División Vectores

UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO

División de Vectores Vectores

Primero habría que preguntarnos, si , ¿la división entre vectores está definida?

En realidad la división de vectores no está definida, es una operación que no existe desde el punto de vista del álgebra. Por otra parte la multiplicación de un vector por un escalar está definida, existe y su resultado es otro vector de la misma dirección que el original cuyo módulo es proporcional al módulo del vector dado. Por ejemplo el vector desplaamiento del campo el!ctrico se obtiene multiplicando la permitividad del medio " por el vector campo el!ctrico E, es decir, # $ " E Pero esto no autoria a decir que # % E $ ". En el ejemplo anterior el vector # es colineal con el vector E. &hora bien, en física existen propiedades propiedades que aplicadas aplicadas a un cierto vector lo transforman transforman en otro que tiene diferente dirección, en ese caso " no es un n'mero, es un (E)*+. El producto de un tensor por un vector hace que !ste se transforme en otro vector de diferente dirección dirección y módulo, pero, repito, el cociente entre el vector producto y el resultado )+ E-*(E, no está definido, solo se lo puede mencionar como un /abuso del lenguaje matemático/. DIVISIÓN DE VECTORES 1


0n tensor es un campo vectorial con un valor definido para cada punto. 1omo tal es un operador con propiedades. 2os tensores se emplean como representaciones matemáticas a las consecuencias de ciertos fenómenos, como la presión de una estructura sobre un material maleable. *on una herramienta matemática que permite obtener un análisis más sencillo de procesos complejos, parecido, en el mismo sentido, a lo que permiten analiar las gráficas. 2os campos vectoriales pueden representarse con una matri, que a su ve representa varias cualidades o características de un fenómeno que son representadas por ecuaciones diferenciales. Para simplificar !stas operaciones se emplean los tensores. 1omo tal lo dice 3olstein, la división entre vectores no está definida como tal, lo que se define es su interpretación o consecuencia 4lo que físicamente es resultado5. En síntesis, la división de vectores no cumple la propiedad de cerradura (no nos genera otro vector)

DIVISIÓN DE VECTORES 2


División de Vectores

En el álgebra vectorial, la división no está definida, esto se debe a que algunas veces el resultado podría ser escalar y otras un vector. &demás, hay otro problema. #ado que la división es el inverso a la multiplicación, en el caso vectorial, 6cuál es el producto que debemos de usar7 6El producto punto o el producto cru7 maginemos que pudi!semos definir una división opuesta al cru, y otra al producto punto. (omando al producto cru, analicemos el caso de dividir k/j , supongamos que V es un n'mero 4no sabemos de qu! clase5, tal que jV = 1. Entonces, tendríamos que la igualdad ij = k , puede convertirse en ijV = kV , donde kV por definición es k/j . #e aquí que con esta definición k/j = i . Por otro lado apliquemos exactamente la misma idea a la igualdad 849i5 $ :i, de aquí se desprendería que :i%9i $ 8 Por lo tanto, la división de dos vectores no cumple con la propiedad de cerradura, pero este problema se complica a'n más si empleamos al producto punto; ii = 1 nos lleva a que 1/i = i , pero ij = 0 nos lleva a que 0/j = i . Esto es mucho peor que el producto cru, pues de emplear estas definiciones, las divisiones vectoriales estarían plagadas de contradicciones como que 1/0 = 0 , o que 0 por 0 = 1.

Por lo tanto, la división no puede ser la operación inversa a ning'n producto parcial 4como el cru o el punto5, sino a un producto completo como el grassmaniano. #efinimos entonces la división de 3rassman como la operación inversa al producto de 3rassman, y la simboliamos como un cociente normal. En este caso, decimos simplemente que un cuaternio dividido entre otro cuaternio nos da como resultado bajo cualquier circunstancia un tercer cuaternio 4exceputuando si el dividendo es 0 5. 2o primero que se necesita es el concepto de inverso multiplicativo. DIVISIÓN DE VECTORES 3


Inverso multiplicativo de un cuaternio

*ea A un cuaternio cualquiera diferente de 0 , entonces el inverso multiplicativo de A, simboliado como

, es un n'mero tal que

.

&demás, tenemos que la división debe cumplir con este principio, para incluír a los n'meros reales y a los complejos; "Todo cuaternio diferente de 0, dividido entre sí iso, da coo resultado 1" . )ótese que el producto A!1/A = !1/AA = 1 , y esto no es problema a pesar de la anticonmutatividad, pues los cuaternios sí son conmutativos con los reales, o cuando el resultado del producto en cualquier orden es real. Esto quedará más claro al plantear la fórmula para el inverso. ecordemos la forma de obtener el inverso de un n'mero complejo cualquiera, digamos a # $i . *i multiplicamos ambos miembros del cociente por el conjugado, tenemos;

(odo cuaternio puede expresarse con la forma % # sû , donde û es una unidad imaginaria arbitraria que en principio debe comportarse exactamente igual a cualquier otra. Por lo tanto, podemos repetir el truco anterior para obtener el inverso de un cuaternio, digamos que buscamos 1/&, donde & = % # ' i # ( j # ) k;

&unque multiplicamos por la derecha, el resultado no cambia si lo hubi!ramos hecho por la iquierda, pues en el denominador, un multiplicando es <, y los DIVISIÓN DE VECTORES 4


cuaternios son conmutativos con los reales. En el denominador, sabemos que el producto de un n'mero por su conjugado nos da un resultado independiente del orden; !&*!& = !&!&* = +&+- Entonces podemos reexpresar lo anterior de la siguiente manera;

=a acostumbrados a trabajar con álgebra vectorial, tendríamos que buscamos 1/&, dado que & = !%, V ;

Por 'ltimo, el inverso multiplicativo de un vector sería;

*in embargo, aunque el inverso del vector sería otro vector, sólo anula a la multiplicación si consideramos la parte real que se genera durante el producto. Por lo tanto, forosamente necesitamos que exista en el espacio  >. *in embargo, el concepto de inverso es 'til al analiar rotaciones.

División completa de Grassman

)o tenemos ning'n problema para asegurar que A/A = 1 para cualquier n'mero diferente de ?, pero dado que los cuaternios en general no son conmutativos, tenemos dos opciones para definir A/.;

Por lo cual, para evitar ambig@edades, se define simplemente que; DIVISIÓN DE VECTORES 5


Entonces, hay que tener cuidado al momento de despejar ecuaciones cuaterniónicas. *upongamos que partimos de una ecuación como  = A., y queremos despejar tanto a A como a ..

Pudimos estar tentados a despejar a A $ 1%&, pero eso no es correcto. #ebido a la no conmutatividad de los cuaternios, ocurre que;

Entonces, debemos recordar que; "ividir entre un cuaternio es la oeración inversa a ultilicar or la derec2a" . Este es un ejemplo de división;



Por 'ltimo, es importante notar algo interesante. 1/i = 3i , entonces seg'n el principio de que las unidades imaginarias son id!nticas con respecto a los reales, se desprende que 1/ û = 3û para toda unidad imaginaria. Entonces, el inverso multiplicativo de cualquier n'mero imaginario puro sû , es simplemente 3û !1/s, donde s desde luego, es real. Divisiones parciales de Grassman

&sí como en el producto de 3rassman, distinguíamos una parte sim!trica y una antisim!trica, tambi!n en la división existen estos conceptos. *in embargo, dado que ya se escribió la deducción de estos componentes al hablar del producto, vayamos directamente a la definición; División simétrica de Grassman: Es simplemente el producto interno de 3rassman del primer cuaternio y el inverso multiplicativo del segundo. Es decir;

División antisimétrica de Grassman:

Es el producto externo de 3rassman del primer cuaternio y el inverso multiplicativo del segundo;

Por supuesto, debe cumplirse que;

Divisiones total y parciales de Euclides



&sí como existe la operación inversa al producto grassmaniano, existe tambi!n el inverso del producto euclídeo, y es la división Euclidiana. *e escribe como &BA, y emplea el mismo concepto de inverso multiplicativo;

&sí mismo, tiene su sim!trico y su antisim!trico.


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