Ejercicios de métodos numéricos aplicados a la Ingeniería 1. El volumen V de un líquido contenido en un tanque esférico de radio r está relacionado con la altura h de un líquido por:
Determine h para r = 1m y V= 0.5 m3. SOLUCION: En primer lugar reemplazar los valores del radio y el volumen y luego expresamos la ecuación en función de h.
Una vez que tenemos la ecuación del volumen pasamos a aplicar cualquiera de los métodos numéricos vistos en clase, para este caso aplicaremos el método bisección y lo haremos con una tolerancia de 0.001%.
Metodo de Bisección f(h)= 0,5-(π*h^2*(3-h)/3) iteracion Xi 0 0 1 0,5 2 0,5 3 0,5 4 0,5 5 0,5 6 0,5 7 0,5 8 0,5 9 0,5 10 0,5 11 0,5 12 0,5 13 0,5 14 0,5 15 0,5 16 0,5
xi+1 1 1 0,75 0,625 0,5625 0,53125 0,515625 0,5078125 0,50390625 0,50195313 0,50097656 0,50048828 0,50024414 0,50012207 0,50006104 0,50003052 0,50001526
x 1= f(xi) 0,5 -0,15447917 -0,15447917 -0,15447917 -0,15447917 -0,15447917 -0,15447917 -0,15447917 -0,15447917 -0,15447917 -0,15447917 -0,15447917 -0,15447917 -0,15447917 -0,15447917 -0,15447917 -0,15447917
0 f(xi+1) -1,59433333 -1,59433333 -0,82532031 -0,47149251 -0,30761707 -0,22961005 -0,19167311 -0,17298176 -0,16370669 -0,15908696 -0,15678157 -0,15562999 -0,15505449 -0,1547668 -0,15462298 -0,15455107 -0,15451512
xr 0,5 0,75 0,625 0,5625 0,53125 0,515625 0,5078125 0,50390625 0,50195313 0,50097656 0,50048828 0,50024414 0,50012207 0,50006104 0,50003052 0,50001526 0,50000763
f(xr) 0,80685282 0,96231793 0,90499637 0,86213586 0,83622744 0,82199948 0,81454451 0,81072871 0,80879833 0,80782748 0,80734062 0,80709684 0,80697486 0,80691385 0,80688334 0,80686808 0,80686045
tol= 0,00001 x 2= 1 f(xi)*f(xr)<0 EA EA
Grafica de la función:
h
f(h) 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
0,5 0,46963217 0,38271733 0,2455385 0,06437867 -0,15447917 -0,404752 -0,68015683 -0,97441067 -1,2812305 -1,59433333
1 0,5 0 1 -0,5 -1 -1,5 -2
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
2. El desplazamiento de una estructura está definida por la siguiente ecuación para una oscilación amortiguada:
Donde k = 0.5 y
= 3. Use el método de Newton-Raphson y de la secante para determinar el tiempo requerido para que el
desplazamiento disminuya a 4, al
.
SOLUCIÓN: Cuando el desplazamiento disminuya a 4, la función que tendríamos es la siguiente:
Para proceder a resolver este ejercicio pasamos a reemplazar los valores de k y ser útil para resolver este ejercicio por el método numérico de Newton-Raphson.
para luego sacarle su primera derivada, la cual va a
)
Reemplazando en la fórmula para pasar reemplazar método de Newton-Raphson tendríamos:
Metodo de Newton-Raphson i
xi 1 2 3 4 5
0,5 0,31132657 0,31517358 0,31516608 0,31516608
f(xi) -3,5592785 0,07136177 -0,0001396 -5,1637E-10 0
Tol= 0,000001 f'(xi) EA EA < Tol -18,8647578 -18,5499628 0,18867343 NO -18,6220686 0,003847 NO -18,6219308 7,4965E-06 NO -18,6219308 2,7729E-11 SOLUCION
Para el método de la secante necesitamos tener dos puntos, de preferencia q no se encuentren muy distantes, para conseguir la solución al menor número de iteraciones.
Metodo de la secante Iteración
xi-1 1 2
Tol= 0,0001 xi f(xi-1) f(xi) xi+1 EA EA < Tol 0,3 0,4 0,28019726 -1,6266125 0,31469456 0,08530544 NO 0,4 0,31469456 -1,6266125 0,00877861 0,31515247 0,00045791 NO
Gráfica de la función:
t
f(t) 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
0,5 0,46963217 0,38271733 0,2455385 0,06437867 -0,15447917 -0,404752 -0,68015683 -0,97441067 -1,2812305
0,6 0,4 0,2
0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1 -1,2
-1,4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 Series1
3. Resuelva el circuito de la figura para las corrientes en cada alambre. Use el método de matriz inversa.
SOLUCION: Para resolver este circuito y poder hallar sus respectivas intensidades de corrientes se plantean las ecuaciones de la ley de kirchoff para cada nodo y malla respectivamente, siendo estas: Ecuaciones de la ley de kirchoff para la corriente
Ecuaciones de la ley de kirchoff para la corriente
Luego planteamos nuestro sistema de ecuaciones como matrices:
(
)(
(
)
)
Resolviendo el sistema de ecuaciones: Matriz A 1 -1 -1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 5 20 0 0 0 0 0 20
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 5 0 -10 0 0 0 0 0 0 -20 -5 -5 0 0 -10 0 0 0 0 0 0 0 10 50 10 0 15 0 0 0 0 0 0 50 0 0 0 0
Matriz inversa 0 -1 -0 -0 0 0,1 0,1 0,4 1 0,8 0,6 0,7 0 -0 0,3 0 0 0,2 -0 -0 0 -0 -1 0 0 -0 -0 0,5 0 -0 -0 -0 0 0,1 -0 0,1 0 0,1 0,4 0,1 0 0,1 0,4 0,1 0 -0 -0 -0
B -1 0,2 0,7 0 -1 0 -0 -0 0,2 0,2 0,2 -0
-0 0 0,1 0 0,5 0 0,2 0 -0 0 0,2 0 -0 0 -0 0 -0 0 0,5 0 0,5 0 -0 -1
-0 0,1 0,5 0,2 -0 0,2 -0 -0 -0 -1 0,5 -0
0,1 0 -0 -0 0 -0 -0 -0 0 0 0 -0
0 0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 0 0 -0
0 -0 -0 -0 0 -0 0 0 0 0 0 -0
-0 0 0 0 -0 0 0 0 -0 -0 -0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 70
i=A-1*B -2,39767779 0,98548621 3,38316401 0,89404935 -1,50362845 0,89404935 0,0203193 1,00580552 -1,48330914 -2,37735849 -2,37735849 3,38316401
