Estudio Didáctico de la Proporción y la Proporcionalidad: Una Aproximación a los Aspectos Matemáticos Formales y a los Textos Escolares de Matemáticas

Universidad del Valle

Estudio Didáctico de la proporción y la proporcionalidad: Una aproximación a los aspectos matemáticos formales y a los textos escolares de matemáticas.

UNIVERSIDAD DEL VALLE INSTITUTO DE EDUCACIÓN Y PEDAGOGÍA Magister en Educación – Énfasis en Educación Matemática Santiago de Cali – Colombia, Diciembre de 2001

Universidad del Valle

Estudio Didáctico de la proporción y la proporcionalidad: Una aproximación a los aspectos matemáticos formales y a los textos escolares de matemáticas.

Director de Tesis:

Estudiante:

Jorge Hernando Arce Chaves Profesor Instituto de Educación y Pedagogía Universidad del Valle

Edgar Alberto Guacaneme Suárez Código 9303736

UNIVERSIDAD DEL VALLE INSTITUTO DE EDUCACIÓN Y PEDAGOGÍA Magister en Educación – Énfasis en Educación Matemática Santiago de Cali – Colombia, Diciembre de 2001

A mis padres y mi hermano... mis primeros y mejores maestros.

Agradecimientos La Universidad del Valle, en tanto universidad pública, ofrece a la población colombiana desfavorecida económicamente tal vez la única posibilidad digna de mejorar sus condiciones de vida. En mi caso, y a pesar de los costos económicos que implicó realizar el programa de Maestría en Educación – Énfasis en Educación Matemática, me ha permitido una oportunidad de vida académica, de desarrollo profesional, de crecimiento personal. Siento que parte de lo que soy, y de lo que quiero significar para la sociedad colombiana, se lo debo a la experiencia vivida como estudiante de la Universidad del Valle; para ella mis agradecimientos sinceros.

De otra parte, deseo expresar un sentimiento de gratitud al equipo de profesionales de la Educación Matemática quienes no sólo conformaron el grupo de profesores del Énfasis en Educación Matemática de la primera promoción, sino que decidieron emprender la aventura de realizar un sueño de formación académica y personal en nosotros los estudiantes, a través de un trabajo constante, de lucha y de excelsa calidad. A Gloria Castrillón, Luis Carlos Arboleda, Jorge Arce, Myriam Vega, y Jairo Álvarez ... ¡muchísimas gracias por soñar realidades posibles!

Las arduas sesiones de estudio, discusión, y controversia académica, conjugadas con una alta dosis de afectividad y amistad, hicieron que Ligia, Harold, Gilberto y Yadira se configuraran como mis amigos y compañeros de lucha. Una mirada retrospectiva a

las múltiples experiencias con ellos vividas me permite afirmar que con ellos conocí un nuevo significado para el trabajo en equipo, para la amistad, para la solidaridad. Para ellos, mil gracias por compartir sus vidas conmigo y permitirme aprender a vivir intensamente.

A mi eterna novia, Luz Marina, un agradecimiento muy especial por su compañía, comprensión y tolerancia. Con ella he compartido a solas la angustia que genera el paso del tiempo y las tareas inconclusas, las reflexiones en voz alta, el deleite que genera aprender para sí, la satisfacción que produce el reconocimiento de la magnitud de mi ignorancia.

La lectura de este trabajo estuvo a cargo de los doctores Carlos Eduardo Vasco Uribe y Manuel Eduardo Mariño Betancourt; sus comentarios han permitido no sólo lograr un documento un poco más coherente y completo, sino además una mayor conciencia de las deficiencias y virtudes del trabajo realizado. Por ello muchas gracias.

iv

Presentación El documento que aquí se presenta expone el trabajo de grado, requisito parcial para obtener el título de Magister en Educación − Énfasis en Educación Matemática otorgado por el Instituto de Educación y Pedagogía de la Universidad del Valle.

La aventura que implicó la realización de este trabajo comenzó oficialmente en el segundo semestre de 1993, cuando cursando el primer semestre de la Maestría, tuve que presentar un documento que constituiría la primera versión del proyecto. En esa oportunidad éste estaba constituido por no más de tres páginas que incluían la presentación, tres objetivos, unas líneas de antecedentes personales y generales, un bosquejo de metodología, y una especulación sobre el posible impacto. Allí se planteaba el desarrollo del Estudio didáctico de la noción de proporcionalidad — entendido éste desde las ideas construidas por Myriam Ortiz (Ortiz y otros, 1990)— que implicaba determinar los ‘niveles de complejidad lógica’ y la ‘esencia’ de esta noción; los ‘niveles de aproximación, construcción y apropiación’ de los conocimientos ligados a esta noción; y la ‘red de complejidad didáctica’ de los temas involucrados en ella. Esta primera versión del proyecto ofrece, además, una muestra inicial de mi ingenuidad sobre la magnitud del trabajo académico que una tarea como el Estudio Didáctico implica.

El trabajo académico sugerido por los profesores y compañeros de la Maestría durante este semestre, condujo a una reestructuración del proyecto y a un nuevo documento, titulado “Análisis de la transposición didáctica de la noción de proporcionalidad” presentado en diciembre de 1993. En catorce páginas y cinco apartados (introducción, formulación del problema, justificación, objetivos, metodología y bibliografía), se presentaba una interpretación del Estudio didáctico en tanto opción investigativa para afrontar la problemática de las matemáticas escolares; un breve recuento de experiencias personales frente a la problemática de la proporcionalidad que se constituían en antecedentes, así como la explicitación de tres ideas descriptivas de tal problemática respaldada en algunos documentos provenientes de la investigación en Educación Matemática; una descripción que intentaba ubicar a la ‘transposición didáctica’ como una categoría del Estudio didáctico; un listado de ocho objetivos; un conjunto constituido por cuatro fases de investigación y un restringido listado de tareas a realizar; y un catálogo de dieciséis referencias bibliográficas relativas a la proporcionalidad. A pesar de suponer que este documento podría orientar de manera clara y definitiva la realización del proyecto de tesis, la discusión de las ideas contenidas en él giró entonces en torno a la falta de precisión del problema de investigación, así como a la necesidad de describir con más detalle los propósitos del proyecto y la estrategia metodológica a emplear.

Durante el primer semestre de 1994 se realizaron tres acciones que pretendían abordar las falencias del documento reseñado en el anterior párrafo, y apoyar la escritura del proyecto. La designación del profesor Jorge Arce como director de tesis, y las sesiones individuales de trabajo con él, constituyen dos de tales acciones. La realización de tres sesiones colectivas de “Campo específico de trabajo”1 dedicadas a la discusión de los avances en la concreción del proyecto configura la tercera acción. La interacción con el profesor Arce se dio en torno a aspectos de forma —tales como

1

Nombre para el espacio de tutoría colectiva en el cual los estudiantes sometíamos, ante un grupo de profesores de la Maestría y ante los compañeros, avances o preguntas relativas al proyecto. vi

el estilo gramatical— y de contenido —tales como las concepciones acerca de las matemáticas, la relación maestro–alumno–conocimiento, el significado de aprender proporcionalidad, los diversos tipos de saberes que confluyen en la escuela. Las tres sesiones de “Campo específico de trabajo” se centraron en la discusión de la ubicación del lugar del ‘sistema didáctico’ desde el cuál realizar el trabajo de tesis, la potencialidad de las proporciones y la proporcionalidad, las consecuencias de realizar un Estudio didáctico sobre las proporciones y la proporcionalidad y las características de la metodología de investigación propuesta. El conjunto de estas acciones condujo a la elaboración de un nuevo documento de treinta y dos páginas titulado “Hacia la construcción de un saber matemático: Estudio didáctico de la proporción y la proporcionalidad”, presentado en julio de 1994, que contenía dos partes tituladas Fundamentos conceptuales, y Aspectos específicos del proyecto; la primera parte presentaba un contexto general para la investigación, en tanto que la segunda parte incorporaba sólo la delimitación del problema, la justificación y los objetivos.

Durante el segundo semestre de 1994 y el primer semestre de 1995 se continúa el trabajo de concreción del proyecto, pero el alto nivel de compromiso académico asumido con las demás asignaturas de la Maestría, al igual que las responsabilidades laborales, condicionaron el nivel de dedicación a esta tarea. Durante este lapso se realizaron esporádicas reuniones con el director de tesis y algunas sesiones de “Campo específico de trabajo”; también tuve la oportunidad de presentar, en el Segundo Simposio Internacional de Educación Matemática (Bogotá, 1994), las ideas centrales que configuraban los fundamentos del proyecto, y en la Segunda Jornada Nacional en Educación Matemática (Cali, 1995), los rasgos generales de la propuesta para un Estudio Didáctico de la proporción y la proporcionalidad.

En el segundo semestre de 1995, bajo el título “Los saberes: ámbito de análisis e investigación didáctica.”, presenté una conferencia en la Novena Reunión Centroamericana y del Caribe en Matemática Educativa (La Habana, 1995), en la

vii

cual intenté recapitular algunas generalidades del Estudio Didáctico —en general— y del Estudio didáctico de la proporción y la proporcionalidad —en particular. Esta experiencia, al igual que un trabajo juicioso de revisión del documento del proyecto con el director de tesis, permite que entre el segundo semestre de 1995 y el primer trimestre de 1996, presente dos nuevas versiones del proyecto, de aproximadamente cincuenta páginas cada una, tituladas “Estudio didáctico de las proporciones. Análisis de las concepciones de los profesores y textos de matemáticas” y “Estudio didáctico de la proporción y la proporcionalidad: Una aproximación a las concepciones de los maestros y textos escolares de las matemáticas”, respectivamente. Este último documento constituye el proyecto aprobado por el director de tesis y por el Comité de Plan; éste contiene una presentación del documento, un apartado en el que se describen los fundamentos conceptuales, un apartado donde se desarrollan los aspectos específicos de la investigación, y un amplio listado de referencias bibliográficas consultadas hasta ese momento. En los capítulos 1 y 2 del presente documento hemos recapitulado algunas ideas de los dos apartados centrales de aquél trabajo, alimentándolas de una reflexión ulterior y haciéndolas corresponder un poco más con los alcances logrados en el desarrollo del trabajo investigativo.

El desarrollo del proyecto se realizó de manera muy interrumpida a partir del segundo semestre de 1996 hasta el primer semestre de 2001. Las interrupciones se generaron por muy diversos factores, entre los que vale la pena señalar la necesidad de trabajar intensamente para responder tanto por las necesidades económicas asumidas, como por las responsabilidades laborales y académicas que la labor de docencia de las matemáticas implicaba. En efecto, el no disponer de recursos y condiciones económicas necesarias obligaron a asumir un trabajo de tiempo completo, limitándose enormemente las posibilidades de tiempo y dedicación que una tesis de grado exige. De otro lado, entre 1996 y 1999, estuve vinculado al Plan de Nivelación Universitaria de la Universidad del Valle, programa en el que, en tanto profesores de matemáticas, lideramos y desarrollamos —con algunos de los compañeros de la

viii

Maestría— un amplio proyecto de innovación en enseñanza de las matemáticas, lo cual demandó una inversión considerable de tiempo y una enorme dedicación.

A pesar de las restricciones de tiempo, realizamos un estudio de elementos históricos ligados al desarrollo de la proporción y la proporcionalidad; este estudio fue presentado en 1996 en el Seminario de Historia de las Matemáticas, organizado por el Grupo de Historia de las Matemáticas de la Universidad del Valle, y como conferencia —bajo el título “Aproximación a algunos elementos histórico– epistemológicos implicados en la evolución del concepto de proporción”, en la Décima Semana de Matemática y Física (Ibagué, 1997) organizada por la Universidad del Tolima. Infortunadamente, el registro de este estudio no logró tener un grado de elaboración tal que garantizara tanto la calidad necesaria, como la trascendencia requerida, como para configurar un capítulo de este trabajo; sin embargo, esta revisión de los conceptos permitió ver algunos elementos que posibilitan prever un panorama de investigación muy potente.

El estudio de la proporción y la proporcionalidad en las matemáticas formales se realizó de manera intensa en el desarrollo del proyecto. Para éste, efectuamos algunas entrevistas informales con profesores universitarios de matemáticas; a través de éstas indagábamos acerca de su conocimiento sobre la existencia de teorías matemáticas que abordaran estos conceptos. El resultado más importante de las entrevistas es que si bien estos profesores reconocen la potencialidad de las proporciones y la proporcionalidad, no conocen una teoría matemática relativamente reciente que verse sobre éstas. Ante esto nos dimos a la tarea de buscar textos que pudieran contener tales teorías y paulatinamente fuimos encontrando textos escolares universitarios de la década del cincuenta y sesenta que ofrecían un tratamiento tal; igualmente pudimos identificar dos libros de Didáctica de las Matemáticas que presentaban un tratamiento teórico de estos conceptos. El estudio de estos documentos fue una tarea ardua, y lo fue más el registro sistemático de los resultados de tal estudio. La conferencia

ix

“Exploración de los conceptos matemáticos de proporción y proporcionalidad en algunas de sus presentaciones formales”, presentada en el Seminario de Educación Matemática organizado por el Grupo de Educación Matemática del Instituto de Educación y Pedagogía de la Universidad del Valle (Cali, 1997), fue una oportunidad para presentar y discutir los resultados iniciales de este estudio.

Adicionalmente a esta oportunidad, el hecho de haber adscrito el proyecto de tesis — particularmente en lo referente al estudio de los aspectos matemáticos formales— al proyecto de investigación “Formación de pensamiento matemático en el contexto escolar: Implicaciones de la cultura del Uno y la Unidad” que los profesores Jorge Arce, Gloria Castrillón y Myriam Vega adelantaron con el apoyo de COLCIENCIAS, permitió a los autores de la tesis la elaboración del documento “La noción del uno y la unidad en la presentación formal de la proporción y la proporcionalidad”, el cual sintetiza algunas de las elaboraciones de aquél momento de desarrollo del proyecto. El capítulo 3 de este documento, terminado a finales de 1999, constituye el resultado final del estudio de los aspectos matemáticos formales referidos a la proporción y la proporcionalidad.

El capítulo 4 de este documento se construyó en los últimos dos años, a partir del análisis de cinco textos escolares de matemáticas de grado séptimo, en los que se aborda el estudio de la proporcionalidad. Para este estudio se adoptó una metodología que se presentó, a través del taller “Una mirada a la proporcionalidad en los textos escolares de matemáticas” realizado en el marco del Segundo Encuentro Colombiano de Matemática Educativa” (Valledupar, 2000), y que constituye un desarrollo ulterior a la elaborada en cursos y talleres de análisis de textos escolares de matemáticas ofrecidos por la Universidad del Valle y desarrollados principalmente por el director de la tesis y por el autor de la misma. Este análisis constituyó uno de los mayores retos del trabajo realizado, por cuanto se intentaba describir de manera objetiva el contenido de los textos, pero a la vez se trataba de señalar de manera crítica las

x

posibles falencias de éstos; el resultado es, en consecuencia, una descripción crítica de la manera como los autores de los textos presentan los temas ligados a la proporción y la proporcionalidad.

Algunos resultados unidos al desarrollo del proyecto, pero que no constituyen aspectos centrales del mismo, son —entre otros— el taller “Reelaboración del Conocimiento Didáctico en torno a las proporciones y a la proporcionalidad", realizado en el marco de la Décima Semana de Matemáticas y Física en la Universidad del Tolima (Ibagué, 1997); la participación en el desarrollo del módulo “Análisis de textos escolares de Matemáticas”, en el marco del programa MEN– ICETEX, desarrollado por el Grupo de Educación Matemática del Instituto de Educación y Pedagogía de la Universidad del Valle; la dirección, en su fase inicial, de un proyecto de tesis de Licenciatura en Matemáticas, que en la teoría de las magnitudes encontraba un insumo para construir una teoría de las magnitudes físicas en la escolaridad; la asesoría del proyecto “Una mirada didáctica a los porcentajes en el contexto de la proporcionalidad”, realizado en el marco del proyecto “Fomento a la capacidad de investigación e innovación docente a través de la Red en Educación Matemática del Municipio de Santiago de Cali” (Cali, 1999).

Si bien el presente documento no recoge todos los resultados que se esperaba como conclusión del desarrollo total del proyecto, recoge suficientes planteamientos que han sido el resultado del desarrollo del mismo en lo concerniente a la presentación formal y escolar (en los textos) de la proporción y la proporcionalidad. El intenso trabajo que esto implicó nos muestra que lo planteado como proyecto en 1996 tenía aún una alta dosis de ingenuidad frente a la extensión y profundidad de la tarea propuesta.2

2

Una mirada a la segunda parte del documento “Estudio didáctico de la proporción y la proporcionalidad: Una aproximación a las concepciones de los maestros y textos escolares de las matemáticas”, que como señalamos arriba expone la intención investigativa aprobada como proyecto de tesis, pueda dar cuenta de nuestra ingenuidad. xi

El lector encontrará entonces que hemos organizado el documento en cinco capítulos: •

En el primer capítulo presentamos así una visión de la Didáctica de las Matemáticas —en tanto disciplina y campo de investigación—, reseñando algunas consideraciones acerca de su relación con las matemáticas, y presentando una visión de la comunicación de conocimientos y saberes. Ligado a lo anterior, describimos un ámbito problemático general y amplio en el que se ubica la presente investigación; particularmente presentamos a los saberes matemáticos como un objeto medular de estudio de la Didáctica de las Matemáticas y reportamos el Estudio Didáctico como una opción investigativa en torno a éstos.

•

En el segundo capítulo se establecen los aspectos específicos de la investigación; contiene en primer lugar, la contextualización y formulación del problema que finalmente se abordó en el trabajo de tesis; luego se expone la justificación del tema en particular y del problema; enseguida se expresan la intencionalidad, los propósitos y los objetivos; y finalmente, se esbozan algunos elementos metodológicos.

•

En el tercer capítulo desarrollamos una recapitulación de teorías matemáticas que tratan la proporción y la proporcionalidad a la vez que realizamos un cuidadoso análisis del contenido matemático relacionado. En este capítulo asumimos dos objetos de estudio esenciales. En primer lugar, las fracciones de términos reales, las razones y las proporciones y, en segundo lugar, la teoría de las magnitudes, en la cual ocupa un sitio destacado el estudio de la teoría de la proporcionalidad.

•

En el cuarto capítulo presentamos el análisis de algunos textos escolares de matemáticas para grado séptimo que contienen un tratamiento de la proporción y la proporcionalidad, el cual está alimentado por un análisis de algunas propuestas curriculares nacionales para la enseñanza de en este grado. Este análisis contempla explícitamente tres objetos de estudio. De un lado, examinamos la estructura general del texto, identificando el lugar que ocupan la razón, la proporción y la proporcionalidad respecto de los demás objetos matemáticos

xii

tratados en un determinado curso; de otro, realizamos un análisis exhaustivo que da cuenta de la configuración conceptual de las unidades temáticas, de los nexos conceptuales y procedimentales entre las ideas y/o conceptos tratados, y de posibles jerarquías entre éstos; finalmente, presentamos un análisis que intenta profundizar en el tratamiento de algunos temas o conceptos matemáticos centrales en el estudio de la proporción y la proporcionalidad. •

El quinto y último capítulo presenta algunas reflexiones que de manera sintética pretenden recapitular algunos de los resultados importantes del trabajo investigativo que —desde nuestra perspectiva— pueden constituir las conclusiones del mismo. En este sentido, estas reflexiones no configuran un resumen del trabajo investigativo realizado, sino de los resultados logrados.

Adicionalmente, hemos incluido una sección de anexos compuesta por los capítulos o secciones, que abordan el estudio de la proporcionalidad, de los cinco textos escolares de matemáticas que estudiamos en el marco de la tesis.

Esperamos que la lectura del documento permita al lector aprender y vivir algo de la experiencia de formación personal y profesional que el desarrollo del proyecto nos permitió.

xiii

Tabla de Contenido Capítulo 1: El contexto general de la investigación ..........................................................1 Introducción .............................................................................................. 1 1.1 La Didáctica de las Matemáticas ........................................................ 2 1.1.1 La Didáctica de las Matemáticas y las Matemáticas........................................... 6 1.1.2 La comunicación de los conocimientos matemáticos ....................................... 10

1.2 El ámbito problemático de la investigación...................................... 14 1.2.1 Potencialidad de los saberes.............................................................................. 18 1.2.2 El Estudio Didáctico de los saberes .................................................................. 20

Capítulo 2: Aspectos específicos de la investigación ........................................................27 Introducción ............................................................................................ 27 2.1 Contextualización del problema........................................................ 28 2.2 Formulación del problema ................................................................ 31 2.3 Justificación....................................................................................... 32

2.3.1 Antecedentes......................................................................................................32 2.3.1.1 Personales................................................................................................................................. 32 2.3.1.2 Investigativos............................................................................................................................ 35

2.3.2 Justificación de la temática................................................................................ 37

2.4 Intencionalidad, propósitos y objetivos ............................................ 42 2.4.1 Intencionalidad ..................................................................................................42 2.4.2 Propósitos ..........................................................................................................43 2.4.3 Objetivos............................................................................................................44

2.5 Aspectos metodológicos.................................................................... 45 2.5.1 Una reflexión inicial ..........................................................................................45 2.5.2 Descripción de actividades ................................................................................48

Capítulo 3: Una mirada a los aspectos matemáticos formales ............................................................... 53 Introducción. ........................................................................................... 53 3.1 Las fracciones, razones y proporciones. ........................................... 55 3.1.1 Fracciones de términos reales (relaciones y operaciones).................................56 3.1.2 Serie de fracciones iguales. ...............................................................................66 3.1.3 Proporciones. .....................................................................................................68

3.2 La teoría de las magnitudes............................................................... 74 3.2.1 El concepto de magnitud. ..................................................................................75 3.2.2 El concepto de cantidad.....................................................................................83 3.2.3 El concepto de medida.......................................................................................87 3.2.4 La teoría de la proporcionalidad........................................................................95 3.2.4.1 Proporcionalidad directa........................................................................................................... 96 3.2.4.2 Proporcionalidad inversa. ....................................................................................................... 121 3.2.4.3 Proporcionalidad compuesta................................................................................................... 130

xvi

Capítulo 4: Una mirada a los textos escolares de matemáticas........................................................141 Introducción. ......................................................................................... 141 4.1 Estructura temática general del texto .............................................. 147 4.1.1 Mirada a las propuestas curriculares. .............................................................. 147 4.1.2 Mirada a los textos escolares. ......................................................................... 151

4.2 Estructura de las unidades temáticas............................................... 155 4.2.1 Mirada a las propuestas curriculares. .............................................................. 155 4.2.2 Mirada a los textos escolares. ......................................................................... 158 4.2.2.1 Serie Matemática Progresiva. Aritmética y geometría 7. ........................................................163 4.2.2.2 Dimensión Matemática 7.........................................................................................................171 4.2.2.3 Procesos Matemáticos 7. .........................................................................................................177 4.2.2.4 Matemáticas McGraw−Hill 7º.................................................................................................184 4.2.2.5 Logros Matemáticos. Séptimo grado.......................................................................................189

4.3 Mirada a algunos temas centrales. .................................................. 194 4.3.1 Razón. ............................................................................................................. 194 4.3.2 Proporción. ...................................................................................................... 204 4.3.3 Magnitudes directamente proporcionales. ...................................................... 211 4.3.4 Magnitudes inversamente proporcionales....................................................... 218

Capítulo 5: Síntesis de algunos resultados de la investigación ......................................................223 Introducción. ......................................................................................... 223 5.1 Resultados en nuestra experiencia de formación en investigación en Didáctica de las Matemáticas................................................................ 224 5.2 Resultados en torno a las proporciones y la proporcionalidad ....... 236 xvii

5.3 A modo de conclusión..................................................................... 248

Referencias bibliográficas ................................. 251 Anexo 1: Serie Matemática Progresiva. Aritmética y Geometría 7 (Capítulos 10 y 11) .................... 269 Anexo 2: Dimensión Matemática 7 (Capítulo 10)...................................................... 285 Anexo 3: Procesos Matemáticos 7 (Unidades 9, 10 y 11)......................................... 299 Anexo 4: Matemáticas McGraw–Hill 7º (Capítulo 3)........................................................ 309 Anexo 5: Logros Matemáticos. Séptimo Grado (Capítulo seis).................................................... 321

xviii

Capítulo 1 El contexto general de la investigación

INTRODUCCIÓN En este primer capítulo pretendemos esbozar algunos de los planteamientos que inicialmente, en la fase de concreción del proyecto de investigación, permitieron ir ubicando, orientando y acotando las inquietudes e intereses generales que movilizaron la acción investigativa en el marco de la tesis.

Si bien estos planteamientos están aún distantes de configurar una postura teórica acerca de la investigación en Didáctica de las Matemáticas, consideramos que constituyen una aproximación inicial a la construcción de una postura tal; además, reconocemos que ésta no es una aproximación totalmente original y que su construcción se alimentó de experiencias, reflexiones y planteamientos propios y de otros.

Estudio Didáctico de la proporción y la proporcionalidad.

Presentamos así una visión de la Didáctica de las Matemáticas —en tanto disciplina y campo de investigación—, reseñando algunas consideraciones acerca de su relación con las matemáticas, y presentando una visión de la comunicación de conocimientos y saberes. Ligado a lo anterior, describimos un ámbito problemático general y amplio en el que se ubica la presente investigación; particularmente presentamos a los saberes matemáticos como un objeto medular de estudio de la Didáctica de las Matemáticas y reportamos el Estudio Didáctico como una opción investigativa en torno a éstos.

De estos planteamientos, el que se refiere al Estudio Didáctico de los conocimientos y saberes matemáticos, nos parece particularmente descriptivo de nuestra visión acerca de lo que podría y debería ser una modalidad esencial de investigación en Didáctica de las Matemáticas, que comprometería el proyecto de vida no sólo de unos cuantos investigadores, sino de una comunidad.

1.1 LA DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS Aunque la comunicación de los conocimientos matemáticos ha sido una actividad que ha acompañado a lo largo de la historia la aparición y evolución de los mismos, la reflexión centrada en ésta no había tenido un tratamiento tan especial como el que al parecer se le ha dado en las últimas cinco décadas. Especialistas de diversas disciplinas han realizado trabajos y consideraciones importantes en torno a las dinámicas que utilizan —entre otros— los matemáticos, los profesores de matemáticas y el común de las personas, para comunicar los conocimientos matemáticos; particularmente, se ha generado así una actividad muy interesante, en la cual se analiza, estudia, conceptúa, juzga, polemiza, etc., alrededor del currículo en matemáticas, de la enseñanza escolar de las matemáticas, del aprendizaje de las matemáticas, etcétera.

2

Edgar Alberto Guacaneme Suárez

Capítulo 1: El contexto general de la investigación

Lo anterior, aunado a la necesidad de mejorar los resultados de la enseñanza de las matemáticas, que por estas décadas —y a la luz de las exigencias actuales— se muestra muy deficiente, ha generado el ambiente propicio para el surgimiento de un campo de investigación, y de una comunidad académica, que desde una nueva posición asume el compromiso del estudio de la comunicación de los conocimientos matemáticos. Como resultado de esta dinámica investigativa se han venido acopiando, entre otras, teorías y estrategias investigativas que van configurando una naciente disciplina científica. A esta disciplina y a su campo investigativo asociado se le conoce con diversos nombres, tales como Educación Matemática, Didáctica de las Matemáticas, Matemática Educativa.

Luego de intentar dilucidar si tales nombres denotan objetos diversos, y de advertir que en la distinción entre éstos hay más una carga política que académica, hemos decidido asumir que estos nombres son denominaciones distintas para una misma actividad investigativa y que las pequeñas diferencias que pueden identificarse no ameritan tal distinción. No obstante, hemos seleccionado el nombre Didáctica de las Matemáticas para referirnos tanto a la disciplina como al campo investigativo asociado.

Esta selección no es del todo ingenua; se justifica parcialmente en la coincidencia de nuestra manera de entenderla con el planteamiento de Guy Brousseau en el que sostiene que recientemente ha aparecido bajo el nombre didáctica “un intento de constituir una ciencia de la comunicación de los conocimientos y de sus transformaciones; una epistemología experimental que intenta teorizar la producción y la circulación de los saberes ...” (Brousseau, 1990, p. 260). Somos concientes sí, como también lo advierte Brousseau , que la palabra didáctica ha tenido —y aún conserva— diferentes acepciones; basta reseñar que se emplea como adjetivo1 y

1

“... califica lo que es apropiado para la enseñanza, lo que tiene por finalidad la enseñanza y, más en general, lo que está relacionado con la enseñanza.” (Brousseau, 1990, p. 259.)

Universidad del Valle • IEP • Magister en Educación – Énfasis en Educación Matemática

3


como sustantivo2, que puede ser o bien una palabra culta para designar la enseñanza, o la preparación de lo que sirve para enseñar, o bien el conocimiento del arte de enseñar.

Ahora bien, si se considera la Didáctica como una disciplina, cuyo objeto de estudio es la comunicación de los conocimientos y de sus transformaciones, entonces la Didáctica de las Matemáticas se podría estimar como el campo de estudio de la comunicación de los conocimientos matemáticos y de sus transformaciones. Asumamos esta frase como una protodefinición de la Didáctica de las Matemáticas.

Ahora bien, con esta protodefinición en mente y atendiendo a las diversas finalidades que puede tener la comunicación de los conocimientos matemáticos y sus transformaciones, para la Didáctica de las Matemáticas podrían establecerse al menos tres objetos y/o ámbitos de investigación:

a.

Uno de ellos se ocuparía de estudiar la comunicación, que se da entre los investigadores matemáticos, en aras de la confrontación, validación, innovación, consistencia, etc., de los resultados parciales en el desarrollo de una teoría, de la presentación axiomática de una teoría, de las posibles proyecciones en el interior de las matemáticas de un determinado resultado, etc. Por tanto, éste deberá incluir en su estudio las particularidades de formación y evolución de la comunidad de matemáticos, sus medios y métodos de comunicación, sus criterios de presentación y validación, entre otros. De este modo, podrá estudiar por ejemplo, fenómenos tales como la determinación de las maneras de presentar los resultados de la investigación matemática, el juicio sobre la potencialidad interna de cada uno de los muchos resultados producidos a diario,

2

“... el arte de enseñar, es decir, el conjunto de medios y procedimientos que tienden a hacer conocer, a hacer saber algo, generalmente una ciencia, una lengua, un arte...” (Ibid, p. 260.) 4



la vigencia y pertinencia de resultados anteriores frente a los nuevos, el papel y modalidades de las publicaciones.

b.

Puesto que los conocimientos matemáticos, frecuentemente se ponen en juego como instrumentos y/o herramientas en la construcción de teorías, resultados, explicaciones, etc., éstos deben ser comunicados con la intencionalidad clara de posibilitar su aplicación y utilización en pro del desarrollo de las ciencias, de la tecnología y de la técnica. En este ámbito se contemplaría el estudio de las modificaciones que sufre un conocimiento cuando es apropiado por una ciencia o por la tecnología, las relaciones de mutua dependencia y determinación entre las necesidades de las ciencias o la tecnología y los modelos matemáticos, el valor potencial y actual que se le confiere a los conocimientos matemáticos que han propiciado desarrollos científicos y tecnológicos, etcétera.

c.

Debido a que las ciencias para su evolución y desarrollo requieren ser comunicadas en ámbitos externos al de las comunidades científicas, en un tercer ámbito se tendría como objeto de estudio la comunicación de los conocimientos matemáticos a nivel escolar y extraescolar, con la finalidad específica de que éstos sean aprendidos y permitan la evolución del hombre —en particular—, y de las matemáticas y la sociedad —en general.

Atendiendo a la existencia de estos tres ámbitos, al propósito y objeto mismo de la presente investigación, y a nuestro exiguo conocimiento de los fenómenos presentes en los dos primeros ámbitos, en adelante cuando nos referiramos a la Didáctica de las Matemáticas estaremos generalmente pensando y hablando específicamente del tercero de ellos, sin dejar de reconocer su relación con los otros dos. Así, en el marco del presente trabajo de investigación, la Didáctica de las Matemáticas es un campo de estudio de la comunicación de los conocimientos matemáticos y de sus


5


transformaciones en el ámbito escolar y extraescolar, que se da con la intención de que éstos sean aprendidos por la sociedad en general.

Para profundizar un poco en la comprensión de este enfoque, a continuación presentaremos algunas breves precisiones sobre la Didáctica de las Matemáticas y las matemáticas, y sobre la comunicación de los conocimientos matemáticos.

1.1.1 La Didáctica de las Matemáticas y las Matemáticas Existe un sinnúmero de posiciones que intentan contestar la pregunta ¿qué son las matemáticas?, o mejor, ¿qué se entiende por matemáticas?; éstas cobijan tratamientos filosóficos —particularmente epistemológicos— al igual que posturas y opiniones expresadas desde diferentes disciplinas y campos de investigación.

Desde la Didáctica de las Matemáticas algunos investigadores colombianos han arriesgado consideraciones que aportan elementos a la construcción de posibles respuestas a estos interrogantes; de éstas hemos recapitulado planteamientos parciales de dos de ellos:

El profesor Carlos E. Vasco (Vasco, 1993, p. 2) distingue “tres ramales de una trenza diacrónica, a saber: las matemáticas realmente existentes en la cultura o matemáticas cotidianas, la pedagogía de las matemáticas o matemáticas escolares, y las matemáticas de investigación”, aunque advierte que esta distinción es de índole teórica y que no se corresponde exactamente con la realidad.

La profesora Myriam Ortiz (Ortiz y otros, 1990, p. 11) identifica por lo menos cuatro acepciones de las matemáticas que no son incompatibles ni antípodas entre sí, no

6



obstante su diferenciación posibilita una mejor concepción y ubicación de la investigación; estas acepciones son: •

Las matemáticas como conocimiento individual cotidiano. Corresponde a los

saberes y manejos de las nociones matemáticas logradas por cada quien (individuo, comunidad, sociedad) en su cotidianidad; el aprendizaje de estas matemáticas no exige necesariamente escolaridad. •

Las matemáticas como actividad de la mente humana. Corresponde al proceso

de estudio que el investigador matemático realiza de entes abstractos, a las relaciones que establece entre ellos, o las representaciones a las que ellos se refieren, considerados en condiciones que sólo pueden darse en la mente humana. •

Las matemáticas como producto terminado. Corresponde a los resultados del

trabajo con entes abstractos, presentados como un todo ordenado, coherente, armónico, reglamentado y filtrado por la lógica del razonamiento matemático. Son las teorías en su presentación axiomática (aunque no necesariamente completamente axiomatizadas). •

Las matemáticas como conocimientos aceptados y exigidos socialmente. Son el

conjunto de conocimientos matemáticos que debieran integrar los currículos para contribuir al desarrollo del individuo, de la ciencia y de la sociedad. Por supuesto que no se corresponde exclusivamente con los contenidos temáticos de los programas, sino que además incluye los procesos de construcción y pensamiento, las aplicaciones e interpretaciones de los resultados, etcétera.

Las dos posturas arriba expresadas ofrecen una perspectiva poco convencional y no menos fructífera, que desvela un panorama diferente sobre el cual trazar, caracterizar y distinguir las investigaciones en Didáctica de las Matemáticas. Ambas, ponen en evidencia lugares específicos —aunque no exclusivos— a considerar en las investigaciones y amplían, en cierta medida, el campo de acción sobre el cual plantear cuestiones relativas a la Didáctica de las Matemáticas.


7


Desde nuestra perspectiva, considerando estas posturas es posible entender que la comunicación de las matemáticas escolares o matemáticas como conocimientos aceptados y exigidos socialmente ha sido el objeto medular de estudio de la Didáctica de las Matemáticas, y que ha sido relativamente marginal el estudio de la comunicación para las otras matemáticas; reconocemos así que algunas —si no la mayoría— de las investigaciones en Didáctica de las Matemáticas no han hecho un estudio integral de estas formas de expresión de las matemáticas.

Además, al mirar en detalle de las posturas frente a las matemáticas de estos dos investigadores colombianos, reconocemos que proponen una cierta diferenciación entre los conocimientos que se manejan y se movilizan en cada una de las expresiones de matemáticas.

En este mismo sentido y de manera más explícita Guy Brousseau (Brousseau, 1986, pp. 90–93) formula una distinción entre los conocimientos que se movilizan en las matemáticas de investigación y los involucrados en las matemáticas escolares. A los primeros les denomina conocimientos matemáticos y a los segundos saberes matemáticos. Afirma que la distinción entre un saber y un conocimiento obedece esencialmente a su status cultural; así, identifica un saber como un conocimiento institucionalizado, aunque reconoce que el paso de un status —científico— a otro — cultural— implica transformaciones3 que les diferencian y que obedecen a sus propósitos particulares. Adicionalmente, sostiene que los conocimientos matemáticos no pueden concebirse exclusivamente en su aspecto declarativo —matemáticas como producto terminado—, pues se excluiría el aspecto procedimental —las representaciones, los esquemas, los saber–hacer, etc.—, e incluso se descartaría una componente estrictamente lingüística —los códigos y lenguajes que controlan las formulaciones.

8



Creemos que reconocer la existencia de diversos tipos de conocimiento entre las diferentes expresiones de las matemáticas, no implica necesariamente el reconocimiento de que —utilizando la terminología de Brousseau— los conocimientos y saberes definan categorías disyuntas. Consideramos que un intento de separarlos en tales categorías no sólo sería poco exitoso, sino que además dejaría de lado las coincidencias o características comunes entre éstos. Por ello creemos más importante, para la investigación en Didáctica de las Matemáticas, establecer una comparación entre los conocimientos y saberes, para identificar posibles semejanzas y diferencias.

En esta vía, entendemos que tanto conocimientos como saberes comparten la existencia de características compartidas que se expresan de manera disímil (v.g., los criterios de rigor y validez, el lenguaje, los procesos deductivo e inductivo, las generalizaciones, etc.). Al igual que los conocimientos matemáticos, los saberes matemáticos no podrían concebirse únicamente como los contenidos temáticos que aparecen en forma explícita en los programas curriculares; por ello, se hace necesario incluir en los saberes las representaciones, los procesos de deducción, comprobación y prueba, los métodos de generalización, abstracción y ejemplificación, y de manera especial, los códigos, lenguajes, referentes y significados.

Por otra parte, los saberes no parecen conservar en su conjunto de problemas asociados, las cuestiones fundamentales que precedieron a la construcción de los conocimientos. Además, por el status científico de los conocimientos matemáticos, sus formas de presentación podrían considerarse transculturales, mientras que, las formas de presentación de los saberes matemáticos dependen en gran medida de las diferencias culturales, pues su status es cultural.

3

Yves Chevallard ha construido una categoría de estudio que examina concienzudamente éstas y otras transformaciones que se dan en torno de los conocimientos a los saberes matemáticos, a la cual ha Universidad del Valle • IEP • Magister en Educación – Énfasis en Educación Matemática

9


No obstante la existencia de las anteriores semejanzas y diferencias, tanto los conocimientos como los saberes admiten una concepción falibilista de la matemática como una ciencia cuyos conocimientos y saberes son un producto histórico y social, elaboración de la mente humana, determinados por las condiciones particulares de cada momento y espacio; son conocimientos y saberes construidos, alcanzables y modificables.

Las investigaciones que se realicen con este enfoque de la Didáctica de las Matemáticas deberían no sólo reconocer esta diversidad entre conocimiento y saberes, sino intentar precisar las diferencias y semejanzas entre éstos para el objeto de estudio específico, y ser consecuentes con tal diversidad. Suponemos que ello redimensionará tanto el proceso investigativo como sus resultados.

1.1.2 La comunicación de los conocimientos matemáticos Para el caso particular de las matemáticas terminales, el estudio de la comunicación en el interior de la comunidad de matemáticos se ha centrado en la necesidad de cualificar la transmisión de la información de las teorías en su presentación final; en esta medida la comunicación ha estado fundamentalmente determinada por las características del lenguaje formal —mediado por el rigor—, y marginalmente se ha estudiado la actividad comunicativa involucrada en los procesos de construcción.

Una de las cuestiones que han suscitado tales estudios, y que debe interesar a las investigaciones en Didáctica de las Matemáticas, es la pregunta acerca de la existencia de la posibilidad de comunicación de los conocimientos matemáticos por fuera del lenguaje formal.

denominado Transposición didáctica. 10



En una primera aproximación a una respuesta, se debe tener en cuenta que la historia de las matemáticas muestra que los conocimientos —aun sin abandonar su status científico— han sufrido procesos de transformación debido a la concepción de ciencia —y de matemática— en cada momento histórico; además, muestra que ha sido una constante histórica la necesidad de comunicar de manera eficiente tales conocimientos, construyéndose con este fin sistemas, códigos, símbolos, etc., específicos. Adicionalmente, es necesario advertir que lo se conoce en matemáticas como lenguaje formal es un constructo, obra de los matemáticos, el cual intenta hacer eficiente la comunicación disminuyendo la posibilidad de caer en algunos problemas (paradojas, ambigüedades) que el anterior lenguaje no podía prever y soslayar, y anexando algunas cualidades (economía de pensamiento, universalidad) que no se habían previsto.4 Sin embargo, antes de la construcción de dicho lenguaje existía otro que movilizaba la actividad comunicativa. Por ello afirmamos que sí existe la posibilidad de comunicación de conocimientos matemáticos por medio de un lenguaje no formal, pero que se corre el riesgo de utilizar un lenguaje que incurra en problemas ya superados por el lenguaje formal. Sin embargo, si se trata de comunicar a la comunidad matemática los resultados de la investigación matemática —por lo menos en su presentación axiomática— es ineludible la utilización de tal lenguaje.

Ahora bien, si la finalidad es comunicar para posibilitar el aprendizaje de los conocimientos matemáticos, parece ser necesario tanto transponer los conocimientos a saberes, como modificar la óptica respecto de la comunicación y de la actividad comunicativa.

4

En esta misma línea de discusión, Bertrand Russell (Russell, 1989) sustenta cómo, para la filosofía, es insuficiente mantener el lenguaje de la vida cotidiana, particularmente el significado ordinario de las palabras, y por qué es necesario introducir cambios en la significación de los términos comunes y corrientes. Estas ideas son plenamente transferibles y/o aplicables a las matemáticas y más específicamente a su comunicación formal. Universidad del Valle • IEP • Magister en Educación – Énfasis en Educación Matemática

11


Para abordar la segunda de las cuestiones descritas inmediatamente antes, hemos reconocido que el esquema convencional de comunicación la define como “la transmisión, a través de un canal y desde un emisor a un receptor, de una unidad interpretable por éste en virtud de un código” (Gran Enciclopedia Larousse, p. 251). Bajo este esquema que se ha mirado la actividad de comunicar para posibilitar el aprendizaje; desde esta óptica sesgada, se identifica, de manera exclusiva, la comunicación con la transmisión de información y la actividad comunicativa con la enseñanza, generándose así una actividad de transmisión de conocimientos en donde fácilmente se identifica la función del maestro (emisor), la del alumno (receptor), la de la enseñanza (canal) y donde se concibe a los conocimientos matemáticos como un mensaje (unidad interpretable) enseñable.

Este esquema presenta, de manera implícita, una posición frente al conocer. En ésta se postula al conocimiento como “simple acumulación de información exterior que se le proporcione verbalmente a la persona” (Bustos, 1993, p. 22). Bajo este enfoque se han estructurado diferentes propuestas que han intentado, e incluso han logrado, mejorar la eficacia de las funciones de cada participante en el proceso de enseñanza, pero que, por otro lado, no se han preocupado por redefinir de fondo las responsabilidades en la transformación de la actividad comunicativa, manteniéndose anquilosada tal relación comunicación–información–enseñanza.

Este estado aparentemente inalterable ha mantenido vigentes vicios de la enseñanza de las matemáticas que requieren algo más que modificaciones parciales. Entre éstos podemos señalar por su relevancia y constancia la enseñanza exclusivamente sintáctica de signos y símbolos matemáticos, de sus relaciones y operaciones, sin tener en cuenta los sentidos y referentes de los mismos, provocando desviaciones en la concepción de los conocimientos matemáticos (qué son, para qué sirven, etc.) y por ende de las matemáticas, y la escasa ingerencia que las nuevas tendencias educativas y los desarrollos tecnológicos tienen en la actividad matemática escolar, conduciendo

12



al mantenimiento incólume de una cultura escolar arraigada que niega cualquier posibilidad

de

transformación

acorde

con

los

cambios

socio–culturales

contemporáneos.

Se hace pues necesario redefinir la comunicación de los conocimientos matemáticos y la actividad comunicativa y, por ende, sugerir un nuevo esquema o modelo; éste se constituye así, en un problema típico de la Didáctica de las Matemáticas. Creemos que una redefinición tal debe atender tanto a las características de los conocimientos matemáticos y de las matemáticas, entre las cuales surge de manera relevante el carácter constructivo de las matemáticas, acentuando el hecho de que los conocimientos matemáticos abarcan sus procesos de construcción, transformación y proyección, y no sólo son los resultados terminales de las teorías, como a la concepción epistemológica que se tenga acerca de la actividad de conocer.

Ahora bien, consideramos que no basta con modificar la concepción que de las matemáticas y de la comunicación de los conocimientos matemáticos se tiene. Es necesario que ello permita establecer más claramente los propósitos esenciales que respalden la actividad comunicativa.

A este respecto afirmamos que, al parecer, los conocimientos matemáticos han permitido y exigido cualificar las potencialidades humanas que se refieren al manejo intuitivo y/o racional del pensamiento, haciendo accesibles en cada momento nuevos y diversos niveles de representación, generalización y abstracción, permitiendo de manera dialéctica, no sólo un reconocimiento más amplio y fructífero de la realidad, sino a la vez, mostrando nuevas y más amplias fronteras de ésta. No parece haber razón alguna para dudar que el aprendizaje de los saberes matemáticos no permitan a los individuos de una sociedad modificar, ampliar y transformar la realidad conocida. El aprendizaje de los saberes matemáticos deberá ser entonces la razón de ser de la


13


comunicación, con el ánimo de que los individuos puedan comprender y re–construir su realidad.

Con esta intención en mira, es necesario también revisar cuáles son los saberes matemáticos que permitirían tal propósito y cuáles son las estrategias de comunicación utilizadas. La determinación de cuáles son tales saberes parece haber estado determinada casi exclusivamente por los movimientos en el interior de la actividad matemática y no precisamente por las necesidades sociales de reconstruir la realidad colectiva e individual; del mismo modo, la transmisión de información ha sido la forma esencial de comunicar tales saberes; sin embargo, los deficientes niveles de aprendizaje demuestran que, o bien la enseñanza no ha sido el mejor vehículo para la comunicación o la presentación de los saberes no ha sido la que se requiere en la comunicación o no son éstos los saberes a ser comunicados. En una primera aproximación se puede afirmar que es la combinación de cada una de las razones anteriores uno de los agentes responsables de la situación actual.

De las anteriores consideraciones, nace uno de los campos de acción de la Didáctica de las Matemáticas; desde ella se deberán abordar los problemas de definir los conocimientos matemáticos esenciales para la sociedad actual o futura, de determinar formas de presentación de los saberes que permitan conocer los procesos de construcción de los conocimientos matemáticos y a la vez generen su construcción y de generar formas de comunicación que mejoren el proceso de aprendizaje de los saberes.

1.2 EL ÁMBITO PROBLEMÁTICO DE LA INVESTIGACIÓN Para abordar los asuntos problemáticos descritos en el anterior apartado (v.g., abordar la investigación atendiendo a una visión integral de las diferentes expresiones de las matemáticas, reconocer la diversidad entre los conocimientos y los saberes 14



matemáticos, redefinir la comunicación de los conocimientos y saberes matemáticos y la actividad comunicativa, determinar los saberes a ser aprendidos escolarmente), algunas posturas en Didáctica de las Matemáticas han asumido el estudio científico de cada uno de los elementos y aspectos que aparecen involucrados en los procesos de enseñanza o aprendizaje escolar, ya no como entes individuales, sino como componentes de una unidad, que para efectos de su estudio es necesario dividir pero no independizar.

El estudio de estos elementos y aspectos ha requerido del surgimiento de esquemas o estructuras que permitan ubicar las investigaciones que previamente se han realizado y que determinen el lugar desde el cual se abordarán las futuras investigaciones. La construcción de tales esquemas o estructuras se ha abordado desde diversas disciplinas, lo cual ha generado la aparición de diferentes grados de descripción y un alto número de ellos.

Dentro de los esquemas o estructuras identificados que aportan elementos novedosos y vitales en la investigación en Didáctica de las Matemáticas, se encuentran el propuesto por Patrick Charaudeau (Charaudeau, 1993, pp. 4–7) y el propuesto por Yvés Chevallard (Chevallard, 1985, pp. 21–37).

Charaudeau propone que ningún aprendizaje educativo puede concebirse fuera de una relación triangular, determinada por tres instancias: instancia que enseña, instancia que aprende y objeto del saber. En tal relación triangular, sus tres términos se encuentran en situaciones distintas; en particular, la instancia que aprende y la que enseña no tienen la misma definición en cuanto al saber —el alumno debe adquirir el objeto del saber, el maestro debe saber más que el alumno para poder intervenir en la relación entre el objeto del saber y el alumno. De otra parte, establece que el objeto de saber se manifiesta en maneras diferentes de existir, como saber de base — concierne a la disciplina—, como saber didactizado —reconstrucción del saber de


15


base con fines de enseñanza—, y acorde con los dos anteriores, el saber que construye el alumno. Otro elemento importante con el que Charaudeau caracteriza su esquema, es la existencia de relaciones que se dan entre sus tres componentes, por ejemplo, entre la instancia que enseña y la instancia que aprende se establece una relación pedagógica.

Desde la Didáctica, Chevallard en su modelo ubica en principio tres elementos: maestro, alumno y saber, y entre ellos establece interacciones con características muy especiales; por ejemplo, entre el maestro y el alumno no se establece una relación independiente de la relación entre el alumno y el maestro, sino que se establece una única interacción bidireccional que está compuesta por las dos relaciones anteriormente señaladas, pero que no es concebible como la simple unión o adición de éstas. Adicionalmente, Chevallard vincula estos tres elementos y sus interacciones con el medio, como un cuarto elemento que le sirve de fondo y sobre el cual se establecen conexiones de una manera no explícita. Este medio se define a partir de un saber específico —el programa— y el contrato didáctico celebrado —implícita y/o explícitamente. A este conjunto de elementos, interacciones y medio las denomina sistema didáctico. Así mismo, estructura el sistema de enseñanza como el entorno próximo al conjunto de los sistemas didácticos, y lo caracteriza por su relación de inclusión en la sociedad o noosfera.

Una forma de presentación sintética y esquemática (ver gráfico) de las estructuras citadas las describiría compuestas por tres elementos genéricos (maestro, alumno, saberes), interacciones (conjunto de relaciones) explícitas entre estos tres elementos, y el medio socio–cultural en el cual se ubican y movilizan los anteriores y con el cual también se definen interacciones implícitas.

16



Consideramos que las características de estos esquemas estructurales, por su complementariedad y similitud, ofrecen un modelo que permite ubicar los problemas de investigación, e incluso clasificar las investigaciones en Didáctica de las Matemáticas; por otra parte, proporcionan otro elemento sobre el cual redefinir la comunicación y la actividad comunicativa.

Una de las necesidades fundamentales que surge una vez concebido tal modelo, es responder a las preguntas ¿desde cuál, o desde cuáles de los elementos, interacciones o sistemas de éste es necesario —objetivos—, posible —viabilidad— y pertinente — justificación—, abordar la investigación en Didáctica de las Matemáticas? y ¿cuáles son las ventajas y limitaciones que tendría una investigación que asumiera como objeto de estudio, o punto de partida uno de estos elementos?

En un primer intento de respuesta a tales preguntas intuimos que los saberes pueden convertirse en un ámbito desde el cual observar el entorno para ayudar a cualificarlo, sabiéndose parte de éste. A continuación aparecen algunas ideas que pretenden respaldar esta intuición.


17


1.2.1 Potencialidad de los saberes Examinar la historia de la educación, y particularmente de la educación en matemáticas, proporciona algunos elementos que permiten analizar el poder de los contenidos —vistos como una expresión de los saberes— en la modificación de actitudes hacia las matemáticas.

Miguel de Guzmán (De Guzmán, 1991, pp. 3–7) hace una descripción de la evolución histórica de la enseñanza de las matemáticas en los últimos años. En ella, manifiesta las transformaciones que se presentaron hacia los años 60 y 70 con el movimiento matemática moderna. Si bien este movimiento fue generado por los matemáticos y las modificaciones abarcaron redefiniciones de los conceptos y de las matemáticas mismas, en el interior de la actividad educativa únicamente la propuesta modificó los contenidos y su forma de presentación, en síntesis, los programas. Basta observar en detalle las implicaciones que en el mismo artículo se señalan o las reflexiones realizadas por Morris Kline (Kline, 1986), para determinar el inmenso cambio que se generó en la concepción de las matemáticas —por parte de los maestros y alumnos—, la inmediata transformación de las metodologías utilizadas, los énfasis en temáticas específicas, etcétera.

No obstante, estos cambios de concepción no pueden adjudicarse exclusivamente a la modificación de los programas, pues éstos se enmarcaban en un contexto socio– histórico especial y en una concepción filosófica determinada de las matemáticas y en general de las ciencias. Esto muestra que los cambios en los programas no son el elemento exclusivo en la transformación de la enseñanza de las matemáticas. De no ser así, inmenso poder poseerían entonces los contenidos, pues, basados en este ejemplo histórico, se podría afirmar que la solución al problema de la calidad de la

18



educación en matemáticas sería exclusivamente la adopción de buenos contenidos y buenas formas de presentación de los mismos.5

Ahora bien, si examinamos —en la historia coetánea— el estado actual de la reforma curricular vigente, se puede presuponer que ésta estaría en un mejor nivel, si junto con ella se hubiesen producido una reconceptualización de las ideas de los maestros de matemáticas —en particular—, y de la sociedad —en general.

Resumiendo lo anterior, podemos afirmar que aunque el saber se ha mostrado como elemento vital en las transformación de la educación en matemáticas, se requieren otros elementos que ayuden a fomentar una observación y transformación cualificada.

De otra parte, el estudio de los saberes modifica la concepción de las matemáticas, en primer lugar en los investigadores en Didáctica de las Matemáticas, luego en los maestros de matemáticas que se involucren en los procesos investigativos, posteriormente en los alumnos de estos maestros, y paulatinamente en la cultura y la sociedad.

Por supuesto que modificar la concepción que se tiene de las matemáticas, de sus conocimientos, de su justificación, y de sus propósitos no se consigue exclusivamente mediante la lectura de artículos y consideraciones teóricas. Es necesario, generar una actividad comunicativa que permita vivenciar estas modificaciones.

Puesto que son los profesores los directos responsables de que la comunicación se lleve a cabo, y es precisamente su sesgo particular sobre los aspectos antes mencionados el que propicia más directamente el estado actual de la comunicación, se deberá incluirlos en este tipo de actividad. 5

Esta consideración no pretende negar la relevancia de los contenidos en la cualificación de la comunicación de las matemáticas en el ámbito escolar, su intención es dejar entrever que el problema Universidad del Valle • IEP • Magister en Educación – Énfasis en Educación Matemática

19


Ésta, entre otros, debería considerar una reflexión profunda acerca de las características de su actividad docente en donde aflore la necesidad de profundizar en el estudio de aspectos tales como la naturaleza de las matemáticas, las características de los objetos y procesos matemáticos, las particularidades del pensamiento matemático, etc. y se genere un ambiente propicio para la reconstrucción de los saberes matemáticos aceptados y exigidos socialmente. Ésta es otra de las preocupaciones y consideraciones que deberá guiar la investigación en Didáctica de las Matemáticas.

1.2.2 El Estudio Didáctico de los saberes Como lo señala la profesora Myriam Ortiz (Ortiz y otros, 1990, p. 12), actualmente las matemáticas en su presentación y/o implementación escolar, salvo algunas excepciones que han surgido como alternativas de renovación e innovación curricular, se identifican prioritariamente con las matemáticas como producto terminal; éstas así presentadas carecen de lo esencial desde un punto de vista didáctico: su proceso de construcción.

Con estas matemáticas terminales se limita enormemente la posibilidad de generar procesos de construcción de conocimientos matemáticos, puesto que entre otras, no dan cuenta de los problemas, observaciones y necesidades que en algún nivel de conocimiento anterior, originaron su desarrollo; del conocimiento, manejo y niveles de comprensión, que de ellos se fue teniendo; de los errores y dificultades que afrontaron los matemáticos y la forma como fueron superados; de las variables históricas, sociales, políticas, económicas, científicas y filosóficas que los facilitaron o entrabaron, determinándolos en su momento; de su proceso de utilización y aplicación en la ciencia y la tecnología, y de los niveles de abstracción y generalización que cada concepto ha implicado.

de la calidad de la educación en matemáticas es mucho más complejo. 20



Ahora bien, si se pretende durante la escolaridad generar procesos de construcción de conocimientos matemáticos, es pues necesario rescatar —en la medida de lo posible— como parte de los saberes, estos elementos que hacen parte esencial de los procesos de construcción y determinar en qué medida son vitales en la comunicación–construcción–aprendizaje de los conocimientos matemáticos.

Por supuesto que aunque lo anterior es necesario para mejorar la comunicación de las matemáticas, no es por sí solo suficiente; para esto es necesario, entre otras actividades, realizar y recontextualizar investigaciones —no necesariamente independientes— que centradas en los saberes estudien: a.

Los conocimientos matemáticos asociados con los saberes matemáticos. Si consideramos que los saberes matemáticos escolares son conocimientos matemáticos transpuestos y que unos como otros se comportan de manera no estática, es necesario establecer los movimientos de los conocimientos matemáticos y sus posibles consecuencias en la dinamicidad de sus saberes relativos. Esta dinámica que se presenta tanto en los conocimientos matemáticos como en los saberes matemáticos escolares, Yvés Chevallard (Chevallard, 1982, pp. 208–211) la presenta como fenómeno singular de los segundos, en particular, el fenómeno de la renovación regular de los saberes enseñados, el nacimiento, vida y envejecimiento —e incluso muerte— de los mismos. Esta dinámica se expresa mediante variaciones en la connotación de un concepto o noción, los diversos grados que dentro de la jerarquía conceptual ha ocupado, el carácter de instrumento/objeto de un concepto, el tratamiento que ha tenido respecto de las tendencias (análisis–síntesis) de pensamiento, etcétera.

El estudio de los conocimientos deberá proporcionar algunos de los elementos que sustentan los saberes relativos, permitiendo a la vez mayores y mejores elementos de análisis de las relaciones e interacciones que se establezcan en el Universidad del Valle • IEP • Magister en Educación – Énfasis en Educación Matemática

21


interior del sistema didáctico y posibilitando la observación con una óptica mediada en mayor medida por los conocimientos matemáticos. b.

Los significados matemático y aplicacional de las nociones y conceptos implicados. Una interpretación elemental de las ideas expuestas por Stellan Ohlsson (Ohlsson, 1988, pp. 52–55) permite afirmar que el arreglo formal matemático (axiomas, definiciones, teoremas) que determina e involucra un conocimiento matemático se puede considerar como su significado matemático, y que el significado aplicacional se establece por medio de las relaciones que se puedan instaurar con situaciones del mundo real. Por supuesto que estos significados deberán estar presentes en los saberes matemáticos de quienes tienen a cargo la dirección de procesos de aprendizaje de los conocimientos matemáticos.

c.

Los niveles de complejidad lógica y la esencia de las nociones y conceptos involucradas en estos saberes. Resumiendo las ideas expresadas por la profesora Myriam Ortiz (Ortiz, 1992), se podría afirmar que el determinar los niveles de complejidad de nociones y conceptos matemáticos y determinar la esencia de los conocimientos a construir por los escolares, exige como paso inicial el estudio de cada noción y concepto y la determinación de las nociones o conceptos que les son prerrequisito, lo cual se realiza también para estos últimos, generándose una cadena de prerrequisitos cuya reconstrucción hacia adelante proporciona la primera aproximación a los niveles de complejidad conceptual de la noción o concepto en cuestión. Estos niveles de complejidad conceptual se establecen desde la matemática, atendiendo a los niveles de abstracción y generalización de los conocimientos que son prerrequisito para la comprensión de la noción o concepto y se corresponden en cierto sentido con la complejidad matemática, que dentro de

22



ella misma tiene cada noción o concepto en cada punto de la cadena de prerrequisitos. Las nociones y conceptos que aparecen reiterativamente en las cadenas de varios conocimientos matemáticos se van constituyendo en la “esencia” para la construcción de los mismos. d.

Los esquemas de complejidad psicológica que el aprendizaje de estos saberes contiene. A este respecto, la psicología esencialmente ha aportado numerosos resultados investigativos, ya que uno de sus problemas centrales es la determinación, análisis y discusión de tipologías, secuencias o patrones de razonamiento y aprendizaje respecto de un tipo de conocimiento específico y/o de una temática singular. No obstante, es necesario recontextualizar y/o apropiar estos resultados atendiendo a los aspectos característicos de las investigaciones en Didáctica de las Matemáticas.

e.

Las limitaciones y posibilidades de maestros y alumnos frente a estos saberes. Un alto número de investigaciones psicológicas han estudiado las dificultades que presentan los alumnos en la adquisición de un determinado concepto o noción. Bajo esta concepción se han podido identificar por lo menos tres niveles de dificultades. Un primer nivel comporta las dificultades de carácter psicológico (relativas a los niveles de desarrollo psicológico del individuo respecto de la noción o concepto en juego), un segundo nivel incluye las dificultades de orden didáctico (referidas esencialmente a la inadecuación de los modelos matemáticos escolares propuestos), y un tercer nivel que agrupa las dificultades de carácter epistemológico (atiende esencialmente a los obstáculos que se presentan en el aprendizaje de un concepto, debidos esencialmente a las características epistemológicas del mismo y de los conceptos y nociones involucrados en ellos). No obstante, estas dificultades pueden llegar a


23


presentarse también por parte de los maestros de matemáticas, pues ellos también están inmersos —o debieran estar— como aprendices en procesos de aprendizaje matemático de la noción o concepto en mira. Por supuesto que esta consideración contempla el hecho de que los niveles de abstracción, generalización y matematización no son los mismos que los trabajados por los alumnos en los procesos de aprendizaje, pero sí es consecuente con la dinamicidad y diversidad de status científico de un concepto matemático.

Identificar y clasificar estas dificultades deberá poner en estado de alerta a investigadores y maestros de matemáticas, bien sea para tenerlas presentes en las investigaciones y procesos de aprendizaje, o para indagar posibles estrategias que ayuden a soslayarlas. f.

Las diversas maneras como aparecen presentados los saberes en los textos escolares de matemáticas. La transposición didáctica como fenómeno de transformación de conocimientos comporta dos fases bien definidas (stricto sensu, sensu lato); mientras la primera se ocupa de las características de los saberes que aparecen presentados —implícita ó explícitamente— en las propuestas de programas curriculares y/o en los textos escolares de matemáticas, en relación con los aspectos característicos de los conocimientos matemáticos relativos, la segunda, estudia las transformaciones que sufren estas propuestas cuando se ponen en juego — por intermedio de los profesores— en los contextos escolares. Determinar este tipo de transformaciones permite re–construir parcialmente la génesis de los saberes incluidos en las matemáticas escolares. Adicionalmente, ofrece variables y aspectos —no exclusivamente de índole matemático— a ser tenidos en cuenta en la definición de nuevos saberes matemáticos o de nuevas formas de presentación de los mismos.

24



g.

Las concepciones que poseen maestros de matemáticas y alumnos de las nociones y conceptos involucrados. Si aceptamos como válida la afirmación de que en ningún proceso de aprendizaje se parte de un nivel nulo de conocimiento y que estos conocimientos determinan substancialmente el proceso mismo, surge la necesidad de indagar, identificar y caracterizar aquellos conocimientos. Ahora bien, atendiendo al nivel del concepto matemático en juego y/o al papel desempeñado en el proceso de aprendizaje, las concepciones primarias pueden ser de índole matemático o corresponder a aspectos culturales (no matemáticos) y de conocimiento cotidiano. Establecer estas concepciones aporta a la determinación del punto o puntos de partida en los procesos de aprendizaje o reelaboración.

h.

Las características del medio con respecto a las nociones y conceptos en mira. Como mencionamos en el literal anterior, el punto de partida en los procesos de construcción o reelaboración de conocimiento depende de las condiciones específicas de conocimiento de cada individuo, “las cuales están dadas por la experiencia de vida cotidiana, escolar o no, dentro de patrones particulares de cultura y comportamiento social, y por la mayor o menor organización de esa experiencia de vida” (Ortiz, 1992, p. 2).

Las características culturales, las condiciones del medio, entre otras, determinan particulares recorridos en la iniciación de procesos de construcción o reelaboración de conocimiento matemático, a partir de una situación particular de conocimiento cotidiano. Estos recorridos “se conforman por secuencias de actividades que permiten cubrir los prerrequisitos de cualificación del conocimiento cotidiano, exigidos por las nociones y conceptos iniciales” (Ortiz, 1992, p. 3).


25


El rescate de los elementos esenciales —arriba mencionados— proporciona bases más sólidas sobre las cuales justificar y validar la pertinencia y pertenencia de los conceptos y nociones matemáticas en el currículo escolar.6 De igual forma aporta pautas fundamentales para el análisis de las diferentes formas de presentación y aparición en los programas de matemáticas de tales conceptos y nociones, y brinda aspectos relevantes a tener en cuenta en la reelaboración conceptual por parte de los maestros de matemáticas o estudiantes de licenciatura en matemáticas.

Sin embargo, lo anterior no puede resultar desalentador, sino que por el contrario debe mostrar que los caminos en investigación en Didáctica de las Matemáticas están aún por explorar y que para tal fin se cuentan con derroteros que se van construyendo sobre la marcha y que lo importante es decidirse a dar el primer paso con la seguridad de que nunca se dará el último; así, la meta es el camino.

6

A este respecto es pertinente transcribir algunas líneas del Protocolo Nº 2 del Seminario de Integración y Evaluación II del Programa de Magister, realizado en el segundo semestre de 1994: “Una de las preguntas que se plantea la investigación en Educación Matemática se refiere a la identificación de los diversos aspectos que determinan la inclusión (o exclusión) de temas y contenidos en los programas curriculares. Entre éstos se podrían citar: la pertinencia, la viabilidad, la conveniencia, etc. La valoración de cada uno de estos aspectos no depende exclusivamente ni de las necesidades de formación generadas desde las matemáticas, ni desde los requerimientos y propósitos de la educación en general. Lo anterior se debe a la profunda inserción en que la actividad educativa se encuentra respecto de ámbitos tan disímiles como el social, el político, el económico, el tecnológico, etc. Las particularidades de cada uno de éstos, sus exigencias, necesidades e intereses, determinan de manera potente las características de los elementos que constituyen el currículo y en particular los programas curriculares. En particular, la pertinencia, viabilidad y conveniencia de una temática específica en la escolaridad básica, no dependerá exclusivamente de las decisiones que se tomen atendiendo a las exigencias e intereses de los diversos ámbitos involucrados en la educación. Más aún, y por sobre éstas, surge la necesidad de realizar tales estudios y hacer que sus resultados se involucren en el proceso de ‘negociación’ del currículo, ofreciéndole una nueva dimensión a la investigación en donde sus resultados deberán ganar en autoridad de decisión, trascendiendo sobre y en otros ámbitos, sin excluirlos.” 26


Capítulo 2 Aspectos específicos de la investigación

INTRODUCCIÓN En este capítulo se establecen los aspectos específicos de la investigación; contiene en primer lugar, la contextualización y formulación del problema que finalmente se abordó en el trabajo de tesis; luego se exponen las justificaciones del trabajo; enseguida se expresan la intencionalidad, los propósitos y los objetivos; y finalmente, se esbozan algunos elementos metodológicos.

El contenido de este capítulo es una reelaboración de la segunda parte del proyecto de tesis aprobado en 1996, a partir de lo realizado en el desarrollo del mismo; esta reelaboración implica tanto el replanteamiento de algunas ideas y alcances del proyecto, como la omisión de algunos apartes de aquél (v.g., el presupuesto, que como ejercicio académico se realizó como parte de concreción del proyecto).


2.1 CONTEXTUALIZACIÓN DEL PROBLEMA En primer lugar, es pertinente identificar la tesis como una investigación en el campo de la Didáctica de las Matemáticas, pues uno de sus propósitos y objeto de estudio esencial se corresponde con los conocimientos matemáticos puestos en juego socialmente con la finalidad específica de que éstos sean aprendidos en situaciones particularmente escolares.

La investigación se moviliza en los diferentes tipos de matemáticas reseñados en la sección 1.1.1, pues selecciona una temática específica de los contenidos matemáticos escolares, asumidos como un tipo de saberes de las matemáticas escolares o de las matemáticas como conocimientos aceptados y exigidos socialmente; realiza un análisis de los conocimientos matemáticos asociados que respaldan o de los cuales devienen estos saberes —en esta medida involucra a las matemáticas de investigación y/o a las matemáticas como producto terminado y como actividad de la mente humana—, y determina y examina el tratamiento que se hace en los textos escolares de matemáticas respecto de las nociones matemáticas fundamentales, implicadas por los conocimientos matemáticos en mira —así se incluyen parcialmente las matemáticas cotidianas o las matemáticas como conocimiento individual cotidiano.

Haciendo uso del modelo —sistema didáctico— discutido en la sección 1.2, atendiendo a que las investigaciones en Didáctica de las Matemáticas deben abordar el estudio de todos sus elementos genéricos e interacciones constitutivas, y considerando las características particulares (tiempo, recursos humanos, físicos y económicos) que establecen ciertas restricciones a los proyectos de tesis que como trabajos de grado se realizan dentro de un Programa de Maestría, se hace necesario entonces focalizar la atención en uno de estos elementos o en alguna de las interacciones.

28


Capítulo 2: Aspectos específicos de la investigación

Apoyado por la sustentación realizada en la sección 1.2.1, los saberes involucrados en los procesos comunicativos se convierten en ámbito potente de análisis e investigación; más aún, los saberes matemáticos implicados se constituyen en un aspecto primordial sobre el cual generar la investigación, teniendo presente que éstos coexisten de manera dependiente con los otros elementos del sistema en una relación dialéctica.

Ahora bien, puesto que este Estudio Didáctico se debe realizar en primer lugar, con cada uno de los conceptos y nociones matemáticas que aparecen en los programas curriculares de matemáticas (vigentes en el sistema escolar colombiano) y esto requiere el concurso de toda una comunidad, es necesario escoger un tema sobre el cual realizar la investigación; para el trabajo de tesis, se han seleccionado los saberes matemáticos referidos a la proporción y a la proporcionalidad.

Sin embargo, como se señala en el numeral 1.2.2, aun cuando se hayan determinado los saberes matemáticos como eje central de la investigación y dentro de éstos se haya seleccionado un tema específico, existe una amplia gama de posibilidades investigativas en torno del mismo.

Particularmente, en esta tesis se estudian: a.

Los conocimientos matemáticos asociados con la proporción y de la proporcionalidad. Esta parte del estudio comporta la identificación de algunas presentaciones teóricas de las matemáticas —en tanto producto terminado— que abordan el estudio formal de la proporción y la proporcionalidad, y la descripción y análisis crítico de la manera como estos conceptos son presentados.

Universidad del Valle • IEP • Magister en Educación – Énfasis en Educación Matemáticas

29


b.

Las diversas maneras como aparecen presentados los saberes respecto de la proporción y la proporcionalidad en algunos textos escolares de matemáticas (incluidos los programas curriculares oficiales vigentes). Esta parte del estudio comporta la selección de los textos escolares de matemáticas a ser objeto de estudio, y la identificación, análisis y ubicación de las diferentes formas de expresión de los conceptos de proporción y proporcionalidad en los textos seleccionados y en los programas curriculares.

La investigación en torno a estos dos objetos de estudio es tan sólo una parte del Estudio Didáctico de la temática en juego. Así pues, resta el estudio de la evolución histórica de estos conceptos; el estudio apoyado en la psicología y la epistemología genética de las características del pensamiento proporcional y de los niveles de complejidad psicológica de la noción; la identificación de los niveles de complejidad didáctica y de la esencia de las nociones y conceptos involucrados en la proporción y en la proporcionalidad; la identificación del tratamiento que de estos conceptos hace escolarmente el profesor; el diseño y experimentación de situaciones didácticas; el diseño de situaciones problema, eje de los talleres de reelaboración constructivista del conocimiento de los maestros de matemáticas; el diseño posterior de posibles secuencias temáticas que posibiliten el aprendizaje escolar de la proporción y la proporcionalidad; etcétera.

Los anteriores estudios, que se encuentran fuera de la cobertura de la tesis, y que se disponen como posibles —y necesarias— continuaciones de la misma, le definen como punto de iniciación de un amplio programa de investigación y no sólo como un ejercicio académico investigativo enmarcado en un proceso de formación para la investigación.

30



2.2 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA Una vez contextualizado y —por ende— delimitado el problema es apenas esperado que éste se pueda presentar en forma sintética; la pregunta siguiente tiene esta intención:

¿Desde la perspectiva de la Didáctica de las Matemáticas, cómo es el tratamiento que de la proporción y la proporcionalidad se hace en las teorías matemáticas y en los textos escolares de matemáticas?

Como una respuesta inicial establecemos las dos hipótesis siguientes:

En algunas presentaciones teóricas la proporción es un concepto relacionado con la igualdad entre razones de números y no de fracciones; entre tanto, la proporcionalidad es el objeto de estudio de una teoría que da cuenta de aspectos matemáticos relacionados con una manera particular de variación en una función definida entre dos magnitudes o conjuntos numéricos.

Las formas de expresión de los saberes relativos a la proporción y a la proporcionalidad en los textos escolares de matemáticas corresponden prioritariamente a la igualdad entre dos fracciones de números enteros y a la variación (crecimiento o decrecimiento) escalar de una variable respecto a la variación de otra, entre las cuales existe una relación de dependencia, respectivamente.


31


2.3 JUSTIFICACIÓN

2.3.1 Antecedentes

2.3.1.1 PERSONALES Como integrante, durante un período de más de cuatro años, del Seminario Taller de Investigación en Didáctica de las Matemáticas1 observé y reflexioné en torno a la situación de los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Adicionalmente, en el interior de este grupo se inició el estudio, desde una visión particular de la Didáctica de las Matemáticas, de algunas temáticas específicas que aparecen en los programas de matemáticas para la educación básica y la media vocacional; entre otros, se abordó el estudio de la proporción y de la proporcionalidad.

Como parte del Estudio Didáctico de dicho tema se editó el cuadernillo Elementos intuitivos de la proporcionalidad (Ortiz y otros, 1992) y se realizó —en coloquios de matemáticas y eventos regionales— el respectivo taller de reelaboración conceptual, dirigido a maestros de matemáticas de primaria y secundaria, y a estudiantes de licenciatura en matemáticas.

El contacto con la temática de la proporción y la proporcionalidad —y el interés personal por ésta— inicial y esencialmente estuvo definido por la experiencia como profesor de matemáticas en secundaria, por el estudio en el interior del Seminario 1

El Seminario Taller de Investigación en Didáctica de las Matemáticas fue un grupo de investigación de la Universidad Distrital; estaba conformado por estudiantes y egresados del programa de Licenciatura en Matemáticas y era dirigido por Myriam Ortiz, profesora del Departamento de Matemáticas de la Universidad Distrital. En la actualidad se ha reconfigurado en la Fundación AprendEs dirigida por la profesora Ortiz. 32



Taller del cuadernillo mencionado, y por la experiencia acumulada como participante, observador, auxiliar y codirector de los talleres de reelaboración citados. Simultáneamente, estos elementos me permitieron confrontar que la temática ejemplifica de manera evidente: a.

El ‘desconocimiento’ o ‘insuficiencia en el conocimiento’ que de los conceptos y nociones matemáticas tenemos los maestros de matemáticas. Para el caso específico de la proporción y la proporcionalidad, se observa que no existe claridad, ni seguridad en las respuestas que se dan a las siguientes preguntas que se relacionan con estos temas y que determinan algunas de sus características como conocimientos matemáticos: ¿qué son, cómo se caracterizan y usan los conceptos de proporción y proporcionalidad?, ¿es la proporción una relación entre relaciones, una igualdad entre fracciones?, ¿qué significa proporcionalidad directa, proporcionalidad inversa, magnitudes directa o inversamente proporcionales, constante de proporcionalidad?, ¿en qué medida los conceptos de proporción y proporcionalidad se relacionan con los conceptos y nociones como el de razón, medida, magnitud, igualdad, equivalencia, función lineal, linealidad, homogeneidad?, ¿es la razón un cociente, una fracción, un número, una relación?, ¿existe alguna relación entre razones aritméticas, geométricas, armónicas y proporción? y ¿dentro de cuáles teorías matemáticas se inscriben y presentan la proporción y la proporcionalidad?

Seguramente, es este desconocimiento una de las causas más relevante en el mantenimiento de las estrategias que privilegian la utilización exclusiva de discursos expositivos de contenidos, especialmente la exposición de métodos, técnicas y algoritmos, y el empleo de supuestos ejercicios de aplicación. Para el caso particular de la proporción y la proporcionalidad esta estrategia tiene como principal manifestación la repetición de un modelo que privilegia la utilización de la regla de tres en la solución de ejercicios, sesgando las potencialidades del Universidad del Valle • IEP • Magister en Educación – Énfasis en Educación Matemáticas

33


tema desde el punto de vista del desarrollo del pensamiento matemático —en general— y del pensamiento o razonamiento proporcional —en particular.

Lo anterior tal vez se deba parcialmente a las características propias de los programas de formación de los maestros de matemáticas, pues en éstos no se contempla la posibilidad de realizar un Estudio Didáctico de los conceptos matemáticos fundamentales; por ejemplo, en el caso particular de la proporción y la proporcionalidad únicamente se realiza el estudio de las funciones lineales, pero no se hace explícita su relación con la proporcionalidad, se efectúa un estudio de las relaciones de equivalencia, pero no se estudia la proporción como un ejemplo de ésta, etcétera. b.

La necesidad de procesos de aproximación a las nociones de proporción y proporcionalidad. No es muy fácil encontrar descripciones de procesos de aproximación — desarrollables escolarmente con estudiantes— que recorran, paulatinamente y de acuerdo a las posibilidades de desarrollo psicológico, varias fases y niveles de representación, antes de llegar a una conceptualización y/o formalización de tales conceptos. Suponemos que en tales procesos de aprendizaje de la proporción y la proporcionalidad, es necesario —mas no suficiente— el reconocimiento de características de los objetos físicos, para poder —en una etapa posterior— clasificarlos de acuerdo a si son comparables o no; luego, si son comparables cualitativa o cuantitativamente; después, si es posible establecer comparaciones cuantitativas numéricas o no numéricas, mediante conteo o medición; posteriormente, establecer relaciones y/o comparaciones entre estos resultados; etc., y así ir ascendiendo y pasando a diferentes niveles de representación cada vez más próximos a la noción y al concepto matemático en mira.

34



2.3.1.2 INVESTIGATIVOS En una primera aproximación a algunos documentos (informes de investigación, artículos de divulgación, libros, etc) consultados durante el período de diseño del proyecto de tesis se construyó una primera clasificación de los mismos, la cual atiende esencialmente al objeto de estudio, determinado a la vez por la selección del aspecto del sistema didáctico sobre el cual se generó éste. De esta forma se describieron aproximadamente siete grupos así: a.

Documentos cuyo centro son los esquemas de razonamiento que se manifiestan en el aprendizaje de la proporción o la proporcionalidad. En este grupo se ubicarían los trabajos El aprendizaje de la estrategia de la comparación de proporciones (Corral, 1987), Ratio and proportion (Hart, 1988), La adquisición de la noción de proporcionalidad según diferentes tipos de estructuras multiplicativas por el niño de 8 a 11 años (Carretero, 1989), El esquema de proporción y el aprendizaje escolar (Rapetti, 1990), Patrones de razonamiento proporcional en la resolución de tareas de ciencias (Acevedo, 1991) y El aprendizaje desde la instrucción: la evolución de las estrategias personales en tareas de proporcionalidad numérica (Llinares y Sánchez, 1992).

b.

Documentos cuyo eje son algunas características de la proporción o la proporcionalidad en situaciones de aprendizaje. En este grupo estarían clasificados los documentos Aspects analytiques et aspects analogiques de la proportionnalité dans une situation de formulation (Sokona, 1989), Relaciones teórico–empíricas entre los esquemas de proporción, probabilidad y covariación (Fernández, 1990), Semejanza y proporcionalidad en la escuela secundaria (Albabera, 1993) y Les instruments du travail mathématique: Le cas de la proportionnalité (Bosch, 1994).


35


c.

Documentos cuyo foco es la historia de la proporción o la proporcionalidad dentro de un currículo particular y sus implicaciones en el aprendizaje. A este conjunto de documentos pertenecería La proportionnalité et son utilisation (Dupuis y Pluvinage, 1981).

d.

Documentos cuyo núcleo es el razonamiento proporcional. En este grupo se ubicarían los trabajos Proportional reasoning (Lesh y otros, 1988), Proportional reasoning (Cramer y Post, 1993) y Ratio and proportion: connecting content and children's thinking (Lamon, 1993).

e.

Documentos que exponen algunas consideraciones acerca de la proporción y la proporcionalidad como saberes y conocimientos matemáticos. En este grupo estarían los documentos Introduction to ratio and proportion (Brousseau, y otros, 1969), Proporcionalidad y sus aplicaciones (Jarufe, 1984), Rational number, ratio, and proportion (Behr y otros, 1984), Une expérience d'enseignement de la proportionnalité aux élèves instituteurs (Pezard, 1985), Proporcionalidad y sus aplicaciones (Colombia–MEN, 1985), The importance of ratio and proportion in school mathematics (Hart, 1989), Proporcionalidad directa. La forma y el número (Fiol y Fortuny, 1990), Proporcionalidad geométrica y semejanza (Grupo Beta, 1990), Elementos intuitivos de la proporcionalidad (Ortiz y otros, 1992), A propos de l'enseignement de la proportionnalité (Pezard, 1993) y Naturaleza del concepto de función. La proporción como relación privilegiada (Melchor, 1994).

f.

Documentos

que

contienen

fundamentalmente

aspectos

histórico–

epistemológicos de la proporción o de la proporcionalidad. A este conjunto de documentos pertenecerían La Aritmética en Roma, en India y en Arabia (Sánchez, 1949), The Thirteen Books of Euclid's Elements (Heath, 36



1956), Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (Kline, 1972), The historical development of the calculus (Edwards, 1979) , De la théorie des proportions à la théorie des nombres réels (Cousquer, 1994), Pre-Euclidean Theory of Proportions (Thorup, sin fecha), De exhausión a las cortaduras: primeras etapas de la teoría griega de las proporciones (Wilbur, 1992) y La definición de proporción de Eudoxio. La "exhausión" de Eudoxio aplicada al círculo (Zubieta, 1991). g.

Documentos que expresan la relación y aparición cultural y/o social de las proporciones y la proporcionalidad. A este conjunto de documentos pertenecerían An ethnographics study of the mathematical ideas of a group of carpenters (Millroy, 1991) y Problemas de proporcionalidad resueltos por campesinos Chilenos (Soto y Rouche, 1995).

2.3.2 Justificación de la temática La potencialidad de la proporción y de la proporcionalidad como objeto de estudio desde la Didáctica de las Matemáticas depende, entre otras razones, de: a.

Su situación en el interior de las matemáticas, especialmente de las matemáticas escolares. La proporción y más exactamente la proporcionalidad se puede considerar como el “núcleo a partir del cual se unifican las líneas básicas de algunas nociones” (Fiol y Fortuni, 1990, p. 118), conceptos y temas matemáticos (v.g., razón, fracción, número racional, número decimal, medida, porcentajes, probabilidad, funciones lineales, teorema de Thales, semejanzas, homotecias, escalas,

relaciones

trigonométricas).

En

suma,

la

proporción

y

la

proporcionalidad ocupan una posición ciertamente particular, pues cumplen


37


dentro de las matemáticas escolares una triple función: como objeto, prerequisito y útil; de forma análoga se les podría ubicar como elementos unificadores o generalizantes y a la vez como casos particulares de conceptos más generales.

Desde la visión adoptada por el TIMSS (Universidad del Valle, 1996), la proporcionalidad comparte junto con otras nueve temáticas generales el status de categorías curriculares que permiten la construcción de un entramado organizativo de los contenidos temáticos de la educación básica escolar en matemáticas. Este reconocimiento, al igual que el crítico desempeño de los estudiantes colombianos y extranjeros participantes en el estudio en las preguntas referidas a esta temáticas, se constituyen en otro aspecto considerable en la valoración de la temática.

Adicionalmente, el hecho de que los libros V, VI y VII de Los Elementos versen respectivamente sobre la teoría de la proporción para magnitudes en general, la aplicación de dicha teoría a la geometría plana, y la proporcionalidad aritmética, así como que tratados medievales de Nicole Oresme Algoritmus proportionum o los de Lucas Pacioli Summa de Aritmetica, Geometria, Proportione et Proportionalita y de Divina Proportione se ocupen de esta temática, y en los trabajos de Dedekind aparezca una reformulación vía las cortaduras, asigna a la proporción y a la proporcionalidad un lugar destacado dentro del panorama general de los conceptos matemáticos. b.

Su vínculo como conocimiento instrumental auxiliar de otras ciencias y de la técnica. A pesar de la idea de que los conocimientos relativos a la proporción y a la proporcionalidad son importantes en muchos temas dentro de otras disciplinas (física, biología, química, etc), no existen —o por lo menos en el momento son

38



desconocidas por nosotros— descripciones detalladas de su carácter utilitario. No obstante, se puede afirmar que algunos conceptos de las ciencias naturales (velocidad, aceleración, densidad, presión, concentración, dilatación, etc.), algunas leyes (ley de Ohm, ley de Hooke, ley de Proust, etc.) y algunos conceptos y necesidades de las ciencias sociales (densidad de población, tasa de natalidad, lectura de mapas, interpretación de gráficos, etc.) se relacionan con los conceptos de proporción y proporcionalidad, bien sea utilizándolos como instrumentos o como requisitos.

Además, un resultado de la historia de las ciencias pone en evidencia la utilización de la proporción, y más exactamente del lenguaje de las proporciones, como instrumento y medio —imprescindible— de comunicación de resultados y de explicación de fenómenos (generalmente físicos), pues éstas permitían establecer un modelo matemático de interpretación de las relaciones entre algunas de las variables que intervenían en dicho fenómeno. c.

Su utilización como elemento de juicio (evaluador) del desarrollo psicológico del individuo. Dentro de la psicología y más exactamente desde la psicología genética se le ha asignado a la proporcionalidad un valor especial, pues “la considera uno de los esquemas operativos fundamentales del estadio de las operaciones formales” (Fiol y Fortuni, 1990, p. 118), esta valoración ha derivado en la utilización de problemas que involucran a la proporción o a la proporcionalidad en la determinación —de acuerdo con los patrones de razonamiento seguidos en la resolución— del nivel de desarrollo psicológico del individuo. En otras palabras, a menudo se utiliza el resultado de resolver un problema que involucre a la proporción o a la proporcionalidad, como elemento de juicio cuando se quiere saber si un individuo posee un pensamiento formal.


39


Así mismo, aparece asociado a estos conceptos matemáticos, un tipo de razonamiento matemático denominado como razonamiento proporcional (característica bastante exclusiva de algunos conceptos matemáticos). Posiblemente bajo este enfoque en el documento Proportional Reasoning (Lesh y otros, 1988, pp. 97-107) se distingue al razonamiento proporcional como un (capstone2) recubrimiento de la aritmética elemental, de los conceptos de número y medida, y simultáneamente como una (cornerstone) piedra angular del álgebra y de otras áreas de nivel superior. d.

Su cualidad de obstáculo o dinamizador epistemológico. En aras de concebir los conocimientos matemáticos desde una visión más amplia que la tradicional, la movilidad de su carácter epistémico a través de la historia se convierte en un aspecto vital en la comunicación de los mismos.

Como lo plantea Claude Janvier (Janvier y otros, 1989, pp. 68-70), la cualidad —asignada históricamente a la proporción— de obstáculo epistemológico para la construcción de la noción de variable —en su connotación de variación continua y conjunta— existe también en el aprendizaje; tal obstáculo se determina esencialmente por la imposibilidad de concebir razones entre magnitudes de distinta especie3 y por tanto igualdad entre las mismas, y por la dificultad de pensar —por lo menos en cierta etapa de desarrollo— el carácter funcional4 de la proporción. En efecto, la mayoría de los trabajos sobre

2

Si bien la palabra inglesa capstone designa la clave de un arco o bóveda, o la piedra que lo corona y cierra, la hemos traducido como recubrimiento. 3 Desde las investigaciones en el campo de la psicología se ha convenido en denotar por lo menos dos modos de expresión de la proporción: la escalar y la funcional. El primero está caracterizado por establecer una relación de igualdad entre dos razones de magnitudes de igual especie dos a dos (v.g., 15 m 2 5m 7 m = 21 m2 ); mientras que en el segundo se establece una relación de igualdad entre razones de magnitudes de diferente especie dos a dos (v.g.,

5m 15 m 2

=

7m 21 m2

)

4

Desde el punto de vista matemático —a diferencia de la especificación psicológica—, el carácter funcional de las proporciones guarda estrecha relación con la posibilidad de la variación continua de 40



pensamiento proporcional han revelado que los alumnos de 12-15 años comparten por así decir con los antiguos, el hábito que consiste en evitar combinar las unidades.

Contrastando con el papel jugado por la proporción en la construcción de la noción de variable, Teodoro Melchor (Melchor, 1994) destaca e indaga acerca de la utilidad y potencia de la variación proporcional, tanto en la construcción escolar del concepto de función —particularmente como vehículo que permite visualizar enlaces entre aspectos geométricos/gráficos y analíticos/formales— como en la solución de problemas escolares de cálculo que tradicionalmente requieren del uso de las derivadas. e.

Su ambigüedad lingüística. Las palabras ‘proporción’ y ‘proporcionalidad’ parecen tener en las matemáticas —por lo menos en su presentación pseudo–axiomática— significados muy precisos —o por lo menos significados con exiguos grados de discrepancia—, lo cual contrasta con la variedad de significados asignados en los discursos cotidianos no matemáticos o incluso en las presentaciones escolares de las matemáticas; estos significados han sido objeto de estudio por parte de algunos investigadores y es posible encontrar clasificaciones de los mismos que dan cuenta de la diversidad.5 Esta amplia gama de significados

cada una de las magnitudes implicadas en la relación de proporción, más que con la especie de las mismas. 5 En la sección 1.2: La proporcionalidad y el lenguaje (Fiol y Fortuny, 1990, pp. 19-21), aparece una clasificación de los significados de la palabra proporción, en ésta se distinguen y ejemplifican por lo menos tres significados diferentes; así, se señala que: “ a) La palabra proporción puede sustituir palabras de uso cotidiano como: 1. Parte, trozo. 2. De forma, de manera. 3. Según. b) Otras veces indica cualidad o aspecto. 1. En sentido general. 2. Estéticamente bien construido o formado. Universidad del Valle • IEP • Magister en Educación – Énfasis en Educación Matemáticas

41


están, por supuesto, presentes en los procesos de comunicación escolar y por tanto es un aspecto importante a considerar no sólo en los procesos de aprendizaje sino también en las investigaciones relativas a la temática en juego. f.

Su permanente aparición temprana en contextos cotidianos no escolares. Desde los primeros años de la vida el niño “para moverse en su entorno físico, utiliza la noción de proporcionalidad, así en: estimar el tamaño real del objeto que está lejos o en interpretar imágenes tan cotidianas como dibujos, fotos, cine, pósters, carteles, etc. Y esto no sólo a nivel cualitativo, sino que también y muy pronto aparecen intentos de cuantificación” (Fiol y Fortuni, 1990, p. 119). Esta afirmación se respalda no sólo en la experiencia cotidiana sino que además cuenta con el respaldo de análisis efectuados por Freudenthal, Van den Brink y Streefland, entre otros. No obstante, como lo han comprobado algunos investigadores (v.g., Piaget, Limmat, Karplus, Vergnaud, Hart), es un concepto que presenta muchas dificultades a nivel de aplicación y formulación.

2.4 INTENCIONALIDAD, PROPÓSITOS Y OBJETIVOS

2.4.1 Intencionalidad Puesto que la tesis hace parte del proceso de formación de investigadores en el campo de la Didáctica de las Matemáticas, y en ella está implicado un proceso experiencial

c)

42

3. Tamaño. 4. Cantidad o medida. Como expresión de una comparación o relación. 1. Acción de “relativizar”. 2. Entre dos números. 3. Comparando fracciones. 4. Comparando dos magnitudes, sean éstas explícitas o no. 5. Como tasa, índice o tanto por ciento. “ Edgar Alberto Guacaneme Suárez


de análisis, selección o diseño de metodologías de investigación acordes con el objeto de estudio del campo, y de estudio, desarrollo y construcción de elaboraciones y posiciones teóricas coherentes —respecto al campo y al tema particular de investigación; etc., se pretende mediante el desarrollo de la misma:

Contribuir al avance de la investigación en Didáctica de las Matemáticas del País.

Como se señaló en el numeral 1.2.2 el estudio e investigación en torno a un saber específico posee una gran diversidad de frentes de trabajo, los cuales son abordables en conjunto, únicamente mediante programas y equipos de investigación, por tanto la investigación que aquí se presenta, aspira a:

Aportar al Estudio Didáctico de las nociones de proporción y proporcionalidad.

2.4.2 Propósitos Muchas de las ideas y motivaciones implicadas en este proyecto de tesis tienen estrecha relación con los avances a nivel teórico construidos en el Seminario Taller de Investigación en Didáctica de las Matemáticas y registrados esencialmente en la Línea de Investigación en Didáctica de las Matemáticas (Ortiz y otros, 1990). Se espera que al poner en juego estas elaboraciones a través de la tesis se pueda:

Contribuir al proceso de cualificación y validación de la Línea de Investigación en Didáctica de las Matemáticas. Particularmente se espera que la investigación posibilite la construcción de derroteros que orienten trabajos en una sub–línea de investigación en torno a la construcción escolar de la proporción y la proporcionalidad. Universidad del Valle • IEP • Magister en Educación – Énfasis en Educación Matemáticas

43


Durante la etapa final del proceso de diseño se pudieron establecer puntos de contacto y coincidencia con el Programa de Investigación en Educación Matemática (Arce y otros, 1995a) y se vislumbró la relación cultura matemática–pensamiento matemático, como una variable que podría ampliar el dominio del Estudio Didáctico. Así, se espera que a través del desarrollo de este proyecto de tesis se pueda:

Establecer de manera explícita los aspectos específicos de la relación cultura matemática–pensamiento matemático, que permitirían ampliar el dominio de estudio del Estudio Didáctico, como propuesta de investigación.

2.4.3 Objetivos Como se esboza en la delimitación del problema, la investigación tiene como objetivos propios:

Reconocer el lugar y el rol de los conceptos de proporción y proporcionalidad dentro de la(s) teoría(s) matemáticas formales y en los textos escolares de matemáticas.

Permitir identificar aspectos relevantes para la construcción de un conocimiento

didáctico

de

los

conceptos

de

proporción

y

proporcionalidad.

44



2.5 ASPECTOS METODOLÓGICOS

2.5.1 Una reflexión inicial Uno de los aspectos fundamentales —y no el menos álgido— en la concreción de un proyecto de investigación en el campo de la Didáctica de las Matemáticas, es la determinación de la metodología de investigación.

Presumiblemente algunas de las causas de tal dificultad son la reciente aparición de la Didáctica de las Matemáticas como campo específico de investigación; las diversas posturas frente al objeto y objetivos de investigación del campo; la confluencia en un mismo campo investigativo de dos actividades —la educación y las matemáticas— de naturaleza tan aparentemente disímil; la confluencia de las metodologías, métodos, presentación de resultados, etc., de las diversas disciplinas que configuran el campo de investigación; y la urgencia social y académica de resultados eficaces y eficientes.

A pesar de las anteriores y otras dificultades, existen diversas propuestas que podrían considerarse metodologías o derroteros para la investigación. Dentro de éstas podrían citarse La ingeniería didáctica y la transposición didáctica.

No obstante, aun contando con estas propuestas o derroteros metodológicos concebidos desde el mismo campo, surgen por lo menos dos frentes problemáticos en la definición de la metodología. Éstos son: a.

Existen por lo menos tres posibilidades de definición de una metodología. En efecto, vemos que hay tres posibilidades, a saber: la adopción de una metodología preconcebida, el diseño de una metodología propia que se


45


corresponda con las características intrínsecas de una investigación particular, o la confluencia de dos o más de estas propuestas.

En cada uno de estos casos se presentan algunos conflictos que dificultan la determinación de la metodología. Si se elige una metodología utilizada anteriormente en algún proyecto dentro del campo de investigación, se corre el riesgo de implementarla en condiciones diferentes a aquellas en donde posiblemente ésta obtuvo su validación. Si se opta por utilizar dos o más metodologías dentro de un mismo proyecto, se corre el peligro de poner en juego concepciones teóricas y prácticas posiblemente contradictorias. Si se diseña una nueva metodología, ésta se enfrenta a dos situaciones aparentemente antípodas: por una parte, debe marcar derroteros sobre los cuales se oriente y dirija la investigación, y por otra, debe permitir la posibilidad de convertirse simultáneamente en objeto de investigación. b.

La metodología a utilizar depende en gran medida del objeto central de estudio. Si la investigación tiene como centro de referencia un determinado concepto matemático, es necesario conocerlo a profundidad. Sin embargo, este conocimiento no se limita al entendimiento del concepto en el marco exclusivamente matemático; es necesario conocer las diferentes miradas y observaciones que desde las disciplinas que configuran la Didáctica de las Matemáticas se han realizado del concepto en mira. Así, se hace necesario este estudio como un elemento esencial en la realización de cualquier investigación, lo cual determinaría un primer elemento en la metodología, pero este estudio se constituiría en sí mismo en una investigación que a su vez requeriría de una metodología particular. En este punto surgen las inquietudes siguientes: ¿existen metodologías consistentes con la interdisciplinariedad para la realización de tal estudio? y ¿cómo se caracterizan (o caracterizarían) éstas?

46



Si la investigación intenta estudiar las concepciones y/o significaciones que posee un individuo (o un colectivo) respecto de un concepto matemático particular, deberá tener en cuenta que el manejo que de éste se hace depende en gran medida del contexto en que el concepto se ponga en juego. En contextos escolares, existen herramientas que ayudan a obtener dicha información (situaciones didácticas y a–didácticas, test, resolución de problemas, entrevistas, etc) y en contextos no escolares se cuenta con los aportes de las metodologías etnográficas, esencialmente. Pero surgen por lo menos dos interrogantes: ¿en qué medida esta adjudicación de estrategias de investigación están determinadas por los contextos? y ¿en qué medida por el concepto en juego?

Si la investigación tiene como objetivo indagar las concepciones y/o significaciones que se expresan en un texto escolar de matemáticas respecto de un concepto matemático específico, parecería que la subjetividad del objeto a observar, desaparece y únicamente persistiría en la observación la subjetividad del observador. Pero entonces habría que preguntarse:¿si aún existiera el elemento subjetivo a través de la intención y concepción del autor del texto, la connotación y/o significación estaría aún impregnada de subjetividad? y ¿si se considera que los textos no tienen en sí mismos significado, sino que éste es atribuido por el lector, lo que se observaría estaría plenamente impregnado de subjetividad, y por tanto existirían tantas observaciones como observadores?

La anterior dupla de frentes problémicos se constituyen de facto en objeto de análisis en el desarrollo del proyecto de tesis mismo y no sólo en la etapa del diseño del mismo proyecto. Esta dupla ejemplifica de manera evidente que en Didáctica de las Matemáticas también es necesario caminar para construir camino.


47


2.5.2 Descripción de actividades La realización del proyecto de tesis involucró el desarrollo de las siguientes actividades: 1.

Identificación de teorías que aborden un tratamiento formal de la proporción y la proporcionalidad.

2.

Estudio de las teorías y resultados matemáticos que involucran e implican a la proporción y a la proporcionalidad.

3.

Determinación de programas y textos a ser objeto de estudio.

4.

Determinación de variables en el análisis de los programas y textos.

5.

Revisión y análisis de los programas y textos escolares de matemáticas.

Para lograr identificar las teorías que abordan un tratamiento formal de la proporción y la proporcionalidad, optamos inicialmente por entrevistar a algunos profesores del Departamento de Matemáticas de la Universidad del Valle, especialistas en diversas disciplinas matemáticas (Geometría y Topología, Álgebra, Análisis Matemático y, Probabilidad y Estadística). Un primer resultado de estas entrevistas se relaciona con una mayor valoración de la temática en juego; en efecto, al menos dos de los profesores entrevistados identificaron la proporcionalidad con la linealidad e hicieron una exaltación de ésta como potente modelo matemático. Un segundo resultado fue el evidenciar que los entrevistados no conocían una teoría matemática que abordara la proporción y la proporcionalidad desde el punto de vista formal, hecho que motivó aún más la necesidad de abordar el problema objeto de estudio.

Iniciamos entonces una búsqueda de documentos de matemáticas que tuvieran una aproximación formal o seudo–formal a la proporción y la proporcionalidad, encontrando —con relativa dificultad— algunos textos universitarios de matemáticas (que habían sido editados a mitad del siglo pasado), y tres documentos de Didáctica de las Matemáticas (editados en la última década), que satisfacen tal condición. Con

48



tales textos iniciamos el trabajo de exploración de los conceptos objeto de estudio y/o de las teorías presentadas. Casi al final de este estudio, advertimos que nuestro afán de encontrar teorías relativamente recientes que abordaran el tratamiento formal de la proporcionalidad nos había cegado para ver que la historia de las matemáticas reseña los libro V, VI y VII de los Elementos como una teoría como la que estuvimos buscando en documentos de más de veinte siglos después.

Como cada uno de los textos que estábamos estudiando presentaba un tratamiento propio y no siempre coincidente con el de los otros (sin que esto implicara que fueran contradictorios entre sí), nos vimos en la necesidad de seleccionar uno que nos permitiera estructurar el estudio, la recapitulación de la teoría y los comentarios resultantes del análisis. Sólo en el momento de iniciar a realizar el estudio de los aspectos matemáticos advertimos la necesidad y potencia de desarrollar un análisis prolijo de tales discursos matemáticos, así como la consecuente profundidad que se podía lograr y el mayor tiempo que esto implicaba. La escritura del capítulo que contiene el resultado de este análisis requirió también un trabajo de filigrana para intentar lograr transmitir ordenada y pulcramente el sinnúmero de comentarios que de manera abundante y constante iban surgiendo en torno a las ideas presentadas en los textos estudiados; si bien creemos no haber logrado tal nivel de armonía, sí estamos convencidos de haber hecho nuestro mejor esfuerzo por lograrlo.

El grueso de las tres actividades (determinación de programas y textos a ser objeto de estudio, determinación de variables en el análisis de los programas y textos, y revisión y análisis de los programas y textos escolares de matemáticas) relacionadas con la determinación de las formas de expresión de los conocimientos matemáticos referidos a la proporción y la proporcionalidad en las propuestas curriculares y en los textos escolares de matemáticas, se realizó con posterioridad al estudio de las presentaciones formales.


49


La determinación de programas y textos a ser objeto de estudio fue un proceso relativamente sencillo; basados en nuestra experiencia docente en cursos y talleres de análisis de textos, y en los planteamientos de las propuestas curriculares en matemáticas de las últimas tres décadas, pudimos seleccionar algunos textos escolares de grado séptimo que abordan el estudio de la proporcionalidad. Estos textos, en cierto sentido representan aspectos de sendos programas curriculares propuestos en esta reciente historia curricular.

Si bien, la actividad de determinación de variables en el análisis de los programas y textos estuvo también mediada por la misma experiencia que nos permitió seleccionar los textos y las propuestas, en ésta tuvimos que proceder de manera más cauta, pausada y dialéctica. De hecho, la misma actividad de revisión y análisis de los programas y textos escolares de matemáticas, alimentó tal determinación de variables, y viceversa.

Definimos, entonces que el análisis reportaría tres niveles de aproximación a los textos y a las propuestas. El primero daría cuenta de sus estructuras generales, el segundo de las estructuras de las unidades temáticas a través de las cuales se propiciaba el estudio de la proporción y la proporcionalidad y el tercero presentaría una mirada al tratamiento de algunos temas centrales en esta temática.

Al igual que en el caso del estudio de las teorías formales, durante el desarrollo del análisis de los textos pudimos advertir que nuestras pretensiones relativas a la amplitud y profundidad de tal análisis eran realmente limitadas, comparadas con la potencialidad y profundidad que se iba desvelando a medida que desarrollábamos el análisis. Nos dimos a la tarea entonces de realizar el análisis con sumo cuidado y detalle intentando responder a las infinitas e insondables posibilidades que día a día se nos presentaban a nuestros ojos. Creemos que no logramos abordar tal profundidad y amplitud, pero estamos convencidos que nuestro esfuerzo por lograr plasmar en el

50



capítulo que reporta en extenso los resultados de nuestra actividad en torno a los textos, dio resultados que se aproximan a las expectativas que se le pueden plantear a un trabajo de análisis de textos.

Una vez concretados los resultados en torno a los dos objetos de estudio procedimos a hacer una identificación de los aspectos que a nuestro parecer pudieran ser más relevantes y a elaborar una síntesis de éstos, con lo cual finalizamos nuestro trabajo en esta experiencia investigativa que no sólo constituye un pasado personal y profesional para quienes estuvimos implicados, sino que le ha dado un nuevo panorama a nuestro futuro académico.


51

Capítulo 3 Una mirada a los aspectos matemáticos formales

INTRODUCCIÓN A continuación recapitulamos una presentación de algunas teorías matemáticas que abordan el estudio de la proporción y la proporcionalidad, expresando, simultáneamente, algunas observaciones que consideramos relevantes frente a algunos aspectos implicados en esta presentación (v.g., los significados identificados para los conceptos tratados, las relaciones establecidas entre los conceptos, el rigor matemático expresado en las presentaciones teóricas, el papel en la teoría de definiciones y teoremas, el uso de la notación). Hemos intentado que tales observaciones a la vez que ayuden a la descripción y comprensión de las teorías, permitan criticar algunos aspectos de las mismas.

Para distinguir la recapitulación, de las observaciones que reportan el análisis, utilizamos dos formatos diferentes de párrafo, encerrando en recuadros el discurso


matemático recapitulado. Advertimos que algunos de los textos recapitulados pueden no corresponderse literalmente con los de la fuente, en cuyo caso hemos intentado no alterar el tratamiento expresado en el documento base.

Para realizar esta recapitulación hemos escogido un texto de Análisis Algebraico (De Trocóniz y Belda, 1959) como texto base, complementando y/o ampliando la presentación con algunos otros elementos recopilados de otros textos matemáticos y trabajos investigativos (Puig, 1956; Aceytuno, 1958; Pastor, 1966; Behr et al, 1984; Pezard, 1985; Grupo Beta, 1990; Fiol y Fortuny, 1990; Boisnard et. al, 1994).

Tres razones motivaron la selección de éste como texto base. En primer lugar, por ser un libro de texto permite una mejor ubicación de los conceptos matemáticos objeto de estudio en un contexto ordenado, lo cual facilita el identificar y establecer nexos con temas y conceptos matemáticos previos y posteriores. En segundo lugar, define el concepto de proporción en el contexto de las fracciones reales y no en el contexto de las fracciones racionales como lo hace J. Rey Pastor (1966, pp. 191-196), es decir en un contexto más amplio que subordina al segundo. En tercer lugar, este texto ejemplifica muy bien una presentación seudo–axiomática, lo cual es testimoniado por los autores del libro: “... Este propósito nos ha llevado a elegir un sistema de postulados que no es el más restringido posible; pero advertimos que no ha sido nuestro propósito entrar en discusiones propias de estudios monográficos de axiomática, que quedan fuera del carácter de la obra presente” (De Trocóniz y Belda, 1959, p. 143).

En principio pensábamos hacer una presentación de definiciones y proposiciones que guardaran un orden lógico; sin embargo, quizá un momento antes de comenzar a redactarla, pudimos darnos cuenta que si ignorábamos las justificaciones (demostraciones) de algunas proposiciones podríamos estar descartando elementos constitutivos importantes del conocimiento matemático. No obstante, optamos por

54


Capítulo 3: Una mirada a los aspectos matemáticos formales

proceder de manera un tanto discursiva y un tanto formal, atendiendo a las indicaciones que nuestra intuición nos sugería.

Para ser coherentes con la lógica y orden del texto base, dividimos la recapitulación en dos partes; la primera hace referencia a las fracciones, razones y proporciones en el marco de la aritmética de los números reales, en tanto que la segunda se ocupa de la teoría de las magnitudes dentro de la cual se enmarca la teoría de la proporcionalidad. Además, decidimos conservar la estructura interna de las partes al igual que los títulos de sus contenidos, a pesar de estar en desacuerdo con el uso de la palabra serie en uno de ellos (ver 3.1.2. Serie de fracciones iguales).

3.1 LAS FRACCIONES, RAZONES Y PROPORCIONES En el texto base, en el punto donde aparecen por primera vez citados los conceptos de razón y proporción se ha transitado un largo recorrido que comprende —en aproximadamente 136 páginas— el estudio de algo más de tres capítulos. El primero relativo al conjunto de los números naturales; el segundo trata la teoría de la divisibilidad numérica; un tercer capítulo aborda la construcción y estudio del campo de los números racionales; y en buena parte del capítulo cuarto se desarrolla la construcción —vía las cortaduras y la utilización de sucesiones monótonas convergentes— de los números reales como un campo, se estudian en detalle algunas operaciones (adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación, radicación y logaritmación) así como las relaciones de igualdad y desigualdad y se desarrolla una sección de fracciones de términos reales.

Es precisamente esta última sección donde iniciaremos, a través de tres apartados, nuestra recapitulación. En el primero se definirán las fracciones de términos reales, su equivalencia y sus operaciones; en el segundo se hará un trabajo con “series” de


55


fracciones iguales; finalmente, en el tercero se definirán las proporciones y se examinarán algunas de sus propiedades.

Aunque el texto guía comprende dos apartados más acerca de las “series” de fracciones desiguales, y, medias aritmética, cuadrática, geométrica y armónica, consideramos que estas temáticas no son de interés para el estudio del concepto de proporción, por lo cual no las incluimos en esta recapitulación.

3.1.1

Fracciones

de

términos

reales

(relaciones

y

operaciones) Inicialmente, advertimos al lector de la existencia de potenciales conexiones y dependencia de esta sección —fundamentalmente el primer apartado— con aquella que trataba de las operaciones en los reales, particularmente en lo referente a la división.1

En primer lugar, definamos el concepto de fracción de números reales como un ente constituido por un par ordenado de números reales, donde

1

i.

En la sección donde se aborda el estudio de la división, previamente se ha: definido el cociente exacto de dos números reales, α dividendo y β≠0 divisor, como “el número real γ cuyo producto por el divisor es el dividendo” (De Trocóniz y Belda, 1959, p. 114);

ii.

explicitado la equivalencia simbólica de las igualdades “ α : β = γ ó

α = γ y α = β ⋅ γ “ (p. β

α representan la división —o cociente indicado— de α por β y β no precisamente la razón o fracción de los términos reales α y β —como desprevenidamente

114), [Aquí, tanto α : β como

iii.

podría pensarse.]; enunciado la existencia y unicidad del cociente exacto;

iv.

identificado en la multiplicación del dividendo

v.

manera de obtener el cociente exacto γ ; y, planteado que el cociente exacto no se altera cuando se multiplica por un mismo número, diferente de cero, dividendo y divisor.

56


α

por el recíproco

1

β

del divisor

β,

una


se supone el segundo de ellos no cero. Si α y β son éstos, la fracción se representa así:

α . β

Desde una visión de la teoría de conjuntos podría entonces afirmarse que a través de la anterior definición se está construyendo un conjunto de fracciones reales que puede denotarse como FR =

{ (α , β ) | α ∈ ℜ

, β ∈ ℜ − {0} } = ℜ × ℜ–{0}. En este punto

de elaboración del conjunto de las fracciones de reales no son muy evidentes las razones por las cuales se excluye el cero del segundo conjunto implicado en el producto cartesiano. Podrían tenerse fracciones —léase parejas— cuya segunda componente fuese cero; sin embargo, la posterior inclusión del cociente exacto entre las componentes ordenadas generará —entre otras— la restricción en mención.

Además, notemos que aunque la fracción utiliza la misma representación simbólica que la división de α por β, aún no existe argumento alguno que permita sostener una conexión explícita entre la división en los reales y la fracción de términos reales. A propósito de tal nexo, examinemos el siguiente argumento expresado en el discurso matemático. Puesto que el cociente exacto γ entre los números reales α y β , β≠0, se puede obtener a partir del producto de α por el recíproco de β 1 1 α 1 α (simbolizado por ), tenemos que: γ = α ⋅ = ⋅ = , lo cual β β 1 β β conduce a establecer que la fracción

α es el valor del cociente exacto β

entre los números reales α y β y por tanto un número real.

α ó α : β se le denomina también razón de los β números α y β , donde α (dividendo) es llamado antecedente y β (divisor) Al cociente indicado consecuente.


57


Una mirada detallada al anterior resultado revela aspectos interesantes. En primer lugar, podría interpretarse que a través de esta argumentación se está estableciendo una igualdad (en términos de coincidencia) entre la fracción de términos reales y el cociente exacto de sus componentes ordenadas; en otras palabras, se estaría estableciendo una igualdad entre una pareja ordenada de números reales y un número real. Esta interpretación riñe no sólo con el principio intuitivo que dos no pueden ser uno, sino también con la estructuración lógica y rigurosa del discurso matemático formal. Además, el argumento utilizado para establecer la igualdad entre fracción y cociente exacto, reposa en equivalencias sintácticas, evidenciadas fundamentalmente tanto en la expresión simbólica del real α y del recíproco del real β —como las fracciones (o cocientes indicados)

1

β

y

α 1

de su producto a través de la igualdad

, respectivamente—, como en el resultado

α 1 α ⋅ = . Como puede observarse, el 1 β β

discurso matemático expresado como argumentación no contempla rigurosamente el significado de los símbolos y de las operaciones entre éstos; más bien, los utiliza exclusivamente en su carácter sintáctico, permitiendo una argumentación carente de significado y, en cierto sentido, contradictoria. Así, por ejemplo, no es evidente si la expresión

α 1 α ⋅ = debe interpretarse como “un producto entre dos cocientes 1 β β

indicados (o razones)”, o como “un producto entre dos fracciones”, o como, “un producto entre dos números reales”.

Dada esta inconsistencia semántica y lógica, preferimos pensar en la configuración de una función entre la pareja (α,β) y el número real γ, o más precisamente una función

58



cociente f : ℜ×ℜ-{0} → ℜ, que asigna a cada pareja ordenada (α,β) el cociente

exacto γ de α y β. 2

En segundo lugar, la asociación del cociente exacto a la fracción justifica la exclusión del número cero para el valor β en la fracción

α , ya que para que éste exista, el β

divisor no puede ser cero. En tercer lugar, si bien se establece una equivalencia nominal3 entre razón y cociente indicado, no queda suficientemente claro qué relación existe entre fracción de números reales y razón. Si la fracción es una pareja de reales y no un número real, no existiría diferencia con la razón; en tanto que si es un número real, saltaría a la vista una considerable diferencia entre estos dos objetos. Adicionalmente, si las fracciones fueran números reales, definir su igualdad y las operaciones usuales entre ellas no aportaría nada nuevo a la construcción matemática de los reales, excepto un nuevo nombre para lo ya construido. Por ello, preferimos pensar las fracciones de reales y las razones como objetos matemáticos equivalentes entre sí y asociados a la división a través de la función f (función cociente). Esta consideración es de suma importancia en la interpretación de las deducciones siguientes.

Para estos nuevos entes (fracciones de números reales) —y apoyados en algunas propiedades en los números reales— podemos deducir algunas relaciones y operaciones importantes: i)

2

El valor de una fracción no se altera multiplicando o dividiendo sus dos términos por un mismo número distinto de cero.

Al asociar a la fracción

α el cociente exacto γ , el uno (1) es el real asociado a todas las fracciones β

de términos reales iguales. 3 Con equivalencia nominal queremos expresar que tanto “razón” como “cociente indicado” tienen, en el contexto del texto base, la misma asignación conceptual, es decir, el mismo significado. En otras palabras, el mismo objeto tiene dos nombres, o lo que es igual, un mismo significado corresponde a dos términos. Universidad del Valle • IEP • Magister en Educación – Énfasis en Educación Matemática

59


En efecto, puesto que al multiplicar el dividendo y el divisor por un mismo número real λ≠0 no se altera el cociente exacto, entonces los cocientes (o razones) α : β y λα : λβ son iguales y, por consiguiente, también son iguales las fracciones

α αλ y , es decir: βλ β

α αλ = . β βλ Lo anterior nos permite reducir varias fracciones de términos reales a común denominador, pues si se consideran

α1 β1

,

α2 β2

,

α3 y β3

se multiplican los dos términos de cada una de ellas por el producto de los denominadores de las demás, resultan las fracciones, α1 ⋅ β 2 ⋅ β 3 α 2 ⋅ β1 ⋅ β 3 α 3 ⋅ β1 ⋅ β 2 , , con denominadores iguales. β1 ⋅ β 2 ⋅ β 3 β 2 ⋅ β1 ⋅ β 3 β 3 ⋅ β1 ⋅ β 2 Éstas tres últimas son respectivamente iguales a las tres primeras. Antes de continuar enunciando deducciones, examinemos en detalle esta primera idea de igualdad entre fracciones respecto de la igualdad entre cocientes exactos.

En primer lugar, señalemos que en la demostración de la proposición el valor de una fracción no se altera multiplicando o dividiendo sus dos términos por un mismo número distinto de cero se hace uso de una implicación lógica (p⇒q) en la cual la

condición suficiente (p) es: los cocientes exactos de las fracciones son iguales

(α : β

= λα : λβ ) , en tanto que la condición necesaria (q) es: las fracciones son

iguales (

α αλ = ). Sin embargo, no se enuncia argumento alguno que valide o β βλ

sustente esta implicación. En este sentido conviene afirmar que se está enunciando (no deduciendo) un criterio de equivalencia (no de igualdad) entre fracciones, en el cual sería más apropiado definir q como sigue: las fracciones son equivalentes

60



(

α αλ 4 ≅ ). De este modo, la equivalencia entre fracciones se seguiría de la igualdad β βλ

entre cocientes exactos.

Ahora bien, desde nuestra interpretación de la función cociente f, vemos que simplemente hemos definido una relación de equivalencia en el conjunto FR a través del cociente exacto, es decir, una relación de equivalencia entre parejas ordenadas diferente a la igualdad usual.5 Claramente, esta relación de equivalencia (≅) determina una partición del conjunto FR; cada una de las clases de equivalencia así determinadas podría representarse a través de una de las fracciones de términos reales, o por el cociente exacto asociado mediante f.

En segundo lugar, observamos que por primera vez se utiliza la palabra denominador, sin que previamente se haya dado una definición que permita distinguir su significado. Esta observación, aunque pueda parecer superficial, encuentra sentido cuando se trata de identificar y distinguir conceptos aparentemente equivalentes como denominador, consecuente y divisor, o de manera más general, fracción, razón y cociente. Suponemos que los autores nuevamente introducen un nuevo nombre para un objeto matemático (i.e., un término de la fracción) sin advertir que a este nombre subyace una carga semántica que dificulta la comprensión del significado de la fracción de reales en tanto objeto en construcción.

Ahora sí continuemos enunciando y comentando algunas deducciones sobre el conjunto de las fracciones de números reales.

4

El lector encontrará en los textos recapitulados el símbolo igual (=) y en los comentarios el símbolo de equivalencia (≅), ello se debe a que hemos querido preservar la sintaxis usada en el texto base y mantener la coherencia de la simbología en los comentarios. 5 ( α , β ) ≈ ( χ , δ ) si y sólo si α = χ y β = δ . Universidad del Valle • IEP • Magister en Educación – Énfasis en Educación Matemática

61


ii)

Por la propiedad distributiva de la división respecto de la suma (o resta) tenemos que el cociente (α ± β ) : γ es igual a la suma (o resta) del cociente α : γ con el cociente β : γ, entonces concluimos α±β que la fracción de términos reales es la suma (o resta) de las

γ

fracciones de términos reales

α±β α β α β y , o sea: = ± . γ γ γ γ γ

Es relativamente evidente que este enunciado define la suma (y la resta) de dos fracciones de números reales con igual divisor.6 Sin embargo, en aras del rigor, vemos necesario advertir que a pesar de utilizar aparentemente el mismo signo (±) a ambos lados de la igualdad, las operaciones son distintas ya que están definidas para objetos diferentes. En otras palabras, mientras que el símbolo ± de la expresión derecha de

α β α±β ± = representa la suma (o la resta) usual entre reales, el γ γ γ

mismo símbolo en la expresión izquierda representa una nueva operación entre parejas de segunda componente igual.

De otro lado, no sobra resaltar que no se está definiendo la suma entre dos parejas cualquiera —aunque estuvimos tentados a pensar lo contrario— ya que se podrían conectar los dos últimos resultados recapitulados (i.e., i) y ii)) a través de la siguiente definición usual:

α γ α ⋅δ + γ ⋅ β ⊕ = , la cual podría intentar justificarse a través β δ β ⋅δ

del siguiente argumento: “Dado que

α α ⋅δ ≅ β β ⋅δ

y

γ γ ⋅β ≅ , se sigue que δ δ ⋅β

α γ α ⋅δ γ ⋅ β α γ α ⋅δ + γ ⋅ β ⊕ = ”. Sin ⊕ = ⊕ , de lo que se concluye que β δ β ⋅δ δ ⋅ β β δ β ⋅δ embargo, aceptar la validez del argumento implicaría reconocer de antemano que la relación de equivalencia (≅) definida en FR es compatible con la operación suma (⊕)

62



definida en FR, es decir que si (α , β ) ≅ (α ⋅ δ , β ⋅ δ ) ∧ (γ , δ ) ≅ (γ ⋅ β , δ ⋅ β ) entonces (α , β ) ⊕ (γ , δ ) ≅ (α ⋅ δ , β ⋅ δ ) ⊕ (γ ⋅ β , δ ⋅ β ) .

Finalmente, es necesario advertir que la propiedad distributiva que se menciona en ii) sólo se satisface a derecha, no a izquierda.

Veamos ahora las deducciones que se hacen para definir el producto y el cociente de dos fracciones de números reales.

α γ y cuyos cocientes exactos β δ son respectivamente x y y. Luego se tiene que α = β ⋅ x , y, γ = δ ⋅ y , de donde al multiplicar miembro a miembro, conmutar y α ⋅γ asociar, se colige α ⋅ γ = (β ⋅ δ ) ⋅ (x ⋅ y ) y por tanto = x⋅ y, o β ⋅δ α ⋅γ α γ lo que es lo mismo = ⋅ . β ⋅δ β δ

iii)

Consideremos las fracciones reales

iv)

Ya que al multiplicar la fracción

γ α ⋅δ por se obtiene la fracción δ β ⋅γ α γ α podemos deducir que el cociente : es igual a la fracción β β δ α ⋅δ α γ α δ , es decir: : = ⋅ . β ⋅γ β δ β γ

La deducción iii) claramente establece la operación producto entre dos fracciones de números reales. Sin embargo, aquí —al igual que en la suma (o resta)— el símbolo de la operación representa en la misma expresión dos operaciones diferentes, por ello sería preferible escribir la definición de producto como sigue:

6

α γ α ⋅γ ⊗ = , β δ β ⋅δ

Usamos el término divisor en concordancia con el texto base, no sin recordar al lector que los autores


63


entendiendo que el símbolo ⊗ representa el producto entre fracciones, en tanto que el punto representa el producto entre reales.

También es claro que en el conjunto FR —bajo el producto definido en iii) y la equivalencia definida en i)— el módulo multiplicativo (o elemento unidad) de la fracción de términos reales

α γ es cualquier fracción de la forma ; es este sentido, el β γ

módulo no es único.

De otra parte, la argumentación utilizada en iv) para definir el cociente de dos fracciones supone, de un lado, una identificación del cociente a partir del producto y, de otro lado, la utilización de la equivalencia entre fracciones. Además, es una definición que remite a la anterior.

Concluyamos esta aproximación a las operaciones en FR a través de los siguientes enunciados.

v)

α una fracción de términos reales y x su cociente exacto, β entonces podemos afirmar que α = β ⋅ x . Si elevamos ambos γ miembros de la igualdad al número real γ obtenemos α γ = (β ⋅ x )

Sea

(siempre y cuando cada potencia represente un número real) o lo que es equivalente α γ = β γ ⋅ x γ , de donde concluimos que γ

αγ αγ ⎛α ⎞ =⎜ ⎟ . = x γ , es decir: βγ β γ ⎜⎝ β ⎟⎠ vi)

Bajo las mismas condiciones que en el ítem anterior, pero extrayendo la raíz n–ésima a ambos lados de la igualdad (teniendo en cuenta que esta raíz represente un número real) obtenemos n α = n β ⋅ x , es decir n α = n β ⋅ n x (siempre y cuando todos y

del mismo están utilizando diversos términos para nombrar, aparentemente, un mismo objeto. 64



cada uno de los radicales represente un número real), de donde n

concluimos que n

α n = x , o lo que es lo mismo β

n n

α α =n . β β

En estas dos últimas deducciones es muy evidente el papel protagónico que juega el cociente exacto de la fracción de términos reales en la justificación y definición de las operaciones.

Adicionalmente, es necesario observar que estas operaciones se definen involucrando nuevos conjuntos. En el caso de la potenciación, ésta se define como una función

g : FR × ℜ → ℜ , es decir, una función del conjunto (ℜ × ℜ–{0}) × ℜ en el conjunto ℜ, con ciertas restricciones en los valores reales permisibles. Mientras que la radicación se define como una función h : FR × N → ℜ

En síntesis, en los anteriores numerales, i) a vi), en cierto sentido —y con las observaciones arriba realizadas— se está definiendo respectivamente, igualdad,

suma, producto, cociente, potenciación y radicación, entre los elementos de FR; en otras palabras, se están definiendo relaciones y operaciones para un conjunto de parejas ordenadas de reales. El comportamiento de la estructura algebraica que a través de estas definiciones se configura, no fue considerado en esta aproximación y posiblemente hará parte de un análisis ulterior; por ahora, nos atrevemos a pensar que —dada su similitud con las fracciones de números enteros— unas pequeñas modificaciones (inspiradas desde la construcción rigurosa de los sistemas numéricos usuales) a la relación de equivalencia (≅) y las operaciones suma (⊕) y producto (⊗), harían que el conjunto FR exhibiera estructura de cuerpo algebraico.


65


3.1.2 Serie de fracciones iguales En segundo lugar, diremos que si las fracciones

α α1 α 2 , ,L, n son β1 β 2 βn

α α1 α 2 = =L= n , entonces los números reales β1 β 2 βn α1 , α 2 , L α n son proporcionales a los β1 , β 2 , L , β n .

iguales, es decir, si

Al valor común de estas fracciones le llamaremos razón o constante de proporcionalidad y diremos que las fracciones constituyen una serie de razones iguales. Encontramos aquí, inicialmente, una definición relativa a la proporcionalidad entre los elementos de dos sucesiones finitas de números reales. Observamos que ésta presenta una estructura condicional (p⇒q) y utiliza como condición suficiente la equivalencia entre las fracciones o razones (i.e.,

α α1 α 2 ≅ ≅L≅ n ), lo cual le asigna β1 β 2 βn

a la relación de equivalencia (≅) un papel fundamental en la construcción de las sucesiones de elementos relativamente proporcionales, en tanto nuevo objeto matemático dentro de la teoría.

Sin embargo, esta misma estructura condicional no nos permite aseverar que la afirmación recíproca sea válida, es decir, saber si cuando dos sucesiones de números definen proporcionalidad entre sus elementos se sigue la igualdad entre las respectivas fracciones de reales.

También encontramos una definición nominal que asigna un nombre específico — razón o constante de proporcionalidad— al cociente exacto de las fracciones equivalentes. En ésta surge una dificultad o ambigüedad que vale la pena reseñar: recordemos que el término “razón” ha sido utilizado para nombrar también a las fracciones o parejas de reales, sin embargo aquí pareciera que se utiliza como 66



sinónimo de cociente exacto o valor de la fracción. Surge entonces nuevamente la necesidad de precisar la noción de razón, pues se está usando un mismo nombre para designar dos objetos diferentes, aunque relacionados.

Preferimos entonces interpretar que la razón es el representante de la clase de equivalencia de las series de razones iguales; en este sentido, preferimos también asumir que el cociente exacto asociado a todas y cada una de las fracciones equivalentes es la constante de proporcionalidad. Adicionalmente, no creemos conveniente que el cociente exacto sea considerado como representante de la clase de equivalencia, dado que éste es un real y no una pareja de reales.

Igualmente, al final de la definición recapitulada encontramos otra definición nominal que establece el nombre de serie de razones iguales para este tipo de fracciones. Creemos más conveniente, dado el significado matemático de la palabra “serie” (sucesión de sumas parciales de términos de una sucesión), denominar estas razones o fracciones iguales como una sucesión de fracciones equivalentes.

Atendiendo a estas definiciones, consideremos ahora la serie de razones iguales

α α1 α 2 = =L= n donde λ es su constante de proporcionalidad. β1 β 2 βn

Podemos entonces deducir: α1 = λ ⋅ β1 , α 2 = λ ⋅ β 2 de donde:

, L , αn = λ ⋅ βn

i)

Sumando miembro a miembro y factorizando obtenemos α 1 +α 2 + L+ α n = λ ⋅ ( β 1 + β 2 + L+ β n ) de donde concluimos (siempre y cuando las sumas no sean nulas) α 1 + α 2 + L+ α n α α α = λ = 1 = 2 =L= n β1 β 2 βn β 1 + β 2 +L + β n

ii)

Multiplicando respectivamente por los k1 , k 2 , L , k n (no todos cero) colegimos:

números

reales

k 1 ⋅ α 1 = λ ⋅ k1 ⋅ β 1 , k 2 ⋅ α 2 = λ ⋅ k 2 ⋅ β 2 , L , k n ⋅ α n = λ ⋅ k n ⋅ β n


67


sumando miembro a miembro, factorizando y dividiendo convenientemente, tenemos k 1 ⋅ α 1 + k 2 ⋅ α 2 +L + k n ⋅ α n α α α = λ = 1 = 2 =L= n k 1 ⋅ β 1 + k 2 ⋅ β 2 +L + k n ⋅ β n β1 β 2 βn iii)

Elevando a la potencia m–ésima y distribuyendo el exponente obtenemos α1m = λm ⋅ β1m , α 2 m = λm ⋅ β 2 m , L , α n m = λm ⋅ β n m sumando miembro a miembro, factorizando y dividiendo, tenemos α 1 m +α 2 m +L + α n m = λm β 1 m + β 2 m +L + β n m de donde extrayendo la raíz m–ésima (siempre y cuando las expresiones representen números reales) concluimos m

α 1 m + α 2 m + L +α n m α α α = λ = 1 = 2 =L= n m m m β1 β 2 βn β 1 + β 2 +L + β n

Las tres propiedades que se deducen arriba para las sucesiones de fracciones equivalentes nos permiten adicionalmente identificar tres operaciones diferentes para construir nuevas fracciones a la sucesión finita y, en consecuencia, introducir nuevos números proporcionales a otros previamente dados. Es necesario resaltar que estos algoritmos, para producir nuevos elementos a partir de algunos ya establecidos, tienen sus restricciones.

3.1.3 Proporciones Finalmente, llamaremos proporción a la igualdad de dos razones y la escribiremos así:

α γ = o bien α : β = γ : δ β δ donde los números α y δ se llaman extremos y los números β y γ medios; el número δ se denomina también cuarta proporcional de los números α, β y γ.

68



En primer lugar, esta definición aporta nuevos argumentos para mantener la idea que una razón no es un número real, sino que es una pareja de números reales. De ser un número real, de un lado, una proporción sería la igualdad entre dos reales, lo cual ya ha sido definido previamente cuando se ha introducido la igualdad entre los números reales y sólo se estaría dando un nuevo nombre a algo ya denominado; de otro lado, no tendría sentido referir nombres específicos para los cuatro elementos involucrados en la proporción.

En segundo lugar, la notación utilizada hace referencia a fracciones de términos reales equivalentes, o bien a cocientes indicados; por ello, preferimos utilizar la notación

α γ ≅ β δ

o bien α : β ≅ γ : δ . Esta misma notación, aunada a las

consideraciones y comentarios arriba realizados, podría hacernos pensar —desde el punto de vista de la teoría de conjuntos— que la proporción es el nombre que recibe la relación de equivalencia (≅) definida en el conjunto FR . Sin embargo, creemos más conveniente pensar la proporción como una relación definida entre dos elementos de FR —es decir, una relación entre dos parejas ordenadas— que podríamos representar

a través de la pareja ordenada de parejas ((α , β ), (γ , δ )) —e incluso, sacrificando el rigor, a través de la cuádrupla ordenada (α,β,γ,δ)— tal que sus elementos satisfagan la condición

α γ ≅ . β δ

Esta mirada de la proporción como pareja de parejas genera una reflexión ulterior, a saber: Si construimos, a través del producto cartesiano, el conjunto FR× FR estamos en condiciones de afirmar que una proporción es un elemento del mismo, pero a la vez, no todo elemento de dicho conjunto sería una proporción; desde esta perspectiva podríamos construir un subconjunto ℘ de FR× FR tal que todos sus elementos fuesen proporciones, es decir ℘ = {((α , β ) , ( χ , δ ) ) ∈ FR × FR

(α , β ) ≅ ( χ , δ )} .


69


En tercer lugar, es posible también pensar que una sucesión de dos fracciones equivalentes genera —al menos— una proporción.

α β = recibe el nombre de proporción continua; en ésta, β δ el número β se llama media proporcional o media geométrica entre α y δ, y el número δ tercera proporcional entre α y β.

La proporción

Evidentemente, a través de esta definición tan sólo se está describiendo un caso muy particular de proporción; empero, no se nombra ni la media aritmética, ni la media armónica que, según algunos textos (v.g., Campos, A. 1984, p. 94, 146), también pueden escribirse a través de las proporciones. Al indagar por estas maneras de representar dichas medias hemos encontrado informaciones erróneas y hemos podido determinar que tanto la media armónica como la media aritmética también tienen su expresión simbólica en el lenguaje de las proporciones,7 a saber:

β es la media armónica entre α y δ) y

α−β α ≅ (donde, β −δ δ

α−β α ≅ (donde β es la media aritmética β −δ α

entre α y δ), respectivamente.

7

Fiol y Fortuny (1990) reseñan las medias geométrica, armónica y aritmética a través del lenguaje de las proporciones. La media geométrica la expresan a través de las proporciones a −b a a b a −b a ; = = " (p. 40). La media armónica a través de la proporción " = " (p. 41; sic), " b−c b b c b−c b que corresponde realmente a una de las expresiones de la media geométrica. En tanto que la media a −b a = "(p. 41; sic), la cual es la expresión que aritmética la expresan a través de la proporción " b−c c debería corresponder a la media armónica. En síntesis, no ofrecen una proporción que describa la media aritmética. 70



A continuación se presentan algunas propiedades de las proporciones. i)

Multiplicando por β ⋅ δ los dos miembros de la proporción

α γ = β δ

resulta α ⋅ δ = β ⋅ γ , lo cual se puede enunciar de la siguiente manera: en toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios. ii)

Ahora bien, si dividimos sucesivamente los dos miembros de α ⋅ δ = β ⋅ γ por β ⋅ δ , γ ⋅ δ , β ⋅ α , γ ⋅ α , resultan las siguientes proporciones:

α γ = , β δ

α β = , γ δ

δ γ = , β α

δ β = γ α

y alterando el orden de las razones tenemos estas otras cuatro proporciones:

γ α = , δ β

β α = , δ γ

γ δ = , α β

β δ = α γ

Lo anterior podríamos resumirlo diciendo: si el producto (no nulo) de dos números es igual al producto de otros dos ( α ⋅ δ = β ⋅ γ ), con ellos pueden escribirse ocho proporciones; lo cual se apoya en las siguientes proposiciones: permutando entre sí los medios o los extremos de una proporción resulta otra proporción, y, al invertir las razones de una proporción resulta otra proporción. Observemos, en primer lugar, que la propiedad i) de las proporciones es una

deducción obtenida al operar los dos miembros de la proporción, de lo que se sigue naturalmente que la proporción preexiste a la propiedad y que en este contexto matemático, la propiedad no puede ser considerada como una definición de proporción. A través de esta observación, queremos resaltar que la proporción debe existir a priori y que es a posteriori que satisface la condición o propiedad, pero que la proporción no existe como consecuencia de la propiedad. Esta observación nos parece importante, ya que en algunos textos escolares de matemáticas la proporción se define a través de la propiedad reseñada en i).


71


Adicionalmente, es necesario advertir que en esta deducción se ha incorporado —de manera implícita— tanto un producto exterior, como la función (f) cociente exacto. De manera más precisa, al multiplicar el real β⋅δ por la razón (α,β) se incluye el producto de un real por una fracción de términos reales; este producto (∗) debería estar predefinido como sigue: Si κ∈ℜ y (α,β)∈FR , entonces κ ∗ (α , β ) = (κ ⋅ α , β ) . El resultado de este producto externo sería entonces la razón (β⋅δ⋅α , β) que es una razón equivalente a la razón (α⋅δ ,1), cuyo cociente exacto asociado mediante f es precisamente el producto de los extremos de la proporción, es decir α⋅δ. Esto también sucede en el producto del real β⋅δ por la razón (γ,δ), aunque en este caso el resultado final es el producto de los medios de la proporción, es decir β⋅γ.

Además de la anterior aclaración, pero ligada a ella, es necesario hacer otra precisión. La igualdad entre los dos resultados finales de la propiedad i) (i.e., α ⋅ δ = β ⋅ γ ) se da por una de las propiedades —no explicitadas— del producto exterior, a saber: Sean

κ∈ℜ , (α,β)∈FR , (γ,δ)∈FR ; si (α,β)≅ (γ,δ) entonces κ ∗ (α , β ) ≅ κ ∗ (γ , δ ) .

De otra parte, la propiedad ii) nos pone de manifiesto que la proporción

la misma proporción

α γ = , no es β δ

γ α = . Lo cual es evidente si se consideran éstas como las δ β

parejas de parejas ((α , β ), (γ , δ ) ) y ((γ , δ ), (α , β ) ) , respectivamente —o aun como las cuádruplas ordenadas (α,β,γ,δ) y (γ,δ,α,β), respectivamente— y se le aplica al conjunto FR×FR la igualdad usual entre parejas. Mientras que si se considera la proporción como la equivalencia (≅) en FR, la diferencia entre las proporciones en cuestión ya no es tan obvia, pues se cuestionaría la simetría de la relación de equivalencia.

72



Queremos resaltar, como última consideración respecto de la propiedad ii), el hecho de que se exija que los productos no sean nulos, ya que de no ser así algunas de las operaciones realizadas tendrían sus restricciones.

iii)

Consideremos la proporción

α γ = como una serie de razones β δ

iguales; aplicando una de las propiedades deducidas para las series de razones iguales, además de las proporciones señaladas previamente podemos colegir otras: α ±γ γ α ±γ α α +γ α −γ = , = , = β ±δ β β ±δ δ β +δ β −δ y permutando los medios de éstas resultan: α ±γ β ±δ α ±γ β ±δ α +γ β +δ = , = , = α β γ δ α −γ β −δ La propiedad iii) nos muestra una manera de construir nuevas proporciones a partir de una dada. Como este proceso puede repetirse con cada una de las proporciones obtenidas cuantas veces se desee, no es difícil concluir que a partir de una proporción se puede construir infinidad de proporciones.


73


3.2 LA TEORÍA DE LAS MAGNITUDES

Siguiendo los lineamientos comunes a la mayoría de los textos y trabajos investigativos consultados, podemos ubicar los aspectos relativos a la teoría de la proporcionalidad en el contexto de la teoría de las magnitudes. Particularmente, en el

Capítulo V: Medida y Proporcionalidad, del Curso de Geometría Métrica (Puig, 1956, pp. 98-111), el autor desarrolla inicialmente los conceptos de magnitud, cantidad y medida, para concluir con el estudio de la proporcionalidad. En el texto

Análisis matemático elemental (Aceytuno, 1958, pp. 340-361) el autor se refiere a los conceptos de razón, proporción, proporcionalidad y regla de tres en el contexto de las magnitudes. En tanto que, J. Rey Pastor (1966, pp. 197-206), hace una presentación de las magnitudes y algunos de sus conceptos y operaciones asociadas, pero no incluye un tratamiento de la proporcionalidad. Por su parte, la profesora Monique Pezard (Pezard, 1985, pp. 6-12) presenta, en el apartado Análisis Matemático, las situaciones de proporcionalidad como relaciones entre variables que representan valores de magnitud o números, examinando en detalle el comportamiento y estructura de la longitud como una magnitud. En el Capítulo 3 Bases teóricas:

proporcionalidad y semejanza, los autores (Grupo Beta, 1990, pp. 47-91) desarrollan un apartado de conceptos básicos (cantidad, magnitud, magnitudes escalares continuas) y otros dos referidos a la medida de magnitudes, antes de iniciar el planteamiento teórico sobre la proporcionalidad de magnitudes y la proporcionalidad de segmentos. En el desarrollo del Marco teórico de la proporcionalidad entre

magnitudes (Fiol y Fortuny, 1990, pp. 29-44), los autores presentan un apartado en el que caracterizan matemáticamente la magnitud y la medida, que precede a la presentación de los temas de proporcionalidad (proporcionalidad entre magnitudes, constante de proporcionalidad, razones entre magnitudes, y, teoría de la proporción). Por su parte, en la presentación del apartado El Modelo Matemático, los autores (Boisnard et al., 1994, pp. 73-85) si bien referencian las magnitudes, prefieren hacer sus exposiciones tanto en el contexto de los números reales, como de las funciones 74



lineales y multilineales entre éstos. Ahora bien, el texto base de nuestra recapitulación (De Trocóniz y Belda, 1959, pp. 143-154) aborda en su Capítulo V el estudio de los

Elementos de la teoría de magnitudes; este estudio los autores lo desarrollan a través de tres apartados, a saber: Conceptos generales, Concepto de medida, y, Teoría de la proporcionalidad; a este capítulo le anteceden algunos en los cuales, los autores han construido los números reales como un campo, hecho de suma importancia pues éstos serán incorporados en la elaboración teórica respecto del concepto de medida.

Atendiendo a las semejanzas y particularidades de las estructuras de las presentaciones reseñadas arriba, en esta sección acometeremos la recapitulación y el estudio de la teoría de las magnitudes a través de cuatro apartados; los tres primeros describen respectivamente los conceptos de magnitud, cantidad y medida; entre tanto, el cuarto presenta la teoría de la proporcionalidad. Sin embargo, debemos mencionar que en ésta estamos recapitulando una —y no la— teoría de la proporcionalidad.

3.2.1 El concepto de magnitud Si en un conjunto homogéneo8 M se ha definido la operación suma (+)9, los elementos de M definen una magnitud, entendiendo por tal la 8

Diremos que el conjunto A, no vacío, es homogéneo si entre sus elementos se puede establecer una relación de igualdad; donde ésta se define como sigue: Sea R una relación definida en el conjunto A. La relación R (representada mediante el símbolo =) se llama una relación de equivalencia o simplemente una igualdad si se satisfacen las tres condiciones siguientes: i. Carácter idéntico (reflexiva): ∀ A ∈ A , A=A. ii. Carácter recíproco (simétrica): ∀A, B ∈ A , si A=B entonces B=A. iii. Carácter transitivo (transitiva): ∀A, B, C ∈ A , si A=B y B=C entonces A=C. 9 La suma es una operación cualquiera definida en el conjunto A, tal que aplicada a dos elementos cualesquiera A, B de A, da lugar a otro elemento (representado por A+B) de A, denominado suma de aquellos. Además, la suma satisface las siguientes condiciones: i. Uniforme: Sean A, A’, B, B’ ∈ A, tales que A=A’ y B=B’ entonces A+B=A’+B’ (la suma de dos o más elementos es única). ii. Conmutativa: ∀A, B ∈ A, se tiene que A+B=B+A (la alteración del orden de los sumandos no altera la suma). iii. Asociativa: ∀A, B, C ∈ A, se tiene que A+(B+C)=(A+B)+C (la suma no se altera por la alteración del orden en que se sume). Universidad del Valle • IEP • Magister en Educación – Énfasis en Educación Matemática

75


cualidad común que hace que los elementos de M sean igualables y sumables. En primer lugar, desde la perspectiva del álgebra abstracta el conjunto M comporta una estructura muy similar a la de un grupo conmutativo,10 de hecho, creemos que sólo faltaría garantizar la existencia del inverso para comportar esta estructura algebraica. Ahora bien, conocemos algunos conjuntos que satisfacen esta condición (v.g., el conjunto de los números reales, el conjunto de las funciones de variable real, el conjunto de los números complejos) e identificamos en ellos grupos conmutativos, pero no reconocemos la magnitud asociada a los mismos, es decir, la cualidad común

entre sus elementos.

Esto pone en evidencia que esta definición no se refiere particularmente a las magnitudes físicas y geométricas usuales; más bien, se ocupa de la denominación y caracterización de conjuntos matemáticos que exhiben una estructura particular. En este sentido, de un lado, la magnitud definida no es estrictamente la misma magnitud extensiva, definida en los cursos de Física y, de otro lado, la definición no excluiría a

las magnitudes intensivas ya que en éstas no se exige la definición de la operación suma (pero sí el orden lineal entre sus elementos).

En segundo lugar, los diferentes autores que utilizan esta definición (De Trocóniz y Belda, 1959, pp. 143-144; Puig, 1956, p. 96; Grupo Beta, 1990, p. 48) hacen énfasis

Modulativa: ∃’ O ∈ A tal que ∀A ∈ A se cumple que A+O=A=O+A (existe un único elemento, llamado módulo, que sumado a cualquier otro da como suma ese mismo). 10 "Un grupo consta de lo siguiente. 1. Un conjunto G; 2. Una correspondencia (u operación) que asocia a cada par de elementos x, y de G, un elemento xy de G de modo que a. x(yz)=(xy)z para todo x, y, z de G (asociatividad); b. existe un elemento e en G tal que ex=xe=x para todo x de G; c. a cada elemento x de G le corresponde un elemento x-1 en G tal que xx-1=x-1x=e. ... Un grupo se dice conmutativo si satisface la condición xy=yx para cada x e y." (Hoffman & Kunze, 1993, p. 82). iv.

76



en que la magnitud es el concepto abstracto que surge como cualidad común a un conjunto de elementos, cualidad que permite relacionarlos (igualarlos) y operarlos (sumarlos). Esta aproximación difiere de la exhibida por Fiol y Fortuny (1990, pp. 29-31) en la cual establecen como magnitud al conjunto de elementos que cumple las propiedades reseñadas. Sin embargo, utilizaremos la primera de éstas debido a su relativa semejanza con la noción habitual e intuitiva.

A pesar de la diferencia reseñada en el párrafo anterior, todos estos autores coinciden en afirmar —como marco de ejemplificación— que la longitud es una magnitud asociada a los segmentos, sin advertir que si bien es posible establecer una relación de equivalencia —o igualdad— entre sus elementos, es imposible definir una suma que cumpla con todos los requisitos reseñados, ya que esto implicaría incluir un segmento módulo, que no sería otra cosa que un punto, de donde se sigue que todo punto es también un segmento, lo cual atenta contra la intuición geométrica. Un argumento similar puede esgrimirse para el caso de la amplitud de los ángulos —ejemplo utilizado también por algunos de los autores consultados—, ya que dependiendo de la definición que se asuma de los mismos podría o no existir el ángulo módulo; dependiendo también de ésta podría haber restricciones sobre la suma de los mismos, particularmente sobre la propiedad clausurativa implicada.

Por su parte, Monique Pezard (Pezard , 1985), en las primeras páginas de su tesis doctoral, da cuenta de la estructura de la longitud; en éste, no sólo se establece — implícitamente— la necesidad de involucrar los puntos como segmentos, sino que adicionalmente se presenta de manera rigurosa la definición e instrumentalización de la igualdad entre segmentos, de la suma de los mismos y de su orden.

Es precisamente el orden entre los elementos del conjunto el elemento encargado de generar una clasificación de las magnitudes, como se observa en la siguiente definición. Universidad del Valle • IEP • Magister en Educación – Énfasis en Educación Matemática

77


Una magnitud se llama escalar si los elementos de M se pueden ordenar linealmente.11 Desde el punto de vista del Álgebra abstracta, una magnitud escalar así definida constituye un semigrupo conmutativo y totalmente ordenado.12 Esto nos conduce nuevamente a pensar que conocemos muchos conjuntos que son magnitudes escalares pero que usualmente no los percibimos así, o no les atribuimos este carácter; en particular, algunos de los conjuntos numéricos (enteros, racionales, reales) con la suma y el orden usual son magnitudes escalares, así como también lo es el conjunto de los números complejos con la suma usual y el orden establecido por el criterio de

Thieme.13 En consecuencia, la mayoría de los conjuntos numéricos también serían magnitudes escalares, desapareciendo —por lo menos formalmente— cierta distinción entre número y magnitud.

De otra parte, esta perspectiva de las magnitudes escalares —y de los reales como magnitudes escalares— nos conmina a reconsiderar la creencia en los números reales como los únicos escalares.

Ahora bien, es claro que, desde el lenguaje de la teoría de conjuntos, bastaría definir en M una relación de orden que sea compatible con la suma, para tener una magnitud escalar. Dado que no sólo existen magnitudes escalares numéricas (como los

11

Se entiende que los elementos de M se pueden ordenar linealmente cuando es posible definir en M una relación de orden (representada por el símbolo ≤) determinada por las siguientes condiciones: i. ∀ A, B ∈ M se verifica una y sólo una de estas tres relaciones: A=B ó A


ejemplos reseñados arriba), dicho orden relacionaría los elementos del conjunto M, pero no necesariamente a partir de sus cantidades numéricas asociadas (medidas).14

Finalmente, en la definición de magnitud escalar no es explícito —como tampoco lo es en los discursos matemáticos consultados— ni el nombre, ni la existencia de las

magnitudes no escalares, es decir aquellas en las cuales no es posible definir una relación de orden compatible con la suma. Creemos que sería falso pensar que éstas serían las magnitudes vectoriales —como lo afirma De Trocóniz y Belda (1959, p. 146)—, porque, como lo muestra Puig (1956, pp. 100–101), los segmentos orientados de una recta (vectores) y los ángulos orientados pueden considerarse como magnitudes escalares.

Ahora, veamos cómo al definir un criterio para las magnitudes escalares, éstas se escinden en absolutas o relativas. Si ∀ A, B∈ M se verifica que A≤A+B, la magnitud escalar se denomina absoluta; si algunas veces se satisface A>A+B, la magnitud escalar se denomina relativa. De lo anterior se deduce que si M es un conjunto apto para definir una magnitud absoluta, todos sus elementos son mayores o iguales que el elemento nulo. En cambio, si de M surge una magnitud relativa, en M hay elementos mayores que el elemento nulo (elementos positivos) y otros menores que éste (elementos negativos). Para establecer la misma clasificación de las magnitudes escalares, algunos autores (Puig, 1956, p. 99; Grupo Beta, 1990, pp. 54–55) prefieren establecer la operación

diferencia15 entre los elementos de M y definir las magnitudes absolutas o relativas

14 15

Para una comprensión de este concepto ver adelante el contenido del numeral 3.2.3. Sean A, B elementos de M. C es la diferencia de A y B, denotada por C=A–B si y sólo si C+B=A.


79


según se postule la existencia —en M— de dicha diferencia para algunos o para todos los elementos de M, respectivamente.

Sin embargo, en la recapitulación realizada, no hay necesidad de incluir una nueva operación, ya que basta determinar si para todos los elementos de M, se satisface que cualquier suma es mayor o igual que cada uno de sus sumandos implicados, para catalogar la magnitud como absoluta; en caso contrario, la magnitud será relativa.

De otro lado, es relativamente claro que sólo las magnitudes relativas pueden configurar una estructura de grupo conmutativo y totalmente ordenado. Mientras que las magnitudes absolutas sólo comportarán una estructura de semigrupo conmutativo y totalmente ordenado.

Veamos ahora, cómo la inclusión de nuevas condiciones para las magnitudes escalares (absolutas o relativas) genera nuevos calificativos para las mismas.

A las magnitudes escalares las llamaremos magnitudes racionales si satisfacen el postulado de divisibilidad16 y el postulado de Arquímedes.17 A las magnitudes racionales las denominaremos magnitudes continuas o reales si satisfacen el postulado de continuidad.18 16

Dado un elemento A cualesquiera de M y un número natural cualquiera n, existe siempre en M otro elemento B tal que: 1 B +44 B +2 B44 +L+3 B = A o lo que es lo mismo n ⋅ B = A . n − sumandos

De estos elementos A y B se dice que A es n-múltiple de B y que B es n-submúltiple de A, lo cual se A indica así: B = equivalente a A = n ⋅ B . n A A A A , , , L, , L se les llama partes alícuotas de A. A los elementos 2 3 4 n 17 “Si O B .” (De Trocóniz y Belda, 1959, p. 145). 18 Para cada par de clases contiguas de elementos de M, existe en este conjunto un elemento único A, llamado elemento de separación, mayor o igual a todos los de M1 y menor o igual que todos los de M1’. Donde llamaremos clases contiguas de elementos de M a dos conjuntos M1 y M1’ de elementos de M tales que: i. Todo elemento de la primera clase M1 es menor que todo elemento de la segunda clase M1’. 80



En primer lugar, reseñemos que en este punto de la construcción de las magnitudes escalares continuas —el cual claramente es el propósito de los autores del texto base— existen algunas diferencias con los planteamientos expresados por los otros autores consultados. Por ejemplo, Puig (1956, p. 101) define las magnitudes escalares continuas a través de una clasificación de las cantidades de la magnitud y no a través de los elementos del conjunto M (o más específicamente a través de las clases contiguas); además, no presenta las magnitudes racionales (es decir, no involucra los postulados de divisibilidad y de Arquímedes) sino que dirige el discurso a la construcción de las magnitudes reales o continuas.

Por su parte, el Grupo Beta (1990, pp. 55–57), al iniciar la construcción de las magnitudes escalares continuas, restringe el discurso a las magnitudes escalares absolutas. Adicionalmente, define un producto externo19 el cual, en nuestra, opinión es lo relativamente equivalente al postulado de la divisibilidad presentado, con la diferencia que en aquél los reales —y no los naturales— son el conjunto externo; es a través de este producto y de sus propiedades respecto de la suma y la compatibilidad con el orden, que establece las magnitudes escalares continuas. Como puede percibirse a través del producto externo los autores transportan la continuidad de los reales al conjunto M, con lo cual evitan la construcción vía las cortaduras, o clases contiguas.

Al igual que el Grupo Beta, Fiol y Fortuny (1990, pp. 29–31) también restringen el discurso a las magnitudes escalares absolutas, pero siguen un camino similar al transitado en el texto base en la construcción de las magnitudes escalares continuas, con la diferencia que utilizan el lenguaje del álgebra moderna e involucran la noción de medición de la cantidad de magnitud en su construcción.

ii.

Elegido como quiera un elemento positivo E, arbitrariamente pequeño, del conjunto M, existen dos elementos M1 y M1’, uno de cada clase, que difieren en menos de E. [Al decir que M1 y M1’ difieren en menos que E queremos expresar que M1 < M1’ < M1 +E].


81


A más de la posible no existencia del elemento diferencia (C=A–B) para todo par de elementos del conjunto M y de la no existencia del elemento opuesto (–A), aún no hemos determinado con precisión las repercusiones teóricas de restringir el estudio de las magnitudes a las absolutas; no obstante, hemos podido verificar que en la matemática escolar, sí existen importantes consecuencias en la conceptualización de la proporcionalidad, particularmente en algunas creencias compartidas asociadas,20 pero éste no es, por ahora, nuestro objeto de estudio.

En segundo lugar, señalemos que en los discursos matemáticos examinados no existen marcos de ejemplificación que impliquen magnitudes diferentes a las más o menos usuales (la longitud, la amplitud y los conjuntos numéricos). Esto no beneficia mucho las posibilidades de generalización y abstracción de la idea de magnitud continua, quedando ésta aún muy ligada a las referencias geométricas o aritméticas y —en cierto sentido— disminuyendo su potencialidad matemática.

Finalmente, en el texto base no aparece reseñada la idea de magnitud discreta. En la mayoría de los otros textos tampoco, excepto en el documento del Grupo Beta (1990), en el cual se enuncia una definición ligada a la definición del producto externo: “Una magnitud se llama discreta si sólo los números naturales son multiplicables por todas las cantidades de la magnitud” (p. 57); sin embargo, en ésta se encuentra el concepto de cantidad de magnitud, no enunciado aún en este punto de la recapitulación, lo cual dificulta la comprensión de lo enunciado; además, la definición está restringida a las magnitudes absolutas.

El no encontrar en los textos consultados una definición explícita de magnitud discreta tal que no recurra al concepto de cantidad, nos hace pensar en la 19

Sea r∈ℜ+, ∀B∈M, ∃A∈M tal que r•B=A. (Simbolización adaptada a nuestras convenciones).

82



imposibilidad de definir y, por ende, contrastar las magnitudes continuas con las discretas, por fuera de los contextos cuantitativos numéricos y no numéricos, determinados, respectivamente, por los conceptos de cantidad de magnitud y medida de la cantidad —objeto de estudio de los apartados siguientes. No obstante, antes de terminar este apartado presentamos una protodefinición que hemos construido en el marco de la tipificación de las magnitudes, la cual deberá ser puesta a prueba para examinar su validez y consistencia: Una magnitud escalar se dice discreta si no

satisface el postulado de la divisibilidad. Los números naturales (incluyendo el cero) y los números enteros serían un buen ejemplo de este tipo de magnitudes; los segmentos dibujados en la pantalla de una computadora serían otro buen ejemplo.

3.2.2 El concepto de cantidad Todos los elementos de M que son iguales entre sí, definen la misma cantidad de magnitud; o en otras palabras, a cada uno de los diferentes estados de la magnitud se le llama cantidad de magnitud. Denotamos con la letra a la cantidad correspondiente al elemento A∈M y por ende a la cantidad de todos los elementos iguales a A. Sea C el conjunto formado por todas las cantidades asociadas a los elementos del conjunto M en el cual se ha definido la igualdad (=) y la suma (+). Al conjunto C le llamaremos un sistema de cantidades conexo a M. En primer lugar, notemos que el concepto de cantidad está ligado al concepto de magnitud a través de la igualdad, pero no de la suma; en este sentido, está dependiendo más del concepto de conjunto homogéneo que del concepto de magnitud. Sin embargo, como lo veremos adelante, en el texto base el sistema de

20

Por ejemplo, el trabajar exclusivamente con magnitudes absolutas —muy típico de las matemáticas escolares— parece conducir al desconocimiento de magnitudes directamente proporcionales monótonamente decrecientes.


83


cantidades conexo sí está estrechamente conectado a las relaciones y operaciones definidas en M.

En segundo lugar, no sólo en el texto base sino también en otros textos (Puig, 1956, p.96; Grupo Beta, 1990, p. 49) se sostiene que a cada elemento A∈M le corresponde una cantidad a y que esta cantidad es la misma para todos los elementos de M iguales al elemento A. En otras palabras, que todos los elementos del conjunto M iguales entre sí tienen asociada la misma cantidad y, además, dos elementos diferentes tienen asociadas cantidades diferentes.

En este sentido, el concepto de cantidad se asocia también, desde otra perspectiva, al concepto de clase de equivalencia definida por la relación de igualdad. Particularmente, la igualdad (=) —en tanto relación de equivalencia— definiría una

partición del conjunto M; cada una de las partes —o clases de equivalencia— sería en sí misma una cantidad y, por tanto, cada uno de los elementos de M pertenecería a una y sólo a una clase de equivalencia. El conjunto cociente M/= sería el conjunto de cantidades asociadas al conjunto M, es decir, el mismo conjunto C. Esta perspectiva permite también establecer, desde el discurso matemático, la diferencia —pero a la vez la afinidad— entre los conceptos de magnitud y cantidad. Esta definición, la cual establece la existencia de un conjunto M y de un conjunto C, contrasta con la utilizada por Fiol y Fortuny (1990, p. 30). Ellos sostienen que los elementos de la magnitud M son las cantidades y, en consecuencia, no requieren ni de la existencia de un sistema de cantidades conexo a M, ni de transportar la estructura algebraica y de orden de M a otro conjunto. En el texto base esto último es imprescindible, como se muestra a continuación.

84



Sean a, b, c, las cantidades respectivamente correspondientes a los elementos A, B, C ∈ M . i) Si C=A+B entonces convendremos en afirmar que c es suma de a y b y lo denotaremos como c=a+b.21 ii) Si Ao ó a
Desde el enfoque del álgebra abstracta, podría considerarse que lo reseñado anteriormente como convenciones pretende establecer para el conjunto C la misma estructura algebraica y de orden que caracteriza al conjunto M. Esto se conseguiría estableciendo un isomorfismo entre M y M/=, el cual no sería una función distinta a la proyección canónica.

Atendiendo a esta consideración, si A = n ⋅ B entonces es también a = n⋅b, y diremos que la cantidad a es n-múltiple de la b, o que la b es n-submúltiple de la a. De manera análoga se generaliza la definición de partes alícuotas. 22 La proyección canónica no es otra que la función de M en el conjunto cociente M/=, tal que a cada elemento A∈M le hace corresponder su clase de equivalencia según la relación (=). 21


85


Esta similitud estructural entre las magnitudes y las cantidades respectivas se refleja a través de la ambigüedad característica del lenguaje usual al referirse a las magnitudes y a las cantidades como sinónimos. Desde estas perspectivas matemáticas, a la vez que se caracteriza al conjunto C como un sistema de cantidades, se le puede considerar también como un conjunto que define en sí mismo una nueva magnitud, a la cual se le podría asociar como sistema de cantidades conexo el mismo conjunto C. Creemos que este es el caso de los conjuntos numéricos usuales (racionales, reales y complejos).

Finalmente, observemos que ni la definición de cantidad, ni la de su estructura algebraica y de orden es incompatible con la protodefinición de magnitud discreta, reseñada arriba (ver página 83), dado que lo relativo a la cantidad se aplicaría a todos los tipos de magnitudes escalares.

Ahora bien, para determinar si la definición reseñada por el Grupo Beta (1990, p. 29) y que citamos antes: Una magnitud se llama discreta si sólo los números naturales

son multiplicables por todas las cantidades de la magnitud (ver página 82), es o no compatible con lo recapitulado hasta este punto, expresémosla inicialmente en lenguaje matemático: Entendemos que una magnitud escalar M se dice discreta si

∀b∈C se satisface que n⋅b∈C, ∀n∈N ∧ ∃/ n∉N, n⋅b∈C, (donde C es el conjunto de cantidades conexo a M y N representa el conjunto de los números naturales). El producto indicado n⋅b∈C, ∀n∈N se reseña en la nota 21 de pie de página que amplía el enunciado i); este producto lo satisfacen todas las magnitudes racionales, sin embargo, también lo satisfacen otras magnitudes no racionales, particularmente aquellas en las que no se pueden definir partes alícuotas para todas sus cantidades; éstas serían precisamente las magnitudes discretas, confirmándose así su compatibilidad con el discurso recapitulado. No obstante, la definición se podría

86



ampliar a las magnitudes relativas cambiando el conjunto de los naturales por el conjunto de los números enteros.

3.2.3 El concepto de medida Consideremos una magnitud continua relativa y su sistema de cantidades conexo. A cualquier cantidad a de este sistema le asignaremos un número real, que denominaremos su medida. Para ello, tomemos una cantidad positiva23 cualquiera u por unidad; el número asociado a la cantidad a estará dado a través de los siguientes tres criterios: 1.

Si a es una cantidad positiva, puede ocurrir uno de los siguientes tres casos: i) La cantidad a es n–múltiple de u; es decir a = n⋅u. En este caso al número natural n se le llama medida de a con la unidad u. ii) La cantidad a es n–múltiple de la m–ésima parte alícuota de n u u; es decir a = n ⋅ . En este caso al número fraccionario m m se llama la medida de a con la unidad u. iii) La cantidad a no es múltiple de la unidad u, ni de ninguna de sus partes alícuotas. En este caso al número irracional α 24 se llama la medida de a con la unidad u y escribimos a = α⋅u.

2.

Si la cantidad a es negativa, se considera su opuesta, esto es –a, que n ó α, tomaremos como se medirá con u. Si la medida de –a es n, m n medida de a, respectivamente: –n, – ó –α.. m

3.

A la cantidad nula o le asignaremos como medida el número 0.

23

Si por unidad tomáramos una unidad negativa, habría necesidad de redefinir los criterios, cambiando positiva por negativa en el primero (1.) y negativa por positiva en el segundo (2.). 24 El número irracional α es igual al número al cual convergen las sucesiones α1 y α1’, donde éstas son respectivamente las sucesiones de medidas racionales de las cantidades ai y ai’ (i=1,2,...,n), tales que ai y ai’ son las cantidades asociadas a los elementos Ai y Ai’ de las clases contiguas M1 y M1’ respectivamente. La cantidad a está asociada al elemento de separación A de las clases. Universidad del Valle • IEP • Magister en Educación – Énfasis en Educación Matemática

87


En primer lugar, señalemos que a través de esta definición se está asignando, explícitamente, un número a cada una de las cantidades, e implícitamente, el mismo número a todos los elementos iguales del conjunto M —es decir a los relacionados con la respectiva cantidad. Desde esta interpretación si bien sería falso afirmar que las magnitudes pueden ser medibles, no lo sería decir que los elementos del conjunto que define la magnitud pueden ser medidos y mucho menos que las cantidades de magnitud son medibles.

Esta misma asignación proporciona un contexto netamente cuantitativo numérico (los números reales) asociado a un contexto cuantitativo no necesariamente numérico (el sistema de cantidades conexo a la magnitud).

Ahora bien, esta asignación de un número a cada cantidad, no es otra cosa que una función de C en ℜ. Esta función está descrita por los tres criterios anteriores y, por tanto, transporta la estructura algebraica y de orden del sistema de cantidades conexo, al conjunto de los números reales, el cual por ser también una magnitud continua relativa, tiene las mismas estructuras. Esta notable afinidad estructural entre el sistema de cantidades y el conjunto de sus medidas podría justificar la ambigüedad —e incluso la sinonimia— entre los conceptos cantidad de magnitud y medida, característica en el lenguaje usual.

En segundo lugar, queremos reseñar algunos comentarios respecto del concepto de unidad, citado arriba. Inicialmente, se puede afirmar que la unidad, en general, no es un número, dado que la unidad se selecciona del sistema de cantidades conexo a la magnitud, el cual no siempre es un conjunto numérico. La unidad es un número sólo cuando la magnitud considerada corresponde a los números reales con la suma y orden usual, o a otro conjunto numérico que satisfaga las condiciones necesarias para ser considerado magnitud continua (v.g., los reales no negativos o los reales no positivos, con la suma y orden usual). En la mayoría de los casos, la unidad es un ente 88



de carácter cuantitativo no numérico (v.g., en la magnitud definida por la longitud de los segmentos, la unidad no es ni un segmento, ni la longitud de un segmento, ni la medida del segmento, sino una cantidad de longitud definida por todos los segmentos igualables entre sí). Ahora bien, no es cierto que la unidad pueda ser cualquier elemento del conjunto M, ya que la cantidad que es el módulo aditivo no se podría asumir como unidad. De hecho, habitualmente la unidad se selecciona arbitrariamente de entre los elementos positivos del sistema de cantidades conexo a la magnitud, para con ella comparar las otras cantidades del sistema y poder establecer su medida. No obstante, es posible elegir una cantidad negativa como unidad y con ella medir los elementos del sistema, en cuyo caso, si bien se preserva la estructura de orden, la correspondencia entre las cantidades y sus medidas no es ordenada, es decir, a mayor cantidad no correspondería mayor medida, sino menor.

Independientemente si la cantidad asumida como unidad es positiva o negativa, en el proceso de medida se le asignará el número real 1, ya que al tomar la cantidad u y compararla con la unidad u se verifica que u es 1–múltiple de u, esto es que u=1⋅u, lo cual hace que el número real 1 sea asignado como medida de u.

De otra parte, no es cierto afirmar que todas las cantidades sean medibles con la unidad. Existe una cantidad que no permite compararse con la unidad (i.e., no satisface ninguno de los tres incisos del criterio 1., ni el criterio 2.); este es el caso de la cantidad o asociada a la clase de equivalencia del elemento neutro O de la magnitud. Ahora bien, podría pensarse que para esta cantidad sí existe un natural (el cero) que satisface el hecho de ser 0–múltiple de la unidad; sin embargo, aceptar esta consideración implicaría —de un lado— incluir el cero como un natural, y —de otro lado— excluir la validez de la equivalencia simbólica entre A = n ⋅ B y B =


A , n

89


reportada en la nota 16 a pie de página. Por estas razones creemos que en la definición de la función medida aparece éste como el tercer criterio en el que explícitamente se establece el número real cero (0) como la medida de la cantidad o.

En tercer lugar, la definición de medida recapitulada sólo contempla el caso de las magnitudes continuas relativas. No obstante, a partir de ésta es posible generar algunos criterios que servirían como definición para medir otro tipo de magnitudes. Si la magnitud es continua absoluta se utilizaría la misma definición exceptuando el criterio 2. Para cuando la magnitud sea racional relativa se utilizarían todos los criterios menos el inciso tres (iii.) del primero (1.); en el caso de ser racional absoluta los mismos que si es relativa excluyendo el segundo (2.).

Para el caso extremo de las magnitudes escalares discretas se podrían dar dos situaciones, a saber: si se asume como unidad la cantidad inmediatamente mayor que el módulo, las medidas respectivas serían precisamente los números naturales —para las magnitudes absolutas— o los enteros —para las magnitudes relativas; para estos casos no habría necesidad de recurrir a los incisos ii) y iii) del criterio 1. Si otra cantidad, diferente a la mencionada antes en este párrafo, es seleccionada como unidad, las medidas serán un subconjunto propio de los racionales; en este caso, no habría necesidad de recurrir al inciso iii) del criterio 1.

Estas últimas extensiones de la definición de medida, permiten considerarla como una definición válida para todo tipo de magnitudes escalares (v.g., absolutas o relativas, racionales, continuas, discretas).

Diremos que la cantidad a es conmensurable con la unidad u si su medida es un número racional (entero o fraccionario), e inconmensurable si la medida es un número irracional.

90



El calificativo de conmensurable o inconmensurable suele estar asociado a la magnitud, pero esta definición establece la relación con la cantidad y más precisamente, con una pareja de cantidades. Esta observación es de suma importancia, ya que una magnitud continua tendría asociadas simultáneamente cantidades conmensurables e inconmensurables y, en consecuencia, no podría afirmarse si ésta es o no una magnitud conmensurable. Sin embargo, sacrificando un poco el rigor, una magnitud racional sí podría ser considerada una magnitud conmensurable, dado que todas sus cantidades serían conmensurables con cualquier unidad. Lo mismo sucedería con las cantidades de las magnitudes discretas con lo cual éstas podrían considerarse conmensurables. Entendemos, entonces, que una magnitud se diría conmensurable si cualquier pareja de sus cantidades es conmensurable y se diría inconmensurable si existe al menos una de sus parejas de cantidades no conmensurable; advertimos sí que la palabra conmensurable está siendo usada así como un adjetivo para designar una propiedad de la magnitud, a la vez que está siendo empleada para nombrar una característica de la relación entre una pareja de sus cantidades.

Lo expuesto en la anterior definición de medida permite afirmar que adoptando una unidad, a cada cantidad corresponde una medida única racional o irracional. Recíprocamente, elegida una unidad u, para cada número real µ (racional o irracional) existe una y sólo una cantidad a, tal que su medida es precisamente ese número, es decir a = µ⋅u. Esta condición establece la existencia de la función inversa a la función medida. En otras palabras, establece que la medida es una biyección entre el conjunto de las cantidades conexas a la magnitud continua relativa y el conjunto de los números reales. Ahora bien, la existencia de dicha función biyectiva depende del tipo de magnitud o de cantidad a ser medida; para garantizar dicha existencia es necesario hacer algunas restricciones, a saber: para establecer una biyección en el caso de una magnitud continua absoluta, deberá restringirse el conjunto de los reales a los no negativos; igualmente, será necesario restringir a los racionales para las magnitudes Universidad del Valle • IEP • Magister en Educación – Énfasis en Educación Matemática

91


racionales relativas y a los racionales no negativos para las magnitudes racionales absolutas. En el caso de las magnitudes discretas absolutas o relativas, no sólo es necesario restringir el conjunto numérico a los naturales (incluyendo el cero) o los enteros, respectivamente, sino que adicionalmente hay que asumir como unidad a la cantidad inmediatamente mayor que el módulo.

De otra parte, la aserción contenida en el último párrafo recapitulado —y particularmente la simbolización utilizada—, exhibe la aparición de un producto externo al sistema de cantidades o un producto por un escalar. La presentación y explicitación de éste, es el objeto de los siguientes párrafos. Ya sabemos que para expresar que µ es la medida de la cantidad a con la a unidad b se escribe a = µ⋅b, que tomaremos como equivalente con b =

µ

a . En este caso suele decirse que a es el producto de la cantidad b b por el número µ, o, que b es el cociente de la cantidad a por el número µ, o, finalmente, que µ es la razón de las cantidades a y b.

ó µ=

Este producto cumple las siguientes propiedades que son importantes en el tratamiento de la proporcionalidad: Sean a, b ∈ C y α, β ∈ ℜ. i) (α + β)⋅ a = α ⋅a + β ⋅a ii) α ⋅ (a + b) = α ⋅a + α ⋅b iii) α ⋅ (β⋅a) = (α⋅β)⋅ a (si α es positivo) ⎧α ⋅a ≤ α ⋅b iv) Si a ≤ b entonces ⎨ (si α es negativo) ⎩α ⋅a ≥ α ⋅ b En primer lugar, la denominación y notación introducidas para el producto se soportan en la definición de una ley externa, que en el contexto del Álgebra Abstracta se conoce como producto de una cantidad por un número real, determinado por la siguiente condición: Sea µ∈ℜ, ∀a∈C, ∃b∈C tal que µ⋅b=a; además, se soportan en las implicaciones que tiene trabajar en una magnitud continua. 92



Recordemos que en el texto base se están trabajando con magnitudes continuas relativas, y que ello garantiza tanto la existencia de un real µ que mide a la cantidad a respecto a la unidad b, como la existencia de la cantidad a como µ–múltiple25 de la unidad b, así como también la existencia de una cantidad b que al ser tomada como unidad, la cantidad a mida µ. Estas bondades respecto de la existencia de los tres objetos involucrados en el producto a = µ⋅b , son el argumento que soporta las definiciones de cociente de una cantidad por un real y de cociente de dos cantidades de la misma magnitud.

De otra parte, en la definición que incorpora la notación µ =

a , preferimos b

denominar al número real µ como cociente exacto —o simplemente cociente— entre las cantidades a y b, al igual que optamos por llamar cociente indicado —o simplemente razón— a la pareja ordenada de cantidades (a,b), simbolizada por

a . b

Esta denominación no implica la predefinición de una operación división entre las cantidades, aunque bien podría hacerse.

En segundo lugar, aunque al parecer las propiedades que satisface el producto de un real por una cantidad no son otras que la distributiva a derecha de producto sobre la suma [(α + β)⋅ a = α ⋅a + β ⋅a], la distributiva a izquierda del producto sobre la suma [α ⋅ (a + b) = α ⋅a + α ⋅b], la asociativa del producto [α ⋅ (β⋅a) = (α⋅β)⋅ a] y la compatibilidad ⎧α ⋅a ≤ α ⋅b ⎨ ⎩α ⋅a ≥ α ⋅ b

del

producto

con

el

orden

[Si

a

≤

b

entonces

(si α es positivo) ], debemos señalar que esto no es estrictamente (si α es negativo)

riguroso. Es necesario entonces precisar que en (α + β)⋅ a = α ⋅a + β ⋅a la suma de la

Asumimos prestada la idea de µ-múltiple de la multiplicidad que se establece a través del postulado de la divisibilidad, pero sabemos bien que en ese caso se exige que µ sea un natural; aquí, tenemos claro que µ es un real. 25


93


izquierda es entre reales, en tanto que a derecha es entre cantidades; en

α ⋅ (a + b) = α ⋅a + α ⋅b las sumas de la izquierda y de la derecha están definidas entre cantidades; en [α ⋅ (β⋅a) = (α⋅β)⋅ a] ambos productos de la izquierda son externos, en tanto que en la derecha hay un producto entre reales y un producto ⎧α ⋅a ≤ α ⋅b externo; y la expresión Si a ≤ b entonces ⎨ ⎩α ⋅a ≥ α ⋅ b

(si α es positivo) lo que (si α es negativo)

está evidenciando es precisamente que no hay compatibilidad del producto con el orden.

Hasta este punto, las presentaciones respecto del concepto de medida recopiladas en los textos consultados es muy similar a la recapitulada del texto base. Sin embargo, en éste se incluye una referencia a la correspondencia entre las cantidades reales o continuas y los puntos de una recta.

“En geometría se establece, para los segmentos rectilíneos de origen O de una recta orientada, un sistema de postulados equivalente al que caracteriza a las magnitudes reales o continuas. Por consiguiente, elegido un segmento unitario, a cada segmento rectilíneo OA corresponde un número real α, y recíprocamente. Haciendo corresponder al número α el punto A, podemos decir: elegido un origen y un segmento unidad, existe una correspondencia biunívoca entre los puntos de una recta orientada y los números reales; es decir que a cada punto A corresponde un número α, llamado abscisa, y recíprocamente.” (De Trocóniz y Belda, 1959, p. 149). Al respecto, podemos señalar que nuevamente se está estableciendo una función que hace isomorfos al conjunto de los números reales con el conjunto de los puntos de la recta orientada. Como también existe un isomorfismo entre el conjunto de las cantidades continuas relativas y el conjunto de los números reales, podría aceptarse que representar las cantidades en una recta es un proceso reglado por un isomorfismo que no es otro que la composición de los dos primeros reseñados.

94



3.2.4 La teoría de la proporcionalidad La indagación realizada, en los distintos documentos consultados, nos muestra un desarrollo de la teoría de la proporcionalidad a través de una estructura más o menos semejante a la del texto base (De Trocóniz y Belda, 1956, pp. 149-154). En términos generales, el discurso se organiza en tres partes, a saber: lo relativo a la proporcionalidad directa, a la proporcionalidad inversa y a la proporcionalidad compuesta; las dos primeras relativamente independientes entre sí y la última dependiendo de las anteriores. Cada una de estas se presenta a través de: un marco definicional —en el contexto de la teoría de conjuntos o en el del álgebra abstracta; consecuencias lógicas (v.g., teoremas, corolarios, escolios) que determinan sus propiedades, todas ellas relativamente semejantes y en un orden similar y —excepto en la proporcionalidad compuesta— formas de representación geométrica. Adicionalmente, se incorporan, en la parte que versa acerca de la proporcionalidad directa, unas referencias particulares a los conceptos de razón y proporción en el contexto de las magnitudes; no obstante, Aceytuno (1958, pp. 340-344) aborda estos últimos conceptos —también en este contexto— de manera previa al tratamiento de la proporcionalidad, además, incorpora un discurso en torno a la regla de tres.

Ahora bien, inicialmente advirtamos que las magnitudes referidas en la siguiente recapitulación son relativas y continuas, excepto que se señale explícitamente algo diferente. En consecuencia, las cantidades también serán relativas y continuas y el conjunto de los números reales será el conjunto de medidas.


95


3.2.4.1 PROPORCIONALIDAD DIRECTA

Dos magnitudes son proporcionales o directamente proporcionales, si sus cantidades se corresponden biunívocamente, ordenadamente, en la igualdad y en la suma.26 En primer lugar, notemos que la definición de magnitudes directamente proporcionales implica la existencia de una correspondencia biunívoca entre los sistemas de cantidades conexos a cada una de ellas; dicha correspondencia debe satisfacer unas características adicionales reseñadas y explicadas en la nota 26 de pie de página. De estas observaciones nos llama la atención la i., ya que la conservación del orden no sólo se puede dar de manera estricta (i.e., si ac’>b’>...). Por supuesto que esta segunda opción exige que las

magnitudes involucradas sean relativas, ya que si fuesen absolutas no se satisfaría la segunda opción (si ac’>b’>...) simultáneamente a las observaciones ii. y iii..

A esta correspondencia Fiol y Fortuny (1990, p. 31) le caracterizan como un isomorfismo —denotado como f— definido entre los dos conjuntos o magnitudes

absolutas, tal que satisface tres condiciones (para cuando las magnitudes son continuas), a saber: i) Si a
La primera de estas condiciones (i.e., Si a
Designemos por a, b, c , ... las cantidades de la primera magnitud y por a’, b’, c’, ... las cantidades homólogas o correspondientes en la segunda magnitud. Entonces: i. Al decir que las cantidades se corresponden ordenadamente queremos indicar que si las cantidades a, b, c , ... se suceden en cierto sentido (por ejemplo ac’>b’>...). ii. La correspondencia en la igualdad exige que si a=b sea también a’=b’. 96



condición citada por Fiol y Fortuny (1990, p. 31) establece el carácter creciente de la función f, sin embargo, es necesario recordar que estos autores están trabajando en el contexto de las magnitudes continuas absolutas y que, en consecuencia, ésta es sólo una característica particular, que no podría generalizarse a todas las funciones que definan proporcionalidad directa para magnitudes continuas relativas. Entre tanto, la segunda (i.e., f(a+b) = f(a) + f(b)) se relaciona con la iii. de la misma nota de pie de página; a través de éstas se establece la aditividad como una de las condiciones características de la función de proporcionalidad directa. La tercera de estas condiciones (i.e., Si a = r⋅e entonces f(a) = f(r⋅e) = r⋅f(e)) es abordada parcialmente por la condición iii. reseñada en la nota en mención, ya que de esta condición iii. sólo se puede seguir su validez para valores naturales de r. En efecto, como c' es la a4 +2 a +4 L4+3a , cantidad homóloga de c, así como a' es de a, se tiene que si c = a1+4 r − sumandos

'+4 a'4 +a2 '+4 L4 +3 a' , es decir que si c = r ⋅ a entonces c' = r ⋅ a' , sólo para entonces c' = a1 r − sumandos

cuando r es cualquier número natural mayor que 1,27 y no para cualquier valor real de r, como lo sostiene Fiol y Fortuny.

Por su parte, a la correspondencia biunívoca el Grupo Beta (1990, p. 62-63) le llama aplicación de proporcionalidad —simbolizada por la letra p— entre los dos conjuntos

que definen las magnitudes absolutas y continuas. Las condiciones relativas al orden y a la correspondencia en suma e igualdad, estos autores las presentan a través de las dos condiciones siguientes, donde p(c) = c’, para todo elemento c y c’ de las cantidades asociadas respectivamente a las magnitudes y r es un real positivo: i) p(a+b) = p(a) + p(b) = a’ + b’ y ii) p(r⋅a) = r⋅p(a) = r⋅a’.

iii.

Por último la correspondencia en la suma exige que si c=a+b, sea también c’=a’+b’. Otra forma de expresar esta aserción, combinando los dos lenguajes, es: si c = r⋅a entonces c' = f(c) = f(r⋅a) = r⋅f(a) = r⋅a' para los valores naturales de r.

27


97


En segundo lugar, nos parece muy interesante que la definición de magnitudes directamente proporcionales se base en el comportamiento relativo de las cantidades de las dos magnitudes y no precisamente en el comportamiento de sus medidas, ni de sus razones. Ello podría significar que la proporcionalidad directa, si bien implica una relación cuantitativa, ésta no necesariamente debe ser cuantitativa numérica.

Tratándose de magnitudes absolutas basta indicar en la definición de magnitudes proporcionales, que haya correspondencia biunívoca en la igualdad y en la suma, pues la correspondencia ordenada se deduce de la correspondencia en la suma. A través de esta observación, De Trocóniz y Belda (1959, p. 150) definen la proporcionalidad directa entre magnitudes continuas absolutas de manera un tanto diferente a como lo hacen Fiol y Fortuny (1990, p. 31) y el Grupo Beta (1990, pp. 6263), anteriormente reseñados, pero de manera idéntica a como lo hace Puig (1956, p. 108). Esta definición se apoya en el hecho de que, para las magnitudes absolutas, el orden puede deducirse de la suma; en efecto si c=a+b se sigue que c>a y que c>b y también si c’=a’+b’ se sigue que c’>a’ y que c’>b’, de donde se concluye que si a
De otra parte, en esta definición, se distingue algo común a las otras definiciones de proporcionalidad directa —entre magnitudes relativas o absolutas— encontradas en los textos consultados: ambas magnitudes implicadas en la correspondencia tienen la misma estructura (i.e., ambas magnitudes son continuas relativas o ambas son continuas absolutas). En ninguno de los textos consultados se vislumbra la posibilidad de tener dos magnitudes que comporten una estructura diferente; por ejemplo, poder tener una magnitud relativa en correspondencia con una absoluta ó una racional en correspondencia con una discreta ó una continua relativa en

98



correspondencia con una continua absoluta. Tampoco se admite la posibilidad de considerar dos magnitudes no continuas que tengan la misma estructura, por ejemplo dos magnitudes racionales absolutas.

Creemos que la imposibilidad de definir una biyección que preserve simultáneamente el orden y la suma es la razón por la cual, en el contexto matemático formal, no se admite la proporcionalidad directa entre dos magnitudes con diferente estructura. A la vez, consideramos que en este punto no existen razones que impidan la existencia de proporcionalidad entre dos magnitudes escalares no continuas (racionales o discretas) que presenten la misma estructura.

Las cantidades de una magnitud y sus medidas, respecto de la misma unidad, se corresponden en la suma; como además la correspondencia entre las cantidades y sus medidas es ordenada, podemos afirmar que las cantidades de una magnitud son proporcionales a sus medidas. La anterior afirmación nos permite nuevamente reconocer que el conjunto de medidas asociado a un sistema de cantidades puede ser considerado como una magnitud, ya que la proporcionalidad directa se ha definido entre dos magnitudes y aquí uno de los conjuntos es precisamente el de las cantidades de la magnitud. Particularmente, los números reales —en tanto medida de las cantidades de magnitudes continuas— son considerados como una magnitud continua relativa. Igualmente, los reales no negativos serían considerados una magnitud continua absoluta, la cual sería directamente proporcional a un sistema de cantidades con la misma estructura.

Además, es preciso destacar el relativo papel que tiene la cantidad unidad en el anterior resultado recapitulado. Podríamos afirmar que la proporcionalidad entre las cantidades de una magnitud y sus medidas es una relación que —en cierto sentido— no depende de la unidad tomada, siempre y cuando todo el conjunto de medidas haya sido determinado con la misma unidad. En otras palabras, si bien la cantidad escogida


99


como unidad define una correspondencia biunívoca (función proporcional o isomorfismo) que verifica ser de proporcionalidad directa, cada una de las cantidades asumidas como unidad definen su propia correspondencia que especifica una función proporcional; en consecuencia, entre un sistema de cantidades conexo a una magnitud y su sistema de medidas existen tantas correspondencias o funciones proporcionales como cantidades (no nulas) del mismo.

Finalmente, la afirmación: las cantidades de una magnitud son proporcionales a sus medidas, constituye un resultado fundamental en la construcción de lo que resta de la

teoría de la proporcionalidad, puesto que está implicado en muchos de los teoremas, demostraciones y consideraciones teóricas. En éste sentido, consideramos que ésta debería tener un calificativo similar al del siguiente teorema.

Los siguientes resultados, todos ellos equivalentes, se conocen como el teorema fundamental de la proporcionalidad directa. i)

Las medidas de cantidades correspondientes de dos magnitudes proporcionales, con unidades correspondientes, son iguales. Si a=µ⋅b es también a’=µ⋅b’.

ii)

En dos magnitudes proporcionales, la razón de dos cantidades de la primera magnitud es igual a la razón de las dos cantidades a a' correspondientes en la otra. Así: = . b b'

iii)

Si a = µ ⋅ b ó b =

a

µ

, también es a' = µ ⋅ b' ó b' =

a'

µ

, lo cual se

puede expresar así: Si dos magnitudes son proporcionales, al producto o cociente de una cantidad de una de ellas por un número, corresponde el producto o cociente de la cantidad homóloga por el mismo número. En primer lugar, notemos que en los diferentes enunciados del teorema se asume como hipótesis que las magnitudes son directamente proporcionales; por ello, no podría ninguno de ellos considerarse como una definición de la proporcionalidad 100



directa, sino como una consecuencia de la misma. Esta observación es muy importante debido a que este teorema (en cualquiera de sus enunciados) suele usarse en otros discursos matemáticos —fundamentalmente en los escolares— como la definición de magnitudes directamente proporcionales.

Adicionalmente, el asumir uno de sus enunciados como definición implicaría cargar a la definición de proporcionalidad directa de un carácter cuantitativo numérico, ya que, como es evidente, en estos enunciados está presente la idea de medida y, por ende, de número o cuantificación numérica de la cantidad. En contraste, el teorema nos permite observar que la proporcionalidad directa tiene asociada una manera de expresión cuantitativa numérica y que ésta se justifica es precisamente a través de la proporcionalidad de las cantidades con sus respectivas medidas.

En segundo lugar, la aparición indiscutible de la idea de medida asociada a la proporcionalidad directa establece un sitio especial al concepto de unidad. La formulación i) del teorema hace énfasis en la necesidad que las unidades de una y otra magnitud sean correspondientes. En este sentido, la identificación de las unidades de una y otra cantidad de magnitud y su correspondencia, son las condiciones que garantizan la igualdad en las medidas. Adicionalmente, el teorema permite verificar que a la cantidad nula de una magnitud siempre le deberá corresponder la cantidad nula de la otra magnitud, cuando éstas sean directamente proporcionales.

En tercer lugar, aunque las tres formulaciones parecieran equivalentes, es necesario considerar que no lo son, ya que no en todas ellas es posible considerar las cantidades nulas. Particularmente, si la cantidad a fuese nula, su medida µ sería cero y por tanto no se podría satisfacer completamente el enunciado iii).

En cuarto lugar, vuelve a llamar la atención el concepto de razón entre cantidades implicado en el enunciado ii). Recordemos que De Trocóniz y Belda (1959, p. 148) Universidad del Valle • IEP • Magister en Educación – Énfasis en Educación Matemática

101


han descrito previamente la razón entre las cantidades a y b como un número real µ (ver página 92); desde esta interpretación se entiende que se pueda plantear la igualdad entre dos razones, ya que esto no implica nada más que el uso de la igualdad entre números reales. Sin embargo, con la interpretación de razón como pareja de cantidades, sugerida por nosotros (ver página 93), habría necesidad de definir previamente la igualdad entre razones —es decir entre parejas— como una nueva relación de equivalencia en el conjunto producto cartesiano C × C–{o}, donde C es el conjunto de cantidades asociado a la magnitud.

Finalmente, como era de esperarse —por ser éste el teorema fundamental de la proporcionalidad directa— este resultado aparece descrito en la mayoría de los textos consultados. Particularmente Puig (1956, p. 108), el Grupo Beta (1990, p. 65), y Fiol y Fortuny (1990, p. 32) utilizan un enunciado muy semejante al i). Por su parte, Aceytuno (1958, p. 345) recurre como definición de proporcionalidad directa a un enunciado que se corresponde con el ii); dejando el enunciado iii) como un teorema que permite reconocer la proporcionalidad directa, ya que demuestra éste y su recíproco concluyendo que “La condición necesaria y suficiente para que dos magnitudes sean directamente proporcionales es, que multiplicando un valor cualquiera de una de ellas por un número, el valor correspondiente de la otra queda multiplicado por el mismo número” (Aceytuno, 1958, p. 347).

Consecuencia inmediata del teorema anterior es la medida de cantidades sirviéndose de otras proporcionales a ellas de manejo más sencillo (v.g., la medida de la longitud de los arcos de circunferencia valiéndose de la medida de los ángulos centrales correspondientes). Esta consecuencia también es un punto común en la mayoría de los documentos consultados. Sin embargo, el Grupo Beta (1990, p. 64) presenta una hermosa sustentación de este resultado. Ésta se basa en la existencia de una biyección entre los conjuntos de medidas asociados a cada una de las cantidades de las magnitudes

102



proporcionales; esta biyección no es más que el resultado de componer, en su orden, la función inversa de la medida de la primer magnitud, con la función de proporcionalidad y con la función de medida de la segunda magnitud.

Ahora bien, consideramos que la igualdad estructural de las magnitudes proporcionales, de sus cantidades conexas y de sus respectivas medidas, es la condición suficiente y necesaria que soporta la existencia de la biyección, es decir, la posibilidad de realizar medida indirecta de cantidades.

En lo sucesivo designaremos las medidas de las cantidades a, b, c, ... con las letras a, b, c, ... Análogamente las medidas de las cantidades a’, b’, c’, ... correspondientes en otra magnitud, las designaremos por a’, b’, c’, ... Aquí, los autores introducen una nueva notación para diferenciar y relacionar fácilmente cada una de las cantidades (representadas en negrilla) con cada una de sus medidas (representadas en cursiva). Se debe suponer, además, que estas medidas han resultado de considerar una misma cantidad como unidad, en cada magnitud.

De los aspectos señalados hasta aquí, se siguen al menos tres consecuencias, relacionadas con cuestiones sobre la medida de la cantidad de una magnitud: i)

Si a es la medida de la cantidad a con la unidad b, la medida de a a con la unidad c= k⋅b es . 28 k Sabemos que las cantidades a y c son proporcionales a sus medidas a a a a y k (con la unidad b) luego = o sea a = ⋅ c , de modo que la c k k a medida de a con la unidad c es . k

28

Hemos modificado ligeramente la formulación de este enunciado, tanto en su estructura como en su notación, ya que originalmente establecía: “Si µ, es la medida de la cantidad a con la unidad b, ¿cuál es la medida de a con la unidad b’= kb?” (De Trocóniz y Belda, 1959, p. 150). Universidad del Valle • IEP • Magister en Educación – Énfasis en Educación Matemática

103


En otras palabras, para hallar la nueva medida se divide la antigua por la medida de la nueva unidad con relación a la unidad antigua. a b y son números recíprocos. b a Sean a y b las medidas de a y b con la unidad u. En virtud de la proporcionalidad entre las cantidades y sus medidas tenemos: a a b b = = y b b a a

ii)

Las razones

iii)

Si existe un conjunto de números proporcionales a las cantidades de una magnitud, aquellos números pueden adoptarse como medidas de éstas. Según esto bastará hacer corresponder, al conjunto de las cantidades de una magnitud, los números de una escala que guarden proporcionalidad con aquellas, para tener un sistema de medidas.

En primer lugar señalemos que en estos resultados las dos magnitudes implicadas no son otras que un sistema de cantidades y su respectivo sistema de medidas. Por ello, es fundamental reconocer la estrecha conexión de estos resultados con el enunciado recapitulado arriba “las cantidades de una magnitud son proporcionales a sus medidas” (ver página 99). Notamos, entonces, que la demostración de la validez de

los resultados i) y ii) se fundamenta en la existencia de dicha proporcionalidad; entre tanto, la demostración del resultado iii) no aparece explícitamente reseñada, sin embargo, la proporcionalidad entre las cantidades y sus medidas si parece estar implicada en una posible demostración, ya que si existe un conjunto de números proporcionales a las cantidades, éste también será proporcional al conjunto de sus medidas (a través de la composición de las dos funciones de proporcionalidad) y, en consecuencia, podrá ser asumido como medida de las cantidades.

En segundo lugar, debe ser claro que en la demostración de los enunciados i) y ii), el enunciado ii) del teorema fundamental de la proporcionalidad “En dos magnitudes proporcionales, la razón de dos cantidades de la primera magnitud es igual a la razón de las dos cantidades correspondientes en la otra” (ver página 100), juega un 104



papel fundamental. Aquí, vemos necesario y conveniente nuevamente resaltar la interpretación como número que los autores le asignan tanto a la razón entre cantidades, como a la razón entre números reales.

Ahora bien, el resultado enunciado i) conduce, como lo señala Puig (1956, p.109), a establecer que Las medidas de una misma cantidad con unidades distintas están en razón inversa de dichas unidades. En efecto, como a es la medida de la cantidad a

con la unidad b, se tiene: a = a⋅b; asimismo, como c = k⋅b entonces a = a ⋅b =

a es la medida de a con la unidad k

a ⋅ c ; por la propiedad transitiva de la igualdad se sigue que k

a a c ⋅ c , lo cual es equivalente a a = , que no es más que la expresión b k k

simbólica del enunciado anterior. Sin embargo, como lo habrá podido notar el lector, en el último paso de esta argumentación hemos sido muy laxos en rigor; hasta lo aquí recapitulado de la teoría, no existe resultado alguno que soporte la afirmación a ⋅b =

a ⋅c ⇔ k

a a k

=

c . Tampoco existe dicho argumento en las secciones b

siguientes que se ocuparán en detalle de las ideas de razón y proporción entre cantidades; por lo cual, la argumentación expuesta no podría considerarse una demostración. Ello no invalida la utilidad del resultado expresado en i) para la conversión de unidades o cambio de unidad.

La proporcionalidad entre las cantidades y sus medidas nos permite a a a' a ' = ; pero si las magnitudes son proporcionales escribir = y b b b' b' a a′ a a´ a b = . se verifica = , luego = o sea a ' b' b b′ b b´


105


Análogamente veríamos que

a c a d = = , ..., luego se verifican a´ c´ a´ d´

a b c d = = = = ... a´ b´ c´ d´

Ello quiere decir que si dos magnitudes son proporcionales la razón de las medidas de cada par de cantidades correspondientes es constante. En primer lugar, notemos cómo nuevamente la proporcionalidad directa entre las cantidades y sus medidas se constituye en un resultado fundamental a partir del cual se obtienen deducciones importantes. Ahora bien, recordemos que la expresión a a a' a ' = ) que representa esta proporcionalidad directa, debe entenderse = (o b b b' b'

como una igualdad entre dos razones, que para los autores del texto base no es nada diferente a una igualdad entre dos números. Bajo esta interpretación resulta obvio entender que las consecuencias se siguen de trabajar con la igualdad usual en los números reales, ya que tanto

a a´ a b = = como no representarían nada más que a ' b' b b´

igualdades entre reales.

De otra parte, hay que reseñar que este resultado no es válido cuando alguna de las cantidades implicadas (a, b, a’, b’) es nula. Particularmente, cuando b o b’ son las cantidades asociadas al elemento módulo, no se podrían tener las igualdades

a a = y b b

a' a ' = , y aun cuando estas cantidades no fuesen nulas, pero a y —en b' b'

consecuencia— a’ si lo fuesen, no se podría afirmar que de

a a´ a b = = . se sigue a ' b' b b´

En segundo lugar, resaltemos el carácter condicional de la conclusión, en su enunciado retórico: si dos magnitudes son proporcionales la razón de las medidas de cada par de cantidades correspondientes es constante. Notemos que no es una 106



afirmación bicondicional, es decir, no implica una equivalencia lógica. En este sentido, no sería correcto afirmar la proposición recíproca, (i.e., si la razón de las medidas de cada par de cantidades correspondientes a dos magnitudes es constante, entonces las magnitudes son proporcionales) sin presentar una argumentación que la

valide. Una argumentación tal es presentada por Aceytuno (1958, p. 349); ésta se basa en una proposición que establece que “si dos magnitudes varían de tal modo que al multiplicar un valor cualquiera de cada una de ellas por un número el valor correspondiente de la otra queda multiplicado por el mismo número, las magnitudes son directamente proporcionales” (p. 347) que claramente es el recíproco del enunciado iii) del teorema fundamental de la proporcionalidad directa (Si dos magnitudes son proporcionales, al producto o cociente de una cantidad de una de ellas por un número, corresponde el producto o cociente de la cantidad homóloga por el mismo número), recapitulado arriba (ver página 99).

Si las dos magnitudes son homogéneas y todas las medidas se han hecho a b c d con la misma unidad, las razones = = = = ... coinciden con las a´ b´ c´ d´ a b c razones = = = ... y este valor común se llama razón o constante a′ b ′ c′ de proporcionalidad. Aun sin tratarse de magnitudes homogéneas el valor común de las razones a b c d = = = = ... puede tener significaciones especiales en las a´ b´ c´ d´ ciencias aplicadas. En primer lugar, reconozcamos que los autores no han definido previamente el concepto de magnitudes homogéneas (así como tampoco el de magnitudes no homogéneas), por tanto, en el contexto estrictamente matemático no es posible establecer una significación precisa de la distinción implícita en lo inmediatamente recapitulado. No obstante, creemos que los autores hacen referencia aquí a las magnitudes físicas o geométricas y se refieren a magnitudes homogéneas como


107


magnitudes de la misma especie, lo cual tampoco permite dar una significación precisa en el marco del discurso de las magnitudes abstractas.29

Creemos, además, que este intento de distinción, entre razones de magnitudes homogéneas y no homogéneas, no tiene mucha importancia en el contexto donde se moviliza este discurso matemático, ya que las razones de las medidas, no son otra cosa que razones entre números reales, es decir, un real. Por supuesto, que si las magnitudes se consideran en el campo de las ciencias aplicadas (como lo mencionan los autores) las medidas podrían considerarse como cantidades adjetivadas30 y las razones entre éstas tendrían una significación especial, pero éste no es el contexto donde esta recapitulación se está desarrollando.

No obstante, Fiol y Fortuny (1990, p. 35) sí establecen una definición de magnitudes homogéneas que maravilla por su simplicidad, a saber: “M y N se dicen homogéneas si M = N, donde M y N son las magnitudes”. En nuestra recapitulación M sería M y N sería N; sin embargo, la falta de información acerca del significado de la igualdad entre los conjuntos, no nos permite entender si los elementos de M son los mismos elementos de N y recíprocamente, o si la magnitud inferida (como la cualidad común de los elementos que los hace sumables e igualables) es la misma tanto en M como en N.

Supongamos ahora que la diferencia entre magnitudes homogéneas y no homogéneas se pudiera establecer en el contexto matemático (lo cual creemos que no es una tarea sencilla) a través de una característica que denominaremos especie —pero que no hemos podido definir— y examinemos algunas consecuencias. Nótese que para las

29

Con este calificativo queremos identificar las magnitudes en la significación recapitulada en el apartado 3.2.1 El concepto de magnitud, de este capítulo. 30 Ejemplos de dichas cantidades son 5 cm., 8.3 seg., $7, 8.4 km h , 5 niños, 10 lápices. Para una significación más precisa, sugerimos ver Schwartz (1988). 108



magnitudes homogéneas la razón podría ser un número que está asociado simultáneamente tanto a la razón de las cantidades como a la razón de sus correspondientes medidas. En el caso que las magnitudes no sean homogéneas no podría afirmarse que la constante de proporcionalidad sea un número y estaría por definir cuando ésta podría ser considerada o bien una cantidad perteneciente a una magnitud o bien una medida de una cantidad.

En segundo lugar, creemos que aparece una nueva idea de razón, pues ya no sólo es el valor de la medida de una cantidad respecto de otra tomada como unidad, ni el número real asociado al cociente entre dos medidas (reales), sino que ahora es el valor común de las razones que configuran las sucesiones

a b c d , ... y , , , a´ b´ c´ d´

a b c d , , , , ... . No sobra señalar que para cada una de las sucesiones sus a′ b ′ c′ d ′

elementos no son los mismos (i.e., que

a no está compuesto por los mismos números a´

a b c b ni que o no está compuesto por las mismas cantidades que ni que b´ c´ a´ b´

c a b c a b a ), pero sí son iguales (i.e., así como también o = al igual = = c´ a´ c´ a´ b´ a´ b´

que

a c = ). En este sentido, la razón es la característica común a las razones a´ c´

implicadas; característica que las hace igualables.

Al respecto de la significación de razón entre cantidades de magnitud, o entre medidas de cantidad, en el texto del Grupo Beta (1990) encontramos una definición de razón, para el caso particular de los segmentos en el plano, en la cual ésta es el número real cociente de las respectivas medidas de los segmentos (p. 69). También, pudimos ubicar una definición de razón de semejanza —en el plano y para el espacio— (p. 78 y p. 87, respectivamente) que la identifica sólo con un valor real


109


asociado a una función geométrica particular; con esta razón de semejanza se describen las razones de áreas y volúmenes (pp. 89–91).

En contraste con lo anterior, en el texto de Fiol y Fortuny (1990) encontramos otra interpretación diferente de razón. Para estos autores, el número o la razón común de las medidas de las dos magnitudes proporcionales “se puede a su vez tomar como medida de una nueva magnitud” (p. 35) a la cual denominan razón entre magnitudes; establecen, adicionalmente, que si las unidades de ambas magnitudes proporcionales son e y u, respectivamente, la unidad v de la nueva magnitud se representará simbólicamente como v =

e . u

En tercer lugar, el discurso recapitulado no permite reconocer una significación, ni un papel, especial de la constante de proporcionalidad. Tampoco otros de los textos consultados desarrollan con mayor profundidad esta temática. Sin embargo, tanto el Grupo Beta (1990, pp. 64–65) como Fiol y Fortuny (1990, pp. 33–36), desde la perspectiva de la proporcionalidad como una función particular, asignan un significado muy peculiar a la constante de proporcionalidad. Como el tratamiento en ambos textos es muy similar, reseñemos sólo uno de ellos.

Para Fiol y Fortuny (1990) la constante de proporcionalidad se constituye, de un lado, en un medio a través del cual representar la correspondencia funcional entre las magnitudes M y N —y particularmente entre las unidades respectivas e y u— por medio de la expresión f(e) = k ⋅ u (donde k es la constante de proporcionalidad); de otro lado, en un medio con el cual representar la subsiguiente correspondencia funcional entre las medidas de las magnitudes (g : ℜ + → ℜ + ) a través de la expresión g(r) = k ⋅ r . Creemos que el reconocimiento de este significado está inherentemente

ligado a la interpretación funcional de la proporcionalidad. Además, el hecho de que la constante de proporcionalidad permita describir ambas correspondencias 110



funcionales (i.e., f y g) posibilita y soporta la posibilidad de graficar la función g en un plano cartesiano, en tanto representación de la función f; este hecho lo analizaremos más adelante (ver página 121).

Lo mismo que las proporciones numéricas, definimos las proporciones entre cantidades como igualdades entre dos razones. Inicialmente, al leer la definición de proporción entre cantidades pensamos que a través de ésta se estaba pretendiendo establecer una relación (igualdad) entre dos relaciones —en principio— cuantitativas no numéricas (razones entre cantidades); sin embargo, la definición utilizada para razón entre cantidades (ver página 92) reduce a la proporción a la idea de igualdad entre dos números reales, es decir, reduce la proporción de cantidades

a a' = a la igualdad de la medida de a respecto de la b b'

unidad b, con la medida de a’ respecto de la unidad b’; es decir, la proporción entre cantidades no es más que la igualdad entre dos reales —bajo esta definición.

Definiciones equivalentes a la anterior son dadas también por otros autores. Por ejemplo, Puig (1956, p.108) señala que la proporción es una igualdad entre dos razones, siendo éstas las medidas respectivas de dos pares de cantidades correspondientes de dos magnitudes proporcionales. Igualmente, Aceytuno (1958, p. 341) define la proporción como la igualdad entre dos razones, cada una de las cuales estaría formada por cantidades homogéneas, es decir, la igualdad entre dos números abstractos reales. Adicionalmente, estos autores muestran que la proporcionalidad entre las cantidades y sus medidas (tomadas con la misma unidad), permite reducir a razones numéricas las razones entre cantidades, pero su argumentación asume tanto la razón entre cantidades como la razón entre medidas, como números reales.

El panorama anterior respecto de la proporción en el contexto de las magnitudes directamente proporcionales, revela la aparente necesidad de asociar el concepto de Universidad del Valle • IEP • Magister en Educación – Énfasis en Educación Matemática

111


medida a los conceptos de razón y, en consecuencia, al de proporción. Esto, a pesar de considerar la afirmación de Fiol y Fortuny, quienes sostienen que es posible definir la razón entre dos cantidades dadas sin hacer referencia directa a la medida, ya que, como lo veremos enseguida, para ellos la razón es también un número real. Veamos la argumentación utilizada: “Dadas dos cantidades a, b, la razón entre ambas se puede definir sin hacer referencia directa a la medida. Basta para ello considerar la cortadura

(P1,P2)

sobre

los

números

racionales

positivos31:

⎫ ⎫ ⎧m ⎧m P1 = ⎨ ; m, n ∈ N | na < mb ⎬ , P2 = ⎨ ; m, n ∈ N | na ≥ mb ⎬ entonces el ⎭ ⎭ ⎩n ⎩n

número real r que define será la razón entre dichas cantidades a y b” (1990, p. 36). Verificamos así que para estos autores la razón entre dos cantidades también es un número real, y que —como ellos mismos lo muestran posteriormente— este real “coincide con la medida de a respecto a b y por tanto con el cociente de sus medidas tomadas con la misma unidad” (p. 37).

Adicionalmente, desde el frente de acción asumido por estos autores podría pensarse que (a, b ; c, d ) sería una proporción si “a y b determinan la misma cortadura que c y d.” (p. 37). Sin embargo, Fiol y Fortuny definen “la proporción de (a,b) como el

cociente p(a, b) =

max(a,b) ,” (1990, p. 38) y demuestran que “la proporción es una min(a,b)

aplicación P que, a todo par de cantidades, asigna un número mayor o igual que 1”.32 Creemos que en esta definición están utilizando la palabra “proporción” con un significado muy diferente al usual, ya que sólo involucran dos —y no cuatro— cantidades; consideramos, además, que esta definición de proporción no coincide con la de razón entre dos magnitudes, aunque estamos de acuerdo, en ese contexto, con la 31

Recordemos nuevamente que estos autores sólo trabajan con magnitudes absolutas; por tanto no requieren de los racionales negativos en esta definición. Creemos que si abordaran el estudio de las magnitudes relativas, deberían también usar los racionales negativos lo cual podría generar algunas dificultades en la definición. 32 La aplicación estaría definida como sigue: P : M × M → (1, ∞)

112



aserción que “la proporción entre dos magnitudes es la razón entre la mayor y la menor” (p. 40), aunque debería decir cantidades en lugar de magnitudes.

Finalmente, en la misma dirección que cuando abordamos el estudio de la proporción entre fracciones de números reales (ver página 68) preferimos pensar la razón entre cantidades como una pareja y, en consecuencia, la proporción como una pareja de parejas; en otras palabras, preferimos pensar en la posibilidad de asociar la razón entre cantidades a la razón entre sus respectivas medidas y, por tanto, definir la proporción entre magnitudes basándonos en la proporción entre las razones (parejas) de medidas, es decir, diríamos que la relación (igualdad) entre dos razones de cantidades estaría dada por la proporción entre sus respectivas cuatro medidas, respectivamente. Sin embargo, con ello, también estaríamos supeditando a la relación cuantitativa numérica (entre medidas) la relación cuantitativa no numérica (entre cantidades).

Todas estas visiones de la razón y de la proporción conservan el rasgo cuantitativo numérico y parece así, que es ésta la única vía para definir la razón entre cantidades y que, en consecuencia, la única opción de definir la proporción es a través de la igualdad entre dos números reales.

Sin embargo, consideramos que desde hace muchos siglos existe una posibilidad de definir proporción sin recurrir a la idea de medida, e incluso sin recurrir al carácter cuantitativo numérico. Esta posibilidad la encontramos en las definiciones 5 y 6 utilizadas por Euclides en el libro V de los Elementos (ver, por ejemplo, Puertas, 1999, pp. 193–194). En síntesis, utilizando el lenguaje y la simbolización de esta recapitulación, Euclides establece que las cantidades que guardan la misma razón estarán en proporción, es decir que: siendo a, b, c, d cantidades y m, n números naturales cualesquiera, se da una proporción a:b :: c:d si y sólo sí: ((m⋅a>n⋅b) y (a,b) → p(a,b) Universidad del Valle • IEP • Magister en Educación – Énfasis en Educación Matemática

113


(m⋅c>n⋅d)) o ((m⋅a=n⋅b) y (m⋅c=n⋅d)) o ((m⋅an⋅b entonces m⋅c>n⋅d) o (si m⋅a=n⋅b entonces m⋅c=n⋅d) o (si m⋅a
Como puede observarse, la idea de medida no aparece reseñada explícitamente, aunque podría pensarse de manera un poco forzada que sí implícitamente. Adicionalmente, esta definición incorpora la idea de comparación, a través de la igualdad o el orden, entre las cantidades implicadas —o entre su equimúltiplos—, noción ésta más coherente con el desarrollo de la teoría de las magnitudes escalares continuas reportada en la presente recapitulación.

La proporcionalidad entre las cantidades y sus medidas, permite reducir a proporciones numéricas las proporciones entre cantidades y generalizar para estas algunas de las propiedades demostradas para las proporciones numéricas. Entre ellas:

114

i)

Al invertir las razones de una proporción resulta otra proporción. b b′ a a′ Si = entonces = . b b′ a a′ En efecto, este enunciado se sigue de manera inmediata de la a b consecuencia ii) Las razones y son números recíprocos. b a (ver página 104).

ii)

Al sustituir los antecedentes (o los consecuentes o ambos) de las razones, por la suma o diferencia de sus términos se obtienen otras a a' proporciones. Así, de la proporción = resultan las siguientes b b' proporciones: a + b a'+b' a − b a'−b' a a' ; = ; = ; = b b′ b b′ a + b a'+b' a a' a + b a'+b' = ; = ; etcétera. a − b a'−b' a − b a'−b' En efecto, como a las cantidades a, b, a+b, a–b, de la primera magnitud corresponden en la segunda a las cantidades Edgar Alberto Guacaneme Suárez


a' , b' , a'+b' , a'−b' , aplicando el teorema fundamental, en su forma ii), (ver página 100) resultan todas las proporciones anteriores.

iii)

Si dos proporciones tienen respectivamente iguales tres términos homólogos, sus cuartos términos son también iguales.

En primer lugar, notemos que la notación utilizada en el enunciado de estas propiedades, hace pensar que las cantidades referidas pertenecen a dos magnitudes directamente proporcionales y que las proporciones se establecen entre dos razones cada una de las cuales estaría compuesta por cantidades de una magnitud; sin embargo, sólo la propiedad ii) utiliza en su demostración tales condiciones, mientras que, las propiedades i) y iii) no exigen el cumplimiento de las mismas. De hecho, en i) las cantidades a y b podrían pertenecer a una magnitud no proporcional a la que pertenecen a’ y b’ y tener razones iguales (i.e., tener un mismo número real asociado) y dado que el recíproco de un número real es único, se tendría la igualdad o proporción entre las razones recíprocas; esta última argumentación no exige, o no se apoya en la proporcionalidad entre las cantidades y sus medidas. Así mismo, podría esgrimirse una argumentación que soporte la validez de la propiedad iii) que atienda sólo a la igualdad entre los números reales asociados a las razones implicadas en la proporción, en la cual no habría que considerar si las cantidades son o no de magnitudes proporcionales. Por su parte, la segunda propiedad sí exige que las cantidades implicadas en la proporción sean de magnitudes proporcionales, ya que la existencia de la proporcionalidad, en tanto función que preserva —o transporta— la estructura es la base de la justificación de su validez.

En segundo lugar, notamos cómo no se establece restricción alguna para el valor de las cantidades que configuran el consecuente de las razones, pero sabemos bien que éstas no podrían ser nulas, ya que no existe un real recíproco del cero, así como tampoco una razón cuyo consecuente sea la cantidad identificada como módulo aditivo. Universidad del Valle • IEP • Magister en Educación – Énfasis en Educación Matemática

115


En tercer lugar, nos llama la atención que en la propiedad iii) se referencien cuatro términos en una proporción y que éstos guarden un orden no muy bien definido en el discurso recapitulado. De una parte, creemos que esto muestra una ambigüedad en el significado de la proporción, dado que aquí no parece representar una igualdad entre dos razones sino un objeto con cuatro elementos; de otro lado, no es muy evidente si el orden implícito entre los elementos establecería únicamente que la propiedad pueda escribirse simbólicamente: “Si

a c a c = y = entonces d1 = d 2 . ” o si también es b d1 b d2

posible expresarla como sigue: “Si

“Si

a c c a = y = entonces d 1 = d 2 . ” o tal vez b d1 d2 b

d a c b = y 2 = entonces d 1 = d 2 . ”. De poderse interpretar sólo de la primera b d1 c a

forma simbólica, consideramos que esta propiedad iii) estaría introduciendo implícitamente una definición de igualdad entre proporciones.

Finalmente, estas mismas propiedades se enuncian en otros textos. Por ejemplo, Puig (1956, p. 109) enuncia, sin demostrar estas tres primeras propiedades, pero también establece como argumento central de aparición de las mismas a la proporción entre un par de cantidades y sus respectivas medidas. Por su parte, Aceytuno (1956) sólo reseña que las propiedades de las igualdades fraccionarias son también satisfechas por las proporciones entre magnitudes y que bastaría con cambios de nombres así: “igualdad fraccionaria, numerador y denominador, respectivamente por proporción, antecedente y consecuente” (p. 342).

“Si las cantidades de la primera razón son homogéneas a las de la segunda, se cumplen además las propiedades siguientes: iv)

116

Si los cuatro términos de una proporción son homogéneos, al permutar los extremos o los medios resulta otra proporción.



v)

Si los cuatro términos de una proporción son homogéneos, la suma de los antecedentes es a la de los consecuentes como un antecedente es a su consecuente.

Observación: La aritmética define únicamente las razones entre dos cantidades homogéneas; de aquí que hayamos puesto tal limitación en los enunciados de iv) y v)” (De Trocóniz y Belda, 1959, p. 152). Inicialmente, consideremos la expresión simbólica de cada uno de los enunciados, utilizando la notación de la recapitulación y atendiendo a que las cantidades pertenezcan a la misma magnitud y ninguna de ellas sea nula: iv) Si

a c d c a b = entonces = o = . b d b a c d

v) Si

a c a+c a a+c c = entonces = o = . b d b+d b b+d d

A través de la expresión simbólica del enunciado iv) es más fácil reconocer que bastaría demostrar una de las permutaciones, ya que la otra sería consecuencia de la propiedad i) enunciada inmediatamente antes. Ahora bien, es también muy claro que de la manera como De Trocóniz y Belda (1959) han definido el concepto de razón entre cantidades se sigue la exigencia sobre la pertenencia a la misma magnitud de las cuatro cantidades implicadas en la proporción. Esto, debido a que no tendría sentido conceptual la determinación de la medida de una cantidad de una magnitud, cuando la cantidad tomada como unidad pertenece a otra magnitud; pero a la vez, ello cuestionaría la validez de la observación recapitulada arriba, ya que las razones no proceden de la aritmética sino de la teoría de las magnitudes. Lo anterior nos hace nuevamente pensar en la falta de precisión en la definición del concepto de magnitudes o cantidades homogéneas y parecería que no habrían magnitudes homogéneas sino la misma magnitud.

A través de la expresión simbólica del enunciado v) se reconoce también la necesidad que los cuatro términos de la proporción pertenezcan a la misma magnitud, puesto Universidad del Valle • IEP • Magister en Educación – Énfasis en Educación Matemática

117


que no tendría sentido la operación suma entre cantidades de diferente magnitud. De otro lado, claramente se puede reconocer que, para el caso de las magnitudes relativas, es necesario restringir los valores de las cantidades para que la suma de cantidades no de cómo resultado la cantidad nula. Tal vez en este sentido Aceytuno (1958, p. 342) y Puig (1956, p. 109) establecen como condición necesaria que las operaciones tengan sentido. Pero aquí, como en el anterior comentario, tampoco tendría validez la justificación contenida en la observación.

Finalmente, es evidente que estas propiedades (iv) y v)) no requieren para su validez, ni se siguen, del hecho de que las cantidades sean proporcionales a sus medidas, expresado en la presentación o encabezado de las propiedades i) a v).

Para terminar este apartado referente a la proporcionalidad directa examinemos y comentemos la recapitulación de la interpretación geométrica de la proporcionalidad directa.

El hecho de que si dos magnitudes son proporcionales la razón de las medidas de cada par de cantidades correspondientes es constante, nos sugiere la siguiente interpretación geométrica de la proporcionalidad directa. Si designamos por x y y las medidas de las cantidades correspondientes en dos magnitudes proporcionales, según hemos demostrado se verifica: y = c (constante) o sea y=cx [1] x luego es evidente que la gráfica de la función definida por [1], es una recta que pasa por el origen de coordenadas O. Y

P

y

θ O

118

X x

A



A la constante c = tanθ se llama pendiente de la recta. “Recíprocamente, toda recta que pasa por O puede tomarse como la imagen gráfica de una proporcionalidad entre dos conjuntos. Si se conoce solamente un par de valores x , y, correspondientes, de una proporcionalidad, puede representarse la recta, y sin más que medir las ordenadas que corresponden a las diferentes abscisas, se obtienen los valores de y que corresponden a los diversos valores de x. Así se procede en la técnica, cuando no se precisa de gran aproximación” (De Trocóniz y Belda, 1959, p. 152). Señalemos, en primer lugar, que en esta interpretación existen claramente dos afirmaciones, que podríamos enunciar a través de dos implicaciones, a saber: si dos magnitudes son proporcionales entonces la gráfica de las parejas de medidas de cantidades correspondientes es una recta que contiene al origen de coordenadas y si la gráfica de las parejas de medidas de cantidades correspondientes es una recta que contiene al origen de coordenadas entonces las magnitudes respectivas serán proporcionales.

Ahora bien, cuando los autores utilizan las variables x y y para designar cualquier par de medidas de las cantidades correspondientes, incorporan un nivel de generalización que trasciende el tratamiento discreto que ha sido característico en el tratamiento de la razón entre cantidades de magnitudes proporcionales (como el expresado en la notación

a b c d = = = = ... ) y que implica un salto al tratamiento continuo a´ b´ c´ d´

característico del lenguaje funcional (como el expresado en la notación y = cx, bajo el significado asignado a las variables x y y). En otras palabras, se observa un relativo abandono del rigor en el tratamiento de la variación estática (a través de proporciones) que implica un salto hacia la variación continua (a través de las funciones).


119


De otra parte, la figura presentada en el texto base exhibe información que podría conducir a interpretaciones falaces o incompletas. Más precisamente, los ejes coordenados no representan rigurosamente a magnitudes escalares continuas y relativas, o mejor a medidas de cantidades de este tipo de magnitudes, sino que sólo muestran magnitudes escalares continuas absolutas; ello se evidencia en la existencia de un segmento rectilíneo (finito) de vértices O y P, pero no de una recta (infinita) definida por estos puntos. Por consiguiente, la figura debería mostrar dos ejes reales perpendiculares, que definen cuatro cuadrantes, y una recta definida por los puntos O (origen) y P, con P en cualquiera de los cuadrantes, pero no en alguno de los ejes.

En caso que el punto P estuviese ubicado en el cuadrante I o III, la proporcionalidad implicaría una función creciente, es decir una correspondencia caracterizada por la conservación del orden de manera estricta (i.e., si ac’>b’>...), regularmente no considerada ni presentada, la cual podría describirse a través de la afirmación “si una cantidad aumenta, la otra disminuye proporcionalmente”. Destacamos, que ambos casos describen una relación de proporcionalidad directa.

No sobra reseñar que es imprescindible que la recta contenga el origen de coordenadas, no sólo porque, como lo hemos señalado antes, si dos magnitudes son directamente proporcionales las cantidades módulo aditivo de una y otra deben estar en correspondencia, sino que de no ser así, no se satisfarían las condiciones enunciadas en la nota 26 de pie de página, o sus relativas condiciones del lenguaje funcional: f (a + b) = f (a) + f (b) y f (r ⋅ a) = r ⋅ f (a) .

120



Por otra parte, como lo habíamos declarado antes, el hecho de que la constante de proporcionalidad permita describir tanto la correspondencia f entre las cantidades de las magnitudes proporcionales, así como la correspondencia g entre las respectivas medidas de las cantidades, posibilita y soporta la posibilidad de graficar la función g en un plano cartesiano, en tanto representación de la función f. En efecto, si bien la constante de proporcionalidad definida por las cantidades de las magnitudes proporcionales no siempre es la misma que la definida por las medidas de las cantidades proporcionales,33 existe entre estas una afinidad que permite representar la proporcionalidad entre las magnitudes mediante el cociente entre las medidas de cantidades correspondientes, como bien lo expresan Fiol y Fortuny (1990, pp. 33–35).

Lo anterior, nos permite afirmar que la existencia y estudio de la constante de proporcionalidad entre las magnitudes y entre las medidas de las cantidades de magnitudes proporcionales, es fundamental e imprescindible para representar gráficamente la correspondencia funcional entre las magnitudes.

Finalmente, reseñamos que en los otros textos consultados no existe un tratamiento de la representación gráfica de la proporcionalidad directa, excepto en el apartado 4.3 Gráficas lineales, del Capítulo 4 Síntetizando fenómenos del texto escrito por Fiol y

Fortuny (1990, pp. 84–87). En éste se aborda la proporcionalidad como una función lineal y se hace énfasis en el lenguaje funcional como una forma de expresar la variación, la dependencia y la correspondencia características de la proporcionalidad. 3.2.4.2 PROPORCIONALIDAD INVERSA

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si sus cantidades se corresponde biunívoca y ordenadamente, y además son tales que al

33

Recordemos que el cociente entre cantidades correspondientes no siempre es el mismo cociente entre medidas de cantidades correspondientes, ya que el primero puede no ser un número real, en tanto que el segundo sí lo es. Universidad del Valle • IEP • Magister en Educación – Énfasis en Educación Matemática

121


producto de una cantidad de ellas por un número entero le corresponde el cociente de la cantidad homóloga a aquella por el mismo número. Esta definición comparte algunas condiciones con la de proporcionalidad directa, tales como la existencia de una correspondencia, el carácter biunívoco y la permanencia del orden (estricto u opuesto). Esto significa que si designamos por a, b, c , ... las cantidades de la primera magnitud, existirán a través de la correspondencia

—y serán únicas34— las cantidades a’, b’, c’, ... homólogas o correspondientes en la segunda magnitud; además, si las cantidades a, b, c , ... se suceden en cierto sentido

(por ejemplo ac’>b’>...). También, esta definición comparte con la de proporcionalidad directa el hecho de que ambas están dadas en términos de las cantidades de magnitud y no en términos de las medidas de estas cantidades.

En contraste, esta definición de proporcionalidad inversa se diferencia de la de proporcionalidad directa en que no exige la correspondencia en la suma (si c=a+b, entonces c’=a’+b’), pero exige una correspondencia entre el producto y el cociente por un número entero. A este respecto consideramos necesario mirar con más detalle la significación de la condición al producto de una cantidad de ellas por un número entero, le corresponde el cociente de la cantidad homóloga a aquella por el mismo número.

Una primera interpretación posible es que a través de esta condición se exige la existencia de un entero que genere un equimúltiplo de una de ellas (no necesariamente de la primera cantidad), que simultáneamente genere una parte alícuota de su cantidad correspondiente y que éstos sean correspondientes, es decir, se exige que ∃ n ∈ Z

122

a' ⎞ a⎞ ⎛ ⎛ ⎜ b = a ⋅ n → b' = ⎟ ∨ ⎜ c' = a'⋅n → c = ⎟ . n⎠ n⎠ ⎝ ⎝



Una segunda interpretación, se diferencia de la anterior en el uso del cuantificador; para ésta no consideraríamos el cuantificador existencial, sino un cuantificador universal y, por consiguiente, estableceríamos que a través de la condición se exige que para cada entero (no nulo) que genere un equimúltiplo de una de ellas (no necesariamente de la primera cantidad), simultáneamente genere una parte alícuota de su cantidad correspondiente y que éstos sean correspondientes; es decir, exige que ∀ n ∈ Z − {0}

a' ⎞ a⎞ ⎛ ⎛ ⎜ b = a ⋅ n → b' = ⎟ ∨ ⎜ c' = a'⋅n → c = ⎟ . n⎠ n⎠ ⎝ ⎝

Por supuesto, que como el número n es entero, en ambas interpretaciones habría que considerar los equimúltiplos negativos y las cantidades inversas aditivas de las partes alícuotas.

Ahora bien, creemos que en cualquiera de las interpretaciones, la suma sí está implicada en la definición de proporcionalidad inversa, ya que la idea de equimúltiplo y de parte alícuota devienen de la de suma de sumandos iguales, como podemos observar en la descripción del postulado de divisibilidad (ver nota 16 de pie de página) satisfecho por las magnitudes involucradas, pues se suponen continuas y relativas y por ende racionales. Advertimos, sin embargo, que lo implicado en esta observación no se puede confundir con la correspondencia en la suma, característica de la proporcionalidad directa.

Es tal vez este nexo con el postulado de la divisibilidad y la ausencia de un producto externo por un real en la definición de magnitud, la condición que determina que en la definición de proporcionalidad inversa se hable de un número entero (no nulo) y no de un número real.

34

Creemos que, aunque no es explícito, se debe exigir la correspondencia en la igualdad, es decir que si a=b sea también a’=b’.


123


Finalmente, consideramos que la condición en cuestión no parece imponer restricciones para los valores de las cantidades; en particular, las cantidades de una y otra magnitud podrán ser nulas, porque para toda magnitud nula se satisfacen las condiciones impuestas en la definición, particularmente que toda parte alícuota de o se corresponde con cualquier equimúltiplo de o’. En otras palabras, una de las parejas que contemplaría la proporcionalidad inversa entre dos magnitudes sería (o , o’), o lo que es lo mismo la correspondencia entre las cantidades módulo aditivo de una y otra.

Los otros textos consultados, excepto el de Análisis matemático elemental (Aceytuno, 1958, pp. 344-353), no tratan la proporcionalidad inversa. En ese texto (p. 345), Aceytuno utiliza una definición que no se corresponde con la arriba recapitulada y consideramos expresa una forma equivalente a la reseñada en el siguiente teorema.

Los enunciados siguientes expresan, en dos formas equivalentes, el teorema fundamental de la proporcionalidad inversa: i)

La razón de dos cantidades de la misma magnitud es igual a la razón inversa de las cantidades correspondientes en la otra: a b' = b a'

ii)

Al producto o cociente de una cantidad de una magnitud, por un número, corresponde el cociente o producto de la cantidad b' homóloga por el mismo número. Si a = µ ⋅ b es también a' = .

µ

Probaremos el primer enunciado, atendiendo a diversos valores de la a razón , como sigue: b a α) La razón es un número natural n. Como a = n ⋅ b , es por b b' b' definición de proporcionalidad inversa a' = , o sea = n; n a' a b' luego = = n . b a' 124



β)

γ)

m a es un número fraccionario positivo . Como b n nb' b a = m ⋅ , por definición de proporcionalidad inversa es a' = ; n m a b' m b' m = , o sea = = . luego a' n b a' n a La razón es un número irracional positivo, µ . Si definimos el b número µ por el par µ = (mi ; mi ') , por ser a = µ ⋅ b la cantidad a es el elemento de separación del par de clases contiguas [mi ⋅ b; mi '⋅b] , luego por ser la correspondencia ordenada la cantidad

La razón

⎡ b′ b′ ⎤ a’ es el elemento de separación de ⎢ ; ⎥ ; pero este par define ⎣ mi ' mi ⎦ b′ b′ la cantidad , luego a' = .

µ

δ)

Si la razón

µ

a (−a) es negativa se considera la razón auxiliar que b b

es positiva. En primer lugar, destacamos el hecho de que estos enunciados son implicaciones (i.e., proposiciones de la forma p⇒q) en donde la condición suficiente establece que entre las magnitudes existe una correspondencia de proporcionalidad inversa. En este sentido —y al igual que lo señalamos para la proporcionalidad directa— estos enunciados no podrían considerarse definiciones de la proporcionalidad inversa. Pero, si éstos se llegaran a utilizar como definición de la misma, se estarían quitando las cantidades módulo aditivo de la correspondencia.

En segundo lugar, señalamos que aun en esta formulación no hay una intervención directa de las medidas de las cantidades, aunque (como lo discutimos en el apartado anterior) existe —bajo los planteamientos de De Trocóniz y Belda— una equivalencia entre la razón entre dos cantidades y la medida de una respecto de la otra. Sin embargo, sí existe un tratamiento cuantitativo numérico, a través de la idea de razón entre cantidades y de igualdad entre las mismas —para el enunciado i)— y a Universidad del Valle • IEP • Magister en Educación – Énfasis en Educación Matemática

125


través de la aparición del número µ —en el segundo enunciado. Para el enunciado i) incluso podemos interpretar que éste propone, como consecuencia de la proporcionalidad inversa, la existencia de una proporción, la cual estaría configurada por la razón entre dos cantidades de la primera magnitud y la razón entre las cantidades correspondientes de la segunda magnitud tomadas en orden inverso.

En tercer lugar, aunque en una primera mirada el enunciado ii) parece ser la misma condición discutida para la definición de proporcionalidad inversa, éstos no son lo mismo. Esto debido a que en aquélla el número implicado es natural, en tanto que aquí no se determina con claridad el conjunto numérico al que pertenece el número, es decir, no se establece si el número es o no real; sin embargo, de los cuatro casos considerados en la demostración y de la equivalencia entre los enunciados i) y ii), podemos colegir que el número µ es un real, y que el producto y el cociente reportado —en el segundo enunciado— es el mismo que se recapituló en la página 92.

En cuarto lugar, a través de la significación asumida para la idea de razón en los cuatro casos en los que se divide la demostración se ratifica que, para los autores del texto base, la razón entre cantidades es un número real.

Finalmente, en el tratamiento que hace Aceytuno (1958, pp. 344–348) reconocemos —en la definición por él empleada— el enunciado i) del teorema fundamental de la proporcionalidad inversa recapitulado, aunque en aquélla, utiliza la idea de relación de dos valores en lugar de razón entre cantidades. Simultáneamente, identificamos que el enunciado ii) si tiene —para Aceytuno— el estatus de teorema y que le adiciona su recíproco, concluyendo que “La condición necesaria y suficiente para que dos magnitudes sean inversamente proporcionales es, que multiplicando un valor cualquiera de una de ellas por un número, el valor correspondiente de la otra quede dividido por dicho número” (p. 348).

126



Como consecuencia del anterior teorema se tiene que: Si dos magnitudes son inversamente proporcionales, el producto de las medidas de cada par de cantidades correspondientes es constante. En efecto, como entre las cantidades correspondientes a, b, c, ... y a’, b’, c’, ... de dos magnitudes inversamente proporcionales y sus medidas se a b′ a b' a a b' b' = = verifica = , pero como y se sigue que = ; es b a' b b a' a' b a′ decir aa' = bb' . Análogamente se demuestran a a' = c c' , a a' = d d' , ...; por consiguiente: a a´ = b b´ = c c´ = d d´ = ... Al igual que lo hicimos en la proporcionalidad directa, en primer lugar, notemos cómo la proporcionalidad directa entre las cantidades y sus medidas se constituye en un resultado fundamental a partir del cual se obtienen deducciones importantes.

Igualmente, no sobra reseñar que este resultado no sería válido si alguna de las cantidades implicadas (a, b, a’, b’) es el módulo aditivo. Particularmente, cuando b o a’ son cantidades nulas, no se podrían tener las igualdades

a a b' b' = y = . b b a' a'

En segundo lugar, reseñemos cómo en este resultado aparece por primera vez el uso de una relación entre las medidas de las cantidades, es decir, a través de éste surge el carácter cuantitativo numérico explícitamente asociado a la proporcionalidad inversa. Sin embargo, es necesario advertir que éste resultado también presenta la proposición de la proporcionalidad inversa como condición suficiente y no como condición necesaria; en este sentido, la existencia del valor constante para todos los pares de medidas se presenta como condición necesaria, más no suficiente, para que las magnitudes implicadas sean inversamente proporcionales. En otras palabras, no se está demostrando que si el producto de las medidas de dos cantidades correspondientes es constante, entonces las magnitudes son inversamente proporcionales.


127


A la luz de otra de las teorías revisadas y bajo una definición parcialmente diferente de proporcionalidad inversa —que no incorpora la condición sobre el carácter ordenado de la correspondencia— se demuestra la validez de este último enunciado. En efecto, Aceytuno (1958, pp. 350-351) presenta una argumentación que soporta el carácter bicondicional del enunciado. Con este propósito, no sólo demuestra que “Cuando dos magnitudes son inversamente proporcionales, el producto de todos los valores numéricos simultáneos es constante” (p. 351), sino que además demuestra de manera sencilla que “Si el producto de todos los pares de valores numéricos simultáneos es constante, las magnitudes son inversamente proporcionales” (p. 351). De éstos colige que “el esquema de la proporcionalidad inversa es, pues, a⋅b=constante, siendo a y b un par cualquiera de valores numéricos simultáneos de

dichas magnitudes” (p. 351).

No obstante, creemos que en el marco de la teoría recapitulada, no es verdadero el enunciado si el producto de las medidas de dos cantidades correspondientes es constante, entonces las magnitudes son inversamente proporcionales. Para

fundamentar esta afirmación recurrimos a un caso particular:

Consideremos la relación en la que a cada número real no nulo se le hace corresponder su recíproco; claramente el producto de dos cantidades homólogas cualesquiera es el real 1, es decir, el producto es constante. Examinemos ahora si esta correspondencia cumple las tres condiciones establecidas en la definición de magnitudes inversamente proporcionales. Efectivamente, a través de la unicidad del recíproco se verifica que la correspondencia es biunívoca; igualmente, si multiplicamos cualquier real a por un entero no nulo n, al producto a ⋅ n le corresponderá el cociente de la cantidad homóloga al real a por el mismo entero ⎛ ⎜⎜ i.e., ⎝

1 ⎞ 1 = a ⎟⎟ ; sin embargo, no se satisface que la correspondencia sea ordenada, a⋅n n⎠

pues no se cumple que si las cantidades a, b, c , ... se suceden en cierto sentido (por 128



ejemplo ac’>b’>...).35

Adicionalmente, consideramos que el hecho de la no validez del enunciado en cuestión no es considerado por los autores, como se verá a continuación en la interpretación geométrica de la proporcionalidad inversa que ellos presentan.

Igual que en el caso de la proporcionalidad directa, la propiedad que acabamos de demostrar nos sugiere la siguiente interpretación geométrica de la proporcionalidad inversa. “Si x, y, designan medidas de cantidades correspondientes en una proporcionalidad inversa, hemos demostrado que se verifica: c xy = c (constante) o sea y = [2] x Y

y

O

X

x

La curva representativa de esta función se llama hipérbola equilátera y los ejes OX y OY son sus asíntotas.” (De Trocóniz y Belda, 1959, p.153). En este resultado los autores efectivamente presentan la gráfica de la función definida por la expresión xy = c o por su equivalente y =

c , para x e y cantidades de x

magnitudes relativas; pero no advierten que esta función no satisface las condiciones

35

Por ejemplo, los reales -4, -1, 2, 5 se suceden en el siguiente orden: -4 < -1 < 2 < 5. Sin embargo, sus 1 1 1 correspondientes recíprocos no se suceden en el orden − < −1 < < , ni en el orden 4 2 5 1 1 1 1 1 1 − > −1 > > , aunque si en el orden − 1 < − < < . 4 2 5 4 5 2


129


descritas en la definición de magnitudes inversamente proporcionales, como se mostró arriba. En este sentido, creemos que se equivocan al presentar la hipérbola equilátera como la representación gráfica de la proporcionalidad inversa entre las magnitudes.

Sin embargo, un sencillo análisis nos permite afirmar que una y sólo una de las ramas de la hipérbola equilátera sí describe una relación de proporcionalidad inversa entre dos magnitudes y, en consecuencia, una rama de esta hipérbola es una representación gráfica de ésta. Esta rama podría encontrarse en cualquiera de los cuadrantes, siendo los semiejes sus asíntotas; cuando la rama de la hipérbola se ubica en el primer o en el tercer cuadrante (i.e., cuando la constante c es positiva), se verifica la validez de la expresión “a medida que una magnitud crece la otra decrece”; cuando la rama de la hipérbola se encuentra en el segundo o en el cuarto cuadrante (i.e., cuando la constante c es negativa o cuando la correspondencia en el orden es estricta), se verifica la validez de la expresión “a medida que una magnitud crece la otra también crece”.

De otra parte, al igual que para la proporcionalidad directa, los autores utilizan las variables x y y para designar cualquier par de medidas de las cantidades correspondientes. En este sentido también es válido afirmar que incorporan un nivel de generalización que implica el uso de un lenguaje funcional y un abandono del lenguaje de las proporciones (i.e., incorporan un uso de lo continuo sobre lo discreto). 3.2.4.3 PROPORCIONALIDAD COMPUESTA

Se dice que una magnitud es proporcional a otras varias cuando al suponer fijas todas estas, excepto una, la primera magnitud es directa o inversamente proporcional a ésta. En primer lugar, resaltamos que la definición señala el hecho de que es necesario suponer algunas de las magnitudes fijas y, en consecuencia, considerar variables sólo 130



dos de las magnitudes entre las cuales se determina la existencia de proporcionalidad directa o inversa. Esta condición impone, de manera implícita, su cumplimiento para todas las magnitudes implicadas; es decir, que para determinar si M es proporcional a las magnitudes N1, N2, N3, ..., Nn, es necesario que M sea directa o inversamente proporcional a Ni para todos los valores de i (i=1,2,3,...,n), suponiendo que, en cada valor de i, las demás magnitudes Nk, k≠i, se consideran fijas.

No obstante, el discurso expresado en ninguna parte establece una definición para magnitudes fijas, lo cual genera una inconsistencia lógica y/o conceptual del discurso. Para superar ésta, podríamos suponer que una magnitud es fija o constante cuando todas las cantidades de magnitud son la misma, es decir, cuando existe una sola cantidad de magnitud; sin embargo en este caso y considerando la definición de magnitud (ver página 75), la única posibilidad es que esta cantidad sea nula, lo cual conduciría a que todas las magnitudes (M, N1, N2, N3, ..., Nn) tendrían que cumplir esta misma condición, limitándose drásticamente la amplitud de la definición.

También podríamos suponer que una magnitud sería fija si además de la cantidad nula tuviera otro valor de cantidad, pero en este caso la magnitud sería escalar discreta, ya que no satisfaría el postulado de la divisibilidad, generándose una nueva contradicción, debido a que en el discurso recapitulado se trata exclusivamente con magnitudes continuas.

Ahora bien, en este punto creemos más conveniente afirmar que cuando en la definición se suponen fijas las magnitudes, se quiere expresar que para todos los valores de estas magnitudes se satisface la proporcionalidad entre las magnitudes variables. Por ejemplo, diremos que entre la magnitud M y las magnitudes N1 y N2 existe una proporcionalidad compuesta si para cada una de las cantidades de N2, M es directa o inversamente proporcional a N1 y si para cada una de las cantidades de N1, M


131


es directa o inversamente proporcional a N2. En otras palabras, y de manera más general, si la proporcionalidad entre M y algún Ni no depende de los valores de las cantidades de las magnitudes Nk, con Nk≠ Ni.

En segundo lugar, destaquemos que la definición no establece que entre todas las magnitudes implicadas exista proporcionalidad (directa o inversa). Basta con que entre una de ellas y cada una de las demás exista proporcionalidad y que cada una de estas proporcionalidades sea independiente de los valores de las otras magnitudes.

Sin embargo, es suficiente que exista una magnitud que defina proporcionalidad compuesta con otras magnitudes para que cualquiera de ellas defina también proporcionalidad compuesta con las restantes magnitudes. Por ejemplo, si M es directamente proporcional a N1 y a N2, e inversamente proporcional a N3 y a N4, existirían funciones interindependientes f1, f2, f3, f4 tales que: ∀M∈M, f1: M→N1, f1(M)=k1⋅M y k1⋅M∈N1; ∀M∈M, f3: M→N3, f3(M)=

f2: M→N2,

f2(M)=k2⋅M y k2⋅M∈N2; ∀M∈M,

k3 k k k y 3 ∈N3; ∀M∈M, f4: M→N4, f4(M)= 4 y 4 ∈N4. La M M M M

siguiente gráfica sintetiza esta información. M

M f1

N1

f4

k4 M

k1⋅M f2

k2⋅M N2

132

N4

f3

k3 M

N3



De ello se seguiría que N1 define proporcionalidad compuesta con los demás magnitudes (M, N1, N2, N3, N4) pues se tendría que N1 sería directamente proporcional a M a través de la función f1

−1

−1

y a N2 a través de la función compuesta f 2 o f1 ,

mientras que N1 sería inversamente proporcional a N3 y a N4 a través de las funciones f 3 o f1

−1

y f 4 o f1

−1

respectivamente. Un análisis similar podría hacerse para las otras

magnitudes N2, N3 y N4, análisis que hemos sintetizado en la siguiente tabla en la cual las celdas sombreadas expresan que la proporcionalidad definida, por la función descrita, es inversa. M M

N1

N2

N3

N4

f1

f2

f3

f4

f2 ° f1-1

f3 ° f1-1

f4 ° f1-1

f3 ° f2-1

f4 ° f2-1

N1

f1-1

N2

f2-1

f1 ° f2-1

N3

f3-1

f1 ° f3-1

f2 ° f3-1

N4

f4-1

f1 ° f4-1

f2 ° f4-1

f4 ° f3-1 f3 ° f4-1

Todas estas proporcionalidades pueden observarse también en la siguiente gráfica.


133


f1

−1

M

f1

f 4 o f1

N1 f1 o f 2

f2

−1

f1 o f 4

f2

f3

f 2 o f1

−1

f 3 o f1

−1

f3

−1

f2 o f4

−1

−1

−1

−1

−1

f1 o f 3

f4

f4

N4

f3 o f 4

−1

−1

f4 o f2

−1

f 4 o f3

−1

N3

N2

f3 o f2 f 2 o f3

−1 −1

Finalmente, de los textos consultados, sólo el texto base y el texto Análisis

matemático elemental (Aceytuno, 1958) contienen un discurso referido a la proporcionalidad compuesta. Aceytuno (pp. 351-352) establece la proporcionalidad compuesta no a través de una definición, sino a través de un comentario sobre la dependencia de los valores de una magnitud respecto de los valores de otras magnitudes, complementando su descripción con un ejemplo. En esta descripción, Aceytuno también implica que los valores de algunas de las magnitudes sean (o permanezcan) constantes, pero tampoco detalla el significado, dentro de la teoría, de tal condición.

Teorema fundamental de la proporcionalidad compuesta. Si una magnitud A es proporcional directa o inversamente a otras varias, B, C, D, la razón de dos cualesquiera de sus cantidades es igual producto de las razones directas o inversas de las cantidades correspondientes en éstas.

En efecto: como la magnitud de A es dependiente de las B, C, D, cada sistema de cantidades arbitrarias de éstas determinan una cantidad en A.

134



Supongamos que la dependencia de las cantidades viene determinada por la siguiente tabla, donde suponemos que A es inversamente proporcional a B y D y directamente proporcional a C. B C D A b c d a b’ c d a’’ b’ c’ d a’’’ b’ c’ d’ a’ Entonces en virtud de la definición de proporcionalidad compuesta: a b' a' ' c a' ' ' d' , , = = = , a' b a ' ' ' c' a' d y multiplicando miembro a miembro estas proporciones, resulta: a a' ' a' ' ' b' c d' ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ , a' ' a' ' ' a' b c' d más como las cantidades de una magnitud son proporcionales a sus medidas, es posible simplificar el primer miembro, quedando la anterior igualdad así: a b' c d' = ⋅ ⋅ . a ' b c' d En primer lugar, señalemos que el enunciado del teorema exhibe una estructura condicional, en la cual se supone la existencia de la proporcionalidad compuesta entre las magnitudes, de lo cual se sigue la relación entre las razones de las cantidades correspondientes. En este sentido, no es posible considerar este teorema como una definición de proporcionalidad compuesta, a menos que se pudiese demostrar la validez del enunciado recíproco.

En segundo lugar, el hecho de que la relación que establece el teorema esté dada entre cantidades de magnitud y no necesariamente entre las medidas, podría ratificar la existencia de un carácter cuantitativo no numérico, para el caso de la proporcionalidad compuesta, sin negar la posibilidad del carácter cuantitativo numérico de la misma, pues, como lo hemos expuesto arriba, la proporcionalidad directa entre un sistema de cantidades y sus medidas permite definir proporcionalidad entre las medidas de las cantidades de magnitudes proporcionales. Sin embargo, el Universidad del Valle • IEP • Magister en Educación – Énfasis en Educación Matemática

135


establecer la razón de dos cantidades de una magnitud igual al producto de las razones (directas o inversas) de las cantidades correspondientes, se reduce a establecer una igualdad entre un real y un producto de reales, relegando —e incluso negando— el carácter cuantitativo no numérico de la proporcionalidad compuesta; ello, debido al significado de razón entre cantidades de magnitud utilizado por De Trocóniz y Belda (1959, p. 148), el cual le describe como un número real que mide una de las cantidades respecto de la otra.

En tercer lugar, la demostración del teorema comporta varios aspectos que dificultan la comprensión de la misma; de éstos resaltamos la notación empleada, la manera de establecer las correspondencias entre cantidades y el nivel de generalidad implicado.

Respecto de la notación, podemos señalar un nuevo uso para el apóstrofo (´) colocado después de las letras que indican la cantidad de una magnitud. Este signo gráfico había sido explícitamente utilizado para significar la cantidad de una magnitud homóloga o correspondiente a una cantidad de otra magnitud (ver, por ejemplo, la nota 26 de pie de página). Sin embargo, en este teorema es utilizado para representar cantidades diferentes de una misma magnitud; por ejemplo a, a’, a’’, a’’’, son todas cantidades de la magnitud A, así como b y b’ son cantidades de la magnitud B.

La correspondencia entre cantidades de las magnitudes implicadas parece estar representada en este teorema a través de su ubicación relativa en la tabla: B b b’ b’ b’

C c c c’ c’

D d d d d’

A a a’’ a’’’ a’

Ahora bien, atendiendo, al primer párrafo de la demostración, en el cual se sostiene que A depende de las otras magnitudes, se observa que la cantidad a corresponde a la cantidad b, en tanto que las cantidades a’, a’’ y a’’’ se corresponden simultáneamente 136



con la cantidad b’, pero como la correspondencia entre A y B es biunívoca y ordenada, se debe concluir que a’=a’’=a’’’. Un análisis similar, para la correspondencia entre A y C, permite deducir que a=a’’ y a’=a’’’; en tanto que para la correspondencia entre A y D se deduciría que a=a’’=a’’’. De estos resultados se concluiría que todos las cantidades de magnitud en A serían la misma, lo cual no es lógico en el marco de la demostración, y, en consecuencia, entraba la comprensión de la misma.

De otro lado, consideramos que la demostración trabaja sólo un caso particular del teorema y, en este sentido, no logra sustentar suficientemente el nivel de generalidad del mismo, ya que en ésta sólo se contemplan cuatro magnitudes y dos valores de cantidad para cada una de ellas; adicionalmente, no se establece argumento alguno que permita entender la generalización a mayor número de casos.

Finalmente, reseñamos que Aceytuno (1958, pp. 352–353) establece un teorema equivalente y una demostración relativamente igual. En el enunciado del teorema incorpora la existencia y conocimiento de dos series de valores simultáneos de las magnitudes (o cantidades de las magnitudes) como parte de la proposición suficiente, en tanto que luego de presentar la demostración explica, de manera aún confusa para nosotros, la estructura y lógica de la demostración.

Veamos ahora, para finalizar la recapitulación de lo correspondiente a la proporcionalidad compuesta, el último resultado reportado en el texto base. Como consecuencia del teorema anterior tenemos que: Si la magnitud A fuese directamente proporcional a las B, C, D y si el producto de las cantidades de éstas tuviera significado podríamos decir: Si la magnitud A es proporcional a las B, C, D, es también proporcional a su producto.


137


En primer lugar, reseñemos que no es tan evidente que este resultado sea una consecuencia del teorema anterior, ya que aquel establecía la igualdad entre la razón de las cantidades de la magnitud A y el producto de las razones de las cantidades de las magnitudes B, C y D; entre tanto éste establece es la proporcionalidad entre la magnitud A y la magnitud que se genera a través del producto de las cantidades de las magnitudes restantes.

En segundo lugar, señalemos que no existe en el discurso expresado en el texto base consideración alguna que permita establecer el significado matemático de realizar un

producto entre cantidades de magnitud y, mucho menos, una alusión a que este producto pueda definir una nueva magnitud. Este hecho conlleva, de un lado, a la identificación de una nueva imprecisión lógica en el discurso matemático recapitulado y, de otro, a reconocer nuevamente que los autores no logran desligar suficientemente el discurso matemático de las referencias a magnitudes físicas o geométricas, es decir, no logran desarrollar una teoría de las magnitudes estrictamente matemática. Esto puede obedecer al carácter didáctico característico de los libros de texto, el cual está aun presente en los textos matemáticos empleados a nivel universitario para comunicar una información matemática en su presentación formal.

Finalmente, este último resultado recapitulado sólo aparece en el texto base.

De otro lado, Aceytuno (1958, pp. 356–358) reporta tres resultados que amplían el discurso en torno de la proporcionalidad compuesta. Estos resultados pueden también derivarse a partir del discurso recapitulado y por ello creemos conveniente reportarlos a continuación:

“En la proporcionalidad compuesta, considerando un sistema de valores numéricos simultáneos, el valor de la magnitud dependiente multiplicado por los de las magnitudes inversamente proporcionales con aquella y dividido por el producto de 138



los que con ella son directamente proporcionales, es un número constante, que es el valor numérico que toma M cuando las demás son la unidad” (p. 356).

“Si una magnitud es directa o inversamente proporcional con otras varias, los valores numéricos de aquella son directa o inversamente proporcionales con el producto de los valores numéricos simultáneos de éstas” (p. 357).

“Si una magnitud M depende de otras varias A, B, C, ... L, y dos cualesquiera de éstas, A y B, están ligadas con M por la misma clase de proporcionalidad, A y B son inversamente proporcionales, y si Ay B están ligadas con M por proporcionalidad de distinta clase, A y B son directamente proporcionales.”(p. 357).


139

Capítulo 4 Una mirada a los textos escolares de matemáticas

INTRODUCCIÓN A continuación presentamos el resultado del análisis de algunos textos escolares de matemáticas que contienen un tratamiento de la proporción y la proporcionalidad. Al igual que en el anterior capítulo, hemos decidido utilizar dos formatos de párrafos para diferenciar las citas textuales de los análisis mismos; las primeras aparecerán encerradas en un recuadro.

Para realizar este análisis hemos seleccionado cinco textos escolares de matemáticas, correspondientes al grado séptimo de la educación básica, a saber: Serie Matemática Progresiva. Aritmética y Geometría 7 (Londoño y Bedoya, 1988), Dimensión Matemática 7 (Londoño y otros, 1993), Procesos Matemáticos 7 (Dpto. Editorial de Santillana S.A., 1995), Matemáticas McGraw–Hill 7º (Beristain y Campos, 1997) y Logros Matemáticos. Séptimo grado (Contreras y otros, 1997). Sus carátulas aparecen


a continuación; en tanto que, el contenido de los capítulos o unidades que abordan el estudio de la proporcionalidad aparece anexo a este documento.

Al menos cuatro razones motivaron la decisión de seleccionar estos textos. En primer lugar, estos textos son utilizados regularmente por los profesores colombianos en las actividades escolares; esto lo hemos podido comprobar a través de la reiterada alusión a éstos —por parte de los profesores— en los cursos y talleres que con ellos hemos tenido la oportunidad de compartir.1

1

En la Universidad del Valle los profesores Jorge Arce y Edgar Guacaneme dictamos, en algunos de los semestres de la segunda mitad de la década del 90, el curso Análisis de textos escolares de matemáticas (códigos 405016 - 401654) dirigido a estudiantes de las Licenciaturas en Matemáticas, en Física y en Educación primaria. Además, hicimos parte del equipo de profesores encargados del diseño y desarrollo del Taller Análisis de textos escolares de matemáticas, llevado a cabo en el marco del

142


Capítulo 4: Una mirada a los textos escolares de matemáticas

En segundo lugar, porque es en quinto y séptimo los grados en que usualmente aparece un tratamiento explícito de las proporciones y la proporcionalidad; este hecho parece ser heredado de las disposiciones del Ministerio de Educación Nacional a través de las propuestas curriculares de hace más de veinte años (Colombia–MEN, 1975; Colombia–MEN, 1989).

En efecto, en los Programas de matemáticas (Colombia–MEN, 1975) podemos ubicar en el Curso II Aritmética y geometría —ahora conocido como grado séptimo— dos unidades relativas al estudio de la proporcionalidad, a saber: “Unidad Nº. 7 – La proporcionalidad y sus Aplicaciones” (p. 6) y “Unidad Nº. 8 – Tanto por ciento Interés - Descuento.” (p. 6). En el Programa de 5º grado de Básica Primaria (Colombia–MEN, 1982) también ubicamos en el contexto del Sistema Relaciones y Operaciones para este grado los temas: Razones y proporciones (pp. 55) y Proporcionalidad directa e inversa (pp. 63). Del mismo modo, hemos podido identificar en la propuesta curricular para el grado séptimo (Colombia–MEN, 1989) la “Unidad III: Proporcionalidad y sus aplicaciones” (pp. 87–118). En contraste, en la propuesta curricular más reciente (Colombia–MEN, 1998), al igual que para todos los demás temas matemáticos, el estudio de la proporcionalidad no se ubica en un grado específico, pero sí en el “conocimiento básico”: Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos (pp. 72–74).

El hecho de que en quinto y séptimo grado se ubique el tratamiento de la proporcionalidad, y particularmente el estudio de los conceptos y problemas de proporcionalidad, es reportado en al menos uno de los documentos del estudio

Programa de formación y cualificación en Educación Matemática para docentes de grado 6º. y 7º. MEN–ICETEX ; en éste tuvimos la oportunidad de asumir como objeto de estudio algunos textos que utilizan normalmente los profesores participantes. Igualmente en la Décima Primera Semana de Matemática y Física realizada en la Universidad del Tolima (Octubre de 1999) desarrollamos un Taller de análisis de textos escolares de matemáticas. Universidad del Valle • IEP • Magister en Educación–- Énfasis en Educación Matemática

143


TIMSS2 (Schmidt, W. y otros, 1996, p. 65). En éste se afirma que, en la mayoría de los cincuenta países participantes, los conceptos de proporcionalidad han sido introducidos en grado quinto y que en grado séptimo se centra la atención sobre éstos; igualmente se reporta que en quinto se han introducido problemas de proporcionalidad y que en noveno se ha centrado la atención en ellos. Estas aserciones devienen del estudio de los currículos propuestos en los diferentes países, representados e identificados a través de las propuestas curriculares y de los textos escolares de matemáticas.

En tercer lugar, porque son textos de edición relativamente reciente y todos ellos pretenden —de manera explícita—, responder a las disposiciones curriculares del Ministerio de Educación Nacional, aunque en la mayoría de los textos no sea explícito a cual disposición responden.

En este sentido, suponemos que cuando se afirma “La Serie MATEMÁTICA PROGRESIVA se desarrolla de acuerdo con los objetivos y contenidos del programa oficial” (Londoño y Bedoya, 1988, contracarátula) o “Las ideas matemáticas se desarrollan sin perder de vista los objetivos generales del programa oficial vigente” (Ibid, prólogo), los autores se refieren al programa de matemáticas adoptado por resolución desde la década del setenta (Colombia–MEN, 1975); esta suposición se sustenta en la relativa coincidencia temática de la resolución y del texto, y en la no muy posible adopción en la primera y segunda edición del texto de las disposiciones de la Propuesta de reforma curricular de finales de la década del ochenta (Colombia– MEN, 1989).

Igualmente, suponemos que en la afirmación “En cada capítulo el estudiante encuentra los contenidos del programa curricular, …” (Londoño y otros, 1993, p. 3), 2

Third International Mathematics and Science Study. Estudio de evaluación del currículo (propuesto, desarrollado y logrado) en matemáticas y ciencias, llevado a cabo en más de cuarenta países, entre 144



los autores se están refiriendo a la propuesta curricular orientada por el profesor Carlos Eduardo Vasco (Colombia–MEN, 1989); la semejanza en la organización temática y en el tratamiento de algunos temas (v.g., el uso de operadores, o la diferenciación entre la correlación y la proporcionalidad) sustentan esta suposición. Esta misma propuesta curricular parece orientar algunos de los demás textos consultados; por ejemplo, el tratamiento por sistemas matemáticos (numéricos, métricos, geométricos, de análisis real, lógicos, de datos, y de conjuntos y relaciones) con los que se estructura la serie Logros Matemáticos (Contreras y otros, 1997) nos hace pensar que es a esta propuesta a la que se refieren con la expresión “La serie Logros Matemáticos ha tomado y desarrollado el programa del MEN de acuerdo con sus planteamientos metodológicos para facilitar al lector la construcción de sus propios conceptos” (Ibid, p. v).

Sin embargo, en algunos de estos textos se incorporan otras disposiciones emanadas del Ministerio de Educación Nacional; este es el caso del texto “Procesos Matemáticos 7” (Dpto. Editorial de Santillana S.A., 1995) en el cual se presenta su relación con estas disposiciones a través de afirmaciones como “Nuestra propuesta está orientada a responder a los planteamientos que propone la Ley General de Educación”3 (Ibid, p. 5) y se establece que los procesos de evaluación contenidos en el libro son guiados por los artículos 47, 48, 49, del Decreto 1860 de 19944 (Ibid, pp. 5–6). Igualmente el nombre del texto “Logros Matemáticos. Séptimo grado” deja entrever la consideración de estas disposiciones y el uso de nuevas palabras acuñadas por éstas (v.g., logros, o indicadores de logro).

ellos Colombia. 3 Ley 115 de 1994, por la cual se señalan las normas generales para regular el Servicio Público de la Educación. 4 Por medio de este decreto se reglamenta parcialmente la Ley 115 de 1994 en los aspectos pedagógicos y organizativos generales. Particularmente, a través de siete capítulos se establecen las normas que reglamentan: la prestación del servicio educativo, la organización de la educación formal, el Proyecto Educativo Institucional, el gobierno escolar y la organización institucional, las orientaciones curriculares, la evaluación y promoción, el calendario académico, y algunas disposiciones adicionales. Universidad del Valle • IEP • Magister en Educación–- Énfasis en Educación Matemática

145


Ahora bien, aunque se afirma que “En la segunda edición de Matemáticas McGraw– Hill se pusieron en práctica nuevos elementos didácticos para desarrollar los contenidos de los programas actualmente vigentes” y que “Es conveniente aclarar que con estos ajustes los libros cubren totalmente los temas propuestos por el MEN para estos grados” (Beristain y Campos, 1997, prefacio), no encontramos una relación muy fuerte de este texto con ninguna de las propuestas curriculares planteadas a nivel nacional, lo cual puede explicarse por ser éste un texto adaptado al español, de un contexto educativo extranjero muy probablemente diferente.

En esta primera mirada de los textos y su coincidencia o correspondencia con las disposiciones curriculares emanadas del Ministerio de Educación Nacional, podemos inferir que ninguno de los textos acoge los planteamientos esgrimidos en los Lineamientos curriculares en matemáticas (Colombia–MEN, 1998).

Finalmente, y en cuarto lugar, como se ha podido advertir, decidimos estudiar sólo los textos de grado séptimo. Esta decisión obedeció —entre otras— al inmenso trabajo que requeriría estudiar los textos de dos grados escolares, a la imposibilidad —mediada por las restricciones de tiempo— de realizarlo en el marco de una tesis que asume otras miradas del objeto matemático de estudio, y al tipo de tratamiento y de rigor con que se trabaja en la secundaria.

Para finalizar esta introducción señalemos que si bien consideramos que la mirada a un texto de un grado en particular, y no a la colección a la cual pertenece este texto, deja de lado algunos aspectos del análisis mismo, creemos que los aspectos fundamentales en el Estudio Didáctico de la proporción y la proporcionalidad pueden apreciarse a través de esta mirada.

El análisis de los textos realizado se presenta a través de varios apartados que desde una visión panorámica del texto van confluyendo a aspectos muy específicos del

146



tratamiento de la proporción y la proporcionalidad. Éstos se corresponden con el objeto de estudio particular y se organizan en tres grandes bloques, a saber: Estructura temática general del texto, Estructura de las unidades temáticas y Mirada a algunos temas centrales.

4.1 ESTRUCTURA TEMÁTICA GENERAL DEL TEXTO En este tópico consideramos fundamentalmente la ubicación y posible relación del capítulo o capítulos que tratan sobre proporcionalidad, con los otros capítulos que configuran el texto. Esta mirada la realizaremos tanto en las propuestas curriculares de matemáticas para el grado séptimo, como para los textos escolares.

4.1.1 Mirada a las propuestas curriculares Reportemos —de manera no muy exhaustiva— la organización sugerida explícitamente en dos propuestas curriculares colombianas, para las matemáticas de grado séptimo.

En el programa de matemáticas para el Curso II Aritmética y Geometría, (Colombia– MEN, 1975, pp. 4–7) se reportan trece unidades temáticas, de las cuales hemos resaltado dos que explícitamente abordan temáticas relativas a la proporción y la proporcionalidad. Éstas son en su orden:

Unidad Nº 1– El Número Entero y el Número Racional. Unidad Nº 2– Sistema Métrico. Unidad Nº 3– Unidades de Superficie. Unidad Nº 4– Volumen. Unidad Nº 5– Unidades de Capacidad y de Peso. Unidad Nº 6– El Tiempo (Duración). Unidad Nº 7– La Proporcionalidad y sus Aplicaciones. Unidad Nº 8– Tanto por Ciento - Interés - Descuento. Universidad del Valle • IEP • Magister en Educación–- Énfasis en Educación Matemática

147


Unidad Nº 9– Cambio. Unidad Nº 10– Nociones de Contabilidad y Comercio. Unidad Nº 11– Geometría Plana. Unidad Nº 12– Volumen. Unidad Nº 13– Simetría. En la propuesta de programa curricular para el grado séptimo (Colombia–MEN, 1989, pp. 31–32), se presentan los contenidos organizados en ocho sistemas. En uno de ellos (Análisis real) encontramos explícitamente referenciados los temas de razón y proporción; veamos:

SISTEMAS NUMÉRICOS • (Z, +, –, ×, ÷, ≤, ≥, ⎣, ⎦) • (Q, +, –, ×, ÷, ≤, ≥) • Valor absoluto. • Algoritmos con aplicaciones: porcentajes, descuentos, interés, cambio de moneda. • Algunos reales: π, √2. SISTEMAS GEOMÉTRICOS • Movimientos rígidos: rotaciones, reflexiones, traslaciones. • Congruencias. • Homotecias. • Semejanzas. • Perímetro. SISTEMAS MÉTRICOS • Otros sistemas de unidades de amplitud de ángulos. • Unidades de duración. Conversiones (“Complejos”) ANÁLISIS REAL • Funciones crecientes y decrecientes. Correlación. • Funciones lineales. • Razones. Proporciones. • Representación gráfica de funciones lineales. • Inclinación: pendiente. • Ejes, cortes, interceptos. • Ecuaciones lineales. Solución de ecuaciones lineales.

148



SISTEMAS DE DATOS • Medidas de tendencia central: media y mediana. SISTEMAS LÓGICOS • Afirmaciones y negaciones verdaderas y falsas. • Proposiciones abiertas y cerradas. • Cuantificación. • Expresiones con variables y paréntesis. • Igualdades. CONJUNTOS • Conjunto de partes. Cardinal del conjunto de partes. • Subconjunto del conjunto de partes. • Combinaciones. RELACIONES Y OPERACIONES • Operaciones binarias. • Propiedades: operación clausurativa, asociativa, conmutativa, modulativa, invertiva. • Distributividad. • Linealidad de operadores. Igualmente, esta propuesta de programa curricular (Colombia–MEN, 1989) se presenta organizada en cinco unidades temáticas, una de las cuales aborda el estudio de la proporcionalidad:

Unidad I: Unidad II: Unidad III: Unidad IV: Unidad V:

Los números enteros. Los números racionales. Proporcionalidad y sus aplicaciones. Geometría y Medición. Combinatoria y estadística. Diferentes tipos de condiciones y de expresiones de cuantificaciones en el lenguaje ordinario.

En la organización de los contenidos de estas dos propuestas curriculares observamos algunas semejanzas y diferencias, que describimos brevemente a continuación.

Universidad del Valle • IEP • Magister en Educación–- Énfasis en Educación Matemática

149


Si bien el número de unidades temáticas presenta diferencia —pues mientras en la propuesta de 1975 hay trece unidades temáticas, en la de 1989 figuran sólo cinco—, al menos las cuatro primeras unidades, de las cinco de la propuesta de 1989, parecen configurarse por los temas abordados en doce unidades, de las trece de la propuesta de 1975; la “Unidad V: Combinatoria y estadística”, parece introducir temas no considerados en la anterior propuesta; entre tanto, los temas abordados en la “Unidad Nº 10– Nociones de Contabilidad y Comercio”, no se incluyen en alguna de las cinco unidades. Particularmente, en esta mirada acerca de la cantidad y configuración de las unidades temáticas, observamos que las unidades temáticas 7, 8 y 9 —relativas a la proporcionalidad— de la propuesta de 1975, se han compilado en la Unidad III de la propuesta de 1989.

De otra parte, notamos que si el orden de aparición de las unidades temáticas se corresponde con el orden metodológico, el estudio de la proporcionalidad aparece posterior al estudio de los números enteros y de los números racionales, en ambas propuestas. Igualmente, el estudio de los aspectos geométricos (no métricos) aparece posterior al de la proporcionalidad. En contraste, el estudio de los aspectos métricos en la propuesta de 1975 se ubican precediendo a las unidades relativas a la proporcionalidad, mientras que en la de 1989 se ubican posteriores a ésta.

Ahora bien, advertimos que en ninguna de las dos propuestas se identifican explícitamente los argumentos que soportan ni la cantidad de unidades temáticas, ni su orden relativo. Salvo una consideración acerca de la relación entre los enteros y los racionales que aparece en la propuesta de 1989, no encontramos referencias específicas respecto de la cohesión que existiría entre las diferentes unidades temáticas. Estos hechos, relativos a la configuración de las unidades temáticas, dificultan la realización de un análisis de dichos aspectos, a la vez que deja abierta una puerta de indagación de aspectos curriculares en torno a la organización temática de las matemáticas de grado séptimo, en las propuestas curriculares.

150



4.1.2 Mirada a los textos escolares Ahora, después de esta primera mirada a las propuestas curriculares, observemos la situación en los textos escolares de matemáticas objeto de estudio. Para ello retomamos los títulos de los capítulos o unidades de las tablas de contenido, resaltando aquellos que se refieren explícitamente a la proporción y/o la proporcionalidad.

Serie Matemática Progresiva. Aritmética y Geometría 7 Capítulo 1: Conjunto de los números enteros Z. Capítulo 2: Relaciones, operación binaria. Capítulo 3: Números racionales Q. Capítulo 4: Unidades de longitud. Perímetro. Capítulo 5: Unidades de superficie. Capítulo 6: Área de algunas regiones planas. Capítulo 7: Unidades de volumen. Volumen de cuerpos geométricos. Capítulo 8: Unidades de capacidad. Unidades de peso. Capítulo 9: Longitud y tiempo. Capítulo 10: Proporcionalidad. Capítulo 11: Aplicaciones de la proporcionalidad. Capítulo 12: Simetría. Traslación. Rotación. Londoño y Bedoya, 1988

Dimensión Matemática 7 1. Lógica 2. Conjuntos 3. Números enteros. 4. Operaciones binarias. 5. Adición y sustracción de enteros. 6. Multiplicación y división de enteros. 7. Transformaciones geométricas. 8. Los números fraccionarios. 9. Números racionales. 10. Proporcionalidad y aplicaciones. 11. Homotecias y semejanzas. Londoño y otros, 1993


151


Procesos Matemáticos 7 Unidad 1: Números enteros. Unidad 2: Situaciones aditivas en Z. Unidad 3: Situaciones de multiplicación y división en Z. Unidad 4: Operaciones binarias. Unidad 5: Números racionales. Unidad 6: Situaciones aditivas en Q. Unidad 7: Situaciones multiplicativas en Q. Unidad 8: Potencias, raíces y logaritmos. Unidad 9: Proporcionalidad directa. Unidad 10: Aplicaciones de la proporcionalidad directa. Unidad 11: La proporcionalidad inversa. Unidad 12: Movimientos en el plano. Unidad 13: Sistemas de unidades. Unidad 14: Áreas y volúmenes. Unidad 15: Estadística y combinatoria. Unidad 16: Lógica. Dpto. Editorial de Santillana S.A., 1995 Matemáticas McGraw–Hill Capítulo 1: Lógica y conjuntos. Capítulo 2: Números racionales. Capítulo 3: Funciones y variación proporcional. Capítulo 4: Ecuaciones. Capítulo 5: Geometría y medición. Capítulo 6: Medición. Capítulo 7: Estadística y probabilidad. Beristain y Campos, 1997 Logros Matemáticos. Séptimo grado Capítulo uno: Sistemas lógicos y de conjuntos. Capítulo dos: Sistema de los números enteros. Capítulo tres: Sistema de los números racionales. Capítulo cuatro: Sistemas de medición. Capítulo cinco: Sistemas geométricos. Capítulo seis: Sistemas analíticos. Capítulo siete: Sistemas de datos. Contreras y otros, 1997

152



En primer lugar, notemos cómo la estructura temática nos permite evidenciar algunas de las relaciones de éstos con las propuestas curriculares, brindándonos la oportunidad de explorar qué tanto y qué tan bien los textos expresan uno de los aspectos de las disposiciones curriculares del Ministerio de Educación Nacional.

En cuanto al número de unidades temáticas, podemos observar que ninguno de los cinco textos presenta las trece o las cinco unidades que configuran las propuestas curriculares para el grado séptimo, del año 1975 y 1989, respectivamente. En este mismo sentido, advertimos que sólo uno de los textos —“Dimensión Matemática 7” (Londoño y otros, 1993)— parece retomar el título y la cantidad de unidades dedicadas a los temas relativos a la proporcionalidad, establecidos en la propuesta curricular de 1989; los otros cuatro presentan diferencias con las propuestas curriculares. El texto “Serie Matemática Progresiva. Aritmética y Geometría 7” (Londoño y Bedoya, 1988) propone dos capítulos cuyos títulos se corresponden con una de las dos unidades temáticas de la propuesta curricular de 1975, a la cual debe corresponder; por su parte, “Procesos Matemáticos 7” (Dpto Editorial de Santillana S.A., 1995) presenta tres unidades temáticas que al parecer se relacionan con una unidad de la propuesta curricular de 1989; entre tanto, “Matemáticas McGraw– Hill”(Beristain y Campos, 1997), si bien presenta una unidad, al igual que la propuesta curricular de 1989, el título difiere del de ésta; finalmente, en “Logros Matemáticos. Séptimo grado” (Contreras y otros, 1997), se retoma parcialmente la organización por sistemas sugerida en la propuesta de 1989 y se dedica una unidad al estudio de los sistemas analíticos.

Adicionalmente, podemos advertir que en los cinco libros se incluyen o excluyen unidades temáticas respecto de las propuestas curriculares correspondientes. En el texto “Serie Matemática Progresiva. Aritmética y Geometría 7” (Londoño y Bedoya, 1988), se excluye la unidad relativa a “Nociones de Contabilidad y Comercio” incluida en la propuesta de 1975; en el texto “Dimensión Matemática 7” (Londoño y


153


otros, 1993), se incluyen dos unidades tituladas “Lógica” y “Conjuntos” y se excluye la unidad “Combinatoria y Estadística” vinculada en la propuesta de 1989; por su parte, el texto “Procesos Matemáticos 7” (Dpto Editorial de Santillana S.A., 1995), incluye una unidad de “Lógica”, en contraste con los planteamientos de la propuesta curricular de 1989; entre tanto, “Matemáticas McGraw–Hill”(Beristain y Campos, 1997), incluye un capítulo denominado “Lógica y conjuntos”, lo cual no se corresponde con la propuesta curricular de 1989; finalmente, “Logros Matemáticos. Séptimo grado” (Contreras y otros, 1997), reúne en un solo capítulo denominado “Sistemas lógicos y de conjuntos” dos de los sistemas que configuran la propuesta curricular de 1989, separa en dos capítulos denominados “Sistema de los números enteros” y “Sistema de los números racionales” los “Sistemas numéricos” y excluye el “Sistema de relaciones y operaciones” de dicha propuesta curricular.

En segundo lugar, observamos entonces que las estructuras temáticas de los textos son similares entre sí en algunos aspectos, pero difieren en otros.

En efecto, en todos los textos, el estudio de la proporcionalidad está precedido del estudio de los números enteros y de los racionales; sin embargo, en la presentación de ninguna de las estructuras es explícita la justificación de este hecho, es decir, no es posible determinar a través de la estructura temática general reportada en las tablas de contenido cuáles son los nexos o relaciones de la proporcionalidad con los números enteros o con los racionales. Más aun, al hacer una lectura de las unidades temáticas de proporcionalidad no identificamos dichos nexos, ya que sólo en un porcentaje casi nulo de los ejercicios o ejemplos se utilizan números enteros negativos o racionales negativos y siempre se trabajan con magnitudes absolutas más no relativas.

De otra parte, el orden de la proporcionalidad respecto de las unidades temáticas que versan sobre aspectos métricos, aspectos geométricos, o aspectos estadísticos es muy variado. Particularmente, en algunos textos los aspectos estrictamente geométricos

154



aparecen posteriormente a la proporcionalidad (Londoño y Bedoya, 1988; Contreras y otros, 1997); en tanto que en otros aparecen precediendo el estudio de ésta (Dpto. Editorial de Santillana S.A., 1995; Beristain y Campos, 1997); e incluso se da el caso en que aparecen tanto antes como después del estudio de la proporcionalidad (Londoño y otros, 1993). Igualmente, los aspectos métricos aparecen en diferente posición u orden temático respecto de la proporcionalidad; en algunos textos aparece después de ésta (Londoño y otros, 1993; Dpto. Editorial de Santillana S.A., 1995; Beristain y Campos, 1997) y en otros antes (Londoño y Bedoya, 1988; Contreras y otros, 1997). Entre estas unidades temáticas tampoco es posible establecer los nexos o relaciones únicamente a través de las tablas de contenido.

En tercer lugar, nos llama la atención no sólo la diversidad de nombres utilizados para denominar la temática (v.g., Proporcionalidad y aplicaciones, Funciones y variación proporcional, o Sistemas analíticos), sino además, la variedad de la cantidad de unidades temáticas empleadas para el estudio de la proporcionalidad (desde una hasta tres unidades temáticas).

4.2 ESTRUCTURA DE LAS UNIDADES TEMÁTICAS En este tópico consideramos fundamentalmente la pertenencia, disposición y posible relación de los temas en el interior de la(s) unidad(es) temática(s) que tratan sobre proporcionalidad. Esta mirada atenderá tanto a las propuestas curriculares, como a los textos escolares de matemáticas de grado séptimo.

4.2.1 Mirada a las propuestas curriculares Al igual que lo hicimos en el anterior apartado, miraremos inicialmente esta configuración en la organización sugerida explícitamente en dos propuestas curriculares colombianas para las matemáticas de grado séptimo. Universidad del Valle • IEP • Magister en Educación–- Énfasis en Educación Matemática

155


Inicialmente señalemos que en el programa de matemáticas para el Curso II Aritmética y Geometría (Colombia–MEN, 1975, p. 6) se reporta una unidad temática que explícitamente aborda temáticas relativas a la proporción y la proporcionalidad y una unidad que se puede reconocer como un campo específico de aplicación de la proporcionalidad. La configuración temática interna de éstas se puede observar a continuación:

Unidad Nº 7– La Proporcionalidad y sus Aplicaciones. 7.2 Contenido 7.2.1 Producto y cociente de una cantidad por un entero. 7.2.2 Razón de dos cantidades homogéneas. 7.2.3 Serie de razones iguales. Propiedad fundamental. 7.2.4 La igualdad de razones equivalentes bajo el nombre de proporción. 7.2.5 Cálculo del término desconocido de una proporción. 7.2.6 Propiedades de las proporciones. 7.2.7 Magnitudes directamente proporcionales. 7.2.8 Regla de tres simple directa. 7.2.9 Problemas sobre tanto por ciento y porcentaje. 7.2.10 Magnitudes inversamente proporcionales. 7.2.11 Regla de tres inversa. 7.2.12 Regla de tres compuesta. 7.2.13 Repartos proporcionales directos e inversos. 7.2.14 La regla de compañía. Unidad Nº 8– Tanto por Ciento - Interés - Descuento. 8.2 Contenido 8.2.1 Tanto por ciento. 8.2.2 Tanto por ciento más. 8.2.3 Tanto por ciento menos. 8.2.4 Interés simple. 8.2.5 Concepto de descuento. 8.2.6 Descuento comercial. Ahora bien, en la propuesta de programa curricular para el grado séptimo (Colombia– MEN, 1989) la Unidad III: Proporcionalidad y sus aplicaciones se plantea como una ampliación del estudio de la proporcionalidad iniciado en quinto grado. La propuesta trabaja fundamentalmente con operadores multiplicativos ampliadores o reductores; 156



igualmente hace énfasis en el estudio de la proporcionalidad directa y aborda la proporcionalidad inversa relacionada con situaciones que no corresponden a funciones lineales. El porcentaje, el interés y el reparto proporcional, lo mismo que los problemas de “regla de tres” se tratan mediante la aplicación de operadores multiplicativos.

Ante la ausencia de una tabla temática de la Unidad III de la propuesta curricular de 1989, hemos realizado una revisión del contenido de ésta, que nos ha permitido determinar con más precisión los temas propuestos en la Unidad III y su estructuración. En ésta hay seis apartados. El primero aborda el estudio de algunos conceptos fundamentales de proporcionalidad, tales como razón entre números, razón entre medidas de una misma magnitud, función, correlación y proporcionalidad (correlación directa, proporcionalidad directa, correlación inversa, proporcionalidad inversa), razón como operador, proporciones. El segundo apartado, trata los operadores multiplicativos, las funciones lineales y la linealidad como propiedad de los operadores. En el tercer apartado se trabajan el tanto por ciento como operador multiplicativo, algunos problemas de porcentaje, la tasa de interés como un porcentaje, algunos problemas de interés y el uso de operadores multiplicativos para cambios de moneda. En el cuarto, se estudia el reparto proporcional directo a partir de la aplicación de operadores multiplicativos y el procedimiento ligado a la obtención de la cuarta proporcional. El quinto apartado aborda el estudio de las funciones lineales, las funciones de gráfica lineal y las funciones de gráfica no lineal. El último apartado trata las magnitudes inversamente correlacionadas y las magnitudes inversamente proporcionales.

Una mirada comparativa a estas dos propuestas nos permite establecer que la diferencia fundamental entre éstas, en lo que respecta al contenido temático, radica en el papel central que juega la idea de operador multiplicativo y la inclusión de la linealidad en la propuesta de 1989. Igualmente, podemos establecer que, en cuanto a


157


la organización temática, ambas propuestas abordan el estudio de la razón y la proporción, y posteriormente el estudio de la proporcionalidad y sus aplicaciones, aunque en la propuesta de 1975 no es muy específico cuáles son las aplicaciones y por qué aparecen en unidades temáticas diferentes.

Por otra parte, en ninguna de las unidades de las dos propuestas estudiadas encontramos explícitamente reseñados los nexos entre los temas que las configuran, que nos permitan determinar una ruta y cohesión entre éstos. Este hecho es mucho más evidente en el caso de la propuesta curricular de 1975, ya que en ésta sólo aparecen los temas listados en una numeración de un solo nivel, en la cual no es evidente siquiera la jerarquía temática. En el caso de la propuesta curricular de 1989, el nexo temático parecer ser la idea de razón, en tanto operador multiplicativo, que permite encontrar la cuarta proporcional, que determina la proporcionalidad y la linealidad y que compila diversos tipos de situaciones de proporcionalidad.

4.2.2 Mirada a los textos escolares Ahora, después de esta mirada a las propuestas curriculares, observemos la situación en los textos escolares de matemáticas objeto de estudio. Para ello retomemos los títulos de los apartados de los capítulos o unidades temáticas previamente identificadas.

Serie Matemática Progresiva. Aritmética y Geometría 7 Capítulo 10: Proporcionalidad. 10.1 Concepto de razón. 10.2 Razones iguales. Propiedad fundamental. 10.3 Proporción. Propiedad fundamental. Cálculo de un término de una proporción. 10.4 Propiedades de las proporciones. 10.5 Variación proporcional. 10.6 Regla de tres simple. 158



10.7 Regla de tres compuesta. Capítulo 11: Aplicaciones de la proporcionalidad. 11.1 Repartos proporcionales. 11.2 Regla de compañía. 11.3 Tanto por ciento o porcentaje. 11.4 Interés simple. Londoño y Bedoya, 1988

Dimensión Matemática 7 10. Proporcionalidad y aplicaciones. 10.1 Razones. 10.1.1 Concepto de razón. 10.1.2 Razones iguales. 10.2 Proporciones. 10.2.1 Proporciones. 10.2.2 Propiedades de las proporciones. 10.3 Magnitudes. 10.4 Correlación y proporcionalidad. 10.5 La función lineal y la función afín. 10.5.1 La función lineal. 10.5.2 Propiedades de la función lineal. 10.5.3 La función afín. 10.6 Longitud de una circunferencia. 10.7 Proporcionalidad inversa. 10.8 Aplicaciones de la proporcionalidad. 10.8.1 Regla de tres simple. 10.8.2 Regla de tres compuesta. 10.8.3 Repartos proporcionales. 10.8.4 Tanto por ciento. 10.8.5 Interés simple. Londoño y otros, 1993 Procesos Matemáticos 7 Unidad 9: Proporcionalidad directa. 1. Razones. 2. Proporciones. 3. Propiedades de las proporciones. 4. Magnitudes directamente correlacionadas. 5. Magnitudes directamente proporcionales. Universidad del Valle • IEP • Magister en Educación–- Énfasis en Educación Matemática

159


6.

Función de proporcionalidad directa.

Unidad 10: Aplicaciones de la proporcionalidad directa. 1. Regla de tres. 2. Tanto por ciento. 3. Aumentos y disminuciones porcentuales. 4. Repartos directamente proporcionales. 5. Regla de la compañía. 6. Función de proporcionalidad directa.5 Unidad 11: La proporcionalidad inversa. 1. Proporciones simples.6 2. Gráfica de la proporcionalidad inversa. 3. Aplicaciones de la proporcionalidad inversa. 4. Proporcionalidad compuesta. 5. Interés simple. Dpto. Editorial de Santillana S.A., 1995 Matemáticas McGraw–Hill Capítulo 3: Funciones y variación proporcional. 1. Funciones. 2. Variación directamente proporcional. 3. Cálculo de valores de variables directamente proporcionales. 4. Variación inversamente proporcional. 5. Cálculo de valores de variables inversamente proporcionales. Beristain y Campos, 1997 Logros Matemáticos. Séptimo grado Capítulo seis: Sistemas analíticos. Lección 43: Actividad previa. Lección 44: Razón entre magnitudes y sus aplicaciones. Lección 45: Proporciones. Lección 46: Magnitudes directamente correlacionadas directamente proporcionales.

y

5

Si bien este apartado aparece reportado en la tabla de contenido, no está desarrollado en el texto. Consideramos que es tan sólo un error tipográfico. 6 Este apartado, en el desarrollo del texto (p. 124) se titula Proporciones inversas y no como figura aquí. 160



Lección 47: Lección 48: Lección 49: Lección 50: Lección 51: Lección 52: Lección 53:

Problemas sobre magnitudes directamente proporcionales. Porcentaje y aplicaciones. Repartos proporcionales. Magnitudes inversamente proporcionales. Regla de tres compuesta. Interés simple. Trabajo complementario. Contreras y otros, 1997

Las estructuras reseñadas para cada texto dan cuenta de los temas abordados en cada unidad temática; sin embargo, sólo lo hacen a través de un listado de temas que, salvo un texto, tienen la misma jerarquía. En efecto, en cuatro de los cinco textos (Londoño y Bedoya, 1988; Dpto. Editorial de Santillana S.A., 1995; Beristain y Campos, 1997; Contreras y otros, 1997) todos los temas se reportan en listados ordenados en numeración mononivel y sólo en uno (Londoño y otros, 1993) se utiliza un listado de dos niveles. Así, estos listados no dan cuenta de las posibles relaciones entre los temas, los niveles de subordinación o intervención entre éstos.

Tal vez, en un intento por dar cuenta de estas relaciones temáticas, en tres de los textos se presentan sendos diagramas que reseñamos a continuación.

Dimensión Matemática 7 10. Proporcionalidad y aplicaciones.

CONTENIDO

Razones

Razones iguales

Propiedad fundamental

Correlación y proporcionalidad

Directa Inversa Función lineal Función afín

Operadores multiplicativos

Regla de tres simple Regla de tres compuesta Repartos proporcionales Porcentajes Interés simple

Proporciones

Londoño y otros, 1993, p. 235 Universidad del Valle • IEP • Magister en Educación–- Énfasis en Educación Matemática

161


Procesos Matemáticos 7 Unidad 9. Proporcionalidad directa. 1

2 Proporciones

Aplicaciones

Razones 3 Propiedades de las proporciones

Aplicaciones

4

Magnitudes directamente correlacionadas

Aplicaciones

5

Aplicaciones

Magnitudes inversamente proporcionales

6 Función de proporcionalidad directa

Aplicaciones

Aplicaciones

7

Resultados

Dpto. Editorial de Santillana S.A., 1995, p. 99 Logros Matemáticos. Séptimo grado Capítulo seis: Sistemas analíticos. Correlacionadas

(Cuando una aumenta, la otra también)

Proporcionales

(su cociente es constante)

Correlacionadas

(cuando una aumenta, la otra disminuye)

Proporcionales

(su producto es constante)

Directamente

Magnitudes

Problema de regla de tres simple directa

Inversamente Problema de regla de tres simple inversa

Contreras y otros, 1997, p. 291 El primer diagrama intenta dar cuenta del contenido de toda la unidad temática Proporcionalidad y sus aplicaciones. En este cuadro sinóptico, si bien se genera una jerarquía de tres órdenes para cada uno de los conceptos centrales (razones y proporciones), no contiene una explicación adjunta que justifique la ubicación de las temáticas y que de cuenta de las relaciones entre éstas.

162



Entre tanto, el segundo presenta un “diagrama de procesos” de una de las tres unidades temáticas que versan sobre proporcionalidad.7 En este diagrama se expresa una sucesión de temas y aplicaciones de éstos que expresa un carácter lineal de orden único, pero que no da cuenta de mayores relaciones y/o vínculos temáticos.

El tercero pretende describir un mapa conceptual de la temática estudiada en el Capítulo seis: Sistemas analíticos. Sin embargo, como lo manifiestan los mismos autores es necesario completarlo con los otros temas abordados en este capítulo y, por tanto, no da información suficiente sobre la estructura temática del mismo.

En consecuencia, consideramos que ni en las tablas de contenido, ni en los diagramas de conceptos o procesos, ni los mapas conceptuales parciales, todos ellos exhibidos en los textos, logran explicitar las relaciones entre los temas. Por ello, nos dimos a la tarea de poner en juego una estrategia que permite, cuando menos, lograr una visión general de los contenidos implicados en las unidades temáticas y de sus posibles vínculos. Esta estrategia consiste en describir el texto matemático y representar de manera esquemática las temáticas y sus vínculos en cada uno de los textos, de manera que se de cuenta de la estructura de la unidad temática. Veamos entonces los resultados. 4.2.2.1 SERIE MATEMÁTICA PROGRESIVA. ARITMÉTICA Y GEOMETRÍA 7 El primer concepto que aparece reseñado y definido en el capítulo 10: Proporcionalidad, es el de razón entre números. Luego se usa (sin definición previa) la idea de igualdad entre razones para definir serie de razones iguales y de éstas se enuncia su propiedad fundamental. En seguida se presenta el concepto de proporción, se hace una distinción entre proporción continua y ordinaria, se formula la propiedad fundamental de las proporciones, y se enuncia cómo a partir de esta 7

Las otras dos unidades temáticas también contienen diagramas de procesos (Dpto. Editorial de


163


propiedad se puede, de un lado, obtener otras proporciones, y, de otro lado, calcular un término desconocido de una proporción ordinaria o continua. Posteriormente, se formulan otras propiedades que satisface una proporción.

A continuación, atendiendo a la idea (no definición) de razón constante entre las medidas de cantidades correspondientes se define cuándo dos magnitudes varían en forma directamente proporcional y se nombra dicha razón como constante de proporcionalidad; en seguida se enuncia la propiedad de las magnitudes directamente proporcionales que implica las ideas (no definidas) de razón entre dos cantidades de una misma magnitud y de igualdad entre estas razones. Después, bajo la idea (sin definición) de producto de cantidades correspondientes constante se define cuándo dos magnitudes varían en forma inversamente proporcional y se denomina

dicho

producto

también

como

constante

de

proporcionalidad;

posteriormente se formula la propiedad de las magnitudes inversamente proporcionales que implica nuevamente la idea de razón entre dos cantidades de una misma magnitud y de igualdad entre razones inversas (sin definir).

En seguida, a partir del reconocimiento de dos magnitudes proporcionales directa o inversamente, se presenta la regla de tres simple directa o inversa, respectivamente; y se exhibe el uso de las respectivas propiedades de las magnitudes proporcionales al resolver problemas de regla de tres. Para finalizar este capítulo se define la regla de tres compuesta directa, inversa y mixta y se presentan sendos esquemas para resolver problemas de regla de tres compuesta directa e inversa, que implican productos entre razones de cantidades de las magnitudes implicadas (tampoco previamente definidos).

En ninguno de los casos las propiedades o esquemas se demuestran, aunque generalmente se justifican a través de una explicación en un ejemplo particular.

Santillana S.A., 1995, p. 111 y p. 123). 164



Hemos construido una representación esquemática de la organización temática del capítulo 10; ésta puede verse en la figura 4-1. En ella los recuadros blancos representan los temas definidos explícitamente en el texto, mientras que los grises expresan un tratamiento del concepto en el texto por vía no definicional sino más bien intuitiva o, en ocasiones, tácita; asimismo, las líneas continuas representan nexos presentes en el texto, entre tanto, las líneas entrecortadas expresan nexos no existentes.


165


Igualdad de razones entre números

Razón

del tipo

Razón entre números

del tipo

involucran más de dos

involucran dos

Pro porción pued e s er

perm ite

O btener otras proporciones

O tras p ropiedades de la proporción

invo lucran más de do s

Propiedad fundamental de la proporción cumple

O rdinaria C ontinu a

Razón entre medidas de cantid ades co rrespon dientes se usa para definir M agnitudes directamente proporcionales involucran dos

Calcular un término desconocido de una proporción

se usa para definir

es

del tipo

se caracteriza por tener C onstante de proporcion alidad

se usa para definir

cumple Propiedad de las magnitudes directamente proporcionales

Problemas de regla de tres simple directa

Problemas de regla de tres com puesta directa

implica

involucran al menos dos

Propied ad fund amental de las series de razon es iguales cumple se usa para definir

Razones entre cantidades de una misma magnitud

es

se requiere para es tablecer C orresponden cia entre medidas de cantidades

incluye

del tipo

condu ce a Problemas de regla de tres d el tipo

Producto entre razones de cantidades de una magnitud

Problemas de regla d e tres com pu esta m ixta

del tipo

Igualdad entre razones de cantidades d e una misma m agnitud

se usa para definir

Producto entre medidas de can tidades correspondientes se usa p ara definir M agnitudes inversamente proporcionales cumple Propiedad de las magnitudes inversamente propo rcionales se requiere para es tablecer Problemas de regla de tres simple inversa

Problemas de regla de tres com puesta inversa

implica


166

Serie de razon es iguales

inv olucran al menos dos

figura 4-1 Estructura temática del Capítulo 10 Proporcionalidad

La elaboración de la estructura temática del capítulo 10: Proporcionalidad, nos

permite reconocer —entre otras— en éste dos bloques temáticos claramente


disociados. Uno de estos bloques se ubica en el contexto de la aritmética y aborda las temáticas relativas a la razón y la proporción entre números; en éste ubicamos los temas 10.1 a 10.4 reseñados en la tabla de contenido del capítulo. El otro, aborda las temáticas relativas a la proporcionalidad en el contexto de las magnitudes (por lo general, físicas, geométricas, o resultantes de conteo); ubicamos los temas 10.5 a 10.7 reseñados en la tabla de contenido.

Identificamos también, a través de la construcción de esta estructura, que la definición del concepto de razón sólo se aborda explícitamente entre números, mientras que entre cantidades de una misma magnitud o entre medidas de cantidades correspondientes (conceptos utilizados en el tratamiento de la proporcionalidad) se aborda tácitamente. Del mismo modo, advertimos que la igualdad de razones entre números, la igualdad de razones entre cantidades de una misma magnitud, la correspondencia entre medidas de cantidades, el producto entre medidas de cantidades correspondientes y el producto entre razones de una magnitud, son conceptos usados en el texto pero no definidos en él.

Igualmente, observamos la relativa “simetría” que se puede definir entre los conceptos y nexos temáticos implicados tanto en la proporcionalidad directa como en la proporcionalidad inversa; este hecho no deja de sorprendernos.

Examinemos

ahora

la

estructura

del

capítulo

11:

Aplicaciones

de

la

proporcionalidad, del texto objeto de estudio. Éste comienza reseñando dos tipos de repartos determinados por la clase de proporcionalidad que se da entre las magnitudes implicadas, a saber: los repartos proporcionales directos y los repartos proporcionales inversos; a la solución de problemas del primer tipo se le asocia tanto la definición de magnitudes proporcionales como la propiedad fundamental de las series de razones iguales; entre tanto, a la solución de reparto proporcional inverso se


167


le asocia el reparto proporcional directo y la idea de inverso, o mejor, de razón inversa.

A continuación se reseña la regla de compañía como un caso particular de reparto proporcional; de ésta se señalan cuatro casos que dependen de las igualdades o desigualdades entre el capital y el tiempo inversión del mismo.

En seguida, se plantean problemas de tanto por ciento o porcentaje como aplicaciones de problemas de regla de tres simple o compuesta y se relaciona el porcentaje con el concepto de proporción. En esta misma sección se tratan cinco casos de porcentajes especiales, a saber: tanto por ciento más, tanto por ciento menos, comisiones, descuentos al tanto por ciento o rebaja y recargo.

Finalmente, se aborda el tratamiento del interés simple, tema en el cual se definen los conceptos de capital, interés, tiempo, y rata, tasa porcentual o tanto por ciento; entre éstos se establecen las relaciones de proporcionalidad existentes y, en consecuencia, se identifica este tipo de situaciones como de proporcionalidad compuesta que se resuelven a través de regla de tres compuesta, la cual conduce a la fórmula para calcular el interés simple, misma que sugieren utilizar para calcular el capital, el tiempo o la rata.

Al igual que en el capítulo 10 del texto, para el capítulo 11 hemos construido una representación esquemática de su organización temática; ésta puede verse en la figura 4-2. De la misma manera, en ella los recuadros blancos representan los temas definidos explícitamente en el texto, mientras que los grises expresan un tratamiento del concepto en el texto por vía no definicional sino más bien intuitiva o, en ocasiones, tácita; los recuadros con líneas punteadas representan los temas del capítulo anterior vinculados en este capítulo; asimismo, las líneas continuas

168



Problemas de regla de tres compuesta directa

implica involucra

involucra

asociado con

utiliza

Propiedad fundamental de las series de razones iguales

Porcentajes especiales

del tipo

son

Recargo

Rebaja

Comisiones

Tanto por ciento menos

Tanto por ciento más

caso particular de

son Magnitudes directamente proporcionales

Calcular un término desconocido de una proporción

involucra

Tasa porcentual

Tiempo

Interés

Capital

Número comercial

Tiempo

cuando

Repartos proporcionales directos

Ganancia o pérdida

Tanto por ciento

relaciona las magnitudes

Proporción

es una aplicación de

Problemas de regla de tres simple directa

del tipo

Interés simple

relaciona las magnitudes

Capital

del tipo

se transforma en

Repartos proporcionales

Razón inversa

caso particular de

Regla de compañía

conduce a

caso particular de

Problemas de regla de tres

Proporcionalidad compuesta

caso particular de


cuando

del tipo

a través de

Repartos proporcionales inversos

utiliza

como como Producto entre medidas Constante de Razón entre medidas de cantidades correspondientes proporcionalidad de cantidades correspondientes


representan nexos presentes en el texto, entre tanto, las líneas entrecortadas expresan

nexos no existentes.

figura 4-2 Estructura temática del Capítulo 11 Aplicaciones de la proporcionalidad

169


En la identificación y elaboración de la estructura del capítulo 11, reconocimos algunos aspectos a resaltar.

El primero de ellos es la relación entre los temas centrales tratados (repartos proporcionales, regla de compañía, tanto por ciento, e interés simple) y algunos temas del capítulo anterior. Particularmente, nos llama la atención el papel protagónico que cumple el concepto y definición de magnitudes directamente proporcionales (tema tratado en el capítulo 10 del texto) pues, como se observa en la figura 4-2, a éste convergen explícitamente tres de estos temas (repartos proporcionales, regla de compañía, e interés simple) y de manera tácita el tanto por ciento. Esto contrasta con el papel que cumple el concepto de magnitudes inversamente proporcionales, que sólo figura en la identificación de un problema de reparto proporcional inverso, pues en su solución —a través de la idea de razón inversa— se reduce a un problema de magnitudes proporcionales.

Un segundo aspecto es el tratamiento implícito, y casi ausente, que la proporcionalidad compuesta tiene en éste —y en el anterior— capítulo. En nuestra opinión, la regla de compañía y el interés simple son temas tratados como casos particulares de la proporcionalidad compuesta; sin embargo, no aparece referencia alguna a este hecho, ni una descripción acerca del comportamiento matemático de los fenómenos que presentan el comportamiento descrito por este tipo de proporcionalidad. Particularmente en el tratamiento de la regla de compañía, además de omitir la referencia a que los fenómenos o situaciones implicados son, más que de proporcionalidad directa, de proporcionalidad compuesta, tan sólo se dan fórmulas para obtener valores de una de las magnitudes implicadas.

Un tercer aspecto que llama nuestra atención es precisamente la consideración de productos entre magnitudes como una nueva magnitud. Este es el caso del número comercial que resulta del producto del capital por el tiempo. Afirmamos que se trata

170



como magnitud porque se establece una correspondencia (proporcionalidad directa) entre éste y la utilidad, en el contexto de un reparto proporcional directo.

Finalmente, de la manera de organización temática del capítulo y del tratamiento global de los temas, podemos identificar que los términos “aplicaciones de la proporcionalidad” se refieren fundamentalmente al estudio de fenómenos particulares en los cuales se da un comportamiento proporcional (directo o inverso) entre las magnitudes involucradas. Desde esta interpretación, entonces, no entendemos por qué al tipo de problemas y situaciones abordados en el capítulo 10 del texto no se le denomina también aplicaciones de la proporcionalidad. 4.2.2.2 DIMENSIÓN MATEMÁTICA 7 Como se puede ver a través de la tabla de contenido, este texto aborda el estudio de la proporcionalidad en un solo capítulo, denominado La proporcionalidad y sus aplicaciones, dividido en ocho apartados. En el primer apartado (10.1 Razones) inicialmente aparece reseñado y definido el concepto de razón entre números. Luego se usa (sin definición previa) la idea de igualdad entre razones para definir serie de razones iguales y de éstas se enuncia su propiedad fundamental.

En el apartado 10.2 Proporciones, se presenta el concepto de proporción, se hace una distinción entre proporción continua y ordinaria; se formula la propiedad fundamental de las proporciones, y se ejemplifica cómo a partir de esta propiedad se puede, de un lado, obtener otras proporciones y, de otro lado, calcular un término desconocido de una proporción ordinaria o continua.

En el apartado 10.3 Magnitudes, brevemente se aborda la idea de magnitud.

A continuación, en el apartado 10.4 Correlación y proporcionalidad, atendiendo a la idea (no definición) de razón constante entre las magnitudes aunada a la definición Universidad del Valle • IEP • Magister en Educación–- Énfasis en Educación Matemática

171


de magnitudes correlacionadas directamente se define cuándo dos magnitudes son directamente proporcionales; en seguida, se establece que la representación gráfica (cartesiana) de la proporcionalidad directa entre dos magnitudes es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas y se establece una definición nominal de función lineal. Adicionalmente, se introduce la idea de proporcionalidad directa entre magnitudes obtenidas a partir de la diferencia de valores de otras magnitudes.

El apartado 10.5 La función lineal y la función afín, inicia con la definición de función lineal y reseña algunos aspectos de la gráfica de la función lineal, al igual que define pendiente de la recta; en seguida, reporta dos propiedades de la función lineal; y termina definiendo la función afín. El tratamiento del número π como razón entre la longitud de la circunferencia y su diámetro, así como la fórmula de la longitud de la circunferencia son los temas presentados en el apartado 10.6 Longitud de la circunferencia.

Después, en el apartado 10.7 Proporcionalidad inversa, bajo la definición de magnitudes correlacionadas inversamente y la idea (sin definición) de producto de magnitudes constante (llamado constante de proporcionalidad) se define cuándo dos magnitudes son inversamente proporcionales; posteriormente se formula una propiedad de las magnitudes inversamente proporcionales que implica la idea (no definida previamente) de razón entre dos valores de una misma magnitud.

Finalmente, el último apartado (10.8 Aplicaciones de la proporcionalidad) comienza con el tratamiento de la regla de tres simple, tanto directa, como inversa; en ambas —a partir del reconocimiento del tipo de correlación y proporcionalidad— se plantea una proporción con un valor desconocido y luego éste se calcula; también se induce una manera de solucionar el problema que involucra operadores multiplicativos. Luego se establecen las condiciones de la regla de tres compuesta —en general— y

172



de cuándo ésta es directa, inversa o mixta; para solucionar los problemas de este tipo también se recurre a los operadores multiplicativos. Posteriormente, a partir del reconocimiento del tipo de proporcionalidad, de la escritura de razones (o productos iguales) y del uso de la propiedad fundamental de la serie de razones iguales, se resuelven problemas de reparto proporcional. En seguida, se establece el tanto por ciento como un operador fraccionario multiplicativo y bajo esta interpretación se resuelven algunos problemas; otros problemas utilizan otra interpretación del tanto por ciento, ligada a la idea de proporción generada por una situación de proporcionalidad directa. Finalmente, se aborda el tratamiento del interés simple, tema en el cual se establecen los términos capital, interés, tiempo, y rata, tasa porcentual o tanto por ciento, entre los cuales se enuncia la existencia de correlación directa y se presenta una fórmula para calcular el interés simple (en la que interviene un operador multiplicativo) que los relaciona, fórmula que se utiliza para calcular el capital, el tiempo o la rata.

También hemos construido una representación esquemática de la organización temática del capítulo 10; ésta puede verse en la figura 4-3. En ella los recuadros blancos representan los temas definidos explícitamente en el texto, mientras que los grises expresan un tratamiento del concepto en el texto por vía no definicional, o tácita; asimismo, las líneas continuas representan nexos presentes en el texto, entre tanto, las líneas entrecortadas expresan nexos no existentes. En esta estructura utilizamos un conector aparentemente interrumpido, conectado por la letra ‘A’ encerrada en una pequeña circunferencia.


173


Serie de razones iguales cumple Propied ad fundamental de las series de razones iguales

implica

Igualdad de razon es en tre números

R azón

del tipo del tipo

R azón entre nú meros

del tipo

Simple directa

Proporción

relaciona

Proporcionalidad compues ta

d eterminado po r

C ompuesta m ixta

del tipo

Problemas de regla de tres

se usa para resolver

Interés

cumple

Propiedad fundamental de la pro porción

se requiere para es tab lecer

Simple inversa

C ompuesta inversa

Invers os

perm ite

determin ado por

O btener otras proporcion es

C alcular un término desconocido

se usa para resolv er

A R azón de valores de una magnitud

Co nstante de prop orcionalid ad

llamado

Producto constante entre m agn itudes corresp ondientes

requiere de

Propiedad de las magnitudes inversamente proporcio nales

cu mple

M agnitud es inversamente prop orcionales

se usa para definir

M agnitud es correlacionadas inversamente

C orrespon den cia entre magnitu des implica

Tiempo

del tipo

A

O perador multip licativo

Cap ital

Interés simple

se usa para defin ir

C ontinu a

pued e s er


O rd inaria

M ag nitud

del tipo

Co mpuesta directa

D irectos

Problemas de repartos proporcionales

Tanto por ciento

imp lica

Tasa porcentual

implica

Fórmula de la lon gitud de la circunferencia

cumple

Función lineal

determin a

determin ado por

M agnitudes co rrelacionadas directamente

se sigue

se usa para definir

N úm ero π u n caso particular genera

tiene

M agnitudes directamente pro porcionales

se usa para definir

R azón constante entre mag nitudes corresp on dientes

tiene como representación Línea recta

Pendiente

no cum ple

Pro piedades de la función lineal


174

implica

Fun ció n afín

se usa para

figura 4-3 Estructura temática del Capítulo 10 La proporcionalidad y sus aplicaciones


La organización anterior nos permite visualizar algunos aspectos que en la versión listada de la tabla de contenido no se alcanzan a percibir.

Señalemos, en primer lugar, la existencia de dos bloques temáticos relativamente inconexos. Uno de ellos está determinado por el tratamiento de la razón y la proporción en el contexto aritmético; allí ubicamos los apartados 10.1 (Razones) y 10.2 (Proporciones). El otro aborda el estudio de la proporcionalidad entre magnitudes, y de manera preponderante, de las magnitudes directamente proporcionales; éste contiene los temas de los apartados 10.3 a 10.8 (i.e., Magnitudes, Correlación y proporcionalidad, La función lineal y la función afín, Longitud de una circunferencia, Proporcionalidad inversa y Aplicaciones de la proporcionalidad).

La conexión explícita entre estos dos bloques se manifiesta sólo en dos oportunidades, a saber: en el tratamiento de los repartos proporcionales a través del uso de la propiedad fundamental de las series de razones iguales y en el cálculo de un término desconocido de una proporción, determinada por valores de las magnitudes implicadas en un problema de regla de tres. En estos dos casos, elementos de las razones o las proporciones numéricas son usados en un contexto no estrictamente aritmético, es decir, en el contexto de las magnitudes.

En segundo lugar, en la estructura temática es posible apreciar que algunos de los conceptos usados para definir temáticas centrales del capítulo no exhiben un tratamiento siquiera tácito en el texto. Es el caso del concepto de razón, la igualdad entre razones, la razón de valores de una magnitud, la correspondencia entre magnitudes, la razón entre magnitudes correspondientes, el producto entre magnitudes correspondientes y la proporcionalidad compuesta. Una mirada a la estructura permite evidenciar, por ejemplo, cómo los conceptos de razón y producto constante entre magnitudes correspondientes —usados para definir respectivamente magnitudes directa e inversamente proporcionales— no están definidos para el lector


175


del texto; su definición depende de la posible extrapolación de una interpretación de la idea (tácita) de igualdad entre razones, e igualdad entre números (producto), procedente del contexto aritmético.

En tercer lugar, identificamos cómo dos temas abordados en sendos apartados aparecen aislados y, en cierto sentido, independientes de las demás temáticas tratadas explícitamente en este capítulo. De un lado tenemos el caso de la magnitud; de otro, la construcción del número π y su relación con la fórmula de la circunferencia. A este respecto, nos sorprende cómo el tratamiento que se hace del número π como el cociente entre la longitud de cualquier circunferencia y la longitud de su diámetro, no se relaciona con la posibilidad de considerar cada una de estas longitudes como magnitudes correlacionadas directamente con razón constante para cada pareja de valores correspondientes, es decir, como magnitudes directamente proporcionales. Igualmente nos sorprende el hecho de no considerar la idea de constante de proporcionalidad para magnitudes directamente proporcionales, sino exclusivamente para las inversamente proporcionales; este hecho imposibilita considerar al número π como la constante de proporcionalidad que describe la relación entre las dos magnitudes relativas a la circunferencia reseñadas anteriormente, o tal vez, como operador multiplicativo.

Un cuarto aspecto que no queremos dejar de reseñar, así sea brevemente, es el papel utilitario que cumple la idea de operador multiplicativo. Éste es usado para la solución de algunos (muy pocos) problemas de regla de tres y de tanto por ciento, pero en ningún momento se establece una relación conceptual con las magnitudes directa o inversamente proporcionales; relación que tal vez podría llegar a darse con los conceptos de razón y producto constante entre magnitudes correspondientes.

176



Finalmente, un quinto aspecto que pudimos identificar es el tratamiento marginal de la función lineal y de la función afín. Muestra de ello es la falta de nexos de las propiedades de la función lineal (aditividad y homogeneidad) con las demás temáticas abordadas en el capítulo o la inutilidad de las gráficas de las magnitudes directamente proporcionales en la solución de problemas de “aplicaciones” de la proporcionalidad. 4.2.2.3 PROCESOS MATEMÁTICOS 7 Como lo describimos a través de la tabla de contenido de este texto, el tratamiento de la proporcionalidad se efectúa a través de tres unidades, a saber: Unidad 9: Proporcionalidad directa, Unidad 10: Aplicaciones de la proporcionalidad directa y Unidad 11: La proporcionalidad inversa. Veamos el tratamiento temático en cada una de éstas.

En la Unidad 9: Proporcionalidad directa, los autores inician definiendo el concepto de razón entre números racionales, denominando (sin definir) a la igualdad de dos o más razones como sucesión de razones y presentando una propiedad de las sucesiones de razones. Enseguida, con base en la idea de igualdad, definen proporción, nominan sus elementos, definen la proporción continua, presentan la propiedad fundamental de las proporciones y la aplican para hallar un término desconocido de la proporción. Luego presentan cinco propiedades de las proporciones.

A continuación, presentan el concepto de magnitudes directamente correlacionadas y en su explicación —al parecer— utilizan (sin definir) la idea de razón entre valores de una misma magnitud y la idea de razón entre magnitudes; adicionalmente, utilizan una representación tabular y cartesiana de los valores de las magnitudes.

Posteriormente definen magnitudes directamente proporcionales a partir de la idea de multiplicación o división del valor de una magnitud por un número. Finalmente, a Universidad del Valle • IEP • Magister en Educación–- Énfasis en Educación Matemática

177


partir de la idea de función y de la identificación de la expresión simbólica y = ax definen la función de proporcionalidad directa o función lineal, denotando el número a como coeficiente de proporcionalidad; igualmente presentan la posibilidad de escribir una proporción con los valores de las magnitudes y de representar gráficamente a través de una recta que pasa por el origen de coordenadas a las funciones lineales, de donde surge la idea de pendiente de la recta.

Veamos ahora, a través de la en la figura 4-4 una representación esquemática de la organización temática de esta unidad. En ella conservamos las convenciones de las anteriores figuras.

178



Continua se llama

Sucesión de razones

puede ser

Igualdad de razones entre números

se usa para definir

Otras propiedades cumple

Proporción

Propiedad fundamental de la proporción

cumple Propiedad fundamental de las sucesiones de razones

Razón entre números racionales

`Variación de una magnitud se requiere para establecer Comparación entre variaciones de magnitudes correspondientes

Magnitudes correlacionadas directamente

del tipo

Razón

Razón entre magnitudes correspondientes

se usa para definir

se puede establecer a través de

se determinan a partir de

Calcular un término desconocido

del tipo del tipo

Razón de valores de una magnitud

permite

es una

Magnitud se usa para definir Correspondencia entre magnitudes

se requiere para establecer

implica

Constante de proporcionalidad es la misma

se usa para definir

Multiplicación o división de una magnitud por un número

implica

Magnitudes directamente proporcionales determina

Coeficiente de proporcionalidad

implica

Función lineal o función de proporcionalidad tiene como representación gráfica

Ecuación f(x)=mx o y=mx

Línea recta que pasa por el origen tiene

determina Pendiente

figura 4-4 Estructura temática de la unidad 9: Proporcionalidad directa

En este esquema observamos cómo los temas explícitamente abordados en la unidad están agrupados en bloques no interconectados. Identificamos un bloque definido por las razones y proporciones entre números racionales; otro bloque configurado por temáticas relativas a la proporcionalidad directa y a la función lineal y, finalmente, otro en el que aparecen de manera aislada las magnitudes correlacionadas directamente.


179


La omisión de interconexión explícita entre estos bloques ocupa un lugar importante en el diagrama, este ámbito de interconexión debería estar determinado por los temas relacionados con las razones intra magnitudes y entre magnitudes correspondientes, así como por las variaciones de las mismas.

Adicionalmente, reconocemos cómo el concepto de igualdad entre razones se usa sin definición previa.

Ahora bien, la Unidad 10: Aplicaciones de la proporcionalidad directa, inicia con la presentación de la regla de tres directa como una aplicación de la proporcionalidad directa basada en la propiedad fundamental de las proporciones. Continúa con la definición de porcentaje como la expresión de una razón entre magnitudes directamente proporcionales. En seguida, se caracterizan algunos problemas de aumentos y disminuciones porcentuales en cuya solución se vincula tácitamente la regla de tres directa. Luego, se presenta un algoritmo para hacer repartos en partes directamente proporcionales a coeficientes. Finalmente, se presentan los problemas de regla de compañía como problemas de reparto proporcional directo, diferenciando y definiendo los de regla simple de la compañía de la regla compuesta de la compañía.

Presentemos, en la figura 4-5, un esquema de la organización temática de la unidad 10. En ella conservamos las convenciones de las anteriores figuras, recordando que los recuadros punteados refieren temáticas abordadas en la unidad anterior.

180



implica

Problemas de aumentos y disminuciones porcentuales

Calcular un término desconocido permite

se requiere para Tanto por ciento

implica

Regla de tres simple directa

expresa una

determinada por


para

se basa en


Magnitudes directamente proporcionales implica Repartos directamente proporcionales

su solución involucra

caso particular de relaciona

Capital Tiempo

Regla de la compañía

Propiedad fundamental de las sucesiones de razones

del tipo

exige igualdad en uno

Regla simple de la compañía

exige diferencia en ambos

Regla compuesta de la compañía

Ganancia o pérdida

figura 4-5 Estructura temática de la unidad 10: Aplicaciones de la proporcionalidad directa

Por medio de esta estructura podemos reconocer dos grupos de aplicaciones; aquellos ligados a la regla de tres simple directa y los relativos a los repartos proporcionales. Ambos ligados —no necesariamente de manera explícita— a sendas propiedades del contexto de las razones y las proporciones entre números; pero con un nexo relativamente exiguo, a saber: la intervención de magnitudes directamente proporcionales en los problemas que abordan.

De otra parte, nos sorprende cómo surge la regla de la compañía (simple o compuesta) sin haberla reseñado como una situación de proporcionalidad compuesta. En el esquema, claramente observamos cómo en la regla de la compañía se vinculan tres magnitudes, aunque en esta unidad y en la anterior, aparentemente se está trabajando sólo con dos magnitudes.


181


En la última unidad dedicada a la proporcionalidad (Unidad 11: La proporcionalidad inversa) los autores comienzan definiendo magnitudes inversamente correlacionadas, y a partir de ésta, aunada a la idea de producto constante de magnitudes, definen magnitudes inversamente proporcionales. Adicionalmente, presentan la manera de realizar la gráfica cartesiana de la proporcionalidad inversa. A continuación, presentan la manera de hacer repartos inversamente proporcionales involucrando la idea de número inverso y exhiben un algoritmo —regla de tres simple inversa— para determinar un valor de una de las magnitudes inversamente proporcionales, describiendo éste como aplicación de la proporcionalidad inversa.

Pasan, entonces, a definir la proporcionalidad compuesta a través de la idea —por cierto muy extraña— de proporciones donde intervienen más de dos magnitudes, algunas de ellas (excepto una) fijas; proponen además la regla de tres compuesta como el proceso para resolver dichas proporciones; esta regla de tres puede ser directa o inversa dependiendo de la existencia de una proporcionalidad inversa entre dos de las magnitudes implicadas. Los autores finalizan la unidad abordando el estudio del interés simple como un caso de proporcionalidad compuesta donde intervienen tres magnitudes (capital, razón o tasa de interés y tiempo).

Veamos ahora, en la figura 4-6, una representación esquemática de la organización temática de la unidad 11. En ella conservamos las convenciones de las anteriores figuras.

182



Correspondencia entre magnitudes se requiere para establecer Comparación entre variaciones de magnitudes correspondientes

Producto entre magnitudes correspondientes

se determinan a partir de

su solución requiere considerar

Multiplicación o división de una magnitud por un número

Regla de tres simple inversa

Magnitudes inversamente correlacionadas

implica determinada por

se usa para definir Magnitudes inversamente proporcionales

implica

Proporcionalidad compuesta

Repartos inversamente proporcionales

Repartos directamente proporcionales

determinada por

Regla de tres compuesta directa

es un caso particular de

a través de

se transforma en

implica exclusivamente

Regla de tres compuesta inversa determinada por

implica

Número inverso

Magnitudes directamente proporcionales

Tanto por ciento implica

Interés simple relaciona Tiempo

Interés

Capital

figura 4-6 Estructura temática de la unidad 11: La proporcionalidad inversa

Un hecho que se puede reconocer en esta estructura es la existencia de dos bloques de temas; uno centrado en el estudio de la proporcionalidad inversa y otro en el tratamiento de la proporcionalidad compuesta. Cada uno de ellos determinando su respectiva regla de tres y otros temas no necesariamente interconectados.

Otro hecho que llama nuestra atención es la existencia de vínculos, no siempre explícitos, con temáticas de las dos unidades anteriores; ejemplos de ello son el recurso a los repartos directamente proporcionales para resolver problemas de repartos inversamente proporcionales, la idea de tanto por ciento ligada a la definición de interés, y la relación entre la definición de magnitudes inversamente correlacionadas y la idea (no definida ni explícita ni implícitamente) de comparación entre variaciones de magnitudes correspondientes. Universidad del Valle • IEP • Magister en Educación–- Énfasis en Educación Matemática

183


Finalmente, no podemos dejar de señalar la introducción (sin definición tácita ni explícita) de la idea de producto constante entre magnitudes correspondientes, como uno

de

los

elementos

necesarios

para

definir

magnitudes

inversamente

proporcionales. 4.2.2.4 MATEMÁTICAS MCGRAW–HILL 7º Como lo reseñamos anteriormente, este texto aborda el estudio de la proporcionalidad a través de un único capítulo (Capítulo 3: Funciones y variación proporcional) organizado en cinco apartados.

Los autores en el primer apartado (1. Funciones) recuerdan la idea de función como correspondencia entre elementos de conjuntos, generada por una proposición abierta con dos variables. Recuerdan, además, que los dos conjuntos reciben el nombre de dominio y codominio, respectivamente; y que un elemento del último se denomina imagen de uno del primero. Para finalizar este primer apartado, reseñan la posibilidad de tabular y graficar —en el plano cartesiano— los pares ordenados de dichos elementos, y, cómo a partir de la gráfica se pueden determinar parejas de valores aproximados de la función; por último, definen el concepto de función.

En el segundo apartado (2. Variación directamente proporcional), aparece la idea de multiplicación de un valor de magnitud por un factor constante; igualmente se alude a la idea de comparación entre razones (cada una formada por dos valores de una misma magnitud, pero cada una relativa a magnitudes diferentes) para determinar variaciones relativas entre las magnitudes. También se reseñan las ideas de variable independiente y dependiente. Luego de esto, se encuentra la primera definición de este apartado, variaciones directamente proporcionales, la cual se refiere a la nominación de funciones en las que el cociente entre la imagen y su correspondiente elemento del dominio es constante. En seguida, se define cuándo dos magnitudes son directamente proporcionales y se denomina el valor del cociente como constante de 184



proporcionalidad, el cual en ocasiones —dependiendo del contexto— es una magnitud. También, de modo no muy explícito, se indaga sobre el crecimiento relativo de los valores de las magnitudes implicadas; se plantea la posibilidad de escribir proporciones entre valores de magnitudes y de describir con proporciones fenómenos de proporcionalidad directa y se usa la propiedad fundamental de las proporciones para establecer si existe o no proporción entre valores de magnitudes.

En el tercer apartado (Cálculo de valores de variables directamente proporcionales) los autores aplican la igualdad entre los cocientes de los valores correspondientes y la propiedad fundamental de las proporciones, para calcular un valor desconocido en una situación de variación directamente proporcional. Luego, reseñan la recta que pasa por el origen como la representación gráfica de las funciones en las que las magnitudes son directamente proporcionales.

El cuarto apartado (4. Variación inversamente proporcional) implica la comparación entre una situación de proporcionalidad directa y una que no lo es, a través del análisis de los crecimientos relativos de los valores de las magnitudes implicadas, de las gráficas de las funciones y del comportamiento aritmético de los datos; en este último se utiliza la idea de producto de dos valores correspondientes, para caracterizar las variaciones inversas y con ello las funciones denominadas variaciones inversamente proporcionales. Igualmente, se utiliza la gráfica para determinar valores aproximados de la función y se emplea la idea de razón entre valores de una magnitud para establecer la existencia de proporción entre razones de valores relativos, para lo cual surge la idea de razón inversa.

En el último apartado (5. Cálculo de valores de variables inversamente proporcionales) se utiliza tanto el reconocimiento de la situación como de variación inversamente proporcional, como la propiedad que se refiere al producto constante entre los valores correspondientes, para calcular un término desconocido. También


185


aquí se plantea la posibilidad de presentar a través de proporciones algunas situaciones de variación inversamente proporcional.

Como ha sido usual, para complementar esta breve descripción de la estructura temática del capítulo objeto de estudio, presentamos ahora —por medio de la figura 4-7— un esquema de dicha estructura. No sobra recordar que las convenciones de dicha representación se mantienen invariables respecto de las anteriores figuras.

186


es determina

determina

definida por

implica

determinada por

Línea recta

tiene representación

Función

como

Universidad del Valle • IEP • Magister en Educación–- Énfasis en Educación Matemática Calcular un término desconocido

se usa para


implica

Proporción

determinada por

Constante de proporcionalidad

se llama


Razón inversa entre magnitudes correspondientes

determina

determina

implica

Constante

es

puede ser

Producto entre variables correspondientes

Variaciones inversamente proporcionales

Línea curva

es un tipo de

Variable dependiente

presenta

Variación de valores

puede implicar

Variación inversa

implica

Tabular

se puede expresar a través de

como

implica

Codominio

pueden ser

puede ser

Orden de valores de una magnitud

Correspondencia entre elementos de conjuntos

Dominio

Magnitudes correspondientes

Gráfica cartesiana

es un tipo de

Proposición abierta

Variable independiente

presenta

permite establecer

Variación relativa entre magnitudes

se establece a través de

puede ser

Razón de valores de una magnitud

Variación de valores

Variaciones directamente proporcionales

se llama


Magnitudes directamente proporcionales

implica

Constante

puede ser

Cociente entre variables correspondientes

Constante de proporcionalidad

puede implicar

Variación directa


figura 4-7 Estructura temática del capítulo 3: Funciones y variación proporcional

El trabajo de construcción de esta estructura nos pareció particularmente laborioso.

Tal vez el tipo de discurso empleado en el texto nos dificultó un poco la

identificación de los conceptos tratados, la determinación de su estilo de definición o

aparición (explícita o tácita) y el establecimiento de los nexos entre éstos.

187


De otra parte, un elemento que nos sorprendió en algún momento de la construcción de la estructura, y que fácilmente se reconoce en la figura 4-7, es la “simetría” conceptual de la misma. Por ejemplo, los temas de magnitudes directamente proporcionales y magnitudes inversamente proporcionales tienen un tratamiento estructural muy similar, es decir, involucran conceptos correspondientes, incluso los abordados de manera implícita (v.g., los conceptos de razón entre magnitudes correspondientes y razón inversa entre magnitudes correspondientes). Esta misma simetría se reconoce en los conceptos relativos a la variación de valores de una magnitud —tratados implícitamente— que se ubican en la parte superior central de la estructura temática, e incluso en los nexos entre los temas reseñados.

Esta simetría no se advierte en la estructura presentada a través de los cinco apartados que configuran el capítulo. En aquella, tal vez logra advertirse cómo el tema de funciones precede y —en cierto sentido— estructura las ideas de variación directamente e inversamente proporcional y cómo en cada uno de éstas existe una manera de calcular valores.

La estructura temática resultante (presentada en la figura 4-7) nos permite también advertir el tratamiento implícito que se hace de las magnitudes correspondientes y las variaciones entre éstas; salvo el caso de la variación inversa, todos los demás conceptos implicados a este respecto aparecen tratados de manera tácita o no son objeto de estudio en el texto. Igualmente nos permite reconocer que estos temas no están vinculados con las variaciones directa e inversamente proporcionales, lo cual no deja de sorprendernos pues la explicitación de estos nexos daría sentido al tratamiento de las magnitudes correspondientes y las variaciones relativas entre éstas, en el marco de la proporcionalidad.

188



Finalmente, al parecer, los temas de razón y proporción entre números y entre valores de magnitudes han sido objeto de estudio de un curso anterior, ya que en este capítulo se hace un uso de éstos sin que haya una referencia a su tratamiento conceptual. 4.2.2.5 LOGROS MATEMÁTICOS. SÉPTIMO GRADO Como lo reseñamos arriba, el Capítulo seis: Sistemas analíticos de este texto escolar de matemáticas, aborda el estudio de la proporción y la proporcionalidad a través de once lecciones (Lección 43 a Lección 53).

En la primera lección (Lección 43: Actividad previa) se proponen unas actividades a través de las cuales si bien no se presenta explícitamente concepto matemático alguno, sí se hace necesario el conocimiento de múltiples conceptos ligados al estudio de la razón, la proporción y la proporcionalidad, en la solución de las mismas.

En la siguiente lección (Lección 44: Razón entre magnitudes y sus aplicaciones) se define explícitamente el concepto de razón de dos números e implícitamente el de razón entre valores de una magnitud y el de razón inversa.

En la Lección 45: Proporciones, a través de la idea (no definida de razón equivalente y de igualdad entre razones) se presenta el concepto de proporción, se nominan los términos de una razón y de una proporción y se enuncia la propiedad fundamental de las proporciones. Adicionalmente, se hace uso (sin definición explícita ni tácita) de la cuarta y media proporcional.

Enseguida, en la Lección 46: Magnitudes directamente correlacionadas y directamente proporcionales, los autores definen el concepto de magnitudes directamente correlacionadas; posteriormente definen magnitudes directamente proporcionales y describen una recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas cartesianas como la representación gráfica de estas últimas. Universidad del Valle • IEP • Magister en Educación–- Énfasis en Educación Matemática

189


La Lección 47: Problemas sobre magnitudes directamente proporcionales, incluye una caracterización de los problemas de tres simple directa y una descripción de cómo solucionarlos a través de establecer una proporción y determinar la cuarta proporcional de ésta.

En la Lección 48: Porcentajes y aplicaciones, inicialmente los autores identifican los porcentajes con razones de consecuente cien, para luego presentar los porcentajes como un caso particular de magnitudes directamente proporcionales.

En la séptima lección (Lección 49: Repartos proporcionales) se presenta a través de un ejemplo la manera de solucionar una situación que involucra un reparto proporcional, pero no hay definición explícita ni tácita de éste.

La Lección 50: Magnitudes inversamente proporcionales, inicia con la definición de magnitudes inversamente correlacionadas, seguida de la de magnitudes inversamente proporcionales y de la descripción de una hipérbola como su representación gráfica. A continuación se definen los problemas de regla de tres simple inversa y se exhibe una forma de resolverlos.

La novena lección (Lección 51: Regla de tres compuesta) incluye una definición de los problemas de regla de tres compuesta y una descripción de cómo solucionarlos.

La penúltima lección (Lección 52: Interés simple) presenta las cuatro magnitudes (capital, interés, tasa de interés o rata y tiempo) que intervienen en los problemas de interés simple, los cuales son descritos como una aplicación de la regla de tres compuesta, que se solucionan a través de la aplicación de una fórmula.

190



La última lección (Lección 53: Trabajo complementario) no presenta explícitamente un concepto o idea matemático, sino que más bien pretende proponer un trabajo de síntesis del capítulo.

Antes de presentar la estructura temática del capítulo objeto de estudio, hagamos dos comentarios respecto de las lecciones reseñadas. En primer lugar, nos llama la atención que los títulos de la primera y última lección no correspondan a temas matemáticos, sino a actividades metodológicas; consideramos que ello pone de manifiesto la existencia de una cierta ambivalencia o ambigüedad en la estructuración del capítulo. En segundo lugar, el extenso tratamiento que se le da a la proporcionalidad directa y a sus temas relativos (cuatro lecciones) en comparación con la proporcionalidad inversa (una lección), es un aspecto relevante de la estructura del capítulo que se revela en la anterior descripción.

Ahora sí, presentemos a través de la figura 4-8 la estructura temática del Capítulo seis: Sistemas analíticos. Esta estructura contempla los temas tratados en las lecciones y no permite reconocer cuáles han sido objeto de estudio de qué lección. Aquí también mantenemos las convenciones de las anteriores figuras.


191


d etermina

es un caso p articular de

Razón

imp lica

Razo nes equ ivalentes

Razón in versa

Porcentajes

Igualdad de razon es

representa Pro po rción

implica

Razó n de valo res d e una mag nitud

se requiere p ara Razó n de dos n úmeros d el tip o

Razón con stante en tre mag nitud es co rresp on dien tes se usa para definir

A um ento s y /o d is minu cion es relativ as

se establece a través de

cumple

p erm ite

Capital

Tiemp o

d etermina

Calcular la media p rop orcio nal Calcular la cuarta proporcion al

H ipérbo la

tiene como represen tació n

M agnitudes inv ersamen te pro porcio nales

se usa p ara definir

M ag nitud es inv ersamen te correlacio nad as

Propiedad fundamen tal de la p rop orció n


relaciona

Interés simp le

Pro blemas de regla de tres simple inv ers a

Producto con stante en tre m agnitu des correspond ientes

se requiere V ariación de para estab lecer u na magnitud

se exige p ara

V ariación relativa entre magn itu des correspo ndientes

Pro blemas de regla d e tres compues ta es un caso particular de Interés

se usa com o criterio para d eterminar

Productos de un nú mero p or m agn itu des relativas

Co rrespon den cia entre mag nitudes

exige la existencia de se exig e para

Pro blemas de regla d e tres simple d irecta

Pro po rcionalidad comp ues ta

d etermin ados p or

Problemas de rep arto s proporcion ales directos

M agnitudes correlacionadas directamente

determina

determin ado s po r

se usa p ara definir

M agnitudes directamente pro porcion ales

Línea recta

tiene como represen tació n

se resu elven a través de

Tasa de in terés


192

es un caso particular de

implica

figura 4-8 Estructura temática del capítulo seis: Sistemas analíticos

A través de la construcción de esta estructura temática pudimos advertir algunos

hechos que llaman nuestra atención.


En primer lugar, pudimos identificar al menos cuatro bloques temáticos, conectados de manera muy débil a través de conceptos o temas de tratamiento intuitivo, o sin conexión identificable. Un primer bloque se relaciona con las ideas de razón y proporción, otro lo constituye el concepto de magnitudes directamente proporcionales y sus temas relacionados, en un tercer bloque podemos ubicar el concepto de magnitudes inversamente proporcionales y sus escasos temas relativos, y en el cuarto ubicamos a la proporcionalidad compuesta (sin definición explícita) y sus temas relacionados.

En segundo lugar, pudimos advertir que el número de conceptos definidos y tratados explícitamente es muy reducido, comparado con el número de temas tratados de manera intuitiva.

En tercer lugar, nos sorprende que algunos de los temas tratados intuitivamente son fundamentales en la definición de conceptos centrales. Por ejemplo, los conceptos de razón constante entre magnitudes correspondientes y producto constante entre magnitudes correspondientes —básicos en la definición de magnitudes directa e inversamente proporcionales, respectivamente— son tratados de manera intuitiva y se apoyan en otros conceptos no definidos. Igualmente, las ideas de equivalencia e igualdad entre razones no exhiben definiciones que soporten el concepto de proporción, ampliamente utilizado en el desarrollo de conceptos y problemas ligados a las magnitudes directa o inversamente proporcionales. Además, la idea de producto de un número por una magnitud no se define ni implícita ni explícitamente, pero si se utiliza como criterio para determinar cuando las magnitudes son directa o inversamente proporcionales.


193


4.3 MIRADA A ALGUNOS TEMAS CENTRALES Intentando profundizar en el tratamiento de temas o conceptos matemáticos centrales en el estudio de la proporción y la proporcionalidad, analizamos la manera como los textos escolares objeto de estudio abordan cuatro de estos temas, a saber: razón, proporción, magnitudes directamente proporcionales y magnitudes inversamente proporcionales.

4.3.1 Razón Reportemos inicialmente las definiciones de razón presentadas explícitamente en los textos.

Serie Matemática Progresiva. Aritmética y Geometría 7 Se llama razón entre dos números a y b (con b≠0), al cociente de la división de a por b. Londoño y Bedoya, 1988, p. 229 Dimensión Matemática 7 Se llama razón entre dos números a y b (con b≠0), al cociente de la división de a por b. … … Adicionalmente, puede entenderse la razón como un operador multiplicativo que al ser aplicado sobre el consecuente, produce el antecedente. … … Una razón es una comparación entre dos magnitudes: toda fracción es una razón, pero no toda razón es una fracción. Londoño y otros, 1993, pp. 236–237

194



Procesos Matemáticos 7 Una razón entre dos números racionales a y b, b≠0, es el cociente indicado entre a y b. Dpto. Editorial de Santillana S.A., 1995, p. 100 Logros Matemáticos. Séptimo grado Se llama razón de dos números a la división indicada entre ellos. Contreras y otros, 1997, p. 251 Como puede observarse, no reportamos definición alguna del texto “Matemáticas McGraw–Hill”; éste es el único de los cinco textos que, en el contexto de la proporcionalidad en el grado séptimo, no define el concepto de razón. Igualmente puede advertirse que un mismo texto expone tres definiciones diferentes de la razón.

El análisis de estas definiciones, así como del tratamiento global de la noción de razón, nos conduce a la identificación de al menos cuatro hechos relevantes.

Resaltemos, en primer lugar, un elemento común a las definiciones reportadas: la idea de división está ligada a la de razón. Sin embargo, dos de los textos (“Serie Matemática Progresiva. Aritmética y Geometría 7” y “Dimensión Matemática 7”) referencian la razón como el cociente de la división, es decir, el resultado de la división; en tanto que los otros dos (“Procesos Matemáticos 7”y “Logros Matemáticos. Séptimo grado”) la reportan como la división indicada, es decir, la división sin realizar. Estas dos miradas son significativamente diferentes; evidentemente, la razón —en tanto división realizada o como operador— es un elemento de un conjunto numérico, es decir un número que se establecería precisando los dos conjuntos donde dividendo (antecedente) y divisor (consecuente) tomen valores, respectivamente; mientras que la razón —en tanto división indicada— se puede considerar como un elemento de un producto cartesiano de los conjuntos donde dividendo y divisor tomen respectivamente valores. Universidad del Valle • IEP • Magister en Educación–- Énfasis en Educación Matemática

195


Ahora bien, en cada uno de los cuatro textos encontramos inconsistencias con la respectiva definición propuesta. Veamos: En el texto “Serie Matemática Progresiva. Aritmética y Geometría 7” se presentan algunos ejemplos previos a la definición, a partir de los cuales se colige ésta; en aquellos se mencionan dos “números” y no precisamente uno, como es de esperarse; reseñémoslos: “La razón entre el número de personas que votan en Colombia es 6 a 15”, “La razón del número de niños enfermos entre el número de niños es de 25 a 70”, “La razón de mujeres al número de varones en el colegio es de 3 a 5”, “La razón entre el número de profesores y estudiantes en el colegio es de 1 a 50” (Londoño y Bedoya, 1988, p. 229). Igualmente el primer ejemplo, posterior a la definición, involucra dos números, pues aunque en la afirmación “el rendimiento del automóvil es 30 kilómetros por galón de gasolina” (Ibid, p. 230) sólo aparece explícitamente el número ‘treinta’, implícitamente aparece el número ‘uno’, para referirse a ‘un galón de gasolina’; en este sentido, el rendimiento no es el cociente de la división, sino un cociente indicado, lo cual riñe con la definición dada en el texto.

También en el texto “Dimensión Matemática 7” se presentan algunos ejemplos previos a la definición, en los cuales se mencionan dos “números” y no uno; reseñémoslos: “La razón entre el número de personas que votan en el país es 6 a 13”, “La razón del número de zurdos al número de personas interrogadas es 4 a 100”, “La razón de mujeres universitarias al número de universitarios es 26 a 100” (Londoño y otros, 1993, p. 236). Igualmente el primer ejemplo, posterior a la definición, involucra dos números, dado que el resultado “la planta tiene un rendimiento de 20 horas de trabajo por galón de gasolina” (Ibid, p. 237) si bien explicita el número ‘veinte’, deja implícito el número ‘uno’, para referirse a ‘un galón de gasolina’; en este sentido, el rendimiento no es el cociente de la división, sino un cociente indicado, lo cual de igual forma riñe con la definición dada en el texto.

196



Si bien en el texto “Procesos Matemáticos 7” el ejemplo que aparece en el apartado que se refiere a la idea de razón (Dpto. Editorial de Santillana S.A., 1995, p. 100) involucra dos números, más adelante, en el apartado que aborda el estudio de las magnitudes directamente correlacionadas, aparece la interpretación de la razón como un número, lo cual se opone a la definición planteada en éste. En efecto, los autores afirman que “Dos magnitudes que están directamente correlacionadas no aumentan en la misma razón” (Ibid, p. 103), e ilustran esta afirmación así: “Por ejemplo, si L es la magnitud longitud del lado del cuadrado y A la magnitud área del mismo cuadrado, entonces a mayor lado corresponde mayor área, pero a doble lado no corresponde doble área”(Ibid, p. 103); la palabra ‘doble’ utilizada en el ejemplo significa el número ‘dos’ y se refiere a la razón entre dos lados —o entre dos áreas— , lo cual rivaliza con la idea planteada en la definición de razón.

En el caso del texto “Logros Matemáticos. Séptimo grado” la inconsistencia se encuentra, entre otras, en dos de los tres ejemplos que suceden a la definición. Ésta se identifica en las expresiones: “la razón entre el perímetro y el lado es

9 o 3, lo cual 3

significa que el perímetro es tres veces el lado” y “la razón entre el perímetro del cuadrado de la figura 2 y su lado es

10 , o 4, lo cual significa que el perímetro es 2.5

cuatro veces el lado” (Contreras y otros, 1997, p. 252). Los números ‘tres’ y ‘cuatro’ están representando razones, pero no son cocientes indicados como se indica en la definición.

En segundo lugar, advertimos que no siempre es explícito el conjunto al cual pertenecen los números implicados en la razón. Sólo en uno de los cuatro casos (“Procesos Matemáticos 7”) se establece explícitamente el conjunto de los racionales, como conjunto al cual pertenecen antecedente y consecuente, excluyendo para este último el valor de cero; en otro de los textos (“Dimensión Matemática 7”), al intentar establecer una relación entre las fracciones y las razones, se presenta implícitamente Universidad del Valle • IEP • Magister en Educación–- Énfasis en Educación Matemática

197


la pertenencia al conjunto de los racionales de antecedente y consecuente. Adicionalmente, señalamos que en tres de los cuatro textos se excluye explícitamente la posibilidad de razones con consecuente cero, mientras que en el otro la exclusión es implícita. Esta exclusión parece justificarse en la asociación de la razón con la división; en efecto no sería posible considerar una razón como cociente, si el consecuente es cero, pues no existiría tal cociente.

A pesar de los esfuerzos de precisar los conjuntos a los que pertenecen antecedente y consecuente, un lector puede llegar a inferir que las razones están formadas casi exclusivamente por números enteros positivos. Una inferencia semejante se logra al estudiar las situaciones presentadas en los textos (ejemplos, ejercicios, problemas), las

cuales

vinculan

prioritariamente

números

enteros

positivos

y

—

excepcionalmente— números racionales positivos; dejando así de lado el estudio de situaciones en los que se vinculen números negativos.

En el texto “Serie Matemática Progresiva. Aritmética y Geometría 7” identificamos en el apartado de estudio de las razones y las proporciones, algunos pocos ejercicios, una explicación y no más de tres ejemplos, en donde se utiliza un entero negativo o un racional como antecedente o como consecuente. Sin embargo, salvo por dos tablas numéricas vinculadas a sendos ejercicios, no encontramos situación alguna que implicara enteros negativos o racionales en el estudio de la variación proporcional; igualmente salvo tres situaciones particulares que vinculaban valores decimales o racionales positivos, las situaciones utilizadas en el apartado de aplicaciones de la proporcionalidad, utilizan razones compuestas por enteros positivos. Los otros tres textos exhiben una situación bastante semejante a la descrita antes, es decir contienen una gran cantidad de situaciones —por no decir la mayoría de situaciones— con números enteros positivos.

198



Ahora bien, a pesar de la falta de precisión acerca del conjunto al cual pertenecen los números implicados en la razón y la insistencia en los números enteros positivos, en las definiciones es muy claro que la razón involucra dos números y que excepto la frase incluida en la tercera definición del texto “Dimensión Matemática 7”, ninguna de las otras definiciones considera la posibilidad de tener razones entre magnitudes, o razones entre medidas de magnitudes. Esto contrasta con lo identificado en el análisis de las definiciones implícitas acerca de la razón —contenidas en los textos a través de los ejemplos y los ejercicios—, esto es: en los textos se utilizan razones que no corresponden a divisiones entre números. Algunas de éstas se presentan como divisiones, indicadas o realizadas, entre medidas de magnitudes —no homogéneas— que se interpretan como nuevas magnitudes.8 Otras razones se presentan como divisiones entre magnitudes —homogéneas— que se interpretan o bien como un número o como una magnitud.

De aquellas razones —de magnitudes no homogéneas— que representan nuevas magnitudes, los textos presentan, por ejemplo: •

el rendimiento de un automóvil, asumido como la razón entre la distancia recorrida y la cantidad de combustible consumido (Londoño y Bedoya, 1988, p. 230), (Dpto. Editorial de Santillana S.A., 1995, p. 100);

•

la densidad de población, asumida como la razón entre el número de habitantes y el área que habitan (Londoño y Bedoya, 1988, p. 230), (Londoño y otros, 1993, p. 238);

•

la velocidad, considerada como la razón entre la distancia recorrida y el tiempo empleado (Londoño y Bedoya, 1988, p. 243), (Londoño y otros, 1993, p. 246);

•

el salario, definido como la razón del dinero devengado en un determinado tiempo (Londoño y Bedoya, 1988, p. 250); y,

8

En el lenguaje de Schwartz (1988) a éstas razones de les describe como cantidades intensivas.


199


•

la densidad, asumida como la relación entre la masa y el volumen de un cuerpo (Londoño y otros, 1993, p. 266).

De aquellas razones —de magnitudes homogéneas— que representan nuevas magnitudes, los textos presentan, por ejemplo: •

la morbilidad, considerada como la razón del número de enfermos entre el número de habitantes (Londoño y Bedoya, 1988, p. 230), (Londoño y otros, 1993, p. 237); y,

•

la escala, asumida como la razón entre la longitud en el dibujo y la longitud en el terreno (Londoño y Bedoya, 1988, p. 230), (Londoño y otros, 1993, p. 238).

De aquellas razones —de magnitudes homogéneas— que representan un número, los textos presentan, por ejemplo: •

la razón entre dos longitudes (Londoño y Bedoya, 1988, p. 237), (Londoño y otros, 1993, pp. 246, 253), (Contreras y otros, 1997, pp. 251, 252, 253, 257, 261, 267);

•

la razón entre dos precios de un artículo en dos momentos diferentes (Londoño y Bedoya, 1988, p. 274), (Dpto. Editorial de Santillana S.A., 1995, p. 114); y,

•

la razón entre los pesos de dos cantidades diferentes de un producto (Londoño y Bedoya, 1988, p. 273), (Dpto. Editorial de Santillana S.A., 1995, p. 128).

El hecho de que los autores utilicen, sin definir explícitamente, razones que no corresponden a divisiones entre números, es muy importante, pues con este tipo de razones se desarrolla la mayor parte del trabajo de la proporcionalidad. En otras palabras, se utiliza un concepto de razón no definido y —en cierta medida— se define un concepto no muy utilizado.

En tercer lugar, si bien los textos trabajan implícitamente con razones entre magnitudes, aunque en las definiciones han planteado que éstas se establecen entre 200



números, no contienen alusión alguna al tipo de magnitudes involucradas en la razón. No es nada difícil identificar que este no es un hecho relevante para los autores de los textos, ya que en un mismo texto aparecen razones entre dos magnitudes discretas, entre dos magnitudes continuas, y —por supuesto— se da el caso también de razones configuradas por una magnitud discreta y una continua, o viceversa. Igualmente, encontramos prioritariamente magnitudes absolutas.

Este hecho, aparentemente poco considerable para los autores, es de suma importancia tanto para la coherencia del discurso matemático contenido en los textos, como para las ideas que a través de ellos se transmite. Como un ejemplo de esta aserción podemos citar que en el texto “Procesos Matemáticos 7” se plantea una pregunta de selección múltiple en la cual hay que identificar la gráfica de una correlación directa y la opción correcta muestra una semirecta en el primer cuadrante de vértice en el origen de coordenadas (p. 109); previa a esta pregunta sólo se han presentado gráficas que involucran magnitudes absolutas y, consecuentemente, gráficas en el primer cuadrante. Consideramos que este tipo de información genera la idea errónea de que la proporcionalidad directa sólo se podría representar gráficamente a través de semirectas de pendiente positiva. También podemos citar, del mismo texto, cómo se traza una curva continua para representar gráficamente la relación de proporcionalidad inversa entre el número de canecas (magnitud absoluta discreta) y la cantidad de litros que representa la capacidad de éstas (magnitud absoluta contínua) (p. 127); igualmente podemos citar el caso de la ‘recta’ utilizada en el texto “Logros Matemáticos. Séptimo grado” para representar la relación ente el número de cuadernos y el costo de los mismos (p. 260), o las curvas contínuas que relacionan dos magnitudes discretas en el texto “Matemáticas Mc–Graw Hill” (pp. 118, 134). Esta situación pone al descubierto la ausencia de una seria reflexión sobre las limitaciones y/o restricciones que impone el tipo de magnitudes implicadas en la representación gráfica, conduciendo probablemente a la identificación errónea de la


201


continuidad

como

característica

implícita

e

inherente

a

las

variaciones

proporcionales.

Finalmente, y en cuarto lugar, queremos presentar algunas observaciones con respecto al tipo de notación que se utiliza para el concepto de razón. En todos los cuatro textos se plantea explícitamente —cuando se introduce la notación (Londoño y Bedoya, 1988, p. 230; Londoño y Bedoya, 1993, p. 236; Dpto. Editorial de Santillana S.A., 1995, p. 100; Contreras y otros, 1997, p. 251)— el uso de una simbología que implica dos números y una línea o vínculo (v.g.,

6 ), o dos números y dos puntos 15

(v.g., 6:15). Ahora bien, cuando la simbología implica dos números y un vínculo, es válido afirmar que desde el punto de vista de la notación no se establece diferencia alguna entre un racional y una razón. Esta afirmación se soporta en la conjugación de dos hechos; de un lado, la disposición de los tres elementos (números y vínculo) es la misma utilizada para el trabajo con números fraccionarios o con racionales, de otro lado, la mayoría de los números utilizados en las razones son enteros. La notación que implica el uso de los dos puntos sólo se enuncia como una posible notación, pero salvo una aparición esporádica, no logramos identificar que se usara posteriormente en ninguno de los textos; de lo cual se sigue que de las notaciones la prioritariamente utilizada es aquella que implica el uso de dos números y el vínculo entre ellos.

Sin embargo, en los cuatro textos encontramos el uso de diversas notaciones que no se reportan explícitamente. Una de ellas, ampliamente utilizada es la que presenta dos medidas de cantidad de magnitud separadas por un vínculo (v.g.,

180 km ) (ver 6 galones

Londoño y Bedoya, 1988, pp. 230, 244, 246; Londoño y Bedoya, 1993, pp. 237, 259, 260, 277, 278, 281; Dpto. Editorial de Santillana S.A., 1995, pp. 100, 132; Contreras y otros, 1997, p. 267). Igualmente, e implícitamente equivalente a la anterior, se utiliza una notación que vincula un número y dos ‘unidades’ de magnitudes (v.g.,

202



30

km ) (ver Londoño y Bedoya, 1988, pp. 230, 251; Londoño y Bedoya, 1993, pp. galón

237, 246; Dpto. Editorial de Santillana S.A., 1995, p. 100). También se da el caso de una notación que vincula dos razones, cada una escrita con la notación reportada inmediatamente antes (v.g.,

60 km h ) (ver Londoño y Bedoya, 1988, p. 246). km 70 h

Consideramos que el número de ejemplos que se podrían citar —de estos tipos de notaciones— aumentaría vertiginosamente, si las situaciones que involucran medidas de cantidad de magnitud se trataran y presentaran atendiendo a las ‘unidades’ de magnitud, es decir, si en el planteamiento y solución de estas situaciones se trabajara no sólo con el número de la medida (v.g., 30), sino con la medida (v.g., 30 metros). A este respecto podemos señalar que en los cuatro textos el tratamiento de las situaciones que implican magnitudes, se hace mayoritariamente con los números y no con las medidas.

Igualmente, hemos podido reconocer que hay un uso abundante de razones expresadas a través de palabras o expresiones verbales o textuales. En este sentido, hemos identificado que previo al establecimiento de la notación para las razones, se ha utilizado la palabra ‘a’ o las palabras ‘es a’ para asociar los números (v.g., 6 es a 15, o 6 a 15). Adicionalmente, hemos advertido que luego de la aparición de la notación aparece un sinnúmero de palabras o expresiones que hacen referencia —de manera no muy explícita— a una razón; algunas de ellas, que parecen cumplir el papel de vínculo son ‘por’, ‘por cada’, ‘de cada’ (v.g., 30 kilómetros por galón, $1500 por década, 100 litros por minuto, 20 por ciento, 3 mujeres por cada 5 hombres, un litro de agua por cada cinco litros de leche, 5 niños de cada 14); otras no cumplen solamente el papel de vínculo sino que contienen uno de los datos de la razón (v.g., 6 horas diarias, 8 litros diarios, 2,5% mensual, 25% anual).

De otra parte, encontramos que en algunos apartados de los textos, en lugar de números en la notación de las razones, se utilizan letras que representan números Universidad del Valle • IEP • Magister en Educación–- Énfasis en Educación Matemática

203


generalizados (v.g.,

a x [ ] ), o letras y espacios que representan incógnitas (v.g., , ), y 60 b

o letras que representan valores de cantidades de magnitudes e incluso las magnitudes mismas (v.g.,

s ); sin embargo, en ninguno de los dos primeros casos se señala el t

conjunto numérico al cual pertenecen los valores numéricos representados por la letra o los posibles valores de las incógnitas. De la misma manera encontramos razones en las que se vinculan palabras (v.g.,

diagonal ). lado

En suma, las quince notaciones diferentes antes reportadas nos permiten afirmar que los textos utilizan una gran variedad de notaciones de la razón, hecho que no es presentado en ninguno de ellos de manera explícita, dejando al lector la tarea de identificarlas y de apreciar su relativa equivalencia.

4.3.2 Proporción Reportemos inicialmente las definiciones de proporción presentadas explícitamente en los textos.

Serie Matemática Progresiva. Aritmética y Geometría 7 La igualdad de dos razones se llama proporción. Londoño y Bedoya, 1988, p. 233 Dimensión Matemática 7 Se denomina proporción a la igualdad de dos razones. Londoño y otros, 1993, p. 240

204



Procesos Matemáticos 7 Una proporción es la igualdad entre dos razones. Dpto. Editorial de Santillana S.A., 1995, p. 101 Logros Matemáticos. Séptimo grado Una proporción representa la igualdad entre dos razones equivalentes. Contreras y otros, 1997, p. 255 Como puede observarse, no reportamos definición alguna del texto “Matemáticas McGraw–Hill”; éste es el único de los cinco textos que, en el contexto de la proporcionalidad en el grado séptimo, no define el concepto de proporción.

El análisis de estas definiciones, así como del tratamiento global de la noción de proporción en los textos, nos conduce a la identificación de al menos tres hechos relevantes.

En primer lugar, notamos cómo se utilizan respectivamente las expresiones ‘se llama’, ‘se denomina’, ‘es’ y ‘representa’ en cada una de las definiciones. Desde nuestra perspectiva observamos que las cuatro definiciones son de carácter nominal y que este carácter es evidente en las dos primeras, pero no en la tercera y la cuarta.

En efecto, las dos primeras definiciones tienen un carácter nominal tácito, en el sentido que presentan un nombre para un objeto matemático particular, en este caso, para la igualdad de dos razones; en otras palabras, éstas están presentando la palabra ‘proporción’ para nombrar a la igualdad de dos razones.

El carácter nominal en la definición “Una proporción es la igualdad entre dos razones” es implícito y un tanto difuso; en nuestro estudio, inicialmente, a través de esta definición reconocimos la existencia de dos objetos matemáticos (i.e., la proporción y la igualdad entre dos razones), que por medio de la definición —y Universidad del Valle • IEP • Magister en Educación–- Énfasis en Educación Matemática

205


particularmente de la palabra ‘es’— procuraban hacerse uno presentándolos como idénticos; sin embargo, el recordar una observación hecha en el mismo texto para los conceptos de razón y fracción,9 nos hizo pensar que para lograrse la identidad faltaría expresar la afirmación recíproca, es decir, “la igualdad entre razones es una proporción”. Además, consideramos que si la proporción y la igualdad entre razones se quisieran hacer idénticas sería necesario establecer previamente qué es cada una, para luego mostrar que no tienen diferencias, lo cual no se hace en el texto. De lo anterior seguimos que esta definición es también nominal y que, en consecuencia, sólo introduce un nombre nuevo (proporción) para algo supuestamente conocido (igualdad entre razones).

En el estudio de la cuarta definición, es decir “Una proporción representa la igualdad entre dos razones equivalentes”, inicialmente advertimos que el uso de la palabra ‘representa’, excluye el carácter nominal de las otras tres definiciones y conlleva la existencia de dos objetos: uno que representa (i.e., la proporción) y otro representado (i.e., la igualdad entre dos razones). Ahora bien, si consideramos que lo representado y lo que representa son en esencia diferentes pero semejantes, es decir que comparten algunas características pero otras no, colegimos que la proporción y la igualdad entre dos razones no son objetos idénticos, sino más bien, dos objetos que se parecen y que uno puede representar al otro. Sin embargo, advertimos que en los términos en que se presenta esta definición no se describe suficientemente a la proporción como un objeto nuevo; además, como no está definido previamente, la definición no permite al lector saber qué y cómo es una proporción en tanto objeto matemático y cómo es que representa a la igualdad entre razones equivalentes. Por lo anterior, suponemos que ésta también es una definición nominal no tácita y aún más difusa que la tercera.

Un segundo hecho, relativamente evidente, es precisamente el que la noción de igualdad de razones está implicada y explícitamente reportada en las cuatro 9

“Toda fracción es una razón, pero no toda razón es una fracción” (Londoño y otros, 1993, p. 237).

206



definiciones. Este hecho nos remite indiscutiblemente al estudio de la presentación de la igualdad entre razones en los cuatro textos, del cual concluimos que en ninguno de ellos hay un tratamiento que permita al lector saber cuándo dos razones son iguales al margen tanto de la idea de fracciones equivalentes, como de la identificación de las razones con las fracciones; veamos.

En el texto “Serie Matemática Progresiva. Aritmética y Geometría 7”, incluso antes de abordar explícitamente la idea de razones iguales, los autores ya han incluido la igualdad entre razones en los dos ejemplos que presentan de la idea de razón; en efecto en estos ejemplos se encuentran respectivamente las expresiones 5 1 km 180 km = 30 y = (Londoño y Bedoya, 1988, p. 230) que no son galón 500 100 6 galones explicadas de manera alguna, simplemente se presentan. En esta misma sección, estos autores proponen como ejercicio escribir fracciones equivalentes a una fracción dada (Ibid, p.231). Luego, en el apartado 10.2 Razones iguales. Propiedad fundamental, se valen de dos ejemplos para enunciar la igualdad entre razones; estos ejemplos son: “Decir que hay 3 mujeres en el colegio por cada 5 hombre, equivale a afirmar que hay 6 mujeres por cada 10 hombres” y “En forma semejante, decir que 25 niños de cada 70 están enfermos equivale a afirmar que 5 niños de cada 14 están enfermos”. Como puede verificarse, estos ejemplos no establecen explícitamente condición alguna que permita al lector saber cuándo dos razones son iguales; sencillamente se presentan dos parejas de razones iguales. Consideramos que el único recurso que le queda al lector es recurrir a la idea de fracciones equivalentes, sugerida implícitamente a través del ejercicio enunciado arriba, con lo cual identificaría tanto la igualdad de razones con la equivalencia de fracciones, como las razones con las fracciones.

La situación en el texto “Dimensión Matemática 7” es en esencia idéntica a la expuesta antes. En este texto también previo al estudio de la igualdad entre razones se ha hecho uso —sin justificación ni explicación— de ésta en los ejemplos 1, 2 y 3


207


(Londoño y otros, 1993, p. 237); además, el lector debe utilizarla para resolver los ejercicios 14 y 15 (Ibid, p. 238), que anteceden al apartado que aborda la igualdad de razones. En este conjunto de ejercicios los autores proponen hallar fracciones equivalentes a una fracción dada. En consecuencia, en este texto no hay información que le permitan a un lector aprendiz saber cuándo dos razones son iguales, limitándose tal vez a identificar equivalencia de fracciones con igualdad de razones.

La información que presenta el texto “Procesos Matemáticos 7” presenta la misma situación de los dos textos anteriormente citados, es decir, se utiliza la igualdad de razones antes de definirla y se intenta definir a través de un ejemplo que presenta razones iguales. Sin embargo, en éste no aparece la idea de fracciones equivalentes precediendo a la idea de razones equivalentes.

El texto “Logros Matemáticos. Séptimo grado” identifica, a través de unos ejercicios presentados bajo el título Conocimiento previo y una conclusión expuesta bajo el título Conocimientos básicos (Contreras y otros, 1997, p. 255), la idea de fracciones equivalentes (o de igual cociente exacto) con la de razones equivalentes.

Antes de enunciar el tercer hecho respecto de la proporción, creemos conveniente señalar que el carácter nominal de las definiciones (reportado como un primer hecho), aunado a la falta de precisión en la definición de la igualdad entre razones (reportado como un segundo hecho), hacen que las proporciones no logren un nivel de definición que le permitan al lector entenderlas más allá de equivalencia entre fracciones. En otras palabras, la proporción se reduce a un nuevo nombre para dos fracciones equivalentes y, en consecuencia, las razones se asumen como un nuevo nombre para las fracciones. A este respecto nos cuestionamos acerca de si es necesario que los textos inviertan tantas páginas relacionadas con la razón y la proporción, y los profesores y estudiantes deban hacer tantos esfuerzos para introducir sólo dos nombres nuevos para dos objetos ya conocidos. Definitivamente, creemos que no.

208



Un tercer hecho, respecto del tratamiento de las proporciones se relaciona con la aparición en los cuatro textos de la propiedad fundamental de éstas. En efecto, en los cuatro textos encontramos el mismo título (i.e., “Propiedad fundamental de las proporciones”), al menos tres enunciado diferentes —y no siempre equivalentes— de tal propiedad y ninguna demostración —aunque sí verificaciones parciales— de ésta.

Para verificar la validez de nuestra afirmación respecto de la no equivalencia de los enunciados, hemos decidido presentarlos como figuran en los textos.

Serie Matemática Progresiva. Aritmética y Geometría 7 En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios. Simbólicamente: a c Si = , entonces a ⋅ d = b ⋅ c b d Londoño y Bedoya, 1988, p. 234 Dimensión Matemática 7 En toda proporción, el producto de medios es igual al producto de extremos. a c = , si y sólo si a ⋅ d = b ⋅ c b d Londoño y otros, 1993, p. 241 Procesos Matemáticos 7 Si

a c = entonces a × d = b × c b d Dpto. Editorial de Santillana S.A., 1995, p. 101 Logros Matemáticos. Séptimo grado

En toda proporción, el producto de medios es igual al producto de extremos. Contreras y otros, 1997, p. 256 Universidad del Valle • IEP • Magister en Educación–- Énfasis en Educación Matemática

209


Al examinar los tres enunciados verbales advertimos que son textualmente equivalentes, pues si bien se pueden reconocer diferencias en el orden de las expresiones verbales, no se identifican significados diferentes. Sin embargo, no es cierto que esta equivalencia se dé entre los enunciados simbólicos; en ellos se advierten dos estructuras lógicas diferentes, a saber: p⇒q y p⇔q. Esta observación nos permite percibir que entre los textos no hay uniformidad frente a la traducción lógica de los enunciados textuales que enuncian la propiedad. Adicionalmente, nos pone en alerta frente a las consecuencias de asumir una u otra estructura lógica. Consideramos que al enunciar la propiedad bajo la estructura p⇔q, y no bajo la forma p⇒q, se cuenta con una herramienta para construir proporciones a partir de una igualdad de productos. Este hecho parece no ser advertido por los autores del texto “Serie Matemática Progresiva. Aritmética y Geometría 7” ya que en el segundo ejemplo (Londoño y Bedoya, p. 234) que aparece luego de enunciar la propiedad bajo la estructura p⇒q, presenta la manera de formar ocho proporciones a partir de la igualdad de dos productos.

De otra parte, dos de los tres textos que presentan la expresión simbólica de la propiedad, utilizan la implicación p⇒q, para presentar y sustentar la estrategia procedimental de calcular la cuarta proporcional (i.e., un término desconocido de una proporción); el texto “Procesos Matemáticos 7” propone ejemplos del uso de esta estrategia antes de enunciar la propiedad, en tanto que el texto “Logros Matemáticos. Séptimo grado” no hace presentación alguna de dicha estrategia, aunque sí propone ejercicios que requieren su uso.

Finalmente, reiteramos que en ninguno de los textos aparece argumentación alguna acerca de la validez de la propiedad más allá de la presentación de algunos ejemplos que anteceden y/o suceden al enunciado de la propiedad.

210



4.3.3 Magnitudes directamente proporcionales Como lo hemos hecho en los dos anteriores apartados, reportemos las definiciones con las cuales se presenta la proporcionalidad directa en los textos.

Serie Matemática Progresiva. Aritmética y Geometría 7 Decimos que dos magnitudes varían en forma directamente proporcional cuando la razón de sus medidas es constante. Es decir: Si x es la medida de la magnitud P y y es la medida de la magnitud Q, x = k , donde k entonces P y Q son directamente proporcionales si y recibe el nombre de constante de proporcionalidad. Londoño y Bedoya, 1988, p. 243 Dimensión Matemática 7 Dos magnitudes están en proporción directa o son directamente proporcionales si están correlacionadas directamente y su razón permanece constante. Londoño y otros, 1993, p. 245 Procesos Matemáticos 7 Dos magnitudes son directamente proporcionales si están relacionadas de tal forma que al multiplicar o dividir el valor de una de ellas por un número, el valor correspondiente de la otra viene multiplicado o dividido por dicho número. Dpto. Editorial de Santillana S.A., 1995, p. 104


211


Matemáticas McGraw–Hill Dos magnitudes x, y son directamente proporcionales, si

f ( x) =k o x

y = k , (x≠0) en que k es una constante, y recibe el nombre de constante x de proporcionalidad. También puede definirse como: y=kx o f(x)=kx. Beristain y Campos, 1997, p. 114 Logros Matemáticos. Séptimo grado Dos magnitudes son directamente proporcionales si son directamente correlacionadas y, además, tienen cociente constante. Contreras y otros, 1997, p. 259 Como puede observarse, para este tema los cinco textos estudiados contemplan definiciones explícitas relativas a la proporcionalidad directa. Frente a estas definiciones hemos identificado tres hechos relevantes; el primero se refiere a las diferencias entre las definiciones, en tanto que el segundo alude al marco de ejemplificación utilizado y el tercero al marco de ejercitación reportado. Veamos:

Un primer hecho que resulta interesante es que no todas las definiciones coinciden y que hay entre ellas más diferencias que semejanzas. Al menos cinco aspectos caracterizan las diferencias.

Si se observa detalladamente, no todas las definiciones implican el uso del concepto razón. En efecto, en la definición reportada en el texto “Procesos Matemáticos 7” no aparece ni el término ‘razón’, ni una notación o nombre que permita evocar el concepto. Sólo en las definiciones de “Serie Matemática Progresiva. Aritmética y Geometría 7” y “Dimensión Matemática 7” aparece el término ‘razón’. Por su parte, en los textos “Matemáticas McGraw–Hill” y “Logros Matemáticos. Séptimo grado”

212



si bien no aparece el término, la notación

f ( x) y = k (o = k ) y el término ‘cociente’, x x

respectivamente, podrían remitir implícitamente a una idea de razón.

Un segundo aspecto que establece diferencia es la aparición en dos de las definiciones de la condición de correlación directa entre las magnitudes. En los textos “Dimensión Matemática 7” y “Logros Matemáticos. Séptimo Grado”, previo a la definición de proporcionalidad directa, se ha hecho un breve estudio de la correlación directa, a través del cual se estable el carácter monótonamente creciente de la relación entre las magnitudes como condición que define la correlación directa. Esto conduce a que a través de la incorporación de la correlación directa en la definición de proporcionalidad directa, estos dos textos excluyan la posibilidad de existencia de magnitudes directamente proporcionales que presenten un comportamiento monótonamente decreciente. Por su parte, las definiciones de los textos “Serie Matemática Progresiva. Aritmética y Geometría 7” y “Matemáticas McGraw–Hill” al no poner restricciones al valor algebraico de la constante k, así como la definición del texto “Procesos Matemáticos 7” al no condicionar el número por el cual se multiplica o divide, dejan abierta la posibilidad de tener magnitudes directamente proporcionales con k negativa, es decir relaciones monótonamente decrecientes.

Un tercer aspecto que define diferencia entre las definiciones atiende a los elementos implicados en la razón o el cociente. En sólo una de las definiciones, de las cuatro que implican implícita o explícitamente a la razón, el cociente o razón se establece entre medidas de las magnitudes; en las tres restantes, no es transparente la interpretación que tiene que hacer el lector de la expresión ‘la razón o cociente entre magnitudes’, o de alguna expresión equivalente. El reconocimiento de esta diferencia nos permite advertir, nuevamente, la imprecisión con la que en los textos se trabajan las ideas de ‘magnitud’, ‘medida de una magnitud, ‘valor de una magnitud’ o ‘cantidad de una magnitud’; igualmente, nos permite un argumento adicional frente a


213


la necesidad de definir y trabajar explícita e intencionadamente con razones entre medidas de cantidad de magnitud, y no sólo entre números.

Un cuarto aspecto que define diferencia entre las definiciones atiende a la estructura lógica de las mismas. Si bien todas ellas tienen una estructura condicional (i.e., de la forma p⇒q), en la que la proposición q se refiere al carácter directamente proporcional de las magnitudes implicadas y la proposición p describe las condiciones que se deben cumplir, hay variaciones en la estructura interna de la proposición p. En las definiciones de los textos “Serie Matemática Progresiva. Aritmética y Geometría 7” y “Matemáticas McGraw–Hill” identificamos la estructura p⇒q con p una proposición simple, en los otros tres textos la proposición p es compuesta; en efecto, los textos “Dimensión Matemática 7” y “Logros Matemáticos. Séptimo grado” la proposición p tiene la estructura p1∧p2, mientras que en el texto “Procesos Matemáticos 7” la estructura de p es p1⇒p2.

Un quinto aspecto que caracteriza la diferencia entre las definiciones — particularmente entre la primera y las otras cuatro— es que la primera está caracterizando explícitamente, más que las dos magnitudes, la manera como éstas varían; entre tanto las otras definiciones denotan el par de magnitudes. Sin embargo, al estudiar el tratamiento que se hace de la variación en aquél texto, nos parece que esta diferencia es tan sólo nominal y no compromete un carácter conceptual.

Un segundo hecho que nos interesa reportar tiene que ver nuevamente con la estructura lógica de las definiciones. Nos atrae precisamente el hecho de que ninguna de las definiciones incluya un bicondicional en lugar de una implicación. Desde nuestra perspectiva, las definiciones —con esta estructura— sólo están suministrando unos criterios para determinar la existencia de proporcionalidad directa entre dos magnitudes, mas no unas características que se colijan a partir de la proporcionalidad directa. Por ejemplo, interpretando la definición del texto “Serie Matemática 214



Progresiva. Aritmética y Geometría 7” se puede asegurar que basta con comprobar que la razón de las medidas de las magnitudes es constante, para afirmar que las magnitudes son directamente proporcionales, pero no se puede aseverar la proposición recíproca, es decir, que dada la existencia de proporcionalidad se siga que las razones son constantes; sin embargo, en este texto encontramos esta afirmación en uno de los ejercicios, veamos: “Recordemos que k =

x si son y

directamente proporcionales” (Londoño y Bedoya, 1988, p. 248), lo cual indica una contravención a la estructura del enunciado de la definición.

Bajo la óptica expresada en el anterior párrafo hemos revisado los ejemplos que presentan los textos y hemos identificado que: •

En el texto “Serie Matemática Progresiva. Aritmética y Geometría 7” tanto el ejemplo que precede la definición (p.242), como los tres primeros ejemplos que suceden la definición (p. 243–244), efectivamente concluyen la existencia de proporcionalidad directa a partir de la comprobación sobre las razones de las medidas de las magnitudes. Sin embargo, el tercer ejemplo incluye un análisis que conduce al enunciado de una propiedad que se sigue de la existencia de proporcionalidad directa,10 la cual no coincide con la proposición p de la definición, pero tiene semejanza con la de la definición de “Procesos Matemáticos 7”.

•

Los ejemplos utilizados antes y después de la definición del texto “Dimensión matemática 7” (pp. 245–248) efectivamente deducen la existencia de proporcionalidad directa entre las magnitudes al comprobar las condiciones impuestas en la definición. Este texto involucra propiedades que se siguen de la existencia de la proporcionalidad directa a través de la presentación de las

10

“Si dos magnitudes son directamente proporcionales, la razón entre dos cantidades de una magnitud es igual a la razón entre las cantidades correspondientes de la otra”. (Londoño y Bedoya, 1988, p.244).


215


propiedades de la función lineal, previa identificación de ésta con la proporcionalidad directa (pp. 248–249). •

En “Procesos Matemáticos 7” los autores presentan un solo ejemplo de la definición (p. 104). Sin embargo, consideramos que el tratamiento inicial del ejemplo no ilustra el contenido de la definición, ya que no presenta un análisis que implique la multiplicación de un valor de la primera magnitud para obtener otro valor de esa misma magnitud y la correspondiente verificación que los respectivos valores de la segunda magnitud también se pueden establecer por medio de la misma multiplicación; en su lugar aparece un enunciado categórico —sin argumentación alguna— con respecto a la existencia de proporcionalidad directa entre las magnitudes, la verificación de que las razones entre valores correspondientes de las magnitudes es constante (condición no mencionada en la definición) y la representación en el plano cartesiano de la relación. Luego de ello, y al final del ejemplo, sí aparece una verificación para dos parejas de valores de la condición de la definición. Más adelante, en el siguiente numeral del texto (p. 106), los autores presentan un nuevo ejemplo en el cual utilizan el hecho de tener razones constantes entre los valores de las magnitudes como condición para establecer la proporcionalidad; es decir, utilizan una condición no definida y no incorporan la condición definida explícitamente.

•

El texto “Matemáticas McGraw–Hill” presenta dos ejemplos, uno de ellos precede a la definición (pp. 112–114) y el otro la sucede (pp. 115–116). En ambos se hace la comprobación del valor constante del cociente entre los valores de las magnitudes implicadas, como condición que define la proporcionalidad directa entre éstas. Además, en éstos, dadas las condiciones de los contextos físicos que incorporan, las constantes de proporcionalidad pueden significar nuevas magnitudes físicas. No obstante, percibimos que no se hace mayor énfasis en la comprobación de la condición para concluir la existencia o no de la proporcionalidad; condición que por demás está dada como un supuesto desde el inicio del primer ejemplo.

216



•

En el texto “Logros Matemáticos. Séptimo grado” sólo aparece un ejemplo (p. 259); éste, además de preceder a la definición, no se reporta explícitamente como un ejemplo de la misma.

Un tercer hecho se relaciona con el tipo de ejercicios reportados en los textos, respecto de la definición de la proporcionalidad directa. En los cinco textos aparecen ejercicios en los que se da una tabla de valores de dos magnitudes relacionadas y se pide determinar si las magnitudes son o no directamente proporcionales; suponemos que para resolver estos ejercicios se espera que los estudiantes apliquen la respectiva definición, es decir, que verifiquen si los datos satisfacen las condiciones descritas en aquélla.

Ahora bien, en la mayoría de los textos (excepto en “Matemáticas McGraw–Hill”y “Logros Matemáticos. Séptimo grado”) aparecen ejercicios en los que se propone indicar cuáles pares de magnitudes son directamente proporcionales, pero no dan valores de las magnitudes, sino que se reportan sólo los nombres de las magnitudes (v.g., volumen y capacidad); consideramos que el texto no ha enunciado información suficiente que les permita a los estudiantes responder a estos ejercicios, a menos que diseñen alguna actividad para recolectar datos y, posteriormente, analizarlos. También, advertimos que en dos de los textos (“Serie Matemática Progresiva. Aritmética y Geometría 7” y “Dimensión Matemática 7”) se propone completar tablas de valores que reportan algunos datos de magnitudes directamente proporcionales; nuestra opinión es que el desarrollo de estos ejercicios supone el uso de una proposición recíproca a la enunciada en las definiciones, lo cual no se realiza en ninguno de los dos textos.


217


4.3.4 Magnitudes inversamente proporcionales Los cinco textos estudiados incluyen de manera explícita sendas definiciones relativas a la proporcionalidad inversa; a continuación las reportamos:

Serie Matemática Progresiva. Aritmética y Geometría 7 Decimos que dos magnitudes varían en forma inversamente proporcional cuando el producto de las cantidades correspondientes es una constante. Es decir: Si x es la medida de la magnitud P y y es la medida de la magnitud Q, entonces P y Q son inversamente proporcionales si x ⋅ y = k , donde k recibe el nombre de constante de proporcionalidad. Londoño y Bedoya, 1988, p. 245 Dimensión Matemática 7 Dos magnitudes están en proporción inversa o son inversamente proporcionales si están correlacionadas inversamente y su producto permanece constante. Londoño y otros, 1993, p. 256 Procesos Matemáticos 7 Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando están inversamente correlacionadas y el producto de los valores correspondientes de dichas magnitudes es constante. Dpto. Editorial de Santillana S.A., 1995, p. 104 Matemáticas McGraw–Hill A las funciones en las que encontramos que x ⋅ y = k , es decir, que el producto de cada elemento del dominio por su correspondiente imagen es constante, las llamamos variaciones inversamente proporcionales. k Estas funciones también pueden definirse como: y = (x≠0). x Beristain y Campos, 1997, p. 128 218



Logros Matemáticos. Séptimo grado Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando, al aumentar una, la otra disminuye y están relacionadas por un producto constante. Contreras y otros, 1997, p. 278 Al analizar estas definiciones encontramos al menos dos hechos que queremos reseñar; el primero se refiere a la estructura lógica de las mismas y el segundo al uso del producto constante como condición aparentemente uniforme en las cinco definiciones. Posteriormente plantearemos tres observaciones referidas al uso de las definiciones, al marco de ejemplificación y al marco de ejercitación, en esta temática.

Una mirada a la estructura lógica de las definiciones y al carácter de las mismas, nos revela que la definición presentada en “Matemáticas McGraw–Hill” parece tener un carácter nominal; además, nos permite observar que esta definición no comporta la estructura condicional que caracteriza a las demás. En efecto, las cuatro definiciones restantes tienen una estructura de la forma p⇒q, en la que la proposición q se refiere al carácter inversamente proporcional de las magnitudes implicadas y la proposición

p describe la(s) condición(es) que se deben cumplir. No obstante esta semejanza, identificamos que la estructura interna de la proposición p presenta dos estructuras lógicas; en la definición del texto “Serie Matemática Progresiva. Aritmética y Geometría 7” reconocimos la estructura p⇒q con p una proposición simple, entre tanto en los textos “Dimensión Matemática 7” , “Procesos Matemáticos 7” y “Logros Matemáticos. Séptimo grado” identificamos que p es una proposición compuesta con estructura p1∧p2. Precisamente, para estos tres textos, advertimos que la existencia de correlación inversa constituye una de las proposiciones que conforman la conjunción.

A propósito de la exigencia de la correlación inversa, consideramos que ésta impone una restricción a la proporcionalidad inversa, pues no contempla relaciones, de comportamiento creciente, entre magnitudes no necesariamente absolutas, que satisfacen la condición del producto constante y que desde nuestra perspectiva Universidad del Valle • IEP • Magister en Educación–- Énfasis en Educación Matemática

219


deberían considerarse dentro del conjunto que definen magnitudes inversamente proporcionales. En otras palabras, la exigencia de correlación inversa sólo admite relaciones cuyas gráficas cartesianas se corresponden con subconjuntos de hipérbolas —asintóticas a los ejes coordenados— trazadas en el primer y tercer cuadrante, excluyendo así las relaciones cuyas gráficas son un subconjunto de hipérbolas trazadas en el segundo y cuarto cuadrante.

De otra parte, reiteramos aquí un comentario que hicimos en el anterior apartado: la estructura condicional contemplada para las definiciones no permite en principio deducir o colegir algo del hecho de tener dos magnitudes inversamente proporcionales (como sí lo permitiría una estructura bicondicional); sólo ofrece unos criterios para decidir si existe o no proporcionalidad inversa entre dos magnitudes relacionadas, a partir del análisis de las parejas de datos.

Un segundo hecho, relativo a la comparación de las definiciones, lo constituye su aparente semejanza en cuanto a la presencia de la condición sobre el producto constante. En efecto, todas las definiciones vinculan como condición suficiente, o como parte de ella, el valor constante del producto. Además, hemos advertido que tres de los cinco textos plantean en la definición que el producto se realiza entre medidas, valores o elementos de las magnitudes, mientras que los otros dos (“Dimensión Matemática 7” y “Logros Matemáticos. Séptimo grado”) lo establecen entre magnitudes; este último planteamiento, mas que general, nos parece ambiguo. Igualmente, y tal vez como consecuencia de la ambigüedad reseñada, hemos reconocido que estos mismos dos textos no hacen alusión alguna a la correspondencia entre los valores de las magnitudes; al parecer la presuponen.

A propósito de lo reiterativo de la condición sobre el producto de valores de magnitudes, surge la observación sobre el uso de las definiciones. Nos sorprende que algunos textos no sean suficientemente coherentes con la herramienta presentada a

220



través de la definición. Por ejemplo, en el texto “Procesos Matemáticos 7” se emplea, sin presentación previa, una característica que podría constituir una definición alterna para la proporcionalidad inversa, o una propiedad de la misma (ver “Regla de tres simple inversa”, p. 126), y no se utiliza la definición explicitada dos páginas antes. Igualmente, pudimos ubicar un caso similar en el texto “Serie Matemática Progresiva. Aritmética y Geometría 7” cuando a partir de dos datos conocidos de una magnitud, y de un dato conocido y otro desconocido de otra magnitud correspondiente, se afirma que las magnitudes son inversamente proporcionales, es decir, no se hacen los productos para verificar el carácter de la relación (ver “Ejemplo 1”, p. 250); este mismo caso se presenta en “Dimensión Matemática 7” (ver “Ejemplo 29”, p.260).

Ahora bien, el tratamiento que hacen los textos “Serie Matemática Progresiva. Aritmética y Geometría 7”y “Dimensión Matemática 7”, en cuanto a los ejemplos y ejercicios son muy similares entre sí y con el tratamiento que han hecho para el caso de la proporcionalidad directa. Es decir, proponen ejemplos adecuados a la definición pues buscan comprobar si dos magnitudes son inversamente proporcionales, pero también, a través de uno de estos ejemplos, introducen una propiedad de éstas. Por su parte, el texto “Procesos Matemáticos 7” inmediatamente después de la definición utiliza un ejemplo en el que sólo se verifica la condición sobre el producto, mas no la condición sobre la correlación inversa, también presentados en la definición; ni este texto, ni “Logros Matemáticos. Séptimo grado” proponen ejercicios relacionados con el contenido de la definición. El reconocimiento de la proporcionalidad inversa sí es objeto de trabajo del texto “Matemáticas McGraw–Hill”, allí se dan varias tablas con valores de las magnitudes relacionadas y se pregunta si éstas representan una proporcionalidad inversa.


221

Capítulo 5 Síntesis de algunos resultados de la investigación

INTRODUCCIÓN En este quinto y último capítulo presentamos algunas reflexiones que de manera sintética pretenden recapitular algunos de los resultados importantes del trabajo investigativo que —desde nuestra perspectiva— pueden constituir las conclusiones del mismo. En este sentido, advertimos que no aspira ser una síntesis exhaustiva y de seguro el lector encuentra en el contenido de los capítulos anteriores una mayor cantidad de hechos y resultados; así, estas reflexiones no configuran un resumen del trabajo investigativo realizado, sino de algunos resultados destacados.

Una reflexión acerca de la organización de estos resultados nos permitió identificar dos grandes grupos; el primero se refiere a los resultados sobresalientes en cuanto a nuestra experiencia de formación en investigación en Didáctica de las Matemáticas, mientras que el segundo se estructura con los resultados frente al conocimiento


logrado en torno a las proporciones y la proporcionalidad. Estos dos grupos definen la disposición general del presente capítulo.

5.1 RESULTADOS EN NUESTRA EXPERIENCIA DE FORMACIÓN EN INVESTIGACIÓN EN DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS Tanto la lectura de los documentos descriptivos del Énfasis en Educación Matemática del Magíster en Educación —especialmente lo correspondiente a los objetivos y al perfil del egresado— como el currículo desarrollado a través de las diferentes actividades académicas que el énfasis comporta, permite reconocer la cimentación de la formación en la investigación como su propósito esencial.

Nuestra experiencia nos permite aseverar que el trabajo de tesis es una de aquellas actividades académicas que más contribuye a dicho propósito. En efecto, la posibilidad de acotar y profundizar de manera continua una problemática de la Didáctica de las Matemáticas, la necesidad de trazar y seguir unos derroteros que guíen la aproximación y búsqueda de solución a dicha problemática, la exigencia de informar y contrastar los avances y retrocesos del proceso investigativo y el experimentar las tensiones sociales generadas por el rol que se desempeña a través del trabajo investigativo, constituyen para nosotros algunos resultados del trabajo de tesis que, a modo de indicios, permiten advertir que a través de éste se generó una experiencia investigativa que favoreció la cimentación de la formación en Didáctica de las Matemáticas.

Veamos algunos detalles de estos primeros —y generales— resultados.

224


Capítulo 5: Síntesis de algunos resultados de la investigación

a.

Posibilidad de acotar y profundizar en una problemática de la Didáctica de las Matemáticas El estudio de elementos teóricos de la Didáctica de las Matemáticas, característico del Énfasis en Educación Matemática, permite una visión del amplio espectro de problemas de los que se ocupan las investigaciones de este campo y las acciones posibles en búsqueda de soluciones. Comúnmente la ausencia de una visión tal reduce el problema a la necesidad de encontrar nuevas formas de enseñar que permitan a los estudiantes aprender más fácil o con más agrado las matemáticas escolares.

Inicialmente reconocimos que el desarrollo cognitivo, el currículo, la estructura de las matemáticas escolares, la formación de los profesores de matemáticas, los materiales didácticos, las prácticas docentes, el medio escolar y social, entre otros, constituyen objetos y/o áreas de investigación en las cuales se pueden reconocer problemas propios de la Didáctica de las Matemáticas. Por supuesto que simultáneamente advertimos que una gama tan amplia de objetos de estudio es naturalmente inabordable desde cualquier programa de formación; así mismo, fuimos conscientes que ello justifica la existencia de comunidades académicas, las limitaciones de trascendencia frente a la solución de los problemas que tiene cualquier acción investigativa —aun de las más afortunadas y/o potentes—, las grandes exigencias en la formación profesional y la imposibilidad de convertirnos en “Mesías” para la Didáctica de las Matemáticas.

En un intento de apropiarnos de tan colosal problemática y como una opción de organizar algunos de los objetos a investigar, construimos el Estudio Didáctico (discutido en el capítulo 1). Éste responde a nuestros intereses, a nuestra limitada significación de tal diversidad, y a nuestra experiencia y conocimiento en torno a algunos resultados investigativos. Adicionalmente, podemos Universidad del Valle • IEP • Magister en Educación – Énfasis en Educación Matemática

225


concebir que el Estudio Didáctico define una primera aproximación y acotación de nuestra visión de la problemática abordable desde la Didáctica de las Matemáticas y de una posible estrategia de acción.

En la etapa de concepción y diseño del proyecto de tesis seleccionamos la proporción y la proporcionalidad como conceptos de las matemáticas escolares que captaban nuestro interés, sobre los cuales desarrollar el Estudio Didáctico. Tal selección constituyó un segundo nivel de concreción del ámbito problemático a estudiar. En aquél momento aún nos resistíamos a considerar que el Estudio Didáctico de estos dos “simples” temas pudieran definir un proyecto investigativo de vida y no sólo un una tesis de maestría, pero atendiendo la opinión de los profesores de la Maestría optamos por algunos de los elementos que configuran el Estudio Didáctico de los saberes de la proporción y la proporcionalidad. Nuestras pretensiones de trascender y aportar a la solución de los problemas educativos en torno al aprendizaje de las matemáticas comenzaron a verse frustradas y a reestructurarse ante la necesidad de ir acotando y acortando el campo problemático. Finalmente decidimos que estudiaríamos los aspectos matemáticos formales de la proporción y la proporcionalidad, algunos momentos históricos importantes de la evolución de estos conceptos, la forma de expresión de estos conocimientos en las matemáticas escolares en textos de matemáticas y en las propuestas curriculares vigentes y las concepciones que poseen los maestros de matemáticas acerca de estos conceptos. El nivel de concreción del problema en el proyecto de tesis aprobado parecía haber llegado a un punto de equilibrio entre nuestras intenciones y nuestras posibilidades.

No obstante, aún nos esperaban más sorpresas que nos exhortarían a descartar el estudio de algunos de estos objetos en el marco del desarrollo de la tesis. Para cada uno de los objetos citados arriba, emprendimos acciones investigativas de

226



aproximación a la proporción y la proporcionalidad tales como identificar y leer presentaciones matemáticas formales que abordan su estudio, consultar algunas referencias bibliográficas que reportan hechos y análisis históricos, acopiar y leer textos escolares y propuestas curriculares colombianas para quinto y séptimo grado, y diseñar e implementar con profesores algunos talleres para explorar algunos aspectos de su conocimiento matemático en torno a estos conceptos.

Los resultados parciales de estas actividades nos indicaron la necesidad de iniciar un proceso de profundización en el estudio de las presentaciones matemáticas formales o seudo–formales que habíamos acopiado. La selección de cuáles de éstas centrarían y organizarían nuestro estudio, y el consecuente descarte de otras, significaba un nuevo nivel de concreción y alcance de nuestra investigación.

Iniciamos el estudio detallado de las presentaciones seleccionadas y advertimos que esta tarea nos tomaba un tiempo considerablemente mayor al que teníamos previsto y que el nivel de profundidad que éstas ameritaban era mucho mayor del que habíamos vislumbrando en la fase de diseño del proyecto de tesis, pero que el estudio de las presentaciones escogidas se mostraba más potente de lo previsto. Dedicamos así aproximadamente la mitad del tiempo que implicó el desarrollo del proyecto —y mucho más de lo que teníamos planeado para el desarrollo de toda la tesis— en el análisis crítico de las presentaciones y en la escritura del tercer capítulo en el cual se organiza el resultado de tal análisis.

El enorme tiempo empleado en el estudio de las presentaciones formales condicionó de facto las posibilidades de abordar el estudio de los demás objetos de estudio previstos en el proyecto de tesis. Muy a nuestro pesar tuvimos que descartar del marco del trabajo de tesis el estudio de los aspectos históricos y de


227


las concepciones de los profesores. Además, decidimos que haríamos mayor énfasis en el estudio de la expresión de la proporción y la proporcionalidad en los textos escolares de matemáticas que en las propuestas curriculares. Estas decisiones significaron un nuevo acortamiento de la problemática que aborda la tesis.

Hasta aquí hemos mostrado cómo tanto en el proceso de diseño del proyecto de tesis como en el desarrollo del mismo, frecuentemente tuvimos que acotar y acortar la problemática que aborda la investigación, hecho que valoramos inmensamente pues constituye un aprendizaje sobre la verdadera dimensión y alcance de la investigación en Didáctica de las Matemáticas y nos permite reconstruir nuestra visión sobre nuestra potencial contribución al campo de investigación y a la solución de los problemas que aborda. Desde nuestra perspectiva este tipo de aprendizajes es el que justifica que en los programas de formación de postgrado la cimentación en la investigación tenga un lugar preponderante. b.

Necesidad de trazar y seguir unos derroteros que guíen la aproximación y búsqueda de solución a la problemática objeto de estudio Algunas investigaciones en Didáctica de las Matemáticas asumen como objeto de estudio asuntos que han sido analizados anteriormente en el campo de investigación, tales como el aprendizaje de los estudiantes, el diseño de situaciones de clase o el uso de materiales e instrumentos didácticos; estas investigaciones cuentan entonces con metodologías ampliamente aplicadas y relativamente validadas. Otras, tal vez debido a la inexperiencia e ignorancia de los investigadores o a la novedad de los objetos de estudio, no tienen como referente unas investigaciones semejantes que les permitan asumir una metodología preestablecida y, en consecuencia, deben construir una estrategia metodológica para abordar el problema particular de investigación.

228



Nuestra tesis se ubica en el segundo grupo citado. En efecto, a pesar de haber indagado por metodologías para realizar el estudio de los aspectos formales relativos a la proporción y la proporcionalidad, no hallamos una metodología preestablecida que nos permitiera abordar de manera organizada el análisis previsto. Ante esto nos vimos en la necesidad de recurrir a nuestra intuición y razón para trazar, de manera simultanea a la realización del análisis, una ruta tal. En cierto sentido, comenzamos la construcción de una metodología a la vez que la empleábamos.

Algunos rasgos generales de esta ruta contemplan la consideración del significado de las definiciones, el papel de la notación simbólica de los objetos matemáticos, el uso de los términos que nominan los conceptos, la secuencia y jerarquía de los teoremas, y la consistencia de las demostraciones. Infortunadamente, las condiciones del trabajo de tesis (v.g., las intenciones investigativas y las posibilidades reales de tiempo) no permitieron explicitar la estrategia de análisis asumida y de ella no contamos con algo más que el rastro que se puede reconocer implícito en el capítulo que reporta la mirada a las presentaciones formales.

Con respecto a la metodología de análisis de textos, reconocemos que la indagación acerca de la existencia de una metodología preestablecida no fue tan sistemática e intensa y, por supuesto, no logramos obtener resultados preexistentes que favorecieran significativamente el desarrollo de la investigación, aunque que sí encontramos resultados acerca de las posibles variables a analizar en los textos escolares, pero no precisamente de matemáticas.

Sin embargo, para este objeto de estudio contamos con la opción de asumir la responsabilidad de hacer unos cursos y talleres de análisis de textos escolares de


229


matemáticas, en los cuales fuimos concretando una posible estrategia metodológica para tal fin. Esta metodología centraba su atención en el análisis del tipo de discurso matemático, en la estructura de los contenidos temáticos, en los marcos de definición, de ejemplificación y de ejercitación.

En la tesis utilizamos esta metodología para realizar el análisis de los cinco textos escolares de matemáticas, enfatizando en la ubicación de los capítulos o unidades temáticas en el contexto del curso de matemáticas de un grado específico, en la estructura interna de tales capítulos o unidades, y en el tratamiento de conceptos centrales desde el punto de vista de la definición, la simbolización, la ejemplificación y la ejercitación. Para el estudio de los textos escolares de matemáticas seleccionados fuimos entonces reconstruyendo la metodología a la vez que la usábamos.

De los rasgos de esta metodología en este documento no hicimos una recopilación sistemática; sin embargo, una primera descripción de ésta se encuentra en un documento preparado por nosotros en el marco del Programa de formación permanente en Educación Matemática para la actualización y cualificación de docentes de los grados 6º. y 7º. – Convenio Univalle–MEN– ICETEX (Arbeláez y otros, 1999). Adicionalmente, a través de la lectura del capítulo inmediatamente precedente, se pueden reconocer algunos rastros y rasgos de la metodología en acción.

La construcción de estas metodologías, y su simultáneo y dialéctico uso en el desarrollo de la tesis, constituye un aprendizaje adicional procurado por la tesis; aprendizaje diferente al que seguramente hubiésemos tenido al utilizar una metodología preconcebida y validada.

230



c.

Exigencia de informar y contrastar los avances y retrocesos del proceso investigativo En el plan de estudios de la Maestría el “Campo específico de trabajo” constituía, más que un seminario, un espacio de presentación y discusión del estado de concreción del proyecto de tesis. La metodología empleada en éste imponía la necesidad de escribir y presentar documentos que daban cuenta de dicho estado y que servían como base de la discusión, la exigencia de preparar una exposición verbal de los asuntos tratados en el documento y la posibilidad de contestar a los cuestionamientos generados a propósito del contenido del documento.

Adicional a este espacio de información y confrontación, el programa de Maestría

contempló

—en

repetidas

ocasiones—

presentaciones

ante

investigadores en Didáctica de las Matemáticas —extranjeros y colombianos— que visitaban la Universidad para desarrollar alguna actividad académica relativa al campo de investigación, de las ideas generales de los proyectos de tesis, de preguntas que en el proceso de diseño surgían y de resultados parciales del desarrollo de la investigación. En estos ambientes, además de contar con la posibilidad de ser escuchados y de ser invitados a realizar síntesis escritas de lo que se iba a exponer, recibíamos de viva voz una retroalimentación a través de indicaciones metodológicas, preguntas, críticas, sugerencias bibliográficas, etcétera.

Asimismo, por iniciativa propia y por invitación del equipo de profesores del postgrado, comenzamos a participar en eventos académicos —locales, nacionales e internacionales—, a través de pequeñas exposiciones de los avances parciales del diseño del proyecto o de la ejecución del mismo. Esta actividad, a la vez que nos exigía un esfuerzo de escritura de las ponencias, nos demandaba un trabajo de planeación de la exposición verbal y pública. Universidad del Valle • IEP • Magister en Educación – Énfasis en Educación Matemática

231


Simultáneamente, nos permitía mejorar nuestro nivel de pertenencia a la comunidad académica, vivenciar la potencialidad de retroalimentación en las reacciones que suscitaba la exposición y valorar la ruta metodológica en construcción y los avances parciales obtenidos.

Estos tres ámbitos académicos de divulgación fueron contribuyendo gradualmente a cualificar y mejorar nuestra formación relativa al desarrollo de presentaciones escritas y —fundamentalmente— verbales. Formación necesaria en el actuar de los aprendices de investigador y en los investigadores.

Ahora bien, a pesar de paulatinamente ir ganando en habilidades relativas a la escritura de documentos, la tarea de escribir el diseño del proyecto fue una tarea ardua. La amplia gama de ideas que querían incluirse en el documento descriptivo del proyecto de tesis; la necesidad de que éstas guardaran un mínimo de coherencia, organización y estética; así como un cuidado en no infligir las normas gramaticales y ortográficas, caracterizaron las mayores dificultades que tuvimos en aquél momento.

A más de un sinnúmero de versiones sucesivas del documento descriptivo del proyecto, pudimos obtener una formación y experiencia adicional para la actividad de escritura. Sin esta formación difícilmente hubiésemos podido emprender la tarea final de escritura de las diferentes y también graduales versiones del presente documento.

La escritura de este informe evidenció que si bien las experiencias anteriores nos habían permitido avanzar en las habilidades de escritura, aún nos quedaba —y nos queda— un amplio terreno de aprendizaje. A pesar del cuidado para expresar las ideas y planteamientos, para organizarlos, para presentarlos pulcra

232



y coherentemente, cada vez que se lee el escrito se encuentran algunos errores y algunos planteamientos que pueden ser mejorados en su contenido y forma.

Escribir un reporte que deseablemente sea leído por algunos de los miembros de la comunidad amerita el esfuerzo que hemos implicado en la escritura del mismo, a pesar de la presunción de que puedan ser pocos los lectores de todo el documento. Sin embargo, consideramos que este esfuerzo está plenamente justificado al concebir la escritura como una de las actividades consustanciales con la dinámica que caracteriza a la comunidad académica en Didáctica de las Matemáticas y al considerar que estas experiencias no han sido más que un nutritivo ejercicio académico que hay que hacer para aprender a hacerlo.

Así, el nivel de escritura logrado alrededor de la tesis se constituye en un nuevo resultado implicado por ésta, resultado que caracteriza parcialmente la formación y cimentación en investigación logradas. d.

Experimentar las tensiones sociales generadas por el rol que se desempeña a través del trabajo investigativo Ante la realidad de que aún somos muy pocas las personas quienes tenemos la oportunidad de acceder a estudios de postgrado en Didáctica de las Matemáticas, y que los problemas ligados a la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas se hacen cada vez más evidentes, la sociedad ejerce una particular presión sobre nosotros para que desde nuestra actividad investigativa desarrollada en el marco de la tesis construyamos en un plazo muy corto estrategias de solución eficaces y eficientes para dichos problemas. Por ejemplo, los profesores de matemáticas esperan que los resultados investigativos les ayuden a cualificar y mejorar —de manera inmediata y radical— su formación y actuar docente para permitir que sus estudiantes aprendan las matemáticas que en la actualidad la sociedad parece exigir. La


233


familia y los amigos cercanos empiezan a creer que uno —por el hecho de ser licenciado en matemáticas— no sólo debe poder hacer cualquier cálculo aritmético de manera mental y rápida, sino que adicionalmente —por el hecho de ser estudiante de un postgrado en Didáctica de las Matemáticas— empiezan a creer y a exigir que pueda hacer que cualquier estudiante aprenda cualquier tema de las matemáticas escolares a través de estrategias diferentes a las utilizadas por sus profesores.

Si bien somos conscientes que aún nos falta recorrer un infinito camino para poder colaborar efectivamente a la formación matemática general de los estudiantes para cualquier tema de las matemáticas escolares y a la formación didáctica de los profesores de matemáticas, aún nos cuesta lograr este mismo nivel de conciencia para el caso específico de la proporción y la proporcionalidad. Ingenuamente, esperamos que todo el inmenso trabajo realizado en el marco de la tesis en torno a estas temáticas nos permita una claridad tal que se evidencie en la elaboración de novedosos desarrollos curriculares a través de los cuales los estudiantes puedan finalmente aprender las matemáticas implicadas en éstas y talleres a través de los cuales los profesores puedan reconstruir su conocimiento matemático y didáctico alrededor de tales temáticas. Sin embargo, la complejidad y extensión de tal tarea nos estimula a reconocer nuestra incapacidad para realizarla, a la vez que nos invita a seguir progresando en el estudio de los diferentes aspectos de la proporción y la proporcionalidad, lo cual no implica que no emprendamos acciones e intentos de construir tales diseños y talleres.

Estas presiones sociales, aunadas al reconocimiento de la magnitud del problema y por ende de su posible —pero a la vez lejana— solución, han generado en nosotros una enorme tensión interna que involucra las necesidades y las posibilidades de acción. A estas tensiones se le suman las generadas por la

234



responsabilidad social de culminar el prolongado proceso de estudio en la Maestría, y particularmente, concluir el trabajo de tesis. En efecto, sentimos un compromiso moral y académico con el equipo de profesores del postgrado, con los compañeros de estudio del mismo, con los colegas y con nuestras familias, quienes contribuyeron de una u otra manera a que pudiéramos realizar los estudios y esperan ansiosamente el cierre de esta etapa de formación.

Estas diferentes tensiones seguramente no la hubiéramos experimentado si no estuviéramos vinculados a un programa de formación académica formal y no nos hubiéramos comprometido con una temática puntual de las matemáticas escolares a través de la tesis. En este sentido estas tensiones son un resultado adicional del proceso de formación para la investigación, en el cual la tesis constituye un elemento esencial.

A través de la tesis pudimos evidenciar la necesidad de una amplia formación matemática para entender no sólo las teorías matemáticas que versan sobre la proporcionalidad sino también los textos escolares de matemáticas. Este reconocimiento constituye un nuevo resultado general de la tesis, no tan ligado como los anteriores a la formación en investigación.

En efecto, pudimos experimentar que la formación matemática lograda a través de algunos de los cursos de matemáticas estudiados en el programa de Licenciatura en Matemáticas (v.g., teoría de conjuntos, álgebra lineal, álgebra abstracta) nos permitía atribuir un significado matemático a conceptos como isomorfismo, correspondencia biunívoca, proyección canónica, relación de equivalencia, relación de orden, estructura algebraica, cortaduras, etc., así como disponer de una percepción del carácter lógico–deductivo de las teorías matemáticas. Simultáneamente, pudimos vivenciar que esta formación matemática era insuficiente para abordar el complejo análisis de los discursos matemáticos de teorías y textos escolares de matemáticas,


235


por lo que nos dimos a la tarea de revisar y replantear nuestro conocimiento matemático con respecto a estos conceptos y a las características de las teorías matemáticas. A pesar de ello, somos conscientes de que en nuestra formación matemática aún existen muchas falencias y que en algunas oportunidades cometimos errores de apreciación generados por éstas, pero que hicimos un intento por procurar que éstos fueran mínimos y poco relevantes.

5.2 RESULTADOS EN TORNO A LAS PROPORCIONES Y LA PROPORCIONALIDAD Cada una de las miradas reportadas en los capítulos 3 y 4 de este documento permiten reconocer un amplio espectro de resultados con respecto al tratamiento de la proporción y la proporcionalidad en las matemáticas formales y en las matemáticas escolares. La tarea de sintetizarlos sería dispendiosa y hasta inútil, pues difícilmente se obtendría un texto de menor extensión que pudiera recopilar tales resultados. Sin embargo, hemos seleccionado algunos que desde nuestra perspectiva actual, y mediado por el impacto que nos han causado y por su posible trascendencia, se constituyen como los más importantes y hemos logrado una síntesis de éstos. A continuación los presentamos, no sin antes advertir que existe la posibilidad que en la lectura de los capítulos precedentes el lector haya identificado algunos resultados que considere más importantes que los aquí reportados. a.

El difuso lugar de la proporción y la proporcionalidad en las matemáticas La mirada a las teorías matemáticas nos permitió ubicar inicialmente las razones y las proporciones en el ámbito aritmético y más específicamente en el contexto de las fracciones de reales o de racionales. Este hecho nos hace pensar que éstos son conceptos aritméticos que habitual y naturalmente se incorporan a la teoría aritmética después de haber construido los conjuntos numéricos de

236



donde toman sus elementos. Este hecho no constituye problema alguno y es entonces válido afirmar que la aritmética se ocupa —entre otros— del estudio las razones y las proporciones.

Sin embargo, existen otros ámbitos matemáticos en los cuales se realiza un estudio y/o se incorporan estos conceptos. En efecto, pudimos ubicar la teoría de las magnitudes —no necesariamente geométricas— como el contexto donde surgen los conceptos de razón, proporción y proporcionalidad en un ámbito no exclusivamente aritmético, lo cual no debía habernos sorprendido pues ya en los Elementos, más de veinte siglos atrás, Euclides los había estudiado en el contexto de la aritmética y en el de las magnitudes (también, no necesariamente geométricas). Pero, ¿cuál disciplina matemática es la que se ocupa del estudio de las magnitudes y por ende de las razones, proporciones y proporcionalidad?

Atendiendo al contenido de la teoría de las magnitudes, vistos con una óptica particular, podemos afirmar que el álgebra abstracta —entendida simplemente como el estudio de las estructuras— se ocupa de la proporcionalidad en tanto isomorfismo, o correspondencia que preserva la estructura algebraica y de orden, pero no se ocupa específicamente del estudio de la razón y la proporción. Visto este contenido desde otra óptica, identificaríamos que la teoría de conjuntos se podría encargar del estudio de la razón y la proporción en tanto relación entre conjuntos y relación entre relaciones, respectivamente, y de la proporcionalidad como una relación especial entre conjuntos. Incluso, sería interesante considerar que la proporcionalidad podría ser objeto de estudio del cálculo en tanto que describe una particular forma de variación conjunta de variables relacionadas o un tipo específico de función.

Estas diferentes respuestas a la pregunta planteada arriba nos hacen reconocer que las razones, las proporciones y la proporcionalidad parecen no tener un


237


único ámbito matemático desde el cual se les estudie y que no tienen una disciplina matemática propia que les acoja, de la manera como, por ejemplo, la aritmética acoge a los números y la geometría a los segmentos.

Este carácter difuso del lugar de las razones, las proporciones y la proporcionalidad en las matemáticas formales parece ser también característico en las matemáticas escolares.

En efecto, una vez que en las propuestas curriculares ubicamos que el estudio de estos temas se propone para ser desarrollado fundamentalmente en grados quinto y séptimo y haber considerado específicamente las propuestas curriculares de matemáticas para grado séptimo, pudimos evidenciar que no era una tarea sencilla reconocer a qué disciplina matemática escolar correspondía el estudio de estos temas, aunque reconocimos una tendencia hacia un tratamiento aritmético de éstos. En aquéllas propuestas identificamos que excepto las razones, las proporciones y la proporcionalidad, los demás temas fácilmente se pueden hacer corresponder con el estudio o bien de la aritmética, de la geometría o de la estadística; por ejemplo, en la propuesta de programa curricular (Colombia–MEN, 1989) se pueden ubicar las dos primeras unidades (Los números enteros y Los números naturales) dentro de la aritmética, la cuarta (Geometría y Medición) naturalmente en la geometría y la quinta (Combinatoria y estadística) en la estadística, pero no es muy evidente que la tercera unidad (Proporcionalidad y sus aplicaciones) pueda pertenecer a una de estas disciplinas matemáticas escolares.

En los textos escolares de matemáticas estudiados, el carácter difuso del lugar atiende a las exiguas relaciones entre los temas que se abordan en los capítulos o unidades temáticas anteriores y posteriores, y las razones, las proporciones y la proporcionalidad; por ejemplo, reconocimos que en el contexto de la

238



proporcionalidad es casi nulo el uso de magnitudes relativas y por ende los números (enteros o racionales) negativos brillan por su ausencia en este contexto, no siendo explícito por qué el estudio de estos números debe preceder al de la proporcionalidad. Consideramos así que la proporcionalidad en el grado séptimo necesariamente no tiene que estar precedida del estudio de estos conjuntos numéricos, ni de ninguno de los otros temas que se abordan en este grado; al parecer, en las propuestas expresadas en los textos, la proporcionalidad no tiene prerrequisitos que se aborden particularmente en este grado y no es un prerrequisito para abordar los otros temas matemáticos abordables habitualmente en séptimo grado. b.

No hay un tratamiento de la razón que sea significativamente diferente al tratamiento de los números En la presentación matemática expresada en el discurso matemático formal identificamos que en la construcción del conjunto de fracciones de reales se intenta plantear una naturaleza diferente entre éstas y el que poseen los números reales; así, inicialmente, se establece que las fracciones son parejas ordenadas de reales. Sin embargo, al asociar a éstas las ideas de cociente indicado y de cociente exacto —particularmente al establecer que la fracción es el valor del cociente exacto y que al cociente indicado también se le llama razón, la cual al igual que la fracción también está compuesta por dos números reales— tal distinción en cuanto a la naturaleza desaparece y se termina identificando a las fracciones con las razones y a estas dos con los números reales; parece así que todos estos nombres no denotan más que un mismo concepto: el número real.

Esta identificación de las fracciones de reales con las razones de reales y con los reales se justifica matemáticamente en el hecho de que se está trabajando con la formalización del cuerpo de los cocientes de un dominio de integridad y hay una definición vía una inyección natural del anillo en el cuerpo de las Universidad del Valle • IEP • Magister en Educación – Énfasis en Educación Matemática

239


fracciones; así, si se parte de que el dominio de integridad es un cuerpo, se llega a un isomorfismo y por tanto a la identificación del mismo con su cuerpo de cocientes. Efectivamente, si: i)

se asume que el dominio de integridad son los reales con sus operaciones usuales que le definen como anillo,

ii)

a partir de éste se construye el conjunto de las fracciones de términos reales como el conjunto de parejas ordenadas con segunda componente diferente de cero,

iii)

se determina una función tal que a cada fracción (pareja) le hace corresponder su cociente exacto,

iv)

se define, a partir de la anterior función, una relación de equivalencia para el conjunto de fracciones,

v)

con esta relación se construye el conjunto cociente,

vi)

se definen las operaciones para este conjunto de tal suerte que la relación de equivalencia sea compatible con éstas, y

vii) se define la función inversa a la función descrita en iii., entonces se tiene un isomorfismo entre el conjunto de los números reales y el conjunto cociente. Este isomorfismo permite “identificar” cada fracción o razón con su cociente exacto e identificar el conjunto de las fracciones con el de los reales.

Sin embargo, debemos precisar que “identificar” no puede ni debe entenderse como confundir o igualar. Desde nuestra perspectiva, en el texto base se confunden a las fracciones con las razones y con los reales, despojando así a cada uno de su naturaleza, haciendo que las razones pierdan su esencia de ser parejas de reales.

240



Esta pérdida de esencia se evidencia también en el contexto de la teoría de las magnitudes al momento que se identifica la razón entre dos cantidades de una misma magnitud con su medida, entendida esta última como un número real.

Tanto en el contexto de las fracciones de términos reales, como en el de las magnitudes, la razón se convierte en un número real, y por tanto las relaciones y operaciones definidas para ésta se confunden con las definidas para los reales. Esto trae como consecuencia que, por ejemplo, se confunda la proporción, en tanto relación de equivalencia entre dos razones (parejas), con la igualdad usual entre números reales o incluso con la igualdad entre fracciones de reales.

Este tratamiento confuso de las razones, las fracciones y los reales no sólo es característico de las teorías matemáticas consultadas, sino también de los textos escolares de matemáticas estudiados. En efecto, como lo destacamos ampliamente en una de las observaciones hechas en el capítulo 4, a pesar de identificar a través de definiciones a la razón con el cociente indicado o con el cociente exacto, todos los textos terminan por hacer un tratamiento de la razón como un número. Consecuentemente, aplican los algoritmos de producto y cociente de racionales (escritos en forma fraccionaria) a tales operaciones entre razones, así como la igualdad entre racionales para dar cuenta de la equivalencia entre razones (i.e., la proporción).

Muy recientemente, este hecho nos ha sugerido una pregunta a la cual aún no hemos podido responder: ¿para qué estudiar las razones y las proporciones en la escuela si a través de la división y de la medida se identifican, respectivamente, con los racionales y la igualdad entre racionales?

Adicionalmente, nos atrevemos a afirmar que habría que identificar aproximaciones escolares a la razón y a la proporcionalidad que no atiendan al


241


cociente y a la medida y que, en consecuencia, respeten la naturaleza y esencia de la razón (en tanto relación o pareja) y de la proporción (en tanto equivalencia entre razones o relación entre relaciones). Consideramos que el libro V de los Elementos constituye una aproximación matemática formal que preserva la naturaleza de estos conceptos y no la contamina con la idea de número ni de medida. c.

En las matemáticas que se refieren a la proporcionalidad se reconocen algunas nociones implícitas no definidas En el discurso matemático formal recapitulado pudimos registrar que algunas nociones matemáticas como ‘magnitudes homogéneas’, ‘magnitudes discretas’, y ‘magnitudes fijas’ que no están plenamente definidas y, en consecuencia, su significado es impreciso o confuso.

Particularmente, identificamos que la homogeneidad referida a las magnitudes parecería referirse a la igualdad entre magnitudes, pero como esta igualdad tampoco está definida no podemos establecer si esto exige que las dos magnitudes (entendidas como conjuntos con una determinada estructura) tengan los mismos elementos entre sí, o si la igualdad radica en la cualidad común de los elementos que los hace sumables e igualables. Ante la ambigüedad del significado de ‘magnitud discreta’ nos dimos a la tarea de establecer una protodefinición: una magnitud escalar se dice discreta si no satisface el postulado de la divisibilidad, y posteriormente verificar que ésta era compatible con el discurso recapitulado. Para lograr una precisión del significado de ‘magnitudes fijas’ hicimos tres suposiciones, dos de ellas fallidas (una magnitud sería fija o constante cuando todas las cantidades de magnitud fueran la misma, es decir, cuando existe una sola cantidad de magnitud, y una magnitud sería fija si además de la cantidad nula tuviera otro valor de cantidad); la tercera plantea que una magnitud sería fija si estando relacionada 242



proporcionalmente con otras que son proporcionales, la proporcionalidad entre éstas no depende de las cantidades de la primera (magnitud fija).

La existencia de nociones o conceptos no definidos es también característica de los textos escolares de matemáticas. El estudio del tratamiento que se hace de las proporciones nos permitió advertir que si bien la proporción se define como una igualdad entre razones, ninguno de los textos analizados contiene información que le permita al lector saber cuando dos razones son iguales, al margen de la igualdad entre fraccionarios, conduciendo así la idea de proporción a la igualdad de fracciones. De la misma manera, identificamos que en el tratamiento de la proporcionalidad nociones como ‘cantidades correspondientes’, ‘producto entre cantidades correspondientes’, ‘razones entre cantidades correspondientes’, ‘producto entre razones’, ‘proporcionalidad compuesta’ o ‘variación de una magnitud’ no presentan definición explícita ni implícita, pero que de ellas se hace uso para explicar y caracterizar los tipos de proporcionalidad. d.

En los textos no es muy explícita la relación entre las proporciones y la proporcionalidad La mirada que hicimos de la estructura interna de las unidades temáticas y/o capítulos que abordan el estudio de la proporción y la proporcionalidad en los textos escolares de matemáticas se pudo sintetizar a través de las figuras 4–1 a 4–8 en el capítulo 4. En éstas, y en el análisis que les acompaña, se puede identificar que en los textos estudiados existen dos bloques temáticos claramente disociados. Un primer bloque aborda el estudio de la razón y la proporción en un contexto aritmético; el segundo aborda el estudio de la proporcionalidad en el contexto de las magnitudes. Entre estos bloques no se establecen relaciones conceptuales de manera explícita a más de una eventual aplicación de la propiedad fundamental de las series de razones iguales en los


243


problemas de repartos proporcional, o el cálculo de un término desconocido de una proporción en la solución de problemas de regla de tres.

Ahora bien, como está implícito en las estructuras temáticas reseñadas, consideramos que entre estos dos bloques existen unos fuertes nexos conceptuales y procedimentales que no deberían estar ausentes en los libros de texto, ni en el conocimiento de profesores y estudiantes. A este respecto, creemos que la idea de razón está implicada en ambos bloques temáticos y que, si bien en uno de ellos el contexto es aritmético y en el otro es de magnitudes, un tratamiento de las distintas expresiones de las razones (v.g., razón entre números, razón entre cantidades de una misma magnitud, razón entre cantidades correspondientes, razones entre medidas de cantidades de una misma magnitud, razones entre medidas de cantidades correspondientes, razón inversa) a través de una única idea de razón podría constituir un nodo que permita cerrar un poco la brecha entre estos dos bloques. Igualmente, es necesario reconocer que la idea de proporción y de serie de razones iguales está fuertemente ligada a las definiciones usuales de proporcionalidad directa y a algunas de proporcionalidad inversa, y que en el ámbito escolar es precisamente este nexo el que justifica, por ejemplo, que los problemas de regla de tres se solucionen de una manera determinada, hecho que no se advierte explícitamente en los textos escolares de matemáticas y que por tanto no es fácil de reconocer por un profesor de matemáticas típico. e.

La proporcionalidad tiene una expresión cuantitativa no numérica y una expresión cuantitativa numérica Uno de los hechos más interesantes que nos permitió evidenciar la mirada a la teoría de las magnitudes en las presentaciones formales —y en particular a la teoría de la proporcionalidad— fue el carácter cuantitativo no numérico de la proporcionalidad. En efecto, como se puede observar en los apartados 3.2.4.1 y

244



3.2.4.2, la proporcionalidad directa e inversa se definen como un tipo especial de relación entre las cantidades de dos magnitudes y no como usualmente se cree, entre las medidas de las cantidades de las dos magnitudes. Si se supone que la existencia de cantidades implica un carácter cuantitativo, pero que éste no necesariamente es numérico, que las estructuras algebraica y de orden de las magnitudes no dependen de la expresión numérica de sus cantidades y que la proporcionalidad preserva estas estructuras, se colige que la proporcionalidad tiene una expresión cuantitativa no numérica.

Aquélla misma mirada también nos permitió reconocer en el enunciado “las cantidades de una magnitud son proporcionales a sus medidas”, un resultado primordial en la construcción del carácter cuantitativo numérico de la proporcionalidad. Como lo expresamos en el apartado 3.2.4.1 este resultado permite establecer una función de proporcionalidad entre las medidas de dos magnitudes directamente proporcionales, veamos: Sean M1 y M2 las magnitudes y f1 la función que establece la proporcionalidad directa entre éstas; el resultado anterior garantiza que existen también funciones de proporcionalidad f2 y f3 entre estas magnitudes y los reales (entendidos como el conjunto de medidas de las cantidades de magnitud). Como también existe la función f2-1 (inversa a f2), podemos hacer la composición de la función f2-1 con f1 y con f3 y obtener una función de proporcionalidad f4 entre las medidas de M1 y M2, como se esquematiza en la siguiente figura. f1

M1 f2

f2

M2 −1

f3 ℜ

ℜ f4

figura 5-1 Gráfica de la proporcionalidad entre medidas de magnitudes proporcionales


245


Ahora bien, como las estructuras algebraicas y de orden de las magnitudes y el conjunto de sus medidas son iguales, lo que se expresa en el plano de lo cuantitativo no numérico se expresa también en el plano de lo cuantitativo numérico. En este segundo plano las operaciones y relaciones se establecen entre números y —tal vez mediado por las costumbres y por la formación propias de nuestra cultura— en el ámbito numérico éstas pueden tener mayor significado y ser fácilmente realizables; piénsese en la facilidad de sumar 4 cm2 con 7 cm2 y compárese con la dificultad de sumar dos superficies finitas.

Esta relativa facilidad de manejo de las operaciones y relaciones entre números puede llegar a ser la causa de que en los textos escolares de matemáticas estudiados haya un tratamiento de la proporcionalidad exclusivamente en el ámbito de lo cuantitativo numérico. Consideramos que este hecho descriptivo de las matemáticas escolares actuales (o al menos de las que pudimos evidenciar a través de los textos) abre un panorama investigativo muy interesante cuyo objeto de estudio sería la proporcionalidad cuantitativa no numérica y su intencionalidad el diseño curricular de situaciones que exijan y promuevan el desarrollo del pensamiento matemático necesario para entender conceptos matemáticos esenciales en la proporcionalidad (v.g., razón, proporción, orden, suma) sin recurrir a su expresión numérica.1 f.

La proporcionalidad directa puede no ser creciente y la inversa puede no ser decreciente En los textos escolares de matemáticas y en la propuesta de programa curricular (Colombia–MEN, 1989) identificamos que las condiciones de correlación directa e indirecta se establecen como necesarias para la existencia de

1

A este tipo de pensamiento algunos psicólogos lo denominan “razonamiento proporcional cualitativo”. Desde la perspectiva ofrecida por el estudio de las presentaciones formales matemáticas

246



proporcionalidad directa e inversa, respectivamente. En algunos de los talleres que hemos desarrollado con profesores —de los cuales no se ha reportado resultado alguno en este documento— hemos evidenciado que las expresiones “cuando una variable crece la otra crece o cuando una decrece la otra decrece” y “cuando una variable crece la otra crece o cuando una decrece la otra crece”, son utilizadas frecuentemente por ellos para establecer sendas condiciones necesarias para la existencia de la proporcionalidad directa e inversa.

Desde la perspectiva expresada en las presentaciones formales estudiadas, estas condiciones no aparecen ni como necesarias, ni como suficientes para que la función entre dos magnitudes defina una proporcionalidad. Sólo cuando ambas magnitudes relacionadas son absolutas estas condiciones se pueden considerar necesarias. Diríamos entonces que la proporcionalidad (directa o inversa) sí exige que la función que relaciona las magnitudes sea monótona.

Ahora bien, el hecho de que los textos no incluyan un tratamiento de la proporcionalidad

para

magnitudes

relativas

ofrece

también

un

—

aparentemente— nuevo ámbito de investigación a través del cual se puedan construir situaciones que involucren magnitudes relativas directamente proporcionales y la función de proporcionalidad sea monótonamente decreciente, así como situaciones que involucren magnitudes relativas inversamente proporcionales y la función de proporcionalidad sea creciente. Diseñar e implementar en la escuela esta dimensión de la temática podría ayudar a darle sentido a la constante aparición del estudio de los enteros y racionales negativos —en séptimo grado— como temática previa al estudio de la proporcionalidad.

consideramos que el adjetivo cualitativo estaría mal utilizado y proponemos entonces renombrar este pensamiento como “razonamiento proporcional cuantitativo no numérico”. Universidad del Valle • IEP • Magister en Educación – Énfasis en Educación Matemática

247


A través del estudio de estas actividades quisiéramos, por ejemplo, que tanto profesores como estudiantes pudieran entonces reconocer que una recta de pendiente negativa graficada en el plano cartesiano puede representar una relación de proporcionalidad directa, al igual que una (y sólo una) rama de la hipérbola asintótica a los ejes coordenados puede representar una relación de proporcionalidad inversa aun si ésta se ubica en el segundo y cuarto cuadrante.

5.3 A MODO DE CONCLUSIÓN El amplio espectro investigativo descrito parcialmente en el capítulo 1, a través de la idea de Estudio Didáctico, permite reconocer que las acciones emprendidas y finalizadas en el presente trabajo de tesis son apenas unas piezas de un complejo conocimiento a construir, en nuestro caso, en torno a las razones, las proporciones y la proporcionalidad.

Estamos convencidos que una intervención significativamente favorable en los problemas de los que se ocupa la Didáctica de las Matemáticas es posible si quienes nos estamos formando en este campo asumimos como proyecto de vida especializarnos en un problema o temática puntual de las matemáticas escolares y/o de las matemáticas cotidianas, y promover la consolidación de una cultura investigativa en torno a tal proyecto.

En esta línea de pensamiento esperamos que aquellas otras piezas que deseábamos y creíamos ser capaces de construir en el marco de la tesis y que tuvimos conscientemente que relegar (v.g., la historia de las razones, las proporciones y la proporcionalidad; los conocimientos de los profesores acerca de estos temas) y otras que se consideran como partes constitutivas del Estudio Didáctico (v.g., las expresiones no escolares de las razones, las proporciones y la proporcionalidad; los esquemas de complejidad psicológica ligados a estos temas), puedan ser retomadas, y 248



en un futuro no muy lejano estar presentando algunos resultados que incorporados a los resultados obtenidos permitan hacer un poco más viable y próxima la construcción de un conocimiento didáctico en torno de las razones, las proporciones y la proporcionalidad.

Finalmente, queremos manifestar que ahora más que antes estamos convencidos de que el Estudio Didáctico de las razones, las proporciones y la proporcionalidad tiene un enorme potencial investigativo.


249

Referencias bibliográficas Acevedo, J. (1991). Patrones de razonamiento proporcional en la resolución de tareas de ciencias. Suma, (8), 41–49. Acevedo, M. y Huertas, C. (1999). El conocimiento profesional: una mirada a la aritmética de la escuela. Santafé de Bogotá: Grupo Editorial Gaia. Aceytuno, F. (1958). Análisis Matemático Elemental. Tomo I. Madrid: Editorial Dossat, S.A. Adi, H. y Pulos, S. (1980). Individual differences and formal operational performance of college students. Journal for research in mathematics education. 150–156. Albabera, A. (1993). Semejanza y proporcionalidad en la escuela secundaria. Memorias de la Séptima Reunión Centroamericana y del Caribe sobre formación de profesores e investigación en Matemática Educativa. 86–90. Cuernavaca: CINVESTAV. Arbeláez, G., Arce, J., Guacaneme, E y Sánchez, G. (1999). Análisis de textos escolares de matemáticas. Santiago de Cali: Instituto de Educación y Pedagogía. Universidad del Valle. Arboleda, L. (1984). Historia y enseñanza de las Matemáticas. Quipu. Revista latinoamericana de historia de las ciencias y la tecnología, 2, (1), 167–194. Arce, J., Castrillón, G. y Vega, M. (1995a). Diseño de estrategias para el desarrollo de una cultura matemática en contextos escolares y extraescolares (documento no publicado). Santiago de Cali: Instituto de Educación y Pedagogía. Universidad del Valle. Arce, J., Castrillón, G. y Vega, M. (1995b). Formación de pensamiento matemático en el contexto escolar: Implicaciones de la cultura del UNO y la UNIDAD


(documento no publicado). Santiago de Cali: Instituto de Educación y Pedagogía. Universidad del Valle. Arrieta, J. (1989). Investigación y docencia en didáctica de las matemáticas: Hacia la constitución de una disciplina. Studia, Pedagógica. Revista de Ciencias de la Educación. (21), 7–17. Arsac, G. (1992). L’évolution d'une théorie en didactique: l'exemple de la transposition didactique. Recherches en Didactique des mathématiques. 12, (1), 7–32. Artigue M. (1988). Ingeniería Didáctica. Recherches en Didactique des mathématiques. 9, (3), 281–308. Artigue, M. et Perrin, M. (1990). Lìngénierie didactique, méthodologie de recherche et produit de développement: quelques problèmes théoriques lies a cette dualité. París: DIDIREM, Université París 7. Bart, W., Post, T., Behr, M. y Lesh, R. (1994). A diagnostic analysis of a proportional reasoning test item: an introduction to the properties of a semi–dense item. Focus on Learning Problems in Mathematics. Vol. 14 No. 3 Massachusetts: Center for Teaching/Learning of Mathematics. Basso, M., Bonotto, C., Sorzio, P. (1996). Understanding decimal numbers: from measurement towards the number line. Proceedings of the 20th conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education.. Vol. 1, 155. Valencia: Universidad de Valencia. Behr M., Harel, G. Post, T. y Lesh, R. (1987). Theoretical analysis: structure and hierarchy, missing value proportion problems. Proceedings of the Eleventh Conference of PME Vol.VII., 269. Montreal. Behr, M., Harel, G., Post, T. y Lesh, R. (1984). Rational Number, ratio, and proportion. En Grouws, D. (Eds.), Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. 296–333. New York: MacMillan Publishing Company. Behr, M., Reiss, M., Harel, G., Post, T. y Lesh, R. (1986). Qualitative proportional reasoning: Description of tasks and development of cognitive structures. Proceedings of the Tenth Conference of PME, 235–240. Londres. Behr, M., Wachsmuth, I., Post, T .R., y Lesh, R. (1984). Order and equivalence of rational numbers: A clinical teaching experiment. Journal for Research in Mathematics Education, 15, 323–341. Ben–Chaim, D., Fey, J., Fitzgerald, W.A. Benedetto, C. y Miller, J. (1988). Proportional reasoning among seventh grade students with different curricular experiences. Educational Studies in Mathematics. 36. 247–273. 252


Referencias bibliográficas

Bergeron, J. y N. Herscovics. (1983). Models of multiplication based on the concept of ratio. Proceedings of the Seventh Conference of PME. Beristain , E. y Campos Y. (1997). Matemáticas McGraw—Hill. Séptimo Grado. Colombia: McGraw—Hill Interamericana S.A. Boisnard, D., Houdebine, J., Julo, J., Kerboeuf, M. et Merri, M. (1994). La proportionnalité et ses problèmes. Paris: Hachette Éducation. Bosch, M. (1994). Les instruments du travail mathématique: Le cas de la proportionnalité. En Artigue, M., Gras, R., Laborde, C. et Tavignot, P. (Eds.), Vingt ans de didactique des mathématiques en France. Hommage a Guy Brousseau et Gerard Vergnaud. 305–312. París: La Pensée Sauvage Editions. Branfield, J.R. (1985) Teaching strategies in Mathematics exemplified in ratio and proportion. M. Phil University of Nottingham, England. Brousseau, G. (1986). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques. Recherches en Didactique des Mathématiques, 7, (2), 33–115. Brousseau, G. (1990). ¿Qué pueden aportar a los enseñantes los diferentes enfoques de la didáctica de las matemáticas? Primera Parte. Enseñanza de las ciencias, 8, (3), 259–268. Brousseau, G. (1991). ¿Qué pueden aportar a los enseñantes los diferentes enfoques de la didáctica de las matemáticas? Segunda Parte. Enseñanza de las ciencias, 9, (1), 10–21. Brousseau, R., Brown, T. y Johnson, P. (1969). Introduction to ratio and proportion. The Arithmetic Teacher. 16, (2), 89–90. Bustos, F. (1993). Construcción del conocimiento. La nueva propuesta pedagógica. Serie Fundamentos de la Educación. Lectura nº 9. Santafé de Bogotá, D. C.: Ascender. Campos, A. (1984). Introducción a la lógica y la geometría griegas anteriores a Euclides. Universidad Nacional de Colombia. Carraher, T. (1986). Rated addition: A correct additive solution for proportions problems. Proceedings of the Tenth Conference of PME. 247–252. Londres. Carretero, L. (1989). La adquisición de la noción de proporcionalidad según diferentes tipos de estructuras multiplicativas por el niño de 8 a 11 años. Anuario de Psicología, 3, (42), 85–101. Castillo, H., Guacaneme, E., Obando, G. y Torres, L. (1994). El papel de la historia de las matemáticas en algunas investigaciones en Educación Matemática. En


253


Memorias V Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones. 9–16. Santafé de Bogotá, D. C.: Universidad Distrital. Castro, E. (1995). Niveles de comprensión en problemas verbales de comparación multiplicativa. Granada. Ed. Comares. Charaudeau, P. (1993). Sobre la lectura y el análisis de textos (conferencia no publicada). Santiago de Cali: Universidad del Valle. Chevallard, Y. (1985). La Transposition Didactique, du savoir savant au savoir enseigné. Grenoble: La Pense Sauvage. Chevallard, Y. et Joshua, M. (1982). Un exemple d'analyse de la transposition didactique. La notion de distance. Recherches en Didactique des Mathématiques, 3, (1), 159–239. Coffin Koch Laura (1987). Strategies used by college students enrolled in developmental mathematics to solve proportional reasoning problems. Proceedings of the Eleventh Conference of PME Vol. VII, 296. Montreal. Colombia − Ministerio de Educación Nacional (1975).Programas de matemáticas. Resolución 277 de Febrero 4 de 1975. Santafé de Bogotá, D.C.: MEN. Colombia − Ministerio de Educación Nacional (1982).Programa de 5º. grado de Básica Primaria. Santafé de Bogotá, D.C.: MEN. Colombia − Ministerio de Educación Nacional (1998). Matemáticas. Lineamientos curriculares. Santafé de Bogotá, D.C.: MEN. Colombia − Ministerio de Educación Nacional. (1989). Programas de Matemáticas. Reforma Curricular. Grado Séptimo. Santafé de Bogotá, D. C.: MEN. Contreras, H., Lizcano, G., García, G., Cano, E., y Flechas, H. (1997). Logros Matemáticos. Séptimo Grado. Colombia: McGraw—Hill Interamericana S.A. Contreras, L. (1993). Mapas conceptuales y resolución de problemas. Investigación en la Escuela, (19), 79–88. Corral, A. (1987). El aprendizaje de la estrategia de comparación de proporciones. Infancia y Aprendizaje, (37), 33–43. Cousquer, É. (1994). De la théorie des proportions à la théorie des nombres réels. Cramer, K., Post, T y M. Behr. (1989). Interpreting Proportional relationships. Mathematics Teacher Vol. 82, Number 6. Cramer, K. y Post, T. (1993). Proportional Reasoning. The Mathematics Teacher. 86, (5), 404–407.

254



Cramer, K. y Post, T. (1993). Proportional Reasoning. The mathematics teacher, 86, 5, 404–407 (Documento interno de trabajo. Traducción al castellano de Olimpia Figueras). Crilly, T. (19??). A supergolden rectangle. The Mathematical Gazette. Felixtowe: The mathematical association Bronisuave, C. (1999). El maestro constructivista como investigador: cómo enseñar razones y proporciones a adolescentes. Educación Matemática Vol. 11 No. 2, 52–63. México: Grupo Editorial Iberoamérica Davis, R. B. (1988). Is "Percent" a number? Journal of mathematics behavior. 7, 299–302. De Guzmán, M. (1991). Tendencias y experiencias innovadoras en Educación Matemática (conferencia no publicada). Santafé de Bogotá, D. C.: Organización de Estados Iberoamericanos para la educación, la ciencia y la cultura. De Trocóniz, A. y Belda, E. (1959). Análisis Algebraico. Bilbao: Talleres Gráficos Ordorica. Departamento Editorial de Santillana S.A. (1995). Procesos Matemáticos 7. Colombia: Editorial Santillana S.A. Desli, D. (1996). Does language affect proportional reasoning? Proceedings of the 20th conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education. (1) 212. Valencia: Universidad de Valencia. Diaz, A. y Magalhaes, V. (1990). Proportional reasoning: from shopping to kitchens, laboratories, and hopefully, schools. Proceedings of the fourteenth PME Conference. (3). Mexico: The Program Committee of the 14th PME. Díaz, J., Filloy, E., Matos, J. y Gutiérrez, A. (1990). Panel: Investigación en Educación Matemática. En Memorias del Primer Congreso Iberoamericano de Educación Matemática. Colección Documentos nº 42. (164–184). París: UNESCO. Douady, R. (1993a). La Didáctica de las Matemáticas en la actualidad (traducción no publicada). Tomado de: Cahier de Didactique des Mathématiques (6). París: Université París 7. IREM. Douady, R. (1993b). Juegos de marcos y dialéctica herramienta–objeto. En Sánchez, E. y Zubieta G. Lecturas en Didáctica de las Matemáticas: Escuela Francesa (68–87). México: Instituto Politécnico Nacional – CINVESTAV. Dupuis, C. et Pluvinage, F. (1981). La Proportionnalité et son utilisation. Recherches en Didactique des Mathématiques, 2, (2), 165–212. Universidad del Valle • IEP • Magister en Educación – Énfasis en Educación Matemática

255


Edwards, C. (1979). Area, Number, and Limit Concepts in Antiquity. En Springer– Verlag. The historical development of the calculus, 1–28. New York: Heidelberg Berlín. El Bouazzaoui, H. (1988) L’étude des conceptions de la notion de continuité dans function chez les élevés et les professeurs de la fin du secondaire au marc (Tesis doctoral). Québec: Universidad Laval. Equipe de Recherche Pedagogique. (1981). Proportion et équilibre de la balance: une experiencie dápprentissage de la proportion inverse. Psychology of matemathics education Vol. 1 Grenoble France. Eves, H. (1980). Precipitation of the crisis. En Great moments in mathematics (befor 1650) The Dolciani Mathematical Expositions (Number Five). The Mathematical Association of America. Farfán, R. (1994). Ficha didáctica sobre concepciones (documento no publicado). México: CINVESTAV – IPN. Fernández, P. (1990). Relaciones teórico–empíricas entre los esquemas de proporción, probabilidad y covariación. Revista de Psicología General y Aplicada, 43, (3), 331–337. Figueras, O. (1989). Children’s ideas about sharing and partitioning processes: An exploratory study for curriculum development. Memoria presentada para la obtención del grado Associateship of the Faculty of Education, King´s College London, University of London, Reino Unido. Fiol, M. y Fortuny, J. (1990). Proporcionalidad directa. La forma y el número. Colección: Matemáticas: Cultura y aprendizaje. Vol. 20. Madrid: Editorial Síntesis S. A. Fisher, L. (1988). Strategies used by secondary mathematics teachers to solve proportion problems. Journal for Research in Mathematics Educ. , Vol. 19, No. 2, 157–168. Flores, A. (1995). Nexos en el razonamiento proporcional: palancas, media aritmética, promedio ponderado, mezclas, porcentajes de bateo y velocidades. En Educación Matemática. 7, (2), 113–125. Freudental H. (1983). Fenomenología didáctica de las estructuras matemáticas. Cap. 2 "El Método"; Cap. 5 "Fracciones"; Cap. 6 "Razón y Proporcionalidad"; Cap. 16 "El lenguaje Algebráico" Traducción para uso interno: Luis Puig Freudenthal, H. (1983). Ratio and proportionality. Didactical phenomenology of mathematical structures. D. Reidel Publishing Company.

256



Fujimura, N. (1993). Proportional reasoning of elementary school children. Proceedings of the seventeenth international conference Psychology of Mathematics Education. Ibakari, Japan. Gámiz, L. y Flores Pablo. (1996). Papel pericial de las matemáticas. Los repartos. Suma. Revista sobre enseñanza y aprendizaje de las matemáticas 81–87. Huelva: Federación Española de Sociedades de profesores de matemáticas. García, M., Martí, E., Gómez–Granell, C. y Steren, B. (1996). Learning proportion using a computer environment in the classroom. Proceedings of the 20th conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education. (2)–393. Valencia: Universidad de Valencia. García, G. y Serrano, C. (1999). La comprensión de la proporcionalidad, una perspectiva social y cultural. Santafé de Bogotá: Gaia Grupo Editorial. Gerber, D. (1989) Gears, ratios and the bicycle. Mathematics Teacher. Goldin, G., DeBellis, V. y otros (1993). Task–Based interviews for a longitudinal study of children mathematical development. Proceedings of the 17th International Group for the Psychology of Mathematics Education (PME.) (1) 197–203. Gómez, C. (1981). Procesos cognoscitivos en el aprendizaje de la multiplicación. Infancia y aprendizaje. 15, (3), 109–119. Gómez, C. (1988). Representación y simbolización en el marco de problemas multiplicativos. Barcelona: Universidad de Barcelona. Gómez, C. (19). Números racionales y razonamiento proporcional: una propuesta curricular en los estándares del NCTM Revista EMA (6) 2. Santafé de Bogotá: “una empresa docente”. Gómez, Pedro. (1993). La transposición didáctica y los libros de texto de matemáticas (documento no publicado). Santafé de Bogotá, D. C.: "una empresa docente". Gran Enciclopedia Larousse. (1980). Suplemento. Barcelona: Editorial Planeta S. A. Grupo Beta. (1990). Proporcionalidad geométrica y semejanza. Colección: Matemáticas: Cultura y aprendizaje. Vol. 14. Madrid: Editorial Síntesis S. A. Guacaneme, E. (1995a). Los saberes: Ámbito de análisis e investigación didáctica. En Publicación de la: Novena Reunión Centroamericana y del Caribe sobre Formación de Profesores e Investigación en Matemática Educativa. 407–412. La Habana, Cuba.


257


Guacaneme, E. (1995b). Sociología y Educación Matemática (ensayo no publicado). Santiago de Cali: Universidad del Valle. Harel G., M. Behr, T. Post, R. Lesh (1987). Qualitative differences among 7th grade children in solving a non numerical proportional reasoning blocks task. Proceedings of the Eleventh Conference of PME Vol.VII. 282. Montreal. Harel, G. y Behr, M. (1989). Structure and hierarchy of missing–value proportion problems and their representations. Journal of mathematics behavior. 8, 77– 119. Harel, G., Behr, M., Post, T. y Lesh, R. (1991). Variables affecting proportionality: understanding of physical principles, formation of quantitative relations, and multiplicative invariance. Proceedings Fifteenth PME Conference. Issisi: Dipartimento di Matematica dellí Universitá di GenovaFuringhetti, Fulvia Harrison, B., Brindley S. y Bye, M. P. (1989). Allowing for student cognitive levels in the fractions and ratios. Journal for Research in Mathematics Education, 20, 3, 288–300. Hart, K. (1981a). Ratio and Proportion. En K. Hart (Ed.),. Children's understanding of mathematics 11–16. 88–101. London: John Murray. Hart, K. (1981b). The addition strategy in ratio. En K. Hart (Ed.), Strategies and errors in secondary mathematics.. London University: Chelsea College,. Hart, K. (1983). Ratio and fractions. (Chelsea College Mathematics in School,. Vol. 12 No. 2 Hart, K. (1984). Ratio: Children's strategies and errors. A report of the strategy and errors in secondary mathematics proyect. Oxford: NFER–Nelson. Hart, K. (1988). Ratio and Proportion. En J. Hierbert y Behr M. (Eds.),. Number concepts and operation in the middle grades. 198–219. National Council of Teacher of Mathematics. Hart, K. (1988). Ratio and Proportion. En J. Hierbert y Behr M. (Editores. Number concepts and operations in the Middle Grades. Vol. 2 , National Council of Teachers of Mathematic, Virginia, USA. (Traducción de Marta Valdemoros, CINVESTAV–IPN, 1990). Hart, K. (1989). The importance of ratio and proportion in school mathematics (documento no publicado). París: Nuffield Secondary Mathematics. Heath, T. (1956). Book V. En: The Thirteen Books of Euclid's Elements 112–186. Vol. 2. New York: Dover Publications, Inc.

258



Hiebert, J. (1992). Mathematical, cognitive, and instructional analyses of decimal fractions. En , G. Leinhartdt, R. Putnam y R. Hattrup (Eds.), Analisis of Arithmetic for Mathematics Teaching, 283–322. Hillsdale, N. J. : Lawrence Erlbaum Associates. Hoffman, K. y Kunze, R. (1993). Álgebra lineal. México: Prentice–Hall Hispanoamericana S.A. Hoyles C, R. Noss y R. Sutherland. (1989). Designing a LOGO–based micro words for ratio and proportion. Journal of Computer Assisted Learning 5, 208–222. Hoyles C. y Noss, R. (1989). The computer as a catalyst in children's proportion strategias. Journal of mathematics behavior. 8, 53–75. Hoyles, C., Noss, y Pozzi, S. (2001). Proportional reasoning in nursing practice Journal for research in mathematics education. 32 (1) 4–27.Virginia: NCTM. Hunting, R. P. (1983). Alan: a case study of knowledge of units and performance with fractions. Journal for Research in Mathematics Education, 14, 3. 182–197. Hunting, R. P. y Sharpley, C. F. (1988). Fraction knowledge in preschool children. Journal for Research in Mathematics Education, 17, 3. Ito–Hino, K. (1996). Hitomi's meaning construction of table and algebraic expression of proportion during instruction: a case study. Proceedings of the 20th conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education. 3, 113–120. Jackson, M. y Phillips, E. R. (1983). Vocabulary instruction in ratio and proportion for seventh graders. Journal for research in mathematics education. 14, 4, 337– 343. Janvier, C., Charbonneau, L. et de Cotret, Sophie. (1989). Obstacles épistémologiques á la notion de variable: perspectives historiques. En Bernarz, N. et Garnier, C. (Eds.), Construction des savoirs. Obstacles and Conflits. 64– 75. Ottawa: CIRADE. Jarufe, T. (1984). Proporcionalidad y sus aplicaciones. Revista de Educación. (121), 34–38. Joliffe, F. (19??). Proportions, probability and other matters Proceedings of the first scientific meeting 377–383. Karplus, R., Pulos, S. y Stage, E. K. (1983). Early adolescent's Proportional Reasoning on "rate" problems. Educational Studies in Mathematics 14, 219– 233.


259


Karplus, R., Pulos, S. y Stage, E. K. (1983). Proportional Reasoning of Early Adolescents. En R. Lesh, Marsha L. (Eds.), Acquisition of Mathematics Concepts and Processes". Academic Press, inc Orlando Florida (Documento de trabajo resúmen de Olimpia Figueras). Karplus, R., Karplus, E., Formisano, M. y Paulsen, A. (19??). Proportional reasoning and control of variables in seven countries. En Lochhead, J. y Clement, J. (Eds). Cognitive process instruction. Philadelphia: The Franklin Institute Press. Karplus, R. (19??). Proportional reasoning in the people’s Republic of China. A pilot study. En Lochhead, J. y Clement, J. (Eds). Cognitive process instruction. Philadelphia: The Franklin Institute Press. Kieren, T. (1976) On the mathematical, cognitive and instructional foundations of rational numbers. En R. Lesh (Ed.), Number and Measurement: Papers from a research workshop. 101–144. Columbus. Kieren, T. (1980). The rational number construct–its elements and mechanisms. T. Kieren (Ed.), Recent research on number learning. Columbus. Kieren, T. (1988). Conocimiento individual de números racionales: su desarrollo intuitivo y formal (Traducción de trabajo de Olimpia Figueras: Personal knowledge of rational numbers: Its intuitive and formal development. En J. Hiebert y M. Behr (Eds.), Number concepts and operations in the middle grades. NCTM, 162–181. Kieren, T. (1989). Personal Knowledge of rational numbers: Its intuitive and formal development. En J. Hiebert y M. Behr (Eds.), Number Concepts and Operations in the Middle Grades. 1–18. NCTM. Kieren, T. (1992). Rational and fractional number as mathematical and personal knowledge: Implications for curriculum and instruction. En , G. Leinhartdt, R. Putnam y R. Hattrup (Eds) Analisis of Arithmetic for Mathematics Teaching, Hillsdale, N. J. : Lawrence Erlbaum Associates. 323–371. Kieren, T. (1993). Rational and fractional numbers: from quotient fields to recursive understanding. En T. P. Carpenter, E. Fennema y T. A. Romberg (Eds.), Rational Numbers. An integration Research. Hillsdale, N. J. : Lawrence Erlbaum, 49–84. Kieren, T., Nelson, D. y Smith, G. (1985). Graphical algorithms in partitioning tasks. The Journal Of Mathematics Behavior, 4, 25–36. Kline, M. (1972). The creation of classical Greek Mathematics. En Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. 24–55. New York: Oxford University Press.

260



Kline, M. (1986). El fracaso de la matemática moderna. Por qué Juanito no sabe sumar. México: Editorial Siglo XXI. Küchemann, D. (1989). Learning and Teaching Ratio: A look at some Current Textbooks. En P. Ernest (Ed.), Mathematics Teaching. The state of the ART. London, N. Y. and Philadelfhia. The Falmer Press. 119–135 Lamon S. (1990). Ratio and proportion: Cognitive foundations in unitizing and norming. Proceedings of the annual Meeting of the American Educational Research Association. Boston. 16–20. Lamon S.(1993). Ratio and proportion: Connecting content and children's thinking. Journal for Research in Mathematics Education Vol. 24, No. 1 41–61 Lamon, S. (sin fecha). Ratio and proportion: elementary didactical phenomenology. En Sowder, J. y Schappelle, B (Eds) Providing a foundation for teaching mathematics in the middle grades. Lawton, Carol A. (1993). Contextual factors affecting errors in proportional reasoning. Journal for Research in Mathematics Education. 24 (5) 460–466. Virginia: NCTM. Lesh, R., Post, T. y Berh, M. (1988). Proportional Reasoning. En Hierbert J. y Behr Merlyn (Eds.), Number concepts and operation in the middle grades. (93–118). National Council of Teacher of Mathematics. Lesh, R., Behr, M. y Post, T. (1987). Rational numbers relations and proportions. En C. Janvier (Ed.), Problems of representation in the teaching and learning of mathematics (pp.41–58). Hillsdale, NJ: Erlbaum. Lin, F. (1991) Advanced proportional reasoning. Proceedings of the fifteenth international conference Psychology of Mathematics Education Issisi: Dipartimento di Matematica dellí Universitá di Genova Furinghetti, Fulvia. Llinares, S. y Sánchez, V. (1992). El aprendizaje desde la instrucción: La evolución de las estrategias personales en tareas de proporcionalidad numérica. Enseñanza de las ciencias. 10, (1), 37–48. Lo, J. (1997). Developing ratio and proportion schemes: A story of a fifth grader. Journal for Research in Mathematics Education. Vol. 28 no. 2, 216–236. Lo, J. y Watanabe, T. (1993). Conceptual bases of young children’s solution strategies of missing value proportional tasks. Proceedings of the seventeenth international conference Psychology of Mathematics Education. Ibakari, Japan. Londoño, N. y Bedoya, H. (1988). Serie Matemática Progresiva. Aritmética y Geometría 7. Colombia: Grupo Editorial Norma Educativa.


261


Londoño, N., Guarín, H. y Bedoya, H. (1993). Dimensión Matemática 7. Colombia: Grupo Editorial Norma Educativa. Lovell, K. y I. B. Butterworth. (1966). Abilities underlying the understanding of proportionality. Mathematics Teaching 37. Lunzer, E. y Pumfrey, P. (1966). Understanding proportionality. Mathematics Teaching 34. MacMillan, R. (1996). Getting the right perspective. The Mathematical Gazette Mancera, E. (1990). Investigación y Educación Matemática. Educación Matemática. 2, (1), 10–20. Martínez, A. (1990). La enseñanza como posibilidad del pensamiento. En Díaz, M. y Muñoz, J. (Eds.), Pedagogía, Discurso y Poder. 151–173. Santafé de Bogotá, D. C.: CORPRODIC. Melchor, T. (1994). Naturaleza del concepto de función. La proporción como relación privilegiada. En Cordero T., Murillo R. y Peralta T. (Eds.), Memorias de la Octava Reunión Centroamericana y del Caribe sobre formación de profesores e investigación en Matemática Educativa. 89–94. San José: Editorial Universidad Estatal a Distancia. Mellar H.G. (1991). Modelling students' thinking on a proportional reasoning task. Math, Education SCI Technology, Vol. 22, No. 1, 111–119. Millroy, W. (1991). An ethnographic study of the mathematical ideas of a group of carpenters. Journal for Research in Mathematics Educations. (5). NCTM. Mochón S. (1992). Razón y proporción. PEAM–SEP, México. Moss, J. y Case, R. (1999). Developing children’s understanding of the rational numbers: a new model and an experimental curriculum. Journal for research in mathematics education. 30 (2), 122–147. Virginia: NCTM Nesher, P. (1988). Multiplicative school word problems: Theoretical approaches and empirical findings. En J. Hiebert y M. Behr (Eds.), Number Concepts and Operations in the Middle Grades. 19–40. NCTM. Nesher, P. (1992). Solving multiplication word problems. En G. Leinhardt, R. Putnam, R. Hattrup (Eds.), Analysis of arithmetic for mathematics teaching. Hillsdale, NJ: Erlbaum. Newman, J. (1956). Sigma. El mundo de las matemáticas. Barcelona: Ediciones Grijalbo S. A. Tomo 5. Décima Edición.

262



Noelting G.y L. Gagné. (1980). The development of proportional reasoning in four different contexts. Proceedings of the Fourth Conference of PME. Noelting G.y L. Gagné. A learning hierarchy for ratios and fractions. Universite Laval, Quebec, Canadá Noelting, G. (1980). The development of proportional reasoning and the ratio concept. Part I. Differentiation of stages. Educational Studies in Mathematics 11, 2. 217–353. Noelting, G. (1980). The development of proportional reasoning and the ratio concept. Part II. Problem–Structure at successive stages; problem–solving strategies and the mechanism of adaptative restructuring Educational Studies in Mathematics 11. 332–363. Nohda, N. (1984). Developmental research on teaching and learning in mathematics education. A view of doubling and halving based on ratio concept. Proceedings of the Eighth Conference of PME. Japón. Novak, J. (1988). Aprendiendo a aprender. Barcelona: Ediciones Martínez Roca, S. A. Ohlsson, S. (1988). Mathematical meaning and applicational meaning in the semantics of fractions and related concepts. En Hierbert J. y Behr Merlyn (Eds.), Number concepts and operation in the middle grades. 52–92. NCTM. Orozco, M. (1989). Construcción de procedimientos al resolver problemas multiplicativos (documento no publicado). Santiago de Cali: Universidad del Valle. Ortiz, M. (1991). La Didáctica de las Matemáticas: ciencia, técnica o arte (documento no publicado). Santafé de Bogotá, D. C.: Universidad Distrital 'Francisco José de Caldas'. Ortiz, M. (1992). Acerca de "los niveles de complejidad" de las nociones y conceptos y de "la esencia" de los conocimientos matemáticos que deberán construirse durante la escolaridad (documento no publicado). Santafé de Bogotá, D. C.: Universidad Distrital 'Francisco José de Caldas'. Ortiz, M., Acosta, A., Nivia, E. y Rodríguez, G. (1992). Elementos intuitivos de la proporcionalidad (documento no publicado). Santafé de Bogotá, D. C.: Universidad Distrital 'Francisco José de Caldas'. Ortiz, M., Guacaneme, E. y Hernández, F. (1990). Línea de investigación en Didáctica de las matemáticas (documento no publicado). Santafé de Bogotá, D. C.: Universidad Distrital 'Francisco José de Caldas'.


263


Oviedo de V.J. y Z. Méndez. (1994). Procedimientos para resolver problemas multiplicativos tipo proporción. En: Memorias de la VIII Reunión Centroamericana y del Caribe sobre Formación de Profesores e Investigación en Matemática Educativa, Costa Rica. Payne, J. N. (1976). Review of research on fractions. En R. A. Lesh (Ed.), Number and measurement 145–187. Columbus, OH: ERIC/SMEAC. Pezard, M. (1985). Une expérience de enseignement de la proportionnalité aux élèves instituteurs (Tesis Doctoral). París: Université París VII. Pezard, M. (1993). A propos de lènseignement de la proportionnalité. Cahier de Didactique des Mathématiques. (20). París: Université París VII. IREM. Post T.R., M.J. Behr y R. Lesh. (1988). Proportionality and the Development of Prealgebra Understandings. En: Arthurs F. Coxford/Albert O. Shulte (Eds.), The ideas of algebra, K–12, Yearbook NCTM. Pothier, Y. y Sawada, D. (1983), Partitioning: the emergence of rational number ideas in young children. Journal for research in mathematics education. 14, 4. 307– 317. Pothier, Y. y Sawada, D. (1989). La interpretación de igualdad de los niños en sus primeras actividades con fracciones. (Traducción de Olimpia Figueras: Children’s interpretation of equality in early fraction activities. Focus On The Learning Problems In Mathematics. 11, 3). Puertas, M. (1999). Elementos. Libros I–IV. Los Clásicos de Grecia y Roma, Tomo 90. Editorial Planeta DeAgostini S.A. (Traducción). Puig, P. (1956). Curso de Geometría Métrica. Tomo I Fundamentos. Madrid: Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. Rapetti, M. (1990). El esquema de proporción y el aprendizaje escolar. Revista española de pedagogía, 48, (187), 527–539. Reif, D. (1996). Architecture and Mathematics. Mathematics Teacher Vol 89, No. 6, 456–458. Virginia: NCTM Resnick, L. B., (1992). From Protoquantities to operators: Building mathematical competence on a foundation of everyday knowledge. En G. Leinhartdt, R Putham y R. Hattrup (Eds.), Analyses of Arithmetic for Mathematics Teaching, 373–429. Hillsdale, New Jersey. LEA Rey Pastor, J. (1966). Elementos de Análisis Algebraico. Madrid: Martin–Industria Gráfica.

264



Ricco G. (1982). Les premières acquisitions de la notion de function linéaire chez l’enfant de 7a 11ans. Educational studies in Mathematics, 13, 3, 289–327. Rodríguez, M. (1999). La supertasa. Epsilon No. 43–44, 55–62. Sevilla: Sociedad Andaluza de Educación Matemática “Thales” Ros, R. (1996). Matemática aplicada y relaciones de proporcionalidad. Revista EMA Vol 1, No. 2. Santafé de Bogotá: una empresa docente. Russell, B. (1989). El culto al “uso común de las palabras”. En Obras Maestras del Pensamiento Contemporáneo Nº 10. Escritos Básicos I. 41–45. Barcelona: Planeta–Agostini. Sánchez, J. (1949). La Aritmética en Roma, en India y en Arabia. Madrid: Imprenta y Editorial Maestre. Schmidt, W., McKnight, C., Valverde, G., Houang, R. y Wiley, D. (1996). Many Visions, Many Aims. A Cross—National Investigation of Curricular Intentions in School Mathematics. IEA—TIMSS. Schwartz, J. (1988). Intensive quantity and referent transforming arithmetic operations. En Hierbert J. y Behr Merlyn (Eds.), Number concepts and operation in the middle grades. 41–52. National Council of Teacher of Mathematics. Sfard, A. (1991). On the dual nature of mathematical conceptions: Reflections on processes and objects as different sides of the same coin. Educational Studies in Mathematics. (22), 1–36. Singer J. y Resnick, L. (1992). Representations of proportional relationships: are children part–part or part–whole reasoners? Educational studies in Mathematics, 23 231–246. Sokona, S. (1989). Aspects analytiques et aspects analogiques de la proportionnalité dans une situation de formulation. "Petit X". (19), 5–27. Soto, I. y Rouche, N. (1995) Problemas de proporcionalidad resueltos por campesinos Chilenos. Educación Matemática, 7, (1), 77–95. Streefland L. (1982). The role of rough estimation in learning ratio and proportion – an exploratory research. Proceedings of the Sixth Conference of PME, Antwerpen. 193–199. Streefland L. (1983). The long term learning for ratio. Proceedings of the Seventh Conference of PME. Streefland, L. (1993). Fracciones: Un acercamiento realista. (Traducción de Olimpia Figueras y Joan Margarit: Fractions: A realistic Approach. En T. P. Carpenter, Universidad del Valle • IEP • Magister en Educación – Énfasis en Educación Matemática

265


E. Fennema y T. A. Romberg (Eds.), Rational Numbers. An integration Research. Hillsdale, N. J. : Lawrence Erlbaum, 289–325). Streefland, L. (1993). Fractions: A realistic Approach. En T. P. Carpenter, E. Fennema y T. A. Romberg (Eds.), Rational Numbers. An integration Research. Hillsdale, N. J. : Lawrence Erlbaum, 289–325. Thompson, A. (1984). Teachers' Beliefs and Conceptions: A synthesis of the Research. En Grouws, D. (Eds.), Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (127–146). New York: MacMillan Publishing Company. Thorup A. (sin fecha). A Pre–Euclidean Theory of Proportions. (Communicated by B.L. Van Der Waerden). Archive for History of exact sciences. Vol. 45, Num. 1, Germany. Tourniaire F. (1986). Proportional in elementary school. Educational Studies in Mathematics 17. 401–412. Tourniaire, F. y Pulos, S (1985). Proportional reasoning: a review of the literature. Educational Studies in Mathematics 16. 181–204 (Documento interno de trabajo. Traducción al castellano de Olimpia Figueras y Enrique Ruiz). Truran J. (1994). Examination of a relationship between children's estimation of probabilities and their understanding of proportion. Proceedings of the XVIII Conference PME , Portugal. Turner, A.D. (1982). "Ratio and Proportion" Part 2 Mathematics in School Vol. 11 No. 1. January. Turner, A.D. (1982). Ratio and Proportion Part 1 Mathematics in School Vol. 10 No. 5. January. Universidad del Valle, Multitaller de Materiales Didácticos. (1996). Tercer Estudio Internacional de Matemáticas y Ciencias TIMSS. Seminario de Socialización. Santiago de Cali: Universidad del Valle. Van Den Brink, J. y Streefland, L. (1979). Young children (6–8) – Ratio and proportion. Educational Studies in Mathematics 10, 403–420. Vasco, C. (1990). Algunas reflexiones sobre la Pedagogía y la Didáctica. En Díaz, M. y Muñoz, J. (Eds.), Pedagogía, Discurso y Poder (107–122). Santafé de Bogotá, D. C.: CORPRODIC. Vasco, C. (1993). La Educación Matemática: Una disciplina en formación (documento no publicado). Santafé de Bogotá, D. C.: Universidad Nacional de Colombia.

266



Vergaud, G. (1983). Multiplicative structures. En R. Lesh y M. Landau (Eds.), Acquisition of mathematical concepts and processes (127–174). New York: Academic Press. Vergnaud, G. (1979). The acquisition of arithmetical concepts. Educational Studies in Mathematics. 10, 263–274. Vergnaud, G. (1988). Multiplicative Structures. En Hierbert J. y Behr M. (Eds.), Number concepts and operation in the middle grades. 141–161. National Council of Teacher of Mathematics. Vergnaud, G. (1990). La théorie des Champs Conceptuelles. Recherches en Didactique de Mathématiques. 10, (2), (3). 133–170. Vergnaud, G., Rouchier, A., Ricco, G., Marthe, P., Metregiste, R. y Giacobbe, J. (1979). Didactics and acquisition of "Multiplicative Structures" in secondary schools (documento no publicado). Leeds: University of Leeds. Wilbur, K. (1992). De exhausión a las cortaduras: primeras etapas de la teoría griega de las proporciones. Mathesis. Vol VIII/ 1992 nº 1. Winch, Bv. W. H. (1913–14). Should young children be taught arithmetical proportion? Part I, II y III. Journal of experimental pedagogy, 2, 79–88, 319– 330, 406–420. Zeman, M. (1991). The part–whole schema in the conceptualization of fractions. Journal of Mathematical Behavior, 10, 251–259. Zubieta, F. (1991). La definición de proporción de Eudoxio. La "exhausión" de Eudoxio aplicada al círculo. Mathesis. VII /1991 nº 4.


267

Anexo 1 Serie Matemática Progresiva Aritmética y Geometría 7 (Capítulos 10 y 11)

Estudio Didáctico de la proporción y la proporcionalidad

270

Edgar Alberto Guacaneme S.

Anexo 1: Serie Matemática Progresiva. Aritmética y Geometría 7

Universidad del Valle IEP Magister en Educación - Énfasis en Educación Matemática

271


272




273


274




275


276




277


278




279


280




281


282




283


284


Anexo 2 Dimensión Matemática 7 (Capítulo 10)


286


Anexo 2: Dimensión Matemática 7


287


288




289


290




291


292




293


294




295


296




297

Anexo 3 Procesos Matemáticos 7 (Unidades 9, 10 y 11)


300


Anexo 3: Procesos Matemáticos 7


301


302




303


304




305


306




307


308


Anexo 4 Matemáticas McGraw-Hill (Capítulo 3)


310


Anexo 4: Matemáticas McGrawHill


311


312




313


314




315


316




317


318




319

Anexo 5 Logros Matemáticos Séptimo grado (Capítulo seis)


322


Anexo 5: Logros Matemáticos. Séptimo grado


323


324




325


326




327


328




329


330




331


332




333

Estudio Didáctico de la Proporción y la Proporcionalidad: Una Aproximación a los Aspectos Matemáticos Formales y a los Textos Escolares de Matemáticas

Recommend Documents