introduccion a las ecuaciones diferencialesDescripción completa
Descripción: aplicacion de las ecuaciones diferenciales al modelamiento del vaciado, drenado de un tanque, recipiente.
ECUACIONES DIFERENCIALES
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Ejercicios de ecuaciones diferenciales resueltos
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Esquema
V E C E
V 0 Q0
Solución
En un instante cualquiera t ,sean : Q(t) = Cantidad de soluto presente en el depósito. V(t) = Volumen en el depósito. C(t) = Concentración de soluto en el depósito. Luego, en un instante t, tenemos: dQ Q E dt QS dt
dQ dt
Q E QS ..........(1)
Además tenemos: C (t )
Q(t )
C (t )
Q(t )
Reemplazando en (1): dQ Q E QS C E V E (
dQ dt
Q(t )
)V S V 0 (V E V S )t
V S V 0 (V E V S )t
Q C E V E
A partir de esta ecuación diferencial podemos calcular la cantidad Q de sal presente en el instante t, a partir de la condición inicial
Ejemplo1 : Un depósito de 3000 litros de capacidad contiene 400 litros de agua pura; en un moment dado entrará agua que contiene sal a razón de 18 Kg./lt a la vez que saldrá por su parte inferior la nueva mezcla a razón de 4 lt/min; si la mezcla de agua con sal la hace a razón de 8 lt/min . Calcular : a) La cantidad de sal cuando la mezcla tenga 500 litros. b) La concentración al cabo de 60 minutos de iniciado el proceso.
8lt / min
C 18 Kg / lt V0
400lt
C0
0 (agua pura)
Q0
V 0C 0
0
Solución : Sea Q (t) la cantidad de sal, presente en el depósito, en el instante t. Tenemos los siguientes datos : Sabemos que
dQ dt
Q E QS
Pero : Q E v E c E 8 x 18 QS
vS cS
4cS
1
Pero cS
?
Se observa que la concentración de sal, con la cual sale la mezcla (CS ) en un instante dado es igual a la concentración de sal en ese mismo instante (c(t)). Luego :
c(t) cS
Cálculo de c(t) ?. Sabemos : c(t )
Q(t ) ()
Pero v (t ) v0 (v E vS )t volumen en un instante cualquiera
v (t ) 400 (8 4)t 400 4t Q (t ) c S 400 4t Q (t ) Q (t ) QS 4 400 4t 100 t dQ Q (t ) dQ Q (t ) Entonces : 1 1 Ec. lineal dt 100 t dt 100 t 1 1 Sea p(t) P (t ) dt Ln (100 t ) 100 t 100 t construimos el factor integrante : c (t )
e P ( t ) e Ln (100 t ) 100 t
Multiplicamos la ecuación por el factor integrante, queda :
Q (t )(100 t )' 100 t Q (t )(100 t ) 100 t Q (t )
1 1 2 100 t t c 100 t 2
Cálculo de c : Para t 0 Q 0 0 c 0
Q (t )
1 1 2 100 t t 100 t 2
a) Q Q1 ? , cuando v 500 Sabemos que v(t) 400 4t , ´para t t 1
1 1 2 100 x 25 25 22 .5 Kg . 125 2
1 2 t c 2
b) c(60) ?
t 1 60
Para c(60)
Q (60 ) Q (60 ) 400 4( 60 ) 640
Pero Q(60) 48.75 48.75 640 c(60) 0.076kg/lt
c(60)
Problema 4:
PROBLEMA:Considere un tanque usado en experimentos hidrodinámicos. Después de un experimento, el tanque contiene 200 litros de una solución entintada, con la concentración de 1 g/litro. Para preparar el siguiente experimento, el tanque se enjuagará con agua no contaminada a una razón de 2 litros/minuto, y la mezcla sale del tanque a la misma tasa. Considerando agitación uniforme, halle el tiempo en que el tanque tendrá una concentración del 1% de su valor inicial.
Piden hallar el tiempo para el cual el tanque este con el 1% de concentración . No entra tinte adicional, hay agitación uniforme. Tasa de salida del tinte: razón de salida del agua x concentración entre capacidad del tanque
Condiciones iniciales
Reemplazando las condiciones del problema: 1% (2g)
Donde t está expresado en minutos
Problema5 Un deposito de 3,000 litros de capacidad contiene 400 litros de agua pura; en un momento dado entrara agua que contiene sal a razón de 1/8 kg/litro ala vez que saldrá de su parte inferior la nueva mezcla a razón 4 litros/minutos; si la mezcla de agua con sal se hace a razón de 6 litros/minutos, calcular: -la cantidad de sal cuando la mezcla tenga 500 litros.