Formulario analisi 1

L’autore del formulario non assicura niente sulla validità e sul contenuto dello stesso, pertanto declina ogni responsabili re sponsabilità. tà. USARE A PROPRIO RISCHIO E PERICOLO Limiti notevoli lim 1 +

x →∞

x

1

=e

x

lim 1 +

x →∞

lim

x →+∞

lim

(1 + x )

lim

= +∞

x a

1

lim(1 − x) x =

x →0

x →+∞

a

−1

x

x → 0

e x

x →∞

lim

ln x x a

=0

+

lim

( a > 0)

lim

lim

x →+∞

x →1

a x

lim

x n

x →−∞

lim

n →+∞

lim

n →+∞

n

lim

x → 0

n!

( a > 0, a ≠ 1)

lim

lim

=

x

=1

x

(1 + x )

a

1 e

ln (1 + x )

x → 0

= ln a ( a > 0 )

−1

=1

ax lim x a e− x = −0

x → 0

1

=1

lim(1 + x ) = e x

x →+∞

x →0

−n

x

arcsin x

lim

x →−∞

log a x

x p ∀0 < a < 1∈ , ∀p ∈ , ∀n > 0 ∈

lim

x →+∞

lim

n →+∞

=0 =1

=1

n! an

lim

n →+∞

lim

x → 0

lim

x → 0

lim

x → 0

log a x x p

x →+∞

= +∞

2π n

lim x p log a x = 0

= +∞

x →0

= +∞

lim x p log a x = 0

x →+∞

lim a x x p = 0

n p n!

ne

x

x →−∞

x

, ∀p ∈ , ∀n > 0 ∈

lim a x x n = +∞

=∞

1 − cos x

x →0

1

lim 1 −

1

e

Limiti goniometrici sin x =1 lim x →0 x lim

x − 1

x

nt

1

= +∞

x p

x

ln x

=e

ln a

a x − 1

x → 0

nx

t

=

x

=a

∀a > 1 ∈

a x

lg a (1 + x )

x →0

=1

x

x → 0

x

lim 1 +

x →0+

x → 0

lim

=e

t

lim xa ln x= 0− ( a> 0 )

1

lim (1 + ax ) x = ea e x − 1

x

t

sin ax

=

bx

1 − cos x x 2

arcsin ax bx

a!

=

lim

=0

lim

n →+∞

x →0

1

n!

= +∞

nn ( 2n ) !!

n →+∞

lim

b =

= +∞

x n

a

x →0

lim

tan x x

=1

x − sin x

2 a

x → 0

b

x → 0

lim

x3

arg tan x x

=

lim x → 0

1 6

=1

=1

( 2n − 1)!! 2π n

lim

tan ax

=

bx

a b

x − arg tan x

x → 0

lim

x → 0

x 3

arctan ax bx

=

1 3

=

a b

1 www.groups.google.com/group/fisici_ct

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Tavola delle derivate fondamentali fondamentali k

x n

0

n

x

1

x

x

1

x

n

n x a x

1

arccot x

1 − x 1

−

2

cos x

= 1 + tan x

e f ( x)

1

−

cot x

1 1 − x 1

ln x

2

n

[ f ( x)]

e f ( x) ⋅ f ' ( x )

Derivata di funzione esponenziale

Derivata Funzione inversa

=

2

[ g ( x )]

D [ f ( g ( x))] = g' ( f ( x)) ⋅ f ' ( x)

−1

1 1 + x 2 n −1

n[ f ( x)]

f ' ( x) ⋅ g( x) + f ( x) ⋅ g' ( x)

g ( x)

D[ f ( x)]

2

= −(1 + cot x)

ln f ( x)

D [ f ( x) ⋅ g ( x)] = f ' ( x) ⋅ g ( x) + f ( x) ⋅ g ' ( x)

Derivata di funzione composta

cos x

x

Derivata di un prodotto

D

x

arctan x

D [ k ⋅ f ( x) + h ⋅ g ( x)] = k ⋅ f ' ( x ) + h ⋅ g' ( x)

f ( x)

2

sin x

Regole di derivazi der ivazione one Somma di funzioni

Derivata di un rapporto

1

sin x

−

arccos x

2 x

ln x

2

2

1 + x 2

a f ( x) ln a ⋅ f ' ( x)

x2

ex

1

tan x

1

x

1 1 log a e = x xln a

e x

− sin x

arcsin x

a f ( x)

n −1

1

−

1

x

1

log a x

a x ln a

cos x

nnx−1

x

g ( x)

= [ f ( x)]

D f ( y) =

g (x )

⋅ ln f ( x) +

1 f ( x )

x= f − ( y) 1

g ( x) ⋅ f ' ( x ) f ( x)

f ' ( x ) f ( x)

'

f ( x)











Studio di funzione. f : I → f è continua in I , f è derivabile in I

1°

Dominio della funzione e studio della continuità. continuità. Se esistono punti punti di discontinuità dichiararne dichiararne il tipo. Le principali limitazioni sono: f ( x ) a > 0, a ≠ 1, x > 0 log a x f ( x) f ( x) ≥ 0 g ( x) ≠ 0 g ( x) y= arcsin( f( x)) y= arccos( f( x)) )) −1 ≤ f( x) ≤ 1 −1 ≤ f( x) ≤ 1 f ( x) g ( x ) f ( x) > 0

2° 3°

Eventuali simmetrie della funzione, funzione, funzione funzione pari, pari, dispari, dispari, periodicità periodicità (sin,cos). Calcolo dei limiti della funzione per x → c dove c sono i punti di discontinui d iscontinuità tà di f c ∈ DA \ A (A = dominio di F) Dove possibile calcolare il segno della funzione f(x)>0 e i punti di zero Calcolo della derivata derivata prima e studio della della monotonia, trovare, se esistono, i punti di estremi estremi relativi, cioè:

4° 5°

f ' ( x) ≥ 0, f ' ( x) > 0

Funzione non decrescente, funzione crescente.

f ' ( x) ≤ 0, f ' ( x) < 0

Funzione non crescente, funzione decrescente. Punti di estremi relativi, (vedi derivata seconda)

f ' ( x) = 0

Punto angoloso

f ' ( x− ) ≠ f ' ( x+ )

6°

Calcolo della derivata derivat a seconda e studio della convessità convessit à e punti di flesso, cioè: f '' ( x) ≥ 0, f '' ( x) > 0

La f è convessa, strettamente convessa

f '' ( x) ≤ 0, f '' ( x) < 0

La f è concava, strettamente concava Punto di flesso

f '' ( x) = 0

7°

Ricerca degli asintoti: lim f ( x ) = ±∞

Asintoto verticale. Retta x = x0

lim f ( x) = y0

Asintoto orizzontale Retta y = y0

x → x0

x →±∞

lim f ( x ) = ±∞

x →±∞

∃ lim

f ( x)

=m

Asintoto obliquo. Retta y = mx+ q

x ∃ lim f ( x) − xm = q x →±∞

x →±∞

8°

Calcolo di alcuni valori della funzione, funzione, e di alcune rette tangenti tangenti alla f(x), utili per tracciare tracciare il grafico. La retta t angente angente del punto x0 è data da:











Integrali indefiniti immediati xα +1

α

x dx=

α + 1

1

(α ≠ 1) + C

x

cos xdx= si n x+ C 1 cos 2 x 1 1 − x2

x

a dx =

1

dx = tan x + C

sin 2 x 1

dx = arcsin x + C

1 − x2

sin xdx= − cos x+ C

dx = ln x + C a x

ln a

x

+C

[

f( x)] ⋅ f ( x) dx= a

'

f ( x )

[ f ( x)]

α + 1

'

⋅ f ( x ) dx =

a f ( x )

ln a

1

dx = − cot x + C

1 + x 2

f ' ( x )

+ C(α ≠ 1)

f ( x)

dx = ln f ( x) + C

sin f ( x) ⋅ f ' ( x) dx = − cos f ( x) + C

+C

f ' ( x)

cos f ( x) ⋅ f ' ( x) dx = sin f ( x) + C

cos 2 f ( x) f ' ( x )

1 − f ( x)

2

dx = arctan x + C

dx = − arccos x + C

α +1

α

x

e dx = e + C

f ' ( x)

dx = arcsin f ( x) + C

1 + f ( x)

2

dx = tan f ( x) + C

dx = arctan f ( x ) + C

Metodi di integrazione Per sostituzione sostituzione Formula Generale:

f ( x) dx =

'

f ( x( t)) x ( t) dt

t =t ( x )

Dove t ( x) è la funzion funzionee inversa inversa di x( t ) Si pone t = f ( x) e si trova la x = f −1 ( t) con dx = D[ f −1 (t ) ]

Per Parti Formula Generale:

'

'

f ( x) g ( x) dx = f ( x) g ( x) − g ( x ) f ( x)dx

Dato un integral integralee si cerca cerca una f ( x) di cui e facile facile fare fare l’integrale l’integrale e una g ( x) dove applicare la derivata

Razionali fratte Calcolare l’integrale del tipo

P( x) Q( x )

dx dove dove il grado del polinomi polinomio o P( x) deve essere minore del











Integrazione funzioni irrazionali R ,xn

n

ax + b cx + d

(

ax + b cx + d

= t e si ottiene: x =

tnd − b a − t nc

e dx =

ad − bc

(a − t c) n

2

dt

)

ax2 + bx+ c dx si distinguono due casi

R x,

a > 0 si pone:

dx =

dxsi pone

2

ax + bx + c =

2bt − 2 at 2 − 2 a c (b − 2 at )2

dt

a ( x + t) e si ottiene : x =

t2 − c b − 2 at

e

2 a < 0 dette α e β le radici dell’equazione ax + bx + c si pone :

a ( x − α )( x − β ) = ( x − α )t

con t variabile positiva se α < β negativa in caso contrario, quindi si ottiene: o ttiene: x

a β − α t 2 a − t 2

e dx =

2a ( β − α )t 2 2

( a − t )

Integrale Binomio m

n

x ( a+ bx )

p

su distinguono tre casi:

r p intero: si pone x = t dove r è il m.c.m. di m e n m +1 ∀x intero: si pone a + bx n = t s dove s è il denominatore di p ( p = ) n s

p +

m +1 n

intero: si pone

a + bx n x n

s

= t dove s è il denominatore di p ( p =

∀x

s

)

Integrazione funzioni trascendenti cos x) dx si pone: R( sin x, co 2tan

x

1 − tan 2

x

2t 1 − t 2 2 2 tan = t e ricordando che sin x = e cos x = si ottiene = = 2 2 x x 2 1 1 + + t t 1 + tan 2 1 + tan 2 2 2 2 x = 2arctan x e dx = 1 + t 2 x

R( sin

2

x, cos

2

x, tan x) dx si pone: 2

tan x = t e ricordando che sin x = 1

tan 2 x 1 + tan 2 x

=

t 2

1 + t 2

e cos2 x =

1 1 + t an 2 x

=

1 1 + t 2

si ottiene:











1 e x = t e si ottiene : x = ln t e dx = dt t













Integrali calcolati: 1 sin ax D[ax ] ⋅ cos α x ⋅ dx = + C cos α x ⋅ dx = a a 1 cos ax D[ ax]⋅ sin α x⋅ dx= − + C sin α x⋅ dx= a a −1 ⋅ D sin x [cos ]x x − 1⋅ x − ln cos + x ⋅ d= ⋅ d= tan ⋅x d=x cos x cos x D[sin x] cos x ⋅ dx = ⋅ dx = ln sin x+ C cot ⋅x dx= sin x sin x sin xcos x⋅ dx= sin sin xcos x⋅ dx= sin

α

D[ln x]

1

dx = xln x

arctan x 1 + x 2

α

2

ln x

xD [sin x] ⋅ dx= α

1

= ln ln x + C

2

2 xe xdx=

2

dx = 4

2 1+ x

2

x

dx = 1 + 2x

1+ x dx = 1 − x

1

dx = 4

sinα +1 x

α + 1

cos 2 x 4

+ C(*) sisi n 2

x = 2 si sin xcos x

+ C

cosα +1 x

α + 1

+ C

2

1

+ C

sin 2 x⋅ dx= −

2

arctan 2 x

D[ x2 ] e xdx=

2

2 x

1

2 1

xD [cos ]x⋅ dx= −

dx = D[arctan x] ⋅ arctan x =

xe xdx=

1

2

xsin x⋅ dx= −1 co cos

cos

1 + x

xD [sin x] ⋅ dx=

sin 2 x

2 sin xco c os x(*) ⋅ dx=

xcos x⋅ dx= sin

α

x

1

1

C

D [ x2 ]

2 1 + ( x 2 )

2 1 2

dx = 2

+C

2

e x+ C

1 2

2

arctan x + C

2

2 x+ 1 − 1 x+ 1 1 1 dx = dx − dx = 1dx − dx = x − arct an x + C 2 2 2 1+ x 1+ x 1+ x 1 + 2x

1+ x dx = 1− x D[1 − x 2 ]

1+ x 1+ x dx = 1− x 1+ x

1+ x 1− x 2

2

dx =

1 1− x

2

dx +

x

1− x

2

dx =











x cos 2 sin 2 +

sin 2

x dx =

cos 2

x d x d x dx = = + 2 2 2 2 2 2 2 2 sin x⋅ cos x sin x⋅ cos x sin x⋅ cos x sin x⋅ cos x 1 1 + d x dx = − cot x + tan x + C cos 2 x sin 2 x

1

x

3 x+ 1 3 x 1 3 2 x 1 3 [ 2x] 1 D dx = dx + dx = dx + dx = dx + dx = 2 2 2 2 2 2 2 1+ x 1+ x 1+ x 2 1+ x 1+ x 2 1+ x 1+ x 3 2 ln(1 + x ) + arctan x+ C 2 sin 2 x 1 − cos 2 x 1 2 d x d x d− x 1 d= x tan − x + x C tan xdx= = = cos 2 x cos 2 x cos 2 x e x D[e x] 1 1 + e x− e x 1+ e x x dx x = dx = dx x − dx x = 1dx − d x = x − ln(1 + e ) + C x x 1+ e 1+ e 1+ e 1+ e 1+ e x 1 D x 1 1 1 1 1 1 a a a r c t a n = = = = + C (∀a > 0 ) d x d x d x d x 2 2 2 a 2 + x2 a2 x a a a a x x 1+ 2 1+ 1+ a a a 1 2

x − a

2

x −

1 2

a +x

2

D x+

dx =

( a)

2

dx =

2

x+

1

( x − a )( x + a )

2

a + x 2

x+ a + x

2

1

a2 + x2 2

2

a + x

2

a +x

a2 + x2

D x+ x+

1

dx =

2

2

dx =

a2 − x2

dx =

2

a + x 2

B

+

(x − a) ( x + a)

2

x+

a +x

2

1 x+

2

a +x

2

dx l'integrazione razionali

fratte

dx =

2

dx = ln( x + a + x ) + C

= 1+

2 x 2

2 a +x

=

2

x+

2

1 a 1−

x2 2

2

a + x a2 + x2

1 1

A

dx =

Trovare A e B con

D

a

dx =

1−

x

2

dx =

1−

x a x

2

dx = arcsin

x a

+C

(∀a > 0 )











2

dx 2

x(1 + x )

ln

− x ln

=

(1 +

1+ x − x 2

2

x(1 + x ) 2

)x = ln

1+ x

dx =

2

x (1 + x 2 )

x

+ 2

(1 + x )

C

dx −

x

2 2

x (1 + x )

dx = ln x −

1

2 x 2

2 (1 + x )

dx = ln x −

1 2

ln(1 + x 2 ) =











dx

=

x − x

ln x x

dx

=

x 1 − x

2

x1 −

dx = ln xD [ ln x ] dx =

dx

dx = x x 2 sin cos 2 2

=

sin x

log tan dx

x

dx

=

sin x +

mx + n

dx = px+ q 2

1

( )x

π

p p( px+ q) 2

2

x a − x + (−1)

x

+

π

2

dx =

2

m p

1

n

dx = ln xD [ ln x ] dx =

2

2

2

ln

n +1

2

a − x dx =

1 2

2

2

2

2

a + x dx = x a + x −

dx−

2

a −x

1

2

2

2

x

2

x+ a

p

x+

np − mq 2

p

2

2 a2 − x2

2

dx = x a − x +

2

x a

2

2

2

2

2

− a

2

2

x + a −a 2

a −x

2

2

2

dx =

1

2

a − x dx− a

dx da cui si ricava 2 2 a −x x 1 dx = arcsin + C + C si ha: 2 2 a a −x

dx e ricordando che +C +C

2 x

2

dx = x a + x − x

2

2 a +x

2

2

2

2

dx= x a + x

2

2

2

dx = x a + x −

x2 + a2 − a2 2

a +x

2

dx

+ ln px + q + C 2

− 2 x

2

dx= x a − x −

2

a +x 2

px+ q

p

a

x a − x − a arcsin 2

m

=

2

2

2

dx

dx = x a − x − x

2

a −x

np − mq

2

a −x

x a+ x

x

dx +

2

( −1) x − a

2

2

( )x

Vedi integrale sopra.

4

x

2

a − x d x =x a − x − a

2

= arcsin x + C

2

2

2

ln n x

2

x+C n +1 x x x D dx dx D D tan dx dx dx 2 2 2 = = = = x x 2 x x 2 x x sin 2 tan cos tan cos tan x x 2 2 2 2 2 2 2 cos cos x 2 2 cos 2

2

a −x

2

1−

ln x + C -

a − x dx = x a − x −

2

2

2

2

= ln tan

m np − mq

2

2

x dx

+ C

2

cos x

D

dx

2

a + x dx+ a

1

2

dx =

dx da cui si ricava











Integrali calcolati con formula di riduzione o ricorren r icorrente te 2

x

x

dx = n

+

2

1

x

dx da cui n− n− 2( n− 1)(1 + x2 ) 1 2( n− 1) (1 (1 + x2 ) 1 1 1 x x + (1 − I n −1I+ ... − ) n = n −1I = 2 n −1 2 n −1 2( n − 1)(1 + x ) 2(n − 1) 2(n − 1)(1 + x ) 2(n − 1) 2n − 3 x + I n = I n −1 n− 2( n − 1)(1 + x 2 ) 1 2(n − 1)

(1 + x2 )

n

In =

x

x e dx per n=1 si ha: x

x

xe dx = xxee − n

In = n

x

x

x

x

e dx= xe − e + C Per n>1 abbiamo: n

n −1 x

x

x e dx = x e − ( n − 1) x

=I sin

n

I n = −

sin n −1 xcos x

=I cos

+

n− 1

n n

n

x

dx= x+ C, in caso di n dispari:

I= sin

1

1

xdx= − cos x+ C

I n − 2

xcon dx n intero non negativo:

In caso di n pari: 0I = cos I n =

n

e dx = x e − ( n − 1) In − 1

xcon dx n intero non negativo:

0 In caso di n pari: 0I = sin xdx=

n

I e quindi:

n −1

cos n −1 xsin x n

+

n− 1 n

0

xdx=

dx= x+ C, in caso di n dispari:

1

I= cos

1

xdx= sin x+ C

I n −2

Integrali Generalizzati Criterio di integrabilità. Sia f ( x ) una funzione definita dell’intervallo [ a, b[ con b un punto punto di infinito, se esiste un numero reale α con 0 < α < 1 tale che il limite lim

x →b −

f ( x)

1 x − b

= l esiste ed è finito, allora la funzione

α

f ( x) e’ assolutamente integrabile, se α ≥ 1 la funzione non è integrabile.













Trigonometria – Formule di addizione e sottrazione

cos 2 + sin 2 = 1

sin ( x± y) = sin xcos y± sin ycos x

tan ( x± y) =

tan x ± tan y 1 ta t an x ta tan y

x, y≠

π 2

cos ( x

y) = cos xcos y ± sin xcos y

+ kπ

Trigonometria – Formule di duplicazione sin 2 x= 2 sin xcos x cos 2 x= cos 2 x− sin 2 x

Trigonometria – Formule di bisezione 1 − cos 2 x 1 + cos 2 x sin 2 x = cos2 x = 2 2 Trigonometria – Formule di prostaferesi pro staferesi x+ y x− y sin x + sin y = 2 sin cos 2 2 cos x + cos y = 2 cos

x+ y

2

cos

x− y

2

2 tan tan x

tan tan 2 x =

tan

2

1 − tan 2 x

1 − cos 2 x

= x

1 + cos 2 x

sin x − sin y = 2 cos cos x − cos y = −2 sin

x+ y

2

sin

x+ y

2

Trigonometria – Formule parametriche 2

sin x =

tan 2 x

1 + tan 2 x x 2tan 2 sin x = x 1 + tan 2 2

cos2 x =

1 1 + tan 2 x

1 − tan 2 cos x = 1 + tan

∀ ≠ x

x

2 x 2 2

sin

π 2

x− y

2 x− y

2

+

π k











Trigonometria – Angoli Gradi 0° 15°

Radianti 0

π

sin 0

Cos 1

6− 2

6+ 2

4

12

π

18° 22°30'

π

1

6

2

π

45°

4

π

°

60

3 °

67 30 75°

'

3 8 5

π

12

π

90°

π

120°

2 2

π

4 2+ 2

2− 2 2

8 30°

10 + 2 5

4

π

2 2

;

2− 3

2+ 3

1−

2 5

5+2 5

5

2 −1

2 +1

3

3

2

3 2 1 2

3 2 2+ 2 2

6+ 2

2 2

;

1

3 1

3

2 2− 2 2

6− 2 4

1

0

−

1

1

2

1

4

3

1/tan Non esiste

4

5 −1

10

tan 0

3 3

2 +1

2 −1

2+ 3

2− 3

Non esiste

0

− 3

3











Formule Varie 1 + nx ≤ (1 + x ) n

1 + 2 + 3 + ... + n =

xy = x y n

n

n −1

+a

a + a2 − b

n−2

n−2

b + ... + ab

a − a2 − b

±

2

2 3

a − b = ( a − b ) ( a + b) ( a + b 4

4

2

3

(a + b)

3

2

2

2

2

3

= a + 3ba + 3b a + b

12 ax + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 )

n −1

+b

x1 + x2 = −

b a

3

2

)

c

; x1 − x2 =

4

(

4

2

)

a

si ha: x2 +

3

2

3

2

2

= a − 3ba + 3b a − b

2

3

z

=

)(a

2

−

2 ab + b

2

z = x+ iy

z=

2

2

2

ρ a + b ; cos = 2

x + y

α

=

αβ

x 1 x

π 4

= y

2

)

( n + 1) ! = n !(n + 1)

3

a + ib = ρ( cos ϑ+ i sin ϑ)

z 1 ; = −i; zz = z z i

3 1

2

( n ) ! = n(n − 1)!

1

−

2

= y −2

a + b = ( a + b ) ( a − ab + b

a + b = a + 2 ab + b 3

Posto: x +

π

2 a − b è un quadrato perfetto

solo se

( a − b)

=

2

a − b = ( a − b ) ( a + ab + b

a2 − b2 = ( a + b ) ( a − b )

π

a < b ⇔ a n < bn ; ( a, b > 0)

x − y ≤ x± y ≤ x + y

a − b = ( a − b)(a

a± b =

n( n + 1)

ϑ =

a a 2 + b2

ρ ( cos ϑ + i sin ϑ ) ; β =

; sin

ϑ =

b

a 2 + b2

= ρ ′ ( cosϑ ′ + i sin ϑ ′)

ρρ ′ cos (ϑ + ϑ ′ ) + i sin (ϑ + ϑ ′)

2

)











Disequazioni Disequazioni irrazionali

A( x) ≥ B( x)

A( x) ≥ B2 ( x)

A( x ) ≥ 0

B ( x) ≥ 0

B ( x ) < 0

A( x) ≤ B2 ( x) A( x) ≤ B( x)

A( x) ≥ 0 B ( x) ≥ 0 A( x) = B2 ( x)

A( x) = B( x)

B ( x) ≥ 0

Formule per i quadrati 2

2

x + px+ q= x + px−

p2

+

p2

4

4

p2

p2

+ q=

x+

p

2

−

p2 − 4 q

2

4

p, q∈ , p2 + 4 q > 0 2

2

x + px+ q= x + px−

+

4

4

+ q=

x+

p

2

+

4 q− p2

2

4

p, q∈ , p2 − 4 q < 0 2

x + px+ q=

x+

p

2

2

p, q∈ , p2 − 4 q = 0 2

2

2

2

4











a + 2kπ < x < π − a + 2 kπ

cos x < l; ( l ≤ −1) cos x < l; ( l > 1)

é verificata per ogni x

cos x < l; ( l = 1)

é verificata per ogni x escluso 2k π π

cos x < l; ( l < 1)

La cos x è decrescente dell’intervallo ]0, π [ e la soluzione è:

Impossibile

a + 2kπ < x < 2π − a + 2 kπ

cos x > l; ( l ≥ 1)

Impossibile

cos x > l; ( l < −1)

é verificata per ogni x

cos x > l; ( l − 1)

é verificata per ogni x escluso π + 2k π

cos x > l; ( l < 1)

La cos x è decrescente dell’intervallo ]0, π [ e la soluzione è: −a + 2k π < x < a + 2k π

tan x < l

La tan x è crescente dell’intervallo − −

π 2

tan x > l

π π

e la soluzione è: , 2 2

+ kπ < x < a + kπ

La tan x è crescente dell’intervallo − a + kπ < x <

π 2

Disequazioni trigonometriche trigono metriche notevoli

+ kπ

π π

e la soluzione è: , 2 2













Valore Assoluto A( x) < k

A( x) < k

A( x) > − k A( x) > k

A( x) > k

A( x) < − k Il trinomio ax 2 + bx + c se ∆ > 0 assume valore concorde al primo coefficiente per tutti e solo i valori esterni alle sue radici x1 , x2 , mentre assume valore opposto per tutti e solo i valore interni all’intervallo x1 , x2 , se ∆ = 0 assume segno concorde ad a per tutti i valori della x escluso la soluzione −

b 2a

, ∆ < 0 assume segno concorde ad a per tutti i valori della x

Equazione reciproche Prima specie = coefficienti uguali Seconda specie = coefficienti opposti 3

2

ax + bx bx + bx bx + a = 0

( x + 1)

2

ax + ( a − b ) x + a = 0











f( x) =

1 x

n

(

n> 0, n pari )

f( x) =

1 x n

(

n> 0, n dispari )











f ( x) = log a ( x) ( a > 1)

f( x) = log a ( x) (0< a< 1)











Serie ∞

an = a1 + a2 + ... + an ... , Somma parziale S n = a1 + a2 + ... + an , Se la successione

Serie numerica n= 0

∞

an è convergente e ha

delle somme parziali S n converge ad un numero S, si dice che la serie n =1 ∞

come somma il numero S, cioè S =

an . La serie può essere convergente, divergente, o n =1

∞

oscillante. Se la serie S =

an è convergente detta sn la sua ridotta n-sima si dice resto Rn n-sino n =1

la differenza Rn = S − sn . Se la serie rie converge si ha lim lim Rn = 0 . Se si modificano dei termini finiti n →∞

della serie il carattere della serie non cambia. Se due serie sono convergenti, anche la loro somma lo è. Condizione necessaria affinché la serie converga è che il termine generale della successione sia infinitesimo Serie di Mengoli











n −1

2

=x1

n

S= 1 + 1 + 1 + ... + 1

x < 1 x > 1

Sn =

Sn =

1 − xn 1 − x

=

=

n

1 1− x

1 − x n

diverge a + ∞ 1 − x x < −1 oscillante e infinitamente grande x = −1

0 se n è pari 1 se n è dispari

Serie a termini non negativi ∞

termin i non negativi, cioè an ≥ 0 , questa serie è regolare an una serie a termini

Sia n =1

Criterio del confronto ∞

∞

an

1) n =1

bn se an ≤ bn si dice che:

2) n =1

la (1) è maggiorata maggiorata o è una serie minorante dalla (2) la (2) è minorata o è una serie maggiorante della (1)













lim n n →∞

lim n n →∞

lim n n →∞

an

− 1 = l > 1, (anche+∞)la serie risulta convergente

an +1 an an+1

− 1 = l < 1, (anche-∞ )la serie risulta di divergente

an an+1

Nulla si può dire su carattere della serie − 1 = 1, Nu











Serie Armonica Generalizzata ∞ 1 Consideriamo Consideriamo la serie applicando il criterio di Raabe si ha: α n =1 n α

lim n n →∞

( n + 1) α

n

− 1 = lim n n →∞

n +1 n

α

− 1 = lim n n →∞

1+

1 n

1+

α

− 1 = lim n →∞

1 n

1 n

α

−1 = α











convergente. convergente. Per x < −1 si ha che la serie è definitivamente non decrescente, quindi la serie oscilla. x n

∞

Infatti si può scrivere: n =1

an =

lim n →∞

x

∞

=

n

n

[(−1)(− x )]

n =1

n

∞

=

n

(−1) n =1

n

[ (− x ) ] n

considerando la successione

n

n an +1 an

e applicando il criterio del rapporto si ha:

=

x

n +1

n

( n + 1) x

n

=

x

n

x

n

(n + 1) x n

= x

n

( n + 1)

= x > 1 da cui si ricava che an +1 ≥ an cioè la











consideriamo che la successione 1 + e

1+

1

n

1 n

n

tende a e in mode crescente si ha 1 +

1 n

n

< e è quindi

> 1 da cui la serie diverge

n

Per x < 0 si ha: Considerando i valori assoluti si ha per −e < x < 0 la serie è alternate è converge perché assolutamente assolutamente convergente, convergente, per x > −e la serie è alternate a lternate e monotona monotona crescente quindi oscillante.

Formulario analisi 1

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