Ejemplo Arima

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Sabemos que se aprende de las regularidades del comportamiento pasado de la serie y se proyectan hacia el futuro. Por lo tanto, es preciso que los procesos aleatorios generadores de las series temporales tengan algún tipo de estabilidad. Si, por el contrario, en cada momento de tiempo presentan un comportamiento diferente e inestable, no se pueden utilizar para predecir. A estas condiciones que se les impone a los procesos estocásticos para que sean estables para predecir, se les conoce como estacionariedad. estacion ariedad. Utilizando el análisis de series temporales, t emporales, manteniendo la metodología de box-Jenkins vamos a realizar un análisis de la tasa del IPC en Australia, la serie es trimestral, se recogen los datos desde el 6/01/1948 hasta el 9 /01/2012.

A continuación voy a realizar un primer gráfico para observar el comportamiento de mi serie.

1 M.Sc. Marcelo Miranda PhD(c) [email protected]

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En un principio vemos que la serie no posee tendencias estocásticas ni deterministas. Podemos observar que existe variabilidad variabilidad en varianza. Aparentemente Aparentemente puede parecer estacionaria ya que es una una tasa pero debemos comprobarlo ya que si bien la tendencia no es evidente, otros problemas como la autocorrelación o la estacionalidad pueden estar presentes. Primero vamos a realizar el gráfico de autocorrelograma de las funciones de autocorrelación simple y parcial para detectar si la serie es estacionaria o no, también nos puede indicar que estructura puede tener la serie y así elegir el modelo que será bueno para modelizar la serie y sus problemas.

1. TEST DE AUTOCORRELACIONES NIVELES


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En un principio vemos que la serie no posee tendencias estocásticas ni deterministas. Podemos observar que existe variabilidad variabilidad en varianza. Aparentemente Aparentemente puede parecer estacionaria ya que es una una tasa pero debemos comprobarlo ya que si bien la tendencia no es evidente, otros problemas como la autocorrelación o la estacionalidad pueden estar presentes. Primero vamos a realizar el gráfico de autocorrelograma de las funciones de autocorrelación simple y parcial para detectar si la serie es estacionaria o no, también nos puede indicar que estructura puede tener la serie y así elegir el modelo que será bueno para modelizar la serie y sus problemas.

1. TEST DE AUTOCORRELACIONES NIVELES


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Podemos observar que la autocorrelación parece que decrece rápidamente hacia 0 eso es una característica clara de las series autorregresivas. autorregresivas . Vamos a comprobar si la serie es estacionaria o no mediante el test de raíces unitarias, ya que aunque en un principio la serie parece estacionaria, este test nos da el resultado con exactitud.

2. TEST DE RAICES UNITARIAS 

TEST DE DICKEY-FULLER DICKEY-FULLER

Con este test pretendemos cerciorarnos si la serie es estacionaria o no. Vamos a realizarlo en niveles y si obtenemos un resultado de no estacionariedad realizaremos el test en primera diferencia y si la serie sigue sin ser estacionaria, en segunda diferencia hasta obtener la estacionariedad. No realizaremos la transformación en logaritmos ya que mi serie es una tasa.


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NIVELES

En este test la H o es la presencia de raíces unitarias y la H 1 presenta que la serie ha sido generada por un proceso estacionario. La prueba de hipótesis se contrasta con el valor de la t estadística y su probabilidad. Si ésta resulta positiva o está por debajo del valor crítico, se acepta Ho. Este resultado se confirma un poco más intuitivamente cuando se observa que la probabilidad de la prueba es mayor al 95% de confianza, lo cual se advierte en el valor de probabilidad, que debe ser mayor a 0.05 para aceptar la Ho. En tal caso se sabe de la existencia de al menos una raíz unitaria, en este caso no es así ya que como el resultado de la probabilidad es menor a 0,05 rechazamos la hipótesis de no estacionariedad, la serie que observamos seria estacionaria. A un nivel de significación del 0,01 la seria no sería estacionaria, pero vamos a tomar el valor de referencia que sería 0,05 por tanto puedo concluir que mi serie ya sería estacionaria y no tendríamos problemas para modelizar.

3. ESPECIFICACIÓN DEL MODELO Observando el correlograma de mis datos, encuentro indicios de que mi modelo se pueda especificar de forma correcta mediante los procesos ARMA. Tras probar numerosos modelos, voy a representar los tres modelos que he obtenido significativos y así comparar entre ellos y que hacen a mi serie estacionaria.

A) MODELO 1 ARMA(2,1) 1. ESTIMACIÓN IPC c ar(1) ar(2) ma(1)


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El primer modelo propuesto, está formado por los procesos AR(1), AR(2) Y MA(1), Para los tres procesos, contrastando con los niveles de significación razonables (0.05, 0.01 y 0.1), se rechaza la hipótesis nula, por tantos los tres serían significativos dentro de los niveles habituales de confianza. El R-squared nos muestra que nuestro modelo se ajusta en un 47,33%. El criterio de Akaike y el criterio de Schwarz poseen valores de 2.7460 y 2.8024 respectivamente. Estos Datos los utilizaremos para comparar entre nuestros modelos, claro que solo uno de ellos (cualquiera) como criterio de decisión para el mejor ajuste.


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2. CORRELOGRAMA

En el correlograma podemos observar que tanto la autocorrelación como la correlación parcial están correctamente ajustadas, ya que no se salen de las bandas. Sería un buen modelo aunque nuestros estadísticos de Ljung-Box no son ruido blanco, pero eso no es problema ya que se puede tener estacionalidad y no ruido blanco.


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3. GRÁFICO DE RESIDUOS

En el gráfico de residuos podemos observar que el modelo se ajusta bien ya que la distribución de los residuos ajustada es parecida a la distribución original.

4. MATRIZ DE VARIANZAS Y COVARIANZAS

En esta matriz podemos ver que los valores de las varianzas situadas en la diagonal principal siguen una distribución parecida y los valores de las covarianzas son muy bajos por tanto estaríamos ante un modelo bien ajustado.


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B) MODELO 2 AR(1) AR(2) 1. ESTIMACIÓN: IPC c AR(1) AR(2)

El segundo modelo propuesto, está formado por los procesos autorregresivos AR(1) AR(2), En los dos casos, contrastando con los niveles de significación habituales (0.05, 0.01 y 0.1), se rechaza la hipótesis nula que son iguales a cero, por tanto sería significativo. El R-squared nos muestra que nuestro modelo se ajusta en un 45,25%. El criterio de Akaike y el criterio de Schwarz poseen valores de 2.7769 y 2.8191 respectivamente. Estos Datos los utilizaremos para comparar entre nuestros modelos manteniendo el criterio se decisión habitual.


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2. CORRELOGRAMA DE RESIDUOS

Podemos apreciar que este también sería un buen modelo ya que las correlaciones no se salen de las bandas de forma que sea grabe. Mantienen una estructura adecuada pero nuevamente el estadístico Q-Stat nos dice que no estamos en presencia de ruido blanco.


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Como podemos observar los residuos de esta modelización no tienen mucha diferencia con el ajustado. Es un buen ajuste.




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C) Modelo 3 AR(1) AR(2) AR(3)

1. ESTIMACIÓN: Ipc c ar(1) ar(2) ar(3)

El tercer modelo propuesto, está formado por el proceso autorregresivo AR(1) AR(2) Y AR(3), contrastando con los niveles de significación razonables (0.05,0.01 y 0.1), se rechaza la hipótesis nula, por tanto sería significativo. El R-squared nos muestra que nuestro modelo se ajusta en un 46,72%. El criterio de Akaike y el criterio de Schwarz poseen valores de 2,7576 y 2,8140respectivamente. Estos Datos los utilizaremos para comparar entre nuestros modelos.


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2. CORRELOGRAMA DE LOS RESIDUOS

Podemos apreciar que este también sería un buen modelo ya que las correlaciones no se salen de las bandas de manera que se hacen cero. Mantienen una estructura adecuada pero nuevamente el estadístico Q-Stat nos dice que no estamos en presencia de ruido blanco.


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Como podemos observar los residuos de esta modelización no tienen mucha diferencia con el ajustado. Es un buen ajuste.



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Tras realizar 3 modelos propuestos, he comparado el valor del criterio de akaike en los tres casos y el menor valor pertenece al modelo 1: ARMA(2,1). Además del criterio de akaike, podemos ver que en el correlograma de residuos la correlación parcial no se sale de las bandas. Creo que este sería el mejor modelo para modelizar mi serie. Es muy usual hacer este tipo de metodología ya que hay dos principios los que buscamos al modelizar las series temporales, el primero es que la serie sea estacionaria, y el segundo el de parsimonia ya que con una adecuada modelización nos aseguramos cumplir los dos objetivos principales de las series temporales univariantes, que es el control y la predicción. Con series mal modelizadas podemos cometer errores que representen malas medidas de política, el criterio de Akaike es el más usual para tener un criterio unísono para comparar modelos.

4. ESTIMACIÓN Se realiza el análisis de predicción por dos objeticos: controlar la serie y su comportamiento y encontrar el valor más cercano al verdadero valor de la población; y predecir el comportamiento en el siguiente periodo de la serie que estamos analizando. Las predicciones hechas en periodos más adelante en el tiempo pierden fiabilidad por los problemas que contienen intrínsecamente la serie y otros ajenos a nuestro control. Por tanto, yo únicamente he realizado la predicción del siguiente periodo:


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ESTIMACIÓN Podemos observar que en la columna de la derecha, la predicción encontrada es muy cercana al valor de la observación, lo cual nos indica un buen ajuste de nuestro modelo, mostramos dos formas de presentar las predicciones, una columna la del medio con solo la predicción y la segunda de la derecha incluyen los datos observados de nuestra seria mas el periodo predicho por nuestra modelización. En nuestro caso tenemos el resultado del comportamiento de nuestra muestra en el siguiente periodo.

Observamos que nuestra predicción (la línea azul) está dentro de las bandas de confianza, lo cual demuestra un muy buen ajuste de nuestro modelo y, por tanto, una buena predicción. 15 M.Sc. Marcelo Miranda PhD(c) [email protected]

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Mirando los estadísticos de la derecha, podemos observar que el modelo estimado se ajusta en un 81,16% al modelo de inicio, además la variabilidad es únicamente del 18,8%, por lo que podemos concluir que la estimación es acertada.

5. COINTEGRACIÓN Sabemos que se mantiene en la teoría que dos o mas series están cointegradas si las mismas se mueven conjuntamente a lo largo del tiempo, y sus diferencias son estacionarias, aun que cada serie tenga su propia identidad y tendencia estocástica y por lo tanto no sea estacionara. Por lo tanto se plantea que a cointegración es un reflejo del llamado de equilibrio en el largo plazo en el tiempo. Entonces el término de error de la ecuación de cointegración se interpretan como el error que desequilibra para cada momento del tiempo en particular. Nuestro objetivo de este apartado es el análisis de las relaciones dinámicas entre la tasa del IPC en España y la tasa de ocupación en España también, observados mensualmente desde Enero de 1998 hasta el Diciembre de 2009.

En primer lugar vamos a realizar un gráfico conjunto de las series para observar su comportamiento.


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Podemos decir que las dos series mantienen una dirección y comportamiento no muy distante.

Como seguimos el método de Engle y Granger para hacer el análisis que corresponde primero es utilizar la metodología ya vista de Box Jenquins de nuestras series analizadas.

a) Transformación estacionaria de cada una de las dos series consideradas. 1. Transformación para la tasa del IPC


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El estadístico de Dickey-Fuller nos permite concluir que la serie de la tasa del IPC no es estacionaria. Por lo tanto, tomamos primeras diferencias y analizamos si las variaciones menduales son estacionarias.


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Como podemos ver la serie es estacionaria a una diferencia.

La serie tras tomar una diferencia es estacionaria. Por lo tanto, la tasa del IPC mensual es una variable I(1).


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2. Tranformación para la tasa de ocupación

La serie tasa de ocupación no es una variable estacionaria. Vamos a a nalizar ahora si sus primeras diferencias son estacionarias:


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Dado que las tasas de variación mensuales son estacionarias, la tasa de ocupación en España también es una variable I(1). Con este análisis cumplimos una de las condiciones iniciales para las series cointegradas que es que las dos series sean integradas de orden uno. Ya podemos determinar si las variables están coi ntegradas o no. 21 M.Sc. Marcelo Miranda PhD(c) [email protected]

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b) Estimación de la regresión a largo plazo y análisis de sus residuos.

Tomamos como variable dependiente el IPC, pero realmente podríamos poner cualquiera de las dos.

IPCt = -61.35875 +TASAOCUPACONt

Al realizar un MCO para determinar si estas tienen relación entre sí, podemos ver que la variable es significativa, este hecho por tanto nos hace que podamos pensar que las variables estén cointegradas ya que a un nivel de significación razonable. A continuación introducimos el gráfico de los residuos comparados con el ajustado y el actual.


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El gráfico de los residuos únicamente sería; como vemos tiene una estructura de tendencia y algún proceso autorregresivo multiplicativo.

Test de raíces unitarias para los residuos.

Los residuos son estacionarios, por lo tanto las variables están cointegradas existiendo entre ellas una relación de equilibrio a largo plazo dada por: Ipct= 3.17 + tasaocupaciont


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c)

Estimación por MV del modelo VAR-MCE con el vector de cointegración normalizado con respecto a la primera variable.

Granger dice que, si las variables están cointegradas, existe un mecanismo de corrección y viceversa. Por lo tanto, teóricamente, se presentan dos posibles vías de contrastar la cointegración; la primera es ver sí a´ Xt* es I(0) y la segunda consiste en buscar si existe un mecanismo de corrección del error. Si tenemos un proceso vectorial autorregresivo que podemos expresar de forma compacta. a(L)Xt* = t El polinomio a(L) se puede descomponer en varios términos por Taylor en el punto L=1. Si hacemos una expansión de primer orden, el resultado será: a(L) = a(1) + a*(L) (1-L) Para obtener un modelo de corrección del error solo hay que sumar a(1) L, por lo que quedaría: a(L) = a(1)L + [ a(1) + a*(L)] (1-L)= a(1)L + a**(L)(1-L). Sustituimos en la forma compacta, tendríamos que: *

*

a**(L)(1-L) Xt = -a(1) X t-1 + t En el primer miembro, hay términos en primeras diferencias (1-L) Xt*. Esto se debe a que las variables Xt* son integrables de orden uno I(1). Pero también tenemos términos sin diferenciar, en niveles, como a(1) Xt-1*. El modelo, en principio, estará mal especificado ya que no puede ser que una variable con tendencia en varianza como Xt-1*, explique a otra que no la tiene como (1-L) Xt-1*.

Sin embargo el modelo no estará mal especificado si a(1)) Xt-1* es I(0).

Ahora en un modelo de corrección de error la estructura en el corto plazo de cada variable está influenciada por las deviaciones del equilibrio. Así, si asumimos que las dos series son I(1), un modelo de corrección de error sería:


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Así con nuestro datos el modelo de corrección de error,


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Los residuos del modelo VAR-MCE son:

Como vemos los parámetros de la relación de largo plazo son muy parecidos a los obtenidos en el modelo de largo plazo. Además, también se observan los coeficientes del ajuste al equilibrio a largo plazo, α1 α2, siendo

uno significativo y el otro no. En concreto sólo α2 =-3.42335 es significativamente distinto de cero.


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Sus correlaciones vienen dadas por:

Aquí ya podemos concluir que la modelización ha capturado el efecto y que el modelo en el largo plazo es estacionario y hay relación de largo plazo.

   ]       ∑ [  ]   [       d) Estime MCE como dos modelos uniecuacionales Al tener ya el análisis de nuestras series podemos encarar su estimación como modelos uniecuacionales Ahora uniecuacionalmente modelizamos el modelo de largo palzo y generamos los residuos del modelo de largo plazo. Guardamos sus residuos y creamos sus retardos.


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Ecuación del error.


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Podemos observar que existe dependencia del pasado en el presente, ya que los retardos del error son significativos a los niveles habituales de confianza.

1. Ecuación de la tasa de ocupación

Utilizando los residuos de la regresión por MCO las ecuaciones que surgen del MCE ariba. Necesitaremos retardos de las variables hasta el orden 2 para recoger los efectos estacionales y dos diferencias una regular y una estacional.


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Estos residuos obtenidos de este modelo son estacionales

Lo confirma el autocorrelagrama.


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2. Ecuación del IPC Utilizando los residuos de la regresión por MCO las ecuaciones que surgen del MCE ariba. Necesitaremos retardos de las variables hasta el orden 2 para recoger los efectos estacionales y dos diferencias una regular y una estacional para la tasa de ocupación y una diferencia estacional para IPC.


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Este modelo mantiene un proceso autorregresivo pero como no hemos incluido una modelización propia de los efectos estacionales estos salen en la función de autocorrelación. Sin embargo estamos en presencia de un modelo que es estacionario ya que las innovaciones se hacen cero pronto.


Ejemplo Arima

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