Definición de Radio Crítico

6MM1

Fredy Donis Sánche

"spinosa #otello "ric$ #randon

&unio '() '*1+

Transferencia de calor en sistemas radiales

,a posi-le e.istencia de un espesor /ptimo de aislamiento para sistemas radiales es su%erido por el hecho de 0ue hay concurrencia de efectos asociados con el incremento de este espesor "n particular) no o-stante 0ue la resistencia a la conducci/n se incrementa con la adici/n de aislamiento) la resistencia por con2ecci/n decrece de-ido al incremento del área de la super3cie e.terior Por consi%uiente puede e.istir un espesor de aislamiento 0ue minimice las p4rdidas de calor) ma.imiando la resistencia total a la transferencia de calor 5esol2er esta cuesti/n mediante la consideraci/n del sistema si%uiente: 1 n tu-o tu-o de co-r co-re de pare pared d del%ad del%ada a con un radio radio 7ri8 es usado para transportar un refri%erante a una temperatura -a9a 7T i8) la cual es menor 0ue la del aire am-iente 7T 8 alrededor del tu-o ;"n este caso hay un espesor /ptimo asociado con la aplicaci/n de aislamiento al tu-o< ' Con3rme el resultado resultado anterior anterior mediante mediante el el cálculo de la resistencia resistencia t4rmica por por unidad de lon%itud de tu-o para un diámetro del tu-o de 1* mm) considerando los si%uientes espesores de aislamiento: *) ') +) 1*) '* y (* mm "l aislamiento está compuesto por celulosa de 2idrio 7cellular %lass8 y el coe3ciente de con2ecci/n en la super3cie e.terior es de + =>m'?@

70.c8r

r ri

T ln

!ire) hcB+ =>m'?@

Ti

Ti

() r ri

2 π k

1 2 π r hc

T

!islante) $B**++ =>m?@

Consideraciones Consideraciones pre2ias:

   

,as condiciones son de estado continuo ,a transferencia de calor es unidimensional en la direcci/n radial 7cilíndrica8 ,a resistencia t4rmica de la pared del tu-o es desprecia-le ,as propiedades del ai aislamiento slamiento son constantes A


 "l inte interrcamcam-io io por por radi radiac aci/ i/n n entr entre e la supe super3 r3ci cie e e.te e.teri rior or del del aisl aislam amie ient nto o y los los alrededores es desprecia-le  Determin Determinando ando si si e.iste e.iste un espeso espesorr /ptimo /ptimo de aislamien aislamiento to 0ue minimi minimice ce la cantidad cantidad de calor transferido ,a resistencia a la transferencia de calor entre el refri%erante refri%erante y el aire es dominado por conducci/n en el aislamiento y con2ecci/n en el aire "l circuito t4rmico se muestra en la 3%ura anterior "ntonces la resistencia t4rmica total por unidad de lon%itud de tu-o es:

R ' T =

(

ln

r ri

2 π k

+

1 2 π r hc

)

Donde la cantidad de calor transferido por unidad de lon%itud del tu-o es:

(q xc )r =

T ∞ − T i R ' T

"l espesor /ptimo de aislamiento de-erá estar asociado con el 2alor de ) el cual minimia o ma.imia  Tal 2alor podrá ser o-tenido de los re0uerimientos: d dr

R ' T = 0

"n consecuencia: consecuencia: 1 2π kr

1 −

2

2 π r hc

=

0

⇒

r

k =

hc

Ea Ea 0ue este resultado es siempre positi2o) resulta 0ue es el radio de aislamiento para el cual la resistencia total es un mínimo) no un má.imo Por tanto un espesor /ptimo de aislamiento no e.iste ! partir del resultado anterior tiene más sentido pensar en t4rminos de un radio crítico de aislamient aislamientoG) oG) ) por por de-a de-a9o 9o del cual cual se incrementa incrementará rá al increme incrementar ntarse se y por encima del cual decrecerá al incrementarse   Determinando la resistencia resistencia t4rmica asociada con con el aislamiento de espesor espesor 2aria-le 2aria-le De ta-las de propiedades termofísicas de la materia Ta-la Ta-la !HA I!islantes industrialesJ pá%ina !H6 para la celulosa de 2idrio a TB'K+ @ 7supuesto8

(


$B**++ =>m?@ E sa-iendo 0ue el el coe3ciente de con2ecci/n en en la super3cie e.terior e.terior del aislamiento aislamiento es: hcB+ =>m'?@ "l radio crítico es: rcrB$>hc Sustituyendo 2alores: r cr =

0.055 5

= 0.011 m = 11mm 11 mm

Puesto 0ue: r cr = 11 mm > r i = 5 mm

,a transferencia de calor se incrementará con la adici/n de aislamiento para un espesor superior e cr = r cr − r i

= 11 − 5 = 6 mm

,a resis resiste tenci ncia a t4rmic t4rmica a corre correspo spondi ndien ente te al espes espesor or de aislam aislamien iento to presc prescrit rito o puede puede ser ser calculado y resumido como si%ue:

(q xc )r =

T ∞ − T i R ' T

;

T ∞ − T i = 20 K ⇐ ⇐ Valor arbitrario

 Compro-aci/ Compro-aci/n n del 2alor del del radio crítico crítico Laciendo uso del dia%rama del circuito t4rmico se procederá a calcular las resistencias t4rmicas por conducci/n) con2ecci/n y totales) para posteriormente hallar el 2alor del u9o especí3co de calor por conducci/n y con2ecci/n a tra24s de la pared del tu-o

70.c8r

Ti

T ln

() r

ri

2 π k

1 2 π rh c

+


Cálculo de resistencias por conducci/n para los distintos 2alores de espesor de aislamiento a considerar: ln

( Rt ) =

( )= ( )

= 0

( )= ( )

= 0.973

r

ri

2 π k

x 0

ln

( Rt x ) =

ln

( Rt x ) =

r ri

ln

( Rt x ) =

5

m ⋅ K W

( ) = ( ) =

2.281

m ⋅ K W

10 5

2 π (0.055)

r ri

ln

11 5

2 π ( 0.055 )

( ) = ( ) =

3.179

( ) = ( ) =

4.657

( ) = ( ) =

6.358

r

ln

ri

15 5

2 π ( 0.055 )

r ri

ln

2 π k

ln x 40

7

m ⋅ K W

ln

( Rt x ) =

W

2.005

ln

2 π k

x 10

m ⋅ K

( ) = ( ) = r ri

ln

( Rt ) =

5

2 π (0.055 )

2 π k

6

( Rt ) =

ln

2 π k

5

5

2 π ( 0.055)

2 π k

2

20

ln

ln

ri

2 π k

W

25 5

2 π( 0.055 )

r

m ⋅ K

m ⋅ K W

45 5

2 π ( 0.055 )

m ⋅ K W

Cálculo de resistencias por con2ecci/n para los distintos 2alores de espesor de aislamiento a considerar:

( Rt ) = c 0

( Rt c ) = 2

6

1 2 π r hc 1 2 π r hc

= =

1 2 π ( 0.005 )( 5 ) 1 2 π( 0.007)( 5 )

= 6.366 = 4.547

m ⋅ K W

m ⋅ K W


( Rt c ) = 5

( Rt ) = c 6

( Rt c ) = 10

( Rt ) = c 20

( Rt ) = c 40

1 2 π r hc

1 2 π r hc

=

=

1 2 π r hc

1 2 π r hc 1 2 π r hc

=

= =

1 2 π( 0.01)( 5 )

= 3.183

1 2 π ( 0.011 )( 5 )

m⋅ K W

= 2.893

1 2 π ( 0.015 )( 5 )

1 2 π ( 0.025 )( 5 ) 1 2 π ( 0.045 )( 5 )

= 2.122

= 1.273 = 0.707

m ⋅ K W

m ⋅ K W m ⋅ K W m ⋅ K W

Calculando las resistencias totales para los distintos 2alores de espesor de aislamiento a considerar:

( R ' ) = ( Rt ) + ( Rt ) = 6.366 T 0

x 0

c 0

m ⋅ K W

( R ' T ) = ( Rt x ) + ( Rt c ) = 0.973 + 4.547 = 5.52 2

2

2

m ⋅ K W

( R ' ) = ( Rt ) + ( Rt ) = 2.005 + 3.183 = 5.188 T 5

x 5

( R ' ) = ( Rt ) + ( Rt ) = 2.281 + 2.893 = 5.174 T 6

x 6

m ⋅ K

c 5

W m ⋅ K

c 6

W

( R ' ) = ( Rt ) + ( Rt ) = 3.179 + 2.122 = 5.301 T 10

x 10

c 10

( R ' ) = ( Rt ) + ( Rt ) = 4.657 + 1.273 = 5.93 T 20

x 20

x 40

c 40

W

m ⋅ K

c 20

( R ' ) = ( Rt ) + ( Rt ) = 6.358 + 0.707 = 7.065 T 40

m ⋅ K

W m ⋅ K W

N


Ta-ulando los resultados o-tenidos se tiene:

* ' +

+ N 1*

**** *ONA '**+

6A66 (+(N A1KA

6A66 ++'* +1KK

A1(' A6'A AK++

6

11

''K1

'KOA

+1N(

AK6+

1* '* (*

1+ '+ (+

A1NO (6+N 6A+K

'1'' 1'NA *N*N

+A*1 +OA* N*6+

ANNA AANA 'KA1

"n se%uida se muestra un %rá3co de los datos ta-ulados: K

(

N

A+

>= @

6

A

m7

+

'+

8 ? ac i

(

'

c

A

1+

si

'

1

1

*+

*

*

n et s

e 5

8

c 3í c

rm 4t ai

m> =7 o

*

+

1*

1+

'*

'+

A*

A+

(*

e r ol c

a

e d o9 ul F

e ps

5t. 70.c8r 5T 5tc

(+

"spesor del aislamiento 7mm8

otas:

  

K

"l efecto de radio crítico es re2elado por el hecho de 0ue) para un espesor de '* mm de aislamiento) la resistencia total 5 T aQn no es mayor 0 ue el 2alor para el caso sin aislamiento "l 2alor de 70.c8r es má.imo en e cr) donde 5T es mínima ote 0ue el pro-lema de la resistencia total más -a9a a tra24s de la aplicaci/n de aislamiento s/lo e.iste e.iste para para tu-os tu-os pe0ueR pe0ueRos os y -a9os -a9os coe3ci coe3cient entes es de con2ecc con2ecci/n i/n)) tal 0ue r crri Para Para 2alore 2aloress mode modera rado doss o %rand %randes es de r i y>o hc) rircr y la adici/ adici/n n de cual0u cual0uier ier cantidad cantidad de aislam aislamien iento to incrementará la resistencia total

Definición de Radio Crítico

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