PRUEBAS DE HIPOTESIS A
PRUEBAS PARA UNA MEDIA
A 1.
Pruebas para
µ
cuando σ 2 es conocida. Z =
Estadística de prueba
X − µ 0
N (0,1) / n Rechace H 0 si
Valor p
2 P ( Z > Z obs )
∼
σ
Hipótesis
Hipótesis
Nula
Alternativa
H 0 : µ
= µ0
H A : µ
≠ µ0
Z obs
> z 1−α / 2
H 0 : µ
≤ µ0
H A : µ
> µ0
Z obs
> z 1−α
P ( Z > Z obs )
H 0 : µ
≥ µ0
H A : µ
< µ0
Z obs
< − z 1−α
P ( Z < Z obs )
A 2.
Pruebas de hipótesis para
µ
cuando
T =
Estadística de prueba
o Z obs
2
σ
X − µ 0
< − z 1−α / 2
es desconocida.
t n −1 S / n Rechace H 0 si
Hipótesis
Hipótesis
Nula
Alternativa
∼
Valor p
H 0 : µ
= µ0
H A : µ
≠ µ0
T obs
>
t n−1,1−α / 2 o T obs
H 0 : µ
≤ µ0
H A : µ
> µ0
T obs
>
t n−1,1−α
P (T > T obs )
H 0 : µ
≥ µ0
H A : µ
< µ0
T obs
< −t n −1,1−α
P (T < T obs )
B
COMPARACION DE DOS MEDIAS
B1
Pruebas para
Estadística de prueba:
µ1
- µ 2 con Z =
2
σ1
H 0 : µ1
− µ2 =
D0
2 P (T > T obs )
y σ 22 conocidas.
( X − Y ) − D0 2 σ1
n1 Hipótesis Nula
< −t n −1,1−α / 2
+
2 σ2
∼ N (0,1)
n2
Hipótesis Alternativa
Rechace H 0 si
H A : µ1 − µ 2
≠
D0
Z obs
> z 1−α / 2
o Z obs
Valor p Valor p < − z 1−α / 2
2 P ( Z > Z obs )
H 0 : µ1 − µ 2
≤
D0
H A : µ1 − µ 2
>
D0
Z obs
> z 1−α
P ( Z > Z obs )
H 0 : µ1 − µ 2
≥
D0
H A : µ1 − µ 2
<
D0
Z obs
< − z 1−α
P ( Z < Z obs )
B2
Pruebas para
µ1
Estadística de prueba: T =
1
1
+
n1
∼ t ν
con
= n1
ν
+
n2
2 p
2 y S
−
=
( n1 − 1) S 12
D0
2
+ ( n2 − 1) S 2
n1 + n2
−2
n2
Hipótesis Alternativa Rechace H 0 si
Hipótesis Nula − µ2 =
σ1
( X − Y ) − D0 S p
H 0 : µ1
y σ 22 desconocidas pero iguales a σ 2 .
2
- µ 2 con
Valor p
H A : µ1 − µ 2
≠
D0
T obs
>
t ν ,1−α / 2 o T obs
< −t ν ,1−α / 2
2 P (T > T obs )
H 0 : µ1 − µ 2
≤
D0
H A : µ1 − µ 2
>
D0
T obs
>
t ν ,1−α
P (T > T obs )
H 0 : µ1 − µ 2
≥
D0
H A : µ1 − µ 2
<
D0
T obs
< −t ν ,1−α
P (T < T obs )
B3
Pruebas para
µ1
- µ 2 con
y σ 22 desconocidas y distintas.
( X − Y ) − D0
T =
Estadística de prueba:
2
σ1
2 1
S
2 2
S
+
n1 − µ2 =
ν =
2 1
(S
2 1
n1 + S 22 n 2 )
2
n1 )
2
(S +
n1 − 1
n2
Hipótesis Alternativa Rechace H 0 si
Hipótesis Nula H 0 : µ1
∼ t ν
(S
D0
H A : µ1 − µ 2
≠
D0
T obs
>
t ν ,1−α / 2 o T obs
2 2
n2 )
n2
−1
2
Valor p < −t ν ,1−α / 2
2 P (T > T obs )
H 0 : µ1 − µ 2
≤
D0
H A : µ1 − µ 2
>
D0
T obs
>
t ν ,1−α
P (T > T obs )
H 0 : µ1 − µ 2
≥
D0
H A : µ1 − µ 2
<
D0
T obs
< −t ν ,1−α
P (T < T obs )
C
COMPARACION DE DOS MEDIAS CON BASE EN MUESTRAS PAREADAS
T =
Estadística de prueba: Hipótesis Nula H 0 : µ1
− µ2 =
( X − Y ) − D0
∼
S D / n
t n−1
Hipótesis Alternativa Rechace H 0 si D0
H A : µ1 − µ 2
≠
D0
T obs
>
t n−1,1−α / 2 o T obs
Valor p < −t n ,1−α / 2
2 P (T > T obs )
H 0 : µ1 − µ 2
≤
D0
H A : µ1 − µ 2
>
D0
T obs
>
t n−1,1−α
P (T > T obs )
H 0 : µ1 − µ 2
≥
D0
H A : µ1 − µ 2
<
D0
T obs
< −t n −1,1−α
P (T < T obs )
D
PRUEBAS PARA σ
Estadística de prueba
2
Q
=
(n − 1) S 2 2 σ0
~ χ n2−1
Hipótesis Nula Hipótesis Alternativa
Rechace H 0 si
H 0 : σ 2
= σ0
2
H A : σ 2
≠ σ0
2
Qobs
> χ n −1,1−α / 2
H 0 : σ 2
≤ σ0
2
H A : σ 2
>σ0
2
Qobs
> χ n −1,1−α
2
P (Q > Qobs )
H 0 : σ 2
≥σ0
2
H A : σ 2
<σ0
2
Qobs
< χ n −1,α
2
P (Q < Qobs )
2
Valor p
o Qobs
2
< χ n −1,α / 2
E
PRUEBAS PARA COMPARAR VARIANZAS
Estadística de prueba: F =
S 12 S 22
∼ F n −1, n 1
2 −1
Hipótesis Alternativa
Rechace H 0 si
=1
H A : σ 12 / σ 22
≠1
F obs
> F n
H 0 : σ 1 / σ 2
2
≤1
H A : σ 12 / σ 22
>1
F obs
>
F n1 −1,n2 −1,1−α
P ( F > F obs )
H 0 : σ 12 / σ 22
≥1
H A : σ 12 / σ 22
<1
F obs
<
F n1 −1, n2 −1,α
P ( F < F obs )
Hipótesis nula 2
2
H 0 : σ 1 / σ 2 2
F
Valor p
1 −1, n 2 −1,1−α
o F obs
/2
<
F n1 −1, n2 −1,α / 2
PRUEBAS PARA UNA PROPORCION
Estadística de prueba: Z =
pˆ − p0 p0 (1 − p0 ) / n
∼ N (0,1)
Hipótesis nula
Hipótesis Alternativa
Rechace H 0 si
Valor p
H 0 : p = p0
H A : p ≠ p0
Z obs
> z 1−α / 2
2 P ( Z > Z obs )
H 0 : p ≤ p0
H A : p > p0
Z obs
> z 1−α
H 0 : p ≥ p0
H A : p < p0
Z obs < - z 1−α
G
o Z obs < - z 1−α / 2
P ( Z > Z obs ) P ( Z < Z obs )
PRUEBAS PARA COMPARAR PROPORCIONES
Estadística de prueba: Z = (( pˆ 1 − pˆ 2 ) − P 0 ) Hipótesis nula
pˆ 1 (1 − pˆ 1 )
+
pˆ 2 (1 − pˆ 2 )
n1
n2
∼ N (0,1)
Hipótesis Alternativa
Rechace H 0 si
Valor p 2 P ( Z > Z obs )
H 0
= p1 − p 2 =
P 0
H A
= p1 − p 2 ≠
P 0
Z obs
> z 1−α / 2
H 0
= p1 − p 2 ≤
P 0
H A
= p1 − p 2 >
P 0
Z obs
> z 1−α
H 0
= p1 − p 2 ≥
P 0
H A
= p1 − p 2 <
P 0
Z obs < - z 1−α
o Z obs < - z 1−α / 2
P ( Z > Z obs ) P ( Z < Z obs )
Nota: o
o
Z obs , T obs , Qobs y F obs son los valores de las respectivas estadísticas de prueba cuando se reemplazan en ellas los datos. Si se quiere probar igualdad de medias o igualdad de proporciones, entonces D0 P 0
=
0 respectivamente.
=
0 o
