UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA Norte De L a Universidad Univers idad Peruana
FACULDAD DE INGENIERIA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
CURSO:
ECUACIONES DIFERENCIALES
TEMA:
DECAIMIENTO RADIOACTIVO
CICLO:
VACACIONAL - 2019
DOCENTE:
LIC. ROMÁN MEDINA AGUILAR
INTEGRANTES: o o o o o
DÍAZ PINZÓN, SHEILA VALENTINA GUERRERO GUERRERO, ANDERSON. PORTOCARRERO AGUINAGA, DANIEL. TARRILLO GONZALES, JUAN JOSE. VILLALOBOS SALAZAR, MARIA ANGÉLICA
JAÉN - PERÚ 2019
DECAIMIENTO RADIOACTIVO I. DEDUCCION. Si observamos cierta cantidad inicial de sustancia o material radioactivo, al paso del tiempo
se puede verificar un cambio en la cantidad de dicho material; la cantidad M del material es una función del tiempo t, esto es
=. Aún más, dadas las características de los
materiales radioactivos, al paso del tiempo ocurre una desintegración o decaimiento del material. Esto no quiere decir que el material desaparezca, sino que la configuración interna de sus átomos cambia y dejan de ser radioactivos. Experimentalmente se ha llegado al conocimiento de que, en cualquier tiempo rapidez de cambio de la cantidad
≥ 0, la
de material radioactivo es directamente proporcional
a la cantidad de material presente. Simbólicamente esto se expresa así:
∝ ; Donde es la rapidez de cambio de y el símbolo ∝ denota la proporcionalidad existente entre la cantidad presente del material radioactivo y su rapidez de cambio. Se afirma entonces que:
= ;…….1 Donde k es la llamada constante de proporcionalidad. Debido a la desintegración, la
de material radioactivo va disminuyendo (decreciendo) al paso del tiempo t, por lo tanto, se tiene que lo que < 0, nos permite concluir que k < 0 ya que < 0. cantidad
Esta ecuación diferencial (1) representa el modelo matemático por resolver y es de variables separables. En efecto:
= ⟹ =
Integrando se tiene:
∫ = ∫ = = + = =
Entonces la solución general de la ecuación diferencial (1) es
= Es común conocer la cantidad (inicial) de material existente en t = 0, lo que se expresa por M(0) = M0. Con esto podemos calcular la constante C:
0 = = = = Entonces se tiene:
= De esta última expresión observemos que se puede calcular k si se conoce la cantidad de material existente en un tiempo t1 > 0, digamos M(t1) = M1 < M0:
Así concluimos que
= = = ln()= = ln ln
PERÍODO DE SEMIDESINTEGRACIÓN,
/:
/ Es el tiempo que tarda, en promedio, una sustancia radioactiva pura en reducir sus átomos (o su actividad) a la mitad del valor inicial. De la ecuación 1,
0 =0−/ ∴ / = ln2 2 N N0 et ; e
T1 / 2
1 2
N0 / 2 N T et ; e / N0 N0
1 2
T1 / 2
; ln e
ln 21
T1 / 2 .ln e ln1 ln 2 T1 / 2
ln 2
VIDA MITAD, τ (mean life):
Es el promedio de vida de todos los átomos. Se obtiene sumando la vida de todos y dividiendo por los átomos iniciales.
1
T1 / 2 ln 2
A la veloci dad de des integ raci ón de una sus tancia radiactiva s e denomina actividad (A) y se puede calcular derivando la expresión de la ley del decaimiento radiactivo res pecto del tiempo. A
dN dt
t
N0 e
N
Dado que la tasa de desintegración (dN/dt) es negativa ya que cada vez quedan menos núcleos, se afecta a la derivada del signo menos para obtener una velocidad de desintegración (o actividad) positiva.
EJERCICIOS 1.
Se encontraron huesos fósiles de un animal. Se analizaron y se detectó que cada
uno de los huesos contenía una centésima parte del antigüedad aproximada de los huesos encontrados.
14
C radioactivo.
Determinar la
Solución: Supongamos que M(t) es la cantidad presente de C en cada hueso al cabo de t años y que M0 es la cantidad original (inicial) de dicha sustancia radioactiva en cada hueso. M(t) está determinada por la solución del PVI: 14
, con M(0) = M0 además M(5600)=1/2 M0 La solución general de la ecuación diferencial es M (t ) Cekt , donde C = M0 . Ahora, M
'(t )
kM (t )
1
M (5600) M 0 e e
k (5600)
k (5600)
2 1 2
M 0 M 0
1 2
1 5600k ln 2 k
ln 2 5600 4
k 1.2376*10 M (t )
4
M 0e 1.2376*10
t
Si consideramos que cada hueso contenía una centésima parte del se tiene que: M (t )
M 0 e e
1 100
M 0
1.23776*104 t
1.23776*10 4 t
C radioactivo
14
1 100
M 0
1 100
1 1.23776*104 t ln 100 ln100 t 1.23776*104 t 37205.68
Por lo tanto la edad aproximada de los huesos es de: t = 37206 años.
original,
2. El Radio se desintegra a una velocidad proporcional a la cantidad presente según − . Se ha comprobado además que en 1600 años desaparece la mitad la ecuación de la cantidad inicial. Hallar: a) La fórmula de la función que represente la desintegración del Radio como función del tiempo t. b) La cantidad perdida al cabo de 100 años.
=
SOLUCIÓN:
a) Como el modelo de desintegración que representa el problema es deben hallar los parámetros y .
Para t = 0 la cantidad inicial de Radio es = − → =
Siendo que en 1600 años desaparece la mitad de la cantidad inicial
=− , se
, será
= 12 = 12 ……………. 1 Considerando el modelo de decaimiento radioactivo , se expresa: = − …………… 2 Por igualación de (1) y (2)
1 = − 2 1 = − 2 Aplicando logaritmo natural en la expresión anterior y la propiedad de la potenciación de los logaritmos:
12 = 1600.ln Buscamos una expresión para α:
ln 12 = 1600 1 ln 1 = 1600 2 Multiplicando miembro a miembro por t:
ln 1 = 1600 2 Por propiedad del logaritmo de una potencia:
1 ln(2) =
=− se obtiene: =.
Reemplazando - αt en la ecuación inicial
Teniendo presente que la función logaritmo natural y la función exponencial de base funciones inversas entre sí, se obtiene:
e
son
1 = (2) b) Para hallar la cantidad perdida al cabo de los 100 años, sustituimos en la ecuación anterior t por 100 entonces :
/ 1 100 = (2) ≈ 0.9576
3. Un material radioactivo se desintegra dos tercios en 1000 años. Determinar su vida media.
Suponemos que se cumple con el modelo de desintegración de esta sección y por lo tanto .
=
Hallamos “K”
3 =0.0010986. 1000 = 3 = → 13 = →(13)=1000→= 1000 Podemos calcular ya la vida media, usando (3.2)
2 =630.92ñ. = 2 = 0.0010986
4. Se ha detectado que el 0.5% de una sustancia radioactiva desaparece en 12 años. 1. ¿Qué porcentaje desaparecerá en 1 000 años? 2. ¿Cuál es la vida media de dicha sustancia?
La cantidad de sustancia al cabo de t años está dada porM.t / D M0ekt, donde M0 es la cantidad inicial de sustancia. Además:
1. Sea p el porcentaje que queda de la sustancia radioactiva después de 1 000 años. Entonces:
Este resultado indica que a los 1 000 años quedará el 65.856% de la sustancia radioactiva original, es decir, desaparecerá 34.144% de dicha sustancia. 2. Para hallar la vida media usamos el valor de k previamente calculado: