Description et construction des machines: transmissions m´ ecaniques de puissance

Description et construction des machines : transmi transmissio ssions ns m´ ecaniqu ecaniques es de puissan puissance. ce.

Pierre Dehombreux

Aout uˆt 2010

Ces notes de cours sont exclusivement destin´ ees ees aux étudiants etudiants et membres du personnel de l’Universit´ e de Mons. Elles ne peuvent donc ˆ etre etre ni reproduites, ni diffus´ ees, ees, sous quelque forme que ce soit, en dehors de ce cercle restreint.

Table ble des des mati` ti` ere eres

1 Introduction

6

1.1

Tran ransmission de mou ouv vement et de puissan ancce. . . . . . . . . . . . . . . . . ´ udee th´ 1.2 Etud Et théori e oriqu quee d’u d’une ne tran transm smis issi sion on entr entree deux deux soli solide des. s. . . . . . . . . . .

6 8

1.2.1

Rappels de cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.2

Mouvement plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.3

Mouvement spatial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.2. 1.2.44

Clas Classi sific ficati ation on en en fonc foncti tion on de la dispo disposi siti tion on des des axe axess de de rotat rotatio ion n. .

12

1.2.5

Surfaces conjuguées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.3

Classification des transmissions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.4 1.4

Sch Schémati e matisa sati tion on des él´ e lémen e ments ts de trans transmi miss ssio ion n . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.5

Lexique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2 Engren Engrenage agess cylind cylindriq riques ues a ` denture droite.

23

2.1 Propri´ Propriét´ etés es g´ géom´ eométriques etriques des développan eveloppantes tes de cercle . . . . . . . . . . . . ´ 2.2 Etude cinématique ematique d’un engrenage cylindrique a` denture droite . . . . . .

25

2.3 2.3

Réalis e alisati ation on d’un d’unee den dentur turee en en dével e velop oppan pante te de cercl cerclee . . . . . . . . . . . .

27

2.3.1

Cinématique de taillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.3. 2.3.22

Cr´ Crémai e mailllère e re de réf´ e féren e rence ce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.3.3

Denture dépo porrtée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ paisseur curviligne d’une dent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E

32

Engr En gr`ènem e nemen entt ext ext´érie e rieur ur d’un d’un pign pignon on et d’un d’unee rou roue. e. . . . . . . . . . . . . .

35

2.4. 2.4.11

Cara Ca ract ct´éris e risti tiqu ques es de fonc foncti tion onne nem ment ent . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.4. 2.4.22

Condi Con ditio tions ns g´ eom´ e ométri e triqu ques es d’en d’engr gr`ènem e nemen entt

. . . . . . . . . . . . . .

36

2.4. 2.4.33

Ph´énom Ph e nom´énol e nolog ogie ie de l’en l’engr gr`ènem e nemen entt . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

Engr En gr`ènem e nemen entt in intérie e rieur ur d’un d’un pign pignon on et d’un d’unee roue roue.. . . . . . . . . . . . . .

43

2.5. 2.5.11

Cara Ca ract ct´éris e risti tiqu ques es de fonc foncti tion onne nem ment ent . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

Interférences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2.6.1

46

2.3.4 2.4 2.4

2.5 2.5 2.6

Engrenage extérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

23

33

` TABLE DES MATI ERES

2.6.2

2

Engrenage intérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

2.7 2.7

Repr Repr´ésen e senta tati tion on des des engr engren enag ages es cyli cylind ndri riq ques ues . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

2.8

Lexique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

3 Engrenages cylindriques h´ elico¨ıdaux

3.1 3.1

52

Int Intérˆ e rêt e t des des den denture turess h´ hélic e licoo¨ıdal ıdales es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

3.2 G´ en´ enération eration d’un d’un h´ elico elico¨¨ıde d´ evelop eveloppabl pablee . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

3.3 3.3

Réalis e alisati ation on d’un d’un hélic e licoo¨ıde ıde d´ dével e velopp oppabl ablee . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

3.4 3.4

Défini e finiti tion on norm normal alis is´ée e e d’un d’unee roue roue den dentée. e e. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

3.4.1

Réel et apparent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

3.4.2

61

3.4.3

Angles d’inclinais aison d’héli e lice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ paisseur curviligne apparente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E

3.4.4

Nombre virtuel de dents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

3.5 Engr` Engrènement enement d’un pignon et d’une roue a` denture denture hélico elico¨¨ıdale ıdale . . . . . . .

63

3.6

61

3.5.1

Possibilit´ Possibilité de contact entre deux hélico¨ elico¨ıdes d´ développables eveloppables . . . . .

63

3.5.2 3.5.2

Possibil Possi bilit it´é de succes successio sion n du contact contact entre entre deux deux hélico elico¨¨ıdes ıdes dévelop opp pables ho hom mologu guees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

3.5.3 3.5 .3

Possibili Possi bilit´ té de contact cont act entre deux hélico elic o¨ıdes développa evelo ppable bless homologue homolo gues. s. 65

3.5. 3.5.44

Exi Existen stence ce de jeux jeux radi radiau aux x en fond fond de den denture ture.. . . . . . . . . . . .

65

3.5.5

Con ond ditio tion de fon fonctio tionneme ement sans jeu. . . . . . . . . . . . . . . .

65

3.5.6

Con onti tin nuité d’eng engrènement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

3.5. 3.5.77

Long Longue ueur ur des des gén´ e nérat e ratri rice cess en con contact tact . . . . . . . . . . . . . . . .

67

Lexique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

4 Fabric abricati ation on et con contrˆ trˆ ole des engrenages

69

4.1

Fabrication de roues cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

4.2 4.2

Con Co ntrˆ troˆle de roues cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

4.3

Classes de qualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

4.4

Correction de profils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

4.4.1

Mod odiification sur le profil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

4.4.2

Correction longitudinale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

Lexique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

4.5


3

5 Engrenages coniques.

5.1

77

Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

5.1.1

Surfaces primitives. Relations cinématiques . . . . . . . . . . . . .

78

5.2 Engrenages coniques a` denture droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

5.2.1

Relations géomé triques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

5.2.2

Modèle approché de Tredgold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

5.2.3

Remarques particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

5.3 Engrenages coniques a` denture inclinée . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

5.4

Représentation normalisée des engrenages coniques . . . . . . . . . . . .

82

5.5

Lexique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

6 Engrenages gauches.

86

6.1

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

6.2

Engrenages gauches hélico¨ıdaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

6.3

Engrenages hypo¨ıdes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

6.4

Engrenages a` vis sans fin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

6.4.1

Caractéristiques géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

6.5

Représentation normalisée des engrenages gauches . . . . . . . . . . . . .

91

6.6

Lexique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

7 Efforts g´ en´ er´ es par les engrenages.

95

7.1

Engrenages parallèles a` denture droite

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

7.2

Engrenages parallèles a` denture hé lico¨ıdale . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

7.3

Engrenages coniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

7.4

Engrenages a` vis sans fin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

7.5

Engrenages gauches hélico¨ıdaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

8 Capacit´ e de charge des engrenages.

100

8.1

L’apport de la norme ISO 6336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

100

8.2

Résistance a` la pression superficielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

101

8.2.1

Principe du calcul. Engrenages parallèles a` denture droite . . . . .

101

8.2.2

Méthode pratique selon l’I.S.O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

103

Résistance a` la rupture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

114

8.3.1

Engrenages parallèles a` denture droite. Modèle élémentaire. . . . .

114

8.3.2

Modèle de base de l’ISO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

116

Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

124

8.3

8.4


4

9 R´ educteurs ` a engrenages.

126

9.1

Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

126

9.2

Train planétaire plan élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

127

9.3

Train plan´ etaire plan a` deux étages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

129

9.4

Particularités constructives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

130

9.4.1

Condition de coaxialité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

130

9.4.2

Condition de non-interférence entre satellites . . . . . . . . . . . .

131

9.4.3

Condition de co¨ıncidence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

132

9.4.4

Isostatisme

134

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 Transmissions par courroies.

137

10.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

137

10.2 Géométrie et cinématique d’une transmission par courroie . . . . . . . .

139

10.3 Comportement dynamique d’un élément de courroie . . . . . . . . . . . .

140

10.3.1 Courroie trapézo¨ıdale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

142

10.4 Tension de la courroie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

143

10.5 Calcul d’une transmission par courroie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

143

10.6 Lexique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

145

11 Transmissions par chaˆınes.

146

11.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

146

11.2 Règles de conception . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

147

11.3 Calcul d’une transmission par chaˆınes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

149

11.4 Représentation normalisée des transmissions a` chaˆınes . . . . . . . . . . .

150

11.5 Lexique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

151

12 Accouplements.

152

12.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

152

12.1.1 Classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

152

12.1.2 Moments de torsion admissibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

153

12.2 Accouplements rigides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

153

12.3 Accouplements mobiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

155

12.4 Accouplements élastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

157

12.5 Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

160

12.6 Lexique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

161

` TABLE DES MATI ERES 13 Embrayages.

5 162

13.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

162

13.2 Embrayages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

162

13.3 Coupleurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

164

13.3.1 Coupleurs centrifuges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

164

13.3.2 Coupleurs électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

164

13.3.3 Coupleurs a` induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

165

13.4 Roue libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

165

13.5 Limiteurs de couple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

166

13.6 Lexique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

167

14 Variateurs et boˆıtes de vitesses.

168

14.1 Boˆıtes de de vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

168

14.1.1 Boˆıtes a` baladeurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

168

14.1.2 Boˆıtes a` engrenages en prise constante . . . . . . . . . . . . . . .

168

14.1.3 Boˆıtes de vitesses automatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

174

14.2 Variateurs de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

176

14.3 Lexique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

177

15 Figures.

178

15.1 Réducteur marin a` deux étages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

178

15.2 Winch a` deux vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

181

Chapitre 1 Introduction Le mouvement dort au milieu d’une roue qui tourne Jean Cocteau.

1.1

Transmission de mouvement et de puissance.

Dès l’Antiquité, l’homme a voulu utiliser la puissance animale ou hydraulique pour mécaniser des opérations agricoles d’irrigation ou de minoterie. La civilisation grecque nous a légué la plupart des dispositifs élémentaires de transmission de mouvement et de puissance : engrenages a` chevilles et a` lanterne, came profilée, principe de la démultiplication par train de roues dentées, vis d’Archimède utilisée comme mécanisme élévateur ou comme élément de transmission dans les premiers engrenages a` vis et roue tangente... ˆ voit une diversification des fonctions des moulins a` eau : l’énergie hyLe Moyen Age draulique est utilisée pour l’actionnement des marteaux de forge, puis des souffleries qui vont permettre le développement de la métallurgie a` partir du XIVème siècle. Le XVème siècle voit la découverte du système bielle-manivelle. La Renaissance introduit la machine dans tous les domaines, même si elle relève encore souvent de l’utopie : machine automobile de Francesco di Giorgio (cf. fig. 1.1), machines à voler de Leonardo da Vinci. La révolution technique anglaise du XVIIIème siècle marque le triomphe du machinisme : la machine-outil va faire son apparition. Les moyens de transport vont se développer dès le début du XIXème (locomotive de Trevithick (1803), différentiel de Pecqueur (1828), bicylette a` chaˆıne de Meyer (1869), moteur automobile a` combustion interne de Benz (1886) ...) ; le XXème siècle verra l’essor de l’électricité industrielle et l’industrie automobile et aéronautique, nécessitant l’amélioration des transmissions existantes pour des puissances et des vitesses toujours plus importantes... De tous temps, la transformation du mouvement et la transmission de la puissance mécanique ont été directement considérées comme les fonctions essentielles d’une machine. Toute machine possède au moins un élément menant par lequel entre de l’énergie mécanique et au moins un élément mené. On réserve le terme de transmission aux dispositifs pour lesquels les mouvements d’entrée et de sortie sont de même nature. Des ouvrages encyclopédiques ([1], [3]) fournissent d’ingénieux mécanismes permettant de réaliser les 6

7

CHAPITRE 1. INTRODUCTION

Figure 1.1 – L’automobile de Francesco di Giorgio [7]

Figure 1.2 – Châssis d’une Ford Scorpio [9]

transformations cinématiques les plus diverses. L’analyse cinématique et dynamique des systèmes multicorps, qui fait l’objet d’un enseignement spécialisé a` la FPMs, permet de caractériser le mouvement de mécanismes complexes. Ce cours se limitera essentiellement à l’étude de la transmission de puissance entre arbres en rotation. Généralement, l’élément menant (moteur, d’entrée), S1, et mené (récepteur, de sortie), S2 , tournent autour d’axes fixes, parallèles, concourants, ou gauches. Ils sont en contact direct ou possèdent plusieurs éléments intermédiaires. Le rapport de transmission , i, est défini par le rapport des vitesses de rotation des deux éléments appariés par la transmission : ω2/0 i = i02,1 = (1.1) ω1/0 Selon les applications, on peut rechercher un rapport de transmission fixe (réducteur a` engrenages) ou variable (soit continˆ ument (cames non circulaires) ou par niveaux (boˆıte de vitesses)). Quelle que soit la solution technologique adoptée, il est difficile de garantir un rapport de transmission rigoureusement constant, en raison des erreurs de fabrication et de la déformabilité des éléments mécaniques en présence. La variation relative du rapport de transmission permet de définir l’erreur de transmission (cf. [8] pour un exemple d’erreur de transmission dans les entraˆınements a` courroies dentées). Le rapport d’efforts statiques , iC , est d´ efini par le rapport des efforts transmis a` aux organes d’entrée (couple C 1 ) et de sortie (couple C 2 ), en négligeant les effets d’inertie : iC =

C 2 C 1

(1.2)

8


Une transmission mécanique assurant la transmission de puissance entre la machine motrice et la (les) machine(s) réceptrice(s) peut comporter plusieurs organes et sous-systèmes fonctionnels, bien représent´ es dans le cas des transmissions automobiles (cf. fig. 1.2) : – accouplements, rigides ou élastiques, dont le rapport de transmission est égal ou voisin de l’unité ; – arbre de transmission ; – embrayage, accouplement particulier permettant une transmission intermittente de la puissance ; – le système réducteur ou multiplicateur qui transforme la puissance par modification du couple et de la vitesse peut être basé sur plusieurs principes mécaniques (roues a` friction, engrenages, courroies, chaˆınes), hydrauliques (hydrostatiques ou hydrodynamiques) ou électriques ; – limiteur d’effort, assurant la sécurité en cas de surcharge. Le choix de l’organe moteur (` a combustion interne, turbine a` vapeur ou a` gaz, pneumatique, hydraulique, électrique) et de sa commande reste évidemment primordial lors de la conception de l’ensemble de la machine.

1.2

1.2.1

´ Etude th´ eorique d’une transmission entre deux solides. Rappels de cin´ ematique

Champ de vitesses

Le torseur cinématique ( ωS2 /S1 , vOS2 /S1 ) caractérise le mouvement d’un solide S2 en mouvement par rapport a` un solide S 1. La vitesse d’un point P de S2 par rapport a` S1 peut être déterminée dès que l’on connaˆıt la vitesse d’un autre point de S 2 par rapport a` S1 et la rotation instantanée ω  S2 /S1 . vPS2 /S1 = vOS2 /S1 +  ωS2 /S1

→ ∧ −OP

(1.3)

Contact entre solides

Considérons deux solides S1 et S2 en contact permanent au cours de leur mouvement. La trajectoire du point de contact P, immatériel, décrit une courbe Γ1 sur S1 et une courbe Γ2 sur S2 . La composante de la vitesse de glissement vPS2 /S1 est contenue dans le plan tangent. La composante tangentielle de la rotation instantanée ω  S2 /S1 est appelée composante de rotation de roulement ; la composante normale, composante de rotation de pivotement.

1.2.2

Mouvement plan

Base et roulante

Soit un solide S2 en mouvement plan par rapport a` S1 . Le centre instantané de rotation (C.I.R.) I de S2 par rapport a` S1 est le point de S2 dont la vitesse par rapport a` S1 est

9


nulle :

vIS2 /S1 =  0

(1.4)

Rappelons l’énoncé du théorème de Kennedy : les centres instantanés de rotation de trois solides considérés deux a` deux sont en ligne droite a` tout instant. Dans un mouvement continu, la position de ce point I peut varier. On appellera : ecrit I par rapport a` S1 , liée a` S1 ; base la courbe γ que d´ ` S2 . roulante la courbe Γ que décrit I par rapport a` S2 , liée a Les courbes conjuguées de roulement γ et Γ sont tangentes en I et sont enveloppes l’une de l’autre durant le mouvement. On peut démontrer que le mouvement de S2 par rapport à S1 est reproduit lorsque l’on fait rouler sans glisser la roulante Γ sur la base γ . Transmission positive

Une transmission positive est basée sur l’entraˆınement par obstacle d’un solide poussé par un autre : ce mode de transmission est rencontré dans les mécanismes à cames ou a` dents (roues d’engrenage, pignon et maillon de chaˆıne). Le contact entre les solides est sujet au frottement mais celui-ci ne joue aucun rôle fondamental dans la transmission. La réduction des glissements et frottements est souhaitée pour améliorer le rendement de la transmission. ≪

≫

L’étude générale d’une transmision positive entre deux cames S1 et S2 est riche d’enseignements.

Figure 1.3 – Transmission positive. La transmission a lieu par obstacle : les composantes normales des vitesses sont égales. ω1 O 1 Mcos β 1 =

−ω O Mcos β 2

2

2

(1.5)

Le rapport de transmission i a pour expression i =

ω2 = ω1

OT β =− − OO Mcos Mcos β OT 1

1

1

1

2

2

2

2

=

− OO II 1 2

(1.6)

10


I désigne le centre instantané de rotation, obtenu, en vertu du théorème de Kennedy, comme l’intersection de la ligne des centres de rotation O1 et O2 et de la droite perpendiculaire au point de contact M a` la vitesse de glissement v2/1 . L’expression du rendement s’établit comme le produit du rapport des couples et du rapport de transmission. On établit facilement, en exprimant l’équilibre de rotation de S2 autour de O2 , que : C 2 = F n O2 T 2 fF n T 2M C 2 = F n O2 T 2 (1 + f tan β 2 )

−

(1.7) (1.8)

(1.9) (1.10)

(β 2 est négatif sur la figure 1.3) De même pour S1 : C 1 = F n O1 T 1 + f F n T 1M C 1 = F n O1 T 1 (1 + f tan β 1 )





C 2 ω2 1 + f tan β 2 η = = <1 C 1 ω1 1 + f tan β 1 Transmission non positive

(1.11)

Au contraire de la transmission par obstacle, la transmission non positive exploite l’apparition d’un effort dˆ u au frottement pour permettre la transmission de la puissance. Une transmission non positive tire son principe de l’existence de frottement : transmissions a` galets, par courroies, ... La transmission non positive n’est plus possible en cas de perte d’adhérence.

Figure 1.4 – Transmission non positive : existence d’un glissement.

v1 = ω1 R1 v2 = ω2 R2

 v1

(1.12) (1.13)

11


g= g = 1

i =

ω2 = ω1

v1

−v

2

(1.14)

v1

⇒v

2

= 0, v1

− Rv

R1 = 2 v1

2

∀

(1.15)

− RR (1 − g) 1

(1.16)

2

Comme l’illustre la figure 1.5, la ligne d’action de l’effort normal développé au contact des deux galets peut se situer en arrière de la ligne des centres : le comportement viscoélastique des matériaux crée l’apparition d’un bourrelet (l’effet rouleau a` tarte !) qui rompt la symétrie du profil de distribution des pressions de contact. L’écart e reste en général très faible : un vingtième de la largeur du contact cylindrique. ≪

≫

Figure 1.5 – Transmission non positive.

C 1 R1 F eN = 0 C 1 = R 1 f N + eN e C 1 = f + R1N R1

−

−

 

C 2 R2 F + eN = 0 C 2 = R 2 f N eN e C 2 = f R2 N R2

−

 −  −

(1.17) (1.18)

(1.19)

(1.20) (1.21)

(1.22)

12


|i | C

R2 f = R1 f +

−

f

e R2 e R1

− η = (1 − g) f + 1.2.3

(1.23)

e R2 e R1

(1.24)

Mouvement spatial

A un instant déterminé, le mouvement spatial d’un solide S2 par rapport a` un autre S1 peut être assimilé a` un mouvement hélico¨ıdal instantané d’axe d. Au cours du mouvement continu, cette droite engendre une surface σ par rapport a` S1 , liée a` S1 et une surface Σ par rapport a` S2 , liée a` S2 . Les surfaces réglées sont appelées les axo¨ıdes du mouvement de S2/S1 .

1.2.4

Classification en fonction de la disposition des axes de rotation

Les solides S1 et de S2 ont un mouvement de rotation autour des axes d1 et d2 , fixes par rapport au bˆ ati S0. Les axes d1 et d2 peuvent être gauches, sécants ou parallèles. ωS2 /S1 =   ωS2 /S0

−  ω

S1 /S0

(1.25)

Recherchons d, l’axe hélico¨ıdal instantané du mouvement de S2 par rapport a` S1, soit l’axe central du champ de vitesses de S2 par rapport a` S1 , de résultante ω  S2 /S1 . L’axe central d d’un torseur est, par définition, le lieu des points I o` u le moment associé est parallèle a` la résultante. Tout point I de l’axe central d recherché vérifie donc : ωS2 /S1 

∧ v

IS2 /S1

=  0

(1.26)

ou encore vIS2 /S1 = k ω  S2 /S1

(1.27)

La direction de l’axe central est connue (elle est parallèle a` ω  S2 /S1 ) : le problème de sa détermination est résolu dès que l’on connaˆıt un de ses points. Axes concourants

Si les axes de rotation d1 et d2 sont concourants en un point O, l’axe central d passe par ce point.

O axe central vOS2 /S1 =  0 = 0  ωS2 /S1

∈

P

(1.28) (1.29)

→ = k ω ∈ axe central ⇒ −OP

S2 /S1

(1.30)

13


→ ∧ −OP

vPS2 /S1 = vOS2 /S1 +  ωS2 /S1 =  0 Il est parallèle a` ω  S2 /S1 =  ωS2 /S0

−  ω

S1 /S0 et

(1.31) (1.32)

est dans le plan défini par d1 et d2 .

Si ω2 /ω1 est constant, d est fixe par rapport au bˆ a ti fixe S0 et les deux axo¨ıdes du mouvement de S2 par rapport a` S1 sont deux cônes circulaires. La vitesse de glissement de S2 par rapport a` S1 est nulle en tout point de l’axe central. Axes non concourants

Désignons par H1 et H2 les pieds de la perpendiculaire commune aux axes d1 et d2 . Ces points peuvent être définis lorsque les axes d1 et d2 sont gauches (cf. fig. 1.6) ou parallèles. La définition de l’axe central est réalisée dès que l’on a déterminé un de ses points, sa direction étant celle de la vitesse de rotation relative ω  S2 /S1 . Nous allons montrer que l’axe central coupe la perpendiculaire commune H1 H2 en un point H et localiser ensuite ce point sur H1H2 . S1 H1

ω1/0 H2

S2

ω2/0

Figure 1.6 – Axes gauches. Remarquons tout d’abord que H1 H2 étant perpendiculaire aux droites d1 et d2 supports de ω  S1 /S0 et de ω  S2 /S0 , nous vérifions la relation :

−H−−H→ .  ω 2

1

S2 /S1

=0

(1.33)

−H−−H→ ⊥  ω −H−−H→ ⊥  ω −H−−H→ ⊥  ω 1

2

1/0

(1.34)

1

2

2/0

(1.35)

1

2

2/1

(1.36)

Soit I un point courant de l’axe central d. En ce point I, la vitesse de glissement, qui satisfait la relation (1.27), peut être développée comme suit : vIS2 /S1 = vH1S

2 /S1

+  ωS2 /S1

H I ∧ −→ 1

(1.37)

14


dans laquelle vH1S

= vH1S

2 /S1

2 /S0

− v

(1.38)

H1S

1 /S0

   ∧ −−−→     0

= vH2S

2 /S0

+  ωS2 /S0

H2H1

(1.39)

 0

Donc,

HI (1.40) ∧ −H−−H→ +  ω ∧ −→ −−−→ En multipliant scalairement l’équation (1.40) par H H , il subsiste, pour tout point I de l’axe central : −H−−H→ .  ω ∧ −→ H I =0 (1.41) vIS2 /S1 = k ω  S2 /S1 =  ωS2 /S0

2

1

2

2

1



S2 /S1

1

S2 /S1

1

1



On remarquera que cette dernière équation (1.41) est vérifiée pour un point particulier H de l’axe central, situé sur la perpendiculaire commune H1 H2 (H1H = a H1 H2 ). Localisons à présent ce point H.

−−→

vHS2 /S1 = vHS2 /S0

−−−→

− v → ω ∧ −H−→H H H −  ∧ −−

(1.42)

HS1 /S0

= ω  S2 /S0

2

S1 /S0

(1.43)

1

En considérant le produit vectoriel de cette relation par la vitesse de rotation relative ωS2 /S1 , compte tenu de l’appartenance de H a` l’axe central : 

 ∧

 0 = ω  S2 /S1  0 =

−H−→H −HH −→ 1

2

=



−  ω −  ω ω

S2 /S1

S2 /S1 S2 /S1



∧ −H−→H −  ω −H−→H +  ω

ωS2 /S0 

.  ωS2 /S0

.  ωS2 /S0 .  ωS1 /S0

2

  2

S2 /S1

S2 /S1

∧

ωS1 /S0 

.  ωS1 /S0





→ H H ∧ −− −− → H H 1

1

(1.44) (1.45) (1.46)

Si le rapport ω 2/ω1 reste constant, l’axe d reste fixe par rapport a` un repère fixe. Si les axes de rotation d1 et d2 sont parallèles, l’axe central leur est parallèle (et coplanaire) de direction ω  S2 /S1 =  ωS2 /S0  ωS1 /S0 . Axes parall` eles

−

Si le rapport de transmission ω2/ω1 est constant, la position du point H d´ efini par l’équation (1.46) est déterminée sur la droite H1 H2 . La droite d est fixe par rapport au bâ ti fixe S0 et les deux axo¨ıdes du mouvement de S2 par rapport a` S1 sont deux cylindres circulaires. On peut distinguer deux configurations pour les surfaces de viration selon le signe du rapport (1.46) : s’il est négatif, le rapport de transmission est positif : une des surfaces de viration est intérieure a` l’autre. S’il est positif, les axo¨ıdes sont extérieures et le rapport de transmission est négatif. La vitesse de glissement de S2 par rapport a` S1 est nulle en tout point de l’axe central.

15


Figure 1.7 – Hyperbolo¨ıdes en contact [5]

Les surfaces engendrées par celui-ci relativement a` S1 et a` S2 sont deux hyperbolo¨ıdes de révolution. Axes gauches

Un mouvement de rotation peut être transmis entre deux axes gauches au moyen de deux roues de friction appuyées l’une sur l’autres, taillées en forme d’hyperbolo¨ıdes de révolution. Les hyperbolo¨ıdes de révolution restent tangents mais les deux surfaces glissent l’une sur l’autre.

1.2.5

Surfaces conjugu´ ees

Lorsqu’une transmission est assurée par le contact de deux surfaces, celles-ci doivent rester tangentes durant leur mouvement. Les profils, intersections des surfaces en contact par des plans perpendiculaires aux axes, doivent rester tangents. De manière générale, deux surfaces S1 et S2, tangentes en P (n désigne leur normale commune en P), sont conjuguées si : vPS2 /S1 .n = 0

(1.47)

Notons d’emblée que le problème de la définition de surfaces conjuguées dépasse le cadre (déj` a large) des engrenages : il concerne bon nombre de machines volumétriques (compresseur Roots, ...). La détermination de la géométrie d’un profil conjugué a` une courbe donnée est un problème qui peut être résolu graphiquement (cf. [6], pages 32 et suivantes). L’engrènement de roues dent´ ees se base sur la conjugaison de profils : – en développante de cercle : ils sont de loin les plus couramment utilisés, et seront de ce fait les seuls a` faire l’objet d’une étude détaillée dans ce cours (chapitres 2 a` 8) ; – cyclo¨ıdaux, constitués de portions d’épicyclo¨ıdes et d’hypocyclo¨ıdes (cf. fig. 1.8) ; – en arc de cercle, comme dans l’engrenage de Wildhaber-Novikov (cf. fig. 1.9) ;


Figure 1.8 – Engrenage cyclo¨ıdal extérieur [2]

Figure 1.9 – Engrenage de Wildhaber-Novikov [2]

16


17

Figure 1.10 – Engrenages : cylindrique a` denture droite, cylindrique a` denture hélico¨ıdale, intérieur, a` pignon et crémaillère, conique a` denture droite, conique a` denture inclinée, gauche hélico¨ıdal, a` vis et roue tangente, gauche ([4]).

18


1.3

Classification des transmissions

De manière formelle, on peut distinguer : – les transmissions positives : lorsque les efforts sont transmis par obstacle dans la chaˆıne cinétostatique, que ce soit directement (cames, engrenages) ou au moyen d’un corps intermédiaire (mécanismes a` barres articulées, chaˆınes, courroies dentées) ; – les transmissions non positives : dans le cas contraire, notamment lorsque le frottement est exploit´ e pour la transmission de la force motrice, directement (adhérence entre roues) ou indirectement (courroies). Les transmissions hydrauliques ou électromagnétiques entrent dans cette catégorie. Cette classification n’est pas dénu´ ee d’int´ erêt car elle caractérise le comportement mécanique, synthétisé par le tableau 1.1. Transmission Rapport de transmission Rapport d’efforts

Rendement

positive dépendant uniquement de la géométrie dépendant de la géométrie et du frottement, indépendant de la charge. indépendant du couple a` transmettre

Vitesse de sortie

ind´ e pendante de la charge

Comportement en surcharge

rupture de l’´ el´ ement, détérioration des surfaces

non positive dépendant de la géométrie et du glissement dépendant de la géom´ etrie, du frottement et de la charge. d´ ependant du couple a` transmettre, nul au patinage diminue à charge croissante, s’annule en cas de patinage patinage et échauffement, détérioration des surfaces

Table 1.1 – Propriétés fondamentales des transmissions. Quel que soit le type de transmission envisagé, le glissement n’est jamais favorable et doit être maˆıtrisé, en particulier pour minimiser l’usure et éviter le grippage. Pour minimiser le glissement, il faut veiller à ce que les points de contact par lesquels la transmission de puissance s’effectue soient situés au voisinage des surfaces axo¨ıdes. i Type de transmission Roues a` friction 1 a` 4 Engrenages cylindriques 1 a` 8 Engrenages coniques 1 a` 6 Engrenages a` vis 5 a` 60 Courroies plates 1 a` 5 Courroies trapézo¨ıdales 1 a` 8 Courroies crantées 1 a` 8 Chaˆınes a` rouleaux 1 a` 8 Chaˆınes silencieuses 1 a` 5

Puissance Vitesse maximale Rendement [kW] N [t/min] v [m/s] η [%] 150 20000 30 90 a` 98 30000 100000 120 96 a` 99 5000 30000 80 95 a` 98 1000 10000 40 50 a` 95 1000 150000 80 96 a` 98 500 8000 30 92 a` 94 200 20000 50 95 a` 98 1000 8000 20 96 a` 98 1000 12000 30 96 a` 98

Table 1.2 – Possibilités de différentes transmissions (pour un seul étage).


19

Les transmissions a` engrenages sont nettement moins encombrantes que les transmissions à liens flexibles, comme l’illustrent les comparaisons de quatre transmissions a` courroies, chaˆınes et engrenages décrites par la figure 1.11 et le tableau 1.3 pour une transmission de puissance de 50 kW, N 1 = 1500 t/min et N 2 = 500 t/min.

Figure 1.11 – Comparaison de l’encombrement des transmissions (50 kW, 1500 t/min, i = 3) [10]

(a) (b) (c) (d)

Type de transmission Droues [mm] Largeur B [mm] Entraxe A [mm] Courroies trapézo¨ıdales 190 x 570 101 810 Courroie dentée 198 x 594 63 588 Chaˆıne Westinghouse 138 x 412 76 297 Engrenage 90 x 270 26 180

Table 1.3 – Comparaison de l’encombrement de transmissions (fig. 1.11).

20


1.4

Sch´ ematisation des ´ el´ ements de transmission Désignation

Vue de profil

Roues cylindriques (Transmission à friction) Engrenage parallèle extérieur et intérieur

Vue de bout

ou

ou

Engrenage conique

Engrenage à vis sans fin cylindrique

Transmission à crémaillère

Figure 1.12 – Représentation symbolique des roues et engrenages.

21


Désignation

Vue de profil

Vue de bout

Transmission par courroie Type de courroie plate trapézoïdale ronde crantée

Transmission par chaîne Type de chaîne à maillons à rouleaux à dents

Figure 1.13 – Représentation symbolique des transmissions a` courroies et a` chaˆınes.

Désignation

Représentation

Désignation

Accouplement (général)

Accouplement rigide

Accouplement flexible

Accouplement élastique

Compensateur de dilatation

Joint de Cardan

Limiteur de couple

A rupture de protection

Embrayage

Embrayage à denture

Embrayage à friction

Embrayage centrifuge

Embrayage hydraulique

Coupleur

Frein

Roue libre antidévireur

Représentation

Figure 1.14 – Représentation symbolique des accouplements, embrayages et freins.

´ ERENCES ´ R EF

1.5 la la le le l’ la l’ le l’ l’ le le la la la la la la

22

Lexique

Fran¸ cais transmission puissance mouvement couple (moment de torsion) angle de rotation vitesse angulaire accé lé ration angulaire mouvement alternatif arbre moteur arbre récepteur rapport de transmission rendement transmission ` a friction transmission ` a courroie transmission ` a chaˆıne transmission ` a engrenage roue jante

the the the the the the the the the the the the the the the the the the

English power transmission power motion torque angular displacement angular velo city angular acceleration reciprocating motion driving shaft driven shaft velocity ratio efficiency friction gearing belt drive chain drive (toothed) gearing wheel rim

het het de het de de de de de de de het de de de de het het

Nederlands drijfwerk vermogen beweging wringende moment rotatiehoek ho eksnelheid koekversnelling heen- en weergande beweging aandrijfas aangedrevenas overbrengingsverhouding rendement frictieoverbrenging riemaandrijving kettingoverbrenging tandwieloverbrenging wiel loopvlak

das die die das der die die die die die die der das der der das das der

Deutsch Getriebe Leistung Bewegung Drehmoment Drehwinkel Winkelgeschwindigkeit Winkelbeschleunigung hin- und hergehende Bewegung Antriebswelle Abtriebswelle ¨ Ubersetzung Wirkungsgrad Reibradgetriebe Riementrieb Kettentrieb Zahnradgetriebe Rad Kranz

Table 1.4 – Lexique relatif aux transmissions.

R´ ef´ erences [1] I. Artobolevski : Les mécanismes dans la technique moderne . Mir Moscou, 1975. [2] I. Artobolevski : Théorie des mécanismes et des machines . Mir Moscou, 1977. [3] Nicholas P. Chironis : Mechanisms & Mechanical Devices Sourcebook . McGrawHill, 2nd édition, 1996. [4] Karl-Heinz Decker et Karlheinz Kabus : Maschinenelemente. Gestaltung und Berechnung. Carl Hanser, 1998. [5] David B. Dooner et Ali A. Seireg : The Kinematic Geometry of Gearing. A Concurrent Engineering Approach. John Wiley & Sons, 1st édition, 1995. [6] Georges Henriot : Engrenages. Conception. Fabrication. Mise en oeuvre. Dunod, 7ème édition, 1999. [7] Bruno Jacomy : Une histoire des techniques . Seuil, 1990. [8] Daniel Play : Entraˆınement par courroies dentées. Définitions. Géométrie. , chapitre BM 5 685, pages 1–15. Techniques de l’ingénieur, 2006. [9] Jörnsen Reimpell : Fahrwerktechnik : Radhaufh¨ urzburg, 2 angungen . Vogel, W¨ édition, 1988. [10] Georges Spinnler : Conception des machines. Principes et applications. Volume 3. Dimensionnement. Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne, 1997.

Chapitre 2 Engrenages cylindriques ` a denture droite en d´ eveloppante de cercle. La persévérance est au courage ce que la roue est au levier ; c’est le renouvellement perpétuel du point d’appui. Victor Hugo, Les Travailleurs de la mer .

2.1

Propri´ et´ es g´ eom´ etriques des d´ eveloppantes de cercle

Considérons une droite d en contact en B avec un cercle de centre O et de rayon Rb . Faisons rouler d sur sans glisser. Dans ce mouvement, T est le centre instantané de rotation du mouvement de d par rapport a` . Le lieu de T par rapport à un repère fixe n’est autre que le cercle lui-même, qui s’apparente a` la base : nous l’appellerons cercle de base. Le lieu de T par rapport a` la droite d n’est autre que la droite d elle-même, la roulante .

C

C

C

C

θ α κ

Figure 2.1 – Profil en développante.

23

` DENTURE DROITE. CHAPITRE 2. ENGRENAGES CYLINDRIQUES A

24

Une développante d’un cercle de centre O et de rayon R b est la trajectoire, par rapport au cercle fixe , d’un point U déterminé sur une une droite d qui roule sans glisser sur en T.

C

C

C

Si l’on déroule une corde enroulée autour d’un cylindre fixe en la maintenant tendue, n’importe quel point de celle-ci décrira une trajectoire en développante de cercle. Propri´ et´ e 2.1.1 La normale en tout point de la d´ eveloppante de cercle est tangente au cercle de base.

ee d’un point de la d´ eveloppante de Propri´ et´ e 2.1.2 La longueur de la normale abaiss´ cercle sur le cercle de base est ´ egale ` a la longueur de l’arc correspondant mesur´ e sur le cercle de base. Propri´ et´ e 2.1.3 La longueur de la normale abaiss´ ee d’un point de la d´ eveloppante de cercle sur le cercle de base est égale au rayon de courbure en ce point. Propri´ et´ e 2.1.4 La distance normale entre deux d´ eveloppantes de cercle générées à par- devcrcl1 tir d’un même cercle de base est ´ egale ` a la longueur de l’arc qui s´ epare leur origine, appel´ ee

pas de base

Figure 2.2 – Pas de base. Etablissons l’équation du lieu de U, en coordonnées polaires (R, θ). Pour que le point générateur U passe de B en U, il faut que la tangente au cercle tourne d’un angle κ, appelé angle de base . Appelons angle de développante l’angle α qui définit la position angulaire du point T relativement au point U. θ = κ

−α

(2.1)


25

Considérant le triangle OTU rectangle en T : OT OU TU tan α = OT cos α =

OU = R =

⇒ ⇒

Rb cos α

TU = R b tan α

(2.2) (2.3)

La condition de roulement sans glissement de d sur la circonférence de rayon Rb se traduit ⌢ par l’égalité des longueurs du segment TU et de l’arc TB. Rb tan α = R b κ

⇒ κ = tan α

(2.4)

L’angle polaire θ peut être exprimé directement en fonction de l’angle de développante a` l’aide de la fonction involute :

invol arcinvol

θ = tan α

− α = inv

α (involute α)

(2.5)

La développante de cercle s’exprime en coordonnées polaires sous la forme : Rb cos α θ = inv α

R =

2.2

(2.6)

(2.7)

´ Etude cin´ ematique d’un engrenage cylindrique ` a denture droite

Considérons deux développantes de cercle en contact. Propri´ et´ e 2.2.1 Deux d´ eveloppantes de cercle en contact sont conjugu´ ees.

En effet, appelons M le point de contact entre deux développantes de cercle générées respectivement a` partir de deux cercles de base de centres respectifs O1 et O2 et de rayons respectifs Rb1 et Rb2 . La normale commune au point de contact M est tangente aux deux cercles de base (propriété 2.1.1) ; elle occupe une position immuable, quelle que soit la position des profils au cours de leur mouvement. Le lieu du point de contact est appelé la ligne d’action , qui s’apparente a` la tangente commune aux deux cercles de base. Son intersection avec la ligne des centres O1 O2 , I, est fixe, ce qui prouve l’aptitude des profils en développante de cercle a` assurer un rapport de vitesse constant durant l’engrènement. Le rapport de transmission (ou de vitesse) est, conformément a` l’équation 1.46 : OI R = |i| = IO R 1

2

p1

(2.8)

p2

Les rayons R p1 et R p1 sont appelés rayons primitifs , et les cercles associés, cercles primitifs .


26

Figure 2.3 – Développantes de cercle conjuguées.

En appelant angle de pression αp l’angle de développante correspondant au point de contact I, les rayons primitifs sont reliés aux rayons de base par une relation simple : Rb1 cos αp Rb2 = cos αp

Rp1 = Rp2 et donc :

|i| = RR

p1 p2

=

Rb1 Rb2

(2.9) (2.10)

(2.11)

Le rapport d’engrenage u est l’inverse de la valeur absolue du rapport de transmission i. (u = 1/ i ).

||

Propri´ et´ e 2.2.2 Deux d´ eveloppantes de cercle en contact restent conjugu´ ees si la distance entre les centres de leurs cercles de base respectifs varie.

Le profil en développante de cercle possède une propriété particulièrement intéressante : une variation d’entraxe O1 O2 n’entraˆıne par de modification du rapport de transmission. Cette insensibilité a` l’entraxe est un des facteurs qui fait préférer la développante de cercle a` toute autre forme de profil (cyclo¨ıdal, ...).


2.3

2.3.1

27

R´ ealisation d’une denture en d´ eveloppante de cercle Cin´ ematique de taillage

Le problème est de pouvoir matérialiser une développante de cercle au moyen d’un outil relativement simple a` mettre en œuvre. Au cours du mouvement de génération, le profil de la dent est défini par l’enveloppe de toutes les positions de l’arête tranchante de l’outil. Nous recherchons donc une courbe génératrice qui puisse envelopper, dans un mouvement particulier, une développante de cercle. La solution la plus simple a priori est d’adopter, comme courbe génératrice, un segment de droite matérialisé par l’arête rectiligne d’un outil de coupe. Dans l’étude du contact de deux profils en développante de cercle menée a` la section précédente, nous avons mis en évidence que la normale au point de contact s’identifiait constamment a` la ligne de contact, fixe : un profil en développante est conjugué a` une droite inclinée d’un angle αm sur OI. Au cours d’un mouvement o` u elle reste parallèle a` elle-même, une droite est donc capable d’envelopper le profil en développante de cercle. Il reste donc a` organiser son mouvement de translation pour répondre a` la question posée. Appelons M le point de contact généré par l’outil (le point de contact entre la développante et la droite génératrice g, perpendiculaire a` la ligne d’action d (cette dernière étant tangente au cercle de base)).

α α

α

Figure 2.4 – Génération d’une développante de cercle. Désignons par p une droite qui dans un mouvement de translation selon x, roule sans glisser sur le cercle de rayon OI, lié a` la roue S1 : vIp/S1 =  0

(2.12)

Solidarisons la droite génératrice g a` cette droite p. Elle reste parallèle a` elle-même au cours de son mouvement. Le point M se meut sur la ligne d’action d : nous allons montrer que nous pouvons lier M à d, d roulant sans glisser sur le cercle de base de rayon OT. Nous pourrons alors affirmer


28

que M étant le point d’une droite qui roule sans glisser sur un cercle, M décrit bien une développante de cercle. Intéressons-nous a` la vitesse du point générateur M par rapport a` un repère fixe S0 :

∧−→

vMp/S0 = vIp/S0 +  ωp/S0 IM



(2.13)

= 0

vMp/S0 = ω1 OI uX

(2.14)

D’autre part, nous pouvons la décomposer comme suit : vMp/S0 = vMp/d + vMd/S0

(2.15)

La première composante, vMp/d = vMg/d est perpendiculaire a` la ligne d’action d, alors que la seconde, vMd/S0 , est de même direction que la ligne d’action. Le triangle des vitesses représenté sur la figure 2.4 est rectangle, et on y retrouve l’angle α m . Nous en déduisons :

||v

Md/S0

||

= vMp/S0 cos αm = ω1 OI cos αm = ω1 OT = vTd/S0

||

||

||

||

(2.16) (2.17) (2.18) (2.19)

Cette dernière relation étant celle que l’on aurait obtenue en exprimant le roulement dans glissement de d sur le cercle de base de rayon OT : la thèse est démontrée. Autrement dit, lorsque p roule sans glisser sur le cercle de rayon Rp = OI, la droite d roule sans glisser sur le cercle de rayon Rb = OT. On est ainsi ramené a` la définition élémentaire de la développante de cercle, comme le lieu de M lié a` d (ou g) dans un repère lié à la roue.

2.3.2

Cr´ emaill` ere de r´ ef´ erence

Pratiquement, on sera amené a` définir une crémaillère de référence dont le tracé de section est représenté sur la figure 2.5. La crémaillère de référence évoque le profil d’une crémaillère ”produit” plutˆ ot que celui de la crémaillère outil qui s’y emboˆıte. La tête de la crémaillère de référence correspond ainsi au pied de la crémaillère outil qui donnera forme a` la tête de la dent. Le pied de la crémaillère de référence définit la tête de la crémaillère génératrice qui va définir le pied de dent. Les flancs de la crémaillère sont inclinés d’un angle valant αm sur le plan de référence. Deux flancs homologues sont espacés d’une distance appelée pas P . Sur une roue dentée, le pas P est mesuré sur le cercle primitif. Pour une roue dentée qui possède un nombre entier Z de dents : (2.20) Z P = 2πR m

±

L’échelle de la crémaillère de référence est fixée par le module de taillage M : M =

2Rm P = Z π

(2.21)


29

α

ρ

π

π

Figure 2.5 – Crémaillère de référence.

Au primitif de taillage, l’intervalle libre entre deux dents E (l’entre-dent) est égal a` l’épaisseur de dent S . Les pays anglo-saxons préfèrent normaliser la valeur du pas diamétral (eng : diametral ot que celle du module : pitch ) plutˆ P D =

25, 4 M

(2.22)

La tableau 2.3.2 fournit la correspondance entre les deux systèmes. H a, H f et H d sont respectivement appelés saillie, creux et creux au dégagement. H désigne la hauteur totale.

H = H a + H f H d H a

≥

(2.23) (2.24)

La normalisation définit des outils standardisés et reconnaˆıt une valeur préférentielle pour l’angle α m de 20◦. Rappelons que sa valeur détermine, par l’équation 2.9, le rapport entre le rayon du cercle primitif de taillage et le rayon du cercle de base. Ce rapport influence la morphologie de la dent. La figure 2.6 montre trois dents faisant partie de roues de même nombre de dents et même module, mais se différenciant par la valeur de l’angle de pression. Les dents avec fort angle de pression sont plus trapues. Les valeurs des creux et saillies sont définies en fonction du module M , dont les valeurs sont prises dans des séries normalisées, précisées dans le tableau 2.3.2. Remarquons la présence d’un raccordement circulaire du profil générateur avec la ligne de tête de la crémaillère génératrice (identique a` la ligne de pied de la crémaillère de référence) dont le rayon a une valeur voisine de : ρM =

H f H d , cote normale (1 sin αm )

− −

(2.25)


30

Modules Diametral Pitches Valeurs principales Valeurs secondaires Valeurs principales Valeurs secondaires 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,125 1,25 20 1,375 18 1,5 16 1,75 14 2 12 2,25 2,5 10 2,75 9 3 8 3,5 7 4 6 4,5 5 1/2 5 5 5,5 4 1/2 6 4 7 3 1/2 8 3 9 2 3/4 10 2 1/2 11 2 1/4 12 2 14 1 3/4 16 1 1/2 18 20 1 1/4 22 25 1 28 32 36 40 45 50

Table 2.1 – Correspondance approximative des modules et des diametral pitches normalisés

Saillie Creux Denture normale H a = M H f = 1, 25M Denture basse H a = 0, 8M H f = M Table 2.2 – Saillies (addendum) et creux (dedendum)


α

α

31

α

Figure 2.6 – Influence de l’angle de pression sur le profil des dentures. α

Figure 2.7 – Influence du nombre de dents sur leur profil.

Cette normalisation ne s’applique en pratique que dans la production d’engrenages en petites ou en moyennes séries. Plusieurs constructeurs s’écartent assez largement de ces valeurs rep` eres. Dans le secteur automobile, la hauteur des dentures est supérieure a` 2,25 M .

Figure 2.8 – Profils typiques pour différents modules.


2.3.3

32

Denture d´ eport´ ee.

La figure 2.9 présente l’épure de taillage dans un cas o` u la ligne de référence de la crémaillère est distant d’une distance X = xM du cercle primitif de taillage, appelée d´ eport . x est appelé d´ eport réduit 1 . Lorsque le d´ eport est nul, la denture est dite normale. Lorsque le déport est positif, la crémaillère s’éloigne du pignon.

´ de taillage pour un déport positif. Figure 2.9 – Epure

Figure 2.10 – Influence du déport sur la forme des dents. La valeur du d´ eport fixe ainsi la position de la dent par rapport au cercle primitif de taillage (dont le diamètre est fixé égal a` ZM ). Ra = Rm + H a + xM Rf = Rm H f + xM

−

(2.26) (2.27)

Pour un pignon, la grandeur H a + xM porte le nom de saillie de taille, H f xM , le nom de saillie de creux. Le déport influe sur la morphologie de la dent. On fixe généralement conjointement les déports des deux roues d’un même engrenage pour en optimaliser le fonctionnement (réduction des glissements, ...).

−

1. Dans ce cours, les variables en lettres minuscules désigneront généralement des grandeurs réduites, rapportées au module M

` DENTURE DROITE. CHAPITRE CHAPITRE 2. ENGRENA ENGRENAGES GES CYLINDRIQUE CYLINDRIQUES S A

33

On parle d’engrenage Deports des deux roues x1 et x2 est D -zéro lorsque la somme des déports nulle. Le déport epo rt est gén´ enéralement erale ment positif po sitif pour po ur le pignon pigno n et négatif egat if pou pourr la roue. roue . La surface surface de tête ete de denture denture est la surface surface qui raccorde raccorde les deux deux surfaces surfaces des flancs flancs antihomologues des dents a` leur sommet. sommet . La définition efinit ion de la surface surfa ce de tête ete dépend epe nd des proc´ pro céd´ edés es de fabricatio fabr ication n des dents. Le cercle de tête, ete, de rayon Ra , peut – résulte esu lterr de l’opératio era tion n de tourna tou rnage ge préc´ ecédant eda nt la gén´ enératio era tion n de la denture dent ure ; – résulte esu lterr de l’op´ l’o pératio era tion n de gén´ enératio era tion n par crémaill` ema illère, ere , comme com me envelopp envelo ppee du fond fon d de la dent de la crémaill` emaillère ere : la dent présentera esentera un arrondi arro ndi ; – résulter esulter d’une combinaison des deux cas préc´ ecédents edents : le cercle de tête ete est celui de l’ébau eb auche che mais ma is est es t chanf cha nfre rein´ iné par pa r la crémai em aill` llère er e La crémaillère génère : – les profils profi ls en développante eveloppa nte de cercle, cercl e, app appel´ elés es flancs ; ; – le profil de fond de dent, ou cercle de pied, de rayon Rf ; il est es t gén´ enér´ eré par pa r le plat pla t en somm so mmet et de crémai em aill` llère er e ; – les profils de raccordement entre les flancs et le fond de la dent, selon une courbe qui s’apparente a` une trocho¨ trocho¨ıde. Cette courbe est l’envel l’enveloppe oppe de la trajectoire du raccordement dem ent circula cir culaire ire du profil pro fil rectil rec tilign ignee de la crémaill` ema illère ere gén´ enératri era trice ce avec sa ligne lign e de tête. ete . Elle commence au rayon rayon actif de pied de taillage taillage et s’arrˆ s’arrête ete au rayon rayon de pied. Une troc es t, selon sa définition efiniti on la plus gén´ enérale, erale , une courbe courb e qui est tracée ee sur un t roch ho¨ıde est, plan en rotation par un point particulier d’un second, qui, dans le cas particulier qui nous occupe, est soumis a` un u n mouvement mo uvement de translatio trans lation. n. Chaque point po int de la cr´ c rémaill` emaillère ere gén´ enératrice erat rice décrit ecrit donc une trocho tro cho¨¨ıde sur la roue : le profil profi l de la dent est l’enveloppe l’envelopp e de l’ensemble de ces ce s trocho¨ tr ocho¨ıdes ıdes individu i ndividuelles. elles.

2.3.4

´ Epaisseur curviligne d’une dent.

L’épaisseur epaiss eur curviligne curvil igne d’une dent sera calculée ee sur la circon c irconf´ férence erenc e primitive p rimitive de taillage tailla ge ; nous verrons ensuite comment déterminer eterminer sa valeur sur une circonférence erence de rayon arbitraire. Ce calcul est important, important, car il permettra p ermettra le trac´ e des flancs de la denture. denture. La figur fig uree 2.11 2. 11 présent es entee un profi pr ofill de dent de nt gén´ enér´ eré par pa r un unee crémai em aill` llère er e dépor ep ort´ tée ee d’un d’ unee disdi stance X tance X ,, défini efi niee par pa r la dista dis tanc ncee sépar ep arant ant la ligne lig ne de réf´ eféren er ence ce de la crémai em aill` llère er e de la ligne lig ne primitive primit ive de taillag t aillage. e. L’épaisseur epaisse ur curviligne curvili gne S S m mesur´ mesu rée ee sur la circon cir conf´ férence ere nce primit pri mitive ive de ⌢ taillage tailla ge est égale egale a` la longueur de l’arc IP. ⌢ 1 S m = IP 2 = IP′ = IQ + QP′ πM = + X tan tan αm 4

(2.28) (2.29) (2.30)

(2.31)

Nous en déduisons eduiso ns les expressions expre ssions de l’épaisseur epaisse ur curviligne curvilig ne S S m et de l’entre-dent E l’entre-dent E m d’une dent sur la circonférence erence primitive de taillage : πM + 2xM 2xM tan tan αm 2 πM = 2xM tan tan αm 2

S m = E m

−

(2.32)

(2.33)


34

α

´ curviligne d’une dent sur la circonférence erence primitive. Figure 2.11 Figure 2.11 – Epaisseur

´ curviligne c urviligne d’une dent sur une circonférence erence de rayon quelconque. Figure 2.12 – Epaisseur

Considérons erons la figure 2.12 pour po ur déterminer eterm iner l’épaisseur epaisse ur curviligne curvil igne S R d’une d’u ne dent définie efin ie sur une circonférence erence de rayon quelconque R : Nous pouvons écrire ecrire la relation entre S R et l’angle au centre qui l’intercepte : S R = 2 R  AOE

(2.34)

avec :   +  AOE = AOM MOB

EOB − 

S m /2 + θm θR Rm S m = + inv α inv αm inv α inv αR 2Rm =

−

−

d’o` u, u, finalement : S R = D



S m + inv αm Dm

− inv α

R



(2.35)

(2.36)

(2.37)

(2.38)


35

La valeur minimale mini male recomm rec ommand´ andée ee pour po ur l’épaisse epa isseur ur d’une d’un e dent mesur´ mes urée ee au diam` dia mètre etr e de tête ete est de 0,2 M 0,2 M .. Une dent trop fine pourrait se fragiliser et se déformer eformer lors des traitements thermi the rmiques ques qu’elle qu’e lle va subir sub ir pour po ur accroˆ acc roˆıtre ıtr e ses propri´ pro priét´ etés es mécaniqu eca niques es (duret´ (du reté, e, résistan esis tance ce a` la fatigue, ...). S a 0, 2M (2.39)

≥

Exercice Exer cice 2.3.1 2.3. 1 Grandeur Gran deurss g´ eom´ eom´ etriques etri ques d’une d’un e roue dent´ ee ee

On demand d emandee de comparer compa rer les grandeurs gran deurs caract´ cara ctéristiques eristi ques (diamètre etre primitif, primit if, diamètre etre de base, ba se, diam` dia mètre et re de pied pi ed,, dia d iam` mètre et re de tête, et e, épai ep aisse sseur ur de tête, et e, épai ep aisse sseur ur au diam` di amètre et re primi pr imiti tiff ) et de représenter esenter le profil d’une dent : a. d’un pignon comportant 25 dents dents de module 4, avec avec un coefficient coefficient de déport eport nul; nul ; b. d’un pignon comportant 25 dents dents de module mo dule 4, avec avec un coefficie co efficient nt de déport eport de 0,5.

2.4

2.4.1

Engr Engr` enemen enementt ext´ ext´ erieur erieur d’un d’un pignon pignon et d’une d’une roue. Caract´ Caract´ eristiques eristiques de fonctionnement

Nous avons mis en exergue la possibilit´ possibilité, e, pour des engrenages engrenages dont les profils des dents dents s’apparentent a` des développantes eveloppantes de cercle, de s’accommoder d’un entraxe de fonctionfonct ionnement A diff´ di fférent er ent de l’entr l’e ntrax axee de gén´ enérat er atio ion n Am .

Figure 2.13 Figure 2.13 – Effet d’une variation d’entraxe.

La figure figur e 2.13 illustre l’effet d’une augmentation au gmentation d’entraxe. Les circonf´ circon férences erences primitives de fonctionnement sont alors a` distinguer distinguer des circonf´ circonférences erences primitiv primitives es de taillage, taillage, de même eme que l’angle de pression pr ession de fonctio fo nctionnement nnement s’´ s ’écarte ecart e de l’angle l ’angle de pression pre ssion de d e taillage. tail lage.


36

Ces grandeurs sont reliées par les relations fondamentales : Rb1 + Rb2 cos αm Rb1 + Rb2 = cos α p

Am = Rm1 + Rm2 =

(2.40)

Ap = Rp1 + Rp2

(2.41)

Introduisons le module de fonctionnement M p et le pas primitif de fonctionnement P p définis par : 2Rp1 2Rp2 = Z 1 Z 2 = πM p

M p = P p

2.4.2

(2.42)

(2.43)

Conditions g´ eom´ etriques d’engr` enement

Possibilit´ e de contact entre deux d´ eveloppantes homologues.

Le contact doit s’établir au-del` a des points de rebroussement des profils en développante. L’entraxe O1O2 de fonctionnement, A, doit être supérieur a` la somme des rayons des cercles de base. Z 1 + Z 2 A > Rb1 + Rb2 = M cos αm (2.44) 2 Possibilit´ e de succession du contact entre deux d´ eveloppantes homologues.

Les pas de base des deux roues doivent être identiques. Cette condition est vérifiée si la roue et le pignon sont taillés avec des outils présentant les mêmes caractéristiques (module M et angle de pression αm ). Existence de jeux radiaux en fond de denture.

L’existence de jeux radiaux en fond de denture s’exprime par une condition de nontalonnement faisant intervenir les rayons de tête et de pied des deux profils : J r1 = A J r2 = A

−R −R −R −R a1

f2

a2

f1

> 0 (0, 2M ) > 0 (0, 2M )

(2.45) (2.46)

D’après la norme DIN 867, le jeu radial est généralement compris entre 0,1 M et 0,3 M et peut atteindre exceptionnellement 0,4 M . La norme ISO 53 pr´ econise une valeur de 0,25 M [1]. Jeu circonf´ erentiel

La description des conditions de fonctionnement d’un engrenage dont les caractéristiques du pignon et de la roue sont fixées se résume a` la détermination de son entraxe. On comprend facilement que l’entraxe Ap que l’on aura choisi pour l’engrenage en fonctionnement aura une influence :


37

– sur sa viabilité (les roues, si elles sont trop rapprochées risquent d’être soumises a` des efforts intolérables ; le jeu radial a` fond de denture risque d’être insuffisant, ...) – sur ses caractéristiques de fonctionnement (que nous détaillerons plus loin : régularité de l’engrènement, usure, ...). Un entraxe trop large conduit a` un jeu entre dentures excessif, a` une rupture intermittente du contact entre les dentures, ou a` un écartement de la roue et du pignon tellement important qu’aucun contact n’est plus possible. Un entraxe trop faible conduit a` un blocage de la transmission, par interférence forcée de la roue et du pignon. Cette interférence peut être envisagée dans la direction radiale (jeu radial a` fond de denture négatif) ou dans la direction circonférentielle (la dent du pignon est forcée a` s’engager dans l’entredent de la roue qui s’avère trop étroit). La longueur de la circonférence de fonctionnement du pignon est égale a` 2πR p1 : elle contient Z 1 fois le pas de fonctionnement P p . La longueur de la circonférence de fonctionnement de la roue est égale a` 2πR p2 : elle contient Z 2 fois le même pas de fonctionnement P p . Que doit-on pouvoir observer sur un pas de fonctionnement ? Une épaisseur (curviligne : le pas de fonctionnement est bien défini comme une fraction de circonférence) de dent du pignon 1, une épaisseur curviligne de dent de la roue 2 et un éventuel jeu circonférentiel, que nous noterons J . P p = πM p = S p1 + S p2 + J

(2.47)

Nous développons les expressions des épaisseurs curvilignes S p1 et S p2 selon les formules établies : S mi S pi = 2Rpi + inv αm inv αp (2.48) Dmi



−



dans lesquelles nous rempla¸cons les épaisseurs curvilignes primitives S mi par leur expression : πM S mi = + 2xi M tan αm (2.49) 2 et nous exprimons ainsi que : S p1 + S p2 = πM p + M p 2(x1 + x2)tan αm + (Z 1 + Z 2)M p (inv αm

− inv α ) p

(2.50)

qui conduit a` : J + M p 2(x1 + x2 )tan αm + (Z 1 + Z 2)M p (inv αm

− inv α ) = 0 p

(2.51)

Cette dernière relation permet de déterminer αp en fonction du jeu J au prix de la résolution d’une équation non-linéaire. Pratiquement, on déterminera l’angle de pression de fonctionnement αp conduisant a` un jeu circonférentiel nul (J = 0) : inv αp = inv αm + 2

x1 + x2 tan αm Z 1 + Z 2

(2.52)


Module mm 2 3 5 8 12

50 0,12 0,15 – – –

Entraxe 100 200 400 0,15 0,20 – 0,20 0,25 0,35 0,25 0,30 0,40 0,33 0,40 0,50 – 0,50 0,60

38

800 – – – 0,70 0,85

Table 2.3 – Valeurs minimales recommandées du jeu entre dents

et qui permet de déterminer l’entraxe de fonctionnement a` jeu circonféentiel nul. L’entraxe de fonctionnement réel sera pratiquement supérieur a` cette valeur de manière a` garantir un jeu suffisant. On remarquera que le jeu J est facilement calculable pour un entraxe donné a` l’aide de 2.51. L’absence totale de jeu (eng : backlash ) permet d’assurer la réversibilité du mouvement ; elle est souhaitée dans les mécanismes de positionnement de machines-outils et de robots. Le jeu de denture peut donner lieu a` des chocs lors de l’inversion de l’effort en cas de fortes vibrations de torsion. Elle reste fort difficile a` assurer pratiquement, compte tenu des imperfections de réalisation des dentures. L’existence d’un jeu sur le cercle primitif (ordre de grandeur : centaine de µm pour les engrenages courants) est nécessaire pour la lubrification qui doit pouvoir s’effectuer dans toutes les conditions de dilatation thermique. Elle permet le passage des impuretés solides entre les dents. Il existe des dispositifs de rattrapage de jeu, surtout lorsque la transmission du mouvement revêt un caractère fonctionnel (entraˆınement équatorial d’un télescope, ...). Ceux-ci sont basés sur l’établissement d’une précontrainte imposée par des ressorts reliant deux demiroues disposées cˆ ote a` côte.

Figure 2.14 – Dispositif de rattrapage de jeu [5]

2.4.3

Ph´ enom´ enologie de l’engr` enement

Phases de l’engr` enement

Examinons l’évolution de l’engrènement de deux dents. Les points de contact vont se situer sur la ligne de contact, tangente aux deux cercles de base et contenant le point I, point de tangence des deux cercles primitifs du pignon 1 et de la roue 2.


39

Le premier point de contact entre deux dents données est défini au point A (fig. 2.15), matérialisé par l’intersection de la ligne d’action et du cercle de tête du pignon 1. Le point V (fig. 2.16) matérialise le début du contact unique. Le point W matérialise la fin du contact unique (fig. 2.17) et B, la fin de l’engrènement (fig. 2.18). Le segment AB définit la longueur de conduite.

Figure 2.15 – Début de l’engrènement en A.

Figure 2.16 – Début du contact unique lors de l’engrènement en V. La longueur de conduite AB se subdivise en longueur d’approche AI et longueur de retrait IB. Leur valeur se détermine aisément d’après l’épure d’engrènement présentée a` la figure 2.19

AB = AI + IB AB = (AT2 IT2 ) + (BT1 AB =

 −− 2 Ra2

2 Rb2

−R

− IT ) 1

b2 tan αp +

(2.53) (2.54)



2 Ra1

2 b1

−R −R

b1 tan αp

(2.55)


40

Figure 2.17 – Fin du contact unique lors de l’engrènement en W.

Figure 2.18 – Fin du contact lors de l’engrènement en B.

Continuit´ e d’engr` enement

La continuité de la transmission du mouvement n’est assurée que si le contact est assuré en permanence entre la roue et le pignon : lorsque le point de contact entre deux dents disparaˆıt (cf. fig. 2.18), il est impératif que le contact entre la roue et le pignon soit établi par ailleurs. ⌢

Ai Bi =A′ i B′ i

(2.56)

⌢ ′ ′

AB AB = Rb Rb

(2.57)

2π πM = Z i Rm

(2.58)

φα AB R m AB AB = = = φp Rb πM πM cos αm P b

(2.59)

φα =

φp =

ǫα =


41

AB Segment de conduite AI Segment d’approche IB Segment de retrait VW Segment de contact unique ´ d’engrènement. Figure 2.19 – Epure

Cette condition impose que la longueur de conduite soit plus grande que le pas de base. Le rapport de ces grandeurs définit le rapport de conduite ǫα : ǫα =

AB P b

(2.60)

Profil actif. Profil utilisable

La figure 2.20 est l’épure d’engrènement de deux profils conjugués du pignon et de la roue d’un engrenage. Le contact est limité au point A pour le premier profil, et au point B pour le second. Ces points A et B permettent de définit les profils actifs , c’est-à-dire les portions des profils en développante de cercle effectivement utilisées durant l’engrènement. Le rayon actif de pied de chacun des profils est le rayon des points A et B, respectivement. Si nous considérons maintenant l’engrenage particulier composé d’une roue et de l’outil qui la taille, le point limite d’action A m définit la limite du profil en développante engendré par le profil générateur de l’outil : en-dessous de ce point, il ne peut plus y avoir de développante. La partie du profil limitée a` Am est le profil utilisable. Le profil de raccordement est engendré par la pointe de l’outil. Nous appellerons rayon de dégagement le rayon qui correspond a` ce point Am .


42

Figure 2.20 – Profil actif.

Glissement sp´ ecifique.

L’intérêt de la caractérisation des glissements spécifiques se justifie par l’incidence directe des vitesses de glissement au point de contact sur la lubrification, l’usure et le rendement.

Figure 2.21 – Vitesse de glissement. Soit M le point de contact entre le pignon S1 et la roue S2 . Si M n’est pas situé en I, il y a un glissement inévitable entre les deux roues : vMS1 /S2 =  0 puisque les vitesses vMS1 /S0 et vMS2 /S0 ont des directions différentes, comme l’illustre la figure 2.21.



Etablissons quelques relations cinématiques préalables : vMS1 /S0 = vMS1 /T1 T2 + vMT1 T2 /S0

         ⊥O1 M

⊥T1 T2

(2.61)

T1 T2

– La vitesse du point M, appartenant a` la ligne d’action, par rapport a` S0 , est parallèle à celle-ci et vaut ω1Rb1 = ω2 Rb2 .

|

| |

|


43

– La ligne d’action est perpendiculaire aux profils en développante de cercle. Cette vitesse relative est tangente aux profils conjugués et est donc orthogonale a` la ligne d’action. Nous appellerons glissement spécifique gs le rapport entre la vitesse de glissement au contact et la vitesse de roulement d’une des roues Si : gsi =

||v ||v

MS2 /S1

|| ||

(2.62)

MSi/T1 T2

En développant : vMS2 /S1 = vIS2 /S1 +  ωS2 /S1 = ωS2 /S1 . IM vMS2/S1

||

||

|

|

→ ∧ −IM

vM,S1 /T1 T2 = vT1 ,S1 /T1 T2 +  ωS1 /T1 T2 vM,S1/T1 T2 = ωS1/S0 . T 1 M

||

||

|

|

(2.63) (2.64)

TM ∧ −−→ 1

(2.65) (2.66)

Dès lors, le glissement spécifique relatif au pignon 1 : g s1 =

|ω − ω |IM |ω |T M 2

1

1

(2.67)

1

où on notera que :

|ω − ω | = Z + Z Z |ω | 2

1

1

1

2

(2.68)

2

augmente proportionnellement a` la distance a` I. On l’´ evaluera donc aux points A et B extrémités du segment de conduite. On obtient pour la roue 2, mutatis mutandi : g s2 = où on notera que :

1

2

1

2

2.5.1

2

(2.69)

2

|ω − ω | = Z + Z Z |ω | 2

2.5

|ω − ω |IM |ω |T M 1

2

(2.70)

1

Engr` enement int´ erieur d’un pignon et d’une roue. Caract´ eristiques de fonctionnement

L’engrenage intérieur est composé d’une couronne a` denture intérieure et d’un pignon a` denture extérieure, de telle fa¸con que leurs rotations s’effectuent dans le même sens. La géométrie d’une couronne appelle quelques constatations immédiates : – le cercle de tête est int´ erieur au cercle de pied ; – les dents sont concaves.


44

erieur. Cercles de base et cercles primitifs. Figure 2.22 – Engrenage int´

Les engrenages intérieurs sont d’un usage très répandu, en raison de leur compacité. Leur fonctionnement présente d’autres avantages sur celui des engrenages extérieurs : – meilleure résistance a` la flexion de la dent de la couronne, qui présente une largeur importante en pied de dent ; – réduction des pressions de contact, due a` une meilleure conformité du contact entre deux surfaces dont les courbures sont de signes opposés (le rayon de courbure associé à un profil convexe (dent pignon) est positif ; le rayon de courbure associé a` un profil concave (dent couronne) est négatif) ; – meilleure configuration pour le développement d’un film de lubrification ; – réduction du glissement relatif entre les dents en prise. L’élément faible d’un engrenage intérieur est ainsi le pignon (si le matériau de celui-ci est le même que celui de la couronne). Pour des raisons évidentes d’interférence entre un outil crémaillère et une couronne, l’usinage d’une couronne int´ erieure s’effectue au moyen d’un outil pignon. Or, la forme de l’outil pignon (qui s’apparente a` celle d’une route dentée extérieure) est influencée par le nombre de dents et le déport de denture. Pour cette raison, il reste rationnel de définir la géométrie de la denture d’une couronne en se référant a` une crémaillère génératrice fictive associée a` l’outil pignon. Comme dans le cas des engrenages extérieurs, le déport sera positif lorsque la ligne de référence de la crémaillère génératrice (imaginaire) est extérieure au cercle primitif de taillage. ´ une couronne, on associe facilement une roue a` denture extérieure qui s’y emboˆıterait. A La dent de l’une correspondrait a` l’entre-dent de l’autre, et vice versa.


Ra2 = Rm2 H a + x2 M Rf2 = Rm2 + H f + x2 M

−

Pour une couronne, on appelle saillie de taille la grandeur H a2 H f + x2 M

45

(2.71) (2.72)

− x M et saillie de creux, 2

Pour une couronne, les dents et les entre-dents sont mesurés sur le cercle primitif de taillage par : πM 2x2M tan αm 2 πM = + 2x2M tan αm 2

S m2 = E m2

−

(2.73)

(2.74)

L’entraxe est la différence de deux rayons des cercles primitifs. L’expression traduisant le fonctionnement sans jeu pour un engrenage int´ erieur découle de l’égalité entre l’épaisseur de la dent du pignon S1 et de l’entre-dent de la couronne S2 . On obtient, tous calculs faits : inv αp = inv αm + 2

x2 Z 2

− x tan α − Z 1

1

m

(2.75)

Les expressions utiles au calcul des longueurs des segments d’approche IA et de retraite IB deviennent : AI = IT2

− AT

2

AI = Rb2 tan αp IB = BT1 IB =

IT1

 −− 2 Ra1

 −

2 Rb1

2 Ra2

−R

2 b2

b1 tan αp

−R

(2.76)

(2.77) (2.78)

(2.79)

La somme des longueurs AI et IB divis´ ee par le pas de base fournit le rapport de conduite ǫα .

2.6

Interf´ erences

Les interférences sont des phénomènes qui se produisent soit durant l’opération de génération soit durant l’engrènement d’un pignon avec une roue, dans des conditions défavorables telles que certaines parties utiles du profil se trouvent rognées par l’outil, ou que les profils conjugu´ es du pignon et de la roue tendent a` se pénétrer l’un dans l’autre à certains instants.


2.6.1

46

Engrenage ext´ erieur

Interf´ erence d’engr` enement

Dans un engrenage a` développante de cercle, le contact des profils conjugués doit s’effectuer obligatoirement selon la ligne d’action T1 T2 . Le profil d’une dent est compos´ e d’une partie en développante de cercle suivie d’une trocho¨ıde de raccordement formant le fond de la denture. Pour que l’engrènement s’effectue correctement, il faut qu’aucun point de contact ne puisse se situer en dehors de la partie en profil de développante. Sinon, il y a contact dans la partie en trocho¨ıde : il se produit une interf´ erence d’engrènement . Le cercle de tˆ ete d’une roue ne doit pas passer au-del` a du point d’interf´ erence T de la roue conjuguée. Dans le cas o` u la dent comporte un arrondi au sommet, il convient évidemment de considérer le cercle de tête correspondant au début de l’arrondi. Interf´ erence de taillage

L’interférence de taillage désigne l’interférence d’engrènement avec la crémaillère génératrice. Considérons le cas du taillage d’une roue a` denture extérieure par un outil-crémaillère.

Figure 2.23 – Interférence de taillage. L’interférence de taillage se produit lorsque le point extrême d’action de l’outil de taillage G va au-delà du point d’interférence T. La condition de non-interférence se traduit par IR < IQ :

IR < IQ M

− xM

(2.80)

< ITsin αm =

Z >

2(1 x) sin2 αm

−

MZ 2 sin αm 2

(2.81) (2.82)


47

Pour un déport nul et un outil crémaillère normalisé, il faut un nombre minimum de 17 dents pour éviter l’interférence de taillage. Interf´ erence avec le profil de raccordement

L’interférence avec le profil de raccordement se produit entre le sommets des dents d’un organe et la courbe de raccordement de pied de l’organe conjugué. La condition de non interférence exprime que le rayon du point limite d’action avec l’organe conjugué est supérieur au rayon du point limite du profil en développante d’un pignon.

2.6.2

Engrenage int´ erieur

L’engrenage intérieur peut donner lieu a` de nombreuses formes d’interférence qui contraignent les paramètres de denture (saillie, déport, ...) bien plus que dans le cas de l’engrenage extérieur. Interf´ erence g´ eom´ etrique primaire

Figure 2.24 – Interférence géométrique primaire [3] Considérons l’engrenage intérieur de la figure 2.24. Les deux cercles primitifs sont tangents en I. La ligne d’action des deux profils conjugués est tangente en T1 et T2 aux deux cercles de base. Nous supposerons que le profil en développante du pignon s’étend effectivement jusqu’au point Q1 du cercle de base. Si nous faisons tourner l’engrenage, le point de contact se déplacera de I vers T1 . Jusqu’en ce dernier point, appelé point d’interférence du pignon, le contact entre les deux profils en développante s’effectue dans de bonnes conditions : si par contre, le contact dépasse le point T1 , c’est-à-dire que le rayon de tête


48

de la couronne est inférieur a` 02T1 , il se produira un phénomène d’interférence : les deux profils ne sont plus tangents, mais tendent a` se pénétrer l’un dans l’autre. Si a` la place du pignon nous considérons un outil circulaire de taillage de la roue, l’interf´ erence aura comme conséquence d’écorner les dents de cette roue sur toute la partie VW du sommet. Cette interférence est facile a` délimiter : le rayon de tête de la couronne ne doit pas être inférieur a` 02 T1 . Il faut donc limiter la saillie de la roue. Interf´ erence g´ eom´ etrique avec le profil de raccordement du pied du pignon

La condition de non interférence précédente est en général satisfaisante dans le cas du taillage de la roue avec un outil circulaire dont le profil en développante s’étend en général jusqu’au cercle de base. Par contre, dans le cas de l’engrènement d’une roue avec un pignon, le profil de raccordement du pignon commence pratiquement a` l’extérieur du cercle de base. Il faut encore limiter la saillie de la roue, ou jouer sur les déports. Interf´ erence g´ eom´ etrique secondaire

L’engrenage intérieur peut donner lieu a` une forme d’interférence géométrique très particulière, dans le cas où les nombres de dents de la roue et du pignon sont trop voisins. Pour une denture normale, d’angle de pression de 20◦, la différence Z 2 Z 1 limite est de 8 dents. Lorsqu’une différence plus faible est nécessaire, il sera possible d’utiliser un angle de pression plus élevé, soit d’utiliser une denture basse.

−

Interf´ erence particuli` ere de taillage

Il y a deux fa¸cons d’amener un pignon en position d’engrènement avec une roue intérieure : 1. par enfoncement latéral 2. par enfoncement radial, suivant la ligne des centres. La première méthode est toujours possible. Par contre, lorsque les nombres de dents sont trop voisins, on ne peut plus effectuer l’enfoncement radial : les dents du pignon viennent buter contre celles de la roue sans qu’il soit possible de réaliser l’entraxe.

2.7

Repr´ esentation des engrenages cylindriques

La repr´ esentation conventionnelle des engrenages, définie par la norme ISO 2203, est simplifiée a` l’extrême : – dans une vue, la roue dent´ ee est assimil´ ee au solide plein qui l’enveloppe par sa surface de tête : la position du cylindre primitif est précisée par un trait mixte fin (cf. fig. 2.26) ; on ne repr´ esente le profil d’une dent qu’exceptionnellement (cf. fig. 2.29), le cylindre de pied peut être précisé par un trait continu fin. – dans une coupe, les dents échappent a` la section (aucune hachure) et sont toujours représentées symétriquement (même si le nombre de dents est impair !)


Figure 2.25 – Interférence particulière de taillage [3].

Figure 2.26 – Représentation d’un engrenage extérieur [4]

Figure 2.27 – Représentation d’un engrenage intérieur [4]

49


Figure 2.28 – Représentation d’un couple pignon-crémaillère [4]

Figure 2.29 – Représentation d’une roue dentée avec profil de dent [4]

Figure 2.30 – Définition d’une roue dentée [2].

50

´ ERENCES ´ R EF

2.8 l’ la le la la le la le l’ le le la l’ le le la la le le

51

Lexique

Fran¸ cais English engrenage cylindrique ` a denture droite the spur gearing roue dentée the toothed gear pignon the pinion couronne the internal (ring) gear crémaillère the (gear) rack pignon de la crémaillère the rack pinion dent the tooth nombre de dents the number of teeth entraxe the center distance cercle primitif the pitch circle cercle de base the base circle ligne d’action the line of action angle de pression the pressure angle module normal the module pas diamétral the diametral pitch largeur de denture the face width hauteur de saillie the addendum creux de dent the dedendum déport the addendum modification

de het het het de het de het het de de de de de de de de de de

Nederlands rechte tandwieloverbrenging tandwiel kleine drijfwiel tandwiel met binnenvertanding tandheugel rondsel tand aantal tanden hartafstand steekcirkel grondcirkel ingrijplijn drukhoek normaalmodulus middellijnsteek tandbreedte kophhogte voethoogte profielverschuiving

das das das das die das der die der der der die der der die die die die die

Deutsch Geradstirnradgetribe Zahnrad Kleinrad Hohlrad Zahnstange Zahnstangenritzel Zahn Z¨ ahnezahl Achsabstand Wälzkreis Grundkreis Eingriffslinie Eingriffswinkel Modul Diametralteilung Zahnbreite Kopfh¨ ohe Fussh¨ ohe Profilverschiebung

Table 2.4 – Lexique relatif aux engrenages cylindriques a` denture droite.

R´ ef´ erences [1] Karl-Heinz Decker et Karlheinz Kabus : Maschinenelemente. Gestaltung und Berechnung. Carl Hanser, 1998. [2] Claude Hazard : Dessin industriel . Educalivre, 1993. [3] Georges Henriot : Manuel pratique des engrenages. Dunod, 1999. [4] ISO : Technical drawings - conventional representation of gears. Rapport technique, International Standard Organization, 1973. [5] Georges Spinnler : Conception des Machines. Principes et Applications. Volume 1. Statique. Presses polytechniques et universitaires romandes, 1997.

Chapitre 3 Engrenages cylindriques ` a denture h´ elico¨ıdale. Je n’épouse pas les opinions, excepté celles des livres d’Euclide. Montesquieu.

3.1

Int´ erˆ et des dentures h´ elico¨ıdales

Dans les engrenages cylindriques a` denture droite, le contact entre deux dentures conjuguées se produit suivant une droite parallèle aux axes des roues, correspondant à l’intersection des dents par le plan d’engrènement. Si le taillage des engrenages n’a pas été suffisamment précis (pas inconstant, tracé inexact du profil, ...), si le montage n’est pas suffisamment soigné (parallélisme des axes non respecté, ...), ces imperfections peuvent se répercuter notablement sur les conditions de travail de l’engrenage : le contact peut devenir ponctuel. D’autre part, comme il a été signalé au chapitre 2, le rapport de conduite des engrenages cylindriques a` denture droite est fortement limité, ce qui fait que dans la large majorité des cas, toute la charge se trouve répartie entre deux paires de dents tout au plus. Afin de diminuer l’influence des imperfections de fabrication sur le fonctionnement des engrenages et d’augmenter le rapport de conduite, on peut remplacer les dentures droites par des dents échelonnées. Leur réalisation se fait comme suit. Partageons un engrenage a` denture droite en parties égales par des plans coupant l’engrenage perpendiculairement a` son axe. Décalons chacune des tranches d’égale épaisseur d’un même angle l’une par rapport a` l’autre. Nous obtenons une roue échelonnée dont la figure 3.1 présente un exemple de vue en perspective. Si l’on met en prise deux roues de la nature décrite, l’engrènement aura lieu simultanément entre des portions de profils différentes, sur des segments parallèles a` l’axe. Les points où les profils des dents rencontrent le cylindre de base sont tous situés sur une mˆ eme hélice b . Quant aux points de contact homologues sur les profils, ils sont tous situés sur une même droite qui est tangente a` l’hélice b : cette droite se projette dans un plan perpendiculaire a` l’axe de la roue échelonnée selon la tangente au cercle de base.

H

H

Les engrenages a` dents échelonnées ne sont que très rarement exécutés. On pressent que des roues a` dentures obliques ou hélico¨ıdales, dont la figure 3.2 présente un exemple,

52

´ ÏDAUX CHAPITRE 3. ENGRENAGES CYLINDRIQUES H ELICO

53

Figure 3.1 – Roue échelonnée [3]

constitueront la matérialisation du cas limite o` u l’épaisseur des tranches constituant les roues a` dents échelonnées tend vers zéro.

Figure 3.2 – Roue hélico¨ıdale [3]


3.2

54

G´ en´ eration d’un h´ elico¨ıde d´ eveloppable

Considérons un cylindre d’axe x auquel est tangent un plan π suivant la génératrice d. Un plan γ , perpendiculaire a` π et faisant un angle β avec d, est lié invariablement a` π. Les plans π et γ se coupent perpendiculairement le long de la droite s UU’.

π

U’ s

I’

γ

U0

d O

I β

x U

Figure 3.3 – Génération d’une hélice. Faisons rouler sans glisser le plan π sur le cylindre suivant l’axe instantané de rotation d. Ce plan et ce cylindre sont les axo¨ıdes du mouvement. La droite s engendre au cours de son mouvement une courbe sur le cylindre qui s’identifie à une hélice circulaire . La droite s est le développement sur le plan π d’une hélice circulaire d’angle β .

H

H

Les positions successives de s sont donc toutes tangentes a` cette hélice. Nous définissons la surface Σ comme étant la surface engendrée par les tangentes successives menées a` une hélice tracée sur le cylindre : c’est, par définition, une surface d’hélico¨ıde développable dont l’hélice est l’arête de rebroussement. La figure 3.4 fournit l’illustration de cet hélico¨ıde comme ensemble des tangentes a` une hélice.

H

H

L’enveloppe du plan générateur γ est une surface Σ liée au cylindre. Le plan π qui est normal a` γ suivant la droite s, l’est également suivant la même droite par rapport a` la surface Σ. La surface Σ peut être considérée comme la surface engendrée par la droite s du plan π lorsque celui-ci roule sans glisser sur le cylindre. Voyons quelques propriétés de l’hélico¨ıde développable Σ.


55

I’

U0

O I

B

U Figure 3.4 – Génération d’un hélico¨ıde développable.

Tout plan perpendiculaire a` l’axe du cylindre (qui préfigure le pignon) est appelé plan apparent , toutes les caractéristiques géométriques définies dans un plan apparent porteront l’adjectif apparent et leur désignation normalisée sera affectée de l’indice t . Le profil apparent t est l’intersection de l’hélico¨ıde développable Σ avec un plan apparent. ≪

≫

≪

≫

D

Tout plan perpendiculaire a` la tangente de l’hélice primitive du pignon est appelé plan normal et leur désignation normalisée sera affectée de l’indice n . ≪

≫

Puisque la droite s roule sans glisser sur le cylindre, nous pouvons exprimer une relation ⌢ d’égalité entre la longueur du segment UU0 et la longueur de l’hélice U0B. ⌢

U0 B= U0 U

(3.1)

Par ailleurs, la longueur d’un segment d’hélice vérifie : ⌢ 2

⌢2

U0B =BI +IU20

(3.2)

En effet, les coordonnées d’un point d’une hélice de pas hélico¨ıdal P z sont données par : x = R cos θ y = R sin θ θ z = P z 2π

(3.3) (3.4) (3.5)


56

La longueur d’une portion d’hélice répond aux équations : ds =

 

ds2 =

dx2 + dy 2 + dz 2 P z2 2 R + 2 4π



(3.6)

dθ2

(3.7)

L’équation 3.7 est équivalente a` l’équation 3.2. Considérant le triangle rectangle UIU0 : U0 U2 = UI2 + IU20

(3.8)

On déduit des équations 3.1, 3.2, 3.8 que : ⌢

BI= IU

(3.9)

L’équation (3.9) traduit le roulement sans glissement de IU sur le cercle. Le profil apparent est une développante de ce cercle. L’intersection de l’hélico¨ıde développable par un plan normal a` l’axe est un arc de développante du cercle , section du cylindre sur lequel est tracée l’hélice de rebroussement.

C

Figure 3.5 – Génération d’un hélico¨ıde développable [1]

L’hélico¨ıde développable peut être définie de deux manières différentes (cf. fig. 3.5) : 1. Σ est un hélico¨ıde développable engendré par des tangentes a` l’hélice ; 2. Σ est un hélico¨ıde développable engendré par un profil en développante de cercle s’appuyant sur une hélice.

3.3

R´ ealisation d’un h´ elico¨ıde d´ eveloppable

Considérons le cylindre primitif de l’un des deux organes d’un engrenage auquel est tangent un plan π suivant la génératrice d (ou II’), comme représenté sur la figure 3.6.


57

Figure 3.6 – Génération d’un hélico¨ıde développable : cas général.

Un plan générateur γ est invariablement lié au plan π. Contrairement au cas élémentaire étudié au paragraphe précédent, le plan γ n’est plus orthogonal au plan π : les intersections respectives de ces deux plans avec un plan orthogonal a` l’axe x du cylindre font un angle θ = π/2 αt , mesuré dans un plan apparent. L’intersection des plans π et γ , soit UU’ = s, fait un angle β avec la direction x.

−

Le plan π représente le plan primitif de la crémaillère génératrice, et le plan γ représente le tranchant de l’outil de coupe. Notre propos est de démontrer que la plan γ enveloppe une surface en hélico¨ıde développable. Définissons le plan auxiliaire π′ comme le plan contenant la droite d et perpendiculaire au plan γ . Remarquons que l’angle apparent entre π et π′ est défini par αt . L’intersection des plans π ′ et γ est VV’. VV’ coupe d en Q, et fait un angle β b avec la génératrice d. Lorsque le plan π roule sans glisser sur le cylindre primitif, le plan π ′ est entraˆıné par l’intermédiaire du plan γ . Comme l’inclinaison de ce dernier est fixe, π′ glisse sur luimême. Si ω est la vitesse angulaire du cylindre primitif et R m son rayon, la vitesse de translation de π est égale a` ωRm. Le rapport entre la vitesse de translation de π ′ et celle de π est égale au rapport entre les longueurs des segments IV et IU, soit IV/IU = cos αt . La vitesse de


58

translation de π ′ est donc égale a` ωR m cos αt ; tout se passe comme si le plan π ′ roulait sans glisser sur le cylindre de rayon Rb = R m cos αt , coaxial au cylindre primitif. Nous sommes alors ramenés au problème préliminaire : un plan π′ roule sans glisser sur un cylindre de rayon Rb et entraˆıne un plan γ qui lui est normal et fait un angle β b avec l’axe. La surface Σ enveloppée par γ est un hélico¨ıde développable dont le cylindre de rayon Rb est le cylindre de base. L’angle β b , inclinaison de l’hélice de base par rapport a` une génératrice du cylindre de base, est l’angle d’inclinaison de l’hélice de base de la denture. La droite UU’ s’enroule sur le cylindre primitif suivant l’hélice primitive de la denture ; l’angle d’inclinaison de l’hélice primitive de la denture est égale a` β . Déterminons la relation entre les angles β b et β . Examinons la figure 3.6 et déduisons-en les relations trigonométriques élémentaires : IU IQ IV = IQ IV = IU

tan β = tan β b cos αt

(3.10)

(3.11)

(3.12)

Nous en déduisons la relation cherchée : tan β b = tan β cos αt

(3.13)

Considérons la figure 3.7 sur laquelle les plans primitif et générateur sont représentés. Nous en déduisons :

Figure 3.7 – Plan primitif et plan générateur


XW VW UW tan αt = VW XW cos β = UW

tan αn =

59

(3.14)

(3.15)

(3.16)

et, finalement, la relation cherchée : tan αn = tan αt cos β

3.4

(3.17)

D´ efinition normalis´ ee d’une roue dent´ ee.

3.4.1

R´ eel et apparent

Dans le plan normal, la section droite de la crémaillère de référence a le même profil que la crémaillère de référence utilisée pour le taillage des pignons a` denture droite.

α

β

α

Figure 3.8 – Profils de crémaillère dans les plans apparent et normal. Toutes les caractéristiques géométriques définies dans un plan perpendiculaire a` l’axe de la roue porteront l’adjectif apparent : leur désignation normalisée sera affectée de l’indice t . ≪

≪

≫

≫

Toutes les caractéristiques géométriques définies dans un plan normal a` l’hélice primitive porteront l’adjectif normal ou (primitif ) réel : leur désignation normalisée sera affectée de l’indice n . ≪

≪

≫

≫

≪

≫


60

Figure 3.9 – Crémaillère montée sur machine Maag [2]

Toutes les caractéristiques géométriques définies selon l’axe de la roue porteront l’adjectif axial : leur désignation normalisée sera affectée de l’indice x . ≪

≫

≪

≫

Les dimensions mesurées dans la direction de la trace du plan de référence se correspondent au facteur cos β près : P n = P t cos β M n = M t cos β

(3.18) (3.19)

Les dimensions mesurées dans une direction perpendiculaire a` la trace du plan de référence se conservent : la hauteur des dents est la même ! Six pas différents sont utilisés pour la caractérisation des roues cylindriques hélico¨ıdales : – le pas normal ou pas primitif réel P n : c’est le pas de la crémaillère de référence ; – le pas apparent P t = P n / cos β – le pas de base normal ou pas de base réel P bn = P n cos αn – le pas de base apparent P bt = P t cos αt = P bn / cos β b – le pas hélico¨ıdal P z qui correspond a` celui de l’hélice ; – le pas axial P x qui correspond a` la distance mesurée selon l’axe de la roue entre deux points homologues.


61

β

´ ements réels et apparents. Figure 3.10 – El´

3.4.2

Angles d’inclinaison d’h´ elice

A ce stade, il n’est peut-être pas inutile de clarifier la raison de l’existence d’angles d’inclinaison d’hélice distincts. Toutes les hélices ont le même pas hélico¨ıdal P z . Si nous considérons différents cylindres de hauteur égale a P ` z et si nous développons ces cylindres nous mettons en évidence un angle d’hélice lié a` chacun d’eux. Nous pouvons donc écrire : πDb tan β b = (3.20) P z πDm tan β = (3.21) P z On peut d’ailleurs tirer de ces deux dernières équations la relation suivante, déj` a établie par ailleurs (cf. (3.13)) : Db tan β b = tan β = tan β cos αt Dm

3.4.3

(3.22)

´ Epaisseur curviligne apparente

Le calcul de l’´ epaisseur curviligne apparente sur le cercle primitif, S mt s’effectue selon le même raisonnement que celui utilisé pour les dentures droites. Mutatis mutandis , on obtient : ⌢ 1 S mt = IP 2 = IP′ = IQ + QP′ πM t = + X tan αt 4

πM t + 2xM tan αt 2 M n π = + 2x tan αn cos β 2

(3.23) (3.24) (3.25)

S mt =



(3.26)



(3.27)

(3.28)


62

Figure 3.11 – Détermination de l’épaisseur curviligne apparente sur le cylindre primitif de taillage.

Figure 3.12 – Détermination de l’épaisseur curviligne apparente a` un rayon quelconque. Il vient :

S Rt = 2 R  AOE

(3.29)

  +  AOE = AOM MOB

(3.30)

=

EOB −  S /2 + θ − θ R S + inv α − inv α 2R mt

m

=

mt

m

S R = D

3.4.4



mt

R

mt

S mt + inv αmt Dm

− inv α

R

(3.31)

R

(3.32)



(3.33)

Nombre virtuel de dents

Coupons le cylindre primitif, de rayon R m , par un plan normal à l’hélice primitive : nous obtenons une section elliptique dont les demi-axes valent Rm et Rm / cos β . Au point de contact présumé en A, le rayon de courbure vaut ρ A = R m / cos2 β . Nous considérons la répartition de Z v pas normaux sur une circonférence 2πρA , équivalente du point de vue du contact.


63

Figure 3.13 – Détermination d’une roue cylindrique virtuelle.

Z v =

2πρA 2πR m Z = = P n cos2 β πM t cos β cos3 β

(3.34)

Le nombre virtuel de dents Z v permet d’établir une analogie entre le profil de la denture dans le plan réel et celui d’une denture droite d’un pignon a` Z v dents. Il s’agit évidemment d’une vue de l’esprit, car Z v n’est pas un nombre entier. En pratique, il est fréquent d’adapter les formules établies pour les engrenages cylindriques a` denture droite a` ceux à denture hélico¨ıdale en substituant Z v a` Z . Cette pratique concerne les caractérisation des contacts et des interférences.

3.5

Engr` enement d’un pignon et d’une roue ` a denture h´ elico¨ıdale

3.5.1

Possibilit´ e de contact entre deux h´ elico¨ıdes d´ eveloppables

Le plan tangent aux deux cylindres de base est défini par l’angle α pt de pression apparent de fonctionnement. Les hélico¨ıdes développables Σ1 et Σ2 sont engendrés respectivement par une droite d1 orientée par β b1 et une droite d2 orientée par β b2 . Pour que Σ1 et Σ2 soient tangents en M, il faut et il suffit que d1 = d2 = d, c’est-à-dire que (3.35) β b1 = β b2 avec une hélice a` gauche, l’autre a` droite. Le plan tangent aux deux cylindres de base contient a` chaque instant cette droite d de contact entre deux surfaces de dentures conjuguées : il est appelé plan d’action . En fonctionnement, les angles de pression de fonctionnement apparents sont évidemment égaux (voir la figure 3.14) : αpt1 = α pt2 (3.36) et de l’équation 3.13, il vient : β 1 = β 2

(3.37)


64

Figure 3.14 – Contact entre deux roues cylindriques hélico¨ıdales.

Pour distinguer une roue a` denture hélico¨ıdale à droite d’une roue a` denture hélico¨ıdale à gauche , il faut la visualiser avec son axe de rotation vertical. Si, en suivant l’hélice, on monte vers la droite, c’est une denture à droite . Rappelons que la même convention est adoptée pour un filet de vis. ≪

≪

≫

≪

3.5.2

≫

≫

Possibilit´ e de succession du contact entre deux h´ elico¨ıdes d´ eveloppables homologues.

La succession des contacts est assurée si les pas de base, que l’on mesurera ici dans le plan normal, sont identiques pour chacune des roues : P bn1 = P bn2 . P bn1 = πM n1 cos αn1 = P bn2 = πM n2 cos αn2

(3.38)

La génération est effectuée par un même outil normalisé : αn1 = α n2 = α n0

(3.39)


65

Dès lors : M n1 = M n2 = M n0

3.5.3

(3.40)

Possibilit´ e de contact entre deux h´ elico¨ıdes d´ eveloppables homologues.

L’entraxe O1O2 de fonctionnement, A, doit être supérieur a` la somme des rayons des cercles de base. A > Rb1 + Rb2 > (Rm1 + Rm2 )cos αmt M n Z 1 + Z 2 > cos αmt cos β 2

3.5.4

(3.41) (3.42)

(3.43)

Existence de jeux radiaux en fond de denture.

L’existence de jeux radiaux en fond de denture de la roue et en fond de denture du pignon s’exprime par une condition de non-talonnement faisant intervenir les rayons de tête et de pied des deux profils : A > Ra1 + Rf 2 A > Ra2 + Rf 1

3.5.5

(3.44) (3.45)

Condition de fonctionnement sans jeu.

L’´ etude se fait dans le plan apparent pour raisonner sur des cercles primitifs qui roulent sans glisser en I. L’expression de la condition de fonctionnement sans jeu exprime que la somme des épaisseurs curvilignes des dents en prise mesurées sur la circonférence primitive de fonctionnement vaut un pas : S pt1 + S pt2 = P pt

(3.46)

On aboutit a` : inv α jeu,nul = inv αmt + 2 pt

x1 + x2 tan αmn Z 1 + Z 2

(3.47)

Cette relation permet de calculer les caractéristiques de fonctionnement théorique sans jeu en définissant l’angle de pression apparent de fonctionnement αpt . A jeu,nul cos α jeu,nul = A m cos αmt avec A m = (Z 1 + Z 2 ) pt p A jeu,nul cos αmt p = Am cos αpt

M t 2

(3.48)

(3.49)


3.5.6

66

Continuit´ e d’engr` enement

La conduite doit être suffisante pour obtenir un fonctionnement continu et silencieux. La figure 3.15 montre que dans le cas d’une denture hélico¨ıdale, l’engrènement commence en A sur le profil situé sur la face avant du pignon 1 et se termine en B” sur la face arrière de la roue 2.

Figure 3.15 – Engrènement et plan d’engrènement.

Tout se passe comme si la conduite était prolongée d’une longueur B’B” qui correspond au décalage des deux profils. Par analogie avec l’engrènement des engrenages cylindriques a` denture droite, on peut définir le rapport total de conduite par : ǫγ =

AH P bt

(3.50)

Le rapport de conduite résulte de la somme du rapport de conduite apparent ǫα et du


67

rapport de recouvrement ǫβ :

ǫγ = ǫα + ǫβ AB ǫα = P bt BH ǫβ = P bt avec BH = B tan β b = B tan β cos αmt B tan β cos αmt B tan β B sin β ǫβ = = = πM mt cos αmt πM mt πM mn

(3.51) (3.52) (3.53)

(3.54) (3.55)

Pour utiliser avec profit une denture hélico¨ıdale, il convient d’avoir un rapport de recouvrement au moins égal a` 1 afin de réduire la variation des actions au niveau des dentures.

3.5.7

Longueur des g´ en´ eratrices en contact

La longueur des génératrices en contact, Lγ , est utile à la détermination de la charge normale unitaire (densité linéique d’effort).

Figure 3.16 – Somme des génératrices de contact. Sur une largeur de pignon égale au pas axial P x, la somme des longueurs des segments en contact est une constante qui vaut ǫα P bt/ sin β b . LP x =

ǫα P bt sin β b

(3.56)

En première approximation, on prend comme valeur de référence pour Lγ la valeur moyenne obtenue en considérant que Lγ est proportionnelle a` B, soit : Lγ

≈ ≈

ǫα P bt B sin β b P x Bǫ α cos β b

(3.57) (3.58)

´ ERENCES ´ R EF

3.6

68

Lexique

Fran¸cais l’ engrenage cylindrique à denture hélico¨ıdale l’ engrenage à chevrons l’ angle d’hélice le pas apparent

English the helical gearing

Nederlands de tandwieloverbrenging met schuinen tanden the herringbone gear de pijltandwiel the helix angle de stijghoek the transverse pitch de dwarssteek

Deutsch das Schrägstirnradgetribe das Pfeilzahnrad der Schrägungswinkel die Stirnteilung

Table 3.1 – Lexique relatif aux engrenages cylindriques a` denture hélico¨ıdale.

R´ ef´ erences [1] Michel Aublin, René Boncompain, Michel Boulaton, Daniel Caron, Emile Jeay, Bernard Lecage et Jacky R ´ ea : Systèmes mécaniques. Théorie et dimensionnement. Dunod, 1992. [2] Jacques Dufailly : Etude géométrique des engrenages cylindriques de transmission de puissance . Ellipses, 1ère édition, 1997. [3] Georges Henriot : Manuel pratique des engrenages. Dunod, 1999.

Chapitre 4 Fabrication et contrˆ ole des roues cylindriques Aussi grand que soit un trou, il y a toujours quelque chose autour. Franc ¸ ois Cavanna.

4.1

Fabrication de roues cylindriques

Il existe deux méthodes de taillage des roues cylindriques : – taillage par reproduction : bas´ e sur l’emploi d’une fraise disque (ou fraise de forme) dont le profil tranchant épouse la forme de l’entredent. La fraise tourne et se déplace en translation dans la direction de la génératrice latérale de la dent. A chaque passe de la fraise le long de l’axe de la roue, on obtient un entredent. A chaque passe de la fraise le long de l’axe de la roue, la fraise revient à sa position initiale, après quoi la roue a` tailler tourne d’un angle 2π/Z .

Figure 4.1 – Taillage par fraise de forme [2] – taillage par génération, de loin le plus répandu : il consiste a` imprimer à l’outil de coupe et a` l’ébauche le mouvement relatif qu’auraient deux engrenages correctement associés : l’outil de coupe représente une roue dentée, ou une crémaillère. Trois procédés principaux peuvent être distingués : – par outil-crémaillère : on reproduit la cinématique de génération décrite dans la partie théorique : la crémaillère effectue un mouvement de va-et-vient vertical parallèlement à l’axe de la roue à tailler. – par fraise mère : le profil de la fraise mère dérive de celui de la crémaillère : un effet, la section de celle-ci par un plan contenant son axe donne une crémaillère. On obtient

69

ˆ CHAPITRE 4. FABRICATION ET CONTR OLE DES ENGRENAGES

70

le profil de la fraise mère en dépla¸cant la crémaillère suivant une hélice d’inclinaison constante dont l’angle ne dépasse pas généralement 5◦ .

Figure 4.2 – Taillage par fraise mère.

Figure 4.3 – Roue taillée et fraise mère[5] – par outil-pignon : l’outil, qui figure une roue dent´ ee, est animé d’un mouvement de translation parallèlement a` l’axe de l’engrenage a` tailler combiné a` un mouvement de rotation avec le mˆ eme rapport de vitesse qui aurait lieu si l’outil et la roue se trouvaient en prise. L’opération de taillage n’est pas continue : elle se décompose en une série d’opérations successives qui consistent dans le mouvement ascendant et descendant de l’outil, dans la rotation de l’engrenage a` tailler. La particularité de ce procédé est qu’il est le seul qui permette d’obtenir l’engrenage intérieur. Les procédés par outils-pignons et fraise mère sont rapides et les mieux appropriés pour la réalisation de pignons de petites ou moyennes dimensions, avec des valeurs de module allant de 0,5 à 10 mm. Les ébauches peuvent être préforgées. L’outil crémaillère est essentiellement réservé a` la réalisation de pignons de moyennes et grandes dimensions. Outre les procédés de taillage, on peut citer ceux de roulage (moletage), de brochage, de moulage et d’estampage. Il existe deux méthodes de rectification des roues cylindriques : – rectification par génération (eng : grinding ) ; – rectification par meule de forme. Il existe deux opérations de finition : – le rasage (eng : shaving ) ; – la superfinition (eng : honing ). L’article de Jean Kaleta ([5]) publié dans l’encyclopédie Techniques de l’Ingénieur fournit, en une vingtaine de pages, une synth` ese des différents procédés de taillage et de rectification des engrenages. Le taillage des roues cylindriques est approfondi dans [1].


71

Figure 4.4 – Cinématique de taillage par crémaillère [5]

4.2

Contrˆ ole de roues cylindriques

Les normes I.S.O. 1328 et 10064 définissent le contrˆ ole des flancs de denture et les erreurs caractéristiques mesurables. Pasquier en fournit une synthèse intéressante ([6]). Erreurs de division

On distingue : erence algébrique entre le pas erreur individuelle de pas circulaire : f pt est la diff´ (circulaire) effectivement réalisé et la valeur théorique erreur accumul´ ee de pas : F pk sur un secteur de k pas est la différence algébrique

entre la longueur effective et la longueur théorique de ce secteur. C’est bien sˆ ur la somme algébrique des erreurs individuelles de ces mêmes k pas. ee erreur totale de division : F p est l’amplitude totale du diagramme d’erreur accumul´ Erreurs de profil

L’erreur totale de profil F α est la distance entre deux profils (développantes de cercle) qui englobent le profil effectif dans une zone de contrˆ ole (sur une longueur Lα ). Erreurs d’h´ elice

L’erreur totale d’helice F β est la distance entre deux hélices de référence qui englobent la trace effective dans la longueur d’évaluation Lβ .


72

Faux rond de denture

Le faux rond est le double de l’excentricité du cylindre primitif. Il se mesure pratiquement par l’amplitude totale, pour un tour complet autour de l’axe de référence, de la variation d’enfoncement d’une pièce de mesure tangente aux profils aux environs de leur point d’insertion avec le cercle primitif. Erreur compos´ ee radiale

Pour un tour complet de la roue considérée, l’erreur composée radiale F ”i est l’amplitude totale de la variation d’entraxe de l’engrenage parallèle constitué par cette roue et une roue étalon (d’erreurs négligeables) soumise a` un effort radial constant assurant un engrènement sans jeu de fonctionnement. Elle présente l’avantage de fournir une mesure rapide et globale de la qualité de l’engrenage.

4.3

Classes de qualit´ e

La normalisation reconnaˆıt douze classes de qualité, numérotées de 1 (engrenages ultraprécis) a` 12 (engrenages grossiers). Nous fournissons quelques valeurs repères des écarts définis au paragraphe 4.2 pour la qualité 5. Toutes les valeurs pour les autres qualités s’obtiennent par progression géométrique de raison 2.

√

  

f pt,[µm] = 0, 30(M [mm] + 0, 40 Dm,[mm]) + 4

(4.1)

F p,[µm] = 0, 30M [mm] + 1, 25 Dm,[mm] + 7

(4.2)

F ”i,[µm] = 3, 20M [mm] + 1, 01 Dm,[mm] + 6, 4

(4.3)

On peut se baser sur les tableaux suivants :

Procédés de Classes de qualité fabrication obtenues Dé coupage, injection 8 a` 12 Taillage moyen 6 a` 7 Taillage de précision 4 a` 6 Rasage 3 a` 5 Rectification 2 a` 5 Table 4.1 – Classes de qualité obtenues en fonction du procédé de fabrication

4.4 4.4.1

Correction de profils Modification sur le profil

La figure 4.5 compare les engrènements théorique (roue rigide) et réel (roue déformable) de deux dentures : la flexion des dents et l’écrasement superficiel tendent a` provoquer dans le


Applications Pignons étalons, diviseurs Engrenages a` grande vitesse Boˆıtes de vitesses (automobile) Réducteurs de turbine Machines-outils, automobiles, camions Machines textiles et d’imprimerie Engins de levage

73

Classes de qualité recommandées 2 a` 3 3 a` 4 5 a` 6 5 a` 7 5 a` 10 6 a` 10 7 a` 12

Table 4.2 – Choix des tolérances ISO en fonction du domaine d’utilisation Vitesses Classes de qualité circonférentielles recommandées Jusque 3 m/s 10 a` 12 De 2 a` 8 m/s 8 a` 9 De 6 a` 20 m/s 5 a` 7 De 15 a` 40 m/s 1 a` 4 Table 4.3 – Choix des tolérances ISO en fonction des vitesses circonférentielles

Figure 4.5 – Effet de flexion des dents [4]

second cas une pénétration des dents avec comme conséquence directe un choc au début de l’engrènement. Ce choc est évidemment une source de bruit mais ses répercussions sont également importantes sur la résistance des dentures : on con¸ coit que le film d’huile ′ adhérant a` la dent D1 se trouve détruit par l’intervention brutale de l’arête de sommet de la dent D′2. Pour avoir un début d’engrènement progressif, il convient d’effectuer une légère dépouille au sommet des dents de l’organe mené. On pourrait évidemment remplacer la dépouille de tête de l’organe mené par une dépouille de pied de l’organe menant. Il faut évidemment se garder d’exagérer ces corrections : elles doivent être simplement suffisantes pour com-

´ ERENCES ´ R EF

74

Figure 4.6 – Dépouilles [4]

penser les déformations de flexion et d’écrasement des dents, toujours très faibles. Pour des pignons de boˆıtes de vitesse autmobiles, la dépouille est de l’ordre de 10 a` 15 µm (cf. [3]).

4.4.2

Correction longitudinale

La figure 4.7(1) schématise les conditions de contact dans un engrenage parallèle a` denture droite idéal : dentures sans erreur, axes absolument parallèles, arbres, paliers et carters indéformables sous charge. Le contact est établi sur toute la largeur de denture. En pratique, le parallélisme ne peut être parfait, comme l’indique la figure 4.7(2) : la portée des dentures tend a` s’établir en une extrémité. On diminue la concentration de contrainte hertzienne au bord des dentures avec des dents dites en bateau. Les bords des dents sont un peu amincis ; à vide, les dents se touchent au milieu, puis le contact s’établit sur toute la largeur a` forte charge. Les dentures ”bateau” se rencontrent, par exemple, dans les engrenages très chargés des boˆıtes de vitesses automobiles : le bombé est de l’ordre de 10 à 20 µm.

4.5

Lexique

R´ ef´ erences [1] Claude Bellais : Outils coupants. Taillage des roues cylindriques , chapitre B 7 097. Techniques de l’Ingénieur. Techniques de l’ingénieur, 1987. [2] Darle W. Dudley : Gear Handbook. The Design, Manufacture and Application of Gears. McGraw-Hill, 1st édition, 1962. [3] Georges Henriot : Engrenages. Conception. Fabrication. Mise en oeuvre. Dunod, 7ème édition, 1999. [4] Georges Henriot : Manuel pratique des engrenages. Dunod, 1999.

´ ERENCES ´ R EF

75

Figure 4.7 – Contact entre dentures [4]

Figure 4.8 – Bombé [4]

´ ERENCES ´ R EF

le le le le le le le la le le le la la la l’

Fran¸cais fraisage taillage taillage par reproduction taillage par gén´ eration taillage par outil pignon moletage brochage rectification rasage honage ou honing rodage fraise disque fraise doigt fraise vis-mère outil-pignon

76 the the the the the the the the the the the the the the the

English milling gear cutting form-copying method form-generating method gear shaping gear rolling broaching grinding shaving gear honing lapping involute side milling cutter involute end mill gear hobbing cutter gear shaper cutter

het het de het het het het het het het het de de de het

Nederlands frezen randwielfrezen kopieermethide afwikkelprocess afwikkelsteken tandwielrollen trekfrezen slijpen schrapen tandwielhonen lappen schijffrees vingerfrees wormfrees beitelwiel

Deutsch das Fräsen das Verzahnen das Formverfahren das W¨ alzverfahren das W¨ alzstossen das Zahnradrollen der Räumen das Schleifen das Zahnradschaben das Zahnradhonen das L¨ appen der scheibenförmiger Zahnformfräser der Zahnform-Fingerfräser der Wälzfr¨ aser das Schneidrad

Table 4.4 – Lexique relatif aux dispositifs de réglage de vitesse.

edés , chapitre BM 7 155. [5] Jean Kaleta : Taillage et rectification des engrenages : proc´ Techniques de l’Ingénieur. 1998.

[6] Michel Pasquier : Contrˆ ole des engrenages parallèles , chapitre R 1 290. Techniques de l’Ingénieur. 2002.

Chapitre 5 Engrenages coniques. Si les triangles faisaient un dieu, ils lui donneraient trois côtés. Montesquieu.

5.1

G´ en´ eralit´ es

Les engrenages a` roues coniques sont utilisés pour transmettre un couple entre deux arbres a` axes concourant en un point appelé apex . La valeur de l’angle des axes , Σ, peut être choisie entre de très larges limites (entre 10 et 180 degrés), mais l’engrenage le plus répandu est celui o` u les axes se coupent a` angle droit (Σ = 90◦ ) pour constituer un renvoi d’angle.

Figure 5.1 – Engrenage conique et roues virtuelles [5] Les surfaces primitives sont assimil´ ees a` des troncs de cône de sommet O, roulant sans glisser l’un sur l’autre. Le rendement de la transmission peut être excellent (> 98%). Les roues coniques doivent pouvoir se r´ egler axialement sur les arbres afin que les sommets des cˆ ones primitifs co¨ıncident exactement avec l’intersection des axes. 77

CHAPITRE 5. ENGRENAGES CONIQUES.

78

Le problème de la définition des dentures a` engrenages concourants est plus complexe que celui relatif aux engrenages parallèles : le profil de réf´ erence de la denture n’est plus défini dans un plan mais sur une sphère. La crémaillère prismatique utilisée pour les engrenages cylindriques doit être ici remplacée, dans l’étude du mouvement de génération, par une couronne ou roue plate. En pratique, le profil des dents de la couronne génératrice s’écarte un tantinet de la développante de cercle sphérique : la ligne d’action n’est plus rigoureusement rectiligne mais présente la forme d’un huit, ce qui justifie l’appellation de denture octo¨ıde pour certaines dentures de pignons coniques. ≪

≫

Figure 5.2 – Engrenage conique en prise avec la couronne sphérique conjuguée [6]

Figure 5.3 – Ligne d’action octo¨ıde [6] Les roues coniques a` denture droite sont relativement simples a` fabriquer. Les roues coniques a` denture hélico¨ıdale, a` denture spirale ou en arc de cercle impliquent des procédés de fa¸connage assez complexes a` décrire (consulter [1] pour une première approche). On retiendra que les machines sp´ ecialis´ ees qui permettent leur taillage sont sujettes a` de nombreux réglages, si bien que l’interchangeabilité d’une roue conique avec une autre, présentant des caractéristiques similaires, est douteuse : on veillera donc a` commander le couple de roues formant l’engrenage conique. Les roues hypo¨ıdes présentent certaines similitudes avec les roues coniques. Quelques informations particulières sont indiquées au chapitre 6.

5.1.1

Surfaces primitives. Relations cin´ ematiques

La particularité de cet engrenage est que les génératrices des dents des deux roues conjuguées convergent vers le sommet commun S des cˆ ones primitifs de roulement (voir

79


Figure 5.4 – Roues conique droite (a), conique spirale (b), conique ZEROL (c) et hypo¨ıde (d). [4]

figure 5.1. L’engrenage conique peut être extérieur, a` roue plate ou int´ erieur, selon la valeur de l’angle primitif de la roue, δ 2. L’utilisation de l’engrenage conique int´ erieur reste exceptionnelle, étant donné la difficulté de la réalisation. Lors d’un avant-projet, les données de départ disponibles sont le plus souvent le rapport de transmission i et l’angle des axes Σ. sin δ |i| = ||ωω || = OO CC = sin δ 2

1

m1

1

2

m2

(5.1)

En tenant compte du fait que δ m1 + δ m2 = Σ, on établit facilement : tan δ m1 = tan δ m2 =

5.2 5.2.1

|i| sinΣ 1 + |i| cosΣ

sinΣ i + cos Σ

||

(5.2) (5.3)

Engrenages coniques ` a denture droite Relations g´ eom´ etriques

Il faut bien réaliser qu’une denture conique présente une section variable le long d’une génératrice : la hauteur de denture varie augmente lorsque l’on s’écarte de l’apex. La figure 5.6 rappelle les principales grandeurs géométriques usuelles. Lors du dessin, on veillera à ce que les génératrices convergent toutes au sommet primitif S. Lors de la conception de l’engrenage conique, une des difficultés est de prévoir une possibilité de réglage axial pour que cette condition de convergence soit satisfaite. La figure 5.5 illustre la localisation axiale des pignons par les entretoises ou cales d’épaisseur B, C, D et E. Le diamètre primitif Dm de la roue conique droite est le plus grand diamètre mesuré sur le cône primitif ; il est, par convention, un multiple du module M : Dm = Z M

(5.4)

80


Figure 5.5 – Réducteur a` deux étages dont le premier couple est un engrenage conique. [2]

On veillera à ne pas confondre diamètre primitif Dm et génératrice primitive Lm . On trouve facilement la relation : Dm Lm = (5.5) 2sin δ m La largeur de denture B doit normalement vérifier : B

 

10M Lm /3

(5.6) (5.7)

Il faut prévoir un dégagement suffisant vers le sommet du cˆ one de chaque roue pour la sortie des outils. L’angle de pression de génération α m est de 20◦ (rarement 14,5◦ ). La saillie H a et le creux H f valent, pour un pignon conique standard : H a = M H f = 1, 25M

(5.8) (5.9)

Pour une denture droite Gleason : H a1 = 2M H a2 0, 460M H a2 = 0, 540M + Z 2 cos δ1

−

(5.10) (5.11)

Z 1 cos δ2

H f = 2, 188M

(5.12)

81

CHAPITRE 5. ENGRENAGES CONIQUES. ν

δ

δ

ν

δ

Figure 5.6 – Roue conique.

Le calcul des caractéristiques moyennes de fonctionnement (notamment le calcul des efforts d’engrénement traité au chapitre 7) est généralement effectué au milieu de la largeur de denture, d’o` u l’importance pratique de la génératrice moyenne Lmoy. ≪

5.2.2

≫

Mod` ele approch´ e de Tredgold

On peut, avec un degré d’approximation suffisant, considérer que l’engrènement dans la zone la plus éloignée de l’apex (o` u la dimension des dents est la plus importante) s’effectue dans des conditions similaires à celles rencontrées lors de l’action de deux roues d’axes parallèles. Pratiquement, on mène par le point de contact arrière entre les deux roues coniques, le plan perpendiculaire a` l’axe instantané de rotation. Les distances mesurées dans ce plan entre ce point de contact et les points de percée des axes de rotation de chacune des roues définissent les rayons primitifs Rp1 et Rp2 de l’engrenage cylindrique équivalent. Dm1 (5.13) cos δ 1 Dm2 D2v = (5.14) cos δ 2 Ce qui précède permet de ramener la plupart des problèmes relatifs a` un engrenage conique au cas d’un engrenage parallèle avec denture en développante de cercle. Le nombre de dents du pignon et de la roue étant respectivement Z 1 et Z 2 , on peut calculer le nombre de dents virtuel de la roue équivalente : Z 1 Z 1v = (5.15) cos δ 1 Z 2 Z 2v = (5.16) cos δ 2 D1v =

De cette fa¸con, l’étude d’un engrenage conique (interférence, continuité d’engrènement, etc.) peut s’effectuer a` l’aide des formules et des graphiques établis pour un engrenage parallèle, simplement en y rempla¸cant le nombre de dents Z par Z v .

82

CHAPITRE CHAPITRE 5. ENGRENA ENGRENAGES GES CONIQUES. CONIQUES.

5.2.3

Remarques particuli` particuli` eres eres

– L’angle δ abaisse la limite d’interférence erenc e a` l’usinage par rapport a` la roue cylindrique droite droit e ; le nombre minimal minima l de dents d’un pignon pigno n conique co nique (déport epo rt nul) peut p eut être etre estimé a` partir de Z min (5.17) min = 14cos δ m – Il faut, dès es le stade de l’avant-projet l’avant-projet de la transmission, prévoir evoir la possibilité d’un réglage eglage axial, afin de faire co¨ co¨ıncider les sommets des cˆ ones primitifs exactement avec ones l’intersection des axes. La plus grande précision ecision d’exécution ecution n’aura pas d’effet si l’on néglige egl ige la précision eci sion du montage mont age.. – Les dentures denture s des roues coniques coniqu es droites droit es peuvent peu vent être etre déport´ epo rtées. ees. Pour éviter eviter une modimod ification ficat ion de l’angle l’ang le des axes Σ, il est préf´ eférable erabl e de prévoir evoir un engrenage engre nage de type D-zéro ero pour lequel la somme des déports eports de la roue et du pignon est nulle.

5.3 5.3

Engr Engren enag ages es coni coniqu ques es ` a dentur de nture e incli inclin´ n´ ee ee

D’innombr D’in nombrabl ables es variantes varia ntes existent exis tent.. Elles Elle s sont s ont souvent sou vent désign´ esig nées ees par les marques mar ques dépos´ ep osées ees des fabrica fa bricants nts des machines-ou ma chines-outils tils qui qu i permet p ermettent tent de tailler taille r ces dentures denture s de géom´ eométrie etrie complexe : denture en arc ar c de cercle c ercle Gleason, Gleaso n, spirale spir ale pallo p allo¨¨ıde Klingelnb Kli ngelnberg erg (type ( type : développante eveloppa nte de cercle), spirale Oerlikon (type : épicyclo¨ epicyclo¨ıde), spirale Zerol de Gleason, ... Pour définir efinir l’angle l’ang le d’inclinaison d’incli naison β moy moy du profil : – on se réf` efère ere au plan primitif d’une roue plate de réf´ eférence erence (qui pourrait s’identifier a` une roue gén´ enératrice, erat rice, jouant le même eme rˆ ole ole que la crémaill` emaillère ere pour les engrenages cylindrique cylindriques) s) ; – on considère ere un point du profil d’une dent situé a` mi-larg mi-largeur eur de denture denture ; – on mène ene par ce point deux droites définissant efinissant l’angle β moy moy : la tangente au profil et la droite issue du centre de la roue. L’angle d’inclinaison β moy evidemment evidemm ent nul pour p our une denture droite, droit e, mais également egalem ent moy est ´ pour la denture spirale Zerol de Gleason. Par convention, l’angle β moy moy est positif mais il importe de distinguer distinguer les dentures dentures inclin´ inclinées ees a` droite et dentures inclinées ees a` gauche, notamment pour prévoir evoir les poussées ees sur les arbres (cf. chapitre 7). Un valeur standard de l’angle spiral β moy es. es. La figure 5.7 présente esente le cas de dentures denture s inclinées ees moy est de 35 degr´ a` droite. Pour une denture spirale Gleason : H a1 700M H a2 a1 = 1, 700M a2 0, 390M 390M H a2 460M + + Z 2 cos δ1 a2 = 0, 460M

−

(5.18) (5.19)

Z 1 cos δ2

H f f = 2, 188M 188M

5.4

(5.20)

Repr´ Repr´ esentatio esentation n normalis normalis´ ´ ee ee des engrenages engrenages coniques

La représentation esentation conventionnelle conventionnelle des engrenages, définie efinie par la norme ISO 2203, est fort simple :

83


β

β

esentation de la projection pro jection des dentures hélico¨ elico¨ıdale et spirale d’une Figure 5.7 Figure 5.7 – Représentation roue conique.

esentation d’un pignon conique [3] Figure 5.8 Figure 5.8 – Représentation

esentation d’un engrenage conique [3] Figure 5.9 Figure 5.9 – Représentation

84


R eprésentation esentat ion simplifiée ee d’un engrenage engre nage conique coniqu e (Σ = 90◦ ) [3] Figure 5.10 Figure 5.10 – Repr´



´ ERENCES ´ R EF

5.5

85

Lexique

Fran¸cais English Nederlands Deutsch la roue conique the bevel gear het kegelwiel das Kegelrad la roue conique à denture hélico¨ıdale the skew bevel gear het schuinvertand kegelwiel das Schrägzahn Kegelrad la roue conique à denture spirale the spiral bevel gear het conische schroefwiel das Kreisbogen Kegelrad

Table 5.1 – Lexique relatif aux engrenages coniques.

R´ ef´ erences [1] Claude Bellais : Outils coupants. Taillage des roues coniques , chapitre B 7 098. Techniques de l’Ingénieur. Techniques de l’ingénieur, 1987. alzlagerungen , 1997. [2] FAG. Die Gestaltung von W¨

[3] ISO : Technical drawings - conventional representation of gears. Rapport technique, International Standard Organization, 1973. [4] Robert L. Mott : Machine Elements in Mechanical Design . Prentice Hall, 1999. [5] G. Nicolet et E. Trottet : Eléments de machines. SPES, Lausanne, 1971. [6] Quality Transmission Components. Handbook of Metric Gears. Product Guide and Technical Data., December 2000.

Chapitre 6 Engrenages gauches. Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ? Proverbe Shadok.

6.1

Introduction

Pour ce type de transmission, les axo¨ıdes sont des hyperbolo¨ıdes de révolution. Si on taille sur ces hyperbolo¨ıdes des dentures ayant un même pas, on obtient un engrenage à rapport de transmission constant. La partie utilisée des surfaces des hyperbolo¨ıdes primitifs est étroite, du fait de la largeur de denture est limitée. Pratiquement, elle est remplacée par des surfaces cylindriques pour les engrenages gauches hélico¨ıdaux et par des surfaces tronconiques pour les engrenages hypo¨ıdes . Il en résulte que le contact des dents en prise est ponctuel. Comme le glissement est inévitable dans les engrenages gauches, le rendement de ces transmissions sera plus faible que dans le cas des engrenages cylindriques ou coniques. Enfin, les engrenages à roue et vis sans fin peuvent être considérés comme une variante des engrenages gauches a` cette différence près que le contact entre les dents n’est pas ponctuel mais linéaire. Cette propriété est obtenue en taillant les dents de la roue par génération avec une fraise-mère dont les éléments d’engrènement ont les mêmes dimensions que la vis sans fin qui formera un couple avec la roue. Des rapports de réduction importants (10 à 100) peuvent être facilement obtenus.

6.2

Engrenages gauches h´ elico¨ıdaux

Les figures 6.1 et 6.2 illustrent la configuration d’un engrenage gauche hélico¨ıdal : les deux roues sont des roues cylindriques a` denture hélico¨ıdale, d’inclinaisons primitives β 1 et β 2 pouvant être différentes. La figure 6.2 représente une situation o` u le pignon et la roue engrènent simultanément avec une crémaillère génératrice commune : ils peuvent de facto engrener ensemble. On remarque que les dentures du pignon et de la roue sont toutes deux orientées a` droite! On vérifie en effet que, dans cette configuration : β 1 + β 2 = Σ 86

(6.1)

87

CHAPITRE 6. ENGRENAGES GAUCHES.

Figure 6.1 – Engrenage gauche hélico¨ıdal [3].

β Σ

β

Figure 6.2 – Engrenage gauche hélico¨ıdal.

La somme des angles que fait une génératrice de la crémaillère avec chacun des axes de rotation est égal a` l’angle entre les deux axes gauches. On réalise une transmission a` angle droit avec deux roues d’angle d’hélice égal a` 45◦ , les deux dentures étant inclinées dans le même sens. Dans une configuration o` u les inclinaisons seraient l’une a` droite, l’autre a` gauche, on aurait : β 1 β 2 = Σ (6.2)

| − |

L’´ equation 6.2 reproduit bien la contrainte a` laquelle doit satisfaire l’engrenage cylindrique (Σ = 0) hélico¨ıdal, a` savoir l’égalité de β 1 et de β 2 . Les dentures conjuguées du pignon et de la roue ayant une même crémaillère génératrice, celles-ci doivent être caractérisées par le même pas normal et le même module normal.


88

Le rapport d’engrenage entre les deux arbres est : u =

Z 2 D2 cos β 2 = Z 1 D1 cos β 1

(6.3)

Le contact est ponctuel dans l’engrenage gauche hélico¨ıdal : a` chaque instant, les deux dentures conjuguées ne sont en contact qu’en un seul point. Il ne faut donc pas espérer pouvoir transmettre une charge importante avec un tel engrenage.

6.3

Engrenages hypo¨ıdes

L’engrenage hypo¨ıde est constitué de roues coniques prises en dehors de la gorge des surfaces axo¨ıdes hyperbolo¨ıdes. Les angles d’inclinaison du pignon et de la roue sont différents. Le pignon peut être con¸ cu pour que son angle spiral soit supérieur a` celui de la roue, ce qui permet d’obtenir une dent de pignon plus résistante.

Figure 6.3 – Engrenage gauche hypo¨ıde [3].

6.4 6.4.1

Engrenages ` a vis sans fin Caract´ eristiques g´ eom´ etriques

Un engrenage à vis sans fin (ou à vis et roue tangente ) est un engrenage gauche caractérisé par la forme particulière d’une de ses roues qui se présente sous l’aspect d’une vis. Nous n’évoquerons que le cas le plus fréquent o` u Σ vaut un angle droit. Cette disposition des arbres favorise la réalisation de grands rapports de transmission sous un faible encombrement : des rapports de réduction de l’ordre de quelques centaines peuvent en effet être atteints en un seul étage. Ils ont de plus la particularité d’offrir un fonctionnement peu bruyant. Leur rendement est malheureusement sensiblement plus faible, en raison de la présence de glissement : il faut veiller au choix des matériaux de la vis et de la roue pour obtenir un couple tribologique a` faible coefficient de frottement (le bronze est un mat´ eriau typiquement utilisé pour la roue). L’importance des pertes énergétiques nécessite d’ailleurs une ventilation du réducteur. Leur prix de revient est plus élevé (conséquence du recours au bronze, taillage plus délicat a` mener) que celui


89

Figure 6.4 – Transmission arrière d’une voiture : roue hypo¨ıde liée a` la cage du différentiel [5].

Figure 6.5 – Engrenage a` vis sans fin, d’après [3].

des réducteurs a` axes parallèles ou perpendiculaires. Les réducteurs a` vis sans fin constituent une solution acceptable pour des puissances modérées (inférieures a` 60 kW) et des applications o` u il faut assurer la régularité de marche. On appelle : – cylindre de référence : : le cylindre par rapport auquel sont définies les cotes géométriques du filet ; – diamètre de référence : le diamètre de la vis, D1 ; on notera que le diamètre de la vis n’est pas une fonction du nombre de filets (dents) Z 1 ; – pas hélico¨ıdal : P z , distance mesurée parallèlement a` l’axe entre deux points d’une même hélice ; – pas axial : P x , distance parallèlement a` l’axe entre deux points correspondants de deux

90


flancs consécutifs (qui peuvent ne pas appartenir a` la même hélice, dans le cas d’une vis à plusieurs filets) ; – nombre de filets : Z 1 , on a P z = Z 1 P x . – inclinaison du filet : γ , l’angle de pas de référence par rapport a` la direction de l’axe ; tan γ =

P z πD 1

(6.4)

Pour éviter l’interférence, l’inclinaison d’hélice reste inférieur a` une valeur limite fonction de l’angle normal de pression αn , précisée par le tableau 6.1. Angle de pression Inclinaison maximale (degrés) d’hélice (degrés) 14,5 15 20 25 25 35 30 45 Table 6.1 – Inclinaisons de filet admissibles pour différents angles de pression. – inclinaison d’hélice de la roue : β . Lorsque l’angle des axes est droit, l’angle d’hélice de la roue est égal a` l’inclinaison d’hélice de la vis : γ 1 = β 2 ; les sens d’enroulement sont les mêmes sur les deux éléments. Concernant les formes complémentaires au niveau de l’engrenage entre la vis 1 et la roue 2, deux dispositions constructives sont possibles : 1. la vis 1 épouse le contour de la roue 2 : la vis est qualifiée de globique . Grâce a` cette disposition, il y a un plus grand nombre de filets simultanément en prise. 2. la roue 2 épouse le contour de la vis 1 : la vis est qualifiée de tangente

Figure 6.6 – Roue tangente et vis cylindrique (a). Vis globique (b), (c) et (d). [1]

Diff´ erentes formes de filet de vis sans fin utilis´ ees pratiquement On distingue : – Vis ZA à profil axial : pour cet engrenage, la denture de la vis dans la section axiale

présente les flancs rectilignes d’un profil trapézo¨ıdal symétrique, défini par l’angle de pression α 0 . Dans la section apparente perpendiculaire a` l’axe, le profil de la vis est une spirale d’Archimède. Ces profils peuvent être obtenus sur un tour, soit par un outil avec l’arête de forme du profil, soit par un outil pignon a` flancs en développante, travaillant dans le plan axial de la vis. – Vis ZN à flancs droits dans la section normale : les conditions d’usinage sont plus favorables que pour le type ZA. – Vis ZK à flancs bombés engendrés par un outil disque

91


Figure 6.7 – Différentes formes de filet de vis sans fin [1].

` flancs en h´ elico¨ıde développable : dans la section apparente perpendiculaire – Vis ZI a à l’axe, le profil du filet est une développante de cercle. C’est pourquoi cette vis peut être assimilée a` une roue hélico¨ıdale a` denture normale et a` très petit nombre de dents, où l’inclinaison primitive du filet de vis est choisie entre 50 et 87◦. La position de la vis dans le carter est choisie en fonction de la vitesse circonférentielle u1 = D 1 ω1 /2 de la vis. Si elle est inférieure a` 0,8 m/s, on se contente d’une lubrification par graisse consistante. Pour u1 5 m/s, la vis est plac´ ee en dessous de la roue et au-dessus, dans le cas contraire.

≤

6.5

Repr´ esentation gauches

normalis´ ee

des

engrenages

La représentation des engrenages gauches, définie par la norme ISO 2203, suit les principes simplificateurs conventionnels (il n’est même pas nécessaire de représenter les contours cachés !) :


Figure 6.8 – Exemple de réducteur a` vis sans fin. [1]

Figure 6.9 – Représentation d’un engrenage hélico¨ıdal gauche selon ISO 2203 [4].

Figure 6.10 – Représentation d’un engrenage hypo¨ıde selon ISO 2203 [4].

92


93

Figure 6.11 – Représentation d’un engrenage a` vis et roue tangente selon ISO 2203 [4].

´ ERENCES ´ R EF

6.6

94

Lexique Fran¸cais la vis sans fin la vis globique la longueur filet´ ee la roue à vis tangente

the the the the

English worm hour-glass worm threaded length worm wheel

de de de de

Nederlands worm globo¨ıdworm wormlengte wormwiel

die die die das

Deutsch Schnecke GloboidSchnecke Schneckenlänge Schneckenrad

Table 6.2 – Lexique relatif aux engrenages gauches.

R´ ef´ erences [1] Horst Haberhauer et Ferdinand Bodenstein : Maschinenelemente. Gestaltung, Berechnung, Anwendung. Springer, Berlin, 10st édition, 1996. (in German). [2] Georges Henriot : Engrenages. Conception. Fabrication. Mise en oeuvre. Dunod, 7ème édition, 1999. [3] Georges Henriot : Manuel pratique des engrenages. Dunod, 1999. [4] ISO : Technical drawings - conventional representation of gears. Rapport technique, International Standard Organization, 1973. [5] Johannes Looman : Zahnradgetriebe . Springer, 1996. prêté Declerq.

Chapitre 7 Efforts g´ en´ er´ es par les engrenages. Puisqu’après tant d’efforts ma résistance est vaine, Je me livre en aveugle au destin qui m’entraˆıne. Racine, Andromaque, I, 1.

7.1

Engrenages parall` eles ` a denture droite

L’action de la dent du pignon sur celle de la roue se traduit par un effort de contact F dirigé selon la normale commune aux profils des dentures, pour autant que l’on néglige la composante de frottement. Cette force normale F a comme support la ligne d’action et fait un angle α p avec la tangente commune aux deux cercles primitifs de fonctionnement. On décompose F en sa composante tangentielle F t , directement reliée au couple transmis et sa composante radiale F r , dirigée vers le centre de chaque roue. F t = F cos αp F r = F sin αp = F t tan αp

(7.1) (7.2)

Pour chaque roue, la composante radiale est physiquement orientée vers l’axe de rotation. Nous la définirons donc a priori positive dans cette direction. L’effort tangentiel et l’effort radial déterminent les efforts appliqués sur les arbres et les paliers du fait de la transmission de puissance, les poids de la roue et du pignon pouvant éventuellement être pris en compte.

7.2

Engrenages parall` eles ` a denture h´ elico¨ıdale

L’effort F appliqué sur une dent est contenu dans le plan normal : on y distingue les composantes radiale F r et fléchissante F f . Cette dernière composante peut être a` son tout décomposée en composante axiale F x et tangentielle (transversale) F t . De l’observation de la figure 7.1, il découle : F r F f F t F x

= = = =

F sin αn F cos αn F f cos β = F cos αn cos β F f sin β = F cos αn sin β 95

(7.3) (7.4) (7.5) (7.6)

´ ER ´ ES ´ PAR LES ENGRENAGES. CHAPITRE 7. EFFORTS GEN

96

Figure 7.1 – Composantes des forces transmises dans les engrenages parallèles.

Pratiquement, on déduit F t de l’équation d’équilibre de rotation de la roue. Une denture hélico¨ıdale génère une composante axiale qui pose le problème de la sélection de l’organe devant assurer la liaison roto¨ıde de la transmission. L’installation sur un même arbre de deux dentures hélico¨ıdales dont les angles d’hélice sont égaux mais opposés offre un équilibrage parfait, quel que soit le sens de la rotation. Cette disposition offre encore l’avantage de distribuer la puissance transmise entre les deux roues. Son application suppose : – l’exécution symétrique précise des dentures ; – la construction rigide des arbres et du bˆ ati afin que les plans principaux des roues restent parallèles durant le fonctionnement ; – le montage rigoureusement parallèle des arbres.

Figure 7.2 – Engrenages hélico¨ıdaux opposés (conception des années 1960). L’engrenage a` chevrons, qui a fait la renommée de Citroën, évite ces problèmes de montage au prix d’un taillage simultané des deux dentures sur une même ébauche, nécessitant une machine-outil et un outillage spécialisés. Un pignon a` dentures a` chevrons est lié axialement a` la roue avec laquelle il est en prise.


7.3

97

Engrenages coniques

Par convention, les efforts axiaux sont positifs dans la direction apex-pignon. Dans l’avantprojet d’un engrenage conique, on s’efforcera d’obtenir des efforts axiaux positifs car ceux-ci tendent a` écarter les roues alors que des efforts axiaux négatifs réduisent le jeu entre dentures et induisent des efforts supplémentaires. Les efforts radiaux sont positifs lorsqu’ils sont orientés vers l’axe. Les efforts sont estimés a` mi-largeur de denture. L’effort réel F est décomposé, dans un plan normal au cˆ one primitif d’engrènement, en effort tangentiel F t et effort normal F n . Denture droite

L’effort normal (au cˆ one primitif d’engrènement) F n peut être décomposé en effort axial F x et radial F r . Observons que pour une denture droite, l’effort tangentiel n’a ni composante axiale, ni composante radiale.

δ

α

Figure 7.3 – Composantes des forces transmises dans les engrenages coniques a` denture droite.

F t F n F r F x Dans les cas classiques o` u δ

◦

= = = =

F cos αn F t tan αn F t tan αn cos δ F t tan αn sin δ

(7.7) (7.8) (7.9) (7.10)

≤ 90 , les efforts axiaux et radiaux sont toujours positifs.


98

L’analyse est plus complexe : il faut prendre en compte le sens d’inclinaison de la denture spirale ainsi que le sens de rotation. Celui-ci est conventionnellement défini pour un observateur situé a` l’apex. Denture inclin´ ee

Les composantes axiale et radiale s’expriment pour le pignon 1 menant et la roue menée 2 par les formules suivantes : F x1 = F t1 F r1 = F t1 F x2 = F t1 F r2 = F t1

   

sin δ 1 tan αn cos β cos δ 1 tan αn cos β sin δ 2 tan αn cos β cos δ 2 tan αn cos β

± tan β cos δ

1

∓ tan β sin δ

1

∓ tan β cos δ

2

± tan β sin δ

2

   

(7.11)

(7.12)

(7.13)

(7.14)

dans lesquelles on adopte le signe + ou supérieur si le pignon 1 : – a une denture a` gauche et une rotation dans le sens trigonométrique ; – a une denture a` droite et une rotation dans le sens horlogique ; et le signe inférieur dans les autres cas.

−

Lorsque les dentures sont inclinées, les efforts radiaux et axiaux peuvent être négatifs ; cette disposition doit être évitée autant que possible.

7.4

Engrenages ` a vis sans fin

La composante tangentielle F t1 sur la vis, mesurée sur son cylindre primitif, est la seule composante qui s’oppose a` la rotation de la vis; elle se d´ eduit du couple transmis et s’identifie a` la poussée axiale F x2 sur la roue. La figure 7.4 illustre la correspondance entre les efforts appliqués sur la vis et sur la roue. La force résultante entre la vis et la roue est supposée concentrée au point de concours de la ligne des centres avec le cylindre de référence de la vis. Comme le régime de lubrification hydrodynamique est rarement atteint et que les effets de glissement ne sont pas négligeables, il faut prendre en compte la force de frottement qui s’oppose au mouvement.

F r1 = F n sin αp F t1 = F n (cos αp sin γ 1 + f cos γ 1) F x1 = F n (cos αp cos γ 1 f sin γ 1 )

−

(7.15) (7.16) (7.17)

Le coefficient de frottement au d´ emarrage se situe entre 0,1 et 0,2 alors qu’` a vitesse constante, il peut chuter jusqu’` a 0,02 (vis en acier et roue en bronze, construction soignée).


99

Figure 7.4 – Composantes des forces transmises dans les engrenages a` vis et roue tangente.

7.5

Engrenages gauches h´ elico¨ıdaux

On trouve, comme pour l’engrenage a` vis : F r1 F t1 F x1 F r2 F t2 F x2

= = = = = =

F n sin αp F n (cos αp cos β 1 + f sin β 1 ) F n (cos αp sin β 1 f cos β 1 ) F n sin αp F n (cos αp cos β 2 f sin β 2 ) F n (cos αp sin β 2 + f cos β 2 )

−

−

(7.18) (7.19) (7.20) (7.21) (7.22) (7.23)

Chapitre 8 Capacit´ e de charge des engrenages. This part of ISO 6336 is not intended for use by the general engineering public International Standard ISO 6336-1 :1996(E), p. 1 .

8.1

L’apport de la norme ISO 6336

Dans ses recommandations pour la détermination de la capacité de charge des engrenages cylindriques à dentures droite et hélico¨ıdale, la normalisation internationale ([3], consultable au service de génie mécanique) reconnaˆıt deux procédures distinctes, correspondant chacune a` un mode de détérioration de l’engrenage qu’il faut étudier : 1. rupture par sollicitation des dents en flexion 2. apparition de piquage (eng : pitting ) par pression superficielle excessive La rupture d’une dent conduit a` la mise hors service presque instantanée de la transmission et présente un facteur de danger important. L’apparition du piquage est progressive, détectable par analyse acoustique ou vibratoire : elle ne présente pas de danger majeur pour des installations faisant l’objet d’une maintenance régulière. D’autres défauts superficiels plus graves peuvent se produire (sous des conditions a priori plus défavorables que celles qui mènent au piquage), comme le grippage, l’usure abrasive, l’écaillage.

Figure 8.1 – Grippage : présence de sillons dans le sens du glissement. Dans le dimensionnement d’un engrenage, nous rechercherons donc a` ce que le risque de défaillance par rupture par fatigue volumique soit inférieur a` celui lié a` l’apparition de défauts superficiels.

100

´ DE CHARGE DES ENGRENAGES. CHAPITRE 8. CAPACIT E

101

Ces critères permettent la détermination d’une capacité de charge par unité de longueur qui s’exprime en fonction d’un nombre impressionnant de facteurs dépendant de la géométrie, des matériaux, des conditions d’utilisation (notamment la lubrification) . Ils ont été validés par de nombreuses études théoriques et expérimentales menées pour des conditions industrielles normales de définition des engrenages (angles de pression voisins de 20◦, angles d’hélice de référence inférieurs a` 30◦ , rapports de conduite compris entre 1 et 2,5, ...). La norme reconnaˆıt quatre méthodes classées par ordre décroissant de complexité : etermination précise de l’état de contrainte par expérimentation sur M´ ethode A : d´ modèle a` l’échelle ou par modélisation mathématique fidèle du système de transmission sollicité ; cette méthode est très rarement appliquée en raison de sa complexité de mise en œuvre, et donc, de son coˆ ut ; elément de volume le plus sollicité M´ ethode B : calcul de la contrainte maximale de l’´ à partir d’un calcul de structure tridimensionnel. M´ ethode C : méthode

simplifiée permettant de faire une bonne estimation de l’état de contrainte maximal, moyennant une excellente connaissance du composant et de ses défauts ;

M´ ethode D : méthode

≪

≫

simplifiée permettant de faire une estimation satisfaisante manuelle de l’état de contrainte maximal, moyennant une bonne connaissance du composant. ≪

≫

Les autres types d’engrenages sont soumis aux mêmes modes de défaillance et leurs méthodes de dimensionnement s’inspirent d’une démarche analogue, équivalente a` celle des méthodes C ou D, dans l’état actuel de la technique.

8.2 8.2.1

R´ esistance ` a la pression superficielle Principe du calcul. Engrenages parall` eles ` a denture droite

Deux dents en prise en un point M peuvent être assimilées en première approximation a` deux cylindres de rayons de courbure ρ1 et ρ2 soumis à un effort linéique de rapprochement q . Rappelons que la largeur 2b de la zone de contact rectangulaire (la longueur est infinie) est donnée par : ρ1ρ2 b = 2 (e1 + e2 )q (8.1) ρ1 + ρ2



dans laquelle les écrasements spécifiques ei sont définis par : ei =

1

2 i

− ν

(8.2)

πE i

La valeur de la pression maximale est donnée par :.

pmax =

2q 1 = πb π

   

1 1 q + ρ1 ρ2 e1 + e2



(8.3)


102

Pour les profils en développante de cercle, les rayons de courbure ρ 1 et ρ 2 sont égaux aux distances T1 M et T2M mesurées sur la ligne de contact, représentée sur la figure 8.2.

ρ

ρ

Figure 8.2 – Définition des rayons de courbure associés aux deux dents en prise.

Il vient que :

 



pmax = Z E

T1 T2 1 1 q = Z E q + T1 M T2 M T1 M T2 M



(8.4)

expression faisant intervenir le facteur d’élasticité Z E : 1 Z E = π



1 e1 + e2

(8.5)

défini par la norme ISO 6336, synthétisant les effets des propriétés élastiques des mat´ eriaux (modules d’Young et des coefficients de Poisson des mat´ eriaux) des roues sur la pression de contact. Son ordre de grandeur avoisine 190 N/mm pour les aciers.

√

Au cours de l’engrènement, la pression de contact varie en fonction de la position du point M et du nombre de dents en contact. La figure 8.3 repr´ esente son évolution. Le maximum est rencontré a` la fin du segment de contact unique (point W). Il n’est dès lors pas très compliqué de calculer la valeur maximale de la pression de contact. Le comité ISO n’a pas adopté cette démarche, en privilégiant une appro che basée sur des paramètres d’influence. Il préconise le calcul d’une pression superficielle de référence au point I qui sera ensuite corrigée et comparée a` une valeur pH,lim caractéristique du comportement du matériau a` la fatigue superficielle.


103

Figure 8.3 – Evolution de la pression de contact en fonction de la localisation du point de contact sur la ligne d’action.

Pour un point d’engrènement localisé au point I, on écrit successivement : q = T1 I = T2 I = u = Rm1 =

F n F mt = B B cos αm Rb1 tan αp Rb2 tan αp Rb2 Rb1 Rb1 cos αm

(8.6)

(8.7) (8.8) (8.9) (8.10)

pour aboutir a` l’expression :



pmax = Z E

8.2.2

F m u + 1 2 Dm1B u cos2 αm tan αp

(8.11)

M´ ethode pratique selon l’I.S.O.

Pour la résistance a` la pression superficielle, le critère normalisé s’exprime sous la forme : F t <

p2H,lim

B Dm,1

u u+1



Z N T,(1,2)Z L Z V Z R Z W Z X Z E Z H Z ǫ Z β Z (V,W ) K R



2

1 K A K V K Hβ K Hα

(8.12)

Le critère 8.12 fait intervenir plusieurs facteurs que nous allons préciser immédiatement dans la suite. On peut les peut regrouper en familles : – facteurs liés à la géométrie de l’engrenage : la largeur de denture B, le diamètre primitif du pignon Dm,1 , le facteur géométrique Z H , le facteur d’inclinaison Z β , ; – facteurs liés aux matériaux de l’engrenage : la pression de Hertz admissible pH,lim, le facteur d’élasticité Z E – facteurs d’influence des essais de fatigue destin´ es ` a caractériser les mat´ eriaux :


104

– facteurs liés à la cinématique d’engrènement : le rapport d’engrenage u, le facteur de conduite Z ǫ , le facteur de contact unique Z V,W ; – facteurs liés aux conditions de fonctionnement : le facteur d’application K A , le facteur dynamique K V , ... Remarquons d’emblée que la force tangentielle admissible sur les dentures est limitée par le carré de la pression superficielle admissible. Les facteurs K corrigent la force tangentielle. Les facteurs Z corrigent la pression de contact et sont soumis a` l’élévation au carré au même titre que celle-ci. ≪

≪

≫

≫

Pression superficielle admissible

Les pressions superficielles admissibles pH,lim fournies par la norme ISO 6336, partie 5, sont déterminées directement a` partir d’essais normalisés réalisés sur des engrenages cylindriques à denture droite répondant a` un cahier des charges précis. La valeur de la contrainte de référence, p H,lim, est la pression superficielle que le matériau peut supporter, sans détérioration par piqˆ ures, pendant une durée de vie de 2 a` 50 Mcycles de chargement, avec une fiabilité de 99 %. On considère que la durée de vie de 99 % des échantillons dont la pression superficielle est inférieure a p ` H,lim ont une durée de vie infinie vis-à-vis de la détérioration par pitting. Les figures 8.4 et 8.5 fournissent les ordres de grandeur des pressions superficielles admissibles, en fonction de la dureté superficielle des matériaux.

Aciers de nitruration, nitruration de longue durée

Aciers de cémentation, nitruration de longue durée

Fontes graphite sphéroïdal Fontes malléables Fontes grises

Figure 8.4 – Pression superficielle admissibles.


105

Aciers alliés cémentés, trempés

Aciers durcis superficiellement à la flamme ou par induction

Aciers de cémentation, nitruration de courte durée

Aciers fortement alliés traités et revenus

Aciers non alliés Aciers de construction Aciers moulés

Figure 8.5 – Pression superficielle admissibles.

Facteur de fiabilit´ e

Certaines applications sont définies avec des fiabilités différentes de 99%. Des fiabilités plus faibles peuvent convenir pour certaines applications de mécanique générale, mais d’autres classées comme sensibles, nécessitent des fiabilités accrues pouvant atteindre 0,9999%.

F

Le facteur de fiabilité K R peut être déterminé par : K R =

pH,lim,F =0,99 pH,lim,F

= 0, 6933

− 0, 18 log

10 (1

− F ) − 0, 0133 (log

10 (1

− F ))

2

Facteur de dur´ ee

Le facteur de durée Z N T intervient pour des applications dont la durée est limitée. Dans la majorité des applications industrielles, ce facteur est égal a` l’unité. Facteur lubrifiant

La lubrification de l’engrenage est essentielle, car elle dessert plusieurs fonctions : – elle prévient l’usure par interposition d’un film de lubrification élasto-hydrodynamique entre les dentures;


106

– elle permet l’évacuation calorifique des pertes de la transmission mécanique ; on retiendra que la température du lubrifiant se situe généralement entre 40◦C et 60◦C : 80◦ C est un seuil d’alerte. – elle prot` ege l’engrenage de la corrosion et de la contamination par des él´ ements étrangers (à condition de veiller a` la propreté du lubrifiant) Le facteur de lubrifiant Z L peut être déterminé par les expressions suivantes, faisant intervenir la viscosité cinématique ν 40 C , exprimée en m2 /s. ◦

Z L = C ZL + avec :

4 (1



− C

ZL )

10−6 1, 2 + 134 ν 40◦ C



2

C ZL = 0,83 si pH,lim < 850 MPa pH,lim C ZL = 0,6357 + si 850 pH,lim < 1200 MPa 4,375 109 C ZL = 0,91 si pH,lim > 1200 MPa

≤

(8.13)

(8.14) (8.15) (8.16)

Jusqu’à une vitesse périphérique v = ωR p de 1 m/s, l’application (directe ou par pulvérisation) d’une pˆ ate contenant des agents lubrifants solides (MoS2 ) peut être envisagée. Jusqu’à 2 m/s, un barbotage dans la graisse peut être envisag´ e. Au-del` a, jusque 15 m/s, un barbotage dans un bain d’huile peut suffire : on veillera à ce que la hauteur du bain de lubrifiant en contact avec la roue se situe entre 1M et 6M . Au-delà de 15 m/s, il faut impérativement prévoir un circuit de lubrification permettant l’aspersion des dentures au travers d’injecteurs (projection directe ou formation d’un brouillard d’huile). Cette solution, qui nécessite la conception d’un circuit hydraulique, permet de refroidir l’huile et de veiller à sa non-contamination (filtre). Il faut encore pouvoir estimer la viscosité du lubrifiant. La norme allemande DIN 51 509 fournit quelques indications, basée sur la pression de Stribeck. pStri =

3F t u + 1 BD m1 u

(8.17)

En fonction du rapport en cette pression de Stribeck et la vitesse périphérique v, le tableau 8.1 fournit des valeurs repères de viscosité cinématique. pStri /v [MPa.s/m] 0.01 0.05 0.10 0.5 1 5 10 ν 40 C mm2 /s 47 63 77 150 195 420 570 ◦

Table 8.1 – Viscosités d’huiles de lubrification pour les transmissions a` engrenages d’après DIN 51 509 On recommande que le lubrifiant soit enrichi d’agents antiusure ou extrême pression dès que la pression de Stribeck dépasse 7,5 MPa. Des valeurs importante de déport réduits ( x > 0, 5) ou de glissements spécifiques (gs > 0.8) nécessitent également des lubrifiants avec des additifs antiusure ou extrême pression et des dentures a` flancs durcis. ≪

≫

||

≪

≫


107

Figure 8.6 – Lubrification par barbotage [2].

Facteur de vitesse

Le facteur de vitesse Z V dépend de la vitesse tangentielle, et de la valeur de la pression superficielle admissible pH,lim du mat´ eriau le moins dur du couple pignon-roue. Il peut être déterminé par : 2(1 C ZV ) Z V = C ZV + (8.18) 32 0, 8 + v avec :

 −

C ZV = C ZL + 0, 02

(8.19)

Il caractérise l’influence de la vitesse tangentielle d’engrènement sur la lubrification élastohydrodynamique de l’engrenage d’essai normalisé. Facteur de rugosit´ e

Le facteur de rugosité Z R dépend de la rugosité des flancs de dent, des rayons de courbure au contact et de la valeur de la pression superficielle de référence pH,lim du matériau le


108

Figure 8.7 – Lubrification par brouillard d’huile [2].

plus faible des deux roues constituant l’engrenage. Z R =

  3

C ZR

(8.20)

RZ,10

avec : C ZR = 0, 32

−

C ZR = 0, 15 si pH,lim < 850 MPa 2 10−10 pH,lim si 850 MPa pH,lim < 1200 MPa C ZR = 0, 08 si pH,lim > 1200 MPa

≤

(8.21) (8.22) (8.23)


109

RZ,10 est la rugosité relative moyenne crête a` crête du couple de pignons :



RZ,10 = R Z 3

10

(8.24)

ρeq,[mm]

avec RZ , la rugosité moyenne crête a` crête du couple de pignons : RZ =

RZ 1 + RZ 2 2

(8.25)

et ρeq , le rayon de courbure équivalent du couple de pignons, exprimé en mètre : ρeq =

ρ1 ρ2 ρ1 + ρ2

(8.26)

(ρ1,2 = Rb,(1,2) tan αt pour une denture extérieure, ρ2 = intérieure.

−R

b2 tan αt pour

une denture

Sans précisions particulières provenant de mesures de rugosité, on peut admettre une valeur repère de 0,5 µm pour la rugosité arithmétique (correspondant a` un état après finition) et RZ = 6Ra (un tableau de correspondance des rugosités RZ et Ra est disponible dans le formulaire RUGO [1]). Facteur de rapport de duret´ e

Le facteur de rapport de dureté Z W tient compte de l’augmentation de résistance superficielle due a` l’engrènement d’une roue avec une roue notablement plus dure. Z W =1, 2 Z W =1, 2 Z W =1, 0

−

HB −130 1700

si H B 130 si 130 < HB si H B > 470

≤

≤ 470

(8.27)

Facteur de dimension

Le facteur de dimension Z X prend en compte le fait que statistiquement, plus la structure est de dimension importante, plus elle contient des défauts métallurgiques, qui sont autant de sources d’endommagements initiaux. La pression superficielle admissible diminue avec la taille de la structure. Dans le document normatif IS0 6336-2, le facteur de dimension Z X est pris égal a` 1. Facteur g´ eom´ etrique

Les grandeurs géométriques de fonctionnement et de génération de l’engrenage permettent de définir le facteur géométrique Z H . Z H =



2cos β b cos2 αmt tan αt

(8.28)

´ DE CHARGE DES ENGRENAGES. CHAPITRE CHAPITRE 8. CAPAC CAPACIT IT E

110

Facteur de conduite

Le facteur de conduite Z ǫ prend en compte les rapports de conduite et la longueur de contact pou pourr les le s engrena en grenages ges hélico¨ elico¨ıdaux. ıdaux. Pour les dentures denture s droites dr oites : Z ǫ =

 −

ǫα

4

si ǫ si ǫ α

3

Z ǫ =1

≥ 2

(8.29)

si ǫ α < 2

Pour les denture dent uress hélico eli co¨¨ıdales ıda les :

  −

Z ǫ = Z ǫ =

1 ǫα (4

si ǫ si ǫ β

≥ 1

ǫα )(1 3

−ǫ ) + ǫ β

β

ǫα

(8.30)

si ǫ si ǫ β < 1

Facteur d’inclinaison

Le facteur d’inclinaison Z β prend en compte le fait que les rayons de courbure ne sont pas constants le long de la ligne de contact pour des dentures hélico¨ elico¨ıdales. Z β =



cos β b

(8.31)

Facteur de contact unique

Le facteur de contact unique Z unique Z V,W est e st dest de stin´ iné a` obtenir la pression superficielle maximale maximale aux points V ou W à partir p artir de la pression pressio n superficie sup erficielle lle de réf´ eférence erenc e en I.

Z V,0 =

tan αpt

  − −   − −   − −   − − 2 Ra1 2 Rb1

Z W,0 =

1

2 Ra2 2 Rb2

2π Z 1

1

2π (ǫ Z 2 α

− 1)

tan αpt

2 Ra2 2 Rb2

1

2 Ra1 2 Rb1

2π Z 2

1

2π (ǫ Z 1 α

− 1)

 

(8.32)

(8.33)

Pour les dentures droites, Z V,W = max(Z max(Z V,0, Z W,0, 1)

(8.34)

Pour les denture dent uress hélico eli co¨¨ıdales ıda les : – si le rapport de recouvrement ǫβ est e st sup´ sup érie er ieur ur ou égal eg al a` l’un l’ unit it´é : Z V,W = 1

(8.35)

– si le rapport de recouvrement ǫβ est inférieur eri eur a` l’unit´ l’unité, e, il faut tout d’abord calculer calculer les facteurs Z facteurs Z V,0 et Z W,0 en se basant sur les formules 8.32 et 8.33 correspondant a` un recouvrement nul. : Z V = max( ax(1, Z V,0 ǫβ (Z V,0 1)) Z W = max( ax(1, Z W,0 ǫβ (Z W,0 1)) Z V,W = max(Z V , Z W )

− −

− −

(8.36) (8.37) (8.38)


111

Facteur d’application

Le facteur facteur d’appl d’applica ication tion K A tient tient compte compte des surcharg surcharges es dynami dynamique quess prove provenan nantt des source sou rcess extérieur eri eurss à l’engrenage. Pour les machines motrices, on distingue les quatre classes suivantes : 1. Fonctionnem oncti onnement ent uniforme unifor me : moteurs moteu rs électriques, electr iques, démarrages emarr ages peu fréquents, equents, faible couple de démarrage, emarrage, ... ; 2. Cho Chocs cs légers eger s : turbines, turbi nes, moteurs moteu rs hydrauliques, hydrauliq ues, démarrages emarr ages plus fréquents, equents, ... ; 3. Cho Chocs cs mod´ mo dér´ erés es : mot m oteur eurss a` combustion combustion interne interne multicyl multicylindres indres,, ... ; 4. Chocs importants : moteurs a` combustion combustion interne interne monocylindres. monocylindres... .. Pour les machines réceptrices, eceptrices, on distingue les quatre classes suivantes : 1. Fonctionnem oncti onnement ent uniforme un iforme : gén´ enérateurs, erate urs, transpo tran sporteur rteurss continus conti nus a` bande, a` vis, engrenages d’avance d’avance de machines-outils, ventilateurs, ventilateurs, mélangeurs elangeurs pour matériaux eriaux a` densité constante, const ante, ... ; 2. Chocs légers egers : transporteurs transporteurs discontinu discontinus, s, commandes commandes principales principales des machinesmachinesoutils, outils, engrenages de rotation de grues, grues, ... ; 3. Chocs Cho cs modér´ erés es : extrudeuses, extrud euses, mélangeurs elang eurs a` fonctionnement discontinu, cages de laminoirs, treuils, pompes a` piston piston monocyl monocylind indre, re, ... ; 4. Chocs importants : pelles p elles mécaniques, ecaniques, tamis, broyeurs, machines de sidérurgie, erurgie, foreuses, presses, ... Machine motrice Fonctionnement uniforme Chocs légers Chocs moyens Chocs importants

Machine Mach ine réceptr ece ptrice ice Fonctionnement Chocs Chocs Chocs uniforme légers moyens importants 1,00

1,25

1,50

1,75

1,10

1,35

1,75

1,85

1,25

1,50

1,75

2,00

1,50

1,75

2,00

¿ 2,25

Table 8.2 Table 8.2 – Facteurs d’application

Facteur dynamique

En pratique, la transmission du mouvement par un engrenage n’est pas rigoureusement homocinétique. etique. Cette variation provient des principaux facteurs suivants suivants : – défauts efaut s de pas et de forme des différents erents profils profil s cons´ c onsécutifs ecuti fs ; ces défauts efaut s proviennent provienn ent du mode mod e de gén´ enération erati on et des déformatio efor mations ns dues au traitement trait ement thermique therm ique ; – flexion des dents dents sous charge ; les effets d’amplificati d’amplification on dynamique dynamique doivent doivent être etre pris en compt comptee ; – variation d’épaisseur epaisseur du film d’huile.


112

Le facte facteur ur dyna dynami miqu quee K V s’apparente te a` un coeffic coefficie ien nt d’am d’ampl plifi ifica cati tion on dyna dynami miqu quee V s’apparen dépendant ependant des raideurs, inerties et caractéristiques eristiques du comportement dynamique. K V V = 1 +



K 1 B[mm] + K 2 K A F t

 

u2 1 + u + u2

vZ 1 100

(8.39)

Si la charge char ge linéique eiqu e K A F t /B /B es estt inférieur eri euree a` 100 N/mm, sa valeur sera suppos´ supp osée ee égale egale a` 100 N/mm. Les facteurs K 1 (expri (ex prim´ mé en N/mm) N/m m) et K 2 sont fournis dans la table : Denture K 1 : clas c lasses ses de qualit´ qua lité K 2 Qualité 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 T Tooutes Droi Droite te 2,1 2,1 3,9 7,5 7,5 14,9 14,9 26,8 26,8 39,1 39,1 52,8 52,8 76,6 76,6 102,6 102,6 146, 146,33 0,019 0,01933 Hélico¨ elico¨ıdale 1,9 3,5 6,7 13,3 23,9 34,8 47,0 68,2 91,4 130,3 0,0087 Table 8.3 Table 8.3 – Coefficients K 1,[N/ [N/mm] et K 2 utiles au calcul du facteur dynamique

Facteur de distribution de charge longitudinale

Le rôle ole du facteur de distribution de charge longitudinale K longitudinale K Hβ Hβ est de prendre en compte le caract` cara ctère ere non uniforme unifo rme de la répartition epart ition de pression pressi on le long de la gén´ enératrice erat rice de contact contac t d’un couple de dents. La méthod eth odee C est déj` ej` a fortement fort ement élabor´ elab orée. ee. La méthode etho de D permet per met une déterminatio eterm ination n du facteur K Hβ ` partir d’expressions analytiques, différentes erentes selon les matériaux eriaux et les Hβ a ajustements aju stements apr` a près es montage dans da ns le carter c arter : 1. Engrenages Engrenages en acier de cémentation, ementation, en acier trait´ traité dans la masse ou en fonte a` grap gr aphi hite te sph´ sp héro er o¨ıdal ıd al Pas d’ajustement d’aj ustement après es montage, rodage rodag e Clas Classe se 5 : K Hβ Hβ

       

       

2

B = 1, 135 + 0, 0, 18 Dp1

Clas Classe se 6 : K Hβ 0, 18 Hβ = 1, 15 + 0, Clas Classe se 7 : K Hβ 0, 18 Hβ = 1, 17 + 0, Clas Classe se 8 : K Hβ 0, 18 Hβ = 1, 23 + 0,

B Dp1 B Dp1 B Dp1

+ 0, 0, 23

× 10

−3

B[mm] (8.40)

2

+ 0, 0, 30

× 10

−3

B[mm]

(8.41)

+ 0, 0, 47

× 10

−3

B[mm]

(8.42)

+ 0, 0, 61

× 10

−3

B[mm]

(8.43)

2

2

Ajustement Ajuste ment après es montage, montage , rodage ro dage suivant spécifications ecifica tions Clas Classe se 5 : K Hβ 0, 18 Hβ = 1, 10 + 0, Clas Classe se 6 : K Hβ 0, 18 Hβ = 1, 11 + 0, Clas Classe se 7 : K Hβ 0, 18 Hβ = 1, 12 + 0, Clas Classe se 8 : K Hβ 0, 18 Hβ = 1, 25 + 0,

B Dp1 B Dp1 B Dp1 B Dp1

2

+ 0, 0, 115

× 10

−3

B[mm] (8.44)

2

+ 0, 0, 15

× 10

−3

B[mm]

(8.45)

+ 0, 0, 23

× 10

−3

B[mm]

(8.46)

+ 0, 0, 31

× 10

−3

B[mm]

(8.47)

2

2


113

2. Engrenages durcis superficiellement Pas d’ajustement après montage, rodage Classe 5, K Hβ

≤ 1, 34

: K Hβ =

Classe 5, K Hβ > 1, 34 : K Hβ = Classe 6, K Hβ

≤ 1, 34

: K Hβ =

Classe 6, K Hβ > 1, 34 : K Hβ =

  1,05+0,31  1,09+0,26  1,09+0,26

1,05+0,31


2

 +0,199×10  +0,234×10  +0,330×10 

−3

B[mm]

(8.48)

−3

B[mm]

(8.49)

−3

B[mm]

(8.50)

+0,380×10−3 B[mm]

(8.51)

2

2

2

Ajustement après montage, rodage suivant spécifications Classe 5, K Hβ

≤ 1, 34

: K Hβ =

Classe 5, K Hβ > 1, 34 : K Hβ = Classe 6, K Hβ

≤ 1, 34

: K Hβ =

Classe 6, K Hβ > 1, 34 : K Hβ =

  0,99+0,31  1,05+0,26  1,05+0,26

1,05+0,26


2

 +0,110×10  +0,120×10  +0,160×10 

−3

B[mm]

(8.52)

−3

B[mm]

(8.53)

−3

B[mm]

(8.54)

+0,160×10−3 B[mm]

(8.55)

2

2

2

On tend vers l’égalisation de la charge linéique des engrenages en prenant les mesures suivantes : – exécuter les dentures avec une grande précision ; – veiller au parallélisme des arbres par un positionnement précis des paliers ; – disposer les pignons et les roues au milieu des portées des paliers ; les pignons en porteà-faux sont particulièrement surchargés ; – construire des bˆ atis très rigides ; – donner aux flancs des dentures des formes adaptées (bombé). Facteur de distribution de charge transversale

Le facteur de distribution de charge transversale K Hα prend en compte la répartition in´ egale de la charge, dans le plan d’engrènement, sur plusieurs paires de dents simultanément en contact. La méthode C fournit des valeurs moyennes utilisables dans des conditions standard, reprises dans le tableau 8.4. F t K A /B Qualité Droite, durcie Hélico¨ıdale, durcie Droite, non durcie Hélico¨ıdale, non durcie

6 1,0 1,0 1,0 1,0

> 100 N/mm 100 N/mm 7 8 9 10 11 12 < 6 1,0 1,1 1,2 1/Z ǫ2 1, 2 1,1 1,2 1,4 ǫα/ cos2 β b 1, 4 1,0 1,0 1,1 1,2 1/Z ǫ2 1, 2 1,0 1,1 1,2 1,4 ǫα / cos2 β b 1, 4

≤

≥

≥ ≥ ≥

Table 8.4 – Facteur de distribution de charge transversale


114

Figure 8.8 – Rupture d’une dent par fatigue (faciès strié caractéristique).

8.3 8.3.1

R´ esistance ` a la rupture Engrenages ´ el´ ementaire.

parall` e les

` a

denture

droite.

Mod` e le

Comme pour la vérification de la résistance a` la fatigue superficielle, les méthodes de dimensionnement procèdent en deux étapes : 1. définition d’une configuration de référence sujette a` un certain nombre d’hypothèses simplificatrices ; 2. détermination de facteurs de correction permettant de prendre en compte les écarts entre le modèle et le cas réel étudié.

Figure 8.9 – Sollicitation d’une dent. La figure 8.9 illustre l’effort F sollicitant une dent pour une position quelconque du point de contact M, sous l’hypothèse d’un contact linéique rectiligne uniforme. Durant l’engrènement, le point de contact M parcourt le profil actif de dent. La dent est soumise a` la compression et à la flexion simple. La section critique se situe très certainement au voisinage du pied de dent.


115

La résistance au glissement conduit a` une inclinaison de la force par rapport a` la normale au contact. L’amplitude de l’effort varie en fonction du nombre de dents en contact (cf. 8.2.1). Les théories plus ou moins élaborées a` la base du dimensionnement a` la rupture des roues dent´ ees vont se distinguer essentiellement par : – le choix du point d’application de l’effort sur la dent ; – la définition de la section critique appelée section d’encastrement ; – la prise en compte du nombre de dents en contact. Les effets de la résistance au glissement sont presque toujours considér´ es comme négligeables. La première liberté que l’on prend pour évaluer le dimensionnement d’une denture a` la rupture est de postuler qu’une dent d’un pignon peut être assimil´ ee a` une poutre au sens de la Résistance des Matériaux : les dimensions transversales ne sont certainement pas négligeables par rapport a` la dimension longitudinale.

π

π

Figure 8.10 – Modèle élémentaire. Nous établissons un modèle élémentaire sous les hypothèses suivantes : – il n’a qu’un seul couple de dents en prise ; – la géométrie de la dent est supposée parfaite ; le contact est linéique rectiligne ; la répartition des efforts par unité de longueur est uniforme ; – une dent d’engrenage est assimilée a` une poutre encastrée de section constante, définie géométriquement par une longueur L = 2, 25M , une section rectangulaire constante, de dimensions B et S m = πM/2 ; – l’effort est localisé au sommet de la dent L = 2, 25M ; – l’angle que fait l’effort avec la section d’encastrement est l’angle de pression ; – seule la sollicitation de flexion est prise en considération pour l’évaluation de la contrainte maximale. La contrainte normale maximale de flexion σf ,max a pour expression : σf ,max =

M f ymax I Gzz

(8.56)

dans laquelle M f = 2, 25MF t

(8.57)


ymax =

I Gzz = consuidant finalement a` :

B

116

πM 4

(8.58)

 

(8.59)

πM 3 2

12

F ≈ 5, 47 BM t

σf ,max

(8.60)

Cette contrainte doit être comparée a` une contrainte admissible a` la rupture par fatigue. Cette formule est évidemment sujette a` de nombreuses hypothèses simplificatrices, mais elle permet de déterminer une première estimation du module de la roue et est d’un intérêt pratique évident. La largeur de denture B est généralement comprise entre 8 et 12 fois la taille de module M . En supposant B = 10M , on établit une relation utile permettant d’estimer (grossièrement) le module adéquat a` la transmission d’un couple C : Le module peut être déduit de la formule suivante faisant intervenir la contrainte normale maximale de flexion σf ,max : M =

8.3.2

 3

1, 094 C Z σf ,max

(8.61)

Mod` ele de base de l’ISO

Pour la résistance a` la rupture, le critère s’exprimera sous la forme : F t < σF,lim,(1,2) BM n

Y ST Y N T,(1,2) Y δrelT,(1,2)Y RrelT,(1,2)Y X 1 K A K V K F β K F αK R Y Fa Y Sa Y ǫ Y β

à rapprocher de la relation simpliste ≪

≫

(8.62)

8.60.

Ce critère 8.62 fait intervenir plusieurs facteurs correctifs que l’on peut regrouper en familles : – facteurs liés à la géométrie de l’engrenage – facteurs liés aux matériaux de l’engrenage es ` a caractériser les mat´ eriaux – facteurs d’influence des essais de fatigue destin´ – facteurs liés à la cinématique d’engrènement – facteurs liés aux conditions de fonctionnement La contrainte réelle effective σF =

K A K V K F β K F α F t Y Fa Y Sa Y ǫ Y β BM n

(8.63)

(8.64)

doit être comparée a` la contrainte limite définie pour l’engrenage réel : σF,adm =

σF,lim Y ST Y N T Y δrelT Y RrelTY X sf K R

Pour la méthode C, principalement réservée aux calculs d’avant-projet, l’effort (normal à la dent) est considéré comme agissant au sommet de la dent. On considère qu’il n’y a qu’un seul couple de dents en prise.


117

γ

α δ

Figure 8.11 – Modèle de base de l’ISO.

La section d’encastrement est définie par les points de tangence avec le profil de raccordement de deux droites inclinées a` 30◦ par rapport a` l’axe de la dent. Remarquons que l’effort normal est incliné par rapport a` l’axe de la dent d’un angle γ différent de l’angle de pression α. La différence entre les deux angles ; δ provient de la rotation de la roue. L’effort tangentiel F t est déduit du couple a` transmettre : F t = C 1/(Dm1 /2). On en déduit l’expression de l’effort normal F n = F t / cos α. Celui-ci sollicite la dent avec une composante transversale qui la sollicite en flexion : F n cos γ =

F t cos γ cos α

(8.65)

(8.66)

et une composante axiale qui la sollicite en compression : F n sin γ =

F t sin γ cos α

L’effort de contact est suppos´ e être appliqué au point K, intersection de la ligne d’engrènement avec l’axe de symétrie de la dent. On établit aisément les expressions : – du moment de flexion maximal : M f =

F t cos γ H K cos α

(8.67)


118

– du moment quadratique de la section d’encastrement I est donné par : 3 BS 30 I = 12

(8.68)

– de la distance v de l’élément de volume le plus sollicité a` la fibre neutre : S 30 (8.69) 2 En posant H K = MhK , S 30 = Ms30 , on déduit l’expression de la contrainte nominale selon la méthode I.S.O. C : v=

σf ,nomC =

F t 6hK cos γ BM s230 cos α

(8.70)

Facteur de forme

Le facteur de forme est le nombre sans dimension : Y Fa =

6hK cos γ s230 cos αm

(8.71)

Son calcul s’avère délicat, car il faut tenir de la génération du profil de raccordement, c’està-dire de la géométrie de l’outil (fraise-mère, outil crémaillère ébaucheur, outil crémaillère finisseur, outil crémaillère avec protubérance) qui s’écarte en pratique de la crémaillère de référence (l’outil ébaucheur améliore les conditions de coupe de l’outil finisseur, tout en laissant une surépaisseur d’usinage qui sera éliminée dans l’opération de finition). La figure 8.12 en fournit un diagramme fournissant le facteur de forme en fonction du nombre de dents et du déport, pour un outil crémaillère standard. On notera que la facteur de forme est largement inférieur au coefficient 5,47 obtenu dans l’équation 8.60 relative au modèle élémentaire. Facteur de concentration de contrainte

Le raccordement provoque une concentration de contrainte : il faut multiplier la contrainte nominale d’un facteur Y S . Son calcul ne peut être mené analytiquement et nécessite un plan d’expérience num´ erique. Comme pour le facteur de forme, il doit tenir compte précisément de la géométrie de l’outil. On combine généralement ces deux facteurs en seul : Y FS = Y Fa Y S (8.72) La figure 8.13 fournit un diagramme combinant le facteur de forme et le facteur de concentration de contrainte, en fonction du nombre de dents et du déport, pour un outil crémaillère standard. On reste avec des produits pratiquement inférieurs a` 5 pour les cas usuels.


Figure 8.12 – Facteur de forme d’après ISO (crémaillère standard) [3].

119


120

Figure 8.13 – Facteur résultant du facteur de forme et du facteur de concentration de contrainte d’après ISO (crémaillère standard) [3].


121

Limite d’endurance

La valeur de la contrainte de référence, σ F,lim est la contrainte effective la plus élevée, calculée d’après cette norme (méthode B), que peut supporter ce matériau, sans détérioration par rupture pendant une durée de vie de 3 Mcycles. L’éprouvette d’essai est un engrenage de référence normalisé, et non une éprouvette soumise a` la flexion rotative ou à la traction uniaxiale. Ces valeurs n’ont donc rien de commun avec les limites d’endurance utilis´ ees dans le cours général de construction des machines. Les valeurs sont indiquées pour une fiabilité de 99%. Pour une durée de vie supérieure a` 10 Gcycles, la contrainte de référence sera prise égale à 0,85 σF,lim . Les figures 8.14 et 8.15 fournissent les ordres de grandeur des limites d’endurance de différents matériaux, en fonction de leur dureté superficielle.

Aciers de nitruration, nitruration de longue durée

σ Fontes graphite sphéroïdal

Aciers de cémentation, nitruration de longue durée

Fontes malléables

Fontes grises

Figure 8.14 – Limites d’endurance.

Facteur de concentration de contrainte de l’engrenage d’essai de r´ ef´ erence

De manière purement conventionnelle, la contrainte de référence σF,lim est considérée comme une contrainte nominale sujette a` un facteur de concentration de contrainte Y ST égal a` deux. La contrainte d’amplitude 0, 85Y STσF,lim pourrait être ainsi virtuellement rapprochée de la limite classique d’endurance conventionnelle du cours σD ...


122

Aciers alliés cémentés, trempés

Aciers fortement alliés traités et revenus

Aciers durcis superficiellement à la flamme ou par induction

σ Aciers non alliés Aciers de construction Aciers moulés

Aciers de cémentation, nitruration de courte durée

Figure 8.15 – Limites d’endurance.

Facteur de dur´ ee

Le facteur de durée Y N T intervient pour des applications dont la durée est limité. Dans la majorité des applications industrielles, ce facteur est égal a` l’unité. Facteur de fiabilit´ e

Le facteur de fiabilité K R peut être déterminé par : pH,lim,f =0,99 1 K R = = 0, 6933 + 0, 18log pH,lim,f 1 f

− − 0, 0133



log

1 1

− f



2

(8.73)

Facteur de conduite

En accord avec la méthode C , on adopte un facteur de conduite Y ǫ : – pour les dentures droites : 1 3 Y ǫ = + 4 4ǫα – pour les dentures hélico¨ıdales : ≪

≫

1 3 cos2 β b Y ǫ = + 4 4ǫα

(8.74)

(8.75)


123

Facteur d’inclinaison

Le facteur d’inclinaison Y β prend en compte la position de la ligne de contact sur la dent. En accord avec la méthode simplifiée

≪

C (conservative) : ≫

Y β = 1 + ǫβ

β [deg] 120

(8.76)

Dans la majorité des cas, rappelons que : – 10 < β [deg] < 30 – ǫβ 1

≥

Facteur relatif d’entaille

Le facteur relatif de sensibilité a` l’entaille Y δrelT indique combien la contrainte théorique en pied de dent des engrenages réels dépasse la limite de contrainte admissible du matériau vis-à-vis de la rupture par fatigue. Il caractérise la sensibilit´ e a` l’entaille du matériau. Une valeur de Y δrelT = 1, 15 suffit pour un calcul d’avant-projet. Facteur relatif d’´ etat de surface

Le facteur relatif d’état de surface Y RrelT tient compte de la dépendance de la résistance du pied de dent par rapport a` l’état de surface du fond de dent. Une valeur unitaire de Y RrelT suffit pour un calcul d’avant-projet. Facteur de dimension

Le facteur de dimension Y X tient compte de l’influence de la dimension sur la répartition probable des points faibles de la structure. Le facteur de dimension est unitaire pour les modules inférieurs ou égaux a` 5 ou, lorsque l’on effectue un calcul aux sollicitations statiques. M [mm]  5 5 < M [mm] < 30 30  M [mm] Aciers durcis superficiellement, a` la M [mm]  5 flamme ou par induction, aciers 5 < M [mm] < 25 nitrurés et nitrocarburés 25  M [mm] M [mm]  5 Fontes grises et fontes nodulaires 5 < M [mm] < 30 ferritiques 25  M [mm] Aciers, fontes nodulaires, fontes malléables

Y X = 1, 0 Y X = 1, 03 0, 006M [mm] Y X = 0, 85 Y X = 1, 0 Y X = 1, 05 0, 01M [mm] Y X = 0, 8 Y X = 1, 0 Y X = 1, 075 0, 015M [mm] Y X = 0, 7

− −

−

Table 8.5 – Facteur de dimension selon ISO 6336 :1996

´ ERENCES ´ R EF

124

Facteur d’application

Le facteur d’application K A suit la même définition que celle proposée pour la résistance à la rupture par fatigue superficielle. Facteur dynamique

Le facteur d’application K V suit la même définition que celle proposée pour la résistance à la rupture par fatigue superficielle. Facteur de distribution de charge longitudinale

Le facteur de distribution de charge longitudinale K F β pour la rupture s’avère légèrement plus faible que le facteur de distribution de charge longitudinale K Hβ pour la pression superficielle. Facteur de distribution de charge transversale

Pour la résistance a` la rupture, on admet que l’influence des défauts géométriques de profil et de pas est la mˆ eme que pour la pression superficielle : K F α = K Hα .

8.4

Conclusions

Les engrenages sont dimensionnés suivant les deux critères : – la résistance a` la pression superficielle – la résistance a` la rupture par fatigue Les modes de ruine ne sont pas du tout équivalents. Une contrainte effective en pied de dent mal maˆıtrisée conduit a` une rupture brutale de une ou plusieurs dents, rendant instantan´ ement le composant hors service, avec des conséquences graves sur la sécurité. Aucune manifestation préventive n’apparaˆıt. Une pression superficielle mal maˆıtrisée conduit a` une dégradation des surfaces actives par piqˆ ures. Avec le temps, celles-ci vont croˆıtre en nombre et en taille, jusqu’` a l’apparition de macro-fissures, conduisant a` la rupture de la dent. Ce mode de ruine a un cˆ oté préventif, en se manifestant visuellement lorsqu’il est activé. Pour les applications a` risque, un contrˆ ole visuel par endoscopie permettra de prévenir la ruine du composant. Il faut donc choisir des coefficients de sécurité différents pour les deux modes de ruine : le coefficient de sécurité sF adopté vis-à-vis de la rupture est largement supérieur a` celui considéré s H pour la pression superficielle. On prendra par exemple s H 1, 2 et s F = 2sH

≥

R´ ef´ erences [1] Pierre B. Dehombreux : Formulaire de génie mécanique . Mutuelle d’éditions des étuidants de la Faculté Polytechnique de Mons, 2001.

´ ERENCES ´ R EF

125

[2] D. A. Hofmann, H. K. Kohler et R. G. Munro : Gear Technology Manual . British Gear Association, Burton upon Trent, Straffordshire, United Kingdom, 1998. [3] ISO : Calculation of load capacity of spur and helical gears. Rapport technique 6336-1,2,3,5, ISO, 1996.

Chapitre 9 R´ educteurs ` a engrenages. Notre tête est ronde pour permettre a` la pensée de changer de direction. Francis Picabia.

9.1

D´ efinition

Les engrenages peuvent être associés dans des configurations en série ou en parallèle de telle manière que l’organe récepteur d’une combinaison soit moteur dans une autre. De tels arrangements portent le nom de trains d’engrenages (fig. 7.2, fig. 9.1).

Figure 9.1 – Réducteur a` trois étages. Le rapport de transmission réalisable avec un seul couple de roues dentées n’est pas grand. Or, il arrive souvent en pratique qu’on a à réaliser des rapports de transmissions fort élevés. A cet effet, on réunit en série plusieurs roues en prise : il s’agit d’une transmission à plusieurs étages. On distingue les trains d’engrenages ` a axes fixes , dont l’étude cinématique découle systématiquement des règles déduites pour un engrenage élémentaire, des trains d’ena axes mobiles , qui méritent une étude particulière. grenages ` 126

´ ` ENGRENAGES. CHAPITRE 9. R EDUCTEURS A

127

La conception de réducteurs a` engrenages a` axes mobiles pose le problème de la distribution des efforts dans la chaˆıne cinématique. Il faut essayer de respecter les principes d’une construction isostatique.

9.2

Train plan´ etaire plan ´ el´ ementaire

Figure 9.2 – Engrenage épicyclo¨ıdal a` trois satellites [4]. Un train planétaire plan (ou train épicyclo¨ıdal) comprend quatre pièces mobiles par rapport a` un bˆ a ti fixe S0. Trois pièces sont guidées par des liaisons roto¨ıdes d’axe fixe : le solaire S1 , la couronne S3 , le bras porte-satellite S4 . Le satellite 1 S2 est en liaison roto¨ıde avec le bras S3. La chaˆıne cinématique comprend deux degrés de liberté (4 solides contraints par 4 liaisons roto¨ıdes et deux équations de conjugaison entre les roues S1 et S2 d’une part et S2 et S3 , d’autre part. La figure 9.3 illustre deux configurations cinématiquement équivalentes d’un tel train. En pratique, on insère entre la couronne et le solaire plusieurs satellites (généralement trois) de manière a` transmettre dans un ensemble compact une puissance élevée. Les satellites sont disposés sous des angles égaux, de manière a` assurer l’équilibre dynamique. L’analyse cinématique de trains planétaires s’effectue systématiquement selon la méthode suivante : 1. rep´ erer les roues dont les axes de rotation sont fixes ; 2. exprimer leur vitesse de rotation absolue en fonction des vitesses de rotation relatives par rapport au bras ; 3. adopter le bras comme référence et exprimer les rapports des vitesses relatives utilisées au point précédent en fonction des nombres de dents des roues ; 4. résoudre le système d’équations (on dispose de suffisamment d’équations pour déterminer toutes les vitesses de rotation en fonction de deux imposées). 1. Il faut déplorer une certaine confusion dans l’appellation des solides définissant le train planétaire : selon les auteurs, les planétaires désignent tantôt les satellites, tantôt les roues dont les axes sont fixes !


128

Figure 9.3 – Trains planétaires a` un étage.

Appliquée au train planétaire représenté par la figure 9.3, nous obtenons le développement suivant : 1. Les roues S1 et S3 ayant un axe fixe et S4 désignant le bras : ω1/0 = ω1/4 + ω4/0 ω3/0 = ω3/4 + ω4/0

(9.1) (9.2)

2. Dans la relation qu’a le bras S 4 avec les roues S1 et S3 , la roue satellite S2 joue le rôle d’un pignon intermédiaire : ω1/4 = ω3/4

− Z Z

3

(9.3)

1

3. Nous disposons a` ce stade des relations caractérisant la cinématique du train. Exprimons l’équation (9.3) de la manière suivante : ω1/0 ω3/0

−ω −ω

4/0 4/0

=

− Z Z

3 1

= i41,3

(9.4)

ica,b désigne le rapport de transmission entre Sa et Sb , Sc étant bloqué. La relation 9.4 porte le nom de formule de Willis. 4. Plutôt que de bloquer le bras, bloquons la couronne S3 et recherchons le rapport de transmission entre S1 et S4 , soit i31,4 . Partant de la relation (9.3) : ω1/4 Z 3 = ω3/4 Z 1 ω1/3 + ω3/4 Z 3 = ω4/3 Z 1 ω1/3 Z 3 = 1+ =1 ω4/3 Z 1

−

−

(9.5)

−

(9.6) 4 1,3

−i

(9.7)

Le rapport i31,4 est toujours supérieur a` l’unité, le fonctionnement en réducteur est garanti. 5. Connaissant les rapports i31,4 et i41,3 , nous pouvons écrire : ω1 = i 31,4 ω4 + i41,3 ω3

(9.8)


9.3

129

Train plan´ etaire plan ` a deux ´ etages

Du train planétaire élémentaire présenté au point précédent (dit de type A ), on peut dériver des trains a` deux étages (fig. 9.4) en adoptant un satellite double, c’est-` a-dire constitué de deux roues synchrones a` Z 2 et Z 2 dents. ≪

≫

′

Figure 9.4 – Types de trains planétaires.

Caractérisons la cinématique d’un train de type B . Intéressons-nous aux rapports de transmission entre l’arbre d’entrée lié a` S1 et les composants susceptibles d’être utilisés comme éléments de sortie du réducteur : S3 et S4 . Le calcul suit la méthodologie explicitée précédemment. ≪

≫

1. Les éléments a` axe fixe sont facilement identifiés : le pignon S1 , la couronne S3, et le bras S4 . Dès lors : ω1/0 = ω1/4 + ω4/0 ω3/0 = ω3/4 + ω4/0

(9.9) (9.10)

2. Nous devons rechercher le rapport i41,3 = ω1/4/ω3/4 , que nous appelons raison de base du train. On établit successivement les relations : ω1/4 Z 2 = ω2/4 Z 1 ω2 /4 Z 3 =+ ω3/4 Z 2 ω1/4 Z 2 Z 3 = ω3/4 Z 1 Z 2

−

′

(9.11) (9.12)

′

−

′

(9.13)


130

Le rapport i41,3 est négatif. Quant a` i31,4 , il est toujours positif : i31,4 = 1

4 1,3

−i

= 1+

Z 2Z 3 Z 1Z 2

(9.14)

′

Intéressons-nous a` présent a` la cinématique d’un train de type D . 1. Les éléments a` axe fixe sont facilement identifiés : S1 et S3 , et le bras S4. Dès lors : ≪

≫

ω1/0 = ω1/4 + ω4/0 ω3/0 = ω3/4 + ω4/0

(9.15) (9.16)

2. Nous devons rechercher le rapport ω1/4 /ω3/4 . On établit successivement les relations : ω1/4 Z 2 = (9.17) ω2/4 Z 1 ω2 /4 Z 3 = (9.18) ω3/4 Z 2 ω1/4 Z 2 Z 3 =+ (9.19) ω3/4 Z 1 Z 2

−

′

−

′

′

Le rapport i41,3 est positif. Quant à i31,4 , il est inférieur a` l’unité et peut être positif ou négatif : Z 2Z 3 (9.20) i31,4 = 1 i41,3 = 1 Z 1Z 2 Remarquons que si i41,3 tend vers l’unité, i 31,4 tend vers zéro et i 34,1 tend vers l’infini ! Il est ainsi possible d’obtenir des rapports de transmissions très importants. La figure 9.5 synthétise les rapports de réduction qu’il est possible d’atteindre en bloquant un élément autre que le bras, en fonction de la raison de base. Les types A et B couvrent le domaine d’abscisses i 41,3 négatives, les types C et D, le domaine des abscisses positives.

−

9.4

−

′

Particularit´ es constructives

Un train planétaire comporte généralement au moins trois satellites, leur nombre dans certaines applications allant jusqu’` a six (réducteurs compacts). Le choix du nombre de dents de chacune des roues découle du rapport de transmission que l’on veut réaliser, mais est contraint par un nombre de conditions géométriques supplémentaires exprimant la possibilité d’engrènement entre les divers éléments.

9.4.1

Condition de coaxialit´ e

Le diamètre primitif de la couronne S3 est égal a` celui du solaire S1 , augmenté de deux diamètres de satellites S2. D3 = D 1 + 2D2 (9.21) Ces roues dent´ ees ayant nécessairement un pas (module) identique, il en découle une relation de contrainte entre leur nombre de dents : Z 3 = Z 1 + 2Z 2

(9.22)


131

8 7 6

i1 34

i1 43

5 4 3 2 1 i

0

−1 −2 −3 −4

i3 14

−5 −6 −7

i1 34

−8 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1

i1 43 0

1

2

3

4

5

6

7

8

i4 13

Figure 9.5 – Rapports de réduction de trains planétaires.

Figure 9.6 – Train épicyclo¨ıdal a` quatre satellites [3].

9.4.2

Condition de non-interf´ erence entre satellites

Représentons les circonférences primitives de deux roues cylindriques a` denture droite : Il faut s’assurer que les n2 satellites répartis dans l’espace annulaire défini par le solaire et la couronne ne puissent en aucun cas entrer en contact l’un avec l’autre. L’écartement


132

erence entre satellites. Figure 9.7 – Non interf´

de leur centre doit être supérieur a` deux fois leur rayon de tête. O2a O2b π 2 O1O2a sin n2 π 2 (Rm1 + Rm2 )sin n2 Z 1 + Z 2 π 2M sin 2 n2 Z 1 + Z 2 π sin 2 n2





 

9.4.3

 

> 2Ra2

(9.23)

> 2Ra2

(9.24)

> 2 (Rm2 + H a2 )

   

> 2 >

(9.25)

Z 2 M + M 2 Z 2 +1 2

(9.26) (9.27)

Condition de co¨ıncidence

Les roues doivent être disposées de telle manière que les n2 satellites puissent engrener simultanément avec le solaire et la couronne. S’il est toujours possible d’insérer un satellite entre le solaire et la couronne, une fois que celui-ci est en place, il faut exprimer les conditions pour que les dents d’un satellite supplémentaire (dont la position du centre est fix´ ee par le respect d’une disposition symétrique des satellites autour du solaire) puissent s’insérer simultanément dans les entredents du solaire et du satellite. Premier raisonnement ⌢

⌢

Si l’on dispose n2 satellites, les longueurs des arcs primitifs AB et CD que délimitent les rayons joignant les centres de deux satellites consécutifs au centre du solaire peuvent être exprimés comme des fractions de la circonférence primitive : ⌢

AB=

⌢ Z 1P Z 3P et CD= n2 n2

(9.28)

Si Z 1/n2 et Z 3 /n2 sont des nombres entiers, les dents et entredents des satellites vont correspondre parfaitement aux entredents et dents du solaire et de la couronne, comme l’illustre la figure 9.6.


133

Figure 9.8 – Co¨ıncidence des satellites avec le solaire et la couronne.

Supposons que Z 1 /n2 ne soit pas un nombre entier. Alors qu’au point A, les axes de symétrie d’une dent du solaire et de l’entredent du premier satellite sont parfaitement confondus , au point B, l’engrènement entre le solaire et le satellite ne s’effectuera pas dans les mêmes conditions géométriques d’engrènement ; on observe un déphasage qui devra pouvoir être compensé au point de contact opposé, entre le satellite et la couronne. ⌢ ⌢ Il faut que la somme des arcs AB et CD soit égal a` un nombre entier de pas ; il vient la contrainte entre nombre de dents : ≪

Z 1 + Z 3 n2

∈N

≫

(9.29)

Deuxi` eme raisonnement

Un deuxième raisonnement permet d’aboutir, plus rationnellement, a` cette même relation de contrainte. – Partons d’une configuration pour laquelle le satellite est correctement mont´ e entre le solaire et la couronne. – Fixons la couronne. Faisons tourner le bras d’un angle θ4a : il s’ensuit inévitablement une rotation du solaire. On impose celle-ci pour que l’engrènement apparent entre le solaire et le satellite s’effectue un nombre entier k1 de pas plus loin (le solaire garde la même apparence). Le solaire tourne ainsi d’un angle (k1 /Z 1)2π. Que vaut l’angle θ4a dont a tourné le bras ? ω1/3 Z 1 + Z 3 = ω4/3 Z 1

⇒θ

4a

= (k1/Z 1 )2π

Z 1 k1 = 2π Z 1 + Z 3 Z 1 + Z 3

(9.30)

– Le solaire a tourné d’un angle acceptable pour le montage ; il faut a` présent réajuster la couronne pour reproduire les conditions d’engrènement analogue a` celles de la configuration initiale. On bloque à présent la roue solaire et on fait tourner la couronne pour situer l’engrènement a` un nombre entier k3 de pas de la configuration initiale. Celle-ci va tourner d’un angle (k3/Z 3)2π. Que vaut l’angle θ 4b dont a tourné le bras après cette seconde manœuvre ? ω4/1 Z 3 = ω3/1 Z 1 + Z 3

−

⇒θ

4b

= (k3 /Z 3)2π

−Z

3

Z 1 + Z 3

=

k 2π − Z + Z 3

1

(9.31)

3

– L’angle dont a tourné le bras après ces deux opérations qui garantissent la possibilité de montage d’un second satellite dans les mêmes conditions que le premier (on a fait

´ ERENCES ´ R EF

134

progresser le satellite dans le train en ayant rétabli les configurations géométriques homologues entre le solaire et la couronne) vaut : θ4 = (k1

2π − k ) Z + Z 3

1

(9.32)

3

Cet angle doit être égal a` (2π)/n2 si l’on souhaite disposer n 2 satellites symétriquement. Comme k1 et k3 sont des nombres entiers : 2π Z 1 + Z 3 N (9.33) n2 n2 1 3 Pour les types de trains B, C et D définis sur la figure 9.4, Henriot ([1]) indique la relation générale suivante a` respecter : Z 3Z 2 Z 1Z 2 doit être un multiple de n s d, d étant le plus grand commun diviseur de Z 2 et de Z 2 . (k1

2π − k ) Z + Z 3

−

9.4.4

=

⇒

∈

′

′

Isostatisme

Les engrenages épicyclo¨ıdaux sont hyperstatiques. On limite le déséquilibre des efforts répartis parallèlement entre les satellites en soignant l’exécution de toutes les pièces (classe de qualité 5). Pour les appareils rapides et puissants, la meilleure solution consiste a` laisser flotter certains éléments afin de rétablir l’isostatisme, soit en supprimant purement et simplement le guidage, soit en permettant un débattement radial contraint par un élément élastique. La figure 9.9 illustre diverses solutions de principe possibles : – le pignon central (solaire) est flottant : solution simple et économique, mais il faut un arbre articulé ; n’est suffisant qu’avec trois satellites seulement ; – la couronne fixe est flottante : solution simple, nécessaire lorsque le nombre de satellites dépasse 4 ; la couronne est mont´ ee dans le carter par l’interm´ ediaire de douilles élastiques fendues (cf. fig. 9.10 et 9.11) ; – les satellites sont flottants : solution simple, nécessaire lorsque le nombre de satellites dépasse 4. Les satellites sont montés sur des moyeux souples (par exemple en caoutchouc) ou sur des axes déformables (cf. fig. 9.12). – le solaire et la couronne sont flottants : cette solution doit être utilisée dans les réducteurs rapides ; – le porte-satellite est flottant : cette disposition ne convient que pour les réducteurs lents et petits, car le porte-satellites est la pièce mobile la plus massive d’un engrenage planétaire et les forces d’inertie a` vitesses élevées sont beaucoup trop grandes ; – le porte-satellite et le solaire sont flottants.

R´ ef´ erences [1] Georges Henriot : Engrenages. Conception. Fabrication. Mise en oeuvre. Dunod, 7ème édition, 1999. [2] Johannes Looman : Zahnradgetriebe . Springer, 1996. prêté Declerq. [3] Quality Transmission Components. Handbook of Metric Gears. Product Guide and Technical Data., December 2000. [4] Georges Spinnler : Conception des Machines. Principes et Applications. Volume 1. Statique. Presses polytechniques et universitaires romandes, 1997.

´ ERENCES ´ R EF

135

Figure 9.9 – Solutions de principe pour l’isostatisme des train planétaires.

Figure 9.10 – Montage souple d’une couronne [2].

Figure 9.11 – Montage souple d’une couronne [2].

´ ERENCES ´ R EF

136

Figure 9.12 – Montage souple d’un satellite [2].

Chapitre 10 Transmissions par courroies. Il est bon d’être ferme par tempérament, et flexible par réflexion. Vauvenargues, Réflexions et maximes .

10.1


Une courroie est un lien flexible destiné a` assurer une transmission de puissance indirecte entre un arbre moteur et un arbre r´ ecepteur dont les axes peuvent occuper diverses positions relatives. La courroie en mouvement transmet l’énergie a` partir de la poulie menante (motrice) vers la poulie menée (réceptrice), grˆ ace au frottement qui s’établit entre le lien et les poulies. Le tension dite naturelle est produite par la d´ eformation élastique de la courroie montée sur les poulies. Pour la transmission de grandes puissances, des dispositifs spéciaux (galets tendeurs, ...) permettent d’imposer et de régler une tension adéquate. On distingue : – les courroies lisses ou striées, plates ou trapézo¨ıdales, asynchrones – les courroies synchrones selon qu’elles peuvent ou non glisser sur les gorges des poulies. Certaines courroies asynchrones sont crantées pour faciliter l’enroulement et favoriser la ventilation. La courroie est généralement constituée d’une structure fibreuse résistante a` la traction noyée dans un corps en élastomère moulé. L’élastomère doit être de nature a` adhérer parfaitement aux fils de traction qu’il entoure. Les fibres peuvent être en acier, en polyester ou en aramide (kevlar). Enroulées hélico¨ıdalement les unes sur les autres, elles forment des cordons qui encaissent l’essentiel des sollicitations de traction. L’élastomère est revêtu d’un textile (le plus souvent du nylon) spécialement traité pour le contact entre la courroie et la poulie. L’origine de la transmission par lien flexible en Europe remonte au Moyen Age (le rouet aurait été invent´ e Inde, entre le Vème et le IXème siècle) : dans la filature, le rouet remplace la quenouille pour le filage a` la main. Les cordes glissent trop sur les axes en bois : les ingénieurs de la Renaissance vont les remplacer progressivement par des courroies plates en cuir. Il faut toutefois attendre 1917 pour l’invention de la courroie trapézo¨ıdale par John Gates, et 1946, pour celle de la courroie synchrone. La figure 10.1 présente différents types de courroies : 137

CHAPITRE 10. TRANSMISSIONS PAR COURROIES.

138

Figure 10.1 – Différents types de courroies [4].

1. a` section trapézo¨ıdale classique (DIN 2215) (de largeur de maximale B et de hauteur H ), désignées selon leur section par les lettres Z (B = 10 mm, H = 6 mm), A (B = 13 mm, H = 8 mm), B (B = 17 mm, H = 10 mm), C (B = 22 mm, H = 12 mm) et D (B = 32 mm, H = 19 mm); 2. a` section trapézo¨ıdale étroite (DIN 7753), dont l’usage est de plus en plus fréquent vis-à-vis de la catégorie précédente ; elles sont désignées par les lettres SPZ (B = 10 mm, H = 8 mm), SPA (B = 13 mm, H = 10 mm), SPB (B = 16 mm, H = 13 mm), SPC (B = 22 mm, H = 18 mm); 3. a` section large (DIN 7719), spécifiquement adaptées aux poulies a` gorges déformables ; 4. a` section hexagonale, qui peuvent s’engager dans des poulies sur chacune de leur deux faces, désignées par HAA, HBB, HCC, HDD ; 5. a` brins multiples, lorsque plusieurs courroies sont jumelées et protégées par un textile commun (AJ, BJ, CJ, DJ) ; 6. a` section triangulaire ou Poly-V , particulièrement adaptée aux poulies de faible diamètre. ≪

≫

Les principaux avantages d’une transmission par courroie sont : – la possibilité d’une variation d’entraxe et de position relative entre les arbres moteur et récepteur ; – une relative souplesse dans la transmission : l’élasticité et l’amortissement naturel du matériau constituant la courroie permettent d’atténuer les irrégularités du couple, vibrations et chocs ; – une fonction de limitation de couple est offerte naturellement par une possibilit´ e de glissement entre la courroie et la poulie dans le cas de fortes charges transmises ; – un entretien limité au réglage périodique de la tension initiale : aucune lubrification n’est nécessaire ; les carters ne sont que des éléments de protection secs ; – un fonctionnement silencieux ; – un coˆ ut d’achat et d’installation réduit – un rendement correct (rarement inférieur a` 95%, sauf en cas d’erreur de conception ou de montage) Les principaux inconv´ enients d’une transmission par courroie sont :

139


– l’encombrement plus important que celui des réducteurs a` engrenages ; – la non garantie d’une transmission parfaitement homocinétique et ce, pour trois raisons : – l’élasticité de la courroie autorise celle-ci a` s’allonger selon l’intensité des tensions de fonctionnement ; – le contact sans obstacle entre une courroie lisse et la poulie n’exclut pas un glissement toujours possible lors d’une surcharge ; – la courroie ”rampe” le long de son contact curviligne avec chacune des deux poulies. Ce phénomène peut conduite a` un glissement systématique pouvant faire varier de 2% le rapport de transmission.

10.2

G´ eom´ etrie et cin´ ematique d’une transmission par courroie A2

A1

O1

θ1

O2

B1 B

2

Figure 10.2 – Transmission à courroie a` brins non croisés. On établit facilement l’expression de la longueur L de la courroie en fonction des rayons R1 et R 2 des poulies et de leur entraxe A. Dans la disposition où les poulies sont situées dans un même plan, les brins étant non croisés, on obtient, en introduisant l’arc d’enroulement θ1 : θ1 θ1 R2 R1 L = 2A sin + R1 θ1 + R2 (2π θ1 ) avec cos = (10.1) 2 2 A Le rapport de transmission est facilement déduit de la condition de non glissement au contact entre la courroie et la poulie, imposant l’´ egalité des vitesses tangentielles au contact : ω2 R1 i = = (10.2) ω1 R2

−

−

Le rapport de transmission i défini par 10.2 ne tient pas compte du glissement fonctionnel dû a` l’élasticité de la courroie. L’existence d’un couple sur chacune des poulies implique une différence de tension entre les brins de la courroie : l’un est tendu, l’autre est mou. Un simple équilibre de rotation de la poulie permet d’écrire en effet : C 1 N A N B = (10.3) R1

−

140


A1

n d u b r in t e

O1

θ1

B1

b r in m o u

Figure 10.3 – Transmission des efforts.

L’allongement d’un élément de courroie est plus important sur le brin tendu que sur le brin mou. Cet allongement varie progressivement entre les points A et B, lieux d’entrée et de sortie de la courroie sur la poulie. Il en résulte une vitesse de glissement fonctionnelle non nulle : la courroie rampe sur la poulie. Ce phénomène existe sur les deux poulies, motrice et réceptrice. Lorsqu’il n’est pas négligeable, le rapport de transmission a pour expression : ω2 R1 i = = (1 g) (10.4) ω1 R2

−

où g est appelé glissement fonctionnel (valeur typique : 2%).

10.3

Comportement dynamique d’un ´ el´ ement de courroie

Un élément de courroie de longueur R1dθ, de masse linéique ρl , tel que représenté sur la figure 10.4, est soumis à l’action :   – des efforts de tension N (θ) et N (θ + dθ) ;  des actions de contact de la poulie ; – a` la résultante dF – des réactions d’inertie ρl R1 dθ aC

−



üt + R1 ˙θ2un  + N  (θ + dθ) + d F  = ρ l R1 dθ R1 θ N (θ)



(10.5)

Projetons l’équation 10.5 selon les directions normale n et tangentielle  t, en introduisant la relation suivante entre les composantes normale dF n et tangentielle dF t de l’effort dF : dF t = f dF n

(10.6)

141

CHAPITRE CHAPITRE 10. TRANSMISSI TRANSMISSIONS ONS PAR PAR COURROIES. COURROIES.

(θ)

C θ

O1

(θ+ θ)

.4 – Elément ement de courroie courr oie en équilibre. equilibr e. Figure 10 Figure 10.4

exprimant l’absence de glissement de la courroie (f (f d´ désignant esigna nt le coefficient co efficient de frott f rottement ement au contact) : N (θ)



sin d2θ cos d2θ

−



+ N ( N (θ + dθ d θ)

  −   sin cos

dθ 2 dθ 2

+

dF n f d f dF n

−

=

ρl R12ω 2 dθ ρl R12 θ¨dθ



(10.7)

Il vient successivemen succe ssivement, t, en régime egime stationnaire (θ¨ = 0 et θ˙ = ω = ω = = constante) : dθ dθ + N ( N (θ + dθ d θ) dF n = ρl R12ω 2 dθ 2 2 N (θ) + N + N ((θ + dθ d θ) f d f dF n = 0

N (θ)

− −

−

(10.8) (10.9)

N dθ dF n = ρl R12 ω 2dθ dN f d f dF n = 0

− − −

(10.10) (10.11)

et finalement : dF n = N d N dθ

2 1

2

− ρ R ω dθ l

=

f d f dθ = En intégra eg rant nt :

  θ1

f

dθ =

0

N A1

N B1

N A1 f θ1 = ln N B1 N A1 N B1

2 l t 2 l t

−ρv −ρv

1 dN f N

− −

2 l t 2 l t

= e f θ1

(10.12)

1 dN ρl R21 ω 2

dN N ρl R12 ω 2

−− −ρv −ρv

(10.13)

(10.14)

(10.15)

(10.16)

142


10.3.1 10. 3.1

Courroi Cour roie e trap´ ezo¨ ezo¨ıdale ıdal e

Les courroies courr oies trapézo¨ ezo¨ıdales ont une u ne action actio n de d e contact co ntact bilatérale erale sur les flancs d’une gorge gorg e définie efin ie par l’angl l’a nglee β . Les L es efforts effort s normau n ormaux x él´ elémentaires ementair es sur chacun des flancs, flancs , dF n et dF n” n” sont identiques identique s et se réduisent eduise nt en un effort él´ elémentaire ementair e normal norma l a` la poulie dF dF n : ′

dF n = 2dF 2dF n sin ′

β 2

(10.17)

β

Effort s sur s ur les flancs d’une courroie courr oie trapézo¨ ezo¨ıdale. Figure 10.5 Figure 10.5 – Efforts L’effort L’effo rt tangentiel tang entiel qui peut peu t être etre tolér´ eré sans glissement glissem ent est : dF t = f 2d f 2dF F n dF n = f β sin 2

′

(10.18) (10.19)

Le raisonnemen raisonnementt qui a ét´ eté produit pour les courroies plates reste valable pour autant que l’on substitue au coefficient de frottement f le coefficient de frottement équivalent equivalent f / sin β/2. β/ 2. Pour les courro cou rroies ies trap´ tra pézo¨ ezo¨ıdales ıda les normal nor malis´ isées, ees , l’angl l’a nglee β avoisine avoisine 40◦ (l’angle β doit rester suffisammen suffisammentt grand pour p our éviter eviter le coincement coincement de la courroie dans la gorge de la poulie) : le coefficient de frottement équivalent equivalent est égal egal a` trois fois le coefficient de frottement frot tement réel. eel. Une courroie courr oie trapézo¨ ezo¨ıdale peut, peu t, théoriquement, eoriq uement, transmettr tran smettree un effort effor t périph´ eriphérique erique trois fois plus p lus grand gr and que celui d’une d ’une courr c ourroie oie plate. pla te. Cet avantage est toutef t outefois ois limité par pa r l’usure l’ usure plus rapide rapid e d’une d ’une courroie courr oie trapézo¨ ezo¨ıdale, du fait f ait que la pression pressio n unitair u nitairee sur les flancs des gorges de la poulie est beaucoup plus importante que dans le cas d’une courroie plate. On comp co mpre rend nd donc do nc pour po urquo quoii les le s cour co urro roie iess trap´ tr apézo ez o¨ıdal ıd ales es sont so nt gén´ enéral er alem ement ent préf´ efér´ erées ee s aux au x courroies plates, en dehors des cas particuliers suivants : – sur des pou poulies lies de diamètre etre réduit, eduit, o` u des contrai cont raintes ntes de flexion flex ion sév` evères ere s peuvent pe uvent être etr e rencont ren contr´ rées ees ; – pour po ur des vitesses vitesse s périph´ eriphériques erique s importante impo rtantess (supérieures erieur es a` 30 m/s).

143


10.4 10 .4

Tensi ension on de la cour courro roie ie

L’un L’un des param` param` etres etres importan importants ts dans la transmi transmissi ssion on du mouve mouvemen mentt par courroie courroie trapézo¨ ezo¨ıdale est la tension initiale de pose de la courroie. Cette tension est celle régnant egnant dans toute la courroie en l’absence de couple sur les poulies p oulies motrice et réceptrice. eceptrice. Une tension insuffisante insuffisa nte peut peu t être etre la cause d’un glissement glissem ent provoquant provoqua nt un échauffement echauffem ent exagér´ eré et la rupture ruptu re prématur´ ematu rée ee de la courroie. courr oie. A l’inverse, un excès es de tension tensio n réduit eduit la durée ee de vie de la courroie et exerce une charge suppl´ supplémentaire ementaire sur les paliers. paliers. On estimera la tension de pose N 0 comme : N 0 =

N A + N + N B 2

(10.20)

La tension tensio n est gén´ enéralement erale ment régl´ eglée ee au moment de la pose pos e de la courroie courr oie : – par mesure de l’allongement relatif de la courroie (de 0,5 a` 1% suivant le type de courrroie) – par mesure de la flèche eche du brin rectiligne rectiligne sous un effort donn´ e, e, normal a` ce brin et appliqu´ appliq ué en son milieu. L’allongemen L’allongementt irr´ eversibl eversiblee due au vieilliss vieillissemen ementt naturel de la courroie provoque provoque une diminution progressive de sa tension de pose, en particulier lors de sa mise en service. Un régla eg lagge a` une valeur sup´ su périeure erieu re de 40% 4 0% environ e nviron a` la l a tens t ension ion de pose po se amène, ene , apr` a près es quelque que lquess heures de fonctionnement, une stabilisation a` la valeur souhai sou hait´ tée. ee.

Figure 10.6 Figure 10.6 – Dispositif de tension.

10.5 10 .5

Calc Calcul ul d’un d’une e trans transmi miss ssio ion n par par courr courroi oie e

La puissance transmissible par courroie dépend epend : – du type de courroie courr oie (géom´ eométrie etrie et matériau) eriau ) ; – de la valeur aleur de l’arc l’arc d’enroul d’enrouleme ement nt ; – de la longueu longueurr de la courroi courroiee ; – des diamètres etres primitifs des poulies (et du rapport de transmission) transmission) ; Les fabricants fabr icants de courroies cour roies proposent prop osent différentes erentes méthodes etho des détaill´ etail lées ees de calcul qu’il faut suivre. suivre. Il est vivemen vivementt conseill conseill´é de se procurer un catalogue chez un des nombreux nombreux fournisseurs.


144

La figure 10.7 fournit a` titre purement indicatif les ordres de grandeur des puissances transmissibles individuelles pour des courroies trapézo¨ıdales pour lesquelles on a précisé, en mm, la largeur, la hauteur et le diamètre de la plus petite roue.

Figure 10.7 – Ordres de grandeur des puissances transmissibles par courroie trapézo¨ıdale. On retiendra les étapes classiques de la démarche de projet d’une transmission par courroies, supposant connus la puissance nominale P , la vitesse de rotation de l’arbre d’entrée N 1, le rapport de réduction i et une estimation de l’entraxe A : 1. estimer la puissance corrigée en multipliant la puissance nominale par un facteur d’application supérieur ou égal a` l’unité, en fonction des conditions de fonctionnement (couple de démarrage de la partie motrice, fréquence des démarrages, nombre d’heures de fonctionnement par jour, ...) ; 2. choisir une section de courroie a` partir d’un diagramme puissance / vitesse de rotation de l’arbre rapide, tel que celui présenté par la figure10.7. On peut a` ce stade décider du nombre de courroies. 3. choisir le diamètre des poulies dans les séries standard, en s’effor¸ cant d’approcher au mieux le rapport de réduction i tout en respectant les contraintes d’encombrement ; les diamètres standard de poulie sont rarement inférieurs a` 63 mm, pour les transmissions industrielles ; 4. estimer la vitesse linéaire de la courroie et la comparer aux valeurs limites ; 5. estimer la longueur primitive de la courroie a` partir de l’équation 10.1 ; on choisit une longueur standardisée et on détermine l’entraxe nominal. 6. déterminer la puissance brute par courroie dans les données du fournisseur, prenant en compte les effets de la longueur, de la vitesse et des arcs d’enroulement ; 7. vérifier ou adapter le nombre de courroies en conséquence.

´ ERENCES ´ R EF la la le le la la la le le

Fran¸cais courroie poulie galet de guidage galet de tension courroie plate courroie trapézo¨ıdale courroie crantée brin menant brin mené

145 the the the the the the the the the

English Nederlands Deutsch belt de riem der Riemen pulley de riemschijf die Riemenscheibe guiding idler pulley de leirol die Leitrolle tensioner de spanrol die Spannrolle flat belt de vlakke riem der Flachriemen V-belt de V-riem der Keilriemen timing belt de getande riem der Zahnriemen driving side het trekkende part der Lasttrum slack side het teruggaande part der Leertrum

Table 10.1 – Lexique relatif aux courroies.

10.6

Lexique

R´ ef´ erences [1] Roland Farges : Poulies et courroies de transmission. Données numériques , chapitre B 5 681. Techniques de l’Ingénieur. Techniques de l’ingénieur, 1988. [2] Roland Farges : Poulies et courroies de transmission. Entraˆınement par adhérence , chapitre B 5 680. Techniques de l’Ingénieur. Techniques de l’ingénieur, 1988. [3] Roland Farges : Poulies et courroies de transmission. Entraˆınement synchrone , chapitre BM 5 683. Techniques de l’Ingénieur. Techniques de l’ingénieur, 1990. [4] Horst Haberhauer et Ferdinand Bodenstein : Maschinenelemente. Gestaltung, Berechnung, Anwendung. Springer, Berlin, 10st édition, 1996. (in German). [5] Daniel Play : Entraˆınement par courroies dentées. Caractéristiques de fonctionneenieur, 2006. ment , chapitre BM 5 686, pages 1–19. Techniques de l’ing´ [6] Daniel Play : Entraˆınement par courroies dentées. Définitions. Géométrie. , chapitre BM 5 685, pages 1–15. Techniques de l’ingénieur, 2006.

Chapitre 11 Transmissions par chaˆınes. Tu vis mon désespoir, et tu m’as vu depuis Traˆıner de mers en mers ma chaˆıne et mes ennuis. Racine, Andromaque, I, 1.

11.1

Introduction

Les chaˆınes, comme les courroies, sont des éléments flexibles qui permettent la transmission de la puissance entre deux arbres parallèles mais éloignés l’un de l’autre. Puisqu’elles sont composées de maillons articulés en acier, les chaˆınes peuvent être soumises a` des conditions d’utilisation plus difficiles (température, chocs, ...) que celles appliquées aux courroies. Le rapport de transmission ne dépasse pas 7, la vitesse reste modérée car le bruit devient gênant a` haute vitesse. Le plan de la chaˆıne doit rester vertical, sinon la flexion latérale due au poids propre use rapidement les maillons. Le rendement est élevé (96 a` 98 %) dans les constructions avec lubrification contrˆ olée. On classe les chaˆınes en deux grandes catégories : chaˆınes de transmission : utilisées pour la transmission de puissance. On distingue

principalement : ecision, les plus répandues. Ces chaˆınes chaˆınes ` a rouleaux : ou chaˆınes de pr´ sont constituées de maillons extérieurs et intérieurs. Les maillons extérieurs sont formés de deux plaquettes reliées entre elles par deux axes sertis, tandis que les maillons intérieurs sont formés de deux plaquettes reliées entre elles par deux douilles serties. Pour faciliter l’engrènement des chaˆınes sur les pignons, on place deux rouleaux sur les douilles, avec un ajustement libre mais très précis. Ils permettent de réduire et d’uniformiser l’usure des dents de pignon. ` dents renversées ou chaˆınes Morse. Ces chaˆınes silencieuses : ou chaˆınes a chaˆınes sont constituées de plaques en forme de double dent articulées sur des douilles longues, lesquelles forment les coussinets destinés a` recevoir les axes en acier durci et rectifié. chaˆınes de manutention : utilisées principalement pour les convoyeurs a` chaˆınes, elles

comportent des rouleaux qui réduisent leur frottement apparent sous la charge qu’elles véhiculent.

146

CHAPITRE 11. TRANSMISSIONS PAR CHAÎNES.

147

Figure 11.1 – Chaˆınes a` rouleaux [3].

Figure 11.2 – Chaˆıne silencieuse [3].

11.2

R` egles de conception

Le pas P d’un maillon est l’élément dimensionnel de référence d’une chaˆıne. La standardisation américaine l’a emporté sur l’européenne continentale : les pas sont généralement exprimés en fractions de pouce. La force transmissible se déduit directement du couple a` transmettre. Pour les vitesses importantes, on la majorera de ρl v 2. Pour un entraxe A, qui doit être de l’ordre de 25 a` 75 fois la valeur du pas P , le nombre Z 0 de maillons de la chaˆıne peut être estimé a` partir de : 2A Z 1 + Z 2 Z 0 = + + P 2



Z 2

− Z

1

2π



2

P A

(11.1)

Lorsque la longueur L = Z 0 P de la chaˆıne est déterminée, on calcule la valeur A de l’entraxe théorique : P A = 4

 

Z 0

−

Z 1 + Z 2 + 2

 

Z 0

−

Z 1 + Z 2 2

− 2

2(Z 2

2

− Z ) 1

π2

 

(11.2)

Cette valeur théorique fournit une limite supérieure qu’il ne faut pas dépasser, car il faut prévoir une certaine aisance a` la chaˆıne. Une flèche égale a` 1 a` 3 % de l’entraxe est généralement tolérée.


148

Pas P Hauteur H Effort transmissible F Masse linéique ρl mm

mm

kN

kg/m

6

5

3

0,12

8

7,1

5

0,18

9,525

8,2

9

0,41

12,7

11,8

18

0,70

19,05

16,1

29

1,2

25,4

20,5

60

2,7

31,75

26

95

3,7

63,5

52,9

355

16,3

Table 11.1 – Données caractéristiques d’une chaˆıne a` rouleaux ISO 606

Le nombre de dents du pignon ne devrait pas être inférieur a` 17, sauf pour des vitesses très faibles, inférieures a` 100 t/min. A l’engrènement de la chaˆıne sur le pignon, chaque maillon pivote autour d’un de ses axes d’un angle γ /2 appelé angle d’articulation . Il faut réduire cet angle pour atténuer l’usure des articulations et les chocs entre les maillons et les dents. Le fait que la chaˆıne se déplace autour du pignon selon un polygone entraˆıne une variation de sa vitesse, comme l’illustre la figure : c’est ce que l’on appelle l’ effet ee par la relation polygonal . La variation relative de vitesse est donn´ δ v =

1 cos(π/Z )

− 1

(11.3)

et vaut 1,7% pour 17 dents.

γ/2

Figure 11.3 – Illustration de l’effet polygonal. Le rapport de transmission n’excède pas 7. Le nombre de dents de la roue ne devrait pas


149

être supérieur a` 120. L’angle d’enroulement doit être égal ou supérieur a` 120◦ pour assurer une répartition adéquate des efforts appliqués sur la chaˆıne. Une ligne des centres verticale ou inclinée a` plus de 45◦ par rapport a` l’horizontale est a` éviter, car les effets de la gravité causent des vibrations excessives dans les brins. Les chaˆınes doivent être lubrifiées, selon différents procédés illustrés par la figure 11.4. – Jusqu’une vitesse linéaire de 1 m/s, une lubrification au pinceau ou a` la burette suffit. – En-dessous de 4 m/s, un réservoir muni d’un orifice a` section variable permet une lubrification au goutte a` goutte . – Jusqu’à 7 m/s, un barbotage peut être envisagé (sur une hauteur d’un demi pas) ; – Au-delà de 12 m/s, il faut impérativement prévoir un dispositif d’injection d’huile avec contrˆ ole de température ; le débit, exprimé en litres par minute, est de l’ordre du pas exprimé en millimètre ! ≪

≫

Figure 11.4 – Lubrification des chaˆınes [1].

11.3

Calcul d’une transmission par chaˆınes

La procédure de détermination d’une transmission par chaˆınes est relativement simple a` suivre. On en retiendra les étapes principales, en supposant connus la puissance nominale P , la vitesse de rotation de l’arbre d’entrée N 1 , le rapport de réduction i et une estimation de l’entraxe A : 1. estimer la puissance corrigée en multipliant la puissance nominale par un facteur d’application supérieur ou égal a` l’unité, en fonction des conditions de fonctionnement (présence d’à-coups, fréquence des démarrages, nombre d’heures de fonctionnement par jour, ...) ; 2. choisir le nombre de chaˆınes (rarement supérieur a` 3), et le pas, à partir d’un diagramme puissance / vitesse tel que celui fourni par la figure 11.5 ; 3. choisir les pignons (nombres de dents Z 1  17 et Z 2) en s’effor¸cant d’approcher au mieux le rapport de réduction i ; 4. estimer la vitesse linéaire de la chaˆıne et la comparer aux valeurs limites ; 5. déterminer la longueur primitive de la chaˆıne (Z 0 pair) à partir des relations 11.1 et 11.2.


150

Figure 11.5 – Abaque pour choix de chaˆınes au standard européen [4].

11.4

Repr´ esentation normalis´ ee des transmissions ` a chaˆınes

Sur un plan, il n’est pas d’usage de représenter la chaˆıne : un trait mixte fin suffit pour rappeler son existence :

Figure 11.6 – Représentation d’une transmission a` chaˆıne selon ISO 2203.

´ ERENCES ´ R EF

151

Fran¸ cais la chaˆıne de transmission la chaˆıne a ` rouleaux la chaˆıne silencieuse (dent´ ee) la chaˆıne de traction la chaˆıne simple la chaˆıne double la chaˆıne multiple le maillon le pas de chaˆıne le pignon a ` chaˆıne

the the the the the the the the the the

English Nederlands transmission chain de aandrijfketting roller chain de rollenketting silent (inverted-tooth) chain de tandketting hoisting chain de trekketting single-strand chain de eenrijige ketting double-strand chain de duplexketting multiple-strand chain de meervoudige ketting link plate de schakel pitch of chain de kettingsteek sprocket het kettingwiel

die die die die die die die die die das

Deutsch Treibkette Rollenkette Zahnkette Lastkette Einfachkette Zweifachkette Mehrfachkette Lasche Kettenteilung Kettenrad

Table 11.2 – Lexique relatif aux chaˆınes.

11.5

Lexique

R´ ef´ erences [1] Karl-Heinz Decker et Karlheinz Kabus : Maschinenelemente. Gestaltung und Berechnung. Carl Hanser, 1998. [2] Bernard Kohler et Edgard Sztrygler : Chaˆınes mécaniques , volume B 5, Mécanique et Chaleur de Techniques de l’Ingénieur , chapitre B 5 650. 1995. [3] G. Nicolet et E. Trottet : Eléments de machines. SPES, Lausanne, 1971. [4] Georges Spinnler : Conception des machines. Principes et applications. Volume 2. Dynamique. Presses polytechniques et univesitaires romandes, Lausanne, 1997. Sites internet : http://www.renold.com http://www.sedis.fr http://chain-guide.com/toc.html

Chapitre 12 Accouplements. Tout mouvement de quelque nature qu’il soit est créateur. Edgar Poe.

12.1


12.1.1

Classification

Un accouplement a pour fonction de relier deux bouts d’arbre et d’assurer de manière permanente la transmission du mouvement de rotation et du moment de torsion. Il s’agit d’un élément très important puisqu’il assure l’interface cinétostatique entre machines motrices et réceptrices. Cet élément connaˆıt un nombre pratiquement indénombrable de réalisations. On peut distinguer plusieurs modes d’accouplement : es l’un par accouplements rigides : ils solidarisent les deux arbres correctement align´ rapport a` l’autre ; ils réalisent un assemblage d´ emontable des deux arbres en présence : accouplements a` manchon, a` coquilles, à plateaux, ... ee a` l’aide d’éléments dont accouplements mobiles : la liaison des arbres est effectu´ certains gardent une mobilité cinématique permettant a` un alignement moins rigoureux, voire un certain débattement latéral ; ils matérialisent des liaisons particulières autour des axes de rotation des arbres accouplés : joint de Cardan, accouplement a` glissières croisées ou joint d’Oldham, ... Certains accouplements basés sur l’entraˆınement par obstacle d’éléments emboˆıtés peuvent être attachés a` cette catégorie : accouplements a` dentures, a` crabots, ... ements transmettant les couples de torsion sont le accouplements ´ elastiques : les él´ plus souvent des éléments déformables : ressorts métalliques ou éléments en caoutchouc ; La figure 12.1 montre les défauts d’alignement susceptibles d’être rencontrés en pratique.

152

153

CHAPITRE 12. ACCOUPLEMENTS.

Figure 12.1 – Défauts d’alignement [7].

12.1.2

Moments de torsion admissibles

Le choix d’un accouplement a` partir de catalogues ou conformément aux normes en vigueur doit être précédé d’un calcul de couple maximal de torsion, dans les conditions de fonctionnement les plus sévères. Il est dicté par le la durée de vie, l’encombrement, l’inertie des masses, la facilité de montage, le coˆ ut, les erreurs admissibles de centrage, les caractéristiques dynamiques (possibilité d’amortissement), ... Le couple maximal de torsion M t transmis par un accouplement dépend du rapport entre la puissance P et la vitesse de rotation ω, des caractéristiques des machines motrice et réceptrice, des conditions de fonctionnement (fréquence des d’enclenchements, réversibilité, ...), ... Le couple appliqué réellement appliqué sur l’élément de liaison vaut : M t = M nom S

(12.1)

où S est un facteur de sécurité variant habituellement entre 1 et 4.

12.2

Accouplements rigides

Si deux arbres sont alignés correctement, leur liaison peut s’effectuer par un accouplement rigide. Celui-ci transmettra non seulement les moments de torsion, mais aussi les moments de flexion et les efforts axiaux produits dans le système. Pour atténuer la transmission de ces effets parasites, les accouplements rigides seront placés le plus près possible des paliers des arbres. Les accouplements rigides ne devraient être utilisés que lorsque les éléments en présence sont : – suffisamment rigides pour que les défauts d’alignement puissent être limités et maintenus au cours du temps ; – suffisamment résistants pour que les efforts générés suite a` ces défauts puissent être acceptés. Manchon ` a douille

La réalisation la plus simple est le manchon a` douille. Il est compos´ e d’une douille en acier ou en fonte fixée sur les extrémités des arbres, habituellement par des goupilles coniques dimensionnées de telle manière qu’elles soient cisaillées dans le cas de surcharges inadmissibles.


154

Figure 12.2 – Accouplement a` disques [4].

Accouplements ` a plateaux

Les plateaux viennent directement de forge ou sont rapportés sur les arbres et fixés par clavettes, par alésage tronconique, etc. La partie mˆ ale de l’emboˆıtement de centrage se trouve toujours sur le plateau menant. On peut distinguer les accouplements pour lesquels la transmission du moment de torsion est assurée par le cisaillement de boulons ajustés de ceux pour lesquels il est repris par frottement des surfaces frontales grˆ ace au serrage de boulons.

Figure 12.3 – Accouplement par assemblage direct [4].

Manchon ` a coquilles boulonn´ ees

Le manchon a` co quilles boulonnées est composé de deux coquilles serrées par deux rangées de boulons, placés symétriquement par rapport a` son axe, l’entraˆınement de l’arbre étant assuré par une clavette. Pour le calcul, on admet que la pression entre le manchon et l’arbre est répartie uniformément et que le coefficient de frottement est constant. On suppose que le moment de


155

torsion est transmis uniquement par le frottement entre l’arbre et les coquilles (l’effet de la clavette est négligé).

Figure 12.4 – Accouplement a` coquilles boulonnées [4].

12.3

Accouplements mobiles

On ne représente ci-après qu’un choix très limité des exécutions a` disposition. Joints de Cardan.

Le joint universel de Cardan est hétérocinétique : la rotation uniforme de l’arbre primaire cause la rotation non uniforme de l’arbre secondaire. Le rapport de transmission i du joint de Cardan varie entre cos α et 1/ cos α.

Figure 12.5 – Joint universel de Cardan [1].

Le double joint de Cardan, ou joint de Hooke (vérifiant une disposition sym´ etrique des éléments α1 = α2 ), est homocinétique. Accouplements ` a glissi` eres crois´ ees. Accouplements ` a dents.

En pratique, il est parfois difficile d’assurer aux arbres un alignement suffisamment précis pour l’utilisation d’un accouplement rigide. D’autre part, l’alignement initial peut être


156

Figure 12.6 – Réalisation de base d’un joint de Cardan [3].

Figure 12.7 – Joint d’Oldham ou accouplement a` glissières croisées [4].

modifié sous l’action des déformations provoquées par les surcharges, la température, l’affaissement inégal des fondations, etc. Ce se sont autant de cas dans lesquels les accouplements rigides ne sont pas applicables, les arbres devant être liés par des accouplements mobiles ou élastiques. Les accouplements a` dents permettent de reprendre des écarts angulaires et radiaux ainsi que la dilatation longitudinale des arbres. Ils sont classiquement constitués de deux manchons a` denture int´ erieure et de deux moyeux a` denture extérieure. L’inclinaison des arbres est possible grˆ ace aux dentures extérieures bombées des moyeux, en liaison mobile avec les dentures int´ erieures droites des manchons. Cette disposition permet aux moyeux de pivoter par rapport aux manchons. Par ailleurs, le jeu entre les dentures permet un déplacement radial relatif. Dans ce type d’accouplement, la lubrification revêt une importance primordiale. Elle est souvent réalisée par barbotage d’huile. Accouplements ` a chaˆıne.

Les accouplements a` chaˆıne sont généralement métalliques. Les pignons dentés sont reliés par une chaˆıne double. Pour un même encombrement, ils transmettent une puissance


157

Figure 12.8 – Accouplement a` dents [5].

Figure 12.9 – Accouplement a` dents [2].

moindre que les accouplements a` dents, mais sont moins coˆ uteux. Ils peuvent inclure un dispositif limiteur de couple à glissement.

12.4

Accouplements ´ elastiques

Les accouplements élastiques insérés entre les parties motrice et réceptrice d’une installation doivent remplir les fonctions suivantes : – compenser les erreurs d’alignement radial et angulaire des arbres ; – éliminer les poussées axiales dues a` la dilatation thermique ; – réduire les vibrations nuisibles et filtrer les chocs éventuels. Un accouplement élastique est composé principalement de deux manchons métalliques, liés par un élément élastique intermédiaire qui détermine les caractéristiques dynamiques de l’accouplement : la raideur en torsion et l’amortissement modifient en effet le comportement dynamique de l’installation. Les éléments élastiques en caoutchouc sont très


158

Figure 12.10 – Accouplements a` chaˆıne [5].

largement utilis´ es : ils peuvent subir des déformations importantes et dissiper une grande quantité d’´ energie. Plusieurs types existent selon le type de sollicitation agissant sur l’élément élastique : effort de compression, de cisaillement, de traction. Accouplements ` a grille.

Les accouplements a` grille présentent sur les deux moyeux des entailles dans lesquelles s’insère une grille métallique déformable.

Figure 12.11 – Accouplement Grid-Flex [5].

Accouplements ` a´ el´ ements ´ elastom` ere.


Figure 12.12 – Accouplement a` grille [2].

Figure 12.13 – Accouplements PERIFLEX et SPIROFLEX [6].

159

160


12.5

Synth` ese

Type d’accouplement rigide à dents à chaˆıne à grille universel élastique à cisaillement élastique à compression

Rapport Couple / encombrement Très élevé Très élevé Moyen Elevé Faible Faible Faible

Désalignement angulaire (degré) 1,5 1,5 0,4 20 4 0,2

Entraxe mm/mm 0,025 0,004 0,004 0,40 0,20 0,06

Course axiale mm 3 à 25 6 5 0 ou 300 (si arbre télescopique) 5 1

Table 12.1 – Performances comparées des différents accouplements.

Type d’accouplement rigide à dents à chaˆıne à grille universel élastique a` cisaillement élastique a` compression

Transmission effort axial **** *** *** ** **** * *

Transmission flexion **** **** **** ** **** * *

Capacité haute vitesse *** **** * ** * * *

Lubrification

Coˆ ut

non oui oui oui oui non non

réduit moyen modéré modéré faible faible faible

Table 12.2 – Performances comparées des différents accouplements (* : faible a` **** : excellente).

´ ERENCES ´ R EF

12.6

161

Lexique

Fran¸cais l’ accouplement l’ accouplement rigide l’ accouplement à manchon l’ accouplement à coquilles l’ accouplement à plateaux l’ accouplement à dents le joint de Cardan

English the permanent coupling the rigid coupling the sleeve coupling the split muff coupling the flange coupling the gear coupling the universal joint the Hooke’s coupling le joint à glissières croisées the Oldham coupling

de de de de de de de

Nederlands continu-koppeling vaste koppeling koppeling met koppelbus deelbare koppelingsbus flenskoppeling tandkoppeling kruiskoppeling

de kruisschijfkoppeling

die die die die die die die

Deutsch nichtschaltbare Kupplung starre Kupplung Hulsenkupplung Schalenkupplung Flanschenkupplung Bogenzahnkupplung Kreuzgelenkkupplung

dir Kreuzscheibenkupplung

Table 12.3 – Lexique relatif aux accouplements.

R´ ef´ erences [1] I. Artobolevski : Théorie des mécanismes et des machines . Mir Moscou, 1977. [2] Karl-Heinz Decker et Karlheinz Kabus : Maschinenelemente. Gestaltung und Berechnung. Carl Hanser, 1998. [3] Francis Esnault : Construction Mécanique. 3. Transmission de Puissance Par Liens Flexibles. Dunod, Paris, 1ère édition, 1996. [4] Horst Haberhauer et Ferdinand Bodenstein : Maschinenelemente. Gestaltung, Berechnung, Anwendung. Springer, Berlin, 10st édition, 1996. (in German). [5] Robert L. Mott : Machine Elements in Mechanical Design . Prentice Hall, 1999. [6] Georges Spinnler : Conception des machines. Principes et applications. Volume 2. Dynamique. Presses polytechniques et univesitaires romandes, Lausanne, 1997. [7] M. Szwarcman : Eléments de Machines . Technique et Documentation - Lavoisier, 1983.

Chapitre 13 Embrayages. Ce qui est simple est toujours faux, ce qui ne l’est pas est inutilisable. Paul Val´ ery, Les Mauvaises Pensées et Autres .

13.1


Les organes permettant de couper la transmission d’effort se classent selon leur mode de commande : – les embrayages sont commandés a` volonté de l’extérieur, manuellement, par un courant électrique, pneumatiquement ou hydrauliquement. On peut distinguer : – les embrayages par obstacle : , par exemple les embrayages à crabots . Ils ne peuvent s’enclencher qu’` a l’arrêt ou lorsque les vitesses des deux arbres sont synchronisées. – les embrayages ` emarrer en douceur un a friction : ce type d’embrayage permet de d´ arbre arrêté en laissant patiner les surfaces de frottement jusqu’` a la synchronisation des vitesses. Le couple maximum transmissible est limité par le patinage. – les coupleurs sont des embrayages commandés automatiquement par la vitesse de l’arbre primaire ; ils transmettent un couple dont l’intensité dépend de la vitesse de l’arbre d’entrée ou de la différence entre la vitesse des deux arbres. – les roues libres interrompent la transmission de couple lorsque l’élément secondaire est plus rapide que l’élément menant ; – les limiteurs de couples sont commandés par l’intensité de l’effort transmis.

13.2

Embrayages

La transmission de couple par embrayage a` friction nécessite le serrage des surfaces glissantes par des dispositifs mécaniques, hydrauliques, pneumatiques ou électromagnétiques. Le disque d’embrayage est garni, sur ses deux faces, d’une matière a` fort coefficient de frottement et résistant bien a` la chaleur. La figure 13.1 illustre un embrayage à diaphragme, classiquement utilisé en automobile. La figure de gauche 13.2 représente un embrayage a` tambour. Les garnitures consistent en plusieurs segments (2) entourés d’une corde élastique (3) qui rappelle toujours les segments contre les disques coniques (4). La partie inférieure de la figure montre l’organe en position débray´ ee. Pour embrayer, on pousse la bague de commande (5) vers la droite ; 162

CHAPITRE 13. EMBRAYAGES.

163

Figure 13.1 – Eléments d’un embrayage a` diaphragme [2].

Figure 13.2 – Embrayage à tambour. Embrayage électromagnétique [3].

elle agit sur trois leviers tournant autour de (6) qui rapprochent les disques (4) en serrant les garnitures radialement contre le tambour (1). La figure de droite 13.2 représente un embrayage a` électromagnétique. L’électro-aimant (1) avec sa bobine (2) est retenu en rotation par ses encoches (9) en prise avec le bˆ ati de la machine. Le champ magnétique attire la pièce polaire (7) vers la bague d’appui (4) en comprimant le paquet de disques (5) et (6). Les disques extérieurs sont entraˆınés par le moyeu-cloche (8) tandis que les disques int´ erieurs coulissent dans les rainures du moyeu (3). L’usure des disques n’affecte pratiquement pas le serrage.


13.3

164

Coupleurs

On appelle coupleurs des transmetteurs de couple dont l’intensité du couple transmis dépend de la vitesse de l’arbre d’entrée ou de la différence entre la vitesse des deux arbres.

13.3.1

Coupleurs centrifuges

Figure 13.3 – Coupleur centrifuge [4]. Les coupleurs centrifuges transmettent un couple dont la valeur dépend de la vitesse de l’arbre d’entrée. La figure 13.3 illustre un exemple de construction. Des masselottes (2) sont disposées sur le moyeu d’entraˆınement (1) et maintenues axialement par des disques (5). Les garnitures (4) entrourent les masselottes avec lesquelles elles sont liées par un téton ; des ressorts de traction (3) rapprochent les masselottes du moyeu. A partir d’une certaine vitesse de rotation du moyeu, la force centrifuge est suffisante pour vaincre les ressorts et pousser les masselottes contre le tambour arrêté.

13.3.2

Coupleurs ´ electromagn´ etique

Figure 13.4 – Coupleur électromagnétique [5]. Les coupleurs électromagnétiques (cf. fig. 13.4) consistent principalement en un rotor menant (1) tournant autour d’un corps polaire magnétique (2) pourvu de pˆ oles saillants.


165

Une série de bobines (3) excitées par un courant continu amené par des bagues (4) crée un champ magnétique dans l’entrefer qui permet la transmission du couple sans contact magnétique ni usure. On peut faire varier le couple transmis en jouant sur le courant d’excitation.

13.3.3

Coupleurs ` a induction

Figure 13.5 – Coupleur a` induction [5]. Le rotor (3) de ces coupleurs est lisse. Le champ magnétique créé par la bobine annulaire (5) engendre dans le rotor tournant des courants de Foucault dont le champ magnétique réagit avec le champ principal pour permettre la transmission du couple. Le moyeu (1) entraˆıne le rotor par l’interm´ ediaire d’une roue percée de canaux qui constituent un ventilateur centrifuge refroidissant énergiquement le coupleur.

13.4

Roue libre

La roue libre est un accouplement particulier qui permet de transmettre un couple d’un arbre a` un autre dans un sens seulement. L’enclenchement automatique dépend de la vitesse relative entre les deux arbres. Il existe en principe deux types de roues libres : – roue libre a` rochet et cliquet : transmission positive dont l’enclenchement ne s’opère que dans des positions séparées par le pas angulaire des dents ; – roue libre à corps de blocage : des billes, rouleaux ou cames s’arc-boutent entre un plateau int´ erieur et une bague extérieure. La transmission non positive s’enclenche en toute position. Les roues libres remplissent essentiellement trois fonctions :


166

Figure 13.6 – Roue a` rochet et cliquet [4].

Figure 13.7 – Roue libre a` billes [1].

– antidévireur : organe de sécurité – accouplement automatique (d’un moteur auxiliaire) – commande pas a` pas : transformation d’une rotation continue en rotation pas a` pas lorsqu’une roue libre sert d’articulation dans un mécanisme a` barres.

13.5

Limiteurs de couple

Des efforts excessifs sont susceptibles de briser des pièces et de causer des accidents. Dans les machines sujettes a` surcharge, il convient de limiter les efforts par des dispositifs idoines. Il existe divers principes de protection : – Limiteurs de couple à pièce de rupture : un élément préalablement entaillé pour constituer une section fragile casse en cas de surcharge. On ne peut malheureusement pas essayer le m´ ecanisme de protection sans le rompre et le remplacement des goupilles prend du temps. – Limiteurs de couple ` a friction : comme dans un embrayage, des dispositifs sont serrés par un ressort. Le couple de glissement se règle par un écrou, mais il est imprécis parce que le coefficient de frottement varie dans de larges limites. Les limiteurs de couple à friction s’échauffent rapidement s’ils viennent a` patiner, c’est pourquoi il faut les protéger en déclenchant le moteur dès qu’ils commencent a` glisser. – Limiteurs de couple ` a transmission de force par obstacle : des cliquets ou des billes sont pressés par un ressort réglable dans les empreintes correspondantes de la pièce entraˆınée. Si le couple transmis est supérieur au couple de déclenchement, les billes

´ ERENCES ´ R EF

167

sont chassées des empreintes et repoussées contre la force des ressorts en désolidarisant le plateau et le moyeu.

13.6

Lexique

Fran¸cais l’ embrayage la roue libre le frein le frein à sabot le tambour de frein l’ encliquetage la roue à rochet le cliquet

the the the the the the the the

English clutch overrunning clutch brake block brake brake drum ratchet gearing ratchet wheel pawl

de de de de de het het de

Nederlands schakelbare koppeling vrijloopkoppeling rem blokrem remtrommel palwerk palwiel pal

die die die die die das das die

Deutsch schaltbare Kupplung Freilaufkupplung Bremse Backenbremse Bremstrommel Klinkenschaltwerk Sperrad Schaltklinke

Table 13.1 – Lexique relatif aux embrayages.

R´ ef´ erences [1] Francis Esnault : Construction Mécanique. 3. Transmission de Puissance Par Liens Flexibles. Dunod, Paris, 1ère édition, 1996. `meteau : Technologie fonctionnelle de l’automobile. Tome 2. Transmission. [2] H. Me Tenue de route. Freinage. Dunod, 1ère édition, 1983. [3] Georges Spinnler : Conception des Machines. Principes et Applications. Volume 1. Statique. Presses polytechniques et universitaires romandes, 1997. [4] Georges Spinnler : Conception des machines. Principes et applications. Volume 2. Dynamique. Presses polytechniques et univesitaires romandes, Lausanne, 1997. [5] Georges Spinnler : Conception des machines. Principes et applications. Volume 3. Dimensionnement. Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne, 1997.

Chapitre 14 Variateurs et boˆıtes de vitesses. Vends corbillard occasion : levier de vitesse bloqué au point mort. Pierre Dac.

14.1

Boˆıtes de de vitesses

14.1.1

Boˆıtes ` a baladeurs

Les boˆıtes a` baladeurs sont constituées par la juxtaposition de couples d’engrenages avec un espace axial permettant leur déplacement ; il est difficile de dépasser quatre rapports à cause de la flexion des arbres. Les baladeurs sont déplacés et maintenus en position par des fourchettes mues de l’extérieur du carter au moyen de leviers. Ces boˆıtes, d’une conception primitive, sont con¸cues pour être endurantes et économiques. Elles présentent deux limitations majeures : – le baladeur ne peut accepter d’effort axial. On ne pourra par conséquent utiliser que des dentures droites qui se révèlement relativement bruyantes ; – le changement de rapport ne peut s’effectuer qu’` a l’arrêt complet, a` moins d’équiper l’installation d’un asservissement placé sur le système de commande du moteur pour que la vitesse de l’arbre primaire soit amenée a` la valeur qu’elle aura après l’engagement des dentures. C’est alors un système complexe, nécessitant de coordonner plusieurs opérations en toute sécurité, donc difficile a` réaliser et souvent très onéreux.

14.1.2

Boˆıtes ` a engrenages en prise constante

L’arbre primaire porte tous les pignons moteurs qui entraˆınent en continu l’ensemble des pignons récepteurs, lesquels tournent librement sur l’arbre de sortie, appel´ e arbre récepteur. La liaison positive entre le pignon récepteur et l’arbre récepteur se fait par l’intermédiaire d’un manchon de crabotage , le craboteur. Le craboteur dispose, par rapport a` l’arbre récepteur, d’un seul degré de liberté relatif de déplacement axial. Il tourne donc avec l’arbre récepteur. Le crabotage entre deux éléments est un cas particulier d’accouplement avec obstacle. 168

CHAPITRE 14. VARIATEURS ET BO ÎTES DE VITESSES.

169

Figure 14.1 – Pignon baladeur [3].

Figure 14.2 – Fourchette solidaire d’un coulisseau [2].

Figure 14.3 – Principe du crabotage [4].

Le pignon récepteur et le craboteur sont munis de dents ou crabots qui assurent la transmission de couple dès qu’elles s’interpénètrent. L’engagement des crabots impose l’égalité des vitesses du pignon récepteur et du manchon : un synchroniseur a pour rˆ ole d’amener les éléments a` des vitesses de rotation identiques avant de réaliser le crabotage. Le synchroniseur comprend :


170

– un moyeu lié à l’arbre; – une couronne a` denture droite intérieure liée en rotation avec le moyeu et libre en translation ; – un dispositif de friction interposé entre la couronne et le pignon a` engrener ; – un pignon fou comportant une denture latérale a` crabots.

Figure 14.4 – Synchroniseur a` billes Borg-Warner [2].

Figure 14.5 – Synchronisateur a` billes Borg-Warner [3]. La figure 14.6 illustre le fonctionnement du synchronisateur Borg-Warner. A partir du point mort, la bague synchro a, solidaire du moyeu cannelé a’, est mise en contact avec le pignon à synchroniser A. Le craboteur b en se dépla¸ cant par rapport au moyeu a’, escamote la bille de verouillage c en comprimant le ressort d. L’effort axial au niveau du contact conique crée un couple de frottement tendant a` égaliser les vitesses de de rotation. Le craboteur b vient finalement coiffer le pignon a` craboter. Des fourchettes, commandées par des coulisseaux, actionnent les baladeurs ou les synchroniseurs. Les coulisseaux sont manœuvrés successivement par un sélecteur. Les mouvements du sélecteur sont conditionnés par la grille des vitesses du véhicule. La figure 14.8 illustre le principe d’une boˆıte de vitesses a` deux arbres.


Figure 14.6 – Fonctionnement du synchronisateur Borg-Warner [2].

171


Figure 14.7 – Embrayage et boˆıte de vitesses [4].

172


Figure 14.8 – Cinématique d’une boˆıte de vitesses a` deux arbres.

173


14.1.3

174

Boˆıtes de vitesses automatiques

Une boˆıte de vitesses automatique est construite autour d’un ou de deux trains épicyclo¨ıdaux de natures diverses. Ceux-ci sont préférés aux boˆıtes de vitesses a` trains parallèles pour les raisons suivantes : 1. il n’est pas nécessaire de désaccoupler le moteur de la boˆıte de vitesses pour passer les rapports : cette opération s’effectue par immobilisation de certains éléments des trains ; 2. on obtient une meilleure continuit´ e dans la propulsion, alors que, pendant la manœuvre d’embrayage, on enregistre une perte de vitesse ; 3. l’automatisation est plus aisée a` réaliser. Outre un convertisseur de couple, une boˆıte de vitesses automatique comprend : – un train épicyclo¨ıdal complexe permettant d’obtenir trois rapports de marche avant bien étagés et un rapport de marche arrière ; – un ensemble de freins et d’embrayages hydrauliques multidisques, ainsi qu’une ou plusieurs roues libres permettant le blocage, la mise en mouvement ou la réaction d’éléments du train ; – un dispositif de distribution hydrauliques actionnant les freins et embrayages et qui comprend : – une pompe hydraulique a` engrenages qui alimente également le convertisseur ; – un régulateur de pression ; – un ensemble de tiroirs de distribution actionnés mécaniquement ou hydrauliquement ; – un récepteur hydraulique pour chaque frein et chaque embrayage ; – un dispositif de commande. La réalisation d’un ensemble compact conduit par conséquent a` une architecture relativement complexe.


Figure 14.9 – Boˆıte de vitesses automatique (Renault) [4].

175


14.2

176

Variateurs de vitesse

De nombreuses applications exigent de pouvoir varier la vitesse de manière continue durant la marche. Les variateurs de vitesse sont destinés a` modifier continˆ ument le rapport de transmission. On distingue : – les variateurs a` chaˆınes et a` courroies fonctionnant entre des poulies de diamètre variable; – les variateurs a` friction ; – les variateurs hydrostatiques et hydrodynamique. Les variateurs de vitesse mécaniques sont en concurrence avec les dispositifs électriques de variation de vitesse des moteurs ; ils ont perdu beaucoup d’importance, mais, plutˆ ot que de s’exclure, ces systèmes sont maintenant complémentaires.

Figure 14.10 – Variateur frontal a` galets coniques [1].

´ ERENCES ´ R EF

14.3

177

Lexique

Fran¸cais English Nederlands Deutsch la boˆıte de vitesses the transmission box de versnellingsbak der Getriebekaste la s´ e rie de vitesses the series of speeds de reeks van toerentallen die Drehzahlreihe le crabot the jaw de klauw die Klaue le variateur de vitesse the variable-speed drive de regelbare overbrenging der Variator

Table 14.1 – Lexique relatif aux dispositifs de réglage de vitesse.

R´ ef´ erences [1] V. Dobrovolski, K. Zablonski, S. Mak, A. Radtchik et L. Erlich : Eléments de machines . Mir Moscou, 1974. [2] Francis Esnault : Construction Mécanique. Transmission de Puissance. 2. Applications. Dunod, Paris, 1ère édition, 1994. [3] Johannes Looman : Zahnradgetriebe . Springer, 1996. prêté Declerq. [4] H. M` emeteau : Technologie fonctionnelle de l’automobile. Tome 2. Transmission. Tenue de route. Freinage. Dunod, 1ère édition, 1983.

Chapitre 15 Figures. Tout mouvement de quelque nature qu’il soit est créateur. Edgar Poe.

Avertissement Les représentations partielles des machines qui sont fournies ci-après ont été volontairement simplifi´ ees dans un but didactique.

15.1

R´ educteur marin ` a deux ´ etages

Les figures 15.1 et 15.2 présentent une transmission de puissance planétaire a` deux étages épicyclo¨ıdaux. Il s’agit d’une transmission marine destinée a` transmettre la puissance a` l’hélice d’un (gros) bateau. Les dimensions sont effectivement impressionnantes (plus de 2,5 m de hauteur). La transmission comprend deux freins (deu : Schaltbremse ) dont l’action permet l’immobilisation de certains éléments des trains planétaires. La particularité de ce dispositif, est de permettre, en fonction du frein actionné, d’inverser le sens de rotation de l’arbre de sortie. Compte tenu de la puissance a` transmettre, six satellites sont utilisés.

178

CHAPITRE 15. FIGURES.

Figure 15.1 – Transmission Stoeckicht [2].

179

C H A P I T R E 1 5 . F I G U R E S .

Figure 15.2 – Transmission Stoeckicht [2]. 1 8 0

´ ERENCES ´ R EF

15.2

181

Winch a ` deux vitesses

Le winch est un petit treuil a` main, utilisé sur les voiliers pour raidir les écoutes et les drisses, qui sont respectivement les cordages servant a` orienter une voile ou à la hisser. Le winch de voilier présenté a` la figure 15.3 comprend deux mécanismes a` roue libre ou antidévireurs qui permettent avec un seul arbre d’entrée de fournir deux vitesses de sortie dans le même sens. La plupart des winchs sont manoeuvrés par une manivelle qui s’engage dans une gorge cannelée située au-dessus. La conicité du tambour d’enroulement fait glisser les tours de cordage vers le bas au cours du fonctionnement. La figure 15.4 reprend les schémas cinématiques correspondant a` chaque sens de rotation de manivelle (à gauche, grande vitesse en prise directe ; a` droite, petite vitesse).

R´ ef´ erences [1] Gilbert Bals : Schéma cinématique des mécanismes. Ellipses, 1ère édition, 1991. [2] Horst Haberhauer et Ferdinand Bodenstein : Maschinenelemente. Gestaltung, Berechnung, Anwendung. Springer, Berlin, 10st édition, 1996. (in German).

´ ERENCES ´ R EF

182

Figure 15.3 – Winch a` deux vitesses [1].

´ ERENCES ´ R EF

Figure 15.4 – Schémas cinématiques du winch a` deux vitesses [1].

183

Index Accouplements élastiques, 157 mobiles, 155 rigides, 153 Angle d’articulation, 147 d’inclinaison de l’hélice de base, 58 d’inclinaison de l’hélice primitive, 58 de base, 24 de développante, 24 de pas, 90 de pression, 26 des axes, 77 Apex, 77 Axe central, 12, 13 Axo¨ıdes, 12, 14, 15, 86 Baladeur, 168 Base, 9 Boˆıte de vitesses, 168 automatique, 174 Cardan, 155 Cercle primitif, 25 Chaˆınes, 146 Cinématique base, 9 C.I.R., 8 champ de vitesses, 8 contact, 8 mouvement plan, 8 roulante, 9 Cliquet, 165 Correction de dentures, 113 des dentures, 72 Coupleur, 162 Coupleurs, 164 Courbes conjuguées de roulement, 9 Courroies, 137 asynchrones, 137

synchrones, 137 trapézo¨ıdales, 142 Crémaillère, 28 Crabot, 162 Crabotage, 168 Déport, 32, 44 Dépouille, 73 Développante de cercle, 23 Denture bateau, 72 droite, 23 Gleason, 82 hélico¨ıdale, 52 Klingelnberg, 82 Oerlikon, 82 pallo¨ıde, 82 spirale, 82 Zerol, 82 Différentiel, 89 Effet polygonal, 147 Effort sur la denture engrenage a` vis sans fin, 98 engrenage conique, 97 engrenage gauche, 99 engrenage parallèle, 95 Embrayage, 162 Engrenage à vis sans fin, 86, 88, 98 conique, 77, 97 cyclo¨ıdal, 15 cylindrique, 23, 52 cylindrique droit, 95 cylindrique hélico¨ıdal, 95 D-zéro, 33, 82 gauche, 86 hélico¨ıdal, 86 gauche hélico¨ıdal, 99 hypo¨ıde, 86, 88 intérieur, 43 184

185

INDEX

Wildhaber-Novikov, 15 Erreur de transmission, 7

Métrologie des engrenages, 71 Module, 28, 29, 31

Fabrication des engrenages, 33, 69 Facteur d’élasticité, 102 d’application, 111 d’inclinaison, 110 de conduite, 110 de contact unique, 110 géométrique, 109 Finition des engrenages, 70

Novikov, 15

Gleason, 82 Glissement, 8, 140 Glissement spécifique, 43 Hélico¨ıde, 54 Inclinaison d’une denture, 63 Interférence d’engrènement, 46 de raccordement, 47 de taillage, 46 Jeu radial, 36 Joint d’Oldham, 155 de Cardan, 155 de Hooke, 155 Joints cinématiques, 155 Kennedy, 9 Klingelnberg, 82 Ligne d’action, 25 Limiteur de couple, 162 Limiteur de couple, 166 Longueur d’approche, 39 de conduite, 39 de retrait, 39 Lubrification, 105 des chaˆınes, 149

Oerlikon, 82 Pas, 28 axial, 90 de base, 24 hélico¨ıdal, 89 Pivotement, 8 Plan action, 63 apparent, 54 normal, 55 Pression de Hertz, 101 de Stribeck, 106 Profil actif, 41 Profils conjugués, 15 Qualité des engrenages, 72 Réducteur planétaire, 127, 178, 181 Raison d’un train planétaire, 129 Rapport d’efforts, 7 d’engrenage, 26 de conduite, 41 de conduite apparent, 66 de recouvrement, 67 de transmission, 7 Rayon primitif, 25 Rochet, 165 Roue libre, 162 Roue libre, 165 Roulante, 9 Roulement, 8 Schématique, 20 Stribeck, 106 Surfaces conjuguées, 15 Synchroniseur, 168

Description et construction des machines: transmissions m´ ecaniques de puissance

Recommend Documents