7

%A'

7 

8A

→ %A' " %'7

 n con#+uración inicial → no es posible 5allar las fuer!as de la barra. n con#+uración deformada* A 8 ' 8 7

∆α

∆α

(I

) 

∆'

'B

 sen∆α %I " % " Si ∆α → >, las fuer!as % I y % crecen (resultado probado e1perimentalmente) Apro1imación* sen∆α ≈ ∆α cuando ∆α → > ≈  %I " % (∆α) . . . . (V)

∆ '7 =

samos la 8ey de
(ó σ " ε)

 8 + ∆' − 8 ∆'       = =  I +   − I  A(∆α) 8    8     I ∆   = I + ' − I  A(∆α)   8 

Apro1imación 7inomial → ∆'  ∆' ∆' =  A(∆α) 8 N pero tan(∆α)" 8 → ∆α " 8 'on apro1imación su#ciente*  ∆'    =   ∆'  8  A( ) 8  8K ∆' = 8 K ∆K' = A A → de donde*

Not&) n este caso, en que la deformación A8TRA el Rh-M ST;T-'E del Sistema, el despla!amiento del nudo ' (punto de aplicación de la

116



car+a) E es REER'-EA8 a la intensidad de la car+a , a pesar de que el material de las barras si+ue la 8ey de y AI, e1perimenta la acción de la fuer!a a1ial . Determinar el acortamiento del tronco, prescindiendo del peso propio. l material es elástico lineal con módulo .  A> 'onsideremos el cono completo

5

AI

5I

A> 1

A AI

 5

Se 9eri#ca la relación si+uiente* 

 5I + 1  A (5I + 1)   A A = = >   5 A> 5I  I  → 8ey de
∆=

5

d1

>

 5 + 1   A>  I   5  I 

∫

5I ∆= A>



5

∫ >

 5I  I d1  − I   =  A>  5I 5I + 5  ( 5I + 1)

Simpli#cando tenemos 5 ∆=  5 + 5I   A>  5  I  . . . . (V) 

AI  5I + 5   = A>  5I  

Si 1 " 5 → A " AI con lo cual 5I + 5 A = I 5I A> → N reempla!ando en (V) y simpli#cando obtenemos* 5I ∆=  A>AI J) l elemento r+ido A7 está en posición 5ori!ontal antes de ser car+ado en A con ,X> U+. 8as tres barras de acero D, 7D y 7' está #/as en sus 117



e1tremos mediante uniones +iratorias. 'alcular los despla!amientos 5ori!ontal y 9ertical del punto A.  " ,X> U+ AI " K.QX cm elemento r+ido A " .Q cm 7 AK " .J cm I "  " K " IYI> U+0cm A  ( I) (K I.QK m

D

'

K. m

I.QK m

%uer!as A1iales* %I " ,QI> U+ (compresión)N %  " >N % K " J,J> U+ (tracción) 'ambios de lon+itud de las barras* (,QI>)(I.QK)(I>>) ∆I = − = (K.QX)(.I)(I> ) @ >.IK cm (acortamiento) ∆ " > (J,J>)(IQK) ∆K = = (.J)(.I)(I> ) >.>I cm

∆K

∆K " ∆A<

7B

A

∆K

JO

7

∆I

AB

∆K

∆K A ∆I θ

K cm

∆A= @ ∆I ∆A=

'omo el punto 7 se despla!a 5ori!ontalmente ∆K " >.>I cm ∆K (es un punto de la barra r+ida), todos los puntos de la barra r+ida, 5ori!ontalmente, se despla!arán i+ual cantidad. 8ue+o ∆A< = >.>I cm

θ

(I

)

AB

(K

∆K

∆K ? ∆I A ∆ tanθ " = − ∆I

K

tanθ " ∆ K + ∆I IQK IQK cm

A ∆ +∆ → ∆ = − ∆I " K I

K

IQK

de donde obtenemos*

∆A= " (∆K ? ∆I) ? ∆I ∆A= " (>.>I ? >.IK) ? >.IK ∆A= " >.QI cm ) n tablón de madera, muy r+ido, de lon+itud 8, descansa sobre dos resortes análo+os de constante W, tal como se representa. 8os resortes tienen una lon+itud 5 cuando el tablón está sobre ellos. n peso es colocado en el centro del tablón y se despla!a lentamente 5acia uno de 118



los e1tremos. Determinar la distancia que puede despla!arse, 5asta el instante en que el tablón entra en contacto con el piso. (o incluir el peso propio del tablón). y

8 '

8

y

D '

5

b"

5

P

D a

a

n el punto  no se presenta reacción (caso lmite en que el tablón entra /ustamente en contacto con el piso). y b %' ' b ∆'

D

%'

%D

P

%d ∆D

5 5 ' 

5D

1

a 8

8

P

a

a



1

%d 8

'omo no se incluye el peso propio del tablón → 5 es la lon+itud libre de cada resorte. quilibrio de %uer!as* %' ? %D " P a%D @ P(a ? b) " > P(a + b) P(a + b) P = (a − b) %D = %' = P − a N a a . . . . (V) → 'ompatibilidad eom6trica* 5' 8 + a = 5 8 − a . . . . (VV) D Seme/an!a →

∆ ' = 5 − 5'   5 − 5D  ∆ = D De&e1ión de los resortes → . . . . (VVV) Relación %uer!a 0Despla!amiento* Resortes elásticos$lineales de constante W* %' = W ∆ '   %D = W ∆D  . . . . (VVVV) →

119



8as ecuaciones (V), (VV), (VVV) y (VVVV) constituyen un sistema de ecuaciones (con las siete incó+nitas* % ', %D, 5', 5D, ∆', ∆D, b) Resol9iendo este sistema, encontramos* a  W5  b=  − I 8  P 

Not&) odemos calcular las de&e1iones de los resortes en función del 9alor b encontrado. Resultan ser* P b  P b  ∆ ' =  ∆D =  I −  I +  W  a  N W  a  N Si b " a → ∆' " > y tambi6n % ' " >. atural, puesto que si b " a el peso P descansa directamente sobre el resorte en D. (Siendo nulas la fuer!a y la de&e1ión en '). ) n sistema estructural compuesto por cuatro barras deformables y dos elementos r+idos, está or+ani!ado se+:n se indica en el esquema. 8as barras deformables son del mismo material (con módulo elástico ) y tienen la misma sección trans9ersal A. 'alcular la R--D3 del sistema en el punto 7.  R-DES R--D3  8 TE 7* =A8ER D 8A 'ARA , G E'AS-E 7  DS8A3AM-TE -TAR-E D8 TE 7,  D-R''-H D   a a   8A 'ARA . J) 8

8

(I

)

a K

Ja K

(K

8

%uer!as en las barras*

 7 %J → %I " %J "

%I 8as cuatro barras deformables traba/an en tracción (se alar+an)

%J "   %

 

→ % "  %K

K %K "  

Alar+amientos de las barras*

120



  (  8 ) 8  8  ∆I =  =   =   A A   A  I   8  K (8) 8   ∆  =   = =  A   A KA   (V)   8   (8) 8   ∆ K =   = =  A  K A A    ( 8 ) 8   8   ∆ J =   = =   A  J A A 'ompatibilidad eom6trica* 

∆I

I  

∆J ? 1

7

a

 a 

∆

(I

J) 1

a K

(

∆K Ja K

(K

Seme/an!a*

∆

1 a K

∆K ∆ @ ∆K 1 @ ∆K Ja K

a K

∆  − ∆K a

=

Ja K

( 1 − ∆ K) Ja K

I 1 = (∆  + ∆ K ) K de donde* 8 1 = IQA . . . . (VV)

y reempla!ando ∆ y ∆K de (V) obtenemos*

Seme/an!a*

I @ ∆J @ 1

∆I @ ∆J @ 1

7C  a 

 a 

∆I − ∆ J − 1 = I − ∆ J − 1 I>  a

 a

de donde obtenemos* ∆I ? ∆J ? 1 " . Reempla!ando de (V) y (VV), tenemos* 121



8 8 8 + + = A A IQA A Q8 Despe/ando el 9alor de la car+a * R--D3 D8 S-STMA  8 TE 7* A W 7 = Q8  =

X) n anillo circular de radio interior r, radio e1terior R y lon+itud 8, se somete a una presión interior uniforme radial p, se+:n se indica en el esquema.
R r

α

p

%>

%>

8 8a fuer!a (normal) elemental sobre el elemento indicado, es* d% " (pr)8 d α or la simetra del sistema, las componentes 5ori!ontales de las fuer!as d% se equilibran. Guedan solamente las componentes 9erticales. π

∫

%> = pr8 senα dα

> Σ%9ert " > → %> = pr8 → %> " p8r

l esfuer!o normal en el espesor del anillo, es* % p8r pr σ= > = = A (R − r)8 R − r l radio r sufre un incremento ∆r* π(r + ∆r) − πr = εrl         'ambioen la circunfere ncia interior

σ

pr  (R − r) Donde* (Deformación radial unitaria) l* circunferencia interior (inicial) pr π(r + ∆r) − πr = πr  ( R r ) − →

εr =

=

pr ∆r = (R − r) Despe/ando ∆r, encontramos

122



Q) n bloque r+ido que pesa I>>,>>> lb se mantiene en la posición indicada mediante las barras articuladas A7 y 'D. 8as barras tienen i+ual diámetro y su material tiene  " IQYI>  lb0pul+. Si la rotación má1ima que se permite al bloque es >.>O y se usa un factor de se+uridad i+ual a ., qu6 diámetro mnimo deben tener las barras si el esfuer!o de &uencia es X>,>>> lb0pul+

D C ' >

7

QC C

IQC I>>,>>> lb

A ermitimos que el bloque +ire θ " >.>O y calcularemos un diámetro. 8ue+o, 9eri#camos si se e1cede o no el esfuer!o de &uencia. quilibrio

I>>,>>> lb %'D > %A7

QC

C

IKC

ΣMo " > → Q%A7 ? IQ%'D "

(I>>,>>>)() . . . . (I) Material % 8 ∆ A7 = A7 A7 A % 8 ∆ 'D = 'D 'D A %  . . . . (K) ∆ 'D = 'D A IQ× I>

Reempla!ando datos* %  . . . . () ∆ A7 = A7 A IQ× I> eometra π (>.>) " >.>>QC . . (J) > ∆A7 ∆A7 " (Q) K> >.>O " (IQ) π (>.>) " >.>IX>C . . ()

∆'D ∆A7

K>

'ombinando las ecuaciones () y (J) y las (K) y (), tenemos %A7 = >.>>J× I> A lb0pul+ . . . . () %'D = >.>KIJ>× I> A lb0pul+ . . . . (X) Reempla!ando %A7 y %'D de las ecuaciones () y (X) en la ecuación (I), tenemos* Q[(>.>>J)I>A\ ? IQ[(>.>KIJ)I> A\ " >>,>>> π d = A ( J →

de donde* A " >.Q pul+ l correspondiente diámetro es* d " >.K pul+ 

123



ueden calcularse a5ora, las fuer!as %A7 y %7', a partir de las ecuaciones() y (X). Se obtiene* %A7 " IJ,Q> lb %'D " I,J>> lb l esfuer!o má1imo se induce en la barra 'D I,J>> lb σmá1 = >.Q pul+ " KI,J>> lb0pul+ X>,>>> σmá1  σpermisible " . " Q,>>> lb0pul+ ER TATE, E D A'TARS la rotación de >.>O. %A'TER G DEM-AR; 8 D-SE → i9el de sfuer!os (o Rotación) Asi+namos σ " Q,>>> lb0pul+ a la barra 'D. %'D A " Q,>>> lb0pul+ 'on esto, las ecuaciones (I), () y (K) si+uen siendo 9álidas. n las ecuaciones (J), () el án+ulo de >.>O debe cambiarse por β (incó+nita) π β ∆A7 " (Q) K> . . . . (J.I) π β ∆'D " (IQ) K> . . . . (.I)   ∆'D " (Q,>>>) IQ× I> . . . . (K.I) %'D = Q,>> (puesto que 5acemos A lb0pul+) Disponemos a5ora de '-'E 'A'-ES (I), (), (K.I), (J.I), (.I) 'E '-'E -'H-TAS* % A7, %'D, ∆A7, ∆'D, β Resol9iendo el sistema de  ecuaciones %A7 " IQ,> lbN % 'D " Q,>>>A lb → A " >.X pul+ → d " >.QXC (mnimo) %ines prácticos d " IC. ) n prisma de peso , área trans9ersal A y 8on+itud 8, descansa sobre un plano 5ori!ontal. Su material es de comportamiento elástico$lineal cuyo módulo de elasticidad es . 'alcular el descenso de su 'entro de ra9edad. eso total →  8 eso espec#co → γ =  A8  sfuer!o y Deformación unitaria en una A sección +en6rica, ubicada a la distancia 1 de la base superior.

124



%I " A1γ → %I " A1  A8 %I " 1 (compresión) % 8 σI " %I " 1 (compresión) A A8 εI " 1 (acortamiento) A8 De#nición de Deformación nitaria* ∆u ε= u → si d1 es la lon+itud inicial, tendramos ∆(d1) εI = d1 1 d1 de donde ∆(d1) " εId1 " A8 (acortamiento) 'onsideramos una CrebanadaC diferencial en la distancia 1. Despu6s de la deformación, el espesor de la 1 CrebanadaC, es* d1 @ ∆(d1) " d1 @ 1 d1 A8 d1 d(∆1) 1  d1 d1 @ ∆(d1) "  I −   A8 ! Si 3 es la distancia de la rebanada ya deformada al suelo, tenemos. 3 " Σ(d1 @ ∆(d1)), e1tendida para CtodasC las rebanadas que pueden de#nirse en el inter9alo (1, 8). n consecuencia* 1

3=

8



1 

∫  I − A8  d1 . 9aluando la inte+ral, tenemos* 1

8

  1    8 1   3 = 1 − ( 8 1 ) = − −    −    A8  A8  1   Aplicamos un Teorema de 'entros de ra9edad. Si 3  es la altura del centroide (respecto al suelo o plano de referencia), despu6s del acortamiento, tendremos* 8

∫

(3 )() = 3 d> >

ero d> → peso de la rebanada diferencial. d> " γ Ad1   d> " A8 A d1 → d> " 8 d1 or tanto* 8    (3 )() = (8 − 1) − (8 − 1 ) d1 > A8 8

∫

125


Mg. Ingº Carlos Esparza Díaz 8

→

I 1   1K  3 = 81 − (8 1 − ) − 8  A8 K > 8 8 3 = −  KA

8 − 3 l descenso del 'entro de ra9edad, será  8 8 − 3  " KA I>) na placa r+ida, semicircular, de peso P " >>  y radio r " I m está soportada en los puntos A, 7 y D por tres cables id6nticos. l punto ' está en el centro del arco circular AD7 y el radio 'D es perpendicular al diámetro A7. 'ada cable tiene módulo de elasticidad  " I> a, diámetro d "  mm y lon+itud 8 " I. m. na car+a  " KP act:a perpendicular a la placa, a la distancia 1 del punto '. 'alcular la distancia 1 para que la placa ten+a una pendiente de >.IO (a lo lar+o de 'D) ba/o acción simultánea de P y .

quilibrio* ( → centroide de la super#cie semicircular

' A

7



%7 %A

1 A

Jr Kπ

' 1



7

P %D

D

Σ%9ert " > → %A ? %7 ? %D "  ? P " JP . . . . (i) ΣM'D " > → %Ar " %7r → %A " %7 (simetra) . . . . (ii) Jr Pr ΣMA7 " > →  1 ? P Kπ @ %Dr " > → KP1 ? J Kπ @ %Dr " > . . . . (iii) P1 JP De la ecuación (iii) obtenemos % D " K r ? Kπ . . . . (i9) JP − %D  Reempla!ando (ii) en (i) obtenemos % A ? % D " JP → %A " . . . . (9) Reempla!ando (i9) en (9) obtenemos* KP1 P − %A = P − r Kπ . . . . (9i)

126



r >.IO 

∆D @ ∆A

P

7 A

D

∆A

∆ −∆ ∆D tan >.IO " D A r

>.IO

→ r tan>.IO " ∆D @ ∆A . . . . (9ii)

(8os alambres que pasan por A y por 7 se alar+an la misma cantidad) Material (Alar+amiento)* %8 %8 ∆A = A ∆D = D A N A Reempla!ando en (9ii) 8 r tan>.I° = (% − % ) A D A . 'onsiderando (i9) y (9i), tenemos* 8  KP1 JP KP1 P  r tan>.I° = + − P + +   A  r Kπ r Kπ  Simpli#cando* P8  1   r tan>.I° =  + −  A  r π  Reempla!ando 9alores* (I) tan>.I° =

(>>)(I.)  J.1 +  −    π  (I>)(I> ) Jπ ( × I>− K) 

Resol9iendo esta ecuación, obtenemos 1 " >.X cm

127



1.13) Comportamiento No ineal. Diagramas Idealizados

σ / ε

1.13.1) De!iniciones"

• S#ID$ E%S&IC$

→

Aquel que recupera su configuración inicial

cuando desaparecen las acciones que ocasionaron la deformación. Elásticos Lineales Pueden ser

Elásticos No Lineales L&:o d# !I σ / ε

σ /ε

σ / ε

(Disipación i

ε

ε

Anelásticos

128



σ /ε

Lineal (Acero

No Lineal

Anelástico

(!" #imple en compresión

(!auc$o

• S#ID$ INE%S&IC$ ' Aquel que no recupera su configuración inicial cuando desaparecen las causas que lo deformaron. σ /ε σ /ε

σ ε ,

σ /ε

σ =

θ

ε

θ ε p

ε

ε p

ε r

ε r

Ε = tan θ ε

→ permanente → E!)PEA*L E (EL%#&'!A

ε r

= σ ε

En el sólido se inducen deformaciones irre+ersibles.

,E-/A!'0N &&AL

129

Mecánica de Sólidos ε

= ε p + ε r

ε

= ε p +


σ

Ε

σ

•

Nominal de (lencia En los materiales donde es imposible (dif1cil precisar con e2actitud el

( σ Y ) +alor del E#-)E3 ,E -L)EN!'A

4 es con+eniente ubicarlo por

definición (nominal. σ / ε

σ / ε

σ Y σ P

(ε Y ,σ Y ) θθ

ε

ε

,'-5!'L ,E ,E&E/'NA E6PE'/EN&AL/EN&E

• M#D*$S SEC+N&E , &+N-EN&E

130



σ /ε

σ /ε

σ = σ (ε )

σ = σ (ε )

∂σ Ε T =    ∂ε  (ε σ , ) 0

Ε S =

σ 2

− σ 1

ε 2

− ε 1

0

ε

=

∆σ ∆ε

ε

En materiales cu7os diagramas constituti+os son no 8 lineales4 pueden definirse 9/0,)L# &AN:EN&E ; #E!AN&E<

(ε 2 , σ 2 ) (ε 0 , σ 0 )

(ε 1 , σ 1 )

• ENE-/+ DE DE($M+CI#N Las fueras e2ternas realian traba>o durante la deformación. Esta energ1a se almacena en el interior del sólido (Energ1a de ,eformación. P

∆

P

= P (∆)

∫

U = P (∆)∂ ∆

131



σ / ε

1.13.0) Diagramas Idealizados

"

En general4 las relaciones constituti+as

σ − ε

son complicadas4 con la

posibilidad de presentar +ariadas alternati+as o configuraciones. Para facilitar el tratamiento anal1tico del comportamiento de algunos materiales4 se usan ,'A:A/A# ',EAL'3A,# de las relaciones

σ / ε

.

σ / ε

Sin d#(or)&cion#$

ε 

S#ID$ /-ID$

σ /ε

σ / ε

LINEAL

ε

NO LINEAL

ε S#ID$



E(EC&+MEN&E

E%S&IC$"



S#ID$ E(EC&+MEN&E %S&IC$" A partir del esfuero de fluencia4 las deformaciones inducidas crecen notoriamente. Las deformaciones elásticas que pudieran e2istir son insignificantes. El material flu7e a esfuero normal constante.

132


Mg. Ingº Carlos Esparza Díaz σ / ε

σ y

ε



S#ID$ %S&IC$ C$N END*ECIMIEN&$" σ / ε

σ y

3ona de endurecimiento

ε

A partir del esfuero de fluencia4

( σ Y ) 2 para inducir deformaciones ma7ores4 se requiere incrementar el esfuero.



S#ID$ E%S&IC$  E(EC&+MEN&E %S&IC$ 4E+S&$%S&IC$)"

133



Las deformaciones elásticas N pueden despreciarse. &oco e2iste

σ / ε

σ y

ε

ε y

ona notable de endurecimiento.

σ / ε

σ y Endurecimiento E @

ε

ε y



S#ID$ E+S&$  %S&IC$ C$N END*ECIMIEN&$" 45ilineal) S#ID$ DE +M5E-  $S-$$D

La deformación total

ε

ε = ε + ε ....(*) p

r

es

Para una gran ma7or1a de materiales la relación

elástica puede apro2imarse por

σ  η  ε =   p  Β 

σ / ε

(en la ona no

4 donde  7 B son constantes

apropiadas para cada material. 134


eemplaando en (C


η σ   ε = ε +   ....( Ec.deRamberg − Osgood ) r  Β 

#i además4 la deformación es elástica lineal

ε =

→

ε = σ Ε r

.

σ  σ  η

+   Ε  Β  

.

 σ  η → Defo rmación Inelástica → ,eformació n Elástica Lineal D    Β  Ε

σ

Las ecuaciones de amberg8 sgood $an sido estudiadas e2perimentalmente.

Acero Estructura l → Β = 122400 Aluminio → Β = 72300

lb ;η = 25 2 pg

lb ;η = 10 2 pg

N$&+6 Las relaciones presentadas4 suponen tácticamente que los materiales N #N '#!##4 es decir N se presentan fenómenos importantes de desplaamientos dependientes del tiempo (-L)F. E2isten materiales (asfaltos4 breas4G que se deforman gradualmente por acción de un esfuero 7 su deformación se incrementa con el tiempo aHn cuando se $a7a retirado al esfuero.

!omportamiento influido por la '#!#',A,.

σ = σ ( ε ) /A&E'AL EL%#&'!

135


Mg. Ingº Carlos Esparza Díaz σ

/A&E'AL '#!EL%#&'!

∂ε = σ   ε ,   t ∂  

El modelo más simple de material +iscoelástico4 es el denominado #0L', ,E ':& 8 IEL'N4 cu7a ecuación constituti+a4 es

σ = Ε ε + η

ε → /ódulo de ;oung  ∂ε    ∂t η → !oeficient e de iscosidad 

,e manera similar a la analog1a e2istente entre un #ólido Elástico Lineal 7 un esorte4

σ / ε

Ε η

Elasticidad

iscosidad

σ / ε

el #ólido de oigt 8 Iel+in acepta analog1a con el modelo f1sico

Sistema resorte/amortiguador en paralelo

σ /ε

σ = Εε E

η → 0

σ /ε

#i el efecto de la iscosidad es despreciable →

4 7 el modelo

se reduce al /odelo de JooKe.

136



tro material +iscoelástico4 es el que admite la ecuación constituti+a 'onstante 'onstante de =iscosidad de lasticidad

A

∂σ ∂  ,efine un /aterial   + Βσ = ε  ∂t ∂t modelo /A6ELL 

El material modelo de /A6ELL es análogo al sistema resorte M amortiguador en

σ / ε

σ /ε Elasticidad

iscosidad

serie

Las soluciones de la ec. !onstituti+a tipo /a2ell4 se dan en dos planos coordenados

σ / ε

ε

t t

$5EM+S

137



@

σ y

σ y

E @

E @

,i) σ y

,iii)

,ii)

Ilb = Q pulg O

∂σ Ilb = O × 103 ∂ε pulg O

Ilb T = S × @Q R pulg O

UVuW esfuero se requiere4 en cada caso4 para generar deformaciones unitarias de Q.QQ@ 7 Q.QQR?

σ y

138



σ σ7 σ@

σO

Q.QQ@

Q.QQR

ε

C+S$ 4 i ) ' /-ID$ E(EC&+MEN&E %S&IC$

σ 1

= σ 2 = σ y = Q

Ilb pulg O

Deformación nitaria de %luencia*

ε y

=

σ

σ

7

Ε

σ7 E @

ε

y= Q.QQO

C+S$ 4 ii ) '

E+S&$%S&IC$

ε y

=

Q SQ × @Q R

= Q.QQO

σ

σ1 σ7 I= Q.QQ@

y = Q.QQO

σO = Q.QQR

ε

139



= Ε ε = (3)(104 )(0.001) 2 σ 1 = 30!lb / p lg σ 1

C+S$ 4 iii ) '

E+S&$%S&IC$ C$N END*ECIMIEN&$

= Ε ε 1 = (3)(10 4 )(0.001) σ 2 σ 1 = 30!lb / p lg σ 1

σ7 σO σ1 I= Q.QQ@

θ

y= Q.QQO

= Q.QQR

ε

σOXσ7

)AX )y

→ σ 2 − σ y = tan θ (ε 2 − ε y ) =−σ σ y y σ σ 22

tan θ =

+ tan θ (ε 2 − ε y ) = σ y + (ε 2 − ε y )

ε

− ε

σ 2 2= σ 2

∂σ ∂ε

Q y+ (Q.QQR − Q.QQO(O(@Q S 

= RKlbMpulg O

140



O

σ

(@Q O D@QQQQ −

L = [Y

γ = Q.O

Z = Y

γ

lb pulg S

parábola de Odo :rado

lb  O pu lg

Wrtice

ε

Parábola → σ = K σ = @Q

ε

[

→ @QQQQ = K

@Q− O → K = @Q [

lb pu lgO

ε ...(@

-uer=a A2ial

P( 2  = Aγ (L − 2  → Esfuero Normal σ

eemplaando en (@

P(2

(pesoporcióninferior

=

P(2 A

= γ (L − 2 

γ (L − 2 

= @Q [ ε

,e donde obtenemos la deformación unitaria O γ (L − 2  O ε = @Q @Q

El

cilindro representado4 es de un material de comportamiento elástico no lineal4 cu7o diagrama

σ / ε

es parabólico. Jallar la defle2ión del e2tremo libre

ocasionada por el peso propio.

141



La defle2ión total será Q

∆=

γ O

∫ ε ∂2 = ∫ @Q L

@Q

(L − 2  O ∂2

Q

esol+iend o la integral 7 reemplaando los datos

S

→ ∆ = O.\\ × @Q −] pu lg .

)na barra de sección circular tiene Sm. de longitud 7 @Qmm de diámetro4 Wsta $ec$a

de

un

material

σ  3  σ     1 +  70000  7  270  

cu7a

ecuación

constituti+a

es

9

ε =

donde

σ

se e2presa en /Pa. La barra está

cargada a2ialmente por fueras de tracción P = OQIn4 7 despuWs se retiran las cargas.U!uál es la deformación unitaria permanente de la barra?

142



Para P = OQIN ? P

OQ QQQN

P

_=

^ R

La deformación total4 es ?

(@Q × @Q −S  O m O

= O[R.[/Pa

 O[R.[  S  O[R.[   `= @+   ]QQQQ  ]  O]Q  



` = Q.QQR[



(deformación total

σ(/Pa (εtotal,σ

@

εtotal

ε total

= ε recup +

ε

σ

Ε

!omparándola con la ec. constituti+a dada ?  S σ  σ  σ

=

ε &otal

E

εremp

= ε perm + ε recup

ε 

σ

εperm

ε total

]QQQQ   ε E!)P =Q.QQSR

` perm =

+





] ]QQQQ  O]Q 

       ε PE/

 S  O[R.[   O[R.[ 

   ]  ]QQQQ  

O]Q

 

` perm = Q.QQQO Diagrama

σ − ε

143



ETA * alar+amien to permanente * perm = (>.>>> )(K>>>) = .Xmm alar+amien to recuperabl e * recup = (>.>>KJ )(K>>>) = I>.mm alar+amien to total* total = (>.>>J )(K>>>) = IK.Qmm

R

El sistema estáticamente indeterminado que se representa en la figura consiste en una barra r1gida $oriontal A*!,4 soportada por dos resortes idWnticos en los puntos A 7 !. Los resortes admiten una relación fuera 8 desplaamiento no -=

lineal4 dada por

Qδ DQ ≤ δ ≤ O.[pu lg.(- en librasD δ en pulgadas . @ + @.@Oδ

La carga

P es de S[lb. 7 los segmentos de la barra tienen longitudes a=@[<4b=@Q<4c=@Q<. (a:raficar un diagrama fuera desplaamiento para uno de los resortes. (b!alcular las fueras - A ; -! en los resortes A 7 ! respecti+amente4 los δ A 7 δ c

cambios de longitud

de los resortes 7 el ángulo de giro

θ

de la barra

r1gida.

144



∑ /* = Q → - A a + -!b = P(b + c @[- A + @Q-! = P(OQ P

→ S- A + O-! = RP....(@

-!

- A



P A

*

! υ

a

b

c

Equilibrio:

- A =

Qδ A @ + @.Oδ A

D -! =

Qδ ! ...( S @ + @.Oδ !

eemplaando(SCompatibilidad: 7 (O en (@4 tenemos ?

 O  @OQ +  δ A  @\Qδ A  S  = R(S[ + @ + @.Oδ A  O  @ + @.O δ A   S  #implificando4 tenemos ?

δ A a

=

δ ! b

→ bδ A = aδ ! @Qδ A

A

* a

θ

! b

δ

c

= @[δ !

→ Oδ A = Sδ ! ...( O

R[δ A OQδ A QS[ + @ + @.Oδ A @ + Q.\δ A

esol+iend o4 obtenemos la Hnica ra1 aceptable δ A = @.O[Y O O ,e la ec.(O → δ ! = δ A = (@.O[Y  S S

→ δ ! = Q.\SSY

A partir de las ecs.(S obtenemos las fueras ? Material: - A =

Q(@.O[  = SQlbs. @ + @.O(@.O[

-! =

Q(Q.\SS = O[lbs. @ + @.O(Q.\SS 

'nclinació n de la barra r1gida ? @.O[ = arc tan θ = arc tan a a δ A

θ = R.]]"

145



Diagrama Fuerza / Alargamiento

- =

-(lb

Qδ @[email protected]δ

SQ O[

Q.\SS @.O[

δ(

pulg )

146


[


)na barra prismática A* de longitud L=\< 7 área trans+ersal A = Q.][pulg O soporta

dos

cargas

concentradas

P@=ORIlb 7 PO= Ilb. El material cu7o diagrama

σ / ε

es una aleación

sigue una ecuación tipo amberg 8 sgood.

@  σ  @Q   + ...........(i ε =   @R .Q  S\QQQ  @Q × @Q σ

en la que

σ

tiene unidades IlbMpulg O.

amberg X sgood ? Ecuación !onstituti+a LMO

ε PO

P@

ε Q

LMO

ó

ε

=

=

σ σ Q

σ

Ε

m

 σ  + α     σ Q 

+ σ Q

m

 σ    Ε  σ Q  

α

donde ? Ε → /ódulo Plástico en la parte inicial del ,iagrama σ Mε ,eterminar el desplaamiento del punto *4 en las sgtes. σ Q 4 ε Q 4α 4 m → !onstantes del material condiciones i P @ actHa solaD ii PO actHa solaDiii P @ 7 PO actHan simultáneas. (determinad as en pruebas de tracción Para Ε = @Q × @Q  Ilb M pu lgO Dσ Q = S\QQQ  Ilb M pu lgO Dα = S M ]D m = @Q4 la ecuación es la dada en el enunciando .

147


σ O

=


PO QQQlb = = \QQQlb M pulgO O A Q.][pulg

σ !on este +alor4 mediante la ec(iDobtenemos [Q

El desplaamiento4 en este caso4 es ? RQ

SQ

∆* = (Q.QQQ\ (RSY = Q.QSRRY OQ @Q

iii Acción #imultánea de P@ 7 Pε O ? Q.Q@ Q.QO Q.QS

En la mitad superior → σ = σ

Al que le corresponde

P@ + PO ORQQQ + QQQ = A Q.][

= RQQQQlb M pulgO

ε

= Q.QQ]O

I J>>> = A >.X  = K>>>lb 0 pul+ Al quele corresponde  = >.>>KJ l alar+amien to dela barra,es* 7 = (>.>>X )(JK)C+(>.>>KJ )(JKC ) 7 = >.JKC

nla mitadinferior →  =

N$&+ 6 bser+ar que En una estructura N L'NEAL4 el desplaamiento producido por dos (o más cargas que actHan en forma simultánea N es igual a la suma de los desplaamientos producidos por las cargas cuando actHan por separado. (!A#' ,E #'#&E/A# EL%#&'!# L'NEALE#

148



σ

σ7 E @

ε

ε

7



,eterminar la carga Hltima que puede aplicarse a la barra r1gida A*!4 soportada por dos alambres de acero elastoplástico.

σ y (E=OQQ:PaD

=O[Q/Pa.

XR

A=O2@Q mO O.Qm

XR

A=S2@Q mO

@.[m

* A

Om

!A:A L&'/A (Pu

P

@m

!

La que ocasiona que en ambos alambres se alcance el σ 7

Esfuero de -luencia

. (#imultáneamente

(-alla del #istema #i sólo un alambre llega a la fluencia4 N se produce la falla del sistema4 debido a que el otro alambre aHn estará en el rango elástico.

149



P*

= _ 7 A *

P*

= (O[Q × @Q  (S × @Q − R 

P*

= ][QQQ Netons

P!

= _ 7 A !

Pc

= (O[Q × @Q  (O × @Q − R 

P!

= [QQQQ Netons En el momento de la falla

P B =

σ y AB

P*

Pc

A P

∑/

A

= Q → OP = OP* + SP! P=

O(][QQQ  + S([QQQQ  = @[Q QQQNetons O

P) = @[QQQQ Netons

( 'N'!'A LA -L)EN!'A EN EL /A&E'AL ,E A/*# ALA/*E#. ]

,os cables son de un material elástico no lineal4 cu7a ecuación constituti+a es Ε = 3 × 10 7 lbMpulg O σ = Ε ε − ! ε 2 4siendo K=@Q@QlbMpulg O 7 .La sección O trans+ersal de cada cable es Q.Opulg 7 ambos tienen [ pies de longitud. ,eterminar la defle2ión +ertical del nudo * por aplicación de la carga P=OIlb.

α α

*

α=30

P

150



:eometr1a

@

O

I

=  → (Simetratotal)

I

= 7 cos = 7 K



=  =  →  = 7 K ...(V)

α α

*

O *

α

@





-@ = -O -

-

@

SQ"

O

-@ = -O =

SQ"

P S

P

-ueras

σ @

= σ O =

P = σ S A Esfueros

Ecuación !onstituti+a σ = Ε ε − Kε O

 ε = ∆ 4 para cualquier Wgimen     L  O

P ∆ ∆  → = Ε − K   L  L  S A

151


Mg. Ingº Carlos Esparza Díaz O

P S @  S  Ε  → = ∆* − K O  ∆ *  L O O L  S A 

#egHn (C eemplaando +alores numWricos4 tenemos OQQQ S × @Q ] S @Q@Q S ( ∆* ) O = ∆* − O ([ × @O R S (Q.O [ × @O O

(-ueras →lbs D long → pulg.

∆ *  = Q.@S[ pulg ∆ * Y = Q.Q@RS pulg esol+iendo la ec. de Odo. grado4 obtenemos Nota  Las dos ra1ces son soluciones correctas.

σ = Q ↔ ε ( Ε − Kε  = Q

σ σ=Eε−KεO

ε = Q

S × @Q ] = ε = K @Q @Q

Ε )=Q

) = Q.QQS

ε

ε = Q.QQS

Para un +alor admisible !alculamos las deformaciones unitarias (en los cables. del esfuero e2isten dos ,eformaciones )nitarias S ∆ = ∆* O )samos (C

∆ *  = Q.@S[ Y → ∆ = Q.@S[

S O

∆ = Q.@] pu lg. Para

152



∆ * Y = Q.Q@RS Y → ∆Y = Q.Q@RS

S O

∆Y = Q.Q@OS\ pu lg. Para Las deformaciones unitarias4 son ε  =

∆ L

=

Q.@] = Q.QQO] Q

7

ε Y =

∆Y L

=

Q.Q@OS\ = Q.QQQOQ Q

En el ,iagrama !onstituti+o σ

)=Q

) = Q.QQS )C= Q.QQQOQ )B= Q.QQO] ε

#i P es creciente

#i P es decreciente

∆ * = Q.Q@RS pu lg #i P crece

∆ * = Q.@S[ pu lg #i P decrece

153



\

Tubo de Acero* de1t " .K pul+. dint " .>JX pul+.

PlacadeApo7o

RQ &on

Placa de E2tremo

(!'!)LA

[Q &on

RQ &on !oncreto (!'L'N,

σ

σ7=S[QQQlbMpulg O 

@

E=SQ 2@Q lbMpulg

O

ε

σ (Q.QQ@[DO.@OQ

lbMpulg O

!N!E&

ε

En el dispositi+o esquematiado en la gráfica4 se indican las dimensiones correspondientes antes de que sean aplicadas las cargas.UEn quW sentido 7 que distancia4 en pulgadas4 se mo+erá la placa fi>ada en el e2tremo derec$o del tubo4 debido a la aplicación de las cargas?. Las cur+as

σ / ε

para el acero 7 el

concreto se muestran en otra gráfica (@ton OQQQlbs.

-ueras 'nternas

154



Esfueros -

[Q &on

@

σ @

%I"> Ton %I"(>)(A>>>)"I>>> >>>lb

=

@QQQQQ lb = OSO[Q R.S pu lgO

&7o 4189)

&racción

σ O

RQ &on

-

O

[Q &on

RQ &on

%A?Q>"> %A" $K> Ton ('ompresión) %A" $R>>>> lbs

=

QQQQ lb = @S[Q R. S pu lgO

(!ompresión

&7o 489)

155



σ S RQ &on

-

QQQQ π

R

[Q &on

S

=

(O

= O@OQ

lb pulg

RQ &on

%K?Q>"> %K" $K> Ton ('ompresión) %K" $>>>> lbs

∆ = ε @L@ + ε OL O + ε SL S

OSO[Q @S[Q (@\ − (\ − (Q.QQ@[ (@ ∆=   SQ × @Q SQ × @Q

otavAcero en R6+imen lástico(8ey de
∆ = −Q.QQ]\Q pulg. 5lo:e Concreto



La barra r1gida A*!4 inicialmente en posición $oriontal4 está suspendida por dos barras de acero elastoplástico. El punto medio * de la barra es reflectado @Qmm. Jacia aba>o4 por aplicación gradual de la carga V. Luego la carga V es retirada lentamente. ,eterminar i

El má2imo +alor de V 7 la correspondiente posición de la barra r1gida.

ii

La posición final de la barra (luego de retirada V. 156



 A = RQQmm O A,  L = Om

E

, O  A = [QQmm !E L = [m A σ 7 = SQQ/Pa

V *

!

Ε = OQQ:Pa

σ σ7 E @

ε

Equilibrio - A, = -!E = V M O → V = O- A, ó O-!E (C - A,

V

-!E

!omportamiento Elástico Lineal El má2imo desplaamiento (elástico del punto A4 sucede cuando el material de la σ 7

barra A, alcana el esfuero de fluencia

.

157



→ ( - A, ) /%6 = σ 7 A A, = (SQQ(@Q  (RQQ × @Q −  = @OQ × @Q S Netons !on esto (+er C → V /%6 = ORQ × @Q S Netons A este +alor ( - A, ) /%6 le corresponde la defle2ión  (SQQ(@Q   (O = S × @Q −S m. ∆ A = ε 7L = L =  Ε (OQQ(@Q  σ 7

-A, S

120210 Ν

XS

3210

∆(m

*arra A,

- A, = -!E = @OQ × @Q S N

Puesto que4 por el equilibrio4

4 posiblemente la barra !E

no está en fluencia.

∆ ! = ε L = La defle2ión del punto ! es

σ

L

Ε

4

@OQ × @Q S @ ([  ∆! =   − [QQ @Q OQQ @Q × × L          σ

Ε

∆ ! =  × @Q −S m. es decir

( -!E ) /%6 = σ 7 A = (SQQ(@Q  ([QQ(@Q −  = @[Q × @Q S N *arra !E

158



S

(-!E)má2 =150210 Ν S

120210 Ν

6210

A 3mm

* 4.5mm

XS

∆

! 6mm

(*arra !E → no en fluencia. La defle2ión del punto *4 es @ O

@ O

∆ * = ( ∆ A + ∆ ! ) = ( S + )(@Q −S  = R.[ × @Q −S m ∆* Puesto que

debe ser @Qmm4 deben presentarse deformaciones plásticas en las

barras deformables. !omportamiento Plástico Para V=ORQ 2 @QS N ocurren deformaciones plásticas en la barra A,. !omo la barra !E no ingresa al rWgimen plástico4 la defle2ión del punto ! permanece igual a mm. !onfiguración de la barra r1gida

159


∆ A

A


*

! 6mm

10mm

S

240210 Νetons

→

∆ A + O

= @Q → ∆ A = @Rmm

Posición -inal luego de retirada (gradualmente la carga V

,eformación permanente en la barra A,

A

! 6mm

@@mm @Rmm

,eformación recuperable

Smm

,eformación recuperable

σ y @Q

La barra A* es de acero elastoplástico (E=OQQ:PaD

=SQQ/Pa .

160



V

σ

A [email protected][m

σ7

,

E @

Φ=mm

ε

*

a

Palanca1gida

!

δ@ σ 7

,e

= SQQ/Pa

Ε = OQQ:Pa (material de la barra A*  ,espuWs de conectar la barra a la palanca r1gida !,4 se obser+a que el e2tremo , está demasiado alto. #e aplica entonces una fuera +ertical V en , $asta que este e2tremo se desplaa al punto ,h. ,eterminar la magnitud requerida de la fuera V 7 la defle2ión

δ

4 si la palanca debe regresar a la

posición $oriontal luego de retirada la carga.

161



**<

→ alargamiento total de la barra.

*h*<

→ alargamiento recuperable.

*h*

A

→ alargamiento permanente. ,

El material de la barra A* debe ingresar *

al rango plástico.

!

*e

*Y

a

/

δ@ ,e

SQQ × @Q  = = @.[ × @Q −S. ε 7 =  Ε OQQ × @Q σ 7

La má2ima deformación unitaria recuperable4 es

* *Y = ( L A* )ε 7 = (@.O[(@.[ × @Q −S 

Luego el alargamiento *h*
* *Y = @.\][ × @Q −S m

δ @

La defle2ión

se calcula por seme>ana !* !/ (@.@ = → δ @ = (@.\][ × @Q −S  = [.@ × @Q −S m * *Y δ @ Q.R

-uera /á2ima - 7...(C

Vmá2

! *

162


Mg. Ingº Carlos Esparza Díaz σ 7

!arga de -luencia en la barra A* - 7=A π

-; = (SQQ(@Q   ( × @Q −S  O = @ Q\[.@\ Netons. R

∑/

!

=Q→

,e donde

-; (Q.R = (@.@V /%6 V /%6 =

(@ Q\[.@\ (Q.R @.@

V/%6 =  RQ.Q Netons. (C -7 → carga de fluencia(g enera las deformaciones plásticas no resuperabl es

@@

)n cable sometido a tracción de radio r4 tiene en su e>e un módulo de elasticidad E@4 7 este módulo crece linealmente $acia la periferia4 donde alcana el +alor E O. ,eterminar la -uera de tracción que puede soportar el cable con la

σ 0 debida seguridad (el esfuero en ningHn punto debe superar el +alor

.

Le7 de ariación del /ódulo Elástico (@

Ε = a + b ρ E

ρ = r 4 es Ε = Ε O

ρ E@

dA=Oπρdρ

Para ρ = Q 4 es Ε = Ε @

EO

→ Ε @ = a D Ε O = a + br → b =

Ε O − Ε @ r

Le7 de ariación

163



P

P

(ε−>!onstante (todas las fibras con la misma ε

∫

P = σ ∂ A ( A 

La fuera a2ial es r

∫

→ P = σ Oπρ ∂ρ Q

 

σ = Ε ε =  Ε @ +

El esfuero es +ariable

Ε O − Ε @  ρ  ε r 

ε

La deformación

es constante en todos los puntos.

r

Ε − Ε   → P =  Ε @ + O @ ρ  ε Oπρ ∂ r  Q 

∫

r

 Q 

∫

P = Oπε  Ε @ + P=

πε

S

Ε O − Ε @  ρ  ρ ∂ r 

r O ( Ε @ + OΕ O )...(∗

→

En la periferie

σ = σ Q D

Ε = Ε O → _ Q = `Ε O ε =

_Q

Ε O

eemplaando en (∗ ? P=

π

S

r O

_Q

Ε O

( Ε @ + OΕ O )

(@ /aterial No JomogWneo

^r O  Ε @   P= _ O + S Q  Ε O  

164


@O


La +arilla uniforme *! tiene sección trans+ersal A 7 está $ec$a de un acero

σ y elastoplástico (E4

. )sando el sistema bloque M resorte representado4 se

desea simular la defle2ión del e2tremo ! de la +arilla cuando la carga a2ial es P 7 luego se la retira. ,esignando por la masa del bloqueD el coeficiente de roamiento entre el bloque la superficie $oriontal4 $allar (i )na e2presión para la masa m requerida. (ii)na e2presión para la constante del resorte I.

L !

*

*

I m

P

! P

La defle2ión en los puntos ! 7 !h debe ser la misma para todos los +alores de P. arilla *!

σ y -uera de -luencia P 7=A δ 7

= ε 7 L =

,eformación de -luencia

σ 7

Ε

L

Pendiente de la parte recta del P

P7

δ7

δc

δ 7

,iagrama P X P7 δ 7

=

Aσ 7 AE = L L σ 7

Ε

#istema masa M resorte

165



P = κδ c 

#i P-/%6

el bloque no se mue+e4 7

elación lineal con pendiente

κ

P -/%6

δce

Para P = -/%6 = µ  = µ mg el bloque comiena a δ c 

mo+erse 7

se incrementa4 sin ningHn incremento en P. δ c 

#i P decrece $asta cero4 el bloque se mantiene en un miso punto 7

decrece

linealmente → 'gualando las e2presiones para P 7 7 -/%6 → 'gualando las e2presiones para P 7 7 -/%6 Aσ 7 = µ mg → m =

→ → 'gualando las pendientes

Aσ 7 (masa del bloque µ g

AΕ = κ (constante del resorte L

IK) n mástil r+ido se sostiene en posición 9ertical por medio de dos cables de material elástico no lineal, cuya ecuación constituti9a es

 = I> 

(Ma). l mástil recibe una car+a de 9iento q"I W0m

uniformemente repartida sobre su lon+itud. Ambos cables tienen la misma sección trans9ersal A " . cm . Determinar (i) l esfuer!o normal en cada uno de los cables, (ii) l despla!amiento del e1tremo superior del mástil. q

 D

m

q

Jm ' Km 7

A Jm

166



%AD %A' R RI

∑ %uer!as a1iales en los cables*



q8 M7 = > → − %A' Ksen − %ADXsenw = > 

.

 Reempla!ando 9alores ( es el án+ulo a+udo que forma el cable A' con el w mástil y el án+ulo a+udo que forma el cable AD con el mástil), obtenemos* J>. − .J%A' − .XX%AD = > (i) 

'ompatibilidad eom6trica. Aceptando deformaciones in#nitesimales.  D

 DAD D

b '

DA' '

a

De la seme/an!a de DDB ''B   = → K AD = X A' X K senx sen .

trián+ulos

obtenemos

AD = I.IJA'

la

relación*

(ii)

Reempla!ando los 9alores correspondientes*

 = I> 

Ma→  = I>Q 

Wa.

cuaciones constituti9as (material)* Reempla!ando en función de las fuer!as y los cambios de lon+itud, tenemos*

167



%  = I>Q ( ) A 8

→=

8 % I>J A

ara cada uno de los cables aplicamos la ecuación anterior* X.I %AD = >.>JQIX%AD AD = I>J (.)(I>− J ) A' =

 %A' = >.>KI %A' J I> (.)(I>− J )

Reempla!ando ambas e1presiones en la ecuación de compatibilidad (ii), tenemos* >.>JQIX%AD = I.IJ(>.>KI %A' ) → %AD = >.X%A' (iii) Resol9iendo simultáneamente las ecuaciones (i) y (iii), obtenemos* %AD = .XQ M %A' = I>.I M (tracciones ). sfuer!os en los cables* I>.I J A' = − J = J.>QJ1 I> Ma (.)(I> )

y

AD =

.XQ J − J = .KI1 I> Ma (.)(I> )

< * Despla!amiento ''B '< = K 

→ '< = K.XAA' → '< = KA' = K.XA' sen

'< = K.X(>.>KI %A' ) = >.IIQ I>.I = >.KXm. @R La barra A* tiene un área trans+ersal de O pulg O 7 está $ec$a de un acero elastoplástico (E=SQ 2 @Q  lbMpulgOD z 7=RQ QQQ lbMpulg O. #abiendo que la fuera crece de @Q a @RQ Ilb. ; luego decrece a cero4 determinar (i La defle2ión permanente del punto !. A

!

P A!

P!* !

A

δ

*

*

-

!onsideremos las O porciones A! 7 !*. Equilibrio → P A! j P!* = P G..(@ Para cada porción de barra4 tenemos

168



P A!(tracción \Q Klb

a

XS

[.SS2@Q

δ

σ 7

= (Rε 7 = R(@.SS(@Q−S  = [.SS × @Q−S pulg.

P7 = Aσ 7 = O( RQQQQ  = \QQQQ lbs.

y =

y J>>>> = = I.KK× I>−K  { K× I>

 y → c ar+a de&uencia     y → deformació n de&uencia  

P7 = Aσ 7 = O( RQQQQ  = \QQQQ lbs.

Pcb(compresión b

\QKlb

RQKlb

XS

XS

[.SS2@Q @Q.]2@Q

δ

Para -=@RQKlb. #uma de diagramas (P A! j P!* = P 169

Mecánica de Sólidos δ P


→ permanente

δ r → recuperabl e δ = \ × @Q −S pulg.

En la descarga4 la gráfica es paralela a la parte inicial ( . ; . ; . ;

b

@QKlb @RQKlb @OQKlb

a

XS

δ= \2@Q

δP

XS

XS

[.SS2@Q @Q.]2@Q

δr

δ

δ r

#eme>ana

[.SS × @Q −S

=

@RQ → δ r = .OOO × @Q −S pulg. @OQ

,efle2ión permanente de ! δ p

= \ × @Q −S X δ r = .OOO × @Q −S pu lg. δ P

@[

= @.]]\ × @Q −S pu lg

La figura representa una barra de material iscoelástico tipo /A6EL (constantes E4B@4 rodeada de un tubo cil1ndrico de material elástico 8 lineal (módulo EO. La barra 7 el tubo cil1ndrico están conectados a una placa r1gida4 de peso despreciable4 7 a un soporte superior r1gido. )na fuera - se aplica

170



sHbitamente en el instante t= Q. !alcular los esfueros que se generan en la barra 7 en el tubo cil1ndrico.

3

O @

PLA!A5:',A

;

-

%rea trans+ersal de la barra %rea trans+ersal del tubo

→ A@

→ AO

Equilibrio

( σ 3 ) @ A @ + ( σ 3 ) O A O = -....................(@ ( σ 3 ) @ → Esfuero en la barra ( σ 3 ) O → Esfuero en el tubo Aceptando que las áreas permanecen (sensiblemente constantes

∂ ( σ 3 ) @ ∂( σ 3 ) O A @ + A O = Q..........( O ∂t ∂t ε 3

!ompatibilidad Las deformaciones

deben ser iguales en cualquier tiempo

( ε 3 ) @ = ( ε 3 ) O

→

∂( ε 3 ) @ ∂ ( ε 3 ) O ........................(S = ∂t ∂t

/ateriales /aterial iscoelástico (tipo /a2ell

Ecuación !onstituti+a σ 

Ε

η Elasticidad

∂ε 3 @ ∂σ 3 @ . + .σ 3 = ∂t Ε ∂t η

171

iscosidad



/aterial Elástico Lineal (tipo JooKe σ 

σ  E

σ 3

= Ε ε 3

( σ 3 ) O = Ε ( ε 3 ) O → Para el tubo →

∂( ε 3 ) O @ ( σ t ) O .............( R = ∂t Ε t

∂( ε 3 ) @ @ ∂( σ  ) @ @ = + ( σ  ) @........................([ ∂t Ε @ t η @ Para la barra → eemplaando (R 7 ([ en la ecuación de !ompatibilidad (S4 tenemos

∂( σ 3 ) O @ ∂( σ  ) @ @ = + (σ  ) @..........................................(  Ε O ∂t Ε @ ∂t η @ ∂( σ 3 ) O A ∂( σ  ) @ =− @ ..........................(] A O ∂t ∂t ,e la ec. (O obtenemos eemplaando (] 7 ( @  A @ ∂( σ  ) @  @ ∂ (σ  ) @ @ −  = + ( σ  ) @.........................(\ t Ε O  A O ∂t  Ε ∂ η @  @

E2presión que puede escribirse

 A @ @  ∂ (σ  ) @ @  +   ∂t + η (σ  ) @ = Q...................................( A Ε Ε @  @  O O #eparando +ariables

 A @ @  ∂( σ  ) @ @  +  + ∂t = Q.......................................(@Q   Ε O A O Ε @  ( σ  ) @ η @

'ntegrando

 A @ @  @  +  Ln( σ  ) @ + ∂t = κ  η @  Ε O A O Ε @ 

Pasando a la forma e2ponencial4 tenemos

172



A O t  A@ A O 

−

η @ 

+   Ε  O Ε @ 

( σ  ) @ = κ 

( σ 3 ) O A partir de la ec. (@ se calcula

(σ 3 ) O =

@ A O



 @   - − ( σ  ) @    A @  (σ 3 ) @

N$&+< La constante I se conocerá cuando se tenga un +alor del esfuero

en un

tiempo dado. 1.1=) De!ormación *nitaria Cortante. Módlo de igidez Es posible realiar ensa7os en laboratorio4 en los cuales ciertas probetas prismáticas especiales son cargadas e2clusi+amente en Estado de Esfuero !ortante.

P? aplicada gradualmente L a

P L

P $ V

$ *A#E 5:',A

V

Equilibrio P$=VL

P

La cara superior del bloque prismático sufrirá un desplaamiento respecto a la sección fi>a.

173



δ

δ

τ

γ

τ

τ γ

τ

En +alor promedio se presentan esfueros cortantes en R caras del sólido τ =

P La

ó

(iguales puesto que P$= VL Para materiales isotrópicos se obser+a τ

(i

El esfuero cortante

(ii

rectos (,eformaciones de !ortante. τ Los esfueros cortantes N A-E!&AN las deformaciones normales.

τ

#0L P,)!E ,'#&#'NE# de los ángulos

P

@

K

θ

@

γ La parte inicial recta tiene por ecuación τ=:γ

δ La parte recta (inicial tiene por ecuación P=Kδ

#i la carga P se aplica gradualmente (por incrementar pueden registrarse los corrimientos Los resultados se representan en un ,iagrama !onstituti+o P X

δ

ocasionados.

δ

. ,e manera

τ γ alternati+a4 puede obtenerse un ,iagrama !onstituti+o X . 174

τ =

V $a



La constante : → se denomina /0,)L ,E ':',E3 (o /0,)L ,E ELA#&'!',A, !&AN&E .

τ

-1sicamente4 : representa un +alor del esfuero cortante que ocasiona una

γ = @ distorsión unitaria

. (: tiene unidades de esfuero.

τ − γ En el tramo inicial del ,iagrama se obser+a proporcionalidad entre Esfueros !ortantes 7 ,istorsiones.

} = | → 8ey de
(alores referenciales

N$&+> bsWr+ese que4 para un material4 - > E.

175



P

@

A: K= $

δ

La Le7 de JooKe para esfuero cortante4 puede e2presarse en tWrminos de otros parámetros. P :δ A: δ = →P = A $ $

(A → área de cortante.

,ef. El +alor

A: $

se denomina ':',E3 !&AN&E.

-1sicamente4 significa el +alor de P que ocasiona

δ

P

γ

A

δ = @

.

δ

P γ

Para deformaciones infinitesimales δ ≈ $γ

ó

γ =

δ

$

Notas) i

Las constantes elásticas E 7 : no son independientes entre s1. #e demostrará (posteriormente que entre ellas e2iste una ELA!'0N.

176



Esfuero

σ=2 200 KMcm

O

E :

τ=1 400 KMcm

E

O

2 100 000 KMcm 800 000 KMcm

(/aterial

@ @ XS

@.Q[2@Q

O

O

Acero Estructural

: XS

@.]2@Q

,eformación )nitaria

1.1=.1) Es!erzo Cortante en lanos erpendiclares 3

d2

τ

d7

!y

τ

d

y!

τ

!y

τ

y!

;

2

!onsideremos un prima infinitesimal4 sometido a E#&A, PLAN de Esfuero !ortante (,os caras paralelas libres τ

de .

∑/

2

=Q→

(τ ;3 ) $ ∂2∂ #∂7 − (τ 3; )$ ∂2∂7 #∂ = Q #implificando  (τ ;3 ) = (τ 3; ) " denominada Le7 de eciprocidad del Esfuero !ortante. (#ub1ndice s → commutables  τ rs = τ sr D τ 27 = τ 7 2 D ...... etc.

En consecuencia 9Los esfueros cortantes que actHan en planos perpendiculares son numWricamente iguales<

177



4N$) Ambos cortantes4 o se dirigen $acia la arista comHn4 o se ale>an de ella. EFE/PL# @ En el sistema representado4 la carga P=O]KN debe producir una defle2ión +ertical de Omm.4 a la placa r1gida A*. Jallar las dimensiones m1nimas a 7 b τ ad

= @.[/PaD : = @\/PaD e = QQmm

necesarias. !onsiderar

( ? al plano

de dibu>o

P=O]IN

1gido

1gido

@

O

a

a

b

@

O

,eformación

Por la simetr1a total4 consideramos sólo una 9parte< PMO γ

δ=2mm

b

γ

δ=2mm

178



i Esfueros τ =

PO be

ii !ondición τ ≤ τ ad p Obe

→ τ =

eemplaando +alores4 tenemos O] × @Q S ≤ @.[ × @Q − 4 de donde b ≥ Q.@[m −S O(b(Q × @Q  b m1n = Q.@[m iii Le7 de JooKe ? τ = :γ → γ =

τ

:

4 reemplaando +alores ?

@.[ × @Q  = Q.Q\S ad. γ = @.\ × @Q  i+ :eometr1a (deformaciones infinitesi males ? δ ≈ aγ → a ≈

δ γ

O × @Q −S → a≈ QQ.QORm → a m1n = Q.QORm Q.Q\SS

O #e elabora un dispositi+o ad$iriendo una +arilla A4 de radio r @4 7 el tubo *4 de radio r O4 a un cilindro $ueco de cierto material a ensa7ar. ,esignando por : al módulo de rigide del material4 e2presar la defle2ión

δ

de la +arilla A en función de V4L4:4 r @ 7 r O δ

Espesor delgado (tXQ

/aterial a ensa7ar

V

A

V

L

#ea

∂r

el espesor G..

∂e

4 una capa (cortea de material a ensa7ar4

ubicada a la distancia r del e>e geomWtrico.

179



dr r

dδ

r @

γ dr

r O

dδ= γ dr

L

#uperficie lateral de la cortea

A = Oπ rL A

V

(Esta superficie es el área de corte El esfuero cortante generado4 es τ =

V V = A Oπ rL

→ ∂δ = γ ∂r (defomaciones infinitesi males. ∂δ =

τ

:

∂r =

V ∂r (usando Le7 de JooKe τ = :γ  Oπ rL r

V ∂r V O ∂r → ∂δ = → δ = Oπ rL r Oπ rL r r

∫ @

δ =

r V Ln O Oπ rL r @

S )n tubo cil1ndrico de radios #= r @ ; * = r O 7 altura $4 es de un material cu7o modulo elástico de corte es :. La superficie interior se mantiene fi>a 7 la e2terna se su>eta con un anillo que permite aplicar fueras P4 segHn se indica en el esquema. !alcular el desplaamiento elástico del punto * con respecto al punto fi>o A. ($ → k al plano de representación.

180



A la distancia r del punto 4 se

P

generan esfueros cortantes

o

uniformemente distribuidos en la superficie lateral de un cilindro

P

A

de radio r 7 altura $ (!&E3A.

*

( r @ ≤ r ≤ r O ) .

a τ

Los esfueros

&

τ

su +e4 un momento respecto al e>e4 que

r

equilibra al par aplicado &=Pa.

∫

Oπ

∫

Oπ

A

Luego

Q

O

∫

→ & = (τ ∂ A ) r = τ r $r ∂θ = Oπ $τ r O  ∂θ = τ $r

τ

&=Pa

en el área indicada4 generan4 a

∂ A

Q

Pa = Oπ $τ r O → τ =

Pa Oπ $r O

N$&+< isualiar el elemento de área

dθ

r dθ

dA=r dθ$

∂θ D r @D r O D r . !onsideramos el elemento de cilindro4 definido por

181


Mg. Ingº Carlos Esparza Díaz 

∂+ = γ ∂r 4 siendo r

τ

γ =

τ

:

especto al

dθ

punto /4 el punto N e2perimenta un

dr A(fi>o

desliamiento

/ N

τ *

la deformació n an+ularunitaria (=ariacióndelán+ulorectoenM). l desli!amie nto delpunto7, será r

∫

9 = |∂r rI

r

9=

I a

∫  ]5r



∂r

rI r

9=

a ∂r a = ]5 r r  ]5 I

∫

9=

− I  r 

r

rI

a  I I   −  Despla!ami entodel ]5  rI r   punto7 (respectoal punto#/o A)

182



/

N

γ N

dr

1.1@) De!ormación &ransAersal. elación de oisson. De!ormación Bolmtrica. [email protected]) elación de oisson" !uando se carga una probeta de material elástico en el Ensa7o de &racción !ompresión )nia2ial4 se obser+a que sufre ,eformaciones )nitarias Longitudinales (a2iales 7 la +e ,E-/A!'NE# &AN#E#ALE# (LA&EALE#. L L

P

d

&racción

→ Lh  L

7

dh  d

!ompresión → Lh  L

7

dh  d

P d

,ef. @ #e denomina ,eformación )nitaria &rans+ersal o ,eformación )nitaria

ε La Lateral4 al +alor

=

d−d d

Para materiales isotrópicos elástico 8 lineales4 cargados unia2ialmente4 las deformaciones laterales que se presentan son proporcionales a las ,eformaciones )nitarias Longitudinales (a2iales

ε La

= κε long

,ef. O La relación entre la ,eformación )nitaria Lateral 7 la deformación )nitaria Longitudinal4 se denomina ELA!'0N ,E P'##N.

υ =

ε LA&EAL ε LN:'&),'N AL

183



sg( ε Lat ) ≠ sg ε long puede escribirse !omo

υ = −

ε LA&EAL ε LN:'&),'N AL

( ε LA&EAL = −υε LN:'&),'N AL ) La relación de Poisson es una cantidad positi+a4 adimensional4 7 generalmente es determinada e2perimentalmente. Es tambiWn una constante caracter1stica de los materiales. Aluminio.. ....................................υ = Q.SS Jierro -undido... .........................υ = Q.O[ a Q.SQ Acero Estructural........................υ = Q.@[ !obre.........................................υ = Q.SR

(alores referenciales

N$&+S< 3

i /aterial elástico4 lineal e isotrópico )n elemento prismático sometido a σ 2

Esfuero Normal )nia2ial

τ

4 sufre

1

τ

1

ε 2

=

una deformación unitaria.

σ 2

Ε

.

7

2

#i el material es isotrópico4 se presentan deformaciones trans+ersales iguales (en las direcciones 74  ε 7

=

ε     (Por la isotrop1a .

= −υε 2

Ε 4υ ii En materiales elástico lineales e isotrópicos4 las constantes elásticas #N 'N,EPEN,'EN&E# de la orientación del esfuero normal unia2ial.

184



/ A & E  ' A L

/A&E'AL E4υ

E4υ

Ε 4 :4υ iii Las constantes elásticas

N son independientes. #e demostrará

(posteriormente que entre ellas e2iste la relación 

Ε → : < Ε O(@ + υ 

:=

[email protected]) De!ormación Bolmtrica" !onsideramos un prisma de



material

elástico4

lineal

e

isotrópico4 sometido a esfuero b

a

τc 1

normal en una dirección.

τ

1

Q=abc (+olumen inicial. 2

7

Longitud -inal de las aristas ε 2

ε 7

=

b−b → b = b(@ + ε 7  = b(@ − υε 2  b

ε 

=

c −c → c = c(@ + ε   = c(@ − υε 2  c

=

a−a → a = a(@ + ε 2  a

Puesto que no se presentan distorsiones4 el +olumen final4 es  = a b c  = a(@ + ε 2 b(@ − υε 2 c(@ − υε 2   = abc(@ + ε 2 (@ − υε 2  O

185



,ef. #e denomina ,eformación olumWtrica (!ambio )nitario de olHmen al cociente +=

∆ 

=

-'NAL − 'N'!'AL 'N'!'AL

abc(@ + ε 2 (@ − υε 2  O − abc →+= abc + = υ Oε 2 S + υε 2 O (υ − O + ε 2 (@ − Oυ 

#implificando4 obtenemos

. S

ε 2 7 ε 2

Para

deformaciones

O

→Q ,

infinitesimales

7

con

suficiente

apro2imación. + = ε 2 (@ − Oυ  +=

 &ambiWn σ 2

N$&+<. Puesto que

→

υ ≤

@ O

Q ≤ υ ≤

σ 2

Ε

∆ = Q

>Q 4 esperamos que

(@ − Oυ  σ 2

Ε

(@ − Oυ 

+ ≥ Q

(@ − Oυ  ≥ Q

4 luego

74 como por definición υ ≥ Q4 tenemos que @ O

186



a

a

σ

b

σ

1

1

b

aa bb

υ = Q → /A&E'AL ',EAL4 que pudiera estirarse en una dirección #'N !N&AE#E

lateralmen te. υ =

@ → /A&E'AL ',EAL4 perfectamente imcompresible (su cambio de +olHmen ser1a O nulo.

υ < Q → /A&E'AL '/A:'NA' 4 que podr1a estirarse en +arias direcciones al ser trac X

cionado ena de ellas.

EEM$S @ )na placa de aluminio está sometida a esfuero normal. #abiendo que4 antes de actuar la carga4 se traó una recta con pendiente O@4 $allar la pendiente de σ 2

la l1nea cuando

= @\ IlbMpulg O D υ Q = Q.SS4 E = @Q ] lbMpulg O .

187



µ

σ

1

O

L

L

@

+

σ =@\QQQ lbMpulg

O

µ

1

+

Pendiente de L =

µ O + ∆ µ = ..............(∗ υ @ + ∆υ

∆ µ = Oε µ D ∆υ = @ε υ (!ambios de longitud

Pero

&ambien

∆υ =

@\QQQ = Q.QQ@\ @Q ]

∆ µ = O( −υε +  = −O(Q.SS

@\QQQ @Q ]

∆ µ = −Q.QQ@@\\ eemplaando en (∗

→

m L =

O − Q.QQ@@\\ @ + Q.QQ@\

fracción que puede escribirse m L =

@.[ @

O Jallar el cambio de altura 7 de +olumen para el elemento representado. σ 7

= @O IlbMpulg O (compresiónD υ = Q.S4 E = S × @Q R IlbMpulg O

!onsiderar

σ

ε 7

y

=

− @O = R × @Q −R R Ε S × @Q

σ 7

→ ∆$ = $ε 7 = $ −R × @Q −R # = −OR × @Q −R pulg.

$=Y

!ambio )nitario de olHmen ?

d=RY

+=

∆ Q

→+= →+ =

∆ Q

=

ó

+=

σ 7

Ε

(@ − Oυ )

− @O (@ − Oυ ( Q%S) ) = @% × @Q −R R S × @Q

→ ∆ = +Q = @% × @Q −R π ( R) O ( ) = −Q%Q@OQ pulg O R

'N,'!A P,',A ,E L)/EN

188



S )na barra de acero A*! transmite una fuera a2ial de tracción de modo que el cambio total de longitud es Q.mm. !alcular4 en cada tramo4 el cambio de longitud 7 de diámetro. υ = Q.S4 E = OQQQ:Pa

!onsiderar

Esfueros ? σ A*

=

P π

R σ A*

(OQ × @Q −S ) O

= S@\S %QP (Pascales

( → P en Netons ) % σ *!

=

P π

R

−S O

(@S × @Q )

= ][SS %P

,eformaciones )nitarias  S@\S %QP

ε A*

= σ A* = = @%[O × @Q −\ P  Ε OQQ × @Q

ε *!

=

σ *!

Ε

=

][SS %P −\  = S%]] × @Q P OQQ × @Q

189



Alargamien tos  ∆ A* = L A* ε A* = ][Q × @Q −S × @%[O × @Q −\ P = @@R × @Q −@@P (mm

∆ *! = L *! ε *! = [QQ × @Q −S × S%]] × @Q −\ P = @\\S %[ × @Q −@@P (mm !ondición 

∆ = ∆ A* + ∆ *! → Q% × @Q −S = @@R × @Q −@@P + @\\S %[ × @Q −@@P P = @R.S Netons.

de donde obtenemos 

∆ A* = @@R × @Q −@@ ( @R.S ) = O%SO\ × @Q −R m

Luego

∆ * c = @\\S %[ × @Q −@@ (@R.S ) = S%][ × @Q − R m ,eformaciones Laterales  ε & A* = −υε A* = −Q%S(@%[O × @Q −\ )(@R.S ) ε & A* = %S × @Q −[ ε & *! = −υε *!

= −Q%S(S%]] × @Q −\ )(@R.S ) = −O%OQS × @Q −R

!ambio en los diámetros 

∆d A* = ( d A* )( ε & A* ) = (OQ × @Q −S )(%S × @Q −[ ) = @%\ × @Q − m ∆d*! = ( d*! )( ε & *! ) = (@S × @Q −S )( − O%OQS × @Q −R ) = −O%\R × @Q − m R El cambio de diámetro de un perno de acero $a sido medido cuidadosamente υ = Q.O4 E = OQQ:Pa

luego de ser apretada la tuerca. #abiendo que

4

determinar la fuera interna en el pero4 si se obser+a que el diámetro se $a acortado en @S2@Q Xm.

PEN

2

dinicial =Qmm

190



,isminución del diámetro → ∆7 = X@S × @Q X m% Luego ε 7 = ε 7

=

dinicial

X @S × @Q X = −Q%O@] × @Q XS XS Q × @Q

elación de Poisson → ε 7 = −υ σ 2

∆7

=−

σ 2

Ε

→ σ 2 = −

Ε υ

ε 7

OQQ × @Q  ( − Q%O@] × @Q XS ) = @R%R[ × @Q  Pascales Q.O

-uera A2ial en el perno - = A σ 2 =  'N'!'AL

π

R

(Q × @Q −S ) O (@R%R[ × @Q  )

- = ROO%[ × @Q S Netons

[ El tubo de acero que se representa4 esta sometido a carga a2ial centrada P. El

P

L

P

d d O

E4υ .

material tiene constantes

!alcular el cambio unitario de

+olumen.

191


Mg. Ingº Carlos Esparza Díaz σ 2

=

ε 2

=

∆ 

P π

[ ( Od) O − d O ] R

σ 2

Ε

=

=

RP π (Sd O )

RP Sπ E(d O )

= ε 2 (@ − Oυ ) ⇒

∆ 

=

RP (@ − Oυ ) Sπ E(d O )

 Para el sistema representado4 calcular el cambio de +olumen. !onsiderar el E4υ .

material con constantes elásticas

q( 2 ) = A2 + *

P q=Q

q( Q) = Q → A ( Q) + * = Q → * = Q

P

q( L ) = q → AL = q → A = epartición de la carga

N

q

q L q q( 2 ) = 2 L

-uera interna en la sección 2   =  − RN siendo R la resultantede q( 1) en el tro!o delon+itud 1. 1

∫

 =  $ q( 1) ∂1 =  − >

1

q 1∂1 8 >

∫

q 1 = − 8 

192



!N,'!'0N ? !uando 2 = L → N = Q → P −

q 2O qL = Q →P = L O O

El cambio de +olHmen se calcula a partir de ∆ = Q

(i

(@ − Oυ ) σ 2 donde se supuso σ 2 constante Ε

  Q - ( @ − Oυ )  σ 2 = - " siendo -la fuera a2ial constante  → ∆  = @ − O = A L ( ) υ % Q  A Q Ε A Q Ε A Q   (@ − Oυ ) ( ∗) ∆ = -L Ε

-

Ao inicial L

#i la fuera a2ial es +ariable4 la ecuación ( ∗) toda+1a puede usarse4 teniendo presente que ? L

∫

-L = -∂2 Q

L  -uera  (@ − Oυ )  → ∆ = -∂2 que puede usarse cuando - = -(2  A2ial  Ε Q  

∫

L

O  qLO  (@ − Oυ )  (@ − Oυ )   P − q 2    Luego ∆ = ∂ 2 = PL −   Ε Q  L O  Ε    

∫

PL qLO = " luego Por la condición (i → S 

∆ =

(@ − Oυ )  PL  O (@ − Oυ ) PL  PL −  = Ε  S  S Ε

1.1) Sistemas Estáticamente Indeterminados 1.1.1) Introdcción. De!iniciones" )n sistema elástico lineal se define como sistema estáticamente indeterminado ($iperestático cuando N E# P#'*LE4 usando Hnicamente las ecuaciones de equilibrio4 calcular las reacciones e2ternas 7Mo las fueras internas. Para solucionar sistemas $iperestáticos es necesario desarrollar ecuaciones adicionales4 basadas en las propiedades del material u las caracter1sticas de 193



las deformaciones. &ales ecuaciones suelen llamarse Ecuaciones de !ompatibilidad. Por e>emplo → Armadura con dos apo7os fi>os (articulaciones

P V

P V

R O

S

@

SIS&EM+ FIEES&%&IC$ EG&EN$ DE 1er $DEN $ -+D$ DE FIEES&+&ICID+D 4-+D$ H Nº INC#-NI&+S  Nº EC*+CI$NES &IES). Para este caso4 debe plantearse )NA E!)A!'0N A,'!'NAL. (E6&EN → Las incógnitas son -ueras de eacción. #istema de tres barras concurrentes.

O S

@

A P

N" 'N!0:N'&A#

→ S(-ueras de *arra

N" E!)A!'NE# → O(Equilibrio Nudo A. →

#'#&E/A J'PEE#&%&'! 'N&EN ,E @er ,EN. ,ebemos plantear una E!)A!'0N A,'!'NAL

('N&EN → Las incógnitas son -ueras 'nternas.

194



V P

E2isten sistemas que4 a su +e4 son $iperestáticos e2ternos 8 internos.

S E!. ,E EV)'L'*' 7  E6&EN    'N!0:N'&A#   barras4 una más que la condición  'N&EN   estática  b = On X S → b = O(R X S = [ #istema Jiperestático e2terno de S er orden 74 a la +e4 Jiperestático interno de orden @.

1.1.0) rincipio de Sperposición" En #'#&E/A# EL%#&'!# 8 L'NEALE#4 el efecto producido por un !NF)N& ,E A!!'NE# es igual a la suma (superposición de los efectos producidos por las acciones indi+idualmente.

P V O

@

[ R

S

-ueras A2iales -i (i=@4O4...

P V O

@

[ R

S

-i

O

@

[ R

S

-i

-i=-ij- i

EEM$S 195



@ Jallar las reacciones en los apo7os4 aceptando material de comportamiento elástico 8 lineal. !onsiderar constante a la rigide de la sección (EA. !

A

*

P a

b

i EV)'L'*'

A

!

*

( A

(*

 A +  * = P......... ........(@

#istema Jiperestático (E2terno de @ er grado. ,ebemos planear una ecuación adicional. ii !/PA&'*'L',A, !omo los apo7os A 7 * son fi>os4 el cambio total de longitud de la barra deber ser

∆ A* = Q N)L

∆ A* + ∆ !* = Q.................(O

ó

iii /A&E'AL(LE; ,E JIE

&A/A! A  A

-@

-@ =  A . → ∆ A! =

 A a EA

(alargamie nto

-O = − * . &A/ !* *

-O

*

→

→ ∆ !* =

X  *b EA

(acortamiento

 A a  * b X = Q.............(S EA EA

eemplaando en (@ 196



esol+iendo el sistema de ecuaciones (@ 7 (S  A =

Pb a+b

* =

Pa a+b

O Jallar la fuera en cada barra de la armadura representada. #uponer material elástico lineal (módulo E 7 sección trans+ersal A en todas las barras α

α O

@

-O

-@

-S

S

α A

α P

P

i Equilibrio (Nudo A -@ cos α − -S cos α = Q......................(@ -@senα + -S senα − P = Q.................(O (Jiperestá tico de @er rden

ii !ompatibilidad

α

α @

O

A

S

α

A

A

A α

A A

→ ∆ @ = ∆ O senα ......................(∗ → ∆ S = ∆ O senα ......................(∗∗

197



-L  - L ∆ @ =    = @  EA  @ EA

iii /aterial (Le7 de JooKe -L  - Lsenα ∆ O =    = O EA  EA  O

-L  - L ∆ S =    = S  EA  S EA

eemplaando en (C 7 (CC -@L -OLsenα senα → -@ = -O sen Oα ..........(S = EA EA -S L -OLsenα = senα → -S = -O sen Oα ..........( R EA EA

esol+iendo el #istema de ecuaciones (@4(O4(S4(R

btenemos

PsenOα . P = -@ = D . D. O @ + OsenSα . @ + OsenSα .

PsenOα -S = @ + OsenSα .

Nota< bser+ar que las ec. (O4(S 7 (R son las independientes. La ecuación (@ pro+iene de (S 7 (R. S !alcular los esfueros en las barras elásticas del sistema representado. !onsiderar E=O2 @Q  Ig.McmODA=RcmO para todas las barras.

@

*

1gida

S

!

A O

q=O\IMcm

i -)E3A#('N&ENA#

198



-S

-@

* !

A q -O

-@ D -S → &A!!'0N D -O → !/PE#'0N

∑ -E& = Q →-@ + -O + -S = (SQQ (O\......... .......... .......... .......... .......... ....(@ ∑ /* = Q →OQQ-S + (O\(@QQ ([Q − @QQ-@ − O\(OQQ (@QQ  = Q.......... ..(O ii !ompatibilidad

* !

A

#eme>ana →

∆ O − ∆@ @

=

∆ S − ∆@ S

→

S∆ O − O∆ @ − ∆ S = Q.........(∗

iii /aterial (Le7 de JooKe

∆@ =

-@L -L -L D ∆O = O D ∆S = S EA EA EA

(F  #igno 7 iubicación en la barra O

eemplaando en (C 7 simplificando obtenemos S-O − O-@ − -S = Q..........(S

199



esol+iendo el #istema de ecuaciones (@4(O4(S4tenemos - @ =ORQQ Ig. D . -O = O]QQ Ig. D .      tracción

compresión

=

- SSQQIg.  S      tración

E#-)E3# σ @

=

-@ ORQQ Ig = = QQ O (tracción A R cm

σ S

=

SSQQ Ig = \O[ O ( tracción R cm

σ O

=

O]QQ Ig = ][ O (compresión R cm

R )na placa r1gida está sostenida $oriontalmente por cuatro cables +erticales iguales entre s14 segHn se indica en la gráfica. !alcular la fuera en cada cable ocasionada por la fuera P que actHa en un punto de una diagonal.

P *

L

d

A

L

,

!

!ables  $4 E4 A. Las fueras que actHan en los cables que pasan por * 7 ! son iguales (#imetr1a

EV)'L'*'

2 7 A

P

*

L

L 2 d

 ,

!

200



(∑ / A, = Q → 6 = 6)

∑-

E&.

=Q

O6 + O; + 3 = P......................(@

∑/ ;

*!

=Q

L O L O + Pd − 3 = Q.........( O O O

!/PA&'*'L',A,

P A

*!

,

∆c = =

∆ A + ∆ , O

D

∆* =

∆ A + ∆ , O

→ O∆ * = ∆ A + ∆ , .......... ..(ó O∆ c = ∆ A + ∆ , ....(∗ /A&E'AL (JooKe eemplaando en (C O 6$ ;$ 3$ = + → O6 = ; + 3%%%%%%%$ S # EA EA EA

esol+iendo el #istema de ecuaciones (@4(O4(S obtenemos 6=P R

 @ d  ; = P −   R L O    @ d   3 = P +   R L O 

[ ,os barras de igual longitud 7 distinto material están 1ntimamente unidas entre s1 7 sometidas a la acción de una fuera a2ial P. !alcular el esfuero en cada barra 7 el alargamiento correspondiente. Ambos materiales son lineal 8 elásticos.

201



Placas 1gidas

igidW E@ A@ igidW EO AO

P

P

L

-)E3A#

P@ PO

P@ PO

Equilibrio → P@ + PO = P ó σ @ A @ + σ O A O = P......( ∗)

Deformació n A1ial(8ey de
I  = ......( ∗ ∗) I 

    A = I AI +  A   ......( ∗ ∗ ∗) I  I   I  = S%R3ES * De ( ∗ ∗ ∗) → I =  AI +  A AII + A I   De ( ∗ ∗) →  =  I →  = I AII + A A8ARAM- TES*   8  similarresultadocon8 =  8  8 = IAI + A     Reempla!am os ( ∗ ∗) en ( ∗) *  = IAI + I

202



P

A

S

O

@

Q.QQ@Y a

a



La placa r1gida A tiene tres soportes4 tal como se indica en el esquema. El soporte central es Q.QQ@< más corto que los otros dos. )na fuera de RQIlbs. ActHa sobre A de tal forma que la placa permanece en posición $oriontal. UVuW desplaamiento e2perimenta la placa A? E=S2 @Q] lbMpulgODA=@pulgO →S soportes.

EV)'L'*'

-@ + -O + -S = P -@a = -S a → -@ = -S

P

-@

-O

-S

→ O-@ + -O = P O-@ + -O = RQQQQlb %%%%( ∗)

:E/E&5A

P

δ

P

203



!ondición → ∆@ = ∆ S = ∆ O + Q%QQ@ /aterial 

-S  -@  - ( [%Q ) = = O ] + Q%QQ@ ] ] S × @Q × @ S × @Q × @ S × @Q × @

→ -@ = -S = Q%-O + [QQQ %%%%( ∗ ∗) ,e las ecuaciones ( ∗) 7 ( ∗ ∗) 4 obtenemos  -@ = @R %lbs% Alargamien to de la barra @ ∆ @ =

(@R % )(  ) ( S) (@Q ] )(@)

∆@ = O% × @Q −S pulg. ∆@ ≈ Q%QQSpulg.

] El sistema representado4 está constituido por una barra r1gida !* 7 dos barras elásticas (@ 7 (O. Por error4 el elemento (@ $a sido diseado Q.Q[cm más pequeo que lo necesario. #i durante el monta>e las dos barras deben ir unidas al elemento r1gido4 determinar los esfueros inducidos en Wstas barras. !onsiderar E=O2 @Q  Ig.McmODA@= AO=A

O

A

*

Q.Q[cm

@ !

, Oa

a

i -ueras :eneradas (supuesto el ensamble

204



-O * a

-@

Oa

2 ! 7

∑/

c

Oa

a

= Q → -@ ( Oa) + -O ( Sa) = Q S -@ = -O %%%%%(@) O

!ompatibil idad  La distancia ∆ debe ser cubierta por las !/PNEN&E # E&'!ALE # de los des X plaamient os generados( inducidos en las barras deformable s @ 7 O.

O ∆2 δ1

t@

∆

∆1

@

ii

Ecuación

de

condición(compatibilidad

∆ = δ @ + ∆ @ %%%%( O)

205



∆2

∆2 ∆2

δ1

t1

#eme>ana 

∆ O t@ = O Oa O Sa O

,e donde → t @ =

δ1

t1

O O ∆ S O

→ δ @ = t @ co s R[' → δ @ = δ @ =

O O O ∆O S O O ∆ S O

O eemplaando en ( O)  ∆ = ∆ @ + ∆ O S

∆= iii Le7 de JooKe

-@ Oa O -O Sa + → SEA∆ = a-@ + a-O %%%( S) EA S EA

eemplaando el sistema de ecuaciones (@) 7 ( S ) ( -@ =

SEA∆ EA∆ D -O = @Qa [a

i+ Esfueros σ @ =

-@ SEA = A @Qa

D

σ O

=

-O EA = A [a

eemplaando los +alores numWricos ? σ @ = SQQI ) cm O σ O

= OQQI ) cm O

( tracciones de monta>e )

206



\ La barra r1gida A*4 articula en A4 está soportada por O cables de acero 7 cobre4 segHn se indica en el esquema. ,eterminar el esfuero en cada cable 7 la des+iación +ertical del punto *.

,

E

*

A

O&on

!

@&on

E ac = O%@× @Q  I ) cm O * E cu = Q%] × @Q  I ) cm O A ac = Rcm O * A cu = cm O *

-)E3A# EN L# !A*LE#

-ac -cu A

α

β

O&on

∑M

A

@&on

= > → %c usen( .J) + %acsenw( .J) − I>>( K) − >>>(I.) = >...(I) ( sen y senw de las dimensione s dadas)

∆cu A

α

!

*

δα

,E-/A!'NE#

→ ∆ cu = δ senα → δ = δ =

∆ cu senα

-cu ( SQQ )  SQQ    %%%%( O) ( Q%]) (@Q  )( )  @\Q 

207



∆ac A

β δβ

→ ∆ ac = δ senβ → δ = δ =

∆ ac senβ

-ac ( RQQ)  RQQ    %%%%( S ) ( O%@) (@Q  )( R )  SOQ 

δ → N'!

→ ec.(O = ec.(S

-cu ( SQQ )  SQQ  -ac ( RQQ)  RQQ    =   %%%%%( R) ( Q%]) (@Q  )( )  @\Q  ( O%@) (@Q  )( R)  SOQ  esol+iend o las ecuaciones (@ 7 (R4 obtenemos

-cu = @@S %S Ig% -ac = OO]O %] Ig%

E#-)E3#D σ ac

=

OO]O %] Ig = [%\@ O R cm

σ cu

eemplaando en (O o en (S

O.Rm

∆* =

@@S %S Ig = @\%S O  cm

δ = Q%@S[cm

Q.m

∆Β

δ

#eme>ana →

=

δ

O% R

=

∆* S

→ ∆* =

S δ O% R

S ( Q%@S[ ) = Q%@\cm ↓ O%R

 El sistema representado consta de una barra r1gida A*4 un resorte elástico lineal fi>o al e2tremo A (K=@QQIgMcm.4 7 otro resorte fi>o al e2tremo * 208



(K=[QIgMcm.. #e aplica una carga de @QQQ Ig. en la posición indicada. !alcular las fueras en los resortes.

@QQQIg

1gida

!

*

A I@=@QQIgMcm

@ [Q cm

IO=[QIgMcm

R Qc m  Qc m

-ueras

@QQQIg

!

*

A

-@

∑/

!

-O

= Q → @[Q-@ + @QQ-O = @QQQ ( RQ) S-@ + O-O = \QQ%%%%%( ∗)

:E/E&5A

@QQQIg

∆1

!

A

*

-@

∆2

-O

 -@ e2tiende al resorte en A    %  - comprime al resorte en *   O  #eme>ana →

→

∆@

=

@[Q @QQ

O∆ @ = S∆ O %%%%%%%%%%%%%%%( ∗ ∗)

esortes  -@ = I @∆ @

→

∆O

∆@ =

-@ I@

-O = I O ∆ O

∆O =

-O IO

209



eemplaando en ( ∗ ∗)4 obtenemos

O

-@ =S O I@ IO

O-@I O = S-OI @ → O( -@ )( [Q) = S( -O )(@QQ) -@ = S-O ....................( ∗ ∗ ∗) esol+iend o ( ∗) 7 ( ∗ ∗)4 obtenemos -@ =

ORQQ Ig @@

-O =

\QQ Ig @@

@Q !alcular los esfueros normales que se generan en los elementos del sistema elástico representado. !onsiderar E=O2 @Q [ Ig.McmODpara las tres barras A @= O.Q cmO 4 AO=S.[ cmO4 AS=R.Q cmO

\m

S

]m

O

@PQQQIg [m

@ Q.QS\m

#upuesto que no e2istiese la restricción del piso r1gido4 el cambio de longitud4 ser1a

∆ & = ∆@ + ∆ O + ∆ S ∆& = Q +

(@QQQ )( ]QQ ) (@QQQ )( \QQ ) + = %Rcm (@Q [ )( S[) (@Q [ )( RQ)

Puesto que .RS.\4 en el e2tremo libre se presentará una eacción4 que impida el alargamiento total.

210



(O

S

O

@PQ QIg @

(@

En función de @4 los cambios de longitudes son

∆@ = −

@ ( [QQ ) = −O%[ × @Q −R @ ( acortamiento)( cm) [ (@Q )( OQ)

∆O =

( @QQQ − @ )( ]QQ ) = O(@QQQ − @ ) (@Q − R ) ( cm) [ (@Q )( S[)

∆O =

( @QQQ − @ )( \QQ ) = O(@QQQ − @ ) (@Q − R ) ( cm) [ (@Q )( RQ )

!N,'!'0N ? ∆ @ + ∆ O + ∆ S  = S.\cm

eemplaando4 tenemos 

− O%[ × @Q −R @ + O( @QQQ − @ ) (@Q −R ) + O( @QQQ − @ ) (@Q − R ) = S%\ ,e donde  Luego 

@ = RQQQIg%

σ @ = −

RQQQ = −OQQIg ) cm O ( compresión ) OQ

σ O

=

@QQQ − RQQQ = SRSIg ) cm O ( tracción) S[

σ S

=

@QQQ − RQQQ = SQQIg ) cm O ( tracción) RQ

@@ !alcular los esfueros normales en las barras deformables del sistema representado. !onsiderar E @= Q.]EOD A@= O.Q cmO 4 AO=R cmO

211



!

,

O

\KN

-O

@ Oa

*2

* A

∑/

*

*

a

-@

\KN

*7

Oa

= Q → ( \QQ )( a) − Oa-O cos R[' −Oa-@ = Q -@ + O-O = \QQ%%%%%%%%%%%%%%%( @)

Alargamien tos de las barras elásticas  -@ ( Oa ) ( Q%]E O ) A @

∆@ =

D

∆O =

-O (O Oa) ...............( O) ( OE O ) A @

!ompatibilidad

,e

∆1

∆2

∆2

!e

!

,

*

-

A

∆1

Ae \QQQN

#eme>ana ∆ *!& ! ≈ ∆ *,& ,

→

∆@ O O ∆ O O O = O Oa

de donde

Oa

∆O =

∆@ O

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%( S)

eemplaando (O en (S -@ ( Oa) O Oa-O = O OE O A @ ( Q%]E O ) A @

212



-@ = Q%]- O %%%%%%%%%%%%%%%%%%( R)

#implificando esol+iend o ( @) 7 ( R )  -@ = @QN -O = O\RSN

Esfueros σ @ =

@QN N = [ O O cm

σ O

=

O\RS N = ]@Q%][ O R cm

@O !alcular las fueras a2iales en las barras del sistema elástico representado4 si todos son del mismo material (módulo E. Las barras +erticales tienen sección trans+ersal A4 7 las otras A@.

P

α

$

a

P

P

,ebido a la simetr1a (total del sistema4 sólo e2isten S incógnitas 6 → fuera en las barras +erticales ; → fuera en las barras diagonales 3 → fuera en las barras $oriontal es

EV)'L'*' ,E )N N),

213


α


3

6 ;

3 − ; cosα = Q%%%%%%%%%%( i) 6 − ;senα − P = Q%%%%%%%%%%( ii)

:E/E&5A ,espuWs de la deformación4 las barras e2teriores seguirán formando un rectángulo (simetr1a . *arras $oriontal es → a + ∆a = a + aε a = a( @ + ε a ) *arras +erticales → $ + ∆$ = $ + $ε $ = $(@ + ε $ ) *arras diagonales → d + ∆d = d + dε d = d(@ + ε d ) dO (@ + ε d ) O = a O (@ + ε a ) O + $ O (@ + ε $ ) O

!N,'!'0N 

→ (a O + $ O )(@ + ε d ) O = a O (@ + ε a ) O + $ O (@ + ε $ ) O %%%%%%%%%%%%%%%%( iii) /A&E'AL 

ε d

; 3 6 D ε a = Dε $ = − (Le7 de JooKe A @E A @E AE

=X

eemplaando en (iii4 tenemos O

O

O  ;  3  6  O  O   (a + $ )@ X %%%%%%%%%%%%%%%%( i+ )  = a @ + A E   + $  @ X AE  A E  @   @   O

O

AP6'/A!'0N → &/'N# ,E Odo ,EN ≈ Q . Luego

(a O + $ O ) ; = $ O 6 − a O 3 %%%%%%%%%%%%%%%( + ) A @E

AE A @E

esol+iendo las ecs. (i4 (ii4(+ obtenemos ;=

P a + $ A a A + cosα + senα $ O A @ $ O A @ O

O

O

con (i 7 (ii se obtendrán 64 3.

@S ,os cables idWnticos sostienen una barra r1gida $oriontal A* de longitud Sb4 que soportan una carga V=OQIN en el e2tremo *. La relación carga M

214



P=

alargamiento +iene dada por

@.Sδ ( Q ≤ δ ≤ Qmm)( P en IND δ en mm) @ + Q.QOδ

4

δ

donde P es la fuera a2ial en un cable 7

el alargamiento. ,eterminar las

tracciones -@4 7 -O en los cables @ 7 O respecti+amenteD los alargamientos de δ @ 7 δ O

los cables

7 el desplaamiento del punto *.

(#istemaJiperstático O

@

A

* b

b

b

P

V=ORIN

δ(mm)

,ebemos formular X )na ecuación de equilibrio. X Ecuaciones de compatibilidad X elación !argaM ,esplaamiento. EV)'L'*' -@

-O

A

* V

∑/

A

= Q → -@b + -O Ob = VSb -@ + O-O = SV = \QIN%%%%%%%%%%%%%%%( a )

!/PA&'*'L',A,

215


A


O

@

*

δ1

δ O

= Oδ @ %%%%( b)

δ *

= Sδ @ %%%%( c )

δ2

δΒ

ELA!'NE# !A:A M ALA:A/'EN& ,e la ecuación constituti+a -@ =

@%Sδ @ .....( d ) @ + Q%QOδ @

7

-O =

@%Sδ O .....( e ) @ + Q%QOδ O

#L)!'0N ,E E!)A!'NE# esol+iendo el sistema simultáneo de ecuaciones (a4(b4(c4(d4(eD obtenemos -@ = @R%IN D -O = OO%]IN D δ @ = @[.[mm D δ O = S@.@mm

D

δ *

= R]%\mm

( notar queδ @ 7 δ O en el inter+alo Q ≤ δ ≤ Qmm ) ( E'-'!A E#)L&A,# → E#LE EL #'#&E/A 'N,'!A, ) N$&+S<

⇒ ,ebido al comportamiento N L'NEAL de los cables4 no es posible encontrar las fueras 7 los desplaamientos para otros +alores de V4 por proporcionalidad directa (como se $ar1a en un #'#&E/A L'NEAL EL%#&'!.&endr1amos que resol+er las [ ecuaciones4 modificando las ec.(a !on el nue+o +alor de V.

⇒ El e>emplo ilustra cómo calcular las fueras 7 desplaamientos en una estructura estáticamente indeterminada4 a partir de S conceptos 

E!)A!'NE# ,E EV)'L'*' →(con base en principios de E#&%&'!A



E!)A!'NE# ,E !/PA&'*'L',A, →(con base en principios de :E/E&5A

216

Mecánica de Sólidos 


ELA!'NE# !A:A M ,E#PLA3A/'EN& →(con base en propiedades de los materiales

1.1J) Es!erzos K De!ormaciones de $rigen &rmico 1.1J.1) Introdcción Los sólidos o elementos estructurales pueden deformarse por

• Acciones E2ternas • Perturbaciones • !ambios de temperatura Los cambios de temperatura aceptables en 'ngenier1a !i+il4 son aquellos que no modifican significati+amente las propiedades f1sicas4 qu1micas 7 mecánicas del material.

γ Ε

γ Ε

:

: &

υ

(&j∆&

υ

Los elementos de sistemas estructurales u órganos de máquinas4 tienden a dilatarse o contraerse cuando se calientan o se enfr1an. Las deformaciones que se inducen4 se denominan ,E-/A!'NE# &/'!A#. #i los elementos pueden deformarse libremente (elementos no restringidos4 las ,eformaciones &Wrmicas N están acompaadas de Esfueros &Wrmicos.

&DLDEDA...

&j∆&DLj∆LDE... (#ólo deformación N esfuer=o

#i los elementos no pueden deformarse libremente (elementos total o parcialmente restringidos las deformaciones tWrmicas están acompaadas de Esfueros &Wrmicos.

L

L & (Apo7os'ndeformables

&j∆& No se producen defor maciones4 pero se generan esfuer=os

1.1J.0) De!ormaciones &rmicas

217



ropiedades" )n sólido de material elástico isotrópico4 no restringido 7 sometido a la acción de un cambio aceptable de temperatura4 sufre deformaciones tWrmicas iguales en todas direcciones. ε &

=

,ef. La ,eformación &Wrmica )nitaria se define por

∆& L L

4 donde

∆& L

es

el cambio de longitud total inducido por la acción tWrmica. (L → Longitud inicial o de referencia4 antes del incremento de temperatura.

Para cambios de temperatura aceptables4 el incremento

∆& L

se mantiene proporcional

a la longitud inicial 7 al cambio de temperatura

∆& L = α L( ∆& ) α → !oeficient e de ,ilatación Lineal(al or carácter1stico de cada material.

L → Longitud inicial

∆& = &-'NAL − &'N'!'AL es el cambio de temperatur a. En consecuencia4 la ,eformación &Wrmica )nitaria4 es ε

&

=

∆& L L

=

α L( ∆& )

L

→ ε & = α ( ∆& )

→ l coe#ciente  se e1presaen I Temperatura Nota< Acero Estructural ............@@.] × @Q X °!...........[ × @Q X ° Aluminio.. ............ ........... OS.O × @Q X °!..........@O. × @Q X °/adera(Pin o.................. Q.@ × @Q X °!..........S.R × @Q X °ε &

>Q

si

∆& > Q (calentamiento

ε &

si

∆& < Q (enfriamiento

ConAenio" Nota< Para sólidos elásticos no restringidos (de material isotrópico las ,eformaciones &Wrmicas )nitarias son iguales ε 2&

= ε 7& = ε & = α ( ∆& ) .

Los desplaamientos generados por las deformaciones tWrmicas pueden relacionarse con las deformaciones tWrmicas unitarias4 usando relaciones geomWtricas apropiadas

218



en cada caso. En algunos casos pueden usarse las relaciones diferenciales e2istentes entre desplaamientos 7 deformaciones unitarias.

O

O &

∆&@ @

&

@

&j∆ &

ELemplo @ )na +arilla de acero cu7a longitud es L=@QQ< está fi>a por uno de sus e2tremos. i #i se presenta un

∆& = @QQ' -

uniforme4 $allar el cambio de longitud.

ii #i el cambio de temperatura es

2  ∆& = @QQ   '  L 

4 $allar el cambio de

longitud. α =  × @Q − ' -

!onsiderar

i

6

& L=@QQY

∆&L &j∆&

= α ( ∆& )

ε &

=  × @Q − × @QQ

ε &

=  × @Q −R

∆& L = ε & L =  × @Q −R × @QQ

∆&

@QQ"-

ε &

constante

L=@QQY 6

∆& L =  × @Q −O pulg

 & ∆& L   ε =   L  

219



∆&

ii &

@QQ"&

∆L

6

&j100(2ML L=@QQY

ε &

2  = α ( ∆& ) =  × @Q −  @QQ   L 

ε &

=  × @Q − R

2 L

Para el caso ? ε

→ ∆& L =

6

&

∆& ( ∂2 ) = ∂2

∫ ε ∂2 &

L

L

&

∆ L= #i

 2 S ∂ 2 = L R R L @Q @Q Q

∫

L = @QQY

→

∆& L = S × @Q −O pulg.

1.1J.3) Es!erzos &rmicos -undamentalmente4 los esfueros tWrmicos se generan en #0L',# E#&'N:',# total o parcialmente4 al ser sometidos a cambios aceptables de temperatura.

∆& (Apo7os'ndeformables

Al incrementarse (o decrementarse la temperatura4 se generan esfueros en el material del sólido.

σ &

rocedimiento para EAalar !onsideremos una barra de material lineal elástico (isotrópico4 r1gidamente su>etada por sus e2tremos4 sometida a un incremento aceptable de temperatura

∆&

. 220



EDADα;&

EDADα;&j∆&

L 'N'!'AL

L -'NAL

#upongamos ∆&fQ

i

#0L', L'*EA,

!onsideramos liberado un +1nculo o restricción 7 permitimos (idealmente que suceda el alargamiento.

&

∆L & ∆ L=αL(∆& (alargamiento

&j∆&

ii

-)E3A E6&ENA

Puesto que realmente e2iste +1nculo4 f1sicamente no puede generarse el cambio de longitud

∆& L

4 apareciendo fueras elásticas que contrarresten el supuesto

alargamiento.

&

∆L -

L

∆L = La fuera - ocasiona un cambio de longitud iii

-L Ε A

(acortamiento elástico.

!/PA&'*'L',A,

,ebido a que los apo7os no se mue+en uno respecto del otro4 es necesario que el cambio de longitud debido al incremento de temperatura 7 el cambio de longitud ocasionado por la -uera Elástica4 se contrarresten. Es decir

∆& L = −∆L → de donde

α L( ∆L = X

-L Ε A

= −α Ε ( ∆& ) → σ & = −α Ε ( ∆& ) A

221


N$&+S<


i

#i #i

∆& > Q → σ & < Q ∆& < Q → σ & > Q

(!/PE#'0N EN EL /A&E'AL (&A!!'0N EN EL /A&E'AL

∆& = &-'NAL − &'N'!'AL ii iii

En la solución de problemas es Htil emplear el Principio

de #uperposición. EEM$S @ Las barras deformables del sistema representado sufren el mismo cambio de temperatura. !alcular los esfueros que se generan L @ = L O = a E@ = E O = E

O

@

*

A

Oa

A @ = A O = A

Sa

α @ = α O

= α

∆& = &@ − &O > Q #istema parcialmente restringido (,eformaciones compatibles con las condiciones de sustentación

O

@

∆



@&&AL

∆

O&&AL

EV)'L'*'

-O

-@



Oa

∑/

Q

Sa

= Q → Oa-@ + [a-O = Q

O-@ + [ A-O = Q%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%( ∗)

222



!/PA&'*'L',A,

Oa

Sa ∆@&&AL

∆@&&AL Oa

=

∆O&&AL

∆ O&&AL [a

→ [∆ @&&AL = O∆ O&&AL %%%%%%%%%%%%%( ∗ ∗)

!A/*'# ,E LN:'&),

( a)( & − & ) + ∆ @&&AL = α     @  Q E-E!& &/'!

-@ ( a)  EA   E-E!& EL%#&'!   

     

∆ O&&AL = α ( a)( &@ − &Q ) +

-O ( a) EA

( ∗ ∗) eemplaando en

 

[aα ( &@ − &Q ) +



-@ ( a)   - ( a)  = Oaα ( & @ − &Q ) + O %%%%%%%%%%%%%%%%%( ∗ ∗ ∗)  EA   EA 

esol+iendo el sistema de ecuaciones (C 7 (CC4 obtenemos -@ = −

@[ α EA( &@ − &Q ) O

-O = −

 α EA( &@ − &Q ) O

Esfueros

%I I → I = − ( TI − T> ) ('EMRS-H) A  %  ( )  =  → I = ( TI − T> ) TRA''-H A  I =

0) )na barra r1gida está suspendida por dos alambres de .[ cm O de sección trans+ersal. !uando se aplica la carga P4 la temperatura es &. !alcular el incremento de temperatura necesario para que la barra r1gida adopte la posición $oriontal.

223



E = O.@× @Q X I ) cm O Acero  α = @O%[ × @Q X )' ! A ! E  

P=&on

L

LMO

L

A L ) / ' N ' 

LMO

-al

-ac

∆

E = ] × @Q [ I ) cm O Aluminio  α = O\%[ × @Q X[ )' !

ac

∆

al

P

E-E!& EL%#&'! →

∆ al > ∆ ac

(puesto que Ε al <Ε ac )

-ac = -al = P O E-E!& &/'! → (#upongamos

∆& < Q

 (decremento

∆

&

∆

&

al

ac

!/PA&'*'L',A,

224



Posición Joriontal → ∆ ac X ∆&ac = ∆ al X ∆&al P P L L O O − α ac L( ∆& ) = − α alL( ∆& ) E ac A ac E al A al

→

( A ac = A al ) eemplaando +alores numWricos4

∆& = R@' !

7 despe>ando

∆&

4 obtenemos

. Puesto que es un +alor positi+o4 nuestra suposición es correctaD es

decir

∆& = R@' !

(decremento

3) La +arilla de aluminio representada en la figura4 está r1gidamente soldada en su parte superior 7 unida a un bloque de ][Ig. de peso que se apo7a en un plano $oriontal r1gido. A la temperatura &" 4 la +arilla no tiene carga 7 el peso del bloque es soportado por el plano r1gido. i

#i la temperatura de la +arilla disminu7e @]"!4 UquW fuera e>ercerá sobre el plano r1gido?

ii) U!uánto deberá disminuir la temperatura para que la +arilla le+ante al bloque O[mm?

P@ =Q

@

][Ig

][

PO =][

PO

A = Q.@O[ cmO α = OS.R × @Q− M" !

E = ] × @Q[ Ig M cmO

i &emperatura &"

225



,escenso de @]"! P@

][

PO

P@ + PO = ][%%%%%%%%%%%%%%%%%(@)

( Problema $iperestát ico)

Acortamien to de la +arilla ( por temperatur a )

∆L = α L( ∆& ) ∆L = OS%R × @Q − × QQ × ( − @]) ∆L = −Q%OS\cm

!/PA&'*'L',A,

P@

El acortamiento de Q.OS\cm debe ser contrarestado por la fuera elástica .

→ P@L = −∆L →

P@QQ QQ.OS\ EA ( Q.@O[)( ]) (@Q[ ) de donde obtenemos P@ = SR.]Ig.........( O)

-uera e>ercida en el plano r1gido  PO = ][ − SR.]R PO = RQ.SIg

( de la ec. @)

226



ii #i la +arilla sufre una deformación tWrmica suficiente para le+antar el bloque4 deben soportar los ][Ig. P@ =][Ig.

Q.O[cm PO =Q

!ontracción total de la +arilla

∆& = −Q%O[ −

P@L ( ][)( QQ ) = −Q%O[ − EA ( Q%@O[)( ]) (@Q [ )

∆& = −Q%]Rcm% Esta contracción deberá ser generada por el descenso de temperatura α L( ∆& ) = −Q%]R

→ ∆& =

− Q%]R OS%R × @Q − × QQ

∆& = −[R%R' ! =) Al elemento A* de la armadura representada4 se le incrementa la temperatura desde Q"- $asta @QR"-4 mientras que al elemento A! se lo mantiene en la temperatura de Q"-. !alcular los esfueros que se inducen en los elementos. α =  × @Q − ' -* E = SQ × @Q  lb ) pu lg O * A = Opu lg O

!onsiderar

para

ambos

elementos. *

#istema no restringido totalmente. Las condiciones de compatibilidad geomWtrica4 generan fueras elásticas en las barras.

- A* - A!

A !

 A Equilibrio del nudo A

227


∑-

J


= Q → - A* co s SQ = - A! S = - A! %%%%%%%%%%%%%%%%%(@) O

- A*

!ompatibilidad.

∆ A! → EL%#&'!

∆ A!

A

∆ A* → EL%#&'! + &E/PEA&) A

A

∆ A*

!ondición

∆ A! cos SQ = ∆ A* → ∆ A!

S = ∆ A* %%%%%%%%%%%%%%%( O) O

eemplaando los cambios de longitud4 tenemos

( - A! )L S O S - L = ( ) (@Q − )L(@QR − Q ) − A* %%%%%%%%%%%%%%%( S ) EA

O

EA

&eniendo en cuenta la ec. @4 la ec.S puede escribirse

 - S  L S  A! O  O - L   = (  ) (@Q − )L( RR) − A* EA

EA

,e donde obtenemos - A* = QO %@lb - A! = \S@O %S lb

Por la ec. @ Esfueros ?

σ A* σ A!

=

=

QO %@ = R\Q@ %R lb pulg O O ( !/PE#'0N)

\S@O %S = R@[\ %@\ lb pulg O O ( &A!!'0N)

@) ,os barras están sin esfuero 7 tienen longitudes de @O 7 @Q pulg4 segHn se indica en el esquema. La barra (@ es de aluminio 7 la barra (O es de acero. #uponiendo que los apo7os son absolutamente r1gidos4 calcular el esfuero en cada barra cuando la temperatura es @OQ"-.(&emperatura inicial →SQ"- Aluminio  α = Q.QQQQ@S D A = Opulg O D E = @QQQQ Ilb pulg O Acero  α = Q.QQQQQ[ D A = Rpulg O D E = SQQQQ Ilb pulg O

228


@

O


@QY

@OY

' #e conciben las barras separadas 7 se calculan las deformaciones tWrmicas4 sin restricción.

@ δ&O

∆

&

O

& @

δ

δ &

= α L( ∆& )

δ @&

= ( Q%QQQQ@S )(@Q )( Q ) = Q%Q@@] +

δ O&

= ( Q%QQQQQ[ )(@O)( Q ) = Q%QQ]QO+

∆& representa la longitud total que las barras dilatadas deben ser comprimidas para a>ustarse a los apo7os r1gidos.

∆& = δ @& + δ O& = Q%Q@@] + Q%QQ]QO = Q%Q@\]O pulg. Aplicamos fueras P4 iguales 7 opuestas4 en las barras (dilatadas para acortarlas una longitud total

∆&

.

229



@ δO

P

δ ∆

&

@

O

δ @ + δ O

P

= ∆&

 PL  +  PL  = ∆&      EA  @  EA  O eempeemplaando eempeemplaando datos P(@Q ) P(@O) + = Q%Q@\]O O(@QQQQ ) R( SQQQQ )

,e donde encontramos σ @ =

Luego

P = S@%O Ilb

S@%O Ilb = @[% O pulg O

D

σ O

=

S@%O Ilb = ]%\ R pulg O

) !uatro placas de aluminio de Q.][< están unidos por un remac$e de  pulg. de diámetro4 segHn se representa en el esquema. A la temperatura de SQ"- los materiales están apretados. Pero sin esfuero. #i la temperatura sube a @OQ"-4 calcular el esfuero en cada material. ,ato → Area Area efecti+a del Alumin Aluminio io = Rpulg O

SMRY

O

Acero Acero

@

O

→ α = Q%QQQQ[

*

E = SQQQQ Ilb ) pulg O

Aluminio Aluminio → α = Q%QQQ@SS * E = @QQQQ Ilb ) pulg O

230



Las cuatro placas de aluminio son consideradas como un solo miembro de S< de espesor.

Las deformaciones tWrmicas no restringidas4 son

δ&O

δ@&

@

O

δ @&

= ( Q%QQQQQ[ ) ( S ) ( Q ) = Q%Q@Q@][[+

δ O&

= ( Q%QQQQ@SS ) ( S ) ( Q ) = Q%QQS[+

∆& → representa la longitud que los miembros dilatados deben ser deformados con la finalidad que la longitud final del remac$e sea igual al espesor final de las placas.

∆& = δ O& − δ @& = Q%QQ@\S[ pulg. #e aplican fueras iguales 7 opuestas para comprimir las placas 7 estirar el remac$e

δO

δ@

O

@

231

Mecánica de Sólidos δ @ + δ O


= ∆&

P( S ) P( S) + = Q%QQ@\S[ Q%RRO( SQQQQ ) R(@QQQQ ) ,e donde obtenemos  P = .@Ilb.

σ @ =

%@ Ilb ( tracción) = @S%\ Q%RRO pulg O

D

σ O

=

.@ Ilb ( compresión) = @%[O R pulg O

Nota< L Nota< L@= LO (finales L @ = S + δ @& + δ @ = S + Q%QQ@][[ + L O = S + δ O& − δ O = S + Q%QQS[ −

@S%\( S) = S%QQS@R+ SQQQQ

@%[O( S) = S%QQ@S+ @QQQQ

J) )na barra compuesta se constru7e a partir de una +arilla de acero de O[mm de diámetro e2terior 7 O[mm de diámetro interior. La +arilla 7 el tubo se unen mediante dos pernos pernos de OQmm de diámetro4 segHn segHn se indica en el esquema. esquema. ,eterminar el esfuero cortante que se tiene en los pernos4 si despuWs de apretados se ele+a la temperatura en [Q"!. !*E

d=OQmm

m m [ O

m m Q [

A!E

L

E = O@Q :Pa A!E α = @@ × @Q X )' ! E = @Q[ :Pa !*E α = @] × @Q X  )' ! α cu

!omo

> α ac 4 el cobre trata de dilatarse más que el acero4 determinándose

esfuero cortante en los pernos de unión de ambos materiales.

232



] (× I>− K ) = cu ] [I>− K (> −  )] J J Simpli#cando  ac = K cu.........(I) A8ARAM- TE 8 A'RE*   ac8 ac = ac 8 = ............( ) ac I >) (I> ) ( I> A'ERTAM- TE 8 'E7R*  cu8 cu = cu 8 = ............( K) cu (I> I> ) (I> ) 'AM7-E TETA8 TETA8D8E-TD*  T = cu8 T − ac8 T %acero = %cobre →  ac

'ED-'-H*

 T = 8 T( cu − ac ) !/PA&'*'L',A,

∆

&

cu ac

∆

cu

∆

ac

∆& = ∆ ac + ∆ cu (eemplaando O 7 S Luego ? L∆&( α cu − α ac ) =

σ ac L

σ cuL

+

( O@Q ) (@Q  ) (@Q[ ) (@Q  )

#implificando 7 reemplaando reemplaando +alores [Q(@] − @@) (@Q  ) =

σ ac

σ cu

( O@Q) (@Q  ) ( @Q[) (@Q  )

&eniendo en cuenta la ec. (@

  @ @  +     ( O@Q ) (@Q ) S(@Q[ ) (@Q ) 

[Q(  ) (@Q − ) = σ ac 

de donde obtenemos ?

σ ac

= S]%\S /Pa

233



-ac = A ac σ ac →

-)E3A V)E #P&A EL A!E A!E ? -ac =

π

R

(O[ × @Q −S ) O ( S]%\S) = Q%Q@\[] /N -ac = @\%[]IN

Los pernos se encuentran en estado doble cortante -ac

τ perno = O

π

R

(OQ × @Q −S ) O

@\%[] IN

=

π

O

(OQ × @Q −S ) O m O

τ perno = O%[[ /Pa 8) La figura muestra el prototipo de un sistema estructural. El área 7 el módulo α O

de elasticidad de cada barra son A 7 E4 respecti+amente4 7 aplica una carga P al bloque r1gido 7 la temperatura disminu7e

= Oα @ . #i se

∆&

4 determinar

µ

una e2presión para el desplaamiento desplaamiento

@

*LV)E 5:',

! !

O

L

i

del bloque r1gido.

P u

E-E!& EL EL%#&'!

∆

@

P

∆

O

234



-@ P -O

→ -@ = -O =

P O

Alargamien tos  ∆ @ = ∆ O =

PL OEA

,E#PLA3A/' EN& ,EL *LV)E µ @ =

PL ( →) OEA

ii E-E!& &/'!

@ O

∆& @ = Lα ∆& ∆& @ = Lα @∆& &

∆ O = Lα O ∆& &

∆ O = OLα @∆&

!/PA&'*'L',A,

235



∆

& @

uO

∆

& O

µ O  desplaamiento del bloque r1gido

( efecto tWrmico) ∆&@ + ∆&O

µ O

=−

µ O

=−

Lα @∆& + OLα @∆& O

µ O

=−

S Lα @∆&( ←) O

O

#uperposición µ = µ @ − µ O

,esplaamiento total del bloque µ =

PL OEA

S  −   − Lα @∆&   O 

µ =

PL S + Lα ∆& OEA O @

( ∆& < Q) ) En el sistema representado La barra AE es r1gida. #e produce un incremento de temperatura de @QQ"-. !alcular las fueras en los elementos !- 7 ,:.

236



*

A

,

!

RY Y

E

:

[Y

SY

SY

RY

E = @Q ] Ilb ) pulg O  *arra !-  A = Q%@ pulg O  α = @O × @Q X )' E = S × @Q ] Ilb ) pulg O  * arra !:  A = Q %@[ pulg O  α = %[ × @Q X )' -)E3A# #uponemos que !- 7 ,: están en tracción. * *

∑/

*

-!-

-,:

=Q→

R-!- + ]-,: = Q%%%%%%%%%( ∗)

:E/E&5A *

∆

!-

∆

,:

∆

#eme>ana 237


∆!R

=

∆,: ]

=

∆ @Q

Mg. Ingº Carlos Esparza Díaz %%%%%%%%%%%( ∗ ∗)

/aterial σ  total =  ε !  + ( α ∆& ) !- =

 E  !-

-!+ α !- ∆& A !-E !-

total ∆ !- = L !-ε !→

∆ !- =

-!-L !+ α !-L !- ∆& A !-E !-

-!- =

@ ( ∆ − α !-L !- ∆& ) A !-E!- %%%%%%%%%%%( ∗ ∗ ∗ ) L !- !-

de donde obtenemos ,e manera similar4 obtenemos -,: =

A ,: E,: ∆ ,: − α ,: A ,: E,: ∆&%%%%%%%%%%%( ∗ ∗ ∗ ∗) L,:

( ∗ ∗ ∗) ( ∗ ∗ ∗ ∗) eemplaando

7

( ∗) en

*

 A E   A E  R  !- !- ∆ !- − α !- L !- ∆&  + ]  ,: ,: ∆ ,: − α ,: A ,: E ,: ∆&  = Q%%%%%%%%%%( ∗ ∗ ∗ ∗ ∗)  L !  L ,:  ( ∗ ∗) ,e

] R

∆ ,: = ∆ !obtenemos

( ∗ ∗ ∗ ∗ ∗) . eemplaamos en

*

 A E   A E ]  R  !- !- ∆ !- − α !- L !- ∆&  + ]  ,: ,: ∆ !- − α ,: A ,: E ,: ∆&  = Q  L !  L ,: R  ∆ !,e donde despe>amos

∆ !- =



∆&( RE !- A !-α !- + ]E ,: A ,:α ,: ) E A  ]  E A R !- !- + ]  ,: ,: L ! R  L ,:

∆ !- = @%][ × @Q −S pulg. eemplaando +alores numWricos4 obtenemos

( ∗ ∗) ( ∗ ∗ ∗) ( ∗ ∗ ∗ ∗) !on este +alor 7 las ecuaciones 7 4 encontramos ,

238



-!- = −Q\ lb ( compresión )

-,: = [OQ lb ( tracción)

D

1) En la gráfica se representa una placa delgada $omogWnea. ,eterminar el tamao 7 la forma finales de la placa4 si i

En toda la placa e2iste un incremento de temperatura

∆&

ii) La placa se somete a un cambio de temperatura dado por

".

∆&

=I2

γ 2

iii) !ual será el +alor de la deformación angular

en el caso (i

iA) VuW +alor tendrá la deformación angular para el caso (ii suponiendo que al bordeo arista  permaneca fi>o.

7 t

!oeficiente de dilatación

Q

2 a

 i

#i en toda la placa se produce un cambio uniforme de temperatura de

∆&

"4

en el caso de dilatación libre4 la deformación lineal en cualquier dirección será uniforme 7 de +alor ε = α ∆&

El alargamiento en direcciones 24 será

∆  = ε L  → ∆  = α ( ∆& ) b

7

∆ 2 = ε L 2 → ∆ 2 = α ( ∆& ) a La placa seguirá teniendo forma

2 b(@jα∆&

rectangular4 con dimensiones L  = b + α ( ∆& ) b = b(@ + α ∆& ) L 2 = a + α ( ∆& ) a = a(@ + α ∆& )

a(@jα∆&



239


ii


∆&

#i el cambio de temperatura es

placa4 la deformación estará dad por

=I24 entonces en un punto (24 sobre la ε = α I2

.

2 ∆( ∂2 ) 2O → ∆( ∂2 ) = ε ∂2 → ∆ 6 = α I2∂2 = α I ε = ∂2 O Q

∫

&ambiWn ?

2 ∆( ∂ ) → ∆( ∂ ) = ε ∂ → ∆  =  α I2∂2 = α I2 ε = ∂ Q

∫



P P A

φ 

2

2

∆2 ∆

A forma final de la placa

Los puntos sobre el e>e  N #E ,E#PLA3AN (tienen 2=Q.

( ∆ 2 = Q* ∆ = Q)

El punto A tiene coordenadas

 a* b     O 

(antes de la deformación.

,espuWs de la deformación para a la posición

O  a b b  A&  a + α I " + α Ia  O O O   

iii ,ilatación libre uniforme → La forma final de la placa es rectangular (no e2iste γ 2 = Q

+ariación de los ángulos rectos4 luego

en todo punto de la placa.

i+ En este caso4 la distorsión (angular má2ima se presenta sobre los bordes  = ±b ) O

de la placa. tan φ =

α Iab ) O O

a a + α I O

=

α Ib ) O

a @ + α I O

≈ φ = γ 2 má2

1.18) Ecaciones Di!erenciales para (erza K De!ormación +Oiales 240



#i la carga a2ial se distribu7e a lo largo de un elemento (barra 7 si además +ar1a la sección trans+ersal4 pueden deducirse ecuaciones para la fuera 7 el desplaamiento como funciones de la posición a lo largo del miembro. !onsideremos un miembro que soporta una carga a2ial por unidad de longitud q(2 en la dirección del e>e centroidal. En los e2tremos pueden e2istir cargas aplicadas 7Mo reacciones que mantengan al miembro en equilibrio.

q(2

2

2

∆2 q(2

-(2

-(2j∆2

2 u(2

2j∆ 2

u(2j∆2

2 + ∆2

∫ q( 2)∂2 = ∆2q( ζ ) * ( 2 < ζ < 2 + ∆2) 2

( &eorema del alor /edio para 'ntegrales )

∑-

6

ES&%&IC+"

= Q → -$ 2 + ∆2 # + ∆2q( ζ ) − -( 2 ) = Q

241



 N&A V)E #' ∆2 → Q     ζ → Q   

-$ 2 + ∆2 # − -( 2 ) + q( ζ ) = Q ∆2

,e donde Pasando al l1mite4 cuando

∆2 → Q

4 tenemos

∂-( 2 ) + q( ζ ) = Q .....( i) ∂2

 -uera interna que actHa en     la sección a la distancia 6   

-E$ME&/+"

La ,eformación )nitaria del elemento de longitud

∆2

4 es

[ 2 + ∆2 + u( 2 + ∆2 ) ] − [ 2 + u( 2 ) ] − ∆2 ∆2 u( 2 + ∆2 ) − u( 2 ) ε 2 = %%%Pasando al l1mite cuando ∆2 → Q ∆2 ∂u ε 2 = %%%%%%%%%%%%%%%%%%( ii) ∂2 ε 2

=

E+CI#N (*EP+ Q DE($M+CI#N

#i la barra es de material elásticoXlineal 7 se presenta un cambio de temperatura

∆&

4

tenemos ε 2&&AL

= ε 2 =

+ α ∆&%%%%%%%%%%%%%%%%( iii) AE

eemplaando en la ec. (i

∂  ∂u  AE − AEα ∆&  + q( 2 ) = Q  ∂2  ∂2  ∂  ∂u  ∂  AE  − ( AEα ∆& ) + q( 2 ) = Q%%%%%%%%%%%%%%( i+ ) ∂2  ∂2  ∂2 La ecuación (i+ relaciona la carga distribuida q(2 7 el cambio de temperatura

∆&

en

la barra con el desplaamiento u(2 a lo largo del e>e de la misma.

242



La solución de la ecuación diferencial (i+ contiene dos constantes arbitrarias de integración4 que podrán ser determinadas en base a las condiciones especificadas para los desplaamientos en cada problema.

En el caso especial

∂=Q ∂2

∆&

=QD A 7 E constantesD q(2=Q → de la ec. (i obtenemos

4 lo cual indica que la fuera en la barra es constante (independiente de 2.

La ec. (i+ nos da AE

∂ Ou ∂ Ou = → = Q → u( 2 ) = c @2 + c O Q ∂2 O ∂2 O

donde c@ 7 cO son las constantes de integración.

A

* 2

6*

6 A

*

A

2

u A

u*

→ u A = c @2 A + c O D de donde c @ =

u* = c @ 2 * + c O

u * − u A 2 * − 2 A

D c O = − c @2 * + u *

En este caso4 el desplaamiento en la barra es Lineal u( 2 ) =

u* − u A ( 2 X 2 * ) + u* 2 * − 2 A

u u A

u*

6 A 6* (,iagrama de ,esplaamientos #i q(2 Q → la fuera interna -(2 será +ariable (función de 2 a lo largo de la barra. EEM$

243



@ )n tubo A* de acero se coloca entre dos apo7os r1gidosD segHn se indica en la

figura. #i el incremento de temperatura está dado por

∆&

∆&* =

2 L

∆&* 4 siendo

el incremento de temperatura en el e2tremo *. ,eterminar las reacciones en A 7 en * 7 el desplaamiento a la mitad del tubo.

∆&

*

A

∆&

*

L

L

2

'ncremento de temperatura a lo largo de la barra

*

 A  A

-

A= *. !omo no e2iste ninguna otra fuera e2terna4 la fuera - es constante (la consideramos tracción q(2=Q )samos la ec.(i+4 tenemos 2  ∂ Ou ∂  AE O − AEα  ∆&*  = Q ∂2  L  ∂2

( #upuesto AE constante)

∂ Ou α → O = ∆&* ∂2 L u( 2 ) =

'ntegrando O +eces !ondicione s ?

α

L

∆&*

2O + c @2 + c O O

u( Q) = Q → Q = c O u( L ) = Q → Q =

α

OL

∆&*

LO + c@L O

α

→ c@ = − ∆&* O

244



2 O α u( 2 ) = ∆&* − ∆&* 2 OL O O α

Por tanto 

u( 2 ) =

α

O

2 L

∆&* ( 2 − L)

Ecuación de desplaamiento a lo largo del tubo.

El desplaamiento en u(L O) =

α

O

∆&*

2 = L O

4 es

L  L  α  − L  = − L∆&* OL  O  *

u

2=LMO

2=L

2

−αLM*∆&

- = AE

Por las ecs. (ii 7 (iii →

∂u − AEα ∆& ∂2

 α  2   − AEα ∆& 2 - = AE  ∆&*  O − @  * L  L    O  - = − AEα

∆&* O

( independie nte de 2 )

#implificando Las reacciones en los apo7os4 son  A =  * = −- = AEα

condicione s    del   equilibrio 

∆&* O

( !/PE#'NE# )

1.1) Comportamiento Inelástico en &racción

)n material ELA#&PL%#&'! se caracteria por un ,iagrama !onstituti+o

σ − ε

de

la forma 245



σ -L)F PL%#&'! 'L'/'&A,

σ7

,E-/A!'N EL%#&'!A

ε

= Q.QQO σ 7

El rango elástico (lineal e2iste $asta el esfuero de fluencia

. ,espuWs de esto4 la

conser+ación de una carga constante producirá una deformación ilimitada $asta el punto de fractura.

( ∗) SIS&EM+S ES&%&IC+MEN&E DE&EMIN+D$S" )na estructura estáticamente determinada4 cargada a2ialmente4 se deformará elásticamente $asta que los esfueros en alguna parte alcanan el l1mite de fluencia. Las cargas adicionales producirán despuWs grandes defle2iones4 dando por resultado la falla de la estructura. EFE/PL. )na barra r1gida $oriontal está soportada por dos cables de acero cada uno de los cuales tiene área trans+ersal de

@. × @Q −R m O

.

,eterminar i La má2ima carga P que puede aplicarse al centro de la barra4 7 la defle2ión en el instante de la falla. ii &raar un diagrama !arga M ,efle2ión para esta estructura. σ 7

!onsiderar acero elastoplástico (E=OQQ:PaD

=O[Q/Pa

,ebido a la simetr1a P A=P*

246


Mg. Ingº Carlos Esparza Díaz P*

PA S.Qm

S.Qm

P

A

*

a

P

a

La carga P puede incrementarse $asta que la fuera en cualquiera de los cables llegue a ser la fuera de fluencia σ 7

P A= A= (O[Q2@Q(

@% × @Q−R



P A=RQQQQ N (=P*

∑-

E&

= Q → P = P A + P* = \QQQQ N%

Para esta carga4 el alargamiento de cualquiera de los cables4 es

∆=

P A L ( RQQQQ (S = = S.][ × @Q −S m  R − EA ( OQQ) (@Q (@.(@Q  σ 7

#i las cargas se incrementaran4 (esfuero más allá de

4 el cable fluirá 7 ocurrirá

una deformación ilimitada.

Para4 este caso4 el ,iagrama

P−∆

4 es

P(NEW )

80,000

3.75x10-3

∆(m)

247



( ∗ ∗) SIS&EM+S ES&%&IC+MEN&E INDE&EMIN+D$S" El procedimiento general para solucionar problemas $iperestáticos4 usando la teor1a elástica lineal4 se resume en (i Ecuaciones de Equilibrio (Estática (ii elaciones de !ompatibilidad (:eometr1a j material (iii #olución simultánea de las ecuaciones (i 7 (ii. (Procedimiento usado cuando los esfueros se mantienen en el rango lineal elástico. !uando se reconoce que los esfueros en algunos miembros se e2tienden al rango inelástico4 la solución se simplifica debido a que la fuera en cualquier miembro (cu7o P7 = σ 7 A

material es de comportamiento elastoplástico tiene un +alor constante

.

#i esta fuera es conocida4 las incógnitas restantes pueden determinarse por mWtodos estáticos. La capacidad má2ima de soportar carga de una estructura estáticamente determinada se alcana cuando cualquier miembro de apo7o ingresa al inter+alo inelástico de esfueros. Las estructuras estáticamente indeterminadas tienen capacidad adicional de soportar cargas despuWs de que un solo miembro de apo7o ingresa al rWgimen plástico. P -L)F PL%#&'!A 'L'/'&A,

P7 ,E-/A!'0N EL%#&'!A

∆

P7  carga de -luencia (carga Hltima P7 = σ 7 A

248



i. Estructura Estáticamente ,eterminada

P -L)F PL%#&'! 'L'/'&A, (&,A LA E#&)!&)A EN E:5/EN PL%#&'! Pu

-L)F PL%#&'! E#&'N:', (PA&E ,E LA E#&)!&)A EN E:5/EN EL%#&'! ; PA&E EN :'/EN PL%#&'!

P7

,E-/A!'NE# EL%#&'!A# (&,A LA E#&)!&)A EN E:5/EN EL%#&'!

∆ a !uando ocurre la fluencia por primera +e en cualquier miembro de apo7o4 la P7

carga de fluencia

Pu

es tambiWn la carga Hltima

de la estructura.

b !uando ocurre fluencia por primera +e en cualquier miembro de apo7o4 la P7 capacidad de carga es

. Puede aplicarse carga adicional antes de que se Pu

alcance la carga Hltima P7

7 sucedan deformaciones irrestrictas. La región entre

Pu

7

se designa 3ona de -lu>o o Plástico estringido. En esta región4 algunos

de los miembros de apo7o están forados en la ona plástica4 pero toda+1a quedan suficientes apo7os comportándose elásticamente 74 en consecuencia4 la estructura puede soportar cargas adicionales. La capacidad de los materiales dHctiles puede ser apro+ec$ada +enta>osamente sin pro+ocar grandes desperdicios de material. Es decir4 algunos esfueros pueden analiarse en el rango plástico4 7a que en ciertas ocasiones se puede permitir que algHn miembro de una estructura entre en fluencia sin que se afecte la Estabilidad de la misma. EEM$S

249



@ La barra r1gida A*! está soportada por tres alambres elastoplásticos

(E = SQQQQ Ilb ) pulg O *σ 7 = SIlb ) pulg O ) .&raar el diagrama P 8  para este pulg O

sistema. El área trans+ersal de cada alambre es @

.

@QY

@QY Y

*

A

P

a

!

a

,ebemo,ebemos encontrar la carga 7 la defle2ión que ocurren cuando aparece por primera +e la fluencia 74 tambiWn4 la carga 7 defle2ión Hltimas. !uando la carga P se incrementa desde 4 los alambres se esfueran dentro del inter+alo elástico. Esto continHa $asta que el alambre sometido al ma7or esfuero alcance su punto de fluencia. Equilibrio→ PA

P*

P!

A

*

!

P

P A + P* + P! = P P A ( a ) = P! ( a ) → P A = P! Luego ? OP A + P* = P%%%%%%%%( ∗)

!ompatibilidad (acción elástica

∆ A = ∆ * = ∆ !

( A 7 ! → alambres iguales )

#imetr1a total

250



P A L A PL P (@Q) P* ( ) [ = * * → A = → P* = P A .......( ∗ ∗) E A A A E* A * E A A A E * A * S S [ esol+iend o ( ∗) 7 ( ∗ ∗)4 obtenemos  P A = P D P* = P @@ @@ Por tanto 

SP

[P

SP

*

A

!

P

Acción 'nelástica !omo los alambres tienen la misma sección trans+ersal4 el alambre que pasa por * alcanará primero el Esfuero de -luencia (puesto que soporta ma7or carga En el estado de fluencia

σ7=A=SIlb=P* PA

P!

( ∗ ∗) #egHn S S P A = P* → P A = ( S) [ [ P A = O@. Ilb.

( ∗) eemplaando en

4 obtenemos

P7 = O( O@.) + S = ].O Ilb. (carga que usamos por primera +e la fluencia. La defle2ión ba>o esta carga4 es igual al alargamiento de cualquiera de los alambres.

∆ 7 = ∆* =

P*L * ( S)(  × @O) = = Q.Q\RY E* A * (@) (SQ × @Q S )

,espuWs de que el alambre * $a fluido4 soportará aHn la carga constante P7 = S Ilb. . 251



!uando la carga aplicada P se incrementa más allá de ].O Ilb los alambres A 7 ! soportarán las cargas crecientes $asta que tambiWn alcances sus l1mites de fluencia. En ese momento ocurre el flu>o plástico ilimitado4 alcanándose la carga Hltima. Pu = S + S + S = @Q\ Ilb. SIlb=P*

SIlb=P*

*

A

SIlb=P*

!

Pu

∆u = ∆a =

P A L A ( S )( @Q × @O) = = Q.@RRY E A A A (@) (SQ × @Q S )

,iagrama P X 

( desplaamiento en dirección 7 sentido de la carga P. P(ILb

@Q\=Pu ].O=P7

0.0864=∆y

∆u=0.144

∆(pulg)

$5EM+S @ ,os tubos coa2iales4 el interior (acero tiene sección A = @Qcm O 7 el e2terior (aluminio tiene sección A = @[cm O. Los tubos son comprimidos en sus e2tremos mediante dos placas r1gidas4 segHn se indica en la gráfica. &raar la cur+a carga M ,efle2ión del con>unto4 cuando se comprimen con una fuera a2ial P4 de acuerdo con los diagramas constituti+os que se indican.

252



P σ 4QQQ I !mO

AL)/'N'

A!E

S4\QQ I !mO

L=60 Cm

AL)/'N'

A!E

ε

Q.QQSO Q.QQ[

!/PA&'*'L',A, !/PA&'*'L',A, 'N'!'AL

P ∆

∆a

!a

∆al

!al

!a

L=Q !m

!al

5:',A#

!al !a !a

!al

-)E3A# ,E -L)EN!'A

( -ac ) 7 = σ 7 ac A ac = ( QQQ )(@Q) = QQQQ Ig. ( -lc ) 7 = σ 7 al A al = ( S\QQ )(@[) = []QQQ Ig. :E/E&5A ,ebido a la rigide de las placas4 ambos tubos se acortarán la misma cantidad. ε ac

∆ = ε al = ε = .....................( ∗) L

,'A:A/A#

σ − ε



E2isten tres inter+alos de interWs Q ≤ ε ≤ Q.QQSO → Los dos tubos en rWgimen elástico i

= Eacε ac = Eacε σ al = Ealε al = Ealε σ ac

eemplaando +alores

253



QQQ ε = @\.][ × @Q [ ε Q.QQSO S\QQ σ al = ε = ]. × @Q [ ε Q.QQ[

=

σ ac

(IgMcmO ) (IgMcmO )

QQQSO ≤ ε ≤ Q.QQ[ → tubo de acero en rWgimen plástico 7 tubo de aluminio en rWgimen ellástico.

ii σ ac

= σ 7ac = QQQ

σ al

= E al ε al =

S\QQQ ε = ]. × @Q [ ε Q.QQ[

(IgMcmO ) (IgMcmO )

ε ≥ Q.QQ[ → Los dos tubos en rWgimen plástico

iii

= σ 7 ac = QQQ (IgMcmO σ al = σ 7 al = S\QQ (IgMcmO ) σ ac

P = σ ac A ac + σ al A al

EV)'L'*' !on base a la ec. anterior pueden calcularse P @ 7 PO4 +alores de la carga a2ial P4 correspondientes a las deformaciones unitarias Q.QQSO 7 Q.QQ[4 respecti+amente. P@ = (@\.][(@Q [ (Q.QQSO (@Q + (].(@Q [ (Q.QQSO (@[ P@ = .R\Q Ig. PO = ( QQQ (@Q + (].(@Q [ (Q.QQ[(@[ P@ = @@] .QQ Ig.

Posteriormente las cargas adquieren +alor constante P = (QQQ (@Q + (S\QQ (@[ P = @@]QQQ Ig.

ALA:A/'EN&#

∆ @ = (Q.QQSO (Q = Q.@O cm ∆ O = (Q.QQ[(Q = Q.S cm

254



,iagrama P X  P(Ig @@]4QQQ=PO 4R\Q=P@

0.192

0.3

∆(m)

O La barra r1gida $oriontal A* está soportada por tres alambres elastoplásticos segHn se indica. ,eterminas la carga l1mite (P L que produca el colapso del sistema.

RQcm

AL)/'N'

*N!E

A!E *

A P

[Qcm

Material

[Qcm

@QQcm

  0 W+ 0 cm ;rea  cm    y

Acero

I

>>>

7ronce



J>>

Aluminio

J

KK>>

-)E3A# /%6'/A#

-br

-al

-ac *

A PL

255



Para que se produca el colapso del sistema4 N es necesario que simultáneamente fallen los tres alambres. E2isten dos posibilidades i

Alambres de bronce 7 acero en fluencia4 antes que el alambre de aluminio. (La barra A* tenderá a girar alrededor de A.

ii

Alambres de bronce 7 aluminio en fluencia4 antes que el alambre de acero. (La barra A* tenderá a girar alrededor de * i

∑/

=Q→ (@(OQQ (O + ([QQ(O = Q.[PL PL = S\RQQIg. A

-ac

-br

-al

EN -L)EN!'A

*

A PL

La fuera en el alambre de aluminio se calculará por equilibrio -al + OQQ + [QQQ = S\RQQ → -al = OROQQIg.

Puesto que la má2ima fuera en el alambre de aluminio es sólo @SOQQIg.4 no es posible este resultado. ,ebemos analiar la segunda posibilidad. (#e -al > ( -al ) má2

obtu+o ii

∑/

.

=Q→ (@SOQQ (O + (OO(@ = @.[PL PL = OS]SSIg. *

-ac

-br

-al EN -L)EN!'A

*

A PL

La fuera en el alambre de acero4 es -ac + @SOQQ + OQQ = OS]SS → -ac = @SSSIg. -ac < ( -ac ) má2 = [QQQIg

#e obtiene Luego la carga limite4 es P L = OS]SS Ig. S &raar el diagrama P 8  para el sistema representado cu7as barras son de σ 7

acero elastoplástico.(

= O[Q/Pa  E = OQQ:PaD A = cm O 

256



R

R

Om

@

S

O

S

S

θ P

θ P

'ncrementando la carga P desde 4 las barras se esfueran dentro del inter+alo elástico4 $asta que la barra sometida al má2imo esfuero alcance el +alor del esfuero de fluencia. Equilibrio -O

-S

-@

P

O-O senθ + -@ = P R O-O + -@ = P → @.O-O + -@ = P.......( ∗) [

!ompatibilidad

257



@ O

∆2

∆1

∆ O = ∆ @ = senθ -O O.[ -@ O R = EA EA [ → -@ = @.[O[-O ......( ∗ ∗)

esol+iendo (C 7 (CC obtenemos -@ = Q.RRP

D

-O = Q.S@P

Puesto que las barras tiene la misma acción trans+ersal4 La barra (@ es la que primeramente ingresa al rWgimen plástico. En ese instante -@ = σ 7 A = ( O[Q × @Q  ( × @Q −R  = OO[IN ,e ( ∗ ∗) → -O = @RRIN eemplaando en (C @.(@RR ) + OO[ = P7 → P7 = R[[.RIN

,efle2ión correspondiente -@L @ OO[ × @Q S × O ∆7 = = = O.[ × @Q −S m  R − EA OQQ × @Q ×  × @Q -@ = OO[IN

,espuWs que la barra (@ $a fluido4 soportará carga constante . !uando la carga aplicada se ele+a más allá de R[[.[IN4 las barras inclinadas soportarán carga creciente $asta alcanar el calor de la carga de fluencia. En ese instante -O = σ 7 A = (O[Q × @Q  ( × @Q −R  = OO[IN 7 se alcana el +alor P u En ( ∗)  Pu = @.( OO[ + OO[ Pu = [\[IN ( ocurre el flu>o plástico ilimitado )

258



OO[ × @Q S × O.[ ,efle2ión correspondiente → ∆ O = = S.@O[ × @Q −S m  −R OQQ × @Q ×  × @Q S.@O[ × @Q −S = S.Q × @Q −S m Pero ∆ O = ∆ @senθ → ∆ @ = RM[

!on los +alores calculados4 se traa la cur+a P X   P(IN Pu P7

∆7

∆ m

∆u

P7 = R[[.RIN

∆ 7 = O.[ × @Q −S m

( -L)EN!'A )

Pu = [\[IN

∆ u = S.Q × @Q −S m

(L&'/A )

R ,os alambres de acero elastoplásticos se usan para le+antar un peso de SIlb4 segHn se incida. El alambre A* tiene longitud inicial de OQh 7 el alambre A! tiene longitud inicial de OQ.QSh. ,eterminar la fuera en cada alambre 7 su respecti+o alargamiento. !ada alambre tiene Q.Q[ pulg Ode área trans+ersal. A

σ OQ

*

OQ.QS

σ7=[Q

!

SIlb

ε = Q.QQ@]

ε

259



!uando se le+anta el peso4 es el alambre A* el que soporta carga4 $asta que su alargamiento sea Q.QSh. Luego4 es peso le+antado es e2istido por los dos alambres. ε A*

,eformación unitaria en A*

=

Q.QS = Q.QQ@[4 OQ

que es menor que la má2ima

deformación elástica permitida en el material (` 7. Para

ε A*

= Q.QQ@[4 la fuera en el alambre A*4 es 

- A* = σ A* A A* = Eε A* A A* =

[Q (Q.QQ@[ (Q.Q[ Q.QQ@]

- A* = O.OQ Ilb.

Puesto que el peso a le+antar es SIlb → ambos alambres lo soportarán. Equilibrio → - A* + - A! = S......(@)

- A* - A!

SIlb

E2isten tres posibilidades para la deformación a ,eformaciones elásticas en ambos alambres. b A* en rWgimen plástico 7 A! en rWgimen elástico c ,eformaciones plásticas en ambos alambres.

a ,eformaciones elásticas en ambos alambres

∆ A* = Q.QS + ∆ A! .........( O) !ondición de compatibilidad

→

( - A* )( OQ × @O) ( Q.Q[)

[Q Q.QQ@]

= Q.QS × @O +

( - A! )( OQ.QS × @O) [Q  ( Q.Q[)     Q.QQ@] 

OQ- A* = RR.@O + OQ.QS- A! ..........( S )

#implificando4 obtenemos - A* = O.QSIlb D - A! = Q.S]Ilb

esol+iendo las ecs. (@ 7 (S

.

260

Mecanica de Solidos 1

Recommend Documents