Ejercicios resueltos
Luis Zegarra A
CÁLCULO II
Cálculo en varias variables
1. Funciones de varias variables. Dominio y recorrido. Curvas de nivel 1.
Dada la función
0 aBß C b œ
B È#B C #
a) Determine el dominio de la función y dibuje un gráfico de éste.
b) Encuentre y grafique las curvas de nivel, para 0 aBß C b œ "ß #ß !Þ Solución. aÑ H97 0 œ ÖÐBß CÑ Î #B C # ! × y 2x − y + 2 = 0
2 −1
x
b) B œ " Í C œ B# #B #, con B Á ! e C Á # È#B C #
B " œ # Í C œ B# #B #, con B Á ! e C Á # È#B C # %
B œ ! Í B œ !ß con #B C # ! Ê C # È#B C #
2. Sea
Ú
#BC 0 ÐBß CÑ œ Û C# Ü ! B#
si si
ÐBß CÑ Á Ð!ß !Ñ ÐBß CÑ œ Ð!ß !Ñ
" " a) Demuestre que 0 Ð ß Ñ œ 0 ÐBß CÑ y dibuje la curva de nivel 0 ÐBß CÑ œ "ß B C a ÐBß CÑ Á Ð!ß !Ñ b) Estudie la continuidad de 0 ÐBß CÑ en el origen. Solución: " " a) 0 ( ß ) œ B C
# B" C" " B#
" C#
œ
#BC œ 0 ÐBß CÑ B# C #
Curva de nivel para 0 ÐBß CÑ œ 1 Ê B# C # œ #BC Ê ÐB CÑ# œ ! Í B œ C
b) 0 Ð!ß !Ñ œ !ß existe Tomando la trayectoria C œ 7B ß 7 − ‘ #BC #B7B #7 #7 œ lim # œ lim œ # # # # BÄ! B 7 B BÄ! " 7 C " 7#
ÐBßCÑÄa!ß!b B#
lim
#7 Á 0 por lo tanto 0 ÐBß CÑ es " 7# discontinua inevitable en Ð!ß !Ñ pues no existe lim 0 ÐBß CÑ.
El límite depende de 7, y para m Á 0 Ê
ÐBßCÑÄa!ß!b
2. Límites y Continuidad.
1. Demuestre que la siguiente función no es continua en ‘# ß Ú
BC 0 ÐBß CÑ œ Û ÈB# C # Ü !
si si
aBß Cb Á a!ß !b aBß Cb œ a!ß !b
Solución. Es suficiente tomar la trayectoria C œ 7Bß 7 − ‘à entonces lim
ÐBßCÑÄÐ!ß!Ñ
0 ÐBß CÑ œ lim
BÄ!
ÈB# 7# B# B 7B
œ lim „ BÄ!
"7 "7 œ „ È " 7# È " 7#
el límite depende del parámetro 7ß por tanto no existe cuando ÐBß CÑ Ä a!ß !b,
entonces la función es discontinua inevitable en el origen.
3. Derivadas parciales. Interpretación geométrica.
Ú $B# C 0 aBß Cb œ Û B% C# Ü !
1. Sea
Calcule À
si aBß Cb Á Ð!ß !Ñ si aBß Cb œ Ð!ß !Ñ
0B Ð!ß !Ñß 0BC Ð!ß !ÑÞ
Solución.
0 Ð2ß !Ñ 0 a!ß !b % # ! a) 0B Ð!ß !Ñ œ lim œ lim 2 ! œ !ß 2Ä! 2Ä! 2 2 aaBß Cb Á a!ß !bÞ $2# !
'BCÐB% C# Ñ $B# C %B$ 'BC $ 'B& C 0B aBß Cb œ œ ÐB% C# Ñ# ÐB% C # Ñ#
Por tanto,
0B a!ß 5 b 0B a!ß !b 0BC Ð!ß !Ñ œ lim œ lim 5Ä! 5Ä! 5
'†!5 $ '†!& 5 Ð!% 5 # Ñ#
5
!
œ!
4. Derivadas parciales de orden superior. ? œ /BC 1. Sea A œ 0 Ð?,@Ñ una función diferenciable donde ß œ @ œ /BC %
demuestre
`#A ` #A ` #A ‘ œ /#B `@ `? `B# `C#
Solución: `A `A `B ` A `C œ `? `B `? `C `?
donde " ? œ /BC Í B C œ 68 ? B œ # Ð68 ? 68 @Ñ " @ œ /BC Í B C œ 68 ? Ÿ C œ Ð68 ? 68 @Ñ # Así: `A `A " `A " " `A `A œ œ Ð Ñ `C `? `B #? `C #? #? `B luego:
" `# A ` B `#A ` #A ` C ` # A ` B ` #A ` C œ Ö # × `@ `? `C`B `@ `C # ` @ #? `B `@ `B`C ` @ `#A " `# A ` #A `# A ` #A œ Ö × `@ `? %?@ `B# `B`C `C`B `C # finalmente de aquí %
`#A ` #A ` #A ‘ œ /#B `@ `? `B# `C#
5. Incremento total y parcial. Diferencial total. Plano tangente. Diferenciabilidad. Aproximación. 1. Sea
Ú $B# C 0 aBß Cb œ Û B% C# Ü !
si aBß Cb Á Ð!ß !Ñ si aBß Cb œ Ð!ß !Ñ
Demostrar que 0 ÐBß CÑ no es diferenciable en Ð!ß !Ñ Solución. Es suficiente probar que 0 es discontinua en a!ß !b $B# C lim 0 ÐBß CÑ œ lim Ðlim % ÑÑ œ lim ! œ ! BÄ! CÄ! B C # BÄ! aBßCbÄa!ß!b Tomando C œ B# ß B Ä ! Ê C Ä !ß resulta aBßCbÄa!ß!b
lim
$B% $ œ ß BÄ! B% B% #
0 ÐBß CÑ œ lim
Por tanto como ! Á
$ #
el límite no existe y la función es discontinua inevitableß
con lo que 0 no es diferenciable en a!ß !bÞ
C 2. Sea 0 una función diferenciable, y consideremos la superficie D œ B 0 Ð ÑÞ B Probar que el plano tangente en cualquier punto T! ÐB! ß C! ß D! Ñ de la superficie pasa por el origen. Solución. La ecuación del plano tangente en T! ÐB! ß C! ß D! Ñ es D D! œ
`D `D C! ÐT! ÑÐB B! Ñ ÐT! ÑÐC C! Ñß con D! œ B! 0 Ð Ñ `B `C B!
`D C C C `D C! C! C! œ 0 Ð Ñ B0 w Ð ÑÐ # Ñ Ê ÐT! Ñ œ 0 Ð Ñ 0 w Ð Ñ `B B B B `B B! B! B! `D C " `D C! œ B 0 w Ð ÑÐ Ñ Ê ÐT! Ñ œ 0 w Ð Ñ `C B B `C B! Así, D D! œ Ò0 Ð
C! C! C! C! Ñ 0 w Ð ÑÓÐB B! Ñ 0 w Ð ÑÐC C! Ñ B! B! B! B!
Ahora si el plano pasa por el origenß el punto SÐ!ß !ß !Ñ debe satisfacerlo, es decir Ò0 Ð
C! C! C! C! Ñ 0 w Ð ÑÓÐ! B! Ñ 0 w Ð ÑÐ! C! Ñ œ B! B! B! B!
œ B! 0 Ð
C! C! C! C! Ñ C! 0 w Ð Ñ C ! 0 w Ð Ñ œ ! B ! 0 Ð Ñ œ ! D ! B! B! B! B!
3.
Sea la superficie D œ 0 ÐBß CÑ definida implícitamente por D $ D 691ÐB# C # Ñ C # œ ) Determine la ecuación del plano tangente y de la recta normal a la superficie en el punto Ð"ß !ß #Ñ Solución: La ecuación del plano tangente en el punto Ð"ß !ß #) es: D#œ
`D `D Ð"ß !ß #Ñ ÐB "Ñ Ð"ß !ß #Ñ ÐC !Ñ `B `C
donde: `D œ `B
`J `B `J `D
" #B `D " C# œ # Ê Ð"ß !ß #Ñ œ # # $D 691ÐB C Ñ `B $ D
`D œ `C
`J `C `J `D
B#
" #C #C `D C# œ # Ê Ð"ß !ß #Ñ œ ! # # $D 691ÐB C Ñ `C D
B#
Así: " D # œ ÐB "Ñ es la ecuación del plano pedido. $ " Ahora, la dirección de la recta normal es Ð ß !ß "Ñ y como pasa por el punto $ B" D# Ð"ß !ß #Ñ su ecuación resulta ser: œ ßCœ! " " $
4. Demuestre que la función
Ú
B# C $ 0 ÐBß CÑ œ Û #B# C# Ü ! es diferenciable en Ð!ß !ÑÞ Demostración. ÐForma 1)
si ÐBß CÑ Á Ð!ß !Ñ si
ÐBß CÑ œ Ð!ß !Ñ
Aplicando la definición de diferenciabilidad en Ð!ß !Ñ se tiene,
l lim
ÐBßCÑÄÐ!ß!Ñ
B# C $ `0 `0 Ö! Ð!ß !Ñ B Ð!ß !Ñ C × | #B# C# `B `C ß È B# C #
`0 donde: Ð!ß !Ñ œ lim ?BÄ! `B
Ð?BÑ# !$ #Ð?BÑ# !#
!
?B
œ !ß analogamente
`0 Ð!ß !Ñ œ ! `C
Asi resulta: lim
ÐBßCÑÄÐ!ß!Ñ
Ð#B# C# ÑÈB# C # B# C# lC |
ß
este límite debe valer 0, luego por la
definición Ða& !) ab$ !b Š! ÈB# C # $ ‹ Ê ¸
B# C# lC | ! ¸ & Ð#B# C# ÑÈB# C #
Buscamos $ adecuado a& ! dadoß luego B# C# lC | &ß y como l C | ÈB# C # • B# ÐB# C # Ñ se tiene Ð#B# C# ÑÈB# C # B# C# lC | ÐB# C # Ñ# ÈB# C # ÐB# C # Ñ# & Í B# C # Ð#B# C# ÑÈB# C # Ð#B# C # ÑÈB# C #
B# C # & Ê $ œ È & ÐForma 2)
Probando la continuidad de Note que
Nota.
`0 `0 • en Ð!ß !Ñ `B `C
Ú #C& `0 œ Û Ð#B# C # Ñ# `B Ü !
si aBß Cb Á a!ß !b si aBß Cb œ a!ß !b
El cálculo de
`0 Ð!ß !Ñ debe hacerse como en la forma 1 `B
Por probar que #C& œ !ß aBßCbÄa!ß!b Ð#B# C # Ñ# lim
(a& !) ab$ !b Š! ÈB# C # $ ‹ Ê (¹ En efecto: pues œ
#C& !¹& Ð#B# C# Ñ#
#C4 | C l #ÐB# C# Ñ# ÈB# C # &, Ð#B# C# Ñ# Ð#B# C # Ñ#
l C | È B# C # C# ÐB# C# Ñ
Analogamente para
Ê È B# C #
& #
Ê$œ
& #
`0 Þ `C
5. Determine el valor de la constante E manera que la expresión Ð EB B# CÑ /BC .B B$ /BC .C sea diferencial exacta. Enseguida, encuentre la función original 0 ÐBß CÑ Solución. Se debe exigir que: ` ` $ BC ÐEB B# CÑ /BC œ ÐB / Ñ `C `B B# /BC ÐEB B# CÑ /BC B œ $B# B$ /BC B$ /BC C B# EB# B$ C œ $B# B$ C Ê E œ # Así, Ð#B B# CÑ /BC .B B$ /BC .C por tanto se debe tener: `0 `0 œ Ð2B B# CÑ /BC (1) y œ B$ /BC (2) de donde integrando (2) con `B `C respecto a C considerando B constante se obtiene 0 ÐBß CÑ œ B# /BC GÐBÑ considerando B constante se obtiene 0 ÐBß CÑ œ B# /BC GÐBÑ Ê `0 w w œ #B /BC B# C /BC G ÐBÑ Ê G ÐBÑ œ ! Ê GÐBÑ œ O (constante) `B
0 ÐBß CÑ œ B# /BC OÞ
luego:
'.- Demuestre que el volumen del tetraedro limitado por el plano tangente a la superficie BCD œ +$ ß + constante, en un punto cualquiera de ella y los planos * coordenados es +$ # Demostración. Supóngase Bß Cß D ! y siendo :ß ; y < los interceptos con los ejes \ß ] y ^ respectivamente se tiene: Dœ
+$ `D +$ `D +$ à œ ß œ BC `B C B# `C B C#
Ecuación del plano tangente en T! ÐB! ß C! ß D! Ñ D D! œ
+$ +$ ÐB B Ñ ÐC C! Ñß intersecando con los ejes se ! C! B#! B! C!#
tiene: B œ : • D œ C œ ! Ê Ð: B! Ñ
+$ B ! C ! D! + $ œ Ê : œ $B! B! C ! C! B#!
C œ ; • B œ D œ ! Ê ; œ $C! Dœ< • BœCœ!Ê<œ Así:
Z œ
$+$ ß note que B! C! D! =a$ B! C !
" $+$ * $B! $C! œ +$ ' B! C ! #
7Þ Demostrar que la suma de los cuadrados de las coordenadas Bß Cß D de las intersecciones con los ejes coordenadosß de cualquier plano tangente a la gráfica de: #
#
#
#
B$ C$ D $ œ +$ ß + − ‘ es constante. Solución.
Sea J aBß Cß D b œ B $ C $ D $ + $ œ !ß entonces #
#
#
#
t aB! ß C! ß D! b œ Š # B $ ß # C $ ß # D $ ‹ fJ $ ! $ ! $ ! "
#
#
#
"
"
#
Como T! pertenece a la superficie, B!$ C!$ D!$ œ + $
Así la ecuación del plano tangente es,
Š #$ B! $ ß #$ C! $ ß #$ D! $ ‹ † aB B! ß C C! ß D D! b œ ! "
"
"
"
#
#
#
"
#
Intersecando con el eje \ß C œ D œ ! Ê B œ B!$ ÐB!$ C!$ D!$ Ñ œ B!$ + $ ß "
"
#
#
Analogamente: C œ C!$ + $ ß D œ D!$ + $
Con lo que #
#
%
%
#
%
%
#
#
#
%
#
B# C # D # œ B!$ + $ C!$ + $ D!$ + $ œ + $ ÐB!$ C!$ D!$ Ñ œ + $ + $ œ +#
6. Derivada de la función compuesta. Derivada direccional. Gradiente.
1. Sea A œ 0 ÐBß C) diferenciable, donde B œ 3-9= ) , C œ 3=/8 ) a) Demostrar que Ð
`A # `A # `A # " `A # Ñ Ð Ñ œÐ Ñ #Ð Ñ `B `C `3 3 `)
b) Calcule
`#A ` " `A Ð Ñ # `3 `3 3 `)
Solución. `A `A `B `A `C `A `A a) œ œ -9= ) =/8 ) `3 `B ` 3 `C ` 3 `B `C `A `A `B `A `C `A `A œ œ 3=/8 ) 3 -9= ) `) `B ` ) `C ` ) `B `C Ð
`A # " `A # `A # `A # Ñ #Ð Ñ œ Ð-9=# ) =/8# )ÑÐ Ñ Ð=/8# ) -9=# )ÑÐ Ñ `3 3 `) `B `C œÐ
b)
`A # `A # Ñ Ð Ñ `B `C
`A œ AB -9= ) AC =/8 ) `3 `#A `AB œ -9= ) # `3 `3 `AB `B œÒ `B ` 3 œ
`AC =/8 ) `3 `AC `B `AC `C `AB `C Ó-9= ) Ò Ó=/8 ) `C ` 3 `B ` 3 `C ` 3
`#A ` #A ` #A # -9= ) # =/8 ) -9= ) =/8# ) `B# `C`B `C#
a"b
` " `A ` Ð Ñœ Ð AB =/8 ) AC -9= )Ñ `3 3 `) `3 œ Ò œ
`AC `B `AC `C `AB `B `AB `C Ó =/8 ) Ò Ó-9= ) `B ` 3 `C ` 3 `B ` 3 `C ` 3
`#A ` #A ` #A # # -9= ) =/8 ) Ð-9= ) =/8 ) Ñ =/8)-9= ) `B# `C`B `C#
`#A ` " `A ` #A ` #A # Ð Ñœ Ð-9= ) -9= )=/8 )Ñ Ð=/8#) -9=#)Ñ ` 3# `3 3 `) `B# `C`B `#A Ð=/8# ) =/8)-9= )Ñ # `C
2. a) Dada 0 ÐBß CÑ œ * B# C # ß hallar un vector unitario ? s ortogonal a ft 0 Ð"ß #Ñ y calcular H 0 Ð"ß #Ñ Þ Discutir el significado geométrico del resultado ? s
b) Calcule la diferencial de 0 aBß Cb œ C 691 punto a"ß "b
B$ C ß B !ß C ! en el B# C #
Solución. t ÐBß CÑ œ a #Bß #C b Ê f0 t Ð"ß #Ñ œ a #ß %b ß un vector ortogonal a)f0 a a #ß %b es Ð #ß "Ñ y unitario resulta t Ð"ß #Ñ † H?s 0 Ð"ß #Ñ œ f0 b) .0 œ C 691
" È& Ð
" È& Ð
#ß "Ñ
#ß "Ñ œ a #ß %b †
" È& Ð
B$ C B# C #
B# C# $B# CÐB# C # Ñ B$ C #B .0 œ C .B B$ C ÐB# C# Ñ# Ò691 .0 œ
B$ C B# C# B$ ÐB# C # Ñ B$ C #C C .C B# C # B$ C ÐB# C # Ñ#
C ÐB# $C# Ñ B$ C B# C # .B Ò691 Ó .C B# C # B# C # B# C #
Evaluando, resulta .0 œ # .B 691 "# .C
#ß "Ñ œ !
3. Hallar la derivada direccional de la función 0 ÐBß CÑ œ 691ÐB# C # Ñ en el punto Ð"ß #Ñ y en la dirección de la tangente a la curva C# œ %B en dicho punto. Solución.
t a"ß #b † ? t aBß C b œ Œ H?s 0 œ f0 s, donde f0
B#
#B #C ß # Ê # C B C#
t a"ß #b œ Ð # ß % Ñ f0 & & Cálculo de ? s (vector unitario) Sea C œ > Ê <Ð>Ñ œ Ð luego (
># .< > ß >Ñ Ê œ Ð ß "Ñß por otra parte (",#) Ê > œ # % .> #
.< " $ )>œ# = (1,1) Ê ? Ð"ß "Ñ por tanto H?s 0 œ È# sœ È# .> &
B C 4.- Sea 0 ÐBß CÑ œ B# :Ð Ñ <Ð Ñß demuestre que: C B B#
# `#0 ` #0 B # ` 0 #BC C œ #B# :Ð Ñ # # `B `B`C `C C
Demostración. `0 B C w B " w C œ #B:Ð Ñ B# : Ð Ñ < Ð ÑÐ # Ñ `B C C C B B `#0 B %B w B B# ww B #C w C C # ww C œ # : Ð Ñ : Ð Ñ : Ð Ñ < Ð Ñ < Ð Ñ `B# C C C C# C B$ B B% B `0 B$ w B " w C œ #:Ð Ñ < Ð Ñ `C C C B B `#0 #B$ w B B% ww B " ww C œ : Ð Ñ : Ð Ñ < Ð Ñ `C# C$ C C% C B# B `#0 $B# w B B$ ww B " w C C ww C œ # : Ð Ñ $: Ð Ñ #< Ð Ñ $< Ð Ñ `B`C C C C C B B B B de donde resulta:
B#
# `#0 ` #0 B # ` 0 # #BC C œ #B : Ð Ñ `B# `B`C `C# C
5. Sea A œ 0 Ð?ß @Ñ una función diferenciable tal que B œ #? @ e C œ #?# ?@
demuestre que en el punto B œ "ß C œ
" #
`#A " ` #A ` #A `A `A œ # # `B`C # `? `?`@ `? `@ Demostración. C œ ?Ð#? @Ñ œ ?B Ê ? œ
C C • @œ# B B B
`A `A `? `A `@ `A " `A # œ œ `C `? `C `@ `C `? B `@ B `#A " `A " ` # A `? ` # A `@ # `A œ # Ò # Ó # `B`C B `? B `? `B `?`@ `B B `@ # ` # A `? ` # A `@ Ò Ó B `@`? `B `@# `B `#A " `A " ` # A C ` #A C # `A # œ # Ò # Ð #Ñ Ð # "ÑÓ # Ò `B`C B `? B `? B `?`@ B B `@ B `#A C ` #A C Ð #Ñ Ð # "ÑÓ # `@`? B `@ B de donde evaluando en B œ " e C œ
" #
resulta
`#A " ` #A ` #A `A `A œ # `B`C # `?# `?`@ `? `@
6. Un insecto se halla en un ambiente tóxico. El nivel de toxicidad, está dado por X aBß Cb œ #B# %C # . El insecto está en a "ß #bÞ
a) ¿En que dirección deberá moverse el insecto para que se aleje lo más rápido posible de la toxicidad?
t a "ß #b b) En la curva de nivel apropiada, ubique y dibuje el vector gradiente fX c) ¿Cuál es la razón de cambio de la toxicidad del ambiente en el punto a "ß #b en " la dirección a "ß #b? È&
Solución.
t a "ß #b; fX t aBß Cb œ Œ `X ß `X œ a%Bß )C b Ê a) Se pide fX `B `C
t a "ß #b œ a %ß "'bÞ El insecto deberá moverse en la dirección del vector fX
a %ß "'b para que se aleje lo más rápido posible de la toxicidad.
b) En a "ß #b se tiene X a "ß #b œ #a "b# %Ð#Ñ# œ "% luego la curva de nivel es: #B# %C# œ "% Í
C# B# œ " ahipérbolab $Þ& (
a0 31Þb c) La razón de cambio de la toxicidad del ambiente en el punto a "ß #b en la dirección È"& a "ß #b es la H?s X a "ß #bß siendo ? s œ È"& a "ß #b t a "ß #b † ? H?s X a "ß #b œ fX s œ a %ß "'b †
7.
Si D œ BC 0 a?ß @bà ? œ B# • @ œ C # tal que a) Demuestre que b) Calcule E œ
C
" #) a "ß #b œ È& È&
`0 `0 œ œ" `? `@
`D `D B œ C # B# `B `C
` #D ` #D `B# `C `B
Solución. `D `0 `? `0 `@ `0 `0 `0 a) œ C œC #B !œC #B `B `? `B `@ `B `? `@ `? `D `0 `? `0 `@ `0 `0 `0 œB œB ! #C œ B #C `C `? `C `@ `C `? `@ `@ `D `D `0 `0 `0 `0 C B œ CÐC #BÑ BÐB #CÑ œ C # B# #BCÐ Ñ `B `C `? `@ `? `@ `D `D C B œ C # B# #BCÐ!Ñ œ C # B# `B `C
b) Como Eœ
`0 `0 `D ` #D ` #D œ œ" Ê = C #B Ê œ # • œ "ß luego `? `@ `B `B# `C `B ` #D ` #D =#"œ" `B# `C `B
8. Encuentre la derivada direccional en el punto a"ß !b de la superficie 0 aBß Cb œ BÐ/C BÑ C #
en la dirección de la recta EF donde Ea#ß "b y F a"ß #bÞ Solución.
t œ t, +t œ a "ß "b Ê ? La dirección es ?t œ EF sœ
" È# a
"ß "b
t aBß Cb œ a/C #Bß B/C #C b Ê f0 t a"ß !b œ a$ß "b Ahora f0 t a"ß !b † ? Luego f0 s œ a$ß "b † " a "ß "b œ % È#
9. Sea J aBß Cb una función tal que
È#
`J `J " " œ B/C • œ B# /C `B `C C # Se define [ Ð?ß @Ñ œ J Ð?@ß 691 @Ñß @ !Þ Demostrar que: aab
`#J ` #J œ `C`B `B`C
abb
`#[ " `[ œ! `?`@ @ `?
Demostración. a) De inmediato, `#J ` #J œ B/C œ `C`B `B`C
b) Considerando a), existe J aBß Cb tal que À .J œ
`J `J .B .Cß así `B `C
`J œ B/C con respecto a B resulta, `B " `J " J aBß Cb œ B# /C G aC b Ê œ B# /C G w aC bß pero # `C # `J " " " œ B# /C , entonces G w aCb œ Ê G aC b œ 691 C 5 `C C # C
Integrando
luego,
J aBß Cb œ
" # C B / 691 C 5 #
Ahora, [ Ð?ß @Ñ œ J Ð?@ß 691 @Ñ œ œ entonces,
" # # 691 @ ? @ / 691Ð691 @Ñ #
" # ? @ 691Ð691 @Ñ #
`[ " " ` #[ œ ?# Ê œ? `@ # @ 691 @ `?`@ `[ œ ?@ `? finalmente, `#[ " `[ " œ ? ?@ œ ! `?`@ @ `? @
7. Derivación implícita. Jacobianos. Dependencia funcional. Funciones homogeneas. ". a) Sea D œ 0 ÐBß CÑß dada por las ecuaciones B œ ? @ß encuentre
C œ ?# @# ß D œ ?$ @$ ß Ð? Á @Ñ
`D `B
b) Dadas las funciones ? œ #=/8# BC "ß @ œ ' %-9=# BCß ¿existe dependen cia funcional entre ? y @?, Si existe encontrarla. Solución. a) (Forma 1) Consideremos las variables ?ß @ y D en términos de B e Cß entonces: ÚJ œ ? @ B ßKßL N Ð J?ß@ßB Ñ `D œ con Û K œ ?# @# C J ßKßL `B N Ð ?ß@ßD Ñ Ü L œ ?$ @ $ D
pero,
â â J? J ß Kß L â NÐ Ñ œ â K? â ?ß @ß B â L? œ '?@Ð? @Ñ â â J? J ß Kß L â NÐ Ñ œ â K? â ?ß @ß D â L?
J@ K@ L@
J@ K@ L@
â â JB â â " â â KB â œ â #? â â LB â â $?# â â JD â â " â â KD â œ â #? â â LD â â $?#
" #@ $@#
" #@ $@#
â "â #? â !â œ º # $? â !â ! ! "
â â " â ✠º #? â â
#@ $@# º
" #@ º
œ #Ð? @Ñ `D '?@Ð? @Ñ œ œ $?@ `B #Ð? @Ñ
luego
(Forma 2) Expresando D en términos de B e C D œ ?$ @$ œ Ð? @ÑÐ?# ?@ @# Ñ œ ÐC ?@Ñ pero
B# œ ?# #?@ @# Ê ?@ œ "# ÐB# Ð?# @# ÑÑ œ "# ÐB# CÑ
así:
D œ BÐC "# ÐB# CÑÑ œ $# BC "# B$ `D $ $ œ ÐC B# Ñ œ Ð?# @# Ð? @Ñ# Ñ œ $?@ `B # #
luego
b) Calculamos NÐ
?ß @ ? Ñœº B @B Bß C
?C %C =/8BC -9=BC œº º @C )C -9=BC =/8BC
%B =/8BC -9=BC œ! )B -9=BC =/8BC º
luego existe dependencia funcional entre ? y @, como ? œ # =/8# BC " œ #Ð" -9=# BCÑ " œ $ # -9=# BC œ
" @ #
2. Dado que B# C# D # œ 0 Ð+B ,C -DÑß demuestre que Ð-C ,DÑ
`D `D Ð+D -BÑ œ ,B +C `B `C
Solución. Sea J œ B# C# D # 0 Ð?Ñ œ ! con ? œ +B ,C -D sabemos que también
`D JB #B 0 w Ð?Ñ+ œ œ ß `B JD #D 0 w Ð?Ñ-
JC `D #C 0 w Ð?Ñ, œ œ ß luego `C JD #D 0 w Ð?Ñ-
`D Ð-C ,DÑ `B Ð+D -BÑ `D `C œ
Ð-C ,DÑ de donde simplificando se obtiene
#B 0 w Ð?Ñ+ #C 0 w Ð?Ñ, Ð+D -BÑ #D 0 w Ð?Ñ#D 0 w Ð?Ñ-
œ
3.
#DÐ,B +CÑ 0 w Ð?ÑÐ,B +CÑ œ ,B +C #D 0 w Ð?Ñ-
Sea 0 aBß Cb una función homogenea de grado 8ß 8 − ß demuestre que
B
` a0 ß 0 C b ` a0B ß 0 b œ C ` aBß Cb ` aBß C b
Demostración.
0 aBß Cb una función homogenea de grado 8 Ê B 0B C 0C œ 8 0 ß derivando
sucesívamente con respecto a B y a C se tiene: 0B B 0BB C 0CB œ 8 0B B 0BC 0C C 0CC œ 80C
a"b
a#b
multiplicando a"b por 0C y a#b por 0B e igualando 0B 0C B 0BB 0C C 0CB œ B 0BC 0B 0C 0B C 0CC 0B B 0BB 0C B 0BC 0B œ C 0CC 0B C 0CB 0C B a0BB 0C 0BC 0B b œ C a0CC 0B 0CB 0C b Ê B
de donde asociando
` a0 ß 0 C b ` a0B ß 0 b œ C ` aBß Cb ` aBß C b
8. Máximos y Mínimos.
1.
Determine todos los: máximos, mínimos y puntos silla, en ‘ ‚ ‘ de la función D œ C $ $CB# $C # $B# " Solución. DB œ 'BC 'B œ ! Ê B œ ! ” C œ " DC œ $C# $B# 'C œ ! Í C # B# #C œ ! Si B œ ! Ê C œ ! ” C œ #ß luego T" Ð!ß !Ñß T# Ð!ß #Ñ Si C œ " Ê B œ „ È$ß de aquí se tienen T$ ÐÈ$ß "Ñ y T% Ð È$ß "Ñ L# D œ ”
'C ' 'B
'B ß por tanto 'C ' •
En T" Ð!ß !Ñß lL" l œ ' y |L# l œ $'ß entonces DÐ!ß !Ñ œ "ß es un máximo.
En T# Ð!ß #Ñß T$ ÐÈ$ß "Ñ y T% Ð È$ß "Ñ son puntos sillares pues para cada punto |L# l !Þ
2. Hállese tres números positivos Bß Cß D tales que su suma sea $! y la suma de sus cuadrados sea mínima. Solución. Se trata de minimizar 0 ÐBß Cß DÑ œ B# C # D # , sujeto a la condición B C D œ $! Forma 1 Min. 1ÐBß CÑ œ B# C # Ð$! B CÑ# ß de donde 1B œ #B #Ð$! B CÑ œ ! 1C œ #C #Ð$! B CÑ œ ! así se obtiene: B œ C œ "! y por tanto D œ "! L# 1 œ ”
% #
# y como lL" l œ % y lL# l œ "#ß entonces en el punto %•
T! Ð"!ß "!ß "!Ñ la función 0 tiene un mínimo que es $!!Þ Forma # Mediante Lagrange, es decir PÐBß Cß Dß -Ñ œ B# C# D # -Ð B C D $!Ñ PB œ #B - œ ! PC œ #C - œ ! PD œ #D - œ ! P- œ B C D $! œ ! restando entre si dos a dos las tres primeras ecuaciones resulta B œ C œ D Así de la cuarta ecuación se obtiene B œ C œ D œ "! y - œ #!
9. Multiplicadores de Lagrange
1. Determine los extremos absolutos de la función
0 aBß C b œ #B# $C # %B
en el conjunto H œ ÖaBß C b − ‘# Î B# C # Ÿ &× Solución. 1) Primero hallemos los puntos estacionarios dentro del círculo, para lo que 0B œ %B % œ ! 0C œ 'C œ !
de donde se obtiene el punto T! a"ß !b.
Analizando el hessiano de 0 en dicho punto, se tiene L# 0 a"ß !b œ ”
% !
! '•
lL" l œ % ! y lL# l œ #% !ß entonces 0 tiene en T! un mínimo cuyo valor es #Þ 2) Segundo analizamos los puntos sobre la frontera de Hß para lo que formamos la función de Lagrange, PÐBß Cß -Ñ œ #B# $C # %B -ÐB# C # &Ñ
de donde, PB œ %B % #-B œ ! PC œ 'C #-C œ ! P- œ B# C # & œ ! resolviendo el sistema obtenemos:
# È Ð & &Ñß los puntos T" ÐÈ&ß !Ñ y T# Ð È&ß !Ñ & para - œ $ß los puntos T$ Ð #ß "Ñ y T% Ð #ß "Ñ para - œ
como H es un compacto el máximo absoluto se obtiene para los puntos T$ o T% y cuyo valor es 19 y el mínimo absoluto el el punto estacionario T! con un valor de #Þ #. Determine los máximos y mínimos de la expresión B# C# sujetos a la condición $B# %BC 'C# œ "%!Þ Interprete geométricamente los resultados. Solución.
Sea la función de Lagrange:
PaBß Cß -b œ B# C # -Ð$B# %BC 6C # "4!Ñ
PB œ #B '-B %-C œ Ð" $-ÑB #-C œ !
PC œ #C %-B "#-C œ #-B Ð" '-ÑC œ ! #
#
P- œ $B %BC 'C "%! œ ! De a"b À C œ
a"b
a#b
a$b
" $" Bß en a#b Ê #-B Ð" '-ÑÐ" $-ÑB œ ! Ê ##Ò%-# Ð" %-ÑÐ" '-ÑÓB œ !ß B debe ser distinto de cero pues si no C œ ! y
la ecuación a$b no se cumpliría, por tanto
%-# Ð" '-ÑÐ" $-Ñ œ ! de donde -" œ
" " y -# œ ( #
" Ê C œ #Bß en a$b resulta $&B# œ "%! Í B œ „ # Ê C œ … % ( entonces se tienen dos puntos críticos que son: T" Ð#ß %Ñ y T# Ð #ß %Ñ
Si -" œ
Así, 0 a „ #ß … %b œ Ð „ #Ñ# Ð „ %Ñ# œ #!Þ " " " Si -# œ Ê C œ Bß en a$b resulta B œ „ È&' Ê C œ … È&' # # # tambien se tiene dos puntos críticos que son: T$ß% Ð „ È&'ß … "# È&'Ñ " Así, 0 Ð „ È&'ß … È&'Ñ œ (! # Luego, como la región $B# %BC 'C# œ "%! es un compacto, entonces
los extremos de la función B# C# son: #! es mínimo de la función y (! su máximo. Interpretación geométrica: La región $B# %BC 'C# œ "%! es una Elipse centrada en el origen (!ß !Ñß cuyos semiejes forman ciertos ángulos con los ejes coordenados, al minimizar B# C# estamos encontrando la longitud de los semiejes menores, pues la distancia desde el origen a ellos está dada por ÈB# C# es decir dicha longitud es È#!.
Analogamente los otros puntos son los vértices de la elipse y la distancia È(! es
la longitud desde el origen Ð!ß !Ñ a estos puntos.
3. Un pequeño industrial produce dos tipos de herramientas, cuyos costos son $ 100 $ 200 la unidad, si los precios de venta son B" y B# por unidad y las cantidades vendidas D" y D# (en unidades) son respectivamente.
D" œ #&!ÐB# #B" Ñ $#!!! D# œ #&!ÐB" B# Ñ Determine los precios que hacen máxima la ganancia del productor, siendo B" !ß B# !ß D" ! y D# ! Solución. La función ganancia es KÐB" ß B# Ñ œ ÐB" "!!Ñ D" ÐB# #!!Ñ D# o bien KÐB" ß B# Ñ œ ÐB" "!!ÑÒ#&!ÐB# #B" Ñ $#!!Ó ÐB# #!!Ñ#&!ÐB" B# Ñ Así: `K œ #&!ÐB# #B" Ñ $#!!! ÐB" "!!ÑÐ &!!Ñ ÐB# #!!Ñ#&! œ ! `B" `K œ #&!ÐB" "!!Ñ #&!ÐB" B# Ñ ÐB# #!!Ñ#&!Ð "Ñ œ ! `B#
De donde se obtiene B" œ ""% y B# œ "'% punto crítico que no se considera pues D# œ #&!Ð""% "'%Ñ ! contradice una de las hipótesis
Analizamos los extremos de KÐB" ß B# Ñ en las fronteras de su dominio.
El dominio lo forman: B" !ß B# !ß D" ! y D# ! ver fig. Vértices del dominio Ð!ß !Ñß Ð'%ß !Ñ y Ð"#)ß "#)Ñ I) B# œ !ß ! Ÿ B" Ÿ '%
K œ ÐB" "!!ÑÒ#&!Ð #B" Ñ $#!!!Ó #!! † #&! B" Kw œ #&!Ð #B" Ñ $#!!! ÐB" "!!ÑÐ &!!Ñ #!! † #&! Kw œ ! Ê B" œ $#ß B# œ ! Kw w Ð$#Ñ ! Ê máx. en Ð$#ß !Ñß pero KÐ$#ß !Ñ ! crítico que no se considera pues resulta una ganancia negativa
II) B# œ #B" "#)ß '% Ÿ B" Ÿ "#) K œ Ð#B" $#)Ñ#&!Ð B" "#)Ñ Kw œ # † #&!Ð B" "#)Ñ Ð#B" $#)Ñ#&!Ð "Ñ œ ! Ê B" œ "%'  Ò'%ß "#)Ó
Note que en Ò'%ß "#)Ó, K es creciente con KÐ'%ß !Ñ ! y KÐ"#)ß "#)Ñ œ !
III) B" œ B# ß ! Ÿ B" Ÿ "#) K œ ÐB" "!!ÑÒ#&!Ð B" Ñ $#!!!Ó Kw œ Ò#&!Ð B" Ñ $#!!!Ó ÐB" "!!ÑÐ #&!Ñ œ ! Ê B" œ B# œ ""%, Kw w œ &!! ! Ê máx. por tanto KÐ""%ß ""%Ñ œ %*!!! resulta ser la ganancia máxima.
4. Se necesita transportar 40 m$ de áridos. Previamente, debe fabricarse un contenedor con forma de caja, sin tapa, el material de los lados opuestos cuesta $10000, por m# ß y el material para la base y los otros dos lados cuesta $5000 por m# Þ Cada viaje del contenedor lleno cuesta $4000. Determine las dimensiones del contenedor para minimizar el costo total.
Solución. Si el contenedor tiene dimensiones Bß C ß D en metros, su volumen es B C D m$ ß %! "'!!!! luego hay que hacer , el costo de los viajes es , el contenedor BCD BCD costará BC &!!! #BD &!!! #CD "!!!!
Costo total À G œ 0 aBß Cß D b œ
"'!!!! BC &!!! #BD &!!! #CD "!!!! BCD
œ "!!! Œ
"'! & BC "! BD #! CD BCD a"b
GB œ
"'! "'! & C "! D œ ! Ê # œ & C "! D # B CD B CD
GC œ
"'! "'! & B #! D œ ! Ê œ & B #! D # BC D BC # D
GD œ
"'! "'! "! B #! C œ ! Ê œ "! B #! C # BC D BC D #
a"b C C #D B a"b D C #D Ê œ ÊC œ à Ê œ œ a#b B B %D # a $b B #B %C de donde
a#b a$b B #
#D B ÊDœ %B %
"'! & "! & B B œ! ÊBœÈ #&' œ $Þ!$"% à C œ "Þ"&&( y B# # # % B )
D œ !Þ(&()
5. Maximice
0 aBß C b œ 68a B "b C
sujeto a las condiciones
#B C Ÿ $ß B !ß C !
Solución.
Note que el gradiente de 0 aBß C b no se anula en punto alguno Ê no hay críticos
en el interior de H œ ÖaBß Cb Î #B C Ÿ $ß B !ß C ! × por tanto se estudia en las fronteras de HÞ
I)
B œ !ß ! Ÿ C Ÿ $ Ê 0 a!ß C b œ C ß 0 w ! Ê 0 crece desde 0 hasta 3 II)
C œ !ß ! Ÿ B Ÿ $# Ê 0 aBß 0b œ 691 aB "b Ê 0 w ÐBß !Ñ œ
" B"
y como
0 w aBß !b !ß aB − Ò !ß $# Ó Ê 0 siempre creciente en Ò !ß $# Ó, desde 0 hasta 691 &# III) C œ $ #Bß ! Ÿ B Ÿ
$ " Ê 0 œ 691aB "b $ #B Ê 0 w œ # Ê # B"
" $ crítico que no se toma en cuenta pues Â Ò !ß Ó y como 0 w ! Ê 0 # # & $ decrece desde 3 para a!ß $b hasta 691 para Ð ß !ÑÞ # # Por tanto el máximo se encuentra en el punto a!ß $b y cuyo valor es $. Bœ
'Þ Encuentre los extremos absolutos de la función 0 ÐBß CÑ œ ) B# #% BC C # sujetos a la condición B# C# œ " Solución. Sea
PÐBß Cß -Ñ œ ) B# #% BC C # -ÐB# C # "Ñ PB œ "'B #%C #-B œ ! PC œ #%B #C #-C œ ! P- œ B# C# " œ !
Resolviendo este sistema, si bien de las dos primeras resultan B œ C œ ! pero no satisfacen la tercera ecuación, entonces B e C distintos de cero conducen a las soluciónes: $ % % $ Ð- œ )ß B œ „ , C œ „ Ñ • Ð- œ "(ß B œ „ ß C œ … Ñ & & & & $ % Como el dominio es un compacto, para B œ „ , C œ „ la función tiene un & & % $ mínimo, cuyo valor es )ß a su vez para B œ „ ß C œ … la función tiene un & & máximo, cuyo valor es "(Þ 7. Sea
0 aBß Cb œ B% C # B# &C #
en el dominio H œ ÖaBß CbÎC œ $ • C œ B# ×ÞÐincluye su frontera) Determine:
a) Los máximos y mínimos relativos de 0 en el interior de H y en que puntos se alcanzan. b) Los máximos y mínimos absolutos en el dominio H y los puntos en que se producen. Solución.
10. Integración doble y triple "Þ Calcule la constante 5 de modo que la ( ( 5BC .E œ "ß donde H es el trapezoide de vértices Sa!ß !bß Ea!ß "bß FÐ"ß "Ñ y G a#ß !bÞ H
Solución. y
A
B
O
C
x
Notemos que la ecuación de la recta FG está dada por B œ # Cß entonces H À ! Ÿ C Ÿ " • ! Ÿ B Ÿ # Cß luego ( ( 5BC .E œ ( ( "
!
H
#Þ
#C
5BC .B .C œ " Í 5 !
"" #% œ"Í5œ #% ""
Exprese ( ( 0 ÐBß CÑ .E en ambas direcciones de integración, sabiendo que H H
es la región plana entre las curvas: #C œ " Bß B C œ " • C œ B# " y luego calcule la integral en el sentido que estime convenienteß siendo 0 ÐBß CÑ œ #BÞ Solución. Graficando la región Hß se tiene: y
y = x −1 −1
y = x2 − 1
1 −1
x
En la dirección, .E œ .C .B y siendo H œ H" H# H$ donde H" À " Ÿ B Ÿ ! • ÐB# "Ñ Ÿ C Ÿ
" ÐB "Ñ #
" ÐB "Ñß # $ " H$ À " Ÿ B Ÿ • ÐB# "Ñ Ÿ C Ÿ ÐB "Ñß se tiene: # # H# À ! Ÿ B Ÿ " • ÐB "Ñ Ÿ C Ÿ
( ( 0 ÐBß CÑ .E œ ( ( !
" # ÐB"Ñ
" B# "
H
( ( $ #
"
0 aBß C b .C .B ( (
" # ÐB"Ñ
"
!
" # ÐB"Ñ
B# "
B"
0 aBß C b .C .B
0 aBß Cb .C .BÞ
En la dirección, .E œ .B .C y siendo H œ H" H# donde H" À " Ÿ C Ÿ ! • ÈC " Ÿ B Ÿ ÈC "ß
• #C " Ÿ B Ÿ ÈC "ß entonces se tiene
& %
H# À ! Ÿ C Ÿ
( ( 0 ÐBß CÑ .E œ ( ( !
ÈC"
" ÈC"
H
0 aBß C b .B .C ( (
ÈC"
& %
!
#C"
0 aBß C b .B .CÞ
Ahora, calculando en la dirección .E œ .B .Cß se tiene: ( ( #B .E œ ( ( !
H
ÈC"
" ÈC"
ÈC"
œ( B ¹ !
#B .B .C ( (
#
ÈC"
"
& %
!
!
#B .B .C
#C"
ÈC"
.C ( B# ¹ & %
ÈC"
#C"
.C
œ ! ( ÒC " Ð#C "Ñ Ó .C œ ( Ð&C %C # Ñ.C œ & %
& %
#
!
!
$Þ Dada ( ( "
!
"
B =/8Ð Ñ .C .B C ÈB
a) Exprese la integral, con el orden de integración cambiado b) Calcule la integral Solución. a) Note que la región de integración está dada por
H À ! Ÿ B Ÿ " • ÈB Ÿ C Ÿ "
"#& *'
dibujando esta región, resulta y
1
O
1
x
Cambiando el orden de integración, se tiene que H À ! Ÿ C Ÿ " • ! Ÿ B Ÿ C # entonces: ( (
C#
"
!
!
B =/8Ð Ñ .B .C C
b) El cálculo de la integral debe hacerse necesariamente en el orden .E œ .B .Cß por tanto, ( (
C#
"
!
!
" B B C# =/8Ð Ñ .B .C œ ( C -9=Ð Ñ ¹ .C C C ! !
œ ( ÐC -9= C CÑ.C "
!
œ Ð( C -9= C .C ( C .CÑ "
"
!
!
" " " œ ÐC =/8 C ¹ ( =/8 C .C C # ¹ Ñ ! # ! ! $ œ =/8Ð"Ñ -9=Ð"Ñ # "
%. Calcular el volumen de una carpa de base rectangular de 50 por 60 metros, si la " superficie del toldo está dada por D œ "' ÐB# C # ÑÞ Ðconsidere la "#! simetría) Solución.
&. Calcule
( ( C =/8Ð BCÑ .C .B V
Siendo V la región comprendida entre las gráficas: BC œ "ß BC œ 1ß C œ "ß C œ % ? Sugerencia hacer B œ à C œ @. @ Solución. Notemos que BC œ ?ß entonces: V w À " Ÿ ? Ÿ 1 • 1 Ÿ @ Ÿ %, donde NÐ
?ß @ ? Ñœº B @B Bß C
?C C œº º @C !
B œCœ@ "º
Así, ( ( C =/8Ð BCÑ .C .B œ ( ( @ =/8Ð?Ñ @ .? .@ 1
%
"
V
"
œ -9=Ð?ѹ † 1 "
@$ % ¹ œ #"Ò" -9=Ð"ÑÓ $ "
'. Calcule el área de la región Vß acotada por: C œ B# ß C œ #B# ß B œ C # ß B œ %C # C B usando el cambio de variables ? œ # ß @ œ # Þ B C Solución. y
v
y = 2x
2
y = x2 4
x = y2 x = 4 y2 o
x
1 1 2
u
7. Calcule ( ( ( ÈB# C# D # .B .C .D siendo V la región limitada por el plano D œ $ y el cono D œ ÈB# C # V
