2 física i
exercícios das aulas 5-8
EXERCÍCIO 1
As coordenadas das posições ocupadas por uma partícupartícu la em movimento obedecem as equações: x (t ) = 2t ; ; y (t ) = 8 - 2t 2 e z(t ) = 0 (unidades do SI). . . .
→
Escreva a expressão cartesiana do vetor posição r (t) que posiciona a partícula. Determine o vetor velocidade e o vetor aceleração da partícula. Esboçar a trajetória ao longo da qual a partícula se move.
EXERCÍCIO 2
As posições de uma partícula em movimento num plano são determinadas pelas coordenadas polares (m) e φ = πt (s; rad ) ( ρ = 10+2t (
. . . .
Escrever as coordenadas cartesianas do ponto P. Escrever o vetor posição em coordenadas polares. Determinar a velocidade vetorial da partícula no instante t = 0. Esboçar a trajetória da partícula no plano xy.
EXERCÍCIO 3
Uma partícula move-se no plano cartesiano xy e as posições por ela ocupadas são descritas pelo vetor posição →
→
→
- 5 t 2) j (unidades do SI) r (t ) = (10 t ) i + (6 t -
Determine a posição, a velocidade e a aceleração da partícula nos instantes t = 0 e t = 4 s. EXERCÍCIO 4
Uma bola é lançada horizontalmente de certa altura em relação ao solo. O eixo 0x do referencial adotado pertence ao solo horizontal e o eixo 0y se eleva na vertical. O movimento da bola segue as equações horárias: x = 20 t e y = 20 - 5 t 2 e z = 0 (em unidades do SI) . . .
→
Escreva o vetor posição r (t) que posiciona a bola em função do tempo. Escreva as expressões cartesianas da velocidade e da aceleração para um instante t qualquer. y = No instante em que a bola atinge o solo ( y = 0 ) qual o módulo da velocidade e da aceleração e a posição x?
EXERCÍCIO 5
Uma partícula movimenta-se no plano z = 0 segundo o vetor posição →
→
→
→
+ 2 t 2) j + 0.k (em unidades do SI) r (t ) = (3 t ) i + (-4t +
. . . .
Escreva as equações x = = x (t ) e y = = y (t ).). A expressão cartesiana da velocidade. A expressão cartesiana da aceleração. A posição, a velocidade e a aceleração no instante t = 0 .
EXERCÍCIO 6
Duas crianças partem simultaneamente de uma esquina. A criança A segue para norte com velocidade constante 1 m/s e a criança B segue para leste com velocidade constante 2 m/s. . .
Qual o comprimento do segmento de reta que une as duas crianças depois de 20 s? Qual a velocidade relativa de B em relação a A?
Física I / Aulas 5–8 Exercícios
2
EXERCÍCIO 7
Um avião de acrobacia realiza movimentos circulares de raio R = 1.000 m contidas num plano vertical. Em relação ao eixo 0x, o azimute da coordenada polar varia conforme φ = πt. →
v
→
v
→
v
→
v
→
Dados:
. . .
d (e ρ) dt
→
→
=
ω. e φ e
d (e φ) dt
→
=
- ω. e ρ
onde ω =
dφ dt
Escrever o vetor posição em coordenadas polares. Determinar o vetor velocidade do avião. Determinar o vetor aceleração do avião.
EXERCÍCIO 8
As posições de uma partícula em movimento num plano são determinadas pelas coordenadas polares ρ = 10.cosφ (m) e φ = 2πt (s;rad). . . .
Qual o valor da coordenada radial ρ no instante t = 0? Escrever o vetor posição em coordenadas polares. Determinar a velocidade vetorial da partícula no instante t = 0.
EXERCÍCIO 9
No instante t = 0 um projétil é lançado da origem do referencial cartesiano. As projeções do vetor posição que posiciona o projétil durante o movimento são: x (t ) = 40 t e y (t ) = 30 t - 5t 2 (em unidades do SI)
Física I / Aulas 5–8 Exercícios
3
. . . .
Escreva a equação horária do vetor posição. Escreva a equação horária da velocidade. Escreva a equação horária da aceleração. No instante em que v y = 0, o projétil passa pela posição y = y max ; determine y . max
EXERCÍCIO 10
Um projétil é lançado da origem do referencial cartesiano xy com velocidade v 0 com certa inclinação com relação a horizontal, conforme ilustra a gura.
y
→
vo θ
x
As projeções nos eixos x e y , dos pontos que o projétil ocupa durante o movimento, seguem as equações: x (t ) = 250t e y (t ) = 400t – 5t ² (SI). Pedem-se: . .
O instante t (e a respectiva coordenada y ) no qual y (t ) = y max ; A coordenada x do ponto de impacto do projétil com o eixo 0x.
EXERCÍCIO 11
Um avião a serviço humanitário voa a uma altitude H = 845 m a velocidade horizontal constante v = 216 km/h (60 m/s). No instante t = 0 um pacote é solto do avião que continua o seu vôo sem mudar a sua velocidade. O vetor posição do pacote é r (t ) = (60t ) i + (845 – 5 t ²) j (em unidades do SI). No instante t = 0 a origem do vetor posição coincide com o pé da vertical do solo até o avião. Determinar: →
. . .
→
→
A expressão analítica do vetor velocidade do pacote. As componentes v x e v y da velocidade do pacote quando este atingir o solo ( y = 0). A equação da trajetória do pacote.
Física I / Aulas 5–8 Exercícios
4
gabarito EXERCÍCIO 1
.
Vetor posição z z
P(x, y, z)
→
r
rz
y
y
ry x
rx
x →
O vetor r (t ) com origem em 0 e extremidade em P(x;y;z) é o vetor posição. A sua extremidade acompanha a posição que partícula ocupa em cada instante. É um vetor que posiciona a partícula em relação à origem do referencial. O seu módulo |r (t ) | = r (t ) = OP = distância da origem até o ponto P. Ele pode ser expresso em função de suas componentes: →
→
→
→
→
r (r x ;r y ;r z) = r x . i + r y . j + r z. k
Se a particular mudar de posição na superfície de um plano, o movimento é dito ser plano, e o vetor posição é caracterizado por duas componentes. z
ry rx
x
y
y P(x,y)
x
Física I / Aulas 5–8 Exercícios
5
No plano, o vetor posição tem a seguinte expressão analítica: →
→
→
r (r x ;r y ) = r x i + r y j
se o movimento for no plano xy. Neste caso, as componentes são: → →
r x (t ) = x (t ) = r .cos φ r y (t ) = y (t ) = r .sen φ →
Onde φ = ângulo azimutal (medido do eixo 0x até o vetor r , no sentido anti-horário olhando do eixo 0z para a origem. Desta maneira, o vetor posição é assim expresso: →
→
→
r (t ) = x (t ). i + y (t ) j
Neste exercício, o enunciado arma que: x (t ) = 2t e y (t ) = 8 – 2t ²; logo: →
→
→
r (t ) = (2t ). i + (8 - 2t 2) j
Vetor velocidade e vetor aceleração Conforme denição:
.
→
→
v (t ) =
→
=
d [(2t ).] = i + dt →
→
→
d [(2t ). i + (8 - 2t 2). j ] dt
→
dr (t ) dt
d [(2t ). i ] dt
=
d [(8 - 2t 2) j ]
+
dt
d [(8 - 2t 2)] j = 2. i + [-4t ]. j dt →
→
→
Por procedimento semelhante determinamos o vetor aceleração:
→
a (t ) =
→
→
dv (t ) dt
=
dt =
.
→
d [2.i + (- 4t ). j ]
→
→
0.i - 4. j
→
=
d [2i ] dt
→
+
d [-4t ] j dt
→
= - 4. j
Esboço da trajetória Para esboçar a trajetória precisamos conhecer os valores das coordenadas x e y para diversos valores de t . Vamos preencher a
Física I / Aulas 5–8 Exercícios
6
tabela de valores para facilitar a tarefa, inclusive com os valores das velocidades e aceleração. t
=0
x(t) = 2.t (m)
0
y(t) = 8 -2t² (m)
8
→
y (m) 10
6
- 4j
t =
→
- 4j
r1 r2
-24 →
2i - 12j
→
→
- 4j
4s
8
→
2i - 8j
t = 1s
t =
-10 →
- 4j
y (m) 10 vx
t=0
3s
6
→
→
→
2i - 16j →
- 4j
vx vy
→
r0
2s
0 →
2i - 4j →
→
t =
4
→
2i
a (t) (m/s²)
= 1s
2
→
v (t) (m/s)
t
vx
x (m)
t = 2s
x (m)
2
6 vy
r3 -10
→
r4
t = 3s
vx
-10
vy -20
-20 t = 4s
A variavel t ∈ R e t ≥ 0 A trajétória é parabólica e cada posição é denida por um vetor posição e também por um par de valores coordenados x (t ) e y (t ).
No gráco da trajetória foram desenhados as componentes v x (t ) = 2 m/s e v y (t )= – 4t (SI) que cresce no sentido oposto ao eixo 0y.
Equações paramétrica e equação da trajetória movimento no plano As equações x (t ) = 2.t e y (t ) = 8 – 2t ² são denominadas equações paramétricas (dependem do parâmetro t ). Explicitando t = x /2 e substituindo em y (t ) obtém y ( x ) = 8 – 2( x /2)² = 8 – (1/2 ) x ² que, mate-
maticamente, é uma polinomial de 2 grau (Parábola). Resumindo: eliminando-se t entre as equações paramétricas tem-se uma função y = f ( x ) que é a equação da trajetória da partícula.
Física I / Aulas 5–8 Exercícios
7
EXERCÍCIO 2
y P
y
ρ = 5 + 2.t φ = π.t x .
Eixo Polar (x)
Utilizando as equações de transformação coordenadas polares em coordenadas cartesianas x = ρ cos φ (14.1) e y = ρ sen φ escrevem-se: x (t ) = (5 + 2t ) cos (π .t )
e .t ) medidas em unidades do SI y (t ) = (5 + 2t ) sen (π
.
.
→
→
→
r (t ) = (5 + 2 t ) . e p onde e p = versor polar na direção radial. →
→
v (t ) =
=
dr (t ) dt
→
d [(5 + 2t )] d [(5 + 2 t ).e ρ ] = = e ρ dt dt →
→
É preciso calcular a derivada rivada
dt
→
de ρ dt
de ρ dt
2 e ρ + (5 + 2t )
d φ
+ (5 + 2t )
de ρ
= -
dt
d φ(t) dt
e φ ; como φ = πt , a de→
→
= π ; portanto a derivada
de ρ
→
v (t ) = 2e ρ + (5 + 2t ) =
→
dt
=
de ρ dt
→
e φ . Temos então: = - π →
→
2e ρ + (5 + 2t )[-π .e φ]
→
→
2e ρ - (5 + 2t )π e φ (SI)
→
→
No instante t = 0: v (0) = 2e p – 5π . eφ
Física I / Aulas 5–8 Exercícios
8
.
Esboço da trajetória no plano xy: Vamos construir uma tabela dos valores de ρ, φ, x e y em função do tempo. As equações de transformação coordenadas polares para cartesianas são: x = ρ cos φ = (5 + 2 t ) cos ( πt ) e y = ρ sen φ = (5 + 2 t ) sen (πt ). Para facilitar o cálculo de cos (πt ) e sen (πt ), iremos considerar t em "steps" de 1/2s, ou seja, t = 0; t = 1(1/2); t = 2(1/2); t = 3(1/2) ... Assim foi elaborada a tabela a seguir e o esboço da trajetória no plano xy. t(s)
ponto
ρ = 5 + 2
φ = π.t
0
A
5
0
5
0
1 (1/2)
B
6
0
6
2 (1/2)
C
7
π/2 π
-7
0
3 (1/2)
D
8
3π/2
0
-8
4 (1/2)
E
9
2π
9
0
5 (1/2)
F
10
5π/2
0
10
6 (1/2)
G
11
3π
-11
0
7 (1/2)
H
12
7π/2
0
-12
x =
φ
y = e
φ
y (m) F(0;10)
B(0;6) →
r
φ
G(-11;0) C(-7;0)
ρ
0
A(5;0)
E(9;0)
x (m)
Eixo Polar
D(0;8) H(0;-12)
Física I / Aulas 5–8 Exercícios
9
EXERCÍCIO 3
A análise do vetor de posição permite inferir que: 1) x (t ) = 10t (SI) e y(t) = (6t - 5t ²) SI. →
→
→
Sendo r (t ) = (10t ) i + (6t – 5t ²) j , a velocidade da partícula é: →
→
v =
dr (t) = dt
→
→
10i + (6 - 10t ) j
→
E a aceleração vetorial: a = dv (t) = –10. j →
→
dt
A tabela mostra as coordenadas (x;y) da posição da partículas, a velocidade e a aceleração nos instantes t = 0 e t = 4s.
→
→
→
x = 10t (m)
y = 6t – 5t² (m)
v = 10i + (6 - 10t) j (m/s)
t=0
0
0
10i + 0. j
t=4
40
-56
10i - 34. j
Física I / Aulas 5–8 Exercícios
→
→
→
→
→
→
a = -10.ij (m/s²) →
-10.ij
→
-10.ij
10
EXERCÍCIO 4 →
→
→
→
→
.
r (t ) = 20t .i + (20 – 5 t ²). j
.
v (t ) = 20. i –10t . j e a (t ) = –10. j (m/s²)
.
Para a solução calculamos o instante t em que a bola atinge o solo e para tal igualamos a equação horária y (t ) = 20 – 5t ² = 0 donde se extrai t = ± 4 = 2 s (t ≥ 0). Substituindo-se t = 2 s na equação da velocidade e do vetor posição teremos:
→
→
→
→
→
→
v (t = 2s) = 20. i - 20. j (m/s)
e →
→
→
r (t = 2s) = 40. i + 0. j (m) →
→
Quanto a aceleração, ela é constante: a = – 10. j (m/s²)
Física I / Aulas 5–8 Exercícios
11
EXERCÍCIO 5
x (t ) = 3t (SI) e y (t ) = 2t ² – 4t (SI). A função horária da abscissa do
.
ponto ocupado pela partícula é uma função de grau 1; logo, o movimento da projeção do ponto no eixo x é uniforme ( velocidade constante). E o movimento da projeção do ponto no eixo y é uniformemente acelerado ( função horária do espaço segue uma polinomial de grau 2 no tempo). →
= 3 m/s² v = dr (t ) = 3 i + (4t – 4) j (SI). Observe que a componente v x dt →
.
→
→
(constante) e a x = 0; A componente v y = (4t – 4)(m/s) varia uniformemente com tempo e a y = 4 m/s², constante.
→
→
→
d [3.i + (4t - 4). j ]
.
a (t ) = dv (t ) = dt
.
No instante t = 0:
→
dt
→
→
0. i + 4. j (m/s²)
=
z t=0
→
vy = (4t - 4)
0 vx = 3i
→
v
→
y
→
x
→
→
→
→
r (0) = 0, ou seja, x = y = 0 (a partícula passa pela origem do re-
ferencial); v (0) = 3.i – 4. j , v x = 3 e v y = 4t – 4 (SI). O esquema acima mostra os respectivos vetores. a = 4. j m/s² (SI) →
→
→
→
→
Física I / Aulas 5–8 Exercícios
12
EXERCÍCIO 6
Sabendo que em t 0 = 0 as crianças partem da origem, referencial ilustra a posição de ambos no instante t. norte
(y)
→
→
vA = 1.j (m/s) YA
A
→
→
B vB = 2.i (m/s) 0
xB
leste
(x)
Tendo em vista que as velocidades são uniformes, equação horária das coordenadas de cada um é: criança a
criança b
xA(t) = 0
xB(t) = 2.t
yA(t) = 1.t
yB(t) = 0
Portanto, as posições ocupadas por A e B são : A (0; 1.t) e B (2.t;0) em unidades do SI. .
O comprimento do segmento que une A e B é distância entre os pontos; no instante t temos: d AB = d BA =
(0 - 2t )2 + (1t - 0)2 =
4t 2 + 1t 2
= t
5
(SI)
Para t = 20 s, a distância entre as crianças é d AB = d BA = 20 5 m. .
A velocidade relativa: Qual o signicado de V A = 1 m/s no sentido norte? Se você estivesse na origem servindo de ponto de referência, você veria A distan ciar-se a razão de 1 m/s. Então podemos escrever, com mais precisão, V A/0 = 1 m/s. Análise semelhante se faz de B. Vamos então desenhar os respectivos vetores posições.
Física I / Aulas 5–8 Exercícios
13
y A →
r B/A →
r A/0 B 0
x
→
r B/0
→
→
rA/O = posição de A em relação a origem 0.
→
rB/O = posição de B em relação a origem 0.
→
→
E o vetor rB/A? Ele indica a posição de B em relação a A. Se este vetor fosse desenhadono sentido oposto, ele signicaria r A/B (posição de A em relação a B). Pela regra da adição de vetores, escreve-se: r B/O = rA/O + rB/A . Estes vetores não são constantes, eles variam conforme as crianças se movimentam. Então podemos aplicar o conceito de deriva e determinar as relações entre as velocidades: →
→
→
dr B/O (t ) dt
→
→
→
→
dr A/O (t ) dr B/ A (t ) = + dt dt →
→
→
→
→
ou V B/O = V A/O + V B/ A
→
V B/ A = V B/O - V A/O
A velocidade de B em relação a A é igual a velocidade de B em relação a origem menos a velocidade de A em relação a origem. →
→
→
V B/ A = 2. i - 1. j →
Vamos caracterizar V B/A: 22 + (-1)2
→
Módulo: V B/A =
→
Direção: φ = arctan
Física I / Aulas 5–8 Exercícios
-1
2
=
5 m/s.
ou φ = – 26,6° ou 333,4 °
14
norte
(y) A
φ = 333,4o -26,6o B 0
leste →
→
(x)
→
vB/A = 2.i - 1s
A criança A “vê” a criança B afastando a razão de m/s; é como se A estives se “parado” e B afastando, no rumo = 333,4°.
Física I / Aulas 5–8 Exercícios
15
EXERCÍCIO 7
.
.
→
→
→
r (t ) = ρ. e ρ = 1000. e p (SI)
→
v (t ) =
→
→
dr (t ) dt
=
d (1000. e ρ) dt
→
=
1000.
d (e ρ)
Precisamos determinar a derivada dφ(t )
dt
=
1000 . dφ(t ) . eφ →
dt
d (π t)
=
π.
Portanto, o vetor velocidade assim se escreve: v (t )
=
dt
=
dt →
.
→
1000π .eφ
→
d (e φ) d (1000. e φ) dv (t ) 2.e = = 1000.π = –1000.π a (t ) = ρ dt dt dt →
→
Física I / Aulas 5–8 Exercícios
→
→
16
EXERCÍCIO 8
.
No instante t = 0, a variável angular φ = 2π (0) = 0 e, portanto, a coordenada radial é ρ = 10.cos (0) = 10 m.
.
r (t ) = 10 cos φ. e ρ, substituindo φ = 2πt , tem-se: r (t ) = 10.cos (2πt ).eρ
.
dr (t ) d [10cos(2πt ).e ρ ] = 20π sen (2πt ). e + 10 cos (2πt ) de ρ = v (t) = ρ dt dt dt
→
→
→
→
→
→
→
→
→
dφ(t) de É preciso calcular a derivada ρ = e ; como φ = 2πt , a dedt dt . φ dφ de = 2π rivada ; portanto, derivada ρ = -2π eφ. Temos então: dt dt →
→
→
→
→
→
. sen (2πt ) e ρ + 10. cos (2πt ).[-2π. eφ ] v (t ) = 20π →
→
= [20π sen (2πt )]. e ρ + [-20π cos (2πt )]. eφ →
→
= [20π sen (2πt )]. e ρ + [-20π cos (2πt )] eφ
→
(salvo melhor juízo)
→
No instante t = 0: v (t = 0) = – 20π. eφ
Física I / Aulas 5–8 Exercícios
17
EXERCÍCIO 9 →
→
→
.
r (t ) = (40t ) i + (30t – 5t ²) j (SI)
.
v (t ) =
.
A função horária y (t ) = 30t – 5t ² é a polinomial que descreve o movimento da projeção do projétil no eixo y. Aprendemos, quando do estudo de máximo e mínimo de funções, que se igualando a zero a primeira derivada da função, descobrimos o valor da variável (no caso, a variável t ) para o qual a função se anula. Assim:
→
→
dr (t ) dt
→
→
= 30. i + (30 – 10.t ) j
dy (t ) dt
=
d (30t - 5t 2) dt
=
30 - 10t
Igualando este resultado a zero temos: 30 – 10t = 0 donde t = 3. .
A segunda derivada, no mesmo instante t , é: d 2(30t - 5t 2) dt 2
= -10
Como a segunda derivada é negativa, a função y (t ) no ponto t = 3 corresponde a um ponto de máxima. Logo, y max = 30(3) – 5(3)² = 45 m. E neste ponto, a componente v y = 30 – 10(3) = 0, ou seja, momentaneamente a componente v y da velocidade do projétil é nula no ponto de altura máxima. Imediatamente ao projétil atingir o ponto de altura máxima, ele inicia o movimento de retorno.
Física I / Aulas 5–8 Exercícios
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EXERCÍCIO 10
.
dy (t ) dt
=
d (400t - 5t 2) dt
=
400 – 10t = 0 → t = 40s. Logo, y (t = 40s)
=
400(40) – 5(40)² = 8.000 m. .
No ponto de impacto, y (t ) = 0, logo y = 400t – 5 t ² = (400 – 5t )t = 0, resultam dois valores de t : t’ = 0 s e t” = 80 s. Para determinar a respectiva coordenada x, vamos substituir na função horária da com ponente x da posição, os valores t’ = 0 e t” = 80s. Assim, para t = 0 → x = 250(0) = 0 e para t = 80 s → x = 250(80) = 20.000 m. Portanto, a coordenada do ponto de impacto é x impacto = 20.000 m.
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EXERCÍCIO 11 y y(t) 845 m vx x(t)
→
→
x
vy
→
d [(60t )i + (845 - 5t 2) j ] dt
.
v (t ) =
.
Precisamos calcular o instante t em que o pacote atinge o solo. Para tal fazemos y = 0, ou seja, y (t ) = 845 – 5t ² = 0; desde igual, extraímos t = 13 s. Substituindo em v (t ) = 60.i + (–10t ). j , resulta, v (t = 13 s) = 60.i + (–130). j . Portanto, no instante em que o pacote atinge o solo, v x = 60 m/s e v y = –130 m/s (sinal negativo, indica que o movimento é para baixo). →
60.i + (–10t ). j (SI) →
→
→
→
.
A equação da trajetória pode ser obtida eliminando-se o tempo t de x (t ) e y (t ). Assim, de x (t ) = 60t tem-se que t = x /60. Substituindo em y = 845 – 5t², resulta y = 845 – x 2/720 (m) que é equação de uma parábola.
Física I / Aulas 5–8 Exercícios
20
