MÉTODOS NUMÉRICOS APLICADOS A LA INGENIERÍA MÉTODOS NUMÉRICOS APLICADOS A LA INGENIERÍA

MÉTODOS MÉTODOS NUMÉRICOS NUMÉRICOS ....

-

APLICADOS APLICADOS A LA INGENIERÍA INGENIERÍA

Antonio Nieves Antonio Nieves Federico Federico C. Domínguez Domínguez

Métodos NUDléricos Numéricos Aplicados Aplicados a la Ingeniería Ingeniería

Antonio Nieves Nieves Hurtado Hurtado Antonio Federico C. Domínguez Domínguez Sánchez Sánchez Federico Profesores de la Academia Matemáticas Aplicadas Profesores Academia de Matemáticas Aplicadas ES/Q/E-/PN ESIQIE-IPN

QUINTA REIMPRESIÓN REIMPRESIÓN QUINTA MÉXICO,2006 MÉXICO, 2006

-/

I I

COMPAÑÍA COMPAÑÍA EDITORIAL EDITORIAL CONTINENTAL CONTINENTAL

;:a

Para establecer establecer comunicación comunicación con con nosotros nosotros puede puede hacerlo hacerlo por: por: correo: correo: Renacimiento 180, Col. Col. San San Juan Juan Renacimiento 180, Tlihuaca, Azcapotzalco, Azcapotzalco, Tlihuaca, 02400, 02400, México, México, D.F. fax pedidos: pedidos: (01 55) 5561 5231 5561 4063·5561 4063·5561

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Dirección Dirección editorüü: editorial: Javier Javier Enrique Enrique Callejas Callejas Coordinación Rosas Coordinación editorial: editorial: Elisa Elisa Pecina Pecina Rosas Diseño Luna Diseño de interiores:Guillermo interiores:Guillermo Rodríguez Rodríguez Luna Diseño Romo Diseño de portada: portada: Perla Perla Alejandra Alejandra López López Romo Colaboración especial: especial: Colaboración DI. Guillermo Guillermo Marroquín Marroquín Suárez Suárez Dr. Profesor Aplicadas Profesor de la Academia Academia de Matemáticas Matemáticas Aplicadas ESIQIE - Instituto Instituto Politécnico Politécnico Nacional Nacional ESIQIE

Revisión Revisión técnica: técnica: M.C. José José Luis Luis Turriza Turriza M.C. Profesor de Matemáticas Matemáticas Profesor ESIME-IPN ESIME-IPN Métodos Métodos Numéricos, Numéricos, aplicados aplicados a la ingeniería ingeniería Derechos Derechos reservados reservados respecto respecto a la segunda segunda edición: edición: 2002, Antonio Nieves Hurtado Hurtado / Federico Sánchez © 1995, 2002, Antonio Nieves Federico C. Donúnguez Dornínguez Sánchez COMPAÑÍA EDITORIAL EDITORIAL CONTINENTAL, CONTINENTAL, S.A. S.A. DE C.V.. © 1995, COMPAÑÍA DE C.V 2002, GRUPO GRUPO PATRIA PATRIA CULTURAL, CULTURAL, S.A. S.A. DE © 2002, DE C.V. C.V. bajo el sello sello de Compañía Compañía Editorial Editorial Continental Continental bajo Renacimiento Tlihuaca, Renacimiento 180, 180, Colonia Colonia San San Juan Juan Tlihuaca, Delegación México, D.F. D.F. Delegación Azcapotzalco, Azcapotzalco, Código Código Postal Postal 02400, 02400, México, Miembro de la Cámara Cámara Nacional Nacional de la Industria Miembro Industria Editorial Editorial Registro núm. núm. 43 Registro

ISBN ISBN 970-24-0258-1 970-24-0258-1 (segunda (segunda edición) edición) (ISBN primera edición) (ISBN 968-26-1260-8 968-26-1260-8 primera edición) Queda transmisión total total o parcial parcial del Queda prohibida prohibida la reproducción reproducción o transmisión del contecontenido nido de la presente presente obra obra en cualesquiera cualesquiera formas, formas, sean sean electrónicas electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento consentimiento previo previo y por escrito del editor. editor. por escrito mecánicas, Impreso Impreso en México México Printed Printed in Mexico Mexico

Primera edición: 1995 Primera Segunda Segunda edición: 2002 Cuarta Cuarta reimpresión: reimpresión: 2005 2005 Quinta Quinta reimpresión: reimpresión: 2006 2006

·"F'

los Eggli: Eggli: AA los Violet (Mom), (Mom), Fred, Fred, Violet Josephine, Richard y David. Josephine, Richard y David. Gracias Gracias Antonio Antonio mis hijos hijosAlura, Alura, AA mis Alejandrayy Federico, Federico, Alejandra mis hermanos, hermanos, yy aa aa mis la memoria de mis mispadres. padres. la memoria de Federico Federico

CONTENIDO

PREFACIO

1

2

xi

ERRORES

1

1.1 1.2 1.3 1.4

2

Sistema numérico Manejo de números en la computadora

Ejercicios

8 11 19 20

Problemas

24

Errores Algoritmos y estabilidad

SOLUCiÓN 2.1

DE ECUACIONES NO LINEALES

Método de punto fijo ALGORITMO

2.2

Método de Newton-Raphson ALGORITMO

2.3

2.2

Método de Newton-Raphson

Método de la secante ALGORITMO

2.4

2. 1 Método de punto fUo

2.3

Método de la secante

Métod~· de posición falsa ALGORITMO

2.4

Método de posición falsa

29

30 35 44 47 47 50 51 54

2.5

Método de la bisecdón

54

2.6

Problemas de los métodos de dos puntos y orden de convergencia

56

2.7

Aceleración de convergencia ALGORITMO

2.8 2.9

2.5

Método de Steffensen

59 62

Búsqueda de valores iniciales

63

Raíces complejas

69 76

ALGORITMO

2.6

Método de Mü//er

2.10 Polinomios y sus ecuaciones ALGORITMO ALGORITMO

2.7 2.8

Método de Horner Método de Horner iterado

77 79 82

Ejercicios

90

Problemas

117

viii

Métodos

3

numéricos

a la ingeniería

MATRICES y SISTEMAS DE. ECUACIONES LINEALES 3.1

Matrices ALGORITMO

3.1

Multiplicación

Vectores

3.3

Independencia y ortogonaUzación de vectores

3.4

ALGORITMO ALGORITMO ALGORITMO ALGORITMO ALGORITMO .ALGORITMO ALGORITMO

3.5

3.2

Ortogonalización

de Gram Schmidt

lineales

3.3 3.4

Eliminación de Gauss Eliminación de Gauss con pivoteo 3.5 Método de Thomas 3.6 Factorización directa 3.7 Factorización con pivoteo 3.8 Método de Doolitle 3.9 Factorización de matrices simétricas 3.10 Método de Cholesky

Métodos iterativos ALGORITMO

3.6

141

Solución de sistemas de ecuaciones ALGORITMO

3.11 Métodos de Jacobi y Gauss-Seidel

4.2

228

Problemas

238

Dificultades en la solución de sistemas de ecuaciones no lineales Método de punto fijo multivariable

4.2


4.3

multivariable

modificado


modificado

Método de Broyden 4.4

Método de Broyden

Aceleración de convergencia ALGORITMO

4.7

Método de punto fUo multivariable


ALGORITMO

4.6

4.1


ALGORITMO

4.5

206 216

Ejercicios

ALGORITMO

4.4

162 168 172 181 187 188 191 193 196

222

ALGORITMO

4.3

149 159

Valores y vectores propios

SISTEMAS DE ECUACIONES NO L1NE.ALES 4 .•

129

130 136

de matrices

3.2

ALGORITMO

4

aplicados

4.5

Método del descenso de máxima pendiente

255

256 259 265 266 273 275 278 279 283 283 297

Método de Bairstow

299

Ejercicios

304

Problemas

316

-----

Contenido

5

APROXIMACiÓN

FUNCIONAL E INTERPOLACIÓN

332

s.r

pollnomlal simple e interpolación

325 328

Aproximación

5. 1 Aproximación

ALGORITMO

5.2 5.3

5.2

Diferencias

divididas

Aproximación 5.4

ALGORITMO

334 338

de Newton

polinomial

328 333

Interpolación polinomial de Newton

Polinomio de Newton en diferencias

5.6

Estimación de errores en la aproximación

5.7

Aproximación

pollnomlal segmentaria

356

Aproximación

(polinomial con mínimos cuadrados

362 369

5.5 Aproximación

ALGORITMO

5.9

finitas

338 342

5.5

5.8

con mínimos cuadrados

343 352

Aproximación~ Jllul!iline~1 con ~ínimos _cuadr~dos

370

Ejercicios

373

Problemas

382

INTEGRACiÓN y DIFERENCIACiÓN NUMÉRICA

393

6.t

395 403 406

Métodos de Newton Cotes 6.1 6.2

ALGORITMO ALGORITMO

6.2 6.3

6.3

6.4

Diferenciación 6.5

ALGORITMO

7.2

numérica Derivación de polinomios de Lagrange

422 428 429 437 437

Problemas

448

DlfE.RENCIALES ORDINARIAS

Formulación del problema Método de Euler ALGORITMO

7.3

Integración doble por Simpson 1/3

415 421

Ejercicios

ECUACIONES 7.t

Cuadratura de Gauss-Legrange

Integrales múltiples ALGORITMO

6.4

Método trapezoidal compuesto Método de Simpson compuesto

Cuadratura de Gauss ALGORITMO

7

lnterpotactón de polinomios de Lagrange

5.3 Tabla de diferencias divididas

ALGORITMO

5.4

polinomial simple

Polinomios de Lagrange ALGORITMO

6

ix

Método

7.1

Método de Euler

de Taylor

de valor inicial

457

459 460 463 463

Métodos

X

7.4

numéricos

8

7.3

7.4

8.2 8.3

474 484

7.5

Método de Runge-Kutta de cuarto orden para un sistema de dos ecuaciones diferenciales ordinarias

485 491 492

Ejercicios

496

Problemas

518

DIFERENCIALES PARCIALES

528

Aproximación de derivadas por diferencias finitas

532

Solución de problemas de calor unldlmenslonal

536 541 551

8.1 8.2

Método explícito Método implícito

Convergencia (método explícito), estabilidad y consistencia 553 Método de Crank-Nlcholson ALGORITMO

8.3

Método de Crank-Nicholson

556 560

Otros métodos para resolver el problema de conducción de calor en unidimensional

561

8.7

Solución de la ecuación de onda. unidimensional

563

8.8

Tipos de condiciones frontera en procesos físicos y tratamientos de condiciones frontera irregulares

569

Ejercicios

573

Problemas

579

8.6

RESPUESTAS A PROBLEMAS SELECCIONADOS

585

,.#

IN DICE

ANALíTICO

01

527

Obtención de ecuaclones diferenciales parciales a partir de la modelación de fenómenos físicos (ecuación de calor y ecuación de onda)

ALGORITMO

8.5

469 473

formulación del problema de valores en la frontera

ALGORITMO

8.4

Método predictor-corrector

diferenciales ordinarias de orden superior y sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias

ECUACIONES 8 .•

Método de Runge-Kutta de cuarto orden

466 468

Ecuaclones ALGORITMO

7.8

Método de Euler modificado

Métodos de predicción-corrección ALGORITMO

7.7

7.2

Métodos de Runge-Kutta ALGORITMO

7.6

a la ingeniería

Métodos de Euler modificado ALGORITMO

7.5

aplicados

597

1.11

66 68 69 73

PREFACIO PREFACIO

74 84 85 91

Objetivo Objetivo del del libro

92 96 18

27

28

El análisis dialéctica entre matemático cualitaticualitatianálisis numérico numérico y sus métodos métodos son una una dialéctica entre el análisis análisis matemático vo y el análisis ejemplo, que bajo bajo ciertas ciertas análisis matemático matemático cuantitativo. cuantitativo. El primero primero nos dice, por por ejemplo, condiciones segundo complementa complementa condiciones algo algo existe, existe, que es o no único, único, etcétera, etcétera, mientras mientras que que el segundo primero, permitiendo permitiendo calcular calcular aproximadamente aproximadamente el valor valor de aquello aquello que al primero, que existe. existe. El análisis tradicionales de cálculo, cálculo, análisis numérico numérico es pues: pues: una reflexión reflexión sobre sobre los cursos cursos tradicionales álgebra en una una serie serie de métodos métodos o álgebra lineal, lineal, ecuaciones ecuaciones diferenciales diferenciales entre entre otros, otros, concretando concretando en algoritmos, resultados numéricos numéricos algoritmos, cuya cuya característica característica principal principal es la posibilidad posibilidad de obtener obtener resultados de problemas tipo a partir número finito finito de problemas matemáticos matemáticos de cualquier cualquier tipo partir de números números y un número operaciones finalidad de este uso racional racional de dichos dichos operaciones aritméticas. aritméticas. La La finalidad este libro libro es el estudio estudio y uso algoritmos algoritmo s en diferentes diferentes áreas áreas de ingeniería ingeniería y ciencias. ciencias.

32 36

Enfoque Enfoque del libro

1 1

6

o

3

9 3 9

5

7

La noción concepto muy muy noción de algoritmo algoritmo es un concepto concepto clásico clásico en las matemáticas. matemáticas. Es un concepto anterior Por ejemplo, ejemplo, en el PapiPapianterior a la aparición aparición de las computadoras computadoras yde yde las calculadoras. calculadoras. Por ro de Ahmes técnica de posición posición Ahmes o de Rhind Rhind (de (de hacia hacia el año 1650 1650 a. C.) se encuentra encuentra la técnica falsa suanshu (el libro libro más más falsa aplicada aplicada a la solución solución de ecuaciones ecuaciones lineales lineales y, en el Jiuzhang Jiuzhang suanshu famoso sistemas de ecuaciones ecuaciones lifamoso de la matemática matemática china china del año 200 200 a. C.) se resolvían resolvían sistemas neales con con el método método conocido conocido hoy en día como como eliminación eliminación de Gauss. neales GaU'ss. En realidad, realidad, en la enseñanza enseñanza básica básica tradicional tradicional todos todos aprendimos aprendimos algoritmos En algoritmos como como el división, la multiplicación multiplicación y la extracción extracción de raíces raíces cuadradas. cuadradas. Con de la división, Con el transcurso transcurso del tiempo, más conocidas conocidas y tiempo, los dos primeros primeros se convierten convierten generalmente generalmente en las operaciones operaciones más practicadas tercero, en la la operaoperapracticadas (aunque (aunque quizás quizás también, también, en las más más incomprendidas) incomprendidas) y, el tercero, ción ción más fácilmente fácilmente olvidada. olvidada. A fin de no caer sin sentido, sentido, caer en un curso curso más más de recetas recetas matemáticas matemáticas desvinculadas desvinculadas y sin hemos material de este ideas fundamentales: fundamentales: el punto punto hemos desarrollado desarrollado el material este libro libro en tomo torno a tres ideas eliminación de Gauss Gauss y la aproximación aproximación de funciones. funciones. Para Para instrumentarlas fijo, la eliminación instrumentarlas empleaempleamos como como recursos didácticos, en cada cada método método o situación, situación, diferentes diferentes sistemas mos recursos didácticos, sistemas de reprerepresentación: paso entre entre ellos. ellos. Con Con el sentación: el gráfico, gráfico, el tabular tabular y el algebraico, algebraico, y promovemos promovemos el paso que el lector lector vea vea claramente claramente la relación relación entre entre los métodos métodos que que estudia fin de que estudia en en el libro libro y su aplicación capítulo alrededor alrededor de diez diez aplicación en el contexto contexto real, real, se resuelven resuelven al final final de cada cada capítulo más problemas problemas de diferentes diferentes áreas áreas de aplicación. aplicación. De De igual igual manera, manera, hacemos o más hacemos énfasis énfasis en el uso así como como la la importancia importancia de uso de herramientas herramientas como como la calculadora calculadora y la computadora computadora así la visualización uno de estos estos aspectos aspectos los los visualización en los problemas. problemas. Dada Dada la importancia importancia de cada cada uno trataremos trataremos con cierto cierto detalle detalle a continuación. continuación.

p

xii

Métodos Métodos numéricos numéricos aplicados aplicados a a la ingeniería ingeniería

Los métodos métodos numéricos numéricos y las herramientas herramientas Los computaclonales computacionales COMPUTADORA COMPUTADORA

Dado que que cada cada algoritmo algoritmo implica implica numerosas numerosas operaciones operaciones lógicas, lógicas, aritméticas aritméticas y en múltimúltiDado ples casos para el estudio binoples casos graficaciones, graficaciones, la computadora computadora es fundamental fundamental para estudio de éstos. éstos. El binomio computadora-lenguaje computadora-lenguaje alto nivel (Fortran, Basic, Basic, C y otros) otros) ha sido sido utilizado utilizado mio de alto nivel (Fortran, durante aprendizaje de los métodos durante muchos muchos años años para para la enseñanza enseñanza y el aprendizaje métodos numéricos. numéricos. Y si bien también es cierto bien esta esta fórmula fórmula ha sido sido exitosa exitosa y sigue sigue aún vigente, vigente, también cierto que que la aparición aparición de paquetes Matlab (por paquetes comerciales comerciales como como Mathcad, Mathcad, Maple, Maple, Matlab (por citar citar algunos algunos de los más más conocidos) nocidos) permiten permiten nuevos nuevos acercamientos acercamientos al estudio estudio de los métodos métodos numéricos. numéricos. Por Por ejemejemplo, han han permitido permitido que que la programación programación sea sea más más sencilla sencilla y rápida rápida y han han facilitado facilitado además además la construcción construcción directa directa de gráficas gráficas en dos y tres dimensiones, dimensiones, así como como la exploración exploración de conjeturas conjeturas y la solución solución numérica numérica directa directa de problemas problemas matemáticos. matemáticos. En respuesta libro con respuesta a estas estas dos vertientes, vertientes, se acompaña acompaña el libro con un CD donde donde se han han mantenido mantenido los programas programas fuente fuente de la primera primera edición edición (Fortran, (Fortran, Pascal Pascal y C) y se han han inincorporado programas en Visual problemas utiuticorporado programas Visual Basic. Basic. En numerosos numerosos ejemplos, ejemplos, ejercicios ejercicios y problemas lizamos paquetes mencionados lizamos o sugerimos sugerimos además además el empleo empleo de los paquetes mencionados arriba. arriba.

Pr4

CALCULADORAS GRAFICADORAS CALCULADORAS GRAFICADORAS

Las hoy en día Las calculadoras calculadoras graficadoras graficadoras (como (como la TI-89, TI-89, TI-92, TI-92, HP-48 HP-48 o HP-49) HP-49) disponen disponen hoy de poderosos poderosos elementos elementos como: como: a) por sus siglas permite mamaa) Un Un sistema sistema algebraico algebraico computarizado computarizado (CAS (CAS por siglas en inglés) inglés) que que permite nipulaciones simbólicas y soluciones soluciones analíticas analíticas de problemas matemáticos. nipulaciones simbólicas problemas matemáticos. b) La graficación tres dimensiones zoom y el trace. trace. graficación en dos y tres dimensiones con con facilidades facilidades como como el zoom La posibilidad resolver numéricamente matemáticos. c) La posibilidad de resolver numéricamente problemas problemas matemáticos. d) La posibilidad través de dicha dicha programación recursos el) posibilidad de programar programar y utilizar utilizar a través programación los recursos mencionados en los incisos incisos anteriores, anteriores, convirtiéndose convirtiéndose así el conjunto conjunto lenguaje-recurlenguaje-recurmencionados una henamienta herramienta aún más más poderosa lenguaje procedural como Basic Basic o C. sos en una poderosa que un lenguaje procedural como

Finalmente, bajo costo, portabilidad y posibilidades posibilidades de comunicación con sitios Finalmente, su bajo costo, portabilidad comunicación con sitios Web donde posible actualizar, programas e información, permiten donde es posible actualizar, intercambiar intercambiar y comprar comprar programas información, permiten plantear un curso una combinación plantear curso de métodos métodos numéricos numéricos sustentado sustentado en la calculadora calculadora o una combinación de calculadora calculadora y computadora. computadora. A fin de apoyar apoyar esta esta acción acción hemos hemos incorporado incorporado en muchos muchos de ejemplos y ejercicios ejercicios programas TI-92. los ejemplos programas en la TI-92.

Visualización Visualización A raíz posibilidades gráficas raíz de las posibilidades gráficas que que ofrecen ofrecen las computadoras computadoras y las calculadoras, calculadoras, la visualización recurso natural natural del ser posualización ( un recurso ser humano) humano) ha tomado tomado mayor mayor importancia importancia y se ha podido dido utilizar utilizar en las matemáticas matemáticas de diferentes diferentes maneras maneras como: como: en la aprehensión aprehensión de los conceptos, conceptos, en la solución solución de problemas, problemas, en la ilustración ilustración de los métodos métodos y en general general en darle darle un aspecto aspecto dinámico dinámico a diversas diversas situaciones situaciones físicas. físicas. Así, Así, hemos hemos intentado intentado aprovechar aprovechar cada cada uno uno de estos estos aspectos aspectos y aplicarlos aplicarlos a lo largo largo del libro libro siempre siempre que que fue posible. posible. Por Por ejemplo, presentan ilustraciones para resolejemplo, en el capítulo capítulo 4, se presentan ilustraciones novedosas novedosas de los métodos métodos para resolver han puesto puesto en color ver sistemas sistemas de ecuaciones ecuaciones no lineales lineales (inclusive (inclusive se han color varias varias de esas esas grágrá-

Se

Prefacio Prefacio

xiii

apreciación de las intersecciones intersecciones de superficies superficies y de las raíficas a fin de tener ficas tener una una mejor mejor apreciación raíces), conceptos abstractos método de ces), ilustraciones ilustraciones de conceptos abstractas como como el criterio criterio de convergencia convergencia del del método punto fijo univariable univariable y la ponderación ponderación de pendientes pendientes en los métodos métodos de Runge-Kutta. punto Runge-Kutta. Además se incluyen varios ejercicios Visual Basic Basic donde Además incluyen varios ejercicios en en Visual donde se simula simula algún algún fenómeno fenómeno como el de crecimiento poblaciones (ejercicio mo crecimiento de poblaciones (ejercicio 7.13), 7.13), amortiguación amortiguación en en choques choques (ejercicio (ejercicio 7.11) una cuerda vibrante (ejemplo últimos se puepue7.11) y el desplazamiento desplazamiento de una cuerda vibrante (ejemplo 8.5). En En estos estos últimos den resultados numéricos numéricos en tiempo tiempo real real y la gráfica van generando den observar observar los resultados gráfica que que van generando e incluso modificar los parámetros parámetros para para hacer hacer exploraciones propias. Todos cluso modificar exploraciones propias. Todos ellos ellos aparecen aparecen en el CD CD y se identifican identifican con con el icono icono correspondiente. correspondiente.

Prerrequisitos Prerrequlsftos Generalmente los cursos cursos de métodos siguen a los de cálculo Generalmente métodos numéricos numéricos siguen cálculo en una una variable, variable, el de ecuaciones programación. No No obstante, ecuaciones diferenciales diferenciales ordinarias ordinarias y el el'' de programación. obstante, consideramos consideramos sólo los cursos cursos de cálculo cálculo y de programación como prerrequisitos. Los conocimientos sólo programación como prerrequisitos. Los conocimientos de álgebra requeridos así como básicos para para estudiar técnicas de la álgebra lineal lineal requeridos como los elementos elementos básicos estudiar las técnicas ecuaciones parciales, se exponen bien ecuaciones diferenciales diferenciales parciales, exponen en los capítulos capítulos correspondientes. correspondientes. Si bien los conceptos técnicas analíticas benéconceptos y técnicas analíticas de las ecuaciones ecuaciones diferenciales diferenciales ordinarias ordinarias serían serían benéficos métodos de este material inficos y complementarios complementarios con con los métodos este curso, curso, no son, son, sin embargo, embargo, material indispensable. dispensable.

Secuencias Secuencias sugeridas sugeridas Como tres ideas Como se dijo dijo antes, antes, el libro libro se desarrolla desarrolla alrededor alrededor de tres ideas matemáticas matemáticas fundamenfundamentales: punto punto fijo, eliminación Las dos primeras primeras se tales: eliminación de Gauss Gauss y aproximación aproximación de funciones funciones. . Las estudian respectivamente, y junto junto con capítulo 4 constituyen estudian en los capítulos capítulos 2 y 3, respectivamente, con el capítulo constituyen la parte algebraica Un primer primer curso curso (semestral) métodos numéricos numéricos podría podría orgaparte algebraica del libro. libro. Un (semestral) de métodos organizarse con con los primeros primeros cuatro las secciones nizarse cuatro capítulos capítulos del libro, libro, seleccionando seleccionando las secciones que que correscorrespondan a su programa programa de estudios necesidades específicas pondan estudios o a las necesidades específicas del curso. curso. La tercera tercera idea matemática clave La idea matemática clave en el libro libro es la de aproximación aproximación de funciones, funciones, la cual presenta en el capítulo material de análisis: cual se presenta capítulo 5 y sustenta sustenta el material análisis: integración integración y derivaderivación numérica (capítulo más adelante base de la parte parte de dinámica: ción numérica (capítulo 6), y más adelante será será la base dinámica: ecuacioecuacioparciales (capítulos respectivamente) . De De este modo nes diferenciales diferenciales ordinarias ordinarias y parciales (capítulos 7 y 8, respectivamente). este modo un curso curso semestral semestral podría configurarse con con los capítulos capítulos 1,5,6,7 1,5,6,7 o bien 1,5,6,7 Y 8 (ver (ver podría configurarse bien 1,5,6,7 red de temas temas e interrelación). red interrelación). Debido a esto esto y al hecho que algunos algunos tecnológicos sólo tiene Debido hecho de que tecnológicos y universidades universidades sólo tiene un curso un semestre métodos numéricos, numéricos, podría podría elaborarse una secuencia curso de un semestre de métodos elaborarse éste éste con con una secuencia cocobien 1,2,5,6, mo capítulos capítulos 1,2,3,5 1,2,3,5 o bien 1,2,5,6, por por ejemplo. ejemplo. Finalmente, que cualquiera cualquiera que que sea sea la secuencia secuencia y las secsecFinalmente, recomendamos recomendamos al maestro maestro que ciones una de ellas, trabaje con resueltos de ficiones elegidas elegidas en cada cada una ellas, se discuta discuta y trabaje con los ejemplos ejemplos resueltos nal de cada cada capítulo. capítulo.

---------------_._--==~-------------------------------~¿ ..--------~ xiv

Métodos numéricos

aplicados a la ingeniería

Red de temas e interrelación Capítulo 1 Errores

I

~

~ Capítulo 2 Solución de ecuaciones no lineales

Capítulo 3 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

,

~

Capítulo 4 Sistemas de ecuaciones no lineales

t Capítulo 5 Aproximación funcional e interpolación

I

1 Capítulo 8 Ecuaciones diferenciales

___ .•.

Capítulo 6 Integración y diferenciación numérica

t

1

Capítulo 7 Ecuaciones diferenciales ordinarias

parciales

Dependencia

en requisitos básicos y mecánica de cálculo de los algoritmo s

Dependencia

solamente de la mecánica de cálculo de los algoritmos

Cambios esenciales en esta edición La mayoría de estos cambios responden a sugerencias de profesores que imparten métodos numéricos en diferentes instituciones del país. • A dónde nos dirigimos. Se inicia cada capítulo con una introducción donde se describe brevemente qué estudiaremos, cómo lo vamos a hacer, qué relación guarda el material con el de los demás capítulos y, algunas veces, el tipo de problemas que pueden resolverse. Guiones de Matlab. Se incluyen en el libro y en la carpeta Software de cada capítulo del CD guiones de Matlab para distintos ejercicios, ejemplos y problemas. • Programas en la TI-92. A lo largo del libro se dan programas para la TI-92. • Programas en Visual Basic. A fin de aprovechar los aspectos visuales de los lenguajes actuales, en el CD se proporcionan programas en Visual Basic que pueden ser modificados para adaptarlos a otras situaciones. • Nuevos ejemplos, ejercicios y problemas. Se han adicionado ejercicios y problemas de aplicación para darle mayor versatilidad al material. • Soluciones a ejemplos y ejercicios en Matlab, Mathcad y Mathematica en el CD. • Sección de valores y vectores propios. El material de valores y vectores propios que aparecía originalmente disperso se ha organizado como la sección 3.6.

M.

Prefacio Prefacio

XV XV

valores a la frontera. ha incorporado donSección de problemas • Sección problemas de valores frontera. Se ha incorporado la sección sección 7.7 7.7 donestudian ecuaciones ecuaciones diferenciales diferenciales ordinarias ordinarias con con valores de se estudian valores a la la frontera. frontera . Bairstow. Se ha incorporado incorporado el método método de Bairstow para encontrar • Método Método de Bairstow. Bairstow para encontrar raíces raíces ecuaciones polinomiales polinomiales en la sección sección 4.7 como como una una aplicación de ecuaciones aplicación de las técnicas técnicas de solución de ecuaciones ecuaciones no lineales. lineales. solución Ecuación de onda onda unidimensional. unidimensional. En la nueva nueva sección sección 8.7 se resuelve • Ecuación resuelve la ecuación ecuación de onda de modo modo de trabajar trabajar con con ecuaciones hiperbólicas y experimentar onda ecuaciones hiperbólicas experimentar con con el fenómefenómevibración de una cuerda. cuerda. no de vibración utilizados en la segunda segunda edición. edición. El libro se rediseñó rediseñó íntegramente • leonas Iconos utilizados íntegramente para para facilitar facilitar lectura. En patticular, particular, se incluyeron incluyeron los iconos que aparecen su lectura. lo~ iconos aparecen a continuación continuación para para permitir al lector lector identificar identificar con rapidez rapidez los nuevos nuevos apoyos apoyos con los que mitir que cuenta cuenta el libro. libro. Guiones de Matlab. Matlab. Guiones

liiiI liiiI ~ ~

Programas para para la calculadora calculadora TI-92. TI-92. Programas Indica un programa Basic que se ha incluido incluido el! Indica programa en Visual Basic en el CD CD y que le ayudan ayudan solución de ese ejercicio ejercicio o ejemplo. ejemplo. en la solución solución se incluye incluye en el CD CD (en Mathcad, Mathcad, Matlab La solución Matlab y Mathematica). Mathematica).

adicionales Materiales adicionales

tJ

diseñado especialmente especialmente para para la segunda segunda edición edición con: con: CD diseñado Programas fuente fuente en Visual Visual Basic Basic y sus respectivos respectivos ejecutables • Programas ejecutables que que corren corren en WinWindows 95 o posterior para la solución solución de ejemplos ejemplos y ejercicios. ejercicios. dows posterior para Documentos de Mathcad Mathcad y guiones guiones de Matlab. Matlab. Los Los documentos documentos en Mathcad • Documentos Mathcad permiten permiten darle un sentido sentido exploratorio exploratorio a los métodos métodos numéricos numéricos y los guiones darle guiones segundos segundos acceso acceso paquetes más más poderosos poderosos para para resolver resolver problemas problemas matemáticos. a uno de los paquetes matemáticos. Algoritrnos, descripción descripción de los programas programas de cómputo cómputo yy explicaciones • Algoritmos, explicaciones detalladas detalladas de su uso. Ligas a sitios sitios donde donde el lector lector encontrará encontrará tutoriales tutoriales de Mathcad, • Ligas Mathcad, Matlab Matlab y MathematiMathematiea, en los que que podrá podrá aprender aprender a usar usar estos estos paquetes. paquetes. ca, Sugerencias de empleo empleo de software software comercial comercial (Mathcad (Mathcad y Matlab, • Sugerencias Matlab, Mathematica) Mathematica) para para resolver un gran gran número número de ejemplos ejemplos y ejercicios. ejercicios. resolver

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XVI

Métodos Métodos numéricos numéricos aplicados aplicados a a la .ingeniería

Agradecimientos Agradecimientos

eA

Esta obra obra tiene tiene su origen origen en apuntes apuntes para para los cursos cursos de métodos Esta métodos numéricos numéricos en la la carrera carrera de Ingeniero Nacional, desarrollados desarrollados durante dumnte una Ingeniero Químico Químico Industrial Industrial del Instituto Instituto Politécnico Politécnico Nacional, estancia Celaya, y posteriormente, posteriormente, a raíz raíz de estancia de año sabático sabático en el Instituto Instituto Tecnológico Tecnológico de Celaya, un certamen una propuesta que certamen organizado organizado por por el propio propio IPN, IPN, se convirtieron convirtieron en una propuesta de libro libro que ganó Politécnico en 1984. 1984. Desde Desde entonentonganó el primer primer lugar lugar en el Primer Primer Certamen Certamen Editorial Editorial Politécnico ces, con como texto texto para para estos estos cursos cursos en difedifecon actualizaciones actualizaciones continuas, continuas, ha ha sido utilizado utilizado como rentes Instituto Politécnico Politécnico Nacional Nacional la' la' rentes instituciones instituciones del país. país. Los Los autores autores agradece~ agradece~ al Instituto facilidad publicara. facilidad que que otorgó otorgó para para que que la Editorial Editorial CECSA CECSA lo publicara. Agradecemos que en distintas distintas formas formas colaboraron colaboraron papaAgradecemos también también a las muchas muchas personas personas que ra la realización Guillermo Marroquín Marroquín Suárez por el mamarealización de este este libro. libro. En. En, especial especial al Dr. Dr. Guillermo Suárez por terial, un año año aportó aportó a la la elaboración elaboración de los los terial, ideas ideas y colaboración colaboración intensa intensa que que durante durante un capítulos un enfoque enfoque interesante interesante de aplicación aplicación al capítulos 5 a 8; su valiosa valiosa ayuda ayuda permitió permitió darle darle un material enriquecieron el análisis análisis de los los material matemático; matemático; sus observaciones observaciones a las soluciones soluciones enriquecieron ejercicios. Al Ing. Arturo Javier Javier López López García García por por el programa ejercicios. Ing. Arturo programa del del método método de Müller Müller y al M. en C. en los los problemas problemas de vigas vigas y columnas. columnas. C. Ramón Ramón Duarte Duarte Ramos Ramos por por su asesoría asesoría en Nuestro agradecimiento agradecimiento especial especial al personal personal de la Nuestro la Editorial Editorial CECSA, CECSA, y en en particular particular a Elisa Pecina Pecina Rosas, Rosas, nuestra nuestra editora, editora, por por su interés interés constante óptima presenElisa constante en lograr lograr una una óptima presentación técnica, técnica, de estilo estilo y de diseño diseño gráfico gráfico en el libro. tación libro.

Intr

F

usa

CP'\PÍTULO

t

ERRORES

rade e una íz de

A dónde nos dirigimos

que ntondifeal la

"'

En este capítulo revisaremos tres de los sistemas numéricos posicionales másrelevantes en el estudio de los métodos numéricos: binario, octal y decimal. Para esto analizaremos las conversiones entre ellos, la representación y manejo del sistema binario en la computadora, así como los diversos errores que ello puede ocasionar y algunas formas de evitados. Dada la naturaleza electrónica de las calculadoras y computadoras, los sistemas binario y octal resultan los más indicados a usarse en estos dispositivos; por lo que, a fin de tener una idea de· los procesos numéricos internos en ellas, conviene hacer un estudio de tales sistemas y su conversión al decimal, ya que éste es finalmente nuestro medio de enlace con las máquinas. Por mi lado, dada la finititud de la palabra de memoria de las máquinas, es imfosible representar a todos los números reales en ella. Así, números como Te, [2, :3 = 0.333 ..., números muy pequeños" (o muy grandes) se manejan usando números que son aproximaciones de ellos o simplemente no se manejan. Por otro lado, una de las características más sobresalientes de los métodos numéricos es el uso de los números reales en cálculos extensos. Cabe entonces preguntarse qué efecto tienen tales aproximaciones en los cálculos que hacemos con dichos números, en los resultados que obtenemos e incluso qué números reales pueden representarse exactamente en la computadora. El conocimiento de todo esto nos ayudará a evitar cierto tipo de errores, analizar su propagación e incluso interpretar mejor los resultados dados por una máquina.

n pamae los ón al e los yal as. lar a sen-

Introducción En la antigüedad, los números naturales se representaban con distintos tipos de símbolos o numerales. A continuación se presentan algunas muestras de numerales primitivos. (Fig. 1.1 Y 1.2).

1

2

3

4 Figura 1.1 Numerales usados por los mayas.

5

- 3: -- m .. -I - - E -a - - - - 11 -- m •

••

•••

6

~

7

- 11 •

••

~

8

•••

~

~

9

••••

~

••••

~

~

10

11

•

16

12

• •

17

13

• ••

18

14

15

•

• •

~

•••

••••

~

19

CERO

~

••••

~

~~

• En estos casos la computadora envía un mensaje indicando que el número es muy pequeño (underf/ow) grande ioverflow¡ para su capacidad.

o muy

2

Métodos numéricos


UNO

DOS 1

~

1111

•• • -

~

CUATRO

111

1

••

•

Figura 1.2 Numerales primitivos.

TRES

••••

~

~

En la figura 1.2 se puede observar que cada numeral es un conjunto de marcas sencillas e iguales. ¡Imagínese si así se escribiera el número de páginas del directorio telefónico de la Ciudad de México! No sería práctico por la enorme cantidad de tiempo y de espacio que requeriría tal sucesión de marcas iguales. Más aún, nadie podría reconocer, a primera vista, el número representado. Por ejemplo, ¿podría identificar rápidamente el siguiente numeral?

=

?

Los antiguos egipcios evitaron algunos de los inconvenientes de los numerales representados por medio de marcas iguales, usando un solo jeroglífico o figura. Por ejemplo, en lugar de 1 1 1 1 1 1 1 1 ! 1, usaron el símbolo 11. Este jeroglífico representaba el hueso del talón. En la Fig. 1.3 se muestran otros numerales egipcios básicos relacionados con los del sistema decimal que les corresponden.

~ Figura 1.3 Números egipcios antiguos.

Raya

10

100

n

©

Hueso del talón

Cuerda enrollada

1,000

10,000

100,000

1'000,000

1.

r(

P
;y

Flor de loto

Dedo señalado

Pez

1.1 Sistemas numéricos NUMERACiÓN

CON

BASE DOS (SISTEMA

BINARIO)

Dado el siguiente conjunto de marcas simples e iguales

1, si se encierran en óvalos por parejas, a partir de la izquierda, se tiene.

Hombre sorprendido

Errores Errores

33

A continuación, continuación, también también empezando empezando por por la la izquierda, izquierda, se se encierra encierra cada cada par par de de óvalos óvalos en en otro mayor. mayor. otro

@)@_'_9 ~_ I _@>@_'_9

~_I

Finalmente, se encierra encierra cada cada par par de óvalos óvalos en uno uno mayor mayor todavía, todavía, comenzando comenzando también también Finalmente, por la izquierda. izquierda. por

se de ue ¡su-

Nótese una potencia potencia de 2. 2. Nótese que que el número número de marcas marcas dentro dentro de cualquier cualquier óvalo óvalo es una

numeral I número representado representado por El número por el numeral

I se

obtiene así obtiene así en-

lueso on

o también también 2 . Como Hay que observar observar que que en esta esta suma suma no aparece aparece 2 22. Como O X 22 = = O, O, entonces entonces la suma suma pueHay que puede escribirse escribirse así

Ahora Ahora puede puede formarse formarse un nuevo nuevo símbolo símbolo para para representar representar esta esta suma suma omitiendo omitiendo los parénparéntesis, manera: tesis, los signos signos de operación operación + y x, X, Y las potencias potencias de 2, de la siguiente siguiente manera:

( 1 X 211) ) + ( 1 X 2° ) ( 1 X 2 33 ) + (O (O X 222) ) + (1 Nuevo símbolo: Nuevo símbolo:

1 1

1 1

1 1

1 1

1

O O

1

1

Ahora Ahora bien, bien, ¿cómo ¿cómo interpretaremos interpretaremos este este nuevo nuevo símbolo? símbolo? significado de los números números 1 en este este nuevo nuevo símbolo símbolo depende depende del lugar lugar que ocupan ocupan en El significado numeral. Así Así pues pues,, el primero primero de derecha derecha a izquierda izquierda representa representa una unidad; unidad; el segunsegunel numeral. 1), el cuarto do, un grupo grupo de dos (o bien bien 22'), cuarto cuatro cuatro grupos grupos de dos (8, o bien bien 23).). El cero es el do, medio de asignarle asignarle a cada cada ""1" posición correcta. correcta. A los números números o potencias potencias de 2 que remedio 1" su posición presentan el "1" "1" según según su posición posición en el numeral, numeral, se les llama llama valores valores de posición; posición; se dice presentan sistema de numeración numeración que emplea emplea valores valores de posición posición es un sistema sistema posicional. posicional. que un sistema sistema de este este ejemplo ejemplo es un sistema sistema de base base dos, dos, o sistema sistema binario, binario, porque porque emEl sistema plea un grupo grupo básico básico de dos símbolos: símbolos: O y 1. 1. Los Los símbolos símbolos "1" "1" y "O" utilizados utilizados para para escriescriplea numerales se denominan denominan dígitos dígitos binarios binarios o bits. bits. bir los numerales ¿Qué número número representa representa el numerallOlOlOdos? ¿Qué lee: "uno, "uno, cero, uno, cero, cero, uno, cero, cero, base base dos"). dos"). (Se lee: Escríbanse los valores valores de posición posición debajo debajo de los dígitos dígitos: : Escríbanse Dígitos Dígitos binarios binarios 1

O O

11

O

Valores de posición posición Valores Multiplicando los valores valores de posición posición por los dígitos dígitos binarios binarios correspondientes correspondientes y sumánsumánMultiplicando todos,, se obtiene obtiene el equivalente equivalente en decimal. decimal. dolos todos

4

Métodos numéricos

aplicados

a la ingeniería

10101Odos== (1 X 25) + (O X 24) + (1 X 23) + (O X 22) + (1 X 2') + (O X 2°) 42diez (se lee: "cuatro, dos, base diez"). El sistema de numeración más difundido en la actualidad es el sistema decimal. Es un sistema posicional que usa un grupo básico de diez (base diez). Considérese por ejemplo el numeral 582diez

8

Dígitos decimales

lO'

Valores de posición Forma desarrollada

(8

X 10')

+

Al escribir números decimales se omite la palabra "diez" y se establece la convención de que un numeral con valor de posición, es un número decimal, sin necesidad de indicar la base. De ahí que siempre se anote 582 en lugar, de 582diez' El desarrollo y arraigo del sistema decimal, quizá se deba al hecho de tener siempre a la vista, los diez dedos de las manos. El sistema binario se emplea en las computadoras digitales, debido a que los alambres que forman los circuitos electrónicos presentan sólo dos estados: magnetizados o no magnetizados, ya sea que pase o no corriente por ellos.

CONVERSiÓN SISTEMA

DE NÚMEROS

b

DE BASE

ENTEROS

DEL SISTEMA

DECIMAL

A UN

y VICEVERSA

Para convertir un número n del sistema decimal a un sistema con base b, se divide el número n entre la base b y se registra el cociente e, y el residuo rI resultantes; se divide e, entre la base b, y se anotan el nuevo cociente e2 y el nuevo residuo r2. Este procedimiento se repite hasta oblener un cociente e¡ igual a cero con residuo ri• El número equivalente a n en el sistema con base b queda formado así: ri ri_' ri_2 ... r,.

Convierta 35810 al sistema octa!.

Solución ~

32

La base del sistema octal" es 8, por tanto 358 == 8

44

X

8

X

8

X

44 + 6 e, r, 5 + 4 r2

e2 5

O

+

5

Así que el número equivalente en octal es 546

• El sistema octal usa un grupo básico de ocho símbolos: 0, 1,2,3,4,5,6,7.

EjE

Errores

5

Convierta 35810 a binario (base 2). sis-

Solución ~

de la ea didos

358

2

179

2

89

2

44

2

22

2

11

2

5

2

2

2

1

2

x 179 x 89 x 44 x 22 x 11 x 5 x 2 x 1 x O

+

O

+

1

+

1

+

O

+

O

+

1

+

1

+

O

+

1

Por tanto 358\0 = 1011001102

Para convertir un entero m de un sistema con base b al sistema decimal, se multiplica cada dígito de m por la base b elevada a una potencia igual a la posición del dígito, tomando como posición cero la del dígito situado más a la derecha. De la suma resulta el equivalente decimal. Así 2768

=

2

10100012

=

X

1

82 + 7

X 26

+O

X 25

+ O X 21 + 1

CONVERSiÓN

DE NÚMEROS

81 + 6

X

+ 1 X

ENTEROS

X 24

X

+O

8°

X 23

=

19010

+ O X 22

2° = 8110 DEL SISTEMA

y VICEVERSA

OCTAL AL BINARIO

Dado un número del sistema octal, su equivalente en binario se obtiene sustituyendo cada dígito del número octal con los tres dígitos equivalentes del sistema binario. Base octal

Equivalente binario en tres dígitos

O

000

1

001

2

010

3

011

4

100

5

101

6

110

7

111

6 6


Ejemplo Ejemplo 1.3

EjelT

Convierta binario. Convierta 546 54688 a binario.

Solución Solución

Así que Así que 546 54688

5

4

6

101

100

110

== 101100110 10110011022

Dado un número número en binario, binario, su equivalente ternas de dígitos, dígitos, Dado equivalente en octal octal se obtiene obtiene formando formando temas contando de derecha derecha a izquierda sustituyendo cada equivalente en octal. octal. Así por su equivalente Así contando izquierda y sustituyendo cada terna terna por Convertir Convertir 10011001 1001100122 a octal octal 010 010

Oll 011

00122

2

3

1

Por tanto tanto 10011001 Por 1001100122 = = 23188

Dado que binario es simple binario resulta resulta muy muy Dado que la conversión conversión de octal octal a binario simple y la de decimal decimal a binario tediosa, se recomienda recomienda usar usar la conversión paso intermedio tediosa, conversión a octal octal como como paso intermedio al convertir convertir un número decimal binario. mero decimal a binario.

II DECIMAL DECIMAL l+-o I~----+' II

OCTAL OCTAL

----+0

---,II

I~'

l+-o

----+0

BINARlO BINARIO

JJ

Las tienen dos sentidos porque es válido válido en ambas Las flechas flechas tienen sentidos porque ambas direcciones direcciones lo dicho. dicho.

Ejemplo 1.4 Ejemplo

Solución Solución

Convierta 10110011022 a decimal. decimal. Convierta 101100110

a)

Conversión Conversión directa directa 101100110 10110011022 = = 1 X 288 + O X 27 + 1 X 26 + 1 X 25 + O X 24 + 358 O X 2 3 + 1 X 2 2 + 1 X 2¡ 2] + O X 200 = = 358'0 10

b) Usando Usando la conversión paso intermedio: intermedio: conversión a octal octal como como paso

1)

Conversión Conversión a' octal octal

101

100

110

5

4

6

Por tanto tanto 101100110 Por 10110011022 = = 546 54688 2)

Cónversión Cónversión de octal octal a decimal decimal 546 54688 = = 5 X 82 + 4 X 8] 81 + 6 X 800 = = 358 35810 10

CONVERSIÓN DE NÚMEROS DEL CONVERSIÓN NÚMEROS FRACCIONARIOS FRACCIONARIOS DEL SISTEMA SISTEMA DECIMAL DECIMAL A UN A UN SISTEMA SISTEMA CON CON BASE BASE

b b

Para convertir un número fraccionario a un número con base dicho núPara convertir número x¡o x]O fraccionario número con base b, se multiplica multiplica dicho mero por entera e] el Y una parte fraccionariaj.. Se mulresultado tiene tiene una una parte parte entera y una parte fraccionaria!]. mulmero por la base base b; el resultado tiplica ahora f por obtiene un con parte entera e22 y fraccionaria!2' fraccionaria j.. tiplica ahora!] por b y se obtiene un nuevo nuevo producto producto con parte entera Este suficiente de veces que se presenta.t¡ = O. O. El Este procedimiento procedimiento se repite repite un número número suficiente veces o hasta hasta que presentaj¡ = base b queda equivalente equivalente de xlOlO con con base queda así O. O. e] e¡ e22 e33 e44 ... .••

Ej

Errores

Ejemplo 1.5! Solución

Convierta 0.210 a octal y binario. a)

Conversión a octal 0.2 8 1.6 e.f,

X

0.8 X8 6.4

X

0.2 8 1.6

eJ3

esfs

Después de e4 se van a repetir el el e2 e3 e4 indefinidamente, 0.14631463"'8

tos, Así b)

por lo que 0.210

=

Conversión a binario 0.2 X2 0.4 elJ;

uy ú-

7

0.4 X2 -0.8 e2f2

0.8 X2 -1.6

0.6 X2 -1.2

0.2 X2 0.4

e3f3

e4f4

esfs

Igual que en el inciso a), después de e4 se repite el e2 e3 e4 indefinidamente, 0.210 = 0.001100110011...2

I

por 10 que

Obsérvese que 0.210 pudo convertirse en binario simplemente tomando su equivalente en octal, y sustituyendo cada número por su tema equivalente en binario. Así 0.210

=

0.1 0.001

463 100 110

011

1 001

463 100 110

011

y

0.210 = 0.0011001100110011001100110011"'2 De lo anterior se puede observar que 358.210 = 101100110.001100110011001100110011"'2

6 32

y cualquier número con parte entera y fraccionaria puede pasarse a otro sistema, cambiando su parte entera y fraccionaria de manera independiente, y al final integrándolos. Para convertir números decimales enteros y fraccionario s a base 2,3, ... ,9 puede usar el P~OGRAMA 1.1 del CD.

CONVERSiÓN A SISTEMA

DE UN NÚMERO

FRACCIONARIO

EN SISTEMA

BINARIO

DECIMAL

El procedimiento es similar al caso de números enteros, sólo hay que tomar en cuenta que la posición inicia con -1, a partir del punto.

Convierta 0.0101011102 a decimal

Solución

0.010101110 = O X 2-1 + 1 X 2-2 + O X 2-3 + 1 X 2-4 + O X 2-s + 1 X 2-6 + 1 X 2-7 + 1 X 2-8 +0 X 2-9 = 0.3398437510

8

Métodos aplicados a a la ingeniería ingeniería Métodos numéricos numéricos aplicados

Convierta 0.010101110 0.0101011102 2 a decimal. decimal. Convierta

Solución Solución

a)

Conversión Conversión a octal octal 0.010 0.010 2

101 5

110 6

y

0.0101011102 2 = = 0.256 0.25688 0.010101110

b) b)

Conversión Conversión a decimal decimal 0.256 0.25688 = = 2 X 8-11 + 5 X 8-22 + 6 X 8-33 = = 0.33984375 0.33984375'010

1.2 Manejo de números números en la computadora Por finita de bits para Por razones razones prácticas, prácticas, sólo sólo puede puede manejarse manejarse una una cantidad cantidad finita para cada cada número número en una longitud varía una máquina una computadora, computadora, y esta esta cantidad cantidad o longitud varía de una máquina a otra. otra. Por Por ejemplo, ejemplo, cuando cuando se realizan realizan cálculos cálculos de ingeniería ingeniería y ciencias, ciencias, es mejor mejor trabajar trabajar con con una una longitud longitud grande; por por otro otro lado, lado, una una longitud longitud pequeña pequeña es más más económica económica y útil para para cálculos cálculos y proprogrande; cesamientos administrativos. administrativos. cesamientos Para número de bits generalmente Para una una computadora computadora dada, dada, el número generalmente se llama llama palabra. palabra. Las Las palabras palabra se divide labras van desde desde ocho ocho bits bits hasta hasta 64 bits. Para Para facilitar facilitar su manejo, manejo, la palabra divide en partes más cortas partes más cortas denominadas denominadas bytes; bytes; por por ejemplo, ejemplo, una una palabra palabra de 32 bits puede puede dividirse dividirse en cuatro bits cada cuatro bytes bytes (ocho (ocho bits cada uno). uno). d

NÚMEROS ENTEROS NÚMEROS ENTEROS

Cada longitud, almacena Cada palabra, palabra, cualquiera cualquiera que que sea sea su longitud, almacena un número, número, aunque aunque en ciertas ciertas circircunstancias cunstancias se usan usan varias varias palabras palabras para para contener contener un número. número. Por Por ejemplo, ejemplo, considérese considérese una una palabra palabra de 16 bits para para almacenar almacenar números números enteros. enteros. De De los los 16 bits, bits, el primero primero reprerepresenta senta el signo signo del número; número; un cero cero es un signo signo más más y un un uno uno un signo signo menos. menos. Los Los 15 bits bits restantes restantes pueden pueden usarse usarse para para guardar guardar números números binarios binarios desde desde 000000000000000 000000000000000 hasta hasta 111111111111111 (véase (véase figura figura 1.1). Al convertir convertir este este número número en decimal decimal se obtiene obtiene 111111111111111 14 )) + (1 13 )) + (1 X 212 12 )) + ... (l (l X 214 (l X 213 ... + (l (1 X 21) + (l (l X 2°)

15 -1). que que es igual igual a 32767 32767 (215 -1). Por Por tanto, tanto, cada cada palabra palabra de 16 bits bits puede puede contener contener un número mero cualquiera cualquiera del intervalo intervalo -32768 -32768 a + 32767 32767 (véase (véase Probo 1.10). 1.10).

Figura 1.4 Esquema de una una palabra palabra de 1 6 bits para 16 un número número entero. entero.

16 bits bits

ii bit O

:I

bit bit 15

99

Errores Errores

Ejemplo 1.8

Solución

Represente Represente el número número -26 -26 en una una palabra palabra de 16 bits. bits. -261010 -26

==

1101022, , Y su almacenamiento almacenamiento en una una palabra palabra de 16 bits 11010 bits quedaria quedaria así así

Represente Represente el número número 525 525¡0' una palabra palabra de 16 bits. bits. 10 , en una

Solución

5251010

= = 101588 = = 1000001101 10000011012,2, Y su almacenamiento almacenamiento quedaria quedaria así así

1010

° ° ° °

° ° ° ° °

NÚMEROS REALES NÚMEROS REALES (PUNTO (PUNTO FLOTANTE) FLOTANTE)

C:uando binaria, llallaCuando se desea desea almacenar almacenar un número número real, real, se emplea emplea en su representación representación binaria, mada mada de punto punto flotante, flotante, la notación notación

era plo, itud propae en irse

cirese rebits sta

d d d d ' Id''32 d''"d',d'6 O.d 1d2d3d4dsd6d7d8 X 3 d'" d' 5'7d' 6 d' 7 0.d¡d2d3d4dsd6d7d8 X 2 l',d'2

donde dI d¡ = = 1 Y di di Y d d'j' j con con i = = 2, ... Oo., , 8 Yj = 1,2, ... ... ,7 ,7 pueden pueden ser ser ceros donde ceros una palabra palabra como como se muestra muestra en la figura figura 1.2 da en una Figura 1.5 Esquema de una palabra de 16 bits para número de un número punto flotante. flotante. punto

Característica Característica

0 0

unos, unos, y se guarguar-

I

Mantisa Mantisa -------=--

°

i Bit O ¡Bit

Bit Bit 15

Igual que que antes, antes, el bit bit cero cero se usa usa para para guardar guardar el signo signo del número. Igual número. En En los los bits bits del del uno al siete siete se almacena almacena el exponente exponente de la base base 2 y en los ocho restantes la fracción." uno ocho bits bits restantes fracción.'" Según el lenguaje lenguaje de los logaritmos, logaritmos, la fracción fracción es llamada llamada mantisa mantisa y el exponente Según exponente cacaracterística. El número número mayor mayor que que puede puede guardarse guardarse en una una palabra racterística. palabra de 16 bits bits usando usando la notación de punto punto flotante flotante es notación

nú-

Exponente Exponente positivo positivo

°11 O

más más

1 1

0111111

11111111

1 1

0.99

Equivalente a 0.99 en Equivalente en decimal decimal

exponente es un número binario de seis seis dígitos, que el el bit uno se emplea emplea para para su • El exponente número binario dígitos, ya que bit uno su signo. signo. En En algunas algunas cornpucomputadoras el exponente exponente se almacena almacena en base base ocho ocho (octal) (octal) o base base 16 (hexadecimal) (hexadecimal) en tadoras en lugar lugar de de base base 2.

10

Métodos numéricos numéricos aplicados aplicados a a la ingeniería ingeniería Métodos

64 (si números que se pueden pueden guardar punto flotante y los números guardar en punto flotante binario binario van van de alrededor alrededor de 22-64 19 63 18 característica es negativa) negativa) a cerca cerca de 2 ; ; en decimal, 10-19 a cerca la característica decimal, de 10cerca de 1018 en en magmagnitud (incluyendo (incluyendo números números positivos, positivos, negativos negativos y cero). nitud cero).

Ejemplo 1.10

número decimal-125.32 decimal-125.32 binario es El número que en binario -1111101.010100011110101, -1111101.010 1000 11110101, normalizado queda queda así normalizado 1J 1 -.1111101010100011110101 -.1111101010100011110101 X 2+111

I

I

I bits truncados truncados en el almacenamiento bits almacenamiento palabra de memoria memoria de 16 bits bits donde donde se almacena y la palabra almacena este este valor valor quedaría quedaría como como característica característica positiva positiva

signo mantisa mantisa signo

II

1 1 1 1

t. característica característica

mantisa mantisa

Nótese que primero primero se normaliza normaliza el número, número, después Nótese después se almacenan almacenan los primeros primeros ocho ocho truncan los restantes. restantes. bits y se truncan número decimal decimal + 0.2, que que en binario binario es El número 0.0011001100110011 ... 0.0011001100110011 normalizado queda queda y que normalizado .1100110011001100 ... X .1100110011001100 X 22-1010 I I

I

bits truncados bits truncados

almacena así se almacena

DOBLE PRECISiÓN PRECISiÓN DOBLE

doble precisión precisión es un esfuerzo esfuerzo para para aumentar aumentar la exactitud La doble exactitud de los cálculos cálculos adicionando adicionando más bits bits a la mantisa. mantisa. Esto Esto se hace hace al utilizar utilizar dos palabras, más palabras, la primera primera en la forma forma expuesexpuesanteriormente, y los bits de la segunda segunda para para aumentar ta anteriormente, aumentar la mantisa mantisa de la primera. primera. EntonEntoncon una una palabra palabra de 16 bits bits puede puede usarse usarse en doble = ces, con doble precisión precisión una una mantisa mantisa de 8 + 16 = bits. Los Los 24 bits bits de la mantisa mantisa permiten permiten expresar expresar alrededor 24 bits. alrededor de 7 dígitos dígitos de exactitud exactitud en número decimal, decimal, en lugar lugar de 3 de la precisión precisión sencilla. un número sencilla. desventaja del uso uso de la doble doble precisión precisión es que La desventaja que se emplean emplean más más palabras, palabras, con con lo cual se acrecenta acrecenta el uso uso de memoria memoria por por un programa. cual programa.

Errores Errores

si

11

ERROR ERROR DE REDONDEO REDONDEO

o., b

Para finalizar finalizar esta esta sección, sección, se analizarán analizarán brevemente algunas consecuencias consecuencias de utilizar Para brevemente algunas utilizar el sistema binario longitud de palabra finita. sistema binario y una una longitud palabra finita. Como posible guardar Como no es posible guardar un número longitud infinita infinita o un número número binario binario de longitud número de más dígitos dígitos de los que que posee mantisa de la computadora computadora que se está está empleando, empleando, se almás posee la mantisa macena sólo número finito consecuencia, se comete macena sólo un número finito de estos estos dígitos; dígitos; como como consecuencia, comete automáticaautomáticamente un pequeño mente error, conocido conocido como como error error de redondeo, que al repetirse muchas veces pequeño error, redondeo, que repetirse muchas veces puede llegar puede llegar a ser considerable. considerable. Por Por ejemplo, ejemplo, si se desea desea guardar guardar la fracción fracción decimal decimal 0.0001 que que en binario fracción infinita infinita 0.0001 binario es la fracción

0.000000000000011010001101101110001011101011000 ...... 0.000000000000011010001101101110001011101011000 quedaría, normalizarse, almacenado una palabra palabra de 16 bits como quedaría, después después de normalizarse, almacenado en una como .11010001 .11010001

1101 2- 1101

X

Si se desea número 0.0001 usando una una computadodesea sumar sumar el número 0.0001 con con él mismo mismo diez diez mil veces, veces, usando computadonaturalmente que resultado, ya que números que se ra, naturalmente que no se esperará esperará obtener obtener 1 como como resultado, que los números adicionen realmente 0.0001 adicionen no serían serían realmente 0.0001 sino sino valores valores aproximados aproximados a él (véase (véase Probo 1.16). 1.16).

t.3 t.3 Errores ERROR ABSOLUTO, ERROR Y ERROR EN POR POR CIENTO ERROR ABSOLUTO, ERROR RELATIVO RELATIVO Y ERROR EN CIENTO

Si p* p* es una una aproximación p , el error aproximación a p, error se define define como como

IbE

o

=

p* - p ]

Sin embargo, para facilitar emplea el error embargo, para facilitar el manejo manejo y el análisis análisis se emplea error absoluto absoluto definidefinido como como

1, EA == IIP* p* --pP I ~ relativo como y el error error relativo como ER ER

= =

-p I IIp* p* -p p P

,,sip sip::j:. =1= O O

por ciento y como como por ciento de error error a ERP IEERP

= ERX ER X =

100 100

~

En otros pueden ser por ejemplo, otros libros libros las definiciones definiciones pueden ser diferentes; diferentes; por ejemplo, algunos algunos autores autores definen el error error E como como p - p*; sugerimos que que al consultar consultar las las distintas distintas bibliop*; por por tanto, tanto, sugerimos bibliodefinen grafías se busquen definiciones de error dadas. grafías busquen las definiciones error dadas.

Suponga que que el valor cálculo debería debería ser valor para para un cálculo Suponga

pero se obtuvo resultado p* p* == 0.08 p = = 0.10 0.10 X 1022 pero obtuvo el resultado 0.08 X 1022,, entonces entonces

12

Métodos en iería Métodos numéricos numéricos aplicados aplicados a a la la ing ingeniería

EA = 0.08 X 1022 - 0.10 =1 10.08 0.10 X 1022 1= = 0.2 0.2 X 1011

10.08 X X 102 - 0.10 0.10 X X 102211 ER = - - -- -..,-,....,,-----::-;:-----ER =------=--::---,--:c;;-----0.10 0.10 X 1022

= = 0.2

X 10°

ERP ER X 100 = ERP = ER = 20% 20%

Por Por lo general, general, interesa interesa el error error absoluto absoluto y no el error error relativo; relativo; pero pero cuando cuando el valor valor exacto exacto de una una cantidad cantidad es "muy "muy pequeño" pequeño" o "muy "muy grande", grande", los errores errores relativos relativos son más más significativos. significativos. Por ejemplo Por ejemplo si p

= 0.24 0.24 =

Y X 10-4 Y

p* p*

= 0.12 0.12 =

X 10-4,

entonces: entonces: EA

= =

10.12 X 10-4 - 0.24 0.24 X 10-41 10.12

= 0.12 0.12 =

X 10-4

Sin Sin reparar reparar en las cantidades cantidades que que se comparan, comparan, puede puede pensarse pensarse que el error error absoluto absoluto es muy pequeño y, lo más p* como muy pequeño más grave, grave, aceptar aceptar p* como una una buena buena aproximación aproximación a p. Si, por lado, se calcula por otro otro lado, calcula el error error relativo relativo ER ER

=

10.12 X 10-4 - 0.24 0.24 X 10-4 10-411 10.12 0.24 X 10-4 0.24

= 0.5

°°

X 10

se observa mitad del valor observa que la "aproximación" "aproximación" es tan sólo sólo la mitad valor verdadero verdadero y, por por tanto, tanto, está muy muy lejos lejos de ser aceptable aceptable como como aproximación aproximación a p. Finalmente Finalmente ERP= 50% ERP= 50%

De igual puede observarse igual manera manera puede observarse que que si pp = 0.46826564 0.46826564 X 106

y

p*

= 0.46830000 0.46830000 =

X 106,

entonces: entonces: EA = = 0.3436 0.3436 X 102,,

puede y si de nueva nueva cuenta cuenta no se toman toman en consideración consideración las cantidades cantidades en cuestión, cuestión, puede creerse muy grande creerse que que el EA es muy grande y que que se tiene tiene una una mala mala aproximación aproximación a p. Sin embarembargo, al calcular calcular el error error relativo relativo ER = 0.7337715404 0.7337715404 X 10-4, ER = se advierte realidad ocurre. advierte que que el error error es muy muy pequeño, pequeño, como como en realidad ocurre.

ADVERTENCL<\.: ADVERTENCL4.:

Cuando Cuando se manejan manejan cantidades cantidades "muy "muy grandes" grandes" o "muy "muy pequeñas", pequeñas", el error error absoluto absoluto puede mientras que puede ser engañoso, engañoso, mientras que el error error relativo relativo es más más significativo significativo en esos esos casos. casos.

DEFINICiÓN DEFINICiÓN

p * aproxima Se dice dice que que el número número p* aproxima a p con con t dígitos dígitos significativos significativos si t es el entero entero más más grande grande no negativo negativo para para el cual cual se cumple cumple Ip* -p Ip* -p 11 P

< 5 X 10-11

Errores Errores

13

Supóngase, por ejemplo, número 10. Para Para que p* aproxime Supóngase, por ejemplo, el número que p* aproxime a 10 con con dos dos cifras cifras sigsignificativas, usando la definición, p * deue nificativas, usando definición, p* debe cumplir cumplir con con

I p * - 10 I < 5 X 10-22 Ip* 10 -10 --55 X X 10< p* p * - 10 < < 55 X X 1010-2 < 10-2 10

or ás

p * < 5 X 10-11 + 10 10 - 5 X 10-11 < p*

9.5 < p* p* < 10.5 esto valor de p* p * en el intervalo esto es, cualquier cualquier valor intervalo (9.5, (9.5, 10.5) 10.5) cumple cumple la condición. condición. En general para t dígitos general para dígitos significativos significativos IP* -p -p I <5 X1 lO- 1 <5XlOp

to

sip > O sip

p * - pp I < 5 pp X 10-11 I p* P - 5 pp X X 10-11 < p* p * < p + 5 pp X X 10-11 P

Si, por por ejemplo, ejemplo, p

=4 == 1000 1000 Y t =

1000 - 5 X 1000 1000 X 10-4 < p* 1000 + 5 X 1000 1000 X 10-4 1000 p * < 1000 999.5 < p* 1000.5 999.5 p* < 1000.5 CAUSAS CAUSAS DE DE ERRORES ERRORES GRAVES GRAVES EN EN COMPUTACiÓN COMPUTACiÓN

Existen programa de cómputo, las cuaExisten muchas muchas causas causas de errores errores en la ejecución ejecución de un programa cómputo, de las cuadiscutirán ahora ahora algunas algunas de las más serias. Para esto, vamos compules se discutirán más serias. Para esto, vamos a pensar pensar en una una computadora trabaja con números en el sistema tiene una una tadora imaginaria imaginaria que. que. trabaja con números sistema decimal, decimal, en forma forma tal que que tiene mantisa una característica primemantisa de cuatro cuatro dígitos dígitos decimales, decimales, y una característica de dos dígitos dígitos decimales, decimales, el primero de los cuales usado para para el signo. estos seis al bit bit empleado para el signo cuales es usado signo. Sumados Sumados estos empleado para signo del número, tendrá una una palabra palabra de siete bits. Los Los números números que van a guardar nornúmero, se tendrá siete bits. que se van guardar deben deben normalizarse primero en la siguiente malizarse primero siguiente forma forma

e

3.0 3.0 = = .3000 .3000 X 1011 7956000 = .7956 7956000 = .7956 X 107 -0.0000025211 .2521 X 10-5 -0.0000025211 = = --.2521 Empleando podemos estudiar estudiar algunos Empleando esta esta computadora computadora imaginaria, imaginaria, podemos algunos de los errores errores más cometen en su empleo. más serios serios que que se cometen empleo. a)

Suma Suma de números números muy muy distintos distintos en magnitud magnitud

Vamos trata de sumar Vamos a suponer suponer que que se trata sumar 0.002 0.002 a 600 600 en la computadora computadora decimal decimal imaginaria. imaginaria.

-.

0.002 0.002 = = .2000 .2000 X 10-22 600 600

== .6000 .6000 X 103

Estos números normalizados normalizados no pueden pueden sumarse y, por por tanto, tanto, la compuEstos números sumarse directamente directamente y, computadora debe debe desnormalizarlos desnormalizarlos antes antes de efectuar efectuar la suma. suma. tadora

14


.000002 .000002 X 1033 + + .600000 .600000 X 1033 .600002 .600002 X 1033 Como dígitos, los los últimos últimos dos dos son eliminados eliminados y la respuesrespuesComo sólo sólo puede puede manejar manejar cuatro cuatro dígitos, ta es .6000 nunca se realizó. realizó. .6000 X 1033 o 600. Por Por el resultado, resultado, la suma suma nunca Este redondeo, es muy muy común común y se recomienda, recomienda, de ser Este tipo de errores, errores, cuyo cuyo origen origen es el redondeo, posible, muy diferentes diferentes (véase ejercicio 1.2). posible, no sumar sumar o restar restar dos números números muy (véase ejercicio b)

Resta Resta de números números casi casi iguales iguales

Supóngase restar 0.2144 0.2144 de 0.2145 0.2145 . Supóngase que la computadora computadora decimal decimal va a restar ..2145 2145 - .2144 .2144 .0001

X X X

10° 10° 10°

Como está desnormalizada, desnormalizada, la computadora computadora automáticaautomáticaComo la mantisa mantisa de la respuesta respuesta está mente almacena como como .1000 mente la normaliza normaliza y el resultado resultado se almacena .1000 X 10-33.. Hasta respuesta sólo hay un dígito dígito significativo; por tantanHasta aquí aquí no hay hay error, error, pero pero en la respuesta sólo hay significativo; por to, se sugiere ya que que un pequeño pequeño error error en alguno alguno de los númenúmesugiere no confiar confiar en su exactitud, exactitud, ya ros originales muy grande grande en la respuesta respuesta de un un problema problema que que originales produciría produciría un error error relativo relativo muy involucrara continuación. involucrara este este error, error, como como se ve a continuación. Supóngase aritmética es parte parte de un programa programa Supóngase que que la siguiente siguiente expresión expresión aritmética

x == (A (A -B) -B) * e Considérese A, B Y e son Considérese ahora ahora que que los valores valores de A, A = = 0.2145 0.2145 X 10°,

B

0.2144 == 0.2144

10°,

X

e == 0.1000 0.1000 X

1055

Al efectuarse valor de X == 1, que que es correcto. correcto. Sin embarefectuarse la operación operación se obtiene obtiene el valor Sin embargo, supóngase programa con con un un valor valor de 0.2146 0.2146 X 10° (error (error supóngase que que A fue calculada calculada en el programa absoluto ERP = = 0.046%). 0.046%). Usando Usando este este valor valor de A en el absoluto 0.0001, 0.0001, error error relativo relativo 0.00046 0.00046 y ERP cálculo de X, se obtiene obtiene como como respuesta respuesta X = = 2. Un Un error error de 0.046% 0.046% de pronto pronto provoca provoca un cálculo error de 100%. 100%. Aun Aun más, más, este este error error puede error puede pasar pasar desapercibido. desapercibido. e)

Overflow y Underflow Underflow Overflow

Con frecuencia frecuencia una una operación operación aritmética aritmética con Con con dos números números válidos válidos da como como resultado resultado un un número tan grande grande o tan pequeño pequeño que que la computadora número computadora no puede puede manejarlo; manejarlo; como como conseconsecuencia se produce produce un overflow overflow o un un underflow, underflow, respectivamente. respectivamente. cuencia Por ejemplo, ejemplo, al multiplicar multiplicar 0.5000 0.5000 X Por X 1088 por por 0.2000 0.2000 X X 109 se tiene tiene 0.5000 X 108 0.5000 X X X 0.2000 0.2000 X X 109 17 0.1000 0.1000 X 1017

Cada uno de los números números que se multiplican Cada multiplican puede puede guardarse guardarse en la palabra palabra de la compucomputadora imaginaria; imaginaria; sin embargo, embargo, su producto tadora producto es muy muy grande grande y no puede puede almacenarse almacenarse porque la característica característica requiere requiere tres tres dígitos. porque dígitos. Entonces Entonces se dice dice que que ha ha llevado llevado a cabo cabo un overflow. overflow. Otro caso caso de overflow overflow puede puede ocurrir ocurrir en la Otro la división; división; por por ejemplo ejemplo 2000000 2000000 0.000005 0.000005

77

0.2000 0.2000 X 10 0.5000 0.5000 X 10-55

== 0.4000 0.4000

X

1012 1012

Errores Errores

15

Las vapor lo general general reportan reportan esta esta circunstancia circunstancia con con un mensaje mensaje que que vaLas computadoras computadoras por ría ría dependiendo dependiendo de cada cada máquina. máquina. underflow puede puede aparecer aparecer en la multiplicación multiplicación o división, división, y por por lo general general no es tan El underflow serio computadoras casi Por serio como como el overflow; overflow; las computadoras casi nunca nunca envían envían mensaje mensaje de underflow. underflow. Por ejemplo: ejemplo:

s-

( 0.3000 0.3000

X 10-55 ) X ( 0.02000 0.02000 X 10-33) )

= = 0.006 0.006

X 10-88

= = 0.6000 0.6000

X 10-10 10-10

Como Como el exponente exponente -10 -10 está está excedido excedido en un dígito, dígito, no puede puede guardarse guardarse en la compucomputadora como error relatadora y este este resultado resultado se expresa expresa como como valor valor cero. cero. Este Este error error expresado expresado como error relativo pequeño y a menudo tivo es muy muy pequeño menudo no es serio. serio. No No obstante, obstante, puede puede ocurrir, ocurrir, por por ejemplo: ejemplo: A = = 0.3000 0.3000 X 10-55,,

B

= = 0.0200 0.0200

X 10-33,,

0.4000 C == 0.4000

X 107,,

que se desee desee en algún algún punto punto del programa programa calcular calcular el producto producto de A, B Y C y que

X=A*B*C X=A*B*C multiplican primero primero A y B. El resultado resultado parcial parcial es cero. cero. La multiplicación multiplicación de este Se multiplican este resultado por por C da también también cero. cero. Si, en cambio, cambio, se arregla arregla la expresión expresión como como resultado

X=A * C*B X=A* C*B e

multiplica A por por C y se obtiene obtiene 0.1200 0.1200 X 1022.. La multiplicación multiplicación siguiente siguiente da la respuesrespuesse multiplica ta correcta: correcta: 0.2400 0.2400 X 10-33.. De igual igual manera, manera, un arreglo arreglo en una una divisón divisón puede puede evitar evitar underflow. derflow. d)

División División entre entre un número número muy muy pequeño pequeño

Como Como se dijo, dijo, la división división entre entre un número número muy muy pequeño pequeño puede puede causar causar overflow. overflow. Supóngase comete Supóngase que se realiza realiza en la computadora computadora una división división válida válida y que no se comete error error alguno alguno en la operación; operación; pero pero considérese considérese que ocurrió ocurrió un pequeño pequeño error error de redondeo redondeo previamente en el programa, programa, cuando cuando se calculó calculó el denominador. denominador. Si el numerador numerador es grande previamente grande y el denominador cociendenominador pequeño, pequeño, puede puede presentarse presentarse un error error absoluto absoluto considerable considerable en el cocienéste se resta resta después, después, de otro otro número número del mismo mismo tamaño tamaño relativo, relativo, puede puede presentarse presentarse te. Si éste error mayor mayor en la respuesta respuesta final. un error Como instrucción en un programa Como ejemplo ejemplo considérese considérese la siguiente siguiente instrucción programa X = A -B/C X=A -B/C

donde: donde: A = = 0.1120 0.1120 X X 1099 = 112000000 = 112000000

= = 0.1000 0.1000 X 1066 = = 100000 100000 C= = 0.900 0.900 X 10-33 = = 0.0009 0.0009

B

I I

./ /

Si el cálculo cálculo se realiza realiza en la computadora computadora decimal decimal de cuatro cuatro dígitos, dígitos, el cociente cociente B / C es 0.1111 X 109,, Y X es 0.0009 0.0009 X 109 o, después después de ser normalizado, normalizado, X = = 0.9000 0.9000 X 106. Nótese Nótese que que sólo sólo hay un dígito dígito significativo significativo. . Vamos Vamos a imaginar imaginar ahora ahora que que se cometió cometió un pequeño pequeño error error de redondeo redondeo al calcular calcular C en algún ER = algún paso paso previo previo y resultó resultó un valor valor C* = = 0.9001 0.9001 X 1010-33 (EA (EA = = 0.0001 0.0001 X 10-3; 10-3; ER = ERP = = 0.01 %). %). 10-4 Y ERP calcula B / C* se obtiene obtiene como como cociente cociente 0.111 O X 109 Y YX* = 0.1000 0.1000 X 107. El Si se calcula X* = El valor valor correcto correcto de X es 0.9000 0.9000 X X 106..

16

Métodos a la ingeniería Métodos numéricos numéricos aplicados aplicados a ingeniería

Entonces: Entonces: EA

900000 == I 1000000 1000000 - 900000

I

== 100000 100000

ER 1000000 - 900000 ER = I11000000 900000 I = 0.11

900000 900000 ERP ERP

== 0.11

X

100 = = 11%

El error relativo se ha multiplicado multiplicado cerca veces. Como error relativo cerca de 1100 veces. Como ya se dijo, dijo, estos estos cálcucálculos pueden conducir a un resultado resultado final relación con respueden conducir final carente carente de significado significado o sin relación con la respuesta puesta verdadera. verdadera. e)

Error de Error de discretización discretización

Dado un número número específico puede almacenar número binabinaDado que que un específico no se puede almacenar exactamente exactamente como como número rio de punto punto flotante, generado se conoce flotante, el error error generado conoce como como error error de discretización discretización (error (error de cuantificación), los números números expresados por la máquina máquina (números cuantificación), ya que que los expresados exactamente exactamente por (números máquina) discreto. quina) no forman forman un conjunto conjunto continuo continuo sino sino discreto.

Ejemplo 1.12

Cuando se suma suma 10000 10000 veces 0.0001 con con él mismo, embargo, el núCuando veces 0.0001 mismo, debe debe resultar resultar 1; sin embargo, mero binario resulta resulta en una una sucesión unos, que trunca al mero 0.0001 0.0001 en binario sucesión infinita infinita de ceros ceros y unos, que se trunca ser una palabra palabra de memoria, memoria, con perderá información ser almacenada almacenada en una con lo que que se perderá información y el resultado ya no será resultados que sultado de la suma suma ya será 1. 1. Se obtuvieron obtuvieron los siguientes siguientes resultados que COIToboran corroboran lo utilizando una una PC, PC, precisión precisión sencilla Visual Basic. Basic. 10 anterior, anterior, utilizando sencilla y Visual

Solución 10000 10000

a)

L L

0.0001 = = 1.000054 1.000054 0.0001

i= i= I1

10000 10000

b) 1 +

L

0.0001 2.000166 0.0001 = = 2.000166

i= I1 i=

10000 10000

e) 1000 +

L

0.0001 = = 1001.221 1001.221 0.0001

i= I1 i=

10000 10000

10000 + d) 10000

L

0.0001 0.0001 = = 10000 10000

i= I1 i=

Nótese tres últimos últimos incisos, incisos, además Nótese que que en los tres además del error error de discretización, discretización, se generó generó el error número muy muy grande número muy muy pequeño pequeño (véase Probo l.16 error de sumar sumar un número grande con con un número (véase Probo 1.16 y 1.l7). programa se ejecutó primero a una variable con valor entero 1.17). El programa ejecutó iniciando iniciando primero una variable con el valor entero 0,1, O, 1, 1000 variable 0.0001 veces. 1000 Y 10000; 10000; después después se fue acumulando acumulando a esa esa variable 0.0001 diez diez mil veces. f)

Errores Errores de salida salida

cuando no se haya cometido error error alguno alguno durante durante la fase fase de cálculos cálculos de un programa, Aun cuando haya cometido programa, puede presentarse presentarse un error error al imprimir puede imprimir resultados. resultados. Por que la respuesta respuesta de un cálculo cálculo particular particular es exactamente Por ejemplo, ejemplo, supóngase supóngase que exactamente 0.015625. número se imprime FlO.6 o E14.6 E14.6 (de FORFOR0.015625. Cuando Cuando este este número imprime con un formato formato tal como como FlO.6 TRAN), respuesta correcta. por el contrario, usar F8.3, F8.3, se impriimpriTRAN), se obtiene obtiene la respuesta correcta. Si, Si, por contrario, se decide decide usar

Error-es Errores

17

mirá bien 0.015 tmnca), mirá el número número 0.016 0.016 (si la computadora computadora redondea) redondea), , o bien 0.015 (si la computadora computadora trunca), con con lo cual se presenta presenta un elTOr. elTOr. PROPAGACiÓN DE ERRORES PROPAGACiÓN ERRORES

u-

s-

Una producen los errores podría Una vez vez que que se sabe sabe cómo cómo se producen errores en un programa programa de cómputo, cómputo, podría pensarse en tratar pensarse tratar de determinar determinar el error error cometido cometido en cada cada paso, paso, y conocer conocer de esa esa manera manera error total total en la respuesta respuesta final. final. Sin embargo, embargo, esto esto no es práctico. práctico. Resulta Resulta más más adecuaadecuael error por la computadora para ver do analizar analizar las las operaciones operaciones individuales individuales realizadas realizadas por computadora para ver cómo cómo se propagan los errores propagan errores de dichas dichas operaciones. operaciones. a)

Suma Suma

Se espera espera que que al sumar sumar a y b, se obtenga obtenga el valor valor correcto correcto de e = = a + b; b; no obstante, obstante, se tiene en general palabra que se emplea. general un valor valor de e incorrecto incorrecto debido debido a la longitud longitud finita finita de palabra emplea. Puede por una una operación Puede considerarse considerarse que que este este error error fue causado causado por operación incorrecta incorrecta de la compucomputadora .¡. -+- (el punto indica que es suma suma con con error). error). Entonces Entonces el error error es: tadora punto indica Error = = Ca (a .¡. -+-b) (a + b) b) b) - Ca Error

La magnitud magnitud de este este error error depende depende de las magnitudes magnitudes relativas, relativas, de los signos signos de a y b, binaria en que Y de la forma forma binaria que a y b son son almacenados almacenados en la computadora. computadora. Esto Esto último último varía varía dependiendo por tanto dependiendo de la computadora, computadora, y por tanto es un error error muy muy difícil difícil de analizar analizar y no lo estudiaremos aquí. aquí. tudiaremos Si por por otro son inexactos, posible. Por otro lado lado a y b de entrada entrada son inexactos, hay un segundo segundo error error posible. Por ejemplo, ejemplo, considérese considérese que que en en lugar lugar del valor valor verdadero verdadero de a, la computadora computadora tiene tiene el valor valor a*, presenta un error a", el cual cual presenta error E Eaa a* = = a + Ea igual forma forma para para b y de igual

Como Como consecuencia consecuencia se tendría, tendría, aun si no se cometiera cometiera error error en la adición, adición, un error error en resultado: el resultado: Error Error = = (a* (a* + b*) - (a + b) = = (a + E Eaa + b + Ebb)) -- (a + b)

= = Ea Ea + Eb Eb = = EEcc

o sea sea c* = =e+ E Ecc El error error absoluto absoluto es: (a + b ) I= =IE Eaa + Eb Eb I ::; Ea I + I E Ebb I I ( a* + b* ) - C ~ I Ea

o bien bien

Se dice dice que los errores errores E Eaa y Eb se han extendido extendido a e, y E Ecc se conoce conoce como como el error error de propagación. propagación. Dicho por valores propaga en Dicho error error es causado causado por valores inexactos inexactos de los valores valores iniciales iniciales y se propaga los cómputos cómputos siguientes, siguientes, con con lo cual causa causa un error error en el resultado resultado final. final.

18

Mét odos numéri cos aplicados Métodos numéricos aplicados a a la ingeniería

b)

Resta Resta

El error por valores inexactos iniciales iniciales a* a':' y b", b*, puede puede darse darse de error de propagación propagación ocasionado ocasionado por valores inexactos manera similar similar que que en la adición, adición, con un simple simple cambio signo (véase manera cambio de signo (véase Probo Probo 1.24). c) e)

Multiplicación Multiplicación

Si se multiplican números a* y b':', (ignorando el error error causado por la opeopemultiplican los números b", se obtiene obtiene (ignorando causado por ración ración misma): misma): ( a* X b*) = Ea) X (b = ( a + Ea) (b + Eb )

= = (a

X b ) + ( a X Ebb) ) + ( b X X Ea) E a) + ( Ea Ea X X Ebb) )

Si E pequeños, puede puede considerarse considerarse que que su producto producto es muy muy Eaa y Eb son suficientemente suficientemente pequeños, pequeño por tanto, tanto, eliminar eliminar el último último término. término. pequeño en comparación comparación con los otros otros términos términos y, por obtiene entonces entonces el error error del resultado resultado final final Se obtiene

e( a*

X b* ) - ( a X b ) '" ( a X X Ebb) ) + ( b X Ea )

Esto hace posible del error error relativo relativo del resultado resultado dividiendividienEsto hace posible encontrar encontrar el valor valor absoluto absoluto del ambos lados lados entre entre a X X b. b. do ambos

1_( a_*_X_b':_' a_~_' X_b'_i' )_-_(_a_X_b_) 1_( )_-_(_a_X_b_)

'" 11 '"

11

(aXb) (aXb)

_Eb + _Ea _E a b a

~

11 ~

11

_E/) _E/) b

11

+

11

_Ea _E a a

11

error de propagaciúi1 propagación relativo relativo en valor El error valor absoluto absoluto en la multiplicación multiplicación es aproximaaproximadamente igualo menor a la suma suma de los errores errores relativos damente igualo menor relativos de a y b en valor valor absoluto. absoluto. d)

División División

Puede considerarse considerarse la división división de a* y b* como como sigue: sigue: Puede

a* / b" b*

= E a ) / ( b + Ebb) ) = ( a ++ Ea 1

= (a (a + Ea) Ea) =

(b + Ebb) (b

)

Multiplicando numerador numerador y denominador denominador por Multiplicando por b - Eb Eb a* // b* b* a*

= =

((aa + E ) eb-E + Ea) (b - Ebb )) a e( b + Ebb) ) (b E /) ) (b - Eb

aE/) + Eab EaEb ab - aE/) Eab - E aEb

b22

--

EE EE

como en la multiplicación, multiplicación, se considera considera el producto Si, como producto Ea Eb muy muy pequeño pequeño y, por por las mismas razones, razones, a EE y se desprecian, desprecian, se tiene. tiene. mismas

EE

b a" // b* b* '" '" ~ !!!!.... ++ Ea a* E ab __ aEb aE b b22 b22 b2 "' "'--

a b

deri:

1.4

+

error es entonces: entonces: El error a E a*Ib* _a _ a*lb* _ ___ "'",_a b b a

Fi Gráfi fu

E

Errores Errores

19

Dividiendo entre relativo. Al tomar valor absoluto error relativo. tomar el valor absoluto del error error Dividiendo entre aIb se obtiene obtiene el error relativo, se tiene tiene relativo, e

Se concluye propagación relativo relativo del cociente concluye que que el error error de propagación cociente en valor valor absoluto absoluto es aproaproximadamente igualo menor a la suma relativos en valor valor absoluto ximadamente igualo menor suma de los errores errores relativos absoluto de a y b. e)

Evaluación de funciones Evaluación funciones

Por último, último, se estudiará propagación del error básicas +, -, Por estudiará la propagación error (asumiendo (asumiendo operaciones operaciones básicas -, X una función punto x == a. En En geneY / ideales ideales o sin errores), errores), cuando cuando se evalúa evalúa una función f (x) en un punto general, se dispone valor de a aproximado: resulral, dispone de un valor aproximado: a*; la intención intención es determinar determinar el error error resultante tante E f = f(a*)-f(a) E¡=f(a*)-f(a)

muestra la gráfica = a. A conLa figura figura 1.3 muestra gráfica de la funciónf funciónf ( x ) en las cercanías cercanías de x = continuación se determina relación entre E a y E¡tinuación determina la relación entre Ea Si Ea Ea es pequeño, pequeño, puede puede aproximarse x) por por su tangente tangente en un entorno aproximarse la curvaf( curvaf( x) entorno de pendiente de esta tangente es!, E f / Ea; Ea; x = = a. Se sabe sabe que que la pendiente esta tangente es f' (a) (a) o aproximadamente aproximadamente E¡ esto esto es:

y

En valor valor absoluto En absoluto I Ef Eal' (a*) l Ea I 1 1' (a*) E¡Il "" "" llEal' (a*) 1"" 1""lEa 11' (a*) I

una función proporcional a la primeprimeEl error error al evaluar evaluar una función en un argumento argumento inexacto inexacto es proporcional punto donde ha evaluado. ra derivada derivada de la función función en el punto donde se ha evaluado. yy

f'(a) f'(a)

f(x) f(x) Ef =f(a*) - f(a) f(a*) f(a*) I---....---------~;;;........------~ I----.---------~;;......-------

f(a) f(a) I----'-------~

Figura 1.6 Gráfica de una función fu nción y su primera primera derivada derivada en a.

E a* -a E = = a*-a II II

a

a*

x

t .4 Algoritmos y estabilidad estabilidad tema fundamental El tema fundamental de este este libro libro es el estudio, estudio, selección selección y aplicación aplicación de algoritmos, algoritmos, que que se definen para obtener definen como como secuencias secuencias de operaciones operaciones algebraicas algebraicas y lógicas lógicas para obtener la solución solución de varios algoritmos para resolver resolver un problema problema parparproblema. Por Por lo general, un problema. general, se dispone dispone de varios algoritmos para

20

Métodos numéricos


ticular; uno de los criterios de selección es la estabilidad del algoritmo; esto es, que a pequeños errores de los valores manejados se obtengan pequeños errores en los resultados finales. Supóngase que un error E se introduce en algún paso en los calculos.y que el error de propagación de n operaciones subsiguientes se denota por EIl' En la práctica, por lo general se presentan dos casos. a)

En I '" n e E, donde e es una constante independiente

de

11; se dice entonces

que la propagación del error es lineal. b)

I EIl I '" k" E, para k » 1; se dice entonces que la propagación del error es exponencial.

La propagación lineal de los errores suele ser inevitable; cuando e y E son pequeños, los resultados finales normalmente son aceptables. Por otro lado, la propagación exponencial debe evitarse, ya que el término k" crece con rapidez para valores relativamente pequeños de n. Esto conduce a resultados finales muy poco exactos, sea cual sea el tamaño de E. Como consecuencia, se dice que un algoritmo con crecimiento lineal del error es estable, mientras que un algoritmo con una propagación exponencial es inestable (véase Fig. 1.4).

(

En

Propagación exponencial En= k'IE

0

Figura 1.7 Propagación lineal y propagación exponencial de errores.

0

Propagación lineal E,/= nce

0 0 E

f,'!J

[!]

2

3

[!]

G

4

5

G

G

G

G

6

7

8

9

[

n

10

Ejercicios 1.1

Error de redondeo al restar dos números casi iguales. Vamos a considerar las ecuaciones 31.69x

+ 14.31 Y

13.05x + 5.89 Y

= 45.00 = 18.53

(1) (2)

La única solución de este sistema de ecuaciones es (redondeando a cinco cifras decimales) x = 1.25055, Y = 0.37527. Un método para resolver este tipo de problemas es multiplicar la ecuación (1) por el coeficiente de x de la ecuación (2), multiplicar la ecuación

Errores Errores

pequefinales. el error r lo ge-

21

coeficiente de x de la ecuación ecuación (1) y después después restar (2) por por el coeficiente restar las ecuaciones ecuaciones resultantes. resultantes. Para este sistema sistema se obtendría obtendría (como (como los coeficientes coeficientes tienen dos cifras cifras decimales, decimales, todas Para este tienen dos todas las las operaciones intermedias intermedias se efectúan efectúan redondeando dos cifras cifras decimales): decimales): operaciones redondeando a dos [13.05 (14.31) - 31.69 31.69 (5.89) (5.89)] ] Y Y [13.05

13.05 (45.00) (45.00) - 31.69 31.69 (18.53) (18.53) 13.05

(186.75 - 186.65) 186.65) Y Y (186.75

ntonces

587.25 - 587.22 587.22 587.25 0.03 0.03

0.10 Y 0.10

donde y = = 0.3, 0.3, luego luego de donde

res ex-

x = -,(_ _(_18_.5_3_) 18.53 - 1.77 = 16.76 16.76 = 1.28 l.28 18_.5_3-,-)_-_5._89--,-(0_.3_) -_5._89_(-,--0_.3-,-) = 18.53 13.05 13.05 13.05 13.05 13.05 13.05

pequen expoamente tamaño es estaig. 1.4).

Para la variable Para variable x EA = = I1 1.28 - 1.25 l.25 Il = = 0.03 0.03;;

= 2.4% 2.4% =

ER =0 0.03/.1.25 = 0.024; 0.024; ER = .0311.25 =

ERP ERP

ER = 0.08/0.38 0.08/0.38 = = 0.21; 0.21; ER =

ERP 21% ERP = = 21%

Para la variable Para variable yy = Il 0.3 - 0.38 0.38 Il = = 0.08; 0.08; EA = 1.2

Error de redondeo redondeo al sumar sumar un número número grande grande y uno uno pequeño. pequeño. Error Considere la sumatoria sumatoria infinita Considere infinita ... +_1 +_1_+ ... ~ = J...+~+~+~+~+ ... _ + ... ss=f= i: J..=~+~+~+~+~+ 11 = =1 1 n 22 tl 1 4 9 16 25 100 resulta (usando precisión sencilla y 5000 5000 como como valor valor final final de n) 1.644725 1.644725 si se suma suma de izresulta (usando precisión sencilla quierda a derecha, derecha, pero 1.644834 si se suma suma de derecha derecha a izquierda, izquierda, a partir quierda pero resulta resulta 1.644834 partir de 5000. n = 5000. Debe notarse que el resultado resultado de sumar sumar de derecha derecha a izquierda izquierda es más exacto, ya que que Debe notarse que más exacto, en todos los términos suman valores igual magnitud. en todos los términos se suman valores de igual magnitud. Por el contrario, contrario, al sumar sumar de izquierda izquierda a derecha, derecha, una que se avanza avanza en la sumasumaPor una vez vez que toda, sumarán números cada vez grandes con con números toria, se sumarán números cada vez más más grandes números más más pequeños. pequeños. anterior se corrobora corrobora si se realiza suma en ambos ambos sentidos, sentidos, pero ahora con con doLo anterior realiza la suma pero ahora ble El resultado obtenido es 1.64473408684689 1.64473408684689 (estos (estos resultados ble precisión. precisión. El resultado obtenido resultados pueden pueden variar variar de máquina máquina a máquina). máquina).

1.3

Reducción de errores. errores. Reducción Para resolver ecuación cuadrática cuadrática Para resolver la ecuación

100 xX22

-

= O, O, 10011 x + 10.011 =

método común común sería sería usar fórmula el método usar la fórmula

x= x=

±.) b22 - b +.) 2a 2a

-

4ae

,

después de dividir dividir la ecuación ecuación entre entre 100. después xX22 --100.11 0.10011 = O 100.11 x + 0.10011 100.11 ± .)(-100.11)2 .)(-100.11)2-4(0.10011) 100.11 - 4(0.10011) x = ------'-----'-----'------'- -- - - - -- --'-------'2

22

Métodos nu numéricos aplicados a a la in ingeniería Métodos méricos aplicados gen iería

., Trabajando con con aritmética aritmética de cinco cinco dígitos dígitos Trabajando

x= x =

100.11 ± -J 1 10022 0.40044 100.11 0022 - 0.40044 22

=

100.11 ± ..J1Oo22 -J 10022 100.11 22

= ------=

={

=

= 100.11 ± 100.11 100.11 = { 200.22 200.22 = 100.11 100 11 222' 2 O O

soluciones verdaderas, cinco dígitos dígitos decimales decimales son son 100.11 y 0.00100. 0.00100. Las soluciones verdaderas, redondeadas redondeadas a cinco El método empleado fue adecuado adecuado para solución mayor, El método empleado para la solución mayor, pero pero no del todo todo para para la solución menor. soluciones fueran fueran divisores divisores de otras otras expresiones, expresiones, la solución solución x = =O O solución menor. Si las soluciones hubiese causado causado problemas serios. hubiese problemas serios. dos números "casi iguales" (números iguales iguales en aritmética aritmética de cinco cinco dígidígiSe restaron restaron dos números "casi iguales" (números sufrieron pérdida exactitud. tos) y sufrieron pérdida de exactitud. ¿Cómo evitar evitar esto? esto? Una forma sería sería reescribir expresión para solución de una ¿Cómo Una forma reescribir la expresión para la solución una ecuación cuadrática cuadrática a fin de evitar evitar la resta "casi iguales". iguales". ecuación resta de números números "casi caso, se da en el signo signo negativo asignado a la raíz cuadrada; esto es El problema, problema, en este caso, negativo asignado raíz cuadrada;

- -J b2 -b -.J

-

4ae

2a 2a Multiplicando numerador denominador por -b + .Jb .Jb22 Multiplicando numerador y denominador por -b (-b -- .Jb .Jb22 (-b

-

4a

e) (-b (-b + .Jb .Jb 2 e) 2

(-b +.J +.J b2 2a (-b

-

-

4a

4ae)

4ae 4ac

Usando esta expresión expresión con con a = 1, b Usando esta (0.10011 ) 2 (0.10011

ee )

-

queda 4a e, queda

(-b)2)2 - (b22 - 4ae) (-b 4ae)

2a (-b (-b + .Jb .Jb22 2a

-

ae) 4a

2e 2e

= -100.11 -100.11, , y e = = 0.10011 0.10011, , se obtiene obtiene =

0.20022 0001 .,' , . de Cll1CO dí19ltOS (en antmetlca . . d'· 0.20022 --antmenca CInCO 19ltOS) -- - =. = 0001 .

100.11 + .J10022 .J10022 100.11

200.22 200.22

que es el valor valor verdadero, cinco dígitos dígitos decimales. decimales. que verdadero, redondeado redondeado a cinco Esta forma forma alternativa alternativa para calcular una ecuación cuadrática, cuadrática, caEsta para calcular una raíz raíz pequeña pequeña de una una ecuación siempre produce exacta que que la de la fórmula fórmula usual (véase Probo 2.31). 2.31). si siempre produce una una respuesta respuesta más más exacta usual (véase

1.4

Más sobre sobre reducción errores. Más reducción de errores. desea evaluar evaluar la expresión expresión A / ( 1 - sen sen x ), en x = 41'.' . En tablas con cinco cinco cifras cifras Se desea = 89° 41 tablas con decimales, sen sen 89° 41' 41' = = 0.99998. 0.99998. Con Con aritmética aritmética de cinco cinco dígitos dígitos y redondeando decimales, redondeando se tiene tiene sen x = = 0.99998 = 0.00002 0.00002 sen 0.99998 y 1 - sen x = sen x sólo sólo tiene cuatro dígitos dígitos exactos exactos (confiables). (confiables). Por otro lado, lado, el únitiene cuatro Por otro úniEl valor valor de sen dígito que que no es cero cero en 1 - sen sen x se ha calculado con con el dígito dígito no confiable confiable de sen x, co dígito ha calculado por que se pudo exactitud en la resta. por lo que pudo perder perder la exactitud resta. Esta situación situación de arriba arriba puede observando que que Esta puede mejorarse mejorarse observando

( 11 - sen x ) ( 1 + sen x ) ----------- - - - - -- 1 - sen x == sen x 1 + sen

sen22 x 1 - sen

cos22 XX

sen x 1 + sen

sen x 1 + sen

Errores Errores

23

Por una forma Por esto, esto, es posible posible escribir escribir 1 - sen sen x de una forma que que no incluye incluye la resta resta de dos números meros casi casi iguales. iguales.

1.5 1.5

Comparaciones seguras. seguras. Comparaciones

En los los métodos métodos numéricos, numéricos, a menudo menudo la comparación comparación de igualdad igualdad de dos números números en notación tación de punto punto flotante flotante permitirá permitirá terminar terminar la repetición repetición de un conjunto conjunto de cálculos cálculos (pro(proceso iterativo). En vista recomendable comparar ceso cíclico cíclico o iterativo). vista de los errores errores observados, observados, es recomendable comparar la diferencia diferencia de los dos números números en valor valor absoluto absoluto contra contra una una toleranci toleranciaa E apropiad", apropiad", usando usando por ). Esto por ejemplo ejemplo el operador operador de relación relación menor menor o igual ( :s; ::;). Esto se ilustra ilustra enseguida. enseguida. En lugar lugar de

100. ara la

x=o

SI X == Y ALTO; ALTO; En caso caso contrario contrario REPETIR REPETIR las instrucciones instrucciones 5 a 9

dígi-

Deberá Deberá usarse: usarse: e una

SI ABS (X (X - Y):S; Y)::;

E ALTO; ALTO;

en caso caso contrario contrario REPETIR REPETIR las instrucciones instrucciones 5 a 9.

En lugar lugar de

to es

REPETIR REPETIR Pasos de un ciclo ciclo } { Pasos

HASTA HASTA QUE QUE X = Y Deberá Deberá usarse usarse REPETIR REPETIR

{ Pasos Pasos de un ciclo} ciclo} HASTA HASTA QUE QUE ABS ( X - Y):S; Y)::;

E

donde donde E es un número número pequeño pequeño (generalmente (generalmente menor menor que que uno, uno, pero pero puede puede ser mayor, mayor, dependiendo indicará la cercanía pendiendo el contexto contexto en que se trabaje) trabaje) e indicará cercanía de X con Y Y que que se aceptará aceptará como "igualdad" "igualdad" de X y Y. como

1.6 a, ea2.31).

cifras tiene

lúnisen x,

Análisis resultados. Análisis de resultados. Al ejecutar ejecutar las siguientes siguientes instrucciones instrucciones en Visual Visual Basic Basic con doble doble precisión precisión y en en Matlab, Matlab, se tiene, tiene, respectivamente: respectivamente:

Y As Double Double,, A A as Double Dim Y Y=lOOO.2 Y=lOOO .2 A=Y-IOOO A=Y-IOOO A Print A

format long Y=lOOO.2; Y=lOOO .2; A=Y-IOOO A=YIOOO

obtiene: Se obtiene: 0.200000000000045 0.200000000000045

obtiene: Se obtiene: 0.20000000000005 0.20000000000005

Ejecute las mismas mismas instrucciones instrucciones pero pero usando usando Y = = 1000.25. 1000.25. Los Los resultados resultados ahora ahora son Ejecute conectas. Explíquelo. Explíquelo. correctos.

.v"

24

Métodos a la ingeniería ingeniería Métodos numéricos numéricos aplicados aplicados a

precisión pueden pueden manejarse manejarse alrededor En doble doble precisión alrededor de quince quince dígitos dígitos decimales decimales de exacexactitud, de modo modo que resta de arriba representa titud, que la resta arriba se representa 1000.200 1000.200 - 1000.000 1000.000 La binario dando número infinito ceros y unos, unos, y alLa computadora computadora convierte convierte Y a binario dando un número infinito de ceros macena distinto a 1000.2 1000.2 (véase (véase Probo 1.6 b), macena un número número distinto b). Por otro puede almacenar representar exactamente Por otro lado, lado, 1000 1000 sí se puede almacenar o representar exactamente en la compucomputadora en binario binario en punto punto flotante números con númeíOs tadora flotante (los números con esta esta característica característica se llaman llaman números máquina). Al Al efectuarse resta se obtiene número diferente Esto muestra muestra por por máquina). efectuarse la resta obtiene un número diferente de 0.2. Esto qué resultado de un dispositivo de aceptarlo. qué deberá deberá analizarse analizarse siempre siempre un resultado dispositivo digital digital antes antes de aceptarlo.

1.7

Más sobre sobre análisis análisis de resultados. resultados.

método de posición posición falsa punEl método falsa (véase (véase sección sección 2.4) 2.4) obtiene obtiene su algoritmo algoritmo al encontrar encontrar el punxo..)'o ), ((xi' x /' YI) Y el eje X . Pueden Pueden recta que pasa por por los puntos puntos ( xo'.Yo to de corte corte de la línea línea recta que pasa Y¡ ) y eje x. obtenerse para encontrar punto de corte obtenerse dos expresiones expresiones para encontrar el punto corte xMM .) . 1 XM

= XI Yo -

Xo

YI

..)

II

~-~

_ (x o - xI) Yú X M - X D - -=-----'---''' ~-~

==((2.13,4.19) 2.13, 4.19 ) Y x¡ , YI) Y¡ ) = == (1.96, (1.96, 6.87) 6.87 ) Y aritmética de tres dígiSi (xoD' , Yo) = Y (( "'(1' Y usando usando aritmética tres dígitos y redondeando, redondeando, ¿cuál mejor expresión por qué? tos ¿cuál es la mejor expresión y por qué?

Solución Solución

Sustituyendo Sustituyendo en i) y en ii) i)

xX

ii)

x

= 1.96 (4.19) 2.13 (6.87) ==1.96 (4.19) - 2.13 (6.87) 4.19-6.87 4.19-6.87

M M

M M

= 2.38 2.38

==

= 2.13 _ (2.13 - 1.96) 4.19 = 2.40 ==2.13(2.13-1.96)4.19==2.40 4.19 6.87 4.19 - 6.87

Al calcular calcular los errores errores absoluto absoluto y relativo, .omando como como valor relativo, yy lomando valor verdadero verdadero a 2.395783582, 2.395783582, cual se calculó calculó con con aritmética aritmética de 13 dígitos, dígitos, se tiene: el cual tiene:

i) EA = 2.395783582 - 2.38 0.015783582 ==2.395783582 2.38 = ==0.015783582 0.015783582 0.015783582 2.395783582 2.395783582

ER ER

0.006588066 0.006588066

==2.395783582 ii) EA = 2.395783582 - 2.40 2.40 ==0.004216418 = 0.004216418 ER

0.004216418 = ==0.001759932 = 0.004216418 0.001759932

==

2.395783582 2.395783582 donde es evidente evidente que que la forma forma ii) es mejor. sugiere a11ector al lector reflexionar sobre el por de donde mejor. Se sugiere reflexionar sobre por qué.

Problemas Problemas 1.1

Proporcione los símbolos símbolos o numerales correspondientes a los siguientes siguientes símbosímboProporcione los numerales romanos romanos correspondientes los arábigos arábigos los 100, 1000, 1000, 10000, 10000, 100000, 100000, 1000000 1000000 10, 100,

Errores

1.2

Convierta" los siguientes números decimales a los sistemas con base 2 y base 8, y viceversa. a) 536

1.3

y alpu-

1.4

b) 923

e) 1536

d) 8

e) 2

f)

10 g)

o

Convierta los siguientes números enteros del sistema octal a binario y viceversa. a) 777

eras por o.

25

b)

573

e) 7

d) 2

e) 10

f)

O

Resuelva las siguientes preguntas. a) ¿El número 101121 pertenece al sistema binario? b) ¿El número 3852 pertenece al sistema octal?

Si su respuesta es NO en alguno de los incisos, explique por qué; si es sÍ, conviértalo(s) a decimal.

1.5 un-

den

Convierta los siguientes números dados en binario a decimal y viceversa, usando la conversión a octal como paso intermedio a)

1.6

1000

1.7

1.10

1.11 1.12 1.13

b) 0.2

e) 0.973

d) 0.356

b) 0.010101 e) 0.0001

e)

0.713

0.10

dados en binario, a decimal

d) 0.11111

e) 0.00110011

b) 10.1 h) -0.9389

e) 888.222

e) 977.93

d) 3.57

j) 0.357

En la sección 1.2 se dijo que cada palabra de 16 bits puede contener un número entero cualquiera del intervalo -32768 a +32767. Investigue por qué se incluye al-32768, o bien por qué el intervalo no inicia en -32767. Considere una computadora con una palabra de 8 bits. ¿Qué rango de números enteros puede contener dicha palabra? Represente el número -26 en una palabra de 8 bits. Dados los siguientes números máquina en una palabra de 16 bits a)

b) 01"

o~

e)

¿Qué decimales representan? 1.14

f)

Repita los incisos a) af) del problema 1.7, pero pasando a octal como paso intermedio. Convierta los siguientes números, dados en decimal, a octal y binario. a) 985.34 g) 0.9389

82,

e) 111111

Convierta los siguientes números fraccionarios, a) 0.1 f) 0.0110111

1.8 1.9

10101

Convierta los siguientes números fraccionarios dados en decimal, a binario y octal a) 0.8

ígi-

b)

Normalice los siguientes números

0-

a) 723.5578

, Puede usar el Programa

b) -15.324

e) 0.003485

1.1 del disco para comprobar

d) 8 X 103

sus resultados.

--------------------------_._--------26

Métodos numéricos numéricos aplicados aplicados a a la ingeniería Métodos

SUGERENCIA: normalizados. SUGERENCIA: Pasar los números a binario y despúes normalizarlos.

1.15 1.16

Represente en doble doble precisión precisión el número número decimal decimal del ejemplo ejemplo 1.10 Represente Elabore un programa programa para para la calculadora calculadora o el dispositivo dispositivo de cálculo cálculo con el que se cuente, cuente, Elabore modo que que el número número 0.0001 0.0001 se sume sume diez diez mil veces veces consigo consigo mismo mismo de modo

0.0001 0.0001 + 0.0001 0.0001 + ... ... + 0.0001 0.0001 10000 1 2 10000 resultado deberá deberá imprimirse. imprimirse. Interprete Interprete este este resultado resultado de acuerdo acuerdo con con los siguientes siguientes liEl resultado neamientos neamientos ¿cómo es posible posible si se sumaron sumaron diez diez mil mil valores valores que no son son realmente realmente a) Si es 1, ¿cómo 0.0001 ? 0.0001 caso de obtener obtener 1, explore explore con el valor valor 0.00001,0.000001, 0.00001,0.000001, etc., etc., hasta hasta obtener obtener un b) En caso resultado diferente diferente de ll.. resultado posible obtener obtener un resultado resultado menor menor de 1? ¿Por ¿Por qué? qué? e) ¿Es posible

1.17

Con el programa programa del problema problema l.16 l.16 efectúe efectúe los cálculos cálculos de los incisos incisos a) a d) del ejemplo ejemplo Con l.12 y obtenga obtenga los resultados resultados de la siguiente siguiente manera manera l.12 Inicialice la variable SUMA con O, O, 1, 1000 Y 10000 10000 en los incisos incisos a), by, e) y d), resa) Inicialice variable SUMA pectivamente, y luego luego en un ciclo ciclo súmese súmese a ese valor valor diez diez mil veces veces el 0.0001. 0.000l. Anote Anote pectivamente, resultados. sus resultados. Inicialice la variable variable SUMA SUMA con con O para para los cuatro cuatro incisos incisos y al final final del ciclo ciclo donde donde b) Inicialice habrá sumado sumado 0.0001 0.0001 consigo consigo mismo mismo 10000 10000 veces, veces, sume sume a ese ese resultado resultado los núse habrá meros O, O, 1, 1000 1000 Y 10000 10000 e imprima imprima los resultados. resultados. meros Interprete las diferencias diferencias de los resultados. resultados. Interprete

1.18

mayoría de las calculadoras calculadoras científicas científicas almacenan almacenan dos o tres dígitos dígitos de seguridad seguridad más de La mayoría despliegan. Por Por ejemplo, ejemplo, una una calculadora calculadora que despliega despliega ocho ocho dígitos dígitos puede puede almacealmacelos que despliegan. realmente diez (dos dígitos dígitos de seguridad); seguridad); por por tanto, tanto, será un dispositivo dispositivo de diez dígitos. dígitos. nar realmente Para encontrar encontrar la exactitud exactitud real de su calculadora, calculadora, realice realice las siguientes siguientes operaciones. operaciones. Para Divida 10 entre entre 3, al resultado resultado réstele réstele 3. Divida Divida 100 entre entre 3, al resultado resultado réstele réstele 33. Divida Divida 1000 1000 entre entre 3, al resultado resultado réstele réstele 333. Divida Divida 10000 10000 entre entre 3, al resultado resultado réstele réstele 3333. 3333. Divida Notará que la cantidad cantidad de los números números 3 desplegados desplegados se va reduciendo. reduciendo. Notará La cantidad cantidad de 3 desplegada desplegada en cualquiera cualquiera de las operaciones operaciones anteriores, anteriores, sumada sumada al númenúmeLa ceros utilizados utilizados con con el 1, indica indica el número número de cifras cifras significativas significativas que que maneja maneja su calcalro de ceros culadora. Por Por ejemplo, ejemplo, si con con la segunda segunda operación operación despliega despliega 0.3333333 0.3333333 la calculadora calculadora culadora. maneja nueve cifras cifras significativas significativas de exactitud exactitud (7 + 2 ceros ceros que tiene tiene 100). maneja nueve NOTA: Si su su calculadora calculadora es del del tipo tipo intérprete intérprete BASIC, no realice las operaciones operaciones como NOTA:

1000/3-333porque otros resultados. resultados. 1000/3-333 porque obtendrá otros 1.19 1.19

1.20 1.21 1.22

Evalúe la expresión expresión A / ( 1-cos 1-cos x), x ), en un valor valor de x cercano cercano a O°. O°. ¿Cómo ¿Cómo podría podría evitar evitar la Evalúe resta de dos números números casi casi iguales iguales en el denominador? denominador? resta Determine en su calculadora calculadora o microcomputadora microcomputadora si muestra mensaje de overflow overflow o no. Determine muestra un mensaje Deduzca las expresiones expresiones para para xMM dadas dadas en el ejercicio ejercicio 1.7. l.7. Deduzca Un número máquina máquina para para una una calculadora calculadora o computadora computadora es un número número real que se almacealmaceUn número exactamente (en forma forma binaria binaria de punto punto flotante) flotante). . El número número -125.32 -125.32 del ejemplo ejemplo l.1O, na exactamente

Errores

ente, 1.23 1.23 1.24 1.24 1.25 1.25

1.26 1.26

evidentemente no es un número número de máquina máquina (si el dispositivo dispositivo de cálculo cálculo tiene tiene una una palabra evidentemente palabra de bits). Por lado, el número número -26 -26 del ejemplo ejemplo 1.8 sí lo es, empleando empleando una palabra palabra de 16 16 bits). Por otro lado, 18] ] cuando bits. Determine Determine 10 números números de máquina máquina en el intervalo intervalo [10-1919, , 10 18 cuando se emplea bits. emplea una palabra de 16 bits. palabra Investigue cuántos cuántos números números máquina máquina positivos posible representar representar en una una palabra Investigue positivos es posible palabra de 16 bits. Haga el análisis análisis de la propagación propagación de errores errores para para la resta (véase análisis análisis de la suma, Haga resta (véase suma, en la sección 1.3). sección 5x en el punto desea evaluar evaluar la función función e5x punto x = = 1.0; sin embargo, embargo, si el valor valor de x se calcuSe desea calcupaso previo previo con con un pequeño pequeño error error y se tiene tiene x* = = 1.01 1.01;; determine determine E¡ Ef con ló en un paso con las exexpresiones dadas dadas en la evaluación evaluación de funciones funciones de la sección sección 1.3. Luego Luego determine determine Ef presiones E¡ co(l.01) Y compare compare los los resultados. resultados. mo f (1) - f (1.01) Resuelva el siguiente siguiente sistema sistema de ecuaciones, ecuaciones, usando usando dos cifras cifras decimales decimales para para guardar Resuelva guardar los resultados intermedios intermedios y finales. finales. resultados 21.76x + 24.34y 24.34y = = 1.24 21.76x

1.27 1.27

14.16x + 15.84y 15.84y 14.16x

= 1.15 =

determine el error error cometido. cometido. La solución solución exacta exacta (redondeada (redondeada a 5 cifras cifras decimales decimales es) x y determine -347.89167, = 311.06667 311.06667. . -347 .89 167 , Y = Codifique el siguiente siguiente algoritmo algoritmo en su microcomputadora (use precisión precisión sencilla) sencilla) Codifique microcomputadora (use

= =

PASO ll.. Leer Leer A. PASO PASO 2. Mientras Mientras A>O, repetir repetir los los pasos PASO pasos 3 y 4. PASO 3. IMPRIMIR IMPRIMIR Ln(Exp(A»-A, Ln(Exp(A))-A, Exp(Ln(A»-A Exp(Ln(A))-A PASO PASO 4. 4. Leer Leer A. PASO PASO 5. TERMINAR. TERMINAR. PASO

nde nú-

de ceitos,

27

Ejecútelo con con diferentes diferentes valores valores de A, por por ejemplo ejemplo 0.2, 0.25, 0.25, 1, 1.5, l.5, 1.8, 2.5, 3.14159, 3.14159, Ejecútelo 0.008205, , etc., etc., y observe resultados. observe los resultados. 0.008205 1.28 1.28 1.29 1.29

Modifique el programa programa del problema problema del ejemplo ejemplo 1.27 usando usando doble doble precisión precisión para Modifique para A y compare los resultados. resultados. compare Modifique el paso paso 3 del programa programa del problema problema 1.27 para para que quede quede así Modifique IMPRIMIR SQR(A IMPRIMIR SQR(A

fI A

SQR(A) 2) - A, SQR(A)

fI A

2- A

vuelva a ejecutarlo ejecutarlo con con los mismos mismos valores. valores. y vuelva 1.30 1.30

1.31 ealora

la no. celO,

Realice la modificación modificación indicada problema 1.29 al programa programa del problema problema 1.28. Realice indicada en el problema Compare los resultados. resultados. Compare Repita los problemas problemas 1.27 l.27 a 1.30 l.30 con con lenguaje lenguaje Pascal Pascal (puede (puede usar usar Delphi, Delphi, por por ejemplo), Repita ejemplo), con lenguaje lenguaje Visual Visual C++ y compare compare los resultados resultados con con los obtenidos obtenidos en Basic. Basic. con

CAPiTULO CAPÍTULO

2

SOLUCiÓN DE ECUACIONES ECUACIONES NO NO LINEALES A dónde dónde nos dirigimos dirigimos En estudiaremos diversos para ~esolver En este este capítulo Y.'lPítuloestudiaremos diversos métodos métodos para resolver ecua<;iones ecuaciones no lineales lineales en una una incógnita,f(x) incógnita,f(x) = = O, O, aprovechando aprovechando los conceptos conceptos básicos básicos del cálculo cálculo y las posibiliposibilidades gráficas de cómputo técnología modema. dades gráficas y de cómputo de la tecnología modema. A lq lo largo largo del texto, texto, recunirerecurriremos los métodos, mos sistetnáticámente sistemáticamente a la interpretación interpretación gráfica gráfica de los métodos, a fin de mostrar mostrar visualmente visualmente su fu,ncionamiento funcionamiento y de d~ enriquecer enriquecer las imágenes imágenes asociadas asociadas con con ellos;. ellos; de iguai máriera, máriera, se generan generan tablas tablas en la aplicación aplicación cte de cada cada técnica técnica para para analizar analizar el comcomigúiti portamiento portamiento numérico numérico y eventualmente eventualmente detener detener el proceso. proceso. organizado el material material como como métodos métodos de uno uno y de dos puntos, puntos, usando como Se ha organizado usando como prototipo de los primeros primeros el de punto punto fijo, y de los segundos segundos el de posición posición falsa. falsa. Esto, Esto, prototipo junto con el concepto concepto de orden orden de convergencia, convergencia, nos permitirá permitirá tener tener los elementos elementos sujunto con ficientes para para seleccionar seleccionar la técnica técnica más más adecuada adecuada para para una una situación situación dada. dada. Finalizamos Finalizamos ficientes el capítulo capítulo con con las técnicas técnicas para para resolver resolver ecuaciones ecuaciones polinomiales. polinomiales. Algunas Algunas de ellas ellas son adaptaciones adaptaciones de las que estudiamos estudiamos anteriormente anteriormente y otras otras particulares particulares para para esta esta familia. familia;' El propósito propósito de este este capítulo capítulo es que que el lector lector cuente cuente con los elementos elementos básicos, básicos, comcomputácionales y de critello, criterio, apropiados apropiados para para resolver resolver el problema problema algebraico algebraico clásico clásico de enputacionales contra¡' las las raíces raíces reales reales y complejas complejas de la ecuación ecuación f (x)=O, en donde donde las técnicas técnicas algebraicas algebraicas de "despejar" "despejar" la incógnita incógnita no sean sean aplicables, aplicables, como como es el caso caso de cos cos x - 3x = = O o eX e' - 3x = = O, O, o bien bien resulten resulten imprácticas. imprácticas. Por Por último, último, es importante importante señalar señalar lo difícil difícil que resulta resulta pensar pensar en un tópico tópico de matemáticas matemáticas o ingeniería ingeniería que no involucre involucre ecuaciones ecuaciones de esta esta naturaleza. naturaleza.

Introducción Uno Uno de los problemas problemas más frecuentes frecuentes en ingeniería ingeniería es encontrar encontrar las raíces raíces de ecuaciones ecuaciones de la formaf(x) formaf(x) = = O, O, dondef(x) dondef(x) es una función función real de una una variable variable x, como como un polinomio polinomio en x

ff(x) (x)

= = 4 x55 + XX 3 - 8 x + 2

o una una función función trascendente' trascendente'

f

(x) = = ee'T sen x + In 3x + x33

Existen Existen distintos distintos algoritmos algoritmos para para encontrar encontrar las raíces raíces o ceros ceros de f (x) = = O, O, pero pero ninguninguno es general. general. es decir, decir, no hay hay un algoritmo algoritmo que que funcione funcione con con todas todas las ecuaciones; ecuaciones; por por ejemplo, ejemplo, se puede puede pensar pensar en un algoritmo algoritmo que que funcione funcione perfectamente perfectamente para para encontrar encontrar las raíces una ecuación raíces de f l l (x) (x) = = O, O, pero pero al aplicarlo aplicarlo no se pueden pueden encontrar encontrar los ceros ceros de una ecuación distinta j, (x) = O. tintaf2 (x ) =

, Las Las funciones funciones trascendentes trascendentes contienen contienen términos términos trigonométricos, trigonométricos, exponenciales exponenciales o logarítmicos logarítmicos de de la variable variable independiente. independiente.

30

Métodos numéricos


Sólo en muy pocos casos será posible obtener las raíces exactas de cuando f (x) es un polinomio factorizable, tal como f(x) = (x-xI)

(x-x2)

f

(x) = O, como

... (X-XII)'

donde Xi' 1 ::::;i ::::; n denota la i-ésima raíz de f (x) = O. Sin luciones aproximadas al utilizar algunos de los métodos empezará con el método de punto fijo (también conocido sivas, de iteración funcional, etc.), por ser el prototipo de

embargo, se pueden obtener sonuméricos de este capítulo. Se como de aproximaciones sucetodos ellos.

2.1 Método de punto fijo Sea la ecuación general f(x) =0,

(2.1)

de la cual se desea encontrar una raíz real" X. El primer paso consiste en transformar algebraicamente equivalente X

la ecuación 2.1 a la forma

= g (x)

(2.2)

Por ejemplo para la ecuación f (x)

= 2x2 -

X- 5

cuyas raíces son 1.850781059 y -1.350781059,

=O

algunas posibilidades de x

a) x=2x2-5

"despejando"

b) x=JX;5

"Despejando" x del primer término.

e) x=--

5 2x- 1

el) x=2x2-5 e) x=x-

(2.3)

=g

(x) son

el segundo término. (2.4)

Factorizando x y "despejándola". Sumando x a cada lado.

2x2-x-5 4x- 1

Véase sección 2.2

Una vez que se ha determinado una forma equivalente (Ec. 2.2), el siguiente paso es tantear una raíz; esto puede hacerse por observación directa de la ecuación (por ejemplo en la Ec. 2.3 se ve directamente que x = 2 es un valor cercano a una raíz)." Se denota el valor de tanteo o valor de inicio como xo' Otros métodos de tanteo se estudiarán en la sección 2.8. Una vez que se tiene xo, se evalúa g (x) en xo, denotándose el resultado de esta evaluación como xl; esto es, . g (xo) = XI

El valor de

xI

comparado con Xo presenta los dos siguientes casos:

* En las secciones 2.9 y 2.10 se analizará el caso de raíces complejas . •• Puede graficar usando un paquete comercial.

Solución Solución de ecuaciones ecuaciones no lineales lineales

omo

1. QUE QUE XI x, CASO 1.

31

=xOo =x

Esto Esto indica indica que se ha elegido elegido como como valor valor inicial inicial una una raíz raíz y el problema problema queda queda concluido. concluido. Para aclararlo, aclararlo, recuérdese recuérdese que si x es raíz raíz de la ecuación ecuación 2.1 2.1,, se cumple que Para cumple que so. Se uce-

= = O,

f(x) f(x)

y como rearreglo de la ecuación como la ecuación ecuación 2.2 es sólo sólo un rearreglo ecuación 2.1 2.1,, también también es cierto cierto que

g g (x)=x (x ) = x . Si se hubiese hubiese elegido elegido como como Xoo = = 1.850781059 1.850781059 para para la ecuación ecuación 2.3, 2.3, el lector lector puede puede verificar que que cualquiera cualquiera que que sea la g (x (x)) seleccionada, seleccionada, g (1 (1.850781059) = 1.850781059; 1.850781059; esto esto rificar .850781059) = debe a que que 1.850781059 1.850781059 es una raíz ecuación 2.3. Esta característica de g (x) (x) de se debe raíz de la ecuación Esta característica fijar fijar su valor valor en una una raíz raíz x x ha dado dado a este este método método el nombre nombre que lleva. lleva.

2.1)

Es el caso caso más frecuente frecuente e indica indica que que XI x, y Xoo son son distintos distintos de x. x, Esto Esto es fácil fácil de explicar, explicar, ya que si no es una una raíz raíz de 2.1, se tiene tiene que

rma

xx

f(x)=FO, f(x)*O,

2.2)

y por por otro otro lado, lado, evaluando evaluando g (x) en

x,x,se tiene tiene *

(x) =Fx g (x) x .

2.3)

En estas x" denoestas circunstancias circunstancias se procede procede a una segunda segunda evaluación evaluación de g (x) (x),, ahora ahora en x" denotándose el resultado resultado como como x22 tándose

Este Este proceso proceso se repite repite y se obtiene obtiene el siguiente siguiente esquema esquema iterativo iterativo 2.4) Valor inicial: inicial: Valor Primera iteración: iteración: Primera Segunda iteración: iteración: Segunda Tercera iteración: iteración: Tercera

f(x f(x o)o)

xo

g (xo) g (xI) g (x 2)

xI

x2 x3

f(x l ) f(x,) f(x f(x 2) 2) f(x f(x 3) 3) (2.5) (2.5)

o es plo a el ec-

i-ésima iteración: iteración: i-ésima l-ésima iteración: iteración: i + l-ésima

Xi xi +

I

g (X (x¡_,) i_l ) (x) = g (x)

f(x) f(x i + l )

va-

Aunque hay excepciones, generalmente generalmente se encuentra encuentra que que los valores valores xoo, x" ... se van Aunque hay excepciones, x" x22' ' ... acercando a x de manera manera que que x¡ está más cerca cerca de x que que x¡_" bien se van alejando alejando de x x acercando Xi está x i_ " o bien modo que que cualquiera cualquiera está está más lejos lejos que que el valor valor anterior. anterior. de modo para la ecuación ecuación 2.3 se emplea emplea Xoo == 2.0 como como valor valor inicial inicial y las g g (x) (x) de los incisos incisos Si para ecuación 2.4 2.4 se obtiene, obtiene, respectivamente: respectivamente: a) y b) de la ecuación

32

Métodos numéricos


xo=2;g(x)=2x2-5

Xo = 2; g (x)

g (Xi)

Xi

= JX;5

Xi

g (Xi)

2.00000

1.87083

1.87083

1.85349

2

3

3

13

2

13

333

2

1.85349

1.85115

3

333

221773

3

l.85115

1.85083

O

O

Puede apreciarse que la sucesión diverge con la g (x) del inciso a), y converge a la raíz 1.850781059 con la g (x) del inciso b). Finalmente, para determinar si la sucesión xo' x [, x2, ... está convergiendo o divergiendo de una raíz X, cuyo valor se desconoce, puede calcularse en el proceso 2.5 la sucesión f (xo)' f (x 1)' f (x2),· .. Si dicha sucesión tiende a cero, el proceso 2.5 converge a x y dicho proceso se continuará hasta que I f (x) I < el' donde e[ es un valor pequeño e indicativo de ' la exactitud o cercanía de Xi con x. Se toma a Xi como la raíz y el problema de encontrar una raíz real queda concluido. Si por el contrario f (xo)'! (XI)'! (x2), ... no tiende a cero, la sucesión xo, xl' x2' ... diverge de x, y el proceso deberá detenerse y ensayarse uno nuevo con una g (x) diferente.

Encuentre una aproximación a una raíz real de la ecuación cos x - 3 x

Solución

Dos posibilidades de g (x) a) x = cos x - 2 x

=x

=O

son

b)x = cos x / 3

Graficando por separado las funciones cos x y 3x, se obtiene la figura 2.1 (Para graficar puede usar: el guión (script) de Matlab, las indicaciones para la TI-92 Plus o algún otro software comercial).

,~J o'

.AA

x=

-4:

y=cos

O. 1 : 4 ; (x);

z= 3~x; t=zeros plot

(size (x));

(x,y)

axis([-4 hold

on

plot

(x,z)

plot

(x, t)

4 -2 2])

Invoque

el

editor

Y=+W

Escriba

en yl = la primera

Escriba

en y2 = la

función

a graficar:

cos (x)

segunda función

a grafiear:

3*x

Grafique

con zoom estándar

Lleve

cursar

el

gráfico

(F2 6)

al punto

donde se cruzan las

dos funciones. Haga un acercamiento(F2 Use el

trazador

De donde un valor cercano a x es Xo inciso a) . • En el caso de funciones trigonométricas

2)~

(F3) para

ubicar

la

raíz.

= (n/2) /4*. Iterando se obtiene para la forma del

x debe estar en radianes.

Fi Gráfic

Solución de ecuaciones

no lineales

33

0.5 O

-0.5 a la raíz -1

ergien-

ucesión y dicho ativo de contrar cero, la nuevo

-1.5 Figura 2.1 Gráfica de cos x y de 3x.

-2

-4

-3

-2

~l

O

2

3

4

If(Xi)

I

Xi

g (Xi)

O

Tr/8

0.13848

0.25422

1

0.13848

0.71346

0.57498

2

0.71346

-0.67083

1.38429

3

-0.67083

2.12496

2.79579

4

2.12496

-4.77616

6.90113

a TI-92 Se detiene el proceso en la cuarta iteración, porque f (xo),f (x I),f (x2), ... no tiende a cero. Se emplea el valor absoluto de f (x) para manejar la idea de distancia. Se inicia un nuevo proceso con Xo :=: (TrI2)/4 y la forma equivalente del inciso b). Xi

g (x;)

If(Xi)

I

Tr/8

0.30796

0.25422

0.30796

0.31765

0.02907

2

0.31765

0.31666

0.00298

3

0.31666

0.31676

0.00031

4

0.31676

0.31675

0.00003

O

Y la aproximación de la raíz es: a del

.i ""x4:=: 0.31675 Para llevar a cabo los cálculos que se muestran en la tabla anterior, puede usar Matlab o la TI-92 Plus:

~7t--------------------------------------------~=======-=-----------------------------------------34

Métodos Métodos numéricos numéricos aplicados aplicados a la la ingeniería ingeniería

E2_1 E2_1 () ()

format long long format xO=pi xO=pi /

B ;

for i for

1 : 5 5 1

= =

Prgm ClrIO CIrIO : 3.1416/B-+xO 3 . 1416/B-> xO For For i, i , 1, 1, 5 5

x=eos x=eos

(xO) / (xO)

f=abs f=abs

(eos

disp disp

3; 3;

(xO) (xO) - :Ji'xO); YxO) ;

( [xO, [xO , x, x , f]f] )

eos

(xO) (xO) /3-+ / 3-> x

abs abs

(eos

(xO) (xO) -::rxO)-+ -3~xO) -> f

string string (xO) (xO) s" &"

xO=x; xO=x;

"&string(x)-+a " &string(x) -> a

a&" (f) -+ a a&" "string " string(f)->a

ALG

Disp Disp a: a: Pause : x+ x-> xO

end end

EndFor EndFor

Para er

EndPgrm EndPgrm

Matlab Matlab posee posee una una función función que que resuelve resuelve ecuaciones ecuaciones no lineales, lineales, suministrando suministrando la función función yy un un valor valor inicial. inicial. Para Para este este caso caso la instrucción instrucción quedaría: quedaría:

DA' RE PASO PASO

fzero('cos(x) -3*x', fzero('cos(x) -3 *x', pi/8) pi/8) con lo que obtiene: con que se obtiene: ans

= 0.3168 0.3168

=

formato largo (format long) long) y en formato largo (format

PASO

0.31675082877122 ans == 0.31675082877122 La calculadora TI-92 TI-92 Plus función que que resuelve ecuaciones no lineales. lineales. La calculadora Plus también también tiene tiene una una función resuelve ecuaciones La instrucción La instrucción es: nSolve(cos(x) = = 3*x, x) nSolve(cos(x)

resultado es 0.316751 y el resultado 0.316751

CRITERIO DE CONVERGENCIA CRITERIO CONVERGENCIA

Se estudiará basado en que estudiará un criterio criterio más de convergencia convergencia del proceso proceso iterativo iterativo 2.5 2.5,, basado que g (x) (x) = =x .e ,, g por lo cual cual puede puede suponerse suponerse que que si la sucesión sucesión xoo,' xI xl'' x22' ' ...... converge converge a x, x , los valores valores conconpor secutivos entre sí conforme el proceso iterativo avanza, como secutivos xi xi y X i+ +1 irán acercándose acercándose entre conforme proceso iterativo avanza, como i 1 puede puede verse verse enseguida enseguida --

x

-H+---I-1I---Kt1I-------I I I III

x

modo práctico práctico de saber saber si los valores valores consecutivos consecutivos se acercan acercan es ir calculando calculando la disUn modo tancia tancia entre entre ellos ellos di

= I xi Xi + 1 =

Xi I xi

sucesión di' di' d22,, d33,, ... ... tiende tiende a cero, puede puede pensarse pensarse que el proceso proceso 2.5 está converconverSi la sucesión giendo giendo a una raíz raíz x x y debe debe continuarse continuarse hasta hasta que di < < 8E,, Y tomar tomar a Xxi+ 11 como como la raíz raíz buscabuscadi' d22,, d33,, ...... no converge converge para para un número número "grande" "grande" de iteraciones iteraciones (llámense (llámense da. Si dI'

35

Solución ecuaciones no lineales Solución de ecuaciones lineales

MAXIT), Xl' x X22' , ... proceso para para iniciar iniciar uno uno nuenueMAXIT), entonces entonces xoo,' Xl' ... diverge diverge de xx,, y se detiene detiene el proceso vo, vo, modificando modificando la función función g g (x), (x), el valor valor inicial inicial o ambos. ambos. Este utiliza ampliamente análisis numérico resulta Este criterio criterio de convergencia convergencia se utiliza ampliamente en el análisis numérico y resulta más ),f(x ),f(x ), ... pero también más sencillo sencillo de calcular calcular que que el que que emplea emplea la sucesiónj(x sucesiónf(xo),f(x ),f(x ), ... pero también o 1 2l 2 es menos menos seguro, seguro, como como se verá verá más más adelante. adelante. Para método de punto punto fijo en forma forma proproPara finalizar finalizar esta esta sección sección se da un algoritmo algoritmo del método pia lenguajes de programación. pia para para lenguajes programación.

ALGORITMO

2. 1 Método Método de punto punto fUo fUo 2.1

Para encontrar los encontrar una una raíz raíz real real de la ecuación ecuación g (x) (x) = x proporcionar proporcionar la función función G (X) (X) Y los

ción y

DATOS: Valor inicial inicial XO, XO, criterio criterio de convergencia convergencia EPS EPS y número número máximo máximo de iteraciones DATOS: Valor iteraciones MAXIT. MAXIT. RESULTADOS: RESULTADOS: La La raíz raíz aproximada aproximada X o un mensaje mensaje de falla. falla.

PASO 1. l. PASO 2.

PASO 7.

Hacer Hacer 1I = = 1 1 Mientras Mientras 1I
». ».

neales..

EL

CRITERIO CRITERIO

II g' g'

(x) (x)

II < 11

Es importante equivalentes x = = g (x) de dej(x) = O conduconduimportante analizar analizar por por qué qué algunas algunas formas formas equivalentes f (x) = cen aun empleando empleando el mismo mismo valor valor inicial inicial cen a una una raíz raíz en el método método de punto punto fijo y otras otras no, no, aun en ambos ambos casos. casos. Se inicia medio* a la la función inicia el análisis análisis aplicando aplicando el teorema teorema del punto punto medio" función g (x) en el inx i_ 1 y Xi' Xi' tervalo tervalo comprendido comprendido entre entre x¡_l (2.6) ue

donde: donde:

s concomo

Como Como

sustituyendo se obtiene: obtiene: sustituyendo X X ii++11 - Xi

= g' g' (~¡) (~¡) (Xi (x¡ - x¡_l) = x i_ 1)

Tomando valor valor absoluto absoluto en ambos ambos miembros miembros Tomando la dis-

=

11 x¡+l x i+ 1 - x¡ Xi - x¡_l x i_ 1 11 Xi 11 = 11 g' g' (~¡) (~¡) 11 11 x¡

Para Para i = = 1,2,3, 1,2,3, ... ... la ecuación ecuación 2.7 queda queda así:

* Se supone este teorema. teorema. supone que que g (x) satisface satisface las las condiciones condiciones de aplicabilidad aplicabilidad de este

(2.7) (2.7)

36


1X 3 1X 4

X2

- X3

11g' g' (~2) (~2) 1 1X X2

1

- XI XI

1 = 11g' g' (~3) (~3) 1 1X33 -

X22

1

~2 (X22,, XI) ~2 EE (X X I)

1

~3 (X33, , X22)) ~3 E (X

Supóngase región que Xi' .. . y yen Supóngase ahora ahora que que en la región que comprende comprende a xXoo'' xI"" en está acotada; acotada; esto esto es (x) está

(2.8)

misma, la función g' xx misma, función g'

(x) 1 I:S; 11g' g' (x) s M, M,

para algún algún número para número M. Entonces: Entonces:

1xx22 1x33 1x44 --

s s s

XI xl - X Xo 1 X I 1 :s; M 1Xl o x22 1 :s; M 1x22 - xII xII x33 1 :s; M 1x33 -- x22 1

(2.9) (2.9)

sustituye la primera desigualdad en la segunda, segunda, se tiene Si se sustituye primera desigualdad tiene 1:s; s MI M I x22 - XI XI 1 s MM MM 1XI xI -- Xo 1x33 -- x22 11:s; o1

o bien bÍen S M2 1XI xI - Xoo 1 1xx33 - xx22 11:s; sustituye este este resultado desigualdad de la ecuación ecuación 2.9 se tiene Si se sustituye resultado en la tercera tercera desigualdad tiene

1x44 -- x33 11:s; s M 1x33 -- x22 11:s;S MM2 1XI X I -- Xo 1 o 1x4 - x3 1:s; M3 1XI - Xo 1

o

Procediendo de igual igual manera Procediendo manera se llega llega a (2.10) (2.10) converger por diversas, pero evidente que que si M < El proceso proceso 2.5 puede puede converger por razones razones muy muy diversas, pero es evidente 1, dicho dicho proceso convergirá, ya que que Mi Mi tenderá cero al tender grande. 1, proceso convergirá, tenderá a cero tender i a un número número grande. En conclusión, el proceso 2.5 puede converger si M es grande grande y convergirá convergirá si M < 1 En conclusión, proceso 2.5 puede converger entorno de X que que incluya incluya xxoo,, XI' condición en un entorno XI' x x22, , ...... Entonces Entonces M < 1 es urja uria condición suficiente, pero convergencia. suficiente, pero no necesaria necesaria para para la convergencia.

práctico de emplear emplear este este resultado formas XX = = g (x) de f (x) == Un método método práctico resultado es obtener obtener distintas distintas formas O, Y calcular calcular 11g' que satisfagan satisfagan el criterio criterio 11g' (xo) 1< prometerán convergencia al O, g' (x) 1;1;las las que g' (x ) 1 < 1 prometerán convergencia o aplicar el proceso aplicar proceso 2.5.

Ejemplo 2.2 Ejemplo

Calcule una ecuación" Calcule una raíz raíz real real de la ecuación*

f

(x) (x)

= x33 + 2x 2x22 + 10x 10x =

empleando como como valor inicial XXoo = l. empleando valor inicial = 1. *Resuelta por 1225. *Resuelta por Leonardo Leonardo de Pisa Pisa en 1225.

20

= O, O, =


(2.8)

Solución

no lineales

37

Dos formas x = g (x) de esta ecuación son 20

a) x=---x2 + 2x + 10

b) x

y

= x3

+ 2,¿ + llx - 20

de donde nción g' g

,( ) -20(2x + 2) x = (x2 + 2x + 10)2

Sustituyendo

o

X

=

y

g' (x) = 3x2 + 4x + 11

y

I g' (1) I = 8

l.

I g' (1) 1=1 -80

1=0.47

169 (2.9)

De donde la forma a) promete convergencia y la forma b) no. Aplicando el proceso 2.5 y el criterio e = 10-3 a I X¡+l - x¡ I en caso de convergencia, se tiene:

Xi

(2.10)

Ig'

I Xi+1 -Xi I

(X)

O

1.00000 '..

L

1.53846 ,

0.53-846

0.42572

2

1.29502

0.24344

0.45100

3

1.40183

0.10681

0.44047

4

1.35421

0.04762

0.44529

5

1.37530

0.02109

0.44317

6

1.36593

0.00937

0.44412

7

1.37009

0.00416

0.44370

8 9

1.36824 1.36906

0.00184 0.00082

0.44389 0.44380

I

0.47337

Para llevar a cabo los cálculos que se muestran en la tabla anterior, puede usarse Matlab o la TI-92 Plus.

ef(x) = encia al format

long

e2_2 ( )

xO=l; for

Prgm : 9

i=l x=20/

(xO~2+2*xO+10);

dist=abs dg=abs

(x - xO) ; (- 2(J1'

(x"2+2*x disp xü-x: end

([x,

(2*x+2)

+ 10)

dist,

"2)

dg])

Define

g(x)=20/(x~2+2*x+10)

CirIO:

1-t xO

For

l .. ;

g

i , 1, 9 (xO) -t x:

abs

Disp string Pause: x-txO

EndFor EndPrgm

(x - xO) -t d

(x) &" "&string

(d)

38

Métodos

numéricos

aplicados

a la ingeniería

Obsérvese que I g'(x) I se mantiene menor de uno. Una vez que I Xi+¡ detiene el proceso y se toma como raíz a x9

-

xi I < 10-3, se

X"'- 1.36906

Si se hubiese tomado la forma equivalente _x3

-

2x2 + 20

x=----10

para la cual, se tiene g

, () x

-3x2 - 4x 10

=----

y con Xo = 1 7 Ig'(1)1=1- 1=0.7, 10

Fi

Inte geor

lo cual indica posibilidad de convergencia, pero al aplicar el proceso 2.5 se tiene

I Xi+1

Xi

O

-Xi

1.00000

I

Ig'

(Xi)

19

I

0.70000

1.70000

0.70000

1.54700

2

0.93070

0.76930

0.63214

3

1.74614

0.81544

1.61316

4

0.85780

0.88835

0.56386

5

1.78972

0.93192

1.67682

Una divergencia lenta, ya que I g' (x) I toma valores mayores de 1 en algunos puntos. La condición de que el valor absoluto de g' (x) sea menor que 1en la región que comprende la raíz buscada x y los valores xi' se interpreta geométricamente a continuación. En caso de contar con software comercial pueden graficarse las funciones g' (x) correspondientes a los incisos a) y b) y la recta y = x, y observar los valores de g' (x) en las Xi del proceso iterativo.

INTERPRETACIÓN

GEOMÉTRICA

DE

I g'

(X) 1<1

Al graficar los dos miembros de la ecuación 2.2 como las funciones y = x y y = g (x), la raíz buscada x es la abscisa del punto de cruce de dichas funciones (véase Fig. 2.2). El proceso 2.5 queda geométricamente representado en la figura 2.2, la cual muestra un caso de convergencia, ya que I g' (x) I es menor que 1 en xo, xl"" X . Para ver esto se trazan las tangentes a g (x) en (xo, xl)' (xl' x2), ... y se observa que todas tienen un ángulo de inclinación menor que la función y = x cuya pendiente es 1.

Fi

eL conv díve,

L

Solución Solución de de ecuaciones ecuaciones no no lineales lineales

39 39

10-3, se yy yy=x = x

yy = =g(x) g(x)

Figura 2.2 2.2 Figura Interpretación Interpretación geométrica de de geométrica II g'g' (x) (x) 1> 1> 1.1.

y

ry

yy

A continuación continuación se presentan presentan geométricamente geométricamente los casos casos posibles posibles de convergencia convergencia y diverdivergencia. gencia. yy

y yy=X = X y = X y=x

yy

tos. ue comción. x) co(x) en

y

g(x) ==g(x)

= g(x)

"

xo

Xx

xx

a) a) Convergencia Convergencia monotónica monotónica

b) Convergencia Convergencia oscilatoria oscilatoria b)

=

g(x) yy = g(x) yy

yy

y=x

y=x

(x), la ).

uestra que tal.

Figura Figura 2.3 2.3 Cuatro Cuatro casos casos posibles de posibles de convergencia convergencia yy divergencia divergencia en en lala iteración iteración x= x= 99 (x). (x) .

, ,

, ,, , , ,, I I

I I

,

xx

x3x 3 X X x2 o o XIXI e)c)Divergencia tónica Divergenciamono monotónica XX

x3x 3

XI xI

iXXoX ox2x 2

Divergenciaoscilatoria oscilatoria d)d)Divergencia

XX

40


Caso .3a ilustra g' (x) se encuentra Caso 1. La La figura figura 2 2.3a ilustra qué qué ocurre ocurre si g' encuentra entre entre O y 1. l. Incluso Incluso si Xoo esta esta lejos lejos de la raíz raíz xx -que -que se encuentra encuentra en el cruce cruce de las curvas curvas yy = = x, y == g (x)-los Xi se acercan x, (x)- los valores valores sucesivos sucesivos Xi acercan a la raíz raíz por por un solo solo lado. lado. Esto Esto se conoce conoce como como convergencia convergencia monotónica. monotónica. Caso g' (x) está Caso 2. La figura figura 2.3b 2.3b muestra muestra la situación situación en que que g' está entre entre -1 -1 y O. O. Aun Aun si está alejada de la raíz , los valores sucesivos xi se aproximan por el X está alejada raíz x valores sucesivos xi aproximan por oo lado izquierdo de la raíz. lado derecho derecho e izquierdo raíz. Esto Esto se conoce conoce como como convergencia convergencia oscilatoria. oscilatoria. Caso 3. En la figura figura 2.3c 2.3c se ve la divergencia divergencia cuando cuando s' mayor que que 1. Los Los Caso g' (x) es mayor valores Xi se alejan valores sucesivos sucesivos Xi alejan de la raíz raíz por por un solo solo lado. lado. Esto Esto se conoce conoce como como divergencia divergencia monotónica. monotónica.

Caso g' (x) es menor Caso 4. La La figura figura 2.3d 2.3d presenta presenta la divergencia divergencia cuando cuando g' menor que que -1. Los Los valores X i se alejan valores sucesivos sucesivos Xi alejan de la raíz raíz oscilando oscilando alrededor alrededor de ella. Esto Esto se conoce conoce como como divergencia divergencia oscilatoria. oscilatoria.

Un excelente excelente ejercicio ejercicio es crear crear ecuaciones ecuaciones f (x) == O, O, obtener obtener para para cada cada una una de ellas ellas varias varias alternativas g(x) y graficarlas alternativas de x = = g(x) graficarlas para para obtener obtener el punto punto de intersección intersección (aproximación (aproximación g' (x) y graficarlas de la raíz) raíz);; obtener obtener las correspondientes correspondientes g' graficarlas alrededor alrededor del punto punto de interintersección. g' (x) queda sección. Una Una vez vez hecho hecho esto esto se puede puede ver ver si alrededor alrededor de la raíz raíz la gráfica gráfica de g' queda dentro de ser así, un valor dentro de la banda banda y = = -1 YY == 1; 1;de valor inicial inicial cercano cercano a la raíz raíz prometería prometería convergencia. g' (x) queda convergencia. Si la gráfica gráfica de g' queda fuera fuera de la banda banda yy = = -1, YY = = 1 no sería sería recorecomendable mendable iniciar iniciar el proceso proceso iterativo. iterativo.

Utilizando g' (x) de los incisos Utilizando la ecuación ecuación del ejemplo ejemplo 2.2 2.2 elabore elabore las gráficas gráficas de las g' incisos a y b. Agregue Agregue a las gráficas gráficas la banda banda constituida constituida por por y = = --11 Y Y Y= = 1. 1.

Solución

20 a) gg (x) = = ------ -x22 +2x+1O + 2x + 10 g' g' (x)

= =

-20(2x -20(2x + 2) (x22 + 2x + 10)2

Las gráficas gráficas de yy = = g (x) y yy = = x se intersectan intersectan alrededor alrededor de x = = 1.1. Las Utilizando Matlab Matlab o la TI-92 TI-92 Plus se obtiene obtiene la gráfica gráfica de s' banda y = = -1, -1, Y Y= = 1.1. Utilizando g' (x) y la banda

x=0 x=0 : O . 05 : 2 2;; dg=-2(f~ (zt'x+2).j(x. ~2+Z;'x+10). ~2; dg= -2(J~ (zt'x+2). / (x. ~2+Z;'x+ 10) . ~2; y=ones y=ones (size (size (x) (x) ) ; z~ones z=-ones (size (size (x) ) ; ymin=nanmin (dg) (dg) ; ymin=nanmin ymax=nanmax ymax=nanmax (dg) (dg)

iif f ymin > --1 1

Invoque Invoque el el eJi edi tor tor Y= Y= • W W Escriba g' Escriba en en yl= y1= la la expresión expresión de g' Y1=-2~ (zt'x+2) (Z;'x+2)// (x (x~2+zt'x+10) ~2 Yl=-2~ ~2+Z;'x+lO) ~2

(x): (x):

Escriba y2=-1 Escriba en en y2= la la cota cota inferior: inferior: Escriba en en y3= la la cota cota inferior: inferior: 1 Escriba y3= 1 la gráfica gráfica acercamiento MUestre la con acercamiento normal nonnal (F2 (F2 6). Haga un un acercamiento acercamiento (F2 (F2 2.J 2.J)) Haga

Solución Solución de de ecuaciones e cuac iones no no lineales lineales

c1uso as y = lado.

41

ymin= -1.1; - 1.1; ymin= end end

i f ymax ymax < 1 1 if ymax=1.1 ymax=1 . 1 ;; end end plot (x, dg, 'k') 'k ') plot hold on on hold plot (x, (x , y, y , 'k') 'k ' ) plot plot (x, (x , z, z , 'k') 'k ' ) plot axis ([O axis ( [O 2 ymin ymin ymax]) ymax])

. Los sto se 0.8 0.8 0.6

as varias irnación de interx) queda ometería ría reco-

004 0.4 0.2

O O --0.2 0.2

~A~ -O.4 r-_ _ __ _ __

- ----------------¡ ------1

--0.6 0.6 -0. -0.88

isos a

--1 1 L-~

O

__ ~

0.2

__ -L __ -L __ J-__~

004 0.4

0.6

0.8

1.2 1.2

__L-~

__ ~

1.6 1.6

lA 1.4

__ ~

1.8 1.8

22

Como puede puede verse, gráfica de g' g' (x) (x) alrededor alrededor de XXoo == = 1 queda queda dentro dentro de la banda = Como verse, la gráfica banda y == = -1, por por lo que un valor valor inicial dentro del intervalo intervalo (O, (0, 2) prometería prometería convergencia, convergencia, la 1, Y == inicial dentro cual se daría daría en caso caso de que sucesión XO' XÜ' xl' xi' x22'' ... ... Xi''' xi"" ' sea tal que que g' (x) (x) se mantenga mantenga cual que la sucesión en dicha dicha banda. banda. I,y

= 1.

b) g (x (x)) == = x33 + 2x2 + llx llx - 20

g' (x (x)) == = 3x2 3x2 + 4x + 11 11

oo === 1

X

Utilizando el guión guión de Matlab Matlab anterior anterior con el cambio cambio (o el cOtTespondiente correspondiente para para la TI-92 TI-92 Utilizando Plus) Plus) AA

= 3*x. 22 + 4*x 4*x + 11 11 dg == (x) :

obtiene: se obtiene: y2=-1 y3= 1 to

42

Métodos numéricos


30

25

20

15

10

5

O O

0.2

0.4

0.6

1.2

0.8

1.4

1.6

1.8

2

Como se puede observar, la gráfica de g' (x) queda totalmente fuera de la banda y = -1, Y = 1, por lo que no es recomendable utilizar esta g(x). Si por otro lado ensayamos la forma equivalente g(x) =

_x3 - 2x2 + 20

con

10 g

, () -3x2 - 4x x =---10

La gráfica queda ahora:

0.5

O

--0.5

-1

-1.5

0.2

0.4

0.6

0.8

1.2

1.4

1.6

1.8

2

43

Solución ecuaciones no lineale lineales Soluc ión de ecuaciones s

Podría pensarse que al tomar tomar un valor valor inicial inicial dentro dentro de la banda, banda, por por ejemplo ejemplo XXoo = =1 Podría pensarse que tendríamos posibilidades de convergencia. convergencia. No obstante, en el proceso iterativo (ver (ver ejemejemtendríamos posibilidades No obstante, proceso iterativo plo 2.2), 2.2), se observa observa una una divergencia divergencia oscilatoria. oscilatoria. Explíquela Explíquela utilizando utilizando la segunda segunda tabla tabla del plo ejemplo 2.2 y la gráfica gráfica anterior. anterior. ejemplo

II

ORDENN DE CONVE CONVERGENCIA ORDE RGENCIA

Ahora verá que que la magnitud magnitud de g' sólo indica indica si el proceso proceso converge converge o no, sino sino Ahora se verá g' (x) no sólo que además además puede puede usarse usarse como como indicador indicador de cuán cuán rápida rápida es la convergencia. convergencia. que Sea EE ii el error error en la i-ésima i-ésima iteración; iteración; esto esto es Sea E; xi-x Ei = =xi-x

conoce el valor valor de la función función g (x) y sus derivadas derivadas en X, puede puede expanderse expanderse g (x) alSi se conoce rededor de xx en serie serie de Taylor Taylor y encontrar encontrar así así el valor valor de gg (x) en x; Xi rededor (- - )3 (( - )2 ( Xi - X + g'" '" (x (x-) - ) Xi Xi -31X + ... g g (x) Xii --= g g (x x- ) + + g' g (x X- ) (x Xii -- x-) X + + g" g (x x- ) 2! g 2! 31 ()

'()

()

(

)

11

(

)

oo.

bien o bien (x) - g (x (x ) g (x)

=g =

,

(x) (Xi (x¡ - x) + g (x) x) +

,,

(x ) (x)

(x¡ - xX )2 ? (Xi

2!

+ g +

'" _ '" _ (x¡ (Xi - X )3 )3 (x ) (x)

3!

+ ... ... +

Como Como X i+ 1 X¡+I

= = gg (x) (x)

y x

= g (x), (x), =

también puede puede escribirse escribirse la última última ecuación ecuación como como también X. x·

1+11 ,+

E22 E

E33 E

2!

3!

-x=g'= g' (X)E (x) E + g" gil (x) (X)_l_+g"' (X)_l_+ -x - '- +g'" (x) - ' -+ ... ,

oo.

miembro de la izquierda izquierda es el error error en la (i + 1) -ésima -ésima iteración iteración y, por por tanto, tanto, se expreexpreEl miembro como E i+ i+ 1 de modo modo que que sa como

= g' g' =

E .+1 '+1 E

,1

E22 E

E33 E

2!

3!

(x) ) E E.+ (x) ) --'-+ gil' (x) (x) --'-+ (x . + g" (x ' - + g'" '-

,,

+ ... oo.

(2.11) (2.11)

donde puede observarse que después de las primeras iteraciones EE i tiene tiene un valor valor pedonde puede observarse que si después primeras iteraciones 4, ... serán queño ( 11 EE i¡ 11 < 1), entonces entonces El, El, 1 1 E? E? 1 1,, E E i¡4,... serán valores valores más más pequeños que 11 E 1, de queño pequeños que E i 1, modo que que si g' (x) 7:- O, O, la magnitud magnitud del primer término de la ecuación ecuación 2.11 generalmente generalmente modo g' (x) primer término domina las de los demás demás términos i+1 es proporcional proporcional a EE i;¡; en cambio cambio si g' (x) = = OY Yg" g' (x) g" domina términos y EE i+l (x) 7:- O, O, la magnitud magnitud del del segundo segundo término término de la ecuación ecuación 2.11 predomina (x) predomina sobre sobre la de los términos restantes restantes y EEi+1 proporcional a EEl.l. Si g' g' (x) (x) = = g" gil (x) (x) = = O Y g'" gil' (x) (x):t;:7'7 O, términos i+l es proporcional O, EE¡+I ;+ 1 proporcional a E etcétera. es proporcional E ?, etcétera. dice entonces entonces que que en caso caso de convergencia, convergencia, el proceso tiene orden orden uno uno si g' (x) Se dice proceso 2.5 tiene g' (x) O, orden orden dos si g' g' (x) (x) = = O Y g" (x) (x) 7:7:- O, O, orden orden tres tres si g' g' (x) (x) = = gg"" (x) (x) = = O Y g'" g'" (x) (x) 7:7:- O, O, 7:- O, Una vez vez determinado determinado el orden orden n se tiene tiene que que EE i+1 oc EE tt y el error error EE i+1 ¡+Iserá será más más pequepequeetc. Una que EE i¡ entre entre más más grande grande sea sea n y la convergencia convergencia por tanto más más rápida. rápida. por tanto ño que

44

Métodos numéricos aplicados a a la ingeniería ingeniería Métodos numéricos aplicados

Obsérvese que que en los ejemplos ejemplos resueltos (x) *- O, Y orden ha sido uno. Como Como al iniObsérvese resueltos g' g' (x)"* Y el orden ciar el proceso sólo se cuenta cuenta con con XXoo y algunas algunas formas formas g (x) (x),, puede obtenerse g' ciar proceso sólo puede obtenerse g' (x) para para caforma y las que que satisfagan satisfagan la condición condición I e' (xoo)) I < < 1 prometerán convergencia. Dicha da forma g' (x prometerán convergencia. Dicha convergencia será será más aquéllas donde donde I s' (xoo)) I sea más cercano a cero cero y más convergencia más rápida rápida para para aquéllas g' (x más cercano más lenta entre entre más próximo esté dicho dicho valor ecuación 2.3, formas 2.4 lenta próximo esté valor a 1. Así Así pues, pues, para para la ecuación 2.3, las formas y el valor inicial XXoo = = 2 se obtiene, obtiene, respectivamente: valor inicial respectivamente: = 4x 4x a) g' g' (x) =

y

I g' g' (2) 1=8 1=8

y

1=0.1336 I g' g' (2) 1=0.1336

-10 -10 (x)) = (2x _ 1) 2 2 c) g' g' (x = (2x-l)

y

(2) I = = Ull 1.111 I s' g' (2)

= 4x 4x d) g' g' (x) =

y

(2) I = =8 I g' g' (2)

2 -x -S)4 -1 (4x-1)(4x-l)-(2x (4x-l)(4x-1)-(2x2-x-S)4 , x -1 (4x _ 1)2 e) g ( ) - (4x

y

g' (2) I =0.08163 I g'

4(0r x:

g'(x)~ b) g' (x) = 4 (

5)'"

Las formas de los incisos incisos b) y e) quedan quedan con con posibilidades convergencia, y la e) como como Las formas posibilidades de convergencia, opción porque está más cercano a cero. cero. la mejor mejor opción porque su valor valor está más cercano Se deja deja al lector lector encontrar encontrar una ecuación 2.3 con con el método Se una raíz raíz real real de la ecuación método de de punto punto fijo, con la forma forma e) y detener detener la iteración iteración una que If(x) 10-4,en caso de convergenconvergenjo, con una vez vez que If(x) I ~ 10-4, en caso desde un principio observa divergencia divergencia en las primeras iteraciones. cia, o desde principio si observa primeras iteraciones.

Newton-Raphson 2.2 Método de Ne wton-Raphson Ahora estudiará un método segundo orden orden de convergencia convergencia cuando cuando se trata Ahora se estudiará método de segundo trata de raíces raíces reales que lleva lleva la ecuaciónf(x) ecuación f (x) = =O O a la forreales no repetidas. repetidas. Consiste Consiste en un procedimiento procedimiento que ma = gg (x), de modo que g' (x) == O. Su deducción deducción se presenta enseguida. ma x = modo que g' (x) presenta enseguida. En figura 2.4 2.4 se tiene gráfica de f (x) cuyo cuyo cruce cruce con eje x es una En la figura tiene la gráfica con el eje una raíz raíz real real x .

yy

11 pendiente f'(xo)o) pendiente = !'(x

~~~-------------r-~~--------------

2.4 Figura 2.4 Derivación Derivación del

método de método de NewtonNewtonRaphson. Raphson.

x

X

2

x

45


Vamos inicial XXoo que que se sitúa horizontal. Trácese Trácese una una tantanVamos a suponer suponer un valor valor inicial sitúa en el eje eje horizontal. partir de ese ese punto punto sígase por la tangente tangente hasta hasta gente gente a la curva curva en el punto punto (xo' J (x (xo») sígase por o») y a partir su intersección punto de corte corte xI es una una nueva aproximación a x (hay que intersección con con el eje x; el punto nueva aproximación (hay que proceso se observar por su tangente tangente en (xo,f(x observar que que se ha reemplazado reemplazado la curvaf(x) curva j'(x) por (xo,J(xo))' o))' El proceso repite obtiene una una nueva nueva aproximación hasrepite comenzando comenzando con XI' XI' se obtiene aproximación x22 y así sucesivamente, sucesivamente, hasque un valor valor XXII satisfaga satisfaga If(x) ::;;El El'' II X¡+IE o ambos. ambos. Si lo anterior anterior no se cumIf (x) II ::;; x¡+ I - X¡ x¡ 1< I< E cumta que pliera máximo de iteraciones (MAXIT), debe debe reiniciarse reiniciarse con con un nuevo nuevo valor valor xoo'' pliera en un máximo iteraciones (MAXIT), ecuación central central del algoritmo La ecuación algoritmo se obtiene obtiene así así Xl XI

== XXoo --

L1x Llx

La curva en el punto punto (xo,f (x o)) es: La pendiente pendiente de la tangente tangente a la curva (xo,J (xo))

así que que

sustituyendo y sustituyendo

en general general

x· x.

f(x) f(x) f' f' (x) (x)

II = x.---= =x.---=g

1+

1

(2.12) (2.12)

g (x) (x) 1

Este 2, porque porque g' (x) y g" gil (x) Este método método es de orden orden 2, (x) = O OY (x)

*' O (véase 2.11). (véase Probo 2.11).

i=

i.

Encuentre raíz real de la ecuación Encuentre una una raíz ecuación

ff(x)(x)

=xx33 + 2x22 + lOx= lOx - 20

= 1, con con E mediante mediante ~l ~l método método de Newton-Raphson, Newton-Raphson, XXoo = Solución Solución

x¡+1 == 10-33 aplicado aplicado a II x¡+1-

Xi Xi

Se sustituyenf sustituyenf(x)(x) y yf'f' (x) en (2.12) (2.12)

\ 1/

x? ++ 2 x? xl ++ 10 Xi x¡ -- 20 20

X?

3x? + 4x¡ 4x¡ + 10 Primera iteración iteración Primera

xX = 1 _ ( 1 )3 ++ 2( 1 )2 ++ 1O( = 1.41176 1O( 1 )) - 20 = 1.41176 I 3( 1 )2 )2 + 4( 1 ) + 10

*'

Como XI XI i= xoo'' se calcula calcula x22 Como

Segunda Segunda iteración iteración 1.41176 ~",-(1.41176)3+ 10(1.41176) - 20)= xX = 1.41176 _\ J1.41176)3+ 2(1.41176)2 2(1.41176)2 ++ 1O(l.41176) 20) = 1.36934 l.36934 2

(1.41176)2 + 3 (l.41176)2 + 4(1.41176) 4(1.41176) ++ 10

II

46

Métodos numéricos

aplicados

a la ingeniería

Con este proceso se obtiene la tabla 2.1 Tabla 2.1 Resultados del ejemplo 2.3.

i

Xi

O

1.00000

Pan 1

IXi+1-xil

g'

1

(Xi)

0.24221

1.41176

0.41176

0.02446

2

1~

0.04243

0.00031

3

l.36881

0.00053

4.6774

4

l.36881

0.00000

9.992

10-8

X X

PAS PAS

10-16

Para llevar a cabo los cálculos que se muestran en la tabla anterior, se puede emplear Matlab o la TI-92 Plus.

Fonnat xO=l for

long

e2_ 4 ()

;

Prgm : 4

I=l

f=xO-3+2i'xO-2+10"xO

- 20 ;

df=3*xO-2+4*xO+10;

=

dg=abs

abs

(x -

(1 -

xO)

;

df (x)

= 3*x-2+4*x+10

dg

= 1 -

(df(x)

) /

df (x)-2

dist,

*

ClrIO:

((3*x-2+4*x+10)

-2 -

For i,

* (6*x+4))/

xO-f

(3*x-2+4*x+ 10) -2); ([x,

f

(x)

(x-3+2i'x-2+10*x-20) disp

Define Define Define

x=xO - f/df; dist

PM

abs

dg])

Disp

xO=x;

(x)=x-3+Zl'x-2+10*x (x)

(6*x+4)

-2-f

1. -+xO 1, 4 (xO) /

df (xO)-+x

(x -xO)-+dist string

"&string x-+xO

end

-20

(x) &" (abs

"&string (dg

(dist)

&"

(x)))

EndFor EndPrgm

Se requirieron sólo tres iteraciones para satisfacer el criterio de convergencia; además, se obtuvo una mejor aproximación a x que en el ejemplo 2.2, ya que f (1.36881) se encuentra más cercana a cero que f (1.36906), como se ve a continuación f(l.36881)

= (l.36881)3 + 2(l.36881)2 + 1O(l.36881)-20

If(1.36881)

1=0.00004

y

If(l.36906)

= -0.00004

I = 0.00531

Hay que observar que x4 ya no cambia con respecto a x3 en cinco cifras decimales y que g' (x4) es prácticamente cero. En el CD encontrará el PROGRAMA 2.7 (Raíces de Ecuaciones), escrito para la versión 6 de Visual Basic. Con este programa se pueden resolver diferentes ecuaciones y obtener una visualización gráfica de los métodos de Newton-Raphson, de Bisección y de Posición Falsa; los últimos dos se verán más adelante.

2.

Solución es no lineales Solución de ecuacion ecuaciones lineales

ALGORITMO ALGORITMO

47

Método de Newton-Raphson Newton-Raphson 2.2 Método

Para encontrar una raíz raíz real real de la ecuación ecuación! proporcionar la función DF (X) Y los encontrar una f (x) (x) = O, proporcionar función F (X) Y su derivada derivada DF los EPS, criterio EPSl y número número máximo máximo de iteValor inicial Valor inicial XO, criterio criterio de convergencia convergencia EPS, criterio de exactitud exactitud EPSl iteraciones raciones MAXIT. MAXIT. RESULTADOS: La raíz raíz aproximada mensaje de falla. RESULTADOS: La aproximada X o un mensaje falla.

DATOS: DATOS:

lear

PASO ll.. Hacer Hacer 1 = 1 Mientras 1 < MAXIT, MAXIT, repetir repetir los pasos 3 a 7. PASO 2. Mientras los pasos PASO 3. Hacer Hacer X = DF (XO) (calcula x¡). PASO = XO - F(XO) / DF (calcula x.), PASO 4. 4. Si ABS ABS (X - XO) < EPS, EPS, entonces IMPRIMIR X YY TERMINAR. De otro modo CONTINUAR. PASO entonces IMPRIMIR TERMINAR. De otro modo CONTINUAR. PASO s. ABS (F EPS1, entonces IMPRIMIR X Y Y TERMINAR. De otro modo CONTINUAR. PASO S. Si ABS (F (X» < EPS1, entonces IMPRIMIR TERMINAR. De otro modo CONTINUAR. PASO 1. Hacer 1 = 1 + +1. PASO 6. Hacer PASO Hacer XO = X. X. PASO 7. Hacer PASO 8. IMPRIMIR IMPRIMIR mensaje mensaje de falla NO CONVERGE UNA RAÍZ" RAÍZ" YY TERMINAR. TERMINAR. falla "EL "EL MÉTODO MÉTODO NO CONVERGE A UNA

FALLAS FALLAS DEL DEL MÉTODO MÉTODO DE DE NEWTON-RAPHSON NEWTON-RAPHSON

Cuando método de Newton-Raphson Newton-Raphson converge resultados en relativarelativaCuando el método converge se obtienen obtienen los resultados mente pocas pocas iteraciones, para raíces raíces no repetidas repetidas este método converge mente iteraciones, ya que que para este método converge con con orden orden i+l es proporcional proporcional al cuadrado Para precisar precisar más, más, su2 y el error error EE ;+1 cuadrado del error error anterior' anterior' E ri. Para proporcional al póngase que una iteración iteración es 1Opóngase que el error error en una l O:"1l ,, el error error siguiente siguiente -que -que es proporcional 2/1, , el que cuadrado cuadrado del del error error anterioranterior- es entonces entonces aproximadamente aproximadamente 101O-2n que sigue sigue será será aproaproximadamente esto puede afirmarse que que cada cada iteración iteración duplica duplica aproximadaaproximadaximadamente lO-4n, etc. De De esto puede afirmarse ... mente mente el número número de dígitos dígitos correctos. correctos. Sin embargo, veces el método método de Newton-Raphson Newton-Raphson no converge embargo, algunas algunas veces converge sino sino que que oscila. puede ocurrir hay raíz raíz real real como 2.Sa; si la raíz raíz es un punpuncila. Esto Esto puede ocurrir si no hay como se ve en la figura figura 2.Sa; 2.Sb, o si el valor valor inicial muy alejado raíz to de inflexión inflexión como como en la figura figura 2.Sb, inicial está está muy alejado de la raíz buscada y alguna parte de la función 2.Sc. buscada alguna otra otra parte función "atrapa" "atrapa" la iteración, iteración, como como en la figura figura 2.Sc. método de Newton-Raphson Newton-Raphson requiere requiere la evaluación primera derivada def(x). El método evaluación de la primera derivada de!(x). En la mayoría mayoría de los problemas problemas de los textos textos este requisito es trivial, trivial, pero pero éste En este requisito éste no es el caso en problemas problemas reales reales donde, por ejemplo, tabular. donde, por ejemplo, la funciónf(x) función! (x) está está dada dada en forma forma tabular. métodos para para resolver! resolverf(x) = Oque requieran el cálcuEs importante importante discutir discutir algunos algunos métodos (x) = que no requieran cálculo de pero que retengan algunas propiedades favorables de!f (x) (x),, pero que retengan algunas de las propiedades favorables de convergencia convergencia del método de Newton-Raphson. Newton-Raphson. A continuación métodos que tienen esmétodo continuación se estudian estudian algunos algunos métodos que tienen métodos de dos puntos. tas características características y que que se conocen conocen como como métodos dos puntos. II

, se en-

2.3 Método Método de la secante secante El método método de la secante 2.12 por por El secante consiste consiste en aproximar aproximar la derivadaf derivada! I (x) (x) de la ecuación ecuación 2.12 el cociente** cociente" I

ue

ión ner ión *VéaseProb.2.13. * Véase Probo 2.13. *. Nótese Nótese que numérica de de/ex). que este este cociente cociente es la derivada derivada numérica f (x).

-

------- - - - - - - - - - - -

48


f (x) f(x) y

y

f(x ) f(x) »>

---x

complejas a) Raíces Raíces complejas

b) b)

rcx) == OO rCx) f(x) f(x )

y

Figura 2.5. 2.5. Figura Funciones donde puede puede donde fallar el método método de Newton-Raphson. . Newton-Raphson

inicial muy c) Valor Valor inicial muy lejos lejos de la raíz raíz

formado con con los resultados dos iteraciones iteraciones anteriores anteriores x¡_, De esto esto resulta formado resultados de las dos X¡_ I y Y xi. xi. De resulta la fórmula fórmula (x-x,)f(x) (x - X _ I ) f (x) 1 1

11

1 1

= gg (x) (x) =

(2.13) (2.13)

f(x) f(x) - f(x¡_l) f(x¡_,)

Para la primera aplicación de la ecuación ecuación 2.13 e iniciar iniciar el proceso iterativo, se requerirán Para primera aplicación proceso iterativo, requerirán dos valores iniciales: XXoo y x,: siguiente aproximación, aproximación, x22' ' está está dada dada por: xI : La siguiente dos valores iniciales:

Que pueden el método • Que pueden obtenerse obtenerse por por el método de punto punto fijo. fijo.


y así sucesivamente

no lineales

49

hasta que g (x) "" x¡+1 o una vez que

o

f(x)

U se el método de la secante para encontrar una raíz real de la ecuación polinominal

.f Solución

(x) = x3 + 2x2 + lOx - 20 = O

Con la ecuación 2.13 se obtiene

X¡+I

Mediante

Xo

Xi -

= O Y XI =

x =12

=

(3 2 2 10X¡ Xi + Xi +

-

20)

(3 X

-

i-I

+ 2X 2¡_I + 10X¡_I-

20)

1 se calcula x2

(1-0)(13+2(1)2+10(1)-20) =1.53846 (13 + 2(1)2 + 10 (1) - 20) - (03 + 2 (0)2 + 10(0) - 20)

Los valores de las iteraciones subsecuentes se encuentran en la tabla 2.2. Si bien no se convergió a la raíz tan rápido como en el caso del método de Newton-Raphson, la velocidad de convergencia no es tan lenta como en el método de punto fijo (véase ejemplo 2.2); entonces se tiene para este ejemplo una velocidad de convergencia intermedia.

Tabla 2.2 Resultados del ejemplo 2.4.

I X¡+I

X¡

esulta la

(2.13)

\

-Xi

O

0.00000

1

1.00000

1.00000

2

1.53846

0.53846

3

1.35031

0.18815

4

1.36792

0.01761

5

1.36881

0.00090

I

querirán I X¡+ 1 -

X¡

I~

E

= 10-3

Para llevar a cabo los cálculos que se muestran en la tabla anterior, puede emplearse el siguiente guión de Matlab.

50

Métodos n u mé ricos ap licad os a iería a la la ingen ingeniería numéricos aplicados

format long long format xO=O xl=l; xO=O ; xl=l; for i=l i=l for : 4

fO == xO-3+2"xO-2+l(Ji'xO-20; xO-3+2"xO-2+1CJ!'xO-20; fl xl-3+2"xl-2+1Gt.xl - 20; fl = = xl-3+2"xl-2+10*xl 20;

x2 == xl xl -

(xl (xl - xO) xO) *fl *fl /

(fl (fl

--

fO)

;

dist=abs (x2-xl); dist=abs (x2-xl);

disp disp ([x2, ([x2, dist)) dist)) xl=x2 xO=xl ; xl =x2 ; end end

In

iiI ALGORITMO ALGORITM O

Método de la secante secante 2.3 Método

gel rr

Para una raíz proporcionar la fu nción F (X) Y los Para encontrar encontrar una raíz real real de la ecuación! ecuaciónf(x)(x) = 0, O, dada! dadaf(x)(x) analíticamente, analíticamente, proporcionar función Valores Valores iniciales iniciales XO, X Xl;l ; criterio criterio de convergencia convergencia EPS, EPS, criterio criterio de exactitud exactitud EPSl EPSl y número número máximáxiiteraciones MAXIT. MAXIT. mo de iteraciones RESULTADOS: RESULTADOS: La raíz raíz aproximada aproximada X o un un mensaje mensaje de falla. falla.

DATOS: DATOS:

PASO l. PASO l. l. Hacer Hacer I = l. PASO 2. 2. Mientras Mientras I < < MAXIT, MAXIT, repetir repetir los pasos pasos 3 a 8. PASO PASO 3. Hacer -XO)*F(XO)/(F(Xl)-F(XO». PASO Hacer X=XO - (Xl (Xl-XO)*F(XO)/(F(Xl)-F(XO». PASO 4. Si ABS < EPS EPS entonces entonces IMPRIMIR IMPRIMIR X Y TERMINAR. TERMINAR. ABS (X - Xl) Xl) < PASO PASO 5. Si ABS ABS (F (X» < < EPSI EPSI entonces entonces IMPRIMIR IMPRIMIR X Y TERMINAR. TERMINAR. PASO PASO XO = Xl. Xl. Hacer XO PASO 6. Hacer PASO PASO 7. Hacer Hacer Xl Xl = X. PASO 8. Hacer Hacer I = I + l. 1. PASO PASO 9. 9. IMPRIMIR IMPRIMIR mensaje falla "EL "EL MÉTODO MÉTODO NO CONVERGE A UNA UNA RAÍZ" RAÍZ" Y YTERMINAR. PASO mensaje de falla NO CONVERGE TERMINAR.

INTERPRETACiÓN GEOMÉTRICA DEL MÉTODO MÉTODO DE LA SECANTE SECANTE INTERPRE TACiÓN GEOMÉ TRICA DEL DE

Los por separado, Los dos miembros miembros de la ecuación ecuación x = = gg (x) se grafican grafican por separado, como como se ve en la fifigura gura 2.6. Se eligen puntos del eje x: x: Xoo y XI primeras aproximaciones eligen dos puntos XI como como primeras aproximaciones a x . Se evalúa puntos A y evalúa gg (x) (x) en Xoo yy en XI' XI' Y se obtienen obtienen los puntos y B de coordenadas coordenadas (x (xoo'' gg (x (xoo)))) y (xl' respectivamente. (xl' g (XI))' (XI))' respectivamente. unen con Los puntos A y B se unen Los puntos con una una línea línea recta recta [secante [secante a la curva curva y = = g (x)] (x)] y se sigue sigue por secante hasta hasta su intersección intersección con la recta recta y = = x. La La abscisa abscisa correspondiente correspondiente al punpunpor la secante intersección es x22'' la nueva nueva aproximación aproximación a x . to de intersección Para obtener obtener xx33 se repite repite el proceso comenzando con con XI XI y xx22 en lugar lugar de Xoo y XI Xl' ' Para proceso comenzando Este puede lograrse lograrse con Este método método no garantiza garantiza la convergencia convergencia a una una raíz, raíz, lo cual cual puede con cierciermodificaciones que dan dan lugar lugar a los métodos métodos de posición falsa y de bisección. tas modificaciones posición falsa bisección.

F I

pos

51

Solución Solución de ecuaciones ecuaciones no no lineales lineales

yy

yy

2.6 Figura 2.6 Interpretación Interpretación geométrica del geométrica método de la método secante.

= g(x) g(x) =

x

los ero rnáxi-

2.4 Método de posición falsa El falsa, también llamado de Regula-Falsi, Regula-Palsi, al igual igual que que el algoritmo algoritmo El método método de posición posición falsa, también llamado secante, aproxima aproxima la derivada!, derivada f' (x) (x) de la ecuación ecuación 2.12 2.12 por cociente de la secante, por el cociente _ ) ff(x) (x) - ff(X (x¡_l i 1)

pero este caso caso los valores encuentran en lados lados opuestos opuestos de la raíz pero en este valores de x¡ Xi y X¡_l X i _ 1 se encuentran raíz buscada, buscada, funcionales correspondientes correspondientes tienen signos opuestos, opuestos, esto esto es: de modo modo tal que sus valores valores funcionales tienen signos

denotan Xi como xDD y xi' Se denotan Xi y x¡+l x i+1 como Xl' respectivamente. respectivamente. Para ilustrar ilustrar el método método se utilizará figura 2.7 y se partirá Para utilizará la figura partirá del hecho hecho que se tienen tienen iniciales xDD yy x] definidos arriba, arriba, yy de que que la función función es continua continua en en (x/, (x], xDD).). xl definidos dos valores valores iniciales en la fiyy

yy

se sigue al punXl'

on cier-

x 2.7 Figura 2.7 Método de Método posición falsa. posición falsa. A

x

52

Métodos u méricos aplicados Métodos n numéricos aplicados a a la ingeniería ingeniería

traza una línea línea recta recta que que une los puntosA puntos A y B de coordenadas (XI,f(XI)) Y y (x (xDD,, f(x f(xD)), Se traza coordenadas (xl,f(x¡) D», respectivamente. xDD)) con con el segmento recta AB AB yel yel respectivamente. Se reemplazaf(x) reemplazaf(x) en el intervalo intervalo (xI' (Xl' X segmento de recta punto de intersección intersección de este segmento segmento con el eje será la siguiente siguiente aproximación punto eje X, x, X xM' aproximación a xx . w será Se evalúaf con el de f (x iguales, se actualiza actualiza xDD evalúaf (x (xMM)) y se compara compara su signo signo con (xDD).). Si son son iguales, sustituyendo diferentes, se actualiza actualiza x, XI sustituyensustituyendo su valor valor con con el de xMM; ; si los signos signos son diferentes, sustituyendo su valor Nótese que mantener los valores descritos (xDD y Xl) XI) valor con con el de xM.. Nótese que el objetivo objetivo es mantener valores descritos cada vez vez más más cercanos cercanos entre entre sí y la raíz raíz entre entre ellos. cada ellos. Se traza los puntos puntos actuales actuales A y B, YY se repite repite el proceprocetraza una una nueva nueva línea línea secante secante entre entre los so hasta If(xM ) II < El cl tomándose tomándose como como aproximaaproximahasta que que se satisfaga satisfaga el criterio criterio de exactitud exactitud If(XM) ción proceso también también puede puede usarse usarse el criterio criterio ción a XX el valor valor último último de xMM. . Para Para terminar terminar el proceso II xDD - XI a x la la media media entre entre xDD y xl" x I" Xl I I < c. E. En En este este caso caso se toma toma como como aproximación aproximación a:i Para por Xi y Xl XI por por xi_i_l 1 en la ecuación ecuación 2.13, 2.13, con con Para calcular calcular el valor valor de xMM se sustituye sustituye xDD por lo que que se llega llega a

(x

(X (XDD -- XI) Xl) ff (x (XDD )) f(x f (XDD) ) -- f(x f (Xl)l )

xrf (X,) X¡j (xD xDf (xI) D)) - xDf

f

(xDD))

-

f

(2.14) (2.14)

(XI) (Xl)

posición falsa. falsa. el algoritmo algoritmo de posición

Ejemplo 2.6 Ejemplo

Utilice posición falsa falsa para para obtener obtener una una raíz Utilice el método método de posición raíz real real del del polinomio polinomio

f(x) f(x)

Solución Solución

= 2x22 + lOx lOx = x33 + 2x

20 20

Para evaluar la función función en algunos algunos puntos puntos donde' donde ' Para obtener obtener XI x, y xDD se puede, puede, por por ejemplo, ejemplo, evaluar este este cálculo cálculo sea sea fácil fácil o bien bien se grafica. grafica. Así: Así: feO) == -20 - 20 feO) f(l) =-7 =-7 f(l) f(-l) = = -29 - 29 f(-l) f(2) = f(2) = 16 De una raíz raíz real, real, por por lo menos, menos, en el intervalo intervalo (1, De acuerdo acuerdo con con el teorema teorema de Bolzano Bolzano hay hay una 2); por por tanto, tanto, Xl = = 11 ;f(x) =-7 XI ;f(x¡) = -7 xD ;f(x D)D) = 16 D = 2 ;f(x

=

=

Al aplicar aplicar la ecuación ecuación 2.14 2.14 se obtiene obtiene xMM X X MM

= (16) == 1.30435 = 2 _ (2 --1)1) (16) 1.30435 16 - (-7) (-7)

y = (1.30435)3 (1.30435)3 + 2(1.30435)2 2(1.30435)2 + 10(1.30435) 10(1.30435) - 20 = ff (xMM)) = = -1.33476 -1.33476

Como f (xMM) ) < O (igual (igual signo signo quef(x¡), que f (x), se reemplaza reemplaza el valor Comof(x valor de XlXI con con el de XxM' con lo cual cual w con

-

queda el nuevo nuevo intervalo intervalo como como (1.30435, (1.30435, 2). Por queda Por tanto: tanto: Xl = 1.30435 1.30435 ;f(x XI ;f(x = -1.33476 -1.33476 l) l ) =

= 2;f 2;f(x(x xDD = D) D)

== 16


(XD)),

Se calcula una nueva xM

B yel izaxD tuyen-

proceximariterio

=

1.35791 ,

Como f (xM) < O, el valor actual de XI se reemplaza con el último valor de xM; así el intervalo queda reducido a (1.35791, 2). La tabla 2.3 muestra los cálculos llevados a cabo hasta satisfacer el criterio de exactitud I < 10-3

If(XM)

Tabla 2.3 Resultados del ejemplo 2.5.

(2.14)

alo (1,

16 - (-1.33476)

= (1.35791)3 + 2(1.35791)2 + 10(1.35791) - 20 = -0.22914

f(xM)

3,con

nde

(2 - 1.30435) 16

=2

xM

nax.

D y XI)

XM

I

Xl

XD

If(XM}

O

1.00000

2.00000

1

1.00000

2.00000

1.30435

1.33476

2

1.30435

2.00000

1.35791

0.22914

3

1.35791

2.00000

1.36698

0.03859

4

1.36698

2.00000

1.36850

0.00648

5

1.36850

2.00000

1.36876

0.00109

6

1.36876

2.00000

1.36880

0.00018

Para llevar a cabo los cálculos que se muestran en la tabla anterior puede emplearse Matlab o la TI-92 Plus.

. format xi=l;

long xd=

fi=xi

e2_6

2;

Eps=

0.001 ;

( )

Prgm

"3+2*xi "2+10*xi-20;

Define

f

Ed=xd"3+2*xd"2+ 10*xd-20;

ClrIO:

1.-+xi:

fm=l;

Disp

while

abs

(im)

xm=xd-fd*

>

Eps

(xd-xi)

/

disp if

else end

( [xi,

fd*fm

xd,

> O

xi=xm;

xm,

" xi

2.-+xd:

O.OOl-+Eps

xd xm I f(xm) 1"

abs

(xd) * (xd-xi) / (f (xd) -f (xi))-+

xd-f format

(fm) ] )

xd=xm; fd=fm; fi=fm;

(x)= x"3+2*x"2+10*x-20

Loop (fd-fi);

fm=xm "3+2*xm"2+1 0*xm-20;

a&"

(xi, "f5") &" "&format

"&forrnat

a&format disp

a

If

abs

(abs

(xm, "f5") (f

(xm),

(f (xm)) < Eps

Exit

o cual

53

no lineales

,.;tf F(xd) *F(xm) > O Then xnr-->xi EndIf EndLoop EndPrgm

: El se : xrrr+ xd

xm

(xd, "f5")-+a

&" "-+ a "f6")-+a

54

Métodos numéricos numéricos aplicados~ª Métodos aplicados_ª- la ingeniería

NOTA El GC fijo, Newton-Raphson, NOTA GC proporciona proporciona los los métodos métodos de de punto punto fijo, Newton-Raphson, posición posición falsa falsa y bisección, bisección, de modo modo tal que que pueden pueden verse verse las las iteraciones iteraciones gráfica gráfica y numéricamente numéricamente al resolver resolver una una ecuación ecuación dada. dada. También También hay hay calculadoras calculadoras que que disponen disponen de algunos algunos de estos estos métodos métodos con con los los cuales cuales auxiliarse. auxiliarse.

ALGORITMO ALGORITMO

2.4 Método Método de posición posición falsa falsa

Para Para encontrar encontrar una una raíz raíz real real de la ecuaciónf(x) ecuación f (x) = 0, 0, dadaf(x) dadaf(x) analíticamente, af1alíticamente, proporcionar proporcionar la función función F (X) (X) Y los los DATOS: DATOS:

Valores Valores iniciales iniciales XI XI y XD XD que que forman forman un intervalo, intervalo, en en donde donde se halla halla una una raíz raíz xx (F (XI) (XI) * F (XD) EPS, criterio criterio de convergencia convergencia EPS, criterio de exactitud exactitud EPSl EPSl y número número máximo máximo de iteite(XD) < O), criterio raciones raciones MAXIT. MAXIT.

RESULTADOS: RESULTADOS:

La La raíz raíz aproximada aproximada X o un mensaje mensaje de falla. falla.

PASO = F (XI); Hacer 1I = = 1; FI PI = (XI); FD FD = = F (XD). (XD) . PASO 1. Hacer PASO PASO 2. Mientras Mientras 1I < MAXIT, MAXIT, repetir repetir los pasos pasos 3 a 8. PASO PASO 3. Hacer Hacer XM XM = (XI*FD (XI*FD - XD*FI) XD*FI) / (FD (FD - FI); FI); FM FM = F (XM). (XM). PASO PASO 4. Si ABS ABS (FM) (FM) < EPSl, EPSl, entonces entonces IMPRIMIR IMPRIMIR XM XM y TERMINAR. TERMINAR. "LA RAÍZ Si ABS ABS (XD-XI) (XD-XI) < EPS, EPS, entonces entonces hacer hacer XM XM = (XD (XD + XI) XI) / 2; IMPRIMIR IMPRIMIR "LA RAÍZ BUSCADA BUSCADA ES", IMPRIMIR XM XM y TERMINAR. TERMINAR. ES", IMPRIMIR PASO PASO 6. 6. Si FD FD * FM FM > 0, 0, hacer hacer XD XD = XM XM (actualiza (actualiza XD) XD) y FD FD = FM FM (actualiza (actualiza FD). FD). PASO pacer XI PASO 7. Si FD PO * FM FM <0, pacer XI = = XM XM (actualiza (actualiza XI) XI) y FI PI = = FM FM (actualiza (actualiza FI). FI). PASO PASO 8. Hacer Hacer 1 = 1I + 1. PASO "EL MÉTODO PASO 9. IMPRIMIR IMPRIMIR mensaje mensaje de falla falla "EL MÉTODO NO NO CONVERGE CONVERGE A UNA UNA RAÍz" RAÍZ" yY TERMINAR. TERMINAR. PASO PASO 5.

2.5 Método de la bisección bisección El método similar al de posición simple. Cométodo de la bisección bisección es muy muy similar posición falsa, falsa, aunque aunque algo algo más más simple. mo mo en el método método de posición posición falsa falsa también también se requieren requieren dos valores valores iniciales iniciales para para ambos ambos lados de la sean de signos signos opuestos. la raíz, raíz, y que que sus valores valores funcionales funcionales correspondientes correspondientes sean opuestos. En En este este caso, caso, el valor valor de xMM se obtiene obtiene como como el punto punto medio medio entre entre XI XI y xDD. . xMM

== (XI (XI + xDD)) /

2

Dependiendo método de la bisección Dependiendo de la función función que que se tenga tenga en particular, particular, el método bisección puede puede conconverger verger ligeramente ligeramente más más rápido rápido o más más lentamente lentamente que que el método método de posición posición falsa. falsa. Su gran gran ventaja sobre sobre el método ventaja método de posición posición falsa falsa es que que proporciona proporciona el tamaño tamaño exacto exacto del intervaintervalo en cada ausencia de errores errores de redondeo). aclarar esto, esto, nótese cada iteración iteración (en ausencia redondeo). Para Para aclarar nótese que que en este este método método después después de cada cada iteración iteración el tamaño tamaño del intervalo intervalo se reduce reduce a la mitad; mitad; después después de n interaciones, interaciones, el intervalo intervalo original original se habrá habrá reducido reducido 2" 211 veces. veces. Por Por lo anterior, anterior, si el inintervalo tervalo original original es de tamaño tamaño a y el criterio criterio de convergencia convergencia aplicado aplicado al valor valor absoluto absoluto de la diferencia diferencia de dos xM consecutivas es E, entonces entonces se requerirán requerirán n iteraciones, iteraciones, donde donde n se M consecutivas calcula calcula con con la igualdad igualdad de la expresión expresión a E, -:s: 2/1

2"

Solución d de ecuaciones no lineales lineales Solución e ecuaciones

55

donde: de donde:

bisección, una

os con

-In In a -In In 2

E

(2.15) (2.15)

n=---n =----

Por esto esto se dice dice que que se puede saber de antemano antemano cuántas cuántas iteraciones iteraciones se requieren. requieren. Por puede saber

los (XI) * F o de ite-

Ejemplo 2.7 Ejemplo

Utilice obtener una polinomio Utilice el método método de la bisección bisección para para obtener una raíz raíz real real del polinomio

II (x) == x33 + 2x 2x22 + Solución

lOx - 20

Con los los valores valores iniciales iniciales obtenidos obtenidos en el ejemplo ejemplo 2.6 2.6 Con Xl Xl

= 11 ;f(x ;f(xl) l ) = = -7, =

xDD == 2 ;f(x~) = 16, ;f(x~) = = 10-33,, el número iteraciones n será será Si EE = número de iteraciones

n= n=

SCADA

-In 10-33 In (2 - 1) -In In 2

lna-lnE lna-lnE In 2

= 9.96 9.96 = .

o bien bien n"" 10 n""

Primera iteración Primera iteración 1+2 1+2 1.5 = l.5 2

x x MM=--= = --

f(1.5) = 2.88 2.88 I(1.5) = Como II (xMM)) > >O O (distinto (distinto signo signo de II (Xl»' (Xl»' Como se remplaza remplaza el valor valor de cual queda queda un nuevo intervalo (1, l.5). 1.5). Entonces: Entonces: cual nuevo intervalo pIe. Cobas lastos.

XDD

Xl Xl

con lo con el de xMM' ' con

= l;f(x l;l(xD)D ) = =-7 = -7

xDD = = 1.5 l.5 ;1(x ;f (xDD)) = = 2.88 2.88

Segunda iteración iteración Segunda ede conSu gran intervaque en después si el inoluto de de n se

+ 1.5 = = l.25 1.25 11 + 2 y

= -2.42 -2.42 II (xMM) ) = (igual signo signo que que II (x¡), (x), se reemplaza reemplaza el valor < O (igual valor de xDD con con el valor valor de

Como ahora ahora II (xM Como M)) esta manera manera queda queda como como intervalo intervalo (l.25 (1.25,, l.5). 1.5). la nueva nueva xMM; ; de esta La tabla cálculos, llevados llevados a cabo cabo trece ciertas La tabla 2.4 muestra muestra los cálculos, trece veces, veces, a fin de hacer hacer ciertas observaciones. observaciones. El criterio criterio 11xxii+! 1~ satisface en diez diez iteraciones. iteraciones. El +! - Xi' Xi' 1 ~ 10-33 se satisface Nótese que si E E se hubiese aplicado sobre sobre 1II (X (xM ) 1,se iteracio) Nótese que hubiese aplicado , se habrían habrían requerido requerido 13 iteracioM 1 nes en lugar lugar de 10. En En general, general, se necesitarán más iteraciones iteraciones para satisfacer un valor necesitarán más para satisfacer valor de E sobre sobre 11II (X (xM ) cuando aplica 1 -- x¡ 1. ) 11que que cuando se aplica a 11x¡+ X¡+ ! X¡ 1. M

56

Métodos

numéricos

aplicados

a la ingeniería

Tabla 2.4 Resultados del ejemplo 2.7

i

Xl

XD

O

1.00000

2.00000

1

1.00000

2.00000

1.50000

2

1.00000

1.50000

1.25000

0.25000

2.42188

3

1.25000

1.50000

1.37500

0.12500

0.13086

4

1.25000

1.37500

1.31250

0.06250

1.16870

5

1.31250

1.37500

1.34375

0.03125

0.52481

6

1.34375

1.37500

1.35938

0.01563

0.19846

7

1.35938

1.37500

1.36719

0.00781

0.03417

8

1.36719

1.37500

1.37109

0.00391

0.04825

9

1.36719

1.37109

1.36914

0.00195

0.00702

10

1.36719

1.36914

1.36816

0.00098

0.01358

11

1.36816

1.36914

1.36865

0.00049

0.00329

12

1.36865

1.36914

1.36890

0.00025

0.00186

13

1.36865

1.36890

1.36877

0.00013

0.00071

XM

I XMi

-XMi+11

v

If(XM)

I

2.87500

R

Utilizando el guión de Matlab del ejemplo 2.6, con la modificación apropiada, puede obtenerse la tabla anterior.

2.6 Problemas de los métodos de dos puntos y orden de convergencia A continuación se mencionan algunos problemas que se presentan en la aplicación de los métodos de dos puntos. 1. El hecho de requerir dos valores iniciales. Esto resulta imposible de satisfacer (en bisección y posición falsa) si se tienen raíces repetidas por parejas (Xl y x2), Q muy difícil si la raíz buscada se encuentra muy cerca de otra (x3 y x4) (véase Fig. 2.8). En el último caso, uno de los valores iniciales debe estar entre las dos raíces o de otra manera no se detectará ninguna de ellas. * 2. Debido a los errores de redondeo f (xM) se calcula con un ligero error. Esto no es un problema sino hasta que xM está muy cerca de la raíz x, y f (xM) resulta ser positiva cuando debería ser negativa o viceversa, o bien resulta ser cero. 3. En el método de la secante no hay necesidad- de tener valores iniciales para ambos lados de la raíz que se busca. Esto constituye una ventaja, pero puede ser peligroso, ya que en la ecuación 2.13

.

,

.• Para estos casos un graficador con capacidad de acercamiento

(zoom) y rastreo (trace) puede ser de ayuda .

Solución Solución de ecuaciones ecuaciones nQ nQ lineales lineales

57

la diferencia diferencia

yy

2.8 Figura 2.8 Raíces repetidas repetidas Raíces por parejas parejas y por muy cercanas cercanas muy entre sí. entre sí.

ede ob-

x

puede causar causar problemas problemas al evaluar evaluar xi_l' pues f (X) (x) Y y f (X (Xii__1l)) no tienen tienen necesariamente necesariamente sigpuede Xi_\' pues opuestos y su diferencia diferencia al ser ser muy muy cercana cercana a cero cero producir producir overflow. overflow. Por Por último, último, denos opuestos decirse que que en el método método de la secante secante no hay hay certeza certeza de convergencia. convergencia. be decirse

ORDEN CONVERGENCIA ORDEN DE CONVERGENCIA

determinará el orden orden de convergencia convergencia del método método de la secante secante solamente, que para para Se determinará solamente, ya que demás métodos métodos de dos puntos puntos vistos, vistos, se siguen siguen las mismas mismas ideas. ideas. los demás como antes, antes, E E ii representa error en la i-ésima i-ésima iteración iteración Si, como representa el error ión de los

E i-l i-I E

E; Ei

sfacer (en 2)' o muy Fig.2.8). íces o de

= XXi_i_1 1 =

XX

=xi-x = Xi-X

Ei+1=Xi+1-X Ei+1=Xi+1-X

sustituir en la ecuación ecuación 2.13 2.13 Al sustituir tiene: tiene:

xi+l' Xi' x¡+\, Xi'

x + EE i+¡+11 = XX + EE ii --

xi_1 despejadas despejadas de las ecuaciones ecuaciones de arriba, arriba, se x¡_l

(x X)) (x + + Ei E i -x - X - Ei_1)f(E E i-I) f (E ii + + X f(E¡+x)-f(E¡_1 +x)X) f(E¡+X)-f(E¡_1 +

bien o bien a ambos r peligro-

E.

(E¡ - Ei_l)f(E¡ + x) 1 = E . - ----=---'--=----'--,+ 'f(E¡+x)-f(Ei_l +x)

expande en serie serie de Taylor Taylor afeE a f (E ¡i + x) X ) Y y ff(E (E ;-1 ¡-l + x x)) alrededor alrededor de x se tiene: tiene: Si se expande

ff (E X)= (E ¡i + X =ff

2 E2 E

(x (x ) + +E EJ J'f (x (x ) + -' ' ff" f f (x (x ) + ... ...

2! 2!

(2.17) (2.17)

58


2 E E2

2¡~1 2'~1

f(E¡_I+x)=f(x)+E¡_¡/'(X)+ f( E i_I+X) = f(x)+E¡_¡/'(X)+

2.]

f"(x)+ f"(x)+ ... ...

Sustituyendo estas expansiones expansiones en la ecuación ecuación 2.17 2.17 y como como f (x) 0, queda: queda: Sustituyendo estas (x) = = O, (E¡ - E 2J " (x E¡_I) (EJ' ' (x) (x) + E E2J" (x )/2! + ... ... ) i _ l ) (EJ ;+1 --"'----''--'----'-------'--------E i+ 1 = E ¡¡-- ---'-----':.....:...--'----,-------'--------2¡-E 2¡_I)f" (x) (E¡-Ei_I)f' (x)+ ~! (E2¡-E2¡_I)f" (x)+ + ... ... (E¡-E¡_¡)f' (x)+ ~! (E

-.... Factorizando ¡_I) .... Factorizando a (E ¡¡ -- E E ¡_ I) en el denominador denominador y cancelándolo cancelándolo con con el mismo mismo factor factor del numerador queda: queda: merador (EJ' (x) + E2J" E2J" (x )/2! + ... ... ) (EJ' (x) (x

E i+1 i+1 = = E Ei - --'-------''--------E - - ' - - - - : - - - - ' ' ' - - - - -- - -

f'f' (x) (x) + ~! (Eii + Ei_l)f" (x) + ... ... ~! (E Ei_l)f" (x)

=E=E,

(EJ' (x) + E2J" E2J" (x )/2! + ... ... ) (EJ' (x) (x

,

f' f'

(x) (x )

1

(l+-(Eo+Eo1) (1+-(Eo+Eo 2! ' ,- 1)

2!

'

¡-

f" (x) f" (x)

j "(x-) f' (x )

+ .. .. .t .tll +

Por Por el teorema teorema binomial: binomial: E2if" f" (x) 1 , _ E 2if" _ 1 f" (x) Ei+I=E¡f'(x-) (EJ (x)+(x)+ + ... ... )(I--(E )(l--(Ei+E¡) i +E ¡ I) ... ) Ei+I=E¡f'(x-) (EJ (x) +(x) + ... 2! 2! f' (x) 2! 2! f' (x) E 1 1 =E¡---(EJ' (X)+-E2J" 2J" (x)+ (x)+ ... --' - ' (E.+E¡ (E.+E¡ I)f" (x)+ + ... ... ) =E ¡ - - - ( E J ' (X)+-E ... ,)f" (x) f' (x) (x) 2! 2! ' f' 2! 2! oo

1

1

-- - (E "f' (x) - - E oE 1 f" f" (x) (x) + ... ... ) = E "o-- f' (x) E o1 , f' (x)' 2!' f' (x) 2! ' ,-

1

=

2! E ¡ E ¡-I

f" f'

(x) (x) + ...

o bien: bien:

E E

i+11 i+

1 2! 2!

=:" '-

f" (x) (x) f" f' (x) (x) f'

E i E i-i'

donde (i + 1)-ésima l)-ésima iteración donde se aprecia aprecia que que el error error en la (i iteración es proporcional proporcional al producto producto de los errores errores de las dos iteraciones iteraciones previas. previas. El error error en el método método de Newton-Raphson Newton-Raphson está está dado dado así así (véase (véase Probo 2.13) 2.13)

f" f"

(x) (x)

E ,.+ ,·+1 E22 E 1 =: '" - ' - - - - - E

2!f' (x) 2!f' (x)

"

donde secante es ligedonde por por comparación comparación puede puede observarse observarse que que el error error en el método método de la secante ligeramente será liramente mayor mayor que que en el de Newton-Raphson; Newton-Raphson; por por tanto, tanto, su orden orden de convergencia convergencia será geramente geramente menor, menor, pero pero con con la ventaja ventaja de que que no hay hay que que derivar derivar la funciónf(x). funciónf(x) . Por (i + 1)-ésima l)-ésima es Por otro otro lado, lado, en los los métodos métodos de primer primer orden orden el error error en la iteración iteración (i proporcional solamente, por error de la iteración iteración previa previa solamente, por lo que que puede puede decirse decirse que que los los méméproporcional al error todos de dos dos puntos puntos son superlineales (orden (orden de convergencia convergencia mayor mayor de uno uno pero pero menor menor todos son superlineales de dos). dos).

59


2.7 Aceleración de convergencia Se han han visto visto métodos métodos cuyo cuyo orden orden de convergencia convergencia es uno uno y dos, dos, o bien bien un valor valor intermeintermedio (superlineales). (superlineales). Existen Existen métodos métodos de orden orden 3 (véase (véase Probo 2.14) 2.14) y de orden orden superior; superior; sin embargo, embargo, es importante importante dar dar otro otro giro a la búsqueda búsqueda de raíces raíces reales reales y averiguar averiguar si la conconvergencia los métodos vergencia de los métodos vistos vistos se puede puede acelerar. acelerar. MÉTODOS DE UN MÉTODOS UN PUNTO PUNTO //

Si en alguno alguno de los métodos métodos vistos vistos se tiene tiene que que la sucesión sucesión xoo' xl' x" x22,, ... ... , converge converge muy muy lenlentamente tamente a la raíz raíz buscada, buscada, pueden pueden tomarse, tomarse, entre entre otras, otras, las siguientes siguientes decisiones: decisiones: Continuar el proceso proceso hasta hasta satisfacer satisfacer alguno alguno de los criterios criterios de convergencia convergencia a) Continuar prestablecidos. prestablecidos. b) una g (x) distinta; b) Ensayar Ensayar con con una distinta; es decir, decir, buscar buscar una una nueva nueva g (x) en punto punto fijo o cambiar de método. cambiar método. Utilizar la sucesión sucesión de valores x" x22,' ... ... para para generar generar otra otra sucesión: sucesión: xxo', XI" e) Utilizar valores xo, xl' o', XI" x 2 ', ... que ='.... que converja converja más más rápidamente rápidamente a la raíz raíz x que que se busca. busca. .o.)

... de Los Los incisos incisos a) a) y b) son suficientemente suficientemente claros, claros, mientras mientras que que la succesión succesión xoo',', XI" XI" x22',', ... parte e) se basa basa en que en ciertas ciertas condiciones condiciones de gg , (x),* (x)," se tiene tiene que que la parte

lím j-+oo i-+ oo

E· II _ 1+_ = _1+_ =

gg , (x (x )

(2.18) (2.18)

E ji E

donde: X¡ -- x es el error donde: EE ¡¡ = = x¡ error en la i-ésima i-ésima iteración. iteración. Para valores valores finitos finitos de ii,, la ecuación ecuación 2.18 2.18 puede puede escribirse escribirse como: Para como: E E·· II

1+ 1+ ""g --""g

, ((-- )) '

X X

E¡ E¡

o X"" g , (x) (x¡ - x)

X¡+l -

(2.19) (2.19)

o también: también: Xii++22 -

de

XX"" "" g , (x) (x)

(x¡+1 -

x) x)

(2.20) (2.20)

Restando Restando la ecuación ecuación 2.19 2.19 de la 2.20 2.20 se tiene: tiene:

de donde: donde: g' (x) g' (x) ""

X¡+2 --x¡+1 x¡+1 X¡+2

X x¡+1 i+ 1

-=». xi

Despejando Despejando x de la ecuación ecuación 2.19 2.19 geti-

1 - g , (x) (x)

es

* Véase Véase Problema Problema 2.22. 2.22.

(2.21) (2.21)

60 60

Métodos numéricos numéricos aplicados aplicados a a la la ingeniería ingeniería Métodos

sustituyendo la ecuación ecuación 2.21 en la última última ecuación, ecuación, se llega llega a: sustituyendo _

xx"",x."" x· ,I

E,

-xi

(X¡+I (x¡+l-xY

---=--'-'---'--

X¡+2 - 2x¡+ 2xi+11 + X¡ xi X¡+2

aproximaciones a x a partir partir de los valores obtenidos en alguna alguna sucesión. sucesión. LlámeLlámeque da aproximaciones valores ya obtenidos se a esta esta nueva nueva sucesión sucesión x' x' o' x' l'i- x' x' 2' ... ...

x'¡

= X¡ ___(x-"c.:.·+:.-l_-_x-,-¡)_2_ X¡+2 - 2x¡+1

Por ejemplo, ejemplo, x' o requiere x' o requiere de xxoo' Por

XI' XI' xx22,'

X' x' oo

+ X¡

°

i:2: O i;:::

(2.22) (2.22)

ya que (Xl - x )2 (XI )2

= XXoo - --'----"-----''-----''-- OO =

x22 - 2x¡ 2xl + XXoo

y así así sucesivamente. sucesivamente. Este solución buscada rápiEste proceso proceso conducirá, conducirá, en en la mayoría mayoría de los los casos, casos, a la solución buscada xx más más rápido que que si se siguiera inciso a); asimismo, siguiera el inciso asimismo, evita evita la búsqueda búsqueda de una una nueva nueva gg (x) (x) y el riesriesconvergencia con esa nueva nueva gg (x). conoce como como go de no obtener obtener convergencia con esa (x). A este este proceso proceso se le conoce aceleración aceleración de convergencia convergencia y se presenta presenta como como algoritmo algoritmo de Aitken. Aitken.

ALGORITMO ALGORITMO DE DE AITKEN AITKEN

Dada Dada una una sucesión sucesión de número número xXoo,' xi' x" xX22' , ...... a partir partir de ella ella se genera genera una una nueva nueva sucesión sucesión x' x' o' x' x' l'J' x' x' 2" 2' .... . con con la ecuación ecuación 2.22. 2.22. Si se emplea emplea la notación notación b.x¡

= Xi+l

-Xi'

i

0,1,2, ... ... == 0,1,2,

donde donde b. Ll es un un operador" operador' de diferencias diferencias cuyas cuyas potencias potencias (o más más propiamente propiamente su su orden) orden) se pueden pueden obtener obtener así así

o

la la ecuación ecuación 2.22 2.22 adquiere adquiere la la forma forma simplificada simplificada

(2.23) (2.23)

•• Véase Véase capítulo capítulo 5. 5.

Solución de ecuaciones ecuaciones no Solución no lineales

Ejemplo 2.8 Ejemplo Solución Solución

61

Acelerar convergencia de !~sucesión ejemplo 2.2, mediante algoritmo de Aitken. Acelerar la convergencia !~ :;ucesión del ejemplo mediante el algoritmo Aitken. Con la ecuación ecuación 2.22 2.22 o 2.23 2.23 con con XXoo = = 1, XI Con xl

= 1_ =

x' x'

oo

(1.53846 - 1)2 1)2 = 1.37081 1.37081 (1.53846 = 1.29502 - 2(1.53846) 2(1.53846) + 1 1.29502

Ahora, con la ecuación ecuación 2.22 2.22 y con con XI Ahora, con XI x' 1.53846 _ x' == 1.53846 II

= 1.53846, 1.53846, xx22 = = 1.29502 1.29502 se tiene: = tiene:

= 1.53846, 1.53846, x22 = = 1.29502 1.29502 Y x33 = = 1.40183, 1.40183, resulta: = resulta:

(1.29502 -\1.53846)2 = 1.36566 1.36566 (1.29502 _ i1.53846)2 = 1.40183 - 2(1.29502) 2(1.29502) + 1.53846 1.53846 1.40183

En una iteración se obtiene: obtiene: En una tercera tercera iteración X' = x ' 22 =

1.36889 1.36889

Obsérvese que que x' está prácticamente cerca de la raíz ecuación como como el x' I1 está prácticamente tan tan cerca raíz real real de la ecuación Obsérvese valor del ejemplo ejemplo 2.2, 2.2, y x' aproximación que que es preciso compavalor de x66 del x' 2 mejora mejora tanto tanto la aproximación preciso comparar este valor con el de x33 del ejemplo ejemplo 2.4. 2.4. La La comparación comparación puede establecerse medianmedianrar este valor con puede establecerse te If(x') If(x') I y If(x) If(x i ) 1.1.

encontrado que que el método segundo orden' orden' y se emplea emplea normalSe ha ha encontrado método de Aitken Aitken es de segundo normalmente acelerar la convergencia convergencia de cualquier cualquier sucesión sucesión de valores que converge converge limente para para acelerar valores que linealmente, cualquiera que que sea sea su origen. origen. La La aplicación aplicación del del método nealmente, cualquiera método de Aitken Aitken a la iteración de punto conocido como como método Steffensen, que que se iteración punto fijo da el procedimiento procedimiento conocido método de Steffensen, ilustra a continuación. ilustra continuación.

Encuentre ecuación Encuentre una una raíz raíz real real de la ecuación f(x)=x 10x-20=0= 0 f(x) =3 x 3 + 2x2+ 2x2 + 10x-20 con el método Steffensen, usando = 10-33 aplicado aplicado a If (x' ¡) i) 1.1. con método de Steffensen, usando e =

Solución Solución

ecuación f (x) = = O a la forma forma g g (x) (x) = = x. Al igual que que en el ejemplo ejemplo 2.2, 2.2, Se pasa pasa primero primero la ecuación Al igual factoriza x en la ecuación ecuación y luego luego se "despeja". "despeja". se factoriza

20 x=----x =-- -- x2+2x+1O + 2x + 1O Primera iteración iteración Primera elige un inicial Xoo = = 1 Y se calcula calcula XXll y xx22 Se elige un valor valor inicial Xl XI

= 1.53846 1.53846 =

x22

= 1.29502 1.29502 =

aplica ahora ahora la ecuación ecuación 2.22 acelerar la convergencia: convergencia: Se aplica 2.22 para para ace-Ierar

= 1_ =

x' x'

oo

(1.53846 - 1)2 = 1.37081 1.37081 (1.53846 = 1.29502 - 2(1.53846) 2(1.53846) + 1 1.29502

Como If(x' = (1.37081)3 (1.37081)3 + 2(1.37081)2 2(1.37081)2 + 10(1.37081) 10(1.37081) - 20 Como If(x' o) I = 0.04234> 10-33, se pasa 0.04234> pasa a la

= =

of Numerical & Sons, SOIlS, lnc. lnc. (1964). (1964). pp. 91-92. 91-92. • Henrici, Henrici, P., Elements Elements of Numerical Analysis. Analysis. John John Wiley Wiley &

l

62


Segunda iteración Segunda iteración Con el valor o que que ahora ahora se denota como x33 y con que se tiene, x' o denota como con la g(x) g(x) que tiene, resulta: resulta: Con valor de x' 1.36792 x44 = 1.36792 1.36920 ss = 1.36920

X X

PA

Aplicando ecuación 2.22 Aplicando nuevamente nuevamente la ecuación 2.22 a xx33' ' xt{Y x4'Y XXss se llega llega a: (1.36792 - 1.37081)2 1.37081)2 (1.36792 x' 1.37081 - ---'----------'-----------'--x' II = x66 = 1.37081 --'----1.36920 - 2(1.36792) 1.37081 1.36920 2(1.36792) + 1.37081 =1.36881 =1.36881 Luego, con el criterio exactitud se tiene: Luego, con criterio de exactitud tiene: 0.0000399 < 10-33 If (x66)) I = 0.0000399

yy el problema problema queda queda resuelto. resuelto. Para cabo los cálculos, cálculos, puede con los siguienPara llevar llevar a cabo puede usarse usarse Matlab Matlab o la TI-92 TI-92 Plus, Plus, con los siguientes programas algoritmo 2.5 programas basados basados en el algoritmo

format long format long xO=l;eps=O.OOl; xO=l ;eps=O.OOl ; for i=l:lO for i=l :lO xl=20/(xO~2+2*xO+10); xl=20/(xO~2+2*xO+10); x2=20/(xl~2+2*xl+10); x2=20/(xl~2+2*xl+10); x=xO-(xl-xO)~2/(x2-2*xl+xO) x=xO - (xl -xO)~2/(x2-2*xl+xO) dist=abs(x-xO) di s t=abs (x- xO) ;; disp xl ) disp (( [xl, [xl , x2, xl) if dist eps if dist < eps breek break

end end xO=x; xO=x; end end

e2_9( e2_9( Prgm Prgm Define Define g(x)=20/(x~2+2*x+10) g(x)=20/(x~2+2*x+10) CirIO: 1.-->xO :: 1 l . e-Ar+epe CirIO: 1.""'xO e-4-+eps Loop Loop gg(xO) (xO) +xl g (xl) +x? -+xl:: g(xl) -+x2 xO(xl-xO) ~2/ (x2 (x2-2*x1+xO) xO- (xl - xO) ~2/ - 2*xl+xO) -->x -+x Disp (x, "f5 "f5") Disp format format (x, ") If (x-xO) xO x->xO EndLoop EndLoop EndPrgm EndPrgm i

;;

A continuación continuación se da el algoritmo algoritmo de Steffensen. Steffensen.

ALGORITMO ALGORITMO

2.5 Método Método de Steffensen

Para ecuación gg (x) (x) = = x, proporcionar función G(X) y los Para encontrar encontrar una una raíz raíz real real de la ecuación proporcionar la función G(X) y DATOS: DATOS: RESULTADOS: RESULTADOS:

Valor Valor inicial inicial XO, criterio criterio de convergencia convergencia EPS EPS yy número número máximo máximo de iteraciones iteraciones MAXIT. MAXIT. La aproximada X o un mensaje falla. La raíz raíz aproximada mensaje de falla.

PASO PASO l.l . Hacer Hacer 1 = l.l. PASO PASO 2. Mientras Mientras 1 < MAXIT, MAXIT, repetir repetir los los pasos pasos 3 a 6. PASO 3. Hacer: PASO 3. Hacer: Xl Xl = G(XO)

2


63

X2 G(Xl). X2 = G(Xl). -XO) ''2/ 2/ (X2-2*Xl+XO). X = XO - (XI (XI-XO) (X2-2*Xl+XO). SI ABS ABS (X-XO) modo CONTINUAR. (X-XO) < < EPS, EPS, IMPRIMIR IMPRIMIR X Y TERMINAR. TERMINAR. De De otro otro modo CONTINUAR.

PASO PASO 4. PASO PASO 5. Hacer Hacer 1 = 1 + 1 PASO XO = X (actualiza PASO 6. Hacer Hacer XO (actualiza XO) IMPRIMIR mensaje falla: "EL MÉTODO NO CONVERGE A UNA PASO 7. IMPRIMIR mensaje de falla: "EL MÉTODO NO CONVERGE UNA RAÍZ" RAÍZ" YTERMINAR. YTERMINAR. / /

MÉTODOS DE DOS DOS PUNTOS MÉTODOS PUNTOS

Los métodos de dos puntos puntos bisección bisección y posición posición falsa falsa garantizan pero ya ya Los métodos garantizan convergencias, convergencias, pero que puede ser muy muy lenta una que puede lenta en algunos algunos casos, casos, conviene conviene acelerarla. acelerarla. Enseguida Enseguida se estudia estudia una modificación falsa que cumple cumple con con este este cometido. cometido. modificación de posición posición falsa MÉTODO ILLlNOIS* MÉTODO ILLlNOIS*

Esta técnica difiere del método falsa (véase (véase algoritmo algoritmo 2.4) 2.4) en que que los valores valores Esta técnica difiere método de posición posición falsa (XI' D) de las sucesivas (X¡, F¡), (X (XDD, , F D) sucesivas iteraciones iteraciones se determinan determinan de acuerdo acuerdo con con las siguientes siguientes reglas: reglas: a) Si FD*F hacer XDD == Xl' X I' FD = FD*FMM > 0, O, hacer = FF¡I

hacer FD = b) Si FD*F FD*FMM < 0, O, hacer = FJ2 Fd2 XI con M.. Y en ambos ambos casos casos se sustituye sustituye a X¡ con XMM y F F¡I con con FM El empleo D/2 en lugar D evita XI o XD mantenempleo de F FD/2 lugar de F FD evita que que uno de los extremos extremos X¡ D se mantenga fijo (caso uente en posición posición falsa) modificación acelera (caso frec frecuente falsa). . Esta Esta modificación acelera considerablemente considerablemente la convergencia método. Los valores funcionales convergencia del método. Los valores funcionales FI' Fl' F D D empleados empleados conservan conservan sus signos signos opuestos. puede obtenerse pasos 6 y 7 en el opuestos. El algoritmo algoritmo correspondiente correspondiente puede obtenerse sustituyendo sustituyendo los pasos algoritmo respectivamente, y además paso donde algoritmo 2.4 2.4 con los incisos incisos (a) y (b), respectivamente, además un paso donde se sustisustituye con XMM y F F¡I con con FM. tuye a X¡ XI con

2.8 Búsqueda de valores iniciales El uso uso de cualquier numérico para para encontrar raíces de f (x) == 0, requiere uno cualquier algoritmo algoritmo numérico encontrar las las raíces O, requiere uno o más más valores métodos como posición falvalores iniciales; iniciales; además, además, en métodos como el de la bisección bisección y el de posición sa, los dos valores requeridos deben raíz buscada buscada y sus vavalores iniciales iniciales requeridos deben estar estar a los lados lados de la raíz lores lores funcionales funcionales correspondientes correspondientes tienen tienen que que ser de signos signos opuestos. opuestos. continuación se dan algunos algunos lineamientos lineamientos generales generales para obtener valores valores aproximaaproximaA continuación para obtener dos a las raíces raíces def(x) = O. de f (x) = O. 1. Por raíces se buscan buscan tiene tiene algún Por lo general, general, la ecuación ecuación cuyas cuyas raíces algún significado significado físico; físico; entonces, partir de consideraciones pueden estimarse valores aproximados entonces, a partir consideraciones físicas físicas pueden estimarse valores aproximados Este razonamiento cada ecuación. ecuación. A continuación continuación se a las raíces. raíces. Este razonamiento es particular particular para para cada presenta un ejemplo para ilustrar presenta ejemplo para ilustrar esta esta idea idea .

• Dowel Dowel M. M . and Modified Regula Regula Falsi Falsi Method Methodfor Root of Equation. BIT. BIT. Vol. II and Jarrat Jarrat P., A Modified for Computing Computing the the Root of an Equation. II p. 168 (1971). (1971).

64


Determine el valor valor inicial inicial en la solución solución de una una ecuación ecuación de estado. estado. Determine

Solución Solución

El cálculo presión y temperatura cálculo del volumen volumen molar molar de un gas dado, dado, a cierta cierta presión temperatura también también dadas, dadas, es un problema problema común común en termodinámica. termodinámica. Para Para realizar realizar dicho dicho cálculo cálculo se e;nplea emplea alguna alguna de las ecuaciones ecuaciones de estado estado conocidas. conocidas. Una Una de ellas ellas es la ecuación ecuación de Beattie··Blidgeman: Beattie-Bridgeman: RT jJ y 88 j3 P =-+-+-+P=-+-+-+Y y2 y3 v» yy44

(2.24) (2.24)

donde jJ, y, y 8 quedan donde los parámetros parámetros j3, quedan determinados determinados al fijar fijar el gas de que se trata, trata, su temperatura T y su presión presión P. P. temperatura En problema se reduce En las condiciones condiciones expuestas, expuestas, el problema reduce a encontrar encontrar el o los valores valores de que satisfagan satisfagan la ecuación ecuación 2.24, 2.24, o en otros otros términos, términos, a determinar determinar las raíces raíces del poliyy que polinomio en V. V. nomio

! (Y) = P y4

- R T y3 - j3 y2 - Y Y - 8 = O,

(2.25) (2.25)

que resulta resulta de multiplicar multiplicar por ecuación 2.24 2.24 y pasar todos sus términos términos a un solo solo que por Y4 la ecuación pasar todos miembro. miembro. La problema encontrar La solución solución de la ecuación ecuación 2.25 tiene tiene como como primer primer problema encontrar cuando cuando memenos inicial Yocercano volumen buscado V. Este Este valor valor Yo,se obtiene a partir nos un valor valor inicial Yo cercano al volumen buscado V. Yo' se obtiene partir de la ley de los gases gases ideales; ideales; así:

RT Yo =- ' Yo=-' P que generalmente generalmente es una aproximación razonable. razonable. que una primera primera aproximación

Como puede verse, el razonamiento razonamiento es sencillo sencillo y se basa sentido común común y las leComo puede verse, basa en el sentido yes básicas básicas del del fenómeno fenómeno involucrado. involucrado.

2. Otra permita determinar Otra manera manera de conseguir conseguir información información sobre sobre la función, función, que que permita determinar valores valores iniciales iniciales "adecuados", "adecuados", consiste consiste en obtener obtener su gráfica gráfica aproximada aproximada medianmediante un análisis bien análisis de! de! (x), (x), a la manera manera clásica clásica del cálculo cálculo diferencial diferencial e integral, integral, o bien como se ha venido sugiriendo, con con algún algún software software comercial comercial y, en el mejor mejor de los como venido sugiriendo, casos, presentan los pasos pasos del casos, empleando empleando ambos. ambos. A continuación continuación se presentan del análisis análisis de la función! función! (x) y de la construcción construcción de su gráfica gráfica en la forma forma clásica. clásica. a) Determinar Determinar el dominio dominio de definición definición de la función. función. Determinar un subintervalo subintervalo de a), que mismo. Es un intervalo intervalo donde donde b) Determinar que puede puede ser a) mismo.

interés analizar analizar la función. función. Evalúese Evalúese la función función en los sise presupone presupone que es de interés guientes puntos subintervalo: puntos extremos y aquéllos aquéllos donde donde sea fácil el guientes puntos de ese subintervalo: puntos extremos cálculo de! de! (x). En los siguientes siguientes pasos todo estará estará referido referido a este este subintervalo. subintervalo. cálculo pasos todo Encontrar los puntos puntos singulares singulares de la función función (puntos (puntos en los cuales cuales es infinita infinita o e) Encontrar está definida). definida). no está ti) La La primera segunda derivadas derivadas dan información información muy muy útil sobre sobre la forma forma de d) primera y la segunda función, aun más más útil que que infoffi1ación información de valores valores computados; computados; por ejemplo, la función, por ejemplo, dan los intervalos intervalos de crecimiento crecimiento y decrecimiento decrecimiento de la función. función. Por Por esto, esto, obdan téngase la primera primera derivada derivada y evalúese evalúese en puntos puntos apropiados, apropiados, en particular particular en téngase puntos cercanos cercanos a aquéllos aquéllos donde donde la función función ya está está evaluada evaluada y en los que es fápuntos esta evaluación. evaluación. cil esta Encontrar los puntos máximo y mínimo, mínimo, así como como los valores valores de la función función en e) Enco'1trar puntos máximo esos puntos. esos puntos.

E

Solu ció n d e ecuaciones Solución de ecuaciones no lineales lineales

65

f) Los dominios dominios de concavidad concavidad y convexidad convexidad de la curva, curva, y los puntos puntos de inflexión inflexión j) Los información cualitativa cualitativa y cuantitativa, cuantitativa, que que se obtienen obtienen a partir partir de la segunda segunda es información derivada y son son imprescindibles imprescindibles para para este este análisis. análisis. derivada g) Obtener Obtener las asíntotas asíntotas de la función. función. Éstas, Éstas, en caso caso de existir, existir, indican indican cierta cierta regularidad tender x o y hacia gularidad en los comportamientos comportamientos de la gráfica gráfica de y = = f (x) al tender hacia infinito. infinito. h) Descomponer función en sus partes Descomponer la función partes más más sencillas sencillas que que se sumen sumen o se multiplimultipliquen. quen. Graficar Graficar cada cada parte parte y construir construir la gráfica gráfica de la función función original, original, combinancombinando las gráficas pasos anteriores. gráficas de las partes partes y la información información conseguida conseguida en los pasos anteriores.

Ejemplo Ejemplo 2.11

Análisis Análisis de una una función. función. A continuación continuación se presenta presenta el análisis análisis clásico clásico de la función función f(x) = x) f(x) = x - e11-x- x (1 + In x) hecho por por Pizer.* hecho Nótese x> O, así Nótese que que In x está está definida definida sólo sólo para para x> así que que f (x) (x) está está definida definida sólo sólo en (O, 00). 00). En este este ejemplo ejemplo ilustrativo, ilustrativo, se analiza analiza la función función en todo todo el dominio dominio de definición; definición; es En decir, decir, el intervalo intervalo de interés interés será será (O, 00). 00). Un Un punto punto donde donde es fácil fácil evaluar evaluar la función función es en x = = 1, ya que la parte parte exponencial exponencial y parte logarítmica logarítmica se determinan determinan fácilmente fácilmente en ese ese punto. punto. la parte

ff(l)(1) = 1 -

e11--1 1 (l (l + In 1)

=O O

De De esta esta forma, forma, se ha encontrado encontrado una una raíz raíz de la ecuación ecuación Xl = 10 En x = f (lO) = f(lO) = 10 -

= = l. 1.

ee"9 (1 (l + In 10) "" "" 10

Enx Enx = = 100 f(lOO) = f(100) = 100 - e-99 (1 (l + In 100) "" "" 100

Con Con esta esta información información puede puede adelantarse adelantarse que que la función función tiene tiene la asíntota asíntota y = = x, la función función identidad. identidad. Un Un punto punto donde donde la función función no está está definida definida es en el extremo extremo x = = O. Al analizarlo analizarlo se advierte que cuando cuando x -+ O, el In x -+ 00 y f (x) -+ 00 00 y se encuentra encuentra una asíntota más más de la vierte -+ - 00 una asíntota función, que es la parte parte positiva positiva del eje y. Por Por un lado, lado, x -+ -+ 00, 00, In x -+ 00, 00, pero pero e11--x x se aceracerfunción, ca más ca más rápidamente rápidamente a cero cero y, por por tanto, tanto, el producto producto e11--x x (1 (l + In x) x ) tiende tiende a cero, cero, dejando dejando como resultado resultado global global que f (x) (x) -+ oo. =. Se concluye concluye que que f (x) -+ 00 cuando cuando x -+ -+ O, o cuando cuando x como -+ no tiene -+ oo. = . Comof(x) Comof(x) tiene otros otros puntos puntos singulares, singulares, se da por por terminado terminado el inciso inciso c). e). Al calcular se tiene calcular la primera primera y segunda segunda derivadas derivadas def(x), def(x), tiene que que f' f'

(x) = = 1- e e11-x- x (l/x (l/x - 1 --InIn x) x) (x)

y ff"" (x) = = e11--x x (2/x (2/x + lIx2 l/x2 -- 1 -In - In x) x)

evaluar f' f' (x) en x == 1, se obtiene obtiene f' f' (1) == 1. Al evaluar Cuando oo,f' (x) -+ l. 1. Cuando x -+ oo,f' Lo que que se sabe sabe hasta hasta aquí aquí de la función, función, se muestra muestra en la figura figura 2.9 a. Como Como f (x) es Lo continua (todas (todas las funciones funciones sencillas sencillas que que la forman forman lo son) son) en (O, 00), 00), deberá deberá haber haber por por continua menos otra otra raíz raíz de f (x) en (O, 1) 1).. lo menos

Stephen, M. Pizer. Pizer. Numerical Computing and and Mathematical S.R.A., , (1975) (1975) pp. pp. 176176-179. • Stephen, Numerical Computing Mathematical Analysis. Analysis. S.R.A. 179.

.. 66


y

\\

(( x

a)

x

b)

y yy

y=x y=x

e) y

y

= Inx) = x-e lx- x (1 + lnx) l-

/ / / / / / / / /

Figura 2.9 2.9 Construcción Construcción de la gráfica gráfica de f[x) = x - e1l-x- x (1 (1 + In x). x).

/ / / / /

e)

x

El inciso que sería sería tan tan comcominciso e) del análisis análisis de la función función no procede procede en este este caso, caso, ya que plejo forma de la curva curva con con la plejo como como encontrar encontrar las raíces raíces de f (x) (x).. En su lugar lugar se analiza analiza la forma f // (x) x, se tiene tiene que que f'f // (x) O, segunda segunda derivada. derivada. Evaluando Evaluando f" (x) en valores valores muy muy grandes grandes de x, (x) < O, o sea (también se dice dice que que la curcursea que que la función función es convexa convexa para para valores valores muy muy grandes grandes de x (también va gira tiene!, / (1) = = 2, lo que que gira su convexidad convexidad hacia hacia la parte parte positiva positiva del eje y). Además, Además, se tienef" indica gira su convexidad convexidad hacia hacia la indica que que la función función es cóncava cóncava en x = = 1 (o en otras otras palabras palabras gira parte 2.9 b. parte negativa negativa del eje y). La La información información se muestra muestra en la figura figura 2.9 Se puede las funciones funciones elementales elementales puede obtener obtener aún más más información información def(x) def(x), , analizando analizando las que la componen, componen, como como x, el-x, el-x, y 1 + In x. La La familiaridad familiaridad con con las gráficas gráficas de las funciofuncioque elementales es útil cuando cuando se consideran consideran funciones funciones más complejas. Las nes elementales más complejas. Las partes partes en que que se puede puede descomponerf(x) descomponer f (x) se muestran muestran en la figura figura 2.9 c. c. Primero Primero nótese nótese que que la gráfica gráfica de aumentada en una unidad, que la gráfica gráfica de eell--x x es la de e-X llevada 1 + In x es la de In x aumentada unidad, y que llevada I

Solución

de ecuaciones

no lineales

67

una unidad a la derecha. Multiplicando e1-x y 1 + In x entre sí (Fig. 2.9 d), se ve que este producto es negativo entre cero y algún valor menor que 1, tiende a cero cuando x aumenta y permanece debajo de y = x para x > 1. Como la derivada del producto es cero en x = 1, la curva del producto tiene ahí un máximo y el resto de la gráfica puede obtenerse como se ilustra en la figura 2.9 e). Nótese que los ceros de f (x) son los puntos donde el producto e1-x (1 + In x) y la función identidad y = x se intersectan. Esto significa que sólo hay dos raíces de la función. También puede concluirse que hay una raíz en x = 1 Y otra cerca de x = 0.5, por lo que 0.5 sería un valor. inicial adecuado para calcular esta segunda raíz. Actualmente se puede recurrir a programas comerciales con facilidades de graficación para visualizar funciones matemáticas; no obstante, es necesario verlos como auxiliares en esta tarea y no como algo que permita sustituir el análisis tradicional y mucho menos los conceptos. Por ejemplo, si graficamos con Matlab la función en el intervalo [-3, 3] obtendríamos la figura 2.10.

20 O

-20 x

-40

=

-3:0.1:3;

f = x - exp(l' - x) .*(l+log(x));

plot (x, f,

'k')

-60 -80 -100

Figura 2.10

-120 -3

-2

-1

O

2

3

Lo cual ciertamente es algo que requiere una lectura en términos de lo que se "ve", de lo que el programa hace, de los mensajes de error que pudieran darse y de los conceptos involucrados. En este caso, Matlab muestra las siguientes advertencias: Warning:

Log of zero.

> In D: \Archivos de programa\Matlab\bin\e2_10.m Warning:

Imaginary

parts

of complex

X and/or

> In D: \Archivos de programa\Matlab\bin\e2_10.m

at line 2 y arguments

ignored. at line 3

La primera significa que se está evaluando la función en x = O, Y como ya es sabido, In (O) no está definido y de ahí la interrupción de la gráfica alrededor de ese punto; de igual manera, el logaritmo de números negativos genera valores complejos, sin embargo, Matlab ignora la parte imaginaria de los valores de la función y con la parte real continúa la graficación. De no haber hecho estas consideraciones pensaríamos que existe gráfica a la izquierda y a la derecha de cero, y además que hay una raíz negativa. Si se elige el intervalo (O, 5) se obtiene la gráfica de la figura 2.1l.

68

Métodos a la ingeniería aplicados a ingeniería Métodos numéricos numéricos aplicados

5 4 3

x=0.05:0.1: 5; x=0.05:0.l: f=x- exp(l-x) f=x-exp (l-x) .*(l . * (l+log(x)); +log (x) ) ; plot (x, f, 'k') plot (x, f, 'k')

2

o -1 ~~--~--~~~~--~--~~--~~

Figura 2.11 Figura

o 0.5 O 0.5

0.5 ~5

2

2.5 ~5

3

3.5 3.5 4

4.5 ~5

2.9

5

La cual, aunque aunque ya figura 2.9 La cual, ya es muy muy parecida parecida a la mostrada mostrada en la figura 2.9 e, no no revela revela por por sí mismisma, que es cóncava comprendido entre entre x = = OY ma, por por ejemplo, ejemplo, que cóncava hacia hacia arriba arriba en el intervalo intervalo comprendido x '" 1.6, y que cóncava hacia abajo después = 1.6. Lo anterior se puede que es cóncava hacia abajo después de x = Lo anterior puede comprobar comprobar obteniendo segunda derivada signo de dicha obteniendo la segunda derivada y observando observando el signo dicha derivada. derivada. En En este este caso caso (x) = e1-x ( ~ + +..!.-1- -- 1 -n - 1 In x) l-x (2 x =e x) ff " () 2 x x2 11

x

x

donde puede observarse que que en O < x :s; 1 la segunda segunda derivada algún vadonde puede observarse derivada es positiva; positiva; y para para algún lor segunda derivada signo al lor de x alrededor alrededor de 1.6, la segunda derivada es negativa negativa y se mantiene mantiene con con ese ese signo aumentar segunda derivada aumentar x. El valor valor de x, donde donde la la segunda derivada es cero, cero, es el punto punto donde donde la curva curva cambia cambia de concavidad, concavidad, y encontrar encontrar este este valor valor implica implica resolver resolver una una ecuación ecuación no lineal lineal en una (x) = = O. esta ecuación ecuación utilizando como valor una incógnita:f" incógnita:f" (x) O. Resolviendo Resolviendo esta utilizando como valor inicial inicial 1.6 obobservado en la gráfica servado gráfica yy con con la instrucción instrucción fzero ('exp (l-x) 1/x-2-1-1og (x)) , ,1.6) fzero( ' exp (l - x)** (2/x+ (2/x+1 /x~2-1-1og(x))'

Matlab ans = = l. l. 6952 6952 Matlab reporta reporta ans Podemos apreciar también figura 2.11 dos raíces; embargo, ¿có¿cóPodemos apreciar también en la gráfica gráfica de la figura raíces; sin embargo, mo podríamos saber que que son son las únicas? forma sería sería extender extender el intervalo podríamos saber únicas? Una Una forma intervalo de graficación graficación sentido positivo eje x y/o ver función es creciente creciente o si tiene asíntotas. Una en el sentido positivo del eje ver si la función tiene asíntotas. Una forma auxiliarnos con sería graficar ejemma de auxiliamos con un un graficador graficador sería graficar para para valores valores de x muy muy grandes, grandes, por por ejemplo [O, 200], con lo que que se obtiene obtiene la gráfica figura 2.12. plo [O, 200], con gráfica de la figura 2.12. 200r-----~------~------_r----~ 200

150 150

100 100 x=O.Ol:O.l: x=O.Ol:O.l: 200; 200; f=x-exp(l-x) f=x - exp (l-x)..*(l+log(x)); * (l+log (x)); plot (x, r, 'k') plot (x, f , 'k')

50 50

50

Figura 2.12 Figura 2.12

-50L-----~------~------~----~ -50 100 150 100 150 50 O 50 O

200 200

Eje

m


69

Nuevamente lectura de de esta gráfica revela revela que que la función creciente y que que se Nuevamente una una lectura esta gráfica función es creciente acerca a la función función y = = x; no obstante, obstante, es necesario esto como acerca necesario precisar precisar esto como lo hicimos hicimos en el análisis lisis clásico. clásico. Una vez que que hayamos hayamos determinado determinado las dos asíntotas de las funciones, Una dos asíntotas funciones, podemos podemos aseasegurar que que sólo sólo hay hay dos raíces raíces reales intervalo (O, (O, 1.5), 1.5), cuya gurar reales en el intervalo cuya obtención obtención puede puede hacerse hacerse con alguno alguno de los métodos métodos vistos. vistos. Con Con la instrucción con instrucción Matlab. Matlab. fzero('x -- exp(1-x).*(1+1og(x));0.3) exp(1-x).*(1+log(x));0.3) fzero('x

obtiene Se obtiene 0.4967 0.4967

ans ans

complejas 2.9 Raíces complejas Hasta ahora ahora se han han discutido sólo técnicas Hasta discutido sólo técnicas para para encontrar encontrar raíces raíces reales reales de ecuaciones ecuaciones de la forma f (x) = = O. O. Sin Sin embargo, embargo, a menudo forma menudo se presentan presentan ecuaciones ecuaciones polinomiales polinomiales con con coeficoeficientes reales, reales, cuyas cuyas raíces raíces son son complejas, cientes complejas, o bien bien polinomios polinomios complejos, complejos, y ecuaciones ecuaciones trastrascendentes con con raíces raíces reales reales y complejas. cendentes complejas. Generalmente, dichas dichas ecuaciones ecuaciones pueden Generalmente, pueden resolverse resolverse por por el método método de Newton-Raphson Newton-Raphson pero proponiendo proponiendo un (Sec. 2.2), pero un valor valor inicial inicial XXoo complejo complejo o bien bien por por algún algún otro otro método. método. MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON NEWTON-RAPHSON MÉTODO

Supóngase que se tiene tiene Supóngase (2.26) (2.26) con todos todos los coeficiente coeficiente a¡ reales. reales. f con también reales reales tes también

f

II

(x)

I I

(x) es un 1) Y (x) un polinomio polinomio de grado grado (n --1) y de coeficiencoeficien-

= n anxn-l l + (n = n

-

... + 2a~ 1) alln__lxl xn-n2- 2 + ... 2a~ + al

(2.27) (2.27)

Si el valor valor inicial real, entonces inicial Xoo es real, entonces

también será será real real y todos todos los valores siguientes. Consecuentemente Consecuentemente no se puede también valores xi Xi siguientes. puede enconencontrar una una raíz raíz compleja compleja de la ecuación ecuación 2.26 trar 2.26 si se inicia inicia con con un un valor valor XXoo real. real. por el contrario, contrario, el valor valor inicial será complejo, Si por inicial XXoo es complejo, complejo, XlXl entonces entonces será complejo, xx22 tamtambién, sucesivamente. De bién, y así sucesivamente. De esta esta manera, manera, si el proceso proceso converge, converge, puede puede encontrarse encontrarse una una raíz x compleja. compleja. raíz

Ejemplo 2.12 2.12 Ejemplo

Encuentre las raíces raíces complejas complejas de la ecuación Encuentre ecuación

f

(x)

== xx22 + 44 == O,

con el método método de Newton-Raphson. Newton-Raphson. con

Solución Solución

derivar f (x) se tiene tiene Al derivar f'(x)=2x f'(x)=2x

-------~--------------------------------:----70


Sea Xoo = j el valor valor inicial inicial propuesto. propuesto. Aplicando Aplicando la ecuación ecuación 2.12 2.12 con con este este valor valor inicial, inicial, Sea tiene: se tiene: xI xI = =j -

pero (j)2 = -1, entonces: entonces: xI = j pero

-1 + 44 2j

(j2 + 4) (j2 2 (j)

=j - -

33 2j

Multiplicando y dividiendo dividiendo por por j el término término 3/(2j), 3/(2j), se obtiene: obtiene: Multiplicando xI

x22

=j = .

= 2.5) 2.5) =

x33 = = 2.5 j -

(-1.5 j) (-1.5 j)

= 2.5 j =

(2.5 j)2 (2.5 j)2 + 4 2(2.5 j) 2(2.5 j)

.

= 2.05 2.05 ) =

(2.5 N j)2 + 4 = = 2.001 2.001 . (2.5 2(2.05 j) 2(2.05 j) )

La sucesión sucesión de valores valores complejos complejos xoo' xl' xi' ... , va acercándose acercándose rápidamente rápidamente a la raíz x La

f (x

Il

= 2j

1) = f (2 j) j)2 + 4 = -4 + 4 = O 1) j) = (2 N

Para evaluar evaluar la distancia distancia entre entre dos valores valores complejos complejos consecutivos, consecutivos, se utiliza utiliza Para

donde las barras barras representan representan el módulo módulo del del número número complejo complejo xii++11 donde

xi" xi"

Esto es, si Esto

=a + bj Xi = xii++11 - Xi

Entonces Entonces

I xii++11 -

Xi Xi

=J J a2 + b2 I=

Por lo que que se tiene tiene para para la sucesión sucesión previa previa Por I Xl XI

I XX22 I X33 -

xI XI X2 2

2 o I = I 2.5 j - j I = JJ0 + (1.5)2 = 1.5

- Xo

(-0.45)2 = 0.45 1=1 2.05 jj - 2.5 jjiI = JJ02 + (-0.45)2

2.001 j - 2.05 j = JJ02 + (-0.049)2 (-0.049)2 = 0.049 0.049 I = 2.001

convergencia es notoria. notoria. y la convergencia caso de tener tener raíces raíces complejas complejas una una ecuación ecuación polinomial polinomial con con coeficientes coeficientes reales, reales; ésEn caso aparecen en parejas; parejas; es decir, decir, si XX = a + b j es raíz, raíz, también será XX = a - b j (toda (toda vez vez tas aparecen también lo será multiplicarlos deben deben producir producir los coeficientes coeficientes reales). reales). que al multiplicarlos Por esto: esto: Por

x2

= -2j

segunda raíz raíz que que se busca. busca. es la segunda f(x =f(-2j) (_2j)2 + 4 = -4 + 4 = O f(x 2) =f(-2j) = (_2j)2 problema queda queda terminado. terminado. El problema Para realizar realizar los los cálculos cálculos de este este ejemplo, ejemplo, puede usar el guión guión de Matlab Matlab dado dado en Para puede usar Ejemplo 2.4, 2.4, con con el valor valor inicial inicial xO=li, con con lo que que Matlab Matlab realiza realiza los los cálculos cálculos con con el Ejemplo aritmética compleja. compleja. El lector lector puede puede apreciar apreciar aún aún más más la utilidad utilidad de Matlab Matlab con con este este aritmética ejemplo. ejemplo.

Solución Solución de ecuaciones ecuaciones no lineales

71

Si bien bien se resolvió resolvió una una ecuación representa dificultad, método ecuación cuadrática cuadrática que que no representa dificultad, el método también emplearse para grado, siguiendo siguiendo los mismos también puede puede emplearse para un polinomio polinomio de mayor mayor grado, mismos pasos. pasos. puede crean programa para para el algoritmo nivelo en El lector lector puede crean un programa algoritmo en algún algún lenguaje lenguaje de alto alto nivelo un pizarrón pizarrón electrónico Mathcad. un electrónico como como Mathcad. MÉTODO DE MÜLLER MÜLLER MÉTODO

¡=2j

Un método método deducido por Müller, Müller, * se ha puesto puesto en práctica práctica en las las computadoras Un deducido por computadoras con con éxito éxito sorprendente. Se puede encontrar cualquier cualquier tipo compleja, de una una sorprendente. puede usar usar para para encontrar tipo de raíz, raíz, real real o compleja, función arbitraria. arbitraria. Converge Converge casi función casi cuadráticamente cuadráticamente en un un intervalo intervalo cercano cercano a la raíz raíz y, a diferencia del método evaluación de la primera derivada ferencia método de Newton-Raphson, Newton-Raphson, no requiere requiere la evaluación primera derivada función, y obtiene obtiene raíces complejas aun aun cuando cuando estas estas raíces sean repetidas. de la función, raíces reales reales y complejas raíces sean repetidas. La aplicación del del método iniciales y es una una extensión extensión del método La aplicación método requiere requiere valores valores iniciales método de secante, el cual cual aproxima aproxima la gráfica gráfica de la función/(x) función f (x) por línea recta que pasa la secante, por una una línea recta que pasa por por (Xi_l,J (X ii__I1)) )) y (xi,f (xi,J (x)). (x¡)). El punto intersección de esta esta línea línea con con el eje eje x da los puntos puntos (Xi_l,f punto de intersección aproximación xii++ ¡. la nueva nueva aproximación l' lugar de aproximar/ex) aproximar f (x) por función lineal lineal (línea (línea recta grado 1), En lugar por una una función recta o polinomio polinomio de grado resulta obtener una convergencia más aproximandof(x) resulta natural natural tratar tratar de obtener una convergencia más rápida rápida aproximando / (x) por por un un polipolinomio grado n > > 11que coincida con/(x) conf(x) en los puntos abscisas xi' que coincida puntos de abscisas Xi' xXi_P nomio p (x) de grado i_I"'" "" xXii_nll'' y determinar Xii +l1 como como una una de las raíces raíces de p (x). determinar A continuación continuación se describe describe el caso caso n = = 2, donde donde el estudio estudio detallado detallado de Müller enconMül1er encontró que que la elección elección de n da resultados satisfactorios. resultados satisfactorios. iniciales xoo, xi' segundo gragraSe toman toman tres tres valores valores iniciales xl' x22 yY se halla halla el polinomio polinomio p (x) de segundo que pasa (xo,J (xoo))' (xl,J (XI)) (XI)) y (x22,J do que pasa por por los puntos puntos (xo,f ))' (xl,f ,f (x22)),)), y se toma toma una una de las raíces raíces más cercana cercana a x22 como como la siguiente siguiente aproximación aproximación x33. . Se repite operación con con repite la operación de p (x), la más iniciales xi' satisfalos nuevos nuevos valores valores iniciales x" xx22' x33, y se termina termina el proceso proceso tan pronto pronto como como se satisfaga algún algún criterio criterio de convergencia. convergencia. La figura 2.13 ilustra este este método. ga La figura 2.13 ilustra método. Sean x.; aproximaciones distintas distintas a una (x) = = O. Usando Sean Xi' Xi_l' X i_1' x Xii__22' ' tres tres aproximaciones una raíz raíz de f/ (x) Usando la siguiente notación: guiente notación:

t, /¡ == f(x¡) /(x)

kl =/(x =f(xi_¡)i_ ,) h-I k2 =!(x =f(xi_2i _) 2 ) h-2 capítulo 5 se demostrará demostrará que que con con en el capítulo es, ésa vez

(2.28) (2.28)

(2.29) (2.29) la función función oen con este

(2.30) (2.30)

"A Method of Solving Solving Algebraic Cornputer". Mathematical Mathematical Tables Tables • Müller, Müller. D.E. D.E. "A Method of Algebraic Equations Equations Using Using an Automatic Automatic Computer". and Computation (MTAC). (MTAC), 10. pp. 208-215 (1956). (1956). and Other Other Aids Aids to Computation pp. 208-215

r 72

Métodos aplicados Métodos numéricos numéricos aplicados a a la ingeniería ingeniería

es la parábola pasa por (x¡_l'k¡) lector recorrecorparábola única única que que pasa por los puntos puntos (x¡,f), (x¡,f), (x¡_i'kl) y (X (x¡_2,k2). i - 2,k2). El lector dará usual de escribir de segundo grado o parábola parábola es: dará que que la manera manera usual escribir un polinomio polinomio de segundo grado p(x) a¡x + ar22 p(x) = = aoo + a1x

yy

x

I

2.13 Figura 2.13 Interpretación Interpretación . gráfica del método de método Müller. Müller.

I

I I I

: yy = p(x) p(x)

comparar esta esta última última expresión expresión con la ecuación siguiente identifiAl comparar ecuación 2.30 2.30 se establece establece la siguiente identificación: cación: a22 = =ff [Xi' X¡_¡, X¡_2] a X¡_l' X i _2] a¡ = =ff [Xi' X¡_¡] al Xi _¡ ] - (X¡ + x¡_¡)a x¡_I)a 22

= 1; ¡;-- X¡Xi (j [Xi' aaoo = [Xi' X¡_¡] X i_¡] -- X¡_I X¡_l a a22)) Una vez vez calculados calculados los valores valores de a aoo' , al a¡ Y y aa22, , las raíces (x) se determinan Una raíces de pp (x) determinan a partir partir de fórmula cuadrática cuadrática la fórmula xi+1

2a

o = -----=----2

- a¡ ± (a ¡ - 4aOa2)

(2.31) (2.31) 1/2

cuya explicación explicación se encuentra encuentra en el problema problema 2.31, cuya 2.31, Y en el ejercicio ejercicio 1.3 del del capítulo capítulo 1. selecciona el signo signo que que precede precede al radical sea máSe selecciona radical de manera manera que que el denominador denominador sea máximo en magnitud,* magnitud,* y la raíz raíz correspondiente correspondiente es la siguiente siguiente aproximación La razón razón ximo aproximación xii++l.l . La para escribir escribir la fórmula fórmula cuadrática cuadrática de esta esta manera para manera es obtener obtener mayor mayor exactitud exactitud (véase (véase Probo 2.31), ya disminuida disminuida por por las diferencias diferencias de 2.31), de las ecuaciones ecuaciones 2.28 2.28 y 2.29, 2.29, que que se utilizan utilizan en cálculo de a aoo'' al a¡ Y a a22,, Y que que son aproximaciones aproximaciones a las derivadas derivadas de la la funciónf(x). funciónf(x). el cálculo Puede ocurrir ocurrir que que la raíz raíz cuadrada cuadrada en la ecuación sea compleja. (x) no está Puede ecuación 2.31 sea compleja. Si f (x) está definida para para valores valores complejos, complejos, el algoritmo algoritmo deberá reiniciarse con definida deberá reiniciarse con nuevos nuevos valores valores iniciainiciaun polinomio, polinomio, la posibilidad posibilidad de raíces les. Si ff (x) es un raíces complejas complejas es latente latente y el valor valor de x puede considerarse considerarse como como aproximación aproximación a alguna puede alguna de estas estas raíces raíces y, por por tanto, tanto, deberá deberá ememplearse siguiente iteración iteración . plearse en la siguiente

Con esto esto se encuentra encuentra el valor valor más más cercano cercano a x;. • Con

lineales Solución de ecuaciones ecuaciones no lineales Solución


Encuentre una una raíz raíz real real de la ecuación ecuación polinomial polinomial Encuentre

= x33 + 2x 2x22 + lOx Jf (x) = con el método método de Müller. Müller. con

Solución Solución

20

= O, O, =

•

Primera iteración iteración Primera seleccionar como como valores valores iniciales iniciales a Al seleccionar xo=O; Xo =O;

x2 = 2

x¡=l; x l =l ;

y evaluar evaluar la función función J f (x) en estos estos puntos, puntos, se tiene tiene

t. =-7;

fo = = -20; -20; Jo

f2

= 16

calculan ahora ahora los coeficientes coeficientes del polinornio segundo grado grado Se calculan polinomio de segundo .f[ x

l' Xo ] =

-7 + 20 ---=13 1-0

f¡-fo

-"----=x¡ -xo

23 -13 -13 ---=5 --= 5 2-0 2-0 Por Por tanto tanto = j[x f[x xl' xxoo]] = = 5 aa22 = 2, 2 , xl' al a¡ = j[x f[x Xl ] - (X22 + Xl) Xl) aa22 = = 23 - (2 + 1)5 == 8 2, 2 , Xl] 40 (f [X22,, Xl] ao = =fJ22 - Xx22 (j Xl] - x¡a x¡a22) ) = = 16 - 2 (23 - 1(5» 1(5)) = = -20 -20

Se calculan calculan los los denominadores denominadores de de la la ecuación ecuación 2.31 2.31 -al )l/2 = -8 13.54066 -al +(a +(a22¡¡ -- 4aO aa )1/2 -8 + (64 (64 + 400)1/2 400)112 = 13.54066 O 22 -al -al _(a -(a2]2 ¡ -- 4a 4aOOaa22)1I2 )I/2

= = -8 -8 - (64 (64 + 400)112= 400)¡/2 = -29.54066 -29.54066

Como Como el el segundo segundo es mayor mayor en en valor valor absoluto, absoluto, se usa usa en en la ecuación ecuación 2.31, 2.31, de de donde donde 2(-20) 2(-20) = 1.35407 1.35407 ----= -29.54066 -29.54066 Segunda Segunda iteración iteración Recorriendo Recorriendo ahora ahora los los subíndices subíndices de de x, se se tiene: tiene:

oo = 1;

= 2; =2;

XX

X¡ XI

fo Jo ==-7; -7;

t, JI == 16; 16;

X X22

== 1.35407 1.35407

fJ22 = -0.30959 -0.30959

En En consecuencia: consecuencia: 16 + + 77 {[xl' x ] = 2 _ 1 = = 23 23 .f[xl' xoo] = 2-1

ff[x [x22, , x¡] x ¡] ==

-0.30959 -0.30959 - 16 1.35407 1.35407 - 22

== 25.24978 25.24978

73

74

Métodos numéricos

aplicados

f[x2,

a la ingeniería

xI' xo] =

25.24978 - 23 1.35407 - 1

= 6.35405

De donde: a2

= 1[x2' = 1[x2'

a¡

X¡,

= 6.35405

xo]

Xl] - (X2' + x¡)a2 =

25.24978 - (1.35407 + 2)6.35405 = 3.87077 ao

-0.30959

=12 -x2

({[x2'

Xl] -x¡a2)

=

- 1.35407 (25.24978 - 2 (6.35405)) = - 17.29190

Calculando los denominadores

de la ecuación 2.31

-al + (a2¡ - 4aOa2)1I2 = 17.39295 -al - (a\

- 4aOa2)J/2

= -25.26855

Como el segundo es mayor en valor absoluto, se usa en la ecuación 2.31, de donde x3 =

2ao -al

- (a2¡ - 4aOa2)1I2

= 1.36865

La tabla 2.5 se obtiene repitiendo el procedimiento. Tabla 2.5

I Xi+¡

s.

-Xi

O

O

1

1

1.00000

2

2

1.00000

3

1.35407

0.64593

4

1.36865

0.01458

5

1.36881

0.00016

I

Para llevar a cabo los cálculos que se muestran en la tabla anterior, puede emplearse Matlab o la TI-92 Plus.

eps=O.OOl;eps1=O.OOOl; xO=O; x1=1; x2=2; for i=l z: 5 fO=xO~3+2*xO~2+10*xO-20; fl=x1 ~3+2*x1~2+1(J~xl-20; f2=x2~3+2*x2~2+10*x2-20; f10=(f1-fO)/(xl-xO); f21=(f~-f1)/(x2-x1); f21Ó=(f21-flO) / (x2-xO); a2=f21O; a1=f21- (X2+xl) *a2; aO=f2-x2*(f21-x1*a2);

e2_13 (

)

-,

Prgm Define F(x)=x~3+2*x-2+10*x-20 .OOl->eps: .Oüi+epsl : O.->xO 1.->x1 : 2.->x2 For i, 1, 5 f (xO)-+fO : f (x1)->fl f (x2)->f2 : (fl-fO)/(x1-xO)->flO (f2-f1)/(x2-x1)->f21 (f21-flO)/(x2-xO)->f210 : f210->a2 f21- (x2+x1)*a2-+a1 f2-x2* (f21-x1*a2) -+aO

!7Z5:3

ZTITrrmr:


dl=-al+ AO. 5; dl=-al+ (a (all A2-4*aa~a2) A2-4*aO~a2)AO.5; d2=-al - (al A2 - 4*aO*a2) AO .5; d2=-al-(alA2-4*a~a2)AO.5; (dl) >abs (d2) iif f abs (dl) x3=2*aO/dl; x3=2*aO/dl; el el se x3=2'aO/d2; x3=2'aO/d2; end A3+2*x3 A2+lO*x3- 20; f3=x3A3+2*x3A2+l~x3-20; f3=x3 dist=abs (x3-x2) dist=abs (x3-x2) ; disp ([x3, ([x3, distJ) dist)) disp iif f ar
-al +..J +-Y (al (al A2-4*a~a2) +cü -al A2-4*aO*a2) ---'dl (al A2-4*a~a2)->d2 al - ..J (al A2- 4*aO*a2)---'d2 --al--Y If f abs (dl) (dl) >abs (d2) then then I Z.'aO/dl->x3 2"aO/dl---'x3 Else Else 2*aO/d2->x3 2*aO/d2---'x3 EndIf EndIf (x3-x2) +diet: abs (x3-x2)---'dist fonnat (x3, ""f5") &"" ''->d fannat (x3, f5") & "---' d d&fonnat (dist, "f5")->d d&fannat (dist, "f5")---'d Disp Disp d If ar If distxl : x3->x2 xl---'xO x3---'x2 EndFor EndFar EndPrgm EnclPrgm

Encuentre las raíces raíces complejas complejas de la ecuación ecuación polinomial polinomial del ejemplo ejemplo 2.12 2.12 Encuentre

f (x) == x2 x2 + 4 4 = = O, con el método método de Müller. Müller. con

Solución Solución

Primera iteración Primera Al elegir elegir como como valores valores iniciales: iniciales: Al

= O; oo =

x¡ = 1; 1; X¡ =

X X

evaluar la función función en estos estos puntos, puntos, se tiene tiene y evaluar

t. f¡ ==5; 5;

ffoo=4; =4;

calculan ahora ahora los coeficientes coeficientes del del polinomio polinomio de segundo segundo grado grado Se calculan f¡ fo __ -_ 1 4 -_ f[ f[ xl' ] = fl - fo __ 51 -_ Xo = xi' Xo _ O O x¡ -xoxo XI -

0-1 0-1 --=1 -= 1 -1- 0 O -1Por tanto tanto Por a22 =f[x =f[x2, 2 , xi' xi' xoo]] = 1 a¡

= f[x f[x2,2, xxl]¡] =

(X2 +x +x¡)a = 00- (-1 (-1 + 1)(1) 1)(1) (x 22= l )a

= f22 - x22 (f [x 2, x¡] - x¡a aoo = x l a22))

=5=

(-1)(0 (-1)(0

=O O = =4 1(1» =

Calculando los denominadores denominadores de la ecuación ecuación 2.31 Calculando

= O + (O (O - 4(4)(1»1/2 4(4)(1»¡/2 = = (_ (_16)112 = 4j = 16)112 = 4aOOa2)1I7 = O - (O (O - 4(4)(1»112 = -....{{-16)1I2 =- 4j 4a )1I7 = 4(4)(1»1/2 = 16)1/2 =

4aOOa22)¡/2 --alal + (a22¡1 -- 4a ) 1/2 --alal - (a22¡1 -

75

-----------------------------------------------------------------~-------76

Métodos aplicados a a la ingeniería Métodos numéricos numéricos aplicados ingeniería

Como son de igual igual magnitud magnitud se usa usa cualquiera, cualquiera, por por ejemplo ejemplo 4j. Entonces: Como 4j. Entonces: 2a 2(4) _ _ 2a _ 2(4) x33 = - - - - - - -oo " - - - - -------al + (a22¡¡ - 4a a )l!2 4j a -al 4aO )l!2 4j O 22

2 j

multiplicar numerador numerador y denominador denominador por por j, queda queda al multiplicar xx

33

. 2' 2 2' == -:---:- ..!.. ~ == _J _J = = -JJ

j

2j 2j

-1

Hay que que observar observar que que aun aun cuando cuando xoo,, x ¡¡ y x22 son números números reales, reales, x33 ha ha resultado resultado un númenúmeHay raíz buscada, buscada, lo cual resulta lógico, ya que polinoro complejo complejo y además además es la raíz cual resulta lógico, ya que la ecuación ecuación polinomial mi"l

es una una parábola parábola y el método método de Müller Müller consiste, = 2, 2, en usar usar una una parábola parábola papaconsiste, en el caso caso n = ra sustituir la ra sustituir la función. función. La otra otra raíz raíz es el complejo complejo conjugado conjugado de x33' , o sea La sea 2j. Para realizar realizar los los cálculos cálculos de este este ejemplo, puede usar usar el guión guión de Matlab Matlab dado dado en el Para ejemplo, puede xO == O; O; xl xl == 1; x2 == -1 -1 Y los los cambios cambios corresponcorresponejemplo 2.13, con valores iniciales iniciales xO ejemplo 2.13, con los valores dientes de la la función. función. dientes

II

continuación se proporciona proporciona el algoritmo algoritmo del del método método de Müller Müller para para el caso caso n A continuación a: ID ALGORITMO

li

== 2.

;" ;- ' ., 4;. .. ' ' .;

2.6 Metodode Müller

Para encontrar encontrar una una raíz raíz real real o compleja compleja de la ecuaciónf(x) ecuaciónf(x) = O, O, incluir incluir la la funciónf(x) funciónf(x) y los Para DATOS: DATOS:

Valores iniciales iniciales XO, Xl, Xl, X2; X2; criterio criterio de convergencia convergencia EPS, EPS, criterio criterio de exactitud exactitud EPSI EPSI yy númenúmeValores ro máximo máximo de iteraciones iteraciones MAXIT. MAXIT.


La La raíz raíz aproximada aproximada X o un un mensaje mensaje de falla. falla.

PASO Hacer I = 1l PASO 1. Hacer PASO MAXIT, repetir repetir los los pasos pasos 3 a 7. PASO 2. Mientras Mientras I < MAXIT, PASO Hacer FlO FlO = (F(XI)-F(XO» (F(XI)-F(XO» / (XI-XO). (XI- XO). PASO 3. Hacer F21 = (F(X2)-F(XI» (F(X2)-F(XI» / (X2-XI). (X2-XI). F210 F210 = (F21-FlO) (F21-FlO) / (X2-XO). (X2-XO). A2 A2 = F21O. Al Al = F21-(X2+XI)*A2. F21 -(X2+XI)*A2. AO = F (X2)-X2*(F21-XI *A2). (X2)-X2*(F21-XI *A2). DI **2-4*AO*A2)**0.5. DI = -AI+(AI -AI+(AI **2-4*AO*A2)**0.5. D2 **2-4* AO*A2)**0.5. D2 = -AI-(AI -AI-(AI **2-4* AO* A2)**0.5. PASO AOIDI En AOID2. (DI) > ABS ABS (D2) (D2) hacer hacer X3 X3 = 2* 2*AOIDI En caso caso contrario contrario hacer hacer X3 X3 = 2* 2*AOID2. PASO 4. Si ABS ABS (DI) PASO OABS PASO 5. Si ABS ABS (X3-XO) (X3-XO) < EPS EPS O ABS (F (X3» < EPS1. EPSl. IMPRIMIR IMPRIMIR X3 X3 y TERMINAR. TERMINAR. De De otro otro modo, modo, continuar. continuar. PASO Xl. PASO 6. Hacer Hacer XO = Xl. Xl Xl = X2 X2 (actualización (actualización de valores valores iniciales). iniciales). X2 =X3. X2 =X3. PASO PASO 7. Hacer Hacer I = I + 1. PASO "EL MÉTODO RAíz" yy TERMINAR. PASO 8. IMPRIMIR IMPRIMIR mensaje mensaje de falla: falla: "EL MÉTODO NO NO CONVERGE CONVERGE A UNA UNA RAíz" TERMINAR.


no lineales

77

La siguiente sección puede omitirse sin pérdida de continuidad en el resto del material.

2.10 Polinomios y sus ecuaciones EVALUACiÓN

DE POLlNOMIOS

Método de Horner Se desea evaluar un polinomio p(x) en un valor particular de x. Por ejemplo, sea el polinomio p (x) = 4

.0 + 3 x3

-

2 x2 + 4 x - 8,

(2.32)

que se desea evaluar en x = 2. Factorícese x en los primeros cuatro términos p (x)

(4 x3 + 3 x2 -2 x + 4) x - 8

=

Dentro de los paréntesis, factorizar x en los primeros tres términos p (x)

=

«4 x2 + 3 x - 2) x + 4) x-8

Dentro de los paréntesis interiores, factorícese x en los primeros dos términos p (x)

= ( ( (4 x

+ 3 ) x - 2) x + 4) x - 8

El método de Homer consiste en evaluar, secuencialmente, sión: Paso 1. Evaluar (4 x + 3)

en x = 2:

Paso 2. Evaluar ( (l1)x - 2)

los paréntesis en esta expre-

4(2) + 3

=11

en x = 2:

(11) 2 - 2 = 20

Paso 3. Evaluar ( (20) x + 4 )

enx = 2:

(20) 2 + 4 = 44

Paso 4. Evaluar (44 ) x - 8

en x = 2:

(44)2-8

= 80

Así, p (2) = 80. Este proceso puede llevarse a cabo sin las factorizaciones. Escribase P4 (x) = a4.0 + a3 x3 + a2 x2 + aJ x + ao Para la ecuación 2.32, a4 = 4, a3 = 3, a2 = -2, al = 4 Y ao = -8 Conviene almacenar los valores intermedios de la evaluación de esta ecuación: 11, 20, 44 Y 80, como b3, b2, bl Y bo' respectivamente. Sea además, por conveniencia, b4 = a4 (= 4). Ahora dispónganse los coeficientes, el valor de x donde se desea evaluar el polinomio y b 4 en la siguiente forma:

x=2

4

3

-2

4

-8

En la columna de a3, se desarrolla el paso 1: 4(2) +3 = 11. Esto puede verse como multiplicar b4 por el valor de x (= 2) Y sumar el producto a a3. Llámese este resultado b3. Esto es:

----~------------------------------~'"1'T-----

78

Métodos numéricos

aplicados

3

4

x=2

a la ingeniería

-2

-8

4

+ 4 (2)

=8

En la columna de a2, se desarrolla el Paso 2: (11)2 - 2 = 20. Esto es, multiplíquese b3 por el valor de x (= 2) Y súmese el producto a a2. Llámese este resultado b2. Lo anterior se ilustra así

x=2

3

4

-2

-8

4

+ 11(2) = 22 b2

= 20

Repitiendo este proceso hasta calcular bo se tiene

4

x=2

3

-2

4

-8

+

+

20(2) b, = 4

b2

= 20

= 40

44(2) = 88

b¡ =44

bo

=

80

El valor p (2) resulta en bo.

Evalúe el polinomio

enx

= 3,

mediante el método de Horner.

Solución

Para

La no aparición de los términos en x4 y en x2 del polinomio significa que sus coeficientes son cero; para fines del método en estudio, dichos ceros deben aparecer en el arreglo Coeficientes de: Término x4 xs x3 x2 x independiente

=1

as

a4

x=3

=O

a3 =-4 +

+

=3 b4 = 3

1(3) bs

=

De aquí p (3)

=

1 144.

a2

3(3) b3

=9 =5

=O

a¡

+ 5(3) b2

= 15 = 15

=

2

ao = 3

+ 15(3) b,

= 45

= 47

47(3)

=

141

bo = 144

PAS PAS

PA~


79

Se generaliza generaliza este este método método con con polinomios polinornios de cuarto cuarto grado; grado; sin embargo embargo la extensión extensión a cualquier cualquier grado, grado, es inmediata. inmediata. Así: Así:

+

+

+

+

x x

x

x

x

donde donde puede puede verse verse que: b4 = = a4,, b3 = a3 + b4x,

esto es esto (2.33) (2.33) Mediante una una sustitución sustitución regresiva regresiva puede puede verse verse con con claridad claridad por por qué qué p (x) (x) Mediante Sustituyendo en boo = = aoo + blx blx a b b,l por por al al + b bZX, tiene: Sustituyendo 2x, se tiene:

= b oo' =

= aoo + (al (al + b22x)x boo = x)x

ahora se reemplaza reemplaza en la última última expresión expresión b22 con con a2 + b33x y así sucesivamente, sucesivamente, con lo y ahora cual se obtiene: obtiene: cual

= (( (( (a (a44xx + a33)x al)x + aoo = = p (x) (x) boo = )x + a22)x)x + al)x Las ecuaciones ecuaciones 2.33 2.33 representan representan un algoritmo algoritmo programable programable y, como como se verá verá más más adelante, adelante, Las elevada eficiencia eficiencia para para evaluar evaluar un polinomio polinornio p (x) en algún algún valor valor particular particular de x. x. de elevada describe enseguida enseguida el algoritmo algoritmo de Homer. Horner. Se describe

ALGORITMO ALGORITMO

Método de Horner Horner 2.7 Método

Para evaluar el polinomio polinomio Para evaluar (x) = = allx" a"x" + all_1 a,,_lx,,-1 a1x + aoo p (x) x"- 1 + ... + a,x

DATOS: DATOS:

Grado del polinornio. n: Grado polinomio. a", aa ll_I,l ,·..... , ao: Coeficientes Coeficientes del polinomio. polinornio. all' t: Valor Valor de x en donde donde se desee desee evaluar evaluar p (x) p (t) (t) en boo'' _

ll


PASO 1. = all l. Hacer Hacer b b"ll = «; Para k = = n-l, n-l, n-2, n-2, ... ... , O O realizar paso 3. PASO 2. Para realizar el paso PASO 3. Hacer Hacer bkk = = bkk++1 l t + akk•• PASO IMPRIMIR boo'' PASO 4. IMPRIMIR

proporcionar los los proporcionar

80

Métodos

numéricos

aplicados

a la ingeniería

Método de Horner iterado El método de Homer tiene otras características, que se analizarán enseguida. Tómese de nuevo el polinomio general de cuarto grado P4 (x) y divídase entre (x - t), donde t es un valor particular de x, lo que se expresa como: (2.34)

P4 (x) = (x - t) q (x) + R,

donde q (x) es el polinomio cociente (en este caso de tercer grado) y R una constante llamada residuo. Sustituyendo x con t se obtiene P4 (t) = R, de modo que el polinomio evaluado en un valor particular de x es igual al residuo R de la división, R = bo. Al derivar la ecuación 2.34 con respecto a x (recuérdese que t y R son constantes), se tiene: P4' (x) = (x - t)q' (x) + q (x) Haciendo x = t resulta (2.35) esto es, la derivada del polinomio P4 (x) evaluada en x = t es el cociente q (x) evaluado en t, toda vez que

y en general (2.36) donde b4, b3, b2 Y b, son los valores intermedios que resultan en la evaluación de P4 (x) en t por el método de Homer (véase Ej. 2.15). Así pues, si después de evaluar P4 (x) en t se desea evaluar también p ,' (x) en t, puede aplicarse una vez más el método de Homer a los valores intermedios b4, b3, b2 Y bl' como se ilustra enseguida.

Sea P (x)

=

3x3

-

4x - 1. Evalúe

a) P (2)

Solución

b) P' (2)

a) Para evaluar P (2), se tiene

x=2

3

al

ao

o

-4

-1

+

+

+

3(2)

yP

(2) = 15.

b) Como se dijo

=

6

6(2)

=

12

b¡

=

8

8(2) bo

=

=

16

15

E


no lineales

81

Para evaluar p' (2) se emplea de nuevo el método de Horner. Esto se logra eficientemente, repitiendo los pasos de los cálculos descritos; esto es bajo b3, b2 Y b, del arreglo anterior. Para almacenar los nuevos valores intermedios de esta evaluación se emplean e3, e2 y e,. Nótese que como b, es el término independiente de p' (x), el proceso de evaluación termina una vez que se obtuvo e" y éste es el valor buscado de p' (2).

entre (x - t), (2.34)

a2

al

ao

O

-4

-1

al~do en un

+

+

+

nst~ntes), se

3 (2) = 6

6 (2) = 12

8 (2) = 16

b2 = 6

b, = 8

bo =15

+

+

3 (2) =6

12 (2) = 24

constante lla-

x=2

3

x=2

(2.35)

e2

= 12

el

= 32

evaluado en De esto, p' (2) = 32. El lector puede verificar el resultado derivando p (x) y evaluando la derivada en x = 2. En la práctica, los cálculos suelen disponerse sin tantos comentarios. (2.36) deP4 (x) en (x) en t se

Evalúe 5x3

4

-

2x2 + 10 Y su primera derivada en x

= 0.5

Horner a los

Solución 0.5

5

0.5

a2

al

ao

-2

O

10

+

+

+

2.5

0.25

0.125

b2

bl

bo

0.5

0.25

10.125

+

+

2.5 e2 5

De esto p (0.5)

=

10.125 Yp' (0.5)

3

=

l. 1.50

1.75

1.75.

En este punto conviene presentar el algoritmo de Horner iterado para evaluar un polinomio y su primera derivada en un valor t.

82


ALGORITMO ALGORITMO

2.8 Método Método de Horner Horner iterado iterado

Para evaluar evaluar el polinomio Para polinomio _lx"-1 1 + ... pp (x) (x) = =a anx" an_Ix"... + a¡x alx + aoo ll:;;" + al

y su primera p' (x primera derivada derivada p' (x)) en x = = t, proporcionar proporcionar los DATOS: DATOS:

n: Grado Grado del polinomio, polinomio, an, anll__ll, , ••...•, aoo:: Coeficientes Coeficientes del polinomio. polinomio. all' 1: donde se desea p' (x). t: Valor Valor de x en donde desea evaluar evaluar pp (x) (x) y p' (x).


p' (t) l' pp (t) (t) en boo y p' (t) en e el'

PASO 1. l. Hacer Hacer bn = = all an y e enll = = bn· PASO PASO 2, ...... , 1 realizar PASO 2. Para Para k = = n-l, n-l, nn-2, realizar los pasos pasos 3 y 4. PASO PASO 3. Hacer Hacer b bkk = bk+1 bk+1 t + a akk.• PASO PASO 4. Hacer Hacer eek = eek+1 bkk.. hl t + b PASO PASO 5. Hacer Hacer boo = bIt bit + a aoo'' PASO 6. IMPRIMIR IMPRIMIR boo y e l'I: PASO

CUENTA DE CUENTA DE OPERACIONES OPERACIONES

bien la implementación implementación del método método de Horner Horner en una una computadora computadora es una una de sus venvenSi bien tajas, no lo es menos menos su eficiencia, que se verá verá a continuación, continuación, contando contando las operaciones operaciones tajas, eficiencia, que método de evaluación evaluación usual usual y comparando comparando su número número con el del método método de Horner. Horner. en el método Tomando de nuevo nuevo el polinomio polinomio general general de cuarto cuarto grado grado Tomando P4 ex) (x) P4

a)

= a4x4 + a3 x33 + a2 x2 x2 + a¡ x + a aa = o

Método usual usual Método a44x4 x4

requiere cuatro cuatro multiplicaciones multiplicaciones requiere

xx33

requiere tres multiplicaciones multiplicaciones requiere

xx22

a22

requiere dos multiplicaciones requiere multiplicaciones

a¡x a¡x

requiere una una multiplicación multiplicación requiere

a33

necesita cuatro cuatro sumas/restas. sumas/restas. a44x4 x4 + a33x33 + a2x22 + aalxlx + aaao necesita En total total se realizan realizan 10 multiplicaciones multiplicaciones y cuatro cuatro sumas/restas. sumas/restas. En b) b)

Método de Horner Horner Método

»,

b4 = = a4 b3

= b4 X + a3 =

= b3 b2 =

X

+ a2

requiere una multiplicación multiplicación y una una suma suma para para cada cada b. Se requiere

bb,l = b2 X + a¡ bo = b¡ b, x + a aa a= o En total total cuatro cuatro multiplicaciones cuatro sumas/restas. sumas/restas. En multiplicaciones y cuatro Hay una una reducción reducción de 60% 60% en el número número de multiplicaciones multiplicaciones requeridas requeridas y, consecuenconsecuenHay temente, un error error de redondeo redondeo menor. menor. temente,

Eje


no lineales

83

A continuación se verá una aplicación del método de Homer en la búsqueda de raíces reales de ecuaciones de la formaf(x) = O, dondef(x) es un polinomio de grado n. Combinando las ecuaciones 2.34 y 2.36 Y el resultado R = bo. f(x) y como

=

(x - t) (b4x3 + b3x2 + b2x + b¡) + bo

f (t) = bo'

=

f(x) Si t es una raíz de f (x)

= O,

(x - t) (b4x3 + b3x2 + b2x + b¡) + f(t)

se tiene

f

= O Y la expresión

(t)

resultante

f(x) = (x - t) (b4x3 + b3x2 + b~ + b¡) indica que x = t es una raíz (lo cual ya se sabía), pero lo más importante es que las raíces restantes de f (x) = O son las raíces de b4x3 + b3x2 + b~ + b¡ = O,

(2.37)

una ecuación polinomial de tercer grado y, por tanto, más fácil de manejar que la ecuación original; además, sus coeficientes son los valores ya citados b 4' b3, b2 Y b ¡. Si se sospecha que la raíz t se repite (es decir t es raíz de la ecuación 2.37), véase el valor de e ¡ del método de Homer iterado, ya que éste será muy cercano a cero si así fuera; esto es p' (t) = O en ese caso. Ahora, desarróllese el método de Newton-Raphson con el método de Homer iterado, llamado método de Birge- Vieta.

RAíCES

DE UNA

ECUACiÓN

POLlNOMIAL

=O

Pn(x)

Método de Birge-Vieta" De los métodos vistos para encontrar raíces, el de Newton-Raphson resulta el más adecuado para ser empleado en conjunción con el método de Homer iterado. Se resuelve a continuación un ejemplo con esta combinación.

Aproxime las raíces reales del polinomio p (x) = 4x4 + 3x3 - 2x2 + 4x - 8

Solución PASO 1. Al analizar gráficamente la función se advierte que tiene dos raíces reales, una alrededor de 1, y la otra alrededor de -2. PASO 2. Se elige O como valor inicial para encontrar la primera raíz. PASO 3. Con el método de Homer bo

= -8 Y e¡ = 4

PASO 4. Con el método de Newton-Raphson

t¡

=

to - bofe¡

= O-

PASO 5. Al repetir los pasos 3 y 4 se tiene

=

t2

t¡

bofe¡

2 - 8/16

1.5

t3

t2

bofe¡

1.5 - 23.875/72.25

t4

t3

bo/e¡

1.1696 - 6.2258/37.2287

* Este método también se conoce como Newton-Raphson-Horner.

=

1.1696

=

1.0023

(-8) /4

=2

84

Métodos apl icados a a la ingeniería Métodos numéricos numéricos aplicados ingeniería

Este proceso proceso converge converge al valor valor 0.9579 0.9579 Este PASO 6. Se toma toma 0.9579 0.9579 como como primera primera raíz raíz del del polinomio. polinomio. PASO polinomio de menor menor grado grado que que se obtiene obtiene con con esta esta raíz raíz conduce conduce a p (x) PASO 7. El polinomio PASO (x) = 4x 4x33 2 2 + 6.831315x 4 .5435x + 8.3518 6.831315x + 4.5435x 8.3518 PASO 2. Se elige elige nuevamente nuevamente O como como valor valor inicial inicial para para encontrar encontrar la segunda raíz. PASO segunda raíz. PASO 3. Con Con el método método de de Horner Horner boo == 8.3518 PASO 8.3518 Y

4.5435 e, == 4.5435

PASO 4. Con Con el método método de Newton-Raphson Newton-Raphson PASO

=

t[ = to t[ o-

PASO 5.

bofe, = 8.3518/4.5435 = = OO - 8.3518/4.5435 = -1.8382 - 1.8382

Al repetir repetir los los pasos pasos 3 y 4 se tiene tiene t2 = (-1.7623) /19.9772 = t,t , - bofe, bofe, = = -1.8382 -1.8382 - (-1.7623) /19.9772 = = -U500 -1.7500 t3 = = t2

11

-

bofe¡ (-1.1575) /17.3841 bofe, = = -1.7500 -1.7500 - (-1.1575) / 17.3841 = = -1.7434 -1.7434

Este -1.7433 Este proceso proceso converge converge al valor valor -1.7433 PASO -1.7433 como segunda raíz PASO 6. Se toma toma -1.7433 como segunda raíz del polinomio. polinomio. 2 -- 0.141885x PASO (x) = = 4x 0.141885x + polinomio disminuido disminuido con con esta esta raíz raíz conduce conduce a p (x) 4x2 PASO 7. El polinomio 4.79085 4.79085

Que 1.09426j ± 1.09426j Que tiene tiene las las raíces: raíces: 0.01774 0.01774 ±

Matlab función que calcula toMatlab posee posee una una función que calcula das das las raíces raíces de de ecuaciones ecuaciones polinorniapolinomiales, suministrando los les, suministrando los coeficientes coeficientes del del polinomio. polinomio. Para este caso Para este caso la instrucción instrucción quedaría: quedaría: Roots([4 3 Roots([4 3 -2 4 4 -8])

La La calculadora calculadora TI-92 TI-92 Plus Plus también también obtieobtiene ne estas estas raíces; raíces; las reales reales las las obtiene obtiene con con la la instrucción instrucción

y las complejas complejas con con

y y se obtiene obtiene como como respuesta: respuesta: ans ans ==

-1.74332500029465 -1 .74332500029465 0.01773561271143 + 11.. 09425660030108i 09425660030108i 0.01773561271143 1.09425660030108i 09425660030108i 00.01773561271143 . 01773561271143 - 1. 00.95785377487178 . 95785377487178

En encuentra el PROGRAMA PROGRAMA 2.1 para para este este algoritmo. algoritmo. En el CD CD se encuentra En cada etapa etapa se ha calculado una aproximación a cada cada una En cada ha calculado una aproximación una de las las raíces raíces reales reales de p (x) == O; O; conforme conforme se avanza avanza en las las etapas, etapas, los los coeficientes coeficientes b" b" b2,, .... . . , », bn de cada cada etapa etapa se alejan errores, y las alejan de los los valores valores verdaderos, verdaderos, debido debido a la la propagación propagación de de errores, las aproximaciones aproximaciones a las raíces son más raíces correspondientes correspondientes también también son más inexactas. inexactas. Para Para disminuir disminuir la pérdida pérdida de

Eje


85

exactitud exactitud se ha sugerido sugerido trabajar trabajar primero primero con con la raíz raíz más más pequeña pequeña en valor valor absoluto, absoluto, lueluego con la raíz magnitud, y así sucesivamente. raíz real real restante restante más más pequeña pequeña en magnitud, sucesivamente. Método Método de Lin* Lin * En 1941, 1941, S.N. S.N. Lin Lin publicó publicó un procedimiento procedimiento que que se fundamenta fundamenta en el resultado resultado R =f(t) = b o = bit + a o y en que que si t es una una raíz raíz de PI1 P« (x) == O, O, entonces: entonces:

R R

=O O= = bit bIt + aoo =

o (2.38) (2.38)

= - arJb, (t) t=

Se ha escrito escrito b¡ (t) en lugar lugar de b l; para para hacer hacer énfasis énfasis en que que el valor valor de b¡ b, (y de las demás demás b) depende depende del valor valor t donde donde se evalúa evalúa f (x) y así ver ver el lado lado derecho derecho de la ecuación ecuación 2.38 2.38 como como una una función función de f.t. Lo que que puede puede escribirse escribirse como: como: t= = - arJb, (t) == g (t)

'~ ~

(2.39) (2.39)

yY s'e-ie se le puede puede aplicar aplicar el método método de punto punto fijo, empezando empezando con un valor valor inicial inicial to cercano a o cercano raíz t, de modo modo que: la raíz

Restando Restando en ambos ambos lados lados to o

o

(2.40) (2.40)

y se obtiene obtiene el algoritmo algoritmo de Lin. Este Este método método no requiere requiere el cálculo cálculo de las e como como el de Birge-Vieta, Birge- Vieta, por por lo que el trabajo trabajo por por iteración iteración se reduce reduce a la mitad. mitad. Esta Esta reducción reducción contrascontrasta con un orden punto fijo. orden bajo bajo de convergencia convergencia y la inestabilidad inestabilidad propia propia del método método de punto


Encuentre una una raíz raíz real real de la ecuación ecuación Encuentre

.0 -3x -.3x3 3 + 2x -1 -1 x4

= O, O, =

con el método método de Lin Lin y un valor valor inicial inicial fo to = = 2.8 2.8 con

Solución Solución

Primera iteración iteración Primera

R ( 2.8 ) tt¡i

= to =

= 0.2096; 0.2096; =

R (to) / b, (to)

= 0.432; 0.432; b¡ (2.8) = == 2.8 - 0.2096 0.2096 / 0.432 0.432 = = 2.3148 2.3148

En el capítulo capítulo 4 se desarrolla desarrolla el método método de Bairstow. Bairstow. • En

86


Segunda iteración iteración Segunda (2.3148) R (2.3148)

= -4.8692; -4.8692; bll (2.3148) (2.3148) = = --1.6715; = 1.6715;

= ti - R (ti) / bb,l (ti) == 2.3148 2.3148 - (-4.8692) (-4.8692) / (-1.6715) (-1.6715) = = -0.5983 -0.5983 t2 = Al continuar continuar las iteraciones iteraciones se advierte advierte que que el método método es inestable inestable y no llega llega a la raíz raíz 2.78897. 2.78897.

I

La puede mejorarse buena aproLa estabilidad* estabilidad" del método método puede mejorarse en una una raíz raíz xkk' ' si se conoce conoce una una buena aproximación a xkk. . Para Para esto esto se incorpora incorpora el parámetro A a la ecuación ecuación 2.40 2.40 de Lin Lin y queda queda ximación parámetro A R ti = A= to o - Abll

donde: donde:

A=A=-

feO) feO) to!' (to) to!'

Con Lin, en general Con to 2.8, A A == 0.018555 0.018555 Y la fórmula fórmula modificada modificada de Lin, general es o == 2.8, R tt=t-A= t-A-

(2.41) (2.41)

bll

Ejemplo Ejemplo 2.20 2.20

Con Con la fórmula fórmula modificada modificada de de Lin, Lin, aproxime aproxime una una raíz raíz real real de la ecuación ecuación f(x) =.0 - 3x33 + 2x -1 -1 = O, O, f(x) =.0

use como como valor valor inicial inicial too = = 2.8

Solución

!' t ' (2.8) (2.8) == 19.248 19.248

feO) == -1 feO) -1; ;

A == - (-1) (-1) / 2.8 2.8 / 19.248 19.248 = = 0.018555 0.018555 Primera iteración iteración Primera 0.2096; R ( 2.8 ) == 0.2096;

(2.8) = = 0.432; 0.432; bll (2.8)

= too - A R (to) / b¡ b, (to) = = 2.8 - 0.018555 0.018555 (0.2096) (0.2096) //0.432 ti = 0.432 = 2.791 2.791 =

Segunda iteración iteración Segunda (2.791) R (2.791)

= 0.03808; 0.03808; =

»,

(2.791 ) = = 0.37194; 0.37194; b¡ (2.791

= ti - A AR R (tI) (tI) / b¡(t¡) bl(tl) t2 =

= 2.791 2.791 - 0.018555 0.018555 (0.03808) (0.03808) / (0.37194) (0.37194) = = 2.7891 2.7891 = continuar las iteraciones iteraciones se encuentra encuentra la raíz 2.78897 2.78897 Al continuar la raíz

Hildebrand. lntroduction McGraw Hill, Hill, 2a. Ed., Ed., pp. 591-595. 591-595. * Hildebrand. Introduction to fo Numerical Nurnerical Analysis. Analysis. McGraw

Solución de ecuaciones ecuaciones no lineales lineales Solución

87

anteriores son son válidos válidos para complejas. Sin embargo, embargo, para Los métodos métodos anteriores Los para raíces raÍCes reales reales y complejas. para segundas deberá deberá inicializarse inicializarse con con un número complejo y llevar llevar a cabo cabo las operaciones operaciones las segundas número complejo complejas correspondientes. correspondientes. Cuando Cuando los coeficientes coeficientes de P P"n (x) = = O son reales, comcomplejas reales, las raíces raíces complejas aparecen en pares conjugados plejas aparecen pares conjugados

xx k = = a + bj, bj, X k+¡ k+¡ = =a -

bj, bj,

que se puede aprovechar buscando factor cuadrático cuadrático lo que puede aprovechar buscando en P, P" (x) = O el factor (x (x

2ax + (a22 + b22)) 2ax

xx k) (x (x - x = xx22 x k+k+l)1) =

coeficientes reales reales que que genera genera XX k Y XX k+! de coeficientes Factores cuadráticos. cuadráticos. Método Método de Lin Lin Factores Sea el polinomio Sea polinomio f(x) = = xn + an_¡xnan_¡x,,-l I + ... + a22xx22 + a a¡x)x + aa ¡(x)

(2.42) (2.42)

uno,f(x) puede dividirse entre entre a a"n para ecuación 2.42. 2.42. Si an no es uno,f(x) puede dividirse para obtener obtener la ecuación dividir la ecuación ecuación 2.42 2.42 entre entre la expresión expresión cuadrática cuadrática Al dividir

f (x) ¡(x)

px + q xX22 + px

(2.43) (2.43)

n- ) + ... + a xx22 + a)x = x" an_¡xn-¡ a¡x + aa = Xl + an_)x 22 = (x (x22 + px (xnn-2- 2 + bnn__ 33xnn--33 + ... + b b¡x Rx + S, = px + q) (x ¡x + baa) ) + Rx

(2.44) (2.44)

donde Rx Rx + S es el residuo lineal de la división, división, y R Y S dependen dependen de p y q. donde residuo lineal Para que que la ecuación ecuación 2.43 2.43 sea factor cuadrático cuadrático de la 2.42 2.42 (es decir, decir, que que la divida divida Para sea un factor exactamente) es necesario que el residuo residuo lineal lineal sea cero cero o simbólicamente simbólicamente que que exactamente) necesario que

R (p, (p, q) = =O R O

y

S (p, (p, q) = O O S

(2.45) (2.45)

De donde donde nuestro nuestro objetivo objetivo será encontrar p y q, tales que se cumplan cumplan las ecuaciones ecuaciones 2.45 2.45.. De será encontrar tales que Conviene tener método que que permita calcular R y S sin verificar verificar la división división de la Conviene tener un método permita calcular 2.42 por 2.43. Para Para obtenerlo, obtenerlo, se igualan igualan los coeficientes coeficientes de las mismas mismas potencias 2.42 por la 2.43. potencias de x los dos dos miembros miembros de la ecuación ecuación 2.44 2.44 en los

aa,,_¡ _¡ = p = b b"_3 n_ 3 + P ll ann__22 b -4 + p bnn-4 ann__33 bnn__55 + pp

b _ +q b"_3 ll 3 bnn-4-4 + q bnn__33

(2.46) (2.46)

a¡¡ = = p b, + R a p baa + q b¡ = q baa + S aa =

Despejando bkk de la expresión expresión general general (usando (usando para ello ak+2 ak+2 = = bkk + P bk+¡ + q bk+2) se obobpara ello p bk+) Despejando tiene tiene para = n-3 n-3,, n-4, n-4, ...... , O para k =

(2.47) (2.47)

con con y

(2.48) (2.48)

88

Métodos numéricos


el algoritmo buscado para obtener los coeficientes además

del polinomio cociente de la 2.44 y

R = a¡ - p ba - q b¡

(2.49)

S = aa - qba

(2.50)

Al emplear las condiciones de la ecuación 2.45 a¡ - p ba - q b¡ = O

(2.51)

=O

aa - q ba

se pueden obtener, despejando, valores de p y q para formar una nueva expresión 2.43, quizás más cercana al factor cuadrático que andamos buscando. El método de Lin consiste en: PASO l.

Proponer aproximaciones iniciales de los valores desconocidos p y q (pueden llamarse Pa y qa)' PASO 2. Emplear las ecuaciones 2.47 para obtener aproximaciones de bll_3, bn-4'" , b¡, ba. PASO 3. Calcular R y S. Si son cero o suficientemente cercanas a éste, el problema está terminado. En caso contrario, se estiman nuevos valores de P y q (pueden llarmarse e, y q¡) y

para volver al paso 2.

Encuentre los factores cuadráticos de la ecuación polinomial de grado cuatro

f (x) = .0 -

8x3 + 39x2

-

62x + 50

=O

Solución PASO 1. Se propone P = O Y q PASO 2. b3 = O; b2 =1; b¡

= a3

-

P b2

-

q b3

PASO 3. R = a¡ - P ba - q b ;

= O.

= -8; = -62 p¡ =

ba

S

= a2 - p b, - q b2 = = aa - q ba = 50

a - qb ¡

¡

ba

39.

-62 =--=-1.5897; 39

q¡ = aa / ba = 50/39

= 1.2821

Al repetir los pasos 2 y 3 se encuentra la siguiente sucesión de valores:

R

S

p

q

-1.9358

1.8164

-10.0204

14.7086

-2.0109

1.9708

-1.4494

3.9l71

-2.0090

2.0011

0.0469

0.7586

-2.0034

2.0030

0.l396

0.0458

-2.0009

2.00l3

0.0632

-0.0410

-2.0001

2.0004

0.0187

-0.0235

ecuaciones no lin lineales Solución de ecuaciones Solución eale s

Por lo que que el factor factor cuadrático cuadrático es Por

44 Y .49)

Para llevar llevar a cabo cabo los cálculos cálculos que que se muestran muestran en en la tabla tabla anterior, anterior, puede puede usar usar Matlab Matlab Para TI-92 Plus. Plus. o la TI-92

.sO)

.s 1) qui-

den , bo' está llar-

89

) % Método de Lin Lin % format short short fonnat % Datos % n=5; a=[50 a=[50 -62 39 -8 lJ; 1J; n=5; p=0; q=0; p=0; q=0; b(n-1)=0; b(n-2)=1; i=l; R=l; S=l; b(n-l)=O; b(n-2)=1; i=l; R=l; S=l; whiIe or or (and(abs(R»=O.Ol,abs(S»=O.Ol),i>lO) (and(abs(R»=O.Ol,abs(S»=O.Ol),i>lO) while for L=l: L=l: n-3 n-3 for k=n-L-2; k=n-L-2; b(k)=a(k+2)-Ff-b(k+l)-q*b(k+2); b(k)=a(k+2)-¡f-b(k+l)-q*b(k+2); end R=a (2) (2) -¡f-b -Ff-b (1) (1) -q"'b -q"b (2) (2) ; R=a S=a (1) -cfb -q*b (1) (1) ; S=a p= (a (2) (2) -cfb -q*b (2)) (2)) lb /b (1); (1); q=a q=a (1) (1) lb /b (1) (1) ; p= disp ([p,q,R,SJ) ([p,q,R,SJ) disp i=i+l; i=i+l;

end

e2_21( ) e2_2l( Prgm Prgm 5->n : 50->a[lJ so-ein -62->a[2J 39--+a[3J: : -8->a[4J -8->a[4J -62->a[2J 5->n 39->a[3J 1->a[5J : O->b[lJ : O->b[2J ()-->b[2J 1->b[n-2J 1->a[5J 1-+b[n-2J O+bl n-L] O->b[n-l] ()-->p O+q l->i: Lr+r : l->s I+s CIrIO O->p : O->q l->i: l->r : ClrIO Disp" Disp" p q R S" Loop For L, L, 1, 1, n-3 n-3 For tr-Ir-Zr+k: n-L-2->k 1J-q"b a [k+2J -p'b -p~b [k+ [k+ lJ -q""b [k+2J->b [kJ EndFor aa[2J-Ff-b[lJ-cf'b [2J -¡f-b[lJ -cfb [2J->r [2J-> r a[lJ-clb[lJ->s a[lJ-cfb[lJ->s -q*b[2J) Ib[lJ-+p /b[lJ->p (a [2J -cfb[2J) a[lJ/b[lJ->q a[lJ/b[lJ->q format (p, ""f4") s" "&fonnat "&format (q, "f4") "f4") &" "->d "r+d fonnat f4") &" d&fo:anat(r, "f4")&"&" "&fonnat "&format(s,"f4") d&fo.rmat (r, "f4") (s, "f4") ->d Disp d d Disp If f abs(r)<.Ol abs(r)<.Ol or abs(s)<.Ol abs(s)<.Ol I or Exit Exit EndLoop EndLoop EndPrgm EndPrgm

o-un, :

90

Métodos numéricos

aplicados

a la ingeniería

Ejercicios

/

6 32

2.1

La ecuación de estado de Van der Walls para un gas real es: a ( P + V2)(

(1)

V - b ) = RT

donde: P = presión en atm T = temperatura en K

= constante V = volumen

R

universal de los gases en atm-L / (gmol K)

= 0.08205

molar del gas en L/gmol

a, b = constantes particulares para cada gas Para los siguientes gases, calcule Va 80°C para presiones de 10,20, 30 Y 100 atm.

Solución

Gas

a

b

C02 Dimetilarnina He Óxido nítrico

3.599 37.49 0.03412 1.34

0.04267 0.19700 0.02370 0.02789

La ecuación 1 también puede escribirse como pV3 - bPV2 - RTV2 + a V - a b

=O

(2)

que es un polinornio cúbico en el volumen molar V; entonces, para una P y una T dadas, puede escribirse como una función de la variable V f(V)

=p

V3 - (P b + R T) V2 + a V - a b

=O

(3)

Esta ecuación se resuelve con el método de posición falsa para encontrar el volumen molar.

VALORES

INICIALES

El PROGRAMA 2.2 del CD realiza los cálculos necesarios para resolver esta ecuación, usando como intervalo inicial: VI = 0.8 v y VD = 1.2 v, donde v = RT / P, el volumen molar ideal. (Se resuelve sólo el caso del CO2 a 10 atm y 80°C, dejando como ejercicio para el lector los demás casos.) Los valores obtenidos para las diferentes iteraciones son los siguientes:


VM (L/ gmol)

iteración

no lineales

If(V

M)

I

1

2.603856

0.1362

X

102

2

2.734767

0.5711

X

101

3

2.785884

0.2141

X

101

4

2.804528

0.7685

5

2.811156

0.2716

6

2.813489

0.9546

X

10-1

7

2.814309

0.3348

X

10-1

8

2.814596

0.1173

X

10-1

9

2.814697

0.4113

X

10-2

10

2.814732

0.1441

X

10-2

11

2.814744

0.5050

X

10-3

12

2.814749

0.1769

X

10-3

13

2.814750

0.6200

X

10-4

91

Se utilizó el criterio de exactitud If(V) I < 10-4 aunque puede verse que desde la iteración 7, el cambio en los valores de VM son solamente en la cuarta cifra decimal, que en este caso representan décimas de mililitro. Resultado: el volumen molar del CO2 a una presión de 10 atm y una temperatura de 80°C (= 353.2 K) es 2.81475 Llgmol. Los cálculos pueden realizarse con el siguiente guión de Matlab:

P=10; R=O.08205; ~80+273.2; a=3.599; b=O.04267; v-=R"'T/P; vi=O.8*v;

vd=l.2*v;

Eps=O.OOOl;

"3- (F"b+R"T}*vi "2+a*vi -a*b; fd=pI'vd" 3- (F"b+R"'T)* vd"2+a*vd-a* b;

fi=F"vi fm=l; while

k=O; abs (fm)

>

Eps

k=k+l; vm=(vi*fd-vd*fi)/(fd-fi); fm=pI'vm"3- (pI'b+R"T) vm"2+a*vm-a*b; fprintf if

('%3d %8.6f

fd*fm > O vd=vm; fd=fm;

else vi=vm; end end

fi=fm;

%8. 4e\n' .k, vm,abs (fm))

92

Méto dos n u méricos aplicados Métodos numéricos aplicados a a la ingeniería ingeniería

También problema con con la la función función fzero fzero de Matlab, Matlab, para para lo cual cual También puede puede resolverse resolverse este este problema es necesario grabarla en en el área área de trabajo trabajo de Matlab Matlab con con el necesario escribir escribir la siguiente siguiente función función y grabarla nombre nombre Vander.m: Vander.m: function f=Vander f=Vander (V) function (V) P=10; R=0.08205; T=80+273.2; P=lO; R=0.08205; T=80+273.2; a=3.599; b=0.04267; a=3.599; b=0.04267; f=P*V/\ (P*b+R*T) *V/\ *V/\2+a*V-a*b; f=P*V/\ 3- (P*b+R*T) 2+a*V-a*b;

Ahora Ahora use: P=10; T=80+273.2; P=10; R=0.08205; R=0.08205; T=80+273.2; fzero (( 'Vander', fzero R*T/P) -- -.~. este caso caso el resultado resultado que que proporciona proporciona Matlab En este Matlab es: es:

ans

= =

2.8148 2.8148

Dado que que la función función de este este problema problema es un Dado un polinornio polinomio de tercer tercer grado grado en el volumen, volumen, bién puede usarse la función roots que calcula todas las raíces bién puede usarse función roots que calcula todas raíces de un un polinornio. polinomio. ello use use el guión guión que que se proporciona proporciona enseguida: ello enseguida:

tamtamPara Para

P=10; R=0.08205; R=0.08205; T=80+273.2; P=10; T=80+273.2; a=3:599; a=3 : 599; b=0.04267; b=0.04267; roots (( [P (P*b+R*T) a -a*b] ) roots - (P*b+R*T) En este este caso caso el resultado resultado que que proporciona proporciona Matlab En Matlab es:

ans == 2.8148 2.8148 0.0630 0.0386i 0.0630 + 0.0386i 0.0630 0.0386i 0.0630 - 0.0386i Dado que que el polinomio polinornio es de tercer tercer grado, siempre tendremos Dado grado, siempre tendremos tres tres raíces. raíces. Las Las posibilidaposibilidamatemáticas son: tres raíces raíces reales reales distintas, des matemáticas distintas, tres tres raíces raíces reales reales iguales, iguales, dos raíces raíces reareaiguales y una una distinta, distinta, una una raíz raíz real real y dos complejas les iguales complejas conjugadas. conjugadas. En En cada cada uno uno de estos estos casos, ¿cuál ¿cuál de las tres tres correspondería correspondería al volumen significado tendrían casos, volumen buscado buscado y qué qué significado tendrían las restantes? dos restantes? En el caso caso de la TI-92 TI-92 Plus Plus puede puede usar: usar:

Al usar Al Solve (10vA3-(.4267+. 3-(. 4267+. 08205*353.2) vAA2+3.5Q9v-3.599*. 04267= O, v) Solve (10v 2+3.5Q9v- 3.599*. 04267= v) se obtiene: v=2.81475 v=2.81475 usar yy al usar cSolve(10vA3-(.4267+.08205*353.2)vA2+3.599v-3.59~'.04267=0, cSolve(10vA3 - (.4267+.08205*353.2)vA2+3.599v-3.59~'.04267=0, v) v) se obtiene: v=.062962+.038622i or v=.062962-.038622i v=.062962+.038622i v=.062962-.038622i or v=2.81475 v=2.81475

E

.:

;0 cual


2.2 2.2

93 93

La fórmula fórmula de Bazin fluido en canales canales abiertos abiertos está está dada dada por: La Bazin para para la velocidad velocidad de un fluido por:

con el

v= = c (re)l/2 (re)l/2

con con 87

c= -----c=------

m 0.552+-0.552+-(r)I/2 (r)I/2

donde: donde: rugosidad m= = coeficiente coeficiente de rugosidad = radio pies (área (área dividida dividida entre entre el perímetro r = radio hidráulico hidráulico en pies perímetro mojado) mojado)

la superficie superficie del del fluido fluido e == pendiente pendiente de la vv = = velocidad fluido en pies/segundos velocidad del fluido pies/segundos

Calcule correspondiente a los siguientes siguientes datos datos (dados (dados en unidades conCalcule el radio radio hidráulico hidráulico correspondiente unidades consistentes) por Steffensen. sistentes) por el método método de Steftensen.

, tam. Para

m

= 1.1; =

= 0.001; e=

vv=5 =5

Solución Solución (re)I/2 87 (re)I/2 Sustituyendo ----Sustituyendo c en v: v = =-----m 0.552+-0.552 +-(r)I/2 (r)I/2

o bien bien m --) - ) v = = 87 (r)I (r)I/2/2 (e)1I2 (e)l/2 (0.552 + (r) 1/2 l/2 (r)

multiplicando ambos lados lados por (r)I/2 multiplicando ambos por (r)I/2 [0.552(r)l/2 m] v = = 87 (e)I (e)I/2r [0.552(r)1I2 + m] /2r

ilidas reaestos las

y "despejando" "despejando" r se llega llega a:

[0.552(r)I/2 + m] [0.552(r)I/2 m] v r=------r=----...".....-(e)l/2 87 (e)l/2 una formas de g (r) = = r, necesaria necesaria para Steffensen. Sin embargo, embargo, antes antes una de las formas para el método método de Steffensen. conviene averiguar averiguar el comportamiento comportamiento de g' (r) de usar usar el método, método, conviene g' (r)

, 0.552 v (r)= = 174 (r) (r) 112 112 (e)I/2 (e) 1/2 g (r) sustituyendo valores: sustituyendo valores:

,

0.5

g (r) (r) = = (r)l/2 (r)l/2

Como el radio debe ser mayor cero, ya que un valor cero no tenComo radio hidráulico hidráulico debe mayor de cero, ya que valor negativo negativo o cero tendría significado significado físico físico y como como I g' (r) I < 1 para (r)l/2/2 > 0.5, o r> r » 0.7, se selecciona selecciona como como dría g' (r) para (r)I valor inicial de raLO. Con esto: esto: raLO. Con valor inicial g' g' (1) = 0.5

94


y el método aplicarse con con cierta cierta garantía garantía de convergencia: convergencia: método puede puede aplicarse

Primera Primera iteración iteración ro "o = =1 rrll = g (ro) =

rr22 = = gg (r = (rl)l ) =

r = ro _

r3=rO3

[0.552 (1)1/2 (1)1/2 + 1.1] (5) [0.552

87 (0.001)1/2

= 3.00235 3.00235

[0.552 (3.00235)1/2 (3.00235)1/2 + 1.1] (5) ~ [0.552 = 3.7-,742 87 (0.001)1/2 3.73742 87 (0.001)1/2

(rl l -- ro)2 (3.00235 -1)2 - 1)2 (r ro)2 =1= 1_ (3.00235 = 4.16380 =4.16380 r22 - 2rl 2r l + ro 3.73742 3.73742 - 2 (3.00235) (3.00235) + 1

Segunda Segunda iteración iteración Tomando nuevo valor valor inicial 4.16380, se tiene: tiene: Tomando ahora ahora como como nuevo inicial r3 = 4.16380, ro = 4.16380 4.16380 'o

rll = g (ro) = r2 = g (r (rl)l ) =

[0.552 (4.16380)1/2 (4.16380)1/2 + 1.1] (5) [0.552

87 (0.001)1/2 [0.552 (4.04622)1/2 (4.04622)1/2 + 1.1] (5) [0.552

87 (0.001)1/2

4.04622 = 4.04622 4.01711 = 4.01711

(4.04622 - 4.16380)2 (4.04622 4.16380)2 = 4.1 6 380- -- - - - - - - -r =4.1 380-----------3 4.01711 - 2(4.04622) 4.16380 4.01711 2(4.04622) + 4.16380

4.00753 = 4.00753 Dado que trata del radio radio de un canal Dado que la sucesión sucesión es convergente convergente y que que se trata canal abierto, abierto, donde donde la exactitud después después del primer decimal no es necesaria, como valor valor a r = = 4 pies. exactitud primer decimal necesaria, se toma toma como pies. Los cálculos pueden realizarse realizarse con Matlab o con Plus. Los cálculos pueden con Matlab con la TI-92 TI-92 Plus.

m=l.l; e=O.OOl; v=5; m=l.l; rO=l; for i=1:4 rl=(O . 552*rOAAO.5+m)*v/(87*e O.5+m)*v/(87*eAAO.5); O.5}; rl=(O.552*rO A r2=(O.552*rlAO.5+m)*v/(87~eAO.5); r2=(O.552*rl O.5+m}*v/(87*e AO.5); - rO) A2/ (r2-2~rl+rO); (r2-2~rl+rO); r=rO- (rl (rl-rO) fprintf ('%2d .5f %8 .5f %8.5f\n ', i, r) fprintf ('%2d %8 %8.5f %8.5f %8.5f\n', i , rl, rl, r2, r2, r) rO=r; end end

Solución de ecuaciones ecuaciones no lineales Solución

95

( P2_2(( P2_2 Prgm 1.1 -+m ...•m :: .OOl-+e .OOl ...•e :: 5. 5....• v :: 1. 1....• ClrIO 1.1 -+v -+ rO rO CirIO 4 For ii ,, 11,, 4 +m)*v (87'-'-Y(e) ...•x ((.55?-Y(rO) . 552*"\l(rO) +m) * v / (87""'; (e ) ) -+x (.55?-Y(x) +m)*v / (87*"'; (87*-Y(e) ...•Y (. 552*"';(x) +m)*v (e) ) -+y (x-rO) /''2/ (y (y-?x+rO) ...•r rrOO- (xr O) /''2/ - 2*x +rO) -+r fonnat (i, ""It)") &" "&forma "&formatt (x, "f5")-+d "f5") ...•d fonnat f O") &" ds" ""&fonnat (y, ""f5") &" ""&format (r, ""f5") ...•d d d&" &f ormat (y, f5") &" &f onnat (r, f5")-+ Disp d d Disp r+rt) r-+rO EndFor EndFor EndPrgm

2.3

La siguiente siguiente fórmula fórmula es atribuida atribuida a Francis' Francis" y se aplica aplica a un vertedor vertedor con contracciones contracciones La 3.33(B - 0.2 0.2 H)(H3)1I2, Q == 3.33(B H)(H3)1 /2, donde: donde: agua que que pasa pasa por por el vertedor vertedor en piesi/s Q == cantidad cantidad de agua pies3/s ancho del vertedor vertedor en pies B == ancho pies H carga sobre sobre la cresta cresta del vertedor vertedor en pies H == carga pies sabe que que B varía varía de O a 5 y Q Q de O a 33, calcule calcule los valores valores de H correspondiencorrespondienSi se sabe siguientes parejas parejas de valores valores de By unidades son consistentes), consistentes), con con el métes a las siguientes By Q (las unidades todo Newton-Raphson. todo de Newton-Raphson.

a

Solución Solución

B

3

2

4

3.6

Q

12

20

13

30

escribe la ecuación ecuación en la forma forma Se escribe f(H) = 3.33 3.33 (B (B - 0.2 0.2 H) H) (H3)112 (H3)112-- Q = =O f(H) =

deriva Se deriva

ff f'

= 3.33 3.33 (B - 0.2 0.2 H) (1.5 )HII2 )H1I2 + (H3)1I2 (H3)1I2 (3.33) (3.33) (-0.2) (-0.2) (H) =

sustituyendo en la férmula férmula de Newton-Raphson Newton-Raphson af af (H) y f I' (H), se tiene: tiene: Y sustituyendo

H¡+l H¡+I

= H¡ =

3.33(B - 0.2H) 0.2H) (H3yl2 (H3yl2 - Q 3.33(B 4.995(B _ 0.2H) 0.2H) H1I2¡ HII2¡ _ 0.666 0.666 (H3)1I2 4.995(B

Para elegir elegir un valor valor inicial inicial de H en cada cada caso, caso, se considera considera que que por por cuestión cuestión de diseño diseño H Para debe ser ser menor menor que B. B. Por Por lo anterior, anterior, se sugiere sugiere utilizar utilizar como como valor valor inicial inicial Ho = = BI2. B/2. debe Para la pareja pareja B = = 3, Q Q= = 12 Para Primera iteración iteración Primera

= B/2 B/2 = = 3/2 == 1.5 l.5 Ho = Lipka. Computaciones Computaciones gráficas gráficas y mécanicas. mécanicas. CECSA CECSA (1972) (1972) pp. pp. 139-141. 139·141. * J. Lipka.

96


H = = 1.5 _ H 11

3.33 [3 - 0.2 0.2 (1.5) (1.5) ] (1.5 (1.533)112 = 1.2046 1.2046 3.33 )112 - 12 4.995[3 (1.5) ] (1.5)112 (1.5)112 - 0.666 0.666 (1.5 (1.533)1/2 4.995[3 _ 0.2 0.2 (1.5) )1/2

Segunda iteración iteración Segunda = 1.2046 1.204 6 H2 =

3)112 - 12 3.33 [3 - 0.2 0.2 (1.2046)](1.2046 (1.2046)](1.20463)112 3.33 3 )1/2 4.995[3 0.02 (1.2046)] (1.2046)] (1.2046)112 (1.2046)1/2 - 0.666 (1.20463)1/2 0.666 (1.2046 4.995[3 - 0.02

.

= 1.1942 1.1942 =

Tercera Tercera iteración iteración H = = 1.1942 1.1 9 42 H 3

3 )112 - 12 3.33 [3 - 0.2 0.2 (1.1942)](1.1942 (1.1942)](1.19423)112 3.33

4.995[3 0.2 (1.1942) (1.1942) ] (1.1942)1/2 - 0.666 0.666 (1.1942 (1.194233)1/2 4.995[3 - 0.2 )112

= 1.1942 1.1942 =

El método método ha convergido valor 1.1942 toma como vertedor convergido al valor 1.1942 y se toma como carga carga sobre sobre la cresta cresta del vertedor demás cifras cifras significativas significativas no interesan, interesan, por sentido físico físico que que tiene 1.2 pies; pies; las demás por el sentido tiene H. Los resultados para para las siguientes parejas de B y Q se dan Los resultados siguientes parejas dan a continuación: continuación:

B

2

4

3.6

Q

20

13

30

H

2.5

1.0 1.0

2.0 2.0

Los pueden realizarse realizarse con Matlab o con Los cálculos cálculos pueden con Matlab con la TI92-Plus. Tl92-Plus.

~ B=3; Q=12; H=BI2 H=B/2;; Eps=O.Ol; Eps=O.Ol; dist=l dist=l; ; While dist dist While > Eps A . 5- Q; F=3 . 33'" (B- O. 2!'H)*W1 F=3.33*(B-0.2*H)*H 1.5-Q; DF=4.. 995* 995* (B-O.2!'H) (B-O. 2*H)*WO. 5-0. 66fi!'W1.5; ; DF=4 *WO . 5 - 0. 6661'W'1.5 FIDF; H1=HH1=H-F/DF; dist=abs (H1-H) ; dist=abs (H1-H) disp ( [H1 , dist] ) ; disp([H1,dist] H=H1 ; H=H1; end

P2_3 ) P2_3(( Prgm Prgm Define h"1 . 5- q Define f(h) f(h) =3.33 (b-.2h) (b-.2h) h 1.5-q Define df df(h) (b-.2h) ,J(h) -.66h 1.5 Define (h) =4.995 =4 .995 (b-.2h) --./(h) - .66h"1.5 3.->b 12.->q b/2->h : ..Ol.+eps ClrIO 3 . ->b : 12 .->q : bl2->h Ol->eps : ClrIO Loop h-f(h) /df (h)->h1 h -f(h) Idf (h1-h) ->dist abs (hl - h) ->dist fonnat (h, "f3") "f3") s« ""&fonnat (dist, "f5")->d "f5")->d format &" &format (dist, Disp Disp d d h1->h hl->h I If f Dist
A

(


2.4 2.4

91 97

En la solución En solución de problemas problemas de valor valor inicial inicial en ecuaciones ecuaciones diferenciales diferenciales por por transfonnatransformadas de Laplace* nciones racionales Laplace" se presentan presentan fu funciones racionales del tipo tipo (s) = = PI p¡ (s) (s) F (s) P2 (s) (s)

42

donde PI Y YP2 grado PI p¡ :S; ~ grado donde P2 son polinomios polinomios con: grado grado P2· La expresión La expresión de.F deF (s) (s) en fracciones fracciones parciales parciales es parte parte importante importante del proceso proceso de solusolución ción y se realiza realiza descomponiendo descomponiendo primero primero P2 (s) (s) en sus factores factores más más sencillos sencillos posibles. posibles. En la solución solución de un problema problema de valor valor inicial** inicial'" (PVI) (PVI) que que modela modela un sistema sistema de control control lineal, lineal, la función función de transferencia transferencia es (obtenida (obtenida al aplicar aplicar la transformada transformada de LaLaplace place al PVI) PVI)

.F (s) e (s) 24040 (s) 24040 (s + 25) ----(s) = =-- - = = -----,----.....,-----,-----,,------S4 s4 + 125 s3 + 5100 5100 s2 S2 + 65000 65000 s + 598800 598800

R (s) (s)

Para primero la ecuación Para expresar expresar en términos términos más más sencillos sencillos a F (s) (s) se resuelve resuelve primero ecuación polinomial polinomial S4

+ 125 s3 + 5100 =O 5100 S2 + 65000 65000 s + 598800 598800 =

método de Müller Con Con el método Müller (programa (programa 2.3 2.3 del disco), disco), se tiene tiene SII = = S

S2

--6.6 6.6 + 11.4 i

= -6.6 -6.6 - 11.4 i =

= --55.9 s3 = 55.9 + 18 i S4 S4 = =

-55.9 -55.9 -18 -18 i

Para obtener obtener estos estos resultados puede usar usar la siguiente siguiente instrucción instrucción de Matlab Matlab Para resultados se puede

roots roots (( [1 [1 125 5100 5100 65000 65000 598800] 598800] )) Con lo que que se obtiene: obtiene: Con

--55.8899 55.8899 + 18.0260i 18.0260i -55.8899 . 0260i -55.8899 -- 18 18.0260i -6.6101 -6.6101 + 11.3992i 11.3992i --6.6101 6 .6101 -- 11.3992i 11.3992i

ans

..

.

los factores buscados son: l' 1; y los factores buscados "" 6.6 - 11.4i)"(s 11.4i):(s + 6.6 + 11.4i) 11.4i) (s + 55 55.9 18i) (s + 55.9 55.9 + 18i) 18i) (s + 6.6 .9 - 18i)

con con lo que que F (s) (s) queda queda 24040 24040 (s + 25) 25) F(s) = ----F(s)=----F¡ F22 F3 F4 F4 FI F donde: donde:

• Spiegel, Equations. 2nd Spiegel, Murray Murray R. R.,, Applied Applied Differential Differential Equations. 2nd Ed Ed Prentice Prentice Hall, Hall, lnc Inc (1967), (1967), pp. 263-270 263-270 . •• Véase Véase capítulo capítulo 7.

98

Métodos numéricos numéricos aplicados aplicados a a la ingen ingeniería Métodos iería , •

II

segundo paso que completa completa la descomposición descomposición pedida pedida es encontrar encontrar los valores El segundo paso que valores de A" A2' A 2, A3' A 3, A4 que satisfagan la ecuación A" que 'satisfagan ecuación

,,/.,j.,.' . ..l

A A A A A A A F(S)=_I +_2 +_3 +_4 F(s)=-¡ + _ 2+ _3+ _ 4 FI F22 F3 F3 F4 F F4

Esto se logra logra pasando denominador de F (s) alIado al lado derecho derecho Esto pasando el denominador 24040 +.,25) = = AIF2F3F4 24040 (s +,25) A¡F2F3F4 + A2F¡F3F4 A2F¡F3F4 + A3FIF2F4 A3FIF2F4 + A4FIF2F3 A4FIF2F3

valores a s, por por ejemplo Así Y dando dando valores ejemplo s = = s l' Así 24040 (-6.6 (-6.6 + 11.4i 11.4i + 25 ) == 24040 Al (-6.6 + 11Ai llAi + 6.6 + 11.4i)(11.4i)(-6.66.6 + 11Ai llAi + 55.9 - 18i)(-6.6 18i)(-6.6 + 11Ai llAi + 55.9 + 18i), 18i), Al (-6.6 ya que: A2FIF3F4 A2FIF3F4

= A3F¡F2F4 = A4FIF2F3 = O. = A3F¡F2F4 = A4FIF2F3 =

Fi

Com;

Al despejar Al operaciones, se encuentra encuentra su valor Al despejar A l y realizar realizar operaciones, valor

de

Al -7.904i Al = = 1.195 -7.904i

Procediendo de igual manera, se calcula A 2, A3' A 3, YA4 YA4 con Procediendo igual manera, calcula A2' con s mente. mente. Esto se deja deja como como ejercicio ejercicio para lector. Esto para el lector. 2.5

= respectiva= s2' S = = s3 Y s = = S4' respectiva-

Una descompuesto F fracciones parciales (véase ejercicio ejercicio anteanteUna vez vez descompuesto F (s) == e (s) / R(s) R(s) en fracciones parciales (véase rior), aplica el proceso "transformación" inversa inversa de Laplace, Laplace, que que da como como resulrior) , se les aplica proceso de "transformación" resultado solución del problema valor inicial. inicial. tado la solución problema de valor Sea esta esta solución solución Sea F F (t)

= 1.21e1.21e-6.66t.6t sen (llAt = sen (lIAt

0.28e-5555 .9t.9t sen (18t + 26.1°) 111.7°) + 0.28esen (l8t

La solución solución obtenida obtenida debe debe analizarse analizarse matemáticamente interpretarse físicamente físicamente si proLa matemáticamente e interpretarse procede. cede.

BREVE ANÁLISIS CLÁSICO BREVE ANÁLISIS CLÁSICO

intervalo de interés interés es t> t » O. O. Si t es el tiempo, tiempo, el intervalo En los términos segundo deF deF (t) aparece aparece la función función seno, seno, que que es oscilatooscilatoEn términos primero primero y segundo ria, afectada afectada de la función función exponencial. exponencial. Ésta Ésta tiende cero cuando cuando t tiene valores superiosuperiotiende a cero tiene valores res al; al; se lleva lleva tanto factores como como la función función F (t) a dicho dicho valor, con lo cual cual la gráfica gráfica tanto sus factores valor, con (t) se confunde confunde con con el eje t para :::::1. 1. F (t) para t :::: Estas funciones funciones son son conocidas conocidas como como oscilatorias oscilatorias amortiguadas amortiguadas y sus gráficas gráficas son del Estas tipo figura 2.14. tipo mostrado mostrado en la figura Si, por contrario, el exponente exponente de e es positivo, infinito, la función función es positivo, al tender tender t a infinito, Si, por el contrario, creciente y tiende infinito; lo cual cual se conoce conoce como como función función oscilatoria oscilatoria no creciente tiende rápidamente rápidamente a infinito; amortiguada. amortiguada. Por otro lado, obsérvese que que la contribución del segundo segundo término Por otro lado, obsérvese contribución numérica numérica del término de F (t) es despreciable, y que que el análisis análisis y la gráfica gráfica de F (t) pueden obtenerse sin menoscabo despreciable, pueden obtenerse menoscabo de exactitud con con el primer exactitud primer término. término. dan algunos algunos valores obtiene: Si se dan valores particulares particulares a t se obtiene:

(t) F (l)

0.0 0.0

0.2

004 004

0.6

0.8 0.8

-1.124 -1.124

0.105

0.044

-0.023 -0.023

0.005

1.0 1.0 -4.22 -4.22

X

10- 5

I

ar

Solución s Solución de ecuaciones ecuaciones no lineale lineales

(

as de

99

F(t) F(t)

i),

tiva-

anteesul-

Figura 2.14 2.14 Comportamiento Comportamiento de una una función función oscilatoria oscilatoria amortiguada amortiguada. .

Estos reales en los intervalos Estos valores valores señalan señalan claramente claramente la presencia presencia de raíces raíces reales intervalos (0,0.2) (0,0.2), , (0.4,0.6), (0.6,0.8), (0.6,0.8), (0.8,1.0): (0.8,1.0): (véase (véase Fig. Fig. 2.15). 2.15). Utilizando Utilizando como como valores valores iniciales 0.1,, 0.5, 0.5, (0.4,0.6), iniciales 0.1 0.7, Newton-Raphson se obtiene, 0.7, Y 0.9 Y el método método de Newton-Raphson obtiene, respectivamente: respectivamente: 0.44659; t 22 == 0.44659;

ti ti = = 0.171013; 0.171013;

tr,4 = = 0.99775 0.99775

t 33 = = 0.72217; 0.72217;

Los posibles posibles máximos máximos y mínimos mínimos de esta esta función función se consiguen consiguen resolviendo resolviendo la ecuación ecuación Los que igualar con que resulta resulta de igualar con cero cero la primera primera derivada derivada de F (1) (t) ipro-

F I (l) F' (t)

= .794e-66.6t.6t cos (11.41-111.7°) sen (l1.4t = 13 13.794e(11.4t-111.7°) -7.986e-7.986e-6.6t6 .6 / sen (l1.4t +

5.04e5.04e-5555.9./9 /

cos 15.652 cos (l8t (18t + 26.1°) 26.1°) --15.652

55.9.9/ / e-55

111.7°) 111.7")

sen (18t sen (18t + 26.1 26.1°)°) = =O

Aprovechando Newton-RaphAprovechando las evaluaciones evaluaciones que que se hicieron hicieron de F ' (t) en el método método de Newton-Raphson, se tiene: tiene: I

ilatoerioáfica n del

ón es a no (t) es

o de

0.0 F F' I (t)

--0.040 0.040

0.1 7.849 7.849

0.3 --0.900 0.900

0.6 0.6 0.196 0.196

0.9 -0.035 -0.035

1.0 1.0

-0.00184 -0.00184

Con Con los valores valores iniciales iniciales dados dados a la izquierda, izquierda, se obtuvieron obtuvieron las raíces raíces anotadas anotadas a la dederecha recha to O o == O

ti = = 0.00175 0.00175

to = 0.2 lo

=

= 0.26277 0.26277 1t2 =

to = = 0.45 0.45 lo

= 0.53834 0.53834 t33 = 0.81399 tt,4 == 0.81399

0.75 to o == 0.75

Con los valores valores de la función función en diferentes diferentes puntos, raíces y puntos máximos y mínimíniCon puntos, sus raíces puntos máximos mos, la gráfica gráfica aproximada aproximada de F (t) se muestra muestra en la figura figura 2.12 2.12 mos, Este análisis análisis se puede comprobar con con el PROGRAMA PROGRAMA 2.2 del CD CD o el Matlab, Matlab, por Este puede comprobar por ejemplo. ejemplo.

100

Métodos numéricos


0.2 0.44

O

0.72 -0.2

-0.2

u

-0.2

-0.2

ml

-1

Figura 2.15 Gráfica de la función F (~.

6

2.6

32

-1.2 O

0.1

0.2

0.4

0.3

0.6

0.7

0.8

0.9

Determine la cantidad de vapor V (moles/hr) y la cantidad de líquido L (moleslhr) que se generan en una vaporización instantánea continua a una presión de 1600 psia y una temperatura de 120 o F de la siguiente mezcla. Composición z¡

K¡ =yJx¡

CO2

0.0046

1.65

CH4

0.8345

1.80

C2H6

0.0381

0.94

C3HS

0.0163

0.55

i-C4HIO

0.0050

0.40

n-C4H,o

0.0074

0.38

CSH'2

0.0287

0.22

C6H'4

0.0220

0.14

C7H'6

0.0434

0.09

Componente

Solución

0.5

Con base en la figura 2.16 Un balance total de materia da F = L + V

(1)

U n balance de materia para cada componente da: i = 1,2, ... , n

(2)

Las relaciones de equilibrio líquido-vapor establecen K=~ 1

i Xi

= 1,2,... , n

(3)

Solución e ecuaciones no lineales lineales Solución dde ecuaciones no

101 101

Vapor Vapor Generado Generado VV(moles/h), (moles/h), YY¡ i

Alimentación Alimentación F(mollh) F(mollh)

Figura 2.16 2.16 Figura Esquema de Esquema de una vaporización vaporización una instantánea instantánea (flash) de de una una (flash) mezcla mezcla multicomponente. multicomponente.

Z¡Z¡

Líquido Líquido LL (moles/h), (moles/h), Xi x¡

Sustituyendo la ecuación ecuación 3 en la 2 se obtiene obtiene Sustituyendo Fz, = = Lx¡ L.x, + VK. VK,x¡ Fz¡ xi

ii == 1,2, 1,2, .....", n

Fz, = = x¡ x¡ (L + VK) VK) Fz¡

i

(4) (4)

o bien

= 2, .....", n = 1, 1,2,

donde de donde Fz¡ Fz¡

x¡=--'-x¡=----'~

= ii =

L+ VK¡ L+ VK¡

1,2" ... , ", n 1,2,

Sustituyendo Sustituyendo la la ecuación ecuación 1 en en esta esta útlima útlima se se obtiene: obtiene: Fz¡ Fz¡

x· = =----'-------'-I1

-

1,2,... .. ", n ii = 1,2,

F + V (K¡ -1) -1)

(5) (5)

Las Las restricciones restricciones de de composición composición establecen establecen 11 11

11 11

L L x¡= x¡ = 1

L L

i~ 1I i=

i= 11 i=

Y¡= 11 Y¡=

Por Por lo lo que que puede puede escribirse: escribirse: nn

L Y¡ Y¡ L ¡= 1I ¡~

11

L

-

x¡ = O

i= I

oo bien: bien: fl11

11

¡= ¡= 11

¡= ¡= 11

I. s,», - I. x.=O x. = O 1. L

oo simplemente: simplemente: n11

L L

(K¡ -- 1)1) == OO xix¡ (Ki

i= i = 11

(6) (6)

sustituyendo sustituyendo lalaecuación ecuación 55en enlala66 sese obtiene: obtiene:

fL

Fz .(K¡ (K.- - 1)1) = O Fz¡ 1 1 =0 V(K¡-- 1)1) i=¡~1 I FF ++ V(K¡ 11

(7) (7)

102

Métodos numéricos

VALORES


INICIALES

El valor de V que satisface la ecuación 7 está comprendido en el intervalo O :::;;V:::;;F, por

10 que la estimación de un valor inicial de Ves difícil, ya que el valor de F puede ser muy grande. Esta dificultad se reduce normalizando el valor de V; esto es, dividiendo numerador y denominador de la ecuación 7 entre F, para obtener z. (K - 1)

11

L

"

(8)

i=ll+lfI(K¡-I)

donde lfI = V/F La ecuación 8 equivale a la 7, pero expresada en la nueva variable lfI cuyos límites son:

La ecuación 8 es no lineal en una sola variable (lfI), que se resolverá con el método de Newton-Raphson. Hay que observar que esta ecuación es monotónica decreciente, por lo que el valor inicial puede ser cualquier número dentro del intervalo [O, 1], por ejemplo lfIo = O. El PROGRAMA 2.4~ del CD emplea lfIo = O como estimado inicial y -z.(K - 1)2 [1 + 'lfI (Ki _ 1)]2

I!

l' (lfI) =

i~1

A continuación se muestran los valores que adquiere lfI y f (lfI) a lo largo de las iteraciones realizadas. Iteración

lfI

f (1p)

1

0.9328799

2

0.8968149

-8.79 X 10-2 -1.29 X 10-2

3

0.8895657

-3.5 X 10-4

4

0.8893582

5

0.8893580

-2.68 X 10-7 -1.5 X 10-13

RESULTADOS

Para F = 1 moles/h Vapor generado: V = 0.889358 moles/h Líquido generado: L = 0.11 0642 moles/h Composiciones del líquido y del vapor generados: Componente

Líquido (x)

Vapor (y)

CO2

0.00291 0.48759

0.00481.

CH4 C2H6

0.04025

0.03783

C3Hg

0.02718

0.01495

i-C4HIO

0.01072

0.00429

n-C4HIO

0.01650

0.00627

CSH12

0.09370

0.02061

C6Hl4

0.09356

0.01310

C7HI6

0.22760

0.02048

0.87766


103 103

Los cálculos cálculos de de este este problema problema pueden pueden realizarse realizarse con con Matlab Matlab oo con con la la TI-92 TI-92 Plus. Plus. Los or uy ra-

(8)

n:

IV-

el

Z=[0.0046 ... Z= [0 . 0046 00.8345 . 8345 00.0381 . 0381 00.0163 . 0163 00.0050 . 0050 ... 00~·0074 . 0074 00.0287 . 0287 00.0220 . 0220 00.0434]; . 0434] ; K=[1.65 1.80 00.94 ... . 94 00.55 . 55 00.40 . 40 ... K= [1 . 65 1.80 0.38 0 0.22 0.38 . 22 00.14 . 14 00.09]; . 09] ; Eps=le-3; Fi=O; i =0 =0;; Eps=le-3; ff=l; =l ; Fi=O; fprintf(' Fi f(Fi) f(Fi) \n') \n') fprintf(' Fi and(abs(f»Eps,i<10) whi1e and(abs (f»Eps , i<10) ((Z.. * (K(K-1)) (1+Fi * (K(K-J))) f=sum ((Z 1)) ..// (1 J))) ;; df=sum ((-Z. .** (K(K-1) -2);; df=sum((-Z 1) .. -2) ../(l+Fi*(K-1)). /(1+Fi*(K-1)) . -2) FiJ=Fi-f/df; Fil=Fi - f/df ; fprintf('%10.6f %8.2e\n' fprintf (' %10 . 6f %8 . 2e \n' ,,Fi,f) Fi , f) Fi=FiJ; ; i=i+1; i=i+J; Fi=Fil end fprintf('Fi= %10.6f\n',Fi) fprintf('Fi= % 10.6f\n',Fi) fprintf('x(i) y(i) \n') \n') fprintf('x(i) y(i) for i=1 i=1:9: 9 for X(i) =Z (i) (i) / (l+Fi* (l+Fi* (K(i) (K(i) --1)); X (i) =Z 1)) ; y (i) (i) =K (i) (i) *x (i) (i) ; fprintf ('%10.5f %10.5f\n' (i) ,,Y (i)) fprintf (' %10 . 5f %10 . 5f\n' ,.x X (i) Y (i)) end

p2_6( p2_6( ) Prgm Prgm .0046-+z[1] . 0046-+ z [1]

. 8345-+z[2] 8345-+z[2]

.0381-+z[3] . 0381-+ z[3J

.0163-+ [4] . 0163-+ zz[4]

.0050-+ . 0050-+ z [5] [5J

.0074-+z[6] .0074-+ z[6]

.0287-+z[7] . 0287-+ z[7J

.0220-+z[8] . 0220-+z[8J

.0434-+z[9] . 0434-+ z [9]

1.65-+ k [1] 1 . 65-+k[1]

1. [2] 1 . Br+k: 8-+k[2]

. 94-+k [3] 94-+k[3J

. 55-+k[4] 55-+k[4J

..40-+k[5] 40-+k [5]

. 38-+k[6] 38-+k[6J

. 22-+k [7] 22-+k[7J

. 14-k[8] 14- k[8]

.09-+k[9] . 09-+k[9]

.001-+eps . 0 0l-+ eps

J-+f 1-+ f

Or+i 0-+ i :: C1rIO C1rIO

: O-+fi: 0-+ fi :

WhiJe While ebs abs (f) (f »>eps eps or or ii <10 O-+f O-+ f :: (r+d O-+ d For For i,l,9 i , 1, 9 f+z -t f f+z [i]* [i]* (k (k [i] [i] -1) -1) // (1+fi* (1 +fi* (k (k [i] [i] -1) - 1)-+

ci-z [i] -1) [i] -1)) d - z [i]* [iJ* (k (k[iJ - 1) A2/ "2/ (1+fi* (l+fi* (k (k[iJ - 1) ) -2-+d -2-+ d EndFor EndFor fi-f/d-->fi fi-f/d-+fi Disp Disp fifi EndWhiJe EndWhile EndPrgm EndPrgm

También También puede puede utilizarse utilizarse la la función función fzero fzero de de Matlab: Matlab: Con Con su su editor editor de de texto texto escriba escriba el el siguiente siguiente guión guión yy grábelo grábelo con con el el nombre nombre Flash. F 1 a sh . m m en en el el directorio directorio de de trabajo trabajo de de Matlab: Matlab:

104

Métodos numéricos

aplicados

a la ingeniería

function f=Flash (Fi) Z=[0.0046 0.8345 0.0381 0.0163 0.0050 ... 0.0074 0.0287 0.0220 0.0434J; K=[1.65 1.80 0.94 0.55 0.40 ... 0.38 0.22 0.14 0.09J; f =sum ( (Z . * (K -1) ) . / (1 + F i.* (K - 1) ) ) ; Ahora use el guión dado enseguida para resolver el problema: Z=[0.0046 0.8345 0.0381 0.0163 0.0050 ... 0.0074 0.0287 0.0220 0.0434J; K=[1.65 1.80 0.94 0.55 0.40 ... 0.38 0.22 0.14 0.09J; Fi=fzero ('Flash',O) for i=1:9 X (i)=Z (i)/ (1+Fi * (K (i)-1) ) ; Y(i)=K(i)*X(i) ; fprintf('%10.5f %10.5f\n',X(i),Y(i)) end

l'

~

2.7

Considere un líquido en equilibrio con su vapor. Si el líquido está formado por los componentes 1,2,3 Y 4, con los datos dados a continuación calcule la temperatura y la composición del vapor en el equilibrio a la presión total de 75 psia. Componente

Composición del líquido % mol

Presión de vapor de componente puro (psia) a 150°F a 200°F

1

10.0

25.0

200.0

2

54.0

14.7

60.0

3

30.0

4.0

14.7

4

6.0

0.5

5.0

Utilice la siguiente ecuación para la presión de vapor: i

=

1,2, 3,4;

n

Solución

La presión total del sistema será: P T =

L P¡

(1)

i= 1

Si se considera que la mezcla de estos cuatro componentes, a las condiciones de presión y temperatura de este sistema, ob~ece las leyes de Raoult y de Dalton 4

PT=

L ¡= 1

donde: p¡Q

= presión de vapor de cada componente.

P T = presión total del sistema.

PiQ

X¡

(2)


105 105

p¡ = presión presión parcial parcial de de cada cada componente componente P¡

fracción mol mol de de cada cada componente componente en en el el líquido líquido X¡ = fracción De la la ecuación ecuación de de presión presión de vapor vapor se se tiene tiene que que De p¡o = exp exp (A¡ (A¡ + B¡ B¡ /T) /T) p¡O

i = 1,2, 1,2, 3, 4

(3)

de las las ecuaciones ecuaciones 1 y 2 resulta resulta de 44

PTT = P

I, X¡ exp exp (A¡ (A¡ + BJT) B¡lT) L ¡= ,

¡= 1

(4) (4)

donde puede puede establecerse establecerse de donde 4

f(T) f(l)

I, X¡ exp exp (A¡ (A¡ + BJT) B¡lT) = = OO == PTT- - ¡=L ,

(5)

¡= 1

A¡ YY B¡ B¡ pueden pueden obtenerse obtenerse como como sigue sigue A¡

pt == presión TI = 150 °P = presión de vapor vapor del del componenete componenete ii a TI = 150°F = 609.56 609.56 °R

Si se hace hace p~ ,¡

pg,¡ = = presión presión de vapor vapor del del componente componente i a T2 pg,¡

= 200°F = 659.56 659.56 °R = 200 "F =

entonces entonces 1,2,3,4 = 1,2, 3,4

(6)

B./ T,22 +B / T I1

i= = 1,2,3,4 1,2,3,4

(7)

= B¡ (1 / T,

- 1/ T 2 )

in (po¡ ) =A In (po,.) A , + B./T¡ B/T, ,,lit 1 1

i

=

y 11nn ((p02 p~_ .,11. )

=A =

1 l

restando restando la ecuación ecuación 7 de la 6 se tiene tiene

°

In ( p~,¡ ) P2 ,i

de donde donde pO pO ln(~) In (--f!-) B¡ B¡

P2,¡ = -1----"1 -:-1------=1"'= "P2,i

--

T TI,

(8)

---

T22

Conociendo Conociendo B¡ se puede puede obtener obtener A A¡¡ de la ecuación ecuación 6 A AIt

= = In (pO, (pOI

,1 ,1

) - B./T, B/T¡ l1

= 1,2,3,4 1,2, 3,4 ii =

(9)

VALORES INICIALES VALORES INICIALES

Para estimar estimar un valor valor inicial inicial de T T para para resolver resolver la ecuación ecuación 5, se considera considera el compocompoPara nente dominante dominante de la mezcla, mezcla, en este caso caso el componente componente 2, y se usa P T en lugar lugar de ppgg nente en la ecuación ecuación de presión presión de vapor vapor

de donde donde (lO) (10)

106


Con este resultado resultado inicial inicial y las consideraciones consideraciones ya anotadas, anotadas, el utiliza el método método de Newton-Raphson Newton-Raphson con CD, utiliza

l' f'

(T) = = -(7)

PROGRAMA PROGRAMA

2.5 del

4

L L

x¡ X¡

B¡ IT) (-B¡ (-B¡ /I T 2) exp (A¡ + BJ7)

(11) (11)

¡¡= = 11

reporta los siguientes siguientes resultados resultados después después de cuatro cuatro iteraciones iteraciones y reporta Temperatura del sistema sistema = = 209.07 209.07 °F = = 668.63 668.63 °R Temperatura (temperatura de burbuja) burbuja) (temperatura Composición del vapor vapor en equilibrio equilibrio Composición

I '

E:

Componente (i) (i ) Componente

Yi Yi

1

0.3761 0.3761

2

0.5451 0.5451

3

0.0729 0.0729

4

0.0059 0.0059

Los Los cálculos cálculos de este este problema problema pueden pueden realizarse realizarse con con el siguiente siguiente guión guión de Matlab: Matlab:

P1=[25 P1=[25 P2=[200 P2=[200

14.74 14 . 74 0.5); 0 . 5} ; 60 14.7 5}; 60 14 . 7 5};

T1=150+459.56; T1=150+459 . 56; T2=200+459.56; T2=200+459.56; B=log(P1./P2)/(1/T1-1/T2); B=log(P1 . /P2)/(1/T1 -1 /T2) ; A=log(P1) -B/Tl; A=log(P1) -B/T1; X=[0.10 X=[0 . 10 0.54 0 . 54 0.30 0. 30 0.06}; 0 . 06} ; PT=75; PT=75 ; i=O; i=O ; f=l; f=1 ; Eps=O.OOOOOl; EPs=0.000001; T=B (log (PT) (PT) -A(2) -A (2))) ; T=B (2) / (log fprintf T f (T) \n' , T, f) fprintf (' (T) \n' f) while (abs (f»Eps,i
2.8 ~~ 2.8 ~

Se Se emplea emplea un un intercambiador intercambiador de de calor calor (Fig. (Fig. 2.17) 2.17) para para enfriar enfriar aceite. aceite. Encuentre Encuentre la la tempetemperatura (TH22 y TC Te22, , respectivamente), respectivamente), para para gastos gastos ratura de de salida salida del del aceite aceite yy del del agua agua enfriadora enfriadora (TH de de aceite aceite de de 105,000; 105,000; 80,000; 80,000; 50,000; 50,000; 30,000 30,000 yy 14,000 14,000 lbmlh. lbmlh.

(e

Solución de ecuaciones ecuaciones no no lineales lineales Solución

107

agua: gal/min (fluido (fluido 2) 2) ag ua: 300 gal/min

TC,=80FCp,=)BTu/()bF) II TC ,= 80F Cp, =IBTU/( lbF) r----------------------------L-----, r---------------------------~-----, aceite aceite TH TH, , = = 250 250 F

---~]

U= 120 120 U=

BTU

0.5 BTU/(I b F) F) Cp, = 0.5 (fluido ]) i) (fluido

hft'F hft'F TH, = ?

A = 879fe 879ft2 Figura 2.17 2.17 Figura Esquema de un Esquema intercambiador intercambiador de calor con flujo a flujo contracorriente. contracorriente.

Solución Solución

,

=?? TC 2 =

Un balance balance de calor calor para para el aceite aceite da: Un Q¡ = w¡CP¡ (TH¡ - TH2)

((1) 1)

Un balance balance de calor calor para para el agua agua da: Un (2) ecuación que que rige rige la transferencia transferencia de calor calor a través través de este este equipo equipo es: La ecuación

Q == U A I1Tm Q

(3)

donde: donde: U= = coeficiente coeficiente global global de transferencia transferencia de calor calor A = área área total total de tranferencia tranferencia de calor calor (TH¡ - TC2)) - (TH22 -- TC[ TC¡ ) (TH] I1Tm = = ----'---=----=-----=------'---""------'=---------"-in ( TH TH)I -- TC 22 ) ln - TC] TH22-TC)

(4) (4)

Para encontrar encontrar TH22 y TC22 debe debe cumplirse cumplirse que que Q] Q) = = Q2 Q2 = =Q Q,, o bien: bien: Para

-

Q Q¡ Q[

--1=0 1 =0

(5)

Pero Q sólo sólo podrá podrá calcularse calcularse cuando cuando se conozcan conozcan todas todas las temperaturas. temperaturas. Para Para resolver resolver esPero esproblema se propone propone el siguiente siguiente procedimiento. procedimiento. te problema Establecer que TH22 sea sea la única variable; entonces, entonces, Q2 puede puede escribirse escribirse en función función Establecer única variable; como sigue sigue de TH22 como = Q¡ Q) = = w] w¡ Cp] Cp; (TH] (TH¡ - TH22)) = =w w22 CP2 CP2 (TC22 -- TC¡) TC)) Q2 =

(6) (6)

donde puede puede despejarse despejarse TC 2 de donde w¡ Cp] Cp . w] =-- - (TH (TH¡I -TH -TH2)2) + TC Te)¡ TC 2 2 = w22CP2 CP2

(7)

Con todo todo esto esto ya puede establecerse Q en función función de TH22,, y así escribir escribir la ecuación ecuación 5 tamtamCon puede establecerse bién en función de dicha variable única: bién función dicha variable única:

/

108

Métodos numéricos

VALORES

aplicados

a la ingeniería

INICIALES

Para estimar un valor inicial de TH2 cabe apoyarse en la figura 2.18, la cual muestra una gráfica de temperaturas en este tipo de intercambiadores de calor. De acuerdo con esta gráfica, se tienen las siguientes restricciones

y Te¡ < Te2 < TH¡

l'

Como en este caso no se dispone de mayor información, el plea el método de la bisección con TH2! = Te¡ + 0.5 Y TH2D ecuación 8.

2.6 del CD em0.5 para resolver la

PROGRAMA

= TH¡ -

T

TH, Figura 2.18 Gráfica de temperaturas contra longitud en un intercambiador de calor con flujo a contracorriente.

TH2 TC2 TC, O

L

x

Para un gasto de aceite de 105,000 lbmlh

RESULTADOS

TH2 =113

Te2

=

128

Los cálculos de este problema pueden realizarse con el siguiente guión de Matlab:

.


109

wl=105000; w2=300*6(J1'2.2i'3.785; wl=105000; w2=300;'6(J1'2.2"3.785; cpl=0.5; A=879; cpl=0.5; CP2=1; CP2=1; U=120 0=120;; A=879; TH1=250 EPs=O . OOOl; TH1=250;; TCl=80; TC1=80; EPs=O.OOOl; TH2i=TC1+0.5; -0.5; fm=l; TH2i=TC1+O.5; TH2d=TH1 TH2d=TH1-O.5; Ql=wl*cpl* (THl-TH2i); TC2=Ql/(w2"CP2) TC2=Q1I (w2i'CP2)+TC1; +TC1; Ql=wl*cpl* DTm=((TH1 - TC2) -(TH2i-TC1))/log((THl-TC2)/(TH2i -TC1))¡ DTm=((TH1-TC2)-(TH2i-TC1))/log((THl-TC2)/(TH2i-TC1)); fi=[J!'A*!YI'm/Ql-l; fi=[JI'A*DTm/Ql - l; Ql=wl*cpl*(TH1-~Y2d); TC2=Ql/(w2"CP2)+TC1¡ Ql=wl*CP1*(THl-~~d); TC2=Ql/(w2"CP2)+TC1; DTm=((THl-TC2)-(TH2d-TC1))/log((TH1-TC2)/(TH2d-TC1))¡ !YI'm=((TH1-TC2)-(TH2d-TC1))/log((TH1-TC2)/(TH2d-TC1)); fd=[J!'!f"DTm/Ql-l; fd=[JI'lf"DTm/Ql-l; if fi*fd EPs while abs (fm) EPs TR2m=(TH2i+TH2d)/2; TH2m=(TH2i+TH2d)/2; Ql=wl*CP1* TC2=Ql/ (w2*CP2) +TC1; Ql=wl*CP1* (TH1-TH2m) ;;TC2=Ql/ (w2*CP2)+TC1; lYI'm=((THl-TC2)-(TH2m-TC1))/log((THl-TC2)/(TH2m-TC1)); DTm=((THl-TC2)-(TH2m-TC1))/log((THl- TC2)/(TH2m- TC1)) ¡ fm=[j' A* DTm/Ql - l ; fm=LFA*DTm/Ql-l; if if fi*fm < OO TH2d=TH2m; fd=fm; TH2d=TH2m; fd=fm ; else else TH2i =TH2m¡ fi =fm; TH2i=TH2m; fi=fm; end end end end else else disp ('('TH2i TH2d no encierran una raíz') disp TH2i y y TH2d no encierran raíz') break break end end TH2=(TH2i+TH2d)/2¡ TH2=(TH2i+TH2d)/2; Ql=wl*cpl* (TH1-TH2); (THl-TH2); TC2=Ql/ TC2=Ql/ (w2'CP2) (w2"CP2)+TC1; Ql=wl*CP1* +TC1; fprintf('TH2= %8.2f TC2= %8 %8.2f\n' fprintf('TH2= %8 .2f TC2= .2f\n' ,,TH2,TC2) TH2,TC2)

2.9

El siguiente circuito representa representa en forma muy simplificada un generador generador de impulsos impulsos papasiguiente circuito forma muy simplificada un probar el aislamiento aislamiento de un circuito abierto. abierto. ra probar un transformador transformador en circuito Considérese gap como interruptor. Considérese el gap como un interruptor. Las iniciales en el transformador transformador y la inductancia inductancia son cero. Use Use los los siLas condiciones condiciones iniciales son cero. guientes datos guientes datos para para encontrar encontrar v22 (t):

== 0.25 0.25

CII == 12.5 X 10-99 Id, fd ,

= 0.3 X 10-99 Id, C2 = fd,

L¡

RI = = 2 Kohms, RI Kohms,

Kohms, R22 = = 3 Kohms,

VI = = 300 300 Kv Kv

X

10Hy 10-33 Hy

----- - ------------ - ------------

gap gap

Figura 2.19 2.19 Circuito representativo representativo de un un generador generador de impulsos. impulsos.

L¡

I

+~ o------:-r

+~

II

______________________________ ______________________________ J

GENERADOR DE GENERADOR DE IMPULSOS IMPULSOS

TRANSFORMADOR TRANSFORMADOR

110 110

Métodos numéricos numéricos aplicados aplicados a a la la ingeniería ingen iería Métodos

Solución Solución

Estableciendo las las ecuaciones ecuaciones para para el el circuito. circuito. Estableciendo

2.20 Figura 2.20 Circuito.

v¡

di (t)

(t) = (R¡ + R2)i¡ (t) + L,

¡

1

+-

e¡

dt

J i,(t)

dt - R2i2 (t)

(1) (1)

I• (2) (2)

vv?2 (t) (t) = = --

-

1

C22 e

IJ ii22 (t) (t) dt

(3)

Aplicando considerando que condiciones iniciales son Aplicando la transformada transformada de Laplace Laplace y considerando que las las condiciones iniciales son cero, tiene: cero, se tiene: V¡ -

= (R¡ + R2)I¡ (s) + L,

sl,

(s) + -

S

1

e, 1

I¡ (s)

--

- Ri2 (s)

s 1 /2 (s)

2 0= R?/2 (s) o = - RR22I¡/, (s) (s) + Ri2 (s) + --- -C e (s)

(4) (4)

(5)

2

Despejando J, (s) de la ecuación ecuación cuatro cuatro se tiene: tiene: Despejando I¡ ecuación 5 y sustituyendo sustituyendo en la ecuación V¡ V,

(s) = =-------!...-----J122 (s) -------"-----(R¡ + LIS l/e¡s)(s + lIR lIR22eC22) ) + lIC l/e22 (R, L,s + I/C,s)(s

(6) (6)

aplicar la transformada inversa de Laplace Laplace a la ecuación ecuación 3 y recordando recordando que que las condicondial aplicar transformada inversa ciones iniciales iniciales son cero cero ciones 1 /2 1 (s) V (s) = _1_ V2(s)=-- 2 (s) e22 (s) C

(7)

sustituye la ecuación ecuación 6 en la 7 Se sustituye ~ V2(s)=--------~-------

e2

s ((R¡ + L¡s + _l_)(s

+ __ 1_) R2e2

e¡s

+ _1_ )

e2

y simplificando simplificando se llega llega a:

v

V2 (s) = --------s3 + P ¡ S 2 + P 2S + P 3

(8)


111

con con

v = _ V_1_ = __V_1'------_ 75

C2L 1

X

10- 15

La ecuación ecuación 8 puede puede escribirse: escribirse: V

V? (s) = -- - - - -=-------(s + a) (s + b) (s + e)

cuya cuya transformada transformada inversa inversa de Laplace Laplace es bt e !" e-

e:" e-at

v22 (t) (t) = =V

(

(b-a) (b-a) (e-a) (e-a)

+

e-c1 e-GI

+------ - (e-b) (e-b) (a-b) (a-b) (a-e) (a-e) (b-e) (b-e)

(9) (9)

donde donde a, b y e son son las raíces raíces de la ecuación ecuación s3 + PI PI s2 s2 + P22 S + P33 == O O s3

La La primera primera raíz, raíz, obtenida obtenida con con el programa programa 2.3 del apéndice, apéndice, es 1.5874547 X 104 a == - 1.5874547 reduce el grado grado del polinomio polinomio y aplicando aplicando la fórmula fórmula cuadrática, cuadrática, se tiene tiene Se reduce = -4.547618 -4.547618 X 106 + 1.310346 l.310346 X 106 i b=

-4.547618 e == -4.547618

X 106 -

l.310346 1.310346

X 106 i

Recuerde que Recuerde que puede puede utilizar utilizar la función función roots de Matlab. Matlab. Estos ecuación 9 y se tiene: Estos valores valores se sustituyen sustituyen en la ecuación tiene: 4 = 300 300 ( 0.6e-1.5874547 0.6e-1.5874547 ¡O"¡( v2 (t) = x 10

_e-4·547618 _e-4·547618

x

6

106( 10 1 [[

0.6 cos (1.310346 (1.310346

X 106t) t)

2.072102 sen (1.310346 (l.310346 X 106t)t) ]) ]) + 2.072102

donde Kvolts. donde t está está en segundos segundos y v2 (t) en Kvolts.

2.10 2.10

•

Se tiene articuladaa en ambos tiene una una columna columna articulad ambos extremos extremos (véase (véase Fig. 2.2Ia). 2.21a). Aplicando Aplicando una una carcarga vertical vertical pequeña pequeña P (de modo modo que que no se pandee), pandee), se obtiene obtiene una una reacción reacción R de igual igual magmagnitud nitud y de sentido sentido contrario contrario en la base. base. Si ahora ahora se aplica aplica una una carga carga horizontal horizontal P H H se obtiene un pandeo pandeo infinitesimal infinitesimal (imperceptible (imperceptible a la vista), vista), que que se ha magnificado magnificado en la fiobtiene gura gura 2.2Ib, 2.2Ib, con con fines fines de ilustración. ilustración. Si se empieza empieza a "jugar" "jugar" aumentando aumentando P y disminuyendisminuyenmodo que que se mantenga mantenga el mismo mismo pandeo pandeo en la columna, columna, va a llegar llegar un momento momento do P PH' de modo

~~_.~~----~~--------~----------------------------------------------------~----------------~--~-112

Métodos numéricos numéricos aplicados ingeniería Métodos aplicados a a la ingeniería

p P

p P y..,¿.----+y ";NJ----+y

Figura 2.21 Columna Columna articulada. . Res Res articulada reacción de la reacción carga.. la carga

x!

R=P

e)

b)

que PHH valga valga cero cero y el valor correspondiente será será llamado en que valor de PP correspondiente llamado la carga carga crítica crítica de panpanPara obtener obtener esta deo P c. Para esta carga carga crítica crítica se hace hace un un análisis análisis de la estabilidad estabilidad de la la columna, columna, usando la proposición proposición de Jacobo usando Jacobo Bernoulli: Bernoulli: la curvatura curvatura producida producida en una una viga viga debida debida a la la flexión es directamente directamente proporcional flexión proporcional al momento momento flexionante flexionante e inversamente inversamente proporcional proporcional rigidez, es decir: a la rigidez, decir: K=~ K=~

El'

donde KK es la curvatura, curvatura, M flexionante, E madonde M el momento momento flexionante, E es el módulo módulo de elasticidad elasticidad del material e 1 1el momento de inercia forma de la sección sección transversal el momento inercia que que depende depende de la forma transversal de la cocoterial lumna. El producto producto El se conoce conoce como como la rigidez flexión de la lumna. rigidez a la flexión la columna. columna. Por Por otro otro lado lado

I

K=---¡::::::.==:==K=--¡::::== = =+ ( dy )2 11+ dy )2 1

1

I .

2

YY

dx

que el pandeo pandeo es infinitesimal curva elástielástiy ya que infinitesimal:; (las pendientes pendientes de las las tangentes tangentes a la curva muy pequeñas, pequeñas, despreciándose entonces la curvatura ca) son muy despreciándose y quedando quedando entonces curvatura aproximada aproximada por por

d22yy

K"" -K""--

dx? dx2

De igual igual modo modo se tiene tiene que = -Py, signo es convencional. convencional. De que M = - Py, donde donde el signo Sustituyendo se tiene tiene Sustituyendo Py Py --o o El' Haciendo A = =~ ~ y observando que el desplazamiento desplazamiento y de la columna columna en ambos ambos extroHaciendo observando que extroEl mos es nulo nulo se tiene tiene el siguiente siguiente problema en la frontera: frontera: mos problema de valores valores en d22yy

2 2y=0 --+A --+A y=0 dx22 y (O) = =O (L) = O Y (L) =O

e

z=

Solución Solución de ecuaciones ecuaciones no lineales

=EZ

11 1133

Y -----+ ) Y

')()---+)

Figura 2.22 2.22 Columna Columna articulada articulada y empotrada empotrada en ''la la base. base.

R=P R=P x

cuya cuya solución solución analítica analítica da lugar lugar a

Si ahora ahora se tiene una columna columna articulada articulada por por arriba arriba y empotrada empotrada en el piso piso (véase (véase Fig. tiene una 2.22) Y se quiere 2.22) quiere conocer conocer la carga carga crítica crítica de pandeo pandeo correspondiente, correspondiente, el análisis análisis de la estaestabilidad de la columna columna conduce conduce al problema problema de valores valores en la frontera frontera siguierite: siguierite: bilidad

d22yy +~2y= __ dx dx?2 + ')..} f\, y

=

HA HA

X El El x

~ O O y (O) ~ (L) = =O O Y (L) y' O y' (L) == O La solución solución analítica analítica de este este tipo tipo de problemas problemas produce, produce, en pasos pasos intermedios, intermedios, ecuaecuaLa ciones no lineales lineales en una una incógnita. incógnita. Así, Así, para para nuestro nuestro problema, problema, se tiene: tiene: ciones 'AL AL

= tan 'AL = AL

que habrá habrá que que resolver resolver para para encontrar encontrar y en función función de x. que

Solución Solución

Con el objeto objeto de simplificar, simplificar, haremos, haremos, x = = AL 'AL con con lo que ecuación anterior anterior queda: queda: Con que la ecuación =x tan x =

Resolviendo con con el método método de Newton-Raphson Newton-Raphson se obtiene obtiene x = = 4.493409. 4.493409. Resolviendo ~ 6

2.11 2.11

La respuesta respuesta de un sistema sistema de control control de retroalimentación retroalimentación simple, simple, mostrado mostrado en la figura figura La 2.23, está está dada dada por por la expresión* expresión" 2.23,

c= G1G2R+~U G1G2R+~U c= l+G l+G

l+G l+G

donde G = G¡G G ¡G22H. Cuando Cuando el factor factor del denominador, denominador, 1 + G, se Iguala Iguala a cero, cero, se obtiene obtiene donde ecuación característica característica del sistema sistema de lazo lazo cerrado. cerrado. Las Las raíces raíces de la ecuación ecuación caracteríscaracterísla ecuación tica determinan determinan la forma forma o tipo tipo de la respuesta respuesta C(t) C(t) a cualquier cualquier función función forzante forzante particular particular tica R(t) U(t) . R(t) o U(t) Cughanowr, Process Systems Analysis and Control, Control, Second Second Edition, Edition, McGraw McGraw Hill Hill Intemational Intemational Editions. Editions. • Cughanowr, Process Systems Analysis and

;

114

Figura 2.23 2.23 Sistema de de control control de de retroalimentación retroalimentación simple. simple.


R

I---r-- ..•. C

El método de lugar las raíces raíces es un un procedimiento para enconEl método lugar geométrico geométrico de las procedimiento gráfico gráfico para encontrar las raíces raíces de 1 + G = parámetros de G varía varía continuamente. trar = O, O, cuando cuando uno de los parámetros continuamente. En este variará es la ganancia este caso caso el parámetro parámetro que que variará ganancia (o sensitividad) sensitividad) Kc del controlador. controlador. En el diagrama bloques de la figura diagrama de bloques figura 2.23 2.23 G¡ =Kc G¡=Kc

1 G22=-----= - - -- - ("r¡s + 1)('r 1)("r2s + 1) ('r¡s

1 H=-H =--

"r3s+ 'r3s + 11

Para este caso, caso, la función función de transferencia lazo abierto abierto es: Para este transferencia de lazo

va raíces;

que puede escribirse en la forma forma que puede escribirse

incre

K G(s) = ------G(s) -----(s - p¡)(s p¡)(s - P2)(S P2)(S - P3) P3)

0.1 pa con ir

b) Di; lugar I de

función de transferencia lazo abierabierSe llama llama a los términos términos p¡, p¡, P2 YP310s P310s polos polos de la función transferencia de lazo to. Un G(s) es cualquier cual G(s) G(s) es infinito. infinito. Por = -111"¡ -llr¡ Un polo polo de G(s) cualquier valor valor de s para para el cual Por tanto tanto p¡ p¡ = G(s). es un polo polo de G(s). La ecuación ecuación característica característica del sistema sistema de lazo lazo cerrado cerrado es: La

K

-------=O O 11 + ------- = (s - p¡)(s p¡)(s - P2)(S P2)(S - P3) P3)

Esta expresión expresión puede escribirse: Esta puede escribirse: K (s - p¡)(s p¡)(s - P2)(s P2)(S - P3) P3) + K

=O O =

ejemplo, los polos fueran -1 -1, , -2 -2 Y -3, -3, respectivamente, Si por por ejemplo, polos fueran respectivamente, tendríamos: tendríamos: (s + l)(s l)(s + 2)(s 2)(s + 3) 3) + K K = =O O donde K = = 6K 6Kcc. . donde Expandiendo esta ecuación ecuación resulta: Expandiendo el producto producto de esta resulta: lIs + (K (K + 6) = = O, s3 + 6s22 + lIs


~

-1.00000 -1.05435 -1.12111 -1.21352

-2.00000 -1.89897 -1.79085 -1.66106

0.11.00

_<\'1<;070

_1 d?01<;

-o no<\?o-

K 0.381 0.382

~

-

b -3.00000 -3.04668 -3.08803 -3.12542

" crvv

••

-

K 0.000 0.100 0.200 0.300

Raíz real

-oin'i

1

Af\-...

n

Raíz real

1

1)

~~

a

1

AnA'lC __

-1.37583 -1.38220 -1.38984

-1.47078 -1.46407 -1.45610

b -3.15340 -3.15373 -3.15407-

0.384 0.386

-l.4UUUU

-1.44!JtiU

-::l.1!J44U

-3.15507

-1.42247

-0.02520

o.ss.

w,;~,.I!J!J4L

- .4ZZ::lL

-U.U::l4tll

K 59.996 59.997 59.998 59.999

Raíz real

-5.99991 -5.99994 -5.99996 -5.99998

tJU.UUL

-tJ.uuuuu

60.001 er oo~

O:lR:l

1

I

-0.00004 -0.00003--0.00002 ---0.60001

b 3.31655 3.31657 3.31659 3.31661

-UoUUUUU

~.~ltJtJ¿

-6.00002

-0.00001

3.31664

_~ 0000.11.

-o OOOO?

q q1~~~

60.003

-6.00006

-0.00003

3.31668

~OOOA

_~ 00(\(\0

_(\(\(\(\(\.11.

q'H~7(\

1.

;

a

-..•. h 3.958

v.l/

3.166

._1

....I

" nCAAI")

a

I

2.375

¡er-!lr¡

I

K3=60

.../ 1/

1-

/

1.583

I

0.792 0.000 -0.79

..•.

-

t

I

K2=0.384

-1.58

~

1/ \

\

-2.37

\

-3.16

1\

-

-3.95 -6.713 -5.299 -3.885 -2.471 -1.057 0.357 -6.006 -4.592 -3.178 -1.764 -0.350

a) Figura 2.24 a) Tabla de valores de las raíces; arriba con incrementos de 0.1 para K; abajo con incrementos de 0.001. b) Diagrama del lugar geométrico de las raíces.

115

no lineales

b)

una ecuación polinomial de tercer grado en s. Para cualquier valor particular de la ganancia del controlador Kc' podemos obtener las raíces de la ecuación característica. Por ejemplo, si K, = 4.41 (K = 26_5), tenemos: s3 + 6s2 + l l s + 32.5 = O Resolviendo por el método de Newton Raphson se encuentra una raíz real; posteriormente se degrada el polinomio con división sintética y se resuelve la ecuación cuadrática resultante, dando en este caso: r¡ = -5.10, r2 = -0.45 - 2.5}, r3= -0.45 + 2.5j. Seleccionando otros valores de K, se obtienen otros conjuntos de raíces. Para facilitar los cálculos se elaboró el PROGRAMA 2.8 (lugar geométrico de las raíces) que permite obtener estos conjuntos de raíces para diferentes valores de K, desde un valor inicial K = O, hasta algún valor seleccionado y con incrementos también seleccionados. El programa también grafica estos conjuntos de raíces, con lo que puede verse el lugar geométrico de las raíces. A continuación mostramos un segmento de la tabla generada por el programa para un valor máximo de K = 100 con incrementos de 0.1 y la gráfica respectiva. Las celdas con fondo blanco representan raíces reales; las celdas con fondo amarillo representan la parte real y las azules la parte imaginaria de las raíces complejas, que aparecen siempre conjugadas a ± bj. Para simplificar la presentación, el programa escribe en la tabla sólo los valores de a y b. Nótese que hay tres ramas correspondientes a las tres raíces y que dichas ramas "emergen" o empiezan (para K = O) en los polos de la función de transferencia de lazo abierto (-1, -2, -3). El diagrama del lugar geométrico de las raíces es simétrico con respecto al eje real para cualquier sistema. Esto se debe al hecho de que la ecuación característica para un sistema físico tiene coeficientes reales y, por tanto, las raíces complejas de dicha ecuación aparecen en pares conjugados. El diagrama del lugar geométrico de las raíces tiene la ventaja de dar una idea a primera vista del tipo de respuesta cuando se cambia continuamente la ganancia del contro-

'r~-----------------------------------------------------------------------------------------------=------=-=-116


lador. lador. Por Por ejemplo, ejemplo, el diagrama diagrama de la figura figura 2.24b 2.24b revela revela dos valores valores críticos críticos de K; uno uno es donde se hacen hacen iguales iguales dos dos de las raíces, raíces, y el otro otro es donde donde dos de las raíces raíces son son imaginaimaginadonde rios puros. puros. Por Por tanto, tanto, si las raÍCes raíces son todas todas reales, reales, lo cual cual ocurre ocurre para para K < K22 = 0.384 0.384 (Fig. (Fig. rios 2.24b), complejas y tienen 2.24b), la respuesta respuesta será será no oscilatoria. oscilatoria. Si dos de las raÍCes raíces son complejas tienen partes partes reales K K3 dos de las raíces que produce produce una una respuesta respuesta oscilatoria. oscilatoria. Si K> raíces son complejas complejas y tienen tienen partes reales partes reales positivas, positivas, y la respuesta respuesta es senoidal senoidal creciente. creciente. 2.12 2.12

Es difícil en difícil situar situar el origen origen de los métodos métodos numéricos; numéricos; sin embargo, embargo, se conocía conocía ya en Babilonia aproximaciones de raíces Babilonia el método método para para calcular calcular aproximaciones raíces cuadradas, cuadradas, que que contiene contiene todos todos los elementos elementos que caracterizan caracterizan los métodos métodos numéricos numéricos de hoy hoy en día, excepto excepto quizás quizás por por el uso uso de la computadora. computadora. Veamos Veamos por por ejemplo ejemplo cómo cómo aproximaban aproximaban ti.

ti.

Tomaban ;30* [ ~ ;5] Tomaban un primer primer valor valor inicial: inicial: ~ ~ = 11;30* ~ = 11;5] Como Como resultaba resultaba una una aproximación aproximación mayor mayor que que el valor valor correcto correcto ya que

((~rr ~

~

~

= ~ = 2;15 > 2**, 2**, [ ( ~

rr

~

= ~ = 2.25] 2.25]. .

Obtenían Obtenían un segundo segundo valor valor inicial inicial que que quedaba quedaba por por abajo abajo del valor valor correcto, correcto, dividiendo dividiendo 2 por 3/2. El resultado por resultado es:

22 44 22 44 1.333333 ... ... ] (el resultado resultado no es un decimal decimal exacto) exacto) --- = --- = 1;20 [ --- = --- = 1.333333 3 3 3 3 2

2

Ahora valores, uno uno mayor mayor y uno uno menor menor que valor correcto; correcto; se obtiene obtiene una una Ahora se tienen tienen dos valores, que el valor mejor aproximación de ti sacando ;30 Y mejor aproximación sacando la media media artimética artimética de ellos: ellos: media media de 11;30 1.333333 ... ... 1.5 + 1.333333 1;20 = 1.416666 1;20 es 1;25 [ 1.416666 ......], que que resultaba resultaba mayor mayor al valor valor correcto: correcto: 2

ti

(1:25)2 =2;0,25 =2;0,25 [(1.416666 [(1.416666 ... ... )2 )2 = 2.006943 2.006943 ... ... ] (1:25)2 Por tanto, tanto, 2 dividido dividido por por 1;25 da 1;24,42,21 1;24,42,21 [ Por

=1.411765 ... ... ], que es más más pequepeque2 =1.411765 1.416666 .. . 1.416666 que el valor valor correcto: correcto: [(1.411765 [(1.411765 ... ... )2 = 1.993080 1.993080 ... ]. El valor valor medio medio de estas estas dos últiúltiño que mas mas aproximaciones aproximaciones que que encierran encierran el valor valor correcto correcto es: 1;25 y 1;24,42,21 1;24,42,21 es 1;24,51,10 1;24,51,10 1;25 [

1.416666 ... ... + 1.411765 1.411765 ... ... ] 1.416666 1.414215 ... ... ], 2 = 1.414215

(1.414215 ... ... )2 )2 = 2.000004066225 2.000004066225 (1.414215 este valor valor resulta resulta ser ser la aproximación aproximación encontrada encontrada en nuestros nuestros textos.[2 textos.[2 = 1.414213562373 1.414213562373 este calculadoras modernas. modernas. en calculadoras Comentarios. Conviene Conviene destacar destacar varios varios aspectos, aspectos, como como por por ejemplo: ejemplo: Comentarios. emplea un un sistema sistema numérico numérico posicional posicional (base (base 60) desarrollado desarrollado por por los babilobabiloa) Se emplea nios para para sus trabajos trabajos astronómicos astronórnicos y matemáticos matemáticos . nios Nótese el uso del del sistema sistema sexagesimal sexagesimal (base (base 60): horas; horas; minutos, minutos, segundos segundos o grados; grados; minutos, minutos, segundos segundos y que • Nótese que fracción 30 30 viene multiplicar la fracción fracción decimal decimal 0.5 0.5 por por 60. 60. Entre Entre [ 1 l se escriben escriben los valores valores en el sistesistela fracción viene de multiplicar madecimal. ma decimal. La fracción fracción sexagesimal sexagesimal 15 viene viene de multiplicar multiplicar 0.25 0.25 por por 60. •• La

/


117

b) Es un método método de dos puntos que encierran encierran el valor valor buscado luego tomar tomar el b) puntos que buscado para para luego punto medio (bisección). (bisección). punto medio orden de convergencia convergencia parece riúmero de cifras cifras signisignie) El orden parece ser cuadrático cuadrático porque porque el riúmero ficativas correctas correctas se duplica duplica en cada cada iteración. iteración. ficativas Hay un criterio criterio de terminación terminación sustentado sustentado en la exactitud exactitud requerida requerida por ellos pad) Hay por ellos ra cálculos. ra sus cálculos. Este método método puede extenderse para resolver cierto cierto tipo tipo de ecuaciones ecuaciones polinómie) Este puede extenderse para resolver polinómi(véase Probo 2.19). cas (véase 2.19). f)f) Es un algoritmo algoritmo que puede fácilmente en una una computadora. computadora. puede programarse programarse fácilmente


2.2 2.2

Dadas las siguientes siguientes expresiones expresiones para (x), obtenga obtenga g'(x) g/ex) y dos valores valores iniciales iniciales que que Dadas para x = g (x), satisfagan la condición condición I g/g' (x) I < 1 satisfagan 1 1 a) x=--x= - - (x + 1)2

X - 1 ) b)x=4+ -b) x=4+ X( x+I x+1

tan x = In d) tan In x

e) x

= ( =

6-

X_X3)1I2

X _X3)1/2

4

sen x e) x = sen

sec x j) j) x=-x =-2

Determine una (x) y un valor valor inicial inicial XXoo tales tales que (x) I < 1 en en las siguientes siguientes ecuaciones: ecuaciones: Determine una gg (x) que I g/ g' (x) sen x + In In x = O e) sen e-tanx=O d) e' -tanx=O

2.3 2.4 2.4

e)

3sen x - In In (cos (cos x) ))xx3sen x) = 3

Resuelva por método de punto ecuaciones de los problemas anteriores. Resuelva por el método punto fijo las ecuaciones problemas anteriores. Generalmente hay hay muchas muchas maneras maneras de pasar incluso se pueden Generalmente pasar de f (x) = O a x = g (x) e incluso pueden obtener distintas distintas formas formas de g (x) al "despejar" "despejar" x de un mismo mismo término término de f (x). obtener Por ejemplo, ejemplo, en la ecuación ecuación polinomial Por polinomial

"despejar" x del del primer término se puede llegar a: al "despejar" primer término puede llegar a) x = = 3) 2x + 2 a)

b) x

= h h + 2/x 2/x =

22

22

e) X=-+X=-+x xx22

¿Cuál g (x) sería sería más más ventajosa ventajosa para encontrar la raíz que está está en el intervalo intervalo (1, 2)? ¿Cuál para encontrar raíz que Calcule con con un mismo valor valor inicial inicial dicha dicha raíz emplenado las las tres tres g (x) y compare compare resulun mismo raíz emplenado resulCalcule tados. tados.

2.5

Utilice fórmula de Francis Francis (véase (véase ejercicio ejercicio 2.3) 2.3) Utilice la fórmula Encuentre una expresión H que usando como valor inicial H a) Encuentre una expresión H = gg (H) tal que usando como valor inicial H = B/2, B/2, el método de punto punto fijo prometa convergencia (quizá (quizá sea sea necesaria necesaria una distinta método prometa convergencia una g (H) distinta para cada pareja Q dada). dada). para cada pareja B, Q Con los valores valores de B y Q dados dados en el ejercicio ejercicio 2.3 y los resultados resultados del inciso inciso a), calcucalcub) Con respectivos valores valores de H H que que satisfacen satisfacen la ecuación ecuación de Francis. Francis. le los respectivos

118

Métodos

2.6

numéricos

aplicados

a la ingeniería

Sea el polinomio de grado n en su forma más general

f (x)

= a,¡x" + an_l xn-l + an_2 x',-2 + ... + al x + ao

a) Calcule el número de multiplicaciones y sumas algebraicas necesarias para evaluar f (x) en un punto dado mediante el método de Homer. b) Calcule el número de multiplicaciones y sumas algebraicas requeridas para evaluar

f

(x) en un punto dado usando la forma tradicional. Al comparar las cantidades de los incisos (a) y (b), encontrará que el número de multiplicaciones y sumas algebraicas en el arreglo de Homer se reduce prácticamente a la mitad. Como cada multiplicación involucra errores de redondeo, este método de evaluación es más exacto y rápido.

2.7 2.8

Elabore un programa que evalúe polinomios según la regla de Homer. Resuelva las siguientes ecuaciones por medio del método de Newton-Raphson, b) xex-2=0

a) In x - x + 2 = O

e) x - 2 cos x 2.9

=O

d) x3

-

5x =-1

Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones por medio del método de Newton-Raphson

a) 2x3-y=0

b) 2x2_y=0

x=2_y2

x3-2-y3=0

e) x2 + 5 X y2 -3z + 1 = O d) (x_l)1/2 + y x -5 = O Y - sen x2 = O

x - sen y = 1 y-e-z=O 2.10

La manera más simple de evitar el cálculo de f' (x) en el método de Newton-Raphson remplazarf'(x) en la ecuación 2.12 con un valor constante m. La fórmula resultante x.+l=x."m

es

f(x) --

define un método de convergencia lineal para m en cierto intervalo de valores. a) Utilice este algortimo,

conocido como el método de Wittaker, para encontrar una

raíz real de la ecuación

l ' f (x )

= x3 + 2 x2 + 10 x -

20

=O

b) Con este algoritmo encuentre una raíz en el intervalo (1.5, 2.5) de la ecuación

f(x) 2.11 2.12

= x3 -

12 x2 + 36 x - 32

Demuestre que en el método de Newton-Raphson les no repetidas. Dado un polinomio de grado n

g' (x)

=O

= OYg

" (x)

::f:.

O para raíces rea-

(1)

elabore un programa para encontrar todas las raíces reales y complejas de P" (x), mediante el método de Newton-Raphson. El programa deberá tener incorporada la división sintética para: a) Evaluar polinomios. b) Degradar polinomios cada vez que se encuentre una raíz (véase Seco 2.10).

Solución es no lineales lineales Solución de ecuacion ecuaciones

2.13 2.13

119

Demuestre que método de Newton-Raphson Newton-Raphson Demuestre que en el método

ff"

11

(x) (x)

2!1' 2!1' (x) (x) SUGERENCIA: SUGERENCIA:

Utilice la ecuación Utilice ecuación E . E

1+1 ,+1

E E22

E E33

2! 2!

3! 3!

= gil (x) _ ' + g'" gil' (x) = g' (x) (x) E + g" (x) -' (x) -' ' + ... ... 11

resultados del problema problema 2.11 y los resultados

2.14 2.14

método de Richmond Richmond y es de tercer tercer orden El siguiente siguiente algoritmo algoritmo se conoce conoce como como método orden i 1+ 1 X Xi+

2.15 2.15 2.16 2.16

2f(x)f' (x¡) 2f(x)f' (x¡) =x¡(x) = x¡- 2rJ/(x)]2_f(x)f" 2rJ'(x)]2 _ f(x)f" (x)

Resuelva las ecuaciones problemas 2.8 y 2.9 con reResuelva ecuaciones de los problemas con este este algoritmo algoritmo y compare compare los resultados obtenidos con método de Newton por ejemplo, velocidad sultados con con los obtenidos con el método Newton Raphson; Raphson; por ejemplo, la velocidad de convergencia número de cálculos por iteración. convergencia y el número cálculos por iteración. Obtenga algoritmo de posición posición falsa, utilizando la semejanza los Obtenga la expresión expresión 2.14 2.14 del algoritmo falsa, utilizando semejanza de los triángulos rectángulos rectángulos cuyos vértices son: XI X XM Bx Xw en la figura 2.7 triángulos cuyos vértices son: A XI y BX X figura Do w M La expresión puede escribirse también La expresión 2.13, 2.13, puede escribirse también x·

+

1

1 1+

2.17 2.17

= =

_ Xi_ X i 11 f

(x) xJ (xii__1) (x) - xJ J

)

_ ) f(x) -i_1f(x f(x)-f(x ) i 1

Explique por por qué, más eficiente Explique qué, en general, general, es más eficiente la ecuación ecuación 2.13 2.13 que que la ecuación ecuación anterior anterior en la aplicación método de la secante. aplicación del método secante. Resuelva por método de la secante, posición falsa bisección las siguientes Resuelva por el método secante, posición falsa o bisección siguientes ecuaciones ecuaciones a) x log x-lO x-lO = =O ese x + 1 = =O b) sen x - csc O e) eX e' + 2-Xx + 2 cos x - 6 = =O O eX + x33 + 2x 2x22 + lOx lOx - 20 20 == O á) eX Utilice análisis preliminar estas funciones funciones para obtener valores iniciales Utilice un un análisis preliminar de estas para obtener valores iniciales apropiados. apropiados. Elabore encontrar una = O, O, por por el método falsa, Elabore un programa programa para para encontrar una raíz raíz de f (x) = método de posición posición falsa, dada una tabla tabla de valores. valores. dada f (x) como como una Encuentre aproximación a 3f2 3[2 y a f3 f3 mediante Encuentre una una aproximación mediante el método método de la bisección. bisección. El cálculo deberá deberá ser correcto correcto en cuatro cuatro dígitos dígitos significativos. significativos. El cálculo 2- 3= Sugerencia: Yf (x) = Sugerencia: considere considere f (x) = = x33 - 2 = =O O Yf = xx2 = O, respectivamente. respectivamente. Utilice expresión 2.15 aproximado de iteraciones iteraciones n a fin de enenUtilice la expresión 2.15 para para hallar hallar el número número aproximado contar una raíz raíz de contar una

SUGERENCIA: SUGERENCIA:

l

2.18 2.18 2.19 2.19

2.20 2.20

xX22 + 10 cos cos x = =O

2.21 2.21

con una aproximación Encuentre además raíz. con una aproximación de 10-33.. Encuentre además dicha dicha raíz. Aplique el método método de bisección bisección y el de posición posición falsa Aplique falsa a la ecuación ecuación

7x-3 7x-3 ----=0 ---~ = 0.45)2 (x - 0.45)2 2.22 2.22

O

Use los intervalos Explique gráficamente resultados. Use intervalos (0.4, (0.4, 0.5) 0.5) Y (0.39, (0.39, 0.53). 0.53). Explique gráficamente los resultados. Demuestre que una sucesión valores xxoo'' xi' xx22' ' ... una Demuestre que en el caso caso de convergencia convergencia de una sucesión de valores •.. a una raíz x en el método método de punto punto fijo se cumple raíz cumple que que

120

Métoc;los Métodos numérico numéricos s aplicados aplicados a a la ingeniería ingeniería

E E· · I1 lím ,+_ = g' lím _ _,+_ g' (x) (x) ,,-+0-:. -+0::

E.. E 1

2.23 2.23

Las cada una una se dan dan al Las siguientes siguientes sucesiones sucesiones convergen convergen y los límites límites de convergencia convergencia de cada lado lado derecho derecho (_ 1 ) k a) xk=--xk = - -k b) xnn = = n In ( 1 + lIn) lIn)

2.26 2.26

lím {xnn lím {x

}

= = 1

lím lím {x {xkk

}

= =2

lím {x {xkk lím

}

= 1 =

k->e< k-> cx

Genere en cada x lO Genere cada inciso inciso la sucesión sucesión finita: finita: xxl'I ' x22' x33, , ..... . , XJO Aplique nuevas sucesuceAplique después después el algoritmo algoritmo de Aitken Aitken a estas estas sucesiones sucesiones para para generar generar las nuevas x' 2' X'X' 3' siones x' l' siones x' l' x' 3' ..... . observe observe qué qué ocurre ocurre y dé sus conc1uisiones. conc1uisiones. Modifique para el caso caso en Modifique el algoritmo algoritmo 2.5 de Steffensen, Steffensen, incorporando incorporando una una prevención prevención para que ·cercano a cero. que el denomiQador denominador de la ecuación ecuación 2.22 2.22 sea sea muy muycercano cero. método de Stf:ffensen. cálculo deberá deberá Encuentre una aproximación Encuentre una aproximación 3[2 y Y a f3 con con el método Sú~ffensen. El cálculo ser Compare los resultados con los los obtenidos obtenidos en ser correcto correcto en cuatro cuatro dígitos dígitos significativos. significativos. Compare resultados con el problema problema 2.19. 2.19. Aproxime una aproximación aproximación Aproxime una una solución solución para para cada cada una una de las siguientes siguientes ecuaciones ecuaciones con con una usando el método método de Steffensen Steffensen con con Xoo = O. O. de 10-55,, usando

=

3x-x22+e +x-2=0 ex -2 = 0 a) 3x-x

2.27 2.27

=O =

k->oc k-> oc

k k ti) xk=l+ed) xk = l+e-

2.25 2.25

}}

kk->oc -> oc

l)k 2k+1 + ( _ l)k e) xk xk == ----,--------,---k 2k

2.24 2.24

lím {x {xkk lím

k->ococ k->

b)

e) x2+2xeX-e x2 + 2xeX -2x=0 e2x =0

4.1x2-1.3eX=0 4.1x2 - 1.3eX=0

Encuentre intervalos indicados indicados Encuentre la gráfica gráfica aproximada aproximada de las siguientes siguientes funciones funciones en los intervalos 2

eX + xX - 1000; 1000; (1 (1,, 10) a) ff(x) (x) = eX b) f(x) = Xl-- 2x + 10; (-=,00) (-=,00) f(x) =:x!<

e) f(x) f(x)

= 4 (x =

ti) f(x) d) f(x) ==

e) f (x) 2.28 2.28

h

= xx22 =

2)l/3 + sen (3x); [0,00) 2)l/3

x2/2 e-x2/2 ;; e-

-

00 < Xx < 00 00

00

sen x 4 + In 3x + 5 sen

Utilizando el método método del del Newton-Raphson Newton-Raphson con valores valores iniciales iniciales complejos complejos (a + bi), Utilizando bi), enencuentre las raÍCes raíces complejas complejas del polinomio polinomio cuentre f (x) = = x33 + 4x 4x + 3x2 3x2 + 12

2.29 2.29 2.30 2.30

Utilizando el método método de Müller Müller con con valores valores iniciales iniciales reales, reales, encuentre encuentre las Utilizando las raíces raíces complecomplejas polinomio del problema problema 2.28. 2.28. jas del polinomio Encuentre las raíces raíces faltantes faltan te s de la ecuación ecuación polinomial polinomial usada Encuentre usada a lo largo largo del del capítulo capítulo para para ilustrar los distintos distintos métodos métodos ilustrar f(x) f(x)

2.31 2.31

= x33 + 2x2 2X2 + 10 x =

20

= O, O, =

pero usando usando ahora ahora el método método de Newton-Raphson Newton-Raphson con con valores valores iniciales iniciales complejos. pero complejos. La solución solución general general de la ecuación ecuación polinomial polinomial La 2 p (x) = = ao + al al x + a22 xx2

Solución de de ecuaciones ecuactories no lineales lineales Solución

121

es a) Demuestre Demuestre que que xlx Xlx2l =ar!a =ac!a2 l a) Utilizando a), demuestre demuestre que que una una forma forma alterna alterna para para encontrar encontrar las raíces raíces de b) Utilizando (x) = = aoo + al al x + al a2 xl x2 = =O O p (x)

es

2 ao

Xl=----~~====~ -al

+

J a'[

- 4aOa2

Calcule la raíz xl x2 de e) Calcule la raíz p (x) = = xl x2 + 81 x - 0.5 0.5 = =O O

usando aritmética aritmética de cuatro cuatro dígitos dígitos con con las dos formas formas presentadas presentadas y sustituya sustituya ambos ambos reusando sultados en p (x) (x).. Compare Compare la exactitud exactitud de los resultados resultados y explique explique la diferencia. diferencia. Puede Puede sultados usar Mathematica Mathematica o Fortan. Fortan. usar Calcule la raíz raíz xl Xldt; de d) Calcule p (x) (x)

2.32 2.32

= = xl x2 + 81 x -

0.5 0.5

= =O

Elabore un programa programa de propósito general para para encontrar encontrar todas raíces reales reales y complecompleElabore propósito general todas las raíces jas ecuación polinomial polinomial de la forma forma jas de una una ecuación (x) = = aoo + al al x + al a2 xl x2 + ... ... + anxn anxn Pn (x)

2.33 2.33

con el método método de Müller. Müller. con siguiente algortimo, algortimo, de orden orden tres, tres, es conocido conocido como como método método de Laguerre Laguerre El siguiente Xi++1 X i 1

= xi Xi =

np(x) np(x)

.

------':==_ - - - - - ' - - - ,, lt p' (x) ± J J H (x) (x) p' (x)

= O, 1, 2, ... ... =

donde n es el grado grado de la ecuación ecuación polinomial polinornial p ( x ) = = O, O, cuyas cuyas raíces raíces se desea desea encontrar encontrar donde (x) = = (n-l) (n-1) [(n-l) [(n-1) (P'(x¡))l (P'(xi))2 - np (x) (x) p" (x)] H (x) p" (x)]

signo del radical radical queda queda determinado determinado por por el signo signo de p' (x). y el signo p' (x). Este método, método, que funciona funciona con orden orden 3 para para polinomios polinornios CUyáS CUyáSraíces todas reales reales y disEste raíces son todas tintas, converge converge sólo linealmente linealmente para para raíces raíces múltiples. múltiples. En En el caso caso de raíces raíces complejas complejas poco poco tintas, orden de convergencia; convergencia; no obstante, obstante, ésta ésta es alta para para raíces raíces complejas complejas simples. simples. Fise sabe del orden nalmente, se hace hace la observación observación de que que un valor valor de Xi Xi real real pude pude producir producir una una H (x) (x) neganeganalmente, por tanto, tanto, generar generar un valor valor dex de xi++l l complejo complejo y eventualmente eventualmente levar levar a una una raíz raíz compleja compleja tiva y, por ecuación p (x) = = O. O. de la ecuación Resuelva las siguientes siguientes ecuaciones ecuaciones con con el método método de Laguerre Laguerre Resuelva a) x4 - 8.2 x33 + 39.41 x2 - 62.26 62.26 x + 30.25 30.25 = =O O a) 39.41 xl

=O O = =O O 30 =

b) x4 x4 -- 15.2 x33 + 59.7 59.7 xl x2 - 81.6 81.6 x + 36 e) x55 - 10 x4 + 40 x33 - 80 xl x2 + 79 x e)

á) x55 - 3.7 x4 x4 + 7.4 x33 - 10.8 Xl x2 +10.8 +10.8 x - 6.8 = =O O d)

2.34 2.34

ha encontrado encontrado una una simplificación* simplificación" al algoritmo algoritmo de MüIler Müller (véase (véase algoritmo algoritmo 2.6), 2.6), y es Se ha

Hildebrand, B. lnlroduction Introduction lo Numerical Numerical Analysis. McGraw-Hill (1974) (1974) pp. 580-581. 580-581. • Hildebrand, Analysis. 2a. ed. McGraw-Hill

122


2A¡

Xi+\

= xi

-

----;::.===== 1 + JJ 1 - 4 A¡ + 11;

2, 3, 4 ... i = 2,3,4

(1) (1)

Il¡

donde: donde: A¡ = -

1;

f[x¡,x¡_\,x¡_2]

, f.1¡ = ----''---'--''----'--=w¡ w¡

y

= f[ x, x. ] + (+. _ F. ) 1

f[

Ji-I

i¡

1-\

Xi'

f[

xi-!' Xi,Xi_1

X¡_2 ]

]

Para está dado dado por: por: Para esta esta modificación modificación el orden orden de convergencia convergencia está

f

E E i+1 i+\ "" -

2.35 2.35

"'(x) "'(x)

6 f' f' (x) (x)

E Ei E E ;-1 i-l E E ;-2 i-2

Resuelva 2.26 Y 2.33 2.33 con con estealgoritmo. estealgoritmo. Resuelva las ecuaciones ecuaciones dadas dadas en los problemas problemas 2.17, 2.17, 2.26 Con consideraciones teóricas teóricas que que se omiten mniten por por Con la fórmula fórmula 1 del problema problema 2.34 2.34 y algunas algunas consideraciones ser del método método de la secansecanser más más bien bien tema tema del análisis análisis numérico, numérico, se llega llega a modificaciones modificaciones del te, con lo cual consigue en éstas de convergencia convergencia mayor mayor de 2. 2. cual se consigue éstas un orden orden de La primera primera modificación modificación está está dada dada por por la ecuación a) La ecuación

2, ... == 1, 1,2,

i

J

1+

1- 4

Il¡

(1) (1)

Ai

pero ahora ahora pero

k=1; A. = 1;

f/' f/'

11

y

La este método reemplazar la la funciónf(x) funciónf(x) en ciercierLa interpretación interpretación geométrica geométrica de este método consiste consiste en reemplazar intervalo con con una una parábola parábola que pasa pasa por por el punto (Xi_\, h-l) to intervalo punto (x;_I' h-I) y es tangente tangente a la curva curva de f (x) en (Xi' (Xi' 1;). Para Para la ecuación ecuación 1 se tiene tiene que (x) E.¡""E. 1 ""1+ 1+

f'" '(x) (x) f" 661' l' (x) (x)

2

E2E·E' E 1 1 1 11-

encontrado que que es aproximadamente aproximadamente de orden Y se ha encontrado orden 2.41 2.41 b) La la expresión expresión La segunda segunda modificación modificación está está dada dada por por la

xi+1 x;+1

2(fJ 2(fJ 1;')

=xxi_i1_ 1 + --r=========== = --¡==========

1+

h -- 2 rJ;1;" JI rJ;1;" / ({¡')2] ({¡')2]

y en ésta que: ésta el orden orden de convergencia convergencia es 3, y se sabe sabe que: E E

;+1 i+l

"" "" -

f

"'(x) "'(x) 61'(x) 6f'(x)

E 33 ----- - - E

,1

(2) (2)


123

Aquí, la curva curva que que reemplaza reemplaza a f (x) en cierto cierto intervalo intervalo es una parábola que que coincide coincide con con Aquí, una parábola curva de f (x) en Xix¡ y tiene curvatura que f (x) en Xi' la curva def(x) tiene la misma misma pendiente pendiente y curvatura quef(x) Xi ' Resuelva las ecuaciones ecuaciones dadas dadas en los problemas Resuelva problemas 2.17, 2.26 Y2.33, Y 2.33, usando usando las modificaciomodificacioincisos (a) y (b). nes de los incisos

(l)

estas fórmulas fórmulas pueden obtenerse otras otras más simples mediante aproximaciones. e) De De estas pueden obtenerse más simples mediante aproximaciones. Por ejemplo, si1; si}'¡ es pequeña, Por ejemplo, pequeña, puede puede hacerse hacerse

(

}'¡}'¡" )1/2 _ }'¡}'¡" 1;1;" 1;1;" -- "",1--11-2 - 2 =1(J¡')2 (j '¡ )2 (j'y

ecuación 2 y obtener obtener la fórmula fórmula simplificada simplificada en la ecuación x ¡+ 1 Xi

= xi = Xi

!; /}'¡' 1; /1;' 1 _ 1;1;" / 2 (J¡')2 }'¡it /2

para la cual cual para

E¡+I"'" E¡+I '"

f"(X))2 f" (x) 2f'(x) [[(( 2f'(x)

)2

f"'(X)] (x) f'"

-

]

6f'(x) 6f'(x)

3 E¡ E [

obsérvese que que también orden, pero cuadrada. Esta fórmula se atribuatribuobsérvese también es de tercer tercer orden, pero sin raíz raíz cuadrada. Esta fórmula Halley. Los iterativos basados esta expresión expresión algunas algunas veces denominan ye a Halley. Los métodos métodos iterativos basados en esta veces se denominan métodos de Bailey métodos Bailey o métodos métodos de Lambert. Lambert. el) Si se aproxima aproxima d)

[

1_ }'¡}'¡" 1 _ 1; 1; " 2 (J¡ (J¡ , )2

]-1 '"'"" 11 ++ 1;}'¡}'¡" ]-1 1; "

2(J¡ ')2

fórmula de Halley, obtiene la iteración iteración en la fórmula Halley, se obtiene

Xi + 1 Xi

== XiXi

-

[1+ J: J:1;}'¡[1

}'¡!;"]1 1;1;"

2 (J¡ (J¡ ')2 ')2

(4) (4)

con Ei+l"'" E¡+l'"

2.36 2.36

f "(X))2 "(X))2 2f'(x) [[ 2 (( 2f'(x)

f'"

1

(x) ] (x)

6f'(x) 6f'(x)

E? E?

cuyo orden orden es tres llama fórmula fórmula de Chebyshev. Chebyshev. cuyo tres también también y se llama Resuelva las ecuaciones ecuaciones dadas dadas en los problemas empleando los algoritalgoritResuelva problemas 2.17, 2.17, 2.26 2.26 y 2.33, empleando mos de Halley Chebyshev cuando cuando sean sean aplicables aplicables y compare compare los resultados obtenidos obtenidos mos Halley y Chebyshev los resultados con los los algoritmos algoritmo s de los (b). con los incisos incisos (a) y (b). La ecuación de estado de Beattie-Bridgeman forma virial La ecuación estado Beattie-Bridgeman en su forma virial es: PV RT + PV = RT

vf3 .Ji V

+

L ...L V2

+

donde: donde: presión de atm P == presión temperatura en K T == temperatura volumen molar en Ugmol Ugmol V == volumen molar en = Constante Constante universal gases en atm U(gmol U(gmol K) R= universal de los gases -Aao - Re f3 == R T Ba Bo -A Re /T2 /T2 y= --RRTB y= T Bao b+A b + Aaa -R Bao c/T2 oa-RB

--ª~ V3 V3

124

Métodos

numéricos

aplicados

a la ingeniería

8= RBobc/T2,y Ao' Bo' a, b, e = constantes particulares para cada gas. Calcule el volumen molar V a 50 atm y 100°C para los siguientes gases

·2.37

e

10-4

Gas

Ao

a

Bo

b

He

0.0216

0.05984

0.01400

0.000000

0.0040

H2

0.1975

-0.00506

0.02096

-0.43590

0.0504

°2

1.4911

0.02562

0.04624

0.004208

4.8000

La ecuación de estado de Redlich-Kwong

[a]P +

X

es:

TII2V(V+b)

(

V-b

)

= RT

donde: P = presión en atm

T = temperatura en K V = volumen molar en Ugmol R = constante universal de los gases en atm-U(gmol a

= 0.4278

R2

K)

Te2.5

---

b=0.0867--

Pe

RTc Pe

Calcule el volumen molar V a 50 atm y 100°C para los siguientes gases

2.38

2.39

Gas

Pe (atm)

Te (K)

He

2.26

5.26

H2

12.80

33.30

°2

49.70

154.40

Compare los resultados obtenidos con los del problema 2.36. Mediante la ecuación de estado de Van der Walls (véase ejercicio 2.1), encuentre el volumen molar V del CO2 a 80°C y 10 atm, utilizando los métodos de Newton-Raphson y de Richmond (véase Probl. 2.14). Descomponga en fracciones parciales las siguientes funciones racionales a)

F

52.5 s (s + 1) (s + 1.5) (s + 5)

(s) = ---,--------::------:---

s4 + 20.75 s3 + 92.6 s2 + 73.69 s

lOA

b) F (s) = ---,---------,-----s3 + 101.4 S2+ 142.7 s + 100 0.47 KG(S3 + 4.149s2 + 6.362 s + 4.255) e) F (s) = ---=----------s4+7s3+11s2+5s 100 (s2 + 3.4s + 2.8)

el) F (s) = --::------,-----:,-----::---

SS+10 s4 + 32 s3 + 38 s2+ 15s

S o lución de ecuaciones Solución ecuaciones no lineales lineales

2.40

125

Una forma alterna vaporización instantánea instantánea (véase (véase ejercicio ejercicio Una forma alterna para para resolver resolver el problema problema de vaporización 2.6) 2.6) es: Tomando en cuenta cuenta que que II. x¡ = 1 Y que que II. Y¡ Y¡ = 1, o bien K¡x¡ = 1, puede escribirse Tomando bien II. Kr:; puede escribirse

(todas (todas las sumatorias sumatorias sobre sobre i son son de 1 a n ) o también también

I. K¡x.. IKx ln -' -' =0 ln---' =0 II. s, x¡

Siguiendo Siguiendo la secuencia secuencia mostrada mostrada en el ejercicio ejercicio 2.6, 2.6, se llega llega a la expresión: expresión:

s.« K.z·

II.

11

11

1 + l¡t(K¡ lf/(K¡ - 1)

O In -----'---'------'-- -'----- == O

II.

2.41

. z¡ 1+l¡t(K¡ l+lf/(K¡-l) - I)

Utilice el método posición falsa para resolver resolver esta última Utilice método de posición falsa yy los datos datos del del ejercicio ejercicio 2.6 2.6 para esta última ecuación. ecuación. Para burbuja de una una mezcla presión Para el cálculo cálculo de la temperatura temperatura de burbuja mezcla multicomponente multicomponente a la presión utiliza la ecuación total total P se utiliza ecuación n

f(f(T) T) = =

L L.

(1) (1)

K¡ x¡ -1 - 1= =O

¡= ¡= 1

donde relación de equilibrio donde x¡ y K¡, i = 1, 2, ... n son son la fracción fracción mol mol en la fase fase líquida líquida y la relación equilibrio del componente componente i, respectivamente, ecuación 1) es la temperatura burdel respectivamente, y T (la raíz raíz de la ecuación temperatura de burbuja. buja. Determine la temperatura temperatura de burbuja atm de presión total de una mezcla cuya cuya comcomDetermine burbuja a 10 atm presión total una mezcla posición en la fase n-butano, 30% posición fase líquida líquida es 45% 45% mol mal de n-butano, 30% mol mal de n-pentano n-pentano y 25% 25% mol mal de n-hexano. Los n-hexano. Los valores valores de K¡ a 10 atm atm son

2.42

Componente Componente

para 35 :S;T:S; ~ T ~ 205°C 205 oC K (T) con con T en oC °C para

n-butano n-butano

-0.17809 + 1.2479 1.2479 X 3.7159 X -0.17809 X 10-22 T + 3.7159 X 10-55 T2

n-pentano n-pentano

0.13162 - 1.9367 1.9367 X 1010-33 T + 7.1373 7.1373 X 10-55 T2 0.13162

n-hexano n-hexano

0.13985 0.13985 - 3.8690 3.8690

X

10-33 T + 5.5604 5.5604

X

10-55 T2

Para cálculo de la temperatura temperatura de rocío rocío de una una mezcla mezcla multicompnente multicompnente a la la presión toPara el cálculo presión total P se utiliza utiliza la ecuación. ecuación. n

f(f(T) T) = =

2.43

L L.

(1) (1)

¡¡= = 1

donde Y¡ Y¡ y K¡, i = = 1, 1,2,..., son la fracción fracción mol mal en la fase fase vapor vapor yy la relación equilibrio del donde 2, ... , n son relación de equilibrio componente respectivamente, y T (la raíz raíz de la ecuación) temperatura de rocío. rocío. componente i,i; respectivamente, ecuación) es la temperatura Determine temperatura de rocío rocío a 10 atm presión total una mezcla mezcla cuya Determine la temperatura atm de presión total de una cuya composicomposición en la fase fase líquida 45% mal n-butano, 30% 30% mol mal de n-pentano mal, de n-hemol de n-butano, n-pentano yy 25% 25% mol, n-heción líquida es 45% xano. Los Los valores valores de K¡ a 10 atm atm se proporcionan 2.41. proporcionan en el problema problema 2.41. xano. Para obtener temperatura de burbuja solución líquida líquida de CC144 y CF CF44 en equiliequiliPara obtener la temperatura burbuja de una una solución brio con su vapor, vapor, se llegó llegó a la ecuación: ecuación: brio con

126

ingeniería Métodos numéricos numéricos aplicados aplicados a a la ingeniería Métodos

760 760 == 0.75 [

2.44 2.44

106.898-1221.8/ +227.4)] 106.898-1221.8/ (T +227.4)]

+ 0.25 [

106.195-376.7]/ (T+241.2)] 106.195-376.7]/ (T+241.2)]

Aplicando un método método iterativo iterativo de dos puntos, puntos, encuentre encuentre la temperatura temperatura de burbuja burbuja T con con Aplicando una aproximación aproximación de 1010-2 2 aplicado aplicado a f (T). (T). una solución de ecuaciones ecuaciones diferenciales diferenciales ordinarias ordinarias con con coeficientes coeficientes constantes, constantes, es neceneceEn la solución sario resolver resolver la " ecuación ecuación auxiliar auxiliar asociada", asociada", que que resulta resulta ser un polinomio polinomio cuyo cuyo grado grado es sario igual al orden orden de la ecuación ecuación diferencial. diferencial. Así, ASÍ, si la ecuación ecuación diferencial diferencial está está dada dada por igual por ylv+2 ylv+2y"-8y=0 yl/-8y=0

(1)

ecuación auxiliar auxiliar asociada asociada es la ecuación

=O O m44 + 22 m22 - 8 = cuyas cuatro cuatro raíces: raíces: mi' m 2,, m 3 y m 4 se emplean emplean de la siguiente siguiente manera manera cuyas

para dar dar la solución solución general general de la ecuación ecuación l. l. para Encuentre la solución solución general general de la ecuación ecuación 1 y de las siguientes siguientes ecuaciones ecuaciones diferenciales diferenciales Encuentre yVI+2yIV+ yVI+2 yl/=0 y IV+ y "=0

yl/'-4yl/+4y'=0 y"'-4y"+4y'=0 2.45 2.45

La ecuación ecuación 4 del ejercicio ejercicio 2.8 se aplica aplica para para calcular calcular la ~Tm, ~Tm, cuando cuando La TC22 TC11 - TC

TH * TH

22 -

TC] TC]

Cuando el gradiente gradiente TH TH]1 -- TC2 es muy muy cercano cercano al gradiente gradiente TH22 - TC] se deberá deberá utilizar utilizar Cuando siguiente expresión para el cálculo cálculo de ~ ~ Tm Tm la siguiente expresión para

Modifique el programa del ejercicio ejercicio 2.8 de modo modo que que se utilice utilice la ~Tm ~Tm dada dada arriba arriba Modifique programa 2.6 del cuando cuando TH¡ - TC22) ) I ( TH¡

o

2.46 2.46

10-2 2 10-

---~

I

agua 0p agua Te¡ Te¡ ='" 80 80°F

2.47 2.47

TH22 - TC¡ TC¡ ) I < TH

ecuación (4) del del ejercicio ejercicio 2.8 en caso caso contrario. contrario. y la ecuación cambiador de calor calor del ejercicio ejercicio 2.8, 2.8, se opera opera en paralelo, paralelo, esto esto es: Si el cambiador

aceite 0p aceite TH] TH] = '" 250 250°F

o

- (

Encuentre TH22 Y TC2 en estas estas nuevas nuevas condiciones condiciones de operación. operación. Encuentre Suponga que que el fenómeno fenómeno de la transmisión transmisión de calor calor en un cierto cierto material material obedece obedece en forSuponga ma aproximada aproximada al modelo modelo ma T=To+ T=T o+

(J3(
t

2

22

t») t e-:X /(4
Calcule el tiempo tiempo requerido requerido para para que que la temperatura temperatura a la distancia alcance un valor valor daCalcule distancia x alcance Use la siguiente siguiente información información do. Use


T = 25°C; 25 oC; q = = 300 Too = 300 BTU/h BTU/h ft2; a == 0.04 0.04 ft2/h; x = = 1 ft;

f3 == 2 2.48 2.48

1

f

°Fft ° Fft °C1/22 h hl1/2 /2

4

0.4 0.4

nO.75 nO.7S

n1.2 n1. 2

= (Refl -O.Sn) --- = --log --log (RefI-O.5n)

Encuentre fricción f, f, si se tiene 6000 y un Encuentre el factor factor de fricción tiene un un número número de Reynolds Reynolds Re de 6000 un valor de n = = 0.4. 0.4. lor de La siguiente relación entre el factor factor de fricción fricción f y el número cumple La siguiente relación entre número de Reynolds Reynolds Re Re se cumple cuando hay flujo turbulento de un un fluido un tubo tubo liso cuando hay flujo turbulento fluido en un liso --

1

f

2.50 2.50

= 1 BTU/h k= BTU/h ft2 °F °F T= = 120 120°F

El factor factor de fricciónfpara fricciónfpara fluidos pseudoplásticos que siguen siguen el modelo Ostwald-Defluidos pseudoplásticos que modelo de Ostwald-DeWaele se calcula mediante la siguiente Waele calcula mediante siguiente ecuación ecuación -

2.49 2.49

127

= -- 0.4 + 1.74 1.74 In (Re"'¡ (Re.J 1) 1) =

Construya una tabla tabla de valores valores de f correspondientes números de Reynolds Reynolds de 1044 hasta hasta Construya una correspondientes a números con intervalos intervalos de 104 . 106 con Para determinar nacirnlentos de una una población población se necesita necesita calcular Para determinar la constante constante de nacimientos calcular le A en la siguiente siguiente ecuación ecuación 1.546 1.546

X

106 = = 106 eA +

0.435 X 1066 0.435 (eA - 1) A, A,

. con una aproximación con una aproximación de 10-33.. 2.51 Graficar por separado = x y y == tan tan x (véase 2.10). Encuentre Encuentre las 2.51 Graficar por separado las funciones funciones y = (véase ejercicio ejercicio 2.10). raíces en el intervalo intervalo (O, 35) ¿nota usted alguna alguna relación relación entre raíces ¿nota usted entre ellas? ellas? ¿Podría ¿Podría explicar explicar esta esta relación? relación?

CAPÍTULO

3

MATRICES MATRICES y y SISTEMAS DE ECUACION ES LINEALES ECUACIONES dónde nos nos dirigimos dirigimos A dónde En este de ecuaciones ecuaciones linealineaeste capítulo capítulo estudiaremos estudiaremos las las técnicas técnicas de solución solución de sistemas sistemas de cuadrados Ax = b. Para Para ello, ello, primero primero realizaremos realizaremos un les cuadrados Ax = un repaso repaso de de álgebra álgebra de matrices matrices y, para teóricamente los métodos, las ideas ortogonalización para sustentar sustentar teóricamente métodos, revisaremos revisaremos las ideas de ortogonalización de vectores. vectores. Posteriormente que se desarrollan, desarrollan, en los métodos Posteriormente se exponen exponen las dos ideas ideas sobre sobre las las que métodos numéricos, de Gauss GauSs para para los los métodos métodos didinuméricos, las soluciones soluciones de los sistemas: sistemas: la eliminación eliminación de rectos rectos y la iteración iteración de Jacobi Jacobi para para los los iterativos. iterativos. Para establecer establecer la velocidad velocidad de cálculo cálculo y el "trabajo "trabajo computacional" Para computacional" en los los métodos métodos directos, se analiza analiza el número número de operaciones operaciones de éstos éstos y con directos, con base base en ello ello se determinan determinan sus necesidades anterior, se da da particular particular atenatennecesidades de memoria. memoria. Como Como consecuencia consecuencia de lo anterior, ción dispersos, entre entre otros. otros. Así, Así, estuestución a los sistemas sistemas especiales: especiales: simétricos, simétricos, bandeados bandeados y dispersos, diaremos los métodos métodos que que aprovechan aprovechan estas estas características características para diaremos para lograr lograr reducir reducir con con esto esto número de operaciones operaciones y los los requerimientos requerimientos de máquina. máquina. el número Los de punto punto fijo fijo del del capítulo capítulo 2, aproaproLos métodos métodos iterativos iterativos se vinculan vinculan con con el método método de vechando ahí desarrolladas de la la convergencia, convergencia. vechando las las ideas ideas ahí desarrolladas como como la de aceleración aceleración de Al final entre ambas ambas familias familias para brinfinal del capítulo, capítulo, se presenta presenta una una comparación comparación entre para brindarle la más más adecuada adecuada a su probleprobledarle al lector lector los elementos elementos necesarios necesarios para para seleccionar seleccionar la ma . ma en particular. particular. Dado de objetos objetos o partes partes trabajando trabajando Dado que que el mundo mundo real real puede puede verse verse como como grupos grupos de en conjunto alguna manera un todo, todo, creemos creemos que con con conjunto o bien bien conectadas conectadas de alguna manera que que forman forman un estos una mejor mejor comprensión comprensión de la exestos conocimientos conocimientos lograremos lograremos brindarle brindarle al lector lector una traordinaria con los sistemas grupos traordinaria cantidad cantidad de situaciones situaciones que que pueden pueden representarse representarse con sistemas o grupos de ecuaciones alguna de sus partes, partes, por por ejemplo: ejemplo: ecuaciones donde donde cada cada una una de ellas ellas corresponde corresponde a alguna circuitos, estructuras, estructuras, columnas columnas de destilación destilación a régimen en circuitos, régimen permanente. pe~·manente.

Introducción Introducción La solución un tema tema clásico clásico de las las matemáticas, matemáticas, riLa solución de sistemas sistemas de ecuaciones ecuaciones lineales lineales es un co en ideas del conocimiento conocimiento tan tan diversas diversas como como ideas y conceptos, conceptos, y de gran gran utilidad utilidad en ramas ramas del economía, casi de cualquier núeconomía, biología, biología, física, física, psicología, psicología, etc. etc. La La resolución resolución de sistemas sistemas casi cualquier número hoy día día gracias gracias a las las computadocomputadomero de ecuaciones ecuaciones (10, (lO, 100, 100, 1000, 1000, etc.) etc.) es una una realidad realidad hoy ras, lo cual solución directas directas e iterativas: iterativas: cual proporciona proporciona un atractivo atractivo especial especial a las técnicas técnicas de solución programación, la cuenta cuenta de los cálculos cálculos necesarios, necesarios, la propagación de errores, su programación, la propagación errores, etcétera. etcétera. Sin de los conceptos conceptos básicos básicos sobre Sin embargo, embargo, todo todo lo anterior anterior requiere requiere una una revisión revisión de sobre matrices, unicidad de las soluciones; soluciones; por por matrices, ortogonalización ortogonalización de vectores, vectores, y la existencia existencia y unicidad tanto, tanto, estos estos conceptos conceptos dan inicio inicio al capítulo. capítulo.

130

Métodos numéricos

aplicados

a la ingeniería

3.1 Matrices Una matriz es un conjunto de elementos ordenados en filas y columnas como: al,l

al,2

al,3

al,n

a2,1

a2,2

a2,3

a2,n

a3,1

a3,2

a3,3

a3,1l

am,1

am,2

am,3

am.n

Los elementos zz.l,}. son números reales o complejos, o funciones de una o varias variables. En este libro sólo se tratarán matrices cuyos elementos son números reales. Para denotar matrices se utilizarán las primeras letras mayúsculas del alfabeto en cursivas A, B, e, etc. Cuando se hace referencia a una matriz es conveniente especificar su número de filas y columnas. Así, la expresión A de m X n, indica que se trata de una matriz de m filas y n columnas o de m X n elementos. A "m X n" se le conoce como las dimensiones de A. Si el número de filas y de columnas es el mismo; esto es m = n, se tiene una matriz cuadrada de orden n o simplemente una matriz de orden n. Para ciertas demostraciones es más conveniente la notación [ai,j l, [bi,j l, etc., en lugar de A, B, etcétera. Dos matrices son iguales cuando tienen el mismo número de filas y columnas (las mismas dimensiones) y, además, los elementos correspondientes son iguales. Por ejemplo, las matrices

y

son de orden tres y tienen los mismos elementos. Aun así son distintas, ya que los elementos correspondientes no son todos iguales. El elemento de la segunda fila y la segunda columna de A, a22 es 5 y el correspondiente de B, b22 es 5; pero el elemento de la segunda fila y la primera columna de A, a2 ,1 es 4 y el correspondiente a B, b2 , l' es 2. OPERACIONES

ELEMENTALES

CON

MATRICES

Y SUS

PROPIEDADES

Se definirán dos operaciones en el conjunto establecido de las matrices.

SUMA

DE MATRICES

Para sumar dos matrices A y B han de ser de las mismas dimensiones; si esto es cierto, la suma es una matriz e de iguales dimensiones que A y que B, y sus elementos se obtienen sumando los elementos correspondientes de A y B. Para mayor claridad

Matrices y sistemas de ecuaciones

A al,l al,2 a2,! a2,2

bl,l bl,2 b2,l b2,2

al,!! a2,!!

131

e

B

+

lineales

al,l + bl,l al,2 a2,l + b2,l a2,2

bl,11 b2,n

+ bl,2 ... al,!! + bl,!! + b2,2 ... a2,1l + b2,!!

+ bm,!!

am,11

el,l el,2'"

el,1l

c2,lel,2'"

e2,1l

(3.1)

o también [ a,1,].] + [ b,1,], ] =

[ a, , + b. 1,]

1,]

]=

[ e, , ]

(3.2)

1,]

Sumar las matrices

[~

8.5 -1.3

Solución

[4

8.5 -3J 2 -1.3 7 2X3

+ [-15

2 8 ~J3 2

[-~

Y

-~J

8.5 + 2 [4-1 -3-~J 2+5 -1.3 + 8 7+3

x 3

2 8

~J

D

2X3

10.5 -7J 6.7 10 2

x 3

Para realizar los cálculos puede usarse Matlab o la TI-92 Plus.

[4, 8.5, -3; 2, -1.3, 7J...• a [-1, 2, -4; 5, 8, 3J ....•b

A=[4 8.5 -3; 2 -1.3 7J B=[-1 2 -4; 5 8 3J C=A+B

e+b+c

La conmutatividad y asociatividad de la suma de matrices son propiedades heredadas de las propiedades de la suma de los números reales. Así, la conmutatividad puede verse claramente en la ecuación 3.1, ya que: a,1,],+ b"j,j = b,1,],+ a,1,],= e,l,j , donde a ~' representa un elemento cualquiera de A y to, es cierto que

bl'J' ,

su correspondiente

De igual manera puede verse la asociatividad (ai,j + bi) + di) = ai,j + (bi,j + di)

en B. Por tan-

132

Métodos numéricos

aplicados

a la ingeniería

o bien (A + B) + D = A + (B + D) donde D es una matriz de las mismas dimensiones que A y que B. Además, si se denota con O a la matriz cuyos elementos son todos cero (matriz cero); es decir,

o O

O O

O O

O O

O

O

O

O

O

y por -A la matriz cuyos elementos son los mismos que A, pero de signo contrario -al,l

l'

-A

-al,2

-a2,1 -a2,2

-am,n se tiene: A + O =A,

(3.3)

A + (-A) = O

(3.4)

A partir de la ecuación 3.4, puede definirse la resta entre A y B como A + (-B) o más simple

A-B PRODUCTO

DE MATRICES

POR

UN

ESCALAR

Así Como se ha definido la suma de matrices, también se puede formar el producto de un número real a y una matriz A. El resultado, denotado por AA, es la matriz cuyos elementos son los componentes de A multiplicados por a. Así, se tiene al,l a2,1

a¡,2 a2,2

al,1l

aal,l

aal,2

aal,11

a2,n

aa2,1

aa2,2

aa2,n

(3.5)

a A=a am,l

am,2

aam,l

am,n

aam,2

...

aam,n

o bien a

[a . .] 1,]

=[ a

a

.] 1,]

(3.6)

Matrices y sistemas

de ecuaciones

133

lineales

Ejemplo 3.2

[548

Multiplique la matriz

-2.3

Solución 2

[5.8 -2.3 2] 4 43

7.2 -13

=

10 5

~o]

7.2 -13

43

[2(58)

2(-2.3) 2(7.2) 2(-13)

2(4) 2(43)

por 2.

2(2)J

=

2(10) 2(5)

Las principales propiedades algebraicas de esta multiplicación

[16 8 86

-4.6 14.4 -26

2~J 10

son:

a (A + B)

a A + aB , distributividad

(a+f3)A

aA + f3A, distributividad respecto a la suma de escalares.

(3.8)

a (f3 A ), asociatividad.

(3.9)

(af3) A lA

respecto a la suma de matrices.

(3.7)

(3.10)

A,

donde a y f3 son dos escalares cualesquiera, y A Y B dos matrices sumables (con igual número de filas e igual número de columnas). Las ecuaciones 3.7 a 3.10, se comprueban con facilidad a partir de las definiciones de suma de matrices y multiplicación por un escalar. Sólo se demostrará la 3.9; las otras quedan como ejercicio para el lector. De la definición (Ec. 3.5), aplicada allado izquierdo de la ecuación 3.9.

(af3) A

(a (a =

f3) f3)

a¡,¡ a2,¡

(a (a

f3) f3)

a¡,2 a2,2

(a

f3)

a""n

De la asociatividad de la multiplicación de los números reales se tiene:

(af3) A

=

a (f3 al) a (f3 a¡,2) a (f3 a2,¡) a (f3 a2,2)

a (f3 am,n) Al aplicar la ecuación 3.5 en sentido inverso dos veces:

(af3) A

=a

f3 a¡,¡ f3 a2,l

f3 a1,2 f3 a2,2

f3 a¡,n f3 a2,n

f3 «; 1

f3 am,2

f3 am,n

"

134

Métodos numéricos


f3

(a{J) A = a

al,1

al,2

a21

a2,2

am,1

a""2

se llega al lado derecho de la ecuación 3.9, con lo cual concluye la demostración.

MULTIPLICACiÓN

DE MATRICES

Dos matrices A y B son conformes en ese orden (primero A y después B ), si A tiene el mismo número de columnas que B tiene de filas. Se definirá la multiplicación sólo para matrices conformes. Dada una matriz A de m X n y una matriz B de n X p, el producto es una matriz C de m X p cuyo elemento general cij se obtiene por la suma de los productos de los elementos de la i-ésima fila de A y la j-ésima columna de B. Si: al,l

a1,2

a2,1

a2,2

a¡,l

a¡,2

A=

b n.j .

CI,I

cI,2

clJ

C2,1

C2,2

c2J

C¡,I

C¡,2

AB=C= G..

i.j

"'l

c2,p

c¡,p

donde:

o bien: 11

C . l,]

= k=L l a

k 1,

bk . para i ,]

=

1,2, ... , m y j

=

1,2, ... , p

b n,p

... ---------------------------~~~====-iIIi


Multiplicar 1., matrices A

2 3 --4

= [~

lineales

135

-~] [-! -~] Y B

=

1 2 2

Solución A

B

D !][-~ 2 3 --4 -5

1 2 2

4

C

-2]3 = [0-2+12 0-3+16 1

0+4-20

1+4+6 2+6+8 3-8-10

-2+6+3J = [1013 161I

--4+9+4 -6-12-5

-16

-15

-2~]

En orden inverso B

A

t! -n [~ 1 2 2

C

3] = [0+2-6 -1+4+9

2 3 4 --4 -5

4+4+3

0+3+8 -2+6-12 8+6--4

0+4+IOJ = [~ -811 -10I~]

-3+8-15 12+8-5

11

10

15

Para realizar los cálculos puede usarse Matlab o la TI-92 Plus

[1,2,3; 2,3,4; 3, -4, - 5]--+ a [0,1, -2 ;-1,2,3;4,2, l I=b

A=[1 2 3; 2 3 4; 3 -4 -5] B=[O 1 -2; -1 2 3; 4 2 1] disp( 'e = A':' B') e=A*B disp ('e = B * A') e=B*A

a*b--+c b*a--+c

Obsérvese que A B ;é B A; es decir, la multiplicaci6n de matrices no es conrnutativa. Este hecho deberá tenerse siempre en cuenta al multiplicar matrices. A continuación se verán las propiedades de distributividad y asociatividad del producto de matrices. A (B + C)

AB+AC

(3.11)

(3.12) Con la notación de sumatoria se comprobará la ecuación 3.11; la 3.12 queda como ejercicio para el lector. Demostración de la ecuación 3.11. Sea B, esto es:

ei,j

un elemento cualquiera de la matriz producto A

136


elemento correspondiente correspondiente del producto producto A y di,j el elemento A e n

d=Lakc d= L akc · · 1,] kk = 1 1,1, k k,}-l 1,] Al sumarlos sumarios se obtiene obtiene el elemento elemento correspondiente correspondiente del lado lado derecho derecho de la ecuación ecuación 3.11 n

n

e·· + d1,].. = kL= 1 a1, k bk,] + " L= 1 a·1, k C k,] 1,]

n

= kL= 1 a

1,

k

(b k,]· +

C k .), ,]

el cual fila y la j-ésima j-ésima columma cual es igual igual al elemento elemento de la i-ésima i-ésima fila columma del lado lado izquierdo izquierdo de la ecuación ecuación 3,11, 3.11, con con lo que que finaliza finaliza la demostración. demostración. A continuación continuación se da el algoritmo algoritmo para para multiplicar multiplicar matrices. matrices.

Para Para multiplicar multiplicar las matrices matrices A y B, proporcionar proporcionar los NI, MI, DATOS: Número de filas DATOS: Número filas y y columnas columnas de A y y B; N, M, NI, MI, respectivamente, respectivamente, y y sus elementos. elementos. NO PUEDEN PUEDEN RESULTADOS RESULTADOS: : La La matriz matriz producto producto e de dimensiones dimensiones N X MI MI o el mensaje mensaje "LAS "LAS MATRICES MATRICES A Y B NO MULTIPLICARSE" MULTIPLICARSE" . PASO 1. PASO

Si M = NI NI continuar, NO SE continuar, de otro otro modo modo IMPRIMIR IMPRIMIR "LAS "LAS MATRICES MATRICES A Y B NO SE PUEDEN PUEDEN MULTIPLICAR" MULTIPLICAR" y TERMINAR. TERMINAR. PASO PASO 2. Hacer Hacer 1 = ll.. PASO Mientras 1:<:; 1 ~ N, repetir repetir los pasos pasos 4 a 12. PASO 3. Mientras PASO 4. Hacer HacerJ J = 1. PASO PASO 5. Mientras Mientras J:<:; J ~ MI, MI, repetir repetir los pasos pasos 6 a 11. PASO PASO 6. Hacer Hacer e ( 1, 1, J) = O. PASO PASO 7. 7. Hacer Hacer K = l. 1. PASO PASO 8. Mientras Mientras K:<:; K ~ M, repetir repetir los pasos pasos 9 y 10. PASO PASO 9. Hacer PASO Hacer (l, J) + A (1, (1, K) * B (K, J). e (1, J) = e (I, PASO 10. Hacer K = K + 1. Hacer PASO PASO 11 11.. Hacer Hacer J = = J + 1. PASO PASO 12. Hacer Hacer 1 = 1 + 1. PASO PASO 13. IMPRIMIR IMPRIMIR las matrices matrices A, B Y Y e y TERMINAR. TERMINAR. PASO

Elaborar un programa programa para para multiplicar multiplicar matrices, matrices, utilizando utilizando el algoritmo algoritmo 3.1 Elaborar

Solución Solución

Ver el 'PROGRAMA P~QG,~l\fA 3~IJ del CD.

6 32


Este material material puede puede complementarse complementarse e incluso incluso enriquecerse enriquecerse si se cuenta cuenta con con un Este pizarrón pizarrón electrónico, electrónico, por por ejemplo ejemplo el Mathcad, Mathcad, ya que que permite, permite, una una vez vez entendida entendida la mecánica mecánica de las operaciones operaciones matriciales, matriciales, averiguar averiguar sus propiedades propiedades e incluso incluso motivar algunas algunas demostraciones. demostraciones. En En adelante adelante se hará hará referencia referencia al Mathcad Mathcad y a motivar Matlab, pero pero puede puede usarse usarse un software software equivalente. equivalente. Matlab,

Matrices y sistemas

MATRICES

de ecuaciones

137

lineales

ESPECIALES

En una matriz cuadrada A, el conjunto de elementos en donde el primero y el segundo subíndices son iguales -es decir, i = j- forman la diagonal principal. Por ejemplo, en la matriz de 4 X 4 que se da a continuación, los elementos dentro de la banda constituyen la diagonal principal.

al,2 a2,2 a3,2 a4,2

[ a"a2,1 a3,1 a4,1

al,3 a2,3 a3,3 a4,3

aa'A 2,4 a34 a4,4

l

Una matriz de orden n con todos sus elementos debajo de la diagonal principal iguales a cero se llama matriz triangular superior. Si todos los elementos por encima de la diagonal principal son cero en una matriz, entonces será una matriz triangular inferior; en caso de que una matriz tenga únicamente ceros arriba y abajo de la diagonal principal, se tiene una matriz diagonal y, si en particular, todos los elementos de la diagonal son 1, entonces se obtiene la matriz unitaria o matriz identidad. Matriz triangular inferior

Matriz triangular superior

o

a1,2

a2,2

o

O O

O

o

o

O

O

O

an_l,n

O

an.l

an,n

an.3

an.2

an.

II_1

al/,n

Matriz unitaria o identidad

Matriz diagonal

al,1

O

O

O

1

O

O

O

O

a2,2

O

O

O

1

O

O

O

O

a3,3

O

O

O

1

O

O

O

O

a ,n

O

O

O

1

ll

A continuación se dan algunos casos particulares de matrices cuadradas especiales Triangular inferior

Triangular superior

Diagonal

Unitaria

1

3

-4

4

O

O

2

O

O

1

O

O

O

6

2

-2

-1

O

O

-6

O

O

1

O

O

O

-5

7

5

3

O

O

8

O

O

1

138

Métodos numéricos


La matriz unitaria se denota, independientemente de su orden, como I. Dada una matriz A de m X n, la matriz de n X m que se obtiene de A intercambiando sus filas por sus columnas se denomina matriz transpuesta de A y se denota por AT . Esto es a1•1 a2,1

al,2 a2,2

al,n

al,1

a2,1

am,1

a2,n

al,2

a2,2

am,2

al,,.

a2,1I

a

AT=

A=

Ejemplo 3.5

Dada la matriz A, encuentre su transpuesta.

o [

m,n

3 5 2

3 6

,

~]

4

7 5

3

X

5

5

X

3

Solución

Una matriz cuadrada para la que AT ejemplo 2 3 1

=

A, recibe el nombre de matriz simétrica.

!J

y

son iguales, y por tanto A es simétrica. Si A Y B son dos matrices cuadradas, tales que AB = 1 = BA, se dice que B es la inversa de A y se representa generalmente como A-l.

Ejemplo 3.6

Demuestre que B es la inversa de A, si: 3 4

3

y

B

= [-~

-1

-i -~] O

1

Por


Solución

D

AB"

!] [-~ -~] [~

3

O 1 O

-3

4 3

-1

1 O

139

lineales

~] "1

Por tanto, A-l = B Para realizar los cálculos puede usarse Matlab o la TI-92 Plus

A=[l 3 3; 1 4 3; 1 3 4J B=[7 -3 -3; -1 1 O; -1 O 1J disp('I=A*B') I=A*B

[1,3,3;1,4,3;1,3,4J-ta [7,-3,-3;-1,1,0;-1,0,lJ-tb a*b-tI

En particular si A es diagonal; es decir, al,l

O

O

a2,2

O O

O O

O

O l/a2,2

O

O

l/al,l

O O

O O

, entonces A-l =

A= O

O

«:

l/a m,n

La demostración se deja como ejercicio para el lector. Es importante señalar que no todas las matrices tienen inversa. Si una matriz la tiene, se dice también que es no singular, y singular en caso contrario. Más adelante se ven métodos para encontrar la inversa de una matriz.

MATRIZ

PERMUTADORA

Una matriz, cuyos elementos son ceros y unos, y donde sólo hay un uno por cada fila o columna, se conoce como matriz permutadora o intercambiadora; por ejemplo, las matrices 1 O O son casos particulares de matrices intercambiadoras. El efecto de multiplicar una matriz permutadora P por una matriz A en ese orden es intercambiar las filas de A; al multiplicar en orden inverso, se intercambian las columnas deA.

140

Métodos numéricos

Multiplique arriba.

Solución


la matriz A del ejemplo 3.6 por la matriz permutadora

P de 3 X 3 dada

a) Cálculo de P A:

D

1 O O

[ [¡ !]

P

[¡

!] [!

A

!l

4 3 3

3.

e

A

Obsérvese que la matriz producto cambiadas b) Cálculo de A P 3 4 3

[¡

3 4 3

e es la matriz A con la primera

y segunda filas inter-

~] [; ;] 1 1 1

1 O O

D

P

Obsérvese que la matriz producto D es la matriz A con la primera y segunda columnas intercambiadas. Para realizar los cálculos puede usarse el siguiente guión de Matlab o la TI-92 Plus:

[1,3,3; 1,4,3; 1,3, 4]~ a {0,1,0;1,0,O;0,0,1]~p p*a~c a*~d

A={1 3 3; 1 4 3; 1 3 4] P={O 1 O; 1 O O; O O 1] disp ('C=P * A') C=P*A disp ('D=A * P') D=A*P

La matriz identidad es un caso particular de matriz permutadora y su efecto es dejar igual la matriz por la que se multiplica (ya sea por la derecha o por la izquierda). Este hecho, junto con el ejemplo 3.7, manifiesta que cuando aparece un 1 en la diagonal principal de una matriz permutadora, la fila o columna correspondiente de la matriz por la que se multiplique no sufre cambio alguno. Véase que hay un 1 en la posición (3, 3) de la matriz P y que la fila 3 y la columna 3 deA no sufrieron intercambio en los incisos a) y b), respectivamente, en el ejemplo 3.7.

rEi~'~tJ:S'

Sin multiplicar diga qué efecto tendrá sobre una matriz cualquiera A de 4 matriz: O O O 1

O O 1 O

~l

X

4 la siguiente

E

Matrices y sistemas sistemas de de ecuaciones ecuaciones lineales Matrices y lineales

Solución Solución

141

Análisis unos en las posiciones posiciones (1, 1) Y (3, 3) indican indican que que Análisis de de la multiplicación multiplicación P A . Los Los unos sufrirán efecto efecto 3.1guno. alguno. Por segunda y cuarta las filas 1 y 3 de A no sufrirán Por otro otro lado, lado, los unos unos de la segunda cuarta filas cuyas indican que que las filas filas 2 y 4 de A se intercambiarán intercambiarán cuyas posiciones posiciones son (2, 4) y (4, 2) indican (nótese fuera de de la la diagonal diagonal ocupan ocupan las posiciones posiciones (1, 2) Y (nótese que que en el ejemplo ejemplo 3.7, 3.7, los unos unos fuera (2, 1) y las filas 1 y 2 se intercambian). intercambian). El lector manera muy muy sencilla. lector puede puede generalizar generalizar estos estos resultados resultados de manera sencilla.

3.2 Vectores Vectores Las matrices matrices donde donde m > 1 y n = = 1 (es decir, decir, están una sola sola columna) Las están formadas formadas por por una columna) son llallamadas igual manera, manera, si m == 1 Y n >1, >1, se tiene tiene una una matriz matriz madas matrices matrices columna columna o vectores. vectores. De De igual vector. Los Los vectores vectores se denotarán denotarán con fila o vector. con las las letras letras minúsculas minúsculas en negritas: negritas: a, a, b, b, x, etc. etc. En doble subíndice para la identificación identificación de En estos estos casos casos no será será necesaria necesaria la utilización utilización de doble subíndice para sus elementos (en columna) columna) queda queda simplemente como: elementos y un vector vector x de m elementos elementos (en simplemente como:

xx==

Un como: Un vector vector y de n elementos elementos (en fila) queda queda como:

Por ejemplo, ejemplo, los siguientes siguientes vectores vectores están están en columna: Por columna:

oo O O O O O O O O estos en fila fila y estos [ O 1 O l, [ 3 5 7 2 ], [ O O O O O l. [010],[3572],[00000]. Obsérvese que que si se tiene tiene un vector vector columna, columna, la será un Obsérvese la transpuesta transpuesta será un vector vector fila fila y viceviceversa. versa.

Dado x = Dado

Obtener la transpuesta transpuesta de los vectores vectores columna Obtener columna y fila fila dados dados arriba. arriba.

142

Métodos numéricos

Solución

aplicados

m

r

a la ingeniería

13~ll lJ

= [1 00],

=

[3 105]

T

o o o o o [O 1 O]' =

El T

=

[00000]

[!l[

3 5 7 2]' =

m

m

[00000]'=

Como en el texto resulta generalmente difícil expresar un vector en columna, se usará algunas veces su transpuesta.

MULTIPLICACiÓN

DE VECTORES

Dado que los vectores son sólo casos particulares de las matrices, siguen las mismas reglas de multiplicación que éstas. Sea por ejemplo a = [al a2 ... an] y b" = [bl b2 ••• bn], el producto a b es:

a b = [al a2 ... all] 1X n

= al bl + a2 b2 + ... + an bll

1X 1 bn

n

X

1

El producto de a por b es el número real al bl + a2 b2 + ... + an bn, que también puede verse como una matriz de 1 X 1. Multiplicando en orden inverso bl b2 [al a2

ba= bll nX 1

se obtiene una matriz de n X n.

...

bl al b2 al

bl a2 b2 a2

bl < b2 «:

bn al

bn a2

bn

an] =

1X n

nXn

=;

Ej~

Matrices y sistemas

Ejemplo 3.10

Dados a

= [ 1 57]

Y bT

=

de ecuaciones

lineales

143

[O -2 3], obtener ab y ba

Solución = 1(0) + 5(-2) + 7(3) = 11

[1 57]

ab=

1

x3

1

x

3

x

1

1

y

b a =

0] -2

[

[1 5 7] =

3

[ 0(1) -2(1)

0(5) -2(5)

3(1)

3(5)

0(7)] -2(7) 3(7)

=

[

° °

-2 3

0J

-10 -14 15 21

Puede multiplicarse también un vector por una matriz y viceversa si las dimensiones son adecuadas. Para realizar los cálculos puede usarse Matlab o la TI-92 Plus.

a=[l b=[O;

....• a

[l,5,7]

5 7]

[O;-2,3]

-2; 3]

ab=a*b

a*b ....• ab

ba=b*a

b*a ....• ba

....• b

Ejemplo 3.11

.

Multiplique el vector a = [1 -23]

por la matriz B=

[0 -~

4

8 1

~]

Solución B

a

e

[1 -2 3] 1X 3

e

~]

4

[-!

8 1 3 X 3

los elementos de e se calculan como: 1(0) 1(4) 1(3)

+ + +

(-2) (-2) (-2)

(-1)

(8) (2)

+ + +

3(3) = 3(1)= 3(5) =

11 -9 14


[11 -9 14] 1X 3

144

Métodos

a=[l

numéricos

aplicados

a la ingeniería

-2 3]

[1,-2,3]--->a

B=[O 4 3; -1 8 2; 3 1 5] c=a*B

[0,4,3;-1,8,2;3,1,5] a*b--->e

·"D

Efectuar la multiplicación en orden inverso (B a) no es posible, por no ser conformes en ese orden. En cambio, sí puede multiplicarse B por algún vector columna d de tres elementos. Así: 4 8 1 3

PRODUCTO

X

PUNTO

0(1) + 4(0) + 3(2)] -1(1) + 8(0) + 2(2) [ 3(1) + 1(0) + 5(2) 3

3 X 1

3 X 1

DE VECTORES

Definición. Dados dos vectores a y b con igual número de elementos, por ejemplo n, su producto punto (o escalar), denotado por a . b, es un número real obtenido de la siguiente manera b¡ b2

al a2

a· b=

a¡ an

Si a

=

[!]

Solución

+ a2 b2+

...

+ an bn

(3.13)

bll

y b=

a .b

s,

=

[

-~] 2.5

, obtenga el producto punto.

2(-3) + 1(0) + 6(2.5)

=

9


1 6] b=[-3; O; 2.5]

[2,1,6]--->a

ab=a*b

a*b--->ab

a=[2

[-3;0;2.5]--->b

I In!

e

Ion:

Matrices yy sistemas sistemas de ecuaciones ecuaciones lineales lineales Matrices

145

Este producto producto punto punto así así definido definido tiene tiene las siguientes siguientes propiedades propiedades Este a) b) e) d)

a .b = = b . a conmutatividad. conmutatividad. a· (a + b) b) . e = = a . e + b . e distributividad. distributividad. (a a) . b = = a. (a . b) para para cualquier cualquier número número real real a (l.. Asociatividad. Asociatividad. (a. a) a- a ;:: ;::O ya· a = = O si y sólo sólo si a = = O. Positividad Positividad de la definición. definición. a· O ya·

(3.14) (3.14) (3.15) (3.15) (3.16) (3.16) (3.17) (3.17)

Sólo se demostrará demostrará la propiedad propiedad (a) y se dejarán dejarán las restantes restantes como como ejercicio ejercicio para para el Sólo lector. lector. Demostración de (a) Demostración

y bpn b· a = b¡ a¡ + b22a22 + ... + bpn Por conmutatividad de la multiplicación multiplicación de los números números reales reales se tiene tiene que que Por la conmutatividad

por tanto tanto y por

a b a·b v

= b·a b a = v

Enseguida se definirán definirán conceptos conceptos tan importantes importantes como como la longitud longitud de un vector, vector, el ángulo ángulo Enseguida entre dos vectores vectores cualesquiera cualesquiera y distancia distancia entre entre vectores vectores en función función del producto producto punto. punto. entre Cada una una de estas estas ideas ideas tiene tiene un significado significado bien bien definido definido en los vectores vectores de dos eleeleCada mentos en la geometría geometría analítica, analítica, y es razonable razonable pedir pedir que que cualquier cualquier definición definición que se mentos adopte se reduzca reduzca a la ya conocida. conocida. Con Con esto esto en mente, mente, se pueden pueden obtener obtener definiciones definiciones adopte aceptables extendiendo fónriulas correspondientes correspondientes de la geometría geometría analítica analítica a vectores vectores aceptables extendiendo las fórmulas elementos. de n elementos.

LONGITUD UN VECTOR VECTOR LONGITUD DE UN

La noción noción de longitud longitud para para vectores vectores de dos elementos elementos está está dada dada por por la siguiente siguiente definición: definición: La Sea x un vector vector cualquiera cualquiera de dos elementos, sil longitud longitud denotada denotada por por Ixl Ixl es el núSea dos elementos, mero mero real real no negativo* negativo"

I~ I.:.:.=!.:.!l Gráficamente se representa representa así Gráficamente

Figura 3.1 Interpretación Interpretación gráfica de la gráfica longitud de un longitud vector. vector. Se dice dice que que un número número real real es no negativo negativo cuando cuando s6lo s610 puede puede ser ser cero cero o positivo. positivo. • Se

(3.18) (3.18)

146


La ecuación puede escribirse términos del producto punto punto como: La ecuación 3.18 3.18 puede escribirse en términos del producto como:

¡-x:x IIxl= x l= ¡-X;X

(3.19) (3.19)

por tanto, tanto, tomarse tomarse como lo cual bien definido para vectores vectores de n elementos cual está está bien definido para elementos y puede, puede, por como longitud últimos. gitud de estos estos últimos. Definición. La norma) de un un vector vector x de n componentes, 1, está Definición. La longitud longitud (o norma) componentes, con con n ;::: ;:::: está dada por el número número real real no negativo. dada por negativo.** Ixl= ~ Ixl=~ Ixl Ixl =

JJxlxt + xixi ... + x,;

(3.20) (3.20)

Ejel

Ejemplo Ejemplo 3.13 3.13 Si a

= =

, encuentre norma. encuentre su norma.

Solución Solución Ilaa I = =

JJ 25

16 +9+ +16

= = 7.0711 7.0711

Para realizar realizar los cálculos puede usarse usarse el siguiente Plus. Para cálculos puede siguiente guión guión de'Matlab de'Matlab o la TI-92 TI-92 Plus.

a=[5 4] a=[5 3 3 4] Norma =n orm (a) Norma=norm (a)

[5,3,4]-4a [5 ,3, 4] -> a

II

.~

norm (a (a)) -> -4 norma norma norm

ÁNGULO ENTRE VECTORES ÁNGULO ENTRE VECTORES

Hay que recordar que tienen dos vectores de dos componentes, Hay que recordar que si se tienen dos vectores componentes, ambos ambos distintos distintos del vector cero, vector cero, la fórmula' fórmula' cos

ee

xx • y

Ixl IY I Ixl

(3.21) (3.21)

es una una consecuencia consecuencia inmediata inmediata de la ley de los cosenos. cosenos. Como Como la expresión expresión

x·y x'y IIxlx l I Y lr ''

está bien definida para vectores vectores distintos vector cero, parece conestá bien definida para distintos del del vector cero, de n componentes, componentes, parece conveniente usarla usarla como vectores de más más de dos veniente como definición definición del ángulo ángulo entre entre vectores dos componentes. componentes. Sin necesario probar probar primero primero que rango o codo minio de esta Sin embargo, embargo, sería sería necesario que el rango codo minio esta expresión expresión -usando vectores vectores x, y de n componentescomponentesintervalo cerrado cerrado [-1 [-1, , 1], para que así se -usando es el intervalo para que guarde primer miembro miembro de la ecuación guarde consistencia consistencia con con el primer ecuación 3.21.** • Se también como norma eucIideana eucIideana y algunos representan por por Lz Lz'. Se conoce conoce también como norma algunos autores autores la representan •• Recuérdese Recuérdese que la función tiene como rango el intervalo que la función cos cos tiene como rango intervalo [[-1,1, 1].

F vec

Matrices Matrices y sistemas sistemas de ecuaciones ecuaciones lineales

147

La demostración demostración está está fuera fuera de los objetivos objetivos de este este libro, libro, pero lector interesado interesado pueLa pero el lector pueencontrarla en Kreider Kreider et. et. al. * de encontrarla Definición. Si x y y son son vectores vectores distintos distintos del vector vector O, O, con con n componentes, componentes, el cosecoseDefinición. no del del ángulo ángulo entre entre ellos ellos se define define como: como:

cos

x'y x'y

()=--( )=---

Ixl Ixl I Y I

alguno de los vectores vectores es el vector vector cero, cero, se hace hace cos () () igual igual a cero. cero. Si alguno


x"T = = [ 2 -34 -34 1 ] Y yyTT = = [ -1 -1 242], 242], calcule calcule el ángulo ángulo entre entre ellos. ellos. Si x

Solución Solución cos () ()= cos =

2(-1 2(-1) ) + (-3) (-3) (2) + 4(4) 4(4) + 1(2)

= = 0.3651 0.3651

JJ 4 + 9 + 16 + 1 JJ 1 + 4 + 16 + 4

de donde donde () () = 68.58 68.58 Para realizar realizar los cálculos cálculos puede usarse Matlab Matlab o la TI-92 TI-92 Plus. Plus. Para puede usarse

x=[2 --3 3 44 1J x=[2 1J y=[ y=[ -1 2 2 4 4 2J 2J cct=(x*y')/(norm(x)*norm(y)) t=(x*y') / (norm(x)*n orm (y )) tteta=acos(ct)/pi*180 eta=acos (ct)/pi*180

[2,-3,4,lJ-+x [2 , -3 , 4 , lJ ->x [-1,2,4,2J-+y [-1 , 2 , 4 , 2J ->y dotp (x,y) ct dotp (x,y) / (norm(x)*norm(y)) (norm (x) *norm (y)) -> -+ct cos-1 (ct)/Jtl'180->t (ct)/JtI'180-+tetae ta cos-1

DISTANCIA ENTRE VECTORES DISTANCIA ENTRE DOS DOS VECTORES

Uno conceptos que Uno de los los tres tres conceptos que aún no se analiza analiza es el de distancia distancia entre entre dos vectores vectores de n componentes. componentes. De De nueva nueva cuenta cuenta esto esto se hará hará "copiando" "copiando" la definicióii definici0ñ dada dada en la geometría geometría analítica, analítica, donde donde la distancia distancia entre entre x y y es la longitud longitud del del vector vector ( x - y ) (véase (véase Fig. Fig. 3.2) 3.2).. Definición. Definición. La La distancia distancia entre entre dos dos vectores vectores x y y de n componentes componentes es 2l)

d(x, y) = I x - y I

definición definición que que satisface satisface las siguientes siguientes propiedades propiedades

yy 3.2 Figura 3.2 de Resta de vectores en el vectores plano. plano.

x

Kreider, Kuller, Kuller, Ostberg, Ostberg, Perkins. Introduction * Kreider, Perkins. An An lntroduction

10 Linear Addison-Wesley (1966). to Linear Analysis. Analysis. AddisonWesley (1966).

(3.22) (3.22)

lipa

148

la ingeniería ingeniería Métodos numéricos numéricos aplicados aplicados a a la Métodos

La distancia distancia entre entre dos vectores vectores es un número número real real no negativo que es cero cero si y sóa) La negativo que lo si se trata trata del mismo mismo vector; vector; es decir, decir, O Y d( x, y) y) = O O si y sólo sólo si x = y d( x, y ) ~ O

3.3

(3.23) (3 .23)

b) Es independiente independiente del del orden orden en que que se tomen tomen los vectores; vectores; esto esto es b)

d(x, y) == d(y, d(y, x) Finalmente, satisface satisface la desigualdad desigualdad del del triángulo, triángulo, conocida conocida en la geometría geometría en e) Finalmente, términos: la suma suma de las longitudes longitudes de los catetos catetos de un triángulo triángulo es mamalos términos: yor o igual igual a la longitud esto es yor longitud de la hipotenusa: hipotenusa; esto d(x, y) + d(y, d(y, z) ~ d(x,z) d(x,z) d(x,

Eje

para tres tres vectores vectores cualesquiera cualesquiera x, y y z. z. para

Calcule la distancia distancia entre entre x y Calcule

dadas por: yy dadas

= [O [O 35 xx"T = 3 5 1 ],

Solución Solución

-2 1 --33 1 ] yT == [ -2

Primero se obtiene obtiene x - y Primero

x-y= x-y=

m m -- UJ m m = =

La norma norma de este este vector vedar es: La

=J J 222 + 222 + 822 + 022 Ix- y I=

= [7i [Ti = = 8.4853, 8.4853, =

por tanto, tanto, la distancia distancia entre entre x y y es 8.4853 8.4853 unidades unidades de longitud. longitud. y, por Para realizar realizar los cálculos cálculos puede puede usarse usarse Matlab Matlab o la TI-92 TI-92 Plus. Plus. Para

X=[O 3 3 5 5 l} 1J x=[O y=[-2,l,-3,l] y=[-2,l,-3,lJ dist=norm dist=norm (x-y) (x-yL

[O,3,5,lJ ....• x [O,3,5,l}-+x [-2,l,-3,l} ....• y [-2,l,-3,l]-+y norm (x-y) (x-y) -+dist ....• dist norm

Obsérvese que que ninguno ninguno de estos estos tres conceptos conceptos tiene tiene representación geométrica cuando cuando el Obsérvese representación geométrica número de componentes componentes de los vectores vectores es mayor mayor de tres. número


Explore con con Mathcad, Mathcad, Matlab Matlab o algún algún software software disponible, disponible, las operaciones operaciones vistas vistas y Explore sus propiedades. propiedades. sus

Ejer

Matrices de ecuaciones ecuaciones lineales lineales M a t r ices y ssistemas istemas de

149

Independencia y ortogonalización ortogonalización de vectores 3.3 Independencia vectores Una expresión de la forma forma Una expresión (3.26) (3.26)

az, ... ,

donde al' a" ~, ... , a nn son son números son vectores elementos cada cada números re~es reales y xi' X" x2 ... ,, X Xnn son vectores de m elementos donde 2''... uno, llama combinación combinación lineal lineal de Íos los vectores . uno, se llama vectores xi' x" x22'··· '··· , x Xn ' n

¿La expresión expresión ¿La

combinación lineal? lineal? es una una combinación

Solución Solución

combinación lineal lineal de [ 1 043 043 ]T, ]T, [ -42 -42 1.65 1.65 Sí; es una una combinación lares 2.5,3 respectivamente. lares 2.5, 3 Y -7, respectivamente.

F JT y

con los esca[ 5 --2 2 O 1] T, con los esca-

II

A menudo elementos de un combinación lineal, lineal, tendrán dos subíndisubíndimenudo los elementos un vector vector Xi Xi de una una combinación tendrán dos ces; el primero indica la fila fila a que que pertenece segundo se refiere que correscorresces; primero indica pertenece y el segundo refiere al vector vector a que ponde, así ponde, así Xli X2i

Xi Xi

= =

dice que que un = [xi' .•• xm depende linealmente linealmente de un conjunto de vectores Se dice un vector vector xX = [x" Xx22'' ... xmF, un conjunto vectores F, depende elementos xi' ... xn ' si se pueden encontrar escalares al , ... a , tales que se , . . . de m elementos xl' x2'' ... pueden encontrar escalares al a a tales que , 22 n n cumpla la siguiente siguiente ecuación ecuación vectorial cumpla vectorial (3.27) (3.27) contrario, no existen escalares escalares que que satisfagan satisfagan tal ecuación, ecuación, x es un vector linealSi, por por el contrario, no existen vector linealmente ... , x¡¡'En otras palabras, linealmente dependiente dependiente de mente independiente independiente de Xl Xl x22'' ... xn ' En otras palabras, X X es linealmente xl, sólo si X combinación lineal lineal de xi' Xl, x22'··· '··· xn si y sólo X es una una combinación x" x22'··· '··· xll''

Dado conjunto de dos dos vectores dos elementos: elementos: Dado el conjunto vectores de dos y

demuestre que que el vector 8]T es linealmente linealmente dependiente dicho conjunto. conjunto. demuestre vector xTT = [O 8]T dependiente de dicho

Solución Solución

Es suficiente encontrar encontrar dos escalares escalares al al y aa22 tales que la combinación combinación al al Xl a22 x22 reproEs suficiente tales que Xl + a reproduzca a x. Por observación se advierte advierte que que los números al = = 1 Y a2 == 2 cumplen cumplen este este reduzca Por observación números al requisito. . quisito

150

Métodos

numéricos

aplicados

a la ingeniería

Generalmente, encontrar los escalares o la demostración de que no existen es un problema difícil que requiere una técnica específica, misma que se desarrolla más adelante.

INDEPENDENCIA

DE CONJUNTOS

DE VECTORES

Un conjunto de vectores dado Yl' Y2"" Yn' es linealmente dependiente si por lo menos uno de ellos es combinación lineal de alguno o todos los vectores restantes. Si ninguno lo es, se dice que es un conjunto linealmente independiente.

Sea el siguiente conjunto de cuatro vectores de tres elementos cada uno.

Determine si es linealmente dependiente o independiente.

Solución

Este conjunto es linealmente dependiente, ya que Y3 se obtiene de la combinación

Y Y4 se obtiene de combinar Y¡ y Y2 en la siguiente forma O.03~ -0.9 O

o

[

m

Ir +

0.3

gl in

Si se considera el conjunto formado sólo por Y, y Y2' se tiene que es linealmente independiente, ya que ninguno se obtiene multiplicando al otro por algún escalar. Cualquier conjunto que tenga el vector cero (vector cuyos componentes son todos cero) como uno de sus elementos, es linealrnente independiente, ya que dicho vector podrá obtenerse siempre de cualquier otro vector del conjunto por la combinación

o

x',i

O

X2,i

0=

=0

O

Xn,i

Ir gl

Un conjunto formado por un solo vector (distinto de O) es linealmente independiente.

Matrices Matrices yy sistemas sistemas de ecuaciones ecuaciones lineales

151

INTERPRETACiÓN GEOMÉTRICA DE LA INDEPENDENCIA LINEAL INTERPRETACiÓN GEOMÉTRICA INDEPENDENCIA LINEAL

Es conveniente punto de vista conveniente estudiar estudiar la independencia independencia lineal lineal desde desde el punto vista geométrico, geométrico, aunaunque esto para vectores que esto sólo valga valga para vectores de dos y tres componentes. componentes. Considérense Considérense los tres vectovectoejemplo 3.17 3.17 en el plano x-y (Fig. (Fig. 3.3). 3.3). Por Por la geometría geometría se sabe sabe que que dos vectores vectores res del ejemplo plano x-y que plano (por XI y x22 forman plano x-y). x-y) . Por que se cortan cortan forman forman un plano (por ejemplo ejemplo XI forman el plano Por tanto, tanto, es natural pensar que tiene un tercer tercer vector plano x-y, x-y, éste pueda obtenerse tural pensar que si se tiene vector del plano éste pueda obtenerse de alguna alguna XI y x22' ' aplicando paralecombinación por ejemplo ejemplo x33 de XI combinación de los que que se cortan, cortan, por aplicando la ley del paralelogramo. logramo. Si, por por otro lado, se tienen otro lado, tienen dos vectores vectores de dos componentes componentes linealmente linealmente dependiendependientes, esto vectores XI XI y x22 de la esto se manifiesta manifiesta geométricamente geométricamente como como paralelismo paralelismo (véanse (véanse los vectores Fig. 3.4). Es evidente evidente que estos estos vectores vectores paralelos forman un plano tercer vector plano y un tercer vector x33 Fig. 3.4). paralelos no forman que no sea paralelo ellos no podrá generarse con con una combinación lineal lineal de XI que paralelo a ellos podrá generarse una combinación XI y x22.. conclusión, la característica característica geométrica geométrica de dos vectores vectores linealmente linealmente independienindependienEn conclusión, que se cortan cortan en un cambio, dos dos vectores dependientes son son tes es que un punto. punto. En cambio, vectores linealmente linealmente dependientes paralelos. paralelos.

yy 10

3.3 Figura 3.3 Interpretación Interpretación geométrica de geométrica independencia independencia lineal en el plano. plano.

2

4

6

x

8

yy

Figura 3.4 3.4 Figura Interpretación Interpretación geométrica de geométrica dependencia dependencia lineal en el plano. plano.

x

152


CONJUNTOS ORTOGONALES DE VECTORES CONJUNTOS ORTOGONALES DI';: VECTORES

Ejel

Dos componentes son ortogonales o perpendiculares perpendiculares si el cocoDos vectores vectores de igual igual número número de componentes son ortogonales seno cero. De acuerdo con con esta esta definición, definición, el vector vector cero cero es ortoortoseno del ángulo ángulo entre entre ellos ellos es cero. De acuerdo gonal general, x y y son ortogonales si y sólo gonal con con cualquier cualquier otro otro vector; vector; en general, son ortogonales sólo si

x y o

= XI Yl YI + xX22 Y2 + .. = XI .... + xXnn Y YIlIl = = O,

derivada que derivada esta esta expresión expresión del hecho hecho que

_x_o.:....Y_ _Y_ cos () = cos = _x_o Ixl IYI Ixl A continuación continuación se generaliza generaliza la definición definición de ortogonalidad. ortogonalidad. conjunto de vectores vectores Xl' ... xn forma Un conjunto XI' x X22' ' ... forma un conjunto conjunto ortogonal ortogonal si n :{n, y :5n, 1~j:{n l~j :5 n

X Xii :# :#

O para para 1 ~ (3.28) (3 .28)

siempre que que i :f; ;f. j. siempre

Determine si los vectores vectores xXlI y x22 del son ortogonales. Determine del ejemplo ejemplo 3.17 3.17 son ortogonales.

Solución Solución

Son perpendiculares perpendiculares en el sentido sentido usual 10 que sigSon usual del del término término (véase (véase Fig. Fig. 3.3) 3.3) Y esto esto es 10 que significa la definición, definición, dada dada para para cualquier nifica cualquier número número de componentes. componentes.

¿El conjunto conjunto siguiente siguiente es ortogonal? ortogonal? ¿El

x, Solución Solución

ltl ~= m·m, ~= m m m· ~=

~=

que Sí, ya que XI XI

o

x22

== XlXI

o

x33

== x22

oo

x33 = =O

cambio, si se adiciona adiciona a este En cambio, este conjunto conjunto el vector vector

conjunto resultante resultante xl' xl' x22' ' x33' ' x44 no pues el conjunto no es ortogonal, ortogonal, pues x4 x2 = =1 1 ;f. :f; O O o o

Fi

Ortogo en el,

de ecuaciones ecuaciones lineales lineales Matrices yy sistemas sistemas de Matrices

153

Corrobore si el siguiente siguiente conjunto conjunto de vectores vectores es ortogonal ortogonal Corrobore

Solución Solución = ((-3) (2) Xl • x22 = 3) (2)

4(2) + 1(-2.0003) 1(-2.0003) = = -0.0003 -0.0003 + 4(2)

Obsérvese que que los vectores vectores son son "casi" "casi" ortogonales. ortogonales. Esto Esto ocurre ocurre con con frecuencia frecuencia y en los Obsérvese cálculos prácticos será preciso decidir con con qué qué cercanía cercanía a cero cero se aceptará aceptará que que un producproduccálculos prácticos será preciso decidir dos vectores vectores "es "es cero" cero" y, por tanto, que que los vectores vectores son son ortogonales. De nuenueto punto punto de dos por tanto, ortogonales. De denotará el límite límite de aceptación aceptación o de rechazo. valor que que tome tome e estaría en función función vo eE denotará rechazo. El valor E estaría del instrumento instrumento con con que que se lleven lleven a cabo cabo los los cálculos. cálculos. Por Por ejemplo, ejemplo, para una calculadocalculadodel para una nueve dígitos dígitos de exactitud exactitud e puede ser ser 10-4. Con Con e = 10-4 los vectores vectores de este este ejemra de nueve E puede E= ejemplo son ortogonales. ortogonales. Así Así pues, esta manera manera puede llamarse criterio criterio de plo no son pues, E usado usado de esta puede llamarse ortogonalidad. ortogonalidad.

ORTOGONALlZACIÓN ORTOGONALlZACIÓN

llegado al punto central de esta esta sección, sección, donde donde es posible construir un conjunto conjunto de vecSe ha llegado punto central posible construir tores ortogonales ortogonales (ortogonalización) (ortogonalización) a partir conjunto de vectores vectores linealmente linealmente indepenindepentores partir de un conjunto dientes. Enseguida Enseguida se considerará considerará uno uno de los métodos métodos más más difundidos, difundidos, la ortogonalización ortogonalización dientes. Gram-Schmidt, aunque aunque pueda pueda representar representar ciertas ciertas dificultades dificultades computacionales. computacionales. de Gram-Schmidt,

MÉTODO GRAM-SCHMIDT MÉTODO DE GRAM-SCHMIDT

lugar de empezar empezar con con el caso caso más más general, general, se introduCirá introducirá el proceso ortogonalizaEn lugar proceso de ortogonalización con con dos ejemplos; ejemplos; el primero tiene cuando cuando se toman toman dos vectores vectores XI Xl y x2 del plación primero se tiene plalinealmente independientes independientes y a partir ellos se forma conjunto ortogonal ortogonal el el y no x-y, x- y, linealmente partir de ellos forma el conjunto e2.. La figura 3.5 muestra muestra la manera manera natural natural de resolver resolver este este caso; caso; simplemente simplemente se toma toma el el 2 La figura = XI Xl Y e2 como como la "componente" "componente" de x2 perpendicular Xl' Así, Así, se escribe escribe e2 en la forma forma = perpendicular a XI' (3.29) (3 .29)

sólo queda queda determinar determinar (X1.2 (X,1,2 de manera manera que que la condición condición eel l y sólo ecuación ecuación

• e 22

O se cumpla. cumpla. Esto Esto da la =O (3.30) (3.30)

3.5 Figura 3.5 Ortogonalización Ortogonalización plano x-y. en el plano x-y.

" 154 154


finalmente: yy finalmente: X • ' el el X 0. =---22 Ct.12 12 =--el • el el ,, el·

(3.31) (3.3 1)

De De este este modo modo ee22 queda queda determinado determinado en en función función de de XI XI y y xx22' ' yy el el conjunto conjunto Xl' xI' Xx22 se se ha ha ortogonalizado. ortogonalizado.

Ejemplo 3.22

Ortogonalice xlxI Ortogonalice

[2 == [2

2]T Y Yxx22 == [3 [3 O]T O]T 2]T

Solución Solución y

con con

1, '

Ct. a

2]T. [3 O]T Of [2 2F· [2 2]T. 2]T. [2 2]T

-- -- - - ---=---_=_

1,2 -

6

3

4 +4 4+4

4

Sustituyendo queda: queda: Sustituyendo

e22 = O]T-- ~ = [3 O]T ~ [2 2F 2]T = = [3 O]TO]T - [~ [~ ~]T ~]T = = [1.5 -1.5F - 1.5]T Al graficar graficar estos estos vectores vectores se obtiene obtiene la siguiente figura siguiente figura

y

x

x, = [:] Figura 3.6 Ortogonalización Ortogonalización de vectores. vectores.

e2

Ort

- [1.5] -1.5 -

Obsérvese Obsérvese la perpendicularidad perpendicularidad de el y e2.· Para realizar realizar los cálculos cálculos puede puede usarse usarse Matlab Matlab o la TI-92 TI-92 Plus.

~ xl=[2; xl=[2; 2J 2J x2=[3; x2=[3; OJ OJ el=xl el=xl alfa12=(el '* x2) / (el ' *el) alfa12=(el'*x2)/(el'*el) e2=x2 - alfa¡2*el e2=x2-alfa:{.2*el

[2;2J~xl [2 ; 2J .... xl [3;OJ~x2 [3 ; OJ .... x2 x l=+eelI xl"" dotP(el,x2)/dotP(el,el)~a12 dotP (el , x2) / dotP (el, el) .... a12 x2-a12*el~e2 x2 - a12*el .... e2

r:x:--

Matrices y sistemas

de ecuaciones

lineales

155

Como segundo ejemplo se ortogonalizará el conjunto arbitrario xl' x2' x3 de vectores lineales independientes de tres componentes. El procedimiento es esencialmente igual al que se usó antes, y se empieza escogiendo e¡ = Xl' El segundo paso es determinar e2 de acuerdo con el par de ecuaciones e2 • el =

O,

(3.32)

e2 = x2 - a¡,2 e¡

de las que se obtiene nuevamente que a¡,2=---

X2'

el

(3.33)

el • el

Obsérvese que e2 :;:. O; de lo contrario se cumpliría la primera de las ecuaciones 3.32 y en la segunda se tendría que x2 = al,2el = al,2 xl' O sea que x2 estaría en función de xl' lo cual es imposible por la independencia lineal de XI y x2. Para el tercer vector se recurre nuevamente a una representación geométrica, en donde se verá que el proceso de ortogonalización puede completarse tomando e3 como la componente de x3 perpendicular al plano formado por los vectores el y e2 (Fig.3.7).* De esto se tiene

al,3e¡ -

e3 = x3 -

y se puede encontrar

al,3

(3.34)

~,3e2

y ~,3 por medio de las condiciones de ortogonalidad e¡ • e2 = el • e3 = e2 • e3 =

O

I

- -

I I I -~--=ii-l /'

Figura 3.7 Ortogonalización en el espacio

x-y-z. Multiplicando en forma punto los dos miembros de la ecuación 3.34 por e2, se obtiene el par de ecuaciones e3

el

O

x3

e¡

a1,3e¡

e¡

~,3e2

e¡

e3

e2

O

x3

e2

al,3e¡

e2

a2,3e2

e2

el

Y después por

(3.35)

o bien

• Recuérdese

x3

el

=

al,3 el • el

x3

e2 =

a2,3 e2 • e2

que dos líneas que se cortan solamente en un punto forman un plano.

(3.36)

156

Méto d os n u m é r ico s aplicados apl ic a dos a a la geniería Métodos numéricos la in ingeniería

resolviendo para para resolviendo

para y para

se tiene tiene el x33• • el

= e-;e-' =e-:e' 1

1

con esto esto termina termina la ortogonalización ortogonalización del conjunto conjunto xl' xl' xx22' xx33'. y con

Ortogonalice los los vectores vectores Ortogonalice

Solución Solución Xl' == Xl'

el el

== x22 -

e 22

a ll,2,2 el' el'

Yy

e2' e33 = = x33 - aal,3l e,3le l - az,3 ~,3e2'

,,--~-

- -- -- -/o -'1

-

-

//

I

/ / /

//

/ / / /

I

/

I

I

x3 ='11, 1, l]T /

- .11 1I

I

I T e~ [-0.5,0.5, O] e~ = [-0.5,0.5,

J .../

/ /

I

II

-'-

~r-

~

/ /

/

I

/ /

I

x22 = [O, 1, O]

T T

/ /

/ / //

Figura 3.8 3.8 Ortogonalización Ortogonalización espacio. en el espacio.

/~

~-

I

/ /

T

/

/ / / /

I

//

=

[1, 1, OF

LI'_ L"_ / / / Xl

donde donde

a¡,2 a l ,2

=

el

a a l,3' ,3' y az,3 ~,3

se obtienen obtienen de las ecuaciones ecuaciones el x2• • el a¡,2=~' 1,2 - el. el1 ' ¡

a

- - --

. x

••

a

= 1,

el el

-----el3 a1,3 l,3 - el· · el el '

Al verificar verificar los los cálculos cálculos se llega llega a

all,2,2 = = 1/2,

a¡,3 l ,3 =

az,3 ~,3

== O

y sustituyendo sustituyendo e¡ el

= [11 [11

O]T, O]T,

e22

= [-1/21/2 [-1/21/2 O]T, O]T, e33 = [O 01 ]T [O 01 ]T

Para realizar los los cálculos cálculos puede puede usarse usarse Matlab Matlab o la la TI-92 TI-92 Plus. Plus. Para realizar

Matrices y y sistemas sistemas de de ecuaciones ecuaciones lineales lineales Matrices

157

.:;. xl=[1; 1; OJ OJ xl=[l; 1; x2=[0; 1; O] O] x2=[0; 1; x3=[l; 1 x3=[l; 1;; 1] lJ el=xl el=xl alfa12=(el'*x2)/(el'*el) alfa12=(el'*x2)/(el'*el) e2=x2-alfa12*el e2=x2alfa12*el alfa13=(el'*x3)/(el'*el) '*el) alfa13=(el'*x3)/(el alfa23= (e2'*x3) (e2'*x3) / (e2'*e2) (e2'*e2) alfa23=

[l;l;OJ->xl [l ; l ; O]-+xl [O;; 1 1;OJ->x2 [O ; 0]-+x2 [1;; 1 1;; 1] 1]->x3 [1 -+ x3 xl->el xl-+el dotP(el,x2) ->a12 dotP (el , x2) /dotP(el,el) /dotP (el , el) -+ a12 x2-a12*el->e2 x2 - a12*el-+ e2 dotP(el ,x3) ,x3) /dotP(el ,el) -+a13 ->al3 dotP(el /dotP(el ,el) dotP(e2,x3)/dotP(e2,e2j->a23 dotP(e2,x3)/dotP(e2,e2j-+a23 x3-a13*el-a23*e2->e3 x3-al3*el - a23*e2-+ e3

e3=x3-alfa13~el-alfa23*e2 e3=x3-alfa13*el-alfa23*e2

Una vez vez realizado realizado lo anterior, caso general general de ortogonalizar ortogonalizar un conjunto conjunto Una anterior, se pude pude pasar pasar el caso vectores linealmente independientes xl' xl' x22' ... ... , xI! x" de n componentes componentes cada cada uno. uno. PriPrilinealmente independientes de n vectores = x22 -a mero mero se efectuará efectuará el el = = Xl' xl' después después ee2= -al,2l ,2 el' el' donde donde a l,2,2 se escoge escoge de manera manera que que el el . e2 = = O. De aquí aquí que que De

al,2

X2 •

=

el

--e-:-e ' I

I

independencia lineal lineal de XI XI y x2 implica que e22 ::f:. -:f. O. O. yY la independencia 2 implica que Unicamente queda queda por por demostrar demostrar que que este este proceso proceso puede continuar hasta hasta obtener obtener un Unicamente puede continuar conjunto que se llegó conjunto ortogonal ortogonal el' el' e2,, .. ... . en' e". Para Para ello, ello, supóngase supóngase que llegó al conjunto conjunto ortogonal ortogonal el' el' con m < n. Para Para continuar continuar un paso paso más más efectúese efectúese e22,, ...•• • , emm con

determínese al al m+l' ~ ~ m+1 m+1... m+l' de manera manera que que eem sea ortogonal ortogonal a cada cada elemenelemeny determínese . . . , am m m+l' m++11sea del conjunto conjunto e'l' e'l' ee2, •.. ... "',e . Consecuentemente el conjunto de ecuaciones em Consecuentemente conjunto ecuaciones es to del m el Xm m++11 • el

a al,m+1 (el· · el) el) l •m + 1 (el

xm+ll • e2

~,m+1 (e22 • e22)) ~.m+l

= = O, = O, =

aam,m+1 = O, O, m)) = m • • em m •m + 1 (em por tanto: tanto: y por

al . m+1 =

X m+ 1 • el e e ,~. m+1 l· I

=

x m+ 1 • e2 e e , ... , 2· 2

a m, m+ 1 =

x m + 1 • e", e e m· m

que determinan determinan em+ l' De nuevo, nuevo, la independencia independencia lineal lineal de XI' XI' x22'·'· .. .. , xm implica que que em+ I que I . De m++ l1,. implica -:f. O. O.Por tanto, el proceso proceso de ortogonalización ortogonalización se ha aumentado aumentado en un paso paso y con con el mismo mismo ::f:. Por tanto, argumento puede continuarse hasta hasta tener tener m = = n. Lo Lo anterior anterior queda queda condensado condensado en el siargumento puede continuarse guiente teorema. teorema. guiente

TEOREMA T EOREMA 3.1

Sean XI' conjunto de vectores vectores linealmente linealmente independientes independientes de n Sean XI' x2' .•... . , x"' un conjunto componentes cada cada uno. uno. A partir partir de ellos ellos se puede puede construir construir un conjunto conjunto componentes ... , en ortogonal ortogonal el el' ' e2,,··· en de la siguiente siguiente manera manera (3.37) (3.37)

158

Métodos numéricos


y 1 :s; t

s: n-l

donde

a

e. e¡. e¡

x.

-

1·

1+

(3.38)

I

i, i+l -

Pa Ortogonalice el siguiente conjunto de vectores lineal mente independientes

XI=

m

[H

X2 =

X3 =

m

PA PA PA

Solución e2 = X2 - al,2 el'

el = xi'

~

~"

donde:

x2• el aI2=--, el • el

Sustituyendo

e2 =

mm m [~J

6 5

PA

N(

m ~m PJ _6/5

e3 = X3 - al,3 el -

a1,3 =

x3 • el el·

el

m·m

m [~J

3 5 '

a2,3

e2,

x

a2,3 =

3

donde

m ·[tJ [~]['~

•e

2

e2• e2

_6/5

35 145

_6/5~

Sustituyendo

e, = [:]

3 -5

[2J O 1

- ~ 145

[ ~J 2

-

_6/5

-

[-"'' ] 15/29 20/29

Para los cálculos puede auxiliarse del guión del ejemplo 3,23, con los cambios pertinentes,

Matrices y sistemas Matrices y sistemas de ecuaciones ecuaciones lineales lineales

159

presenta un algoritmo para ortogonglizar ortogon~lizar un conjunto vectores A continuación continuación se presenta algoritmo para conjunto de n vectores uno por por el método método visto. visto. de n componentes componentes cada cada uno

ALGORITMO ALGORITMO

3.2 Ortogonaliz8ción Ortoqobanzación de Gram-Schmidt Gram-Schmidt 3.2

Para vectores linealmente uno, proporcionar proporcionar los Para ortogonalizar ortogonalizar un conjunto conjunto de N vectores lineal mente independientes independientes de de N componentes componentes cada cada uno, los DATOS: El número número N y los vectores vectores xl,x2, xl,x2, ... DATOS: ... ,xN. ,xN. RESULTADOS: conjunto de vectores ortogonales el, e2, e2, ... ... ,eN. ,eN. RESULTADOS: El conjunto vectores ortogonales PASO 1. PASO P.~_SO2. P.'\ SO 2. PASO 3. PASO

Hacer el=x1. e1=xl. Hacer Hacer Hacer 1=1. Mientras 1 IS ::;N los pasos Mientras N - 1, repetir repetir los pasos 4 a 10. PASO 1) = x (1 PASO 4. 4. Hacer Hacer e (1 (1 + +1) (1 + 1). PASO 5. Hacer Hacer J = 1. PASO PASO 6. 6. Mientras Mientras J S ::;1, PASO 1, repetir repetir los pasos pasos 7 a 9. PASO 7. Hacer a ex (J, 1 I + 1) = Hacer PASO (1 + 1) •. e (J))/(e (J))/(e (J) •. e (J)). (x (1 PASO 8. Hacer e (1 (1 + 1 ) = e (1 (1 + 1) Hacer PASO (J, 1 I + 1 ) * e (J). -- aex (J, PASO 9. Hacer J = J + 1. PASO Hacer PASO 10. Hacer Hacer 1 I =1 I +1 PASO PASO II.IMPRIMIR ll.lMPRIMIR los el, e2, ..... . , eN eN y TERMINAR. TERMINAR. PASO los vectores vectores el, NOTA: indica producto escalar de dos dos vectores. NOTA: En el paso paso 7, el punto punto indica producto escalar vectores. escalar que que multiplica vector e (J) y la resta En el 8, aex (( J, I1 + 1) es un escalar multiplica al vector resta es vectorial. vectorial. 1,4, 7 Y 8 se trata asignaciones de todos los componentes componentes de un vector otro. trata de asignaciones todos los vector a otro. En los pasos pasos 1,4,

SUGERENCIA: Es recomendable con un programa desarrollado en un lenguaje alto nivel SUGERENCIA: recomendable trabajar trabajar con programa desarrollado lenguaje de alto nivel (véase Probo 3.14) algoritmo 3.2 3.2 o en un pizarrón 3.14) basado basado en el algoritmo pizarrón electrónico electrónico (véase (Mathcad, por ejemplo) para evitar cálculos cálculos y analizar analizar la ortogonalización ortogonalización más (Mathcad, por ejemplo) para evitar más finamente. finamente.

Una aplicación importante importante de los resultados obtenidos es determinar determinar la independencia independencia o deUna aplicación resultados obtenidos pendencia lineal de un conjunto conjunto dado dado de vectores. Para esto esto se partirá conjunto lineallinealpendencia lineal vectores. Para partirá de un conjunto mente dependiente particular, obsérvese qué qué ocurre ocurre en el proceso ortogonalización. mente dependiente particular, obsérvese proceso de ortogonalización. Sean XI = [1 2]T 2]T Y x22 = = [[- 2 -4] T.T. Obviamente Obviamente ~ = --22 XI Xl = ~ = Xl Sean Efectuando ell== XI = [1 [1 2] T Y Efectuando Xl = _

X el x2 • el

_

. T

el = [-2 -4] r -e22 -= x2 x 2 - ~~ el

= [l- 2 - 4 =

FF

(-2 ) [1

-4F' [1 [1 2P 2F [-2 -4]T' T [1 2]T. 2F' [1 [1 2F 2F [1 [1 2] 2F [1

= [O [O O]T O]T 2]T =

y, por =O O por tanto, tanto, e22 = linealmente dependientes dependientes cualesquiera, cualesquiera, al aplicar aplicar el proceso Si XI XI Y x22 son vectores vectores linealmente proceso de ortogonalización se tiene: ortogonalización tiene:

160

Métod os numéricos plicados a aplicados a la ingeniería ingeniería Métodos numéricos a

eel' . el e tanto, e22 = O Y I e22 I = O. pero pero _-- 1 _ 1 = 1, por por tanto, O. el' el' el

Generalmente, para para determinar determinar si un conjunto conjunto dado dado XI' Xl' X2' ' ..... . , x" XII es linealmente linealmente dependepenGeneralmente, 2 diente o independiente, independiente, se le aplica aplica el proceso proceso de ortogonalización ortogonalización de Gram-Schmidt. Gram-Schmidt. SupónSupóndiente gase que se han obtenido obtenido en dicho dicho proceso proceso el' el' e 2 e¡,, a partir partir de xl' xi' x 2 Xi. Si al querer querer gase ... , e 2,,... 2'' ...... , Xi' i + resulta que I e + 1= O, o en términos prácticos su cercanía a cero satisface un criobtener obtener ee¡+l resulta e¡+l O, términos prácticos cercanía cero satisface crii 1 i 1 terio terio de ortogonalidad ortogonalidad prestablecido prestablecido I ei+l e¡+ll l < €, E, el vector vector Xi x¡ + I1 es linealmente lineal mente dependiente dependiente de los vectores . . , Xi; como vectores xl' xl' x 2 como consecuencia, consecuencia, el conjunto conjunto dado dado es linealmente linealmente dependiendependien2'' .... por el contrario, contrario, se obtienen obtienen el' el' e e2, •.. •.. , en en tales tales que I ejj 1> I > €e para para 1 -::;'j -::;, -::;,n, n, el conjunto conjunto te. Si, por en cuestión cuestión es linealmente linealmente independiente. independiente.

Analice si los siguientes Analice siguientes vectores vectores son son linealmente linealmente independientes. independientes.

x, = Solución Solución

llnn llnn ~= III x, x,==

~=

Se aplica aplica el proceso proceso de Gram-Schmidt Gram-Schmidt

=0

lo cual implica que cual implica que x22 es linealmente linealmente dependiente dependiente de Xl' Xl. El conjunto conjunto es linealmente linealmente dependependiente. diente. Sin Sin embargo, embargo, el proceso proceso de ortogonalización ortogonalización puede puede continuar continuar para para ver ver si x3 es linealmente nealmente dependiente dependiente de X xl I

Matrices y sistemas

de ecuaciones

Obsérvese que en el cálculo de e3 se ignora a e2. Como e3 ::F- 0, xI y dependientes. Para realizar los cálculos puede usarse Matlab o la TI-92 Plus.

x1=[0; 5; 5; O}; x2= [ O; 1; 1; O] x3=[1; 1; 1; 1] e1=x1 a1fa12= (el '*x2) / (el '*e1) e2=x2-a1fa12*e1 aifa13=(el'*x3)/(e1'*e1) if norm (e2) >= 1e-5 aifa23=(e2'*x3)/(e2'*e2) e3=x3-aifal3*e1-aifa23*e2 eise . e3=x3-aifal3*e1 end

x3

lineales

161

son lineal mente in-

e3_25 () Progm [0;5;5;0]->xl : [0;1;1;0]->x2 [1;1;1;1]->x3 : CirIO xlr+e I : Disp el : Pause dotP(e1,x2)/(dotP(e1,el)->a12 x2-a12*e1->e2 : Disp e2 : Pause dotP (el ,x3) / (dotP (el ,el) ->a13 If norm(e2) >= lE-5 Then dotP(e2,x3)/(dotP(e2,e2)->a23 x3-a13*e1-a23'"e2->e3 Eise x3-al3*el->e3 EndIf Disp e3 EndPrgm

RANGO

El número de vectores linealmente independientes de un conjunto dado recibe el nombre de rango o característica del conjunto. Así, el conjunto del ejemplo 3.25 tiene un rango de 2. Para un conjunto de m vectores, cada uno de n componentes, el rango puede ser como máximo igual al menor de m o n.

RANGO

DE UNA MATRIZ

Una matriz puede verse como un conjunto de vectores; más claramente, la matriz.

a2,1

al,2 a2,2

am•l

a",.2

al,l

A=

anz,n

r"

162

Métodos numéricos


se puede tratar como un conjunto de n vectores columna de m componentes cada uno (o bien m vectores fila de n componentes cada uno); es decir, como A = [x¡ X2 ... Xn l donde al•l a2,1 xl=

x2

al,2

al,n

a2,2

a2,n

X11 =

=

<:

am,2

am,l

o como: Yl Y2

A= YII/

donde Y¡

=

[al,l

al,2'"

al,fl

l,

Y2

=

[a2,1

a2,2'"

a2,,,

l ,... ,YI1l =

[am,l

am,2'"

am,1l

l

En estas condiciones puede hablarse del rango de una matriz, en donde el rango de una matriz A está dado por el numero máximo de vectores columna o vectores fila, linealmente independientes: Así la matriz

A =

~~

I II

cuyas columnas son los elementos del conjunto dado en el ejemplo 3.25, tiene rango 2. Cuando el rango de una matriz cuadrada de orden n es menor que n, se dice que la matriz es singular. Lo cual significa también que su determinante es cero (véase Probo 3.18). Si las columnas de la matriz son "casi" linealmente dependientes, recibe el nombre de casi singular o mal condicionada (véase sistemas de ecuaciones mal condicionadas, Seco 3.4). En esta sección se ha considerado una serie de conceptos teóricos que, además de su interés por sí mismos, forman un marco que permitirá explicar de manera lógica ciertos algoritmos importantes de las matemáticas y también conceptos de existencia y unicidad de las soluciones de los problemas que resuelven dichos algoritmos.

3.4 Solución de sistemas de ecuaciones lineales Gran número de problemas prácticos de ingeniería se reduce al problema de resolver un sistema de ecuaciones lineales. Por ejemplo, pueden citarse la solución de sistemas de ecuaciones no lineales, la aproximación polinomial, la solución de ecuaciones diferenciales parciales, entre otros .

• Puede demostrarse que el número máximo de vectores columna lineal mente independientes es igual al número máximo de vectores fila linealmente independientes.

de una matriz A,

-- - ·---------------------------------~~=~="Rlliilii


o (o

lineales

163

Un sistema de m ecuaciones lineales en n incógnitas tiene la forma general

1

+ +

al,lxI a2,IxI

al,2x2 a2,2x2

+ +

+ +

al,nx"

b¡

a2,I1xn

b2

(3.39)

+

am,)x¡

am,2x2

+ ... +

«;»,

bm

Con la notación matricial de puede escribir la ecuación anterior como: a¡,¡

a¡,2

...

a2,)

a2,2

... a2,II

a¡,1l

bm

... am.1l

y concretamente como A x = b. Donde A es la matriz coeficiente del sistema, x el vector incógnita y b el vector de términos independientes. Dados A y b, se entiende por resolver el sistema (Ec. 3.39) encontrar los vectores x que lo satisfagan. Antes de estudiar las técnicas que permiten encontrar x se expondrán algunas consideraciones teóricas.

EXISTENCIA

y UNICIDAD

DE SOLUCIONES

Si b es el vector cero, la ecuación 3.39 es un sistema homogéneo. Si por el contrario, b "# O,el sistema es no homogéneo. A continuación se define la matriz aumentada B, formada con los elementos de la matriz coeficiente A y los del vector b de la siguiente manera: al,)

a¡,2

al,/Z

b¡

a2,)

a2,2

a2,/I

b2

=[Alb]

B= am,l

am,2

<:

bm

Si el rango de la matriz coeficiente A y de la matriz aumentada B son iguales, se dice que el sistema (Ec. 3.39) es consistente. Si no ocurre esto, el sistema es inconsistente (por tanto, un sistema homogéneo siempre es consistente). Un sistema inconsistente no tiene solución, mientras que uno consistente tiene una solución única o un número infinito de soluciones, según como sea el rango de A en comparación con el número de incógnitas n. Si el rango de A es igual al número de incógnitas, la solución es única; si el rango de A es menor que dicho número, hay un número infinito de soluciones (véase Fig. 3.9).

164

Métodos

numéricos

aplicados

a la ingeniería

Sistemas de ecuaciones lineales A x = b

Rango A

* rango B

Ejer

RangoA

I

rango B

I

Inconsistente

I

=

Consistente

I

~

~

I Sin solución

I

Rango A

11

Rango A < n

I

I

Figura 3.9 Solución de sistemas de ecuaciones lineales.

Ejemplo 3.26

=n

Número infinito de soluciones

Solución única

Sea el sistema 2x,+4x2=6 3 x, + 6 x2 = 5 La matriz aumentada es:

~J

4

I

6 Puede verse fácilmente que: rango de A sistema no tiene solución. Si el sistema es homogéneo

=

1, rango de B

=

2; como rango A

:#=

rango B, el

O O,

2x, + 4 x2 3 xl + 6 x2 la matriz aumentada es:

D

4

6

I

~J

y rango A = 1, rango B = 1, rango A < 2 = n; en este caso existe un número infinito de so-

luciones. Para realizar los cálculos puede usarse el siguiente guión de Matlab:

~ A=[2 4; 3 6] rangoA=rank(A)

B=[2 4 6; rangoB=rank

3 6 5] (B)

Matrices y sistemas

Ejemplo 3.27

de ecuaciones

lineales

165

Sea el sistema 2 xI + 3 x2 + X3 O xI + 2 x2 + x3 xI + O x2 + x3 L

O 1

O,

donde la matriz aumentada es:

[~

3 2 O

1 1 1

Obsérvese que la matriz coeficiente son los vectores del ejemplo 3.24, que son linealmente independientes y, por tanto, rango A = 3. Al aplicar el método de Gram-Schmidt para ortogonalizar el vector de términos independientes se observa que es linealmente dependiente y, por tanto, rango B = 3. El sistema es consistente y como rango A = número de incógnitas = 3, puede esperarse solución única del sistema. Esta comprobación se deja como ejercicio para el lector.

MÉTODOS

DIRECTOS

DE SOLUCiÓN

El prototipo de todos estos métodos se conoce como la eliminación de Gauss y se presenta a continuación.

ELIMINACiÓN

,el

DE. GAUSS

Considérese un sistema general de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas. + aJ•2xZ

+ a1,3x3

b¡

a2,¡x¡ + a2,2xZ + aZ,3x3

bz

a3,¡x¡ + a3,Zx2 + a3,3x3

b3

al,lx¡

(3.40)

Como primer paso, se reemplaza la segunda ecuación con lo que resulte de sumarle la primera ecuación multiplicada por (-az/a¡). De manera similar se sustituye la tercera ecuación con el resultado de sumarle la primera ecuación multiplicada por (-a3'/aJ,J)' Esto da lugar al nuevo sistema a¡,¡x¡

+ aJ,zxz

+ a1,3x3

a'

z,zXz +

a'

3,ZX2

a'2,3x3

+ a' 3,3X3

b¡

b' 2 b' 3

(3.41)

en donde las a' y las b' son los nuevos elementos que se obtienen de las operaciones ya mencionadas, y en donde x¡ se ha eliminado en la segunda y tercera ecuaciones. Ahora, multiplicando la segunda ecuación de 3.41 por (-a'3,z1a'Z,Z) y sumando el resultado a la tercera ecuación de 3.41, se obtiene el sistema triangular b¡

b' z b" 3

(3.42)

166

Métodos numéricos

aplicados

a la ingeniería

donde a"33 y b"3' resultaron de las operaciones realizadas y x2 se ha eliminado de la ter:, \ cera ecuacion. El proceso de llevar el sistema de ecuaciones 3.40 a la forma de la ecuación 3.42 se conoce como triangularización. El sistema en la forma de la ecuación 3.42 se resuelve despejando de su última ecuación x3' sustituyendo x3 en la segunda ecuación y despejando x2 de ella. Por último, con x3 y x2 sustituidas en la primera ecuación de 3.42 se obtiene xI. Esta parte del proceso se llama sustitución regresiva. Antes de ilustrar la eliminación de Gauss con un ejemplo particular, nótese que no es necesario conservar xl' x2 y x3 en la triangularización y que ésta puede llevarse a cabo usando solamente la matriz coeficiente A y el vector b. Para mayor simplicidad se empleará la matriz aumentada B.

= [A

lb]

Con esto se incorpora la notación matricial y todas sus ventajas a la solución de sistemas de ecuaciones lineales.

Ejemplo 3.28

Resuelva

por eliminación de Gauss el sistema 4xI 2x1

9x2 4x2 x2

XI

Solución

+ 2x3 + 6x3 + 3x3

5 3 4

(3.43)

La matriz aumentada del sistema es:

[~

2 6 3

-9 --4 -1

n

(3.44)

Triangularización Al sumar la primera ecuación multiplicada por (-2/4) a la segunda, y la primera ecuación multiplicada por (-1/4) a la tercera, resulta

[~

5]

-9 0.5

2

5

0.5

1.25

2.5

2.75

(3.45)

Obsérvese que en este paso la primera fila se conserva sin cambio. Sumando la segunda fila multiplicada por (-1.25/0.5) a la tercera se obtiene la matriz'

[~

-9 0.5 O

2 5 -10

o.~l 1.5

que en términos de sistemas de ecuaciones quedaría como

* Nótese que los vectores columna

de A se han ortogonalizado

en la triangularización.

(3.46)

Matrices Matrices y sistemas sistemas de ecuaciones ecuaciones lineales

5 0.5

r-

Un proceso proceso de sustitución regresiva produce produce el resultado resultado buscado. buscado. La La tercera tercera ecuación Un sustitución regresiva ecuación de 3.47 valor de x33 = 3.47 da el valor = -0.15; -0.15; de la segunda segunda ecuación ecuación se obtiene obtiene entonces: entonces:

0.5 x22

lIaes bo ea-

(3.47) (3.47)

1.5

se uax3

167

= =

0.5 - 5x33

= =

1.25

por tanto tanto x22 = y por = 2.5 finalmente al sustituir sustituir x22 y x33 en la primera ecuación de la forma forma 3.47 3.47 resulta finalmente primera ecuación resulta

4x 4xI I = = 5 + 9 x22 -2x -2x3 3 = = 27.8, 27.8, de modo que XI 6.95 modo que XI = = 6.95 Con la sustitución sustitución de estos estos valores sistema original exactitud de los Con valores en el sistema original se verifica verifica la exactitud resultados: resultados: Para cálculos puede siguiente guión guión de Matlab: Para realizar realizar los cálculos puede usarse usarse el siguiente Matlab:

sis-

43)

4] A=[4 -9 2 5; 2 -4 6 3; 1 -1 3 4] A(2,:)=A(2,:) - A(l, A(1,:)*A(2,1)IA(1,1); A(2, :)=A(2,:) :)*A(2,1)IA(1,1); A(3, :)=A(3,:) - A(1, A(1, :)*A(3,1)IA(1,1); A(3, :)=A(3,:) :)*A(3,1)IA(1,1); A A(3, :)=A(3,:) - A(2,:)*A(3,2)IA(2,2); A(2, :)*A(3,2) lA (2,2) ; A(3,:)=A(3,:) x (3) x (3) =A(3, 4) lA lA (3,3) (3,3) ; (2, 4) -A (2,3)*x x (2) (2) = = (A (A(2, -A(2,3) *x (3)) (3)) lA lA (2,2) (2,2) ; (1, 4) -A (1,2: x (1) = = (A (A(1, (1,2: 3) *x (2: (2: 3)) 3)) lA lA (1,1)

También puede-ebtenerse solución directamente directamente con con las instrucciones instrucciones siguientes: siguientes: También p~~,de'obtenerse la solución 44)

ión

.45)

.z*

A= [4 -9 -9 2; 2 -4 6; 6; 11 -1 -1 3] 3] A= [4 2 -4 b=[5; 3; 4] b=[5; 4]

simu1t([4,-9,2;2,-4,6;1,-1,3], simu1t([4,-9,2;2,-4,6;1,-1,3],

[5; 3; 4]) [5; 4])

x=A\b

Como producto secundario de este este trabajo, calcular fácilmente fácilmente el determinante determinante Como producto secundario trabajo, se puede puede calcular matriz A del del sistema sistema original. original. La coeficiente A pasa forma original original a la de la matriz La matriz matriz coeficiente pasa de la forma matriz superior: matriz triangular triangular superior:

[~ [~ -J] -9

0.5

(3.48) (3.48)

O

46)

mediante operaciones que, de acuerdo acuerdo con con las reglas determinantes, no alteran alteran el vamediante operaciones reglas de los los determinantes, lor de lA lA 1.1.El determinante de la ecuación 3.48 es sólo sólo el producto elementos de la El determinante ecuación 3.48 producto de los elementos lor diagonal principal, que el resultado diagonal principal, de modo modo que resultado es lA I = = 4(0.5)(-10) lA 4(0.5)(-10) condicionadas (Sec. (Sec. 3.4.). 3.4.). * Véase Véase matrices matrices mal mal condicionadas

= -20 -20 =

168

ingeniería Métodos numéricos numéricos aplicados Métodos aplicados a a la ingeniería

Las sustitución regresiva Las ecuaciones ecuaciones para para la triangularización, triangularización, sustitución regresiva y cálculo cálculo del determideterminante sistema de n ecuaciones ecuaciones en n incógnitas incógnitas A x b por por el método método de eliminación eliminación nante de un un sistema de Gauss son: Gauss son: \

==

TRIANGULARIZACIÓN T RIANGULARIZACIÓN

Para 1 :s; n- 1 Para ~ i:S; i ~ n-1 Para i + 1 :s; Para ~ k :s; ~ n bkk = = bkk

(3.49) (3.49)

(a (ak,Jai,i k,; la;,i )b¡ Para i + 1 :s; Para ~ j :s; ~n -

SUSTITUCiÓN REGRESIVA SUSTITUCiÓN REGRESIVA

x" = b/an,n x" = b/an,n Para Para i = = n-1, n-2, ... , 1

1 a·· a · 1· 1,1 1,

n

[b. 1

La. x.] L a x.]

j=i+l j=i+l

l,) I,j

(3.50) (3.50)

}j

CÁLCULO DEL DETERMINANTE DETERMINANTE CÁLCULO DEL nn

det A = n ai,i = det I1 ai,i = al,l al,l a 2,2 i=l i=l

El algoritmo algoritmo para para resolver resolver Ax

... ...

an,n an,n

(3.51) (3.51)

== b por por eliminación eliminación de Gauss Gauss queda queda entonces entonces

Para solución de un sistema sistema de ecuaciones Para obtener obtener la solución ecuaciones lineales lineales A x

==b Y el determinante determinante de A, proporcionar proporcionar los los

DATOS: N número DATOS: número de ecuaciones, ecuaciones, A matriz matriz coeficiente coeficiente y b vector vector de términos términos independientes. independientes. RESULTADOS: solución x y el determinante "HAY UN UN CERO CERO EN determinante de A o mensaje mensaje de falla falla "HAY EN LA LA DIAGODIAGORESULTADOS: El El vector vector solución NAL NAL PRINCIPAL". PRINCIPAL". PASO PASO 1. PASO PASO 2. 2. PASO PASO 3. 3.

Hacer Hacer DET DET = 1. Hacer Hacer 1I = 1. Mientras 1 ::; ::;N-1, Mientras N-1 , repetir repetir los los pasos pasos 4 a 14. PASO PASO 4. Hacer Hacer DET DET = DET DET * A (I, (1, 1). PASO "HAY UN UN CERO CERO EN PASO 5. Si DET DET == OO IMPRIMIR IMPRIMIR mensaje mensaje "HAY EN LA DIAGONAL DIAGONAL PRINCIPAL" PRINCIPAL" Y TERMITERMINAR. continuar. NAR. De De otro otro modo modo continuar. PASO 6. Hacer PASO 6. Hacer K = 1 + 1. PASO PASO 7. 7. Mientras Mientras K::; N, repetir repetir los pasos pasos 8 a 13. PASO Hacer J = 1I + I. PASO 8. Hacer PASO 11.. PASO 9. Mientras Mientras J::; J::; N, repetir repetir los pasos pasos 10 y 11 PASO (K, J) =A (K, (K, J) -A -A (K, 1)* A (1, J) / A (1, 1) . PASO 10. Hacer Hacer A (K, PASO Hacer J = J + 1. PASO 11. Hacer PASO 1) * b (1 ( I ) / A (1, ( 1, 1 I ). PASO 12. Hacer Hacer b ( K ) = b (K) -A - A (K, 1) ).

Matrices

PASO 15. PASO 16. PASO 17. PASO 18. PASO 19.

PASO 27.

y sistemas

de ecuaCiO¡-leS lineales

PASO 13. Hacer K = K + l. PASO 14. Hacer 1 = 1 + 1. Hacer DET = DET * A (N":'N). Si DET = O IMPRIMIR mensaje "HAY UN CERO EN LA DIAGONAL PRINCIPAL" De otro modo continuar. Hacer x (N) = b (N) I A (N, N). Hacer 1 = N -1. Mientras 1 ~ 1, repetir los pasos 20 a 26. PASO 20. Hacer x ( 1) = b ( 1 ). PASO 21. Hacer J = 1 + 1. PASO 22. Mientras J ::;N, repetir los pasos 23 y 24. PASO 23. Hacerx ( 1 ) = x (I ) - A (1, J ) * x ( J ). PASO 24. Hacer J = J + l. PASO 25. Hacer x ( 1 ) = x ( 1) I A (1 , 1 ) . PASO 26. Hacer 1 = 1 - l. IMPRIMIR x y DET Y TERMINAR.

ELIMINACiÓN

DE GAUSS

CON

169

Y TERMINAR.

PIVOTEO

En la eliminación de xl de la segunda y tercera ecuaciones de la forma 3.40 se tomó como base la primera, por lo cual se denomina ecuación pivote o, en términos de la notación matricial, fila pivote. Para eliminar x2 de la tercera ecuación de la forma 3.41, la fila pivote utilizada fue la segunda. El coeficiente de la incógnita que se va a eliminar en la fila pivote se llama pivote. En la eliminación que dio como resultado el sistema de ecuaciones 3.42, los pivotes fueron al,l Y a'2,2' Esta elección natural de los pivotes al,,, a' 2,2' d'3,3> etc., es muy conveniente tanto para trabajar con una calculadora como con una computadora; desafortunadamente falla cuando alguno de esos elementos es cero, puesto que los multiplicadores quedarían indeterminados [por ejemplo si al,l fuera cero, el multiplicador ( -a2,1 / al,l) no está definido]. Una manera de evitar esta posibilidad es seleccionar como pivote el coeficiente de máximo valor absoluto en la columna relevante de la matriz reducida. Como antes, se tomarán las columnas en orden natural de modo que se vayan eliminando las incógnitas también en orden natural x" x2' x3, etc. Esta técnica, llamada pivoteo parcial, se ilustra con la solución del siguiente sistema.

Ejemplo 3.29

Resuelva el sistema 10 Xl -20 Xl 5 Xl

Solución

+ x2 + 3X2 + 3x2

5x3 + 20x3 + 5x3 -

1 2 6.

(3.52)

~]

(3.53)

La matriz aumentada es: [

10 -2~

1 3 3

-5 20 5

El primer pivote debe ser (-20), ya que es el elemento de máximo valor absoluto en la primera columna. Se elimina entonces Xl de la primera y tercera filas de la ecuación 3.52. Para ello, se suma a la primera fila la segunda multiplicada por (-10 / (-20)), Y a la tercera fila la segunda multiplicada por (-5 / (-20)). Con esto se obtiene la matriz reducida:

170

Métodos Métodos numéricos numéricos aplicado aplicadoss a a la ingeniería ingeniería

H H

2.5 3 3.75

6~] 6~]

5 20 10

(3.54) (3.54)

El siguiente pivote debe primera y tercera siguiente pivote debe seleccionarse seleccionarse entre entre la primera tercera filas filas (segunda (segunda columna) columna) yen primera fila la tercera y en este este caso caso es (3.75). (3.75). Sumando Sumando a la primera tercera multiplicada multiplicada por por (-2.5 (-2.5 / 3.75), 3.75), resulta resulta

oo 3 3.75 3.75

-2.33~]

-l.666 -l.666 20 10

-2.33;]

(3.55) (3.55)

6.5

que puesta puesta en forma que forma de sistema sistema de ecuaciones ecuaciones queda: queda:

-20x -20x¡ l +

,,

- l.666x l.666x3 3 3x22 + 20x 20x33 3.75x lOx33 3.75x22 +

-2.333 -2.333 2 6.5

(3 .56) (3.56)

De primera ecuación De la primera ecuación de 3.56 3.56 x33

-2.333 -2.333

=--- - - = = 1.4 , = -l.666 -l.666

de la tercera tercera ecuación ecuación x22 ==

1O(l.4) 6.5 - 1O(l.4) 3.75 = 3.75 = -2 -2, ,

y finalmente finalmente de la segunda segunda ecuación ecuación

=

x¡= XI

2 - 3(-2) 3(-2) - 20(1.4) 20(1.4) = 1 . = 1. -20 -20

Para realizar realizar los cálculos cálculos puede usarse el siguiente siguiente guión guión de Matlab: Matlab: Para puede usarse

20 3 20 2; A=[10 1 -5 1; 1; --20 2; 5 3 5 6J 6J copia=A (2, :); A A (2, =A (1, :); A A (1, :) =copia; (2,:); (2, : ))=A(1,:); (1,:) =copia; A =A(2, :) - A(l,: (2,1) lA (1,1) (1,1) ; A (2, ::))=A (2,:) A(l,: )*A )*A(2, 1) lA A(3, - A(l, A(1, :)*A(3,1)IA(1,1); A (3, :)=A(3,:) :)=A(3,:) :)*A(3,l)IA(l,l); A A(3, :)=A(3,:) - A(2, A(2, :)*A A(3, :)=A(3,:) :)*A (3,2) (3,2) lA lA (2,2) (2,2) ; A =A(3,4) lA (3,3) (3,3) ; x (3) =A (3, 4) lA x (2) = = (A (2, 4) --A(2, A(2,3)3) *x (2,2) ; (A(2,4) *x (3)) (3)) lA IA(2,2) x (1) =(A (1,4) , 2: 3)*x(2: (1,4) -A (1 (1,2: 3) *x (2: 3)) 3)) lA lA (1,1) (1,1)

x

Otra para solucionar Otra alternativa alternativa para solucionar el sistema sistema de ecuaciones ecuaciones 3.52 3.52 es utilizar utilizar el mismo mismo critecriteselección de los pivotes, pivotes, pero posiciones de modo modo que que rio de selección pero llevando llevando las filas pivote pivote a las posiciones se obtenga necesario, por por ejemplo, obtenga la forma forma triangular triangular en la eliminación. eliminación. Para Para esto esto es necesario, ejemplo, en la

Matrices yy ssistemas istemas de ecuaciones s ecuaciones lineale lineales

171

ecuación ecuación 3.52, intercambiar intercambiar la segunda segunda fila (donde (donde se encuentra encuentra el elemento elemento de máximo máximo valor absoluto) absoluto) con la primera, primera, con lo que se obtiene: obtiene: - 20 -20 10 [ 5

3 11 3

20 -5 -5 5

(3.53') (3.53')

20 55 10

(3.54') (3.54')

que se reduce reduce en la primera primera eliminación eliminación a que

3 2.5 2.5 3.75

Como Como el siguiente siguiente pivote pivote es (3.75), se intercambian intercambian la segunda segunda y la tercera tercera filas filas de la ecuaecuación ción 3.54', 3.54', para para obtener: obtener:

[-2~

3 3.75 2.5

20 10 5

H

(3.54") (3.54")

reduce al eliminar eliminar x22 a la cual cual se reduce

[-2~

20 3 3.75 10 --1.666 1.666 O O

2 ]J

6.5 2 -2.333 -2.333

(3.55') (3.55')

que tiene tiene ya la forma forma triangular triangular y está está lista lista para para la sustitución sustitución regresiva. regresiva. En En adelante, adelante, que cualquier referencia referencia a la eliminación eliminación con con pivoteo pivoteo que que se haga, haga, entraña entraña la segunda segunda alcualquier ternativa. ternativa. La La sustitución sustitución regresiva regresiva proporciona proporciona los siguientes siguientes valores valores xx33

= = 1.4,

xx22

=

--2, 2,

xI XI

= = 1

determinante de A se calcula nuevo, multiplicando multiplicando entre entre sí los elementos elementos de la diaEl determinante calcula de nuevo, gonal principal principal de la matriz matriz triangularizada triangularizada (Ec. 3.55'), 3.55'), pero pero dicho dicho producto producto es afectado afectado gonal por por un cambio cambio de signo signo por por cada cada intercambio intercambio de filas que se verifique verifique en la triangularizatriangularización. ción. En En el caso caso en estudio estudio

det A

= (-1)2 =

(-20) (3.75) (-1.666) (20) (3 .75) (1.666)

= 125 =

ya que que hubo hubo dos intercambios intercambios de fila para para llegar llegar a la ecuación ecuación 3.55' 3.55'.. elaborar el algoritmo algoritmo de este este método, utilizarán las ecuaciones ecuaciones 3.49 para para A fin de elaborar método, se utilizarán triangularización después después de cada cada búsqueda búsqueda del elemento elemento de máximo máximo valor valor absoluto absoluto y la triangularización intercambio de filas filas correspondiente. correspondiente. Una Una vez vez realizada realizada la triangularización, triangularización, se hará hará la del intercambio sustitución regresiva regresiva con con las ecuaciones ecuaciones 3.50 y el cálculo determinante de la siguiente siguiente sustitución cálculo del determinante forma forma detA detA

" = (-(-1)' Il = 1)' rr i=l i==l

a

(3.57) l,t l,l

donde donde r es el número número de intercambios intercambios de filas que que hubo hubo en el proceso proceso de triangularización. triangularización.

172


ALGORITMO ALGORITMO

3.4 3.4 EliminaciÓn Eliminacion de Gauss Gauss con pivoteo pivoteo

Para A , proporcionar Para obtener obtener la solución solución de un sistema sistema de ecuaciones ecuaciones lineales lineales A x = = b Y el determinante determinante de A, proporcionar los DATOS: N númew DATOS: número de ecuaciones, ecuaciones, A matriz matriz coeficiente coeficiente y b vector vector de términos términos independientes. independientes. RESULTADOS: RESULTADOS: El vector vector ilillución ~Qlución x y Y el determinante determinante de A o mensaje mensaje "MATRIZ "MATRIZ SINGULAR, SINGULAR, SISTEMA SISTEMA SIN SIN SOSOLUCION". LUCION". PASO PASO PASO PASO PASO PASO PASO PASO

l. 1. 2. 3. 4. 4.

Hacer DET l. Hacer DET == 1. Hacer Hacer R == O. Hacer 1I = = 1. l. Hacer Mientras N - 1 repetir pasos 5 a 12. Mientras I S; S;N repetir los pasos PASO PASO 5. Encontrar Encontrar PIVOTE PIVOTE (elemento (elemento de mayor mayor valor valor absoluto absoluto en la parte parte relevante relevante de la columna columna I1 de A) y P la fila fila donde donde se encuentra encuentra PIVOTE. PIVOTE. PASO PASO 6. Si PIVOTE PIVOTE == O O IMPRIMIR IMPRIMIR "MATRIZ "MATRIZ SINGULAR SINGULAR SISTEMA SISTEMA SIN SIN SOLUCION" SOLUCION" y TERMINAR. TERMINAR. En En caso caso contrario contrario continuar. continuar. realizar los PASO PASO 7. Si P = I ir al paso paso 10. De De otro otro modo modo realizar los pasos pasos 8 y 9. PASO 8. Intercambiar Intercambiar la fila I con con la fila P. P. PASO PASO 9. Hacer Hacer R = R + 1. l. PASO PASO PASO 10. Hacer Hacer DET DET == DET DET * A ( 1, I, I ). PASO PASO 11 11.. Realizar Realizar los pasos pasos 6 a 13 del algoritmo algoritmo 3.3. PASO 12. Hacer! Hacer! = = I1 + 1. l. PASO PASO 13. Hacer PASO )**r Hacer DET DET = = DET DET * A (N, N) * (-1 (-1 )**r PASO PASO 14. Realizar Realizar los pasos pasos 17 a 26 del algoritmo algoritmo 3.3 PASO PASO 15. IMPRIMTR IMPRIMTR x y DET DET Y TERMINAR. TERMINAR.

Para Para terminar terminar el tema, tema, se compararán compararán las técnicas técnicas de eliminación eliminación de Gauss Gauss con con pivoteo pivoteo y éste. Por Por brevedad, brevedad, la primera primera se denominará denominará GP y la' segunda segunda G. sin éste. 1. La La búsqueda búsqueda del coeficiente coeficiente de mayor mayor valor valor absoluto absoluto que que se usará usará como como pivote pivote y el intercambio intercambio de filas significa significa mayor mayor programación programación en GP. 2. Los factores ,¡ / a¡) a¡) de las ecuaciones menores que factores (akk,¡ ecuaciones 3.49 3.49 siempre siempre serán serán menores que la unidad unidad en valor valor absoluto absoluto en GP, con con esto esto los elementos elementos de A I b se conservan conservan dentro dentro de cierto intervalo, intervalo, circunstancia circunstancia valiosa valiosa en los cálculos cálculos computacionales. computacionales. cierto 3. Encontrar pivote igual una matriz matriz coeEncontrar en GP GP un pivote igual a cero cero singnificaría singnificaría que que se trata trata de una coeficiente ficiente A singular singular (det (det A = = O) O) y que que el sistema sistema A x b no tiene tiene solución solución única. única. Encontrar Encontrar en G un pivote pivote igual igual a cero, cero, no proporciona proporciona información información alguna alguna acerca acerca del determinante determinante de A y si detendría detendría el proceso proceso de triangularización. triangularización.

= =

pesar de la programación programación adicional adicional y el mayor mayor tiempo tiempo de máquina máquina que que se emplea emplea en el A pesar método método de Gauss Gauss con con pivoteo, pivoteo, sus otras otras ventajas ventajas borran borran totalmente totalmente estas estas desventajas desventajas en la práctica; por tanto, práctica; por tanto, el pivoteo pivoteo natural natural se emplea emplea sólo sólo en circunstancias circunstancias especiales, especiales, por por ejemplo que no hay que los que ejemplo cuando cuando se sabe sabe por por adelantado adelantado que hay pivotes pivotes más más grandes grandes que que van van resultando en la diagonal diagonal principal. principal. resultando ELIMINACIÓN DE JORDAN ELIMINACIÓN JORDAN

Es posible posible extender extender los métodos métodos vistos vistos de modo modo que que las las ecuaciones ecuaciones se reduzcan reduzcan a una una forma ma en que que la matriz matriz coeficiente coeficiente del sistema sistema sea sea diagonal diagonal y ya no se requiera requiera la sustitución sustitución regresiva. Los con pivoteo, regresiva. Los pivotes pivotes se eligen eligen como como en el método método de Gauss Gauss con pivoteo, y una una vez interintercambiadas cambiadas las filas filas se eliminan eliminan los elementos elementos arriba arriba y debajo debajo del pivote. pivote. El sistema sistema del del ejemplo ejemplo 3.28 3.28 ilustra ilustra este este método. método.

Matrices y sistemas

Ejemplo 3.30

de ecuaciones

Solución

5 3 4

La matriz aumentada del sistema es

n

2 6 3

-9 -4

[~ deA)

173

Por eliminación de Jordan, resuelva el sistema 4x¡ - 9x2 + 2x3 2x[ - 4x2 + 6x3 XI - x2 + 3x3

so-

lineales

-1

Como en la primera columna el elemento de máximo valor absoluto se encuentra en la primera fila, ningún intercambio es necesario y el primer paso de eliminación produce

.En

[~

2 5 2_5

-9 0.5 l.25

5 ] 0_5 2.75

El elemento de máximo valor absoluto en la parte relevante de la segunda columna (filas 2 y 3) es l.25; por tanto, la fila 3 debe intercambiarse con la 2.

[~

l

2 2.5 5

-9 l.25 0.5

;.75 0.5

'j

Sumando la segunda fila multiplicada por (-(-9) / l.25), a la primera fila y la segunda multiplicada por ( -0.5 / 1.25) a la tercera se obtiene el nuevo arreglo

o

[~

20 2.5

l.25

O

4

24.8 2.75 -0.6

J

donde se han eliminado los elementos de arriba y abajo del pivote (nótese que en este paso el primer pivote no se modifica porque sólo hay ceros debajo de él). Por último, sumando la tercera multiplicada por (-20/4) a la primera fila ya la tercera multiplicada por (-2.5/4) a la segunda

[~

O l.25

O O 4

O

27.8 ] 3.125 -0.6

que escrita de nuevo como sistema de ecuaciones da 4xI

= 27.8

l.25 x2 = 3.125 4 x3 = -0.6 de donde el resultado final se obtiene fácilmente x¡

27.8

= --

4

= 6.95

,

3.125 x2=--=2.5,

1.25

x3

-0.6

= --

4

= -0.15

-~----------------------_._----~---174


El determinante determinante también también puede puede calcularse calcularse llA AI

= =

(-1)¡ (4) (4) (1.25) (1.25) (4) (4) (-1)¡

= -20, -20, =

donde donde la potencia potencia 1 indica indica que que sólo sólo hubo hubo un intercambio intercambio de filas. Para realizar realizar los cálculos cálculos puede puede usarse usarse el siguiente siguiente guión guión de Matlab: Matlab: Para

A=[4 -9 2 5; 5; 2 -4 -4 6 3; 3; 11 -1 3 4] 4] % filas % No No es necesario necesario intercambiar intercambiar filas for for i=2:3 i=2:3 A(i, :)=A(i,:) - A(l, A(l, :)*A(i,1)/A(1,1); A(i, :)=A(i,:) :)*A(i,l)/A(1,l); end end A % Se Se intercambia intercambia la la fila fila con la la fila fila 3 % 22 con 3 copia=A(3,:) copia=A(3,:) ;A(3, ;A(3, :)=A(2,:) :)=A(2,:) ;A(2, ;A(2, :)=copia; :)=copia; for for i=l:3 i=1:3 iiff i -=2 A(i, :)=A(i,:) - A(2, A(2, :)*A(i,2)/A(2,2); A(i, :)=A(i,:) :)*A(i,2)/A(2,2); end end end end A for for i=1:2 i=1:2 A(i, :)=A(i, :)-A(3, :)*A(i,3)/A(3,3); A(i, :)=A(i, :)-A(3, :)*A(i,3)/A(3,3); end end A for for i=1:3 i=1:3 xx(i)=A(i,4)/A(i,i) (i)=A(i,4)/A(i,i) ; end end

x

También También puede puede obtenerse obtenerse el determinante determinante directamente directamente con con las instrucciones instrucciones siguientes: siguientes:

A=[4 --9 9 2; 2 A=[4 det det (A) (A)

--44 6; 6; 11 -1 3] 3]

II

det([4,-9,2;2,-4,6;1,-1,3]) det([4,-9,2;2,-4,6;l, -1, 3])

Si sólo sólo se requiere requiere calcular calcular lA lA I Y no la solución solución del del sistema, sistema, el método método de Jordan Jordan requierequiere mayor mayor trabajo trabajo que que el método método de eliminación eliminación de Gauss Gauss con con pivoteo. pivoteo. CÁLCULO DE CÁLCULO DE INVERSAS INVERSAS

Si se tienen tienen varios varios sistemas sistemas por por resolver resolver que comparten comparten la misma misma matriz matriz coeficiente; coeficiente; es decir, A x¡ = = b¡, b¡,

A x22 = = b22, , etc.

pueden pueden resolverse resolverse todos todos a un tiempo tiempo si se aplica aplica al arreglo arreglo [ A Ib b¡¡ I b22

...... ]

el proceso proceso de eliminación, eliminación, como como antes antes y después, después, se realiza realiza una una sustitución sustitución regresiva regresiva parparticular para para cada cada columna columna del lado lado derecho derecho de A. Como Como caso caso particular particular es factible factible enconenconticular

Matrices y sistemas

trar A-l si b¡ = el' b2 = e2,... , bn de la matriz inversa A-l.

CÁLCULO

DE LA INVERSA

= e,/

CON

de ecuaciones

lineales

175

Las n soluciones obtenidas forman las n columnas

EL MÉTODO

DE GAUSS

CON

PIVOTEO

Como ejemplo se usará la matriz coeficiente del sistema (3.44) para obtener su inversa. Primero se forma el arreglo

[~

-9

2

-4

6

-1

3

o

1 O O

1 O

(3.58)

nótese que a la derecha de A se tiene la matriz identidad correspondiente. elementos debajo del primer pivote (4), se llega al sistema -9 0.5 1.25

2 5 2.5

[~

Eliminando los

1 -0.5 -0.25

O 1 O

~l

(3.59)

1

O O 1

!]

(3.60)

Se intercambian la segunda y tercera filas.

[4 -9

2 2.5 5

O 1.25 O 0.5

-0.25 -0.5

Ahora se elimina el segundo elemento de la tercera fila y el arreglo cambia a

Con la sustitución regresiva para el primer vector al lado derecho de la matriz triangular resulta: 4x3

=-

0.4, de donde x3

=-

0.1;

al sustituir x3 en la fila 2 se tiene 1.25x2

uie-

= -0.25

= O;

- 2.5 (-0.1) Y x2

Y reemplazando x3 y x2 en la fila 1, se obtiene 4xl

ir,

=

1 + 9(0) - 2(-0.1)

=

1.2 Y

Xl

= 0.3

Este primer vector solución representa la primera columna de A-[. Del mismo modo se calculan la segunda y la tercera columnas de A-[ con el segundo y tercer vectores del lado derecho de la matriz triangular

kl=

* En este caso el> ez, etc.,

etc., y su valor es 1.

0.3 O [ -0.1

-1.25 -0.5 0.25

2.3] 1.0 -0.1

son vectores de n elementos cuyo único elemento distinto de cero es el de la fila 1, 2,

176

aplicados

Métodos numéricos

CÁLCULO

DE LA INVERSA

a la ingeniería

CON

EL MÉTODO

DE JORDAN

Se parte del mismo arreglo (Ec. 3.58) y también se eliminan los elementos debajo del primer pivote para llegar a la ecuación 3.59. Se intercambian la segunda y tercera filas y se llega al sistema de ecuaciones 3.60. En este último arreglo se eliminan los elementos arriba y debajo del pivote (1.25) para llegar a:

u

O 1.25

-0.8 -0.25 -0.4

20 2.5 4

O

;2]

O O 1

-0.4

arreglo que todavía se reduce a: O 1.25 O

U

-5 92]

1.2

O O 4

O -0.4

-0.625 1.25 1 -0.4

,

Y que con la primera columna a la derecha de la matriz diagonal produce

XI

1.2 =-=0.3, 4

-0.4

O x2=--=0, 1.25

x3

= --

4

= -0.1,

con la segunda columna

-5

XI

=-

4

= -1.25,

x2

-0.625

= ---

1.25

= -0.5

,

X3

= 0.25

De igual manera con la tercera columna para llegar a A-l=

0.3 O [ -0.1

-1.25 -0.5 0.25

2.3] 1.0 -0.1

Los métodos de eliminación vistos proporcionan la solución del sistema A x = b, el det A yA -1, siempre que A sea no singular. Obsérvese por otro lado que si se tiene un conjunto de vectores xi' x2, ... , xn de n componentes cada uno y se quieren ortogonalizar, se aplica alguna de las eliminaciones vistas al conjunto dado tomado como una matriz. La técnica de Gauss con pivoteo también puede aplicarse -por ejemplopara determinar si dicho conjunto es linealmente independiente o no (cuando un elemento pivote ai,i es igual a cero, la fila correspondiente es linealmente dependiente de las filas anteriores). La sección que sigue puede omitirse sin pérdida de continuidad en los siguientes temas.

CUENTA

DE OPERACIONES

Para establecer la velocidad de cálculo y el "trabajo computacional", se requiere conocer cuántos cálculos de los diferentes tipos se realizan. Considérese para ello la reducción del sistema general al,lxl a2,lx)

+ +

al,2x2 a2,2x2

+ +

+ +

al,nxn

bl

a2,llxll

b2

(3.61) an,¡x¡

+

an,2x2

+ ... +

an,nxn

b"

•••

zm"s=Cz'=;-

Matrices y sistemas sistemas de de ecuaciones ecuaciones lineales lineales Matrices

177 177

forma triangular a la forma triangular t¡,¡X¡ I t¡,¡X

+

+ t22,zX2 ,:02 +

t¡,zX2 t¡,:02

t¡,,,xll = C c¡I + tl,,(tn = + t22,1(X" ,1.x" == Cc22

(3.62) (3.62)

compacta de [A ambas de n o en notación notación matricial matricial más más compacta [A llb] b] a [ TI e] e] , matrices matrices ambas Sea 1). Sea

X (n

+

M,; = = número divisiones número de multiplicaciones multiplicaciones o divisiones Sn == número número de sumas restas Sil sumas y restas necesarias del sistema sistema 3.61 al 3.62. 3.62. necesarias para para ir del Evidentemente S¡ = = O, O, ya que cualquier cualquier matriz Evidentemente M¡ MI == O Y S¡ ya que matriz A de 1 X 1 es triangular, triangular. Si n > 1, se considera considera la eliminación eliminación en la primera columna. Si la primera columna de A es primera columna. primera columna distinta del del vector cero, generalmente filas a fm de llevar llevar el elemento elemento de distinta vector cero, generalmente se intercambian intercambian filas máximo absoluto de la primera columna a la posición (1,, 1). Denomínese máximo valor valor absoluto primera columna posición (1 Denomínese de nuevo nuevo [A lb] lb] el sistema sistema resultante este intercambio. intercambio. Ahora debe restarse resultante de este Ahora debe restarse un un múltiplo múltiplo de la nueva nueva primera primera fila:

cada fila: fila: de cada 2 -::; -::; ii -::; -::; n

(3.63) (3.63)

para filas de la forma: forma: para producir producir filas (3.64) (3.64) Explícitamente, Explícitamente, si rii == ai,¡,¡

/ al,!' al,!'

al i,j al i,j

= =

ai,j -

l

b'¡¡ = = b¡ b¡ b

a¡J r¡ a¡J

r,», r¡b¡

(3.65) (3.65)

efectúa una división para fórmula 3.65 3.65 requiere Se efectúa una división para producir producir r¡. La La fórmula requiere n multiplicaciones multiplicaciones y un un número igual de restas. Como se forman forman (n(n-1) filas, la eliminación eliminación en la primera columnúmero igual restas. Como l) filas, primera columna logra con: con: na se logra divisiones o multiplicaciones (n + 1) (n - 1) divisiones multiplicaciones y (3.66) (3.66) n (n - 1) restas. restas.

La columna ya ceros debajo debajo de la posición Queda por La primera primera columna ya tiene tiene ceros posición (1, 1). Queda por reducir reducir la mamatriz debajo de la primera fila ya derecha de la primera columna. triz de (n -1) X n, matriz matriz debajo primera fila ya la derecha primera columna. De fórmula 3.66, 3.66, se obtienen obtienen las fórmulas fórmulas De la fórmula Mil = = (n + 1) 1) (n --1) M" 1) + M Mn _ ¡I II_

(3.67) (3.67)

Sn = n (n --1) Sn = 1) + Sn_1 Sn_1 Como MI = = SI = = D, se tiene Como tiene para para n ~ 2 M n = (2 + 1) 1 + (3 + 1) 2 + ... + (n + 1) (n 1) Mil (n --1) Sil = = 2(1) 2(1) + 3(2) 3(2) + ... + n (n -1) . Sil

(3.68) (3.68)

>'

178

aplicados a a la ingeniería ingeniería Métodos numéricos numéricos aplicados Métodos

Fácilmente se verifica verifica por por inducción inducción que: Fácilmente

1 L tt=-(n-1)n; I. = -en - 1) n; 1=1 t=1 2

"n t22 == 7) 11 (n L -6 (n -1) n (2n --1) t~1 1) ;;

,,-1 n-I

1=1

Por tanto, tanto, como como Por ,,n-I1

M )t M" = = I.L (t + 11 + l1)t 1=11 t=

"

y ,,n-I1

S Sil = = I. L (t + 1) 1) t 1=11 t=

"

Entonces: Entonces:

Mil = = ~~ (n - l)n Mn 1)n (2n - 1) + (n - l)n l)n

(3.69) (3.69)

= 7) 21 (n-l)n Sn = ()1 (n - l)n l)n (2n - 1) + 2 (n-l)n determinará el número divisiones y el número sumas o Se determinará número mn de multiplicaciones multiplicaciones o divisiones número sn de sumas restas requeridas para para resolver resolver el sistema triangular [T [T IIx] x ] = = c. Sean todas las las tu restas requeridas sistema triangular Sean n ;:: ~ 2 Y todas ti,i "* O. Supóngase Supóngase que _ y S,,_Ilas operaciones 1= que se han han calculado calculado xI!' x"' x,,_p"" X,,_ l" ' " xx22; ; llámense llámense m mn_l Y S,,_l las operaciones n 1 realizadas para ello. realizadas para ello. Sea ahora Sea ahora . cll-tx2I2 - x I2t 2

XI = ='

XI

'

... -tln~n ... -tI";;:,,

,

(3 .70) (3.70)

ttl1,1,l El cálculo cálculo de (n-l) multiplicaciones, Xl requiere requiere (n-l) multiplicaciones, una una división divisió!l yy (n-l) (n-l) restas. restas. Entonces, Entonces, papade xI ra n ~ 2 n;::

m" m"

= (n - 1 + 1) + =

m,,_1 m,,_1

(3.71) (3.71)

S,,_I s" = (n - 1) + S,,_I 1 y SI SI = = O, O, se tiene tiene

Como Como mI mi

m mnn=I+2+3+ = 1 + 2 + 3 + ... ... + n = sn Sil

==

~~

n (n + 1)

211 (n - 1) n 1 + 22 + 33 + ... ... + (n - 1) = 2

(3 .72) (3.72)

El El resultado resultado final fi nal se resume resume a continuación. continuación. El sistema sistema 3.61 3.61 con con matriz matriz coeficiente coeficiente A yy determinante determinante distinto distinto de de cero, cero, puede puede resolresolEl verse verse por por el el método método de de eliminación eliminación con con pivoteo pivoteo con con uu,,n== M"+m,, M"+m,, =~ =~ (n-l)n(2n-1) (n -l )n(2n -l ) + (n-1)n (n-l)n + ~n ~n (n+l) (n +l )

t~ v

""

n33 + + n22 --

== Sil S" +

tt

~ n multiplicaciones multiplicaciones o divisiones divisiones yy

~

1 1 s" =()(n-l)n(2n-l) =7) (n-l)n(2n-l) + 2 21 (n-l) (n-l) n +2(n-l)n + 2 (n- l) n

(3.73) (3.73)

Sil

n33 + + ~~ n22

--

~

~

n sumas sumas oo restas. restas.

Obviamente, Obviamente, el el "trabajo "trabajo computacional" computacional" para para resolver resolver la la ecuación ecuación 3.61 3.61 es es función funció n del del núnúmero mero de de operaciones operaciones necesarias necesarias (Ec. (Ec. 3.73); 3.73); por por tanto, tanto, puede puede decirse decirse que que es es proporcional proporcional aa n33. . Por Por otro otro lado, lado, las las necesidades necesidades de de memoria memoria de de máquina máquina serán serán proporcionales proporcionales aa n22. .

Matrices y sistemas

SISTEMAS

de ecuaciones

lineales

179

ESPECIALES

Con frecuencia, la matriz coeficiente del sistema A x = b por resolver es simétrica, o bien gran número de sus componentes son cero (matrices dispersas). En estos casos algunos de los métodos conocidos pueden adaptarse, con lo cual se reduce el trabajo computacional y la memoria de máquina. Primero se tratará el caso de las matrices bandeadas (matrices dispersas particulares); las matrices simétricas serán abordadas como un caso particular de los métodos L-U. Primero se darán algunos ejemplos particulares de matrices bandeadas 2 O O O O

.69)

O 1 O O O

O O 5 O O

O O O 7 O

4 7 O O O

O O O O 6

O 8 O O O

O 1 5 1 O

O O 2 3 3

8 7 9 3 3 -1 O O O O

O O O 5 4

Tridiagonal

Diagonal

6 O O O -2 O 8 9 10 3 5 8 7 4 O

Pentadiagonal

o t·1.1

Generalizando:

Una matriz A de n

nes

a¡,j

pentadiagonal

n es tridiagonal si

= O siempre que I i - j I > 1 ,

si

a., I,}

.70) pa-

X

= O siempre que I i - j I > 2 , etcétera.

El ancho de banda es 1, 3, 5, etc., en las matrices diagonales, tridiagonales, pentadiagonales, etc., respectivamente. Enseguida se adapta la eliminación de Gauss para la solución del sistema tridiagonal A x = b; es decir, A es tridiagonal.

.71) MÉTODO

DE THOMAS

Sea el sistema tridiagonal de tres ecuaciones en tres incógnitas

», Xl a2

.72)

Xl

+ +

Cl X2

b2 X2 a3 X2

+ +

C2 X3

b3 X3

TRIANGULARIZACIÓN

sol- .

Si b¡ :t= O, se elimina gunda ecuación:

xI

sólo en la segunda ecuación, con lo que se obtiene como nueva se-

b'2X2 + c'2x3 = d'2 con .73) Si b' 2 :t= O, X2 se elimina sólo en la tercera ecuación, y así se obtiene como nueva tercera ecuación

núala

con b'3=b3-a3 Generalizando:

c'2/b'2;

d'3=d3

-a3d'2/b'2

para un sistema tridiagonal de n ecuaciones en n incógnitas.

-

\.

180


TRIANGULARIZACIÓN TRIANGULARIZACIÓN

Para n- 1 Para i = = 1,2, 1,2, .. .... , n-1 b' ¡¡ ::F -:1- O O se elimina elimina Xi sólo en la (i + l)-ésima l j-ésima ecuación, ecuación, con con lo que que se obtiene obtiene como como nuesi b' Xi sólo nueva (i (i + l)-ésima l)-ésima ecuación ecuación

con con

SUSTITUCiÓN REGRESIVA SUSTITUCiÓN REGRESIVA

d'nlb'n n n = d'nlb'

X XIl

y para para i

= n- 1, n-2, n- 2, ... = n-1, ... , 1

Estas Estas simplificación simplificación del del algoritmo algoritmo de Gauss, Gauss, como método de Thomas. como método Thomas. Con Con su aplicación aplicación

válida para para sistemas tridiagonales se conoce válida sistemas tridiagonales conoce se consiguen las siguientes ventajas: consiguen siguientes ventajas:

La memoria que almacenar almacenar los elementos elementos de A que que • La memoria de máquina máquina se reduce reduce al no tener tener que son cero. cero. Obsérvese Obsérvese que que en lugar lugar de almacenar almacenar la matriz guardan sólo sólo los son matriz A, se guardan los vecvectores a = [al' a22,···,··· , ann],], b = [bl' b2,··· yc = , ··· ,bn]] yc tores = [al' = [bl' = [el' e22,···,··· , en] en] con con a¡ = = en en = = O, O, emempleando localidades en lugar lugar de n X n localidades, localidades, ventaja importante ventaja muy muy importante pleando 3n localidades cuando cuando n es grande grande (n :2: 50). 50). • No No se requiere requiere pivotear. pivotear. • Sólo paso de la triangularización triangularización la variable variable Xi Sólo se elimina elimina durante durante el i-ésimo r-ésimo paso Xi en la ecuación número de operaciones ecuación i + 1, con con lo que que se reduce reduce el número operaciones. . • Por Por último, regresiva debe reemplazarse sólo + l en último, en en la sustitución sustitución regresiva debe reemplazarse sólo xXii+¡ en la i-ésima i-ésima ecuación para obtener Xi. ecuación para obtener Xi.

Resuelva sistema tridiagonal Resuelva el sistema tridiagonal 2x 3 x¡ Xl 2X22 x¡ Xl + 5x22 4x22 +

= =

l.0 1.0

00.2x .2x33 = = 5.8 7x 33 = = 11.0, 11.0,

por el método método de Thomas. por Thomas.

Solución Solución

En este En este sistema sistema d= Como b, Como bl

[[

l.0] 1.0]

5.8 5.8 11.0

Pa

-:1- O O se calculan calculan las componentes componentes de la nueva segunda fila fila ::F nueva segunda

b'2 bl = = 5 - 1 (2) 1 3 = b'2 = = b22 -- a22 cc¡l 1 b¡ (-2) = 5.6666 5.6666 y \

-0.2 e' 2 == e2 == -0.2 \

d'2 1(1/3) = d' = dd 22 - a22 di Ib lb l; = = 5.8 5.8 - 1(1/3) = 5.4666 5.4666 2 =

PA PA

Matrices y sistemas sistemas de ecuaciones ecuaciones lineales lineales Matrices

181

Como b b''22 ::j:. *- O, O, se forma forma la nueva nueva tercera tercera fila fila Como / b''33 = b3 - a33 e' C 22 Ib Ib''22 = 7 - 4 (-0.2) (-0.2) I15.666 b 5.666 = 7.141176

d'' 22 Ib Ib''22 = 11.0 11.0 - 4(5.4666) I 5.6666 = 7.1411760 d'33 = d33 - a33 d sistema equivalente equivalente resultante resultante es: El sistema 1.0 1.0 0.2x3 3 0.2x 7.141176 x33

5.4666 7.141176

por sustitución sustitución regresiva regresiva se llega llega a: y por I x33 = =dd3Ib' =7.141176/7.141176= = 1 3 3I b ' 3 =7.141176/7.141176 I

x22 = ( d' 2 x¡ x¡

(d'¡' ¡ = (d

-

ec2 x33))

/

- e¡ x 22) ) /

b' b' 2 = (5.4666 - 0.2 (1)) I 5.6666 = 1 b¡ = (1.0 - ((-2) (1) I 3 = 1 b't 2) (1))

/ = b¡ Nótese que que d' d' ¡¡ = = d¡ Y b/11 = b, Nótese Para realizar realizar los cálculos cálculos puede puede usarse usarse el siguiente siguiente guión guión de Matlab: Matlab: Para

b=[3 5 5 7] 7] b=[3 a=[O 1 1 4] 4] a=[O c=[ -2 -2 -0.2 -0.2 O ]] c=[ d=[1 5.8 11J 11J d=[l for i=2:3 i=2:3 for b (i) (i) =b =b (i) (i) --a (i)*c (i (i --1) (i -1) ;; b a (i)*c 1) lb /b (i d(i)=d(i) -a (i)*d(i (i)*d(i-1)- 1)/b(i lb (i-1) d(i)=d(i) - 1);;

te

la

end =d(3) lb (3) ; xx (3) =d(3)/b(3) for i=2:-1 i=2:-1:1: 1 for x(i)= (d (i) (i) --e (i)*x (i+1)) (i+1)) lb (i); x(i)=(d e (i)*x /b (i);

end xx

continuación se da el algoritmo algoritmo de Thomas. Thomas. A continuación

ALGORITMO ALGORITMO

Método de Thomas 3.5 Método

Para obtener obtener la solución solución x del sistema sistema triadiagonal triadiagonal A x = = b proporcionar proporcionar los Para DATOS: número de ecuaciones ecuaciones N, los vectores vectores a, b, b, e, y el vector vector de términos términos independientes independientes d. DATOS: El número RESULTADOS: vector solución solución x o mensaje mensaje de falla falla "EL "EL SISTEMA SISTEMA NO TIENE SOLUCIÓN". SOLUCIÓN". RESULTADOS: El vector NO TIENE PASO 1. l. PASO PASO 2. PASO

Hacer 1 =1. Hacer Mientras 1 ~ N-l N-I, , repetir los pasos pasos 3 a 6. Mientras repetir los PASO 3. Si b(!) b(l) *- O O continuar. continuar. De De otro otro modo modo IMPRIMIR IMPRIMIR el mensaje mensaje "EL "EL SISTEMA SISTEMA NO TIENE SOLUCIÓN" SOLUCIÓN" PASO NO TIENE y TERMINAR. TERMINAR. Y PASO 4. Hacer Hacer b(l+l) b(l+l) = b(I+1) b(l+l) - a (1+1) (1+1) *c ( 1 )/b )/b ( 1 ). PASO

182

PASO PASO 7.


PASO d(l+ 1) = d(I+1) d(I+I) - a (1+1) (1+1) *d ( I )/b PASO 5. Hacer Hacer d(l+ )/b ( I ) PASO Hacer I = I + 1 PASO 6. Hacer b(N) 7c. O continuar. continuar. De otro modo IMPRIMIR mensaje "EL SISTEMA TIENE SOLUCIÓN" ~O De otro modo IMPRIMIR mensaje "EL SISTEMA NO NO TIENE SOLUCIÓN" YTERMIYTERMISi b(N) NAR. NAR.

b(N) Hacer x (N) = d (N) / b(N) PASO PASO 8. Hacer PASO PASO 9. Hacer Hacer I1== N-I N-I 11 y 12. PASO la. Mientras PASO 10. Mientras 1l ~ 2: 1, repetir repetir los pasos pasos 11 PASO (d(l) - c(I) c(l) * x(I+I)/b(l) x(I+I)/b(l) x(l+ l)/b(l) x(I) = (d(I) x(l+ l»/b(I) PASO 11. Hacer Hacer x(l) PASO 12. Hacer Hacer I = I -1 PASO -1 PASO 13. IMPRIMIR IMPRIMIR el vector solución x yy TERMINAR. PASO vector solución TERMINAR.

MÉTODOS FACTORIZACIÓN MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN

Factorización de matrices matrices en matrices matrices triangulares Factorización triangulares La eliminación de Gauss Gauss aplicada aplicada al sistema sistema (véase (véase ejemplo ejemplo 3.28) La eliminación

4 xI 2 xI

-

XI

-

9 x22 4x 4 x2 2 x22

+ 2 x33 5 6xx3 3 = 3 + 6 3xx3 3 = 4 + 3

condujo fase de triangularización sistema equivalente equivalente condujo en su fase triangularización al sistema

[~ [~

--9 9 0.5

22 5

O

~.5] ~.5] 1.5 1.5

--10 10

donde se aprecia aprecia una superior de orden orden 3 que que se denotará denotará como como U donde una matriz matriz triangular triangular superior

-9 2] -9 0.5

O O

5 -10 -10

Ahora define una inferior L orden 3, con con números largo de la Ahora se define una matriz matriz triangular triangular inferior L de orden números 1 a lo largo diagonal principal principal y con con I¡.). igual factor que permitió eliminar elemento a· . del sistesistediagonal li,j igual al factor que permitió eliminar el elemento ai,j , 0 ma (por ejemplo, ejemplo, a fin de eliminar eliminar a22,1l = = 2 se utilizó factor 1 12,1 = = para eliminar ma 3.43 (por utilizó el factor 2/4; para eliminar 21 = 1, el factor factor 13 1l = = 1/4, Y para = -1 -1 se empleÓ empleó 132 = 1.25/0.5). Así, a 3 1l = para hacer hacer cero ~ero a a 3 22 = Así, 32 = 'matriz L queda queda ' la 'matriz " O O 11 1.25/0.5 cuyo producto con U resulta resulta en cuyo producto con O O 1 1.25/0.5

~] [~

L L coeficiente del sistema sistema original. original. la matriz matriz coeficiente

~]

-9 0.5

~]

O O

-10 -10

U

=A, =A,

Matrices y sistemas

de ecuaciones

lineales

183

Esta descomposición de A en los factores L y U es cierta en general cuando la eliminación de Gauss puede aplicarse al sistema A x b sin intercambio de filas, o equivalentemente si y sólo si los determinantes de las submatrices de A son todos distintos de cero

=

al,,,

al,1 al,1

al,2

::f:.0, ...

I al,1 I ::f:.O, a2,1

::f:.0

,

a2,2

«:

a",1

= b,

El resultado anterior permite revolver el sistema A x se tiene L U x

Solución

e

ya que sustituyendo A por L U

b

=

Se hace U x e, donde e es un vector desconocido [ e I c2 c3 ner fácilmente resolviendo el sistema Le

...

c"F, que se puede obte-

= b,

con sustitución progresiva o hacia adelante, ya que L es triangular inferior (en el sistema del Ejemplo 3.28, e resulta [5 0.5 1.5]T). Una vez calculado e, se resuelve Ux=e con sustitución regresiva, ya que U es triangular superior y de esa manera se obtiene el vector solución x (el sistema particular que se ha trabajado da x = [6.95 2.5 -0.15]T).

MÉTODOS

DE DOOLlTLE

y CROUT

Aun cuando las matrices L y U pueden obtenerse en la triagularización de la matriz aumentada [A lb], es deseable encontrar un método más directo para su determinación. Esto es factible analizando la factorización de A en las matrices generales de orden tres L y U, dadas a continuación.

["

12,1 13,1

O 12,2 13,2

L] [~"

ul,2 U2,2

O

U''] U2,3

a2,1

a2,2

a",]

a3,1

a3,2

a3,3

[a",

U3,3

al,2

Análisis: Se multiplican a)

Primera fila de L pcr las tres columnas de U II,IUI,I

al,1

[l,IuI,2

al,2

11,luI,3

al,3·

b) Segunda fila de L por las tres columnas de U [2,1 UI,I

a2,1

[2,1 UI,2

+

[2,2 U2,2

a2,2

[2,1 UI,3

+

[2,2 U2,3

a2,3

.

l

.<

a2,3

1 •

184

Métodos

numéricos

aplicados

a la ingeniería

e) Tercera fila de L por las tres columnas de U 13,1 UI,I

a3,l

13,1 UI,2 + 13,2 U2,2

a3,2

13,1 UI,3 + 13,2 U2,3 + 13,3 U3,3

a3.3'

se llega a un sistema de nueve ecuaciones en 12 incógnitas [1,1' 12,1' [2,2' [3,1' [3,2' [3.3' U1,I' U1,2' U1,3' U2,2' U2.3' U3,3' por lo que será necesario establecer tres condiciones arbitrarias sobre las incógnitas para resolver dicho sistema. La forma de seleccionar las condiciones ha dado lugar a diferentes métodos; por ejemplo, si se toman de modo que [1,1 = 12,2 = 13,3 = 1, se obtiene el método de Doolitle; si en cambio se selecciona uI 1 = u22 = u33 = 1, el algoritmo resultante es llamado método de Crout. ", Se continuará el desarrollo de la factorización. Tómese [1,1

== 12,2

=

=

13,3

1

Con estos valores se resuelven las ecuaciones directamente en el orden en que están dadas De (a)

u1,I

=

al,l '

uI,2

=

al,2'

U 1,3=

al,3

(3.74)

'

De (b) y sustituyendo los resultados (Ec. 3.74) 12,1 = a2,I u2,2

=

/ u1,1

=

a2,1/

UI,2

=

a2,2

12,1

a2,2 -

al,l ' a2,I -

(3.75)

al,2 al,l

U2,3

=

a2,3

12,1

-

UI,3

a2,I

=

a2,3

-

al,3 al,l

De (e) y sustituyendo los resultados de las ecuaciones 3.74 y 3,75 [3,1 = a3,I / uI,1

= a3,l

/ al,l

(3.76) a2,2

a2,I -

al,2

al,l u3,3

= a3,3

-

13,1 U1,3

-

13,2 U2,3

=

a3,I a3,2 a3,3

-

al,2 al,l

a3,1

a2,1

al,3-

[a2,3 a2,1

al,1 a2,2 -

a 1,3]

al,1

al,2 al,l

Las ecuaciones 3.74,3.75 Y 3.76, convenientemente generalizadas constituyen un método directo para la obtención de L y U, con la ventaja sobre la triangularización de que no se tiene que escribir repetidamente las ecuaciones o arreglos modificados de A x = b. A continuación se resuelve un ejemplo.

Matrices y sistemas

Ejemplo 3.32

lineales

185

Resuelva por el método de Doolitle el sistema 4xI

-

9x2 + 2x3

5

2x1

-

4x2 + 6x3

3

xI

Solución

de ecuaciones

x2 + 3x3 = 4

-

Con 11,1 = 12,2 = 13,3 = 1, se procede al cálculo de la primera fila de U = 4; uI,2 = -9; u1,3 = 2,

U¡,I

cálculo de la primera columna de L 11,1 = 1 (dato); 12,1 = 2/4 = 0.5; 13,1 = 1/4 = 0.25 cálculo de la segunda fila de U u2,1 = O (recuérdese que U es triangular superior) u2,2 = -4 - (2/4) (-9) = 0.5; u2,3 = 6 - (2/4) (2) = 5 cálculo de la segunda columna de L 11,2

=

O (ya que L es triangular inferior)

12,2 = 1 (dato),

[3,2

= (-1-(1/4) (-9» / (-4-(2/4) (-9» = 2.5

cálculo de la tercera fila de U, o más bien sus elementos faltantes, ya que por ser triangular superior

= u3,2 = O u3,3 = 3 - (1/4) (2) - [(-1-(1/4)(-9»)/(-4-(2/4)(-9»)](6-(2/4)(2») =-10

U3,1

Con esto se finaliza la factorización". Las matrices L y U quedan como sigue

(3.76)

L=

[1

O

0.5 0.25

1 2.5

n

U=

-9 0.5

[~ -I~] O

cuyo producto, como ya se comprobó, da A.' Se resuelve el sistema L e b, donde b es el vector de términos independientes sistema original

=

el =5; 'todo no se

A con-

del

e2 = 3 -0.5 (5) = 0.5

e3 =4 -0.25 (5) - 2.5(0.5) = 1.5, y, finalmente, al resolver el sistema U x = e se tiene la solución del sistema original:

• Los cálculos se han llevado en el orden fila-columna, algoritmos correspondientes.

fila-columna,

etc., por convenir a la elaboración

de los

186


[~ [~ X33

-9 2] 0.5 5 O --10 10

[X¡~ [X¡~ x

[5 ~ 0.5 1.5

22

x33

= -0.15 -0.15 =

/0.5 x22 = (0.5 - 5 (-0.15» (-0.15)) /0.5

= 2.5

= (5 + 9(2.5) - 2(-0.15))/4 2(--0.15»/4 == 6.95 x¡ =

X

= =

6.95] 6.95] 2.5 [ -0.15 --0.15

Para Para realizar realizar los cálculos cálculos puede puede usarse usarse Matlab Matlab o la TI-92 TI-92 Plus. Plus.

) '1

clear elear fonnat short short fonnat A=[4 9 22 ;; 22 --4 4 66 ;; 11 --1 1 33 J A=[4 --9 J b=[5 3 3 4J 4J b=[5 [L, U,PJ=lu U,PJ=lu (A); (A); [L, L L U U % Se Se multiplica multiplica b por para que refleje refleje los % por P para los % intercambios intercambios para llegar llegar y U U % hechos en A para a L y b=lYP b=1YP e(l)=b(1) ; c(l)=b(1) ec (2) (2) =b (2) (2) -L (2, (2, l)*e l)*c (1) (1) ; ec (3) =b (3) L (3, L (3,2)*e (3) --L (3, l)*e l)*c (1) (1) --L (3,2)*c (2) ;

ec =e (3)IU(3,3) ; x (3) (3)=c(3)/U(3,3) x (2) == (e U(2 ,3) *x (3)) (c (2) --U(2,3) (3)) IU(2,2) /U(2,2) ; x (1) == (e (c (1) -U(1 -U(1 ,2) ,2) *x (2) (2) -U(l -U(l ,3)*x ,3)*x (3)) (3)) IU(1,l) /U(1,l) ; xx

e3_32 () Prgm Prgm

[4,-9,2;2, -4,6;1, -1,3j -1,3J .... ....• a: [5,3, 4j 4J....• b:ClrIO [4, -9,2;2, -4,6;1, a: ....b:ClrIO LU a,L , u, p :Disp L:Pause:Disp u:Pause a,L,u,p:Disp L:Pause:Disp u:Pause lYp-+b:b[l, 1J....• c[lJ :b[1,2j :b[1,2J --L[2, 1J*c [1 [l} j ....• 1Yp->b:b[l, 1J .... e[lj L[2, 1J*e .... ec[2J [2j.t b[1,3J L[3,2J*c[2J .... ....• c[3J b[1,3] --L[3,1J*c[lJL[3,1j*e[lJ - L[3,2]*e[2] e[3] Disp c: Pause Pause Disp D->x[l] ::D->x[2J: c[3J1u[3,3J .... ....• x[3J x[3] ()-->x[1] ()-->x[2j : e[3J1u[3,3] (c [2] [2J --u [2,3J*x[3J) lu /u [2,2j [2,2J .... ....• (e u [2,3]*x[3j) xx[2J [2] (c [1] [lJ -u [1,2]*x[2] [1,2J*x[2] --u [3J)) lu /u [1, [1, 1J....• [L] (e u [1 ,,3J*x 3]*x [3] l] .... x [1] Disp x x Disp

Los Los resultados resultados intermedios intermedios difieren difieren de los anotados anotados anteriormente, anteriormente, debido debido a que que Matlab Matlab realiza realiza intercambios intercambios de fila para para llegar llegar a las matrices matrices L y U. U. Sin Sin embargo, embargo, los resultados resultados finales son los mismos. mismos. finales

Al(

Para f mente, DA RE PASO PASO PASO

Matrices y sistemas sistemas de ecuaciones ecuaciones lineales Matrices

187

Las ecuaciones ecuaciones 3.74, 3.74, 3.75 3.75 Y 3.76 3.76 se generalizan generalizan para para factorizar factorizar la matriz matriz coeficiente coeficiente Las del sistema sistema A x = = b, que que puede puede resolverse resolverse por por eliminación eliminación de Gauss Gauss sin intercambio intercambio de fidel las; se tiene tiene entonces entonces las;

(3.77) (3.77) ll.=.= I,} l,}

1

Uj,j

j-l j-l

(a¡j- - L uk,j·l¡,k); ukjlik); 1,... (a¡,j' ii=i+ = j + 1, ... , n ,

lu

k=1 k=1

'

,

1; i = = 1,2, 1,2, ... , n = 1;

oo con la convención convención en las sumatorias sumatorias que que L L= = O. O. con k=l k=l

Puede observarse observarse al seguir seguir las ecuaciones ecuaciones 3.74, 3.74, 3.75 3.75 Y 3.76 3.76 o bien bien las ecuaciones 3.77, que que Puede ecuaciones 3.77, una . en el cálculo . o ll¡,j . . según A no una vez vez empleada empleada a· ai,j cálculo de u· u¡,j según sea sea el caso, caso, esta esta componente componente de A IJ l ,} l,} vuelve a emplearse emplearse como como tal, por por lo que que las componentes componentes de L y U generadas generadas pueden pueden guarguarvuelve darse en A y ahorrar ahorrar memoria memoria de esa esa manera. manera. El siguiente siguiente algoritmo algoritmo de factorización factorización de A darse ilustra esto. ilustra esto.

ALGORITMO ALGORITMO

3.6 Factorización Factorización directa directa 3.6

Para factorizar factorizar una una matriz matriz A de orden orden N en el producto matrices L yU triangulares inferior inferior y superior, superior, respectivarespectivaPara producto de las matrices yU triangulares mente, con con l¡,j l¡,j = 1; i = 1, 2, ... ... , N, proporcionar proporcionar los los mente, DATOS: orden N y y las componentes componentes de la matriz matriz A. DATOS: El orden RESULTADOS: Las matrices matrices L y U en A o mensaje mensaje de falla falla "LA "LA FACTORIZACIÓN RESULTADOS: Las FA CTORIZACIÓN NO NO ES ES POSIBLE". POSIBLE".

PASO PASO PASO PASO PASO PASO

l. 1. 2. 3.

SiA(1,l) O IMPRIMIR IMPRIMIR "LA FACTORIZACIÓN YTERMINAR. De otro otro modo continuar. Si A(l, 1) = O FACTORIZACJÓN NO NO ES ES POSIBLE" POSIBLE" Y TERMINAR. De modo continuar. Hacer J = l. 1. Hacer Mientras J ~ N, repetir repetir los pasos pasos 4 a 25. Mientras PASO 4. Hacer Hacer 1 = J. PASO Mientras 1 ~ N, repetir repetir los pasos pasos 6 a 13. PASO PASO 5. Mientras PASO 6. Hacer Hacer SUMAT SUMAT = O. PASO PASO 7. Si J = 1 ir al paso paso 12. De De otro otro modo modo continuar. continuar. PASO PASO 8. Hacer Hacer K = 1. PASO PASO 9. Mientras Mientras K ~ J - 1, 1, repetir repetir los pasos pasos 10 y 11. PASO PASO 10. Hacer Hacer SUMAT SUMAT = SUMAT+A(J,K)*A(K,I). SUMAT+A(J,K)*A(K,I). PASO PASO 11 11.. Hacer Hacer K = K + 1. PASO PASO 12. Hacer Hacer A(J,I) A(J,I) = A(J,I) SUMAT. A(J,I) - SUMAT. PASO PASO 13. Hacer Hacer 1 = 1 + 1. PASO paso 25 25.. De De otro otro modo modo continuar. continuar. PASO 14. Si J = N ir al paso PASO Hacer 1 = J + 1. PASO 15. Hacer PASO Mientras 1 ~ N, repetir repetir los pasos pasos 17 a 24. PASO 16. Mientras PASO PASO 17. Hacer Hacer SUMAT SUMAT = O. PASO PASO 18. Si J = 1 ir al paso paso 23. De otro otro modo modo continuar. continuar. PASO PASO 19. Hacer Hacer K = 1. PASO PASO 20. Mientras Mientras K ~ JJ-1,1, repetir repetir los pasos pasos 21 y 22. PASO PASO 21. Hacer SUMAT=SUMAT+A(K,J)*A(I,K). PASO Hacer SUMAT=SUMAT+A(K,J)*A(I,K). PASO 22. Hacer Hacer K = K + l. 1. PASO PASO 23. Hacer Hacer A(I,J)=(A(I,J)-SUMAT}/A(J,J). A(I,J)=(A(I,J)-SUMAT)iA(J,J). PASO PASO 24. 24. Hacer PASO Hacer 1 = 1 +1.

188

Métodos numéricos numéricos aplicados a la ingeniería ingeniería Métodos aplicados a

PASO 25. Hacer Hacer J = J + 1 PASO PASO A(N,N) = O O IMPRIMIR IMPRIMIR "LA "LA FACTORIZACIÓN FACTORIZACIÓN NO POSIDLE" y TERMINAR. TERMINAR. De De otro otro modo modo conticontiPASO 26. Si A(N,N) NO ES POSIDLE" nuar. PASO 27. 27. IMPRIMIR IMPRIMIR A Y TERMINAR. TERMINAR. PASO

Obsérvese que que cualquier cualquier elemento elemento a¡ a¡,ii = = O, impediría impediría emplear emplear este este algoritmo; algoritmo; por otro laObsérvese por otro do, al no pivotear pivotear no se reducen reducen en l¿ posible los errores redondeo. Para hacer eficienlo posible errores de redondeo. Para hacer eficieneste algoritmo, algoritmo, debe debe incluirse incluirse un intercambio intercambio de filas filas como en la eliminación eliminación de Gauss Gauss te este como en con pivoteo. continuación se presenta algoritmo anterior, anterior, pero ahora con con estas estas modimodicon pivoteo. A continuación presenta el algoritmo pero ahora ficaciones. ficaciones.

ALGORITMO Al.GORITMO

Factorlzación con pivoteo pivoteo 3.7 Factorización

Para factorizar factorizar una matriz A de orden orden N en el producto triangulares inferior superior respectivaPara una matriz producto de las matrices matrices L y U triangulares inferior y superior respectivamente, con con lj.j l¡,¡ = = 1; i = = 1,2, ... ... , N, con con pivoteo pivoteo parcial, parcial, proporcionar proporcionar los mente, DATOS: El orden orden N y las componentes componentes de la matriz matriz A. DATOS: El RESULTADOS: Las matrices matrices L y U en mensaje de falla "LA FACTORIZACIÓN RESULTADOS: Las en A o mensaje falla "LA FACTORIZACIÓN NO NO ES ES POSIBLE". POSIBLE". PASO 1. PASO PASO 2. PASO PASO 3. PASO

Hacer R == O O (R registra intercambios de fila fila que que se llevan llevan a cabo). cabo). Hacer registra el número número de intercambios Hacer J = 1. Hacer Mientras JJ::;:o; N, repetir ll. Mientras repetir los pasos pasos 4 a ll. PASO 4. Si J = N ir al paso PASO paso 10. PASO 5. Encontrar Encontrar PIVOTE PIVOTE y P (ver (ver paso algoritmo 3.4). 3.4). PASO paso 5 de algoritmo PASO 6. Si PIVOTE PIVOTE = O O IMPRIMIR IMPRIMIR "LA "LA FACTORIZACIÓN TERMINAR. De De otro otro FACTORIZACIÓN NO NO ES ES POSIBLE" POSIBLE" Y TERMINAR. PASO modo continuar. continuar. modo PASO 7. Si P = J ir al paso De otro otro modo PASO paso 10. De modo continuar. continuar. PASO 8. Intercambiar Intercambiar la fila fila J con con la fila fila P de A. PASO PASO 9. 9. Hacer Hacer R = R + 1. PASO PASO 10. Realizar Realizar los pasos 24 de algoritmo algoritmo 3.6. 3.6. PASO pasos 4 a 24 PASO 11. Hacer Hacer J = J +1. PASO PASO 12. Si A(N,N) O IMPRIMIR IMPRIMIR "LA "LA FACTORIZACIÓN YTERMINAR. De otro otro modo modo continuar. continuar. PASO A(N,N) = O FA CTORIZACIÓN NO NO ES ES POSIBLE" POSIBLE" Y TERMINAR. De PASO 13. IMPRIMIR PASO IMPRIMIR A Y TERMINAR. y TERMINAR.

I

A continuación continuación Se sistema por método de Doolitle Doolitle usando factorización se resuelve resuelve un sistema por el método usando la factorización con pivoteo. con pivoteo.


Resuelva sistema del ejemplo ejemplo 3.29 3.29 Resuelva el sistema

1 2 6

l Ox, + lOx¡ -20x¡ + -20x¡ 5x¡ + por Doolitle, con con pivoteo por el método método de Doolitle, pivoteo parcial parcial

Solución Solución

intercambiar la primera segunda filas filas resulta matriz aumentada aumentada siguiente: siguiente: resulta la matriz Al intercambiar primera y segunda

A =

-20 -20

3

1~ 1~

1 3

[[

20 -5 5

!]

Matrices y sistemas de ecuaciones ecuaciones lineales Matrices sistemas de lineales

nti-

189

Como la nueva nueva a a¡,¡,¡ F forma la primera fila de U y se guarda como primera fila Como O, se forma primera fila guarda como primera fila l F O, deA. deA. al,! al ,]

u¡,¡,¡ = -20, -20, a¡,2 = u¡,2 = U¡ a¡ ,2 = u¡ ,2 = 3, a a¡,3 u¡ ,3 = 20 20 l,3 = u¡,3

Cálculo de .la primera primera columna excepto 1l¡1,1' ,1' como como primera columna registro, excepto primera columna Cálculo columna de LL y su registro, deA deA laien-

11,1 ll,l

auss

12,1 l2,¡

10/(-20) = = - 0.5 10/(-20)

= 13,1 aa33,¡,1 = l3,1

5/(-20) = = - 0.25 0.25 5/(-20)

a = a 22,1,! =

cdi-

== 1 (dato), (dato),

La matriz matriz A resultante resultante entonces entonces es: La

[=~~5 [= ~~5

A=

tiva-

--0.25 0.25

3 1 3

20

-5 5

busca el nuevo nuevo pivote pivote en la parte segunda columna columna (segunda (segunda y tercera Se busca parte relevante relevante de la segunda tercera filas) y resulta resulta ser el elemento elemento a32 filas) 32. . intercambia la segunda segunda fiÍa con entonces queda: queda: Se intercambia con la tercera tercera y entonces -20 - 20 -0.25 -0.25 [ -0.5 -0.5

A= A= otro

3 3 11

~] ~]

20 5

--55

Cálculo de la segunda segunda fila fila de U (mejor dicho de los elementos distintos distintos de cero cero de dicha dicha Cálculo (mejor dicho los elementos almacenamiento de éstos éstos en las posiciones correspondientes de A): A): fila y almacenamiento posiciones correspondientes a22,2,2

a22,3,3

== u2,2,2 == 3 ((- 0.25)(3) 0.25)(3) = 3.75 = 3.75

== u22,3,3 == 5 - ((- 0.25)(20) 0.25)(20) = 10.0 = 10.0

Cálculo de la segunda segunda columna columna de L; elementos debajo debajo de L; es decir, decir, de los elementos Cálculo miento de éstos éstos en las posiciones miento posiciones correspondientes correspondientes de A. a a 32 32

"

== l32 132==

(- 0.5)(3) 0.5)(3) 1 - (3.75 3.75

almacenay almacena-

12,2 l2 ,2 y

=

= 0.666666 0.666666

Con estos estos valores valores la matriz resultante es Con matriz A resultante

A

[= ~~25

==

~~25

-0.5 -0.5

3 3.75 3.75 0.6666 0.6666

20 10

-5

~] ~]

Como a 33,3,3 FF O, O, se calcula calcula u33,3' que constituye constituye la parte fila de U, U, y se Como ,3' que parte relevante relevante de la tercera tercera fila almacena en a3,3' almacena ,3'

=

= -5 -5 -

a 33 3 = U33 33 =

0.5) (20) (20) - (0.66666) (0.66666) (lO) (LO) = = --1.6666 (- 0.5) 1.6666

con lo cual cual la matriz matriz aumentada como sigue: sigue: con aumentada queda queda como

A

==

[= ~~25

~~25

- 0.5

3 3.75 3.75 0.6666 0.6666

20 10 1.6666 - 1.6666

~] ~]

190

Métodos um é ricos aplicados Métodos n numéricos aplicados a a la la ingeniería ingeniería

resolver los sistemas Al resolver sistemas

~0.25 [ ~~;5

Le = b' con L= Le = b' conL=

[

1 !6666 ~] 0.6666

-0.5

m

~] b'~ m

o

y b' =

se tiene: tiene: el = 2 e 2 = 6 + 0.25(2) 0.25(2) = = 6.5 e 3 = 1 + 0.5(2) 2.33329 0.5(2) - 0.6666(6.5) 0.6666(6.5) = = --2.33329

Pl

y

-20 -20

Ux Ux=c=c

con con U = = [

3 3.75 3.75 O O

~ ~

PP PP

20 ] 10 --1.6666 1.6666

Y e como como arriba. arriba.

PP PP

se tiene tiene x33 == x

22

Xl= l =

--2.33329 2.33329 -1.66666 -1.66666

= = 1.3999796 1.3999796

= 6.5 - 10(1.3999796) 10(1.3999796) = = --1.9999456 = 1.9999456 3.75 3.75

2 - 3(-1.9999456) 3(-1.9999456) - 20(1.3999796) 20(1.3999796) = O 0.99999 - - - - -- - - - - -- - = .99999

PA PA PA

-20 -20

Para realizar los cálculos puede usarse usarse el siguiente Para realizar cálculos puede siguiente guión guión de Matlab: Matlab:

elear cl ear A=[10 1 --5 3 5] 5] A=[10 1 5 ;; --20 20 3 20 ;; 5 3 b=[1 2 2 6] 6] b=[1 [L, U,P]=lu (A) ; [L , U, P]=lu (A) L U . U %Semultiplica transpuesto para %Se multipli ca P P por por b transpuesto para %reflejar los intercambios intercambios hechos en en A %reflejar los b=P'b' b=P"b' e(l)=b(1) ; e(l)=b(l) (2,, ll)*e (1); e (2) =b (2) --LL (2 )*c(l ); (3) =b (3) (3) -L -L (3, l)*c l)*e (1) (1) -L -L (3, (3,2) *e (2) ; e (3) 2 ) *c ee x (3) =c =e (3)IU(3 (3) fU(3,3); , 3) ; x (2) = = (e (2) -U(2,3)*x (3)) IU(2 fU(2,2) - U(2, 3) *x (3)) , 2) ; x (1) (1) = = (e (1) --U(l ,2)*x (2) --U(1, 3)*x (3)) IU(1 fU(l,l), l) ; U(l ,2) *x (2) U(1 , 3) *x (3)) x x

PA PA

191

Mat r ices yy ssistemas is temas de ecuaciones ecuaciones lineales lineales Matrices

A continuación continuación se da el algoritmo algoritmo de Doolitle Doolitle

ALGORITMO ALGORITMO

3.8 Método Método de Doolitle

Para A , proporcionar Para obtener obtener la solución solución del sistema sistema A x = = b Y el determinante determinante de A, proporcionar los los DATOS: N el número DATOS: número de ecuaciones, ecuaciones, A la matriz matriz aumentada aumentada del sistema. sistema. RESULTADOS: El vector NO ES ES POSIBLE". POSIBLE". RESULTADOS: vector solución solución x y el determinante determinante de A o mensaje mensaje "LA FACTORIZACIÓN FACTORIZACIÓN NO PASO PASO l. 1. PASO PASO 2. PASO PASO 3. PASO PASO 4. PASO PASO 5.


13. 14. 15.

PASO PASO 23. PASO 24. 24. PASO

Realizar Realizar los los pasos pasos 1 al 12 del del algoritmo algoritmo 3.7. Hacer Hacer c(l) c(l) == A(I,N+ A(l,N+ 1). 1). Hacer Hacer DET DET = A(l,l). A(l,l). Hacer I = 2. Hacer Mientras Mientras 1 I ~ N, repetir repetir los los pasos pasos 6 a 12. PASO PASO 6. Hacer Hacer DET DET = DET DET *A(I,I). *A(I,I). PASO 7. Hacer Hacer c(I) c(l) = A(I,N+l). A(I,N+1). PASO PASO 8. Hacer Hacer J = 1. PASO PASO 9. 9. Mientras Mientras J 2: ;:::: 1-1,, repetir repetir los los pasos pasos 10 y 1l. 11. PASO 1-1 PASO 10. Hacer Hacer c(l) c(l) = c(l) c(l) -A(I,J)* -A(I,J)* c(J) c(J) . PASO PASO Hacer J = J + 1. PASO 11. Hacer PASO Hacer 1 I = I +1. PASO 12. Hacer Hacer Hacer x(N) x(N) = c(N)/A(N,N). c(N)/A(N,N). Hacer 1 I = N -1. -1. Hacer Mientras 12: 1;::::1, 1, repetir repetir los pasos 16 a 22. Mientras los pasos PASO PASO 16. Hacer Hacer xCI) xCI) = c(I). PASO 17. Hacer Hacer J = 1 I +1. PASO PASO PASO 18. Mientras Mientras J ~ N, N, repetir repetir los pasos pasos 19 y 20. 20. PASO 19. Hacer x(l) = x(l) x(l) - A(I,J) * x(J). x(J). Hacer x(l) PASO PASO 20. Hacer Hacer J = J + 1. PASO PASO 21. Hacer Hacer xCI) x(l) = x(I)/A(I,I). x(I)/A(I,I). PASO PASO 22. Hacer Hacer 1 1== 1 1-1. - 1. PASO Hacer DET DET = DET DET *(-1) *(-1) ** R. Hacer IMPRIMIR DET Y YTERMINAR. IMPRIMIR x y DET TERMINAR.

SISTEMAS SIMÉTRICOS SISTEMAS SIMÉTRICOS

En el caso = b sea sea simétrica, simétrica, los los cálculos cálculos de caso de que que la matriz matriz coeficiente coeficiente del sistema sistema A x = posible) se simplifican, segunda de las las ecuaciones ecuaciones 3.77 3.77 se la factorización factorización (si es posible) simplifican, ya que que la segunda a: reduce reduce a., a·· J,l.. .Ó: . .' 1ij 1 ij=,... ,n= - J,l 1l=J+ = ] . + 1,,... ... ,,n,J=, n,] = 1, 2,.", n- 1 ,

a· a···

(3.78) (3.78)

JJ

Esto cuando n es grande. grande. Esto disminuye disminuye considerablemente considerablemente el trabajo, trabajo, en particular particular cuando


Resuelva Resuelva el sistema sistema simétrico simétrico siguiente siguiente

[l[! Solución

1 O O 4

Cálculo de la primera primera fila de U y su registro registro en A. Cálculo

192


a¡,¡ a l ,1

= UI,I U¡,¡ = = 2, =

a a¡,2 l ,2

= =

a

a¡,3 l ,3

u u¡,2 = 1, 1, I ,2 = = u¡,3 = 3. = u I ,3 =

Cálculo la ecuación ecuación Cálculo de los elementos elementos relevantes relevantes de la primera primera columna columna de L, L, usando usando la 3.78 3.78 y su registro registro en A.

aa¡3l3

a31 ¡=-' 1 = l33 l.5 3,=1 ,1 = -a ' ==1.5 1,1 i.i

Cálculo segunda fila posiciones Cálculo de los elementos elementos relevantes relevantes de la segunda fila de U y su registro registro en las posiciones correspondientes correspondientes de A -12,¡ u u¡,2 =0 0-0.5 aa22,2,2 == uU2,2 == aa22,2,2 -l2,1 - 0.5 (1) == --0.5 0.5 I ,2 =

aa22,3,3 == uu22,3,3 == aa22,3,3 -

l2,1 12,1 u U¡,3 = I ,3 =

4 - 0.5 (3) == 2.5

Cálculo 3.78 Cálculo de los elementos elementos relevantes relevantes de la segunda segunda columna columna de L L mediante mediante la ecuación ecuación 3.78 registro en las posiciones posiciones correspondientes correspondientes de A. y su registro a33,2 = =

aa23 23

=- 5 a '- =

l3 13 2 = = --'-

,

2,2 2,2

Finalmente fila de U) Finalmente se calcula calcula la componente componente U33,3,3 (único (único elemento elemento relevante relevante de la tercera tercera fila verifica su registro registro en a3,3' ,3' y se verifica

aa33,3,3 == U3,3 == aa33,3,3 =3=

U¡,3 13,2 l13, ,3 - l3 ,2 U2,3 3,¡1 U¡

1.5(3) - (-5)(2.5) (-5)(2.5) = = 11 11 l.5(3)

La La factorización factorización da como como resultado resultado

[[ ~.5

1 --0.5 0.5

~.5

1.5 1.5

Con Con la resolución resolución del sistema sistema L Le

[ ~.5

[~[~

= =b

Para f mente

O O 1

~.5 [ l.5 1.5

obtiene: e = [O [O 1 8F se obtiene: resolver el sistema sistema U x Y al resolver

--5 5

Di RE

-5 -5

PASO PASO

=e =

3l""

1 -0.5 -0.5

2.5

O O

11 11

JJ

obtiene: se obtiene: x=

-1.9091J -l.9091J 1.6364 1.6364 [ 0.7273 0.7273

Matrices Matrices y ysistemas sistemas de de ecuaciones ecuaciones lineales lineales

193 193

Para realizar realizar los loscálculos cálculos puede puede usarse usarse elelsiguiente siguiente guión guión de deMatlab: Matlab: Para

'n c1ear c1ear A=[2 11 33; 3} A=[2 ; 11 OO 44; ; 33 44 3] b=[O 11 3] 3} b=[O A (2,1) =A (1,2) lA (1,1) A(2 , l)=A(1 , 2)IA(1 , l) ; ; A(3,1)=A(1,3)IA(1,1) A(3 , l )=A(1,3) IA(1 , l ) ;; A (2,2: 3) =A (2,2: 3) -A( -A (2,1) *A (1,2: 3) ; A(2,2:3)=A(2,2:3) 2 , l )*A( l ,2:3); A(3,2)=A(2,3)IA(2,2); A(3 , 2 )=A(2, 3 ) IA(2 , 2 ); AA(3,3)=A(3,3)-A(3,1:2)*A(1:2,3) (3,3) =A (3,3) -A (3,1: 2 ) *A (1: 2,3) ;; AA ec(l)=b(l); (1) =b (1) ; (2) =b =b (2) (2) --A (2, 1) 1) **c ee (2) A (2, e ((1); 1) ; e ( 3) =b (3)-A(3, (3) -A (3, l1 ::2)*c(1:2) 2) * e (1 : 2) ', ;; c(3)=b

ee x=[O O O]; O}; x=[O O

78

x(3)=c(~)IA(3,3); x(3)=c(~)IA(3,3); (2) == (e (e (2) (2) -A -A (2, (2,3) *x (3 (3)) )) lA lA (2,2) (2,2) ;; xx (2) 3J*x (1) -A -A (1,2: (1,2: 3 3)) *x (2: 3) ,, )) llA (1,1) ;; xx (1) == (e (1) A (1,1)

xx

U)

Es importante pivoteo parcial parcial y que que si alguno importante observar observar que que no se emplea emplea pivoteo alguno de los elementos elementos ui,i resulta resulta ser ser cero, este método método no es aplicable; aplicable; como como consecuencia, consecuencia, habrá habrá que que recurrir recurrir al ui,i cero, este método de de Doolitle Doolitle con con pivoteo, pivoteo, por por ejemplo, ejemplo, con con lo cual cual se pierde pierde la ventaja ventaja de de que que A A es método simétrica. simétrica. A A continuación continuación se se da da el algoritmo algoritmo correspondiente. correspondiente.

ALGORITMO AlGORITMO

3.9 3.9 Factorización Factorización de de matrices matrices simétricas simétricas

Para Para factorizar factorizar una una matriz matriz AA de de orden orden n17 en en elel producto producto de de las las matrices matrices LL yy U U triangulares triangulares inferior inferior yy superior, superior, respectivarespectivamente, n, proporcionar tu ==1; 1; i i ==1,2, 1,2,..... . ,,17, proporcionar los los mente, con con tu DATOS: El DATOS: El orden orden NN yy las las componentes componentes de de lala matriz matriz simétrica simétricaA. A. RESULTADOS: RESULTADOS: Las Las matrices matrices LL yy UU en en AA oo mensaje mensaje de de falla falla"LA "LA FACTORIZACIÓN FACTOR1ZACIÓNNO NO ES ESPOSIBLE". POSIBLE". PASO PASO 1.1. PASO PASO2.2.

Hacer HacerJJ== l.l. Mientras MientrasJJ:s;~N, N, repetir repetirlos lospasos pasos33alal 15. 15. PASO Hacer11==J.J. PASO3.3. Hacer PASO N,repetir repetirlos lospasos pasos55aa 13. 13. PASO4.4. Mientras MientrasI:s; 1 ~N, PASO PASO5.5. Hacer HacerSUMAT SUMAT==O.O. PASO PASO6.6. SiSiJJ== 11iriralalpaso paso 11. 11.De Deotro otromodo modocontinuar. continuar. PASO PASO7.7. Hacer HacerKK== l.1. PASO PASO8.8. Mientras MientrasK:S; K ~J J- - 1,1,repetir repetirlos lospasos pasos99yy10. LO. PASO PASO9.9. Hacer HacerSUMAT=SUMAT+A(J,K)*A(K,I). SUMAT=SUMAT+A(J,K)*A(K,I). PASO 10. Hacer HacerKK==KK++l.1. PASO10. PASO PASO11. 11. Hacer HacerA(J,I) A(J,I)==A(J,I) A(J,I)- - SUMAT. SUMAT. PASO 12. SiSi11>>J JHacer HacerAA(I,J) (I,J)==AA(J,I)/A(J,J). (J,I)/A(J,J) .De Deotro otromodo modocontinuar. continuar. PASO12. PASO PASO13. 13 . Hacer Hacer1 1==11++1.1.

194

Métodos numéricos

aplicados

PASO 14. Si A(J,J) = O IMPRIMIR

a la ingeniería

"LA FACTORIZACIÓN

NO ES POSIBLE"

Y TERMINAR.

De otro mo-

do continuar. PASO 15. Hacer J = J + 1. PASO 16. IMPRIMIR A Y TERMINAR.

MÉTODO

DE CHOLESKY

Una matriz simétrica A cuyas componentes son números reales, es positiva definida si y sólo si los determinantes de las sub matrices de A son positivos.

I al,1 I > O,

al.1

al,2

a2,1

a2,2

al,1

al,2

al,,,

a2,1

a2,2

a2,,,

> O,... ,

>0 a",1

a",2

<,

En el caso de tener un sistema A x = b, con A positiva definida, la factorización de A en la forma L U es posible y muy sencilla ya que toma la forma L U, donde L es triangular inferior: 11,1

O

12, I

12,2

1",1

1",2

O

L= O

i:

Los cálculos se reducen, ya que ahora basta estimar n(n+ 1)/2 elementos (los I¡,j -:f. O), en lugar de los n2 elementos de una factorización nominal (los I¡,j tales que i < j Y los u¡,j tales que i ?:.j). El número de cálculos es prácticamente la mitad.

Ejemplo 3.35

Resuelva el sistema de ecuaciones lineales 1 2 O cuya matriz coeficiente es simétrica y positivamente

definida.

Solución Factorización

de A

3,1]

1

13,2 13,3

Matrices lineales Matrices yy sistemas sistemas de de ecuaciones ecuaciones lineales

De la la multiplicación multiplicación de de matrices matrices se se tiene tiene De IT,I = al al,l; 11,1 = ±± A l == ±± 2 se toma toma el el valor valor positivo positivo de todas todas las las raÍCes raíces IL ,l; 1 1,1

~l

11,1 11,1 = 22 122,1,1 = = aal,2;,2; 1111,1 ,1 1

1122,1 ,1 = aali 11,1 ,1 =112 =112 = 0.5 l ,/ 1

11,1 1 133,1 ,1 = = a1l ,3;,3 11,1

1133,1,1= aalil ' / 1111,1,1 =2/2 =2/2 = 11

2 + 12 12,1 2,2

;

1122,2,2 == J J a2,2

a2,2 '.

-

-/L IL -

J 2 - 0.5 2 = 1.32287 1.32287 1122,2,2 = J 1I _ 3,11 + a 22,3 - --1122,1 "1 113 ,3 3,2 1I 2,2 2,2

113,2 = _

-0.37796 0.5 (1) = -0.37796 1.32287 l.32287

= a3,3,3 ; =

1 133,3

3

en lar

.

13,11 + ~ 1~,2 13,3 ~ ,2 + I~ ,3

= = J J a3,3,3 - I~, 13,11 -- l~,2 13,2

[3,3 = 0.14286 = 1.96396 1.96396 1 J 5 - 1 - 0.14286 33 = J

Al resolver resolver el sistema: sistema: Lc=b Lc = b

[~5 ~5 [

o

o 1.32287 1.32287 -0.37796 -0.37796

OO

J

1.96396

0.5 ce22 = = (2 - 0.5(0.5»/1.32287 0.5(0.5))/l.32287 == 1.32287 l.32287 ce33 = = (4 - 0.5 0.5 + 0.37796(1.32287»/1.96396 0.37796(l.32287))/1.96396 == 2.0367 2.0367

C elI =

Al Al resolver resolver el el sistema: sistema: Lrx=c V'x=c

[~ [~

0.5 0.5 1.32287 l.32287 OO

-0.3~79JJ [~~]

- 0.3~796] 1.96396 1.96396

[~~] xx33

==

0.5 0.5 ]] 1.32287 l.32287 [[ 2.0367 2.0367

== 2.0367/1.96396 2.0367/1.96396 == 1.037 l.037 xx22 == (1.32287 (l.32287 ++ 0.37796(1.037»/1.32287 0.37796(1.037))/1.32287 == 1.29629 l.29629 xI = (0.5 (0.5 -- 0.5 0.5 (1.29629) (l.29629) -- 1.037)/2 l.037)/2 = -0.59259 -0.59259 Xl X X33

El El vector vector solución solución es: es: -0.59259] -0.59259] xx == 1.29629 1.29629 [[ 1.037 1.037

195 195

196

Métodos Métodos numéricos numéricos aplicados aplicados a a la ingeniería

Para realizar realizar los cálculos cálculos puede puede usarse usarse el siguiente siguiente guión guión de Matlab Matlab que que utiliza utiliza la funPara ción chol chol (A), que que devuelve devuelve la matriz matriz triangular triangular superior superior U de A, la cual deberá deberá ser simésiméción trica y positiva positiva definida: definida: trica

rIl

,,-IIJ\t.. 1 2 O; O; 2 O 5] 5J

A= [4 11 2 2 A= [4 U=chol (A) U=chol L=U' L=U' b=[l 4J b=[l 22 4] c=inv(L)*b' c=inv(L)*b' x=inv (L' )*c ) *c x=inv(L'

PAse

fórmulas de este este algoritmo algoritmo para para un sistema sistema de n ecuaciones ecuaciones son Las fórmulas

-r-;

ll,l 11,1=~

ii=2,3",.,n = 2, 3, ... , n

t., = = al/ll,l al/l¡,1 li,1 ii-I I

l=a-L[2k l=a-L[2k 1,1 1,1 k=11 1,1,.' 1,1 ( 1,1 k=

)l/2 )112

i

= 2,3'00 2,3'00' ' =

,,nn

i-II i-

lJ,),1l = = ~~ (a 1,) - k= L 1 l k1 1t.k) k) 1 L 1. Ca l.. I,J k=1l 1,1, J,

= 2, 2, 3'00' 3'00' ,n ,n i=

1,1 1,1

j 1.= O 1.= O 1,) I,J

" , .'

ALGORITMO

.i

.

\\

" •., - ,

3.10 Método de Cholesky .

Para factorizar factorizar una matriz matriz positiva positiva definida definida en la forma forma L L U, proporcionar proporcionar los Para DATOS: orden de la matriz matriz y sus elementos. elementos. DATOS: N, el orden RESULTADOS: La matriz matriz L. L. RESULTADOS: La PASO 1. PASO PASO 2. PASO PASO PASO 3.

PASO PASO 6. 6. PASO 7. PASO

-} , n -}

< j i <

continuación se da el algoritmo algoritmo para este método. método. A continuación para este

f' '\;

= i + 1, 1, i + 2,... =

Hacer L(l,l) L(l,l) =A =A (1,1) (1,1) ** ** 0.5. Hacer Hacer 1 = 2. Hacer Mientras 1 ::; ::;N, repetir los pasos pasos 4 y 5. Mientras N, repetir PASO 4. Hacer Hacer L(l,l) L(1,l) = = A(l,I)/L(1,l) A(l,I)/L(1,l) Y L(I,I) = = O. PASO PASO 5. Hacer Hacer l1 == l1 + 1. PASO Hacer 1 == 2. Hacer Mientras 1::; 1 ::;N, pasos 8 a 24. Mientras N, repetir repetir los pasos PASO 8. Hacer Hacer S = O. PASO PASO 9. Hacer Hacer K == 1. PASO PASO 10. Mientras Mientras K::; K::; 11-1, repetir los pasos pasos 11 11 y 12. PASO 1, repetir PASO 11. Hacer Hacer S = S + L(1,K) L(1,K) **2. **2. PASO

Matrices yy sistemas sistemas de ecuaciones ecuaciones lineales

197

PASO 12. Hacer Hacer K == K +1. +l. PASO 13.. Hacer Hacer L(I,!) L(I,!) = (A(r,!) (A(I,I) - S) ** 0.5. 0.5. 13 14. Si 1 = N ir al paso paso 25. Hacer J = 1I + l. 15. Hacer l. 16. Mientras Mientras J :::; :::;N, N, repetir repetir los los pasos pasos 17 a 23. PASO PASO 17. Hacer Hacer S = O. o. PASO 18. Hacer l. PASO Hacer K = 1. PASO 19. Mientras K:::; 1-1, repetir repetir los pasos pasos 20 y y 2l. 2l. PASO Mientras K :::; 1-1, PASO PASO 20. Hacer Hacer S == S + L(l,K)*L(J,K). L(I,K)*L(J,K). PASO 2 21. Hacer K = K + 1. l. PASO 1. Hacer PASO 22. Hacer Hacer L(J,I)=(A(I,J)-S)/L(l,l) L(J,I)=(A(I,J)-S)/L(I,I) y y L(I,J) L(I,J) == O. PASO PASO 23. Hacer Hacer J = J + 1. l. PASO PASO PASO 24. Hacer Hacer 1I = 1 +1 +1.. TERMINAR. PASO PASO 25. IMPRIMIR IMPRIMIR L Y YTERMINAR. PASO PASO PASO PASO PASO PASO PASO PASO

SISTEMAS DE E CUACIONES MAL SISTEMAS ECUACIONES MAL CONDICIONADOS CONDICIONADOS

Algunos solución directos que Algunos autores autores caracterizan caracterizan los métodos métodos de solución directos como como aquellos aquellos con los que obtiene la solución solución exacta exacta x del sistema sistema A x = = b mediante mediante un número número finito finito de operase obtiene operaciones, errores son prácticiones, siempre siempre y cuando cuando no existan existan errores errores de redondeo. redondeo. Como Como estos estos errores son prácticamente inevitables, inevitables, se obtendrán obtendrán en general general soluciones soluciones aproximadas aproximadas y, cuya cuya sustitución sustitución camente en el sistema sistema producirá producirá una una aproximación aproximación del vector vector b: b b'' Ay Ay

= = bb'' """"bb

En general, vector general, pequeños pequeños errores errores de redondeo redondeo producen producen sólo sólo pequeños pequeños cambios cambios en el vector solución; condicionado. Sin embargo, solución; en estos estos casos casos se dice dice que que el sistema sistema está está bien bien condicionado. embargo, en algunos otros otros los errores errores de redondeo redondeo de los primeros primeros pasos pasos causan causan errores errores más adelante algunos adelante propagan), de modo modo que que la solución solución obtenida obtenida y resulta resulta ser un vector vector distinto distinto del del vector (se propagan), vector solución; peor peor aún, en estos estos sistemas sistemas la sustitución sustitución de y satisface satisface prácticamente prácticamente dicho dicho sissolución; sistema. Este Este tipo tipo de sistemas sistemas se conocen conocen como como mal mal condicionados. condicionados. A continuación continuación se pretema. presentan dos ejemplos ejemplos sentan Sea el sistema sistema mal mal condicionado" condicionado" Sea 1.99J 1.99J [ 1.97 cuya solución solución es XI cuya XI

(3.79) (3.79)

= x22 = = 1.00, 1.00, y sea la matriz matriz aumentada aumentada siguiente siguiente = l.00 1.00 [ 0.00 0.00

0.9900 0.9900 0.0001 0.0001

l.9900J 1.9900J 0.0001 ' 0.0001

resultado de la triangularización. triangularización. Si se redondea redondea o corta corta a tres dígitos dígitos la última última fila, fila, queel resultado quedaría como como fila de ceros ceros y el sistema original como como un sistema sistema sin solución solución única. única. daría sistema original por otro otro lado, lado, por por un pequeño pequeño error error en los cálculos cálculos se obtiene obtiene como como solución solución de la Si, por ecuación 3.79 3.79 ecuación YI=

O, Y2

=

2,

Forsythe, G.E. G.E. y Moler, Moler, C.B C.B.. Computer Computer So/ution Solution of Systems. Englewood Englewood Cliffs, Cliffs, NJ. NJ. Prentice * Forsythe, ol Linear Linear Algebraic Algebraic Systems. Prentice Hall (1967). (1967). Hall

198

Métodos numéricos


que aunque distinta del vector solución da en la situación

[~:~~

~:~~J

D:~~

=

[~J

J

prácticamente el vector b. Aun una solución tan absurda como Y,= 100, Y2 da resultados sorprendentemente

=

-99,

cercanos a b

1.00 [ 0.99

0.99J 0.98

=

100J [ -99

[1.99J 1.98

Algunas veces los elementos de A y b son generados por cálculos (véase algoritmo s 5.1 y 5.5) Y los valores resultantes de ambos son ligeramente erróneos. Sea el sistema mal condicionado 1.001

xI

-

xI

-

x2 = 1 x2 = O

(3.80)

que se desea resolver, pero por errores de redondeo o de otro tipo, se obtiene en su lugar Y, - 0.9999 Y2 = 1.001 Y, - 1.0001 Y2 = O,

(3.80')

que difiere sólo "ligeramente" del sistema 3.80 Las soluciones exactas son, respectivamente,

x

=

1000J [ 1000;

=

y

[5005.5005J 5005.0000

cuya diferencia es notable a pesar de que los sistemas son casi idénticos. Para entender esto se da a continuación una interpretación geométrica de los sistemas mal condicionados.

INTERPRETACIÓN CONDICIONADO

GEOMÉTR'CA DE ORDEN

DE UN

SISTEMA

MAL

2

La solución de un sistema de dos ecuaciones en dos incógnitas a,., x, + al,2 x2 a2,' x, + a2,2 x2

=

bl b2

(~1)

es el punto de intersección de las rectas

b,

a',2

a",

al,'

b2

a2,2

a2,'

a2,1

x,=

x,=

x2

(3.82)

x2

(3.83)

en el plano x2 - XI' Si el sistema 3.81 es mal condicionado, las rectas 3.82 y 3.83 son casi paralelas, pero resulta difícil decir dónde se cortan exactamente" (véase Fig. 3.10). * Nótese que hay una solución única, pero resulta difícil decir dónde está.

----------------------~----------~~~ Matrices y sistemas ecuaciones lineales Matrices sistemas de ecuaciones

.....=.".199

Ecuación (3.83) Ecuación (3.83)

Figura 3.10 3.10 Figura Interpretación Interpretación geométrica de geométrica sistema mal un sistema condicionado condicionado de orden 2.

Ecuación (3.82) Ecuación (3.82)

Cualquier pequeño pequeño error error de redondeo alejar del vector solución, con lo Cualquier redondeo o de otro tipo tipo puede puede alejar vector solución, que se produce produce una solución errónea errónea y. No obstante esto, esto, si y está está en la región cruce, que una solución No obstante región de cruce, sistema 3.81 se satisface satisface prácticamente observar que la región cruce es el sistema prácticamente con y. Hay Hay que que observar región de cruce amplia y que que algunos algunos de sus puntos estar muy solución . muy amplia puntos pueden pueden estar muy alejados alejados del vector vector solución. Una vez vez que sistemas mal Una que se ha ha visto visto el comportamiento comportamiento de los sistemas mal condicionados, condicionados, resulresulsistema dado dado está está mal ta de interés interés determinar determinar si un sistema mal condicionado condicionado y qué qué hacer hacer en tales tales casos casos para resolverlo. resolverlo. Hay sistema está está malo malo bien para Hay varias varias formas formas de detectar detectar si un un sistema bien condicionado; condicionado; pepequizá la más más simple simple de ellas ellas es la del determinante ro quizá determinante normalizado normalizado que que se describe describe a conticontinuación. . nuación

.!D/)

MEDIDA CONDICIONAMIENTO USANDO EL DETERMINANTE DETERMINANTE NORMALIZADO M E DIDA DE CONDICIONAMIENTO USANDO NORMALIZADO

resdos.

sistema 3.81 el determinante determinante de la matriz coeficiente En el sistema matriz coeficiente

puede interpretarse interpretarse en valor absoluto como como el área área del paralelo gramo cuyos cuyos lados lados son los paralelogramo puede valor absoluto vectores fila' [al.] ] Y [a (véase Fig. 3.11). [a l •1 al.l2,2] [a22,],1 a22,2] ,2 ] (véase Fig. 3.11). vectores fila' 3.81)

(3.82)

(3.83)

n ea3.10).

Figura 3.11 Figura Interpretación Interpretación geométrica del geométrica determinante. determ inante. Puede decirse decirse lo Puede lo mismo mismo para para los los vectores vectores columna. columna.

200 200

la ingeniería ingeniería Métodos nnuméricos aplicados aa la Métodos uméricos aplicados

Figura 3.12 3.12 Figura Interpretación Interpretación geométrica del del geométrica determinante. determinante.

En el caso de un sistema sistema general general de orden orden 3, el determinante determinante de la matriz matriz coeficiente coeficiente de dicho dicho sistema sistema es, en valor valor absoluto, absoluto, el volumen volumen del paralelepípedo paralelepípedo cuyos cuyos lados lados son los vecvectores [al [al ,1I aall ,22 aall ,33]] , [a22,11 aa22 3] ] y Y [a33,1I aa32 3]] (véase (véase Fig. 3.12). 3.12). tores 3,2 aa3 ,3 2,2 aa2 ,3 Al multiplicar una de las ~uldpli¿ar cada cada'una' Ías filas del sistema ~iste'ma 3.81 por por un factor, factor, el sistema sistema resultanresultante es equivalente, equivalente, pero la matriz matriz coeficiente coeficiente se ha modificado modificado y, por por ende, ende, su determinante. determinante. Si, por respectivamente, entre: por ejemplo, ejemplo, se divide divide la primera primera y segunda segunda ecuaciones ecuaciones de 3.81 3.81,, respectivamente, entre:

se obtiene obtiene como como nueva matriz coeficiente coeficiente nueva matriz

cuyo determinante determinante en en valor valor absoluto absoluto es menor menor oo igual igual a la la unidad, unidad, ya ya que que ahora ahora I aa I = =1Y y cuyo (véase Fig. Fig. 3.11). 3.11). El El determinante determinante así así obtenido obtenido se se conoce conoce como como determinante determinante I b I = 1 (véase normalizado y, en en general, general, para para sistemas sistemas de de orden orden n la la matriz matriz coeficiente coeficiente resultante resultante de de didinormalizado vidir vidir la la i-ésima i-ésima fila fila por por los los factores" factores * 2 1 + a2 + ... + a2,." kk¡1 = J aa~,1 + a~,2 l, r,2 + ... + a~,1I

=J

ii

1,2, ... ... ,, nn == 1,2,

tiene un un determinante, determinante, en en valor valor absoluto, absoluto, menor menor oo igual igual que que la la unidad. unidad. "'-......! tiene <: ,1 a ,2] Si el el sistema sistema 3.81 3.81 está está mal mal condicionado, condicionado, los los vectores vectores fila fila [al,1 [al ,1aal,2] ,2 ] Y [a son Si Y [a ,l a ,2] son l 22 22 casi paralelos paralelos yy el el determinante determinante normalizado normalizado estará estará muy muy cercano cercano aa cero cero (muy (muy pequeño). pequeño). casi Si, por por otro otro lado, lado, los los vectores vectores fila fila son son casi casi ortogonales oltogonales (perpendiculares), (perpendiculares), el el determinante determinante Si, estará estará muy muy cercano cercano aa la la unidad, unidad, en en valor valor absoluto. absoluto. Resumiendo yy precisando: precisando: para para medir medir el el condicionamiento condicionamiento de de un un sistema sistema de de orden orden n, n, se se Resumiendo debe obtener obtener el el determinante determinante normalizado normalizado de de la la matriz matriz coeficiente coeficiente de de dicho dicho sistema; sistema; yy sisi su su debe valor absoluto absoluto es es "prominentemente "prominentemente menor" menor" que que 1, 1, el el sistema sistema está está mal mal condicionado condicionado en en cacavalor so de de tener tener un un valor valor absoluto absoluto prominentemente prominentemente cercano cercano aal1,, el el sistema sistema está está bien bien condicionacondicionaso do. do. Esta Esta lejanía lejanía oo cercanía cercanía de de 11queda queda determinada determinada por por la la precisión precisión empleada. empleada.**** •• Llamados Llamados factores factores de de escalamiento escalamiento.. ••*. Young, Young,D. D. M. M. YYGregory, Gregory,R. R. T. T.AASurvey SlIrvey Of 01Numerical NumericalMathematics, Marhematics, Vol. Vol. IIIIAddison-Wesley Addison- Wesley(1973), ( 1973),pp. pp. 812-820. 812-820.

Ejemr::

s


201

lineales

Si bien la técnica es útil, no resulta práctica en sistemas grandes, ya que el cálculo del determinante toma tiempo y es casi equivalente a resolver dichos sistemas. Entonces, si se sospecha que un sistema está mal condicionado, se analiza de la manera siguiente: a) Se resuelve el sistema original A x = b. b) Se modifican los componentes de A ligeramente y se resuelve el sistema resultante A' x = b. e) Si las dos soluciones son sustancialmente diferentes (estas diferencias se comparan con los cambios hechos en a¡), el sistema está mal condicionado. Una vez corroborado que un sistema grande está mal condicionado, métodos de solución vistos con ciertas recomendaciones.

deberán emplearse los

a) Aprovechar las características de la matriz coeficiente (matrices bandeadas, simétricas, diagonal dominantes, positivas definidas, etc.), para que el método seleccionado sea el más adecuado y se realicen, por ejemplo, menos cálculos. b) Emplear pivoteo parcial o total (véase Ejer. 3.9). e) Emplear doble precisión en los cálculos. Si aún después de seguir estas sugerencias persisten las dificultades, puede recurrirse a los métodos iterativos que se estudian más adelante y que son, en general, otra alternativa de solución de sistemas lineales mal y bien condicionados, con la ventaja de no ser tan sensibles a los errores de redondeo.

MATRICES

ELEMENTALES

Y LOS MÉTODOS

DE ELIMINACiÓN

Nótese que cualquiera de los métodos de eliminación vistos para resolver el sistema A x involucra las siguientes operaciones sobre una matriz:':'

=b

a) Intercambio de filas. b) Multiplicación de la fila por un escalar, y e) Sustitución de una fila por la suma de ésta y alguna otra fila de la matriz. Estas operaciones pueden llevarse a cabo, mediante multiplicaciones de la matriz en cuestión, por ciertas matrices especiales; por ejemplo, la matriz permutadora permite intercambiar filas. Multiplicando en cambio por la izquierda una matriz B cualquiera por la matriz identidad correspondiente 1, pero sustituido uno de sus elementos unitarios por m (la posición (i,i), por ejemplo), se multiplica la i-ésima fila de B por m.

Ejemplo 3.36

Multiplique la matriz general B de 3 X 4 por la matriz identidad correspondien~ de se ha reemplazado el 1 de la posición (2, 2) con m.

don-

Solución O

[~

m

O

~]

[b"b

2,1

b3,1

b1,2 b2,2 b3,2

bl,3 b2.3 b3,3

b",] b 2,4

b3,4

=

[b"mb

2.1

b3,1

b1,2 mb2,2 b3,2

b1,3 mb2,3 b3,3

b",4 ] mb 2 b3,4

Los resultados hablan por sí solos.

Finalmente, cuando se multiplica por la izquierda una matriz general B por la matriz identidad correspondiente 1, en la que se ha sustituido uno de los ceros con m (el cero de • Generalmente

se trata de la matriz aumentada

[A lb].

202


la posición posición (i,j), por ejemplo), tiene el efecto por la fila (i,j), por ejemplo), se tiene efecto de sustituir sustituir la fila fila i-ésima i-ésima de B por fila resultante de sumar multiplicada por por m. m. resultante sumar ésta ésta y la filaj-ésima filaj-ésima de B multiplicada

Ejemplo Ejemplo 3.37 3.37 Solución Solución

Sustituya fila de la matriz matriz general por el resultado resultado de sumar Sustituya la segunda segunda fila general B de 3 X 3 por sumar dicha primera fila multiplicada por por m. cha segunda segunda fila fila con la primera fila de B multiplicada Se sustituye posición (2, 1) de la matriz matriz 1 de 3 sustituye el cero cero de la posición la izquierda por B izquierda por B;; es decir: decir:

[~ [~

oo

X

3 con multiplica por por con m y se multiplica

b,,2 b, ,2 mb, ,2 + b22,2,2 mb,,2 b33,2,2

1 O O

Si se desea desea intercambiar intercambiar columnas, columnas, multiplicarlas escalar o sustituir sustituir una columna multiplicarlas por por un escalar una columna por la suma procede siguiendo mismas ideas, pero con las mulmulpor suma de ésta ésta y alguna alguna otra, otra, se procede siguiendo las mismas ideas, pero tiplicaciones derecha sobre sobre la matriz cuestión. tiplicaciones por por la derecha matriz en cuestión. Estas matrices matrices se conocen denotan como: Estas conocen como como elementales elementales y se denotan como:

Permutación: P Permutación: Multiplicación por por un escalar: escalar: M M Multiplicación Sustitución: S Sustitución: Para aclarar la relación que existe existe entre entre estas estas matrices eliminación, se rePara aclarar relación que matrices y los métodos métodos de eliminación, resuelve nuevamente el ejemplo pero ahora matrices elementales. suelve nuevamente ejemplo 3.30, 3.30, pero ahora con con matrices elementales.


Resuelva por por eliminación Jordan el sistema Resuelva eliminación de Jordan sistema

4x, - 9x22 + 2x33 2x, 2x , - 4x22 + 6x33 x, x , - x22 + 3x33

5 3 4

con matrices matrices P, M con M Y S.

Solución Solución

La La matriz matriz aumentada aumentada es

[~ [~

-9

n

2 6 3

--4 -4 -1

=B "'-v

No se intercambian máximo valor valor absoluto No intercambian filas, filas, ya que que el elemento elemento de máximo absoluto se encuentra encuentra en la primera. Para hacer cero primera fila multiplicada por por -1/2 primera. Para hacer cero el elemento elemento (2, 1), 1), se suma suma la primera fila multiplicada -1/2 a la segunda; matriz cumple segunda; la siguiente siguiente matriz cumple con con ese ese fin. O O 1 O O

~]

= S,

1

Para cero el elemento elemento (3,1) (3,1) se suma suma la primera -114 a la tercera Para hacer hacer cero primera multiplicada multiplicada por por -114 tercera fila; la; esto esto es, es,


[

O 1 O

~]

2 5 2.5

~5 ] ~ S, S,

-,~

=

lineales

203

S2

El efecto de S I Y S2 sobre B resulta en:

[~

-9 0.5 1.25

B

2.75

Como el elemento de máximo valor absoluto es 1.25, se intercambia la segunda y tercera filas, para lo cual se emplea la matriz O O 1

[~

l·

!~

=p¡

Y queda:

[~ re-

-9 1.25 0.5

2 2.5 5

~75 ]

P¡S2 SI B

0.5

Para hacer cero los elementos (l ,2) Y (3 ,2) se suma la segunda multiplicada por (-(-9)/1.25) a la primera fila, y la segunda multiplicada por (-0.5/1.25) a la tercera, proceso que se lleva a cabo con las matrices.

[~

~]

-(-9)/1.25 1 O

= S3

y queda como resultado:

U la 1/2

O 1.25 O

20 2.5 4

24.8 ] 2.75

-0.6

Para eliminar los elementos (1, 3) Y (2, 3), se suma la tercera multiplicada por (-2014) a la primera fila y la tercera multiplicada por (-2.5/4) a la segunda, lo cual se logra con Ss y S6' respectivamente. (Se deja al lector determinar la forma que tienen Ss y S6.) El resultado es:

[~

O 1.25 O

O O 4

27.8 ] 3.125

-0.6

Todavía se puede multiplicar la primera fila por tercera por m3 = 1/4, lo cual se consigue con fi-

O 1 O

m¡

=

O~]

1/4, la segunda por

=

M" etcétera

m2

=

1/1.25 Y la

204

aplicados a a la ingeniería ingeniería Métodos numéricos numéricos aplicados Métodos

finalmente queda: queda: finalmente

[~[~

oo 1 O O

O O O O 1

6.95] 2.5 2.5 -0.15 -0.15

que puesta puesta nuevamente nuevamente como como un sistema sistema de ecuaciones ecuaciones da: que XI XI

x22 x33

6.95 6.95 2.5 -0.15, -0.15,

directamente la solución solución del sistema sistema original original A x = directamente = b. Para realizar realizar los cálculos cálculos puede puede usarse usarse Matlab Matlab o la TI-92 Para TI-92 Plus. Plus.

~ B=[4 --9 5; 2 -4 -4 6 3; 3; 1 --1 4] B=[4 9 2 5; 1 3 4] 51=[1 O O O; O; -0.5 -0.5 11 O; O; O OO 1] 51=[1 O 1] 52=[1 O O O; O; O O 11 O; O; --0.25 O 1] 52=[1 0.25 O B=52¡'51*B B=5Z¡'51*B Pl= [1 [1 O O O; O; O O 1; O O 11 O] Pl= O O B=Pl*B B=PYB

53=[1 9/1 9/1.25 O; O O 11 O; O; O OO O 1] 53=[1 . 25 O; 54=[1 O O O; O; O O 11 O; O; O O --0.5/1.25 54=[1 0 . 5/1 . 25 1] B=54*s.TB B=54*53"B 55=[1 O O -5; O O 11 O; O; O OO O 1] 55=[1 56=[1 O O O; O; O O 11 --2.5/4; OO O 1] 56=[1 2.5/4 ; O B=56*55"B B=56*5S'B Ma=[1/4 O O; O; O O 11 O; O; O O O O 1] 1] Ma=[1/4 O M2=[1 O O; O; O O 1/1 1/1.25 O; O OO O 1] M2=[1 O . 25 O; M3=[1 O O O; O; O O 11 O; O; O OO O 1/4] M3=[1 B---M3*M2*Ma':'B J3=M3l'M2* Ma':'B

e3_38 () e3_38

Prgm [4,-9,2,5;2, 6,3;1,-1,3, [4,-9, 2 ,5;2, -4, 6,3;1, -1 ,3, 4]-4b 0,0;-0.5,1,0;0, 0,1]-4 O .ii -»i [1, 0,0;-0.5,1,0;0, sl 0,0;0,1,0;-0.25, O, 1]-4s2 l]-4s2 [1, 0,0;0,1,0;-0.25, s21'sl*b-4b Disp b : Pause sZI'sl':'b-4b : Disp 0,0;0, 0,1;0,1, O]"-"'p1 [1, O, O; O, 0,1 ; O,1, O] -4p1 p1*b-4b : Disp Disp b : Pause p1*b-4b [1,9/1.25,0;0,1,0;0, O,l]-4s3 [1 , 9/1 . 25 , 0 ; 0, 1 ,0;0, O , l]-4s3 [1,, 00,0;0,1,0;0, -O..5/1 5/1.. 25 25,1]-4s4 [1 , 0 ; 0 , 1 , 0; 0,-0 , 1]-4 s4 s4*s3:'b-4b Disp b : Pause s4':' s3¡'b-4b : Disp [1,0,-5;0,1,0;0,0,lJ-4s5 [l , O, - 5;O , l , 0 ; O, O,l ]-4s5 [1,, O, 0;0,1 0;0,1,-2.5/4;0, O,lJ-4s6 [1 ,-2.5/4 ; 0 , O, lJ -4 s6 s6's5*b-4b Disp b : Pause s6"sS:'b-4b : Disp [1/4,, 00,0;0,1,0;0, O,.Lt+uú [1/4 , 0 ; 0 , 1 , 0 ; 0, O l] -4m1 [1,, 00,0;0,1/1.25,0;0, O,l ,lJ-4m2 [1 , 0 ; 0 , 1/1 . 25 , 0 ; 0 , O ]-4m2 [1,, 00,0;0,1,0;0, O,1/4J-4m3 [1 , 0;0 , 1 , 0 ;0, O, 1/4]-4m3 m3"m2'ml*b-4b : Disp Disp b mYm2'ml*b-4b

EndPrgm EndPrgm

sistemas de ecuaciones ecuaciones lineales Matrices yy sistemas

205

producto de las matrices matrices elementales elementales se denota denota por por E Si el producto E = M3 M2 MI S6

s. S4 S3 PI

S2 S¡ ,

tiene: se tiene:

=E =

[A I b

EA = =11 EA

y

E B

= [ 11 1 I xl x ] ,, 11 =

donde: de donde: EB=x EB=x

resulta que E es la inversa inversa de A resulta que A-I I E = A-

Por otro lado, lado, se sabe sabe que que el determinante determinante del producto dos o más igual Por otro producto de dos más matrices matrices es igual determinantes de cada cada una de las matrices. al producto producto de los determinantes matrices. detA B ... = detA detA det det B B... detA ... donde: de donde: det E A = det det 1 det

o bien: bien: det E det det A = 1 det y

1 --=detA - = detA det det E de modo modo que que el determinante determinante de de A A está está dado dado como como la inversa inversa del del determinante determinante de E y sósólo queda queda obtener obtener det det E. Esto Esto parece parece complicado complicado a simple simple vista; vista; sin sin embargo, embargo, observando observando que que en en general general (véase (véase Probo 3.52) 3.52) det -1. det P = -1, el determinante determinante de de una una matriz matriz permutadora permutadora es es-l. det det M = m, m, el determinante determinante de de una una matriz matriz multiplicadora multiplicadora es el factor factor m, m, que que deberá deberá ser ser disdistinto tinto de de cero. cero. det determinante de de una una matriz matriz del del tipo tipo S es 1. l. det S = 1, el determinante Se Se tiene: tiene: det det EE = det det M3 det det M M22 det det MI M I det det S6 det det Ss det det S4 det det S3 S3 det det P, P I det det S2 det det SI sustituyendo sustituyendo

1 det E = m3 m2 mi (-1) = -"4

1

1

( 1.25 ) "4 = -D.05

yy

1 detA detA == --- -

-0.05 -0.05

=-20 = -20

Finalmente, Finalmente, para para obtener obtener EE yy por por tanto tanto AA-I I se se toma toma SI SI como como matriz matriz pivote pivote yy sobre sobre ella ella se se efectúan efectúan las las operaciones operaciones de de intercambio intercambio de de filas, filas, multiplicación multiplicación por por un un escalar, escalar, etc., etc., que que vayan vayan indicando indicando las las matrices matrices aa su su izquierda. izquierda. Así: Así:

206


ya que primera fila de SI por -1/4 que según según se dijo, dijo, S2 S2 tiene tiene como como efecto efecto multiplicar multiplicar la primera SI por -1/4 y sumarla a la tercera tercera fila de S l' imarla Con Con PI P I en cambio cambio se tiene: tiene:

que PI PI intercambia intercambia las filas filas segunda segunda y tercera tercera de (S2 (S2 SI)' SI)' ya que Continuando proceso se llega Continuando este este proceso llega a:

~.3

~.3

[ -0.1 -0.1

-1.25 -1.25 --0.5 0.5 0.25

2.3¡ = 1.0 =

2.3~ 1.0 -0.1 -0.1

E

= =

Métodos iterativos 3.5 Métodos resolver un sistema sistema de ecuaciones ecuaciones lineales lineales por eliminación, la memoria memoria de máquina máquina reAl resolver por eliminación, querida es proporcional cuadrado del orden orden de A, y el trabajo trabajo computacional computacional es proporcioproporcioquerida proporcional al cuadrado cubo del orden orden de la matriz matriz coeficiente coeficiente A (véase (véase Secc. Secc. 3.4). 3.4). Debido esto, la solución solución nal al cubo Debido a esto, sistemas lineales lineales grandes grandes (n ;::: ;:::50), con matrices coeficiente densas,* densas: se vuelve vuelve costoso de sistemas matrices coeficiente costoso y difícil en una computadora computadora con con los métodos métodos de eliminación, eliminación, ya que que se requiere requiere amplia amplia medifícil moria; además, además, como como el número número de operaciones operaciones que se debe debe ejecutar ejecutar es muy grande, grande, se puemoria; pueerrores de redondeo también muy muy grandes. grandes. Sin embargo, embargo, se han resuelto resuelto den producir producir errores redondeo también sistemas de orden orden 1000, y aun mayor, mayor, con los métodos métodos que estudiarán en esta esta sección. sección. sistemas que se estudiarán Estos sistemas sistemas de un número número muy muy grande grande de ecuaciones ecuaciones se presentan solución Estos presentan en la solución numérica ecuaciones diferenciales diferenciales parciales, solución de los modelos modelos resultantes numérica de ecuaciones parciales, en la solución resultantes simulación de columnas columnas de destilación, destilación, etc. En favor favor de estos estos sistemas, sistemas, puede deciren la simulación puede decirque tienen tienen matrices matrices con con pocos elementos distintos distintos de cero cero y que que éstas éstas poseen ciertas se que pocos elementos poseen ciertas propiedades (simétricas, bandeadas, diagonal dominantes, dominantes, entre entre otras), otras), que que permiten propiedades (simétricas, bandeadas, diagonal permiten garantizar el éxito éxito en la aplicación aplicación de los métodos esta sección. sección. rantizar métodos de esta

MÉTODOS JACOBI y y GAUSS-S GAUSS-SEIDEL MÉTODOS DE JACOBI E IDEL

Los métodos métodos iterativos iterativos más más sencillos sencillos y conocidos conocidos son son una generalización del método método de Los una generalización punto fijo, estudiado estudiado en el capítulo capítulo 2. Se puede aplicar la misma misma técnica técnica a fin de elaborar elaborar punto puede aplicar métodos para solución de A x = = b, de la siguiente siguiente manera. manera. métodos para la solución = b para obtener la ecuación ecuación Se parte parte de A x = para obtener Ax-b=O, Ax-b = O,

(3.84) (3 .84)

ecuación vectorial vectorial correspondiente correspondiente af(x) af(x) = = O. O. Se busca busca ahora ahora una matriz B y un vector vector e, ecuación una matriz manera que que la ecuación ecuación vectorial vectorial de manera x = e B.x. +c, Bx + c,

(3.85) (3 .85)

sea sólo sólo un arreglo arreglo de la ecuación ecuación 3.84; 3.84; es decir, decir, de manera manera que la solución solución de una una sea tamtamsea bién la solución solución de la otra. otra. La La ecuación ecuación 3.85 correspondería correspondería a x = = gg (x). (x). A continuación continuación se bién

Una matriz matriz densa densa tiene tiene pocos pocos ceros ceros como como elementos. elementos. • Una

-------~------------..."..------------~~--~~""I'!1Ii

Matrices y sistemas

y su-

de ecuaciones

lineales

207

propone un vector inicial x (O) como primera aproximación al vector solución X. Luego, se calcula con la ecuación 3.85 la sucesión vectorial x (1) x (2), , de la siguiente manera x(k+l)

=B

x(k)

+ e, k = O, 1,2,

.

donde: (3.86) Para que la sucesión x(OJ, x(l), ••• , x(n), ••• , converja al vector solución x es necesario que eventualmente xt, 1 ~ j ~ n (los componentes del vector x(m)), se aproximen tanto a xj' 1 ~ j ~ n (los componentes correspondientes a x), que todas las diferencias I xt - xj I , 1 ~j ~ n sean menores que un valor pequeño previamente fijado, y que se conserven menores para todos los vectores siguientes de la iteración; es decir, (3.87)

lím

a rercioción oso y mepueuelto 'no ción antes eciriertas n ga-

La forma como se llega a la ecuación 3.85 define el algoritmo y su convergencia. Dado el sistema A x = b, la manera más sencilla es despejar xl de la primera ecuación, x2 de la segunda, etc. Para ello, es necesario que todos los elementos de la diagonal principal de A, por razones obvias, sean distintos de cero. Para ver esto en detalle considérese el sistema general de tres ecuaciones (naturalmente puede extenderse a cualquier número de ecuaciones). Sea entonces: Xl

+

al,2 X2

+

al,3 X3

bj

a2,1 Xl

+

a2,2 X2

+

a2,3 X3

b2

a3,1 Xl

+

a3,2 X2

+

a3,3 X3

b3

al,l

con

all'

a22

y

a33

Se despeja se obtiene:

xl

distintos de cero. de la primera ecuación,

x2

de la segunda, y

al,2

=

al,3 x2

xl

-

al,l

x2

=

-

o de borar

=

-

a2,1

al,l b2

a2,3 X3

xl

a3,1 X¡

a2,2 b3

a3,2

-

+--

X2 a3,3

a3,3

que en notación matricial queda:

tor e, O 3.85)

xl a2,1

tamión se

(3.88)

+--

a2,2

a3,3

3.84)

bl +--

al,l

a2,2

X3

x3

de la tercera, con lo que

x3

x2

al,2

al,3

a¡,¡

al,l

O

Xl

a2,3 x2 a2,2

a2,2 x3

b¡

a3,1

a3,2

a3,3

a3,3

O

al,l

+

b2 a2,2

x3

b3 a3,3

(3.89)

208

Métodos numéricos


y ésta es la ecuación 3.86 desarrollada, con

o a2,1

B

aJ,2

al,3

aJ,1

al,l

bJ al,l

a2,3

O

a2,2

b2

yC=

a2,2

a3,J

a3,2

a3,3

a3,3

a2,2

b3

O

a3,3

Una vez que se tiene la forma 3.89, se propone un vector inicial = 0, o algún otro que sea aproximado al vector solución x. Para iterar existen dos variantes 1. Iteración de Jacobí (método de desplazamientos

x(O)

que puede ser

x(O)

Ej

simultáneos)

Si (3.90)

es el vector aproximación a la solución x después de k iteraciones, entonces se tiene para la siguiente aproximación Xk+l 1 X(k+l)

(bl

- al,2

(b 2

- a2,1 Xl k - a2,3x3 k)

(b3

-

x~ -

al,3x~)

al,l

1

xk2+

J

(3.91)

a2,2

x3k+l

a3,1

x1

-

a3,2X~)

a3,3

o bien, para un sistema de n ecuaciones con n incógnitas y usando notación más compacta y de mayor utilidad en programación, se tiene: 11

x/+l

=-

ai,i

[-

b + L 1

}=l

a· . xk i.)

],

para 1 ::; i::; n

}

(3.92)

Ni

2. Iteración de Gauss-Seidel

(método de desplazamientos

sucesivos)

En este método los valores que se van calculando en la (k+ l)-ésima iteración se emplean para calcular los valores faltantes de esa misma iteración; es decir, con X(k) se calcula X(k+l) de acuerdo con: 1 k+l xJ X(k+I)

(bl

-

k+J x2

- a 1,3 x~)

(b 2 -

a2,J

(b3

a3 1 X1k+J - a3 2 X{+I) ' ,

a2,2 xk+J 3

al,2 x{

aJ,J

1 a3,3

-

Xl k+l - a2,3 X3k)

(3.93)


o bien,

para un sistema de n ecuaciones

x/+I=-

SUGERENCIA:

209

lineales

ai,i

[-b+

i-l

11

L a .. xk+l+

L

l= I

I

1, }

}

i=i+ I

a .. xk],paralS:¡S:n 1, }

(3.94)

}

El empleo de un pizarrón electrónico para los siguientes ejemplos o el de una calculadora programable, atenuaría considerablemente el trabajo de los cálculos.

er x(O)

Ejemplo 3.39

Resuelva el siguiente sistema por los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel 4xI -XI

x2 + 4x2 x2

x3 + 4x3 x3

1 1 1 1

x4 + 4x4

(3.95)

(3.90)

Solución

Despejando

xI

para

de la primera ecuación,

=

x¡f4

+ x/4 xzl4

+ x/4 + x3/4

+ + + +

1/4 1/4

(3.96)

1/4 1/4

Vector inicial Cuando no se tiene una aproximación vector inicial el vector cero, esto es:

al vector solución, se emplea generalmente

x(O)

pac-

de la segunda, etc., se obtiene

xzl4

XI

x2 x3 x4 3.91)

x2

a)

= [O

como

O O O]T

Método de Jacobi

El cálculo de x(l) en el método de Jacobi se obtiene reemplazando ecuaciones de 3.96 0/4 0/4

+ 0/4 0/4 + 0/4 0/4

+ + + +

1/4 1/4 1/4 1/4

x(O)

en cada una de las

1/4 1/4 1/4 1/4

lean X(k+I)

y entonces X(I) = [1/4 1/4 1/4 1/4]T Para calcular X(2) se sustituye X(I) en cada una de las ecuaciones de 3.96. Para simplificar la notación se han omitido los superíndices. 1/16

.93)

+ 1/16

1/16 1/16

+

1/16

+ 114 + 1/4 1/16 + 1/4 + 1/4

0.3125 0.3750 0.3750 0.3125

210

Métodos

numéricos

aplicados

a la ingeniería

A continuación se presentan los resultados de subsecuentes iteraciones, en forma tabular Tabla 3.1 Solución del sistema 3.95 por el método de Jacobi.

...

k

Xk

xk2

Xk

xk

O

0.0000

0.0000

0.0000

0.0000

0.2500

0.2500

0.2500

0.2500

2

0.3125

0.3750

0.3750

0.3125

3

0.3438

0.4219

0.4219

0.3438

4

0.3555

0.4414

0.4414

0.3555

5

0.3604

0.4492

0.4492

0.3604

6

0.3623

0.4524

0.4524

0.3623

7

0.3631

0.4537

0.4537

0.3631

8

0.3634

0.4542

0.4542

0.3634

9

0.3635

0.4544

0.4544

0.3635

10

0.3636

0.4545

0.4545

0.3636

1

3

4

11


% Método de Jacobi clear A=[4 -1 O O; -1 4 -1 O; O -1 4 -1; O O -1 4J b=[1 1 1 1J XO=zeros(1,4); K=O; Norma=1; fprintf('K X(l) X (2) X (3) X(4) Norma\n') while Norma> 0.0001 K=K+1; fprintf( '%2d' ,K) for i=1:4 suma=O; for j=1:4 if i -= j suma=suma+A(i,j)*XO (j); end end X (i) = (b (i) -suma) lA (i,i) ; fprintf( '%10. 4f' ,X(i)) end Norma=norm (XO-X) ; fprintf( '%10. 4f\n' ,Norma) XO=X; if K > 25 disp ('No se alcanzó la convergencia') break end end

Matrices yy sistemas sistemas de ecuaciones lineales Matrices ecuaciones lineales

211

·1 e3_39a () Prgm Prgm ClrIO [4,, -1, 0,0;-1,4, -1,4, -1; -1;0,O, O, O,-1,4] -1, 4]-+a Clr IO : [4 - 1, O, O; - 1 , 4, --1,0;0, 1, O; O, -1,4, -+ a [l,l,l,l}-+b [O,O,O,O]-+xO xü+xl. O+): :: l-+norma [l,l , l , l]-+b : [O , O, O, O]-+xO : xO-+xl :: O-+k l-+nonna Disp"k x(l) x(1) x(2) x(2) x(3) x(3) x(4) norma" Disp"k x(4) nonna" While nonna>1. norma>1.s-4 While E- 4 k+Ir+k: : string(k)&""-+d string(k)&""->d k+l-+k For i,1,4 i,1,4 For 0-+suma 0-+ suma For For j,1,4 j , 1, 4 If f i-tj I # j suma+a[i ti,, j ]*xO [1, j ]-+suma swna+a ]*xO [1, ]-+swna EndFor EndFor (b[l,i],i] --suma) la [i [i,i]-+xl [l,i] (xl [l,i] &''''-+d (b[l suma ) la ,i]-+xl [l,i] ::d&format d&fonnat (xl [ l , i] , ""f4") f4 ") &''''-+d EndFor EndFor norm(xl-xO)-+norma d&format(norma,"f5")-+d nonn(xl - xO)-+nonna : d&fonnat(nonna,"f5")-+d : Disp Disp d : xl-+xO xl-+xO If f k>25 Then Then I Disp "No "No se alcanzó alcanzó la la convergencia" convergencia" Disp Exit Exit EndIf EndIf EndWhile EndWhile EndPrgm EndPrgm

b)

Método de Gauss-Siedel Gauss-Siedel Método

O) , se sustituye Para el cálculo cálculo del primer primer elemento elemento del vector vector xx(l) sustituye x(O) x(Ü) en la primera primera ecuación ecuación Para 3.96, para para simplificar simplificar la notación notación se han han omitido omitido los superíndices. superíndices. de 3.96, Xl l X

= 0/4 0/4 + 1/4 = = 1/4 =

Para el cálculo cálculo de x22 de xO x(l),), se emplea emplea el valor valor de xl xl ya obtenido obtenido (1/4) (1/4) y los valores valores Para x(O). Así, Así, y x44 de x(Ü). x22

1

= 4(4) 4(4) =

0/4 + 1/4 + 0/4

= 0.3125 0.3125 =

Con los valores valores de xxl l Y y x22 ya obtenidos, obtenidos, y con con x33 y x44 de Con X3 X 3

se evalúa evalúa x33 de

x(O) x(Ü) se

x(l). x(l).

= 0.3125/4 0.3125/4 + 0/4 = 0/4 + 1/4 == 0.3281 0.3281

Finalmente, con con los los valores valores de XXl l Finalmente, última componente componente de x(l) x(l) ne la última X44

X2 2

calculados previamente, y x33 calculados previamente, y con con x44 de x(°l, x(Ü), se obtieobtie-

= 0.3281/4 0.3281/4 + 1/4 = 0.3320 0.3320 =

Entonces x(l) x(l) = = [0.25 0.3125 0.3125 0.3281 0.3281 0.3320F 0.3320F Entonces Para la segunda segunda iteración iteración (cálculo (cálculo de x(2» x(2») se procede procede de igual Para igual manera. manera. Xl = = 0.3125/4 0.3125/4 + 1/4 = = 0.3281 0.3281 Xl = 0.3281/4 0.3281/4 + 0.3281/4 0.3281/4 + 1/4 = = = 0.4141 0.4141 x33 = = 0.4141/4 0.4141/4 + 0.3320/4 0.3320/4 + 1/4 = = 0.4365 0.4365 x44 = = 0.4365/4 = 0.3591 0.3591 0.4365/4 + 1/4 =

x22

x2' , x3 2 3

212

Métodos numéricos


Con lo que x(2) = [0.3281 0.4141 0.4365 0.359 n'. En la tabla 3.2 se presentan los resultados de las iteraciones subsecuentes.

Tabla 3.2 Solución del sistema 3.95 por el método de Gauss-Seidel.

¡

"1

k

xk

xk

xk 3

xk

O

0.0000

0.0000

0.0000

0.0000

0.2500

0.3125

0.3281

0.3320

2

0.3281

0.4141

0.4365

0.3591

3

0.3535

0.4475

0.4517

0.3629

4

0.3619

0.4534

0.4541

0.3635

5

0.3633

0.4544

0.4545

0.3636

6

0.3636

0.4545

0.4545

0.3636

1

2

4

11'

Para realizar los cálculos puede usarse Matlab o la TI-92 Plus:

% Metodo de Gauss-Seidel clear;A=[4 -1 O O; -1 4 -1 O; O -1 4 -1; O O -1 4];b=[1 XO=zeros(1,4);X=XO;K=0;Norma=1; fprintf(' K X(1) X (2) X(3) X(4) Norma\n') while Norma> 0.0001 K=K+1; fprintf(' %2d ',K) for i=1:4 suma=O; for j=1:4 if i ~= j suma=suma +A(i,j)*X(j) ; end end X(i)=(b(i) -suma)/A(i,i); fprintf( '%10.4f' ,X(i)) end Norma=norm(XO-X) ; fprintf ( '%10. 4f\n' ,Norma) XO=X; if K > 17 disp ('No se alcanzó la convergencia') break end end

1 1 1]

Matrices sistemas de ecuaciones Matrices y sistemas ecuaciones lineales

213

e3_39b e3_39b()() Prgm Prgm C1r 10 : [4, [4, -1, -1, O,O;-1,4, -1, O;O,-1,4, -1; O,O,-1,4] -> a C1rIO O, 0;-1, 4, -1,0;0, -1, 4, -1;0, O, -1, 4]->a [O,O,O,O]->xO [[1,1,1,1]->b l , l , l ,l ] ->b : [O, O, O, O]->xO : xtr+x.: x O->x1 : O+k: O-> k : l=+norme l ->nonna Di sp "k x (2 x (3 ) x(4) x(4) nonna" nonna " Disp "k x(l) x(l) (2)) x(3) E- 4 Whi1e Whi1e nonna>1. nonna>1.E-4 k+Ir+k:k : s string(k) "->d k+1-> t ring (k ) &" &" ''-> d For 1, 4 For i, i,1,4 O->swna O->swna For j ,1, 4 For j,1,4 I Iff # #jj sswna+a wna+a [i, [i , jj }*x1 }*x1 [1 -> swna [1,, jj]J->swna EndFor EndFor (b[l,iJ-swna) ) /a :d&fonnat t (xl (xl [l,iJ "->d (b[l,i]-swna l a [i,i]->x1 [i,i]-> xl [l,i] [ l,i] :d&fonna [l,i] , ""f4") f4 ") &" &" "->d EndFor EndFor nonn(xl-xO)->nonna : d&fonnat(nonna,"f5")->d : Disp xl->xO nonn(x1-xO)->nonna d&fonnat(nonna,"f5")->d Disp d : xl+xt) I >25 Then If f k k>25 Then Disp la convergenci Disp "No "No se alcanzó alcanzó la convergencia"a " Exit Exit Endlf Endlf EndWhile EndWhile End.Prgm EndPr gm

En la aplicación variantes son válidas válidas las preguntas preguntas siguientes: aplicación de estas estas dos dos variantes siguientes:

1. ¿La vectores xCI), xCI), X(2), X(2), x(3), x(3), ... vector solución ¿La sucesión sucesión de vectores ... , converge converge o se aleja aleja del vector solución [x¡ X22 ••• ••• xnll'? x = [Xl ¿Cuándo detener detener el proceso 2. ¿Cuándo proceso iterativo? iterativo? Las conocidas como como criterio criterio de convergencia, convergencia, se dan dan a conconLas respuestas respuestas correspondientes, correspondientes, conocidas tinuación tinuación

1. Si la sucesión converge a x, x , cabe x (k) se vayan vayan aceracersucesión converge cabe esperar esperar que que los elementos elementos de x(k) k 2 a x ' ' etc., cando correspondientes de X; es decir, decir, rol x I; xxk cando a los los elementos elementos correspondientes rol a x¡; que 2 22 etc., o que se alejen alejen en caso caso contrario. contrario. 2. Cuando Cuando a) absolutos 1I xt+ 11 xt 1,1,1 I xf+ xi+ 1 -- x{ xi 1 , etc., sean todos menores menores de un a) Los valores valores absolutos 11 -- xt 1,etc., sean todos ' número pequeño EE en cuyo valor será por el programador. programador. número pequeño cuyo valor será dado dado por

O a bien bien número de iteraciones excedido un máximo b) Si el número iteraciones ha excedido máximo predeterminado predeterminado MAXIT. MAXIT. (O),), x(ll, x (l), .. x , la distancia Por pensar que Por otro otro lado, lado, es natural natural pensar que si la sucesión sucesión xCO ... . , converge converge a x, distancia (véase (O)) a x, x , de XCI) X CI ) a x, x , etc. reduciendo; también también es cierto (véase Seco Seco 3.2) de xCO etc.,, se va reduciendo; cierto que que la disdistancia vectores consecutivos consecutivos xCO (O)) y XCI), x(l ), x(l) x(l ) Y y x(2), x (21, etc., contancia entre entre cada cada dos dos vectores etc., se decrementa decrementa conforme avanza; esto reales forme el proceso proceso iterativo iterativo avanza; esto es, la sucesión sucesión de números números reales

I1 X(I)_XCO) X( I )-X(O) I1 (2) - x(l) I1 xX(2) x(!) I1

(3.97) (3.97)

I X(k+I ) convergirá convergirá a cero. cero.

x Ck)

I

214

Métodos numéricos


Si, por el contrario, esta sucesión de números diverge, entonces puede pensarse que el proceso diverge. Con esto, un criterio más es e) Detener el proceso una vez que I x(k+I)

't

'1

- x(k)

I< e

Al elaborar un programa de cómputo para resolver sistemas de ecuaciones lineales, generalmente se utilizan los criterios a), b) y e) o la combinación de a) y b), o la de b) y e). Si se observan las columnas de las tablas 3.1 y 3.2, se advertirá que todas son sucesiones de números convergentes, por lo que ambos métodos convergen a un vector, presumiblemente la solución del sistema 3.95. Si se tomara el criterio (a) con e = 10-2 Y el método de Jacobi, e se satisface en la sexta iteración de la tabla 3.1; en cambio si e = 10-3, se necesitan 10 iteraciones. Si se toma E = 10-3, el método de Gauss-Seidel y el criterio (a), se requerirían sólo seis iteraciones, como puede verse en la tabla 3.2. Aunque hay ejemplos en los que Jacobi converge y Gauss-Seidel diverge, y viceversa, en general puede esperarse convergencia más rápida por Gauss-Seidel, o una manifestación más rápida de divergencia. Esto se debe al hecho de ir usando los valores más recientes de X(k+I) que permitirán acercarse o alejarse más rápidamente de la solución.

REARREGLO

DE ECUACIONES

Para motivar el rearreglo de ecuaciones, se propone resolver el siguiente sistema con el método de Gauss Seidel y con e = 10-2 aplicado a I x(k+ 1)- X(k) l. -XI XI

2xI

+ 3x2 + 9x2 x2

+

+ 5x3 + 8x3 x2 + x3

+ 2x4 + 4x4 + x4 x4

10 15 2 -3

(3.98)

Al resolver para XI de la primera ecuación, para x2 de la segunda, x3 de la cuarta, y x4 de la tercera se obtiene: 3x2

XI

x2

-x/9

x3

- 2xI

+

5x3

+

(4/9) x4

(8/9) x3 x2

x4

2x4

+

x4

x2

-

10

+ 15/9 -

3

+

2

Con el vector cero como vector inicial, se tiene la siguiente sucesión de vectores. Nótese que el proceso diverge.

Tabla 3.3 Aplicación del método de Gauss-Seidel al sistema 3.98.

k

xk1

xk2

xk

xk

O

0.000

0.000

0.000

0.000

2.7778

14.222

-0.7778

-10.000 2 3

67.8889 -631.1

3

-18.172

-12l.2

170.7

1108.0

4

20.17 -168.71

I X(k+l)

- X(k)

17.62 159.0 1439.05

I


el

ee-

lineales

215

Si el proceso iterativo diverge, como es el caso, un rearreglo de las ecuaciones puede originar convergencia; por ejemplo, en lugar de despejar XI de la primera ecuación, x2 de la segunda, etc., cabe despejar las diferentes Xi de diferentes ecuaciones, teniendo cuidado de que los coeficientes de las Xi despejadas sean distintos de cero. Esta sugerencia presenta, para un sistema de n ecuaciones, n! distintas formas de rearreglar dicho sistema. A fin de simplificar este procedimiento, se utilizará el siguiente teorema.

uxTEOREMA

eis eresás

3.2

Los procesos de Jacobi y Gauss-Seidel convergirán si en la matriz coeficiente cada elemento de la diagonal principal es mayor (en valor absoluto) que la suma de los valores absolutos de todos los demás elementos de la misma fila o columna (matriz diagonal dominante). Es decir, se asegura la convergencia si: 11

I a.1 > L I a.1 i= I l.) 1,1

j*i

y

(3.99) 11

l zr.l > L I aJ.,; I /,1

el

8)

de

i=)

j:J!i

Este teorema no será de mucha utilidad si se toma al pie de la letra, ya que contados sistemas de ecuaciones lineales poseen matrices coeficiente diagonalmente dominantes; sin embargo, si se arreglan las ecuaciones para tener el sistema lo más cercano posible a las condiciones del teorema, algún beneficio se puede obtener. Ésta es la pauta para reordenar las ecuaciones y obtener o mejorar la convergencia, en el mejor de los casos. A continuación se ilustra esto, rearreglando el sistema 3.98, despejando XI de la ecuación 4, x2 de la ecuación 2, x3 de la ecuación 1, y x4 de la ecuación 3, para llegar a:

x2

= -xzl2 = -x/9

x3

x/5

x4

-x2

XI

-

x/2

-

8x/9 3xzl5

+

xi2

-

3/2

- 4xi9

+

] 5/9

2xi5

+

10/5

+

2

Los resultados para las primeras 18 iteraciones con el vector cero como vector inicial se muestran en la tabla 3.4. Antes de continuar las iteraciones, puede observarse en la tabla 3.4 que los valores de x(l8) parecen converger al vector x = [-10

12]T

Con la sustitución de estos valores en el sistema 3.98, se comprueba que XI = 1, x2 = 0.0, x3 = 1 Yx4 = 2 es el vector solución, y por razones obvias se detiene el proceso. Finalmente, las ecuaciones 3.99 son equivalentes (en sistemas de ecuaciones) a la expresión 2.10 del capítulo 2 que establece el criterio de convergencia del método iterativo para resolver f (x) = O.

216

Métodos numéricos

Tabla 3.4

k


Aplicación del método de Gauss-Seidel al sistema 3.98, rearreglando las ecuaciones para obtener una aproximación a un sistema diagonal dominante. Xk

1

xk 2

xk

3

xk

I x(k+l)

4

- X(k)

I

O

0.0000

0.0000

0.0000

0.0000

1

-1.5000

1.8333

0.6000

0.1667

2.44

2

-2.6333

1.3519

0.5956

0.6481

1.32

3

-2.1496

1.0881

0.6580

0.9119

0.6140

4

-1.9171

0.8895

0.7181

1.1105

0.3695

5

-1.7486

0.7291

0.7686

1.2704

0.2867

6

-1.6134

0.5978

0.8102

1.4022

0.2337

7

-1.5030

0.4903

0.8444

1.5097

0.1907

8

-1.4125

0.4020

0.8724

1.5980

0.1567

PASO I

9

-1.3382

0.3297

0.8953

1.6703

0.1285

* Operacic

10

-1.2774

0.2704

0.9142

1.7296

0.10529

11

-1.2275

0.2217

0.9296

1.7783

0.08643

12

-1.1865

0.1818

0.9423

1.8182

0.07089

13

-1.1530

0.1491

0.9527

1.8509

0.06162

14

-1.1254

0.1223

0.9612

1.8777

0.04764

15

-1.1029

0.1003

0.9682

1.8997

0.03903

16

-1.0844

0.0822

0.9739

1.9178

0.03209

17

-1.0692

0.0674

0.9786

1.9326

0.02629

0.9824

1.9447

0.02152

18

-1.0567

0.0553

Se presenta a continuación un algoritmo para resolver sistemas de ecuaciones lineales con el método iterativo, en sus dos versiones: desplazamientos simultáneos y desplazamientos sucesivos.

ALGORITMO

3.11

Métodos

de Jacobi y Gauss-Seidel

Para encontrar la solución aproximada del sistema de ecuaciones A x = b proporcionar DATOS:

los

El número de ecuaciones N, la matriz coeficiente A, el vector de términos independientes b, el vector inicial xO, el número máximo de iteraciones MAXIT, el valor de EPS y M = O para usar JACOBl o M O para usar GAUSS-SEIDEL. La solución aproximada x y el número de iteraciones K en que se alcanzó la convergencia o mensaje "NO SE ALCANZÓ LA CONVERGENCIA", la última aproximación a x y MAXIT.

"*

RESULTADOS:

PASO l. PASO 2. PASO 3.

Arreglar la matriz aumentada de modo que la matriz coeficiente quede lo más cercana posible a la diagonal dominante (véase Probo 3.55). Hacer K = 1 Mientras K ~ MAXIT, repetir los pasos 4 a 18.

PASO 1

Matrices sistemas de ecuaciones Matrices y y sistemas ecuaciones lineales

217

Si M = O ir al paso paso 5. De otro otro modo modo Hacer Hacer ?':' x = xO.· xO. · 5. De Hacer 1 = 1. Hacer l. Mientras
Oper:lcione s vectoriales. vectoriales. *" Operaciones


Una vez vez más más se recomienda recomienda programar programar el algoritmo algoritmo 3.11 en un lenguaje lenguaje de alto alto nivel nivel Una PROGRAMA 3.3 del CD), bien en una una calculadora calculadora o en un pizarrón pizarrón (véase (véase PROGRAMA 3.3 del CD), o bien electrónico o en Matlab, Matlab, donde donde las operaciones operaciones vectoriales vectoriales se ejecutan con sólo electrónico ejecutan con sólo indicarlas. indicarlas.

ACELERACIÓN DE ACELERACIÓN DE CONVERGENCIA CONVERGENCIA

Si aún por resolver resolver A x == b, conforme pauta del teoreteoreaún después después de atTeglado arreglado el sistema sistema por conforme la pauta ma 3.2, obtiene convergencia convergencia por por los los métodos métodos de Jacobi Jacobi y Gauss-Seidel muy ma 3.2, no se obtiene Gauss-Seidel o es muy lenta (como puede recurrirse recurrirse a los mémélenta (como sucedió sucedió con con el sistema sistema 3.98 3.98 de la sección sección anterior), anterior), puede todos de relajación relajación que, como se hará hará notar notar posteriormente, posteriormente, son métodos de Jacobi Jacobi y todos que, como son lo métodos Gauss-Seidel afectados por un factor peso w que, puede proproGauss-Seidel afectados por factor de peso que, elegido elegido adecuadamente, adecuadamente, puede ducir describen a continuación continuación estos métodos papaducir convergencia convergencia o acelerarla acelerada si ya existe. existe. Se describen estos métodos incógnitas. ra un sistema sistema de n ecuaciones ecuaciones en n incógnitas. Llámese N la matriz matriz coeficiente coeficiente del sistema por resolver, resolver, una una vez vez que que haya llevaLlámese sistema por haya sido sido llevamás cercana cercana posible posible a diagonal diagonal dominante, dominante, y después después de dividir dividir la primera primera da a la forma forma más , y la n-ésima n-ésima entre , lI' N es una una matriz matriz con con unos unos fila fila entre entre al al,", !' la segunda segunda entre entre a22,2'''' ,2"" entre allll,lI' siguiente forma: forma: en la diagonal diagonal principal. principal. A continuación continuación descompóngase descompóngase N en la siguiente N= L+ 1 + U, N=L+ 1+ U,

donde una matriz matriz cuyos por debajo debajo de su diagonal principal son idénticos donde L L es una cuyos elementos elementos por diagonal principal son idénticos a los correspondientes correspondientes de N y ceros otro sitio, es la matriz identidad y U una una ceros en cualquier cualquier otro sitio, 1 1es matriz identidad matriz cuyos cuyos elementos diagonal principal principal son idénticos a los los correspondiencotTespondienmatriz elementos arriba arriba de la diagonal son idénticos cero en cualquier cualquier otro otro sitio. descomposición de N, el sistema tes de N y cero sitio. Sustituyendo Sustituyendo esta esta descomposición sistema que se quiere quiere resolver quedaría: que resolver quedaría: (L + 1 + U) x = b

ahora se suma suma x a cada ecuación 3.100 3.100 se obtiene obtiene Si ahora cada miembro miembro de la ecuación (L + 1 + U) x + x

==b + x

(3.100) (3.100)

218

la ingeniería ingeniería Métodos numéricos numéricos aplicados aplicados a Métodos a la

"Despejando" x del lado lado izquierdo, izquierdo, se llega siguiente "Despejando" llega al esquema esquema siguiente = xx + [b [b -- L x xx = x -- xx -- U x], x],

(3.101) (3 .101)

que puede puede utilizarse utilizarse para para iterar iterar a partir que partir de un un vector vector inicial inicial x(O). x(O). Nótese Nótese que que la la ecuación ecuación 3.101, puede puede reducirse reducirse a la ecuación ecuación 3,89, sólo es un rearreglo 3.101, 3,89, ya que que sólo rearreglo de ésta. ésta. aplicar la ecuación ecuación 3.10 3.10 1, pueden pueden presentarse presentarse de nuevo nuevo las dos dos variantes variantes que que diedieAl aplicar ron lugar lugar a los métodos métodos de Jacobi Jacobi y Gauss-Seidel, ron Gauss-Seide1, con con lo que que el esquema esquema de desplazamiendesplazamiensimultáneos quedaría: quedaría: tos simultáneos X(k+l) = XX(k)(k) + [b [b -- L X(k+ l) =

X(k) X (k) -

X(k) X (k) -

U

X(k)] X(k)]

(3.102) (3.102)

U X(k)] X(k)]

(3.103) (3.103)

desplazamientos sucesivos sucesivos así: y el de desplazamientos X(k+l) = X(k+ l) =

X(k) X(k)

[b -- L X(k+l) + [b X(k+ l) --

X(k) X(k) -

Llegar al esquema esquema 3.102 3.102 y 3.103 3.1 03 no es simplemente simplemente para Llegar para tener tener una una versión versión distinta distinta de las ecuaciones 3.89, 3.89, sino sino para para someterlo someterlo a un "nuevos métodos" ecuaciones un análisis análisis que que permita permita proponer proponer "nuevos métodos" tienen. Por o mejoras mejoras en los que ya se tienen. Por ejemplo, ejemplo, factorizando factorizando x(k) dentro dentro del paréntesis paréntesis recrectangular de la ecuación ecuación 3.102, 3.102, se tiene: tiene: tangular

bb -- (( L + U) L +1 1+

X(k) X(k)

= bb -- N x(k) = r(k) r(k) N x(k)

(3.104) (3 .104)

vector que se denota denota como como r(k) r(k) y se llama iteración y puede vector llama vector vector residuo residuo de la k-ésima k-ésima iteración puede tomarse como una una medida medida de la cercanía cercanía de x(k) solución x; x(k) al vector vector solución x; si las componentes componentes tomarse como r(k) o I r(k) I son pequeñas, pequeñas, X(k) X(k) suele suele ser ser una de r(k) una buena buena aproximación aproximación a x; x; pero pero si los los elemenelemenr(k) o I r(k) I son grandes, grandes, puede puede pensarse pensarse que que X(k) X (k) no es muy muy cercana cercana a x. x. Aunque Aunque hay tos de r(k) circunstancias donde donde esto esto no se cumple, cumple, por circunstancias por ejemplo, ejemplo, cuando cuando el sistema sistema por por resolver resolver está está mal condicionado condicionado (véase Seco Seco 3.4), 3.4), es práctico válidos. mal (véase práctico tomar tomar estos estos criterios criterios como como válidos. sustituir la ecuación ecuación 3.104, 3.104, en la 3.102 Al sustituir 3.102 queda queda

X(k+ l) = = X(k) X(k) + r(k) r(k)

(3.105) (3 .105)

X(k+l)

que puede puede verse verse como como un esquema esquema iterativo (k+l)-ésima que iterativo donde donde el vector vector de la (h l)-ésima iteración iteración se obtiene a partir partir del vector vector de la k-ésima k-ésima iteración obtiene iteración y el residuo residuo correspondiente. correspondiente. aplicación de la ecuación ecuación 3.105 sistema particular Si la aplicación 3.105 a un un sistema particular da da convergencia convergencia lenta, lenta, X(k) están cercanas entre entre sí, y para para que que la convergencia convergencia se acelere acelere entonces entonces x(k+l) x(k+l) y X(k) están muy muy cercanas puede intentarse intentarse afectar afectar r(k) r(k) con un peso puede peso w > 1 (sobrerrelajar (sobrerrelajar el proceso); proceso); si, en cambio, cambio, el proceso proceso diverge diverge I r(k) r(k) I es grande grande y convendría < 1 (subrelaconvendría afectar afectar r(k) r(k) con con un factor factor w < (subrelajar para provocar provocar la convergencia. convergencia. El esquema jar el proceso), proceso), para esquema 3.105 3.105 quedaría quedaría en general general así: así: = x(k) X(k+l) = x(k) + w

X(k+l)

(3.106) (3.106)

r(k)

o xk+l = = x(k) xCk) + xk+l 1

1l

n

w [b L a ... . x [b - L 1 I

j=l j= l

lt.j .}

k k ] )}

-:;,n , 1 -:;, -:;, i -:;,

(3.107) (3 .107)

j",¡ j", ¡

para desplazamientos simultáneos. simultáneos. para desplazamientos Para desplazamientos desplazamientos sucesivos, sucesivos, en cambio, Para cambio, quedaría quedaría X(k+l) = x(k) x(k) + w [b [b -- L x(k+l) X(k+ l) = x(k+l) --

x(k) x(k) -

U X(k)] X (k) ]

(3.108) (3 .108)

o (3.109) (3.109)

Ej


Estos Succesive Over-ReOver-ReEstos métodos métodos se abrevian abrevian frecuentemente frecuentemente como como SOR SOR (del (del inglés inglés Succesive laxatian). laxation). En general, para sistemas general, el cálculo cálculo de w es complicado complicado y sólo sólo para sistemas especiales especiales (matriz (matriz coecoeficiente positivamente definida y tridiagonal) fórmula: ficiente positivamente definida tridiagonal) se tiene tiene una una fórmula:

1) ón 'en-


Resuelva Resuelva el sistema sistema 3.98 3.98 --XIXI

2)

XI XI

2x 2xI I

3)

s"

Solución

10 15 2

-3

La matriz N y el vector vector de términos términos independientes La matriz independientes correspondiente correspondiente son son

N=

ay

5x33 + 2x4 + 3x22 + 5x + 9x22 + 8x33 + 4x4 x22 + x4 x4 + x22 + x33

Ck) 1. con desplazamientos desplazamientos sucesivos, sucesivos, w = = 1.3 Y con con E E = = 10-22 aplicado aplicado a I X(k+l) x(k) 1. (Puede (Puede con XCk+ I) - x seguir pizarrón electrónico seguir los cálculos cálculos con con un pizarrón electrónico o con con Matlab.) Matlab.)

las c-

219

112 112 1 3/5 1

l':9

-115 O

112 112 8/9 1 O O

l

1I2 4/9 2/5 2/5 1

-tal '

b == [-3/2 [-3/2 15/9 10/5 2]T 2]T

Descomposición Descomposición de N

stá

L= L=

S)

l'~9

[

O O O O 3/5 1

1~9 -1/5 -115 O O

O O O O O O O O

se

n

l

1/2 112 O O O O O O

1I2 1/2 1I2 8/9 4/9 4/9 2/5 O O O O O O

Primera iteración iteración Primera la, ere

io, lasí: 06)

Obtención de x(1) inicial x (O) (O) = = [O O OO O OF OF y empleando empleando la ecuación ecuación 3.108. 3.108. Obtención x(l) a partir partir del vector vector inicial Cálculo de x], esto es, es, i = = 1 Yk + 1 = =1 xl, esto Cálculo

oo xl = bl xl = xp + 1.3[ b, - L j:¡

xp

pi

II IIJJ' xl xl -

J

x O -x? I

4

L j:2

j=2

U¡J' U1J

xJO ] x/]

Obsérvese que que en la primera sumatoria el valor valor inicial inicial (j=1) (j=I) es mayor que el valor final Obsérvese primera sumatoria mayor que valor final convención en estos estos casos casos es que que tal sumatoria sumatoria no se realiza. Por tanto, (O); la convención realiza. Por tanto,

XlXl == O O + l.3[-3/2 1.3[-3/2 07)

Cálculo de Cálculo

O -- 1/2(0) 112(0) --1/2(0) 112(0)] = = - 1.95 O 112(0) + 1/2(0)]

xi, esto esto es, es, i = = 2 Y k+ = 11 k+11 = 1I

xX221 = = x220 + 1.3 [ b -LL b22 -

pi J~I

= O+ = 08)

4 12J' xl - X 0_ L J 2 j=3

U ' 2J

1.3 [15/9 [15/9 - 1/9(-1.95) 119(-1.95) - O - 8/9(0) 8/9(0) - 4/9(0)] 4/9(0)] l.3

x/ ]

= 2.4483 2.4483 =

Cálculo de xj, esto es, i = = 3 Y k+l =1 Cálculo xj, esto k+1 =

= O+ =

1.3 [10/5 [10/5 - (-115)(-1.95) (-115)(-1.95) - (3/5) (3/5) (2.4483) (2.4483) - O - 2/5(0)] 2/5(0)] l.3

= 0.1833 0.1833 =

09) Burden, R.L. R.L. y Faires, Faires, J.D, J'D. Análisis numérico. Grupo Grupo Editorial Editorial Iberoamérica Iberoamérica (1985), (1985), pp. 475. • Burden, Análisis numérico, pp. 475,

# -

220

Métodos numéricos

Cálculo de

xJ,

aplicados

a la ingeniería

esto es, i = 4 Y k+ 1 = 1

xJ = x2 + 1.3 [ b4 -L

3

J=I

=

=-

O + 1.3 [2 - 0(-1.95) - 1(2.4483) - 0(0.1833) - O]

Cálculo de I x(l)

- x(O)

d 1-- )(xl-1

= )(-1.95)2

0.5828

I = di xO)2+(XII

2

xO)2+(XI2

3

xO)2+(XI_ 3 4

+ (2.4483)2 + (0.1833)2 + (-0.5828)2

=

xO)2 4

3.1891

Los valores mostrados en la tabla 3.5 se encuentran continuando las iteraciones. Tabla 3.5 Resultados obtenidos con w = 1.3.

k

I x(k+l)

_ x(k)

Xk 1

x k 2

Xk 3

xk 4

O

0.0000

0.0000

0.0000

0.0000

1

-1.9500

2.4483

0.1833

-0.5828

3.1891

2

-3.4544

2.0561

0.3462

0.1020

1.7066

3

-2.4089

1.4388

0.6945

0.6989

1.3971

4

-2.1597

0.8406

0.8110

1.2976

0.8898

5

-1.5322

0.4489

0.9334

1.6271

0.8190

6

-1.3312

0.2055

0.9674

1.8447

0.3848

7

-1.1140

0.0822

0.9968

1.9397

0.2689

8

-1.0563

0.0220

1.0005

1.9895

0.0972

9

-1.0046

-0.0004

1.0045

2.0037

0.0583

10

-0.9988

-0.0074

1.0028

2.0084

0.0103

11

-0.9919

-0.0070

1.0024

2.0066

0.0072

I

Para realizar los cálculos puede usarse el siguiente guión de Matlab: Ta

%Método SOR clear A=[2 1 1 -1; 1 9 8 4; -1 3 5 2; O 1 O 1J b=[-3 15 10 2J for i=1:4 N(i, :)=A(i, :)/A(i,i); b(i)=b(i) /A(i,i); end N U=triu (N) L=tril (N) XO=zeros (1,4) ; X=XO; w=1.3; K=O;Norma=l; fprintf(' K X(1) X(2) X(3) X(4) Norma\n') whi1e Norma>O.Ol

2 3 4 5 6

Matrices y sistemas sistemas de ecuaciones ecuaciones lineales Matrices y

221

k=k+1 k=k+1; ; fpri n tf( ''%2s' %2s ' ,,k) k) fprintf( ffor or i=1 i=1:4: 4 U=O ; sumaL=O ; suma sumaL=O; sumaU=O; for j =1 : 4 for j=1:4 iif f i-=j i-=j sumaL=sumaL+L j ) *X sumaL=sumaL+L (i, (i, j) *X (j (j) ) ; sumaU=sumaU+U(i,j)':'XO (j);); sumaU=sumaU+U(i , j )*XO (j end end end X (i -s umaL - X (i - sumaU) ; (i) ) =X =X (i (i) ) +W-' +w* (b (b (i (i) ) -sumaL-X (i) ) -sumaU) printf( ''%10. %10. 4f ,X(i)) ffprintf( 4f' ' ,X(i)) end end Norma=norm (XO -X); Norma=norm(XO-X); ffprintf printf(( ''%10. %10 . 4f\n , Norma ) 4f\n' ' ,Norma) XO=X ; XO=X; i if f K K > 17 d i sp ('No e a lcanzó la la convergen c ia') disp ('No s se alcanzó convergencia') b rea k break end end end

Al comparar los obtenidos obtenidos en la tabla tabla 3.4 (método (método de Gauss-Seidel Gauss-Seidel comparar estos estos resultados resultados con los aplicado al sistema sistema que que aquÍ aquí se resuelve), aplicado resuelve), se observa observa que que la convergencia convergencia es acelerada acelerada y los cálculos mitad. cálculos se reducen reducen a la mitad. COMPARACiÓN DE LOS MÉTODOS E COMPARACiÓN MÉTODOS DIRECTOS DIRECTOS E ITERATIVOS ITERATIVOS

Una parte parte importante importante el análisis análisis numérico Una numérico es conocer conocer las características características (ventajas (ventajas y desdesventajas) básicos que que resuelven resuelven una una familia familia de problemas problemas (en ventajas) de los métodos métodos numéricos numéricos básicos este caso A x = elegir el algoritmo algoritmo más más adecuado adecuado para para cada cada problema. problema. este caso = b), b), para para así elegir A continuación continuación se presentan circunstancias donde donde pudiera pudiera verse verse como como ventajosa ventajosa la presentan las circunstancias elección también a qué qué se renuncia renuncia co.n co.n esta esta decisión. decisión. elección de un método método iterativo iterativo y también Tabla 3.6 comparados con los métodos directos. 3.6 Ventajas y desventajas desventajas de los métodos métodos iterativos iterativos comparados métodos directos.

•

Ventajas Ventajas

Desventajas Desventajas

l. Probablemente para Probablemente más más eficientes eficientes que que los los directos directos para sistemas sistemas de orden orden muy muy alto. 2. Más programar. Más simples simples de programar. 3. Puede Puede aprovecharse aprovecharse una aproximación aproximación a la solución, solución, si tal aproximación aproximación existe. existe. 4. Se obtienen obtienen fácilmente fácilmente aproximaciones aproximaciones burdas burdas de la solución. solución. menos sensibles sensibles a los eITores errores de redondeo redondeo (valio5. Son menos (valioso en sistemas sistemas mal condicionados). condicionados). 6. Se requiere requiere menos menos memoria memoria de máquina. máquina. GeneralmenGeneralmente las necesidades necesidades de memoria memoria son proporcionales proporcionales al orden orden de la matriz. matriz.

1. Si se tienen tienen varios varios sistemas que comparten comparten la matriz matriz sistemas que representará ahorro ahorro de cálculos cálculos ni coeficiente, esto esto no representará coeficiente, tiempo de máquina, máquina, ya que que por por cada cada vector vector a la derederetiempo A tendrá tendrá que que aplicarse aplicarse el método método seleccionado. cha de A cha seleccionado. Aun cuando cuando la convergencia convergencia esté esté asegurada, asegurada, puede puede 2. Aun por tanto, tanto, los los cálculos cálculos requeridos requeridos para para obobser lenta y, por ser lenta tener solución particular tener una una solución particular no son predecibles. predecibles. El tiempo tiempo de de máquina máquina y la exactitud exactitud del del resultado resultado de3. El penden del criterio criterio de convergencia. convergencia. penden convergencia es lenta, lenta, los los resultados resultados deben debei] in4. Si la convergencia terpretarse con con cautela. cautela. terpretarse 5. No se tiene tiene ventaja ventaja particular particular alguna alguna (tiempo (tiempo de mámá5. No quina por por iteración) iteración) si la matriz matriz coeficiente coeficiente es siméquina simétrica. trica. No se obtiene obtiene A-I A- I ni det det A A.. 6. No

222

Métodos numéricos


3.6 Valores y vectores propios Si A es una matriz de números reales de orden n e 1 la matriz identidad de orden n, el polinomio definido por peA)

.1

= det(A

(3.110)

- Al)

se llama el polinomio característico de A. Es fácil ver que p es un polinomio de n-ésimo grado en A con coeficientes reales," y que, por tanto, la ecuación

i

peA)

=

(3.111)

O

tiene n raíces, de las cuales algunas suelen ser complejas. Los ceros de esta ecuación, conocidos como valores característicos o propios de A, están ligados con la solución del sistema A x = b. Por ejemplo, el método de Gauss-Seidel, independientemente del vector inicial que se emplee, converge a la solución de A x = b si y sólo si los valores propios de B son todos menores de uno en valor absoluto."

f' "

,; ""1

'Ejemplo 3.41

[~

A=

Solución

Ejen

Dada la siguiente matriz, encuentre sus valores propios -9 -4

n

-1

Se forma A - Al

A-Al=

-9 -4

[~

-1

~l

-A

[~

O 1 O

~][T

-9 -4-A -1

3~A]

Se obtiene el determinante de este último arreglo det (A - Al) = (4 - A)(-4 - A)(3 - A) -4 - 54 (2)(-4 - A)(l) - (-9)(2)(3 - A) - (6)(-1) (4 - A) Al desarrollar e igualar con cero se obtiene -A3 +3A2 -6A - 20

= O,

el polinomio característico de A, cuyos ceros Al' ~, A3 son los valores buscados. El hecho de ser un polinomio cúbico con coeficientes reales garantiza una raíz real por lo menos. Con el método de Newton-Raphson y un valor inicial de -2 se llega a

Al = -1.53968 El polinomio se degrada por división sintética -1 -1.53968

I

.

-1 'Véase

3 1.53968 4.53968

problema 3.59.

** J. N. Franklin,

Matrix Theory. Prentice Hall, 1968.

-6.98965

-20 20

-12.98965

O

-6

Matrices y sistemas Matrices y sistemas de ecuaciones ecuaciones lineales

223

El polinomio degradado es: polinomio degradado A} + 4.53968A - A} 4.53968A - 12.98965 = = O, O,

po-

de donde, por aplicación tiene donde, por aplicación de la fórmula fórmula cuadrática cuadrática se tiene

10)

~= 2.26984 + 2.799553 2.799553 i ~ = 2.26984 2.26984 - 2.799553 2.799553 i \A3 = = 2.26984

,'y

Una vez vez obtenidos valores propios propios de una una matriz matriz A de orden n, los vectores vectores x "# -:;:. O Una obtenidos los valores orden n, que resuelven el sistema que resuelven sistema

11)

A x == A¡ x,

codel tor s de

1,2, .. .... , n ii == 1,2,

(3.112)

O (A - Al) A 1) x = O

denominan vectores correspondientes a A¡. Como Como det(A det(A - A¡l) sisvectores propios propios de A correspondientes A¡I) == O Y el sisse denominan tema es homogéneo, infinito de soluciones soluciones para cada A¡. tema homogéneo, se tiene tiene un número número infinito para cada

Ejemplo 3.42 Ejemplo

Solución

Encuentre los ejemplo 3.41, correspondientes correspondientes al valor Encuentre los vectores vectores propios propios de la matriz matriz del ejemplo valor propio A¡ -1.53968. propio Al = = -1.53968. sistema por alguno de los métodos métodos de eliminación eliminación Al resolver resolver el sistema por alguno

(A-A¡I)x= (A - Al!) x =

1.53968) - 9 44 - ((-1.53968) 2] 2 -4-(-1.53968) 6 - 4 - (- 1.53968) [ 1 -1 3-(-1.53968) -1 3-C-1.t968

l]

resulta superior, por con una fila de ceros.* ceros.* Para asegurar resulta una una matriz matriz triangular triangular superior, por lo menos menos con una fila Para asegurar que esa(s) esa(s) fila(s) fila(s) de ceros ceros sea(n) sea(n) la(s) la(s) última(s) que la submatriz sub matriz no singular singular resultante que última(s) y que resultante esté lo mejor condicionada posible, (intercambio de filas filas y columnas) columnas) esté mejor condicionada posible, se usa pivoteo pivoteo total total (intercambio y escalamiento. escalamiento. Sea entonces entonces la matriz Sea matriz por por triangularizar triangularizar

-9 - 2.46032 2.46032 --11

por

=BB =

Nótese que el vector independientes no se emplea emplea porque componenNótese que vector de términos términos independientes porque todos todos sus componentes tes son cero. En lugar de emplear emplear la norma norma enclideana enclideana para escalamiento, se usará ahora la sipara el escalamiento, usará ahora En lugar guiente norma, definida para para un vector cualquiera y = Y2"" " Y" Yn F, como guiente norma, definida vector cualquiera = [y¡, [yl' Y2" ]T, como y = = I YYII I + I Y2 I + .,. + I YI! Y" I

ya que es más sencilla de calcular calcular que que la eucIideana eucJideana y que que para segunda y terya que más sencilla para la primera, primera, segunda tercera filas filas de A es, es, respectivamente, cera respectivamente, 16.53968] 16.53968] 10.46032 10.46032 [ 6.53968 6.53968 Computing and S.R.A. (1975) • Pizar, Pizar, M. M. S. Numerical Numerical Computing and Mathematical Mathematical Analysis. Analysis. S.R.A. (1975)

224


Cada Cada fila fila de de la la matriz matriz B B se se divide divide entre entre su su factor factor de de escalamiento escalamiento yy se se obtiene: obtiene:

B' B' = =

-0.54415 -0.54415 -0.23520 -0.23520 -0.15291 -0.15291

0.33493 0.33493 0.19120 0.19120 [ 0.15291 0.15291

0.12092] 0.12092] 0.57360 0.57360 0.69417 0.69417

En el pivoteo pivoteo total total es necesario necesario registrar registrar los los cambios cambios de de columnas columnas que que se verifican, verifican, ya ya que que éstos éstos afectan afectan el el orden orden de de las las incógnitas. incógnitas. Para Para ello ello se se utilizará utilizará un vector vector q, en en donde donde apareaparecen cen como como elementos elementos las las columnas. columnas. Al principlo principIo están están en en orden orden natural natural y se tiene: tiene:

q=U] Se Se busca busca el elemento elemento de máximo máximo valor valor absoluto absoluto de B'. B ' . En En este este caso caso es b' 33 3,3 = = 0.69417. 0.69417. Se Se intercambian intercambian las filas filas 1 y 3, Y las columnas columnas 1 y 3 para para llevar llevar este este elemento elemento a la la posición posición pivote pivote (1, 1), teniendo teniendo cuidado cuidado de registrar registrar los los intercambios intercambios de columnas columnas en q. Los Los resulresultados son: son: tados

B" ==

0.69417 0.69417 0.57360 0.57360 [ 0.12092 0.12092

-0.15291 -0.15291 -0.23520 -0.23520 -0.54415 -0.54415

0.15291~

0.15291] 0.19120 0.19120 0.33493 0.33493

,

eliminan los elementos elementos de la primera primera columna columna que están debajo debajo del elemento Se eliminan que están elemento pivote, pivote, con lo cual se produce: produce: con

B'" B"'

= =

0.69417 0.69417 0.0 [ ~~ 0.0

-0.15291 -0.15291 -0.10885 -0.10885 -0.51751 -0.51751

0.15291 0.15291 0.06485 0.06485 0.30830 0.30830

JJ

busca el elemento elemento de máximo valor absoluto absoluto en las dos últimas últimas filas; resulta resulta ser b'" b'" 3,2 32 = = Se busca máximo valor intercambian las filas filas 2 y 3, Y y con con esto esto se lleva lleva a este este elemento elemento a la posición posición --0.51751. 0.51751. Se intercambian pivote pivote (2, 2). Los resultados resultados son:

B/v = = B/v

0.69417 0.69417 0.0 [ 0.0

-0.15291 -0.15291 -0.51751 -0.51751 -0.10885 -0.10885

0.15291] 0.15291] 0.30830 0.30830 0.06485

~],

= [ ~] , ya y, qne que no hnbo hubo mtecc,,",bio intercambio de column"'. columnas yq =

eliminan los elementos elementos de la segunda segunda columna columna que están están debajo debajo del elemento elemento pivote pivote y Se eliminan se produce produce

BV == BV

0.69417 0.69417 0.00000 0.00000 [ 0.00000 0.00000

-0.15291 -0.15291 -0.51751 -0.51751 0.00000 0.00000

0.15291] 0.15291] 0.30830 0.30830 -0.00000 -0.00000

matriz triangulruizada triangularizada con una fila de ceros, la última última como como se planeó. planeó. La submatriz submatriz no una matriz singular de la que se habló al principio principio está formada formada por los elementos elementos (1, 1), 1), (l, (1, 2), (2, 1) Y singular

225

Matrices y ecuaciones lineales Matrices y sistemas sistemas de ecuaciones

(2,2). Al escribir escribir el sistema sistema en términos (2,2). términos de XI' xI' x22 y x33' ' y considerar considerar los cambios cambios de columcolumque hubo, hubo, se tiene tiene nas que 0.69417 x33 - 0.15291 0.15291 x22 + 0.15291 0.15291 xI =O 0.69417 xl = 0.00000 x33 - 0.51751 0.51751 x22 + 0.30830 0.30830 Xl 0.00000 Xl ue

e-

== O

sistema homogéneo homogéneo de dos ecuaciones ecuaciones en tres incógnitas, cuyas soluciones Un sistema tres incógnitas, cuyas infinitas infinitas soluciones pueden obtenerse obtenerse en términos términos de alguna alguna de las incógnitas. incógnitas. El sistema sistema se resuelve pueden resuelve en térmitérmiXI nos de Xl 0.69417x3 3 - 0.15291 0.15291 x22 0.69417x

== -0.15291 -0.15291 XI Xl

0.00000 x33 - 0.51751 0.51751 x22 = = -0.30830 -0.30830 XI 0.00000 XI donde de donde Se ión ul-

X X22

= 0.59573 0.59573 XI = Xl

xX33 = = -0.08905 -0.08905 XI XI valor particular particular a xl' xl' por ejemplo XI Se da un valor por ejemplo XI = = 1,1, y resulta resulta

[~.59753]

= = [

te,

~.59753]

-0.08905 -0.08905

uno de los infinitos infinitos vectores vectores propios Al' ' uno propios de A correspondientes correspondientes a Al Comprobación Comprobación que por por definición definición A x = = Al Ya que

[~ [~

-9 -4 -4 -1 -1

X

~] ~.59573] ~.59573]

[ - 0.08905 0.08905

~. 59573]

== -1.53968 -1.53968 [[, , ~.59573] --0.08905 0.08905

MÉTODO POTENCIAS MÉTODO DE LAS POTENCIAS

método de las potencias potencias permite El método permite calcular calcular el valor valor y el vector vector característicos característicos dominantes dominantes una matriz matriz A de orden orden n, cuando de una cuando dicha dicha matriz matriz tiene tiene n vectores vectores característicos característicos linealmenlinealmenindependientes: vI' vI' v22''... estrictamente dominante .. . VII Y Y un valor valor característico característico A¡ Al estrictamente dominante en te independientes: magnitud magnitud Az I ~~ I ~~ I ~~ ... ... ~~ I AIl I Al A. I I > I íLz An I

ey

Se muestra dicho método. método. muestra a continuación continuación dicho Dada la independencia independencia lineal vector Dada lineal de los los vectores vectores característicos, característicos, cualquier cualquier vector componentes puede puede expresarse expresarse como componentes como una una combinación combinación lineal lineal de ellos: ellos:

Multiplicando la ecuación ecuación anterior anterior por Multiplicando por la izquierda izquierda por por A se tiene: tiene: Av = alAv¡ Av = a lAv l + a22Av Av2 2 + ... + a,,Av a,,Avnn no )y

= =

al

al

AIV A. IVJ I

+ aa22AA22vV22 + ... + anAnVn

V

de n

226

Métodos numéricos numéricos aplicados aplicados a ingeniería Métodos a la ingeniería

Multiplicando Multiplicando repetidamente repetidamente por por A se llega llega a

Alv Akv = alA/vI alA/vI + a22Alv anA/Vn n Akv = 2 2 + ... + anA/V y factorizando factorizando

Akv == Alk A¡k [ alv¡ Akv alvl + a22 (

~ )\2 an (~~ (~~ )\n 1 )\2 + ... + «. 1

~

y como como Al es el mayor, dentro del paréntesis mayor, todos todos los términos términos dentro paréntesis rectangular rectangular tienden tienden a cero cuando cuando k tiende excepto el primer tiende a 00, excepto primer término término (si al a¡ *- O). O). Para Para k grande grande Akv Akv "" A/a A/a VI' l l VI' Al correspondientes a Akv Al tomar tomar la relación relación de cualesquiera cualesquiera componentes componentes correspondientes Akv y Ak+IV, Ak+IV, se obtiene sucesión de valores convergentes a Al' Al' ya ya que que obtiene una una sucesión valores convergentes 00,

1 k+1 A/+lalv /\,¡ al lV ¡,j.

---",-,j "" A¡ ----,--------"'--""A¡

(3.113) (3.113)

A}a¡v¡,j A}a¡v¡,j

Además, sucesión AI-kA kV convergirá convergirá al vector Además, la sucesión Al-kA kV vector característico característico

Ejemplo 3.43 IEjemplo 3.4~

Solución Solución

V V ¡I

multiplicado multiplicado por por a tl'

Encuentre Encuentre el valor valor característico característico y el vector vector característico característico dominantes dominantes de la matriz matriz coecoeficiente del siguiente siguiente sistema, sistema, usando ficiente usando el método método de las potencias potencias

Como generalmente sino que Como generalmente no se conocen conocen los los vectores vectores característicos, característicos, sino que ése ése es el propósipropósito, se empieza empieza a iterar con vV = el = = el = [1 O O]T. O]T. iterar con Primera Primera iteración iteración Primero calcula el producto Primero se calcula producto A v

Ahora calcula el producto Ahora se calcula producto A 2 V

calcula el primero ecuación 3.113, 3.113, utilizando componenSe calcula primero de los los valores valores de la ecuación utilizando el primer primer componente de ambos ambos productos productos Al,l "" 5/1

Segunda iteración Segunda iteración

Se calcula calcula el producto producto A 3 VV

=5

Matrices yy sistemas sistemas de ecuaciones Matrices ecuaciones lineales

227

El nuevo nuevo valor valor de la ecuación ecuación 3.113 El 3.1 13 es: AI,2.2 "'" "" AI

13/5

= 2.6 =

Al continuar continuar las iteraciones iteraciones se obtiene: obtiene: Al

eVI'

se

3)

si-

k

A.t,k

11

5.00000 5.00000

2

2.60000 2.60000

3

3.15385 3.15385

4

2.95122 2.95122

5

3.01653 3.01653

6

2.99452 2.99452

7

3.00183 3.00183

8

2.99939 2.99939

9

3.00020 3.00020

10

2.99993 2.99993

El proceso proceso converge converge al valor valor propio propio dominante dominante AJ A1 = = 3. El lector El lector puede puede repetir repetir el proceso, proceso, usando la segunda segunda componente componente de cada cada producto producto Ak usando Ak v. Para encontrar encontrar uno uno de los vectores vectores propios correspondientes a Al Para propios correspondientes Al == 3, 3, se usa usa la fórmufórmuresultando A¡k Akv, Akv , resultando la A¡k VII V

= [9841.7 [9841.7 =

9841.3 O]T, que que normalizado normalizado da 9841.3

VI vI

== [1

1 O]T.

Debido a que que Ak produce, por por lo general, general, valores valores muy muy grandes grandes o muy Debido Ak produce, muy pequeños, pequeños, conviene conviene normalizar los productos productos Ak cada iteración, iteración, dividiendo dividiendo cada normalizar Ak vven en cada cada elemento elemento del del vector vector enenelemento de máximo máximo valor valor absoluto absoluto de dicho dicho vector. vector. tre el elemento Los cálculos cálculos pueden pueden realizarse con el siguiente siguiente guión guión de Matlab, Los realizarse con Matlab, en el que que se obtiene obtiene ecuación 3.113 3.113 con el elemento elemento de máximo máximo valor valor del segundo segundo producto obtenido la ecuación producto Ak Ak v obtenido cada iteración. iteración. en cada

en-

A=[l[l 2 0 0;2 0;0 O -1} -1}; A= ;2 1 0 ;0 O ; v= v= [1 [1;; O; O; O} O};; Dist=l;R=O Di s t=l ; R=O Eps=le-5;K=0; Eps=le-5 ; K= 0 ; while Dist>Eps Dist>Eps while K=K+1; K=K+1 ; X=A-N'v; X=A-K'v; Y=A(K+1)*v; Y=A - (K+1)* v; [Z,I}=max(Y) [Z , I}=max(Y) ; Rl=Y(I)/X(I) Rl=Y (I ) / X(I) ; fprintf(' (' % %2d %10_5f\n' fprintf 2d % 10 . 5f\n ' ,,K,R) K , R) Dist=abs (Rl (Rl-R) Dist=abs - R) ; R=Rl;; R=Rl end end v1=A-¡0'v/R v1=A -i0' v/R

228


Ejercicios Ejercicios ~ ~ 3.1

En columna de cinco cinco platos, absorber benceno corriente de En una una columna platos, se requiere requiere absorber benceno contenido contenido en una una cOlTÍente gas V, con un aceite aceite L que circula circula a contracorriente contracorriente del gas. Considérese Considérese que que el benceno benceno transtransferido no altera altera sustancialmente sustancialmente el número número de moles fluyendo a contracorriente, contracorriente, que que ferido moles de V y L fluyendo la relación equilibrio está está dada dada por Henry (y = que la columna columna opera relación de equilibrio por la ley de Henry = mx) mx ) y que opera a régimen Calcule la composición composición del benceno gimen permanente. permanente. Calcule benceno en cada cada plato. plato. Datos: = 100 moles/min; = 500 500 moles/mino Datos: V = moles/min; L = moles/mino = 0.09 0.09 fracción fracción molar en V. Yo = molar de benceno benceno en V. X = 0.0 fracción molar benceno L aceite entra entra por domo sin benX = 0.0 fracción molar de benceno en (el aceite por el domo benoo ceno). ceno). m= 0.12 = 0.12

Solución Solución

Los cada plato son (véase (véase Fig. 3.13). Los balances balances de materia materia para para el benceno benceno en cada plato son Fig. 3.13).

...•..

V

Ys Ys

L---------,¡ Ll X ,, X oo

3.13 Fig. 3.13 Columna de Columna absorción absorción de cinco platos.

~ Yo

I

~ XI

Matrices y sistemas

s-

5

L (xo - xs) + V (Y4 - Ys)

=O

4

L (xs - x4) + V (Y3 - Y4)

=O

3

L (x4 - x3) + V (Y2 - Y3)

=O

2

L (x3 - x2) + V (YI - Y2)

=O

+ V (yo - Y¡)

=O

que

aré-

lineales

229

Balance de benceno

Plato ede

de ecuaciones

L (x2 -

Xl)

ben-

Al sustituir la información ecuaciones, se llega a:

PROGRAMA

hechas y rearreglando

+

512 Xs 500 Xs

Con el

que se tiene, las consideraciones

12 x3 512 x3 500 x3

+

12 x2 512 x2 500 x2

+ 12 XI + 512 XI

las

O O O O 9

3.2 del CD, se obtienen los siguientes resultados

Xl

= 0.018,

x4

= 2.4869

= 4.32 X 10--4, = s 5.8286 X 10-9,

X

2

X

10-7,

X

También pueden usarse las instrucciones en Matlab dadas en el ejemplo 3.28, con los cambios apropiados en los datos. ~ ~

3.2

Supóngase que se tiene una estructura cuadrada. A fin de analizarla se forma una malla imaginaria sobre dicha estructura, como se muestra en la figura siguiente.

o

o

)

o

o

)

Figura 3.14

Estructura cuadrada. y se numeran los nodos, por ejemplo, como se muestra a continuación. 4 3 2 1

8 7 6 5

12 11 10 9

16 15 14 13

Cada nodo se identifica con a;t.] por ejemplo, el 4 con al " \' el 6 con a32, etc., y así queda formada una matriz A representativa de la estructura.

230

Métodos numéricos


Ciertas consideraciones de ingeniería determinan que ai,j *- O siempre que los nadas i y j sean vecinos o adyacentes." Para aclararlo, hay que observar que al nodo 5 le corresponde a4,2' Y como los nadas 4 y 2 no son vecinos a4,2 = O; al 11 en cambio le corresponde a23 y como 2 y 3 son vecinos, a23 *- O. Por último a33 *- O, ya que el nodo 3 puede considerarse vecino consigo mismo. ' , Estas consideraciones generan matrices o sistemas dispersos o frecuentemente bandeados. Estos sistemas suelen ser muy grandes, ya que las mallas se construyen con un gran número de nadas. En la aplicación del método de las rigideces," para calcular los desplazamientos en los nadas de una estructurada dada al aplicarse una carga en uno de los nadas, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

105

¡ p"" II

3.01687 0.00000 3.37500 -3.00000 0.00000 0.00000

0.00000 3.01687 3.37500 0.00000 -0.01687 3.37500

3.3750 3.3750 900.00 0.0000 -3.3750 450.00

-3.0000 0.0000 0.0000 3.0400 0.0000 6.0000

dxB dyB

0.00000 0.0000 -0.01687 3.3750 -3.37500 450.00 0.00000 6.0000 4.01687 -3.3750 -3.37500 2100.0

eB

dxe dye ee

1600 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

donde la matriz coeficiente es conocida como la matriz de nadas, dB = [dxB dyb eB]T y de = [dxe dye edT son los vectores de desplazamiento de los nadas By C, respectivamente. Resuelva dicho sistema. Solución

La solución obtenida con el

PROGRAMA

3.3

eB = -0.00125

dyB = 0.00259; dyC = -0.00194;

dxB = 0.47185; dxc = 0.46776; ~

3.2 del CD o con Matlab, se da a continuación

ec = -0.00108

Determine las concentraciones molares de una mezcla de cinco componentes en solución a partir de los siguientes datos espectrofotométricos. Longitud de onda

Absorbancia

1

molar del componente j 2 4 5 3

Absorbancia total observada

1

98

9

2

1

0.5

0.1100

2

11

118

9

4

0.88

0.2235

3

27

27

85

8

2

0.2800

4

1

3

17

142

25

0.3000

5

2

4

7

17

118

0.1400

Asúmase que la longitud de la trayectoria óptica es unitaria y que el solvente no absorbe a estas longitudes de onda. Solución

Si se considera que se cumple la ley de Beer, entonces a una longitud de onda dada, i

, El nodo 7, por ejemplo, tiene como vecinos a los nadas 3, 6, 8 Y 11. " Carlos Magdalena.

Análisis matricial de estructuras

reticulares. Edición mimeográfica.

ES lA, lPN.

Matrices y sistemas

de ecuaciones

lineales

231

donde: ATOTi es la absorbancia total observada a la longitud de onda i. c¡.j

es la absorbancia molar del componente j a la longitud de onda i.

ej

es la concentración

molar del componente j en la mezcla.

Al sustituir los valores de la tabla se obtiene 98 11 27

n

e

el el el el

z c,

9 + + 118 + 27 3 + 4 +

e, e2 e2 e2 e2

2 9 85 17 7

+ + + + +

e3 e3

e,

e3 e3

c4 + 4 e, + 8 e, + + 142 C, + 17 e,

+ + + + +

0.5 0.88 2 25 118

es es es es es

0.1100 0.2235 0.2800 0.3000 0.1400

Un sistema de ecuaciones lineales con matriz coeficiente dominante. Esto sugiere resolver el sistema con el método de Gauss-Seidel. El PROGRAMA 3.3 del Cl) utiliza el método de Gauss-Seidel para resolver un sistema de ecuaciones lineales. Este programa se utilizó con el vector cero como vector inicial, por la relativa cercanía de cero con cada uno de los valores del lado derecho del sistema. Los resultados obtenidos son e-

W1 ~

el

= 0.000910

C,

= 0.001664

e2= 0.001569 es= 0.000740

3.4

Determine la intensidad de corriente en cada rama del circuito que se muestra en la figura 3.15.

Solución

Se asigna un sentido y una letra a cada magnitud desconocida; los sentidos supuestos son enteramente arbitrarios. Hay que observar que la intensidad de corriente en R3, RI Y El es la misma y, por consiguiente, sólo se requiere una letra. Lo mismo ocurre para la intensidad de corriente en R2, E2 Y R6. Los nodo s (puntos de la red en los cuales se unen tres o más conductores) se designan con las letras a, b, e, d.

in

e,», R¡

E2,r2

a

R2

i¡ ___ i3

i,l R3 ~i¡

Figura 3.15 Circuito eléctrico con resistencias y fuentes de poder.

b

--

Es,rs

Rs

R4 e i4---

i6

---

---

••

is

d

R6 ---

i3

232

Métodos numéricos

aplicados

a la ingeniería

Aplicación de la regla de los nodos de Kirchhoff a tres nadas cualesquiera L i il + i2 - i3 - il - i4 - i6 i4 + is - i2

Nodo a b C

=0 =0 =0 =0

Si bien es cierto que hay un nodo más, el d, la aplicación de la regla daría una ecuación linealmente dependiente de las otras tres, esto es: Nodo d ecuación que se obtiene sumando las tres primeras; por ello resulta redundante y en general se aplica dicha regla a n-l nadas solamente. En la figura 3.16 se representa el circuito cortado en mallas. Considérese en cada malla como positivo el sentido de las agujas del reloj. La regla de las mallas de Kirchhoff (L E, = L ik R, ) proporciona las siguientes ecuaciones: Malla

L Ek = L ik Rk

1 11 III

-E¡ - Es = ilRI + i¡ r¡ - i2 rs - i4 R4 + il R3 E2 + Es = i3r2 + i3 R2 + i3 R6 + is R, + i2 rs E4 = i4R4 - is Rs - i6 r4 - i6 R7

---

~ El'r,

R, i,

,:I ar:

---

E,>',

R4

R3 ~

i,

b

i4

--R4

b

R2

E2,r2

e

• •

---

i3 i

Rs

R6

e

~ Rs

e

is

d

~

i3

d

i4 ___

~

is

Figura 3.16 Circuito de la figura 3.15 cortado en mallas.

Se tienen ecuaciones independientes, donde conocidas las Rk' las Ek y las rk' se pueden calcular las seis intensidades de corriente resolviendo el sistema. Para los siguientes datos, calcule las intensidades de corriente.

Matrices y sistemas

de ecuaciones

k

Ek (volts)

r, (Q)

1

12

0.1

25

2

10

0.5

40

Rk(Q)

3 n li-

233

lineales

16

4

12

0.5

20

5

24

0.2

9

6

4

7

20

Con el PROGRAMA 3.2 del CD se obtienen los siguientes valores para las intensidades de corriente

1

k

-0.53811 3.5

3

4

5

1.1934

0.6553

0.68226

0.51115

,

M 2

M3

{83% etanol 17% agua

Tanque de 1----· mezclado

-0.14415

58% etanol 21 % metanol { 21 % agua

M4

{61% metanol 39% agua 24% metanol 55% etanol { 21 % agua

Mediante balances de materia por componente y global, se tiene Componente Etanol

Balance de materia 0.83 M,

+ 0.55 M3

0.58 M4

O

0.61 M2

+ 0.24 M3

0.21 M4

O

+ 0.39 M2

+ 0.21 M3

0.21 M4

O

M4

O

+

Metanol Agua Global

l.

6

Con los datos del diagrama siguiente (donde los porcentajes están dados en peso), encuentre posibles valores de las corrientes M" M2, M3 Y M4. M

Solución

2

0.17 M,

,

M·

+

M2

+

M3

Hay que observar que sólo se tienen tres ecuaciones linealmente independientes, pues la ecuación del balance global de materia es la suma de las otras tres. Por ser el sistema homogéneo es consistente, y como el rango de la matriz coeficiente es menor que el número de incógnitas, el sistema tiene un número infinito de soluciones. Fijando una base de cálculo, por ejemplo M4 = 100Kg, se obtiene el sistema:

234

Métodos numéricos


0.83 M¡ +

O.17M¡

+

0.55 M3

58

0.61 M2

+

0.24 M3

21

0.39 M2

+

0.21 M3

21

cuya solución se deja al lector, utilizando alguno de los programas vistos. Un granjero desea preparar una fórmula alimenticia para engordar ganado. Dispone de maíz, desperdicios, alfalfa y cebada, cada uno con ciertas unidades de ingredientes nutritivos, de acuerdo con la tabla siguiente UNIDADESDEINGREDIENTES NUTRITIVOS PORkg DECADAALIMENTO DISPONIBLE ALIMENTO Ingrediente nutritivo

Maíz

Desperdicio

Alfalfa

Cebada

Requerimiento diario Unidades / kg

Carbohidrato

80

15

35

60

230

Proteína

28

72

57

25

180

Vitaminas

20

20

12

20

80

Celulosa

50

10

20

60

160

Costo $

18

5

7

20

a) Determine

los kilogramos necesarios de cada material para satisfacer el requerimiento diario (presentado en la última columna). b) Determine el costo de la mezcla

NOTA: La fórmula alimenticia debe contener los cuatro alimentos.

Solución

Si se llama

Xl

a los kg de maíz necesarios, x210s de desperdicio, ... , se tiene 80x¡ 28 Xl 20xI 50xI

+ + + +

15 x2 72 x2 20x2 10 x2

+ + + +

35 x3 57 x3 12x3 20 x3

+ + + +

230 180 80 160

60 x4 25 x4 20x4 60 x4

Con el PROGRAMA 3.2 del CD o con Matlab se obtiene: Xl

=

1.8524, x2

=

1.0318, x3

= 0.6178,

x4

= 0.745

De donde el costo de la mezcla es: Costo

=

18*1.8524 + 5*1.03 + 7*0.61 + 20*0.745

=

$ 57.66

3.7

En un sistema monofásico en equilibrio químico existen los siguientes compuestos: CO, H2' CH30H, H20 Y C2H6· Calcule el número de reacciones químicas independientes.

Solución

Se establece la matriz atómica listando los compuestos como cabezas de columna y los átomos como inicio de filas, de tal modo que la intersección muestre el número de átomos del compuesto correspondiente.

o


e

Compuesto Átomo

CO

H2

C

1

O

H

O

a

1

lineales

HzÜ

C2H6

1

O

2

2

4

2

6

O

1

1

O

CH30H

235

Si N es el número de compuestos en equilibrio químico, R el número de reacciones independientes, se tiene la siguiente relación discutida por Jouguet, Brinkey y otros"

R=N-C donde C es el rango de la matriz atómica. Para encontrar el rango se utilizará el método de ortogonalización de Gram-Schmidt, aplicado a las columnas de la matriz atómica. Para esto, llámense xl' x2' ... Xs las columnas ca, H2,··· , C2H6.

Por tanto:

Nótese que como

x2

es ortogonal a

xl'

el proceso da e2 =

Xz.

y

o, los os

., * Jouguet, J. Ec. Polyt. París, 2, 62 (1921); Prigogine and Defay. J. Chem. Phys 15,614 (1947).

I

,~,,¡~------------------------------------------------------------------------------------------------~ 236

..


Por Por tanto tanto

e,e3 ~~

m- m m- m m -mm m (1) - (1)

(2) -(2)

Esto indica que proceso de ortoortoEsto indica que x33 es linealmente linealmente dependiente dependiente de x¡ y x22.. Continuando Continuando el proceso gonalización, gonalización, pero pero sin tomar tomar en cuenta cuenta a e3,, se tiene: tiene:

Fi~ Siste

1 2

Por tanto tanto Por

e,~

m ~m - m [~~1 (1)

Como el número número de filas filas de la matriz matriz atómica atómica es 3, el máximo máximo número Como número de vectores vectores lineallinealmente independientes es 3 y como como ya se ha encontrado encontrado que que x ¡, x22 Yy x44 son mente independientes son linealmente linealmente independientes, XXss es necesariamente necesariamente dependiente dependiente de x ¡, x22 YY x44 YY es debe dependientes, debe ser ser el vector vector cero cero (demostración rango de la matriz matriz atómiatómi(demostración que que se deja deja al lector lector como como ejercicio); ejercicio); entonces, entonces, el rango ca es 3. aplicar la fórmula fórmula Al aplicar

R = N - C = 5-3 = 2

tiene que que el número número de reacciones reacciones independientes independientes para para llegar llegar al sistema sistema en equilibrio equilibrio se tiene químico químico mencionado mencionado es 2. Los cálculos cálculos pueden hacerse con Matlab Matlab usando usando el guión guión del Los pueden hacerse del ejemplo ejemplo 3.23. 3.23.

3.8

Analicemos las características características de la vibración vibración libre libre no amortiguada amortiguada del Analicemos del sistema sistema de tres tres grados tres masas masas mI' m!, m22 y grados de libertad libertad mostrado mostrado en la figura figura 3.17. 3.17. El sistema sistema consta consta de tres conectadas mediante mediante los tres tres resortes resortes mostrados, mostrados, siendo siendo sus sus constantes m 3,, conectadas constantes elásticas elásticas k.. kl' k2 y k3. las coordenadas coordenadas generalizageneralizak3' Los Los desplazamientos desplazamientos de las masas masas se defmen definen mediante mediante las das xl' x22 y x33' , respectivamente, partir de la posiposirespectivamente, estando estando medido medido cada cada desplazamiento desplazamiento a partir ción de equilibrio equilibrio estático estático de la masa masa respectiva. respectiva. ción Utilizando ya sea sea las las ecuaciones ecuaciones de Lagrange Lagrange o bien bien la segunda segunda ley Utilizando ley de Newton, Newton, se enencuentra que que las ecuaciones ecuaciones diferenciales diferenciales de movimiento movimiento del sistema sistema son: cuentra m¡x;' + (k¡ + k22)x¡ kr2 = =O O m¡x;' )x¡ - kzX2 k ¡ +(k +(k22 + k33)x O m22x{ x{ - kzXl )x22 - k33x33 == O

r

m3x; - k33x22 + k33x33 = =O O m3x~

(1)


237

= = = I.OKgs2 /m 1.0 Kg s-/m = = k22 = = k3 = = 10 Kg/m Kg/m

m) m2 m3 mi =m2=m3=

k) kl

ortoFigura 3.17 3.17 Sistema de tres Sistema grados grados de libertad. libertad.

X3 X3

Sabemos, teoría de las vibraciones, vibraciones, que Sabemos, de la teoría que la solución solución del sistema sistema de ecuaciones ecuaciones (1) se puede escribir puede escribir en la forma: forma:

x)= XI ) senpt senpt =X x22 = = X22 sen pt senpt senpt x33 = = X3 senpt XI

(2) (2)

En donde X) ' X22 y X3 son las amplitudes movimiento de las masas respectivas, y pp dedonde Xi' amplitudes del movimiento masas respectivas, nota las frecuencias naturales que que corresponden modos principales principales de vinota frecuencias circulares circulares naturales corresponden a los modos bración del sistema. bración sistema. Sustituyendo Sustituyendo la ecuación ecuación 2 y las derivadas derivadas correspondientes correspondientes a esas esas expresiones expresiones en la ecuación Y utilizando utilizando los valores masas y de constantes ecuación 1, 1, Y valores de masas constantes elásticas elásticas mostrados mostrados en la figura gura 3.17, 3.17, obtenemos obtenemos el siguiente siguiente conjunto conjunto de ecuaciones ecuaciones algebraicas algebraicas homogéneas: homogéneas:

nealte incero tórni-

ibrio

lOX22

oo

+ (20 - p2)X p2)X2 2

O O O O

-lOX -lOX22

(3)

Para trivial de la ecuación Para obtener obtener una una solución solución distinta distinta de la trivial ecuación 3, el determinante determinante de la matriz matriz coeficiente coeficiente del del sistema, sistema, debe debe ser igual igual a cero, cero, de manera manera que que

-lO -10

O

(20 _ p2) p2)

- 10

-10 -10

(lO - p2)

=0

(4) (4)

El desarrollo resulta en el polinomio polinomio característico desarrollo de este este determinante determinante resulta característico

p6 _ 50p4 p2 - 1000 p6 50p4 + 600 600 p2 1000 = =O

(5)

q.le puede escribir p2, de la forma que se puede escribir como como ecuación ecuación cúbica cúbica en p2, forma

(p2)3 p2 - 1000 (P2)3 __ 50(p2)2 50(P2)2 + 600 600 p2 1000 = =O posieen-

(1)

(6) (6)

Se encuentra raíces de la ecuación encuentra que que las raíces ecuación 6 son:

p? = 1.98 segseg?2 p)2 = pf seg-II pi == 1.98 segpl 32.5 segseg?2 pI == 32.5 Estos circulares del primero, primero, Estos valores valores característicos característicos son los cuadrados cuadrados de las las frecuencias frecuencias circulares segundo tercer modos modos de vibración vibración del sistema, respectivamente. segundo y tercer sistema, respectivamente. Como homogéneo de ecuaciones Como la ecuación ecuación 3 constituye constituye un conjunto conjunto homogéneo ecuaciones simultáneas, simultáneas, no se puede puede obtener único de valores valores para para Xi' X22 y Xy . Sin embargo, se pueden pueden obtener un conjunto conjunto único Sin embargo, 3

,4

238

Métodos numéricos


determinar varias relaciones para las amplitudes, que proporcionarán la configuración del sistema para los diferentes modos de vibración cuando se define una amplitud unitaria para cualquiera de las masas. Por ejemplo, sustituyendo pf = 1.98 en la ecuación 3 se obtiene la siguiente configuración para el primer modo X2 = 1.80 XI X3 = 2.25 XI En forma similar, las configuraciones = 32.5, respectivamente, son

Pf

primer modo

(7)

del segundo y tercer modos, utilizando

p:f =

15.5 y

X2 = 0.45 XI X3 =-0.80 XI

}

segundo modo

(8)

X2 =-1.25 XI X3 =0.555 XI

}

tercer modo

(9)

Se puede ver en las tres últimas ecuaciones que si la amplitud de cualquiera de las masas se conoce o se supone para un modo particular de vibración, se puede determinar la configuración del sistema para ese modo. Como las ecuaciones 7 a 9 consisten en relaciones de amplitudes Xi' la substitución de la ecuación 2 en estas ecuaciones indica que las relaciones mostradas son también las relaciones de los desplazamientos. Por ejemplo, cuando mI tiene un desplazamiento de 1 cm y el sistema está vibrando en el segundo modo, los desplazamientos correspondientes de m2 y m3 serán 0.45 cm y 0.80 cm, respectivamente, y el movimiento de 1n3 estará 180 o fuera de fase con el de mI. Se puede agregar aquí que la configuración de un sistema, dada por las relaciones mostradas arriba, define también los desplazamientos iniciales que se tendrían que dar a las masas para que el sistema vibrara en el modo asociado con esa configuración, sin que estuvieran presentes otros armónicos como cuando el sistema se suelta a partir del reposo.

Problemas 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

Elabore un algoritmo general para sumar y restar matrices. Con el algoritmo del problema anterior, elabore uno de propósito general para sumar y restar matrices. Demuestre, partiendo de la definición del producto de una matriz por un escalar, las ecuaciones 3.7, 3.8 y 3.10. Demuestre la ecuación 3.12, utilizando la definición de multiplicación de matrices. Con el programa 3.1 del disco multiplique las siguientes matrices

l~ ~lll~ Iq l~ ;] U ~l O 1 O O

O O 1 O

3 6 O O

4 7 5 O

15

4 8 12 16

17

3 0.2 4 9

O -1 5 3

-2

Matrices y sistemas

n del a pabtie-

l~

(7)

O O 1 O

O 1 O O

~J U [-~l m l¡; ¡~J l~

[01234] 5.5 y

(8)

15

(9)

3.6 asas

con-

4 8 12 16

17

de ecuaciones

2 6 10 14

¡~l

3 7 11 15

[3

239

lineales

16

8 -2 5 1]

O 1 O O

O O 1 O

~J

La siguiente tabla representa las existencias en bodega de una agencia de refacciones para automóviles.

MARCA M1

M2

M3

M4

MS

M6

Rl

5

13

23

8

15

98

R2

16

45

11

54

10

86

R3

34

22

77

21

65

2

R4

21

19

83

2

16

37

R5

8

97

69

27

14

3

Refacción

ó-

En la siguiente tabla se dan los precios unitarios correspondientes a las refacciones de arriba.

MARCA Yres-

Refacción

ecua-

M1

M2

M3

M4

MS

M6

R1

65000

73450

82500

71245

62350

76450

R2

3400

3560

2560

5790

4700

5000

R3

12500

13450

16400

15600

11650

9500

R4

895

940

780

950

645

1000

R5

5350

7620

6700

3250

5890

7000

Determine la inversión en bodega de la agencia. 3.7

Responda las siguientes preguntas. a) ¿Una matriz no cuadrada puede ser simétrica? b) ¿Una matriz diagonal es triangular superior, triangular inferior o ambas? e) ¿Una matriz diagonal tiene inversa con uno de sus elementos de la diagonal principal igual a cero?

240

Métodos numéricos

3.8 3.9 3.10 3.11

3.12


Multiplique una matriz permutadora (seleccione una cualquiera) por sí misma y observe el resultado. Generalice dicho resultado. Demuestre las ecuaciones 3.15, 3.16 Y 3.17. Obtenga la ecuación 3.21 a partir de la ley de los cosenos. Elabore un algoritmo tal que, dados dos vectores de igual número de componentes, se determine e imprima la norma euclideana de estos vectores, su producto punto, el ángulo que guardan entre ellos y la distancia que hay entre ambos. Codifique el algoritmo del problema 3.11 y verifique este programa con las siguientes parejas de vectores

a)

m·m l~lUl ltJ liU b)

3.13

Use como motivación algunos casos particulares sencillos: por ejemplo, a un conjunto particular de dos vectores lineal mente independientes con dos componentes cada uno, añada un tercer vector y aplique la ortogonalización al conjunto resultante.

Elabore una subrutina de propósito general para ortogonalizar un conjunto de m vectores linealmente independientes de n componentes cada uno (m < n) con el método de GramSchmidt. NOTA:

3.15

0

El teorema 3.1 puede y debe emplearse también para ortogonalizar un conjunto de m vectores linealmente independientes de n componentes cada uno, con m < n. Por otro lado, demuestre con el teorema mencionado, que cualquier conjunto de n vectores linealmente independientes con n componentes cada uno da como resultado un conjunto linealmente dependiente al adicionársele un vector xn+ I de n componentes. NOTA:

3.14

e)

Puede usar el algoritmo 3.2 como base.

Con la subrutina del problema 3.14 ortogonalice los siguientes conjuntos de vectores.

a)

XI =

1 -2 5 7 8 0.3

' x2

=

-2 1 7 3 12 O

x3

=

3 0.8 4 15 3 2

b) XI=

e)

x,=

m [~l m HJ . D] [;~J , x2

=

x,=

x3

=

x3

=

x4

=

7 -3 5 3.2 9 40

Xs =

5 4 3 1 7 8


lineales

241

eel

deque

3.16 pa-

Modifique el programa del problema 3.14 de modo que: a) Dado un conjunto cualquiera de m vectores de n componentes

cada uno tm-cn), se vayan ortogonalizando los linealmente independientes y se descarte los que resulten lineal mente dependientes. b) Imprima el número de vectores linealmente independientes del conjunto denotando este número como rango del conjunto.

-~J

Corra el programa para determinar el rango de las siguientes matrices o conjuntos de vectores columna

vec, deente

1 -5] [10

3 20 355

e de-

3.17

3.18 lores

,

-20

1 -5 3 20 3 5

Calcule el número de reacciones independientes en una reacción de pirólisis, en la cual se encuentran en equilibrio los siguientes compuestos 02' H2, CO, CO2' H2C03, CH30H, C2HsOH, (CH3)2 CO, CH4, CH3CHO Y H20. Dada una matriz A de orden n, los términos a) Matriz singular (det A =0)

ram-

b) Rango A < n e) Los vectores columna o fila de A son lineal mente dependientes

3.19 3.20

3.21 3.22

están estrechamente relacionados. Demuestre que a) implica tanto b) como e). ¿La coincidencia del número de incógnitas con el número de ecuaciones en un sistema de ecuaciones lineales implica que éste tiene solución única? Justifique su respuesta. Dado el siguiente sistema de ecuaciones, encuentre dos valores de w que permitan tener solución única y diga qué valores de w permiten un número infinito de soluciones.

Si la matriz coeficiente del sistema A x = O es tal que det A = O; ¿dicho sistema tiene por ese hecho un número infinito de soluciones? El método de eliminación de Gauss usualmente hace la transformación conocida como triangularización.

[f'

a'¡, a O

2 ,

2,2

a'¡, ,3 a? 3 ,-' a 3,3

a>,4J a .

,24

a

3,4

En estas condiciones, una sustitución hacia atrás permite obtener la solución. Las ecuaciones 3.49 y 3.50 constituyen el algoritmo para el caso general.

242

Métodos numéricos


Encuentre las ecuaciones correspondientes vando a cabo la transformación.

para resolver el sistema A x= b, pero ahora lle-

a:¡,¡ a 21 [a

3.23

l'

3,¡

o

O

a' 22 l' a 3,2

O a3,3

a:¡,4] a 24 l' a 3,4

y posteriormente una sustitución hacia delante. Modifique el algoritmo 3.4, de modo que una vez encontrado el elemento pivote e intercambiadas las filas (si procede), se divida la fila pivote entre el elemento pivote. En el caso de un sistema de orden 3, el resultado en la triagularización sería

[~ 1'11

y, por tanto, en la sustitución regresiva no se tendría que dividir entre los coeficientes de las incógnitas. Por otro lado, para el cálculo del determinante deben guardarse los pivotes para su empleo en la expresión

11

detA

Vea el

SUGERENCIA:

3.24 3.25

lIi!JI

3.26

11

(-1)" Il a i=l

1,1

3.1 del CD.

Elabore un algoritmo para resolver un sistema de ecuaciones A x = b usando la eliminación de Jordan. Calcule el número de multiplicaciones, divisiones o ambas y la cantidad de sumas, restas o ambas que se requieren para resolver un sistema tridiagonal por el método de Thomas. Determine también las necesidades de memoria para este algoritmo. Utilice el subprograma que se da en el ejercicio 8.2 del capítulo 8 para resolver los siguientes sistemas a)

b)

0.5 XI 0.3 x¡

+ +

e)

4x¡ -8 x¡

0.25 x2 0.8 x2 0.2 x2 x2 x2 x2

XI

2xI

3.27

PROGRAMA

=

+

+ +

+ 3 x3 + x3

x2 x2 3 x2

+

x3 2x3 x3

0.4 x3 x3 x3

0.32 0.77 +

0.6x4 3 x4

-0.6 -2

1 8 4 -1 13 + 4x4 x4 2x4

-3 + Xs + 6 Xs

2.1 3.4

Una matriz tridiagonal por bloques (o partida) es una matriz de la forma

Matrices y sistemas

de ecuaciones

243

lineales

ra lleBI A2

o o o o

A=

interel ea-

el

o

B2

e2

o

A3

B3

e3

o

o

o ell_1

o

Bn

A"

donde BI' B2,··· , Bn son matrices de orden nl' n2,··· nn: respectivamente. A2, A3' ... , An son matrices de orden (n2 X ni)' (n3 X n2), ... , (n" X nll_I), respectivamente, y e" e2,· .. en_1 son matrices de orden (nI X n2), (n2 X n3), ... , (nll_1 X nn)' respectivamente. Por ejemplo, las matrices

g,]

a) A=

[B,A

2

o

tes de pleo

o

Ai+1 = e¡=

y

el

B2 A3

donde

B, = [

B3

[-~ J] O -2 O

i

=

-!

-1 6 -1

-n

i

=

1,2,3

1,2

b)

1 2 4

5 -1 3

3 O 6

5 1 7

8 4 3

9 O 2

-2 7 3

O O O

O O O

O O O

O O O

O O O

7 2 3 1

3 2 7 1

6 5 3 2

4 7 4 4

5 6 1 3

8 3 O 2

9 2 1 5

4 2 O 4

5 7 -3 5

5 8 5 7

4 9 7 9

3 1 2 5

O O O O O

O O O O O

O O O O O

5 4 3 5 2

7 8 2 1 9

9 2 1 5 7

5 2 1 4 3

O -1 4 2 3

5 7 8 7 2

7 9 4 4 7

4 7 3 5 2

2 8 2 -1 2

narestas amas. guien-

son tridiagonales por bloques. Hay que observar que una matriz tridigonal por bloques no es tridiagonal en el sentido de la definición original. Elabore un algoritmo similar al algoritmo 3.5 para resolver sistemas tridiagonales por bloques A x b.

=

SUGERENCIA:

Para el sistema

donde se ha segmentado a x y b de modo tal que

244

Métodos numéricos

Xl

aplicados

a la ingeniería

Y b, son vectores de nI componentes (el orden de Bl),

x2 y b2 son vectores de n2 componentes (el orden de B2), x3 y b3 son vectores de n3 componentes (el orden de B3), forme la matriz aumentada

y elimine la matriz A2 por medio de los elementos de la diagonal principal de B 1; posteriormente elimine la matriz A3 con los elementos diagonales de B2. Para iniciar la sustitución regresiva, resuelva el sistema

B3 x3 = b3

'

con el resultado resuelva el sistema

B2 x2 = b2 -

e,

x3

el

x2

Finalmente, sustituyendo x2' resuelva

s, Xl = b, 3.28

-

Los sistemas pueden resolverse con alguno de los métodos vistos. Resuelva el sistema tridiagonal por bloques

6 -1 O -2 O O O O O

-1 6 1 O -2 O O O O

-1 6

-2 O O

O -2 O

O O -2 O O O

6 -1 O -2 O O

-1 6 -1

O

O -2 O

O O -2 O -1

6 O O -2

O O O -2 O O

6 1 O

O O O O -2 O -1

O O O O O -2 O

xl

6 -1

-1 6

xg

x2 x3 x4 Xs x6 x7 x9

3 2 3 1 O 1

3 2 3

Utilice la sugerencia del problema 3.27, el algoritmo de ese ejercicio o ambos. 3.29

En la simulación de una columna de destilación de NP platos que separa una mezcla de NC componentes, el balance de materia por componente en cada plato, el balance de entalpía en cada plato y la relación de equilibrio líquido-vapor de cada componente en cada plato, resultan en un sistema de NP(2NC+ 1) (dos veces el número de componentes más uno multiplicado por el número de platos) ecuaciones algebraicas no lineales. En la aplicación del método de Newton-Raphson para un sistema no lineal es necesario resolver un sistema tridiagonal por bloques de orden NP(2NC+ 1) en cada iteración. Para una columna de cinco platos y tres componentes, el sistema tridiagonal por bloques por resolver en cada iteración es: Bl

el

A2

B2 A3

Xl X2

e2

B3 A4

X3

e3

B4 As

e4

X4

Bs

Xs

bl b2 b3 b4 bs


245

lineales

donde

A2

=

te'tuA3=

A4=

A5

de enada ás pliun

=

O O O O O O O

O O O O O O O

O O O O O O O

12204.1 O O O O O O

9216.1

O O O O O O O

O O O O O O O

O O O O O O O

10550.0 O O O O O O

1187.3 O O O O O

-1 O O O O

-1

O O O O O O O

O O O O O O O

O O O O O O O

9863.2 O O O O O O

1529.5 -1 O O O O O

2109.1 O

2951.1 O O

O O O O

-1

O O O O O O O

O O O O O O O

O O O O O O O

8341.5 O O O O O O

2227.6

3073.1 O

4294.5 O O

-1 O O O O O

-1

-1 O O O O O

1262.6 O -1 O O O O

1768.8 O O

1636.7 O

2291.6 O O

-1

-1 O O O O

-1 O O O

O O O

O O O

-1 O O O

B,=

5522.3 6518.9 1 O O 1 O O -0.065 0.9346 0.0643 -0.9357 0.0011 0.0011

7105.4 O O 1 0.9346 0.0643 -0.9989

18015.3 O O O 2.93858 0.30762 0.00643

916.1 1 O O 0.119 -0.033 -0.006

1262.6 O 1 O -0.4894 0.1481 -0.0006

1768.8 1 O 1 -0.4894 -0.0337 0.0524

B2 =

5777.5 1 O O -0.l37 0.l314 0.0061

6941.9 O 1 O 0.8625 -0.8686 0.0061

7659.2 O O 1 0.8625 0.l314 -0.9989

28231.1 O O O 7.2004 1.6619 0.0979

1187.3 1 O O 0.8898 0.5605 -0.0115

1636.7 O 1 O -1.6296 0.5605 -0.0115

2291.6 1 O 1 -1.6296 -0.2482 02374

ffi-

en

246

Métodos numéricos

B3

B4

Bs

aplicados

a la ingeniería

=

6099.7 7471.9 1 O 1 O O O -0.2217 0.7783 0.1917 -0.8029 0.0246 0.0246

8357.4 O O 1 0.7783 0.1971 -0.9754

27837.5 O O O 5.6209 2.1270 0.3359

1529.5 1 O O 1.6619 -0.4184 -0.0522

2109.1 O 1 O -1.6521 0.7336 -0.0522

2951.1 1 O 1 -1.6296 -0.2482 03355

=

6557.3 8540.2 O 1 1 O O O -0.4351 0.5649 0.3456 -0.6544 0.8923 0.8923

9778.8 O O 1 0.5649 0.3456 -0.9108

18947.5 O O O 1.7373 1.5331 0.5003

2227.6 1 O O 2.2062 -0.5106 -0.1322

3073.1 O 1 O -0.8346 0.6927 -0.1322

4294.5 1 O 1 -0.8346 -0.5106 0.3058

7547.5 9801.1 1 O 1 O O O -0.6827 0.3173 0.4311 -0.5689 0.2516 0.2516

11480.6 O O 1 0.3173 0.4311 -0.7484

12961.3 O O O 0.7585 1.4233 1.0573

3065.4 1 O O 29.335 -5.3074 -3.0980

4231.4 O 1 O -3.9259 9.3998 -3.0980

5904.4 1 O 1 -3.9059 -5.3074 2.8411

=

el=

e2 =

e3 =

-5777.5 O O O O O O

-6941.9

-6099.6 O O O O O O

-7471.9

-6757.4 O O O O O O

-8540.2 -1 O O O O O

-1 O O O O O

-1 O O O O O

-7659.2 O

-1 O O O O -8357.4 O

-1 O O O O

-9778.7 O -1 O O O O

-17681.1 O O

-1 O O O -17974.2 O O

-1 O O O

-10606.0 O O

-1 O O O

O O O O O O O

O O O O O O O

O O O O O O O

O O O O O O O

O O O O O O O

O O O O O O O

O O O O O O O

O O O O O O O

O O O O O O O

b

F


b,=

-3390307.1 -6.7419 13.4936 1.2278 -0.009835 0.000629 0.000566 3.30

Figura 3.18

3.31 3.32

3.33

C4=

-7547.5 O O O O O O

, b2=

-117198.1 -70.6904 -16.8926 0.1614 0.0142 0.00463 -0.00256

-9801.1 -1 O O O O O

, b3=

-11480.6 O -1 O O O O

-117288.9 -16.5304 -18.9351 -2.1684 0.02723 0.00536 -0.0020

-11886.0 O O -1 O O O

, b4=

O O O O O O O

--421289.9 -3.9928 -52.9235 2.2335 -0.0021 -0.00192 0.12736

lineales

O O O O O O O

247

O O O O O O O

348305.0 59.4815 35.448 3.1614 , bs= -0.01917 -0.01459 -0.00998

Adapte la eliminación de Gauss a la solución del sistema pentadiagonal A x = b (A es una matriz pentadiagonal) y obtenga las ecuaciones correspondientes a esta adaptación.

a)

b)

Demuestre que la numeración de los nodos de la figura 3.14 con las consideraciones de que a¡,j i= O siempre que los nodos sean vecinos, genera una matriz tridiagonal. Considere la estructura hexagonal de la figura 3.18a (véase Ej. 3.2.). Numere los nodos en la forma mostrada en la figura 3.18b, por ejemplo, y con consideraciones físicas que determinan que a¡,j i= O, cuando i y j son nodos vecinos, determine la matriz A representativa de dicha estructura. Se tiene un sistema de tres rectores continuos tipo tanque perfectamente agitado trabajando en serie, en donde se lleva a cabo la reacción A --> Productos y se opera isotérmicamente (véase Fig. 3.19). Los volúmenes se mantienen constantes y son de 100,50 Y 50, litros respecti vamente. Un balance de materia en cada reactor, de acuerdo con la ecuación de continuidad, conduce al siguiente sistema de ecuaciones:

248

Métodos numéricos

aplicados

Entrada

a la ingeniería

= Acumulación

- Salida

-lo que reacciona

FCAO+ FR CA3

- (F+FR)CA,

-k, V, C~,

(F+FR)CA1

- (F+FR)CA2

-k, V2C~2

(F+FR)CA2

- (F+FR)CA3

-k, V3 C~3

dCA, dt dCA2 dt dCA3 dt

Calcule la concentración de A a régimen permanente en cada reactor si la reacción es de primer orden con respecto a A y la constante de velocidad de reacción k, es O.lmin-'. Las composiciones están dadas en mol/L.

Figura 3.19 Sistema de tres reactores continuos tipo tanque agitado en donde se

F = 10L/min CA =l.0 o

•

FR = 5 L/min

lleva a cabo la reacción A --> Productos.

3.34

Figura 3.20 Sistema de tres reactores continuos tipo tanque agitado, en donde se

s=

C~

10 L/min

Repita el problema 3.33, considerando que el reflujo es como se muestra en la figura 3.20

F = lOL/min CA =1.0 o

• CA

2 L/min

1 L/min

CA

1

VI = 100L

2 L/min

CA

2

V2 = 50 L

FR = 5 L/min

3

V3 = 50 L

lleva a cabo la reacción A --> Productos.

3.35

3.36

CA

I

CA

CA

2

3

S = 10 L/min

Calcule la composición del benceno en cada plato de la columna de absorción del ejercicio 3.1, si se modifica Yo a 0.2 de fracción molar. Use las consideraciones del mismo ejercicio. Las reacciones químicas pueden escribirse como: 11

L xc, = O

;=1

1

1

donde: Xi es el coeficiente estequimétrico del compuesto i y c¡ el compuesto i. Por ejemplo, CH4 + 2 02 ---> CO2 + 2 H20


lineales

249

puede escribirse como:

Dado que los átomos se conservan en una reacción química, la ecuación de conservación del elemento k es: n

L i=l

x-m'k 1

1,'

=

O;

=

1,2, ... , m

donde m¡,k es el número de átomos del elemento k en el compuesto i. Esta última expresión representa un conjunto de ecuaciones lineales, donde x¡ son las incógnitas. Lo anterior se conoce como el método algebraico de balanceo de ecuaciones químicas. Utilice este método para balancear la ecuación química

de as

Fe(Cr02)2 + 02 + Na2C03 3.37

[~ e)

[58

4.3 2.5

e)

1 5 8

-~]

3.2 3.4

1125]

O 10 9 3

[~

10

b)

Fe2 03 + Na, Cr04 + CO2

[34M 1.9999 1.6

á)

9.625 9.625

5.2

.20

3.38 3.39

-t

Factorice las siguientes en la forma L U, con el algoritmo 3.6

a)

~J

16100 17.01 5.2

6 5 5 9

l~

-91] 9.6 1.7

4 X 10-4 2.3 O O

l~OO2

1)

O O 5 3

1 -2 7 12

5 X 10-4 3 X 10-3 5 O

I~J

24

Factorice las matrices del problema 3.37, con el algoritmo 3.7. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones con el algoritmo 3.8

a) 4x¡ + 2x¡ 3x¡

x2 + 5x2 + 8x2

b)

3.444x¡ 1.9999x¡ 1.6x¡

e)

5.8x¡ 4.3x¡ 2.5x¡

el)

4x¡ 5x¡ 3x¡ -xI

e)

x3 = 8 5 + 9x3 = O -

+ 16100x2 + 17.01x2 5.2x2 +

+ 3·2x2 + 3.4x2 + 5·2x2

l-

er-

k

+ 5x2 + 8x2 + 7x2 + 6x2

2.156x¡ -4.102x¡ -XI

6.532x¡

+ + +

9.1x3 = O + 9.6x3 = 1 + 1.7x3 = O

-

11.24x3 20.24 9.625x3 = 17.325 9.625x3 = 17.325

+ 2x3 + 7x3 4x3 2x3

4.102x2 6x2 5.7012x2 7x2 +

+ +

x4 6x + 4 2x4 + 5x4

3 2 O 1

2.3217x3 + + 1.2222x3

+ 6x4 + 1.2x4 4x4

18 6.5931 3.4 O

8

I~J

4 X X 10-5 0.01 2

-

250

Métodos numéricos

3.40

a la ingeniería

Factorice las matrices simétricas siguientes, mediante el algoritmo 3.9.

a)

e)

3.41·

aplicados

[-¡

5 6 1

72.0 0.00 0.00 9.00 0.00 0.00

0.00 2.88 0.00 0.00 0.00 -4.50

b)

n

4.81 -2.22

0.00 0.00 18.00 9.00 0.00 0.00

9.00 0.00 9.00 12.00 0.00 0.00

-222J

4.81 10.0 7.45

[ 333

0.00 0.00 0.00 0.00 33.00 0.00

7.45

15.0 0.00 -4.50 0.00 0.00 0.00 33.00

Con el algoritmo 3.9, elabore un algoritmo para resolver sistemas lineales simétricos y resuelva con él los siguientes sistemas. a)

b)

e)

-5x¡ 5x¡ 3x¡

5x2 6x2 x2

+ + +

3x3 x3 7x3

+ + +

+ 4.81x2 + 10.00x2 + 7.45x2

3.33x¡ 4.81x¡ -2.22x¡

1

2 3

2.22x3 745x3 + 15.00x3

5 O 2

-

+

72x¡

9x4

+

-4.5x6

2.88x2 18x3 9x3

9x4 + 12x4

+

33xs 3.42

+ 33x6

4.5x2

2 0.5 1 O 1.2 5

U se el algoritmo 3.10 para factorizar en la forma L U las siguientes matrices positivas definitivas. a)

[4 -!] -2 -2 4 O -1

b)

U

1 7 O 3

e)

2 O 5 1

-!J

10 O O

-1 O

3.43

O 5 O O 2

O -1 O O 2 O O 8 O 3

O 2 O 3 5

Mediante el algoritmo 3.10 elabore un algoritmo para resolver sistemas lineales con matriz coeficiente positiva definida y resuelva con él los siguientes sistemas.

a)

b)

e)

4x¡ -2x¡ 5x¡ x¡ 2x¡ -xI

+

2x2 4x2 x2

+ +

x2 7x2

+

+

3x2

+

O 0.5 1

x3 + 4x3 2x3 5x3 x3

+ + +

x4 3x4 x4 8x4

+

x4 2x4

+ +

8x4 3x4

l Ox, 5x2

1

2 3 4 0.2 0.4 1.0

2x3 -xI 2x2

+ 3xs + 5xs

0.6 0.8

Matrices y sistemas

3.44

3.45

3.46

de ecuaciones

lineales

251

Si la factorización de A en las matrices L y U es posible, puede imponerse que ui,i = 1 con i = 1, 2, ... , n. Con estas condiciones obtenga las ecuaciones correspondientes a las ecuaciones 3.74, 3.75 Y 3.76, para el caso del orden de A igual a 3. También obtenga las ecuaciones correspondientes a la ecuación 3.77 para el caso general, orden de A igual a n. Este método, como se recordará, es conocido como algoritmo de Crout. Elabore un algoritmo para resolver un sistema de ecuaciones lineales con el método de Crout (véase algoritmo 3.8); resuelva los sistemas del problema 3.43 con el algoritmo encontrado. Demuestre que en la solución del sistema lineal A x = b, donde A es positiva definida, con el método de Cholesky se requiere efectuar: n raíces cuadradas

re-

3

2

n + 9 n + 2n mu lti .. -----tip licaci icaciones o diivrsíones 6 n3 + 6 n2 -7n -----6

y

sumas o restas

cuando el orden de A es n. 3.47 3.48

3.49

Demuestre que si una matriz A es positiva definida, entonces au > O para i =1,2, ... , n. Los algoritmos de factorización, cuando son aplicables, se pueden simplificar considerablemente en el caso de matrices bandeadas, debido al gran número de ceros que aparecen en estas matrices. Adapte el método de Doolitle o el de Crout para sistemas tridiagonales y una vez obtenidas las ecuaciones correspondientes, elabore un algoritmo eficiente. En la solución de una estructura doblemente empotrada se obtuvo el siguiente sistema: 1 1 - c+Ap=O El El

de-

donde El es el módulo de elasticidad del elemento, -1.80 22.50 -67.50 0.00 165.00 0.00

c=

ma-

Y

72.00 0.00 0.00 9.00 0.00 0.00

A=

p¡ p=

0.00 2.88 0.00 0.00 0.00 -4.50

0.00 0.00 18.00 9.00 0.00 0.00

P2 P3 P4 Ps P6 9.00 0.00 9.00 12.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 33.00 0.00

0.00 -4.50 0.00 0.00 0.00 33.00

Encuentre p. 3.50

-~:~l[~~l

Determine si el sistema que sigue está mal condicionado.

~:~~~~ [ 1.6000

\671.~~ 5.20

=

1.7

x3

[160~~:~~j 8.42

Resuélvalo usando la eliminación de Gauss y aritmética de cinco dígitos.

252

Métodos numéricos

3.51

La matriz

H(IZ)


de orden n o matriz de Hilbert, definida por 1 ; i + j-1

h .. = --I,}

1 ::; i ::; n;

1 ::;j ::;n,

es una matriz mal condicionada que surge, por ejemplo, al resolver las ecuaciones normales del método de aproximación por mínimos cuadrados (véase capítulo 5). Encuentre H(4l, H(S) y sus inversas por alguno de los métodos vistos; además, resuelva el sistema. H(4) X

3.52

= [ 1 O 1 OF

Demuestre que: det P = -1, el determinante de una matriz permutadora es-l. det M = In, el determinante de una matriz multiplicadora es el factor In (m det S = 1, el determinante de una matriz del tipo S es 1.

'* O).

Sugerencia: Utilice la función determinante de una matriz de orden n. 3.53

Dados los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

calcule las inversas, determinantes mentales. 3.54

y soluciones

correspondientes,

usando matrices ele-

Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales mediante los métodos de GaussSeidel y de Jacobi. a)

[! -~][;j D] D i][;j -1 -1 -1

1 2 1

b)

=

= [:]

e) inciso c) del problema 3.41. d)

d)

1 1 1 1 1

2 6 10 20 30

8 O O O O O O O O O 1

O 9 1 1 O 1 O O 2 O O

22 62 102 202 302 6 O 7 O O O 5 O O O 3

24 64 104 204 304

23 63 103 203 303 1 O O 6 O 2 O 6 O O 1

O O O O 9 O 2 1 4 O 5

O O 1 O O 10 2 O O 3 O

13.4 30.4 41.8

XI

x2 x3 x4 X s O 5 2 1 O 1 10 O 1 O 7

57.9 66.5 O O O O O O O 15 1 6 O

O 2 O O 1 3 O O 20 5 O

O 1 1 O 1 O O 2 1 25 1

O O O 1 1 O O O O 1 12

XI

x2 x3 x4 Xs x6 x7 x8 x9 xIO XII

1 5 8 O 8 1 O 3 O 1 2

Fig TrE intercc


3.55 3.56

rma¡fA),

3.58 3.59 O). 3.60

Puede obtenerlo fácilmente modificando

1_0:

l-1

3.61 3.62

auss3.63

el algoritmo 3.11.

Aplique la segunda ley de Kirchhoff a la malla formada por el contorno del circuito de la figura 3.15; es decir, no considere Es, R4 Y Rs- Demuestre que la ecuación resultante es linealmente dependiente de las tres obtenidas al seccionar en mallas dicho circuito. Resuelva los sistemas de ecuaciones lineales del problema 3.54 con el algoritmo elaborado en el problema 3.56. Demuestre que la ecuación 3.11 O es un polinomio de grado n si A es una matriz de orden n e 1 es la matriz identidad correspondiente. Encuentre los valores característicos (eigenvalores) de la matriz coeficiente del siguiente sistema.

[!] s ele-

253

Elabore un algoritmo para arreglar la matriz aumentada de un sistema, de modo que la matriz coeficiente quede lo más cercana posible a diagonal dominante. Elabore un algoritmo para resolver un sistema de ecuaciones linales, usando los métodos SOR con w > 1 Y con w < 1. SUGERENCIA:

3.57

lineales

1 7 2

0.3 2 5

O

-2

Encuentre los vectores característicos (eigenvectores) correspondientes al valor característico dominante (el de máximo valor absoluto) del ejemplo anterior. Encuentre el valor característico dominante y los vectores característicos correspondientes del sistema de ecuaciones del problema 3.60. Se tienen tres tanques cilíndricos iguales de 6 pies de diámetro, comunicados entre sí por medio de tubos de 4 pulgadas de diámetro y 2 pies de largo, como se muestra en la figura 3.21. El tercer tanque tiene una salida a través de un tubo de 4 pulgadas de diámetro y 8 pies de largo. Al primer tanque llega un fluido a razón de 0.1 pies cúbicos por minuto e inicialmente su nivel tiene una altura de 20 pies, mientas que el segundo y tercer tanques están vacíos. El fluido es un aceite viscoso cuya densidad es de 51.45 lbm/pie3, Y viscosidad es 100 centipoises. Calcule la altura del fluido en cada tanque cuando se alcance el régimen permanente. SUGERENCIA:

Use la ecuación de Poiselle para el cálculo de la velocidad media del fluido a través de los tubos.

,

F = 0.1 pie3/min

5 8

CD

O

8 1 O 3 O

1 2

h,1 Figura 3.21

Tres tanques interconectados.

G) h,1

G) •

L

=

2'

D

=

2"

=

2' D=4" L

L = 8' D = 4"

CAPÍTULO CAPÍTULO

44

SISTEMAS SISTEMAS DE ECUACIONES ECUACIONES NO NO LINEALES A dónde dónde nos nos dirigimos dirigimos este capítulo capítulo estudiaremos estudiaremos las técnicas que nos sistemas de En este técnicas que nos permitirán permitirán resolver resolver sistemas ecuaciones no lineales,! lineales,j (x) = = O, vistas como la situación situación más general de los casos casos que que ecuaciones vistas como más general analizamos Para esto, utilizaremos sistemas dos ecuaciones analizamos en los capítulos capítulos 2 y 3. Para esto, utilizaremos sistemas de dos ecuaciones pérdida de generalidad cambio nos nos no lineales lineales en dos incógnitas, incógnitas, lo cual cual no implica implica pérdida generalidad y a cambio permitirá cálculos de manera ágil y, sobre sobre todo, interprepermitirá realizar realizar los cálculos manera más más ágil todo, presentar presentar una una interpretación geométrica método. De De esta manera, el lector reto de vitación geométrica del método. esta manera, lector tendrá tendrá frente frente a sí un reto sualización por qué métodos requieren requieren de numerosos numerosos cálculos. sualización y entenderá entenderá por qué estos estos métodos cálculos. Además de las extensiones hacen del método método de punto punto fijo, fijo , de NewtonNewtonAdemás extensiones que que se hacen Raphson bisección a sistemas lineales, estudiaremos una fórmula Raphson y de bisección sistemas no lineales, estudiaremos una fórmula que, que, medianmediante un planteamiento generalizado, nos explorar técnicas diferentes planteamiento generalizado, nos permite permite proponer proponer y explorar técnicas diferentes anteriormente, como como la del descenso descenso de máxima a las vistas vistas anteriormente, máxima pendiente pendiente y variantes variantes a las ya conocidas conocidas como como la de Newton-Raphson con optimización optimización del tamaño Newton-Raphson con tamaño de paso. paso. Con este este capltulo capítulo terminamos algebraica del del libro libro en en la que que se basarán Con terminamos la parte parte algebraica basarán los los siguientes capítulos capítulos correspondientes correspondientes a la parte análisis y dinámica, dinámica, ya que muchos siguientes parte de análisis ya que muchos que veremos adelante se reducen de los los problemas problemas que veremos más más adelante reducen a resolver resolver problemas problemas de tipo tipo algebraico; ejemplo: cuando cuando se resuelve ecuación diferencial parcial donde gebraico; por por ejemplo: resuelve una una ecuación diferencial parcial donde se termina sistema lineal ecuaciones, o en el caso caso en que que es termina resolviendo resolviendo un un sistema lineal o no no lineal lineal de de ecuaciones, necesario absorción, destilación, destilación, diseño diseño de reactores, diseño de necesario resolver resolver problemas problemas de absorción, reactores, diseño vigas otros de gran gran interés interés para ingeniero. vigas u otros para el ingeniero.

Introducción Introducción capítulo 2 se vio cómo encontrar encontrar las raíces ecuación de la forma forma: : En el capítulo vio cómo raíces de una una ecuación

1 (X) = =0.0. J(X) Por otro lado, lado, en el capítulo capítulo 3 se estudiaron estudiaron las técnicas iterativas de solución solución de un sistesistePor otro técnicas iterativas ma ma de ecuaciones ecuaciones lineales lineales A x = = b. Estos casos particulares situación más más general, general, donde donde se tiene sisteEstos dos son son casos particulares de la situación tiene un sistema ecuaciones con con varias incógnitas, cuya cuya representación ma de varias varias ecuaciones varias incógnitas, representación es:

1 (xl' xx22'' xx33'··· ' ··· J, 1(xi' 1 (x.,' xX22'' xX33'··· J2 2(Xl '···

, x x,,) l1)

=O O =

, x) X ,,)

=O O = (4.1) (4.1)

donde f (x (xl'" xX22'' xX33,, ... ... , x,) función (lineal (lineal o no) de las variables indedonde.!; X II ) para para 1 ~ i ~ nn es una una función variables index " Xx22'' Xx33,··· xl/. pendientes Xl' , ... , X,I" pendientes

256

Métodos numéricos numéricos aplicados a la la ingeniería ingeniería Métodos aplicados a

por ejemplo ejemplo la ecuación ecuación 4.1 consiste consiste sólo sólo en una una ecuación ecuación de una una incógnita incógnita (n == 1), 1), Si por tiene la ecuación ecuación 2.1. En cambio cambio la ecuación ecuación 4.1 se reducirá caso (3.39) (3.39) si n > 1 YJI fp' se tiene reducirá al caso fJ22,·,· .. .. 1" son son todas todas funciones funciones lineales lineales de xi' x" x22', x33,'··· ... , x x".l1 ' Por todo todo esto, esto, es fácil entender entender que iterativos de solución solución de la ecuación Por que los métodos métodos iterativos ecuación 4.1 extensiones de los métodos métodos para para ecuaciones ecuaciones no lineales lineales con una incógnita incógnita y emplean emplean las son extensiones ideas aplicaron al desarrollar desarrollar los algoritmos algoritmos iterativos iterativos para para resolver resolver A x = = b. b. ideas que se aplicaron continuación se dan algunos algunos ejemplos. ejemplos. A continuación 2 a) JI I, (xi' (x¡, x 22)) == X,2 xl- - 4 4 = O a) X l + xl O (xl' x22)) = = x22 - xx,2l 2 = =O O Jf22 (xi'

t, (xl' (xl' x22)) = = 10 10 (x22 - x?) b) f., x?) fJ2 (xi' (x., x22)) = = 1 - xI x, = = O O

=O O =

e) JI t. (xi' (xl' x22,, x x;)3) = = x x,xl x22xx3 3 -- lOx lOx,3l3 + x22 = =O O c) fJ22 (xi' (xl' x22', x33)) = = xI XI + 2x 2X22Xx33 + senx senx22 - 15 = =O O Jf33 (xi' (xl' x22'' x33)) = = x2222 - 5x 5x,xlx3 3 - 3x 3x3333 + 3 = =O

sistemas de 4.1 Dificultades en la solución de sistemas ecuaciones no lineales ecuaciones Antes de desarrollar desarrollar los métodos métodos iterativos iterativos para para resolver resolver sistemas sistemas de ecuaciones ecuaciones no linealineaAntes con varias varias incógnitas, incógnitas, se destacarán destacarán algunas algunas de las dificultades dificultades que que se presentan presentan al apliapliles con car estos estos métodos. métodos. car imposible graficar superficies multidimensionales multidimensionales definidas definidas por por las ecuacioecuacio• Es imposible graficar las superficies sistemas para para n > > 2. nes de los sistemas No es fácil fácil encontrar encontrar "buenos" "buenos" valores valores iniciales. iniciales. • No Para atenuar atenuar estas dificultades proporcionamos proporcionamos algunas algunas sugerencias sugerencias antes antes de analizar analizar un Para estas dificultades intento formal de solución solución de la ecuación ecuación 4.1. 4.1. intento formal

REDUCCiÓN ECUACIONES REDUCCiÓN DE ECUACIONES

Resulta muy muy útil tratar tratar de reducir reducir analíticamente analíticamente el número número de ecuaciones ecuaciones y de incógnitas incógnitas Resulta antes de intentar intentar una una solución solución numérica. numérica. En particular, particular, hay hay que que intentar intentar resolver alguna de antes resolver alguna ecuaciones para para alguna alguna de las incógnitas. incógnitas. Después, Después, sustitúyase sustitúyase la ecuación ecuación resultante resultante las ecuaciones para esa esa incógnita incógnita en todas todas las demás demás ecuaciones; ecuaciones; con esto esto el sistema sistema se reduce reduce en una una para ecuación y una una incógnita. incógnita. Continúe Continúe de esta esta manera manera hasta hasta donde donde sea sea posible. ecuación posible. Por ejemplo, ejemplo, en el sistema sistema Por f,(xi' = 10 10 (x (x22 JI (xl' x22)) =

x,2) x12)

=O O =

f2(xp x22)) = = 1 l-x, O Jlxl' - XI == O

x,

despeja XI en la segunda segunda ecuación ecuación se despeja

x,XI = =1 sustituye en la primera primera y se sustituye

cuya solución, solución, x22 = conjuntamente con x, = 1 proporciona proporciona una solución del sistema sistema dacuya = 1, conjuntamente XI = una solución necesidad de resolver ecuaciones con con dos incógnitas. incógnitas. do, sin necesidad resolver dos ecuaciones

Sistema de ecuaciones ecuaciones no lineales Sistema

1 I

257 257

PARTI C iÓN DE ECUACIONES PARTICiÓN ECUACIONES

A veces veces resulta ecuaciones en subsistemas menores y resolverlos resolverlos resulta más más sencillo sencillo dividir dividir las las ecuaciones subsistemas menores por cinco ecuaciones ecuaciones con con cincinpor separado. separado. Considérese Considérese por por ejemplo ejemplo el siguiente siguiente sistema sistema de cinco co incógnitas. incógnitas.

4.1

las

I, (x" xX22'' xX33,' xX44,' xXs5)) f, (xI'

O O

fi x i' xX22' ' xX44)) fixl' x " xX3' ffi 3(x" 3, xX4' 4, xX5) s)

O O

f 44(x (x22, , xX44))

O O

f 5(xl' xX44)) fs(xl'

O O

O O

En vez de atacar mismo tiempo, tiempo, se resuelve resuelve el subsistema formaatacar las cinco cinco ecuaciones ecuaciones al mismo subsistema formasoluciones de este este subsistema subsistema se utilizan subporf f5' Las soluciones utilizan después después para para resolver resolver el subdo porf 2,f4 2,f4 y fssistema f 3' sistema compuesto compuesto por por las ecuaciones ecuaciones ffl y f3' En general, división de un sistema ecuaciones en general, una una partición partición de ecuaciones ecuaciones es la división sistema de ecuaciones subsistemas llamados llamados bloques. bloques. Cada Cada bloque sistema de ecuaciones subsistemas bloque de la partición partición es el sistema ecuaciones más que es preciso preciso resolver. resolver. más pequeño pequeño que que incluye incluye todas todas las variables variables que TANTEO DE TANTEO DE ECUACIONES ECUACIONES

eali-

Supóngase cuatro ecuaciones ecuaciones con con cuatro cuatro inSupóngase que que se quiere quiere resolver resolver el siguiente siguiente sistema sistema de cuatro cógnitas. cógnitas.

io-

un

itas de le

una

f l(X f,(x 2,2, x33)) ff22(x(x22, , x33,' x44))

O O

fixl' xx22'' x33'' x44)) fixl'

O O

fixl' fixi' xx22,' x33))

O O

O O

No se pueden que es preciso preciso resolverlas resolverlas simultáneamente; pueden dividir dividir en subsistemas, subsistemas, sino sino que simultáneamente; sin embargo, por otro otro camino. camino. Supóngase que se estima estima un vavaembargo, es posible posible abordar abordar el problema problema por Supóngase que lor fi' x44 de ff22 y x, XI de f3' f 3' Finalmente, Finalmente, se comprocomprolor de x33.. Se podría podría obtener obtener así x22 a partir partir de fl' baría conf4la cou f¿ la estimación estimación hecha hecha de x33. . Sif4 baría Sif4 fuese fuese cero cero o menor menor en magnitud magnitud que que un valor valor predeterminado criterio de exactitud exactitud E, la predeterminado o criterio la estimación estimación x33 y los los valores valores de x22'' x44 y x, XI obteobtenidos una aproximación del sistema dado. En En caso caso contrario, contrario, nidos con con ella, ella, serían serían una aproximación a la solución solución del sistema dado. habría repetir el proceso. proceso. habría que que proponer proponer un nuevo nuevo valor valor de x33 y repetir Nótese este método método con con el de punto punto fijo (Cap. (Cap. 2), ya que que Nótese la íntima íntima relación relación que que guarda guarda este un problema uno unidimensional unidimensional en x33 problema multidimensional multidimensional se reduce reduce a uno

VALORES INICIALES VALORES INICIALES

consideraciones físicas físicas a) De consideraciones

da-

Si el sistema físico , con con frecuencia frecuencia es posible posible acoacosistema de ecuaciones ecuaciones 4.1 tiene tiene un significado significado físico, tar los valores incógnitas a partir consideraciones físicas. Por ejemplo, ejemplo, si alguna alguna valores de las incógnitas partir de consideraciones físicas. Por de las variables flujo de un fluido, fluido, ésta ésta no podrá podrá ser negativariables XXii representa representa la velocidad velocidad de flujo ser negatiXi represente represente una una concentración concentración expresada expresada como como va. Por Por tanto, tanto, Xi Xi 2: ¿ O. O. En En el caso caso de que que Xi fracción peso peso o fracción fracción molar molar de una una corriente fracción corriente de alimentación, alimentación, se tiene tiene que que O ::::; ::::; Xi Xi ::::; ::::; 1. (Para resueltos al final final del del capítulo). capítulo). (Para mayores mayores detalles detalles ver los ejercicios ejercicios resueltos

258

Métodos numéricos aplicados Métodos numéricos aplicados a a la· la' ingeniería ingeniería

b) Visualización Visualización de raíces raíces en sistemas sistemas de dos ecuaciones ecuaciones no lineales lineales con dos incógnitas. incógnitas. Sea Sea el sistema sistema

!, y) = y2 + 8 = I, (x, y) = xx22 - lOx lOx + y2 = !2 (x, y) = xy2 + X X - lOy (x, y) = xy2 lOy + 8 = =

°° °°

(4.2) (4.2)

Algebraicamente una una solución raíz del sistema una pareja pareja X, X, y, ji, tal que Algebraicamente solución o raíz sistema 4.2 4.2 es una que satisface satisface cada una una de las ecuaciones Nos permitiremos permitiremos hacer hacer la interpretación ecuaciones de dicho dicho sistema. sistema. Nos interpretación o visualización una raíz raíz a través través de varias varias etapas: sualización de una etapas: Al graficar graficar la función!¡ función j. (x, y), se obtiene obtiene una superficie en el espacio, espacio, como como se ve en una superficie figura 4.1. la figura Para apreciar mejor ésta ha incluido una inserción Para apreciar mejor ésta y otras otras gráficas, gráficas, se ha incluido una inserción a color color (con (con las Fig. 4.1 a la Fig. Fig. 4.8) 4.8) en páginas páginas más más adelante. Fig. adelante.

Ir

30

20

10

zz O O -10 Figura 4.1 Intersección de Intersección superficie la superficie f l1 (x, y) con el plano x-y. p lan o xy.

-20

1.5 .5

Ir

La intersección, si hay, de la superficie!, superficie r¡ (x, y) con el plano La intersección, y) con plano x - y puede puede resultar resultar en una una curva e" el' como como se muestra figura 4.1. largo de esta esta curva curva se da el hecho que curva muestra en la figura 4.1. A lo largo hecho de que I, (x, y) = 0, dicho dicho de otra otra manera, que los puntos esta curva curva son son la solución solución de la ecuaecua!, y) = manera, que puntos de esta ción j, (x, y) = O, O, no del sistema sistema 4.2. ción!, y) = Repitiendo con la superficie superficie de la función!2 función j', (x, y), obtieRepitiendo el mismo mismo procedimiento procedimiento con y), se obtiene otra otra curva curva e22 en el plano que ahora ahora resulta solución de la ecuación!2 ecuación j, (x, y) plano x - y, que resulta ser la solución y) = 0, ver figura 4.2. 4.2. = ver figura Finalmente, curvas e¡ e, y e 2 del del plano ser punFinalmente, las intersecciones intersecciones de las curvas plano x - y, resultan resultan ser puntos comunes comunes a las superficies.j', (x, (x, y)'!2 (x, y) dichos puntos satislas tres tres superficies:!, y)'!2 (x, y) y el plano plano x - y; y; dichos puntos satisfacen ambas ambas ecuaciones ecuaciones del sistema sistema 4.2 4.2 y son son precisamente que buscamos, facen precisamente las raíces raíces X, yji que buscamos, ver figura 4.3. gráfica 4.3 se pueden ver figura 4.3. Partiendo Partiendo de la raíz raíz mostrada mostrada en la gráfica pueden proponer proponer valores valores iniciales. iniciales. Por conveniente conocer conocer bien características de cada cada método Por último, último, resulta resulta muy muy conveniente bien las características método solución del sistema sistema 4.1 para efectuar la elección elección más adecuada para de solución para efectuar más adecuada para el mismo. mismo. iniciará el estudio estudio de dichos dichos métodos con la extensión extensión del método Se iniciará métodos con método de punto punto fijo a sistemas de ecuaciones ecuaciones no lineales. lineales. sistemas

4,

Sistema ecuaciones S istema de ecuacion e s no lineales

259

las.

(4.2) e cao vie en

4.2 Figura 4.2 Intersección de superficie la superfi cie f22(x, y) con el plano p lano x-y.

1.5 1.5

o

y

-1

-1.5

-1

-0.5

ox

0.5

.-.-~ --.

30

-,-, .. '

20

10

-10 Figura 4.3 4 .3 Intersección d~' d:.' las las superficies (x, y) y ) yy f22(x, (x, y) con el plano p lan o

f;

-20 1.5 1.5

xy. x-y.

4.2 Método Método de de punto punto fijo multivariable multivariable -----pun-

satis-

Los Los algoritmo algoritmoss estudiados estudiados en en este este capítulo capítulo son, son, en en principio, principio, aplicables aplicables aa sistemas sistemas de de cualcualquier quier número número de de ecuaciones; ecuaciones; sin sin embargo, embargo, para para ser ser más más concisos concisos yy evitar evitar notación notación complicomplicada, cada, se se considerará considerará sólo sólo el el caso caso de de dos dos ecuaciones ecuaciones con con dos dos incógnitas. incógnitas. Éstas Éstas generalmente generalmente se se escribirán escribirán como: como: f¡(x, f ¡(x, y) y) = O O

fijo a

ffix, y) = OO 2(x, y) yy se se tratará tratará de de encontrar encontrar pares pares de de valores valores (x, (x, y) y ) que que satisfagan satisfagan ambas ambas ecuaciones. ecuaciones.

(4.3) (4.3)

260

Métodos numéricos


Como en el método de punto fijo (Sec. 2.1), y en los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel (Sec. 3.5), se resolverá la primera ecuación para alguna de las variables, x por ejemplo, y la segunda para y. x = gl(x, y) y = gzCx, y)

(4.4)

Al igual que en los métodos mencionados, se tratará de obtener la estimación (k + l j-ésima a partir de la estimación k-ésima con la expresión xk+1 = g l(x'<, yk) yk+1 = gzCxk, yk)

(4.5)

Se comienza con valores iniciales xO, ya, se calculan nuevos valores x', yl, Y se repite el proceso, esperando que después de cada iteración los valores de xk, yk se aproximen a la raíz buscada x,)I, la cual cumple con:

x = )1 =

gl(X,)I) gzC X,)I)

Por analogía con los casos analizados, puede predecirse el comportamiento y las características de este método de punto fijo multivariable. Como se sabe, en el caso de una variable la manera particular de pasar de f (x) = O a x = g(x), afecta la convergencia del proceso iterativo. Entonces debe esperarse que la forma en que se resuelve para x = gl(x, y) y y = gzCx, y) afecta la convergencia de las iteraciones (4.5). Por otro lado, se sabe que el reordenarniento de las ecuaciones en el caso lineal afecta la convergencia, por lo que puede esperarse que la convergencia del método en estudio dependa de si se despeja x de f2 o de fl• Finalmente, como en el método iterativo univariable y en el de Jacobi y de Gauss-Seidel, la convergencia --en caso de existir- es de primer orden, cabe esperar que el método iterativo multivariable tenga esta propiedad.

Ejemplo 4.1

Solución

Encuentre una solución del sistema de ecuaciones no lineales

I,(x,

y)

f2(x,

y)

= x2 - lOx = xy2 + X -

Con el despeje de x del término (-lOx) en la segunda ecuación, resulta:

+ y2 + 8 lOy + 8

=O = o.

en la primera ecuación, y de y del término (-lOy) X2+y2+8

x= 10 xy2+x+8 y= 10

o con la notación de la ecuación 4.5 xk+1 =

(x'<)2 + (yk)2 + 8

_

10 yk+1 =

Con los valores iniciales

xO

x'< (yk)2 + x'< + 8 10

= O, ya = O, se inicia

el proceso iterativo.

Sistema de ecuaciones

no lineales

Primera iteración

1-

Xl

yl 1-

=

2 2 0 + 0 + 8 10

= 0.8

=

0(0)2 + O + 8 10

= 0.8

Segunda iteración x2 =

5) el la

Y

2

=

(0.8)2 + (0.8)2 + 8 10 0.8(0.8)2 + 0.8 + 8 10

= 0.928 O9

= .

312

Al continuar el proceso iterativo, se encuentra la siguiente sucesión de vectores:

ea ra-

k

xk

yk

O

0.00000

0.00000

1

0.80000

0.80000

2

0.92800

0.93120

3

0.97283

0.97327

cio

4

0.98937

0.98944

5

0.99578

0.99579

l-

6

0.99832

0.99832

7

0.99933

0.99933

8

0.99973

0.99973

9

0.99989

0.99989

10

0.99996

0.99996

11

0.99998

0.99998

12

0.99999

0.99999

13

1.00000

1.00000

o-

y)

Los cálculos pueden hacerse con Matlab o con la TI-92 Plus

XO=O; yO=O; fprintf fprintf(' \,

('

k x (k)

y (k) \n')

%2d %10.5f

%10.5f\n',

O, xO, yO)

k=l: 13 x1=(xOA2+yOA2+8) /10; for

y1= (xO*yW2+xO+8) 110; fprintf(' xO=x1; end

%2d yO=y1;

%10.5f

%10.5f\n'

,k,x1,y1)

261

262


e4_1 ( ) Plus e4_1( Prgm Prgm A2+yA2+8)/10 Define g1(x, , y) = (xA 2+yA2+8)/10 Define g1(x Define g2(x, , y) y) = (x~yA2+x+8)/10 (x~yA2+x+8)/10 Define g2(x O~xO : O->yO ~yO ~k ClrIO O->xO : O->k : ClrIO Disp ""k Disp k x (k) yy (k) "rr string S." "& "&format "f5") ~d string (k) &" format (xO, "f5")->d ds " ""&format "f5") ->d r+d : Disp Disp d d d& &fonnat (yO, "f5") For k, k, 11, 13 For , 13 g1(xO, yO)-+x: : g2(xO, yO)-+y g1 (xO , yO)->x g2 (xO, yO)->y string &" "&format t (x, (x , "f5")->d "f5")-+d string (k) & " "&forma ds " ""&format (y, "f5")->d "f5")->d Disp d d&" &fonnat (y, : Disp x-+ xO : y->yO y-+ yO x-+xO EndFor EndFor EndPrgm

Para observar observar la convergencia convergencia del proceso proceso iterativo, iterativo, se pudieron pudieron usar Para usar los criterios criterios del capítucapítuanterior, como como distancia distancia entre entre dos vectores vectores consecutivos, consecutivos, o bien lo anterior, bien las distancias distancias componencomponencomponente de dos vectores vectores consecutivos. consecutivos. También También existe te a componente existe un criterio criterio de convergencia convergencia equivalente al de las ecuaciones ecuaciones 2.10 2.10 y 3.99 3.99 que puede puede aplicarse antes de iniciar equivalente aplicarse antes iniciar el proceso proceso iterativo mencionado, mencionado, y que dice: iterativo Una condición condición suficiente suficiente aunque aunque no necesaria, para asegurar Una necesaria, para asegurar la convergencia convergencia es que que

I~!ll +1~!21 +1~!21~M
(4.6) (4.6)

para todos todos los puntos puntos (x, y) de la región región del plano plano que para que contiene contiene todos todos los los valores valores (xkk,, yk) y la raíz raíz buscada buscada (i, (x, .H .9). yk) lado, si M M es muy muy pequeña pequeña en una región de interés, interés, la iteración Por otro lado, una región iteración converge converge rápidamenrápidamencercana a 1 en magnitud, magnitud, entonces entonces la iteración iteración puede te; si M M es cercana puede converger converger lentamente. lentamente. Este Este comportamiento es similar similar al del caso caso de una función función univariable univariable discutido discutido en el capítulo capítulo 2. comportamiento Por lo general general es muy muy difícil difícil encontrar encontrar el sistema sistema 4.4 Por 4.4 a partir partir de la la ecuación ecuación 4.3, 4.3, de modo que que satisfaga satisfaga la condición condición 4.5 4.5.. modo De todas todas maneras, maneras, cualquiera cualquiera que que sea el sistema sistema (4.4) De (4.4) a que que se haya haya llegado llegado y que que se vaya a resolver resolver con con este este método, método, puede puede aumentarse aumentarse la vaya la velocidad velocidad de convergencia convergencia usando usando desplazamientos sucesivos sucesivos en lugar lugar de los desplazamientos desplazamientos simultáneos desplazamientos simultáneos del del esquema esquema 4.5. 4.5. decir, se iteraría mediante Es decir, iteraría mediante xk + 11 = gl(xk, gl(Xk, yk) yk) Xk

r:

l)

= g2(xk+ g2(xk+ 11 , yk) yk+11 =

(4.7)

Como en el caso caso lineal lineal (Jacobi (Jacobi y Gauss-Sei~el) Gauss-Seidel), , si la iteración iteración por Como por desplazamientos desplazamientos simulsimultáneos diverge, diverge, generalmente generalmente el método por desplazamientos desplazamientos sucesivos táneos método por sucesivos divergería divergería más más rápido; decir, se detecta detecta más más rápido rápido la divergencia, divergencia, por por lo que general pido; es decir, que se recomienda recomienda en general uso de desplazamientos desplazamientos sucesivos sucesivos en lugar lugar de desplazamientos desplazamientos simultáneos. el uso simultáneos.


LEjemPIO 4.2'

no lineales

263

Resuelva el sistema del ejemplo 4.1 utilizando el método de punto fijo multivariable con desplazamientos sucesivos

SUGERENCIA:

fl(x,

y) = x2

tix,

y)

10x + y2 + 8 = O

-

= xy2

+ X - 10y + 8

=

O

Se pueden seguir los cálculos con un pizarrón electrónico o se programa una calculadora.

Solución

Al despejar x del término (-lOx) nes, respectivamente, resulta

y y del término (-lOy)

de la primera y segunda ecuacio-

Al derivar parcialmente, se obtiene pítunenncia

eso

dgl

2xk

dg

dX

10

dy

2yk -10

J

dg2

(/)2 + 1

dg2

2xk+1

dX

10

dy

10

l

Y evaluadas en xO = O Y en yO = O e

dg

J

dX

xO yO

dg2 dX

Xl

dgl

=0

dy

xO yO

dg2

=1110

dy

Xl

=0

=0

yO

yO con lo que se puede aplicar la condición 4.6

dgl + dg2 = O + 1/10 = 1/10 < 1 dX dX ~ + dg2 dY dy

=O+O=O<1

la cual se satisface; si los valores sucesivos de la iteración: xl, y'; x2, y2; x3, y3; ... la satisfacen también, se llega entonces a X, y. (4.7)

Primera iteración 2

ulráeral

2

Xl = 0 + 0 + 8 = 0.8 10 yl =

0.8(0)2 + 0.8 + 8 10

= 0.88

264

Métodos numéricos

aplicados

a la ingeniería

Cálculo de la distancia entre el vector inicial y el vector [Xl, i]T

I x(l) -

x(O)I = )(0.8 - 0.0)2 +(0.88 - 0.00)2

=

1.18929

Segunda iteración

=

x2

y2

=

(0.8)2 + (0.88)2 + 8 10

= 0.94144

0.94144(0.88)2 + 0.94144 + 8 10

= 0.96704

Cálculo de la distancia entre [x2, y2F y [xl, yl F:

I x(2) -

X(I)

I = )(0.94144

- 0.8)2 + (0.96704 - 0.88)2

= 0.16608

A continuación se muestran los resultados de las iteraciones. I x(k+l)

k

xk

yk

O

0.00000

0.00000

1

0.80000

0.88000

2

0.94144

0.96705

0.16608

3

0.98215

0.99006

0.04677

4

0.99448

0.99693

0.01411

5

0.99829

0.99905

0.00436

6

0.99947

0.99970

0.00135

7

0.99983

0.99991

0.00042

8

0.99995

0.99997

0.00013

9

0.99998

0.99999

0.00004

10

0.99999

1.00000

0.00001

11

1.00000

1.00000

0.00001

- x(k)

I

1.18929

ALI Para e G(I, x DA

RE PASO PASO

Hay que observar que se requirieron once iteraciones para llegar al vector solución (1,1) contra 13 del ejemplo 4.1, donde se usaron desplazamientos simultáneos. Los cálculos pueden hacerse con Matlab o con la TI-92 Plus.

xO=O;

yO=O;

fprintf

('

fprintf(' for

k

y (k)

x (k)

%2d

%10.5f

Dist

%10.5f\n',

\n')

O, xO, yO)

k=l:11 X1= (xOA2+yOA2+8) /10; Y1= (x1*yOA2+xl+8) Dist= Fprintf( XO=x1;

End

110;

PASO

( (x1-xO) A2+ (y1-yO) A2) AO.5; '%2d %10.5f yO=y1;

%10.5f

%10.5f\n',

k,

x I , yl ,

Dist)

Sistema no lineales lineales Sistema de ecuaciones ecuacion es no

265

E4_2

( ) Prgm A Define gl(x,y), y) == (xA 2+yA2+8)/10 Define gl(x 2+y A 2+8) /10 Define (x,y) = (x*y (x*yAA2+x+8) Define g2 (x,y) = 2+x+8) /10 /10 O--+xO : O--+yO O--+yO : O--+k (r+): : CirIO CirIO O--+xO Disp ""k Disp k xx (k) yy (k) " string(k) (k) &" &" "&format (xO, ""f5")--+d string "&format f5")--+d d&" "f5")--+d d&" ""&format(yO, &format (yO, "f5") --+d : Disp Disp d for k, k, 1 1, 11 for , 11 gl (xO,yO)--+x (xO,yO)--+x " g2 g2(x,yO)--+y gl (x,yO)--+y string "format (x,, ""f5")--+d string (k) &" "format (x f5")--+d d&" "format "format (y, "f5")--+ "f5")--+d:d : Disp Disp d d&" (y, x+xt) y--+yO x--+xO : y--+yO EndFor EndFor EndPrgm

continuación se presenta presenta un algoritmo algoritmo para fijo multivariable A continuación para el método método de punto punto fijo multivariable en sus versiones de desplazamientos desplazamientos simultáneos simultáneos y desplazamientos sucesivos. versiones desplazamientos sucesivos.

ALGORITMO ALGORITMO

4.1

Método de punto punto fUo multivariable multivariable Método

Para encontrar encontrar una solución aproximada aproximada de un sistema sistema de ecuaciones ecuaciones no = x, proporcionar las funciones Para una solución no lineales lineales g (x) (x) = proporcionar las funciones G(l, G(I, x), 1=1, 2, ... ... , N Y los los número de ecuaciones ecuaciones N, N, el vector vector de valores iniciales x, criterio de de convergencia convergencia EPS, EPS, el el núEl número valores iniciales x, el criterio mero máximo máximo de iteraciones iteraciones MAXIT MAXIT y M = = O O para para desplazamientos desplazamientos sucesivos sucesivos o M = = 1 para para despladesplamero zamientos simultáneos. simultáneos. zamientos RESULTADOS: Una solución solución aproximada aproximada x o mensaje mensaje "NO "NO HUBO RESULTADOS: Una HUBO CONVERGENCIA". CONVERGENCIA".

DATOS: DATOS:

,1)

PASO ll.. Hacer Hacer K = = 1. l. PASO PASO 2. Mientras Mientras K ::; ~ MAXIT, MAXIT, repetir repetir los pasos pasos 3 a 14. PASO PASO 3. Si M = O, hacer xaux == x. x. De otro otro modo modo continuar. PASO hacer xaux continuar. PASO 4. Hacer Hacer 1 == 1. PASO PASO 5. Mientras Mientras 1::; I ~ N, repetir repetir los pasos pasos 6 y 7. PASO PASO = O, hacer hacer X(I) G(I, x). De XCI) == G(I, De otro otro modo modo hacer hacer XAUX(I) XAUX(I) = = G(I, G(I, x). x) . PASO 6. Si M = PASO 7. Hacer! Hacer I = =1 I + 1. PASO PASO 8. Hacer Hacer 1I = 1. PASO PASO 9. Mientras Mientras 1::; I ~ N, repetir repetir los pasos pasos 10 y 11. PASO PASO 10. Si ABS ABS (XAUX(I) (XAUX(I) - XCI) X(I) > EPS EPS ir PASO ir al paso paso 13. De De otro otro modo modo continuar. continuar. PASO 11. Hacer! Hacer I = =1 I + 1. PASO PASO 12. IMPRIMIR IMPRIMIR x Y TERMINAR. TERMINAR. PASO PASO 13. Si M = 1 hacer hacer x = xaux. xaux. De De otro otro modo modo continuar. PASO continuar. PASO 14. Hacer Hacer K = = K + 1. PASO PASO 15. IMPRIMIR IMPRIMIR mensaje mensaje "NO "NO HUBO HUBO CONVERGENCIA" CONVERGENCIA" Y TERMINAR. PASO TERMINAR.


Desarrolle este este algoritmo algoritmo con con Mathcad Desarrolle Mathcad o un software software equivalente. equivalente.

266 266

Métodos numéricos numéricos aplicados aplicados a a la la ingeniería in geniería Métodos

4.3 Método Método de Newton-Raphson 4.3 El El método método iterativo iterativo para para sistemas sistemas de de ecuaciones ecuaciones converge converge linealmente. linealmente. Como Como en en el el métométodo do de de una una incógnita, incógnita, puede puede crearse crearse un un método método de de convergencia convergencia cuadrática, cuadrática, es es decir, decir, el mémétodo todo de de Newton-Raphson Newton-Raphson multivariabe, multivariabe, aa continuación continuación se se obtendrá obtendrá este este procedimiento procedimiento para para dos dos variables; variables; la la extensión extensión aa tres tres oo más más variables variables es es viable viable generalizando generalizando los los resultados. resultados. Supóngase que se está resolviendo el sistema. Supóngase que se está resolviendo el sistema.

Nx, y)y)

OO

ffzCx, y) 2(x, y)

O, O,

Donde Donde ambas ambas funciones funciones son son continuas continuas yy diferenciables, diferenciables, de de modo modo que que puedan puedan expandirse expandirse en serie serie de de Taylor. Taylor. Esto Esto es: en 22

df df df df 1 [ df 2 f(x,y)=f(a,b)+-(x-a)+-(y-b)+--(x-a) f(x, y) = f(a, b) + - ( x - a) + -(y - b) + - - (x - a)2 + dX dX 2! dXdX dxdx dx dx 2 2f2 f 2-- ddy (x - a) (y - b) + -- dd f] (y - b)2 1+ ... a)(y-b)+-(y-b)2 dxdy dxdy dXdY dXdY dondef(x, dondef(x, y) y) se ha expandido expandido alrededor alrededor del punto punto (a, b) y todas todas las derivadas derivadas parciales parciales esesevaluadas en (a, b). tán evaluadas Expandiendo (xk, yk) yk) Expandiendo fI,l alrededor alrededor de (xk,

2U 1 [[ _ d d2U_J,!,1_ (xk+ dd J,!1_ (xk+ xk)2 + 2 __ (xk+!1 _- xk)2 --'(xk+!1 _- xk)(yk+ xk)(yk+' 1 _-yk)yk) + dXdX dXdy 2! dxdx dxdy

_1

(4.8) (4.8) donde todas todas las derivadas derivadas parciales parciales están están evaluadas evaluadas en (x (xkk,, yk) yk).. De la misma misma forma forma puede puede donde expandirse expandirse ff22 como como sigue: sigue:

(4.9) (4.9)

De igual igual manera manera que que en en la ecuación ecuación 4.8, 4.8, todas todas las las derivadas derivadas parciales parciales de de 4.9 4.9 están están evaluaevaluaDe das en en (xk, (xk, yk). yk). das Ahora supóngase supóngase que que xk+ xk+11 yy yk+1 yk+' están están cerca cerca de de la la raíz raíz buscada buscada (x, (x, y) y) que que los los lados lados izizAhora quierdos de de las las dos dos últimas últimas ecuaciones ecuaciones son son casi casi cero; cero; además, además, asúmase asúmase que que xk xk -y .y yk están están quierdos

Sistema de ecuaciones Sistema ecuaciones no lineales

267

próximos de Y!+ y:k+ 1 1 que que pueden pueden omitirse omitirse los términos tan próximos términos a partir partir de los los que que se encuentran encuentran agrupados en paréntesis paréntesis rectangulares. rectangulares. Con Con esto esto las ecuaciones simplifican a agrupados ecuaciones 4.8 4.8 y 4.9 4.9 se simplifican

a

(4.10) (4.10)

Para simplificar simplificar aún más, más, se cambia cambia la notación notación con Para con e (4.11 (4.11))

queda la (k + l)-ésima l)-ésima iteración iteración en términos términos de la k-ésima, y así queda k-ésima, como como se ve a continuación continuación

(4.12) (4.12)

La sustitución sustitución de la ecuación ecuación 4.11 en la 4.10 4.10 y el rearreglo La rearreglo dan dan como como resultado: resultado:

s-

(4.13) (4.13)

.8)

e

.9)

aIZ-

cual es un sistema sistema de ecuaciones ecuaciones lineales lineales en las incógnitas (recuérdese que que las las dedeel cual incógnitas h y j (recuérdese rivadas parciales ecuación 4.13, 4.13, así como como 1 evaluadas (xk, yk) rivadas parciales de la ecuación JI 1y 1 J2están están evaluadas en (Y!, yk) y, por por tantan2 to, números reales). reales). to, son números Este sistema sistema de ecuaciones ecuaciones lineales lineales resultante resultante tiene siempre que Este tiene solución solución única, única, siempre que el determinante de la matriz matriz de coeficientes coeficientes o matriz matriz jacobiana sea cero; terminante jacobiana J no sea cero; es decir, decir, si

Precisando: el método método de Newton-Raphson Newton-Raphson consiste consiste fundamentalmente Precisando: fundamentalmente en formar formar y resolresolsistema 4.13, 4.13, esto esto último por alguno alguno de de los los métodos métodos vistos vistos en el capítulo capítulo 3. Con Con la ver el sistema último por solución y la ecuación ecuación 4.12 4.12 se obtiene obtiene la siguiente siguiente aproximación solución aproximación.. Este procedimiento procedimiento se repite repite hasta hasta satisfacer satisfacer algún Este algún criterio criterio de convergencia convergencia estableciestableciCuando converge converge este este método, método, lo hace hace con con orden (xoo' ' Yo) esdo. Cuando orden 2, y requiere requiere que que el vector vector (x muy cerca cerca de la raíz raíz buscada buscada (x, )1). té muy ji).

268

Métodos ic a dos a a la ingeniería Métodos numéricos numéricos apl aplicados ingeniería

INTERPRETACiÓN GEOMÉTRICA DEL MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON INTERPRETACiÓN GEOMÉTRICA DEL MÉTODO NEWTON-RAPHSON

Desarrollemos en etapas interpretación para para un sistema de dos ecuaciones. Sea Desarrollemos etapas esta esta interpretación sistema de dos ecuaciones. Sea el sistema sistema f¡(x, y) y) f¡(x,

y2 == xX22 + y2

Nx, y) y) Nx,

= xx22 - y2 y2 - 1 =

11

La gráfica def¡(x, def¡(x , y) y) se muestra muestra en la figura 4.4 . La gráfica figura 4.4

.' ··r·········.:····J·j¡(x,y). ~I(X,y) .s->:

»->

:

10 10

.·······f······

, ••••••••••••••••

:

!1".... .

......... ····1··· _--- r" :

······L. ......! .

... ·t··

8

.¡ ..... ...... j

~. ....

.' -' . -" ~ .... "'

6

4 .... :

2

...¡.....

oo --2 2 2 Figura 4.4 4.4 Gráfica de la la superficie f¡(x, fdx, y).

..... :

..:....•. ........ ....::

::

2

oo

o

-1

-1

-2 -2 -2 -2 (Xoo' ' Yo) Yo) = = (1 (1,, 1), el plano superficie j.tx, y) Si el punto punto de inicio inicio es (x plano tangente tangente a la superficief¡(x, y) en el punpunft1 , 1)) muestra en la figura 4.5. to (1 (1,, 1, 1,f(1, 1)) se muestra figura 4.5.

10 10

5

oo --55 Figura 4.5 4.5 Plano tangente tangente a la superficie (x, y) en el f 1l (x, punto punto (1,1,1). (1,1,1).

- 10 -10 2

2

Sistema ecuaciones no lineales S istema de ecuaciones

269

La una línea La intersección intersección del plano plano tangente tangente con con el plano plano x - y, en caso caso de existir, existir, es una línea recta recta r" como como puede puede apreciarse apreciarse en la figura figura 4.6 4.6.. ea el

.. -- .. -- .---_.-.'-"". ..-.----_.-

- - - _. - - - _. - - - ~ - --- ----- - - - -------':----- - - - - _. ~- - -- --------------:-

10 lO

.- - . - - ~-

8

-" _.' .- - ---- ~~ -_..- -_.- .-_.-- -. -"

"T------

--

-- ---~---

____ __ f __ ------

6 4

2

O O

-2 -4 -4

-. -.

-6 '.

-8 Figura 4.6 4.6 Intersección del plano tangente tangente plano y el plano plano x-y.

-10 -LO 2

-2

~

plano 'tangente plano tangente jj af(x,y) i af(x,y) ". --~ --~

--11

-2

repetimos el procedimiento procedimiento con con la superficie superficie ffix, y), obtenemos obtenemos la recta recta rr2, como como puepueSi repetimos 2 (x, y), apreciarse en la figura figura 4.7. de apreciarse lpun-

.-----:--

.---- -"!

- - -' - - - ~

lO 10

: recta recta

:---. :"'-.

//'2 '2

ro.

_.,- ~--'

5

--~ --. --

Pla~ox->··"""-..j plano x-y T··· <,

'.,

O O

-5

4.7 Figura 4.7 Intersección del plano tangente tangente plano y el plano x-y plano x-y para la función función yj. f2 (x, y).

-lO -10

_.- :~ -:': -'

.. ::.=

2

:. '. .. ::.,...

.- <,

"plano tangente, ... .::.... plano tangente

...... :::::~.: ....<.... aa --..,.".

••

O O -1 -1

-2 -2 --2 2

--.".-.-.---_.-

•••

_----

__

o

_',

¡.,ex,y) _.-

Nx,y) :::: ... -

_'"

-

".:

2

270

Métodos a plicados a a la la ingeniería ingeniería Métodos numéricos numéricos aplicados

Finalmente, la intersección los dos planos tangentes tangentes con plano x-y, x-y, en caso Finalmente, intersección de los dos planos con el plano caso de recta r2,, punto punto (x" y ,), como puede verse verse en existir, intersección de la recta recta r, con existir, es la intersección con la recta (x" y,), como puede la figura figura 4.8, donde se han superficies j.tx, y) 4.8, donde han omitido omitido las las superficiesJ¡(x, y ) yy lix, Jix, y)y) a fin de mostrar mostrar más claramente y ¡) . Obsérvese que la intersección intersección de las las rectas rectas r, r¡ y r22 corresponde claramente a (xi' (x" y,). Obsérvese que corresponde a la siguiente una solución lineales.. siguiente aproximación aproximación de una solución del sistema sistema de ecuaciones ecuaciones no lineales

.... 1'.. ····r··

.... ;

................... !¡ plano plano tangente ................... tangente

10 10 ...... ······pianotangente /"',.r~""a!¡(x,y!.. ··piano tangente ¡¡ a/¡{x,y!.. a Nx,y) Nx,y) .... jj.... ..''" ."',,,"'/ <, /',/',..-,

f-'-'f····

.i->"

-v-, -;--v-.

5

o~_ 5i~

-5

--10 10

-15 Figura 4.8 4.8 Intersección de los los planos tangentes tangentes y el el plano xy. plano

2

2 x

o --2 2 -2 -2

Podemos apreciar que este este punto punto tiene tiene aproximadamente aproximadamente las coordenadas coordenadas (xl' y ¡) = Podemos apreciar que (x., y,) = (1, 0.5) punto de partida partida para para la siguiente iteración. El lector lector encontrará Y servirán servirán como como punto siguiente iteración. encontrará a conticontinuación un inserto inserto a color color donde podrá observar mejor las intersecciones nuación donde podrá observar mejor intersecciones de las superfisuperficies raíz. cies y la raíz. Un ejercicio interesante para para el lector lector consistiría consistiría en identificar identificar los pasos pasos corresponUn ejercicio interesante correspondientes método de Newton-Raphson Newton-Raphson univariable; univariable; dientes entre entre la interpretación interpretación gráfica gráfica dada dada y la del método por ejemplo, recta tangente tangente a la gráfica gráfica de ftx) fix) en (xoo,, ftx fi xo)) por ejemplo, la recta corresponde a la superficie superficie o)) corresponde tangente sistema en (xoo,, Yo,f(x , Yo)), etcétera. , yo,f(x Yo)) ' etcétera. tangente a una una de las gráficas gráficas del sistema oo

Use el método método de Newton-Raphson Newton-Raphson para para encontrar una solución Use encontrar una solución aproximada aproximada del sistema. sistema. ~-::1

Ejemplo ~] E jemplo 4.3

con el vector con vector inicial: inicial:

Solución Solución

II

J, (x, y)y) == xX22-lOx - lOx + y2+ y2 + 88 = =O 1, O 1 O J22(x, y)y) == xy2 xy2 + XX -- lOy lOy + 8 = =O o [xc, [x , yO]T yO]T = = [O, O]T. O]T.

Primero forma la matriz sistema 4.13, conocida como como matriz Primero se forma matriz coeficiente coeficiente del del sistema 4.13, también también conocida matriz de derivadas parciales derivadas parciales

dJ¡ = 2x - 1O di, =2x-1O dx

dl_, dJ_,_ dy dy dl'LdJ~ dy dy

= 2y 2y

= 2xy 2xy

10


so de

no lineales

que aumentada en el vector de funciones resulta en:

r más

2y

e a la

2xy -10 Primera iteración Al evaluar la matriz en [xo, yO]T se obtiene:

o -10 que al resolverse por eliminación de Gauss da h = 0.8,

j

= 0.88

al sustituir en la ecuación 4.12 se obtiene: Xl =

= yO

yl

Cálculo de la distancia entre x(O)y

I x(l) -

= O + 0.8 = 0.8 = O + 0.88 = 0.88

+h

xO

+j

X(I)

x(O)I = )(0.8 - 0)2 + (0.88 - 0)2

=

1.18929

Segunda iteración Al evaluar la matriz en [.xl; yl]T resulta 1,0.5) contiuperfiesponiable; erficie

-8.4

1.76

[ 1.7744

-8.592

-1.41440J -0.61952

que por eliminación gaussiana da como nuevos resultados de h y j h

= 0.19179,j = 0.11171

de donde: x2 y2

ma.

= Xl + h = 0.8 + 0.19179 = 0.99179 = yl + j = 0.88 + 0.11171 = 0.99171

Cálculo" de la distancia entre x(l) y

I x(2) -

x(l)

x(2):

I = ) (0.99179

- 0.8)2 + (0.99171 - 0.88)2

= 0.22190

Con la continuación de este proceso iterativo se obtienen los resultados siguientes: atrizde

* Nótese que

I x(l)

- ¡¡ID)

k

Xk

yk

O 1 2 3 4

0.00000 0.80000 0.99179 0.99998 1.00000

0.00000 0.88000 0.99171 0.99997 1.00000

! = Jh2

+ j2

I xk+l

- xk

1.18929 0.22195 0.01163 0.00004

I

271

272

Métodos iería Métodos numéricos numéricos aplicados aplicados a a la la ingen ingeniería

Hay que observar observar que que se requirieron cuatro iteraciones vector solución solución Ha~ que requirieron cuatro iteraciones para para llegar llegar al vector (1, 4.2, donde método de punto punto fijo con desplazamien(1,1)1) contra contra once once del ejemplo ejemplo 4.2, donde se usó el método desplazamientos sucesivos. mayor número número de cálcusucesivos. Sin Sin embargo, embargo, esta esta convergencia convergencia cuadrática cuadrática implica implica mayor cálculos, ya ya que, puede observar, requiere: que, como como se puede observar, en cada cada iteración iteración se requiere: a) La La evaluación parciales. evaluación de 2 X 2 derivadas derivadas parciales. b) La La evaluación evaluación de 2 funciones. funciones. e) La La solución solución de un sistema sistema de ecuaciones ecuaciones lineales lineales de orden orden 2.

Estos cá1cuios cálculos pueden con Matlab TI-92 Plus. Estos pueden realizarse realizarse con Matlab o con con la TI-92 Plus.

xO=O ; xO=O;

yO=O ; yO=O; fprintf( ' k fprintf(' x (k) x (k) Ix(k+1) -x YY (k) Ix(k+1) -x (k) I1 \n') \n') fprintf (' %2d fprintf(' %2d %10.5f %1 0.5f %10 . 5f\n ', · O, xO, xO , yO) yO ) %10.5f\n' for : 4 for k=l k=l dflx=2*xO dfly=2* yO ; df1x=2*xO-1- 1 O; df1y=2*yO; df2x=yO A 2+ 1; df2y=2* xO*yO-1 O; df2x=yOA2+1; df2y=2*xO*yO-10; f1=xO 2-10*xO+yOA2+8; f1=xOAA2-10*xO+yOA2+8; f2=xO*yOA2+xO-10*yO+8 f2=xO*yOA2+xO-10*yO+8 ; A=[df1x df1y; df2x A=[df1x df1y; df2x df2y] df2y]; ; b=[-f1; -f2]; b=[-fl; -f2]; hj=inv ':'b; trj=inv (A) tAr=b, x1=xO+hj (1) ; y1=yO+hj y1=yO+hj (2); x1=xO+hj (1); (2); Dist= A2+ (y1-yO) A2) AO. AO. 5; Dist= ((x1-xO) ( (x1-xO) A2+ (y1-yO) A2) fprint %2d fprint(' ( , %2d %10.5f %10.5f % 10 . 5f %1 0.5f %10.5f\n' xl , y1, y1 , Dist %10.5f\n', , k, k, xl, Dist) ) xO=x1 ; yO=y1; y O=y1 ; xO=x1; end l

e4_3

(

Prgm Prgm Define fl 2-10':'x+yAA 2+8 Define f1 (x, (x, y) == xAA2-10':'x+y 2+8 Define f2 y) =x*yA2+x-1(J''''y+8 Define f2 (x (x,, y) =x*y 2+x-lCI'y+8 Define dflx(x y) =2*x-10 Define df1x(x, , y) =2*x-10 Define dfly (x , y) y ) =2*y Define df1y(x, =2*y Define df2x (x , y 2+1 Define df2x(x, y)) =y =yAA 2+1 Define df2y(x Define df2y(x, , y) =2*x*y-10 =2*x*y-10; ; O->xO O->yO CirIO O->xO O->yO 0-> k C1rIO Disp y(k) IIx(k+1) x(k+1) -x (k)1 " Disp"k " k x (k) y(k) -x(k)l" string(k) &" string(k) &" ""&format &format (xO, ""f5")->d f5")->d d&" (yO,, ""f5")--+d Disp d d&" ""%format %format (yO f5") --+ d : Disp For , 4 For k, k, 1 1, [dflx(xO , yO) ,dfly(xO , yO); df2x(xO,yO) ,df2y(xO,yO) ]--+a ]->a [df1x(xO,yO) ,df1y(xO,yO); df2x(xO,yO) ,df2y(xO,yO) [-f1(xO, -f2(xO,yO)]--+b [-fl (xO , yO); yO) ; -f2 (xO , yO) ] --+b simuit(a,b)--+dx simu1t(a , b ) ->dx : xO+dx[l]--+x xO+dx[l]->x : yO+dx[2]--+y yO+dx[2]--+y +ai st: :: norm (x) --+ (y)--+y norm (dx) ->dist --+ x x :: norm (y ) --+y string(k) (k ) ''&" (x, ""f5")-td string &" ""&format &format (x, f5 ") --+d as"" ""&format (y1, ""f5") +d :: Disp Disp d d d& &format (y1, f5 ") ->d x+xt) x--+xO : y->yO y--+yO EndFor EndFor EndPrgm A

ción ienálcu-

Con visualizar la idea Con el fin de ayudar ayudar al lector lector a visualizar idea de raíz raíz y el método método de Newton-RaphNewton-Raphson, se presentan presentan a continuación continuación las gráficas gráficas de las Fig. 4.1 a la Fig. Fig. 4.8 a color color.. -; ..... -;-_ ...

30

r········

..............

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"

..-

--- .--'- ; -"

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.r..···--······ ~

20 20

10 10

--'~'

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-o,

---

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..........

zz O O ,1

-10

-20 -20

1.5 .5 y

-1

-1.5

-1

Figura 4.1 Intersección Intersección de la superficie superficie f ll (x, y) con el plano plano xy. x-y. Figura

30

20 20 .... -.~-_.... __ ..... - -'

10 10

~"

-

z O -10

-20 -20

1.5 1.5

1

0.5

x Intersección de la superficie superficie f2 (x, y) con el plano plano xy. x-y. Figura 4.2 Intersección

·'!!I

-----T---------

30 ---¡-

.¡------

----~-----------------

1-------------

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-- ----~

- -_o~ _

10

.....

z O -10 Raíz

-20

1.5 Y

0.5

O -1

-1.5 -1

Figura 4.3 Intersección de las superficies fl [x, yj y f2(x, yj con el plano x-y.

- _.' - ~-o_ .-' ~-

L

10 8

¡---.

.-:-.-'

o, "o.

~-o._

6 4 --0-00:

2 --o.;

O -2 2

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.............. :..•::: .. ....

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1 O

-1

-2 -2 Figura 4.4 Gráfica de la superficie fdx, yj.

2

t,(X:y)·················

~

,

.

punto de

10 10

55

._------!

oo -5

2

-10 -10

1

2

-2 -2 -2 , 1, I} . pu nto 11 el punto en el Figura 4.5 Plano tangente a (x, YI yj en (1, 1. 1J. superficie ~ Ix. a la superficie nte ge tan no Pla S 4. Fig ur a

r,

10 8

. . . . . . . . .!. . . . . . . . . . _. _"["- -. _. . . ···-.·.-.·.-.--.1._.... ·····-------:-----------------------l-------

1,···

.... ... _---- -----_ ... !.- ---

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4 2 O

2 --2 -4

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-8 -8

plano tangentej gen te.! no tan .. pla

i¡ .... . .. -...!

af(x,y) x,y ) .... .. af(

.... i

... :::::,;...

10 --10 22

-2

-2

-1

no x:y. ge nte yy elel pla no tan Figura 4.6 Intersección dell pla plano tangente plano xy. ión de Fig ur a 4.6 Intersecc

:

==

-------;--. ----; -.,

rr--

··----1

10 10

I .-- - - -'"'~- --r'

55

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<.

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t p,~L~-yJ

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-10 -10 22

--_::-'~~:---

___ _:::>..... plano tangente.... plano tange~~~ --_-__ ) .f;;(x,y .'.::. .:::-:: < ------ aa Nx,y) . --

...:::,,:....

1 -:--

- ---_:-:.~.-.

OO -1 -1

F¡9~ra

O

-1

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,y Para l p la n o x

22

1 n la fu n c ió

"'x.

J1.

ye Figura 4.77 Intersección del plano tangente tongente y el plano x-y para la función f2(x, y). 4.

Inte"eCC

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o_oro __ __----1

e

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~gent lano ttangente ...................... ¡ pplano -- ------ ---------T af¡(x,y) _

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---- ---: tangente tangente!i af¡(x,y!... 1100 ..········píá"nü _____ _ ------plano -- --

---1:--.:-...

a .f; Nx,y) ;(x,y)

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..;Piá,;;

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5

r~ct~ -;;- --'7

'- -' "" -- -- -.

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10 --10 15 --15 22

22

xx

1

O O -1

2 2 --2 --2

-1

p la n o x ,y n te , y el e g n ta , o la n Figura ~.8 Intersección dde los tangentes y el plano x-y. , Pplanos e lo

F¡9~r. ~.8

/ón Inte"eCC

Pa

na


no lineales

273

GENERALIZACiÓN

Para un sistema de n ecuaciones no lineales con n incógnitas (véase Ec. 4.1) y retornando la notación vectorial y matricial, las ecuaciones 4.13 quedan:

di] dx¡

h]

dl2 dx]

h]

dJ" dx¡

h]

+

+

+

di] dX2

h2

dl2 dX2

h2

dJ" dX2

h2

+

di] dX

+

h 11

=-/]

II

dl2 h dXn

=':"/2

dJ" h dXn

= -:J"

+ -

+

+

+

ll

(4.14)

l1

o lh =-f donde las funciones f y las derivadas parciales d/¡I dxj, i evaluadas en el vector x(k) y .

h.

"

= x.k+] ~ xk ,

=

1,2, ... , n;j

=

1,2, ... , n están

1 :s; i:S; n

(4.15)

t-: n

(4.16)

De donde:

xk+] =xk+h.

,

1:s;

"

o x(k+]) = x(k)

+

h(k)

y la matriz de derivadas parciales (matriz jacobiana),

ampliada en el vector de funciones

queda:

di] dx]

dl¡ dX2

di] dX

d/2 dx]

d/2 dX2

d/2

-/]

II

-/2

dx" (4.17)

dJ" dx]

dJ" dX2

~f"

-J"

dXn

o bien: [ll-f] Se presenta a continuación un algoritmo para este método.

ALGOR¡TMO

4.2 Método de Newton-Raphson multivariable

Para encontrar una solución aproximada de un sistema de ecuaciones no lineales f(x) na ampliada con el vector de funciones (véase Ec. 4.17) y los DATOS:

= O, proporcionar

la matriz jacobia-

El número de ecuaciones N, el vector de valores iniciales x, el número máximo de iteraciones MAXIT y el criterio de convergencia EPS .

H

274

Métodos numéricos

RESULTADOS:

aplicados

a la ingeniería

El vector solución xn o mensaje "NO CONVERGE".

PASO 1. Hacer K = 1. PASO 2. Mientras K::; MAXIT, repetir los pasos 3 a 9. PASO 3. Evaluar la matriz jacobiana aumentada (4.17). PASO 4. Resolver el sistema lineal (4.14). PASO S. Hacer" xn = x + h. PASO 6. Si 1 xn - x l » EPS ir al paso 8 . De otro modo continuar. PASO 7. IMPRIMIR xn y TERMINAR. PASO 8. Hacer x = xn. PASO 9. Hacer K = K + 1. PASO 10. IMPRIMIR "NO CONVERGE" Y TERMINAR.

Ejemplo 4.4

Con algoritmo 4.2, elabore un programa de propósito general para resolver sistemas de ecuaciones no lineales. Luego úselo para resolver el sistema.

1¡ (xi'

x2' x3) = 3xI - cOS(x2x3)

11(XI' xl' J¡

X3)

= x¡l

- 625xl

0.5 = O

-

=O

-xx 20 (1On:-3) 3 f 3 (Xi' x2, x3 ) = e '2 + X3 +

Solución ~ ~

=

O

En el disco se presenta el programa 4.1, que consta de los subprogramas GAUSSJORDAN y PIVOTEO, de propósito general; es decir, no dependen del sistema de ecuaciones para resolver. El usuario deberá escribir el programa principal que llama al subprograma FUNCIONES, donde proporcionará la matriz jacobiana ampliada (Ec. 4.17). La matriz jacobiana ampliada para el sistema es: x3 sen (xzX3)

-3xI + cOS(xlx3) + 0.5 ]

o

-1250xl

-x21

+ 625x\

< 20 X . -e -x '"2_ 3

20

----

10 rt - 3 3

El programa queda finalmente como se muestra en el disco (programa 4.1). Su ejecución con el vector inicial [1 1 I]T produce los siguientes resultados. Xl

Xz

x3

O 1

1.00000

1.00000

1.00000

0.90837 0.49927 0.49996

0.50065 0.25046 0.12603

-0.50286

1.5863 0.47982

0.49998 0.49998 0.49998 0.49998

0.06460 0.03540 0.02335

-0.51904 -0.52045 -0.52199 -0.52272 -0.52302 -0.52309 -0.52310

0.29214E-Ol 0.12052E-Ol 0.31095E-02 0.23879E-03·

-0.52310

0.14280E-05

2 3 4 5 6 7 8 9

• Operaciones

Distancia

k

vectoriales.

0.49998 0.49998

0.02024 0.02000 0.02000

0.12444 0.61446E-Ol

4.4

Sistema de ecuaciones ecuaciones no lineales lineales Sistema

275 275

La solución solución del sistema sistema es: La 0.49998176 0.49998176 0.19999269E-Ol 0.19999269E-01 -0.52310085 -0.52310085

XI XI

x22 x33

Los cálculos cálculos también también pueden pueden realizarse realizarse usando usando el guión guión de Matlab Los Matlab dado dado en el ejemplo ejemplo con los cambios cambios correspondientes. correspondientes. 4.3, con Nótese que que en cada cada iteración iteración se requiere: requiere: Nótese evaluación de n22 derivadas derivadas parciales, parciales, a) La evaluación evaluación de n funciones, funciones, b) La evaluación solución de un sistema sistema de ecuaciones ecuaciones lineales lineales de orden e) La solución orden n, lo que que representa representa una una inmensa inmensa cantidad cantidad de cálculos. cálculos. Debido Debido a esto, 10 esto, se han han elaborado elaborado mémétodos donde donde los cálculos cálculos no son tan numerosos numerosos y cuya cuya convergencia convergencia es, todos es, en general, general, supesuperior a la del método método de punto punto fijo (superlineal). (superlineal). A continuación continuación se presentan rior presentan dos de estos estos métodos, el de Newton-Raphson Newton-Raphson modificado modificado y el método método de Broyden, siendo este métodos, Broyden, siendo este último último también una modificación del método método de Newton-Raphson. Newton-Raphson. también una modificación

4.4 Método de Newton-Raphson modificado 4.4 a

0-

método de Newton Newton Raphson Raphson modificado modificado que que se describe describe a continuación El método continuación consiste consiste en aplicar método de Newton-Raphson univariable dos veces veces (para aplicar el método Newton-Raphson univariable (para el caso caso de un sistema sistema de n ecuaciones lineales con con n incógnitas, incógnitas, se aplicará aplicará n veces), ecuaciones no lineales veces), una una para para cada cada variable. variable. Cada vez que que se hace hace esto, esto, se consideran consideran las otras otras variables variables fijas. Cada fijas. Considérese de nuevo nuevo el sistema sistema Considérese

11(x, (X, y) = =O O 1 O J2 2(x, y) == O

JI

Tomando los valores valores iniciales iniciales xO, xO, yO, yO, se calcula calcula a partir partir del Tomando del método método de Newton-Raphson Newton-Raphson univariable un nuevo nuevo valor valor xl xl así: univariable ión

fJ1/ox evaluada evaluada en xD, yO. fJJ/fJx xO, yO. Hay que que observar observar que que se ha obtenido obtenido Xl xl a partir partir de JI 1y1 los Hay los valores valores más más recientes recientes de x yO. y y: xO, yO. Ahora emplearemos emplearemos 1 valores más más recientes recientes de x y y: x', Ahora J2 y2 los valores x l , yO yO para para calcular calcular y1 yl Il _

°°

Y --y y -

1 (Xl, J2 (X 2 l , yO) fJNfJy fJNfJy

,

donde fJJifJy fJ1ifJy se evalúa evalúa en xl, xl, yO. yO. Se tiene tiene ahora ahora Xl xl y yl. yl. Con Con estos donde estos valores valores se calcula calcula X2, desdespués y2, así sucesivamente. sucesivamente. pués y2, y así Este método converge a menudo menudo si xO, xD, yO muy cerca cerca de x, Este método converge yO está está muy x, y,y, y requiere requiere la evaluación evaluación funciones por por paso paso (cuatro (cuatro para para el caso caso de dos ecuaciones ecuaciones que que se está está manejando). manejando). de sólo 2n funciones Hay que que observar observar que que se han han empleado empleado desplazamientos desplazamientos sucesivos, Hay sucesivos, pero pero los los desplazadesplazamientos simultáneos simultáneos también también son aplicables. aplicables. mientos

d

276

Métodos numéricos numéricos aplicados aplicados aa la la ingen ingeniería Métodos iería

Ejemplo 4.5

Resuelva el sistema sistema Resuelva

i, (x, y) y) = = X2 X2 - lOx + y2 y2 + 8 = =O O JI (x, y) = = xy2 xy2 + xX -- lOy + 8 = =O O Jf22 (x, Con el método método de Newton-Raphson Newton-Raphson modificado, modificado, usando usando los valores valores iniciales iniciales xfJ .xO Con Puede seguir los cálculos con un pizarrón electrónico. Puede seguir cálculos con pizarrón electrónico.

Solución

Primero se obtiene: obtiene: Primero

d!, d!1

= 2x 2.x_- 10 =

d!2= 2xy -1O -=2xy-1O dy

y

dX dx Primera iteración iteración Primera evalúan j'¡ y d/¡ldx dj/dX en [O, [O, O]T: O]T: Se evalúan!1

t. (O, O) = 8 y

xfJ yO

= -10

se sustituye sustituye xl xl

8 =0---=0.8 = O - - - = 0.8 -10 -10

Para f2 y d!idy Para el cálculo cálculo de y' yI se necesita necesita evaluar evaluar!2 dJ/dy en x', Xl, yO yO 10(0) + 8 = !2 (0.8,0) (0.8,0) = = 0.8(0) 0.8(0) + 0.8 0.8 - 10(0) = 8.8 df2

dX

Xl xl

= 2(0.8)(0) 2(0.8)(0) - 10 =-10 = -10

yO yO se se sustituye: sustituye: 8.8 8.8

yl = O - -= 0.88 y I =0--=0.88

-10 - 10

Segunda Segunda iteración iteración NO.8, /¡(0.8, 0.88) 0.88) = 1.4144 1.4144

yy

Xl x'

= = -8.4 -8 .4

y' yI 1.4144 xx22 == 0.8 0.8 _- 1.4144 == 0.96838 0.96838 -8.4 -8.4 2, y'): Ahora z, yy d!idY en (x Ahora se se evalüan eva1úan!2 d!2/dyen (x2, yl):

!2 J2 (0.96838,0.88) (0.96838,0.88) = 0.91830 0.91830

yy

2 xx2

yl yI

== -8.29565 -8.29565

= O, O, yO = O. O. = yO =

ecuaciones no lineales lineales Sistema de ecuaciones Sistema

277

de donde: donde: y2 = = 0.88 y2

0.91830 0.91830 -8.59565 -8.59565

= 0.99070 0.99070 =

cálculos pueden pueden continuarse continuarse y observarse observarse con Matlab Matlab o con la TI-92 TI-92 Plus Plus Los cálculos

= O.

xO=O; yO=O; Eps=le-5; ; xO=O; yO=O ; Eps=le-5 fprintf(' x (k) Y (k) Dist\n') ') fprintf( ' k x(k) Y Dist\n fprintf (, %2d fprintf (' % 2d %10.5f %1O.5f\n', xO,, yO) yO) %10 . 5f %10 . 5f\n ', O, xO for k k=l 10 for =l : 10 A2-10'xO+yOA2+8 ; f1=xOA2-1U~xO+yOA2+8; f1=xO dflx=2*xO-1 O; O; dflx=2':'xO-1 x1=xO-fl/dflx; x1=xO-fl/dflx; f2=x1*yOA2+x1-10*yO+8; ; f2=x1*yOA2+x1-10*yO+8 df2y=2* xl *yO-1 O; df2y=2*x1*yO-1 y1=yO-f2/df2y; ; y1=yO-f2/df2y fprintf(' %2d%10.5f%10.5f%10.5f\n', fprintf( ' % 2d%10 . 5f%10 . 5f%10 . 5f\n', kk,, xl, xl , y1 y1,, Dist) Dist) Dist= ((x1-xO) ( (x1-xO) A2+ (y1-yO) A2) 5;; Dist= A2+ (y1-yO) A2) AO. AO . 5 Dist < Eps IIff Dist Break Break end xO=x1; xO=x1; yO=y1; yO=y 1 ; end

e4_5

(

Prgm Prgm A2+8A2+8 Define Define f1(x,y) f1 (x , y) = xAA2-10*x+y 2-10*x+y Define (x,y) Define f2 f2(x , y) =x*yA2+x-1U~y+8 =x*y A2+x-10"y+8 Define Define df1x(x,y) dflx(x , y) =2*x-10 =2*x-10 Define =2*x*y-10 Define df2y(x,y) df2y(x , y) =2"x*y-10 O-+xO O->xO : O-+yO O->yO : O+k. O-> k : 1E-5->eps 1E-5-> eps : CirIO ClrIO Disp Disp ""kk x x (k) string(k) string(k) &" &"

y(k) Ix(k+1) Y (k) Ix(k+1) -x -x (k) (k ) II "" "&format "&format (xO, "f5")->d " f5")->d

d&" "&format d&" " &format for for k, k, 1, 6 6

(yO,

"f5") +a : Disp "f5")->d Disp d

xO-fl /dflx (xO,yO)-+x xO-fl (xO,yO) (xO , yO)/dflx(xO , yO) -> x yO-f2 yO-f2 (xO,yO) /df2y /df2y (xO,yO)->y (xO,yO)->y -Y st: ,¡ ((x-xO) ((x-xO) A2+ A2+ (y-yO) (y-yO) A2) A2) = -> di dist string "&format string (k) &" &" " &format (x, (x, "f5")-+d " f5") -> d d&" d&" "&format " &format (y, (y, "f5")-+d " f5" )-> d d&" d&" "&format " &format (dist, (di st , "f5")->d: "f5") -> d : Disp Disp d x-+ xO : y-+ yO x->xO y->yO EndFor EndFor EndPrgm l·

Se Se sugiere sugiere al al lector lector continuar continuar las las iteraciones iteraciones yy calcular calcular las las distancias distancias entre entre cada cada dos dos vecvectores tores consecutivos. consecutivos. Continúe Continúe hasta hasta que que xxkk"""" 1 Y Yyk yk "" "" l. 1. Compare Compare además además la la velocidad velocidad de de convergencia convergencia de de este este método método con con la la velocidad velocidad de de convergencia convergencia del del método método de de NewtonNewtonRaphson Raphson y el el de de punto punto fijo fijo para para este este sistema sistema particular. particular.

278


En la aplicación este método método se pudo aplicación de este pudo tomar tomar J f22 para para evaluar evaluar xxll y JI' fl' a fin de evaluar evaluar

y1, así:

Xl Xl =

o fJ22 (xO, (x , yO) ya)

xOO__

af¡ax ' dJldX

I, (Xl, (x', yO) ya) JI yyl l= _ '-----_ = yO ya __ -----''-__ _

dJ/ay , af/oy

Esto producir convergencia Esto puede puede producir convergencia en alguno alguno de los arreglos arreglos y divergencia divergencia en el otro. Es posible saber saber de antemano antemano si la primera primera o la segunda segunda forma forma convergirán* convergirán" para para el caso caso de sistesible mas de dos ecuaciones, pero cuando mas ecuaciones, pero cuando 3 ~ n las posibilidades posibilidades son varias varias (n!) (n!) y es imposible imposible conocer conocer cuál cuál de estos estos arreglos arreglos tiene tiene viabilidad viabilidad de convergencia, convergencia, por por lo cual cual la elección elección se convierte en un proceso proceso aleatorio. aleatorio. Esta Esta aleatoriedad aleatoriedad es la mayor mayor desventaja desventaja de este este método. método. vierte con n incógnitas: XII' el algoritEn general, general, para para un sistema sistema de n ecuaciones ecuaciones con incógnitas: xx"I' x22'' ...... , XII' algoritmo toma mo toma la forma: forma:

al; II dh -.. (k+ (k+ II

:'1 ax¡ OX¡

ALGORITMO ALGORITMO

XI Xl

'' X22

1~ i ~ n

(4.18) (4.18)

k+ II

k) k+ II k k) , ... Xi_i _1 1 Xi , ... 'X ' Xi ... X ... 'Xn.H

4.3 Método Método de Newton-Raphson Newton-Raphson modificado modificado

Para Para encontrar encontrar una una solución solución aproximada aproximada de un sistema sistema de ecuaciones ecuaciones no lineales lineales f(x) = O, O, proporcionar proporcionar las funciones funciones F (1, (1, x) y las derivadas derivadas parciales parciales D (1, (1, x) y los DATOS: DATOS:

El número N, el vector número de ecuaciones ecuaciones N, vector de valores valores iniciales iniciales x, el número número máximo máximo de iteraciones iteraciones MAMAx¡!r, xrr, el criterio criterio de convergencia convergencia EPS EPS y M=O M=O para para desplazamientos desplazamientos sucesivos sucesivos o M= Me l para para desplazadesplazamientos simultáneos. simultáneos. mientos RESULTADOS: vector solución RESULTADOS: El vector solución xn o mensaje mensaje "NO "NO CONVERGE". CONVERGE".

PASO l. Hacer Hacer K =1. PASO PASO Mientras K K:S; MAXIT, repetir repetir los pasos pasos 3 a 11. PASO 2. Mientras :o; MAXIT, PASO PASO 3. Si M = O hacer* hacer* xaux xaux = x. PASO 4. Hacer Hacer I1 = 1. PASO PASO N, repetir repetir los pasos PASO 5. Mientras Mientras I1 :o; :s;N, pasos 6 y 7. PASO PASO 6. Si M = O hacer. hacer. X(I) XCI) = X(I)-F(I,x)/D(I,x). X(I)-F(I,x)/D(I,x). De otro otro modo modo hacer: hacer: XAUX(I) XAUX(I) = X(I) XCI) - F(I,x)ID(I,x). F(I,x)ID(I,x). PASO 7. Hacer Hacer 1= 1 = I1 + 1. PASO PASO PASO 8. Si 1I xaux xaux -x -x 1I >EPS >EPS ir al paso paso LO. otro modo modo continuar. continuar. De otro PASO 9. IMPRIMIR IMPRIMIR x y y TERMINAR. TERMINAR. PASO PASO PASO lO. lO. Si M =1 = l hacer hacer x = xaux. xaux. PASO PASO lll.l. Hacer Hacer K = K + 1. PASO 12. IMPRIMIR PASO IMPRIMIR "NO "NO CONVERGE" CONVERGE" Y TERMINAR. TERMINAR.

*'*' Operaciones Operaciones vectoriales. vectoriales. método siguiente siguiente puede puede saltarse saltarse sin pérdida pérdida de continuidad. continuidad . El método Peter A. Stark. Stark. lnlroduction lntroduction lo Numeral Ed. McMillan. McMillan. *• Peter Numeral Methods. Methods . Ed.

4


279

Broyden 4.5 Método de Broyden Considérese ahora ahora la generalización generalización del método método de la secante secante a sistemas sistemas multivariables, multivariables, Considérese conocido como como el método método de Broyden. Broyden. Según Según se vio capítulo 2, el método método de la seseconocido vio en el capítulo cante consiste consiste en remplazar! remplazar f ' (xkk)) del método cante método de Newton-Raphson Newton-Raphson I

(4.19) (4.19) por cociente: por el cociente: ele

!f(Xk) (Xk) -- !f(xk_l) (xk_ l ) "" ""

l'

xkk --xxk_k1_ 1

n-

(x (x ),), kk

obtenido con con los resultados resultados de dos iteraciones iteraciones previas: previas: xkk y xxk+1. obtenido k+ 1. Para ver ver la modif:.cación modificación o aproximación aproximación correspondiente correspondiente del método método de NewtonPara NewtonRaphson multivariable, multivariable, conviene conviene expresarlo expresarlo primero primero en forma forma congruente congruente con con la ecuación ecuación Raphson 4.19, lo que se logra logra sustituyendo sustituyendo en la ecuación ecuación vectorial (véase Ec. 4.16) 4.16) 4.19, vectorial (véase X(k+l)) X(k+l

= Xx(k)(k) + hh(k)(k) =

(4.20) (4.20)

vector hh(k)(k) que, que, como como se sabe, sabe, es la solución solución del sistema sistema el vector h(k) J]
= _f{k) = _ f{k)

multiplicar esta esta última última ecuación ecuación por por (J(k» (J(k))-I obtiene: Al multiplicar )-I se obtiene: h(k) = _(]
(4.21) (4.21)

remplazar la ecuación ecuación 4.21 en la 4.20 4.20 se llega llega a: yY al remplazar x(k+I) X (k+ I )

= xxCk) f{k) = (k) _(J(k)tl _(¡(k»)- I f{k)

(4.22) (4.22)

la ecuación ecuación correspondiente correspondiente a la 4.14 4.14 para para n > l. l. método de la secante secante para para sistemas sistemas de ecuaciones ecuaciones no lineales lineales consiste consiste en sustituir sustituir El método ](k) en la ecuación ecuación 4.22 4.22 con con una una matriz matriz A(k) cuyos componentes componentes se obtienen obtienen con con los resulresul¡(k) A(k) , cuyos tados iteraciones previas previas xx(k)(k) y xx(k-I), siguiente manera*: manera": tados de dos iteraciones (k-Il, de la siguiente

A(k) A (k)

[f(X(k)) - f(X(kf(X(k-I)) [f(X(k») I») _A(k-I) _A (k- I ) ((x(k) X(k) _ xx(k-l))] (k- l »)] ((X(k) X(k) _ xxCk-I))T (k- I»)T = A(k-I) = A (k- I ) + _ _ _ __ _ _ _...,..,..,-_--,:-...,..,.-:, --_ _ _ _ __

1 X(k) -_ x(kI )12 l X(k) x(k-I)J2

(4.23) (4.23)

bien: o bien: A (k) = A (k- I )

[óf{k) - A (k- I ) ÓX(k) ] (óx(k»)T

+ __________ _ 1

Ó x(k) 12

(4.24) (4.24)

con la notación notación con L'lf{k) = fX fX(k) f(x(k-I))I») óf{k) (k) - f(x(kL'lX(k) óx(k)

= xx(k) = (k)

- X(k-I) X(k- I )

Para la primera primera aplicación aplicación de la ecuación ecuación 4.24 4.24 se requieren requieren dos vectores vectores iniciales: iniciales: xx(O) (O) y Para x(l). Este último último puede puede obtenerse obtenerse de una una aplicación aplicación del del método mulX( I ) . Este método de Newton-Raphson Newton-Raphson multivariable tivariable

Dermis,s, J.E. J.E. Jr. y J.J. More More (1977), "Quasi-Newton Methods, Methods, Motivation Motivation and Theory". SIAM SIAM Review, * Denni (1977), "Quasi-Newton and Theory". Review, 19, No. No. 1 (46-89). (46-89).

em=

Ir

280


cuya J CO) a su vez cuya J(O) vez puede puede emplearse emplearse en 4.24, 4.24, con con lo cual cual ésta ésta queda: queda: (M(I) - J(O) ~(l)) (L'lx(l))T (M(I) JCO) ~(I)) (~x(l))T A(J) + _ _ _ _----,-"..---::_ _ __ A(l)== ](0) J(O)+---------2 L'lx(l) 112 11 ~x(J)

(4.25) (4.25)

La La inversión inversión de A (k) en cada cada iteración iteración significa significa un esfuerzo esfuerzo computacional computacional grande grande (del (del ororreducirse empleando den den de n 33)) que, sin embargo, embargo, puede puede reducirse empleando una una fórmula fórmula de inversión inversión matrimatricial cial de Sherman Sherman y Morrison.* Morrison. * Esta Esta fórmula fórmula establece establece que que si A es una una matriz matriz no singular singular y x y y son vectores, vectores, entonces entonces A + xyT xyT es no singular, singular, siempre siempre que que yT A A-I- I x 7: =F 1. l. Además, Además, en este este caso, caso, (A (A + xyT)-1 xyT)-1 = =k kl

xyT

A-I A-I A-I xyT A-I l - ----- - - - -

(4.26) (4.26)

1 + yT A-IX A-Ix

Esta Esta fórmula fórmula permite permite calcular calcular (A (A Ck))-I (k))-I a partir partir de (A (A Ck-I))(k-I))-I, I , eliminando eliminando la necesidad necesidad ininvertir vertir una una matriz matriz en cada cada iteración. iteración. Para Para esto, esto, primero primero se obtiene obtiene la inversa inversa de la ecuaecuación ción 4.24. 4.24.

Después Después se hace: hace: A(k-I)l) A = ACk-

(M(k) (M(k) _ ACkA(k-I)l)

~Ck)) ~(k))

x=------x=

2 L'lx(k) 1 12 11 ~XCk)

y

con última ecuación con lo que que la última ecuación queda: queda:

y sustituyendo sustituyendo la ecuación ecuación 4.26 4.26

_ --

A(k-I) -1 _ ACk-l) ((

))

-

[(A(k-I))-I M(k) - ~Ck)] ~(k)] (L'lX(k))T (ACk-I))-1 (A(k-I))-I [(ACk-I))-1 M(k) (~XCk))T

(~(k))T (A(k-I))-I 1 ~fCk) L'lf'(k) -_ 1 ~xCk) L'lx(k) ¡z 2 ~Ck) 122 + (~Ck))T (ACk-I))-

11 ~(k)

1

1

1

(4.27) (4.27)

Esta calcular la inversa Esta fórmula fórmula permite permite calcular inversa de una una matriz matriz con con sumas sumas y multiplicaciones multiplicaciones de matrices matrices solamente, solamente, con con lo que se reduce reduce el esfuerzo esfuerzo computacional computacional al orden orden n22 .

• ibid. ibid.

Sistema e s no lineales Sistema de ecuacion ecuaciones

Ejemplo 4.6 Ejemplo

281

Use Use el método método de Broyden Broyden para para encontrar encontrar una una solución solución aproximada aproximada del sistema sistema ¡I(x, lOx + y2 + 8 == O ¡I(x, y) = = xx22 - lOx O

5)

Nx, y) Nx, oro íri-

= = xy2 + X -

lOy lOy + 8 = = O,

tome como como vector vector inicial: inicial: [xO, [xO, yO]T y0]T = = [O, [O, OF. O]T. Se recomienda recomienda especialmente especialmente emplear emplear un pipitome zarrón zarrón electrónico electrónico para para llevar llevar los cálculos, cálculos, y así así poner poner la atención atención en el algoritmo algoritmo y en el análisis análisis de los resultados. resultados.

Y

Solución

En el ejemplo ejemplo 4.3 se encontró encontró una una solución solución aproximada aproximada de este este sistema, sistema, empleando empleando el mémétodo todo de Newton-Raphson Newton-Raphson y el vector vector cero cero como como vector vector inicial. inicial. Con Con los resultados resultados de la primera primera iteración iteración del ejemplo ejemplo 4.3 4.3

= [[-10 -10 0J 1 -10 '

]<0) = ](0)

a-

(]
1) = [ 0.8 J [0.8 0.88 -0.10J ' x ((1) 0.88

-0.01 -0.01

calcula (A (1»)-1 (1))-1 con la ecuación ecuación 4.23 4.23 se calcula (Llx(l) -- (1(0»)-1 (1(0))-1 M(I») M(I)) (Llx(l)? (Llx(l))T (1(0»)-1 (J(O))-1 (Llx(1) (A (1))-1 -- (1(0»)-1 (]
(A(I))-I = = [-0.1 (A(I»)-I

0J +

-0.01 -0.01

[:~8J [=:~1 -.~J [~8 - [=~, [~8] -[ =~l -.~J [=~:;~~~8J [:~sJ -.~J [=~:~~~~8J

J

-0.1

[.8 ] T

[=:~1 -.~J

=.~1 -.~ [=~:;~~~8 J -.~JJ [=~:~~~~8

[ =:~l

.88 .88

=[-0.11015 -0.01546 -0.01546

T

-0.010079J -0.010079J -0.105404 -0.105404

Se calcula ecuación: calcula ahora ahora x(2) empleando empleando la ecuación: X(2) = x(l) x(l) -X (2) =

(A(l))-I (A(l»)-l

rf(l) ( l)

.8 -0.010079J 1l.4144 1l.4144 J .8 J [[-0.11015 -0.11015 -0.010079J [ .88 .88 - -0.01546 -0.01546 -0.105404 -0.105404 L LO.61952 O.61952 0.96208J 0.96208J [ 0.96720 0.96720 Para la segunda segunda iteración iteración se utilizarán utilizarán las ecuaciones: ecuaciones: Para [Llx(2) _ - (A(l»)-I (A(l))-I M(2)] (Llx(2)? (A(l»)-I (A(l))-I [~(2) M(2)] (~(2)? (A(2))-1 = = (A(l»)-I (A(l))-I + _ __ __ _ _ __ _ _ _ __ (A(2»)-1 (Llx(2)? (A(l»)-I (A(I))-I M(2) (~(2)? M(2)

7) y de

sustituir valores valores se obtiene: obtiene: Al sustituir (3)

x

[0.997433J = [0.997433J 0.996786 0.996786

282

Métodos ingeniería Métodos numéricos numéricos aplicados aplicados a a la ingeniería

La las iteraciones La continuación continuación de las iteraciones da X(4)

X (6) X(6)

0.9999037J = = [0.9999037J [ 0.9998448 0.9998448

X(5) X(5)

'

0.9999999849J = = [0.9999999849J [ 0.9999999722 0.9999999722

= = [0.999998157J [0.999998157J

0.999996667 0.999996667 '

x(7) x(7)

= =

[~J [~J

que los ejemplos 4.2 y 4.3. 4.3. que es la solución solución del sistema, sistema, tal como como se obtuvo obtuvo en los ejemplos 4.2 Los pueden realizarse realizarse con Matlab o con TI-92 Plus. Plus. Los cálculos cálculos pueden con Matlab con la TI-92

~ x=[O O]; O]; Eps=le-8; x=[O Eps=le-8; fprintf(' k x(k) fprintf(' x(k) y(k)\n') y(k)\n') fprintf(' %2d %10.6f %10.6f %10.6f\n',0,x(l),x(2)) fprintf (' %2d %1 0.6f\n',0,x(l),x(2)) fl=x (l) A2-10*x(l)+x(2 ) A2+8; fl=x(l)A2-10*x(l)+x(2)A2+8; f2=x (1) *x (2) A2+x (1) -lO*x -10*x (2) +8; f2=x dflx=2*x(l)-10; dfly=2*x(2); df1x=2*x (l)-10; df1y=2*x(2); df2x=x (2) A2+1; df2y=2*x (1) *x (2) -10; -10; df2x=x A2+1; df2y=2*x J=[dflx dfly; df2x df2y]; J=[df1x df1y; df2x df2y]; FO=[fl; f2]; Jl=inv(J); dx=-Jl*fO; FO=[f1; f2]; J1=inv(J); dx= - J1*fO ; xl=x+dx'; x1=x+dx'; for k=1:25 for k=1:25 f1=xl A2-10*xl +xl (2) A2+8; f1=xl (1) A2 - 10*xl (1) +xl A2+8; f2=xl (1) *xl *xl (2) A2+xl -10*xl f2=xl A2+xl (1) -lO*xl (2) +8; +8; f=[fl; f2]; df=f-fO¡fO; f=[fl; f2]; df=fAl=Jl+ (dx-Jl*df) *dx'*Jl/ (dx'*Jl*df); A1=J1+ (dx-J1*df) *dx'*J1/ (dx'*J1*df); dx=-Al*f; Dist=norm(x2-xl);- x1); dx= - A1*f; x2=xl+dx'; x2=x1+dx'; Dist=norm(x2 fprintf(' %2d %10.6f %10.6f %10.5e\n', ... fprintf(' %2d %10 .6f %10 .6f %10 .5e\n', ... k,xl ,xl (2) ,Dist) ,Dist) k,x1 (1) ,xl xl=x2; Jl=Al; fO=f; x1=x2; J1=A1; fO=f; if f Dist Dist Eps; break; break; end i < Eps; end end end

e4 6 ( ) Prgm Define fl(x)=x[1,1]A2-10*x[1,1]+x[1,2]A2+8 Define f1(x)=x[1,1]A2-10*x[1,1]+x[1 ,2]A2+8 Define f2 (x) =x[1,1 =x[1,1]*x[1,2] A2+x[1,l}-lO*x[1,2]+B Define f2 ]*x[1,2] A2+x[1,1] -lO*x[ 1,2]+8 Define dflx(x)=2*x[1,1]-lO, 1]-lO : Define Define dfly(x)=2*x[1,2] Define dflx(x)=2*x[1 dfly(x)=2*x[1,2] Define df2x(x)=x[1,2]A2+1 Define df2x(x)=x[1,2]A2+1 Define df2y (x) (x) =2*x =2*x [1, l]*x l]*x [1,2] -10 Define df2y [1,2] -10 [O,O]--->x : 1E-5--->eps lE-5--->eps : O--->k Or+k: : C1rIO ClrIO [O,O]--->x Disp "k x (k) (k) y (k) l x (k+1) (k+l) -x -x (k) (k) II Disp "k y (k) Ix string (k) &format &format (x[l,l], (x [1,1] , "f7")--->d "f7")--->d string(k) ds " "&format(x[1,2],"f7")--->d Disp d d&" " &format (x [1,2], "f7") ---> d : Disp d [dflx(x),dfly(x);df2x(x),df2y(x)]--->j [df1x(x) ,df1y(x) ; df2x(x),df2y(x)]--->j [fl(x);f2(x)]--->fO: jA-l--->jl -jl*fO--->dx: x+dxt=+x L [fl(x);f2(x)]--->fO: jA-l--->jl:: -j1*fO--->dx: x+dxT--->x1 For k,1,25 For k , 1,25 [fl(x1);f2(x1)]--->f: [fl(xl);f2(xl)]--->f: ff-fO--->dff - fO--->dff T* j l*dff) (dx-j l*dff) l*dff) *dxTT** jj l/norm l/norm (dx (dxT*j l*dff) --->al jj 11 + (dx-j *dx --->al T--->x2 : norm T--->x2 -al*f--->dx norm (x2 (x2-xl) +ai s t: -a1*f--->dx : xl+dx x1+dx - x1) --->dist string (k) &format &format (x2 [1 [1,1], "f7")--->d string (k) ,1] , "f 7 ")--->d as : "&format(x2[1,2],"f7")--->d "&format(x2[1,2],"f7")--->d d&" ds " ""&format (dist, "f5")--->d Disp d d&" &format(dist,"f5")--->d : Disp d al--->jl: x 2---> 2---> xl xl a1--->jl: ff--->fO ---> fO if f dist dist i < Eps exit exit EndFor EndFor EndPrgm EndPrgm

F F F

p


283

A continuación continuación se presenta algoritmo para este método. presenta el algoritmo para este método.

ALGORITMO ALGORITMO

4.4 Método de Broyden Broyden 4.4

Para encontrar encontrar una solución aproximada aproximada de un sistema de ecuaciones ecuaciones no lineales lineales f(x) Para una solución un sistema na ampliada ampliada con el vector (véase Ec. 4.l7) 4.17) y los vector de funciones funciones (véase

= O, O, proporcionar = proporcionar la matriz matriz jacobiajacobia-

DATOS: DATOS:

Número ecuaciones N, dos vectores de valores xl, el número Número de ecuaciones N, dos vectores de valores iniciales: iniciales: xO xO yy xl, número máximo máximo de iteracioiteraciones criterio de convergencia EPS. nes MAXIT MAXIT yy el criterio convergencia EPS. RESULTADOS: Una aproximación a una solución: xn xn o el el mensaje "NO CONVERGE" CONVERGE" una solución: mensaje "NO RESULTADOS: Una aproximación

PASO Calcular AK, inversa de la matriz evaluada en xO. AK, la matriz matriz inversa matriz jacobiana jacobiana evaluada PASO 1. Calcular PASO 2. Hacer Hacer K = = ll.. PASO PASO 3. Mientras Mientras K:::; K::::;MAXIT, los pasos PASO MAXIT, repetir repetir los pasos 4 a 10. PASO 4. Calcul Calcularar ro fO y y f'l funciones evaluado evaluado en xO y xl, xl, respectivamente. PASO fl,, el vector vector de funciones xO y respectivamente. PASO 5. Calcular Calcular (*)dx (*)dx = xl xl - xO; df df = fl fI - ro. fo. PASO PASO 6. 6. Calcular Calcular AK1, que aproxima aproxima a la inversa de la matriz matriz jacobiana (4.22), con con la ecuación ecuación PASO AKJ, la matriz matriz que la inversa jacobiana (4.22), (4.27), usando como (A(k-l)-I (A(k-1lt1 aaAK. AK. (4.27), usando como PASO 7. Calcular Calcular (*) xn xn = xl n.. PASO xl --AKl AKl * n PASO 8. (*) Si I xn xn - xl xl I :::; ::::;EPS EPS ir al paso De otro otro modo continuar. PASO paso 11. De modo continuar. PASO 9. Hacer Hacer (*) xO xl; xl xl = = xn; xn; AK (actualización de xO, xl xl yyAK). AK). PASO xO == xl; AK =AKl =AKl (actualización PASO 10. Hacer Hacer K = K + 1 PASO PASO 11. 11. Si K:::; K::::;MAXIT, IMPRIMIR el vector xn yy TERMINAR. TERMINAR. PASO MAXIT, IMPRIMIR vector xn De otro otro modo modo IMPRIMIR "NO CONVERGE" CONVERGE" Y YTERMINAR. De IMPRIMIR "NO TERMINAR. Operaciones matriciales. * Operaciones matriciales.

4.6 Aceleración de convergencia 4.6 Al igual igual que que en los capítulos capítulos anteriores, anteriores, una que se tienen solución funciofunciouna vez vez que tienen métodos métodos de solución nales, crearán nuevos algoritmo s usando dicho conocimiento. conocimiento. También, También, coconales, se mejorarán mejorarán o crearán nuevos algoritmos usando dicho mo esto se logra logra con con un generalización y abstracción. abstracción. Se mo ya se ha ha visto, visto, esto un proceso proceso de generalización procederá esa dirección dirección enseguida. enseguida. procederá en esa En cada parte de un vector x(k\ que cada iteración iteración de los algoritmos algoritmos vistos vistos se parte vector X(k\ que ahora ahora se llamará punto base; desde ese ese punto camina en una dirección, dada dada por que se vector, que mará punto base; desde punto se camina una dirección, por un vector, denominará dirección dirección de de exploración. exploración. Considérese Considérese la figura figura 4.9 4.9 y el punto (.xO, yO)"' = denominará punto base base (xO, yO)"' = (2, 2) punto base base se camina vector deO) ter2).. Si desde desde el punto camina en en la dirección dirección del del vector d(O) = = [4, l ]", se terminará pasando por el punto punto P (6, 3). minará pasando por 3).

Ir,

R

yy Punto base Punto base (.xD,yO) = = (2,2) (2,2) (.fl,yO)

Figura 4.9 4.9 Figura Punto base y Punto vector de vector de exploración. exploración.

Dirección de Dirección exploración exploración _________________________________________ x

~=-_________________________________________ ~~

De aquí aquí en en adelante adelante se usará indistintamente n-adas ordenadas (xi' (xi' x22, , ... ... , x,,) para de n * De usará indistintamente n-adas ordenadas para representar representar un vector vector de elementos y un el espacio espacio n-dimensional. elementos un punto punto en el n-dimensional.

284

Métodos numéricos


Al avanzar en cierta dirección de exploración a partir de un punto base, se llega a un nuevo punto que va a ser base para la siguiente iteración, pudiera ser el punto P (6, 3) o cualquier otro punto de R que dará la ecuación vectorial. x(1)

=

+td

x(O)

(O)

o en forma más general

I

x(k+l)

=

X(k)

+ t d (k)

I

(4.28)

donde t es el factor de tamaño de la etapa y determina la distancia del desplazamiento en la dirección especificada. Esta ecuación se obtiene fácilmente por la suma de vectores en el plano, como se muestra en la figura 4.10. Para aclarar esta generalización, se identifica el algoritmo de Newton-Rapshon para sistemas de dos ecuaciones no lineales con la ecuación 4.28. Primero se reescribe la ecuación 4.13.

di1 (k+' Tx x

ay

1 - xk) + di

(yk+l

- y k)

- f (-_1- k) - - 1 X', Y

para pasarla a notación matricial como sigue:

y

R x(l)

= x(O) + t

d(O)

Figura 4.10

Suma de vectores en el x

plano.

que ahora, multiplicada por la inversa de la matriz jacobiana, llega a la forma

di, dX

di1 dY

di2 dX

di2 dy

-1

" [f,(",,,~] ["" "] Nxk,yk

)

Yk+l -y k

Fi!j Inf/L

e

a un 3) o

1


no lineales

285

o también: -1

kl X +]

[Xk]

[ yk+1 .28)

(4.29)

yk

y en esa última forma, ya como ecuación vectorial, se tiene la identificación ecuación 4.28, con:

en la pla-

total con la

-1

para

Hay que observar que en el método de Newton-Rapshon, el factor de tamaño de la etapa es constante en todos los pasos iterativos del proceso y que d(k) el vector de exploración, es el resultado de multiplicar la inversa de la matriz jacobiana por el vector de funciones.

MÉTODO

DE NEWTON

RAPHSON

CON

OPTIMIZACIÓN

t

DE

Con la ecuación 4.28 puede estudiarse cómo mejorar los métodos disponibles; por ejemplo, se puede ver que en el algoritmo de Newton-Raphson tomar distintos valores de t llevaría a distintos vectores x(k+l}, alguno más cercano a la raíz x que los demás (véase Fig. 4.11). La mejora es optirnizar el valor de t en el método de Newton-Rapshon. Para ejemplificar, tómense los valores de la primera iteración del ejemplo 4.3:

= O;

k

Xk=

O;

yk

= O;

h = 0.8

j

= 0.88

de aquí d(k) = [-0.8 - 0.88]T y la ecuación 4.29 queda: X(k+I)

= xk + t

df

y(k+I)

= yk

d§

+t

(x', yI)

5

t t

(x', yI) 4

t • t

(x', yl) (xo, yO)

3

t • t=

t

•

2

con t

con t

.5

=

• con t

1

•x

Figura 4.11 Influencia de t en el vector xlk+l1.

O

2

3

4

=

5

6

7

8

9

10

2

286

Métodos numéricos


Se lista ahora una serie de valores de t y los correspondientes X(k+l)

yCk+l)

-0.50

0.4

0.44

-.075

0.6

0.66

-1.00

0.8

0.88

-1.25

1.0

1.10

-1.50

1.2

1.32

t

valores de

x(k+I):

Para determinar cuál de las x(k+1) está más cerca de la raíz x, se desarrolla un nuevo criterio de convergencia o avance sustentado en la definición de residuo de una funciónf(x, y), dada esta última así: El residuo de una funciónf (x, y) en un punto (xk, yk) es el valor de f en (xk, yk). ASÍ, en el sistema

fl f2

(x, y) = x2 + y2 - 4 = O (x, y)

=y-

x2

=

O

en el punto (1, 1) los residuos son:

I, (1,1) = 12 + 12 - 4 =-2 y

En general, el valor de la función suma de residuos al cuadrado (4.30) será indicativa de la cercanía de x(k) con la raíz x. Con la aplicación de este concepto a los distintos vectores Para t = -0.5 Zk+1

= [0.42

-

X(k+I)

obtenidos arriba, se tiene

10(0.4) + 0.442 + 8]2 + [0.4(44)2 + 0.4 - 10(0.44) + 8]2 = 35.57 Para t = -0.75 : Para t = -1.0:

Zk+1 Zk+1

= 12.93 = 2.38

Para t = -1.25 :

Zk+1

= 0.67

Para t = -1.5 :

Zk+1

= 4.31

De donde x(k+I) correspondiente a t = -1.25 resulta ser el más cercano a la raíz x = [1, l]T. Los valores propuestos de t anteriormente, se eligieron de manera arbitraria alrededor de -1 y aunque el valor de -1.25 es el mejor de ellos, no es el óptimo de todos los valores posibles para la primera iteración. A continuación se da una forma de seleccionar los valores de t. Se selecciona un intervalo de búsqueda [a, b], dentro de ese intervalo se calculan valores de t de la siguiente manera:

b-a

t=a+--

F

y

b-a

t=b--F


no lineales

287

donde F son los términos de la serie de Fibonacci. F = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,21, 34, 55, ... Para cada valor de t se calcula su correspondiente Zk+l' y el valor mínimo Zk+l proporcionará el valor óptimo de t. Así, seleccionando el intervalo [-l.2, -1], el valor mínimo de Zk+l (= 0.4578) corresponde al valor óptimo de t (= -l.184) en la primera iteración de la solución del ejemplo 4.3 Una vez encontrado el valor óptimo de t se toma el vector xCI) correspondiente y se calcula d(l) para proceder a optimizar el valor de t en la segunda iteración: x(2)

te-

Ejemplo 4.7

.j),

Solución

=

x(l)

+t

d(l)

Modifique el programa del ejemplo 4.4 para incluir la optimización de t. Utilizando el programa resultante, resuelva el sistema del ejemplo 4.4. Las modificaciones -

consisten en:

Elaborar un subprograma para encontrar el valor de t que minimice la función Zk' utilizando la búsqueda de Fibonacci. Modificar el subprograma NEWTON del ejemplo 4.4 para utilizar ahora como criterio de convergencia o avance la función de Zk y la llamada al subprograma de búsqueda de Fibonacci.

En el CD (PROGRAMA 4.2) se muestran los subprogramas NEWOPT y BUSCA resultantes. El programa principal y los subprogramas SIMULT y PIVOTEO no sufren cambio alguno. Con el programa resultate y con los valores iniciales xCO) = [1 1 I]T se obtienen los siguientes resultados: .30)

erre

or res

va-

VARI FUNC SUMA VARI FUNC SUMA VARI FUNC SUMA VARI FUNC SUMA VARI FUNC SUMA VARI FUNC SUMA VARI FUNC SUMA

1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7

1.00000 1.95970 .39027E+06 .83201 1.00701 .62539E+03 .53770 .11359 .74503E+Ol .50380 .01153 .15745E+00 .49935 -.00190 .17748E-02 .49992 -.00019 .17817E-04 .49998 -.00002 .17825E-06

l.00000 -624.00000 TOPT= .08453 -3.77371 TOPT= .04775 -1.13613 TOPT= .03001 -.30917 TOPT= .02028 -.00767 TOPT= .02003 -.00081 TOPT= .02000 :-.00008 TOPT=

l.00000 29.83985 l.833 -1.75525 -24.70092 .9000 -.64629 -2.47923 .9000 -.53527 -.24846 1.167 -.52103 .04138 .9000 -.52289 .00414 .9000 -.52308 .00041 .9000

ti

288


La solución La solución del sistema sistema es: X(l) XCI)

== .49998116 .49998116

== .19999571E-O .19999571E-Ol l X(3) = = -.52309883 X(3) -.52309883 X(2) X(2)

Obsérvense valores de TOPT TOPT en las diferentes diferentes iteraciones. iteraciones. Obsérvense los valores Los cálculos pueden pueden realizarse realizarse con Matlab que usa la función Los cálculos con el siguiente siguiente guión guión de Matlab que usa función min4_7 que hace la búsqueda búsqueda de Fibonacci FilJonacci descrita descrita anteriormente. Las instrucciones min4_7 que hace anteriormente. Las instrucciones que que conforman nombre min4_7.m min4_7.m y conforman la función función deben deben guardarse guardarse en un archivo archivo separado separado con el nombre posteriormente escribir guión que que la llama, llama, grabarlo grabarlo y ejecutarlo. posteriormente escribir el guión ejecutarlo.

function f=min4_7 function f=min4_ 7 (X,Dx) (X,Dx) E = 2.5; 2.5; NP NU == 1; Top A = = 0.5; 0.5; B = O; 1; Menor Menor = = 1000000000; 1000000000; for for i = = 1:20 1:20 NF == NU + NP; T == A + (E /NF; XX=X+'1*Dx'; XX=X+'1*Dx'; (B - A) /NF; Suma= (-3*XX (1) +cos (2)*XX (3) ) +0 .5) "'2+ ... Suma=(-3*XX(1) +cos (XX (XX(2)*XX +0.5) "'2+... (-XX ... (-XX (1) (1) "'2+ 625*XX (2) (2) "'2) "'2+ "'2+... (-exp (-XX - 3) /3) /3) "'2; (-exp (-XX (1) *xx * XX (2)) (2) ) -20*XX -20*XX (3) - (10*pi (10*pi -3) "'2; i if f Suma Suma < Menor Menor Menor Menor = = Suma Suma;; Topt Topt = = T; end end T == E / NF; XX=X+1*Dx'; XX=X+1*Dx'; B - (E (B - A) /NF; Suma= (-3*xx (1) A2+... Suma=(-3*xx (1) +cos +cos (XX (2) (2) *XX (3)) (3)) +0.5) +0.5) A2+... (-XX 625* XX (2) A2+... (-XX (1) (1) "'2+ 625*XX (2) A2) A2+... (-exp - XX (1)*XX (3) - (10*pi-3) / 3) A2; A2; (-exp ((-XX (1)*XX (2)) (2)) -20*XX -20*XX(3) (UJ'pi-3) /3)

o;

i if f Suma Suma < Menor Menor Menor Menor = = Suma; Topt Topt = = T; end end NP = NU; NU = NF; end end f=Topt f=Topt; ; n=3 ; x=[l x=[l 1 Maxit=25; Eps=le-5; n=3; 1 11; 1J; Maxit=25; Eps=le-5; Dist=l Dist=l; ; Fprintf (' k xl F'printf (' xl x2 x2 x3') x3') fprintf(' Dist Topt\n') fprintf(' Dist Topt\n') fprintf(' %2d .5f %10.5f \n',0,x(l),x(2 ), x (3 )) fprintf(' %2d %10.5f %10.5f %10 %10.5f %10.5f\n',0,x(1),x(2),x(3)) for for k=l:Maxit k=l:Maxit J=[3 x (3)*sin (x(2)*x(3)) x(2)*sin(x(2)*x(3)); x(2)*sin(x(2) *x(3)); ... J=[3 x(3)*sin(x(2)*x(3)) ... 2*x(l) -1250*x(2) O; 2*x(1) -1250*x(2) -x(2)*exp(-x(1)*x(2)) -x (1)*exp (l)*exp (-x (-x (l)*x (l)*x (2)) (2)) 201 20];; -x(2)*exp( - x(l)*x(2)) -x b=[ -3'x (1) b= [-3'x (1) +cos +cos (x (2) *x *x (3)) (3)) +0. +0. 5 5;; ... ... -x A2 ; ... -x (1) (1) "'2+625*x "'2+625*x (2) A2; ... -exp - 3) /3] /3] ; -exp (-x (-x (1) *x *x (2)) (2)) -20*x -20*x (3) - (10*pi (10*pi -3) dx=i.nv t-Ji=b t; t=l; t=l : t=min4_7 t=min4_7(x,dx); dx=inv(J)*b (x,dx); xl=x+t*dx'; xl=x+t*dx'; Dist=norm(xl-x); Dist=norm(xl-x); fprintf( ' % 2d % 10 . 5f % 10 . 5f % 10 . 5f % 10.5e % 6.3f\n', ... fprintf(' %2d %10.5f %10.5f %10.5f %10.5e %6.3f\n', ... k,xl ,xl (2) ,xl (3) ,Dist, , Dist, t) k,xl (1) ,xl (2) ,xl i < Eps if f Dist Dist break break end end x=xl; x=xl; end end

1; 1;

SistelT1a de ecuaciones ecuaciones no no lineales lineales SistelT1a

ción

que 7.my

1;

e4_7 ( ) Prgm Prgm @ Inicia Inicia el subprograma subprograma para búsqueda de Fibonacci @ el para búsqueda Fibonacci local 7 local min4 7 Define min4_7(x,dx)=Prgm min4_7(x,dx)=Prgm Define 2.5-+b O+np l=+riu l=+t.opt: ..5-+a 5-+a : 2 . 5-+b : O -+ np : l-+nu 1000-+menor l-+topt For i i,1,20 For , l ,20 nu+np+ni: nu+np-+ nf For j,1,2 For j ,l ,2 Iff j=l Then I j=l Then (b-a) /nii+t: a+ (b-a) /nf-+t E1se b-- (b-a) (b-a) /nf-+ b /nf-+tt EndIf Endlf T-+ xx x+t*dxT-+ x+t*dx fl (xx) A2+f3(xx (xx)) "2-+suma A2-+suma fl "A2+f2 2+f2 (xx) "2+f3 If f suma suma
289

290

M é todos n uméricos aplicados a pl icados a a la ingenie ría Métodos numéricos ingeniería

MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON MODIFICADO DE T MÉTODO NEWTON-RAPHSON MODIFICADO CON CON OPTIMIZACiÓN OPTIMIZACIÓN (MÉTODO (MÉTODO SOR) SOR)

método de Newton-Raphson Newton-Raphson modificado, modificado, la expresión 4.18 puede puede identifiEn el método expresión general general 4.18 identificarse con 4.28 directamente = -1 carse con la ecuación ecuación 4.28 directamente con con t = -1 y

I,X k+I, , ... /¡(X/+ ... , X¡_Ik+I,x/, ... ,x/) /¡(x/+I,x2k+I X¡_Ik+I,x/, ... ,x,/) 2

'=

dtk = d

él/¡ él/¡ II

1

1 ::; ¡::; 1::; t-: n

élx¡ (xlk+l,xl+ (x/+I, x/+I, I , ... ... , X¡_/+I, x/, ... ... ,x/) , x,,k) élx¡ X¡_Ik+ I ,x/,

Con la optimización optirnización del valor cada iteración iteración puede acelerarse la convergencia. convergencia. Con valor de t en cada puede acelerarse El método método así obtenido obtenido

xk+l = xk-t 1

1

f

(x/+ I , x 2 k+ I, ... , X¡_ Ik+ I , xl , ... , x/)

¡

él/¡

1::;¡::;n

(4.31) (4.31)

I (X I k+ 1' X 2k+ 1, ... , X 1_ 1k+ I ,Xik, ... , X nk)

u':Ix i

se conoce método SOR para sistemas lineales. A continuación resuelve un un conoce como como método SOR para sistemas no lineales. continuación se resuelve ejemplo con ejemplo con optimización optimización de t.t.

Ejemplo Ejemplo 4.8

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones método SOR para sistemas Resuelva siguiente sistema ecuaciones empleando empleando el método SOR para sistemas no lineales. lineales.

=O == xx22 - lOx lOx + y2 + 8 8 = O fix, y) == .xy2 =O fzCx, xy2 + XX - lOy lOy + 8 8 = O Sean los valores iniciales xD O YY yO = O Sean valores iniciales xO = =O =O j¡(x, y) y) !¡(x,


Solución

Puede seguir los electrónico disponible. Puede seguir los cálculos cálculos usando usando Mathcad Mathcad o un pizarrón pizarrón electrónico disponible.

Primero obtiene Primero se obtiene

él!¡ == 2x _ 10 él!1 élx

».

él!2 = 2xy-l0 =2xy-10 . ély

-

y

Primera Primera iteración iteración

él! evalúa j', y _1 [O, O]T O]T Se evalúa!1 _ 1 en [O, élx

él!¡ II él!1 !!I I (O, ':1-.1 ) (O, O) O) = 8, ---.._11 oX ox

elige el intervalo intervalo de búsqueda búsqueda [[-1.5, Se elige 1.5, --0.5] 0.5] YY t ba es: ba es:

t

r,y y

x~,

00=-10 = -10

== b - (b -

a)/F, y el primer a)/F, primer valor valor a prueprue-

== --1.5 1.5 Xl

=

!I (O, (O, O) O) = O - 1.5 ( ~ l.2 xO + t !I ~ ) = 1.2

xD

él!1 él!1 II élx (O, O)

-10 -10


1zC1.2, O) = 9.2 -d121 dy 1-

yl = yO + t

fz(1.2, O) dy

291

=-10 x', yO

= 0-

d12 I

no lineales

1.5 (~) -10

= 1.38

(1.2, O)

A partir del criterio de la suma de los residuos elevados al cuadrado, se tiene: 21

= 112 (1.2, 1.38) + 122 (1.2, 1.38) = [l.22

ia.

-

10(1.2) + 1.382 + 8]2 + [l.2(1.38)2 - 1.2 - 10(1.38) + 8]2 = 5.7877

El segundo valor a prueba es t = -1.0, con lo que se obtiene: Xl

1)

= 0.8

yl = 0.88

21

= 2.3843

Al continuar el proceso de búsqueda se tiene:

un

t

xl

yl

Zl

-1.5000

1.2000

1.3800

5.7877

-1.0000

0.8000

0.8800

2.3843

-0.8333

0.6667

0.7222

8.4991

-0.7000

0.5600

0.5992

17.1088

Zl

Ahora se usa t = a + (b - a)/F, y se obtiene:

t

xl

yl

-0.5000

0.4000

0.4200

37.0420

-1.0000

0.8000

0.8800

2.3843

-1.1667

0.9333

1.0422

0.6151

-1.3000

1.0400

1.1752

1.6312

Por tanto, el valor óptimo de t es -1.1666 y los valores correspondientes de [x', yl] = [0.9333, 1.0422] se toman como resultados finales de la primera iteración. Segunda iteración

\

Con el mismo intervalo de búsqueda [-1.5, -0.5] se tiene, con t = b - (b - a)/F

,I t e-

-1.5000

1.048416

0.997117

0.166991

-1.0000

1.010055

1.002319

0.005733

-0.8333

0.997268

1.006275

0.004285

-0.7000

0.987039

1.010227

0.027122

292


Métodos numéricos

y con t = a + (b - a)/F

Xl

y1

Zl

-0.5000

0.971694

1.017453

0.107664

-1.0000

1.010055

1.002319

0.005733

-1.1667

1.022842

0.999467

0.036085

-1.3000

1.033072

0.997987

0.078302

(

El valor óptimo de t es -0.8333 y los valores correspondientes de [x2, y2] 1.006275] se toman como resultados finales de la segunda iteración. Al continuar el proceso iterativo se obtienen los siguientes valores k

Xk

yk

O

0.000000

0.000000

1

0.933333

1.042222

0.615080

-1.1667

2

0.997268

1.006275

0.004285

-0.8333

3

1.000854

1.001220

0.000084

-0.8333

4

1.000305

1.000076

0.000005

-1.0000

5

1.000019

1.000005

0.000000

-1.0000

Zk

=

[0.997268,

(Opf

Los cálculos pueden realizarse con el siguiente guión de Matlab que usa la función min4_8, que hace la búsqueda de Fibonacci descrita anteriormente o con la TI92 Plus.

x=[O

OJ;

Eps=le-6; x (k) y (k) , )

fprintf(

•

k

fprintf(

•

z (k) Toptln') %2d

fprintf( • for k=1:10

%13.10f %13.10fln',0,x(1),x(2))

t=min4_ 8 (x) ;

(1) ~2-10*x (1) +x (2) ~2+8; =x (1) +t':'fl/dflx; f2=x1 (1) *x (2) ~2+x1 (1) -10*x (2) +8; df2y=2*x1 (l)*x (2) -10; xl (2) =x (2) +t*f2/df2y; fl=x1 (1) ~2-10'''x1 (1) +x1 (2) ~2+8; f2=x1 (1)*x1 (2) ~2+x1 (1) -10*x1 (2) +8; dflx=2*x

(1) -10;

fl=x

xl

(1)

Z=fJA2+fr2; fprintf(

•

%2d

fprintf(

,

%13.10f

%13.10f

x=x1; if end

Z

<

Eps;

brea

k;

%13.10f' ,k,x1 (1) ,xl (2))

%8.4fln',Z,t) end

Sistema Sistema de de ecuaciones ecuaciones no no lineales lineales

268.

u.

function f=min4_ 88 (X) (X) function f=min4_ A = --1.5; NP = O; O; NU NU = 11; A 1 . 5 ; BB = --0.5; 0 . 5 ; NP ; Menor == 1000000000 1000000000;; Topt Topt == 11; Menor ; for ii == 11:4 for :4 for j=1 j=1:2: 2 for NF == NU NU + NP; NP; NF iiff jj == == 11 B-(B -- A)/NF; A)/NF; TT == B-(B e1se e1se T=A+(B-A)/NF; T=A+(B - A)/NF; end f1=X(1) ~2-1o-"'(.X(l)+X(2) ~2+8;; dflx=2*X(1) f1 =X(l) "2-10*X (l) +X(2) "2+8 df1x=2*X(l) --10; 10; XX(1) =X (1) +1*f1/df1x +T"fl/dflx; XX (1) =X ; f2=XX (1) *X (2) "2+XX ~2+XX(l) (1) --10*X (2) +8 +8;; f2=XX(l)*X(2) 10*X(2) df2y=2*XX (l)*X (1) *X (2) --10; XX(2) =X (2) +T:'f2/df2y; +T''f2/df2y; df2y=2*XX 10 ; XX (2) =X fl=XX(1) "2~2-10*XX(1) ~2+8;; f1=XX(1) 1 O*XX (1) +XX(2) "2+8 (1) *XX (2) (2) "2+XX ~2+XX(1) +8; f2=XX (l)*XX (1) -10*XX (2) +8; Suma=fl~2+f2~2 Suma=f1 "2+f2"2 Suma < Menor iif f Suma Suma; Topt Menor Suma ; Topt T; end end NP = = NU; NU; NU NU == NF; NF; NP end f=Topt; ; f=Topt

e4_8 ( ) Prgm Prgm @ @ Inicia Inicia subprograma subprograma búsqueda búsqueda de Fibonacci Fibonacci Local Local min4 min4 8 Define Define min4_8(x)=Prgm min4_8(x)=Prgm -1.5 ...•a ...•b :: ll ...• O+rrp 1...• u:10000 ...•menor - 1 . 5-+ a :: -0.5 - 0 . 5-+b -+ topt topt O-+ np 1--+ n nu : 10000-+menor For For i,1,20 i , 1 , 20 n u+np...•n f nu+np-+ nf For For j, j , 1,2 1, 2 If I f j=l j=l Then Then a+ ...•t a+ (b-a) (b-a) /nf /nf--+ E1se b...•tt b- (b-a) (b-a ) /nf /nf-+ EndIf EndIf x+xx xx[1,l] x-+xx : x[1,l]+t*f1 x[l,l]+t*f1 (x)/df1x(x) (x)/df1x(x) ...• --+xx[l,l] x xx [1,2] x [1,2] [1 , 2] +t* +t*f2 f2 (xx) (xx) /df2y /df2y (xx) (xx) ...• --+xx [1 , 2] fl f1 (xx) (xx) ~2+f2(xx) "2+f2 (xx) ~2""suma "2-+suma If I f suma
293

294

Métodos numéricos

[O,OJ ->X :


1.E-6->eps

: ClrIO

Disp "k xl x2 z topt" "O "&format (x[l,lJ, "f4")->d d&" "&format(x[1,2J,"f4")->d Disp For k,1,10 min4 8 (x) x->xl x[l,lJ+topt*fl (x)/dflx(x) x [1,2J+topt* f2 (xl) /df2y (xl) r+x L [1,2J fl (xl) A2+f2 (xl) A2->zeta

d

->xl[l,lJ

string (k) s : "&format (xl [1, L] , "f5")->d d&" "&format (xl [1,2J , "f5") s" "&format (zeta, "f5")->d d&" "&format (topt, "f5") ->d: Disp d

x i+x If

zeta Exit EndFor EndPrgm

Fi~ MÉTODO

DEL DESCENSO

DE MÁXIMA

GI

PENDIENTE

Se ha visto cómo seguir un camino que permita ir disminuyendo z al optimizar el tamaño del paso t de un método conocido. Sin embargo, puede elaborarse un método de solución de (4.1), construyendo primero una dirección de exploración d que permita disminuir el valor de z en una cantidad localmente máxima y, una vez encontrada, buscar la t óptima en esa dirección. Para el desarrollo de este algoritmo son necesarias las siguientes consideraciones. La figura 4.12 representa la gráfica de la función z(x, y) = x2 + y2, Y sus curvas de nivel. Si, por ejemplo, se "está" en el punto (x, y, z) = (-1, -1, 2) de la superficie (ver Fig. 4.13), el gradiente de la función z(x, y),

===--------------

=

8 6

===--------

4 2

O 2

2

Figura 4.12 Gráfica de la función z(x. yj = x2 +

y.

Y

O O

-1 -2

x

super y dil


no lineales

295

__ - r

8 6

z

4 , 2

-: :

O "

2

y

Figura 4.13 Gráfica de la superficie z(x, y) y dirección del

O

,

2

vector

-2 dirección del gradiente

gradiente. ma

nsiV'z(x, y)

= [ ~~;

1 = [ ~; 1 evaluado

en (x, y)

=

(-1, -1) es el vector

lli-

ig.

[=~1 en el plano

x - y cuya dirección nos indica hacia dónde avanzar en el mismo plano x - y, a fm de "ascender" en la superficie (a partir de (-1, -1, 2)) lo más rápidamente posible". Como nuestro interés es descender lo más bruscamente posible, se toma la dirección contraria del gradiente o, matemáticamente,

l.

se va en la dirección de - V'z(x, y) = [ ~ Nótese que, si-

guiendo la dirección opuesta del vector gradiente en la figura 4.13, se avanza hacia el punto (O, O) del plano x - y, que es donde la función z(x, y) tiene su mínimo. Otra propiedad del gradiente que puede ser útil para visualizar cómo encontrar un máximo o un mínimo es que es perpendicular a las curvas de nivel de la superficie. Las curvas de nivel de una superficie z(x, y) son el conjunto de puntos que satisfacen la ecuación z(x, y) = e, donde e es una constante. Así, para la superficie z(x, y) = x2 + y2, las curvas de nivel son la familia x2 + y2 = e, es decir, las circunferencias con centro en el eje z paralelas al plano x - y y a una altura e de éste, y de radiwc (ver Fig. 4.12). Si tomamos nuevamente el punto (-1, -1, 2), la circunferencia x2 + y2 = 2 con centro en (O, O, 2) es la curva de nivel que lo contiene. Si tomamos el vector gradiente [

=~

1 y lo llevamos

paralelo al

plano x - y al punto (-1, -1,2) encontramos que es perpendicular a la curva de nivel en ese punto (ver Fig. 4.14). Aun más, al avanzar desde ese punto en la dirección que señala el gradiente, se avanza sobre la superficie hacia curvas de nivel de mayor radio por el camino más corto posible, ya que cualquier otra dirección que se tomara a partir de (-1, -1, 2) nos llevaría a otra curva de nivel; por ejemplo, x2 + y2 = 3 por un camino más largo (ver Fig.4.14) .

• Cabe señalar que esto sólo es cierto para un entorno del punto (-1, -1) del plano x-y.

&

296


oo -0.2 -0.4 -0.4

-0.6 -0.6 -0.8 -0.8

Direcciones alternativas al gradiente gradiente

-1 -1.2 -1.2

--1.4 1.4

Figura Figura 4.14 4.14 Perpendicularidad del vector gradiente gradiente vector a una curva nivel. de nivel.

-1.6 Gradiente Gradiente en (-1 (-1,, -1 -1,, 2) Curva Curva de nivel nivel

-1.8

X2+y2=3 +y2 =3

X2

-2~----------~----------~----------~----------~ -2~----------~----------~----------~----------~ -1.5 -0.5 -1.5 -1 -1 -0.5 -2 oo -2

Con esta definición propiedades, se retorna retoma el asunto Con esta definición de gradiente gradiente y sus propiedades, asunto del cálculo cálculo de la dirección y), en dirección que asegura asegura la disminución disminución de z = = J¡2(X) I/(x) + J}(x) 122(X) (función (función escalar escalar de x y y), cantidad localmente máxima en un punto. determina el vector vector gradiente gradiente de z con una cantidad localmente máxima punto. Se determina signo negativo dicho punto signo negativo negativo se debe debe a que que se quiere quiere que que z disminudisminusigno negativo en dicho punto (el signo ya.). vector gradiente gradiente de z se representa representa por Vz. Por Por tanto, tanto, la dirección dirección de descenso descenso más más ya.). El vector por V'z. brusco brusco es: d=-(V'z) d=-(V'z)

con cada cada uno componentes de d calculados como: con uno de los componentes calculados como: d -~ -~ 1,--

Ejemplo 4.9 Ejemplo

dx '

-~ d 22-- ~ dy

Obtenga la dirección dirección del del descenso descenso de máxima máxima pendiente sistema Obtenga pendiente del sistema JI (xl' 1, (xl' x22,, x33)) J2 2(xl' 1 (xl' x22,, x33))

J

133

(x,, x22, , x33)) (xl'

costx,2 x33) ) 3x, - cos(x

-

0.5 = =O O 0.5

x? - 625xf 625x} == O O (IOn - 3)/3 = O e-x,x,x22 + 20x3 + (IOn: Pa

use como vector vector inicial inicial a use como

y

Sistema Sistema de ecuaciones ecuaciones no lineales

297

Solución Solución z= = [3x¡ [3x¡ - cos (X (x22xX [x¡2 - 625xi] 625xiJ2 2 + [C"X [e-X,X2 2 + 20x 20x33 + (IOn: (IOn: - 3)/3]2 33) ) - 0.5]2 + [X¡2 d d,¡ = = ~~ ax ax¡ ¡

- cos (XzX3) (X~3) - 0.5) (x¡ 2 - 625x:f) 0.5) + 4x¡ 4x¡ (x¡2 625xi)

= = 6 (3x¡ (3x¡

X XX X --2x 2x 20x33 + (IOn: (IOn: - 3)/3] 3)/3] 2 2 e- 'X2"'2 [e- ,X2,X2 + 20x

az az == 2x 2x

d22 = =aX22

(x22xx33)) [3x¡ [3x¡ - COS COS (x (x22 xx33)) - 0.5] 33 sen (x

-2500x -2500x2 2 (x¡2 (x¡2 - 625x:f) 625xi) - 2x11 e-XX'X2'X2 [e- XX,X2,X 2 + 20x 20x33 + (10n: - 3)/3] 3)/3]

az az == 2x

=d33 = aX33

[3x¡ ¡ - COS cos (xzX3) sen (xzX3) (x~3 ) [3x (x~3 ) - 0.5] +

22 sen

40 40 [e-XX,X2,X2 + 20x 20x33 + (IOn: - 3)/3] 3)/3]

Al evaluar evaluar d di'i' d22, , Y d33 en

x(O) x(O)

se obtiene: obtiene: d¡ d¡

-9.0

d22

0.0 0.0

d33

418.87872 418.87872

y entonces entonces el vector vector dirección dirección es:

d ==

l

-9 0.00 0.00

JJ

418.87872 418.87872

la en on

Una vez vez calculada calculada la dirección, dirección, se utiliza exploración unidimensional localizar el Una utiliza una una exploración unidimensional para para localizar mínimo búsqueda de Fibonacci). mínimo en esta esta dirección dirección (por (por ejemplo ejemplo una búsqueda Fibonacci). Ya localizado localizado el mímínimo, se calcula calcula una una nueva dirección de descenso descenso de máxima máxima pendiente repite el propronimo, nueva dirección pendiente y se repite cedimiento. Generalmente, Generalmente, el método método se caracteriza caracteriza por por cortos cortos movimientos movimientos en zig-zag zig-zag cedimiento. que que convergen convergen muy muy lentamente lentamente a la solución; solución; sin embargo, embargo, se utiliza utiliza para para acercarse acercarse a la solución Newtonsolución y después después aplicar aplicar un método método de alto orden orden de convergencia convergencia como como el de NewtonRaphson; para conseguir iniciales. Raphson; es decir, decir, se emplea emplea como como un método método para conseguir "buenos" "buenos" valores valores iniciales. Este puede ejemplificarse paso a paso paso con Este método método puede ejemplificarse paso con el Mathcad Mathcad o un sofware sofware equivalente equivalente y explorar para encontrar explorar con con varios varios valores valores de t para encontrar el óptimo; óptimo; cabe cabe ensayarlo ensayado con con diferentes diferentes sistemas proponer vectores matemática a nivel sistemas e incluso incluso proponer vectores de exploración, exploración, en fin, fin, llevar llevar la matemática nivel experimental. experimental.

uás

ALGORITMO ALGORITMO

4.5 Método Método del descenso de máxima máxima pendiente pendiente

Para una solución Para encontrar encontrar una solución aproximada aproximada de un sistema sistema de ecuaciones ecuaciones no lineales lineales f(x) y las derivadas parciales de la función D(I,x) y los derivadas parciales función (ecuación (ecuación (4.28» D(I,x) DATOS: DATOS:

= proporcionar las funciones = O, O, proporcionar funciones F(I,x) F(I,x)

Número ecuaciones N, vector vector de valores valores iniciales iniciales x, número número máximo máximo de iteraciones MAXIT, cricriNúmero de ecuaciones iteraciones MAXIT, terio búsqueda [A,B] [A,B] y el número puntos de [A,B] por ensaterio de convergencia convergencia EPS, EPS, intervalo intervalo de búsqueda número de puntos [A,B] por ensayarM. yarM. RESULTADOS: El solución x o mensaje mensaje "NO CONVERGE'. RESULTADOS: El vector vector solución CONVERGE'.

298

aplicados a a la la ingeniería Métodos numéricos numéricos aplicados Métodos

Hacer K = 1. 1. PASO 1. Hacer PASO 2. Mientras Mientras K K:<:;MXIT, repetir los pasos pasos 3 a 27. PASO ~ MXIT, repetir PASO 3. Hacer Hacer Z Z = O. PASO PASO 4. Hacer Hacer 1I = 1. 1. PASO PASO 5. 5. Mientras Mientras 1I:<:;N, repetir los pasos pasos 6 y 7. PASO ~ N, repetir PASO 6. Hacer Hacer Z = Z + F(I, F(I, x) A A2. PASO 2. PASO 7. 7. Hacer Hacer 1I = I + 1. PASO PASO 8. Si Z ~ :<:;EPS EPS ir ir al paso De otro otro modo continuar. PASO paso 29. De modo continuar. PASO 9. Hacer NP = = O, NU NU = = 1, MENOR = 1E20. PASO Hacer NP MENOR = IE20. PASO 10. Hacer = 1. Hacer J = PASO PASO Mientras J :<:; pasos 12 a 25. PASO 11. Mientras ~ M, repetir repetir los pasos PASO 12. Hacer Hacer S = NU NU + NP, PASO (B-A)/S, L L = l. 1. T = A + (B-A)/S, PASO xa = x-T * dz. PASO 13. Hacer Hacerxa x-T*dz. PASO Hacer ZZ = O. PASO 14. Hacer PASO PASO 15. Hacer Hacer 11= = 1. PASO PASO 16. Mientras Mientras I1 :<:; ~ M, repetir repetir los pasos pasos 17 y 18. PASO Hacer Z = Z + F(T, xa) Xa) A2. A2. PASO 17. Hacer PASO PASO 18. Hacer Hacer 1= I = 1I + 1 PASO paso 21. PASO 19. Si MENOR MENOR < Z, ir al paso De otro modo continuar. De otro modo continuar. PASO TOPT = T. PASO 20. Hacer Hacer MENOR MENOR = Z, TOPT PASO PASO 21. Si LL = OOir al paso paso 24. 24. De De otro otro modo modo continuar. continuar. PASO B-(B-A)/S, LL = O. PASO 22. 22. Hacer Hacer T = B-(B-A)/S, PASO PASO 23. 23. Ir Ir al paso paso 13. PASO PASO 24. 24. Hacer Hacer NP NP = NU, NU, NU NU = S. PASO PASO 25. 25. Hacer Hacer J = J + 1. PASO PASO 26. 26. Hacer Hacer x = x-TOPT x-TOPT * dz. dz. PASO PASO 27. 27. Hacer Hacer K K = K +1. +1. PASO "NO CONVERGE' PASO 28. 28. IMPRIMIR IMPRIMIR "NO CONVERGE' YYTERMINAR. TERMINAR. PASO PASO 29. 29. IMPRIMIR IMPRIMIR x yy TERMINAR. TERMINAR.


Con Con el algoritmo algoritmo 4.5, 4.5, elabore elabore un un programa programa para para resolver resolver el sistema sistema 33 xI JI 1(x» (XI' xx22' ' xx33)) x ¡ -- cos(x cos(x 0.5 = O O 1 2 2 xx33)) -- 0.5 2 2 X¡2 625x = O 1 J22(x,, (xi' x22' ' x33) ) = x ¡2 - 625x22 = O eJ (xi' xx22'' xx33)) e-xX,x2+ 'X2+ 20x 20x33 + ( IOn: IOn -- 3)/3 3)/3 == O O 133 (x]> use use como como vector vector inicial inicial aa

Solución Solución

En En el CD CD se se presenta presenta el el PROGRAMA PROGRAMA 4.3, 4.3, basado basado en en el el método método del del descenso descenso de de máxima máxima penpendiente con búsqueda búsqueda de de Fibonacci. Fibonacci. diente yy con Para Para su su empleo, empleo, el el usuario usuario proporcionará proporcionará el el procedimiento procedimiento GRADTE, GRADTE, donde donde se se forma forma la la función función zz por por minimizar minimizar yy el el gradiente gradiente de de esta esta función función Vz. Vz. Enseguida Enseguida se se anotan anotan los los reresultados sultados que que se se obtienen. obtienen.

4.


k

Xl

X2

X3

no lineales

Z

t

O

0.00000

0.00000

0.00000

1

0.01127

0.00000

-0.52458

1.11912e+002

0.00125

2

0.33117

-0.00002

-0.49597

2. 1500ge+000

0.03636

3

0.33479

0.00044

-0.52365

5.73944e-001

0.00125

4

0.50090

0.00759

-0.52085

2.58186e-001

0.05882

37

0.49998

0.02000

-0.52310

l.73843e-009

0.03636

38

0.49998

0.02000

-0.52310

4.03291e-01O

0.00077

299

Para finalizar este capítulo estudiaremos una aplicación del método de Newton-Raphson para encontrar factores cuadráticos de una ecuación polinornial con el método de Bairstow.

4.7 Método de Bairstow Este método, al igual que el método de Lin visto en el capítulo 2, permite obtener factores cuadráticos del polinomio"

= aoX" + a1x"-1 + a2x

ll

p(x)

2

-

+ ... + a

,

ll

(4.32)

aplicando el método de Newton-Raphson a un sistema relacionado con dicho polinomio. Más específicamente, la división de p(x) por el polinomio cuadrático x2 - ux - v (factor buscado) puede expresarse como: p(x) = (x2

donde q(x) es un polinomio de grado

ux - v)q(x)

+ r(x)

(4.33)

2 Y r(x) el residuo lineal, dados respectivamente por

= boX"-2 + b¡xn-3 + ... + bn_2

(4.34)

=b

(4.35)

q(x) r(x)

11 -

-

_

ll

1

(u, v)(x - u)

+ bn (u,

v)

donde la notación bn_l(u, v) y bll (u, v) se usa para enfatizar que bn_1 y bn dependen de las u y v seleccionadas para formar el factor cuadrático. El factor cuadrático será un factor de p(x) si podemos escoger u y v de modo que bll(u,

v)

=O

(4.36)

Al desarrollar las operaciones indicadas en el lado derecho de la ecuación (4.33), se obtiene un polinomio cuyos coeficientes quedan expresados en términos de las b' s, u y v. Al igualar éstos con los coeficientes correspondientes de (4.32), se tiene a las b' s en la siguiente forma:

* Nótese que la forma en que se manejan

ron anteriormente

y será exclusiva

los sub índices de los coeficientes para esta sección.

difieren de la forma en que se usa-

300

Métodos numéricos

ba b, - uba ub ; - vba

= aa = al = a2

ba bl b2

= aa = al + uba = a2 + ub,

ubk_l - vbk_2

= ak

bk

= ak

b2

bk

-


-

b"_l - ubl1_2 - vb"_3 bl1 - ubll_l - vbn_2

= a,,_l =a

bl1_l bl1

ll

+ vba

+ ubk_l + vbk_2

= a,,_l + ub"_2 + vb"_3 = a" + ub l + vb 2 ll_

ll_

Si se hace artificialmente b, = O Y b_2 = O, la expresión para bk vale para O::; k::; n, de modo que nuestra expresión general quedaría: O::;k5,n y en particular: ba = aa + ub_l + vb_2 b,

= al

+ uba+ vo.,

Es interesante observar el carácter recursivo de las b' s ya que, por ejemplo, bk está expresada en términos de bk_l y bk_2, Y ambas a su vez se pueden expresar en b' s cuyos subíndices son k - 2, k - 3 Y k - 3, k - 4, respectivamente. Continuando de esta manera, bk queda finalmente expresada en términos de los coeficientes de (4.32), que son conocidos, y obviamente de u y v que son propuestos. En adelante, todo se hará en forma recursiva, de modo que cualquier cálculo relacionado con el sistema (4.36) quedará sujeto a un proceso de este tipo. La forma del factor cuadrático x2 - ux - v, tan artificial a primera vista, tiene su razón en la facilitación del cálculo de p(x) para un argumento complejo x = a + bi. Sean las ak reales. Haciendo u = 2a y v = -a2 - b2, tenemos: x2

=

(a + bi)2 - 2a(a + bi) - (-a2 - b2) = a2 + 2abi - b2 - 2a2 - 2abi + a2 + b2 = O -

ux - v

De esto, por la ecuación (4.32): p(x)

= (x2 - ux - v)q(x) + r(x) = O + r(x) = bn_l(a + bi -

= bn_l(-a

2a) + b"

(4.37)

+ bi) + b"

Para obtener bl1_l y b" deberán evaluarse primero ba, b., ... , bn_2 y esto puede hacerse por aritmética real, ya que como vimos antes, se calculan en términos de los coeficientes del polinomio 4.32, que son reales y de u y v que también son reales, y sólo hasta el cálculo final se empleará aritmética compleja en la multiplicación de b"_l por (-a + bi). Si se diera el caso de que b"_l y bn fueran ceros, entonces p(x) = O, y los complejos conjugados a ± bi serían entonces ceros de p(x). El método de Bairstow consiste en usar el método de Newton para resolver el sistema (4.36). Las derivadas parciales de bl1_l y bn con respecto a u y v implican obtener primero las derivadas parciales de b,,_2' b"_3"" , b, Yba, dada la recursividad de b" y b"_l' Por esto, sea


dbl db)

Co=--= = --

du

301

»¿

= bo

d(a2z + u(a u(al ) + ub uboo)) + vb db22 d(a vboo)) c l) =--= =a = = du = al1 +2ub + 'Iub¿O =b)+uc = b, + uCO o du du

--a;;-

moC

-

1/-) n-l --

db" db" - b . du - 11-) VC,,_3 du n-l + uC,,_z UC,,_2 + + VC,,_3 °

De este modo, calculan a partir que las bkk se obtuvieobtuvieDe este modo, las ckk se calculan partir de las bkk, , del mismo mismo modo modo que ron dos resultados que necesitamos ron a partir partir de las ako ak . Los Los dos resultados que necesitamos son: C

db db"n=-_. ,,du ,,-1) = dL!

db,,_) db,,_1

C C

--- -17-2 n-2 du

OU '

db De igual modo, tomando tomando derivadas respecto a v y haciendo haciendo dkk = ~, ~, encontramos: De igual modo, derivadas respecto encontramos: dv dv db dboo d =--=O =O dz=-dv -2 dv db db)l d)=-- =O dl=--=O dv dv db2 do=--=b do = - -2o =bo dv dv db d(a d(a db33 d(a + ub.; ub 2 + vb vb)l) d(a33 + u(a u(a22 + ub, ub) + vb vboo)) + vb vb)l) di -- = = d) = == 33 = --=---=----'-----''----'-~-----=---''----''------'dv dv dv dv dv dv .37)

por del ulo era bi

d11-2

db

= --"dv = b

11-2

+ ud,,-3 + vd11-4

telas sea

Como Como las las cckk yy las las ddkk satisfacen satisfacen la la misma misma recurrencia: recurrencia:

c_2 ==d_ d_22 == OO <, c_ c_l ) = =d, d_1 == OO C Coo = = do == bo

[

.

302


En particular En particular

ab db l_l _ d dV -- n-3 av ll_ ll_

ab db

cC 11-3' 11-3'

-llll---dn-2 ---cc11-2 ---d av dV 11-2

y ahora ahora se tiene tiene todo todo para para aplicar método de Newton-Raphson. Newton-Raphson. Supóngase tienen aplicar el método Supóngase que que se tienen raíces p(x) = v, raíces aproximadas aproximadas a ± bí bi de p(x) = O Y con con esto esto el factor factor cuadrático cuadrático asociado asociado x2 x2 -- ux - v, de p(x). p(x). Esto Esto significa tenemos raíces raíces aproximadas Aplicando el significa que que tenemos aproximadas de la ecuación ecuación 4.36. Aplicando método de Newton-Raphson queda: método Newton-Raphson a (4.36) queda:

-bnn_¡_ ¡ cn__22hh + cn__33kk == -b cll_¡h cll_¡h + cnn__22kk

= = --bbll n

Dado que que se trata sistema de dos ecuaciones ecuaciones lineales, fácilmenDado trata de un sistema lineales, se puede puede programar programar fácilmensolución recurriendo Cramer. te la solución recurriendo a la regla regla de Cramer. h = bncn_3

-

c211-2 -


bll_lcn_2 , C11-1Cn-3

k

=

bl1_¡cll_l

c211-2

-

-

bncn_2

C11-1C11-3

Encuentre los factores factores cuadráticos cuadráticos de la ecuación ecuación polinornial cuarto grado grado Encuentre polinomial de cuarto p(x) p(x)

= .0 .0 =

39x2 - 62x 62x + 50 8x33 + 39x2

=O O =

Utilice como inicial x = O + Oi; esto es, es, a = O Y b = O Utilice como valor valor inicial Oí; esto

Solución

I~~

I

Dado lo complejo complejo del algoritmo, algoritmo, empezaremos empezaremos identificando identificando los elementos elementos relevantes. Dado relevantes. Grado del polinornio: = 4. Grado polinomio: n = Coeficientes del del polinornio: 1; a¡ al = -8; -8; a22 = 39; a33 = -62; -62; a44 = 50. Coeficientes polinomio: aaoo = 1;

Factor cuadrático: V = _a22 - b22 = 02 - 02 = O. Factor cuadrático: U Uo = 2a = 2(0) = O; O; "o O. o o Cálculo de los coeficientes coeficientes b de q(x) q(x) Cálculo boo = =a aoo == 1 uoboo = --88 + 0(1) = -8 -8 + uob b22 = a a22 + uOb¡ + vobo vobo = 39 + 0(0(-8) b 8) + 0(1) = 39

b, = b¡

al

b33 = a a33 + uO -62 + 0(39) + 0(-8) 0(-8) = -62 -62 b Ob22 + vObl¡ = -62 b44 = a a44 + uO 0(-62) b 62) + 0(39) = 50 Ob33 + vO Obb22 = 50 + 0(-

Recuérdese que b3 y b4 deberán deberán tender cero, en caso caso de convergencia. convergencia. Recuérdese que tender a cero, Cálculo derivadas parciales Cálculo de las derivadas parciales ce Coo

= boo = =1 =

b, + uoc uocoo = --88 + 0(1) =-8 =-8 c¡ = b¡ b22 + uOc¡ uOcl + voco = 39 + 0(0(-8) c2 = b 8) + 0(1) = 39 vOc¡ = -62 -62 + 0(39) + 0(-8) 0(-8) = -62 -62 c33 = bb33 + uOOcc22 + vOc]


no lineales

303

Formando el sistema linearizado se obtiene:

==-

cll_2h + cn_3k cn_¡h + cll_2k

bn_¡ o bien c2h + e.k o bien c3h + c2k

bl1

==-

= -(-62) + 39k = -50

b3

o bien 39h + 8k

b4

o bien -62h

Al resolver este sistema por la regla de Cramer se obtiene:

= b4c¡ - b3c2

h

clk=

c3c¡

b3c3

b4c2

-

2

C2 - c3c¡

=

50(-8) - (-62)(39) 392 -(-62)(-8)

=

1.96878

-62(-62) - 50(39) 392 -(-62)(-8)

=

1.84780

Cálculo del nuevo factor cuadrático

en

= ua + h = O + 1.96878 = = va + k = O + 1.84780 =

U¡

v, el

VI

Las nuevas aproximaciones

1.96878 1.84780

a las raíces son:

= a + bi; donde = 1.96878/2 = 0.98439

x a n-

=

u¡l2

y b

=±

) -

VI -

a2

=

± 1.67834i

x = 0.98439 ± 1.67834i.

Para ver si el proceso converge puede evaluarse el polinornio en las diferentes aproximaciones a las raíces y ver si lp(x) 1::::;e, en donde E, en este caso podría tomarse como 10-5. La ecuación 4.28 queda entonces: p(x)

= x4 1

-

p(x)

8x3 + 39x2 1

-

= -31.6831 ± 11.3870i + (11.3870)2 = 33.6671

62x + 50

= )(-31.6831)2

Al continuar el proceso iterativo, se obtienen los siguientes resultados: Segunda Iteración

1

k

O

bk

1

-6.03122

28.97366

-16.10175

ck

1

-4.06244

22.82341

21.32595

2

3

p(x)

1

2

3

4

71.83686

13.4132

1

Con estos valores x

=

1.04666 ± 0.56619i

Tercera Iteración k

O

bk

1

-5.90668

25.21935

-0.84351

1

-3.81336

15.82070

37.67428

ck 1

p(x)

1

1

0.170093

Con estos valores x

=

1.00299 ± 0.99679i

4

12.52183

304


Cuarta Iteración Cuarta Iteración k

O o

11

22

3

4

bk

1

-5.99401 -5.99401

24.97649 24.97649

0.08813 0.08813

0.23405 0.23405

ck

1

--3.98802 3.98802

14.97697 14.97697

38.10619 38.10619

13.86 I p(x) p(x) 13.86

X

10-4

Con valores x = Con estos estos valores = 1.00000033 1.00000033 ± 0.9999990063i 0.9999990063i Se puede puede ver ver que que el proceso proceso está está convergiendo convergiendo a las raÍCes raíces x = = 1 ± li. En el disco disco se encuentra el programa 4.4 que realiza realiza estos estos cálculos. cálculos. encuentra programa 4.4

Ejercicios Ejercicios 4.1

Uno de los problemas ingeniería química química que que mejor mejor ilustra ilustra la reducción reducción de ecuaciones ecuaciones Uno problemas de ingeniería cálculo de la fracción fracción de vapor vapor V VIF vaporización instantánea instantánea (véase (véase ejercicio ejercicio es el cálculo IF en una vaporización 2.6), donde donde se tienen tienen las ecuaciones 2.6), ecuaciones (1)

i

= 1,2, 1,2, ... ... , n =

(2)

provenientes materiales, y las relaciones relaciones de equilibrio equilibrio líquido-vapor líquido-vapor provenientes del balance balance de materiales, K=~ K=~ ,

= 1,2, 1,2, ... ... , n ii =

(3)

x¡

donde: donde:

pO pO P P

K.=-' K.= - '

, ,

i

= 1, 2, ... ... =

,n

(4) (4)

y i= = 1,2, 1,2, ... ... , n

(5)

con las constantes constantes A¡, y C C¡i dadas dadas para cada componente componente i. con A i, B¡ Bi Y para cada Además se tiene: tiene: Además n

n.11

~ y= y=OO ¡=I '' i=l

~x ~x ¡=I 't i=1

(6) (6)

11

~ ZZ = = ~

¡=I 't i=1

1

(7) (7)

= 1,2, 1,2, ... ... , n = P, T Y F. 1, P, Para un número número de componente componente n = = 9: 9: por ejemplo, se tiene tiene entonces entonces un sistema sistema de Para por ejemplo, 39 ecuaciones ecuaciones en las 39 incógnitas: incógnitas: L, V, V, x, y¡, K¡, p¡, i = 1,2, ... ,9 Y Z9' que puede reduXi' Yi' Ki, Pi' = 1, 2, ... Z9' que puede reducirse, en general, general, como como sigue. sigue. cirse, Al combinar combinar las ecuaciones ecuaciones (2) y (3) se eliminan eliminan las y¡, obtiene: Yi' y se obtiene:

Por otro otro lado, lado, se tiene tiene en estos estos problemas generalmente especificadas: especificadas: z¡, i Por problemas generalmente

x·

,1

Z¡ F F Zi =---'--= ----'---

(K¡, V + F)

(8)


305

Al combinar combinar las ecuaciones ecuaciones (6) y (3): (3): n

11

Lx Lx

¡=I ¡=I

L K¡x = =O O L ¡=I I ¡=I'

I'

o bien: bien: 1/ 1/

Lx(1-K.)=O L x (l-K.) = O

i=l

1 I

1

(9) (9)

con con la sustitución sustitución de (8) en (9) se tiene: tiene: ;; Z¡ z, F(lF(l- K) K) z: -'--------'--=0 -'-------'--=0 "-K¡ V Y+L

(10)

i=1

se

Pero Pero de (1) L = = F-Y, F-V, con lo que que queda queda finalmente: finalmente: 11 z.(l-K.) z.(l-K.) L 1 I'=0 =0 L 1 ¡=I i= I Y V (K (K,i -- 1) 1) + F

(11)

Hay Hay que que observar observar que que si se conocen conocen los los valores valores de z¡, i = = 1, 1,2,2, ... ... , n - 1 (usando (usando la ecuaecuación (7) se obtiene obtiene zl/)' z.), los valores ... , n y los valores valores de P y T valores de A¡, B¡, C¡, i == 1, 2, ... ción (usando (usando (5) y (4) se obtiene obtiene K¡, i = = 1, 1,2,2, ... ... , n) y F, la ecuación ecuación (11) es ya sólo sólo función función de V, Y, con con lo que que se ha reducido reducido el sistema sistema de 39 ecuaciones ecuaciones con con 39 incógnitas incógnitas a una una sosola ecuación con una incógnita (Y) puede obtenerse los méecuación con una incógnita (V),, cuya cuya solución solución puede obtenerse con con alguno alguno de los métodos del capítulo capítulo 2. 2. todos

es cio (1) (2)

4.2 4.2 (3)

La presión presión requerida para sumergir pesado grande requerida para sumergir un objeto objeto pesado grande en un terreno terreno suave suave y homohomogéneo, base dura, puede predecirse predecirse a partir pregéneo, que que se encuentra encuentra sobre sobre un terreno terreno de base dura, puede partir de la presión requerida requerida para sumergir objetos objetos más pequeños pequeños en el mismo mismo suelo. suelo. * En particular, particular, la sión para sumergir presión p requerida para sumergir radio r, a una una distancia tepresión requerida para sumergir una lámina lámina circular circular de radio distancia d en el terreno una distancia rreno suave, suave, donde donde el terreno terreno de base base dura dura se encuentra encuentra a una distancia D > d debajo debajo de la superficie, superficie, puede puede aproximarse aproximarse mediante mediante una una ecuación ecuación de la forma: forma:

(4)

(1)

donde k3 son son constantes que, con con k22 > O, O, dependen dependen de d y la consistencia consistencia del terreterredonde kl,l , k22 Y k3 constantes que, pero no del radio radio de la lámina. lámina. no pero (5) Encuentre los valores valores de ki' k22 Y k3 si se supone supone que una una lámina lámina de radio radio de 1 pulpula) Encuentre

gada requiere requiere una una presión presión de 10 Ib/pulg lb/pulg?2 para sumergirse 1 pie terreno lodoso; lodoso; gada para sumergirse pie en el terreno lámina de radio radio 2 pulgadas, pulgadas, requiere requiere una una presión presión de 12 Ib/pulg lb/pulg?2 para sumergiruna lámina para sumergirpie; y una una lámina lámina de radio radio 3 pulgadas pulgadas requiere requiere una una presión presión de 15 lb/pulg lb/pulg?2 (suse 1 pie; poniendo que el lodo lodo tiene tiene una profundidad mayor que que 1 pie). pie). poniendo que profundidad mayor Use los cálculos cálculos de a) para predecir cuál cuál es la lámina lámina circular circular de radio radio mínimo mínimo que que b) Use para predecir necesitaría para sostener un peso peso de 500 500lb este terreno, terreno, con con un hundimiento hundimiento se necesitaría para sostener lb en este menos de 1 pie. de menos pie.

(6) (7)

de u-

Solución

Inciso a) Inciso sustituir los valores valores de r y p en (1) para casos, se tiene: tiene: Al sustituir para los tres casos, 10 = = k¡ kl exp(k exp(k2)2) + k3 k, exp(2k exp(2k2)2) + 2k3 2k3 12 == k¡

8)

exp(3k2)2) + 3k 3k33 15 == kk,l exp(3k Richard L. Burden Burden y J. Douglas Douglas Faires. Faires. Análisis numérico. Grupo Grupo Editorial Editorial Iberoamericana Iberoamericana (1985). (1985). * Richard Análisis numérico.

..,. 306

Métodos os a ie r ía aplicados a la la ingen ingeniería Métodos numéricos numéricos aplicad

un sistema tres ecuaciones incógnitas k" kp k22 Y k3. Se k3 de la sistema de tres ecuaciones no lineales lineales en las incógnitas Se despeja despeja k3 primera ecuación primera ecuación

Se sustituye restantes y se tiene: tiene: sustituye k3 en las dos restantes 12 == k¡ exp(2k exp(2k22) ) + 2[10 2[10 - k¡ exp(k exp(k22)])] 15 == k¡ k, exp(3k exp(3k22) ) + 3[10 3[10 - k¡ exp(k exp(k22)])] o bien: bien: J¡ (kl' k, [exp !¡ (k" k2)) = = k¡ [exp (2k22)) J 2 (kl' !2 (k" k2))

-

2exp 2exp (k22)])] + 8 = =O O

= k, [exp (3k = k¡[exp (3k22)) - 3exp 3exp (k22)])] + 15 = =O O

(2) (2)

un sistema un sistema de dos ecuaciones ecuaciones no lineales lineales en las incógnitas incógnitas k, k¡ y k22.. miembro a miembro miembro estas Al dividir dividir miembro estas dos ecuaciones ecuaciones k ¡ [exp (2k22)) kj

-

2exp 2exp (k22)]) ]

-8 -8

k,[exp k¡ [exp (3k (3k22))

-

3exp 3exp (k22)])]

--15 15

se obtiene: obtiene: exp exp (k22) )

8 6 exp exp (2k22)) - - = =O O 15 15

- -

o bien: bien: (3)

una ecuación no lineal método de Newton-RapsNewton-Rapsuna ecuación no lineal en la incógnita incógnita k22,, cuya cuya solución solución con con el método han capítulo 2 es: es: hon visto visto en el capítulo k~2 == 0.259695; 0.259695;

al sustituir tiene: sustituir k22 en cualquiera cualquiera de las ecuaciones ecuaciones (2) y despejar despejar se tiene: k, k¡

=

-8 exp exp (2k22))

-

2exp 2exp (k22))

= 8.771286, 8.771286,

por por último: último:

Inciso Inciso b) 2 Un peso peso de 500 un disco producirá una una presión presión de 500/(n:r ) Ib/pulg Un 500 lb sobre sobre un disco de radio radio r producirá 500/(n:r2) lb/pulg-.2 . Entonces: Entonces:

p

500 500 n:r

= = r) + k3 r =-- = k¡ exp exp (k22 r) 2

o bien: bien:

Para obtener valor mínimo mínimo de r, se iguala!, (r) Para obtener el valor iguala! (r) con con cero cero I


la

no lineales

307

lo que origina una ecuación no lineal en la incógnita r, cuya solución por medio de alguno de los métodos del capítulo 2 da r = 3.18516 pulg.

que corresponde a un mínimo de f (r). El lector puede verificar esto usando alguno de los criterios del cálculo diferencial. 4.3

Resuelva el siguiente sistema verificando primero su partición.

2)

Solución

=O 6=O (X4 - 5) - 8 = O 3xI + 6 = O - Xs + 6 = O

+ x4 -10

el:

XI

e2:

xlx4x3

e3:

XIX/7

e4:

x4

es:

xIX3

-

- Xs -

Si bien la descomposición de un sistema en subsistemas es conocida como partición, la secuencia para resolver los subsistemas resultantes se denomina orden de precedencia del sistema. Existen algoritmos para partir un conjunto de ecuaciones y determinar el orden de precedencia. A continuación se seguirán las ideas de estos algoritmos a fin de partir el sistema dado. a) Se forma una matriz de incidencia XI

3) el

s-

e4 es

x3

1 1

1

x4

1

e2 e3

x2

1 1 1

1 1 1 1

Xs

1

donde cada fila corresponde a una ecuación y cada columna a una variable. Un 1 aparece en la fila i y la columna}, si la variable xi aparece en la ecuación e¡. b) Se rearreglan las filas y columnas para apreciar mejor las particiones y el orden de

precedencia. Así después de un rearreglo se llega a

G

\

1 1

~J 1

[~

~J

donde se nota de inmediato que en las ecuaciones e I y e4 aparecen solamente las variables x¡ y x4' y constituyen entonces un subsistema que puede resolverse primero

resulta x2

= 4 Y x4 =

6.

el:

xl+x4=10

e4:

-3x¡ + x4

= -6

308


Estos Estos valores valores se sustituyen sustituyen en la ecuación ecuación e33 y ésta ésta queda queda en función función de x22 solamensolamente; una ecuación te; por por tanto, tanto, como como una ecuación en una una incógnita incógnita e33::

4X21.7_8=0 4X/7 _8 = 0

resulta x22 = = 1.5034 1.5034 resulta Finalmente, las ecuaciones ecuaciones e2 y es pueden pueden resolverse resolverse para para x33 y xss'' lo que da Finalmente, X x33

ss

X X

4.4

1.255 1.255 11.0202 11.0202

reactor se efectúan efectúan las siguientes siguientes reacciones reacciones en fase fase gaseosa: gaseosa: En un reactor ••• ====~.

A+B

(1) (1)

2E

(2)

temperatura de la reacción, reacción, las constantes constantes de equilibrio equilibrio son son kp kp¡=2.6 kP2 = = 3.1 Las Las A la temperatura ¡=2.6 y kP2 composiciones iniciales iniciales son son 2 mol/L mol/L de A y 1 mol/L mol/L de B. composiciones Calcule la composición composición a la salida salida del del reactor, reactor, asumiendo asumiendo que que se alcanza alcanza el equilibrio. equilibrio. Calcule

Solución Solución

representa los moles convertidos en la reacción reacción (1), y x2 los moles moles de A converconverSi xx¡¡ representa moles de A convertidos tidos en la reacción reacción (2) (2),, entonces entonces en el equilibrio equilibrio tenemos: tenemos: tidos moles deA deA moles moles de B moles moles de C moles moles de D moles moles de E moles moles totales moles totales

-x2 2 2 --x¡Xl -x l -x l-x¡ l x¡ --x2x 2 Xl

x¡ xl

2x2 2x

3

Con la aplicación aplicación de la ley de acción acción de masas masas se obtiene: obtiene: Con Para la reacción reacción ( 1 1)) Para 2.6 = = 2.6

(x¡l -- x x2)(x (X 2 )(xj) J) x¡l -- xx22)(l (2 - X )(l - x¡) Xl)

Para la reacción reacción ( 2 ) Para 3.1

=

(2x2)2 (2 - x¡ - x2)(x¡ - x2)

que es un sistema sistema de dos ecuaciones ecuaciones no lineales lineales en dos incógnitas, incógnitas, cuya cuya sol solución por el que ución por método de Newton-Raphson, ejemplo, exige: exige: método Newton-Raphson, por por ejemplo, vector inicial inicial cercano cercano a la solución, solución, obtenible obtenible a partir partir de consideraciones consideraciones físifísi- Un vector cas del problema. problema. La matriz ampliada con con el vector vector de funciones, funciones, que que es relativamente relativamente fáfámatriz jacobiana, jacobiana, ampliada - La puesto que que las derivadas derivadas parciales parciales son son directas. directas. cil, puesto Vector inicial. inicial. En virtud virtud de las funciones funciones y la existencia existencia inicial inicial de 2 moles moles de A y 1 mol Vector x¡ = = 0.8 Y x22 = = OA. 0.4. de B, se propone propone Xl Las derivadas derivadas parciales parciales para para la matriz matriz jacobiana dan a continuación continuación Las jacobiana se dan


n-

i, (x"

(x, - x2) (x,) x2) = (2 _ x, _ x ) (1 _ x,) 2

f2(x"X2)=

(2x2)2 (2 - x, - x2) (xI - x2)

no lineales

309

- 2.6 = O

-3.1=0

- x2) - (XI - x2)(x,)( -3 + 2 xI + x2)

(2 - x, - x2)(1 - xl)(2xI

«2 -x,

-x2)(1-x,»2

(2 - x, - x2) (1 - x,) (x,) + (xI - x2)(x,) (x, - 1)

«2 - x, - x2) (1 - x,»2 (1)

of2 (x" x2) ox,

(2)

8 (2 -x,

Las

-(2x2)

2

(2 - 2x,)

( (2 - x, - x2) (x¡ - x2»2 -x2)

+ x2)

(x, -x2) x2- 8 xl(-l

( (2 - x, - x2) (x, - X2»2

rio.

Con el

PROGRAMA

4.1 del CD se obtienen los siguientes resultados:

ver-

k

X(I)

X(2)

O

0.80000

0.40000

0.82175

0.46596

6.94595e-002

2

0.83460

0.45687

1.57387e-002

3

0.83176

0.4557l

3.06403e-003

4

0.83145

0.45566

3.18286e-004

5

0.83144

0.45565

1.21513e-005

6

0.83144

0.45565

4.10222e-007

Distancia

La solución del sistema es: X(l) = 0.83144 X(2) = 0.45565 4.5

El mezclado imperfecto en un reactor continuo de tanque agitado, se puede modelar como dos o más reactores con recirculación entre ellos, como se muestra en la figura siguiente. F

físi-

=

25L/min

te fáF+ FR

mol Figura 4.15 Reactores químicos con recirculación.

CA \.

CA

2

I

. r

FR

F

1'71'"

310

Métodos aplicados a a la ingeniería Métodos numéricos numéricos aplicados

En este lleva a cabo irreversible del tipo este sistema sistema se lleva cabo una una reacción reacción isotérmica isotérmica irreversible tipo A ~ .E: B orden 1.8 con con respecto respecto al reactante reactante A. Con Con los datos datos que que se proporcionan proporcionan abajo, abajo, calcucalcude orden le la concentración reactores 1 y 2 (CAl YY CA2 respectivamente), una concentración del reactante reactante A en los reactores respectivamente), una A2 vez alcanzado alcanzado el régimen régimen permanente. permanente. vez Datos Datos

Solución

L/min F = 25 Llmin

VI = = 80 L L

CAo = 1 mollL mollL CAO

V22 == 20 L

= 100 Llmin L/min FR R =

k = 0.2 1) 0.2 (Llmol)o.8 (L/mol)o.s (rnin (min --1)

Con Con el balance balance del componente componente A en cada cada uno uno de los reactores reactores se tiene tiene Entra Entra

Sale Sale

Acumulación Acumulación

Reacciona Reacciona

Reactor 1 Reactor (1)

Reactor Reactor 2 (F + F R )AI CAl (F+FR)C - - (F (FR+F)CA2-V2kcnA2=0 R + F) C A2 - V 2 k cn A2 = O

(2)

un sistema sistema de dos ecuaciones ecuaciones no lineales lineales en las incógnitas incógnitas CAl CAl y CA2 A2 .. de la ecuación (1) No obstante, No obstante, se observa observa que que despejando despejando a CA2 ecuación A2 CAl + V VII k C/ CltAI CAO (F + FR )) CAl AI -- F CAO CA2=----~~~~--~--~~--~~ C A2 = - - - - - = R .-'------'-'.:....---'----'-.:..:'--------'-''''-

F FRR

y sustituyéndola sustituyéndola en la ecuación ecuación (2)

(F + FR Al - FC C"Al FC AO AO R )) CAl + V II k cn CAlI -- 125 ------'-'------'-'----''-'-'----'------'-'-'------'=125 CA ' - ' - ' - ---'------'-'-'-------'=F FRR FR) CAl + VI k cn C"AI FCAO] =O O __iv, kV? [[ (F + F AI -- FCA R ) CAl O] 11 = F FRR

el problema lineal en la incógnita problema se reduce reduce a una una ecuación ecuación no lineal incógnita CAl' cuya cuya solución solución se encuentra cuentra empleando empleando alguno alguno de los métodos métodos del capítulo capítulo 2 y se deja deja al lector lector como como ejercicio. ejercicio. CAl CAl = = 0.6493 0.6493 CA2 = 0.6352 0.6352 A2 =

Resultados: : Resultados

4.6 4.6

En una lámpara lámpara de arco,* arco: de longitud longitud de arco arco constante, constante, se observa observa el voltaje voltaje V empleado empleado por arco para por el arco para diversos diversos valores valores de la corriente corriente 1 1

0.5 0.5

1

2

4

8

12

V

160

120

94

75

62

56

Encuentre Encuentre la ecuación ecuación que que mejor mejor represente represente estos estos valores, valores, empleando empleando el criterio criterio de mínimínimos mos cuadrados cuadrados .

• J. Lipka. gráficas yy mecánicas. Lipka. Computaciones Computaciones gráficas mecánicas. Lipka Lipka J. CECSA. CECSA.


B

Solución

311

no lineales

Se traza el diagrama de dispersión

cuuna

v

150

• •

100

• •

(1)

•

50 2

(2)

•

5

10

1

y se observe que la curva suave que pasa entre los puntos es hiperbólica y asintótica a alguna recta horizontal V = c. Con esto, se supone que los datos pueden quedar relacionados por la ecuación (1)

donde' b < O. Los parámetros a, b y e se determinan minimizando la función 6

f( a, b, c) = L (V; - al/ -

(2)

C)2

;=1

La ecuación (2) se deriva parcialmente con respecto a a, b y e, y se igualan a cero dichas derivadas parciales para obtener: 666

L

:« L

11

L Ib=O 1

I2b_c

;=1

1

;=1

6

6

6

;=1

;=J

;=1

L V J/ lnl, - a L 1;2b lnl¡ - e L Illnl; = O

icio,

93 352 ado

vtr

;=J

en-

6

6

;=1

;=J

(3)

b

L V¡ - a L I¡ - 6 e = O un sistema de tres ecuaciones no lineales en las incógnitas a, by c. Al despejar e de la tercera ecuación: 1 6 L V. 6 ;=1 1

6

a

c=-

(4)

L Il

6

;=1

y sustituir en las dos primeras, se tiene:

I, (a b) 'ni-

,

6

=

6

L V lb - a L ;=1

1

1

;=1

Ilb 1

1 6

-

6

[

6

LV] ;=1

• b > O en el caso de una parábola, con ordenada al origen c.

[ L lb] + [ 1

;=1

1

--ª-6 L6

;=J

lb 1

F= O

(5)

pr

312

Métodos iería aplicados a a la ingen ingeniería Métodos numéricos numéricos aplicados

sistema de dos ecuaciones ecuaciones no lineales lineales en las incógnitas incógnitas a y b, cuya cuya solución solución requiere requiere un sistema valores iniciales. iniciales. valores Para estimar estimar valores valores iniciales, iniciales, en la ecuación ecuación (1) se sustituyen sustituyen tres de los puntos puntos dados dados Para

160 == a 0.5bb + e = a 4bb + e 75 = = a 12 l2bb + e 56 = despejar e de la tercera tercera y sustituir sustituir en las dos primeras primeras se tiene: tiene: al despejar

160 == a 0.5bb + 56 - a 12b 75 == a 4 b + 56 - a l2 12bb o bien bien (0.5b -- 12bb)) a (0.5"

104 19

b -12 b) b ) a(4(4b-12 a

Estas dos últimas últimas ecuaciones ecuaciones se dividen dividen miembro miembro Estas miembro a miembro ,,'

0.5bb

-

12b

104

b b 4bb-12 -12

4

19

rearregla se rearregla (0.5)b (12)b -104 -104 (4)b 19 (0 .5)b + 85 (12)b

=O =

resuelve esta esta ecuación ecuación no lineal lineal con alguno alguno de los métodos métodos del capítulo capítulo 2 para para obtener: obtener: y se resuelve

= -0.51952 -0.51952 =

b

donde: de donde: a

= 89.77 89.77 =

sistema (5) se resuelve resuelve utilizando utilizando éstos éstos como como valores valores iniciales iniciales y el método método de NewtonEl sistema NewtonRaphson multivariable, multivariable, con con lo que que resulta resulta Raphson

a

87.78 87.78

b

-0.532 -0.532

sustituir en (4) se obtiene: obtiene: y al sustituir

e

= =

32.86 32.86

manera que la ecuación ecuación que que mejor mejor ajusta ajusta los datos datos queda: queda: De tal manera , v= = 87.78 87.78 [1 --0.532 32.86 0.532 + 32.86 4.7 4.7

Para la obtención obtención de butadieno partir de etanol etanol en fase fase vapor, vapor, se propone propone el siguiente siguiente mePara butadieno a partir mecanismo de reacción. canismo reacción. (1)

CH -CH CH33-CH 2-OH 2-OH

.~('====== :.,======

.,

/011 /0H.

CH2.:= C", + H22 CH2.:=C", .

(2) (2)

H H

//OH OH

====== ======

CH22 = C"-... C,-----+ CH22 = CH CH22 .::. .::, CH + CH H H

CH 2 = CH-HC = CH 2 + H 20

(3) (3)

Sistema Sistema de ecuaciones ecuaciones no lineales lineales

Calcule Calcule las composiciones composiciones en el equilibrio equilibrio a 400 400 o C y 1 atm, atm, si las constantes constantes de equiequirespectivamente. librio librio son 5.97, 5.97, 0.27 0.27 Y 2.8 para para las reacciones reacciones (1), (2) Y (3), respectivamente.

uiere dos

313

Solución Solución

Base de cálculo: cálculo: 1 mol de etanol. etanol. Base Si X ¡ = moles XI moles de etileno etileno producidas producidas en la reacción reacción (1) x22 = = moles moles de hidrógeno hidrógeno producidas producidas en la reacción reacción (2) agua producidas x33 = = moles moles de agua producidas en la reacción reacción (3)

entonces entonces en el equilibrio equilibrio se tendrá: tendrá: moles de etanol etanol moles moles de etileno moles etileno moles moles de agua agua moles moles de hidrógeno hidrógeno moles de acetaldehído moles acetaldehído moles de butadieno butadieno moles

1 - x¡xI - x22 xXI¡ -x -x33 x¡ XI + x33

moles moles totales totales

1 + xl xI + xx22

x2 x22 -x -x3 3 x33

acuerdo con con la ley de acción acción de masas, masas, se tiene: tiene: De acuerdo

+ x3)

(XI

5.97

(xI -

x3)

tener:

0.27 0.27

2.8 2.8

wton-

= =

= =

l,1n

P

[

(1-xl -x2)

l

1 +xl +x2

(x2 (x2 + x3) x3) x2 x2 (1-x (1-xl l -X -x2) 2 ) (x 3 ) x3 (XII + x3) x3 ))( (X x22 - xX33

(X X33 (XI I -- x

[

P 1 +xl +x2 [[

)

1 ,1n2

P 1 ~n3 l,1n 3 1 + XI XI + x22

donde moles de los reactantes donde ~ni Sn, = = número número de moles moles de los productos-número productos-número de moles reactantes (en la reacción reacción i). Por Por tanto: tanto: ,1nl ~n¡

= 2=

=1 1=

,1n2 =2 =2-1=1 ~n2 - 1=1 ,1n3 = =2-2=0 ~n3 2-2 =0

Por otro lado: Por P == 1 atm. Vector observar las funciones Vector inicial. inicial. Luego Luego de observar funciones y el hecho hecho de que que la base base de cálculo cálculo es 1 mol mol de etanol, etanol, se propone propone e meXI XI

(1)

(2)

(3)

= = 0.7, 0.7,

X22

= 0.2, 0.2,

Si se utilizaran utilizaran las ecuaciones ecuaciones del sistema sistema tal como como están, están, se tendrían tendrían serios serios problemas, problemas, ya que si XxII + x22 = = 1, habría habría división división entre entre cero. cero. Un reacomodo reacomodo de las ecuaciones ecuaciones permitiría permitiría no sólo evitar evitar la división división entre entre cero, cero, sino obtener obtener una convergencia convergencia más rápida. rápida. Por Por ejemejemplo, podría podría escribirse escribirse el sistema sistema a' así., plo, sí:. p,1nl (XI (XI + X x ) ) -5.97(1 -5.97(1 - XI X2),1nl = =O p~n¡ X33)(x )(x XI - xx22)(1 )(l + XI X I + X2)~nl l l - x 33 p,1n2 (x (x2 + xx )x)x 0.27(1 + XI XI + X2)~n2 X2),1n2 = =O p~n2 XI + xx22)(1 )(1 + XI - 0.27(1 2 33 2 2 p,1n3 (XI (XI + x x )x)x - 2.8(x 2.8(xl l - xx33)(x x2),1n3 = =O - xx33)(1 p~n3 )(x )(1 + XI XI + X2)~n3 33 3 3 2 2

314

Métodos numéricos numéricos aplicados aplicados aa la la ingeniería ingeniería Métodos

Luego Luego de de sustituir sustituir valores valores yy resolver resolver el el sistema sistema de de ecuaciones ecuaciones no no lineales lineales resultante resultante el PROGRAMA PROGRAMA 4.1 4.1 del CD, se se llega llega a los los siguientes siguientes resultados resultados con el

4.8

X(l) X(1)

0.71230 0.71230

X(2)

0.24645 0.24645

X(3)

0.15792 0.15792

En una columna columna de cinco cinco platos, platos, se quiere quiere absorber absorber tolueno tolueno contenido contenido en una corriente corriente de gas Va Vo (moles (moles de gas sin tolueno/min) tolueno/min), , con un aceite aceite Lo Lo (moles (moles de aceite aceite sin tolueno/min). tolueno/min). Considérese que la relación relación de equilibrio equilibrio está está dada dada por por la ley de Henry Henry (y == m x), y que la Considérese columna opera opera a régimen régimen permanente. permanente. Calcule Calcule la composición composición de tolueno tolueno en cada cada plato. plato. columna Datos: Va Vo = 39.6 moles/min moles/min Datos: = 6.0 moles/min moles/min Lo = moles de tolueno/min tolueno/min que entran entran a la columna columna con el gas y el aceite, aceite, son resLas moles pectivamente: pecti vamente: moles/min TVo == 5.4 moles/min TLoo = = 0.0 moles/min moles/min TL m 0.155 m == 0.155 De aquí: De Yo = =

Solución Solución

5.4 = 0.12 0.12 5.4 = 5.4 + 39.6 39.6 5.4

fracción mol que entra. entra. fracción mol de tolueno tolueno en el gas que

Los balances masa para para el tolueno tolueno en cada plato son (véase (véase Fig. Los balances de masa cada plato Fig. 4.16). 4.16). Balance Balance de tolueno tolueno

Plato Plato

Ys Ys -Í Lo----

4

t;Li = Lo+ Lo+ TLi TL i Vi Vi == V Voo++ TV TVii 1::; 1 S:¡i s S: 5S

Figura Figura 4.16 4.16 Columna Columna de de absorción absorción de de cinco cinco platos. platos.

VVo ++

o

X

1

Sistema e s no lineales Sistema de ecuacion ecuaciones

(Va )x22 - (Lo + TL¡)x¡ (Vo + TVo)yo - (Va (Vo + TV¡)y¡ TV¡)y¡ + (Lo + TL TL22)x TL¡)x¡ = O

e

e

l· la

315

2

)Y2 + (Lo + TL )X33 - (Lo + TL (Va + TV¡)y )x22 = O TV¡)y¡¡ - (Va (Vo + TV TV22)Y2 TL33)x TL22)x O

3

(Va 2)Y2 -- (Va )x44 - (Lo + TL )x33 = O (V O + TV TV 2)Y2 (V O + TV TV 3)Y3 3)Y3 + (Lo + TL TL44)x TL33)x O

4

(Va )x55 - (Lo + TL )x44 = O )Y3 - (Va (V O + TV TV 33)Y3 (V O + TV TV 4)y TL55)x TL44)x O 4 )Y44 + (Lo + TL

5

(Va )Y5 + (Lo + TLo)x (V O + TV TV 4)y 4 - (Va (Vo + TV TV 55)Y5 TLo)xoo - (Lo + TL TL55)X)x5 5 = O O 4 )Y4

donde moles de tolueno/min tolueno/min que salen plato i con gas y donde TV¡, TL¡, O O ::;; ::; i::;; i::; 5, 5, son los moles salen del del plato con el gas aceite, respectivamente. el aceite, respectivamente. Como Como TV¡

y. =----'----o

y¡I = TV¡ TV¡ + +V Va

y demás demás y¡ = ¡TtX¡, ITLX¡,

se obtiene: obtiene: VOmx¡ VOmx¡ TV ¡ =-"--------'= --''----'TV¡ 11'lX¡ 1 - 11'tX¡ Por Por otro otro lado: lado: L~x: . L~r.

TL=_lr_, T L = _ l_r , ,

I

1-x¡ 1-x¡

para O::; i::;; i::; 5 para O::;;

balances de masa masa anteriores, resulta el sistema Con Con la sustitución sustitución de y¡, TV¡ y TL¡ TL¡ en los balances anteriores, resulta sistema no lineal lineal siguiente: siguiente:

V V o m22x 442 V mx mx + o o 44 1 - 11'tX 11'lX 44

_ _

V mx mx _

o

5 5

22 V Vo LoX 2 LoX5 2 L~ x: + __ __ 0 om x 552 + L~r 0_ _ -- Lx: Lr _ 1 - mX lrO lT Ira 1 - X o-s-5 1 - x mX55 o 55

__ O __ O

donde xi' x22'·'· .... , x55 son las incógnitas. donde xi' incógnitas. Este resuelve con programa 4.2 4.2 con valores iniciales Este sistema sistema se resuelve con el programa con los siguientes siguientes valores iniciales x¡ 0.4, x22 = 0.3, 0.3, x33 =·0.2, ='O.~, x44 = 0.1, 0.1, x55 = 0.05, 0.05, x ¡ = 0.4,

los usando un perfil perfil lineal los cuales cuales se obtuvieron obtuvieron usando lineal de concentraciones concentraciones a lo largo largo de la columcolumna. Los Los resultados resultados obtenidos obtenidos son:

316

Métodos numéricos


Distancia

k

X (1)

X (2)

X (3)

X (4)

X (5)

O

.40000

.30000

.20000

.10000

.05000

1

.45756

.30057

.19940

.12100

.06020

.62 120E-0 1

2

.45398

.30115

.20289

.12717

.06318

.85044E-02

3

.45432

.30195

.20424

.12919

.06416

.27569E-02

4

.45444

.30222

.20468

.12986

.06449

.91471E-03

5

.45448

.30231

.20483

.13008

.06460

.30494E-03

6

.45450

.30234

.20488

.13016

.06463

.10 179E-03

7

.45450

.30235

.20489

.13018

.06465

.34040E-04

La solución del sistema es: X (1)

.45450091

X (2)

.30234605

X (3)

.20489225

X (4)

.13018015

X (5)

.64646289E-Ol

Problemas 4.1

Resuelva el sistema 18

XIX2+X6X4

XI

x2+xS+x6

12

+ In (xi x4)

3

2

x3 + x3 x2 + x4

2 =

4

x3(x3 + 6) = 7

4.2

utilizando las sugerencias dadas al principio de este capítulo (reducción, partición, entre otros). Resuelva el sistema x3 -x4 xl x 2 + X

1

e3: XI + x2 e4: In X3 xl + X3 xl

6

el: e2:

4.3

XI

3

4

17 1

mediante tanteo de ecuaciones. A partir de consideraciones geométricas demuestre que el sistema no lineal x2+y2-x=0 x2_y2_y=0


4.4 4.4

317

tiene una solución solución no tlivial trivial única. estimación inicial Xl, yO Y aproxitiene única. Además, Además, obtenga obtenga una una estimación inicial :xO, Y aproxidicha solución, solución, empleando empleando el método me dicha método de de punto punto fijo. Dado el sistema sistema de ecuaciones ecuaciones no lineales Dado lineales x2 + Y = 37 x-y2=5

determine determine un arreglo arreglo de la forma forma g, (x, y) =x =X g2 (x, y) =y y) = y un vector vector inicial inicial

4.5

x(O) que que prometa una solución; solución; es decir, satisfax(O) prometa convergencia convergencia a una decir, que que se satisfaga el sistema 4.6). sistema de desigualdades desigualdades (Ec. 4.6). Encuentre una una solución solución del del sistema sistema de ecuaciones ecuaciones del problema anterior, por Encuentre problema anterior, por medio medio del método método de Newton-Raphson Newton-Raphson y tomando tomando como como valor valor inicial inicial

(5,0) a) (x, y) == (5,0) y) = = (5,-1) (5,-1) b) (x, y) ¿Qué criterios criterios se pueden pueden aplicar aplicar para saber si el proceso ¿Qué para saber proceso converge converge y, en tal caso, caso, cómo cómo se puede verificar verificar que que efectivamente efectivamente se trata solución? puede trata de una una solución? SUGERENCIA: SUGERENCIA:

4.6 4.6

Emplee CD del Emplee el CD del libro. libro.

Utilice el método método de punto punto fijo multivariable encontrar una solución de cada cada uno uno de Utilice multivariable para para encontrar una solución siguientes sistemas. sistemas. los siguientes x,(4 - O.0003x, O.0003x, - 0.0004x 0.0004x22)) = O a) x,(4 =O x2(2 - 0.0002x¡ 0.0002x¡ - 0.000Ix 0.000Ix2)2) = O xi2 =O 2 b) x,2 x,2+2x =00 + 2xl x2-2x3 = 2 -x2--2x 3 -8x22 + 10x l Ox,3 == 0.0001 0.0001 x,2 -8xl = x,2j(7x x,2/(7x22 x33)) - 1 =O O c) 2x, + x22 + x33 - 4Iog(lOx,) 410g(lOx,) = =O e) log(lOx2)2) = xx,, + 2x22 + x33 - 4 log(lOx =O (lOx33) ) = log (lOx =O x, x22 x33 --log ti) 3x, sen x2 -cos(x22 x33)) sen x22 -sen-' -serr-' (-0.52356) (-0.52356) sen x22 = =O á) 2 -cos(x x,2 x¡2 - 625x} 625xl = =O O exp(-x¡ , x22) + 20x 20x33 == 9.471975 9.471975 exp(-x SUGERENCIA: SUGERENCIA:

4.7

4.8 4.9

Utilice el Mathcad Mathcad o sofware sofware equivalente. Utilice equivalente.

Elabore un programa programa para para resolver sistemas de ecuaciones ecuaciones no lineales. Elabore resolver sistemas lineales. Utilice Utilice para para ello ello el algoritmo algoritmo 4.1. 4.1. Emplee Emplee el programa programa de problema problema 4.7 4.7 para para resolver resolver los los sistemas sistemas del problema problema 4.6. 4.6. Mediante el PROGRAMA PROGRAMA 4.1 4.1 del CD (véase (véase ejemplo ejemplo 4.4), siguientes sistemas sistemas Mediante 4.4), resuelva resuelva los Jos siguientes ecuaciones no lineales. lineales. de ecuaciones . (x¡ +cosx,x + cos x¡ x22 x33 -1)"2 _1)"2 = 0 O a) (x, (l-x¡ )114/4 + x2 + x3 (0.05x (0.05x =1 (1 - x¡ )' 0.15) = 33 - 0.15) 2 3 x¡2 + 0.1 0.1 x} xl- - 0.01x 0.01x22 --x3x 3 = =O 1 + x?

sen (x (x¡, x22) - xi(4n) xi(4n) - 0.5x 0.5x¡, = b) 0.5 sen =O 0.920423 [exp (2x,) (2x¡) - exp exp (1)] + 8.65256x 8.65256x22 -2exp(x¡) 0.920423 -2exp(x,) Emplee EPS EPS = = 10-4. Emplee

--

== O

318

Mét odos numéric os a p licados a iería Métodos numéricos aplicados a la la ingen ingeniería

4.10 4.10

4.11

Si en la aplicación Raphson, en algún aplicación del métodos métodos de NewtonNewton-Raphson, algún punto punto del proceso proceso iteratiiterativo, (i) , el determinante jacobiana evaluado vo, por por ejemplo ejemplo xx(i) determinante de la matriz matriz jacobiana evaluado en ese ese punto punto es cero, o muy muy cercano cercano a cero, cero, dicho dicho proceso proceso no puede puede continuarse. continuarse. ¿Qué ¿Qué hacer hacer en tales tales casos? casos? (véase (véase Probo 2.10). 2.10). Los Los métodos métodos estudiados estudiados en este este capítulo capítulo son aplicables aplicables también también a sistemas sistemas de ecuaciones ecuaciones lineales y a ecuaciones ecuaciones no lineales lineales en una una variable, variable, ya que estos estos dos son sólo sólo casos casos particulineales particulares lares del caso caso general general de sistemas sistemas de ecuaciones ecuaciones no lineales. lineales. Por Por ejemplo, ejemplo, si se aplicara aplicara el método método de Newton-Raphson Newton-Raphson para para resolver resolver el sistema sistema lineal lineal

4x 4x,I -- 9x22 + 2x33

5

2x 2x,1 -- 4x 4x22 + 6x33

3

x, XI --x2x 2 + 3x33

4

matriz de derivadas derivadas parciales parciales sería: sería: la matriz

-9 -9 -4 -4 -1 -1 Encuentre la solución solución utilizando utilizando el algoritmo algoritmo 4.2 con un vector vector inicial inicial adecuado. adecuado. Encuentre 4.2 con

~ ~

4.12 4.12

4.13 4.13

4.14 4.14

Resuelva Resuelva el problema problema 3.33 3.33 (considerando (considerando ahora ahora que que la reacción reacción es de orden orden 0.5 con con resresL -0.5 mol°.5 minpecto pecto a A y la constante constante de velocidad velocidad de reacción reacción kk,l es 0.05 0.05 L-0.5 mirr l'.. Emplee Emplee el programa programa del del problema problema 4.7, 4.7, o bien bien el PROGRAMA PROGRAMA 4.1 del del CD. Repita el problema problema 3.34, 3.34, considerando considerando que que la reacción reacción es de orden orden 0.5 y que que la constante constante Repita L-o.s molo. s minde velocidad velocidad de reacción reacción es 0.05 L-o.s mirr I'.. ¿La ¿La conversión conversión de A mejora mejora recircurecirculando lando los tres tanques tanques en lugar lugar de recircular recircular solamente solamente el primero? primero? Utilice el método método iterativo iterativo de punto punto fijo para para resolver resolver el sistema sistema de ecuaciones ecuaciones no lineales lineales Utilice ejemplo 4.4, 4.4, con con el vector vector inicial inicial del ejemplo

a) con con desplazamientos desplazamientos sucesivos sucesivos con desplazamientos desplazamientos simultáneos simultáneos b) con

Compare Compare la convergencia convergencia en los dos casos. casos. SUGERENCIA: SUGERENCIA:

4.15 4.15 4.16 4.16 4.17 4.17

Emplee Emplee el Mathcad Mathcad o un software software equivalente. equivalente.

Resuelva Resuelva el ejercicio ejercicio 4.8, 4.8, usando usando TVoo = = 9.9 9.9 Resuelva método de Newton-Raphson moResuelva los sistemas sistemas de los problemas problemas 4.6 y 4.9 por por el método Newton-Raphson modificado. dificado. Elabore ecuaciones no lineales método de Elabore un programa programa para para resolver resolver sistemas sistemas de ecuaciones lineales por por el método Newton-Rapshon Newton-Rapshon modificado, modificado, utilizando utilizando para para ello ello el algoritmo algoritmo 4.3. 4.3. Resuelva Resuelva con con dicho dicho programa programa el sistema sistema x2, X21

+2xl+exp(x, +xX22)=6.1718-x,x + 2xl + exp (xl + ) = 6.17183 -XI

lOx22

= = --xX22 xX33

sen (XI (x, Xx33)) + xl sen x 22

= 1.14l-x 1.141-x, l =

utilizando (O) = utilizando como como vector vector inicial inicial a xx(O) = [l,l,l]T. [l,I,I]T.

X3


rati-

4.18 4.18

31 9 9

La La siguiente siguiente tabla tabla representa representa las temperaturas temperaturas observadas observadas TeC) TrC) a diferentes diferentes tiempos tiempos t (min) (min) del agua agua en un tanque tanque de enfriamiento enfriamiento

T

oo

1

2

3

5

7

10

15

20

92.0 92.0

85.3

79.5 79.5

74.5 74.5

67.0 67.0

60.5

53.5 53.5

45 .0 45.0

39.5

Encuentre la ecuación Encuentre ecuación de enfriamiento enfriamiento que que mejor mejor represente represente estos estos valores, valores, empleando empleando el criterio criterio de mínimos mínimos cuadrados. cuadrados. Véase Véase ejercicio ejercicio 4.6. 4.19 4.19

relación entre entre el rendimiento rendimiento de un cultivo cultivo y la cantidad cantidad de fertilizante fertilizante x, aplicado La relación aplicado a ese cultivo, cultivo, se ha formulado formulado así: =a - b d d-X y=

donde donde O O<
4.20 4.20

ales 4.21 4.21

x

O O

y Y

44.4 44.4

54.6 54.6

2

3

4

63.8 63.8

65.7 65.7

68.9 68.9

obtenga estimaciones estimaciones de a, by by d empleando empleando el método método de los mínimos mínimos cuadrados. cuadrados. (Véase (Véase obtenga ejercicio ejercicio 4.6). 4.6). Resuelva los sistemas sistemas de ecuaciones ecuaciones no lineales lineales del problema problema 4.9 con con el método método de BroyBroyResuelva Compare el número número de iteraciones iteraciones requerido con el número número requerido requerido en los métodos métodos den. Compare requerido con punto fijo y de Newton-Raphson Newton-Raphson multivariable. Emplee en la comparación comparación EPS EPS = = II x(i) de punto multivariable. Emplee x(i-l)l) k 10-4. -- x(iElabore un programa programa de cómputo cómputo para para resolver resolver sistemas sistemas de ecuaciones ecuaciones no lineales con el Elabore lineales con método de Broyden. Broyden. método Emplee para para ello ello el algoritmo algoritmo 4.4. Resuelva Resuelva con con dicho dicho programa programa el sistema sistema Emplee 22 2X2 ++ exp (xl (xl + xX22) xll22 + 2X 2

)

= =

6.1718 -Xl -Xl XX33 6.1718

lOx22 == --Xx22 Xx33 lOx

sen (Xll Xx33) )+xl + xl = 1.141-x 1.14l-xl, l , sen(x 4.22 4.22

mo-

utilizando como vector inicial inicial a x(O) = = [l,I,I]T [l,I,I]T utilizando como vector método de Broyden Broyden pertenece pertenece a una una familia familia conocida conocida como como métodos métodos de Cuasi-NewCuasi-NewEl método ton. Otro Otro de los miembros miembros de dicha dicha familia familia se obtiene obtiene al reemplazar reemplazar a J (k) (k) de la ecuación ecuación ton. 4.22 con con una una matriz matriz AA(k) cuyos componentes componentes son son las derivadas derivadas parciales numéricas; esto esto 4.22 (k) , cuyos parciales numéricas; consiste en aproximar aproximar las derivadas derivadas parciales parciales analíticas analíticas de la matriz matriz jacobiana por sus es, consiste jacobiana JJ por correspondientes derivadas derivadas parciales parciales numéricas. Por ejemplo, ejemplo, para para una una función función de dos variavariacorrespondientes numéricas. Por y) las derivadas derivadas parciales parciales numéricas numéricas quedan quedan así: ble f (x, y)

f

(x + h, Y Y ) - f (( x, y )

de

df df

cho

dx dX

h

df df

f (x, y + h ) - f ( x, x, y )

dy

h

y

donde donde h es un valor valor pequeño. pequeño.

320

Métodos n numéricos aplicados a la ingeniería ingeniería Métodos u méricos apl icados a

Con las ideas dadas, , encuentre encuentre una solución aproximada aproximada del sistema sistema de ecuaciones ecuaciones no liCon ideas dadas una solución neales siguiente usando inicial [[.xO, ]T = = [O, O] T neales siguiente usando como como vector vector inicial xO, yO F J II (x, y) y) == xX22 -lOx y2 + 8 I -lOx + y2 8 == O O xy2 + X - lOy lOy + 8 = O J12 2(x, y)y) == .xy2 =O

4.23 4.23

I~I I~ I 4.24 4.24

Resuelva sistemas de ecuaciones ecuaciones no lineales lineales de los Resuelva los sistemas los problemas problemas 4.6 4.6 y 4.9, 4.9, mediante mediante el método con optimización optimización de t.t. método de Newton-Raphson Newton-Raphson con SUGERENCIA: SUGERENCIA:

Emplee el Emplee el

PROGRAMA

4.2 del CD. CD.

Otra forma forma de seleccionar seleccionar los valores del tamaño etapa t (véase (véase Seco Seco 4.6), consiste en Otra valores del tamaño de la etapa 4.6), consiste dividir el intervalo intervalo de búsqueda b] en dos dos partes sucesivamente. Esto dividir búsqueda [a, b] partes iguales iguales sucesivamente. Esto es: ti = = (a + b)/2, b)/2, ti

= (a + tll)/2, t22 = )/2,

t44

t33

== (t22 + tl)/2, l )/2,

== (ti (ti + b)/2 b)/2

= (t (t33 + tti i )/2, etcétera etcétera tss =

Gráficamente: Gráficamente: t2

t[ ti

t3

[----I~--~I __ -LI__ -'1I --~I--_] __ -LI---] [ --~I---'I--~ I---' a

~ ~

4.25 4.25 4.26 4.26

t4

ts t5

b

Para cada valor calcula el correspondiente correspondiente Zk+i' Para cada valor de t se calcula zk+i' Y el valor valor mínimo mínimo de Zk+1 Zk+ 1 proporproporcionará el valor óptimo de t. óptimo de t en la primer iteración de la t. Encuentre Encuentre el valor valor óptimo primer iteración cionará valor óptimo solución del ejemplo ejemplo 4.3 usando este método cálculo de t y el intervalo intervalo [[-1.2, solución usando este método de cálculo 1.2, - 1] . Modifique 4.2 del del CD de modo que se empleen empleen los valores calculados Modifique el PROGRAMA PROGRAMA 4.2 modo que valores de t calculados forma indicada indicada en el problema en la forma problema 4.24. 4.24. Resuelva siguientes sistemas sistemas de ecuaciones ecuaciones algebraicas algebraicas no lineales, lineales, proponiendo Res uelva los siguientes proponiendo en cacaso vectores iniciales. Emplee Emplee en cada cada caso caso los métodos métodos que que juzgue convenientes da caso vectores iniciales. juzgue más más convenientes y el software software de que que disponga. disponga. a) yy sen sen x + cos x - z

exp(x y) exp(x + y)

xx22

== O O

cos cos x -n/1.l5 -n/l.15

== O O

== O O 2 y2 ln(x y) y) + xx2 y2 = =8 ln(x

y + + 3xz 3xz + x33

b) b)

sen exp(x) == 2 sen x + yy exp(x)

x -xl == 129

c) xll33 + x 23 -xl X xl2l 2 Xl XI

4.27 4.27

= 9.75 9.75 + xlxl - x x 3322 =

9.49 + x22 -x = 9.49 - x 33 =

desea concentrar concentrar una solución con con una concentración inicial sólidos de 20% Se desea una solución una concentración inicial de sólidos 20% a una una concentración final final de 60% 60% en un evaporador de doble doble efecto. efecto. Se Se dispone dispone de vapor satuconcentración un evaporador vapor saturado 0.68 atm atm (10 psig) segundo efecto efecto que que opera opera con con una 0.136 rado a 0.68 psig) y el segundo una presión presión de vacío vaCÍo de 0.136 figura 4.17.) atm (2 psia). psia). (Ver figura 4.17.) alimentación al sistema, sistema, 18,240.6 18,240.6 kg./h, entra al primer 93.3 oC, °C, determine determine Si la alimentación kg./h, entra primer efecto efecto a 93.3 área de los evaporadores, evaporadores, Al cantidad de vapor el área A l yy A22,, Y la cantidad vapor requerido. requerido.

FiglJ Si:

eva


321

Figura Figura 4.17 4.17 Sistema Sistema de evaporación evaporación de doble doble efecto.

Otros Otros datos: datos: Cpp, F = kcal/(kg 0c) oC) = 0.9 kcal/(kg Cp, Ll Ll = = 0.8 fI" Cp ,L2 , L2 = fI = 0.8 0.8

4.28 4.28

= 3,516.5 3,516.5 kcal/thm") kcall(hm 2) UII = U "fI U22 == 2,440.4 2,440.4

El método dominante' para para resolver resolver sistemas ecuaciones método del eigenvalor eigenvalor (valor (valor propio) propio) dominante" sistemas de ecuaciones no lineales, algoritmo lineales, consiste consiste en emplear emplear el siguiente siguiente algoritmo x(k+2)

= _1_ = X(k) + __ 1 - "'-1¡

[ X(k+I) _ x(k)] x(k)] [X(k+l)

donde la matriz matriz jacobiana jacobiana J (véase (véase ecuación ecuación 4.17), 4.17), evaevadonde "'-11es el eigenvalor eigenvalor dominante dominante de la luada I ) y aproximado manera: luada en X(k+ x(k+l) aproximado de la siguiente siguiente manera: I X(k+I) X(k+ I )

X(k) - X(k)

I

"'"'------- I1--- ---I X(k) _ x(k+l) x(k+l) I o bien: bien: ?)1/2 (if (Xk+1 _ Xk)2)112 (Xk+l

;=1 i::::l

_ xk

I

1

"'"'-1=-------------1 =------------(Xk __ X XkH-1)2)1/2 p)I/2 (i=l;=1if (Xk 1 1

1 1

*• E. Kehat Programs-3: Solution of systemas systemas of of Non-Linear Non-Linear Kehat and and M. Shacham. Shacham. Chemical Chemical Processes Processes Simulation Simulation Programs-3: Solution of Equations. Process Technology pág. 181 (1973). (1973). Equations. Process Technology Inlernalional, lnternational, Vol. 18, pág.

322

Métodos icados a Métodos numéricos numéricos apl aplicados a la ingeniería ingeniería

( Hay Hay que que observar observar que que para para la primera primera aplicación aplicación de este este algoritmo algoritmo se requieren requieren tres vecvectores X(2), los cuales por ejemplo, tores iniciales iniciales x(O) , x(l) x(l) y x(2), cuales pueden pueden obtenerse, obtenerse, por ejemplo, con el método método de punto fijo multivariable. punto multivariable. Mediante Mediante este este algoritmo algoritmo resuelva resuelva el sistema: sistema: f¡ (x, y) = t. =

xx22 -lOx -lOx + y2 + 8 8 = =O O

= xy2 xy2 + X lOy + 8 = =O O f 22 (x, y) y) = X -- lOy

4.29 4.29

usando como vector vector inicial: inicial: [xD, [xD, yO] = [O,O]T [O,O]T y los resultados resultados de las dos primeras iteraciousando como yO] = primeras iteraciones del ejemplo ejemplo 4.1. 4.1. La convergencia del método .28), puede puede acelerarconvergencia del método del del eigenvalor eigenvalor dominante dominante (véase (véase Probo 4 4.28), acelerarse usando usando un factor factor t de la siguiente siguiente manera: manera: X (k + 2) X(k

= _ t _ [x(k 1) _ = X(k) + _t_ [x(k + 1)

X(k) ], ],

"'1

11-- Al

4.30 4.30

4.31 4.31

y ensayando varios valores Newton-Raphson con ensayando varios valores de t como como se hizo hizo en los métodos métodos de Newton-Raphson con optimización pendiente. El valor puede calcularse timización de t y del descenso descenso de máxima máxima pendiente. valor de t puede calcularse tamtambién en cada una fórmula por Broyden,* bién cada iterción iterción con con una fórmula dada dada por Broyden," o sea sea usa usa un valor valor constante. constante. Obtenga una aproximación problema 4.28 Obtenga una aproximación a una una solución solución del sistema sistema dado dado en el problema 4.28 utilizanutilizanvalor de t = = 0.7 do un valor Resuelva los sistema sistema de ecuaciones ecuaciones no lineales lineales de los problemas 4.9, empleando empleando el Resuelva problemas 4.6 y 4.9, método del descenso descenso de máxima máxima pendiente obtener los valores iniciales; luego, luego, con con método pendiente para para obtener valores iniciales; esos valores valores aplique aplique el método método de Newton-Ranphson método de Broyden. Broyden. esos Newton-Ranphson o el método Hay que que observar observar que método del descenso descenso de máxima máxima pendiente encuentra el míHay que en el método pendiente se encuentra nimo local local de la función función Zk Zk = = f¡f¡22 + f2222 + ... + t; 2. Este Este método método puede emplearse para apronimo fn2. puede emplearse para aproximar el llÚnimo mínimo local local de una función dada dada analíticamente, analíticamente, tomando tomando dicha dicha función función como como ximar una función Modifique el algoritmo algoritmo 4.5 para aproximar los los llÚnimos mínimos de las funciones funciones siguientes, siguientes, z. Modifique para aproximar usando EPS = = 10-55.. usando EPS a) b) c)

z(x, = sen cos y z(x, y) = sen (x + y) + sen sen x - cas z(xl' x 2, x 3 ) = x¡2 + xl-3x32 Z(x¡,x2,x3)=X12+xl-3xl z(x = x/ 2x2244++ 3xl-l 3x33-1 z(xl' x¡2 + 2x p x22, , x33) =


4.32 4.32

Grafique la superficie superficie el inciso inciso a) usando Mathcad o el Graphics Graphics Calculus Calculus (GC). (GC). Grafique usando el Mathcad

Encuentre todos factores cuadráticos cuadráticos de las ecuaciones ecuaciones polinominales siguientes: Encuentre todos los factores polinominales siguientes: 35x4 - 13x2 13x2 - 36 = =O O a) x88 + 13x66 + 350 6 6 5)x4 + (5n;2 (5n;2 + 6)x 6)x22 + 6n;2 == O O b) x + (n;2 + 5)0

4.33 4.33

¿Qué pasa cuando se aplica aplica el método método de Bairstow Bairstow a un polinomio que no tiene tiene factores factores ¿Qué pasa cuando polinomio que cuadráticos? Puede Puede usar, ejemplo, el polinomio cuadráticos? usar, por por ejemplo, polinomio -2.8x5 5 -11.3520 -1l.352x4 + 86.468x 86.468x33 + 438.252x 438.252x2 2 + 32.418x 32.418x - 1309.484 1309.484 . -2.8x

c.G. Broyden. Broyden. A Class Class of of Methods Solving Nonlinear Simultaneous Equiatiosns. Comp. 19 pág. • C.G. Methods for for Solving Nonlinear Simultaneous Equiatiosns . Math Math Comp. pág. 577 (1965).

111

CAPÍTULO CAPÍTULO

5

APROXIMACIÓN FUNCIONAL APROXIMACIÓN FUNCIONAL E INTERPOLACIÓN INTERPOLACIÓN dónde nos nos dirigimos dirigimos A dónde este capítulo capítulo se estudiará estudiará la aproximación aproximación de funciones funciones disponibles disponibles en forma forma discrediscreEn este (puntos tabulados), con funciones funciones analíticas analíticas sencillas, sencillas, o bien bien de aproximación aproximación de flmfunta (puntos tabulados), con ciones cuya cuya complicada complicada naturaleza naturaleza exija exija su reemplazo reemplazo por por funciones funciones más más simples. simples. Para Para ciones lograr esto esto partiremos partiremos de tablas tablas de valores valores dados utilizando la familia familia de los polinopolinolograr dados y, utilizando mios, aproximaremos aproximaremos una sección sección de la tabla tabla por por una una línea línea recta, recta, una parábola, parábola, etc. La La mios, elección del grado grado se hará hará analizando analizando el fenómeno fenómeno que que Oliginó originó los valores valores y, el tipo elección tipo de aproximación, con base base en la exactitud de éstos. éstos. aproximación, la exactitud En la parte final del capítulo capítulo se estudia estudia la aproximación aproximación utilizando utilizando el criterio criterio de los parte final mínimos cuadrados cuadrados y se incluyen aproximaciones multilineales. multilineales. núnimos incluyen aproximaciones Las ideas ideas y técnicas técnicas de interpolación-extrapolación interpolación-extrapolación permean el desarrollo desarrollo de los Las permean métodos de los capítulos capítulos siguientes siguientes como como integración, integración, derivación, derivación, solución solución de ecuacioecuaciométodos nes diferenciales ordinarias ordinarias y parciales parciales e incluso incluso se emplearon emplearon ya en la obtención obtención de nes diferenciales métodos para para resolver resolver ecuaciones ecuaciones no lineales. lineales. métodos

Introducción Introducción La enorme enorme ventaja ventaja de aproximar aproximar información discreta o funciones funciones "complejas", "complejas", con con funLa información discreta ciones analíticas analíticas sencillas, sencillas, radica radica en su mayor mayor facilidad facilidad de evaluación evaluación y manipulación, manipulación, siciones tuación necesaria necesaria en el campo campo de la ingeniería. ingeniería. tuación Las funciones de aproximación aproximación se obtienen obtienen por por combinaciones combinaciones lineales lineales de elementos elementos Las funciones familias de funciones funciones denominadas denominadas elementales. elementales. En general general tendrán forma de familias tendrán la forma a080 (x) + a[g[ (x) + ... + a"g" (x),

(5.1)

donde a¡, aj, O < i < n, son son constantes constantes por por determinar determinar y g/x), g¡(x), O .,:; .,:;i":; i":; n funciones funciones de una una famifamidonde 2 , ... lia particular. Los Los monomios monomios en x (xo, (xo, x, x x2, ... ) constituyen constituyen la familia familia o grupo grupo más empleaemplealia particular. combinaciones generan generan aproximaciones aproximaciones del tipo tipo polimonial polimonial do; sus combinaciones (5.2) (5 .2) grupo conocido conocido como como funciones funciones de Fourier Fourier El grupo cos x, sen sen 2x, 2x, cos cos 2x, ..... . , 1, sen x, cos combinarse linealmente, linealmente, genera genera aproximaciones aproximaciones del tipo: tipo: al combinarse Il Il

11 11

.L a¡ a¡ cos ix ix + .L .L b¡ b i sen ix aoo + .L 1;[ 1;[ I ;! 1;\ grupo de las funciones funciones exponenciales exponenciales El grupo 2x, ... 1, eX, e', e2x ,...

(5.3)

324

Métodos numéricos


también puede usarse del modo siguiente n

(5.4)

L ae" i=ü

De estos tres tipos de aproximaciones funcionales, las más comunes por su facilidad de manejo en evaluaciones, integraciones, derivaciones, etc., son las aproximaciones polinomiales (5.2) y son las que se estudiarán a continuación. Sea una función f (x) dada en forma tabular Puntos

o

1

n

2

x

f

f(x)

(x,,)

Para aproximar af(x) por medio de un polinomio del tipo 5.2, se aplica alguno de los criterios siguientes: el de ajuste exacto o el de mínimos cuadrados. La técnica del ajuste exacto consiste en encontrar una función polinomial que pase por los puntos dados en la tabla (véase Fig. 5.1). El método de mínimos cuadrados consiste en hallar un polinomio que pase entre los puntos y que satisfaga la condición de minimizar la suma de las desviaciones (d) elevadas al cuadrado; es decir, que se cumpla n

L (d.)2 = mínimo i=ü

1

Cuando la información tabular de que se dispone es aproximada hasta cierto número de cifras significativas, por ejemplo la de tablas de logaritmos o de funciones de Bessel, se recomienda usar ajuste exacto. En cambio, si la información tiene errores considerables, como en el caso de datos experimentales, no tiene sentido encontrar un polinomio que pase por esos puntos sino más bien que pase entre ellos; entonces, el método de mínimos cuadrados es aplicable. y , f(X3)

f(X2)

--------------~---

, , ,

= d3

/-d2

----------/?

-

I I

Figura 5.1 Aproximación polinomial con criterio de ajuste exacto (curva discontinua) y con mínimos cuadrados (curva llena).

f(xl)

------

.zz d,

I I I I

,r , ,

I I

,r

I

f(xo)

I I

"-d

- -9- o

I I

I

Xo

XI

X2

x3

X

5

Aproximación

funcional

e interpolación

325

Una vez que se obtiene el polinomio de aproximación, éste puede usarse para obtener puntos adicionales a los existentes en la tabla, mediante su evaluación, lo que se conoce como interpolación. También puede derivarse o integrase a fin de obtener información adicional de la función tabular. A continuación se describen distintas formas de aproximar con polinomios obtenidos por ajuste exacto y su uso en la interpolación. En la sección 5.8 se describe la aproximación polinomial por mínimos cuadrados, y en el capítulo 6 la derivación y la integración.

5.1 Aproximación polinominal simple e interpolación La interpolación es de gran importancia en el campo de la ingeniería, ya que al consultar fuentes de información presentadas en forma tabular, es frecuente no encontrar el valor buscado como un punto en la tabla. Por ejemplo, las tablas 5.1 y 5.2 presentan la temperatura de ebullición de la acetona (C3H60) a diferentes presiones. Tabla 5.1 Temperatura de ebullición de la acetona a diferentes presiones.

e e

Puntos

O

T (0C)

56.5

P (atm)

1

2

3

4

5

6

78.6

113.0

144.5

181.0

205.0

214.5

2

5

10

20

30

40

Tabla 5.2 Temperatura de ebullición de la acetona a diferentes presiones.

Puntos TCC)

O 56.5

2

3

113.0

18l.0

214.5

5

20

40

P (atm)

Supóngase que sólo se dispusiera de la segunda y se desease calcular la temperatura de ebullición de la acetona a 2 atm de presión. Una forma muy común de resolver este problema es sustituir los puntos (O) y (1) en la ecuación de la línea recta: p (x) = ao + a jX, de tal modo que resultan dos ecuaciones con dos incógnitas que son ao Y aj• Con la solución del sistema se consigue una aproximación polinominal de primer grado, lo que permite efectuar interpolaciones lineales; es decir, se sustituye el punto (O) en la ecuación de la línea recta y se obtiene: . 56.5 = ao+ 1 al y al sustituir el punto (1) 113

= ao + 5 a"

sistema que al resolverse da ao = 42.375 Y al Por tanto, estos valores generan la ecuación:

=

14.125

p (x) = 42.375 + 14.125 x

(5.5)

326


La para aproximar aproximar la la temperatura temperatura cuando cuando la prepreLa ecuación ecuación resultante resultante puede puede emplearse emplearse para atm se obtiene obtiene una una temperatura temperatura de 70.6 70.6 "C. oC. sión sión es conocida. conocida. Al sustituir sustituir la presión presión x = = 2 atm A este este proceso proceso se le conoce conoce como como interpolación. interpolación. verse como como una una serie serie de puntos puntos (O), (O), (1), (2) Y (3) en Gráficamente Gráficamente la tabla tabla 5.2 puede puede verse unen con con una una línea línea los los puntos puntos (O) (O) y (1), por por búsbúsun plano plano P vs T (Fig. 5.2), 5.2), en donde donde si se unen para P = = 2 atm. atm. queda queda gráfica gráfica se obtiene obtiene T '" 70.6 70.6 oC, °C, para En realidad, consistido en aproximar aproximar una una función función analítica analítica realidad, esta esta interpolación interpolación sólo sólo ha consistido desconocida tabular, por por medio medio de una una línea línea recta que pasa desconocida [T = = f (P)] dada dada en forma forma tabular, recta que pasa por por los puntos puntos (O) (O) y (1). Para aproximar aproximar el valor valor de la temperatura temperatura correspondiente Para cOlTespondiente a P = = 2 atm atrn se pudieron pudieron tomar tomar otros puntos distintos, pero es de suponer que el resultado resultado tendría tendría otros dos puntos distintos, por por ejemplo ejemplo (2) y (3), pero suponer que mayor, ya que el valor valor que que se busca está entre entre los puntos puntos (O) (O) y (1). un margen margen de eiTor error mayor, busca está Si se quisiera mejor al valor valor "verdadero" de la temperatura temperatura buscabuscaquisiera una una aproximación aproximación mejor "verdadero" de da, tabla con con una una curva curva suave suave (sin (sin picos), picos), por por ejemplo ejemplo tres tres da, podrían podrían unirse unirse más más puntos puntos de la tabla (O), obtener T correspondiente correspondiente a P = = 2 atm. atm. (O), (1), (2) (véase (véase Fig. 5.3) 5.3) y gráficamente gráficamente obtener la función función desconocida desconocida [T = = Analíticamente, resuelve al aproximar aproximar la Analíticamente, el problema problema se resuelve f(P)] con un polinomio que pase tres puntos puntos (O), (O), (1) y (2). Este polinomio es una una f(P)] polinomio que pase por por los tres Este polinomio parábola parábola y tiene tiene la forma forma general general P2(x) aJx + a~2, (5.6) P2(x) = aoo + a¡x a~2, (5.6) donde determinan sustituyendo cada uno uno de los los tres puntos puntos donde los parámetros parámetros aoo,, aa¡J y a22 se determinan sustituyendo cada conocidos conocidos en la ecuación ecuación 5.6; 5.6; es decir: decir:

56 a J1 + a221122 56.5.5 = =aaoo + a¡l 113 = = aoo + a¡5a 15- + a225522

(5 .7) (5.7)

181 = = aoo + a¡20 a J20 + a2220 2022 Al resolver resolver el sistema sistema se obtiene: obtiene:

aaoo = = 39.85, 39.85,

al = = 17.15,

-0.50482 a22 = = -0.50482

T oe TOC 113

--- - --- ---------- --- ------- -- - -- -- ------------------------------------

PI p¡

110

100

90 90

80

70 70 5.2 Figura 5 .2 Interpolación Interpolación gráfica de la la temperatura temperatura de ebullición de la la ebullición acetona a a2 2 acetona

atm.

••• ...

70.6 70.6

60 60 56.5 56.5 II

50

50

Po

2

I L-

O

__

---'-

--'-

2

L-

3

__

--'-

4

-'--_-j~

5

6

Aproximación

pre-

funcional e interpolación

327

200 TOC

0c.

181 3)

180

en

bús160 J40 120 113

100 80

72.1

••

60 56.5 Figura 5.3 Interpolación gráfica con tres puntos.

(5.7)

2

40 O

O

10

15

20

25 P atm

De tal modo que la ecuación polinomial queda: P2

(x)

= 39.85 +

17.15x - 0.50482x2

y puede emplearse para aproximar algún valor de la temperatura correspondiente lor de presión. Por ejemplo si x = 2 atm, entonces: T '" P2 (2)

=

(5.8) a un va-

39.85 + 17.15 (2) - 0.50482(2)2 '" 72.1 °C

La aproximación a la temperatura "correcta" es obviamente mejor en este caso. Obsérvese que ahora se ha aproximado la función desconocida [T = f (P)] con un polinomio de segundo grado (parábola) que pasa por los tres puntos más cercanos al valor buscado. En general, si se desea aproximar una función con un polinomio de grado n, se necesitan n + 1 puntos, que sustituidos en la ecuación polinomial de grado n: (5.9) generan un sistema de n + 1 ecuaciones lineales en las incógnitas ai, i = O, 1,2 ... , n. Una vez resuelto el sistema se sustituyen los valores de a¡ en la ecuación (5.9), con lo cual se obtiene el polinomio de aproximación. A este método se le conoce como aproximación polinomial simple. Por otro lado, como se dijo al principio de este capítulo, puede tenerse una función conocida pero muy complicada, por ejemplo: (5.10)

f

(x)

=

(2/x)

1/2

sen x

(5.11)

la cual conviene, para propósitos prácticos, aproximar con otra función más sencilla, como un polinomio. El procedimiento es generar una tabla de valores mediante la función original y a partir de dicha tabla aplicar el método descrito arriba.

328 ALGORITMO ALGORITMO

ingeniería Métodos numéricos numéricos apl:cados apl:cados a a la ingeniería Métodos

Aproximación polinominal polinominal simple 5.1 Aproximación

Para obtener obtener los (n + 1) coeficientes coeficientes del polinorrtio polinomio de grado grado n (n > > O) O) que que pasa pasa por por (n + 1) puntos, puntos, proporcionar proporcionar los Para DATOS: grado del polinorrtio polinomio N y las N + 1I parejas parejas de valores valores (X(I), (X(I), FX FX (1), 1=0,1, 1=0,1, ...... , N). DATOS: El grado RESULTADOS: Los Los coeficientes coeficientes A(O), A(I), A(l), ...... , A(N) A(N) del polinorrtio polinornio de aproximación. aproximación. RESULTADOS:

PASO PASO l. Hacer Hacer I = =O. PASO 2. Mientras Mientras I:S; I:S; N, N, repetir repetir los pasos pasos 3 a 9. PASO PASO 3. Lacer Lacer B(I, B(I, O) O) = = ll.. PASO PASO 4. Hacer Hacer J = l. PASO PASO 5. Mientras Mientras J :s; :s;N, repetir los pasos pasos 6 y 7. PASO N, repetir PASO 6. Hacer Hacer B(I, B(I, J) = B(I,J-l) B(I,J-l) * X(I). X(I). PASO PASO 7. Hacer Hacer J = = J+1. J+1. PASO PASO 8. Hacer Hacer B(I,N+l) B(I,N+l) = = FX(I). FX(I). PASO PASO 9. Hacer Hacer I = 1 + 1. PASO PASO 10. Resolver Resolver el sistema sistema de ecuaciones ecuaciones lineales lineales B a = fx de orden orden N + 1 con con alguno alguno de los algoritmos algoritmo s del capítulo capítulo 3. PASO PASO IMPRIMIR A(O), A(l), A(l), ...... , A(N) A(N) YTERMINAR. TERMINAR. PASO 11. IMPRIMIR

Lagrange 5.2 Polinomios de Lagrange método de aproximación aproximación polinomial polinomial dado dado en la sección sección anterior, anterior, requiere requiere la solución solución de El método sistema de ecuaciones ecuaciones algebraicas algebraicas lineales lineales que, que, cuando cuando el grado polinomio es alto, un sistema grado del polinomio puede presentar presentar inconvenientes. inconvenientes. Existen Existen otros otros métodos métodos de aproximación aproximación polinomial polinomial en que que puede requiere resolver resolver un sistema sistema de ecuaciones ecuaciones lineales lineales y los cálculos cálculos se realizan direcno se requiere realizan directamente; entre entre éstos éstos se encuentra encuentra el de aproximación aproximación polinomial polinomial de Lagrange. Lagrange. tamente; parte nuevamente nuevamente de una una función función desconocidaf(x) desconocidaf(x) dada dada en forma forma tabular tabular y se asuSe parte me que un polinomio polinomio de primer primer grado grado (ecuación (ecuación de una línea recta) puede puede escribirse: escribirse: me que línea recta)

(5.12) (5.12) donde x, xl y X Xoo son los argumentos argumentos de los puntos puntos conocidos conocidos [xo,f(x [xo,f(xo)]'o)]' [XI,f(X [XI,f(XI)],I )], y aoo y al al donde coeficientes por por determinar. determinar. Para Para encontrar encontrar el valor valor de a aoo'' se hace hace xx = Xoo en la son dos coeficientes ecuación 5.12, 5.12, que que al despejar despejar da: ecuación (x )) p (x

f(x ) ) f(x

Xoo -Xl -Xl X

Xoo -Xl -Xl X

oo = - o oaaoo=--=--=--

y para para hallar hallar el valor valor de al' se sustituye sustituye el valor valor de

X

(5.13) (5.13)

con con el de xi' xi' con lo que que resulta: resulta:

(Xl) P (Xl)

f(XI) l ) f(x

xXl-X ,-x O o

xl-x Xl-XO O

al = =---=--al ---=---

(5.14) (5.14)

modo que al sustituir sustituir las ecuaciones ecuaciones 5.13 Y 5.14 5.14 en la 5.12 5.12 queda: queda: de tal modo (5.15) (5.15) forma más más compacta: compacta: o en forma (x) = Lo (x)f(x (x)f(xo) o) + L¡ (x)f(x (x)f(xl) l ) p (x)

(5.16) (5.16)

Aproximación Aproximación funcional funcional e e interpolación interpolación

329

donde: donde:

x-x __x-x Lo (x) == _ _ 1

y

X -XI xO-x¡

o

L¡ (x)

x-x

= __ XI

o

(5.17) (5.17)

-xO

igual manera, manera, un polinomio polinomio de segundo segundo grado grado (ecuación (ecuación de una parábola) puede puede escriescriDe igual una parábola) birse: birse:

(5.18) (5.18) donde xoo', XI x¡ y x22 son los argumentos argumentos correspondientes correspondientes a los tres puntos puntos conocidos conocidos [xO' [x(» ff donde (xoo)])] , [x¡,f(x [xl,f(x¡)], ¡)], [x [x22,f(x valores de aoo', a¡ al y Y a22 se encuentran encuentran sustituyendo (x ,f(x sustituyendo xX = xoo'' 2)]; 2 )]; los valores x = = X x¡I Y y Xx == xx22'' respectivamente, respectivamente, en la ecuación ecuación 5.18 5.18 para para obtener: obtener: y

(5.19) (5.19) 3.

cuyo reemplazo reemplazo en dicha ecuación genera siguiente polinomio polinomio cuyo dicha ecuación genera el siguiente

(5.20) (5.20) donde: donde: de lto,

Lo

(x) = (x - xl) (xo - xl)

que

(x - x2)

,

(xo - x2)

(5 .21) (5.21)

ecasu-

.12)

Por n-ésimo grado; grado; este este Por inducción inducción el lector lector puede puede obtener obtener polinomios polinomios de tercer, tercer, cuarto cuarto o n-ésimo último último queda queda como como se indica indica a continuación continuación

yal n la

donde: donde:

.13) LI

(x) =

(x - xo) (x - x2) (XI - xo) (xl

- x2)

(x - xll) (xI - x,,)

.14)

.15)

que que en en forma forma más más compacta compacta y útil útil para para programarse programarse en en un un lenguaje lenguaje de de computadora computadora quequedaría: daría: 11 1/

P P"II (x) (x) = = L I, L¡ L¡ (x)f(x) (x) f (x) .16)

;=0 i=O

(5.22) (5.22)

330

Mét odos n u méri cos aplicad os a gen iería aplicados a la la in ingeniería Métodos numéricos

donde*: donde': (x - x) 11 (x-x) L¡ (x) (x) = = n Il --"--------'-L¡ j=ü j=ü j# j#

(5.23) (5.23)

x) (x¡ - x)

combinarse linealmente linealmente con con f (x¡), los polinomios polinomios L¡ (x), (x), denominados denominados polinomios polinomios de Al combinarse Lagrange, generan generan la aproximación aproximación polinomial Lagrange a la información información dada dada en forLagrange, polinomial de Lagrange ma tabular. tabular.


Para la tabla tabla que que se presenta presenta a continuación continuación Para Obtenga la aproximación aproximación polinomial polinomial de Lagrange Lagrange con con todos todos los puntos a) Obtenga puntos Interpole el valor valor de la funciónf(x) funciónf(x) para para x = = 1.8 b) Interpole /

oo f(x) f(x)

Solución

2

3

-3

oo

5

7

oo

1

3

6

Obsérvese que que hay hay cuatro cuatro puntos puntos en la tabla, tabla, por por lo que que el polinomio polinomio será será de tertera) Obsérvese cer grado. grado. Al sustituir sustituir los cuatro cuatro puntos puntos en las ecuaciones ecuaciones generales generales 5.22 5.22 y 5.23 5.23 se cer obtiene: obtiene:

-3

(x) = - (x (x -- 1) 1) (x (x -- 3) 3) (x (x -_ 6) 6) (O _ 1) (O-3 + P P33 (x) _ 3) (O _ 6) + (0-1)(0-3)(0-6) II

O O

(X - O) (x - 3) (x - 6) ------(x - O) (x - 3) (x - 6) (1 _ O) (1 _ 3) (1 _ 6) (1 - O) (1 - 3) (1 - 6)

5 + (x - O) (x - 1) (x - 6) (3 _ O) (3 _ 1) (3 _ 6)

.. 7 O) (x - 1) (x - 3) (6 _ O) O) (6 _ 1) (6 _ 3) + (x - O) efectuar las operaciones operaciones queda: queda: al efectuar P3(x) P3(X)

= (x33 =

lOx2 + 27x 27x - 18) 18) (l/6) (l/6) + (x33 -7x2 -7x2 + 6x) (-5/18) (-5/18) + (x 3 - 4x2 4x2 + 3x) (7/90) (7/90) lOx2

finalmente resulta: resulta: y finalmente P (x) = - 3

3 3 3 ? 276 x - x- + - - x - 3 90 90 90

valor de x == 1.8 se sustituye sustituye en la aproximación aproximación polinomial polinomial de Lagrange Lagrange de terb) El valor cer grado grado obtenida obtenida arriba arriba y se tienef(1.8) tienef(1.8) '" 2. cer Los cálculos cálculos pueden pueden hacerse hacerse con con Matlab Matlab o con con la TI-92 TI-92 Plus Plus 1. Los

•• tIrr (x(x 1=11 ;=

x¡) (x - xXII). ). x¡) = (x - xI) xI) ((xx - xz) xZ) ... ... (x "

Aproximación


331

~ x= [O 1 3 6] ; O 5 7] ;

y=[-3

e r-

xi=1.8; (x , y,

yi=interp1

xi)

e5_1 () Prgm C1rIO

{O, 1, 3, 6}-+a : {-3, A+n : O+i: : De1var x

1,

For i, y[i]-+p

O, 5,

7}-+y

n

i, 1, n i=] p* (x-a [j]) / (a [i] -a [j])-+p

For if

EndFor

rse

r+p+i: EndFor Disp

"Po1inomio

Disp

expand(r)

FnOff

: a[l]-.l*

a[n]+_l*

interpo1ante" : Pause (a [n]-a[l])-+xmin

(a [n]-a[l]-+xmax

min(y)-.l*(max(y)-min(y))

-+ymin

max (y) +.1* (max(y) -min (y))

+ymex

DrawFunc r

: NewP10t 1, 1, a,

y

FnOn : Pause setMode ("Sp1it

1 App",

"Home")

EndPrgm

Obsérvese que si se remplaza x con cualquiera de los valores dados en la tabla, en la aproximación polinomial, se obtiene el valor de la función dado por la misma tabla.

Encuentre tanto la aproximación polinomial de Lagrange a la tabla 5.2 como el valor de la temperatura para una presión de 2 atm utilizando esta aproximación.

Solución

a) Aproximación

polinomial de Lagrange mediante dos puntos (n = 1)

r-

(5.24) al sustituir los primeros dos puntos de la tabla resulta: P (x)

x-5

= --

1-5

x-1

56.5 + -5-1

113

332

Méto dos n um é rico s a p licados a iería Métodos numéricos aplicados a la la ingen ingeniería

Observe tanto, al sustituir Observe que que la ecuación ecuación 5.24 5.24 es equivalente equivalente a la 5.5 y, por por tanto, sustituir x = 2 se obtiene mismo resultado resultado T '" obtiene el mismo "" 70.6 70.6 oC, °C, como como era era de esperar. esperar. b) Aproximación Aproximación polinomial polinomial de Lagrange Lagrange con tres puntos puntos (n con tres

P2 (X) = =

(X-Xl) (X - 2X (X-Xl) (X-X ) 2)

(X - oX (X-X ) o) (X-X (X-X2) 2 )

(Xo) !f (X o) + (Xl ) (Xl

(X Xl) (X (xoo -- Xl) (xoo -- X22

+

= = 2)

(X-X (X-Xo) o) (X-XI) (X-Xl) (X22 - Xo XI) O) (X22 - Xl)

- Xo (Xl - X22 ) o)) (Xl

!f

(x.) (Xl)

f(x2) 2) !(X

al sustituir primeros tres tres puntos puntos de la tabla, tabla, se obtiene: sustituir los primeros obtiene: (X) P2

= =

(x - 5) (x - 20) 56.5 - 1) (x - 20) 113 - 1) (x - 5) 181 (x-5) (x-20) 56.5++ (x (x-1)(x-20) 113++ (x (x-1)(x-5) (1 - 5) (1 - 20) (5 - 1) (5 - 20) (20 - 1) (20 - 5)

(5.25) (5.25)

polinomio que puede servir para interpolar temperatura de ebullición polinomio que puede servir para interpolar la temperatura ebullición de la acetona acetona a la presión de 2 atm; así el resultado resultado queda presión queda T '" "" 72.1. 72.1. Observe Observe que que la ecuación ecuación 5.25 5.25 equivale equivale a la 5.8. e) La La tabla tabla 5.2 puntos, por por lo que polinomial de mama5.2 contiene contiene cuatro cuatro puntos, que la aproximación aproximación polinomial yor grado posible es 3. Se desarrolla para n = 3 yor grado posible desarrolla la ecuación ecuación 5.22 5.22 para

(5.26) (5.26)

Al sustituir sustituir los puntos obtiene: puntos de la tabla, tabla, se obtiene: (X - 5) (x (x 40) 113 + (x - 20) 20) (x (x - 40) 40) (x - 1) (x (x - 20) (x (x - 40) P3 (x) (x) = = (1 _ 5)(1 5)(1 _ 20) (1 -_ 40) 56.5 + (5 - 1) (5 - 20) (5 - 40) 40) 56.5 40) (X 40) (X -- 1) (x - 5) (x - 40)

40) (20 - 1) (20 - 5) (20 - 40)

181 +

(X (X -- 1) (x - 5) (x - 20) 214.5 214.5 (40 - 1) (40 - 5) (40 - 20)

y al simplificar simplificar queda: queda: P3 (x) (x) = 0.01077 x33 - 0.78323 0.78323 x2 18.4923 xX + 38.774 38.774 = 0.01077 x 2 + 18.4923

el cual para encontrar valor de la temperatura precual puede puede empelarse empelarse para encontrar el valor temperatura correspondiente correspondiente a la presión pix) queda: sión de 2 atm. atm. Con Con la sustitución sustitución de Xx = = 2 Y al evaluar evaluar pix) queda:

Pa¡

pi2) = T= = f(2) f(2) '" ""p3(2) = 0.01077(2)3 0.01077(2)3 + 0.78323(2)2 0.78323(2)2 + 18.4923(2) 18.4923(2) + 38.774 38.774 = = 72.7 72.7 Para cálculos puede TI92-Plus Para realizar realizar los cálculos puede usar usar Matlab Matlab o la TI92-Plus

PA PA PA


333

2 se

P=[l 40];; P=[l 55 20 40} T=[56.5 113 181 181 214 214.5]; T=[ 56. 5 113 . 5} ; xi=2; xi =2; yi=interp1 (P, T T,, xi) xi) yi=interp1 (P, yi=interpl (P, T T,, xi, xi, yi=interpl (P, ''eubie') eubie ' ) yi=interpl (P, T T,, xi xi.,, ''sp1ine') yi=interpl (P, spline ')

Sobre 'spline' 'spline' vea vea la sección sección 5.7 Sobre

5.25) e5_2 2 () () e5_ Prgm Prgm CIrIO ClrIO del polinomio", po1inomio", n Request ""Grado Grado del n expr(n) +l=+nn expr (n) +1--+

a la ivale ma-

For ii ,, 1 1,, nn For (i)) Request ""P("&string P (" &string (i expr(e)-->x[i] expr (e) --+ x[i} Request ""T("&string (i) T( " &string (i) expr (e) (e) -->y expr --+y [i] [i}

&")", &")",

e

&")", &")" ,

e

EndFor

5.26)

Request "Presion "Presion a interpolar", interpolar", expr(e)-->xint: tr+r expr(e)--+xint: O--+r

\

e

For i,l,n For i ,l ,n y[i]->p y[i} --+p

¡

Forj, 1, For j , 1 , n if f ú!j i ioIj

:»

p* (xint (xint-a-a [j]) (a [i] [j] ) / (a [i] -a -a tin [j] )--+p EndFor r+p+i: r+p--+r EndFor

Disp "fl") &")="&format "f4") Disp "T("&format " T (" &format (xint, (xint, "fl") &") =" &format (r, (r, "f4") EndPrgm EndPrgm

ALGORITMO ALGORITMO

pre-

·1

5.2 Interpolación Interpolación con con polinomios polinomios de de Lagrande Lagrande

Para Para interpolar interpolar con con polinomios polinomios de de Lagrange Lagrange de de grado grado N, N, proporcionar proporcionar los los El El grado grado del del polinornio polinomio N, N, las las N N + 1 parejas parej as de de valores valores (X(I), (X(1), FX(I), FX(1), 1=0,1, 1=0,1, ... ... ,, N) N) Y Yel el valor valor para para el el que que se se desea desea la la interpolación interpolación XINT. XINT. RESULTADOS: FX1NT, el el valor valor de de la la función función en en XINT. X1NT. RESULTADOS: La La aproximación aproximación FXINT,

DATOS: DATOS:

PASO PASO l.l. Hacer Hacer FXINT FXINT = O. O. PASO PASO 2. Hacer Hacer 1 = O. PASO ~ N, PASO 3. 3. Mientras Mientras 11:0; N, repetir repetir los los pasos pasos 44 aa 10. PASO PASO 4. Hacer Hacer LL = l.1.

334

Métodos icados a iería aplicados a la ingen ingeniería Métodos numéricos numéricos apl

PASO PASO 5. Hacer Hacer J1 = O. PASO 6. Mientras Mientras J:S:; 1:S; N, repetir PASO repetir los pasos pasos 7 yy 8. PASO PASO 7. 7. Si I JHacer JHacer L = L * (XlNT-X(J))/(X(I)-X(J)). (XINT-X(J))/(X(I)-X(J)). PASO 8. Hacer Hacer J=J 1=1 + 1. PASO PASO PASO 9. Hacer Hacer FXINT FXINT = FXINT FXINT + L * (FX (FX (1). (1). PASO 10. Hacer Hacer I = I1 + 1. PASO PASO 11. IMPRIMIR IMPRIMIR FXlNT FXINT Y TERMINAR. TERMINAR. PASO

*

Ejemplo 5.3 Ejemplo

Solución

Elabore un programa aproximar la funciónf(x) funciónf(x) = cos cos x en el intervalo intervalo [O, 8n] 8n] , con con Elabore programa para para aproximar = polinomios Lagrange de grado 1,2,3, ... ,10. ,10. Use que se requieran, distripolinomios de Lagrange grado 1, 2, 3, ... Use los puntos puntos que requieran, distribuidos intervalo. buidos regularmente regularmente en el intervalo. Determine en forma forma práctica error máximo que se comete comete al aproximar aproximar con con los poDetermine práctica el error máximo que polinomios de los diferentes diferentes grados grados y compare compare los resultados. linomios resultados. encuentra en el CD (PROGRAMA (PROGRAMA 5.1). 5.1).' Para Para calcular calcular el error error máximo máximo se diEl programa programa se encuentra vidió intervalo [ O, O, 8n] 8n] en 20 subintervalos subintervalos y se calculó calculó el valor con el polinomio intervidió el intervalo valor con polinomio interpolante valor verdadero con la función función cos x, determinando determinando el error error absoluto. absoluto. Se polante y el valor verdadero con obtuvieron los siguientes siguientes resultados. obtuvieron resultados. Grado Grado

Error máximo Error máximo

1

2.23627 2.23627

2

2.23622 2.23622

3

3.17025 3.17025

4

2.23627 2.23627

5

4.04277 4.04277

6

4.1879 4.1879

7

5.68560 5.68560

8

33.74134 33 .74134

9

12.82475 12.82475

10

35.95l74 35.95174

observa que al aumentar aumentar el grado grado del polinomio, error absoluto absoluto máximo máximo va aumenaumenpolinomio, el error Se observa tando. tando.

Antes de pasar estudio de otra otra forma forma de aproximación aproximación polinomial polinomial (de Newton), Newton), se requierequieAntes pasar al estudio re el conocimiento conocimiento de las diferencias diferencias divididas, divididas, las cuales cuales se presentan continuación. presentan a continuación.

5.3 Diferencias divididas Por definición definición de derivada derivada en el punto función analíticaj(x) analíticaj(x) se tiene: Por punto XXoo de una una función tiene:

f' I'

(x)

= lím x-+xo

x-xo


335

Sin embargo, embargo, cuando cuando la función función está está en forma forma tabular tabular

oo

Puntos Puntos

1

2

n

x

xnl1 X

f(x) f(x)

f(x,,) f(x,)

La derivada derivada sólo sólo puede puede obtenerse obtenerse aproximadamente; aproximadamente; por por ejemplo, ejemplo, si se desea desea la derivada derivada < < xI)' puede estimarse como sigue: en el punto punto x, (x (xo< x < Xl)' puede estimarse como sigue: o po-

f'

(x) '" f(x l) - f(xo) , XI-XO

diter. Se

El lado lado derecho derecho de la expresión expresión anterior anterior se conoce conoce como como la primera* primera" diferencia diferencia dividida dividida de f(x) respecto xoy xl' x" y se denota x¡] ; así, f(x) respecto a los argumentos argumentos xoY denota generalmente generalmente comof[x comof[xo, o, Xl]

La relación relación entre entre la primera primera diferencia diferencia dividida dividida y la primera primera derivada derivada queda queda establecida establecida por por el teorema teorema del valor valor medio medio

siempre siempre y cuando cuando f (x) satisfaga satisfaga las condiciones condiciones de aplicabilidad aplicabilidad de dicho dicho teorema. teorema. Para Para obtener obtener aproximaciones aproximaciones de derivadas derivadas de orden orden más más alto, alto, se extiende extiende el concepto concepto de difediferencias como se ve en la tabla 5.3, en donde rencias divididas divididas a órdenes órdenes más más altos altos como tabla 5.3, donde para para uniformar uniformar la notación notación se han han escrito escrito los los valores valores funcionales funcionales en los argumentos argumentos Xi' Xi' O ~ i ~ n, como como f [Xi] [Xi] Y se les llama llama diferencias diferencias divididas divididas le le orden orden cero. cero. Por Por otro otro lado, lado, de acuerdo acuerdo con con la tat tal fa ra 5.3, la diferencia diferencia de orden orden i es:

En esta esta expresión expresión pude pude observarse observarse que: uie-

a) Para Para formarla formarla se requieren requieren ii + 1 puntos puntos y b) El numerador numerador es la resta resta de dos diferencias diferencias de orden orden i - 1 Y el denominador denominador la resresta de los argumentos argumentos no comunes comunes en el numerador numerador .

• Se llama llama también también diferencia diferencia dividida dividida de primer primer orden. orden.

f[xo] f[xo]

f [Xl] f[Xl]

f [X2]

f [X3]

ff [X4]

f[xs] f[xs]

Xo

Xl

X2

X3

X4

Xs

Xl

f(x) fex)

xX

Información Información

~

f[x 4,X f[x 4,X s]

ff[x [X 3,X 3,X 4]

f[x 2,X f[x 2,X 3]

;

- f[X2] f[X2]

- f[X4] f[X4]

XS-X4 XS-X4

= f[xs] = f[xs]

X4 -X3 -X3

= = ff[X4] [X4] - ff[X3] [X3]

X3 --X2X2

= f[X3] = f[X3]

- f[XI] f[xI] X2-XI X2 - Xl

= f[X2] = f[X2]

- f[xo] XI-XO Xl - XO

__________

~s:eg~u:n~d:as~ Segundas

__________

Tcrce"'"

Terceras

-=~~~~~~~::~~~~~~

Tabla 5 5 •. 3 3 Tabula" diferencias ' Idas , ' 'd'IV clan genera ' I'd' Tabulación general,l de de diferencias ivididas Tabla

~~

J[xll - J[xol

o,X 1] = f[Xl]

f[x I,X f[x 1,X 2] 2]

f[x

J[x o,x 11

---

Primeras Primeras

Diferencias divididas divididas Diferencias

:5: ~ (D-

~-

::J iD'

(D

eo

¡¡¡ S'

O!

o (JI (J)

Q.

O! o,

o' o'

O!

'u Q..

o (J) (JI

-r

3(1)-(D..., o'

e

::J ::J

(JI (J)

O O

O Oo, Q.

Aproximación

Ejemplo 5.4


337

La información de la tabla siguiente se obtuvo del polinomio O

1

2

3

4

5

x

-2

-1

O

2

3

6

f(x)

-18

-5

-2

-2

7

142

Puntos

A partir de ella, elabore una tabla de diferencias divididas.

Solución

Las primeras diferencias divididas mediante los puntos (O), (1) Y (1), (2), respectivamente, son:

f

[xo'

Xl]

=

-5 - (-18) -1 - (-2)

= 13;

f[xl'

x2]

=

-2-(-5) 0-(-1)

=3

La segunda diferencia dividida mediante los puntos (O), (1) Y (2) es:

f [ XÜ' xl' x2 ] =

3 - 13 0-(-2)

= -5

De igual manera se calculan las demás diferencias divididas, que se resumen en la siguiente tabla

Puntos

X

O

-2

f(x)

ler orden

2do orden

3er orden

4 orden 0

-18 13

1

-1

-5

-5 3

2

O

-2

-1 O

3

2

-2

O 1

3

O

9 4

3

7

9 45

5

6

142

Debe notarse que todas las diferencias divididas de tercer orden tienen el mismo valor, independientemente de los argumentos que se usen para su cálculo. Obsérvese también que las diferencias divididas de cuarto orden son todas cero, lo cual concuerda con que la tercera y cuarta derivada de un polinomio de tercer grado son -respectivamenteuna constante y cero, sea cual sea el valor del argumento x. El razonamiento inverso también es válido: si al construir una tabla de diferencias divididas en alguna de las columnas el valor es constante (y en la siguiente columna es cero), la información proviene de un poli nomio de grado igual al orden de las diferencias que tengan valores constantes. Para realizar los cálculos puede usar Matlab.

338

Métodos numéricos numéricos ap aplicados a la ingeniería ingeniería Métodos licados a

023 6};; x= [-2 --11 023 6} fx= - 18 --5 5 --2 2 --2 2 7142} fx= [[-18 7142}; ; M=6; N=M- 1; M=6;N=M-1; for i=l: i=l: N for N T(i,l) = --fx(i))/(x(i+l)-x(i)); fx(i))/(x(i+l) - x(i)); T(i,l) = (fx(i+l) (fx(i+l) end for ]=2 ::N for N for ::N N for i=j i=j T (T j - 1 ) --T(i-l,j T(i-l,j --1)) 1)) // (x (i+l T (i,j) (i,j) (T (i, (i,j-1) (i+l) ) (i- j+1 )); xx(i-j+1)); end end T

ALGORITMO ALGORITMO

5.3 Tabla Tabla de diferencias diferencias divididas divididas

Para obtener obtener la tabla tabla de diferencias diferencias divididas divididas de una una función función dada dada en forma forma tabular, tabular, proporcionar proporcionar los los Para número de parejas parejas M de la función función tabular tabular y las parejas de valores (X (I),FX(I), (I),FX(I), 1= 0, O, 1,2, 1,2, ... ... , las parejas de valores El número M-l) M-l). . RESULTADOS: RESULTADOS: La La tabla tabla de diferencias diferencias divididas divididas T.

DATOS: DATOS:

PASO l. 1. Hacer Hacer N = M-l. M-1. PASO PASO PASO 2. Hacer Hacer 1 = O. O. PASO 3. Mientras Mientras 1::; N-l, repetir los los pasos pasos 4 y y 5. PASO N-l, repetir PASO 4. Hacer Hacer T(I,O) = (FX(I+ (FX(I+ l)l)-FX(I))/(X(I+ FX(I»/(X(I+ 1l)-X(I)). )-X(I». PASO PASO 5. Hacer Hacer 1 = 1+ 1+1. PASO l. PASO PASO 6. Hacer Hacer J == 1. PASO N-l, repetir PASO 7. 7. Mientras Mientras J ::; s N-I, repetir los pasos pasos 8 a 12. PASO PASO 8. Hacer Hacer 1 = J. PASO 9. Mientras Mientras 1::; N-l, repetir los pasos pasos 10 y y ll. 11. PASO N- l , repetir PASO 10. Hacer. Hacer. PASO T(I,J) = (T(I,J(T(I,J-l)l) - T(I-l,JT(I-l,J-l))/(X(I+l)-X(I-J)). T(I,J) l»/(X(I+l)- X(I- J». PASO 11. HacerI Hacer! = I1 + l. 1. PASO PASO 12. Hacer Hacer J = J + l. 1. PASO PASO PASO 13. IMPRIMIR IMPRIMIR T Y TERMINAR. TERMINAR.

5.4 Aproximación polinominal de Newton Newton Supóngase que se tiene tiene una una función función dada dada en forma forma tabular tabular como como se presenta presenta a continuación continuación Supóngase Puntos Puntos x f(x) f(x)

oo

1

2

3

n X"

f[xn]

Aproximación funcional e e interpolación interpolación Aproximación funcional

339

yy que que se desea desea aproximarla aproximarla preliminarmente preliminarmente con con un polinomio polinomio de primer primer grado grado que que pasa, pasa, por por ejemplo, ejemplo, por por los punto punto (O) (O) y (1). Sea Sea además además dicho dicho polinomio polinomio de la forma: forma: (5.27) (5.27) del punto donde donde Xoo es la abscisa abscisadel punto (O) yya aoo'> a, al son son constantes constantes por por determinar. determinar. Para Para encontrar encontrar p(x o) = el valor valor de ao se hace hace xx = = xxoo'' de donde donde ao = = p(xo) = ff [xoo]']' y a fin de encontrar encontrar el valor valor de aal, se hace x j> de donde [x, ] - f[xo]) f [xo ]) / (x hace xx == xl' donde al al = = (f ({[xI] (Xll -- xxoo),)' o sea sea la primera primera diferencia diferencia dividida j'[x., xo]· vididaf[xl' xo]' Al sustituir sustituir los valores valores de estas estas constantes constantes en la ecuación ecuación 5.27 5.27 ésta ésta queda queda

o sea un polinomio polinomio de primer primer grado grado en términos términos de diferencias diferencias divididas. divididas. ahora se desea desea aproximar aproximar la función función tabular tabular con con un polinomio polinomio de segundo segundo grado grado yy si ahora que que tenga que pase pase por por los puntos puntos (O), (1) (1) Y (2) (2) Y que tenga la forma: forma: (5.28) (5.28) x, vuelven donde donde XXoo y y XI vuelven a ser las abscisas abscisas de los puntos puntos (O) y y (1) y y ao al y y a2 constantes 2 son constantes o', al por por detei-miri.ar, determinar, se procede procede como como en la forma forma anterior anterior para para encontrar encontrar estas estas constantes; constantes; o sea, si Xx .

SI SlXx

= = xxoo'

aoo = = P2 (x (xo)o)

= = xl' xI'

al

>

= =

==ff [x [xo] o]

x,] - ff[[xo] x o] f[f[ XI] = f[x o, XI] =f[xo'x¡] X¡-X xl-x O O

2,." ,

Al desarrollar denominador de a22 se llega desarrollar algebraicamente algebraicamente el numerador numerador y el denominador llega a* a" f[x - f[x¡] f[x¡] f[x 2] 2] -

f[x - f[x f[x f[x l] l ] o]o] x, --Xox o x22 -XI X -Xl XI = f[x XI' X a22 == ----"--'---------'--'---=--'--------'---"-- = f[x x22]] o, o> xl'

x 2 - ox o

X2 -X

que que es la segunda segunda diferencia diferencia dividida dividida respecto respecto a xQ> Xo' XI Xl y x X22.. Con Con la sustitución sustitución de estos estos coeficientes coeficientes en la ecuación ecuación 5.28 se obtiene: obtiene: P2(X) = f[x f[x xo)f [xoo'' x¡] x ¡] + (x-x f[x x22]] P2(X) (x - xo)f (X-Xo)o) (x-x,) (x-xI) f[x Xl' X o]o] + (x o' o> xl' que que es un polinomio polinomio de segundo segundo grado grado en términos términos de diferencias diferencias divididas. divididas. Por inducción inducción se puede puede establecer establecer que, que, en general, general, para para un polinomio polinomio de grado grado n esPor crito crito en la forma forma Pn(X)

=

ao +

al

(x-xo)

+ a2 (x-xo)

(X-XI) + ... + an (x-xo)

(X-XI)

(x-xn_l)

(5 .29) (5.29)

y que pasa pasa por por los puntos puntos (O), (O), (1), (2), ... ... , (n); los coeficientes coeficientes aQ> aO' a" al' ... >, an están están dados dados por por

ao a, a2

ión

• Véase Véase el el problema problema 5.11. 5.11.

f[x f[x o]o] x ,] f[x f[xo' o, XI] f [xo> xi' x" xx22]] f[xo,

.---------~----------------~----------------------------------=T~~~ 340

Métodos numéricos


Esta aproximación como:

polinomial de Newton, la cual se puede expresar sintéticamente

P" (x)

=

k-I

n

L ak Il k=O i=O

(5.30)

(x -x)

Para realizar los cálculos puede usar Matlab.

I Ejemplo 5.51

Solución

Elabore una aproximación polinomial de Newto~ para la información tabular de las presiones de vapor de la acetona (tabla 5.2) e interpole la temperatura para una presión de 2 atm. Para el cálculo de los coeficientes del polinomio de Newton, se construye la tabla de diferencias divididas. Diferencias divididas P

Puntos

T Primera

O

1

Segunda

Tercera

56.5 14.125 113

5

-0.50482 4.533

2

20

0.01085 -0.08167

181 1.675

3

40

214.5

=

ao + al (x-xo)

a) Para n = 1 P (x) de la tabla se tienef[xo]

= 56.5 y f[xO'xl]

= f[

Xo ] + f[ xo'

XI ]

(x-xo)

= 14.125, de donde:

p (x) = 56.5 + 14.125 (x - 1)

ecuación que equivale a las obtenidas anteriormente (5.5 y 5.24). Si x = 2,f(2)

""p(2) = 56.5 + 14.125(2-1) = 70.6 °C

b) Para n = 2

P2(X)

ao + al (x-xO) + a2(x-xO)(x-xl) = f[xo] + f[xO'xl] (x-xo) + f[xO'xl'x2] =

(x-xo) (x-xl)

de la tabla se obtienen ao = f[xo] = 56.5, al = f[xo' x 1] = 14.125, a2 = f[xo' x l' x2] = -0.50482, que al sustituirse en la ecuación de arriba dan: . P2 (x) = 56.5 + 14.125 (x -1) - 0.50482(x

-1)(x

E

- 5)

ecuación que equivale a 5.8 y 5.25 Si x = 2,f(2) e) Para n = 3

""p2(2) = 56.5+14.125(2-1)-0.50482(2-1)(2-5)=72.1

°C

Aproximación interpolación Aproximación funcional funcional e e interpolación

P3 P3

nte

341

(x) = aO + a l (X-X ao+a) (x-xoO ) ) + a2 (X-XO)(X-X (x-xo)(x-x)) I ) + a aix-xo)(x-x))(x-x2) 3(x-xO)(X-X I )(X-X2 ) = f[xOJ (X-XO) (X-X f[xoJ + f[xo,xd f[xo,xd (x-x (x-xoo) ) + f[x f[xO,x»x (x-x))+ O,X 2pJX2J (x-xo) I )+

ff

.30)

[xQ>x ,x33JJ (X-XO)(X-X (x-xo)(x-x ))(x-x [xo'x »x pX2 I ) (X-X 22) ) 2,X

tabla se obtienen = f[x f[xo o JJ = = 56.5, 56.5, al al = = f[xO,x f[xo'x) l de la tabla obtienen aoo = a22

JJ == 14.125, 14.125,

= --0.50842, ,xl'x2,x ,x33JJ = = 0.01085. ==ff[x[x -0.50842, a33 = = ff[[ xOO,xJ>x 0.01085. O,x»x 2Jx 2 J = O,x p

sustituidas generan aproximación que sustituidas generan el polinomio polinomio de aproximación P3 P3 (x)

== 56.5+ 125(x-l)-0.50482(x-1)(x-5)+0.01085(x-l)(x-5)(x-20) 56.5+ 14. 125(x-1)-0.50482(x-1)(x-5)+0.01085(x-1)(x-5)(x-20)

que es esencialmente esencialmente el polinomio 5.26). y que polinomio obtenido obtenido con con el método método de Lagrange Lagrange (ecuación (ecuación 5.26). dife-

Si x

== 2,f(2) 2,f(2) '" "" P3 P3 (2) = 56.5+14.125(2-1)-0.50482(2-1)(2-5)+ = 56.5+14.125(2-1)-0.50482(2-1)(2-5)+ 0.01085(2-1)(2-5)(2-20) = 70.7 °C oC 0.01085(2-1)(2-5)(2-20) = 70.7

Para realizar realizar los cálculos cálculos puede Para puede usar usar Matlab. Matlab.

c1ear c1ear x=[l 5 20 40]; 40]; x=[l fx=[56.5 113 181 214.5]; fx=[56.5 113 214.5]; M=4;N=M-1; M=4;N=M-l; for i=l i=l N for : N (i,1) = = (L~ (E: (i (i +1) (i)) / (x (i+l) (i +1) -x -x (i)) (i)) ; T (i,l) +1) --fx fx (i)) end end for j=2:N for j=2 : N for i=j i=j:N: N for T(i,j)=(T(i,j-1) T(i , j)=(T(i,j-l) --T(i-1,j-1)) T(i-1 , j-1) )l... / .. (x(i+1)-x(i-j+1) ); (x(i+1)-x (i-j+1) ); end end end end T Xint=2; Xint=2; fprintf (' N In') fprintf (' N Fxint Fxint In') px1=fx (1) +T (1 (1,1) (Xint-x px1=fx , 1) * (Xint - x (1) ) ; fprintf(' %d % %6.1f fprintf(' 6.1f In' In' ,1,px1) ,1,px1) px2=fx (1) +T (1,1) (1,1) * (Xin (Xint-x +... px2=fx t-x (1) ) + ... T (2,2) (2,2) * (Xint-x (Xint-x (1)) (1)) * (Xint-x (Xint-x (2)) T (2 )) ; fprintf(' %6.1f ,2,px2) fprintf( ' %d % 6.1f In' In' ,2, px2) px3=fx (1) +T (1,1) (1, 1) * (Xint-x (Xint-x (1) (1))) + +... px3=fx ... T(2,2) (Xint-x (1))* (1))* (Xint (Xint-x (2)) + +... T (2,2) * (Xint-x - x (2)) ... T (3,3) (3,3) * (Xint-x (Xint-x (1) ) * (Xint (Xint-x (2)) * (Xint-x (Xint-x (3)) (3)) ; T - x (2)) fprintf(' %d %6.1f fprintf(' % d % 6.1f In' In' ,3,px3) ,3,px3)

*

*

*

*

*

r'

*

82,

Ejemplo 5.6

Solución

Aproxime la temperatura ebullición de la acetona acetona a una atm usando Aproxime temperatura de ebullición una presión presión de 30 atm usando aproximación polinomial grado dos (véase (véase Ej. 5.5). 1'6'_.5 1'6'. S aproximación polinomial de Newton Newton de grado Ej . 5.5).

3 "3

hace pasar pasar el polinomio polinomio de Newton (1), (2) Y (3), (3), con con lo que que toma Se hace Newton por por los los puntos puntos (1), toma la forma forma

~~-~~~------.~.--------------------------------------------------------------------------~--------~342


con los coeficientes coeficientes dados dados ahora ahora de la siguiente siguiente manera: manera: con

aoo = = ![X f[XI] l ]

= f[xl' X22]] = f[xl' [xl'2'XX32] ' X 3 ] a 22== !f[xl'X

al al

sustituir: Al sustituir:

PA P2 P2

(x) = f[x f[xl' X2]] (X-Xl) f[xl' xX22,, xX33]] (X-Xl) = f[x (X~XI) + f[xl' (X-Xl) (X-X22)) l] l ] + f[xl' = 113 + 4.533(x 4.533(x - xl) = xl) - 00.08167(x .08l67(x - xl)(x XI)(X - xX22))

evaluar dicho dicho polinomio polinomio en y al evaluar

= 30, se obtiene obtiene la aproximación aproximación buscada buscada =

X

= pzC30) = 113 + 4.533(30 4.533(30 - 5) - 0.08167(30 0.08167(30 - 5)(30 5)(30 - 20) pi30) = T= = 205.9 205.9 = valor reportado reportado en la tabla tabla 5.1 5.1 es 205, 205, por por lo que la aproximación aproximación es buena. buena. El valor Para realizar realizar los cálculos cálculos puede puede usar usar Matlab. Matlab. Para ¡

~'l

c1ear c1ear

J; x= [5 20 40 }; fx=[113 181 214.5J; 214.5J; fx= [113 181 M=3; N=M-1; N=M-1; M=3; for ii=l N for =l : N T(i,l) = (fx(i+1) (fx(i+1) -fx(i))/(x(i+1)-x(i)) )-x(i)) T(i,l) = -fx(i))I(x(i+1 end ffor or j=2:N j=2 :N for ii=j:N for = j:N T (i,j) (i,j) == (T (T (i, (i ,j-1) (i -1,j-1)) -1,j-1)) / ... T j-1) -T (i loo. (x(i+l)l ) -x (i-j (i-j+l)+l ) ); ); (x(i+ end end T Xint=30; Xint=30; px2=fx(1) +T(l,l) (Xint-x(l))+ ... p x 2=fx(1) +T(l,l) * (Xint-x(l))+ oo. T(2,2) * (Xint-x(1))*(Xint-x(2)); (Xint-x(1))*(Xint-x(2)); T(2,2) fprintf f ('T ('T ((%2d) =%6.1f\n' ,Xint, fprint %2d) =%6. 1f\n' ,Xint, px2)

i

;,

ALGORITMO

&Jl

7F;

t

,

#

.

*

.~

5 .4 Interpolación pollnominal de Newton 1

Para interpolar interpolar con con polinomios polinomios de Newton Newton en diferencias diferencias divididas divididas de grado grado N, N, proporcionar proporcionar los Para DATOS: DATOS:

grado del del polinomio polinomio N, las N+ 1 parejas parejas de valores valores (X(I), (X(I), FX(I), FX(I), 1=0, 1,2, ... ... , N) Y el valor valor para para El grado desea interpolar interpolar XINT. XINT. el que se desea RESULTADOS: La aproximación aproximación FXINT FXINT al valor función en XINT. XINT. RESULTADOS: La valor de la función PASO PASO PASO PASO PASO PASO PASO PASO

ll.. 2. 2. 3. 4.

Realizar los pasos pasos 2 a 12 del algoritmo algoritmo 5.3 5.3.. Realizar Hacer FXINT FXINT == FX(O). Hacer Hacer I == O. O. Hacer Mientras 1 ::; ::;N~ 1, repetir repetir los pasos pasos 5 a 11. Mientras N-l,

5.

Aproximación ional e e interpolación Aproximación func funcional interpolación

343

PASO 5. Hacer Hacer P = 1. PASO PASO PASO 6. Hacer Hacer J = O. PASO repetir los pasos PASO 7. Mientras Mientras J ::; 1, I, repetir pasos 8 y 9. PASO PASO 8. Hacer Hacer P = P * (XINT (XINT - X(J)). X(J». PASO 9. Hacer Hacer J = = J + 1. PASO PASO PASO 10. Hacer Hacer FXINT FXINT == FXINT FXINT + T(I,IyP. T(I,I)*P. PASO 11. Hacer Hacer 1I = 1I + 1. PASO PASO 12. IMPRIMIR IMPRIMIR FXINT FXINT y y TERMINAR. TERMINAR. PASO

5.5 Polinomio de Newton en diferencias diferencias finitas Cuando cualesquiera, es la la misma misma a lo Cuando la distancia distancia h entre entre dos argumentos argumentos consecutivos consecutivos cualesquiera, largo de la tabla, diferencias divididas divididas puede puede expresarse expresarse con con largo tabla, el polinomio polinomio de Newton Newton en diferencias más sencillez. un nuevo nuevo parámetro parámetro s, definido definido en x = más sencillez. Para Para este este propósito propósito se introduce introduce un = xo+sh, xo+sh, con el cual se expresa expresa el factor factor productoria productoria kk-II

n rr

¡=o i=O

(x - Xi)' x¡),

de la ecuación esto obsérvese obsérvese que que xI x I - XXo = = h, xx22 - XXoo = ecuación 5.30 5.30 en términos términos de ss y h. h. Para Para esto o 2h, ... ambos miembros miembros de x = XXoo + sh, se ob... , x¡ x; - XXoo = ih Y Y que restando restando x¡(O::;; x;(O::; i::;; i::; n) en ambos tiene: tiene: x - x¡ hes -i) -i) Xi = = Xo Xi + sh = = -ih -ih + sh == h(s o - x¡

Por Por ejemplo ejemplo si i

para ::;n) para (O ::; ::;; i ::;;

= = 1, X-X I = X-XI =

h(s-l) h(s-l)

si i = = 2, h(s - 2) x22 == hes 2)

X -

Al sustituir con h (s - i), en la ecuación ecuación 5.29, 5.29, se llega llega a: sustituir cada cada una de las diferencias diferencias (x (x - x¡) con 2 P f[xo]o]+ hsf[x s(s-I)f[x P;n (x) == P" Pn (xo + sh) == f[x hsf[xo' o' XI XI]] + h2s(s-1)f[x o, o' xi' x22]] 3 + h s(s-1)(s-2)f[x xi' x22'' x33]] + ... s(s-1)(s-2)f[xo' o' xl'

(5.31) (5.31)

+ h" s(s-I)(s-2) l)f[x s(s-1)(s-2) ...... (s-(n(s-(n-l»f[x o' o' xpp'" ' " xnll]]

o en forma forma compacta compacta k-I k-I

11 n

rr (s - i) P (x) = L a hkk I1 n 11

k=O

;=0 i=O

k

(5.32) (5.32)

bo, coEsta más si se introduce introduce el operador operador lineal lineal li,coEsta última última ecuación ecuación puede puede simplificarse simplificarse aún más nocido delante y definido definido sobre sobre f (x) como. como. nocido como como operador operador lineal lineal en diferencias diferencias hacia hacia delante lif(x) bof(x)

= f(x = f(x

+ h) - f(x) f(x)

La delante puede como sigue: sigue: La segunda segunda diferencia diferencia hacia hacia delante puede obtenerse obtenerse como li (bof(x» (lif(x» bo

= boli22 f(x) = boli (¡(x (¡(x = f(x) =

+ h) -f(x» f (x))

lif(x + h) - bof(x) lif(x) = bof(x = = f (x + h + h) - f (x + h) - f (x + h) + f (x) =f(x = f (x + 2h) - 2f(x 2f (x + h) + ff(x) (x)

344


vez, las las diferencias hacia delante A su vez, diferencias hacia delante de orden orden superior superior se generan generan como como sigue: sigue: f..i /1i f (x) = = f.. /1 (I!:!/(/1i-1¡ f (x» (x))

Estas diferencias hacia delante. Análogamente cabe Estas diferencias se conocen conocen como como diferencias diferencias finitas finitas hacia delante. Análogamente cabe definir primera diferencia definir V como como operador operador lineal lineal de diferencias diferencias hacia hacia atrás; atrás; así, la primera diferencia hacia atrás atrás se expresa expresa como: como: V f(x) f(x) = f(x) f(x) - f(x f(x - h) h)

La segunda hacia atrás La segunda diferencia diferencia hacia atrás queda: queda: V2 V(Vf(x)) V(j(x) - f(x V2 f(x) f(x) = V(Vf(x» = v(j(x) f(x - h)) h» V2f(x) = f(x)-f(x-h)-f(x-h) f(x)-f(x-h)-f(x-h) +f(x-2h) V2f(x) +f(x-2h) V2f(x) = f(x)-2f(x-h) +f(x V2f(x) = f(x)-2f(x-h) +f(x-2h)-2h)

de tal modo modo que términos geque las diferencias diferencias hacia hacia atrás atrás de orden orden superior superior se expresan expresan en términos generales como: nerales como: Vi f(x) Vi f(x)

= V(ViV(Vi-l l f =

(x)). (x».

Estas diferencias como diferencias hacia atrás. Estas diferencias se conocen conocen como diferencias finitas finitas hacia atrás. primer valor valor funcionalf [xo] de una tabla se tiene: tiene: Al aplicar aplicar f.. /1 al primer funcional f [xoJ una tabla

N f[x¡] N (xoo)) = f[xlJ

- f[xoJ f[x o] = hf[xo'x¡], = hf[xo'x¡],

de manera manera que:

Del Del mismo mismo modo: modo:

f [x [Xl] + f[xoJ f [x o] f[x -2f[x¡J 2J2] -2f

2 h22 por lo que: por

En general: En general: (5.33) (5.33) De igual manera, las diferencias hacia atrás De igual manera, diferencias divididas divididas en función función de las diferencias diferencias hacia atrás quequedan: (5.34) (5.34) Consecuentemente, al sustituir sustituir f [xo' xpp'" '" x;J, (O (O :s:; :s; i :s:; :s; n) n) en términos diferencias finifiniConsecuentemente, términos de diferencias tas, la ecuación ecuación 5.31 queda: queda: PIlIl (x) (x)

= =P

I1 I1

(xoo + sh) sh)

= =f

s (s-l) (s-1) [x o] + s/1f sf..f [xoJ [xo] + [xoJ --- - - f.. /122f[x f[xOJ O] + 2!

Aproximación

s (s-l)

+

A3f[

(s-2)

ti

3!

345


] o + ...

(5.35)

X

+ s (s-l) (s-2) ... (s- (n-1) ) él '1[x ]

cabe ia ha-

o

n!

conocido como el polinomio de Newton en diferencias finitas hacia delante. Existe una expresión equivalente a la 5.35 para diferencias hacia atrás (polinomio de Newton en diferencias finitas hacia atrás), cuya obtención se motiva al final del ejemplo siguiente.

La siguiente tabla proporciona las presiones de vapor en lb/plg? a diferentes temperaturas para el 1-3 butadieno s gePuntos

o

1

2

3

4

5

50

60

70

80

90

100

24.94

30.11

36.05

42.84

50.57

59.30

Aproxime la función tabulada por el polinornio de Newton en diferencias hacia delante e interpole la presión a la temperatura de 64°F. Solución

Primero se construye la tabla de diferencias hacia delante como sigue: Punto

xi

O

50

él2f [x¡]

élf[x¡] f[x¡] 24.94 _________

N [x ] = 5.17

él3j[x¡]

él4j [Xi]

______________

o 1

60

él2j [x ] o

30.11 élf[x¡]

2

70

(5.33) que-

(5.34) fini-

3

4

5

80

él2f[x,]

90

100

=

él3f [x¡] él2f[x2]

élf[x3]

= 7.73

élf[x4]

=

= 0.08

0.85

= 6.79

42.84

______________ él3f [xoJ

= 5.94

36.05 élf[x2]

= 0.77

él4j [xo]

= 0.01

él4j [x,]

= -0.03

= 0.09

= 0.94 él3f [x2]

__________

=

0.06

50.57 8.73

59.30

Observe que en esta información h= 10, el valor por interpolar es 64 y que el valor de s se obtiene de la expresión x = Xo + sh; esto es:

s= x - Xo

h

=

64 - 50 10

=

1.4

346


Si se deseara polinomio de primer primer grado, tomarían sólo deseara aproximar aproximar con con un polinomio grado, se tomarían sólo los dos primeros términos términos de la ecuación primeros ecuación 5.35; 5.35; o sea, p(x) = f[x 24.94 + 1.4(5.17) 1.4(5.17) = 32.18 32.18 p(x) = f[x L1f[x o]o] + s L1f[x o]o] = 24.94

ya que valor de x queda Hay que observar que realmente se está Hay que observar que realmente está extrapolando, extrapolando, ya que el valor queda fuera fuera del intervalo puntos que usaron para para formar polinomio de aproximación. intervalo de los puntos que se usaron formar el polinomio aproximación. Intuitivamente piensa que una aproximación mejor con los puntos puntos (1) Intuitivamente se piensa que se obtendría obtendría una aproximación mejor usando XXoo como pivote y para para aplicarla y (2). Sin embargo, embargo, la ecuación ecuación 5.35 5.35 se desarrolló desarrolló usando como pivote aplicarla con modificarse a la forma con el punto punto (1) y (2) debe debe modificarse forma siguiente siguiente P« (x) PI/ (x)

=

= f[x f[x l I

+ sh] sh]

=

= f[x f[x l] l ]

+ SL1f[x¡] sL1f[x¡] +

s (s - 1)

2!

2 L12 f[ L1

Xl] XI]

+ ...

s (s - 1) ... (s(n - 1)) ,-,1/ A 'f [ ] + s(s-l) (s-(n-1)) L1'1[x] + X I1 n.I

(5.36) (5.36)

XI' Y cuyos primeros dos términos términos dan polinomial la cual usa como pivote Xl' cual usa como pivote cuyos primeros dan la aproximación aproximación polinomial de primer primer grado: grado:

p(x) p(x)

==ff[x¡] [Xl]

f [Xl],l ], donde donde ahora ahora s + sts SL1f[x

X-X x-x

== __ 1_ = __1_ = h

64 - 60

10

== OA 0.4;;

sustituir valores al sustituir valores de la tabla tabla se tiene: tiene: f(64) = 30.11 30.11 + OA(5.94) 0.4(5.94) = = 32A9 32.49 f(64) '" P p (64) =

En cambio, polinomio de segundo En cambio, si se deseara deseara aproximar aproximar con con un polinomio segundo grado, grado, se requerirequerirían tres tres puntos puntos y sería tomar (O), (1) yY (2) en lugar ya que rían sería aconsejable aconsejable tomar lugar de (1), (l ), (2) Y (3), ya que el argumento por interpolar más al centro primeros. Con argumento por interpolar está está más centro de los primeros. Con esta esta selección selección y la ecuaecuación ción 5.35 5.35 queda queda

donde: donde: _ S S

--

xX -- XXoo __ 64 - 50 - - - = 1.4; - ---== 1.4; 10 h

este valor se sustituye este valor sustituye arriba arriba y queda: queda: p2(64) = 24.94 1.4(5.17) + lA 1.4 (lA (1.4 - 1) 0.77 0.77 = = 32.39 32.39 p2(64) = 24.94 + 1A(5.17) 2!

Si se quisiera interpolar el valor valor de la presión presión a una una temperatura temperatura de 98 °F, tendría tendlía que quisiera interpolar 98°F, que desadesarrollarse una una ecuación Newton en diferencias hacia delante, usando como pivote el punpunrrollarse ecuación de Newton diferencias hacia delante, usando como pivote to (4) para grado o el punto segundo grado, grado, para un polinomio polinomio de primer primer grado punto (3) para para un polinomio polinomio de segundo etc. Sin embargo, usando un solo pivote (el punto punto 5 en este embargo, esto esto es factible factible usando solo pivote este caso), caso), indepenindependientemente hacia atrás. dientemente del grado grado del polinomio polinomio por por usar, si se emplean emplean diferencias diferencias hacia Para esto debe desarrollar desarrollar una una ecuación ecuación equivalente equivalente a la 5.35, pero en diferencias diferencias Para esto se debe 5.35, pero hacia atrás; atrás; este este desarrollo desarrollo se presenta presenta a continuación continuación en dos dos pasos pasos -el primero es un rehacia -el primero sultado necesario. sultado necesario.

Primer paso Primer paso Obtención del del polinomio diferencias divididas divididas hacia atrás de grado grado n apoapoObtención polinomio de Newton Newton en diferencias hacia atrás yado en el punto punto XII. xl/. yado

Aproximación funcional funcional e lación Aproximación e interpo interpolación

dos

Para simplificar = 2 Y se asume un polinomio polinomio de segundo grado en Para simplificar se inicia inicia con con n = asume que que un segundo grado general forma: general tiene tiene la fo rma: P2(X) P2(X)

del s (1) carla

347

== aoo + al(x a¡(x -

x) + a x,,) (x _ ) XII) aix (x - xlIll_¡) l 2(x - x,.)

donde Y aa22 son son las por determinar x" y puntos donde aoo'' al a¡ y las constantes constantes por determinar y XII Y xlIn__11 las abscisas abscisas de los puntos (n-l), , respectivamente. respectivamente. (n) y (n-1) xl1) = Si Xx == XII' x n ' aoo = = pi pix,,) =ff [xl1 [x" ] _1' a¡ Si Xx = = xX,,_ l' al l1

. S1 X

= X n _ 2'

= =

a2 =

.36)

l (xlIll_¡) P? (x,) (x,) = P2 (x _ ) - P2 =f [XII' [x"' x _¡] _ ] lIll l x _ -x Xn_l n l -X nn

P2 (x n _ 2) - pzCX,,) -

f [ x,!,

X,,_¡] (X"_2 - x,,)

(XIl _ 2 - X,,)(X n _ 2 - x ll _ l )

desarrollar algebraicamente algebraicamente el numerador denominador de a22 se llega llega a: al desarrollar numerador y el denominador mía! sustituir estas estas constantes constantes en el polinomio queda: al sustituir polinomio queda: P2 (x) (x)

==ff

[XII] XII) ff [x [xl1n' , xlIlI_¡] _ ] + (x-xl!) [x"' xlI_1' xlI_i' xnlI__22]] [x (x - x,) (X-XII) (x-x (x-xn_¡) l1] + (x l n_ l ) ff [x"'

De anterior se puede que, en general, general, para grado n escrito escrito De lo anterior puede inducir inducir que, para un polinomio polinomio de grado forma en la forma P" PII (x) (x) = aoo + al a¡ (x-x,) (X-XII) + a22 (x-x,,) (x-x,,) (x-x (X-XII_¡) all (x-x,,) (x-x,,) (X-X,,_l)·.· (X-XII_¡)'" (X-Xl)' (x-x¡), n _ l ) + ... + all

ueriue el cua-

(5.37) (5.37)

los a" están dados por los coeficientes coeficientes aoo' al' al' a22,, ..... . , a"están dados por f[x,,] aoo = =f[xn] al = f [X X al [X"' XIlIl__ 11] ] n,

Segundo paso Segundo paso Obtención del polinomio diferencias finitas finitas hacia atrás de grado grado n, apoyaapoyaObtención polinomio de Newton Newton en diferencias hacia atrás x". do en el punto punto XII' Las ecuaciones' siguientes siguientes se pueden construir introduciendo introduciendo el parámetro Las ecuaciones' pueden construir parámetro s definido definido ahora por expresión x == xx"ll + sh. ahora por la expresión X -x X -xI! ll = sh

desapun-

do,

x - xnn_11 = his+ 1) = xx"ll - xx,,_l = h(s+ lI_¡ + sh = x - xllll__ 22 = h(s+2) = xxl!ll - xllll__22 + sh = h(s+2)

X = x ll -- X X + sh = = h(s+n) x - X his+n) o = xI! o

re-

Al sustituir sustituir las ecuaciones ecuaciones anteriores anteriores y los coeficientes ff [x ... ,f, f [x"' los coeficientes [xl1 ] ] ,f ,f [xI!' [x"' xnn_¡] [x"' xn_l"" x,._l' ... , _ l ] , ... ll xxoo]] en la ecuación ecuación 5.37 5.37 en términos diferencias finitas finitas (Ec. 5.34), 5.34), finalmente finalmente queda queda términos de diferencias

apoRecuérdese que que se considera cons¡dera aquí aquí que que la diferencia diferencia entre entre dos dos argumentos argumentos consecutivos consecutivos cualesquiera cualesquiera es h. * Recuérdese

H'"

348

Métodos numéricos numéricos aplicados aplicados a a la la ingeniería Métodos

P f[x lI ] + s V f [x lI ] + P"II (XII (x" + sh) = =f[x,J V f[x,,]

s (s + 1) V [x,J + ... 2! V 2f 2f[xn] 2!

(5.38) (5.38) s (s + I) 1) ... (s + (n(n - l1)) Vil f[x ] + s(s )) V"f[x 11 " nn. I.

,

que es la ecuación ecuación de Newton Newton en diferencias diferencias hacia hacia Para realizar los cálculos puede usar Matlab Matlab o Para realizar cálculos puede usar

atrás, atrás, la TI-92 TI-92 Plus Plus

60 70 70 80 80 90 90 100] 100J;; xx=[50 = [50 60 fx=[24.94 30.11 36.05 42.84 50.57 59.30J; fx=[24 . 94 30 . 11 36 . 05 42 . 84 50 . 57 59 . 30] ; N=6;; h=10 h=10;; x xint=64; i nt=64 ; N=6 for i=1 i=1:N-1 for : N- 1 T(i,1)=fx(i+1) fx (i ); T (i , 1 ) =f x (i+1 ) --fx(i); end ffor or j=2:N-1 j=2 : N-1 for i=j i=j ::N-1 for N- 1 T(i,j) =T(i,j-1) (i, j ) =T (i , j - 1 ) --T(i-1,j-1); T (i-1 , j - 1 ) ; T end end en d T s=(xint-x(l))/h; s=(xint - x (l )) /h ; fxint=fx(l)+s*T(l,l); f xint=fx (1 ) +s* T (1 , 1 ) ; fprintf('Grado 1 P(%4.0f)=%6.2f\n',xint,fxint) fprintf ( 'Grado 1 P ( %4 . Of) =%6 . 2f\n ' , xin t , fxint ) fxint=fx (1 (1 , 1 ) +s* - l ) /Z¡' T (2 , 2 ) ; fxint=fx (1)) +s*T +s*T(l,l) +5* (s (s-1)/2*T(2,2); fprintf( f printf ( 'Grado 2 P(%4.Of)=%6.2f\n' P ( %4 . Of) =%6 . 2f\n ' ,xint,fxint) , xint , fxin t)

e5_7 () Prgm Prgm {50, 60,, (50 , 60

70,, 80 80,, 90, 70 90 , 100j-+x 100} ~ x : C1rIO C1rIO

{24.94, 30.11, 36.05, (24 . 94 , 30 . 11 , 36 . 05 , 42.84, 42 . 84 , 50.57, 50 . 57 ,

59.30j-+y 59 . 30} ~y 6-+n 6~ n : 10-+h 10~ h : 64-+xint: 64 ~ xint : newMat(n-l,n-l)-+t n ewMat (n - 1 , n -1 )~ t For For i,1,n-1 i ,1,n- 1 y[i+ 1] - y [iJ-+t [i] ~ t [i, [i , 1J l ] y [i + 1J-y EndFor EndFor for f or j,2,n-1 j , 2 , n-1 for for i,j,n-l i , j , n-1 t[i,j-1J-t[i-l,j-l]-+ t[i , j - 1] - t[i -1 , j - 1] ~ t[i,jJ t [i , j] EndFor EndFor setMode ("Display ( " Display Digits", Digi ts " , "FIX " FIX 2") 2 ") disp disp t: t : Pause Pause (xint-x (xint-x [1]) [1]) /tr+ /h ~ s y[lJ+s*t[l,l] y[l]+s*t[l , l] -+fxint ~ fxint "P("&format " P( " &format (xint, (xint , "Eo") " fO ") &")="-+d & ") ="~ d d&format d&format (fxint, (fxint , "E?"} " f3 " ) s & " con grado grado 1"r+d l "~ d disp disp d y [1] +s*t [1,1] +5* (5-1) y[l]+s*t [l , l]+s* (s - l) /2*t /2* t [2,2J-+ [2 , 2] ~ fxint fxint "P("&format ") ="-+d " P (" &format (xint, (xint , "Eo") " fO") s &") ="~ d d&format d&format (fxint, (fxint , "tS") " f3 " ) s & " con grado grado 2"-+d 2"~ d disp disp d EndPrgm EndPrgm


Aproximación

Ejemplo 5.8

Solución

349

Interpole el valor de la presión a una temperatura de 98°F, utilizando la tabla de presiones de vapor del ejemplo 5.7 y el polinomio de Newton (5.38). Primero se construye la tabla de diferencias hacia atrás como sigue:

Punto

xi

f[xJ

O

50

24.94

Vf[x¡]

Vf[x,] 60

V3f[xi]

V2f[xJ

= 5.17 V2j [x2]=0.77

30.11

V3f [x3]=0.08

Vf[x2]= 5.94 2

70

V2f [x3]=0.85

36.05

V4j [x4]=0.0 1 V3f [x4]=0.09

Vf[x3]=6.79 3

80

V2f [x4]=0.94

42.84

V4j [xs]=-O.03

Vf[x4] =7.73 4

90

50.57

V2f[xS]=1.00---Vf[xs]=8.73

5

100

V4j [x¡]

V3f[xs]=0.06~ ~

~

59.30~

Si se usa un polinomio de primer grado, se tiene de la ecuación 5.38. p(98)

=f

[xs] + s V f [xs]

donde: s

=

x-x" --= h

98 -100 10

=-0.2;

y con la tabla de diferencias finitas hacia atrás p2(98) = 59.3 - 0.2(8.73) = 57.55 Si en cambio se usa un polinomio de segundo grado, se emplean los tres primeros términos de la ecuación 5.38, con lo cual la aproximación queda: P2 (98) =f[xs]

+ s V f[xs]

+

s (s + 1)

2!

V2 f[xs]

= 59.3 - 0.2 (8.73) + -0.2 (-0.2 + 1) (1) = 57.67

2! Para realizar los cálculos puede usar Matlab o la TI-92 Plus.

350


~ x= [50 60 70 80 90 100J; 100J; fx=[24 . 94 30.11 . 05 42 . 84 50.57 . 30J ; fx=[24.94 30.11 36 36.05 42.84 50.57 59 59.30J; N=6 N=6;; h=10 h=10;; for : N- 1 for i=1 i=1:N-1 T(i , 1)=fx(i+1) --fx(i); fx(i) ; T(i,1)=fx(i+1) end for j=2:N- 1 for j=2:N-1 for N- 1 for i=j i=j ::N-1 T(i , j)=T(i , j - 1) --T(i-l,j-1); T(i - 1 , j-1 ); T(i,j)=T(i,j-1) end end T Xint=98 ; Xint=98; s= (Xint-x(N))/h; s=(Xint-x(N))/h; px=fx(6) +s*T(5 , 1); px=fx(6) +s*T(5,1); fprintf % 6.2f In Xint ,px) fprintf(' (' T(%6.2f)= T(%6.2f)= %6.2f In'' ,,Xint,px) px=fx(6) /2*T (4 , 2);; px=fx (6)+s*T(5,1) +s*T (5,1) +s* (s-l) (s-l) /2*T (4,2) fprintf(' T(%6.2f)= %6 . 2f In' ,Xint,px) fprintf(' T(%6.2f)= %6.2f ,Xint,px)

e5_8 ()

Prgm Prgm {50,, 60 60,, 70 70,, 80 80,, 90 90,, 100j--->x 100}--+x {50

{24.94 . 11 , 36 . 05 , 42 . 84 , 50.57, 50 . 57 , 59 . 30j--->y {24.94,, 30 30.11, 36.05, 42.84, 59.30}--+y 6--+n: 10->h:: newMat newMat (n (n-Li ri-Lr+t: 6---> n : 10--->h -1,n - 1) ---> t For ,1,n-1 For ii,1,n-1 y[i lJ-y[iJ--+t 1J y[i +lJ - y[iJ --->t [i, [i , 1J EndFor EndFor For j , 2 , n-1 For j,2,n-1 For For i,j,n-1 i,j,n-1 [i,j , j J tt [i, [i , j-1J j - 1J --tt [i-1, [i - 1 , j-1J--+t j - 1J ---> t [i EndFor EndFor EndFor EndFor Disp Disp t 98--+xint : (xint-x (xint-x lnl 98--->xint [nJ)) /tr+ /h ---> s y [nJ +s*t [n-1, lJ--->yin y +s*t [n-1, l l=y irn:t Disp "&format (yint, Disp "y "y ("&format ("&format (xin (xint,t , "fO") "fO") &") s ") = ="&format (yint, "f2") "f2") y +s*t [n-l, 1J+s* (s-l) /2*t ,2J--+yint y [nJ +s*t [n - l, 1J +s* (s-l) /2*t [n-1 [n-1 ,2J--->yint Disp &format (xin fO ") &") "&format (yint, Disp ''y (" ("&format (xint,t , ""Et)") s ") = ="&format (yint, "f2") "E?"}

Si se deseara valor de la presión presión a una una temperatura temperatura de 82 °F, tendría tendría que que usarusardeseara interpolar interpolar el valor 82°F, se la ecuación pero apoyada punto n-l [punto ecuación 5.38 5.38 pero apoyada en el punto [punto (4) en este este caso] caso] ; esto esto es, P" (X (XIIII_ f [XnIl__,] sV f [x [Xn_¡] _ 1 + sh) _¡] + 1] + sV! 1 sh) = ![X ll

s (s + 1) 2 V 2! V f [[Xn_¡] XII _ 1] + ... (5.39) (5.39)

... (s + (n - 1) ) s (s + 1) ... Vil f [xIIll_,_1] ] + V"! n!

Aproximación


351

NOTA: Es importante hacer notar que las tablas de los ejemplos 5.7 (diferencias hacia delante) y 5.8 (diferencias hacia atrás) presentan los mismos valores numéricos aunque los operadores y subíndices de sus argumentos no sean los mismos. Por lo anterior, el polinomio de Newton en diferencias hacia delante y su tabla correspondiente pueden usarse a fin de interpolar en puntos del final de la tabla con sólo invertir la numeración de los puntos en dicha tabla y los subíndices de los argumentos de cada columna de diferencias finitas (se ilustra enseguida en el Ejemplo 5.9). También es útil observar que los valores de la tabla utilizados en las ecuaciones 5.35, 5.36 o alguna modificación de éstas, son los de las diagonales trazadas de arriba hacia abajo (véase la tabla del ejemplo 5.7) y que los valores utilizados en 5.38, 5.39 o alguna modificación de éstas, son los de las diagonales trazadas de abajo hacia arriba (ver tabla del ejemplo 5.8). Se resuelve un ejemplo para ilustrar esto.

Ejemplo 5.9

Solución

Con la ecuación 5.35 y la tabla de diferencias hacia delante del ejemplo 5.7, interpole la presión de vapor de 1-3 butadieno a la temperatura de 98°F, mediante un polinomio de primer y segundo grado. Invertidos la numeración de los puntos en la tabla mencionada y los subíndices de los argumentos de cada columna, la tabla toma el aspecto:

Punto

Xi

f[x¡]

5

50

24.94

4

60

30.11

V2f[xi]

Vf[xi] Vf[x4]

= 5.17 V2f [x3]=0.77 V3f [x2]=0.08

Vf [x3]= 5.94 3

70

V2f [x2]=0.85

36.05

V:¡ [x ¡]=O.O1 V3f[x¡]=0.09

Vf [x2]=6.79 2

80

V2f [x¡]=0.94

42.84

V:¡ [xo]=-0.03

Vf[x¡]=7.73 1

90

V4j [X)

V3f[Xi]

V3f [xo]=0.06 V2f[xO]=1.00

50.57 Vf [xo]=8.73

O

100

59.30

Observe que todos los valores numéricos conservan su posición en la tabla. Se emplea la ecuación 5.35 con x = 98, xo = 100 Y h = 10, de donde: s

x-xo

= ---

98 - 100

h

10

=

-0.2

al emplear un polinomio de primer grado se tiene: p (98) = 59.30 + (-0.2) (8.73) = 57.55 En cambio, con uno de segundo grado: P2 (98) = 59.30 + (-0.2) (8.73) + .39)

(-0.2) (-0.2 + 1) 2!

1 = 57.63

Como se puede observar, son los mismos resultados que se obtuvieron en el ejemplo 5.8 .

En el CD encontrará el PROGRAMA 5.8 de Interpolación Numérica. Con este programa usted puede proporcionar la función como una tabla de puntos e interpolar para algún valor deseado. Podrá también observar gráficamente los puntos dados, la función interpolante y el valor a interpolar

352

Métodos numéricos


5.6 Estimación de errores en la aproximación En general, al aproximar una función por un polinomio de grado n, se comete un error; por ejemplo, cuando se utiliza un polinomio de primer grado, se remplaza la función verdadera en un intervalo con una línea recta (Fig. 5.4). En términos matemáticos, la función se podría representar exactamente como: (5.40) Donde R¡(x) es el error cometido al aproximar linealmente la funciónf(x) y p¡(x) es, por ejemplo, el polinomio de primer grado en diferencias divididas. Al despejar R¡(x) de la ecuación 5.40 y tomando como factor común (x - xo) queda: R¡(x) =f(x)

-f[xo]

= (x - xo) (

- (x-xo)f[xo'x¡] f[x]

- f[xo]

- f [ xo,x,]

)

x-xo

= (x- xo) (j [xo,x] - f [xÜ'x¡D

al multiplicar y dividir por (x-x.) se obtiene: R,(x)

= (x-xo)

(x-x¡)f[x,

xo' x,]

es la segunda diferencia dividida respecto a los argumentos xo' x, y x. Resulta imposible calcular exactamentef[x, xo' x¡], ya que no se conoce laf(x) necesaria para su evaluación. Sin embargo, si se tiene otro valor de f (x), sea f (x2) (y si la segunda diferenciaf[x, XÜ' xl] no varía significativamente en el intervalo donde están los puntos xó' x, y x2), entonces R¡(x) se aproxima de la siguiente manera: dondef[x,xo'x,]

R, (x) '" (x-xo) (x-x,) f[xo' x" x2] de tal modo que al sustituirlo en la ecuación original quede:

- -,

f(x)

, ,,

,, , ,

-

- -- ---------

f(xl)

-'.

: RI(x)

, ,

r r

,

,r ,

'J(x)

,, ,

" f(xo)

" ,," ',

, , , I I I

,

I

, , ,

I

Figura 5.4

Xo

x

XI

X

353

Aproximac ión funcional funcional e lación Aproximación e interpo interpolación

;por den se

Observe polinomio Observe que que el lado lado derecho derecho de esta esta expresión expresión es el poli no mi o de segundo segundo grado grado en difediferencias divididas. había intuido, rencias divididas. Como Como se había intuido, esto esto confirma confirma que que -en -en generalgeneral- se aproxima aproxima mejor la funciónj(x) polinomio de grado uno de primer primer grado. mejor funciónfix) con con un polinomio grado dos dos que que con con uno grado. con polinomio de segundo Por otro Por otro lado, lado, si se aproxima aproxima a funciónf(x) funciónf(x) con un polinomio segundo grado grado P2(x) P2(x),, se espera R 2 (x) sea menor. La términos espera que que el error error Rix) sea en general general menor. La función función expresada expresada en estos estos términos queda: queda: ff(x) (x)

.40)

= pix ) + R22(x) (x) = f[x [xÜ'x l ] + (X-X Xi' = pix) =f[x (x-xo)f[xo'x¡] (x-xoo) ) (X-Xl) (x-x¡)f[xf[x o] o] + (x-xo)f o' o' xl'

(x) x22] + R22(x)

de donde Rix) puede puede despejarse: donde Rix) despejarse: , por Rix f[ Xo ] - (x - xo)f xo)f [x [xoo' , x¡] Xl] - (X xl)f Xi' x22] Rix) ) = f (x) - f[ (x - xoo) (X (x - x¡) f[ [x XO' o' xl'

da:

y como como en el caso caso de un polinomio grado, se demuestra" demuestra * que que el término error polinomio de primer primer grado, término del error

para aproximación polinomial segundo grado grado es: para la aproximación polinomial de segundo R )f[x Xi' x22] Rix) (x-xoo) ) (X-Xl) (x-x¡) (x-x (x-x22)f[x o' o' xl' 2(x) = (x-x

De igual modo quef[ x, XO'x¡] caso linealf[x, linealf[x, xoo' x¡, determinar con De igual modo quef[ XÜ' XI] en el caso XI' x22] no se puede puede determinar exactitud; sin embargo, embargo, si se tiene adicional (x33',f(x cabe aproximar aproximarf(x, exactitud; tiene un punto punto adicional f [x, xoo, xl' xi' f (x 3)), 3)), cabe x22]] con: con: f[x, xi' x22] "" f[x Xl' xX22' x33],], f[x, xoo' xl' f[xo,o, xI>

que proporciona una una aproximación R 2 (x): que sustituida sustituida proporciona aproximación a R2(x): Reapanda

Rix) ) "" (x-x (x-xoo) ) (X-XI) (x-x¡) (x-x (x-x22)f[)./[ xoo', xI> Rix xi' x22', x33].].

continúa este este proceso establecerse por inducción que: Si se continúa proceso puede puede establecerse por inducción f (x) Rn(x), (x) = Pn(x) p,,(x) + RI/(x),

donde polinomio de grado diferencias divididas donde P Pnn (x) es el polinomio grado n en diferencias divididas que que aproxima aproxima la función función tabulada, y Rn R" (x) es el término término correspondiente Esto es: tabulada, correspondiente del error. error. Esto

xtl

PIl(x) "" , x/.] x/J _ l ) f [xo P,,(x) = f [xo] + (x(x-xxoo ) ) f [xoo', x¡] + ... + (x-x (x-xoo) ) (X-X (x-x.)I) ... (x-x (x-xl1n_¡) o"" y

o

[fr1=0

Rn (x) (x) = [ [1 (x --x)x) RIl 1=0

1 ff[x,[x, xXoo' X¡ 1 Xl '"... , Xn] Xn]

(5.41) (5.41)

en dondef[ xi"" , x,,] x n ] puede puede aproximarse punto adicional dondef[ x, xXo' Xl"" aproximarse con con un punto adicional (x/1+i' (x/1+1'f(x f(x,,+¡)) n+ l )) así: f[x, x p "" f[x, xoo,' xl"'" (r) ,, ,

x,,] ""f[x xi' x22,· .. , X/l' xn' xnn+¡] + l] xn] ""f[xo' o' xi' '···'

(5.42) (5.42)

entonces entonces Rn(x) R,,(x) queda queda como: como: R" (x) "" [;~ [ ;~ (x - x) x) Rn

1 1f

XI' x22··· · .. , »; [xo XII, xl1 [X +¡] O, ' Xl' l1 + l]

La ecuación La ecuación f(x) f(x) = PII(x) p,,(x) + Rn(x) RI1(x)

es conocida Newton en diferencias conocida como como la fórmula fórmula fundamental fundamental de Newton diferencias divididas. divididas. Al analizar productoria (producto lizar el factor factor productoria (producto acumulado) acumulado) n

" (x -x) I1 -x) ;=0 ;=0

•'Véaese Véaese el problema 5.24. el problema 5.24.

354


de Rn(x), Rn(x), se observa R,,(x) ) deben observa que que para para disminuirlo disminuido (y, por por ende, ende, disminuir disminuir el error error RIl(x) deben usarse usarse argumentos argumentos xi lo más más cercanos cercanos posible posible al valor valor por por interpolar interpolar x (regla (regla que que se había había seguido seguido por por intuición intuición y que que ahora ahora se confirma confirma matemáticamente). matemáticamente). También También de esta esta producproductoria una extrapolación Xi usadas) toria se infiere infiere que que en general general en una extrapolación (x fuera fuera del intervalo intervalo de las Xi usadas) el error error es mayor mayor que que en una una interpolación. interpolación. Puede Puede decirse decirse también también que si bien bien se espera espera una mejor aproximación una mejor aproximación al aumentar aumentar el grado grado n del polinomio polinomio P P;n (x), (x), es cierto cierto que que el valor lor del factor factor productoria productoria aumenta aumenta al incrementarse incrementarse n, por por lo que que debe debe existir existir un grado grado óptimo para timo para el polinomio polinomio que que se usará usará en el proceso proceso de interpolación. interpolación. Por Por último, último, en términos términos generales es imposible imposible determinar determinar el valor valor exacto exacto de Rn(x); más que que se puede puede llegar llegar Rn(x); a lo más generales es determinar determinar el intervalo intervalo en que que reside reside el error. error. Los ejemplos dan a continuación ejemplos que se dan continuación ilustran ilustran estos estos comentarios. comentarios.

Ejemplo 5.10

Suponga x. Suponga que que tiene tiene la tabla tabla siguiente siguiente de la función función cos x. Puntos Puntos x (grados) (grados)

f(x) f(x)

= = cos cos x

oo oo

1

2

3

50

60

90

1.0000 1.0000

0.6400 0.6400

0.5000 0.5000

0.0000 0.0000

y desea desea interpolar interpolar el valor valor de la función función en x == 10°.

Solución

Al interpolar linealmente con interpolar linealmente con los puntos puntos (O) (O) y (1) queda: queda: P (x) = = f[ f[ x¡] (X-Xl) f[x l' x2] x¡] + (X-Xl) f[xl'x21

Al sustituir pelO) = sustituir valores valores da pelO) = 0.9280. 0.9280. La interpolación con un polinomio los puntos puntos (O), interpolación con polinomio de segundo segundo grado grado y los (O), (1) Y y (2) da: pi x)x ) = f[x (x-xo)f [xo'x¡] [xo'x¡] + (x-xO)(x-x (x-xo)(x-x¡) I ) f[x(Y x2] xI' xJ pi f[xol f[x o' xl' o] + (x-xo)f

Al sustituir pilO) = sustituir valores valores resulta resulta pilO) = 0.9845. 0.9845. interpola con con un polinomio polinomio de tercer tercer grado grado (usando (usando los cuatro cuatro puntos) puntos) y queda queda Se interpola xI' x21 P3(x) = f[x f[xol f[x P3(x) (x-xo)f [xo,x¡l [xO'xI] + (x-xo)(x-x¡) (x-xo)(x-x¡) f[x x2] o] + (x-xo)f o' o' xl' xI' x22' ' xx31 + (x-x (x-xo)o) (X-XI) (x-x¡) (x-x (x-x2)f2)f[x [xoO' xl' 3]

Al sustituir pilO) = sustituir valores valores da P3(10) = 0.9764. 0.9764. valor correcto correcto de cos 10° hasta hasta la cuarta cuarta cifra cifra significativa significativa es 0.9848, 0.9848, así que el error error El valor en por por ciento ciento para para el primer primer grado grado es 5.77, 5.77, para para el segundo segundo 0.03, 0.03, y para para el tercero tercero 0.85 El grado grado óptimo óptimo del del polinomio polinomio de aproximación aproximación para para este este caso caso particular particular es 2 (usan(usando los puntos por interpolar: puntos más cercanos cercanos al valor valor por interpolar: (O) (O) (1) y (2). Si se usaran usaran los puntos puntos (O), (1) Y y (3) el error error sería sería 1.80%, 1.80%, como como puede puede verificar verificar el lector. lector. (O),


Solución

ecuación 5.41 encuentre encuentre una una cota cota inferior inferior del error error de interpolación para xX = Con la ecuación interpolación Rn(x) Rn(x) para cuando ff (x) = = in in x, n=3, n=3, xoo=l, = 2. 1.5 cuando =l, x¡=4/3, x ¡=4/3 , x22=5/3 =5/3 Y x33 = La ecuación ecuación 5.41 con con n La

= 3 queda: queda: =

Aproximación funcional funcional e interpolación Aproximación e interpolación

355

donde puede evaluarse donde el factor factor productoria productoria puede evaluarse directamente directamente como como sigue sigue 3

TI (x - x) (1.5-1) (1.5--4/3) (1.5--4/3) (1.5-5/3) (1.5-5/3) (1.5-2) (1.5-2) = 0.00694 0.00694 TI x) = (1.5-1)

;=0

II

En cambio, [x, xoo' xi' xl' x22' ' x33]] es -como ha dicho cambio, el factor factor ff [x, -como se ha dicho antesantes- imposible imposible de deterdeterminar, valor de f (x) para su evaluación). minar, pues pues no se cuenta cuenta con con el valor (x) (necesario (necesario para evaluación). Sin embarembarxI' xx22'' xx33]] está relacionado con vada de go, el valor valor de f [ x, xxoo'' XI' está estrechamente estrechamente relacionado con la cuarta cuarta deri deri vada f (x), como teorema. como lo expresa expresa el siguiente siguiente teorema. gar

Teorema Teorema *

Seaf valor real, real, definida [a,b] y k veces veces diferenciable Seaf (x) una una función función de valor definida en [a,b] diferenciable en (a,b). (a,b). Si xoo' XI"" ,xkson k+1 puntos distintos en [a,b], entonces existe existe ~ 10 e (a,b) (a,b) tal que: xI"'" xkson k+1 puntos distintos [a,b] , entonces

e;

(e;)

f (k) (O f(k) f[x xl"" ,x ,xkk] ] = f[x =--- - o' o' XI""

k!

con con

e;¡; 10e (min (min x

~

1, 1,

max O :s; :s; i :s; :s; n max x.), x), O I

Al utilizar utilizar esta tiene, en general, esta información información se tiene, general, RI1 (x) (x) = Rn y para para n

j(II+I)(e;) f(II+I)(~)

11 11

TI (x - x¡) TI (x x¡)

(n + 1)! 1)! ;=0

con e; 10e (mÍn x 1, máx máx x¡), x), O ~n con ~ (mín Xi, O ~~ i ~ I

= =3

Se deriva veces y se tiene: tiene: deriva sucesivamente sucesivamente f (x) (x) cuatro cuatro veces

f' f'

a:

(x) (x)

== l/x;f" l/x;!" (x) = f /" (x) (x) = fIV (x) (x) = -6/~ = -l/x22; 1''' = 2/x3,2/x3;fTV = -6/r

Comoj'I" (x) es creciente creciente en el intervalo intervalo de interés (1,, 2) (al aumentar aumentar x en éste éste se incremenComofIV interés (1 incrementafIV (x), alcanza alcanza su valor cota inferior inferior buscada está datafTV valor mínimo mínimo en x == 1 y, por por tanto, tanto, la cota buscada está da por:

6 fIV fIV (1) 0.00694 -- - = = 0.00694 0.00694 -- - = = -0.00174, -0.00174, 0.00694 4! (1)44! (1)44! decir: es decir:

R3 (1.5) (1.5) ?: -0.00174 -0.00174

rror

. Este Este valor valor indica indica que que el error error de interpolación cuando x = = 1.5 es mayor que mayor o igual igual que interpolación cuando -0.00174. Sin embargo, embargo, para conocer el intervalo intervalo donde donde reside error, es necesario cono-0.00174. para conocer reside el error, necesario conocer la cota cota superior, superior, que que se calcula calcula en el ejemplo ejemplo siguiente. siguiente. cer

autos


Solución

Calcule la cota cota superior superior del del error error R R3(x) ejemplo anterior anterior y confirme que al utilizar Calcule confirme que utilizar 3(x) del ejemplo diferencias divididas divididas para interpolar en x = = 1.5, el error error obtenido obtenido está está en el intervalo intervalo cudiferencias para interpolar extremos son son las cotas cotas obtenidas. obtenidas. Use 0.40547 como como valor yos extremos Use 0.40547 valor verdadero verdadero en ln [n 1.5. Como se vio, la función función --6/~ creciente en (1, 2); por alcanza su valor Como 6/r es creciente por tanto tanto alcanza valor máximo máximo en cota superior superior está está dada dada por: = 2 Y la cota x= Para su demostración demostración véase véase Conte, S.D. y De C. Análisis Graw-Hill (1967), (1967), pp. • Para Conte, S.D. De Boor Boor C. Análisis numérico. numérico. 2aa. . Ed., Ed., MC MC Graw-Hill 226-227. 226-227.

356


0.00694 0.00694

-6 = = -0.00011, -0.00011, 244!4!

es decir: decir: -0.00011 R3 (1.5):S; -0.00011

Por Por medio medio de la interpolación interpolación con con diferencias diferencias divididas divididas con con un polinomio polinomio de tercer tercer grado grado obtiene: se obtiene: P3 P3

(1.5) == f[x (1.5-xoo)f)f [xo,x¡] [xo'x¡] + (1.5-x (1.5-xoo)(1.5-x¡) (1.5) f[xo]o] + (1.5-x f[xO'x¡,x )(1.5-x¡) f[x 2] 2 ] O'x¡,x (1.5-xoo) ) (1.5-x (1.5-x) l ) (1.5-x (1.5-x2)2) f[x + (1.5-x f[xO,xl'x 2 2 x33] ] O,xl'x 0.40583 = 0.40583

error es In 1.5 y el error [-0.00174, [-0.00174, -0.00011] -0.00011] .

1",

,.

P3 P3

(1.5) (1.5)

= -0.00036 -0.00036 =

que, efectivamente, efectivamente, está está en el intervalo intervalo que,

5.7 Aproximación Aproximación polinominal polinominal segmentaria segmentaria En alguno alguno de los casos casos previos previos pudo pudo pensarse pensarse en aproximar aproximar f (x) por por medio medio de un polinopolinomio mio de grado grado "alto", "alto", 10 o 20. Esto Esto pudiera pudiera ser por por diversas diversas razones: razones: porque porque se quiere quiere mamayor yor exactitud; exactitud; por por manejar manejar un solo solo polinomio polinomio que que sirva sirva para para interpolar interpolar en cualquier cualquier punto punto del intervalo intervalo [a, b], b], etcétera. etcétera. Sin embargo, embargo, hay serias serias objeciones objeciones al empleo empleo de la aproximación aproximación de grado grado "alto"; "alto"; la primera primera es que que los cálculos cálculos para para obtener obtener Pn(x) Pn(x) son son mayores, mayores, hay que que verificar verificar más más cálcucálculos para para evaluar evaluar P P;n (x) (x) y, lo peor peor del caso, caso, es que los resultados resultados son poco poco confiables confiables como como puede puede verse verse en el ejemplo ejemplo 5.10. 5.10. Si bien bien lo anterior anterior es grave, grave, lo es más más que que el error error de interpolación interpolación aumenta aumenta en lugar lugar de disminuir disminuir (véase (véase Seco Seco 5.6 y ejemplo ejemplo 5.3). Para Para abundar abundar un poco poco más más en la discusión discusión de la sección retomará el factor sección 5.6, se retornará factor productoria productoria de la ecuación ecuación 5.41. 5.41.

de

lín

n

11 x), Il (x - x.), ;=0 i=O

'

donde, donde, si n es muy muy grande, grande, los factores factores (x-x), (x-x), son son numerosos numerosos y, si su magnitud magnitud es mayor mayor de 1, evidentemente evidentemente su influencia influencia será será aumentar aumentar el error error Rn(x). Rn(x). Para disminuir disminuir Rn(x), Rn(x), atendiendo atendiendo el factor factor productoria productoria exclusivamente, exclusivamente, es menester Para menester factores (x-x) (x-x) sean sean en su mayoría mayoría menores menores de 1 en magnitud, magnitud, lo cual cual puede puede lograrlograrque los factores tomando intervalos intervalos pequeños pequeños alrededor alrededor de X. Como Como el intervalo intervalo sobre sobre el cual cual se va va a se tomando aproximarf(x) generalmente generalmente se da de antemano, antemano, lo anterior anterior se lograr lograr dividiendo dividiendo dicho dicho inaproximarf(x) tervalo en subintervalos subintervalos suficientemente suficientemente pequeños pequeños y aproximar aproximar f (x) (x) en cada cada subintervalo subintervalo tervalo por medio medio de un polinomio polinomio adecuado; adecuado; por por ejemplo, ejemplo, mediante mediante una una línea línea recta recta en cada cada supor bintervalo (véase (véase Fig. 5.5) 5.5) bintervalo Esto da como como aproximación aproximación de f (x) (x) una una línea línea quebrada quebrada o segmentos segmentos de líneas líneas rectas rectas Esto -que se llamarán llamarán g) (x)- cuyos cuyos puntos puntos de quiebre quiebre son son xi' ... ,,xxn_¡. Las funcionesf(x) -que gl (x)xl' x22,, ... _¡. Las funcionesf(x) n y g¡ (x) coinciden xl' x22,, ... xn Y y el error coinciden en xoo' xl' ... , x" error en cualquier cualquier punto punto x de [x o,' xlln] ] queda queda acoacotado, de acuerdo acuerdo con con el teorema teorema del ejemplo ejemplo 5.11 aplicado aplicado a cada cada subintervalo subintervalo [Xi' [Xi' xii+¡] con tado, +¡] con i = 0,1,2, ... ... ,n-l,por ,n-l, por i=0,1,2, -

-g¡ (x) R¡ (x) == If(x) If(x) -g¡

f"@ f"@ 1 a:S;:s; máx máx 1--,-1 1--,-1 m~x 1 1(x - x)x) (x -x -x +¡) 1 1 1 m~x 2. s:S; b 2. a:S;

b

i+)i

1

(5.43) (5.43)

f

Aproximación

x

E

[Xi' X¡+! ]

máx I

i

(x - x¡) (x - x¡+ 1)

1=

x¡

máx

+

i

x¡+!

- x¡) (

+

x¡

2

máx

i

máx 1

x¡+! -Xi

1

2

(x¡+! -x;>2

4

X¡-X¡+I

2

1 &2

= máx

i

1

4

Figura 5.5 Aproximación de f (x) por una línea quebrada.

or ter araa m-

alo sulas (x)

43)

Figura 5.6 Aproximación de f(x) por parábolas.

x¡+!

2

do

coon

357

e interpolación

fuera diferenciable dos veces en [xo' XII]' el valor máximo de I (x-x) (X-X¡+I) se dan en x = (x¡+x¡+ 1)/2, el punto medio de [x¡,xi+ 1]; de modo que

Sif(x)

para

funcional

XIl

-X¡+I)

1

I

358


sustituir en la ecuación ecuación 5.43 5.43 Al sustituir

II

R, (x) == f(x) f(x) -g, -g, (x)

f" (~) (~)II f" máx I máx I II a << máx ~ ~
m~x 1

,óx2 Lix2

_,_ -,4

(5.44) (5.44)

Donde se aprecia aprecia que que el error error R,(x) R,(x) puede reducirse tanto tanto como como se quiera, quiera, haciendo haciendo Lix¡ Az, pepepuede reducirse Donde queño queño para para toda toda i; por por ejemplo, ejemplo, tomando tomando un número número suficientemente suficientemente grande grande de subintersubintervalos en [a,b [a,b ], o bien bien empleando empleando polinomios polinomios de grado grado dos (véase (véase Fig. 5.6) 5.6) para para cada cada valos subintervalo x i +,]; de esta subintervalo [Xi' xi+d; esta última última manera manera se consiguen consiguen segmentos segmentos polinomiales polinomiales de gragrag2(x) cuyo cuyo término término del error error (5.44) (5.44) correspondiente correspondiente tendrá tendrá,óxp lugar de Lix? ,óx? EsEsdo dos g2(x) Lix? en lugar una disminución disminución del error error respecto respecto al empleo empleo de líneas líneas rectas. rectas. El empleo empleo de to da una polinomios x i +,] +,] es de las técnicas polinomios de grado grado 3 en cada cada subintervalo subintervalo [Xi' X técnicas más más difundidas difundidas y discute en detalle detalle enseguida. enseguida. se discute

APROXIMACiÓN CÚBICA DE HERMITE APROXIMACiÓN CÚBICA SEGMENTARlA SEGMENTARIA HERMITE

Se parte parte del hecho hecho que que se tiene tiene una una funciónf(x) funciónf(x) de valor valor real, real, dada dada en forma forma tabular tabular o anaanalítica en el inetervalo inetervalo [a,b] [a,b] , con con lítica

a= = XXoo < x, < x22 < ...

= =b

(5.45) (5.45)

Se quiere función g3(x) quiere construir construir una una función gix) con con segmentos segmentos de polinomios polinomios cúbicos' cúbicos' p¡(x) p¡(x) en cada cada [xi' x¡+ n-l, tal que x¡+,],] con con i = = O, 0, 1,2, 1,2, ... ... ,,n-l, =f(x¡) con con i = == = 0,1,2, 0,1,2, ... ... ,,n, g3(x¡) =f(x¡) n,

de donde: donde: p¡(x¡) =f =f(x¡)yP¡(x¡+,) =f(x¡+I)parai=O, 1,... ,n-l p;Cx¡) (x¡)yP¡(x¡+,) = f(x¡+I)parai=O, 1, ... ,n-l

(5.46) (5.46)

y esta esta última última implica implica que: i= = 1,2, 1,2, .. .... ,,nn

de modo modo que que gix) gix) es continua continua en [a.b] [a.b] y tiene tiene los puntos puntos interiores interiores xi' xi' x22,, ... ... , x,,_ x,,_,, como como puntos puntos de quiebre quiebre o donde donde g3 (x) no es diferenciable diferenciable en general. general. De acuerdo acuerdo con con el álgebra, álgebra, se sabe sabe que para para que que un polinomio polinomio cúbico cúbico quede quede determideterminado en forma nado forma única única se requieren requieren cuatro cuatro puntos. puntos. Hasta Hasta ahora, ahora, cada cada uno uno de los segmentos segmentos pasar por de modo cúbicos cúbicos p¡(x) Pi(X) tiene tiene que que pasar por (x¡, (Xi' f (x)) (x)) y (x¡+l' (xi+l' f(x¡+l))' f(xi+1)), modo que que quedan quedan dos punpunp¡(x) . tos o condiciones condiciones que que se pueden pueden establecer establecer para para definir definir en forma forma única única p¡(x). La La elección elección de estas estas dos condiciones condiciones faltantes faltantes depende, depende, por por ejemplo, ejemplo, de la utilización utilización que que se vaya vaya a dar a g3(x), g3(x), def(x) de f(x) y del contexto contexto donde donde se trabaje trabaje (de la ingeniería ingeniería o matematemático). mático). Por Por ejemplo, ejemplo, desde desde el punto punto de vista vista de la ingeniería, ingeniería, sería sería deseable deseable que g3(x) g3(x) fuera fuera diferenciable es decir, que gix) fuese suave en [a,b], _ , ; ferenciable en los puntos puntos interiores: interiores: xi' xi' x22, ... ... , xx,,_,; decir, que g3(x) fuese suave [a,b], n en lugar lugar de tener tener picos picos o puntos puntos de quiebre. quiebre. Esto Esto se daría daría con con dos condiciones condiciones como como la 5.46, pero pero en derivadas; derivadas; así así 5.46, i == 0,1 0,1,, ... ... , n-l

(5.47) (5.47)

previsto que que f f'' (x) (x) fuese fuese conocida conocida o aproximada aproximada en cada cada uno uno de los puntos puntos xXC'o' xl' x]> ... ... ,,XII. previsto XII. Con esto quedan cubiertas las dos condiciones faltantes . Con esto quedan cubiertas condiciones faltan tes

que sigue sigue de esta esta sección, sección, el subíndice subíndice indica indica el subintervalo, subintervalo, no el grado grado del polinomio polinomio como como en otras otras • En lo que ocasiones. ocasiones.

Aproximación ffuncional u ncional e Aproximación e interpolación interpolación

359

ecuación 5.47 5.47 se infiere infiere De la ecuación p' ¡-ll (x) (x) = p' (x) P' ¡p' ¡¡ (x) 5.44)

(5.48) (5.48)

i = 1,2, 1,2, ... , n

En este polinomios p;Cx); p¡(x); !JOf este punto punto cabe cabe empezar empezar a hablar hablar del cákulo cálculo de los polinomios por tanto, tanto, como como paso siguiente ¡(x), ii = paso siguiente se aproxima aproxima P p¡(x), = 1, 2, ... ... , n con con diferencias diferencias divididas divididas así.

d

x¡,x¡] (xx¡+d (x-x? p¡ (x) (x) = ff(x) (x) + ff[[x¡,x¡] (x-x)x) + ff[x¡ [Xi', Xi' x¡+ (x-x?

(5.49) (5.49) gra.2 Eso de das y

como: como: f [ x¡,x¡] =

, 11m

f (x¡ +

Ar~O

tu) - f (x) = f'(x.) tu '

y al sustituir sustituir (x-X¡+l) (x-x¡+l) con con (x-x) (x-x) + (X¡-x¡+l) (X¡-x¡+l) y agrupar agrupar se tiene tiene P¡ (x) = f (x) (x) + f' f' (x)(x-x) (x)(x-x) Pi (x)

ana+(f[x¡, Xi' x¡+ll X¡+l] - f[x¡, f[x¡, Xi' Xi' X¡+l,x+ll X¡+I .X+ l ] tu) + f[x¡, f[x¡, Xi' Xi' x¡+I.X +(f[x¡, Xi' Ll.x) (x-x? (x-x? x¡+I,XI+ll (x-xy l + l ] (x-xy

(5.50) (5.50)

Para Para facilidad facilidad de manejo manejo en su programación, programación, la ecuación ecuación 5.50 5.50 se escribe: escribe:

5.45)

(5 .51) (5.51)

(x-x.)1l + ec33,1.(x-x? .(x-x.?1l + ec4·,l,1· (x-x.) (x-x.)3l 3 ·(x) = ecll ,1. + ec22 ,,1/. (x-x.) P·(x) P 1 l,

cada

con con (x), eC2,i,; = f'f' (x), 5.46)

y

como ernuentos punación mate-

f' f'

(X¡+l) - 2f[x¡, 2f[x¡, x¡+d+ f' (x) (x) (x¡+l) x¡+¡] + f'

ra di[a,b], mola 5.47)

(X¡+l -x? -x? (X¡+l


Solución

f' f'

(x¡+I)-2f[x¡,X¡+I] (x¡+l) - 2f [X¡,X¡+I] + eC2,¡ .¡

&2 tu?

(5.52) (5.52)

1

Resuelva el problema problema del ejemplo ejemplo 5.3 usando usando aproximación aproximación segmentaria, segmentaria, con con polinopolinoResuelva mios de grado grado 2, 4, 6, ... ... , 16 Y estime, estime, como como antes, antes, el error error máximo máximo en forma forma práctica. mios práctica. En el CD CD se encuentra encuentra el En

PROGRAMA PROGRAMA

5.2 que que realiza realiza los cálculos cálculos solicitados solicitados 5.2

360

Métodos Métodos numéricos numéricos aplicados aplicados a a la la ingeniería ingeniería

Resultados Resultados

Número Número de intervalos intervalos

Error Error máximo máximo

2

2.23620 2.23620

4

2.23622 2.23622

6

0.73979 0.73979

8

0.04213 0.04213

10

0.09341 0.09341

12

0.06417 0.06417

14

0.03299 0.03299

16

0.01279 0.01279

En contraste polinomial (véase contraste con con la aproximación aproximación polinomial (véase el ejemplo ejemplo 5.3), 5.3), el error error máximo máximo decrece crece conforme conforme n crece. crece. APROXIMACiÓN CÚBICA DE BESSEL APROXIMACiÓN CÚBICA SEGMENTARlA SEGMENTARIA BESSEL

La requiere el conocimiento ... ,,n. La aproximación aproximación cúbica cúbica de Hermite Hermite requiere conocimiento def' def' (x), (x), i = = O, O, 1, 1,... n. EsEsvisto a lo largo ta información, información, como como se ha visto largo del capítulo, capítulo, no siempre siempre existe, existe, aún aún conocienconocienanalíticamente no siempre siempre es fácil fácil obtenerla. obtenerla. do f(x) f(x) analíticamente La aproximación por emplear una aproxiaproximación cúbica cúbica segmentaria segmentaria de Bessel Bessel se distingue distingue por emplear una aproximación de f'f' (x) por mación (x) por f'(x) f'(x) '" f[xi_l> f[xi_J> xii+¡], +¡],

i

= O, 1, ... ... =

,n

(5.53) (5.53)

todo lo demás procede tal como y en todo demás se procede como en la aproximación aproximación de Hermite. Hermite. La expresión requiere dos puntos puntos adicionales tienen y son x_ x_I 1 y xxllll++ l'iexpresión 5.53 5.53 requiere adicionales a los que que se tienen ya que que

llamadas g3(x), llamadas derivadas derivadas frontera frontera de g3(x). Una forma de obtenerlos obtenerlos es una nueva subdivisión subdivisión de [a, b], b], como: como: Una forma una nueva (5.54) (5.54)

podría también también usarse usarse podría f'(x lI + I),

(5.55) (5.55)

caso de disponer disponer de ellas ellas y calcular calcular las derivadas derivadas restantes acuerdo con con la ecuación ecuación en caso restantes de acuerdo (5.53). (5.53). Otra manera que gix) satisfaga Otra forma forma sería sería tomar tomar f'f' (x (xo) (x,) de manera que g3(x) satisfaga las condiciones condiciones o) yYf'f' (x,,) de extremo extremo libre. libre.

(5 .56) (5.56) Independientemente puntos x_11 y xn+i' x" + l' las funciones g3(x) y f(x) f(x) Independientemente de cómo cómo se obtengan obtengan los puntos funciones g3(x) coinciden puntos de quiebre xl' x22', ... XII' Por gix) es continua [a,b] , y coinciden en los puntos quiebre xoo' xi' ... , XII. Por esto esto gix) continua en [a,b], por también es continuamente Además, es posible, posible, y se por la ecuación ecuación 5.48 5.48 también continuamente diferenciable. diferenciable. Además, (xoo),)' ¡(x¡), ,¡(x,,) de manera manera que g3(x) resultante resultante sea muestra adelante, muestra adelante, determinar determinar f ,,(x ¡(XI)' ... ... ,¡(XII) que la g3(x) sea continuamente diferenciable. diferenciable. dos veces veces continuamente

Aproximación


361

El método de determinar gix) con esta característica se conoce como aproximación cúbica de trazador, ya que la gráfica de g3(x) se aproxima a la forma que tomaría una varilla delgada flexible si se forzara a pasar por cada punto (xo,J(xo»' (x¡,J(x¡», ... , (x",J(x/). El requisito de que g3(x) sea continuamente diferenciable dos veces pude darse como: i

= 1, 2,... , n-1

(5.57)

o i = 1,2, ... , n-1,

conforme la ecuación 5.51 (derivándola dos veces). Al sustituir las expresiones de la ecuación 5.52 en la última ecuación, se tiene: 2 (f [xi_i' x;l- f' fu: ¡-¡

(x¡_I»

+

6

A,"

c4·,/-I ll,l. /- I = i = 1, 2,... , n-1

Al continuar la sustitución y simplificar, se tiene: fu:J'

(X¡_I) + 2(fu:¡_1+ fu:)!,

(x) + fu:¡_d'

(Xi+¡)

= (5.58)

3 (f[x¡_i' xJ Sx¡ + f[xi, X¡+I] fu:¡_I)' i = 1,2, ... , n-1 Un sistema de n-1 ecuaciones lineales en las (n+1) incógnitas!, (xo),f' (XI),'" ,!'(xll). Al obtenerf ,(xo) y f '(XII) de alguna manera (por ejemplo mediante las ecuaciones 5.53 o 5.55) se resuelve la 5.58 para!'(xl), !'(x2), ... ,!'(xll_¡) por alguno de los métodos vistos en el capítulo 3; no obstante, como el sistema 5.58 es tridiagonal, conviene utilizar el algoritmo de Thomas.

Ejemplo 5.14

La siguiente tabla muestra las viscosidades del isopentano a 59°P y a diferentes presiones. Presión (psia)

Viscosidad (micropoises)

426.690

2468

483.297

2482

497.805

2483

568.920

2498

995.610

2584

1422.300

2672

2133.450

2811

3555.750

3094

4266.900

3236

7111.500

3807

362

Métodos numéricos


Elabore un programa para aproximar el valor de la viscosidad a las presiones de 355.575, 711.150,2844.600,5689.200 Y 8533.801 psia, utilizando la aproximación cúbica segmentaria de Bessel. Solución

En el CD se encuentra el

~

PROGRAMA

5.3, el cual proporciona los siguientes resultados.

Presión (psia)

Viscosidad (micropoises)

355.575

2453.56

711.150

2531.32

2844.600

2950.92

5689.200

3520.79

8533.801

4093.21

5.8 Aproximación polinominal con mínimos cuadrados Hasta ahora el texto se ha enfocado en encontrar un polinomio de aproximación que pase por los puntos dados en forma tabular. Sin embargo, a veces la información (dada en la tabla) tiene errores significativos; por ejemplo, cuando proviene de medidas físicas. En estas circunstancias no tiene sentido pasar un polinomio de aproximación por los puntos dados, sino sólo cerca de ellos (véase Fig. 5.7). No obstante, esto crea un problema, ya que se puede pasar un número infinito de curvas entre los puntos. Para determinar la mejor curva se establece un criterio que la fije y una metodología que la determine. El criterio más común consiste en pedir que la suma de las distancias calculadas entre el valor de la función que aproxima p(x) y el valor de la funciónf(x¡) dada en la tabla, sea mínima (véase Fig. 5.8); es decir, que

mil

p(x) -

.L

111

f (x)

= L d. = mínimo ;=1

1=1

1

y

y = f(x) La función pasa entre los puntos

o O Figura 5.7 Aproximación polinomial que pasa por entre los puntos.

XI

x2

X

3

x4

x5

x6

X

Aproximación funcional e e interpolación interpolación Aprox imación funcional

575, en-

363

yy

[(x,,,) f(x,,)

__ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ -

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

~I

- ~1I1

s.

Figura 5.8 Ilustración de Ilustración las distancias distancias di las a minimizar. minimizar.

x

Para evitar evitar problemas problemas de derivabilidad derivabilidad más más adelante, adelante, se acostumbra acostumbra utilizar utilizar las distancias distancias Para elevadas al cuadrado: cuadrado: di' elevadas m l1l

pase n la esda-

m 111

.2; - f (x)]2 =L = mínimo 2: [p(x) [p(x)-f(xW= 2: d)2 d2=mínimo

i=1 1=)

1

¡=I 1=1

I

1

En la figura figura 5.8 se se observan observan los puntos puntos tabulados, tabulados, la aproximación aproximación polinomial polinomial p(x) En p(x) y las distancias di entre entre los puntos puntos correspondientes, correspondientes, cuya cuya suma suma hay hay que que minimizar. distancias minimizar. Si se utiliza utiliza (5.59) (5.59)

CUf-

je y ade

para aproximar aproximar la función función dada dada por por la tabla, tabla, el problema problema queda queda como como el de minimizar minimizar para m ti!

e la

(5.60) (5.60)

.2: [aoo + a¡x a¡x¡i -- ff(x)]2 (x¡)F .L

I=¡ 1=1

Hay que que observar observar que que del del número número infinito infinito de polinomios polinomios que que pasan pasan entre entre los puntos, puntos, se seHay lecciona aquél aquél cuyos cuyos coeficientes coeficientes aooY al minimicen (5.60). lecciona ya) minimicen (5.60). En el cálculo cálculo de funciones funciones de una una variable, variable, el lector lector ha aprendido aprendido que que para para encontrar encontrar En mínimo o máximo máximo de una una función, función, se deriva deriva y se iguala iguala con con cero cero esa esa derivada. derivada. Después Después el mínimo resuelve la ecuación ecuación resultante resultante para para obtener obtener los valores variable que pudieran pudieran mise resuelve valores de la variable nimizar o maximizar maximizar la función. función. En el caso caso en estudio, estudio, donde donde se tiene tiene una una función función por por minimizar nimizar de dos variables variables (aoo Y al)' el procedimiento procedimiento es derivar derivar parcialmente parcialmente con con respecto respecto ya)), nimizar cada una una de las variables variables e igualar igualar a cero cero cada derivada, con con lo cual cual se obtiene obtiene un sistesistea cada cada derivada, ma de dos ecuaciones ecuaciones algebraicas algebraicas en las incógnitas incógnitas aoo Y a); al; o sea, sea, ma

oo [L alx¡ - f(x) f (x) )2] )2] oaoo [2: (aoo + a¡x¡ oo [2: (a + a)x¡ 2 (X) ) ]] oo alx¡ - ff(x» oa¡ oa [L m 111

-

l=¡ 1=1

entre

l

(5.61) (5.61)

2

m

1=) 1=1

deriva dentro dentro del signo signo de sumatoria sumatoria Se deriva 111

a [ a + a )x¡ - f (x) ]2 = .L 2 [ a + a)x o oao o m

.L -

,~ )

m

1=)

O

L [a o + a¡x¡ - f(x)]2 i=loa¡ 1

m

=

i -

f (x) ] 1 = O

L 2 [a o + a¡x¡ - f(x)] x = O i= ¡ 1 1

.'

364

Métodos numéricos


al desarrollar las sumatorias se tiene: [ao + a1xI

+ [ao + alx2 - f(x2)]

f(xl)]

-

+ ... + [ao + a1xm

-

=O

f(x,,)]

[aoXl + alx12 - f (XI)x1] + [aoX2 + a1xl- f (x2)x2] + ... + + [aoX", + a1x,.? - f (x,) XIII] = O que simplificadas quedan: m.

m

m ao + al .L Xi = .L f (X) 1=1 1=1 m

In

111

ao L X + al L x2 = L f(x) i=1

1

i=1

1

i=l

1

X

1

El sistema se resuelve por la regla de Cramer y se tiene m

m

111

111

[L f (X) ] [L X?] - [L Xi ] [L f (X) Xi ] 1=1

1=1

l=1

1=1

aO=------------n-'------m-------------

mLx2-[LX]2 i=l

1

i=1

1

(5.62)

que sustituidos en la ecuación 5.59 dan la aproximación polinomial de primer grado que mejor ajusta la información tabulada. Este polinomio puede usarse a fin de aproximar valores de la función para argumentos no conocidos en la tabla.

Ejemplo 5.15

En la tabla siguiente se presentan los alargamientos fuerzas de diferente magnitud que lo deforman. 2

3

4

5

o

2

3

6

7

0.120

0.153

0.170

0.225

0.260

Puntos Fuerza (kgf):

X

Longitud del resorte (m): y

de un resorte correspondientes

a

Determine por mínimo cuadrados el mejor polinomio de primer grado (recta) que represente la función dada.

Solución

Para facilitar los cálculos y evitar errores en los mismos, primero se construye la siguiente tabla. Puntos

Fuerza r,

Longitud y,

x21

x;y¡

1

O

0.120

O

0.000

2

2

0.153

4

0.306

3

3

0.170

9

0.510

4

6

0.225

36

1.350

5

7

0.260

49

1.820

LXi

=

18

LYi=

0.928

LX?=

98

L xiYi

=

3.986

Aproximación

365


Los valores de las sumatorias de la última fila se sustituyen en el sistema de ecuaciones 5.62 y se obtiene:

ao

= 0.11564 p (x)

y

al

= 0.019434,

de donde

= 0.11564 + 0.019434

x.

Los cálculos pueden realizarse con Matlab o con la TI-92 Plus.

format x=[O

long

2 3 6 7};

y=[0.120

0.153

a=polyfit

0.170

0.225

0.260};

(x,y,l)

fprint

('aO=%8. 5f

, a (2) ,a (1) )

a1=%9. 6f\n'

e5_15 () Prgm

{O,2, 3, 6, 7}->1x : 5->n {.12, .153, .17, .225, .26}-> 1y LinReg

lx, 1Y

ShowStat lx [1}- .1* (max (lx) -min (lx))

-> xmin

lx [n} +.1* (max (lx) -min (lx) ) -> xmax min (ly) -.1* (max (ly) -min (ly))

->ymin

max (ly) +.1* (max (ly) i +yme« regeq(x)->y1 NewPlot

(x)

1,1,lx,ly

setMode("Split

1 App","Graph")

Pause

1 App", "Hotne"

setMode ("Split EndPrgm

Este programa genera las dos pantallas siguientes en la TI-92 Plus

~1~IAl2~ ,,~ '"~ ~

r~~

STAT YAAS

uol o

y=a . x-b a =.1119434 =, 115639 b =.993737 corr =,987513 R2

-e5-15( eS-ISO ~'1EnWM

(Entar -OK PiAD AF'pfi¡m:

o

)

~ une

F

1l~:(I

r'1En~ur'1

f¡

o

f1P f' F; D:~

.

,

El grado del polinornio no tiene relación con el número de puntos usados y debe seleccionarse de antemano con base en consideraciones teóricas que apoyan el fenómeno estudiado, el diagrama de dispersión (puntos graficados en el plano x-y) o ambos. El hecho de tener la mejor recta que aproxima la información, no significa que la información esté bien aproximada; quizá convenga aproximarla con una parábola o una cúbica.

~.~~~-------------------------~-----366

Métodos numéricos


= ao

Para encontrar el polinomio de segundo grado P2(x) xime la tabla, se minimiza

+ alx + a2x2 que mejor apro-

(5.63) donde los parámetros ao' al y a2 se obtienen al resolver el sistema de ecuaciones lineales que resulta de derivar parcialmente e igualar a cero la función por minimizar con respecto a cada uno. Dicho sistema queda: m

m ao+

al

m

L x·+ a2 L x2

i=l

m

i=l

1

m

i=l

1

In

i=l

i=l

1

m

aO L x.2+al

L x3+a2

i=1

1

m

= L f(x') i=l

m

al L x3

ao L x·+ al L x2+ i=l

1

1

1

m

I

In

=

L f(x')x.

i=l

(5.64)

1

1

m

L X4 = Lf(x.)x2, i=l

1

i=l

1

1

Cuya solución puede obtenerse por alguno de los métodos vistos en el capítulo 3.

IEjemplo~~1;J

El calor específico Cp (cal/k gmol) del Mn304 varía con la temperatura de acuerdo con la siguiente tabla. 1

2

3

4

5

6

280

650

1000

1200

1500

1700

32.7

45.4

52.15

53.7

52.9

50.3

Punto T (K) -:

Cp (cal/k gmol)

Aproxime esta información con un polinomio por el método de mínimos cuadrados.

Solución

El calor específico aumenta con la temperatura hasta el valor tabulado de 1200 K, para disminuir posteriormente en valores más altos de temperatura. Esto sugiere utilizar un polinomio con curvatura en vez de una recta, por ejemplo, uno de segundo grado, que es el más simple. Para facilitar el cálculo de los coeficientes del sistema de ecuaciones 5.64, se construye la siguiente tabla. Puntos

T

Cp

Xi

Yi

x3l

X.2 l

X.4 l

Y~i

Y~?

280

32.7

0.78

x

105

0.022 X 109

0.062 X 1O11

9156

2.56

x

106

2

650

45.4

0.42

x

106

0.275 X 109

1.785 X 1O11

29510

19.18

x

106

3

1000

52.15

1.00

x

106

1.000 X 109

1.000 X 1012

52150

52.15

x

106

4

1200

53.7

1.44

x

106

1.728 X 109

2.074 X 1012

64440

77.33

x

106

5

1500

52.9

2.25

x

106

3.375 X 109

5.063 X 1012

79350

119.03

x

106

6

1700

50.3

2.89

x

106

4.900 X 109

8.350 X 1012

85510

145.37

x

106

¿Totales

6330

287.15

8.08 X 106

11.3 X 109

166.7 X 1O11

320116

415.62 X 106

Aproximación funcional f uncional e Aproximación e interpolación interpolación

apro-

Los coeficientes Los coeficientes se sustituyen sustituyen en el sistema sistema de ecuaciones ecuaciones 5.64 5.64 y se obtiene: obtiene: 6 aoo + 6330 6330

al a] + 8.08 8.08 X 1066 a a22 = = 287.15 287.15

6330 a aoo + 8.08 X 1066 a a]l + 11.30 11.30 X 1099 a a22 = = 320116 320116 6330

(5.63) neales espec-

367

8.08 8.08

X

11.30 106 aoo++ 11.30

X

166.70 109 aal l + 166.70

X

11 a = lO]] 415.62 10 22 = 415.62

X

106

cuya por el método método de eliminación cuya solución solución por eliminación Gaussiana Gaussiana arroja arroja

= 19.29544, 19.29544, al a] = = 0.053728, 0.053728, a a22 = = -2.08787 -2.08787 aaoo = que polinomial siguiente: que forma forma la aproximación aproximación polinornial siguiente:

X

10-55, , 10-

X 10-55 T2 Cp(T) Cp(T) "" "" P2 (T) (T) = = 19.29544 19.29544 + 0.053728 0.053728 T - 2.08787 2.08787 X (5.64)

Los valores de las sumas todas sus cifras pero el popoLos valores sumas no se escribieron escribieron con con todas cifras significativas, significativas, pero linomio regresión se calculó usando todas todas las cifras linornio de regresión calculó usando cifras que que conserva conserva la computadora. computadora. Los pueden realizarse realizarse con Matlab o con Plus. Los cálculos cálculos pueden con Matlab con la TI-92 TI-92 Plus.

con format long format long T=[280 T=[2BO 650 1000 1000 1200 1200 1500 1500 1700]; 1700J; cp=[32.7 45.4 52.15 53.7 52.9 50.3]; cp=[32.7 50.3J; a=polyfit(T, Cp,2); a=polyfit(T,Cp,2); fprintf( 'aO=%8.5f a2=%9. 6f\n',a (3),a fprintf( 'aO=%B.5f al=%9.6f al=%9.6f 6f\n',a (3),a (2),a (2),a (1)) Tint=800 Tint=BOO; ; cpint=a *Tint+a (1) *Tint cp int=e (3) (3) +a (2) (2)*Tint+a *Tint '2; '2; fprintf(' fprintf (' Cp(%4 Cp (%4. . 0f)=%6.1f\n Of) =%6. 1f\n' ',, Tint Tint, ,Cpint) Cpint)

Otra usando las normales para para la regresión: regresión: Otra forma, forma, usando las ecuaciones ecuaciones normales

6

X

106

8

X

106

5

X

106

3

X

106

3

X

106

7 X 106 2

X

106

T=[280 T=[2BO 650 1000 1000 1200 1200 1500 1700]; 1700J; Cp=[32.7 45.4 52.15 53.7 52.9 50.3J; Cp=[32.7 50.3J; A=[length(T) sum(T) A=[length(T) sum(T) sum(T.'2); sum(T.~2); ... ... sum(T) sum(T.~2) sum(T.'3); ... sum (T) sum(T . '2) sum(T.'3); ... sum(T. '2) ~2)sum(T. sum(T. -3) ~3)sum(T. sum(T. -4)] ~4)J sum(T. b=[sum(CP); sum(CP.*T); sum(Cp .* T. -2)] b=[sum(CP); sum(CP.*T); sum(Cp.*T.~2)] a=A\b a=A\b for : length (a) for i=l i=l:length(a) aa (i) =a (length l - i) ; (i)=a (length (a) + +l-i); end end polyval (aa,BOO) polyval

368


e5_16() e5_16 () Prgm Defin (l x,ly,np ,ng) =Prgm Define e minimos minimos(lx,ly,np,ng)=Prgm riq+lr+nec t Ztnec=lr+rm newList (nn (rmr+s t s+es ng+1-+nee:2*nee-1-+nn : newList )-+s:s-+ ss For i i,i,np For , l , np Ir+x»: l-+xx For j,l,nn For j , l , nn If f j~ec I j9Jee [j ]+xxi'iy[i]-+ss -+ss [j [j] J ss [jJ+xxi'ly[iJ xx"'ix[i]-+xx-+xx : s[jJ+xx->s[jJ s [j J+xx-+s [j] xx"'lx[iJ EndFor EndFor EndFor EndFor newMat (nee , n ee)-+ a newMa t (nee,l)-+b (nec,nec) -+a newMat (nee, 1)+b np+e [l [l,lJ np-+a ,l J For i,l,nee i,l,nee For For j,l,nee For j,l,nee I and j=l) If f not(i=l not(i=l and j=l) [j-2+iJ-+a [i,j , j J ss [j - 2+iJ -+a [i Endfor Endfor ss[iJ-+b[i,l] ss[iJ-+b[i,lJ EndFor EndFor EndPrgm {280 , 1000 ,1 200 , 1500 , 1700}-+ lx {280,, 650 650,1000,1200,1500,1700}-+ Lx (32. 7, 7,45.4,52.15,53. 6-+np: 2-+ng:: ClrIO CirIO (32. 45.4 ,52. 15,53. 77,52.9,50.3)-+ly , 52.9 , 50.3) -+ ly : 6-+ np : 2-+ng minimos(lx,iy,np,ng) simuit(a,b)-+e: O-+p: : DelVar DeiVarx x minimos(lx , ly ,np , ng) : simult(a , b )-+ e : O-+p For , 1 ,ng+1 For ii,1,ng+1 Disp "x (" &string (i) e6") Disp "x ("&string (i) &") ="&format ="&format (e [i [i, , 1] 1J , ""e6") p+e [i, [i, l]*x 1J*x (i-1)-+p (i-1)-+p p+e EndFor EndFor Disp p : Pause : FnOff FnOff Disp lx[lJ-.1* (max-lx) min (lx) xmin ix[lJ-.1* (mex-Lx) --min (Lx) )-+ r +xmin ix[npJ+.1*. l* (max (max (lx) (lx) -min-lx)) -rain-Lx) ) -+xmax lx[np]+ min (ly) (Ly ) --.1* (max (ly) (Ly) --min (Ly) ),-+ymin min .1* (max min (ly) ),:-+ymin (ly) +.1* (max (max (ly) (Ly ) --min (iy)) -+ymax max (ly) min (ly)) 2-+xres: , 1 , lx 2-+xres: O-+ysel O-+ysei : NewPlot NewPiot 1 1,1, Lx , 1y Ly : DrawFune p p:: FnOn FnOn:: Pause setMode( " Split 11 App","Home") App","Home") setMode("Spiit EndPrgm

Pal

PA PA

Con Con este este programa programa se otbienen otbienen los siguientes siguientes resultados: resultados:

~~CleanupO ~~cleanuPIJ xl1.) =19.29544EO xl1 . ) =19 . 29544EO xI2.) =53.72770E~3 xI2 . ) =53 . 72770E ~ 3 xI3 . ) =-20 . 87873E- 6 xI3.) =-20.87873E-6 053727701612 · x ++ 1 --2.08787346697E-5·x 2 . 08787346697E- 5 · x22 ++ ..053727701612·x

t'1En~U~'1

NOTA: NOTA:

FmKO/30 FmK O/3 0

1if.llfS~

PA. PA:

FUtK

.. ,

Muchas de las calculadoras calculadoras de mano mano cuentan cuentan con con un programa programa interno interno para para obtener obtener esta Muchas esta aproximación; por por otro otro lado, lado, puede puede usarse usarse un pizarrón pizarrón electrónico electrónico para para los los cálculos cálculos aproximación; (sumatorias, (sumatorias, solución solución de ecuaciones, ecuaciones, etcétera). etcétera).

PA~


Aproximación

I

369

,

Ejemplo 5.17 . Solución

Use aproximación polinomial de segundo grado obtenida en el ejemplo anterior para aproximar el calor específico del Mn304 a una temperatura de 800 K. Con la sustitución de T

=

Cp (800) '" P2(800)

800 K en el polinomio de aproximación se tiene:

= 19.29544 + 0.053728(800) - 2.08787

= 48.9

X

lO-s (800)2.

cal/K gmol.

En caso de querer aproximar una función dada en forma tabular con un polinomio de grado más alto, n por ejemplo, el procedimiento es el mismo; esto es, minimizar la función In

i~l

[ao + a¡x¡ + a2x? + ... +

«»: - f(x)]

2,

lo cual se obtiene derivándola parcialmente con respecto a cada coeficiente aj, (O < j < n) e igualando a cero cada una de estas derivadas. Con esto se llega al sistema lineal mao

+

a¡ Lx

ao Lx ao LX2

+

al

Lx2

+

al

Lx3

+

a2 Lx2 a2 Lx3

+

a2Lr

+

+

+ «: Lxn

=

Ly

+

+ an L xn+ ¡

+

+ an L xn+2

= =

L x2y

L xy

donde se han omitido, los subíndices i, de x y y, así como los límites de las sumatorias que van de 1 hasta m para simplificar su escritura.

Aproximación con mfnimos cuadrados Para obtener los N+ 1 coeficientes del polinomio óptimo de grado N que pasa entre M parejas de puntos, proporcionar DATOS:

El grado del polinornio de aproximación N, el número de parejas de valores (X(I), FX(I), 1 = 1,2, ... , M).

RESULTADOS: PASO l. PASO 2.

los

Los coeficientes A(O), A(l), ... , A(N) del polinomio de aproximación.

Hacer J = O. Mientras J:::; (2*N-1), repetir los pasos 3 aS. PASO 3. Si J :::;N Hacer SS(J) = O. De otro modo continuar. PASO 4. Hacer S(J) = O. PASO 5. Hacer J = J + 1. PASO 6. Hacer I = 1. PASO 7. Mientras 1:::;M, repetir los pasos 8 a 15. PASO 8. Hacer XX = 1. PASO 9. Hacer J = O. PASO 10. Mientras J :::;(2*N-1), repetir los pasos 11 a 14. PASO 11. Si J :::;N hacer SS(J) = SS(J) + XX*FX(I). De otro modo continuar. PASO 12. Hacer XX = XX*X(I). PASO 13. Hacer S(J) = S(J) + XX. PASO 14. Hacer J = J + 1. PASO 15. Hacer 1 = 1 +1. PASO 16. Hacer B (0,0) = M.

370

Métodos numéricos


PASO 17. Hacer I = O. PASO 18. Mientras I:S; N, repetir los pasos 19 a 24. PASO 19. Hacer J = O. PASO 20. Mientras J :s;N, repetir los pasos 21 y 22. PASO 21. Si l,t O Y J ,t O. Hacer B(I,1) = S(1-1+1). PASO 22. Hacer J = J + l. PASO 23. Hacer B(I,N+l) = SS(I). PASO 24. Hacer 1 = 1 + 1. PASO 25. Resolver el sistema de ecuaciones lineales B a = ss de orden N+ 1 con alguno de los algoritmos del capítulo 3. PASO 26. IMPRIMIR A(O), A(1), ... ,A(N) Y TERMINAR.

I

En el CD encontrará el PROGRAMA 5.9 de Regresión. Con este programa usted puede proporcionar la función como una tabla de puntos, aproximar con el método de mínimos cuadrados utilizando un polinomio de grado seleccionado. Podrá además observar gráficamente los puntos dados, el polinomio de ajuste y el valor a interpolar.

5.9 Aproximación multilineal con mínimos cuadrados Con frecuencia se tienen funciones de más de una variable; esto es, f (u, v,z). Si se sospecha una funcionalidad lineal en las distintas variables; es decir, si se piensa que la función y = ao + a¡u + a2v + a3z

Puede ajustar los datos de la tabla siguiente: Puntos

u

v

Z

1

u¡

v¡

z¡

f(ul'

2

u2

v2

Z2

f (u2' v2' Z2)

3

u3

v3

Z3

f (u3, v3' Z3)

m

y vI' z.)

Vm.

Se puede aplicar el método de los mínimos cuadrados para determinar los coeficientes ao, al' a2 y a3 que mejor aproximen la función de varias variables tabulada. El procedimien-

to es análogo al descrito anteriormente y consiste en minimizar la función. In

.L [(ao + a[u¡ + a2v¡ + a3z¡)-y¡]2

<=[

que derivada parcialmente con respecto de cada coeficiente por determinar: ao, al' a2, a3 e igualada a cero cada una, queda

a

a ao

a

m

L

i=1

=2 L

[(ao + a,u. + a2v. + a3z.) - y]2 /. 1 I

=2 1=1 L

[(ao + aju. + a2v. + a3z.) - y]2 I l 1 1

=2 i=1 L

m

L

i=1

.

1=1 m

I

m

L ;=1

m

[(ao + a,u. + a2v. + a3z.) - y]2 I 1 , ,

(ao + a,u. + a2v¡ + a3z· - y.) 1 1 1

1= O

(ao + a,u. + a2v. + a3z - y.) u, = 1 I 1 1 1

O

m

(ao + aju. + a2v. + a3z - y.) 1 I 1 1

V l

=O

E

Aproximación

371


ecuaciones que arregladas generan el sistema algebraico lineal siguiente: +

m ao ao

Lu +

al al

L L

+

u

u2

+

a2

Lv +

a3

= Ly

Lz

a2

L uv +

a3

L u:

v2

=

Luy

ao

Lv +

al

L vu +

a2

L

+

a3

L vz = Lvy

ao

L

+

al

L zu +

a2

L zv +

a3

L

z

(5.65)

= Lzy

Z2

en las incógnitas ao' al' a2 y a3. Para simplificar la escritura se han omitido los índices i, de u, v, y Z y los límites de las sumatorias, que van de 1 hasta m.

tilo 3.

Ejemplo 5.18

procuaente

A partir de un estudio experimental acerca de la estabilización de arcilla muy plástica, se observó que el contenido de agua para moldeo con densidad óptima dependía linealmente de los porcentajes de cal y puzolana mezclados con la arcilla. Se tuvieron así los resultados que se dan abajo. Ajuste una ecuación de la forma: y = ao + a lu + a2 v

a los datos de dicha tabla. ospención

.\

Solución

Agua ( %) y

Cal ( % )

Puzol ana ( % )

u

v

27.5

2.0

18.0

28.0

3.5

16.5

28.8

4.5

10.5

29.1

2.5

2.5

30.0

8.5

9.0

31.0

10.5

32.0

13.5

4.5 1.5

El sistema por resolver es una modificación del sistema de ecuaciones 5.65 para una función y de dos variables u y v nao

les ao' en-

ao ao

+

L u + Lv +

al al al

Lu L

u2

+

a2

Lv

=

+

a2

L uv

a2

v2

= Luy = Lvy

L vu +

L

Ly

Con el objeto de facilitar el cálculo del sistema anterior se construye la siguiente tabla.

a2, a3 O O O O

Ui

Vi

Yi

u.z 2

UiVi

v.,2

«s.

V)i

1

2.0

18.0

27.5

4.00

36.00

324.00

55.00

495.00

2

3.5

16.5

28.0

12.25

57.75

272.25

98.00

462.00

3

4.5

10.5

28.8

20.25

47.25

110.25

129.60

302.40

4

2.5

2.5

29.1

6.25

6.25

6.25

72.75

72.75

5

8.5

9.0

30.0

72.25

76.50

81.00

255.00

270.00

6

10.5

31.0

110.25

47.25

20.25

325.50

139.50

7

13.5

4.5 1.5

32.0

182.25

20.25

2.25

432.00

48.00

L Totales

45.0

62.5

206.4

407.5

291.25

816.25

1367.85

1789.65

372


Los coeficientes los mécoeficientes se sustituyen sustituyen en el sistema sistema de ecuaciones ecuaciones y al aplicar aplicar alguno alguno de los todos todos del capítulo capítulo 3, se obtiene: obtiene:

aaoo == 28.69, 28.69,

al = = 0.2569, 0.2569,

a22 == -0.09607 -0.09607

al sustituir sustituir estos estos valores valores se tiene: tiene: y

= 0.2569 = 28.69 28.69 + 0.2569

u - 0.09607 0.09607 v

Los cálculos cálculos pueden pueden realizarse realizarse con Matlab Matlab o con con la TI-92 TI-92 Plus Plus Los

u=[2'; 3.5; 3.5; 4.5; 4.5; 2 2.5; 10.5; 13.5]; u=[2"; . 5 ; 88.5; . 5 ; 10 .5; 13.5]; v=[18 22.5; . 5 ; 9; 44.5; . 5 ; 1.5]; v=[18; ; 16.5; 16.5; 10.5; 10.5; 1.5]; y=[27.5; 28; . 8 ; 29 . 1 ; 30 y=[27.5; 28; 28 28.8; 29.1; 30;; 31; 31; 32] 32];; A=[size(u,l) sum(u) (v) ; ... A=[size(u,l) sum(u) sum sum(v) ... sum um (u. *v) sum (u) sum sum (u (u.. A2) s sum *v) ; ... ... sum 2)] ; sum (v) sum sum (v. (v. *u) *u) sum sum (v. (v. A A2)]

pl

b=[sum sum (v. b=[sum (y) ;sum (u. *y) *y) ;;sum (v. *y)] *y)] a=A\b a=A\b

Ej e5_18 () e5_18 Prgm Prgm

{2,3. 4. 5,2.5,8.5,10.5,13. ....• {2, 3. 55,, 4.5, 2 . 5 , 8 . 5 , 10 . 5 , 13 . 5} -> u {18,16. 9, 4 4.5,1. 5} ....• v {18 , 16. 55,10.5,2. , 10 . 5 , 2 . 55,, 9, . 5 , 1 . 5}->v (27.5,28,28.8,29.1,30,31,32} ....• y (27 . 5 , 28 , 28 . 8 , 29 . 1 , 30 , 31 , 32}->y @Nota dos líneas son una sola @Nota:: Las Las siguientes siguientes líneas sola instruccion instruccion [dim(u) ,,sum(u) [dim(u) sum(u) ,sum(v) , sum(v) ;;sum(u) sum(u) ,,sum(u. sum(u . A2) ,,sum(u.*v); sum(u . *v); sum (v) , sum(v.*u) sum (v. *u) , sum(v sum (v.. A2) J] -> ....•a sum(v) [sum(y) ;sum(y.*u) ....• b [sum (y) ;sum(y .* u) ;;sum(y.*u) sum(y.*u) ] ->b simult (a (a,b) ....• simult , b )-> cc Disp e c Disp EndPrgm

graficar en el espacio espacio la ecuación ecuación yy = 28.69 28.69 + 0.2569 0.2569 u - 0.09607 0.09607 v, resulta Al graficar resulta un plano plano pasa por por entre entre los puntos puntos experimentales, experimentales, quedando quedando algunos algunos de ellos ellos abajo abajo y otros que pasa otros arridemás en la superficie, superficie, pero pero la suma suma de los cuadrados cuadrados de las distancias distancias de estos ba y los demás estos puntos superficie es minima, mínima, respecto respecto a cualquier cualquier otro otro plano que pase puntos a la supetiicie plano que pase entre entre dichos dichos puntos (ver (ver Fig. 5.9). puntos Fig. 5.9).


373

los mé-

-~ - -,

1 _ -1-

-

1

yy 33 (agua %) (agua 32

II

1 1 I I

.... _...•. --

-"

_-1 _1

-

-t 1 1 1 1

..•. "" - ....

I

1

311 3

1 1

.... - -1_

1

30 30 ................ -

-

I

-

_-

I

_ -

- 1.........

..... I

1.....

.....,.....

I

I

1.....

I

I

I

r-,

....

....

.-

I

..... 1.....

'l.....

,

I

•............. I

- -"...!~':":':":'>---~'--7.o-?'~/-=tz:

,',1,11

.L~~L:"..L77~~-~

-~ ,',1,

1

~

:

,

~~~~~~~~~~,

1

5.9 Figura 5.9 Gráfica del plano y = = 28.69 28.69 plano 0.2569 u + 0.2569 -0.09607vy -0.09607vy algunos datos algunos experimentales. experimentales.

........•......

I ~.....

I

.... -

I

1

1

28

•••

•.......

1

...,-

29

I

~.~Á4077,": .L~~L:;"..L/"'7~?"-", l ' ,

.......,1

--

1

I 1

'

-..........

_ r f .... _ "

-t-

I

1

1

'

-,-

I

I

_-

1 1

1

....-

'"

_ ....1'".....

1

' .... _.-

1

1

'1 '1

t, ~,

, ,

1

1

1

1

'1 '1 1

1', " , 11

11

, ,

', JJ

1 1,

). , ,

1

1

:

-- -- ,-- ...•.,1

27 20

1

,,

11 ,1 ,1

15

15

,

10 (cal %) uti (cal

5

oo O o


continuación se presentan las presiones vapor del cloruro cloruro de magnesio. magnesia. A continuación presentan las presiones de vapor Puntos Puntos

oo

P (mmHg) (mmHg)

10 930 930

TCC)

2

3

4

5

66 7

20

40 40

60

100

200 200

400 760 760 400

988 988

1050 1050

1088

1142

1316 1316

1223 1418 12231418

Calcule la presión vapor correspondiente correspondiente a T = = 1000 1000 Calcule presión de vapor Solución Solución

De. oc.

Como la información información no está regularmente espaciada espaciada en los argumentos argumentos (T), (T), pueden Como está regularmente pueden usarusardiferencias divididas divididas o polinomios polinornios de Lagrange Lagrange para interpolación. (Se sugiere sugiere ver ver se diferencias para la interpolación. PROGRAMAS 5.4 5.4 yy 5.5 5.5 del CD). CD). los PROGRAMAS Con los polinornios Lagrange de segundo segundo grado grado se tiene: tiene: Con polinomios de Lagrange

n plano

-f(

P2 P2 (()X )

os arrie estos dichos

- f( )

-

Xoo

+ f(x f(x)

2 2

)

(X-XI) (x-xl)(x-x2)(x-x 2 )

(x (xoo -

X I) (x XI) (xoo - xx22))

+

f() f() XI XI

(x-x (x-xO)(x-x2) o) (x-x 2 ) (XI - x xoo)) (XI - xx22))

(x - xo) (x - XI) (x x o) (x X I) (x x o) (x XI) (x22 - xo) (x22 - XI)

tomar las presiones como valores valores de la función funciónf(x), temperaturas como como los arguarguAl tomar presiones como f (x) , las temperaturas mentos x, seleccionar seleccionar los puntos (O), (1) (1) Y (2), (2), Y sustituir sustituir los valores, valores, se obtiene: obtiene: mentos puntos (O),

P2 (1000) (1000)

= 10 = + 40 40

(1000 - 988) 988) (1000 (1000 - 1050) 1050) (1000 - 930) 930) (1000 (1000 - 1050) 1050) (1000 (1000 (930 _ 988) 988) (930 (930 _ 1050) 1050) + 20 (988 (988 -_ 930) 930) (988 (988 - 1050) 1050) + (930

(1000 (1000 - 930) 930) (1000 (1000 - 988) 988) (1050 - 930) 930) (lOSO (1050 - 988) 988) (lOSO

= = 23.12 23.12 mmHg mmHg '" 23 mmHg mmHg

<>

374

Métodos numéricos

5.2


Dada la tabla Puntos

O

1

2

3

4

s,

1.00

1.35

1.70

1.90

3.00

0.00000

0.30010

0.53063

0.64185

1.09861

f(x)

Construya una tabla de diferencias divididas para aproximar polinomio de Newton de segundo grado.

Solución

f

(x) en x = 1.50; utilice un

A continuación se da la tabla de diferencias divididas. Diferencias divididas Puntos

f(x) Primeras

o

1.00

Segundas

Terceras

Cuartas

0.00000 0.85743

1

1.35

-0.28396

0.3001O~

0.10832

0.65866~ 2

1.70

0.53063 0.55610

3

1.90

-0.03049

-0.18647~ -0.04735 -0.10835

0.64185 0.41524

4

3.00

1.09861

Se pueden seleccionar los puntos (O), (1) Y (2) para el polinornio de interpolación o bien (1), (2) Y (3). Se escoge el segundo conjunto de puntos, ya que están más cerca de 1.5 que el primero; sin embargo, al querer emplear la fórmula P2(X) =f[xo]

+ (x -xo)f[xo,

x¡] + (x -xo)

(x -xl)f[xO'

xl' x2]

y la tabla construida se deberá tener cuidado, ya que el valor Xo de la fórmula en realidad corresponderá a XI de la tabla; x I de la fórmula, a x2 de la tabla, etc. Consecuentemente f [xo], f [xo, xl' x2] de la fórmula corresponderá af [XI]'! [xl' x2] y f [xl' x2' x3] de la tabla respectivamente (véase la línea diagonal de la tabla). Con la sustitución de valores queda p2(1.5)

= 0.30010 + (1.5 - 1.35)(0.65866) + (1.5 - 1.35)(1.5 - 1.7)(-0.18647)

=

0.40449

Una solución alterna es construir la tabla de diferencias de modo que quede como punto (O) el más cercano a 1.5 (1.35 en este caso), entre los puntos restantes se elige como punto (1) el más cercano a 1.5 (1.70 en este caso), etc. Adelante se muestra cómo queda esta tabla.

Aproximación


375

Diferencias divididas Puntos

¡(X)

Xi

Primeras

1.35

O

Segundas

Terceras

Cuartas

0.30010 0.65866

1.70

1

-0.18647

0.53063

0.10846

0.55610 l.90

2

0.64185

-0.22443 0.05802

0.71320 l.00

3

-0.030567

-0.14900

0.00000 0.54930

4

l.09861

3.00

con lo cual puede usarse el polinomio P2(X) =f[xo]

+ (x-xo)f[xo'x¡]

+ (x-xo)

(x-x¡)f[xO'x¡ox2]

directamente, ya que ahora los subíndices de los argumentos de la fórmula y de la tabla se corresponden. Sustituyendo valores se tiene:

9

p2(l.5)

=

0.30010 + (l.5 - 1.35)(0.65866) + (l.5 - l.35)(l.5

- 1.7)(-0.18647)

= 0.40449

Obsérvese que el valor interpolado es el mismo que se tuvo anteriormente. 5.3

Las densidades de las soluciones acuosas del ácido sulfúrico varían con la temperatura y la concentración de acuerdo con la tabla.

bien

TCC)

que

C (%) 10

idad nlef tabla

30

60

100 0.9888

5

l.0344

l.0281

l.0140

20

1.1453

1.1335

1.1153

1.0885

40

1.3103

1.2953

1.2732

l.2446

70

l.6923

l.6014

l.5753

l.5417

a) Calcule la densidad a una concentración

de 40% y una temperatura de 15°C. de 50%. e) Calcule la densidad a 50°C y 60% de concentración. d) Calcule la temperatura a la cual una solución al 30% tiene una densidad de l.215. b) Calcule la densidad a 30°C y concentración

pun-

omo que-

Solución

a) La temperatura se toma como el argumento x y las densidades (a 40%) como el va-

lor de la funciónf(x). Con una interpolación lineal entre las densidades a 10 °C y 30°C se tiene: P (x)

x-x

= --¡

xO-XI

f(xo)

x-x

+ __

xl -xo

o f(x¡)

376

aplicados aa la la in ingeniería Métodos M é todos nnuméricos u m é ricos aplicados g e niería

15 - 30

15 - 10

(15) "'"" 1.3103 ++ 15 - 10 1.2953 1.2953 == 1.3066 1.3066 dd (15) " 15 - 30 1.3103 10 -- 30 30 30 -- 10 10 10 30 b) Se oC) Se toman toman ahora ahora las concentraciones concentraciones como como argumentos argumentos x y las las densidades densidades (a 30 30°C)

como como los los valores valores funcionales; funcionales; luego, luego, mediante mediante una interpolación interpolación lineal lineal entre entre las concentraciones a 40% 40% yy 70% 70% queda: queda: concentraciones d (50)

1.2953 + 50 - 40 1.6014 1.6014 = 1.3973 1.3973 = 50 - 70 1.2953 -70 40 -70

70 - 40

e) La densidad oC, utilizando densidad se aproxima aproxima a 50 50°C, utilizando primero primero la fila de 40% 40% de concentraconcentración y después después la fila de 70% 70% de concentración. concentración. Con estas estas densidades densidades obtenidas obtenidas a °C se aproxima aproxima la densidad densidad a 60% de concentración. concentración. 50 oC Primer paso paso Primer Aproximación de la densidad densidad a 40% 40% y 50 50°C. oc. Aproximación "" 50 - 60 1.2953 1.2953 + 50 - 30 1.2732 1.2732 d "'" 30 - 60 60 - 30

= 1.2806 1.2806 =

Segundo paso paso Segundo Aproximación densidad a 70% 70% y 50 50°C. Aproximación de la densidad oC. 1.6014 + 50 - 30 1.5753 1.5753 == 1.5840 1.5840 d "" "'" 50 - 60 1.6014 30 - 60 60 - 30 Tercer Tercer paso paso

Aproximación de de la densidad densidad a 60% 60% y 50°C 50 oC usando usando los los valores valores obtenidos obtenidos en en los los pasos pasos ananAproximación teriores teriores "'" 60 60 -70 - 70 1.2806 l.2806 + 60 60 - 40 40 1.5840 1.5840 = = 1.4829 l.4829 d "" 40 -70 -70 70 -40 - 40 40 70

En este este caso caso es necesario necesario interpolar interpolar los los valores valores de de la la densidad densidad a 30% 30% de de concentraconcentrad) En ción a diferentes diferentes temperaturas, temperaturas, para para después después interpolar interpolar la la temperatura temperatura que que correscorresción ponda ponda a una una densidad densidad de de 1.215. 1.215. Primer Primer paso paso Aproximación oc. Aproximación de de la la densidad densidad aa 30% 30% yy 10 0C. "'" 30 30 - 20 20 1.1453 1.1453 ++ 30 30 - 40 40 1.3103 1.3103 dd ""

40 40 -- 20 20

l.2278 == 1.2278

20 40 20 --40

Aproximación Aproximación de de la la densidad densidad aa 30% 30% yy 30°C. 30 oc. dd "" "'" 30 30 -- 20 20 1.1335 1.1335 ++ 30 30 -- 40 40 1.2953 l.2953 = = 1.2144 1.2144 40 -- 20 20 20 -40 - 40 40 20 Como Como la la densidad densidad dato dato (1.215) (1.215) está está entre entre estos estos dos dos valores valores obtenidos, obtenidos, la la temperatura temperatura estaestará también también entre entre 10 10 °C oC yy 30°C; 30 oC; por por lo lo que que interpolando interpolando linealmente linealmente entre entre estos estos dos dos valovalorá res x) se se tiene: tiene: res de de densidad densidad (que (que ahora ahora es es el el argumento argumento x)


377

Segundo paso paso Segundo Aproximación de la temperatura temperatura a la que que una solución con con 30% 30% de concentración concentración tiene tiene una Aproximación una solución una densidad de 1.215 l.215 densidad

30°C) tre las

T 5.4

entraidas a

Solución Solución

= =

l.215 1.2144 10 + 1.215 l.215 - l.2278 30", 29.1 oC 0C l.215 - l.2144 l.2278 30", l.2278 - l.2144 l.2144 l.2144 - l.2278 1.2278 l.2278 l.2144

Elabore leer una una tabla tabla de In pares valores e interpolar interpolar o extrapolar, extrapolar, Elabore un programa programa para para leer pares de valores utilizando el polinomio grado n en diferencias diferencias divididas. divididas. Pruebe Pruebe este este proproutilizando polinomio de Newton Newton de grado grama con con los datos datos del ejercicio ejercicio 5.l. 5.l. grama disco se encuentra encuentra el programa programa 5.3 5.3 que que lee a) número de pares pares de valores valores (M); b) En el disco a) el número grado del polinomio interpolante (N); e) el argumento argumento que se desea desea interpolar interpolar (XINT), (XINT), y el grado polinomio interpolante pares de valores valores (X(1), (X(1), FX(1)), FX(1)), (X(2), (X(2), FX(2)), FX(2)), ... ... , (X(M), (X(M), FX(M)). FX(M)). Con Con esta esta informainformaá) los pares ción primero llama al subprograma subprograma TABLA TABLA que que elabora elabora la tabla diferencias divididas. divididas. tabla de diferencias ción primero llama Con valores resultantes resultantes y el argumento argumento donde donde se quiere quiere aproximar aproximar el valor valor de la función función Con los valores grado del polinomio polinornio interpolante, interpolante, llama llama al subprograma subprograma INTERPOLA INTERPOLA que realiza realiza los y el grado cálculos de interpolación. interpolación. cálculos resultado es El resultado PARA XINT XINT = = 1000.0000 1000.0000 PARA

FXINT FXINT

= 23.1201 23.1201 =

5.5

Elabore un programa que lea lea una una tabla tabla de In (seleccionado usuario) pares pares de valovaloElabore programa que (seleccionado por por el usuario) interpole o extrapole extrapole con con el polinomio polinomio de Lagrange Lagrange de orden orden 1n-1. In-l. res, y qué interpole

Solución Solución

En el disco disco se encuentra 5.4, donde donde se leen leen M pares valores XCI) XCI) y FX(I) FX(I) En encuentra el programa programa 5.4, pares de valores una tabla valor por por interplar interplar XINT. XINT. de una tabla y el valor Resultado: Resultado:

os an-

PARA XINT XINT = = 1000.0000 1000.0000 PARA 5.6 5.6

Con el programa programa 5.4 y la tabla tabla de valores valores del ejercicio ejercicio 5.1, calcule calcule la presión vapor del Con presión de vapor cloruro de magnesio magnesio a las siguientes siguientes temperaturas: temperaturas: cloruro 800°C (extrapolación) a) 800 oC (extrapolación) °C (interpolación) (interpolación) e) 1098 OC

entraorres-

Solución Solución

PARA XINT 800.0000 PARA XINT == 800.0000 PARA XINT XINT PARA

5.7

Solución Solución

FXINT == 23.1201 23.1201 FXINT

= 950.0000 950.0000 =

b) 950 OC (interpolación) 950°C (interpolación) 1500°C (extrapolación) á) 1500 oC (extrapolación)

FXINT == 18.1702 18.1702 con con los puntos puntos (O) (O),, (1) Y Y (2). FXINT FXINT FXINT

= 12.4972 12.4972 con con los puntos puntos (O), (O), (1) Y Y (2). =

PARA XINT XINT = = 1098.0000 1098.0000 PARA

FXINT = = 65.5236 65.5236 con con los puntos puntos (2) (2),, (3) Y Y (4). FXINT

PARA XINT XINT == 1500.0000 1500.0000 PARA

FXINT == 1156.1016 1156.1016 con con los puntos puntos (5), (6) Y Y (7) (7).. FXINT

Con la información información del ejercicio estime el error error cometido cometido R22 (1.5), (l.5), aproximef(x) aproximef(x) en Con ejercicio 5.2 estime x = = 1.5 l.5 con con un polinomio polinornio de tercer tercer grado grado y estime estime el error error correspondiente correspondiente R3 (1 (1.5). .5). valor obtenido obtenido con con un polinomio segundo grado grado (Ejer. 5.2) es: El valor polinomio de segundo P2 (1.5) (1.5) = = 0.40449 0.40449

estavalo-

usar la ecuación ecuación 5.41 y los valores segunda tabla tabla de diferencias diferencias divididas divididas (Ejer. Al usar valores de la segunda 5.2), se tiene: tiene: 5.2), R22 (x) '" (x(x- xo)(x-x¡) (x-x2)2 ) f[x xl' x22' ' x33]] xo)(x-x¡) (x-x f [x o,o' xi' (l.5-1.35)(1.5-l.7)(l.5-1.9)(0.10846) '" (l.5-1.35)(l.5-1.7)(1.5-1.9)(0.10846)

= 0.00130 0.00130 =

378

Métodos numéricos


Para aproximar f (x) en x valor P2 (l.5), se obtiene:

= 1.5 con un polinomio de tercer grado se adiciona R2 (l.5) al

P3 (l.5)

= 0.40449

+ 0.00130

= 0.40579

y la estimación del error en esta interpolación es: R3 (x)

=

(x-xO)(X-XI)

(x-x2)

(x-x3)

f

[xo, xl' x2' x3' x4]

= (1.5-1.35)(1.5-1.7)(1.5-1.9)(1.5-l.0)(-0.030567) = 0.00018 Hay que observarse que R3 (l.5) es menor que R2(l.5), por lo que el polinomio de tercer grado da mejor aproximación a esta interpolación que el de segundo grado. 5.8

Para calibrar un medidor de orificio se miden la velocidad v de un fluido, y la caída de presión ~p. Los datos experimentales se dan a continuación y se buscan los mejores parámetros a y b de la ecuación que represente estos datos: v donde: v ~P

(1)

= velocidad promedio (pies/s) = caída de presión (mm Hg) 2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

3.83

4.17

4.97

6.06

6.71

7.17

7.51

7.98

8.67

9.39

9.89

Mi 30.00

35.5

50.5

75.0

92.0

105.0

115.0

130.0

153.5

180.0

199.5

vi

Solución

= a(M)b

Este problema puede resolverse mediante el método de mínimos cuadrados de la siguiente manera: Se aplican logaritmos a la ecuación 1 y se tiene: In v

al definir y

=

In v; ao

=

In a;

al

=

= b; x =

In a + b In (~P)

(2)

In (~P) y sustituir en la ecuación 2 queda: (3)

ecuación de una línea recta. Si se calculan los parámetros ao y al de la recta (Ec.3) con el método de mínimos cuadrados, se obtienen (indirectamente) los mejores valores a y b que representan los datos experimentales. Para calcular ao y al se construye la siguiente tabla para que los cálculos sean más eficientes (puede usarse una hoja de cálculo electrónica o un pizarrón electrónico).


Aproximación

Puntos

Mi

Vi

x.2 1

s.»,

In Vi

In Mi

(In MY

In vi In Mi

xi

Yi

1

3.83

30.0

1.34286

3.40120

11.56816

4.56734

2

4.17

35.5

1.42792

3.56953

12.74154

5.09700

3

4.97

50.5

l.60342

3.92197

15.38185

6.28857

4

6.06

75.0

l.8017l

4.31749

18.64072

7.77886

5

6.71

92.0

1.90360

4.52179

20.44658

8.60768 9.16788

6

7.17

105.0

l.96991

4.65396

2l.65934

7

7.51

115.0

2.01624

4.74493

22.51436

9.56692

8

7.98

130.0

2.07694

4.86753

23.69285

10.10957

9

8.67

153.5

2.15987

5.03370

25.33814

10.87214

10

9.39

180.0

2.23965

5.19296

26.96683

11.63041

11

9.89

199.5

2.29581

5.29581

28.04560

12.13545

20.83364

49.52087

226.99598

95.82182

Totales

379

Los valores de las sumatorias se sustituyen en el sistema de ecuaciones 5.62 y se tiene: 20.83364 95.82182

49.52087

1

11.0 1 49.52087

226.99598 49.52087 226.99598

1

11.0 49.52087

20.83364 95.82182

ll.O I 49.52087

49.52087 226.99598

1

1

al

= ---------

= -0.35904

1

= 0.50046 1

Ecuación resultante:

= -0.35904 + 0.50046 x

y De donde:

y

in a = -0.35904 b =

a = 0.69835

0.50046

Con estos valores, la ecuación que representa los datos experimentales

queda:

v = 0.69835 (~p)O.50046

Para este ejercicio recomendamos 5.9

1-

ver el

PROGRAMA

5.6 del CD.

Al medir la velocidad (con un tubo de Pitot) en una tubería circular de diámetro interior de 20 cm, se encontró la siguiente información: v (cm/s)

600

550

450

312

240

r (cm)

o

3

5

7

8

donde r es la distancia en cm medida a partir del centro del tubo. a) Obtenga la curva v = f (r) que aproxima estos datos experimentales. b) Calcule la velocidad en el punto r = 4 cm.

380

Métodos numéricos

Solución


a) Se asume que en la experimentación

hay errores, de tal modo que se justifica usar una aproximación por mínimos cuadrados. Por otro lado se sabe que el perfil de velocidades en una tubería generalmente es de tipo parabólico, por lo que se ensayará un polinomio de segundo grado ver) = ao +al r + a2 r2

Al construir la tabla que proporcione los coeficientes del sistema de ecuaciones 5.64 se tiene Puntos

v

r

r2

r4

r3

vr2

vr

1

600

O

O

O

O

O

O

2

550

3

9

27

81

1650

4950

3

450

5

25

125

625

2250

11250

4

312

7

49

343

2401

2184

15288

5

240

8

64

512

4096

1920

15360

Totales

2152

23

147

1007

7203

8004

46848

Estos valores se sustituyen en el sistema de ecuaciones 5.64 particularizado nomio de segundo grado y se tiene: + 147 a2 + 1007 a2 + 7203 a2

para un poli-

2152 8004 46848

Al resolver para los parámetros ao' al Y a2 Y sustituidos en el polinomio propuesto queda: ver)

= 601.714 - 3.0667 r - 5.347 r2

b) Con la sustitución r = 4, se obtiene: v(4) = 503.89 cro/s

Hay que observar que la distribución de velocidades sólo se presenta del centro a la pared del tubo, ya que es simétrica. SUGERENCIA:

Vea el

PROGRAMA

5.7 del CD.

650 v

600 550 503.89

500 450 400 350 300 Distribución de la velocidad del centro a la pared de tubo.

250 200 O

2

3

4

5

6

7

8

Aproximación

5.10

381


El porcentaje de impurezas que se encuentra, a varias temperaturas y tiempos de esterilización en una reacción asociada con la fabricación de cierta bebida, está representado por los datos siguientes

Tiempo de esterilización (mín)

Temperatura °C Xl

x2

75

100

125

15

14.05

10.55

7.55

14.93

9.48

6.59

16.56

l3.63

9.23

15.87

11.75

8.78

22.41

18.55

15.93

2l.66

17.98

16.44

20

25

Estime los coeficientes de regresión lineal en el modelo y

Solución

= ao

+ a¡ x¡ + a2 x2 + a3 x¡2 + a4 xl

Si bien el modelo no es lineal, puede transformarse de variable.

+ as XIX2

en lineal con los siguientes cambios

que sustituidos en el modelo propuesto dan y

=

ao +

al

XI + a2 X2 + a3 X3 + a4 X4 + as Xs

cuyos parámetros, siguiendo el criterio de los mínimos cuadrados, pueden obtenerse a partir del sistema + a¡Lxl

+ a2Lx2

+ a3 LX3

+ a4Lx4

+ as LXS

aOLx¡

+ a¡ Lx21

+ a2Lxlx2

+ a3Lxlx3

+ a4Lx]x4

+ as LX]XS

aoLx2

+

+ a2 L x22

+ a3 L X2X3 + a4L X2 X4 + as LX2XS

nao

al

L X2XI

Ly = LXIY

=

LX2Y LX3Y

aoL

X3 + a¡ L X3X]

+ a2 L X3X2 + a3 L x23

aoL

X4 + a¡ LX4XI

+ a2 LX4X2

+ a3Lx4x3

+ a4L x24

+ as L X4XS

= =

+ a2LXsX2

+ a3 LXSX3

+ a4LXsX4

+ as L x2s

= LXsY

+

aoLXs

al

LXSX¡

+ a4L X3 X4 + as L X3XS

Ahora, los valores de la tabla que se dan arriba se disponen así Puntos

1

2

3

4

5

6

7

XI

75

75

75

75

75

75

100

x2

15

15

20

20

25

25

15

Y

14.05

14.93

16.56

15.87

22.41

2l.66

10.55

LX4Y

382


Métodos numéricos

Se continúa adicionando las filas necesarias: x3' x4' xs' X¡2, X22,xI' x2, ... y sumando los totales de cada una para conseguir los coeficientes y el vector de términos independientes del sistema. Dichos cálculos dan como resultado el siguiente sistema de ecuaciones: 18 1800 360 187500 7500 36000

1800 187500 36000 20250000 750000 3750000

360 36000 7500 3750000 162000 750000

187500 20250000 3750000 2254687500 78125000 405000000

7500 36000 750000 3750000 162000 750000 78125000 405000000 3607500 16200000 16200000 78125000

251.94 24l70.0 5287.9 2420850.5 115143.0 508702.5

ao a¡ a2 a3 a4 as

cuya solución por medio de alguno de los métodos del capítulo 3 es:

ao

= 56.4264,

a¡

a3

= 0.00081632,

a4

= -0.362597, = 0.0816,

a2 = -2.74767

as

=

0.00314

se sustituyen en el modelo y resulta: y = 56.4264 - 0.362597x¡ - 2.74767x2 + 0.00081632x¡2 + 0.0816xl

+ 0.00314x¡x2

Una vez obtenidos los coeficientes, puede estimarse el porcentaje de impurezas correspondiente a un tiempo de estirilización y una temperatura dados; por ejemplo, a un tiempo de 19 min y una temperatura de 80°C se tiene un porcentaje de impurezas de: y = 56.4264 - 0.362597 (80) - 2.74767(19)

0.0816(19)2+

0.00314(80)(19)

=

+ 0.00081632(80)2

+

14.67

Problemas 5.1

La densidad del carbonato neutro de potasio en solución acuosa varía con la temperatura y la concentración de acuerdo con la tabla siguiente.

TCOC) e (%) O

40

80

100

4

1.0381

1.0276

1.0063

0.9931

12

1.1160

1.1013

1.0786

1.0663

20

1.1977

1.1801

1.1570

1.1451

28

1.2846

1.2652

1.2418

1.2301

a) Calcule la densidad a 40°C y 15% de concentración. b) Calcule la densidad a 50°C y 28% de concentración.

e) Calcule la densidad a 90°C y 25% de concentración. el) Calcule la concentración que tiene una solución de densidad 1.129 a una temperatura de 60 -c. 5.2

Utilice interpolaciones cuadráticas en todos los incisos. Los datos de presión-temperatura-volumen para el etano se muestran en la tabla siguiente, donde la temperatura (1) está en °C, la presión (P) en atmósferas y el volumen específico (1N) en moles/litro.

Aproximación

funcional

e interpolación

383

p T

5.3

1

2

4

6

8

9

10

25

20.14

32.84

75

24.95

43.80

68.89

85.95

104.38

118.32

139.23

150

31.89

59.31

106.06

151.38

207.66

246.57

298.02

200

36.44

69.38

130.18

194.53

276.76

332.56

250

40.87

79.16

153.59

237.38

345.38

Calcule el volumen específico en moles/litro para una presión de 7 atmósferas y una temperatura de 175°C. Dados:

o

Puntos

1

2

x f(x)

e

a) Encuentre los coeficientes ao' al' a2, del polinomo de segundo grado que pasa por es-

tos tres puntos, por el métodos de Lagrange. b) Realice el mismo proceso que en a) pero ahora empleando

el método de aproximación polinomial simple. e) Demuestre que los polinomios en los incisos a) y b) son el mismo, pero escrito en diferente forma.

a

5.4

Dada una función y =f(x) en forma tabular, a menudo se desea encontrar un valor x correspondiente a un valor dado de y; este proceso, llamado interpolación inversa, se lleva a cabo en la forma ya vista, pero intercambiando los papeles de x y y. Dada la siguiente tabla. Puntos

o

1

2

3

4

5

6

x

0.0

2.5

5.0

7.5

10.0

12.5

15.0

y

10.00

4.97

2.47

1.22

0.61

0.30

0.14

donde y es la amplitud de la oscilación de un péndulo largo, en cm y x es el tiempo medido en min desde que empezó la oscilación. Encuentre el polinomio de aproximación de Lagrange de segundo grado que pasa por los puntos (1), (2) y (3) y el valor de x correspondiente a y = 2 cm. 5.5 a

" (x - x.). Demuestre que el polinomio 5.22 puede escribirse en la forma Sea z(x) = I1 j=O

J

Pn (x) 5.6

= z (x)

n f (x) .L ----'--l=O (x - x) z'

(Xi)

Use las ideas dadas en el problema anterior para demostrar que 11

Í-

L L¡ (x) "" 1 para toda x. i=O

384

Métodos numéricos

SUGERENClA:


Considere que la expresión dada corresponde al polinomio de aproxomación

por

polinomios de Lagrange de fix) = 1 (un polinomio de grado cero).

5.7

Demuestre que el polinomio de aproximación de Lagrange de primer grado puede escribirse en notación de determinantes así PO,I (x)

= _1_

I

po(x) PI(X)

xl-xO

(xo - x) (xl-x)

I

donde Po (x) =f(xo) y PI(x) =f(xI) y los subíndices O y 1 de p(x) se refieren a los puntos (O) y (1) por donde pasa el polinomio de aproximación. Demuestre también que para el caso del polinomio de aproximación de Lagrange de segundo grado que pasa por los puntos (O), (1) Y (2).

POl2 (x) =--

"

5.8

1

I PO,I (x)

x2 -XI

PO,2 (x)

Lo demostrado en el problema anterior es válido, en general, para aproximaciones de tercero, cuarto, ... , n grado. Aitken desarrolló un método para interpolar con este tipo de polinomios y consiste en construir la tabla siguiente: Xo Xl X2 X3 X4

Po PI P2 P3 P4

PO, I PO,2

PO,I,2

PO,3 PO,4

PO,I,3 PO,I,4

(xo-x) (XI-X) (X2-X) PO,I,2,3 PO, 1,2,4

PO,I,2,3,4,

(XrX) (XCx)

donde P, = f(x¡) y X el valor donde se desea interpolar. Para el cálculo de PO,¡(x)=--

1 x¡-xO

donde el denominador resulta ser (Xi -X) - (xo - X). En cambio para PO,I,i se usa POI¡(X) "

1

=-X¡-XI

PO,I

(Xl - X)

PO,¡

(X¡- X)

cuyo denominador es (x¡-x) - (XI- x). Se aconseja denotar la abscisa más cercana a x como xo' la segunda más próxima a x como xi' Y así sucesivamente. Con ese ordenamiento los valores Po l' Po I ?, Po I 23' etc., representan la mejor aproximación al valor buscado f (x) con polinomios de p~i;';ero, segundo, tercero, ... , n grado. Con el método descrito, aproxime el valor de la función de Bessel (lo) dada abajo en x = 0.8 Puntos

O

1

2

3

X

0.5

0.7

0.9

l.0

lo (x)

0.93850.8812

0.80750.7652

Aproximación funcional func ional e e interpolación Aproximación interpolación

5.9

cri-

5.10 5.10

En el método una interpolación interpolación inversa: inversa: dados dados los método de posición posición falsa falsa (capítulo (capítulo 2) se realiza realiza una puntos p(x) que que pasa por esos esos puntos puntos y puntos (x,,f (xl,f (x,» (XI» y (xD,f (xD,f (X (xDD se encuentra encuentra el polinomio polinomio p(x) pasa por luego interpolación inversa inversa para para enconenconluego el valor valor de xX correspondiente correspondiente a p(x) p(x) = = O. Discuta Discuta la interpolación trar puntos. trar raíces raíces de ecuaciones ecuaciones no lineales lineales empleando empleando tres puntos. Demuestre tabular corresponde corresponde a un polinomio polinomio de Demuestre que si la función función f (x) (x) dada dada en furma furma tabular grado polinomio de aproximación p(x) de grado grado mayor mayor o igual igual a n que que papagrado n, entonces entonces el polinomio aproximación p(x) sa por por los puntos puntos de la tabla tabla es f (x) misma. misma.

»»


tos de

5.11

terpo-

385

Con de valores valores y tomando tomando dos dos de esos esos Con el polinomio polinomio y = 2x 2x + 3 forme forme un tabla tabla de valores y; después después tomando tomando 3 valores valores valores encuentre encuentre p(x) p(x) y observe observe que que p(x) p(x) = y; nuevamente yy = 2x 2x + 3. Sólo resta cualesquiera cualesquiera observe observe que el p(x) p(x) obtenido obtenido es nuevamente Sólo resta generalizar generalizar estos estos resultados resultados. .

Desarrolle numerador y el denominador Desarrolle algebraicamente algebraicamente el numerador denominador de

para para llegar llegar a

5.12 5.12

Verifique distintos cualesquira abscisas xxoo'' XI y xx22 se cumple cumple que que Verifique que que para para tres puntos puntos distintos cualesquira de abscisas f[x f[xo' o' xI' xI' x22]]

5.13 5.13

así como Esta propiedad propiedad de las diferencias diferencias de como con cualquier cualquier otra otra permutación permutación de xI' xI' x22'' xxoo' . Esta segundo los argumentos argumentos y la cumplen cumplen tamtamsegundo orden orden es conocida conocida como como simetría simetría respecto respecto a los bién las diferencias diferencias de primer primer orden orden (trivial), (trivial), las de orden bién orden 3, etcétera. etcétera. Elabore un subprograma subprograma de propósito propósito general general para para construir Elabore construir la la tabla tabla de diferencias diferencias divididividiuna función función tabulada. tabulada. das de una SUGERENCIA: SUGERENCIA:

5.14 5.14

= =f[xl' = f[ f[x2x, 2, xoo'' XI] XI] = f[xl' xx22'' xxoo]]

Vea el algoritmo algoritmo 5.3. Puede Puede usar usar una hoja hoja de cálculo cálculo electrónica. electrónica.

Para los valores valores siguientes siguientes Para

Puntos Puntos

oo

e

40

p

0.63 0.63

2

3

4

5

6

60

80

100

120

140

160

1.36 1.36

2.18 2.18

3.00 3.00

3.93 3.93

6.22 6.22

8.59 8.59

ax donde e son los volts volts y p los kilowatts kilowatts en una una curva curva de pérdida donde pérdida en el núcleo núcleo para para un momoeléctrico: tor eléctrico:

a-

Elabore una una tabla tabla de diferencias diferencias divididas. divididas. a) Elabore Con el polinomio polinomio de Newton Newton en diferencias diferencias divididas b) Con divididas de segundo segundo grado, grado, aproxime aproxime el valor de p correspondiente correspondiente a e = = 90 volts. volts. valor

0.8 5.15 5.15

tabla siguiente: siguiente: En la tabla

v

11

2

3

4

120

94

75

62

-----------------~----------------------------"'P""--386


donde voltaje consumido magnético, aproxime valor donde ¡i es la corriente corriente y v el voltaje consumido por por un arco arco magnético, aproxime el valor de v para para ¡i = por un polinomio polinomio de Newton Newton en diferencias = 3.5 por diferencias dividas dividas y compare compare con con el valor dado por la fórmula dado por fórmula empírica. empírica. v= = 30.4 30.4 + 90.4 90.4 5.16 5.16

¡-0.507 ¡-0.507

Corrobore que que el polinomio diferencias divididas divididas puede escribirse en térmiCorrobore polinomio de Newton Newton en diferencias puede escribirse términos de Il, así:

rr,

(1) (1) NOTA: NOTA:

5.17 5.17

Considere que que ¡.,°j(x generalmente más este Considere /1°j(xoo)) = f (xoo)'). Esta Esta notación notación es generalmente más útil para para programar programar este algoritmo. algoritmo.

Con resultados del problema problema anterior biominal siguienCon los resultados anterior y con con la definición definición de función función biominal siguientérminos de (t). te, exprese exprese la ecuación ecuación (1) en términos

(n.

1

(n (O = = 5.18 5.18

i

k-¡

S -

;=0

¡i + 1

rr

s (s - 1) s - 2) .. . (s - (k - 1)) 1 (2) (2) (3) (3) ... (k)

k=O k=O k>O k>O

Con valores. Con los siguientes siguientes valores. Puntos Puntos

oo

l/r !Ir

140

p/a p/a

12,800 12,800

2

3

180

220 220

240 240

7,500 7,500

5,000 5,000

3,800 3,800

donde p/a es la carga ruptura de una una columna hierro dulce donde p/a carga en lb/pulg lb/pulg-2 que que causa causa la ruptura columna de hierro dulce con con extremos redondeados y !Ir razón de la longitud mínimo radio radio de giextremos redondeados l/r es la razón longitud de la columna columna al mínimo ro de su sección sección transversal. transversal. Encuentre polinomio de tercer tercer grado pasa por por estos puntos en sus distintas Encuentre el polinomio grado que que pasa estos puntos distintas formas: formas: a) a~2 + a33x33 (aproximación polinomial simple). a) P3(x) P3(x) = = aoo + a¡x a¡x + a~2 (aproximación polinomial simple). b) Forma Forma de Lagrange. Lagrange.

e) Aproximación Aproximación de Newton Newton (en diferencias diferencias divididas). divididas). d) Aproximación Aproximación de Newton Newton en diferencias diferencias finitas finitas (hacia (hacia delante delante y hacia hacia atrás). atrás). 5.19 5.19

reacción química, producto CBB cambia tiempo como En una una reacción química, la concentración concentración del del producto cambia con con el tiempo como se indica tabla de abajo. = 0.82, usando un un polipoliindica en la tabla abajo. Calcule Calcule la concentración concentración CBB cuando cuando t = 0.82, usando nomio de Newton Newton en diferencias nomio diferencias finitas. finitas. 0.00 0.00

0.30 0.30

0.55 0.55

.80

1.10 1.10

1.15 1.15

0.00 0.00

0.10 0.10

0.40 0.40

0.60 0.60

0.80 0.80

1.00 1.00

5.20 5.20

Resuelve 5.13, empleando empleando diferencias diferencias finitas; finitas; compare compare los cálculos cálculos realizados Resuelve el problema problema 5.13, realizados resultados obrenidos problemas. y los resultados obrenidos en ambos ambos problemas.

5.21 5.21

Elabore un diagrama codifíquelo para para leer pares de valores valores x y f (x), Elabore diagrama de flujo flujo y codifíquelo leer n pares (x), calcular calcular tabla de diferencias hacia atrás. e imprimir imprimir la tabla diferencias finitas finitas hacia atrás.

Aproximación

a-

Puntos

Xi

f[ Xi]

O

Xo

f[ Xo]

xI

f[ x¡]

funcional

V'2f[ Xi]

V'f[ Xi]

e. interpolación

V'3f[ Xi]

387

. .. V'1l-2j [Xi]

V'f[ XI ] 1

V'2f[ XI ] V'f[ X2]

2

x2

f[ x2]

3

x3

f[ x3]

V'f[ x3

1)

V'3f[ XI ] V'2f[ x2] V'3f[ x2]

]

V'2j [x3] V'"-2j[xl_¡] V'2f[xll_l] V'2f[xn_l]

Il-

\

V'f[x n-I] n -1

xll_1

f[x n-I]

V''''f[x] 5.22

on

= V'm-If[x] - V' m-If[x-

h]

En el caso en que la distancia h entre dos argumentos consecutivos cualesquiera es la misma a lo largo de la tabla, puede usarse la ecuación 5.35 para interpolar en puntos cercanos a Xo o bien 5.38 cuando se quiere interpolar en puntos al final de la tabla (véase Seco 5.5). Si hay que interpolar en puntos centrales de la tabla, resulta conveniente denotar alguno de dichos puntos centrales como xo' como x" x2' x3, ... , las abscisas mayores que Xo y como x_" x_2' x_3, ... , las abscisas menores que xo. En estas condiciones e introduciendo el operador lineal 8, conocido como operador en diferencias centrales y definido sobre f (x) como: 8f(x)

1-

s:

I

= f[x] - f[x - h]

V'f[x]

=f(x

+ hl2) - f(x-

hl2)

(1)

y cuya aplicación sucesiva conduce a:

8 (8f(x))

= 82f(x)

=f(x

+ h) - 2f(x)

+ f(x-

h)

y en general a: (2)

se li-

Nótese que 8f (xo) no emplea, en general, los valores de la tabla, la cual constituye una dificultad para su uso. En cambio, la segunda diferencia central 82f(xk)

=f(xk+

11) - 2f(xk)

+ f(xk

-

h)

incluye sólo valores funcionales tabulados; esto es cierto para todas las diferencias centrales de orden par. A fin de evitar que se requieran valores funcionales no tabulados en la primera diferencia central, puede aplicarse 8 a puntos no tabulados; por ejemplo,j (xk + hI2) con la cual queda: os

lar

8f (xk + h/2)

= t»,+

h) - f (xk)

= f(xk

+1) - f (xk),

donde ya sólo aparecen valores funcionales de la tabla. En general 82i+lf(xk + h/2)(orden impar) queda en función de ordenadas presentes en la tabla. Con la notación de diferencias divididas se tiene que:

388

Métodos numéricos


8f(xo + h/2) =f(Xl) 8f(xo - h/2) = f(xo) 82j(Xl)

= 8f(x)

- f(xo) - f(X_l)

+ h/2) - 8f(xl - h/2)

= 2! h2f[xo,

Xl'

= hf[xOxl] = hf[xo,

= hf[xl

X_l]

,

x?] - - hf[xo

,

Xl]

X2]

y en genreral:

(3) 8 2i+l f (xk -h/2) = h2i+ 1 (2i + 1)!f [xk_i_p xk_i'· .. , Xk'· .. , xk+;J

(4)

para orden impar y (5) para orden par. La tabla de diferencias centrales queda entonces

X_2

f(x_2)

x_1

f(x_)

Xo

f(xo)

x)

f(xl)

x2

f(x2)

8f (x_2+ h/2) 8f(x_)+

82 f(x_l)

53 f(x_) + h/2)

h/2) 82 f(xo)

8f (xo+ hl2) 82 f(xl) 8f(x)+

,"

53 f(xo + h/2)

h/2)

Note que el argumento permanece constante en cualquier línea horizontal de la tabla. Con esta notación y la aplicación sucesiva de la ecuaciones 3 y 5 con k = O, la 5.29 se transforma en: f(x)

=f(xo)

+ (x-xo)

8f(x

+h/2) O

l!h

(x- xo) (X- Xl) (X- X 1) -

+ (X-Xo) (X-Xl)

83f(xo + h/2) + ... 3!h3

Al emplear el cambio de variable: X

= Xo + sh,

s

= __X-X

en donde:

h

0_

82f(xo) 2!h2

+

(6)

Aproximación

funcional

e interpolación

389

el polinomio (6) queda PI1(xo + sh)

= f(xo) + s

(s2_12)

(j3f(xo+h/2)+

S

8f(xo

+

84f(x )+ o

s (s2-12)(s-2) 4!

3!

s (S2 -12) ... (S2 - (i - 1)2) 8 2if (xo) (s - i) ... + -------------"---

(3)

(7)

(2i)!

(4)

cuando el grado del polinomio es par; si es impar, el último término de la ecuación 7 queda como: ... +

(S)

5.23

f(x)

38000

38500

5.26 5.27

=

(x-xo)

I

5.28

2

3

4

5

6

6

8

11.5

15

19

35500

27500

19000

15700

11000

(X-Xl)

(X-X2) f[x,

xO,xpx2]

Encuentre una cota inferior y una cota superior del error de interpolación R3(x) en X = 6.3 para la funciónf (x) = et dada en los puntos Xo = 5, Xl = 6, x2 = 7, x3 = 8 (véase ejemplo 5.11) Demuestre que la función dada por z(x) = I(x-xo) (x-xl)1 con xo:S; X :s;Xl alcanza su valor máximo en (xo + xl)/2 y está dado por (Xl - xo)2/4. Con lo resultados del problema anterior y la fórmula R, (x)

(6)

(xo + h/2)

2) 82; + 1f

Demuestre que el término del error para la aproximación polinomial de segundo grado es: R2 (x)

5.25

2

(s2 -1 ) ... (s2 - i (2i +1)!

o o

x

5.24

S

Este polinomio se conoce como la fórmula hacia delante de Gauss. Con la tabla del ejemplo 5.7 construya una tabla de diferencias centrales y mediante la ecuación 7 encuentre por interpolación la presión correspondiente a una temperatura de 76°F. Si aproxima la función dada abajo por un polinomio de segundo grado y con éste interpola en x = 10, estime el error cometido en esta interpolación. Puntos

a. trans-

+ h/2) + s (s -1) 82 f(xo) 2!

=

f(l/+l)

(~)

(n+ 1)!

1/

Il (x - x¡), ;=0

demuestre que el error R¡ (x) con Xo :s;X :s;Xl correspondiente a una aproximación lineal de f (x) usando como argumento Xo y Xl es menor en magnitud (valor absoluto) que M(xl-x0)2/8, donde M es el valor máximo de If"(x) I en [xo' Xl]' Los siguientes valores furon obtenidos de una tabla de distribución biomial. b

p

n

X

0.0500

0.1000

0.1500

0.2000

3

O

0.8574

0.7290

0.6141

0.5120

0.2500 0.4219

1

0.1354

0.2430

0.3251

0.3840

0.4219

2

0.0071

0.0270

0.0574

0.0960

0.1406

3

0.0001

0.0010

0.0034

0.0080

0.0156

390

Métodos nurnértcoa

Al pie de dos cifras Encuentre Recuerde


dicha tabal se lee "la interpolación lineal dará valores exactos de b a lo más en decimales". una aproximación de f (x; n, p) = f (1; 3, 0.13) exacta en tres cifras decimales. que: b(x; n, p)

= (.;')

¡r (l - p)II-X

¿Cree usted que si los valores de la tabla son exactos en las cuatro cifras decimales dadas, pueda obtenerse exactitud con cuatro cifras decimales aplicando el método de interpolación? 5.29

5.30

En la siguiente tabla, r es la resitencia de una bobina en ohms y T la temperatura de la bobina en "C. Por mínimos cuadrados determine el mejor polinomio lineal que representa la función dada. r

10.421

10.939

11.321

11.794

12.242

12.668

T

10.50

29.49

42.70

60.01

75.51

91.05

En la tabla Puntos

O

1

2

3

4

5

6

7

8

v

26.43

22.40

19.08

16.32

14.04

12.12

10.51

9.15

8.00

P

14.70

17.53

20.80

24.54

28.83

33.71

39.25

45.49

52.52

v es el volumen en pie.' de una lb de vapor y P es la presión en psia. Encuentre los parámetros a y b de la ecuación P= a vb 5.31

aplicando el método de mínimos cuadrados. Se sabe que el número de pulgadas de una estructura recién construida que se hunde en el suelo está dada por: y=3-3e-ax donde x es el número de meses que lleva construida la estructura. Con los valores

5.32

x

2

4

6

12

18

24

y

1.07

1.88

2.26

2.78

2.97

2.99

estime a, usando el criterio de los mínimos cuadrados (véase ejercicio 5.8). En el estudio de la constante de velocidad k de una reacción química a diferentes temperaturas, se obtuvieron los datos: T (K) k

293 8.53

X

320

300 lO-s 19.1

X

lO-s 1.56

X

10-3

340

360

380

400

0.01

0.0522

0.2284

0.8631

Aproximación


391

Calcule el factor de frecuencia z y la energía de activación E, asumiendo que los datos experimentales siguen la ley de Arrhenius:

ás en ales.

k 5.33

adas, ola-

= z e -El1.98T

Sieder y Tate* encontraron que una ecuación que relaciona la transferencia de calor de líquidos por dentro de tubos en cambiadores de calor, se puede representar con números adimensionales. Nu = a (Re)" (Pr)C (~)d J-lIV

Donde Nu es el número de Nusselt, Re es el número de Reynolds, Pr el número de Prandtl y J-l Y J-lw las viscosidades del líquido a la temperatura promedio de éste y a la temperatura de la pared del tubo, respectivamente. Encuentre los valores de a, b, e y d asumiendo que la tabla siguiente representa datos experimentales para un grupo de hidrocarburos a diferentes condiciones de operación.

a bonta la

5.34 5.35 pará-

en el 5.36

Nu

97.45

109.50

129.90

147.76

153.44

168.90

177.65

175.16

Re

10500

12345

15220

18300

21050

25310

28560

31500

Pr

18.2

17.1

16.8

15.3

12.1

10.1

8.7

6.5

J-LlJ-lw

0.85

0.90

0.96

1.05

1.08

1.15

1.18

1.22

Elabore un programa de propósito general, para aproximar una función dada en forma tabular por un polinomio de grado n usando el método de mínimos cuadrados. En una reacción gaseosa de expansión a volumen constante, se observa que la presión del reactor (batch) aumenta con el tiempo de reacción según se muestra en la tabla de abajo ¿Qué grado de polinomio (con el criterio de ajuste exacto) aproxima mejor la función P = f(t)?

P (atm)

1.0000

1.0631

1.2097

1.3875

t (min)

0.0

0.1

0.3

0.5

1.7232 2.0000 0.8

1.0

2.9100 1.5

La aparición de una corriente inducida en un circuito que tiene la constante de tiempo está dada por:

T

I=I-e-t/~ donde t es el tiempo medio desde el instante en que el interruptor se cierra e 1 la razón de la corriente en tiempo t al valor total de la corriente dado por la ley de Ohm. Con las mediciones siguientes, estime la constante de tiempo T de este circuito (consulte el Ejer. 5.8).

mpe-

1

0.073

0.220

0.301

0.370

0.418

0.467

0.517

t (seg)

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

* Sieder y Tate. Ind. and Eng. Chem. 28,1429

(1936).

392

Métodos numéricas

5.37


Los valores

s

0.0

10.0

27.4

42.1

61.5

62.1

66.3

70.3

representan la cantidad s en gr de dicromato de potasio disueltos en 100 partes de agua a la temperatura t indicada en "C. La relación entre estas variables es: log 'os 5.38

Calcule los parámetros a, b y e por el método de mínimos cuadrados. Para la tabla de datos que se da abajo, encuentre los parámetros a y b de la ecuación

= a + (0.49-a)

e-b(x-8)

x

10

20

30

40

Y

0.48

0.42

0.40

0.39

y

5.39

= a + b t + ct2

Veinte tipos de hojas de acero procesadas en frío tienen diferentes composiciones de cobre y temperaturas de templado. Al medir su dureza resultante se obtuvieron los siguientes valores:

v

u

Dureza Rockwell 30- T

Contenido

de cobre %

Temp. de Templado °F

78.9

0.02

1000

65.1

0.02

1100

55.2

0.02

1200

56.4

0.02

1300

80.9

0.10

1000

69.7

0.10

1100

57.4

0.10

1200

55.4

0.10

1300

85.3

0.18

1000

71.8

0.18

1100

60.7

0.18

1200

58.9

0.18

1300

Se sabe que la dureza depende en forma lineal del contenido u de cobre en % y de la temperatura de templado v y

= ao + a,u

+ a2v

Determine los parámetros ao' al y a2, siguiendo el criterio de los mínimos cuadrados.

Int

CAPÍTULO CAPÍTULO

66

INTEGRACIÓN y DIFERENCIACIÓN INTEGRACIÓN y DIFERENCIACiÓN NUMÉRICA NUMÉRICA a

A A dónde dónde nos nos dirigimos dirigimos En este temas clásicos clásicos de integración integración definida definida y de evaluación evaluación este capítulo capítulo se abordarán abordarán los temas derivadas en algún algún punto, punto, por por medio de derivadas medio de técnicas técnicas numéricas. numéricas. Para Para ello ello se utilizarán utilizarán procesos diferencia de los métodos analíticos, donde donde el concepto concepto procesos finitos, finitos, en los que que -a -a diferencia métodos analíticos, límite es central central y por tanto tanto los procesos puntos de límite procesos infinitosinfinitos- se manejan manejan conjuntos conjuntos de puntos discretos ellos un un polinomio, polinomio, para para después después integrar integrar o discretos y haremos haremos pasar pasar por por ellos ellos o entre entre ellos derivar técnicas podremos podremos integrar integrar y derivar derivar funciones funciones daderivar dicho dicho polinomio. polinomio. Con Con estas estas técnicas das tabularmente funciones analíticas analíticas muy muy complejas complejas e, incluso, integrar aquéllas aquéllas tabularmente o bien bien funciones incluso, integrar . al " . ,,*1 d sen x cos x I 1 k2 ? .".. " como J k2 sen 2 x, etc. cuya no eXIste caso e e-"-, e-" .'-, etc. Aun Aun cuya mtegr mtezr existe como es e caso ---,-x- , ---,~ x -,V - senmás, extendible a la aproximación aproximación de integrales integrales dobles dobles más, cualquiera cualquiera de estas estas técnicas técnicas es extendible triples. y triples. / integral la suSiendo de cambio puntual o instantáneo instantáneo y la integral Siendo la derivada derivada la medida medida de cambio puntual ma o acumulación resulta fundamental cualquier actividad actividad de ininacumulación de tales tales cambios, cambios, resulta fundamental en cualquier geniería técnicas aquí aquí estudiadas estudiadas y, no no menos menos importante, importante, darle darle geniería o ciencias, ciencias, conocer conocer las técnicas sentido sentido físico físico a los resultados. resultados. .?

~

0Il-

Introducción Introducción Una PI/(x)** de manera manera que que aproxime aproxime satisfactoUna vez que se ha determinado determinado un polinomio polinomio PII(X)** satisfactoriamente intervalo de interés, interés, puede puede esperarse esperarse que que al difediferiamente una una función función dadaf(x) dada f (x) sobre sobre un intervalo renciar PI1 (x) o integrarla definida, también también aproxime renciar Pn(x) integrarla en forma forma definida, aproxime satisfactoriamente satisfactoriamente la derivada derivada af(x). Sin embargo, si se observa observa la figura figura 6.1 -dono integral integral definida definida correspondientes correspondientes af(x). Sin embargo, -donde aparece P,/X) que que aproxima aproxima la la curva curva que que representa representa la funfunaparece la gráfica gráfica de un polinomio polinomio Pn(x) ción aunque la desviación desviación de de pnCx) p,/x) y f (x) intervalo ción f (x)(x)- puede puede anticiparse anticiparse que que aunque (x) en el intervalo [x curvas que que las representan representan pueden pueden diferir diferir consiconsi[xoo'' xn] xn] es pequeña, pequeña, las pendientes pendientes de las curvas derablemente; numérica tiende tiende a ampliar pequeñas discrepancias derablemente; esto esto es, la diferenciación diferenciación numérica ampliar pequeñas discrepancias errores del polinomio polinomio de aproximación. aproximación. o errores Por integración (véase Fig. 6.2), valor de Por otro otro lado, lado, en el proceso proceso de integración (véase Fig. 6.2), el valor

J;"f (x) dx, r;~f(x) o está dado dado por por el área área bajo bajo la curva curva de está de f (x), mientras mientras que que la aproximación aproximación

f;" PI1(x) dx, J;" Pn(x) oo

está dada dada por por el área área bajo bajo la curva curva de PI/(x) p,,(x) y los cometen en diferentes segestá los errores errores que que se cometen diferentes segmentos del intervalo entre sí o a reducirse. reducirse. Por Por esto, esto, el error total al mentos intervalo tienden tienden a cancelarse cancelarse entre error total •* Se funciónf(x) no existe, existe, cuando cuando no hay hay una una función fun ción elemental elemental (polinomial, (polinomial, racioraci oSe dice dice que que la integral integral de una una funciónf(x) nal, trascendente cuya derivada derivada sea trascendente y sus sus combinaciones combinaciones finitas) finitas) cuya sea f (x) (x).. •• de mínimos mínimos cuadrados. cuadrados . ** Ya sea sea por por el criterio criterio del ajuste ajuste exacto exacto o el de

394


Pendiente Pendiente =

y

dp" (x) dx

I x,

df(x) df(x) dx

~___ Pendiente == ~ __ Pendiente

II x II f(x) f(x)

•.... ..... -

Figura 6.1 Diferenciación polinomio de del polinomio aproximación. aproximación.

_-_--

p,,(x) p,,(X)

I

~----~-~-~--------~--~-----~--------~-- x Xo

XI

x2

xI)

P" (x) P" (x)

y /

/

,,

, ,

f(x) f(x)

I I I I

6.2 Figura 6.2 Integración del Integración polinomio de polinomio interpolación. interpolación.

1\.

'

I I I I I

x

x, X,

integrar (x) entre puede ser muy pequeño, aun cuando integrar P Pn(x) entre XXoo y xnn puede muy pequeño, cuando PI/(x) PIl(x) no sea una una buena buena aproaproI1 ximación def(x). def(x). ximación En resumen: resumen: si la aproximación aproximación polinomial polinomial Pn(x) Pn(x) es buena, buena, la integral integral En

JJ;";"o PPn(x) (x) dx, I1

o

puede dar una una aproximación aproximación excelente excelente deJ;" deJ;~ f(x) f(x) dx. Por Por otro otro lado, lado,:ixdd [Pn(x)], ÚJI1(x)], que que da la puede dar o

x

pendiente línea tangente tangente a P P (x) puede. variar en magnitud magnitud respecto respecto aa!I~ [f (x)] (x)] sigpendiente de la línea puedt- variar n dx nificativamente, aunque Pn(x) sea una buena aproximación af(x) af(x). . Por diferencianificativamente, aunque sea una buena aproximación Por tanto, tanto, la diferenciación numérica numérica debe debe tomarse tomarse con con el cuidado cuidado y reservas reservas que que lo amerita; amerita; particularmente particularmente ción cuando los los datos datos obtenidos obtenidos experimentalmente experimentalmente puedan puedan tener tener errores errores significativos. significativos. cuando Los métodos métodos de integración integración comúnmente comúnmente usados usados pueden pueden clasificarse clasificarse en dos grupos: grupos: Los los que que emplean emplean valores valores dados dados de la funciónf(x) funciónf(x) abscisas equidistantes equidistantes y que que se conoconolos en abscisas cen como como fórmulas fórmulas de Newton-Cotes, aquellos que que utilizan utilizan valores valores de f (x) en abscisas abscisas cen Newton-Cotes, y aquellos desigualmente espaciadas, espaciadas, determinadas determinadas por por ciertas ciertas propiedades familias de polinomios polinomios desigualmente propiedades de familias ortogonales, conocidas conocidas como como fórmulas fórmulas de cuadratura cuadratura gaussiana. gaussiana. ortogonales,

Integración diferenciación numérica numérica Integración y diferenciación

395

6.1 6.1 Métodos de Newton-Cotes

i

Para en dos dos Para estimar estimar 1 = = Ji f ff (x) (x) dx, los métodos métodos de Newton-Cotes Newton-Cotes funcionan funcionan en general general en pasos: pasos:

1. intervalo [a, amplitud, cuyos extre1. Se divide divide el intervalo [a, b] b] en n intervalos intervalos de igual igual amplitud, cuyos valores valores extremos mos son son sucesivamente sucesivamente Xi Xi

oo +

=

X

. b-a ), ), n

i == O, O, 1,2, 1,2, ... ... , n n

1 ( -

Para Para quedar quedar en la nueva nueva notación notación Xoo = =a a y

XII XII

(6. 1) (6.1)

= = b.

2. Se aproxima (x) y para obtener aproxima f (x) (x) por por un polinomio polinomio de grado grado n, n; P p I1n(x) Y se integra integra para obtener la aproximación de 1. 1. aproximación x

1\

Es evidente evidente que se obtendrán para distintos como se obtendrán valores valores diferentes diferentes de 11para distintos valores valores de n, como muestra a continuación. continuación. muestra MÉTODO TRAPEZOIDAL TRAPEZOIDAL MÉTODO

En el caso caso de n = = 1, el intervalo intervalo de integración integración [a, [a, b] queda queda tal cual cual y XXoo = = a, a, X x,I == b;b ; la En aproximación polinomial polinomial def(x) def(x) es una una línea línea recta recta (un (un polinomio polinomio de primer primer grado grado p,(x)) aproximación p¡(x)) aproximación a la integral integral es el área área de trapezoide trapezoide bajo bajo esta esta línea línea recta, recta, como como se ve y la aproximación figura 6.3. Este Este método método de integración integración se llama llama regla regla trapezoidal. trapezoidal. en la figura Para llevar llevar a cabo cabo la integración integración (, (, PI P, (x) dx, es preciso preciso seleccionar seleccionar una Para una de las las formas de representación representación del del polinomio polinomio p~ p~ (x), (x), y como como f (x) está está dada dada para para valores valores equidismas equidistantes de x con con distancia distancia h, la elección elección lógica lógica es una una de las las fórmulas fórmulas en diferencias diferencias finitas tantes finitas (hacia delante, delante, hacia hacia atrás atrás o centrales): centrales): Si se eligen eligen las diferencias diferencias finitas finitas hacia hacia delante, (hacia delante, entonces que: se tendrá tendrá entonces f(x) ""P, z p¡ (x) f(x)

donde p, según la ecuación ecuación 5.35 5.35 donde p¡ (x) es, según P, (x) (x) = = PI(XO PlexO + sh) = =f(x PI f o(x) o) + s I'1f(x I'1f (x o)o) reemplaza P, (x) en la integral integral y se tiene: tiene: Se reemplaza p¡ (x)

Ji fi

f(x) dx z J~1 I'1f(x f(x) dx "" J~' [f(x [f(xo) o) + s I'1f(x dx o)]o)] dx

(6.2) (6.2)

Para realizar realizar la integración integración del lado lado derecho derecho de la ecuación ecuación 6.2 es necesario necesario tener tener a toda Para toda la la integral en términos términos de la nueva nueva variable variable s que, como se sabe, sabe, está está dada dada por por la expresión: expresión: integral que, como sh,, x = Xoo + sh ésta, la diferencial diferencial de x queda queda en términos términos de la diferencial diferencial de s de ésta, dx = = h ds, dx que Xoo y h son constantes. constantes. ya que Para que los límites límites de integración integración Xoo y x, queden a su vez vez en términos términos de s, se susx¡ queden susPara tituyen por por xx en xx = = XXoo + sh y se despeja despeja s, s, lo que que da, respectivamente, respectivamente, tituyen

= Xoo + sh de donde donde s = =O O oo =

X

x¡ Xl

omios Consúltese el el capítulo capítulo 5. *• Consúltese

= = 1, = Xoo + sh de donde donde s = X

396


y resulta resulta

J~' [f [f (xoo)) + s L1f (xoo)] J~' ~f (x )] dx dx

6 h [f [f (X (Xoo)) + s L1f (xo)]ds f6 ~f (xo)]ds

=

Al integrar integrar se tiene: tiene:

como llega finalmente como ~f(xo) L1f (xo) = ff(xo+h) (xo+h) - ff(x (xoo)')' se llega finalmente a

(6.3) (6.3)

algoritmo del método método trapezoidal. trapezoidal. el algoritmo Hay lado derecho derecho de la ecuación trapezoide Hay que que observar observar que que el lado ecuación 6.3 es el área área de un trapezoide de altura longitudf(x f(x), (véase Fig. 6.3). ) altura h y lados lados paralelos paralelos de longitudf(x ) y f(x ), (véase Fig. 6.3). o o l

yy

p ,(x) p,(x) f(x,) b

x

f(x )dx"'" J' JJ f(x)dx "" J' 4!'' 4!"

..- '

.

.~: .~:

-.

-

':.

Figura 6.3 Integración Integración numérica numérica por por medio medio de la regla trapezoidal. trapezoid al.

..

aa

~~

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',-

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-..!.~'

_:~-:"-'.:. '.

••.-.

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-•••

h---.. ¡ h ---I~-11 a

p,(x)dx = rea del del tratrap,(x)dx p ezoide con con pezoide v rtices: rtices:

--.. ,

. ",,- - ~ . "".

XXoo

xoo' ' x,]' (xoo)')' x ,,f(x f(x ,) f(x,) x

b

Antes ejercicios, es conveniente conveniente observar observar que que los los métodos métodos vistos vistos y Antes de empezar empezar a resolver resolver ejercicios, los siguientes sirven también cuando la funciónf (x) está dada analíticamente y las técnisiguientes sirven también cuando funciónf (x) está dada analíticamente las técnicas estudiadas en el cálculo integral no dan resultado, o bien cuando esta función es impoestudiadas cálculo integral dan resultado, bien cuando esta función imposible integrar analíticamente. tabla de puntos puntos se elabora sible de integrar analíticamente. En estos estos casos, casos, la tabla elabora evaluando evaluando la función función del integrando integrando en abscisas abscisas seleccionadas seleccionadas adecuadamente. adecuadamente.


Uso del algoritmo algoritmo trapezoidal. trapezoidal. Uso a) Aproxime la curva curva de la la función función dada dada por por la la tabla tabla siguiente, Aproxime el área área AJ Al bajo bajo la siguiente, en el intervalo tervalo a = = 500, 500, b = = 1800. 1800.

Integración y diferenciación numérica numérica Integración y diferenciación

Puntos Puntos

oo

1

2

3

4

5

f(x ) ¡(x)

9.0

13.4

18.7

23.0 23.0

25.1

27 .2 27.2

x

500 500

900 900

1400 1400

1800 1800

2000 2000

2200 2200

397

J6 6 (2 + 3x) 3x) dx

Aproxime A22 = b) Aproxime =

e) Aproxime Aproxime A3 A3 = = Jj (1 2x + 3x22)) dx dx (1 + 2x -lo -y' -~

= fJcf/2 (;12 sen x dx d) Aproxime Aproxime A4 = dx

6.3)

"

Solución

Con tiene Con la ecuación ecuación 6.3 se tiene a) a)

Xoo X

== 500, 500,

XI XI

> ••

por tanto tanto 11 h == 1800 por 1800 - 500 500

= = 1800, 1800,

A "" 1300 1300 (9 + 23) Al "" 23) 1 2 2

ide b)

O,, oo == O

== 1300 1300

== 20800 20800

por 11 = 5 - 0= O=5 por tanto tanto h

X X

A22

"" -

5 2

([ ([

2+3(0)] + [2+3(5)]) [2+3(5)]) = 47.5 2+3(0)] = 47.5

La TI-92 Plus graficar la función función del del integrando integrando y realizar La TI-92 Plus permite permite graficar realizar la integración. integración. Para Para ello ello ejecuta las siguientes siguientes instrucciones. ejecuta instrucciones.

n

x

os y crupoo la

lin-

En la línea de edición de la pantalla escriba:: pantalla Home escriba 2+3*x-+y1(x) 2+3*x-+y1 (x) {O, 5} st+i». {2, 17}->ly {O, -> lx: {2 , 1 7}-> ly Newplot 1, 2, Lx , ly Newpl ot 1, 2 , lx, En la pantalla (+E) establezca establezca los siguientes p antalla Window (+E) siguientes parámetros: parámetros : xmin= -0 . 5 xmin= -0.5 xmax= xmax= 5.5 xscl= xscl= 2 ymin= ymin= -2 ymax= ymax= 18 yscl= O yscl= O xres= xres= 2 Invoque la pantalla +R pantalla Graph con +R Oprima la tecla F5 y y luego 7 O y Solicita Lower Lower Limit? Limit? Escriba O y oprima Enter Enter Solicita upper qpper Limit? Limit? Escriba 5 y y oprima Enter Enter Obtendrá el resultado siguiente: Obtendrá resultado siguiente:

.----

.tf( Pf\OGAAt·iA

FiRD AUTO

F U t~(

398

numéricos aplicados a a la la ingeniería ingeniería Métodos numér icos aplicados

e) Xxoo = -2,

Xl Xl

= 4,

por tanto h = 4 - (-2) (-2) = 6 por tanto

A3 "" ~ ~ ([1 + 2 (-2) (-2) + 3 (-2)2] (-2)2] + [1 + 2(4) 3(4)2]) =198 A3 "" 2(4) + 3(4)2]) =198 2 Para este caso, caso, haga haga los cambios cambios correspondientes correspondientes a las instrucciones dadas en el inciso inciso b). Para este instrucciones dadas

1+2*x+3*x~2-+yl 1+2*x+3:'x~2-+yl (x) {-2, 4} 4}-+lx {-2, -+ lx (9 (9,, 57}-+ly sri--i» xmin= -2 -2.5 .5 xmax= 4.5 xmax= 4 .5 ymin= -8 -8 ymax= 64 ymax= 64 Limit? --22 Lower Limit? Limi t? Upper Limi t? 4

el)

= O, oo =

X X

Xl xl

== 1[/2, rr/2,

----~2!(

.-.... _--1j;:...,.•..:.~•...~....~~....~-,..~.-..•~...; ,

••

'.

--

PP,O(jRA~-1A

por por tanto tanto

----~.-

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•• ~

",

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::~r.A

r...

.•-.~..-•.-,.•.".,.•...,.-.:.:.:.~: •...::,••.:::. ,..,.

',.

fiAD AUTO

:::(:::,::;::::{?~}~:::/:::~:~';~:~:;':'::;H: FUt~C

h= = 1[/2 = 1[/2 rr/2 - O, O, = rr/2

1[/2 rr/2 A4 "" "" (sen (O) (O) + sen sen (rrJ2)) (rrJ2)) (sen 2

== 1[/4 rr/4

Puede lector hacer instrucciones dadas dadas en el inciso inciso a) y obtener obtener los Puede el lector hacer modificaciones modificaciones a las instrucciones valores gráficas correspondientes correspondientes a este este caso. caso. valores y gráficas deja al lector lector la comparación comparación y discusión discusión de los resultados obtenidos en estos estos cálcucálcuSe deja resultados obtenidos dados por calculadora, así así como como las gráficas gráficas de los trapezoides funciolos y los dados por la calculadora, trapezoides y de las funciones del integrando. integrando.

MÉTODO SIMPSON MÉTODO DE SIMPSON

esto es, es, el intervalo intervalo de integración integración [a, b] se divide divide en dos dos subintervalos, subintervalos, se tenSi n == 2; esto [a, b] tendrán tres abscisas dadas dadas por ecuación 6.1 como: como: drán tres abscisas por la ecuación oo = =a

a) (b _ a)

X X t ¡

"

b

== XXoo + 11--2= aa + 2 2 - -2- = X22 = =b

Xl Xl

a 2

1

== 2 2 (b(b-a), a),

con una segundo grado aproximaSe aproximaf(x) aproximaf(x) con una parábola parábola [un polinomio polinomio de segundo gra.do pix)], pix)] , y la aproximación a la integral integral será será el área área bajo segmento de comprendida entre entref(x ción bajo el segmento de parábola parábola comprendida f (x o)o) y ff(x(x 2) 2 ) como muestra figura 6.4. Esto Esto es: como muestra la figura

f: f(x) ""f02 P2 (x) dx J!: f (x) dx "" t r'2 2 .\:0 ·;\'0

para integración p?(x) fórmula de Newton diferencias finitas finitas para realizar realizar la integración usa la fórmula Newton en diferencias p2- (X) dx, se usa hacia delante para expresar P2(x) 5.35) hacia delante para expresar pix) (Ec. 5.35) pix )

= P2(XO + sh) = f

s (s- l) 2 (x o) + s llf (x o) + - - l l f (x o) 2!

sustituir pix) expresar toda integral en términos nueva variable queda al sustituir P2(x) y expresar toda la integral términos de la nueva variable s, queda

J!: f(x) dx "" 2P2(x) dx = h fJ pixo pixo + sh) sh) ds J: f(x) "" (J~2 o

Integración yy diferenciación diferenciación numérica numérica Integración

399

y

ob).

..

-: ..... .• ,.-:, : ~-." ~~: ~'.--,~~.. : . . ,,:'.;.:" -: . ~-.'-:: _.:. -.:.~~:~'.--,~~.,:.. ,':'!.:' ': - 0. -:'

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~'" --,-':- ~~ ' ~ .',':::'" . : '--~ ':-~.~ ~.'

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• , _, " .:- ;: : ~.... ~ ~ . ::.

...

Figura 6.4 6.4 Figura Integración Integración numérica numérica mediante la mediante regla de Simpson.. Simpson

~: '.... ..~:~:'';....- ~: .. -

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x

f--h

..

1

b

rlos ilcucio-

definición de la primera primera y segunda segunda diferencia diferencia hacia hacia adelante adelante se tiene: tiene: De la definición

y

ten-

que sustituidas sustituidas en la última última ecuación ecuación dan dan lugar lugar a que

J:J; f(x) d (x) "" ~ [f(xo) o) + f(x)

d (x) "" ;

[f(x

4 f(x f(x f(x l) l ) + f(x 2)]2 )]

(6.4) (6.4)

algoritmo de Simpson. Simpson. el algoritmo

Ejemplo 6.2 6.2 Ejemplo Solución Solución nitas

Con el algoritmo algoritmo de Simpson Simpson aproxime aproxime las integrales integrales del ejemplo ejemplo 6.1 Con Con la ecuación ecuación 6.4 se tiene tiene Con a) a)

h= =

1800-500 1800500 = = 650, 650, XXoo = = 500, 500, XI x, = = xoo++ h == 500 50n + ó50 ó50 = = 1150, 1150, x22 = = 1800 1800 2 f(x 9,f(x,) l ) = = 16.08,f(x 16.08,f(x2) 2) = = 23 f(x o) o) == 9,f(x

[f(x,) obtiene interpolando interpolando con con un polinomio polinomio de segundo segundo grado grado en diferencias diferencias fi[f (x 1) se obtiene nitas] nitas]

Al"""" 650 650 [9 [9 + 4 (16.08) (16.08) + 23] = 20869.33 Al = 20869.33 3

400

numéricos ap aplicados a la ingenier ingeniería Métodos numéricos li cados a ía

5-0 5-0 = --- = 2.5, 2.5, XXoo = = O, O, xx¡l= = 2.5 2.5,, x22 = =5 b) h = = = O + 2.5 = 3 (O) + 4 (2 + 3 (2.5) (2.5) ) + 2 + 3 (5)] = = 47.5 47.5 A2"" "" 32 [2 + 3 (O) 3

32

= e) h =

(-2) 4 - (2)

2

3 A3"" A3"" 3

= 3, xoo= -2, xl¡= = 2+ 3= = 1, x22 = =4 = = -2,

[1 + 2 (-2) (-2) + 3 (_2)2 + 4 (1 (l + 2 (1) + 3 (1)2) + 1 + 2 (4) + 3 (4)2] [1

~-O ~-O

2

= --2--2d) h =

= n/4, n/4, XXoo = = O, O,Xl O+ n/4, xx22 = = = x¡ = = O + n/4,

= 90 =

n 2 2

n/4 n/4

"" -- - (sen (sen O + 4 sen n/4 n/4 + sen nl2) nl2) A4 "" 3

= 1.0023 1.0023 =

I

deja al a11ector comparación y discusión discusión de los resultados resultados obtenidos obtenidos [casos [casos de los inSe deja lector la comparación cisos b) b),, e) y d)] d)] con con los obtt;nidos obtt;nidos en el ejemplo ejemplo 6.1. cisos

CASO GENERAL GENERAL CASO

continuación se verá verá el caso caso más más general, general, donde donde el intervalo intervalo de integración integración [a, b] se diA continuación vide en n subintervalos subintervalos y da lugar lugar a n + 1 abscisas abscisas equidistantes equidistantes xoo,, xi"" =a vide xi"" , xxl/' ' con X ll oo = = b (véase (véase Fig. Fig. 6.2) 6.2).. Esta Esta vez vez el polinomio polinornio de interpolación interpolación es de n-ésimo n-ésimo grado grado PIl(x) y xll = P/1(x) utilizará la representación representación 5.35 5.35 para para éste. éste. y se utilizará aproximación a la integral integral J{~ f{~ f (x) dx dx está está dada dada por por La aproximación J{~ f(x) dx"" f{~ f(x) dx "" = = h

Jfó'ó'

Jr,~ Pn(x) dx = = I1(x) dx x o" P x

h Jo' P/1Il (xoo + sh) fo' P sh) ds

) + s /}.f(x ) + ss(s-l) [f(x (s - 1) ~2f(xo)+ /}.2f(x ) + S (s - 1) (s - 2) ~3f(xo) /}.3j(x ) [f(xo)+s~f(xo)+ s(s-1)(s-2) o o o o 2! 3! 2! 3!

+ ... +

(s --1)1) (s (s - 2) 2) ... (s (s - (n - 1)) A11f( )] d s (s A"f( )]

n!

tii t

oo

X

s

Con la integración integración de los cinco cinco primeros primeros términos términos se tiene: tiene: Con

3 sS s4 11 S2 sS s4 lIss3 S2 (--- - - -- - - -) -) ~4j(xo) términos faltan faItantes] + ( +/}.4j(x o) + términos tes ] 72 120 16 72 8

Todos los términos términos son cero cero en el límite límite inferior, inferior, por por lo que Todos

lo lo /1 11

Integración iferenc iación numérica Integración yy d diferenciación numérica

+ (-

n4 n3 n2 - - + -) 24 6 6

n5 + ( 120

4

1'13f (x )

(6.5) (6.5)

O 3

401

2

n l1n n -]"6 + TI - 8") 1'14j (xo)

+ términos fal tan tes ]

o Newton-Cotes para para integrar A continuación continuación se dan dan las fórmulas fórmulas de Newton-Cotes integrar cuando cuando n = = 1, 2, 3, 4, 4, puede verificarlas verificarlas sustituyendo las diferencias 5 YY 6. El lector lector puede sustituyendo el valor valor seleccionado seleccionado de n y las diferencias correspondientes términos de sus valores valores funcionales correspondientes en términos funcionales en la ecuación ecuación 6.5

n == 1 trapezoidal trapezoidal los in-

n=2 n=2 Simpson Simpson 1/3

nn=3 =3 Simpson Simpson 3/8

1 se dio

X

=

a

n= =4

(6.6) (6.6)

opJx)

(4 f(x) '\0

dx=

3!!:.... 4S

[7f(xo) + 32f(x,)

+ 12f(x2)

+ 32f(x3)

+ 7 f(x4)]

nn=S =S

nn=6 =6

MÉTODOS COMPUESTOS DE INTEGRACiÓN MÉTODOS COMPUESTOS INTEGRACiÓN

Algunas intervalo de integración amplio, que que resulta conveniente dividirlo dividirlo Algunas veces veces el intervalo integración es tan tan amplio, resulta conveniente en subintervalos uno por por medio polinomio. subintervalos y aproximar aproximar cada cada uno medio de un polinomio.

MÉTODO TRAPEZOIDAL COMPUESTO MÉTODO TRAPEZOIDAL COMPUESTO

Por vez de aproximar [a, b] b] por por una una recta recta (véase Por ejemplo, ejemplo, en vez aproximar la integral integral de f (x) (x) en [a, (véase Fig. 6.S.a), [a, b] por un polinomio polinomio 6.S.a), conviene conviene dividir dividir [a, b] en n subintervalos subintervalos y aproximar aproximar cada cada uno por de primer primer grado Una vez vez hecho hecho esto, trapezoidal a grado (véase (véase Fig. Fig. 6.5 6.S b). Una esto, se aplica aplica la fórmula fórmula trapezoidal cada trapezoide, de tal modo modo que tocada subintervalo subintervalo y se obtiene obtiene el área área de cada cada trapezoide, que la suma suma de todas ellas bajo la curvaf ellas da la aproximación aproximación al área área bajo curvaf (x).

402

Métodos numéricos


y

}

y

Pan grar

PAS PAS PAS PAS PAS PAS

Figura 6.5

Integración por el método trapezoidal compuesto.

X

o

X

XI

a

X

x2

XI

o

xn_l

xn

a

b

x

b

a)

b)

Esto es I=Jif(x)dx""

+(,

JX'p¡(x)dx

a=x

p2(x)dx+

... +t,,~bpl(X)dx

xI

o

Xn_l

1

donde Pi(X) es la ecuación de la recta que pasa por los puntos (xi_,,f(Xi_,)), la ecuación 6.3 se tiene

+

x -x 11 2

11-1

[f(x

,,-,

)+f(x)]

+, -

Si todos los subintervalos son del mismo tamaño h, esto es, si xi (n-l), entonces la ecuación 6.7 puede anotarse 1""

h 2 [f(xo)

+ 2f

+ ... + 2f(x,,_¡)

(x,)+ 2f(x2)

xi

(x¡,f(x¡)).

Con

PAS PAS

(6.7)

11

= h, para i = O, 1,...

,

+ f(x,,)],

que puede escribirse con la notación de sumatoria (6.8) I

,

Ejemplo 6.3

Solución

Mediante el algoritmo trapezoidal compuesto, aproxime el área bajo la curva de la siguiente función dada en forma tabular, entre x = -1 Y x = 4. 2

Puntos

O

x

-1

O

f(x)

8

10

10

3

4

5

2

3

4

20

76

238

Si se toman todos los puntos de la tabla, se puede aplicar cinco veces el método trapezoidal. Como todos los intervalos son del mismo tamaño (h=l), se usa la ecuación 6.8 directamente. A"" ; [8 + 2 ( 10 + 10 +20 + 76 ) + 238]

=

239

I

Inte Compárese este resultado con la solución analítica (los datos de la tabla corresponden a funciónf (x) = XI - 2x2 + X + 10).

403

Integración y diferenciación diferenciación numérica numérica Integración

ALGORITMO ALGORITMO

6. 1 Método Método trapezoidal trapezoidal compuesto compuesto 6.

Para aproximar aproximar el área área bajo bajo la curva curva de una una función función analíticaf(x) analíticaf(x) en el intervalo [a, b] b],, proporcionar proporcionar la función Para intervalo [a, función por por inteintegrar F(x) F(x) y los los grar DATOS: número de trapecios trapecios N, el límite límite inferior inferior A y límite límite superior superior B. DATOS: El número RESULTADOS: área aproximada aproximada ÁREA. ÁREA. RESULTADOS: El área

x

.Con

PASO 1. l. PASO PASO 2. PASO PASO 3. PASO PASO 4. PASO PASO 5. PASO PASO 6. PASO

Hacer X = = A. Hacer Hacer S = O. Hacer Hacer H = (B - A)/N. A)/N. Hacer 1, ir al paso paso 10. 10. De otro otro modo modo continuar. continuar. SI N = 1, Hacer 1 =1. Hacer Mientras repetir los los pasos pasos 7 a 9. Mientras 1::; N --1,1, repetir PASO 7. Hacer Hacer X = X + H. PASO PASO 8. Hacer Hacer S = = S + F (X). (X). PASO PASO 9. Hacer Hacer 1 = = 1 + 1. 1. PASO PASO 10. 10. Hacer Hacer ÁREA ÁREA = H/2 H/2 * (F (A) + 2 *S + F (B)). PASO PASO 11. 11. IMPRIMIR IMPRIMIR ÁREA ÁREA Y TERMINAR. TERMINAR. PASO

MÉTODO SIMPSON COMPUESTO MÉTODO DE SIMPSON COMPUESTO

Como para para cada cada aplicación aplicación de la regla regla de Simpson Simpson se requieren requieren dos subintervalos, Como subintervalos, a fin de aplicarla n número número de veces, veces, deberá deberá dividirse dividirse el intervalo intervalo [a [a,, b] en un subinteraplicarla un número número de subintervalos igual igual a 2n (véase (véase Fig. 6.6). valos Cada par par de subintervalos subintervalos sucesivos sucesivos se aproxima aproxima por por un polinomio polinornio de Cada de segundo segundo grado grado (parábola) y se integra integra usando usando la ecuación ecuación 6.4, de tal manera manera que que la suma suma de las áreas (parábola) áreas babajo cada segmento segmento de parábola parábola sea sea la aproximación aproximación a la integración integración deseada. jo cada deseada. Esto Esto es:

(6.7) 1,... ,

x4 p¡(x)dx+f pix)dx+ II=f:f(x)dx~fx2_ = f}:f(x) dx ~ f x2_ Pl(x)dx+f~4 pix)dx+ ..... . + ((,,=b ,,=b p,,(x)d.x p,,(x)dx a-x a - lO 2 o

-'\:1I~2 -\,~2

X2 J:

donde p¡(x), i = 1,2, ... , n, es el polinomio polinornio de segundo segundo grado grado que que pasa donde = 1, 2, ... pasa por por tres tres puntos puntos conconsecutivos. secutivos.

(6.8)

Par que aproxima aproxima Par bola bola que

,,

f(x) [X"_2' x,,] f(x) en [x".2' x,, ]

si-

, ,

yy

,

, Par bola bola que que aproxima aproxima Par f(x) f(x) en [[xxoo' ' x22] ]

t

,

,

,

I

, , , , ,

I I I

, , , ,,

I

f(x) f(x)

1"

,

,

,,, ,

"

pezoidirec-

, ,,,

I

1I I I I I I I I

6.6 Figura 6.6 Integración por por Integración método de método Simpson Simpson compuesto. . compuesto

I I I I I

X

11-2

XII

b)

x

404

Métodos iería a la ingen ingeniería Métodos numéricos numéricos aplicados aplicados a

Al sustituir sustituir la ecuación ecuación 6.4 en cada cada uno sumandos se tiene: uno de los sumandos tiene:

h ~ 1 "'3l [f(xo) + 4f(x ¡) + f(x 2 ) ] + 3 [f(x 2 )+ 4f(x3) + f(x 4)] + ... h

+ --: [f(x n _ 2 ) + 4f(x,,_¡ ) + f(x,,)]

(6.9)

donde: donde: h¡ x ¡- XXoo = h¡ = = x¡= xX22 --xIxl h22 = = xX33 -- xX22 = = xX44 - xX33

hn

= = xX n-I -x n-2 =x =x-x n- I -X n 17-2

x n-l n-l

Si h ¡; = h22 = ... , la ecuación ... = hh¡¡,la ecuación (6.9) (6.9) queda queda como como sigue: sigue: ll

que usando notación de sumatoria usando la notación sumatoria queda queda de la siguiente siguiente manera: manera: h

¡¡-¡ ,,¡

¡¡-2 n2

b. ;=2 '" ;=2

b. '" ;=2 ;=2

1 '" ;~¡ f (x) 2;~ f (x) ""3 3 [f [f (xo) + 4 ;~¡ (x) + 2;~ (x) + f (x,,) (x¡¡)]]

(6.10) (6.10)

donde donde l1i Si significa significa el incremento incremento de ii..

I Ejemplo 6.4' Solución Solución

Mediante bajo la curva Mediante el algoritmo algoritmo de Simpson Simpson de integración, integración, aproxime aproxime el área área bajo curva del ejemplo ejemplo 6.3. Con puntos dados puede aplicar Con los puntos dados de la tabla, tabla, se puede aplicar la regla regla de Simpson Simpson en dos ocasiones; ocasiones; por ejemplo, una con los puntos (O), (1) Y (2) Y otra otra con con los puntos Copor ejemplo, una vez con puntos (O), puntos (2), (3) Y (4). Cointegración debe debe hacerse integra entre entre los puntos (5) con mo la integración hacerse de x = --11 a x =4, se integra puntos (4) y (5) trapezoidal y la suma suma será será la aproximación aproximación buscada: buscada: el método método trapezoidal Método de Simpson Simpson aplicado aplicado dos veces: veces: hh,¡ =h 2 =h3 =h3 =h4 =n, =1, =1, entonces entonces a) Método Puede usarse ecuación 6.10 6.10 Puede usarse la ecuación Al Al

""i"'i-

(10) + 76] = = 74.666 74.666 [8 + 4 (10 + 20) + 2 (lO)

Método trapezoidal aplicado a los puntos b) Método trapezoidal aplicado puntos (4) Y (5) A22

'" "" ;

(76 (76 + 238 238 ) == 157

por tanto, la aproximación aproximación al área área es: es: por tanto, A", 74.666 A"" 74.666 + 157

= = 231.666 231.666

Compare este resultado con el obtenido obtenido en el ejemplo ejemplo 6.3 y el resultado solución anaanaCompare este resultado con resultado de la solución lítica (la función función tabulada tabulada es f (x) (x) = =r r --2x2 + XX + 10). lítica

Integración y diferenciación Integración y diferenciación numérica numérica

Ejemplo 6.5

405

Encuentre integral aproximada Encuentre la integral aproximada de la función función 1 _x2(2 --e,

f2ii

(6.9)

que da lugar lugar a la curva curva normal normal tipificada, tipificada, entre entre los límites -1 -1 y 1. que los límites a) Utilice Utilice la regla regla trapezoidal trapezoidal con trapezoides y compare resultado (0.682) con varios varios trapezoides compare con el resultado (0.682) obtenido tablas. obtenido en tablas. b) Use Use la regla regla de Simpson varias veces veces y compare resultado (0.682) Simpson varias compare con con el resultado (0.682) obtenido obtenido de tablas. tablas.

Solución

Conn=l,h= a) Con n = 1, h

1-(-1) =22 = 1(-1 ) =

1 2

1 zz

[f(x [f (xo)o) + f(x,)] f(x l )]

__ __

2& 2&

=-- 1- [0.606 [0.606 + 0.606] 0.606] = = 0.484 0.484 =

!2n fi1c

El error tomando el valor valor de tablas tablas como verdadero, es: error relativo, relativo, tomando como verdadero, 0.484 =, == I 0.484

0.682 I 0.682 0.682 0.682

En=' E n

(6.10)

Con n Con

= 2 ,,h = = =

1-(-1) 1-(-1) 2

1 1

2 fiii fii

iones; ). Co) con

1 1

29% 29%

Ir>=

[0.606 + 2(1) 2(1) + 0.606] 0.606] [0.606

2 ,,fii2rr.

0.682 I = 0.0587 0.682 = 0.0587 0.682 0.682

n=2

= 4, h = = 1=

= -=

= I 0.64 0.64 =

E

Con n Con

o

=1 =

[f(x 11 z-z -[f(xo)o) + 2f(x,) 2f(x,) + f(x f(x 2)]2 )]

del

= 0.29 0.29 =

(-1) (-1) 4

= 0.64 0.64 =

5.87% 5.87%

o

= 0.5 =

O~ O~ [f(x [f(xo)o) + 2f(x,) 2f(x,) + 2f(x 2f(x 2f(x f(x 2) 2 ) + 2f(x 4)]4 )] 3) 3 ) + f(x

1 zz

2 ,,v2rt 2rr.

= ~~ [0.606 [ 0.606 + 2(0.882) 2(0.882) + 2(1) 2(1) + 2(0.882) 2(0.882) + 0.606] 0.606] = = 0.672 0.672 = 2fii 2fiit

= I 0.672 0.672 =

E

0.682 I = = 0.0147 0.0147 0.682 0.682 0.682

11=4 11=4

Con n b) Con

1 zz

= 2, h = = = 1 1

__ __

fii 3 fiii

1- ((-11 ) 12

= 4, = = 4, h =

1 - ((-1) -1) 4

= -=

1 1

¡;c

[0.606 + 4(1) 0.606] [0.606 4(1) + 0.606]

2rt 3 ,,2rr.

= I10.693 0.682 I = = 0.0162 0.0162 = 0.693 - 0.682

0.682 0.682

11=2 11=2

Con n Con

1.47% l.47 %

=1 =

[f(x 4f(x,) + f(x?)] [f(xo)o) + 4f(x,) f(x 2 ) ] E

n ana-

o

= 0.5 =

o

1.62% l.62%

= 0.693 0.693 =

406

Métodos numéricos aplicados aplicados a a la ingeniería ingeniería Métodos numéricos

) + 4f(x )] II z 2f(x f(x z~ ~ [f(x [f(xo)o) + 4f(x¡) 4f(x¡) + 2f(x 4f(x3) 3 ) + f(x 2) 2 4)]4 3ffn

3ffn

= = O~ O~ [0.606 [0.606 + 4(0.882) 4(0.882) + 2(1) + 4(0.882) 4(0.882) + 0.606 0.606 ] = = 0.683 0.683 3v v 211: 21t

En=4 En=4

= 0.683 - 0.682 = I10.683 0.682 I = = 0.0015 0.0015 0.682 0.682

ALGORITMO ALGORITMO

o

0.15% 0.15%

6.2 Método Método de Simpson compuesto compuesto

Para f(x) en el intervalo Para aproximar aproximar el área área bajo bajo la curva curva de una una función función analítica analítica f(x) intervalo [a, [a, b], b], proporcionar proporcionar la función función por por inteintegrar F(X) y grar F(X) y los El número DATOS: DATOS: número (par) (par) de subintervalos subintervalos N, el límite límite inferior inferior A y y el límite límite superior superior B. RESULTADOS: área aproximada aproximada AREA. RESULTADOS: El área AREA. Hacer SI SI=O. =O. Hacer Hacer Hacer S2=O. S2=0. Hacer X= X= A. Hacer Hacer Hacer H=(B-A)/N. H=(B-A)/N. Si N =2, =2, ir al paso paso 13 13.. De De otro otro modo modo continuar. continuar. Hacer I=l. 1=1. Hacer Mientras I:S; I:S; N/2-1, los pasos pasos 8 a 12. Mientras N/2-1, repetir repetir los PASO PASO 8. Hacer Hacer X = X + H. H. PASO PASO 9. Hacer Hacer SI SI = SI SI + F (X). (X). PASO PASO 10. Hacer Hacer X= X= X + H. PASO 11. Hacer Hacer S2 =S2 + F (X). PASO PASO PASO 12. Hacer Hacer 1 = 1 +1. Hacer X = = X + H. 13. Hacer Hacer SI SI = SI + F (X). 14. Hacer 15. Hacer Hacer AREA=H/3 AREA=H/3 "'"' (F (A) + 4*SI 4*SI + 2*S2 2*S2 + F (B». (B». IMPRIMIR AREA AREA Y TERMINAR. TERMINAR. 16. IMPRIMIR

PASO l. 1. PASO PASO PASO 2. PASO 3. PASO PASO PASO 4. PASO 5. PASO PASO 6. PASO PASO 7. PASO

PASO PASO PASO PASO PASO PASO PASO PASO

Ejemplo 6.6

Elabore un subprograma subprograma para para integrar integrar la función función del del ejemplo ejemplo 6.5 con el método método trapetrapeElabore zoidal compuesto, compuesto, usando usando sucesivamente sucesivamente 1,2, 1,2,4, 8, 16,32,64, 16, 32, 64, ... ... ,1024 ,1024 subintervalos zoidal 4,8, subintervalos y calcule sus correspondientes correspondientes errores errores relativos relativos en por por ciento. ciento. Con Con los resultados resultados obteniobtenicalcule dos elabore elabore una una gráfica, gráfica, error error porcentual porcentual contra contra número subintervalos y discútala. discútala. dos número de subintervalos programa 6.1 que que se encuentra encuentra en el disco disco fue fue diseñado diseñado para usar el subprograma subprograma El programa para usar TRAPECIOS en la integración integración de ./ ./ TRAPECIOS

intervalo [-1,1], [-1,1], usando 4, ... ... , 1024 1024 subintervalos subintervalos sucesivamente. sucesivamente. en el intervalo usando N=l, N= I, 2, 4, Los resultados resultados obtenidos obtenidos para para cada cada valor valor de N son: son: Los

--

Integración y diferenciación

N

APROXIMACIÓN

AL ÁREA

numérica

407

ERROR EN %

0.483941

29.112458

2

0.640913

6.119330

4

0.672522

1.489283

8

0.680164

0.369906

16

0.682059

0.092278

32

0.682532

0.023006

64

0.682650

0.005697

128

0.682680

0.001370

256

0.682687

0.000288

512

0.682689

0.000018

1074

0.682689

0.000050

r inte-

El error relativo porcentual se calculó utilizando como valor verdadero el reportado por la TI-92 Plus a seis cifras decimales, que es 0.682689* .

pesy enigrama

Se traza la gráfica y se hacen los comentarios correspondientes Comentarios: - La gráfica se elaboró en escalas semilogarítmicas. El error obtenido por el programa es básicamente la suma de dos tipos de errores, el de truncamiento (debido a la aproximación de la función en cada subintervalo por una línea recta) y el de redondeo (por el tamaño de la palabra de memoria de la computadora en que se realizan los cálculos) .

• Los valores de la tabla y como consecuencia la gráfica se modificarán dependiendo de la máquina que se utilice para hacer los cálculos y del número de cifras que se tomen como "valor verdadero", aunque los comentarios se cumplen en lo general.

-

---~

408


2

2 10 --.----,-----.----,-----,-----.----,-----.----,,----,-----.-o 10 r .-,-----,----,----,-----,----,-----,----,----,-----,----,-,

error error

-2

10

10-4

-6

10

oo

100 100

200 200

300 300

400 400

500 500

600 600

700 700

800 800

900 900

1000 1000 N

error de truncamiento disminuye al aumentar aumentar el número número de subintervalos subintervalos y teóricamenteóricamenEl error truncamiento disminuye tiende a cero cero cuando cuando N tiende tiende a infinito. infinito. Por Por otro otro lado, lado, el error error de redondeo redondeo crece crece al auaute tiende mentar el número número de subintervalos subintervalos (debido (debido al aumento aumento del número número de cálculos). cálculos). En la mentar gráfica se ve que que el error error global global disminuye disminuye al incrementar incrementar el número número de subintervalos subintervalos hashasgráfica llegar a un llÚnimo mínimo entre entre 500 500 y 600 600 subintervalos, subintervalos, para para luego luego aumentar aumentar debido debido a que que el ta llegar peso del error error de redondeo redondeo empieza empieza a dominar. dominar. peso Para realizar realizar los los cálculos cálculos puede usarse Matlab Matlab o la TI-92 Plus. Para puede usarse TI-92 Plus.

a=-l; b=l a=-l; b=l for i=l i=l: : 11 11 for n=2-(i - 1 ); h=(b-a /n ; x=a; ; n=Z." (i-1); h=(b-a) ) In; x=a; s=O s=O; n>l iif f n>l for j=1:n-1 for j=1 : n-1 x=x+h;; x=x+h f=1/sqrt(2*pi)*exp(-x-2/2) f=1/sqrt(2*pi) * exp(-x-2/2) ; s=f+s; ; s=f+s end end fa=1/sqrt (2*pi) ) *exp (-a -2/2) -2/2) ; fa=1/sqrt (2*pi fb=1/sqrt (2*pi) ) **exp (-b-2/2) fb=1/sqrt (2*pi exp (b-2/2 ) ; s=h/2* (fa+2*s (fa+2*s + fb) fb); ; s=h/Z:' e=abs (O. (O. 682689-s)/s*100 682689-s)js*100; ; fprintf ('%4d %8.6f %8.6f\n',n,s,e) fprintf (' %4d % 8 .6f %8 , 6f\n ' , n , s , e ) end


e6_ 6 ( ) Prgm Prgm Define f(x)=1 f (x) =1.. / (Y(2*rr))*e-(-x-2 (V (2*n) ) *e - (-x-2/2)/2 ) Define C1rIO: : CirHome C1rHome:-1.->a: l ..... s=+bb CirIO :-1 ..... a: 1 i, 10 For i, 11,, 10 2- (i-1)->n: (b-a)) /tr+ti: a....• O.... ....• 2-(i -1) .... n : (b-a /n .... h: a .... x: x: O s If f n>l n>l Then Then I For j, n-1 For j , 11,, n-1 x h->x:f(x)+s->s x + h .... x:f (x) +s .... s EndFor EndFor Endlf EndIf h/2* (f(a) (f (a) +2*s+f +2*s+f (b) (b))) .... -> s s h/2* (O.. 682689-s) 682689-s) /s*100->e abs (O /s*lOO .... e format "&format (s, "f3") &" format (n, ""fa") fO" ) &" "&format(s,"f3")&" Disp d Di sp d EndFor EndFor EndPrgm EndPrgm

409

(e,,"f3") "f3")->d ""&format &format(e .... d

general, cuando cuando se recurre integración numérica, En general, recurre a una una integración numérica, no se tiene tiene el resultado resultado verdaverdadero y resulta conveniente integrar integrar con con un número subintervalos y luego luego con con el dodero resulta conveniente número n de subintervalos ble. los resultados difieren considerablemente, considerablemente, puede aceptarse como como bueno ble. Si los resultados no difieren puede aceptarse bueno cualquiera de los dos. cualquiera

000 N

camene al au. En la os hasa que el

Ejemplo Ejemplo 6.7

Solución

Elabore un subprograma subprograma para integrar una función analítica analítica por por el método Simpson Elabore para integrar una función método de Simpson compuesto, usando sucesivamente 2, 4, 4,8,8, 16, ... ... ,2048 ,2048 subintervalos. subintervalos. Compruébela Compruébela con compuesto, usando sucesivamente función del ejemplo ejemplo 6.5. 6.5 . la función Ver

PROGRAMA PROGRAMA

CD. 6.2 en el CD.

encontrará el PROGRAMA PROGRAMA 6.5 de Integración Integración Numérica con los métodos métodos de traEn el CD encontrará Numérica con pecios, Simpson 1/3 y el de cuadratura cuadratura de Gauss Gauss (el cual cual se estudi estudiaa en la sección sección 6.2). 6.2). pecios, el de Simpson Con este este programa función a integrar integrar simbólicamente, simbólicamente, los líCon programa usted usted puede puede proporcionar proporcionar la función mites integración y el número intervalos. . Podrá Podrá apreciar apreciar simultáneamente simultáneamente la repremites de integración número de intervalos representación gráfica gráfica de los distintos distintos métodos métodos y valores diferentes secciones secciones sentación valores numéricos numéricos para para diferentes del área.

ANÁLISIS DEL ERROR ERROR DE DE TRUNCAMIENTO TRUNCAMIENTO EN LA ANÁLISIS DEL EN APROXIMACiÓN APROXIMACIÓN TRAPEZOIDAL TRAPEZOIDAL

Considérese el i-ésimo i-ésimo trapezoide trapezoide de una integración trapezoidal trapezoidal compuesta compuesta o sucesiva, sucesiva, Considérese una integración con abscisas abscisas xii__11 y Xi' La distancia distancia entre entre estas estas abscisas abscisas es h = = (b -a)/n -a)/n. . Sea Sea además además F (x) la Xi. La con primitiva integrando f (x) (x),, es decir decir dF dF (x)/dx (x)/dx = = f (x). (x). Con Con esto esto la integral integral de la funció funciónn primitiva del integrando f (x) en el intervalo X i _ l , Xi] Xi] queda por: intervalo [[X¡_I' queda dada dada por: Ii I¡ = =

J;.; f(x) f(x) dx dx = F (x) J;; (x) - F (xi_ =

i-lI i-

(x¡_l) 1)

(6.11) (6.11)

Por otro otro lado, lado, la aproximación aproximación de II¡,i , usando Por usando el método método trapezoidal trapezoidal es

h

T¡ ="2 = 2" [f(X Ti [f(X f(x) ] i_1i) _ 1) + f(x)]

(6.12)

410

Métodos numé ri cos apl icados a a la iería numéricos aplicados la ingen ingeniería

En ausencia redondeo puede puede definirse truncamiento para para este errores de redondeo definirse el error error de truncamiento este traEn ausencia de errores pezoide particular pezoide particular así: (6.13) (6.13) Para continuar con con este este análisis,f(x) análisis,f(x) se expande expande en serie serie de Taylor alrededor de x = = x, Para continuar Taylor alrededor xi' de modo obtenerf(x¡_¡) f (x¡_l) modo de obtener f (X¡_I) f( X¡_I)

(x - x)2 () + (X¡_I f"( .) x))f'f' (x) ¡-I -xl ¡ f" (x¡) X¡ X¡ x, + ...

_ f (x) (X¡_I ==f() X¡ + (X i 1-

2!

como X¡ - X¡_I X¡_I como h = = X¡ f(x¡_I)

(x) + ;~ f"(x¡)-

=f(x)-h1'

(6.14) (6.14)

...

sustituye la ecuación ecuación 6.1 6.144 en la 6.12 6.12 se sustituye Ti = =

~~

[2f(x) ;~ f" f" (x) [2 f (x) - hf' h l' (x) (x) + ;~ (x) + ... ]

== hf (Xl.) - ~ h hf(x¡.)

h f" ~ 2(2!) f"

2

TI

22

3

f'f' (x) (x,) +

2(2!)

I

En forma análoga análoga puede obtenerse En forma puede obtenerse

~1;

;!

¡

...

(6.15) (6.15)

3

?

.00 .

(x) (XI) + ...

(X¡_¡) = (x.) - h F ' (x) (x) + ;; F" F" (x) (x) F (x¡_l) = F (x)

F'" F'"

(x) + ... ... (x)

Cuya sustitución sustitución en la ecuación ecuación 6.11 produce produce Cuya

_lf

I=hF' (x.)_~ F" (x.) (x.)+!!: F'" l. = h F' (x.) F" + !!: F'" I, I'2! 2! I'3! 3!

(x.)... (x .) - ... I'

Como: Como: f(x) = F' (x) f(x) = F' (x)

tf'' (x) == F "

(x) (x) = (x) (x) = F' F'"" (x)

f" f"

y al sustituir sustituir se obtiene: obtiene:

l¡ hf(x) - ;~ ~7; l' f' (x) I¡ = = hf(x) (x) +

;!3 f"(x) f"(x) -

... ...

(6.16) (6.16)

Al reemplazar ecuaciones 6.15 6.15 y 6.16 6.16 en la (6.13) (6.13) reemplazar las ecuaciones hh = [hf(x) (x) + ~ (x) + ... ] E¡ = [hf(x) - 2 ,2,2 t f'' (x) ~ f"f" (x) 2(2!) . 2(2!)

;!3

- [ h f (x) f" (x) (x) - ;; ;~ f'f' (x) (x) + ;; f" (x) - ..... . ]

E¡ = E¡ =

(! - ¿)

5, etcétera. h33 f" (x) + términos etcétera. f" (x) términos en h44, , hh5,

Considerando que que h es pequeña etc., pueden despreciarConsiderando pequeña (h « 1), los términos términos en h44, , h55, , etc., pueden despreciarque el error error de truncamiento i-ésimo trapezoide queda dado dado aproximadaaproximadase, de modo modo que truncamiento del i-ésimo trapezoide queda mente mente así: E E

II

""--.!i ,, ""~f" 12 f

(x.) (x.)

además If" f" (x) I ~ M para b, entonces: entonces: Si además para a ~ x ~ b, h3 I E¡I~12M, IE¡I~12M,

'

I

(6.17) (6.l7)


411

tra-

de donde truncamiento usando usando n trapezoides trapezoides en la integración donde el error error de truncamiento integración def def(x)(x) en [a ,b] ,b] queda por: queda dado dado por:

.13)

(6.18) (6.18) Por tanto, el error truncamiento en el método método trapezoidal trapezoidal es proporcional proporcional a h22 lo cual, Por tanto, error de truncamiento cual, para fines fines de análisis, para análisis, suele suele expresarse expresarse aSÍ: aSÍ: f; f;

h

f(x) dx f(x) dx = =-

22

11n-¡[

[f(x L f(x) f(x) + f(x,)] f(x,)] + O (h22)) [f(x o) o) + 2 .L

..

~¡ ~)

(6.19) (6.19)

y se dice una fórmula dice que que es una fórmula que que genera genera aproximaciones aproximaciones del orden orden O(h22)) (véase (véase Ec. 6.8). 6.8) . .14) EXTRAPOLACiÓN DE RICHARDSON. INTEGRACiÓN DE ROMBERG EXTRAPOLACIÓN RICHARDSON. INTEGRACiÓN ROMBERG

6.l5)

Con nombre de extrapolación Richardson se conoce técnicas que Con el nombre extrapolación de Richardson conoce un conjunto conjunto de técnicas que generan mejores aproximaciones resultados buscados buscados o aproximaciones generan mejores aproximaciones a los resultados aproximaciones equivalentes equivalentes a métodos métodos de alto partir de las por medio medio de algún alto orden, orden, a partir las aproximaciones aproximaciones obtenidas obtenidas por algún método de bajo bajo orden, pocos cálculos. técnicas están basadas en el análisis todo orden, y pocos cálculos. Estas Estas técnicas están basadas análisis del error error de truncamiento, truncamiento, cuya numérica se presenta presenta a continuación. cuya aplicación aplicación a la integración integración numérica continuación. Supóngase truncamiento de cierto Supóngase que que el error error de truncamiento cierto algoritmo algoritmo de aproximación aproximación de 1= dx 1 = f;f(x) f ;f(x) dx

se expresa: expresa:

donde positivo y S punto desconocido desconocido de (a, b). donde e es independiente independiente de h, r es un entero entero positivo ~ un punto b). Luego de obtener obtener dos aproximaciones aproximaciones de 1 1con distintos: h) h, y h22, , de llallaLuego con tamaños tamaños de paso paso distintos: mar a dichas respectivamente, y despreciar redondeo, se mar dichas aproximaciones aproximaciones 1 I11 y 122, respectivamente, despreciar errores errores de redondeo, puede escribir: puede escribir: I¡ = =e 1 - 1)

hí f(r)(~)) hí f(r)(~))

= e h{ f(r)(~2) 11-- 122 = f (r)(~2)

Estas últimas ecuaciones miembro a miembro miembro y comof(r)(~l) comof (r)(~ l ) y f(r)(~2) f (r)(~2) son Estas dos últimas ecuaciones se dividen dividen miembro prácticamente iguales, prácticamente iguales, se tiene: tiene: 6.l6)

1 - 1)

h{f (1' (1')) (~¡) e h{'j (~[)

1 - 12

e hh{f 2J

(1') (r)

(~2) (~2)

de donde: donde: 1= hP2-hP¡ h{ -h{ eciarada(6.l7)

(6.20) (6.20)

= hh/2, ecuación 6.20 6.20 se simplifica simplifica a: Si en particular particular h2 = ¡f2, la ecuación 21'1 - 1[ 1 21' 122-1) 1",'" _--'0.._"21' -- 11

(6.21) (6.21)

Este proceso, conocido como como integración integración de Romberg, Romberg, es efectivo efectivo cuando cuando f (r)(x) (r)(x) no varía varía Este proceso, conocido bruscamente cambia de signo signo en dicho dicho intervalo. estos casos, casos, las ecuaecuabruscamente en (a, b) y no cambia intervalo. En En estos ciones 6.20 6.20 y 6.21 permiten aproximación a 1 a partir 1) y 122 sin repartir de 1) ciones permiten obtener obtener una una mejor mejor aproximación petir integración y con con cálculos cálculos breves. petir el proceso proceso de integración breves.

412

Métodos numéricos


En el método trapezoidal (véase Ec. 6.18); por ejemplo, r = 2 Y la ecuación 6.21 toma la forma

Para sistematizar la integración de Romberg en la aproximación trapezoidal, denótese por Ik(O) las aproximaciones de I obtenidas empleando 2k trapezoides (véase tabla 6.1). Ahora, para obtener mejores aproximaciones de I mediante Ik (O) Y Ik+ 1CO), se aplica la extrapolación de Richardson

Este resultado se denota como IP) y se genera la cuarta columna de la tabla 6.1. Estos valores sirven para producir una segunda extrapolación y obtener una mejor aproximación de 1. Con el empleo de Ikl) y 1m se llega a: 24

1""

1(1) - 1(1) k+l k 24 - 1

que se denota como Ik(2), con lo que se genera la quinta columna de la tabla 6.1. Este proceso puede continuar en tanto cada iteración responda al algoritmo:

IkCm) --

4111 ICm-l) k+ 1

_ ICI11-I) k .

4m-1

m.

1 2 3

,="

(6.22)

,'"

Cuando los valores de lÍO) -t I al crecer k, los valores de la diagonal superior de la tabla convergen" a 1. Para entender mejor esto, a continuación se resuelve y analiza un ejemplo. Tabla 6.1 Aplicación del método de Romberg.

k

Número de trapezoides 2k

Aproximación trapezoidal

O

1

1(0)

2

ICO)

Primera Extrapolación

Segunda Extrapolación

O~

1

••

I(1)

••

l(l)

•.

I(2)

•.

I(1)

••

I(2)

•.

I(1)

•.

I(2)

1~0~

2

4

ICO) 2~1~0

3

8

ICO) 3~2~1

4

* Ralston, A. Introducción

16

ICO) 432

al análisis numérico. Limusa-Wiley,

S.A. [1970], pp. 149-152.

,


numérica

413

21 to-

Ejemplo 6.8

Encuentre una aproximación de la integral

Iti se por ora, lación

sen

1tX

dx,

empleando 1,2,4, 8 Y 16 trapezoides. Con los resultados obtenidos y la ecuación 6.22, obtenga mejores aproximaciones. Compare los valores obtenidos con el valor calculado analíticamente: 0.6366197.

Solución

Con el programa del ejemplo 6.6 se obtienen los valores

osvaación

k

2k

o

1

0.0

2

0.5

2

4

0.6035534

3

8

0.6284174

4

16

0.6345731

1(0) k

e pro-

(6.22)

Nótese que IfO) converge al valor analítico al aumentar k; sin embargo, emplear aún más subintervalos implica aumentar los errores de redondeo y un considerable incremento en el número de cálculos. En cambio, si se aplica la ecuación 6.22 con m = 1, se obtiene sucesivamente 1

lO) = 4 (0.5) - O = 0.6666667

tabla

o

41 _ 1

1(1)

=

1

1

4 (0.6035534) - 0.5 41-1

= 0.6380712 = 0.6367054

lO) _ 41 (0.6284174) - 0.6035534

41 _ 1

2 1

4 (0.6345731) - 0.6284174 41 _ 1

1(1) _ 3 -

= 0.6366250

Hay que observar que con estos breves cálculos se obtienen mejores aproximaciones de la integral. Al aplicar la ecuación 6.22 con m = 2 Y los valores de arriba 1(2) _

o 1(2) _ 1 -

1(2) 1

Al continuar con m sultados.

=

2

4 (0.6380712) - 0.6666667 = 0.6361648 42 _ 1 2

4 (0.6367054) - 0.6380712 42 _ 1 2

4 (0.6366250) - 0.63667054 42 _ 1

= 3 Ym = 4

= 0.6366143

=

0.6366196

se obtienen la sexta y séptima columnas de la tabla de re-

414

Métodos numéricos


k

2k

1(0) k

O

1

0.0000000

1(1) k

1(2) k

1(3) k

1

2

0.5000000

0.6666667

2

4

0.6035534

0.6380712

0.6361648

3

8

0.6284174

0.6367054

0.6366143

0.6366214

4

16

0.6345731

0.6366250

0.6366196

0.6366197

1(4) k

0.6366197

El valor I~4) es el valor analítico de la integral. Los cálculos pueden realizarse con Matlab o con la TI-92 Plus.

a=O; b=1 ; for k=O : 4 n=2-k; h= (b-a)/n; x=a; s=O if n>1 for j=1 : n-l x=x+h; f=sin (pi*x) ; s=f+s ; end end fa=sin (pi*a) ; fb=sin (pi*b) ; s=h/2* (fa+2*s+fb) ; 1 (k+l, 1) =s; fprintf ( '%4d %10. 7f\n', n, s) end for m=2:5 for k=l : 5-m+l 1(k, m)= (4 - (m-l) 1(k+1 ,m-l) -1 (k,m-l) end end 1

*

) / (4 - (m-l) -1) ;

•• e6_8 ( ) Pgrm Define f(x) =sin (tr:«) ClrIO : newMat(5, 5)~I O+a : Lr+b For k, 2-k~n:

O, 4 (b-a) /rr+h

a~x: o+s

If n>1 Then For j, 1, n-l x+ir+x : s+f(x)~s EndFor EndIf h/2* (f(a) +2 * s + f(b))~I [k+l,l] Disp format (n, "Et)"} s" "&format (1 [k EndFor For m, 2, 5

+ 1, 1], "E?" )

numérica Integración yy diferenciación diferenciación numérica Integración

415

For For k, k, 1 1,, 5-m+1 5-m+1 (4 [k ,m-l]) / ((4 4 -- (m - 1) -1 [k, m] (4 -- (m-1) *I[k+1,m-l]-I I[k+1,m-l]-I [k,m-l]) (m-1) -1)) ---> 1 [k, EndFor EndFor EndFor EndFor Disp 1 1 EndPrgm

El método puede emplearse hasta que método de Romberg Romberg puede emplearse sucesivamente sucesivamente hasta que dos elementos elementos consecuconsecutivos Ikmm)) , If"+1) tivos de un fila Ik If"+1) coincidan coincidan hasta hasta cierta cierta cifra cifra decimal; decimal; esto esto es,

Ikmm)) I Ih

Ikl1l+1) EPS Ihm+ 1) I ~ EPS

Además puede generarse ver si Además puede generarse otra otra columna columna y ver

con posibilidad de que dos elementos una fila coincidan con lo que se evita evita la posibilidad elementos consecutivos consecutivos de una coincidan entre pero no con entre sí, sí, pero con el valor valor de la integral integral que que se está está aproximando. aproximando. Utilice para resolver Utilice estos estos criterios criterios para resolver el ejemplo ejemplo 6.8 6.8 con con EPS EPS = = 10- 6.

6.2 Cuadratura de Gauss Gauss Gauss Gauss investigó investigó y encontró encontró que es factible factible disminuir disminuir el error error en la integración integración cambiando cambiando la localización puntos sobre curva de integración localización de los puntos sobre la curva integración f (x) (x).. El investigador investigador desarrolló desarrolló su propio método, propio método, conocido conocido como como cuadratura cuadratura de Gauss, Gauss, el cual cual se describe describe a continuación. continuación. figura 6.7 se tiene curva de la función función f (x) que que se desea desea integrar integrar entre entre los líEn la figura tiene la curva mites a y b. La parte (a) de la figura usando un trapezoide: mites La parte figura muestra muestra cómo cómo se integraría integraría usando trapezoide: uniendo el punto punto A de coordenadas punto B (b,f(b)) uniendo coordenadas (a,f(a)) (a,f(a)) con con el punto (b,f(b)) mediante mediante un segmensegmento de rectaPl(x) recta Pl(x). . Esto Esto forma forma un trapezoide trapezoide de altura altura h = = (b - a), a), cuya cuya área área es: T= T =

2 2h [fea) [fea)

+ f(b)], f(b)],

y que escribirse como' como' que podría podría escribirse

(6.23) (6.23)

w,

donde donde w, = w22 =

h 2 2.

El área bajo la curva área del trapezoide trapezoide calculada calculada T, aproxima aproxima el área área bajo curva f (x). Por Por otro otro lado, lado, en la aplicación aplicación de la cuadratura cuadratura de Gauss, Gauss, en lugar lugar de tomar tomar los los dos dos puntos A y B en los extremos puntos extremos del intervalo, intervalo, se escogen escogen dos puntos puntos interiores interiores e y D (véa(véase la parte parte b de la Fig. Fig. 6.7) 6.7) .

• De hecho, cualquiera puede ponerse ponerse en De hecho, cualquiera de las fórmul fórmulasas de de integración integración desarrolladas desarrolladas en las las secciones secciones anteriores anteriores puede en la forma. forma.

IIi f ( x ) dp dx ~ rI

i:L W¡ f (x) (x) W¡

i=l i=l

donde, por ejemplo, la regla regla de Simpson Simpson aplicada aplicada una vez tendría tendría w w[1 = = w33 = = h/3y h/3y w22= 417/3 (véase (véase Ec. Ec. 6.4). 6.4). donde, por ejemplo, una vez =4M3

416

Métodos numéricos


Figura 6.7 Desarrollo del método de integración de Gauss usando dos puntos a partir del método trapezoidal.

y

p,(x)

y

e . -.•. -.~:=-.. -: :-.

.'

..

..:~

.•

~' ..

",

.

. "'0' :',

.,

..

~~~ ~~:~~ ~~.

.- .

._.

':<-'~:I_~';;

~-~:~.~: .)~ ..: .' _,,'

-,

f(x)

j{x)

- / ~:'.•

L-----~:-,~~:·~;~-:,-:~:·~~~:~,'~-·~··~·~·~----~X Xo

x,

a

b

a

b

b) M todo de Gauss con dos puntos

a) M todo trapezoidal

Se traza una línea recta por estos dos puntos, se extiende hasta los extremos del intervalo y se forma el trapezoide sombreado. Parte del trapezoide queda por encima de la curva y parte por abajo. Si se escogen adecuadamente los puntos C y D, cabe igualar las dos zonas de modo que el área del trapezoide sea igual al área bajo la curva; el cálculo del área del trapezoide resultante da la integral exacta. El método de Gauss consiste esencialmente en seleccionar los puntos C y D adecuados. La técnica se deduce a continuación. Considérese primero, sin que esto implique perder generalidad, que se desea integrar la función mostrada en la figura 6.8 entre los límites -1 y + 1.* Los puntos C y D se escogen sobre la curva y se forma el trapezoide con vértices E, F, G, H. Sean las coordenadas del punto cez" f (z,» y las del punto D (Z2' f (Z2»' Motivado por la fórmula trapezoidal (Ec. 6.3), Gauss se propuso desarrollar una fórmula del tipo (6.24)

ya que esto simplificaría relativamente el cálculo del área. El problema planteado de esta manera, consiste en encontrar los valores de z" Z2' W, Y w2. Entonces hay cuatro parámetros por

y

F(z)

~ F

,

e , ,

F~Z2)

F\Z,) Figura 6.8 Derivación del método de integración de Gauss.

-1 E

z,

O

z2

1 H

• Si los límites son distintos, se hace un cambio de variable para pasarlos a -1 y +1.

z


numérica

417

determinar y, por tanto, cuatro condiciones que se pueden imponer. Éstas se eligen de manera que el método dé resultados exactos cuando la función por integrar sea alguna de las cuatro siguientes o combinaciones lineales de ellas. F (z) = 1

F r)

z

(z) =

F (z)

=

F (z)

= Z3

Z2

Los valores exactos de integrar estas cuatro funciones entre -1 y + 1 son:

f -, 1d; = z

12 =

f -, z

13 =

f

14 =

f

-,

por

,

1, =

, '

-,

2

l'-, =~-2

--=0 2

Z2

d; = -Z3 3

l'-, =~3

--=2 3

Z4

,

Z3

d; = 4

1_,

dz

=

,

-,

l'-, = 1-1 (-1)=2

Z2 -

14 =4-

(-1) 2

(_1)3

(-1)4 --=0 4

Suponiendo que una ecuación de la forma 6.24 funciona exactamente, guiente sistema de ecuaciones

= w,

(1) + w ~él)

se tendría el si-

=2

.24)

1,

mapor

= W , z, + w?:"Z2'::, O . 13 = W , Z 2, + W 2 Z2 2 = 2.13 12

14 =

3, +

W , Z

W 2 Z

3; = Q ,

= 2; nótese que también que si

De la primera ecuación se tiene que w, + w2

y

se satisfacen la segunda y la cuarta ecuaciones. Entonces se elige w,

=

w2

=

1

y

z, = -

Z2

y al sustituir en la tercera ecuación se obtiene

z~ +

(-Z,)2

= 2/3

o bien

z~ = 1/3 de donde

z, = ±

1

!3 = ± 0.57735...

418 418


queda entonces: entonces: yy queda ZI ZI = = Z2 Z2

-0.57735 -0.57735 .. .

= 0.57735 0.57735 .. .

tiene la la fórmula fórmula Con lo que que se se tiene Con f~1 f~1

F (z) d; dz = w w1I F (ZI) (ZI) + +w w22 F (Z2) (Z2 ) = F (-0.57735 (-0.57735 ... .. .) ++ F (+0.57735 (+0.57735 ... ... )

(6.26) (6.26)

que, porque se tiene tiene que que calcular calcular el valor valor de de la función función en en un un valor valor irracional irracional de de z, Z, que, salvo salvo porque tan simple simple como como la la regla regla trapezoidal; trapezoidal; además, además , trabaja trabaja perfectamente periectamente para para funciones funciones cúcúes tan bicas, mientras núentras que que la la regla regla trapezoidal trapezoidal lo hace hace sólo sólo para para líneas líneas rectas. rectas. bicas, En páginas páginas anteriores anteriores se comentó comentó que que para para integrar integrar en en un un intervalo intervalo distinto distinto de de [-1, 1], 1], En requiere un un cambio cambio de de variable variable a fin de de pasar pasar del del intervalo intervalo de de integración integración general general [a, [a, b] b] se requiere [-1 , 1] Y Yasí así aplicar aplicar la ecuación ecuación 6.26; 6.26; por por ejemplo, ejemplo, si si se desea desea obtener obtener a [-1,

f6 f6e-X dx dx puede cambiar cambiar a ZZ = = ; xx -1, - 1, de modo modo que que si xx = = O, O, ZZ = = -1 - 1 Y si xx = = 5, ZZ = = l. 1. se puede El resto resto de la la integral integral se pone pone en términos términos de de la la nueva nueva variable variable z y se encuentra encuentra que que 5(z+I)/2 e= e-5(z+I)/2 e-XX =

y

5

5

dx = d(2(z + 1))=2dz

entonces la integral integral queda: queda: entonces la ff5O5 e-X dx

== ~~ (z+1}/2 d: e-55 (z+ I }/2 d7 2 flfl- 1 e_ ~ ,

2 -1 _ ' modo que que las las condiciones método de Gauss quedan satisfechas. de modo condiciones de aplicación aplicación del método Gauss quedan satisfechas. resolver se tiene tiene Al resolver O

; f~1 J',

;

e-55 (z+I)/2 d; = = ;; [wIF (-0.57735 ... ) + w~F (+0.57735 ... ... )] (z+ 1)/2 dz [wIF (0.57735 ... ~~~F (+0.57735 5(...{).5773 5 + = [( 1 ) e-5(-0.57735 +1) /2 + ( 1 ))" e-55(-057735 +1)/2 091752 =~~ [( 1)/2 1) /2 ] = =O 91752 (-0.5773 5 +

22

..

Esto es: Esto

f

50 50 e-x e-x

dx = 0.91752 ""0.91752

El valor valor exacto exacto de esta esta integral integral es 0.99326. 0.99326. general, si se desea desea calcular calcular fc~ f (x) dx aplicando aplicando la ecuación ecuación 6.26, 6.26, se cambia cambia el En general, intervalo de integración integración con la siguiente siguiente fórmula"' fórmula": : intervalo

f::

Z Z==

2x - (a ± b) 2x-(a

-

(6.27) (6.27)

- ' - ---'-

b-a b-a

ya que si x == a, ZZ == -- 1; Y si x == b, z == 1 El integrando integrando ii (x) (x) dx en términos términos de la nueva nueva variable variable queda: queda: (x)) = =F ( b f (x

22

b) a Zz + a + b)

22

y

bb -- aa aa+ + bb ) _ bb -- aa d - d d (( d x-= dx -- z+ -) = - - dzz --z+---2 2 2 * Sólo Sólo es aplicable aplicable cuando cuando los límites límites de integración integración a y b son finitos. finitos.

Integración Integración yy diferenciación diferenciación numérica numérica

419

Por Por lo que la integral integral queda queda finalmente finalmente como: como:

(6.26) de z, es cú1, 1], [a, b]

"" [F( -a (-0.57735)+ a+b)+F( b-a "" b-a b-a [F( b b-a (-0.57735)+ a+b)+F( b-a (+0.57735)+ (+0.57735)+ a+b)] a+b)] 2 2 2 2 2

(6.28)

Una Una cuestión cuestión importante importante es que que el método método de Gauss Gauss puede puede extenderse extenderse a tres o más más punpuntos; por por ejemplo, ejemplo, si se escogen escogen tres tres puntos puntos no equidistantes equidistantes en el segmento segmento de la curva curva f (z) se podría (z) comprendida comprendida entre entre --11 y 1, 1,se podría pasar pasar una una parábola parábola por por los tres como como en la regla regla de Simpson, excepto en que Simpson, excepto que dichos dichos puntos puntos se escogerían escogerían de modo modo que que minimicen minimicen o anuanuSimilarmente es factible factible elegir elegir cuatro cuatro puntos puntos y una una curva curva cuadrática, cuadrática, cinco cinco len el error. Similarmente puntos puntos y una curva curva cúbica, cúbica, etc. En general, general, el algoritmo algoritmo tiene tiene la forma. forma. (6.29) (6.29)

que

usar y la tabla donde calculado los valores donde se han calculado valores w¡ w¡ y z¡ z, por por usar tabla 6.2 da valores valores hasta hasta para para seis puntos. puntos. Con dos dos puntos, puntos, el método método de Gauss Gauss est,á está diseñado para obtener obtener exactitud exactitud en polinopolinoCon diseñado para mios mios cúbicos; cúbicos; con con tres, tres, se tendrá tendrá exactitud exactitud ~n 1D. polinomios polinomios de cuarto cuarto grado grado y así sucesivasucesivamente. mente. Los Los coeficientes coeficientes y abscisas abscisas dadas dadas en la tabla tabla 6.2 sirven sirven para para integrar integrar sobre sobre todo todo el intervalo tervalo de interés, interés, o bien bien puede puede dividirse dividirse el intervalo intervalo en vario~ varios subintervalos subintervalos (como (como en los métodos métodos compuestos compuestos de integración) integración) y aplicar aplicar el método método de Gauss Gauss a cada cada uno uno de ellos. ellos. Tabla 6.2 6.2 Coeficientes Coeficientes y abscisas abscisas en en el método método de de la cuadratura cuadratura de de Gauss Gauss Legendre. Legendre.

Número Número de puntos puntos .91752

bia el

(6.27)

--z,z, = = Z2 = = 0.5773502692 0.5773502692

2 3

4

5

W2 W 2

= 0.88888 0.88888 ... ... =

w,, w

= w33 = 0.55555 ..... . = = 0.55555

= w4 = = 0.3478548451 0.3478548451 = = w33 = = 0.6521451549 0.6521451549 w2 =

w¡ w,

w¡, = = ws= 0.2369268851 w = 0.2369268851

w22

= w44 = = 0.4786286705 0.4786286705 =

0.56888 ...... w33 == 0.56888

6

Abscisas Zi z, Abscisas

Coeficientes wii Coeficientes

w,

w, == w 66== 0.1713244924

= Wss = = 0.3607615730 0.3607615730 = w33 = = w44 = = 0.4679139346 0.4679139346 w

w2

--z,z ,

= Z3 = = 0.7745966692 0.7745966692 =

= Z2 =

0.0 0.0

= Z4 = = 0.8611363116 0.8611363116 --z,z, = = Z3 == 0.3399810436 = 0.3399810436 = Zs = = 0.9061798459 0.9061798459 -z, = -Z2 = = Z4 = = 0.5384693101 0.5384693101 -Z2

-Z2 -Z2

0.0 = 0.0 = Z6 Z6 = = 0.9324695142 0.9324695142 -z, = Z3 =

= Zs = = 0.6612093865 0.6612093865 = -Z3 = = Z4 == 0.2386191861 0.2386191861 -Z3 -Z2 -Z2

420

Métodos cos aplicados a la Métodos numéri numéricos aplicados a la ingeniería ingeniería

Ejemplo 6.9

1 x' /2 en el intervalo Integre la función por cuadratura Integre función -- - e-x2/2 intervalo (-0.8, (-0.8, 1.5) l.5) por cuadratura de Gauss. Gauss.

j2Tc fiir

Solución

a) Con dos puntos puntos Con dos Cambio de límites con la ecuación ecuación Cambio límites de la integral integral con

2x-(a+b) 2x-(a+b)

2x- 0.7 2x-

b-a b-a

2.3

= --'----'z= ----

Z

-0.8, Zz = -1; ; si xx = l.5, Zz = Si xx = = -0.8, = -1 = 1.5, = 1.l. Con términos de la nueva nueva variable variable Con el cambio cambio de la función función en términos

z queda: queda:

Z

x2/2 dx 11 == _1_ _1_ fJ 1.5 e-x2/2

fiTI, fii(

0.8 0.8

1

== -- - fJ II

f2ii f2ii

[[

-1 -1

0.8) 1.5 - ( - 0.8) 1.5 ]] e- [ 2

( - 0. 0.8) 8) ZZ +

2

-0.8 1.5 , - 08 + 15 ]-i2 )-h 2

dz .

== ~~ JI e-(2.3 z + 0.7 0.7)2/8 f l e-(2.3 )'/8 dr dz [2ii -1 - 1 f2ii ~ De w¡¡ = 1.0; -z -Zl¡ = Z2 = 0.5773502692. De la tabla tabla 6.2 w = w22 == 1.0; = Z2 = 0.5773502692. Z2 Al evaluar integrando en zl' Z2 evaluar la función función del integrando (0.5773502692) = e-[ 2.3 0.5980684 F (0.5773502692) = e-[ 2.3 (-.5773502692) (- .5773502692) + 0.7f~~ 0.7J'~~ = = 0.5980684 (-0.5773502692) F (-0.5773502692)

== e-[ e-[ 2.3 07f/8)'/8 = 0.9519115 2.3 (-.5773502692) (-.5773502692) + 07 = 0.9519115

aplica la ecuación ecuación 6.29 6.29 Se aplica (+ 0.5980684) 0.5980684) + 1 (0.9519115)] (0.9519115)] = 0.711105 1I = = ~~ [ 1 (+ = 0.711105 2 [iit [iit b) Con Con tres tres puntos puntos

De De la tabla tabla 6.2 6.2

== w33 == 0.55555 0.55555 ... ... ,

wI w¡

= 0.88888 0.88888 ... ... =

== 0.7745966692, 0.7745966692, Z2 0.0 Z2 = = 0.0 Al eval evaluar función del integrando zp Z2 emplear la ecuación ecuación 6.29 6.29 se tiene: uar la funcion integrando en zl' Z2 y Z3 Z3 y emplear tiene: --z¡ z¡

1"" 1 '"

Ejemplo 6.10

Solución

Halle Halle

==

W22

Z3 Z3

2b [(0.55555 ... ... ) (0.4631...) (0.4631...) + (0.88888 (0.88888 .. ....) (0.9405 (0.9405 ... ... ) [(0.55555 2 ,,2n ,, 2n (0.55555 ... ... ) (0.8639 (0.8639 ... ... )] 0.721825 + (0.55555 )] = = 0.721825

J J1t sen x dx, Gauss utilizando fJ1t dx, por por el método método de la cuadratura cuadratura de Gauss utilizando tres tres puntos. puntos.

cambian variables expresión Se cambian variables y límites límites de integración integración con con la expresión 2x-(a+b) 2x - (a +b)

z=---z =--- - b-a b-a

como O, b = = 2n, entonces entonces como a == O, 2x-2n 2x - 2n

x-2n x-2n

2n

n

z=--z =- --

421

Inte g rac ión y y diferenciación d ifere n ciación numérica Integración numérica

despeja x :: x = = n z + nn,, de donde dx se despeja donde dx sustituye en la integral integral Se sustituye

JB JBItIt sen sen x dx

== n dz d:

= J~I sen n dz = n J~I J~I sen (n zz + n) dz = J~I sen (nz + n) rr d; = d;

Con con n = = 3 y los los valores valores de la tabla tabla 6.2 queda: Con el empleo empleo de la ecuación ecuación 6.29 6.29 con 6.2 queda: A", n {(0.55555 {(0.55555 ... )[sen(n(-0.7745966692) A"" )[sen(n(-0.7745966692) + n)]

+ (0.88888 )[sen(n(0) + n)] n)] (0.88888 ... )[sen(n(0)

nm

+ (0.55555 )[sen(n(0.7745966692) + n)]} (0.55555 ... )[sen(n(0.7745966692) deja al lector lector la comparación comparación de este solución analítica. Se deja este resultado resultado con con la solución analítica.

La forma más más general general y adecuada para programarla, programarla, así: así: La expresión expresión 6.29 6.29 puede puede ponerse ponerse en forma adecuada para Jb (x) dx Jb ff(x) a

== bh -

a

2

f i= i=lL

F [ (h h+a 1 w F[ (b - a) Zi + + b 1 'l 2

(6.30) (6.30)

cual puede puede deducirse (ver problema 6.21). . la cual deducirse de los ejemplos ejemplos resueltos resueltos (ver problema 6.21) A continuación continuación se presenta presenta un é!Jgor~tmopara qlgor~tmo para la cuadratura cuadratura de Gauss-Legendre. Gauss-Legendre.

ALGORITMO ALGORITMO

Cuadratura de de Gauss-Legendre Gauss-Legendre 6.3 Cuadratura

Para aproximar el área área bajo bajo la curva función analíticaf(x) analíticaf(x) en función a integrar Para aproximar curva de una función en el intervalo intervalo [a, [a, b], b], proporcionar proporcionar la función integrar F (X) Y los DATOS: número de puntos puntos (2, 3, 4, 4, 5 o 6) por superior B. DATOS: El número por utilizar: utilizar: N, N, el límite límite inferior inferior A y el el límite límite superior RESULTADOS: área aproximada aproximada AREA. AREA. RESULTADOS: El área

ne:

PASO 1. Hacer Hacer (NP(I), (NP(I), 1 = 1, 1,2,2, ... ,5) = = (2, (2, 3, 4, 4, 5, 6). PASO PASO 2. 2. Hacer Hacer IAUX(I), IAUX(I), 1=1, 2, ... ,6) = = (1 (1,, 2, 4, 4,6,9, 6, 9, 12). PASO PASO 3. Hacer Hacer (Z(I), (Z(l), 1=1 1=1,, 2, ... ... ,11) = = (0.577350269, (0.577350269, 0.0, 0.0, 0.774596669, 0.774596669, PASO 0.339981044, 0.861136312, 0.0, 0.0, 0.538469310, 0.538469310, 0.339981044, 0.861136312, 0.906179846,0.238619186,0.661209387,0.932469514) 0.906179846, 0.238619186,0.661209387,0.932469514) PASO 4. Hacer Hacer (W(I) (W(I), , 1=1, 2, ... ... ,11) = (1.0, (1.0, 0.888888888, 0.888888888, 0.555555555, 0.555555555, PASO 0.652145155,0.347854845, 0.568888888, 0.478628671, 0.652145155,0.347854845,0.568888888,0.478628671, 0.236926885, 0.467913935, 0.467913935, 0.360761573, 0.360761573, 0.171324493). 0.236926885, 0.171324493) . PASO 5. Hacer Hacer I1 = = 1. PASO PASO 6. Mientras Mientras I1 ::; :::;5, repetir los pasos pasos 7 y 8. PASO 5, repetir PASO N= NP(I), NP(I), ir al paso paso 10. De De otro otro modo PASO 7. Si N= modo continuar. continuar. PASO 8. Hacer Hacer 1 = I1 + I. 1. PASO PASO 9. IMPRIMIR IMPRIMIR "N "N NO NO ES 2, 3, 4, 4, 5 o 6" y TERMINAR. TERMINAR. PASO PASO 10. Hacer Hacer S = O. PASO PASO 11. 11. Hacer Hacer J = = IA IAUX(I). PASO UX(I). PASO 12. Mientras Mientras J::; J :::;IAUX(I+l) repetir los pasos PASO IAUX(I+l) - 1, repetir pasos 13 a 17. PASO Hacer ZAUX ZA UX = (Z(J)* (Z(J)* (B - A) + B + A) 12. 12. PASO 13. Hacer PASO 14. Hacer Hacer S == S + F (ZAUX) (ZAUX) * "W (J) ).. PASO W (J . PASO PASO 15. Hacer Hacer ZAUX ZAUX = = (-Z(J (-Z(J )*(B )*(B - A) + B + A) /2. PASO 16. Hacer (ZAUX) *W ( J ). PASO Hacer S == S +F (ZAUX) PASO 17. 17. Hacer Hacer J = J + 1. PASO PASO 18. Hacer Hacer ÁREA ÁREA = ( B -A) -A) /2* S. PASO PASO 19. 19. IMPRIMIRAREA IMPRIMIR AREA Y Y TERMINAR. TERMINAR. PASO

~.

l

422

Métodos iería Métodos numéricos numéricos aplicados aplicados a a la ingen ingeniería


Solución

Elabore programa que Elabore un programa que integre integre funciones funciones analíticas analíticas con con la cuadratura cuadratura de Gauss-LeGauss-Legendre usando 2, 3, 4, 5, o 6 puntos, puntos, mismos mismos que usted elegirá. programa con gendre usando 3,4,5, que usted elegirá. Pruebe Pruebe el programa con la función función del ejemplo ejemplo 6.8. La expresión para integrar expresión general general de Gauss-Legendre Gauss-Legendre para integrar es: I b f (x) dx "" Ib '" b - a 2 a

f

w z¡ + b + a ] w F [ (b - a) Zi

¡=I i=1

2

I 1

z¡, i = tabla 6.2 donde donde w¡, wi' Zi' = 1,2, 1,2, .. ....n, n, están están dados dados en la tabla En el disco programa 6.3 solicitado. disco se encuentra encuentra el programa solicitado.

6.3 Integrales múltiples Cualquiera técnicas de integración integració)1 estudiadas modificable, de Cualquiera de las técnicas estudiadas en este este capítulo capítulo es modificable, modo que puede aplicar triples. A continuamodo que se puede aplicar en la aproximacióh aproximación de integrales integrales dobles dobles o triples. continuación método de Simpson integrales dobles ción se ilustra ilustra el método Simpson 1/3 1/3 en la solución solución de integrales dobles a)

I tt' I6 y sen x dx dx dy dy

y

b)

n Iti

er+Y er+y

dx dy

Para la integral Para integral del inciso inciso a), a), se divide divide el intervalo intervalo [a, b] = = [0,3] en n iguales, iguales, con con lo que que la amplitud amplitud de cada cada subintervalo subintervalo es igual igual a:

= = 6 subintervalos subintervalos

3-0 3-0 h h,=--=0.5 l = - - = 0.5

6

regla de Simpson manteniendo constante y se aplica aplica la regla Simpson compuesta compuesta a la integral integral interna, interna, manteniendo constante la variable y (nótese x) . variable (nótese que que se está está integrando integrando en el eje x).

IItt' I6 I t' -i [[yy sen IJ y sen sen x dx dy "" '" It sen O + 4 Y (sen (sen 0.5 0.5 + sen sen l.5 1.5 + sen sen 2.5) 2.5) + h

2y (sen (sen 1 + sen sen 2) + Y sen sen 3] dy 1.9907YY dy ""'" It It' l.9907

Ahora se integra y. El intervalo Ahora integra en el eje y. intervalo [e, d] por ejemplo, por ejemplo, y queda: queda:

= = [O, [O, n] n]

n-O n-O 8

se divide divide en m

= = 8 subintervalos, subintervalos,

n 8

hh22= -=-y

h., n 3n 5n 'lt: h? 7n 1.9907 g Y dy ""'" l.9907 1.9907 33- [0+4 [0+4 ( 8 8 + 8 + 8 +8) +8) 1.9907 IIg + 2(~+~+~)+~] 2(~ + ~+~) 8 8 8

+~] 8

"" '" 9.82373 9.82373 entonces entonces se tiene: tiene:

Ig I6 y sen Ig sen x dx dy

"" '" 9.82373 9.82373

Hay que que observar observar que que se ha efectuado una integración repetida; esto es, es, se ha integrado integrado siHay ha efectuado una integración repetida; esto guiendo el proceso guiendo proceso

g Jg

I6 y sen sen x dx dy = = Jg g CIó cJ6 Ió

y sen sen x dx ) dy

Integración y diferenciación diferenciación numérica numérica Integración

423

integración y se mantuvo mantuvo constante. constante. Es importante importante recordar que la integraintegraen la primera primera integración recordar que ción iterada iterada puede llevarse a cabo cabo con con respecto después respecto ción puede llevarse respecto a y primero primero y después respecto a x, x, pero pero intercambiando límites de integración. integración. Esto Esto se indica indica intercambiando los límites

I6 JgJg

y sen sen x dy dx,

yY el resultado (véase Probo 6.30). 6.30). resultado es el mismo mismo (véase Para la integral integral (b) (b),, el intervalo intervalo [a, b] = = [0,4] [0,4] se divide divide en n Para

= 4 subintervalos, subintervalos, de donde donde =

44-0 -0 --= hll= = - = 11 4

J O' nJot

e'+Y et+Y

dx dy == dx

n-.L~3

+4

[eo+yy [eo+

3

(el+ly+y (e

+

e33++yy))

+2

e22++yy

+

é+ e 4y+]y ]

dy

cuya integración integración por Simpson 1/3 con con In m= = 6 en el eje y da con: cuya por Simpson

3- 1 1 --=h22== -=de ua-

6

n n JtiJti e

X Y eX+Y +

dx {'}

1 1 -- - [el + 4 (é (é/3 13 + 3 3(3) 1

1 __ 1 [e o.s++1 1 + 4 _ _ [eo. 3(3) 3 3(3)

los

~ _1_ 3

+4

[el.s+1

e22

3

S/3 + é13/3)) + 2 ((eeS/3 +é

7/3)) e7/3

(eO.S+4/3 (eO.S+4/3

+

O.S+ 2 eO

+

eO.S+8/3) eO.S+8/3)

+

(eI.S+4/3

+

e1.S+2

+

e I.S+8/3)

+

+

e33]]

+

3(3)

la

~ (~(~

~

l

[e [ el+ + 11 +

2

1 3

os,

4

l 4/3 (el+4/3 + (e

(el+lS/3 + S/3 (e

( 1 (~.5) (~.5)

2

2+1 [e2+1 [e

+

l 2 el++2

7/3 ) ) el+l +7/3

+4

5/3 (e22++5/3 (e

+

+

+

(e2+4/3 (e2+4/3

7/3) ) e22++7/3

+

8/3 l 8/3 ) ) el++

3 ]) el+l +3])

+

+

+

+

e2+2 e2+2

+

8/3) ) e22++8/3

+

e22++33])])

'" 935.53 resultado analítico 935.53 (el resultado analítico es 930.853) 930.853) general, la integración integración de una función f (x, y) sobre una dada En general, una función y) sobre una región región R del plano plano x - y dada así: { (x, (x, y): a ::::;xx::::; ::::; b, e::::; e ::::; y::::; d } por método de Simpson Simpson 1/3 es: aSÍ: y): a::::; por el método

J~ Jr, f(x, = J~ [Jr, J~ Jg f(x, y) dx dy = J~ [Jg h

'"'"J~ J~ (-i [f(x [f(x o,o, y) + 4

f(x, dx] dy f(x, y) y) dx]

11-1 11-1

11-2 112

i~1 f(x f(x y) + 2 ;!í ;~ f(x f(x y) i, i , y) i, i, y)

i~l

/1,.;=2 1'.; ;2

/1,.;=2 1'.;; 2

+ f ( XII' XII ' Y Y ) ] ) dy si-

donde h h,l donde

b-a b-a = --o- o Desarrollando Desarrollando se tiene: = tiene: n

h

n, 4h

l J~J~ -311 J~ J~ J~ f(x, f(x, y) dx dy '" -3 J~ f(x f(x o,o, y) dy + --.L3

11-1 111

.L /;1 1=1

/1,.;=2 1'.;; 2

J~I (x;, J~ ff(x;,

y) dy

424 424


Zh ; ,,-2 ,,-2 h; 2h, h, ++ -.L J~ .L J~ f~ f(x;, f(Xi' y) y) dy dy ++ -f~ f(x", f(x", y) y) dy, dy, 33 1=,=2 2 33 l!.i=2 6.;=2

integrando nuevamente nuevamente por Simpson Simpson 1/3 1/3 con con h7 h2 == dd -e -c ee integrando

-

m m

f~ J~ fZ f(x, f(x, y) dx dx dy dy z= J~

4h, h2

+-

3

-

3

,,-, [

I/l-'

1/l-2

)=, 6.j=2

)=2 6.j=2

.L f(x i , Yo) + 4 .L f(x;, y)) + 2 .L f(x;, y).) + f(x;, Yl/l)

1=' 6.j=2

1

,,-2 111- ' 111-2 1 - .L [f(x i , Yo) + 4 .L f(x;, y).) + 2 .L f(x;, y).) + f(x;, Yl/l) 3 1=2 .1=' )=2

2h, h2

+-

3

6.j=2

6.j=2

6.j=2

m-Z 111-2

m-¡ m-)

j!í

lf (xoo,' y) lf (x (xn,y) ) + 4 j~¡ j~, (j y) + ff (x"' y) y) ) + 2 j!í (j (xoo'' y) y) + ff (x",y) I!.j=2 6.j=2 11-1

I!.j=2 6.j=2 111- 1

11-1

m-2 m- 2

111-1

j!í

;~, (j (x;, yo) Yo) + 4 j~ j~, ff (xi'y) (x;, y) ) + 2 j!í ff (Xi' (x;, y) y) + ff (Xi,Y,) (x;'YI1l) )) + 4 i~ lf (Xi' I!.j=2 I!.j=2 I!.j=2 6.j=2 6.j=2 6.j=2 11-2

111- 1

;!í

11

111-2

j!í

111-1

11-2

111-2

(6.31) (6.31) + 2 i!í lf (j (Xi' (x;, yo) Yo) + 4 j~ j~ ff (xi,Y) (x;,y) ++ 2 j!í ff (Xi' (x;, y) y) + ff (Xi'YII/) (x;'YI1l) )) I!.j=2 I!.j=2 I!.j=2 6.j= 2 6.j=2 6.j=2 Igualmente Igualmente puede puede emplearse emplearse la la cuadratura cuadratura de de Gauss Gauss para para integrales integrales dobles dobles oo triples, triples. Así, Así, en en el caso caso general general f~ J~ fZf(x,y) J~f(x,y) dx dx dy dy primero primero se se cambian cambian los los intervalos intervalos de de Xx yy ya ya [ -- 1,1] 1,l] con con las las fórmulas fórmulas 2x - (a + b) tt == _2x_-...:..(a_+_b..:..) --'----'yy b-a b- a

u= u=

2y -- (c (e ++ d) d) 2y

-=--'-----'-

d-e d-c

yy asimismo asimismo se se cambian cambian dx, dx, dy dy yyf(x,y) f(x,y) aa términos términos de de las las nuevas nuevas variables variables tt yy u. u. Para Para esto, esto, se se despeja despeja Xx (b (b (b -- a) a) (b ++ a) a) x=---t+--x = ---t+--22 22

de donde donde de

dx == (b (b -- a) a) dt dt dx 22

yy después después yy

y= y=

(d - c)u (de)u

2 2

(c (e ++ d) d) +--+---

22

de donde donde de

(d -- e) (d y- e) - dduu ddy--22

Integración numérica Integración yy diferenciación diferenciación numérica

425

se sustituye sustituye f( xy ) ddxdy d f
= fl I ff [[(b-a) (b-a) t (a+b) ]d tu d (6.32) = (b-a) (b-a) (d-c) (d-c) fl fl¡f11 t ++ (a+b),, (d-c) (d-c) uu + + (c-d) (c-d) ]dtdu (6.32) I 4

--- -

2

2

2

2

a la cual continuación se resuelve resuelve la incual cabe cabe aplicar aplicar la fórmula fórmula 6.30. Para Para ilustrar ilustrar esto, esto, a continuación tegral tegral

nJi félfó

y dx dx dy dy

eX+ e<+Y

empleando empleando dos dos puntos. puntos. Primero Primero se sustituye sustituye e integra integra respecto respecto a t f4 c;"x+y HY ddxx ddyy ---_ (4-0) (21+ +7)] f40 (4-0) (3-1) (3-1) fl fl-_11 fl f1-1 dd td u ff33l1 o _1 e - 2)+(/111+?)] -e e(?t+2)+( u 4 2(-O.57735)+4+1I + ee2(O.57735)+4+1I] 2 (O .S7735)+4+//] d '" f~11 [[ ee2(-O.57735)+4+/1 u "" 2 f~ du

Ahora Ahora se integra integra respecto respecto a u

JI Ir félfó en)'

eH)'

dx "" 2 [ e2.84530-0.57735 e2.84530+0.57735 dx dy dy '" e2.84530-0.57735 + e2.84530+0.57735

+ eS.15470-0.57735 e5.IS470-0.57735 + eS.15470+0.57735] eS.IS470+0.S7735] = 892.335 892.335 La TI-92 TI-92 Plus Plus permite permite llevar llevar a cabo cabo integrales integrales dobles dobles o triples. triples. Se muestra muestra enseguida enseguida el cálculo cálculo de la integral integral que nos ocupa. ocupa.

••

.31)

.. j1"31''41'

e;- 1·"41' - ,'.... + ,,::1=' ··1¡-' ';.;'¡-'I...I -'.'. + ':< ,.' q I~I "..e-' A._ _ ". 1" (:) e-' ~~ AA••• • • • A.

PFjO(JRA~·1A

....

'1

F Ut~C 1/~:(t FUt~L 1/~:(t

F;H[l AUTO HUTD FiAD

sí, Para mayor mayor sencillez sencillez y facilidad facilidad de programación, programación, es conveniente conveniente emplear Para emplear la fórmula fórmula

*

dfb ) d d "" b-a b+a --d-c d-c u, --] c +d f(f( '" (b-a) (b-a) (d-c) (d-c) ~ 11 b-a b+a ffdfb (/ L ww· ww F F [ [-- - - tt. + --, -, • (/ X, Y x Y ."'."'""' -' L. - u · + -c=d -] C C 4 ]= 1 ;= 1 J I/ 2 [I ]=1 ;=1 2 2 JJ 2

sto,

(6.33) (6.33)

donde y, respectivamente. respectivamente. Su apliaplidonde n y m son los números números de puntos puntos por por usar usar en los ejes ejes x y y, cación ambos ejes ejes conduce conduce a cación a la integral integral del inciso inciso a) empleando empleando tres tres puntos puntos en ambos

J3 f4 1

o

eny dx dy '" (4-D) (3-1) ~ 4 }=I

donde donde wl' wl' w w22 y w33 Y ti tI = = uu1I = = zp zl' Y t22 = = u22 sustituir valores valores se tiene: tiene: Al sustituir

~ ww ;=1

J

F (2t[. 1

+ 2, u " + 2 ) J

= están dados dados en la tabla tabla 6.2. 6.2. = Z2 Y t33 = = u33 == Z3 están

Ir félfó e-'+y dxdx dydy ""'" 934.39 934.39 JI eH)'

La solución solución analítica analítica de esta esta integral integral es 930.85 930.85..

426

Métodos numéricos


Hasta ahora sólo se han visto integraciones dobles sobre regiones R rectangulares. No obstante, también pueden resolverse integrales del tipo

I~ IZm f(x,

y) dx dy

Ii I~W f(x,

y) dy dx

o del tipo

cuyas regiones R ¡ Y R2 quedan dadas como se muestra en la figura 6.9 a y b. A continuación se resuelve por el método de Simpson 1/3 la integral

I6 I}l

(x3 + 4y) dy dx

que representa el área sombreada de la figura 6.10. El intervalo [a, b] = [0,2] se divide en, por ejemplo, dos subintervalos y queda h¡ - 0)/2 = 1; el tamaño de paso en el eje y varía con x de acuerdo con la expresión h (x) 2

=

= (2

d (x) - e (x) m

donde m es el número de subintervalos en que se divide el eje y. Si se hace m = 2, se tiene y y

d

a (d) --------.----------,

d (b)

b (d) d (a)

e (a)

, v

Figura 6.9 Regiones no rectangulares de integración.

a (e) L-

a)

b (e)

.-x

h. ,

1, ,--, , ,

,

e

Rz

, ,

, ,

, ,

e (b)

a a + hl

y

Figura 6.10 Región de integración delimitada por una recta y una parábola.

x

b)

x

Integración y diferenciación diferenciación numérica Integración y numérica

o

J5 J}x JJ' (X3 + 4y) f6 4y) dy dx "" J5 f6 ( h23(X) 3

23

427

33 4x22 + 4(x 4(x33 + 4 (x22+h +h2(x) 4(2X)]) dx dx [X33 + 4x 2(x) ) ) + x + 4(2X)])

h., (x) h? """"f6 J5 --+20x2 + 8x + 16h (x) ] dx --- [6x [6x 3+20x 16h 2(x) dx 3

2

2

3

= !2l (( = 3

8(0) + 16h2 (O) (O)]] h22(0) (0) [6(0)3 + 20(0)2 20(0)2 + 8(0) 2 3

4h (0+1)

+ 20(1)2 + 8(1) + 16h + 4h 2 2 (0+1) [6(1)3 + 20(1)2 16h22 (1) ] 3 + h22;2) 20(2)2 + 8(2) + 16h22 (2) ]) ;2) [6(2)3 + 20(2)2

(2

ya que que 2(0) 2(0)-02 - 0 2 --2--2

== O, O, h22 (1) (1) = = == 2 ( 2 ) -

h h; (2) 2

-

2 2

2 = OO , 2 =

J5 4y) dy dx f6 J3x f},r (x 3 + 4y) 3

2 2 2(1)-1 2(1)-1 2 == 0.5, 2 0.5, Y Y

"" 9.33 9.33

mantiene m = 2, se tiene tiene h, h l =(2 =(2 Si se divide divide el intervalo intervalo [a, b] b] en cuatro cuatro subintervalos subintervalos y se mantiene -0)/4 como sigue -0)/4 = = 0.5. Entonces, Entonces, la integración integración queda queda como sigue

J5J,?;-'

4y)dy dx "" ~ ~ [6(0.5)2 8(0.5) + 16h 16h2 (0.5)] (x33 + 4y)dy ( 4h22 (0.5) (0.5) [6(0.5 )2 + 20(0.5)3 20(0.5 )3 + 8(0.5) 2 (0.5)] 3 3

+ 2h22 (1) [6(1)3 + 20(1)2 20(1)2 + 8(1) 8(1) + 16h2 (1) ] 2 3 b)

4h (1.5) ) + 4h 223~1.5) [6(1.5)3 20(1.5)2+ 8(1.5) (1.5)]) [6(1.5)3++ 20(1.5)2+ 8(1.5) + 16h 16h22(1.5)]

x

ya que que hzCO) hiO)

= = O, O, h22 (2) = = O, O, h22 (0.5) = = h (1) 22

= 0.5, h2 ( =

(0.5) - 0.522 2 (0.5) 2

0.375, Y == 0.375, 22

1.5 ) = = 2 (1.5) (1.5) - 1.5 2

== 0.375 0.375

Al sustituir sustituir valores valores se obtiene obtiene

J5rfY,7' (x33 + 4y)dy 4y)dy dx f6

"" 10.583 10.583

la TI92 TI92 Plus. Plus. Se muestra integral con con la muestra enseguida enseguida el cálculo cálculo de esta esta integral

428 ALGORITMO ALGORITMO

Métodos numéricos numéricos aplicados aplicados a Métodos a la ingeniería

doble por Simpson Simpsonl 1/3 /3 6.4 Integración doble

Para aproximar aproximar J~ J~J,1iS dx, proporcionar proporcionar las las funciones Para J,1iS f (x, y) dy dx, funciones C(X), C(X), D(X) D(X) y F (X, (X, Y) YY los los DATOS: DATOS:

número N de subintervalos subintervalos a usar subintervalos por número M M de subintervalos por emplear emplear en el eje eje El número usar en en el eje eje x, el número y, el límite límite inferior inferior A y el límite límite superior superior B. B. y,

RESULTADOS: : El área área aproximada aproximada AREA. AREA. RESULTADOS PASO l. Hacer Hacer H1 = (B - A)/N A)/N PASO PASO 2. Hacer S=(F (A,C(A» (A,C(A» + F (A,D(A»)*(D(A) (A,D(A»))*(D(A) - C(A»/M C(A»/M PASO Hacer S=(F + (F(B,C(B» ,D(B») *(D(B) (F(B,C(B» + F (B (B,D(B») *(D(B) - C(B»/M C(B»/M PASO 3. Hacer Hacer SI SI = O; S2 = O; Y1 =C(A); =C(A); Y2 = C(B) C(B) PASO PASO 4. Hacer Hacer J = 1 PASO PASO 5. Mientras Mientras J :::; :::;M - 1, repetir repetir los pasos pasos 6 a 9 9.. PASO PASO 6. Hacer Hacer H2A H2A = (D(A) (D(A) - C(A»/M; C(A»/M; PASO Yl = =Y1 H2A; Yl Yl + H2A; SI = SI SI + H2A*F H2N'F (A,Y (A,YI); SI l); H2B = (D(B)-C(B»/M; (D(B)-C(B»/M; H2B Y2 H2B; SI SI = SI SI + H2B*F H2B*F (B,Y2) Y2 = Y2 + H2B; (B,Y2) PASO 7. SI J = M -1, -1, ir al paso paso 9. 9. De De otro otro modo modo continuar. continuar. PASO PASO 8. Hacer Hacer Y1 = Yl Y1 + H2A; H2A; PASO H2A*F (A,Y (A,Y1); S2 = S2 + H2A*F l); H2B;S2 =S2 =S2 + H2B*F H2B*F (B,Y2) (B,Y2) Y2 = Y2 + H2B;S2 PASO 9. Hacer Hacer J = J + 2 PASO PASO 10. Hacer Hacer S3 = O; S6 = O; S7 = O; X = A PASO PASO 11. Hacer Hacer 1= 1=1 1 PASO PASO 12 Mientras Mientras 1:::; 1:::;N -1, repetir repetir los pasos pasos 13 a 16. N -1, PASO PASO 13. Hacer Hacer X = X + H1; H1; H2 = (D(X) (D(X) - C(X»/M; C(X»/M; PASO H2*F (X,C(X»; (X,C(X»; S3 = S3 + H2*F H2*F (X,D(X» (X,D(X» S6 = S6 + H2*F PASO 14. SI I = N-l, N-1, ir al paso paso 16. De De otro otro modo modo continuar. continuar. PASO PASO 15. Hacer Hacer X = X + Hl; H1; H2 = (D(X)-C(X»/M; (D(X)-C(X»/M;. . PASO 2*(F (X,C(X» (X,C(X» + F (X,D(X») (X,D(X») S7 = S7 + 2*(F PASO 16. Hacer Hacer 11== I + 2 PASO PASO 17. Hacer Hacer S4 = O;SS O;SS = O; S8 = O; S9 = O; X = AA- H1 Hl PASO PASO 18. Hacer Hacer 11== 1 PASO PASO 19. Mientras Mientras 1:::; 1:::;N repetir los pasos pasos 20 a 31. PASO N - 1, repetir PASO 20. Hacer Hacer X = X + 2*Hl; 2*H1; PASO Y1 = C(X); C(X); Y2 = C(X+Hl C(X+H1);); Yl HA = (D(X)(D(X)-C(X»/M; C(X»/M; HA (D(X+H1)-C(X+H1»/M; HB = (D(X+Hl)-C(X+H1»/M; PASO 21. Hacer Hacer J = l. l. PASO PASO 22. 22. Mientras Mientras J:::; J:::; M - 1, repetir repetir los pasos PASO pasos 23 a 30. PASO 23. Hacer Hacer Yl Y1 = Yl Y1 + HA; HA; PASO HA*F (X,Yl) (X,Yl) S4 = S4 * HA*F PASO 24. SI I = N-l, N-1, ir al paso paso 26. De PASO De otro otro modo modo continuar. continuar. PASO 25. Hacer Hacer Y2 Y2 = Y2+HB; Y2+HB; PASO HB*F (X+Hl (X+H1,Y2) ,Y2) S8 = S8 + HB*F PASO 26. SI J = M-l, M-1, ir al paso paso 30. De De otro otro modo modo continuar. continuar. PASO PASO 27. Hacer Hacer Y1 = Yl Yl + HA; HA; PASO SS = SS SS + HA*F HA*F (X,Yl) (X,Y1) SS PASO 28 28.. SI I = N-l, N-1, ir al paso paso 30. De PASO De otro otro modo modo continuar. continuar. PASO 29. Hacer Hacer Y2 = Y2 +HB; +HB; S9 =S9+ (X+H1,Y2) PASO =S9+ HA*F HA*F (X+HI,Y2) PASO 30. Hacer Hacer J = J + 2 PASO PASO 31. Hacer Hacer I = 1 + 2 PASO PASO 32. Hacer Hacer AREA=H1/9 AREA=Hl/9 * * (S + 4*(SI 4*(Sl + S3 + S6 + S9) S9) + 2*(S2 S7) + 16 * S4 S4 + 8*(SS PASO 2*(S2 + S7) 8*(SS + S8» PASO 33. IMPRIMIR IMPRIMIR AREA AREA Y Y TERMINAR. TERMINAR. PASO


429

Diferenciación numérica numérica 6.4 Diferenciación I eje

practicar una una operación En la introducción introducción del capítulo capítulo 5 se comentó comentó que que cuando cuando se va a practicar operación función tabulada, camino es aproximar aproximar la tabla alguna función función y efectuar efectuar la en una una función tabulada, el camino tabla por por alguna operación Así se procedió procedió en la integración integración numérica operación en la función función aproximante. aproximan te. Así numérica y así así se procederá en la diferenciación numérica; esto tabuladaf(x) y procederá diferenciación numérica; esto es, se aproximará aproximará la función función tabuladaf(x) se diferenciará P" (x). diferenciará la aproximación aproximación P" Si la aproximación polinomial y con aproximación es polinomial con el criterio criterio de ajuste ajuste exacto' exacto",;', la diferenciación diferenciación numérica consiste diferenciar la fórmula polinomio interpolante numérica consiste simplemente simplemente en diferenciar fórmula del polinomio interpolante que que Sea en general. general. se utilizó. utilizó. Sea f (x) = p,,(x) + R" (x) = p,,(x)

primera derivada y la aproximación aproximación de la primera derivada queda queda entonces entonces di (x) "" dPn(x) di '" dPIl(x) dx dx

o en general general d"f(x) d"f(x)

d"p,,(x) d"p,,(x)

dx" dx"

dx"

(6.36) (6.36)

Newton dada tiene Al diferenciar diferenciar la fórmula fórmula fundamental fundamental de Newton dada arriba arriba se tiene d"f(x) d"f(x) d n R. R . (x) a» (x)

d" P p ex) d" ex) 11 + " + dx"

d" RIl d" R" (x) (x)

(6.37) (6.37)

dx" d Iln f (( x )

PI1 ( XX ) d Iln P" por por ------'-'---~'----dx" dx" dx" dx" Si las abscisas xi'''' x" están regularmente por por intervalos abscisas dadas dadas xoo'' x" ... ,,x" están espaciadas espaciadas regularmente intervalos de longilongitud h, entonces P"Il (x) puede puede escribirse términos de diferencias tud entonces P escribirse en términos diferencias finitas. finitas. Al sustituirf[x sustituir f[xo]o]', f[x etcétera en la ecuación ecuación 5.29 5.29 en términos diferencias finitas finitas (véase (véase Ec.5.35), f[xo'o' XI]' etcétera términos de diferencias Ec.5 .35), se obtiene obtiene donde donde

"

error que que se comete comete al aproximar aproximar es el error

y se tendrá tendrá d [ (x (x _ xx)) ~f[ L'lf[ XXoo ]]

o_] d [ (x - x ) (x - XI) _L'l2_f_[_x_

dx dx

dx

o oo h 2! h2 ---- - - ""'" -- --,------ + ---------:-------- - - == ---- - - + -------------------df(x) df(x)

dp¿ dP Il (x)

df[x df[xo]o]

dx

dx dx

dx dx

... + -----------------+ ". - - - - - -- -- - -- - - -dx

1

(6.38) (6.38)

* Si la aprox aproximación en diferenciar noimación es por por mínimos mínimos cuadrados, cuadrados, la diferenciación diferenciación numérica numérica consistirá consistirá en diferenciar el poli polino-

mio ajuste la información mio que que mejor mejor ajuste informac ión tabulada. tabulada.

430


desarrollan algunos algunos de los primeros primeros términos términos y se tiene tiene Se desarrollan

(6.39) (6.39) Selecciónese ahora ahora un valor particular para para n; por por ejemplo, ejemplo, tómese Selecciónese valor particular tómese n aproxime la función función tabulada tabulada f (x) por por una una línea línea recta. recta. Entonces Entonces aproxime

== 1, es decir decir que que se

primera derivada derivada de f (x) queda queda aproximada aproximada por por y la primera

df(x) _ _ z dx

f

(Xl) -

f

(xo)

(6.40) (6.40)

h

como es de esperarse esperarse y, como cPf(x) cPf(x)

cPPI(x) cPPI(x)

dx2 dx2

dx2 dx2

_ _ z --=

=0 =0

así cualquier cualquier otra otra derivada derivada superior superior de f (x) quedará quedará aproximada aproximada por y así por cero. cero. Geométricamente esto esto equivale equivale a tomar tomar como como primera primera derivada derivada la pendiente Geométricamente pendiente de la recrecque une une los dos puntos puntos de la curvaf(x) curvaf(x) abscisas XXoo y Xl xI (véase de abscisas (véase Fig. Fig. 6.11). 6.11). ta que La primera primera derivada derivada def(x) def(x) en todo todo el intervalo intervalo [xoo' Xl] xI] queda La queda aproximada aproximada por por el vaconstante lf lf (Xl) (xI) - lf lf (xo))/h, (xo))/h, el cual cual es muy muy diferente diferente del valor (x)/dx en valor verdadero verdadero df df (x)/dx lor constante general. general. ahora n = = 2; es decir, decir, aproximando aproximando la función función tabuladaf tabuladaf (x) (x) por por un polinomio polinomio de Si ahora segundo grado, grado, se tiene tiene segundo

yy P1 (x) = f(x PI f(x o)o) + (x-xo) o) (x-x

f(x,)-f(x f(xl)-f(x o) o)

h

f(x) f(x)

Figura 6.11 Figura Aproximación Aproximación lineal de la lineal primera primera derivada.

x oo

x

431

Integración diferenciación numérica numérica Integ ración yy diferenciación

primera derivada derivada de f (x) queda queda aproximada aproximada por por y la primera dlf(x) dp (x) ~f[x ] ~2f[x df(x) dP2 ~f[xo] ~2 f[x o]] __ - z = -----=~o~ + + (2x-x (2x _ x -x _ x )) --'--------"--z_2_ ---= l O o I dx dx h 2! h22

(6.39)

desarrollan las diferencias diferencias hacia hacia delante delante y se tiene tiene Se desarrollan

La segunda segunda derivada derivada puede puede calcularse calcularse derivando derivando una con respecto respecto a x, o sea La una vez más con

J2f(x)

(6.42) (6.42) (6.40) De igual igual modo modo se obtienen obtienen las distintas distintas derivadas derivadas para para n > 2. De

d''f(x) d"p dii inici d e esta . / el al aproximar . d "f d "r;" (x) (x) lJO al a l inicio illICIO de esta sección, seccion, e 1 error error cometido cometiido al aproximar --por ----"-Como -(x) - por eamo se dijo dx" dx" d:x" dx" está dado dado por por está

d"R (x) d"R

"

d~' d~'

donde a su vez R, R, (x) está está dado dado por por la la ecuación ecuación 5.41 , donde ' 1

RI1 R" (x) == ((

larec-

... , xx,J frri (x - X¡))f X))f [x, xoo,, xl' x p ... l1]

1=0 1=0

11

el va)/dx en mío de

que quedaría quedaría más más compacta compacta si se denota denota por por lfI (x) a rr" (x que

--Xi Xi ),

es decir decir

;=0

(6.43) (6.43)

Rn(x) = x p ... = lfI(x)f[x, lfI(x)f[x, xoo,, xl' ... ,, x,,]

En este que hay una este punto punto es importante importante recordar recordar que una estrecha estrecha relación relación entre entre las diferencias diferencias divididas y las derivadas. derivadas. En general, general, esta esta relación relación está está dada dada así así divididas -f[f [x, xo' xl' xI' ... ... , x xn ] -

d"feS) )0<·< dnf(S) ((mí' '/ )Xi < , con,:> x;, max Xi0 __ 11· < _ con eJ;j; E E mm rrun Xi' max _ n n! dx" dx" n!

esto es, S S es un valor valor de x desconocido, desconocido, del cual cual sólo sólo se sabe sabe que que está está entre entre los valores meesto valores memayor de los argumentos. argumentos. Se sustituye sustituye en la ecuación ecuación 6.43 nor y mayor R (x) = = lfI ur (x) 11 "

d,,+1 f( S (x)) (x)) d,,+lf(s 11,

,

(n+l) ! d~1+1 (n+l) dXHI

con con

(x ) EE ( mín máx x, X¡) :::;i ::;; :::;n SI (x mín x, Xi' máx x¡) O ::;;

donde se ha escrito escrito SI como como una una función función de x, ya que su valor valor depende depende del argumento argumento x dondonde desee evaluar evaluar la derivada. derivada. de se desee primera derivada derivada es Su primera

d,,+lf(SI (x)) d"+lf(sl (x)) ) dRn(x) dx

=

lfI (x) d

(

=:

(n+l)! ---...:...(n_+_1 )_! dX"+1 1_

dx

1 f(sl(x)) d'Hlf(sl(x)) + d'1+ (n+1)! dx ,,+1 n+1 (n+l)!

+

dlfl(x) dlfl(x) dx

(6.44) (6.44)

432

Métodos aplicados a a la ingeniería Métodos numéricos numéricos aplicados ingeniería

Puede encontrarse encontrarse que que** Puede

»)

d"+ lf( SI (x) )) d ( d11+lf( d IH2 ,1+2 ff(( S2 (x)) (x) )

(n+1)! dX"+1 (n+1)! dX"+1

(6.45) (6.45)

(n+2)! dx (n+2)! dx 11+2 11+2

dx dx

con SI (x), S2 S2 (x) E (mín :s; i:S; S2 es una SI. (mín x, Xi' xi' máx máx x, x¡) O ::; i::; n, donde donde S2 una función fu nción de x distinta distinta de SI. con SI Por esto, esto, la ecuación ecuación 6.44 puede reescribirse reescribirse como como Por 6.44 puede dR (x)

d11+2f(s (x))) dn+2f(s (x

= lf!(X) __11_ "_._ = lfI(X)

22

__

dx dx

+

(n+2)! dX"+2 (n+2)! dx'r?

dl1+lf(s (x) ) d l1+lf(s (x))

dlfl(x) dlf! (x)

'I (n+l)! dx"+' (n+1)! dx"+1

(6.46) (6.46)

dx

con SI (x), S2 S2 (x) E (mín :s; n. (m1n x, Xi' xi' máx máx x, x¡) O:S; O ::; i ::; con SI particular, para para x = =xixi [cuando una de las abscisas abscisas de la tabla tabla de def(x)] error de En particular, [cuando x es una f (x)] el error truncamiento 6.46 se simplifica, simplifica, ya que (x) = = (xi (xi - xoo)) (xi - XI) ... truncamiento dado dado por por la ecuación ecuación 6.46 que lf! lfI (x) XI) ... (xi x) ... x,) = O. Entonces Entonces (xi - x) ... (Xi (Xi - XII) = O.

dR,/x) dRn(x)

II

dx dx

d"+ l f(s

(x)) d"+lf(s (X» ___ ----'-','---' 1'----'---' --,_,-- rr I1

11 11

(n+1)! dx 11+1 (n+l)! 11+1 j=O j=O

d"+ lf( SI == dn+lf( SI. (x)) (x)

Xi

SI

(x. x) (x, - x)

'

}

1

fI,i j#i

dlfl.(X) dlf!(x)

(n+1)! dXI1+1 (n+l)! dx"+ 1

(x.)

E.

II

dx

Xi

(mín xi' máx X¡) O:s; i:S; n

(6.47) (6.47)

}

ejercicios (al final final de este capítulo) se demuestra demuestra que que En los ejercicios este capítulo) dlfl (x) II ---dlf! == rr I1

11 11

dx dx

x. x·

I1

j=O j=O j#i

(x.-x) (x.-x)

'

I

}

}

Por sigue Por ejemplo, ejemplo, la ecuación ecuación 6.41 puede puede escribirse escribirse en términos términos del error error como como sigue

df(X) 1 _( _ 2X ( 2X O-XO-XI-2h) x + (2xo-4X o + 2X I + 2h) x df(X)1 O-XO-XI-2h) +(2X +2XI+2h) 0 - o4X dx 2h2 dx x 2h2 ff ( o) 2h22 ff ( 1) oo

o df df ( x )

-- -

dx dx

II

= =-

Xo o

2 h2 tf3 ff ( x) 1 x) [- 3f(x 4f(x ,) - f(x f(x [-3f(x + 4f(x¡) +-- - - 2)]2 )] + o) o) + dx33 2h 3 dx

II

S S

(6.48) (6.48)

(mín Xi' máx máx Xi')' Xi')' i = con S con S E (mín = O, 1, 1,22 Y en la misma forma misma forma df(x) df(x)

-- -

II

dx dx

con con

xI x,

2 3 1 f(x) h d f(x) [((x2)2) - f(x f(x dx33 [((x dx o)]o)] + 2h 2h 6 2

3

=-

II

(6.49) (6.49)

;:. ;;

..,..,

S E.€ (mÍn ( mín Xi' max 1, 2 S max x), x), i == O, O, 1,2

y 2 df(x) II h --- df(x) = - 1 o)-4f(x [f(xl)+3f(x f(x l ) + 3f(x2)] + =-[f(x o) - 42)]+dx dx

con con

x22

2h 2h

3

33

f(x) d f(x) dx dx33

II ;:.;;

S Ee (( mín S mÍn x.; Xi' máx máx x), x), i = = O, O, 1, 2.

Pizer, M.S. M.S. Numerical Numerical Compufing and Mathematical Mathematical Analysis. Analysis. S.R.A. ( 1975), pp. 315-317. 3 15-3 17. * Pizer, Computing and S.R.A. (1975),

..,

(6.50) (6.50)


Hay que observar observar que que el término error para derivada en XI mitad del térHay que término del error para la derivada X I es la mitad término error para derivada en Xoo y x22. . Esto Esto es así así porque primera derivada derivada en XI mino del error para la derivada porque en la primera XI función a ambos ambos lados lados de XI' XI' se utilizan utilizan valores valores de la función diferenciación numérica, error de truncamiento grande. Si por En la diferenciación numérica, el error truncamiento puede puede ser muy muy grande. por ejemplo f(n+2)(x) I (n+2)! ( n+2)! yyf(Il+I)(x) f(II+I)(x) (n+ 1)! son de la misma cual es común, común, ejemplof(Il+2)(x) I (n+l)! misma magnitud, magnitud, lo cual ecuación 6.46 6.46 tiene aproximadamente la misma que el el primer primer término término de la ecuación tiene aproximadamente misma magnitud, magnitud, que error de interpolación"; interpelación"; entonces entonces puede decirse que que el error aproximación de la deriderierror puede decirse error de la aproximación vada generalmente, mayor que el error error de interpolación interpolación en vada es, generalmente, mayor que

45)

~I'

d'l+l 1f(~1 d'l+ f(~1 (x» (n+l )! dX"+11 (n+1)!

46)

dt¡t( x ) dx

que es el segundo segundo término ecuación 6.46. 6.46. Además, cuando X = = Xi' ecuación 6.47 6.47 que término de la ecuación Además, cuando Xi' la ecuación muestra que el error error en la derivada derivada en Xi misma forma forma que que el error error de interpolación interpolación muestra que Xi tiene tiene la misma (ver nota esta página), salvo que que los polinomios factores son distintos. distintos. (ver nota al pie pie de esta página), salvo polinomios factores discutido solamente solamente el error error de la aproximación aproximación de la primera derivada; pero Se ha discutido primera derivada; pero toaplicable a derivadas derivadas de mayor orden. do lo visto visto también también es aplicable mayor orden.

de

47)

433


ecuación de Van der der Walls gmol de CO CO22 es La ecuación Walls para para un gmol es

(P + ~) ~) (v - b) v22

= RT =

donde donde 10-66 atm atm cm 6/gmol 6/gmol2 2 a = = 3.6 X 10b

= =

42.8 cm 3' I gmol 42.8 gmol

= 82.1 atm cm cm"3 I (gmol (gmol K) R= 350 K, se obtiene obtiene la siguiente siguiente tabla Si T == 350 tabla de valores. valores.

oo

Puntos Puntos

13.782 13.782

(atm) P (atm) v (cm (cm33) )

12.577 12.577

2000 2000

3

11.565 11.565

2200 2200

2400 2400

10.704 10.704 2600 2600

oPlov

Calcule dPldv cuando cuando v = = 2300 2300 cm 3' y compárelo compárelo con el valor derivada analítica analítica Calcule valor de la derivada

.48)

Solución

Al usar ecuación 6.41 con con los puntos (O),, (1) Y (2) se obtiene obtiene usar la ecuación puntos (O)

oP ov dv

dP

.49)

2

2v- v -v -2h 0

2

1 h2

= = 2(2300) 2(2300) -

Po+

2vo- 4v + 2v I +2h

2

h2

PI +

2v-vo-v l 2 h2

P?; conh = 200 -

2000 - 2200 2000 2200 - 2(200) 2(200) 13.782 13.782 2(200)2 2(200)2

+ 2(2000) 4(2300) + 2(2200) 2(2000) - 4(2300) 2(2200) + 2(200) 2(200) 12.577 12.577 2(200)2 2(200)2 .50)

2(2300) - 2000 2000 - 2200 2200 11.565 11.565 + 2(2300) 2(200)2 2(200)2 11

que el error error de interpolación interpolación es " Recuérdese Recuérdese que cido. cido.

n (x - x) x) i=O i=O

= __ 0.00506 0.00506 = j(II+1) j (II+1) (~) ( ~)

(11+1 (11+ 1)) !!

donde ~ depende depende de de x de de un modo desconodonde modo descono-

434

Métodos numéricos numéricos aplicados aplicados a la ingeniería ingeniería Métodos a la

derivada analítica analítica es La derivada

dP dP dv

-RT -RT

2a

(v-b)2 (v-b)2

vv3

-=--+-= = -- + -

=

66 ))

(350) + 2(3.6 --82.1 82.1 (350) 2(3 .6 X 10(2300-42.8)2 2300 (2300-42.8)2 230033

=-0.005048 -0.005048 =

Hay que observar observar que que la aproximación aproximación es muy (error relativo -0.24%) a pesar Hay muy buena buena (error relativo = = -0.24%) pesar de haber aplicado aplicado un polinomio segundo grado aproximar la ecuación ecuación de Van der der haber polinomio de segundo grado para para aproximar Waals que, como como se sabe, sabe, es un polinomio Waals polinomio de tercer tercer grado grado en v.

Ejemplo 6.13

Solución

Obtenga la primera primera derivada derivada del polinomio (ecuaciones 5.22 5.22 y Obtenga polinomio general general de Langrange Langrange (ecuaciones 5.23). 5.23).

x

Ej

n 11n X x-x· j De la ecuaciónP = L ¡(x) f(x) Il I1 --_ _ J_ ecuación P«n (x) (x) = ;=0 }'=o xi - xjj i=O }'=O I'" I'"

deriva con respecto respecto a x Se deriva

x-x.] x - x.]

dPnIl (x) (x)

X¡ - ~

dx

x¡-~

hace Se hace n x-x· Il x-x· y = Il I1 __ _ _ JJ y= j=O )=0 x· - x· f# I JJ f"¡ I

toman logaritmos logaritmos en ambos ambos lados, que se tiene Y se toman lados, con con lo que tiene x-x· x-x·

11

x-x· x - x·

n 11

J J lny= In Il ln-lny= I1 __ _ _ JJ = = L L ln -

xi x¡ - xx)j

j=O )=0

I"¡ j*¡

xi x¡ - xjj

j=O j=O j"'¡ j*¡

que el logaritmo logaritmo de un producto suma de logaritmos factores. ya que producto es igual igual a la suma logaritmos de los los factores. Ambos miembros miembros se derivan con respecto Ambos derivan con respecto a x

-

d dx

(lny) (lny)

1 ~ 1 ~ Y dx dx

== I, I, ~~ (In (In dx dx

j=O j=O j"'¡ j*i

x - xj x-x· x-x· I J J I

)

== I, I, __ 1_ __1_ j=O j=O j"'; j*i

despeja dy/dx dy/dx se despeja dy

1

11

Y LL

j=O j=O j*i j"'¡

dx dx

xx -x. - xJ' J

sustituye yen y en lado derecho Se sustituye lado derecho dy

11 Il

x-x. x - x·

11 Il

I1 __ _ _J L = Il L

dx dx

j=O j=O j"'¡ j*i

1

xx· - x j=O j =O x-x· x-x· J j"'¡ Jj*i

II

JJ

finalmente y finalmente dp(x) dP Il (x)

n 11

- -'~X -'-- = L f¡(x) (x) = ¡~ dx i=O I

[11 [ n

x- x

nI]

j I1 - - L --

j~ )=0 j*i J""

x·-x · )=0 x-x [ } )*i J

x-x· x-x·

JJ


435

numérica

Hay que observar que esta ecuación no sirve para evaluar la derivada en una de las abscisas de la tabla, ya que significada dividir entre cero en la sumatoria dentro del paréntesis. Sin embargo, manipulando algebraicamente, el lado derecho puede escribirse en la forma dPn (x)

ar de der

n f( Xi) L---n ;=0 I1 (X. -

dx

j=O

I

n

I1

(6.51)

(x-x)

j=O j*k, ;

X. ) }

f";

La cual ya no tiene la limitante mencionada. y

Ejemplo 6.14

En una reacción química A + B .E; Productos, la concentración del reactante A es una función de la presión P y la temperatura T. La siguiente tabla presenta la concentración de A en gmollL como función de estas dos variables T (K) P (kg/cm-)

273

300

325

360

1

0.99

0.97

0.96

0.93

2

0.88

0.82

0.79

0.77

8

0.62

0.51

0.48

0.45

15

0.56

0.49

0.46

0.42

20

0.52

0.44

0.41

0.37

Calcule la variación de la concentración de A con la temperatura a P = 8 kg/cm? y T = 300 K, usando un polinomio de segundo grado.

Solución

ac I ar T=300,

Lo que se busca es en sí __ Al desarrollada

para n

=

que se puede evaluar con la ecuación 6.5l.

A

P=8

2 se tiene (2x -xo-x,)f(x2) (x2-xO)(x2-x,)

dondef(x) representa a CA y x a T; de tal modo que sustituyendo los tres puntos enmarcados de la tabla queda (2(300)-300-325)(0.62)

dP2 (x) dx

I T=300

---------+ (273-300)(273-325)

(2(300)-273-325)(0.51 (300-273 )(300-325)

P=8 + (2(300)-273-300)(0.48) (325-273)(325-300)

= _ 0.0026 gmol LK

)

436

Métodos numéricos

'1 Ejemplo 6.15


I

Obtenga la primera y segunda derivadas evaluadas en x = 1 para la siguiente función tabulada Puntos

o

1

2

3

4

x

-1

o

2

5

10

11

3

23

143

583

f(x)

Solución

Al construir la tabla de diferencias divididas se tiene Diferencias divididas

x

Puntos

¡(x) Primeras

O

-1

Segundas

11 -8

O

3

6 10

2

2

23

6 40

3

143

5

6 88

4

10

583

Hay que observar que un polinomio de segundo grado puede representar exactamente la función (ya que la segunda diferencia dividida es constante). El polinomio de Newton de segundo grado en diferencias divididas es

= f[xo]

P2(X)

+ (x - xo)f[xo' XI] + (x - xo) (x - Xl) f[xo, x" x2]

que al derivarse da

y al derivarlo nuevamente se obtiene

con la sustitución de valores finalmente resulta dp (1 ) 2

dx

= -8

+(2(1)-(-1)-0)(6)

=

lO Y


ALGORITMO ALGORITMO

437

6.5 6.5 Derivación Derivación con polinomios polinomios de Lagrange Lagrange

Para una aproximación una función función tabularf tabu larf(x) x , proporcionar proporcionar los Para obtener obtener una aproximación a la primera primera derivada derivada de una (x) en un punto punto x, DATOS: DATOS:

El grado por usar, usar, las las (Ns (N+ I) l ) parejas parejas de valores valores (X(I), (X(I), FX(I), FX(I), 1=0, 1, grado N del polinomio polinomio de Lagrange Lagrange por punto XD en que desea la evaluación. evaluación. 2, ... ... , N) Y el punto que se desea RESULTADOS: Aproximación en XD:DP. XD:DP. RESULTADOS: Aproximación a la primera primera derivada derivada en PASO 1. Hacer Hacer DP DP = O O PASO PASO PASO 2. Hacer Hacer 1 = O O PASO N, repetir PASO 3. Mientras Mientras I::; 1 ::;N, repetir los pasos pasos 4 a 21. PASO PASO 4. Hacer Hacer P = l1 PASO 5. Hacer PASO Hacer J = O O PASO N, repetir PASO 6. Mientras Mientras J ::; ::;N, repetir los los pasos pasos 7 a 8. PASO (X(I)-X(J)) PASO 7. SIl SI 1 i= J Hacer Hacer P = P *':' (X(I)-X(J» PASO PASO 8. Hacer Hacer J = J + 1 PASO PASO 9. 9. Hacer Hacer S = O O PASO 10. Hacer PASO Hacer K K =O O PASO PASO 11. Mientras Mientras K::; N, repetir repetir los los pasos pasos 12 a 19. pasos 13 a 18. PASO PASO 12. SIl SI I i= K, K, realizar realizar los los pasos PASO PASO 13. Hacer Hacer PI Pl = 1 PASO PASO 14. Hacer Hacer J = O O PASO N, repetir los pasos pasos 16 a 17 PASO 15. Mientras Mientras J ::; ::;N, repetir los PASO 16. SI JJ i= I Y Y JJ i= KK PASO Hacer PI * (XD (XD - X(J» X(J)) Hacer PI Pl = Pl PASO PASO 17. Hacer Hacer J = =J+ 1 PASO PASO 18. Hacer Hacer S = S + PI P1 PASO Hacer K = K + 1 PASO 19. Hacer PASO PASO 20. Hacer Hacer DP DP = DP DP + FX(I)/P':' FX(I)IP* S PASO 21. Hacer PASO Hacer I = I +1 PASO PASO 22. IMPRIMIR IMPRIMIR DP DP Y TERMINAR. TERMINAR.

e la


Tras durante varios varios años años una una gran gran cantidad cantidad de datos datos empíricos, empíricos, el astróastróTras haber haber analizado analizado durante nomo -1630) formuló formuló tres tres leyes leyes que que describen describen el movimiennomo alemán alemán Johanes Johanes Kepler Kepler (1571 (1571-1630) movimiento de los los planetas Estas leyes puden enunciarse planetas alrededor alrededor del sol. Estas leyes puden enunciarse como como sigue: sigue: Primera planeta es una una elipse elipse que que tiene tiene al sol en uno de sus Primera Ley. La órbita órbita de cada cada planeta sus focos focos Segunda centro del Sol al del del planeta planeta en movimiento movimiento describe describe Segunda Ley. El vector vector que que va del centro áreas iguales iguales en tiempos tiempos iguales. iguales. áreas Tercera requiere un planeta planeta para para recorrer recorrer una una vez vez su órbita órbita elíptielíptiTercera Ley. Si el tiempo tiempo que que requiere mayor de tal elipse elipse es 2a, 2a, entonces entonces T2 = ko? ka 2 para para una una consconsca es Ty T y el eje eje mayor T2 = tante tante k. k.

Estas matemática de la elipse, elipse, por por ejemplo ejemplo la medición Estas leyes leyes ponen ponen en relevancia relevancia a la matemática medición de la longitud planeta que que gira gira alrededor alrededor del sol). sol). Este Este cálcállongitud de una una elipse elipse (la trayectoria trayectoria de un planeta culo pudiera pensarse pensarse y tiene tiene que recurrirse a los los métodos métodos nuculo no resulta resulta tan trivial trivial como como pudiera que recurrirse méricos Por ejemplo ejemplo si se tiene tiene que que méricos para para obtener obtener una una aproximación. aproximación. Por R (8)

sen == a sen

ee ii + b cos cas e e jj

438


donde r es el vector vector de posición posición de un punto punto de la elipse elipse y e e es el ángulo ángulo descrito descrito por por didonde cho punto, punto, a es el semieje semieje mayor mayor y b es el semieje semieje menor elipse, el cálculo cálculo de la loncho menor de la elipse, gitud de arco arco (s) de una una curva curva se sabe sabe que que está está dado dado por por gitud

s=J~ ~dt ~dt s=J~ Como '(e)= a cas Como rr'(e)= cos e eii - b sen ej ej r'·· r' r'

= a22 cas cos?2 e =

sen?2 + b22 sen

e

sustituyendo la integral integral sustituyendo

= J~ J~ JJa22 cas22 t + b22 sen22 t s=

g Ja22 g s

= J~ J~ a =

= J~ J~ J J a22 dt =

(a22-- b22)) sen22 t dt

JJ

a2 - (a (a22__ b2) sen sen-2 t

a22

a

dt

= J~ J~ a =

-

sen?2 t + b 2 sen sen-2 t dt a22 sen

JJ

(a22 b2) (a ---- - sen sen-2 t dt 1 - --a22

J~ a JI h -- k2 sen sen-2 t dt J~ donde k es la excentricidad excentricidad y sus valores valores van van de cero cero a ll.. donde excentricidad de la órbita órbita de Mercurio Mercurio es 0.206, 0.206, ¿cuál ¿cuál sería sería la longitud longitud del recorecoSi la excentricidad rrido de una una órbita órbita completa completa de este este planeta? planeta? rrido

Solución S olución

sabe que que el semieje semieje mayor mayor de la trayectoria trayectoria de Mercurio Mercurio es a = = 0.387 0.387 VA (l (l VA == Se sabe 150000000 Km), de modo modo que 150000000 Km), que

s

= J~ J~ a J J 1=

s= 4 fO/2 fO/2 O. 387

sen-2 t dt k22 sen

JJI1 -- 0.206 0.206 2 sen sen-2 t dt

Utilizando el método método de Simpson Simpson 1/3 con con 10 subintervalos, subintervalos, se obtiene: obtiene: s = = 2.40558697 2.40558697 UA UA Utilizando

6.2

siguiente tabla tabla representa representa el gasto gasto instantáneo instantáneo del petróleo petróleo crudo crudo en un oleoducto oleoducto (en La siguiente miles de libras libras por por hora). hora). El flujo flujo se mide mide a intervalos intervalos de 12 minutos. minutos. miles

Hora Hora

6:00 6:00

6:12 6:12

6:24 6:24

6:36 6:36

6:48 6:48

7:00 7:00

7:12 7:12

7:24 7:24

Gasto Gasto

6.2

6.0

5.9

5.9

6.2

6.4 6.4

6.5

6.8

Hora Hora

7:36 7:36

7:48 7:48

8:00 8:00

8:12 8:12

Gasto Gasto

6.9

7.1

7.3

6.9

¿Cuál es la cantidad cantidad de petróleo bombeado en 2 horas horas y 12 minutos? minutos? ¿Cuál petróleo bombeado Calcule el gasto gasto promedio promedio en ese ese periodo. periodo. Calcule

Solución Solución

petróleo bombeado bombeado se calcula calcula multiplicando multiplicando el gasto gasto por por el tiempo; tiempo; pero pero como como el gasto gasto El petróleo variable, se aplica aplica la integral integral siguiente siguiente es variable,

w = J62G J62G dt w=

petróleo 11bb de petróleo

Integral que se puede puede aproximar aproximar por por la regla regla del trapezoide trapezoide (véase (véase la Ec. 6.8). 6.8). Integral h

n-l n-1

2 (f (f ( Xoo )) + 2 ii ~ ~1 Xi ) + f ( X Xnn ) I == 2 1 f ( Xi

)


numérica

439

en donde

dilon-

h = 2.2 = 0.2

11

f (x) = gastos

en lb/hr a cada intervalo.

Al sustituir valores queda

w=

[6.2 + 2(6.0 + 5.9 + 5.9 + 6.2 + 6.4 + 6.5 + 6.8 + 6.9 + 7.1 + 7.3) + 6.9]

~

2 14.31

Este valor se multiplica por 1000, ya que la tabla muestra los valores del gasto en miles de libras por hora. El gasto promedio se calcula directamente

w prom = wt = 6.3

= 6500

14310 2.2

1b/hr

eco-

En el interior de un cilindro de aluminio se tiene una resistencia eléctrica que genera una temperatura T ¡ = 1200°F. En la superficie exterior del cilindro circula un fluido que mantiene su temperatura a T2 = 300°F. Calcule la cantidad de calor transferido al fluido por unidad de tiempo.

A=

Datos adicionales R¡

= 2 pulg,

R2

=

12 pulg L

=

12 pulg

La conductividad térmica del aluminio varía con la temperatura según la tabla k BTU/ ( hr pie? CF/pie) ) UA

165

ISO

130

108

1200

900

600

300

(en

Solución

Se asume un régimen permanente y se modela el proceso con la ecuación de Fourier dT q=-kAdr R, R2

JJl

300¡ F

L

1200i F

asto

I~

300i F

'--

fluido

440


donde: donde: q= = calor calor transferido transferido al fluido fluido en BTU/hr. BTUfhr.

BTU BTU . pie?2 (oF/ (oFf, i )) hr pie

k= = conductividad conductividad térmica térmica del aluminio aluminio en

= área área de transferencia transferencia de calor calor en pie2 pie? A= T

piee p

= temperatura temperatura en o F F. = o

r = = distancia distancia radial radial a partir partir del centro centro del cilindro cilindro en pies. pies.

Al separar separar variables, variables, integrar integrar y aplicar aplicar límites, límites, la ecuación ecuación de Fourier Fourier queda queda fR, ~ fR2 ~ A

R, RI

==__2..fT2kdT ~f T2 kdT TI

q

Al sustituir sustituir el área área de transmisión transmisión de calor calor A en función función de la distancia distancia radial radial r: A e integrar integrar analíticamente analíticamente el lado lado izquierdo izquierdo se tiene tiene 1 R -- - In In ( (-)-2) 2nL R L RI¡

= = 2nrL 2nrL

1 T = = - - f 2 k dT dT 2

q

T, TI

Sin Sin embargo, embargo, hay que integrar integrar numéricamente numéricamente el lado lado derecho, derecho, ya que k = = !f (T) está está dada dada en forma Así que, forma discreta discreta (tabulada). (tabulada). Así que, despejando despejando q, q, se tiene tiene

fT, k dT fT2 dT q

T TI,

==

--'I---=R-' -I---R- ' _ _ In (_2) __ (_2) 2n R¡ 2nLL RI

y al integrar integrar con con la regla regla trapezoidal trapezoidal el numerador numerador y sustituir sustituir valores valores se obtiene obtiene qq== _ _ _-_1_24_9_5_0 - 124950 _ _ = = 438163.7 438163.7 BTU/hr. BTUfhr. 1 1 (12) (12) -2 -n-(-12- /12- ) n -2-n-(-12-f-12-)

22

6.4 6.4

Evalúe Evalúe el coeficiente coeficiente de fugacidad fugacidad 4> del butano butano a 40 atm y 200 200 oC °C con con la cuadratura cuadratura de Gauss-Legendre Gauss-Legendre con con dos puntos. puntos. El coeficiente coeficiente de fugacidad fugacidad está está dado dado por por la ecuación: ecuación: In In 4> = =f

¡

6 6 z-

1 dP

P

y la relación relación de la presión presión con el factor factor de comprensibilidad comprensibilidad zz se determinó determinó experimentalexperimentalmente mente y se da en la tabla tabla

, I

~

Puntos Puntos

1

2

3

4

5

6 678 7 8

P (atm) (atm)

5

8

15

19

25

30

35

40

z

0.937 0.937

0.887 0.887

0.832 0.832

0.800 0.800

0.781 0.781

0.754 0.754

0.729 0.729

0.697 0.697

1 = · , que bilen lí1m 006 atm. 006 tam b ien que l' nn --zz -- =-.O atm ¡I Se sa be tam pP--> ... o o P

Solución

La expresión expresión de Gauss-Legendre Gauss-Legendre para para dos puntos puntos queda* queda" ff~f(t)dt"'" Z !(t)dt"'"

b- a 2

[w,f( [w¡!(

Xl XI (

b-a b-a ) + b + a

•* Véase lo. Véase el el problema problema 6.21 al final final de de este este capítu capítulo.

2

x22 (b-a) + b + a )] )] )+w2f(---=-----)+w 2 ! ( - = - - - -- 2


441

donde wlI = w 0.5773502692; x22 = - 0.5773502692 0.5773502692 donde w22 = 1; Xl XI = 0.5773502692; Con el cálculo cálculo de los los argumentos argumentos de la funciónfse Con función! se tiene tiene b-aa)) + b + a = 0.5773502692(40 0.5773502692(40 - O) O) + 40 31.547 (b40 + O = 31.547 22 22

Xl XI (

(b-a) + b + a = -0.5773502692(40 -0.5773502692(40 O) + 40 + O = 8.453 x 2 (b-a) - O) = = 8.453 22 22

X?

cálculo del factor factor de compresibilidad compresibilidad z a los valores 3l.547 Y P = 8.453 8.453 se reaEl cálculo valores de P = 31.547 realiza por interpolación. liza por interpolación. Con los los puntos alguno de los métodos capítulo 5 se obCon puntos (6), (7) Y (8) de la tabla tabla y alguno métodos del capítulo tiene 0.746, Y con con los obtiene z(8.453) =0.88l. tiene z(3l.547) z(31.547) = 0.746, los puntos puntos (1), (2) Y (3) se obtiene z(8.453) =0.88l. Con los valores calcula el valor función por integrar Con valores de zz y P en los dos puntos, puntos, se calcula valor de la función por integrar

1trL

zz - 1 P

0.746 - 1 = -0.00805 -0.00805 0.746 31.457 31.457

zz -- 11

0.881 0.881 - 1 = -0.01408 -0.01408 8.453 8.453

P

ada

sustituyen valores ecuación de Gauss-Legendre Gauss-Legendre y se tiene: Se sustituyen valores en la ecuación tiene: In In

f/J

=

ItiIóao z -

dP = 40 [1(-0.00805) 1(-0.01408) ] = -0.4426 -0.4426 1 dP 40 - O [1 (-0.00805) + 1(-0.01408)

P

2

donde f/J = 0.6424 0.6424 de donde Hay que observar observar que que basta basta tener experimental de z a las presiones 8.453 Hay que tener el valor valor experimental presiones de 8.453 y 31.547, 31.547, que que en este ejemplo se determinaron determinaron por interpolación. Es importante importante señalar señalar este ejemplo por interpolación. que procediendo inversa; es decir, decir, calculando calculando los valores las presiones las que que se que procediendo a la inversa; valores de las presiones a las requiere después determinando determinando experimentalmente experimentalmente dichos dichos valores, ahorequiere el valor valor de zz y después valores, se ahorra considerable número experimentos (2 contra contra 8 en este este caso). caso). Esto Esto constituye constituye una rra un considerable número de experimentos una importantes del método cuadratura de Gauss-Legendre. Gauss-Legendre. de las ventajas ventaj as más más importantes método de la cuadratura

de

6.5

Encuentre el centro centro de masa lámina rectangular rectangular de 211: X 11:, 11:, suponiendo suponiendo que que la dendenEncuentre masa de una una lámina sidad en un punto P(x, y) lámina está está dado dado por sidad punto P(x, y) de la lámina por

pp (x, (x, y) y) tal-

Solución Solución

2 = e-(x e-(x' + y') = y' ) 12.

Por definición, los momentos inercia con con respecto eje Por definición, momentos de inercia respecto al eje dados por: dados Mx = I I Xx pp (x, y) dx dy, Mx = R

X X

y y, respectivamente, están respectivamente, están

My == I I y pp (x, y) dx dy My R

y el centro centro de masa lámina es el punto (x, y) masa de la lámina punto (x, ji) tal que que _ _ M, Mx _ _ My My x=M,y=M x = M,y =M donde M = = I Ix donde Ix pp (x, y) dx dy.

R Para facilitar las integraciones, integraciones, la lámina lámina se pone como se muestra figura 6.12, con lo que Para facilitar pone como muestra en la figura R = (x, y): o s x::;; O ::;; YY ::::; ::;; 11: 11: } } = {{ (x, y): o::::; x ::::; 211:, o::::; R Primero obtiene M con con el método cuadratura de Guss Guss empleando empleando tres Primero se obtiene método de cuadratura tres puntos puntos

M=g M = Jg I51t1t

/ 2 dxdy e-(hi)/2 e-(h y')dxdy=

1.56814 = 1.56814

442


yy

oo

Figura 6.12 6.12 Figura

x

2"

donde Después se calculan calculan M; Después Mx y My, donde

ID e- (x' (x' + y')/2 1.2556 Io Il;¡¡ Il;]¡ x e~ y')/2 dx dy "" 1.2556 My = = ID g¡¡ y e~e- ((x'h+ y')12 y')12dx 1.24449 Io g]¡ dx dy "" 1.24449

M; = Mx =

Finalmente Finalmente l.24449 == 0.7936 0.7936 ~- """" 1.24449 l.56814 Y 1.56814 '

xx """"

l.2556 1.2556 l.56814 1.56814

= 0.8007, 0.8007, =

centro de masa masa es el punto punto del primer primer cuadrante cuadrante (0.8007, (0.8007, 0.7936). 0.7936). el centro

6.6

Las integrales integrales del tipo tipo Ia e-X f (( x ) dx se conocen conocen como como integrales integrales impropias Las Io e~X impropias y se pueden pueden aproximar, si su límite límite existe, existe, por por la cuadratura cuadratura de Gauss-Laguerre Gauss-Laguerre aproximar, n

Ia

e-X f( x) dx ""L. HJ( xi) Ioe~Xf(x)dx""L HJ(x¡) ,=, ,=1

(1)

donde xi xi es 1 i-ésima i-ésima raíz raíz del del polinomio polinomio de Laguerre Laguerre Ln (x) (x) y donde =(n-l)!]2 [[ =(n-1)!]2 H.=------H. = - - - - - -

L'n n (x) (x) Ln~' Ln_1 (x) (x) L'

1

= 1,2, 1,2, ... ... , n i=

continuación los primeros primeros polinomios polinomios de Laguerre Laguerre se dan a continuación Lo (x)

L3 (x) L, (x) Ls

2 = = 1; L, LI (x) = = 1 - x; L22 (x) == 2 - 4x 4x + xx2 33 = 6 - 18x + 9x22-x -x33; ; L4 (x) = = 24 - 96x; 96x; 72x 72x22-16x = -16x + rr = 120 - 600x 600x + 600x2 600x2 - 200x 200x33 + 25x 25x44 - xsS =

ecuación y la ecuación

+,

Li+1 L (x) i

= (1 + 2i 2i -x) -x) Li (x) =

Li_1(x) i22 Li~'

que permite permite obtener obtener el polinomio polinomio de Laguerre de grado grado i + 1 en términos términos de los que de Laguerre los polinopolinomios de Laguerre Laguerre de grado grado i e i-1. i-1. mios Aproxime I e-X sen x dx con con n=2 n=2 Aproxime I ¡; e~X

¡;

Solución Solución

Como n Como

= 2: L22(x) = (x)

4x + x2; L' L' 2(x) = =- 4 + 2x = 2 - 4x

Las raÍCes raíces de L22(x) Las (x) son: xI x, == 2 -

12, x22 == 2 + ti 12 ti,

Integración y diferenciación numérica

443

Con la sustitución en H¡ se tiene : [ ( 2-1 ) ! J2 H¡=---------------------(-4 +2 (2 - /2)) (1-(2 H

2+.[2

12))

4 2-

[ (_2--:=-::-1_)_! _l2_--==-(-4 +2 (2 +

2 -

y la integral queda entonces

fa

e-X sen x dx '"

(2 -

12)

12)) (1-(2

!

[(2 +

sen (2 +

+

12))

12 ) sen

12

4

12 ) +

(2 -

ti) 1 = 0.43246

En general, este proceso de integración puede programarse con una expresión del tipo 6.30

fa

e-ax f( x) dx

1 » -

n

L wf(x/a)

a ;=1

donde los pesos W¡ y las abscisas x¡ para 2 ::; n::;

I

I

5 están dadas en la tabla 6.1

Tabla 6.1 Coeficientes y abscisas para la integración por cuadratura de Gauss-Laguerre.

Abscisas

Número de puntos

n 2

0.585786 3.414214

0.853553 0.146447

3

0.415775

0.711093

2.294280

0.278518

6.289945

0.0103893

0.322548 1.745761

0.603154

4.536620

0.0388879

9.395071

0.000539295

0.263560 1.413403

0.521756

(1)

4

5

~

6.7

wi

Xi

en

no-

Coeficientes

0.357419

0.398667

3.596426

0.0759424

7.085810

0.00361176

12.640801

0.00002337

De la gráfica de un diagrama de Moliere del amoniaco se obtienen los siguientes datos de temperatura (T) contra presión (P) a ental pía constante (H = 700 BTU/Lb). Puntos

o

T ( °F)

175 100

P (psia)

2

3

4

200

225

250

275

270

450

640

850

444

Métodos niería a la inge ingeniería Métodos numéricos numéricos aplicados aplicados a

Calcule el coeficiente coeficiente de Joule-Thompson 270 psia Calcule Joule-Thompson a una una presión presión de 270 psia a) Mediante Mediante la derivada polinomio de Lagrange derivada de la fórmula fórmula generalizada generalizada del polinomio Lagrange del ejemejemprimeros cuatro puntos. plo 6.13 6.13 con con los primeros cuatro puntos. b) Mediante la derivada b) Mediante derivada analítica analítica de calculada con mínimos calculada con mínimos cuadrados cuadrados

Solución Solución

una curva una curva empú·ica empírica polinomial polinomial de segundo segundo grado grado usando todos los puntos. usando todos puntos.

parcial de la temperatutemperatuEl coeficiente coeficiente de Joule-Thompson Joule-Thompson está está definido definido como como la derivada derivada parcial respecto a la presión presión a entalpía ra con con respecto entalpía constante, constante, o sea sea

~ = (~;)H ~=(~;)H a) La fórmula para n = 3 Y se obtiene a) La fórmula del ejemplo ejemplo 6.13 6.13 se desarrolla desarrolla para obtiene

~w dx

f~

= [3x2 -2(x¡+x2+x3)x+(X¡x2+x¡x3+X2X3)

] -----"----(xo-x ¡)(Xo-X2) (xo-x3)

f(x¡) + [3X2 -2(xO+x2+x3)x+(xoX2+xoX3+x2x3) ] ------'--'------(x ¡-xo)(x ¡-x2)(x ¡-x3) + [3x2 -2(xO+x¡+x3)x+(xoX¡+xoX3+x¡x3)

f(x2) ] ----.=......--(x2-xO)(x2-x¡)(x2-x3)

+ [3x2 -2(xO+x¡+x2)x+(xoX¡+xoX2+x¡x2)

f(x3) ] -----"----(XrXo) (x3-x ¡)(x3-x2)

donde x representa sustituir x por 270 psia representa la presión presión y pix) pix) la temperatura. temperatura. Al sustituir por 270 psia así codonde mo los valores los puntos dados, se obtiene obtiene valores de los puntos dados,

~ = (élT)

~=(élT) élP élP

0

",0.1429 F/psia ",0.1429 F/psia 0

H

Los cálculos cálculos se puden con Matlab Tl92-Plus Los puden realizar realizar con Matlab o la Tl92-Plus

N N

= 33;;

Xd

= 270 ;;

X=[100 640] ; X=[100 270 450 640J ; Fx=[175 Fx=[175 200 225 250] 250J Dp == O; for II = = 1 1 :: N for N + 11

P

= =

11; ;

for J = = 1 1 :: N+1 for if II -~= = J P = P * (X (X ((I) P = P I)

- X X

((J)); J ));

end end end end S = = O; for N for K = = 1 1:: N + 1 1 if I I -~=K =K Pl Pi == 11 for J = 1 1:: N+1 for J = iiff J == == I I I J == == K K else else


P1

jem-

*

P1

(Xd - X

(J)

numérica

445

)

end end

S

ado

S

+

+

Fx

P1 ;

end

ratu-

end Dp=Dp

/

(I)

P

*

S

;

end Dp

ejer6_7

( )

Prgm 4-> n:

270->xd

{100, 270, 450, 640}->x (175, 200, 225, 250}->fx O+dp For

I, l->p

1, n

For If

j,

1, n, iioj [j])

p*(x[i]-x

í co-

->p

End for 0-> s For

k,l,n If

i=k: Then 1->p1 For

j, 1,n

jh

If

and j#

p1* (xd-x[j]

)->p1

EndFor s+pl=+s EndIf EndFor dp+fx

[I]

/

p*s->dp

EndFor Disp

dp

EndPrgm.

b) El sistema de ecuaciones 5.64 se resuelve usando los cinco puntos de la tabla a fin de

obtener los coeficientes del polinomio de segundo grado que mejor aproxima la función tabulada

ao

= 159.5134,

a2

al = 0.156799,

= -0.2453

que sustituidos dan T(P)"" 159.5134+0.156799P-0.2453

X

1O-4P2

cuya derivada es ~ ) "" 0.156799 - 2 (0.2453 ( dP H

X

10-4) P

X

10-4

446

lVIétodos numéricos licados a a la ingenier ía numéricos ap aplicados ingeniería

que evaluada que evaluada en P= 270 resulta resulta éJT) ",,0.14360P/psia éJT) "" 0.1436 0P/ psia ( éJp éJp H

6.8

Solución Solución

Encuentre la primera primera derivada derivada numérica numérica de xe' Encuentre xe X en el punto punto x == 1, usando usando un un polinomio polinomio de aproximación de segundo segundo grado. grado. Estime Estime el error aproximación enor cometido. cometido. conveniente es emplear emplear la ecuación 6.49 Lo más conveniente ecuación 6.49

--1 --1 == - 2h1 1

df(x) df(x) dx dx

Xl Xl

[((x - f(x o)]- [((x2) 2 ) -f(xo)]--

2h

h2

6

También se observa observa que el término término del También del error enor en general general es proporcional proporcional al valor valor de h, h, por por lo que, si es posible, muy pequeño. pequeño. Se tomará tomará en este caso caso h = = 0.5. Con Con esto esto posible, deberá deberá tomarse tomarse muy 0.5, oo == 0.5,

Xl = Xl = 1, f(x 2.7l 828, f(XI) l ) = = 2.71828,

X

f (x (xo) = 0.82436, 0.82436, o) =

X X22

f(x f(x2) 2 )

== l.5 l.5 6.72253 == 6.72253

Se sustituyen sustituyen valores valores 22

XX

(xe ) ) d (xe dx dx

1 [6.72253 _ 0.82436] 0.82436] [6.72253 2(0.5) 2(0.5)

1 1

xxI=1 1=1

= =

YY

(xe (xeXX + 3e<) 3eX)

0.5 6

5.898l7 - 0.04166 (xe + 3e 3e 5.898l7 0.04166 (xe

XX )

1 1 )O

'"

~

1 ~ 1

)

donde 5.89819 5.89819 es la aproximación aproximación a la primera 3eYYeses la derivadonde primera derivada derivada y el factor factor xe' xeX + 3e derivatercer orden orden de xeXY•• Como Como se desconoce 3&'Y es una da de tercer desconoce ~ y xe' xe' + 3e una función función creciente, creciente, puepuecalcularse en X == l.5. l.5. De esta esta manera manera se obtiene de calcularse obtiene el valor valor máximo máximo posible posible y, por por ende, ende, valor máximo máximo para para el término el valor término del error error resulta resulta

== 0.84032 0.84032

L5) ) 0.04166(1.5 e1. 55 + 3 eL5 0.04166(l.5 e1.

6.9

Demuestre Demuestre que que

--

d

dx dx

Solución Solución

n Il

[O [n

j=O j=O

11 1/

(x - x)] x) ]

1 1

X X = Xi

=n O (Xi (x, - XX )) = j=O j=O

J

Jet, J""

tiene Si n == 1 se tiene

d

1

-[(x-xO)(x-xl)]1 dx

Si n

= [(x-xo)+(X-X¡)]

1

_

X = Xi

X-X·

,

=0 (Xi-X) J=O jeti

= 2 se tiene tiene = d

(x - xo)(x xo)(x - X 1) 1) (X - XX 2)] [ (x dx ~

1 1

X -Xi X-~

== [ (x-x (x-X2 2 )

-

d dx ~

[(X [(X - X xO Xl)] o)) (X - Xl)]

-XO) (X -- Xl) + ( XX -x Xl ) o) (X

d(x -X) d(x - x) dx 22 ]] dx

1 1

x =x X=Xi i

2

= j~ O (Xi (X; - X) = X) X-X· ,, J=O j",i jet;

= [(x[(X- xX2)) (x(X-XO) -Xl) + (X - X -Xl) 11 x = _ x = x o) + (X - xX2)) (X -xl) x O)) (X -Xl) y por inducción puede puede llegarse llegarse a por inducción d

- - [ (x-xO)(x-x (X-XO)(X-Xl) l ) ... ... (x(x-x,,)] x,,)] ~ ~

1 1

== [(X-Xn) [(x-x,)

X = ~' X=~

d

~~

+ (x(X-XO)(X ... (X -x -Xnll__l)l ) + xo)(x - Xl) Xl ) ...

[(X-XO)(X-Xl) ... (X-X (X-Xl1_I)] 1)] [(X- XO)(X- X l ) ... ~ d(x - x,,) d(x x ll ) dx dx

]

1 1

X= X¡ X=X¡

n

== n O Il

j'-0 =O J.-. Jet, J""

(Xi - X) (Xi-X) JJ


6.10 6.10

OrIDO

447

En En la siguiente siguiente tabla tabla

T

de

oo

1

2

3

4

5

93.1

85.9

78.8

75.1

69.8

66.7

T representa temperatura ( °C oC ) de una una salmuera utilizada como como refrigerante refrigerante y t (mín) (mín) es representa la temperatura salmuera utilizada el tiempo. enfriamiento en los tiempos tiempos t = = 2.5 Y t == 4 mín, mÍn. tiempo. Encuentre Encuentre la velocidad velocidad de enfriamiento

Solución Solución

emplear la ecuación ecuación 6.41 con = 2 se tiene Al emplear con n = tiene

h,porlo onesto

dpzCt)

- - = dt

(2t - to- t l -2h) T o (2to - 4t + 2t¡ +2h)T¡ (2t - to- tI) T 2 + + --"----"""'---" 2h 2 2h 2 2h2

Se toman tiene, para para tt =2.5 toman too = 1, 1, titI = 2, t2 = 3 Y h =1 Y se tiene, =2.5 dpzCt) dpit)

---;¡¡- = ----;¡r

[ 2 (2.5) - 1 - 2 - 2 ( 1) ] 2 ( 1 )2 (85.9)

(1) ] (78.8) + (2 (2.5) -1 + [2 [2 (1) - 4 (2.5 ) + 2(2) + 2 (1)] -1 - 2) (75.1) = -3.7 + + = -3.7 2(1)2 2( 1)2

Al tomar tiene, para para tt =2.5 tomar to =2.5 o = 2, t¡ti = 3 Y t22 = 4 se tiene, a derivante, pueor ende,

dP2(t)

[ 2 (2.5) - 2 - 3 - 2 ( 1) ] (78.8)

dt

2 ( 1 )2 )2

[2 (2) - 4 (2.5 ) + 2(3) + 2 (1)] (1)] (75.1) + (2 (2.5) - 2 - 3) (69.8) = -3.7 -3.7 + [2 2(1)2 2( 1)2

Estos función tabular tabular se comporta comporta como como una una parábola parábola (n=2); por Estos valores valores confirman confirman que que la función (n=2); por lo tanto, adecuado tanto, el grado grado seleccionado seleccionado es adecuado deja al lector lector repetir repetir estos Se deja estos cálculos cálculos para para t=4 t=4 mín. mín. 6.11

¡-x¡)

La siguiente medidas observadas observadas en una una curva curva de imantación imantación del hierro. hierro. siguiente tabla tabla muestra muestra las medidas

/3

5

6

7

8

9

10

11 11

12

¡..t

1090

1175

1245

1295

1330

1340

1320

1250

En ella por cm? cm2 y ¡..tiJ la permeabilidad. permeabilidad. Encuentre Encuentre la permeabipermeabiella ~~ es el número número de kilolíneas kilolíneas por lidad máxima. máxima. lidad

Solución Solución

Como máxima registrada tabla es 1340, correspondiente correspondiente a /3 /3 =10, =10, Como la permeabilidad permeabilidad máxima registrada en la tabla se utilizan /300 = 9, /3 /3 11 = 10, /3 /322= 11 para obtener obtener un polinomio polinomio de seutilizan los puntos puntos de abscisas abscisas /3 11 para gundo aproximación polinomial polinomial simple gundo grado, grado, por por el método método de aproximación simple a22(9)2 (9)2 = 1330 aaoo + aal(9) l (9) + a

aoo + aal(lO) + aa22(1O)2 (10)2 = 1340 l(lO) aoo + al(l1) azC11? = 1320 j (l1) + azCll)2

- 15, por por lo que que el polinomio polinomio es Al resolver resolver se tiene tiene aoo = -110, -110, a alj = 295 Y aa22 = -15,

448

Métodos nUrTléricos riurnértcoss aplicados aplicados a a la ingeniería ingeniería Métodos

= -110 -110 + 29513 29513 =

11

-15f32 -15[32

Para obtener obtener la permeabilidad máxima, se deriva deriva e iguala iguala con con cero cero este este polinomio Para permeabilidad máxima, polinomio dfl dfl = 295 =

df3

despejar 13 = = 295 Al despejar 30

3013 == O 3013

= 9.83333 9.83333 =

donde de donde 1340.416 1340.416

= -110 -110 + 295(9.83333) 295(9.83333) - 15(9.83333)2 flmax max =

Problemas 6.1 6.2 6.3 6.4

Emplee la ecuación ecuación 6.5 con n = = 3 para obtener la ecuación ecuación de Simpson Simpson 3/8 (véase (véase Ecs. Ecs. 6.6) Emplee para obtener Mediante el método método de Simpson Simpson 3/8 aproxime aproxime las integrales integrales del ejemplo ejemplo 6.1 6.1 Compare Compare los Mediante resultados con los obtenidos obtenidos en los ejemplos ejemplos 6.1 y 6.2. 6.2. resultados con Siguiendo las ideas ideas que que llevaron ecuaciones 6.8 y 6.10, 6.10, encuentre encuentre la ecuación ecuación correscorresSiguiendo llevaron a las ecuaciones pondiente fórmula de Simpson Simpson 3/8 sucesivamente. sucesivamente. pondiente a usar usar la fórmula Con el algoritmo algoritmo obtenido obtenido en el problema anterior, integre integre la función función Con problema anterior,

1 e-x212 -x2/2 --e 2n

6.5

entre los límites límites a = = -1 -1 Y b = = 1.1. Compare%esultado Compare éffesultado con con los valores valores obtenidos obtenidos en el ejemejementre plo plo 6.5. gasoducto Cactus, Cactus, Tab. Tab. a Reynosa, Reynosa, Tamps. Tamps. se determina determina el gasto gasto W (kg/min) (kg/min) y su En el gasoducto contenido de azufre azufre S (en por ciento) periódicamente durante el día. Los Los resultados contenido por ciento) periódicamente durante resultados se prepresentan sentan en la tabla. tabla.

a) b) e) d)

6.6

t (hr)

O O

4

8

12

15

20

22

24

(kg/min) W (kg/min)

20

22

19.5

23

21

20

20.5

20.8 20.8

%) S ((%)

0.30

0.45

0.38

0.35

0.30

0.43

0.41

0.40

¿Cuál es el gasto gasto promedio? ¿Cuál promedio? ¿Qué cantidad cantidad de gas se bombea ¿Qué bombea en 24 horas? horas? ¿Cuál es el contenido contenido de azufre azufre (%) (%) promedio diario? ¿Cuál promedio diario? ¿Qué cantidad cantidad de azufre azufre se bombea ¿Qué bombea en 24 horas? horas?

Integre la función función de Bessel Bessel de primera especie y orden orden 1 Integre primera especie

L cc

(

/2)2k+

1

I)k ----'-x (xl2)2k+ ' _ JJ, (x) (x) = = L (_ (_I)k 1 (l+k+l) k=ü k! (l +k+l)

con el método método de Simpson Simpson compuesto compuesto (aplicado (aplicado siete siete veces) intervalo [0,7]; [0,7]; esto esto es, con veces) en el intervalo

f6

J1 (x)dx fóJ,(x)dx SUGERENCIA: SUGERENCIA:

Consulte las tablas tablas de funciones funciones de Bessel. Consulte Bessel.


6.7

449

Obtenga Obtenga h 3 dh

n (1 +

hl l2)

6.8

Obtenga Obtenga

6.9

Elabore integrar una una función analítica por por el método método de Simpson Elabore un subprograma subprograma para para integrar función analítica Simpson 3/8 compuesto, ... , 3072 compuesto, usando usando sucesivamente sucesivamente 3, 6, 12,24,48, 12,24,48, ... 3072 subintervalos. subintervalos. Compruébelo Compruébelo con con la función función del ejemplo ejemplo 6.5 De truncamiento en la aproximación De acuerdo acuerdo con las ideas ideas acerca acerca del análisis análisis del error error de truncamiento aproximación trapezoidal, aproximación de Simpson trapezoidal, analice analice dicho dicho error error en la aproximación Simpson 1/3.

6.10. 6.10.

n Ir xexe
SUGERENCI A: SUGERENCIA:

La expresión debe llegar llegar es expresión a que que debe

E 1:::;--2 --M nh ---M=(b-a)--M ETI::::: M = = nh - M=(b-a)--M, Il ' 90 180 180

n

.6) os

h55

h44

h44

T

::::: M y n es el número número de subintervalos que se divide divide [a, [a , b] b] ; de donde, donde, donde donde Iflv Iflv (x) (x) 11:::; subintervalos en que conel error proporcional a h44,, lo cual conerror de truncamiento truncamiento en el método método de Simpson Simpson 1/3 es proporcional juntamente con juntamente con la ecuación ecuación 6.10 6.10 se expresa expresa

s-

11-1 11-2 h 11- 1 112 44 J~ f(x) dx = [f(x i~1 f(x f(x) + 2 i~ i~ f(x) f(x i ) + f(x f(x f~f(x) =3 3 [f(x i) o)o) + 4 i~1 n)]n )] + O (h ))

l!.i=2 l1i=2

6.11 ffi-

6.12 6.12

su re-

Mediante la ecuación ecuación 6.18 6.18 encuentre encuentre una error de truncamiento Mediante una cota cota para para el error truncamiento al integrar integrar la función 'l2 entre usando 2, 4,8, 4,8, 16, ...... ,1024 función e-xX212 entre los límites límites [-1, [-1, 1], usando ,1024 subintervalos. subintervalos. Emplee evaluar 122(2) para para las siguientes integrales deEmplee la integración integración de Romberg Romberg a fin de evaluar siguientes integrales finidas finidas a)

L\

e -en dx

b)

e)

J3

dx

d) Jpn lnxx dx

2

6.13 6.13

l!.i=2 l1i=2

X

fó Jó

x33 e'dx e-'dx

n

Con Con el criterio criterio de convergencia convergencia siguiente siguiente (lIl) I IIk(m) k

- Ik_I(In+l) I k_ I(In+I)

1::::: 1:::; 10-33,,

aproxime dan a continuación continuación aproxime las integrales integrales que que se dan a)

2rrx dx éos2rrx Jf 6¿ éos

e)

x1lt cos kx la dx f6 ex1lt

b)

n cJ:x

dx

con k = con = 1,2 1,2

En En el inciso inciso e) compare compare con con la solución solución analítica. analítica. 6.14 6.14 6.15 6.15

Pruebe Romberg con con h2 = h¡12 [Ec.6.21] I~I ) = donde s es Pruebe que que en la integración integración de Romberg = h/2 [Ec.6.21], , I~I) = s, donde es la aproximación aproximación de Simpson Simpson compuesta compuesta [Ec. 6.10] 6.10] empleando empleando 2kk subintervalos. subintervalos. Estime Estime las siguientes siguientes integrales integrales

es,

Jó

a) fó sen (101 n:x) nx ) dx

b) J6f(x) fóf(x) dx conf(x) con f (x)

sen xx sen

T

= = { ------:X-1

con con una una aproximación aproximación de 10-55

en *" OO en xx ee enx enx

== O O

450



Emplee como como criterio criterio de convergencia convergencia Emplee

con con

It'i l1)) II It't 6.16 6.16

Ih:( )1:::; 10-6 Ih:¡2)1:::; 2

6

cambiador de calor calor de tubos concéntricos se calienta calienta nitrobenceno nitrobenceno con un gasto gasto w = = En un cambiador tubos concéntricos 3000 lb/hr lb/hr en el tubo tubo interior interior con diámetro diámetro Di = = 3 pulg. pulg. Entre Entre los tubos tubos se circula circula vapor vapor sa3000 turado que mantiene mantiene la temperatura temperatura de los tubos tubos a temperatura temperatura constante constante Ts = = 100°C. lOO°C. ¿Cuál ¿Cuál turado longitud necesaria necesaria de los tubos tubos para para calentar calentar el nitrobenceno nitrobenceno desde desde 10 hasta hasta 80°C? será la longitud

r-x--j I

10'II C .

80¡ C .. •.

w-•.•. w - -.... --

•• ..

,'...... .. 1I .....---,' .

I

I

....

~~ . ~. t- "" ." '.',

,.00, ,- .', •

..

x

II Condensado Condensado

modelo del proceso proceso se obtiene obtiene mediante mediante un balance balance de calor calor a régimen régimen permanente permanente en El modelo elemento diferencial diferencial de longitud longitud Ax un elemento Acumulación = = entrada entrada -salida -salida + transmisión transmisión Acumulación Cp'Tl,x oo == w CpTl

-w CpT CpT Ixx++ fu; + Din: Dirt Axh Axh (Ts - T) -w

dividir entre entre Ax y hacer hacer L'ix ~x ..... -t O, O, se obtiene obtiene en el límite límite al dividir w Cp áf

dx

= Di n: h (Ts =

T )

separar variables queda y al separar variables queda w

Di n:

JJ8080

10 10

= Cp dt = h(Ts-T) h(Ts-T)

J

= JOLL dx = O

L- O O == L L L

Donde h es el coeficiente coeficiente de transmisión transmisión de calor calor en BTU/(hr BTU/(hr pie pie °P) y se calcula calcula con con la Donde expresión expresión 33 h= = 0.023 0.023 Reo Reo.88 Pr033 Hay que que observar observar que que Re, Cp y Pr son funciones funciones de T. Hay 6.17 6.17

principios del siglo, siglo, Lord Lord Rayleigh Rayleigh resolvió resolvió el problema problema de la destilación destilación binaria binaria simsimA principios ple (una (una etapa) etapa) por por lotes, lotes, con con la ecuación ecuación que ahora ahora lleva lleva su nombre nombre ple dL JL¡ dL L¡ i L

L L

=r¡~y-x y- x

=r¡~ X¡ Xi

donde L son los moles moles de la mezcla mezcla líquida líquida en el hervidor, hervidor, x las fracciones fracciones mol mol del compocompodonde nente más volátil volátil en la mezcla mezcla líquida líquida y y las fracciones fracciones mol mol de su vapor vapor en equilibrio. equilibrio. Los nente subíndices i y f se refieren refieren al estado estado inicial inicial y final. subíndices

Integración y numérica Integración y diferenciación d iferenciación numérica

451

Calcule qué fracción fracción de un lote es necesario necesario destilar destilar en una Calcule una mezcla mezcla binaria binaria para para que que x camcambie de x¡ x; = = 0.7 a xI x¡== 0.4. La relación relación de equilibrio equilibrio está bie está dada dada por por la ecuación ecuación

ax
y= - - - - y= 1+(a-1)x 1+(a-l)x donde a es la volatibilidad volatibilidad relativa relativa de los componentes componentes y es una según la sidonde una función función de x según guiente tabla tabla (para (para una una mezcla dada) guiente mezcla dada)

ow= r sa·Cuál C?

x

0.70 0.70

0.65

0.60 0.60

0.55 0.55

0.50 0.50

0.45 0.45

0.40 0.40

a

2.20 2.20

2.17 2.17

2.13 2.13

2.09 2.09

2.04 2.04

1.99

1.94 l.94

6.18 6.18

integral J J_~ sen x dx puede puede presentar presentar serias serias dificultades. La integral _~ sen dificultades.

6.19 6.19

Estudie cuidadosamente cuidadosamente el integrando integrando y aproxime aproxime dicha Estudie dicha integral integral empleando empleando alguno alguno de los métodos vistos vistos métodos Ensaye varios métodos métodos de integración integración numérica numérica para Ensaye varios para aproximar aproximar

x

22

JI

x dxdx

--11

6.20 6.20

h _x2 JI _x2

Sea la función! función! (x) definida definida en (0,1) como como sigue sigue Sea

oo ::O;x::O; ::O;x::O; 0.5

nte en

!(X)={x !(X)={x 1-x l-x aproxime numéricamente numéricamente J Jó! ó! (x) dx utilizando utilizando aproxime método trapezoidal trapezoidal aplicado aplicado una una vez en (O, 1) a) El método método trapezoidal trapezoidal aplicado aplicado una una vez en (O, b) El método (O, 0.5) 0.5) Y otra otra en (0.5, (0.5, 1) método de Simpson Simpson 1/3 aplicado aplicado una vez en (O, 1). e) El método una vez 6.21 6.21

Compare los resultados resultados con el valor analítico y explique Compare valor analítico explique las diferencias. diferencias. Demuestre que que la expresión expresión general general para integrar por Demuestre para integrar por Gauss-Legendre Gauss-Legendre puede puede ponerse ponerse

J/ con la 6.22 6.22 6.23 6.23 ia sim-

b-a b-a

11 11

2

;;1 ¡~l

!(t)dt~L !(t)dt""L wJ[ wJ[

x. x · (b-a)+ b+a ,t ]] 2

donde w¡, w¡, xi' xi' i = = 1,2, ... ... ,n ,n dependen dependen de n y están están dados donde dados en la tabla tabla 6.2 6.2 Use la cuadratura cuadratura de Gauss Gauss con n = = 3 para para aproximar aproximar las integrales 6.18 Use integrales de los los problemas problemas 6.18 6.19. y 6.19. Dada la función! función! (x) en forma forma tabular tabular Dada

x

O O

41

56

95

145

180

212 212

320 320

!(x) !(x)

O O

1.18 1.18

1.65 l.65

2.70 2.70

3.75 3.75

4.10 4.10

4.46 4.46

5.10 5.10

encuentre: encuentre: ompo·0. Los usando la cuadratura cuadratura de Gauss Gauss con varios varios puntos puntos usando

452

Métodos numéricos numéricos aplicados aplicados a a la ingen ingeniería Métodos iería

6.24 6.24

Calcule el cambio cambio de entropía entropía LlS ilS que que sufre sufre un gas ideal ideal a presión constante al cambiar cambiar su Calcule presión constante temperatura de 300 300 a 380 380 K. Utilice Utilice la cudratura cudratura gaussiana gaussiana de tres puntos. temperatura puntos. T,

e,p dT C

IT;--TJT' - -T-

~J

~ 6.25 ~ 6.25

280 280

310 310

340 340

370 370

400 400

callmol K) Cp(( cal/mol

4.87 4.87

5.02 5.02

5.16 5.16

5.25

5.30 5.30

Modifique el programa ejemplo 6.11 de modo modo que que se puedan integrar funciones funciones dadas dadas Modifique programa del ejemplo puedan integrar forma discreta discreta o tabular. en forma tabular. SUGERENCIA: SUGERENCIA:

6.26 6.26

T(K) T(K)

interpolación de Lagrange Lagrange en el ejercicio ejercicio 5.5 5.5.. Vea el programa programa de interpolación

Una partícula masa m se mueve través de un fluido fluido sujeta sujeta a una Una partícula de masa mueve a través una resistencia resistencia R que es función de la velocidad velocidad v de m. La La relación relación entre entre la resistencia resistencia R, la velocidad velocidad v, y el tiemtiemfunción po t está está dada dada por ecuación por la ecuación t

6.27 6.27

"o

m R (v)

dv

Supóngase para un fluido particular. Si m = mIs, Supóngase que R (v) = = -v -v 1:+0.0001 0.0001 para fluido particular. = 10 kg Y vvoa= 10 mis, aproxime el tiempo tiempo requeriüo requerido para que la partícula reduzca su velocidad velocidad a vf== 5 mIs, mis, usanaproxime para que partícula reduzca usanJ método de cuadratura cuadratura de Gauss Gauss con con dos y tres puntos. puntos. do el método Aproxime las siguientes siguientes integrales integrales usando cuadratura de Gauss-Laguerre. Gauss-Laguerre. Consulte Consulte el Aproxime usando la cuadratura ejercicio 6.6. ejercicio a) e)

e) 6.28 6.28

= IV!

ID JO' e-3x3x In x ID e-XX x33 dx JO' eID JO' e-3x3x dx

dx

b) d)

ID (tan x + sen x) JO' e-2t2 < (tan x ) dx ID JO' e-X 3x dx

Las integrales integrales del del tipo tipo J Iaee~ f (x) dx, con con a > > O se conocen conocen como como integrales integrales impropias impropias y se Las pueden aproximar, si su límite límite existe, existe, por cuadratura haciendo cambio pueden aproximar, por los métodos métodos de cuadratura haciendo el cambio variable t = = x -l -l.. Con Con este este cambio cambio el integrando integrando y los límites límites pasan de variable pasan a ser Como t Como

= x -1, -1, X = t --11 Y dx = = --l/t1/t2 2 dt. = X =

2 )f(r l ) dt. integrando quedaf(x)dx quedaf(x)dx = = (-1/t (-l/t2)f(rl) El integrando

Los límites límites pasan Los pasan a Como x Como

= a, t = = 1/a l/a =

y x= x=

00, 00,

l/oo == O O t == 1/00

sustituir queda queda Al sustituir

que ya puede aproximarse por métodos vistos vistos en este este capítulo. capítulo. que puede aproximarse por los métodos Aplique estas ideas para aproximar las siguientes siguientes integrales integrales Aplique estas ideas para aproximar a)

e)

I5' JS'

no Ito

x-33 dx 2 e -3x x-3x cos cos (4Ix) (4Ix) dx X-2

b)

Ii x-4 x-4 sen sen (l/x) (l/x) dx Ji


453

Utilice el el método método numérico numérico que que considere considere más más conveniente. conveniente. Utilice

ar su 6.29 6.29 6.30 6.30

adas

6.31

Elabore un algoritmo algoritmo correspondiente correspondiente al al algortimo algortimo 6.3 usando usando la la cuadratura cuadratura de Elabore Gauss-Laguerre (véase (véase Ejer. Ejer. 6.6). 6.6). Gauss-Laguerre Aproxime las integrales integrales siguientes siguientes Aproxime a) a)

Jófó nx ee"YXY dy dx

b)

n J6

e)

nIr H sen

d)

6 x y dx dy Jfóó Jó

J~ sen x cos y dx dy

empleando el método método de Simpson Simpson 1/3 1/3 dividiendo dividiendo el intervalo intervalo (a, b) b) del eje x en n (par) (par) suempleando bintervalos y el intervalo intervalo (e, d) d) del eje y en m (par) subintervalos. subintervalos ..La ecuación por por utilizar utilizar bintervalos La ecuación es la 6.31 Aproxime las integrales integrales del problema problema 6.30 6.30 empleando empleando la cuadratura cuadratura de Gauss-Legendre Gauss-Legendre Aproxime

J~ J~ ff(x,y) (x,y) J~J~

(b-a) (d-e) dxdy'" dxdy "" (b-a) (d-e) 4 4

ue es

tiem-

6.32 6.32

~ .L 111

j= J=I1

11 b-a b+a e+d Il b-a b+a d-e d-e c+d L: wf[-- t . + - - , - u· + - - ] L W wwf[--t.+---u.+--] ¡=1 J} 11 22 l.1 22' 2 J} 2 ;=1

donde w¡ o wjj son los coeficientes coeficientes w¡ dados dados en la tabla tabla 6.2, t¡t¡ o ujj son las abscisas abscisas z¡ z, dadas dadas donde tabla 6.2 y n y m son los números números de puntos puntos por por usar usar en los ejes x y y, respectivarespectivaen la tabla mente. mente. Mediante el método método de Simpson Simpson 1/3 aproxime aproxime las integrales integrales Mediante a) e)

6.33 6.33

x e XY xy dxdy dx dy JÓxe

fO Jt; Jtíy sen x dx dy JO

r¿ J6 JI' 15 Jf dx dy

JÓr¿dydx b) JÓ dy dx

nng

dydx J~' dy dx

d)

En el estudio típico es demostrar demostrar que estudio de integrales integrales dobles, dobles, un problema problema típico que

n

J~ e-x' e-x' dx = = J~ J~ J~ J~ 6.34 6.34 6.35 6.35 s y se ambio

e-x' e-x' -y' - y' dy dx

Demuéstrelo 1. Utilice Demuéstrelo numéricamente numéricamente con con R R == l. Utilice el método método de Simpson Simpson 1/3. Elabore algoritmo para para aproximar aproximar integrales integrales dobles dobles empleando empleando el método método de de cuadratucuadratuElabore un algoritmo ra de Gauss-Legendre. Gauss-Legendre. Encuentre centro de masa masa de de una una lámina lámina cuya cuya forma forma se encuentra encuentra en en la la figura figura adjunta, adjunta, Encuentre el centro suponiendo suponiendo que que la la densidad densidad en en un punto punto pp (x, y) y) de de la la lámina lámina está está dada dada por por

pp (x, yy ) = =xx sen sen yy yy

llmina mina '------~--------- xx ~--------~------------------

oO 6.36 6.36

La La expresión expresión J~J~ J~ J~ dx dx dy dy representa representa el el área área del del rectángulo rectángulo cuyos cuyos vértices vértices son son a, a, b, b, ee yy dd (corrobórelo), (corrobórelo), de de modo modo que que J~J~ J~ J~ ff (x, (x, y)dx y)dx dy dy representa representa el el volumen volumen del del cuerpo cuerpo cuya cuya babase se es es el el rectángulo rectángulo a, a, b, b, e, e, d, d, yy cuya cuya altura altura para para cualquier cualquier punto punto (x, (x, y) y) dentro dentro de de dicho dicho recrectángulo tángulo es es ff (x,y). (x,y) . Aproximar Aproximar el el volumen volumen de de los los siguientes siguientes cuerpos cuerpos XY; ; (a, a) 1,3) a) f(x, f(x, y) y) ==sen sen xx ++ ee'-)' (a, b, b, c,d) e,d) == (0,4, (O, 4,1,3) b) b) f(x, f(x, y) y) = sen sen ID 1tX cos cos ny, 1ty, (a, (a, b, b, e, e, d) d) == (O, (O, n/4, 1t/4, O, O, n/4) 1t/4)

2

454


6.37 6.37 6.38 6.38

Emplee ideas que llevaron llevaron a las ecuaciones ecuaciones 6.41 y 6.42 6.42 para para obtener obtener la aproximación aproximación de Emplee las ideas función tabulada tabulada por tercer grado grado y su primera primera y segunda segunda derivadas. derivadas. una función por un polinomio polinomio de tercer ecuación de estado estado de Redlich-Kwong Redlich-Kwong es La ecuación

[ P+ TOS TOS

= RT a ] (V _b)= V(V+ b) V(V+

donde a = = 17.19344 17.19344 Y b = para el oxígeno oxígeno molecular. molecular. donde = 0.02211413 0.02211413 para = 373.15 373.15 K, se obtiene obtiene la siguiente siguiente tabla tabla de valores valores Si T = Puntos Puntos

oo

1

2

3

(atm) P (atm)

30.43853 30.43853

27.68355 27 .68355

25.38623 25.38623

23.44122 23.44122

(Llgmol) V (Llgmol)

1.0 1.0

1.1 1.1

i.2 1.2

1.3 1.3

= 1.05 L utilizando utilizando las ecuaciones ecuaciones 6.40 6.40 y 6.41 Y Y compácompá= relo con con el valor valor de la derivada derivada analítica. analítica. relo Proceda como como en el inciso inciso anterior, anterior, pero pero ahora ahora aplique aplique la ecuación ecuación 6.51 con con n= 1 y b) Proceda n == 2.

Calcule la dP/dV dP/dV cuando cuando V a) Calcule

6.39 6.39 6.40 6.40

6.41 6.41

6.42 6.42 6.43 6.43 6.44 6.44

utilizando la información información del ejemplo ejemplo 6.14. 6.14. utilizando = 325, 325, P = = 10 T= Obtenga la segunda segunda derivada derivada evaluada evaluada en x = = 3.7 para para la función función que que se da en seguida seguida Obtenga

dP

Puntos Puntos

o O

1

2

x

1

1.8 1.8

33

f(x) !(x)

3

4.34536 4.34536

6.57735 6.57735

3345

4

5

4.2 4.2

5

6.5

8.88725 8.88725

10.44721 10.44721

13.39223 13.39223

Utilice polinomio de Newton Newton en diferencias diferencias divididas divididas para para aproximar aproximar f (x). Utilice un polinomio Dada la funciónf función! (x) = = x eX e' + eX e< aproxime aproxime! f '' (x)j" (x)/" (x) en x= 0.6, empleando empleando los valores valores de Dada = 0.4, 0.4, 0.1, 0.0002 0.0002 con con n = 1, 2, 3, para para cada cada h. Compare Compare los resultados con los valores valores h= resultados con analíticos. analíticos. Elabore un programa programa que aproxime aproxime la primera primera derivada derivada de una una función función dada dada en forma forma taElabore bular, usando algoritmo 6.5 bular, usando el algoritmo Encuentre la primera primera derivada derivada numérica numérica de x In x en el punto punto x = = 2, usando usando un polinomio polinomio Encuentre aproximación de tercer tercer grado. grado. Estime Estime el error error cometido. cometido. de aproximación Dada la tabla: tabla: Dada x

0.2

0.3

0.4 0.4

0.5 0.5

0.6 0.6

f(x) ! (x )

0.24428 0.24428

0.40496 0.40496

0.59673 0.59673

0.82436 0.82436

1.09327 1.09327

1.75482 1.75482

2.08855 2.08855

2.47308 2.47308

ff

6.45 6.45

II

Calcular dCA dCA Calcular

(x) (x)

calcule!'f' (x) para para x = = 0.3, 0.4 Y 0.5 con con n = 6.41) y compare compare con con los valores valores anaana= 2 (Ec. 6.41) calcule líticos dados en la tabla tabla líticos dados tabla siguiente, siguiente, x es la distancia distancia en metros metros que que recorre una bala bala a lo largo largo de un cacaEn la tabla recorre una segundos. Encuentre Encuentre la velocidad velocidad de la bala bala en x = =3 ñón en t segundos.


o o

x

6.46

0.0359

numérica

2

3

4

5

0.0493

0.0596

0.0700

0.0786

455

Dado un circuito con un voltaje E(t) y una inductancia L, la primera ley de Kirchhoff que lo modela es E

=

L di/di + R i

donde i es la corriente en amperes y R la resistencia en ohms. La tabla de abajo da los valores experimentales de i correspondientes a varios tiempos t dados en segundos. Si la inductancia L es constante e igual a 0.97 henries y la resistencia es de 0.14 ohms, aproxime el voltaje E en los valores de t dados en la tabla usando la ecuación 6.41. 0.95

0.96

0.97

0.98

0.99

1.0

0.90

1.92

2.54

2.88

3.04

3.10

y 6.47

e es

6.48

La reacción en fase líquida entre trimetilarnina y bromuro de propilo en benceno, se llevó a cabo introduciendo cinco ampolletas con una mezcla de reactantes en un baño a temperatura constante. Las ampolletas se sacan a varios tiempos, se enfrían para detener la reacción y se analiza su contenido. El análisis se basa en que la sal cuaternaria de amoniaco está ionizada,de aquí que la concentración de los iones bromuro se pueda obtener por titulación. Los resultados obtenidos son Tiempo (min)

10

35

60

85

110

Conversión (%)

12

28

40

46

52

Calcule la variación de la conversión con respecto al tiempo de los distintos puntos de la tabla. La densidad de soluciones de cloruro de calcio (CaC12) a diferentes temperaturas y concentraciones se presenta en la siguiente tabla

a-

rc o

c% peso -5 2

40

80

100

1.0l71

1.0148

1.0084

0.9881

0.9748

1.0708

1.0703

1.0659

1.0586

1.0382

1.0257

16

1.1471

1.1454

1.1386

1.1301

1.1092

1.0973

1.2922

1.2816

1.2709

1.2478

1.2359

1.3957

1.3826

1.357l

1.3450

40

a-

20

8

30

a-

O

Calcule a) La variación de la densidad con respecto a la temperatura a T = O°C y e = 40 % b) La variación de la densidad con respecto a la concentración a T = O°C y e = 40%

e) La variación de la densidad con respecto a la temperatura a T = 30°C Y e = 10 % a T = 30°C Y e = 10%

d) La variación de la densidad con respecto a la concentración

CAPÍTULO CAPÍTULO

7 7

ECUACIONES DIFERENCIALES DIFERENCIALES ECUACIONES ORDINARIAS ORDINARIAS dónde nos nos dirigimos dirigimos A dónde este capítulo capítulo se estudiarán estudiarán las técnicas solución de ecuaciones En este técnicas numéricas numéricas de solución ecuaciones diferendiferenfrontera, denominados ciales con condiciones condiciones iniciales iniciales o de frontera, ciales denominados problemas problemas de valor valor inicial inicial o frontera, respectivamente. respectivamente. Para esto se inicia formulando tales de frontera, Para esto inicia formulando tales problemas, problemas, y luego, luego, a partir de las ideas extrapolación, se plantean como el de Euler partir ideas de extrapolación, plantean métodos métodos como Euler y los de Tay101'. Más Más adelante, adelante, en un proceso proceso de ponderación loro ponderación de pendientes, pendientes, se obtienen obtienen métodos métodos con con diferentes órdenes órdenes de exactitud diferentes exactitud donde donde no se requiere requiere de derivaciones derivaciones complicadas complicadas de funciones, pagándose pagándose como como precio ello un mayor cálculos. Tales funciones, precio de ello mayor número número de cálculos. Tales métodos métodos conocidos como como métodos Runge-Kutta. Basándose Basándose en el proceso proceso de integración integración son conocidos métodos de Runge-Kutta. implicado en la solución solución de las funcioimplicado las ecuaciones ecuaciones diferenciales diferenciales y en la aproximación aproximación de funciones vista capítulo S, vista en el capítulo S, se plantean familias de métodos plantean familias métodos denominados denominados de predicciónprediccióncorrección. corrección. capítulo se extienden extienden las técnicas ecuaciones diferenciales diferenciales de orAl final del capítulo técnicas vistas vistas a ecuaciones superior al primero, sistemas de ecuaciones ecuaciones diferenciales den superior primero, transformándolas transformándolas a sistemas diferenciales de priprimer orden orden y resolviéndolas mer resolviéndolas como como tales. Dado que que las ecuaciones ecuaciones diferenciales Dado diferenciales ordinarias ordinarias permiten permiten modelar modelar procesos procesos dinádinámicos: vaciado vaciado de recipientes, reactores químicos, amortiguados, desarromicos: recipientes, reactores químicos, movimientos movimientos amortiguados, desarrollos poblacionales incluso situaciones vigas y problemas problemas poblacionales e incluso situaciones estáticas estáticas como como la deflexión deflexión de vigas geométricos y de que las técnicas analíticas son válidas sólo para ciertas ecuaciones geométricos que técnicas analíticas válidas sólo para ciertas ecuaciones muy particulares, particulares, las técnicas este capítulo capítulo resultan sólo complementarias complementarias sino sino muy técnicas de este resultan no sólo necesarias. necesarias.

Introducción Introducción llama ecuación ecuación diferencial diferencial aquella ecuación que contiene una dependiente y Se llama aquella ecuación que contiene una variable variable dependiente derivadas con con respecto sus derivadas respecto a una una o más más variables variables independientes. independientes. Muchas Muchas de la leyes leyes gegenerales de la naturaleza expresan en el lenguaje ecuaciones diferenciales; nerales naturaleza se expresan lenguaje de las ecuaciones diferenciales; abunabuntambién las aplicaciones dan también aplicaciones en ingeniería, ingeniería, economía, economia, en las mismas mismas matemáticas matemáticas y en muchos otros otros campos muchos campos de la ciencia ciencia aplicada. aplicada. Esta gran gran utilidad Esta utilidad de las ecuaciones ecuaciones diferenciales diferenciales es fácil fácil de explicar; explicar; recuérdese recuérdese que que si se tiene tiene la función función y = dy/dx puede =f (x), su derivada derivada dy/dx puede interpretarse interpretarse como como la velocidad velocidad de cambio de yy con con respecto cambio respecto a x. X. En cualquier cualquier proceso proceso natural, natural, las las variables variables incluidas incluidas y sus velocidades de cambio cambio se relacionan velocidades relacionan entre entre sí mediante mediante los principios principios científicos científicos que que gobiernan el proceso. proceso. El resultado expresar en símbolos símbolos matemáticos biernan resultado de expresar matemáticos estas estas relaciones, relaciones, a menudo es una una ecuación ecuación diferencial. menudo diferencial. tratará de ilustrar estos comentarios comentarios con con el siguiente siguiente ejemplo. ejemplo. Se tratará ilustrar estos Supóngase que conocer cómo cómo varía Supóngase que se quiere quiere conocer varía la altura altura h del nivel nivel en un tanque tanque cilíndricilíndriárea seccional seccional A cuando cuando se llena (L/min) coco de área llena con un líquido líquido de densidad densidad p a razón razón de G (L/min) muestra en la figura figura 7.1. mo se muestra ecuación diferencial diferencial se obtiene balance de materia materia (principio (principio univerLa ecuación obtiene mediante mediante un balance univercontinuidad) en el tanque: sal de continuidad) tanque:

458

Métodos iería Métodos numéricos numéricos aplicados aplicados a a la ingen ingeniería

-----¡

G (Umin) (Umin) ----~¡

Figura 7.1 Llenado de un tanque tanque cilíndrico.

7 Acumulación Acumulación (Kg/min) (Kg/min)

Entrada Entrada (Kg/min) (Kg/min)

Salida Salida (Kg/min) (Kg/min)

donde la acumulación acumulación significa significa la variación variación de la masa líquido en el tanque con respecdonde masa de líquido tanque con respecto al tiempo, tiempo, la cual cual se expresa expresa matemáticamente como una derivada: matemáticamente como una derivada: d(V p)/dt. Lo que que entra entra es ~ (Kg/min) y el término término de salida salida es nulo, nulo, con con lo cual cual la ecuaecuad(Vp)/dt. ~ (Kg/min) ción de continuidad continuidad queda queda como como sigue: sigue: ción (Vp) ) == G/p G/p d (Vp dt Por otro otro lado, lado, el volumen volumen de líquido líquido V que que contiene contiene el tanque tanque a una altura h es* es" V == A h. Por una altura Al sustituir sustituir V en la ecuación ecuación diferencial diferencial de arriba arriba y considerando considerando que que la densidad densidad p es constante, se llega llega a: constante, A~=G A.!!!.- = G dt

(7.1)

ecuación diferencial diferencial cuya cuya solución solución describe describe cómo cómo cambia altura h del líquido líquido dentro dentro del ecuación cambia la altura tanque con con respecto respecto al tiempo tiempo t.t. A continuación continuación se enumeran enumeran ejemplos ejemplos de ecuaciones ecuaciones ditanque ferenciales. . ferenciales =_ky dy = _ky dt

(7.2) (7.2)

á2y á2y m-=ky m-=ky dt22 -

dy

2.xy + 2.xy

dx

(7.3) 2

= ee-XX =

á2y á2y dy ---5-+6y=O -5-+6y = O dx2 dx dx2 2

á2y á2y

(1 - x) x2) -

dx22

- 2x-

dy dx

(p + 1) Y = =O + p (p

á2y dy x2 -- + X + (x2- p2) = O 2 dx dx del tanque tanque es • El fondo fondo del es plano. plano.

(7.4)

(7.5)

(7.6)

RE

(7.7)

Ecuaciones diferenciales diferenciales ordinarias ordinarias Ecuaciones

459

variable dependiente dependiente en cada cada una una de estas estas ecuaciones ecuaciones es y, y la variable variable indepenindepenLa variable diente es x o t.t. Las Las letras letras k, m y p representan representan constantes. constantes. Una Una ecuación ecuación diferencial diferencial es ordiente dinaria si sólo sólo tiene tiene una una variable variable independiente, independiente, por por lo que que todas todas las derivadas que que tiene tiene dinaria las derivadas ordinarias o totales. totales. Las Las ecuaciones ecuaciones 7.1 a 7.7 son ordinarias. ordinarias. El orden orden de una ecuación son ordinarias una ecuación diferencial es el orden orden de la derivada derivada de más más alto orden orden en ella. Las ecuaciones ecuaciones 7.1, 7.1, 7.2 7.2 Y diferencial orden, y las demás demás de segundo. segundo. 7.4 son de primer primer orden,

Formulación del problema de valor inicial 7.1 Formulación La ecuación ecuación diferencial diferencial ordinaria (EDO) general general de primer primer orden orden es: La ordinaria (EDO)

dy

dx =f(x, =f(x, y) dx

(7.8) (7.8)

En la teoría teoría de las EDO EDO se establece establece que que su solución solución general general debe debe contener contener una una constante constante En arbitraria e, de tal modo modo que que la solución solución general general de la ecuación ecuación 7.8 es: arbitraria es: F(x, y, e) = =O O F(x,

(7.9) (7.9)

La ecuación ecuación 7.9 representa representa una familia de curvas curvas en el plano plano x-y, x-y, obtenida obtenida cada cada una una de La una familia ellas para para un valor valor particular particular de e como como se muestra muestra en la figura figura 7.2. 7.2. Cada Cada una una de estas estas ellas curvas corresponde corresponde a una una solución solución particular particular de la EDO EDO 7.8, 7.8, y analíticamente analíticamente dichas dichas consconscurvas tantes se obtienen obtienen exigiendo exigiendo que que la solución solución de esa esa ecuación ecuación pase pase por por algún algún punto punto (x (xoo,, Yo); Yo); tantes esto es, que que esto (7.10) (7.10) cual significa significa que que la variable variable dependiente dependiente y vale vale Yo cuando cuando la variable variable independiente independiente xx lo cual vale X Xo (véase curva F22 de la Fig. Fig. 7.2). 7.2). vale o (véase la curva cursos regulares regulares de cálculo cálculo y ecuaciones ecuaciones diferenciales diferenciales se estudian estudian técnicas técnicas anaanaEn los cursos líticas para para encontrar encontrar soluciones soluciones del tipo tipo de la ecuación ecuación 7.9 a problemas problemas como como el de la líticas ecuación 7.8 7.8 o mejor mejor aún, a problemas problemas de valor valor inicial-ecuación inicial -ecuación condición 7.10, 7.10, ecuación 7.8 yY condición simultáneamente. simultáneamente. práctica la mayoría mayoría de las ecuaciones ecuaciones no pueden pueden resolverse resolverse utilizando utilizando estas estas técEn la práctica nicas, y se deberá deberá recurrir recurrir a los métodos métodos numéricos. numéricos. nicas,

yy

F2 =0, con y (x o) =Yo Yo

Figura 7.2 Figura Representación Representación gráfica de la gráfica solución solución general, general, ecuación 7.9. 7.9. ecuación

x ~-------------------------------------------x X

o

460


métodos numéricos numéricos no se encuentran soluciones de la forma Cuando se usan métodos Cuando encuentran soluciones fonna F(x, F(x, y, e)

==

O, ya que que trabajan trabajan con números números y dan por por resultado Sin embargo, O, resultado números. números. Sin embargo, el propósito propósito usual de encontrar encontrar una una solución solución es determinar determinar valores usual valores de yy (números) (números) correspondientes correspondientes a valores especifico especifico s de x, lo cual cual es factible factible con valores con los los mencionados mencionados métodos métodos numéricos numéricos sin tener que encontrar encontrar F(x, Ftx, y, e) = = O. tener problema de valor valor inicial inicial (PVI) (PVI) por por resolver El problema resolver numéricamente numéricamente queda queda formulado formulado cocosigue: mo sigue: Una ecuación ecuación diferencial diferencial de primer primer orden a) Una orden (del (del tipo tipo 7.8) 7.8) valor de y en un punto conocido XXoo (condición b) El valor punto conocido (condición inicial) inicial) c) El valor valor x¡ donde donde se quiere quiere conocer conocer el valor e) valor de y (y¡) lenguaje matemático matemático quedará quedará así que en lenguaje dy -;¡;=f(x,y) dx = f(x, y)

PVI PVI

(xoo) ) = Yo y (x y (x¡ (x¡)) = =? Y

(7.11) (7.11)

Formulado el probbma problema de valor valor inicial, inicial, a continuación Formulado continuación se describen describen una una serie serie de técnicas técnicas numéricas para resolverlo. numéricas para resolverlo.

1.2 Método Método de (uler Euler 7.2 El método método de Euler Euler es el más simple de los métodos El más simple métodos numéricos numéricos para para resolver resolver un un probleproblema valor inicial inicial del tipo tipo 7.11. 7.11. Consiste Consiste en dividir intervalo que ma de valor dividir el intervalo que va de XXoo a x¡ x¡ en n susubintervalos de ancho ancho h (véase (véase Fig. 7.3); 7.3); o sea, sea, bintervalos

h = x¡ -

Xo

n

(7.12) (7 .12)

manera que que se obtiene obtiene un conjunto conjunto discreto puntos' : xoo' xl' xl' x22' , ...... , xnn del del inde manera discreto de (n + 1) puntos": tervalo de interés interés [x [xo,, xl Para cualquiera cualquiera de estos tervalo xl Para estos puntos puntos se cumple cumple que que Xi Xi

= Xoo + ih, = ih, O O ~~ i ~ nn

(7.13) (7.13)

Nótese la similitud similitud de este este desarrollo desarrollo con con el primer Nótese primer paso paso de la integración integración numérica. numérica. La condición condición inicial inicial y(x = Yo representa representa el punto (xoo'' Yo) por La y(xoo) ) = punto Po Po = = (x por donde donde pasa pasa la curcursolución de la ecuaci6n ecuaci6n 7.11 7.11,, la cual cual por por simplicidad simplicidad se denotará denotará como como F(x) F(x) = = y, en luva solución gar de F(x, F(x, y, el) c.) = = O. gar Con el punto punto Po se puede puede evaluar evaluar la primera Con primera derivada derivada de F(x) F(x) en ese ese punto; punto; a saber saber (x) F I (x) I

= -dy II = dx

Po

==f(x f(x o, o, Yo)

(7.14) (7.14)

Con esta esta información información se traza traza una una recta, recta, aquella pasa por f (xoo'' Yo). Con aquella que que pasa por Po y de pendiente pendientef(x Esta recta recta aproxima aproxima F(x) F(x) en una una vecindad vecindad de xxoo.. Tómese Esta Tómese la recta recta como como remplazo remplazo de F(x) F(x) localícese en ella ella (la recta) recta) el valor valor de y correspondiente y localícese correspondiente a XI. XI. Entonces, Entonces, de la figura figura 7.3 (7.15) (7.15)

convierte en x". x". • XI XI se convierte


461

lo

a III

yy

0-

11)

Figura 7.3 Deducción Deducción gráfica del método m étodo de Euler. Eu ler.

-, -h~, -, -h~, X,

Xi Xi

II

xX

X Xi+[i+[

as resuelve para Y¡ Se resuelve para YI

YI

= Yo

+ (XI - Xo )f( Xo' Yo)

= Yo

+ hf( XÜ' Yo)

(7,16) (7,16)

Es evidente evidente que que la ordenada ordenada YI Y¡ calculada calculada de esta esta manera igual a F(x¡), existe un manera no es igual F(x l ), pues pues existe pequeño obstante, el valor y¡ sirve sirve para aproximar F'(x) = (xi' (xi' YI) y¡) y pequeño error. No obstante, valor YI para aproximar F'(x) en el punto punto P = repetir anterior a fin de generar generar la sucesión sucesión de aproximaciones aproximaciones siguiente: siguiente: repetir el procedimiento procedimiento anterior

lesu-

y¡ = Yo + hf(xo'Yo) hf(xo'yo) YI Y2 = YI y¡ + hf(xl, hf(xl, YI) y¡) 12) (7.17) (7.17)

in.l3)

curlu-

Como se muestra figura 7.4, 7.4, en esencia esencia se trata trata de aproximar aproximar la curva curva yy = = F(x) Como muestra en la figura F(x) por por medio serie de segmentos segmentos de línea línea recta. medio de una una serie recta. Como la aproximación aproximación a una curva mediante línea recta exacta, se comete comete Como una curva mediante una una línea recta no es exacta, un error error propio modo similar similar a otros otros capítulos, capítulos, éste éste se denominadenominapropio del método método mismo. mismo. De De modo rá error error de truncamiento. error puede disminuirse tanto como se quiera quiera (al menos truncamiento . Dicho Dicho elTor puede disminuirse tanto como menos teóricamente) cambio de un mayor cálculos y teóricamente) reduciendo reduciendo el valor valor de h, pero pero a cambio mayor número número de cálculos tiempo consiguiente, de un error error de redondeo redondeo más tiempo de máquina máquina y, por por consiguiente, más alto.

er .14) Yo)' F(x) 7.3

Ejemplo 7.1 Ejemplo

Resuelva el siguiente siguiente Resuelva

.l5)

dy

= (x-y) (x-y) - =

dx y (O)

=2 = Yy (1) = =?

mediante Euler. mediante el método método de Euler.

462


yy

Figura 7.4 7.4 Aplicación Aplicación repetida del repetida método de método Euler. Euler.

Solución Solución

Errorfinal Error final

L-----~--~--~~--~--~----r_--_.--_.----._ ___ x L-----~--~--~----~--~----r_--_r--_.----._

xixi


XII

XII

Puede electrónico o el GC GC para seguir los cálculos. Puede usar usar un pizarrón pizarrón electrónico para seguir los cálculos.

El intervalo interés para este ejemplo ejemplo es [O, [O, 1] Y al dividirlo dividirlo en cinco cinco subintervalos subintervalos se intervalo de interés para este tiene: tiene: h

== 11- O O= 0.2 = 0.2 5

con lo cual cual se generan generan los argumentos argumentos con XXoo

x

x22

== 0.0, x¡x ¡ == XXoo + h == 0.0 + 0.2 == 0.2 == xIxI + h == 0.2 0.2 + 0.2 0.2 = = 0.4

ss == xx44 + h == 0.8 + 0.2

X

Con XXoo = Con = 0.0 y Yo

== 1.0

== 2 Y las ecuaciones ecuaciones 7.17 7.17 se obtienen obtienen los valores valores 0.2[0.0 - 2] = Y¡ = = y(0.2) y(0.2) = = 2 + 0.2[0.0 = 1.6 0.2[0.2 - 1.6] = l.32 Y2 = = y(O.4) y(O.4) = = 1.6 + 0.2[0.2 = 1.32 Y3 = l.32 + 0.2[0.4 0.2[0.4 - 1.32] l.32] = l.l36 Y3 = y(0.6) y (0 .6) = = 1.32 = l.136 l.l36 + 0.2[0.6 0.2[0.6 - l.136] l.l36] = = 1.0288 1.0288 Y4 = = y(0.8) y(0 .8) = = l.136 1.0288 + 0.2[0.8 0.2[0.8 - 1.0288] 1.0288] = 0.98304 Ys = = y(l.O) y(l.O) = = 1.0288 = 0.98304

Por otro lado, lado, la solución solución analítica analítica es 1.10364 1.10364 (el lector lector puede verificarla resolviendo Por otro puede verificarla resolviendo analíticamente el PVI); error cometido 0.1206 en valor absoluto y 10.92 10.92 en por analíticamente PVI); el error cometido es 0.1206 valor absoluto por ciento (ver (ver Fig. 7.5). ciento Fig. 7.5).


463

Y Y ------2 -------

Yo

1.8 1.8

1.6 1.6

1.4 lA Solución analítica analítica Solución Solución con Solución método Euler Euler método

1.2 1.2

Figura 7.5 Solución analítica en contraste con el método de método aplicado Euler aplicado veces. cinco veces.

Error Error

__ 0.8~----~------~------~-------L------~------~--~ __ 0.4 x -0.2 -0.2 0.2 004 0.6 0.8 0.8

0.8~----~------~------~------~------~------~--~

se

1 I ALGORITMO ALGORITMO 7. 7. 1 11

¡:¡;

¡

'.

11

Ali0'~)o/-m

Método de Euler ~

Para obtener obtener la aproximación aproximación YF YF a la solución solución de un problema problema de valor valor iniéiíll inicial o PVI PVI (Ec. 7.11), 7.11), proporcionar proporcionar la función función Para F(X,Y) y y los F(X,Y) La condición condición inicial inicial XO, YO, YO, el valor valor XF XF donde donde se desea desea conocer conocer el valor valor de YF YF y y el número número N de La subintervalos subintervalos por por emplear. emplear. RESULTADOS: Aproximación a YF: YO. RESULTADOS: Aproximación

DATOS: DATOS:

PASO 1. Hacer Hacer H = (XF (XF - XO)/N PASO PASO 2. Hacer Hacer I1 = 1 PASO PASO 3. Mientras Mientras I1 ::; ::;N, repetir los pasos pasos 4 a 6. PASO N, repetir PASO 4. Hacer Hacer YO YO = YO YO + H * F(XO, YO) PASO PASO 5. Hacer Hacer XO = XO + H PASO PASO 6. Hacer Hacer I1 = I1 + 1 PASO PASO 7. IMPRIMIR IMPRIMIR YO YO Y Y TERMINAR. TERMINAR. PASO

o

Métodos de Taylor Taylor 7.3 Métodos Antes de explicar explicar estos estos métodos, métodos, conviene conviene hacer hacer una una acotación acotación al método método de Euler. Euler. Antes Puede decirse decirse que que el método método de Euler Euler utiliza utiliza los primeros primeros dos términos términos de la serie serie de Puede Taylor para para su primera primera iteración; iteración; o sea, Taylor F(x F(x¡)¡) '" Y¡ Yl = F(x F(xoo)) + F'(x F'(xoO ) ) (x¡ (x. - xoo)

donde se señala señala que que YI Yj no es igual igual a F(x¡). F(x¡). donde

(7.18) (7.18)

464


Esto pudo pudo hacer hacer pensar pensar que que para para encontrar encontrar Y2' se expandió expandió de nuevo nuevo F(x) F(x) en serie serie de Esto Taylor, como como sigue: sigue: Taylor, (7.19) (7.19) embargo, no se dispone dispone de los valores valores exactos exactos de F(x F(xl) l ) y F' F' (xI) y, rigurosamente rigurosamente hasin embargo, blando, son los que deben deben usarse usarse en una una expansión expansión de Taylor Taylor de F(x) F(x) -en -en este este caso caso alrealreblando, dedor de xxll--; ; por tanto, tanto, el lado derecho derecho de la ecuación ecuación 7.19 7.19 no es evaluable. evaluable. Por Por ello, sólo dedor primera iteración, para encontrar encontrar YI' YI' se usa realmente realmente una expansión expansión en serie serie de Taylor Taylor en la primera iteración, para F(x), aceptando aceptando desde desde luego luego que que se tienen tienen valores valores exactos exactos en la condición condición inicial inicial Yo = = de F(x), F(xoo)')' Después Después de eso, eso, se emplea emplea la ecuación ecuación F(x Y¡+l = =Yi Y¡ + f(x¡, f(x¡, Y¡) Y¡) (X¡+I (X¡+I - x¡) Y¡+l

(7.20) (7.20)

= F(x) F(x) + F'(x) F' (x) (X¡+ (x¡+II -- x¡) x) =

que guarda guarda similitud similitud con una una expansión expansión en serie serie de Taylor. que Aclarado este este punto, punto, a continuación continuación se aplicará aplicará la información información acerca acerca de las series series de Aclarado Taylor para para mejorar mejorar la exactitud exactitud del método método de Euler Euler y obtener obtener extensiones extensiones que constituTaylor constitufamilia de métodos llamados algoritmos algoritmos de Taylor. Taylor. yen la familia métodos llamados usan tres términos términos en lugar lugar de dos en la expansión expansión de F(x F(xl),l ) , entonces: entonces: Si se usan 11 (xI - xO)2 ,, " xO)2 F(xl) l ) "" "" YI = F(x F(xoo)) + F (xoo) (xl (Xl - xo)) + F (xo)) -----'----'--F(x o -----'---=--o 2!

(7.21) (7.21)

Como Como " dF'(x) df(x, y) 11 dF'(x) df(x, =--= F (x) = --= ,, dx dx dx dx y

h = xxl-x l -Ox ' O'

primera iteración iteración (Ec. 7.21) 7.21) tomaría tomaría la forma' forma' la primera 2 h2

YI = Yo + hf hf (xo> (xQ>Yo) YI Yo) +

2! 2!

df(x, y) df(x, dx dx

II x ' Yo oo

(7.22) (7.22)

Ahora cabe cabe pensar pensar que que usando usando una una fórmula fórmula de iteración iteración basada basada en la ecuación ecuación 7.22 7.22 para para Ahora obtener Y2' Y3"" 'YI) , Y" mejoraría mejoraría la exactitud exactitud obtenida obtenida con la 7.18. 7.18. Se propone entonces la propone entonces obtener fórmula fórmula 2 df(x, h2 df(x, y) Y¡+I1= = Y Y¡ + hf(x, hf(x¡, Y¡) -2 . -----'---'-Y y) + -1 1+ 1 1 1 2! dx dx

II Xi' Y¡ x¡,Y¡

(7.23) (7.23)

que equivaldría equivaldría a usar usar una una curva curva que que pasa pasa por por el punto cuya pendiente pendiente y segunda segunda que punto (xoo' Yo)' cuya derivada sean sean iguales iguales que que las las de la función función desconocida desconocida F(x) F(x) en el punto punto (xoo' Yo)' Como Como derivada puede verse verse en la figura figura 7.6, se obtiene obtiene en general general una una mejor mejor aproximación aproximación que con el mépuede todo de Euler, Euler, aunque aunque con un mayor mayor número número de cálculos cálculos . todo

Y)I

notación df(x, df(x, Y)I significa la evaluación evaluación de la derivada derivada def(x, def(x, y) con con respecto respecto a x en el punto punto (xoo' Yo) Yo)'' • La notación significa dx Yo dx xoo' Yo

d

Ecuaciones

de 7

-¡

6

Error Euler

9) are'lo lor

diferenciales ordinarias

465

Y = F (x)

5

0= 4

3

20)

de itu-

.21)

Yo

Figura 7.6 Comparación gráfica de los errores del método de . Euler y el de Taylor de orden 2.

2

Euler

O O

1.5

0.5

2 Xl

La utilidad de esta ecuación depende de cuán fácil sea la diferenciación de f(x, y). Si f(x, y) es una función sólo de x, la diferenciación con respecto a x es relativamente fácil y la fórmula propuesta es muy práctica. Si, como es el caso general,f(x, y) es una funci6n de x y y, habrá que usar derivadas totales. La derivada total de f(x, y) con respecto a x está dada por: df(x, y) --"----'--'-''-'-= dx

para es la

Ejemplo 7.2

unda omo 1mé-

of(x, y)

+

ox

-

oy

dy dx

Si se aplican las ideas vistas en el método de Euler, pero empleando como fórmula la equación 7.23, se obtiene el método de Taylor de segundo orden. Esto último es indicativo de la derivada de mayor orden que se emplea y de cierta exactitud. Con esta terminología, al método de Euler le correspondería el nombre de método de Taylor de primer orden.

.22)

7.23)

of(x, y)

Solución

Resuelva el PVI del ejemplo 7.1 por el método de Taylor de segundo orden. Puede usar un pizarrón electrónico para seguir los cálculos. Al utilizar de nuevo cinco intervalos se tiene h

= 0.2,

x3

= 0.6,

X

o

= 0.0,

x¡ =0.2,

x4

= 0.8,

X

s

=

1.0

Se aplica la ecuación 7.23 con Yo = 2 y con df(x,

y)

of(x,y) --''-----'ox

(0.2)

= Yo

dx yaque-

dy

of(x,y) + ---'--oy

(x - y)

=

1- x +

= x-y

dx y¡ = y

+ h (xo - Yo) + -

h2 2!

(1 - Xo + Yo)

y

466


02 022 2

0.2 (O - 2) + _. (1 - O + 2) = 1.66 = 2 + 0.2 _.- (1

2

Y2 Y2

= Y (0.4) (0.4) = = YI = YI

(xl - YI) YI) + + h (xI

= 1.66 1.66 + 0.2( 0.2( 0.2 0.2 =

h2 2!

(1 - XI YI) (1 X I + YI)

0222 02 1.66) + _.(l - 0.2 0.2 + 1.66) 1.66) 1.66) _.- (1 2

== 1.4172 1.4172

continuar este este procedimiento llega a al continuar procedimiento se llega Ys = y (1.0) (1.0) = 1.11222 1.11222 Ys

que da un error error absoluto absoluto de 0.00858 0.00858 y un error error porcentual 0.78. Nótese mayor que porcentual de 0.78. Nótese la mayor exactitud y el mayor mayor número número de cálculos. cálculos. exactitud

extensión de esta esta idea idea a cuatro, cuatro, cinco cinco o más más términos términos de la serie serie de Taylor Taylor significasignificaLa extensión ría obtener obtener métodos con mayor mayor exactitud, exactitud, pero menos prácticos, que incluirían incluirían difedifería métodos con pero menos prácticos, ya ya que renciaciones complicadas dej(x, dej(x, y); por ejemplo, si se quisieran quisieran usar cuatro términos renciaciones complicadas por ejemplo, usar cuatro términos de serie, se necesitaría segunda derivada derivada de j(x, cual está está dada dada por: la serie, necesitaría la segunda j(x, y), la cual d2j(x, y) cPj(x, y) 2 dx2

cPj(x, 2Pj(x, y) + 2 ~dy +2ax2 ax2 dx y) + aj(x, aj(x, y) + ax

"()2j(x, ¡J2j(x, y) + (!!:!....)2 + (!!:!"")2 ax ay axay dx

a

2j (X, y) cPj(x, y)

ay2

aj( x, y) + ( aj( aj( x, Y))2!!:!.... Y))2!!:!"" aj( ay ay dx

Las derivadas derivadas totales totales de orden orden superior superior al segundo segundo dej(x, dej(x, y) son aún más más largas largas y complicompliLas cadas. cadas. varios términos términos de la serie serie de Taylor Taylor presenta serias dificultades dificultades, , los Ya que el uso uso de varios presenta serias investigadores han han buscado métodos comparables comparables con con ellos ellos en exactitud exactitud pero más fáciles. fáciles. investigadores buscado métodos pero más hecho, el patrón evaluarlos son son los métodos métodos derivados derivados de la serie serie de Taylor; Taylor; por De hecho, patrón para para evaluarlos por ejemplo, dado dado un método, método, se compara compara con con el derivado derivado de la serie serie de Taylor Taylor que que proporcioejemplo, proporcione la misma misma exactitud. exactitud. La derivada derivada de más más alto orden orden en este este último confiere el orden orden del último confiere primero. Un método método que que diera diera una exactitud comparable comparable al método método de Euler Euler sería sería de pripriprimero. Un una exactitud mer orden; orden; si proporcionara exactitud comparativamente comparativamente igual igual a usar términos de mer proporcionara una una exactitud usar tres términos serie de Taylor, Taylor, sería sería de segundo segundo orden, orden, y así sucesivamente. sucesivamente. la serie A continuación continuación se estudian estudian métodos métodos de orden orden dos, tres, etc., en los que que no se req\.l¡lerequietres, etc., ren diferenciaciones de j(x, ren diferenciaciones j(x, y).

Euler modificado 7.4 Método de (uler método de Euler Euler se tomó tomó como como válida válida para todo el primer primer subintervalo subintervalo la derivada derivada En el método para todo encontrada en un extremo extremo de éste éste (véase (véase Fig. Fig. 7.3). 7.3). Para Para obtener obtener una exactitud razonable razonable se encontrada una exactitud utiliza intervalo muy muy pequeño, cambio de un error error de redondeo redondeo mayor mayor (ya (ya que que se reautiliza un intervalo pequeño, a cambio realizarán más más cálculos). cálculos). lizarán método de Euler Euler modificado modificado trata trata de evitar evitar este este problema valor proEl método problema utilizando utilizando un valor promedio de la derivada derivada tomada tomada en los dos extremos extremos del intervalo, intervalo, en lugar derivada tomedio lugar de la derivada tomada en un solo solo extremo. extremo. mada método de Euler Euler modificado consta de dos pasos El método modificado consta pasos básicos": básicos": Se omitió omitió la subdivisión subdivisión de [xO' l en n subintervalos subintervalos para dar énfasis énfasis a los los pasos fundamentales • Se [xD' xI x¡ 1 para dar pasos fundam entales de predicpredicción y corrección. corrección. ción

F

dell rr

Ecuaciones


467

1. Se parte de (xo, Yo) y se utiliza el método de Euler a fin de calcular el valor de y correspondiente a Xl. Este valor de y se denotará aquí como 5\ ya que sólo es un valor transitorio para y r- Esta parte del proceso se conoce como paso predictor. 2. El segundo paso se llama corrector, pues trata de corregir la predicción. En el nuevo punto obtenido (xl' y¡) se evalúa la derivada j'{x., y¡) usando la ecuación diferencial ordinaria del PVI que se esté resolviendo; se obtiene la media aritmética de esta derivada y la derivada en el punto inicial (xo, Yo). ~

2

[f (xo' Yo) + f (x¡, Y¡)]

= derivada

promedio

Se usa la derivada promedio para calcular un nuevo valor de Yl' con la ecuación 7.17 que deberá ser más exacto que y¡

y que se tomará como valor definitivo de YI (ver Fig. 7.7). Este procedimiento hasta llegar a YIl.

se repite

Error EuJer Modificado

i

Error EuJer

Figura 7.7

f(xl'

YI)

_1

Primera iteración del método de Euler modificado.

Predictor

Yo Xo

xI

h

El esquema iterativo para este método quedaría en general así. Primero, usando el paso de predicción resulta: Yi+¡

= Y¡ + hf(x¡, y).

(7.24a)

Una vez obtenida Y¡+¡ se calculaf(xi+l, Yi+¡)' la derivada en el punto (x¡+l' y¡+¡), y se promedia con la derivada previaf (Xi' y) para encontrar la derivada promedio

~--------------------------------------------,..._

~

468

"""""


sustituye j'(x., y) con este este valor valor promedio promedio en la ecuación ecuación de iteración Se sustituyef(x¡, y¡) con iteración de Euler Euler y se obobtiene: tiene:

1

(7.24b) (7.24b) I Eje~PIO

;~;1

Solución Solución

Resuelva modificado. Resuelva el PVI PVI del ejemplo ejemplo 7.1 por por el método método de Euler Euler modificado. Al utilizar resultados obteniobteniutilizar nuevamente nuevamente cinco cinco intervalos intervalos para para que que la comparación comparación de los resultados dos sea consistente consistente con los anteriores anteriores se tiene: tiene: Primera iteración iteración Primera Primer paso: paso: YI .YI = = Yo + hf hf (x (xoo'' Yo) Primer Segundo paso: paso: Segundo

= 2 + 0.2 0.2 (O (O =

2)

= 1.6 =

1 21 [f(x [f(xo, o' Yo) + f(xl' .YI)] 1= =2 2 [(O 2" f(xl' YI) [(O Y (0.2) (0.2) Y

2) + (0:2 1.6)] 1= 2) (0:2 -=- 1.6) = -1.7 -1.7

=!¡y¡ = = 2 + 0.2(-1.7) 0.2(-1.7) = 1.66 = = 1.66

Segunda iteración iteración Segunda Primer paso: paso: Y2 .Y2 Primer

= YI =

Segundo paso: paso: Segundo

1

22

hf (xl' (xl' Y¡) + hf

= 1.66 + 0.2(0.2 0.2(0.2 =

1.66) 1.66)

== 1.368 1.368

1 [f(xl' Y¡) + f(x .Y2)] 1= - [(0.2 [(0.2 - 1.66) 1.66) + 1.368)] 1= -1.214 [f(xl' f(x + (0.4 (0.4 - 1.368) = -1.214 2, 2, Y2)

22

y(O.4) y(O.4)

= Y2 = = 1.66 + 0.2(-1.214) 0.2(-1.214) = 1.4172 = = 1.4172

Al continuar continuar los cálculos cálculos se llega llega a

.Ys = = 1.08509 1.08509 Ys = 1.11222 1.11222 Ys =

resultados obtenidos obtenidos en este este caso caso son idénticos idénticos a los los del Los resultados del ejemplo ejemplo 7.2 7.2 en que que se utilizó utilizó método de Taylor Taylor de segundo segundo orden; orden; por por tanto, tanto, presumiblemente presumiblemente el método el método método de Euler Euler momodificado es de segundo segundo orden. orden. Esto Esto se demuestra demuestra en la siguiente dificado siguiente sección. sección.

ALGORITMO ALGORITMO

7.2 Mé~o Método de ~uler Euler modificado modificado ,

Para obtener obtener la aproximación aproximación YF YF a la solución solución de un PVI, PVI, proporcionar proporcionar la función función F(X, Para F(X, Y) yy los los La condición condición inicial inicial XO, YO, YO, el valor valor XF XF donde donde se desea desea conocer conocer el valor número N de La valor de YF YF yy el número subintervalor por por emplear. emplear. subintervalor RESULTADOS: Aproximación a YF: YO. YO. RESULTADOS: Aproximación

DATOS: DATOS:

PASO 1. Hacer Hacer H = (XF (XF - XO) / N PASO PASO 2. Hacer Hacer 1 = 1 PASO PASO 3. 3. Mientras Mientras 11::; repetir los pasos pasos 4 a 7. PASO ~ N, repetir PASO 4. Hacer Hacer Yl Yl = YO YO + H* F(XO, YO) PASO PASO 5. Hacer Hacer YO YO = YO + H/2 H/2 * * (F(XO, YO) + F(XO+H,Y1)) F(XO+H,Yl)) PASO PASO 6. 6. Hacer Hacer XO XO + H XO = XO PASO =I+ 1 PASO PASO 7. HacerI HacerI=I+l PASO 8. IMPRIMIR IMPRIMIR YO YO Y Y TERMINAR TERMINAR PASO

[


469

Runge-Kutta 7.5 Métodos de Runge-Kutta métodos asociados asociados con nombres de Runge Runge (1885), (1885), Kutta Kutta (1901), (1901), Heun Heun (1900) Los métodos con los nombres (1900) y otros para para resolver resolver el PVI PVI (Ec. 7.11) 7.11) consisten consisten en obtener obtener un resultado resultado que que se obtendría otros obtendría al utilizar un número número finito finito de términos términos de una una serie serie de Taylor Taylor de la forma forma utilizar

~~

~~

Y¡+l! = = Y¡ Y¡ + hf hf (x¡, y) y) + ~~l' f' (x¡, Y¡ Y¡ ) + ~~f f" " (x¡, y) y) + ... Y¡+

(7.25) (7.25)

con una una aproximación aproximación en la cual cual se calcula calcula Y¡+! Y¡+l de una una fórmula fórmula del tipo' tipo' con h , Y¡ + b22h) Y¡+,! = = Y¡ Y¡ + h [aof(x¡, [aof(x¡, y) y) + a¡j(x¡ a¡j(x¡ + f.1! f.11h, Y¡ + b¡h) b,h) + a¿f(x¡ a¿f(x¡+ + f.12 f.12h,Y¡+ Y¡+ h, Y¡

+ ... + apf(x¡

(7.26)

+ f.1¡/t,Y¡ + bph)]

donde las a, f.1 f.1y b se determinan determinan de modo modo que expandieraf(x. 1, + f.1jh, pjh, y.' donde que si se expandieraf(x + b. h), h), con con 1 'J, J . ::s: j :;. ::s: p en series series de Tay Taylor alrededor de (x¡, (x, y), observaría que los coeficientes coeficientes de h, h22,, :;. lor alrededor y), se observaría h33,, etc., etc., coincidirían coincidirían con con los coeficientes coeficientes correspondientes correspondientes de la ecuación ecuación 7.25. 7.25. A continuación continuación se derivará derivará sólo sólo el caso caso más más simple, simple, cuando cuando p == 1, para para ilustrar ilustrar el proprocedimiento del caso general, ya que los lineamientos son los mismos. cedimiento del caso general, que lineamientos mismos. A fin de simplicar simplicar y sistematizar sistematizar la derivación, derivación, conviene conviene expresar expresar la ecuación ecuación 7.26 7.26 con con p = = 1 en la forma forma (7.27) (7 .27) Obsérvese que que en esta esta expresión expresión se evalúaf (x¡, y) y) Y (x¡ (x, + f.1h ph,, Y¡ y¡ + bh). bh). El valor Obsérvese evalúaf en (Xi' valor x¡ + f.1h f.1h que x¡ < x¡ f.1h:;. ::s: x¡+ x¡+,¡ para para mantener mantener la abcisa abcisa del segundo segundo punto punto dentro dentro del intervaes tal que Xi < Xi + f.1h intervalo de interés interés (véase (véase Fig. Fig. 7.8), 7.8), con con lo 10 que que O O< < f.1 f.1:;. ::s: l. 1. Por otro otro lado, lado, b puede puede manejarse manejarse más libremente y expresarse expresarse Yi y¡ + bh, bh, sin pérdida Por más libremente pérdida de generalidad, como como una ordenada ordenada arriba arriba o abajo abajo de la ordenada ordenada que que da el método método de Euler generalidad, Euler simple simple (7.28) (7.28) Y¡ + bh = = Yi Y¡ + Ahf(xi,y) ?Jzf(x¡,y) = = Y¡ y¡ + Aleo AJeo Yi

(X¡ + In In h, y¡ ko) (\ Y¡ + 'A. kül

•

e

y¡ + hf (x¡, Y¡ l (X¡ ,Y¡) 4 - - - - - - - - - - - - - - ~~).-----------------------

-

-

-

-

-

-

-

-

Figura 7.8 7.8 Figura Deducción del Deducción método de método Runge-Kutta.

Nótese que que en la ecuación ecuación 7.26 7.26 ya no aparecen aparecen diferenciaciones, diferenciaciones, sólo sólo evaluac evaluaciones de/ex,(x, y). y). • Nótese iones def

470

Métodos numéricos numéricos aplicados aplicados aa la la ingeniería Métodos

Queda entonces entonces por por determinar determinar a¡¡, ao, al' a" Ji ¡.l y íL íLtales que la ecuación ecuación 7.27 7.27 tenga tenga una Queda tales que una expansión en potencias potencias de h cuyos cuyos primero primero términos, términos, tantos tantos como como sea sea posible, posible, coincidan coincidan con pansión primeros términos términos de la 7.25. 7.25. los primeros Para f (x¡ + Jih, y¡ + Akü) Para obtener obtener los parámetros parámetros desconocidos, desconocidos, se expande expande primero primero f(Xi ph, Yi Ako) en seTaylor (obviamente (obviamente mediante mediante el desarrrollo desarrrollo de Taylor Taylor de funciones funciones de dos variables).' variables)." rie de Taylor

(7.29) (7.29) Todas las las derivadas derivadas parciales parciales son evaluadas evaluadas en (x¡, (x, yJ Todas y¡). sustituye en la ecuación ecuación 7.27 7.27 Se sustituye

Esta última ecuación queda: anegla en potencias potencias de h, y queda: Esta última ecuación se arregla

+-

3

h

2

a)

oy (¡.¡2 -ox2

+ 2¡.lAf (x, y)

oy -oxoY

+ "A,2j2 (Xi' y)

o2f --) o y2

(7.30) (7.30) + O (h4)

Para coincidan en en las las ecuaciones ecuaciones 7.25 7.25 y Para que que los coeficientes coeficientes correspondientes correspondientes de h y h22 coincidan 7.30 7.30 se requiere: requiere:

(7.31) (7.31) 1

¡.la.) =-, 2 Hay Hay cuatro cuatro incógnitas incógnitas para para sólo sólo tres tres ecuaciones ecuaciones y, por por tanto, tanto, se se tiene tiene un un grado grado de de libertad libertad en la solución solución de de la ecuación ecuación 7.31. 7.31. Podría Podría pensarse pensarse en en usar usar este este grado grado de de libertad libertad para para hahacer cer coincidir coincidir los los coeficientes coeficientes de h33.. Sin Sin embargo, embargo, es obvio obvio que que esto esto es es imposible imposible para para cualcualquier quier forma forma que que tenga tenga la la funciónf(x, funciónf(x, y). y) . Existe Existe entonces entonces un un número número infinito infinito de de soluciones soluciones de la ecuación ecuación 7.31, 7.31 , pero pero quizá quizá la más más simple simple sea: sea:

Esta Esta elección elección conduce conduce al al sustituir sustituir en en la la ecuación ecuación 7.27 7.27 a:

h

)'¡+I

= )'¡+ 2" [f(x¡, y¡) + f(x¡

+

h,

)'¡ +

hf(x¡, y¡)) ]

oo bien bien

•• Spiegel, Spiegel, M.R. M.R. Manual Manual de formulas fórmulas yy tablas tablas matemáticas, matemáticas, Schaum. Schaul1l. McGraw McGraw Hill. Hill. Serie Serie Schaum. Schaum . (1970), (1970), p. p. 113. 11 3.

Ecuaciones diferenciales ordinarias ordinarias Ecuaciones diferenciales

Y 1+ ¡, Y '+

h

= y. = y +2 11

471

(ko + k¡) k,) (ka

(7.32) (7.32)

con con

conocida por coinconocida como como algoritmo algoritmo de Runge-Kutta Runge-Kutta de segundo segundo orden orden (lo de segundo segundo orden orden por cidir primeros tres tres términos términos de la serie cidir con con los primeros serie de Taylor), Taylor), y que que es la fórmula fórmula del método método de Euler modificado, con pasos sintetizados uno. Euler modificado, con dos pasos sintetizados en uno. Por ser orden método proporciona proporciona mayor mayor exactitud Por orden superior superior al de Euler, Euler, este este método exactitud (véase (véase Ej. 7.3); por tanto, tanto, es posible posible usar usar un valor valor de h no tan pequeño pequeño como primero. El precio precio 7.3); por como en el primero. y) dos veces veces en cada una en el método método de Euler. es la evaluación evaluación def(x, def(x, y) cada subintervalo, subintervalo, contra contra una Las Runge-Kutta de cualquier puede derivar misma forma Las fórmulas fórmulas de Runge-Kutta cualquier orden orden se puede derivar en la misma forma en que que se llega llega a la ecuación ecuación 7.32. 7.32. para orden muEl método método de Runge-Kutta Runge-Kutta de cuarto cuarto orden orden (igual (igual que que para orden dos, existen existen muchos métodos de cuarto una de las fórmulas más usadas usadas de esta chos métodos cuarto orden) orden) es una fórmulas más esta familia familia y está está dado como: como:

29)

l

(7.33) (7.33) donde: donde: k, = = f(x¡, y¡) k¡ f(x¡, Y¡) = f(x¡ h/2, Y¡ y¡ + hk¡l2) hk¡l2) kk22 = f(x¡ + h/2, .30)

k3 = = f(x¡ h/2, Y¡ y¡ + hk/2) hki2) f(x¡ + h/2, k3 k¿ k4

= f(x¡ y¡ + hk hk33) ) = f(x¡ + h, Y¡

En la ecuación hay coincidencia primeros cinco términos de la serie ecuación 7.33 7.33 hay coincidencia con con los primeros cinco términos serie de Taylar, pero a cambio, hay que lar, lo cual cual significa significa gran gran exactitud exactitud sin cálculo cálculo de derivadas; derivadas; pero cambio, hay que evaevaluar y) cuatro veces en cada luar la funciónf(x, función f (x, y) cuatro veces cada subintervalo. subintervalo. método de Euler modificado, puede puede verse verse a los métodos métodos de RungeRungeAl igual igual que que en el método Euler modificado, kp kk22,, k3 Y k4 con pesos pesos 1,2, respectivamenKutta como ponderación de penctientes, penctientes, k" Kutta como la ponderación k3 Y 1,2,2, 2, 1, respectivamenpara el caso caso de cuarto cuarto orden, orden, dando dando lugar lugar a una recta de pendiente (k,¡ + 2k 2kz2 + 2k3 2k3 + k k44)/6 te para una recta pendiente (k )/6 Y que pasa por por el punto punto (x Yo) y que es la que para obtener YI (ver Y que pasa (xoo' ' Yo) que se usa para obtener Y, (ver Fig. 7.9). 7.9).

5 Y

.31)

rtad haualones

y

K¡ + 2K2 + 2K3 + K4 6

113.

Figura Figura 7.9 7.9 Interpretación Interpretación gráfica del método método de Runge-Kutta de cuarto cuarto orden.

Solución Solución analítica analítica

Yo Yo x

",.,.,

472


Ejemplo Ejemplo 7.4 Solución

Resuelva Resuelva el PVI PVI del ejemplo ejemplo 7. 1 por por el método método de Runge-Kutta Runge-Kutta de cuarto cuarto orden orden (RK-4). (RK-4). recomienda usar usar un piZaITÓn pizarrón electrónico. electrónico. Se recomienda Al tomar tomar nuevamente nuevamente cinco cinco subintervalos subintervalos y emplear emplear la ecuación ecuación 7.33 se tiene tiene Primera iteración iteración Primera

Cálculo Cálculo de las constantes constantes kl' k22, , k3' k3, k4 (O - 2 ) = -2 -2 k¡ = f(x f(xoo, , Yo ) = (O k22 = f(xoo + h/2, -1.7 = f(x h/2, Yo+ hk¡ hk, /2) = [(0+0.2/2) [(0+0.2/2) - (2 + 0.2(-2)/2)] 0.2(-2)/2)] = =-1.7 k3 = f(x h/2, Yo + hkzl2) hkzf2) = [(O [(O + 0.2/2) 0.2/2) - (2 + 0.2(0.2(-1.7)/2)] -1.73 k3 f(xoo + h/2, 1.7)/2)] = -1.73 k4 = f(x + h, Yo + hk ) = [(O + 0.2) (2 + 0.2(-1.73)) ] = -1.454 f(xoo h, hk33) [(O 0.2) 0.2(-1.73)) -1.454 Cálculo de y¡ Cálculo

h Y (0.2) (0.2) = y¡ = Yo + - (k¡ + 2k 2k22 + 2k3 + k44) ) 6 . . . (0.2/6) (-2 (-2 + 2 (-1.7 (-1.7 ) + 2 (-1.73) (-1.73) - 1.454) 1.454) = 1.65621.6562. = 2 + (0.2/6)

Segunda Segunda iteración iteración Cálculo Cálculo de las constantes constantes kl' kl' k22, , k33,, k4 = f(xl' Y¡) (0.2 - 1.6562) 1.6562) = -1.4562 -1.4562 k¡ =f(x¡, y ¡) = (0.2 =f(x¡ ¡ + h/2, h/2, yYI¡ + hk¡l2) hk¡l2) = [(0.2 [(0.2 + 0.212) 0.2/2) - (1.6562 (1.6562 + 0.2(-1.4562/2)] 0.2(-1.4562/2)] = --1.21058 k22 =f(x 1.21058 k3 = f(x¡ h/2, Y + hkzl2) hkzf2 ) = [(0.2 [(0.2 + 0.2/2) 0.2/2) - (1.6562 (1.6562 + 0.2(-1.21058)/2)] 0.2(-1.21058)/2)] = -1.235142 -1.235142 k3 = f(x ¡ + h/2, k4 =f(x y ¡ + hk =j(x¡ ¡ + h, h, y¡ hk33)) = [(0.2 [(0.2 + 0.2) - (1.6562 (1.6562 + 0.2(-1.235142))] 0.2(-1.235142))] = -1.009l7 -1.009l71616 Cálculo de Y2 Cálculo

h Y (0.4) (0.4) = Y2 = Y¡ Y¡ + (5 (k¡ + 2kz 2k2 + 2k3 2k3 + k44)) 1.6562 + (0.2/6)(-1.4562 (0.2/6)(-1.4562 + 2(-1.21058) 2(-1.21058) + 2(-1.235142) 2(-1.235142) = 1.6562 -1.0091716) = 1.410972813 1.410972813 -1.00917l6)

ALG(

Para obt

Con Con la continuación continuación de este este procedimiento procedimiento se obtiene: obtiene:

DATI y(0.6) 1.246450474 y(0.6) = Y3 = 1.246450474 y(0.8) = Y4 = 1.148003885 1.148003885 y(0.8) y(1.0) 1.103655714 y(1.0) = Ys = 1.1036557l4

que que da un error error absoluto absoluto de 0.00001 0.00001 y un error error porcentual porcentual de 0.0009. 0.0009. Los cálculos Los cálculos pueden pueden realizarse realizarse con con la TI-92 TI-92 Plus. Plus.

RESl

PASO 1. PASO 2. PASO 3.

e7_4 e7_4 () Pg:rm Pg:rrn

Define -y Define f (x, y) = x x-y O-+xO: 0.2-+h: ClrIO O->xO : 22-+yO: ->yO : O . 2 ->h : ClrIO Disp "k x (k) Disp y (k) " Disp (xO " )&" Disp "O "O "&fonrat "&fonrat (xO,, "fl "f1")&" For i, 1, 1, 5 For f(xO, yO) yO)-+k1 f(xO, ->k1 f(xO+h/2, yO+h/2*k1) yO+h/2*k1)-+k2 f(xO+h/2, -> k2 f(xO+h/2, , yO+h/2*k2)-+k3 f(xO+h/2 yO+h/2 *k2) ->k3

PASO 11

tt

"&fonrat(yO "&fonrat(yO, , "f9 "f9")" )

Ecuaciones inarias Ecuaciones diferenciales diferenciales ord ordinarias

473

(xü-h, yO+h*k3) yO+h*k3) -+k4 --->k4 ff (xO+h, (k1+2*k2+2*k3+k4)--->yO yO+h/6* (kl+2*k2+2*k3+k4)-+yO

)J

XO~XO ~~

Disp fornat(i, fo:rrrat(i, "fO")&" "&fornat(xO, "&fo:rrrat(xO, "f1") "f1")&" "&fo:rrrat(yO, , "f9") "f9") Disp "fO")&" &" "&fornat(yO EndFor EndFor EndPrgm

Matlab proporciona proporciona un conjunto conjunto de funciones funciones para para resolver resolver sistemas sistemas de ecuaciones ecuaciones difeMatlab renciales. A continuación continuación se muestra muestra cómo cómo usar usar Matlab Matlab para para resolver resolver este este ejemplo ejemplo con una renciales. dichas funciones. funciones. de dichas Se escribe escribe una función función con el vector vector de funciones funciones (en este este caso caso de un solo solo elemento) elemento) graba con el nombre nombre E74.m, E74.m, por por ejemplo. ejemplo. y se graba function f=E74(x,y) func tion f=E74 (x , y) f(l)= = x-y x-y; ; f(l)

Después se usa el siguiente siguiente guión: guión: Después 0.2:1;: 1 ; yO=[2] yO=[21; ; xx=O : 0.2 [T,YI=ode45('e74', xx, , yO); [T,Y]=ode45('e74 ', xx yO); y IJ '1

ALGORITMO ALGORITMO

7.3 Método de Runge-I
Para Para obtener obtener la aproximación aprox imación YF YF a la solució solució de un PVI, PVI, proporcionar proporcionar la función función F(X,Y) F(X,Y) y los los La el valor valor XF XF donde donde se desea desea conocer conocer el el valor valor de de YF YF yy el el número número N N de La condición condición inicial inicial XO, YO, el subintervalos a emplear. subintervalos emplear. RESULTADOS: RESULTADOS: Apoximación Apoximación a YF: YF: YO

DATOS: DATOS:


1. Hacer Hacer H H = (XF (XF -XO)/N -XO)/N 2. Hacer Hacer I1 = 1I 3. Mientras Mientras I ~:s; N, N, repetir repetir los los pasos pasos 4 a 10. PASO PASO 4. Hacer Hacer Kl KI = F(XO F(XO,, YO) PASO PASO 5. 5. Hacer Hacer K2 K2 = F(XO+H/2 F(XO+H/2,, YO + H H ':' * K1/2) K1/2) PASO Hacer K3 = F(XO + H/2 H/2 , YO + H H ** K2/2) K2/2) PASO 6. Hacer PASO Hacer K4 K4 = F(XO + H, H, YO ++ H H *':' K3) K3) PASO 7. Hacer PASO H/6 * (Kl (KI ++ 2*K2 2*K2 +2*K3 +2*K3 + K4) K4) PASO 8. 8. Hacer Hacer YO = YO + H/6 PASO Hacer XO = XO + H H PASO 9. Hacer PASO LO. Hacer Hacer I = I1 + 1I PASO 10. PASO [l. IMPRIMIR IMPRIMIR YO YY TERMINAR. TERMINAR. PASO 11.

Los Los métodos métodos descritos descritos hasta hasta aquí aquí se se conocen conocen como como métodos métodos de de un un solo solo paso paso porque porque se apoyan (x¡, y¡) y) para para el el cálculo cálculo de de Y¡+I y¡+ 1 (por (por ejemplo ejemplo los los métodos métodos de de Taylor). Taylor). apoyan yy usan usan el el punto punto (x¡, Los Los métodos métodos de de Runge-Kutta Runge-Kutta además además se se apoyan apoyan en en puntos puntos entre entre x¡ x¡ yy x¡+1 X¡+ 1 pero pero nunca nunca en en

474


puntos anteriores Xi. Sin embargo, usa información previa a x¡ para para el cálculo puntos anteriores a Xi. embargo, si se usa información previa cálculo de Y¡+ Y¡+ll'' obtener otras otras familias familias de métodos métodos con con otras otras características características distintas distintas a las ya es posible posible obtener vistas. pasos o métodos vistas. A estos estos métodos métodos se les llama llama métodos métodos de de múltiples múltiples pasos métodos de de predicpredicción-corrección. ción-corrección.

1.6 Métodos de predicción-corrección predicción-corrección esquema iterativo iterativo del método Euler modificado (Sección 7.4) 7.4) se utiliza fórmula En el esquema método de Euler modificado (Sección utiliza la fórmula Y¡+I Y¡+I = = Y¡ Y¡ +

h

2" [{(xi' [{(Xi' y) y) + f

_ (X¡+i' Y¡+l)] Y¡+I)]

El segundo término del miembro miembro derecho recuerda la integración trapesegundo término derecho de esta esta ecuación ecuación recuerda integración trapezoidal compuesta compuesta del capítulo capítulo 6. zoidal Para ver ver mejor mejor esta recuérdese que Para esta similitud, similitud, recuérdese que la solución solución analítica analítica de la ecuación ecuación diferencial PVI (Ec. 7.11) ferencial del PVI 7.11) es: y

= = F(x) F(x)

y que que F'(x) F'(x) =f(x,y), =j(x, y),

e integrando miembros con respecto a x integrando ambos ambos miembros con respecto F'(x) dx dx = = F(x) F(x) = = II f(x, j(x, y) dx II F'(x) y) dx

partir de que y), se integra límites A partir que F(x) F(x) es la integral integral indefinida indefinida de f(x, f(x, y), integra f(x, j(x, y) entre entre los límites de x: x: x¡ y x¡+! X¡+l para para obtener: obtener:

II;'¡+l y) dx x¡+1 ;'¡+! f(x f(x, , y) dx = = F(x) F(x) II x¡+! "/ x¡ x¡

1

(7.34) (7.34)

donde y¡, y y¡+ F(x) y F(x¡+l) respectivamente. donde Y¡, Y¡+!l son aproximaciones aproximaciones a F(x) F(x¡+l)' ' respectivamente. Por otro otro lado, lado, es factible factible realizar integración, pero aproximación Por realizar la misma misma integración, pero con una una aproximación y) y (x¡+i' Y¡+l)' donde paso de predicpredictrapezoidal entre puntos (x¡, y) trapezoidal entre los puntos (x¡+!' Y¡+l)' donde Y¡+I Y¡+! se obtuvo obtuvo en el paso ción. ción. (7.35) (7.35) donde trapezoide donde h es la altura altura del trapezoide h

= x¡+l

-Xi

tiene Al igualar igualar las integrales integrales 7.34 7.34 y 7.35, 7.35, se tiene Y¡+! - Y¡ Y¡ = = Y¡+I

o bien bien

~~

[{(Xi' j(x¡+I' ' Y¡+I)] Y¡+!)] [{(Xi' y) y) + f(x¡+I

Ecuaciones Ecuaciones diferenciales diferenciales ordinarias ordinarias

475

que da la ecuación ecuación de corrección corrección del método método de Euler Euler modificado; esta manera estaque modificado; de esta manera se establece este algoritmo algoritmo y la integración integración trapezoidal. Esto sugiere sugiere a su vez blece la identificación identificación de este trapezoidal. Esto vez la obtención PVI por por medio medio de la regla obtención de esquemas esquemas iterativos iterativos de solución solución del PVI regla de Simpson Simpson métodos de integración numérica que que usan usan mayor mayor número número de puntos. puntos. u otros otros métodos integración numérica basado en el método método de Simpson A continuación continuación se derivará derivará un COlTector corrector basado Simpson 1/3. La ecuación toma ahora ecuación 7.34 7.34 toma ahora la forma forma

ya ic-

II ;~:i ;~:i ff(x, y) dx F(X i+1) -(x, y) dx = = F(Xi+l)

F(xi_,) F(x Yi-' i_,) '" Yi+l - Yi-'

(7.36) (7.36)

y la cOlTespondiente Y correspondiente a 7.35 7.35 queda: queda:

la

I.;~:i

f(x, y) dx '"

~

[{(Xi_\, Yi-l) + 4f(x i, Y¡) + f(x i+\, Yi+')]

(7.37) (7.37)

+,

Nótese que utilizan dos para cada Nótese que se está está integrando integrando de xii_,_, a xii+, ya que que se utilizan dos subintervalos subintervalos para cada integración. integración. corrección Al igualar igualar 7.36 7.36 y 7.37 7.37 se llega llega a la fórmula fórmula de corrección

pedi-

(7.38) (7.38) donde que obtener obtener yy i+' i+' con con un predictor. predictor. donde nuevamente nuevamente hay hay que partir de (x ' Yo)' la ecuación 7.38 tomaría la forma Al partir (xo' ecuación 7.38 tomaría forma o

(7.39) (7.39) para su primera primera aplicación. predictor, el cual vez repara aplicación. En 7.39 7.39 Y2 es estimada estimada con un predictor, cual a su vez y, y f(x" f(x\, y,). y ,). Así Así pues, pues, antes realizar la primera primera predicción predicción deben quiere quiere Y, antes de realizar deben evaluarse evaluarse cierciervalores iniciales y f (x\, y ,)]. tos valores iniciales [en este este caso caso Y, Y (x" y,)]. En esta métodos ya ya vistos vistos (los de Runge-Kutta, Runge-Kutta, por por esta evaluación evaluación se usa alguno alguno de los métodos ejemplo). Este paso paso se utiliza utiliza sólo una vez vez en el proceso proceso iterativo ejemplo). Este sólo una iterativo y se conoce conoce como como paso paso inicialización. de inicialización. evidente que que para método de los ya esesEs evidente para la predicción predicción también también puede puede utilizarse utilizarse un método tudiados como se verá adelante, puede derivarse un predictor usando las mismas tudiados o, como verá más más adelante, puede derivarse predictor usando mismas ideas que que condujeron condujeron a la ecuación ecuación 7.39 7.39 ideas

ites

.34)

ción die-

Ejemplo 7.5 .35)

Solución

Resuelva el problema inicial del ejemplo ejemplo 7.1 utilizando corrector dado dado por Resuelva problema de valor valor inicial utilizando el corrector por la ecuación 7.38 7.38 y el método Euler modificado como inicializador inicializador y como como predictor ecuación método Euler modificado como predictor.. intervalo se divide divide otra otra vez en cinco cinco sub subintervalos El intervalo intervalos y se tiene tiene Primera iteración iteración Primera Inicialización (se toma del ejemplo ejemplo 7.3): 7.3): Inicialización toma el valor valor de Y, y , del Y, y,

= 1.66 l.66 =

Predicción: ejemplo 7.3): 7.3): Predicción: (se toma toma el valor valor de h Yz del ejemplo

Y2= 1Al72 lAl72 Y2= Correción: se utiliza ecuación 7.39 7.39 (puede (puede usar electrónico) COlTeción: utiliza la ecuación usar un pizarrón pizarrón electrónico) Yy (OA) (OA)

= Y2 = =2+ = = 1.40952 l.40952 =

[(O - 2) + 4 (0.2 (0.2 - 1.66) l.66) + (OA (OA - 1.4172)] 1.4172)] 0 22 [(O

33

476

Métodos numéricos n uméricos aplicados aplicados a a la la ingeniería ingen iería Métodos

Segunda Segunda interación interación

Predicción Predicción

1

Y3 = = Y2 + + ; [j(x [f(x Y2) ++ j(X f(x2 2 ++ h,h, Y2 ++ hj(x hf(x Y2)) ] 2, 2, Y2))] 2, 2, Y2)

== 1.40952 1.40952 ++

O;}

[(0.4 [(0.4 -- 1.40952) 1.40952) ++ [([( 0.4 0.4 ++ 0.2) 0.2) -- (1.40952) (1.40952)

+ 0.2 0.2 (0.4 (0.4 - 1.40952))]] 1.40952))]] = = 1.2478064 1.2478064

Corrección (con (con la la ecuación ecuación 7.38) 7.38) Corrección yy (0.6) (0.6) = = Y3 ==Y¡ YI + ~ ~ [j(X [f(xp p Y¡) YI) + 44 f(x2' !(x2, Y2) Y2) + j(x f(x3,3, Y3)] Y3)] = = 1.66 1.66 +

O:} O;}

[(0.2 [(0.2 - 1.66) 1.66) + 4 (0.4 (0.4 - 1.40952) 1.40952)

+ (0.6 (0.6 - 1.2478064)] 1.2478064)]

== 1.25027424 1.25027424

Tercera iteración iteración Tercera Predicción Predicción Y4 = = Y3 + ~~ [f (X (x33', Y3) + !f (X3 (x 3 + h, h , Y3 + hf h! (X (x33', Y3))] Y3))]

O;}

= 1.25027424 + = 1.25027424

[(0.6 1.25027424) + [(0.6 [(0.6 - 1.25027424) [(0.6 + 0.2) 0.2)

- (1.25027424 0.2 (0.6 1.25027424))]] = = 1.153224877 1.153224877 (1 .25027424 + 0.2 (0.6 - 1.25027424))]]

Corrección Corrección (con (con la ecuación ecuación 7.38) 7.38) (0.8) y (0.8)

= Y4 = = Y2 + ~~ [f (x (X22', Y2) + 4! 4 f (x (x33' , Y3) + !f =

(x44' , Y4) Y4)]] (x

O;}3 [(

= 1.40952 1.40952 + 0 2 [( 0.4 - 1.40952) 1.40952) + 4 (0.6 - 1.25027424) 1.25027424) =

(0.8 - 1.153224877)] 1.153224877)] + (0.8

= 1.145263878 1.145263878 =

Cuarta Cuarta iteración iteración Predicción Predicción YS=Y4+ [f(x4'Y4)+f(x4+ f(X4'Y4))] (x 4h+ YS = Y4 + ~~ [f(X h'Y4 + h!(X4' Y4))] 4'Y4) +!h'Y4+

O:}2

1.145263878 + 0 2 [(0.8 - 1.145263878) 1.145263878 ) + [(0.8 + 0.2) == 1.145263878 - (1.145263878 (l.l45263878 + 0.2 (0.8 - 1.145263878))]] 1.145263878))]] = 1.10311638 1.10311638

Corrección Corrección (con la ecuación ecuación 7.38) 7.38) [f(x3'Y3)+4f(X 'ys)] + !(xs , Ys) ] yy(1)=Ys=Y3+ (1) = Ys = Y3 + ~~ [f(x !(x4,sY4) 3, Y3) + 44'Y4)+f(x 1.25027424 ++ = 1.25027424

1.25027424) ++ 44 (0.8 (0.8 -- 1.145263878) 1.145263878) 00 22 [(0.6 -- 1.25027424)

33

(1 -1.10311638)] -1.10311638)] == 1.107977831 1.107977831 ++ (1 que da da un error error absoluto absoluto de de 0.00434 0.00434 yy 0.0393 0.0393 en en porcentaje. porcentaje. que


477

En general, general, puede puede obtenerse obtenerse un corrector corrector de de cualquier cualquier orden orden utilizando utilizando la fórmula En fórmula Y¡+I = Y¡+ I =

Y¡-k +

IJ"'ÚX'"

Xi., _ i k

X

f(f( x, x, yy ) dx, x,

0,1 , 2,.:. k= = 0,1,2,.:.

(7.40) (7.40)

donde la integración realiza sustituyendo f(x, y) y) con con un polinomio polinomio de grado grado k + 1 que que donde integración se realiza sustituyendo f(x, y¡,), ... k)' pasa por por (xi+i' pasa (xi+1' Yi+I)' Yi+I)' (x¡, y¡,), ... , (x¡_k' (X¡_k' Y¡Y¡-k)' En virtud virtud de que que se está está utilizando utilizando X¡+I x¡+1 Y y las abcisas abcisas previas previas a ésta ésta y a sus espaciaespaciaEn mientoss regulares, regulares, lo más más indicado indicado para para interpolarf(x, polinomio de interpolación interpolación miento interpolarf(x, y) es el polinomio diferencias hacia hacia atrás, atrás, dado dado por por la ecuación ecuación 5.38 capítulo 5. La La ecuaecuaen su forma forma de diferencias 5.38 del capítulo ción ción 7.40 7.40 queda queda entonces: entonces: (7.41) (7.41)

Para la obtención obtención de ptx¡ p(x¡ + sh), dada dada por por la ecuación ecuación 5.38, empleó el cambio cambio de variable variable Para 5.38, se empleó

= x¡ + sh, x = que permite permite escribir escribir la ecuación ecuación 7.41 en términos términos de la nueva nueva variable variable s, ya que que que dx hds dx== h ds

= x¡+ x¡ + sh xXi+i+l 1 = x¡_k = = x¡+ x¡ + sh x¡_k

donde s de donde donde s de donde

== 1 -k == -k

(7.42) (7.42)

Al sustituir llega a sustituir se llega Yi+1 Y¡+I

= = Y¡-k + +h

L~ P (x¡+ sh) ds L~ (x¡+ sh) ds

o bien bien

+ ... +

2) "rF( (s - 1) s (s + 1) .. ....(s + r - 2) "/F( -)]) ] d , x¡+i' Y¡+I Y¡+I s v J x¡+1' r.

La disimilitud disimilitud de los coeficientes coeficientes de las diferencias diferencias hacia hacia atrás atrás con con los de la ecuación La ecuación 5.38 5.38 x i+ II como como punto punto base. base. Si se denota denota por por Jj == f(x), f(xi' y) y) para para debe a que que se está está utilizando utilizando x.; se debe ... , i + 1, la última última ecuación ecuación queda: queda: j = = i - k, i - k + 1, 1,...

+

(s - l)s(s+l) (s-l)s(s+l)

3!

3 "3

t.:

(s - 1)s (s + 1) v + ... + (s-l)s(s+I)Vkl+"'+

(s-l)s ... (s-l)s ... (s+r-2) (s+r-2)"r

r!

(7.43)

r

v kl] ds Vkl]ds (7.43)

integrar se llega llega a y al integrar

2 S2(S4 _ +

3!

~) 2 V3

(~+ s4 _ f

+ 1+1

5

2

4!

S3 - s2 )

3

V4 kl + términos restantes]

I~k

(7.44)

478

Métodos geniería Métodos numéricos numéricos aplicados aplicados a a la in ingeniería

para k = = O, O, 1,3, 1,3, Y 5, la ecuación ecuación 7.44 7.44 da para

k=O k=O = Yi+h

Yi+1

[f;+1

-

2. \7 1;+1 - 2. \72 kl -2. \73 kl + términos 2

12

restantes]

(7.44a)

24

k=l k=1

(7.44b) (7.44b) __ 1_ V4f.+1 \74f+1 términos restantes] restantes] __ + términos 90 1' 90 k=3 k=3

= yy.1-1-. 33 + h [4 [4 f. I.{+l+ l1 - 8'1 8\7 f. I,t+l+ 1 + ~ ~ 3 \7 1l -y l+ 1 = '122 ff.,+ 1+

~3 \73 '1 3 f.. .fi+ 11 J ,+

~

(7.44c) (7.44c) :~ '1 \741;+1 0\751;+1 términos restantes] 1,+1 + términos + :~ 1,+1 + 0'1 restantes] 5

4

kk=5 =5 Yi+11 Yi+

= YiYi-5S + h =

+ 123 10

18\7 kl kl + 27 \7 L, 18'1 '1 22 kl

[61;+1 [61,+1 -

- 24 \73 kl '1 3 k,

(7.44d) (7.44d)

\741;+1 _ - ~ ~ kll + términos términos restantes] V4kl '1 k restantes]

10

5 \75

Independientemente del valor valor que que se elija elija para para k, se debe debe seleccionar seleccionar también también el orden orden del del Independientemente corrector, el cual cual está está dado dado en estas estas fórmulas fórmulas por por el orden orden r más corrector, más uno uno de la diferencia diferencia hacia hacia atrás de más más alto orden orden que que se utilice. utilice. Por Por ejemplo, ejemplo, para para correctores atrás correctores de cuarto cuarto orden orden cabe cabe emplear, emplear, entre entre otras, otras, las combinaciones: combinaciones:

= O, r k=

=3 = (7.45 (7.45 a)

kk=1, =l , rr=3 =3 (7 .45b) .45b) Por ejemplo, ejemplo, para para el orden orden sexto sexto se usa Por usa

= 3, r = =5 k= Y,'+1 Yi+1

.f +I. = YiY,'-33 + h [ 4 Ji+1 ,'+1 =

-

88

nnf .f

,'+1 vv Ji+1

20 + 33

~ n3.f n4.f I. ___ 8 n3 I. + 14 n4 I. ]] 3 vv Ji+ 1 45 vv Ji+1

n2.f n2 vv

Ji+1 i+1

3

;+1

45

i+1

(7.45c) (7.45c)

desarrollan las diferencias diferencias hacia hacia atrás atrás en estas estas fórmulas, Si se desarrollan fórmulas , se obtienen obtienen versiones versiones de 7.45a, 7.45b 7.45b y 7.45c más útiles útiles para para programar; programar; es decir decir 7.45c más 7.45a,

= O, r k= h

=3 =

= y.,1 + -24 [ 9 f. I.1+,+ 11 + 19 f. f.1, -- 5 f. L; f,'-2] 1 + f. 2] · 11 = Y·1+ Y {1-

(7.46a) (7.46a)

Ej

Ecuaciones iferenciales ordinarias Ecuaciones d diferenciales ordinarias

479

kk=l, = 1, rr=3 =3 h

y 1+ = y.y./-,- I¡ + -3 [f+ [f /1+1¡ + 4 ft./1 + f,' f,'_¡] Y I1 = _ I] ¡+

a)

(7.46b) (7.46b)

kk = = 3, r = =5 Yi+¡ = Yi-3 + Yi+ 1 =

!~k¡

!~

[7 k l + 321; 32}; + 12k¡ 12k¡ + 32k2 32k2 + 7 7k3] [7 k3]

(7.46c) (7.46c)

b) Esta familia familia de correctores conoce como como correctores correctores de de Adams-MouIton Adams-MouIton y uno uno de los los Esta correctores se conoce más usados usados es la ecuación ecuación 7.46a, 7.46a, la cual cual toma toma la forma forma más

para primera aplicación aplicación o, regresando regresando a la notación notación original original para su primera 44c) (7.47) (7.47) donde Yy¡,f(x Y¡); Y2,f(x Y2,f(x2, 2, Y2) deben deben calcularse calcularse previamente previamente por por un inicializador inicializador y Y3 por donde I,f(X por p P YI); predictor. No podría emplearse este este corrector corrector para calcular, por por ejemplo, ejemplo, h, Y2' ya que que totoun predictor. podría emplearse para calcular, maría la forma forma maría

44d)

n del

que requiere requiere información información en la abscisa abscisa x_¡ que está está fuera fuera del intervalo intervalo de interés. interés. que x_I que

acia cabe

Ejemplo 7.6 Ejemplo

Solución .4Sa)

Resuelva el PVI PVI del ejemplo ejemplo 7.1 con con el corrector corrector de la ecuación 7.46a. Resuelva ecuación 7.46a. intervalo de interés interés [O, 1] se vuelve vuelve a dividir dividir en cinco cinco subintervalos subintervalos y se usa El intervalo usa el método método Runge Kutta Kutta de cuarto cuarto orden orden tanto inicializador como como de predictor. conveniente de Runge tanto de inicializador predictor. Es conveniente utilizar inicializador y un predictor mismo orden orden que el corrector. corrector. utilizar un inicializador predictor del mismo Primera iteración iteración Primera

.4Sb)

Inicialización con con RK-4 RK-4 (se toman toman los valores valores del ejemplo ejemplo 7.4) 7.4) Inicialización y (0.2) (0.2) == 1.656200000 1.656200000 == YI Y¡ y (0.4) (0.4) = 1.410972813 = = Y2 Y = 1.410972813

Predicción con con RK-4 RK-4 (se toma toma el valor valor del ejemplo ejemplo 7.4) 7.4) Predicción (0.6) y (0.6)

.4Sc)

= 1.246450474 1.246450474 = = Y3 =

Corrección con con la ecuación ecuación 7.47 7.47 Corrección es de

02 Y3 = = 1.410972813 1.410972813 + - [9 (0.6 - 1.246450474) 1.246450474) + Y3 24 1.410972813) -5 -5 (0.2 (0.2 - 1.6562) 1.6562) + (O (O - 2)] 2)] == 1.246426665 1.246426665 19 (0.4 - 1.410972813) Segunda iteración iteración Segunda Predicción con con RK RK -4 -4 Predicción

480


Cálculo Cálculo de las constantes constantes ki' kp k22,, k3 Y Y k4 k4 k¡ = f(x 3, Y3) = = f(x3' = (0.6 - 1.24642665) 1.24642665) = = -0.646426665 --0.646426665

= f(x h/2, Y3 Y3 + hk¡f2) hk¡l2) k22 = f(x33 + h/2,

= [(0.6 [(0.6 + 0.2/2) 0.2/2) - (1.246426665 (1.246426665 =

+ 0.2 (-0.646426665)12)] (-0.646426665)12)] = - 0.481783999 0.481783999 =

/2) k3 k3 = = f (x (x33 + h/2, h/2, Y3 Y3 + hk hk22/2)

= = [(0.6 [(0.6 + 0.2/2) 0.2/2) - (1.246426665 (1.246426665 0.2 (-.481783999)/2)] (-.481783999)/2)] = = -0.498248265 -0.498248265 + 0.2 = f(x3 h, Y3 Y3 + hk hk33)) = = [(0.6 [(0.6 + 0.2) 0.2) - (1.246426665 (1.246426665 k4 = f(x 3 + h, (-0.498248265»] ] = -0.346777012 = -0.346777012 + 0.2 (-0.498248265»

Cálculo de y Y44 Cálculo

= 1.246426665 1.246426665 + =

0.2 ((-0.646426665 (-0.481783999) 0.2 0.646426665 + 2 (-0.481783999) 6

(-0.498248265) - 0.346777012) 0.346777012) = = 1.147984392 1.147984392 +2 (-0.498248265) Corrección con con la ecuación 7.46a Corrección ecuación 7.46a _ h Y4 = Y3 + -24 [9 f(x 4, Y4 ) + 19 f(x 3, Y3 ) -5 f(x 2 , Y2) + f(xi' Y¡) Y4=Y3+ [9f(X4'Y4)+ 19f(x3'Y3)-5f(x2'Y2)+f(xpy¡) 24

= 1.246426665 1.246426665 + .22 [9(0.8 [9(0.8 = 24

1.147984392 ) + 19(0.6 19(0.6 - 1.246426665)] 1.246426665)] 1.147984392

-5 (0.4 - 1.410972813) 1.410972813) + (0.2 (0.2 - 1.6562)] 1.6562)] -5

= 1.147965814 1.147965814 =

Tercera iteración iteración Tercera Predicción con con RK-4 RK-4 Predicción

Ys

= 1.103624544 1.103624544 =

Corrección con con (7.46a) (7.46a) Ys = = l.103609057 l.l03609057 Corrección con un error error absoluto absoluto de 0.0000292 0.0000292 y un error error porcentural porcentural de 0.00265 0.00265. . con Los cálculos pueden hacerse con la TI -92 Plus Los cálculos pueden hacerse con TI-92 Plus

e7_6() e7_ 6 () Prgm Prgm Define f(x f(x,y)= Define , y)= xx-y -y Define rk4 (h, (h. i) i) = = Prgm Prgm Define (x[i] ,y[i]) ,y[i]) ...... .....• k1 f (x[i] k1 f(x[i]+h/2,y[i]+h/2*k1) .....• k2 f(x[i]+h/2 , y[i]+h/2 *k1 ) ...... k2 f(x[i]+h/2,y[i]+h/2*k2)->k3 f(x[i]+h/2 , y[i]+h/2*k2) ->k3 f (x[i] (x[i] +h, +h,y[i] +h*k3).....• k4 y[i] +h*k3) ...... k4 y[i] +h/6* (k1+2*k2+2*k3 (k1+2*k2+2*k3+k4) .....• y[i+1] y[i] +k4) ...... y[i+l] x l i.] +h -h.....• x[i+1] xli] ...... x[i+1] EndPrgm EndPrgm O.....• x[l]: : 22 ...... .....• y[1] .....• ClrIO O ...... x[l] y[1] :: 00.2.2 ...... hh: : CIrIO "k x (k) (k) (k) " Disp "k y (k) "&fornat(x[l], "&fornat(y[l], , ""f9") Disp ""OO "&fornat( x[ l] , ""fl")&" fl " )&" "&fornat(y[l] f9 " )

Fig

rv

Ecuaciones diferenciales ordinarias Ecuaciones diferenciales ordinarias

481 481

For .í.. 1, 2 For i, 1, 2 rk4(h,i) rk4(h,i) fO " )&" "&fomat(x[i+1) " )& " "&fomat(y[i+l ") Disp fomat(i, format ti.. ""fO")&" "&fomat(x[i+l], , "fl "fl")&" "&fomat(y[i+l], ), "f9 "f9") End End For For i, i, 3 3,, 5 r k4 (h , i ) rk4(h,i) y [i) +h/24*(9*f(x[i+l],y[i+l]) +h/24*(9*f(x[ i+l) , y[i+1 )) + 19*f (x [i ) , y [i) ) -5 *f (x[i-l) , y[i-l) ) + y[i] 19*f(x[i],y[i])-5*f(x[i-l],y[i-l]) (x[i-2] ,,y[i-2])) --->y[i+l] y[i-2) ) ) ->y[i+l) f (x[i-2) disp fomat format; (i, (i., ""fO")&" "&fomat(x[i+l], "&fomat (y[i+l) (y[i+l] ,r ""f9") disp fO " )&" "&fomat (x[i+l) ,""fl")&" fl " )&" "&fomat f9 " ) EndFor EndFor EndPrgm EndPrgm

MÉTODOS DE PREDICCiÓN MÉTODOS PREDICCiÓN

habló de una una familia predictores obtenida partir del mismo principio principio de Ya antes antes se habló familia de predictores obtenida a partir del mismo integración que que se empleó empleó para para lo métodos métodos de Adams-Moulton. Adams-Moulton. A esta integración esta familia, familia, que que se dededuce métodos de Adams-Bashforth. Adams-Bashforth. duce a continuación, continuación, se le llama llama métodos En general, predictor de cualquier general, para para obtener obtener un predictor cualquier orden orden se utiliza utili za la fórmula fórmula 7.40 7.40 Yi+ 1 Yi+1

i f(f(xx,, yy)) ddx, == Yi-k Yi-k + ¡ X, J.r.;
I- /.;. I-k

pero ahora integración se realiza realiza sustituyendo sustituyendo f (x, y) y) con polinomio de grado grado k que pero ahora la integración con un polinomio que pasa por (Xi' (x; y), Yi-k); (véase (véase Fig. 7.10). Obviamente, Obviamente, se utiliza y), ... ,(Xi_k' ,(Xi_k' Yi-k); Fig. 7.10). utiliza el polinomio polinomio de inpasa por terpolación forma de diferencias diferencias hacia atrás, pues pues Xi' ... , xi__k están esterpolación en su forma hacia atrás, Xi"" regularmente esi k están regularmente paciadas. Entonces, Entonces, al aplicar ecuación 5.38 obtiene paciadas. aplicar la ecuación 5.38 se obtiene Yi+l Yi+ 1

Xi+ 1 ( dS , = Yi-k +. +JXIi+1X¡_k =Yi-k . P (Xi Xi + sh) S 1) 1 ds, ,X¡_k

donde los límites límites de integración integración y dx dx en términos términos de la nueva nueva variable variable s quedan quedan corno como en donde los la ecuación ecuación 7.42. 7.42. Por Por tanto tanto Yi+11 Yi+

= Yi-k Yi-k + h =

L~ L~ P (x, (Xi + sh) sh) ds, ds , "17221; 1; '1;

Yi+1 Yi+ 1

= Yi-k Yi-k + h =

L~ VI; + s (s + 1) 1) 2! L~ [1; [1; + s VI; 2!

3 J,. "1 V'I V3!, V'!, (s + 1) (s + 2) ....(s + k - 1) __- ,']] ds + s (s 2) __ - - ', + ... + s (s + 1) (s + 2) .. 3! r!

yy / - - " " Y¡-2 I I

:: "<, .......

- -

p¡C-t¡ p¡C-r¡ + a h) h)

Yi- l --..

/ /

"-, / /

v, Y¡

., :: :- ..... .- ....... .: .... :. ,~ : ',: .~ :. :

I

: ~:;: :::. "; ~ ..' .~.

I

Figura 7.10 7.10 Figura Métodos Métodos de AdamsAdamsBashforth. Bashforth.

'

: .'

yy = F (x) (x) Y¡-I1 Y¡-

'

I

))

/ / /

..

"

.. ,

I I

L

..

L---~----~ . . . . .!r----~------~----~----~--~._ x.I-r X¡_2 \- 1 Xi X i+ 1 X -1

-2

_ 1

o

1

(7.48) (7.48)

482


Nótese que ahora ahora el integrando integrando es exactamente exactamente la ecuación ecuación 5.38, 5.38, ya que que en esta esta ocaocaNótese que sión se está está utilizando como punto integrar la ecuación ecuación 7.48 7.48 se obtiene: obtiene: sión utilizando xi xi como punto base. base. Al integrar Yy

1+ 1+

1I

S2 SI) I ) y12 I. = [S¡; + - V V ¡; + - __ _V2 ¡; _, + = y.y. kk + h [S¡; ¡; + S2 (- 3S 1 22' 2 2! l,.·

1

1

(7.49) (7.49)

S2 S2

2 lIs I. (S3 + -3s 3s2 l ls V4 I., + términos [1 s2 ) V3 (S3 V4_ ¡; [1 -+ _V3 ¡; _, + S2 S2 ++ 3) __ _ términos faltantes] -+ s + 1 --' faltantes]

(4

3!

5

2

3

-k -k

4!

La ecuación ecuación 7.49 7.49 para = O, 1,2 1,2 Y La para k = y 3 toma toma las formas formas

k=O k =O y 1I = Y Y +h h [¡; [¡; + ~ ~ V¡; V¡; + ~ ~ V2 ¡;.¡:++ ,+ 1+

1,

2

1 l

12

1 l

J il

28 V3F V3'¡: .2 Ji J

1

(7.50a) (7.50a) + 251 V41; V4¡;,.+ términos faltantes ] términos faltantes

720 720

.

k=l k=l yy

1+ 1+

11

= y.y.1- 1I + h [2+ [2'¡: O V¡; + ~ +~ V3+ = +O ~ V2F ~ + U ii J i J :1 3 v« Ji 3 V3F J, 1

1-

1

(7.50b) (7.50b)

~ faltantes] ~ V4J: V4j, + términos términos faltantes] 1 90 l

k=2 k=2 yy

1+ 1+

1I

= y.y. 2 + h [3¡;1 _.2 - 2 V¡; + 2 2. V21,. 2. V3¡; = 4 V2¡;' + 2 8 V3¡; + '2 2 1,-

1 1

l

l1

(7.50c) (7 .50c) faltantes 27 V4J: V4j; + términos términos faltan tes ] 80 1 80 '

k=3 k =3 Yi+l Yi+l

= Yi-3 Yi-3 + h h [41; = [41; -

4 VI; VI; + : V21; + O V31; + :: :: V4j¡ faltantes] V4J; + términos términos faltantes]

(7.50d) (7.50d)

La 7.50a 7.50a significa significa la integración integración aproximada aproximada de una función que pasa La una función pasa por por los puntos puntos (xii__r,r , donde el subíndice subíndice r representa grado del polinomio y¡), donde representa el grado polinomio que se toma orden del predictor. intervalo de integración integración es Xi' I (véase (véase Fig. 7.10). 7.10). predictor. El intervalo Xi' X Xii++ 1 toma y r+ 1 da el orden La ecuación ecuación 7.50b 7.50b usa que la ecuación ecuación 7.50a, 7.50a, pero con intervalo intervalo La usa los mismos mismos puntos puntos que pero con [xi_l' x i+ l ]. de integración integración [x i_1' xi+ll Las fórmulas fórmulas más esta familia familia son: Las más usadas usadas de esta

Yi-r)' (xi-r+l' Yi-r+l) Yi-r+l) ,, ... ... ,, (Xi' (x, y¡), Yir)' (xi_r+l'

k= = O, r

= 33 = = Y + h [¡; 'I,+ y 1I = [f.. + ~ ~V V¡; l+ l+

1 l

1 l

2

1 l

V2¡; I. + 2 2. V3¡; ] 2. V3¡; 12 8 1

1

(7.51) (7.51)

k= 1, r = =1 Yi+l Yi+l

= YiYi-II + h h [21; O VI;] VI;] = [21; + O

(7.52) (7.52)

=3 k= = 3, r =

(7.53) (7.53)

483

ordinarias Ecuaciones diferenciales diferenciales ordinarias Ecuaciones

= 5, r = =5 k= 5+] Y/·+lI == Y,· Y/·- 5 + h [6f [6f I/ - 12 \1f Vf 1 + 15 \12 V2 I. V3 I. V4 Ji .r.+ V5+] Y,·+ f I/ -- 9 \13 f I1 + 33 ++ O \1 J¡ Ji 10 \14 Ji

(7.54) (7 .54)

cuya apariencia apariencia al desarrollar desarrollar los operadores diferencias hacia hacia atrás atrás resulta: resulta: cuya operadores en diferencias

=O O,, r = = 33 k= (7.55) (7.55) k= = 1, r == 1 Yi+l = = Yi-I Yi-l + 2h}'¡ Zh.], Yi+1

k

a)

(7.56) (7.56)

= 3, r = =3 = (7.57) (7.57)

= 5, r k=

=5 =

b)

(7.58) (7 .58) importante hacer hacer notar notar que que estas estas fórmulas fórmulas son métodos métodos para resolver el PVI PVI (Ec. 7.11). 7.11). Es importante para resolver La ecuación ecuación 7.55 7.55 toma toma la forma forma La (7.59) (7 .59) para su primera primera aplicación, aplicación, y no sería sería posible posible determinar determinar con con ella ella un valor valor de y menor menor de para (y3' por ejemplo). Por Por otro otro lado, lado, YI,f(xl' Yl,f(xl' Yl); Y2,f(x Y2,f(x2, 2, Y2) Y2) Y Y Y3,f(x Y3,f(x3, 3, Y3) Y3) deberán deberán deterdeterY4 (y3' por ejemplo). YI); minarse con un inicializador. inicializador. minarse con Con estos estos métodos métodos y la familia familia de los Adams-Moulton Adams-Moulton pueden pueden integrarse integrarse esquemas esquemas Con iterativos conocidos conocidos como como métodos métodos de predicción-corrección, predicción-corrección, que que en general general funcionan funcionan iterativos como sigue: sigue: como

e)

Od)

Inicialización" (se sugiere sugiere uno uno de la familia familia de Runge Runge Kutta). Kutta). 1. Inicialización* Predictor (para (para corresponder corresponder con con el inicializador inicializador se sugiere sugiere usar predictor del 2. Predictor usar un predictor mismo mismo orden). orden). Corrección (se emplea emplea un corrector corrector del mismo mismo orden orden que que el predictor iniciali3. Corrección predictor y el inicializador). zador).

i-r'

se O). alo

Ejemplo 7.7 Ejemplo

.51)

Solución

Resuelva el PVI PVI del ejemplo ejemplo 7.1 7.1 usando usando como como inicializador inicializador un RK-4, RK-4, como como predictor predictor la Resuelva ecuación 7.55 7.55 y como como corrector corrector la 7.46a 7.46a ecuación intervalo de interés interés [ 0,1 0,1 ] se divide divide nuevamente nuevamente en cinco cinco subintervalos subintervalos y se tiene tiene El intervalo Primera iteración iteración Primera

.52)

Inicialización (tómense (tómense nuevamente nuevamente los valores valores del del ejemplo ejemplo 7.4) 7.4) Inicialización YlI = 1.656200000 1.656200000 Y

.53)

Recuérdese que que este este paso paso sólo sólo se da en la primera primera iteración. iteración. • Recuérdese

484

Métodos numéricos numéricos aplicados aplicados a a la ingen ingeniería Métodos iería

= 1.410972813 l.410972813 Y2 = = l.246450474 l.246450474 Y3 =

Predicción Predicción = 1.246450474 1.246450474 + ~ l.246450474) - 59 (0.4 (0.4 Y4 = ~ [55 (0.6 - l.246450474) 24

p p p p p

-1.410972813) + 37(0.2 37(0.2 - l.6562) 1.6562) - 9(0 9(0 - 2)] = = l.l48227306 l.l48227306 -1.410972813) Corrección (con (con la ecuación ecuación 7.46a) 7.46a) Corrección Y4

h

= Y3 Y3 + =

24

_

[9 f (x (x44,, Y4) + 19! 19 f (x33,, Y3) - 5! 5 f (x22, , Y2) + !f (xi' (xi' YI)] [9! YI)]

= l.246450474 1.246450474 + 0.2 0.2 = 24

-l.l48227306) 1.246450474) [9 (0.8 -l.l48227306) + 19 (0.6 - l.246450474)

-5 (0.4 - l.4109728l3) 1.410972813) + (0.2 - l.6562)] 1.6562)] = = l.l47967635 l.l47967635 -5 Segunda iteración iteración Segunda Predicción Predicción

--

Ys

= Y4 + =

h

..

f(X4'4, Y4) - 59! 59f (x3 Y2) - 9! 9 f (xi' (xi' YI)] 24 [55 !(x (x 3 ' Y3) + 37 !f (x22,, h) YI)]

= 1.147967635 1.147967635 + =

~¡ ~¡

[55 (0.8 - l.l47967635) l.l47967635) - 59(0.6 59(0.6 - l.246450474) 1.246450474) [55

1.410972813) - 9(0.2 9(0.2 - l.6562)] 1.6562)] = = 1.103819001 1.103819001 + 37 (0.4 - 1.410972813) Corrección (con (con la ecuación ecuación 7.46a) 7.46a) Corrección = Y4 + ;~ [9 !(x f(xs' s' Ys) + 19 !(x f(x4' 4, Y4) - 5(x 5(x3'3, Y3) + !(x f(x2, 2, Y2) Y2)]] Ys = = 1.147967635 1.147967635 + =

~¡ ~¡

[9 (1 (1-- 1.103819001) 1.103819001) + 19(0.8 19(0.8 - 1.147967635) l.l47967635) [9

-5(06 - 1.246450474) l.246450474) + (0.4 - 1.4109728l3)] 1.410972813)] = = 1.103596997 1.103596997 -5(06 con un error error absoluto absoluto de 0.00004 0.00004 y un error error porcentual 0.0037 con porcentual de 0.0037

Nótese que aunque aunque el corrector corrector puede emplearse para para mejorar mejorar Y3 en su primera aplicación Nótese que puede emplearse primera aplicación (véase Ej. 7.6), 7.6), el predictor estima a Y4 en su primera aplicación y a partir ahí se coco(véase predictor estima primera aplicación partir de ahí mienza a corregir. corregir. Ésta Ésta es sólo sólo una una de las muchas muchas formas formas en que que se utilizan esto métodos mienza utilizan esto métodos de predicción-corrección. predicción-corrección.

ALGORITMO ALGORITMO

Método predictor-corrector predictor-corrector 7.4 Método

(Inicialización con Runge-Kutta Runge-Kutta de cuarto cuarto orden, orden, predicción con la ecuación ecuación 7.55 7.55 y Y corrección corrección con con la 7.46a) 7.46a). . (Iniciali zación con predicción con Para obtener obtener la aproximación aproximación YF solución de un PVI, PVI, proporcionar función F(X, F(X, Y) y los los YF a la solución proporcionar la función Para La condición condición inicial inicial XO, YO; valor XF XF donde donde se desea desea conocer conocer el valor valor de YF y el el número número N de YO; el valor YF y La subintervalor por emplear. subintervalor por emplear. RESULTADOS: Aproximación Y(4). RESULTADOS: Aproximación YF: Y(4). DATOS: DATOS:

Pi

7


PASO PASO PASO PASO PASO PASO PASO PASO PASO PASO

485 485

ll.. 2. 2. 3. 3. 4. 4. 5. 5.

Hacer H H == (XF (XF -- XO)/N XO)/N Hacer Hacer X(O) X(O) == XO XO Hacer Hacer Y(O) Y(O) == YO YO Hacer Hacer JJ == 11 Hacer Mientras JJ ::;:::;3, repetir los los pasos pasos 66 aa 9. 9. 3, repetir Mientras PASO 6. 6. Realizar Realizar los los pasos pasos 44 aa 99 del del algoritmo algoritmo 7.3. 7.3. PASO PASO 7. 7. Hacer Hacer X(J) X(J) == XO XO PASO PASO 8. 8. Hacer Hacer Y(J) Y(J) == YO YO PASO PASO 9. 9. Hacer Hacer JJ == JJ +1 +1 PASO 10. Hacer Hacer 1I == 44 PASO 10. PASO 11. 11. Mientras Mientras 1::; I :::;N, N, repetir repetir los los pasos pasos 12 12 aa 20. 20. PASO PASO 12. 12. Hacer Hacer Y(4) Y(4) == Y(3) Y(3) + H/24* H/24* (F(X(3), (F(X(3), Y(3))Y(3))PASO 59'" F(X(2), F(X(2), Y(2)) Y(2)) + 37* 37'" F(X(I), F(X(1), Y(I))-9*F(X(0), Y(1))-9*F(X(0), Y(O))) Y(O))) 59* PASO 13. 13. Hacer Hacer X(4) X(4) == X(3) + H H PASO 14. HacerY(4) HacerY(4) == Y(3) + H/24* H/24* (9*F(X(4), (9*F(X(4), Y(4)) Y(4)) + 19*F(X(3), 19*F(X(3), Y(3))-5*F(X(2), Y(3))-5*F(X(2), Y(2)) Y(2)) + F(X(l), F(X(J), Y(l))) Y(l))) PASO 14. 15. Hacer Hacer J == O O PASO 15. PASO 16. 16. Mientras Mientras J ::; :::;3, repetir los pasos pasos 17 a 19. 19. 3, repetir PASO PASO 17. 17. Hacer Hacer X(J) X(J) == X(J +1) PASO PASO 18. Hacer Hacer Y(J) Y(J) == Y(J + 1) 1) PASO PASO 19. Hacer Hacer J = = J +1 PASO PASO 20. 20. Hacer Hacer 1I = =1 1+ PASO +1 PASO 21. IMPRIMIR IMPRIMIR Y(4) Y(4) Y Y TERMINAR TERMINAR PASO

1.1 Ecuaciones diferenciales diferenciales ordinarias de orden superior 7.7 sistemas de ecuaciones ecuaciones diferenciales diferenciales ordinarias y sistemas Cuando en el problema problema de valor valor inicial inicial aparecen aparecen una una ecuación ecuación diferencial diferencial de orden orden n, n Cuando condiciones especificadas especificadas en un punto punto XXoo y un punto punto x¡donde xfdonde hay hay que que encontrar encontrar el valor valor condiciones de y(x y(xff), tiene el problema problema de valor valor inicial inicial general general (PVIG) (PVIG) ), se tiene

¡

- fe;x,y,y,y d"y -=I " x,y,y,y dxl1 X"

PVIG PVIG

{

(11- 1) ) ,,... , .. . ,y ,y(11-1»)

yy (xoo)) = .•. ,, Y = Yo' Yo' y' y' (xoo)) = =Yo', Yo',··· Y (11-1) (11- 1) (x o)) = =YO(I1-I) YO(II- I) o

(7.60) (7.60)

Yy (x¡) (x!) = ?

ión caos

Para resolver resolver la la ecuación ecuación anterior anterior no no se se dearrollan dearrollan nuevos nuevos métodos, métodos, sino sino que que se se emplea emplea una una Para extensión Para ello ello necesitaremos necesitaremos primero primero pasar pasar la la extensión de de los los estudiados estudiados en en este este capítulo. capítulo. Para ecuación ecuación diferencial diferencial ordinaria ordinaria oo EDO EDO de de 7.60 7.60 aa un un sistema sistema de de nn ecuaciones ecuaciones diferenciales diferenciales simultaneas simultaneas de de primer primer orden orden cada cada una. una. Esto Esto se se logra logra de de la la siguiente siguiente manera: manera: Sea Sea dada dada d"y __ ,,, (11_ 1) d"y ", (11_1) )) dx" -f(x,y,y,y - f (x,y , y , y ,,... ... ,y ,y dx" Se Se realiza realiza el el siguiente siguiente cambio cambio de de variables variables

=y =y Y2 == y'y' Y2 Y3 ==y" y" Y3 Y4=y'" Y4 = y '" YI YI

de

YYII =y = y (11-1) (11- 1) II

486


deriva miembro miembro a miembro miembro la primera primera y se sustituye sustituye en la segunda, segunda, con con lo que que se obSe deriva tiene tiene y' ¡ = = Y2 y'] Al derivar derivar la segunda segunda y sustituir sustituir en la tercera tercera resulta resulta y'2

= Y3

procedimiento se repite repite hasta hasta llegar llegar al sistema sistema de n ecuaciones ecuaciones de primer primer orden orden siguiente siguiente El procedimiento y'¡ =Y2 = Y2 y'] y'2 = Y3 y' 3 = = Y4 y'

y'n-l

= Yn

dny ) , --_ dny (n-l» -fe Yn 1 dxn -=L'. x, y, y, y I",,y, -=L'.x, dx" -fe ,y, I I ... ... , y (n-l» X, y!' Yl' Y2' Y3"" , Yn

Pase la ecuación ecuación diferencial diferencial ordinaria ordinaria Pase 22

d d = _Y_ + ---.I.. ---.I.. = x2 x2 + + y2 _Y_ + y2 dX2 dx dx2 sistema de dos ecuaciones ecuaciones diferenciales diferenciales ordinarias ordinarias simultáneas simultáneas de primer primer orden. orden. a un sistema

Solución Solución

Con el "despeje" "despeje" de la derivada derivada de segundo segundo orden orden se tiene tiene Con 22

d yy = __ = _y' _y' + x2 + y2 __

dx2 dx2

cambio de variables variables es: El cambio y¡ YI

= y; = y'y' = y; Y2 =

derivar la primera primera y sustituir sustituir en la segunda segunda queda: queda: Al derivar y' 1¡ == Y2 y' deriva la segunda segunda Se deriva y' 2 = = y" y" y' nuevas variables variables se sustituyen sustituyen en la ecuación ecuación diferencial, diferencial, con con lo cual cual resulta resulta y las nuevas y'¡ = = Y2 y'l y' 2 = = -Y2 -Y2 + x2 x2 + y¡2 y' y]2 sistema pedido. pedido. el sistema

IEjem~IO 7.91

Una Una de las ecuaciones ecuaciones diferenciales diferenciales ordinarias ordinarias más más empleadas empleadas en la matemática matemática física física es ecuación de Bessel Bessel la ecuación 2 y" xX2 (x22 - n22)) y y' I + xX y'y' + (x

=O O =

donde n puede puede tener tener cualquier cualquier valor, valor, pero pero generalmente generalmente toma toma un valor valor entero. entero. donde


487

Escriba diferenciales ordinarias ordinarias de primer primer Escriba esta esta ecuación ecuación como como un sistema sistema de ecuaciones ecuaciones diferenciales orden. orden.

e ob-

Solución

La ecuación ecuación se pone pone en la forma forma normal normal La 1, (n2 y 11 = =--Y -Y -1 - y I + (n2 - 2 - 1) y X X xX2 11

ente

Algunas veces veces es más más conveniente conveniente para para los cálculos cálculos computacionales Algunas computacionales emplear emplear y=y y =y y' y' == ZZ

como nuevas nuevas variables. variables. Se deriva deriva la segunda segunda y se tiene como tiene

y" == Z' y" z' sistema queda: queda: El sistema y' y'

= ZZ =

n2 I, 1 Z ==--z+(--l)y Z - z + (--l)y xx x2 x2 sistema que sólo sólo podrá podrá resolverse resolverse para para valores valores de x distintos sistema distintos de cero. cero.

n.

general, una una ecuación ecuación diferencial diferencial ordinaria ordinaria de n-ésimo En general, n-ésimo orden orden queda queda convertida convertida en un sistema de n ecuaciones ecuaciones diferenciales diferenciales ordianarias ordianarias simultáneas simultáneas de la sistema la forma forma general general y' y' l1 y'2

1(x, y\, Y2'···" , y,) JI y!' Y2" y,) 1 1 (2x, y\, Y2'··· , y,,) J2 (x, y!' Y2""

s'; y'"

Y2'··· 1" (x, YY¡,I' Y2""

, y,) y,,)

que puede puede resolverse resolverse aplicando, aplicando, por por ejemplo, ejemplo, alguno alguno de los métodos Runge-Kutta a caque métodos de Runge-Kutta iterando cada cada ecuación ecuación en tumo, turno, tal como sistemas de ecuaciones ecuaciones no da ecuación, ecuación, e iterando como en los sistemas lineales del capítulo capítulo 4, a los métodos métodos de predicción-corrección. predicción-corrección. lineales aplica, por por ejemplo, ejemplo, el método método de Runge-Kutta Runge-Kutta de cuarto Si se aplica, cuarto orden orden a dos ecuacioecuaciosimultáneas de la forma forma nes simultáneas

y' = J I (x, y.z y,z)) y' =1¡ Z' =J =122 (x, y,z) v.z ) donde sólo sólo se emplea emplea z z como como nueva nueva variable variable a fin de no usar subíndices dobles donde usar subíndices dobles en las ecuaecuaciones ciones h Yi+1 = = Yi Y¡ + 6 (5 (k¡l + 2k 2k22 + 2k3 + k44)) Yi+1 (k

h Z¡+I = =z¡ (5 (el (e¡ + 2e22 + 2e3 + e44)) Z¡+I Zi + 6

(7.61a) (7.61a)

cuales se calculan calculan altemadamente, alternadamente, y las k y e se obtienen las cuales obtienen de iea es

= JI 1(Xi' (x¡, Y¡, z) kk¡l = Yi' 1

(x, Yi' Y¡, z) eell ==1 J2 (Xi'

1¡ (Xi (z, + h/2, h/2, Y¡ Y¡+ hk¡l2, z¡ k22 =JI + hk¡l2, Zi + he /2) /2) =J 1 (x¡ h/2, Y¡ Y¡ + hk¡l2, hk¡l2, z¡ /2) e2 = Z¡ + he ¡l2) 2 + h/2, 2 (Xi

(7.71b) (7.71b)

.~----------------------------------------------------------------------------ga---488


k3 = = J1)I (Xi (x¡ + h/2, h/2, Yi y¡ + hk hk2/2, Z¡ + hc/2) hc2/2) k3 2/2 , Zi

1 + h/2, h/2, Y¡ y¡ + hki2, hkzl2, z¡ z, + hc22/2) /2)

= J2 (X¡ (x¡ C3 = 2

= JI 1) (x¡ + h, Y¡ y¡ + hk33, z¡ Z¡ + hc33) ) k4 = C4

= = J1 y¡ + hk hk33, , z¡ z, + hc33)) 2 + h, Y¡ 2 (x¡

calculadas calculadas en ese ese orden. orden.


Resuelva Runge-Kutta cuarResuelva el siguiente siguiente problema problema de valor valor inicial inicial por por el método método de RungeKutta de cuarto orden. orden. (Puede (Puede usar usar el CD, CD, el GC o un pizarrón pizarrón electrónico). electrónico). 1, YI + (1 (1 =---y --22 - 1) yy Y11 = -1 X x =1 y (1) = y'(1)=2 y' (1)=2 Y (3) = =? 11

PVI PVI {

Nótese Ejem. 7.9). 7.9). Nótese que que la EDO EDO es la ecuación ecuación de Besse1 Bessel con n == 1 (véase (véase Ejem. Al escribir escribir la EDO EDO como como un sistema, sistema, el PVI PVI queda: queda:

= =Z Z' = - -.L Z + (-.L2 -1) Y z'=-~z+(~-l)y

y' y'

x

X2 x

X

PVI PVI

yy (1) (1) Z Z (1) (1)

= =1 = =2

Y (3) == ?

Solución Solución

Al dividir tamaño del del paso paso de inteintedividir el intervalo intervalo de interés interés [1 [1,, 3] en ocho ocho subintervalos, subintervalos, el tamaño gración gración h es igual igual a 0.25. 0.25. Primera iteración iteración (usando (usando la ecuación ecuación 7.61a) 7.61a) Primera

Cálculo Cálculo de las constantes constantes k y ce con con 7.61 b kk)l c¡

=J =Z =11I (xoo' Yo' Yo' Zo) Zo) = = Zo Zo= Z (1) (1) = =2

-1 11 -1 =J =122 (x (xoo'' Yo' Yo' zo) Zo) = = -- Zo Zo + (2" -1) -1) Yo Yo

xXoo

=

-1 11 -1 11 (2) (2) + (j2 -

xXoo

1)(1) = -2 =-2

=1) h/2, Yo + hk¡f2, hk¡f2, Zo Zo + he he,I /2) k22 = JI (xo /2) o + h/2, = Zo Zo + hc¡f2 hc¡f2 =

= 2 + 0.25 =

(-2)/2 (-2)/2

= 1.75 =

c 2 =J2 (x o + h/2, Yo + hk¡f2, Zo + he¡f2)

11 11 --- - - (zo (z¿ + hc¡f2) hc¡f2) + [ (Yo + hk¡f2) -1] (yo hk¡f2) X + h/2 (x + h/2 h/2)2 oo oo h/2)2 __ 1__ (-2)/2) + [ 0.25 (2) (2 + 0.25 (-2)/2) 1 --1]1] ( 1 + 0.25 (2) /2) /2) (1 1 + 0.25/2 0.25/2 (1 + 0.25/2)2 0.25/2)2 = -1.8l7901235 -1.8l7901235 =

~~~

.

EEcuaciones cuaciones ddiferenciales iferencia le s ord in a ri a s ordinarias

k3 =J, I¡ (x (xO h/2, Yo Yo ++ hk hk22/2, Zo++ hci2) hci2) k3 /2, Zo o ++ h/2,

Zo+ hci2 = Zo + hci2

+ 0.25 0.25 ((-1.817901235)/2 1.772762346 == 2 + 1.817901235)/2 == 1.772762346

12 2(x (xo ++ h/2, h/2, Yo YO+ hki2, Zo Zo++ hci2) hci2) + hki2, cc33 == J 11 ---- - - (zo -1 (zo + hc?/2) hci2) + [[ -1]] (yo (yo + hk hki2) 2 /2) xo + h/2 (xo + h/22)2)2 (-1.817901235) /2) /2) + 1 (2 + 0.25 (-1.817901235) O 25/2 1 + 025/2

[

1] (1 (1 + 0.25 (1.75)/2) (1.75)/2) = = -1.831575789 -1.831575789 11 _ 1] (l + 0.25/2)2 0.25/2)2 (1 k4 =J, =I, (xoo + h, Yo + hk hk33,, Zo Zo + hc33)) k4

= Zo Zo + hC hC33 =

= 2 + 0.25 (-1.831575789) (-1.831575789) = = 1.542106053 1.542106053 = = J12 2(xoo + h, h, Yo Yo + hk hk33,, Zo Zo + hc33)) c44 = 1

= (zo = - _1_ -(z¿ + hc3J) + [

o+ h

Xo

1 1 - 1] 1] (yo + hk hk33) (xoo + h )2 (x

0.25 (-1.831575789)) (-1.831575789)) 1 (2 + 0.25 0.25 1 + 0.25

+[

_ 1 ] (1 + 0.25 0.25 (1.772762346)) (1.772762346)) = = -1.753233454 -1.753233454 1 (l + 0.25)2 (1

Cálculo de y¡ 7.61a y , == Yy (1.25) (1.25) Y z¡ z, == ZZ (1.25) (1.25) con con la ecuación ecuación 7.61a Cálculo h y¡ Y, = Yo Yo + 6 (5 (k¡ (k, + 2k 2kz 2kJ + k44) 2 + 2k3 = = 1 + 0.~5 0.~5 [2 + 2 (1.75) (1.75) + 2 (1.772762346) (1.772762346) + 1.542106053] 1.542106053] = 1.441151281 = 1.441151281 h z¡ z, = Zo + 6 (5 (c¡ (c , + 2c 2c22 + 2c 2c3J + cc44)

== 2 + 0.~5 0.~5 [-[- 22 + 2 (-1.817901235) (- 1.817901235) + 2 (-1.831575789) (-1.83 1575789) - 1.753233454] 1.753233454] == 1.539492187 1.539492187 Segunda Segunda iteración iteración Cálculo Cálculo de de las las kk yy ec con con la la ecuación ecuación 7.61b 7.61b k¡ k , =L =J, (xl' (x" yp Y" ZI) z,) = = ZI z, = = 1.539492187 1.539492187 1 1 xx

1 x,x¡

c¡ 122(xI' Y¡, C, = =J (x" Yp Y" z¡ z,)) ==--2" ? z¡ z, ++ (-2 (-? -1 - 1 ))y = = __ _ _1_ 1_

1.25 1.25

(1.539492187) (1.539492187) ++ (_1_) (_ 1_ ? -1) -1) (1.441151281) (1.441151281) (1.25)(1.25)-

==-- 1.750408211 1.750408211 kkz =J,1 (x¡ (x, ++ h/2, h/2, Y¡ Y, ++ hk¡l2, hk¡f2, ZI z¡ ++ hc¡l2) hc¡f2) = = z¡ z, ++ hc¡l2 hc¡f2 2 =/

== 1.539492187 1.539492187 ++ 0.25 0.25 (-1.750408211)/2 (-1.750408211)/2 == 1.320691161 1.320691161

489

490

Métodos numéricos numéricos aplicados aplicados a la ingeniería ingeniería Métodos

cc22 =1 = J22 (x) (XI + h/2, h/2, Y¡ YI + hk¡f2, hk¡l2, Z¡ ZI + hc¡f2) hc l /2) 1 --(z¡ + hc¡f2) -1] (y¡ - - - (z¡ hc¡l2) + [ (y¡ + hk¡f2) hk¡l2) x¡ (x¡ XI + h/2 h/2 (XI + h/2)2 h/2)2 1 (1.539492187 (l.539492187 + 0.25 0.25 (-1.750408211)/2) (-1.750408211)/2) 1.25 0.25/2 l.25 + 0.25/2 + [

_ 1] (1.441151281 1 (1.441151281 + 0.25 0.25 (1.539492187)/2) (1.539492187)/2) (1.25 (l.25 + 0.25/2)2 0.25/2)2

-l.730044025 = -1.730044025 k3 = 1) JI (x¡ (X I + h/2, h/2, Y¡ + hki2, hki2, z¡ ZI + hci2) hci2) = Z¡ z¡ + hci2 hci2

== 1.539492187 l.539492187 + 0.25 0.25 (-1.730044025)/2 (-l.730044025)/2 = = 1.323236684 1.323236684 c33

==1 (X¡ + h/2, y) J22(x¡ h/2, YI

+ hk hki2, ZI + hci2) hci2) 2/2, Z¡

11 11 --- - - (z¡ (Z¡ + hci2) hci2) + [ xl (Xl XI + h/2 h/2 (XI + h/2) h/2)

- 1 ] (y) (YI + hki2) hki2) 2

1 (1.539492187 0.25 (-1.730044025)/2) (1.539492187 + 0.25 (-1.730044025)/2) 0.25/2 1.25 + 0.25/2 + [

1 _ 1 ] (1.441151281 (1.441151281 + 0.25 0.25 (1.320691161)/2) (l.320691161)/2) (1.25 + 0.25/2)2 (l.25 0.25/2)2 = -1 -1.71901137 = .71901137

=1)I (x¡ (x) + h, h; Y¡ + hk hk33, z) = ZI Z) + hC hC3 k4 =J ZI + hc33)) = = l.539492187 1.539492187 + 0.25 =

(-1.71901137) (-l.71901137)

= 1.109739345 1.109739345 =

(X¡ + h, h, YI Y¡ + hk hk33, z¡ Z¡ + hc hc33) c4 == J122(xI

11 x) + h XI

= -- -- - (ZI (z. + hc33) + [ =

11 1] (y¡ + hk33) - 1] (x¡ + h )2 (xI

1 (1.539492187 + 0.25 (-l.71901137)) (-1.71901137» (l.539492187 1.25 + 0.25 + [

1 -1] (1.441151281 (1.441151281 + 0.25 (1.323236684)) (1.323236684» -1] (1.25 + 0.25)2 (l.25

Pa

= -l.724248703 -1.724248703 =

Cálculo de Y2 Y2 = = y(l. y(1.5) Z2 = = Z (l.5) (1.5) con con la ecuación ecuación 7.61a 7.61a Cálculo 5) Y Z2

h Y2 == Y¡ Y¡ + (5 6 (k)¡ + 2k22 + 2~ 2k3 + k4) Y2 (k = 1.441151281 1.441151281 + 0.~5 0.~5 [1.539492187 [1.539492187 + 2 (1.320691161) (1.320691161) + =

pn

(1.323236684) + 1.109739345] 1.109739345] = l.771863249 1.771863249 2 (1.323236684)

h Z2 == z¡ + (5 6 (c)l + 2c22 + 2c33 + c44)) Z2 (c = 1.539492187 1.539492187 + 0.~5 0.~5 [-1.750408211 [-1.750408211 + 2(-1.730044025) 2(-1.730044025) =

(-1.71901137) - l.724248703] 1.724248703] == 1.107293533 1.107293533 + 2 (-l.71901137)

PA PA PA

Ecuaciones diferenciales diferenciales ord ordinarias Ecuaciones inarias

491

continúa calculando calculando en la misma misma forma forma y se obtiene: obtiene: Se continúa y(1.75) = = 1.994766280 1.994766280 y(1.75) y(2.00) y(2.00) y(2.25) y(2.25) y(2.50) y(2 .50)

= = = = = =

z(1.75) ) = = z(1.75

0.675599895 0.675599895

= =

0.245291635 0.245291635

2.109754328 2.109754328

z(2.00) z(2.00)

2.118486566 2.118486566

z(2.25) = -0.172076357 -0.172076357 z(2 .25) =

2.026089844 2.026089844

z(2.50) z(2.50)

= -0.561053191 -0.561053191 =

y(2.75) = = 1.841680320 1.841680320 y(2.75)

z(2.75) = = -0.905578495 -0.905578495 z(2.75)

y(3.00) = = 1.578253875 1.578253875 y(3.00)

z(3.00) = = -1.190934201 -1.190934201 z(3.00)

valor buscado buscado es y(3) y(3) = = 1.578253875 1.578253875 El valor Este ejemplo ejemplo se puede puede resolver resolver también también con con Matlab Matlab (ver (ver Ejem. Ejem. 7.4). 7.4). Este function funct i on ff=E7_l0(x,y) =E7_ 10(x , y) f1=y(2) f1 =y( 2) ; f2=-1/x. *y(2) + (l/x (l/x. . A2 A2-l) *y(l); ; f2= -1 /x . *y(2) - 1) . *y(l) [f1; f2J; f2l; f= [f1;

xx=l xx=l : 00.25 . 25 : 33;; [T,, Y] Y]=ode45 ('e7_l0', xx, [1;2]) [1;2]); ; [T =ode45 ('e7_10', xx, Y I, Y

!J11

Si el problema problema es de inicio inicio un sistema sistema de EDO's EDO's de primer primer orden orden con con sus correspondiencorrespondientes condiciones condiciones iniciales, iniciales, el procedimiento procedimiento es el mismo mismo visto visto hasta hasta ahora ahora pero pero ahorrándoahorrándopaso de convertir convertir la EDO EDO de orden orden n a un sistema sistema de n ecuacions ecuacions diferenciales diferenciales de se el paso primer orden orden (consúltense (consúltense los los ejercicios). ejercicios). primer A continuación continuación se presenta presenta un algoritmo algoritmo para para el método Runge-Kutta de cuarto cuarto ormétodo de Runge-Kutta objeto de resolver resolver un sistema sistema de dos ecuaciones ecuaciones diferenciales diferenciales ordinarias. ordinarias. den con objeto

ALGORITMO ALGORITMO

Método de Runge-Kutta de cuarto cuarto orden orden para un sistema de dos 7.5 Método ecuaciones diferenciales diferenciales ordinarias ordinarias ecuaciones

Para aproximar aproximar la solución solución al PVI PVI Para y' y'

(x, y, =111 (x, y, z)

z' 122 (x, z' = =1 (x, y, z) (xoo ) = Yo; y (x!) (x¡) = ? y (x (xoo ) = zo; z (x! (x¡) ) = ?, z (x

proporcionar las funciones funciones Fl Fl (X, Y, Z) y F2 (X, Y, Z) y los proporcionar F2 (X, DATOS: La condición condición inicial inicial XO, XO, YO, YO, ZO, ZO, el valor valor XF XF y el número número de N de subintervaJos subintervalos por por emplear, emplear, DATOS: La RESULTADOS: : La La aproximación aproximación a los valores valores Y(XF) Y(XF) y Z (XF)): (XF)): YO YO y ZO. RESULTADOS PASO l1.. Hacer Hacer H = (XF (XF -XO -XO ) IN PASO PASO 2. Hacer Hacer 1 = 1 PASO PASO 3. Mientras Mientras 1 ::; ::;N, repetir los los pasos pasos 4 al 15. PASO N, repetir PASO 4. 4. Hacer Hacer KI Kl == Fl Fl (XO, YO, YO, ZO) PASO

492

Métodos uméricos apl icados a Métodos n numéricos aplicados a la la ingeniería ingeniería

PASO PASO 5. Hacer Hacer Cl Cl = F2 (XO, YO, YO, ZO) PASO PASO 6. Hacer Hacer K2 = Fl Fl (XO + HI2, HI2, YO YO + H/2*Kl H/2*Kl, , ZO + H/2*Cl) H/2*Cl) PASO ZO + H/2*Cl) PASO 7. Hacer Hacer C2 == F2 F2 (XO + H/2, H/2, YO YO + H/2*Kl, H/2*Kl, ZO H/2*Cl) PASO 8. Hacer Hacer K3 == Fl Fl (XO + H/2, H/2, YO YO + H/2*K2, H/2*K2, ZO + H/2*C2) H/2*C2) PASO PASO PASO 9. Hacer Hacer C3 == F2 (XO + H/2, H/2, YO YO + H/2*K2, H/2*K2, ZO ZO + H/2*C2) H/2*C2) PASO PASO 10. Hacer Hacer K4 == Fl FI (XO (XO + H, YO YO + H*K3, H':'K3, ZO ZO + H*C3) H*C3) PASO PASO 11 11 Hacer Hacer C4 = F2 F2 (XO (XO + H, H, YO+H*K3, YO+H*K3, ZO ZO + H*C3) H*C3) PASO PASO 12. Hacer Hacer YO YO = YO YO + H/6* H/6':' (Kl (Kl + 2*K2+2*K3+K4) 2*K2+2*K3+K4) PASO 13. Hacer Hacer ZO = ZO ZO + H/6* H/6* (Cl+2*C2+2*C3+C4) (Cl+2*C2+2*C3+C4) PASO PASO PASO 14 Hacer Hacer XO = XO XO + H PASO PASO 15. Hacer Hacer 1 = 1 +1 PASO 16. IMPRIMIR IMPRIMIR YO, ZO y y TERMINAR. TERMINAR. PASO

7.8 7.8 Formulación Formulación del problema de valores valores en la frontera Un Un problema problema de valores valores en la frontera frontera (PVF), (PVF), para para ecuaciones ecuaciones diferenciales diferenciales ordinarias, ordinarias, puede una EDO puede estar estar dado, dado, por por ejemplo, ejemplo, por por una EDO de segundo segundo orden orden y dos condiciones condiciones de fron fron-CF1 y y CF2 CF2 tera: CFl

PVF PVF

Ion,

EDO EDO

d22yy _ _ ,/ dx2 --f(x, y) dx2 f(x, y, y)

CF1 CFl

y(x y(xoo))

CF2 CF2

y(xf) ) = = Yf y(x y(x) para y(x) =? =? para XXoo < x < xxff

= = Yo Yo

(7.62) (7.62)

Obsérvese que que ahora ahora se da como como información información dos puntos puntos distintos distintos por por donde donde pasa pasa la curObsérvese desconocida y, solución solución de la EDO; EDO; es decir, decir, conocemos conocemos el valor valor de y correspondiente correspondiente va desconocida abscisas distintas': distintas': XXoo y y xxff y y queremos queremos conocer conocer el valor valor de y en el intervalo intervalo (x (xo' XI). a dos abscisas o' xf)' Esto se ilustra ilustra gráficamente gráficamente en la figura figura 7.11. 7.11. Esto y Y¡

Yo - - - - -

x¡ x¡

Figura 7.11

diferencia del PYI PYI donde donde la información información está está dada dada en un solo solo punto * A diferencia punto xoo'.

x


493 493

Desde Desde luego luego también también contamos contamos para para encontrar encontrar aa yy con con su su segunda segunda derivada, derivada, esto esto es es f(x, y,y, y'). y'). f(x, Este Este tipo tipo de de problemas problemas surgen, surgen, por por ejemplo, ejemplo, cuando cuando se se resuelven resuelven ecuaciones ecuaciones diferendiferenciales parciales parciales analíticamente. analíticamente. ASÍ, Así, si si se se tiene tiene el el problema problema ciales

~

at

aT ax 2

=a

2

T(O,t)t) = =O O T(O, T(L, t)t) == O O T(L, T(x, O) O) ==ff (x) (x) T(x, T(x, T(x, t)t) = = ??

(7.63) (7.63) para para O O<< xx << LL Y Y tt >> O O

que que describe describe la la conducción conducción de de calor calor en en una barra barra aislada aislada longitudinalmente* longitudinalmente" (véase (véase Fig. Fig. 7.12); 7.12); T(O, T(O, t)t) y T(L, T(L, t)t) representan representan la la temperatura temperatura TT de de la la barra barra en en los los extremos extremos izquierdo izquierdo y derecho, derecho, respectivamente, respectivamente, sostenidos sostenidos constantes constantes ee iguales iguales aa cero cero (en (en general general son son funciofunciodel tiempo tiempo t). t). nes del as, n-

62)

Uf-

Figura 7.12 Figura Barra aislada aislada Barra longitudinalmente longitudinalmente con extremos extremos sujetos a a sujetos temperaturas temperaturas establecidas. establecidas.

f------_~x

°

f---------.~x

°

T(L, t) = a T(L,

T(a, , t) t) = =a T(O

La aplicación aplicación del método método de separación variables a la ecuación transforma el proproLa separación de variables ecuación 7.63 7.63 transforma blema siguiente: blema en un un PVI PVI y en el PVF PVF siguiente:

nte

a ax ox

-(F~22 =-M! = -A$ 2(Ó

x¡).

(Ó(O) ~(O) = O O (Ó(L) ~(L) = = OO (Ó(x) ~(x) = = ??

(7.64) (7.64)

para O O < xx < L para

cuya solución solución conjuntamente conjuntamente con con la la del del PVI PVI mencionado mencionado permitirán perrrutirán resolver resolver 7.63. 7.63 . cuya A continuación continuación se se da da un un método método para para resolver resolver problemas problemas del del tipo tipo 7.62 7.62 conocido conocido cocoA mo método método del del "disparo", "disparo", por por analogía analogía con con el el tiro tiro oo disparo disparo contra contra un un blanco blanco fijo. fijo. mo MÉTODO MÉTODO DEL DEL DISPARO DISPARO

Consideremos Consideremos el el problema problema siguiente siguiente y'y' '(x) '(x) ==yy y(O) y(O) ==OO

(7 .65) (7.65)

y(l) y( l) ==22

1 {

y(x) y(x) == ??

para OO<< xx << 11 para

Para Para resolverlo resolverlo podemos podemos usar usar uno uno de de los los métodos métodos de de valor valor inicial inicial discutidos discutidos en en las las secciosecciones anteriores, anteriores, para para lo lo cual cual tendríamos tendríamos que que proponer, proponer, de de consideraciones consideraciones fisicas fisicas oo de de otro otro nes

••Vercapítulo8. Ver capítulo 8.

--------------------------------------~---"l""''''''''''''''"'''

494


tipo, una una condición inicial, por y'(O) = aaoo.. Siguiendo metáfora del disparo, tipo, condición inicial, por ejemplo ejemplo y' (O) = Siguiendo la metáfora disparo, esrepresentaría una una medida piso. Contando to representaría medida del ángulo ángulo que que forma forma el cañón cañón con el piso. Contando con con esta esta condición inicial, se puede puede formar partir de 7.65 PVI condición inicial, formar a partir 7.65 el siguiente siguiente PVI

zz z'z' == yy

y' = y' =

y"(x)=y y"(x)=y y(O) = =O y(O) O

que que convertido convertido a sistema sistema queda: queda: y'(O) = = aaoo y'(O) y(l) = y(l) = ?

y(O) y(O)

z(O) y(l) y(l)

== O O == aoo == ?

Al resolver resolver este PVI se obtiene un valor valor de y(l) y(l) correspondiente más fácilmente Al este PVI obtiene un correspondiente a aaoo o más fácilmente podremos comparar valor y(l) y(l) = = 2 dado problema original aaoo)) que que podremos comparar con con el valor dado en el problema original y así estimar Con esta esta información "mejor" timar la bondad bondad de la aaoopropuesta. propuesta. Con información podremos podremos proponer proponer una una "mejor" a (un nuevo nuevo ángulo que se obtendría nuevo PVI PVI ángulo de disparo), disparo), al' al' con con lo que obtendría un un nuevo

y(l; y(l;

y' y' = zz z' = y z' y(O) = O y(O) O z(O) = = al al y(l) y(l) = =?

Al resolver resolver obtenemos y(l; al). Al obtenemos y(l; al). En estas podemos plantear plantear una una nueva nueva aproximación y'(O), pero pero consiconsiEn estas condiciones condiciones podemos aproximación de y'(0), derando a y(l; y(l; a) una función cual se tienen tienen ya dos dos puntos puntos (a y(l; aoo)))) derando a) como como una función de a y de la cual (aoo,, y(l; y(l; al))' y (al' (al' y(l; al))' como como se ve en la fIgura figura 7.l3 7.13..

yy (1; a) yy (1; O; al) al)

yy (1) = 2 1 - - - - - - - - - 7 f '

7.13 Figura 7.13

•••••

a

(aoo'' y(l; (al' y(l; al)) con con una Si unimos unimos (a y(l; aoo)))) y (al' y(l; al)) una línea línea recta recta podremos podremos con con una una interpolación interpolación (extrapolación) aproximación a a, a, a 2 dada dada algebraicaalgebraica(extrapolación) lineal lineal inversa, inversa, obtener obtener una una nueva nueva aproximación mente mente por:

y con ella formular formular el PVI con y' (O) = con ella PVI con y' (O) = a2.. El proceso continuarse usando últimas dos alfas alfas a¡_l y a¡ para proceso puede puede continuarse usando las las últimas para la interpolainterpolación (extrapolación) lineal que I y(l; que se hayan y(l; a¡+l) - y(l) y(l) I < et; o hasta hasta que hayan ción (extrapolación) lineal inversa inversa hasta hasta que realizado realizado un un número número máximo máximo de iteraciones. iteraciones.

E

Ecuaciones

ta

Ejemplo 7.11

Solución


495

Resolver el PVF 7.65 con una e = 10-5 Y MAXIT = 10 iteraciones, con el método del disparo.

o

X

= O, xI = 1 Yo = O, y' (O) =

ao

= 1.5 (valor inicial propuesto)

Al resolver el PVI y'

¡

te esr"

z Y

y(O) = O z(O) = ao = 1.5

con el método de Runge-Kutta de cuarto orden y un tamaño de paso h = O. l, se obtiene y(l; ao) = 1.76279998. Se propone ahora un valor de al = 2.5 Y se resuelve nuevamente el PVI. Se obtiene y(l; al) = 2.93799996. Con estos valores se interpola para obtener lXz:

= 2.5 ))

= =

y(1) = ?

az-

si-

z'

_

al-

- (2.5 _ 1.5)(

(

) y(1;a¡) - y(2) al - ao ----'---y(l; al) - y(1; ao)

2.93799996 - 2 ) 2.93799996 - 1.76279998

1.701838

Se resuelve el PVI con lXz = 1. 701838 Y se obtiene y(l; lXz) = 1.99999999183644. El proceso se detiene puesto que I y(l; al) - y(2) I < E, tomándose entonces como valor "verdadero" de y'(0) a lXz = 1.701838. Los valores de Y en el intervalo (O, 1) son los que generó el método de Runge- Kutta de cuarto orden en la última iteración: x

y

0.0

0.00000

0.1 0.2

0.l70467 0.342641

0.3

0.518244

0.4 0.5

0.699033 0.886819

0.6

1.083480

0.7

1.290985

0.8

1.511411

ción

0.9

1.746963

ea-

1.0

1.999999

olaayan

=

Al analizar la tabla se encuentra que, por ejemplo, las diferencias finitas son crecientes en sus diferentes órdenes, lo cual sugiere que la solución Y = F(x) tiene un término exponencia1. Los cálculos pueden realizarse con Matlab adaptando el guión del ejercicio 7.12.

496 496

Métodos numéricos numéricos aplicados aplicados a a la ingeniería ingen iería Métodos

2.-----~------~------~----~------b ~ 2,-----~------~----~------~----~

1.5

0.5 0.5

Figura 7.14 7.14 Figura Solucio n gráfica gráfica Solucion del del PVF. PVF.

O(~----~-------L------~----~------~ Ol(~----~-------L------~----~~----~

OO

0.4 004

0.2 0.2

0.6 0.6

0.8 0.8

x 1


Un cilíndrico de fondo fondo plano con un diámetro (Fig. 7.15), 7.15), contiene Un ataque ataque cilíndrico plano con diámetro de 1.5 m (Fig. contiene un líquido de densidad densidad pp = altura a de 3. m. desea saber altura del dellí-lílíquido = 1.5 kg/L kglL a una una altura m. Se desea saber la altura quido dentro dentro del tanque ~Q!lésués de que que se abre abre completamente completamente la válvula quido tanque tres tres minutos minutos ,desp_ válvula salida, la cual da un gasto gasto de 0.6A 0.6A ,¡,¡ 2 g a m33/s, donde A es el área área seccional seccional del tubo de salida, /s, donde tubo de 2 salida y es 78.5 78.5 X s= 9.81 m/s". salida X 10-4 m? m y g= m/s 2.

Solución Solución

Como se vio en el ejemplo ejemplo de la sección sección 7.1, el vaciado llenado de un tanque cilíndrico Como vaciado o llenado tanque cilíndrico haciendo un balance balance de materia siguiente expresión expresión se modela modela haciendo materia con la siguiente Acumulación Acumulación

dVp dt

= Entrada Entrada =

- Salida Salida

= =00

0.6A JJ2ga 2ga - 0.6A

donde: donde:

-- ~:4 v=

(15) (1.5) 22a a .

entonces: entonces: ~ ~

4

T T a

Figura 7.15 7.15 Vaciado de un ta n que tanque cilíndrico cilíndrico..

,!,- -~

:.•...:

'.~.

;

"'~: .

.•.:

"

•.. -~:

(1.5)2 ~dda = = -0.6 -0.6 A (l.5)2 dtt

hg a h

. -".

,-

'~" ~:;-,' '".,,: , : .~~ . :.:~: . ~:~;:=1 -: ......• ", '",." , '

;' ,

.>;~.,. '. ·r.:. · . . ::.;; .>;< ', :"

1 1 f---1---

';;...~'.:--'

'. ""

'.

<= -,/<=

L· ....: ...-:_ :• _'_0: _ ".;.:.' :._. ....: . -._: _._ - . ? L..-";",,' _'" ....;.'~_': -.__

1.5 111 m 1.5

---1 -----l

.y;¿g;,

G == O.6A ~

Figl

Vacia.

tanque

ordinarias Ecuaciones diferenciales diferenciales ordinarias Ecuaciones

497

donde: de donde: 2.4A ¡¡ga ¡¡ga == __ 0.0026653 0.0026653 f2iG. 2.4A n(I.5f gg n(I.5f

da ~~

Al considerar considerar como como tiempo cero el momento abrir la válvula altura buscatiempo cero momento de abrir válvula y además además la altura buscallega a da a un tiempo tiempo de 180 s, se llega

~~

~~ = =

PVI PVI

-0.0026653 -0.0026653

a (O) (O) == 3 m m

1 {

hhgg a

(180) a (180)

=? =

que la exactitud exactitud de los resultados esperan no es grande, grande, se usa En virtud virtud de que resultados que que se esperan usa el mémétodo Euler para este PVI. todo de Euler para resolver resolver este PVI. Los resultados que se obtiene obtiene con h = = 30 s son Los resultados que O O

30

60

90

120

150

180

3.00 3.00

2.39 2.39

1.84

1.36

0.95 0.95

0.60 0.60

0.33 0.33

tiempo tiempo (s ) (m) a (m)

7.2 7.2

un

Solución Solución

Calcule el tiempo que el nivel líquido dentro dentro del del tanque esférico con Calcule tiempo necesario necesario para para que nivel del líquido tanque esférico con radio = 5 m mostrado figura 7.16 7.16 pase La velocidad salida por dio r = mostrado en la figura pase de 4 m a 3 m. La velocidad de salida por el orificio del fondo fondo es v = mis, el diámetro diámetro de dicho dicho orificio orificio es de 10 cm. orificio = 4.895 4.895 Ja Ja mis,

Balance de materia materia en el tanque tanque Balance

1 líula de

Acumulación Acumulación

dV

PTt rico

= Entrada Entrada =

- Salida Salida

=0 =0

-

Av P Av P

donde V es el volumen líquido en el tanque, que en función función de la altura altura está está dado dado por donde volumen del líquido tanque, que por

5m 5m

._~_.

._~_.

•

":.;~ , ~.:- .

•-

"'-., -- -~: -~: -,": ,":

Figura 7.16 7.16 Figura Vaciado de un tanque tanque esférico.

:.-

_", _ ",

'

1' •• 1" •

..

: =, . .

.'.'-

,.: . : • ,

~. ,

~.,

." •

•• ~': ~':~~¡, '-'~- . '.'. _.-' - ,- - -:-: ~';¡,'-'~"

v= = 4.895 4.895

-.la -.la

.. ,

1'·.,

a

1

498

Métodos numéricos


A es el área del orificio de salida A -- ~4 (O. 1)2 m?

y v = 4.895 Ja mis

Estas cantidades se sustituyen en la primera ecuación y se tiene 3

d ( 5 a2 _ a )

=-

3

1t

dt

(0.1)2 4.895

ra

= _ (0.1)24.895

¡a

1t

4

Se deriva 10 a .!!!!:.. dt

3a2 .!!!!:.. 3 dt

4

y al despejar se tiene da

ra

-4.895 (0.1)2

dt

4 ( lOa -

a2)

que con la condición inicial y la pregunta forman el siguiente

.!!!!:.. dt PVI

1

= - 0.012375

¡a

(10 a - a2)

a (O) = 4 m a (?) = 3 m

Con el método de Euler modificado y un paso de integración h de 10 segundo, se tiene tiempo

altura a

(s)

(m)

O

4.0000

10

3.8982

20

3.7968

30

3.6957

40

3.5948

50

3.4941

60

3.3935

70

3.2939

80

3.1924

90

3.0917

100

2.9908

Este último valor de altura puede considerarse como 3 m, por lo que el tiempo necesario para que el nivel del líquido dentro del tanque esférico pase de 4 a 3 m es aproximadamente 100 segundos.


499

7.3 7.3

En un un tanque tanque perfectamente perfectamente agitado agitado se se tiene 400 L de una salmuera salmuera en la cual están están disueldisuelEn tos 25 25 kg kg de de sal sal común común (NaCl), (NaCl), en en cierto cierto momento momento se hace llegar llegar al tanque tanque un gasto gasto de 80 80 L/min L/min de de una una salmuera salmuera que contiene contiene 0.5 kg de de sal sal común común por litro. Si Si se se tiene un gasto de salida de de 80 80 L/min L/min determine. determine. salida a) ¿Qué ¿Qué cantidad cantidad de sal sal hay en en el el tanque tanque transcurridos transcurridos 10 10 minutos? minutos? a) b) ¿Qué ¿Qué cantidad cantidad de sal hay en el tanque tanque transcurrido transcurrido un tiempo tiempo muy grande? grande? b)

Solución

a) Si Si se se llaman llaman x los kg de sal en el tanque tanque después después de t minutos, minutos, la acumulación acumulación de sal a) en el el tanque tanque está está dada dada por dx/dt dx/dt y por la expresión expresión en dx

-dx = = masa masa de sal que entra-masa entra-masa de sal que sale dt dt valores conocidos conocidos se sustituyen sustituyen y se llega llega a la ecuación: ecuación: los valores

dx

dt dt == 80 (0.5) -

x 80 ( 400 400 )

o

dt ~~ dx

=40-0.2x = 40 - 0.2x

~¡

que tiempo cero, cero, da el siguiente que con con la condición condición inicial inicial de que que hay 25 kg de sal al tiempo siguiente

~~ dt

PVI PVI

{

=40-0.2x = 40 - 0.2x

(O) = x (O) = 25 (lO) = ? x (10)

Como vía de ilustración ilustración se utilizará utilizará un un método método de de Runge-Kutta Runge-Kutta de tercer tercer orden orden cuyo cuyo algoalgoComo vía ritmo está dado ritmo está dado por: por:

con con k] k, =f(x =f (x¡. y) i• y) k22 = f (Xi (x¡ + h/2, h/2, Yi Y¡ + hk¡l2) hk¡l2) =f(x¡ + h, h, Yi Y¡+ 2hk2 - hk]) hk,) k3 = k3 f(xi + + Zhk;

En En el el CD CD se encuentra encuentra el el PROGRAMA PROGRAMA 7.1 para para resolver resolver este este problema problema de de valor valor inicial inicial con con el algoritmo algoritmo anotado anotado arriba. arriba. El El resultado resultado obtenido obtenido es es x(lO) x(lO) = = 176.3 176.3 con con un un paso paso de de integración integración hh de de 11 mino mino

b) La La solución solución se se obtiene obtiene dejando dejando correr correr el el programa programa hasta hasta que que la la cantidad cantidad de de sal sal en en el el b)

tanque no no cambie cambie con con el el tiempo; tiempo; esto esto es, es, hasta hasta que que se se alcance alcance régimen régimen permanente. permanente. tanque Al Al dejar dejar correr correr el el programa programa se se obtuvieron obtuvieron los los siguientes siguientes resultados: resultados: CONDICIÓN CONDICIÓN INICIAL: INICIAL: Y( Y( .00) .00) ==25.0000 25.0000 PASO PASO DE DE INTEGRACIÓN INTEGRACIÓN H H == 1.000 1.000 VALOR 50.000 VALOR FINAL FINAL DE DE X X ==50.000 SE SE IMPRIME IMPRIME CADA CADA 22 ITERACIONES ITERACIONES

500

Métodos numéricos ap licados a la ingeniería

7.4

X

y

2.0000

82.7124

4.0000

121.3920

6.0000

147.3158

8.0000

164.6902

10.0000

176.3348

12.0000

184.1393

14.0000

189.3699

16.0000

192.8755

18.0000

195.2251

20.0000

196.7998

22.0000

197.8552

24.0000

198.5625

26.0000

199.0366

28.0000

199.3543

30.0000

199.5673

32.0000

199.7100

34.0000

199.8056

36.0000

199.8698

38.0000

199.9127

40.0000

199.9415

42.0000

199.9608

44.0000

199.9738

46.0000

199.9824

48.0000

199.9883

50.0000

199.9921

260 g de acetato acetato de etilo etilo (CH (CH33 COOC COOC22 H Hs) con 175 g Se hacen hacen reaccionar reaccionar isotérmicamente isotérrnicarnente 260 s) con sodio (NaOH) (NaOH) en solución solución acuosa acuosa (ajustando (ajustando el volumen litros) de hidróxido hidróxido de sodio volumen total total a 5 litros) para dar acetato acetato de sodio sodio (CH (CH33COONa) alcohol etílico etílico (C22H acuerdo con con la sipara dar COONa) y alcohol HsOH), OH), de acuerdo guiente ecuación ecuación estequiométrica estequiométrica guiente

constante de velocidad está dada dada por: por: Si la constante velocidad de reacción reacción k está 10-2 k = 1.44 X X 10-2

L mal mÍn min mol

Ecuaciones inarias Ecuaciones diferenciales diferenciales ord ordinarias

501

determine la cantidad cantidad de acetato acetato de sodio sodio y alcohol alcohol etílico etílico presentes presentes 30 minutos minutos después después determine de iniciada iniciada la reacción. reacción.

Solución Solución

denota el número número de moles moles por por litro litro de acetato acetato de etilo etilo que que han reaccionado reaccionado al tiemtiemSi x denota masas así: po t,t. entonces entonces la velocidad velocidad de reacción reacción dx/dt dx/dt viene viene dada dada por por la ley de acción acción de masas ~ =kCl CI Cl ~ =kCI

dt

A

B

donde CA CA Y y CBB denotan denotan las concentraciones concentraciones molares reactantes acetato acetato de etilo etilo e hidonde molares de los reactantes dróxido dróxido de sodio, sodio, respectivamente, respectivamente, al tiempo tiempo t y los los exponentes exponentes son sus sus coeficientes coeficientes esteestequiométricos en la reacción. reacción. Entonces: Entonces: quiométricos mal L mal 175 g mol CBB = =----=---x-- - - - - -x-PM L PMNaOH NaOH 5L Al substituir substituir valores ecuación diferencial diferencial valores y añadir añadir la condición condición inicial inicial y la pregunta pregunta a la ecuación resultante, resultante, se tiene: tiene:

~

~

PVI PVI

1 {

= 1.44 l.44 X 10-22 (0.59 (0.59 - x)(0.875 = x)(0.875 - x) dt x (O ) = 0.0 0.0

x (30) (30) = ?

Al Al correr coner el programa programa 7.2 7.2 se obtiene: obtiene: x (30) (30)

== 0.169 0.169 con con un paso paso de integración integración h de de

1 mino

de de donde: donde: Cantidad Cantidad de de acetato acetato de de sodio sodio 7.5 7.5

== 0.169 0.169

X

5 X 62 62

== 52.39g 52.39g

Se Se conecta conecta un un inductor inductor (inductancia) (inductancia) de de 0.4 0.4 henries henries en serie serie con con una una resistencia resistencia de de 8 ohms, ohms, un de 0.015 0.015 farads farads y un generador generador de de corriente corriente alterna alterna dada dada por por la la función función 30 30 sen sen un capacitor capacitor de 5t 5t volts volts para para t ¿ ~ O O (véase (véase Fig. Fig. 7.17). 7.17). a) Establezca Establezca una una ecuación ecuación diferencial diferencial para para la la carga carga instantánea instantánea en en el capacitor. capacitor. b) b) Encuentre Encuentre la la carga carga a distintos distintos tiempos. tiempos .

Solución Solución 175g itros) la si-

a) en la a) La La caída caída de de voltaje voltaje en en la resistencia resistencia es es 88 1, en la la inductancia inductancia es 0.4 0.4 dI/dt dI/dt Yyen la capacapacitancia Q/0.015 = 66.6666 Q citancia Q/0.015 = 66.6666 Q Según Según las las leyes leyes de de Kirchhoff Kirchhoff 8 1 + 0.4 0.4

!!L ++ 66.6666 66.6666 Q = = 30 30 sen sen St 5t dt dt

o 0.4 0.4 d2Q ++ 8 dQ dQ ++ 66.6666 66.6666 Q Q == 30 30 sen sen St 5t dt dt dt22 dt ya ya que que

502

Métodos numéricos


y finalmente d2Q + 20 dQ + 166.6666 Q dt2 dt

=

75 sen 5t

con las condiciones

0.4 henries

30 sen 51 volts

o.015farads

Figura 7.17

1

80hms

VV\A/~----------~~------~

Al pasar a un sistema con el cambio de variable dQ dt PVI

~~

dQ = z dt

=Z

=

75 sen 5t - 20z - 166.6666 Q

Q(O)=O z(O)=O b) Al resolver por el método de Runge-Kutta

t

dQ dt

t

Q

= 0.1 se tiene: dQ dt

0.1

0.03093

0.96008

1.1

-0.43060

0.2

0.16949

1.67198

1.2

-0.34l74

1.40254

0.3 0.4

0.33066

1.33585

1.3

-0.16921

2.02794

0.42549

0.38455

1.4

-0.04475

2.15684

0.5

0.41473

-0.71114

1.5

0.24775

1.75767

0.6

0.29996

-1.62002

1.6

0.39010

0.92817

0.7

0.11080

-2.11960

1.7

0.43693

-0.12859

-2.09630

1.8

0.37679

-l.l5386

0.22440

-1.89662

0.01706

-2.17503

0.8

7.6

Q

de cuarto orden y usando h

-0.10561

0.9

-0.29609

-1.55950

1.9

10

-0.41404

-0.64128

2.0

-0.43375

Un proyectil de masa m = 0.11 kg se lanza verticalente hacia arriba con una velocidad inicial Vo = 80 mis y se va frenando debido a la fuerza de gravedad Fg = -mg y a la resitecia del aire Fr= -kv2, donde g = 9.8 mis y k = 0.002 kg/m. La ecuación diferencial para la velocidad v está dada por mv'

= -mg

- kv2

Figu

Arregl

intercon

Ecuaciones


503

Encuentre la velocidad del proyectil a diferentes tiempos en su ascenso y el tiempo que tarda en llegar a su altura máxima.

Solución

Al emplear el método de Runge-Kutta de cuarto orden con h t (s)

tiene:

= 0.01

se tiene

v (mIs)

O

80

0.3

53.55

0.6

39.11

0.9 1.2

29.76

1.5

17.83

1.8

13.55

2.1 2.4

9.86

2.7

3.46

3.00

0.49

3.01

0.39

3.02

0.30

3.03

0.20

3.04

0.10

3.05

0.002

23.04

6.54

-0.10

3.06

Dado que al llegar a t = 3.06 s, la velocidad es negativa, se toma 3.05 como el lapso que tarda en llegar a su altura máxima. 7.7

Se tiene tres tanques de 1000 litros de capacidad cada uno, perfectamente agitados (véase Fig. 7.18). Los tres recipientes están completamente llenos con una solución cuya concentración es 30 giL. A partir de cierto momento se alimenta al primer tanque una solución que contiene 50 gIL con una gasto de 300 Llmin (hay un arreglo entre los tres recipientes tal que al haber un gasto al primero, la misma cantidad fluye de éste al segundo, del segundo al tercero y de éste afuera del sistema, con lo cual se mantiene constante el volumen en todos ellos). Calcule la concentración en cada tanque después de 10 minutos de haber empezado a agregar solución al primero. 300 Llmin 50 giL

ad inisitecia la ve-

Figura 7.18

Arreglo de tres tanques interconectados.

300 L/min

300L/min •

~. .~ ...

~ ... I-----'

,-,--,_"",,:,,:,,"":""";:.....;.J =

C,(O) = 30 giL

CiO)

V, = 1000L

V2 = 1000L

30 giL

C3(0) = 30 giL V3 = 1000 L

300 UlIlin

504 504


Solución Solución

Balance de de soluto soluto en en el el primer primer tanque tanque Balance Acumulación Acumulación == Entrada Entrada

dCIVI I delV

300 (50) (50) = 300

dt dt

-- Salida Salida - 300

e,

1000 LL Y Ypermanece permanece constante constante como VI V I = 1000 como

de, dCI

dt = dt

0.3 e, C l y el C I (O) (O) = 30 30 15 -- 0.3

(1) (1)

Balance de de soluto soluto en en el el segundo segundo tanque tanque Balance

de dC? 2 = 300 300C 300C V 2dt el I - 300 e22 2 dt- = como como V22 = 1000 1000 L

de dC

- 22 == 0.3 0.3 (el (C I -- e C22)) y e C22 (O) = = 30 30 dt dt

(2) (2)

Balance de de soluto soluto en el tercer tercer tanque tanque Balance

de dC V 3 dt dt 33 == 300 300 e C2 - 300 300 C, C3 como como V3=1000L

de3

-

dt

= 0.3

(e2 - e3) y e3 (O) = 30

(3) (3)

Las ecuaciones ecuaciones 1 a 3, con con sus respectivas respectivas condiciones condiciones iniciales, iniciales, constituyen constituyen un sistema sistema cuLas ya solución solución representa representa los valores valores buscados, buscados, esto esto es:

de, dCI

dt = = 15 dt

0.3e,I 0.3C

de2 dC?

dt 0.3 (C (ele22)) dt - == 0.3 I - C de dC

dt 33 = = 0.3 (C (e2 -- C e3) dt PVI PVI

e,I (O) == 30 C

e

(O) == 30 C 22 (O)

e,3 (O) == 30 30 C elI (10) =? =? C

e22(10)=? C (10) = ? e3 (lO) (10) ==?? C Se utiliza un paso paso de de integración integración de de 11 min min yy el el algoritmo algoritmo de de RK RK -4 -4 para para sistemas sistemas yy se se tiene Se

Ecuaciones


505

F

eAo

•

4!'-

"

-

o'

'o

(1)

Figura 7.19 Modelación de un reactor con mezclado imperfecto.

~ .'

.•. -

VI

=

80 L·:\

--

-

••'. V

F+FR

.'".

,""

2

= . ..20 L.'~:;

tiempo ( min )

el

e2

e3

o

30.00

30.00

30.00

1

35.18

30.74

30.07

2

39.02

32.44

30.46

3

41.87

34.55

31.25

4

43.98

36.75

32.41

5

45.54

38.85

33.82

6

46.69

40.74

35.89

7

47.55

42.41

37.01

8

48.19

43.83

38.61

9

48.66

45.03

40.13

10

49.00

46.02

41.54

(3) 7.8

F

,',

(2)

cu-

FR

','

El mezclado imperfecto en un reactor continuo de tanque agitado se puede modelar como dos o más reactores con recirculación entre ellos, como se muestra en la figura 7.19. En este sistema se lleva a cabo una reacción isotérmica irreversible del tipo A B de orden 1.8 con respecto al reactante A. Con los datos que se dan abajo, calcule centración del reactante A en los reactores (1) y (2) (CAl Y CA2, respectivamente) el tiempo necesario para alcanzar el régimen permanente. Ensaye varios tamaños de integración y compare los resultados obtenidos en el ejercicio 4.5. Datos: CAo = 1 mol/L

F = 25 L/min FR = 100 L/min CA2 (O)

Solución

~ ene

=

CAl (O) = 0.0 mollL k

0.0 mollL

= 0.2 (~

)0.8

mal

min-I

Un balance del componente A en cada uno de los reactores da Acumulación Reactor 1 dV1CAI dt Reactor 2 dV2CA2 dt

Salida

= Entrada

Reacciona

FCAO+ FRCA2

-

(F + FR)CAI

(F + FR) CAl

-

(F + FR) CA2 +

-

VlkC'AI

vzkeA2

k ~ la condurante de paso

506

Métodos numéricos


Como V 1 Y V2 son constantes, mediante la sustitución de valores y con las condiciones de operación a tiempo cero, se llega a dC _ 25 -- AI - 1.25 CA2 + --dt 80

125 80

1.8

CAl - 0.2CAI

dC _ 125 1.8 -- A2 - (CAl - CA2) - 0.2 CA2 dt 20 PVI

CAl (O) = 0.0 CA2 (O) = 0.0

CAl (O a r p) = ? CA2 (O a r p) = ? donde CAl(O a rp) significa la concentración del reactante A en el reactor 1 desde el tiempo O hasta alcanzar el régimen permanente. . Con el programa 7.3 y con un paso de integración de 0.4 minutos, el valor de CA2 en la primera iteración resulta negativo (lo cual es imposible) y al efectuar la segunda iteración e intentar calcular el término C 1.8 A2(véase segunda Ec. del PVI) el programa aborta. Se ensaya ahora un tamaño de paso menor, ya que la constante de velocidad de reacción es alta y es de esperarse que la reacción sea muy rápida y que un paso de 0.4 minutos resulte muy grande. A continuación se dan los resultados para h = 0.3 minutos. CONDICIONES INICIALES: YI ( .00) .000 Y2 (00) .000 PASO DE INTEGRACIÓN H .300 VALOR FINAL DE X 20.000 SE IMPRIME CADA 5 INTERACCIONES X

YI

Y2

1.5000

.3143

.2796

3.0000

.4839

.4635

4.5000

.5706

.5528

6.0000

.6123

.5966

7.5000

.6321

.6172

9.0000

.6413

.6268

10.5000

.6456

.6313

12.0000

.6476

.6334

13.5000

.6485

.6343

15.0000

.6489

.6348

16.5000

.6491

.6350

18.0000

.6492

.6351

19.5000

.6493

.6351


Puede observarse observarse que que el régimen régimen permanente permanente se alcanza alcanza a los 18 minutos. Puede minutos. Los Los valovaloconcentraciones a régimen régimen permanente permanente coinciden coinciden con con los abtenidos abtenidos en el ejercires de las concentraciones ejercicio 4.5. probaron además además tamaños tamaños de paso paso 0.25, 0.25, 0.2 0.2 Y 0.1 0.1 minutos; minutos; en cada Se probaron cada caso caso los los mismismos resultados resultados se obtuvieron obtuvieron que que para para 0.3 minutos. minutos. mos

s de

7.9

reactor de laboratorio laboratorio continuo continuo tipo tipo tanque tanque perfectamente perfectamente agitado, agitado, se lleva En un reactor lleva a cabo cabo una reacción reacción química química exotérmica exotérmica cuya cuya temperatura temperatura se controla controla por por medio medio de una de un líquido líquido que circula circula por por una una chaqueta chaqueta que que se mantiene mantiene a una una temperatura temperatura unforme unforme Tj. Calcule la que Tj . Calcule temperatura T y la concentración concentración CA CA de la corriente corriente de salida salida cuando cuando el reactor reactor trabaja temperatura trabaja a régimen transitorio transitorio y hasta hasta alcanzar alcanzar el régimen régimen permanente permanente para para el caso caso de una régimen una reacción reacción primer orden. orden. de primer Aplique la siguiente siguiente información información referida referida a la figura figura 7.20. 7.20. Aplique Condiciones iniciales: iniciales: CA CA (O) (O) = = 5 gmollL gmollL y T(O) = = 300 300 K Condiciones

em-

= Gasto Gasto de alimentación alimentación al reactor reactor = = 10 ml/s ml/s =

F

= Volumen Volumen de reactor reactor V=

?

507

= 2000 2000 mI ml =

CAO = = Concentración Concentración del reactante reactante A en el flujo flujo de alimentación alimentación = = 5 gm~l CAD gm~l

en

erarta. ción s re-

ToD= = Temperatura Temperatura del flujo flujo de alimentación alimentación T

= Calor Calor de reacción reacción L1H =

= 300 300 K =

= - 10000 10000 cal/gmol cal/gmol =

Coeficiente global global de transmisión transmisión de calor calor = 100 U = Coeficiente

= Área Área de transmisión transmisión de calor calor A=

cal DC s m m?2 oC

= 0.02 0.02 m? = m2

Constante de velocidad velocidad de reacción reacción = 8 X 1012 exp exp ((-22500/1.987 = Constante 22500/ 1.987 T) T) S-I S- I = Temperatura Temperatura del líquido líquido que que circula circula por por la chaqueta chaqueta = = 330 330 K Tjj =

k

específico de la masa masa reaccionante reaccionante = = 1 Kcal/kgOC Kcal/kg=C Calor específico Cp == Calor

p

= Peso Peso específico específico de la masa masa reaccionante reaccionante = = 1 kglL kglL =

TO' F CA

TJ

o

.. o

t A ---'-'---A

.-- __

----1

7.20 Figura 7.20 tipo Rector tipo tanque agitado agitado tanque chaqueta.. con chaqueta

F ---- - --

••• ..... --

eA,T CA,T

..

•• --

TJ T¡

508 508

Métodos numéricos aplicados aa la la in ingeniería M é todos numé ricos aplicados gen iería

Solución Solución

Balance de de materia materia para el el reactante reactante A Balance Acumulación Acumulación dVCAA dVC

Entrada Entrada

Salida Salida

Reacciona Reacciona

FCAO

dt

kVCAA kVC'

Balance de calor calor Balance Acumulación Acumulación dVpCpT dVpCpT

Entrada Entrada

Salida-generado Salida-generado

- eliminado eliminado

~HkVC'A

- UA ( T - Tj

FpCp( To -T - T)) FpCp(To

dt

)

Como V, P Y Y Cp Cp se consideran consideran constantes, constantes, al sustituir sustituir valores valores se tiene tiene Como dC

___ PVI PVI

A _A dt

dT dT

-

dt

0.005 (5 - CA) CA) - 8 = 0.005

(- 22500/1.98T) 22500/l.98T) CA CA X 1012 exp (-

Fi

= 0.005 0.005 (300 =

T) + 8

13 X 1013 X

(-22500/1.98T) CA CA - 0.001 (T - 330) exp (-22500/1.98T)

C A (( O O)= = 5 gmollL gmol/L CA (O) = = 300 K T (O) PROGRAMA 7.3, utiliza el método método de Runge-Kutta tercer orden Al resolver resolver con el PROGRAMA 7.3, que que utiliza Runge-Kutta de tercer orden para un sistema sistema de ecuaciones, ecuaciones, se obtienen obtienen los los resultados: para resultados:

SOLUCIÓN DE CON UN SOLUCIÓN DE UN UN PVI PVI CON UN SISTEMA SISTEMA DE DE N N ECUACIONES DIFERENCIALES ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS ORDINARIAS DE DE PRIMER PRIMER ORDEN ORDEN POR ORDEN POR EL EL MÉTODO MÉTODO DE DE RUNGE-KUTTA RUNGE-KUTTA DE DE TERCER TERCER ORDEN CONDICIONES INICIALES: CONDICIONES INICIALES: Yl 5.000 Yl ( .00) .00) 5.000 Y2 300.000 Y2 ( .00) .00) 300.000 PASO 20.000 PASO DE DE INTEGRACIÓN INTEGRACIÓN H 20.000 VALOR 3000.000 VALOR FINAL FINAL DE DE X X 3000.000 SE SE IMPRIME IMPRIME CADA CADA 10 ITERACIONES ITERACIONES X .0000 .0000 200.0000 200.0000 400.0000 400.0000 600.0000 600.0000 800.0000 800.0000 1000.0000 1000.0000 1200.0000 1200.0000 1400.0000 1400.0000 1600.0000 1600.0000 1800.0000 1800.0000 2000.0000 2000.0000 2200.0000 2200.0000 2400.0000 2400.0000 2600.0000 2600.0000 2800.0000 2800.0000 3000.0000 3000.0000

YI YI 5.0000 5.0000 4.6623 4.6623 4.3180 4.3180 3.9803 3.9803 3.6243 3.6243 2.1727 2.1727 2.3743 2.3743 .7730 .7730 .6438 .6438 .7104 .7104 .7314 .7314 .7359 .7359 .7366 .7366 .7367 .7367 .7367 .7367 .7367 .7367

Y2 Y2 300.0000 300.0000 306.6382 306.6382 310.6624 310.6624 3l3.8187 313.8187 316.9112 316.9112 320.8165 320.8165 327 .8928 327.8928 342.0851 342.0851 341.9108 341.9108 340.8714 340.8714 340.5911 340.5911 340.5366 340.5366 340.5287 340.5287 340.5278 340.5278 340.5278 340.5278 340.5278 340.5278

Viga

con


7.10 7.10

509

Encuentre curva elástica elástica de una extremo libre, libre, de longitud longitud L = Encuentre la curva una viga viga uniforme uniforme con un un extremo =5 m = 300 kg. Determine Determine también también la deflexión peso constante y peso constante de w = deflexión del extremo extremo libre. libre. Tome Tome El == 150000. El 150000 .

.

'

>~,

1':"

L

O"

L

l.;·;' X l·' .I---------------/j+,<----~ .¡,

=..::.=...::.

':~:'J.::<::2"~::"::•.;::".::.. ::.~.=.::2.~=".=.~.,.. "

Solución Solución m

~ ~

~

I

:::"",::···=·Z·'···::'· :::::··;::·,;·::::::;::··.···L',..::·Z·,···:;::.···::·::·:3----x

r

-~JY

O

':" Figura 7.21 Viga empotrada empotrada con un extremo libre.

(L-X)

I

p

.;.:'

'R

.. ..... !

yy

W(L-X)X) W(L-

La figura muestra la viga punteada). Se toma toma el origen La figura 7.21 7.21 muestra viga y su curva curva elástica elástica (línea (línea punteada). origen O de un sistema viga y la dirección positiva del eje sistema coordenado coordenado en el extremo extremo empotrado empotrado de la viga dirección positiva hacia abajo. y hacia abajo. Sea punto cualquiera viga. Para Para calcular momento de flexión punSea x un punto cualquiera de la viga. calcular el momento flexión en el punx, M(x) parte de la viga viga a la derecha una fuerza fuerza hacia hacia abajo to x, M(x), , considere considere la parte derecha de P y que que sólo una abajo actúa porción, w (L - x), produciendo el momento momento positivo positivo actúa en esa porción, x), produciendo M(x) M(x)

== w(L-x) w(L-x)

[ (L-x)/2] (L-x)/2]

== w(L-x)2/2 w(L-x)2/2

En la teoría teoría de vigas, vigas, se demuestra relacionado con radio de curvatura En demuestra que que M(x) M(x) está está relacionado con el radio curvatura de curva elástica elástica calculado calculado en x así la curva y" y" El ------'-----,.-,-,EI - -- [1 + (y')2]1/2 (y')2]1/2 [1

== M M (x) (x)

(1) (1)

donde módulo de elasticidad material con donde E es el módulo elasticidad de Young Young y depende depende del material con el que que se consconstruyó la viga viga e I es el momento momento de inercia transversal de la viga viga en x. x. truyó inercia de la sección sección transversal Si se asume muy poco, poco, que pendiente y'y' asume que que la viga viga se flexiona flexiona muy que es el caso caso general, general, la pendiente curva elástica que de la curva elástica es tan pequeña pequeña que (y')2 '" "" 1 1 + (y')2

puede aproximarse por y la ecuación ecuación 4 puede aproximarse por El y" y" El

=

= w(L w(L -

= M(x) M(x) =

variable en la forma y' Al cambiar cambiar de variable forma y'

x)2/2 x)2/2

dy/dx = = z, se obtiene == dy/dx obtiene el siguiente siguiente dy

-= -=z z dx dz

w (L -_X)2 w(L x)2

dx

2 El

=O y (O) = O zz (O)

= =O O

\.. Y (5) \. Y

== ?

510

Métodos numéricos

Con el

7.11

PROGRAMA

aplicados

a la ingeniería

7.3 Y con h = 0.5 m se obtiene x(m)

y(m)

o

O

0.5 1.0

0.003

1.5

0.023

2.0

0.038

2.5

0.055

3.0

0.074

3.5

0.094

4.0

0.115

4.5

0.135

5.0

0.156

0.011

En la industria del transporte terrestre y aéreo surgen problemas de choque y vibración a partir de muy diferentes tipos de fuentes de excitación. La eliminación del choque y de la vibración es de importancia vital para aislar instrumentos y controles, y en la protección de los ocupantes de los vehículos. La solución usual a los problemas que involucran transmisión de vibraciones excesivas incluye el uso de soportes flexibles levemente amortiguados. Estos soportes suaves causan que la frecuencia natural de un sistema de suspensión quede por debajo de la frecuencia de disturbio. Esta solución es efectiva para aislar la vibración en estado estacionario; sin embargo, cuando estas suspensiones encuentran situaciones de choque, su suavidad a menudo lleva a deflexiones grandes dañinas. Se ha señalado que estas características no deseables están ausentes en los sistemas de suspensión que utilizan resortes simétricamente no lineales que se rigidizan. Estos resortes son progresivamente más rígidos al sujetarse a deflexiones grandes a partir del "punto de operación". El dispositivo mostrado en la figura 7.22 consiste de un objeto de masa m conectado a una pared por medio de un resorte lineal con coeficiente k, un amortiguador con coeficiente e, y un resorte no lineal que ejerce una fuerza de recuperación proporcional a una constante k' veces la tercera potencia del desplazamiento. Este resorte "cúbico" provee un comportamiento no lineal simétrico que satisface la necesidad de aislar el choque y la vibración. Debido a que la ecuación diferencial que describe el movimiento de este sistema es no lineal:

cf2x

dx

m -- + e -+ dt2 dt

K Figura 7.22

e

kx + k' x3

=O

r--X

vv

M

Un objeto amortiguado conectado a una pared.

Se

K-l

() () J

Figura lnterí, prograrr

Ecuaciones

diferenciales

ordinarias

511

el desplazamiento de x en función del tiempo no puede encontrarse con los métodos analíticos tradicionales. Por esta razón se usa una solución numérica a esta ecuación diferencial. Si los parámetros físicos del sistema de suspensión son: k = 2.0 N/cm; k' = 0.2 N/cm3; e = 0.15 Nslcm; m = 0.01 kg Y las condiciones iniciales son: x(O) = 10 cm desplazamiento del objeto en la dirección positiva del eje x, x' (O) = O cm/s velocidad inicial que se imprime al objeto, elabore y ejecute un programa que simule el movimiento de este sistema desde un tiempo cero hasta un segundo.

Solución

Pasando la ecuación diferencial a un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden y las condiciones iniciales a términos de las nuevas variables, se tiene: dx

--=Z

dt

PVI

d:

-cz - kx - k'x3

dt

m

x(O)

= 10

ción a

z(O)

=O

y de la

x(t) =?

ección transrtiguaensión la visituaSe ha uspenes son e opeconecor con ional a o" prochoque

para

O
En el CD se encuentra el PROGRAMA 7.4 que resuelve este PVI con el método de RungeKutta de cuarto orden y h = 0.0025. El programa simula el movimiento amortiguado de un carrito y muestra una tabla y la gráfica correspondiente de los valores de la posición del carrito a diferentes tiempos. En la figura 7.23 se muestra una impresión de la interfase, donde por ejemplo puede observarse que la variabilidad de la magnitud de la velocidad dxldt refleja el hecho de que hay una aceleración (ver tabla de la figura 7.23). El signo negativo de la velocidad puede interpretarse como que el carrito avanza en dirección opuesta al eje x. En la gráfica de la figura 7.23 también puede observarse que el carrito se desplaza hasta Programa 7 4

1M

f

Simulación de choques amortiguados Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería Nieves H. Antonio y Domínguez S. Federico C. CECSA.1995

·10 ·9

ema es

·8

·7

·6

·5

fD.15

K ~Nlcm

e

K'~Nlcm'

m[M1

·4

·3

·2

·1

O

Velocidad

N s/cm

6

5

2

inicial

~

8

10

cm/s

Kg ªorrar

Figura 7.23 Interfase del programa 7.4.

·8.0 .

ü

.10·g

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Ú'

512

Métodos a la ingenie ría Métodos numéricos numéricos aplicados aplicados a ingeniería

Figura Figura 7.24 7.24 Viga

rectangular rectangular con con extremos extremos fVos. fVos.

el valor alrededor de 0.1 segundos para luego luego avanzar direcvalor x = = -6 cm transcurridos transcurridos alrededor segundos para avanzar en la dirección llegar a 2.4 2.4 cm cm y después después regresarse; regresarse; también también puede puede verse verse que que ción positiva positiva del eje x hasta hasta llegar transcurridos carrito prácticamente prácticamente se ha detenido. detenido. El El programa programa permite permite transcurridos 0.7 segundos, segundos, el carrito cambiar k', e y m para para que que el lector lector pueda pueda simular cambiar los valores valores de k, k', simular el fenómeno fenómeno con con difediferentes propias conclusiones conclusiones (para iniciar la simulación, rentes parámetros parámetros y sacar sacar sus propias (para iniciar simulación, arrastre arrastre el carrito x' (O) O). carrito con el ratón, ratón, tomándolo tomándolo de la argolla argolla y suéltelo, suéltelo, x' (O) = = O).

7.12

problema común común en ingeniería rectanguUn problema ingeniería civil civil es el cálculo cálculo de la deflexión deflexión de una una viga viga rectangular carga uniforme, cuando los los extremos viga están por tanto, tanto, no exlar sujeta sujeta a carga uniforme, cuando extremos de la viga están fijos fijos y, por experimentan deflexión. deflexión. La La ecuación ecuación diferencial fenómemo físico físico tiene perimentan diferencial que que aproxima aproxima este este fenómemo tiene la forma 2.10 y 7.10). forma (véase (véase ejercicios ejercicios 2.10 7.10). cf2y cf2y

qx yy + -- - (x - L) El 2EI El 2EI

-- == 2 dx2 dx

S

(1)

En la ecuación deflexión de la viga viga a una una distancia medida a partir ecuación (1), (1), y es la deflexión distancia x, medida partir del extreextreizquierdo (ver (ver Fig. 7.24), 7.24), L L la longitud, carga uniforme, uniforme, S el eseslongitud, q es la intensidad intensidad de la carga mo izquierdo fuerzo o tensión tensión en los extremos, depende de la forma forma de es el momento momento de inercia inercia que que depende fuerzo extremos, 11es sección transversal transversal de la viga módulo de elasticidad. la sección viga y E el módulo elasticidad. Dado que que los extremos extremos de la viga están fijos, fijos, se tiene: Dado viga están tiene: y(O)

== y(L) y(L) = = O.

La ecuación ecuación (1) conjuntamente conjuntamente con estas condiciones condiciones constituye constituye un problema La con estas problema de valores valores frontera, esto esto es: en la frontera,

PVF PVF

1t

cf2y cf2y dx22 dx

y(O)

== ~~ yy + ~~ (x El El

L)

2EI 2EI

== O

y(L) = O O y(L) = y(x) y(x) =? =?

para para

O< x < L L

Suponga que tienen los siguientes siguientes datos: 350 cm, q = Suponga que se tienen datos: L = = 350 = 1 kg/cm, kg/cm, E = = 2 X 106 kg/cm", kg/cm2, 4 4 = 400 400 kg, 11= = 2.5 X 104 cm". =10S= cm . Encuentre Encuentre la deflexión deflexión de la viga viga cada cada 10 cm, usando usando E: = 10-88. .

Solución

Pasando la ecuación ecuación diferencial diferencial a un sistema sistema se tiene: Pasando tiene:

~=z ~=z dx dz

PVF PVF

S

qx x-L)

J -=-/+-e ----;¡; El TE? 1

L) dx = E + 2EI y(O) = O =O y(L) =O O y(L) = L ~l.. y(x) y(x) =? = ? para para O < x < L

Ecué'.ciones diferenciales

ordinarias

513

Se inicia el método del disparo con ao = 0.01 Y al = 0.02, ya que la deflexión en ge- . neral es muy pequeña (en la figura 7.24 se ha exagerado con fines ilustrativos). Los valores positivos de a (recuerde que representan la pendiente de la tangente a la curva y en el extremo izquierdo de la viga) se deben a que la dirección positiva del eje y es hacia abajo. Con estos valores de a se plantean los dos PVI' s siguientes: dy r -=z dx irec-

-

dz

PV10 ~ dx I y(O)

\.

( dy

-=z dx

S

= -y

El

qx + -(x-L)

d;

S

qx

dx

El

2EI

-=-y+-(x-L)

2EI

=O

y(O) = O

z(O)

= ao = 0.01

z(O)

y(x)

=?

y(x) =?

para O < x < L

= al = 0.02

Al resolverlos con el método de Runge-Kutta de cuarto orden y h y(L;

ao)

para

O
= 5 cm, se obtiene

3.4880656693

=

y(L; al) = 6.988637364

La interpolación inversa (en este caso realmente es una extrapolación) ~ = al - (al -

(1)

xtre1esa de

da

y(L; al) - y(2)

ao) ---'----'-----'---

y(L; al) - y(L; lX¡¡)

= 0.2

6.988637364 - O 6.988637364 - 3.4880656693

- (0.2 - 0.1)

= 0.000035726

Con este valor se resuelve el nuevo PVI dy

-=z dx

I

lores PVI2

I

dz -

S

qx +-(x-L)

El

2EI

= -y

dx

y(O) = O z(O) \.y(x)

=

=?

= 0.000035726 para O < x < L

con lo que se obtiene y(L; ~) = 0.0000000, y el problema queda terminado. Los resultados son (se muestran cada 25 cm y hasta la mitad de la viga ya que son simétricos): crrr', 10-8.

x(cm)

y(cm)

0.0

0.0000000000

25.0

0.0008843533

50.0

0.0017185808

75.0

0.0024597179

100.0

0.0030726121

125.0

0.0035299226

150.0

0.0038121204

175.0

0.0039074883

514

Métodos numéricos


x 10-3 4

Y 3.5 3 2.5 2

1.5

Figura 7.25 Gráfica de la deflexión de la viga.

150

200

300

250

350 x

Los valores de la tabla revelan que la deflexión y de la viga es imperceptible para el ojo; en la figura 7.25 puede verse que la deformación de la viga es simétrica y que la máxima deflexión se da en el centro, como era de esperar. Los cálculos pueden realizarse con Matlab:

h=10;

Eps=le-8;

a1fa(l)=.1; for

L=350;

xf=L;

k=1:20

xO=O; yO=O; zO=a1fa(k); fprintf(' for

yf=O;

a1fa(2)=.2; x(l)=xO;

y(l)=yO;

%12.9f\n',zO);

i=1:35

k1=zO;

c1=Ejer7_12f(xO,yO,zO);

k2=zO+h/2*cl;

c2=Ejer7 _12f (xO+h/2, yO+h/2*k1,

k3=zO+h/2*c2;

c3=Ejer7_12f

k4=zO+h*c3;

c4=Ejer7_12f(xO+h,yO+h*k3,zO+h*c3)

yO=yO+h/6* (k1+2*k2+2*k3+k4); xO=xO+h¡ x(i+1)=xO;

zO+h/Z"'c1) ;

(xO+h/2,yO+h/2*k2,zO+h/2*c2)

;

¡

zO=zO+h/6* (c1+2*c2+2*c3+c4);

y(i+1)=yO;

end yt (k)=yO¡ if

k>= 2

a1fa (k+1) =a1fa (k) - (a1fa (k) -a1fa (k-1)) (yt (k) -yf) / (yt (k) -yt (k-1) ) ¡ end Error=abs(yO-yf); for

i=l

fprintf(

:36 '%6.1f

end if

Error
break end end

p.iot: (x,y, 'k')

%12.10f\n'

,xCi)

,y(i))

*..

Figl S num P\ tar

E c u aciones diferenciales d iferenciales ord inarias Ecuaciones ordinarias

515

function =Ej er7_12f( x ,y, z ) function ff=Ejer7_12f(x,y,z) L=350;; q=l; S=400;; I=2.5e4;EI=E*I; L=350 q=l ; E=2e6; E=2e6 ; S=400 I =2 . 5e4 ; EI=E*I ; f=S*y! EI+q*x! (2 *EI) * (x-L) f=S*y/EI+q*xl (2*EI) (x-L);;

~ 7.13 ~ 7.13

El empleo métodos numéricos numéricos proporciona proporciona solamente empleo de los métodos solamente soluciones soluciones aproximadas; aproximadas; no obstante incorrectas. Una Una forma práctica y rápida obstante debemos debemos diferenciar diferenciar éstas éstas de soluciones soluciones incorrectas. forma práctica rápida probar si los resultados resultados son aproximados programa reducienreduciende probar aproximados a la solución solución sería sería correr correr el programa comparar resultados do el tamaño tamaño de paso paso a la mitad mitad y comparar resultados en los mismos mismos puntos. puntos. Se resuelve resuelve problema':' donde tamaño de paso paso es clave clave para para obtener obtener la solución enseguida enseguida un problema" donde el tamaño solución correccorrecpero donde incorrectas pueden pueden resultar resultar de mayor mayor interés interés aún, por por el apata, pero donde las soluciones soluciones incorrectas rente caos presentan. El problema problema de valor valor inicial inicial al que que nos referimos rente caos que que presentan. referimos es: dy

--;¡; == 10y(l-y) lOy(l-y) dx

PVI PVI

{

y(O) y(O) y(x) y (x)

O',

== 0.1 == ?

(1) (1)

cuya ecuación ecuación diferencial conocida como solución analítica, obcuya diferencial es conocida como Ecuación Ecuación Logística. Logística. La La solución analítica, oblOX lOx),), donde tenida separables, es y = /(9 donde al tender tenida por por variables variables separables, = elOx j(9 + elOx tender x hacia hacia valores valores grangranhacia 1. 1. tiende hacia des, y tiende Las figuras muestran algunas numéricas empleando método Las figuras 7.26 7.26 a 7.29 7.29 muestran algunas soluciones soluciones numéricas empleando el método figura 7.26 7.26 vede Runge-Kutta Runge-Kutta de cuarto cuarto orden orden con con diferentes diferentes tamaños tamaños de paso paso h. En En la figura mos que con con h = 0.25, la solución solución numérica aproxima a y(x) como debería debería hacer= 0.25, numérica se aproxim:t y(x) = = 1, como hacermos que lo. Con Con h = 0.29 Y h = 0.34, la solución solución numérica aproxima a y(x) 0.76186 Y y(x) = = 0.29 = 0.34, numérica se aproxima y(x) = = 0.76186 y(x) = 0.63153, respectivamente, oscilando esta esta última solución numérica 0.63153, respectivamente, oscilando última al principio. principio. La La solución numérica en la figura 7.27 7.27 (con (con h = 0.35) no se aproxima aproxima a un solo solo valor, eventualmente oscila oscila enfigura = 0.35) valor, pero pero eventualmente tre 0.71982 y 0.50541. 0.50541. Decimos que esta esta solución solución numérica tre los dos valores valores 0.71982 Decimos que numérica tiene tiene periodo periodo 2. Del mismo modo soluciones numéricas numéricas anteriores anteriores que que se aproximan aproximan a un Del mismo modo se dice dice que que las soluciones valor, saber, 1,0.76186 1,0.76186 y 0.63153 0.63153 tienen 1. La La solución solución numérica figura valor, a saber, tienen periodo periodo l. numérica en la figura 7.28 (con (con h = = 0.365) 0.365) no oscila oscila entre entre dos valores, eventualmente oscila entre cuatro: cuatro: 7.28 valores, pero pero eventualmente oscila entre 0.39189,0.82492,0.41291 0.79970 Y así la solución solución numérica cuatro. La 0.39189, 0.82492,0.41291 Y 0.79970 numérica tiene tiene periodo periodo cuatro. La

a

1.2 1.2 Y Y h = 0.25 0.25

1.0 l.0

h = = 0.29 0.29 0.81-11'------------0 .81-Ir------------h = = 0.34 0.34

7.26 Figura 7.26 Soluciones numéricas del numéricas PVI (1 (1)) con PVI diferentes d ife rentes tamaños tamaños de paso.

0.6 0.6 0.4 0.4

0.2 0.2

oO

22

4

66

8

10

12

14 x

* Tomado Tomado de: Lomen, Lomen, David David y Lovelock, Lovelock, David, David, Ecuaciones Ecuaciones Diferenciales Diferenciales a través través de Gráficas, Gráficas, Modelos Modelos y DaDa-

tos, (2000) pp. tos, CECSA CECSA (2000) pp. 106-109. 106- 109.

516 516


1.2 1.2 YY 1.0 1.0

hh = = 0.35 0.35

0.8 0.8

Figura 7.27 7.27 Figura Soluciones Soluciones numéricas del del numéricas PVI (1) (1) con con PVI tamaño de de paso tamaño igual a 0.35. 0 .35. igual

0.4 0.4

FigL

Diac órbil

0.2 0.2

oo

22

44

88

66

10 10

12 12

14 14 xx

10

12

14 x

10 10

12 12

14 xx 14

nurr

1.2 YY 1.0 1.0

h = 0.365 0.365

0.8 0.8 0.6 0.6

Figura 7.28 Figura 7.28 Soluciones numéricas numéricas del PVI PVI (1) (1) con tamaño tamaño de paso igual a 0.365. 0.365.

0.4 0.4

0.2 0.2

oO

2

4

1.2 yY

6

8

=

/¡h = 0.39 0.39

1.0 0.8 0.8 0.6 0.6

Figura Figura 7.29 7.29 Soluciones Soluciones numéricas numéricas del del PVI PVI (1) (1) con con tamaño tamaño de de paso paso igual igual aa 0.39. 0.39.

0.4 0.4

0.2 0.2

oO

22

44

66

88

Figu

solución numérica numérica en en la la figura figura 7.29 7.29 (con (con hh == 0.39) 0.39) es es bastante bastante caótica; caótica; no no muestra muestra un un comcomsolución portamiento periódico. periódico. Todas Todas estas estas soluciones soluciones numéricas, numéricas, exceptuando exceptuando la la correspondiente correspondiente portamiento 0.25, están están equivocadas equivocadas yy no no predicen predicen el el comportamiento comportamiento conecto correcto de de la la solución. solución. aa hh == 0.25, Podemos llegar llegar aa comprender comprender este este proceso proceso si si resolvemos resolvemos la la ecuación ecuación diferencial diferencial nunuPodemos méricamente para para valores valores particulares particulares del del tamaño tamaño de de paso paso h, h, yy posteriormente posteriormente examinaexaminaméricamente

Acerc

progr

en el (0.375

E cuaciones diferenciales Ecuaciones diferenciales ordinarias ordinarias

517

1.0 l.0 yy

0.8

0.6 0.6

0.4 0.4

Figura 7.30 7.30 Figura Diagrama de órbita para la órbita solución numérica del numérica PVI (1). PVI

0.2

0.0 0.0 0.26 0.26

0.28 0.28

0.30 0.30

0.32 0.32

0034 0.34

0.36 0.36

0.370 0.370

0.380 0.380

0.390 0.390

0.400 0.400

h/¡

mos los últimos generados por eventualmente simos los últimos valores valores generados por el método método numérico, numérico, para para ver ver si eventualmente guen un patrón. esto gráficamente gráficamente es comenzar comenzar con con una específica, guen patrón. Una Una manera manera de ver esto una h específica, calcular la solución solución numérica digamos, los primeros después graficar graficar calcular numérica para, para, digamos, primeros 100 pasos, pasos, y después siguientes 100 valores correspondientes a ese ese valor h; luego luego incrementar incrementar h y los siguientes valores de y correspondientes valor de h; repetir La figura figura 7.30 7.30 presenta gráfica de esta esta clase, clase, conocida conocida a menudo repetir el proceso. proceso. La presenta una una gráfica menudo como un diagrama diagrama de órbita, órbita, donde donde se manejan escalas diferentes diferentes en el eje h, a fin de tecomo manejan escalas tener "resolución" en el diagrama diagrama para 0.364. En el disdisner una una mayor mayor "resolución" para valores valores de h mayores mayores de 0.364. libro de encuentra encuentra el PROGRA.MA donde puede obtenerse cualquiera cualquiera de las co del libro PROGRAJ.VlA 7.5 donde puede obtenerse figuras 7.26 a 7.30; 7.30; en el último caso se puede incluso obtener obtener un acercamiento acercamiento (zoom) (zoom) sefigura~ 7.26 último caso puede incluso leccionando un intervalo intervalo en el eje h a partir 0.364 (donde (donde resulta este tipo leccionando partir de 0.364 resulta relevante relevante este tipo de tratamiento). ello, el lector lector puede sistema de ejes ejes coordenados coordenados y señalar señalar a tratamiento). Para Para ello, puede utilizar utilizar el sistema través escribiendo en los cuadros cuadros correspondientes correspondientes el valor través de los botones botones del mouse mouse o escribiendo valor inicial y final final del intervalo intervalo de interés. interés. La figura figura 7.31 muestra muestra un acercamiento acercamiento en el intervaintervacial (0.375, 0.380). 0.380). lo (0.375,

Blila

iíii.Zoom

Figura 7.31 Figura Acercamiento Acercamiento con el programa 7.5 programa intervalo en el intervalo (0.375,0.380). (0 .3 75, 0.380) .

8.37688

8.37788

8.37888 ~errar ~errar

8.37988

8.38808 8.38888 h

518


Para asegurarnos haber compendido punto en el diaPara aseguramos de haber compendido la figura figura 7.30, 7.30, examinemos examinemos el punto grama tamaño de paso paso de 0.25, últimos 100 vagrama que que corresponde corresponde a un tamaño 0.25, observamos observamos que que los últimos lores numéricos son aproximadamente aproximadamente el mismo saber, l. Esto Esto concuerda concuerda lores numéricos de y son mismo número, número, a saber, con la curva h = 0.25 en la figura 7.26. De la misma manera, con h = 0.30, la figura 7.30 con curva = 0.25 figura 7.26. De misma manera, = 0.30, figura 7.30 nos dice dice que que los últimos 100 valores numéricos de y son aproximadamente el mismo últimos valores numéricos aproximadamente mismo número, a saber, 0.76186, otra vez de acuerdo con la figura 7.26. Con h = = 0.35, 0.35, la figura figura 7.30 7.30 mero, saber, 0.76186, otra vez acuerdo con figura 7.26. Con nos dice dice que que los últimos 100 valores numéricos de y caen aproximadamente en dos númeúltimos valores numéricos caen aproximadamente dos números diferentes, diferentes, a saber, saber, 0.71982 0.71982 y 0.50541 0.50541, , lo que que concuerda concuerda con la figura figura 7.27. 7.27. Así, cuanAsí, cuando h se encuentra encuentra aproximadamente aproximadamente entre entre 0.346 0.346 y 0.364 0.364 esperamos esperamos soluciones soluciones de periodo periodo 2. Podemos Podemos ver soluciones de periodo entre 0.365 0.365 y 0.368) 0.368) Y las soluciones soluciones caóticaótiver las soluciones periodo 4(h entre cas (con h = 0.39) en la figura 7.30. ¿Puede apreciar algunas soluciones de periodo cas (con = 0.39) figura 7.30. ¿Puede apreciar algunas soluciones periodo 8? ¿Dónde buscaría una solución de periodo 16? ¿Esperaría el mismo diagrama órbita ¿Dónde buscaría una solución periodo ¿Esperaría mismo diagrama de órbita usando otros métodos de solución de este PVI? usando otros métodos solución este PVI?


7.2

7.3 7.4

7.5

7.32 Figura 7.32 Vaciado de un tanque cónico. tanque

figura 7.32, 7.32, al momento líquido a 0.5 m se hace lleSi al tanque tanque de la figura momento de llegar llegar el nivel nivel del líquido hace llegar un gasto gasto de alimentación alimentación de 0.04 0.04 m3/s, el nivel líquido aumentará. aumentará. Determine gar nivel del líquido Determine el tiempo necesario para que el nivel flujo de salida salida por por tiempo necesario para que nivel se recupere recupere nuevamente nuevamente a 3 m. El flujo orificio del fondo fondo es 15.55 ra [;; L/s. Lis. el orificio que requiere ejercicio 7.1 para El tiempo tiempo que requiere el tanque tanque del ejercicio para recuperar recuperar su nivel nivel de 0.5 a 3 m con un gasto gasto de alimentación alimentación de 0.04 aproximadamente 432 Calcule el gasto gasto de 0.04 m33/s /s es de aproximadamente 432 s. Calcule alimentación que que se requiere este tiempo alimentación requiere para para reducir reducir este tiempo a la mitad. mitad. Calcule el tiempo que el nivel líquido del tanque figura 7.32 7.32 pase Calcule tiempo necesario necesario para para que nivel del líquido tanque de la figura pase flujo de salida salida por orificio del fondo fondo es 3.457ra 3.457[;; L/s. Lis. por el orificio de 6 m a 1 m. El flujo llegar un gasto gasto de alimentación alimentación de 7 L/s Lis al tanque figura 7.32 7.32 cuando cuando la alSe hace hace llegar tanque de la figura tura del fluido fluido en él es de 5 m. Treinta Treinta minutos después, este este gasto gasto es interrumpido interrumpido por tura minutos después, por faque se repara arranca una después. Determine Determine el gasto gasto necesario lla de la bomba, bomba, que repara y arranca una hora hora después. necesario para que el nivel como el tiempo para que nivel se recupere recupere y se mantenga mantenga en 5 m, así como tiempo necesario necesario para para alcanzar ese ese nivel (régimen permanente). flujo de salida salida es 3.457[(1 3.457¡a Lis ininterrumpidacanzar nivel (régimen permanente). El flujo L/s ininterrumpidamente. mente. Un tanque tanque perfectamente agitado contiene contiene 400 litros de salmuera salmuera en la cual cual están están disueltos disueltos perfectamente agitado 400 litros llegar 1.0 Llmin salmuera que que contiene contiene 3 kg de sal en ca10 kg de sal. Si se hace hace llegar L/min de una una salmuera litros y por fondo se sacan sacan 8 L/min Llmin de una salmuera, determine determine la concentración concentración da 5 litros por el fondo una salmuera, distintos tiempos. de sal en el tanque tanque a distintos tiempos.

Ecuaciones

aada 30 ú30 e-

7.6


51 9

Se ha encontrado experimentalmente que la constante de velocidad de reacción a volumen constante y a 30°C de la ecuación estequiométrica A +B

k

S

--------7)

es 0.4967 (mol/L):" min-I. Determine el tiempo necesario para alcanzar 90% de conversión del reactivo limitante en cada uno de los casos que se dan abajo, si se mantiene todo el tiempo la mezcla reaccionante a 30°C.

ndo li-

Concentraciones (mol / L)

8? ita

CAO

CBO

0.5

1.0

1.0

1.5

1.5

2.0

1.0

1.0

2.0

0.5

leel or on de

7.7

La aplicación de las leyes de Kirchhoff en un circuito cerrado da lugar a sistemas de ecuaciones diferenciales del tipo dII = -4 11 + 311 + 6 dt -

ase

-

alfa-

o

Si se tienen las condiciones iniciales

alidaItos eaión

11(0)

7.8

7.9 7.10

7.11

= O, IzCO)= O

Calcule 11 (3) e 12(3) con pasos de tiempo 0.05, 0.1, 0.5 Y 1.0 Un capacitor de 0.001 farads está conectado en serie con una fem de 20 volts y una inductancia de 0.4 henries. Si t = O, Q = O, e 1 = O, encuentre una ecuación para modelar este circuito y use el método de Runge-Kutta de tercer orden para hallar el valor de Q a distintos tiempos (véase ejercicio 7.5). Repita el ejercicio 7.8 para k = 0.0002 ¿Qué sucede si k ~ O? Un objeto que pesa 500 kg se coloca en la superficie de un tanque lleno de agua y se suelta (vo = O). Las fuerzas que actúan sobre el objeto son la de empuje hacia arriba de 100 kg Y la resitencia del agua que es de 30 v, donde v está en mis. ¿Qué distancia recorre el cuerpo en 5 segundos? Las ecuaciones

y

d2y -=-g

dt2 __ dx_ con x - O, Y - O 'di - Vo cos

e o' dtdy

= vo sen

e o at = o

520


describen una velocidad V y un ángutrayectoria de un proyectil proyectil disparado disparado con con una velocidad inicial inicial va ángudescriben la trayectoria o lo de inclinación horizontal y vertical proinclinación 80,, Aquí Aquí x y y son las distancias distancias horizontal vertical que que recorre recorre el proyectil. yectil. = 50 m/s, mis, calcule calcule Si 80 = = 60 y va Vo =

a) El tiempo proyectil tiempo de vuelo vuelo del proyectil b) La La distancia distancia que recorre recorre e) La La altura altura máxima máxima que alcanza alcanza

7.12 7.12

7.13 7.13

7.14 7.14

ejercicio 7.7 se cambian cambian las condiciones condiciones de concentración concentración en los tanques tanques a CiO) C2CO) Si en el ejercicio = necesario para para alcanzar régimen permanente? permanente? = CICO) CICO) = = CiO) = = O. O. ¿Cuál ¿Cuál es el tiempo tiempo necesario alcanzar el régimen Si en el diagrama una corriente recirculación de 150 L/min diagrama de la figura figura 7.33 7.33 se toma toma una corriente de recirculación L/min a la salida tanque 3 y se lleva lleva al tanque salida del tanque tanque 2, en tanto tanto el volumen volumen se conserva conserva constante constante en cada cada tanque tanque e igual igual a 1000 1000 litros, litros, determine determine la concentración concentración en cada cada tanque tanque 10 minutos minutos después proceso. después de iniciado iniciado el proceso. diagrama del problema anterior se adicionan adicionan las corrientes corrientes de recirculación recirculación mosmosSi en el diagrama problema anterior tradas en la figura figura 7.34, 7.34, pero conservando la característica característica de que que el volumen volumen en los tres tradas pero conservando tres tanque permanence constante, variarán de manera que permanence constante, las concentraciones concentraciones CI' CI' C22 y C33 variarán manera distinta distinta a como como se vio en el ejercicio ejercicio 7.7 7.7.. Con uno de los tanques Con los datos datos de la figura figura 7.34 7.34 determine determine las concentraciones concentraciones en cada cada uno tanques diez minutos minutos de haber empezado a agregar agregar solución solución al primero. primero. a los diez haber empezado

300 300 L/m L/m n

50g/L 50g/L

300 300 L/m n

4! '-

:-...

Figura Figura 7.33 7.33 Arreglo de tres Arreglo tanques tanques interconectados. interconectados.

300 300 L/m L/m n

• ,.¿

_"~:

'':

.

.,. .: ~:.

, -'

..• ;: ..•: ;.:. .~,~.I------' CICO) CI(O) = 30 gIL

C2(0) (0) = 30 gIL

VI = = 1000 L L

V22 = = 1000 1000LL V

300 L/m L/m n C/O) C/ O) = 30 gIL V33 = V = 1000L 1000L

Co= 50 gIL

300 L/m n

Figura 7.34 Figura 7.34 Arreglo de tres Arreglo tanques tanques interconectados interconectados con recirculación. recirculación.

'. ,;

\;: -<',9:t.~,:,

Ir 520 L/m n

300 L/m n 120 L/m n

cc

ca


7.15

521

Repita Repita el ejercicio ejercicio 7.8 con con lo siguientes siguientes cambios cambios 80, V22 = 20, a) VI = 80, 20, FRR = 10 b) VI = 80, V 2 = 20, FRR = 0.1

e) VII=50,V =50,2=50,F V 2 =50, F =1O R=1O R d) VI VI = 20, V 22 = 80, FRR = 10 VI=50,V =200 e) VI = 50,2=50,F V 2 = R50, FR = 200

7.16 7.16

Si en el ejercicio reacción es de segundo orden, calcule calcule la temperatura temperatura T y la conejercicio 7.9 7.9 la reacción segundo orden, concentración reactor trabaja trabaja en régimen régimen transitorio transitorio y centración CA eA de la corriente corriente de salida salida cuando cuando el reactor hasta régimen permanente. permanente. hasta alcanzar alcanzar el régimen Utilice Utilice kk = 1

7.17 7.17

X X

10

13 l3ex

P

(-23200 (-23200 1.987 T 1.987

L L

gmol gmol s

y la información presentada en el ejercicio información presentada ejercicio 7.9 Repita utilizando la misma misma información, información, con con los los siguientes cambios Repita el ejercicio ejercicio 7.9 7.9 utilizando siguientes cambios

Tj = 310, 310, 320, 320, 340 340 Y 350 350

7.18 7.18

Analice resultados. Analice los resultados. El término término El El del ejercicio material de que viga. ejercicio 7.10 7.10 depende depende del del material que está está construida construida la viga. Repita para otros materiales, en los que Repita el ejercicio ejercicio para otros materiales, que a) El El = 117187 117187 b) El El = 100000 100000

7.19 7.19 7.20 7.20

las demás demás condiciones condiciones se conservan. conservan. Si en la viga una carga viga del ejercicio ejercicio 7.10 7.10 se aplica aplica además además una carga concentrada concentrada de 500 500 kg en el extremo perfil de flexión largo de la viga. viga. tremo libre, libre, determine determine el perfil flexión a lo largo Se tiene tubos concéntricos tiene un intercambiador intercambiador de calor calor de tubos concéntricos en contracorriente contracorriente y sin sin cambio cambio de fase (véase Fig. 7.35). Las ecuaciones (véase Fig. 7.35). Las ecuaciones que que describen describen el intercambiador intercambiador de calor calor en cierciertas condiciones condiciones de operación operación son: dTBE dT

d.x dx

= 0.03 (Ts - BT =0.03 (Ts-T ) B)

~s ~s

= 0.04 0.04 (Ts - TBB))

Elabore programa para para calcular tiene una una longiElabore un un programa calcular TBl Tso intercambiador de calor calor tiene longiEI y T so si el intercambiador tud de 3 m; use use el método método de Runge-Kutta Runge-Kutta de cuarto cuarto orden. orden.

T

III ---•

7.35 Figura 7.35 Intercambiador Intercambiador de calor de tubos concéntricos en concéntricos contracorriente. contracorriente.

20' TB == 20" so o

----

100°

522


7.21 7.21

Un tanque aislado con con asbesto asbesto se carga carga con con tanque cilíndrico cilíndrico de 5 m de diámetro diámetro y 11 11 m de largo largo aislado un líquido cinco días. días. A partir partir de los dadalíquido que que está está a 220°F 220°F Y el cual cual se deja deja reposar reposar durante durante cinco tos de diseño físicas del del líquido, líquido, y el valor valor de la temtemdiseño del tanque, tanque, las propiedades propiedades térmicas térmicas y físicas peratura peratura ambiente, ambiente, se encuentra encuentra la ecuación ecuación

dI

dI nt "dt cos (12) -;¡¡- = = 0.615 0.615 + 0.175 0.175 cos (12) -- 0.0114 0.0114 T

7.22 7.22

nt

que tiempo t en horas. horas. ¿Cuál ¿Cuál es la que relaciona relaciona la temperatura temperatura T del líquido líquido (en oC) "C) con con el tiempo temperatura temperatura final del líquido? líquido? radio se desintegra desintegra en razón razón proporcional proporcional a la cantidad cantidad presente El radio presente en cada cada instante. instante. La constante tienen inicialmente inicialmente 60 g de raconstante de proporcionalidad proporcionalidad es k = = 10- 2 día -l. -l. Si se tienen dio, días mediante mediante el siguiente siguiente esesdio, calcule calcule la cantidad cantidad que que hay presente presente transcurridos transcurridos cinco cinco días quema de predicción-corrección quema predicción-corrección -

h

(55J;-- 59h-1 59h-1 - 37 h-2 - 9 J;-3) (55!; h-3 )

Yi+1I = = Y¡ + 24 Y;+

¡~h

Y¡+I =Y¡ + =Y¡+ + 24 (9kl (9kl

7.23 7.23

19!;-Skl 19J;-5kl

+h-2) +h-2)

Considere coyotes (y) y correcamicorrecamiConsidere un sistema sistema ecológico ecológico simple simple compuesto compuesto solamente solamente de coyotes nos (x), (cuando los los alcanzan). alcanzan). Los Los ta(x), donde donde los primeros primeros se alimentan alimentan de los segundos segundos (cuando maños maños de las poblaciones poblaciones cambian cambian de acuerdo acuerdo con las ecuaciones ecuaciones .!!3:...=kx - kxy dt 1 2 dy _ dt - k3 xy - k4 Y

7.24 7.24

que que se pueden pueden entender entender como como sigue: sigue: Si no hay coyotes una velocidad velocidad de crecimiento crecimiento k, kl coyotes (y) los correcaminos correcaminos se reproducen reproducen con con una x; si no hay correcaminos, correcaminos, la especie especie de coyotes coyotes desaparece desaparece con x; con velocidad velocidad k;¡y. k~. El término término xy representa dependen de la hahaxy representa la interacción interacción de las dos especies especies y las constantes constantes k22 y k3 dependen bilidad de los depredadores depredadores para para atrapar atrapar a los correcaminos correcaminos y de la habilidad bilidad habilidad de éstos éstos papara huir. Las poblaciones de los coyotes coyotes cambian cambian cíclicamente. cíclicamente. Calcule Las poblaciones Calcule el ciclo ciclo al resolver resolver el momodelo con kk,l = = 0.4, k22 = = 0.02, 0.02, k3 = = 0.001 Y k4 = = 0.3 Use Use x (O) (O) = = 30 y y(O) y(O) = = 3 como como condicondidelo ciones ciones iniciales. iniciales. Se utilizan enfriamiento por por el cual cual circucircuutilizan dos tanques tanques en serie serie y provistos provistos de serpentín serpentín de enfriamiento agua en contracorriente contracorriente para para enfriar enfriar 10000 10000 lb/hr lb/hr de ácido la agua ácido sulfúrico. sulfúrico. La La condiciones condiciones de operación dado fallara fallara el suministro suministro de agua agua operación se muestran muestran en la figura figura 7.36. Si en un momento momento dado de enfriamiento, la salida salida del del segundo segundo enfriamiento, ¿cuál ¿cuál será será la temperatura temperatura del ácido ácido sulfúrico sulfúrico T 22 a la tanque proceso son tanque después después de una una hora? hora? La La ecuaciones ecuaciones que describen describen el proceso son

20¡C 20¡C

40¡C 40 iC

80 ¡C

Agua Agua

7.36 Figura 7.36 tanques Dos tanques interconectados interconectados serpentín y con serpentín enfriamiento. . de enfriamiento

---- cido __ -1 >,,".. ----~>" .. ..'~: '. T 174¡C Too 174¡C -.~.

= =

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:.".."

~.: ~:

r---------~-i ~:r - - - - - - - - - . . ¡ .'~ :.•. ·:,'', . ...: TII = = 88 iC ¡C T

-.~. ~

'1----

Ecuaciones diferenciales Ecuaciones diferenciales ordinarias ordinarias

523

3600 r, 3600 TI = 2850 3600 T o -- 3600 2850 ~I ~I 3600 TI - 3600 3600 T 3600 T2 = 2850 2850 ~2 ~2 2 =

donde oC y t en horas. horas. donde T To, están en °C o, TI y T22 están 7.25 7.25

Utilice el métodos métodos de Taylor (elija el orden) siguientes problemas Utilice Taylor (elija orden) para para resolver resolver los los siguientes problemas de vavainicial (PYI) (PYI) y compare compare con con las soluciones soluciones analíticas analíticas lor inicial a) b) e) d)

7.26 7.26 7.27 7.27 7.28 7.28

dy/dx dy/dx dy/dx dy/dx dy/dx dy/dx dy/dx dy/dx

= 3 x2, y(O) = O, O, y(l)=? y( l )= ? con h = 0.1 y(l) = 3, y(2) = In x, y(l) y(2) = ? con con h = 0.2 0.2 xy, y(l) y(l) = 0.5, = 2 xy, 0.5, y(2) y(2) = ? con h = 0.25 0.25 = y2, y(O) = 1, y(0.5) y(0 .5) = ? con con h = 0.1

Resuelva los PYI PYI del problema segundo orden. Resuelva problema anterior anterior por por el métodos métodos de Runge-Kutta Runge-Kutta de segundo orden. Resuelva los PYI PYI del problema 7.25 por Resuelva problema 7.25 por el método método de Runge-Kutta Runge-Kutta de cuarto cuarto orden. orden. Resuelva los los siguientes siguientes PYI con la fórmula fórmula Resuelva PYI con h y¡+11 = = Yi y¡ + 24 [55!; [SS!; - 59f-1 59f-1 + 37 f-2 f-2 - 9 f-3 L, ] Yi+ métodos de Runge-Kutta Runge-Kutta de tercer yy el métodos tercer orden orden como como inicializador inicializador dy/dx + Y y = = O, a) dy/dx 3, dy/dx + 2xy 2xy = = 2x 2x3, b) dy/dx dy/dx + xy xy = = gg(x), e) dy/dx (x) ,

y(O) = 1, y(O) = = O,

y(O)

== 1,

y(2) y(2) = ?, con con h = 0.25 0.25 y(2.5) y(2.5) =?, = ?, con con h = 0.5 y(l) y(l) = ?, con con h = 0.25 0.25

donde: donde:

x

0.0 0.0

0.2

0.4 0.4

0.6

0.8 0.8

1.0 1.0

g(x) g(x)

0.0

0.19471 0.19471

0.35868 0.35868

0.46602 0.46602

0.49979 0.49979

0.45465 0.45465

dy/dx = --yy - xy2, xy2, d) dy/dx xdy/dx = = 1 - y + x2y2, e) xdy/dx x2y2,

e a o

y(O) = 1, y(l) y(l)

== 1, 1,

y(-I) -0.25 y(-l) = ?, con con h = -0.25 y(1.5) y(l.5) = ?, con h = 0.125 0.125

7.29 7.29

Resuelva los PYI PYI del problema anterior con fórmula con la fórmula Resuelva problema anterior

7.30 7.30

con el método método de Runge-Kutta Runge-Kutta de cuarto cuarto orden orden como como inicializador. con inicializador. Resuelva PYI del problema 7.28 con con los siguientes siguientes esquemas esquemas de solución solución Resuelva los PYI problema 7.28 lnicialización de Runge-Kutta a) Inicialización Runge-Kutta de tercer tercer orden. orden. Predicción con con la fórmula fórmula dada Predicción dada en el ejercicio ejercicio 7.28 7.28 Corrección con con Corrección

Inicialización de Runge-Kutta b) Inicialización Runge-Kutta de cuarto cuarto orden. orden. Predicción con la fórmula fórmula del problema Predicción problema 7.29 7.29 Corrección con Corrección 2h = y.y-13 + -45 [7 J1'F. -32 J¡ 12.1-1-I + 32 J¡_ ·f 2 ·f [7 1'F.. + 12 -r. 2 + 7 J¡_ -r. 3 ] ·I= ,.+ I -32 ,+ Y·1+ 1+ 1Ji JiJi-

524

numéricos aplicados a la la in ingeniería Métodos numéric o s apl icados a gen iería

Inicialización con con Runge-Kutta cuarto orden. orden. e) Inicialización Runge-Kutta de cuarto Predicción orden Predicción con Adams-Bashford Adams-Bashford de cuarto cuarto orden h Y [1901 J; -- 2774 L, + 2616h-2 1274 h-3 L, + 251 1;-4 J;-4 y ii+1 +1 = Yiv, + 720 7~0 [1901.1; 2774 h-l 2616 h-2 -- 1274

]]

Corrección con con Adams-Moulton cuarto orden orden Corrección Adams-Moulton de cuarto

7.31 7.31

Resuelva siguiente PVI con el método segundo orden orden Resuelva el siguiente PVI con método de Runge-Kutta Runge-Kutta de segundo

== z, dzldx dz/dx = = y, dy/dx

7.32 7.32

y (O) = 1,

y (1) = =?

zz (O) (O) = = -1, -1,

z (1) = ?conh ? con h = O.l 0.1

Resuelva siguiente PVI con el método cuarto orden orden con con h = = 0.1 Resuelva el siguiente PVI con método de Runge-Kutta Runge-Kutta de cuarto dy ((d2y d2y + 2-+2y = 0 I --+2-+2y=0

dx22 dx

dx

y (O) = 1 PVI PVI -; Y (O) = 1

dy II =-1 = -1 dx x= O x =O -, y (1) = = ?

7.33 7.33 7.34 7.34 7.35 7.35

Resuelva con el esquema esquema de solución solución (a) del 7.30. 7.30. Resuelva el PVI PVI del problema problema 7.31 con Resuelva 7.32 con con el esquema esquema de solución solución (c) del 7.30. 7.30. Resuelva el PVI PVI del problema problema 7.32 Resuelva siguiente PVI Resuelva el siguiente PVI dy --=Z = z dx dz --=-125y-20z = - 125y -

-<

dx dx

l

20z

y(O ) = =O O y(l) y(l) = =? z(O z(O )

== 1

z(l) z(l)

== ?

con el método cuarto orden orden usando usando con método de Runge-Kutta Runge-Kutta de cuarto = 0.5 a) h = b)h=O.l b)h = O.l

Compare los resultados con la solución solución analítica analítica Compare resultados con 10x sen y = =~ sen 5x ~ e-10x

5

10x e-10x

z= = e7.36 7.36

(cos 5x - 2 sen 5x) (cos

/

Escriba siguientes ecuaciones ecuaciones diferenciales diferenciales como como un sistema sistema de ecuaciones ecuaciones diferenciadiferenciaEscriba las siguientes ordinarias de primer orden. Pase condiciones iniciales les ordinarias primer orden. Pase las condiciones iniciales a términos términos de las nuevas nuevas vavariables construir un con los métodos riables para para construir un PVIG PVIG y resuélvalo resuélvalo con métodos vistos vistos usando usando los tamaños tamaños de paso sugeridos: sugeridos: paso


2/ sen t = e21 a) y" y" - 2y' 2y' + 2y =

:::;t:::; t:::; 1 O :::;

y(O) == -- 0.4; 0.4; y' (O) == -0.6 -0.6 y' (O)

= 0.0 0.01l h=

b)y"+2ty'=eI b)y"+2ty'=e'

0:::;t:::;2 0:::;t:::;2

y(O) == 1; y' = -1 -1 y' (O) =

= 0.1 h=

c)y"'-2y"-y'-2y=e' c)y"' -2y"-y'-2y = e'

0:::;t:::;3 0:::;t:::;3

y(O) == 1; y' (O) == 2; y" (O) == O y' (O) y " (O) 7.37 7.37

525

= 0.2 0.2 h=

Considere el conjunto conjunto de reacciones Considere reacciones reversibles reversibles A A

:;;¡ •••• i======:::::::! •• ~ B B :;;¡ ... i======~"~

(1)

(2)

Asuma que que hay mol de A solamente solamente al inicio, inicio, y tome A' N como las mols Asuma hay una una mol tome N NA' NsB yY N Ncc como mol s de A, B, B, Y Y C presentes, presentes, respectivamente. respectivamente. Como la reacción Como reacción se verifica verifica a volumen volumen constante, constante, NA' N A' N NsB yY N Ncc son proporcionales proporcionales a las concentraciones. Sean Sean k, constantes de velocidad derecha e izquierizquiervelocidad de reacción reacción a derecha concentraciones. k l y k22 las constantes da, respectivamente, respectivamente, de la ecuación ecuación 1; igualmente igualmente sean sean k3 aplicables a la 2. da, k3 y k4 aplicables desaparición neta está dada dada por: La velocidad velocidad de desaparición neta de A está por: dN dN

AA =---;¡¡=

k, k¡ N NA k2N NsB A + k

y para para B

Determine 50 minutos inicio de las reacciones Determine NA' N NsB yY N Ncc trancurridos trancurridos 50 minutos del inicio reacciones mediante mediante

kl k,

= = 0.1

min- I' mirr

mirr" I k22 == 0.01 min-

min- I' k3 = = 0.09 0.09 mirr k4 ~ 7.38 ~ 7.38

= min- ¡' = 0.009 0.009 mirr

PROGRAMA 7.4 7.4 del CD (ver (ver ejercicio ejercicio 7.11) 7.11) puede servir de laboratorio laboratorio para experimenEl PROGRAMA puede servir para experimentar y analizar analizar resultados. sugerencias son: resultados. Algunas Algunas sugerencias

inicial (un valor significaría un choque choque por atrás del a) Modificar Modificar la velocidad velocidad inicial valor negativo negativo significaría por atrás carrito ). carrito). aumentar la masa incrementaría su energía energía cinética cinética (0.5 (0.5 mv mv22),), por que seb) Al aumentar masa m se incrementaría por lo que ría interesante ver cómo funcionan funcionan los resortes ría interesante ver cómo resortes al cambiar cambiar los valores valores de m. cero alguno alguno de los parámetros estaríamos eliminando eliminando alguno alguno de los e) Al hacer hacer cero parámetros e, k o k' k' estaríamos resortes amortiguador resortes o el amortiguador análisis usando usando los valores gráfica y el movimiento d) Procure Procure hacer hacer sus análisis valores de la tabla, tabla, la gráfica movimiento carrito. del carrito. a7.39 7.39

Modifique ejercicio 7.12 7.12 con q = = 2 Y determine determine si se cumple cumple la condición condición de que que Modifique el ejercicio max y(x) < 0.00131 0.00131 dada dada por los reglamentos construcción. max y(x) < por los reglamentos de construcción. O
526

Métodos numéricos numéricos aplicados aplicados aa la la ingen ingeniería Métodos iería

7.40

eA

deflexión de una placa placa de acero acero rectangular rectangular larga (L (L »» Ancho), Ancho), con carga carga uniformeuniformeLa deflexión mente mente distribuida, distribuida, sujeta sujeta a una fuerza fuerza de tensión tensión axial, está gobernada gobernada para para pequeñas pequeñas deflexiones por el PVF PVF flexiones

S qL q 2 --y=-y =- --x+-x x +- x D 2D 2D y(O) = =O O y(O) y(L) = O O y(L)

y(x) = ?, y(x)=?,

7.41 7.41 7.42 7.42

paraO< para O c x< x cL Z

Determine Determine la deflexión deflexión de la placa placa con los siguientes siguientes valores valores de los parámetros: parámetros: q = = 15 kg/cm kg/crn-,2 , S = = 18 kg/cm, kg/cm, D = = 1.02 X 108 kg/cm kg/cm y L = = 130 cm. Construya Construya una una tabla tabla y una gráfica con los resultados resultados obtenidos obtenidos y analícelos. analícelos. gráfica Modifique interpolación cuadrática Modifique el guión guión de Matlab Matlab del ejercicio ejercicio 7.12 7.12 para para realizar realizar una una interpolación cuadrática inversa en lugar lugar de la interpolación interpolación lineal lineal inversa. inversa inversa. Resuelva problema no lineal lineal de valores modificando el guión Resuelva el problema valores en la frontera frontera modificando guión del ejerciejerci7.12. Use Use el guión guión del problema problema 7.41 y compare compare el número iteraciones. número de iteraciones. cio 7.12.

(dY (~)2)2 ==-1- 1

d

2y- ++ - yyd-2y dx2 dx dx2 dx y(O) y(O) y(3) y(3)

== 2 == 5

y(x)=?, y(x) = ?,

para para O-c O< x c < 3S

Intrt

CAPÍTULO CAPÍTULO ee-

8 8

ECUACIONES DIFERENCIALES ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES PARCIALES A dónde dónde nos nos dirigimos dirigimos

15

na ca Cl-

En para aproEn este este capítulo capítulo se presentará presentará una una breve breve introducción introducción a algunas algunas de las técnicas técnicas para aproximar solución de ecuaciones lineales de segundo segundo orden con ximar la solución ecuaciones diferenciales diferenciales parciales parciales lineales orden yy con dos esto se parte dos variables valiables independientes. independientes. Para Para esto parte de la modelación modelación de fenómenos fenómenos físicos físicos como elástica como la conducción conducción de calor calor en una una barra barra aislada aislada y la vibración vibración de una una cuerda cuerda elástica flexible. . Una formulado el problema, flexible Una vez vez que que se tiene tiene fommlado problema, se discretiza discretiza el dominio dominio de defidefinición función involucrada forma una nición de la función involucrada en las ecuaciones, ecuaciones, es decir, decir, se forma una malla, malla, y se aproximan ecuación diferencial aproximan las derivadas derivadas de la ecuación diferencial con con diferencias diferencias hacia hacia delante, delante, hacia hacia atrás acuerdo al tipo atrás o centrales centrales en cada cada nodo nodo de la malla, malla, generándose generándose con con esto, esto, de acuerdo tipo de diferencias, con distintas diferencias, diversos diversos métodos métodos con distintas características, características, como como por por ejemplo ejemplo estabilidad estabilidad y convergencia. aproximaciones generan algebraicos como sistemas de convergencia. Tales Tales aproximaciones generan problemas problemas algebraicos como sistemas ecuaciones lineales con las vistas en los caecuaciones lineales y no lineales lineales que que habrá habrá que que resolver resolver con las técnicas técnicas vistas pítulos pítulos 2 y 3. Una algebraico se enfatiza enfatiza en el análisis análisis de resultados Una vez vez resuelto resuelto el problema problema algebraico resultados y física, a fin de darle significado y de fenómeno en su interpretación interpretación física, darle significado de tener tener presente presente el fenómeno original solución. original en todo todo el proceso proceso de solución. Ya que este sea sea el primer ecuaciones difeque probablemente probablemente este primer encuentro encuentro del del lector lector con con ecuaciones diferenciales sencillez del aspecto expositivo expositivo de morenciales parciales, parciales, se ha ha cuidado cuidado la claridad claridad yy sencillez del aspecto darle elementos elementos sólidos sólidos para continuar este este estudio. estudio. do de darle para continuar

Introducción Introducción Las ecuaciones ecuaciones diferenciales (EDP) involucran involucran una función de más diferenciales parciales parciales (EDP) una función más de una una variable variable independiente parciales. La independiente y sus derivadas derivadas parciales. La importancia importancia de este este tema tema radica radica en que que prácticaprácticamente fenómenos que otras ciencias, aparecen más mente en todos todos los fenómenos que se estudian estudian en ingeniería ingeniería y otras ciencias, aparecen más de dos variables," frecuentemente a EDP. variables,'" y su modelación modelación matemática matemática conduce conduce frecuentemente Primero se clasificarán Primero clasificarán las ecuaciones ecuaciones diferenciales diferenciales parciales parciales lineales lineales atendiendo atendiendo al siguiente modelo modelo general general guiente

aa2Uu 2

aa2Uu 2

aa2Uu 2

au

A(x, y) + B(x, y) = F(x ) 1 -;-x A(x, B(x, y) -- - + C(x, C(x, y) = F(x, y, ax2 axay a ax2 axay ay2y 2 ' , u

ax'

au

' -) ) ay

ay

(8.1) (8.1)

asume que B(x, y) yy cex, C(x, y) funciones continuas Depenen el cual cual se asume que A(x, A(x, y), y), B(x, y) son funciones continuas de x yy y. y . Dependiendo B(x, y) y) y cex, C(x, y) en algún (x, y) = (a,, b), diendo de los valores valores de A(x, A(x, y), y), B(x, algún punto punto particular particular (x, = (a b) , la ecuación (8.1) (8.1) puede ser elípfca, elíptica, parabólica acuerdo con ecuación puede ser parabólica o hiperbólica, hiperbólica, de acuerdo con las condiciones condiciones B2 C(a, b) < O O B2 (a, b) - 44 A(a, A(a, b) cea, B2 C(a, b) = O B2 (a, b) - 44 A(a, A(a, b) cea, =O B2 C(a, b) >O O B2 (a, b) - 44 A(a, A(a, b) cea, b) >

Elíptica Elíptica en (a, b) Parabólica Parabólica en (a, b) Hiperbólica Hiperbólica en (a, b)

(8.2)

• En En el análisis afJ álisis del del comportamiento comportamiento de de los los gases, gases, por por ejemplo, ejemplo, se tiene tiene temperatura, temperatura, presión presión y volumen; volumen; en la transmisión de de cala!' cala!' intervienen intervienen temperatura, temperatura, tiempo tiempo yy direcciones direcciones del del espacio: espacio: xx,, y, z: z; etcétera. etcétera. transmisión

528


Una misma parabólica en un punto, punto, e hiperbólica hiperbólica en otro, Una misma EDP EDP puede puede ser ser parabólica otro, etc. Si en cambio A(x, y), y), B(x, y) y C(x, parabólica o hiperhipercambio A(x, B(x, y) C(x, y) son constantes, constantes, entonces entonces es elíptica, elíptica, parabólica bólica completamente bólica completamente (ver (ver ejercicio ejercicio 8.1). Algunos ejemplos de estas estas ecuaciones ecuaciones son Algunos ejemplos

a

a dz az22

2T 2T ¡)2T ¡)2T ¡PT 2PT -+--+--=0 --+--+--=0 dx ax22

dy2 ay2

da22u U

da2u U

dx ax22 + + dy2 ay2

= y) = f (x, y)

da22yy da22yy = a --=a-2 2 ax2 dx

at2 dt

8.1 Obtención Obtención de algunas ecuaciones ecuaciones diferenciales diferenciales parciales a partir partir de la modelación modelación de fenómenos fenómenos físicos físicos (ecuación de calor y ecuación ecuación de onda) presenta la derivación dos de las ecuaciones más comunes. A continuación continuación se presenta derivación de dos ecuaciones en estudio estudio más comunes. a) Ecuación Ecuación general general de la conducción conducción de calor calor

Supóngase un cuerpo térmica k, peso peso específico Supóngase cuerpo sólido sólido de conductividad conductividad térmica específico pp y calor calor especíespecífico Cp independientes independientes de la temperatura temperatura T, en el cual tres dimensiones cual fluye fluye calor calor en las tres dimensiones del espacio puede generar por ejemplo espacio y puede generar o absorber absorber calor calor debido debido a algún algún fenómeno, fenómeno, por ejemplo de reacción química. reacción química. balance de calor Al efectuar efectuar un balance calor en un elemento elemento diferencial diferencial como como el de la figura figura 8.1 8.1 de ~y Y & tiene, de acuerdo dimensiones dimensiones Lix, Lll, ~y & se tiene, acuerdo con con la ley de la continuidad continuidad

y

= qq,.,. =

-ky zfxlT

T -ky z*i dx

T -- kyzfxlT ky z*i ux

q,·+( q,'+tlXlX -

.

x

-

., ')

x + fu x+&

I I I

qx ---+------+-~ - - T~ -- -- -,,-(: - ,,~: -- -

oo Figura 8.1 Balance Balance de calor en un elemento elemento d iferencia l de diferencial d imensiones ~x, LlX, dimensiones ~y,M. Lly, Llz.

II ,,-" ". -" I / ( /--- /----1---

II I I 1- - -

zz E lemento de volumen Elemento de volumen fu & L',y ~y L',z ~z

529

Ecuaciones diferenciales diferenciales parciales parciales Ecuaciones

en er-

Acumulación de Acumulación calor calor

(cal/s) (cal/s)

calor que que entra entra al calor elemento diferencial diferencial elemento cada una una de las en cada dimensiones tres dimensiones (cal/s) (cal/s)

calor que sale del calor elemento diferencial diferencial elemento en cada cada una una de las tres dimensiones dimensiones (cal/s) (cal/s)

QLU~yLlz + Q&Lly&

(8.3) (cal/s) (cal/s)

donde Q puede positivo o negativo negativo dependiendo dependiendo de si el calor calor es generado generado o absorbiabsorbidonde puede ser positivo do por por unidad unidad de volumen volumen y por unidad de tiempo tiempo en el elemento elemento diferencial. diferencial. por unidad También en la figura figura 8.1 se realiza esquema de la entrada entrada q¡ yy la salida salida q¡ + Ll¡ ~i de También realiza un esquema flujos de calor calor (en cal/s) cal/s) representados por la ley de Fourier, Fourier, o sea que que son proporciolos flujos representados por proporcionales conductividad térmica área de transmisión transmisión y el gradiente gradiente de temperatura nales a la conductividad térmica k, el área temperatura en dirección signo negativo negativo es para obtener flujos flujos de calor calor positivos (por dirección de la transmisión. transmisión. El signo para obtener positivos (por convención), que los gradientes gradientes áf/dx áf/dx, , áf/dy áf/dy y áf/dz áf/dz son negativos. negativos. convención), ya que Los flujos sustituyen en la ecuación tiene: Los flujos de calor calor se sustituyen ecuación (8.3) (8.3) y se tiene:

II

dT -(-MyLlz- (-kLly& -dT dx

)+ )+

X+LU x +&

(8.4) (8.4)

es.

cínes

de de

Y Y

-(-kLULlz-(-k&& dT dT dy

II

dT II -kLU~y dT -k&Llydz zz

dT - (-k&Lly (-kLU~y - dT d; dz

II

-kexéa. -k&& dT dT dy

II

))+ + Y + ~y Y Lly

z+~z z+&

) + QLU~y~z Q&Lly&

al dividir dividir miembro miembro a miembro miembro entre entre LU, & , ~y, Lly, ~z & y hacerlos hacerlos muy muy pequeños, pequeños, o sea sea LU, & , ~y, Lly, ~z Llz -t -+ O, O, queda queda

I

I

dT dT I oT oT dx .x + & dx x+LU pCP-= pCP-= klím kIím ot L1,,-+O & LU ot t.x--O [

dT dT I dx X] ] dX.x

+ klím kIím

t.y--O ~rO

áfl áfl + klím kIím [ dz dz ill"-+O t.x--O

dT dT [ dy dy

dz dz

Y ++ ~y Y ~y

dT dT dy dy

II

Y] Y]

~y

(8.5)

_áfl _áfl z+Llz z +& Llz &

II

z

]+Q ]+Q

y al aplicar aplicar la la definición definición de de derivada derivada se obtiene obtiene oT oT

¡;¡ al == aex

[02T o2T 02T] Q [02T o2T 02T ] Q ox2 o.x2 + oy2 + o Z2 + pCp pCp

(8.6) (8.6)

donde donde se se ha ha sustituido sustituido aa _k_ _k_ con con a, ex, la la cual cual se se llama llama coeficiente coeficiente de de difusividad difusividad térmica, térmica, cc; pCp y sus sus unidades unidades son, son, por por ejemplo, ejemplo, 2/s ya que k [=] cal/(s m "C), Cp [= ] cal/(g "C) y p [= [g/cm-'. m m2/s ya que k [ = ] cal/(s m oC), Cp [ = ] cal/(g oC) p [ = ]g/cm 3 .

x

La La ecuación ecuación 8.6 8.6 se se conoce conoce como como ecuación ecuación de de conducción conducción de de calor calor en en régimen régimen transitotransitorio rio en en tres tres dimensiones dimensiones (cartesianas), (cartesianas), yy es es muy muy empleada empleada en en el el campo campo de de la la ingeniería. ingeniería. También ecuación de de difusión, difusión, ya ya que que representa representa la la difusión difusión molecular molecular También se se conoce conoce como como ecuación de de masa masa entre entre fluidos, fluidos , cuando cuando la la variable variable dependiente dependiente es es la la concentración concentración C C yy el el coeficiencoeficiente te aa representa representa la la difusividad difusividad
~oC ==
02C ++ 02C ++ 02C 02C ]] [[ 02C ox ox22

oy2

OZ2 OZ2

~----~--------~-------------------------------"""'i"""",""", .••••• .....,m===-

530

Métodos numéricos


y

a)

x=L

x=O

x

y

b)

~ I

:h Figura 8.2

x =L

x=O

x

donde las unidades pueden ser: C [=

] moleskm3,

!D [

= ] cmvs,

t [=

]s

FigU

b) Ecuación de onda en una dimensión

Considérese una cuerda (como la de una guitarra) elástica y flexible, la cual se estira y se sujeta en dos puntos fijos en x = OYx = L sobre el eje de las x (Fig. 8.2a). A un tiempo t = O,la cuerda se toma del centro y se eleva verticalmente a una altura y = h (véase Fig. 8.2b). Después se suelta. La descripción del movimiento producido constituye el problema por resolver. Para simplificarlo, se considera que h es pequeño en comparación con L (h « L).

MODELO

Si en un instante se tomara una fotografía de la cuerda vibrando, se tendría ésta como en la figura 8.3a. El desplazamiento de un punto x de la cuerda en el tiempo t queda indicado por y (x, t), de igual forma para un punto vecino x + Lll Y en el mismo tiempo t, su desplazamiento queda indicado por y (x + Lll, t). En la misma figura 8.3b se muestra una ampliación del segundo segmento de cuerda LlS,la cual está sometido a dos tensiones que siempre actúan en la dirección de la tangente a LlS a izquierda y derecha de la cuerda, o sea T(x, t) y T(x + Lll, t), respectivamente. Hay que observar que la tensión es función de la posición x sobre la cuerda y el tiempo t. Al hacer una composición de fuerzas sobre el elemento de cuerda LlS en las direcciones vertical y horizontal se tiene:

e2 - T (x, t) sen el = T (x + Lll, t) cos e2 - T (x, t) cos el

= T (x

Fuerza vertical neta

Fuerza horizontal neta

+

Lll,

t) sen

La fuerza horizontal neta es cero si se considera que el desplazamiento del punto x de su posición de equilibrio a la posición y (x, t) es vertical. Por otro lado, la fuerza neta vertical sobre LlS produce una aceleración definida por la segunda ley de Newton; o sea, Fuerza vertical neta = T(x +

Lll,

ay

t) sen

e2 -

T(x, t) sen

el

2

=pLlS-

at2

(8.7)

531


yy

f(x f(x

t»

Punto (x,f(x,

fu:, t) + fu:,

a) a) f(x, f(x, t)

x=O x =O

x

x=L x =L x Posición de equilibrio equilibrio Posición

yy T (x + fu:, t) 62 jT(x + fu:, t) sen 82 »> F------'--"--+ T (x + fu:, t) cos 82 /:'y t.y

t.s /:'s cas 811 T (x, t) cos 811 sen 811 T (x, t) sen

b)

fu:

T(x, t):

su, la es-

x + fu: fu:

x

Figura 8.3

x

donde p es la densidad densidad de la cuerda cuerda en unidades unidades de masa/longitud masa/longitud y rJ2y/dt 2Py/dt22 la aceleración aceleración donde ~S. de !1S. Como e e es función función de la posición posición x y el tiempo tiempo t, el e1 = =e e (x, t) y e e2 =e e (x + &, t). Como 2 = Estas expresiones expresiones se sustituyen sustituyen en la ecuación ecuación 8.7 y al dividir dividir entre entre & & queda queda Estas

T (x + &, t) sen

ee (x + && ,, t) -

(x, t) sen T (x,

(x, t) ee (x,

& & o en

Para pequeño, por por lo que Para vibraciones vibraciones cortas cortas e e es pequeño, que !1S/& ~S/& "" "" 1 Y sen última ecuación ecuación se puede escribir: la última puede escribir:

ica-

e

gen-

--af2

e"" e"" tg e; de modo modo que que

e

haciendo &->0 &--+0 y haciendo

dd dd22yy -dX [T (x, p - d t2 (x, t) tg tg e (x, (x, t)] = =P

Hay

e

~

cio-

d 2y

T (x + &, t) tg e (x + &, t) - T (x, t) tg e (x, t) d22yy & "" P--¡;¡¡& "" p dt2

des-

erda

!1S =p &

dP

Como tg e e (x, (x, t) = = dy/dx dy/dX y si la tensión tensión T es constante constante se obtiene: obtiene: Como

dd22yy dd22yy e22--=-_ - - =-_ dX22 dx

(8.8) (8.8)

dt22 dt

T

e su erti-

donde e22 = =-donde Pp Puesto que que la cuerda cuerda permanece sujeta en sus extremos extremos x = = O Yx = = L, el desplazamiento desplazamiento Puesto permanece sujeta yy (x, t) satisface satisface las condiciones condiciones siguientes siguientes en todo todo el proceso proceso

=O O (O, t) = Y (L, (L, t) = O O Y y

(8.7)

conocidas como como condiciones condiciones extremas extremas o frontera frontera (CF). (CF). conocidas

para t ~ O para

(8.9) (8.9)

532

Métodos li cados a a la ingeniería Métodos numéricos numéricos ap aplicados

Por cuerda en el momento momento de soltarse Por otro otro lado, lado, la posición posición de la cuerda soltarse (Fig. (Fig. 8.2b) 8.2b) puede puede darse darse matemáticamente matemáticamente así: (8.10) (8.10)

f(x) yy (x (x,, O) = =f(x)

ecuación que que se conoce conoce como como condición condición inicial ecuación inicial (el) por por describir describir la condición condición que que se tiene al inicio inicio del proceso. proceso. En resumen condiciones inicial inicial y de frontera frontera (Ecs. (Ecs. 8.10 resumen, , la ecuación ecuación 8.8 y las condiciones 8.10 y 8.9, respectivamente) matemático denotado denotado como como problema problema de valovalorespectivamente) constituyen constituyen un modelo modelo matemático res en la frontera" frontera" (PVF) (PVF)

é)2y

?

2y dé}2y dX dx22

(ecuación diferencial diferencial parcial) parcial) (ecuación

=2-c - -=c

dt22

PVF PVF

f(x), , y (x, (x, O) O) = =f(x),

O
l

t> O t> t> t»O

y (O, (O, t)

= = O, 0,

(condición inicial) inicial) (condición

°

(condición frontera frontera 1) (condición

°

y (L, t) = = 0, Y O,

(condición frontera frontera 2) (condición

cualquier punto punto de la cuerda cuerda en un tiempo tiempo t. t. y cuya cuya solución solución y(x, y(x, t) describe describe la posición posición de cualquier

8.2 Aproximación de derivadas por diferencias diferencias finitas GENERALIDADES GENERALIDADES

La expansión una serie Taylor alrededor alrededor de un punpunexpansión de una una funciónf(x) funciónf(x) diferenciable diferenciable en una serie de Taylor Xi se estudió está definida definida por por to Xi estudió en los capítulos capítulos 5 y 7 Y está a2 a3 f(xi i + a) = f(x) + al' f(x =f(x) al' (x) (x) + -f"f " (x) (x) + -f'"f ' " (x) (x) + ... 1 2! 3!

(8.11) (8.11)

funciónf(x) en el Esta estimar el valor valor de la funciónf(x) Esta vez, vez, la utilidad utilidad de la serie serie de Taylor Taylor no será será estimar punto Xi + a, sino función en Xi Xi a partir partir de los valores valores de la funfunpunto Xi sino aproximar aproximar la derivada derivada de la función ción Xi + a. Para que a > O (con (con esto esto la ecuación ecuación 8.11 sólo ción en XXii y en Xi Para ello, ello, considérese considérese que sólo es válida delante del punto punto x) x) y que pequeña (a « 1) como como para para despreciar despreciar los los tértérválida delante que a es tan pequeña minos cuarto, etc., lado derecho derecho de la expansión, expansión, con con lo que que la derivadaf' derivadaf' (x) minos tercero, tercero, cuarto, etc., del lado (x) puede puede aproximarse aproximarse así

°

df =1' f(xi i + a) - f(x) f(x) df II =1' (x) "" ""f(x dx Xi Xi a

(8.12) (8.12)

Esta quedó definida capítulo 5 como como la aproximación aproximación de la primera primera derideriEsta ecuación ecuación quedó definida en en el capítulo vada Xi con diferencias hacia delante. delante. vada de f (x) en Xi diferencias hacia resultado similar, similar, válido válido a la izquierda obtendrá restando Un resultado izquierda de Xi Xi se obtendrá restando a de Xi Xi en la ecuación ecuación 8.11; esto esto es,

a22 a22 r f(x - a) ==f(x) f(x) - al' f(x al' (x) (x.) + -f"f " (x) (x) - -f f ' " (x) (x) + ... I I 1 I I 2! 3! t t

1

1

1

1

(8.13) (8.13)

1

y como llegarse a como a « 1, puede puede llegarse df "" l' df II =1' =1' (x) (x) "" l' (x) (x) - f dx xXi1 a

(Xi (Xi - a)

la aproximación Xi con con diferencias diferencias hacia hacia atrás. atrás. aproximación a la primera primera derivada derivada de f (x) (x) en Xi * Algunos aman problema valor inicial inicial y valores valores en en la frontea frontea (PVIF). (PVIF). Algunos autores autores lo ll llaman problema de valor

(8.14) (8.14)

e

533

diferenciales parciales

Ecuaciones

Si en cambio se resta miembro a miembro la ecuación 8.13 de la 8.11 y se aplican los razonamientos anteriores, se llega a la expresión df dx

I = /'

(x) "" f (xi + a) - f (Xi - a) 2a

Xi

(8.15)

conocida como la aproximación a la primera derivada def(x) en xi con diferencias centrales (nótese que se puede obtener la expresión 8.15 sumando miembro a miembro las ecuaciones 8.12 y 8.14 Y luego despejando/, (xi)). Si en las expansiones 8.11 y 8.l3 se desprecian los términos quinto, sexto, etc., del lado derecho y se suman miembro a miembro los términos que quedan, se obtiene

f

"

d2fl

(x)

=__

[

dx2

f(x[+a)-2f(x)+f(x-a)

""

I

Xi

I

a2

(8.16)

que es la aproximación de la segunda derivada de f (x) en Xi por diferencias centrales. Las aproximaciones de derivadas no están restringidas a funciones de una sola variable; cuando se tiene una función de dos variables, por ejemplo T(x, t), sus derivadas parciales por definición son como sigue dT

=

-

dx

lím

T( X + & , t ) - T (x, t )

óx ...•O

&

lím

T( x, t + I'1.t ) - T (x, t ) I'1.t

(8.17) dT dt Por esto, sus aproximaciones 1)

el Il-

es érx¡)

dT dx

I

dT

I

=

Ót ...•

O

con diferencias hacia delante en el punto (xi' T(Xi + a,

(Xi'

t)

t) - T (Xi' t) a

t) quedan

con a > O (8.18)

dt

=

(Xi'

t)

,~

r«, t + b) j

T (Xi' t)

con b > O

b

La aproximación con diferencias hacia atrás queda

t) - T (Xi - a, t)

T(xi,

a 2)

(8.19)

~ n-

I

""

T(xi,

t) - T (Xi' tj -

dt (Xi' t)

b

Y sumando las correspondientes

de 8.18 y 8.19 se obtienen

T (Xi + a, 13)

b)

t) - T (Xi - a, t) 2a (8.20)

"" T(xi, tj + b ) - T (xi' tj

-

b)

2b

14)

que son las aproximaciones con diferencias centrales a las primeras derivadas parciales de T(x, t). Las segundas derivadas parciales de T(x, t) quedan aproximadas con diferencias centrales así.

534

Mét odos n uméricos aplicados a la la ingeniería ingeniería Métodos numéricos aplicados a

o2T

I

""

1

""

OX2 OX2 (X. (X.l'l ' tt.)J] .)

T(x¡ ,t) - 2T t) + T (X¡ T(x¡ + a a,t) 2T (Xi' t) (Xi - a a,, t) t) 2 a

(8.21) (8.21)

02T o2TI

"" T(x¡,

""

tj + b) b ) - 2T 2T (Xi' (X¡, t) t) + T (Xi' (X¡, tj

ot22 1 (X. (x.l ' tt.)] .) ot l' J

b)

-

b22

Finalmente, parcial combinada; Finalmente, se da la aproximación aproximación de la segunda segunda derivada derivada parcial combinada; esto esto es, o2T "" T(x¡ (x¡ + a T(Xi + a, tj + b) - T (X¡ (X¡ - a, tj + b) - T T(x¡ a,, tj oxot oxot

-

b) + T (xi (x¡ - a, tj

-

4ab 4ab

b)

(8.22) (8. 22)

cuya deducción deducción se deja deja al lector lector como como ejercicio ejercicio cuya Es importante importante observar observar que que las ecuaciones ecuaciones 8.18 8.18 a 8.22 8.22 se pueden obtener a partir partir de pueden obtener expansión de T(x, T(x, t) en serie serie de Taylor, Taylor, alrededor alrededor (Xi' tj );esto );esto es, de la expansión T(x, + a, tjj + b) b) T(x¡

= T (x¡, (x;, =

oT tjj) ) + a -oT

I 1

OX (Xi' (x¡, t) t) OX

oT + b -oT ot ot

I 1

t) (Xi' t)

(8.23) (8 .23)

+a

-1 I

o2T o2T +2 22 2 (Xi' t ) ) Ox2 ox jj

a

--1

I

-1 I

o2T o2T o2T b + b22 -o2T + ... OXOtt (Xi' tj ) ) ot22 (x¡, (X;, tj ) ) OXO ot

aplicando los los mismos que condujeron condujeron a 8.12 8.12 y de 8.14 8.14 a 8.16. (véase (véase el Probo aplicando mismos razonamientos razonamientos que Probo final del capítulo). capítulo). 8.3 al final

ECUACiÓN DE CALOR CALOR UNIDIMENSIONAL UNIDIMENSIONAL EN DIFERENCIAS FINITAS ECUACiÓN DE EN DIFERENCIAS FINITAS

Una de las ecuaciones ecuaciones diferenciales diferenciales parciales estudiadas es: Una parciales más más estudiadas (8.24) (8.24) que describe describe la conducción conducción de calor calor en régimen dimensión, la difusión difusión que régimen transitorio transitorio en una una dimensión, unidireccional de masa etcétera. unidireccional masa en régimen régimen transitorio, transitorio, etcétera. Por conducción de calor calor en una aislada longitudinallongitudinalPor ejemplo, ejemplo, puede puede describir describir la conducción una barra barra aislada mente durante durante cierto cierto periodo, tomado a partir O. La considera suficientemensuficientemenmente periodo, tomado partir de t == O. La barra barra se considera delgada y de longitud longitud L muy comparación con con su grosor. grosor. Sean Sean los extremos extremos de te delgada muy grande grande en comparación como XX = =O O YY XX = = L (veáse (veáse Fig. 8.4). la barra barra tomados tomados como Sean además además las condiciones condiciones siguientes: siguientes: Sean a) T(x, T(x, O)

= = f (x)

O
Esta expresión, expresión, conocida conocida como como condición condición inicial, inicial, da el valor Esta valor de la temperatura temperatura T en cualquier punto inicio t = = o. O. cualquier punto de la barra barra al tiempo tiempo de inicio b) T(O, T(O, t) == g¡ (t)

con t> t»O O con T(L, t) == g2 (t) e) T(L,

I:::::::l¡¡!~!::::::;~ ~::::rr~z~:::~ .x

II Figura 8.4 o Barra aislada aislada O Barra T t) = g 1¡(t) longitudinalmente. T (O, (O,t) =g (t) longitudinalmente.

•

x

L

T (L, t) = gzCt)

diferenciales

Ecuaciones

tmáx

.21)

8.22)

de

8.23)

Probo

Figura 8.5 Dominio de definición de la función solución del problema de valor en la frontera (PVF) planteado.

parciales

535

1-------------,

Dominio de definición de T

'z: tl-

t

XI

x2

t

XII

xo=O

x1/.+

X

1

O

=

Estas expresiones, conocidas como condiciones frontera, dan los valores de la temperatura T de la barra en sus extremos a cualquier tiempo t. La ecuación 8.24 y las condiciones a), b) y e) constituyen un problema de valores en la frontera (PVF). Resolver este problema numéricamente, significa encontrar los valores de T en puntos seleccionados en la barra: x" x2' ... , XII a ciertos tiempos escogidos: t) < t2 ... < tmáx; esto es, calcular T (XIl, ti) T (XII' t2)

T(x2, t)), ... , T(x2, t2),··· ,

T(xp ti)' T(xp t2),

(8.25) 8.24) sión

menos de

T(xp tmáx)'

T(x2, tmáJ,···

,

T(x'l' tmáx)

Para ver esto geométricamente, primero se representa el dominio de definición de T como el rectángulo que se ilustra en el sistema coordenada X - t de la figura 8.5, y los puntos del dominio de definición donde se aproximarán los valores de T son los puntos de cruce de las horizontales t = tp ... , t = tmáx y las verticales X = xp ... , X = XII' que en adelante se llamarán nodos (véase Fig. 8.6). La ecuación 8.24 es válida en todo el dominio de definición, por lo que evidentemente será válida en cualquier nodo, por ejemplo (Xi' t); esto es,

~

2

I dt

=a (Xi' t)

dT dx2

I (Xi' t))

Si se sustituye ahora las derivadas parciales evaluadas en (Xi' t) con sus aproximaciones con diferencias finitas en esta ecuación; por ejemplo, con diferencias finitas hacia delante a dT/dt y diferencias centrales a d2T/dx2, se obtiene Ti.) + ) - Ti.)

b

a T )-2T+T I-.}

I,}

a2

1+

i.. ,}

(8.26)

Se ha remplazado T(x, t.) con T.}. para simplificar la notación. I} " Hay que observar además que los nadas marcados con punto negro (o) en la figura 8.6 son los nadas usados para aproximar dT/dt y los marcados con una cruz (X) se emplean a fin de aproximar a d2T/ dx2.

536

Métodos numéricos

a la ingeniería

aplicados

x

= xj_1

X

= xj

x

= xj+1

.\

(i,j+ 1)

t• --a--

(x¡+j' tj+ 1) t

=

tj+

t

=

tj

t

=

tj_1

T(x¡,t)

(x¡_j> tj_l)

Figura 8.6 Nadas de una red construida en el dominio de definición.

x

De manera similar se obtienen las ecuaciones para los demás nodos de la red (o malla), lo que conduce a un conjunto de ecuaciones algebraicas que pueden ser simultáneas o no y que involucran los valores de Ti, j que se buscan. Su solución es la misma del problema de valor en la frontera (PVF). Es oportuno hacer notar que la derivada parcial en el tiempo oT/ot se pudo aproximar con diferencias hacia atrás o con diferencias divididas centrales.

8.3 Solución de la ecuación de calor unidimensional MÉTODO

EXPLíCITO

Para ilustrar este método se resuelve el PVF planteado en la sección anterior con los datos siguientes:

í oT

-=

eL

ot

o2T ox2

PVF ) T (x, O) = 20°F,

O
T (O, r)

=

100°F,

t»O

T (1, t)

=

100°F,

t»O

y eL

1 pie 2/h

L

1 pie

tmáx

Solución

1h

Primero se construye la malla en el dominio de definición dividiendo la longitud de la barra (1 pie) en cuatro subintervalos y el intervalo de tiempo (1 h) en 100 subintervalos.

Figul Represer de la m el do mi defil

Ecuaciones

. . 0.04

/ o 1\ •...

~.-

o

o o ~

1\

11

0.02

Q

o o

•...•

~

(4, 1)

f-; I.L.

""

Q

S f-;

537

(3,4)

0.03

~


0.01

U

I.L.

Figura 8.7 Representación de la malla en el dominio de definición.

U

0.25

0.50

0.75

x4 = 1

x

el T (x, O) = 20 iF O < x < 1

Las condiciones frontera proporcionan la temperatura en cualquier punto del eje t y de la vertical x = 1 a cualquier tiempo, mientras que la condición inicial proporciona la temperatura en cualquier punto del eje horizontal x al tiempo cero. Cada nodo de la malla queda definido por dos coordenadas (i, j); por ejemplo, el nodo de coordenadas (3, 4) representa la temperatura en el punto x = 0.75 pies de la barra al tiempo t = 0.04 horas, y el nodo (4, 1) la temperatura de la barra en x = 1 pie (su frontera) ya t = 0.01 horas (véase Fig. 8.7). Hay que observar que en el nodo de coordenadas (O, O) (esquina izquierda inferior de la malla), la temperatura debería ser 20°F atendiendo la condición inicial, mientras que la condición frontera T(O, t) establece que debería ser de 100°F. Los puntos que presentan estas características se llaman puntos singulares; se acostumbra tomar en ellos un valor de temperatura igual a la media aritmética de las temperatura sugeridas por la condición inicial y la condición frontera correspondientes. La temperatura tomada para el nodo (O, O) es 60°F. De igual manera se trata el punto (4, O), cuya temperatura también es 60 0F. Hechas estas consideraciones, el segundo paso consiste en aproximar la ecuación diferencial parcial del problema de valor en la frontera en el nodo (1, O) por la ecuación 8.26, entonces queda:

a T 0,0 - 2T,,0 + T2,0 a2

Los nadas involucrados en esta ecuación están marcados por el círculo y cruces en la figura 8.7. De éstos, solamente en el nodo (1,1) la temperatura es desconocida, por lo que puede despejarse; entonces resulta

538 538

Métodos numéricos numéricos aplicados apl icados a a la la ingeniería ingeniería Métodos

sustituir valores valores queda queda al sustituir TII TI I = 1 ~~ (60 (60 - 2 (20) (20) + 20) 20) + 20 20 = 26.4 26.4 , (0.25)2 (0.25)2

Si ahora ahora se se aproxima aproxima la la EDP EDP en en el nodo nodo 0, (i, j) j) = (2, O) O) mediante mediante la la 8.26, 8.26, se se obtiene obtiene

Ahora ya que que todos todos los los demás demás están están dadaAhora sólo sólo se se desconoce desconoce la la temperatura temperatura del punto punto (2, (2, 1), ya dos por por la condición condición inicial; inicial; despejando despejando se se tiene tiene dos T2,1

b

=

a a2 (TI,o - 2T2,o + T3,o) + T2,o

se sustituyen valores sustituyen valores T22,,1I = 1 ~ ~ (20 (20 - 2 (20) (20) + 20) 20) + 20 20 = 20 20 (0.25)2 (0.25)2

O) y se obtiene: obtiene: Se repiten repiten las las mismas mismas consideraciones consideraciones y cálculos cálculos para para el punto punto (3, O) T33,1, 1

==1~(T? 1~ (T O-2T3 - 2T30 0+T40)+T3 + T40) + T300 (0.25)2 -, , , , (0.25)2' 20 T33,1, 1 = = 26.4 26.4

los tres puntos puntos seleccioDe esta manera se han han obtenido temperatura en los esta manera obtenido aproximaciones aproximaciones a la temperatura seleccionados barra a un tiempo tiempo de 0.01 horas. horas. Al momento momento se tiene tiene la temperatura temperatura de todos todos nados de la barra los nodos primeras líneas líneas horizontales horizontales (filas) malla y se procederá, procederá, siguiennodos de las dos primeras (filas) de la malla siguienanterior, a calcular calcular la temperatura do el razonamiento razonamiento anterior, temperatura en todos todos los nodos nodos intermedios intermedios de la tercera , 2), (2,2) tercera fila (1 (1,2), (2, 2) Y (3 (3,, 2). empieza con con el punto 0, j)j) = (1, 1) Y se aplica aplica la ecuación ecuación 8.26, 8.26, con lo que que se obobSe empieza punto (i, tiene: tiene:

de la que

con la sustitución sustitución de valores valores queda: queda: TI? ~ (100 - 2 (26.4) (26.4) + 20) + 26.4 26.4 = 37.152 37.152 = 1~ (100 T I2 (0.25)2 ,,(0.25)2

Al proceder proceder análogamente análogamente para para los otros otros puntos puntos se llega llega a: 22.048 T2,2 = 22.048 37.152 T33,2 = 37.152 Con esto se tiene tiene la temperatura temperatura en los tres puntos puntos seleccionados seleccionados de la barra barra cuando cuando hayan hayan Con transcurrido transcurrido 0.02 0.02 horas. horas. Este procedimiento procedimiento se repite repite para para la cuarta, cuarta, quinta, quinta, etc. filas, con lo cual cual se obtienen obtienen Este temperaturas en los puntos puntos seleccionados seleccionados de la barra barra a tiempo tiempo t = 0.03 0.03,, t = 0.04, 0.04, etc., las temperaturas hasta hasta llegar llegar al tiempo tiempo fijado fijado como como ttmáx = 11 hora. máx =

Ecuaciones


539

De los cien conjuntos de temperaturas obtenidas, en la tabla 8.1 se muestran sólo algunos para facilitar su presentación y análisis. Este método también se conoce como métodos de diferencias hacia delante.

DISCUSiÓN

. a-

DE RESULTADOS

Hay simetría en la distribución de temperaturas en la barra debido a que: a) la temperatura inicial es constante; b) la temperatura es constante e igual en las fronteras, y e) las propiedades físicas de la barra son independientes de x y t. Tabla 8.1 Resultados de la solución del PVF de conducción de calor en una barra metálica.

Tiempo (hrs)

ioos ene la ob-

.

x (pies) 0.00

0.25

0.5

0.75

1.0

0.00

60

20.000

20.000

20.000

60

0.01

100

26.400

20.000

26.400

100

0.02

100

37.152

22.048

37.152

100

0.03

100

44.791

26.881

44.791

100

0.04

100

50.759

32.612

50.759

100

0.05

100

55.734

38.419

55.734

100

0.06

100

60.046

43.960

60.046

100

0.07

100

63.865

49.108

63.865

100

0.08

100

67.285

53.830

67.285

100

0.09

100

70.367

58.136

70.367

100

0.10

100

73.151

62.050

73.151

100

0.20

100

89.968

85.812

89.968

100

0.40

100

98.599

98.018

98.599

100

0.60

100

99.804

99.723

99.804

100

0.80

100

99.973

99.961

99.973

100

1.00

100

99.996

99.995

99.996

100

La temperatura en el centro de la barra es un mínimo, de manera que se satisface ~:

Ix=~

=0 2

yan nen etc.,

(véase Fig. 8.8), ya que es el puntos más elejado de los extremos, los cuales tienen las temperaturas que impulsan el flujo de calor hacia el centro de la barra (donde se da el gradiente máximo,

áf máxima. dx

540


• Hay 0.01 la temperatura temperatura en el punto punto central central es igual igual a la Hay que que observar observar que que cuando cuando t = = 0.01 inicial, o sea sea nO.S nO.S,, 0.01) 0.01) = = 20 20°F. situación no es congruente fenómeno que inicial, °F. Esta Esta situación congruente con con el fenómeno que ocurre, ya que que es de esperar esperar que que la temperatura ocurre, temperatura cambie cambie después después del instante instante cero. cero. El resultado temperatura en un nodo nodo depende depende de las las temtemsultado se debe debe a que que la estimación estimación de la temperatura peraturas de los nodos nodo s en un tiempo peraturas tiempo previo. previo.

AL<

Para a¡

• La temperatura régimen permanente permanente a medida medida que que transcurre transcurre el temperatura en la barra barra tiende tiende al régimen tiempo, es decir, decir, T ..... ....•100°F cuando t ..... ....•oo, tiempo, 100°F cuando oo. • Sólo tres puntos puntos interiores interiores de la barra. barra. Si se desea desea inforinforSólo se encontró encontró la temperatura temperatura en tres mación debe construirse construirse una una malla malla más más cerrada; mación de mayor mayor número número de puntos puntos interiores, interiores, debe cerrada; es decir, más subintervalos. decir, subdividir subdividir la longitud longitud L en más subintervalos. Propor DA

RE T

100~~

100~~

__________ -. . -____________ -. ~____________-,- .____________ ~~ ~

PASO PASO PASO PASO PASO

98.60 98.60 98 .07 98.07 89.97 85.81

---------~-~-~---~----

-- -------~ -~ - ~---~-----

PASO PASO PASO PASO PASO

80~---+--~----+-------------~-------------r---,~-r---1~

80~--~--~--~-------------+-------------+--~~~--~~

62.05 60 ~~~----~r_+_------------1_------------~+_------_+--~ ~~~----~~+_------------4_------------_r+_------~--~ 55.73 PASO

~------~----_r--------~~_4~~~--------4_----~------~ 40 ~------~----~--------~~~~ __~--------4_----~------~ 38.42 38.42

Figura 8.8 Distribución Distribución la 26.40 de la 26.40 ___ - - - ________ - - - - - - - - __ --_ temperatura temperatura la barra en la 20L-__________ - L______~~__~-=~------~-------------L~ 20Laa diferentes x tiempos. 0.50 0.25 0.50 O 0.75 O 1.00

-L

~~ __~-=~------~-------------L--

Eje

Ecuaciones diferenciales parciales Ecuaciones diferenciales parciales

ALGORITMO ALGORITMO

541

8.1 Método explícito explícito 8.1 Método

Para aproximar aproximar la solución solución al problema problema de valor valor en la frontera frontera Para

aT éJ2T

ar ClT Clt at

2 (J.--=(J. -- = -

Clx2 ax2

T (x, (x, O) = = f (x), (x), T

O O < x < XFF

(O, t) = =g g¡1 (t) T (O,

T (xF,, t) = g2 g2 (t), (t), T

tt> » O O

Proporcionar las funciones funciones CI(X), CI(X), CF1(T) CFl(T) y CF2(T) CF2(T) y los Proporcionar DATOS: DATOS:

número NX NX de puntos puntos de la malla malla en el eje El número eje x, el número número NT NT de puntos puntos de la malla malla en el el eje eje t. t, la longitud total total XF XF del eje eje x, el tiempo tiempo máximo máximo TF TF por por considerar considerar y el coeficiente coeficiente ALFA ALFA de la derivaderivalongitud segundo orden. orden. da de segundo RESULTADOS: Los valores variable dependiente dependiente T a lo largo RESULTADOS: Los valores de la variable largo del eje eje x a distintos distintos tiempos tiempos t: T.

PASO PASO PASO PASO PASO PASO PASO PASO PASO PASO

Hacer DX DX = = XF/(NX XF/(NX - 1). 1. Hacer Hacer DT DT = = TF/(NT TF/(NT - 1). Hacer Hacer LAMBDA LAMBDA = ALFA*DTIDX**2. ALFA*DTIDX':""2. Hacer Hacer 1I = = 2. Hacer Mientras 1I :::; :o; NX NX - 1, repetir repetir los pasos Mientras pasos 6 y 7. PASO 6. Hacer Hacer T(I) T(I) == CI(DX*(I-1))/2. CI(DX*(I-l))/2. PASO PASO PASO 7. Hacer Hacer 1I = 1I +1. PASO 8. Hacer Hacer T(]) T(I) = = (CI(O) + CFI CF1(0))/2. PASO (0))/2. PASO 9. Hacer Hacer T(NX) T(NX) == (CI(XF) (CI(XF) + CF2 CF2 (0))/2. (0))/2. PASO PASO 10. IMPRIMIR IMPRIMIR T PASO PASO 11. Hacer Hacer J = 1 PASO PASO 12. Mientras Mientras J :::; :o; NT NT repetir repetir los pasos PASO pasos 13 a 24. PASO 13 13.. Hacer Hacer 1I = 2 PASO PASO Mientras 1:::; I:O;NX-l, repetir los pasos pasos 15 y 16. PASO 14. Mientras NX-I, repetir PASO 15. Hacer Hacer TI(I) TI(I) = LAMBDA*T(I-l) LAMBDA*T(I-l) + (1-2* PASO (1-2* LAMBDA)*T(I) LAMBDA)*T(I) + LAMBDA*T(I LAMBDA*T(I + 1) PASO 16. Hacer! Hacer I == 1I + 1 PASO PASO 17 Hacer Hacer I = =2 PASO PASO 18 Mientras Mientras 1:::; I:O;NX-l, repetir los los pasos pasos 19 y y 20. NX-1, repetir 20. PASO PASO 19. Hacer Hacer T(I) T(l) = = TI TI (1) (1) PASO PASO 20. Hacer Hacer 1 I == 1I + 1I PASO PASO Hacer T(l) = CF1(DT*J) CF1(DT*J) PASO 21 HacerT(l) PASO Hacer T(NX) T(NX) = CF2 CF2 (DT*J) (DT*J) PASO 22. Hacer PASO 23. IMPRIMIR IMPRIMIR T. PASO PASO Hacer J == J + 1 PASO 24. Hacer PASO 25. TERMINAR. TERMINAR. PASO

2. 3. 4. 5.

8.1 Ejemplo 8.1

Calcule la temperatura temperatura como como una una función función de x y t en una una barra Calcule barra aislada aislada de longitud longitud uniunitaria (en pies), pies), sujeta sujeta a las siguientes siguientes condiciones taria condiciones inicial inicial y de frontera frontera

CI CFl CPI

O) = = 50 sen 7tX 7IX T (x, O) T (O, °P (O, T) == 100 100°F

CF2 CP2

T (1, t)

O

pie?2 /h. Y con con aa == I1 pie

= 50 50°F = P 0

542


Solución

condiciones en la frontera frontera queda queda establecido establecido como como sigue sigue El problema problema de condiciones

dT r( eJT

d2T e)2T

=(X--=(X--

otdt

~

00j

PVF PVF

dx 2 ox 2

jT

= 50 sen n1t x = = 100°F 100°F T (O, t) = (1,, t) = = 50°F 50°F T (1 T (x, O)

I

Ahora se divide divide la bana barra en n = = 8 segmentos segmentos o subintervalos, subintervalos, de tal manera manera que que se tiene tiene un Ahora total de nueve nueve nodos nodos en cada cada fila, de los cuales cuales siete siete son interiores; interiores; con con esto, esto, a = = 0.125 0.125 total pies. El fenómeno fenómeno se estudiará estudiará durante durante media media hora hora y se dividirá dividirá este tiempo de interés interés en pies. este tiempo = 100, que que da b = = 0.005 0.005 horas. horas. La malla malla queda queda como como se muestra muestra én en la figura figura 8.9. m= Para mayor mayor facilidad facilidad del uso de la ecuación ecuación 8.26 8.26 se despeja despeja el término término T¡,j+i' Ti, l+ i' ya que que Para representa la temperatura temperatura desconocida, desconocida, y se denominará denominará A A el término término ab/a ab/a22; ; después después de alrepresenta gunas manipulaciones manipulaciones algebraicas, algebraicas, dicha dicha ecuación ecuación queda queda gunas

T l1,)+ . I = AT / - I,J + (1 2A) T.t,1,)} + AT. I . (l --2A) AT/'+I,)' , }+ = AT1-,) I+ , j

(8.27) (8.27)

cuya aplicación aplicación en (i, j) = (1, O) produce produce cuya j) = TI,, 11== ATo, ATo,oo + (1-2A) (1-2A) TI,o TI,o + A T2,o TI calcula el valor valor de A se calcula

= 11(0.005)/(0.125)2 A= (0.005)/(0.125)2

= 0.32 0.32 =

substituyen valores valores y se substituyen TI,I,I = = 0.32 0.32 (50) + (1-2(0.32» (1-2(0.32» (50) sen (O. 125n) 1251t) + 0.32 0.32 (50) sen (0.25n) (0.251t) TI = 34.2 34.2 = Para (i, j) Para j)

= (2, O) se tiene: tiene: = TI,o (1 - 2 A) A) T2,o + A T T3,O T2,,11 == A TI ,o + (l 3 ,o ,1 = = 0.32 0.32 (50) sen sen (0.125 (0.125 n) + (1 - 2 (0.32) (0.32) ) (50) (50) sen (0.250 (0.250 n) n) T22,1

0.32 ( 50 ) sen (0.375 (0.375 n) = = 33.63 33.63 + 0.32

t ~ u.. o

oo

oo -

u U

Figura 8.9 8.9 Figura del Malla del ejemplo 8.1. 8,1, ejemplo

(6,2)

1"'" ",1

¡.... h

ri: ¡¡:

on

"-

t = O,Oll----~--~--~---T--~------~-___j t=O.Ol~----------------~----~~--~------------------4

~~

t=0L-____ L_~ t=O ~ __ ~~~~~~ (0,0)

(1,0)

__

h N

t = = 0.005 0,005 l------~----------~-----+----~-----------~--___l I- __ ~--~--~--,*--~--_---~----I

(3,1)

11

Q

~

'"

u

~~~~ _ _ _ _~ _ _ _ _~ _ _ _ _ _ _~ L __ _ _ _~ __ _ __ L~ _ _ _ _~ LL~ _ __ ,-

(2,0)

(5 ,0)

(3,0)

(4,0)

el T (O, x)

= 50 sen re x

(6,0)

(7 ,0)

(8,0)

x

Ecuaciones


543

Al continuar T3,1 = A T2,o + (1 - 2 A)T3,O + A T4,O T3,1

=

0,32 (50) sen (0.25 n) + 1 - 2 (0.32 ) ) (50) sen (0.375 n) + 0.32 ( 50 ) sen (0.5 n) = 43.94 T4,1

= 0.32

T4,1

= A T3,O +

(1- 2 A)T4,O + A Ts,o

(50) sen (0.375 n) + (1 - 2 (0.32 ) ) (50 ) sen (0.5 n) + 0.32 ( 50 ) sen (0.625 n) = 47.56

un TS,1

2S

= A T4,O +

(1 - 2 A)Ts,o + A T6,O

TS,1 = 0.32 (50) sen (0.5 n) + (1 - 2 (0.32) ) (50) sen (0.625 n)

en

+ 0.32 ( 50 ) sen (0.75 n) = 43.94 ue al-

T61,. = A Tso + (1-2

T6,1

=

A)T60+ "

A T70 0.32 (50) sen (0.625 n) + (1 - 2 (0.32 ) ) ( 50 ) sen (0.75 n) + 0.32 ( 50 ) sen (0.875 n)

7)

=

33.63

T7,1 = A T6,O + (1 - 2 A)T7,O + A Ts,o T7,1

=

0.32 (50) sen (0.75 n) + (1 - 2 (0.32 ) ) ( 50 ) sen (0.875 n) + 0.32 ( 25 )

=

26.2

Estas temperaturas corresponden a puntos discretos sobre la barra a un tiempo igual a 0.005 horas. Para obtener la temperatura en los mismos puntos de la barra dados arriba, pero ahora a un tiempo de 0.01 h (tercera fila de la malla de la Fig. 8.9), se aplica nuevamente la ecuación 8.27. De la misma manera se obtienen los valores de temperatura para los tiempos de 0.015, 0.02 h, etc.; o sea, la temperatura en los nadas interiores de las filas 4, 5, etc. Los resultados obtenidos con el PROGRAMA 8.1 del CD son: Tabla 8.2 Temperaturas (OF) del ejemplo 8. J .

x (pies)

t

x

(horas)

0.0

0.125

0.25

0.375

0.5

0.625

0.75

0.875

1.0

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030

50 100 100 100 100 100 100

19.13 34.20 55.08 63.70 69.13 72.76 75.38

35.36 33.63 37.11 44.36 49.61 53.70 56.91

46.19 43.94 41.80 41.40 42.88 44.66 46.59

50.00 47.56 45.25 43.04 41.73 41.66 42.23

46.19 43.94 41.80 40.59 40.35 40.45 40.89

35.36 33.63 34.55 37.40 39.28 40.62 41.59

19.13 26.20 36.20 40.09 42.40 43.83 44.78

25 50 50 50 50 50 50

0.050 0.100 0.150 0.200 0.300 0.400 0.500

100 100 100 100 100 100 100

81.19 86.98 89.73 91.32 92.86 93.42 93.63

65.19 75.08 80.09 83.02 85.85 86.89 87.28

53.68 65.18 71.59 75.40 79.10 80.46 80.96

46.92 57.81 64.57 68.67 72.67 74.14 74.68

44.17 53.06 59.14 62.90 66.60 67.96 68.46

44.41 50.61 55.16 58.03 60.85 61.89 62.28

46.68 49.86 52.28 53.83 55.36 55.92 56.13

50 50 50 50 50 50 50

544

Métodos numéricos


100----------------------------------------~ 90+W~~~------------------------------~ 80

~ ¡.,

.=~•.. ¡.,

---+- (=0.005

70

_(=0.010 60

---.-(=0.025

e, Qj

El ~

~t=O.lOO

50

-.-t=0.200

40 Figura 8.10 Gráfica de la distribución de temperatura a diferentes tiempos.

30 20 O

DISCUSiÓN

0.125 0.25 0.375 0.5 0.625 0.75 0.875

DE LOS RESULTADOS

• En este caso, la distribución de temperaturas con respecto al centro de la barra no es simétrica, a pesar de que la distribución inicial si lo es, SO sen (n). Esto se debe a que la temperatura en los extremos es diferente, lo cual genera un flujo de calor más intenso del extremo izquierdo hacia el centro de la barra. La temperatura en el centro de la barra y sus cercanías disminuye en el intervalo O < t < 0.02 (ver tabla 8.2). Esto se debe a que cuando t = O, la temperatura en el centro de la barra es mayor que en sus vecindades, de tal modo que en un lapso hay flujo de calor del centro de la barra hacia los lados (más pronunciado hacia el extremos derecho), razón por la cual la temperatura en la zona central disminuye aproximadamente hasta 0.025 segundos (en la figura 8.10 gráficas a t = 0.05, 0.010 Y 0.025 segundos) para después empezar a aumentar (gráfica a t = 0.1 segundos). • Cuando el lapso es amplio (t> 0.2 segundos), la distribución de la temperatura es casi lineal a lo largo de la barra (en la figura 8.10 gráfica a t = 0.2 segundos). Es de esperarse que sea lineal cuando t --> 00, esto es, que se alcance el régimen permanente en un tiempo muy grande. Al no cambiar la temperatura en el tiempo, el término élT = O y la élt

2

EDP de nuestro problema se simplifica a él T = O o d 2T élx2 dx2 ordinaria, cuya solución analítica es T = C I X + c2. Los cálculos pueden hacerse con Matlab:

= O, una

ecuación diferencial

~----------------------------------------------------------=~ Ecuaciones

Xf=l;

Nx=9;

tf=0.5;

Dx=Xf/(Nx~l);

Nt=lOl;


545

Alfa=l;

Dt=tf/(Nt~l);

Lambda=Alfa*Dt/Dx'2 for

i=2:Nx~1 T(i)=CIB_l

(Dx" (i~1));

end T(l) = (CIB_l (0)+CF1_B_1(0))/2; T(Nx) = (CIB_1 (Xf)+CF2_B_1(0))/2; fprintf for

( '0.000' )

i=l sNx fprintf('

%6.2f' ,T(i))

end fprintf for

( '\n' )

j=l:Nt~l for

i=2: Nx~1 Tl (i) =Lambda*T(i -1)

+ (l-2*Lambda)

*T (i ) +...

Lambda*T(i+1) ; end for

i=2:Nx-1 T (i) =Tl (i) ;

end T(1)=CF1_B_1 (Dt*j); T(Nx)=CF2_B_1(Dt*j); fprintf( for

'%5.3f' ,j*Dt)

i=l:Nx fprintf('

%6.2f',T(i))

end fprintf

(' \n' )

end

También se puede usar Microsoft Excel para realizar los cálculos. Para ello escriba en las celdas indicadas en la primera columna de la siguiente tabla la fórmula de la segunda columna. Después arrastre la fórmula de la celda C6 hasta la celda J6; arrastre ahora las fórmulas de las celdas C7 y C8 hasta las celdas 17 e 18, respectivamente. Por último, arrastre el rango de celdas A8:J8 hasta las celdas A107:J107. e ete s)

si n la 'al

Celda A6 A7 A8 B 1 B2 B5 B6 B7 B8 CI C2 C3

Fórmula Tiempo O =A7+$D$2 alfa 1 Distancia O =(50*SENO(PIO*B6)+$C$4)/2 =$C$4 a-Deltax 0.125 CFl

546

Métodos numéricos

aplicados

a la ingeniería

C4 C6 C7 C8 DI D2 D3 D4 El E2 J7 J8

MÉTODO

1111

100 =B6+$C$2 =50':'SENO(PIO*C6) =$E$2*B7+(1-2*$E$2)*C7+$E$2*D7 b=Deltat 0.005 CF2 50 Lambda =B2*D2/C2112 =(50* SENO(PIO*J6)+$D$4)12 =$D$4

IMPLíCITO

Para ilustrar este método se resolverá nuevamente el ejemplo

PVF

I

~

l

EDP

c.r.

aT

-

at

aT 2

=

a --

ax

2

y

.

a = 1 pte 2/h

T (x, O) = 20°F, L = 1 pie

CFI T (O,t) = 100°F, t

máx

= 1h

CF2 T (1, t) = 100°F

ya utilizado para mostrar el método explícito. Primero se obtendrá la ecuación básica del algoritmo. Se toma el nodo (i, j) de la malla construida sobre el dominio de definición 0= to < t < tmáx = 1, O < x < L = 1 (Fig. 8.11) y se evalúa la EDP, entonces

l=tm=t.

max

! l

(i-l,}) (i,})

(i+l,})

(i,}-l) ~a--

Figura 8.11

•..

x ,,+1 =L=l

x

Ecuaciones

547


o

~.-

1\ •...

o o •....•

~

o o •....•

11

-;::;-0 •

1\

-;::;-

0 ....

S

h

h

¡r:;

(0,1) 0.0

, (2,1)

'" (1,1)

(3,1)

(4,1)

N

~

U

U

(0,0)

(2,0)

(1,0)

Figura 8.12

(3,0)

(4,0)

x

CIT (x, O) = 20 iF O < x < 1

Ahora se sustituye dT/dt en (Xi' t j ferencias centrales, lo que da

)

por diferencias hacia atrás, y d2T/dx2 en (Xi' t j

T¡.,j-T¡·.,j·_1 ---'-'-------'-"-= ex TI'

¡-,

j

-2T+Ti' ¡,j

¡+

)

,j

a2

b

por di-

(8.28)

De acuerdo con la notación de punto negro (.) para los nadas empleados a fin de aproximar a dT/dt y cruz (X) para aquellos que se usan en la aproximación de d2T/dx2, se tiene el esquema de la figura 8.12.

Solución

Se construye la malla con n = 4 y m = 100, con lo que a Si (i, j) = (1,1), la ecuación 8.28 se aproxima así Tl,l - Ti,o _

= 0.25 Y b = 0.01.

ex TO,I- 2Tl,l + T2,1 a2

b

La temperatura en los nadas (0,1) y (1,0) está dada por las condiciones frontera e inicial, respectivamente, pero se desconoce la temperatura en los nadas 0,1) y (2,1). Entonces se tiene una ecuación con dos incógnitas que rearreglada queda (1 + 2A-) Ti,i - AT2,i = Ti,o + A TO,I

(8.29)

donde, como se sabe, A = ab/a2 (que es un parámetro adimensional). El procedimiento se repite en el nodo (2,1) y la ecuación diferencial parcial queda aproximada por: T2,i - T2,o = b

ex Ti,i

-2T2,1 + T3,1 a2

En esta ecuación hay tres incógnitas T l,l T2,1YT3,1;así pues, al rearreglarla queda: -A Tl,l +

O + 2A) T2,1- A T3,1 = T2,o

(8.30)

548

la ingenier ingeniería Métodos nnuméricos aplicados Métodos u méricos apl icados aa la ía

Análogamente , 1), la Análogamente para para el el nodo (3 (3,1), la ecuación ecuación diferencial diferencial parcial parcial (EDP) (EDP) queda queda aproxiaproximada por: T3,1 T3,O =a a TT2,1 -2T33,1. 1 ++ T T4,1 T 2,1 -2T 3,1 - T 3 .0 = 2 b aa ecuación sólo hay dos incógnitas, incógnitas, que son T 2, 2, I Y T 3, 3, 1; 1; así pues, pues, al al rearreglarla rearreglarla reEn esta ecuación sulta:

(8.31 (8.31)) ecuaciones 8.29 a 8.31 constituyen constituyen un sistema sistema de ecuaciones ecuaciones algebraicas algebraicas lineales lineales en Las ecuaciones incógnitas Tl,l TI I ,T22,1I Y YT T33, l'i' que son precisamente precisamente las temperaturas temperaturas que se desea desea conocer. conocer. las incógnitas Esto es: es: '" Esto (1 + 2 'A) TI,I,I (1 A ) TI

--ATI,I 'ATI ,I

A T2,1,1 'AT

'AToI+T ATOI+TIOI O

+

(1 + 2'A) 2A) T2,1,1 (1

-

'A T22,1,1

'A T33,1. 1

T22,o,o

+ (1 (l + 2'A)T 2A)T3,l T3,O+ A T4,1 3,1 = T 3 ,o + 'A

Con la sustitución sustitución de valores valores Con

'A A= = 0.16, 0,16,

TI,o = T2,o = T3,O= 20°F,

To,1 = T4,1 100°F TO,I ,1 = 100°F

y resolviendo alguno de lo métodos capítulo 3, se obtiene: obtiene: resolviendo por por alguno métodos del capítulo Tl,l,I = 29.99, 29.99, TI

22.42, T2,1 = 22.42,

T33,1 = 29.99, 29,99,

Hay que observar observar que obtenidas para diferentes a las Hay que que estas estas temperaturas temperaturas obtenidas para t = 0.01 h son diferentes las obtenidas con el método explícito; además, central es distinta tenidas con método explícito; además, la temperatura temperatura del punto punto central distinta de de la condición inicial. condición inicial. Esta Esta situación situación es más más congruente congruente con con la realidad realidad del fenómeno fenómeno que que ocuocurre 20°F). Lo Lo anterior anterior se expliexplirre (recuérdese (recuérdese que que con con el método método explícito explícito la temperatura temperatura es 20°F). ca ca porque porque para para el cálculo cálculo se han han tomado tomado en cuenta cuenta todos todos los nodos nodos de de la primera primera y segunda segunda filas, T(4,0). filas , excepto excepto los los de las las esquinas esquinas T (0,0) (0,0) yY T(4,0). Mediante Mediante la ecuación ecuación 8.28 8.28 y los los mismos mismos razonamientos razonamientos para para la la segunda segunda y tercera tercera filas las se llega llega a (1+2A)T (1 + 2 'A)I,2T I ,2

- A TI,2I,2 'AT

A 'A T22,2,2

'A TO,2+ T O,2 + TI,I TI ,I A

(l + 2 A) T22,2,2 (1+2'A)T

+ +

A T22 'AT?2

'AT A T33,2,2

T22,1, 1

'A) T T}? + (1 + 2 A) 3,2

T 3,, 1 ++AT 'A T T31 424,,2

Al Al sustituir sustituir valores valores conocidos conocidos

'A=0.16, A = 0,16,

TO,2= TO,2 =TT44,2 ,2

100, 100,

TI,I T I,I == T T33,1 ,1 == 29.99, 29.99,

T ,1= 22.42, 22.42, T22,1=

yy resolver resolver se se obtiene: obtiene: T TII,2,2 == 38.02, 38 .02,

T ,2 = = 26.2, 26.2, T22,2

T3,2 3,2 = = 38.02, 38.02, T

que que son son las las temperaturas temperaturas correspondientes correspondientes aa t == 0.02 0.02 hh yYaa xx == 0.25, 0.25, xx == 0.5, 0.5, yYxx == 0.75 0.75 pies, pies, respectivamente, respectivamente. Al aproximar aproximar la la EDP EDP por por diferencias diferencias divididas divididas en en la la fila} filaj ++ 1 (véase (véase Fig. Fig. 8.12) 8.12) se se obobAl tiene tiene el el siguiente siguiente sistema sistema (1 2 A) TI,j+1 (1 ++2'A)T I,j+1

-- A 'A TI,j+1 TI ,j+1

A 'A TT22,j+1 ,j+1

+ ++ (l(1+2'A)T + 2 A) T22,j+1 ,J 1

A

T2,j+1

TO,j+ 1++ TI,j TI ,j A'A TO,j+1 A 'A TT33,j+1 ,j+1 (l ++ 22 A)T 'A)T ++ (1 3,j+1 3 ,j+1

T2,j2, j T T 4 ,j+1 ++ TT33,j,j A'A T4,j+1

Ecuaciones


549

100~~====~======~~======~==~~~ 90~~~--~~----------------------~~--~~ 80+--r~~ __--------------------------~-7~~ 70+---~~----~----------------~~---+-.~~

50+-----~----~----------------~----~----~ 40+-------~--------~~~~---------+------~ Figura 8.13 Distribución de temperatura en la barra a diferentes tiempos.

a

a

30+---------~--------------------~--------~ 20~------~------~--------~------~------~ 0.4 0.6 0.2 0.8 O Distancia

Hay que observar que en todos los casos el sistema por resolver tiene la misma matriz coeficiente, que es tridiagonal y simétrica. Todo el sistema se soluciona estableciendo y resolviendo secuencialmente los sistemas de tres ecuaciones simultáneas para cada fila a partir de la segunda. Los resultados obtenidos con el PROGRAMA 8.2 del CD se presentan en la tabla 8.3 y en la gráfica de la figura 8.13. Tabla 8.3 Resultados de la solución del PVF de conducción de calor en una barra metálica.

x (pies) t

(horas) 0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

60 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100

20.00 29.99 38.02 44.64 50.23 55.04 59.25 62.97 66.29 69.28 71.97

20.00 22.43 26.20 30.67 35.41 40.17 44.80 49.20 53.35 57.21 60.79

20.00 29.99 38.02 44.64 50.23 55.04 59.25 62.97 66.29 69.28 71.97

60 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100

0.20 0.40

100 100 100 100 100

88.62 98.10 99.68 99.95 99.99

83.91 97.32 99.55 99.93 99.99

88.62 98.10 99.68 99.95 99.99

100 100 100 100 100

0.60 0.80 1.00

550

Métodos numéricos


(O,) +1)

(l,) +1)

(2,) + 1)

(3,) + 1)

(n-l,j+I)

(n,)+l)

(O,))

(1,) )

(2,))

(3,))

(n-l, ))

(n,))

Para

g2(t)

Prop

o R

(0,1)

Figura 8.14

(2,1)

(1,1)

(0,0)

(1,0)

(3,1)

(2,0)

(n-l.l)

(3,0)

PAS( PAS( PAS(

(n, 1)

(n-l,O)

(n,O)

x

En general, si se divide la longitud de la barra en n subintervalos, o sea con n-1 nodos interiores (véase Fig. 8.14), el sistema de n-1 ecuaciones simultáneas con n-1 incógnitas para la fila j + 1 queda (l +

2A)TI.j+1

-

- ATI,j+l

=

AT2.j+1

+ (1 + 2

A)T2,j+1

=

- AT3,j+1

A T4,j+l

ATo',J+ 1+ TI ,J. T2,j

= T3,j

- AT2,j+1

+ (1 +

2A)T3,j+1

-

- ATn_3,j+l

+ (l +

2A)Tn_2,j+1

- ATn_1,j+1

=

TIl_2,j

+ (1 +

=

TIl_I,j+

- AT n-2,j+1

2A)Tn_l,j+1

A Tn,j+1

La solución de este sistema corresponde a las temperaturas en los puntos seleccionados de la barra a un tiempo (j + l)b. Hay que observar que la simetría de la matriz coeficiente y su característica tridiagonal. Además, los elementos de esta matriz son constantes para cualquier fila (o tiempo) y son: (1 + 2 A)

-A O

O

-A (1 + 2 A)

-A

PAS(

O

O -A (1 + 2 A)

PAS( PAS(

El -A

-A O

(1 + 2 A)

-A

O -A (1 + 2 A)


ALGORITMO ALGORITMO

551

8.2 Método Método implícito 8.2

Para aproximar aproximar la sol solución frontera Para ución al problema problema de valor valor en la frontera éFT sr éJ2T aT a--=-

(X--= -

at

ax2 ax2

PVF PVF

T (x, O) = =f(x), T f(x),

T (O, (O, t)

O -cx < xF

= gg I (t) (t) = I

T (xpp t) = s, g2 (t)

t> O O t>

Proporcionar las funciones funciones CI(X), CI(X), CFI CFl(T) CF2(T) y los los Proporcionar (T) y CF2(T) DATOS: DATOS:

puntos de la malla malla en el eje eje x, el número número NT eje t, la El número número NX NX de puntos NT de puntos puntos de la malla malla en el eje longitud total eje x, el tiempo TF por considerar yy el coeficiente coeficiente ALFA ALFA de la derivaderivalongitud total XF XF del eje tiempo máximo máximo TF por considerar segundo orden. orden. da de segundo RESULTADOS: Los valores dependiente T a lo largo largo del eje eje x a distintos distintos tiempos tiempos t: T. RESULTADOS: Los valores de la variable variable dependiente

de 0-

PASO 1. Rea Realizar algoritmo 8.1 PASO lizar los paso paso 1 a 10 del algoritmo PASO 2. Hacer Hacer 1 1 = I1 PASO PASO 3. Mientras Mientras 1 I ::::; :s; NX -2, repetir los pasos PASO NX -2, repetir los pasos 4 a 7. PASO 4. 4. Hacer Hacer A(I) PASO A(I) = --LAMBDA LAMBDA PASO 5. Hacer Hacer B(I) B(I) = 1 + 2*LAMBDA 2*LAMBDA PASO PASO 6. Hacer Hacer C(I) C(I) = -LAMBDA -LAMBDA PASO PASO 7. Hacer Hacer I = I +1 PASO PASO 8. Hacer Hacer J = 1 PASO PASO Mientras J ::::; :s; NT, repetir PASO 9. Mientras repetir los paso paso 10 a 24. PASO 10. lO. Hacer HacerT(l) CF1(DT*J) T(1) = CFl(DT*J) PASO PASO 11. Hacer Hacer T(NX) T(NX) = = CF2(DT*J) CF2(DP'J) PASO PASO 12. Hacer Hacer I = 1I PASO PASO 13. Mientras Mientras I::::; I:S; NX-2, NX- 2, repetir repetir los paso paso 14 y 15. PASO PASO 14. Hacer Hacer D(I) D(I) == T(l T(I + 1) PASO PASO 15. Hacer PASO Hacer I = I + 1 PASO 16. Hacer Hacer D(I) D(1) = D(1) D(1) + LAMBDA'!'T(1) LAMBDN'T(1) PASO PASO 17. Hacer Hacer D(NX-2) D(NX-2) = = D(NXD(NX-2)2) + LAMBDA LAMBDA*T(NX) *T(NX) PASO PASO 18. Realizar Realizar los pasos algoritmo 3.5 con N = = NX-2 PASO pasos 1 a 12 del algoritmo NX-2 PASO 19. Hacer Hacer I = 1 PASO PASO 20 Mientras Mientras I ::s;: ; NX-2, repetir los los paso PASO NX-2, repetir paso 21 y 22. PASO 21. Hacer Hacer T(I T(I + 1) = XCI) XCI) PASO PASO 22. Hacer Hacer I = = I +1 PASO PASO 23 23.. IMPRIMIR IMPRIMIR T PASO PASO 24. Hacer PASO Hacer J = J + 1 PASO 25 25.. TERMINAR. TERMINAR. PASO

n:

Ejemplo 8.2 Ejemplo Solución Solución

Resolver el ejemplo ejemplo 8.1 con con el método método implícito. implícito. Resolver A fin de comparar comparar resultados con el método implícito, se divide divide la barra también en 8 segsegresultados con método implícito, barra también mentos, = 0.125 0.125 pies estudiará también fenómeno de conducción conducción de calor calor duranduranpies y se estudiará también el fenómeno mentos , a = te media con subintervalos subintervalos en el tiempo = 0.005 0.005 horas. esto }¡, A, = = 0.32. 0.32. media hora hora con tiempo de tamaño tamaño b = horas. De De esto

552

Métodos numéricos


El primer sistema lineal que permite calcular las temperaturas en la barra a t horas es:

= 0.005

= 51.1342

+ 1.64 Tu

- 0.32T2.I

- 0.32 TI,I

+ J.64T2,1

- 0.32 T3,I

= 35.3553

- 0.32T2,1

+ 1.64 T3,I - 0.32 T4,I

= 46.1940

- 0.32 T3.1 + 1.64 T4,I - 0.32 Ts,l

= 50.0000

- 0.32 T4,I + 1.64 Ts,l

= 46.1940

- O. 32T

- 0.32 T6,I

5,1

+ 1.64 T6,I - 0.32 T7,I = 35.3553 - 0.32 T6,1 + 1.64 T7.1 = 35.1342

cuya solución por el algoritmo d~ Thomas es: TI,I = 38.56, T2,I = 37.84, T3,I = 44.90, T4,I = 47.93, Ts.1 = 44.50, T6,I = 35.78, T7,I = 28.41

El segundo sistema lineal que permite calcular las temperaturas en la barra a t = 0.005 horas es: = 70.5636

+ 1.64 TI,I - 0.32 T2,1 - 0.32 TI,I

+ 1.64 T2,I - 0.32 T3,1

= 37.8445

- 0.32 T2,l + 1.64 T3,I - 0.32 T4,1

= 44.9041

- 0.32 T3.1 + 1.64 T4.1 - 0.32 TS,l - 0.32 T4,I + 1.64 Ts,l - 0.32 T6,I

= 47.9329 = 44.502l

- 0.32 Ts,l + 1.64 T6.1 - 0.32 T7,I = 35.7840 - 0.32 T6,I + 1.64 T7.1 = 44.4055

cuya solución por el algoritmo de Thomas es: TI,I = 51.17, T2,I = 41.76, T3,I = 44.58, T4,I = 46.40, Ts,l = 43.40, T6.1 = 36.98, T7,I = 34.29

Usando el

PROGRAMA

8.2 del CD con las modificaciones

correspondientes,

se obtiene:

x (pies) t (horas) 0.000

0.125

0.250

0.375

0.500

0.625

0.750

0.875

1.000

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030

50 100 100 100

100

19.13 38.56 51.17 59.67 65.60 69.89 73.08

35.36 37.84 41.76 45.89 49.74 53.17 56.15

46.19 44.90 44.58 45.00 45.92 47.15 48.54

50.00 47.93 46.40 45.42 44.97 44.96 45.28

46.19 44.50 43.40 42.81 42.62 42.72 43.05

35.56 35.78 36.98 38.35 39.65 40.82 41.85

19.13 28.41 34.29 38.15 40.75 42.57 43.88

25 50 50 50 50 50 50

0.050 0.100 0.150 0.200 0.300 0.400 0.500

100 100 100 100 100 100 100

80.31 86.83 89.62 91.21 92.77 93.37 93.60

64.65 74.90 79.90 82.82 85.70 86.80 87.23

54.36 65.13 71.37 75.14 78.89 80.34 80.90

48.48 57.94 64.38 68.40 72.45 74.02 74.62

45.60 53.31 59.00 62.66 66.39 67.84 68.40

45.06 50.87 55.07 57.85 60.70 61.80 62.23

46.73 50.02 52.24 53.73 55.27 55.87 56.10

50 50 50 50 50 50 50

lOQ lOc}

8.4

Ecuaciones diferenciales parciales parciales Ecuaciones diferenciales

553

Se deja lector construir construir la gráfica gráfica de distribución distribución de temperatura temperatura a lo largo largo de la barra barra deja al lector para ciertos ciertos valores valores de t y hacer hizo en el ejemplo 8.1 para hacer una una discusión discusión de resultados resultados como como se hizo ejemplo 8.1

8.4 8.4 Convergencia Convergencia (método explícito), estabilidad estabilidad y consistencia consistencia CONVERGENCIA CONVERGENCIA

Hasta analizado la importante importante pregunta pregunta de si los valores valores obbenidos obbenidos aproxiaproxiHasta ahora ahora no se ha analizado man PVF en los los nodos nodos de la malla. malla. En esta man "convenientemente" "convenientemente" la solución solución del PVF esta sección sección se contesta ese punto. punto. contesta parcialmente parcialmente ese error de discretización discretización se define El error define en cada cada nodo nodo como: como: e =T=T- U, U,

donde verdadera del PVF PVF y T la aproximación obtenida con con el esquema donde U es la solución solución verdadera aproximación obtenida esquema explícito. explícito. dice que &->0, bb = M->O Se dice que un esquema esquema de diferencias diferencias es convergente convergente si al hacer hacer a = = &-->0, = M-->O en la malla, discretización e también también tiende tiende a cero. cero. Con definiciones prepremalla, el error error de discretización Con estas estas definiciones sentes se demuestra demuestra a continuación suficiente para sentes continuación que que una una condición condición suficiente para convergencia convergencia del método método explícito explícito en la solución solución de: 22

élT (adimensionalizando A == 1 ) dél TT == dT (adimensionalizando las variables variables A élx22 dx dél t es que O < (l:o.t/&2) 0.5 . Se aceptará aceptará que que no se comenten comenten errores redondeo, lo Jo cual cual es (/),t/&2) < 0.5. errores de redondeo, prácticamente imposible, pero pero aun así, así, este este criterio criterio de convergencia convergencia es de uso uso práctico. práctico. prácticamente imposible, expandir en serie serie de Taylor solución verdadera Al expandir Taylor alrededor alrededor del nodo nodo (i, Ci, j)j) la solución verdadera U (es la variable obtiene* variable t solamente), solamente), se obtiene" _ (/),t22)) 33 (l:o.t Ul.) '+1 Ul.l. ).+/),tU, +-U" + + O O [(M) 1 U '+1 - U). + I:o.tU, + -2!- U" [(M) 1 l .)

(8.32) (8.32)

variable x adelante adelante y atrás atrás del nodo nodo (í, j) se obtienen, obtienen, respectivamente, Al expandir expandir U en la variable (i, j) respectivamente, &2 &3 fu:4 &2 & 3 fu:4 U ..=U = u 1,1,)) ..+&U +&Uxx + - U + + .... U1,1,++ 1I.t +- 2! U.H +- 3!- U U.nx + -- 4! U U.... ,) xxx .\.\.1.\ .U .'.IU &5 &s +S!

(8 .33) (8.33) U,.rxxx Uuxxx

+ O [ (&)6 1 1

&2 &3 fu:4 &2 & 3 ¿UA U 1I = U 1,1,)) .-&U - &U.,x + .. -- - 33!! U, ... + ..,.r U1=U +- 2!- U, U.. U..xxx + -- 4! U., U...r.I.,."." .. H 1-,),) xv\

(8.34) (8.34)

&s &5

--5! 5! Unxxx ] nxx , + O [ (&)6 1 Hay que en las ecuaciones derivadas se evalúan nodo (i, Hay que observar observar que ecuaciones 8.32 8.32 a 8.34 8.34 las derivadas evalúan en el nodo == i& iox Y t = =j/),t. jl:o.t. Con ecuaciones 8.33 y 8.34 obtiene: Con la suma suma de las ecuaciones 8.34 se obtiene:

j), cuyas coordenadas coordenadas son x j), cuyas

__ 22 fu:4 O 66 fu:4 U + O U¡+I,j + U Hj - 2U¡,j + &U.n + U¡+I,j+U¡_I,j-2U¡,j+&U,u+12 Uuxx [(&)] 1 uxx+ [(&)

12

(8.35) (8.35)

, UII representa primera derivada derivada de U con con respecto respecto a 1, /, UII UI I la segunda derivada de U U con con respecto respecto a 1, /, etcétera. etcétera. representa la primera segunda derivada

554 554


multiplicar por A A, Al multiplicar

~

n

A,[U¡+ [ U¡+ l,j 1j' ++ U U¡_l U¡¡,jj ++ fu2 &2 A A,U xx + + fu:4 AUXXJ:X A,ULU:X ++ O O [(fu)6 [ (&)6 ]] A ¡_I,j, j'] ] == lA. U U xx , , 12

(8.36) (8.36)

Se despeja despeja Uxx y se se sustituye sustituye A A, con M/fu tlt/&22 en algunos algunos términos términos y resulta: resulta: Se

n

A, 2A, &2 A, A fu2 A 66 UU¡, ¡ ].j - - U -"ux + - O[(fu) U u =-[U¡+l Uxx = U¡+I, ],j + U¡_l]' U¡_I,) ]- ¡;¡ Uxx.tx + ----¡;¡ O [(&) ]] . ~t ' , ~t ' 12 M

--¡;¡ [

-12

(8.37) (8.37)

UII se despeja despeja de la ecuación ecuación 8.32 8.32 U U = _1_ U . 1_ _1_ [[U. _ U U. . _ ~t M 22 U ] _ O [[ (M) (M)33 ] 1t ~t /,]+ 1,I,j] 2! 1I ~t tlt I,j+ 1 11 tlt

(8.38) (8.38)

sustituir las ecuaciones ecuaciones 8.37 8.37 y 8.38 8.38 en la ecuación ecuación diferencial diferencial parcial, parcial, UII = Uxx Al sustituir xx ~t2 tlt2 UI,j+]'+. 1 I -- U¡]. UI,j . - - 2! U Ut t -- O [[ (~t)3 (tlt)3 ]] = = U¡ , , 2 ! II

&2tl fu2~ t A,U 1 .+A,UI·-lA.U--_ Uxxxx+A,O[(&)6] A V 11,+ + AV1-1- 1,,j] . - 2A V _ 1 U,I"',I'" + A O [ (fu)6 ] ,+ 1,] 1 ,] - _ 12 ~ ~ ,j I,j

(8.39) (8.39)

despeja U¡,j+ U¡,j+l 1 Se despeja fu2~ &2tl U1 . 11== A,U .+ U.1 U,.,.,.,. A V1 + ( 1 - 22 A,) A) U .. A U 1+ . 11,] .. -- __ -12 . ,. ,]+ - 1I,] ,] + A,U. I,j+ 1,j i.¡ 1+ ,j 12 11 U.,.,., "A. ~A

(8.40) (8.40)

Si se hace hace (8.41 (8.41)) y se se sustituye sustituye la ecuación ecuación 8.41 8.41 en en la 8.40 8.40 U . 1= 11 + .+ I1, ). ++ ZZI,J V I,J+ 1= A,U AU1+ (1 (1 - lA.) n) U V I,J + A,U AV1+ ... l,j+ I- ,j. i l, } t+ ,J l ,j

(8.42) (8.42)

Se Se resta resta del del esquema esquema explícito explícito T T.1,j AT1._,'_ n) TI' T.1,J,]. + A,A T+l T 1,,'+I,J].. miembro miembro a miemrniem1,]'+1= A,T 1,J,]1 + (1 - lA.) bro bro la la ecuación ecuación 8.42 8.42 T . 11-- U . 1= 1 .) + ( 1 - 2 A,)(T T.1,1,]+ V 1,1,J+ 1= A,(T A(T.1-1- 11,J,] -- U VI') A) (T."1,]j . - U U 1,1,]j .) ]+ 1- ,J ,] l+ 1(8.43) (8.43) + + A,(T. A (T.1-1- 11,j,] -U1·)-Z - VI') 1- ,J,] 1-

zI,J1,....]

Este Este desarrollo desarrollo algebraico algebraico expresa expresa el el error error de de discretización discretización e¡,j+l e¡, j+1 = (T¡,j+l (T¡,j+1-- U¡,j+l) U¡,j+ l) en en funfunción ción de de los los errores errores en en los los nodos nodos vecinos vecinos e¡_l,j' e¡_I, j' e¡,j e¡, j y ei+l,j e¡+ I,j que que se se usan usan en en el el esquema esquema exexplícito, plícito, oo sea, sea,

-z .

e. . 1 = A,e,· II,j .·+(1-2A)e + ( 1 - 2 A,) e,I,J.. + A,ee1+Il,J - Z I,j . e·· +A I,J+ " ]+ I = Ae11- , ] " ] 1+ ,] 1,]

(8.44) (8.44)

Supóngase Supóngase ahora ahora que que O O< A,~ A S; 0.5, 0.5, con con lo lo que que los los coeficientes coeficientes A,y A y (1-2 (1-2 A,) A) son son no no negatinegativos. vos. Si, Si, por por otro otro lado, Jado, se se saca saca el el valor valor absoluto absoluto en en ambos ambos miembros miembros de de la la ecuación ecuación 8.44 8.44 yy se se aplica aplica la la desigualdad desigualdad del del triángulo, triángulo, se se obtiene: obtiene: 11e, 1~ A, e1,J+ · .. IliS; A 11ee1+ . 1+ (1 (1 -- 2A,) n) 11ee·1, 1+ A, A lele1+ .1++ 11- ZZ1,1.. 1, ]+ 1+I1,j,].1+ 1,J].. 1+ 1+I1,j,].1 ,j ].11

(8.45) (8.45)


555

llama e máx (k) con con O :::; :::;k:::; k:::; m cota superior superior de I e¡, e¡, k I con con 1 :::; :::;i :::; :::;n-l, n-l, se denota denota por Si se llama m la cota por máx (k) Zmáx (k) con con k -igual -igual que que antes-la antes-la cota superior con 1 :::; :::;i:::; i:::; n-l, subsZmáx (k) cota superior de II-Z¡,k -Z¡,k I con n-1 , y se substituye e¡_lj' e¡,j' ei+1,j' e¡,j+l cotas superiores superiores e,!,áx emáx (j), (j), e máx (j +1 +1)) tituye e¡_lj' e¡,j' e¡+l , j' e¡, j+ l Y Y Z¡,jcon Z¡,j con sus respectivas respectivas cotas máx (j Zmáx (j), Yy Zmáx (j), simplificando simplificando se llega llega a (8.46) (8.46)

(j +1) + 1) :::; :::;emáx (j) + Zmáx (j) emáx Zmáx (j) máx (j máx (j)

analiza esta esta desigualdad desigualdad en un periodo O :::; :::; t :::; :::;tmíLX tiene Si se analiza periodo O = tm se tiene máx m

Al ra,

emáx e máx emáx e máx emáx e máx

(1) :::; :::; eemáx (1) (O) máx (2) :::; :::; eemáx (1) (2) (1) máx (3) :::; eemáx (2) (3):::; (2) máx

e emáx máx

(m) :::; Zmáx (m-l) s eemáx (m-1) + Zmáx (m-1) máx (m-1)

+ Zmáx(O) Zmáx (O) (1) + Zmáx Zmáx (1) + Zmáx(2) Zmáx (2)

primesustituir el término término eemáx sustituir (1) de la segunda segunda desigualdad desigualdad con con el lado lado derecho derecho de la primemáx (1) aquélla permanece e incluso se refuerza, con lo cual queda aquélla permanece incluso refuerza, con cual queda emáx e máx

(2) :::; :::;Zmáx (1) + eemáx (2) Zmáx (O) + Zmáx Zmáx (1) máx (O)

Válgase la consideración valores iniciales (O) == O. Válgase consideración de que que los valores iniciales son exactos, exactos, eemáx máx Este resultado resultado se sustituye por el término término eemáx de la tercera desigualdad, con lo que Este sustituye por (2) tercera desigualdad, que máx (3) :::; :::;Zmáx (1) + Zmáx (2) emáx Zmáx (O) + Zmáx Zmáx (1) Zmáx (2) máx (3) (m); por tanto Este procedimiento procedimiento se repite repite hasta hasta emáx Este máx (m); por tanto emáx e máx

:::;m (m-1) (m) :::; m Zmáx Zmáx (m-1)

Se tiene tiene )) :::;ttmáx emáx máx (m :::; máx

[

M Ax2 I1t & 2 UI/-12 V U nxx + 22 VI/-U xxxx

2

4

O [(~t) O [ (&) (Ax)]] O [(l1t) ] + O

recordando que tmáx = ~t y la ecuación ecuación 8.41. 8.41. De esta desigualdad desigualdad se deduce deduce que que eemáx (m) recordando que De esta (m) máx = m I1t máx tiende cero si & Ax y ~t cero; y ya que que esta esta deducción deducción se desarrolló desarrolló para :::; tiende a cero I1t tienden tienden a cero; para O < AA :::; 0.5, la conclusión conclusión sólo sólo será será válida estos valores ello, se constituye constituye como como una 0.5, válida para para estos valores de A; por por ello, una condición suficiente suficiente para convergencia -pero -pero no necesariaque ésta ésta puede ocurrir condición para convergencia necesaria- ya que puede ocurrir por otras otras razones. por razones. ESTABILIDAD ESTABILIDAD

El concepto de estabilidad estabilidad se refiere ecuación de diferencias diferencias particuEl concepto refiere a la propiedad propiedad de una una ecuación particu(base de un algoritmo), algoritmo), y significa significa que que cuando cuando ~t->O, error introducido introducido por cualquier lar (base I1t-->O, el error por cualquier motivo (condiciones iniciales, iniciales, frontera, frontera, redondeo, etc.) está está acotado. acotado. Lo anterior anterior no signisignimotivo (condiciones redondeo, etc.) fica que que la desviación desviación entre entre la solución solución verdadera cierta ecuación ecuación diferencial diferencial parcial fica verdadera de cierta parcial y aproximación con con una ecuación de diferencias diferencias sea sea pequeña, que esto esto está está determidetermisu aproximación una ecuación pequeña, ya ya que nado por por el concepto nado concepto de consistencia. consistencia. CONSISTENCIA CONSISTENCIA

y

dice que que una ecuación de diferencias diferencias tiene consistencia cuando cuando solamente solamente aproxima aproxima Se dice una ecuación tiene consistencia ecuación diferencial diferencial parcial que representa. esta propiedad cumplirse en la ecuación parcial que representa. Aunque Aunque esta propiedad parece parece cumplirse todos casos, no es así para algunos esquemas esquemas iterativos; iterativos; por ejemplo, el algoritmo algoritmo exextodos los casos, para algunos por ejemplo, plícito de Dufort-Frankel Dufort-Frankel no es consistente plícito consistente en ciertas ciertas circunstancias.* circunstancias: "Stability Conditions Conditions in the Numerical Treatment of Parabolic • Dufort, Dufort, E. C. y Frankel, Frankel, S.P. "Stability the Numerical Treatment of Parabolic Differential Differential EquiEquitions", Tables Aids Comput., 7, (195 (1953) 135- ¡52. tion s", Math Math Tables Aids Comput., 3) pp. pp. 135-152.

556


Métodos numéricos

,/ ~~

,/

". 1-1,)+ . 1

.

1+1,)+1

'o

'/

Figura 8.15 Nodas usados en el método de CrankNicholson.

/1' .

. 1 i,)+

'i-l,)

'r'- 1,) ..

0,2

1,2

2,2

3,2

4,2

0,1

'~ ,1

12,1

3,1

4,1

/1' i+l,)

'o~ -,

0,0

1,0

2,0

3,0

x

4,0

8.5 Método de Crank-Nicholson Además de los métodos vistos para resolver los PVF de las secciones 8.2 y 8.3, existen otros métodos de solución con diferencias. Entre éstos unos de los más importantes por su estabilidad incondicional y alto orden de convergencia" es el algoritmo de Crank-Nicholson. Este método consiste en combinar las aproximaciones de oT/o t con diferencias hacia delante apoyándose en la fila j y la aproximación con diferencias hacia atrás apoyándose en la fila l+ 1, con lo que se obtiene un algoritmo implícito. Por ejemplo, al aproximar oT/ot en el nodo (i, j) con .diferencias hacia delante y de o2T/ox2con diferencias centrales (véase Fig. 8.15) se obtiene: T¡,j+! -

ex T1- 1,J .

T¡,j

/).t

-

2T 1,J. + T1- !,J . /).x2

(8.47)

Al aproximar oT/ot en el nodo (i, Í+ 1) con diferencias hacia atrás y a o2T/ox2 con diferencias centrales (véase Fig. 8.15) se llega a T¡,j+!-

T¡,j

/).t

_

ex

T¡_!,j+!

- 2T¡,j+!

+

T¡+!,j+!

/).x2

(8.48)

Luego de sumar las ecuaciones 8.47 y 8.48 Y rearreglar resulta (8.49)

que es el algoritmo de Crank-Nicholson, Si este algoritmo (ecuación 8.49) se aplica a los nodos (1,0) y (1,1), o sea i = 1,j (véase Figura 8.15), se tiene

=O

, lsaacson, E. y Keller, H.B. Analysis of Numerical Methods, John Wiley and Sons, Nueva York, 1966 pp. 390, 392, 1082, 1088.

Ecuaciones Ecuaciones diferenciales diferenciales parciales parciales

2AA

,1 + T22,1 ]] TI ,o = TI,I,I - TI TI,o ="2 [To,o - 2T 2TI,0 To,1 - 2TII,1 I,o + T22,0 + TO,I

557

(8.50) (8.50)

donde los nodos nadas (0,0), (0,0), (l (1,0), (2,0) Y (0,1) (0,1) son conocidos conocidos a partir partir de las condiciones condiciones inicial donde ,0), (2,0) inicial frontera; ; en cambio, cambio, los nodos nadas (1,1) (1,1) y (2,1) (2,1) son incógnitas. incógnitas. Al rearreglar rearreglar la ecuación ecuación y de frontera queda 8.50 queda A) TI TI,I,I (1 + A)

~~

TI,o T22,1 = (1 - A) A) T I,o +

~~

[To,o + TO,I To,1 + T22,0] [To,o

(8.51 )

Al aplicar aplicar el mismo mismo algoritmo algoritmo (Ec. 8.49) 8.49) a los nadas (2,0) y (2,1); (2,1); es decir, 2,jj = O, se nodos (2,0) decir, i = 2, tiene tiene (8.52) (8.52) donde las incógnitas TI,!' nadas están donde incógnitas son TI ,!' T22,1 YY T33,,i' 1' ya que que los demás demás nodos están dados dados por por la concondición inicial. rearreglar resulta resulta dición inicial. Al rearreglar A A A A 1:.TII+(1+A)T211:.T - TIO+(1-A)T20+A_T30 T I 0 +(1-A)T20 + - T30 T +(1 + A)T2 1- - 3.'=1 = 1:. 2 T31 2' ' 2 II'. , 2 ' ,. 2

(8.53) (8.53)

Análogamente, al aplicar (3,0) y (3,1), =3,, j = O, Análogamente, aplicar la ecuación ecuación 8.49 8.49 a los los nadas nodos (3,0) (3 , 1), es es decir, decir, i =3 O, queda queda (8.54) (8.54) donde donde los nadas nodos desconocidos desconocidos son son solamente solamente (2,1) (2,1) y (3,1), (3,1), ya ya que que los los otros otros son son conocidos conocidos por por la condición condición inicial. inicial. La La ecuación ecuación 8.54 8.54 se rearregla rearregla y queda queda (8.55) (8.55) Las Las ecuaciones ecuaciones 8.51, 8.51 , 8.53 y 8.55 8.55 forman forman un sistema sistema cuya cuya solución solución es la temperatura temperatura Ten T en 'los (1,1), 'Ios nadas nodos (1 ,1), (2,1) (2,1) Yy (3,1); (3,1) ; o sea, sea,

AA

(1 T 1,1-(1 + A) A)T 2 1,1- -

A

T2,1

= (l - A ) TI,o + "2 [T 0,0+ To,I + T2,0]

A _1:. +(1+A)T _1:.A - -2T T 1,1 1,1 + (1 + A) T?2,1 _,1- -22

AA

[ TI1,0+ ,o + T 3,0] "2 [T 3,o ] + (1 - A ) T 2,0 2,o

2

Una de ecuaciones ecuaciones 8.56 8.56 se se puede puede seguir seguir el el mismo mismo procedimiento, procedimiento, Una vez vez resuelto resuelto el sistema sistema de pero pero aplicado aplicado ahora ahora en los los nadas nodos (1,1) (1 ,1) (1,2); (1 ,2); (2,1), (2,1), (2,2) (2,2) YY (3,1), (3,1), (3,2), (3,2), con con lo lo cual cual resulta resulta

A

(1 + A) TI ,2- -2

AA

= (1 (l - A ) TI T I,' I + -2 [ T 0,1 0,2 T 2,1 2 [To ' I + T 02 , + T2 ,I ]

T2,2

A

- - TI2 + (1 + A) T?22' ~

AA

A

2

T 3,2

T 2,2 + (1 + A A)) TT3,2 2 T2,2 3,2

2

AA [TI 1+ T33,1] 1 ] + (1-A)T (1 - A) [TI,I 2,1T 2,1 2 "

-2

2A2A

[T [T22,1,1 ++ TT44,1,1++ TT44,2,2 ]] + (l (1 - A) A) T33,1 ,1

558

Métodos numéricos


cuya solución proporciona las temperaturas de los nodos interiores de la segunda fila; o sea, t = 2tlt. Este procedimiento se repite un número m de veces, hasta obtener las temperaturas en ciertos puntos de la barra a lo largo del tiempo, hasta un tmáx = m/st. Si en lugar de dividir la barra en cuatro subintervalos se dividiera en n subintervalos, se tendrían n-1 nodos interiores, a los que al aplicarse la ecuación 8.49 como en el caso anterior (cuatro subintervalos) se generaría un sistema de n-l ecuaciones con n-1 incógnitas: TI,i' T2,i' T3,i"" , Tn_I,1 (para la primera fila); o sea (l+'A)T

-1,1

!::...

T

2

'A 2

+ (l + 'A) T

'A

'A 2

,1 _ 2

1,1

"2

[TI,o + T3,O] + (1 - 'A) T2,o

(8.57) 'A 2' Tn_ 'A

"2

3 1

Tn_1,1

2

= ~

+ Tn_l,o

[Tn-3,o

] +

(l - 'A) Tn-2,o

Tn_2,1 + (l + 'A)T n-I,I

(l + 'A) TI )'+1-

,

'A 2'

-T2

=(l-'A)TI+

)'+1

1 . 1 + (1 + 'A) T2 ).+1- ,)+

,

"2

!::...T 2,j+1 -

n_

2

'A

,)

-[To+To' 2 ,)

'A

'A 2' T3 )'+1

'A

2 T,,_3,j+1 + (1 + 'A) T

n-l,j+1

'A

- 2 Tn_2,j

Ej

se aplica en las filas j y l+ 1 para tener

Este procedimiento

~T 2

'A

+ (l + 'A)Tn_. 21,

[TI,j

+ T3,j]

+ (1 - 'A) T2,j

'A

2

[T,,_3,j

,) + 1 +T2·],)

+ TII_I,j]

+ (1 - 'A) T,,_2,j

'A

2 [Tn_2,j

+1 + (1 + 'A) Tn_l,j +1

+ Tn,j + TII,j+¡] + (1 - 'A)TI1_I,j

que en notación matricial queda A t (j+I) = B t (j) + e donde: 'A

(1 + 'A)

2

'A

(1 + 'A)

-2: A=

O

O

'A

2

O

O 'A

(1 + 'A)

2

O

O t(j+I) = [T

. 1,) +1

'A

2

'A

2 (1 + 'A)

Ecuaciones

(1-

O

A

A)

2

A

O

A

(1 - A)

2

2

O

O

B=

A

(1 - A)

A

2

2

=

A

O

O tUl

559


[T],j

T2,j

T3,j

(1-

A)

2

... Tn_',jF

y

_

e- [

Ejemplo 8.3

A

"2

O ... O

(TO,j+ TO,j+1)

A

"2

T

(T",j + TIl,j+])]

Resuelva el siguiente problema por el método de Crank-Nicholson

ar

dT2

dt

dx

-=a-- 2 PVF

T (x, O) = 20°F

L

T (O, t)

= 100°F

T (L, t)

= 100°F

a = 1 pie- / hr L = 1 pie tmáx = 1 hr

Solución

Al dividir la longitud de la barra en cuatro subintervalos (véase Fig. 8.15), el primer sistema de ecuaciones por resolver, ya sustituidos los datos, es

l

1.16

-0.08 0.00

-0.08 1.16 -0.08

2 [31. 20

O.OOl [T]'T2,1 1l

l

-0.08

1.16

T3,1

31.2

Este sistema se resuelve por alguno de los métodos del capítulo 3 y se obtiene

TI,1

T2,]

= 28.36

T3,1 = 28.36

= 21.15

temperaturas que corresponden a un tiempo t = 0.01 horas. Para calcular las temperaturas de la segunda línea se conserva la matriz coeficiente y sólo se varía el vector de términos independientes; o sea

l

1.16

-0.08 0.00

-0.08 1.16 -0.08

O.OOl [T]'T22,2l -0.08 1.16 T3,2

=

5144 [41. 22.3036

l

41.5144

560

Métodos numéricos


El sistema se resuelve para obtener T1,2

=

37.47

T2,2

=

24.40

T3,2

=

37.47

temperaturas que corresponden a un tiempo t = 0.02 horas. Al continuar este procedimiento con el PROGRAMA 8.3 del CD se obtienen los resultados de la tabla 8.4. Tabla 8.4

Resultados de la solución del ejemplo 8.2. Se usó t = 0.01 constante y sólo se muestran algunos de los resultados.

x pies

t (horas) 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

PA PA PA

0.0

0.25

0.5

0.75

1.0

60 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100

20.00 28.36 37.47

20.00 21.15 24.40

20.00 28.36 37.47

44.61 50.45

28.99 34.10 39.29 44.32 49.07 53.50 57.59 61.44

44.61 50.45

60 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100

55.38 59.67 63.44 66.81 69.83 72.56 89.28 98.36 99.75 99.96 99.99

84.84 97.68 99.64 99.95 99.99

55.38 59.67 63.44 66.81 69.83 72.56 89.28 98.36 99.75 99.96 99.99

PA:

PA~

8.

Los resultados obtenidos con el método de Crank-Nicholson son en general un promedio de los resultados de los métodos explícito e implícito; esto puede explicarse con base en que el método de Crank-Nicholson combina ambos.

Enseguida se presenta un algoritmo para este método

¡

j

ALGORITMO

¡\/$¡

m.

I1

I

,Si

~o/"o/@fif""iFff~~$?""""W1"'1

8.3 Método de Crank-Nicholson

,

Para aproximar la solución al

a2T

EDP a --

ax

PVF

Cl CFl CF2

proporcionar

las funciones Cl(X), CF1(T) y CF2(T) y los

aT

=-

2

at

T (x, O) =f(x), T (O,t) = gl (t) T (xp t) = g2 (t)

t»O

F N

e de

.---------------------------------..~=Ecuaciones

DATOS:

RESULTADOS: PASO l. PASO 2. PASO 3.

PASO 8.

PASO 9.

diferenciales

parciales

561

El número NX de puntos de la malla en el eje x, el número NT de puntos de la malla en el eje t, la longitud total XF a considerar del eje x, el tiempo máximo TF por considerar y el coeficiente ALFA de la derivada de segundo orden. Los valores de la variable dependiente T a lo largo del eje x a distintos tiempos t: T

Realizar los paso 1 a 10 del algoritmo 8.1 Hacer 1 = 1 Mientras 1:::; NX -2, repetir los pasos 4 a 7. PASO 4. Hacer A(I) = LAMBDA PASO 5. Hacer B(I) = -2 -2*LAMBDA PASO 6. Hacer CCI) = LAMBDA PASO 7. Hacer 1 = 1 +1 Realizar los pasos 8 a 24 del algoritmo 8.2 con los siguientes cambios: En el paso 15 hacer 0(1) = -LAMBDA*T(I) - (2-2*LAMBDAY'T(I+l)-LAMBDA*T(I+2) En el paso 17 hacer 0(1) = 0(1) - LAMBDA*T(I) En el paso 18 hacer D(NX-2) = D(NX-2)-LAMBDA*T(NX) TERMINAR.

8.6 Otros métodos para resolver el problema de conducción de calor unidimensional MÉTODO

DE RICHARDSON

Este método usa diferencias divididas centrales para aproximar dT/dt en la ecuación de conducción. De acuerdo con la malla de la figura 8.16 se tiene T¡,j+l

ex TI1- ,} .-2T. l,} + Ti+l,}'

-T¡,j_1

(8.58)

f1x2

2f1t

Hay que observar que si se conocen las dos primera filas (la primera podría ser la condición inicial y la segunda se calcula por alguno de los métodos de las secciones anteriores), el método resulta explícito en el nodo (i, j + 1); o sea,

o n

T.l,}+

1

= 2A [T l-,}1

. -

2T l,}.. + TI·] H,}

+ T t.L>.

(8.59)

1

con lo que pueden calcularse la tercera, cuarta, etc., filas.

t = 21::1t

i, )+1

t = I::1t,\

1\ 1 . 1-

Figura 8.16 Nodos usados en el método de Richardson.

f

«l

\ /

i, )

i +1,)

=O

x=O

i,)-l

x=L

x

562

Métodos numéricos


.

» '"

+

(i,j Figura 8.17 Nodos usados en el método de DufortFrankel.

t

= 2M

t

= I1t

1)

(i, j)

t= O

x -- O

MÉTODO

/'

x-L

x

DE DUFORT-FRANKEL

Young y Gregory" demuestran que el método de Richardson es poco satisfactorio, ya que presenta considerables problemas de estabilidad; si embargo, sustituyendo T¡,j con (T¡,j+l + T¡,j_I)/2 en la ecuación 8.58 se obtiene el método de Dufort-Frankel con mejores propiedades de estabilidad. T¡,j+l

-

T¡,j_l

_

a Ti_l,j -

T¡,j_l

2l1t

-

T¡,j+1 + T¡+l,j

f1x2

Como el metódo de Richardson, si se conocen dos filas el algoritmo resulta explícito para el cálculo de las temperaturas de la siguiente fila; es decir, 2A 1-2A T¡,j+l = 1 + 2 A [Ti_l,j + Ti+l,j] + ( 1 + 2 A) T¡,j_1

Ejemplo 8.4

Solución

resuelva el ejemplo 8.3 con los mismos valores

Mediante el método de Dufort-Frankel, para f1x, Si Y a.

La primera fila está dada por las condiciones iniciales y para la segunda fila (t tomarán los resultados obtenidos con el método implícito (véase la tabla 8.3). Se aplica la ecuación 8.60 para conocer T¡,j+1 = TI,2 Y se obtiene: 2A TI 2 = --, 1+2A

(8.60)

[ T o I + T2 1] + (

'

,

1-2A 1+2A

) T 1'0 '

=

0,01) se

(8.60)

Al sustituir los valores A = 0.16, TO,1= 100, T 2,1= 22.43 Y T 1,0= 20 se tiene T

= 2(0.16) [100 + 22.43 ] + 1- 2(0.16) [20] = 39.98 1,2 1 + 2(0.16) 1 + 2(0.16)

• Young, D.M. y Gregory, R.T. A Survey of Numercial Mathematics. 1086.

Vol. II Addison Wesley (1973); pp. 1084-

s

Ecuaciones

Con el cálculo del siguiente punto T¡,j+l

= T2,2

diferenciales

,

563

queda

211,

T22

parciales

1-211,

= --1+211,

[Tll

'

+ T3

,

1]

+(

) T2,0

1+211,

y al sustituir valores se obtiene T22 = 24.84 El algoritmo se aplica en la rcisma forma para las filas siguientes. Los resultados se presentan en la tabla 8.5. Tabla 8.5 Resultados del ejemplo 8.3.

t

ue j+l

ie-

x pies (h)

0.00 0.01 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

0.0

0.25

0.5

0.75

1.00

60 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100

20.00 29.99 39.98 52.34 61.22 68.14 73.72 89.85 98.48 99.77 99.97 99.99

20.00 22.43 24.84 34.96 45.29 54.46 62.25 85.38 97.81 99.67 99.95 99.99

20.00 29.99 39.98 52.34 61.22 68.14 73.72 89.85 98.48 99.97 99.97 99.99

60 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100

8.7 Solución de la ecuación de onda unidimensional Se puede aproximar la ecuación de onda unidimensional obtenida en la sección 8.1 con ecuaciones de diferencias. Sea entonces el problema de valores a la frontera a resolver

se

60)

EDP:

(,l2y = c2 a2y

en. y

(x, O) =f(x),

at2

C12: -ay

I

ax2 O
= g (x),

O
CFl: y (O, t)

= O,

t»O

CF2: y (L, t)

= O,

t»O

at

(x, O)

donde la posición original de la cuerda está dada por CI 1 (condición inicial 1), y la velocidad inicial que se le imprime a la cuerda por CI2 (ay/at = O en el caso de que la cuerda simplemente se suelte). Para obtener un método de diferencias finitas que resuelva el PVF anterior, empezaremos construyendo una malla en el dominio de interés O < x < L, O < t < tmax * en n y m

• tmo., es una cota supenor para el tiempo que se usará para detener los cálculos.

564

Métodos numéricos


Y¡,j+1

tj tj_1

1-----+----1

-a-

1-----:. +-----1

Y¡.j-I

b..,

Figura 8.18 Representación de algunos nadas de la malla para la cuerda vibrante.

Yn-I,2

YI,2 YO,I

O

YI,I

)'n-I,I

1'11-2,1

Y2,1 X.

X¡_I

YI,O

X¡+I

1

Yn,1

L

Yn-I,O

x

subintervalos de tamaño a = tU: = L I n y b = /';,t = tmax I m, respectivamente, como se muestra en la figura 8.18. Dado que la EDP se cumple en todo el dominio, también es cierta para el nodo (x, t), esto es: 2

él y élr2

I

=

2 él y élx2

e2

t)

(x¡,

I

t)

(x¡,

Usando diferencias centrales para las derivadas parciales, se tiene: Y¡,j-I

- 2Y¡,j

=

+ Y¡.j+1

+

Y¡_I, j - 2y¡, j

e2

b2

Y¡+ 1, j

a2

Se ha remplazado y (x¡, t) con Y¡,j para simplificar la notación. Los nadas marcados con punto negro (-) en la figura 8.18 son los nadas usados para aproximar él2ylélt2, y los marcados con cruz (X) se emplean a fin de aproximar él2ylélx2. Si se hace ahora A = be I a, se puede escribir la última ecuación como y1, r: .1

Despejando

Y¡, j + 1

2y 1,.. ]

-

+ y 1,..j+ 1

= A2y

1-

2A2y

1 . ,j

1, ]

.

Fj 1

+

1+ , ]

.

(el punto en el tiempo más avanzado) y 1, t+ . 1

=

2(1 -

A2)y

1, ]

. + A2(y

1

1+ ,

J

+ Y 1- 1 ,j )

y 1, r: . 1

-

(8.61)

En la frontera izquierda y derecha (los extremos de la cuerda), a cualquier tiempo se tiene: Yo ,j . = Y 11, ] . = O, para cadaj = 1,2, ... , m dadas por las condiciones de frontera CF1 y CF2. Por otro lado, la condición inicial Cl l permite tener Y¡, = f (x), para cada i = 1, 2, 3, ... , n-l. Para concretar, consideremos el nodo (i, j) = (1, 1) donde la ecuación 8.61 queda

°

YI,2

=

2(1 -

2 A )YI,1

+ A2

(Y2,1

+ Yo)

- Yl,O

donde, como se dijo antes YO,I = O, YI,O = f(xl) y se desconoce Yl,1' Y2,1' Y obviamente A fin de reunir más ecuaciones apliquemos 8.61 al nodo (i, j)= (2,1), de donde

h

2

= 2(1 - A2)Y2,1 + A2 (Y3,1 + YI,l)

-

ho

YI,2'

Ecuaciones


565

que adiciona dos incógnitas más. Continuando de esta manera se tendría una última ecuación para el nodo (i, j) = (n-l, 1) Yn-l,2

= 2(1

-

J,})Yn_l,1

+ 'A}

+ Yn-2,1)

(Y1l,1

- Yn-l.O

donde YIl-I,O = f (xll_I) y YI1,1= O Agrupando las ecuaciones anteriores y recurriendo a la notación matricial se tiene A,2

O

2(1-A2)

A2

2(1-A2)

YI,2

A2

Y2,2

O

YI,J

YI,O

Y2,1

ho (8.62)

A2 2(1-A2)

YIl-2,2

O

Yn-I,2

O

A2

A2 2(1-A2)

YIl-2,1

YIl-2,0

Yn-I,l

Y,,-I,O

El vector [YI,O' Y2,0'" Y,,-2,0 Y,,-I,OY está dado por la condición inicial cn, de modo que para obtener el lado izquierdo de 8.62 se requiere una aproximación del vector [YI l' Y2 I ... es-

Y,,-2 [>

,

Y,,-l IYque se puede obtener de la condición inicial CI2:

,

(x,

consiste en sustituir a (.1, O) ,

ay I at -

(i,0)

ay I at

",'

Y¡l-Y¡O

ay/at por una aproximación ,

. 1

para

=g

(x). U~ mét~do'

O)

en diferencias hacia delante en el nodo

= 12, ,... , n- 1

b

Despejando Y¡,lY sustituyendo

ay I at

por g(x) se llega a la aproximación buscada

(i.0)

Y¡,l'" Y¡,O + bg(x)

ara 2

para i

(8.63)

Una vez obtenida esta aproximación se puede obtener el lado izquierdo de la ecuación 8.62 operando matricialmente en el lado derecho"; los resultados proporcionan el desplazamiento en ciertos puntos de la cuerda al tiempo t2. Para obtener el desplazamiento de los puntos mencionados al tiempo t3 simplemente tendría que operarse matricialmente en el lado derecho de la ecuación Yl,3

2(1-A2)

A2

O

Y2,3

A2

2(1-A2)

A2

.61) tiely 1,2,

= 1,2, ... , n-1

A2

YI1-2,3

YI1-I,3

O

O

O

2(l-A2)

YI,2

YI,I

Y2,2

Y2,1

YIl-2,2

Y,,-2,1

Yn-I,2

YIl-I,1

A,2

A2 2(1-A2)

y así sucesivamente hasta obtener los desplazamientos en tiempo tmax' Al igual que como se vio en el método explícito (sección 8.4) hay condiciones de convergencia que se pueden establecer mediante el parámetro A. Para el caso que nos ocupa conviene observar que se cumpla O < A « 1. 1,2'

* En el problema 8.19 se da otro método de aproximación, que utiliza diferencias centrales. " Nótese que no se trata de resolver un sistema de ecuaciones lineales.

566 566


I.

,

IE¡emPlo8~ Ejemplo 8.5

Resolver el Resolver

sen (n:x), (nx), Cl l: y (x, (x, O) O) = sen cn:

PVF

dy CI2: -dy dt dt

II

O
= 2n: 2n: sen (2n:x) (2n:x) O
(x, O) (x,

CFl: Y Y (O, t) = = O, O, CFl:

t> O O t>

= O, O, =

t> O O t>

CF2: y (1, t) CF2:

Nótese que para para simplificar simplificar se ha adimensionado adimensionado con con lo que que c22 = 1 Y L L= L l. Considere Considere Nótese que tmax = = l. max

Solución

divide la longitud longitud de la cuerda cuerda en 10 subintervalos, subintervalos, esto esto es a = 0.1 Y el tiempo tiempo máximo máximo Se divide subintervalos, con con lo que que b = 0.01 Y Po = be/a be/a = 0.01(1)/0.1=0.1 0.01(1)/0.1=0.1 en 100 subintervalos, La posición inicial de la cuerda cuerda Yi,O' Yi,O' i = 1,2, 1,2, ... ... ,9 ,9 dada dada por por cn es: La posición inicial

x

0.1

0.2 0.2

0.3

0.4 0.4

sentrtx) sen(n.x)

0.309017 0.309017

0.587785 0.587785

0.809017 0.809017

0.951057 0.951057

0.5

0.6

1.000000 0.951057 0.951057 1.000000

0.7

0.8

0.9

0.809017 0.809017

0.587785 0.587785

0.309017 0.309017

inicial dy/dt dy/dt = g(x¡), g(x¡), ii = 1, 1, 2, ... ... , 9 que que se le imprime imprime a la cuerda cuerda dada dada por por y la velocidad velocidad inicial CI2 en tales tales puntos puntos es: CI2 x

0.2 0.2

0.1

sen(nx) 3.693164 3.693164 2n sen(nx)

0.3

0.4 0.4

5.975664 5.975664 5.975664 3.693164 3.693164 5.975664

0.5 0.000

0.6

0.7

0.8

0.9

-3.693164 -5.975664 -5.975664 --5.975664 -3.693164 5.975664 --3.693164 3.693164

gráfica de la figura figura 8.19 se representa representa la cn por por la curva curva y la CI2 CI2 por flechas, En la gráfica por las flechas, cuya longitud proporcional a la magnitud magnitud de la velocidad. velocidad. cuya longitud es proporcional y

2~--,,---,----,----,----,----.---,----.----.----,

2~---,----,----.----,----,----.----,----.---~----,

1.5 1.5

0.5 0.5

Figura 8.19 8.19 Figura Representación Representación gráfica de las las gráfica condiciones condiciones iniciales del problema. problema.

O o

. .l. .-_

-0.5 '---__--"--__--"____...l...-_ _----'-_ _ _ _L -_ _- - ' -_ _- - "_ _ _ _-'---_ _----'._ _ _ _ _0.5L----L----L----L----L----L----L----L----L---~----~~ 0.4 1 x 0.5 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 O O

Ecuaciones

Al aproximar el vector

idere

imo

17

a por

164

[Yl,!'

Y2,l

...

Yn-2,l

YIl-l,lV


567

con la ecuación 8.63

Yl,l

Yl,O

g(xl)

0.309017

3.693164

0.345949

Y2,l

Y2,O

g(x2)

0.587785

5.975664

0.647542

Y3,l

Y3,O

g(x3)

0.809017

5.975664

0.868774

Y4,l

Y4,O

g(x4)

0.951057

3.693164

0.987988

YS,l

Ys,o

g(xs)

1.000000

0.000000

1.000000

Y6,l

Y6,O

g(x6)

0.951057

-3.693164

0.914125

Y7,l

Y7,O

g(x7)

0.809017

-5.975664

0.749260

YS,l

Yg,O

g(xg)

0.587785

-5.975664

0.528029

Y9,l

Y9,O

g(x9)

0.309017

-3.693164

0.272085

+b

+ 0.01

Con esto se tiene Yl,2

1.98 0.01

Y2,2

0.01

Y3,2

O

0.01

Y4,2

O

O

0.01

YS,2

O

O

O

0.01

Y6,2

O

O

O

O

0.01

Y7,2

O

O

O

O

O

0.01

YS,2

O

O

O

O

O

O

0.01

O

O

O

O

O

O

Y9,2

O

1.98 0.01

O

O

O

O

O

O

0.345949

0.309017

O

O

O

O

O

O

0.647542

0.587785

O

O

O

O

O

0.868774

0.809017

O

O

O

O

0.987988

0.951057

O

O

O

1.000000

l.000000

O

O

0.914125

0.951057

O

0.749260

0.809017

1.98 0.01

0.528029

0.587785

1.98

0.272085

0.309017

1.98 0.01

1.98 0.01

1.98 0.01

1.98 0.01

chas, de donde

Yl,2

0.382437

Y2,2

0.706495

Y3,2

0.927511

Y4,2

1.023847.

YS,2

0.999021

Y6,2

0.876403

Y7,2

0.688939

YS,2

0.467926

Y9,2

0.234992

cuya gráfica se muestra en la figura 8.20.

1.98 0.01

0.01

568

Métodos numéricos


y 1.2 -,-------------------------,

-+-

t=O.OO

0.8 _t=O.OI --k- t=0.02

0.6

~t=0.03 0.4 Figura 8.20

Posición de la cuerda a t= 0.00, t= 0.01, t= 0.02 Y t = 0.03.

0.2

O O

0.4

0.2

0.6

1 x

0.8

El cálculo para el tiempo t = 0.03 se obtiene de realizar las operaciones que se indican enseguida

Yl,3

1.98 0.01

Y2,3

0.01

Y3,3

O

0.01

Y4,3

O

O

0.01

YS,3

O

O

O

0.01

Y6,3

O

O

O

O

0.01

Y7,3

O

O

O

O

O

0.01

Y8,3

O

O

O

O

O

O

0.01

Y9,3

O

O

O

O

O

O

O

O

1.98 0.01

O

O

O

O

O

O

0.382437

10.345949

O

O

O

O

O

O

0.706495

0.647542

O

O

O

O

O

0.927511

0.868774

O

O

O

O

1.023847

0.987988

O

O

O

0.999021

1.000000

O

O

0.876403

0.914125

O

0.688939

0.749260

1.98 0.01

0.467926

0.528029

1.98

0.234992

0.272085

1.98 0.01

1.98 0.01

1.98 0.01

1.98 0.01

1.98 0.01

0.01

cuyo resultado es [0.418342 0.764418 0.985001 1.058494 0.997064 0.838033 0.628283 0.407704 O.l97878jT, cuya gráfica se muestra en la figura 8.20 Este procedimiento se repite para obtener la posición de la cuerda a tiempo t = 0,03, 0,04, ... , tmax. De las posiciones obtenidas para los 100 tiempos, en la tabla 8.6 se muestran sólo algunos para facilitar su presentación. En el CD se encuentra el PROGRAMA 8.4 en Visual Basic que permite observar el movimiento de la cuerda en modo rápido y en modo cámara lenta a fin de que el lector pueda analizar este fenómeno que ha desempeñado un papel importantisimo en el desarrollo de la ciencia y la tecnología.

8.1

Ecuaciones

diferenciales

569

parciales

Tabla 8.6 Algunos resultados del ejemplo 8.5.

x

t 0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0.00 0.000

0.309

0.588

0.809

0.951

1.000

0.951

0.809

0.588

0.309

0.000

0.01 0.000

0.346

0.648

0.869

0.988

1.000 0.914

0.749

0.528

0.272

0.000

0.02 0.000

0.382

0.706

0.928

1.024

0.999

0.876

0.689

0.468

0.235

0.000

0.03 0.000

0.418

0.764

0.985

1.058

0.997

0.838

0.628

0.408

0.198

0.000

0.10 0.000

0.642

1.123

1.334

1.256

0.956

0.563

0.213

0.001 -0.051

0.000

0.30 0.000

0.760

1.283

1.417

1.148 0.604 -0.000 -0.440 -0.574 -0.387

0.000

0.50 0.000

0.037

0.062

0.067

0.051

0.022 -0.009 -0.031 -0.036 -0.024

0.000

0.437

0.563

0.379

0.000

0.90 0.000 --0.685 -1.192 -1.400 -1.291 -0.942 --0.502 -0.125

0.084

0.103

0.000

1.00 0.000 -0.370 -0.686 -0.907 -1.012 -1.000 -0.890 -0.710 -0.489 -0.248

0.000

0.0

0.70 0.000 -0.729 -1.230 -1.356 -1.094 -0.568

Las gráficas correspondientes

0.014

a estos tiempos se dan en la figura 8.21

y 1.5.,.----------------------,

_1=0.01

0.5

-.-

1=0.02

~

t=t=

---*_____

1 =0.10 1 = 0.30

___ 1=0.60

o

-1=0.70 -1=0.90 -0.5

Figura 8.21 Gráfica de las posiciones de la cuerda a diferentes tiempos.

---+--

1 = 1.00

-1

-1.5

x

o

0.2

0.4

0.6

0.8

8.8 Tipos de condiciones frontera en procesos físicos y tratamientos de condiciones frontera irregulares Dependiendo de las características del proceso físico modelado y de las circunstancias que rodean al proceso de estudio, se tendrán en general tres tipos de condiciones frontera en un PVF.

570

aplicados la ingeniería ingeniería Métodos numéricos Mét odos n u mé ri cos ap licados a a la

1. 1.

CONDICIONES DIRICHLET CONDICIONES DE DIRICHLET

estas condiciones Se dan estas condiciones cuando cuando la variable variable dependiente dependiente es conocida conocida en todos todos los puntos puntos frontera. Los Los ejemplos ejemplos de las secciones secciones anteriores anteriores tienen este tipo frontera. frontera. tienen este tipo de condiciones condiciones frontera.

2.

CONDICIONES NEUMANN CONDICIONES DE NEUMANN

Cuando se conoce conoce la derivada frontera, se dice Cuando derivada de la variable variable dependiente dependiente en los los puntos puntos frontera, dice que se tienen tienen las condiciones Por ejemplo, que condiciones de Neumann. Neumann. Por ejemplo, el problema problema de conducción conducción de cacabarra con este tipo, formulado así. lor de la barra con condiciones condiciones de este tipo, quedaría quedaría formulado 22

r

EDP: élT = EDP: =a ex élél T élX22 élt élx CI: Cl:

T (x, (x, O)

==f (x), (x), O O:::; s xx s:::; L

PVF CFl: dT == g, (t) CFl: dT II g l (t) dx x= O x =O t»O t> O CF2: dT = (t) CF2: dT II = g2 (t) dx x=L x =L Estas condiciones condiciones pueden físicamente, por térmicamente una Estas pueden obtenerse obtenerse físicamente, por ejemplo ejemplo aislando aislando térmicamente una frontera, ya que frontera, que en este este caso caso dT dT dx

II x=L x =L

--OO - ,

decir, no habría cambio de temperatura frontera. O bien frontera en es decir, habría cambio temperatura en la frontera. bien si se tiene tiene una una frontera contacto con con un fluido fluido (que (que puede ser aire), aire), la ley enfriamiento de Newton contacto puede ser ley de enfriamiento Newton proporcioproporcionaría esta esta condición condición naría dT dT dx

II

x=L x =L

= h (T - To), = T o),

donde h es el coeficiente fluido. coeficiente de transmisión transmisión de calor calor y To T o la temperatura temperatura del fluido. donde 3.

CONDICIONES COMBINADAS CONDICIONES COMBINADAS

Esta condición condición aparece aparece cuando anteriores. De Esta cuando se tiene tiene una una combinación combinación de las dos anteriores. De nuevo, nuevo, problema de conducción formulado con el problema conducción de calor calor en la la barra barra quedaría quedaría formulado con este este tipo tipo de concondiciones así diciones 22

(EDP: = a ( EDP: élT = ex élél T

élt élt

1

j

~ Cl: CI:

PVF

élx2 élx 2

T (x, (x, O)

==f (x), O O:::; s x s:::;L

CFl: dT dT II = g, CFl: = gl (t) dx x=O x =O CF2: T (L, t) llCF2: t)

= g2 (t)

u

t»O O t>


571

En los ejercicios con condiciones condiciones de Neumann Neumann ejercicios al final final de capítulo, capítulo, se resuelven resuelven problemas problemas con y combinadas. combinadas. FRONTERAS FRONTERAS IRREGULARES IRREGULARES

Según irTegulares; esto esto es, es, casos casos como como Según la geometría geometría del sistema, sistema, se pueden pueden tener tener fronteras fronteras irregulares; el de la figura figura 8.22. 8.22. Si se tienen, Dirichlet, los los valores valores de la vavatienen, por por ejemplo, ejemplo, las condiciones condiciones frontera frontera de Dirichlet, riable por tanto, aproximación de la variable variable deriable dependiente dependiente en e y D son conocidos; conocidos; por tanto, la aproximación pendiente hacerse con una interpolación. El caso caso más más simple simple es una una pendiente en el punto punto P puede puede hacerse una interpolación. interpolación interpolación lineal lineal entre entre los puntos puntos A y e o entre entre B y D. Para Para la interpolación interpolación entre entre los puntos puntos A yesería y e sería (8.64) (8.64) donde O < e < l. l. donde Para Para la interpolación interpolación entre entre los puntos puntos B y D. (8.65) (8.65) quisiera una una aproximación aproximación mayor mayor de T Tp' cabe promediar promediar los valores valores obtenidos obtenidos por por memeSi se quisiera ' cabe p ecuaciones 8.64 y 8.65, 8.65, o se cierra cierra la malla malla (con (con 10 dio de las ecuaciones lo que que se aumentan aumentan los cálculos) cálculos) alguna de las ecuaciones ecuaciones 8.64 8.64 u 8.65 o bien bien se toman y se usa alguna toman Te Te o TD TD como como aproximaaproximación de TP, según según la que que esté esté más más cerca. cerca. ción

Frontera Frontera G yy

Frontera G Frontera I I I

ay ay : I

I I I

IIP P

A •

A

e- - - :;;; - - - - - •• - - - - - - - _x

X

I I I

I I I I I I

Figura 8.22 8.22 Figura a) Malla sobre dominio con un dominio frontera frontera irregular. Ampliación b) Ampliación la región de la puntos con puntos frontera O D y C. C. frontera

I

a)

x

c~x e'»

572 572

la in ingeniería Métodos numéricos M étod os num é ri c os aaplicados p licados aa la gen iería

yy

G G

/

/

, , , , ,

p,,'

A

~ ¡- - - - ~ \,-)/ .s :

~- - - - - - - -

///

),;>"

,,

,, ," , ,

~y

I

F 1 / F,:" J /, I, , , ,/ I,

/

Frontera Frontera

,

E E I

B I

~x

Figura 8.23 8.23 Figura

x Cuando Cuando en los puntos puntos de la frontera frontera irregular irregular G (véase (véase Fig. Fig. 8.23) 8.23) se conoce conoce

oT sr II

oN G dN en vez vez de T, donde vector normal normal a la frontera prodonde N es el vector frontera (condiciones (condiciones de Neumann), Neumann), el problema de estimar estimar el valor valor de los puntos puntos cercanos cercanos a la frontera frontera se torna torna un poco poco más más difídifíblema Supóngase que que se tiene tiene una una rejilla rejilla como como en la figura figura 8.23. 8.23. Ya que que se conoce conoce cil. Supóngase

sr oT II

oN G dN este este valor valor se se puede puede igualar igualar según según

oT I oN G

oT

-T T P -T de donde donde T Tpp == dT II P FF, de FP oN G FP dN

(8.66) (8.66)

FP +TF +TF FP

Por Por construcción construcción de de la la malla malla FP FP = = t.!:!.. xx // cos cos

ee

(8.67) (8.67)

yy también también TE-T TE-T A A

t.y !:!..y

TF-T TF-AT A

--=-----'..:... - - - ,, de de

t.y !:!..y tg tg e e

donde donde TTFF == (TE (TE -- TT AA )) tg tg

ee++ TTA A

(8.68) (8.68)

Se Se sustituyen sustituyen las las ecuaciones ecuaciones 8.67 8.67 yy 8.68 8.68 en en la la ecuación ecuación 8.66 8.66 & !:!..x T Tpp=-= -cos cos

ee

ar oT II

dN oN

G G

(TE -- TTA) A) tg tg ++ (TE

ee++ TTAA

En En los los problemas problemas por por resolver resolver (al (al final final del del capítulo) capítulo) se se pide pide determinar determinar Tp Tp cuando cuando el el punpunto to FF cae cae entre entre los los puntos puntos EE yy BB (véase (véase Fig. Fig. 8.24). 8.24). Por Por último, último, sisi se se tienen tienen condiciones condiciones frontera frontera combinadas, combinadas, se se aplica aplica alguno alguno de de los los tratratamientos tamientos anteriores anteriores aa cada cada punto punto frontera, frontera, según según corresponda. conesponda.


573

I I

I

I I

I I

~ I I v i '

x

.:.

x ...:. ~--------~-----, ,

A

~ ------ --~- -- --I

I

I I I

,

,

I

I

I

I

Frontera Frontera irregular irregular

I I I I I

,,

I

I

I

Figura 8.24 8.24

8

I

1__

_.1 J _ _ _ _ __ _ 1 '

E B E 'F B /" I ~Y t 8 II t 8 Y co v


Confirme parciales Confirme que que las siguientes siguientes ecuaciones ecuaciones diferenciales diferenciales parciales (j2T (j2T a) --+--=0 (jx2 (jy2 b)

(j2U

(j2U

(jx2

(jt2

ecuación de Laplace ecuación Laplace

ecuación de onda onda ecuación

ecuación de difusión difusión ecuación elíptica, hiperbólica hiperbólica y parabólica, cualquier punto donde T y U esesson elíptica, parabólica, respectivamente, respectivamente, en cualquier punto donde definidas. tén definidas.

Solución Solución

función solución solución T es --en este casocaso- función función de x y y solamente; solamente; esto esto es, a) La función --en este

T

= T(x,y) T(x,y) =

identificar los coeficientes coeficientes A, B B Y Y C de la ecuación ecuación de Lapa1ce Lapalce con los del modelo modelo Al identificar general (Ec. 8.1), 8.1), se tiene tiene general B= =0, B 0,

A A== 1,

C C=l= 1

Hay que que observar observar que los tres coeficientes coeficientes son son constantes constantes y, por tanto, independientes independientes Hay por tanto, (x,y) donde donde se desee desee establecer establecer su clasificación. clasificación. Así Así pues, cualdel punto punto (x,y) pues, en un punto punto cualquiera (x,y) (x,y) donde donde T esté esté definida, definida, se ve que que quiera 022-4(1)(1)<0 0 -4(1)(1)<0 por que la ecuación ecuación es elíptica elíptica en todo todo el dominio dominio de definición definición de T. por lo que misma manera manera que que en (a), aunque aunque ahora ahora con con U como como función función de x y t, t, se tiene tiene b) De De la misma A= 1, A=

B =0, =0, B

C= =-1 C -1

cualquiera (x,t) (x,t) donde donde U esté esté defillida definida y para para un punto punto cualquiera (-1) 022 - 4 (1) (-1)

=4>O =

por que la ecuación ecuación de onda onda es hiperbólica hiperbólica en el punto dado. por lo que punto (x, t) dado.

574

Métodos icados a a la ingeniería Métodos numéricos numéricos apl aplicados ingeniería

e) En este donde U esté esté definida definida este caso caso para para un punto punto (x,t) donde A A== 1,

=0, B =0,

c=O C=O

y 022

~ 8.2 ~

== O

por difusión es parabólica parabólica en dicho dicho punto punto (x, t). por lo que la ecuación ecuación de difusión Una una concentración concentración uniforme uniforme de urea urea de 2 X X 10-4 gmol/cm''; gmol/cm3; Una loza loza de gel de agar agar contiene contiene una loza tiene tiene 3 cm de espesor espesor (véase (véase Fig. 8.25). 8.25). Determine concentración de urea urea en la parla loza Determine la concentración parte central después de 2, 4, 4, 6 Y 8 horas horas de inmersión inmersión en agua urea es soluble central de la loza loza después agua (la urea soluble en agua). agua).

Figura 8 . 25 8.25 Loza Loza de agar agar sumergida sumergida en agua agua..

Solución

4 (1) (1) (O)

-

Agua Agua

I;c~ I;c~II

El modelo establecer la concentración concentración está está dado dado por por modelo matemático matemático que que permite permite establecer oC ac

2 = = q) 02C

ot at

ac

ox22 ax

donde: donde: C es la concentración urea en la loza loza concentración de urea tiempo el tiempo

x la distancia distancia q)

la constante a en el fenómeno calor). constante de difusividad difusividad (equivalente (equivalente a ex fenómeno de conducción conducción de calor).

2X 10-4 gmol/cm'', gmol/cm3, que que es la condición condición inicial inicial (concentraPor Por el problema problema se sabe sabe que que C = = 2X (concentración ción inicial inicial de la urea urea en la loza). loza). Por otro otro lado, lado, se puede puede establecer Por establecer que que

cro, ceO,

t)

O O

en, cel, t)

O O

t >O O

lo cual cual físicamente físicamente significa significa que sumergirse la urea de la superficie superficie que al sumergirse la loza loza en el agua, agua, la urea disuelve de inmediato inmediato y la concentración se disuelve concentración de las caras caras (fronteras (fronteras de la la loza) loza) es cero cero cualcualquier tiempo tiempo después. después. quier

.... ...

--------------------------------------------------Ecuaciones

diferenciales

~

575

parciales

El problema de valores en la frontera queda formulado

r EDP: CI:

PVF 3.

2

dC = 2) d C dt dx2 C (x, O) = 2

CFl: C (O, t)

=O

CF2: C (1, t)

=

X

10-4, O:::;x:::; L t> O

, O

le Si se toma !lJ = 1.7 X 10-2 cm2/h y se aplica el PROGRAMA 8.3 del CD, se obtienen los resultados siguientes para x = 1.5 cm (el centro de la loza) transcurridas 2, 4, 6 Y 8 horas, con Llx = 0.3 Y !'!.t = 0.01. x (cm)

t (h)

~ ~

0.00

0.30

0.60

0.90

1.20

1.50

0.0

0.000100

0.000200

0.000200

0.000200

0.000200

0.000200

2.0

0.000000

0.000146

0.000191

0.000199

0.000200

0.000200

4.0

0.000000

0.000117

0.000176

0.000195

0.000199

0.000200

6.0

0.000000

0.000099

0.000162

0.000188

0.000197

0.000199

8.0

0.000000

0.000088

0.000149

0.000181

0.000194

0.000197

8.3

Calcule la distribución de temperatura T(x,t) en una barra cilíndrica de vidrio y aislada térmicamente excepto en el plano A (véase Fig. 8.26). Inicialmente la barra está a 20°C y en el instante cero se ajusta con el plano A una placa cuya temperatura es de 100°C y permanece constante durante el tiempo de estudio (tres horas). La barra es lo suficientemente delgada como para despreciar la distribución de temperatura radial y se sabe que para el material vidrio a = 1.23 X 10-3 m2/h.

Solución

Este problema es semejante al del ejemplo resuelto al inicio de la sección 8.3 con la diferencia de que un extremo está aislado, lo que modifica la condición frontera correspondiente. Un aislamiento térmico "ideal" significa que no hay flujo de calor en dirección alguna y matemáticamente se expresa

a-

~---------------------

1m --------------------~

A

~.[;:-} ~:.'.'~::-;:.:-~~:?.~ \j:t~.>~:: •.. :~.[::/

~:_'--~~::~;::;,\-:;-:-.~ ·~I;S::)<. "-.'.-::I

100 ¡C

ie

Figura 8.26 Barra cilíndrica de vidrio aislada.

576

Métodos numéricos


aT ax

I

x

=

=T=O 1

x

Por lo anterior, el problema de valor en la frontera con condiciones frontera combinadas queda formulado por aT

at PVF

<

T (x, O) = 20°C,

O:S:x
T (O, t) = 100°C I

T, (1, t)

t»O

=O

Con el empleo del método explícito y la selección de Llx = 0.25 Y Si = 0.1,

A = a Ót = 1.968 x 10-3 Llx2

· ·

·

o

...11

o

... 11

o

o o ......

11

(0,1)

(0,0) Figura 8.27

(1,1)

(1,0)

(2,1)

(2,0)

(3,1)

(4,1)

(3,0)

(4,0)

el T (x, O) = 20

la malla queda como se ilustra en la figura 8.27, y se tiene Para i = 1, j = O en la ecuación 8.27 TI,I = 0.001968(60) + (1-2(0.001968))20

+ 0.001968(20)

= 20.08

donde To,o se aproxima con la media aritmética de los valores límites de T(O, t) cuando t....•O y T(x, O) cuando x ....•O, que en este caso es la media de 100 y 20°C. Al aplicar el mismo algoritmo al nodo (2,1) se tiene T2,I = 0.001968(20) + (1-2(0.001968))20

+ 0.001968(20) = 20

de igual manera para el nodo (3,1) resulta T3,I = 0.001968(20) + (1-2(0.001968))20

+ 0.001968(20)

= 20

Ecuaciones

diferenciales

parciales

577

.

,

Hay que observar que la temperatura del nodo (4,0) es 20°C, ya que la condición inicial lo establece y esa frontera está aislada. Para el cálculo del nodo (4,1) se usa la condición frontera Tt = O Y su aproximación con diferencias hacia atrás como sigue T (1 t) = O "" x

T -T 4,1

'

Llx

3,1

parla que T 4; "" T 3 1 "" 20°C Con esteprocedimiento se calculan las temperaturas de los nadas de las filas superiores; aquí debe notarse que por la condición frontera T, = O, la temperatura en el extremo aislado de la barra será aproximadamente igual a la temperatura de la barra en un nodo anterior (x = 0.75). Los resultados de la tabla 8.5, obtenidos con el PROGRAMA 8.1 muestran lo anterior. Tabla 8.5

x

t (en horas)

8.4

Solución

0.00

0.250

(m)

0.500

0.75

1.00

0.0

60.000

20.00

20.000

20.000

20.000

0.1

100.000

20.079

20.000

20.000

20.000

0.2

100.000

20.236

20.000

20.000

20.000

0.4

100.000

20.548

20.00i

20.000

20.000

0.6

100.000

20.858

20.004

20.000

20.000

0.8

100.000

2U66

20.007

20.000

20.000

1.0

100.000

21.471

20.012

20.000

20.000

1.5

100.000

22.223

20.029

20.000

20.000

2.0

100.066

22.961

20.053

20.001

20.001

2.5

100.000

23.685

20.084

20.001

20.001

3.0

100.000

24.395

20.121

20.002

20.002

Encuentre la distribución de temperatura T(x,t) en una aleta delgada de cobre (véase Fig. 8.28), unida por la cara sombreada a un radiador cuya temperatura constante es 200°F. La función de la aleta es disipar calor por convención a la atmósfera, cuya temperatura es de 68 0F. Conside~e que la aleta está inicialmente a 68°F Y que el coeficiente de transmisión de calor h es 30 BTU/(h pie? °F). Al efectuar un balance de calor en un elemento diferencial de la aleta, de dimensiones Ax, 1 = 1 pie y a = 0.5 pie se tiene, de acuerdo con la ley de continuidad (Ec. 8.3) (A

sr

f:..xp Cp) -=-kA dt

sr I

dx

- (-k A dT

dx

x

/

I

x + Llx

) -2

Llx (ah) (T - 68)

578


1-

--.-

l = 1 pie

-.---

0.5 pulgada pulgada

a = 0.5 pie

'l

Figura Figura 8.28 8.28

donde donde el primer primer y segundo segundo términos términos del del lado lado derecho derecho se refieren refieren al calor calor que que entra entra y que que sale, sale, respectivamente, respectivamente, del elemento elemento diferencial diferencial por por las caras caras perpendiculares perpendiculares al eje eje x y de área área A = = 0.5(0.5)/12 0.5(0.5)/12 = = 0.020833 0.020833 pies pies-.2. En cambio, cambio, el tercer tercer término término se refiere refiere al calor calor que que sale incluyen las dos sale del elemento elemento diferencial diferencial hacia hacia la atmósfera; atmósfera; con con el factor factor 2 de éste éste se incluyen caras caras perpendiculares perpendiculares al eje y. Nótese Nótese que que se ha depreciado depreciado el calor calor que que sale sale por por las caras caras perpendiculares z, ya que perpendiculares al eje z, que la placa placa es muy muy delgada delgada y Q = = O. El lado lado izquierdo izquierdo de la ecuación ecuación representa representa la acumulación acumulación de calor calor en el elemento elemento diferencial ferencial considerado. considerado. Toda Toda la ecuación ecuación se divide divide entre entre Alu Alll pp C C,p y después después se hace hace que que L1x-+O, L1x-+O, con con lo cual cual aT _k_ aT = = _k _ pC at e,p

at

2 a a T __

ax2

2(ah)

(T ( T _ 68) 68 )

Cpp Ap Ap

2

de tal manera manera que que se obtiene obtiene el modelo modelo matemático matemático que que rige rige el fenómeno fenómeno descrito. descrito. Si a este este modelo modelo se unen unen las condiciones condiciones /

T T (x, O) = = 68°F 68°F que describen describen la temperatura temperatura en las las fronteras fronteras de la, la. aleta, aleta, se tiene tiene un problema problema de valores valores frontera. en la frontera. Las Las propiedades propiedades físicas físicas del cobre cobre requeridas requeridas para para resolver resolver la ecuación ecuación se listan listan enseenseguida. guida. = 223 BTU/(h BTU/(h ft2 °F/ft) °F/ft) k =

Cp == 0.09 0.09 BTU/lboF BTU/lbOF

P P = = 560 560 lb/ft lb/ft33 Para Para resolver resolver este este PVF PVF se ha utilizado utilizado el métodos métodos de Crank-Nicholson, Crank-Nicholson, para para lo cual cual se ha modificado el programa programa 8.3 a fin de incluir incluir el término término modificado 2 ah ~

ApCp p ApC

(T -68) - 68)

programa resultante resultante utiliza utiliza M = 0.001 h y la longitud longitud de la aleta aleta (1 pie) pie) se dividió dividió en El programa intervalos intervalos de 0.05 0.05 cada cada uno. uno.

Pro

Ecuaciones

diferenciales

579

parciales

En la tabla siguiente se presentan algunos de los resultados obtenidos

t

(pies)

(en hora)

ue de ue os as di-

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

0.000

134

68.00

68.00

68.00

68.00

68.00

0.001

200

71.28

68.05

68.00

68.00

68.00

0.002

200

81.30

68.42

68.01

68.00

68.00

0.004

200

102.00

71.56

68.20

68.01

68.00

0.006

200

113.86

77.05

68.99

68.07

68.00

0.008

200

121.43

82.53

70.52

68.28

68.00

0.010

200

126.66

87.31

72.48

68.71

68.00

0.015

200

134.51

96.16

77.62

70.51

68.00

0.020

200

138.76

101.85

81.95

72.57

68.00

0.040

200

144.85

111.07

90.42

77.43

68.00

0.060

200

146.16

113.17

92.50

78.71

68.00

0.080

200

146.46

113.66

93.00

79.02

68.00

0.100

200

146.53

113.78

93.11

79.09

68.00

Problemas

al 8.1

Clasifique las siguientes ecuaciones diferenciales parciales (consúltese a) sen x -

»«

d x2

c)2u =O dy2

+ y2

al) en O < x <

1t,

a2) en x = O, a3) en

res b) y

se-

»«

-

dx2

d2u ) cy-+" d x2 d)

<

X

< 21t;

- x

2""+Y

< Y <

00

-00

< y

<

00

-00

< Y <

00

2Pu

~ dx

+ dy2 2 --d u dxdy

+

8.2

=0

+y ~ dy

d2u

e2y -

dy2

=0

2 2 d u + (l + y2) d u = O 2 dx dy2

d2u d2u du e) sen 2y -e2x + 3 2 dx dy2 dx

ha

en

1t

-00

- 5u

=O

d2u

d2u +y =0 dy2

¿En qué regiones la ecuación dx2

es hiperbólica, elíptica y parabólica? (consúltese ejercicio 8.1).

el ejercicio 8.1).

580

Métodos

8.3

8.4

numéricos

aplicados

Obtenga las ecuaciones (8.18) a (8.22) a partir de la expansión en serie de Taylor de T(z.r), alrededor del punto (Xi' 9, aplic~do los mismos razonamientos que condujeron a las ecuaciones (8.12) y (8.14) a (8.16). Exprese las siguientes ecuaciones diferenciales en términos de diferencias finitas d2y a) -

-y

dx2

dy -

con diferencias centrales

+2y=0

dx

a2u a2u _ +y2 ay2 a x2

b) senx

a2u -+ ay2

éJ2u

e) y --x

ax2

au ax

2

2

ax

ay2

con diferencias hacia delante

=0

-

d) -a 2u + (l +y--2) a u 8.5

a la ingeniería

au +y-.-=O ay

con diferencias centrales

o

con diferencias hacia atrás

La ecuación aT

at

8.6

describe la conducción de calor en régimen transitorio en dos dimensiones. Exprésela en términos de diferencias finitas. El término de la izquierda en diferencias hacia adelante y los términos de la derecha en diferencias centrales. La ecuación del problema 8.5 describe la conducción de calor en una lámina delgada (espesor despreciable) y aislada y permite calcular la temperatura en cualquier punto de la lámina a cualquier tiempo en régimen transitorio. Si las condiciones inicial y frontera son en general como se muestra en la figura 8.29 y

LM

~----------~--------------------~

\'1 Ij'

-'/ <¡''' \'1 "1'

,,~'

Figura 8.29 Conducción de calor en una lámina rectangular.

T(x, y, O) =f(x, y)

x

Establezca el problema de valor en la frontera, encuentre el algoritmo correspondiente al método explícito resuelva con ex = 0.01 Y las siguientes condiciones inicial y de frontera

y

Cl: T(x, y, O) =

20°C;

CF1: T(x,O, t) =

100°C;

O:::;x:::;0.1 m; O:::;t:::; 1 hora

CF2: T(x,0.2, t) = 50°C;

O:::;x:::;0.1 m; O :::;t:::; 1 hora

CF3: T(O, y, t) = 100°C;

O:::;y:::; 0.2 m; O:::;t:::; 1 hora

CF4: T(O.l, y, t) = 50°C;

O:::;y:::; 0.2 m; O:::;t:::; 1 hora

NOTA:

O:::;X

:::;

0.1 m; O :::;Y :::;0.2 m

Elabore una malla tal que O < ')... :::;0.5.

Ecuaciones

,t), ua-

8.7 8.8 8.9

8.10

8.11

parciales

581

Resuelva el problema de valor en la frontera del problema 8.6 con el método implícito correspondiente. Resuelva el PVF del problema 8.6 con el método de Crank-Nicholson correspondiente. Se tiene una solución de urea contenida en un tubo de 1 cm de diámetro interior (véase Fig. 8.30), con un concentración inicial de 0.02 g/litro. Una membrana semipermeable conecta el tubo con un frasco que contiene una solución de urea con 2 gIlitro. Otra membrana la conecta con un reactivo con el cual la urea reacciona para desaparecer instantáneamente. Si se considera que la difusión de la urea ocurre únicamente en el eje x, calcule la concentración de ésta a lo largo del tubo en los primeros 10 minutos. La difusividad de la urea es !iJ = 0.017 cm2fh (véase Ejer. 8.2). Resuelva el problema 8.9 considerando que en el extremo derecho del tubo se tiene un frasco que contiene una solución con 1 gIL de urea en lugar del reactivo. Todas las demás condiciones permanecen. Resuelva el siguiente PVF por los métodos explícito e implícito EDP:

o2T

oT

=a-

ot

ox

CI: T(x,O) = 20 sen x CF1: T(O, t) = 100°C en te y

diferenciales

CF2: T(L, t) = 50°C

2

a

= 1 pie2fh

L

1 pie

tmáx

1 hora

(esláen

Solución de urea 2 gil

Figura 8.30 Difusión de urea en una solución.

8.12

Solución de urea 0.02 gil

••

\

..

Reactivo

x

"1

20 cm

EDP: CI: T(x,O) CF1: T(O,t)

oT

ot

20°C 100°C

T(O,t) = 20°C CF2: T(L,t) T(L,t)

a=1 piefh L = 1 pies 0< t

s 12 minutos

12 < t ~ 60 minutos

100°C

O < t ~ 12 minutos

20°C

12 < t ~

qO minutos \

8.13

1 cm

1

Resuelva el siguiente PVF por el método de Crank-Nicholson

mé-

T

Resuelva el ejercicio 8.3 por el método de Crank-Nicholson.

Compare resultados.

582 582


8.14 8.14

Resuelva Resuelva el el EDP EDP del del ejercicio ejercicio 8.4 8.4 con con las las siguientes siguientes condiciones condiciones (80 (80 -lOx) - lOx) °F °F

CI: CI: T(x,O) T(x,O)

8.15 8.15

CF1: CF1 : T(O, T(O, t)t)

200°F 200°F

CF2: CF2: T(l, T(1, t)t)

68°C 68°C

Si Si en en el el ejercicio ejercicio 8.4 8.4 se se modifica modifica la la geometría geometría de de la la aleta aleta para para tenerla tenerla como como se se muestra muestra en en la la figura figura 8.27, 8.27, plantee plantee yy resuelva resuelva el el PVF PVF resultante. resultante.

Figura Figura 8.31 Conducción Conducción de calor en una aleta triangular. triangular.

8.16

Utilice el método método visto visto en la sección sección 8.7 para para resolver resolver el PVF PVF siguiente siguiente Utilice

a

a

at dt22

ax2 dx

2y ;:}2y d 2yy EDP:=- EDP:= 2

CI: CI: PVF PVF

(x, O) = = sen (21tX), (2nx), y (x,

-dy II C12: ~ C12:

atdt

(x, O) O) (x,

O
2rc sen (21tX) (2nx) == 21t

CF1: yy (O, (O, t)t) = = O, O, CFl:

t> O O t>

CF2: yy (1, (1, t)t) == O, O, CF2:

t »O O t>

O
Utilice aa == 0.1 0.1 Y Ybb == 0.01. 0.01. Observe Observe que que sólo sólo se se modifIcÓ modificó la la posición posición inicial inicial de de la la cuerda. cuerda. Utilice

Ecu aciones diferenciales Ecuaciones diferenciales parciales parciales

8.17 8.17

583

Un problema interesante una función Un problema interesante se obtiene obtiene cuando cuando la condición condición inicial inicial cn CIl es una función dada dada en dos partes, partes, como como sigue: sigue: CIl: y (x, O) O) = = cn:

¡

2x,

O < x:S; O x::; 0.5

(l-x), 2 (lx),

0.5 ::; :s; x < 1

~ II

8.18 8.18

y la cuerda inicial CI2 = cuerda simplemente simplemente se suelta, suelta, esto esto es la condición condición inicial CI2 es ~ = O. O. dt (x, O) dt Empiece graficando la condición condición inicial inicial cn y después después haga haga los cálculos cálculos con con el método método Empiece graftcando visto visto en la sección sección 8.7. 8.7. Puede Puede modificar modificar el PROGRAMA PROGRAMA 8.4 8.4 del CD. CD. El programa disco permite permite observar observar el movimiento movimiento de la cuerda cuerda en modo modo rápido rápido y El programa 8.4 del disco en modo Nótese que que la cuerda parece tender posición modo cámara cámara lenta. lenta. Nótese cuerda no parece tender en el tiempo tiempo a una una posición reposo que que sería sería una una línea línea horizontal. horizontal. de reposo a) ¿Cómo ¿Cómo explica explica usted usted este este fenómeno fenómeno que que va en contra contra de lo observado observado en en la realidad? realidad? b) Si se considera considera que que está está actuando actuando sobre sobre la cuerda cuerda un campo campo eléctrico, eléctrico, magnético magnético o gravitacional, diga diga usted usted cómo cómo se modificaría modificaría la EDP. gravitacional,

8.19 8.19

Se puede obtener una que proporciona proporciona la ecuación puede obtener una mejor mejor aproximación aproximación que que la que ecuación 8.63 8.63 si se cuenta con con la segunda segunda derivada derivada de f (x) en x.; siguiente manera cuenta xi' de la siguiente manera a) Yi,] /2f" (x) para i = Yi,l "" "" Yi,O Yi,O + bg (x) (x) + ec22 b22 /2f" (x) para = 1,1, 2, ...... , n-l b) En puede aproximarse En caso caso de no contar contar con con f "(x) "(x) puede aproximarse por por diferencias diferencias centrales centrales como como sigue sigue

donde la ecuación ecuación dada dada en el inciso inciso a) quedaría quedaría De donde Yi, Yi,11 = =

(1 (1 - ).,2) )}) f (x) (x) +

).,2 }.,2

'2 [f (x i+ 1) + f (x i _ 1) ] + bg (x) (x) i+1)

(Xi_1)]

Modifique el PROGRAMA PROGRAMA 8.4 del CD o elabore elabore otro otro a fin de emplear emplear alguna alguna de estas estas aproaproModifique ximaciones para para resolver resolver el problema problema de la cuerda cuerda vibrante. ximaciones vibrante.

RESPUESTAS A PROBLEMAS PROBLEMAS RESPUESTAS SELECCIONADOS SELECCIONADOS CAPíTULO CAPíTULO

1.2 1.2

a) a) b) b) e) d) el) e) e) j)

g)

1.3 1.3

a) b)

e) d) el) e)

j)

11

53610 = 1030 536 10 = 10308 = 1633 16338 92310 = 10 15368 == 300088 1536 1088 8810 10 10 28 2210 28 10 1010 12 12 8 10 0 10 08 10

a)

1.9 1.9

a) a) b) b)

810 10 2110 21 10 6310 10

985.34 985.341010 10.110 10

e) 888.222 888.2221010 d) 3.57 el) 3.571010 e) e) 977.93 977.931010 j) 0.357 j) 0.35710 10 g) g) h) h)

1.13 1.13

O22 O

7778 7778 111111111 22 5738 == 10111101122 5738 1112 78 111 28 102 100022 108 1000 O22 08 O

100022 1000 b) 1010122 e) 111111 22

1.4 1.4

100001100022 1000011000 111001101122 1110011011 110000000002 2 11000000000 100022 1000 102 10 10102 1010

0.9389 0.93891010 -0.9389 -0.9389 10

10

1731.256 173l.2568 8 12.063 12.06388 1570.1615 1570.161588 3.4436 3.443688 1721.7341 172l.734188 0.2666 0.266688 0.740557 0.7405578 8 -0.740557 -0.740557 8 8

~""

1111011001.010101110 1111011001.0101011102 2 1010.000110011 1010.000110011 2 2 1101111000.001100011010 1101111000.001100011010 2 2 11.100100011110 11.10010001111 O22 1111010001.111011100001 1111010001.111011100001 2 2 0.010110110110 0.010110110110 2 2 0.111100000101101111 0.111100000101101111 2 2 -0.111100000101101111 -0.111100000101101111 2 2

a) a) 0.19921875 0.19921875 b) b) -160 -160

e) e) 9306112 9306112 1.14 1.14

1010 a) a) 0.1011010011100011101100101 0.1011010011100011101100101 X X 221010 100 b) b) -0.1111010100101111 -0.1111010100101111 X X 22100 100 e) e) 0.11100100011001001 0.11100100011001001 X X 22-100

1101 01 d) el) 0.1111101 0.1111101 X X 22" 1.23 1.23

La La mantisa mantisa normalizada normalizada más más pequeña pequeña en en binario binario es es 0.10000000 0.10000000 (=112 (=112 en en decimal), decimal), no no 8 0.00000001 (2~8)ylamayoresO.ll111111 ("" 1). 0.00000001 (2- ) Y la mayor esO.11111 111 ("" 1). Por esto, esto, los los números números de de máquina máquina positivos positivos deben deben quedar quedar en en elel intervalo intervalo cerrado cerrado [s, [s, L], L], Por donde donde

586 586

Métodos numéricos num éricos aplicados ap licados a a la la ingeniería ingen iería Métodos

ss == número número de de máquina máquina positivo positivo más más pequeño pequeño == (O. (O. 10000000) 10000000)X X22-6464 == 2--65""0.2710505 2-65 '" 0.2710505 X X 10-1919 yy

L == número número de de máquina máquina positivo positivo mayor mayor == ++ (0.11111111) (0.11111111) X2 X26363 ""0.91873437 '" 0.91873437 X X 10 101717

El intervalo intervalo [s, [s, L] puede puede dividirse dividirse en en 128 128 subintervalos subintervalos El 2s), [s, 2s),

[2s, [2s, 22s), 22s),

[2 233s), [222s,s,2 s),

[2126S,2127S), [2 126S,2 127s),

127 [2 [2127

E=-64 E=-64

E= - 63 E=-63

E=-62 E=-62

E= E= +62 +62

E=+63 E=+63

s, L] L]

donde E es la la característica. característica. donde Nótese Nótese que que cada cada subintervalo subintervalo es dos dos veces veces más más grande grande que que su predecesor. predecesor. Para Para cada cada E E hay hay 288 posibles posibles mantisas mantisas normalizadas. normalizadas. Por Por tanto, tanto, una una computadora computadora con con una una palabra palabra de de bits puede puede almacenar almacenar un un total total de de 16 bits 128 X X 288 = 32768 32768 números números positivos positivos de de máquina máquina en el intervalo [s, [s, L] intervalo

1.26 xx = -278; -278; Y = 248.67 248.67 1.26 CAPiTULO CAPíTULO

2.1

)'

a) a

2 2 2

(x) gg' (x)

b) g' g' (x)

x> x> 0.26 0.26

= = -- (x +2 1)3 ; ==

x < -2.26 -2.26

2 (x - 1)-2/3 1)-213 ; xx>» 1.125 3 (x + 1)4/3 1)4/3 = n 1t ; n = = O, 1,2, 1,2, ... ... x=

e) g' g' (x) = cos x;

, 1nx 1 1nx d) d) g (x) = =x + +-- - - 2tanx 2 2tanx , () 1 (l () (l/x)/ x) tan x - In x sec22xx g x = + ; x = 3.8; x = 4.2 2 tan 2x 2x e) g' (x) =

f> j) g'

1 + 3x2 3x2

4J 4J 6 -x -x-x3- x 3

; x = 0.8; x = 1.2

(x) = se~ tan x ; x = O; se~ x ;; g' (x) = secx secx tan O; x = 0.5

22

2.3

2.6

(del problema problema 2.1) a) .iX""'" 0.46557 0.46557 a)

X""'" 4.87035 4.87035 b) .i

e) .iX""'" O. O. e)

d) d) .i s '"""4.09546 4.09546

e) .i X""'" 11 e)

j) f>

a) nn multiplicaciones multiplicaciones y nn sumas sumas a)

b) 2n 2n multiplicaciones multiplicaciones y nn sumas sumas b)

2.8 2.8

a) a) .iX""'" 3.14619 3.14619

b) b) .iX""'" 0.85261 0.85261

e) .iX""'" 1.02987 1.02987 e)

d) d) .iX""'" 0.20164 0.20164

0.61003 .iX""'" 0.61003

Respuestas a problemas seleccionados

2.9

2.17

2.20

ada de

a)

x'"

-0.88616

Y'" -l.39177

b)

x'"

0.74798

Y'" l.11894

e)

x'"

1.31555

Y'"

0.32104

d)

x'"

4.20447

Y'"

0.76345

a)

x'" 10

b)

x'"

0.66624

e)

x'" l.82938

el)

x'"

1.2032

Si XI = 2

Y

XD = 4,

2.26

a)

x'"

2.28

XI,2

=+

2.30

xI,2

2.33

a) Xl '" 1.1 ;

x2'"

1.1;

b) Xl '" l.24144;

x2'"

10.0l798

x4'"

0.97661

'"

x3

-l.6844

'"

d) xl'"

l.7;

-c

2.43

T", -102.3

-c

2.47

t'" 3.041 hrs.

2.48

i= 0.04878 '"

a)

-0.94157

i

x4,5'" '"

+2 i

0.63983 L;

V02

'"

0.6106 L;

= e2 = el

3

[1, -2, 5, 7, 8, 0.3]

T

[-3.0343, 3.0686, l.8284, -4.2402, 3.7255, -0.3103]

e3 = [-l.0029,

5.8915, 0.4998,3.4940,

-l.8232,

1.3820]

T T

= e5 =

[5.7399, -3.2717, 0.1600, -6.7681, 2.8280, 38.8973]

T

[4.8912,2.1153,

T

el =

[4, 2,

e4

b)

e)

0.08747

CAPíTULO

3.15

x'" 3.83910

V H2

0.62542 L;

T", 105.33

"A

x'"

11

ti=

3.43133 i

x2,3'" 1 ±

2.41

2.50

±

2.96396; 1;

'"

b)

1.1362

2i

e) Xl'"

VHe

2.36

0.25753

z '"

-0.6869, -l.0594,

lF

e2 = [-0.42857, 0.28571, 1.14286]

T

e3 = [-l.21212,

T

3.0303, -1.21212]

1.3045, -0.8202]

587

588

Métodos aplicados a a la ingen iería Métodos numéricos numéricos aplicados ingeniería

== [10,

el e) el

--20, 20,

5] TT

[l.66667, l.66667, 3.33333] T e22 = [1.66667, l.66667, 3.33333] [-1.07143, 0.35714,0.71429] e3 = [-1.071 43, - 0.35714, 0.71 429] T el = el) el = [-1, [-1,

1, 1,

O, O,

[4.33333, e22 = [4.33333, e33 = [1.5,, = [1.5

T 2] T

l1.,.,

7.66667, 7.66667,

-0.5, , -0.5

-1, -1 ,

1.66667] T 1.66667]

1] T T

e4 = [0.27322, 0.74681 , 0.23679] 0.23679] T [0.27322, -0.20036, -0.20036, 0.74681, 3.16 3.16

4, respectivamente respectivamente 3, 3 Y 4, 3, 3,

3.17 3.17

Número de reacciones reacciones independientes independientes Número

3.20 3.20

w

== 2 Y

w

para número número infinito infinito de soluciones == 1 para soluciones

3.26 3.26

w

para solución única == 3 para solución única

[-0.14114, a) x = [-0.14114, b) b)

x == [4,

== 8

1.56229, l.56229,

0.3021OF 0.3021OF

lF lF

3,

e) x = [0.925, [0.925,

-1.09371, , -1.09371

-4.7, -4.7,

10.625, 10.625,

--2.975F 2.975F

3.33 3.33

CAl

3.35 3.35

7 , 1.29525 x = [0.04, [0.04, 9.6 9.6 x10-4, 5.5264 xl O:", l.29525 xlOxlO-4, 2.304 2.304 x10x lO-ss, , 5.5264 x lOx lO-s8FF

3.49 3.49

[0.69118, p = [0.69118,

-9.9278, -9.9278,

3.50 3.50

x = [0.89052, [0.89052,

0.99421, 1.07371F 0.99421 , 1.07371]T

3.54 3.54

=0.4507;C =0.4507 ;CA2 A2

15.7, 15.7,

a) x = [2,

6.41471, , 6.41471

5.33333, 5.33333,

= 0.25352 0.25352

-5.32941, -5 .32941 ,

1.66666F l.66666F

5., 5.,

--1.35379F 1.35379F

b) x = [1,, 1, lF 1F = [1

d) el)

S]T S]T x = [1.99464,6.27889, [1.99464,6.27889, -0.30459, -0.30459, 8.43005xlO8.43005xlO-3, 3, --9.54861x109.5486lxlO-

e)

xI XI

= --0.76592; 0.76592;

xX2z = 1.06005 l.06005

x33 = 1.19592; 1.19592;

x44 = --0.04580 0.04580

0.91064; ss = 0.91064; 0.81218 ; x77 = --0.81218;

x66 = 0.16144 0.16144

X X

x99 = --0.25689; 0.25689; XII X II

3.60 3.60

= 0.33803 0.33803; ;

0.15305 s8 = 0.15305 x66 = 0.03420 0.03420 X x

= 0.02692; 0.02692;

Al 3.28636; Al = 3.28636;

A 8.17744 Az2 = 8.17744

A3,4 A3,4 = 4.26809 4.26809 ± 1.46356 l.46356 i 3.61 3.61

[1,, [1

2.96710, 2.96710,

3.62 3.62

A dominante dominante

== 33; ;

l.24679, l.24679,

e

== [1 [1,,

1,

-0.83630]T -0.83630]T OF OF

Respuestas a problemas

4

CAPíTULO

4.1

X

=

[3, 2,

1, 2, 4,

4.2

X

=

[2, 4,

1,

4.3

xO = 0.8 ;

yO= 0.5;

4.4

gl(x,y)=

37 - y,

x>5

y

4.5

6]T

l]T

y

4.9

[8000,

b) x

r=

[0.529164,

x

=

[1,

d) x

»

[0.14996,

b) x

«

4.12

CAl""

4.15

x= [0.61089,

4.17

x

4.18

T = 57.85488935 e

4.24

topt

4.26

2.5,

0.4110824F

-0.15F

0.53292;

[1.4695,

0.410824]T

l]T

0.1,

[-0.110949,

[6.95,

0.100006F

0.000599,

x

«

4000F

1F

4.11

«

-1.08216

0.399996,

1,

a) x=[O,

x-5

= 1

s-

a) [O, OF;

e)

0.4197

y < 37

b) X"" 6.17107

4.6

=

g2 (x, y)

x = 6;

a)

s-

X"" 0.7718;

CA2""

0.42435;

0.37899, O.,

CA3 "" 0.32879

0.24919,

0.51622,

0.07728F

-0.22777F (-0.10941272/)

+ 33.4992038

= -1.15

a) X"" -2.13147; b) No tiene solución e) x

4.31

«

[4.37534,

a) zmin= -3 en x

= -7.85396,

b) zmin= O

XI

CAPíTULO

5.1

1.66657,

a) 1.1303

5.2

203.35

5.3

x (2)

=

5.8

en

= O,

-3.46619F y

= -1.33128

x2=0,

E-6 x3=0

5 b)

1.2597

e) 1.2034

d) 16

seleccionados

589

590

Métodos numéricos

5.8

lo (0.8)

= 0.8463

5.14

P

5.15

v = 67.8

5.18

ao = 99600

=

2.59

=

a2


= - 1209.166667

al

a3 = -0.00833333

5.375

5.19

CB (0.82) = 1.12

5.23

R2 (10) "" 98

5.28

f (1 ;3,0.13) = 0.925, con un polinomio de segundo grado

5.29

r

5.30

P = 481.03743 v-106533

5.31

a = 0.24033

5.32

z = 7.993487

5.35

n

=3

5.36

't

= 0.92893

5.37

a

=

5.39

ao

=

10.12223 + 0.027975 T

=

1.78752

a)

E

=

= 0.0006533

b

161.33646

CAPiTULO

6.5

1010;

X

al

=

32.96875

19999.73634

e

a2

b) 30097 kg.

6.7

1.64711

6.8

81792338.66 con Simpson 1/3 y N a)

6.13

a) 1\3)

e) 6.15

1.84624

X

10-5

= -0.0855

6

20.9 kg/min.

6.12

=

1.71125

b) 0.56343

e) 0.38153

=

100 e) 0.40546

= 1.26613 b) IÓ2)= 0.07921 K = 1: 1\2) = 1.04417; K = 2; 1\2) = 0.87105

a) IÓ3)= 0.006303

6.17

0.84338 o bien 84.388 %

6.18

3.70387 con Simpson 1/3

6.19

analíticamente

=

serr ' (1)

b) IÓ3)= 0.946083

=

d) 114.863 kg

1.570796327

d)

1.29584


a) O

6.20

e) 1/3

b) 0.25

= 2,

6.23

50403593.58 con N

6.24

1.21484

6.26

2.61198 con N

6.27

a) -0.57722

e) 0.22532

d)

6.28

a) 0.02

b) 0.22532

e) 0.08428

10

a) 1.47627

6.30

6.35

= 2,

con N

=

con N

= 2 YM = 2

6.32

10 Y M

=

=

10 Y M

e) 0.83333 con N

=

2 YM

6.40

f

6.45

v

6.46

E (0.95)

1/

con P

=

10 b) 0.33424 con N

2

el) 4.38911 con N

=

10 Y M

=

10

b) 0.11267 con N

=

10 Y M

=

10

=

= 20

YM

= 20

= 20

YM

= 20

con N = 2

= 96.62 mis

=

118.466

E(0.98) = 24.653

6.48

e) 0.35593

= 2,8 Y 15

= 0.02503

(3.7)

b) 1.47623

y = 0.52466

a) 14951.02 con N

-0.014121

1/3

d) 0.25

a) 6.93463 con N

6.39

6.47

2.61945 con N = 3

x = 0.53802

6.36

50021079.17 con N = 3

0.72 para t

=

10

a) -0.0006725

tiernpo

7.2

gasto

7.3

tiempo

7.4

gasto

7.6

CAO

»

«

=

E(0.99)

= 11.096

0.56 para t

79.809

= 35

b) 0.01218

E(O.97) = 46.916 E(1.00) = 1.404 0.36 para t

e) -0.00038

=

60

d) 0.008829

7

CAPíTULO

7.1

E(0.96)

432 s

con Euler y h

= 0.5

0.0555 m3/s »

8000 s

= 7.73

l/s

CBO

0.5 1.0

t (min)

7

con h

= 25

tiempo

»

1.0 1.5 6

s

y Euler simple

32 horas 1.5 2.0 5

1.0 1.0 18.5

2.0 0.5 3

591

592

Métodos numéricos

7.7

7.11


0.1 2.047 0.658

h 11 (3) 12 (3) a) 8.8 s

1.0

0.5 1.992 0.590

e) 95.56 m

b) 220m

7.12

tiempo=

7.13

C¡

= 49.00

C2= 44.57

C3

= 41.84

7.14

CI

= 46.31

C2 = 44.58

C3

= 42.38

7.15

(CAl' CA2)

30 min

7.16

t CA T

7.17

CA = 4.33,

=

con h

=

a) (0.67,0.62)

b) (0.68,0.86)

d) (0.813,0.62)

e) (0.655, 0.63)

200 5.0000 300.0

= T= T= T

CA = 0.488, CA

0.05 2.052 0.665

5.280 2.736

= 0.531,

400 4.2347 310.6

1 min RK-4 e) (0.73,0.61)

600 3.0407 322.3

= at= at=

307.31

at

348.38 344.28

800 1.7833 333.2

1200 para TJ 1200 para TJ 1200 para TJ

= = =

1000 1.6097 333.8

310 350 340

Cuando la temperatura T alcanza un valor mayor que TJ se lleva a cabo violentamente la reacción, por lo que se acostumbra enfriar el reactor cuanto T está cerca de TJ o la rebasa. 7.18

a) x

Y b) x

Y 7.19

x

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

0.004

0.014

0.029

0.048

0.069

0.093

0.118

0.143

0.169

0.195

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

0.004

0.016

0.034

0.057

0.083

0.111

0.141

0.172

0.203

0.234

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

0.023

0.050

0.084

0.123

0.168

0.216

0.266

0.317

0.369

O 0.5

Y O 0.006

=

T (5 días)

7.22

57 g, usando RK-4 como inicializador y h

7.23

ciclo

7.24

T2

7.25

7.28

=

= 26

66.82 con h

=

7.21

=

1 día

unidades de tiempo

106.7 con h

= 0.25

a) y (1) = 1

e) y (2)

=

a) y (2)

= 0.13534

10.04277

d) Y (-1) = 1.35914

7.31

12 horas y RK-4

y (1) = 0.36788

b) Y (2)

= 3.38629

d) Y (.5) = 2 b) Y (2.5) e) y (1.5)

z

(1)

= 5.25193 = 2.272

= -0.36n8

e) y (1) = 0.87628

Respuestas a problemas

= 0.19876

7.32

Y (1)

7.36

con RK-4

a) y (1)

=1

z

b) Y (2)

= =

l.97

z (2)

=

l.62

34.04

u (3)

=

37.37

e) y (3) 7.37

NA = 0.02383 con h

=

v (3)

= 40.74

Nc = 0.85298

NB = 0.12319

8

Elíptica

al)

(1) = -0.36788

10 ruin y RK-4

CAPíTULO

8.1

593

seleccionados

a2) parabólica

b) Elíptica en x <

O o en

a3) hiperbólica

y
= O o en y = O

Parabólica en x

Hiperbólica en x > O, Y > O o en x < O, Y < O e) Parabólica en el plano x-y d) Elíptica en el plano x-y

e) Hiperbólica en el plano x-y 8.2

Elíptica en y > O; Parabólica en y

ela sa.

= O;

Hiperbólica en y < O;

8.5

T'k/,),

•+

]-T'k

o. T i+

1,),_

-

00

< x <

00

-

00

< x <

00

-

00

< x <

00

2T

i,j, k -

i,j, k

+T

¡_I,j,

k

!!"x2

/)"t

95 +

lf..T, /,)+,' ¡

k-2Tk+T 1,),

'

'

1, ),-

I,

k'

!!"x2

34

8.6

El algoritmo matemático para resolver este PVF por el método explícito es /)"t

69

T

/,),'k +

¡=T"k

/,),

+

lf..!!"x2

[T,

1

+ ¡,),'k-

2Tk

/,),

/)"t +lf..-

!!"x2

Con

!!"x

= 0.02,

[T"

/)"y

/,)+

2T"k+T, /,), ¡k,

= 0,02,

/)"t

= 0.01,

+T,¡/-

,),'k]

,¡J

1, ),-,

se anotan algunos resultados Tiempo

=

0.00

y 0.20

56.67

35.00

35.00

35.00

35.00

40.00

0.16

60.00

20.00

20.00

20.00

20.00

35.00

0.12

60.00

20.00

20.00

20.00

20,00

35.00

0.08

60.00

20.00

20.00

20.00

20.00

35.00

0.04

60.00

20.00

20.00

20.00

20.00

35.00

0.00

73.33

60.00

60-.00

60.00

60.00

56.67

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

x

594

Métodos numéricos


Tiempo

y

= 0.01

0.20

75.00

50.00

50.00

50.00

50.00

50.00

0.16

100.00

30.00

20.00

20.00

23.75

50.00

0.12

100.00

30.00

20.00

20.00

23.75

50.00

0.08

100.00

30.00

20.00

20.00

23.75

50.00

0.04

100.00

30.00

20.00

20.00

23.75

50.00

0.00

100.00

100.00

100.00

100.00

100.00

75.00

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

x

Tiempo

Y

= 0.10

0.20

75.00

50.00

50.00

50.00

50.00

50.00

0.16

100.00

74.25

57.06

48.73

47.43

50.00

0.12

100.00

75.02

56.16

46.59

45.73

50.00

0.08

100.00

76.44

58.38

48.81

47.15

50.00

0.04

100.00

83.99

7l.21

62.88

57.16

50.00

0.00

100.00

100.00

100.00

100.00

100.00

75.00

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

x

Tiempo

Y

= 0.50

0.20

75.00

50.00

50.00

50.00

50.00

50.00

0.16

100.00

82.89

70.91

62.44

55.83

50.00

0.12

100.00

88.61

77.96

68.16

58.95

50.00

0.08

100.00

90.88

81.56

7l.76

6l.22

50.00

0.04

100.00

94.06

87.39

78.92

67.00

50.00

0.00

100.00

100.00

100.00

100.00

100.00

75.00

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

x

Tiempo

Y

=

1.00

0.20

7j.00

50.00

50.00

50.00

50.00

50.00

0.16

100.00

82.89

71.00

62.52

55.88

50.00

0.12

100.00

88.64

78.10

68.30

59.03

50.00

0.08

100.00

90.97

8l.70

7l.90

6l.30

50.00

0.04

100.00

94.12

87.48

79.00

67.06

50.00

0.00

100.00

100.00

100.00

100.00

100.00

75.00

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

x

595


8.9

Con fu; = 2 cm, /).t = 0.5 cm, A =0.1275 gunos resultados

Y el método de Crank Nicholson, se anotan al-

x (cm) t(rnin)

x 8.10

0.0

4.0

8.0

12.0

16.0

20.0

0.0 1.0

1.0100

0.0200

0.0200

0.0200

0.0200

0.01

2.0000

0.0203

0.0200

0.0195

0.00

5.0

2.0000

0.0655 0.4481

0.0574

0.0213

0.0157

0.00

10.0

2.0000

0.7631

0.1815

0.0397

0.0143

0.00

Con fu; = 2 cm, /).t = 0.5 cm, A = 0.1275 Y el método de Crank Nicholson, se anotan algunos resultados x (cm) t ( min )

x

8.11

0.0

4.0

8.0

12.0

16.0

20.0

0.0 1.0

1.0100

0.0200

0.0200

0.0200

0.0200

2.0000

0.0203

0.0202

0.0425

0.51 1.00

5.0

2.0000

0.0655 0.4481

0.0582

0.0402

0.2319

1.00

10.0

2.0000

0.7640

0.1923

0.1214

0.3896

1.00

Con el uso del método implícito con fu; = 0.25, /).t = 0.01 Y A = 0.01, se anotan algunos resultados x ( pies) t (hrs)

8.12 x

0.0

0.25

0.50

0.75

1.00

0.0 1.0

100.00

4.95 63.47

9.59

13.63

50.00

42.86

100.00

74.10

40.67 61.87

50.00

5.0 10.0

100.00

75.00

62.49

50.00

100.00

86.87 87.49

50.00

Con fu; = 0.1, /).t = 0.24, A = 0.4166666, se anotan algunos resultados para x < 0.5, ya que la distribución de temperaturas es simétrica. x ( pies) t (hrs) O 2 6 8 12 14

x

20 40 60

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

60.00

20.00 75.07 88.02 91.36

20.00

20.00

54.02 77.22 83.57 91.44

39.09 68.65 77.38 88.23

20.00 30.62 63.16 73.41

20.00 27.93 61.27

64.04 35.15

76.62 40.85 20.80

100.00 100.00 100.00 100.00 20.00 20.00 20.00 20.00

95.50 44.44 27.96 20.30 20.01

20.58 20.02

20.03

86.16 82.93 44.51 20.94 20.04

72.05 85.45 84.74 45.77 20.99 20.04

596

Métodos numéricos

8.14


Con fu = 0.05, /.I.t = 0.001, A = 1.76984127, ~ = 28.57188572, se anotan algunos resultados t (hr)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.000

140.00

78.00

76.00

74.00

72.00

69.00

0.001

200.00

80.71

75.82

73.83

71.84

68.00

0.006

200.00

118.48

83.00

73.83

70.80

68.00

0.020

200.00

140.07

103.90

83.94

73.76

68.00

0.100

200.00

146.54

113.79

93.12

79.09

68.00

8.15 élT k - = -él t pCp

él2T --él x2

k

pCp (l -x)

élT -él t

C.I

T (x, O) = 68 0p

C.F.l

T (O, t) = 200 "P

C.F.2

T (1, t) = 68 "F

2 1.0625 a h 0.25 (l-x)

pCp

(T - 68)

s

. ~;

INDICE INDICE ANALÍTICO ANALÍTICO ajuste ajuste exacto, exacto, 318 de mínimos mínimos cuadrados, cuadrados, 318 algoritmo algoritmo de Aitken, Aitken, 63, 116 de Crank-Nicholson, Crank-Nicholson, 565 de Crout, Crout, 251 de la posición posición falsa, falsa, 115 1I5 de Thomas, Thomas, 358 del método método trapezoidal, trapezoidal, 397 algoritmos algoritmos de Taylor, Taylor, 475 475 de RungeRunge- Kutta,482 Kutta,482 ángulo entre vectores, ángulo entre vectores, 142, 142, 143 aproximación aproximación cúbica cúbica de trazador, trazador, 357 cúbica segmentaria segrnentaria de Bessel, Bessel, 355, 355, 356 356 cúbica cúbica cúbica segmentaria segrnentaria de Hermite, Herrnite, 354, 354, 355 multilineal cuadrados, 359, 367 multilineal con mínimos mínimos cuadrados, polinomial, polinomial, 348, 348, 393 polinomial polinomial de Lagrange, Lagrange, 323 polinomial polinomial de Newton, Newton, 333, 333, 335 polinomial polinomial por por mínimos mínimos cuadrados, cuadrados, 318 polinomial polinomial segmentaria, segmentaria, 352 352 polinomial polinornial simple, simple, 319, 319, 322, 322, 382, 382, 455 455 asíntotas, asíntotas, 68 asociatividad asociatividad de la multiplicación multiplicación de matrices, matrices, 132 de la suma suma de matrices, matrices, 129 del producto producto de matrices, matrices, 141 bit, bit, 3 byte, byte, 9 cálculo de inversas, inversas, 172, 172, 173 cálculo del determinante, determinante, 165, 165, 169 característica, característica, 10 cifras significativas, significativas, 14 cifras combinación lineal de vectores, combinación lineal vectores, 145 condición inicial, 539, condición inicial, 539, 542, 542, 557 suficiente, suficiente, 40 condiciones condiciones combinadas, combinadas, 575 frontera, frontera, 539, 539, 543 543,, 574 574 frontera frontera combinadas, combinadas, 578, 578, 581 frontera frontera de Dirichlet, Dirichlet, 574, 574, 576 576 conjuntos conjuntos ortogonales ortogonales de vectores, vectores, 148 conmutatividad, conmutatividad, 141 de la suma suma de matrices, matrices, 127 convergencia, 40, 53, 60, 113, 214, 215 , 219, convergencia, 40,53,60, 113,214,215,219, 261 , 275,316,561 261,275,316,561 aceleración aceleración de, de, 62, 62, 63 63,, 218 218,, 222, 222, 281 velocidad 275 velocidad de, de, 115, 115,275 monotónica, monotónica, 44 44 oscilatoria, oscilatoria, 44 conversión conversión de números números enteros, enteros, 4 de números números fraccionarios, fraccionarios, 7 con'ectores correctores de Adams-Moulton, Adams-Moulton, 491 criterio criterio de ajuste ajuste exacto, exacto, 391, 391, 434 434 de convergencia, convergencia, 38,48, 38,48,57,57, 62, 62, 222 222

convergencia, 458 458 de convergencia, de exactitud, exactitud, 54, 54, 56 mínimos cuadrados, cuadrados, 312 312 de mínimos otorgonalidad, 150, 150, 157 de otorgonalidad, cuadratura Gauss-Legendre, 416, 416, 417, 417, 418, 418, cuadratura de Gauss-Legendre, 420,421,422,423,425,430,447,448, 420,421,422,423,425,430,447,448, 449,460,462 449,460,462 Gauss-Laguerre, 450, 450, 461 de Gauss-Laguerre, cuenta operaciones, 87, 174 cuenta de operaciones, curva de nivel, nivel, 291 curva de determinante una matriz, matriz, 165,206 165,206 determinante de una normalizado, 199,201 normalizado, 199,201 diagonal principal, 133, 165,239 diagonal principal, 165,239 diferenciación numérica, 395, 395, 434 434 diferenciación numérica, diferencias centrales, 540, 540, 541, 541, 544, 544, 554, 554, 565, 565, diferencias centrales, 586 586 centrales centrales de de orden orden par, par, 387 387 divididas, 329, 329, 370,437 370, 437 divididas, divididas divididas centrales, centrales, 572 572 divididas divididas de de orden orden cero, cero, 330 330 finitas, 542, 542, 586 586 finitas, finitas hacia hacia delante, delante, 395, 395, 339 339 finitas hacia atrás, atrás, 488, 488, 489, 489, 540, 540, 554, 554, 556, 556, 582 582 hacia hacia delante, delante, 437 437 540, 540, 565 565 hacia dígitos binarios, dígitos binarios, 3 exactitud, 12 de exactitud, seguridad, 30 de seguridad, significativos, 15 significativos, dirección descenso más más brusco, brusco, 291 dirección de descenso exploración, 281 de exploración, distancia entre dos vectores, vectores, 143 distancia entre distributi vidad, 141 distributividad, la suma suma de de matrices, matrices, 129 de la producto de matrices, matrices, 131 del producto divergencia, 42, 214 214 divergencia, 42, rnonotónica, monotónica, 44 44 oscilatoria, 44 44 oscilatoria, división di visión sintética, sintética, 235 235 doble precisión, 12, 24 doble precisión, dominio concavidad, 68 dominio de concavidad, convexidad, 68 de convexidad, de definición, definición, 68 ecuación Beattie- Bridgeman, Bridgeman, 67, 67, 120 ecuación de Beattieconducción de de calor calor en régimen régimen de conducción transitorio, 536 536 transitorio, de estado, estado, 67 de de estado estado de Redlich-Kwong, Redlich-Kwong, 120 de de estado estado de Van der der Walls, Walls, 94, 94, 120 Fourier, 446 446 de Fourier, una onda onda en en dimensión, dimensión, 536 536 de una Poi selle, selle, 254 254 de Poi general de la conducción conducción de calor, calor, 534 534 general ecuaciones polinomiales con con coeficientes coeficientes ecuaciones polinomiales reales, reales, 71

598

Métodos apli cados a a la ingeniería Métodos numéricos numéricos aplicados ingeniería

eliminación 162, 165, 181, 185, eliminación de Gauss, Gauss, 162, 185, 241,246,251,268 241,246,251,268 de Gauss Gauss con con pivoteo, pivoteo, 172, 172, 187 de Jordan, 242 Jordan, 170, 173, 242 error error absoluto, absoluto, 12, 16,476 16,476 discretización , 18, 18,561,563 de discretización 561,563 de redondeo, 59, 222, 473,477 redondeo, 12, 12,59,222,473,477 de truncamiento, 411, 438, 438, 457, 457, 473 473 truncamiento, 411, en porciento, porciento, 12 porcentual, 476 porcentual,476 relativo, relativo, 12, 16, 18 en"ores 207 errores de redondeo, redondeo, 18, 58, 207 de salida, salida, 19 estabilidad, estabilidad, 22, 22, 91 estimación aproximación, 437 437 estimación de errores errores en la aproximación, extrapolación 412, 413 413 extrapolación de Richardson, Richardson, 412, factor factor de fricción, fricción, 124 124 de tamaño 282, 283 283 tamaño de etapa, etapa, 282, factores factores cuadráticos, cuadráticos, 92, 93 factorización factorización de matrices, matrices, 181, 183, 185 de matrices matrices con con pivoteo, pivoteo, 188 fila pivote, pivote, 167 fórmula fórmula de Chevyshev, Chevyshev, 120 de Francis, Francis, 97, 113 de Halley Halley de inversión inversión matricial, 277 matricial, 277 de Newton Newton en diferencias hacia diferencias finitas finitas hacia delante, delante, 398 fundamental Newton, 349, 435 fundamental de Newton, 349, 435 hacia hacia delante delante de Gauss, Gauss, 388 388 modificada modificada de Lin, Lin, 91 fórmulas gaussiana, 395 fórmulas de cuadratura cuadratura gaussiana, 401 de Newton-Cotes, Newton-Cotes, 395, 395,401 fronteras fronteras inegulares, irregulares, 576 576 función función de transferencia, transferencia, 99 escalar, escalar, 290 290 suma 285, 288 288 suma de residuos, residuos, 285, gradiente, gradiente, 290 290 independencia independencia de conjuntos, conjuntos, 145, 145, 146, 157 lineal, lineal, 152 integración 412, 413, 413, 457 457 integración de Romberg, Romberg, 412, numérica, numérica, 471 trapezoidal, trapezoidal, 485 485 integrales 450 integrales impropias, impropias, 450 múltiples, múltiples, 425 425 interpolación, interpolación, 318, 318, 319, 319, 320,460 320,460 inversa, inversa, 382, 382, 383 383 lineal lineal inversa, inversa, 494, 494, 501 interpretación geométrica la interpretación geométrica de la independencia independencia lineal, lineal, 147 intervalo 285, 288 288 intervalo de búsqueda, búsqueda, 285, ley de acción 300 acción de masas, masas, 300 de Beer, Beer, 226 226 de Dalton, Dalton, 106 de Henry, Henry, 223 223,, 307 307 Kirchhoff, 253 de Kirchhoff, 253 de Raoult, Raoult, 106 de paralelogramo, paralelogramo, 147 longitud longitud de un vector, vector, 141 lugar las raíces, raíces, 113 lugar geométrico geométrico de de las mantisa, mantisa,lO10

matrices 130 matrices conformes, conformes, 130 elementales,"202 202 elementales,' especiales, 133 especiales, sumables, 129 sumables, matriz, 125 matriz, atómica, atómica, 231, 231, 232, 232, 233 233 aumentada, 160, 243 aumentada, 160, 163, 163,243 bandeada, 177, 201 , 251 bandeada, 177,201,251 casi singular, casi singular, 129 cero, 127 cero, coeficiente, 160, coeficiente, 160, 163, 163, 177, 181, 181, 185,201 185,201, , 201 , 207, 241 , 253 201,207,241,253 coeficiente densa, densa, 207 207 coeficiente coeficiente diagonalmente coeficiente diagonalmente dominante, dominante, 215, 215, 227 227 coeficiente definida, 219 219 coeficiente positivamente positivamente definida, coeficiente 222 coeficiente simétrica, simétrica, 222 columna, columna, 137 nodos, 225 de nodos, orden n, 126 de orden diagonal, 133, 177, 239 diagonal, 177, 239 diagonal dominante, dominante, 201 diagonal dispersa, 177 dispersa, identidad, 133, 136, 136, 202 identidad, 133, 202 inversa, inversa, 135 jacobiana, 270, 270, 271, 271 , 283, 283 , 300, 300, 301 jacobiana, 301,, 311 311,, 313,315 313,315 mal condicionada, condicionada, 159 mal no singular, singular, 135 pentadiagonal, 177, 246 pentadiagonal, 177, 246 permutad 135, 136, 239 permutad ora, ora, 135, 239 positiva definida, definida, 193, 201, 201, 239, 239, 249 249 positiva simétrica, 133, 177, 201 , 239, 249 simétrica, 133, 177,201,239,249 singular, singular, 135, 135, 159,241 159,241 transpuesta, 133, 138 transpuesta, 133, triangular inferior, inferior, 194,239 194, 239 triangular triangular superior, 239 triangular superior, 133, 165, 165, 182, 182,239 tridiagonal, 177, 219, 219, 247 247 tridiagonal, tridiagonal por por bloques, bloques, 242, 242, 243 243 tridiagonal unitaria, 133 unitaria, método método de Aitken, Aitken, 64 bisección, 53, 53, 56, 57, 66, 109, 115, 116 de bisección, Broyden, 272, 272, 276, 276, 313, de Broyden, 313, 316 316 Cholesky, 193,251 de Cholesky, 193,251 Crank- Nicholson, Nicholson, 564, de Crank564, 570, 570, 584, 584, 587, 587, 588 588 Crout, 182, 251 de Crout, 182, 183, 183,251 de desplazamientos simultáneos, 209, desplazamientos simultáneos, 209, 216, 216, 219,262, 273 219,262,273 desplazamientos sucesivos, 209, 216, 216, de desplazamientos sucesivos, 209, 219,262, 269, 273 219,262,269,273 de Doolitle, Doolitle, 182, 183, 251 de 183,251 Doolitle con con pivoteo, pivoteo, 188, 192 de Doolitle 192 de Dufort-Frankel, 572, 573 573 Dufort-Frankel, 572, Euler, 470, 470, 475, 475 , 478, 478, 480, 480, 507 de Euler, 507 Euler modificado, modificado, 477, 477, 479, 479, 482, 482, 484, 484, de Euler 484,509 484,509 Gauss-Seidel, 207, 207, 209, 209, 212, 212, 214, 214, 214, 214, de Gauss-Seidel, 218, 222, 234, 252,259 218,222,234,252,259 Gram-Schmidt, 162, 240 de Gram-Schmidt, 162,240 Homer, 80, de Homer, 80, 84, 84, 85 85,, 87, 87, 114

índice analítico índice analítico

5,

16

6,

de Jacobi, Jacobi, 207, 207, 209, 209, 211 211,, 214, 214, 218, 218, 252, 252, 259, 262 259,262 de la secante, secante, 49, 49, 59, 60, 74, 115, 118 de la secante, secante, error, error, 61 de la secante, secante, interpretación interpretación geométrica, geométrica, 54 de Lagrange, Lagrange, 382 382 de LaguelTe, Laguerre, 118 de Lin, Lin, 89, 90 de mínimos mínimos cuadrados, cuadrados, 313, 313, 391 de Müler, 118 Müler, 73, 79, 99, 99, 117, 117,118 de Newton-Raphson, Newton-Raphson, 46, 46, 49, 49, 56, 71, 72, 72, 98, 101 , 105, 107, 114, 115, 117, 121 , 101,105,107,114,115,117,121, 234,298 234,298 de Newton-Raphson, Newton-Raphson, elTor, error, 61 de NewtonNewton- Raphson, Raphson, fallas, fallas, 49 de Newton-Raphson Newton-Raphson con con optimización optimización de t, 316 de Newton-Raphson Newton-Raphson modificado, modificado, 272, 272, 312 312 Newton-Raphson multivariable, multivariable, 265, 265, de Newton-Raphson 300,305,310,311 300,305,310,311,313, 313 de Newton-Raphson-Homer, 88, Newton-Raphson-Homer, 88, 90 de posición posición falsa, falsa, 27, 53, 53, 54, 55 55,, 56, 66, 66, 67, 95, 115, 67,95, 115, 116,383 116,383 de punto j4, 46,56,62, 1l3, 207, 269, punto fijo, fijo, j4, 46,56,62, 113,207,269, 311 de punto punto fijo multivariable, multivariable, 259, 259, 311, 312, 312, 313 de Richardson, Richardson, 572, 572, 573 de Richmond, Richmond, 115, 121 de Romberg, Romberg, 416 416 de segundo segundo orden orden de convergencia, convergencia, 46 de Simpson, 398, 406 Simpson, 398, 406 . de Simpson Simpson compuesto, compuesto, 404, 404, 410, 410, 456 456 -de de Simpson 461 ,485 Simpson 1/3, 1/3,461,485 de Simpson Simpson 3/8, 3/8, 456 456 457 de Simpson Simpson 3/8 compuesto, compuesto, 457 de Steffensen, Steffensen, 64, 64, 96, 96, 116 de Thomas, Thomas, 178, 118, 179 de Wittaker, Wittaker, 114 del descenso descenso de máxima máxima pendiente, pendiente, 290, 290, 316 316 del eigenvalor eigenvalor dominante, dominante, 315, 315, 316 316 explícito, explícito, 545, 545, 557, 557, 581, 581, 587 Illinois, IlIinois, 66 implícito, implícito, 554, 554, 587 587 Regula-Fa1si, Regula-Falsi, 53 trapezoidal, trapezoidal, 395, 395, 404,406, 404, 406, 417 417 trapezoidal compuesto, compuesto, 402, 402, 408 408 trapezoidal método método de Bairstow, Bairstow, 299-332 299-332 factor factor cuadrático, cuadrático, 299-304 299-304 método método de disparo, disparo, 493-496 493-496 método de Newton-Raphson, método Newton-Raphson, 266 266 interpretación interpretación geométrica, geométrica, 268 268 suma suma de residuos residuos al cuadrado, cuadrado, 286 286 métodos métodos cuasi-Newton, cuasi-Newton, 313 de AdamsAdams- Bashford, Bashford, 492, 492, 495, 495, 529 de Adams-Moulton, Adams-Moulton, 492, 492, 495, 495, 529 529 Bailey, 119 de Bailey, compuestos de integración, 402 compuestos integración, 402 dos puntos, puntos, 59, 59,61,66 de dos 61 , 66 Lambert, 119 de Lambert, mínimos cuadrados, cuadrados, 252, 252, 452 452 de mínimos

de de de de de de de

599

múltiples pasos, pasos, 484 484 múltiples Newton-Cotes, 395 395 Newton-Cotes, predicción-corrección, 492, 492, 495, 495, 501 predicción-corrección, primer orden, orden, 61 primer relajación, 218 218 relajación, Runge-Kutta, 480, 480, 482, 482, 501, 501, 510, 510, 513, 5l3, Runge-Kutta, 514,516,520,526, 529 514,516,520,526,529 Taylor, 474, 474, 475, 475 , 479, 479, 528 528 de Taylor, solo paso, paso, 484 484 de un solo SOR, 219, 253, 253, 287 287 SOR, 219, modelo de Ostwald-De Ostwald-De Waele, Waele, 124 modelo 124 multiplicación de matrices, matrices, 130 l30 multiplicación vectores, 139 l39 de vectores, norma euclideana, euclideana, 236, 236, 239 239 norma número de máquina, máquina, 30 número Reynolds, 124 de Reynolds, 124 una computadora, computadora, 9 en una reales reales (punto (punto flotante), flotante), 10 enteros, 9 enteros, normalizados, 15 normalizados, reales, 125 reales, operaciones elementales elementales con con matrices, matrices, 126 operaciones operador de diferencias diferencias hacia hacia atrás, atrás, 339 339 operador de diferencias diferencias hacia hacia delante, delante, 339 339 diferencias centrales, centrales, 386 386 en diferencias orden de convergencia, convergencia, 44, 44, 59, 59, 60, 61, 118, 564 orden 118,564 de precedencia, precedencia, 299 299 de una ecuación ecuación diferencial, diferencial, 469 469 de una otorgonalización, 150, 157,233 otorgonalización, 157, 233 Gram-Schmidt, 150, 157,232 de Gram-Schmidt, 157,232 overflow, 16 overflow, palabra de memoria, memoria, 9 palabra partición partición de ecuaciones, ecuaciones, 257, 257, 300 300 pivote, 167 pivote, pivoteo parcial, parcial, 167, 192,202 pivoteo 192,202 total, 202, total, 202, 235 235 polinomio polinomio característico, característico, 233, 233, 234 234 grado n en en diferencias diferencias divididadas, divididadas, 349 349 de grado interpolación, 488, 488, 493 493 de interpolación, Lagrange, 441 de Lagrange, de Newton, Newton, 337 337 de Newton en en diferencias diferencias divididas, divididas, 384, 384, de Newton 443,463 443,463 Newton en en diferencias diferencias finitas, finitas, 338 338 de Newton Newton en en diferencias diferencias finitas finitas hacia hacia de Newton atrás, 340 340 atrás, Newton en en diferencias diferencias finitas finitas hacia hacia de Newton delante, 340 340 delante, polinomios complejos, 71 polinomios complejos, de Lagrange, Lagrange, 323, 323, 325, 325, 370, 370, 542 542 de positividad, 141 positividad, precisión sencilla, sencilla, 18, 27 precisión predictor, 478 predictor,478 primera diferencia diferencia central, central, 387 387 primera dividida, 330 330 dividida, hacia atrás, atrás, 339 339 hacia problema problema de valores valores en la frontera, frontera, 111-113,492,539,543,587 111-113,492,539,543,587 problemas problemas de de valor valor inicial, inicial, 99, 99, 469, 469, 470 470 producto producto de de matrices matrices por por un escalar, escalar, 128 punto 140 punto de vectores, vectores, 140

600 600


propagación de de eITores, errores, 19 19 propagación puntos de de inflexión, inflexión, 68 68 puntos singulares de una función, función, 68 68 singulares raíces complejas, complejas, 71, 72, 72, 73, 73,115,117 raíces 115, 117 reales, 73 73,, 117 117 reales, reales no repetidas, repetidas, 46 46 reales repetidas, 73 repetidas, rango, 143, 143, 158,240 158,240 rango, de la matriz matriz coeficiente, coeficiente, 230, 241 de matriz, 158,232,233 158, 232, 233 de una matriz, reducción de ecuaciones, ecuaciones, 256, 256, 295 reducción regla de Cramer, Cramer, 362 362 regla Horner, 114 de Homer, mallas de Kirchl.0ff, Kirchhoff, 228 de las mallas nodos de Kil'éhhoff, Kiréhhoff, 228 de los nodos Simpson, 404, 404, 4Ú6, 406, 407, 407, 421 421,, 485 de Simpson, trapezoide, 445 445 del trapezoide, trapezoidal, , 395, 395, 407, 407, 447 447 trapezoidal reordenamiento de ecuaciones, ecuaciones, 259 reordenamiento residuo de una una funcióll, función, 2, 4 residuo segunda diferencia diferencia dividida, dividida, 334 334 segunda hacia atrás, atrás, 339 339 hacia hacia delante, delante, 339 339 hacia serie de Fibonacci, Fibonacci, 285 serie de Taylor, Taylor, 60, 411, 411 , 474, 474, 475, 475 , 476, 476, 477, 477, 480, 480, 482,539,561,586 482,539, 561,586 sistema binario, sistema binario, 2, 3 consistente, consistente, 161 de control control lineal, lineal, 99 decimal, , 3 decimal diagonal dominante, diagonal dominante, 216 216 homogéneo, homogéneo, 160, 160, 230, 230, 237 237 inconsistente, inconsistente, 161 no no homogéneo, homogéneo, 160 160 octal,4 octal, 4 simétrico, 191 simétrico, tridiagonal, tridiagonal, por por bloques, bloques, 244 244 sistemas sistemas de de ecuaciones ecuaciones diferenciales, diferenciales, 501 501 de de ecuaciones ecuaciones lineales, lineales, 160 160 de de ecuaciones ecuaciones mal mal condicionados, condicionados, 197, 197, 198,201,219,251 198,20 1, 219, 251

dispersos, dispersos, 225 225 especiales, especiales, 177 177 lineales lineales simétricos, simétricos, 250 250 solución solución única, única, 161 161 suma suma de de matrices, matrices, 126 sustitución 163, 164, 169, 178, sustitución regresiva, regresiva, 84, 84,163,164,169,178, 179, 243 179, 182, 182,243 tanteo 10 tanteo de ecuaciones, ecuaciones, 257, 3310 teorema teorema binominal, binominal, 61 61 de Bolzano, Bolzano, 55 teoría de las vibraciones, vibraciones, 240 240 teoría tiempo de máquina, máquina, 473 tiempo transformada transformada inversa inversa de Laplace, Laplace, 100, 100, 111 111 transformada de Laplace, Laplace, 99, 111 111 transformada triangulización, triangulización, 163, 164, 165, 169, 178, 184, 197,241 197, 241 underflow, 16 undelfiow, valor valor característico característico dominante, dominante, 253, 254 254 inicial, inicial, 234 234 valores valores característicos, característicos, 234, 234, 253 complejos, 117 complejos, iniciales, 67, 95, 104, 107, 109, 113,257 iniciales, 95,104,107,109,113,257 iniciales, búsqueda, búsqueda, 66 iniciales, vector característico, 253 253,, 254 vector característico, 254 cero, cero, 143, 143, 147 de exploración, exploración, 283 283 de de de términos términos independientes, independientes, 160 gradiente,291 gradiente, 291 dominante, dominante, 253, 253, 254 254 incógnita, incógnita, 160 160 inicial, 209, 209, 210, 210, 214, 214, 215 215 inicial, linealmente dependiente, dependiente, 146,233,241 146,233,24 1 linealmente linealmente independiente, independiente, 146, 146,240 Iinealmente 240 residuo, residuo, 219 219 solución, 207, 207, 213, 213, 219 219 solución, vectores, 137 137 vectores, propios, propios, 235, 235, 237 237 vibración en en estado estado estacionario, estacionario, 5510 vibración 10 visualización de de raíces, raíces, 25 25 visualización '

Esta Esta obra obra se se terminó terminó de de imprimir imprimir en en junio junio del del 2006 2006 en en los los talleres talleres de de Fusión Fusión Servicios Servicios Gráficos Gráficos Miguel Miguel Negrete Negrete No.34 No.34 -- 401 401 CoL Col. Niños Niños Héroes Héroes c.p, C.P. 03440 03440 México México D.E D.E

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análisis numérico numérico se concretan concretan una serie de métodos métodos o o algoritmos, algoritmos, cuya nnel análisis característica posibilidad de obtener característica principal principal es la posibilidad obtener resultados resultados numéricos numéricos de problemas problemas matemáticos matemáticos de cualquier cualquier tipo tipo a a partir partir de números números y y operaciones operaciones aritarito méticas. méticas. la la finalidad finalidad de este libro libro es facilitar facilitar el estudio estudio y y uso racional racional de dichos dichos algoritmos algoritmos en diferentes diferentes áreas de la ingeniería ingeniería y y las ciencias. ciencias. En Aplicados a En esta segunda edición edición de Métodos Métodos Numéricos Numéricos Aplicados a la Ingeniería Ingenieria se intenta intenta no caer en un curso más de recetas recetas matemáticas matemáticas desvinculadas desvinculadas y y sin senseno tido, tido, por lo que los autores autores han desarrollado desarrollado el material material del libro libro alrededor alrededor de tres tres ideas fundamentales: fundamentales: el punto fijo, fijo, la -eliminación -eliminación de Gauss y y la aproximación aproximación de funciones. Para lograr recursos didácticos funciones. lograr esto, esto, se emplean como recursos didácticos para cada mémé· >, >, todo todo o o problema problema diferentes diferentes sistemas sistemas de representación: representación: el gráfico, gráfico, el tabular tabular y y el algebraico. algebraico. lector vea claramente claramente la relación relación entre entre los métodos métodos que Con el fin de que el lector libro y y su aplicación aplicación en el cont;xto capítu· se estudian estudian en el libro cont! xto real, al final final de cada capíturesuelven problemas problemas de aplicación aplicación de diferentes diferentes áreas. áreas. De igual manera, manera, se lo se resuelven hincapié en el uso de herramientas herramientas como la calculadora calculadora y y la computadora computadora así hace hincapié importancia de la visualización visualización de los problemas. problemas. como en la importancia ESTA EDICiÓN CAMBIOS ESENCIALES EN ESTA

ejemplos, ejercicios ejercicios y y problemas problemas de aplicación aplicación a a diferentes diferentes ingenierías. ingenierías. •• Nuevos ejemplos, importantes en las secciones secciones de valores valores y y vectores vectores propios, propios, en probleproble· •• Cambios importantes valores a a la frontera frontera y y en el método método de Bairstow, Bairstow, así como en la secseco mas de valores solución y y análisis análisis de la ecuación ecuación de onda en una dimensión. dimensión. ción solución Problemas resueltos resueltos con guiones guiones en Matlab y y la calculadora TI·92 a a lo largo de •• Problemas calculadora TI-92 todo el texto. todo texto. CDdiseñado especialmente para esta esta edición edición con: sugerencias sugerencias para resolver resolver un •• CD diseñado especialmente gran número de ejemplos ejemplos y y ejercicios ejercicios con Matlab, Matlab, Mathcad Mathcad y y Mathematica; Mathematica; propro· gramas fuente fuente en Visual Basic y y sus respectivos ejecutables para la solución solución gramas respectivos ejecutables ejercicios; ligas ligas a a sitios sitios de interés interés y y otros otros apoyos adicionales adicionales paT paraa el de más ejercicios; lector. lector. actualizaciones del material material del libro libro (nuevas (nuevas soluciones, soluciones, propro· •• Sitio Web con: actualizaciones programas, entre entre otros). otros). blemas yy programas,

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