Ejercicios Resueltos Transf Z

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA SALESIANA   

EJERCICIOS DESARROLLADOS TRANSFORMADA Z  Determinar las transformadas Z de las siguientes señales en tiempo discreto usando la definición  a)

x  n  u  n  

Usando el par de Transformada Z: 

z a nu  n   

z 1 ,z a  z  a 1  az 1  

Para este caso se tiene que  a  1   z u  n   

z 1 ,z 1  z  1 1  z 1    

b) x  n   e

10n

u n  

Igual que en el caso anterior, se usará el mismo par de transformada Z, y para este caso  a  e por lo tanto la transformada Z será:  z e 10 nu  n   

10n

 

z 1 , z  e 10    10 10 1 z e 1 e z

  c)

x  n   e n sin  n  u  n   

Para  mejorar  el  proceso  de  cálculo,  se  pasa  el  valor  del  sin(n)  a  exponenciales  complejas, por  lo  tanto se tiene lo siguiente: 

e jn  e jn x  n  e u  n   2j n

Multiplicando término a término se tendrá:  1 j n 1 j n n  jn n  jn

e 2j

e 2j

e

x  n 

1  1 j n 1 j n  1  1 j n 1 j n e u  n  e u  n   e   u  n  e     2j 2j

u  n 

e

 e1 j n e1 j n  u  n     u  n j j 2 2    

x  n 

z 1  ,z  a  z  a 1  az 1 1  1 j n 1  1 1  1 j n z e u  n   e  u  n   ,z  e      2j 2 j 1  e1 j  z 1 1  e1 j  z 1 

Por tanto usando la propiedad  a u  n    n

z

1  1 j n 1  z z  1 j n z e u  n   e  u  n   ,z  e     1 j  1 j       2j 2j z e z e 

 

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

  

1 j  z  e1 j 1  z e  z e sin  n  u  n   2j z  e1 j z  e1 j  z

n

z e n sin  n  u  n   





  , z  e  

1  z 2  ze1 j  z 2  ze1 j  ,z e 2 j  z 2  z e1 j  e1 j  e1 j 1 j   



1  z   2 e n sin  n  u  n   2j z  z  z 1  z n  e sin  n  u  n   2 j  z2  z  Tomando en cuenta que: 



  







 z e e , z  e e1 j  e1 j  e1 j 1 j    e1 j  e1 j , z  e e1 j  e1 j  e 2   1 j

1 j

  



j j e1 j  e1 j e e  e   e sin 1  ;  2j 2j

 





e e j  e  j  2e cos 1  

 

Se tiene que: 

  ez sin(1) z  2 e n sin  n  u  n   ,z e    2  z  2ez cos 1  e   

x  n    n

  d) Tomando en cuenta que este  x[n] es una secuencia unilateral se tiene que:  

X  z    x  n z

n

n 0

  e)



    n z  n  1 n 0

x  n  u  n  u  n

x  n    z



 

  u  n   u   n  z

n

n 

, para todo valor de z 



  u  n z n 

n





 u  n z  n , 

n 

  Tomando en cuenta que u[‐n] va de ‐∞ hasta 0 y que al cambiar el signo de la potencia de z  cambian los límites de la sumatoria se tiene:  

z x  n     z n  n 0

0



n 





n 0

n 0

z n   z n   z n

, en este punto es necesario analizar de 

manera individual cada sumatoria pues cada una tiene su propia región de convergencia: 

 

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z

n

n 0

1  , z 1 ,  1  z 1



1

 z n  1  z1 , z  1 ,  debido  a  ambas  transformadas  unilaterales  n 0

son analizadas sobre el mismo valor, en este caso 1 se tiene que no existe transformada z bilateral.   

x  n   u  n   u  n  10

  f) De acuerdo con las características de x[n] esta señal iría de 0 a 10 con amplitud 1, sin embargo en  la sumatoria a la 10  z x  n   



10

n 

n 0

  u  n  u  n  10 z  n  z  n , 

Utilizando la fórmula para sumatorias: 

1   M , 1    n   1  , donde M‐1 =10 y β=z‐1 y por tanto  cumpliendo el primer caso de esta  n 0  M, 1 

M 1

fórmula, se tiene lo siguiente:  z x  n   

1  z 11 1  z 1

1 z11  1 z11  1 z 10 z11  1 11 11 z  z 10 z z    10   z 1 1 z 1   z  z  1  z  1 1 z z



1







Tomando en cuenta que z es un valor complejo, z=re‐jω, recordando que la ROC de la transformada  Z depende exclusivamente de la magnitud de z se tendrá que: 

X z 

z  z 10 re j  re 10 j  z 1 re j  1 , por tanto: 

 

X  z 

re j  re 10 j  2r re j  1

cos   cos 10   sin   sin 10   1 2r cos    r 2  1

 

Lo que significa que la transformada Z para este ejercicio es todo el plano Z    g)

x  n    1 u  n    a  u   n  n0  Determinar  las  restricciones  en  el  número  n

n

complejo |a| y el entero n0 dado que la ROC de X(z) es 1<|z|<2  

 1 u  n    a  u  n  n0     1 n

n

n

z

n

n 0 

 1 u  n    a  u  n  n0     1z n

n

n 0

     



n0

 a z

n n

n  

   a z

1 n

n  n0

1

n





  1z n 0 

1 n

n 



    a z

  z n 0

    az  n0

1 n

1 n

n  n0

1

  n

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA SALESIANA    Analizando individualmente cada una de las partes se tiene que: 

z 1  1 

 

  z 1 n 0

n



1 ; para z 1  1 1 1 z  

1 1 z

 

 z 1 1  z 

 

 

a 1 z  1 



a 1 z

n  n0



n



az  n0 ; para a 1 z  1 1 1 a z  

z 1 a

 

z  a

 

Por tanto la transformada Z bilateral será: 

1 az  n0 ;1  z  a    1 u  n   a  u  n  n0    1  1 z 1  a 1 z n

n

  Comparando  con  los  datos  iniciales  del  ejercicio  se  tiene  que  |a|=2  y  n0  puede  ser  cualquier  valor arbitrario    n

1 x  n     u  n  3   h) 5 En este caso antes de usar tablas y propiedades usamos las fórmulas para las Sumatorias, en este  caso:    1 1  1  1 z 3 3 u n u n                  z   5 3 5   5  n

n



Usaremos la fórmula: 

n  nk

3

n

k ,  1  1 

 z 1   z 3      n 5  125  z 1 1 z   ,    1    u  n  3  z 1 z 1 5 5 1 1 5 5

 

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z 1 1 5

z 3

n

1 z     u  n  3  5

 z 1  125 1   5  

, para la ROC se tie ne que 

1   1 5z 1 1  z  z  5 5

  Determ minar las tran nsformadas ZZ de las siguieentes señaless en tiempo d discreto usand do tablas y  propiedades 

 2 n  c cos  x  n   e  cn  u n   a)  3  En este e caso se nece esita dela pro opiedad de esscalamiento:

    Toman ndo en cuentaa que:  



 

2 3  

Entoncces en la resp pectiva transfformada z de e f[n], lo que  se deberá haacer es reemplazar z por zz/a  en X(z)): 

z  z  2    cos   c  c e e  2 n   3  z  cn e cos    u  n   2  3  z  z   2    c   2  c cos   1 e e   3  z  z  2    c cos   e  c  e  c  2 n   3  z  cn  2 e cos   u  n   z 2z  2   3    c co os   1 2 c e e  3  ‐2c

Sacand do factor com mún 1 / e  

 

 

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z  1   2    z  e  c cos    c  c  e e   3    2 n  z  cn  e cos   u  n   z2 2z  2   3   cos   1 e 2 c e  c  3  1    2      c  cos z z e       3    2 n  e 2 c   z  cn  e cos   u  n   1  2  2  2c   3  z  2 ze  c cos  e    3   e 2 c  Simplificando   

  2   z  z  e  c cos    2 n   3  z  cn  e cos    u  n    2  2 c    3  z 2  2 ze  c cos  e  3    NOTA:  Ejercicios en los cuales se usen funciones trigonométricas, y no se pueda aplicar directamente las  tablas  y  propiedades,  lo  mejor  es  pasar  estas  funciones  a  sus  versiones  con  exponenciales  complejas, como por ejemplo para el caso de: 

 2 n   2 n  x  n   sin   cos   u  n  7   3  x n 

e

j

2 n 7

e 2j

j

2 n 7

 2 n  cos   u  n  3   

Al cambiar el seno por la respectiva expresión con exponenciales complejas se obtiene el caso del  ejercicio anterior; también puede existir el caso de que en lugar de la función seno se encuentre  otra  función  multiplicando  a 

 2 n  cos   u  n  ,  en  cuyo  caso  el  coseno  se  deberá  intercambiar   3 

por la función compleja respectiva.                   

 

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA SALESIANA    DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES PARCIALES  1. X(z) posee polos simples y reales 

G( z) 

Ak A1 A2   ...  ( z  p1 ) ( z  p2 ) ( z  pk )

Ak  ( z  pk )G ( z ) z  p

 

k

Por ejemplo 

G( z) 

A3 A1 A2 5z  3    ( z  1)( z  2)( z  3) ( z  1) ( z  2) ( z  3)

A1  ( z  1)

5  1  3 5z  3 5z  3    1 ( z  1)( z  2)( z  3) z 1 ( z  2)( z  3) z 1 (1  2)(1  3)

A2  ( z  2) A3  ( z  3)

5  2   3 5z  3 5z  3   7 ( z  1)( z  2)( z  3) z 2 ( z  1)( z  3) z 2 (2  1)(2  3)

5  3  3 5z  3 5z  3    6 ( z  1)( z  2)( z  3) z 3 ( z  1)( z  2) z 3 (3  1)(3  2)

  2. X(z) posee polos múltiples y reales 

G( z) 

N ( z) N ( z)  D ( z ) ( z  p1 )( z  p2 )...( z  pi ) k

G( z) 

  Ak A k1 k2 kr  ...      ... ( z  p1 ) ( z  pk ) ( z  pi ) ( z  pi ) 2 ( z  pi )3

Para el Caso de los valores de Ak se sigue el mismo procedimiento al punto anterior. 

kr   z  pi   F ( z ) r

kr 1 

z  pi

   

kr 1 

d  r z  pi   F ( z )    z  pi   dz 

1 d r 1  r z  pi   F ( z )  r 1   z  pi    r  1! dz

  Por ejemplo 

G( z) 

k3 A B k1 k2 1      3 2 z ( z  1) ( z  2) s ( z  2) ( z  1) ( z  1) ( z  1)3

A  1 / 2,

B 1/ 2

k3  ( z  1)3

1 1 1    1   3 z ( z  1) ( z  2) z 1 z ( z  2) z 1 (1)(1  2)

A partir de este punto se tiene: 

 

 

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k2 

 d  1 d  1  3   ( z  1)   3 dz  z ( z  1) ( z  2)  z 1 dz  z ( z  2)  z 1

k2   k1 

2  z  1

z 2  z  2

1 d2 2! dz 2

2



2  1  1

 12  1  2 2

 

0

  1 1 d2  1  3 ( z 1)       z ( z  1)3 ( z  2)  z 1 2 dz 2  z ( z  2)  z 1 



 





2     1  2 3  1  6  1  4  1    2   13  1  2 3   z 1   1 1 1 1 1       G( z)  2 z 2( z  2) ( z  1) ( z  1)3   z ( z  1)3 ( z  2) 2 1  2 3 z  6 z  4 k2  2  z 3  z  2 3 

  3. X(z) posee polos complejos  Por ejemplo: 

G( z) 

N ( z) k1 k2 3 z  7 3 z  7  2    D ( z ) z  2 z  17  z  1  4 j  z  1  4 j   z  1  4 j   z  1  4 j 

  Usamos la forma 

Me j Me j G( z)    z 1 4 j  z 1 4 j    

A1   z  1  4 j  A1 

3 z  7 3 z  7   z  1  4 j  z  1  4 j  z 14 j  z  1  4 j  z 14 j

3  1  4 j   7 3 5    j  1.95e j120  1  4 j  1  4 j  2 4

3 z  7 3 z  7 A2   z  1  4 j    z  1  4 j  z  1  4 j  z 14 j  z  1  4 j  z 14 j A2 

3  1  4 j   7 3 5    j  1.95e  j120  1  4 j  1  4 j  2 4

 

1.95e j120 1.95e j120  G( z)   z 1 4 j  z 1 4 j  

 

 

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA SALESIANA    Para el caso de la Transformada Z inversa al aplicar el teorema del residuo o fracciones parciales  recordar X (z) deberá ser una función racional y a la vez que primero se debe verificar si X(z) es una  fracción propia o impropia, es decir que la mayor potencia la debe poseer el denominador en cuyo  caso se trata te fracciones propias, en el caso de tener fracciones impropias es necesario realizar  primero la respectiva división polinomial.   

X ( z) 

N ( z ) b0  b1 z 1  ...  bM z  M  D ( z ) 1  a1 z 1  ...  a N z  N  

Una Función impropia se da cuando (M≥N) se puede representar como la suma  de un polinomio y  una función propia racional: 

1 3 11 2 z  z  3 z 1  1 6 X ( z)  3 1 2 5 1 z  z 1 6 6 1 3 11 2 z  z  3 z 1  1 3 6 5 1    z 3  z 2  2 z 1  3 3 

1 2 5 1 z  z 1 6 6 2 z 1  1

1 2 z  z 1  1 6 5 1    z 2  z 1  1 6 6  1 1 z 6

  Es  necesario  de  asegurar  de  que  el  residuo  posea  menor  orden  del  cociente,  en  este  caso  X(z)  resultará ser: 

1 1 z 1 6 X ( z)  1  2z  1 2 5 1   Ahora  ya  sobre  esta  fracción  se  puede  aplicar  el  método  z  z 1 6 6 de fracciones parciales.