TRABAJO N°1 HIDRÁULICA PROPIEDADES GEOMÉTRICAS SECCIONES TRANSVERSALES
JULIÁN ENRIQUE SUÁREZ GÓMEZ
PROFESOR RAMIRO MARBELLO PÉREZ HIDRÁULICA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN 2014
Hidráulica Propiedades Geométricas Secciones Transversales
2
Problema No. 1 Demostrar que las expresiones para el cálculo del área mojada y el perímetro mojado de la sección triangular con fondo redondeado son, respectivamente:
A continuación se presenta la figura de la sección triangular con fondo redondeado. Imagen 1. Sección transversal Triangular con fondo redondeado.
Perímetro Mojado
̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅
(1) (2) (3) (4)
Para el triangulo GCD, se obtiene lo siguiente
̅ ̅ ̅ ̅
(5) (6)
Para el triangulo CGE, se obtiene lo siguiente
̅ √ ̅ ̅ √ ̅
(7) (8)
Hidráulica Propiedades Geométricas Secciones Transversales
̅ ̅ ̅ ̅
(9) (10)
Reemplanzando (6) y (8) en (4), se obtiene lo siguiente
̅ ̅ ̅ ̅ √ ̅ para el cálculo del perímetro, este se obtiene como En cuanto al otro término un sector circ ̅
(4) (11)
ular con radio r y dos veces el ángulo α.
(12)
Ahora, para simplificación de cálculos, se recurre a la expresión (5), y esta se deja en términos de la pendiente m
(13)
Retomando la ecuación (12)
̅
(14)
Como último paso para hallar el perímetro, se reemplaza las expresiones (14) y (11) en (3)
√
(15)
Simplificando la expresión (15), se obtiene el siguiente resultado
√ √
(16)
(17)
3
Hidráulica Propiedades Geométricas Secciones Transversales
4
Área Para la obtención del área mojada de la sección triangular con fondo redondeado, se dieferencian las subáreas para su obtención.
=
=
-
Teniendo esta relación de figuras presente, se hace el análisis respectivo para la obtención del área de la sección triangular con fondo redondeado.
á
(1) (2)
Recurriendo a la ecuación (6) del ejercicio anterior se tiene que
(3)
Para el área Cián, a esta se le da un tratamiento de sector circular
á
(4)
Hidráulica Propiedades Geométricas Secciones Transversales Utilizando la ecuación (13) del ejercicio anterior y reemplazándola en (4), se obtiene lo siguiente:
á
(5)
Volviendo a la ecuación (2), reemplazando (3) y (5) en esta, se obtiene
( )
(6)
(7) (8)
Ahora, para analizar el Área Roja considerado como un triángulo, y tomando en cuenta la ecuación (10) del ejercicio anterior, se tiene lo siguiente
(9)
Por último, reemplazando (8) y (9) en (1), se obtiene el área mojada
(10)
5
Hidráulica Propiedades Geométricas Secciones Transversales
6
Problema No. 2 Deduzca la expresión para el cálculo de la profundidad al centro de área ( ), de la sección triangular con fondo redondeado.
̅
Utilizando el esquema anterior para el cálculo del área mojada, se tiene que:
Donde se diferencia 4 tipos de área para las cuales se saca sus respectivos centroides y áreas
̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅
(1) (2) (3) (4) (5)
(6) (7) (8)
Ahora, utilizando la expresión para el cálculo del la profundidad centroidal
̅ ∑
Poniendo como At el área encontrada en el literal anterior expresada en la ecuación (10) y teniendo presente la ecuación (13), se obtiene que
(9)
Hidráulica Propiedades Geométricas Secciones Transversales
7
̅() ̅ ̅ ̅ ̅ ( ) ) ̅ ()( ( ) Problema No. 3 Deduzca la expresión para el cálculo de la profundidad al centro de área ( ), de la sección rectangular con esquinas redondeadas.
̅
Para el cálculo de esta expresión se tiene la siguiente figura:
Donde se tiene a la figura 1 como un rectángulo de base B y altura y, las figuras 2 como rectángulos de altura (y -r) y base r, y 2 cuartos de círculo 3 con radio r. Teniendo esto en cuenta se tienen las siguientes expresiones:
̅ ̅ ̅
(1)
(2)
(3) (4)
Hidráulica Propiedades Geométricas Secciones Transversales
(5) (6)
Ahora, teniendo en cuenta la expresión del cálculo del centroide como
̅
∑ , , y reemplazando (1), (2), (3), (4), (5) y (6) en esta expresión, se obtiene lo siguiente
̅ Simplificando (7), se obtiene el centroide
(7)
(8)
8
