Univ. Miranda Diego Alejandro
Ingeniería Química
DECAIMIENTO RADIACTIVO La actividad radiactiva de un isótopo o velocidad de desintegración es el número de desintegraciones que experiementa dicho isótopo en la unidad de tiempo. En el Sistema Internacional se mide en becquerelios (Bq). Un Bq equivale a una desintegración por segundo. Frecuentemente se utiliza el curio (Ci), que equivale a 3,7.10 10 Bq. Experimentalmente se comprueba que la actividad de un isótopo radiactivo disminuye con el tiempo de forma exponencial, sin depender de la temperatura ni de otros factores externos. El proceso de desintegración de un núcleo es de naturaleza estadística resultando imposible predecir cuándo se desintegrará un determinado núcleo. Tan sólo se puede determinar la probabilidad de que este proceso tenga lugar. La actividad o velocidad de desintegración de una sustancia radiactiva (-dN/dt) es proporcional al número de átomos presentes, N:
λ, constante de proporcionalidad, se denomina constante de desintegración o constante radiactiva. Indica la probabilidad de que un átomo determinado se desintegre en la unidad de tiempo. Es característica de cada proceso de desintegración nuclear. A mayor valor de λ, mayor actividad radiactiva.
De la expresión anterior se obtiene la ley del decaimiento radiactivo:
que permite calcular al número de átomos presentes en un tiempo t a partir de N o, número de átomos radiactivos en el tiempo inicial t o=0. Esta ley puede aplicarse también a masas de sustancias radiactivas, ya que N y la masa de un determinado isótopo son proporcionales. La actividad viene dada por:
La representación gráfica de N frente al tiempo es una curva exponencial como la de la figura: 1
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Ley de decaimiento exponencial
Al principio se pensó que los materiales radiactivos podían radiar "perpetuamente", pues no se había observado disminución de su actividad con el tiempo en sustancias como el uranio. Tal fenómeno parecería estar en conflicto con la ley de la conservación de la energía, incluso lord Kelvin en el siglo XIX alcanzó a sugerir que alguna clase de energía que no se podía detectar posiblemente flotaba en el espacio, y que los átomos radiactivos podrían extraer esta energía y dispersarla en forma de rayos alfa, beta y gamma. Lo que en realidad ocurría era que esas sustancias tenían tiempos de vida media muy grandes. La situación empezó a aclararse con la aparición del trabajo de 1903 efectuado por Rutherford y Soddy. Estos investigadores encontraron una sustancia radiactiva con una vida media corta: Consiguieron separar el gas radiactivo (conocido ahora como Radón220) que emanaba del Torio. Encontraron que la actividad del gas disminuía por un factor de dos cada 52 segundos, después de ser separado del Torio. Llamando = 52 segundos a la vida media, se deduce que: t
I(t) t I0 t I0 / 2 t = 2. I0 / 22 t = 3. I0 / 23 … … t = n. I0 / 2n Por tanto, por inducción, se llega a la siguiente ecuación I
I 0 2
n
t
I 0 2
Haciendo el cambio de base 2 a base e, Rutherford y Soddy concluyeron que una propiedad general de la radiactividad es la ley del decaimiento exponencial: ln 2
I
(3)
I 0e
I 0e
t
t
donde I es la intensidad de la radiación y es la constante de decaimiento característica del material. En el caso del Ra 220, es ln 2 / (52 s) = 0.013 desintegraciones por segundo (47 desintegraciones por hora).
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Derivando con respecto al tiempo a ambos lados se obtiene la ecuación diferencial dN
(4)
dt
N
Esta relación se interpreta como que el cambio temporal en la intensidad (número de partículas detectadas por el del detector de centelleo o Geiger) es directamente proporcional a la cantidad de partículas radiactivas que aún queden en la muestra.
Pronto fue señalado por Schweidler que esta ley empírica podía obtenerse de la suposición de que el proceso de decaimiento es de naturaleza estadística, esto es, que cada átomo que existe en cualquier tiempo t tiene la misma probabilidad de decaimiento en el siguiente intervalo de tiempo dt . Si esta probabilidad es dt , entonces el número N de átomos radiactivos cambia en un intervalo de tiempo dt por una cantidad igual a:
dN
N dt
Esta es la forma diferencial (o ecuación diferencial) que describe el decaimiento radiactivo, la cual puede ser integrada inmediatamente por separación de variables para obtener: dN N N
dt
dN
N
N 0
t
dt 0
ln N ln N 0 t ln
N N 0
N N 0
t
e t N (t ) N 0 e t
donde N 0 es, por supuesto, el número de átomos presente en el tiempo t = 0 . La expresión final (llamada forma integral ) expresa que el número de partículas que se desintegran decrece exponencialmente con el tiempo. 3
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La edad de la tierra y las series radiactivas .
En su trabajo de 1903, Rutherford y Soddy también propusieron la teoría de transformación, que establece que, al radiar, un átomo cambia su especie. Esta idea proveyó la base para grandes avances en la comprensión del fenómeno de la desintegración radiactiva. En los siguientes diez años, Rutherford y colaboradores exploraron las consecuencias de esta idea y pudieron identificar tres familias de elementos radiactivos que ocurren naturalmente. Cada familia tiene un "padre" de larga vida, que decae en otra especie radiactiva; después de una serie de decaimientos alfa y beta, el proceso termina en un elemento estable. Debido a la ocurrencia en estas series de especies diferentes con las mismas propiedades químicas (la misma Z ) , pero diferente peso atómico A, Soddy inventó en 1911 el término isótopo. Estableció, entonces, las leyes de desplazamiento que gobiernan el desarrollo de una serie: (1) En el decaimiento alfa, Z se reduce en dos unidades y A en cuatro. (2) En el decaimiento beta, Z aumenta en una unidad, mientras que A no cambia (A los elementos con la misma A, pero de diferente Z , se les denomina isóbaros.) El valor de A para cada elemento de una serie dada tiene el mismo residuo después de dividir entre 4. Las cuatro series posibles son:
Padre
Vida media (años) A
Producto final
U238
4.5 x 109
4n-2
Pb206
U235
7.13 x 10 8
4n-3
Pb207
Th232
1.41 x 10 10
4n
Pb208
Np237
2.2 x 106
4n-1
Bi209
donde n es un entero. La última serie no se encuentra en la naturaleza, pero se ha producido artificialmente. Las prolongadas vidas medias de los padres naturales explican por qué la disminución de actividad no se observó en los primeros estudios de rocas radiactivas. Por supuesto, debido a que ningún proceso conocido en la Tierra puede producir estos elementos pesados, es evidente que solo elementos con vidas medias comparables a la edad de la Tierra permanecen en ella. Si se supone que los elementos pesados se produjeron más o menos en igual abundancia por algún proceso que ocurrió antes de que se formara la Tierra, la presencia de tres de estas series y la ausencia de la cuarta fijan un límite superior y un límite inferior para la edad de la Tierra. 4
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EJEMPLO 1. Encuéntrese un límite superior para la edad de la Tierra, suponiendo que el U 233 y el U238 eran igualmente abundantes cuando la Tierra se formó. La abundancia relativa ahora es U 238/N235 = 140.
SOLUCION
Si cantidades iguales estaban presentes en t = 0, las abundancias en un tiempo t (hoy) son: N 238
N 0 e
23 8t
N 235
y
N 0 e
23 5t
Las constantes de decaimiento se pueden calcular a partir de la tabla anterior, y usando la relación entre vida media y constante de decaimiento se obtiene para cada especie: 238
0.693
9
4.5 10 años
1.5 10
10
y
/ año
235
0.693
8
7.1 10 años
9.8 10
10
/ año
Podemos construir el cociente:
140
N 238 N 235
N 0 e N 0 e
23 8t
23 5t
e
23 8t 23 5t
Tomando logaritmo natural a ambos lados y despejando t se obtiene:
ln 140 t
238
t
4.94 235
238
235 t 9
6.0 10 años
La edad de la tierra aceptada actualmente es 4.6 x 10 9 años, deducida del análisis combinado de la abundancia de otros elementos en la tierra.
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Las abundancias relativas de los elementos que existen en las estrellas, medidos con base en medidas espectroscópicas permiten revelar la edad de las estrellas, es decir, su estado evolutivo en una secuencia que arranca en las enanas blancas y termina en las gigantes rojas, supernovas o agujeros negros.
COMENTARIO.
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