I.E. “AMALIA ESPINOZA”
FICHA DE MATEMÁTICA – PROGRESIONES GEOMÉTRICAS “LA RECOMPENSA POR LA VIDA DE UN PRINCIPE”
Antiguamente los árabes solían entretenerse con problemas como éste: Estando en peligro la vida de un príncipe acudió alguien en su ayuda. El príncipe, agradecido por tan sublime acto, le pidió al salvador le dijera qué quería como recompensa. Tal salvador pensó un poco y luego hizo un pedido que el príncipe consideró muy simple y poca cosa, ¿Cuál era este pedido? … veamos: En un tablero de ajedrez pedía que le colocaran un grano de tr igo en el primer casillero, el doble de esto en el segundo, el doble de lo anterior en el tercero y así sucesivamente hasta el casillero número 64. Lo que no sabía el príncipe es que la cantidad total de granos que pedía el salvador era realmente grande, ya que se trataba de miles de millones que podrían significar la cosecha en grandes extensiones de tierras en todo el mundo durante varios años. De acuerdo con lo que dice la lectura en cada casillero se colocarían la siguiente cantidad de granos de trigo
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Si encontramos algunas cantidades de granos de trigo que corresponde colocar en los casilleros del tablero de ajedrez, tendremos por ejemplo que el salvador recibiría estas cantidades:
1
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1 024
2 048
4 096
8 192
16 384
32 768
65 536
131 072
262 144
524 288
1 048 576
2 097 152
4 194 304
8 388 608
Como podemos observar, conforme avanza el número de casillero del tablero de ajedrez; el valor anterior se va duplicando. Por lo que concluimos que el príncipe clocará en el último casillero un número muy grande de granos de trigo.
APRENDEMOS: Tal como hemos visto en la sección anterior, un conjunto de números pueden ordenarse en forma ascendente, respetando un orden y este incremento de un término al término consecutivos, es por multiplicación. Así tenemos que de la situación anterior se forma la siguiente sucesión al inicio y que luego continúa:
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DEFINICIÓN.-
Una progresión geométrica ( P.G. ) es una sucesión de números reales, donde a partir del segundo término ( a2 ), se puede obtener cualquier término ( a n ), multiplicando al término anterior ( a n-1 ) por una razón constante (r) Matemáticamente una progresión geométrica se representa así : a1;a2 ;a3 ;a4 ;a5 ; …; a n-1 ;an Donde: a1 = Primer término a2 = Segundo término = a1.r a3 = Tercer término = a2.r = a 1.r 2 … an= Término enésimo = a n-1.r = a1.r n-1
¿Cómo calcular el término enésimo de una progresión geométrica? Para calcular el término de lugar n de una P.G., se aplica la siguiente fórmula:
= −
Ejemplo: 1) En la situación de contexto presentada en la parte anterior. Calcular el término de lugar veinticinco ( a25 ) Escribimos los primeros términos de la P.G. 1; 2; 4; 8; 16; … ; a25 Observamos que la razón geométrica es +2 El valor de n es 25 El término primero es 1 Calculamos el término de lugar 25 = 1 ∗ (2)− = (2)4 = 16 777 216
¿Cómo encontrar la razón geométrica? En la situación inicial podemos verificar que cualquier término (a partir del 2°), se divide entre el término anterior y obtenemos cantidades constantes. Dada una P.G. se encuentra la razón geométrica dividiendo cualquier término( a partir del segundo término )entre el término anterior. Es por ello que esta razón geométrica también recibe el nombre de razón por cociente. Así tenemos: a1;a2 ;a3 ;a4 ;a5 ; …; an-1 ;an r = a2 :a1 = a3 :a2 = a4 : a3 ; … ; an:an-1 Ejemplo: 1) Encontrar la razón geométrica de la siguiente P.G. -1/3; +1; -3; +9; -27; +81; … Calculando r = -27/+9 = -3
Calculando la suma de los ene primeros términos de una P.G. La suma de los ene primeros términos de una progresión geométrica se calcula mediante la siguiente fórmula:
=
(1 ) 1
Ejemplo: 1) Encuentra la suma de los ocho primeros términos de la siguiente progresión geométrica: -800; -400; -200; -100; -50; -25; -12,5; … Calculamos la razón geométrica: -400 : -800 = +1/2 Sabemos que el primer término es -800 Como me piden encontrar la suma d los ocho primeros términos, entonces n = 8 Aplicamos la fórmula: (800)(1 (1/2) ) = 1 (1/2) (800)(1 1/256 ) = 1/2 (1 600)(256/256 1/256 ) = 1 = (1 600)(255/256) = 1 593,75
EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1.
Maritza vive en el tercer piso un edificio y desde una altura de 18 m deja caer una pelota y observa que en cada rebote se eleva hasta los 2/3 de la altura desde la cual cae. Dese saber ¿Cuál es el recorrido total de la pelota hasta que se detiene?
a) 15 m 2.
b) 90 m
3
2; ; 6
2
12
b)
24
4.
2
c) solo III
; x;
2 48
1
96
1
d)
8
2
n
b)
2 24
Dado un cuadrado de 1m de lado, unimos dos a dos los puntos medios de sus lados; obtenemos un nuevo cuadrado, en el que volvemos a efectuar la misma operación, y así sucesivamente. Escribe la sucesión formada por las longitudes de los lados y la sucesión formada por las áreas. Determina qué clase de progresión es y justifica su respuesta
a n
c)
d) II y III
2 ; ;
c)
a
d)10 m
En la siguiente sucesión que valor debe tomar X para que sea una progresión geométrica
2
a)
b) I, II Y III
Si se tiene la siguiente sucesión. 5; 1; 1/5; 1/25… ¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde al termino general? a)
Determina cuál de las siguientes sucesiones son progresiones geométricas , I) 2,1; ½; ¼; . . . II) 1/3 ; 1/9 ; 1/27; 1/81 …. III) 16 ; 4 ; 1 …
a) I y II 3.
c) 180 m
8.
a n
d)
9.
a n
1 5 5
n
1 5 5
n
1
n
1
n
1
1 n 5 1 r 5
El padre de Alejandra, necesita comprar un congelador para su negocio, que cuesta un aproximado de 3 000 soles, pero lo que tiene ahorrado no es suficiente y decide ahorrar cada mes 2/3 de lo ahorrado el mes anterior. Si el quinto mes ahorro 160 soles. ¿Cuanto ahorro en los cinco meses? ¿Si no le alcanza cuanto le faltaría? Justifica tu respuesta
10. Halla la razón de la P.G. siguiente: 1/3 ; . . . . . . ; 243 de 7 términos. a) -1/2
b) ±1/3
c) 3
d) ± 3
11. Calcula: A= 9 + 99 + 999 + . . . + 9999 …. 99
5.
A Carmen se le ha extraviado su perro y para encontrarlo envía mensajes de texto a tres amigas pidiéndoles que a su vez cada una envíe una copia a otras tres amigas y así sucesivamente, y si todos cumplen con reenviar el mensaje, después de m envíos cuantas copias se habrían hecho del mismo mensaje? a) 3 d)
6.
m
3 2
3
m
m 1
c)
3 2
1 3 m
, 1
1
Si en una progresión geométrica el noveno termino es igual a 5 y la razón es -1/3 Calcular el sexto término del P.G.
a) -32 805 7.
b) 3
b) 135
c) -135
d) 328
Determina cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera: a) Una PG es oscilante si la razón es menor que uno b) Si una PG tiene un número impar de términos entonces el término central será igual a la raíz cuadrada del producto de sus extremos. c) Si una PG tiene un número impar de términos entonces el término central será igual a la semisuma de sus extremos. d) Una PG es creciente si : + <
20 ifras
a) c)
10
21
10
21
999 9
9
b) d)
9
9
20
90 9
10
21
190 9
12. Carlo es un competidor de ajedrez y está participando en las olimpiadas de su distrito. Si recibe un punto por el primer participante que venció, 2 por el segundo; 4 por el tercero y así sucesivamente y cuando se hizo el recuento, Carlos acumuló un puntaje de 65 535 puntos. ¿A cuántos competidores venció? a) 68
b) 25
c) 16
d) 120
13. Teresa tiene una deuda en el banco zeta. El primer mes le cobran un interés de S/ 11 el segundo mes de S/ 101, el tercer mes S/. 1001, y así sucesivamente hasta el quinto mes. ¿Cuánto es el interés total que debe que pagar? a) S/ 111 115 c) S/ 100 015
b) S/ 100 001 d) S/ 111 111
