CAPÍTULO 28 1 Fuentes de campo magnético Preguntas para análisis P28.3 En el texto se analiza el campo magnético de un conductor recto infinitamente largo que transporta una corriente. Desde luego, no existe nada infinitamente largo. ¿Cómo decidiría usted si un alambre en particular es suficientemente largo para considerarlo infinito? Solución. El alambre puede considerarse infinitamente largo cuando se calcula el campo magnético en punto cuya distancia al alambre es mucho menor que su distancia a cualquiera de los extremos del alambre. P28.6 Suponga que tiene tres alambres paralelos largos, dispuestos de modo que, vistos en sección transversal, se hallan en los vértices de un triángulo equilátero. ¿Hay alguna manera de disponer las corrientes de modo que los tres alambres se atraigan mutuamente? ¿Y de modo que los tres alambres se repelan unos a otros? Explique su respuesta. Solución. Corriente en la misma dirección atraen y corriente en direcciones opuestas repelen. Si los tres alambres llevan corrientes en la misma dirección ellos se atraen uno a otro. No hay forma de tener todos los pares con corriente opuestas, de tal manera no es posible tener a los tres alambres repeliéndose uno a otro. P28.7 Al deducir la fuerza sobre uno de los conductores largos portadores de corriente en la sección 28.4, ¿por qué utilizamos el campo magnético debido a sólo uno de los conductores? Es decir, ¿por qué no utilizamos el campo magnético total debido a los dos conductores? Solución. La fuerza sobre un conductor se bebe al campo magnético del otro conductor. El campo de un conductor no ejerce una fuerza sobre el conductor que produce el campo. Las fuerzas entre conductores son debidas a la fuerza magnética entre las cargas en un conductor y las cargas en movimiento en el otro conductor. P28.8 Dos espiras circulares en un mismo plano concéntricos de alambre de diferente diámetro transportan corrientes en el mismo sentido. Describa la naturaleza de las fuerzas que se ejercen sobre la espira interior y sobre la espira exterior. Solución. Las dos espiras se atraen una a otra. La fuerza magnética sobre la espira interior es radialmente hacia fuera y la fuerza magnética en la espira exterior es radialmente hacia adentro. P28.10 ¿Cuáles son las ventajas y desventajas relativas de la ley de Ampere y de la ley de Biot y Savart respecto al cálculo práctico de campos magnéticos? Solución. La ley de Biot – Savart aplica directamente a un elemento infinitesimal de corriente. En u caso practico de calculo para una configuración real de corriente debe hacerse una integración. La dificultad de aplicar la ley de Biot y Savart depende de la dificultad en
realizar la integración para la configuración particular de corriente. Cuando se usa la ley →
de Biot y Savart para encontrar directamente B en un punto. La ley de Ampere relaciona una línea integral alrededor de una trayectoria cerrada. La ley de Ampere es →
más fácil aplicar cuando la trayectoria puede escogerse para la cual B es tangente a la trayectoria y constante en todos los puntos sobre la trayectoria. La ley de Ampere →
involucra B en muchos puntos simultáneamente. Hay una ventaja en calcular B cuando B es igual en todos estos puntos. P28.11 Las líneas de campo magnético nunca tienen principio ni fin. Con base en esto, explique por qué es razonable que el campo de un solenoide toroidal esté confinado en su totalidad en su interior, en tanto que un solenoide recto debe tener cierto campo afuera. Solución. Para un solenoide toroidal el espacio dentro del solenoide se cierra solo tal que las líneas del campo permanecen en el interior y se cierran solas. Las líneas de campo para un solenoide recto deben dejar el interior del solenoide para cerrarse ellas. Ejercicios Sección 28.1 Campo magnético de una carga en movimiento 28.8 Un alambre recto y largo que transporta una corriente de 200 A atraviesa una caja cúbica de madera, entrando y saliendo a través de orificios situados en el centro de caras opuestas. La longitud de cada lado de la caja es de 20.0 cm. Considere un elemento dl del alambre de 0,100 cm de largo situado en el centro de la caja. Calcule la magnitud dB del campo magnético generado por este elemento en los puntos a, b, c, d y e de la figura. Los puntos a, c y d se hallan en centros de caras del cubo; el punto b está en el punto medio de una arista, y el punto e se encuentra en un vértice. Copie la figura y muestre las direcciones y magnitudes relativas de los vectores de campo. (Nota: Suponga que dl es pequeño en comparación con las distancias desde el elemento de corriente a los puntos donde se calculará el campo magnético).
Solución. El campo magnético en los puntos dados es: μ I dl sen θ μ0 (200)(0,000100) dBa = 0 = = 2,00 × 10 −6 T 4π r2 4π (0,100 m) 2 μ I dl sen θ μ0 (200)(0,000100) sen 45° dBb = 0 = = 0,705 × 10 −6 T 2 2 r 4π 4π 2(0,100) μ I dl sen θ μ0 (200)(0,000100) dBc = 0 = = 2,00 × 10 −6 T 2 2 4π r 4π (0,100 m)
μ0 I dl sen θ 4π r2 μ I dl sen θ μ0 I dl sen (0°) dBd = 0 = =0 4π 4π r2 r2 μ (200) (0,00100 m) 2 ⇒ dBe = 0 4π 3(0,100) 2 3 −6 ⇒ dBe = 0,545 × 10 T dBe =
28.11 Dos alambres rectos y largos, uno encima del otro, están separados por una distancia 2a y son paralelos al eje de las x. El eje de las + y está en el plano de los alambres en dirección del alambre inferior al alambre superior. Cada alambre transporta la corriente I en la dirección + x. ¿Cuáles son la magnitud y dirección del campo magnético neto de los dos alambres en un punto situado en el plano de los alambres a) a medio camino entre ambos?, b) a una distancia a arriba del alambre superior?, e) a una distancia a abajo del alambre inferior? Solución. a) Exactamente en el punto medio entre los alambres, los dos campos magnéticos están en direcciones opuestas y se cancelan. b) A una distancia sobre la parte superior de alambre, los campos magnéticos están en la misma dirección y se suman: → μI μI μI μ0 I ˆ 2μ 0 I ˆ B = 0 kˆ + 0 kˆ = 0 kˆ + k= k. 2πr1 2πr2 2πa 2π (3a) 3πa c) A la misma distancia, como en la parte (b), pero por debajo de la parte inferior de alambre, da la misma magnitud del campo magnético, pero en la dirección opuesta: → 2μ I B = − 0 kˆ . 3πa 28.16 Dos alambres paralelos rectos y largos, separados por una distancia de 10,0cm, transportan corrientes iguales de 4,00 A en la misma dirección, como se muestra en la figura. Proporcione la magnitud y dirección del campo magnético en a) el punto P1, a medio camino entre los alambres; b) el punto P2, a 25,0 cm a la derecha de P1 c) el punto P3 a 20,0 cm directamente arriba de P1.
Solución. a) B = 0 Ya que los campos están en direcciones opuestas.
μI μI μI b) B = Ba + Bb = 0 + 0 = 0 2πra 2πrb 2π
⎛ 1 1 ⎞ (4π × 10 −7 ) (4,0) ⎛ 1 1 ⎞ ⎜⎜ + ⎟⎟ = + ⎜ ⎟ 2π ⎝ 0,3 0,2 ⎠ ⎝ ra rb ⎠
= 6,67 x 10-6 T = 6,67 μT. c)
→
→
Notar que B a ⊥ ra y B b ⊥ rb
B = Ba cos θ + Bb cos θ = 2 Ba cos θ 5 ⇒ θ = 14,04° : ra = (0,20) 2 + (0,05)2 20 μI (4π × 10−7 ) (4,0) B = 2 0 cos θ = 2 cos 14,04o = 7,53 x 10-6 T = 7,53 μT, a la 2 2 2πra 2π (0,20) + (0,05)
tan θ =
izquierda. 28.18 Cuatro líneas eléctricas paralelas y largas transportan corrientes de 100 A cada una. Un diagrama de sección transversal de estas líneas es un cuadrado de 20.0 cm por lado. Con respecto a cada caso que se muestra en la figura 28.34, calcule el campo magnético en el centro del cuadrado.
Solución. (a) y (b)
B = 0 Porque los campos magnéticos debido a las corrientes en los dos vértices del cuadrado se cancelan. (c)
B = Ba cos 45° + Bb cos 45° + Bc cos 45° + Bd cos 45° = 4 Ba cos 45° = ⎛μI⎞ 4 ⎜ 0 ⎟ cos 45° ⎝ 2πr ⎠
r = (10 cm)2 + (10 cm)2 = 10 2 cm = 0,10 2 m B=4
(4π × 10−7 )(100) cos 45° = 4,0 × 10 −4 T , a la izquierda. 2π (0,10 2 )
28.20 Tres alambres paralelos transportan cada uno la corriente I en los sentidos que se indican en la figura. Si la separación entre alambres adyacentes es calcule la magnitud y dirección de la fuerza magnética neta por unidad de longitud sobre cada alambre.
Solución. F μ0 I 2 ⎛ 1 1 ⎞ μ0 I 2 Sobre el alambre superior: , hacia arriba. = ⎟= ⎜ − L 2π ⎝ d 2d ⎠ 4πd Sobre el alambre del medio, los campos magnéticos se cancelan tal que la fuerza es cero. F μ0 I 2 ⎛ 1 1 ⎞ μ0 I 2 Sobre el alambre inferior: , hacia abajo. = − + ⎟= ⎜ L 2π ⎝ d 2d ⎠ 4πd
28.25 Calcule la magnitud del campo magnético en el punto P de la figura en términos del R1, R2, I1 e I2. ¿Qué resultado da su expresión cuando I1 = I2?
Solución.
No hay contribución de los alambres rectos, y tenemos dos contribuciones orientadas en forma opuesta de las dos semicircunferencias: 1⎛ μ ⎞ B = ( B1 − B2 ) = ⎜ 0 ⎟ I1 − I 2 , hacia la página. Si las corrientes fueran iguales, el 2 ⎝ 2R ⎠ campo magnético en el centro de la espira sería cero.
28.27 Una bobina circular con devanado compacto y un radio de 2,4cm tiene 800 espiras. a) ¿Cuál debe ser la corriente en la bobina si el campo magnético en el centro de ésta es de 0,05 80 T? b) ¿A qué distancia x del centro de la bobina, sobre el eje de ésta, alcanza el campo magnético la mitad del valor que tiene en el centro? Solución. 2aBx 2(0,024)(0,0580) = a) Bx = μ0 NI 2a , luego I = = 2,77 A. μ0 N (4π × 10 −7 )(800) b) En el centro, Bc = μ 0 NI 2a . A una distancia x del centro,
μ 0 NIa 2
⎞ ⎞ ⎛ a3 a3 ⎛ μ 0 NI ⎞ ⎛ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ B = = ⎜ ⎟ c ⎜ 2 2 32 ⎟ 2 2 32 ⎟ 2 2 32 ⎜ 2( x + a ) ⎝ 2a ⎠ ⎝ ( x + a ) ⎠ ⎝ (x + a ) ⎠ 1 a3 Bx = 12 Bc significa 2 = 2 32 (x + a ) 2
Bx =
( x 2 + a 2 )3 = 4a 6 , con a = 0,024 m, luego x = 0,0184 m
28.31 La figura muestra, en sección transversal, varios conductores que transportan corriente a través del plano de la figura. Las magnitudes de las corrientes son I1 = 4,0 A, I2 = 6,0A e I3 = 2,0 A, y las direcciones son las que se indican. Se muestran cuatro trayectos identificados de a a d., ¿Cuál es la →
→
integral de línea ∫ B.d l correspondiente a cada trayecto? Cada integral implica recorrer el trayecto en sentido contrario a las manecillas del reloj. Explique sus respuestas.
Solución. Vamos a recorrer por los trayectos en sentido antihorario.
a) I encerrada = 0 ⇒
→
→
∫ B.d l = 0.
b) I encerrada = − I1 = - 4,0 A ⇒
→
→
-6 ∫ B.d l = - μ0(4,0 A) = -5,03 x 10 Tm.
c) I encerrada = − I1 + I 2 = -4,0 + 6,0 = 2,0 A ⇒ 10-6 Tm. d) I encerrada = − I1 + I 2 + I 3 = 4,0 A ⇒
→
→
→
∫ B.d l = μ0(2,0 A) = 2,51 x
→
-6 ∫ B.d l = + μ0(4,0 A) = 5,03 x 10 Tm.
Usando la Ley de Ampere en cada caso, el signo de la línea integral se determinará con la ayuda de la regla de la mano derecha. Esto determina el signo de la integral para la trayectoria antihoraria Sección 28.7 Aplicaciones de la ley de Ampere 28.32 Cable coaxial. Un conductor sólido de radio a está sostenido por discos aislantes sobre el eje de un tubo conductor de radio interior b y radio exterior c. El conductor central y el tubo transportan corrientes iguales I en sentidos opuestos. Las corrientes se distribuyen uniformemente en las secciones transversales de cada conductor. Deduzca una expresión de la magnitud del campo magnético a) en puntos situados afuera del conductor sólido central y adentro del tubo (a < r < b); b) en puntos situados afuera del tubo (r > c).
Solución. Considere un cable coaxial donde las corrientes corren en direcciones OPUESTAS. → → μI a) Para a < r < b , I encerrada = I ⇒ ∫ B.d l = μ0 I ⇒ B 2πr = μ0 I ⇒ B = 2 0 2πr b) Para r > c, la corriente encerrada es cero, Luego el campo magnético también es cero.
Problemas 28.51 Dos alambres rectos muy largos conducen corrientes, como se muestra en la figura. Con respecto a cada caso de la figura, halle todos los puntos donde el campo magnético neto es cero.
Solución. a)
→
→
→
→
→
→
A lo largo de línea punteada, B1 y B2 están en direcciones opuestas. Si la línea tiene pendiente - 1,00 entonces r1 = r2 y B1 = B2, luego Btotal = 0. b)
A lo largo de línea punteada, B1 y B2 están en direcciones opuestas. Si la línea tiene pendiente 1/3 entonces r2 = (10,0/3,0) r1 y B1 = B2, luego Btotal = 0. c)
A lo largo de línea punteada, B1 y B2 están en direcciones opuestas. Si la línea tiene pendiente + 1,00 entonces r1 = r2 y B1 = B2, luego Btotal = 0. 28.54 Tres alambres paralelos largos están ubicados como se muestra en la figura. El alambre 2 está en el origen, el alambre 1 está sobre el eje y en y = 3,00cm y el alambre 3 está sobre el eje x en x = 4,00 cm. Las corrientes son I 1= 1,00 A, I2 = 2,00 A e I3 = 4,00 A. a) Copie la figura y muestre las direcciones de los campos magnéticos de los alambres 2 y 3 en el plano xy donde se encuentra el alambre 1. b) Busque las componentes x e y del campo magnético neto debido a las corrientes de los alambres 2 y 3 en el plano xy en la posición del alambre 1.
c) Halle la magnitud y dirección de la fuerza neta que ejercen sobre una sección de 1,00 cm del alambre 1 los otros dos alambres.
Solución. a)
→ → ⎛μ I ⎞ ⎛ μI ⎞ b) B2 = − ⎜ 0 22 ⎟iˆ B 3 = ⎜⎜ 0 3 ⎟⎟ (sin θiˆ + cosθˆj ) ⎝ 2π r ⎠ ⎝ 2πr3 ⎠ Y también → ⎞ ⎞ I I ⎛ μ ⎞⎛ ⎛ I B = ⎜ 0 ⎟⎜⎜ ⎜⎜ − 2 + 3 sin θ ⎟⎟ iˆ + 3 cos θ ˆj ⎟⎟ ⇒ r3 ⎝ 2π ⎠⎝ ⎝ r2 r3 ⎠ ⎠
→ ⎞ ⎞ I2 I3 I3 ⎛ μ ⎞⎛ ⎛ B = ⎜ 0 ⎟⎜⎜ ⎜⎜ − (0,8) ˆj ⎟⎟ ⇒ + (0,6) ⎟⎟iˆ + ⎝ 2π ⎠⎝ ⎝ (0,030) (0,050) ⎠ (0,050) ⎠ → μ ⎛μ ⎞ B = ⎜ 0 ⎟ (12 I 3 − 33,3I 2 )iˆ + (16 I 3 ) ˆj = 0 (12)(4,00) − (33,3)(2,00))&i& + (16)(4,00) ˆj = 2π ⎝ 2π ⎠ −6 ˆ −5 − 3,72 × 10 Ti + 1,28 × 10 Tˆj
(
→
→
)
(
)
(
→
)
c) F = I1 l × B = I1lBx ˆj + I1lBy iˆ = (1,00)(0,010) 3,72 × 10−6 ˆj + 1,28 × 10−5 iˆ = −8
−7
3,72 × 10 ˆj + 1,28 × 10 iˆ ; F = 1,33 x 10 N, 16,2º antihorario desde el eje + x. -7
28.56 La figura 28.47 muestra una vista de los extremos de dos alambres paralelos largos perpendiculares al plano xy, cada uno de los cuales conduce una corriente I, aunque en sentidos opuestos. a) Copie el diagrama y dibuje vectores que muestren el campo B de cada alambre y el campo neto B en el punto P. b) Deduzca la expresión de la magnitud de B en cualquier punto sobre el eje x en términos de la coordenada x del punto. ¿Cuál es la dirección de B? c) Grafique la magnitud de B en puntos sobre el eje de las x. d) ¿En qué valor de x alcanza un máximo la magnitud de B?
e) ¿Cuál es la magnitud de B cuando x >> a?
Solución. a)
b) En una posición sobre el eje x: μ0 I μ0 Ia a μI Bneto = 2 0 senθ = ⇒ Bneto = , en dirección positiva 2πr π (x 2 + a 2 ) π x2 + a2 x2 + a2 de x, como se muestra en siguiente figura. c)
d) El campo magnético es un máximo en el origen, x = 0. μ Ia e) Cuando x >> a, B ≈ 0 2 . πx 28.61 Dos alambres paralelos largos cuelgan de cordeles de 4,00 cm de largo sujetos a un eje común. Los alambres tienen una masa por unidad de longitud de 0,0125 kg/m y conducen la misma corriente en sentidos opuestos. ¿Cuál es la corriente en cada alambre si los cordeles cuelgan a un ángulo de 6,00° respecto a la vertical?
Solución. 28.61:
Los alambres están en equilibrio, luego: x : F = T senθ y y : T cos θ = mg mg tan θ lB μI 2πr mg tan θ 2πr mg tan θ ⇒I= Pero B = 0 ⇒ I = 2πr lμ 0 I lμ 0 -3 y r = [2(0,0400) sen(6.00°)] = 8,36 x 10 m. ⇒ F = IlB = T senθ = mg tan θ ⇒ I =
⇒ I=
2π (8,36 × 10−3 ) (0,0125)(9,8)tan(6,00°) = 23,2 A. μ0
28.62 El alambre recto y largo AB que se muestra en la figura conduce una corriente de 14,0 A. La espira rectangular cuyos lados largos son paralelos al alambre conduce una corriente de 5,00 A. Halle la magnitud y dirección de la fuerza neta que el campo magnético del alambre ejerce sobre la espira.
Solución.
Las fuerzas en los segmentos superior e inferior se cancelan, dejando los lados de la izquierda y la derecha: → → → ⎛ μI ⎛ 1 1⎞ ⎞ μI μ IlI F = Fi + Fd = − IlBiiˆ + IlBd iˆ = Il⎜⎜ − 0 alambre + 0 alambre ⎟⎟iˆ = 0 alambre ⎜⎜ − ⎟⎟iˆ 2πri 2πrd ⎠ 2π ⎝ ⎝ rd ri ⎠ →
⇒ F=
μ0 (5,00)(0,200)(14,0) ⎛ 1 1 ⎞ˆ − ⎜ ⎟ i = − (7,97 × 10−5 N)iˆ 2π 0,100 0,026 ⎝ ⎠
28.66 Calcule la magnitud y dirección del campo magnético generado en el punto P de la figura por la corriente I de la espira rectangular de alambre. (El punto P está en el centro del rectángulo.) Sugerencia: El espacio del lado derecho donde los alambres entran y salen del rectángulo es tan pequeño, que este lado del rectángulo se puede tomar como un alambre continuo de longitud b.
Solución.
l μ0 I . Aquí todos los 2 4π x x + (l 2 )2 lados producen un campo hacia la página tal que podemos sumarlos: μI μ I ⎛b⎞ b 1 a x = y l = b ⇒ Bizquierda = 0 = 0 ⎜ ⎟ , 2 2 2 2 π ⎝ a ⎠ a + b2 4π (a 2) (a 2) + (b 2)
Un alambre de longitud l produce un campo B =
μI a b μ I ⎛a⎞ 1 y l = a ⇒ Barriba = 0 = 0 ⎜ ⎟ . π ⎝ b ⎠ a 2 + b2 2 4π (b 2) (b 2) 2 + (a 2) 2 Los lados de la derecha y la parte inferior producen la misma contribución que la izquierda y superior, respectivamente. Así, el campo magnético total es: x=
B=
2 μ0 I π
2 μ0 I 1 ⎛b a⎞ = ⎜ + ⎟ 2 2 πab ⎝a b⎠ a +b
a2 + b2 .
28.68 El alambre de la figura es infinitamente largo y conduce una corriente I. Calcule la magnitud y dirección del campo magnético que esta corriente genera en el punto P.
Solución. →
→
El alambre horizontal produce campo magnético cero ya que d l × r = 0 . La corriente vertical proporciona el campo magnético igual a la mitad a la de un alambre infinito.
(Las contribuciones de todos los elementos infinitesimales del alambre apuntan en la misma dirección, por lo que no hay suma vectorial o de componentes que preocuparse. 1⎛ μI ⎞ ⇒ B = ⎜ 0 ⎟ , saliendo de la página. 2 ⎝ 2πR ⎠ 28.72 Se fabrica un conductor en forma de un cilindro hueco de radios interno y externo a y b, respectivamente, el cual transporta una corriente I, uniformemente distribuida en toda su sección transversal. Deduzca expresiones de la magnitud del campo magnético en las regiones a) r < a; b) a < r < b; c) r > b. Solución. a) r < a ⇒ I encerrada = 0 ⇒ B = 0 . ⎛ Aa → r ⎞ ⎛ π(r 2 − a 2 ) ⎞ (r 2 − a 2 ) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ b) a < r < b ⇒ I encerrada = I ⎜ ⎟ = I ⎜ π(b 2 − a 2 ) ⎟ = I (b 2 − a 2 ) ⇒ ⎝ ⎠ ⎝ Aa →b ⎠ 2 2 2 2 → → (r − a ) μ0 I ( r − a ) . ∫ B.d l = B2πr = μ0 I (b 2 − a 2 ) ⇒ = B = 2πr (b 2 − a 2 ) → → μI c) r > b ⇒ I encerrada = I ⇒ ∫ B.d l = B 2πr = μ0 I ⇒ B = 0 . 2πr
28.74 Una espira circular de radio R conduce una corriente I2 en el sentido de las manecillas del reloj. El centro de la espira está a una distancia D arriba de un alambre recto y largo. ¿Cuáles son la magnitud y dirección de la corriente I1 en el alambre si el campo magnético en el centro de la espira es cero?
Solución. En el centro de la espira circular la corriente I 2 genera un campo magnético entrando en la página, por lo que la corriente I 1 debe apuntar a la derecha. Para completar la cancelación de los dos campos deben tener la misma magnitud μ0 I1 μ0 I 2 = 2πD 2 R πD I2 Luego, I1 = R 28.75 Un cilindro sólido, recto y largo, orientado con su eje en la dirección z, conduce →
una corriente cuya densidad de corriente es J . La densidad de corriente, aunque es simétrica en torno al eje del cilindro, no es constante, sino que varia según la relación 2 → 2I0 ⎡ ⎛ r ⎞ ⎤ ˆ J = 2 ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ k con r ≤ a πa ⎢⎣ ⎝ a ⎠ ⎥⎦
→
J = 0 con r ≥ a
donde a es el radio del cilindro, r es la distancia radial respecto al eje del cilindro e I0 es una constante con unidades de amperes. a) Demuestre que I0 es la corriente total que pasa a través de toda la sección transversal del alambre. b) Con base en la ley de Ampere, deduzca una expresión de la magnitud del campo →
magnético B en la región r ≥ a . c) Obtenga una expresión de la corriente I contenida en una sección transversal circular de radio r ≤ a y centrada en el eje del cilindro. d) Con base en la ley de Ampere, deduzca una expresión de la magnitud del campo →
magnético B en la región r ≤ a . ¿Cómo son comparativamente los resultados de los incisos (a) y (b) cuando r = a? Solución. → → ⎛ r2 ⎞ 2I a) I = ∫ J .d A = 02 ∫ ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ rdrdθ = S πa s ⎝ a ⎠ a
⎛ 4I 0 ⎛ a 2 a 4 ⎞ r3 ⎞ 4I0 ⎛ r 2 r 4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∫0 ⎜⎝ r − a 2 ⎟⎠ dr = a 2 ⎜⎝ 2 − 4a 2 ⎟⎠ ⇒ I = a 2 ⎜⎜⎝ 2 − 4a 2 ⎟⎟⎠ = I 0 . 0 → → μI b) Para r ≥ a ⇒ ∫ B ⋅ d l = B 2πr = μ0 I encerrada = μ0 I 0 ⇒ B = 0 0 . 2πr → → → ⎛ r ′2 ⎞ 2I c) Para r ≤ a ⇒ I encl = ∫ J ⋅ d A ⇒ I encerrada = ∫ J .d A = 02 ∫ ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ r ′dr ′dθ s S πa s ⎝ a ⎠
2I0 2π πa 2
a
r⎛ 2I r ′3 ⎞ = 02 2π ∫ ⎜⎜ r ′ − 2 ⎟⎟ dr ′ 0 πa a ⎠ ⎝
d) Para r ≤ a ⇒
→
r
⇒ I encerrada
4 I ⎛ r ′2 r ′4 ⎞ r2 ⎛ r2 ⎞ = 20 ⎜⎜ − 2 ⎟⎟ = 2 I 0 2 ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ . a ⎝ 2 4a ⎠ 0 a ⎝ 2a ⎠
→
∫ B ⋅ d l = B 2πr = μ0 I encerrada = 2 μ0 I 0
r2 a2
⎛ r2 ⎞ ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ 2a ⎠ ⎝
⎛ r2 ⎞ ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ . ⎝ 2a ⎠ μI En r = a , B = 0 0 para (b) y (d). 2πa
⇒B=
μ0 I 0 r πa 2
28.76 Un cilindro sólido, recto y largo, orientado con su eje en la dirección z, conduce →
una corriente cuya densidad de corriente es J . La densidad de corriente, aunque es simétrica en torno al eje del cilindro, no es constante, sino que varía según la relación → ⎛b⎞ J = ⎜ ⎟e(r − a ) / δ kˆ con r ≤ a ⎝r⎠ →
J = 0 con r ≥ a donde el radio del cilindro es a = 5,00 cm, r es la distancia radial respecto al eje del cilindro, b es una constante igual a 600 A/m y δ es una constante igual a 2,50 cm.
a) Sea I0 la corriente total que pasa a través de toda la sección transversal del alambre. Obtenga una expresión de I0 en términos de b, δ y a. Evalúe su expresión para obtener un valor numérico de I0. b) Con base en la ley de Ampere, deduzca una expresión de la magnitud del campo →
magnético B en la región r ≥ a . Exprese su respuesta en términos de I0 en vez de b. c) Obtenga una expresión de la corriente I contenida en una sección transversal circular de radio r ≤ a y centrada en el eje del cilindro. Exprese su respuesta en términos de I0 en vez de b. d) Con base en la ley de Ampere, deduzca una expresión de la magnitud del campo →
magnético B en la región r ≤ a . e) Evalúe la magnitud del campo magnético en r = δ , r = a y r = 2a. Solución. → → a a ⎛b ⎞ a) I 0 = ∫ J ⋅ d A = ∫ ⎜ e( r − a ) / δ ⎟ rdrdθ = 2πb ∫ e ( r − a ) / δ dr = 2πbδ e ( r − a ) / δ 0 S r 0 S ⎝ ⎠ −a /δ (0,050 / 0,025) = 2πbδ (1 − e ) ⇒ I 0 = 2π (600) (0,025)(1 − e ) = 85,5 A. → → μI b) Para r ≥ a ⇒ ∫ B ⋅ d l = B 2πr = μ 0 I encerrada = μ0 I 0 ⇒ B = 0 0 . 2πr r → → r ⎛b ⎞ c) r ≤ a ⇒ I (r ) = ∫ J ⋅ d A = ∫ ⎜ e ( r ′− a ) / δ ⎟ r ′dr ′dθ = 2πb ∫ e( r − a ) / δ dr = 2πbδe( r ′ − a ) / δ s r′ 0 S 0 ⎝ ⎠ ⇒ I (r ) = 2πbδ (e ( r ′− a ) / δ − e − a / δ ) = 2πbδe − a / δ (e r / δ − 1) ⇒ I (r ) = I 0
(e r / δ − 1) . (e a / δ − 1)
μ 0 I 0 (e r / δ − 1) (e r / δ − 1) B = ⇒ . (e a / δ − 1) 2πr (e a / δ − 1) μ I (e − 1) μ (81,5) (e − 1) e) En r = δ = 0,025 m ⇒ B = 0 0 a / δ = 0 = 1,75 x 10-4 T. 0 , 050 / 0 , 025 2πδ (e − 1) 2π (0,025) (e − 1)
d) Para r ≤ a ⇒
→
→
∫ B ⋅ d l = B(r )2πr = μ0 I encerrada = μ0 I 0
μ 0 I 0 (e a / δ − 1) μ 0 (81,5) = 3,26 x 10-4 T. = a /δ 2πa (e − 1) 2π (0,050) μI μ (81,5) En r = 2a = 0,100 m ⇒ B = 0 0 = 0 = 1,63 x 10-4 T. 2πr 2π (0,100) En r = a = 0,050m ⇒ B =
28.79 Lámina infinita de corriente. Se disponen unos al lado de otros unos conductores rectos de sección transversal cuadrada, cada uno de los cuales conduce una corriente I, para formar una lámina infinita de corriente. Los conductores yacen en el plano xy, son paralelos al eje de las y y transportan corriente en la dirección + y. Hay n conductores por unidad de longitud medida a lo largo del eje de las x. a) ¿Cuáles son la magnitud y dirección del campo magnético a una distancia a abajo de la lámina de corriente? b) ¿Cuáles son la magnitud y dirección del campo magnético a una distancia a arriba de la lámina de corriente?
Solución. a) Debajo de la hoja, todas las contribuciones de campo magnético de los diferentes alambres se suman para producir un campo magnético que apunta en la dirección x positiva. (Las componentes en la dirección z se cancelan.) Usando la Ley de Ampere, donde usamos el hecho de que el campo es antisimétrico encima y por debajo de la hoja de corriente, y que las piernas de la ruta perpendicular nada contribuyen a la integral: Entonces, A una distancia a debajo de la hoja el campo magnético es: → μ nI I encl = nLI ⇒ ∫ B ⋅ d l = B 2 L = μ0 nLI ⇒ B = 0 , 2 en la dirección x positiva. (Notar que no hay dependencia en a.)
b) El campo tiene la misma magnitud por encima de la hoja, pero puntos en la dirección negativa de x.
