Diseno Completamente Al Azar Pruebas de Contraste

ESTADÍSTICA GENERAL – METODOS ESTADÍSTICOS DISEÑOS EXPERIMENTALES EXPERIMENTALES

DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR 1.

Se rea realiza liza una una inves investi tiga gac ción ión cuyo uyo obje objeti tiv vo es ev evalua aluarr el emple pleo de 5

formulaciones de alimento diferente en la dieta de la trucha “arco iris”. El perio periodo do de inve invest stig igac ación ión duró duró 30 días días y la varia variabl ble e a cuan cuanti tifi fica carr es el incremento de peso expresado en gramos. Los resultados obtenidos son los siguientes:

F1 10 8 9 11 10 8 9 12

FORMULACIONES F2 F3 F4 19 21 20 23 19 19 20 -

9 9 10 11 12 8 9 10

16 15 14 15 16 13 -

F5 24 26 23 25 24 23 22 -

Se pide: a) Elaborar Elaborar el Cuadro Cuadro de la Varianza Varianza (ANVA (ANVA o ANOVA) ANOVA) y realizar realizar una Prueba Prueba “F” (Fisher) a un nivel de significancia del 5%. b) Desarrollar Desarrollar las pruebas pruebas de Contraste Contraste específic específicas as siguientes: siguientes: b.1 Prueba de “t” (t-student) b.2 b.2 Prue Prueba ba DL DLS S (Dif (Difer eren enci cia a límit límite e de sign signif ific icac ació ión) n) a un nive nivell de significancia del 5% b.3 Prueba de Duncan a un nivel de significancia del 1% b.4 Prueba de Tukey a un nivel de significancia del 5%

Solución: 4 Definiciones básicas : Factor a estudiar: Formulaciones (dieta) de alimento Niveles del factor: Se consideran 5 formulaciones de alimento: F1, F2, F3, F4 y F5, lo que equivale a 5 tratamientos. Número de repeticiones: Diferentes para cada tratamiento Periodo de investigación: 30 días Unidad experimental: Trucha “arco iris”, en total se tienen 36 unidades experimentales (36 individuos) Variable aleatoria a estudiar: Es la medida del efecto de las formulaciones en el alim alimen ento to de la truc trucha ha “arc “arco o iris iris”, ”, el cual cual es cuan cuanti tifi fica cado do por por el incremento de peso expresado en gramos en las truchas. Así por ejemplo Página 1 de 23

Profesor: Ing. Enrique Morales Cauti [email protected]

ESTADÍSTICA GENERAL – METODOS ESTADÍSTICOS DISEÑOS EXPERIMENTALES EXPERIMENTALES

tenemos tenemos que en el tratamiento tratamiento uno (F1), una trucha durante el periodo periodo de la inv investi estiga gaci ción ón tuvo tuvo un incr increm emen ento to de 10 g, una una segu segund nda a truc trucha ha incrementó su peso en 8 g y así sucesivamente.

a) Anális Análisis is de la la varian varianza: za: F1 10 8 9 11 10 8 9 12 Xi . = 77 ri = 8 . = 9,62

FORMULACIONES F2 F3 F4

F5

19 21 20 23 19 19 20 141 7

9 9 10 11 12 8 9 10 78 8

16 15 14 15 16 13 89 6

24 26 23 25 24 23 22 167 7

20,14

9,75

14,83

23,86

Σ Xij = 552 Σ ri = 36 Formulas :

SCTR = (

Xi .2 /ri) – [(

Xij)2 /

ri] 2

–

2

GLTR = t - 1 GLTO = ri - 1 SCEE = GLTO-GLTR

CMTR=SCTR/GLTR CMTR=SCTR/GLTR ; CMEE=SCEE/GLEE

SCTR = [ ( 77 2/8) + ( 1412/7) + ( 78 2/8) + ( 892/6) + ( 1672/7) ] - ( 552 2/36) = 1182,1 SCTO = [ (102 + 82 + 92 + .......................... .......................... + 24 2 + 232 + 222 ] - ( 552 2/36) = 1 238,0 = CSFR SCEE = 1 238 – 1 182,1 = 55,9 GLTR = 5 – 1 = 4 GLTO = 36 – 1 = 35 GLEE = 35 – 4 = 31 CMTR = 1 182,1 / 4 = 295,5 CMEE = 55,9 / 31 = 1,8

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ESTADÍSTICA GENERAL – METODOS ESTADÍSTICOS DISEÑOS EXPERIMENTALES

FV

ANOVA (ANVA) SC GL CM 1

FR EE TO

18 2, 1 55,9 1 23 8,

4

295,5

31

1,8 Fc =

35

164, 2

0

Prueba de Fisher: Es una prueba de significación que permite evaluar si existe o no existe diferencia entre los tratamientos del factor, se puede realizar a niveles de significación del 1% y 5%

Formulación de las hipótesis: Ho = λ i = 0 (El efecto del factor es nulo; i = 1, 2, 3, 4, 5 ) H1 = λ i ≠ 0 (al menos uno de los tratamientos tiene un efecto diferente a los demás; i = 1, 2, 3, 4, 5)

Nivel de significación α = 5% = 0,05 Determinación del indicador:

Fc = CMTR / CMEE

Fc = 295,5 / 1,8 = 164,2

Determinación de la región de aceptación: RA/Ho = [ 0,F T ]

α = 0.05 F T = GLTR=4 → 2,68 GLEE =31↓

1-α =

=

α =

0.95

0.05 F T

RA / Ho

RR / Ho

Tabla de decisión: Página 3 de 23



Si Fc > F T ⇒ Se RECHAZA Ho Si Fc ≤ F T ⇒ Se ACEPTA Ho Si se rechaza Ho a un α = 0.05 ⇒ La prueba es significativa (*) Si se rechaza Ho a un α = 0.01 ⇒ La prueba es altamente significativa (**) Si se acepta Ho ⇒ La prueba es No significativa (ns) Como Fc = 164,2 > F T = 2,68 ⇒ Se rechaza Ho, por lo tanto la prueba es significativa

Conclusión : A un nivel de significación del 5% se afirma que existen diferencias significativas entre los efectos de las formulaciones de alimento en el incremento del peso de la trucha “arco iris”, pues al menos una de las formulaciones tiene un efecto diferente a las demás. Como la prueba de “F” ha dado resultados significativos, se continua desarrollando más pruebas de contraste específicas y que requieren una previa prueba de “F”, estas pruebas son: “t – student”, “DLS”, “Scheffe”, etc.

b) Desarrollando las pruebas de Contraste específicas siguientes: b.1 Prueba de “t” (t-student) Esta prueba se realiza solamente cuando la prueba de “F” ha dado resultados significativos (una prueba es significativa cuando existen diferencias entre los efectos de los tratamientos sobre la unidad experimental, es decir se rechaza Ho). Es recomendable su empleo cuando el diseño tiene dos tratamientos. Si existieran mas de dos tratamientos, el nivel de significación a se incrementa perdiendo de esta manera el nivel de confianza requerido.

Determinación del número de comparaciones: C(t,2) = C2t = t ! / [(t-2 )! x 2!] C(5,2) = C25 = 5 ! / [(5-2 )! x 2!] = 10 combinaciones: Ordenando los tratamientos (formulaciones) de mayor a menor respecto a sus medias poblacionales:

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µ F5 > µ F2 > µ F4 > µ F3 > µ F1 Estableciendo las comparaciones de dos a dos: F5 vs F2

F2 vs F3

F5 vs F4

F2 vs F1

F5 vs F3

F4 vs F3

F5 vs F1

F4 vs F1

F2 vs F4

F3 vs F1

Formulación de las hipótesis: Ho = µ

k

= µ

(la media poblacional de los tratamientos producen el

m

mismo efecto; k, m = 1, 2, 3, 4, 5) H1 = µ

k

≠ µ

(la media poblacional de los tratamientos tienen efectos

m

diferentes; k, m = 1, 2, 3, 4, 5)

Nivel de significación α = 5% = 0,05 Determinación del estadístico de contraste : Sd

t c

= (

k

-

) /

m

Sd = [ (CMEE / rk) + (CMEE / rm) ]1/2 (µ

k

- µ m)

: Promedio de los dos tratamientos que se comparan

sd

: Desviación estándar de los coeficientes

kym

: Tratamientos comparados

Determinación de la región de aceptación: RA/Ho = [ -t T,+t T ]

α /2 = 0.025 α /2 =

α /2 =

t T =

0.025

0.025

= 31

1-α =

0.95 +t

-t T RR / Ho

RA / Ho

T

GLEE = ± 2,04 tT

GLEE

2,042

30

X

31

2,030

35

RR / Ho X-2,042

31-30

2,030-2,042 X

Página 5 de 23

=

35-30

= 2,04



Tabla de decisión: Si tc > t T ⇒ Se RECHAZA Ho ⇒ tc ∉ RA/Ho [ -t T,+t T ] Si tc ≤ t T ⇒ Se ACEPTA Ho

⇒ tc ∈ RA/Ho [ -t T,+t T ]

Como los valores tc son siempre positivos podemos decidir en la siguiente tabla en función a tc > t T o

tc ≤ t T para lo cual consideramos una prueba

múltiple de t - Student:

|

k

-

DIFERENCIA DE MEDIAS (+)

m |

F5 – F2 F5 – F4 F5 – F3 F5 – F1 F2 – F4 F2 – F3 F2 – F1 F4 – F3 F4 – F1 F3 – F1

23,8

-

20,1

= 3,72

0,72

9,03

0,75

6 4 23,8 - 14,8 = 6 23,8 6 23,8 -

3 9,75

= 14,1 1 = 14,2

9,62 6 20,1 - 14,8 = 4 20,1 4 20,1 4 14,8 3 14,8 3 9,75

-

3 9,75 9,62 9,75 9,62 9,62

Sd

4 5,31

= 10.3 9 = 10,5 2 = = =

0,69 0,69 0,75 0,69 0,69

tc

tT

DECISION

5,19 > 2,04 12,1 0 20,3 2 20,5 1

> 2,04 > 2,04 > 2,04

7,11 > 2,04 14,9 6 15,1 5

> 2,04 > 2,04

5,08

0,72

7,01 > 2,04

5,21

0,72

7,19 > 2,04

0,13

0,67

0,19 < 2,04

Se RECHAZA Ho Se RECHAZA Ho Se RECHAZA Ho Se RECHAZA Ho Se RECHAZA Ho Se RECHAZA Ho Se RECHAZA Ho Se RECHAZA Ho Se RECHAZA Ho Se ACEPTA Ho

* * * * * * * * * ns

Conclusión : Las conclusiones se hacen por separado para cada comparación, sin embargo por tratarse de una prueba múltiple de t - student a nivel de significación

del 5% y

al obtener

resultados

similares

entre las

comparaciones, se pueden agrupar las comparaciones de resultados homogéneos para dar una conclusión general para un grupo determinado de comparaciones.

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En los grupos de comparaciones con resultados homogéneos, tendrán un mayor efecto sobre la unidad experimental, aquellas formulaciones que alcancen un mayor promedio de incremento de peso (g) -

La prueba tiene evidencia estadística para afirmar que el promedio alcanzado por las comparaciones de las formulaciones de alimento: F5 vs F2 (*)

F5 vs F1 (*)

F2 vs F1 (*)

F5 vs F4 (*)

F2 vs F4 (*)

F4 vs F3 (*)

F5 vs F3 (*)

F2 vs F3 (*)

F4 vs F1 (*)

Producen un efecto diferente sobre el incremento del peso de la trucha “arco iris”, observándose un mayor efecto positivo en las formulaciones ubicadas en el primer término para cada par comparado, por ejemplo: F5 vs F2, tiene un mayor efecto la F5 por tener un mayor promedio, F4 produce un mejor efecto sobre F3 y F1, pero un efecto menor en comparación a F2 y F5. -

La prueba tiene evidencia estadística para afirmar que el efecto producido por las formulaciones F3 y F1 es el mismo sobre el incremento de peso de la truca “arco iris”, no observándose diferencias significativas entre estas formulaciones sobre el alimento, por lo que la prueba “t” para esta comparación F3 vs F1 (ns) ha dado resultados no significativos.

b.2 Prueba DLS (Diferencia Límite de Significación) Es una prueba significativa de “t” en la cual con un solo valor DLS se realizan todas las comparaciones a nivel de promedios, ésta prueba al igual que

la prueba de “t” requiere una previa prueba de “F” y se realiza

solamente cuando la prueba de “F” ha dado resultados significativos, es decir cuando existen diferencias significativas entre los tratamientos en comparación ósea se rechaza Ho.

Determinación del número de comparaciones: El número y ordenamiento de comparaciones se calcula de igual manera que en la prueba de “t” C(5,2) = C25 = 5 ! / [(5-2 )! x 2!] = 10 combinaciones: Ordenando los tratamientos (formulaciones) de mayor a menor respecto a sus medias poblacionales:

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µ F5 > µ F2 > µ F4 > µ F3 > µ F1


k

= µ

m



k

≠ µ

m


diferentes; k, m = 1, 2, 3, 4, 5)

Nivel de significación α = 5% = 0,05 Determinación del valor: DLS = tT . (Sd) Sd = [ (CMEE / rk) + (CMEE / rm) ]1/2

Determinación de la región de aceptación: t T =

RA/Ho = [ -t T , +t T ]

[ α/2 = 0.025; GLEE = 31 ] =

± 2,04

Tabla de decisión: Si |

k

-

m

|

Si |

k

-

m

| ≤ DLS ⇒ Se ACEPTA Ho

k

- µ

m

| son siempre positivos podemos decidir en la

Como los valores | µ

DLS ⇒ Se RECHAZA Ho

siguiente tabla en función al valor DLS para lo cual consideramos una prueba múltiple DLS:

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|

k m

-

|


DIFERENCIA DE MEDIAS 23,8

-

20,1

=3,72 >

6 4 23,8 - 14,8 = 6 23,8 6 23,8 -

3 9,75

tT . Sd

9,03 >

=14,1 1 =14,2

9,62 6 4 20,1 - 14,8 = 5,31 4 3 20,1 =10.3 9,75 4 9 20,1 =10,5 9,62 4 2 14,8 = 9,75 5,08 3 14,8 = 9,62 5,21 3 = 9,75 9,62 0,13

> > > > > > > <

(2,04 (0,72 ) ) (2,04 (0,75 ) ) (2,04 (0,69 ) ) (2,04 (0,69 ) ) (2,04 (0,75 ) ) (2,04 (0,69 ) ) (2,04 (0,69 ) ) (2,04 (0,72 ) ) (2,04 (0,72 ) ) (2,04 (0,67 )

)

DLS =1,47 =1,53 =1,42 =1,42 =1,53 =1,42 =1,42 =1,47 =1,47 =1,37

DECISION Se RECHAZA Ho Se RECHAZA Ho Se RECHAZA Ho Se RECHAZA Ho Se RECHAZA Ho Se RECHAZA Ho Se RECHAZA Ho Se RECHAZA Ho Se RECHAZA Ho Se ACEPTA Ho

* * * * * * * * * ns

Conclusión : Las conclusiones se hacen por separado para cada comparación, sin embargo por tratarse de una prueba múltiple DLS a nivel de significación del 5% se puede concluir en forma general agrupando resultados homogéneos entre las comparaciones: -

La prueba tiene evidencia estadística para afirmar que el promedio alcanzado por las comparaciones de las formulaciones de alimento: F5 vs F2 (*)

F5 vs F1 (*)

F2 vs F1 (*)

F5 vs F4 (*)

F2 vs F4 (*)

F4 vs F3 (*)

F5 vs F3 (*)

F2 vs F3 (*)

F4 vs F1 (*)

Producen un efecto diferente sobre el incremento del peso de la trucha “arco iris”, observándose un mayor efecto positivo en las formulaciones ubicadas en el primer término para cada par comparado, por ejemplo: F5 vs F2, tiene un mayor efecto la F5 por tener un mayor promedio, F4

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produce un mejor efecto sobre F3 y F1, pero un efecto menor en comparación a F2 y F5. -

La

prueba

tiene

evidencia

estadística

para

afirmar

que

las

formulaciones F3 y F1 producen el mismo efecto sobre el incremento de peso de la truca “arco iris”, en este caso F3 vs F1 (ns)

b.3 Prueba de Duncan Se emplea para diseños que tengan mas de dos tratamientos, siendo más confiable, en este caso, que las pruebas “t” y DLS. Por lo general se realiza a 2 niveles de significación: α = 1% y 5%. Esta prueba no requiere una previa prueba de “F”.


µ F5 > µ F2 > µ F4 > µ F3 > µ F1


k

= µ


m


k

≠ µ

m


diferentes; k, m = 1, 2, 3, 4, 5)

Nivel de significación α = 1% = 0,01 Determinación del valor: ALSD = AESD . (S ) Sµ = (CMEE)1/2* { ½ * [(1/ rk)+ (1/ rm)] } 1/2 = [ CMEE

*

(rm+ rk) / (2 rK * rm) ] 1/2 Sµ

= Desviación estándar de los promedios

AESD = Amplitud estudiantizada significativa de Duncan (valor de tabla) ALSD = Amplitud Límite Significativo de Duncan

Determinación de la región de aceptación:α Página 10 de 23

0.01 AESD =

=

GLEE Profesor: Ing. Enrique Morales Cauti [email protected]


El valor de “P” siempre parte del valor 2 hasta “n” tratamientos, para el presente ejercicio tenemos 5 formulaciones ósea 5 tratamientos, por lo tanto P = 2, 3, 4, 5; a estos valores les corresponderá sus respectivos AES D (según tabla de Duncan): P 2 3,79

AESD

3 4,04

4 4,15

5 4,21

Se ordenan los promedios de los tratamientos en forma decreciente y se comienza a comparar el promedio mas alto con el segundo mas alto y así sucesivamente, de la siguiente manera: TR: µ:

F5 F2 F4 23,86 20,14 14,83

F3 9,75

F1 9,62

Una vez ordenados de mayor a menor, la diferencia en los pares de tratamientos se compara con el valor ALSD que corresponde al valor de “P” del número de lugares que hay entre los tratamientos que se comparan incluyendo a ellos (extremos), luego se siguen comparando en forma ordenada sucesivamente hasta terminar con las C(t,2) comparaciones. Por ejemplo en la comparación F5 vs F4 existen 3 lugares correspondiendo el valor P = 4,04; en la comparación F2 vs F1 existen 4 lugares correspondiendo al el valor P = 4,15; etc.


k

Si | Como los valores | µ

-

m

|

ALSD ⇒ Se RECHAZA Ho

k

-

m

| ≤ ALSD ⇒ Se ACEPTA Ho

k

- µ

m


siguiente tabla en función al valor ALSD para lo cual consideramos una prueba múltiple de Duncan:

Página 11 de 23



|

k m

-

DIFERENCIA DE MEDIAS

|

23,8

F5 – F2

-

20,1

6 23,8 -

F5 – F3

6 23,8 -

F5 – F1

3 9,75

9,03 >

=14,1 1 =14,2

9,62 6 4 20,1 - 14,8 = 5,31 4 3 20,1 =10.3 9,75 4 9 20,1 =10,5 9,62 4 2 14,8 = 9,75 5,08 3 14,8 = 9,62 5,21 3 = 9,75 9,62 0,13

F2 – F4 F2 – F3 F2 – F1 F4 – F3 F4 – F1 F3 – F1

DECISION

D

=3,72 >

6 4 23,8 - 14,8 =

F5 – F4

AESD . S

ALS

> > > > > > > <

(3,79 (0,51 ) ) (4,04 (0,53 ) ) (4,15 (0,49 ) ) (4,21 (0,49 ) ) (3,79 (0,53 ) ) (4,04 (0,49 ) ) (4,15 (0,49 ) ) (3,79 (0,51 ) ) (4,04 (0,51 ) ) (3,79 (0,47 )

)

=1,92 =2,13 =2,04 =2,07 =2,00 =1,98 =2,04 =1,94 =2,07 =1,79


* * * * * * * * * ns

Conclusión : Las conclusiones son similares a la prueba anterior, ósea se hacen por separado para cada comparación, sin embargo por tratarse de una prueba múltiple de Duncan (α = 1%) concluimos que:

-

El promedio alcanzado por las comparaciones de las formulaciones de alimento: F5 vs F2(*), F5 vs F4(*), F5 vs F3(*), F5 vs F1(*), F2 vs F4(*), F2 vs F3(*), F2 vs F1(*), F4 vs F3 (*), F4 vs F1 (*); producen un efecto diferente sobre el incremento del peso de la trucha “arco i ris”.

-

La

prueba

tiene

evidencia

estadística

para

afirmar

que

las

formulaciones F3 y F1 producen el mismo efecto sobre el incremento de peso de la truca “arco iris”, en este caso F3 vs F1 (ns)

b.4 Prueba de Tukey

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Esta prueba se caracteriza por su alto grado de discriminación en los contrastes, pues considera a todos los tratamientos como una sola unidad experimental. Es recomendable emplear en las investigaciones de poco riesgo y tiene la ventaja que a medida que se incrementa el número de tratamientos, el nivel de significación α permanece constante. Esta prueba no requiere una previa prueba de “F”.


µ F5 > µ F2 > µ F4 > µ F3 > µ F1


k

= µ


m


k

≠ µ

m


diferentes; k, m = 1, 2, 3, 4, 5)

Nivel de significación α = 5% = 0,05 Determinación del valor: ALST = AEST . (S ) Sµ = (CMEE)1/2* { ½ * [(1/ rk)+ (1/ rm)] } 1/2 = [ CMEE

*

(rm+ rk) / (2 rK * rm) ] 1/2 Sµ

= Desviación estándar de los promedios

AES T = Amplitud estudiantizada significativa de Tukey (valor de tabla, Student-Newman-Keul) ALS T = Amplitud Límite Significativo de Tukey AES

GLEE

T Determinación de la región de aceptación:

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4,10

30

X

31

4,04

40

X - 4,10

31 - 30

4,04 – 4,10 X

=

40 - 30

= 4,094

AES T 31

α

= 0.05 = GLEE = = 4,09



Interpolando:

El valor de “P”, a diferencia de la prueba de Duncan, solo corresponde al número de tratamientos que tiene el diseño, en este caso

existen 5

formulaciones, por lo que P = 5 tratamientos. Se ordenan los promedios de los tratamientos en forma decreciente y se comienza a comparar el promedio mas alto con el segundo mas alto y así sucesivamente, de la siguiente manera: TR: µ:

F5 F2 F4 23,86 20,14 14,83

F3 9,75

F1 9,62


k

Si | Como los valores | µ

-

m

|

ALS T ⇒ Se RECHAZA Ho

k

-

m

| ≤ ALS T ⇒ Se ACEPTA Ho

k

- µ

m


siguiente tabla en función al valor ALST para lo cual consideramos una prueba múltiple de Tukey:

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|

k m

-

|


DIFERENCIA DE MEDIAS 23,8

-

20,1

6 23,8 -

3 9,75

9,03 >

=14,1 1 =14,2

9,62 6 4 20,1 - 14,8 = 5,31 4 3 20,1 =10.3 9,75 4 9 20,1 =10,5 9,62 4 2 14,8 = 9,75 5,08 3 14,8 = 9,62 5,21 3 = 9,75 9,62 0,13

DECISION

T

=3,72 >

6 4 23,8 - 14,8 = 6 23,8 -

AEST . S

ALS

> > > > > > > <

(4,09 (0,51 ) ) (4,09 (0,53 ) ) (4,09 (0,49 ) ) (4,09 (0,49 ) ) (4,09 (0,53 ) ) (4,09 (0,49 ) ) (4,09 (0,49 ) ) (4,09 (0,51 ) ) (4,09 (0,51 ) ) (4,09 (0,47 )

)

=2,08 =2,17 =2,00 =2,00 =2,17 =2,00 =2,00 =2,08 =2,08 =1,92


* * * * * * * * * ns

Conclusión : Las conclusiones son similares a las obtenidas en la prueba de Duncan, es decir se hacen por separado para cada comparación, sin embargo por tratarse de una prueba múltiple de Tukey a un nivel de significancia α = 5%, podemos concluir que: -

El promedio alcanzado por las comparaciones de las formulaciones de alimento: F5 vs F2(*), F5 vs F4(*), F5 vs F3(*), F5 vs F1(*), F2 vs F4(*), F2 vs F3(*), F2 vs F1(*), F4 vs F3 (*), F4 vs F1 (*); producen un efecto diferente sobre el incremento del peso de la trucha “arco iris”; produciendo un mayor efecto sobre el alimento y por lo tanto mejor rendimiento en el peso, aquellas formulaciones ubicadas en primer orden en cada comparación, y ello por tener un mayor promedio.

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-

La

prueba

tiene

evidencia

estadística

para

afirmar

que

las

formulaciones F3 y F1 producen el mismo efecto sobre el incremento de peso de la truca “arco iris”, en este caso F3 vs F1 (ns) 2.

Un Ingeniero Acuicultor experto en Nutrición de Pejerrey de río, realizó

un ensayo por el cual se Formularon 4 tipos de alimento, dos de ellos están elaborados en base a harina de pescado: A1, A2; y los otros dos restantes han sido elaborados en base a harina de soya: A3, A4. Estas formulaciones se han empleado en la alimentación de 29 pejerreyes especialmente seleccionados y luego de 45 días de empleo se han obtenido incrementos de peso expresado en gramos que se presentan en la siguiente tabla:

A1

A2

A3

A4

10

19

9

16

8

21

9

15

9

20

10

14

11

23

11

15

10

19

12

16

8

19

8

13

9

20

9

-

12

-

10

-

Se pide: a) Hacer el Análisis de la Varianza (ANVA) y realizar una Prueba “F” a un nivel de significancia del 1%. b) Evaluar Estadísticamente a través de una prueba de Contraste que se ajuste a esta investigación:

Solución: Factor a estudiar: Formulaciones (dieta) de alimento Niveles del factor: 4 formulaciones de alimento: A1, A2, A3, y A4 (4 tratamientos). Unidad

experimental:

Pejerrey,

en

total

se

tienen

29

unidades

experimentales (29 individuos) Variable cuantificada: Incremento de peso expresado en gramos

a) Análisis de la varianza:

Página 16 de 23

A1

A2

A3

A4

10 8 9

19 21 20

9 9 10

16 15 14 Profesor: Ing. Enrique Morales Cauti [email protected]


11 10 8 9 12

23 19 19 20 -

11 12 8 9 10

15 16 13 -

Xi . = 77

141

78

89

7

8

6

ri = 8

Σ Xij = 385 Σ ri = 29

. =

20,14 9,75 14,83 9,62 SCTR = [ ( 772/8) + ( 1412/7) + ( 782/8) + ( 892/6) ] - ( 3852/29) = 550,7 SCTO = [ (10 2 + 8 2 + 9 2 + .......................... + 15 2 + 16 2 + 132 ] - ( 385 2/29) = 595,8 SCEE = 595,8 – 550,7 = 45,1 GLTR = 4 – 1 = 3 GLTO = 29 – 1 = 28 GLEE = 28 – 3 = 25 CMTR = 550,7 / 3 = 183,6 CMEE = 45,1 / 25 = 1,8

FV TRA EE TO

ANOVA (ANVA) SC GL CM 550,7 45,1

3 25

595,8

28

183,6 1,8 Fc = 102

Prueba de Fisher: Formulación de las hipótesis: Ho = λ i = 0 (El efecto del factor es nulo; i = 1, 2, 3, 4 ) H1 = λ i ≠ 0 (al menos uno de los tratamientos tiene un efecto diferente a los demás; i = 1, 2, 3, 4 )

Nivel de significación α = 1% = 0,01 Determinación del indicador:

Fc = CMTRA / CMEE

Fc = 183,6 / 1,8 = 102

Determinación de la región de aceptación:

RA / Ho = [ 0,F T ]

α = 0.01 F T = GLTR = 3 → GLEE = 25↓ Página 17 de 23

= 4,08



Tabla de decisión: Si Fc > F T ⇒ Se RECHAZA Ho Si Fc ≤ F T ⇒ Se ACEPTA Ho Si se rechaza Ho a un α = 0.05 ⇒ La prueba es significativa (*) Como Fc = 102 > F T = 4,08 ⇒ Se rechaza Ho, por lo tanto la prueba es altamente significativa (**)

Conclusión : A un nivel de significación del 1% se afirma que existen diferencias significativas entre los efectos de las formulaciones de alimento en el incremento del peso del “pejerrey”, pues al menos una de las formulaciones tiene un efecto diferente a las demás, por lo tanto procede la Prueba de Scheffe.

b) Prueba de Scheffe: Es una prueba específica para comparar grupos de tratamientos, los cuales deben tener características similares y a la vez el objetivo de la investigación debe esta orientado a la avaluación de estos grupos. Esta prueba requiere una previa prueba de “F” y se realiza solo cuando la prueba de “F” da resultados significativos (cuando se ha rechazado la hipótesis nula Ho).

Determinación de grupos: G1 = A1, A2 (harina de pescado) G2 = A3, A4 (harina de soya)


= µ

G1

G2

(la media poblacional de los grupos producen el mismo

efecto) H1

= µ

G1

≠ µ

G2

(la media poblacional de los grupos tienen efectos

diferentes)

Nivel de significación α = 1% = 0,01 Determinación del valor :

ALS (Sc) = [ FT ( t –1 ) * S *

(Ci 2 / ri ) ]1/2

S : Desviación estándar de los coeficientes  S = [ CMEE ] 1/2 Página 18 de 23



Ci : Coeficientes t : Tratamientos F T : Valor determinado en la tabla de Fisher. Determinando los coeficientes (Ci ): G1 : A1  C1

(+) C1 : +1

A2  C2

(+) C2 : +1

G2 : A3  -C3 A4  -C4

(-) (-)

C3 : -1 C4 : -1

= 0 (la sumatoria de los

ALS (Sc) = { 4,68 ( 4 –1 ) * (1,8)1/2 * Σ [ ((+1)2/ 8) + ((+1)2/ 8) + ((-1)2/ 7) + ((-1)2/ 6) ] }

½

ALS(Sc) = 3,246 Determinación del indicador:

Cx =

Ci.

i

Donde,

µ

: Promedio de los tratamientos

i

Cx = (+1)(9,625) + (+1)(9,75) + (-1)(20,143) + (-1)(14,83) → Cx =

-15,59 Nota:

El resultado de este producto siempre debe ser considerado

positivo porque: -

El resultado ALS(Sc) es positivo, entonces la comparación esa siempre positiva.

-

El ordenamiento de los signos, cambia el signo final.

Tabla de decisión: Si Cx

ALS(Sc) ⇒ Se RECHAZA Ho

Si Cx ≤ ALS(Sc) ⇒ Se ACEPTA Ho Como Cx = -15,59 > ALS(Sc) = 3,246 ⇒ Se rechaza Ho

Conclusión : A un nivel de significación del 1% la prueba tiene evidencia estadística que nos permita afirmar que el promedio alcanzado por el G1 es diferente al promedio alcanzado por el G2. Página 19 de 23



3.

Una empresa para manufacturar sus productos utiliza el insuma A frente

a la oferta de otro tipo de insumos: X1, X2 y X3 y al bajo costo en la cual se encuentran, la empresa realiza una investigación de tal manera que le permita conocer los resultados respecto a sus productos que se vienen comercializando. A continuación se presenta un cuadro de resultados en la cual la variable aleatoria cuantificada representa una valoración del sabor en escala de 0 a 20:

X1

X2

A

X3

10

19

9

16

8

21

9

14

9

20

10

15

11

20

11

16

10

19

12

15

8

19

8

13

9

20

9

-

12

10

-

-

Se pide: a) Hacer el Análisis de la Varianza (ANVA). b) Desarrollar una prueba de Contraste que se ajuste a esta investigación

(α =5%)

Solución: Factor a estudiar: Influencia de

los insumos en la manufactura de un

producto específico. Niveles del factor: 4 tratamientos: insumo patrón A, comparado respecto a los insumos: X1, X2 y X3. Unidad experimental: Producto comercializado, en total se tienen 29 unidades experimentales. Variable cuantificada: Valoración del sabor en la escala 0 - 20

a) Análisis de la varianza: X1

X2

A

X3

10

19

9

16

8

21

9

14

9

20

10

15

Página 20 de 23

FV TR EE

ANOVA (ANVA) SC GL

CM

510,5

3

170,16

35,6

25

1,42



11

20

11

16

10

19

12

15

8

19

8

13

9

20

9

-

12

10

-

-

188

78

89

8

8

6

19,71

9,75

14,83

Xi . = 77

ri = 8 . = 9,63

TO

546,1

28

Σ Xij = 432

Σ ri = 30

b) Prueba de Dunett: Esta prueba específica se usa solo cuando en una investigación existe un tratamiento patrón o control, comparándose los demás tratamientos en experimentación respecto al control o patrón. Esta prueba es independiente de la prueba de Fisher por lo que no requiere una previa prueba de “F”.

Determinación de tratamientos: Tratamiento control : A Tratamiento experimental: X1, X2 y X3. Comparaciones de tratamientos: A vs. X1, A vs. X2, A vs. X3

Formulación de las hipótesis: Ho : µ

A

=µ

X1

=µ

X2

=µ

X3

(el insumo A produce el mismo efecto respecto a

los insumos X1, X2 y X3) H1 : µ

A

≠ µ

X1

≠ µ

X2

≠ µ

X3

(el insumo A produce un efecto diferente respecto

a los insumos X1, X2 y X3)

Nivel de significación α = 5% = 0,05 Determinación del valor :

ALS(Dt) = TD . (Sd)

Sd = [ (CMEE / r c) + (CMEE / r k) ]1/2

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Sd

= Desviación estándar de las diferencias Sd; rc (número de repeticiones del testigo o control), rk (número de repeticiones del nuevo tratamiento)

T

= Valor de tabla de Dunett ( α , GLEE, P: número de tratamientos

D

sin considerar el control) ALS(Dt)

= Amplitud Límite Significativo de Dunett

Determinación de la región de aceptación: α

T

Interpolando:

T D = = 2,50

GLEE

D

2,51

24

X

25

2,47

30

X – 2,51

= 0.05 GLEE = 25

25 – 24

2,47 – 2,51 X

=

30 – 24

= 2,50

Determinación de las diferencias entre el control y los tratamientos a comparar (Dc): Se hallan (t -1) diferencias, donde t: Número de tratamientos, entonces:

Dc = |

C

-

|

K

Tabla de decisión: Si Dc ALS(Dt) ⇒ Se RECHAZA Ho Si Dc ≤ ALS(Dt) ⇒ Se ACEPTA Ho Como los valores | µ

C

- µ

K


siguiente tabla en función al valor ALS(Dt) para lo cual consideramos una prueba múltiple de Dunett:

|

C K

|

A – X1 A – X2 A – X3

Página 22 de 23

DIFERENCIA DE MEDIAS |

-

9,6

=

0,1

9,75 3| 2 | - 19,7 =9,4 9,75 1| 6 | - 14,8 =5,0 9,75

3|

8

ALS(D t)

TD . Sd < > >

(2,50 (0,60 ) ) (2,50 (0,60 ) ) (2,50 (0,64 )

)

= 1,50 = 1,50 = 1,60

DECISION Se ACEPTA

n

Ho Se RECHAZA

s

Ho Se RECHAZA Ho

* *



Conclusión : A un nivel de significancia α = 5%, se concluye que el insumo A produce el mismo efecto respecto al insumo X1.

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Diseno Completamente Al Azar Pruebas de Contraste

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