Formulario Geometria e Algebra

Formulario geometria e algebra Geometria analitica Vettori     Coseni  direttori:  avendo  un  vettore  𝑣 = (𝑣! , 𝑣! , 𝑣! )  in  una  base  ℬ(𝚤, 𝚥, 𝑘)  i  suoi  coseni     direttori  sono  dati  da:                                  𝑐𝑜𝑠𝑣𝚤 =

!! !

,              𝑐𝑜𝑠𝑣𝚥 =

!! !

,                            𝑐𝑜𝑠𝑣𝑘 =

!! !

.  

  Vettori  linearmene  indipendenti:  avendo  n  vettori  essi  si  dicono  linearmente  indipendenti   se  costruita  la  matrice  delle  loro  coordinate  il  determinante  risulta  diverso  da  0.  Inoltre  se   sono  linearmente  indipendenti  il  rango  risulterà  uguale  al  numero  dei  vettori.     Vettori  linearmene  dipendenti:  avendo  n  vettori  essi  si  dicono  linearmente  dipendenti  se   uno  di  essi  si  può  esprimere  come  somma  degli  altri  moltiplicati  per  un  opportuno  scalare.   Contrariamente  a  prima  costruita  la  matrice  delle  loro  coordinare  il  determinante  deve  essere   uguale  a  zero,  e  il  rango  minore  del  numero  di  vettori.     Prodotto  scalare:  avendo  due  vettori  𝑣 = (𝑣! , 𝑣! , 𝑣! )    e  𝑢 = (𝑢! , 𝑢! , 𝑢! )   il  prodotto  scalare  𝑣 ∙ 𝑢 = 𝑢! 𝑣! + 𝑢! 𝑣! + 𝑢! 𝑣!     Norma  di  un  vettore:  avendo  un  vettore  𝑢 = (𝑢! , 𝑢! , 𝑢! )  la  norma  di   𝑢 = 𝑢 ∙ 𝑢= 𝑢! ! + 𝑢! ! + 𝑢! !     Coseni  direttori:  avendo  due  vettori  𝑣  e  𝑢,  per  individuare  l’angolo  in  funzione  del  coseno  si   𝑣∙𝑢

avrà  che:                          cos 𝑣𝑢 = 𝑢 ∙ 𝑣       Prodotto  vettoriale:  avendo  due  vettori  𝑣 = (𝑣! , 𝑣! , 𝑣! )    e  𝑢 = (𝑢! , 𝑢! , 𝑢! ),  il  prodotto   𝚤 𝚥       𝑘 vettoriale  sarà  uguale  a:    𝑣 ∧ 𝑢 = 𝑣! 𝑣! 𝑣!   𝑢! 𝑢! 𝑢!   Determinare  un  vettore  𝒙  perpendicolare  a  𝒗  𝐞  𝒖  e  di  norma  n:  per  determinare  un   vettore  ci  occorrono  tre  equazioni,  in  questo  caso  il  vettore  generico  𝑥 = (𝑥, 𝑦, 𝑧)  dovrà  avere   𝑥 ∙ 𝑢 = 0,  𝑣 ∙ 𝑥 = 0,  e   𝑥 = 𝑛.  Messe  a  sistema  queste  equazioni  si  avrà  il  vettore  o  i  vettori   desiderati.  Oltre  alla  norma  un’altra  equazione  può  essere  data  dalla  complanarità:  avendo  𝑥 ,   𝑣  e  𝑢  complanari,  essi  sono  dipendenti,  quindi  𝑥 = 𝑎𝑣  +  𝑏𝑢  quindi  le  incognite  sono  solo  due,   ossia  i  parametri  a  e  b.     Area  del  triangolo  formato  da  due  vettori  𝒗  𝐞  𝒖:  la  norma  del  prodotto  vettoriale   𝑣 ∧ 𝑢   equivale  all’area  del  parallelogramma  formato  dai  vettori  𝑣  e  𝑢.  Per  avere  l’area  del  triangolo   bisogna  moltiplicare  l’area  del  parallelogramma  per  ½:   𝚤 𝚥       𝑘 1 𝒜= 𝑣 ∧ 𝑢 = 𝑣! 𝑣! 𝑣!   2 𝑢! 𝑢! 𝑢!   Area  del  tetraedro  formato  da  tre  vettori  𝒗, 𝒖  𝐞  𝝎:  il  prodotto  misto  tra  i  vettori  in  valore   assoluto  ci  da  l’area  del  parallelepipedo.  Per  ottenere  l’area  del  tetraedro  bisogna  moltiplicare   il  tutto  per  1/6:    

 

1  

𝜔! 𝜔! 𝜔! 𝒱 = ! 𝑣 ∧ 𝑢 ∙ 𝜔 = ! 𝑣! 𝑣! 𝑣! .  Notiamo  che  in  questo  caso  l’ordine  con  cui  si   𝑢! 𝑢! 𝑢! dispongono  i  vettori  non  conta  poiché  il  determinante  è  in  valore  assoluto,  quindi  scambiando   due  linee  parallele  il  segno  del  determinante  non  cambia.     Rette,  piani,  parallelismo       Distanza  tra  due  punti:  avendo  due  punti    𝑃! 𝑥! , 𝑦! , 𝑧! , 𝑃! (𝑥! , 𝑦! , 𝑧! )     𝑑 𝑃! 𝑃! = (𝑥! − 𝑥! )! + (𝑦! − 𝑦! )! + (𝑧! − 𝑧! )!     𝑥 − 𝑥! 𝑦 − 𝑦! 𝑧 − 𝑧! Equazione  cartesiana  del  piano:                                     𝑥 − 𝑥! 𝑦 − 𝑦! 𝑧 − 𝑧! = 0      da  cui  si  ha                                                                       𝑥 − 𝑥! 𝑦 − 𝑦! 𝑧−𝑧! 𝛼: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0             con    (a,b,c)  parametri  di  giacitura         𝑥 = 𝑥! + 𝑢 𝑥! − 𝑥! + 𝑣(𝑥! − 𝑥! ) 𝑦 Equazione  parametrica  del  piano:   = 𝑦! + 𝑢 𝑦! − 𝑦! + 𝑣(𝑦! − 𝑦! )   𝑧 = 𝑧! + 𝑢 𝑧! − 𝑧! + 𝑣(𝑧! − 𝑧! )   Dove  u  e  v  sono  due  parametri  reali.  Per  trovare  l’equazione  cartesiana  basta  ricavare  u  e  v  dal   sistema.     Equazione  piano  per  un  punto:                      𝑎 𝑥 − 𝑥! + 𝑏 𝑦 − 𝑦! + 𝑐 𝑧 − 𝑧! = 0       con    (a,b,c)  parametri  di  giacitura       Piano  per  un  punto  A  e  parallelo  ad  𝐮  e    𝐯:  avendo  un  punto    𝐴 = 𝑥! , 𝑦! , 𝑧!  e  due  vettori   𝐮 = 𝑢! , 𝑢! , 𝑢!  e  𝐯 = 𝑣! , 𝑣! , 𝑣! ,  si  considera  il  generico  punto  𝑃 = (𝑥, 𝑦, 𝑧)  e  si  impone  che  i   vettori  𝐴𝑃 = (𝑥 − 𝑥! , 𝑦 − 𝑦! , 𝑧 − 𝑧! ),  u  e    v  siano  complanari,  quindi  linearmente  dipendenti   ossia:   𝑥 − 𝑥! 𝑦 − 𝑦! 𝑧 − 𝑧! 𝑢! 𝑢!              𝑢! = 0   𝑣!              𝑣! 𝑣! analogamente  si  procede  avendo  due  punti  A  e  B  appartenenti  al  piano  e  un  vettore  ad  esso   parallelo  u,  ossia  si  ricava  il  secondo  vettore  noto  dal  vettore  che  congiunge  i  due  punti  A  e  B,   e  il  terzo  vettore  prendendo  un  punto  P  generico  del  piano  e  costruendo  il  vettore  P-­‐A  oppure   P-­‐B.  Avendo  un  piano  passante  per  tre  punti  A,  B  e  C  si  costruiscono  due  vettori  tra  questi   punti,  ed  un  terzo  vettore  da  un  punto  generico  P  e  uno  dei  tre  punti  dati.     |!! !!! !!! !!| Distanza  punto  piano:                                                     ! 𝟐 ! ! !!   !

!

! !! !!

  Con  (a,b,c)  parametri  di  giacitura,  𝑃! 𝑥! , 𝑦! , 𝑧! .     Distanza  punto  retta:  per  determinare  la  distanza  di  𝑃!  da  r  consideriamo  𝑃!  un  punto  della   retta  r  e  u  un  vettore  ad  essa  parallelo.  La  distanza  sarà  data  dalla  relazione:                                                                     (𝑃! − 𝑃! ) ∧ 𝑢 𝑑(𝑃! , 𝑟) =   𝑢  

2  

          Equazione  del  piano    passante  per    𝑷      e  parallelo  a  𝒖    e  𝒗  :                                                                                                                             𝑥 − 𝑥! 𝑦 − 𝑦! 𝑧 − 𝑧! 𝑙 𝑚 𝑛                                                                                                                               = 0     𝑙′ 𝑚′ 𝑛′   usata  anche  per  scrivere  il  piano  formato  da  tre  punti  𝑃! , 𝑃! , 𝑃!  non  allineati,  considerando   𝑢 = 𝑃! −𝑃!    e    𝑣 = 𝑃!  −𝑃! .           Due  piani  𝜶  e  𝜶′  sono  paralleli  se:                                                                                                                                                      

!

!!

=

!

!!

!

=     !!

  con  (𝑎, 𝑏, 𝑐)  e  (𝑎′, 𝑏′, 𝑐′)  parametri  di  giacitura  dei  rispettivi  piani.     Equazione  del  piano  assiale  rispetta  ad  A  e  B:  siano  𝐴 = 𝑥! , 𝑦! , 𝑧!  e  B= 𝑥′! , 𝑦′! , 𝑧′!   il  piano  assiale  è  il  luogo  dei  punti  equidistanti  da  A  e  da  B  e  ha  equazione  pari  a:     (𝑥 − 𝑥! )! + (𝑦 − 𝑦! )! + (𝑧 − 𝑧! )! = (𝑥 − 𝑥′! )! + (𝑦 − 𝑦′! )! + (𝑧 − 𝑧′! )!     Piano  passante  per  un  punto  e  contenente  una  retta:  si  considera  il  fascio  proprio  che  ha   per  asse  la  retta  r.  E  si  impone  l’appartenenza  del  punto  in  questione.     Retta  r  passante  per  un  punto  P,  complanare  a  s  e  parallela  al  piano  𝜶:  la  retta  r  si  può   ottenere  come  intersezione  di  due  piani  𝜋  e  𝛾.  Con  𝜋  piano  passante  per  il  P  e  contenente  s,  e     𝛾  piano  passante  per  P  e  parallelo  ad  𝛼.     Se    𝜶  e  𝜶′  sono  non  paralleli  essi  individuano  una  retta  che  può  essere  espressa  come       𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 𝑟: !   𝑎 𝑥 + 𝑏 ! 𝑦 + 𝑐 ! 𝑧 + 𝑑′ = 0 Esprimendo  x,  y  o  z  sotto  forma  di  un  parametro  reale  si  giunge  alle  equazioni  parmetriche   della  retta.   𝑥 = 𝑥! + 𝑡 𝑥! − 𝑥! = 𝑥! + 𝑙𝑡 Equazioni  parametriche  della  retta:                     𝑦 = 𝑦! + 𝑡 𝑦! − 𝑦! = 𝑦! + 𝑚𝑡   𝑧 = 𝑧! + 𝑡 𝑧! + 𝑧! = 𝑧! + 𝑛𝑡   Che  rappresenta  la  retta  passante  per  i  punti  𝑃! 𝑥! , 𝑦! , 𝑧!  e  𝑃! (𝑥! , 𝑦! , 𝑧! ),  oppure  la  retta   passante  per  𝑃! 𝑥! , 𝑦! , 𝑧!  e  parallela  al  vettore  𝑣 = (𝑙, 𝑚, 𝑛)     𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 Parametri  direttori  di  una  retta:  avendo      𝑟: !  i  suoi  parametri   𝑎 𝑥 + 𝑏 ! 𝑦 + 𝑐 ! 𝑧 + 𝑑′ = 0 direttori  saranno  dati  dal  prodotto  vettoriale  (𝑎, 𝑏, 𝑐) ∧ (𝑎! , 𝑏 ! , 𝑐 ! ).      

3  

Rette  sghembe:  due  rette  sono  sghembe  se  non  sono  parallele  e  non  si  incontrano  mai,   analogamente  non  sono  parallele  e  non  sono  complanari.  Avendo  due  rette  per  verificare  che   sono  sghembe  calcoliamo  l’eventuale  intersezione,  il  sistema  non  dovrà  avere  soluzioni.   Inoltre  le  rette  non  devono  essere  parallele,  quindi  i  parametri  direttori  non  devono  essere   proporzionali.       Fascio  proprio  di  piani  di  asse  𝒓:       𝜆 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 + 𝜇 𝑎! 𝑥 + 𝑏 ! 𝑦 + 𝑐 ! 𝑧 + 𝑑 ! = 0     Fascio  improprio  di  piani:       𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑘 = 0       Fascio  proprio  di  rette  del  piano  𝜶  passanti  per  A:  si  considera  la  retta  generica  r  passante   per  A  e  incidente  con  il  piano  𝛼  in  un  qualsiasi  punto,  anche  perpendicolarmente  ad  𝛼.  Si   genera  l’equazione  del  fascio  proprio  di  piani  che  ha  per  asse  la  retta  r.  L’intersezione  tra  il   fascio  di  pani  e  il  piano  𝛼  genera  il  fascio  di  rette  appartenenti  ad  𝛼.     Fascio  improprio  di  rette  del  piano  𝜶  e  parallele  al  piano  𝜷:  si  considera  il  fascio   improprio  di  piani  paralleli  a  𝛽 .  L’intersezione  del  fascio  con  il  piano  𝛼  genera  il  fascio   improprio  di  rette  parallele  a  𝛽 .     Rappresentazione  retta  passante  per      𝑷  e  parallelo  a  𝒖 = (𝒍, 𝒎, 𝒏):       -­‐ sotto  forma  di  rapporti  uguali  :                                                                                                                                                                                                                                           -­‐

!!!! !

=

!!!! !

=

!!!! !

 

  in  forma  equivalente  mediante  le  equazioni  parametriche:                                                                                                                    𝑥 = 𝑥! + 𝑙𝑡,                  𝑦 = 𝑦! + 𝑚𝑡,                            𝑧 = 𝑧! + 𝑛𝑡  

  anche  la  retta  individuata  da  due  punti  può  essere  espressa  con  la  formula  precedente   considerando  come  vettore  direzionale  𝑢 = 𝑃! −𝑃!       Un  piano  𝜶  è  parallelo  ad  𝒓  se  :     𝑎𝑙 + 𝑏𝑚 + 𝑐𝑛 = 0     Due  rette  sono  parallele  se:   !

!

!

                                                                                                                                     !! = !! = !!     Due  rette  r  ed  s  sono  complanari  se  :                                                                                                                             𝑥′! − 𝑥!                                                                                                                             𝑙 𝑙′ altrimenti  sono  sgembe.    

𝑦′! − 𝑦! 𝑚 𝑚′

𝑧′! − 𝑧! = 0     𝑛 𝑛′ 4  

  Distanza  tra  due  retta:  avendo  due  rette  r  e  s  con  parametri  direttori  rispettivamente  𝑟  e  𝑠,   se  si  vuole  calcolare  la  distanza  tra  le  due  rette  si  considera  il  segmento  perpendicolare  ad   entrambe.  Quindi  troviamo  il  vettore  perpendicolare  a  𝑟  e  𝑠  tramite  il  prodotto  vettoriale,  sia   𝑟 ∧ 𝑠 = 𝑛  .  Consideriamo  il  piano  𝛽  parallelo  ad  𝑛  e  passante  per  r  e  il  piano  𝛽′  parallelo  ad  𝑛  e   passante  per  s.  L’intersezione  tra  questi  due  piani  genererà  t  retta  perpendicolare  sia  a  r  che  a   s.  L’intersezione  tra  le  tre  rette  genererà  P  e  P’  punti  di  r  e  s  per  chi  t  è  perpendicolare  ad   entrambe.  La  distanza  tra  le  due  rette  equivale  alla  distanza  tra  i  due  punti.   Sfere  e  circonferenze       Equazione  canonica  della  sfera:                                (𝑥 − 𝛼)! + 𝑦 − 𝛽 ! + (𝑧 − 𝛾)! = 𝑅!     Da  cui  si  ha  che:                                                                                                𝑥 ! + 𝑦 ! + 𝑧 ! − 2𝛼𝑥 − 2𝛽𝑦 − 2𝛾𝑧 + 𝛿 = 0     Centro  e  raggio  della  sfera:  Dalle  equazioni  scritte  in  precedenza  si  ha  che:   ! ! !                                                                                    𝐶 = (− ! , − ! , − !)  e            𝑅 𝛼 ! + 𝛽 ! + 𝛾 ! − 𝛿   Per  conoscere  la  sfera  o  la  circonferenza  basta  conoscere  il  suo  centro  e  il  suo  raggio.     Sfera  tangente  alla  retta  r  e  di  centro  dato  C:  si  considera  il  piano  𝛼  passante  per    C  e   perpendicolare  alla  retta  r.  L’intersezione  tra  la  retta  e  il  piano  genererà  un  punto  P,  la   distanza  tra  P  e  C  darà  il  raggio  R.     Sfera  di  centro  C  tagliata  da  un  piano  𝜶  che  genera  una  circonferenza  di  raggio  R’  noto:   conoscendo  il  piano  e  il  centro  della  sfera  possiamo  calcolare  la  distanza  centro  piano.  Avendo   la  distanza  centro  piano  e  il  raggio  della  circonferenza  applicando  Pitagora  possiamo  calcolare   R.     Sfera  di  raggio  minimo  tangente  a  due  rette  sghembe  r  e  s:    si  trova  la  retta  di  minima   distanza  tra  r  e  s,  denominata  t.  L’intersezione  tra  t  e  le  due  rette  genererà  due  punti  A  e  B.  La   distanza  tra  A  e  B  sarà  il  diametro,  e  il  punto  medio  il  centro  C.     Sfera  passante  per  due  punti  A  e  B  e  avente  il  centro  su  una  retta  r:  avendo  l’equazione  di   r  si  prenda  un  generico  punto  C  di  della  retta.  Tale  punto  sarà  individuato  rispetto  a  due   parametri,  per  determinare  questi  parametri  si  imponga  che  la  distanzta  d(C,A)=d(C,B).     Sfera  passante  per  tre  punti:  per  individuare  la  sfera  passante  per  tre  punti  non  allineati   𝑃! 𝑥! , 𝑦! , 𝑧! , 𝑃! (𝑥! , 𝑦! , 𝑧! )  e  𝑃! (𝑥! , 𝑦! , 𝑧! )  consideriamo  il  piano  assiale  di  𝑃! e  𝑃!  e  il  piano   assiale  di  𝑃! e  𝑃! ,  l’intersezione  di  questi  due  piani  ci  darà  il  centro  C  della  sfera.  Il  raggio  sarà   dato  dalla  relazione  𝑑 𝑃! , 𝐶 = 𝑅     Piano  tangente  ad  una  sfera  nel  punto  A:    avendo  l’equazione  di  una  sfera  e  un  punto  A   appartenente  alla  sfera  possiamo  trovare  il  piano  tangente  nel  punto  A  effettuando  la  derivata   parziale  dell’equazione  della  sfera.  Sostituendo  i  valori  del       Superfici  e  Curve   Chiamiamo  superficie  il  luogo  dei  punti  che  rispettano  una  determinata  equazione  𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 .     Equazioni  Parametriche  Superficie:    dipendono  da  due  parametri  e  sono  del  tipo:   𝑥 = 𝑥 𝑢, 𝑣              𝑦 = 𝑦 𝑢, 𝑣                𝑧 = 𝑧 𝑢, 𝑣                 Volendo  trovare  l’equazione  della  linea  coordinata  basta  imporre  a  uno  dei  due  parametri  un   valore,  spesso  dato      

5  

Equazioni  Parametriche  Curve:  dipendono  da  un  solo  parametro  e  sono  del  tipo:   𝑥 = 𝑥 𝑢              𝑦 = 𝑦 𝑢                𝑧 = 𝑧 𝑢   per  trovare  le  equazioni  cartesiane  basta  eliminare  il  parametro.     Vettore  tangente  ad  una  curva  dato  il  punto  di  tangenza:  sia  𝑃! 𝑥! , 𝑦! , 𝑧!    il  punto  di   tangenza  sostituiamo  alle  equazioni  parametriche  tali  valori  e  vediamo  che  valore  dovrà  avere   il  parametro  della  curva.  Successivamente  deriviamo  le  equazioni  parametriche  e  calcoliamo   la  derivata  nel  valore  del  parametro  trovato  in  precedenza.  Si  avranno  così  le  coordinate  del   vettore  tangente.   Vettore  tangente  ad  una  curva  dato  il  valore  del  parametro:  calcoliamo  la  derivata  delle   equazione  parametriche.  Calcoliamo  la  derivata  secondo  il  valore  del  parametro  dato  e   avremmo  le  coordinate  del  vettore.     Provare  che  una  curva  è  contenuta  in  una  superficie  :  mettendo  a  sistema  curva  e   superficie  si  deve  verificare  un’identità.     Vettori  normali  ad  un  superficie  in  𝑷𝟏 𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 , 𝒛𝟏 :  avendo  le  equazioni  parametriche  della   superficie  calcoliamo  il  valore  dei  parametri  in  𝑃! .  Deriviamo  parzialmente  rispetto  i   parametri,  e  otteniamo  due  curve  appartenenti  alla  superficie,  sostituendo  i  valori  dei   parametri  trovati  otteniamo  due  vettori  tangenti  alle  rispettive  curve,  tramite  il  prodotto   vettoriale  si  ottiene  il  vettore  normale  alla  superficie  nel  punto  𝑃! .    s     Avendo  una  curva  piana  trovare  un  piano  che  la  contiene:  si  considera  il  generico  piano   𝛽: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0  e  si  impone  che,  avendo  equazione  parametrica  della  superficie   𝑥 = 𝑥 𝑢              𝑦 = 𝑦 𝑢                𝑧 = 𝑧 𝑢 ,                𝑎𝑥 𝑢 + 𝑏𝑦 𝑢 + 𝑐𝑧 𝑢 + 𝑑 = 0  da  qui  si  ricavano  i   parametri  𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑.     Scrivere  equazioni  del  cilindro  avente  direzione  𝝎  e  passante  per  una  curva:  avendo  la   curva  𝑥 = 𝑥 𝑢              𝑦 = 𝑦 𝑢                𝑧 = 𝑧 𝑢  e  𝜔 = (𝑎, 𝑏, 𝑐)     𝑥 − 𝑥(𝑢) 𝑦 − 𝑦(𝑢) 𝑧 − 𝑧(𝑢) = = = ℎ   𝑎 𝑏 𝑐   Scrivere  equazione  del  cono  di  vertice  V  le  cui  generatrici  formano  un  angolo  𝜶  con  un   vettore  𝝎:  consideriamo  un  generico  punto  P  appartenente  al  cono,  dalla  relazione         cos(𝑃𝑉𝑢) = cos 𝛼  si  ha  l’equazione  del  cono.     Determinare  il  cilindro  aventi  generatrici  parallele  a  𝝎  e  circoscritto  alla  sfera  S:   considerando  un  generico  punto  𝑃(𝛼, 𝛽, 𝛾)  del  cilindro  troviamo  la  retta  r  tangente  alla  sfera   in  P  e  con  direzione  𝜔 = (𝑙, 𝑚, 𝑛):     𝑥 = 𝛼 + 𝑙𝑡 𝑦 r: = 𝛽 + 𝑚𝑡   𝑧 = 𝛾 + 𝑛𝑡 tale  retta  intersecata  con  l’equazione  della  sfera  dovrà  avere  un’unica  soluzione,  quindi   sostituiamo  e  imponiamo  il  discriminante  uguale  a  0.  Fatto  ciò  sostituiamo  (𝛼, 𝛽, 𝛾)  con   (𝑥, 𝑦, 𝑧).     Trovare  cono  di  vertice  V  e  circoscritto  alla  sfera  data:  Avendo  V(1,-­‐1,1)  consideriamo  la   !!! =𝑙 ! 𝑥 = 1 + 𝑙𝑡 !!! generica  retta  per  V  di  equazione:          r: 𝑦 = −1 + 𝑚𝑡       ⇒          r: ! = 𝑚   𝑧 = 1 + 𝑛𝑡 !!! =𝑛 !  

6  

nel  nostro  caso.  Avendo  l’equazione  della  sfera  sostituiamo  x,y,z    e  raccogliamo  rispetto  a  t.   Siccome  la  retta  deve  essere  tangente  imponiamo  il  discriminante  nullo.  Fatto  ciò  sostituiamo   a  l,m,n  il  valore  ricavato  in  precedenza.                 Coniche   Classificazione   Data  la  conica  in  coordinate  omogenee:   𝑎!! 𝑥!! + 𝑎!! 𝑥!! + 𝑎!! 𝑥!! + 2𝑎!" 𝑥! 𝑥! + 2𝑎!" 𝑥! 𝑥! + 2𝑎!" 𝑥! 𝑥! = 0     𝑎!! 𝑎!" 𝑎!" si  scriva  la  matrice  della  conica:          𝐴 = 𝑎!" 𝑎!! 𝑎!" .   𝑎!" 𝑎!" 𝑎!! Si  ha  che,  se     • 𝑟𝑔 𝐴 = 3    la  conica  è  generale   • 𝑟𝑔 𝐴 = 2    la  conica  è  semplicemente  degenere  e  si  spezza  in  due  rette  distinte   • 𝑟𝑔 𝐴 = 1    la  conica  è  doppiamente  degenere  e  si  spezza  in  due  rette  coincidenti   successivamente  si  vede  l’ordine  di  una  conica,  ossia  le  intersezioni  con  la  retta  𝑖! ,  quindi  si   analizza  il  complemento  algebrico  𝐴!! :   • 𝐴!! > 0         ⟺     𝑖! ∩ 𝐶 = 𝑑𝑢𝑒  𝑝𝑢𝑛𝑡𝑖  𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑠𝑠𝑖  𝑐𝑜𝑛𝑖𝑢𝑔𝑎𝑡𝑖 ⇒    𝒆𝒍𝒍𝒊𝒔𝒔𝒆     • 𝐴!! < 0         ⟺     𝑖! ∩ 𝐶 = 𝑑𝑢𝑒  𝑝𝑢𝑛𝑡𝑖  𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖    𝑒  𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑖 ⇒      𝒊𝒑𝒆𝒓𝒃𝒐𝒍𝒆   • 𝐴!! = 0         ⟺     𝑖! ∩ 𝐶 = 𝑑𝑢𝑒  𝑝𝑢𝑛𝑡𝑖  𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖  𝑐𝑜𝑖𝑛𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖 ⇒        𝒑𝒂𝒓𝒂𝒃𝒐𝒍𝒂     ! ! Equazione  della  polare:  se  𝑃(𝑥! , 𝑥! , 𝑥! )  è  un  punto  proprio,  posto  𝑥! = !!  e  𝑦! = !!  la  polare   !

!

di  P  in  coordinate  omogenee  è     𝑝! : 𝑎!! 𝑥! + 𝑎!" 𝑦! + 𝑎!" 𝑥 + 𝑎!" 𝑥! + 𝑎!! 𝑦! + 𝑎!" 𝑦 + 𝑎!" 𝑥! + 𝑎!" 𝑦! + 𝑎!! = 0     Centro  Conica:   𝑎!! 𝑥 + 𝑎!" 𝑦 + 𝑎!" = 0   𝑎!" 𝑥 + 𝑎!! 𝑦 + 𝑎!" = 0   Asintoti:  avendo  l’iperbole  𝐶 : 𝑎!" 𝑥! 𝑥! = 0  si  determina  le  intersezioni  con  la  retta  all’infinito,  e   si  otterrà  un’equazione  omogenea  del  tipo:     𝑎!! 𝑥!! + 𝑎!! 𝑥!! + 2𝑎!" 𝑥! 𝑥! = 0   scrivendola  in  tale  modo     𝑎!! 𝑙 ! + 𝑎!" 𝑙𝑚 + 𝑎!! 𝑚! = 0   si  risolva  tale  equazione  e  si  otterranno  i  parametri  direttori  degli  asintoti,  le  cui  equazioni   verranno  ricavate  come  rette  per  il  centro.     Assi:         Fuochi:        

7  

                      Quadriche   Classificazione   Data  l’equazione  della  quadrica  in  coordinate  omogenee:    

𝑎!! 𝑥!! + 𝑎!! 𝑥!! + 𝑎!! 𝑥!! + 2𝑎!" 𝑥! 𝑥! + 2𝑎!" 𝑥! 𝑥! + 2𝑎!" 𝑥! 𝑥! + 2𝑎!" 𝑥! 𝑥! + 2𝑎!" 𝑥! 𝑥! + 2𝑎!" 𝑥! 𝑥! + 𝑎!! 𝑥!! = 0  

𝑎!! 𝑎!" 𝑎!" 𝑎!" 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 si  scriva  la  matrice  della  quadrica:  𝐴 =   𝑎!" 𝑎!! 𝑎!" 𝑎!"   !" !" !! !" 𝑎!" 𝑎!" 𝑎!" 𝑎!! si  ha  che,  se:   • 𝑟𝑔 𝐴 = 1    la  quadrica  è  doppiamente  degenere   • 𝑟𝑔 𝐴 = 2    la  quadrica  è  semplicemente  degenere   • 𝑟𝑔 𝐴 = 3    la  quadrica  è  speciale   • 𝑟𝑔 𝐴 = 4    la  quadrica  è  generale       Per  classificare  la  quadrica  si  analizza  prima  il  complemento  algebrico  𝐴!! ,  dopodiché  si   analizzano  le  intersezioni  della  quadrica  con  il  piano  all’infinito  e  si  cerca  di  capire  la  natura   dei  punti:      

                                                                                                                                                         

 

                                                                                          I  punti  sono  detti:   Iperbolici:  se  il  piano  tangente  in  P  interseca  la  quadrica  in  due  rette  reali  e  distinte.   Ellittico:  se  il  piano  tangente  in  P  interseca  la  quadrica  in  due  rette  complesse  coniugate   Paraboloico:  se  il  piano  tangente  in  P  interseca  la  quadrica  in  due  rette  coincidenti       Algebra Lineare   Spazi  Vettoriali    

8  

Uno  spazio  vettoriale  V  su  un  campo  K  è  un  insieme  dove  sono  definite  due  operazioni  di   somma  e  prodotto  per  gli  elementi  di  K.    Un  sottoinsieme  di  V  denominato  S  si  dice  sottospazio   vettoriale  se  ha  una  struttura  di  spazio  vettoriale  per  le  operazioni  definite  in  V.     Avendo  S  sottoinsieme  dello  spazio  vettoriale  V  esso  sarà  sottospazio  vettoriale  se  e   solo  se:   1. ∀  𝑥, 𝑦 ∈ 𝑆   ⇒ 𝑥 + 𝑦   ∈ 𝑆   2. ∀  𝑥 ∈ 𝑆, 𝜆 ∈ 𝐾   ⇒ 𝜆𝑥   ∈ 𝑆   inoltre  ogni  sottospazio  vettoriale  dovrà  contenere  il  vettore  nullo.     Somma  diretta  tra  due  insieme  S  e  T:  Avendo  un  sottoinsieme  di  V  denotato  con  W,  e  due   altri  sottoinsiemi  di  V  siano  S  e  T,  W  è  detto  somma  diretta  di  S  e  T  e  indicato  𝑊 = 𝑆⨁𝑇  se   ∀  𝑤 ∈ 𝑊    risulta  𝑤 = 𝑠 + 𝑡  determinato  univocamente.   Se  𝑉 = 𝑊 = 𝑆⨁𝑇  i  due  sottospazi  si  dicono  supplementari.     Base:  una  base  è  un  insieme  di  vettori  linearmente  indipendenti  e  generatori  di  uno  spazio   vettoriale.     Teorema  di  Grassmann:        dim 𝑆 ∩ 𝑇 + dim 𝑆 + 𝑇 = dim 𝑆 + dim 𝑇     Se  S  e  T  sono  somma  diretta  si  ha  che  𝑆 ∩ 𝑇=0  e  quindi  dim  𝑆 ∩ 𝑇=0,  la  relazione  perciò  si   trasforma  dim 𝑆⨁𝑇 = dim 𝑆 + dim 𝑇.     Intersezioni  tra  due  sottospazi  vettoriali  (𝑺 ∩ 𝑻):  per  definire  l’insieme  intersezione  tra  S  e   T  bisogna  trovare  un  vettore  che  soddisfi  le  condizioni  di  appartenenza  ad  S  e  a  T.       Calcolare  somma  tra  spazi  vettoriali  (S+T)  avendo  (𝑺 ∩ 𝑻):  facilmente  applicando  la   relazione  di  Grassman  possiamo  ricavare  la  dimensione  di  (S+T).     Trovare  spazio  supplementare  di  V  avendo  S:  avendo  V  uno  spazio  vettoriale  ed  S  un   sottospazio  di  V,  volendo  trovare  T  tale  che  𝑉 = 𝑆⨁𝑇  si  ha  che  dim  S  +  dim  T=  dim  V.  Quindi   avendo  una  base  di  S  completiamo  la  base  con  un  vettore  di  V,  tale  che  la  base  di  S  completata   con  la  base  di  T  dia  una  base  di  V.     Determinare  se  𝒙  è  combinazione  lineare  di  n  vettori:  avendo  il  vettore  𝑥  se  è   combinazione  di  𝑥! …  𝑥!  si  avrà  che:    𝑥 = 𝜆! 𝑥! + ⋯ + 𝜆! 𝑥!  se  tale  condizione  è  verificata  𝑥  è   combinazione  lineare.  Altro  modo  per  verificare  ciò  è  costruire  la  matrice  con  tutti  i  vettori  in   questione  se  il  rango  risulta  essere  minore  del  numero  di  vettori  essi  sono  linearmente   indipendenti.     Verificare  che  U  e  V  siano  somma  diretta:  per  verificare  che  U  e  V,  due  sottospazi  vettoriali,   siano  somma  diretta  bisogna  considerare  un  vettore  di  U  e  imporre  la  condizione  di   appartenenza  a  V.  Se  il  vettore  che  fa  parte  dell’intersezione  è  il  vettore  nullo  i  due  sottospazi   sono  somma  diretta.     Verificare  che  𝒙  appartiene  a  𝑬 = 𝑺⨁𝑻:  avendo  una  base  di  S  e  una  base  di  T  si  avrà  che   dim  S  +  dim  T=  dim  E  quindi  se  𝑥  è  combinazione  lineare  della  base  di  E  allora  appartiene  ad   E.       Avendo  ℝ𝟐 𝒙 ,  insieme  dei  polinomi  di  grado  inferiore  al  secondo,  sia  U  e  V  un   sottospazio  trovare  una  base  di  U  e  V:  supponiamo  per  esempio  che  U= 𝑝  𝜖  ℝ! 𝑥  |  𝑝 1 = 𝑝 4 = 0  ossia  l’insieme  dei  polinomi  di  grado  inferiore  o  uguale  a  2  tale  che  il  polinomio    

9  

calcolato  in  4  e  in  1  sia  uguale  a  0.  Esiste  un  𝑎  𝜖  ℝ  per  cui  𝑝 𝑥 = 𝑎(𝑥 − 1)(𝑥 − 4).  U  ha   dimensione  1.   Supponiamo  che  𝑉 = 𝐿(𝑝! , 𝑝! , 𝑝! )  con  𝑝! (𝑥) = 𝑥 ! ,  𝑝! 𝑥 = 𝑥 + 1  e  𝑝! 𝑥 = 2𝑥 ! − 3𝑥 − 3.  Per   trovare  una  base  di  V  dobbiamo  verificare  che  𝑎𝑝! + 𝑏𝑝! + 𝑐𝑝! = 𝑜.       Avendo  ℝ𝟐 𝒙  con  S  e  T  rispettivi  sottospazi  trovare    (𝑺 ∩ 𝑻)  e  (S+T):  avendo  una  base  di  S   ad  esempio  {𝑝! , 𝑝! },  e  una  base  di  T  {𝑞! , 𝑞! }  consideriamo  𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑  𝜖  ℝ  il  polinomio  generico   appartenente  all’intersezione  𝑝 𝑥 = 𝑎𝑝! + 𝑏𝑝! = 𝑐𝑞! + 𝑑𝑞!  da  tale  uguaglianza  si  deducono  i   coefficienti  che  andremo  a  sostituire  nella  stessa  relazione.  Applicando  il  teorema  di   Grassman  troveremo  la  dimensione  di  S+T.      Applicazioni  Lineari       Nucleo:  avendo  una  funzione  lineare  𝑓: 𝑉 → 𝑊  si  dice  nucleo  l’insieme           𝑘𝑒𝑟𝑓 = 𝑥  𝜖  𝑉 𝑓 𝑥 = 0}.     Immagini:  avendo  una  funzione  lineare  𝑓: 𝑉 → 𝑊  si  dice  immagine  di    f    l’insieme                           𝐼𝑚𝑓 = {𝑓 𝑥 |𝑥  𝜖𝑉}.  Se  dim  Imf  è  finita  tale  numero  si  dice  rango  di  f.     Teorema  del  Rango:  dim(𝑘𝑒𝑟𝑓) + dim(𝐼𝑚𝑓) = dim 𝑉     Iniettività:  avendo  una  funzione  lineare  𝑓: 𝑉 → 𝑊  si  dice  iniettiva  se     𝑘𝑒𝑟𝑓 = 𝑥  𝜖  𝑉 𝑓 𝑥 = 0} = {0}.     Suriettiva:  avendo  una  funzione  lineare  𝑓: 𝑉 → 𝑊  si  dice  suriettiva  se     𝐼𝑚𝑓 = 𝑓 𝑥 𝑥  𝜖𝑉 = 𝑊.     ! ! Dalla  funzione  alla  matrice  associata  𝓜𝑩 𝑩! :  ad  esempio  avendo  l’applicazione  𝑓 : ℝ → ℝ ,   ! 𝑥, 𝑦 ↦ (2𝑥, −2𝑦, 𝑥 + 𝑦),  sia  B  una  base  di  ℝ :   𝑓 1,0 = 2,0,1     𝑓 0,1 = 0, −2,1     2 0 ! ℳ!! = 0 −2   1 1 in  tal  caso  volendo  trovare  il  nucleo  basta  imporre   2𝑥, −2𝑦, 𝑥 + 𝑦 = (0,0,0).       Dalla  matrice  associata  alla  funzione:  ad  esempio  avendo  l’applicazione  lineare  𝑓: ℝ! → ℝ!   1 0 2 ! e  la  matrice  ℳ!! = ,  dove  B  è  una  base  di  ℝ!  e  B’  è  una  base  di  ℝ! .  Per  ricavare   −1 1 1 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = (𝑥, 𝑦)  si  procede:   𝑓 1,0,0 = 1, −1     𝑓 0,1,0 = 0,1     𝑓 0,0,1 = (2,1)     dove  {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}  è  una  base  di  ℝ! .  Da  ciò  implica  che                                                                             𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = (𝑥 + 2𝑧, −𝑥 + 𝑦 + 𝑧).  Oppure:   𝑥 𝑥 + 2𝑧 1 0 2 𝑦 =   −𝑥 + 𝑦 + 𝑧 −1 1 1 𝑧     Trovare  𝒇 𝒙𝟎 , 𝒚𝟎 , 𝒛𝟎  avendo  𝓜𝑩 𝑩! :    prendendo  l’esempio  precedente  si  ha  che      

10  

 𝑓 𝑥! , 𝑦! , 𝑧!

𝑥! 1 0 2 𝑦 = ! .   −1 1 1 𝑧 !

  Trovare  il  nucleo  di  𝒇  avendo  𝓜𝑩 𝑩! :  prendendo  l’esempio  precedente  si  ha  che   𝑥 1 0 2 𝑦 0 =   −1 1 1 𝑧 0       Trovare  𝒇!𝟏 𝒙𝟎 , 𝒚𝟎 , :  prendendo  l’esempio  precedente  si  ha  che   𝑥 𝑥! 1 0 2 𝑦 = 𝑦   −1 1 1 𝑧 !   Autovalori  e  Autovettori     Sia  f  un  endomorfismo  dello  spazio  vettoriale  V  definito  sul  campo  K.  Un  vettore  𝑥 ≠ 0  si  dice   autovettore  di  f  relativo  all’autovalore  𝜆   ∈ 𝐾  se  si  ha  :   𝑓 𝑥 = 𝜆𝑥     Autospazio  relativo  a  𝝀  V(𝝀):  è  l’insieme  degli  autovettori  aventi  𝜆  come  autovalore.   V(𝜆) = ker  (𝑓 − 𝜆𝐼𝑑).  Tale  insieme  oltre  agli  autovettori  di  𝜆  contiene  anche  il  vettore  nullo.       Autovalori:  per  trovare  gli  autovalori  bisogna  risolvere  l’equazione  caratteristica  ossia   det( 𝐴 − 𝜆𝐼) = 0.     Molteplicità  geometrica  e  algebrica:  detta  con  𝑚!  la  molteplicità  algebrica  della  soluzione   𝜆! ,  e  con  dim 𝑉 (𝜆! )  la  molteplicità  geometrica  si  ha  che:  1 ≤ dim 𝑉 (𝜆! )  ≤𝑚! .  Se  la  molteplicità   algebrica  è  uguale  alla  molteplicità  geometrica  f  è  semplice  ed  A,  matrice  associata,  è   diagonalizzabile.     Strutture  Metriche   Uno  spazio  euclideo  V  è  uno  spazio  vettoriale  reale  su  cui  è  definita  un’operazione  di  prodotto   scalare,  che  associa  ad  ogni  coppia  di  elementi  𝑢  e  𝑣  appartenenti  a  V  un  numero  reale.   Due  vettori  𝑢  e  𝑣  sono  ortogonali  se  il  loro  prodotto  scalare  genera  il  vettore  nullo.  Il  vettore   nullo  è  l’unico  vettore  perpendicolare  a  tutti  i  vettori.  Se  V  è  uno  spazio  vettoriale  e  U  è  un  suo   sottospazio,  il  suo  ortogonale  𝑈 !  è  il  sottospazio  costituito  da  tutti  i  vettori  𝑣  appartenenti  a  V   ortogonali  a  tutti  gli  elementi  di  U.  Se  V  ha  dimensione  finita  risulta  che  𝑉 = 𝑈 ⊕ 𝑈 ! .     Definizione  di  prodotto  scalare:    avendo  una  forma  bilineare  per  verificare  se  essa  è  un   prodotto  scalare,  verificare  che  essa  sia  sempre  positiva,  e  che  è  nulla  se  𝑔 𝑣, 0 = 0.     Trovare  sottospazio  ortonormale  ad  U:  avendo  𝑉 ⊃ 𝑈 = {𝑢! }!!!!!  per  trovare  𝑈 !   prendiamo  il  generico  vettore  𝑣𝜖𝑉,  esso  appartiene  a  𝑈 !  se  e  solo  se  𝑣 ⋅ 𝑢! = 0  ∀𝑖.  Quindi  data   questa  condizione  mettiamo  a  sistema  tutte  le  equazioni  di  prodotto  scalare,  che  danno  le   condizioni  di  appartenenza  a    𝑈 ! .     Ortonormalizzazione    Gramm  Schmidt:  avendo  una  base  ad  esempio   𝑣! , 𝑣! , 𝑣!  per   verificare  che  non  è  una  base  ortonormale  basta  verificare  che  la  norma  dei  vettori  non  è   unitaria.  Fatto  ciò  la  base  si  può  ortonormalizzare,  ossia  genereare  tre  nuovi  vettori   ortonormali,  siano  𝑢! , 𝑢! , 𝑢! .    

11  

 𝑢! =   𝑢! =   𝑢! =

 𝑢!    𝑢! 𝑢! 𝑢! 𝑢! 𝑢!

 

 

𝑢! = 𝑣! − 𝑔 𝑣! , 𝑢! 𝑢!     𝑢! = 𝑣! − 𝑔 𝑣! , 𝑢! 𝑢! − 𝑔(𝑣! , 𝑢! )𝑢!  .        

 

12