Dos Métodos para el Análisis de Circuitos Considere el circuito mostrado a la derecha. Todos los resistores tienen el mismo valor R. Encuentre la corriente I4 a través del resistor R4 (incluyendo su dirección) y el potencial eléctrico VA en el punto indicado A. Asegúrese de expresar el resultado en términos de los parámetros E y R.
1.
Método 1: Reducción de la Red El resistor equivalente sería:
Requi.
R
RxR ( R R)
R
5 R 2
La corriente I1 sería:
I1
E Requi .
2E 5R
La caída de voltaje
V VA
I1R E
2 E 5 V
E
2 E 5
Las corrientes I 3 De las LVK:
I1
I3
I4
V a través del resistor R1 es:
2I 4
2E 5R
VA
3 E 5
I 4 ya que las caídas de voltajes son iguales
I4
E 5R
Método 2: Leyes de Kirchhoff (nodos y mallas) Apliquemos estas leyes al mismo circuito teniendo en mente que el trabajo es encontrar la corriente I4 y el potencial VA. Identifiquemos cuántas Corrientes diferentes hay en el circuito, ellas son comúnmente llamadas corriente de ramal. Identifique las corrientes desde I1 hasta In. Asegúrese de indicar con flechas, para indicar la dirección de cada corriente! Si la dirección que usted ha escogido es errónea, no hay problema, la corriente que se obtiene de los cálculos vendrá con signo negativo.
Seguidamente aplique LCK a cada nodo en el circuito. ¿Cuántos nodos hay en éste circuito? Escriba la ecuación de la LCK para cada nodo.
Examine la ecuación anterior, ¿cuántos de éstos términos son independientes? La regla es esta: Si usted tiene Nnodos nodos en un circuito, la LCK solo le dará a usted N nodes -1 ecuaciones independientes. En otras palabras, una de las ecuaciones no nos entrega nueva información.
¿Cuántas corrientes desconocidas tenemos? Llamemos n a este número. Para determinar las n corrientes, usaremos la LVK. Aplique la LVK a los n lazos del circuito, esto nos dará las n ecuaciones que necesitamos para determinar todas las Corrientes en los ramales del circuito. Lazo interior izquierdo:
Lazo exterior
Resuelva el set completo de las ecuaciones de LVK y de la LCK. Recuerde, la tarea es encontrar I4 y VA Haga la resta de las ecuaciones de los lazos de la parte previa: 4 1 4
4
3
3
4
3
2
3
Sustituyendo todas las corrientes en términos de I 4 dentro de la ecuación
E
VA
2I4 R I 4 R 2I4 R
E I1 R
E 2 I1 R
5I 4 R
E 2
E R 5R
I4
E 5R
VA
3E 5
Resumen de los pasos realizados para resolver un problema de circuitos utilizando las leyes de Kirchhoff: Identifique todos las diferentes Corrientes de ramales del circuito, e identifíquelas con una flecha indicando su dirección. Sea NI el número de corrientes diferentes en el circuito. Aplique la LCK a todos, menos uno, los nodos en el circuito. Esto le dará a usted las (Nnodos -1) ecuaciones. Aplique la LVK a los NI -(N nodes -1) lazos en el circuito. Junto a las ecuaciones de la LCK, le darán a usted un total de NI ecuaciones, suficientes para determinar todas las corrientes. Resuelva su set complete de NI ecuaciones para determinar todas las Corrientes de ramal. Y haciendo uso de la relación conocida V = , usted podrá calcular TODO en su red de resistores
2. Encuentre la corriente medida por el amperímetro y el voltaje (diferencia de potencial) leída por el voltímetro en el circuito de la derecha, todos los resistores tienen resistencia R y ambas baterías tienen valor . Solución: El primer paso para resolver un problema de circuitos es ver si es posible simplificar el circuito. Una simplificación común es asociar resistores que estén en serie o en paralelo, en un resistor equivalente. Otra simplificación consiste en redibujar el circuito con líneas rectas para observar de mejor manera qué resistores están en serie o paralelo. Para estar seguros, hay que marcar los nodos y asegurarnos que todo lo que llega también sale. Observando el circuito vemos que hay dos set de resistores en serie (cada uno con resistencia equivalente 2R) y luego éstos resistores equivalentes están en paralelo, con resistencia equivalente
1 Req.
1 2R
1 2R
1 R
Req.
R
Los otros dos resistores no están ni en serie o paralelo con otro resistor debido a que están en serie con las baterías (esto previene que no se encuentren en paralelo con el otro resistor) y tienen nodos sobre cada lado (esto previene que se encuentren en serie con otro resistor). Dibujando nuevamente el circuito de la izquierda. Ahora tenemos un circuito mucho más simple con dos lazos (NO se toma en cuenta el lazo que contiene el voltímetro ya que éste dispositivo tiene una resistencia muy grande, lo que nos asegura que no hay corriente a través del voltímetro, o más precisamente, tan pequeña que la despreciamos. Hay un par de métodos diferentes para resolver este circuito. En este ejemplo se utilizará el método de los lazos, creando dos lazos de corriente, como se indica en la figura de abajo a la izquierda. Aquí, la dirección de los lazos es arbitraria. Un método diferente es identificar cada ramal independientemente (corriente de ramal), figura de abajo a la derecha. Nuevamente, la dirección es arbitraria. Si la dirección no resulta Los gráficos de ambos métodos se muestran abajo:
Método de los lazos!
Método de mallas y nodos.
El primer método tiene preferencia ya que tenemos menos variables (2 en lugar de 3). Sin embargo, la ecuación extra que se tiene es solo producto de la conservación de la corriente (primera ley de Kirchhoff): I1 = I2 + I3 El siguiente paso es escribir las ecuaciones de los lazos (una por cada variable). Iniciando en un nodo y moviéndonos en la dirección de la corriente del lazo (esto es fácil si ud. mantiene esta convención) obtenemos:
I1 R (I2
( I1 I 2 ) R I1 ) R I 2 R
0 0
Combinando términos podemos volver a escribir las ecuaciones:
2 I1 R I 2 R 0 2 I 2 R I1 R 0 3
3I 2 R
0
I2
R
Note que la combinación de corrientes a través del resistor central es debido al hecho que ambas corrientes circulan a través de él. Si usted se mueve en la misma dirección en que fluye la corriente usted tendrá una caída de potencial, y tendrá una elevación de potencial si la corriente tiene dirección opuesta (por lo tanto I1-I2 en la primera ecuación, I2-I1 en la segunda). Queremos conocer I2, entonces multipliquemos la ecuación de abajo por 2 y luego las sumamos para eliminar I1:
2 I 2 R I1 R
0
I1
1 (2 I 2 R R
)
R
Esta es la lectura del amperímetro (con la corriente en la dirección mostrada en la figura, de derecha a izquierda). Podemos obtener la lectura del voltímetro de cualquiera de los tres ramales, pero resolvamos para I1 y lo obtenemos del ramal del centro: Puede ser sorprendente, las Corrientes son iguales y en direcciones contrarias y se cancelan (I3 = 0), significa que no hay diferencia de potencial entre los nodos a y b, el voltímetro leerá 0.
CIRCUITOS RC EN CORRIENTE CONTINUA
3. El circuito mostrado tiene inicialmente el capacitor descargado y el interruptor abierto. Al instante t = 0, el interruptor se cierra. Escriba todas las respuestas en términos de E, R, y C como sea necesario.
(a) A t 0 , inmediatamente después de que es cerrado el interruptor ¿cuál es la corriente I (0+ ) ? Considere aplicar la ley de los voltajes de Kirchhoff en el lazo que incluye la batería y el capacitor.
Vcap A, t
IR 0
0
Qcap
0
Vcap
IR
0
I (0 )
0
R
(b) Después de un tiempo muy largo, ¿cuál es el valor de la corriente I ? Cuando el capacitor está completamente cargado se comporta como un circuito abierto. Por lo tanto toda la corriente fluye a través de 1 . La corriente es en consecuencia 2
c) Después de un tiempo muy largo, ¿cuál es la carga Q sobre el capacitor? Considere la LVK que consiste del capacitor y un resistor.
I R
Vcap
0
Q 0 C Q R 0 2R C I R
Q
2
C
(c) Asuma Q(t ) Q (1 e Use dQ dt
I (0 ) 0
t
) nos da la carga sobre el capacitor en función del tiempo.
dQ I (0 ) dt 0 en RefectivaC ? Inicialmente NO hay flujo de corriente a través del resistor en paralelo con el capacitor, por lo tanto I(0) fluye enteramente a través del capacitor. La razón de cambio de la carga es la corriente, en consecuencia dQ 0 dt dQ dt 0 dQ dt
I 0 Q
d 1 e dt
Q 0
2 RC
t
Q 0
C 2
I (0 )
RC 2
Refectiva
R R 2
Esencialmente los dos resistores actúan como si ellos estuvieran en paralelo durante la operación de carga. Nosotros obtendríamos la misma constante de tiempo si descargamos
(d) Use la LVK para un lazo que incluya el capacitor y la batería para calcular I (t). Compruebe que sus respuestas son consistentes con los resultados de la parte (a) y (b).
Vcap
I
I
I
IR
0
Q IR 0 C 1 Q R C
1 R
R
1 EC 1 exp C 2 1
1 2
1 exp 2
2t RC
2t RC
2R
1 exp
2t RC
A t=0+, 1 exp
A t
, 1 exp
2t RC
2
2t RC
I
1
lo que está de acuerdo con la respuesta de (a)
R I
2R
lo que está de acuerdo con la respuesta de
(b)
4. El circuito de abajo tiene dos capacitores, tres resistores, una batería y dos interruptores. Los interruptores, S1 y S2, se encuentran abiertos y los capacitores están descargados. Al instante t = 0 los dos interruptores se cierran. a) Inmediatamente después de que los dos interruptores se cierran, ¿Cuál es la corriente I2? b) Después de que los interruptores permanecen cerrados por un tiempo muy largo, ¿cuál es la corriente que circula por la fuente?
Al instante posterior del cierre de los interruptores, los capacitores NO tienen carga, en consecuencia la diferencia de potencial entre sus placas es cero, los capacitores se comportan
los tres resistores se encuentran en paralelo con la fuente, en consecuencia la corriente en cada uno de ellos es:
I1 I2 I3
R1
18V 10
R2
18V 50
0.36 A
R3
18V 5
3.6 A
1.8 A
fuente t 0
1
2
3
5. El circuito de abajo tiene dos capacitores, tres resistores, una batería y dos interruptores. Los interruptores, S1 y S2, se encuentran abiertos y los capacitores están descargados. Al instante t = 0 los dos interruptores se cierran.
Después de que los interruptores permanecen cerrados por un tiempo muy largo, ¿cuál es la energía total U, almacenada en los capacitores C1 y C2? Después de un tiempo relativamente largo, los capacitores están cargados completamente y no permiten más paso de corriente entre sus placas, el circuito tiene la siguiente característica y la corriente circula como se muestra. La
energía
capacitor
almacenada
U
es
en
un
1 CV 2 , 2
la
diferencia de potencial capacitores es la misma 1 donde
R3
3
en 2
los R3 ,
.
I es la corriente en el circuito después de un tiempo relativamente largo, y su valor es:
I
R1 R3
18V 15
1.2 A En consecuencia
1
La energía almacenada por los capacitores será:
1 C1V12 2
1 C2V22 2
U total
U1 U 2
U total
1 1 (10)(10 6 )36 (20)(10 6 )36 =5.4x10-4 J 2 2
2
R3
=1.2x5=6V.
6. El circuito de abajo tiene dos capacitores, tres resistores, una batería y dos interruptores. Los interruptores, S1 y S2, se encuentran abiertos y los capacitores están descargados. Al instante t = 0 los dos interruptores se cierran.
Después de que los interruptores permanecen cerrados por un tiempo muy largo, al instante T=0 los dos interruptores se abren. Encuentre el instante t para el cual el voltaje VC2 a través del capacitor C2 disminuye a ¼ de su valor máximo inicial. Para el proceso de descarga partimos de la siguiente ecuación; donde Qo representa la carga inicial del capacitor. Si dividimos para C la expresión anterior tenemos:
Q C
Q0 e t / RC C
Vo 4
Vo e
ln(0.25)
V
t RC
Vo e
0.25 e
t RC
t RC
t RequiC2
( R2
t R3 )C2
