Ejercicios Anexo 1 – TC 1 a) De las siguientes sucesiones determinar inferior y/o superior 1.
n+1 n
2.
2n 2 n2
3.
n+1 3n
4.
5n n
n −1 5. −1 .2 n
9.
10.
11.
12.
n+1 n−1
2n n
14.
5n n−3
15. n n+1
1 3n
3n n−1
n −1 7. −1 .2 n
8.
1 2n
13.
n+2
6. 2 n−1
la cota
3 n−5 n+1
b) De las siguientes sucesiones, Determinar si son monótonas y si convergen o divergen, justificar la respuesta. 16.
8, 3,−2,−7,−12, …
21.
−4, 9,−16, 25,−36, 49, … ..
17.
4, 9, 16,25, 36, 49, …..
22.
4,−9,16,−25,36,−49, … ..
18.
5,10, 17, 26,37, 50,… ..
19.
6,11, 18, 27, 38,51, … ..
20.
23.
2 5 8 11 14 , , , , , ... 4 9 16 25 36
24.
7 9 11 13 −5, ,− , ,− ,... 2 3 4 5
3, 8,15, 24,35, 48, … ..
25.
2, 4, 8,16, 32,64
c) Problemas Progresiones Aritméticas y Geométricas. 26. Problema 1: Sergio ingresa a una dieta para subir de peso, esta dieta, le exige iniciar tomando 200mg de multivitamínico el primer día e ir tomando 20 mg más cada día durante los 90 días que el doctor le ha programado la dieta. 1 mg de multivitamínico cuesta 10 Pesos. Responda las siguientes preguntas. a) ¿Cuánto multivitamínico consumirá Sergio en el total de su dieta? b) ¿Cuánto dinero gastará comprando este multivitamínico? c) ¿La progresión es aritmética o geométrica? Justificar d) ¿La progresión es creciente o decreciente? Justificar 27. 28. Problema 2: Pedro tiene una deuda cuyo valor asciende a 20.000, a través de un acuerdo de pago, se compromete a cancelar el 130% del valor total de la deuda en 24 pagos mensuales fijos. Cuando Pedro acaba de cancelar su veinteavo (20) mes de la deuda se gana un chance por valor de 4000, por lo tanto, él desea saber si el valor del premio le alcanza para pagar la deuda que le queda. Responda las siguientes preguntas. Plantee la solución desde las progresiones. a) ¿Cuánto le queda por pagar a Pedro en el momento que se gana el chance? b) ¿Le alcanza a Pedro para pagar la totalidad de la deuda restante en el momento en que se gana el chance? c) ¿La progresión es aritmética o geométrica? Justificar el porqué. d) a) ¿La progresión es creciente o decreciente? justificar el porqué. 29. 30. Problema 3: Un rey le dijo a un caballero: "Puedes tomar hoy una moneda de oro, mañana 2 monedas, pasado mañana 4 monedas y así sucesivamente, cada día puedes tomar el doble de monedas de las que tomaste el día anterior hasta que llenes esta mochila con
las monedas que día a día irás depositando" y le entregó dicha mochila. Suponiendo que cada moneda de oro pesa 2 gramos y que la mochila tiene una capacidad máxima de carga de 10kg. Responda las siguientes preguntas. a) ¿Cuántas monedas en total logrará recoger el caballero? b) ¿Cuántos días aproximadamente se tardará en lograrlo? c) ¿La progresión es aritmética o geométrica? d) ¿La progresión es creciente o decreciente?, Justificar 31. 32. Problema 4. En un laboratorio, un científico después de aplicar un catalizador a una bacteria descubre que durante la primera hora obtuvo 3 bacterias y estas se reproducirán por tripartición cada hora, el científico requiere desarrollar en 8 horas un cultivo de bacterias superior a 100.000. Responda las siguientes preguntas. a) ¿Cuál es el tamaño del cultivo de bacterias obtenidas luego de las 4 horas? b) ¿Logra el científico cultivar la cantidad de bacterias que requiere? c) Independientemente de si lo logra o no lo logra ¿en cuánto tiempo lograría el científico tener el cultivo de bacterias requerido? 33. 34. 35. Problema 5. Pedro tiene sobrepeso, su peso actual es de 195 Kg y su peso ideal debería ser de 85Kg. Un médico le receta un tratamiento el cual le va a permitir bajar de peso a razón de 1Kg mensualmente. 36. ¿En cuánto tiempo pedro alcanzaría su peso ideal? 37. ¿La progresión es una progresión geométrica o aritmética? Justificar 38. ¿Cuánto tiempo necesita pedro para adelgazar el 30% de su peso actual? 39. ¿La progresión es una progresión creciente o decreciente? Justificar 40.
41. Problema 6. Planteé el término general de una progresión aritmética cuyo primer término es 90 y la diferencia común es 4. Adicionalmente encuentre la suma de los 10 primeros términos y el valor del veinteavo término. 42. 43. Problema 7. Plantee el término general de una progresión geométrica cuyo primer término es 12 y la razón común es 8 Adicionalmente encuentre la suma de los primeros 5 términos y el valor del décimo término. 44. 45. Problema 8. Encuentre el primer término de una progresión cuya diferencia común es 1/2 y la suma de sus tres primeros términos es 10. Adicionalmente, plantee el término general. 46. 47. Problema 9. Se está excavando un pozo para encontrar petróleo, el gerente de la obra requiere saber cuántos metros de excavación van hasta el momento y solo conoce que el costo del primer metro excavado es de 80.000, el costo por metro adicional es de 17.000 y a la fecha se han invertido 2.000.000 para la excavación. 48. 49. Problema 10. Se reparte un bono de Navidad a los 10 mejores vendedores de una empresa. Se sabe que, a mayor venta mayor bono, y que la diferencia entre 2 bonos consecutivos es siempre constante y es de 1.500 Además el vendedor 1 recibe el menor bono y el vendedor 10 recibe el mayor bono. Si el vendedor 3 recibe un bono de 15.000. a) ¿Cuánto recibe el mejor vendedor? b) ¿Cuánto recibe el peor vendedor? c) ¿La progresión es aritmética o geométrica? Justificar d) ¿La progresión es creciente o decreciente? Justificar 50. 51. Problema 11. En una colonia de abejas, en el primer día de investigación, alumnos de Ingeniería Agrícola contabilizaron 3 abejas, el segundo día habían 9, el tercero habían 27.
52. a) ¿Cuántas abejas nacieron hasta el 10 día? 53. b) ¿Cuántas abejas habían después de un mes? (en este caso el mes tiene 30 días) 54. 55. Problema 12. A un electricista le ofrecen 6000 pesos de sueldo fijo y le ofrecen 1367 pesos de aumento mensual desde el siguiente mes de ser contratado (a modo de incentivo para que no se cambie de empresa). 56. a) ¿Cuál será su sueldo, durante el treceavo mes de trabajar en esa empresa? 57. b) ¿Cuál será el total de dinero recibido en 18 meses de trabajo en la misma empresa? 58.
59. Problema 13. Calcula el número de pisos de un edificio de oficinas, sabiendo que la primera planta tiene una altura de 5m, que la azotea está a 47 m del suelo, y que la altura de cada piso es de 2,8m. 60. 61. Problema 14. Una nadadora entrenó todos los días durante tres semanas. El primer día nadó 30 minutos, y cada día nadaba 2 minutos más que el día anterior. ¿Cuánto tiempo nadó el último día? ¿Y a lo largo de las tres semanas? 62. 63. Problema 15. Una pequeña ciudad tiene 20.000 habitantes. Uno de ellos se entera de una noticia. Al cabo de una hora la ha comunicado a tres de sus vecinos. Cada uno de estos, la transmite en una hora a otros tres de sus vecinos que desconocen la noticia. Éstos repiten la comunicación en las mismas condiciones. ¿Cuánto tiempo tardarán en enterarse todos los habitantes de la ciudad? 64. 65. 66. Problema 16. Pablo ha decidido ahorrar dinero, 4000 pesos para empezar, y 200 pesos cada día. 67. 68. ¿Cuánto dinero tendrá Pablo al cabo de un mes (30 días)?
69. Problema 17. Ángela ha vuelto encantada de sus vacaciones, y ha compartido con 30 amigos las fotos en una red social. Cada uno de ellos, a su vez, las ha compartido con otros 30, y así sucesivamente. 70. ¿Cuántas personas pueden ver las fotos de las vacaciones de Ángela, si se han compartido hasta el 5º grado de amistad? 71. Problema 18. En una progresión aritmética el primer término y el último término son 37 y 307, respectivamente. Halle el décimo término si la suma de sus términos es 3767. 72. Problema 19. El primer término de una progresión aritmética es 3, el tercer término es 14 y la suma de los 3 primeros términos es 21. Halla la suma de los 10 primeros términos. 73. Problema 20. La suma de los términos de una progresión aritmética es 425 y su término central es 17. Hallar el número de términos. 74. Problema 21. Calcula las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que están en progresión aritmética y que el menor de ellos mide 8 cm. 75. Problema 22. Un peón debe depositar una carretilla de arena al pie de cada uno de los 40 árboles que están de un lado de la calzada; los árboles están a 4m de distancia, y el montón de arena está 10 m antes del 1er árbol. ¿Cuántos metros habrá recorrido después de haber terminado su trabajo y vuelta la carretilla al montón de arena? 76. Problema 23. Un cuerpo que cae recorre 4,9 m. durante el primer segundo de caída; y en cada segundo el
espacio recorrido excede en 10,8 m al recorrido en el segundo anterior. Se pregunta: 77. 1. Lo que el cuerpo recorre durante el décimo segundo de su caída 78. 2. El espacio recorrido durante los diez segundos. 79. Problema 24. Búsquense los tres ángulos de un triángulo rectángulo, sabiendo que estos ángulos están en progresión aritmética. 80. Problema 25. En una progresión geométrica el primer término es 7. ¿Cuál debe ser la razón para que la suma de términos sea 50/11? 81. Problema 26. Se deja caer una pelota de goma desde la altura de 15 m. Después de cada rebote sube a 9/11 de la altura de que cae. ¿Qué espacio recorre antes de llegar al reposo? 82. Problema 27. Un pueblo que tenía 15.000 personas, no tiene hoy más que 6.561. La disminución anual ha sido la quinta parte de los habitantes. ¿Cuántos años hace que tenía 10.000 personas dicho pueblo? 83. Problema 28. La suma de los términos que ocupan el lugar impar, en una progresión geométrica de seis términos, es 1365, y la suma de los que ocupan el lugar par, 5460. Hallar el primer término y la razón. 84. Problema 29. Descomponer 726 en un número de partes que estén en progresión creciente, de manera que 492 sea la suma de los términos extremos, y su diferencia 483, menos la razón.
85. Problema 30. Hallar la suma de los cinco términos de una progresión geométrica, cuya razón es igual al primer término, con signo contrario, y la diferencia de los dos primeros igual a 2. 86. Problema 31. ¿Cuál es la razón de una progresión geométrica de 12 términos, siendo el primero 1 y el último 2048? ¿Cuál será la suma de los términos de esta progresión, y cuál el décimo término? 87. 88. 89. 90. Problema 32. En una progresión geométrica se da: el primer término, 9; la razón, 0,2; y la suma de los términos 11,232. Hallar el número de éstos. 91. Ejercicios Anexo 2 – TC2 92. Aritméticas 1. Un=10+5 n 2. Un=13−3 n 3. Un=5−2 n 4. Un=4 n+3
5. Un=8 n−2 93. Geométricas n−1 6. Un=2.3
n−1 7. Un=3.2
n−1 8. Un=5.3
n−1 9. Un=4.4
94. 95. 96. 97.
98. 99. 100. 10 1 .
102. 103. 104.
