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Capítulo 2 s a o ens ona e os sólidos elásticos Dpto. Ingeniería Área de Ingeniería Construcción
Antonio Giménez
Comp Co mpon onen ente tess de un vector vect vector or Z
V = Vx + Vy + Vz
Vz
Vx = V· cos α = V· α
V
Vy = V· cos β = V · β
γ γ β
α
Vx
Vz = V· cos γ = V ·
X
Vy Y Antonio Giménez
Componentes del vector tensión k
σ=σx+σy +σz σz
σx=σ·α
σ
σy=σ·β
γ γ β
α
σx
σ z = σ • γ i
σy j
u = α • i + β • j + γ • k
1 = α 2 + β 2 + γ 2 Antonio Giménez
Componentes de un vector
α 0 0 u
=
0 0
β 0 0 γ
σx 0 σ
=
0 0
i
*
k
0
σy 0 0 σz
j
i
*
j k
Antonio Giménez
Estado tensional de un punto
Antonio Giménez
Estado tensional de un punto z
σnz τzy
τzx τ xz
σnx
τ
σ
z
τxy τ xz
τxy σny
x
τyx
y
Antonio Giménez
Estado tensional de un punto z
σnz τzy
dy·dx·σ σ nz
τzx
τxy
τ xz τyz
σnx
τxy τ xz
σny
σnx
x
dx·dz·ττ yz
τyx
dy·dz·ττ xz
y
Σ Fx = 0 dy·dz·σ σ nx +dx·dz·ττ yx +dy·dx·ττ zx = dy·dz·σ σ nx +dx·dz·ττ yx +dy·dx·ττ zx Σ Fy = 0 dy·dz·ττ xy +dx·dz·σ σ ny +dy·dx·ττ zy = dy·dz·ττ xy +dx·dz·σ σ ny +dy·dx·ττ zy Σ Fz = 0 dy·dz·ττ xz +dx·dz·ττ yz + dy·dx·σ σ nz= dy·dz·ττ xz +dx·dz·ττ yz + dy·dx·σ σ nz Antonio Giménez
Estado tensional de un punto Mx =(dy·dx·σ σ nz )·dy·1/2 - (dy·dx·σ σ nz )·dy·1/2 My =(dy·dx·σ σ nz )·dx·1/2 - (dy·dx·σ σ nz )·dx·1/2
z
Mx =(dy·dx· τ zy)·dz
σnz τzy
τzx
τxy σnx
My =(dy·dx· τ zx)·dz
τ xz τyz τxy
τ xz
τyx ny
σnx
x
Tensiones uniformemente distribuidas, resu an e e es uerzos so re ca a cara pasa por el centro de gravedad.
y
Σ Mx = 0 => (dx·dz·τ yz )·dy – (dy·dx·τ zy)·dz = 0 Σ My = 0 => (dy·dx·τ zx )·dz – (dy·dz·τ xz )·dz = 0 Σ Mz = 0 => (dx·dz·τ yx )·dy – (dy·dz·τ xy)·dx = 0 Teorema de la reciprocidad de las Tensiones Antonio Giménez Tangenciales
Teorema de reciprocidad de las tensiones tangenciales τzy
=
τyz
τzx
=
τxz
τxy
=
τyx
Antonio Giménez
Vectores tensión en un punto Σ Fx = 0 => σnx dy dz + τzx dx dy + τyx dx dz = X Σ Fy = 0 => σny dx dz + τzy dy dx + τxy dy dz = Y Σ Fz = 0 => σnz dx dy + τxz dy dz + τyz dx dz = Z Tomamos momentos respecto al eje Z, Y, X
Σ Mx = 0 => ( τzy dx dy ) dz - ( τyz dx dz ) dy = 0 Σ My = 0 => ( τzx dy dx ) dz - ( τxz dy dz ) dx = 0 Σ Mz = 0 => ( τxy dy dz ) dx - ( τyx dx dz ) dy = 0 Teorema de reciprocidad de las tensiones tangenciales Antonio Giménez
Valores del vector de tensión • De los 18 valores de las caras del paralelepípedo infinitesimal sólo hay 6 valores distintos • σx, σy, σz, τyz, τzx, τxy •
Conocidos los 6 valores queda determinado el vector tensión correspondiente a cualquier orientación
Antonio Giménez
Condiciones de equilibrio
Antonio Giménez
Condiciones de equilibrio z
N dSx = dΩ·α =
σnx
dΩ
τxy
x
·
dSz = dΩ · γ
τ xz
y
Las áreas de las caras del tetraedro paralelas a los planos coordenados son las proyecciones ortogonales del área dΩ del triánguloAntonio ABC Giménez
Tensiones y direcciones principales [σ]=[Τ]∗[u] Ecuación característica o secular
- σ 3 + I 1 σ 2 - I 2σ + I 3 = 0 Tensiones principales : son las raíces de la ecuación donde : I1 = σnx + σny + σnz I2 = σnxσny+σnyσnz+σnzσnx-τ2yz-τ2zx-τ2xy I3 = | Τ | Antonio Giménez
Tensiones Principales Tomando como sistema de referencia el triedro correspondiente a las direcciones principales, la matriz de tensiones se reduce a su forma diagonal
Calculo matricial Cambio de ejes coordenados α1 * u1
=
α2 * u2
β1
=
γ γ 1
α3
β2
u3
γ γ 2
r =
xu1
+
yu2
+
zu3
r =
x*u*1
+
y*u*2
+
z*u*3
*
=
β3 α3
REFERENCIA: Elasticidad, L. Ortiz Berrocal
Cambio de ejes x
x =
x*α α1
+
y*α α2
+
z*α α3
y
y =
x*β β1
+
y*β β2
+
z*β β3
z
z =
x*γ γ γ 1
+
y*γ γ γ 2
+
z*γ γ γ 3
=
α1
α2
α3
β1
β2
γ γ 1
γ γ 2
β 3 * y* γ γ 3 z*
x*
[ r]] = [R ] * [r*] Ecuación característica : Direcciones Principales y Tensiones Principales
α.σ α .σnx −σ + 0 = α
β.τ yx
+
γ.τ zx γ.τ zy
0 =
α .τxy
β.σ .σny −σ + + β
0 =
α .τxz
+
β.t β. yz
=>
3
2
-σ + I1 σ - I2 σ + I 3
=
0
σ + γ.σ nz -σ
Antonio Giménez
Cambio de sistema de referencia P interior a un prisma mecánico,
referida a Pxyz,
referida a Px y z
matriz de cambio de ejes. El vector tensión referente a un plano π, cuya orientación viene dada por un vector unitario y
Relaciones entre matrices de tensiones Antonio Giménez
Elipsoide de Lamé Sea P un punto interior a un sólido elástico, buscamos el lugar geométrico de todos los extremos de vectores tensión correspondientes a todos los planos que pasan por dicho punto. Siendo x, y, z los extremos del vector tensión correspondiente con la dirección
0
0
σ2
0
σ1 0
σ1 > σ 2 > σ 3 3
Direcciones principales x y z
σ1 =
0
0
0
σ2
0
0
0
σ3
α β γ
x = α σ1 => y = β σ2 z=γ
=>
1 = α 2 + β 2 + γ 2
σ3 Antonio Giménez
Tensiones y direcciones principales Elipsoide de Lamé, Cuyos ejes coincides con las direcciones principales
x2
σ1
2
2 y +
σ2
2
2 z +
σ3
2
=1
=>
Antonio Giménez
Circulo de Mohr • Representación gráfica plana del vector tensión • Ingeniero alemán (1835-1918)
Antonio Giménez
Circulo de Mohr (I) • Ecuación del vector tensión
Antonio Giménez
Circulo de Mohr (II) • Sistema de ecuaciones (variación de las componentes normal y tangencial)
(Variamos la normal según generatrices de conos de revolución de eje Px podemos eliminar y en el sistema de ecuaciones. Aplicando la condición de compatibilidad
Antonio Giménez
Circulo de Mohr (II) • Desarrollado el determinante por los elementos de la primera columna y dividiendo por se obtiene una familia de circunferencias concéntricas (C1)
Antonio Giménez
Circulo de Mohr (III)
• Siendo σ1≥σ2≥σ3 >0 se dibuja en las coordenadas intrínsecas del vector tensión los tres círculos fundamentales de Mohr Antonio Giménez
Circulo de Mohr (IV)
Familia de circunferencias concéntricas de centros
Antonio Giménez
Circulo de Mohr (V)
Antonio Giménez
Circulo de Mohr (VI) • Cálculo de las direcciones del vector tensión • Ángulo α La potencia de M respecto a C1 será P1= - α2 (σ1- σ2) (σ3 - σ1) Se puede expresar de la forma siguiente P1 = HN·HF= IE·HF = (σ1- σ2)
(σ1- σ3)
Antonio Giménez
Circulo de Mohr (VII) • Cálculo de las direcciones del vector tensión • Ángulo γ
Antonio Giménez
Circulo de Mohr (VIII) • Cálculo de las direcciones del vector tensión • Ángulo α y γ
Antonio Giménez
Circulo de Mohr (IX)
Antonio Giménez
Circulo de Mohr (X) • Representación gráfica
Cálculo de las componentes intrínsecas a partir de los ángulos
Antonio Giménez
Circulo de Mohr (XI) • Más información sobre el círculo de Mohr • Los puntos representativos del haz de planos que contienen al primer eje principal pertenecen a la circunferencia C1
Girado 90º detrás Antonio Giménez
Circulo de Mohr (XII) • La relación entre el ángulo real y el ángulo en el círculo es 2
Igualdades del ángulo doble
Antonio Giménez
Circulo de Mohr (XIII) • Los puntos representativos del haz de planos que contienen al segundo eje principal pertenecen a la circunferencia C2
Antonio Giménez
Circulo de Mohr (XIV) • La relación entre el ángulo real y el ángulo en el círculo es 2
Antonio Giménez
Circulo de Mohr (XV) • Los puntos representativos del haz de planos que contienen al tercer eje principal pertenecen a la circunferencia C3
Antonio Giménez
Circulo de Mohr (XVI) • La relación entre el ángulo real y el ángulo en el círculo es 2
Antonio Giménez
Circulo de Mohr (XVII) Valor de la tensión tangencial máxima
Antonio Giménez
Tensiones octaédricas • Tensiones correspondientes a los planos que forman ángulos iguales con los ejes principales u = (α , , ) 1 1 r
α = ±
3
β = ±
3
γ = ±
1 3
Antonio Giménez
Vector tensión de tensiones octaédricas • Tensión igual
σ = [T ]⋅ u r
r
σ 02 = σ 12 ⋅ α 2 + σ 22 ⋅ β 2 + σ 32 ⋅ γ 2 =
σ 12 + σ 22 + σ 32 3
• Componente intrínseca normal σ n 0 = σ 1α + σ 2 β + σ 3γ ⇒ σ n 0 = 2
2
2
σ 1
2
σ 3
3
• Componente intrínseca tangencial
Antonio Giménez
Matriz de tensiones octaédricas • Tensiones correspondientes a los planos que forman ángulos iguales con los ejes principales
• Descompone la matriz de tensiones referida a las direcciones principales en otras dos: Tensión esférica (tensional Tensión desviadora hidrostático) 0 σ 1 − σ n 0 0 σ n 0 0
[T ] = 0 0
σ n 0 0
0 + σ n 0
0 0
σ 2 − σ n 0
0 σ 3 − σ n 0 0
0 Antonio Giménez
Ecuaciones de equilibrio • Equilibrio interno – Fuerzas de volumen y el incremento de las tensiones – Fuerzas de superficie y las tensiones por sus direcciones
Antonio Giménez
Ecuaciones de equilibrio (I) • Planteamiento del equilibrio elemental de aristas dx, dy, dz respecto al sist. Ref. XYZ. Los valores de las componentes de la matriz no pueden ser arbitrarios, ya que las fuerzas de volumen, el planteamiento del equilibrio estático
Antonio Giménez
Ecuaciones de equilibrio (II)
Antonio Giménez
Ecuaciones de equilibrio (III)
Antonio Giménez
Ecuaciones de equilibrio interno ∂σ nx ∂ xy ∂τ xz X + + + =0 ∂ x ∂ y ∂ z Y +
yx
+
ny
+
yz
=0
∂ x ∂ y ∂ z ∂τ zx ∂τ zy ∂σ nz Z + + + =0 ∂ x ∂ y ∂ z
Antonio Giménez
Ecuaciones de equilibrio en el contorno • Planteamiento del equilibrio en los puntos del contorno exterior del sólido
La tensión en los puntos de dicha superficie exterior ha de coincidir con Antonio Giménez
