1
Apuntes de Física del Estado Sólido Dra. Dora Altbir Drullinsky
Contenidos
1 ESTRUCTURA CRISTALINA Y DIFRACCIÓN 3 1.1 Celdas Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Red Hexagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Redes Tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3 Red Hexagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.4 Red Hexagonal Compacta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.5 Posición y Orientación de los planos en un cristal . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Red Recíproca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.2 Red Recíproca de una cúbica simple (sc) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.3 Red recíproca de una red cúbica centrada en el cuerpo ( bcc) . . . . 13 1.3 Determinación experimental de estructuras cristalinas . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.1 Factor de estructura de la base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.2 Red bcc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 DINÁMICA DE REDES 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7
19
Cuanticaciones de las vibraciones de la red . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Difusión inelástica de fotones de gran longitud de onda. . . . . . . . . . . . . . 20 Vibraciones de cristales con una base monoatómica. . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Velocidad de Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Límites de onda larga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Derivación de la constante de fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Dos átomos por celda primitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3 PROPIEDADES TÉRMICAS DE LOS SÓLIDOS 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6
Expansión Térmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Capacidad Calórica, un acercamiento clásico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Capacidad Calórica, modelo de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modelo de Debye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Capacidad Calórica de los electrones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conductividad Térmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 ELECTRONES LIBRES EN METALES iii
29 29 30 32 34 35 35
37
iv
Contenidos 4.1 4.2 4.3 4.4
Modelo de un electrón libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Modelo de Drude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Gas de Fermi de electrones libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Capacidad Caloríca Experimental en Metales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11
Conductividad Electríca y Ley de Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resistividad experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conductividad térmica de los metales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ley de Wiedermann-Franz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Movimiento en campos magnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Efecto Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bandas de Energía. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42 43 44 44 44 47 49
4.12 Modelo de electrones casi libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.13 Magnitud del Gap de Energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.14 Funciones de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.14.1 Demostración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.15 Modelo de Krönig-Penney . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.16 Ecuación de onda para un electrón en un potencial periódico . . . . . . . . . . 56 4.17 Segunda demostración del teorema de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.17.1 Problemas: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.17.2 Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.18 Número de orbitales en una banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.19 Construcción de supercies de Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.20 Electrones fuertemente ligados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5 Semiconductores 75 5.1 Diferencia entre aisladores y semiconductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.2 Agujeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 5.3 Propiedades ópticas de los semiconductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.4 Masa eféctiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5.5 Semiconductores tipo n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5.5.1 Ejercicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.5.2 Ejercicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.5.3 Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 5.5.4 Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 5.6 5.7 5.8 5.9
Semiconductores tipo p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5.6.1 Portadores mayoritarios y minoritarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Modelo de electrónes libres aplicado a Semiconductores . . . . . . . . . . . . . 86 Juntura de dos metales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Análisis Cuántitativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6 Propiedades Magnéticas
95
1 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11
Variables Magnéticas Macroscópicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Imanes Atómicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Paramagnétismo de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Paramagnetismo de Curie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Teoría de Bandas del Ferromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Imanes Soft y Hard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Portadores mayoritarios y minoritarios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Efecto Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Modelo de electrones libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Modelo de electrones libres aplicado a semiconductores . . . . . . . . . . . . . 111
Chapter 1 ESTRUCTURA CRISTALINA Y DIFRACCIÓN
1.1 Celdas Primitivas Contienen la información completa del cristal y pueden elegirse de diferentes formas, pero todas con igual área, por ejemplo:
Una manera de preservar la simetría de la red, es construyendo una red de WignerSeitz . Ésta se construye asociando a cada punto del espacio que está más cerca de él que de cualquier otro punto. Su volumen (área) es 1=, =
N V (A)
3
4
Chapter 1.
ESTRUCTURA CRISTALINA Y DIFRACCIÓN
1.1.1 Red Hexagonal
a1 a2
p
1 3 = a(1; 0) = a( ; ) 2 2 1 3 1 3 = a ; = a ; 2 2 2 2
p ! p !
Red panal de abejas: l2 = a 2
r ) a 2
2
l =
A cada punto de la red le asociamos la base dada por: ~v1
= a
~v2
= a
p p 1
0 2 3 1 0 2 3
3 2
1.1
Celdas Primitivas
5
En función de ~a1 y ~a2 ~v1
=
~v2
=
1.1.2 Redes Tridimensional En la naturaleza existen
1 1 6 6 1 6
1 6
6
Chapter 1.
ESTRUCTURA CRISTALINA Y DIFRACCIÓN
1.1.3 Red Hexagonal En dos dimensiones tenemos la red triángular denida por: ~a1
= a (1 0)
~a2
= a
p ! 1 3 2 2
Pero tambien podemos elegir: ~a01
= a
~a02
= a
p ! p ! 1 3 2 2
1 3 2 2
luego, en tres dimensiones, ~a1
= a^ x
p 3
1 x ^ y^ 0 2 2
~a2
= a
~a3
= (0 0 c^ z)
!
1.1.4 Red Hexagonal Compacta Es, en realidad, una red con una base. Se forma cuando una red triangular de constante de red a en dos dimensiones. Luego, se apila una copia de ella de forma que las partículas quedan justo sobre los centros de los triangulos de la primera red, a un altura c=2.
1.1
Celdas Primitivas
7
Luego, se copia la primera red y así sucesivamente. No existe necesariamente una relación entre a y c, pero si c = 8=3a, el empaquetamiento es óptimo. Se utilizan los vectores primitivos de la red y se agrega una base:
p
~v1 ~v2
en coordenadas cartesianas o ~v1 ~v2
coordenadas de vectores primitivos.
= (0 0 0) a a c = 2 2 3 2
p
= (0 0 0) 1 1 1 = 3 3 2
1.1.5 Posición y Orientación de los planos en un cristal Habiendo descrito ya qué entendemos por una red, ¿Cómo podemos usar este concepto para indicar un plano cristalino? Una descripción general sugerida por William Miller en 1839 es la siguiente: 1. Determine las intersecciones del plano con los ejes en unidades de los vectores b, ~c primitivos ~a, ~ 2. Escriba el recíproco de cada uno de estos números 3. Reduzcaestos números a los tres enteros h; k; l que sean más pequeños y mantenga la misma razón 4. Los valores h k l se llaman índices de Miller y se encierran entre paréntesis para denotar un plano cristalino
Ejemplo 1. 3 1 2
8
Chapter 1. 2.
1 3
1
ESTRUCTURA CRISTALINA Y DIFRACCIÓN
1 2
3. 2 6 3
4. (2 6 3) Algunos aspectos importantes a considerar son los siguientes:
a) Si el plano es paralelo a un eje particular, el índice de Miller correspondiente es cero (la intersección con el eje es en el innito) b) Si el plano intersecta el eje en un valor negativo, el índice de Miller correspondiente lleva un barra, e. g., (1 1 1) c) El conjunto de planos equivalentes, es decir, con igual simetría, se denota fh k l g. Por ejemplo, en una red cúbica, las caras del cristal se denotan f1 0 0g d) El conjunto (h k l) no sólo denota un plano, sino un conjunto de planos equivalentes paralelos. Por ejemplo, (1 1 1) denota a los planos que cortan los ejes en 1 1 1; 2 2 2; etc. e) Una dirección en la red se especica usando paréntesis cuadrados [h k l]. Esta dirección se dene como la perpendicular al plano (h k l)
En un cristal dado, existen muchas formas de denir planos paralelos
1.1
Celdas Primitivas
9
Tomemos dos planos paralelos que cortan los ejes en m n y o respectivamente El conjunto 1 tiene índices (1 1 1) y dibujando los paralelos (múltiplos enteros) se cubre todo el cristal
Veamos el siguiente ejemplo:
10
Chapter 1.
1 m p = 3
3 n
1 ! o !
1 1 m
1 3 1 n
ESTRUCTURA CRISTALINA Y DIFRACCIÓN
0 1
o
! ! !
1
3
0
p m
p n
p o
h
k
l
Si deseamos cubrir toda la red debemos trazar otros planos: ¿cuántos? p 1. En total hay p planos por cada intersección en el eje d0 = pd cos2 ( 1 ) + cos2 (2 ) + cos 2 (3 ) = 1 cos(1 ) = cos(2 ) = cos(3 ) =
d0 hd0 = ma pa 0 d kd 0 = na pa 0 d ld0 = oa pa
1.2
Red Recíproca
11
Luego: h2 d02 k 2 d02 l 2 d02 + 2 2 + 2 2 =1 p2 a2 p a p a
pero d0 =p = d
d2 2 h + k2 + l2 p2
= 1
d2 (h k l) =
)
a2 h2 + k 2 + l2
1.2 Red Recíproca Consideremos el conjunto de tres vectores: ~ 1 A
=
~ 2 A
=
~ 3 A
=
2 (~a2 ~a3 ) ~a1 (~a2 ~a3 ) 2 (~a3 ~a1 ) ~a1 (~a2 ~a3 ) 2 (~a1 ~a2 ) ~a1 (~a2 ~a3 )
Estos vectores denen la llamada red recíproca y satisfacen ~ i ~aj = 2 ij A
no
~ i son ortogonales sólo si lo son ~ai A
f g
Consideremos un punto del espacio recíproco dado por: ~ m n p = m 0 ~ G A1 + n0 ~ A2 + p0 ~ A3 0
0
0
con m0 , n0 , p0 enteros Sea mnp un punto de la red cristalina dado por mnp = m~a1 + n~a2 + p~a3 ; n;p;m;enteros. ~ ~ = 2 (mm0 + nn0 + pp0 ) = 2N G N entero
Luego ~
eiG~ = 1
1.2.1 Ejemplos
12
Chapter 1.
ESTRUCTURA CRISTALINA Y DIFRACCIÓN
1. Dados ~a1 ~a2
= 2^x = x ^ + 2^y
encuentre la red recíproca. Solución
Suponemos ~a3 = z^ (así la red recíproca está en el plano que forman ~a1 y ~a2 ) ~ 1 A
= =
~ 2 A
=
V ~ 1 A
=
~ 2 A
=
=
2 2 (~a2 ~a3 ) = [^x z^ + 2 (^ y V V 2 y^ + 2^ x V 2 2 4 (~a3 ~a1 ) = (2^y) = y^ V V V ~a1 (~a2 ~a3 ) = 4 2^ x y^ 2V y^
f
z^)]
g
f g
)
Cualquier vector que une dos puntos de la red recíproca es perpedicular a algún conjunto de plano de la red cristalina. 2. Cadena lineal Sólo hay un vector, ~a1 = a^ x ~ 1 = 2 A
~a2 ~a3 2 = ~a1 (~a2 ~a3 ) ~a1
1.2
Red Recíproca
13
Si queremos dibujar la bisectriz a los primeros vecinos ellas cortan la cadena en k = =a. Estos son los límites de la celda de Wigner-Seitz de la red recíproca, que se conoce como Primera Zona de Brillouin (P ZB).
1.2.2 Red Recíproca de una cúbica simple (sc) 2 ) A~ 1 = 2 a2 (^ y z^) = x ^ 3 a a 2 ~ 2 = 2 a2 (^z x a^ y ) A ^) = y^ 3 a a ~ 3 = 2 a2 (^x y^) = 2 z^ a^ z ) A a3 a
~a1
= a^ x
~a1
=
~a1
=
Luego, la red recíproca es también una red cúbica simple de constante 2=a: Los límites de la PZB son planos normales a sus vectores:
12 A~ 1 12 A~ 2 12 A~ 3
= = =
a x^ a y^ a z^
1.2.3 Red recíproca de una red cúbica centrada en el cuerpo (bcc) Los vectores primitivos de traslación de una red bcc son: a1
=
a2
=
a3
=
V =
1 a (^x + ^y z^) 2 1 a( x ^ + y^ + z^) 2 1 a (^x y^ + z^) 2
a3 a3 ~a1 (~a2 ~a3 ) = f4g = 2 8
14
Chapter 1.
ESTRUCTURA CRISTALINA Y DIFRACCIÓN
con esto ~ 1 A
=
~ 2 A
=
~ 3 A
=
2 (^ x + ^y ) a 2 (^ y + z^) a 2 (^ x + ^z ) a
Estos vectores son los primitivos de la fcc , luego, una red fcc es la primitiva de la bcc, pero su constante es 2=a en lugar de a=2 Un vector general de la red recíproca estará dado por: ~ = m0 ~ G A1 + n0 ~ A2 + p0 ~ A3 2 = (m0 + p0 ) x ^ + (m0 + n0 ) y^ + (n0 + p0 ) z^ a
f
g
Los doce vectores más cortos distintos de cero son: 2 ( x ^ y^) a 2 (^ y z^) a 2 ( x ^ z^) a
Si trazamos los planos normales a estos doce vectores en sus puntos medios obtenemos la PZB , que es la celda de Wigner-Seitz de una fcc . Esta zona es un dodecaedro rómbico.
1.3 Determinación experimental de estructuras cristalinas El scattering de rayos X entrega información de la localización de los átomos en un sólido. En 1912, M. von Laue tenía la intuición de que los rayos X se dispersan en un cristal de la misma forma en que lo hace la luz al incidir sobre un centro dispersor La explicación de este patrón fue desarrollada por Braggs, basándose en la idea de que los rayos X son reejados por los planos de la red de forma que la imagen resultante es debida a una combinación de haces reejados de muchos planos paralelos. La diferencia de fase entre las ondas reejadas está dada por la distancia uv + v w:Si en esta distancia entra un número entero de longitudes de onda, las ondas reejadas estarán en fase n = 2d sin
1.3
Determinación experimental de estructuras cristalinas
15
Pero en un cristal existen muchas formas de denir planos paralelos. ¿Cómo se produce una "selección de planos"? Si suponemos que la respuesta del cristal es lineal: ! k
= !0 = k0
La onda incidente tiene un campo eléctrico asociado ~
E (x) = E 0 ei(k~x!t)
Al incidir sobre un centro difusor se genera una onda difundida cuya forma es: E 0 = CE () ~
e ikr r
E 0 = CE 0 ei(k~!t) r2
= (R
r
= R
r
R
eikr r
)2 = R2 2R cos(; R) + 2 1=2 2 2 ~ 1 cos ~; R + 2 R R 1 cos ~; ~ R R
16
Chapter 1.
ESTRUCTURA CRISTALINA Y DIFRACCIÓN
pues suponemos que estamos lejos del centro difusor. Luego: ~
~
ei(k~+kr) = e ikR ei(k~k cos(;R))
pero lejos, la dirección de k 0 puede denirse como la dirección de R. Luego: k cos(; R) = k 0 cos(; k 0 ) = ~ k0 ~
y nalmente: ~
ei(k~+kr)
~ ~ = eikR ei(k~k ) = eikR eik 0
Finalmente: E 0 = C E 0 eikR ei!t exp
imnp k
(1.3.1)
donde r R: La difusión total se obtiene sumando 1.3.1 sobre todos los puntos de la red. Resulta, entonces, importante calcular: a
X
~
ei~mnp k
m;n;p
Consideremos un cristal nito con centros difusores en cada punto de la red mnp = m~a1 + n~a2 + p~a3 a =
X
ei(m~a
1
n+n~ a2 + p~ a3 )~ k
mnp
) ~ k = G
amax
1.3
Determinación experimental de estructuras cristalinas
17
N 3 es el número de puntos de la red.
Luego
Z /
E 0
~
dV n () ei~k
donde n () es la concentración de electrones.
1.3.1 Factor de estructura de la base Sean s átomos dentro de una celda y jemos la posición del núcleo del átomo j por el vector j
= xj ~a1 + yj~a2 + zj ~a3 = m~a1 + n~a2 + p~a3
con respecto al punto mnp de la red (que está en el origen de j )
Pero respecto al origen de la celda, la posición del átomo j es j : En relación al origen de la red 0j = j + mnp
Los electrones no están concentrados en el átomo, sino repartidos en su derredor.
cj
j
mnp
dene la concentración de electrones en la posición cerca del átomo y en la celda mnp. Luego, la concentración de electrones en el cristal está dada por: M 3
n () =
s
XX cj
mnp j=1
Luego ak
=
Z X X Z
j
mnp
dV n () eik
N
=
dV cj
mnp j
j
mnp
~
ei~k
18
Chapter 1.
ESTRUCTURA CRISTALINA Y DIFRACCIÓN
La contribución de cj j mnp es:
Z dV cj
con
j
mnp 0
~ = ~
ik
e
=
Z
0
~
h X X X X X X
~j
~mnp = f j exp
=
f j exp
i j + mnp
mnp j
=
ei(mnp k)
i ~ k
k
f j eij k
mnp
M 3
i ~j + ~mnp
~ k
i ~j + ~mnp
f j se conoce como factor de forma atómico. Con esto: ak
h i
dV cj (0 ) ei~ k exp
j
ei(mnp k)
=
mnp
sg
f j eij k
=
j
X
f j eij G = factor de estructura de la base Hablamos de una reexión (hkl) cuando ~ 1 + k A ~ 2 + lA ~ 3 G = hA j G = 2 (xj h + yj k + zj l) = 2 (mh + nk + pl)
s (h k l) = =
X X
f j exp
f2i (xj h + yj k + zj l)g f j exp f2i (mh + nk + pl)g
Este factor dene algunas líneas que desaparecen y no necesita ser real pues la intensidad considera ss . Nuestro interés reside en los ceros de s porque entonces no hay intensidad en ciertas reexiones. La falta de reexiones ayuda a determinar que tipo de estructura tiene el cristal difusor.
1.3.2 Red bcc La base contiene dos átomos idénticos en las posiciones 0 0 0; 21
1 1 2 2 : Luego:
s (h k l) = f (1 + exp [ i (h + k + l)])
Luego, si:
h + k + l = impar s = 0 h + k + l = par s = 0
)
)
El sodio metálico no tiene en su espectro las líneas (100) ; (111) ; (221), pero sí aparecen las líneas (200) ; (110) y (222). Los índices h k l se reeren a la celda cúbica.
Chapter 2 DINÁMICA DE REDES
2.1 Cuanticaciones de las vibraciones de la red La energía de una vibración de red u onda elástica está cuanticada. El cuanto de energía en una onda elástica se conoce como fonón ! electrón fotón onda electromagnética fonón onda elástica plasmón onda electrónica colectiva La teoría de vibraciones se inicia en 1900, cuando Planck demostró que la cuanticación de la energía podía explicar la distribución de frecuencias emitidas por un cuerpo negro. La energía del fotón es = h . La energía de n fotones es = nh . Omitiremos la energía del punto cero, la cual no tendrá efecto en nuestros cálculos. ~ tiene, Lo mismo ocurre con los fonones. Un fonón da un vector de onda K en lo referente a sus interacciones con otras partículas y campos, una cantidad de ~ . movimiento (momentum) hK Vimos que la difusión elástica de un fotón por un cristal ( Braggs) está gobernada por: ~ k0 ~ G
~ = ~ k + G
2
(2.1.1)
Red Reciproca
En términos de momentum es como si el cristal completo retrocediera con un mo~ . Si la difusión del fotón es inelástica, con la creación(absorción) de un mentum ~ G ~ , la regla de selección nos da: fonón de vector de onda K ~ ~ = ~ ~ k 0 + K k + G
(2.1.2)
2.2 Difusión inelástica de fotones de gran longitud de 19
20
Chapter 2.
DINÁMICA DE REDES
onda. Consideremos un fotón de frecuencia = !=2 propagándose en un cristal. Si se considera el cristal como un contínuo de índice de refracción n, el vector de onda del fotón queda determinado por: !
=
=
con c la velocidad de la luz La cantidad de movimiento del fotón es:
ck n c n
p = ~ ~ ~ k
(2.2.1a)
(2.2.1b)
(2.2.3) Supongamos que un fotón de este haz interactúa con un haz de fonón u onda sonora del cristal. El fotón puede ser difundido por la onda sonora. La interacción puede ocurrir porque el campo de deformación elástica de la onda sonora cambia la concentración local de átomos y, por consiguiente, el índice de refracción del cristal. De esta manera, la onda sonora modula las propiedades ópticas del medio. Recíprocamente, el campo eléctrico de la onda luminosa modula las propiedades elásticas del medio. Un fotón puede, en un cristal, crear o absorber un fonón. En este proceso el fotón será difundido su vector de onda cambiará de ~ k y ~ k 0 y su frecuencia de ! a ! 0 . Supong~ y su frecuencia . La cinemática de la amos que se crea un fonón de vector de onda K colisión está dada por: 0 ~ ! = ~ ! + ~ (2.2.4) donde, para simplicar no hemos incluído la posibilidad de que la difusión esté asociada a una difracción de Bragg, haciendo intervenir un vector de la red recíproca. Si la velocidad vs del sonido. Ahora, un fonón puede transportar sólo una pequeña parte de la energía del fotón ~ se forma a partir de un fotón ~ k; se tiene que incidente, esto pues vs c. Si un fonón K 0 0 para conservar energía y momentum, ! ' ! y k ' k .
2.3
Vibraciones de cristales con una base monoatómica.
21
Como = vs K , los fonones producidos cuando se difunden inelásticamente fotones a una dirección ' de la dirección incidente tendrán la frecuencia
'
!n 2vs sin c
1 ' 2
(2.2.5)
Ejemplo La frecuencia máxima de los fonones creados por difusión de la luz visible para vs ~5 105 cm=s y n~1:5 es en el vacío de longitud de onda = 4000A;
5 105 (2) (1:5) = 4 105 = 2 1011 rad=s K =vs = 4 105 =cm 2
La difusión de luz visible ha sido utilizada para generar fonones de corta longitud de onda en el cuarzo y el zaro.
2.3 Vibraciones de cristales con una base monoatómica. Consideremos las vibraciones elásticas de un cristal con un átomo por celda primitiva. Deseamos encontrar la frecuencia de una onda elástica en términos del vector de onda que describe la onda y en términos de las constantes elásticas. La solución es simple si consideramos las direcciones [100] ; [110] ; [111] en un cristal cúbico. Cuando una onda se propaga a lo largo de una de esas direcciones, planos enteros de átomos se mueven en fase con desplazamientos paralelos o perpendiculares a la dirección del vector de onda. Podemos, entonces, describir con una sola coordenada us ; el desplazamiento del plano de su posición de equilibrio. El problema se hace entonces, unidimensional. Para cada vector de onda existen tres modos de polarización, uno de polarización longitudinal y dos de polarización transversal. Supondremos que la respuesta del cristal es elástica, y es una función lineal de las fuerzas. Esto es equivalente a la suposición de que la energía elástica es una función cuadrática del desplazamiento relativo de dos puntos cualesquiera en el cristal. Los términos de orden mayor los despreciamos, pero juegan un rol a altas temperaturas
F = kx; v = kx 2 =2 :
Por simplicidad, consideraremos sólo interacciones a primeros vecinos, de forma que: F s = c (us+1 us ) + c (us1 us ) (2.3.1) Esta expresión es lineal en los desplazamientos y de la forma de la ley de Hooke. Es importante mirar c como la constante de fuerza entre dos átomos, de forma que F s sea la fuerza en un átomo del plano s: c también será diferente para ondas longitudinales o transversales. La ecuación de movimiento del plano es: d2 us M 2 = c (us+1 dt
us1 2us)
(2.3.2)
22
Chapter 2.
DINÁMICA DE REDES
con M la masa de un átomo. Buscamos soluciones con todos los desplazamientos que tengan una dependencia temporal ei!t : Luego: d2 us = dt2
!us
(2.3.3)
con lo cual:
M!2us = c (us+1 us1 2us )
(2.3.4)
(2.3.5a) (2.3.5b)
Esta ecuación tiene solución del tipo: us+1
= u exp(isKa)exp( iKa) = us exp ( iKa)
donde us = u exp(isKa) ; a el espaciamiento entre los planos y K el vector de onda. El valor de a dependerá de la dirección de K . Con esta solución nuestra ecuación diferencial se transforma en:
!2M exp(isKa) = c fexp[i (s + 1) Ka] + exp [i (s 1) Ka] 2exp(iKsa)g
(2.3.6)
de donde: usando:
!2M = c (exp(iKa) + exp (iKa) 2) 2cos(Ka) = exp(iKa) + exp (iKa) !2
=
! =
r
=
luego:
2c [1 cos(Ka)] M 4c 1 sin2 Ka M 2
4c sin M
1 Ka 2
(2.3.7)
(2.3.8a) (2.3.8b)
(2.3.9)
2.3
Vibraciones de cristales con una base monoatómica.
d! 2 = dK
2ca M
23
sin(Ka) = 0
(2.3.10)
en K = =a: Primera zona de Brillouin: ¿Cuál es el rango de vectores de onda K físicamente signicativos?
veamos: us+1 u exp[i (s + 1) Ka] = = exp (iKa) (2.3.11) us u exp(isKa) para la fase Ka barre todos los valores independientes de la expoEl rango + nencial. No tiene sentido hablar de que dos átomos estás desfasados en más de . Luego, el rango de valores independientes de K está dado por:
$
a < K a
(2.3.12)
y reside en la primera zona de Brillouin. Podemos tratar un valor de K fuera de estos límites sustrayendo un número entero de múltiplos de 2=a, de forma que K 0 quede en estos límites. Supongamos que K car fuera de la primera zona de Brillouin, denimos: K 0 = K
2n , n entero a
(2.3.13)
que está en la primera zona de Brillouin. us+1 = exp (iKa) = exp[i (K 0 + 2n=a) a] = exp (iK 0 a) 1 us
(2.3.14)
Notemos que 2n=a es un vector de la red recíproca. Luego, restando un vector apropiado de la red recíproca a K , siempre podemos obtener un vector K 0 equivalente en la primera zona de Brillouin. En los bordes de la primera zona de Brillouin, K max = =a us = u exp( isKa) = u exp( ia) = ( 1)s
(2.3.15)
Esta es una onda estacionaria, átomos alternados oscilan en fases opuestas y las ondas no se mueven ni a la izquierda ni a la derecha.
24
Chapter 2.
DINÁMICA DE REDES
2.4 Velocidad de Grupo La velocidad de transmisión de un paquete de ondas es la velocidad de grupo dada por: vg
= =
d! dK k ! (K )
(2.4.1)
r
(2.4.2)
Esta es la velocidad con que se propaga la energía en el medio. Con la relación de dispersión: !
=
vg
=
r r 4c sin M
1 2
1 Ka 2
4c a cos M
1 ca2 Ka = 2 M
1=2
cos
(2.4.3)
1 Ka 2
(2.4.4)
Esta es cero en los límites de la zona, donde K = =a. Aquí la onda es estacionaria y, por consiguiente, tiene velocidad de transmisión de energía cero.
2.5 Límites de onda larga Si Ka 1, podemos expandir cos
2c 2c 1 ! = [1 cos(Ka)] 1 1 + (Ka)2 (2.5.1a) M M 2 c K 2 a2 (2.5.1b) M El que en este límite m K , entonces, vg independiente de K y de ! , luego 2
'
!
/
! vs = = K
r
c a M
(2.5.2)
Esto recuerda al sonido que se propaga con velocidad constante, por lo que estas ondas se llaman acústicas.
2.6 Derivación de la constante de fuerza En metales, las fuerzas efectivas pueden ser de largo alcance, llevadas de ión a ión a través de los electrones de conducción. Si deseamos generalizar la relación de dispersión tenemos: !2 =
2c [1 M
2 cos(Ka)] ! !2 = M
X
p>0
c p [1
cos( pKa)]
(2.6.1)
2.7
Dos átomos por celda primitiva
25
Resolvemos para la constante c p multiplicando por cos ( pKa), con p0 un estado entero, e integrando sobre el rango de valores independientes de K: =2
M
Z
=2
=
dK! 2K cos ( p0 Ka) =
=2
2
X Z c p
=2
p>0
2a c p
dK [1
0 cos( pKa)]cos( p(2.6.2a) Ka)
0
(2.6.2b)
luego: c p = 0
Ma 2
=2
Z
=2
dK! 2K cos ( p0 Ka)
(2.6.3)
2.7 Dos átomos por celda primitiva Si la celda primitiva tiene más de un átomo, la relación de dispersión se modica. Consideremos, por ejemplo, las estructuras de diamante o del NaCl, con dos átomos por celda primitiva. Por cada modo de polarización, la relación ! vs K se separa en dos ramas, conocidas como óptica y acústica. Tenemos ondas longitudinales acústicas y transversales acústicas y longitudes y transversales ópticas. Si hay p átomos en la celda primitiva habrán 3 p ramas en la relación de dispersión, 3 acústicas y 3 p 3 ópticas. La numerología de las ramas se desprende del número de grados de libertad de los átomos con p átomos en la celda primitiva y N celdas primitivas hay P N átomos que hacen un total de 3 pN grados de libertas del cristal completo. El número de valores K permitidos en una rama son N en cada zona de Brillouin, luego, hay 3 p ramas. Consideremos un cristal cúbico con átomos M 1 y M 2 en planos alternados.
Luego: d2 us M 1 2 dt d2 vs M 2 2 dt
= c (vs1 + vs
(2.7.1a)
=
(2.7.1b)
2us) c (us + us+1 2vs )
26
Chapter 2.
DINÁMICA DE REDES
Buscamos una solución de una onda viajera de tipo us vs
Sustituyendo estas formas en 2.7.1a y 2.7.1b
!2M 1u !2M 2v
luego
= cv [1 + exp ( iKa)] 2cu = cu [1 + exp (iKa)] 2cv
2c M 1 ! 2 c [1 + exp (iKa)]
= u exp(isKa)exp( i!t) = v exp(isKa)exp( i!t)
(2.7.2a) (2.7.2b)
(2.7.3a) (2.7.3b)
c [1 + exp (iKa)] =0 (2.7.4) 2c M 2 !2 de donde: M 1 M 2 ! 4 2c (M 1 + M 2 ) !2 + 2c2 [1 cos(Ka)] = 0 (2.7.5) Esta ecuación puede resolverse exactamente, pero es más simple examinar los casos límites Ka 1 y Ka = . Para valores pequeños de K a tenemos cos(Ka) 1 21 K 2 a2 + :::Luego:
!
2
!2
1 1 2c + M 1 M 2 2 2 cK a = 2 (M 1 + M 2 )
'
rama óptica
(2.7.6a)
rama acústica
(2.7.6b)
Los desplazamientos de las partículas también pueden estimarse. En la rama óptica, en K = 0 se tiene que: !
2
'
1 1 2c + M 1 M 2
2.7
Dos átomos por celda primitiva
27
Al usar esto en las ecuaciones para M 1 y M 2 con las que se escribe el determinante, se tiene que: u = v
2 M M 1
Es decir, los átomos vibran uno opuesto al otro. Si los átomos llevaran cargas opuestas podríamos excitar un modo de este tipo con el campo eléctrico de la luz. Por esto se llama rama óptica. Otra solución en K dará u=v complejo. En el caso óptico, u = v se obtiene en el límite K = 0. Los átomos se mueven como en una larga onda acústica, de allí el término rama acústica.
Ejercicio
Considere una red bidimensional cuya constante de red es a . Los átomos interactúan de forma que cuando un átomo en (xn ; yn ) se desplaza a (xn + x; yn ) está sujeto a una fuerza restauradora c1 x; debida a sus vecinos en (xn a; yn ) y una fuerza restauradora c2 x , debida a sus dos vecinos en (xn ; yn a) : Suponga c2 < c1 . Encuentre la relación de dispersión en el eje x Encuentre la velocidad del sonido Solución
un;m = desplazamiento del átomo en xn ; yn El desplazamiento del átomo un;m relativo a sus vecinos en el eje x es: (un;m
un+1;m) y (un;m un1;m)
(un;m
un;m+1) y (un;m un;m1)
Respecto de y Con esto: d2 un;m m = dt2
c1 (2un;m un+1;m un1;m) c2 (2un;m un;m+1 un;m1)
28
Chapter 2.
DINÁMICA DE REDES
Si suponemos una solución del tipo: un;m = Aei(kx na+ky na) ei!t
obtendremos: m!2
= c1 2 eikx a eikx a + c2 2 eiky a = 2c1 [1 cos(kx a)] + 2c2 [1 cos(ky a)]
Por lo tanto:
4c1 ! = sin2 m
kx a 2
4c2 + sin2 m
ky a 2
eik a
1=2
Para ondas de sonido propagándose en la dirección x, ky = 0 y
4c1 ! = sin2 m
~v
=
kx a 2
1=2
@! @! rk ! = @k e^x + e^y @k y x
a [c1 sin (kx a)] e^x + c2 sin (ky a) e^y m! a 1=2 ~v = c21 sin2 (kx a) + c22 sin2 (ky a) m! =
y
Chapter 3 PROPIEDADES TÉRMICAS DE LOS SÓLIDOS
3.1 Expansión Térmica Es común que la mayoría de los sólidos se expanden cuando se calienten. Si trabajamos con una barra o alambre, la magnitud de este efecto con una por el coeciente de expansión térmica lineal . Éste dene el cambio fraccional en la longitud por cambio unitario de temperatura. =
L 1 L0 T
A pesar de que los valores de son muy pequeños, si los extremos de una barra se mantienen jos, puede producirse una deformación apreciable del material. Este efecto debe considerarse en la construcción de puentes, líneas de tren y caminos para evitar colapsos de las estructuras en días cálidos, pero también puede usarse en la construcción de switchs sensibles a la temperatura.
acero plomo
= 1:1 = 2:9
105K 1 10 5K 1
¿Cómo podemos entender a escala atómica el fenómeno de la expansión? Es claro que un cambio microscópico de dimensión debe estar asociado a un cam bio en la distancia interatómica. Examinemos que ocurre con la energía potencial 29
30
Chapter 3.
PROPIEDADES TÉRMICAS DE LOS SÓLIDOS
A T = 0 todos los átomos tienen la menor energía posible, E min , correspondiente a la separación de equilibrio a0 : A temperatura T o , la energía promedio de los átomos aumenta en k B T , luego la separación varía entre a 0 y a 1 . Como la curva de energía potencial es asimétrica (es más difícil juntar los átomos que separarlos), encontramos que el centro de oscilación está ahora en un valor mayor que a0 . Si el potencial fuese el de un oscilador armónico no podríamos obtener expansión térmica.
3.2 Capacidad Calórica, un acercamiento clásico Calcularemos ahora el calor especíco, es decir, la cantidad de energía necesaria para subir la temperatura de un material en 1K . Estará referido a una sustancia que contiene 6:02 1023 átomos. Esto no necesariamente es un mol. Por ejemplo, en un cristal de NaCl tendremos N A =2 iones de Sodio y N A =2 iones de Cloro.
C
=
@U @T
(3.2.1)
Con U la energía interna. ¿Cómo determinamos la energía de vibración de los iones? De acuerdo al teorema de equipartición de energía y asumiendo un oscilador con seis grados de libertad por ión, U = N A 3kB T = 3RT @T = 3R @T
(3.2.2a) (3.2.2b)
R= constante molar de los gases.
Nuestro modelo clásico sugiere que todos los sólidos tienen una capacidad calórica constante, lo cual se conoce como ley de Dulong-Petit. ¿Cómo se compara este resultado con los experimentos? A T o ambiente esto es aproximado. Sin embargo, a 77K existe una mayor discrepancia
3.2
Capacidad Calórica, un acercamiento clásico
31
77 K JK 1 12:5 9:1 19:1 23:6 8:1 20:4 5:8 4:0 14:0 0:1
MATERIAL Cobre Cu Aluminio Al Oro Au Plomo P b Hierro F e Sodio N a Silicio Si Vidrio Cloruro de Sodio NaCl Diamante C
273 K JK 1 24:3 23:8 25:2 26:7 24:8 27:6 21:8 15:0 24:6 5:0
Luego, a bajas temperaturas el modelo no sirve. Veamos un acercamiento diferente. Calculemos la energía media de un oscilador armónico simple:
hE i = Para obtener A usamos
X P
E n pn = A
n
X n
X P h i P PP " "X ## " "X ## n~ ! = 1 kB T
exp
n
n~! kB T
n n~ ! exp
E =
n~! kB T
n exp
Usando:
n n exp(
nx) = n exp ( nx)
tenemos que
d log dx
hE i = ~ ! dxd
con x =
~!
(3.2.3)
pn = 1, luego A
Con esto,
k! Boltzmann n~ kB T
log
(3.2.4)
(3.2.5)
exp( nx)
(3.2.6)
n
exp( nx)
n
(3.2.7)
kB T
X
exp( nx) =
n
con n grande Ahora
d log dx
1
1 exp( x)
1 exp( nx) ~ 1 exp( x) 1
=
1 exp( x)
exp( x) 1 = 1 exp( x) exp(x)
1
(3.2.8)
(3.2.9)
32
Chapter 3.
PROPIEDADES TÉRMICAS DE LOS SÓLIDOS
de donde ~ ! hE i = exp(x) 1 =
~ !
exp
hE i 6= 3RT
~!
kB
(3.2.10)
T 1
3.3 Capacidad Calórica, modelo de Einstein La primera persona en aplicar teoría cuántica para determinar el calor especíco de un sólido fue Albert Einstein. A pesar de que esta no es su mayor contribución, fue citada en la asignación de su premio Nobel en 1921. Como en el acercamiento clásico, Einstein considera los átomos como osciladores armónicos simples. Para simplicar, los trataremos como unidimensionales. De acuerdo a la teoría cuántica, la energía de un oscilador armónico simple puede tener sólo cierto valores discretos: E n =
n+
1 2
~ !;
n = 0; 1; 2;:::
Ahora, debemos saber cuántos osciladores tienen una energía particular E n : A T = 0, esperamos que todos los átomos estén en el nivel más bajo. Sin embargo, sabemos que su energía no es cero, sino ~2! . La mecánica cuántica nos muestra que los átomos no están completamente estacionarios aún en cero absoluto. Sin embargo, en orden a simplicar nuestros cálculos, mediremos la energía respecto de ese valor y así, E n = n~ !:
A temperaturas mayores que 0K , algunos de los átomos ocuparán niveles de energía más altos (con n = 1; 2; 3;:::) De acuerdo a la distribución de Boltzmann, la probabilidad de que una partícula esté en un estado con energía E a temperatura T es proporcional a exp(E=k B T ), luego, la probabilidad de ocupar un estado de energía E n a temperatura T está dada por: pn = A exp
con A =
n~ ! kB T
1
P h i n exp
y
hE i = luego
n~! kB T
~ !
exp
~!
kB T
U = 3N A E = 3N A
h i
= n
~ !
1
~ !
exp
~! kB T
1
3.3
Capacidad Calórica, modelo de Einstein
C
= 3R 3R
~ !
2
kB T
33
h i exp
exp
~! kB T
~!
kB T
1
2
Si gracamos esta función vemos que hay un buen acuerdo con los experimentos. 3 R. Esto ocurr A alta temperatura converge al valor clásido 3R ocurree pues si k B T es mucho mayor que la distancia entre niveles, ~ !, entonces, la expresión para U ! ! 3N AkB T : Se dene E =
~ !
kB T
A T = 0, la naturalez naturalezaa discreta discreta es muy evidente evidente.. A T estados no es tan evidente y parece a la distribución clásica En general: ! =
con k
Y a0, e Y , el módulo de Young.
r
k m
0, la naturaleza de los
34
Chapter 3.
PROPIEDADES TÉRMICAS DE LOS SÓLIDOS
Con esto: madera : 5N=m < k < 140 < 140N=m N=m : : diamante diamante 12 13 4 10 < ! < 8 10 rad=s
Átomos pesados y con enlaces débiles tienen ! bajas, como oro y madera.
3.4 Modelo Modelo de Debye Debye El modelo de Einstein mantiene discrepancias con los experimentos a bajas temperat10; C uras. Si consideramos T < E =10; / es es proporcional a T 3 experimentalmente. Pero el modelo de Debye predice valores que cambian exponencialmente exponencialmente con la temperatura ¿Cómo mejorar el modelo de Einstein? Si asumimos que los átomos al vibrar interactúan unos con otros, podemos mejorar nuestro modelo. Consideremos ondas estacionarias en un cristal unidimensional de longitud L . La amplitud de cada una de estas ondas está descrita por = sin(kx sin(kx)) y por condiciones de contorno kx = nx =L y nx un entero. Si extendemo extendemoss esto a tres dimensi dimensiones ones encontramos ky y kz : Para conocer la frecuencia y amplitud de vibración de cualquier átomo particular, necesitamos conocer el efecto combinado de estos distintos modos de vibración, lo cual es una tarea formidable. Pero afortunadamente, sólo necesitamos conocer cuántos átomos vibran a una frecuencia particular. Esto se obtiene a partir de g (! ), lo cual nos + d!:: Siguiendo un argumento da el número de átomos con frecuencias entre ! y ! + d! usual tenemos que: kx = k = k y = k z =
luego L
k =
n L
3
2 n2 2 k2 = nx2 + n2y + nz2 2 = L L2 número de osciladores distintos cuyo n < n max N =
1 8
4 3 3 kmax 3 L3
=
3 kmax V 6 3
3 kmax V 2 6 !3 V = 6v 3 ! = vk vk ) con V el volumen del cristal y k = !v ; (aproximación de Debye, ! =
=
dN !2 V g (!) = = 2 3 d! 2 v
3.6
Conductividad Térmica
35
Para tres modos de vibración, queda como sigue: !max
U = 3
Z Z Z h i Z h i
g (!) E ( E (! ) d!
0
= 3
!max
g (! ) ~ !d! !d!
exp
0
~! kB T
1
!max
= 3
n
!g ~ !g
(! )
0
! max corresponde al min que tiene sentido en el cristal U = 3
n
~ !g !g
(! )
Esta integral no se puede resolver analíticamente, analíticamente, pero podemos obtener una expresión aproximada a bajas temperaturas. Esto es: 12R 12R 4 / = C = 5
T D
3
Entonces, a bajas temperaturas se desprende una dependencia con T 3 , D =
~ ! max
kB
Vemos una gran similitud entre esta denición y E : Si hay N celdas primitivas en la muestra, el número total de modos de fonones acústicos es N y y la frecuencia de corte ! D se obtiene de N =
)
V !D 6 2 v3 3 !D =
62 v3 N V
3.5 Capacidad Capacidad Calórica Calórica de de los los electro electrones nes 2
Se encont encontrar raráá que C / e = 2 N kB T T F F ; con N = N A V ol. A T ambiente, ambiente, C / e ~0: ~0:2Jmol1 K 1 frente a la contribución contribución de los iones. Igualando ambas contribuciones contribuciones podemos estimar las temperaturas a la cual la contribución electrónica es importante.
3.6 Conductivi Conductividad dad Térmica Térmica ¿Qué materiale materialess son buenos conductore conductoress térmicos térmicos?? Es sabido que los metales metales son buenos conductores de calor. calor. Esto sugiere que existen alguna similaridad similaridad entre conducción eléctrica y térmica. De hecho, una relación empírica escrita en 1853 establece
36
Chapter 3.
PROPIEDADES TÉRMICAS DE LOS SÓLIDOS
que:
K = 2:45 108 T en que K es la conductividad térmica y L es conocido como el número de London . L =
Sin embargo, existen algunas diferencias fundamentales: 1. buen conductor =mal conductor = 1024 K buen conductor =K mal conductor = 105
2. Algunos materiales, como el diamante, son aisladores eléctricos y excelentes conductores térmicos. Esto sugiere que, adicionalmente, al transporte de electrones, existen otros procesos que contribuyen a la conductividad térmica. Una probabilidad obvia es que también los iones participen de ella. Veamos lo que ocurre en una cadena lineal de átomos. Si se calienta un extremo vibrarán más que los del otro extremo. Como los enlaces entre los átomos son como resortes, un incremento en las vibraciones de un átomo necesariamente afecta las vibraciones de los vecinos. De esta forma, la perturbación viaja a través de la cadena. A diferencia de la conductividad eléctrica, que se debe sólo a los electrones, la conductividad térmica involucra dos tipos de contribuciones: K = K el + K ph K ph =
con: n = C = = v =
1 nC ph v ph 3
número de moles por volumen unitario calor especíco molar de los iones camino libre medio de los fonones velocidad media de los fonones
Para tener algunas ideas respecto de la velocidad de los fonones, debemos recordar que el sonido se transmite a través de vibraciones de los átomos. Luego, podemos pensar que la velocidad...
Chapter 4 ELECTRONES LIBRES EN METALES
4.1 Modelo de un electrón libre "En una teoría en la que se han obtenido tales resultados, tiene que haber gran parte de verdad" H. A. Lorentz El modelo de electrones libres se aplica esencialmente a los metales y aparece como un intento de explicar principalmente las propiedades eléctricas de los metales. De acuerdo con este modelo, los electrones mas débilmente ligados a los átomos respectivos, los de valencia, se mueven libremente por todo el metal y reciben el nombre de electrones de conducción . El primer intento por explicar las propiedades eléctricas de un metal se realizó en 1900, tres años después del descubrimiento del electrón. La teoría es incorrecta, pero permite introducir algunos conceptos básicos de gran utilidad.
4.2 Modelo de Drude Drude asume que un metal está formado por iones estacionarios y electrones de valencia que son libres para moverse. Estos electrones son pequeñas esferas que chocan con los iones.
37
38
Chapter 4.
ELECTRONES LIBRES EN METALES
Diagrama esquemático de la trayectoria de un electrón a través de la red de iones
El movimiento total es aleatorio y no puede existir ningún movimiento neto en algunas direcciones, si no introducimos una diferencia de potencial. Podemos estimar la velocidad de los electrones a partir de: 1 2 mv 2 v
=
3 kB T 2 105 m=s (a temperatura ambiente)
A mayor temperatura, mayor velocidad tendrá el electrón luego de una colisión. Podemos denir el camino libre medio que es la distancia promedio que viaja el electrón entre colisiones, y el tiempo de colisión , que es el tiempo promedio entre colisiones v
Dado que
= 1nm; 1014 s
¿Qué ocurre si aplicamos un campo eléctrico? Esperamos un ujo de electrones en la dirección opuesta al campo. Si el campo tiene magnitud ";la fuerza sobre un electrón será e". Luego, cada electrón experimentará una aceleración a = e"=m: Esta aceleración produce un cambio en la velocidad del electrón, v ; dada por: v = at =
e" t m
Si el tiempo entre colisiones es , entonces, la velocidad promedio será, en la dirección del campo: v =
e" m
Esta velocidad de arrastre representa la velocidad promedio de los electrones de valencia en la dirección del campo. Si utilizamos un campo de 10V=m; v = 0:02m=s v v
1017
Aún al aplicar un campo razonable, la velocidad ganada es muy pequeña, debido a la frecuencia de los choques, lo que hace que la trayectoria sea casi aleatoria, con una tendencia muy suave a moverse en la dirección opuesta al campo. ¿Qué hay de correcto en la teoría de Drude?
4.2
Modelo de Drude
39
En realidad, sólo nos entrega una descripción cualitativa de la resistencia eléctrica. Podemos suponer que cuando el electrón choca con el ión, el exceso de energía que el electrón gana por el campo eléctrico es transferido al ión. Esto aumenta las vibraciones del ión y, por consiguiente, aumenta la temperatura del sistema E Ke
! E termica
Como sabemos, si hacemos pasar una corriente por un metal, este se calienta. Entonces, la resistencia puede entenderse como una medida de la cantidad de energía que puede convertirse en calor. Por otro lado, el modelo de Drude es consistente con la ley de Ohm. Denamos la movilidad , que es una medida de cuán fácil se mueve un electrón en la red v = "
) = e m
Si asumimos que es independiente de " y de la temperatura, entonces, es constante también. Esto no es totalmente cierto, pues a mayor temperatura, menor , pero es válido en una primera aproximación. Consideremos un alambre al cual se le aplica un campo eléctrico en la dirección de su eje. Si eliminamos de nuestro análisis la velocidad aleatoria de los electrones, que en promedio es cero, podemos deducir la ley de Ohm.
La carga debida a los electrones que atraviesan el área A por unidad de tiempo es J =
I = nev A
con n el número de electrones de valencia por unidad de volumen J = ne"
Si denimos = ne;la conductividad, podemos escribir J = " " =
40
Chapter 4.
ELECTRONES LIBRES EN METALES
Ahora I =
JA =
"A L L V R V = IR
= =
)
"A
= ne ne2 = m
4.3 Gas de Fermi de electrones libres
E
" #
~ 2
~ 2
2m
1 2L
2
d2 n = n n 2m dx2
4.4
Capacidad Caloríca Experimental en Metales
41
con n (0) = n (L) = 0 n
= A sin
n
=
~ 2
2m
n x ; L n 2 L
Supongamos que queremos ubicar N electrones. De acuerdo al principio de exclusión de Pauli, dos electrones no pueden ocupar los mismos orbitales. De esta forma: N n ms 1 1 2 1 3 1 4 2 5 3 6 3 7 4 8 4 nF es el nivel más alto, entonces:
" # " # " # " #
nF = F = =
~ 2
N 2
nF 2m L N ~ 2 2m 2L
2
2
4.4 Capacidad Caloríca Experimental en Metales A T T D (D ) y de T F , la capacidad calorifíca de los metales a volumen constante, puede escribirse como la suma de las contribuciones electrónicas y de la red: C = T + AT 3
donde y A son constantes características del material, con A =
1 2 kB N 2 T F
124 kB N 3 5 D N kB = 234 3 D
=
42
Chapter 4.
ELECTRONES LIBRES EN METALES
2 En general, se graca C T = +AT ; que es una recta con pendiente A e intersección con el eje C=T = . A veces estos valores para = libre = 2 N kB = (2F ) y en la literatura se dene:
mt = observado m libre 2 con mt =masa térmica efectiva F = 21 mvF La razón porque estos cuocientes dieren de la unidad se debe a: 1. Interacción de los electrones de conducción con el potencial periódico de una red cristalina rígida 2. Interacción de los electrones de conducción con los fonones. El electrón tiende a distorsionar o polarizar la red que lo rodea. El electrón intenta penetrar entre las las de iones, aumentando su masa efectiva. En los cristales iónicos esto se conoce como efecto polarónico. 3. Interacción de los electrones de conducción con ellos mismos. Un electrón móvil produce una reacción de inercia en el gas electrónico que lo envuelve, lo cual aumenta la masa efectiva del electrón. Los efectos de la interacción electrón-electrón se describen generalmente dentro del marco de lo que se llama teoría de Landau
del líquido de Fermi.
4.5 Conductividad Electríca y Ley de Ohm El momento de un electrón libre está relacionado con su vector de onda por: m~ v = ~ ~ k (4.5.1) ~ y magnético B ~ , la fuerza sobre un electrón está dada por En un campo eléctrico E ~ ~ = m d~v = ~ dk = F dt dt
~ + 1 ~v e E c
B~
(4.5.2)
k se desplaza uniformeEn ausencia de colisiones, la esfera de Fermi en el espacio ~ ~ mente cuando se aplica un campo constante. Usando B = 0 e integrando 4.5.2 ~ k (t)
~ k (0) = e Et~
(4.5.3)
Si aplicamos un campo E en t = 0; al cabo de el centro de la esfera se desplaza en
e E ~
(4.5.4) Debido a las colisiones, la esfera puede mantenerse en estado estacionario. Si el tiempo que dura una colisión es , el desplazamiento de la esfera en estad estacionario es E k = e (4.5.5) k =
~
4.6
Resistividad experimental
43
y el aumento de la velocidad es
e E m
~v =
(4.5.6)
~ hay n electrones por unidad de volumen con Si en un campo eléctrico constante E carga q = e, la intensidad de corriente es ~ = nq~v J E = ne2 m
Esta es la ley de Ohm
J =
(4.5.7a)
(4.5.7b)
E 2
= n
)
e m
(4.5.8)
(4.5.9)
(4.5.10) La expresión para es evidente pues la carga transportada debe ser proporcional a la densidad de carga ne, e=m viene de la aceleración que produce un campo E y es el tiempo en el cual actúa E = 1=
en cobre, vF = 1:58
= v F 10 cm=s = 2 109 s; entonces 8
2,
(300K ) = 3 106 cm (4K ) = 0:3cm
En metales muy puros a temperatura del helio líquido
10cm
4.6 Resistividad experimental L: lattice i : impurezas
= L + i
Si la concentración de impurezas es pequeña, i es independiente de la temperatura (Regla de Mathiessen ) La resistividad residual es el valor que se obtiene extrapolando a 0K y es equivalente a i y varía de una muestra a otra. (T = 300K ) (T = H el{quido )
=
relación de resistividad
'
106 2
44
Chapter 4.
ELECTRONES LIBRES EN METALES
En metales normales, contribución de fonones a L / T . Excepto a bajas temperaturas, en las cuales L / T 5
4.7 Conductividad térmica de los metales K el
1 /Cv 3 1 /C e v 3 2 2 nkB T vF 2 3 mvF 2 2 nkB T 3m
= = = =
pues = v F
4.8 Ley de Wiedermann-Franz A temperaturas no muy bajas, la relación entre la conductividad térmica y eléctrica de los metales es directamente proporcional a T , e independiente del metal 2 2 kB Tn=3m ne2 =m
K =
2 3
= L: número de Lorentz L = =
kB e
K T 2 kB 3 e
= 2:45
2
T
2
108
W =K 2
= ph , lo que ocurre a muy bajas temperaturas. Esto falla si e 6
4.9 Movimiento en campos magnéticos Vimos que k =
F ~
dt
(4.9.1)
4.9
Movimiento en campos magnéticos
k (t)
45
k (0) = k = e Et~ = F t~ ~
d k = F dt
(4.9.2)
(4.9.3)
pero si deseamos incluir colisiones debemos agregar un término de "roce" dado por ~
d 1 + k = K dt
(4.9.4)
d en que dt es la aceleración de la partícula libre y 1 es el efecto de las colisiones, "roce". La fuerza se gasta en acelerar la partícula y en el roce. Consideremos ahora la partícula en un campo magnético uniforme B . La fuerza de Lorentz sobre un electrón es:
F =
1 e E + ~v c
Si mv = ~ k , la ecuación de movimiento es:
d 1 m + v = dt
~ B
1 e E + v c
B
(4.9.5)
(4.9.6)
v en el término de fuerza corresponde al valor medio de v sobre la esfera de Fermi. Consideremos primero el movimiento libre de un sistema, siendo B paralelo al eje z . Vamos a hacer E = 0 y ; entonces
! 1
d v z dt d m v y dt m
= =
e Bc vy e Bc vz
(4.9.7)
(4.9.8)
que tienen solución: v z v y
= v0 cos (!c t) = v0 sin (!c t)
(4.9.9) (4.9.10)
eB 2:8 104B (Tesla) 2 donde ! c = mc Para un electrón libre en un campo de 100KGauss tenemos que ! c = 1:76 11 10 rad=s. Si los tiempos de relajación del cobre son 2 1014 s y 2 109 a 300K y 4K , respectivamente, entonces, ! c = 3:5 105 y 3:5 102 . Esta distancia es muy pequeña a temperatura ambiente, pero a temperaturas del helio líquido se recorren muchos ciclos.
46
Chapter 4.
ELECTRONES LIBRES EN METALES
Un caso importante es cuando existe un campo magnético estático B en la dirección 6 0: En este caso: del eje z y E =
d 1 m + v x dt d 1 m + v y dt d 1 m + v z dt
= = =
eE z
B e E x + vy c B e E x + vx c
(4.9.11)
(4.9.12) (4.9.13)
En estado estacionario y en un campo eléctrico estático las derivadas respecto al tiempo son cero, por lo que las ecuaciones se reducen a: v x
=
v y
=
v z
=
e m E x !c vy e m E y + !c vx e m E z
(4.9.14)
(4.9.15)
(4.9.16)
Resolviendo para v x y v y tenemos: v x
=
1 +e=m 2 (E x ! c E y ) (! )
(4.9.17)
1 +e=m (E y + !c E x ) (! )2
(4.9.18)
c
v y
=
c
La densidad de corriente de electrones viene dada por ~ = n ( e) ~v J
(4.9.19)
= xx E x + xy E y 0 = !c E y ) 2 (E x 1 + (!c ) = yz E x + yy E y 0 = (E y + !c E x ) 1 + (!c )2 = zz E z = 0 E z
(4.9.20a)
Luego, podemos escribir: J x
J y
J z
en que 0 =
0 1 @ A J x J y J z
(4.9.20b) (4.9.21a)
(4.9.21b) (4.9.22a) (4.9.22b)
ne2 m
0 = 1 + (! c )2
2 4
1 ! c 0
!c 1 0
0 0 1 + (!c )2
30 1 5@ A E x E y E z
(4.9.23)
4.10
Efecto Hall
47
4.10 Efecto Hall Consideremos una lámina
En estado estacionario: J y = 0, entonces E y
=
!c E x eB mc E x
=
(4.10.1a)
(4.10.1b)
Esta última expresión se conoce como el campo de Hall RH = = =
E y : constante de Hall J x B eBE x =J x B mc e E x mJ x
Para evaluar, usamos 4.10.1a en 4.9.20b J x
0 (E x !c ( !c E x )) 1 + (!c )2 0 2 = 2 E x + (! c ) E x 1 + (!c ) 0 E x 2 = 2 1 + (! c ) 1 + (!c ) = 0 E x
=
h h
i
i
(4.10.2a) (4.10.2b) (4.10.2c)
48
Chapter 4.
ELECTRONES LIBRES EN METALES
de 4.5.9 tenemos el valor de 0 ; entonces ne2 E x m e E x = ne m e E x 1 = ne mJ x 1 = ne RH 1 ) RH = ne
J x
=
Ejemplo
Considere un metal en un campo eléctrico uniforme E . Un electrón ex perimenta una colisión y luego de un tiempo t una segunda colisión. Encuentre la energía perdida en la segunda colisión. Si la probabilidad de una colisión en t es P (t) = exp( t= ) = ; donde es el tiempo de relajación, encuentre la energía Solución
F
=
ma = eE a = eE=m eEt v = m 1 E c = mv 2 2 2 (eEt) 2m
)
) ) =
La energía media está dada por: 1
hE ci
=
Z
E c P (t) dt
0
=
(eE )2 2m
1
Z
2
t exp
0
2
=
(eE ) m
t dt
La energía media total perdida por centimetro cúbico por segundo está dado por:
hP ci V
N E c V ne2 2 = E m = 0 E 2
=
h i
4.11
Bandas de Energía
49
Ejercicio Potencial Químico de fermiones está dada por:
La función de distribución P (E ) para un gas 1
P (E ) = exp
h
(E(T )) kB T
i
= f (E ) +1
Para bajar T se puede mostrar que (T ) diere muy poco de E F
a) Muestre que n =
1 1 dED
R
2
n = n0 + (
con n0 =
(E ) f (E )
E F ) D (E F ) + 6
(kB T )2 D0 (E F )
EF D (E ) dE 1
R
b) Suponga n constante e igual a n0 . Calcule el potencial químico c) Muestre que = 0 +
2 6
(kB T )2 D (E F ) ; con 0 =
Utilizando 1
Z
H (E ) f (E ) dE =
1
Z
H (E ) dE +
1
EF 0
R
D (E ) dE la energía
2 (kB T )2 H 0 () + 6
7 4 (kB T )4 H 000 () + ::: 360
n =
Z
D (E ) dE +
1
+
2 2 (kB T ) D0 () 6
7 4 (kB T )4 D000 () + ::: 360 EF
=
Z
D (E ) dE +
1
Z
D (E ) dE
EF
4.11 Bandas de Energía El modelo de electrones libres nos da claridad respecto de ciertas propiedades como calor especíco, conductividad térmica, eléctrica y algunas propiedades magnéticas. Sin embargo, falla en dar respuesta a preguntas como:
Diferencias entre metales, semiconductores y aisladores Propiedades de transporte
Debemos entonces ir más allá y salir de la aproximación de electrones libres
50
Chapter 4.
ELECTRONES LIBRES EN METALES
Recordemos algunos puntos que gobiernan los niveles de energá de un átomo aíslado 1. Las propiedades de un electrón en un átomo están gobernadas por cuatro parámetros o números cuánticos: n; l; ml y ms : n es el número principal, l toma valores entre 0 y n 1, ml toma valores entre l y l , ms puede ser 1=2 2. El electrón ocupa niveles discretos de energía indicados por n y l , pues la energía no depende de ml o ms l = 0 1 2 3
!
s p d f
Si consideramos el sodio, con 11 electrones, entonces, tenemos 2 electrones en el nivel 1s y 2 en el 2s, 6 en el nivel 2 p y uno en el nivel 3s. Pero en un sólido el átomo no está aíslado ¿qué ocurre entonces? Si lo átomos están muy lejanos se comportan como átomos aíslados. Si los acercamos comienzan a interactuar los electrones más externos y esto afecta su energía. Si gracamos la energía en función de la separación entre los átomos obtenemos lo siguiente:
En la posición de equilibrio hay dos estados posibles, uno con energía mayor y otro con energía menor que la del nivel 3s. Estos estados ya no pertenecen a un átomo especíco, sino al par de átomos considerado. No signica que el electrón 3s asociado a un átomo tiene mayor energía que el asociado a otro, pues los nuevos niveles aparecen sólo por la interacción. Ambos electrones, si tuviesen diferente spin podrían ocupar el mismo estado de menor energía. Si ahora acercamos N átomos de sodio, tendremos N niveles.
4.12
Modelo de electrones casi libres
51
En un cristal macroscópico, N 1024 y los niveles barren un rango de unos pocos eV . Luego, efectivamente, tenemos una banda contínua. Lo mismo ocurre en los niveles 1s, 2s, 2 p, pero como las interacciones son más débiles, las bandas asociadas son más.
A pesar de que los estados están tan juntos, que podemos tratarlos como una banda debemos pensar en niveles discretos al estudiar la ocupación. Debemos intentar ahora una descripción más rigurosa.
4.12 Modelo de electrones casi libres En el modelo de electrones libres, E k = ~ 2 k2 = (2m) ; k x = 0; 2=L;::: k ~r y llevan un momentum Las funciones de onda son ondas del tipo k = exp i~
p = ~ ~ ~ k; pero ¿qué ocurre realmente en un cristal? Sabemos que la reexión de Braggs
es característica de la propagación de una onda en un cristal. Esto introduce un gap , es k para los cuales una onda no puede propagarse y se reeja. Estos gaps decir, valores de ~ son los que determinan si un sólido es aislador o conductor. Veamos que ocurre en una dimensión. Sabemos que una onda se reeja si ~ G~ = 2, ~ el vector ~ con G k y un vector de la red directa ~ ~ k = G ~ ~ k0 = ~ k + G ~ k02 = k2 + G2 + 2~ k G
~ 2 red recíproca, pero k 02 = k 2 ) con G ~ + G2 2~ k G
= 0
~ k =
12 G~
k iguales a 1=2 vectores de la red recíproca, se produce reexión. Para valores de ~
52
Chapter 4.
ELECTRONES LIBRES EN METALES
~ 2=a, luego, en k = =2 no hay soluciones de ondas viajeras. En una dimensión G = La solución será la suma de una onda propagándose en cada dirección
Lo mismo ocurre para otros vectores de la red recíproca k = n=a, con n un entero. En el primer caso, tenemos los bordes de la Primera Zona de Brillouin. Las funciones de onda serán entonces, ondas estacionarias, es decir, son independientes del tiempo y no transportan carga Las ondas estacionarias se pueden formar como:
(+) = exp (ix=a) + exp ( ix=a) = 2cos (x=a) ( ) = exp (ix=a) exp( ix=a) = 2sin (x=a)
Estas dos acumulan electrones en distintas regiones del espacio x, luego tienen distintos valores de energía potencial asociados. Este es el motivo del gap , una solución tiene más energía que la otra. Como P = jj2 , para una onda viajera la partícula libre una probabilidad constante de estar en cualquier parte, pero para
(+) = ( ) =
j (+)j2 cos2 (x=a) j ()j2 sin2 (x=a)
La función (+) acumula electrones en x = 0; a; 2a; etc, es decir, sobre los iones positivos, donde el potencial es muy fuerte. () acumula electrones entre dos iones.
4.13
Magnitud del Gap de Energía
53
Luego (+) tiene una energía menor que () La energía del gap está dada por E g = E ( (+))
E ( ())
4.13 Magnitud del Gap de Energía Normalizemos las funciones de onda en un intervalo de largo L = 1 (+) = ( ) =
p 2cos p
x a x 2sin a
Supongamos U (x) = U 0 cos 2x ; pues U (x) = U 0 en las porciones de la red, a vale decir, sobre los iones y cero entre medio.
54
Chapter 4.
ELECTRONES LIBRES EN METALES
La diferencia de energía entre las dos ondas estacionarias está dada por: 1
E g
=
Z h i Z h i dxU 0
0
+ (x)
1
= 2
dxU 0 cos
0
2
2x a
(x) cos2
2
x a
sin2
x a
= U 0
Vemos que la energía del gap es igual a la componente de Fourier del potencial cristalino.
4.14 Funciones de Bloch Bloch postuló que las funciones de onda solución de la ecuación de Schrödinger en un potencial períodico son de la forma
k (~r) = k (~r)exp i~ k ~r
(4.14.1)
T donde k (~r) tiene la periodicidad de la red, es decir, k (~r) = k ~r + ~ Esto se conoce como teorema de Bloch y una función de este tipo se llama función de Bloch y es válida en todo el cristal
4.14.1 Demostración Esta demostración es válida sólo si k es no degenerada, es decir, no existe otra función k y energía, excepto k . Consideremos N puntos idénticos en de onda con el mismo ~ un anillo de largo N a. Su energía potencial es periódica en a, con U (x) = U (x + sa) y s = 0; 1;:::;N 1: Debido a la simetría del anillo buscamos soluciones que deben satisfacer:
(x + a) = c (x)
(4.14.1.1)
con c una constante o fase. Dando una vuelta al círculo (x + N a) = (x) = c N (x)
(4.14.1.2)
de donde cN = 1 c = exp (i2s=N ) ; s = 0; 1;:::;N
)
si escribimos (x) = k (x)exp[i (2sx=Na)]
1
(4.14.1.3a) (4.14.1.3b) (4.14.1.4)
4.15
Modelo de Krönig-Penney
55
(x) satisface 4.14.1.1 si k (x) es períodica en a; es decir:
k (x + a) = k (x)
con k =
2s Na ,
(4.14.1.5)
se obtiene el resultado de Bloch.
4.15 Modelo de Krönig-Penney Consideremos un potencial del tipo de la gura
En la región 0 < x < a; U = 0 y = A exp(iKx) + B exp( iKx) (4.15.1a) 2 2 ~ K (4.15.1b) = 2m b < x < 0 , dentro de la barrera, la solución es de la forma
En la región
= C exp (Qx) + D exp( Qx) ; con 2 2 ~ Q = 2m
U 0
(4.15.2a)
(4.15.2b)
Deseamos que la solución completa sea del tipo de Bloch, luego
(a < x < a + b) = ( b < x < 0)exp [ik (a + b)]
(4.15.3)
ver 4.14.1.5 Las constantes A ; B ; C ; D se eligen para satisfacer ecuaciones de continuidad usual de la función de onda y su derivada en las interfases. En x = 0, A + B = C + D iK (A B) = Q (C D)
En x = a; usando 4.15.3 AeiKa + Be iKa iK AeiKa
BeiKa
= Ce Qa + DeQa = Ce Qb + DeQb eik(a+b) = Q Ce Qb
DeQb
eik(a+b)
56
Chapter 4.
ELECTRONES LIBRES EN METALES
Estas cuatro ecuaciones sólo tienen una solución si el determinante de los coecientes de A; B; C; D se anula, es decir, si:
Q2 K 2 sinh(Qb)sin(Ka) + cosh (Qa)cos(Ka) = cos[k (a + b)] 2KQ
El resultado se simplica si representamos el potencial por una función delta periódica obtenida al pasar al límite b = 0 y U 0 = 1; de forma que Q 2 ba=2 = P , se mantiene nito. En el límite Q K y Q 1, nuestra ecuación se reduce considerando que: cosh(Qb) sinh(Qb)
1 Qb
Q2 Qb sin(Ka) + cos (Ka) = cos (ka) 2KQ Q2 sin (Ka) + cos (Ka) = cos (ka) 2Ka P sin (Ka) + cos (Ka) = cos(ka) Ka Esta relación nos permite obtener K (E ) vs k Sea a = 1; P = 0:5; se pueden dibujar las bandas
si Q2 ba 2
= P
Qb =
2P = Qa a 2P
q
2P
q
2m ~2
(U 0
)
2m
a
~2
U 0
4.16 Ecuación de onda para un electrón en un potencial periódico Sea U (x) la energía de un electrón en una red lineal de constante a . Sabemos que U (x) = U (x + a) una función invariante ante traslaciones del cristal puede expandirse como una serie de Fourier en el espacio recíproco de vectores G: U (x) =
X G
U G exp (iGx)
(4.16.1)
4.16
Ecuación de onda para un electrón en un potencial periódico
57
Como U (x) debe ser real: U (x) =
X X
U G eiGx + eiGx
G
= 2
U G cos (Gx)
G>0
Hemos asumido que el cristal es simétrico en x = 0 y que U 0 = 0: La ecuación de Schrödinger puede escribirse como:
"
1 2 p + U (x) (x) = 2m
1 2 p + 2m
= (x)
X
#
U G eiGx (x) (4.16.2a)
G
(4.16.2b)
Esta ecuación está escrita en la aproximación de un electrón, en la cual el orbital (x) describe el movimiento de un electrón en el potencial de los iones y el promedio de los otros electrones de conducción. (x) puede expresarse como una serie de Fourier sobre los vectores de onda permitidos por las condiciones de borde (x) =
X
ck eikx ; con k
k
2R
(4.16.3)
Elsetde k 0 s son de la forma 2n=L, pues satisfacen condiciones de borde periódicas en L . No todos los vectores del set k entran en la expansión de Fourier de cualquier función de Bloch. Si un k está contenido en la expansión, todos los otros que entran en la expansión son del tipo k + G, con G un vector de la red recíproca.
~ es 2 = 20(2=L) ; con L = 20a El menor G a Podemos indicar una función de onda que contiene una componente k como k ó k+G . Ahora: 1 2 p (x) = 2m = =
1 2m
d i~ dx ~ 2 d2 2m dx2
~ 2
2m
X k
2
(x)
k 2 ck eikx
(4.16.4a) (4.16.4b) (4.16.4c)
58
Chapter 4.
ELECTRONES LIBRES EN METALES
La energía potencial está dada por:
X
!
XX
U G eiGx (x) =
G
G
U G eiGx ck eikx
(4.16.5)
X
(4.16.6)
k
La ecuación de onda queda entonces como:
X k
~ 2
2m
k2 ck eikx +
XX G
U G ck ei(k+G)x =
k
ck eikx
k
Cada componente de Fourier debe tener el mismo coeciente en cada lado, luego (k
) ck +
con
X
U G ckG = 0
(4.16.7)
G
~ 2 k 2
(4.16.8) La ecuación 4.16.7 se conoce como ecuación central y representa un conjunto de ecuaciones lineales simúltaneas que conectan los coecientes ckG k =
2m
( Recordar que los k son de la forma 2n=L y los G son de la forma 2n=a)
Exercise 1 Modelo de Krönig-Penney
X X
U (x) = 2
U G cos (Gx)
G>0
= Aa
(x
s
sa)
con A una constante y a el espaciamiento de la red. Si pensamos en un anillo con 1=a átomos, de largo unitario, la suma corre para s entre 0 y 1=a. Los coecientes de Fourier del potencial son: 1
U G
=
Z
dxU (x)cos(Gx)
0
= Aa
1
X Z s
=
X
dx (x
0
sa)cos(Gx)
Aa cos(Gsa)
s
= A
Con esto, la ecuación central se transforma en: (k
) ck + A
X G
ck
2n
a
=0
(4.16.9)
4.16
Ecuación de onda para un electrón en un potencial periódico
Denimos f k =
X
ck
59
2n
a
G
luego, 4.16.9 queda: (k
) ck + Af k
= 0
ck
=
ck
= =
k (Af k )
Af k
~2 k2
2m
k ~ 22mAf 2 k 2m
2
=
k =~ k2mAf 2 2m=~ 2
Como 4.16.9 es sobre todos los coecientes c, se tiene que para cualquier n f k = f k2n=a
con esto
2mA=~ 2 f k
i h X " # X " #
ck2n=a =
2n=a)2
(k
(2m=~ 2 )
Sumando sobre n a ambos lados se tiene: f k
=
2mA=~ 2
f k
2n a
k
n
~ 2
=
2mA
k
n
denamos:
2n a
k0 = k
reemplazamos en 4.16.10b, nos deja: ~ 2
2mA = usando cot (x) =
1 n n+x
P
X n
2
(2m)
2
2n a k
(2m) ~ 2
~ 2
1
(4.16.10a)
1
~ 2
02
(2m)
1
2 ~
a2 sin(Ka) = 2mA 4Ka (Ka)
con K 2 = 2m=~ 2 mAa2 sin (Ka) + cos (Ka) = cos (ka) 2~ 2 Ka
(4.16.10b)
60
Chapter 4.
ELECTRONES LIBRES EN METALES
que coincide con el resultado previo con P =
mAa2 2~ 2
4.17 Segunda demostración del teorema de Bloch Volvamos a la ecuación central: (k
) ck +
X
U G ckG = 0
G
Una vez determinados los ck , la función de onda estará dada por: k (x) =
X
ckG exp [i (k
G
G) x]
la cual puede ser arreglada como: k (x) =
X
!
ckG exp ( iGx) exp(ikx)
G
= exp (ikx) k (x)
con k (x) = G ckG exp (iGx) como (x) es una serie de Fourier sobre los vectores de la red recíproca, es invariante ante traslaciones T de la red, de forma que
P
k (x) = k (x + T ) k (x + T ) =
X
ckG exp [ iG (x + T )]
= exp ( iGT ) =
X
ckG exp (iGx) exp ( iGT ) k (x)
como exp (iGT ) = 1, entonces k (x + T ) = k (x)
Esta es una demostración exacta del teorema de Bloch y es válida independiente de la región de k : ¿Cuál es el signicado del vector de onda ~ k usado para distinguir las funciones de Bloch? Tiene varios signicados:
4.17
Segunda demostración del teorema de Bloch
61
1. Bajo una traslación en la red cristalina tenemos que:
k (r + T ) = exp i~ k ~ T exp i~ k ~r k ~r + ~ T = exp i~ k ~r k (~r)
Luego exp i~ k ~r es el factor de fase por el cual se multiplica la función de Bloch
~ cuando realizamos una traslación en la red en T También podemos decir que exp i~ k ~ T es el autovalor de una operación de traslación cristalina y k es el autovector. Es decir,
T k (x) = k (x + T )
= exp i~ k ~ T k (x)
Luego k es un índice adecuado para los autovalores 2. Si el potencial de la red se anula, la ecuación central se transforma en: (k
) ck
= 0
k
~ 2 k 2
=
2m
k = exp i~ k ~r
y tenemos el caso de un electrón libre. Escribamos la ecuación central como ck =
P
G
G
U G ckG
~2 k2
2m
Esto nos muestra que los ck son grandes sólo si la energía de la componente plana es parecida a la energía perturbada. Si ck es grande y existe otro ckG cuya onda plana tiene casi la misma energía, es decir: ckG
0
!
~ 2 (k
G0)2 ~ 2k2
2m
2m
Entonces ckG también será grande pues 0
ckG = 0
P
G
U G ckGG
0
2m (k G0 )2 ~2
La condición para entremezclar las dos componentes es: (k
G0 )2 = k 2
62
Chapter 4.
ELECTRONES LIBRES EN METALES
(Esto es para un k particular) Solución aproximada cerca de un límite de zona. Consideremos primero k = 21 G1 = a . Allí:
(k
k
2
G1)
2
1 G1 2
2
1 G1 2
2
= =
Luego, en la frontera de la zona, las energías cinéticas de las dos ondas componentes: eikx y ei(kG
1
~ 2
2m
k2
2
~ ) 2m
)x
1 G1 2
son iguales
2
=
~ 2
2m
(k
G1)2
en k = =a Luego, si c 12 G1 es un coeciente importante de la función de onda, también lo es
c
X 1 2 G1
:
En ese punto, si usamos U = 2U 1 cos (G1 x) = U 1 eiG (k
) ck +
U G ckG = 0
G
1 U 1 U 1 1
)
( (
1
x
+ eiG
1
x
) c(G=2) + U 1cG =2 = 0 ) c(G=2) + U 1cG =2 = 0 1 1
= 0
(1 )2
=
~ 2
U 12
) = 2m
2
G1 2
U 1
Luego el potencial ha creado en la frontera una banda prohibida de ancho de 2U 1 También, como (1 ) cG = + U 1 cG = = 0 1
2
1
2
cG = 1 = = cG = U 1 1
1
2
2
1
Luego: 1 (x) = eiG 2 (x) = eiG
1=2
1=2
x
+ eiG x eiG
1=2
x
1=2
x
¿Qué ocurre cerca de la frontera? Partiendo de la ecuación central y asumiendo que sólo se mezclan estas componentes
(k ) ck + U 1 ckG = 0 (kG ) ckG + U 1 ck = 0
1
1
k U 1 U 1 kG
1
) =
0
4.17
Segunda demostración del teorema de Bloch 1 = (kG + k ) 2
Cada solución da origen a una banda
1 [kG 4
63
k ]
1
2
+ U 12
1=2
Sea = 21 G1 k ) k = G 1 =2 k (+) = 1 (+) + :::
4.17.1 Problemas: Considere un electrón en un cristal unidimensional. Encuentre el determinante de com patibilidad si V (x) = 3 2cos(2x) y la periodicidad es a = Solución
El problema no perturbado es no degenerado y no tengo un k particular. Con esto, veamos la ecuación central: (k
) ck +
X
U G ckG
= 0
G
G1
=
U =
2 2 = =2 a 3 eiG x + eiG
(k ) ck + 1ck2 1ck+2 3ck = (k 3) ck + ck2 ck+2 = (k2 3) ck2 + ck4 ck = (k+2 3) ck+2 + ck ck+4 = (k+4 3) ck+4 + ck+2 ck+6 = (k4 3) ck4 + ck6 ck2 = k4 3 1 0 0 1 k2 3 1 0 0 1 k 3 1 0 0 1 k+2 3 0 0 0 1 1
1
x
0 0 0 0 0 0
k+4
0 0 0 1 3
=0
Mediante aproximaciones sucesivas uno puede obtener cada vez mejores valores para la energía
64
Chapter 4.
ELECTRONES LIBRES EN METALES
4.17.2 Problema Considere una red cuadrada en dos dimensiones U (x; y) =
4U cos
2 x cos a
2 y a
Aplique la ecuación central para encontrar aproximadamente el gap de energía en un punto de la esquina de la zona de Brillouin (=a; =a) Solución
Apliquemos la ecuación central: (k
) ck +
X
U G ckG = 0
G
con U G dado como en el enunciado, entonces, veremos que los G están dados como: G =
Sea
U (x; y) = = =
2n x ^; a
~ 1 G
=
~ 2 G
=
~ 3 G ~ 4 G
= =
2 (1; 1) a 2 (1; 1) a ~ 1 G ~ 2 G
e2ix=a + e2ix=a 4U 2
U U
h h
2i(x+y)=a
e
~ 1 ~ r
eiG
2n y^ a
e2iy=a + e2iy=a 2
2i(x+y)=a
+e
~ 1 ~ r
+ eiG
~ 2 ~ r
+ eiG
2i(xy)=a
+e
~ 2 ~ r
+ eiG
2i(xy)=a
+e
i
i
Luego, hay cuatro coecientes distintos de cero y la ecuación central se transforma en: (k
) ck U fckG + ck+G + ckG + ck+G g = 0 2 2 (k G1 ) = ; ; = ; a a a a a a 1
(k + G1 ) = (k + G2 ) = (k
G2)
=
; + a a ; + a a ; a a
1
2
2
2 2 3 3 ; = ; a a a a 2 2 3 ; = ; a a a a 2 2 3 ; = ; a a a a
4.18
Número de orbitales en una banda
65
Luego, si ck es grande, también lo será ckG (k
) ck U ckG (kG ) ckG U ck 1
1
= 0 = 0
si k = kG , tendremos: 1
(k
k
U U k
)2 U 2
=0
= 0 = k
Entonces: k
U
= ck k + ckG kG ~ ~ ~ = c eik~r + c ei(kG )~r k
kG
1
Puntos: (000) (000) K L W (2=a (2 =a)) X
4.18 Número de orbitales en una banda Consideremos un cristal formado por celdas primitivas de constante a. Para Para cont contar ar estados, aplicamos aplicamos condiciones periódicas a las funciones funciones de onda sobre toda la longitud del cristal. Los k permitidos en la primera zona de Brillouin: k
= 0;
k
=
N 2L ; 4L ; :::; :::; L
N N = = L NL L
En que el término N=L corresponde a la frontera de la zona. El punto N=L no lo consideramos pues está relacionado con =a con un vector de la red recíproca igual a 2=a. El número de puntos es exactamente N , el número de celdas primitivas, es decir, cada celda contribuye con un valor independiente independiente de k a la banda de energía, considerando 2N 2 N orbitales por banda (debido al spin). Si en cada celda primitiva hay un sólo átomo con valencia valencia uno, la miad de la banda puede ocuparse ocuparse con electrones electrones.. Si
66
Chapter 4.
ELECTRONES LIBRES EN METALES
cada átomo contribuye con dos electrones de valencia, la banda puede ocuparse totalmente. También puede ocuparse la banda si en cada celda primitiva primitiva hay dos átomos con valencia uno. Si los electrones de valencia ocupan una o más bandas, dejando otras vacias, el cristal será un aíslados. Como existe un gap , no hay forma continua de hacer variar el momento total de los electrones.
Un cristal puede ser un aislador sólo si el número de electrones de valencia en su celda primitiva primitiva es par. Si un cristal tiene un número impar.
4.19 Construcción de supercies de Fermi En los metales es muy importante conocer la supercie de Fermi, que es la supercie de energía constante E F F : La supercie separa los orbitales llenos de los que no lo están
4.19
Construcción de supercies de Fermi
G1
=
G2
=
G3
=
67
2a k^x; 2a k^y 2a k^x; 2a k^y 4 ^ 2 2 2a k^x; 4 kx ; (kx + ky ) a a
El área total de la supercie de Fermi de electrones libres depende sólo de la concentración de electrones, por ejemplo, cuál es la concentración de electrones en una red 2D cuya supercie de Fermi está dentro de la primera zona de Brilliouin.
L = N = k
=
N =
2 2 2 3 = D = Area = Area = 2 a a a a 3 2 2 A L L = 2 2 2 2 = = N 2 2 k a 2 2a 2 2 L 2
)
)
68
Chapter 4.
ELECTRONES LIBRES EN METALES
En 3D:
L = N = N e
=
2 4 = D V ol = a 3 a 4 3 3 V ol 4 2 = 3 : = 3 k 3a L 6 L 2 2 = N c 2a2 2
)
2
4.19
Construcción de supercies de Fermi
69
¿Cómo se pasa de una supercie para electrones libres a las de electrones casi libres?
a La aparición del electrón con el potencial periódico del cristal genera la aparición de bandas prohibidas en los límites de zona. b La mayor parte de las supercies de Fermi cortan perpendicularmente a los límites de la zona.
70
Chapter 4.
ELECTRONES LIBRES EN METALES
c El potencial del cristal redondea las esquinas aladas de las supercies de Fermi. d El volumen total encerrado por la supercie de Fermi sólo depende de la concentración electrónica. Supongamos que la red tiene dos electrones de conducción por sitio de la red. El k en la zona de Brillouin es igual al número de puntos de la red. número de estados ~ ~ Como k acomoda dos electrones
V ol =
2 k F
=
4 a
2
p 2a = 1:128 a
kF =
número de electrones por celda si celda es cúbica simple y kF queda dentro
Aesfera =
esfera acomoda 2 (A=k) electrones 3 2 2 a
2 L
a
2
=
L 2 2a2
N 2 = 1:57
N =
2
4.20
Electrones fuertemente ligados
71
4.20 Electrones fuertemente ligados El gas de electrones libres es un modelo conceptual para el estudio de los sólidos. Pero podemos pensar que los átomos están hechos de átomos, luego su comportamiento de biera ser similar a un átomo. Entonces su descripción debiera vincularse con las funciones atómicas. Esto se conoce como método de... Estos dos puntos de vista no son contradictorios y se funden utilizando las funciones de Wanmer que son un conjunto ortonormal de funciones de onda que se pueden construir a partir de funciones de Bloch y que están localizadas en sitios atómicos. Al desarrollar la aproximación de tight binding , suponemos que en la vecendidad de cada punto de la red H total puede aprozimarse por H at, de un átomo solo. Pensamos también que los niveles de este H at están bien localizados, i. e., si n es un nivel ligado de H at de un átomo en el origen
H at n = E n n
(4.20.1)
Entonces, n (r) será pequeña si r excede una constante de red, la cual llamaremos el rango de n . Para calcular correcciones al caso extremo ( H const = H at si r rango).
H = H at + U (r)
(4.20.2)
Si (r) satisface H at n = E n n ; también satisface 4.20.2, si U (r) = 0 cuando n (r) no. Si este es el caso, n (r) dará N niveles en el potencial periódico con funciones n (r R) para cada uno de los N sitios R de la red.
Como debemos preservar una descripción de Bloch:
n (r + R) = exp[ik R (r)]
P X h i "X 2X 3 4 5
Sea nk (r) = R exp i~ k ~ R n (r zona de Brillouin. Satisface Bloch:
R), k recorre los N valores en la primera
exp i~ k ~ R0 n (r + R
nk (r + R) =
R0 )
R
0
exp[ik (R0
= exp (ik R)
R
0
= exp (ik R)
exp ikR n r
R
= exp (ik R) (r)
R)] n (r
Luego, se satisface el teorema de Bloch.
R
(R0
#
R))
72
Chapter 4.
ELECTRONES LIBRES EN METALES
De esta forma n (k) = E n , independiente del valor de k. Para resolver esto, supongamos que n (r) es pequeña, pero no nula cuando U (r) es apreciable. Para esto (r) = R exp (ik R) (r R) ; pero con (r) no necesariamente una función atómica sino una fnción por determinar. Si U (r) n (r) es pequeño, (r) n (r)
P
(r) =
X
bn n (r)
n
/m (r)
(4.20.3)
(H at m (r)) (r) dr
(4.20.4a)
H (r) = [H at + U (r)] (r) = (k) (r)
usando
Z
m H at (r) dr
Z
=
Z Z
= m ( (k)
usando
m )
Z
m (r) (r) dr =
(r) =
X X
R)
exp(ik R) bn n (r)
R;n
m (r) U (r) dr
exp(ik R) (r
R
=
m (r) (r) dr
(4.20.4b)
(4.20.5)
(4.20.6a)
(4.20.6b)
reemplazando 4.20.6b en 4.20.5 y la ortonormalidad de n
( (k)
m) bm
=
( (k) E m) +
X Z 0 X @X Z
n
m (r) n (r
R6 =0
m (r) U (r) n (r) dr
n
+
X 0@ X Z
n
R6 =0
m (r) U (r) n (r
bn
R) eikRdr
R) eikRdr
1 A
bn
(4.20.7)
1 A
bn
El primer término de la derecha contiene términos de tipo dr m (r) n (r R). Como asumimos que las funciones atómicas están bien localizadas, esta integral es menor que 1. Lo mismo el tercer término y el segundo porque U es grande si n es chico. Luego, el lado derecho es chico y ( (k) E m ) bm es chico, entonces, E (k) E m ; por ejemplo, E 0 ) m = 0, excepto b0 , los otros bm = 0
R
4.20
Electrones fuertemente ligados
73
Consideremos un nivel s no degenerado (k)
(s)
Z P
0 X Z @ bs +
s (r) s (r
R6 =0
U (r) (r) 2 drbs
pues (r) =
j
R R R
j
bs +
(4.20.8)
n bn n (r) = b s s (r)
(k) = E s
E s = electrón en nivel atómico s = drU (r) (r) 2 = dr (r) U (r) (r R) (r) = dr (r) (r R) como es un nivel s; (~r) = (r)
R) eikRdr
1 A
j
j
+ 1+
PP
(R) eikR (R) eikR
(4.20.9)
Chapter 5 Semiconductores Algo destacable en la naturaleza es que
Cu S
1024
Esta razón es similar a el diámetro de una órbita planetaria con el de una órbita atómica. Podemos entender esto pensando en los enlaces. Los enlaces metálicos producen electrones deslocalizados que se mueven "libremente" en respuesta a un campo eléctrico (conductores). Otros enlaces consideran electrones fuertemente ligados a un átomo o par de átomos (iónico, covalente). Estos materiales son aisladores. Entre ambos están los semiconductores, con conductividades eléctricas intermedias. Veamos un átomo de carbón, con sus electrones, 2 en 1s; 2s y 2 p: 75
76
Chapter 5.
Semiconductores
El gap es crucial para entender las propiedades eléctricas de semiconductores y aisladores
77
78
Chapter 5.
Semiconductores
5.1 Diferencia entre aisladores y semiconductores 1
f (E ) = exp
h i EEF kB T
+1
que es la probabilidad de tener... Pero si deseamos aplicar esta ecuación a un semiconductor, debemos determinar el nivel de Fermi
Si usamos E = 0 en el borde de la banda de conducción, E E F = E g =2 y 1 f (E ) = [exp(E g =2kB T ) + 1] será la probabilidad de encontrar un electrón en el borde de la banda de conducción. Como E g 1eV , kB T 0:025eV a T = 300K; E g 2kB T f (E )
1 exp
E g 2kB T
Como la concentración de electrones en la banda de conducción n debe ser proporcional a esa probabilidad, entonces: n = C exp
E g 2kB T
con C = const 1025 m3 Si queremos estimar el número de electrones de conducción por metro cúbico en una muestra de silicio a 300K , con C = 2 1025 m3 , tenemos que: n = C exp = 2 1:11eV = n =
E g 2kB T
25
1:78 1019 1:38 1023 300K
10 exp 2 1:11 1:602 1019 = 1:78 1019 J 9:22 1015 m3
5.2
Agujeros
79
Es decir, tenemos del orden de 1016 electrones por metro cúbico. Luego, no nos sor prende que el silicio se comporte como conductor, aunque nCu 1029 . Esta diferencia explica porqué no es un conductor. Si hacemos el mismo cálculo para diamante, n 6:97 1022 m3 , a pesar de que su gap es sólo 5 veces mayor, prácticamente su banda de conducción está vacía, es decir, el diamante es un aislador perfecto. El que un material se comporte como un aislador o un semiconductor es sólo de pendiente de la temperatura. La concentración de electrones en la banda de conducción depende exponencialmente de la temperatura, luego, su dependencia con T es muy fuerte. El Silicio a baja temperatura es un buen aislador, pero a temperaturas uy altas su conductividad es cercana a un metal
Una demostración interesante se puede hacer con una barra de vidrio en serie con una ampolleta.
5.2 Agujeros
Cristal covalente como silicio o diamante. Allí hay tantos estados en la banda de valencia como electrones que forman el enlace covalente con su vecino. Si hay un estado vacante en la banda de valencia, signica que un enlace está incompleto. Si aplicamos un campo eléctrico el estado vacante se mueve hacia el potencial negativo. En realidad, el electrón se mueve al estado de potencial positivo (+), pero se puede
80
Chapter 5.
Semiconductores
entender como si el estado vacante, llamado agujero, se mueve hacia el lado positivo. Luego, podemos suponer que el agujero tiene carga positiva, igual en magnitud a la del electrón. Si aplicamos un campo eléctrico al semiconductor, los electrones de conducción se moverán en una dirección y los agujeros de la banda de valencia en la otra, luego: = e (ne + ph )
jj
en que e y h son las respectivas movilidades. Cada vez que creamos un electrón de conducción, dejamos un agujero, luego, ni = pi , donde i entonces, es intrinseco (puro).
5.3 Propiedades ópticas de los semiconductores
E = h =
hc
Pero la energía ganada debe ser mayor que el gap min =
E g c = h max
Esto se conoce como fotoconductividad , pues un haz de luz de la frecuencia adecuada puede producir un gran número de electrones de conducción y agujeros, luego, induce un gran aumento de la conductividad. El proceso inverso también puede ocurrir, un electrón en la banda de conducción puede decaer y recombinarse con un agujero liberando un fotón. Esta es la base del láser semiconductor y del light-emitting-diode (LED). Se debe notar que no todos los semiconductores pueden producir luz. Esto se debe a que en el proceso se debe conservar E y ~ k (vector de onda). La emisión de un fotón de la frecuencia correcta da cuenta de la conservación de energía, pero los ~ k deben ser iguales. Esto ocurre sólo en semiconductores directos como arsénico, galio, antimonio
5.4
Masa eféctiva
81
de indio, arsenuro de indio. Pero el silicio y el germanio no satisfacen este criterio, pues su gap es indirecto, y no sirven para fabricar LED o láser.
5.4 Masa eféctiva ¿Cuál es la masa de un electrón en un semiconductor? En algunos experimentos, el electrón se comporta como si su masa fuese diferente. Veamos un electrón en un campo B : c =
Be 2me
c =
Be 2me
con c la frecuencia de ciclotrón. Como es distinta, Esto viene de F
=
) c =
mv2 Bev = R BeR v = me
! v Be = = 2 2r 2me
Elemento Antimonio de Indio Arsenuro de Indio Germanio Silicio Arsenuro de Galio Sodio Cobre Zinc por ejemplo, en "; a = e"=me
mc =me 0:014 0:022 0:60 0:43 0:065 1:2 0:99 0:85
mn =me 0:4 0:4 0:28 0:54 0:54
82
Chapter 5.
Semiconductores
5.5 Semiconductores tipo n Las propiedades más importantes de los semiconductores provienen de introducir im purezas. En porcentajes menores que 0:0001% puede provocar cambios dramáticos semiconductores dopados = extrínseco
Una impureza donora tiene un electrón de valencia extra, por ejemplo, fósforo en silicio. El fósforo tiene 5 electrones de valencia y el silicio 4. Esto se conoce como dopaje n.
Así queda libre un electrón. Consideremos el diagrama
Luego tenemos un equivalente al átomo de Hidrógeno. En el modelo de Bohr 4
E =
0
donde es la constante dieléctrica.
4
8m2ehe 2 ! 8m2e2eh2 0
5.5 Semiconductores tipo n
83
5.5.1 Ejercicio Dado f (E ) = fexp[(E ) =kB T ] + 1 g1 : Encuentre n:
Solución Dado
1
1
2 0 H (E ) P (E ) dE = H (E ) dE + H () 6 1 1 7 4 + (kB T )4 H 000 () + ::: 360
Z
Z
usando lo anterior,
n =
Z
D (E ) dE +
1
2 7 4 (kB T )2 D0 () + (kB T )4 D000 () 6 360
EF D (E ) dE + 1
Descomponiendo 1 D (E ) dE = ciando el término con T 4
R
EF
n =
Z
1
R
EF
R
D (E ) dE y despre-
2 2 D (E ) dE + D (E ) dE + (kB T ) D0 () 6 EF
Z
Suponiendo D (E ) suave en torno a E = E F EF
n =
Z
D (E ) dE +
1
Z
D (E ) dE +
EF
= n0 + D (E ) (
2
E F ) + 6
2 (kB T )2 D0 (E F ) 6
(kB T )2 D0 (E F )
5.5.2 Ejercicio Calcule la magnitud de hF para 4:2 1021 electrones en una caja con volumen 1cm3 : Calcule E F :
Solución
Si los electrones fueran substituidos por neutrones, ¿cuál es el valor de h F
y E F ? hF =
32 N V
1=3
V = 106 m3 hF = 5 109 m1 = 0:5A
Con ~ = 1:05 1034 Js; m = 9:11 1031 Kg E F =
~ 2 h2 F
2m = 1:51 1019 J = 0:94eV
84
Chapter 5.
Semiconductores
Si los electrones son substituidos por neutrones, hF es igual y E F cambia con m = 1027Kg .
1:67
E Fn
E Fe 1833 = 0; 5meV
=
5.5.3 Ejemplo Calcule la concentración de electrones de conducción en un semiconductor dopado: f (E g ) = 1 + exp [(E g
f
pero en general, E g E F kB T; entonces f
n
E F ) =kB T ]g1
)
E g E F exp kB T E g E F C exp kB T
A bajar las temperatura el número de portadores intrínsecos es menor que el dopaje. A alta temperaturas el número de portadores es mayor que el dopaje n = N a + ni
5.5.4 Ejemplo En silicio dopado con fósforo con E a = 45meV:Suponga E F = 200meV , abajo la banda de conducción a 300K . Determine la proporción de estados donores ocupados.
5.6 Semiconductores tipo p
85
Solución Esta proporción, N do , es la probabilidad de que un electrón tenga E igual a la energía del estado donor. N do =
1 + exp
(E g
E F = E g E g
E d E F
E d E F ) kB T
1
200
= E g 45 (E g = 155meV = 2:48 1020 J
200)
Por lo tanto, N do = 2:5 103
5.6 Semiconductores tipo p Impureza aceptora, con 1 electrón menos, por ejemplo, aluminio en silicio.
A T = 0 , E > 0 es en el tope de la banda de valencia y el de energía. Si existe enlace incompleto, entonces, existe un agujero, pero esto no es cierto, ya que el agujero está ligado al aceptor. Para excitar un agujero de conducción debemos excitar un electrón de valencia a ese agujero y así ionizar la impureza. El estado aceptor está sobre la banda de valencia.
86
Chapter 5.
Semiconductores
5.6.1 Portadores mayoritarios y minoritarios
Semiconductor tipo n , pocos agujeros por excitación térmica. Los electrones de conducción son los portadores mayoritarios. En un material p los agujeros son mayoritarios.
A temperatura ja independiente del nivel de dopping, en un material dado np = ni pi = const
Esto signica que si hay más sitios disponibles, hay más recombinación.
5.7 Modelo de electrónes libres aplicado a Semiconductores
me = ~ 2
si E =
2 2 k 2me ; m e
~
= m e
d2 E dk2
1
5.7
Modelo de electrónes libres aplicado a Semiconductores
87
En semiconductores, sólo nos preocupa la región marcada, el resta está todo lleno o todo vacío. ¿Cómo usar lo que sabemos?, entonces me ! me . Ésto nos da la curvatura correcta. Arbitrariamente corremos el cero de la energía al borde de la banda de valencia, y vemos que no hay estados de conducción con < E F . Luego, proponemos la siguiente forma para la energía: E = E g + D (E ) =
V 2 2
~ 2 k 2
2m 2me
3=2
(E
~ 2
E g )1=2
entonces, D (E ) en banda de conducción y signica que no hay estados con E < E g : n = concentración electrones en banda de conducción 1 n = V
1
Z
D (E ) f (E ) dE
Eg
pero no se resuelve y se reemplaza f (E ) = fexp[(E E F ) =kB T ]g1 : Esto es válido si E E F > k B T; con esto me kB T n = 2 2~ 2
3=2
exp[(E F
E g ) =kB T ]
ésto es válido para semiconductores dopados o no y esto nos da me kB T C = 2 2~ 2
3=2
88
Chapter 5.
Semiconductores
En silicio, con E F en el centro de la banda:
ni valor experimental
= 3:5 1015 m3 a 300K = 1016 m3
Hacer el mismo análisis para la concentración de agujeros, pero jarse que d2 E=dk 2 < 0 en el tope de la banda de valencia (entonces, masa positiva de agujero)
p = g (E ) =
1 V
0
Z
g (E ) (1
1
V 2mh 2 ~ 2
3=2
mh kB T p = 2 2 ~ 2
f (E )) dE
( E )1=2
3=2
exp
E F kB T
donde el último término es la concentración de agujeros.
np = ni pi E g 3 mh E F = + kB T ln 2 4 me
)
El uso de semiconductores en electrónica y optoelectrónica es una de las dos aplicaciones comerciales más importantes de la física de sólidos. Los circuitos integrados o chips de silicio, mueven un mercado cercano a las 100 billones de dolares anuales.
5.8 Juntura de dos metales Si ponemos en contacto dos metales distintos, cada uno con su función trabajo, A y B :
5.8
Juntura de dos metales
89
Los electrones en los estados de mayor energía de A se mueven a los estados vacantes de B , hasta E F iguales en ambos. Pero si los metales eran inicialmente neutros, ahora A está cargado positivo (+) y B cargado negativamente (), luego, hau una diferencia de potencial, potencial de contacto, que = B
A
A + = B A + B = 2
V = 2 = (B
A) e
90
Chapter 5.
Semiconductores
Consideremos una unión de un semiconductor n y uno p . Sabemos que las E F son diferentes en ambos, en el n E F está cerca de la banda de conducción, y en el p , E F está cerca de la banda de valencia.
Pongámoslos en contacto. En verdad esto se hace con un único cristal dopado distinto en ambos extremos. Una vez en contacto algunos electrones difundirán al lado p, y unos agujeros al lado n . Este proceso se complica porque electrones y agujeros pueden recombinarse de forma que en el centro habrá una región con pocos portadores de carga debido a la recombinación.
Consideremos un electrón de conducción. Al cruzar la juntura desde n a p ve muchos agujeros y se puede recombinar. Luego, esto hace que el número de portadores disminuya. Luego, terminamos con una región con muy pocos portadores.
Como los electrones de conducción les resulta difícil moverse del lado n al p, podemos pensar que el lado p está más arriba en energía. La diferencia de potencial es e, con el potencial de contacto
5.9
Análisis Cuántitativo
91
5.9 Análisis Cuántitativo Consideremos la variación del potencial en la unión. Resolvemos la ecuación de Poisson, que describe como el voltaje a lo largo de la unión U , varía con la carga d2 U = dx2
0
Supongamos que en la región depletada no hay portadores y que va de l p x ln . En ellado n, la densidad de carga n está determinada por la concentración de impurezas donoras. n = +eN d
Suponiendo que todas están ionizadas, > 0: En el lado p de la capa depletada (hay aceptores)
p p
= eN a < 0
92
Chapter 5.
Semiconductores
Fuera de la región depletada, x < l p y x > ln, = 0, como en un semiconductor dopado bulk . Allí E = 0, dU dx = 0 en x = l p y x = l n
5.9
Análisis Cuántitativo
93
dU = dx
como
dU dx
n0x + C 1
= 0 en x = l n ; entonces C 1
=
dU dx
=
n ln 0 n (ln 0
x)
En el lado p : dU = n (ln + x) dx 0
en x = 0, entonces:
p l p ln = n 0 0
Lado p : dU dx
=
C 2
= )
p x + C 2 0 p l p 0 dU = n ( l p + x) dx 0
)
94
Chapter 5.
Semiconductores
Entonces:
pl0 p
n ln 0 = N a l p =
N d ln
Llamemos U 0 ; U 1 y U 2 el potencial en x = 0; ln y l p +U 1
Z
dU =
U 0 U U U 10
=
j
(U 1
U 0)
= =
n 0
ln
Z
(ln
0
n ln x 0
x) dx
x 2 2
n ln2 0 2 eN d ln2 20
Igual para el otro lado
a l p U 0 = eN 20
= U 2 U 1 = U 2 U 0 + U 0 e = N d ln2 + N a l p2 20
Recordemos que N d ln = N a l p
nn n p pn p p
= = = =
0
2
U 2
con la notación:
ln
l p
=
ln
=
20 N d eN a N a + N d 20 N a eN d N a + N d
U 1
1=2
concentración de electrones de conducción en la región n concentración de electrones de conducción en la región p concentración de agujeros de conducción en la región n concentración de agujeros de conducción en la región p n p = N c exp
E F
E g e kB T
Chapter 6 Propiedades Magnéticas Los imanes son muco más que los que usamos para jugar. ¿Por qué la mayoría de los materiales no son magnéticos? Todos los materiales son magnéticos en algún grado, es decir, responden al campo magnético. Pero los que sirven desde el punto de vista tecnológico son los magnetos permanentes, es decir, en ausencia de campo magnético.
6.1 Variables Magnéticas Macroscópicas Todos los imanes existen como dipolos magnéticos, tienen un polo norte y uno sur. ~ m , el momento magnético por unidad de Si el momento de dipolo magnético es m ~ ~ 0 es m ~ 0 ~ m B volumen es M , y la energía de un dipolo en un campo magnético B m
=
susceptibilidad magnética = 0
~ M ~ 0 B
~ = B ~ 0 + 0 M ~ B ~ : campo total B 0 : permeabilidad del vacío B y B0 se miden en Tesla (T ), que es una unidad grande, el campo de la Tierra es ~ se menos que 104 T . Los electroimanes mayores producen sólo unos pocos Tesla. M 1 3 1 2 3 1 Am : 0 T m J mide en J T m
6.2 Imanes Atómicos Un átomo con un electrón tiene un momento magnético s en e~ emmse~ = 2m e
s
=
ms
= número cuántico de spin =
95
12
96
Chapter 6. e~ = B = magnitud de Bohr = 9:27 2me La componente de momento orbital, l l =
Propiedades Magnéticas
1024JT 1
l ~ em = ml B 2me
Si el átomo tiene más de un electrón, la situación es más compleja
s =
para un capa (n; l) l =
si la capa está llena, S = L = 0
X X
ms ml
Una vez determinado J , el máximo mJ = gB J g
= factor de Landé 3J (J + 1) + S (S + 1) = 2J (J + 1)
L (L + 1)
¿Qué materiales tienen momento magnético? Si tenemos capas llenas, S = L = 0; J = 0 , entonces no hay momento magnético. Los gases inertes no son magnéticos. Los átomos covalentes tienen capas incompletas, pero al hacer el enlace, J = 0: Por ejemplo, un átomo de hidrógeno tiene momento nito, pero la molécula de hidrógeno no. Parece entonces que en la mayoría de los sólidos el efecto cancela y la magnetización resultante es cero. Luego, en la mayoría de los sólidos el efecto se cancela. En realidad, esto no es estrictamente cierto, pues la presencia de un campo magnético afecta el movimiento orbital de los electrones de forma que el propio átomo genera un campo magnético opuesto al campo externo. Ésto se conoce como diamagnetismo y ocurre en todos los átomos. El efecto es muy débil < 0: Veamos que pasa en los materiales metálicos. Allí los electrones de valencia están delocalizados (en los simples como N a y Al ). Ya no están ligados a ningún átomo es particular. Los iones están formados por capas completas, J = 0, pero no los electrones de conducción. Esto se conoce como paramagnetismo de Pauli . Acá el efecto es contrario y los dipolos magnéticos se alínean con el campo.
6.3
Paramagnétismo de Pauli
97
El efecto es sutil, un material paramagnético es atractivo por cualquier polo de un imán y un diamagnetismo es repelido. Existen metales, los de transición tienen raras y actinidos que presentan características más interesante. Están en las columnas centrales de la tabla periódica. S estructura electrónica es más compleja. Elemento
Sc Ti V Cr Mn Fe Co Ni
3d 1 2 3 5 5 6 7 8
4s 2 2 2 1 2 2 2 2
Capa 3d incompleta. En el enlace metálico participan 4s, que se hacen deslocalizados y los 3d permanecen más o menos localizados y forman una capa con L; S; J distintos de cero.
6.3 Paramagnétismo de Pauli Se debe a los momentos magnéticos asociados con el momento angular de spin de los electrones deslocalizados en un metal. Consideremos la orientaciós de los spines de los electrones de conducción. Sin ~ = 0 . Si hay campo se alinean o paralelo campo externo, ellos estarán desordenados y M o antiparalelo a B0 :
98
Chapter 6.
Propiedades Magnéticas
La energía de los paralelos E k E
= mS B0 = mS B0
Luego es favorable alinearse paralelo a B a M proporcional (N " N # ) Si fueran electrones libres, ...
Si se pone B0 la energía de los paralelos a B baja. Algunas bajan del lado # a " : La densidad de estados es la misma, sólo se desplaza en energía. Número de electrones que se mueven es aproximadamente
N "
N "
=
N #
=
N #
= M = =
N 1 + D (E F ) mS B0 2 2 N 1 D (E F ) mS B0 2 2 D (E F ) mS B0 mS (N " N # ) m2S D (E F ) B0
= 0 0
@M @M
M B
= 0 m2S D (E F )
1 D (E F ) mS B0 2
6.4
Paramagnetismo de Curie
99 e~ 2me 3N D (E F ) = 2E F
ms = B =
3N 2 2E F B 3N 0 2B 2E F
= 0 =
6.4 Paramagnetismo de Curie Considere átomos de tipo metales de transición, con capasa incompletas. En ausencia de B ,
El ángulo no es arbitrario y el mJ = g B J;gB (J
Luego, la energía de los dipolos es
1) :::gB J
mJ B0 = gB JB0; gB (J 1) B0;:::;gB JB0
100
Chapter 6.
Propiedades Magnéticas
Los átomos, a diferencia de los electrones, no están gobernados por el principio de exclusión de Pauli, luego, a temperatura, la estadística clásica dice que la probabilidad de encontrar un dipolo atómico con energía es proporcional a exp (E=k B T ) E =
mJ B0
6.5 Problema A bajas temperaturas, la mayoría estarán en el estado de eE , con m J = gB J . Es decir, la mayoría de los dipolos tendrán su componente de momento magnetico alineada lo más posible con el campo, entonces, g rand e = 0 M B
A mayores temperaturas, mayor probabilidad de ocupar otros estados, menos y a temperatura igual 0, 0. Probabilidad de que un dipolo atómico tenga
mJ B0 kB T mJ B0 = A exp kB T
mJ = A exp
A = const Si hay N iones magnéticos por unidad de volumen, el número total es: N A exp
y su momento magnético es
mJ N A exp
mJ B0 kB T
mJ B0 kB T
6.5
Problema
101 J
M =
X
mJ N A exp
J
mJ B0 kB T
Se puede mostrar que mJ B0 kB T exp
mJ B0 kB T
1+
m J B0 kB T
9:27 1024 JT 1 = 9:27 1024 = 5:8 105 eV kB T = 2:5 102 eV
mJ B0
J
M =
X X
N AmJ
J J
=
NA
J
=
=
N AB0 kB T
J
X
m2J
J
N AB0 2 2 g kB T B
= = =
m J B0 1+ kB T
m2J B0 kB T
M =
en que C es la constante de Curie.
J
X J
CB 0 T
0 M B0 0 C T C T
J 2
102
Chapter 6.
Propiedades Magnéticas
Ahora J
X X X A exp
mJ B0 kB T
= 1
1+
m J B0 kB T
= 1
J
J
A
J
J
A
1 = 1 = (2J + 1) A
J
A =
N B0 2 2 g 2J + 1 kB T B
M =
pero
P
1 2J + 1
X
= 31 J (J + 1) (2J + 1) ; entonces
M = =
N B0 2 2 1 g J (J + 1) (2J + 1) 2J + 1 kB T B 3 N B0 g 2 J (J + 1) 2B 3kB T
C = =
N 0 g2 2B J (J + 1) 3kB 2 2 0 N B p 3kB
p2 = g 2 (J + 1)
Comparación teórica-experimental La ley de Curie es válida en muchos materiales como ..., pero no para los metales de transición
6.5
Problema
103
5 p y 5s completas, no hay interacción con vecinos La capa 3d es la externa, luego, hay interacción. En los casos vistos hasta ahora requerimos B 0 para orientar electrones de conducción (Pauli) o de capas incompletas J . Pero hay materiales que retienen su magne-
tización en ausencia de campo. Lo fundamental es la interacción entre electrones de átomos vecinos. En estos materiales (metales de transición), la interacción hace que el promedio de L en iones vecinos se cancela y sólo nos queda S . La interacción correlaciona los electrones de átomos vecinos. Esto se conoce como Exchange (intercambio) y fue propuesta por Heissenberg en 1928.
104
Chapter 6.
Propiedades Magnéticas
Esto se propaga y se obtiene
Magnetita es un tipo de ferrita Ferrita = M F e2 O4 M es un ión + +
A 300K tenemos lo siguiente: Elemento Hierro Cob Ni Gadolinio CrO2 F e3 O4 MnFe2 O4 NiFe2 O4
mS
105 JT 1 m3 17:1 14 4:85 20:6 5:18 4:8 4:10 2:7
c 1043 1388 627 292 386 858 573 858
Dependencia de la temperatura: William Gilbert descubrió que la temperatura elevaría el magnetismo. La T c se conoce como temperatura de Curie o... =
C T c
Esta última expresión se conoce como ley de Curie.
6.6
Teoría de Bandas del Ferromagnetismo
105
A mayor temperatura, mayor vibración térmica y se destruye.
6.6 Teoría de Bandas del Ferromagnetismo Ejemplo: Calcule el momento magnético por ión en una muestra de hierro considerando que la magnetización del hierroes 17:1105 JT 1 m3 ; la densidad es 7:87103 Kgm3 y la masa molar es 0:056Kg=mol . Suponga que el hierro consiste de iones F e2+ , cada uno con seis electrones 3d: Solución: El volumen de 1 mol de hierro es: V m
=
masa molar densidad
0:056Kg=mol 7:87 103 Kg m3 = 7:12 106 m3 mol1 =
Luego, el volumen por ion es: V i
V m N A 7:12 106 = 6:02 1023 = 1:18 1029 m3
=
P
V ol = MV ion = 17:1 105 1:18 1029 = 2:02 1023 JT 1
M =
neff
= número de electrones alineados 2:02 1023 = B 2:02 1023 = 9:27 1024 = 2:18
Lo que ocurre es que es mejor pensar en términos de bandas
106
Chapter 6.
Propiedades Magnéticas
6.7 Imanes Soft y Hard ¿Características ideales? Alta remanencia (sin campo) y alta coercitividad, así no se demagnetiza fácilmente. Pero debe tener un BB 0 =0 igual a la energía almacenada por unidad de volumen. Su máximo se conoce como producto de energía
En motores y transformadores uno debe cambiar la de M muchas revoluciones por minutos, entonces, imanes soft, acelararán, importa la baja coercitividad. Podemos pensar en el movimiento de paredes. Soft Hard
Generalmente grande
) )
mover rápido mover lento
6.7
Imanes Soft y Hard
E d =
107
0:043eV
E F = E g
E d=2; a T = 0
A temperaturas muy altas, el número de portadores intrínseco es muy grande, luego, se comporta como un semiconductor intrínseco, con E F = E g =2
Calcule la probabilidad de que un electrón ocupe un estado en el borde de la banda de conducción en un semiconductor dopado 1
'
(E g E F ) f (E g ) = exp +1 kB T (E F E g ) exp kB T n
C exp
(E g E F ) kB T
En un semiconductor tipo n , el nivel de Fermi está más cercano a la banda de conducción, (E g E F ) E g =2, luego, la exponencil es mayor y habrá un aumento en el número de electrones. Veamos por ejemplo, un cristal de silicio dopado con fósforo, el cuál tiene una energía de enlace de 45meV . Si la E F está 200meV bajo el borde de la banda de conducción, a T = 300K , determine la proporción de estados donores ocupados
La proporción de estados donores ocupado N do es la probabilidad de que un electrón
108
Chapter 6.
Propiedades Magnéticas
tenga esa energía N do = f (E d ) E d = x 45 E F = x 200 f (E ) = f (E d ) = f (E ) =
E E F
exp
kB T
=
+1
E d E F exp +1 kB T exp
155 +1 kB T
155meV = 2:48 N do
1
1
1
1020J
2:48 1020 J exp +1 (1:38 1023 JK 1 ) (300K )
= 2:5
10
3
1
Sólo 0:25% de los estados donores están ocupados, luego, el resto de los donores están en la banda de conducción. n = N d + ni
Por ejemplo, en silicio, n i = 1016 m3 . Si reemplazamos 1 átomo por millón por una impureza donora y todas ellas están ionizadas: N d = 5
1022m3
Nos queda un enlace incompleto y un agujero en la banda de valencia, pero en verdad este agujero está ligado a la impureza. Para crear un agujero en la banda debemos exitar un electrón a ese estado nuevo. Por ejemplo, una impureza de aluminio en silicio tiene un nivel aceptor de 57meV . Luego, a temperatura ambiente todos los aceptores estarán ionizados.
6.9
Efecto Hall
109
Número de electrones en el borde de la banda de valencia: f (0) =
1 eEF =kB T
+1
Número de agujeros: EF =kB T
f (0) = eEe =k T + 1 como exp [E F =kB T ] 1; E F kB T , p = CeE
1
F
B
F =kB T
6.8 Portadores mayoritarios y minoritarios En un semiconductor igual hay huecos debidos a las excitaciones térmicas.
np = ni pi = const
A mayor dopaje, mayor recombinación, Ley de Acción de Masas
h
ni pi = Ce Eg =2kB T
i
2
n = Ce (Eg EF )=kB T Ce EF =kB T = C 2 eEg =kB T
6.9 Efecto Hall
110
Chapter 6.
Propiedades Magnéticas
Se aplica x y Bz . Los electrones se deectan en la dirección ^y y se acumula carga negativa en ese lado. Esto hace que se produzca un campo, H H = RH J x Bz
El signo de RH da el signo de los portadores mayoritarios
6.10 Modelo de electrones libres f (E ) =
1
= probabilidad de ocupación
e(EEF )=kB T + 1
Pero no sabemos cuántos estados existen a E
Para calcular D (E ), debemos determinar los niveles. Electrones libres, equivale a un pozo innito de largo L.
~ 2
d2 2m dx2
= E = A sin(kx x)
E = =
En 3D (cristal) E = =
2 ~ 2 kx
2m 2 ~ 2 n2 x 2mL2
~ 2 k 2
2m ~ 2
2m L
2
n2x + n2y + n2z
6.11
Modelo de electrones libres aplicado a semiconductores E 1 E 2
) ) )
111
nx = n y = nz = 1 nx = 2; ny = 1; nz = 1 nx = 1; ny = 2; nz = 1
.. .
número de puntos
= = =
Area area 2 k F 2 L 2 kF 2
L
3D: 4 3 3 k F 3 L
= = = = =
3 3 4 kF L 3 2
4 n 3 L3 3 L 2 4 3 r 3 m 3=2 4 2mL2 E 3=2 ~ 2 2 3
4 V 3
2m ~ 2
3=2
E 1=2
6.11 Modelo de electrones libres aplicado a semiconductores Introdujimos el concepto de masa efectiva, consideremos un electrón con velocidad de grupo, vg , en un cristal. vg =
d! dk
De la teoría cuántica sabemos que: E =
~ !
vg
1 dE ~ dk
=
)
112
Chapter 6. a = = =
Propiedades Magnéticas
dvg dz 1 d dE ~ dt dk 1 d2 E dk ~ dk 2 dt
Supongamos que el electrón se mueve con velocidad v g en un campo " . En dt se mueve vg dt. Como F = e", el trabajo es: dE = e"v g dt
en que ! = dE , F = e" y x = v g dt; luego
) )
dE dE dk = dt dk dt dk dk dk 2 = e"vg = ~ a 2 dt dE d E
e"vg =
1 d2 E dk ~ dk 2 dE e" d2 E ~ 2 dk 2
a = e"vg =
como a = me
Si E =
~ 2 k2 =2m, y m e = m e
=
e" me 2 ~
) d2 E dk2
1
6.11
Modelo de electrones libres aplicado a semiconductores
113
Veamos la banda de conducción E = E g +
2 2 ~ k 2m 3=2
V 2me 1=2 (E E g ) 2 2 ~ 2 1 1 D (E ) f (E ) dE V Eg
Z
D (E ) = n =
en que n es la concentración de electrones en la banda de conducción. Esta expresión no es soluble, sin embargo: f (E )
e(E
F E)=kB T
1
n = C e
Z (E
1=2 (EF E)=kB T
E g )
e
de
Eg
C e
=
1 2me 2 2 ~ 2
3=2
x = (E E g ) =kB T dx 1 = dE kB T
y x = 0 a E = E g n = C e (kB T )
3=2 (EF Eg )=kB T
e
1
Z
x1=2 ex dx
0
p
1 3=2 = C e (kB T ) e(EF Eg )=kB T 2
así:
3=2
me kB T n = 2 e(EF Eg )=kB T 2 ~ 2 Si pensamos en silicio, E F equivalentemente centro del gap ni niexp
= 3:5 1015 m3 , a 300K modelo bueno = 1016 m3
1 p = V
este es el número de agujeros.
0
Z
1
) D (E ) [1 f (E )] dE
V 2mh D (E ) = 22 ~ 2
3=2
( E )
1=2
